Θέματα Μαθηματικών κατεύθυνσης 2013

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄) ΔΕΥΤΕΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

ΘΕΜΑ Α A1.

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα

[

]

[ α, β] .

Αν G είναι

μια παράγουσα της f στο α, β , τότε να αποδείξετε ότι:

∫

β α

f ( t ) dt = G ( β ) − G ( α ) Μονάδες 7

A2.

A3.

Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μονάδες 4 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα α, β του πεδίου ορισμού της;

[

]

Μονάδες 4 A4.

Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.

z − z0 = ρ, ρ>0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το

α) Η εξίσωση

( )

σημείο K z0

2

και ακτίνα ρ , όπου z, z0 μιγαδικοί αριθμοί.

β) Αν lim f ( x ) < 0 , τότε f ( x ) < 0 κοντά στο x 0 x → x0

γ) Ισχύει ότι:

ημ x ≤ x για κάθε x ∈  συν x − 1 =1 x →0 x

δ) Ισχύει ότι: lim

ε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 10

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει:

( z − 2)( z − 2) + B1.

z−2 = 2

Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z , είναι κύκλος με κέντρο K ( 2,0 ) και ακτίνα ρ = 1 (μονάδες 5) Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z ≤ 3

ανήκει στον παραπάνω (μονάδες 3) Μονάδες 8

B2.

Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1, z 2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ = 0 , με w μιγαδικό αριθμό, β,γ ∈ , και 2

Im ( z1 ) − Im ( z 2 ) = 2 τότε να αποδείξετε ότι:

β = −4

και

γ=5 Μονάδες 9

B3.

Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς α0 , α1, α2 οι οποίοι ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση:

v 3 + α2 v 2 + α1v + α0 = 0 τότε να αποδείξετε ότι:

v <4 Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τ ι ς συναρτήσεις f,g :  → ώστε : •

( f ( x ) + x ) ( f ′ ( x ) + 1) = x ,

•

f ( 0 ) = 1 και

•

3x 2 g( x) = x + −1 2

,

με f π α ρ α γ ω γ ί σ ι μη τέ τοιε ς

για κάθε x ∈ 

3

ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Γ1.

Να αποδείξετε ότι:

f ( x ) = x2 + 1 − x , x ∈  Μονάδες 9 Γ2.

Να βρείτε το πλήθος των πραγματικών ριζών της εξίσωσης

f ( g( x)) = 1 Μονάδες 8 Γ3.

⎛ ⎝

Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ∈ ⎜ 0,

∫

π⎞ ⎟ τέτοιο, ώστε: 4⎠

0

π⎞ ⎛ f ( t ) dt = f ⎜ x 0 − ⎟ εφ x 0 4⎠ ⎝ x0 − π 4

Μονάδες 8

ΘΕΜΑ Δ Έστω f : ( 0, + ∞ ) →



μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

•

Η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο

•

f (1) = 1

•

lim h→ 0

( 0, + ∞ )

f (1 + 5h ) − f (1 − h ) =0 h

Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση

g( x) =

∫

x α

f (t) − 1 dt , t −1

x ∈ (1, + ∞ ) και α > 1

Να αποδείξετε ότι: Δ1.

f ′ (1) = 0 (μονάδες 4), καθώς επίσης ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = 1 (μονάδες 2). Μονάδες 6

Δ2.

η g είναι γνησίως αύξουσα (μονάδες 3), και στη συνέχεια, να λύσετε την ανίσωση στο



∫

8x2 + 6

g(u)du > 8x2 + 5

∫

2x 4 + 6

g(u)du

(μονάδες 6)

2x4 + 5

ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ

Μονάδες 9

ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ Δ3.

η g είναι κυρτή, καθώς επίσης ότι η εξίσωση

( α − 1)

∫

x α

f (t) − 1 dt = ( f ( α ) − 1) ( x − α ) , t −1

x>1

έχει ακριβώς μια λύση. Μονάδες 10

ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέ νους) 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Σ τ ο ε ξ ώ φυ λλο τ ο υ τ ε τ ρ α δ ί ο υ να γ ρ ά ψ ε τ ε το ε ξ εταζόμενο μ ά θ η μ α . Σ τ ο εσώφυλλ ο π ά ν ω - π ά ν ω να συμπληρ ώσετε τα α τ ο μ ι κ ά σ τ ο ι χ ε ί α μαθητή. Στην α ρχ ή των απαντήσεών σ α ς να γ ρ ά ψ ε τ ε π ά ν ω -π ά ν ω τ η ν η μ ε ρ ο μ η ν ί α και το εξεταζόμενο μάθημα . Να μ η ν α ν τ ι γ ρ ά ψ ε τ ε τ α θέματα σ τ ο τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι να μην γ ρ ά ψε τε πουθενά σ τ ι ς α π α ν τ ή σ ε ι ς σας τ ο όνομά σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κ α τ ά την αποχώρησή σα ς ν α παραδώσετε μ α ζ ί με το τ ε τ ρ ά δ ι ο κ α ι τα φωτοαντίγραφα . Να α π α ντή σετε σ το τ ε τ ρ ά δι ό σ α ς σε όλα τ α θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με μαύ ρο στ υλό με μ ε λ ά ν ι π ου δεν σβ ήνει . Μ ολ ύ β ι επιτρέπεται , κ α ι μόνο γ ι α πί να κες , δ ι α γ ρ ά μ μ α τ α κλπ . Κάθε απάντηση επιστημον ικά τεκμηρ ιωμένη ε ί ν α ι α π οδε κ τ ή . Δ ι άρ κ ε ι α εξέτασης : τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων. Χρόνος δ υ ν α τ ή ς α π ο χ ώ ρ η σ η ς : 1 0 . 0 0 π . μ.

KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ∆ΕΣ