Análisis Vectorial by Ayuda Estudiantil UES

1\ I'AC H OD M. JI. H l-lCE.TlEB A. ll. MAHAPEHHO 1'. 11.

BERTOPHbHl AHAJIH3

M. L. HRASNOV A. l. HISELIOV

G.l. MAHARENHO

EDITORIAL MIR

Traducido del ru so p or. T. Shapoválova lmpreS() en la UR SS 1981.

Ha ucnan.creoM

RIJI>U«•

peA&J<~nn ,Puan"l<O-MBTOMaTH'IOCICOÜ n uTepaTypu H8.1{8Teni>CT&a cHayRa•, 1978

@ rnaaaan

@ Traducción al español.

E ditorial Mir. 1981

INDICE

Prefacio

7 CAPITULO I

FUNCION VI,;CTOill AL DE UN ARGUMENTO ESCALAR

§ 1. Hodógrafn de función vectorial § 2. Limite y continuidad de función vectorial do un argu-

mento escalar

3. Derivada de una [unción vectorial por el argumento

escalar § 4. Integración de la función vectorial del argumento escalar § 5. Derivadas ptimera y segunda do un vector respecto a la longitud del arco. Curvatura de una curva. Normal principal § 6. Plano osculador. Bínormal. Torsión. Fórmulas de Frenet

14 18

26 29

CAPITULO H CAl\fPO ESCALAR

§ 7. Ejemplos de campos escalares. Superficies y lineas

del nivel

§ 8. Derivada respecto a In dirección § 9. Gradiente d e un campo escalar

33 36 41

CAPITULO III CAMPO VECTORIAL

§ 10. Líneas vectoriales. Ecuaciones diferenciales de las

líneas vectoriales

flujo

Teorema de Gauss-Ostrogradski

§ 11. Flujo del campo vectorial. Métodos del cálculo del

§ 12. Flujo del vector a través de la superficie cerrada.

INDJCE

§ 13. Divergencia del ca mpo vectorial. Cumpo solenoidal § 14 . Integral lineal en el campo vec torial. Circulación

del campo vectorial § i5. Rotor (rotacional) del campo vectoria l § 16. Teorema de S tokes § 17 . lndcpendenc in d e Jn iutegral lineal do la vía do in-

83 90

100

103

10 7

te gració n. La fórrnula de Grocu CAPITULO J V

tt3

CA lii PO POTENC I A L

§ i 8. lndicios de la potencialidad de l campo § 19 . Cálculo de la integral lineal en e l c ampo potencial

f13 115

C APITULO V O P E il ¡\ UO R nt-: 11 1\ M ILT O N . O I'ER ACI O!'iES D ll'EREI'C I A L ES D E SEG UNDO OH D EN . OPE R ADOR DE L APLACE 12t

§ 20 . Operador de Hamilto n cnabla• § 21. Operaciones dileronc ia les d e l segundo

121 orden. Ope-

rador de Laplace § 22. Potencial vectorial

125 136 CAPITULO VI

<!OOR DEN A D AS CUR V!Ll N EAS. OPE R ACION ES PRINCIPA LES DEL J\N AI, l S I S VECTORIAL EN LA S COORDENAD AS l C URVILJN E AS 141

§ 23. Coordenadas c urvilioeas § 24. Operaciones principales del anális is

la11 coordenadu curvili.oeas

141 vectorial en

§ 25. Operador de Laplace en las coord enadas ortogonales

145 159

Respuestas Suplemento 1 Suplemento JI

161

Bibliografía

i71

168 170

PREFACIO

La buena preparación matemát.ica del ingeniero moderno indudablemente contri buye a nuevos l ogros de In técnica en sus dist intas ramas. Una do l11s disciplinas matemáticas de gran significado en formación de un ingeniero es e! análisis vectorial, incluido hoy en Jos programas do los cursos de 1natemúlicas superiores de centros de enseñanza lkcnica superior y un iversitarios. La recolección de problemas de análisis vectori al propuesta, contiene el mínimo necesario de problemas y ejercicios del curso do análisis vectorial corrospondie nle al programa ele los centros de enseñanza técnica su perior. E n el comienzo do cada párrafo se expone la teoría básica y so brindan las resoluciones deta lladas do un númer o suficientemonte gra nde do problemas típicos. En el libro se analizan 100 ejomplo8, además, se dan 3 14 problemas parn ser resuellos por cuenta propia. En el libro hay al¡wnos problemas do carácter aplicado, elegidos de tal modo, que el análisis do los mismos requiera dol lector conocimientos complementarios de disciplinas especializadas. El material del sexto capitulo dedicad o a las coordenadas curvilineas y las opera ciones principales del nnúlisis vector ial está incluid o en el ma nunl para dar al lector posibi lidad de adquirir los h ábi t os necesarios resolviendo una cautitlad minimn de los problemas. La metódica de exposición del material es semejante a la metód ica do la cáterlrn do mate máticas su peri ores dol I nst ituto energético de Moscú. E l li bro puede ser considerado como un curso breve de aná lisis vect.orial , en el que se comunican sin demostración los hechos básicos con ilustración de ejemplos concrotos. Por eso, este manual puede ser empleado, por una parte, para repetir los fundamentos del análisis vectorial , y, por otra parte, como el libro de texto para los especialistas, los cuales sin entrar on la demostración do ñlgunas teoremas y del material teórico, quieren dom inar la técnica de operación del análisis vectorial. Escr ibiendo el manual los autores utilizuron el ma teri al que con tienen los cursos do operaciones vectoriales y otros manuales. La parte considerable de los problemas estú co mpuesta por los autoroa,

PREFACIO

E~ln colección de problemas está dedicada a los estudiantes do los centros do enseñanza técn icn superior, y, también para los estudiantes de otros centros que subon la álgebra vectori al y el análisis matemático en los limites del programa de los dos primeros años do estudio en los centros de cnsefianza técnica superior. Todas las observaciones y consejos dirigidos a l mejoramiento del manual los aceptaremos con grati tu d.

M. L . Krasnov A. I. K iseliov

G. l . Makárcnko

CAPITULO l

FUNCJON VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR

§ 1. HODOCORAFA DE FUNCION VECTOR IAL Definición l. Un vector r se llama /unci6n vectorial del argumento escalar t, si a cada va lor del escalar del dominio de va lores admisibles le corresponde un valor determinado del vector r. Vamos a esccibirlo co mo sigue: r = r (t). Si el vector r es función del argumento escalnr r = r (t),

outonces las coordenadas argume11lo t también: X =

:r,

(t),

y, z del vector r :~o11 fun<:ÍlHI <'S del y = 1J (t),

= : (l).

A la invcrs<~, si las coordenadas del vocw•r son fuudones de t, entonces la funció n do t serii el mismo vector r: r = x (t) ;.

y (t) j -1 :: (t) k.

D e tal modo, la expresión de Ja funcióu vcclori¿l] r (t) es jgual a la expresión de 1.res fllnciones escalares x (t), y (t), z (t). Definic ión 2. Ifod6grafa de la función vectorial r (t) de 11n argumento escalar se llama el lugar geométrico do los puntos que describe extremo del vectorr (t) con el cambio del escalar t cuando el origen r (t) so encuentra en un punto fij o O del espacio (fig. 1). La bodógrafa del radio-vector r = r (t) de un punto que se mueve as la misma trayect.oria L de este puuto. La hodógrafa <le velocidad v = v (t) de esto punto es cierta otra línea L 1 (fig. 2). Por consiguiento, si un pllDto material tra7.a una circunferencia con una ve-locidad constante 1 v 1 = conat, ento nces su hodógrafa de velocidades es también llna circunferencia con centro en e l punto Q 1 · y con radio igual a 1 o 1. . · Efemplo f. Constrwr la hod6grafa del vector r = ti + tj t•k.

FUNCLON VECTORI,\L DE UN ARGUMEN'rO ESCALAR

CAP. t

Solución. 1•. Esta construcción so puede realizar según los puntos construyendo la tabla:

1 i -1- i+k

2". Se puedo ]tallar otra solución: a l deuomitta r por medio d o x, y, z las coordenad as del vector r tendremos X

= t,

t3.

FIG. 1

z v,

. y

FIG. 2

E1eluyendo de estas e<:.uaciones et l)arám,etro ·~ obt~n.li~m~ las ecuaciones qe las superficies 11 = :r:, z ~ .z'; la U.nea '. de .ínter! aeceión L de ·tas c uales y d~terrnioará la· hodógrafa · d l!'l vector r (t). (fig. 3).

!> 2.

LlMlTE Y CON1'1NUIOAD DE PUNCION VECTORIAL

1. Construir las hodógrafas de los vectores:

= 2i -1- t 2 j

- t 2 k. . 2t

•

e) r = cos t · i +sen t · j

+ k.

a) r

-l- i

e) r = (t+1) 2 d) r e)

=ti + f

'+ t2j

(t + i)* J .

+{- t3k.

2ti -Hi + (t 2 - 2) k t2

F I G. 3

§ 2. LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCION

VECTOR I AL DE UN AR GUMENTO ESCALAR Sea determinada la función vectorial r = r (t) del argutrlento escalar t en un entorno del valor t 0 del argumento t , excepto, puede ser el mismo valor t 0 • . DeUniclón t. El vector constante A se llama límfte del vector r (t) con t -+ t 0 , si para cual quiera e > O existe 6 > O tal que para todos los t =t= t 0 , que satisfacen la condición 1 t ~ - t 0 l < 6, se cumpla la desigualdad

(t) -

A 1 < ¡¡,

l'l":'IC ION VEG'l'OH I :\1.

01~

UN ,\llGlJMEN TO I•:SCA L A R

!\sí como en el análi sis ordi nar io escribon lím r (t) =

CA P . I Á .

Gco-

1 -lo

métricame nte esto "'ignificn que ol vedor r (t) :~i t -+ t 0 t iendo a l vcc~or Á tanto por In lo ngiLucl como pur la di rección (fi g. lt). ~

Ft(:. lo

Derinic lón 2. 1~1 vlldor ot ( 1) ,;e lla ma injinllamcn:" p cquelio para 1 -+ 10 si a (1) li ono límilc s ion du t - >- 10 y (•sl o os ig ua l a <"o ro: lím a (t) = l), t-t.

o, lo q\te es lo mismo. para cualquier.• ~ > O ••xisLC nn 6 > U t.al que pa ra todos lo"' t ;/= 10 q ue sat isfacen hl condicióu 1 t - 10 1 < 6, se cumplo la dosigun ld ad 1 a (t) 1 < e . Ejemplo 1. Most ra r que e l vect or ot (t) ~- t i. + O:!Cu t j os un vec to r in fi nita mente pootuoño para t - U. Solución. Tenemos

1a (1) 1 - 1 ti son tj 1.;;;;; 1 t 1 1 sen t 1.;;; 2 1 t 1 • tlo don do so ve quo si par~ Lodo e > O tomamos 6 =- e/2 cn Lo uces, <:on 1 t - O 1 < 6 = e/2, obtenem os 1 a (t) 1 < e. Conforme a la <lofi n ici ón es to s ignificu q no a (t) es u n vector i n finitame nte p oquciio s ien do t -+ O. 2. 1\los t rar q uo el límite del módulo del vecto r es igua l

a l m ód ulo de su lím i te, s i e l último límite exis te. 3 . Demos trar que pa ra que la func ió n vectorial r (t) tenga el límite A con t - t 0 es neces ario y suficie nte que r (t) sea representado en fo rma d e

r (t)

(t),

donde a (t) es un vector infinitame nte peque ño para

t - t0 • 4. Mos trar que s i las funcio nes v ectoriales a (t) y b (t ) tienen limites para t -

t0 :

lim. a (t) = A, Hm b (t )= B, c-a.

t - t.

LIMITE Y CON'I'T!-oUJDAD DE PUNC!ON VECTORIAL

S 2.

entonces su suma tJ (t) b (t) y diferencia a (t) - b (t) también tienen límiLes :üendo t - t 0 , con todo esto lím [a(t)±b(t)] = A + B . e-t.

5. Sea líma(t) = A, límb (t) = B. t-t.

t-t.

Demos trar que lím (a (t), b (t)) = (A, B), t-t.

donde (a (t), b (t)) os el product o e>:cnlar do lns fuucionos vectoriales a (t) y b ('t).

6. Sea r

~t)

x (t) i

+ y (t) j +

z (t) k , A

a1i

a.J

Mostrar que si lím r (t) = A, es que t-t.

Hm x (t) = a 1 , lím y (t) t ••te

t-t 0

= a2,

lim z (t) = a 3 • t - t0

Hallar los siguieutes límites: son t . -1 cos t 7 . lí ,_om ( -,' - 2t

8. lím ( t-0

t> ,., ,

• -1

t;_~i i + t+t 1

-e

,.k)

+ k).

'+ t+n k ) .

1•liD ( - son- t t.. -1 cos t · ] 1 1-n

tO. li m ( scnt t-:t

11 . l'11~

1- n

t +cost t

i +.!_ ¡,). n

(elt --e1 '' + ~ ' + 2k) . 1- t 1

Dei1nie16n 3. La fw1ción vectorial r = r (t) definida en un entorno del valor de t t 0 se llama contin ua para t = t 0 si

1i m r (1) = r (tu). t-t.

Do otro modo, r = r (t) es continua sie ndo t = t 0 si para todo e > O oltisle un 6 > O la l, quo para t odn t quo satisface la condic ión 1 t - tp 1 < 6, so namplo la dc~igualclatl 1 r (1) - r (1 0) 1< f:. La hodografa do una runc i6 n vectoria l c nnliuua de a rgurnonln O!!Ca la r es u na curva con ti nun.

F1.1NC!ON VECTORIAL DE UN ARGUMENTO ESCALAR

CAP. I

12. Partiendo de la desigualdad co noc ida 1 a - b 1 ·~ 1 b 11, m ost.rar que de la continuidad de la función vectorial proporciona l a con ti o u idad do su móuulo. ¿Es cierta la exprosióu inversa'? 13. Mostrar qttO si a (t) y b (t) son continuas para t = t 0 , entonces la funeión vectorial a (t) ± b (t) os continua tnmhién para t = /.0 • 14. Función vec torial a (t) · ! b ( t) es continua para t ~ l.,. ,;Se deduce de N; l.o qul' los vectores a (l) y b (t) también SOII C.OIII.ÍJII.IOS ¡líll';t t - = l.,.!' 15 . J>omoslrar que si a (l) y b (t) so11 las funciones vectoriales c ont.ittll:ts, e l produc·.to escalar (a (t), b (t)) y procluc.to vcc t oriul la (t), b (t)l también son continuos.

11 a 1 -

3. DERIVADA DI<: UNA FUNCION vgCTOHIAL POH EL A H GUMENTO ESCALAR

S1~a la fuucióu vectorial r = r (t) determinada para todo t del intervalo (t0 , t 1). Tomemos un valor t E (t 0 , t 1 ), demos a t e l incremento ót tal. que t ót E (t0 , 11 ) y hollemos e l incremento corrcspondieute t:J.r = r (t t:J.t) - r (t) do la función vectorial r (l). Examinemos luego la relación ~r.

+ +

nerinielón. Si con t>l - O lu relación ~:· tiene límite, entonces el mismo se Uamn derivada do la función vectorial r = r (l) por el argumento escalar t para un va]or dado t del argumento y se ind ica d~!t) (también r' (t) ó r (t)). De tal rnlld<) dr (1) = lím~ = Hm r <t+t:J.t) - r (t) • lit M - O tJ.l Al- O tlt

En este caso r = r (1) sc denomina dl/erenclable.

16. Mostrar que si la función vectorial r = r (t} tiene derivada para cierto valor t del argumento, entonces ella es continua para este valor de t. La de riva da de la función vectorial r (1) del argumento escalar t es un vector dirigido por tangente a la hodógrafa del vec tor ini· cial en el punto que consideramos (fig. 5). Con esto, el vector '::, está dirigido en el sentido del movimiento del extremo del vcc tnr r (t) por bodógrafa cuaudo e l parámetro t sc incrementa.

; 3.

DERlVADA DE UNA l!UNCION VECTORtAL

Sea r - ,. (t ) radio vect or de u n pun t o en movimiento. E ntonces o = ~ es el vector do velocidad do este pun to. Sea r (1) =

:r: (t) i

y (t) j

(t) k,

Fl C:.:;

donde las funciones :r: (t) , y (t), z (1) ;;on tlifcrolll'illbles en pu11lll t. dt•

Entonces existo dt para est.e valo r do t y

.!!!:.. = dt

dx ' -1-~ '+el: k di ' dt J dt .

Eje mplo l . J J nUar ~, s i r = i acos so mueve por elipse). S oluc i ó n . Según In fúl'llm ln (1)

,¡,. -;¡¡

. st' n t - <a

'b 1 1 co~

+ j úson

(1)

(el pu11 t.o

P or <lllnlogía <'0 11 la tlifc i'CIIcilll de la fundú11 esco lar lo de la funct6n tJertoríal r = r (1) e:; el vcc tol' dr que sc dNoru1 in a por lo igual dad

donde dt = f.t es c l inc renw11to del IHI:"""'n tn <'St'n lnr 1. Como wmbit'n pt~ra las funciou(•:s cscal.•n·~. ó r = dr

dou tle a = a (t, Al) - •

..¡ U.·ÓI ,

1"'"" ót - ·

f?li NCióN VIU:1'0RIAL OE UN ARGUMgNTO ~SCALAR

CAl>.

PRiNCIPALE S !tEC LAS DE DlJ>J::KEN CIAClON DE LA S J' UNCJONE:i VEC1'01UALES Supougamos <tuo todas las fu nciones <tuc cousideramos (esca lares y vec~or ialcs) soan cuu t iu uas y difereuciab les. " e es u11 vecto r Cl>HStan le, ontonces . de 1 • . 1:'1 dt = O. 2° . La derivada do la suma de las fu nciones vectori ales es igual a la suma de las dori vadas d (a (1)

+ b (1) )

3°. Sea que la función v ect or ial a (t) se mul tipl ica por la fu nción osea lar m (t) del mism o argumento esca la r . En l OU<'.es d (m.a) = dt

~·

• ·

, 0

;) .

111

da. dt

+ dm

tt,

d(a. b) = (a, db) -'-( da b) • dt dt --. dt ' rl)a, bJ= rrla b]+[a• !!!!_] . lit l. dt ' dt .

(En est a fórmu la en e l segun do m iem bro ba de obser varse el mi smo or den de l os m ulLip licaclores a y b q ue on el ¡rirner miemb ro.) Demostremos, por e jem plo, l a fórmu la 4 . Pongamos q> (t) (a (t), b (t)) . Demos a t el incremento L\t; deb ido a la p r opieda d di stributi va para el p roduct o eseala r tendremos

t.q¡

cp (1

+ At)

q> (t)

- l (a , b) =

ó.a , b

(ó.a, b ) +

6. b) -

(a , ó. b)

De donde

~~ = ( ~~ , b) + (a, !~) + ( ~~

+ (L\a ,

, t.b).

L\ b) .

(2)

Según la co ndic ión las funciones a (t) y b (t) tienen derivadas para e l va lor t del a rgumento y , por consi guiente, so n con~i nuas con est e valor del t. P or eso ó.a da Mi db Um'- - = , Hm - - = - , 11 lím L\b = O .o. 1-o ó.t dt .o.t-o ó.t dt .o.t-o Pasand o e n (2) a l lími te pa r a ó.t -+ O o bte nemos

d<:/ 17. Dado r

a ) :, (r 2);

> {!~ ,b) + {a, ~~ ) .

r (t). H allar las derivadas h)

:C (r, :;- ) ;

e ) :, [r,

~;].

§ 3.

DERIVADA DE ONA PUNCION VEC'l'ORlAL

18. Demostrar que si el módulo Ir 1 de la función vectorial r = r (t) permanece constante para todos los valores del t, es que :: _J_ r . ¿Cuál es el sen tido geométri co do este fenórueuo'? 19. Demostrar quo si e es el vector unitario de la di rección del v ector E, entonces (e, de] =

20. Sea u 1 (x, y, z, t) i

(E, dEl ----rEi".

+ u~ (x,

y, z, t) j u 3 (x, y, z, t) k , donde n 1 , lJ. 2 , ua son las funciones continuamente diferenciables de sus argumentos, y x, y, z son las funciones continuamente diferonciables de t. Mos trar que

iJu

éJu

d:c

de =Tt+Tz'Cit +-¡¡y df + ""di"' Tt · 21. Hallar la trayectoria del movimiento para el cual el radio vector r (t) del punto que se mueve satisface la condición dt· = [a, rl donde a es un vector constante. dt

La derivada ~~do la función vectorial r (t) del argumento escalar, es la función vectorial del mismo argumento. Si existe derivada de :: , ella se llama derivada . d. E u genera1 de segund o orde n. y so 1n 1ca d2r dt• • dl>r dt"

( an-lr )

= dt dtn-t • n = 1' 2, ... 22. Dado el radio vector de un punto que se muevo en el espacio r {a sen t, -a cos t, bt 2 } (t es tiempo; a , b, son constantes). Hallar las hodógrafas de velocidad y de aceleración. 23. Dado : r = a cos wt + b sen wt, do nde w, a, b son constantes. Demostrar que 1)

[r, '::', j =

d2r dt 2

2-01400

[wa, b),

+ w2r =O.

1!:1

\o'liNC I()N VECTOnT Al. DP. IIN Ar\GUMF.NTO P.SCMu \ H

24. Mostrar que si r = ae(l)1

+ be -(1)

CAP. t

donde a y b

d2r

w2r = O. 25. Mostrar qne el módulo de la diferencial del radio vector de un punto e:s igual a La diferencial de longitud del arco q uc traza el mismo punto. 26. Sea a = a (IL) la función vectorial del escala r u doude u a s u vez es una función oscala1· del oscala1' l>ásico t. :Suponiendo que a (u) y Lt = u (t) son diferenciaules tantas veces como sea necesal'io, hallar la expresión para las . d as 10 1 1a f·uncwn ., da daa c.1cnva compuesta ¡¡¡• dt•'

son los vectores constantes, entonces

dt• -

§ -'L. IN'l'EGHACION DE LA I•' UNCION Vt•:CTORIAL DEL AHGUMENTO ESCALAH Uefinici6n l.

Denominemos

prlmlllva para la función t 1 si A (t) es diferenciable y

/unción

la función vectorial a

tE {to,

vectorial A (t) para t 0 < t <

(t)

t,).

Definici ón 2. Integral lnde/illlda de la función vectoria l tlel .trgumento escalar a = a (1) so llama el conjunto de todas las funciouos primitivas para a (t) . La integral indefinida do la función vectorial al igual que en ol cálculo integral se denomina con el signo ) . Teuomos

(t) dt= A (1) -l- C,

donde A (t) es alguna de las funciones primitivas para a (t), Ces un vector constante arbitrario. Para las integrales de las funciones vectoriales son válidas las propiedades siguientes: 1°. 2°.

J J

aa (1) dt = o:.

a (1) dt

(ex. es una constante numérica)

(a(t)±b(t))dt= )' a(t)dt± )b(t)clt,

S 4.

INTEORACION DE LA PUNCJON VECTOR IA L

27. 1\lo:strat· que ::~ i e os vec tor con:-¡tanto y a (t) es vector val'inhle, e nto nces,

Ja (t ) dt),

.\ (e, ct(t))dt = (c ,

J [c,a( t )) rlt = [ c, ) Si entonccs

a (t) = u1 (t) i

Sct(t)dt = i ~5

rlcc ir: la

111 Lcgruc10nc~

+ a 1 (t ) j + a

.\" a,(t )dt + i

int~g~ac i ~n ordwnna:~.

a (t)dtj. 3

(t) k

a.(t)dt + k .\ a,(t)dt,

do In función vccto l"i u l so reduoo n lros

Ejemplo 1. Bull ar lo integra l indefinid a para In funci ó11 lori al a (t) = i ces t + j e-t + k . Soluc ión. Según la fórmula (1)

a(t)dt - i

co:. t tlt -1

(1)

rt d t -f- k

VC<~-

dt =

= i son t - j e-t + kt +c, donde e os un vector co nstanle arbiLrar io.

Hallar las integrales de las fun c iones s ig uientes:

28. a(t) = te 1i+sen 2 t- j 29. a (l}=

1 ~' 1 ,

vectorialo!'l

1 ~'t• + te~'j -1- cost-k.

:JO. a (t) ~ cos t e"en 1 • i - t cos t 2 . j 1 /e.

:u. a (t ) = ~ t 2i - t s en t.j + 2 1k. Sea In función vec tori al a (t) determ inada y con t in ua en un lrnmo [tf' 7') de l a variac ió n del argumento t. ner olclón 3. So ll ama Int egral definida do In función vectol"iul a (t) en el tramo (1 0 • T], el lími te de sumas vectoria les inlegralos n - 1

a ~ ~a

(1:11) tl t Jt,

TI!

E !tlt, l~t•d·

h -0

cuando la longitud ó t del mayor de los segmentos [t¡,, t,.+ 1 1 = O, 1, . . . , n - 1 ), on los que está d iv id ido ol tramo 1t 0 , 7'1 liondo t1 c.ero:

n-1

'/'

.Í a ( t ) d t '·

lím

1\t-0

"V a(Tt1) t\tr1 •

L.J

h=O

¿0

l' UNt: IUN VEC'i'ORIA L DE UN ARGUME NTO ESCALAR

CAP. 1

Es válida la fó¡·mula 1'

a (t) dt = A (T)- A (t0 ) ,

(2)

'·

donde A (t) es una primitiva cualquiera para la función a (t) en

lt 0 ,

T).

a (t) = a, (t) i

+ as (t) j +

as (t) k,

entonces T

5a(t) d t = i 5a,(t)dt+i Ja lo

(t) d t+k

5aa(t) d t.

(3)

n/2

Ejemplo 2. Calcular

a (t) dt, d ontl c a (t) -: i cos t - j scn2 t.

Solución. En virtud de la fórmula (3)

n'2

n/2

a(t)dt = i

nt2

cos t dt - j

senttdt =

1"'2= '.-

. ( t sen 2t ) = t sent nt2 l0 - ¡ 2 -~ 0

n . Tl·

Calcular las integrales siguientes: ~ :t

32.

5a(t)dt,

donde a = sen 2 tcost-i + cos 2 t x

o X sen t·j +k. t

33.

(

ie- 112

a(t)dt, donde a = -2-

~ t

+ -jel/2 -2

34. Ja(t)dt, dondea = 3ncosnt·io

1 + ke.

1 ~,

+ 2tk.

¡ n

35.

a(t)dt, donde a = (2t + n)i -t- tsent-j ;- n k.

Ejemplo 3. Una corriente eléctrica de fuerza 1 corre de abajo bacía arriba por un conductor infinito que coincido con el eje Oz.

§ 4.

INTEGRACION DE L A PUNCION VECTORIAL

Hallar el vector H de la intensidad del cam po magnético que crea esta corriente en un punto arbitTario M (z, y, ::) del espacio (fig. 6). Solución. Examinemos un ele mento suficientemente pequefÍo P P 1 = d~ del eje Oz. Según la ley Bio- Savar la tensión dH del campo magnético quo engondra en el punto M la corriente eloot~ica

)(

I' IG. 6 que pasa por el elemento del conducto d¡;, coi ncido t>n l:1 dirección con el producto vectorial [dt, r 1 ), dondo dt = PP1 , 1 dt 1 = = d¡;, r 1 = PM (véase la fig. 6). Según esta misma ley el mód ulo del vector dll es igual a ~

1 dll 1= 0r, sen (d\, , r 1) d\, donde (dt-:'r1) es el ángulo formado co11 los vectores d\, y r 1 • De bido a

1 [d\,, r.J I =

r 1d\, sen (d\,,~1),

se puede escribir (4)

Para obtener el vector buscado H en el punto M 'tl8 necesario sumar todos los vectores d /1 quo se refieren a los elementos diferentes P P 1 del cond~1ctor, os decir , integrar la expresión (4) por todo el eje Oz: + <o

[{ ~ )

..-9'}

(ti\,, r¡] .

(5)

f' UNClON VI>CTORIAL DE UN ARGUMENTO RSCALAR

CAP. 1

Teneos

r, = OM- OP.

-1- yj + zk ,

OM = xi [1 111" CliO

os así que

~k,

PO =

(z -

(;) k ,

r, = lr 1 I = Vx' -I-Y 2 -I-(z - O' = Y P:LJ. (• - ~) 1 , donclt• p=V z'+v' es lndis tnncinool punto M hnsta ol ojo tl ol eo ncluctor. Para el producto vectorial (d (;, r 11 t.cnernos

(d~,r,) = l:, y

lo fórmu la (5)

1 = const)

1 =- - iy d¡;+ jz cl{,,

:z: y z -~ t omn In forma (el punto

(z,

y, z), os fi jn

'J/ 2 •

(0)

.¡oo

11 = 1 ( - vH . · x ¡) .

.' IP' + (zdt ~)2j"

- '-'>

Pura calcular la iutogr11 l en e l sogull\lo mie mbro (6) e fectuamos la sustHución (:-z = p tg t,

Ohtondromos +oo

J fp2 + - oo

d{.

(z- - ¡;¡a¡S/ 2 n /2

_ _!_ \" - P' •

ltlt=p;·

-n i~

Ahora bien , e l vect or de'l a inte nsi dadJH del ca mpo magnético en nues, ro caso BO determina 'mediante la fórm ula

( - ui +z¡)

o 2

H= p.-11 • r!, don do 1 = 1 · k es el vector do la corrien te, ,. es el radio vector del punto M (x, y, a) del campo, pos la distancio del punto M hasta ol eje del condqc~r.

§ 4.

JNTEGRAC I ON OB X:A PUNCION VOOTORIA L

Ejemplo 4. Movimiento <k un elect r6n en rm campo magP!Atlco h omogéneo. 1° . Sea que en un dominio del espacio so ha creado un campo magnético .H que es constnoro p or su magnitud y dirección (campo hornog6oeo). Sen que on un m omento do tiempo t = "t 0 01~ esto campo ingresa un e lectró n con veloeldall inicial o 0 • Oerormlnnr la trayoc\.oria del electr ón.

t?IG . 7 Soluc ión. Supongamos prirocramonto que ol vec tor o 0 os perpe ndicular a Ti y que la posición inic ial d e l oloc trún os el punto M 0 . Tomemos e l origen O en un punto a rbitra rio d el plau o P quo p asa p or ol punto M 0 p orpondicularmonto ni vec to r n (fig. 7 ). Sen r 0 ol radio vector inic ial 0 , r el radio vec tor del electr6u on o l momento dado de tiempo t, t> la velocidad iustan t ánea ou esto mism o mo mento. La octrnc ión diferencial básica del 111o vimiento os

d'r

m (fiS=F-

Ln fuerza F que actún on ol momento t sobre ol e lec trón por par·to d()l campo magnéti co, como se sabe, os igunl a 1•'- -

"o (/1 , o).

d oudo e 0 os la mugn itud ' absoluta de cn rgn de l cloctróu. IJc 1111 modo. (7)

La [ ueua F os porpoudicular a la direcc ióll d o la velocidad y a In (liroc c i6n del campo 11 on cada uwmonto t; esta fuerzn hará desv iat o l o loct l:'óo ou cada tnomonto do su movimieuto rcdi!íneo y tt·nzot v, ua troyoctoria c urvill neo .

I'UNWON VEC1'0J1 1AL DE UN ArtO tJ!11ENTO P.:SCALAR

CAP. 1

Escribamos la ecullci6n (7} en la forma do do m dl= e0

dr , -¡¡¡-

o integré moslo con respec to o t des do t., basta t. Ohteodremos mo - nw0 = e0 Ir , H ] - e0 (r 0 , / /) {8) m o = e0 Ir. TI) (mo0 - e0 lr 0 , 1/J). Esc.Qjamos 1\hora el origon de coordenadas O' do tal modo q uo e l s umando que eslá eutre paréntesis en e l seguudo miernbro (8) so anu lo, os decir, pa ra que

e0 [r 0 , flj = mo0 •

(9)

De (9) se deduce que el vector inicial r 0 debe ser perpendicu lar al voclor "• y encontrarse en la línea reetn M 0 K, que os perpendicular ni pla no do los vectoros o0 y H . El m ódulo del vector r 0 , en vi r tud de {9) debo salis[acer la e xpresión e0 1r o 1 ·1 H 1 ... m Jv0 1.

de don de

m 1 Vo 1 1 r o l = ;;-¡--¡¡-¡-•

(10)

Así se dete rmi na la posición del orígon nuevo O'. Respec to a 61 la ecuación (8) se escri bo c omo sigue: mo = e0 (r , 11) (11)

clr

mdt= e 0 [r,

II J

(12)

Do la ecuación (11) surge .({Ue la trayectoria del oloc trón será una c urva plaua que se oncuon'tra en e l plano P , pues to q ue e l vector o e n cada momento de tiempo es perpend icular a /1 . Mul tipliquemos nhora ambos tniemb-ros de la ecuac ión {12} escalarmonto por r : m ( r, '::; ) =e0 (r , (r, H) ) .

El producto este modo

mixl~

( 13)

del 110gundo miembro {13) ea Igual a cero, del

(r, ~r )=o. De aquí ..!!.. d t (r S)= O o

..!!....(r•) = O• di

os decir r• = const.

Esto es la ocuaeión de una circunferencia 3ue ee encuentra en ol pla no P , con ol centro e legido en el punto O . El radio de esta c ir· cunfe roucia se determina mediantAl la fórmula (10) , ya que e l p unto inicial M 0 t.embién debo encontr~ en esta circunferencia . As[ ,

S 4.

INTEGRACJ ON DE LA JIUNCION VECTORIAL

definitivament.o m 100 1

r=ro = e0 1111 • De tal modo, si un electrón !e mueve en un campo magnético homogéneo H a velocidad inicial v 0 q ue es perpendicular a H , aquél trazará en esto campo una trayectoria ciroular on el p lano P que es perpendicular a H y que pasa por el punto inicial. El radio de esta circunferencia se determina por medio de la fórmula (10) y su centro O' so encuentra en la linea recta perpendicular al plano de vectores o0 y H . Al mismo tiempo el giro de o0 a H debo ser visto desde el punto O' on !eotido antihorario. De la fórmula (10) se ve que el radio r 0 de ln circunferencin es inversamente proporcio no! a 1 H 1. Do tal modo cunnto más fuerte os la int.o nsidad del campo magnético tanto mayor es la curvnturil de la tTayectoria. De la fórmula (11) mo = e0 (r , Hl se ve q ue s ir os constnnt.o on su módulo y ,todo el tiempo es perpe11dicular a 11 , entonces In velocidad o es constant.o en la mngnitud: 1 v 1 = v0 = const,

Fl G. 8 de manera que el cluctróu se mueva por la órbita unirorrnemcntc. E l período de revoluci óu T es igual a T = 2nro =2n --'-"v0 e0 1 lf ·.

La velocidad inicial v 0 no entra en esta fórmula. De ta 1 modo, cualquiera que sea In velocidad inicial o0 , perpendicular n /1 , a q u<' cayese el electrlln en el ca mpo magnético homofSénco, el 1nismo realizará una revolución por órbita siempre en <'1 11\ISiliO Li<'mpu 1', indepenclienLemontc do la ma~niLud v0 •

FIJNCION \IECTOnJAI, DE UN ARGUMENTO l'.SCALA R

CAP. T

2°. Supongamos ahora que el electrón se encuentra en el cam po magnéti co homogéneo Ha cualquier velocidad inicial V que no es perpendicular al vector H. Entonces, esta velocidad 11 se puede clescomponcr en dos comronentes: el vector Vo dirigido perpendicularmente al campo y e vector o1 dirigido a lo largo del cam po magnético. De la fórmula F =

e {V, H) = e 0 {vo, H]

se ve que la fuerza «retorcedora• F se determina solamente con la componente perpendicular v 0 y que la última le dará al electrón el movimiento rotatorio por el círculo (con el centro t>n 0'), que hemos examinado arriba. Respecto a la segunda componente, ' '• el electrón la va a conservar por inercia y además del movimiento drcu lar uniforme tendrá también un movimiento rectilíneo y uniforme a lo largo de la dirección 11 a velocidad o = 1 V 1 cosa. La combinación de estos movimientos producirá una'linea helicoidal con eje paralelo al vector H, la cual pasa por el punto O' (fig. 8). §

5. DERIVADAS PRIMEHA Y SEGUNDA

DI!: UN VECTOH RESPECTO A LA LONGITUD

DEL ARCO. CURVATURA DE UNA CURVA. NORMAL PRINCIPAL Estudiemos en el espacio alguna linea L. Escoj amos en ella un punto cualquiera M 0 como el punto de refe.r encia y también escojamos alguna dirección a lo largo de la linea L que suponemos positiva. En calidad de parámetro tomemos la longitud del arco s partiendo del punt~ M 0 de la curva (fig. 9). Ento nces el radi o vector del punto M de la curva seriÍ r = r (s). Al elegir dicho parámetro tenemos

~ = -r'

d8 donde -r> es el vector unitario orientado por la tangente a la línon L en dirección dol crecimiento del paráme\J'O s. Si' ol vóetor r está dado por las coordenadas entonces con todo eso

r = zi

:k,

v (t~: ) + ( :: ) + ( ~; ) 2

DERlVADAS PRIMERA Y SBGUNDA OR UN VECTOR

§ 5.

Puesto quo \'t"\

1~1

= t,

el vector

d't" -¡;es ortogonal al vector 't".

~";

módulo del vector

1 ~;o

/=K.

Aquí K es la curvatura 1le la linea Len el punto M. M(x,y,z)

FIG. 9 X

¡· .. 1 d't0 . 'd L a rec~a que come• e en 1 uCCCIOII con e vector d$ y pasn por ol punto M de la curva se llama IIQrmat principal de !u curva en el punto M. Designando por nO el vector unilano de esta di~ ción tendremos (1)

fJa magnitUtl, inversa a la curva~ura do la curva on el punto dado, so llama •·odio de curvatura do la cu rva en este puuto y se dosÍgna por R; 1

R=K Oobidu a esto la fórmula (t) se puede escribi•· como sigue: dlr

ds• De

d'Co

donde ,

~~o

=-¡¡¡-= -¡¡-. t

¡d•r¡

K=R= tls•

.2__= !?

(~) 2_L ( . ds•

d2y

ds 1

)2 + (.!!.2 )2 ¡ls• . •

(2)

ARGllM I~N'fO

FUNCION VEC'fOillAL DE UN

I);SGALAil

CAP. I

La fórmula (2) permite calcular la cu:rvatura de una línea en un punto cualquiera si esta línea está prefijada por sus ecuaciones para métricas. en las que el parámetro es la longitud s del arco. En el caso especial de una cu:rva plana, de la circunferencia del radio a S

}

x = acosa , S

y = asona

tenemos dlx ds'

-- = - -

cos -

s a '

dly

-dsi - = - - -sena a 1

y la rórmula (2) da

,/1

K = --¡¡-= V -;¡¡- cos2 -¡¡-+(ii"' sen'-;,¡- = -;,¡-, es decir, la curvatura de la circu nferencia de radio a es constante e igual a la magn itud inversa al radio de circuorcrencia. Si la linea Les determinada por la ecuación vectorial paramétrica r = r (t), donde el parámetro tes arbitrario, entonces dr

d•r

1[ Tt • dt 1

J1 (3)

LR fMm ula (3) permite calcular la curvatura de una curva en un punto cualquiera siendo prefijada arbitrariamente paramétrica esta curva. Ejemplo l. Calcular la curvatura de una Huea helicoidal r =a cos t ·i +a sen t•j htk . Solución. Puesto que

dr . k, dt=asent·l.+ acost·¡+h d•r . . dt • = - a cos t•l - a sen t ·¡ ,

el producto vectorial será

[~ dt ' ~J=I -:sent - o cost rlt•

i a cos t h = ah seo t · i - asen t

Por consiguiente,

[~ dt '

.!!!!:...] l=aya• +h• dt 1

O k'

ahcost · i +a•k .

drl l dt =v"aa

.29

PL~O O.SCVLA:boJI

Debido a la fórmula (3) tenemos

K=_!_=--~~- R a•+h• o

De tal modo, la línea helicoidal tiene un radio const.ante de cur-

vatura.

Hallar el radio de curvatUia de las líneas dadas: 36. r =In cos t·i + ln sen t·j + V2t·k . 37. r = t 2 i + 2tBj. 38. r = 3t2 i + (3t - t 3 ) j + 2k, para t = 1. 39. r = a (cos t + t sen t) i + a (seo t - t cos t) j para t = n/2. 40. r =a eh t· i +a sh t·j + (ltk en un punto t cualquiera. § 6. PLANO OSCULADOR . BINORMAL.

TORSION. FORMULAS DE FRENET El plano que pasa por la t.angente y la normal principal a una curva dada L en el punto M se llama p'ano osculado,. en este punto M. Cuando una curva es plana, el plano ocsulador coincide con el plano de la curva. Si un vector r = r (t) tiene derivada continua torno del punto

y, además, segunda derivada [.

dr (t0 ) dt '

d•r (1 0} dt•

J=F

en un en-

dlr (to)

t.al, que

entonces en el punto t = t 0 existe un plano oscula.dor a la curva r = r (t), siendo la ecuación vectorial del cual

(p - r ( t )

1)'

[dr(t0 ) dt ,

d r(t0

dt•

))) =o•

doude p = p (t) es el radio vector del punto corriente del plano. La normal a la curva en el punto M perpendicular al plano osculador de la curva en este punto se llama btnormal de la curva en el punto dado M.

áo

... UNCION VECTOnl ;\1, llP.

1\ RGUIIIENTO F.SCAL AR

CAP.

Designoruos uu vector uuiLario de biuo rmal por b y o ri ent.ómoslo do tal modo que los vectores"""· , u, b• rorrnon una torno derecha (rig. 10}. E ntonces bo• - t . b" = nO).

('T•,

FIG.tO

~~·

Para la derivada

o btenemos d b• = d~

r'T·'

dn • ds

J•

Rl vector dd~ es perpendicular a l vectr """ y al vector b 0 , o sea, él os colineal a l vec to r n°. Basándose on osto se puedo ellc r ihir db0 1 ~= yn•.

La magnitud

~ so llama

t orsl6n de In curva dada y la magnitud

T radio de tor816n de la curva.

La torsión de la curva so determina con la ró rrnula 1

-;¡-= R•

{ dr

ds '

d•r

d'r )

ds2 '

ds'~

donde el shnbolo (a, b , e) designa el product o mi xto de los vectores o, b, e, es decir, (a, b , e) = "'· [ b , e)) . En el caso, cuando la curva está prefijada p or la ecuación vectorial paramétrica r =- r (t) tenemos dr d•r ( -¡¡;- ' (fiS '

d•r )

-;¡¡¡-

' [ :~ ' ::~ J12

E Je mplo 1. Hallar la torsión de una Hnen belicoidal r = a cos t ·i +a seo t·i l•tk.

PLANO OSClJLADO:R

Solución. Hallamos las derivadas del vector dado

~=-ason t·i+acost·i +ld;, dt dir = - a cos t·i-a

dt•

6eU

t• j.

~=asen t•i-acost•j. 3 át

El producLo miltt o de estos vectores ea dr ( _dt '

acost

d'r d3r ) ~-a sen t - - - - = -acost -asen t

dt• '

c{t•

son J

-a COSI

811 el ejemplo t , § 5 está bailado que

1[ ~~ , ~;~ 1 =as(42 J 2

h2).

Utiliz"'odo la fórmula {1) obtenemos para Ja Lor.sión 1

+h• ·

De tal modo, la torsión de la línea helicoidal on Lodos sus puntos es la miJ!ma. Ejempl o 2. Esnribir la ecuacióu del plano osculador eu el punto t = O de la línea helicoidal r = a cos t·i +a son t•j + Mk. Soluci6 n. Hallamos los valores do las derivadas del vector . dr d•r dado y SUJ! dertvadas dt y dt• en ol punto t =O: r (O) = ai,

dr (O)

•

-¡¡¡- = a¡+l•k,

d•r (O)

--;¡¡¡-- =

•

- at.

Por consiguiente (véase ejemplo i, § 5), [

dr(O) dt

~]- d t•

,..+ a •k .

a 1

La ecuación vectorial del plano osculador ea a•r(O) p - ,· (0) ~ ( ' dJ ' dt • o (p - ai, - ahj a2k) = O. Puesi.O que el radio vector del punto corriente del plauo OSI;ulador y j + zk, entonces en la forma de coordenadas obtenca p = xi dremos la ocuaoión dol plano q ue buscamos eu la forma siguiente

)=o

ltv- a~: = o.

FUNCION VECTORIA L DE UN ARGUMENTO ESCALAR

Las fórmulas queioxpresan las derivadas de vect-ores

n° se llaman f6rmuüu de PreMt: ~ = _..!._no

d•

•

db 1 -;¡¡-= yno,

CAP. 1 ~.

,-,

c1n0 i t -¡¡¡-=-n ~-ybo.

4t. Escribir la ecuación del plano osculador en el punto t = 2 de la curva

r = ti - ti+ f t 2k. 42. Escribir la ecuación del plano osculador on el punto t = O de la curva r = e 1i +e-'i + lf2tk. 43. Hallar l a torsión en e l punto t = O de la curva r = e 1 cos t· i + e 1 sen t·j + e1k. 44. Hallar la torsión en un punto cualquiera t de la curva r = acbt·i+asbt·i+at·k.

CAPITULO 11

CAMPO ESCALAR

§ 7. EJEMPLOS DE CAMPOS ESCALARES .

SUPERFICIES Y LINEAS DEL NIVEL l>eUnicióo. Si en cada punto del espacio o en una parte del mjsmo,s,ostá1determinado el valor de alguna maugitud, entonces se¡dice que os.(prefijado el campo de la magnitud dada. El..campo se.~lama escalar, si la . magnitud que examinamOI$ es esca lar,1es decir, se caracteriza compleli'Bmente por su valor numérico. Ejemplo de los campos tlSCalares da el campo dtl tempernt!U'as, elLt:ampo electroestático. La definición del campo escalar se realiza por medio de la función escalar del punto M u= 1 (M). Si en el espacio está introducido el sistema de coordenadas cartesianas xyz, entonces

tt = 1 (z, y, z). De caracwristica geométrica del campo ():!Calar sirven lns

superficies de nivel, es decir, un lugar geométrico de Jos puntos en los cuales la función escalar del campo tiene el mismo valor. La superficie del nivel del ca mpo dado se del.ermiuu con la ecuación 1 (x, y, z) = e, donde e= const. En el caso do un campo de temperaturas que engeudrn uua fueu1.0 punwadu de calor en un medio homogéneo e isotrópico las superficies del nivel serán las esferas con un centro en la fuente de calor (campo central y simétrico). En el caso do un filamento infini to calentado proporcionalmento Las superficies de nivel (las superficies isowrmicas) serán los cilindros circulares, el eje de los cuales coincide con ol tilamento. Ejemplo 1. Construir las superficies de nivel del ca mpo escalar u= x 2y + 3z. Solución. Las superricies de nivol se detertninan por la ecuación % 2u 3z = e, donde e = const.

+ +

3-01406

CAMPO ESCALAR

CAl'. H

Esto o~ uun [amilill uniparamé tricu• <1<• plnuo!! pnrnlolos. Ejemplo 2. Hallar las superficies tlt· utvt•l del campo es· culur tt= x 2

+ g~- :

Solución. Las l!uperficies cióu

2•

uivel se dote•·uoiuau por

lt~

ecun-

-f- !J: - z = dvntfc = t:OIISt, Pam () "" O obteu<:'n\os un couo cir<~ult•r. P11ra cuah¡nior C > IJ oblouomo~ hi¡mrholoidc de unu lto jn tlu rovolución, c;uyos ojcs cniucidcu t:~llt ol ojo Oz. Para < O ohtuuomos ol ltipoa·hololclc do dos hojas . .t 2

l~jeonta l o

Hallar las superficies do nivel dal campo escal;u· z u = arcson .

x•+ y2

Soluc ión. El campu do dcfi nicióu del campo =l:•r dad(J se lwllo tia In desigualdad

Y X 2z·1- Y' ~~1. es rlccirO ~ x ,~1'. Y2 ..;;;1, do do u do O ..;;;z2 ~x: + 11'. Esta desiguuluad doble muestra quo t:am¡¡o se doLorutina fuera del Gono ci rcu lru· z2 = x 2 + y 2 y en 1

ul el

misnw, monos su vórtice O (0 , O, 11). l, us anpol'ficics de uivo l ~e dc l.ormiuau con la ecuaciúu :HC SOil

es decir,

, /'

y x • -f-y2

JI :r'+ y•

sC!J

t.lomlc

~ ~ e ,¡;;; ~

famil ia do los c onos circulares situad u:~ fuera del cono zt = :r, y2 con el ojo común de simetría Oz y ol vértice común O (0, O, 0), en el cua l ol campo dado no está det~rminndo, además el mismn cunn z• = x• + y 2 tnmhién entra on esta fam ilia. gjemplo ~- Hallar las superficies de nivel riel campo escalar 1

u=e'(

' •·•

donde a es un vector constante, r os el radio vcctoL· dol punto. Soluc l6o. Aqui y sua

{:r,

z} = xi

+ ui + zk,

Entonces ol prod ucto escalar será (a, r ) = a1 x + a 1¡¡

a 3 z.

La ecuociiiu rle lils superficies de nivel será e(n.r> = C, e >O.

S 1.

EJEMPI, OS DE CAMPOS filSCALAIUlS

De aq uí

(tl, r) = In C

a1z a,y a 3 z = In C. Esta es una fam ilia do planos paralelos.

Ha llar las superficies ele nivel de los siguientes campos esca lares:

1 w·

4!>. u = --¡- -1 9

4lj. U= zZ + !fz - z .

47. U= x• -¡ z lt8.

y•

2yz j - H~2 • (a. r}

50. u = (b,

(a, b son vectores con stantes) .

r-)

!)f.

U= In [r¡.

52.

u ~ e~''·'····>

(a, b son vectores constantes),

g¡ campo escul:u· ~o llama p la11o si existo olgúu otro plono tal t¡ue ou touos lns plauos J>IU"Illelos al indicado Licue el mismo campo escalar. Si tomnmos este plano por e) plano xOy, entonces ol canopo cscn lur se dcLerlllintl p or la fu.nción oscnlnr u =

1 (x, y),

es decir no vo a depender do z. El campo do temperaturas de un filamouto infinito calcll l.<ido proporcionalmente sirve de ejemplo de campo cscular plano. Las líneas de nivel, un l ugar geométrico de los puntos en los c nnlcs la hmción escalar tiene el mismo valor , sirven do cart~c torís lica ~eomótrica del campo escala r. EJemp lo 5. ITnllar lns línen s de nivel del ca n1po escalar r•=x2 - y2 • Soluci ón . L<ls

líne<~s

do nivol so dolerminan pm· l11s tlCUilc.ionos

e = const. Para C

O obtc11emos

1111

par do rectas

y=z,

Pa ra 3•

e+ o obtOIIOIIIOS

Ult:l

!J=

-~.

familia do ltipth·holos (fig. H).

))6

CAMPO ESCALAR

CAP. 1I

l l a llar i<•s líueas do nivel ue los sig uientes campos planos: 53. u ;_ 2x - y.

;)4. u - 1n

55.

u- L:r.

5H.

u. ~

·v

2.r •

cx•- y• . y

FJG. H.

57. Hallar las líneas de nivel del c ampo escalar u, dado implicitamento por la ecl.Jación u. + x I n u. + y = O.

§ 8 . DERIVADA RESPECTO A lA DIR H ECC IÓN Su pongamos q\IO lo nomos un campo csca lar que ;¡o clc t.orrni oa

por la Tunción escalar

u= /

(M).

Tomemos en el campo un punto M 0 y e lijamos alguna dirección de tcrmiuada con el vector l . Tomamos en e l campo o tro punto

OElllV,\OA RESPECTO A LA DlltECCTON

M do tal mod o qu'-l e l ve(\tor M9 M sea paralelo al vector l . Aunt e•nos mediante /:!,.u la tliforcmc ia 1:1u y por rnediu tic 6.1

= 1 (M) - 1 (Mo),

rlesiugemos

la lougi tud del vector ilf 0 M.

La rolaciúu ~~; dNermina la velocidad modia del cam bio del campo escalar por la unidad de longitud respecto a lo dirección dada. Varn os a tondcr el punto M baciuM0 de tal modo que el vector M 0 M ¡JcnrHtuez~:a

todo el tiempo colineal al vector· l . Con oso Al__,.().

llerlnlción. Si

(llll"il

ól -O existo el limito do la t'lllación

!~,

é lllUU~OS

é:;lc Se lh1111;1 tletir:ada do la lunciÓII 11 (M) Cll el punto <i<Hio 11•1, rcsvectu a lu tlircccit'm t y se auuta cur1 ol ~h ubulo du.

(IL , H~Í tlUC por tlufiuidón

'(}"' 1

~ lint ótt = l ím f l>t -rt 111

M- o

(M) - / (Mn) /J./

Gsta dcfi11icióu de l;t derivada re8p!!ctu a la tlire..:c iún ticuc cut·i,clcr iuvariaulc, es tloc.:it•, uu c:;:t¡Í rcJacionatla cuu la clcndtu 1 tlc l ele <:oortl(!trC.H I<lS. Sea quo cu ol c~pacio t!~lú iut.roducitlu e l siste ma tlo cnnrthHI \1das C<ll"lCSÍUil!lS y :;ca queJa lum:ión/ (/11) - j (.e, y,=) ll~ tliferctocial_¡lc tlll el punto M 0 (x 0 , y 0 , z0 ). Entonces

.";isleru;l

t/U -1

rJ/

:llu

y se h;tl[¡111

c)ft = -1

t).r

~cgi111

,f \lu

cosa

~ 1 cos li 1 ~ 1 cus y. iJy Mu i:Jz Al u

(1)

las fórnllllas

cosa. - - "•- -,

111

cos ti=

;';, .

. t.o 1os -;¡;:clu 1M" , ti~< 1 , --¡¡-;:-iJt• 1M, s 1. gu 1T 11::111 qll~ 1as <11!Los sun 111 0 ri vatlus parcia les se tornun en el punto M 0 • Para 1111 c.nmpo plnno u = J (_,-, y) In clcrivatla reSJ>Cctn ¡1 la dimn:iúu f. en el punto M 0 (x0 • y 0 ) será igual a

t!tt 1 ''" 1 cosa -1 -i)u-. 1 son a, -.= -di Mu {);r; lllu [}y Mu

(2)

CAMPO ESCALAR

3& duoulo

CAP. 11

os el tÍnKulu forma<lu pnr el vco.;too· l ,.,,. o l uju U.r.

Oh~crvac i ón. l~:os

noi s nous derivadas p;oi"CIIoles

du tllt --¡¡:;:, uy ,

iJu. ,¡z

""" los derivadas d o la funciúu u respecto a la d ireccióu do lo!l ojos do o.;oordenn<hiS O:r:, O y, Oz, ··cspocli VH IIIOII te. La fórmula ~J } para calc ular la derivada rospuo.;Lo a la Jirvo:o:oóu se queda valida y eu el caso c •wr~c.lo ol puuLo 111 Liur~olo al puuLu M 0 po r lu curva, p81"1l la cuul ol vco·t ur t os Laugoulu u n ol pu 11 t.u ,'l¡f 0 • Ejemp lo l. llallar In derivada dol catn p•> esca lar u=

XV%

011 o l puul<> M 0 (1, - l, 1) uu rlirccdú11 oh: l 11111o tu M 0 al pu11Lu !111 (2, ~{, ·1).

__,

So luc ión . llall a onos In,; cnsonus d i rectril'e« del vector 1\1 0 !1/ 1 {1 , 4 ,11}, Ju longitud d•·l cual us igual a l il/ 0M~I - Vi7 . ·¡·CIICiliOS . 1 4 COS Ct .r, CI>S fl - ----r=-, COS )' ll. L OS va 1or·es ~ 17 y 17 olu las der ivadas pa rc iales llo la fuu ció n 11 =- .~:yz on ol punto .11 u (1, l. 1) so11 iguulcs a tJu 1 -¡¡¿;:M ., =

.!!.!!:...1 éJy M., -- 1•

l 1tiliz:ondn la fórmula (1), obtoudremo:~ ()u

7i/

1 M o=--

1 Vl 1

4 V17

-1

1-:1 hec ho do <JUe ~7 >O, signiFica <J IIU cto el ¡uJIIt.o M 0 ol cu11opo esca lar itocr·oouonto on la di rccciún datlll. Ejemplo 2. Calcular la derivada del t:urnpu u:;c.uhu·

lllfo

arctg zy

parM~~>Ia y = :rz res poo.;to a Ja dirección de esta curva (un dirccc iuto tle l increu1euLu tlu la abscisa). Solución . Pnr la dirección l do la paráiJolu !1 = :r2 en el puutu 111 0 (1, 1) se considera In d irección de la tangente a la paráholn en esto puuto (fi g. 12). Sea que la t angente l a l a c urva on ol puuto M 0 form a co11 ol ojo 0;~: un ángu lo a. Touemos

e u el punto M 0 (1 , 1) que portcueco a la

v' = 2x;

1,.,_ , ""' 2,

DERIV,\DA

ltBSPECTO A

{,J\

DJ118CCJON

tll· tlm ulo l us .:n!<C tl<>!'l clí r ocl l'ices tl o la taugo u w sou 1 1 C(Js GII -

\Í 1 1- t~~ 01

V :> '

tg Gil

son o.

o I·' I G. 12

Lu:< valurcs •le las cforivudas ¡m•·cialcs clo In f uncíóu da tfa u(%, u1 on PI

f>UIILO

/lf 0 ( 1 , 1 ):

"" 1M.,= -¡¡;-

!1 ¿¡,. 1Mo 1 +:r• o¡s ' 2' "'"5iJ ~ + %x•y• 1M 0 =2· Su:s~iLuycu•h> las ltlaguillltlcs halladas"" lo fór mul a (2) . obtenemos o7u 1 1 f 2 3

!M,.=

Tl = z · ,r ~ 1- -z·

,r-s

=-·

vr. ·

g¡emplv S. llallnr In derivada O!ll campn escalar u ~ ri• +'.!.u: l)u e l vuntv M 0 (1 . O, 2) n l o lnrl(u do In circu n for ouc io .C

= 1 -j

C05

t, }

u = sc nl - · t , : - 2.

Soluc16n. l.a C'•' ll •l c iún vectori a l do la c ircu n forcou:ia licuo la forma r (t ) ~- ( 1 + •·us t ) f. (se u t - 1 ) j 2k . f 1:\ lhuuus e.! l vct· tnl t' . t\'1\'\ t•S taugcutc e, In c ircouferouc i::c e u cunl (furc•r punto ¡\1. Tcucuw,..

.!!!:... ,,, =- son t·i,-t-. cos t ·i·

E l puntu dado .\ 1 0 {1 . O. 2) !!O cucucu tra en o l pluuo ::r:O: c11 e l p l'i · n Ulcr octautc y lo cor rospoude d vnl,,r tlc l pnrfomo tro t = 2 . l{u

CAMPO ESCALAR

CAl'.

este punLn ohtcudrcrn os

sen~ ·i+cos ~ .¡

TIM 0 =

Do nquí obtenenw:; quo los cosenos dircc t.ricos de In t.angent.o a In c ircunferoncia son igunles a cosa - 1 , cos ~ = O, cos y = O. T~fls valeros de laa derivadns parciales tlol cn 1npo escalar dad o en e l pun to M 0 (1, O, 2) son iguales a

(}u

7f%""

rt.fn =%,, M o = "J, -{)u i) r

ilu

--¡¡j"

1ltln = ..:,Aru -- !.• ·

= (2xz-j-2y) IM _, t,, u

Por consiguiente. !:1 tlorivncla buSt'acla os

-{)u r íJI

M 11

= -{) u 1 ÜT

llfo

=4·( - 1) -~

'•·O-t t,. IJ

- 4.

En los problemas sig11ientes hallar pnra las funciones dadas la derivada en ol punt.o llt/11 (x11 , y,., z0 ) respecto a la dirección al punto M, (x" y 1 , z,~). !)8. n = Vx 2 -J- y 2 f· z2 , M 0 (1, 1, 1). /l.fs(R, 2, 1). !)9. 11 = x 2y -1 xz2 - 2, Mn (1, 1, - 1), M, (2, - 1, 3). 60. zt = xe" + ye"- z2, M 0 (3, O, 2), M, (4, i , 3). 61." . ..:;_ _ y

_!!_,

M 0 (1 , 1), .il'fs(4, 5).

62. Hallar la derivada del campo escalar

1n (z2

+ y2)

on ol punto M 0 (1, 2) rlo la parábola y~ = 'Íx on dirección de esta curva. 63. Hallar la derivada del campo escalar u = = arctg .!!..en el punto M 0 (2, -2) do la circunferencia X r + y' - 4z = O a lo largo del arco do esta circunferencia. 64. Hallar la derivada dol campo escalar zt = x 2 + y 2 en el punto M 0 (x 0 , y 0 ) do la circunferencia xz + y2 = R', respecto a In dirección de esta circunferencia . 65. Hallar la derivada del campo o.c;cnlar u = 2xy + y' en el punto (Y2, 1) de la elipse ~ + = 1 respecto

GRAI)JENTE DE UN CAMPO ESCALAR

§ 9.

n la dirección de una normal e xLerior a Ja elipse en este punto. 66. Hallat• la derivada del campo esca lar IL == x 2 - y2 on el punto (5, 4) de la hipérbola x 2 - y2 = 9 respecto a la dirección do esta c urva. 67. Hallar lu de rivad a clel campo escala r u

= In

(xy

+ yz + xz)

en el punto M

0 (0, 1, 1) respecto a la dirección de la circunferencia x =- co:; t, y = sen t, z = 1 . · fl8 . ll a llar l a d<lrivada de l c:unr¡o csc;li<H· u ~ x 2 + -i- ¡/~ + z2 en el punto Mu que corre:;pomlc al va lor del paráme tro /. - ]:- respecto a lu dirccdó n clo la línou laclicoidal :e = H cos 1, y ~ H sen t, z ~ al.

§ Soa

~l. llll

CHADIE NTE DE U!\ CAlVIJ:'O ESCALAH cmujJn cscnh11· dcl.crmimHln por la fum: ióu escalar

" = 1 (x, y, >'), clnnde la fllllciún 1 ;;e supone d ifercncia!J ie . Definición. 1•:1 ¡tradiente del cn mpo c~·~alar n en e l punlu dlldo .M so llama e l vcclnr t¡ue SQ desigun con el sí mbolo grat! tt y se <k'tormin:t JHH' la igualt ad grad lt - ~ i -J- ~ <h:

il!l

i ·!

iru. k . fiz

(1)

Uti lizand o la fc'•t'tnula (1 ) del § 8 paru la clcrivatla l'Ctipuc l u a la dirección tenemos

~ = (grad u. ,)l

/. 0 ),

(2)

dond e / 0 es el vo<:Lor uni Lar io de clircn;ión l, t's 1lucir

/. = '. cus et. + ¡ . .:u,; ll --1 1,:cu:<y. V¡ PROPIEDADES DEL GRADIENTI':

·1. 1~1 grncliCIIl~> <'~lá clirigido ¡>nr la nurnwl a la superfi cie del uivel (o a la liuca do uivel, s i el <'IIIIIJlU es pluno). 2. ~1 gradiente está dirigidc, on dic·eccióu do! iucromt!nlo de la fuución del cu wpo.

CAMPO ESCALAR

1,2

CAP. U

3. }:;! 111ódulo del grndieni.O os iguala la dorívllda máxima pc..:lo u la dirección cu ol punto dado del Cllmpo:

I'Cll-

2 2 )2+ ( ~) + (~) , V (!!!.. b ~ h

máx ~ = )grad ul - .. / ~

donde el máximo 110 tonu• en cualesquiera direcciones en ol pun Lu dndn del campo. Estas propiedades proporcionan la ca racleríslica iuvariunte del gradiente. Esto significa que el vector grad u indica la dirección y la magnitud del cambio máximo del ('.lllnpo escalar en el punto dado. Ejemplo t. Hallar ol gradiente del campo csculnr u=%- 2y + 3%. Solución. Segú n la fórmuln (1 ) tonemos grad u = 1 ·i - 2} 3k.

Las su perficies de ni vol del campo oscular thulu . sou los plnnos z - 2y + 3• = C; el vector grad u = (1, - 2 , 3} es e l vector nurmal du los planos de esta familia. Ejemplo 2. Hallar la curvatura máxime (vcl ud<latl ) del incremen~o do la superilicio " = z ll en el punt.o M (2 , 2, 4) . S!>luclón. Tenemos grad , , = yzV- 1i z ll In z j , grnd u 1 M = 4i + '•lu 2j ,

( ailul) nl<1 lt =

lgradu \ - lo VI+(L n:!)' .

EJemplo 3. Hallar el vecL(Ir unitario de la norma l a la superficie de nivel del camp~ escalar u = :t 2 y' z•. Solue16n. Las superficies do nivel del campo csc~thu· dadu sou las esferas 1 = C x1 y2 (C > 0). El gradiente está dirigido por In normal a In superficie tle nivel , do t.al modo que grad u= 2z ·Í Zv·i 2z ·k determiuu ol vector de la normal a la superficie de nivel en el punw M (x, y , z) . Para el vector unitari o do la normal obtenemos ln expresión

+ +

+ +:

110

gradu (grad ul

zi+vi+sk

= y z' + Y" + :~:•

+ r

Ir( •

Ejemplo 4. Hallar ol gradiente dol ca111pn u = (a. l•. r), donde a. y b son vectores, ,. es el radio voc~or do) punto. Solución. Sea a = {a1 , a 1 , a 8 } , b = {b1 , b 1 , b 1 ), r = (z, g, z) . Entonces

§ 9.

GRAOLENTE DE UN OAMPO ESCALAll diferon~iacióu

Segú n la rogl11 lle

1 ~ ax = "·

(l'l.

a, 1

a 1• bs

del determinante•t obteuemos az

~ = 1 UÓ¡¡ éJy

~= 1a¡ Ó¡ bz

ó3 • "al

éJz

Por CIJusiguionte,

grud u. = 1

"· 1i-1

"•

a, a,

li+l

b¡

"·· u,

lk= i

a: 1 -\U, b\ .

<lz

=1b,

~1·

/¡8

Ejemplo f•. HaJiar el gmrlionlc tlo la •listunci u r~

Y (x -

.r 0) 2 +(Y - IIu) 2.¡+ (z - z0 ) 3 ,

dvudc P (x, u, :z) as ol punto dol campo t¡uo ostudi111uos, l'u (.r0 , y 0 , z0 } es ulgún punto !i)o.

•) Sea dado el t.letermimmte D (t) , wyus clcmeutllti "'/ so11 funciones difeJ·ouciubles de t

U(t)=

ct 11 (t) u,. (t)

t1 1 n

(t)

"•n (1)

llno(t)

U.nz(!) ...

<1 11 ,.(1)

Entonces la derivada del determiuanle D' (t) so halla modiaulo la fórmula

U' (t) =

uí1 (1)

a j1 (t)

«Ín V)

a 21 (t)

llzn (t)

a 111 (t)

llnz (1)

ll 11 n

(t)

a 11 (1)

a 1 2 (t)

"on (1)

tt2 1 (t)

"Ít (1)

11;11

•

ltn t (t}

111

•

anz (t)

... +

(t)

-1- ..

••

"nn (t)

a 11 (t)

"u (t)

a 2 1 (t)

1122

añt

a;. 2 (t)

(t)

an¡ Utn

(1)

(t)

a;.n (t)

CAP. 11

Solución . Tenemos

_ (.1 - .c.,)i • (¡¡ - u.,li-1 (z - z 0)k _ , ¡· (.r-.r 0)S + (!f !fo)S + (: - z0)2

_.,...

es el vector uuit..c r iu de cliru<:cióu P 0 P. Ejem plo G. l~ xaminc mus la fuuciúu c•:<c·:c l:cr u. =

cluurlc r 1 ,

son la><

hn!<tn los dos

¡mulo~

,.J ·14 r:!,

clit~~ucu; iu:;

fi jos /1 1

<le al~íuc puulo P (x , y) rh•l pl:cJI (' y F 2 del plano.

I•' IG. 13 Su luci6n . "'"' línea s du nivel 1lc esta ruuc ión son elipse:;. Tone cnus (vense el ojocn plu r.¡ grud (r1

= r? + l'l1·

E:slo m uostru q ue el grudiente es igua l u la diagonal del r umbn construido ou versores o.Je rao.Jios vectores trazados 111 punlu 1' el e los fo~s F 1 y F 2 (fig. 13). Por consiguieni.C, la u onna l a In clip:so on su punto cualquiera purte en dos el ángu l o c utre los radios vectores trazados a este punto. . La interpretac ión física es: un rayo o.Jc lu:c s olido de un fuc o cao al otro foco. Ejempl o 7 . llnllar o l ángulo e entre los gradientes d o las fum:ioo(•s

u = Y:~; 1 + 11'

ou ol punto

1H 0

(1' , ·1).

v ~ :c -1- y ! 2

V :ry

CRAOrF.N'l'E DF. UN CAMl>O ESCAJ.AR

~o.

Solución. JlaJ1a.¡uo~ lus gcadieutes <.le la~r fuuciuues

dadas en

!ll punto M 0 (1, 1). Tonemos

:rt + ui

V :r•+u• gr11d

v i Mo

H-i

Mo =

! ) i+ ( 1 + V =) j j lllf~ =

+ 1/

2i+2j.

E l ángulo 9ontrool gracl "y e l gracl v on e l punto M 0 se determina do l a igualdad

C()S8

-vr+l72

(gt·ad u, gtad v) 1Mo

lgrad ul M.,·lgrnd V\Mn

1 -2

= t.

Oc ac¡11í 9=0 Eje mplo 8. Hallar la derivada respecto u la dirccc-.i<íu del radio VtlCtor r para In funcibn u = sen r, d onde r = 1 r 1 Soluc ión. Según la f(>rmula (:!) l a~ dcr ivarln tle In fu nc ió n <111rla por l a dimcci•Íu d e l radil) vector res igtwl n é)u Tr =' (gra d o;on

r, r· 0 ) .

(3)

ll a llamos e l grntlicnl.o do esta funcibn: g t•atl S(!Jl

r -

()(sen r)

O:r _ -.

d (:>en r)

..!!.!....

rfr

(/Ir.

(sou r)

ily

tl (sen r)

.+ 7j¡S dr k )

é)

i!!_ . -J-

(so n r) k ~

d (sen r) -~ /,· _

iJy J

rlr

cJr • ..l.. Or { iJz ' , ¡¡¡; J

e os r - r 0

COl<

iJz

(4)

Susli tuyendo (4) e n (3) obtcndrettHIS

.!!!!:.._ = (r0 en:< dr

F.je mplo 9. Hallar

r, r

= 1 (:t, y, z) e n e l punto M

e l s istoma do ecuaciones

= (r".

derivatln del e<tutpo escalar u ~ = (x 0 , y 0 , z0 ) ele la línea l, po-orijado 1"''"

1 (x, y, z) = a, q>(x, y, z) = O on di rección

r") ,.,,,.. r ~ co~ r.

a = const

de osla línea.

So luc ión. La d irección tle la U.ncn l se tleterUi inn por la di rección de su vector tangente"\" q u o, según la dofinicióu, os e l vector ta n gente n la s uperiicio f (x , y, z) a. Ln superficie f (x, y, z) = a es lo superf ic ie do n ivel tlel ca mpo escalar dado 1 (.>:, y, z).

(!AP. ll

CAMPO ESC:AT.AR

Ya qu e utt

Tl = (!{rad u, to¡ ~ (gt·ad u,

TO)

y el voct.ur gr:ul a es perpendicular a la superfi cie do nivel/ (x,y, z) = = a cn\.niiC<'S e l grnd u os porpendicul!lr y a l vcrsor ~. po1· oso {j¡¿ 1Mn TI

= (gratl u , TO)I M o - 11.

Ejemplo lO. l-lnllar en o! punlo M 0 (1 , 1, 1) la dircc1:ic'uo do l a máxinHI variación del campo escalar u = :ry yz :rz y IR magniturl de esta máxima variación en este punto. So luc ión. La dirección de la máxima val'iación del campo so indi ca cnu el vector grat.l u (M). Lo hallamos:

grad u (M) =

z) i

(:r

z) j

T) k

y, cu consecuencia, grad u (M 0 ) = 2 (i + j + k). Esto vector determina la diroccióu del mi1ximo iucremonlo del ca111po dado en el punto M 0 (1, 1, 1). La magnitud de In nuíxima vuria1:ión del campo 011 esto punto es igual n míix

= J¡p·nd

11 ( M 0 ) 1

- 2

J(:i .

fi9. llall nr el gradie nte del cam po escaln r

1" (x2

+ y2 + z2)

en e l punto Mu (1, .1, -1). 70. H allar el g radien t e del carnpo cscalnr 11. = zex"+u~+ z" en e l punto O (0, O, 0). 71. Hallar el á ngulo cp entro los gradientes de la función n = n rctg~ en los puutos M 1 (1, 1) y M 2 ( -1, - 1). u 72. H allar el á ngulo cp entro los gradientes de la fu nción u = (x y) ex+v en los puntos l'v/1 (0, O) y M 2 (1, 1). 73. H allar el ángulo cp enLrc los gradientes de l as funciones u = V x 2 y2 z2 y v = In (x2 y2 z2) en el punto M 0 {0, O, 1) . 74. Hallar los puntos, en los cuales el gradien t e del campo escalar u = sen (x y) es igual a i j. 75. Hallar los puntos, eu los cuales el módulo dol gradiente del campo escalar u = In V x 2 y2 z2 es igual a la unidad.

76. Sea u = u (x, y, z) y v = (x, y, z), funciones diferenciables en el punto M (x, y, z). Mostrar que a) grad (A.u) = J. grad u, A. = const.; b) grad (u ± v) = grad u' ± grad v; e) grad (uv) = v grad u u. grad v;

~)- vgrndu.- ugrnd v -J-Ü 1l) gra d ( v v' , v -r- . 77. Mostrar que

grad u (<p) =

grad cp,

donde cp = q> (x, y, z) es función diferenciable y u = u (cp) tiene derivada respecto a <p. Hallar los gradientes de los siguientes campos escalares, si ..

r = xi -\- y j -\- zk, a y b 78. 79. 80.

r =

lrl

=V x

-!- y2 + z2 •

son los vectores const.a ntes.

u = In r.

u = (a, r). u= (a, r )·(b, r ). 81. u = 1 (a, r} ¡z.

82. Mostrar que (gracl u (r), r ) = u' (r) · r. 83. Mostrar que [grad u (r), rl = O.

84. Sea w v (x, y , z).

(u, v), donde u = n (x, ¡¡, z), u =

Demostrar que grad W=

a¡

a¡ grad U-\--¡¡¡; g rad V,

si f , u, v, son funciones diferencia bies. 85. Sea G una convexidad en el espacio, (es decir, un t.al dominio que si dos puntos M y N pertenecen a l domi nio G entonces todo el segmento MN le pertenece). Sea en el domi nio G dado el campo escalar u (M), que tiene en todos los puntos gradiente continuo y limitado en G: lgrndu(M)I ~ A,

MEG, A = const.

CAP. TI

CAMPO RSCALAR

Oeuwstrnr que; para cualesquiera pun tos M y N de l dominio G tiene lugar la desigualdad ---7-

lu (N) - u(M) I ~ A IMNI. ;ct

~(i.

lln llarla rleri vn cln de In fnnci ó n tt -=ao-+-¡;¡- 1- ~ en un punto arbi t ra rio ilf(x, y, z) en dirccciún del rad io vector r de este p unt.o.

87. Hallnr la derivada de la función u = .!.., donde r r = 1 r 1. e n dirección del vector l = cosa· i + cos ~-j + cos v· k. ¿Para qlJé condició n esta derivada es igual a Ce1·oi' 88. 1lall nr Ja derivnda 1le la función n - .!.., doode r r ~ 1 r 1 e n dirección de S il gradie nte . 89. Hallar l a deri vada de la función t' = yzex en e l pun to M 0 (0, O, 1) 1) por la dirección de su g radiente. 90. Jl al laJ· la de ri vada del cam po escalar u = u (x, y, z) por la dirección del gradiente del campo cscalm· v = v (x, y, z).

¿ Par n q ué condic ión, la derivada es igual a cero? 9t. 1\ allar la di rección y la magnit.ud de la máxima variación de l os siguie ntes campos escal.nrcs en los puntos dados ¡11{0 : a) u (M) = x 2 y y2z z2x; M 0 (1, O, 0). h) u ( M) = xyz; M 0 (2, 1, - 1).

CAP ITULO l ll

CAMPO VECTORlAL

§ 10. LINEAS VECTOR I ALES. ECUACiONES

DIFERENCJAIJES DE LAS LINEAS VECTOR IALES Definición t. Si en cada punto M del espacio, o ou una parte del mismo, ostá dlltcrminada la maguitud vectorial a = a (M), so dice que es dado un campo vectorial. Si en el espacio está introducido el .11isteroa de coordenadas cartesianas, entonces la prefijación del campo vectorial a = a (M) es igual a la de las tres funciones escalares del punto P (M), Q (M), R (M), así que a (M) = P (x, y, z) i Q (x, y, z) j R (x, y, z) k. Definición 2. Li,~a vectorial del campo vectorial a se llama la curva en cada punto M do la cuul el vector a está dirigido tangonlo a esta curva. Sea ol campo vectorial determíllado por el vector

a = Pi

donde P = P (x, y, z),

+ Qj + Rk,

Q (x, y, z), R = ll (x, y, z), son funciones continuas de x, y, z que ticr1en derivadas lim itadus Q

parciales de primer orden. Ento nces, las ecuaciones diferenciales de laa líneas vectoriales tienen la forma dx

---p=-¡¡-= -¡¡-.

(t)

La i otogracióu del sistema de rlo.s ocnacioul'.s dHol"OIIr.iales

(1) da un sistema de dos ecuacioMs finitas q>, (x, y , z)

= e,.

<i'2 (x, y , z)

= e,,

las cuales, consideradas en CQnjunto, determinan la familia paramétrica de las 1í oeas vectoriales <p, {.r, g, z) -

e,, }

<p2 (x , y, z) - c2.

(2)

Si en algÚJl domioin C para el sistema (i) csthu cumplici11S la_, condiciones del teorema acerca de la existencia y la unicidad de ln sol ución de una ecuación diferencia l, entonces por cada punto 4-01406

CAMPO VECTORIAL

M o (.r0 , y 0 ,

: 0)

CAP. Jit

E G pasa la única líuea vectorial q¡ 1 (x , y, z) =

<¡:> 1

(x 0 , y 0 , z 0 ),

'Pa (x, y, z) = 'P• (xo, Yo• zo>·

Ejemplo l. Hallar bs líneas vectori ales llol campo vectoria

a = [e, rl. donde e es un vector constante. Solución. Tenemos e = c1i c2 j c 3 k, así que

a = (e, r) =

1:•

+ yj + zk,

: 1= 3

= (c2 z-c3 y) i -l- (c 3 x-c 1 z) j +(c1 y-·cax) k. Los ecuaciones diloroncinles de las lineas vectoriales son dy

d.r

(3)

c•z - c3 y c3 x - c 1z c 1 y -- c 2 x • Multiplicanws el numo1·ador y denominador de la primera fracción por x, do la segunda por ¡¡, de la tercera por z y las sumamos miembro a miembro. Utilizando la propiedad de las proporciones obtenemos c/x dy dz c,z - c8 y De aquí x J:r: y dy z dz = O, y , en consecucucia 2 x~ ¡¡• z = A1, A 1 = const >O. Ahora m ultipli ca mos el nominador y c.Jenoruin;~dor de la primera fracción (3) p or c 1 , de la segunda por c2 , de la tercera por c8 y después de sumar miembro a miembro obtenemos dx dy ds e, dx+c• du+c3 tlz c,z - c 8 ¡¡ c3 .r c 1 z C¡y - · CzX 0 de donde c 1dx c¡dy c,.dz = O y, por consiguiente, c1 x c,y c3z = A 2 , A,= const. Las ecuaciones que buscamos de las líneas vect oriales son

+ +

x 2 +Y'+z1 =A 1 , } c 1 x -l- c 2_ y+ c3 z = A 2 • Estas ecuaciones muestran quo las líneas vectoriales se obtienen oomo resultado de la intersección do esferas que tienen un centro

Ho.

LINEAS VECTORIALES

común en el origen de las coordenadas con los planos perp.eD,diculares al vector e = c¡i cai c:k. De aq ui se deduce que las líneas vectoriales son circunferencias cuyos centros se encuentran en la recta que pasa por el origen de las coordenadas en dirección del

FIG. 1'> X

vector c . l..os planos de las circunferencias son perpendiculares a la linea recta indicada (fig. 14). Ejemplo 2. H alla r la línea vectorial del campo

a = - yi zj bk , que pasa por el punto (1, O, 0). Sol ución. Las ecuaciones difereuciulcs do las líneas vectoriales son tly

d:r;

(/Z

--:::::¡¡= 7 De aquí hallamos z2

+ yZ =

= h.

C,,

C¡

o, si introducimos el parámetro t, o i.Jtou dremos % =

En este

C.'ISO

vC. cos

tiene la forma

vC. costal

vc,cost

de donde hallamos %

~·

V e, SOII t.

Jn ecuación

= bt

o dz

+c•.

~ bdt,

CAP. tll

CAMPO VBC'I'Onti\L parnmélric::~s

\' bien, las ecuaciones scrúu

do las líneas vectoriales

z = Y'e,cost,} (4)

y = y e,sent, s - ht+e 2 •

Si la línea vectorial se hace pasar a través llel puulo (1, O, 0,) ol.tloudrcmos 1 = y e,cost, 0 = Ye1 se nt,

O= bt+Cz. t

Las dos pri moras ecuaciones de esLO sisLOma so sa Lis[aceu para

21m , k= o, ±1, y también cuando e~_ = 1. Al tomar k = O, obLOnemos t O y la úlLima ecuación del

sistema da e, = O. Por tanto la linea vectorial buscada que pasa a través del punto (1, O, 0), será %= COSt, }

y = sen t,

%= bt. Esto os la linea l.tellcoidal.

Hallar las Hnons vectoriales do los campos vectori11les siguientes: 92. r = x i + yj + zk. 93. a= a 1 i + aJ a 3k , donde a¡, a1 , a 3 , son constantes. 94. a = (z - y) i + (x - z) j + (y - x) k. 95. H aliar la lí nen vectorial del cnm po

que pasa por el pun to ( ~ ,

-+.

1).

El campo vectorial se llama plano si todos los vectores a so encuentran en los planos paralelos y el campo es el mismo en cada w1o de estos planos. Si en alguno de estos planos introducimos elsisl.cma de coordenanadas cartesianas :z:Oy, entonces los vectores dol campo no tendrán componentes en ol ojo Oz y las coordenadas dol vector no van a dopender de s, es decir a = P (:z:, 11) i.

+ Q (z, //) j.

§ 10.

LINEAS VECTORIALES

Las ecuaciones diferenciales de laa líoeaa vectoriales del campo plano tendrán la forma dz dy dz P (z, V)

Q (z, y)

o Q (x, Y)

dy d;r:

}

P (z, Y) '

z = const. Do aquí se ve que las lineas vectoriales del campo plano son laa curvas planas que sc encuentran en los planos paralelos al xOy. E je mpl o 3. Hallar las lineas vectoríales del campo m agnético do un conduclot· infinito de corriente e léctrica. So l ución . Su pongamos que el conductor está dirigido por el eje Oz y en la misma direccion J>asa la corriente l. El vector de la intensidad ll de l ca mpo magnetice que engendra la corriente es igual a 2 ll = ps-[ 1 ,

r¡,

(5)

donde 1 = I ·k es el vector de la corriente, ,. os el l'adio vector del punto M(x, y, z), pes la distancia desde el eje del conductor basta el punto M. Abrtendo los paréntesis del producto vectorial (5), obtendremos

Laa ccullciones diferenciales do las lineas vectoriales son: d.r

cly

-=-y= -x=-o-, do donde x~ -¡- y: = R',

}

::=C,

es decir, l11s !locas vectoriales son las circunferencias con los centros en el eje Oz (fig. 15),

Hallar las 1í ncas vec toriales ele los siguientes c ampos vectoriales · planos: 96. a = xi + 2yj. 97. a = xi + zk. 98. a = xi - yj. 99 . a = 2zj + 4y1c. 100. a x 2 í + y 2j. 101. a = zj - ¡¡k.

CAMPO VECTORIAL

CAP. III

Las ecuaciones diferenciales de las líneas vectoriales dz

el:

-¡¡-= r¡- = ¡¡pueden ser cscri tas nsi : dx

el!! dt

-;¡¡ = P,

- Q

•

~=U dt

z H

H p 1--------9 M ( x,y,r)

f!G. 15

o on la forma vectorinl: (6)

8sta forma de las ecuaciones de las líneas vectoriales resulta muy cómoda para la solución de una serie de problemas. Ejemplo 4. Halla r las lineas vectoriales del campo a = le, r] , d onde e es un vector cons tante . Solución. Utilizando la proporción (G) obtendremos dr

dt=fe, rJ.

(7)

Multiplicando ambos miembros (í) oscalarmento por e y utilizando las propiedades del producto mixto bailamos (

d t• ) d e, dt =-;¡¡-(e, r)=O.

(S)

Análogamente, multiplicando ambos miembros (7) escalarmente por r , obtendremos dr ) ( r, --¡¡¡-

d (r, =--¡¡¡-

r) =O

(9)

tt.

PJ, UJO DEL CAMPO VECTORIAL

Do la ecuación (8} se deduco que (e, r) = const, y

do la ecuación (!J} sigue que (r, r)

const.

Las líneas vecloriales son lineas de intersección de los pl anóll' (e, r} = const con las esferas r 2 = const.

Hallar lfts líneas vectoriales de los campos vectoriales siguientes: 102. a

f (r) ·r.

103. a = (al), r) b 0 , don de a 0 , b 0 son los vectores constantes.

* 1. t.

FLUJO DEL CAMP(i) VECTORIAL. ME'fODOS DEL CALCULO DRL FLUJO

rial

l. Flujo del ca mno V('Ciorial. Sea que tenemos ol campo vectoa (Ml =

P (x, y, z} i

+ Q (x,

y, .z) j

+ R (x,

y, .z) k,

donde las coordenadas P (x, y, z), Q (x , y, .z), R (x , y, .z) del vector a (M) son continuas (el campo a (M} es con tinuo} en algún dom inio G. Sea S alguna superficie bi lateral plana o parcialmente plana en La cual está escogido un lado deter mmado (la superficie orienta da). Delfnlci 6a. Flujo ff del campo vectorial a (!11) a t ravés de In superiicie orientado S se llama la integral superficial del primer género por la superficie S de la proyección del vector a (M) a la normal n (M) hacia esta supe rfic1e:

J.) pr,.adS ~- .Í .~ (a , nO)dS. S

donde n° es el vector do unidad {versor) de la normal n hacia ol lado escogido de l a superficie S; dS es el l!lemonto de M·ca do la superficie S. En el caso de uoa superficie cerrada vamos a eligir siempre In normal exterior n , dirigida fuera del dominio limitado con la su· perficie S. Si a, !}, y son los áogu]os que forman con los ejes de coordenadas o~. Oy, Oz la normal n a la su perficie S, cnto uc1~s se puede expresar el flu jo a lravés de la integral suporficial dol segundo génoro

n =S J:ca, n. ) dS = 0

SS!P(:r, y, z)cosa -/ S

+Q (x , y, .z) cos

~ + JI (x.

y. z) cos y) dS

CAMPO VECTORIAL

CAP. TI!

n - .' .\ (a., n°) t!S - ·' s·~ $

P (.r, y, z) rly rl;

1·

+Q(x, y, z)dxd: 1 11(x, y, z)rlxdy,

donde cosa dS = dy dz,

p dS

cos

e-os y dS = d:r. dy.

= dx d:

PROPIEDADES PRI NCIPALES DEL FLU JO DE I, CA MPO VECTORIA L

a) El flujo ct~mbia el s igno n l inverso al modificar la orientación ele In superficie (es <leci r , con la varincifon do la orientación de lu normal n a la superficie S):

Js•·'

(n, ,o¡

dS ~ - . .Í .\ ((1

n O) tiS ,

d.onuo s+cs ollado de la superficie S ,en la c ual :le e ligo la uorrnal 11 . y S- os el lado de la superficie S, en la cual so toma la normal - n (véase [6]). b) Propiedad de lineaJid¡td:

SJ(a,

·' .\ ().a+ ¡tb , n°) dS = ).. 8

n°) ti S+ f4

(b, n°) rlS,

donde A y ~ son los números constantes. e) Propiedad de ndltividad: si la superficie S se compone do a lgunas partes .Plana~ S, s .... .. , Sm• entonces el flujo del campo vcc lorinl a {M) nlravés de S es igual a la s uma do los flujos dl'l vector a (M) ll través olo las snporficics SI, s2 • ...• Sm:

n- ~

.Í .\ (a, 11°) dS. s,.

11- t

Esta propiedad permite extender el concepto del flujo a las super(icies parcialment.o planas. e jemplo l. Hallar ' ol rl ujo•del vector a= i a través de un área perpendicular al ojo Oz y que tiene la [orma del rectángulo cuyos lados son iguales a 1 y 2 (flg. 16), en la dirección positiva del ojo Oz.. Soluc ión. Según la de[inición del flu jo del vector n trav6s do la suporlicie S tondrernos TI =

(a, n O) dS.

l' LUJO :Ot::f" CAMPO VECTORIAL

§ 11 .

Eu uuestro caso a = i, no = i , entonces (a, n o¡ = (i., i ) = 1. Teniendo en cuenta que el ús·ea del rectángulo es igual a 2, o btenemos

fi = )) 1 dS =

Observación. Eligiendo e l vector unitario (versor) de La normal al área S de tal modo que no = - i-, obtenilrilllnos n = - 2.

f:lG. j (j

Ejemplo 2. Calcular e l flu jo del cam po vec torial a = r, donde r es e l rarlio vector a través del recto cili ndro c ircula r de la altura h, e l radio de base R y el eje Oz. Soluc ión. Superficie S se compone do la superfic ie lateral o 1 , de la base superior as y de la base interior o 3 del c ilindro. E l flujo busc.1do n en virtu d de la propiedad do adi tivida cl sen1 igual a n = n, + 112 + n a. don de n,. n •. na son los flujos del campo d ado a través do a 1 • o 2 , a 8 , respec tivamente. La tlorrnal cxtcrioc n• en la superfic ie l ateml a 1 del cilindro es paralela a l p lano xO y, por eso (4, n°) = (r, n°) = pr,..r = 1? (véusc la fig. t7). P or C()nsigui onte,

n , ~ ))

(tt , nO)rlS =

Ti)) dS ~ U·2nlll1 - 2nft 0 h.

a, ~ E u la hase superior a 2 la normal no es paraloln al ojo Qz, por eso se puede consil)erllr ,o = k (fig. 17). En lonces (a , n O)

= (,.,

k) =

pr 0 , r = h,

y lo que significa

11 2 ~~

5.í ( a, rtO)dS = h 55dS (1?

h· nfl2 =

nR~h.

C.\ P . 111

CA MPO VECTOIHA L

!!:u la b~ inferior o 3 el vector a = r es perpendicular a la norm al ,~o= - k . Por oso (a , n°) = (r , - k )= O y fl 3

(lJ, n O) ¡/S

11.

FIG. 17

1·:1 fl uju buscado so•·ÍI igunl n

n = ~1 1

(a . ,.o¡ riS ..: SnR3h .

Ejemplo 3. ll u llar el flujo del cu rnpu voc lol'iul

~ ¡;:-¡>

a través do la esfera del radio 1l con el coulro en ol origon do coordenadas. So lución. Ya q ue la normal " 11 In esfe ra os coliooal al mdio r vector r , entonces so puede to ma r 11° ""' r 0 = ¡;::-¡ . Por eso

(a , n O) = ( -¡-;:-jO "j''=T

)

1 1r 1' 1 ¡-¡=¡¡ (r , r) = -¡:;:-¡< = ¡;:-ji .

Pero l'n In esfera S te nem os 1 r 1 -" n, por eso (a , no¡ = ~~ . E l flu jo buscado n será igual a

5!1

fLU.IO DEL C1\I\1PO VECTORJAJ ,

§ 11.

puesto quA la superficie de• toda esferA S os ig ual a

@dS = S

104. Calcular el fl ujo del vector a = 3j a través del área que tiene la forma del triángulo con los vértices en Jos puntos M 1 (1, 2, 0}, M 2 (0, 2, 0), M 3 (0, 2, 2), en' dirección donde se encuentra el origen de coordenadas. 105. Hallar el flujo del vector

a = ai

+ Pi +

yk,

donde a, p,' y son constantes a través del área perpendicular al eje Oz y que tiene la forma del circulo del radio n en d i rección pos iti va del eje Oz. 106 . Hallar el flujo del vector a = r a tmvés do la superfici e exterior del cono circular, el vórtice del cual está en el origen de coordenadas, el radio do l a baso es igual a R y la a ltura h (el ejo del cono va por el eje Oz). 107. Hallar el flujo del vector a = f (1 r f) r a través de la esfera del radio R con el centro en el origen de coordenadas. 11. Métodos del cálculo del flujo del vect or. f'. Método de proyeccl6n. a uno de los planos de coordenadas. Sea <Jue la superficie abierta S so proyecta recíproca y unívocamen te al plano xOy en el dominio D En este Cl\80, la super ric io S puede (x, y) , y puesto c¡nc el sl'gmen tn del prcfijnrse por la ecuación z = iiroa dS de esta superficie es igual a

xy·

dS =

dx dy

' cos 'V 1 ' entonces, el cálculo del flujo 11 n través del lado olegiclo do la superficie S se reduce al cálcu lo de la integral dobiC> segú n la fórmula fl

~S \ •

(a, n O) dS

= )• D

)

l(a ' no¡ l 1 C OS

z= /(x,

11}

d.r dy.

{1)

XII

Aquí versor n ll do la normal nl lado elegido de Jn supc¡·(icie S so ha lla mediante la fórmula 1lo

g rad [z - / {z. y)l = ± ..-~-:;-7-~+.;_::~, 1 grad fz - f (x, y) JI

_!L i -

iJz

.. /

.!!f_ i + k i)y

ax. )2-1-(!1..)2 a + 1'

( {J f

(2)

CAMPO VECTORIAL

CAP. 111

y cus y es igual ul cocficic nle para el vcrsor /( en la rórrnula (2):

cosy

+ -

.. /

(

éJéJ~

•

(3)

) 2. ..¡ ( iJ{ ) 2 "Y

n.0

Si el tillgulo ent ro el eje 0: y la uormal es agudo, ontonoes en la rí.rmulns (2) y (3) se toma ol signo si el ángulo y os obt uso, cnlOttCI'S so toma el signo •-•. El sÍJnbolo

•+•,

(a, nO)

1 COS Y 1

z= /(X . J/)

sig11irica que en la runciún s ubintegral z se susti tuye p or f (x, y). S i ••o:;ultn cómodo proyectar la $11podit,io S u los planos do <'O(Irdonadas yOz o :rOs, e ntonces pam calc ul ar <.'l flujo 11 se usnn •·c~ructivnmcntl' las rórmulns:

n - .\ .Í u"'

(a. n O) ( COSGt (

1X=q>(JJ ,Z) dy dz

<">

(5)

o 11

(a,

\ .<: ' P

,o¡

cos~

y=>IJ(.x . z)

<lx ti;.

La róruoula (4) se usa 011 el caso, eunml<• la snpcrricio S se proyecta rocíproca y uoívocmncttle en el dominio D vz del plano yOz, y, JIOr cottsiguient.e , puedo prcfijarse por la ecuación x = q> (y, z); cos c:t <'~ <·omo coeficien te pa•·n ol versor ten la roiruottla n 0 = ± _.,.;g,_r:c:a.:..:d-i-'J=:rc:...__<~P_,<,::.!'.:.. ' · ..:=f);.. 1.,... 1 grad (:r rp (y, z)l1

2• + (~ ) :¡ + ( iJq> Ül/ o: )

es deci r ,

•+•

El singo se to ma e n el caso, si el ángu lo c:t entre el eje Ox y la normal ,.o es agtodo, si et os el ángulo ob~uso, outo nces se emploa, ol s igno «-». La rórmula (5) se usa con la univoca proyección recíprocafllllll~O do la superficie S al plano xO:; e n este caS<' S puede ser

t>t..tJJO DEL CAMPO VECTOniAl,

§ 11.

prefijada por la ecuación y = 'iJ (x, a) y ento.o<:es

-~ i-1-i-..!!i

v1+(: )2+(: )a

cos ~ es el coeficiente para el versor j en la última fórmula, es decir, i

cos ~ = ± ---r:==::::::==;¡====:=:==;¡1 2 2

l/ + ( : ) + (

n° es agudo. entonces se t.oma el signo «+•. si el ángulo ~ es obtuso, so t,oma el signo «-». Oboorvaeión. En el caso, cuando la superficie S está prefijada implicit.amonte por la ecuación <1> (x, y, z) = O, el vector unitario do la normal no = i cos c:1. j cos ~ k cos y 1 se baila segiw la fórmula

Si el ángulo ~ entre el eje Oy y la normal

no = ±

grad <1> (z, v. z) 1 grad <D (x, y, z) 1

donde el signo en el segundo miembro se detm:mina por la elección de la normal a la superficie S. Para calcular el flujo n del campo vectorial a a través de la superficie S es necesario proyectarla recíproca y unívocamente al alguno de loa planos de coordenadas xOy, xOz, yOz, lo que se puedo realizar, si la ecuación <1> (x, y, :) = O es unívocamente resoluble, respectivamente, con respecto a ~ (z = f (x, y)), y (g = 'i> (x, . :)) o :r (:r = cp (¡¡, ~». despué11 de esto se puede usar una de las fórmulas (1), (4), (5). Ejemplo 4. Hallar el flujo del campo vectorial a = (x - 2:) i + (x + 3y + z) j (5x + y) k a través del lado superior del triángulo ABC con los vórtices en los puntos A (1, O, 0), B (0, 1, 0), C (0, O, 1). Solución. La ecuacion del plano, en el cual está el triángulo A B C, tiene la forma x + y + z = 1, de donde z = 1 - x - '1· El t riángulo ABC se proyecta recífroca y unívocamente al pltu;o xOy en el dominio D ""' es decir, a triángulo OAB (fig. 18). Según la condición la normal n° al plallO, en el cual está cJ triángulo ABC, forma el ángulo agudo y con el eje Oz, por eso en la fórmula (2) tomamos el signo •+• y obtenemos

no =

grad(:~:+v+z-1)

lgrad(x+y+:- 1)1

1 i+-1-

._ ¿_k.

y3 1 1- y3

(6)

1\2

l~ AMPO

CA P. JI!

VECTORIAl.

ll u llamn~ el producLu usca lur (a , n°) = (z

2z);á -l

J3u+z>J

(.x

+(5x+ v> 1. Oo In fórmula (6) obtenemos cos y=,/r 3

as . dzdu ces y

7x + 4u - •

y, por consiguiente,

= Y3dx dy.

FIC. IS lltili zondo la fc)rullllu (1), cnlcul:unos el flujo buscado: TI -

Í Í (a, nO) dS -

JJ S

f f J)

V cu

JJ<B.r+ Su

Dxu

(7..:-J- 4y - z) 1 dz dy r~ t - x - u 1 -x

t ) dz dy =

J J (8.r+ 5v-t)dy= ; dz

Ejemplo 5. Hallar el flujo del vector a = y~j + :zk a travós del eegmonto de la superficie s = y1 , cortado por el plano ca 2. Se toma la normal exterior respecto al espacio limi tado por el paraboloide. Solución. La superficie dada (el faraboloide de rotación) so proyecta reciproca y un!vocamento a plano ~~~ en el circulo

z• +

§ 11.

PLUJ() llF:L CAMPO VEC'I'ORI AL

D xv {[ig. 10}. Hallarnos el versor do lo uormul , o a la superficie S:

± - 2zi - 2ui+k

no = + grad(z -:z:•- v•) - tgrad{z-:z:• - .:r•)t

l/4x• + 4y• + i

Según la condición del problema la normal n ° forma el ángulo ob tuso y con el eje Oz, por eso delante do la fracción es necesario

FI G. 19 Lomur ol s igno «-t. Do La• modo,

n• =

2.zi-l-2vi - 1<

v <~.r• -t- 4y•-t- 1

de ar¡uí cos v=

ylo.r•+ 4!!"+ 1

y, por co nsiguie n te, d:e dy

lcosyt H ollamos el proclucLo escalar

E l !lujo buscado según la fórmula (1) os jguol o D=

f f J8 J

(a,

11 o) aS

f f (2y3 JJ

D .q¡

:) 1 r--x'

ru•

tl:rtly =

= .\· J(2v" De u

u• --

x•> ti.e a11.

C:AMPO

El <lomini() tic iulcgmcióu

CAP. 11 1

VF:CTOI1 1Af .

D;r;¡¡

es ol cí~ulo eon e l t'Ontt·o e n (,¡

origen de coordet.adas de l ratlio /l = \( :1.. l u~roduciend o las coor· donadas polares .r = p cOlS <p, y = p l;O n cp, ob ~endromos 11 =

~ ~ (2pssenaq¡ - p~)pdp

dq>=

Dx(f

\-2 = 2f J d<p J (2p' se u" <p o

r• ¡v2

p 3) úp ,., - 211.4

()

z,,,

Ejemplo ti. JJallnr e) !lujo del ca mpo vectorial a = i - j + a través del circulo S, recibido por la sección de la t>sfl •l a

+ xr¡zk

FIG. 20

+ +

z' g2 z~ ~ R! con el plano ¡¡ = z. Tomar el lado de la esicra dirigido a la parte positiva del e¡e Oz. Solucl6n. Debtdo a lo que el plano y = x es perpendicular al plano de coordenadas zOu, entonces el circulo S, que está en est.() ,Plano, BG proyecta a l plano zOy en el segmento A t A 1 y, por cons¡guiente, BG altera la univocidad reciproca de proyección. En otros planos de coordenadas el circulo S se l'royecta recíproca Y univocament.e. Proyectando el círculo, por ejemplo, del plano zO~. obtendremos el dominio D :cz limitado por elipse (Iig. 20). !-~aliemos la ecuación de la elipBG excluyendo y del sistema de ecuaCLOnes

x'+y2 + ,•=R2, } JI =%,

S u.

PLUJO DEL CAMPO VECTORIAL

De equi

2x' + •'= R•

-¡¡¡- -!- -¡¡¡- =

2 Según la condición la normal al cítculo S forma el áugulo obtuso j.\ con el eje Oy (fig. 20), por eso tomamos n= - grad (¡¡ - :r) = i - j,

no = TñT = y2 ' Oc la úhinll~ igualdad tenomos cos dol área tJS del círculo es ;gual a dS =

~ =

1 . 172¡. 1

112

< P. E l scgmcnt u

dx dz . r :l cos ~ l = 1' 2 dx dz .

ll:tlla mos el producto escalar: (a, n°) V2. El flujo buscado segúu la fórmula (5) es igual "

n = f\ J' 2d:rcl: =

5dxd: = 2 ·---nu• -· 1/ 2- fl•n ,

11 2 b ., : Dx; puesto que el área Q dol dominio Dxz limitado por e lipse co n sorni"R jes a = yí , y b = R, os igual n Q=

f ' J~

d.1· <lz = nab =

ttR 2

yi .

D,r:z.

Ejemplo 7. Calcular e l flujn del vector a = x i

a través del lado exterior üo la superficie lateral del cilindro c ircular z 2 + ~~~ = /? 2 limitada por los planos :: = O y :: = 11 (JI > 0 ). Soluci6n. El c ilindro dado se proyecta sobre el plano :rUy (orma de linea, prccisarneute en la c ircunferencia (fig. 21) :z:2

-<lll

+ u• = n•, %=o.

Por eso va111os a p.royoctar el cilindro sobre otros planos de coordenadas, p or ej¡¡,mplo sobre ol plano yOz. Puesto que el c ilindro se proyecta sobro el plano yO• no recíproca y unívocamente, en tonces utilicemos la propiedad do ad(tividad dol flujo del vector y roprosent.e mo~ el flujo buscado n en !orma de l a suma de los !lujos n = nl n ,, donde n, es el flujo del campo a través del segmento S 1 del cilindro, ubicado en el dominio, donde u:> O, y flt es el flujo del mismo campo a través dol segmento S 1 dol c ilind ro, ubicado en el dominio. donde y< O. En St tenemos

n 0 = -xi+yi -R- - • !t -Of4 0(';

(a, "") • =

z +v• = R. 11

CAP. ITI

CAMPO VECTORIAL

Por eousi!(uienle ,

lit ~

R dS

Js.J

,\nncJc S e~ p\ ;Írca ,¡,.¡ sc¡;:nw11Lfl S 1 tlt•l S = n ll/1 , c 11lmt<'.CS 11 1 = n8 211.

fl S ,

c ilioulru.

l'ucslo

c¡uc

En S 2 olrn vez tonemos o

:ri + yi

11 = --,-~-'

'Y, por- consiguiente,

fl 2 =

lldS = RS = nR'H.

El flujo buscado es igual a n = 2nR2/J. Oheervaci6o. Se puede resolver el problema con •ucuos difi cultad, si en el cilindro introducirnos las coordcnatlas curvilinenlcs x = R cos q>. y = R sen q>, z = z . (véase el punto 3") . Para hallar el flujo del campo vectorial a = P (:r, y, z) i + Q (:r, y, z) j R (x , y, .z) k a través de la superficie S prefijada por la ecuación z = f (x, y) utilizando el método de proyección sobre eJ plano de coordenadas, no es n&cesario hallar lll versor 11° de In normal y se puede tomar el vector

n = ± grad[ z - / (x, g)l

-( +

__ ,___ , _,_ ,., . 8/ .

t) /

IJ;r

t1y

•

• )

; 11.

FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL

obtiene la forma

Entonces la fórmula (f) para ol cálculo delllujo

r r (a,

110)

n)l•- tcx. 11> d:z:dy.

dS=í r¡(a,

XI/

(7)

Por analogía se obtienen las fórmulas para el cálculo de los flujos a través de las supedicies prefijadas por las ecuaciones x = cp (y, z) o y= '1> (x, z). La fórmula (7) en la forma de coordenadas se escribe como sigue:

n =±

S5{ -P[x, y,f(x, y)l =~ - Q[x, y , j(:z;,

y)):; +

D xu

+R [x, y, 1 [x , Ejemplo 8. Calcular el flu jo del

~ropo

a = xi+vi+ V z'+v

y)]} d:r tly

vectorial

t k

a través del lado exterior del hiperboloide de una cavidad z = = V .x2 v' - 1 limitado con los planos z = o. z = Solución. La superficie dada se proyecta reciproca y unívocamente sobre el plano xOy en el dominio Dx11 lim itado por las circunferencias

va.

x'+ v' = lo,} z = O.

Hallamos la normal exterior n :

n ~ ± grad (z - V .x'+ v" - 1)) =

± ( - 1:z:i. - 1yi +Te) . \Vx +y - 1

Puesto que n forma con e l eje Oz el ángulo obtuso y {fig. 22) . entonces tomaHros el signo «-» y, por lo tanto n=

xi+vi

V x'+u" - 1

- k

Hallamos el produc to escalar

(a,

n) =

x"+ u• x•+v"- 1

....,....,-..,.._., x'+u"- 1

Grup leaudo la fórmula (7), obtendremos TI =

r. •

55 (a, s

,.o)dS =

5JV

D.~tl

dxdy

x'+ v"- t

CAMPo VECTORIAl,

CAP. Ill

Pasando a la! coordenadas polares z = p cos cp,

¡¡

lenomos

J5 Vapacp Dxu

p• - t

= 5acp 5/ dp

= 2n

p• - i

v p• -

= p 1

1100

cp, ob-

12 =2 v3ñ. t

Ejemplo 9. Calcular el Uujo del campo v&eLorial

a = vi+ sí+

:zk

o través de la suporCicle cerrada limitada mediante el cili ndro u• = R 1 y por p la nos a = x, z = O{~> 0).

:r:"

PfG. 22

Soluel 6o. La superficie S es parcialmente plana, por eso ulllizando la propiedad de adltlvidad del flu jo ~ repreae ntendo ol flujo bu!IC8do n en forma de la suma de los flujos 0 1 , 0 1 , IT 1 a trav6a de las parte& planas, respecUvarnente, (semicirculo :r:" + v· ~ R', o~ :z .s;;; R , S = 0), s, {una parte de pl ano S = z) Y S 1 (una parte del cilindro :r:" u• = R1 ): IT = IT 1 0 1 0 1 ; ya que S es cerrada, entonces tomamos la norma l exterior a ella (fig. 23). 1) En S¡, doode : ""' O, tenemos n° "" - k , por tant o

(a, n°) = - z y, por consiguiente, el flujo 0 1 eerá igual a

rrl =

dS = -

d z di/o

§ 11.

Pasando a laa coordenadas polares :>: = p cos cp, hallamos

n1 =

l"LUJO DEL CAMPO VJWTORIAL

) p

cos cpp dp dq¡ = -

-= p aen cp•

¡¡

n/2

)

cos cp dq¡ \ p• dp = -

-n/2

R·.

21 En 8 1 , donde s = z, tenemos n -= :1: grad (s- z) ... :1: (-i, +k),

F IG. 23 y puesto que la normal "a S 1 forma con el eje 0% el ángulo agudo, entonces en el segundo miembro t omamos el signo ._+,.. De tal 111odo, " = - i + k y resulta que (a, 11) = x - V · Proyectando S 1 sobre el plano xOy obtenemos semicirculo Dx¡¡: O ..;;; ..t ..;;; y R~ - y•. Entonces sogún la fórmula (6) o.btendromos

fl 2 = ) ) (a, n) D •..,I/

y do

l....,. .

dz d ¡¡,

nuevo pasando u las coordenadas polares, obtendremos

2 . l {cosq¡- sencp) dtp o\ p dp= 3 ns.

n/2

flt =

-n12

+ y~ =

3) Eo Ss, donde x~ tera l del cili ndro, tenemos

no = ±

g rad

(z•+v•-

)

R 2 , es decir, on la :!Uperfi cie l a=-l·

1grad (.r1 +¡¡• - R•) 1

:ci + vi = + zi + vi

y z' + y• -

CAMPO VECTORIAL

CAP. lll

En este caso la normal n fonna con el eje Oz el ángulo 1-ect o y, por eso cos y O, debido a lo que la elección del signo en el segundo miembro es arbitrario; tomemos, por ejemplo, el signo e n tonces

•+•

(x -1- z) JI R

y, por consiguiente,

Os=!

S S(x+z> vdS. s.

No se puede proyectar la superficie S~ (cilindro recto) sobre el t>lano xOy, porque ella se proyectará en línea, en semicircunferencia (se a l tera la univ ocidad recíproca de la proyección) . Lo m ismo sucede y on el caso de p royección sobre el p lano xOz. Por eso vamos a proyectar la superficie S 3 sobre el p lano yOz, en el que ella se proyecta reciproca y tlllivocamente en el dominio Dv• limitado por la línea r uz =

R2,}

z= x. Excluyendo de aqui x, obtendremos la ecuación do la proyección de esta linea sobre el plano zOy: z2 u• = R 2 es la circunferencia. P u esto que

1 cosa 1 = 1 cos (~) 1 = 1 (ng,

1;; 1= ~

(x ;;;;. 0),

entonces o btendremos

n. =

R1 Í

J 1 D~

(x+$)1/

1 COS a

d ydz =

x=z

f f ( x-1-z)

JJ D~

=SJ

dydz = x=z

2 11 : dydz = 2

Dur

ydydz.

Duz

Utilizan do las coordenadas polares: y = p cos q>, z = p sen q>, hallamos n R fl 8 = 2 pcosq>pdpdq> =2 cosq> áq> p• dp=O.

Pues,

fl = a

2 nR3+anR3 +0=0.

108. Calcular el flujo del campo vectorial a = yi + a través del l ado superior del triángulo limitado por los planos x y z = a, x = O, V = O, z = O,

+ zj + x k

+ +

§ 11.

FLUJO DEL CAMPO VF.CTORIAL

109. Calcular el flujo d e l campo vectorial a = :z:zí a través de la superficie exterior del para boloide z = = 1 - :z:~ - y 2 limitado por el plano z = O (z ~O) . 110. Ca lcular el flujo del campo vectorial a = :z:f zk a través de la superficie lateral del cilindro cir cular y = V R 2 - :z:2 limitada por los planos . z = O, z = h (h >0). f 11. Calcular el flujo del campo vectorial a = :z:i yj zk a través de la parte su perior del círculo que corla el cono z = V x 2 y 2 en e l plano z = h (h > 0). U2. Calcular e l flujo del campo vectorial a = 3xi - yj - zk a través de la superficie exterior del p araboloide x" y 2 = 9 - z, que se e ncuentra en el primer oct ante. 113. Calcular el [lujo del campo vectorial

+ +

=·

(x2

+ yZ) i + (y2 + z2) j + (z2 + x2) k

a través de un segmento del p lano z = O limitado por la c .i rcunferencia x 2 y 2 = 1 en dirección del versor k. 114. Calcular el flujo del campo vectorial a = yzi - xj - yk a través de la superficie total del cono x 2 + y 2 = z2 limitada por el plano z = 1 (0 ~ z ~ 1). 115. Calcular e l flujo del campo vector ial a = 2xi (1 - 2 ¡¡) j 2zk a través da la superfic ie cerrada limitada por el paraboloide x 2 + z2 = 1 - 2y (y ~ 0) y por el plano z = O (z ;;;;,: 0}. 116. Calcular e l flujo del campo vectorial e, = x 2 i y 2j + z 2k a través de la superficie total de la pirámid e limitada por los planos x y z = 1, x = O, y = O,

+ +

= o.

+ +

117. Calcular el flujo del campo vectorial a = xi

yj 2".

+ zk

a Lravós de la esfera x 2

+z = 2

H2•

.'~fétod() dt: prQyt:r.clbn SQOrt: todQs lqs lrt:s plam1s de c()ordct~a

das. Sea que la superficie S se proy&cta recíproca y unívocamente sobre todos los tres planos de coordenadas. Denominemos por medio de D:<¡¡• D .'<z• D 11 , las proyecciones S sobre lns pl¡~nos :rOy, xOz, yOz respectivamento. l~n esto caso la ccuacic)n F (x, y, z) = (l úc la superficie S os otnívocamontn c.alculablc respecto a cada de los :•rgurnentos x. y, z, por lo tanto X = :C

(¡¡, :), !f = !f (.>:, :).

z (.e, !J).

CAMPO VECTORIAL

CAP. JJI

Entonces el flujo dol vector a =

P (x, y, z) i

Q (x, y, z) j

R (x, y, z) k

a través do la superficie S, el vector de unidad de la norma l es igual n n° = cos a-i + cos p.¡+ cos v·k se puede escribir como sigue:

n = -~)

(a, nO) dS =

[P (x, y, z)

co~ a +Q (x,

+R (x, E:s conocido que

~> cos f}+ (8)

y, z)cos-vJdS.

dS cos a = ±dy dt, dS cos ~ = ±dx dz, dS cos V = ±dx dy ,

(9)

Con todo eso el signo en cada de las fór mulas (9) se toma ta l , cual es el signo de e os a., cos 13 y coa ven la superficie S. Sustituyendo (9) on (8). obtendremos

n =±

S J P! x (y.

z), y, :Jdydz±

S S Q[x,

y(x, z) , z)d:r:dz

D.~:

D 11 :

S JR fx,

y, z (x, y)l dx dy.

(10)

Dxr1

Ejemplo t O. Hallar el Ilujo del vector

xy, Q

+ yzj + xzk

:t:vi

a través del segmento de l a super [icie exterior de la esfera x~ + + v' + z' = 1 que se encuentra en el primer octan te. Solución . Tenemos grad (x'+ yLf- z'- 1) :t:i + yj +:k n° 1 grad (x'+Y' +z' - 1) 1 V x'+Y' + z' =xi+ vi+ sf.:, de donde, t-eniendo en cuenta que fa superricie dada S se encuentl"'d en el primer octante, obtendremos cos (X, = z:;:.. o. cos 13 = y:;:.. o. cos i' = z:;:.. o. Por eso en fórmula (10) t.omamos delante de todas las integrales ol signo y, haciendo en la fórmula

•+•

obtenemos

.f .í

xy dy dz

D 11 :

+ .\

De la ecuación de la

D .v:: esfera .z2

z = z<x. Y> = V1

x• - y•.

yz, R =

yz d:t: dz

:r:.z,

zz dx dy .

D.cu z2

v ~ v(x.

1 hallamos

z>=V1- x' - z•,

a;=x(¡¡, s) = Y1 - ¡¡' - zs,

(11)

FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL

S 11.

Sustituyen do ostas oxproslonos para ~. y, z rospect.ivamenw en J'a tercera, segunda y pfimorn integrales del segundo miembro (11), obt-enemos

n=}) xV1 -

x• - u•a,..ay+ ~ ~ z V 1-- x' - ''tl:rdz+

+ ) } y v t ~ y' - :• dy d:.

(t2>

D ¡¡:

Calculctno!! la primera in tegral que ostá en el segundo miembro, pasand o a las coordCJoadas polares x = · p cos <¡>, y = p sen <p. dondr O ~ <p ~ n/2, O ~ p ~ 1. Eotonc.os obtenemos l 1 = \ \' :r. V1 -- x' - y 2 dxdu = \ \ p•Yt - p 2 cos<pdcptip =

Dx·,,

D.""";, :t/2

S cos q, diJ' }

r' v 1 -- p' ,¡p =

Suponioncln quo on la última intcgrnl p tendremos

lí 1 -- r• tlp.

n t, dp

cos t dt,

Jf/2

;rj2 / 1=

= sen

)

.\ son• t o

C(JR•

t dt =

! .o\ sen• :u

dt =

1~1 •

Lo sngu11do y tercera integrales en la fórmuln (12) so c:alculnn análogamente; cou esto obtenemos

I. = • ' ' 'o.~:

r3 ~

~ vt ·- x• - :•ax<~z=~ 1ll '

J) uV1 - y1- z' dyflz = 1~; . l)ff Z

El flujo huscado será igual a 11

/ 1 -l- / 1 -f- la ~ tf\

118 . Aplicanclo el método tic proyección soure todos los tres planos de cootdcnadas. Calculnr el flujo del (\ampo vectorial a través de la SlJperficie S: a) a -= zi -· xj + y/e, S es el lado superior de la parte limit ad,, cl!'l plano 3x + Üy ~ 2z = 6, cortada por los planos do coor,lonadas .

b) a

+ !! + z) i +

+ y+

z - 1) j -

2k,

CA!'.JPO VECTORIA L

CAP. 111

S, el lado s uperior do la parLe del plano

x +u + z = 1 quo

:>O

encuentra eo el primor octante ,

e) a = (x - Vy-z 2 )i + i + (Vu -x2 - z)/,, :>, el lado exterior del parabo loide de rotació u y = xz + zt,

limitado por el plano y primer octante.

4 y quo so oocueutra en ol

3". A111odo de tnlrodu.ccl6n de cuurde11adas cu.rviltneas en la.< superficies. E n algunos casos para calcular el riujo del campo vccto-

FI G. 21,

rial u través do la superfic ie dada S so puede elegir en la misma superficie un sistema simple do coordenadas, en ol cual e.s cómodo calcular el flujo sin utilizar la proyecció n sobro los plauos do coordenadas. Examinemos unos caws particulares. Caw 1). Sea la superficie S un scgmcnlo dol cilindro circular x~ 11' ""' R 1 lituitado por las superficies z = / 1 (x, y) y z = = / 1 (z, y), al mismo tiempo / 1 (z, y) .;;;; / 1 (z, y). Suponiendo z = R cos cp, y = R son cp, z = :,

obtenemos para In

>~uperficie

dndu

O ..=;; cp .;;;; 2n, / 1 (R cos cp, R sen cp) ,;;;; : o;;;; Js (R cos cp, R sen cp ), y para el eegment.o del úrea dS obtenomo>! la expresión siguicnl.c

(fig. 24)

(lS = R dq>

d~.

FLOJO DEL CAMPO VECTORIA L

§ 11.

Entonces e l Oujo del campo vootorial a por ol lado exterior do In superficie S se calcula segúo la fórmula

n~ R

lt(R cos op,

J, <R cos q>,

n sen o¡>)

tl<p

n op)

(a , nO) dz .

(13)

doodo

xi+vi

-R

+ +

Ejemplo 11 . Hallar el flujo del vcc~or r :ri yj sk a Lravós del lado exterior de la superficie la teral de l c ilindro ci rcular ;l;1 y 1 = n• limitado por los planos :S = o y z = /1 (11 > 0}. Solución. En este caso tonemos: O ~ cp ~ 2n; / 1 (R cos cp, R sen cp = O, t. (R cos cp. R sen cp) = JI l n troducunos en el cilindro las coordenadas curvtllneas x = R cos cp, 11 = R sen cp, z = ~.

Entonces ol fluj o buscado del vector r eeró. igual a 2n

D = R) dcp ) (r,

o Pero ya cruo r "" x i. y la normal

+ ui + zk = n° en

no = .rityj

u O) dz.

R cos <Jl ·i el cilind ro:

+ fl sen rp·j + zk ,

= Rcosrp·i;;Rsonq>·j

coscp·i+scnq>·j,

enlmtcos ol producto escalar en el ci li nc\rn 110rá igual a (r , n•) = R cos* cp n :oeu2 q> = R. Dofiuitivamontc ha llamos

n = R* .lr

c/ cr

d: = 2n fll// .

Ejemplo 12. Calcu lar el flujo del radio vec tor r = x i + yj + zk a trav6s du la supodicie lateral dol c ilindru ci rculur ..~ 1- y'" = 1 li mit.ado do abajo por e l plono :r +y+ z t , y do arriba por ul plono x 11 = 2. Soluc ión. En ol ('QSO nado (fig. 25) t.enomos R = 1 . f 1 (;r , y) = 1 -.% - y, {, (.r , y) = 2 - . z - g. Pasnutlo a lo s co<>rdcnadns e n e l c i l iudru .& = •·os q>, y = sen cp. ~ ~ ~ . o htcntlrout <>S / 1 (z, y) --= l - ros <p -sen cp, / 1 (L, ¡¡) = :! - cos <p - sen '1'·

+ +:

CAMPO VECTORIAL

CAP. 111

Soi!Íin la fltrmulu (13) ol flujo del vector r será igual a 2n

= .\

2 - cos r/(¡>

<P-•~n

(r , nO) ds.

1 -COS<P-•e ll (j)

y FTG. 25

l'oro

puc::~to

outonce5

q ue en el cílímlro :.: 2 y' = 1 no = z i + yj = cos <p·i +sen <p·j ,

(r , n o)= z' yt = cos' cp y. por consiguiente, 2n 2 - cos <P-sen e¡> fl =

.Í

dq>

S t -cos q¡ - sen <1>

+ son' <p =

dz =

2tt

.Í d<p

2n .

1 t9. Hallar el flujo del vector a = yi xj - ¿rll•k a través de la superficie lateral exterior del cilindro zt y 2 = 4 limitada por los planos z = O y x + y +

+ z

120. Hallar ol flu jo del vector a = x i - xyj + zk a través deJa s uperfi c ie extoriot• Ci líndri ca X~ + z2 limit ada por los planos y = 1 y x + 11 = 4.

fl'l

FLUJO DEL CAMPO VECTORIAL

lt.

121. Hallar el flujo del vector

a = :i'i -

y 3j

xz 3 k

a través de la superficie exterior cilíndr ica x 2 limitada por Ja esfera x 2 + y 2 z 2 = 25. 122. Hallar el flujo del campo vectorial a = xi - yj - xyz3 1'

= 9

a través del lado exterior de la superficie lateral del cilindro x 2 y 2 = 1 lim itada por el plano z = O y por el paraboloide hiperbólico z = x 1 - y 2 • 123. Hallar el flujo del campo vectorial a = (xy - y 2 ) i (2x - z2 + xy) j zk

n través de la superficie ext erior de la superficie lateral del cilindro x 2 y 2 = 1 limitada. por el cono elíptico

x• 2 + y2.

z2 =

Caso 2). Supongamos que la superficie S es el segmento de la esfera .,z v• + :z:Z = R 2 limitada por las suyerficíes cónicas, las ecuaciones de las cuales en las coordenadas esferkas tienen la forma de e= /1 (cp), e = '· (cp), y por semiplanos q> = <Pl• 1 .;;;; del campo vectorial a a través de la :!uperHcio exterior S de la esfera so calcula según la fórmu la

R•

"'•

qJJ

S dq> S (a,n0) sen ode,

(14)

do nde no

grad

(z' + Y'+z•- R•) R') 1

x i -l-yj+z k

1grad (x•+v'+z 2 -

Ejemplo 13. Ilallar el flujo del vocLor

+y- 3•) j + (3y + z) k x• + y2 + z2 = 1 que so oucuon· en el primor octante, en el dominio donde .z:2 + u' + z' > 1. Solución. En este caso tonemos R = 1, IJ>t = O, <Ps = n/2, e, = O, 6 0 = n/2,

a = ( z - 2y 1) i (2x a t ravés del segmento de In esfo~a

tra

n° = xi

yj +:k,

(a, n°) =

u•

+ •2 +

.z:.

CA't>fi>O VECTORIAL

CAP. I.U

Introducirnos en la esfera ...-2 y·z z• = t las coordenadas cp y e de tal modo que :t = cos <p sen o, u = seo <p sen a, z = cos 6. Entonces obtendremos (a, n°) = i cos cp sen 6

FJG. 26

)(

y, aplicaudo la fórmu la (14), obtendremos n/2 n/2

5 dcp 5 (1+coscpsen9)sen Od0 = o

o n/2

n¡2

n(2

n/2

dEl-+

= .\ dcp sen O dO+ cos q¡ dq¡ sen2 O no o o o o 124. Hallar el flujo del campo vectorial a = ri - y 3 j + zk a través de la superficie exterior del segmento de la esfera .x2 + y2 + z2 = 1 que corta la superficie cónica z2 = = x'J. y2, z ~ V x2 y2. 125. Hallar el flujo del campo vectorial a = yzi + xzj + xyl' a través de la superficie exterior del segmonto de la esfera z2 y2 z2 = R 2 que se encuentra eu el primer octante. t 26. Hallar el fJ u jo del radio vector r = xi + y j + zk

• t 2.

PLtJJO D EL VECTOJI. POR LA SuPEJI.PtCTE CERRADA

a través de la super .f icie exter ior del segmento de la esfera xz + y 'l. z 2 = 2 limitada por los pl anos z = O y z = y. 127. H allar el flujo del vector

a = .:tzi

yzi

z 2k

tt Lrnvés de la superficie exterior de In esfera .:t2

;a. 2).

9 cortarl a por el plano z = 2 (z

+ y• +

* 12.

FLUJO DEL VECTOR A TRAVES DE LA S UPERFICIE CE RRADA. TEOREMA DE CAUSS-OSTRO GRADSK l Teorema. Sl en algún domtnto G del espa cio las coordenadas del vect or a = P (x, y, :) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, s) k . iJP éJQDR son conllnuas y tienen las derivadas parciales continua.< iJ:r iJy iJ: • en t onces rl f lujo del IH!t:lOr a a trallés de cuau¡uler superficie rerrada parcialmen te plana }; que s• encuentra en <l dominio G, es Igual a la Integral triple de lupuft cle

ñP

¡¡;:

ao an {)y o:.

por el dominio V llmltndo mediante la

ll =

(t )

(a , n O) d a

(la fórmula de Gauss - OaLr ogradski). La normal n a la superficie :E se Lo ma cxlcrior. Ejempl o L Calcular e l flujo del vector a = x2 i y2 j s2 k

n tmvés de la superficie cerrada : =

U (z

0).

Soluc ión. :-;egilll la fó r mula (1)

sJJ(2:r+ 2y + 2=>""·

(2)

Ln integral (2) es muy córn odo"ca lcularla on las coordenadas csféri cns r, q>. •

Tenernos X = r SOII f:l COS 1p , y clomouto del voluno on

du -

r sen 9

SCII

(p,

r 2 so n 6 dr dO rl<p,

<'OS

CAJtlPO VECTORJAL

CAP.IIl

cntoncos

11 ~ 2

JJ) (r sen X dO d <p = 2

+ cosO) dO

Ocos <p

+ r sen Oson <¡>) + r

>t/2

o n

cos O rt son a dr x

5dq¡ 5so n a(sen Ocos cp +sen Oson <r+ 21l

5r"dr = · 21:.• .Í d<p o

n/2

.\' cos0so n(! d0 =

Ejemplo 2. Calcular ol flujo del vector a vés do la superficie del toro.

~ 4zi -

+ %k

:n:• a tra-

l' lG. 27 Solución. Utilizando el tooroma do Gauss - Ostrogradski ob toudromos que ol flujo buscado 11 oa igual a rt -

\~(a, nO) do=

5J5( ~: + ~~ + 0~ ) dv=4V, 0

donde V I'S ol volumen del toro. Pnra c:llcular el volumen V conviene emplear ol teorema de Güldon acerca dol volumen del cuerpo de revolución sogún ol cual esto volumen ea igual al producto del ároa do la figura que gira en la via que doscrillo el centro do masas do la misma durante la rotación. Soa R 1 Y. R 1 los radios intorior y ex terior del toro (fig. 27). El ároa S del circulo que forma ol t oro· durante su revolución, es igual a S= n (

Ro; R,

Lu distancia de la vía que describe ol centro de masas -el centro do oato circulo- es la longHud l de la circunferencia del radio

§ l2.

FLUJO DEL VECTOI\ POR LA SUPERFICIE CERRADA

Ra 1 -R, -+ 2- - , es <eci r

De 1ni •o orlo, el vol u mou V tlol l.oro es igual a R ,-R 1 n' V = :rt ( • 2 :rt(R.-i- R 1 ) = --¡;-(R 2 - R 1)Z(/l 2 + R 1 ). El flujo buscado es igua l a

11 =

n 2 (R 9

.R ,)~

(Ra

.R 1 ).

Ejemplo 3. Aplicando el teoi'Bma do Gauss cular el flujo del campo vectorial

o = l1

y +6uz . 2 ) '.+2x arctgy·¡.-

' t+u"

OstrQgradski cal-

·2xz (1 +u>+ 1 +u'

t +u"

u través del lad o exterior del segment o de la superficie z - x 2 - y 2 , r¡ue s•• encueuLra sol:ire e l p l(lnO :r:O!f.

= ·f -

FIG. 28

)(

Soluc io n. P(lra que sea p osib le aplicat· el teorema de GaussOstrogradski, cerramos de abajo la superficie dada por una pa r lo do) plauo xOy que está limitado por In circunferencia x ~ -1- Y' = 1,

}

Z = ll.

Sea u el volumen del c ucFpo obtenido li111itado por la supedic io parcialmente plana cr que so compone de una parte a 1 del paraboloide de revoluci{•n z = 1 - x 2 - y~ y <le la parle a 2 del plano z = o (fig. 28). 6-0li,QG

CAP. lit

CAMPO VECTORIAL

El flujo del vector dado a través de la superficie o según el teorema do Gauss- Ostrogradski es iguaJ a

Hallnmos la suma

iJP

2xy

a:r+a;-+az-= 1 +u• + 1-t-v• Por

con::~iguiente,

2x(1 -J-!1)

(1.

1 +!1'

ol flujo es 11 =

~1 (a, Tl0) da= 0. o

A la fuerzo do la aditividad del flujo obtenemos

(a, no) da +

11t

ni)IIÍ

(a. n") tlo =

el 1\u)\> buscad!\ cs

(a. no),¡.~. o2 cicl vector a n través del círculo xz y~ 11 1

(a,

r¿D)

da = -

El flujo n. os igual a

n. =- 5

1, z = O

(a, n.O) do.

Puestl) que en el plano z = O tenemos ' a= i x•y -1-!1' L"-1-2 xa rctg y·¡. - ••,

n o= - k ,

y, por consiguiente, (a, n°) = 1, entonces el flujo circulo o 2 será igual al área del chc~lo os:

n, a

través del

n. = 55 da = n . El nu)o bul!C8.dO

o, =

ao = -n.

Cerrando por un modo adecuado las superficies abiertas dadas y utilizando el teorema de GatJss-Ostrogradski, calcular los flujos de los campos vectoriales a través de las superficies indicadas (la normal a la superficie cerrada se toma exterior). 128. a = (1 - 2x) i yj zk, S: x 2

+ y~ =

z2 (0 ~ z ~ 4).

1.1.

OCVERGENClA OEL CAMPO VEC'l'ORfAL

129. a ~= z i + xzj + yk, S: x·~ f- y 2 = -1. - z (z _;;;;;;, 0). 130. a = (y 2 + z~) i - y 2 j + 2yzk, S: x2 + y2 = yz (0 ~y~ 1). 2

§ 13. DIVERGENCI A DEL CAMPO VECTOH IAL. CAMPO SOLENOIDAL El concepto del Uujo del vector a través de la superficie cerrada conduce al concepto de la divergencia del camp<>. Este concepto da alguna caraf~Lcristica cua ntitativa del campo cu cada uno de sus puntos. Sea M un punto a estudiar óei campo. Vamos a rodeado cou l a supedicie l: ele una for ma arbitra r ia, por ejemplo, cou una esfera del raclio suficientemente puqueño. Sea (V} el espaci o limitado por la superficie ~ y su volumen sea V. Estudiemos la relación

~~ (a,

11°) de¡

{1)

Defloici 6o 1. Si la relación (1) licuo el limito fin ito, cuando el espacio (l') se tiende al punto M, entonces este lim i te se lo llaman la diucrf!encia del campo vectorial (la divcrgencia del vector a) en el punto 111 y s ¡- designa con el símbolo diva (111). Por Jo que

~ (a, diva (M) =

lim (V)-M

n °) da

(2)

La fórmula {2) da la definición invariante de b divergencin . Esta definición significa qu~ la divergencia del campo a en e l punto M es la densidad volumétrica del flujo del vec: tor a un este punto. Los puntos M dol cao1p0 vectorial a (M), en lus cuales diva > > O SP llamau fuentt:s, mien tra~:~ que Jos puntos, en Jus cuales diva <O S!' llaman sumideros del campo vectorial. La diver gencia del campo vectorial es la [uBcic)n escalnr do los puntos del campo. Si 1as coordenadas del vector

a. (M)

P (x, y, z) i

Q (x, y, z) j

R (:r, y, z} 1•

. 1as d enva . d as parc1a . 1escoutu1uas . éJP cJII llenen ax ; iJQ uy, -;¡;en e l outorno del punto M (x, y, z), ••utonces, utilizando la defiJJición iuvnriantc r.•

s•

CAMPO

VECT ORIAL

CAP. lit

Jo In divergl'ncia obtcuomos licl t-eorema do Go uss- Ost rogra dski q ue (3 )

Tmlos los

valore~

e u la fórmu la (3) se consideran

1111

el mism o pu nln

M (x, y, %) .

Empleando la fúrmu la (3) para la diver gencia, se p uodo escribir el teorema de Gaoss- Ost r ogradsk i (véase ol § 12) en la formo vector ial

(a, n •) da =

·~

JJ)'

di v a dv.

(la)

Ejemplo t. A pü canJo la t.l e finic ióo in va ria nte calcular la d ivergencia d el vector a = :ri en el punto O (0, O. O) escogiend o e u calidad de las superfic ies a que r o dea n e l p unt.o O, las esferas a~ de l rad io e con el centro en es to punto . So luc i ón. Según In cle ri nición do la d i ver gencia eu el p uuto ciado tenemos

j~ (a, div o (U) -

r.0 ) do

lím -"..:" ' - - - - - -

<o,l-0

donde ve es e l volu tneu de la esfer a lim i tada por la e sfera

(a , tt

)

O"e,

d iva (0) =

l ím -

e-o

-="' ----"•

Per o puesto que el volu men de la esfera es igual a ontoncos

~(a,

"e= 34

" " ) da

d iva (O) = lím -"..:"'-.-- -

e-o

Ca lculemos el flujo

.!. ne• 3

(a, n °) d a del voctor dad o a través de la

e sfera a~ . El vorsor de la nor ma l n° a la esfera a8 es tá dirigido p or e l rad io do la esfera , debido o lo q ue so puede escr ibir :

,,.o

a;;;

r o= -.!:.._ = .!:._ /r1 s '

13.

DTVI':RGENCfA DEL CAMPO VECTORIAL

douue ,.o os e l verso!' del radio-vector,. = :r:i n o = :r:i -1- yj+:lt e El flujo buscatlo será igual a

1~ (a,

do = ~

n o)

x: do.

Pasando a las coor denadas en la esfera O c :>: = 8 COS <p sen a, y = 8 seo <p seo 9, Z = obUJoemos

+ zk , 11

eCOS

(a , n o) diJ =

JJ e' o.,

cost dO e 2 ,;

= e• ) coss ) sen" q> dljl ~-

.'l.e3 •

Po •· cons iguicnLe,

.!.. ne• <liv a (11) = lím -3-- ~- 1. e-o 4

31tF.a

Ejempl o 2. Calcular div r. S o lucion. Tenemos r = x i yj zk , así quo P = x, Q = H = z y, por consiguiente, según la fórmu la (3)

div r =

iJx iJJ:

¡¡,

+ft+~=3. éJy

i)z

Ejemplo 3. Calcular div (u -a), d on do u (M ) 1:s la función escalar, a (M) = P (x, y, z) i Q (x, y, z) j R (x , y, z) k es

1<1 función vectol'ial. So lución. Utilizando la fórmu la (3), d" IV

(

ua -

iJ (uP) fJx

<J( uQ) flY

+ <lH úz

)

hall::uno~

iJ (uR) f)z

= u~ + P~-~ u~ +O~ r'Jx clx tJy éJy uP fJQ =u ( --;:;x- + a¡¡

L u J /1 -\ ti;;.

l p ~+ 1 ~

<l.t

...

d!i

n!!.!:..= iJ:. .¡ n~ fl:.

~ u-diva +(tt,

grad u).

GAP. JI 1

llo lnl umclu,

tliv (uu ) = u •OÍ\' a (a, ¡.:nul u ). Ejempltl la . 1-lal lu r lu tlivcrgoucia óul vocLur

(.'i)

- IP {r} r• = q> (r) r, r In tl i~Lanci:• úe l nrigen do coordenadas basl!l d a

•lo lltllu r = 1 r 1 C:l p11nt" vnriablo M (.r, y, :). So luci ó n. Mcdiunll• la fórmula (5 ) nbton<lrt'mos iliv

q> ~r) il iv r +

tlivr - :J . ¡¡s·utl q¡;r)

( r, gr>~tl

= ( •p;r)

rtp' (r) - cp (r)

'P ~r} ) .

)' grtu.l r ~

,.o.

rt I'Ot' C,.f>

ti i v "

'P ~r) • :3

+ ( rq¡' (r)rt. cp (r)

,.u. ,. ) -

= 3 tp(r) + rcp' (r) - tp(r) __ ;¿~ + r r r

q> ' (r).

131. ¿Y :trn qu ó fun c ión ~l (r) .ser:í cliv ~l (r) r = 2t(> (r)l. 132. lla llnr cliv (r4 r). 1:-!:J. lfall nr In tlivorgenciu del CII IIIJlO vccLori ro l

a = le , r ), tlorulc e es el vector t·onstante. 13~. H allar tliv (r lw, r )), cl o11de w es e l vcclot· cous tttUte. 135. ,\P ara q uú fun ción~; (z) lu divorgo rwia del cnrn ¡ro a = zzi + y j ~~ (z) k scrú igual a z? t36. H allar ol rlujo del rad io v oclor r " travús do ll"l s uperficie de esfera. 137. El campo e loctroesLático de la cnrga puntual q es ig ual n

Cu lcuJnr div E.

i 13.

DlV!mOENCIA DBL CAKPO VBCTORIAL

138. Mostrar que

! @(r, nO) do = V, :&

donde Ves el volumen limitado;por la superficie cerrada l:. 139. Demostrar que si l: es la superficie parcialmente plana cerrada y e es el vector constante que no es.· uulo, entonces

@cos (n, e) da = O, donde " es el vector normal a la superricie 140. Demostrar la fórmula

(<pa, n °) da=)

.Í) (cp diva+ (a, grad cp)) dv , V

donde <p = cp (x, y, z), y ~ es la stlperficie que limita el volumen V. Determinar las condiciones de la aplicabilidad de la fórmula. 141. Demostrar que si la función u (x, y, z) satisface la ecuación de Laplace

(Jiu a:e•

+ a•u + a•u - o ay• az• - '

entonces

·fa,. .\.Y

atl

da = O,

donde :~es la derivada por la dirección de la normal exterior a la superficie parcia/menlte plana cerrada ~. 142. Demostrar que si la función u (x, y, z) es el polinomio de la segunda potencia y L es la superficie parcialmente plana cerrada, entonces la integral

\~ !~da :&

es proporcional al volumen limitado por la superficie

CAllfPO

CAP. Hl

VECTORTAL

1I n llar PI flujo del campo vcct.orial a t1·avés d e las s uperficies corrnclns sciính•dns: 1) dit·ectamcuto, 2) mPtliaut c el Leorern a do Gauss-Ostrogradski.

t4 :). a - .ci + z k; 141¡. a -

2xi

145. a

.1 i - z j;

lltl'i. a

yzi

·.{zxz+y:l, z 1¡ .

• { z:.: .1':! 1- yz, 8: . z < 11. JI >(J.

2yj - zk;

z = 6 - x 2 -y::

S· { ' . zZ= x2 1 yz, z~O . x:t -1 z2 - ,,z x j - yk ; <:· { · ' y " 1 (O:::;;; y ~ 1). L

11t7 . a

148.

2xi - (z - 1) k ;

11t9.

2yj- zk;

S: {

z2 - ~2 1 yz, z = x • -j y 2 •

z2 -j

150. (/ 1!"11. (l

S: { z

= ¡1

o, z ~

'l.xi -yj +zk ; 'l.y j - zk; S: x 2 , y:! (x + z) i + (y +x) j + (z+ y) k; y.ci

1 z~

x~ -r y 2 ~ fl'.!.,

S: {

z ,- y, z ;;;; ll. 9 - z - x:: ,_¡_ y 2 • 152. a - 3xi-yj - zk; S: { x o, y ~ o. z - O. 153 a (y - :~·) i 1 (z - y) j + (x- z) k; X -1- Y + Z r 1, S: x-y z ~ 1. {

154 .

a ~

.ri - 2yj- zk;

S: {

:t: ~ (J,

..r::.-¡ y 2 ,

1- :

(l.

13.

UIV I•:HGENrJA DEL CAMPO VECTOntA L

CAMPO SOLENOIDAL (TUBULAU)

J.)efinición. &i on todos los puntos M de c ierto dorninjo G la divergencia del cnmpo vectorinl (prefijad<"• eu ol dominio G) es igual u t-ero diva (M)= O,

entonces se dice que el campo es soknoldal en este dominio. De tnl modo, según la 1\efinic ión, el camp o solenoidal no tiene fuentes y sumideros. Del tcorornn de Gauss- Ostrogrndski sigue quo en el campo so leno id al el fluju tlcl vec tor a = a (M) n trltvés de toda s uperfi c ie cerrada a que so enc uentra en este campo es igun l a t:OJ'n

\~ (a.

"") do

"' u.

!>n el CO.tllpo so leuoidnl G lns líneas vectorial es no pu crlon empezarse ni terminnrso. Glla:; yucdcn ser lns cu rvns cormd;ts n pueden wner sus ext¡·omos en el hmilc tlel campo. Ln ceuaciúu

diva (M) = O

"e lla ma

hitlrotlinúmica

ccuarló"

continuidad

liquido incompresible.

En este caso la can t idnd del liquid o que sa lo o través tic alguna superficie cerrnda 0', s iempre es igua l a la cantidad del líqu id o cntnwte y el flujo c•) ou p/e!o es iguol a <"CJ'o.

¿Cuáles de los ~iguie ntes campos vectoriales s o11 solcnoidaleR? 155 . a = x (z:! - y 2 ) i + y (x2 - z2) j z (y2 - :z:Z) k. 156. a = y 2 i - (x2 y 3 )j z (3y'~ + 1) k. 157. a = (1 + '2xy) i - y 2z j + (z 2y - 2zy 1) le. 158 . 1\los t.n\r que t:d campo do! vcct.or

:c.- .:!.._

r•

,.u

es solen()idal c u toclll región <]ue 110 contieue o l origen tic lns coordenadas O (0, O, 0 ). 159. ¿P a1'a qué co ndición e l campo veclo1·i al a = = 'P (r) r será solenoirlal? Dadu que teuenws e l cam po del vecto r a (M) (qtu: u u ~~~ ubligatorinmcnte solcn•>idal). B.'\<l minemos cu <'1 c;llnpo UJJ (:onl.orJw orien t ado ccrrn do L. La supurficie k que esLú limit11da por la línea L, la llauHt mns superficie qu.e está tendida $Obrr. el co11 Lorno L .

CAMPO

CAP. IU

VECTORIAL

Cuuviene orie11tar la normal " a la su perfi cie l: de tal modo que del extremo de la normal el elegido recorrido del contorno L sea visto realizando el movimionto en el sentido antiborario {fig. 29).

1110. 2!)

160. Demostrar que en ol campo sole noidal el flujo del vector a (M) 110 depende del tipo de la s upetficie ~ que está tendid a sobre el contorno L y sólo depende del mismo contorno. § 14. I NTEGR AL LI NEAL EN RL CAMPO

VECTOR IAL. CIRCULACION DEL CAMPO VECT ORIAL Sean dados el ca.;npo vectorial con tinuo a = a (M) y una curva L parcial mente plaulf, en la cual está elegida la dirección positi va

(curva orientada). Definición t. La lntegral lineal del vector a = a (M) a lo largo de la curva orioutada L es la integral cvrviJiueal del primes género (la integral por longitud del arco de la curva) del produc to escalar (a , -tO)

(a, "\'O) ds,

don de -tO = -tO {M) es el versor del vector tangen te a la líuea D, la orientación del cual coincide con la orientación de L; d.<$ es la diferencial de la lo ngitud del arco s de la curva L. Sir = r (M) es el radio vector de un punto arbitrario M tle la linea L, en tonces la inlegrallineal en el caropo a (M) se puede escribir en la forma sig uiente:

(a,

~O) cls = ~

(a, dr).

(1)

S 14.

INTEGRAL EN EL CAMPO VECTORIAL

Si en el campo vectorial está introducido ol sistema d<1 r.oorrlenada!l Ozuz, entonces r = zi vi sk,

P (z, y, s) i

+ Q (:~:,

+ + z) j + R (1,

rec~ogula r

y, a) k

y la integral lineal (1) se oxpresará a LravÁs de la integral curvUinonl dol segundo género

(a, dr) =

~-ttal

P (x, y. z) dz+Q(x, y, s) dy+R (z, y, s)ds.

En el caso cuando a -= a (M) es el caaopo de fuerzas, la intelineal (1) da la 11111gnitud del trabajo do oste campo a lo largo

de la línea L.

P ROPIEDADt:S DE l..A lN'I)EG RAL LINE A L a) Linealidad:

~ (Aa1 + ~l«2,

dr) = A .\ (a 1 , dr) + ll

(a 2 , dr),

donde A., }1 son los níuneros constonl.os. b) Aditividad:

(a, dr) =

~+~

(4, dr)

(a, dr)

e) Gou el catnbio do la orientación do la líucu [., la integral

n11u bia el signo

J .IJA

(a, dr) ~ -

(a, dr),

do11tlc A os ol punto inicial y 8 es el punto fiunl de la Hnea /,, CA LCULO DF: l..A lNTEG RA L LrNEA L EN EL CAMPO VECTORIA L Se.'\ la lír,ea 1- prefijada por las ccuaciorlel! pnramétricas x =

e¡> (t), y = 'ljl (t), : = "f. (t), t 0

ul mi smo tiempo en el punto inicial A ele ln linea IJ el parúUJotru t toma el valor t = t 0 , y en el punto fiJJnl B de la Hnea L obticno e l valor t = 11 (la dirección on la línea /~ correspondo al iocremenlo del parámetro t desdo 10 hast a 11); las funciones <p (t), 'ljl (t), x (t)

CAllfl'O

VECTORIAl,

GAP. JII

tienen las derivadas continuas en e l segmento (t 0 , t 1 ] . E ntonces

(a, tlr ) =

(a, d r ) = .\ {P [q>(t), 'ljl(t) , X(t)lcp' (t) +

+ Q[q>(t), 'i>(t), X(t)l'l>' (t) -1-

+ R 1cp (t), =

'1>

'1> (t), x (t)l x' (t)} at.

Si la lí nea L está p refi jada por el s istema de ecuaciones y = (x),

X (x),

z =

tt ,;; x ,;;

ontonct~s

.\'(a, d r) = S {P(x, 'i' (x), An

x.(x)J+

+ Oi x,

'i>(x), x(x)l 'i>'(:r)+ R[x, 1¡>(x), x(x) l x.'(:r)}dx ,

Las fórmulas analógicas pueden escribirse también y para uquellos casos, cua nd o la líne a se prefija con uno de los siguiont.os s iste mas d e ecuaciones: X = (z), y = '1> (z) (z 0 ,;; z ,;; z1 ). Ejemplo l. Hallarla in tegral linea l del vector a = l~l , donde r os el radi.o vector a lo lar go del segmento do la nieta d el punto ;1 (r A) hast.a ol punto B (r 8 ). Solución. La integral linea l incógn ita so rf1 1.. d )= (r. dr) (1 )

J ,a,

De la igualdad

d (r, r ) = (dr, r )

bailamos (r, dr) =

•

+ (r , dr) =

2 Ir, dr)

2 d (r, r) = 2 d (1 rt') = 2 · 2/ r/ d 1 r 1= J r J tl l r /.

De aquí (r , dr)

d fr

Jr ) Sustituyend o (2) en la integral (l)

)'(a, d r) = AB

1·

obtondremo~

··n

J dJ rl = J AB

tl) t•) = )r0 ) - lrAf·

Fijeuse bien que

1 dr 1 .P d 1r J.

(2)

§ 14.

IN'l'ftGRAL EN

&L CAMPO

VECTORIAL

Uallar la integral lineal a lo largo del segmeuto d e la recta limitado por los puntos A (r 1 ) y R (r~) para los siguientes ca m pos vectoriales: 16 1 . a = r .

162. a =

"lr\i.

~ ., r 0 os el VCI'SOr. 1 1Gt.. Ca lcular la integral lineal a lo largo de la recta que pasa a t r avés do los pun to~ O (0, O, O yM 1 (1, 1, 1) 163. a =

... ...

FIG. 30

en dirección del punto O al punto b os eJ vector constante. 165. Demos trar q ue

t1tf10

S (grad u, d r ) = u (fl) -

si a

l b , r], d o nde

u (A)

AD Eje mpl o 2. lla llar la in tegral liuca l de l vector

a = zi :z:j yk a lo Jorgo del arco T. de la línea belico idol

"' = n

cos t . y - ll sen t, : = 2it del punto A de la intorsocción do la linea con el plano z = O hastn el punto B do la i ntersecci ó n con e l pla no a = 1 (rig. 30).

CAMPO VECTORIAL

CAP. III

Solución. La integral lineal on el ejeUlplo dado tiene la forma

5(a, dr) = 5zdx+xdu+ udz. L

La línea helicoidal se encuentra en el cilindro circular x2 u• = R". Eu el punlu A tenemos t 0 = O, en el punto B tenemos t 1 = 2n. Puesto que dt dx = - n sen t rlt, dy = n cos t dt, dz = -9 - , -n entonces la integral será igual a

(a , dr ) =

J {-- 2~ Rsen t + R• cos~t+ ::son t)

dt =

•

= H~ .\ cos1 tdt - -2n- .\ tsentdt o o

nR•

p\tcsto q uo 2n

\' cos1 t tlt = n;

b 2n

5tsen tdt = -

Ejemplo 3. plo 2)

2n.

flaUar~,la

iutegral lineal del vector (véase el eje m-

a = zi xj uk a lo largo de la recta A B (véase la fig. 30) on dirección del punto A al punto B.

Soluci ón . Puesto que la resta A 8 (generatriz del cilindro x2 u• = R 2 ) se encuentra en el plano xOz y pasa a través del punto A (R, O, 0), entonces u = 0, x = R , dx = O y para el radi o zk, vector r de los puntos de la recta A B tendremos r = Ri dr = k-dz. Por eso el producto escalar (a, dr) = : dz x dy u dz en la recta AB será igual a cero. Por consiguiente, la integral lineal incógnita

5(a. L

dr)

5 (a,

dr)

en la recta AB será también igual a cero. De los ejemplos 2 y 3 se desprende que on el caso general la integral lineal <m el campo vectorial depende no sólo del punto

§ 14.

INTEGRAL EN EL CAMPO YaCTOlUAL

i.nicial y del punto final de la v ía de integración, sino y de la rorma de esta via. Ejemplo 4. Calc ular el trabajo del campo de fuerzas P = yi + %j + (:r + 11 + s) k a lo largo de l tramo AB de la recta que pasa por los pun tos M 1 (2, 3, 4) y Ms (3, 4, 5). Solución. E l trabajo deJ ca mpo de fuerzas dado 813rá igual a la integral li nea l a lo la rgo del tramo M 1 M t: A=

)

(F, dr ) =

)

ydx + .zdy+(.z + v+z)dz.

M 1 Ms

M 1 M,.

Hallamos las ecuaciones canónicas de la recta M 1M•· Tenemos .z- 2 y- 3 s- 4 - 1 - = -1- = -.t -

Do ac¡uí

IJ = %+ 1. } Z= :& + 2, dy = d.z, d;; = d:r, Aquí :r varia eu los lím ites desde 2 basta 3 (puesto que la abscisa del punto Ml P.S igual n 2, y ]a nbscisa del punto M • es ig unl a 3).

E l trabajo buscado será igual a 3

A~¡

dx = J 3

(:r - l- i +x + .z+ .z+1 + x+2)

(Sx + JI)dx =

33 . 2

166. Calcul ar la iutegral1ineal en e l c ampo vectorial

plano a-

y•i. - :r•j v• a lo largo de la semicircunferencia x = R cos t, y = R sen t (0 ~ t ~ n). 167 . Calcular l a integral lineal eu el campo vec torial plano

- V :r• +

a lo largo de la línea¡¡ = 1 x 1 del punto (- 1 , 1) hastn e l punto (2, 2 ). 168. Calculélr la in togral lineal en e l campo vectorial pl ano a = (x2 - 2xy) í (y2 - 2xy) j a) a lo largo de l a parábol a y = x 2 d el pli nto ( - 1 , 1) hasta e l pnnto (1, 1);

!lG

CA MPO VECTORIAL

CAP. U!

b) a lo largo del ::;ogmeuto de la roeLa que une los puntos ( - 1 , 1) y (1, 1). 169. Calcular el t rabajo del cnmpo do fuerzas F = :...: 2xyi :x2j a lo l argo del arco do la c ircunfere ncia x2 y 2 = 1 x, y ~ O del punto (1, O) hasta el punto (0, 1) en sentido antihorario. 170. Calcular el trabnjo del campo de fuerzas F = (x~ 2xy) i (x2 ¡- y2) j

= x 2 del punto (0, O) hastn ol (1 , 1). 171. Calc11lnr la integral lineal on e l campo vec torial

a lo largo de la pnráuola y I)U illO

(l. _

lf z

x i -f-y j -f-zlt

1 y' -f- z1 - x - y 1-2• a lo largo del segmento de la rectn del punto (1, 1 , 1) has t a el punto (4, 4, l,.). 172. Calcula r la integral lineal en ol ca m po vectori a l a = (y 2 - z2) i 2yzj - x~k u lo largo do la lí ne t~ 1

X- l

}

y = f" Z=

(O ~ t ~ 1)

on dirección del intromonto uol parámetro t. 173. Calcular la integral lineal en ol campo vectoria l

a = yi

+ .rk

a lo la rgo de la ospira do la Hnen holicoidal

x= acost, } (O ~ t ~ 2n)

y = a sen t, z = bt

e n d irección del incremento del parámetro t. 174. Calcular la integral lineal en e l campo vectori ul

a = x2 i y 2j z2 k en dirección del pun lo (0, O, O) ha¡;ta ol panto (1 , 1, 1) n lo largo del tramo de la recta que pasa por estos p untos.

S 14.

lNTEORAL E N

EL CAMPO VECTORlAL

Cll\CULACION DEL CAM PO VECTORIAL Y SU CALCULO

Del inielón 2. La integral li neal lomuda 1\ lo larg() de la c urva cerrada orientada L se llnma la ctrculact6n C del campo vect orial a = a (M). De ta l rnodo, según la definición

e=~ (a,

dr),

donde el si.mbolo

~ significa la integral por la curva cerrada

S i el campo vectorial a = a (M) se prefija en la forma de coordenadas a = P (x, JI, ~> i Q (x, y , z) j ll (.r, y, z) k , eu Loucos la c irculac ión del ca111pO vectorial 8llrá igual a

e - ~ P d.r+Qdv+R cla. L

Ejemplo 5. Ca.lclllar la circulación del campo vectorial «t

lo largo de la elipse L: ;;+~ = t, en dirección contraria a las agujas do un reloj. Soluc ión. Segúu la derinición de la circulación l<Jnemos

- v"i

+ r'j a

e = ~ (a,

d,.)

=j - y3 clx+.:t3 dy.

(3)

Lu ecuaciones para métricas do la elipse dada tienen la forma .r = acos t , } u.r;;;; t<2. 11 = bsen t, De aquí ck = -a son t d i , d¡¡ = b cos t dt. Sustituyendo (4) y (5) en (3), o b tendrem os 2n

e = ab

(b' sen• t +a'

cos• t) dt ~ -} nub (a" +

()

puesto que 2n

sen• t dt=+

(1 - cos2t)' clt =

2:t

1 1( =-¡J l-

2cos2t +

+ cos ,,, ) 2

o 2n

= ~ 5 ( ~ -2 COS 2 t o 7-0140 6

CO$

l.t)

tlt

b'),

CAP.

CAMPO VECTORTAL

Analógicamente haUamos :.quo 2Jt

cos• t dt

Íll

Ejemplo 6. CalcuJar la circulación del campo vectorial

ye:<lli

+ :z:~"'"i + :.:vlk

a lo largo de la linea L la que obtenemos por la intersección del cono xt u• = <~- t), con lo& plano& de coordenadas (fig. 3t) eu la dirección indicada en la figura.

8 FIG. 31

Soludón. La línea L está compuost.a do los dos segmentos BC

y CA situados en los planos de coordenadas yO~ y :z:Oz respectiva2 - de la: circunferencia :r z mente y del arco ABt = . Por eso

+u•=t } 0

la circulación del campo dado será igual a

C = ~(a, L

S (a, dr)+ r (a, dr)+ S (n, ár).

dr) =

1) En el segmento BC tenernos :t = O, d% = O; • = 1 - y, dz = -dy;

Por lo tanto,

dx = O.

2) En el se¡rmento CA tonemos y = O, dy = O; z = 1 - :t, dz =

- d.z;

Por consiguiente,

J CA

(a, dr) =

(a, dr) = \' záy = O.

d.A

1 :;;.. y :> O.

• 14.

IN'l'EGRAL EN EL CAMPO VECTORIAL

1} IAlDemos

s -

- " 3) En el arco AB do la circuuieroncio .r, + ¡¡a -: 0 O, dr. = O, y lo que significo

5(a, dr) =

A'B

Aíí

5 e""d(.ry) =

eXII(yd:z:+:z:dy) =

A'B =

5 d(e"ll) = t"ll 1!~~: ~~ =1-1 = 0. A'B

La circulación buscada del campo vectorial es igual a cero. EJemplo 7. Calcular la circulación del campo vectorial a = :z:yi + ¡¡zj + :z:sk, si . { :z:s+v• =t,

z+v+z = t,

en la dirección correspondiente al recorrido de la proyección L en el plano .zO¡¡ en sentido ontihorario. Solución. Tenemos

e= ~ (a, 1,

dr) =

5.ry d.z + yz dy + ;u dz. L

La línea L es la elipse que se obLiene como rosulLado de la sección del cilindro :z:S + v• = 1 con el plano .z + v + z = 1. Hallamos las ecuaciones paramétricae de esLa lineo. La proyección de cualquier punto de esta linea en el plano zOv se encuentra en la circunferencla 201 + 11• = 1. De aquí obtenemos .z = coa t, v = sen t. Pero la elipse se encuentra en el plano :r + y + z = 1, de donde e = 1 - :z: - ¡¡ o s = 1 - cos t -sen t. Por consiguiente las ecuaciones paramétricoe de la línea L son: X = COSt,

)

~=:~::~t- sen t, J De aquí hallamos d:e = -sen t dt, dy = coa t dt,

O<t<2n.

(sen t - cos t) dt,

lo que significa que la circulación será igual a 2n

~ [ - t'.ostsen•t + sent(1 - cost-sont)cos t +

+ coa t (1 - coa t - sen t) (sen t - cos t)j dt 7•

100

CAMPO

VECTORIAL

CAP. Ul

( - ;lsou 2 tcost -J- se n2t - cos•tseot -cos•t -¡-

+ cos• t) d i =

\ cos•t dt = - n.

Calcul a r la circulación C del vector a a lo largo de la línea L en la dirección correspondiente a l recorrido de la proyección L en el plano xOy en sentido antihorario. 175. a = (xz + y) i + (yz- x) j - (x2 y2) k ;

L: {

.:t2 + y2 = 1,

Z= 3 .

(z ;;;;:.O). 177. a = (2x + z) i + (2y - .z) j + xy.zk; Les la línea de intersección del paraboloide de revolución x 2 = y 2 = 1 - z con los planos de coordenadas. 178. Mostrar que si en el campo vectorial la cil'culación del vector a lo ~Iargo del contorno cerrado cua lquíera es igual a cero, entonces en tal campo no pueden existir l as líneas vectoriales cerradas. § 15. ROTOR (ROTACIONAL)

DEL CAMPO VECTORIAL Sea que tenemos el campo del vector a (M)

P (:z:, y, s) i

+ Q (:z:,

y , s) j

(:z:, y, s) 'k.

Supongamos que las coordenadas P, Q, R del vector a (M) son continuas y tienen las derivadas parciales continuas del primer orden por todos sus argumentos. Dcrtolel6o t. Rotor del vector a (M) es el vector que se designa con el símbolo rot a (M) y se define por la igualdad rota ~ (

éJP íJR ) . ( éJQ t+ ( ---1+ - é)x- 8?. f)x

IJQ ) • - iJR ay - - a.

a P '\ -.-}le ov

(1)

t l>.

l\OTOR (J\OTAClONAL) O EL CAMPO VECT OR I AL

tnt

o cu la forma simbólica más cómoda para la reco rdaci ón rota=

7h a¡¡ 8Z

(2)

p Q R Este determinante se desarrolla por lo común tes pecLo de los elementos de la línea primera, con esto las operaciones de mulUpli~ cación de los elementos de la segunda línea por los elementos de la tercera línea se entienden como las operaciones de la difercnciacióo, verbigracia

~-Q=o;-.

Definición 2. Si en algún dominio G tenemos rota = O, en~ lonces el campo del vector a en el dominio G so llama trrotaclonal. Ejemplo l. Hallar el rotor del vector a = (2: + z) i + (y + z) j + (x~ + z) k. Solución. Apli cando la fór1ou la (2), tenemo~ rota =

7f%

;

8 By

a az

x+z y-f-z x' +z Desarrollando el determinante por los elementos de la primera linoa y sobreentiendo con esto la operación de multiplicación , por ejemplo 8/iJIJ por x2 + • como la operación de la diferenciación particular, hallam os rota = - i - (2x - 1) j. Ejemplo 2. Hallar el rotor del vec t or H de la iutensida<l del cam po m agnético en las condiciones el el ejemplo 3 § 1n. Solución. El vector 11 de la intensidad del •·ampo m<~gnéUcv 11 = 2:.._[1 p2 • r ]

ll = p~ ~~ ~ :!=- ~! donde p* = x%

y2•

¡j

rot 11 =

¡¡;: 2/y

- ...~ +u,

yi+

:z: j ,

De aquí según (2) j k ó

¡¡y 2J.L

.rz+v2

iJ t)z

[ a (

x•+u"

)

102

r.A~tl '(l

VEG'I'OHIAL

CAP. Hl

(.~•

+ y2 -F O).

De tal modo, rot H = O en todas par tes menos ~el eje Oz, en los puntos del cual las últimas fórmu las pierden el sentido (el denominador se anula), es decir, el campo del vector H es irrotacional en todas partes fuera de los puntos del eje Oz.

Hnllnr (•1 rotor de los siguieotes vectores: 1i9. a =- (x 2 + y 2 ) i +. (y 2 z 2)j (z 2 x 2) k . 180. a = z8 i + y~j x3 k. 18 1. a = }(-y2 i x 2j ). 182. 1\lostrar que si las coordeuadas del vector a (M) tienen las derivadas parciales continuns del segundo orde n, entonces div roL a = O, o sea que s ignifica que el cam po d el vector rota (M) es el campo solenoidal. 183. Mostrnr que a) rot (a ± b) = rot a ± r ot b, b) rot (A.a) = f.. rota (A. es la constante numérica). 184. Mostrat que si u = u (M) es la función escalar, a = a (M) es e l vector, entonces rot (ua) = n rota [grad u, al.

+ +

185. 1\lostrar que s i a y b sou los vectores constantes, r es e l radio vector del punto M (x, y, z) , entooces rot (r , a) b 186. Mostrar que

la, bl.

rot(ra) = -¡:-[r, a], donde a es el vector constante, r ~ 1r 1 x 2 + y 2 + z2 • 187. Mostrar que rot (/ (r) a) = f' (r} [r, al, donde f (r) r es la funci óu arbitraria que difereociamos de su argumento , eL es el vector constan te. 188. Mostrar que el campo vectoria 1 a = f (r) r es irrotacional , es decir, rota = O.

§ 16.

TEOR~l\'1:\

DE S'fOl<RS

!03

1R9. Mos trar que: rliv la, bl = (b, rota) -(a, rot b).

190. Mostrar que el rotor del campo de las velocidades 1inoales v del cuerpo sólido que está en re vol ución es el vector constante dirigido paralelamente al eje de revolución , el módulo del cual es igual a la velocidad angular dohle de revolw::ión: rot v = 2 (1). 191. Determinar la velocidad ang ular to>, con la cual e l c ue rpo sólido g ira al rededor tlel oje fijo que pasa por a lguno de ~1 1 s puntos, si ~n velocidnrl linenl P

2xi

+ !/i +

.rzlc .

192. Mostrar qnc el ~;,n mpo dCll rotor rieL vcctot· a (.111) es libre de las fuP.nt.es y de Sttmic!eros. 193. (.Cuá l dehe ser l a l'unció u f (x, z) , pnrn que o l rotor clol campo v ecto t•itd

yzi

(x, z) j

coincid a con el vect or /, -

+ xyk

§ 1H. TEOREM '\ DE STOKES Oado que las coordcm\das dol vector a (M} =

P (x, y, z) i

+ Q (:e,

y , z} j

H (r, Jf, z} le

son co ntinuns y tienen lns derivadas parcia les con ti uuas. 'l' eo rerna. {,a clrculaci6n. de un veclnr a u lo larg(l de '"' contorno cerrado D e.~ igual al flujo del rotor de est•• 11ectur a trar,oés de la ·•nperficte cualquiera ~ tendida en est e contorno {,;

(a. dr )

l (rol

-,;"

11q)

da.

(1)

Se ~<opone que! In orie n tac ión de la norrnal u 0 u la superficie L coi nc ide con la o ri entación del con torno L de tal modo que do un o xtremo do la normal el recorrido tic! <;ontoruo Hrt la dirucción elogida sea vi sto rea lizando el mo vimiento en sontic.lo anl ihorario. Eje mplo t. Ca lcu lar la circulnción del vcetor a = yi + x 2 j ;¡:2 y2 = 4 - z k por to l contorno L: { z ~ ·1) diroelamento, 2) por e l teorema de S tokes. Solución. 1) l~ l co HlOrno Les la circun[u roncia do) r:11Jio R = = 2, que so encuentra en el plano % = 3 (véase la fig. 32). li:scoja-

104

CAP.III

CAMPO VECTORIAL

mos In orientac ión en ella de tal modo como está indicado en la iigurn . Las ecuaciones paramlítricas de la lí nea L son: .r=2cos t } y = 2sont, O~ t <2n, z= 3 a.,í pues, d.r = - 2 sen t d t , dy = 2 coa t dt , d• O.

FIG. 32 l'o.m In circlllllción del voctor a. tonemos 21t

C ,..

.Í 12 sen t ( -

2 son t)+ 4 cos1 t2 cos t - 3·0) tlt = - 4n.

o 2) Para calcular la circulación según el teorema de Sto kos escojamos cierta superficie 1:, que está tendida sobre el contor no L. Es na tural en la calidad de .t lol1Ult el cireulo cuyo limite es la Uuea /,. De acuerdo co n la orientación elegida del conlorno ea necesario ~omar In normal n• al círculo igual a k : n° = k . Más adelante i k

rota. """

8i a¡ a;

= (2.r - 1) k .

11 x' - a Por eso, según el teorema de Stokes tonemos

c ... ~ ~ (rot a, l:

n O) da =

l: 2

(Z.r - i ) da =

= ~ dcp ~ (2{>cosq~ - l)pdp = - 2n ~

¡:=-4n.

§ 16.

105

TEOREMA DE STOKES

t94. Mostrar que el flujo del r otor a t ravés de l a superficie no cerrada qne está tendida sobre el contorno dado no depende de la forma do superfici e . Hallar la circulación de los vectores directamente por los contornos señalados, en dirección correspondiente al recorrido, en sentido antihorario, de la proyección L en e l plano xOy y por e] teorema de Stokes. x2 y2 = t 1 , 195. a = zi + x j + yk ; [,: { z = O. xZ + yZ + z2 = 4 , 196. a = yi - x j zk; L { : xz + yz = z2 • z ~O.

197. a = 2xzi - y j zk por el contorno for m ado mediante la intersección del plano x + y + 2z 2 con los pl anos de coordenadas. z ~ .rz + yz , 198. a = yi - xi + (x -! · y) k ; L: { z = 1. xLI- yLj- z2 = 16' L: { X = O, y = O, Z = () . H allar la circulación de los s iguientes campos vectori ales a lo largo de los contornos, la orientación de los cuaJos coi ncide co u las normales indicadas.

199. a = z2i

200.

zy 2 i

201. a ~ y 2 i

:rz2 j 1

z 2 J· ·,

:t·2 yk;

L· { ·

X= !J2-t- z2,

(TJO= i )

:r~ H.

xz ..J. ,,z - ') L· { · · - ' ' · 3y : ltz = S.

. 1 (no·-- ~1+ '') 5 1

. 1 x2-1- tt2+z2= 1 · '(n° = -.~-.:_ x~ z v 2 203. Dado e l cam po vectorial ele velocidades v de los puntos de u n cuerpo sólido que g ira con la velocidad angular constante <<> alrededor del eje Oz. Calcu lar la c irculación de este ca mpo por la circunferencia x = a cos t, L: y · (l, S NI t, o ~ t < 2n, { z () 202 . a = yi-:cj -t-zk; L: {

djrcctanl!)lllO y por el teo rema ue Stokes.

IOG

CAM P O

VECTORIAL

CJ\P. lll

Ool teorema de Stokes obtenemos: la proyocción del vector rol a a la dirección cualquiera n no depende de la elocción del sistema do coordenadas y es igual a la densidad supcr(icial de la circulació n c\el vector a por el contorno del plano quo os perpendicular 11 esta dirección:

•§ (n, pr,. r ota IM = (rula, n °) IM =

lím

(ir)

(!:)- .\(

(2)

es La superficie plana pcrpendiculor al vector n; S es ol área do esta superficie; 1, os el contorno do la suporlicie orientad o do tn l modo quo el recorrido del contorno sea visto del extremo dol vector " en sentido antihorari o; la oxpresióu (~) - M s ign ifica que la superficie (l: ) so tiendo al punto M, eu ol cunl se examin a ol vector rot a, con todo eso la dirección de tu nllrnw l n a esta supe rficie so queda siempre la misma. Ejemplo 2. Calcular In densidad de la circulación del vector a = !!Í por la ci rcunferoucin A IIUÍ (}; )

/, :

{

:r: - aco >~t,

y= a

O!CD

o o;; t < 2n,

z -, 1),

ou ol cen tro do esta ci rcunferencia M (0, O, 0) ou la direccilln po:~i ti vn del oje Oz. Solución. Aqui (T.) 001 el círcul o del radio a co u el co nlrtl uu ul ¡lutt\.o M, entonces S ss na•. La densidad buscnda de la circulac ióu ~~"' es igual u

,,.., = ,lím~k.(a, dr) - a-0 lím~ ·hy rlx _ 0 n ,a 'Y na

r L

1 - lim - -

r ( ·· a')seu•tdt =

,,_ 0 na~ .\

- 1

Do otru parto

r o ta =

a a:r: y

8ii a; o o

y, lo que significa, (rol a , " 0)1 111 = ( - k , /,) = - 1 , que, según (2), cunfirrnn la o.xactilucl del rosultado.

204. Calcular la densidad de la circll lación del vector a = zi + :z:j + yk por la circunfGrenc \a [, : {y = a. c<>s t,

FORMULA DB GRBEN

§ 11.

z = a sen t, x = O; O ~ t < 2n} en el centro de esta circunferencia e (O, O, 0) en la dirección positiva del eje Ox. 205. Calcular la densidad de la circulación del vector a = 2yi 5xzj por la elipse L: {x = a cos t, y = = b sen t, z = 1; O~ t < 2n} en el centro de la elipse e (O, O, 1) en la dirección positiva del eje Oz.

§ 17. iNDEPENDENCIA DE LA I~TEGRAL LINEAL DE LA VIA DE INTEGHACION .

LA F'ORMU... A DE GHEEN Defioicióo. El dominio C del espacio tridimonsional es monoconn:o (más precill8roeate es superfieis.1mopte nwnooonoxo, si sobro todo contorno cerrad() que está en este dorÍiinio se puede tender la superficie que so encue ntra completamente toda en e l dominio G. Por ejemplo, todo el espacio tridimensional, el interior de la esfera son los dominios monoconexos; el interior del toro, ol espacio tridimensional, del cual se excluye la recta, no son Jos donunios monoconexos. Teorema. Para que la integral lln..al

S(a, L

d r) = .\ P(x, y, z)d:z:-f-Q(:z:, y, :)dy · I- R(:z:, ¡¡, z)dz

no dependa de la forma de la vía de tnlegractón &, e$ necesario !1 sujtctenle para que d campo vectorial a= P (x, y, z) i Q (:e, y , z) j R (x, y, z) k sea trrotactonal, es det:tr, roLa (M)= O. Se supone aquí quo .las coordenadas J> (x, y, z), Q (x, y, z). R (:z:, y, z) del vector a tienen fas derivadas parciales continuas

del primer orden y el dominio de la tlefinición del vector a (M> <'S simplemente conexo. En este caso la integral lineal .\ (a, dr) depende sólo de la L

posición de los puntos inicial y final de la vía do integración L. Si cumplimos las condiciones del teorema la circulación del

wctor a (i\f) por todo contorno cerrado C del vector a (.M), es Igual a cero:

~ (a,

q~te

se et!Citertlra en t'l Catnpo

dr)

= O.

Ejemplo L Mostrar 1¡uo en o) cmnpo del vector (J

Xf12zi

+ z'>.yzj + ..!_~ :z:2y2k

CAMPO VECTORIAL

101:!

la integral linottl

CAP. Ill

(a , dr) no depende de la forma do la vla de

integración TJ. Solución. Las coordenadas del vector a son las funciones con· tinuas en todas partes, así que el dominio de la determinación de G del vector a es Lodo el espacio, es deci r , es el dominil• •nonoconexo. En este domini o tenemos

i ¡¡

IJ iix

rota=

" ()

¡¡¡¡

=0.

1 xy'z x'yz 2x'y'

Por lo tauto, la integral lineal

(a, dr) =

xy'zdx+x*ysdy+

x'y'tls

uo depende de la forma de la vía de integración L. En particular, para el campo vectorial plano a (M)= P (x, y) i Q (x, y) j tenemos k j

rota (M) =

a ax p

ay Q

a _ aP ) a;- = ( oQ ax iiy

(1 )

Por 050, para el campo vectorialylano (1), determinado en el dominio monocooexo G, la condicion rot a (M) = O en la forma de .b . aP aQ coordeua das so cscrs o como s1gue: iiy = ax . De tal modo, para que en el campo plano determinado en el dominio monoconexo G, la Integral

lln~al

P(x, y)dx+Q(x, y)dy

L no depe~tda de la forma de la vea de lntegract6n es necesario y suficiente que se satisfaga la proporcl6n

aP _ oQ

a¡¡= a;-· Observación. La exigencia que el dominio G, donde está determinado el vector a = a (M), sea monoconexo, es esencial. Si el domino G no es monoconexo, ontoocel; para la condición rot a (M) = ... O 1~. integral lineal puede depender dp la forma de~~~ VJa de in~ewac¡oq. ·

!i 17.

FORMULA DE OREEN

1{)9

Ejemplo 2. l!:xamiu&wú:; lu integml lineal

J L

ydx

xdy

x•+u• + ~·+u• ·

SolucJóa. La ex.presi6n subintegral pierde el sentido en el punto O (0, 0); por eao excluimos este punto. En la parte restante del plano (esto no será ya el dominio moooconexo) los coeficientes para dz y dy son continuos, tienen las derivadas parciales, continuas y so cumple la identidad

:X (x._~u•} = :u (- x•tu•) · De o&ra parte, si calculamos esta integral a lo largo de la circun ferencia L: :r + u• = R 2 , introduciendo los parámetros eu la ecuación de esta ci~cunferencia, obtendremos

lo que signHica que la circulación es distinta de coro y por tanto la integral lineal depende de la via do integración.

Determinar en los cuáles campos vectoriales la integral no depende de la forma de l a vía de integr ación: 206. a = z 2 i + x 2 j + y 3k.

FORMULA DE GREEN

Sea dado en ol dominio D con la frontera L el cam po vectorial plano a= P (x, y} í + Q (x, y} j, donde las coordenadas P (x, y), Q (x, v> son continuas y tioneo las der ivadas parciales continuas y ;~. Entonces es cierta la fórmufa de Green

f L

P dx

+ Q rly =

JJ( ~~ - ~: )

dz tly .

(2)

Con esto la frontera L se recorre de tal modo que ol domil.io D se queda a la izquierda. El dominio D puede no ser monoconoxo, así que ~~~ frouLera puede componerso do varias partos integrantes (véM<e fig. 3~1). En

110

CAMPO

esto c.uso Ju inLogral

VECTORIAL

CAP. JII

1Pd:r:+Qdy L

representa la suma do integrales por t odos los componentes de la frontera del dominio D.

FIG. 33 La fórmula de Green (2) representa el caso particular del teorema de Stokes (véa86 el § 16). La fórmula de Green en algunos casos da la posibilidad de simplificar el cálculo de la circulación del campo vectorial. Ejemplo 3. Calcular la circulación del vector

a= V 1+z•+u•i+y [zy+ In (z+ V 1+z'+yZ) j j

por la circunferencia :r:~ g2 = R'. Solución. La circulación del vector dado es igual a C=~(a, dr) = ~Vt+z'+y 8 dz+ l..

l..

Aqu!

P= V t+z1 +y1 , Q=:r:u2 + y ln (z + V 1+ z2+gt). Hallamos las derivadas parciales oP _ y .!!!!__u'+ y tJu - Vt+x'+u•'

ax-

Vt + xa + y•

Aplicando la fórmula de Green, obtendremos

11 D

(y•+

VH- z•+u'

V1 +~'+Y 2

)a:r:tly= =

11 y dzáy. 1

PORl\1ULA OB GREEN

Paanndo a las coordouadas polares obtendremos C

:r = p

COS

JJp' son• cpp D

Puesto que O ~ cp

q¡,

dp dcp=

aon cp,

JJp sen' cp 1

dp dcp.

2n, O EO:; p

on~oncos

g = p

nR'

~ son1 cpdcp ~ pSdp == - 4 - .

Calcular la circu lación de los siguientes los contornos dados aplicando la fórmuln 209. a = (y + x) i + (y - x) j ; L: x + = O, y= o. 2t0. a = (x - y 2 ) i 2xyj ; L: y = x,

21f. a =xln(1 + y2)i +

1 ~~.

vectores por de Green: y = 1, x = y

x2•

L: x2 + y2 ~ 2x.

2t2. a= y 2 i - x 2j; L: x + y = - 1, x = O, y = 0 Zt :i. a = (3x- y• Y 1+.r'+4v•) i+ (t8v'+:r3 y t+z"+4v•) ¡ ;

3 V t+z'+ 4v•

/ , : x2

2 = 1. 2H. Medi~ntc la fórmula de Green ealcular la diferencia entre lns integrales

/ 1=

)

(x+ y) 2 dx-(x - y) 2 dy

J\rnJJ

!2 =

J (x · l y) 2 dx-(x -

y)1·dy,

AniJ

donde AmB es el segmento de la línea recta que une los puntos A (0, O) y /1 (1, 1), y AnB es el arco de la parábola y = x2. 2 t 5. Demostrar que la magnitud do la integral

~ (2x +

y) dx + 2xdy,

donde L es el contorno cerrado, da el óren del dominio limitado por esto contorno.

CAl\tPO VECTORIAL

112

CAP. ID

2Hi. Aplicando In f贸rmula do Groen, calcular la integral lineal (a, dr) en el campo vectorial L

(e" sen y -

y) i

+ (e" cos y

1) j,

donde la linea L es la semicircunferencia superior :r:' y 1 = 2x, que pasa en direcci贸n del punto A {2, O) hasta el punto O {0, 0).

CAPITULO IV

CAMPO POTENCIAL

§ 18. INDICIOS DE LA POTENCIALIDAD DEL CAMPO Definición. Campo vectorial a (M) = P (x, y, ~> i + Q (z, y, z) i + R (x, y, z) k dado en el dominio espacial V se llama potenctal, si existe tal función escalar <p (M) que en todos los puntos del domin io V se cumple la igualdad a (M) = grad cp (M). (1)

Función cp (M) = cp (z, y, z) que satisface la igualdad (1) en el dominio V se lla ma potencial (o la (unción potencial) del campo vectorial a. Proporción (1) os equivalente a las tres igualdades escalares acp a<p . a<p P (x,

•> =-ax,

Q (a:,

•>=a¡¡ .

R (z,

•> =az .

{2)

El potencial del campo se determina no unívocameute, con la precisión basta el sumando constante. Observación. Para los campos de (uenas el potencial suele llamarse la función - cp (M). Ejemplo 1. (El campo electroestñtico de la carga puntual). Mostrar que el campo de la intensidad eléctrica E ct·eado por la carga puntual q que está colocada en el origen de coOI·denadas: E = ...!!.....r r3 '

r = Vx• + yLj- zS,

es el campo potencial. Solución. El problema se plantea del modo siguiente: mostrar que existe la función <p (x, y, z} tal que se cumplen las propot·ciones (2). En nuestro caso tenemos

P(x,y, _z) = ~~. r-

Q(x,y,z) = 2_1!_

r3'

R(.r.y , z)=q=· r ..

Puesto quo <1 ()X

!j-014 ()6

{ 1 )

•i r = --¡:¡-1 --;;;=-

-;::c

CAP. iv

CA MPO POTENCI A L.

y por aoalogía

:U (+) = -~ . entonces la función q>(:.z:, //,

:) = - ..!L= - -v r

q z ' +Y'+z'

es el potencial del ca mpo dado:

(-+) =E.

grad

En este ejemplu el origen de coordenadas, dcmde está conl'CHtrada la carga q es ol punto especial del ca mpo E. CHITElUO DE LA POTENClAl.lDAD DEL CAMPO VECTOHJAL

Teo rema L Para q"e el campo r;ectorial a (M) prefijado ttll el dominio monoconezo V, sea tk poleucial e.< necesario y su.fidenle que en cada punt o del dominio V u cumpla la condlc16n ~

rota=O.

En otras palabras, para que e l campo vectorial dado en el dominio monoconexo sea do potencial, es necesario y suficiente que el campo sea irrotacional. El potencial cp (x, y, z) del cam po vectorial a = P (z, y, :) i

+ Q (z,

y, z) j

+ 11 (z,

y, z) k

se determina por la fónnula (X, I/ , z)

q>(:.z:, y, a) = (.x. ,

Ju••

P d:&+Q dy + R dr:,

(4)

z. )

donde (z8 , y 0 , z0 ) os ciorLo punto fijo del campo y (.x, y, z) es u¡.¡ punto corriente arbitrario. Ejemplo 2. Mostrar que el campo del vector a = x 2i ¡¡2j z2k es de potencial. 2 Solución. Las coordenadas P = :.z: , Q = g2 , R = a2 del vector G eoo las fUDciones inlinitamente diferenciables eo todo el espacio, así que G es el vector ioCinitameote difereociable determinado en tooo el espacio tridimensional. Tonemos

rota =

a az

a {jj¡

+ ( -usa

:¡:2 _

í)z

)·( 1+ -ay ' {)z

tJ -:--

iJy ·

x•J\ k = O•

§ 19.

C,\T,CUIA> PF. L/\ I NTEGRAL LINEAL

115

En v inud del teorema 1 ol campo deJ vector a es de potencial. Se ve fácilmente quo lu funci6u cp(.x, y,$)

.zS+'uS+zs 3 + C,

donde C, la constante arbitraria, 08 el potencial del campo dado,

Verificar serán o no de potencial los siguientes campos

vector~ales:

217. a = xz i + 2yj + xyk . 218. a = (2xy z2 ) i (2yz x 2) j 3 219. a = (ri y j xz8k). 220. 221 .

+ + + (2xz + yz) k. + a = yz cos xy·2 i + xz cos xy·j 2+sen xy·k. a = lo (1 + z ) i + In (1 + x } j + xzk.

222.

a = (-=+ (...!!....+..!.. x2 + ..!....) y i + ( ¿_+..!..)i y* z zS x ) k.

223. H = J:!....( - yi + xi), r2 = xz · !- yz, r=;60. ra

224. Demostrar que el campo a = f (r)·r, donde f (r) es la función diferen~iable, es de potencial. 225. Mostrar que en el campo de potencial a = gru<l cp las lineas vectoriales son perpendiculares a la superficie del nivel de la función cp.

§ 19. CALCULO DE LA INTEGRAL LINEAL EN EL CAMPO POTENCIAL Teorema. La lntegral lineal en el campo de potencial a (M) e.< igual a la diferencia de valores del potencial q> (M) del campo ert los ipuntos final y lntctal de la vla de tntegract6": M,

(a, dr) = cp(M 0 ) - cp(M 1 ).

(1)

Ejemplo t. Calcular la integral li neal en el campo del vector r = x i + yj + zk a lo largo del segmento de la recta limitado por los puntos M 1 (-1, O, 3) y M

(2, -1, 0).

Soluelóo. Mostraremos quo el campo del vector dudo os de potencial. Claro está que

rot a =

8•

· iJ

iJ iJz

¡¡; a¡¡

1f6

CAMPO POTENCI AL

CAP. JV

Se puede convencer fáci iUlenl.c do que el potencia l de este can1p0 cp(:r, y, z)=

x2 t y2-l-z:

2 Ernplean<lu la fórmula (1 ), obtendremos

+C.

(a, dr) = q> (2, - J, 0) - q>( - 1. O, 3) = 2 - 5 = - 2 ·

Señale mos que no es OS<lncial con qué línea se unen los puntos Ml y M 2 ; en cualquier caso para los M 1 y M 1 fijos la integra l M, M,

(a , dr)=

i\1 1

xdx+yrly-1-ziJz

tiene e l mi su• o valor. CA LCU LO DE l. POTENC l AL DEL CAMPO EN LAS COO RDENA DAS CA RTESIANAS

Se puedo aplica r la fúrmula cp(x, y, z) = (x , y, 1)

P(x, y, z)dx-1-Q(x, y, z)dy · f R(x, y, z)dz

(2)

Cxo . llh z. )

para bailar In func ión potencia l cp (M) = •P (:r, y , z) tlel campo de potencial prefijado a (x, y, z) = P (x, y, z) i Q (x, y, ;) j R (x, y, z) k .

Para esto fijamos ol punto inicial M 0 (x0 , y 0 , : 0 ) y unimosla con el punto corriente M (:r, y, z) por medi o do la quebrada M .yt B M lns brazos de la cual son pa.r alelos n los ejes de coordenadas, p recisamente, a M 0 A 11 Ox, AB 11 Oy, BM 11 Oz (véase la fig. 34). Entonces la fórmula (2) obtiene 1a forma de V

cp (:r, y, z) =

P (x, y 0 , z0 ) d x-1-

"•

(x, y, z0 ) dy-1-

+ J R (x, l

y, .z) dz.

Ejempl o 2. Demostrar que el ca mpo vec torial

+ + :) + (x + y) k

tt = (y z) i (x j es <lo potencia 1 y bailar su pote nc ial.

(3)

f f9.

CALCULO DE LA INT.IWRAL LINEAL

Solución. t•r procedlmlenlo. La condición necesaria y suficiente de la potencialidad del campo a {M)etS la Igualdad a O de rota (M). En nuestro caso

i ..!.._ ny

k ..!.._ = (1 - t)i + (i - t)i+(t - t ) k =O, IJz

z+ s z+v ea decir, el campo es do potencial. El potencial de este camp o ~alla

con ayudo do la fórmula (3). Tomamos por el punto inicia) z M(x,y, z )

Or-----------------~- y X

FIG. 34 fijo el origen de coordenadas O (0, O, 0). Entonces obte ndremos q>(z, v • .1) =

f (O +O)d.o:+ J(z+O)dv+

lí

Aa( pues lp

{z, !/o %)

Zfl

ZIZ

\ (x+v)ds = .rv+.T.s+vz.

+ g:: + C,

donde C es la constante arbitraria. 2" procedimiento. Según la definición el potencial cp (z, v, ~) es ta l fwlción oscalar, para la cual grad cp = a. Esta igualdad vectorial es e<ruivaleote a las tres igualdades escalares: (4)

CAMPO POT.BNCtAL

CAP. IV

¡o¡<p = x+z, y

(5)

~¡

(6)

=x+ y.

Integrando (4) por x, obtendremos X

<p(x, y, z) =

(y -j- :)dx = xy + x .. +f(y , z),

(7)

donde f (¡¡, z) es la función diferenciable arbitraria de ¡¡ y de z. Diferenciando por y ambos miembros de (7) y teniendo en c uenta (5), obtendremos la proporción pa ra hallar la funci ón indefinida de hasta el momento 1 (y, z). Tenemos

~ = x+..!L í>y í>y o de donde

at z=a¡; ·

(8)

Al integrar (8) por y obtend remos 11

f(y, s) =

~ zdy=zy+P(z) o

(9)

donde P (z) es la función hasta el momento indefinida de :. Susti tuyendo (9) en (7), obtend.remos q> (x

y, z) = xy

+ xz + zy + F

(z) .

Diferenciando la última igua ldad por s y ten ie ndo en c uenta la proporción (6) , obtenemos la ecuación para ha llar P (s): dP

x+y = x+u+d2 • D& aqu\

dP -¡¡:e= O,

pues F (s)

-= C =

Asf <p (x, y, z) = Z/1

a• procedimiento . De

cons\. yz

+ u + C.

acue~do

completa de la función <p (z,

de la definición de la integral z) tenemos

dq> = ~dx+~dv IJx ov +~d:. lJz

§ 19.

CALCUT, O DE LA JNTEGRAL LINEAL

Sustituyendo aquí on vez de las derivadas parciales :: ,

~ sus expresiones do (4), (5), (6) tenemos (}z dq¡ = (y

+ z) d3: +

z) dy

(.z

:~ ,

y) dz

o, despuós de las transformaciones no complicadas, ob tendremos dq> =

(y dx

+ (z dx + x dz) + (y dz + z dy) = = d (xy) + d (:u) + d (r¡r:) = d (:ry + .r:z + ye). dq> = d (.ry + yz + zx).

dy)

Pues

IJo a q uí so desprende que q> (x, y, z)

+ yz +

En los proble mas siguientes determinar la pote nci alidad de los campos vectoriales dados a (ilf) y hallar sus potenciales q (M): 226. a 2xyzi + x 2 zj + x 2 ylc. 227. a = (yz + 1) i xzj xyk. 228. a = (2xy z) i (x 2 - 2y) j + xk. 229. a = i+i+k

+ +

x+v+•

230. a = yzi +xzi +zylr 1 +x•u•z•

r 231. a = -r . r

232. a = -;::¡- . 233. a = r·r. En aquel caso, c ua ndo el domini o Q es estolar co11 el centro en el origen do coordenadas O (0, O, O) • ) el potencial q> (M) del campo vectorial a = a (M) en el punto M {x, y, z) se puede hallar por la

*> El dominio Q se llama estelar resp&et o ni punto O, por teneciente a ~~. si el segmento que une todo punto del dominio Q con el punto O se encuentra en dicho dominio. Por e jemplo, en un plano los dominios estelares lo serán el m ismo pla no , el paralelogramo, el cí rculo; en el espacio tridimensional serán o} mismo espacio, paralolep5pado, la esfera.

CAP. IV

CAhfPO POTENCIAL

120

Jórmula 1

q> (M) =

1(a

(M'), r ( M) dt -¡- C,

C = const,

(1 0)

donder (M) = :ri yj zk es el radio vector del punto 111 (>, fl, z) y el punto M' (tx, ty, tz) para O ,.;;;;; t ,.;;;;; 1 recorro o! tramo OM de la rec ta <¡ tle pasa por los pu nlos O y M. Ejemplo 3. Hallar el potencial .del campo vectorial a = yzi

+ :rzj + :ryk.

Sol uci ón. Se puede ver fácilmente que rota .,. O, es decir, el campo vectorial dado es potencial. Este campo está determinado en \odo el espacio tridi mensional que es es\elar con el centro en el origen de coordenadas O (0, O, 0), por Jo tanto para hallar su poten; cía! ap li quemos la fórmula (10). Puesto que en el caso dado a (/11') = a (tx, t y, Ir) = t2yzi -1- t2:xzj -1- t2xyk, outoncos ol producto escala r do los vectores a(M') y r( M) os igulll a (a (M' ), r (M)) = 12 (:xyz xyz :ryz) = 3t 2:xy%, El potoucial buscado

q> (M) =

(a (M'),

r (M)) dt = z:yz

il Pués

S3t

dt +C = zyz+ C,

o q> (M) =- xyz

+ C.

Aplicando la fórmula (10), hallar los potenciales de los siguientes campos vectoriales: 234. a = ai + ~j + '(k, donde a, ~. -y son constantes. 235. a = (y + z} i + (x + z} j + (y + 3:} k . 236. a = yi + xj + e'k. 237. a = e" seu y· i + e• cos y·j + k.

CAPI TULO V

OPERADOR DE HAMILTON. OPERACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN OPERADOR DE LAPLACE

§ 20. OPERADOR DE HAM I LTON

«N ABLA~

Mu chos operaciones del análisis vcc tnrinl pueden ser escritas 011 la forma nbrevia da y cómoda para los clikulos med ia nte el opo· rad or simbólico de Hnmillon •nabla.:

• i) + 1. -x-i) 1 tt ' ;, . V= J~íJz o¡¡ ti;

(1)

f,n cate ope rador ao unen las propiedades direrencinloa y vectorialca Vamos n entender la multiplicación formal

(unció~

por la

y, s) como la diferenciación particular :~. En loa U mitos dellilgebra vectorial las operaciones formales con el operador t nablu vamos a e fectuarlas de tal manera como si fuera el operador el mismo vector. Utililtnndo oate formalismo obtenemos lo siguiente. 1. Si u -= u (z, ¡¡, $) ea la función escalar diforenclablo, entonces según la re¡la do multiplicación del vector por escalar tenemos

f (z,

V u ~ ( ,• _ () 8z

+ ¡.- () + k - () ) u = J. -ou- + ¡. - iJu + a11

""'

éJu

+ k i h = grad u.

(2)

2. S i a = P (z, y, z) i Q (z, 11· ~) j R (z, y, z) k donde P, Q, R so11 lo s funciones diferoncinblos. e nton ces do acuerdo con la

fórmu la conoc ido para e l producto escn lur tonemos (V, a) = ( i

+ i é!lJy + k

:z,

Pi 1- Qi +R I,)=-

lJ P é!z

+ t?Q + c?éJzR éJ!I

= di v a

en particu lar, (V, e ) = O (e os un vector conste nto}.

(3)

122

OI'EIIAt:ION ES Illl' ERENCIALES DE SEGUNDO OllrJI!:N

3. Si a = P (x, y, :} i ton ces [V, aJ=

a 8x p

+ Q (x, i

(x, y, z) k, en

=tOt a,

(4}

y, z} j

,, ()

CAP. V

R Q on particular, (V, e) = O (e es un vector constante} . Al continuar e(ectuando ol formalismo de operaciones con V como con el vector, obtenemos de la propiedacl distributiva para el producto escalar y vectorial lo s igu ien te (V, a + b) =(V, a ) + (V, b), os dec ir div (u

b} =

[V,

div a

a + bJ

(5}

d iv b,

= [V ,

+[V, bj ,

(6}

es decir rot (a b ) = rota rot b. Las fórmulas (5) y {6) S0 pued~n interpretarS0 t.."\mbién como la demostración de las propiedades diferenciales del operador mabla• (V es el operador lineal diferencial). Utiln;a ndo el formalismo de las operaciones cou el operador V como con el vector eonv iene tener en cuenta que V no es el vector, él no tiene ni el valor, ni dirección y do modo que, por ejemplo, el vector [V , al no será en general perpendicular al vector a (sin embargG, para e \ campG -planG a = P (x, y) i Q (x, y} j el vector

('íl', a) = rot a =

(!2..-!l:.. )k 0% 8y

será perpendicular al plano xOy , y lo que !>Ígnifica, al vector a). I gualmente respecto al vector simbólico V el concepto de colinealidad pierdo e\ sentidG. Por e jemplo, la expresión {<;7<¡>, V'l>l. donde son unas funciones escalares formalmente rec uerda el producto vectorial de dos vectores colineales que siempre es igual a cero. Pero en un caso general este fenómeno no existe. En realidad, el vector V = const y estas normales eu el caso general no GbUga\Griamente deben ser oolineales (fig. 35). De otra parte, en todo campo escalar diferenciable <p tenemos [V<p, <7<p) = O. Estos ejemplos muestran que es menester emplear cuidadosamente el operador V. Junto con la propiedad vectorial el operador do Harnilton cnabla• tiene la propie dad diferencia l. Teuiendo en c uen ta la cualida d diferencial de V nos convenimos en considerar que el operadGr V inlluye sGbre todas las magnitudes escritas tra11 ~l. E:n este sentido podemos decir que (V, a )+ (a, V) . E n realidad, (V, a) = diva,

20.

OPERADOR DE HAMIIJl'ON "NABLA"

al mismo tiempo (a, V) '""

a o a Pa:+O av+R a¡-

es ol operador diferoncial escalat.

FIG. 35 Aplicando el operador V al producto do magnitudes cuales· quiera hay que tenor on cuonl.a la regla de diforonciac ión del producto

_!!_ (uv)= v ~+u~. éJz

f)z

De aquí se deduce que el operador cnablat os menester aplicar por turno a cada multiplicador dejando invariablos los mu ltiplicadores restantes y luego uSllr la suma de las expresiones obtenidas. Con todo eso, vamos a tomar en consideración las reglas sigu ientes. 1°. Si el operador v actúa sobre cualquier producto, entonces primeramente se toma en cuenta su carácter diferencial y luego sus propiodndes vectoriales. 2°. Para subrayar el hecho de que mablu no influye e11 magni t ud cualquiera que entra en composición do una fórmula compleJa esta magnitud se deslgna con ol índice e (coust), el cual en el rosult.ado definitivo puede sor quitado. 3". Todas las magnitudes, en las cuales el operador cnabla. no ejerce la influencia, eu ol resultado definitivo se colocan delante do *Oilblat, os decir a la izquierda do él. Ejemplo t. Mostrar que div (ua)

= " div a

(a, grncl tt).

os la funcióu vectorial.

124

OPERACIONES DTPI':R E NCJALES D E SEGUNDO ORDEN

CAP. V

Solución. En la forma simbólica div (ua ) =(V, ua). Al principio ten iendo en cuenta el cnn1ctor diforencinl de V, t.onemos que escribir (V, ua) = (V, u.,a) +(V, uac)·

gxnruiuondo la expresión (V, uea ) podemos ol multiplicador const aut.o "e sacar fuera dol signo cnabla. y como el escalar sacar fuora dol signo del producto escalar lo que da (V, u.,a) =

(ueV, a)= "e (V, a) -

u (V, a )

(en Ju lrltirua etapa hornos omitido el índice e) . En la ex presión (V, ua.;) el operador V nctua sólo en la fun ci6u O!l<'nlar u; por lo tanto podemos escribir quo (V, uae) = (Vu, a e) =

(ac, VIL)

(a, V u).

Culllu resultailo oht.orromos la fórmula (V, ua ) = u (V, a) + (a, Vu)

o cliv (ua ) - u div a + (a, grad u). Ejemplo 2. Mo11trar que rot (ua) = u rot Ql - [a. ¡rad u ) . Solución. En In forma simbólica rot (ua)"'"' [V , ua). Te niendo en cuenta las pro piedades diferencialoa do V, eecriblmos pri meramente (V, ua] =-= (V, u.,a] +(V, uaeJ.

(7)

Luego en el primer sumando a la derecha sacamos el multiplicador escalar "e fuera del signo V y del producto vectorial lo que da [V, ucal = U e (V, a] = u [V, a). En el segundo sumando en (7) referimos u al operador V y cambiamos el orden de rnultiplícudores para que el vector ae, en el cual cnablat no influye, se encuentre dela nt.o do V. Lo que da [V, 11a el = (Vu,

Do tal modo

ael = - [a , Vu).

{V, ucal =u [V, a) -

[a, Vu]

rot (un) - u rota - [a , grad u). Ejemplo 3. Aplicando el método simbólico hallar div (a, b) . Solución. Tonemos

dlv [a, b) = (V. [a, b]) "" (V, (a, beJ) +(V, [a 0 , b]). (8) Usaudo la propiedad do la permutación cicllca de multiplicadores en el. producto mixto, transformamos las expresiones en el segundo miembro (8) de tal manora para que todas las magnitudes const.anLes

§ 21.

Ol'ERACtONF.S Oll'l>EAF.NC TALES DE L sgo tJNOO OROBN

resulten dela ute tlel opor<tdor V, mieul.rns él. J~g decir, ob tenemos div (a , bl = ((V, a.l, bcl = ({V, a ). be ) -

~¡u e la:~

variables

lra:~

(V. 1b, a cO = (IV, bl , a c)

= (b,

IV. a ))-

125

dlv lo, bl = (b, rota) -

(a , IV, b)),

(a , mt b).

Observaci6n. Aplicando el método simbólico podemos evit.ar laa tra nsformaciones anaUticas m u y complicadas y obtenemos pron to el resultado dc[i nitivo. Pero, de otra parte, las düerentes transformacíoues form a les con e l operador onablu es necesa ri o e fectuar coa m ucho cuidado, en e l caso contra rio son posib les, como hem os visto, uuos e rrores muy graves. Por tan to, S I no hay la ec~ridad completa en e l resul tado obtenido, conviene controlarlo med1ante e l método aualftico.

238. Mostrar que = vVu ~ uVv i

a) V ( : )

b) V/ (u) = /' (u) Vu. 239. Demostrar que el vector [Vu , vvl os solenoidal, s i u y v son las funciones escalares diferenciablcs. Utilizando ol oper ador de llnmilton V, demostrar IM s ig ui e ntes igua ldades: 240. a) g rad (uv) = v g r ad u + u g rad v; b) rot [a, b) = ( b , V) a - (a, V') b a div b b d i v a. 241. rot [a, r) =- 2a , a es un vc<.;lor constante. 242. Demostrar quo e l vector a "' tL grad v es ortogoual al rot a.

§ 2L OPEHAClONES DIFE HENCJALES DEL SEG UNDO ORDEN. OPERADO 1 DE LA PI ACE Operacioues difereucialcs del seguudo ordcu se o btienen de roau ltas de la ap licación doble del operador'\! a los campos. Sea que teuemos el campo escalar u = u (M). l!:n este campo a l operador V engendra el c ampo vectoria l Vu .... grarl u. En el campo vec l<lrinl Vu e l operador \7, oplk<tdo roitcrnola monto n i Vu da el campo escala r (V', V'u.) = tliv ¡¡mol rL (1) y el c ampo vec torial IV, V'11l

rol gracl

11 .

(2)

126

Ol'f:RAGIONF.S I)IPF.R P.NCT ALES O P. SEO UN DO ORDEN

CAP. V

Si cst;\ l'rofi j;odo d Cll lupo vocLorial u =-= <t (M) , enLouces ul opcnulor V eugcudra 011 í•l e l campo cscalu,r (V, a) = div a . Eu el <'l.lllll)O 1•scalur rliv a ol OJ>orador v eugeodra el ca mpo vec torial V (V, a) = grad diva.

(3)

Eu ol campo vectoria l a "" a (M) el operador V engend ra tambi éu el can1po vectorial IV. a) = rot a. Aplicando a este ca mpo otra vez el operador V obtenemos el campo escn lar

IV, a ])= div roLct

(4)

IV. (V, a)) = rotrota.

(5)

(V, y el campo vectorial

Las f6rmu las (1 ) - (5) deter minau as{ llamadas operaciones diferenciales del segundo orden. E je mpl o t. Sea la función u = " (.r, v. z) tiene las derivadas parciales cont inuas hasta e l segundo ordeu iuclusive. Demostrar que roL grad u ""' O. Soluci 6n. 1er proudimlento . Actuanclu Iormalmeute obtenemos rot grad u = (V, Vu) = (V. V] u = O, pues to que [V, V ] = O co rno el producto voctorial de dos «vectores& 1gunlcs. 2° proc~dtmitmto. Em pleand o las exprcsioues del gradiente y J el rotor en la:; coor denadas ca rtesianas y to 1nundo en COIU!ideración las co ndiciones dadas obtendremos

rot grad u -

,! ~ :

-¡ aiJu;r

T: - rl -;¡¡¡ ,1 ( -;¡; au ) -

cJtluy

{/u

--ax a¡¡ Tz _!__ (.!!.!:..)J i -L[_!_ (~ ) -~ 1"+ az lJy éJz éJ.r d~ (.!!!!....)J uz. 1

+[..!... ax (.!!!!....) 8y -~ av ( ~ 8:r; ) Jk - (~-~) {)y {)z; 8: {)y i+ a•u o•u ) • ( a•u a•u ) 1 + 8:r;IJy-oyiJ:r; + ( 8z.8:r;-8xaz.

puesto que las der ivadas mixtas en este caso son iguales iJ2u iJy rJz

u'u

= <1% 8y'

a•u a •u IJz ax = 8:r; i)z '

J iu 0%

o2u

ay= ay

u~ .

k = O,

§ 2 1.

OPI!:RACIONES DlFFERRNClALES DEL SEGU NDO ORDEN

Anú logarneut.o se a = P (:a:, y,

tlomue:~Lru

z) i

127

t¡uo para ol cam po vectorial

+ Q (:a:,

y, :r:) j

R (:a:, y, 2) k ,

las coordenadas P, Q, R del cual t ienen las deriva das paroiales continuas del segu.ndo orden, obtenemos div rota = O. Prostemos especial atención a la operación diferencial del aeguudo orden div grad u= {V, Vu). Suponiendo que la !unción u (:a:, y, z) tiene segundas derivadas parciales por x, y, y z, tenemos n ( v,

V )

u =

(

a ,

iJ • l iJ . fi!u , - ¡ - - oz ''· &x- ' - •iy l):r.

. iJu . ou k) •+-= oy J-1- -i!z

u ( uu ) a ( 7)y au ) a ( au ) = -;¡;: Tx +(}y + a; Tz =

' a•u a•u En tonces (\7, V u)= ó.u, donde el .!umbolo ó.u e= .,2 + oy• 0 a~ u oz* so llama ol operador de L a place. Se puede representarlo como el producto escalar del operudor de 1-lamilton V sobre sí mismo, os decir,

Esto operador juega un papel importante en I n [ísica matemática. Estudiemos u na operación más del segundo orden rot rota. Tenemos rot rota = [V, [V, a)). Apliquemos la fórmula para el producto vectorial doble escrita en la [orr.na de [A , (8, en = = B (A , e ) - (A, 8) C. Sustituyendo en esta fórmula A en V, B en V, e en a , obtendremos

[V, [V, a) ) = V (V, a ) -

(V, V) a = V (V, a ) - ó.a,

(6)

es decir, rnt (rota) = grad tliv a. -

t:..a,

donde

t:..a =

t:..P ·i

·i +

6R ·k.

Las opnracioues d ifereuci ales del segun<\o orden p arn mejor clurid:l<l ;;e ¡uwdc rc¡•roscutarlios en la tnbla !ligu icutc:

t ' n tn JKI t'~cnlnr

c: am po \ '-'C\ Orl nt a

grad

dlv

grad

rot

grod div a

--div

tliv grad u = t.u

t.l iv rot a =O

rot grad u = O

ro t rot a = grad div a -

--rot

Ejemplo 2. Los leyes do la teoría clásica del elec tromagnetismo se postula n on forma do! sistema do ccuncionea do Mnxwell. En ol caso mús simple del medio no couduclor, homogéneo e isotrópico siendo ausentes las cargas y corrientes cale sistema tiene la forma do e. iJE

c-m =IV.

u¡.

- .r:_ ~ = ¡v EJ e

iJt

(\1, E) =tl, (V, H) = O.

(1) (8)

(9) (1 0)

Aq uí E y 1/ son los voctoros de la Intensidad de loa cnmP,OS el6ctrico y magnético; e. y 1-4 son los coo(icicnles de la permeabilidad eléctrica y magnética (en nuestras suposiciones e., l.l = const); e os la velocidad de la hu on el vaclo. Por lo que las derivadas espacial y temporal conmu tan, o sea,

:, ¡v, IIJ= [ v. 8~]. 8

entonces düerouciando (7) por t obtendremos

•B -- [v· ¡¡¡iJ IIJ · -ee. aut•

o ?.1. ,

OPgHACJONES OJFJill.ENClALES DEL S EGUNDO ORDEN

iJJJ & cJ'-}!; e úo (8) haUamos - - - = - - ( V, dt e m• 14

•

::;usL ilu yendo - .-

e14 a•E -¡;2a¡-t=IY, ('V,

¡v,

. ~JI.

129 EJ) o

(ti)

Eu vigor de la fórmula (6) [V, [V, E]) = V (V', E) - 'ilE. Puesto que (V, E) = O, entonces de (11) tenernos eJJ. o•E 7 -¡¡¡s = ó.E. Pues, para el can1po vectorial E ubt.enemo:¡ la ecuación

a~E =~ó.E. ot' e¡.t. Esta es una de las ecuaciones principales de la físi ca matemática que se llama la ecuación dt· la onda. Es muy fácil cercim·at-se (iverifique esto!) do 4ue el c11 m¡¡o ve<:lo¡·ial JI sa tisfnce prccioamcn\.Q a la misma ecuación de la onda

.!!:!!_=~MI. e¡.¡,

t7t•

De Lal modo, catla una de las coordcuuóas l~ x• 1~ 11 , 1·: , y 11 "'' 11 v• 1!; de Jos vectores E y JI satisface, CI.ilnue.stras coHrl idoncs, Ja ccuacwn ()2 11 ( azu éJ2u [12¡¿ )

a¡:;-=o2

Aquí a

i):x;2

éJy'.l

i¡¡;S

•

= ./

es lu velocidad de propagao.:ión del proceso. li:n ol " e¡.t. vacío para e = ¡.t. = 1 tooomos a= e, e.s decir, eo oJ va~:ío los procesos elec tromagnéticos se propagan con la velocidad de la luz.

243. Mostrar que toda solución de la ecuacwn k 2 A =O que satisface la con<.lición do solenoidad, satisface la ecuación vectorial de Helmholtz V 2 A + /;.2 A = O.

IV. ['\7, AJJ -

Definición. El campo escalar u = u (z, y, z) que satisface la condición tiu = O se lla ma cam.po de Laplace o cnmpo o.rm6ntco. Ejemp lo :1. W ejemplo im portante del campo armónico es el campo escalar u.= k/r, k = <:onst, r = ¡1 XS y2 z2. I::sta func ión representa por aí misota el potencial del campo de gravitacióu que crea la masa puntual colocada en el origen de coordenadas. No es lllUY dificil de comprobar qtte la función tt = k/r es armónil.: a eu todas las partes monos en el origen do coordenadas, donde olla no está definida. En rMlidad

(V, V+) =k ( 'V, \ +) =k (\7, - ;t Vr )= =- ·k(v. : r"} = -- k(\7 ;, , r•)-~< :s 2

\l-0 14 0G

('V. ,.o)=

1311

OPF.I<,\CIONF.S ))TFI};RENCIALBS DE SIWUNDO ORDEN

rk2 (V, rO) -

pnrn totlus (V,

r•) ~.

r =/= O,

pue:;tn

_}!_ ·~ = 0 r'

fllll'

(v. 7 )= (v+, r) ·l +(\7,

= ( _'5:!:__ r' '

CAP. \'

r) +~= _...!._(ro, , r rl

r)+~ = -_!._ (rO, ,.oH~ = r

=---; 1- --;= -¡:. F.jemplo 4. Demostrn¡· que eu ol r.a mpn do potoncial del vector a su fun<'.ióu potencial 1' (.r, y, z) satisl':u:o l:1 ccuaciún do l'oissou ¿¡su asa iJ'u l!.u ~ i)xt

i)y$ 1- oz• = p (.r, y, z).

tlontlo {1 (.r, ¡¡, •) es la divergencia del Soluciún. Se¡,,>illl la condición

vec ~or

(1 2)

diva = p. Puesto quo el campo del vector u os de potencial, entonces a = = grild u, donde u es o! potencial del campo. Sustituye ndo en (13) a = grad u obtenemos div grad u= p o, ya que div grad u = óu, entonces llu = p. Para el cas<> particular, en los puntos de l campo en Jos que la divergencia es igual n cero, la ecuación (12) l!C transforma en la ecuaci ón de Lnplace l!.'u = O. La ecuación de Laplace-l:'oissou da la posibilidad do hallar la función potencial u medianLC la integración de la ecuación cliferencial en las derivadas parciales. En ciertos casos esto resulta sor más cómodo. Muchas voces en olcctroostática prclieren en vez ele la Iuución u tomar la función inversa por el signo v = - u. Entouocs a = = -grad v. De acuerdo con lo que en la teoría <lo! campo oloclrocstático la ecuación de Poisson tiene la [orma a•v

a•v

i)lv

4np

a:r• + Oy• + azs =--e-.

(14)

Bxnminemos un ejemplo clomontal para In aplicación do In ecuación do Poissoo. EJemplo 5. Sea dos láminas paralelas infinitas, encargadas con los cargas distintas, A A 1 y 88 1 tienen los potenciales v 1 y u1 , pero para la mayor precisión u1 > u2 . Hallar el campo B entre las láminas (fig. 36). Soluei6n. Dirigimos el ojo Ox porpendicularmen\.c a es\as lúminns en dirección dol dc,crecimitmto del potencial, y el plano ¡¡Oz Jo hacemos coincidir con la lámina AA, que liooo la carga

& ~1.

t3t

OPP.RACl ONBS DIPERBNCÍALBS DEL SEGUNDO ORDEN

positiva. Vam os a buscar In íuncióu potencial de la ecuación de l'oii!I!On. virtud do In si motria del probloma respecto al eje Ox y de la inrinidatl de lá mi nas se puede concluir que como las superlicios equi potencinles serán los planos paralelos a las lám i nas, y la

¡.;,,

+ + + + + + + +

+++ + ++ o

u, A,

FIG. 36 función u va a depen!ler sólo de una va riable z, La ecuación (14) obtiene la for~na (15)

puesto que las cargas volu métricas fal tan on todo el espac io entre las láminas. Integran do (15), ha llamos (1G)

(C 1 ,

e, son

las constantes arbitrarias). Vamos a exigir que para z = O la función v obtenga el valor v 1 y para z = d, donde d os la dis~an cin entre las láminas, ella obtenga el valor u,. Lo que da C 1 = 11¡, v, = C1d C 1 , de donde Va. •7US ..., t !luyen ' el O estos va l ores ele C , C en et = V¡, e 1 = va- d1 2 (Hl), obtendremos

u - vt

u1 - v

1 v = --d-1 x+v 1 =v 1 ~ --tl:z:.

8 1 vector E se determina según la fór mu la B

E = v, - v, i d

- gracl v, lo qne cla

•

entonces el campo será homogéneo y será d irigido por el ojo Oz. J.,n magn itud E on tocle> pu nto es ig ua l n 1 E 1 = ~~~. e~ decir, ' """ igual n la caícln del rnteucial por la 1111itlncl tll' la dtlistancill mí es ni ma cutre las láminos .

••

132

nJ'> EOII~IONES

l)IFERENC:TI\T,f.:S DE S F.GUNDO ORDEN

CAP. V

244. Sea que Ja función escaJar rp ( .M) s atisface Ja ecuación tle Laplacc. Mostra1· que el vcvtor V!Jl es sol enoidal y irrotacional. 245. Mostrar que 6 (uv) = u. ó v V ó u + 2 (Vu, vv). 246. Demostrar que si r es radio vector, entonces

; Ór =

en el espacio,

1 { -¡:-en el plano.

247. Verificar: ¿son armónicos o no los siguientes <:nmpos escalares? a) u = x 2 2xy - y 2 , b) u = x 2 y y 2z z2x, e) u = xz - y 2. 248. Mostrar que el campo escalar

+ +

u = Jn ~.

don de r = JI;z:z -¡ .1/1.

(r=I=O),

es armónico. 249. Hallar todos los campos armóuicos que dependen solo de x. 250. Hallar el aspecto general del polinomio homogéneo az·móoico de ln segunda potencia d e x e y. 251. Hallar todas las soluciones de la ecuación de Poissoo óu. = x" - 2 que dependen sólo do x . Ejemplo 6. Fórmulas d e G reeo. Sean q>, '1> d os funcio nes ese~lla rl!>' del punto. Vai nos u componer o l vec tor a = q> grad ljl. Entonces div n, = dív (q> gratl '!>) = q> div grad '1> + (grad <p, grad '!>) = = '1 " ó'IJ + (grad q¡, grad 'IJ). :\hora empleando la fórmula de Gauss-Ostrogradsk i , lene m os:

@ (a, no)

do = ~

div a dv.

Nolarnos que en nues tro caso (a, n O) = (q> grad 'IJ, nO) = q¡ (gr-dd

'!>. no) = q¡ ~~ •

Com o resultado obtenemos la prtmera /6rmula de Grun

55 5

fq¡ó.'IJ+(grad q>,

gradljl}]tlv = §~ ~

;;!'da

{17)

S 2 1.

OPERACIONES DlPBRENCI ALES DBL SMUNDO ORDIIN

la cual para <p =

'11>

133

so convierte en la fórmula

JJJlcpó.cp +

1 grad

cp 1' 1 dv =

cp ~~

da .

(18)

Si o u la fórmula (1 7) poner cp -

1 , en tonces ob tenemos

Eu la fórmula (1 7) cnm blarnos de sitios cp y obte nida

'11>

In fór·

y resta mo1:1

111U lll

J.\ JllJ>Acp+(grad 1/'. g rad cp}l

dv =

~~ lj> ~~

tlo

do la fór mula ('17). Obtondromos eot.oncos In • egunda /6rmula de Creen

So supone aquf que todas los funci ones, con los cuales operamos, lo mismo quo sus derivadas quo se eocueo t rau 011 lns fórmulas, son coutinuas on el dominio quo examinamos. Ejemplo 7. Hallar In integral superficia l 1=

~~ cp

:;!' da,

+ y' + z2 t (In ro tp = "'~ + u' y 2 11 + z~ . Solución. En virt ud do In primera Fórrn ulr1 do Greco la in te-

tomada _p or la esfe ra :!: : '"~

"' =

gral incógnito es igual a 1=

J.Í .f

fcp.ó1j>+(gr ad cp, g r ncl-.p)ldv,

donde el dominio do into~rnciú11 V es la oefe ro: .r2 +u'+ : 1 ~ 1. Tonemos 1\lj> = lt, gratl tp = 2.ri + 2yi, grad '11> = 2yi 2zk : (gra cl rp, grad •P> 4g2, ror lo ta n to

\ \ \ (l,.c2 + 1¡ y'+4!!'}

. y.

rlv ~.. 4

.\ \ \ (;r;LJ- 2¡¡t ) dv .

1 34

O P ERACIONES DU1 ERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

CAP. V

Pasando a las coordenadas esféricas z = r cos <p sen O, y (ji sen a, z = ,. cos e, o btendremos

r sen

1 = 4

JJJ ~ ~, J o

(r• cos• =

{cos• ) d<p

son3

a r10

o 2n

= slo .í (1 +sen' cp) d<p J (f 12 n =s

Jr•a.. _

cos• O) sen OdO =

( -c<ls 0 -\· ;¡ 1 cos" O)

!" = 5

16 l<·

Eje mplo H. llu llar la integwl $UpudiciLil 1-

[f... ~) Ú<l, '\.Y (<p~-'111 8n un l:

Lomado por la superficie :E: x2 y2 = R2, z = O, z = 11, JI >O, si <p = x 2 + y2 ; - .r + z, ti) = :e 2 + y 2 2z :z:. Solución. La integral Luscada scgüu la segunda fón nula ile Greon os igual a

s 1· S {<p61f> v

Para las [unciun"s dadas tp y 1p consiguioutc, 1= - 4

'Jl6!p) dt> .

tenorno:~

f .\ .Í

6<p = 4, 6'Jl

= '•

y por

.SO!l

z dv.

Pasando a las coordenadas cilíndricas x = p cos •p, y

s = z, obtenemos

r .... -

JJJ

zpdpd<pdz = - 4

J I d<P

-\~ <p ~~

•P•

pdp

J' zdz =-2nR•H•. O

Ejemplo 9. Hallar \a integral S\lperlicir.\ 1-

§ 21.

Ol' lmACfONES DIFERE NCIALES DEL SEGUNDO ORDEN

135

por la superficie cerrada :E, limitada por los planos: X y -f- % = 1, X = 0, y = 0, % = 0, Si q> = e:>.: 50JJ y 1. Solución. La fu nción dada es armónica, puesto q ue ó<p = = ex sen y - ex son y "'" O. Por eso según la fórmula (18), obtentiremos

J.l

1grad q> ] 1 d v.

llallamos el mútlulo do gratlio11to do lu función q>:

g rud q>

=.,.,son y · i

1gracl ..,, 1 =e>=.

+ex cus y ·i

La integral buscada es igual a

J.\

1-x

.\'e:·' ¡1,

cax <lx

1 -~-1/

\ dy

tlt=+

(et - 5) .

252. Calc ular lu integral s upe rfic ial •

iJt~

1 =:•.~ cp-da tJfl .i;

por la su perficie cerrada ~: {x".l -l y~ -1 y ?;> O}, s i tp = :;", '1' = x 2 !/ - z2 •

'l , !J = U,

25a. Ca lcula r ln integral supcrl'icial 1 =~ \~ ,.

( IJl

x ~~ _ ,,, ~: ) da , to mada por toda la s uperficie del c ilindro cerrado L: {x 2 y 2 = 1 , z "' O, z = 1 }, s i '1' = -= 2x2, ,¡, ~ x2 +z2 .

254. Calcular la integra l s uperfic ial 1 ~ Si 4J ~-

x-1-V::Í u+ z

:W'1' ~~da, ~

lllÍ CIItraS l)llll ~ l'S Ja esfe ra; Xz ¡ !Jz ·]

+ z2 ~ R2.

25:1 . Hallar In integra l su perficial l rp~ e"

e j es

scny -f-ellsonx

..,s

"'·\~ ~J;; da,

1· 7;¡- -1

z• ~

l· z, y L es e l elipsoide dP L1·cs

- 1.

136

OPBR I\C IONES D!PE RENCJALF.S DE SEGUNUO ORDP.N

CAP. V

§ 22. POTENCrAL VF.CTORTAL Da do el cam po vecto rial a = a (M) = P (x, y, .:) i Q (x, y, t) j ll (:r, y, t) k es soleno id a l on el dominio G, es deci r, diva (M) = O en G. Defin ic ión. El vocto r b (M) = P 1 (x . y, z) i Q, (x, ¡¡. z) j ll, (x, y , :) k que on el domjnio C sa tisface la con dic ion rot b (M) a (M) (1)

+ +

o en la forma de coordenadas

aP, _ aQ , = Q

oR, ilx

-~ = R [)y

(2)

so ll;una e l pot e,.ctal vectorla l ele! ca mpo vectorial a = a (M'). Para e l campo so le noidn l vectorial ct (M) el poten cial vectori a l b (M) so determina no uuivocamonte: cl,..voctor lJ (M) = = b (M) gr<HI 1 (M ), donde f (M) es la fu nción escalar dHorenc iable arbi t rari o tambi é n sa tis face la co nrlic ió n (1 \, pues to que r ot (gra d 1 (M)) "" O. Do t n l modo . dos potenciales vectoriales del campo so lono idal a (1H ) so d istinguen u no del otro p or un gradiente del ca mpo escalar. E l h a llazgo de l potenc ial vectorial b (M) del campo solenoidal a (M) so reduce a la determi nac ión de c ierta solución particular del s istema (2) de las tres ecua c iones diferenc iales en las deriva das p a rciales respecto a las tres funcio nes incógnitos P 1 (x, y, t), Q1 (:r, u , :), RJ. (x, y, s ). 151 potonc in l vectorial b (M) se pued o construirla mod iaoto el método sigu iente. Usando la elección arbitraria del vector b (M), para s implifi ca r la sol qción pouemo11, por e je mplo , P 1 (:r, y. z) es O, es dec ir, vam os a buscar el vector b (M) en la forma <le b (M) = = Q1 (x, y, •) j R 1 (x, y, z) k. En este caso el s is tema de ecuaciones Cli(orenc iales (2) para ha llar las func ion es incógnitas Q1 (x, y , z) y ll 1 (x, y, z) obtiene In forma

an, _ aQ, ay az

_, p

8R 1 = _ rJ 0%

aQ, = R. lJx

(3)

1 1

De In segunda y la \ercera ecuaciones ele este s istema lllll lam os ll 1 (x, y , : ) = -

Q1 (x ,

•)=) R

Q(x, y, z)dx+C 1 (y, z),

(x, y , t)

dx+C~

(y, •},

§ 22.

POTENCIAL VECTORIAL

137

donde e, (y, z) y ez (y, z) son todas funciones diferenciables de 11 ~ •· Para simplificar Lomemos (y, z) <=O y escojamos la función e, (u, z) de tal modo, que satisfaga también la primera ecuación del sistema {3). Para esto s ustituimos eu la primera ecuación las expresiones halladas para Q1 y Ri:

() Jr Q (x , -a¡¡

ae, -Tz o Jr R

y, z) dx+ Oy

(x, y, z) dx= P (x, y, z).

De aquí hallamos

o Jr R(x,

ae, o r Oy =a¡¡ J Q(z,

¡¡, z)dx+az

y, z}dz +

(x, y,:).

Es muy fácil cotnp rohnr que el segwtdo miembrn tlo esta ccuncióu no dcpeude ele x debido a que div n. (M) = O en G. Integra ndo la ú ltima igualdad por y. hallamos

(y, z) =

\ •

r:. \ .1 •

Q(:r. y, z} tlx+

(x,

z) dx+

p (x ,

y, z)

+e,. (z).

(4)

Suponiendo e n (4) e 3 (z) "" O y sustituyendo (4) ou la expresión para R 1 (x, y, z), ob te ndremos In soluciúu particu la r del sistema (3) P, ~n.

.Í R (x,

Q1 = R,

= .\ <~Y

(5)

+ <~

.\ Q (x , y, z) rl:r

·l- P

y, z) d:r ,

(6)

.\ R (x. y, z) dx-1-

(.r. y , z)

tly- \ Q (;r, y, z) d.1·.

(7)

f.!: l vector b (M), c uy11S coorde na1las P, (x, y, z), Q, (.r, y, z} y R 1 (x, y, z) se determinAn por fórmulas (5), (6), (7) es la potencial vecto ri al , puesto '1110 dicho vec tor satisface In condicióu rot b = <1 . Ejemplo l. lfallar el potencial vectorial b = b (x, y, z) pnr11 el ca m po solennidal prefijado por el vc<: tor a = 2yi - zj 2xk. Soluci 6n. Buscamos el po loocinl b en la formn:

b (x, y, z)

Q 1 (.r, y, z)j

R 1 (x, y, z) k ,

donde Q1 (;r , y. z) y R 1 (.r, f/. z) hallarn os mediante las fórmulns (7) y (8). P uesto que en el caso dado f> -= 2y. Q = -z, R = 2:r, en to nces obtcmlr<'rnos 1) 1 (;r, y. z) =

n, (z,

y,:)

S 2:r:d.r -

zdx+

:r2,

JZarly = :c~ +lls,

13.'1

OPimAGIONI':S

DIVI.;RRNCIAL~S

Pues, b (x, y, :} = x 1 j

DE SEGUNDO ORDEN

CAP. V

+ (xz + u') le.

Mod inute la verificacióu direc ta so puede cerc iorarse do que rnL b ~ = a In que sign ifica que osto vector es el potonciol vectorial de l cnrnpo dado. Observación. Debido a la elección a rbitraria del vector b eu vez de',ln condición P 1 (z, y,:}- O se puede exigir que Q, (z, y, z) - () ó R 1 (z, y, z} - O. El sistema de ecuaciones (2) y las fórmulas (5), (6), (7) so cambi arán respectivamente.

11 allnr los potenciales vectoriales de los ca m pos solonoidnlrs: 25(). a = i + j + le. 257. a. = 2yi + 2zj . 258. a = (ex - ell) le. 259. a = 6¡¡2i + Gzj + 6xk . 2(i0. a = 3y 2 i - 3x2 j - (y 2 1- 2.:t) k. 26 t. a = yex' i + 2 yzj - (2xyzex' 1 z2 } k. S i ol campo voctorial a = a (Ml os so lo11oida l en ol domiuiu C. (lile os estelar (véase el § 19, el capítulo IV) con e l centro e11 ol origen do coordenadas O (0, O, O) (el campo a (M) puede no estar dote l'llliu ntlo en el puuto 0), eutonces una de los potenciales vectoriales b = b (M) so puedo ha ll arla medinulo la fórmula 1

b (M)

5(a (M

1 ),

r (M)J t d t,

(8)

z) , donde r (M) = r i vi + ak e.s e l radio vector del p u nLo M (.r , y, y ol pun to M' (tz, ty, t:) al variar el pa rámetro t desde O basta 1,

rec orro e l tramo OM. Ejemplo 2. Aplicando la fórmula (8) bullar la potencial vect orial del campo solenoidal a = 2yi - zj 2zk . Soluclóo. El c amp o vectorial dado está dofinido eo tod o ol espacio tridimensional que os ol domin io estela r con el centro 011 el ongun do coo rdenadas, por tauto para halla r e l potencial vectoria l so puede utilizar la fórmula (8). En e l pu nto M' (tz, l y, tz) tenomos a (M') = 2tyi - t zj 2tz k .

Ha llamos el producto vectorial

lt• (111'),

r (M)l -

1 2: y J:

= 1

_!_tz y

;:r 1= z

(2zy+z' )i + (2zt

2yz) j + (2yS + zo:) k1t.

POTENCIAL VECTORlAL

§ZZ.

f39

Mediante la (órmula (8) ballamQs l

b(M)

=S o

l - (2:.:y+z')i+(2z1 - 2ys}j + (2y' +zz) k)lt d t =

=-;

(2zy + z1 ) i + ; (z ' +uz) i + ; (2v'+zz)k.

Es muy fácil demostrar que rot b (M) = a (M). Observación. En los ejemplos 1. y 2 pa.r a el mismo campo soleooidal a = 2yi - zj + 2zk recibimos distintos potenciales vecto riales: b 1 (M) =z1 i + (zz+y1 ) k , b1 (M) = -

(2zy+z•)

i+ ; (:.:1 -yz) i+-} (2y1 +zz).

Estas so d istinguen uno del otro por 1Jl sumando quu es igual a l gradiente de cierto campo escalar 1 (M) . Dicho s u man do juega papel de la constante arbitra ria (cuando sobro ella ac túa el rotor). E l sumando está representad o como el gradiente de c iorla función escalar f (M). Hallamos esUI función para nuestro caso. Tenemos grad 1 (M)= b 1 (M)-b 2 ( M) = -} (2zv+z1 )

+-}<z'+2uz)

i+T (2zz+u')

P<tr.1 hallar e l campo escalar ¡ (M) itpliquemos la f,írmuJa (3) del§ 19, on la cual como el pun to (z 0 , y 0 , z0 ) tomem os ul origan tlo co orrlonadas O (0, O, 0). Entonces obtendremos

1 (M) =

•

SO·dx+ J! zt du+ J ! (2xz+v') dz+C =

donde C es la constaute arbitraria . Ejemplo 3. H allar el potencial vccLorial b del campo mngnóLi co H e ngendrado por La carga e léctrica e que so muuvo cun In velo cidad 'c onstante 11. Solución. Según la le y de Bio-Savart la intensidad del cam po magn6tico es igua l 11 11 (M) ,_ le~>, rJ (9} ·

ltn.r3

donde r es la distancia dol pun t o M has~a la carga e. Puesto que 11 es o! vector solonoi dul , os decir, div 11 = O, ~ntonces para él existe la potencial vecLMial b tal que 11 = rut b

1!¡\1

OPI•:flACIO N ES DI1'€RENC I ALBS DE SEGUNDO OnDEN

u teuiondo

011

CAP. V

cuenta In fórmula (9),

(ev, •·)

rot b

fv. t'l

4nr3 = tí_n ---;:¡--Hel!scriblremos la última fórmula en la forma siguiente

rotb =

4~ {[ev,

~ i] + feo, ~

iJ+feo,

~k]}=

= 4~ {f i, - e;3v J+r j , - e~ ]+f /e, - e;,o ]}= 4·~ {fi. ll~ (:o )]+[i. ~(ero )j-t{k,:: (e:)]}.

Aplicando osta igualdad que es muy fácil verificar fla rot (t = [ t. , -¡¡z

J+ r. -¡¡¡¡ J-1- [t._ r. -¡¡;: J, 1, é)a

i)a

ohteutlrcmos 1 rot b = t,n

J'Ot

ev - r- ,

de d oude

b = -1- . ~ t,n

Aplieando In fórmula (8) u a llar los potencia les de los can1pos solenoidnles definidos e n los dominios estelares: 262. a i. 263. a 6.xi - 15yj 9zk. 264. a = .">.x2 yi.- 10.xyzlt. 265. a = 2 cos ~z · j.

26()·. a -

- yi + x¡' ;rll -1- y"

""-1-Y>. ....

CAPITU LO V I

COODINADAS CURVILINEAS: OPERACIONES PRINCIPALES DEL ANALISIS VECTORIAL EN LAS COORDENADAS CURVILlNEAS

§ 23. COOR DENADAS CURVJLINEAS En muchos problemas es rnás cómodo deHnir la posición del punto M del espacio no con las tres coordenadas cartesianas (x, JI, :), sino con los tres otros números (q 1 , q,., q 3 ) que más satisfacen el problema particular a estudiar. Dado que a cada punto M le corresponde La terna definida de Los números (q 1 , q 1 , b 3 ) , e ioversameoto a cada tal terna de los números le corresponde el único punto M. En este caso las magnitudes q1 , q 1 , q 3 Las llaman coordenadas curut!Cneas d~l pu.nto i\1. Super/tetes de coordenada$ en el s istema do las coordenados curvilineas q 1 , q,, q 3 se llaman las superficies qt = Ct,

(1)

=c•.

(2) (3)

e,.

en las cuales una do las coordenadas conserva un valor coustantc. Las líneas do la intersección de dos su perficies do coordenadas se llaman las Utuas tle coordenc..d as. A lo largo do Jo linea do intersección de las superficies de coordouadas (2) y (3) las coordenadas qt y q• conservan los valores constantes; se cambia sólo la coordenada q 1 • Por analog[a en las Lineas do intersección de las superficies (i) y (3) 6 (i) y (2) so cam bian respectivamente solamente q~ y q 8 • T razamos los vectores de unidad eJ, e., e 8 dirigidos por tan gentes a la:~ líneas de coordenadas (q¡)• \qt) , (q 3 ) en el punto M en dirección del incremento de las variables q 1 , q 2 , q 8 respectivumcnto {fig. 37). Conviene tomar los versores eJ, e •• e 8 s iemp re en ta l orden para que su conjunto formo la terna aorecho. Señalemos la diferencia radical onlre las coordenadas cu rvilineas y las cartesianas. En el sistema de coordenadas cartesianas los vectores e 1 , e., e 8 son constantes para lodos los puntos del espacio y son iguales a i , ¡, k respectivamente. En cualquier otro sistema ellos cambian sus direcciones pasando de un punto M al otro. Las coordenadas cilindricas y esféricas si rven de ejemplo do las coordenadas curvilíneas. Estudiemos las coordenadas ci líudricas y esféricas.

COORDENADAS CURVJLJNEAI:I

cAi>. vt

r. CuordnllldU$ dlilldrlc<U. 1-;u lall cwmlcnodns c ilíndricas la posiciú11 clol pu 11Lo /11 dol (!spacio ~e dotcrlllina c.ou lu::; tres coordouaclas: g,

o.¡;;; p <

+ oo,

q 1 = cp,

O .¡;;; cp

Qs=z,

-oo<z<+oo.

2n,

(4)

Las superficies de coo,·deuadns sou:

FJG. 37

= consl son

lo~ c i Ji ndrios ci rculares con el eje Oz; consL son scmiplanos contiguos al eje Vz: z = coust son los planos pcrpcodicularos al eje Oz . Lns IJnoas do cvorclcnadas son: las líneas (p), rayos perpendiculares al eje Oz y que Licuen el origen en este eje; las líneas (cp) son las c ircu nferencias con el centro: en el eje Oz que se encuentran en los planos rerpendiculares a este eje; las lí neas (z) son las rectas pn ra lelas a e¡e Oz (fig. 38). La conexión de las coordenadas cartnsianas con las cilíudr icas se determina por las fórmulas (.>

.:t

p cos cp,

11 = p sen cp, 2 = :.

:?. Coordenadas esféricas. ción del punto M del espacio gu ientes: ql = r, '12 = O, q,

= q>,

(5)

En las coordenadas esféri~s h• posi· se determina por las coordenadas si-

O.;;;;r< + oo, o.¡;;; a .¡;;; n, O~ q>

< 2n.

(tl)

~UU IIJJ8NADA S

Lus

143

C URVJLINEA::S

~ uprrfi cies

de c oo rden a rlas SQII (fig. 39): r =- cousl l<u n las usf<'ras con e l nmlro ou ul p u nto O; ~

Lfnea ( tp )

I'Hi . 3f\

F J C: . :lfl

O = const

8011 los somiconos con r. l l'j <' 0:; consl 8011 los St:'mi pla nos COII Iig uns a l Lus JĂ oeas d e c oordomulus son las:

.q>

ok Oz.

CAP. Vl

COORDENADAS CURVILI NBAS

144

lineas (r), lus rayo:; qtul sa len del punto U; linea~ (0), los llll!rid•anos 011 In esfera; líucas (<p), l:~s parn lcbs en la csft!ra. La o;lliiBJdVJJ de las cooniLmiulas cnrlc~ianas cu11 las se tloturrn ina rnediantn las fónnu las: X

= =

~<sfóri('as

q> SCII (l, r sen q> SC il (l,

f COS

(7) 6. El sislellla de las coordenadas curvilíneas se llama ort ogonaL, si en cada pu11to M los verson)S e 1 , e 2 , e 3 son ortogonales a pares. Las líneas dc covrdcnt~clas y l as superficies do coordenadas on ta l sisLcnu• serán MlogOHalcs tam bién. Los sistemas ele coo rdenaclas dlíntlricas y esféricas.s}rven de ejemplo de los sistemas de c.oordcf!a· das nrtogonalcs curv•hncas. M ás 11delante v:uuos a exonunar solo los sislculll!' ortogona!c~ dil coordenadas. Dado r = r (r¡ 1 , q 2 , c¡ 3) que es el radin vector d~! pu n t.o M . Entonces y

T COS

(8)

Aquí 11, ~

rl.c ) -

clq¡

2+ l.--iJy-

) 2

.¡.

ilq¡

(

[)z

)

iJq¡

son los coeficicn Les Lnmé Jel sistema dado de lns coordenadas curvilíneas. En las <:uorcll!nadas cilíndricas q, = p, q'L = q>, q. = = en yj¡·Lud dú (5} UWI;!IIIOS 11,

~~~ 11

~, JI 1> =

----~--~--~----~

l/ (~ ) 2 + ( ~y ) 2 1- ( ~) 2 .-~ 1' íJp rJp \ iJp

=ll,,,= l/ (* )2+(*)2 r (*):t=f',

~ = H z=

V ( ~ ) + ( ~; ) + ( ~~ ) 2

En las coordenadas esféricas q, = r, q2 = en virtud (í} tenemos

JI , =

Qs =

2= 1.

*) *)

JI' ~, t/ (* ) 2 + (

= 1,

H2 ~= llo ~ V (* ) +(~ ) + (Te- ) = r, 2

1/ (;; )2+ ( ~ ) + { ;~ ) 2 = r sou o. 2

11 3

._.,

/1., =

OI'F.RACTONES ])EL ANALISIS VECTORIAL

145

Lus valores

dl, = ll,dq , í = ·1 , 2, 3, que figuran en la fónuula (8), son las düen~uciales de longitudes de los arcos de las líueas de coordenadas. Esta idea permite en muchos casos ca!cuiar más fácilmente los coeficientes Lamé. P ues en el caso de las coordenadas cilindricas (4) (véase la íig. 38) las difereuciales de longitudes de l os arcos de las líneas de coordenadas (p), (<p), (z) seráu d. (p) = 1 ·dp, de donde 111 = 1; d. (<p) = p ·d.<p, de donde Ha = p; d. (z) = 1 ·d.z, de donde 1J 8 = 1. Igualmente muy fácilmente se puede obtener las expresiones par a los coeficientes Lam6 en el caso de las coordenadas esféricas (6).

§ 24. OPER AClONES PR I NCIPALES

DEL ANALISI S VECTOHlAL EN LAS COOHDENADAS CURV ILlNEAS 0 } • Ec~J.acLones diferenciales de las Uneas vectoriales. Sea que touemos ol campo del vector a = a 1 (q,, qs. qs) e, + aa (q,, 9t• qa) e 2+ as (q., q,, q 8) Ca· Las ecuacioues de las líneas vectoriales en las C(>ordeuadas curvilíneas 9t> q 2 , q 3 tienen la fórmula de

H, d~ a¡ (q,, 9a. 9s)

Ba~a a~

{q.,

q,,

98 )

Hsdh (q,. q., qs)

l'articularmento, Oh las coordeuadas cilíudricas (<11 = p, q 2 = rp, 'la = z¡: dp p d<p dz (1) a 1 (p, (jJ, z) a 2 (p, <p, z) as (p, <p, z) en las coord..-uadas e..<óíiriclla (q1 = r, '12 = O, 'la = rp): dr r d.G ,. sen O dcp a~

(r, 1:.1, <p)

a 2 (r, O, <p)

a 1 (r, O, <p)

Ejemplo 1. El campo vectorial ea dado en las cooruonad!IS ci1íodirical!: a (M) = ep + <pec¡,· llallur las líuoas vectoriales de este campo. Solución. Según la condición del problema a 1 = 1 , a 2 = <p, a 3 = O. J.<:u vi•·luú do la fórmu la (1) Lenemc>s dp

1> d<p

-~-=~=o· 10-01406

i4ti

COORDENADAS CVRVJ LINEAS

CAP. VI

Uc aquí

estos son los csril·ales do Arquímedes que se c ncuoutrau eu los planos par:~lcl os a plano :r:Oy. 2". Grrulltmt~ en la.~ coorr/lmada.< ort vgona[,·s. Son que tcuomos el C.'~ll'l"' cscala1· u = u (q 1 , 'H• 'lal· Entonces gr;HI q2

{)u

~<= - - - fl¡ éJq ¡

particular, = z):

para

ljl, q 3

ilu gt·•HI u = - -

iJp

1 iJu 1 au +---e +---e Ha Dq,. .

lf2

las

3•

coordenada~

ci líndricas (q 1 = p,

1 ou é/u ep-1---eq¡ -f-e.; p rJcp i)z •

en las t·.uorll<madas osft!ricas gra<l

iJq2

{Ju

u= -0 r e,+

(r¡1

1 -r

(2)

r, q 2 = 6, 'la = cp):

()u

[)u

<•" eo·+--r sen 6- - ó cp e,~.

(a)

Ejemplo 2. Cakulat· el gradiente del campo eS<~alar dado ou las coonlcnada:; cilíndricas (p, cp, z): u= p z cos cp. Soluci ón. Aplicando la fórmula (2), obLeucrnos

gracl

"= l · ep - p1

z sen q>·ecp-1-cos cp·e,.

Ejemplo 3. Halla r ol gradiente del campo escalar uadu cu las coordenadas esféricas (r¡ 6, q>) sen O u= r -l- --r--sen Ocos <l'· S olución. Aplictlndo la fórmula (3), ob!.cudrornos

seo O ) grao.lu -= ( 1. - --;:¡--

cos O ( 1 sen cp e,+-r- -;:--cosq> ¡\ eo+--r-e<P.

SO. Rotor en las coordenadas ortogonales. Sea a = a 1 (q1 , q 1 , q~) e1 as (q1 , q 1 , q 8 ) e, +

Eulonccs 1

u ..Ha rota =

H ,Ha e•

as (q.,

H,H~ es

iJq¡

{)q.

Oq3

aLHt

a 2 H1.

llaNa

li••

9a) es .

l~ n

lfa

O PEnt\Cl ON J::S

24 .

parLi c ulur, en

om~

ANAI.I SIS VECT On l /1 1., cilindrica~

In:; coordenadas

(<¡ 1 =

147 p, 1ft ;_ •1 ,

z):

p eP

p-e•

e.¡¡

éJ

()

<lq>

¡¡;:

"•

pn"

I'O L fJ, -

en los ('oordena das csfóri ca s (•lt = r, q 2 = O, q 3 = q>) : 1

r 0 !len

r SOl>

()

r1 e,,,

Cf)

W) l u. 1

r !-90n ().,,:t

7 11 2

Ejempl o "· Ca lc ular ol ro tor del r,oolr olc w ul:ts .,¡ 1í nd ri cns

~mpo

vuc loriul dadu cu

la~

a = son q> • ep ..¡- ces q> e,~ -- pze 1 • p S o lución. U lilizalltln la fórmula (lo), o hLo u•l m m os 1 1

pe" e,,

roLa =

p e•

()

i)ql

sen q> co,¡ q>

- P•

= -pep (0 -

O) -

z -

e., (

11)

+ _!_ p Cz (11

4° . Dl vergl."ncla en las coordl!nada.< orlugona lc.• . Sea Cil mpo vectorial a -= a, (q,. q 2 , 'lal e, ('1 10 'lt• '/al e 2

d nd n e l

+ "•

l ~nton ccs

tH v rz ~

fJ (,,H , l l, )

H 1 fl 0 1l., 1

üq ,

iJ (n2.11 1 1J~) IJq,

iJ (a._ll,lf 2 )

oq 3

E n pa rticular, cu lns coor denad as cilí nd ricas (q 1 = p, q, = q>t q, dh· tJ (paa) L..!_ i)a 2 1- iJa, .

= ;):

a= J.. p

(Jp

. p

iJq>

En lus coordenada s o~ fóri cas 'll = r. q 2

div tl - -1- o(r•fl,) r" iJr

·1

"7SOi"ill

i);

'1• =

•

tp:

CAP. Vl

COORD'RNAPAS CURV JJ.f Nf:AS

Ejemp lo ;,. MosLt'ilr 4 ua el ~u111 po del vcc Lor 2co~ l)

(t -

c!l soleuoidal. Solución. di v a

,.a

¡\ plicaudo

sun U

er +-r:;-- e o

la Iórmuln

t tJ ( -~ 2 cos e ) '7 Tr' ' -,.-,.- --1

= - .1- ( 1

5}, niHo ntlrelltOS

1 r sen El

2 cos 6 )

'' DO

sen U ) l.sen 0 -;::¡-

+ ,-. se1 u 0

1 11 -

2sen Ocos6 = 11

e n todas las parLes, dundo r =1= U. Esto significa que e l cam po do! vector a os solenoidal on todas partes, menos el [Hiltto r - O.

267 . Hallar lns ecuac iones rl c las líneas vectoriales de Jos s iguientes c.ampos a) a = eq +

P1 e,P+

e:;

b) a = qeq + <pcq.-:- ze.; 2cx COtl 0 , Gt sen e e) a = ,.a er r r" eea. - const.

llall at los gradientes de los campos esca lares: u) En las coordenadas cilíod.Ticas 268. Lt = p 2 2p cos cp - e' sen rp. 269. u : p cos cp z sen2 cp - 3p. b) En las coorden adas esféricas

210. u = ,.'! cose. 271 . u = 3r2 sen O -i e' cos rp -

272. u = f.l. e~: e

¡.t

= coost.

Calcular la di vergeucia d e los vec tores: a) En l as coor denadas c iHndricas 273. a = pep + z sen lfle;¡: +e~ cos :.e,. 274. a = cp arctg pep + 2ec¡. - z2 e•e,. b) En las coordenadas esféricas 275. a

= r 2er- 2 cos2 q>ee +

,.,¡

Cq¡.

Calcular el rotor d e los campos vectoriales s iguie n t,(•s : 276. a = (2r + a.. cus <p) er - a.. sen Oe 0 + 1' cos Oe cp> a = const.

OPERACIONES DEL ANALJSIS VECTORIAL

2~ .

+ 2 cos Oee- (jlecp· a =- cos q¡e,.- ~ eqo + p2ez. ,p

277. a 278.

149

r2 e ,

279. Mostrar que el campo vectorial a

2cose = --r3-

+sen e ---;::¡¡- ea

es potencial. 280. Mostrar qno el campo vectorial a = f (r) e" donrlo fes la fu nción diferenciable cualquiera, es pote nciaL SO. Cálculo del flujo en las coordenadas curvtlfneas. ~a S una parte do la superficie de coordenadas IJJ, = C. dondo C = const, l imitada con las líneas d o coordenadas 9• = a.._, "• = cx 2 (a.._ < a. 2 ) ; 9a =

~1•

IJa

(~,

Entonces el flujo del vector a = a, (qh q 2 , q 3) e, a 2 (q1 , f/ 2, IJal e•

a t ravés de la superfic ie S

~.).

+ a• (q,,

IJ•· 'lsl ea

eu dirección del vector e, se calculo

segío n la fórmula «. f\. Il =

S Sa,(e,q 2 ,q 3 )FI,.(e,q.,q 3 ) H~ x

a. B. (!))

Análogamente. se calcula el flujo a travé8 de la parte do la superficie IJ• = e o a través de la parto de la s upet·ficie q, = e, donde e = const. Ejemplo 6. Cnlcu lar el flujo del campo vectorial dado en las coordenadas cilindricas: a = pep zeor·Í a través de la s uperfic ie exter ior de la superficie latoral dol ciliutlro p = 1 limitado por los vlanos z = o. z = 1. Soluc ión. El cilinrlro es la superfic ie de <:oordonaclas p = C = = const, y por lo tant<l el flujo buscnrlo os:

rr ~ .\

.ÍC• dz rl<p ~ 2ne•.

o o

de donde pura la superfici e p = 1 obtenemos JI =

~:n:.

r:OOROfo:NADAS CURVJT,INEAS

l•:jem plo 7. llallar d

,~.c•flr«lenadas nsfc't·i cns:

f:AP. VI

fluju del campo vecLnrial claclo eu la s

a = r2Ge,

+ re 0eo 2

a t.rav{-s tic (¡¡ l);n·tc exLeril)l· rle la semiesfera supet·ior S tlol mtlio R l''"' el corot ro ett el nrigon ele <:nordenaclns. St> l uci6n. La senliesfera S c.:s la part.c de la su¡Jerficio do t:(IOl't lo"adas r = C()n s l. lll'Cc isarnoulc r = n. r.n l;t !mpodit:ic S lonCtllOS q1 - r

11;

q~ .,- o. ll~

Tt!uicndo

011

'1' < 2n.

t•u<~nt.a tlUO en la~ cnordeuadas t!sft!rit~i:l-.:

lf 1 •~ lf, ,-. l . lf 2 = llo= r. l\1cdia11w la ffH·cnula (tl) hallarnos »~

tl ~ O~~;

11 3 = Jf,0 = r:;ouO. ~2

,¡Q \

u•os.. n6dq>=2nR•

6st•uOdO ~, z:nn•.

Cale11lar l'l flujo del <.:ampo vectorial dado cu las coo•·dcrntdn:; cilíuclricas a trnvés de la :;upcrficie dadn S.

281. ct = ¡>e 1, -- GO!> <pe,r. + ze .. S f:S la superfic ie cerratln formada por el t:ilindro 1' :.- 2, y con los planos z = O y z - 2. 282. rt. """ (le ro + fHpe ,10 - 2ze,, S es la superficie cerrada formada pOI' e! cil i ndro p = 1. los somiplar\os fP = O y t¡> = n/'2 y los plnnos z "-· - 1' z = 1. 283. l rallar el Ilujo deJ C<lffi]lll VCdOl'iU! dndn tlll (¡t¡; coordoundn!' osfédcas:

a través de la esfera tlel radio R y con el wntro o n ol origen do coordenadas. 284. HRIIar ~1 flujo del vcctol' dado on las coonlunadas

esféricn:;:

a = re, + r SOil f)eo - 3r a trnvés do la seruicsfora superio1· del radio R. 285. H a liar el flujo riel vector dado nn l:ts c:oordonadas csférir.ns: a = r 2er + /l 2 cos fpe,,. a través do la esfont r = lt.

OPERACIONES DEL ANALTSIS VECTORIAL

§ 24.

151

286. Hallar el flujo del vector dado en Jas coordenadas esféricas: a = rer - r sen 8·c"', a través del semicírculo del radio R dispuesto eu el semi plano q> = (el flujo se tomó en dirección del vector e,p). 287. Hallar el flujo del vector dado en las coordenadas esféri cas:

<~ · e 0

=r sen

+ r sen O'cos <ilc,p,

a través del lado exterior rle la pnrle del semicono V3 z2 = = x 2 + y 2 li miladll do ardba por ol plano z = V3 (O~ ~ z ~ t/ 3). (i0 • JI allazgo del potencial en las coordenadas cu.rvlli neas. Sea c11 las conrde1111das cutviliucas q 1 , t¡ 2 , r¡, dadv e l campo vc.;torial

<t (M) = 4110

a 1 (q 1 , tJz, q 3 ) e 1

(q 1 , q 2 , q,) e 2

es_potenc ia! cu algíu1 rluminio

q 2 , q 8 , es decir, rota = O

011

<t 3 (q,, 11•· lfsl e, Q •lel cambio de variables 'h•

Para hallat· el potencial u u (q 1 , •¡ 2 , q 3 ) tic este campo \;¡ igualdad lt (M) = grad u. (M) c,;cribcn eu la ror111n do 1

a 1 e 1 -l- ll 2 e., + a,e 3 = -1,. '1 Do aquí sigue

q¡¿ 1 r)U -;;--e,+~q e. + 11 uf)¡ - 2 v •

IJUO

.!!.!::...=a,JJ, iiq 1 •

(7)

Esto es el sistema do las ccuncíones diferenciales de ]119 derivadas parciales, integraudo el cual hallamos el potencinl buscado u= u (q., q 2 , q 3) C , do11do C es unn constante a rbiLraria. El sistema dí' las ecuaciones diferenciales (7) se resuelve del •nismo modo c.omo pam hallar la potencial en las coordenadas cartesianas. L~l sistema de las ecuacio11es difcrellCi!lles (7) tiene Ju fonna 1) en las coordenadas cillndricas (q1 p, q 2 = <¡>, ·¡ 3 = z) éJu. ou ~OIL ., ;;p = "(t• aq;- ~ r<•q· az = n,;¡ (7')

2) 011 las

csféricns (q 1 = r , q 2 = O, q 3 = c:p) a u = ra.a. iiu = r sen · t1, ,. a6' 1

coord~nl•d;~s

iiu = " ... Tr

a;p

(7")

COORDENADAS CURVILTNEAS

i52

CAP. VI

Ejemplo 8. Hallar el potencial del campo vectorial prefijado en las coordenadas cilíndricas: arctgz ) lnp a = ( -p-- +cosq¡ ep - senq¡e"'+ t+z• e,. Solución. Según la fórmula (4) hallamos i t peP e"' pe• rota =

a a¡p

aretg " + eos m .,. p

- psen <r

{ji

(p >O),

In p 1 +z2

es decir, el campo dado es de potencial. El potencial buscado ~~ = = u (p, <p, z) es la soluci.Sn del siguiente sistema de las ecuaciones diferenciales: au arctg z ..L. ) o p = - p - , COS <p ,

oq> = - p sen <p ,

In p --¡¡z= t+z1

1 }

•

Do la primera ecuación mediante la integración por p hallamos que

,. = In p·arctg z + p cos q¡ + C (q¡, z).

(8)

Diferenciando (8) 'i-especto de q¡, obtenemos

8<¡>

= -psenq¡ + -

aq¡ •

y puesto que a;¡;- = - pson q¡, entonces a<¡> == o, es decir, = C 1 (s). De tal modo u= ln p·aretg s + p cos q¡ C 1 (3}. De aquf

~=~ 1 oz t +z• + C'(z) En virtud de la tercera ecuación del sistema tenemos lnp In p , t+z• = t +z• + Ct (z), o sea, e:_ (s) e O de donde C1 (s) - C = const. Y el potencial del campo dado u (p, q¡, 1) ~ ln p-arctg z p cos q> +C.

S 2~.

Dl~ r.

OPERACIONES

ANALJSIS VECTORIAL

153

En los problemas s iguientes es necesario convencer se que los campos vectoriales prefijados en las coordenadas cilíndricas con potenciales y hallar sus potenciales.

288. a

= ep + -1p

eq¡ + e:.

289. ct=pep+ ~ e~ + z e •. 290. a = <pze 0 + zeq¡ + p<pe ••

+ P1 e~ cos <pe"' +

291. a = eP sen <pep 292. a = cp cos zep

2ze• .

cos ze'l' - p

+ -;:-ere ea.

Solución. Según ln fórmula (4') ob\enetuos que e, ree r sen fl· e<t> 1 rot a = 2 -r

Sl' ll

.!_ r

e0 "'

1('

·=o.

i}m

-r

r·e0<t>

6 In r·e

El curnpo dado es potencial en el clornioio dondo ,. > o , O =P 1111 (n = (J , ±1, . . . }. Pura hallar el potencial u = u (r, O, q>) el sistema du e..:u¡u.:ioocs difcreHc iales (7) tiene la fomaa

!l!!_ = ..!_.,u,,, t1r

a..

-ae = <:pe0'~>lnr, í)JI

- - = fl·e

iJqJ

}

(9)

lu r . J

Al iuto¡.,rrar la prinaora e..:uacióll del sistema (9}, r1btonoanos u = e Oq> ln r -1- C (q¡, fl}. (10) Diferenciando (10) por e y teniendo en cuontu la sogu11da 1Jeuadóu del sistema, obt.uudromos me ·.-

o scu,

iJC

ae ::: CI ,

0 <P

r=<r•e11 '~>

r .J• .!!E_ 1

' r16

do dondo C(<p, 9) :; C 1 (<p) y po r tnnto

u = e9 ).

(11)

154

COOIIIH':NADAS l:lii1VILINEAS

CAP. VI

Difl! o·cou~iau¡lu ( 11) por q> y hwiou <lo c11 lliCIIIH ho ten·.cra t•.:uaCÍÓII oll'l ><Ístcuoa (9) ha l la11w~

" e;

(tp)

igll:tl

1'!<

(1 ,

Oett•c lu1 = 9e 0 'f. l u r -1- c; (•t•) do! doudc e, (<p) !:... e = (;011Sl. La polcllcinl huscndu

¡¡

11 (r,

O, <p) = e'h In r - j C.

Ucmmslrar la potencialidntl dn los sig11itnllcs carn p os n·rt.oriai L's profijaciOi' en }}ls eoonlenaclas esl"órieas h a ll ar SIIS polCIIt.iafC.'S.

29:~.

a ·-- Oe,

294. (/.

= '2re,

2!):).

IL •

291).

0•

+ ~: a 1'

2<p~-e,

...

St'll

-r ero.

t¡l ·' senOe,,. 1 7

COS 1p SI'J1 (i · e,

2".,7. a .· er

e.p

COS

C tt·

COS

9 ·eu

0 -e, -1 -;e 1 r () cos ·ca

Sl'll 11' • e,1 •

2tp

11 _1 <P 2 l r so'" 0 e<r··

7". Cúlcrtloo de la inte;:rn/. lineal y de l« rirculacióu tld <'tWtfJ" l't•ctoria.l en Los ¡•¡oordt•nndtJs cnruilineas. J)ndo QIJC el c.ampo vccl<Jda l (t (M ) ~ "• ('7 .. 11~· 1/s) e, «2 (q,, '1~· 1/s) e2 <13 (q,, fJ2, 113) ea "s tldiuidoo v c-onlinuu en el domi11io Q Jc 13 variación dll las cnordcuadas m·io~ouale:; curvilínllllS q 1 , q 2 , 'ls·

+·

J,n tliforl'lleial rlr del radio voc.t.or r dnl punto C11 tl!quicno M (</ 1 • 'lz · 'la) (: 12 • .:nnon es <:CHH>Cido, os igual (véase e l § 23, (8)) dr =

11 1 tlq 1 e 1

+ //

dq 2 e 2

11 3 dc¡ 3 ea.

.,¡;.,

la int.ogml li neal tltd vcclHr a (,H) pur plana " pat<'ialmcn~ll r>lana /, r:- ~l ~erá igual a l'o1

}(u,

dr) -

\'~•,JI,dq,

J¡)

¡·. urva

1 n 2 /1 2 t/q 2 +a 3 /J"tlt¡s-

~>l'iHulatla

(12)

En 1-H il'ticular, patu las cum·llenadas cilíudric~s ,,, p, 112 = <p, 'ls = z obtendn•¡uos a = flp (fJ, q>, z) Cp aq; (p, tp, z) c,1 uz (p , tp, z) Cz,

.\(a, l.

= dpefl + (J d<peq, + tlze, ,

dr)

. japtlp + a,p()tl<p - l· <t 2 dz;

(1:1)

pano las n•nnlcnada s usféricas q 1 = r, q 2 = O. q 3 = q¡ oh~<·IHircmos = Ur (r·, <J>) e, "O (r, O, ']') eo a,., (r, <p) Cq.• dr = dr ·e, r d6 ·eo r sen O dljJ ·Cq;.

+ +

§24. 'y,

155

OPimACIONI!:S D'EL 1\NALlSJ S VECTORIAL

por cuusiguioule,

)<a. dr) =

)a,dr + raed9 + raq.sen6tiq>.

(14)

La circuladóu C dol calll po vect()rial a(M) en las coordenadas c.ut·vi línoas q 1 , q 1 , q 3 so calcula en el caso general median~e la fórmula (12¡. y en el caso de ' las coordenadas cilíudricas o esfáricas e lla so calcula por medio do la fórmula (13) ó (1-4) respec~i va mente. Ejempl o 10. Calculllr l tl integrnl liueal en o! campo vectorial prefi jado en las coordenadas cilíndt·icus a = 4t.> son q>·e., ze1)·C"' -1- (p •¡•) ·Cz, a lo la rgu de l:t rocta

/,;

{ ·~ z

~ 4

:n \ tlel puntu O ( o, Tn , n ) ha:~ta .,¡ puu to 11 ( 1, T, o;. So l ució n. l':n el ojetuvlu dudo

a.1, = 4p

Sllll

q¡,

<&,1,

zeP ,

"z =

fJ + <p.

Sogúr, Ja fimnula ( 13) la intvgral linoal bu.s<::uht

\(a. dr) = ) ltpS<'nq>dfl -i c]A

pu'""'I' -1-(P+•p)dz.

En la recta L lcucmos:

Por tautu 1

\' (fl, dt• ) = .\· 2 01\

¡í:i p clp

,r :l.\' 21' clt• ~ ¡/ 2. o

Eje lllfiiO 11. C¡¡Jcular h1 inlc~ra l li nmtl <'11 l!l ca mpo vcc lul'ial JH'ofijacl o en las coorrlc nad¡os csfcrka:i a = ersen O ·Cr 362 sen '1' ·t! 11 -1- npO ·C,1, H lu larg•J ele la línea

en dirocdbn dcd punto M o{ ·J , O. (fig. 40¡.

T) hns~a e l punto M

1 (

T, T)

COOJlUENAOAS CUHVJL!NEAS

156

CAP. VJ

Soluc ión. Liuea Les e l arco de la c iJ·cuuferencia co u el cent•·o en el ol"igen de coordenadas y e l radio R = 1. que se enc uoutra IHI el (Jlauo yOz. Las coordenadas del vec tor dado s o n iguale.; a a~ = ~r son e, ao = 362 ' SCII IP· Uq¡ = rq>6.

FlG. ~<' ·~ 11

vi rtud de la rórmula (14) la integral l ineal tieue l a forma

(a, dr) =

) er sen U dr -l- 36'r seo q> dO + r2cp() sen O d <p. 1..

Tuuiuudo cu

~:uuula

r ~ 1,

que e u la líuoa

d r = O;

se cumpleu lus ~:oudici cmll:l:

4> = ~ ,

0~0~2 •

obte n ti romos ) (a, dr J =

n/ 2

392 dO =

303 dO

Ejemplo 12. Calcular la t.:ir culac ión del t.:11.1.11po vector ial p reri jado en las coordenadas cilindricas a = p sen q>·ep {lz ·e<~> ¡.oa.e,,

lo largo do In curva p = sen q>, L: { z --= 0, Solución. Las coordenadas del vector dado ap = p sen cp, aq> = pz, a z = p3 •

§ 21o.

O"PF.RACTONF.!\ DF.J. ANALISJS VECTORIAl,

157

El contorno L os una curva cerrada que so encuentra en el plano z = o (fig. 41). Sus tituyendo las coordonadas del vector dado ou la fórm ula (13) obtendremos

e = ~ p SOn q> dp -f- p 0 z dq> -f- p" dz , i:. ' Z

FrG. 41

En la curva L tenemos: z = O, dz = O; p = sen q>, dp = cos rp dq>, O ,.;; q> ,.;; n. Por eso la c irculación buscada será igual a: n

e = ~ p sen q> dp = L

sen' q> cos q> dq> =O.

Ejemp lo f 3. Calcular la circulación del vector prefijado en la coorrlenadas esféri cas a = re, + (R r) sen O· c,1., por la ci rcunferencia

r = R, L: { e - ~

- 2 en dirección (lel incremento del ángulo q>. So lución. En el ejemplo dado a,= r, a 9 = O, a'l> = (R -1- r) sen 6. Según la f6rmula (14) In circulación buscada es igual a C

= ~ r dr-1- (R-1- r) sen Orson O,¡q> = ~ r rlr -! L

r (R -1- r)

sen~ 6dq>.

E n la circ unferencia L dada, cuyo cen tro se encuentrn e n e l origen do coorolenaclas, tenemos r ~ n.

dr = O;

o ~

o..;q><n,

CAl'. VI

C:I)QO ilb:-iAIMS CUll\' ll .J NR A$

y , por cousiguicutu. ~~~

:!.11•

~ "'1'-

U/2

dop

ltnll•.

C:nknlar In inlCJ! rnl lineal por lns líneas tlatl:1s L 1! 11 lu:< ca m pos vcclori al('s prcfijaelns e n las coordcnnd as ci 1í ntli·icas. 29R. a = .:::r ,, -! t"l ·e"'+ cos rp ·e ,, L uscl s egmo ulo de l:1 recta: {p = n , •p O, O ~ z ,-.,;;; 1 }. 299. lt = pe,, + 2prpe"' ze,, /.; es la semiosfora: {p = 1, z = O, O ~ •P:;;;;; rt }. :JOO. a = ef• cos rp·e 11 + p sen r¡;·e q. + pe,, / , es In espira de lo lí nea hclicoidnl: {p = U, z = rp, (1 ~ rp ~ 2n }. Cnlc ular la inlc¡::ral lineal por In línPn dada Len los c nmpos vectorinl<'s prefijados en las coorricuatlas esfé-

rica!<. :JO I. a =-= e' cos r¡ ·e, + 20 cos O·e 0 + <r·e"', L es la semies fera: {r = 1, cr = O, O ~ O 8

302. a = 4r t.g

i e, + Ü·<P·Co·eo ¡

cos2

•p·e 4 ,

~ /,

n }.

os ni

sc~mcnt.o d<' la recta : { <p = ~ , O= ~ , O ~ r~ 1}. 303. a = sen:. O·t;r 1 sen 9 · e 0 + rq¡6 ·e,.,, L es el scgde In r('Cla: {<r ~ ~, r . sc~O' ~~A~~ } . Calcular por los conLornos dndos In circulación do los Cfllllpos vect.or ialos prdijados en las coordonndas ci lí ndri cns. 304 . a= zep + pzec¡o peL, Les la circunfcreucia: {p = 1, .z = 0}. 305. a = p sen cp·e, - p 2ze<~> p 2e., L es Ja circunferencia: {p = R, z = R }. 306. a = z cos <p·e, pe<s> cp2 e., L es el bucle: {p = sen <p, z = 1 }. Calcular por los contornos dados L la circulación de los vec tores prefi j ados en l as coordenadas esfé ricas. 307. a = 1-tle, + r sen R ·e '~', mc•nlo

J, es la c ircu n fere nc ia :

+ +

{r= 1,

~}.

25.

30H.

r sen O· e, + Uelle0 ,

~ . o ~.;; ~r· ~n}.

L I.'S ol lmclo: {r =- sOn<p, 0 =

309. a = npe. e,,,

L ,1: ~

<'S

e l conto1·no limitatlo por la ~<t'mil•~"<fc>ra

{r = R,

~ • o ~ e~:t}

por su diámetro vertical;

o}.

~ '0 :-

{<r --=

~ 25. O PEnADOR DE LAPLACI ~ LAS COOII DEl\ A DAS OHTO< ;o~A l. ES

Si u

.zrad

(q 1 , q 2 , 'la) n!; la fuuciÍi n 1

u=-~ e 1 + -'JI 1 ;;q 1 11 :

I·~C":t l;lr . l'fltOIII' I'S

...!!.!!:._ r)q 2

1 111 e 2 1 7r; tlfJo '

(1)

e ,.

-1-

011 tou ccs

¡· 1

IVfl ~

a 0 (q 1 • 'lo• r¡ 2 ) e~,

1 //IJ/>//:1

(/ (a,JJ,JJ,¡ 1- iJq,

Aplicando (¡¡s fór111 ula~ (1) y (2) parn el nprmuM tic La¡dar·c Au outencmns lll ttxprcsiúrt siguiente:

~~~

la s ron rd<•11adn0" 1:ilí11clricas

tw = _!_l ~ ( 1•~) (> ti(> Úf'

1 _:?_, ,;,1' =

( _!_~) 1' tJ <p

1~ ( 1• <);.

_!_ ~ ( ~ ) -1 P ap r Bp

~ ) J ·h:

- '-

iJ2u

ps .Jq>•

u• u

,;,• •

COOROP.N ,\ DAS CUil VJLINEAS

tfitl

CAP. V1

En las e<lur·tlurwuas osfül'io.:as .\u=

r• sen ll

L~ u r (r•sc.. o:!..!!....) dr + ~ cJO (seno~ cJO ) +

+ _U<p, ¡ ( _sen1_ () .!!!!.._ ) J__ ·1 _:!__ ( , .!!.!:.._ ) + ü<p - r• ilr Or 1 ..!._ (!l<'n e.!!.!::._ ) 1 + rs SOII U IJ6 · ¡J(J + r• sen2 U 2

.:>~u cJ<ps • Ejemplo. llallar Looa~ la!! rcsolucioues do Ja ucuación tlo Laplace t\u = U, quo tlupooden súlo de la distanc ia r. So l ució n . Al escribir la ocuaciún do Laplacc en las coordoml tlas c:JfiÍrio.:as y al Lomar e n o.:o nsideraciúu In simetría esférica do la solución (que u o tlebo ser función do O y de <p), obLeudreruos ÓU ~ -

1 - iJ t.lr

(

ilu r2 -) ilr

= 0

u (r)).

llo ;111ni

r• .!!.!::._ Or

~>8

•le motlo que

e, u= -;:UOIIde (..' 1 ,

r,,

(; 2

::1011

¡- c ••

CII II S\.au\.os.

3 10. Oaúo el campo escalnr u = 11 (111) on lus coordenadas ci lí ndricns u (p, ljl , z) = p 2 cp + z2 <p'1 - p<pz. lJ allar D.tt. :H t. Dado el cam po escalar n = u (Il1) on las coordenadas esféricas u (r, o, cp) = r 2 <pf) r<p:l. cp 02 • HaiiM D.u. 312. ¿::;on armónicas las funciones siguientesi'

pZ COS

2<p,

+ +

2) u = r cos 20. 3 13. Hallar todas las funciones armónicas posi hlcs; 1) que dependen sólo de e, 2) que dependen sólo de cp, (on el sistema de coo1·deoadas osf~rico) . 3 14. Hallar todas las resoluciones de In ecuación d e Poisson D.u = r" - t en el sistema ele coordenadas esf.;d co, si u u (r).

RESPUESTAS

2 :> fl, z ~ O que pasa dos veces y- - z cuando - oo < t + oo; b) para tE ( - oo, -1) U {- 1, oo) punto t2 + i . 21 . d 1 . r ( t ) =(t + l )t ' + (t+1)2 1 recorro os veces a sem• rrecta t. a) Semirrecta z =-

+ 11 -

> ~ ,y > ~ ; z2

7. 10.

d) Y =

a ·

i+k.

- i+k.

z:&:

: =

1,}

·-== i1;

;

e) x 1 +v• +

z = 1, z - y = O.

i + ''· !l. -i++-l't k. ei - i + 2T.·. 12. No. 14.

11.

17.a)2( ~:

e) z2

,r) ; b)

No.

1: 1+(r, ~:~~); 2

e) [r.~::J.

2 1. Las circunferencias que se encuentran en los planos perpendiculares al vector a. 22. La hodúgrara do velocidad es la línea hc licoidaJ: :r. = = a cos t, y = " !!Oo t, z = 2út; la hodógrafn de ncelemc ibu es la circunferencia: :r. = -a sen t , y = a cos t, z = 2b . 26

•

.!!!._ _.!!!!:._ .!!!!:._ • d'a = .!!!!!._ dt -

28. (t - 1) e 1

29.

30. 31. 11-01406

lo {1

dtl

i+; (t-

)

-i+T e

du'

~ 11

(!f.!!:..) 2 + .!!.!!:.. rlt r/u

rf'~tt dt2 •

so n2t)i - nrctgt ·k +c.

j + sen l·k + c .

i62

RESPUESTAS 1

32. ; i+nk. 33. ('l - e - 2 ) i -He2 - 1) i + (• -1) k

34. -ln2·i+ k. 35. 2n2i + 7ti+n'k•

¡!;¡

:16. R =· 1 • 37. sen 2t l

R ~~ ~3 1t l ( l -f· 9 t 2)Sf2

38. R = 6.

:~9.

R=-zan.

4\>. R = 2acbt.t. 41. x+y=O. 42. x-y - V Íz = O. i 1 1 1 43. y=T· 44. T 2acbst .

~ ~ ~ T+T+ 15=C es la familia de elipsoides de tres ejes. 46 • .z2 + 11~ - Jl = e es la familia de paraboloides.

45.

<I.1X

47. x 1 + yz = Cz es la familia de paraboloides. 48. 2y2 9z2 = e es la familia de cilindros elípticos. 4\1. :r: 2y - z = e es la familia de los planos paralelos. 50. ramilia •le seroiplanos que se obtiene de un haz ae planos «2!1 <tat. = e (blz b2!1 b3z), que pasan pOr la rocta

+ + +

tl 1x

-l-a 2 y +

cl 3 z = U, }

b¡:c -1· b2v+ bsz

~ o.

mediante l<J exclusión tic la propill recta. Artuí al• a 2 , a~ son las coordenadas del vector a~ b1 , b 2 , b 3 son las coordenadas del vector b. 51. x 2 y2 z2 •ca os la familia de las esferas concéntricas.

+ + =

52. (a, b, r) =e ó 1

:1 b1

:2 b2

:3¡= e

es la familia de los

planos paralelos. 53. 2x - v = e es la familia de roctas paralelas. 54. v = ex, C >O, x .p O, es la familia de rayos con el vértiee excluido O (0, 0). 55. v'-= ex· es la familia de parábolas. 56• .r - v• = e es la familia de hipérbolas. 57. y= -:r In C.- C, C > O es la familia de rectas.

viS- . 59. -- -v- 21 . _6o. vs 61. - 2 . 62. 3 , ,_2· 3 5 5 5 3 1 2 v3 63. 4 . 64. o. ~- ------g- <v 2+3). 66. o . 67. -2.

58. -

3 --~.

168

1\ESPUEST AS

nas

a (i + j ?

G9.

68. -í===-

,•+ No.

k ).

70. k. 71 . <p= n. 72. cp=O. 73. <p =O . 74. y= - x + 2nn, n =O, t 1. +2 . . . • • 75 . .z• +v•

t- :• - 1.

78. -;-.. 79. a. SU). a:(b , r )+ b (a , r ) .

.2!:_=..3!:. dr r

81. 2! a!•r - 2(n,r)rt . 86 •

cos(r , / ) . ~ = 0 pant r .L l.

l!u

'. -;¡¡- = -

r•

éJ/

=- _!_ l. 8"O • ~ r}/ 1" . 89. ~= tJ/ 9U.

-;¡¡: -=

(¡.rr;u lu. llr.tll " 1 •

iJu

'7íl ... '

lgra,l vi

g rud u.!.grad v .

91. a) 1 en dirc1·ción del eje Oy;

b) 3 en dil-c<·cióu del vector a = - i - 2j

92. y = Cpr ; :

. •

··= a,

":J.

,.,

'-e,. r

: = ~;r + C •. o, -

%+zv" !lli. J·•

r,y.

:~ (,·.: · !17.

!l8. xy - C 1 , z IClU •

r •.

w:i. ~ =-L+ C1 bo• ho~ X ~=

lo .

C 2•

102 . .r = C 1 y, x

C 2 z.

} J

1- C

/.¡0$ -

}

C2 •

v• ·1- :2=C,.

, donde h111 • bo•· b 03 son lns COOrdenadas del VCCLor (lo·

3•

104. n = - 3. IU5. n = nR• y . 106. fl = nli 01t . 107. fi = lm ! Pf(R).

,,.

2k .

: = C 1x, 11 • C 2 •

!1!1. :r = C 1 , 2y 2 -

...!.__...!._=r, z X

101.

tn8.

a• n - T·

IO!J. 11 =

R ESPUES1'AS

tt O. 11 = ~ nR 2 h. lll. 11 = nh•. 2

1t4. ll - 0. tt 5. ll = z-. 11 6. 11

ttS. a) IT • -

- 1/Z ; e ) 11 =

, b)

120. fl = 6nR. 121. n ~ o. 122. 11

~ ). 2

124. ll = ; n (1 126.

y2 n.

127.

R 4• 2 6

consl. 1:16. 11 = 4nR1 •

143. 16n. 141•. nJ/3. 145.

S81

123. 11 = 0 .

45n. 128. Jl

132. 7,.. . 133. o. 134. o. 135. 'IJ> (z) = z, 137. div E = O (r =/= 0) .

152.

125. 11 =

110. fl = IJ.

130. 11 = 0. 13 1. 'IJ>(r) = -¡:-.

129. fl - 8n.

148. 4 n .

:t.

.lt.

14~.

--;:¡ n .

TB2

n . 150.

146. O. 147.

n . 1St. 211'.

n . 153. - t. 154. -n.

1 55. Soli 11oidal. 156. No soli nuidal. 157. Soli uoidal.

159. <p ( r ) =

t6t.

rJ-; rf .

166.

'• R 1 • -3

170.

3 '

173. -

cons~.

162. ln ..2. . 163. ---~. 164. O. r, rt r~ 11· 41 167. . 168. a) -15. b) 32 . 169.

, /-

174. 1.

176. -

:<:

35·

171. 3 y 3. 172.

¡tt¡S,

175. -2n.

, r =!= Ll, C =

3 •

177.

~ . t íY. - 2(zi+ zi+vk).

165

RESl>UESTAS

J $ • 191. <o = Trotv=-T l•

180. 3(z'-x1}j. 18 t. (x-t-y) ¡,c. 193. /(:r,

z) = xz+x+z+C, C = const. 4 3 .

195. 4n. 196. -4:rr. 197.

198. - 2n. 199. -

128 3

- .

200. 72911. 201. u. 202. ::t. 203. 2CMta 2 • lndtcttclón. v = (w, r].

204. !ole = 1. 205. 1-lc = 3. 206. Depende.

207. No depl'ncle. 208. Depende. 209. -- l. 210.

2 3.

2 11. o. 212.

. n 213. 2

2 14.

2J 6. ~ . 1 ndimción . Complet.llr J.a vía de integración L con el segmeulo 2 17. 222. 228.

zao.

OA dd eio O:t. ¡ No. 2 18. Sí. 219. No. 220. S1 . 221. l'\o. No. 223. Sí. 226. <p x~yz. 227. 1p = x xyz. <p = x2 y - y 2 xz. 229. <p = In 1 x +y+ z 1. q: ál"clg (.ryz). 23 t. <p = r. 232. <p = ln r.

233. cp =

~ r 1•

234.

<p = ax +~v+ yz -1-C,

C =coost.

+ yz + + C . 236. q> = x !J + t• + C. e:< sen !1 + z + C. 247. a} Sí¡ b) no¡ e) sí. "= Cx +C A x• + B :J;y - lly A y B cualesquiera.

235. <p = 237. <p = 249. 250. u=

.t!f

z.t

2•

251. u (.r} = _

{

""1) n ·¡·· e 1" (t~ .dn ).T) + e, ..

+C2 ' 51· n -r _,_ + Cz. si n = j

252. T -- ~ ~- 253. 1 = 255. 256. 251:!. 260. 261.

= o.

(x =i= 0). 4 254. 1 = 3 n/F'.

b = xj (y - x) k . 257. b = (y2 - 2-tz) k. b = (•" - xell) j . 25U. b = 3.t2j (2y3 - 6xz) k . ó = - x (x + y~) j (r +ya) k. b = - (xz2 yze"""2) j - 2:r.yzk. 262. b = ..!.. ( - zj yk) . 2 263. b = -Hyzi + :rzj 7xyk. 264. b = 2x y2zi - 3x2 yzj + .t2 y 2 k.

+ +

265. b = ...!..sen :rz·i - ...!.. scn ..tt·k

266. b -' xi+vi •-k . .c'J --¡- y2

t 66

RESPUESTAS

~·, q¡

267. a) p = q¡+ C1 , P= z -1- Ca. b) p = In e)

cp = C~o

P = C2z

r =C 2 sent9.

268. grad u = 2 (p-1- cos •¡·) ef> - ( 2 son <p-1-

e • cos <p) X

X e<1> - e•scn lp ·e, .

269. gradtt = (cosq¡- JI'lo3)e¡) + { ~ seo2q- - scuq¡)x X e<~> +sen• q¡·e, .

270. grad u = 2r cos 6· e, - r ~en 6·ee. 271. grad u = (6r sen 6-1-e' cos q> - 1) e, + 3r cos 9 · eoe' sen q¡ rseo a eor· son 6 ) 2 cos a 272. gru<.l u=- j.l ( --,-~- e, + --,::¡- ea,

273. diva = 2-1- ...:_ cos <p - e<~' se n z. p 274. diva = : arctgp -1- i;p• - (z2 +2z)e'.

2 q>ctg6 + diva = 4r-~COS r

r ( r ·+~> s~n a cos 2a { a. sen a'1' ) ea--a. sen-e e.,. 276. rota = - -- e,-\2cosa sen 6 1 r se u r ljl <p 2 coso 277. rota =- -¡:- ctg 6·e, +-¡:- ea+--,-- e,,. 275.

278. rota = - 2peq,+ se n q> p

281. 24n.

282. T n.

285. 4nR'. 286. -

e,.

283. 4n.

284.

nlP.

R3.

287. 48. Indicaci6n . Escribir las ecuac iones de las s uperficies en las coordenadas esféricas. 288. u= p-1- <p + •+C· 289.

1 u=T (P'-1-IP'+ z*)+C.

290. u = p<pz+ C.

291. u = eP seo q¡-1- z• + C. 292. u = p-I-6+C.

RESPUESTAS

295. u =

i 2 (rcp•+6') + C.

167

296. u = rcoscpsen6+C.

297. u =e• sen 9+1n (1+cp')+C• .298. 1. 299. n•. 300. 2nR. 301. ~·· 302: 1. n .303. - - L 304. O. 305. - 2nR'. 306. n . 2

v2 -¡-+-

cpz 6cp: St o. Au = 4q> - -p+-ps-+2cp•.

307. n. 308. O. 309. O.

2 26 2r .3tl. ÁU=6cp9 -f- 12rq>'+ -¡;¡- + q> Ctg 9 + -¡:¡- Ctg 9 + senS 9 • 312. 1) Si; 2. No . .3\ 3. 1) u(9) = C,ln/ tg:

/+C 2) u(cp) = CJcp+C2. 2,

C1: (n+1)(n +2) + -,- + e,." '* - t , - 2 • r n +l

f ln r+..S.+cs.

31~. u(r)""' {

n = - 1, (1' :/=O)

t -~+_s_+Ct r

n = - 2.

SUPLEMENTO l

PRINCIPALES OPERACIONES DEL ANALISIS VECTORIAL EN LAS COORDENADAS ORTOGONALES CURVILINEAS

1. Campo escalar está prefijado en las coordenadas ortogona· les curvílíneas u = u (q1 , q 1 , q 3 ). Entonces

gradu = -9 -8- e1 +9 - - ..-ea+-1:'1 - ..- e3 • l ql 2 viJs 1 vqs Operador de Laplace t:.u

1 [-8( HsFis fJq, R,

Ji ¡ll 2Ha

...!!!:..._ 8q 1

)+ . !!!!:.._ )].

+ - 8- ( H 1 H 8 ..!!!:._)+-8- ( H 1 H 2 8q2 H2 8q2 éJqs Ha 8qa Casos particulares. a) El campo escalar está prefijado en las coordenadas cilindricas u = u (p, <p, z). Entonces au 1 au 8u grad ep+e'~'+ae•. l p p 0 q¡ z

u=a

Operador de Laplace Á

f O ( OU ) + 1 u=-p Tp p 8P pi""

éJSu

+ éJ!u

aq¡t i)z2 • b) El campo escalar está prefijado en las coordenadas esféricas u = u (r, e, q>). Entonces Bu 1 8u 1 ou grad u=8r e.+--ea+-----e ,. 86 r sen e él• Operador de Laplace t:.u=-1-.!... ( rl ~)

r• 8r

+ r' sen 1 8u sen e) + 2 1 e !... ae ( ae r sen a e

a•u aq¡s •

Il. Cam~o. vectorial está prefijado en las coordenadas orto. gonales curv1Hneas

16~

SUPLEMENTOS 1 Y U

Entonces diva

-.,--:;~,..- [ 8 (a 1 H 2 H 3 } H 1 HaH3 iJq1 1

H2Hs

·t

1 FI¡Hs e2

rota =

+ éJ (a H ,H ] ,. cqa

iJ (a 2 H 3 Jl 1) éJq2

--¡¡-;¡¡-;ea a

8qa aaHs

Casos ¡¡articulares. a} Campo vcctoria 1 está prefijado en lascoordenadas cilíndricas

a = a 1 (p, <p,

ep +

(p, <p, z)eq¡

(p, <p, z) e,.

Entonces diva = _!_ éJ (pa1} p éJp

-+. ....!...

rota=

ca~

p éJ<p

+ <)a

i)z

peP

er¡¡

pe'

éJ a<p

4¡

paz

b) Campo vectorial está prefijado en la:; coordenadas esf;:'ricas a=

4¡

(r,

e, 1p} Cr + aa (r,

ljl)

C(;l

T a a (r,

ljl}

Cl(.

Entonces diva

(4,r2)

éJr

r sen O

r 2 sen O

rota =

Tr 4¡

a(4z sen 0) éiO

l r seu ()

üO TiJa

+--·t

(Ja,

r sen U c)q¡ '

--¡:-e<,,

-d

<itp

a 3 r sen()

SUPLEMENTOS I Y JI

170 SUPLEMENTO ll

Coordenadas

Generales q,, q2, Qs

Elementos do arcas do las superficies de coordenadas

Superficies de coordcnadAS

q 1 = C= const q 2 =C- const q3 =C=const

Cilíndricas q, = r p=C= const q, =q> q>=C=const : = C=const 113= :

Elementos do áreas

q 1 , q3 ) H 1 (C, q2 , q1 ) dq 2dq3 dS 2 =H 1 (q., C, q3 ) Ha {q¡, C, q3 ) dq 1dq3 dS 1 =H1 (q., Qt· C) H 2 (qlt 92• C) dq,dq,

dS 1 =H~(C,

dS -= Ctil¡>dz dS=dpdz dS = p dp dq>

Esf~ricas

q, = r q~ = O ¡

1/a=<r

r = C=coust 9=C=const rr = f.' = const

0 tfO dqf'drdcr c/S= rdrr/0

dS=C2

:~en

c/S = rs~n

BffiLIOGRAFIA

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172

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Pcholin, Análisis vectorial pora los ingenieros electririsln'J y <ll' rnrlio)

(R. K.

A NUESTROS LECTORES: <(\Un edita libros soviéticos t.raducidos al español, inglés, francés, árabe y otros idiomas ex t ranjeros. Entre ellos figuran las mejores obras de las distintas ramas de la ciencia y la técnica: manuales para los centros de enseñanza superior y escuelas tecnológicas; literatura sobre ciencias naturales y médicas. También ,se incluyen monografías, libros de divulgación c ientfUica y Giencia ficción. Dirijan sus opiniones a. La Editorial «Mir,., 1 Rizhski per., 2, 129820, Moscú, 1-HO, SGP, UHSS.

En 1982 Editorial M 1 R publicar á: I . BRONSHTEIN, K. SEMEN DI AEV MANUAL DE MATEMATICAS PARA I NGENIEROS Y ESTUDIANTES El manual est.á compuesto por el Doctor en Ciencias Fisicomat~ málieas, catedrático K . Semendiáev y por el cated rático l. Broosb tein. Contiene seis secciones: «Tablas y gróficast, •Matemática (')cmcntab, ~Geometría nnalítica y difercnc i¡th, «Fundamentos dol atu\1 i~is matemático•, •Capítulos complementarios del análisis• y •Tratamiento do las observaciones•. La!! tab las <Jue vienen en e l texto se clan con Lt•es o cuatro cifras sign iFi ca tivas y contienen lo~ volorcs de los logn ritmos decimal es y naturales, las funciones cxpouenciales, hiperbólicas y trigonomHricas, la función Gamma, l as funciones de Bessel, los polinomios de Lc¡:cndre, las integrales elípticas, la integral dl· probabilidad y otra:~ tablas. La mnt e uoática elcmentul comprende el Algcbw, la Geometría y la Trigonnu•etJ·ia. L08 fundamentos del anñli ~ is matemático conti e ne unn in1.roducción al nnólis is, el cálculo diferencial e integral y lu s owuaciones difercncin lrs ordinarias en derivadu:; parciales ti c '1° y 2° órdcnés. Los capítu l o~ coruple111Cnlnrios del análisi;¡ :obnrcan los números complrjns y las funciones de variable compl<>jn, el cálculo vectorial y lns !!Críes de Fourier (análisis a r mónico). En la última sección sP Pxponcn los fundamentos de la teoría de probabilidades y de la te•11·ia de errorcl!, así como fórmulas empíricas y de interpola ción. Ade más do la grao cantidad de fórmulas que so ex ponen, los autores presentan una teor iu breve y muestran el modo de resolver los proble mas. El libro está destinado a los estudiantes de las escuelas media y superior, así como a lo!' especialistas.

EFI~IOV

GEOI\fETlUA SU PERIOrt En este libro, escrito por el profesor N. l!:ffmov, lauredo con el premio Lenin y Doct.or en Ciencias Fisicomatemóticas, se examina un g rao número de problemas. Se da la argumentación matem&tlca de: la geometría e uclídea, las geometrías no ouclideas de Lobacbovski y Ri emann, la geometría proyccti vn, lo geometría do Minkovski y las cuestiones geo métri cas do In teoría especial de In relatividad, así como una noción genernl do l o~ rormas topológicas de la geometría de la curvatura constnnt<•. La obra se divide en tres partes. El material principal se expone en las primeras dos portes. El malerial de In tercera par'e - nociones principales de lb geometría de la curvat ura constante- puedo ser aprovechado en el trabajo de los círculos matemático~. Ellihro se carncteriw por In c~lnridnd de !IU exposición y es comp rensible .PIIrn un amplio llíc·cccl o de lectores, aunque Jos cuesl iones que lrnta, por así decirlo, no siempre son ~cnc illa ~. Esta monografía It a sido reeditada vurins veces eu In Unión Suviética y en otros países. Está destinadG a los estudiantes de los centros docentes superiores, así como a todas aquellas perl'onas que se interesan por las mnfemálicas.

V . MASLOV

1\ff:TODOS OPERATORIOS

La obra ofrecida, perteoecieut.e a la pluma del Doctor en Ciencias Fisicomatcmáticas V. Máslov, corresponde a la exposición de un curso de conferencias dict~das por el autor a los estudiantes de la facultad de matemática aplicada del Instit~Jt.o de Construcción de Máquinas Electrónicas de iMoscú. Etí la cuestiones contemporáneas de la matemática aplicada y de la física teórica, el análisis funcional y la teoría de los operadores linea les desempeñan un papel importante. Al mismo tiempo, los problemas actuales aplicados obligan 3 tratar las bases del análisis funcional desde otro plmlo de vista, e, incluso reformular la exposición tradicional de las misma:sPrecisamentc a este fin sirve este manual do e:studio. En los prim~ ros tres capítulos se exponen los principios del análisis funcional, necesarios para el método de resolución de una amplia clase de ecuaciones con derivadas parciales;y de ecuaciones en c!Herencias finitas, propuesto por el autor. A este método se cledican los restantes capítulos del libro. El método de Máslov es una g('neralizacióo de largo alcance del clásico método de operadcn·es de Laplace-Heaviside. El mismo goza de gran estima en In URSS (en 1979, debido a ello, a eJta obra le fue concebido el premio Estatal de la URSS) y en el extranjero. La exposición ti<lne una evidente orientación aplicada. En calidad de ejemplos de empleo del método se muestran las resoluciones de muchos problemas físicos i mportantes. El libro está destinado a los estudiantes de in!<titutos de ense1'ianza superior, y será de utilidad a profesores de matemática y a los especialistas.