ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄) ΔΕΥΤΕΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α A1.
Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα
[
]
[ α, β] .
Αν G είναι
μια παράγουσα της f στο α, β , τότε να αποδείξετε ότι:
∫
β α
f ( t ) dt = G ( β ) − G ( α ) Μονάδες 7
A2.
A3.
Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες 4 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της;
[
]
Μονάδες 4 A4.
Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
z − z0 = ρ, ρ>0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το
α) Η εξίσωση
( )
σημείο K z0
2
και ακτίνα ρ , όπου z, z0 μιγαδικοί αριθμοί.
β) Αν lim f ( x ) < 0 , τότε f ( x ) < 0 κοντά στο x 0 x → x0
γ) Ισχύει ότι:
ημ x ≤ x για κάθε x ∈ συν x − 1 =1 x →0 x
δ) Ισχύει ότι: lim
ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 10
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει:
( z − 2)( z − 2) + B1.
z−2 = 2
Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , είναι κύκλος με κέντρο K ( 2,0 ) και ακτίνα ρ = 1 (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z ≤ 3
ανήκει στον παραπάνω (μονάδες 3) Μονάδες 8
B2.
Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z 2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ = 0 , με w μιγαδικό αριθμό, β,γ ∈ , και 2
Im ( z1 ) − Im ( z 2 ) = 2 τότε να αποδείξετε ότι:
β = −4
και
γ=5 Μονάδες 9
B3.
Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α0 , α1, α2 οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση:
v 3 + α2 v 2 + α1v + α0 = 0 τότε να αποδείξετε ότι:
v <4 Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τ ι ς συναρτήσεις f,g : → ώστε : •
( f ( x ) + x ) ( f ′ ( x ) + 1) = x ,
•
f ( 0 ) = 1 και
•
3x 2 g( x) = x + −1 2
,
με f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μη τέ τοιε ς
για κάθε x ∈
3
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ1.
Να αποδείξετε ότι:
f ( x ) = x2 + 1 − x , x ∈ Μονάδες 9 Γ2.
Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης
f ( g( x)) = 1 Μονάδες 8 Γ3.
⎛ ⎝
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ∈ ⎜ 0,
∫
π⎞ ⎟ τέτοιο, ώστε: 4⎠
0
π⎞ ⎛ f ( t ) dt = f ⎜ x 0 − ⎟ εφ x 0 4⎠ ⎝ x0 − π 4
Μονάδες 8
ΘΕΜΑ Δ Έστω f : ( 0, + ∞ ) →
μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:
•
Η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο
•
f (1) = 1
•
lim h→ 0
( 0, + ∞ )
f (1 + 5h ) − f (1 − h ) =0 h
Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση
g( x) =
∫
x α
f (t) − 1 dt , t −1
x ∈ (1, + ∞ ) και α > 1
Να αποδείξετε ότι: Δ1.
f ′ (1) = 0 (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = 1 (μονάδες 2). Μονάδες 6
Δ2.
η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο
∫
8x2 + 6
g(u)du > 8x2 + 5
∫
2x 4 + 6
g(u)du
(μονάδες 6)
2x4 + 5
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
Μονάδες 9
ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3.
η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση
( α − 1)
∫
x α
f (t) − 1 dt = ( f ( α ) − 1) ( x − α ) , t −1
x>1
έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες 10
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.
2.
3. 4. 5. 6.
Σ τ ο ε ξ ώ φυ λλο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε το ε ξ εταζόμενο μ ά θ η μ α . Σ τ ο εσώφυλλ ο π ά ν ω - π ά ν ω να συμπληρ ώσετε τα α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μαθητή. Στην α ρχ ή των απαντήσεών σ α ς να γ ρ ά ψ ε τ ε π ά ν ω -π ά ν ω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μ η ν α ν τ ι γ ρ ά ψ ε τ ε τ α θέματα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μην γ ρ ά ψε τε πουθενά σ τ ι ς α π α ν τ ή σ ε ι ς σας τ ο όνομά σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά την αποχώρησή σα ς ν α παραδώσετε μ α ζ ί με το τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τα φωτοαντίγραφα . Να α π α ντή σετε σ το τ ε τ ρ ά δι ό σ α ς σε όλα τ α θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύ ρο στ υλό με μ ε λ ά ν ι π ου δεν σβ ήνει . Μ ολ ύ β ι επιτρέπεται , κ α ι μόνο γ ι α πί να κες , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κλπ . Κάθε απάντηση επιστημον ικά τεκμηρ ιωμένη ε ί ν α ι α π οδε κ τ ή . Δ ι άρ κ ε ι α εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. Χρόνος δ υ ν α τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ.
KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ