Calculo Diferencial e Integral by Ayuda Estudiantil UES

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL ST�FAN BANACH T rad udores y . colaboradores

·GUILLERMO

de la edicl6n española

GARCIA

TALAVERA

Profesor de·. lo Escuela Superior de Ingeni•ría Mecánica y EUctrico tl•l Instituto Politécnico Nacional, Mlxico

ING.

ALVAR

NOE

BARRA

ZENIL

Profesor de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EUctrica del Instituto Politécnico Nacional, Mlxico

ING.

CRISOFORO

JOB

GONZALEZ

Profesor de la Escuela de Ingeniería Municilal, Mlxico

PROF.

LUDWIK

MMGULES

SEGUNDA EDICIÓN EN ESPAÑOL

UNION JIIOGWJCA EDITCIW. IISPAIIJ _..

BotcelonaBovoca. --Car-.�Lo-"---. � Roo do,.,_, s....-do C..RIM,_.....,_.....,.

MOKO

CALCULO ;DIFERENCIAL E INTEGRAL

Ejta obra es la traducción al español, debidamente autorizada, de la publicada originalmente en idioma ruso, cotejada ct'>n la edición original en polaco, por Panstwowe. Wydawnictwo N aukowe, de Varsovia, Polonia, con el título

RACHUNEK ROZNICZKOWY 1 CALKOWY

Queda hecho el registro y el depósito que determinan

las respectivas leyes en todos los países de lengua española.

IMPRESO EN MEXICO

PRINTED IN MEXICO

Central de Editoriales, S. A., Vicente Beristáin, nY 70, México 8, D. F.

PREFACIO DEL AUTOR A LA EDICION EN LENGUA POLACA Ofrecemos este libro a los estudiantes que se inician en el Cál�ulo Di ferencial e Integral. Su estudio permitirá al lector abordar textos más extensos sobre el particular. Trataremos de presentar los teoremas más importantes y, si es }'5osible,

su demostración. Sin embargo, serán omitidas algunas demostraciones, pues, a nuestro entender, complicarían el aprendizaje a los recién iniCiados. El lector debe tratar de resolver el mayor número de problema� pro

puestos. Debido a la falta de espacio, hemos limitado el número de estos problemas.

Debo expresar mi profunda gratitud al señor J. Auerbach por la ayuda

que me prestó en la preparación de este libro.

STEFAN BANACH

INTRODUCCION

Anticipemos a l gunas definiciones y teoremas de utilidad subsecuente.

l . 1 n t e :r v a 1 o (a, b) o [a, bJ es e l conjunto de número s x que sa tisfacen una de las parejas de desigualdades

a<x<b, a<x<b, a<xE;b, a�xE;b. /

El intervalo es e e r :ra do si se cumplen las des i gualdades a<�c;b. Conocida la interpreta c ión de los núme ros :reales sobpe un eje num� Pico, l lamaPemos s egm e n t o al intePvalo y pu n t o s a los números. 2. Re co:rda:remos al l ector la fórmula conocida bajo el nombre de Bi nomio de Newton:

(2 ) tt'-1b1+ . . + (,,_:2)a•b"-•+ + (�� 1 )ab"-1 +b", .

(a+b)"=a"+ (i )a"-'iJ'+

(1t )=11(11- 1}(11"

donde

2) • • • (n-t

(; ) definido en la última

El sím bolo

fóPm ula e s vá l ido pa:ra los val ores fraccionar ios, y negativos también, de n . PoP ejem p l o ,

)

- 8· 7·6·5 70 ( 84 -1·2·3·4• (- 10H-1 1)-(- 12)-(- 13).(- 14) 1·2·3·4·5 �1 (-

(-10) 5 (-''·) ( }) ( } ) . ( +-2) ... � ( �) . ( }) ( f) ... (- �) k

así

que

etc .

...._

ltl

200�,

-lt +

(- 1 )� 1·3·5 (lt- 1) 2-·4·6. ..� •

1 ·2·3.. .•

_.,.) 1·3·5 ( 3 =-2·4·6 =- ifi•

•••

3. De la f6Pmu la de Newton se deduce, inmediatament�, la desigualdad

( t + x)" ;;a. 1 + nx pa:ra

x � o.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Haci e ndo

1 + x=A,

o b tenem o s , pa Pa A� 1 :

A"� 1 +n (A -1 ) .

r>a .

Am bas destgua ldades son válidas pa Pa un núm�Po natur>al n cualqu i e-

4 . Lá igu a l dad

se cumpl e pa Pa todo núm e Po natu r>a l n , cuando q f l. Esta es la bien conocida f6r>m ula par>a la sum a de la p po g re sió n geo m étPica . •

5 . El l ecto r> sabe , po r> su Geornet P(a elementa l , que los án gu l os se m id e n en grad o s . En Matemálicas su p e r> i o r es ppefer>ible, s in e rn ba r>go u sa r los llamado s r>adianes com o medida el e l o s ángu l o s . Sea K un cíPcul o con c�ntr>o en el o P igen de cooPdenada s OXY , de ra dio unita P i o . ELegim os en e l plano OXY un sent ido definido de rotación ( en la Fig. l se ind ica con una fl echa) que consideraremos p o s itiv o ; una rota- c ión en sent i d o contPa Pio se toma Pá com o n e g at i v a . Sea x u n n ú m e Po a PbitPar>io . Tomemos so b P e la c i Pcunfep encia de l cíPculo K ( paPtiendo y de A) un ar>co de l on gi tud lx/en el s en t i do posi tivo· o en el n eg�tivo y tendremos x> O , x< respect ivam ente . ( En el caso de x • O , el arco se Peduce al p u n to A). E l pu nt o B d et e rm i na com A pleta m ente e l extremo del arco sobre l a c i rcun fepencia del cír>culo K. El nú m e r> o x es la medÍ.:. da cícl ica del ángulo AOB. Evidentem e nte, todo ángu l o tieue una infini dad de va l o r> e s +) en un idad es e ícl ica s q u e d i .:

Fig. 1

fier>en entre sí en un m úl tiple de la longitud de l a cir>cunfer>encia , es dec i r, en 2 rrn (n, entero ).

Par>a pa sa r d e la medida en grados a rad ianes se u sa la fó rmula

x = � +2rm,

donde x expPesa la med ida en radianes, a e l núm e po de g rado s y n es un n ú me r>o ente r>o a Pb i tPa P i o . Po r> ejempl o, l a rn ed ida e n Padianes del ángulo recto XOY será la CUa Pta pa Pte de la C i P C U n fe r en cia , es decir>, , y tam b i en CUal quier> n(Í 2nn (n , entero ); la m ed ida en :radianes del ángul o mer>O de l a form a s em ic i rcular AOA sePá la m i tad de l a c i r>cunfe pencia , e s t o es 1t y tam n+ 2nrr (n, en t e p o ) , poP cons igu iente , tod� múl:bién c u a l q u i e r númer>o t i plo im pa r> de rr; etc . 6. Reco rdemos l a s conocidas de s i gual dades :

la+bl � l al-f-lbl,

1 a - b 1 ;;;;:.¡ a 1-1 b 1,

INTRODUCCION válidas para núm&ros cualesquier>a a, b.

7. Se dice que los núme{"'os a y b difieren en menos de e, si tiené lugar la desigualdad Ja-bJ<e es decir, las des·,gualdades

CAPI TULO

TEORIA DE LAS SECUENCIAS CONCEPTO DE SECUENCIA

l . D e f i n i e i 6 n d e s e e u e n e i a. !" Si se t iene una ley según la cual a cada núm e:ro natu:ral co:r:responde l1fl núme:ro dete:rm mado se dice que una secuencia de núme:ros ha sido dada . Ejemplo. Sea una l ey. según la cua l a cada núme:ro natu:ral co:r:respon de un núm e:ro en la s igu iente fo:rma: al núm e:ro 1 co:rresponde 1, al nfi m e ro 2 corresponde t. al n úm e ro 3 coP:responde 1/3. etc en general al núm e:ro n corresponde 1 /n. Escr ib iendo estos núme:ros obtenemos la secuencia .•

El núm e:ro correspond i ente a la un idad se l lama p:rim e r término de la secuenc ia. el núme:ro que corresponde al dos es el segundo tér m ino de la secuencia, etc el núme:ro correspond iente á n es el e n 6s imo t é :r m i n o d e l a s e c u e n c ia. .•

Los té:rm i nos de una secuencia se rep resentan en l a s igu iente fo r m a: tomamos una l etra arbitroaPia . a, por ejemplo. el prim e:r término a lo representa mos con el sim bolo ,, el segundo té:rmino con el sím bo l o a1 etc

.•

e l térm ino gene:ral ( enésimo ) con e l símbolo a,.. S e l een --

.así: a prim e ra 6 a (ndice 1, a segunda 6 a índ ice 2, etc a enésima 6 a fnd ic e n. Observemos que si a,. es el enésimo té:rm ino de una secuen .•

cia, an+1 serfa el térm ino subsecuente. a,+�i será el segundo térm ino subsecuente etc

.•

y el té:rm ino

a,.+ ,. será el k-ésimo después de a,.

Asfm ismo , an es el térm ino que precede al a-,., a,._. e l que p recede -1 al a,._,,, etc La secuenc ia cuyo término general es a,. f:recuentemente .•

se rep resenta en fo:rma ab:reviada por {a,.}; po:r ejem pl o , l a secuenc ia

1, 1- ,

{-. {,

· · ·

se representa con el sím bolo

{.;,}.

Nos p:roponem os ahora este probl ema ¿en qué forma puede obte nerse una de:rta secuencia? O en ot:ras pa la b:ras ¿ por qué método puede dar-se una secuenc ia? En d i versos casos puede p:rocederse de man e ra d ive:rsa. Most:remos a l gunos m étodos pa:ra formar secuen c ias. l. Dam os una secuencia mediante una f6:rrnula , digamos po:r ejempJo •

Vemos de inm ed iato que

an=5n.

a1 =5, a1=5·2= 10, a1=5·3= 15, ... , a10=5.20= 100,

. . •

Anál ogamente, dada la secuenc ia m ediante una f6:rm ula, hac iendo +

a11=5n'-n+ l. Llamada tam bi�n sucesi6n.N .de los T. 4

TEOlUA DE LAS SECUENCIAS

entonces tz1=5, a1=19, a,=43, . . . a100=49901, . .. . 2. Damos una secuencia diciendo . por ejem plo . que a,. es la enésima �•

c ifra del núm ero V2 . Enoontramos que

a1=1, tz1=4, a1=1, . . . Calculando 1f2 por medio del conoc ido algoritmo encontramos la pri - m era . segunda , tercera . etc c ifras Asr pues . nuestra secuenc ia qu� da detePm inada. .•

.•

S im ilarm ente definimos una secuencia d iciendo que enésima de l núme ro ·11.

•·

es la c if:ra

3. Otro m étodo para dar una secuencia es el llamado m é t odo d e r e e u r r e n e i a"!" Cons iste en dar el primer té rm ino y e l método de - cálculo del térm ino enés imo con auxil io de su predeceso P . Aclal"emos con algunos ejem plos. a) Sea que e l primer- términ o� es ce ro v cada uno de los sigu ien tes el triple de su. p re dec e soP mas dos, es dec ir

TendPemos

a1=2, a1=8, a6=26, .. b ) Sea uno el prim eP téPm ino y cada uno de los siguientes igual a la suma de todos los térm inos precedentes , es deci r a 1=1, a,.= a1 +tz.+ a.+ ... + a,._1• En este caso

•

a1= 1, a,=2, á.=4, a1=8, e ) Sea que el pPimer téPm ino tiene un va lor a y cada uno de los s igu ientes es igua l al precedente más un núm e Po d . es dec ir. . . •

Tendrem os

a1=a, a,.=a,._1 +d ( ppogPesión aritmét ica ) a1=a+d, a, = a+ 2d, . . .

2. S e c u e n c i a s Mo n ó t o n a s . Una secuencia es crec iente si ca da uno de sus téPmtnos es mayor que su precesor , es dec i r , tz,.>a,._,;.

e s d e c p e c i e n t e si a,.<a,._1; n o- e P e e i e n t e

es nQ..;d e c r e c i e n t e si a,.;;;;::, a,._,; y a,. � a,._,. Se uáma m onótona a cada una de estas

secuenc ias . Las secuencias decrec ientes y las crec ientes se d ice que so n e s t P i e t a m e n t e m o n ó t o n a s . Ejemp los. l. La secuencia{n}de los núm ePos naturales e s crec iente . 2: La secuenc ia ..!... de los invePsos de los mlm ePos natu Pales es decr!! n Clente.

{ }

3. La secu enc ia { a J· donde

�

tz,.

PepPesenta la total idad de los nCimeros n!_

tu pa les d ivisibles entre tres. no superiores á n. es no -d ec rec ient e:

a1=0, a..==O, a1 = -l , a.-= 1,

+ O m6todo de. recursi<fn.N.de

l os T.

a.== 1,

a.=� . ...

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAt

{ �}

{

* 4 . La secuencia E ñ es no -c Peciente : a1= a1= a�= l, a,=a,= , .. ( ) 3. S e e u e n e i a s a e o t a d a s Una secuencia es a e o t a d a si todos sus té Pminoq pe Ptenecen a un intePvalo finito (-M, +M) 6 en otPas pal a bPas, cuando (M:> 0), lan! < M (n= 1, 2 , 3, . .. ) Ejemplos. l. La secuencia{a11},donde a es l.a enésim a c i fpa dec imal del núm e Po n 2, es acotada , toda vez que Janl< 10. •

V-

2. La secuencia

{ n � 1 } e s a cotada, y a que Jan!<t.

ObsePvemos que una secuencia acotada no necesaP iam ente es m on6 tona y vicevePsa . PoP ejemplo, la secuencia

f + <;- 1)"},

es dec i P , a1 o, a = l , a O, a 4 • 1 es acotada pePo no es m o 2 3 n6tona y la secuencia {n} d e l o s núm ePos natu Pales e s m on6tona , pe Po no =

•

. . . ••

es acotada . 4 . O p e p a c i o n e s e n t P e s e c u e n c i a s . La mul tipl i cac i6n de una secuenc ia poP un númePo , la suma, la pesta , la mul tipl icac i6n y la div i s i6n d e secuenc ias s e definen de la si guiente manePa. PaPa m ultipl i caP una secuencia po P un núm e PO, se m ultipl ica cada uno de sus téPm inos po P ese núm e Po. PoP ejempl o , el ppoducto de la .se cuenc ia (a1, a , a , a , ) pop el núm epo m es la secuenc ia (ma1, ma-;, 2 3 n ma,,

• • •

ma , n

•• •

• . •

)

. . •

Dos secuencias se suman, Pastan , o mul tipl i can, sumando, !"'estan do o multipl icando sus téPm inos Pespectivos , PoP ejem plo , dadas las dos secuen cias: obten emos: sum ando , restando, m u l t ipl i cando ,

* E(xJ pepPesenta el mayo P enter>o. que no excede á x. PoP ejemplo,

E(5) • 5 , E ( n! 3, E ( lg 2) • O , etc. El núme Po E(x ), satisface la des igualdad�- I<B(x):E;;x,lo que se dedu •

ce inm ediatam ente de la definición .

TEOIUA DE LAS S�CUENCIAS

El coc iente puede definillse solam ente en el caso en que todos los térm inos d e la secu enc ia. entre la que se divide, sean d ife rentes de ce ro , ya que .di vidi r entre cero es i m posible . Para d i vidi P una sewencia en tPe otra ( cuyos términos son diferen · tes de cero ) se di viden los térm inos dt; la primera entre l os correspon d ientes térm inos oe la segunda . Esto s ign ifica qu e para las dos secu én cias

donde todo bn es diferente de cero , su coc iente es la secuenc ia

Las operac i6nes indicadas, entre secuencias, se expresan simb6li

camente en la s igu iente forma:

PROBLEMAS

{ + 1 } es c reciente . 2n

l. Den1ostra r que la secuencia

2. Demostra r que la secuencia fa,.t, donde a,. es la .en és ima c ifra de un

núm ero i r racional arbitrario, no puede ser monótona .

3 . Demostrar qu e para cua l quier núm ero x , a rb it rariam ente ele�ido , la

secuencia {E �x)}

es acotada .

4 . ¿ Es acotada la s�cuencia

p +x+x1+... +x"l para todo x?

CONCEPTO INTUITIVO DE LII\HTE DE UNA SECUENCIA

Lí m i t e d e u na Se c u e n c i a Mo nóto na. Al concepto de l ím i

te de una secuencia puede llegarse in tuitivamente de la siguiente mane-

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

ra ( Sea {a.} una secuencia monótona, creciente por ejemplo Do• ce so• son posibles:

.•

l ) Los térm inos ae 1a secuencia crecen ilimitadamente. Esto sig nifica que para un número grande dado, todos los términos de la se - cuencia {a,. } , a partir d e cierto térm ino, son mayores que este número; 2) O bien ,los térm inos de la secuencia {4.} no crecen íl im itadá -

mente,existiendo u n núm ero g al que todos los términos de la se -

cuencia {a,.} s e aprox iman i l im itadam ente,lo que sign ifica que dado el númer>o arbitrariamente pequeño e> o podemos encontttar cierto tér - m ino de la secuencia , tal que todos lo s té.r m inos subsecuentes difie ran de g en una cantidad menor que e. Este núm ero g se l lama Hm ite de la secuencia y se =g.

liman

escribe así:

n-+ oo

eonverge a g . Pueden ha cerse obse r>vaoiones análogas en relac ión con las s e c uen c ías decr>ecientes . Formula r>emos desde l uego , la sigu iente propos ic ión :

{ an}

Se dice que la secuencia

T e o r e m a.

Toda s e c u e n c i a m o n ó tona a c o ta da t i en e

un l t e ( e s · e o n v e r> g e n t e ) . Ejem plOs . l . La secuoncia es c rec iente , pero no es acotada . A s (m ism o la s e cuencia

ím i

{n 1}.

2 . La secuencia 3. La secuenc ia

4. La secuencia

{n}

{ 1 -�} e s c r>eciente y ac otada y su l ím ite es l . {-k-} es acotada dec rec iente , su l ím ite es O. 3 8 } e s acotada y decrecie!! 1 { n53n+ 5 -l } ó {-5 + 5 (n-1) y

te y su l ím ite es 3/5.

6. D e f i n i e i () n g e n e r a 1 d e 1 í m i t e d e u n a s e e u e n e i a .

Con

s id er>emo s ahora una secuencia {an} cua lqu iera no necesariam ente mo

nótona . Puede sucede r que exista un núm ero g, al que los tér>m inos de la secuenc ia se apr>oximen il im itadamente. Esto s ignifica que dado un núm e r>o arbitra r> iamente pequeño >O encontremos cierto térm ino de la secuenc ia tal que todos los subsecuentes de éste, difieran de g, en una cantidad m enor> que

Puede demostrar>se que si ta l núme r>o existe es único . El n Cim e po g se l lama lím i t e d e 1 a s e e u e n e i a , tes , se representa por>: 11m an=g. n-+oo

Si la secuenc ia E je m pl o s .

y como an-

} no tiene límite se dice que es d ivergente,

{ an

TEORIA DE LAS SECUENCIAS

{(-_ni)"} es c onvergente ,

l . La secuencia

2. La secuencié {(- 1 )"} es d i ve rgente.

y su l ím i te es igual a cero.

7. C r i t e r.i o pa r t i c u l a r d e c o n v e r g e n c i a . Frecuentemente resulta difícil determ inar si una secuencia posee un l ím ite o no, En - muchos casos es útil el siguiente teor>ema: Si 1 a s e e u e n e i a {e11} e s t á e o m p r> e n d i d a e n t r e d o s (11,.}, q u e c o n v e r g e n a u n m i s mc. s e c u e n c ias {a,.} y

l ím i t e , l a s e c u e n c i a ,

c o n v e r g e a e s e l ímne c o - -

{e,.}

m un . Observac ión. Decimos que la secuenc ia {e,.} está com prendida c:m tr>e las secuencias {a,.} y si para todo n se cum p len las des igual dades siguientes

{011•

{B�x)}

Ejem plos. l. La secuencia

tiene á x por l ím ite; en efecto , tenemos -

nx-1 <E (nx)E;;;; nx.

<E(nx) <;x como cada una de las sec.uencias { x- -}}, {x} convergen al lí E < x> m ite x, la secuenc ia { : } com prendida entre ellas , tendrá el mismo po r> consigu i ente,

x-..!..

l ím it e.

{

2. L a secuencia � � ·donde a es la enésima c ifra del númer>o w, tie - ne á o por l ím ite, �a que el f1 esL á com prendida entre las secuencias -cuyo l ím ite común es O. {0},

{�},

8. O p e P a e i o n e s e n t r e

(b,.)

seeueneias

eonve rgente �

•

Si {a,.}

son dos secuenc ias converaentes, puede demostra rse el . si- -

gu ien te: T e o r e m a . P a r a 1 a s s e e u e n e i a s e o n v e r g e n t e s {a,.+ b,.}, {ca11}, {a,.b,.}: l ) lim (a,.±b,.)=lim a,.+ lim b,.; n -+oo

2) S i

•-+oo

n-+oo

e s u n núm e r o ar b i t r a r> i o lim ca,.= e 11m a,.; 11-+00 11-+00

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

lim (a11b11) =n-+oo lim a11 • n-+OO lim b11• n-+OO A d e m ás , s i

e s c onve P g e n t e

bn =1= O , 11-foOO lim b11

-.t.. -,-

O, en t o ne es , 1 a s e e u e fl e i a

{b�} ,.

y lima,.

lim an = 11-.oo • lim

11-.oobn 9.

11-foOO

S ee u e ne i a s q u e d i v e P g e n a

b11

+ oo.

IntPoduzcamos el s i-

gu iente m étodo con ven iente d e expPesi6n , DiPemos que l a secuencia d ivePge a

'{a11}

+ oo • , si papa todo númePo aPb itPaPiamente gpande A exi�

te c iePto téPm in o de la secuenc ia a p a P t i P d e 1 e u a 1 t o d o s 1 o s téP m i n o s s u b s e c u e n t e s s o n m ayo p e s q u e A . Lo que escP ib imos com o s igue�

lim a,. =+ oo.

n -.oo

{n}, {2"}, {n 1-n} Análogam en�. diPem os que la secuenc ia {a11} di vePge a

Ejemplos de estas secuenc ias son

oo,

si paPa todo núm ePo aPbitPaP iamente pequeño A ( algebPáicam ente) , exis te ciePto téPm ino de la secuenc ia , a paPtiP del Cl,lal , todos l os téPm inos subsecuentes son m enoPes que A. Se escPibe com o s igue :

Ejem plos de estas secuenc ias son las ante P ioPes si se m ultipl ican poP -l. OtPos ejemplos l o son {-JO"}

{n-n'},

Pr>ocede obsePvaP que las secuencias que di ver> gen á + oo 6 -no, no tiene lím ite y que los símbolos + oo y - oo por> nin gún motivo son 11a m e Pos, s ino solamente una foPma abPev iada de escr>ituPa.

lim ObsePvaci6n , S i se escPibe sin ninguna expl icac ión ultePioP debe entendePse que la sec uencia es conver>gente y que pop consiguiente g es un núm e Po Peal y no uno de los sfmbolos+oo, - oo .

n-.ooa,. =g {a } 11

* Se d ice tambi6n que " tiende a + ao " .

TEORIA DE LAS SECUENCIAS ¡O.

sobre secuencias

Teorema&

que divergen a

+oo.

Pu ede n d e m o s t P a P se l o s s i g u i e n t e s t e o P e m a s . tendPemos a) Si la secuencia {a,.} e s acotada y lim h,. =+ 00, n --. oo

n --.oo

11m (a,. + bn) = + oo, lim (a,.-b,.) =- oo,

11-+00

bajo la condición de que

.11m �=O n

n�oo

bl Si

lim a,.=+oo · n--.oo

b,. =1= o

llm b,.=- oo, n--.oo

hm (an-b,.)=+oo,

a--.oo

lim (a,.b,) =- oo.

n --. oo

e) S i

n--.oo

lim b,.=+oo,

n-+oo

11m a,.=g, g=f=O n--.oo

lim (a,.b,) =

e) S i

lim a,.=g, g=j= O

11-+1"0

te n d P e m o s

Um (a,+b,.)=+oo '

n--.oo

lim (a,.b�) =

11-+00

n--.oo

d )

t end P e m o s

lim a,. =+ oo

papa todo n.

.--.oo b,.

11m�=

00,

n-ao

lim b,. =+ oo,

tendPemos

{ + oo papa gg< > O, O -oo papa

lim b,.=O, b,. >o, tendPemos

n--.oo

a g>O, { +oo paP paPa <O. - oo

PROBLEMAS l . Dem ostPaP que la secuenc ia Pio x t iene á O como lím ite. 2.

papa cualqu ieP núm ePo a Pb itPa

- oo? d i vePge a + oo 6 ll-I)11nl ¿ La secuencia n• iP, dec es +31, -'5n1 DemostPaP que la secuencia t

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGilAL

d iverge a + oo.

4 . Demost!'ar· lo m ismo para la secuencia

oesigualdad

311� 1 +2n

DEFINICION

1 1.

l ver Introducc i'6 n parágra o 3

RIGUROSA DEL LIMITE DE UNA SECUENCIAS

S e g m e n t o s d e un

a 1 , a 2,

J311- nl, haciendo uso de la -

s e e u e n e i a . S i tenemos una secuencia -

a •·· · ·• cualquiera , diremos que el conjunto de térm inos que n subsisten después de e l im inar los n-1 primeros térm inos de dicha se - cuencia forman su s e g m e n t o e n é s i m o • Por ejem plo, el segmento el centésimo será a100t a101, a"•' ... . sexto será el conjunto 41, a,, a,, ... , • • • ..

En particular el primer segm ento de una secuenc ia contiene a todos los té rm inos de ella . Los segmentos de una secuencia se representan por los sím bolos A , A2 , A , ••. .. ;el fndice de A representa a1 núm er.Q del segmento. 1 3 As( pues por ejemplo , A6 representa el segmento sexto. _ Expongamos algunas ppopiedades evidentes de los segm entos que nos serán de util idad en l o que sigue.

Si se tienen dos segmentos cualesquiera , A5 0 y A 00 , por ejempl o, 1 entonces siempre, el últtm o segm ento, está conten ido en el -PPim ePo; en nuestPo caso, A 00 está contenido en A 0. 1 5 2. Si tomamos un segm ento aPbitra P i o, A 00 p� r ejemplo, ún icamente 1 un níime ro finito de térm inos de la secuenc ia no fo.Pman parte de este segm ento. En nuest.Po caso el segm ento A 00 solam ente no contiene los 1 99 pr imeros t�rm inos, es decir, a , a , , a99• 1 2 3. Recíprocam ente , si tomamos arbitrariamente un núme ro finito de térm inos, e xiste un segm ento que no los contiene ( por ejemplo, todo segm ento de índice mayor que todos los fndices de estos térm inos). • . . .

4. Análogamente , si se toman dos segm entos arbitrarios , A 0 Y A 5 100 POP ejemplo , solamente un níim ero finito de téPminos de primer seg - mento no está contenid o en el último. En nuestro caso los 50 pr-imeros tél"rninos del segm ento A , a saber': a 0 , a , a , ,· a 99 no están 50 5 51 52 contenidos en el segm ento A 0• Los térm inos restantes del seamento 10 A50 están conten ido s en A 100• • • .

TEORJA DE LAS SECUENCIAS

12. S e c u e n c i a s q u e d i f i e :r e n e n t :r e s f ú n i c a m e n t e e n e l

d e s u s t é :r m i n o s De dos secuencias se dice que difie:ren entPe sf, solam ente pop el orden. de sus téPm inos, si cada téPmino apa rec e un númePo igual ( finito o infin ito ) de veces en am bas secuencias, Ejem plos. Se dan a continuaci6n secuencias que solo difiePen en el o:r den de sus téPm in os : 0 :r d e n

•

l . (0,1,0,1,0,1, 2. ( 1 , 2, 3. 4 , 5, 6 ,

•••

)

•.•

) y

( O, O, 1, O, O, l , O, O, l , ••• )

( 2, l , 4 , 3, 6, 5 , . . .

)

En tales secuencias tiene luga:r el siguiente Te o P e m a . S i do s s e c u e n c i a s d i f i e :r en e n t :r e sr s o l a m e n t e en e l o :r d e n d e s u s t é Pmi n o s , e n t o n c e s c a d a s egm e n t o d e una con t i e n e u n c i e :r t o s e g m e n t o d e l a o t P a.. Demost:rac i6n. Sea a , a , a , , la p:rim e:r secuencia y b , b , 1 2 1 2 3 S po la segunda . u naamos que ambas secuencias difie:ren ent:re sr b , ••••

• • ••

so lam ente en el o:rden de sus téPm inos. ConsidePemos un segm ento - - c ualqu ie:ra d e l a p:rime:r secuencia , A po:r ejem plo. Este segm ento so n

lamente no contiene a los téPm inos a , a , a , a 1 Estos últimos - 2 3 1 n términos apa:recen e n l a secuenc ia b , b , b , b , (quizá e n ot:ro or. 3 1 2 0 den Como su núm ePo es finito en la secuenc ia b , b . . existe un seg - 2 1 mento total que llamaPemos BP, que no los contiene . E s cla:ro entonces • • •

• • •

•

• • •

•

que el segm ento B

está conten ido en A . En efecto, cada té:rm ino del - P n segmento B es el último de los té:rm inos a , a ,a , , a' Y el seg - 3 n -l' 2 1 mento A contiene todos los tél"'m inos d e l a secuencia, excepto éstos. n Ejem plos, Sea { a } la secuencia de los nd m eN:s natu:rales 1,2, 3, 4, . es de cir', a,.=n, y {b.Pa secuencia 2,1, �· 3, 6, 5 , : es deci:r b1,._1 =2n, Ef se�mento A conuene , poi"' eJemp lo, a s • b1, = 2n-1. 10 6 � 13. C o n c ept o d e A p :r o x i m a c i 6 n, Se dic e q u e c i e P t o n úme ro a s e a p :r o x ima á u n n ú m e :r o b c o n un e :r :r o :r m e n o :r ,

•. • •

.•••. ,

Qu e

··•

¡a-bl<•·

S e d i c e ia m b i en q u e a e s u n v a l o :r a p :r o x ima d o del núm ePo b, con un e:r:ro:r m eno:r que •· Supongamos que a se ap:roxíma á b con un error m enor' que

Es cl a:ro entonces que a se ap :rox ima á b con un e:r:ror m eno!"' que

'l>e.

En cambio , si er>r>o:r menor> que '1·

'fl, si

JJ<•, es posible que a no se ap:roxime á b con

,El concepto de valor' apr>oximado es muy impor>tante , ya que en la Pr>áctica t:rabajam os casi stem pPe con núrne:ros ap:roximados. Ello ocu - Pr>e, b ien po:rque los valo:res exactos nos son desconocidos ( las m edicio-

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

nes siem pre resultan inexactas con mayor o menor e rror depend iendo de la prec i sión de los instrumentos de m ed ic ión) o bien porque las ope raciones para obtener los datos numéricos resultan demasiado com pl i cadas para obtener valores exactos . En los cálculos se em pLean, por - consiguiente, valores más o m enos aproxím r.tdos , depend iendo de la e - xacti.tud que pueda lograrse. Ejemplos. l . El núm ero 3. 1416 se aprox ima al número n con un error menor que Esto sign ifica que

�.

Jn-3,14161 <

�

2. El núm ero 1.41 se aproxima a y'2 con un erPOP menoP que 1/200. Si a ·se aprox ima á b con un erPoP menoP que e, entonces , com o se ha dicho la-bl<e. Tam bién pu�de escribirse a-e<b <a+•

( veP lntroducci6n , paPágPafo 7 ) . Diremos que un segm ento de Wla secuencia se aproxima a ciePto número g con un error m enor que e, si cada uno de. los téPm inos de es te segm ento se apPoxima á g con un ePPOP menoP que a •

PoP ejemplo , sobPe la secuenc ia l, 1 /2, 1 /3, . . . . . , 1 /n puede dec ir se que el segmento A1001 se aproxima á O con �:m er:nor m enor que 1 /1000.

Si un segm ento de una secuencia se apPoxima a un número g, con e Pror m enoP que e entonces todo segmento contenido en aquél • es d� cir. todo segmento subsecuente , tam bién se aproxima á g con un error m enor que e. Por ejemplo, en la secuenc ia considerada el segmento A 2000 , ta l}} bién se aproxima a cero con un error m enor que 1 /1000. 14. De f i n i c i ó n d e lím i t e . Se dice que elrtúmero g es el l ím i t e d e 1 a s e e u e n e i a a • a , a , . .. . a , . . . si en esta secuencia existe un 1 2 3 n segmento que se aproxim e§ g con un error convenientem ente pequeño, en otras palabras , si paPa cada número 8 > o existe un segmento que se aproxime á g con un erPoP menoP que 8 *, Lo que se escr ibe as( : Jim a,.=g.

IJ-+ 00

En l uga r de dec i P que una secuencia t1ene un lím ite g, frecuente - m ente se dice que la secuenc ia converge á g 6 que la secuencia t iende a" g. Análogamente , en lugar de decii' " la secuencia tiene un límite " es co mún deciP : 11 la secuencia es convergente ".

Ejemplos.

l. um .!..=o. •

n-.oo

Como es fáci l ver, la definici6n antePior de Hmite es equ ivalente a - e sta definici6n.

TEORIA DE LAS SECUENCIAS 2.

La secuencia ( O, 6, O, 66 , O , 666, . . ) tiene u n lfm ite igual a l númePo -

0. 66 6

•••••

2.f3

•

3. La secuencia cuyo téPm ino genePal es

a11=

n +n 1

tiene un l ím ite igual

á l . PaPa demostPaPlo tomemos un segmento aPbitPaPio A

nece al segm ento A , es deciP, si n;;;::: N, entonces N es deciP,

. Si·a n pePte -

lt-,�d=ln�l�=,�l <-k,

que el segmento A N se apPoxima al núm ePo 1 con ur.� ePPor m e -

noP que 1 /N . Por consiguiente, s i queremos que e l erPor sea m enoP que - poP ejemplo ) es suficiePto núm e ro definido e>o ( ciente elegir á N de manera que N-<e, es deci P qu�N> . Asr pues, todo segmento con índ ice mayor que

•=1(:00,

se appoxima á 1 con un erPor me -

nor que e. Como e es 'Un número arbitraPio, existe u n segmento que se - ' aproxima á 1 con un error arbitPaPiamente pequeño, poP tanto -

" = l. 11m =:p 11-+00" -t- 1

Este es un m étodo típico de deinostPac i6n de que cierta secuencia

{ an¡ tiene un Jím ite g, Analicemos esta demostflaci6n

arbitrario y un térm ino a n N arbitra Pio tambi én de esté segm ento, es dec ir un té Pmino cuyo índice es mayor o igual á N.Estud iaremos la d ifepencia lg-a11[ y nos proponemos ••

Ante todo se considera un segmento A

conoc iendo N , determinar cie Pto númePo para el que todo Jg-anl sea m e nop que dicha número, toda vez que n-;;a. N. es dec ir, toda vez que a se n .... ' apPoxim e á A . Bn el ejemplo antePior tal número fué 1/fl.J. bste nlimero se definiPá m 9d iante una expPest6n que dependerá exclusivarr.ente de N g_ no de n. Nos Pesta dernostrar que existen segmentos paPa los que los nú - m ePos COPflespondientes son arbitrariamente pequeños. As( pues, si la secuencia tiene un'lím ite g, entonces pa1·a un nume Po aPbitPaPiO e>O existe un segmento de la secuenc !s' AN' cuyos ,téfl� inos todos se aproximan á g con un error m enor que • Pofl consiguiente los

únicos términos que no se aprox,iman á g, con un errJ� mehoP que·· e, es;. to es que no pefltenecen al segmento A son finitos �n númePo. P Ó P lo ta!! N . to podemos foPmulaP la s iguiente proposición : Si lit.n a, =g y cierto es d a d o , exis tirá solame'nt e

11-+<X'

e>O

n ú m � I' v f i n i t o d e t é r m i n o s d e l a s e o u e n e i a Pa n d e g e n e o e n o t fl a e a n t i d a d n1 a y o r q u e e. se

Ree i proeame nte , s i pa Pa una se eu ene ia

q U· e

{a11}

d i f i !!_

d a <1 a

d e m'u e s t P a que e x i s t e c i eflt o núrnePO g , t al q u e p afla

e> O s o 1 a m e P t e u n u n · n tí m e :r> o a P b i t P a :r> i a m e n te e 1 e.g i d o n ú m e P o f i n i t o d e t �:r> m i n o s d e e s t a s e e u e n e i a d i f i e Pan d e g e n u n a e a n t i d a d n o m e 11 o P q u e e, t � n d :r> e m o s lfm

,. ....... re

an=g.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

·En efecto elegido un númePo a Pb itrarioe > o,podemos afil"mar que en la secuencia ex iste un segm ento A que no contiene un sólo término del N número fin ito de términos m encionados; por consiguiente , todos los tér-minos de este segmento se aproximan á g con un erro r m enor que a.

El razonam iento antePior se usa frecuentemente para demostrar que c ierto número es el l ím ite de una secuenc ia dada. Ejemplo 4. Demostrar que

11l�mco!:t�=}.

Toma remos un número a rbitra rio e>O e investigaremos, cuántos de los téPm inos d ifieren de 3/5 en menos que e. Para ello estudiaremos Tenemos: la d iferenc ia -a ·

1 i ,. 1· 3 an J 1 5153 53nn+2 +1 J = ¡ 25n+ 1 l0 J =25n+ 1 lO" =

Asf pues, solam ente aquellos térm inos para los que ren de 3/5 en menos de e do ). De aquf se deduce que te

25n � 10;;;::,1

difie

( donde n es el índice del término considePa 25n+to.;;;.!.., 25n.;;;.!..-to, por con sigu ie!l •

_!_ - 10 • n��-

No obstante , existe solamente un núme ro finito de núme ros naturales que no exceden al número dado . Por tanto , los númePos naturales que no exceden, en particulaP, al número (! 1 e - 10 )/25 no ex isten en absoluto - ( por ejemplo , para e=5, e=l /20), o bien existen solamente en núm ero f inito. As( pues, la des igualdad 13 /fra, 1 �. se satisfará solamente P2_ ra un número finito de términos . De aquf se desprende que

•m a,.=-¡-.

,. .... QO

Ob s e r v a e \ 6 n . En la demostración de que una secuenc ia dada ia,.} tiene un l ím ite g, esto es , que para todo •>O existe un segmento A que n se aproxima á g e o n un e r r o r m enor que e, siemp re puede tomarse un • m enor que cierto número cz arbitrario positivo (l/100, por e- jemplo) ya que si el segmento A se aproxima á g con un e rror m enor que n •<cz, con mayor razón se aproximaPá á g con un error m enor que el nú mero arbiti"ario • ,;;;¡;,: cz. Hechas e stas observac iones podremos prosegu ir más rápidamente.

PROBLEMAS l. Demostrar que la secuenc ia cuyo lfm ite aeneral es

tiene un trm ite igual á 1/2. 2. Demostrar que la secue ncia cuyo término general es

TEqBIA DE LAS SECUENCIAS 1' "'-=_iii (l +x+� +···+xn)

converge, cuando x > J al límite ¿_1• x-

{3n1- 2n +6}

Demostrar aue la secuencia

tiene un límite igual á

•

3/7.

4. Demostrar que la secuencia

7n•+t2

l {J)} t ene i

un límite igual á

1 1120.

TEOREMAS SOBRE LOS LIMITES DE LAS S E C U ENCIAS

l5 .

1 es.

Co nve I' g e n e i a ·de un a s e e u e n e i a d e té r min os i g u a- Si

u n a se e u e n e i a

t o d os 1 os té r m in os de

igu al es a u n o

núm e r o g , l a s e c u e n c i a

mism o

v e r g e a es e número . Poi' eje mp lo, la secuencia a p or límite.

{an} s o n -

•

t esto es 1/2, 1 /2, 1 /2, ..

•• • •

co n

t ien e á l /2

La demostrta ci6n se desprende ·de la sig u i ente observaci6n. Pal'a cual >O arbit rario que to másemos, todos los tél'minos de la se cuencia se aprox imará n á g con un eri'o l' menor que to da vez que seaproximan á a c o n un eri'ol' igual a cei'o: quiel' númei'Oe

e,'

lg-a,.l=lg-gi=O. 16.

Inde p endenci a

del 1fmi t e J"es p ect o del orde n de l os

tér m i n os. E l l í mi t e d e u n a s ecu e n ci a

conve r g ente n o

d epe n d e n del o r de n de s us tél' min os.

Esto si gn i fi ca

e l l í mite d e uua s e c uen c i a co nver g ent e no va l' í a alt era

que

s i s e

el o rd e n oe lus téPmino s .

{ }

Por ejemplo, la se cuencia ..!_ tiene un l ímite igual á o. si se modifica el Or>den de los términos de m�nE'! ra que los de orden pai' pasen un l ugal' ha cia atl'ás, y los términos de OI'den impai' se adelanten un lugai' obte ne- mo s le. siguiente secuencia: ..

)

2•T • 4 • 3•6•5 • "'

Esta nueva secuencia ta mbién tien e como 1 fm ite O. D e m os t 1' a e i 6n. Se a que la secuencia{a,} tiene un l ím ite a. Se a , -

además, {hn} la secuencia que se obtiene al modifica l' el OI'den de los t61' min os de la secuencia {an}.Como Hm an=g� también pa ra un número arbitl'aria mente ele gido, exist"e fin segment o A que se a proxime á a 0 con un el' rol' men or que e. Más en v irtud del te ol'ema expuesto en la ---

a>O

.....

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Pág. 13, el segm ento A contiene en sí m ismo algún segm ento de la se - n cuencia {b,.}, el segm ento B ' digamos. Es claPo que el segm ento B .-K K por cuan.to está conten ido en el segm ento A también se apPoxima a g - N con u n ePPOP m enoP que e. PoP consiguiente tomando u n núrnePo a PbitPa · {b,.} Pío un segm ento que e> o, podemos encontPaP en la secuencia se apPoxim e á g con un ePPO e, de modo que 11m b,.=g. . P m enoP que 11-+00

O b s e P v a e i 6 n . Del teoPema antePiOP se deduce que si la secuen - c ia {a,.} es divepgente, entonces toda secuencia que d ifiePa de ésta tan solo en el O Pden de sus té Pm inos , tam bién es d ivePgente . 17. C o n v e P g e n c i a d e

l a s s e c u e nci as. T o d a s u b s e c u e n c i a

d e u n a s e c u e n c i a c o n v e P g e n t e tie n e e l m i s m o l í m i t e

d e la s e c u e n c i a o p i g ina l . O b s e P v a e i 6 n . De una secuencia se obtiene una subsecuencia ex tPayenao un núrne Po infin ito de sus téPm inos en el m ismo oPden en que inic ialm ente se encontPaban. Tom emos de ella to Ejem plo l. Cons idePemos la secuencia a,.=..!.. n . 1

{

}

dos sus téPm inos de índice impár. Obtenem os la nueva secuenc ia T•a•s•T•··· · llm a,.=O,

a sr que

11-+00

entonces

{b,.}: -

lim b,.=O.

11-+00

D e m o s t r a e i 6 n . Sea {a,} la secuenc ia oriainal , converaente a un

l ímite g, y

fb,.}

una subsecuencia de ésta. Dado un núm e Po

e>o arbi -

trario, tomamos un segm ento A tal que s e appoxime á g con u n error - N m enor q\le e. E s claPo que e l segmento A contiene e n s í m ism o cierto N segmento B de la ,secuencia {'b,.}, ya que {b,.} es una subsecuenc ia de

l a secuenc ia {a,.}. PoP tanto, B

tam bién se aproxima á g con un e Pror -

m enor que '8. E n otras palabras, dado un número arbitra PÍO e>o, enc on tramos un segm ento B que se aproxima á g con un error m enoP que a; K lo que significa que Ejem plo 2. La secuencia

{

Por tanto las secuenc ias

{

3n+J 5n+2

}

} {

3(n1+n>+J 5(n1+n)+2 '

( Pág. 1 6 ) converge al Hm ite 3 /5 .

} {

3(2n+I>+t , 5(21t+I>+� '

}

3·2,.. +1 5·2,..+2 '

son subsec uenc ias de aquel la y tienen el m ismo lfm ite. O b ser v a e i 6 n . Obse rvemos sin em ba rgo , que si l a secuencia con tiene una subsecuencia convergente no s e s igue siem p re que l a secuenc ia

TEOBIA DE LAS SECUENCIAS original es convergente.

Por e J em p lo, la secuenc ia

la su bsecuencia 1/2,

18.

t /4,

1/2,

1/6,

•. . .

son

l os

tér minos

c on

de u n a

n e g ati v os , e n t o n e e s

1/6,

. . ••

es divergente pe ro

converge a cero.

Lfmi t e de un -a se cue n cia

tod os

1/4,

tér m i n o s

s e c uen c i a

ti v o.

n egati v os.

c o n v e r g e n t e --

l r m i t e tam bién

n eg a _

La demostraaci6n s e d espi'e n d e a l obsei'vai' qu e es un níímer o n eg a ti v o y « uu número

Jl ·

Asr pues un número 1 «-Jll;:;;:} IJ11. no-negai L vo difiere deu n número negativo en no menos que la magnitud ahsoluta d�l número negativo. Por consigu iente, si {a,}. es una secuencia no-negattvo. entonces

cualquiera con términos no ne ga tivos y J1 es cierto número negativo, en tonces ningún segmento de esta secuencia se aproximará a J1 con un -- error meno.r que · J1 • Esto es, el er ror no será arbiLrariament e pequeño

Y por tanto ll no será el l fm ite de nuestra secuencia. Por consiguiente, pues, su lfmi te será u n número no-negativo.

19. Lfmit e de

la suma y dife r e n cia de s ecue n cias.

su ma de

s e cue n cias

cia

dos

q ue c o n v e r g e a la suma de l os

lfmit es

c u e n cias. Ejemplo l. Consjde remos que las secuencias'{a,}, mente,

con v e r g e nt es es una s ecuen- de es t as

s�

{b,.}, {e,} son, respectiv2_

n-J}• {3n-J+1 _!_}={8nl-5n-1}. {t-.!..} •{3 n 5n1 +n . Sñ+1 5n+l ll

Puesto que

11m a,= 1, 11m b,=53 , enton ces llmc,=t+s3 =s8 · O e m ost ra e i 6 n. Sea que la secuencia {a,} tie ne u n l(mite a, Y lasecuencia (b,.} un l rmite b. Los té rminos de la secuencia (e,}, son la suma /1-+QO

11-+QO

•

11-+QO

de estos térm inos :esto es,

• a

•

Se requie re d emost rar que

lim c,.=a + IJ.

lt-+QD

Como 11-+00

Jlm a,=a, 11m IJ,=b, .... 00

entonces , tomando u n número arbit rario • >o. encont ramos los segmen tosA y B K que se aproximan á a y á b, respectivamente, con un eraror N me nor que

f·

CALCULO DIFE�ENCIAL E INTEGRAL

Sea R un·núme.rp entero mayor que N Y K. Es evidente que los segmeu tos AR y BR, contenidos, respe ctivamente, en los seamentos A Y BK se N a proximan tambié n á a y á b, respectivamente, con un error menor que e. Como cada sumando e • contenido en CR es de l a forma a + b , donde a n n n n y· b se encuentra n en A y BR. entonces n R

la-a,l<e,

lb-b,l<e,

por consiguiente ,

la+b-c,l=la+b-a ,-b11l= = 1 (a-a,.)+ (b-b,.) J E;; J a- an 1 + 1 b- b.l < 2e.

a+b con un error menor que 2s.

Así pues, el segmento CR se a pr-ox ima á

Si quisiéramos que el se gmento CR se a pPoximaPá á a�b con un erPor

tnenor que ciePto núme:Po aPb itraPio r¡> o, entonces serra suficiente con que inicialmente tomaramos un númePo e, tal que esto 2e < Jt, es, sePia suficient e con tom a r • <]-. PoP consiguiente; al. tomap un núme-

PO arbitrario r,

>O, encontramo s un segmento CR que se a p:Pox imaPfa a+b

con un error meno P que

r¡,

lo qu e significa que

Um C11=a+b.

11-+00

Ejemplo 2. La secuencia

t.�l }={n�l+ n�l}={n�l}+{n�l}

converge a cero. Ob s e r v a e i ó n. te forma:

El teoPema antePtOP puede enunciaPse en la siguie!l

S i l a s s e e u e ne i a s

e ntonc e s

{ a11 } y { b11 }

llm (a,+b,.)

11-+00

s o n e o n v e P g e n te s

all + lim b,. 11!Un -+00 11-+00

En relación con la diferencia de dos secuencias puede establecePse una proposición semejante. Asr que ,

lim (a,-b,) = 11-+00 lim

11-+00

a ,.

lim b,.

R-+00

La demostración es análoga, ya que

20.

L rm i t e

Ja-b-c,.l=la-b-a11+·b,.l= = l<a-a,.)- (b- b11) 1 <= 1 a-a, 1+ lb-b,.l.;;;2a. pr o du e t o d e d o s s e e u e n e i a s

E l· pr o d u e � t o d e do s s e c u e n c i a s c o nve Pge n t e s e s u n a s e c u e n c i a d el

•

c o n v e P g e n te y s u lfrpi te e s ig u al al p P o d u c t o de l o s lfmi t e s d e l a s s e c u e n c i a s d a d a s. Ej e m P 1 o l.

Sea

qu e

{a,. }

es l a se e uene ia

{ 1 -� } { b. } . ,

TEORIA DE LAS SECUENCIAS 1a

la secuencia { ,· b,. }; Entonces, {::: : } , y , ( 1 1 ) . 5n3n -- 11 = -n---1 . 3n - 1 =3n15n-1 4-n,+ 1 b,.

se e uene ia .

Como

e,.- a,. _

3 lima,.=1, lim b,.=5 ,

,. ... 00

Oem o strae i6n .

,. ... 00

J.tm e,.=

11-+00

- 1

•

entonces

1 .53 =-3•5

Supongamos que la secuencia {a,.} tiene un lím i

te a y sea b e l Hm ite de l a secuencia

{ 11.}. Los térm inos de la secuencia

{e,. }, son el producto de estos térm inos y · tienen la forma e

Se requiere demos.t.rar que

,. an bn.

, .... 00

limc,=ab.

Com o

,. ... oo

lima,=a

n-+00

limb,=b,

entonces, tomando un número -

a rbitrario pos itivo e< 1 ( ver la observac ión de la Pág. 16 ) encontrarnos los segm entos AN § BK que se aproximan á a y á b, respecti vamente , - N

y que con u n error m enor que e. Sea R u n núm ero entero, mayor que K, simultáneam ente; los segm entos A Y B están contenidos en AN y R R BK respectivamente , y se aproximan también á a §á b, con un error me

nor que e. Investiguemos con que error se aproxima á ab el segmento C . Cada uno de los términos e , del segmento C ' es igual á a b , donR R n n n de a y b perteuecen á A y á BR, respectivamente. Com o R n z:¡ ja-a,.l<e, lb-b,.j<e,

entonces, hac iendo a,.-a=o:,., b,.-b= �,., obtenemos:

Asf pues,

l a,.b,.-ab1 =1 (a+o:,.)(b+�,.)-ab [ = 1 o:nb+�,a+o:n�n 1� � lo:,b 1 +1 �,.a 1+ 1 t�,.�,. 1 = 1 a,-a 1·1 b 1+1 b,.-b 1·1 a 1 + +la,-al·lb,.-b l<e (l al+lbl+e) <e( [al+lbl+ 1).

\ a,.b ,- ab 1 < e( 1 a1 +1 b 1 +1 ).

Si fuera necesario que el segm ento CR se aproximara a l producto ab

con un e rror m enor que c ierto número arbitrario tal que coger, inic ialm ente , e> O

e( 1 a 1 +1 b 1 +1) < 7j,

>O� bastarfa con e�

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Por consigu iente, tomando un número arbitraP io 71 > O. puede encon trarse c ierto segm ento CR todos cuyos térm ino s se aprox1n1an á ab con un error m eno r que

r¡,

con lo q ue s ignifica q ue

11lim -+00 c11 =ab. o

O b s e r v a e i ó n . El teorema anterior puede anunc iarse en la si - --y· gu iente forma: Si { a11 } { b11 } s o n d o s s e c u e n c i a s c o n v e r gentes , entonces

lim (a11b11) = l im a11 • lim b11 • 11 -+00 rJ-+00 11-+00

E j e m p 1 o 2. La secuenc ia es conve rgente y tiene un l ím ite igual a 6 . 21 .

L rm i t e d e 1 p r o d u e t o d e u n a s e e u e n e i a p o r u n n ú m e -

ro . S i 1 a se eu en e ia

{

a,. }

e s e o n v e r g e n t e y s u 1 ím i t e e s

a ; y m e s u n n ú m e r o a r b i tr a r i o , e n t o n c e s l a s e c u e n c i a

{ ma11 }

CiP,

eonve rgente

y s u 1 ím i t e e s i g u a l á m a

es de -

lim (ma11 = m · lim a11• 11-+00

)

n-t ao

Obtenemos la demostración de esta proposición apoyándonos en el teorema anterior, hac i enuo b • m (n= 1, 2 , 3, . . . ) . n

Ejem plo. Si la secuencia { a11 } es convePgente y su l ím ite es g, ten dPemos que la secuencia { -a-n } tiene un l ím ite igual á -g. 22. L ím i t e d e l c o c i e n t e d e d o s s e c u e n c i a s . E l c o c i e n t e

d e d o s s e c u e n c i a s c o n v e P g e n t e s t i e n e u n l ím i t e i g u a l a l e o e i e n t e d e s u s 1 r m i t e s , b a·j o 1 a e o n d i e i 6 n q u e t o d o s 1 o s t é f' m i n o s y e 1 1 í m i t e m i s m o d e l a s e e u e n e i a d e n o

m inador , sean d ife Pentes d e c e Po . S e a p o P e j e m p 1 o , a11 == 1 + �

Entonces Com o

b11 = :: + ! .

a = lim a11 = 1 , b = Iim b11 =�5 ' n -+ ao

n -+ oo

TEORIA DE LAS SECUENCIAS

luego

1tm . e,. = 1 =-s3 = a5 ·

11 -+ 00

D e m o s t r a e i 6 n . P roced iendo al igua l que en la dem ostrac i6n del teorema sobre el l írn ite de un p roducto , obtenemos los segm entos A Y R B y respectivamente , con un e rro r m enor que que se ap rox imará á a b R e

e < 2 l b l ( ver la observa ci 6n de la Pág . Aceptemos además, que 1 6 ). Invest iguem os ahora con qué error se ap roxima el segm ento CR al -

cociente a /b. Dando a las l iterales tx,. y �. el m ism o s ignificado que en la dem ostra c i6n del teorema sobre el producto , obtenem o s : l · l «n Pn l b - b (b + �n) b11 " � + �n i Como

\�

1 s<2 lbl ,

1b ya que

f- 1

ba,. - a�,. \ .,¡;;; 1 b \ \·l1 + 1 a 1·1 b b

•

entonces

+ �. 1.� 1 b 1 - 1 �� 1 � 1 b 1 - e � 1 b 1 - } 1 b l.

1 \ b + �,. ¡ ;;,. 2 \ b l. En v irtud de la desigualdad anterio r, podemos escr i b i r :

1 �b -� � � l b l + l a l b ,. � 1 bll

Si deseaPamos que el segm ento C se aproxima ra a a /b c on un e rror" R m enor que c ierto núm ero arbitrario 7J > O , será suficiente con toma r, in ic ialmente , e>O de manera que

1) e< 21 l b l; 2 ) 1 b 1 +1 a 1 e< "l ·

Í' bll

En otras palabras, es sufic iente con tomar un número positivo me - nor que los núm e ros : 1 2

l bl f 'll

l b l y l a l +lbJ ·

Así pues , tomando un núm e ro arbitra rio lj > O, pod emos encontl"a l" u n segmento CR cuyos térm inos se aproximan todos al coc iente a / b , con un el"ror m enor que

1],

por lo que

O b s e r v a e i 6 n . El teorema anterior puede escribi Pse en la s igu i e!!. te fo rma :

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAl. lim a,.

ltm 5! = � lim b,. ,. .... 00 b,. 11 -+ 00

satisfechas las condiciones indicadas antes )

{ 3n1 + 1 8} ..!. n• + J { fj) }

PROBL EMAS l . Dernostra P que la secuencia 2. Demostrar que la secuencia

3. 4.

Dem ostPar que l a secuenc ia

tiene un Hrn ite igual a 5 / ?.

tiene un l (m ite igual a cero.

tiene un l fm ite igual a

{ �:.�� (1 +�+ 1�:�-=:a)}

Oernostra P que si las secuenc ias

�-

1 a,. }

t b,. l tienen los m ismos 1 f

m i t e s , entonces la secuencia t a,. - !1,. J tiene un 1 (m ite igual a cero. '·

CRIT ERIQS DE CONV ER GEN CIA

.,....

23. C o n v e r g e n e i a d e s e e u e n e i a s m o n ó t o n a s y a e o t a d a s .

Presentarn os el ppoblema de cómo deterrn inar la convergencia de wa

secuencia dada. Previam ente form ularemos la siguiente proposición :

Te o r em a : Toda s e c u e n c i a m o n ó tona y a c o tada e s convergente. 1

. Om itiremo,s la demostración de este teorema a causa de su com pl e j idad. Obse rvemos, sin embargo,· que tal teorema e s , intuitivamente , evi dente. Por ejem plo, la secuencia de las áreas de los pol(gonos regulares de 2" lados inscritos en un cfrculo es c rec iente y acotada ( ya que todas e l las están, como en eJ caso del cuadrado, dentro del cfrculo ) ; lo que fu6 intuitivam ente claro ya a Arqufm edes. Esta secuencia tiene como Umite el Area del círculo. Sin e m barao , n o toda secuencia convergente es monótona , Por ejem Pl9 la secuencia como fá é ilmente se advie rte, tiene un l f 1 +< m ite igual á 1, pero no es "monotona . . ,

{

- lf } ,

24. C o n d i e i ó n d e C a u e h y . Diremos que una secuencia { a,. } s a t i s f a e e 1 a e o n d i e i 6 n d e C a u e h y si existe la ley de que a todo núrnero positivo e corPespond� un segmento de la secuencia , tal .

que dos t�rm inos cualesquiera del segmento difieran entre sr una canti � dad menor que a. T eo r e m a . T o d a s e c u e n c i a c o n v e r g e n t e sa t i s fa c e l a c o n d i c i 6n d e C a u c h y ( 6 e n o t r a s pa l a b ra s , l a c o n d i - c i 6n d e Ca u ch y e s n e c e sa r ia p a r a l a c o n v e r g e n c i a ) .

·TEORIA DE LAS SECUENCIAS

{n�l }

Ejem p l o . L a secuenc ia

que com o se sabe - -

Pág. 1 5 ) e s convergente a l l ím ite 1 , sat isface l a cond ic ión d e Cauchy. En efecto tenemos : n + rn In-mi 1 - 1 n + l - m m+ l /- (n + I) (m + l ) � liñl = n + m ·

Así pues, s i

l a" - am -

m > N, n > N,

en tonces

la,. - a,. l < -¡¡ ,

así que paré;l N> � 1 1

m > N. n>N obtenemos: ¡ a,. - am l < e .

Oem o s t r ae i 6n .

Sea lim a,. = a. Si n -. oo

b itrario, existirá u n segm ento A m enoP que

Enton c es

l'll·

Sean

Como

•.

luego e

r¡

e s un núm ero positivo ar -

que se aproxima á a con u n erPo P -

aP dos téPm inos del segm ento A N .

1 a, - aP 1 = 1 a.. - a+a - aP 1

Si ahora

� 1 a. _:_ a 1 + 1 a - aP l, . '

l a,. - aP I <2lJ. es un núm e ro positivo arbitPario, haciendo JJ = i . ob -

servamos que dos térm inos

a ,.

a ,

cualesquiera del segm en�o A

d ifieren entre s í una cantidad menor que 271 =•·

Por cons igu ient é nuestra

secuencia satisface la condici6n de Cauchy. Es posible también demostPar el teorema recfpPoco. Teo P e m a . Toda s e c u e n c ia q u e sat i sfa c e l a c ond i c i 6n de Ca u c h y e s conv e rgente ( e sto e s , l a cond i c i6n de Cauchy e s sufic i ente pa ra l a convePgen c i a ) . Reuniendo ambos teorem as ootenemos la sigu iente ppoposici6n :

T e o r e m a . P a r a q u e u n a s e e u e n e i a s e a e o n v e r g .e n . t e es n e c e s a r i o y suf i c i en t e que sa t i sfaga l a cond i c \ 6n de Ca u c h y .

· 26

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

A e o t a e i 6 n d e 1 a s s e e u e n e i a s e o n v e :r g e n t e . Si la secuencia { a,. } conve:rae a un 1 (m ite g, todos sus térm inos _;"• partir de un c ie:rto term ino satisfa:rán la d�sigualdad , o1 a,. - g l < 1 25 .

- 1 < a,. - g < 1

lo que es lo m ismo , a las desigualdades

a las desigualdades

g - 1 <a,. <g+ t .

� tambien

. De estas desigualdades y del

hecho de que los términos segregados son finitos en númere se con cluye que la secuencia { a,. } �s acotada . Así pues, demostramos el

da .

Teo r em a . Toda se e ue n e i a

eon v e rgent e

e 8a e o t a -

Como se vi6 en el ejem plo de la secuencia { ( - 1 )" }, e . es aco tada pe ro d i vergente, POr lo que el teo:rema recíproco no e tlverdade ro.

26. C o n v e :r g e n c i a d e u n a s e c u e n c i a c o m P e n

t P e o t r a s d o s s e c u e npi a s . S i t r e s s e c u en c ia · { a,. }, { tJ,. } , { e,. }, sa t i s fa c e n l a s c o n d i c i o ne e : 1 ) lfm 4111 = 11m b,. = g; 11 -+00 11-+ 00 2) a,. < e,. E;; b,. (

.pa pa n = 1 , 2 , 3, . . . ) ,

e n t o n e e s 1 a s e e u e n e i a { e,. } e s e o n v e r g e n t e y 11m c,. = g. Oem o s t ra e i ón .

11-+ 00

Fijemos un núm ero positivo a:rbitPario

Existen dos segmentos A N y B N que se aproximan á g con un error e . Demostremos que el segmento C se aproxima á g menor que n con un error m enor que e. Si tomamos á e como pertenec iente n al segmento C , entonces por la condición dada, tenemos n -

de donde

g - b11 .,;;. g - c, � g - a,.;

y b pertenecen a los segmentos A N y B N , n n respectivamente, es deci:r: - e < g - b,., g - a,. < e De donde obtenemos las desigualdades - e < g - c,. < e,

pero los téPm inos a

esto es l g - c,. l < e . Por consiguiente, cada uno de los té:rm inos del segmento C

xima á a con un e:rror menor que e riamente . tendremos

•

Como

N se apro ha sido elegido arbit:ra ·-

TEOIÍIA DE LAS SECUENCIAS

E jemp1o

•

Sea

Tenemos : pero como

Vn• + n < n+ 1 ,

Vn• + 1 >. n,

y como además

Haciendo

a, =n +n I

b, = J , lim

11 -+ CX>

de donde

tenemos, como es sabido,

a, = 1, Jim b,. _;_ l . 11 -+ CX>

P ROBL EMAS. l . Demostrar que si la secuencia secuencia

· t a,'f

tiene un lfm ite

fa,}

g'.

tiene un l fm ite a . entonces la

2 . Demostrar que si la secuencia t a, l tiene un l fm ite a , , entonces la secuencia

t Sa,• + tsa, - l l

5g' + 18g - 1.

tiene un 1 fm i te

Gen!_

ral izar este resultado . 3 . Demostra r que la secuencia f a,J, definida en la siguiente forma : a,_. a1 = 0, lla = 1 , a, tln-• + (n > 2), 2 es decir, la secuencia 0, 1 , 1 /2, 3 /4 , 5 /8, 11 /1 6, 21 /32 , . . . . . posee l a propiedad

J a, - 3 - -a . 2"-• 2 _ 2

( - )II (n=2, 3,

Y que por consiguiente converge al l fm ite

ci6n ) . 4 . Demostrar que l a secuencia

. • •

)

2 /3 (demuéstrese po r indu2_

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

converge al l fm ite

baj.b las condiciones :

{�}

pa r>a todo n . 5 . Demostrar que si la secuencia tonces la secuenc ia

(b11 > O)

es monótona en -

tam bién es monótona. 6. Demostra r> que la secuenc ia {B(x) + E(2x)t · · · + E(nx)} tiene un l ím ite igual a 7. Sea an+1 = Yx + an

(x > O),

así que

y así sucesivamente . a, = V-" + l''i. a, = x + V x + Yx Demostrar que la secuencia fa¡.f es cree iente y que a11 < -" + 1 ( por inducc ión ) y por lo tanto, la secuenc ia � anl es converaente. ·

8. Por medio del resultado del problema 7 y de la fól"m ula a�+1 = x + a11,

demostl"al" que el l ím ite g de la sec uenc ia ! an l satisface a la ecuación r = x + g, de donde

,�

g = 2 + Y -¡ +x

9 . Demostral" que to qa secuencia for>mada por ceros y unos. en númel"o -

infinito. es d ivel"aente . 10. Demostrar que una secuencia cuyos té r>m inos són núme ros entel"os - es convergente cuando y solamente cuando , a par>til" de c ie rto térm ino to dos los térm inos subsecuentes tienen el m ismo valor. 11. Demostral" que el l ím ite a de una secuencia ! anl . cuyos térm inos sa - tisfacen las desigualdades gualdades . a7.

A � an � B.

satisface estas mismas desi - -

CALCULO D E AL GUNOS L IM IT ES . E L NUM ERO e .

e' 1 e u 1 o d e a l g un o S

L rm i � e S •

Demostremos ahora dos teo

remas que util izaremos e n lo que s igue. T e o r e m a . S i e o n {e1,.}

r e

p r e s e n ta m o s un a s e e u en e ia

e ua1qu i e ra de núm e ro s na tu ra 1 es qu e t iend e

tonees :

+ oo,

en -

TEORIA DE LAS SECUENCIAS

{

+ oo si A > 1 , 1 s i .A = 1 , 11 -+ CO o si O � A < 1 ; 2 ) li m l/A = l si A > O . 1)

Um Ae�¡a =

11 -+ CXI

con base en una desi A> t , D e m o s t r a e i 6 n . l ) Efectivamente . si gualdad conocida ( ve.P Introducción , P� r . 3 ) tendremos : A��a ;;;;, 1 + e�,. (A - 1 ). •

Representemos por M &.m núm e ro positivo arbitr>ariQ. Como la se - - cuencia {<�,} tiende + oo , contendrá un tér>rn ino e�N• a partir del cual

� !

e�,.> = , , de do!! todos los térrn inos <�11 satisfarán la desigualdad t + e�,. (A - t ) > M. Para n > N tenernos, por consiguiente, de A -. > M, y como M es arbitraPio, •

lim Aa,. = + oo. 11 -+ CXI Si A • 1 , se tiene, paPa todo n , As. = 1 , ; y si A • O tendremos Iim A.. = t ; 11 -+ 00 A"'" = O (n = 1 , 2, . . . ) , por lo que

11 -+ CXI

tes ( ver Páa. 1 1 ) obtenemos •

11 -+ 00

Por lo tanto , haciendo

lim A.. = o. 11 -+ 00

2 ) Adm itamos, in icialmente, que e�¡a/· v

A ;;;. l .

A = l + e,. (e,. ;;;o, O) , •

Tam bién

(1 + e,.)a" � 1 + e�,.e,. ( ver Introducción , P� r. 3

lim

a+ClO

e�

,. = + oo, entonces

la secuencia

por consiguiente

por consiauiente tendremos { > 1 , A'-"'= ( /) ' y en base un teorema visto an -

O <A < 1, Finalmente, si Como . + .. . lim = oo

(.!) A

•

lim � = O

11 -+ CXI

cz,.

;

1/A' � 1 .

, tendremos

) , lueao o ..-; e,. ..-;

A - 1 Co -

{ Acz� J } '

( ver Pág.

{e,.} comprendida entre las secuencias

{0 },

a,.

•

J. Así pUes

converge a cero . De aquí. con apoyo en un teorema conocido ( ver Pág. 26 ) s e deduce que

lim e,. = O;

n ... oc

por consiguiente lim lf:A = l .

11 -+ CO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

0 < A < 1 , entonces A > 1 , l uego

A = Vf '

m.. / -

tendremos, en este caso ,

1 m �A

n -+ a�

lim

�/ -

11 -+ 00 V

•

n -+ a�

1 A

}=t.

. Como

N uestro teorema ha sido demostrado totalmente. Teo r e m a . L a Iaua l dad .

e s vá l i d a p a r a todo

x .

D e m o s t r a e i 6 n . Sea x un número árbitrario. Tomemos un núme 1 l � k.

ro natural k, que sati sfaaa la desigualdad núme ro 1 : 1 , por 6 , obtenemos :

lueao. para

kl�_l. ..; 6, kl�':¿ � 6,

n >k

• • •

O< < ,

Representando el -

Como 6 1, entonces on t iende a cero cuando n crece i l im itad!, m ente ( ver el teorema anterior ), por consiguiente �- tiende a cero ni

es decil"

28. E 1

n íí m e r o e

2 71828

En Matemática superior tiene gl"an

impol"tancia un n6mero fundamental que se repl"esenta con el sfmbo'i o e • Este número puede definirse como el lím ite de la secuencia {a,.}, cuyo •

•

enésimo término se expresa por la fórmula

( + -} r.

a,. = 1

así que

e = lim

n -+ a�

( 1 +.!)". n

Para que esta definición sea vál ida es necesaPio demostrar que la secuencia dada es convergente. Para ello será suficiente con demostra r que dicha secuencia es monótona y acotada. D e m- o s t r a c i ó n . Empleando el binom io de Newton, obtenemos:

TEORIA DE LAS SECUENCIAS _!_ n (n - 1 ) . _!._ + n (n - 1) (n - 2) . _!_ + . . . ( 1 + _!._)11 =1+ n n• 1 n+ 1 ·2·3 n1 �.

• • •

1 ·2

+ n (n - 1 ) (n - 2) 1 ·2·3 . n ·

. .

. • .

2 - l _!_ •

n11

•

Considerando por eJemplo . e l cuarto t�rm ino de este desarrollo pode rn os presentarlo en la forma

( -k ) ( · - � )

1 •-

1 ·2· 3

P rocediendo de esta manera con todos los té Pm inos. a partir del tercero. obtenemos la t6rmula ·

1( ¿) 1 ( 1 -t,) ( 1 ¿ ) -1 +1+ ( t + ..!..n )11 . 1 ·2 + 1 ·2·3 -f- . . . ¿) · . .¿ 1 ( t --fz ) ( t-

··+

1 -

1 · 2·3 . . . n

•

La siauiente f6rt�ula s.e obtiene de manera análoga

Observemos ahora que el num erador de cada una de las tracciones que aparecen en estos desarrollos es m enor que la unidad . toda vez que es el producto de n6me ros m enores que uno. Respecto a los denom inado res. observamos lo siguiente :

J r2 = 21 , 1 · 2 · 3 > 1 . 2 . 2 = 21 , 1 · 2 · 3 · 4 > 1 · 2 · 2 · 2 = "2 ', . . . . . . . . . . . . 1 · 2 · 3 · 4 . . . n > 1 · 2 · 2 · 2 . . . 2 = 211 - 1 .

Por lo tanto

Empleando la f6Pmula de la suma d e una progresión aeom 6trica . ( ver Introducción. Par.4 ) obtenernos

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

asr que

( 1 +-ta ) "< 3.

H emos demostrado que la secuencia es acotada. Demostremos ahora que es monótona. Observemos, ante todo, que el _!_ " tiene n + 1 térm inos y que el desarrollo de desarrollo de

( 1 + n � � )" +•

(1+ )

Es fácil ver que etc

. •

en gene ral

�

tie e n + 2 térm inos, e s decir, tiene un térm ino más.

1 _ ..!..n < 1 -n +1-l ' 1 2 <1 - n +2 J ' 1 - n-3 <1 - n +3 l ·

-n

k 1 - -nk <1 - n+J .

Por tanto

( 1 - �) ( 1 -�) < ( 1 - n�l) ( l -nh) , ( 1 -�) ( 1 -�) ( 1 -�) < ( 1 - n�t) ( 1 - �)( 1 - n ¡ l ) etc. Vernos pues que los térm inos de l primer desarrollo, a partir del ter cero . resultan menores que los COJ::' respondientes t6rm inos del seaundo = desarrollo y que además este seaundo desarrollo tiene un. térm ino adicio nal . Por consiguiente, ·

( 1 +� r < ( 1 + n � J ) IJ+I• Asf pues, la secuencia ( 1 + � r es monótona y acotada, lueao tie -

ne un l fm ite. Demostramos ahora el siguiente teorema. Teorem a . S i en la se cuencia

{r,. }

todo s los t6rm i -

noe t i enen un m ódu 1o m a yo r que 1a un idad =+ ex>,

entonces

D e m o st r a e i ón .

lim ( 1 + ..!.r,. ) '" = e.

Jt -+ co

um 1 r,. 1

,. ... 00

Adm itamos inicialmente que los térm inos de la

secuencia {r,.f son enteros positivos. Tomando un e > o, arbitrario , pode - mos encontrar un núm ero N tal que para todo n > N ( siendo n un núme ro natural ) se satisfaga la desiaualdad

1 ( + -/;-) ,. -ef <e. 1

Como. por h ioótesis. los núme ros r son números naturales que 8!. n tistacen la condición 11m r,. = + oo , puede afirmarse que a partir de c ie�

TEORIA DE LAS SECUENCIAS

to té rm ino todos los r nos la expres ión

exceden á N. Por cvns igu iente , para estos térmJ.

( 1 + +n)'" difiere n

bitrario , tendremos

e en m enos que e. Y corn o e es af\-

n-+oo ( 1 + _!_Tn ) '" = e. lim

Pasemos aho ra al caso gene ral . Representemos por

(1 )

an un número -

natural grande que sa tisface la desigualdad

an � l rn ! * .

es un número positivo mayor que 2 ( los nú n cuyos m ódulos no exceden a 2 existen solam ente en un número

Observem os ahora que si r

m eros r n f inito, ya que

lim

11 -+ 00

l r,. l =+ oo) ,

y por Cvnsigu iente , si

a11 -

de donde

a11 > 1 , entonces

1 > r;; > a11 + 1 , J

J J 1 + -1 > t + at +; a,. - 1 > ,. + 1 r11

por tanto

(2 )

Demostremos ahora que �stas desiaualdades son vál idas tam b ién para un r,. < O tene r negativo , cuyo n1óoulo sea mayor que 2. En efecto , par>a n rnos:

( 1 + _!_ ) ',. = (-1-)1 '" ' = ( 1 1 T11� -1 ) ' '"' ; 1 1 - ff,;l1 r,.

T11

como

I r,. l r,. j - 1

l-1+

entonces

1 t + , ,,. 1 - 1 , J

( 3)

Obser>vemos ahor>a que POP tanto

a11- 1 � 1 r 1 - 1 < a,., 11

Es clar>o que

li m

11 � (7)

a11

= + oo .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

po r cons iguiente 1

CZn - 1 � 1 rn 1 - 1 > a,; > +- 1 ; 1 ->1 + 1 1 +an --1 >- 1 + -1 1 rn 1 - 1 an + 1 •

de aquí

:�,

:::o-

Finalmente o btenem os :

1- ) ' ,,. , > ( 1 + _1_) 11" 1 +1 ( 1 -fCZn --1 ) "'" > ( 1 + 1 rn 1 - 1 an + 1

•

De aqu í, según la fórm ula ( 3 ) obtenemos la desigua ldad ( 2 ) que tiene l u gar para todo r c uyo m ódu lo sean m ayor que 2 . Por cuanto los otros tér n m inos r pueden exist i r solam ente en núm ero fm ito , pueden igno rarse n

al cal cular el l ím ite. Cal culemos ahora los l ím ites de las expres iones

( 1 + CZn -1 1 ) ��¡¡ + 1

( 1 + an +1 1 ,)11"

•

Tenem os :

1 a�,. +l 1 "'" -1 1 ' ( 1 + an - 1 ) = ( 1 + an - 1 ) ( 1 + an - 1 ) . Observem os que en vi rtud de ( 1 ) , toda vez que an son n úm e Pos natura les, que tienden a + oo, para el prim e r factor o btenem o s : 1 .... -1 lim ( 1 + -=-r CZn ) = e. n-+C1J Por lo que toca al segundo factor, tend rem os

1 1m ( 1 + CZ11 --1 ) ] 1 = 1. n-+limCXl ( 1 + CZn � 1 ) 1 = (n1-.oo

Así pues,

im ( 1 + a¡¡_--1 ) nl-+oo

��¡a + t

= e.

(4)

P rocediendo análogam ente , obtenemos :

11" +1 1 1 n-+l.1moo ( 1 + an + 1 ) = n1"-+1moo f( I +"n + 1 ) 1 + _1 cz,.1 + 1 1 . 11 " +1 1 1 = l1m ( 1 + - ) =e· l; an + 1 • li m--.(--. n -+oo -.,-) --1.n-+oo 1 + Cl-+ 1 n "'"

•

por consigui ente.,

}�":, ( 1 + a, � 1 ) ��¡a = e.

En otras pa labras , de ( 2 ) , ( 4 ) , ( 5 ) y de l teoPe'ma de la Pág . 2 6 conc l u ím os que

" n lim -.oo ( 1 + ..!.)' = e. r,

(5)

CAPI TULO

FUNCIONES DE UNA VARIABLE eo n eepto de tune i6n l. E j e m p 1 o S d e f u n e i o n e S Al con cepto de función puede llegarse estudiando las relaciones existentes en tre diversas cantidades. Puede acontecer que dos cantidades. en deter � m inadas cond iciones , se l iguen entre sf de manera que a �cada valor. de la primera cantidad correspon da ,exactamente un det�rm inado va lor de -. la segunda. Si tal hecho tiene l uga r , se dice que la segunda cantidad es una furición de la primera . •

•

Ejem plos. l. El precio de l azúcar, en un lugar dado y en un tiem po determ inado se · define espec�ficando su cantidad , �s dec ir, su peso Po.r ta nto el prec io del azúcar es una tunci6n de su peso. .•

2 . El · prec io de un boleto de- tercera clase en fei'irocarr il es una func ión de la longitud de la trayectoria recorrida , asr que · los boletos expedidos para distanc ias iauales t ienen el m ismo precio.

3 . Estudiando el rnovim iento de un cuerpo cualquiera adve rtim cs que la trayectoria reco�rida, desde el momento en que empezamos a observar el movim iento , es una función del tiempo tPapscurrido a pa rtir de ese momento ; la trayector ia recorrida por un tren desde e_l mom ento en que se inicia el movim iento es una función del tiem po tr�nscurrido desde ese momento. -

4. La experiencia demuestra que una y la m isma masa de gas , a temoe ratura constante , tiene a igualdad de vólum enes la m isma elas t icidad ; · por cons iguiente, la elastic idad. de una ma sa de gas dada, a tem peratura constante , es función de su volumen. 5 . Como en todo momento del día la temperatura del a ire , en una locali dad dada, tiene un valor determ inádo,· podemos dec ir qu e esta tem pera-: tura es func ión del tiempo . ·

6. La experiencia demuestra que una varilla m etál ica dada tiene , para . _.. cada tem peratura , una longitud determ inada; por consiguiente , la lonai :- . tud de la varilla considerada es una función de su tem peratura. ·

7 . Dos c írculos de igual rad io tiene áreas iguales, por consiguiente, el · á rea de un cír culo es una func ión de su radio.

2 . N o ta e i o n e S . Si una cantidad y es función de una cantidad X_� en tonces la cantidad X - se l lama v a r i a b 1 e i n d e p e n d i e n t e , y la cari. e l se- rtidad Y , v a r i a b 1 e d e p e n d i e n t e . Una dependencia func iona presenta por e l sím bolo. Y • F( X ).

Se escr ibe tam b ién B • F( A ) si B representa un valor particular de la cantidad Y , la que en la de¡pendenci& funciona l antes indicada, co rresponde a c ierto valor> particu l ar A, de la can t idad X. r En l uga r de la letra F frecuentem ente se usan las letras /, �p, t¡¡ , etc . ) ·

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3. D e f i n i e i 6 n r i a u r o s a d e 1 e o n e e p t o d e f u n e i ó n . El con cepto de función puede definirse de otra manera , haciendo abstracción del concepto de cantidad, a saber: s i se da una ley por medio de la cual a cada núme ro de un conjunto definido de números Z se pone en corres pondencia exactam ente un núm ero real , entonces se dice que en el con-: junto Z se define una función • . Igual que antes, esta correspondencia se representa mediante el s(m bo lo . y • f( x )

donde x representa un núme ro cualquiera del conjunto Z e1 y representa al níím el"o que corresponde á x. Si x es un númel"o definido del con 0 junto Z , el s(m bolo f( x ) representará al número correspondiente á x0• 0 Por lo genera l , el conjunto Z es c ierto intervalo ( a , b ).

4 . D i f e r e n t e s m é t o d o s .p a r a e s t a b 1 e e e r u n a f u n e i 6 n De 7 tengámonos ahof'a en aquellos m étodos mediante los cuales puedé esta blecerse una func ión. Según la definición anterior es necesa rio que a ca da valor de x, de un conjunto Z dado, coPresponda precisamente. un núm- e l'o definido y. As f ocurl'a , en pa l'ticular, cuando esta correspondencia se establ ece m ediante una fórmula , por ejemplo , , •

Y=x• + 2x + 3

para

O <;; x � t .

Éxisten, sin emba rgo , funciones que tambi&n sati sfacen la definí - c ión ante r i o r y que podemos establecer sin n inguna fórmula. Si , por ejemplo , a cada número racional del intervalo ( 0 , 1 ) hacemos col'reapon der el núm ero cero y a cada irracional , el número 1 , entonces habrem os definido com pletamente una función, en el intervalo indicado . aan cuando no bemos recurrido a n inguna fórm Ú la. El conjunto Z se llama d o m i n i o d e v a r i a e i ó n de l a variable ' x 6' d o m i n i o d e d e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n . _

En lo que s igue , con frecuencia estableceremos una función med ian te una fórmula sin indicar su dom in io de definición. En tal es casos por · dom inio de definición toma remos el conjunto de todos los núm e ros x pa ra los cuales la fórmula tenga sentido. Por ejem plo , para f( x ) • 1 / x e 1 conjunto Z contiene todo x=/= 0. 5. M At o d o s . d e r e p r e s e n t a c i ó n d e fa s f u n c i o n e s . T a b l a s . En la pr§ ctica se requ iere una representac ión tal de la funciÓn que per m ita encontrar con facilidad el valor d e y que corresponde a u n x dado. Para ello se emplean : 1 ) tablas y 2 ) gráficas. · Obtenemos la tabla de valores de una función escribiendo-en orden con los valorés de la variable x, los valores correspondientes de la va riable y . Es evidente que una tabla siem pre contiene un número finito de valores de x Y los correspondientes valores de y. Es com ún que los valo res de la variable X formen una progresión a rítm ét ica . Por ejem plo, la tabla de la func ión

Y=x1 + 2x+3

• Hablando con más preci sión : funciones de una variable; a d iferencia de las funciones de varias variables sobre las que hablaremos más ade lante.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE

será

1 0,2 1 0,3 � ·0,4 1 0,5 1 0,6 1 0,7 1 0,8 1 0,9 1 1 0 1 3 1 3,2 1 1 3,44 1 3,69 1 3,96 1 4,25 1 4,56 1 4,89 1 5,24 1 5,61 1 6 y 1 X

0, 1

Otro ejem plo puede ser la tabla de anotaciones de la presi6n barométri ca en un día determ inado , a inter>valos iguales de tiem po, cada hora por ejem plo . La tabla nos describe la función usualmente sólo en Ul i c ierto sub conjunto del conjunto z. y contiene un núm ero fin ito de valo res.

Por ejem plo, la función y = x' + 2x +3 está definida en todo el intervalo ( O, 1 ) pe r>o en la tabla s6lo se muestran 1 1 de sus valores , La pr>es i6n barom étr>ica tiene un valor> definido en cada n1omento .. pero en la tabla solo se indican los valores de la p·r esi6n cada hora , etc .

· En la práctica se encuentrap funciones que tienen la propieda<i de que a pequeñas variaciones de la variable x correspondan , aproximada m ente, valores proporcionales de la va riable y. Por tanto, si los inter valos entre los . valores de x, en la tabla ,. son suficientemente pequeños, entonces de la tabla ·se ve el caracter aeneral de variación de la fWlción también para valoreé intermedio� y puede a1Jn calcularse con mayor exactitud los valores de la función para valores interm edios de x ( i n terpolac ión ) . -

Las tablas de las funciones se obtienen , ya ca lculando los valore s de la variable m ediante una fórmula ( tabla$ n1atemáticaeJ o bien obte - niendo los valores de la variable y por medio de mediciones físicas. quf m icas , etc . ( tablas em píricas ) .

A la prime ra categor>(a pertenecen las tablas loaarCtm icas .. triaono métr>icas, y otras semejantes; a la se&Wlda , las tablas de elasticidad del vapor del agua comprim ido , a diferentes tem peraturas, las tablas que dan la tem peratura de ebull ición del aaua en función de la presión. etc .

F inalmente procede advertir que las tablas, y a sean matemáticas o em píricas , dan los valores de la función solam ente con determ inada aproximación dependiente de la f inal idad de la tabla; y en las tablas em pír icas , dependiente además, de la exactitud que se pueda alcanzar en las m ediciones.

6. G r á f i e a s .

El segundo m étodo de r>epresentación de las funciones es el de las gráficas . Sea OX Y un sistema arbitrario de coordenadas. Por gráfica de la función y f( x ) se entiende el conjunto de todos los puntos de coordenadas x, f( x ) . Así pues, por ejem plo , la gráfica de la func ión l ineal y 2x + 3 se Pá una l ínea r e cta ; la gráfica de la función •

•

y • X una parábola , etc .

CALCULO: - DJFERENCIAL E INTEGRAL

Las gráficas se trazan por medio de apa ra - tos especiales ( regla, com pás , e l ipsógrafo , etc. ) o b ien, con m ás frecuenc ia , en la siguiente forma. Teniendo tabulados los valopes de la func ión, se tPazan los puntos correspondientes en el sis tema OX Y . Por este m étodo se obtiene solam en te un númePo finito de puntos de la gráfica. S i el caracteP de la función no es muy complejo ( ver -'-f�......_�,¡.._..._._..._..i..l..._ los ejem plos anteriores ) y los puntos trazados X se distribuyen con s ufici ente proxim idad , enton ' o ces, aún con esta áráfica inc m pleta , podemos percibir la forma de variación de la función y uniendo a mano los pun�os tl'azados obtenemos una curva. que será la gl'áfica de la función. Fia. 2 La grá fic a tam poco es una representación absolutamente exacta de la función . . Las causas de ésto, en lo fundamen _tal , son las m ismas que se indicaron en la descripción de las tablas. A greguemos a éstas l a inexactitud d e los instrumentos de dibujo , par efec to de la cual , cualquier curva tNzada t iene un c ierto arosol'. -

O b s e r v a e fó n . Frecuentement'e al trazar una gráfica , por razo nes prácticas, se el igen diferentes escalas en los ejes OX y OY.

Al construir la gráfica para E j e m p 1 o . Sea 1 (x) = x• - x + l . ( Fig. 2 } calculamos la tabla, por ejem plo , con . inter valos de 0.2. Obtenemos la siguiente tabla con exactitud hasta de un d6 c imo (m-ayor exactitud de estos valores sel'fa inútil ) en nuestra gráfica : - 1 , 6 -=;; .t =so;;; I , 6

" j - 1 ,61 --t,41 - 1 ,21 -1,oj -a.s¡ _¡,,6¡-o,4j -o,2J o 1 0,2¡ o.�¡ o,6¡o,s¡t,o¡1.2 1 ,4 1,6 y l -1;s¡ -o,3 0,5 1 . t,o¡ 1,3¡ 1,4 1 1,'3¡ 1,2¡ 1 ¡ o,sj 0,1¡ o,6¡o,7¡1,o¡1,s j 2,a 3,5 P robl em a a

Con.st:rulP laa tablas y gráficas de las s iguientes funciones: l. 2.

y=2x + 3. y = Yl - XZ, O�xEO; l. 3. y= !' si x ;.!:'O, y = 1 si x=O. 4. y=r - 1, I :e;;; xoe; 2; y=x' - 1, O=s;x � t. 5. y=x•, - 1 E::; xEO; l. 6. Y = YX. O=s;;; x =s; 1 0.

FUNCIONES DE UNA VARIABLE . 7. F u n c i o n e s a c o t a d a s .

F u n c i o n e s m o n ó t o n a s . La función

• f( x ) definida en el conjunto Z, se d ice que es a e o t a d a O, tal que un núme ro

para todo x del conjunto Z . La función creciente ,

si existe

1/(x) I < M

f ( x ) , definida e n el intervalo ( a , b ) , s e llama :

s i la desigualdad 11

decrec iente

no -decrec iente

no -creciente

x1 < x.

da l ugar a que

x1 < x,

x1 < x.

1 (x1 ) <1 (x 1 ),

/ (x1 ) > / (x1),

/ (x1 ) ';3:. / (x1 ),

para cua lqu ier pareja de valores x 1 , x (x1 < x.) del intervalo (a, b ) . 2 Cada una d e estas funciones s e dice que e s m o n ó t o n a . Las funciQ. nes crec ientes y las func iones decrecientes se d ice que son e s t r i e t a m ente m onótonas . En la práctica se encuentran funciones que son monótonas en todo el intervalo de su defin ición, o bien, este intervalo puede subdividirse en un núm ePo fin ito de partes en las que la func ión es m onótona .

Sin embargo , existen funciones que no son monótonas en ningun in tervalo. EJ EMP L OS .

l . La función 2.

La función

3. La función 4 . La función

5 . La función

a X

es creciente en todo intervalo .

,.. cos x es decrec iente en el intervalo ( o, ; ) .

E( x ) es no -decrec iente en todo intervalo.

E( 1 /x) es no -creciente en el intervalo ( O , 1 ) .

y m x =

te en el intePvalo ( O, 1 ) .

. es dec rec iente en el intePvalo ( -1,0 ) y cr ecie!!.

C API TULO

111

L IMITE DE UNA FUNCION DEFINICION Y PROPIEDADES DE LOS LIMITES

l . D e f i n i c i ó n d e l l í m i t e d e u n a f u n c i ó n . Sea la func ión y f( x ) def in ida de la venc idad * de c ier>to punto x , con excl usión . posi o blem ente del propio punto x ; no hacem os . pue s , n i nguna su posic ión so o b r>e que la func ión esté definida o no en e l punto x . o Se d i ce que g es e l l fm i te de una func ión , cuando x tiende á x , s i 0 pa ra toda secuenc ia {x11 }, convergente á x , c o n té rrn i H o s d ife rentes de o x la secuen c ia correspondiente {/ (x11 ) } de los valores de la fu n c i ó n o lim �� = x 0 (x11 =f= x0), entonces converge á g ; esto sign i fica que s i 11 -+ 00 •

•

PaPa expresar que g es el l fm i te de una func ión , c uando x t iende á esc r> i b imos : o 11m / (x) = g. •

K-+Xo

l . Sea y = x cos 1 / x en e l i nte rva lo ( -1 , +U . con exclus ión de l punto O, ;� � (x) = O. en el que la func ión no es defin ida . Tenem os aquí q ue es una secuencia que t iende a cer>o . Efect ivam ente , s i {x11 } (x11 =/= 0) tendr>emos EJ EM PLOS .

li m O entonces lim 1 (x11) = O . 11-+CX> X11 = , Ka-+0 2 . Sea Y = cos _!_ en e l m i sm o conjunto del ejem plo ante r i o r> . En e ste 1 caso el l ím ite rfo existe en el punto cero. En efecto ha ciendo X11 = , obtenemos una secuenc ia que conve rge a cer>o , y la cor>respondi ent�tt se cuen c ia { t (x11 ) } coinc ide con la secuencia d i ve rgente -1 , + 1 , -1 . + 1 , :: .

Como

2 . O p e r a c i o n e s e n t r e l í m i t e s . . De la defin i c ión de l ím ite de -

una función y de los corPespond i entes teoremas d e l a teo r> ía d e los l ím i tes de l a secu enc ias se deducen inm ed iatamente los sigu i entes teorem as : Sea

l i m t1 (x) = g1

entonces

X-+Xo

lim t. (x) = g1 •

X -+ Xo

Se l lama v ec indad del punto x a todo intervalo que cont iene el punto 0 en su inter>ior. 40

LIMITE DE UNA FUNCION

3) s i m e s u n nú m e ro r ea l , t e n d r e m o s lim [m /1 (x)] = mg1;

X � Xo

4) s i ad i c i o na l m e nte s u pon e m o s q u e obtenemos lim /1 = .lL . 1

x � x0

(x)

fa (x)

/1 (x) = x c os -x , f. (x) = l + x Ejem plo. Sea en el i n tervalo ( -1 , + 1 ) c on exclusión del punto x • O. Como ya sabem os, X� lim0/1 (x) = 0 · Si {x11} (x11 � 0) la secuenc ia converge a cero , luego la secuenc ia c onve rge al l ím ite 1 + O • l . Por cons igu iente

+ 1 +x ) = 1 , � ) ( 1 + X )] = 0,

lim x cos _!_

( !i�0 [ ( X x� O

COS

lim

x�O

x cos x

-y+x = 0,

l o que tam bién se com p Pueba de inmed iato . Dem ostrem os, por ejem plo, el pPim e P teorema . Tom emos una se cuencia arbitra P ia {x11} (x11 � x0), conve rgente a x Puesto q¡_¡e o lim /1 (x) = g1 , lim /1 (x) = g1 , •

I> � Xo

X-+ Xo

entonces, en v irtud de la definic ión de l ím ite , obtenemos : Ji m /1 (x11) = g1 , J i m /1 (x11) = g1 • n -+ 00. n -+ OO D e donde , con base e n l o s correspond ientes teoremas d e l a teo ría d e los l ím ites de las secuenc ias , tenem os : lim [/1 (xn) (x,)] = g1 +g, .

+!,

n � oo

Com o la secuencia {xn } es a rb itra ria y satisface ún icam ente l a s cond i c iones indicadas antes, se tendrá lim [11

X � Xo

(.") +! (x)] = gl +g,_. •

3. C o n d i c i ó n d e e x i s t e n c i a d e l L í m i t e . Para las apl icac io - nes es im po Ptante l a s igu iente ppoposíc i6n : T e o P e m a . P a P a q u e u n n ú m e P o g s e a e l l ím i t e d e una func ión y • f ( x ) , cuando x t i ende á x , e s n e c e sa r i o y s u f i c i e n t e q u e a c a d a n ú m e P o e > O c 8 r r e s p o n d a : una vec i ndad d e l punto x , ta l q u e l os va l o Pe s d e l a o

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

fun c i ón pa Pa todo s l o s pun tos d e d i c ha v e c i ndad ( con e x c l u s i ón , pos ibl em ente , de l ppo p i o punto x ) se a p P2 0 x i m e n á g e o n u n e P P o P m e n o P q u e e. En otPas palabPas, p a P a q u e lim

X -+ Xo

/(x) = g,

e s n e e e sa P i o y suf i e i en t e q u e pa Pa va l o r e s de :e =1= X0, q u e d i f i e ra n d e x en una c a n t i dad l o basta n te p e qu e ña , c o r r e s p o n d a n v a l� r e s d e l a f u n c i ó n f ( x ) q u e d i f i e P a n de g tam b i én en una cantidad sufic i entem ente peque ña . Este teorema puede ilustParse de la siguiente manera . El ijamos un número arbitra rio e> O y sobre e l eje O Y ( Fig. 3 ) marquemos un segmento con ex y tPemos g - e , g + e . Por los extremos de este segmento tracemos rectas paralelas fl•é -; al eje OX. esta manera obtenemos una y - 1 faja de ancho 2e. Investiguemos ahoPa si exis �E - - �- - -�-- � - - 1 te un segm ento de longitud 2�, alojado en el 1 l 1 1 eje OX y que contenga en su interior al pro : 1 l 1 1 pío punto X tal que la porc ión de la CUrVa 1 1 l o 1 l 1 que está sobre ese segmento ( con exclusión o X quizá del punto ( x0 , f ( x0 ) ) se encuentPe completamente en la faja antes menc ionada. F ig. 3 Así pues, nuestro teorema afirma que : 1 ) si g es el l ím ite , entonces paPa todo e > o puede encontraPse tal seg mento;

-----)S:{-

- -· -

-- - -

- - -

2 ) si para todo e > o puede encontParse tal segmento , entonces g es el l ím ite . En el caso mostrado en la Fig. 4 , el número g no es el l ím ite , ya que tomando la faja mostrada en la figupa , no encontPamos el corPes - pondiente segm ento 2a. No obstante se tienen fajas paPa las que existe el segmento 2� correspondiente . Antes de pasar a la demostración de es te teorema ind i quemos su apl icación en algu nos ejem plos. l. lim (5x1 - 7x + 6)= 4. q·c -j 9

r;·c

------ --- -/ - ------- -

------

---

- : -

----

-- -···

Fig. 4 1 (5x• - 7x.+ 6)

X -+ 1

D e m o s t P a c i ó n . Ponemos e l número

e > O en corPespondencia con el intervalo - ( 1 - r¡ , 1 + T¡), donde r¡ e s igual a l menor de los dos núrn e Pos 1 , !. e. Si x es un p u n t o ar.

b itPario de este inte �valo, entonces X • 1 + h, donde ¡ h 1 � r¡ . PoP consiguiente ,

- 4 1 = 1 [5 ( 1 + h)1 - 7 (1 + h> + 6] - 4 1 = = l 3h + 5h1 1 = 1 h 1 · 1 3 + 5h 1 ;

4.3

LIMITE DE UNA FUNCION

por cuanto entonces 1

(5x1 - 7x + 6) - 4 1 � 1 h 1· 8.

Puesto que , además entonces 1

(5x1 - 7x+6) - 4 1 � e. -

Vernos que los valores de la función en el inter ior del intervalo - 1J , 1 por consiguiente 4 es el 1J difieren de 4 en m enos que cuando x tiende á l . 1 (m ite de la func i6n +

lim

X-+ 2

:.�3x +¡

_ 1 5 .

X-

5x1 -7x 6

D e m o s t r a e i 6 n . Ponemos al número e > o en correspondencia con el intervalo(2 - 11 , 11), donde 1J es el menor de los dos números 1 y Si ahora :;6 2 está contenido en e l intervalo (2 - 1J , 2 + 1J), entonces x = 2 + h, donde Bn relación oon ésto

5e.

2+ O.< l h i E0; 1J. - (2 + h)1 - 3 (2 + h> + 2 /(2 +h> - s1 <2 + h>' + 2 + h - 6

h + h' 1 � = 5h + hi - s- = s + h

1 = 4h

--s

25 + 5h ;

puesto que

entonces 25 por consiguiente

por cuanto

+ 5h � 25 -5 1 ,, 1 � 25 - 5·1 =20,

r/(2 + h> - ..!..5 l' - -l 254+1 h5lh l =s:..

� �. 20 ,

h � 5e, tendremos lt<2 + h> - { l � 4;�' = e.

1 1

Así pues, 1 / 5 es el l ím ite de la función dada , cuando x tiende á 2. 3 . llm X -+ 2

x-1= 4.

D e m o s t r a c i ó n . Tomemos el interval o (2 - 7j, 2 + r,), donde 71 es un número positivo arbitrario. Si x es un punto del intervalo (2 - JJ, 2 + r), entonces 1 2 1 � l'J · En un punto x nuestra función tiene un valor r. Pero -4= 2) ( x + 2),

x•

(x -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

de donde 1 Xs - 4 1 = 1 X - 2 1 · 1 X + 2 j, por consiguiente .

es decir

J x' - 4 J � lJ (l x l + 1 2 j) � r¡ (2 + r, + 2) , l x1 - 4 l � '1 (4 + 7j ) .

La última desigualdad. es vál ida para todo 7j > o . Para los valores positivos de ll· no superiores a 1 . obtenemos la des�gualdad l xs - 4 ! � 57j . Esta desigualdad demuestra que tcdo número positivo e puede pone_c se en correspondencia con el intervalo (2 - r¡ , 2 + r¡ ) , y que si x es un PU!!. to arbitrario de este intervalo. entonces tiene lugar la desigualdad j x1 - 4 l � e.

Para ello es suficiente con elegir 7] menor que los números 5 '· 1 . Pasemos ahora a la demostración de nuestro teorema . Demostremos prime ro que la condición dada es necesaria . Hagamos la demostración por reducción al absurdo . Adm itimos. por consiguiente . que g es el l fm i te pero que l a función no satisface l a condición dada , asf que n o para to do se tiene la correspondiente vec indad. El ijamos- entonces e > o , para s> o el cual no existe tal vecindad. Entonces . no impoi�ta cual sea el segmen to 2�, que contiene en su interior al punto x en 61 siem pre se encontra o rá c ierto puntoE =1= x0 , en el que el valor de la función será diferente de a en no menos que s esto es, J

•

I / (E) - g 1 � e. El ijamos ahora una secuencia arbitraria de segmentos 2a . 2a , . . . , s que que contengan en su interior al propio punto x tales, sin em bargo o sus longitudes tiendan a cero. Representemos por E11 un punto arbitra - rio del segmento 2 am diferente d e x y que satisfaga l a des igualdad 0 En) 1/( - g l � e. (1) •

En virtud de lo dicho antes, ex iste tal purtto en cada uno de los seg m entos 2 a11 • Como ¡ En - x0 ¡no excede la longitud del segmento 2a11 , entonces J im

y por consigu iente,

Debido a la m isma desigualdad

11 -+ CT.J

I En -·l:o i = O

11 -+CX) E11 = x• . lim

LIMITE DE UNA FUNCION

la secuencia {l (en)} no tiende al 1 ím ite g; lo que contradice la suposi - c ión de que la función tiene un l fm ite g en el punto x0 •

Lo cual demuestra que la condición es n e e e s a :r i a . Demostremos aho:ra su s u f i e i e n e i a . Sea que la función f ( x) sa t isface la condic ión mencionada en el teo:rema. Sea , además { xn} una se cuencia a:rbit:raria que converge · á x0 , siendo xn =f= x0• Demostremos que }�� / (xn) = g. El ijamos, para el efecto, un núm e:ro a:rbit:ra:rio e> O. Según lo supuesto , existe tal vecindad del punto x0 para la que en todo punto E =f= x0 de esta vecindad se cum pl e la desigualdad

1 / (e) - g l < e.

(2)

Como n�� xn :::::: xo, entonces, a pa rti:r de c ie:rto té:rm ino de la secuencia ( que :representamos po:r x ) todos los té:rm inos :restantes esta:rán en la vec indad elegida. Así p'J¿ s, para cada té:rm ino x • subsecuente de xN' n se satisface la desigualdad ( 2 ) , esto es,

1 / (xn) - g ! < e. Po:r cuanto e ha sido elegida arbitrariamente, tendremos lim / (xn) = g,

n-+co po:r consiguiente,

Jim / (x) = g.

:C -+ :c,

LIMITES UN I LATERAL ES Y L Rv1ITES IMP ROPIOS.

4. L rm 1 t e 1 a t e :r a 1 . Se dice que a es el l ím ite izquierdo de una fun - c ión, cuando x -+x0, si a toda secuencia ( x,. }Conve:rgente á x0 con térm i nos m e n o :r e s que x , l a secuencia correspondiente 0 valores de la función tiende á g, es deci:r. que si i m Xn = x0 (xn < x,). nl-,.co entonces

/ (xn) = nlim -+ co

Esto s e esc:ribe así : 11m

X-+ :C.,-0

/(x) = g.

{/(x.)}

d e los -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Análogamente se define el 1 ím i t e d e r e e h o y se esc ribe : lim / (x) = g. X -+ Xo +O

E j e m p l o l . Sea /(x) = 1 : 1 para x =F O. En el punto x • o la función no está definida . Es evidente que f( x ) • +1 para x > O y f( x ) • -1 para x < O ( F ia. 5 ) . S i {x,.} e s una secuencia de térm inos positivos, convergente a cero, entonces f( x ) • +1 para todo n, y por consiau ient e , n . hm /(x,.) = + 1 . 11 -+ a> De donde

lim / (x) = + l .

X -+ +O

Análogamente

X -+ - 0

Um /(x) = - 1 .

La func ión tiene, pues, un l ím ite derecho igual á +1 , y u n l ím ite izquierdo -1 , m ientras que l ím ite lim / tx) no existe. X -+ ll

D e la definición d e l ím ite fác ilmente se de y duce que si la función tiene l ím ite, entonces exis +f t--ten tanto el lím ite derecho como el izquierdo y : que ambos son iauales al l fm ite de la función. - o 1 Sin embargo, d e l a existencia del l ím ite derecho, por ejemplo, no es posible hacer ninguna deduc - --------4 f c ión respecto a l l ím ite de l a función. Otro tanto se puede deci r del lím ite izquierdo. 1 j (x) = x cos x Fig. 5. para x < O y E j e m p l o 1 2. Sea f (x) = cos -;para x > O . De los ejem plos dados antes se deduce la exi� tencia del lím ite izquierdo, lim / (x) = O y la no existencia del l(m ite x -+ - o derecho. ACin existiendo simultáneamente los l ím ites izquierdo y derecho no es posible hacer ninguna conclusión sobre la existencia del l ím ite ( ver el ejmplo 1 ). Sin em barao es fácil demostrar que si ambos l fm ites l ate rales existen y son iguales entre sí, entonces e l l ím ite de la función existe y es igual al valor común. Introduciendo las modificac iones correspondientes en los teoremas d e los l ím ites, obtenemos los teoremas d e los l ím ites laterales, izquier do y derecho. Por ejemplo , s i •

Iim

entonces

etc.

X -+ Xo - 0

/1 (x) = g1�

lim

X -+ Xo - 0

Jim X -+ Xo - 0

/1 (x) = g1 ,

[/1 (x) + /1 (x)] = K1

+ C1 ,

P a r a q u e u n n ú m e r o a s e a e l l ím i t e i z q u i e r d o d e l a f u n c i6n y • f ( x ) , c u a n d o x t i ende á x0 , e s n e c e sa r i o

LIMITE DE UNA FUNCION

y su f i c i ente qu e a t o d o n ú m e ro e> O p u e d a h a c e r s e c o r fl e s p o n d e fl u n i n t e fl v a l o t a l , c o n e l e x t fl e m o d e fl e - c h o e n e l p u n t o x , q u e e l v a l o fl d e l a f u n c i ó n e n c a d a p u n t o d e e s t e ?n t e fl v a 1 o , d i f e fl e n t e d e x , s e a p fl o . o � g e o n u n e fl r o fl m e n o fl q u e e. x1me a Una pfloposici6n sem ejante tiene l ugafl pafia los l ím ites derechos.

L rm i t e S i m p fl o p i o S . Se dice que una función tiende á + OO CU8!!.

do x - x0 , si pafia toda secuencia {xn}, que converge á x , y cuyos téflm i nos son d i f e fl e n t e s de x , l a secuencia coflrespon cRente {/ (xn)} de los valofles de la función tí �nde á+ oo . En otflas palabras, sí entonces

(xn) = + oo n lim -+ oof

En tal caso, usaflemos el símbolo lim / (x) = + oo. ma

Sim ilaflm ente definimos el l fm ite - oo, que escflíbíremos en la for l i m f (x) = - oo.

1C-+ Xo

Con apoyo en los teoflemas correspondientes de la teorra de los I r m itas pueden demostflaflse los siguientes teoremas: Si l lim /1 (x) = a, li m /� (x) = + 00 , " -+ Xo .

1C -+ .Ko

entonces

Ji m /1

X -+ .Ko

lim [/1 (x) + / (x)] = + oo . 1

(x) = a,

entonces 3.

" -+ 1Co

l i m f1 (x) = + OC>,

x -+ .r,

lim /1 (x) = a > O ,

X -+ Xo

J i m /, (x) = O . (x)

1C -+ xo fa

lim / (x) = O , f.1 (x) > O 1

X -+ Xo

en la venc idad del punto x

•

li m /, (x) X -+ Xo fa (X)

ento n c e s

= + oo .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL m > O,

lim f (x) = + oo,

� .... Xo

entonces lim [m/ (x)] = + oo .

� .... Xo

5 . P a r a q u e l a f u n c i ó n y = f ( x ) t i e n d a á + oo c u a n d o x t ie nd e á x , e s n e c e sa r i o y sufic i ente q u e a todo nú - m e r o M > O p� e d a p o n e r s e e n c o r r e s p o n d e n c i a u n a v e c i n d a d t a l d e l p u n t o x , e n c a d a p u n t o d e l a c u a l ( d i f e r e !!. t e d e x o ) e l v a l o r 8e l a f u n c i ó n s e a m a y o r q u e M . S e d efinen en forma análoga los conceptos de l Cm ites infinitos i z quie rdo y derecho. Sea la func ión y • f( x ) d ef inida para todos los valores de x, mayo res que c ierto núm e ro a . Se dice que la función tiende a un l ím ite g, - cua ndo x tiende á+ oo,si para toda secuencia {xn}.que tiende á + oo J a secue!!_ c ia correspond iente {f(xn)} de los valores de la función , converge á g. Es to es, si lim Xn = + oo, n .... oo

se concluye que

Jim / (xn) = g. n -+ oo

Esto lo escribimos así:

lim f (x) = g.

� -+ +oo

Es fácil la interpretación de los siguientes sím bolos : tím f(x) = g,

.. ... - 00

lim f(x) = + oo,

� -+ +oo

lim f (x) = - oo, � -++oo

lim f (x) = + oo,

X -+ - 00

lim / (X) = - OO .

> -+ - CID

S im ilarm ente con l o anterior, podemos formula r e l teorema : P a r a Q u e u n n ú m e r o g s e a e l l ím i t e d e u n a f u n c i ó n Y • f ( x ) , C u a n d o X t i e n d e á+ oo, e s n e c e s a r i o y S U f i c i e n t e q u e a t o d o n ú m e r> o e > O p o d a m o s p o n e r> e n c o r> r> e s p o n d e n e i a u n n ú m e P o M > ú, t a 1 q u e p a P a t o d o n ú m e r o m a y o ¡:; q u e M , l o s v a l o r> e s c o r> r> e s p o n d i e n t e s d e l a f u n c i ó n s e a p P o x i m e n á g e o n u n e P P o P m e n o p q u e e.

LIMITE DE UNA FUNCION

O b s e r v a e i 6 n . Si

lim :t -++oo

/(x) =

lim :t -+ - oo

f (x) = g,

entonces. brevemente escribimos : l im f(x) = g. Jt -+ 00

L IMITE DIFERENTE D E C ERO. CAL CUL O DE ALGUNOS LIMITES.

6. C o n s e c u e n c i a d e l a e x i s t e n c i a d e u n l Cm i t e d i f e r e n te de c e ro . T e o r e m a . S i l a f u n c i ó n f ( x ) t i e n e u n l ím i t e a p o s t 1 6 si t i v o e u an d o x t i e n d e 6 x lim 1 (x) = + oo , e n t o n o e a o � -+ JI'o x :fo x, e x i s t e c i e r t o n ll m e r o tX > O. t a l q u e e n t o d o p u n t o d e a l g u n a v e c i n d a d d e l p u n t o x 0 aa t i s fa c e l a s d e a i a u a l d a d e s /(x) > cx. > O. E f e e t i v a m e n t e . para los valores de x, suficientemente pr6ximos á x tenemos. en el primer caso. la desiaualdad 0 1 / (x) - K I < � , •

•

por tanto

- � <l(x) - g,

por consiauiente.

/(x) > � = tX > O.

En el seaundo caso. el igiendo un nllmero M > o, arbitrario, tendremoa la desiaualdad

/ (x) > M = tX > O. Un teorema semejante tiene luaar para .un a neaativo. o para lim / (x) = - oo ,

• -+ Ze

as( como para los lCm ites unilaterales. 7.

C á l c u l o d e a l a u n o s l (m i t e s .

Um h -+ 0

a" =

1 (a > O);

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Iim

1' -+ +oo

( 1 + .!)' r = e·'

lim sfn h = O,

h -+ 0

Jim cos h = 1 ,

h -+ 0

h �O

sln h _ 1 h -

•

a ) Supongamos inicialm ente. que a � 1 . Sea que la secuencia satisface las condiciones lim h, = O, -+ 00

h, =1= O.

(J)

Hagamos

por consiguiente . et, es un número entero no -neaativo. que satisface las desigualdades Ot, :E;;; (2 ) < Ot, + 1 .

De la condición ( l ) y de las desigualdades ( 2 ) se desprende que ,

� � = + oo.

�

Por tanto. a partir de cierto n. el número et, es positivo . En la siauien te exposición considerafilOS que todo et, > O ; esto puede hacerse ya que no consideramos solamente un núm ero finito de térm inos. Si h, > o, entonces de acuerdo con ( 2 ) y con la suposición que a ;;;;::, 1 tendremos

y corno es evidente que

tienen lugar las desigualdades

1. � a"" e:;;; a-;,..

(4) a.,. Estas desigualdades son vál idas tam bién para h, < o , ya que entonces (- h,) > O y por consiguiente en virtud de (4 ). se tiene

•

Ver Pág . 6

LIMITE DE UNA FUNCION

es decir. .!

1 1 1 < "'"

E;;;; a.._,

a..,.

y al tomar l a inversa de estas cantidades obtenem os nuevam ente las de siaualdades ( 4 ) . Como ya se ha visto· ( ver Pág. 29 ) . l

lim aG. :.._ 1 .

n -+ OO

lueao

= -1 = 1 , -+00 -r 11 Um a-.._ "1-+1m00a"" 1

por consiguiente. de las desiaualdades (4 ) y en base de un teorema cono c ido ( Pág. 2 6 ) obtenernos :

11 lim -+ 00 a"" = l , de donde

11m a"= t .

As( pues. hemos demostrado que si a ;;;;;a, t , entonces h -+ 0

llm a"'= 1 .

� > 1 , por tanto Hm (.!)" = 1 . h -+ 0

Si ahora

O <'a < 1 , entonces

. ... o

Pero

por consiauiente

, .... o

11m a"

lt�o (-} )"

La proposición a) ·ha s ido demostrada. b ) Ya habíamos demostrado ( Páa. 32 ) que si la secuencia {r.J &ati& face las condiciones

r,. =;6= 0, ,.11m .... 00 l r11 l =+ oo,

( +�Y"}

e ntonces la secuencia f 1 converae a un lfm ite determ inado que representamoEa por e. � particular. para

r11 ::¡l= O Y lim r11 = + oo n -+ OO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

s e tiene siem pre :

(1 +.!)""=e,

lim

,. -.. oo

así que. según la definición del lím ite de una función 11m

r -+ + oo

(1 +..!.) = e •). r

o ) Dibujemos una c ircunferencia de radio OB = ( Fia. 6 ) y trace mos un diám etro cualquiera EB. Sea la recta B D tangente a la circunfe rencia en el punto B. y BC • h un arco cualquie ra de la c ircunferencia . Representando por A la proyección del punto C sobre OB , y por O el - - punto de intersección d e l a recta OC con l a tangente antes mencionada , obtenemos. en virtud de las definic iones de las func iones trigonométri - cas :

AC = j sin h j , OA = I cos h l , BD = I tg h l . ti:

Si 2 < h < 2• entonces .como fácilmente se ve en la Fíg. 6 l sin h l .;;;; l h l, (4) -

�

Fig. 6

1 cos h 1 � - 1 sin h ¡ .

(5)

Obtenemos la primera desigualdad al observar que el arco BC es mayo r que la cuerda BC. la que a su vez es mayor que AC. La segunda desigualdad se obtiene del triángulo OCA al apl ica r el teorema según el cual un lado de un triánaulo e s mayor que la diferencia de los oti'os dos lados. De la desigualdad ( 4 ) con facil idad obtenemos:

lim sin h = O. h -+0

D e l a desiaualdad ( 5 ) y observando que

llm cos h = 1 .

cos h E;; t ,

obtenemos:

h -+ 0

De la Fig. 6 encontramos las siguientes des igualdades : área � OAC "' área del sectorOBC .;;: área 6, OBD, esto es.

• Fs fácil demostrar que

Um l r l ... + oo

( ver el teorema de la P�a 32 ) .

(1 +-�)r ,

LIMITE DE UNA FUNCION,

de donde , tomando en cuenta que

- ;. < h < -i , obtenemos:

por consiguiente,

� - l sin hl h Jhj '

cos h <

1 sln h ·'c:ot h > -¡¡- ;;¡;¡, cos h,

y como

11m coa h = 1

A -+ 0

entonces

,., .... o

Problemas.

Demost:rar que : l.

lim tg x = 1 .

X -+ 0 X

lim a!ln x = 1 ,

X -+ 0

a > O. t

( +�y = Jrl�m_, [( 1 + �Y'J:;-

3 . xl�m00 1

lim sin kx = k.

x-o

X -+ 0

7. 8.

lim 1 -Xcos x

--- =-

lim

- cos•

X -+ 0 X ( 1 + COS X)

-o

-•

= - l. lim sin x = + I, x -+lim- 0 � lxl

x -+ + o ¡ x ¡

Um sin x

"" ... 00

existe.

x = ....!.. . 11m ( t _ L) x

-"" -+ oo

Um _!_ = 1 ,

1 .,. 0 t01

sin h 1 Ilm --¡;- =

s!D h < coa h ,

= l.

•

CALCULO D1FERENCIAL E INTEGRAL

Um � - 5 1�- 1 -4

(dividir el numerador ., el denom inador entre

. ....

!l . Um

JC.-+ 1+0

2i=l = + oo

x -1 )

10 . Um �•+ Bx - l :t -+ oo x - 1 OOOx •

'J!=t=U.

� -. 1 - 0

CAPITULO CONTINUIDAD DEFINICION

PROPIEDADES

LAS DE

FUNCIONES

LAS

FUNCIONES

CONTINUAS

l . O e f i n i e i 6 n . Sea una funciá n y f ( x ) definida en la vec indad de un Se dice que la función y .. f ( x ) es continua en e l punto punto x0 • =

X := Xo , to

•

S i lim 1 (x)

/(x0),

En otras palabra s : S -+ Xo

x0 ,

la func ión f ( x ) , definida en la vec indad de un pun es continua en ese punto , si lim 1 (x0 + h) = 1 (x0).

11 -+ 0

S im ilarm ente a c o m o se defin ieron l os l ím ites izquierdo y de recho pue de defin i rse la continu idad derecha 6 la izquierda , a saber : una funci ón f ( x ) , definida en un punto x0 , , y tam b ién en un intervalo con el extremo de recho en el punto

x0 ,

es continua a la izquierda en el punto

X0, , si

De la m isma manera s e define l a continu idad a la derecha . O b s e r v a c i 6 n . Al abordar el concepto de l ím ite fué indiferente si la Para la continuidad de la func ión era o n6 definida en el punto x = x0 func ión en un punto

.x 0

•

e s n e e e s a r i o que .�sté defin ida en ese punto.

Com o fác i l m ente se o bse rva , si l a func ión f ( x ) es continua en un pun to x0 , entonces es continua en este punto , a la derecüa y a la izquie� da . ,

La rec íproca tam b ién e s ve rdadera . Ejem plos. l . La func ión ya que

y = r es continua pa ra todos los valo res d e x.

lim r = _¿o •

" ... -�o

2. La función y = 3r -2.x + 3 tam b ién es continua donde qu1era . 3 . L a función y • E ( x ) e s continua donde quiera , excepto para l o s valo: res ente ros de la var iable x. En éstos l a función es cont inua solamen .l_e a la de recha . 4 . La func ión y=

{sin _!_ " o

si x +O,

si 55

.x = 0

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

no es continua en el punto x • O, porque si se Loma la secuencia donde x,.

(2n

{ x,.},

� l)'1e , entonces la sec uenc ia de los cof'respondientes va lo -

res de la func ión : 1 , 1, -1 , 1 ,

. . •

es divef'gente .

Se d ice que la función f (x ) , defin ida en un intef'valo cerrado ( a , b , ) , es continua e n e s t e i n t e P v a 1 o si es cont inua en cada uno de los puntos intePiOI"'es de este inte f'valo, si es cont inua en un intervalo cef'Pado . •

2.C o n d i c i ó n N e c e s a P i a y S u f i c i e n t e p a P a l a C o n t i n u i d a d d e u n a F u n e i ó n . Sobf'e la base de los teo Pem as correspondientes de la teoría de los l ím ites es posible fo rm ulaP la sigu iente proposición : Teof'em a . P a P a q ue u n a f u n c i ó n f ( x ) , d e f i n i d a e n l a v e e i n d a d d e u n p u n t o x,. , s e a e o n t i n u a e n e s e p u n t o e s

n e e e s a I"' i o e i a e o n x,,

s u f i e i e n t eq u e a 1 o s v a 1 0 r e s d e x¡; u � a d i f e I"' e n 1 o sufi e ientem ent e pe q ue ña e o r Pes Pon -

sea

d a n v a 1 o I"' e s d e 1 a f u n e i ó n

qu e

•

d i f i e I"' a n d e

1 (x,),

u n a e a n t i d a d s u f i e i e n t e m e n t e p e q u e ñ a , -e s d e e i r , e n o t r a s p a l a b f' a s , q u e p a P a t o d o n íi m e f' o e > O p u e d e e n c o n t ra r s e ta 1 ve e indad d e l punt o x,, , q u e 1 o s v a 1 o I"' e s d e

l a f u n c i ó n , e n c u a l q u i e r p u n t o d e e s t a v e c i n d a d, d i f i e r e· n d e 1 v a 1 o I"' d e 1 a f u n e i ó n p a r a¡ x = x. e n m e n o s q u e e.

Un teorem a sim ilar tiene lugap paPa la continuidad a la izquierda y a la derecha .

3 . 1 n t e r p f' e t a c i ó n G e o m é t P i c a . El concepto de continuidad puede i lustrarse sim ilarmente al concepto de l ím ite . y

ftr.J.e

. !fz,J �-e

-� --

- -, - ---- - - - + 1 - - - - - - - - � - �- - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1

PaPa inyesti&a f' si una función es continua en un pun to x0, elegimos un núm ef'o e > O , a PbitPario y tra zamos dos rectas pa Palelas al eje OX , una a la al tura /(x8) + •, la otPa a la altu f'a ¡ (x,) - e . Obtenemos u -

na faja de ancno 2e ( F ig . 7 ) . Investiguemos ahof'a s i existe un segm ento del eje OX , que contenga en su Fig. 7 intef'ior al punto X0 y de longitud 2a. , tal que la pa rte de la curva cor'l"espondiente a este segm ento se encuentre com pleta m ente en la faja antes m encionada . Así pues, si la func ión es cont inua . siem pf'e es posible encontf'af' tal se gmento pa ra una e lecc ión aPbitrai"'ia del níimef'o a > O, , entonces la fun ción es contfnua en el punto x, .

4 . O p e r a e i o n e s E n t I"' e F u n e i o n e s Co n t i n u a s . De la definic ión de continuidad Y de lós a>Prespondientes teof'em as oe la teo p fa de los l f m ites fácilm ente o btenemos la s iguiente ppoposici6n : Teof'em a . L a s u m a , l a d i f e f' e n c i a y e l p f' o d u c t o d e d o s func ion e s , c on t i n u a s en c i e Pto punto , ta m b i én e s una

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

f u n c i ó n c o n t i n u a e n e s e p u n t o ; e l c o c i e nt e e s c o n t i n u o también e u a n d o l a f un e i 6 n e n t r e 1 a q u e s e d i v i d e e s d i f e r e n t e d e e e I" o e n e s e p u nt o y e n s u v e e i n d a d . ,

Ejem plos.

l . com o l a función y = x es cont inua donde qui e ra , entonces las funciones , x" ( n , un núm ero natu ra l ) son func iones continuas.

x1 _:_ x · x, x' = x · x · x,

. . .

2. La func ión ax" ( n , un núm ero natuPa l ; a ,u n núm e ro Peal ) es continua donde qu iera , ya que puede considePa r>se como e l producto de la func ión x" y la func ión constante de val oP a, ev identem ente continua. 3 . El po l in om io a0 + a.x + a.x• + ra .

. . .

+ anx" es una func ión cont inua don9e quie

4 . Una func ión rac ional . esto e s , una ftnc i6n igual al co ciente de dos pol i nom ios . es cont inua en todos los punta:; en que está defin ida . 5. C o n s e c u e n c i a d e

l a C o nt i n u i d a d d e u n a F u n c i ó n D i f e r e n t e d e C e P o , e n u n P u nt o D a d o . Del teo rema ( Pág.. 49) se despPende la sigu ierrte ppo posici6n : Teorema . S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s c o n t i n u a e n u n p u n t o x0 y s i f (x0 ) > 0 , , e n t o n c e s e x i s t e t a l núm ePo CJ > O . q u e e n e ie Pta ve e indad de l punto x0 t e n d P e m o s f(x) > � > o.

Una pPoposic ión sem ejante es vál ida para f(x) < o , y tam b ién para las func iones de continu idad unilatePa l . CON TIN U IDAD U N I FORM E 6 . D e f i n i c i ó n . Se dice que u n a f u n c i ó n f ( x ) . def in ida en el inteP valo ( a , b , ) e s u n i f o p m e m e n t e c o n t i n u a e n e s t e i n t e P v a l o , s i pa ra un núm e Po a rb itPa Pioc,::> o puede dividiPse el inte Pval o ( a ,. b, ) en un núm e ro fin ito de segm entos ta l que los valoPes de la func ión en dos puntos a rbitra P ios de un m ism o segm ento , difiePan entre sí en m enos que e. 7. I n t e P p P e t a c i 6 n G e o m é t P i c a . La de fin ic ión de continuidad unifoPm e puede intePpre tar se geométricam ente , de la s igu iente m anePa . Para com proba P si l a fun ción e s un iforme m ente contin ua , e l egimos un núm e Po e > O arbitraPio e investiguemos si es _ posible divid i P e l inte Pva lo ( a , b , ) en u n núm e ro fin ito d e seg m entos al ' a . �.. . . ta l que cada pa rte de l a • •

Fig. 8

cupva , correspondiente a cual esqu i era de los segm entos , pueda estar en cerrada en un rectángu lo de a l tura e y de .base igual a la l ongitud del seg m ento corPespond iente . ( Fig. 8 ). Si esta o pePaci6n puede hacePse paPa c ual quie re>O , la func ión será un iform emente continua .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

8 . e o n t i n u i d a d U n i f o fl m e d e u n a F u nc i ó n e o n t i n u a . Repre sentemos pop 7j la longitud del menofl de los segmentos �1 , a., a., . . Es claflo que si la distancia entfle dos puntos cualqu iefla X1 y x1 es menor .

que

l),

entonces o am bos están en uno de los segmento s a1 , a., . . .

o se

encuentPan en dos segmentos consecutivos. En el pPim eP caso los val o Pes de l a función en estos puntos difiePen entPe s í en menos que e; y en el segundo caso los valoPes de la func ión en esos puntos difiePen en me nos que e del va loP de la función en el extPemo común de los segmentos consecutivos, que contienen a los puntos x1 y- x1, y po P consiguiente ,

I/ (X1) - 1 (x 1) 1 < 2 e. Así pue s , en ambos casos , podem os afiPmaP que en dos puntos cuales quiePa cuya distancia entfle s í sea m enos que 7J, los va loPes de la func i ón d ifiePen entfle sí en m enos que 2-s. ObsePvem os, además que si x0 es un punto a Pb itPaPio del intePioP del

intePvalo (a , b , ) entonces existe un segm ento de longitud m enoP que que contiene al punto

x0 •

r¡ ,

En viPtud de lo dicho antePioPm ente , los va -

lo pes de la función en cada punto de este segm ento d ifiePen de. 1 <xo> , en

menos que 2e. .Po P cuanto

2e es un núm �Po positivo aPbitPaPio ( ya que e

es un núm epo positivo aPb itflaPio ) la func ión sePá continua en un punto x = Xo ·

ObsePvaciones semejantes pueden hacePse Pespecto a los núm ePos a y b ( si pefltenecen al segm ento. ) TeoPema. U n a f u n c i ó n , u n i f o P m e m e n t e c o n t i n u a e n e l i n t e fl v a l o ( a , b , ) e s c o n t i n u a e n t o d o s l o s p u n t o s i n t e P i o P e s d e e s t e i n t e r v a fo y e n l o s p u n t o s a y b , s i d i e h o s p u n t o s p e P t e n e e e n a 1 i n t e P v a 1 o ; 1 a f u n e i ó n es e o n tinua , respect i va m ente , a la de Pecha y a l a izqu iePda. Ejemplos .

l . La función y = x• es un ifoPmemente continua en el intePvalo [O, q. PaPa demostflafllo tom emos un núm e Po e > O aPb itraPio y cons ideremos dos pun tos aPbitflaP ios x y x + h del intePvalo l O , 1 ] En estos puntos la función tiene dos valoPes, x • y < x + h)1 , Pespectivam ente tenem o s : .

•

1 1 (X + h)1 - X 1 = 1 2xh + h1 1 = 1 h l · l 2x + h 1 = 1 h 1 · 1 X + X + h j.

como O =:;;;;; x E:;;; 1

O =:;;;;; x + h � 1 , entonces

Hac iendo 1 h 1 < -;- , obtenemos :

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

As Í' pues, si dividim os el intePval o [0 , 1 ] en un núm ePo fin ito de segm en tos de longitud m enoP que -i , los valo Pes de la func i6n sePá n , en dos pun tos cual esquiePa de cada uno de los segm entos , dife rentes entPe sí, una cant idad m enoP que e.

Por cuanto e es un núm e Po positivo aPbitPa P i o , la fun c i6n sePá un ifol" mem ente continua en el inte Pval o LO, 1 ] .. 2 . La func i6n

y =�:t! e s un ifoPm em enLe contim:1a e n e l intePvalo [O, 2].

P Pocediendo romo en el ejem plo antePio P , o btenem o s : (x + h) + 1 2x + 1 1hl

3 (x + h) + 1

3x + 1 = l [3 (x + h) + lJ (3x + 1 ) j '

O � x + h � 2, O e:;;;;; x � 2. entonces J 3 (x + h) + 1 / ;:, 1 ,

Có m o

l 3x + 1 1 � 1 ,

d e donde

lf<x + h) -f(x) 1 � l h l.

po p consiguiente , si 1 h 1 < s , entonces

l f <x + h> -f(x) 1 < e. De sue f'te que Si dividimos el intePvalo (O , 2] en segm entos de l ongitud

m enoP que a, entonces los val oPes de la funci6n en dos puntos cualesquie Pa de cada segmento difePi Pán entPe sí en m enos que e. ( s i . pop ejem pl o , e = 0 ,1 , entonc es es suf idente con dividi P el intePvalc [O , 2] en 21 pal" tes igua l es ) . 3.

L a func i6n

(0, l )

y = cos .! no es un ifoPm em ente continua en el intePval o

Efect ivam ente, en caso contPa Pio puede seP que al dividiP el intePvalo ( a , b, ) es un núm ePo finito de segm ento s , que l os val o Pes de la func i6n en puntos cual esqu iePa de cada segm ento d ifiePan entPe sí en m enos que Puede , además , toma Pse tal númePo n , pa ra el que los puntos e=

..!. y _ _ estén dentPo del P- P im e po de estos segmentos. S in em bapgo me ' (n + l ) � es fác 1 l ve P que l os coP :respond ientes valoPes de la func ión en estos pun tos difie ren en 2 , es dec i P , en más que e = 1 . Así pues , supon iendo que la func ión es un ifo Pmem ente continua , caemos en contPadicc i ón .

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL PROBLEMAS

Dem ostra r que las s igu ientes funciones son uniformemente continua s : l. Y • X

Y = 2r- 3x

3. Y = t + x X

en el intervalo

(1, 2 ).

en el interva lo

(1, 3).

en el intervalo

(0, 5 ).

9 . T e o r- e m a s F u n d a m e n t a 1 e s s o b r e l a s F u n e i o n e s e o n t i n u a s e n u n I n t e r v a 1 o e e r r a d o . Expongamos ahora ( s in demos trac i ón ) alAJnos teoremas fundam entales sobre las func iones continuas en un intervalo cerrado.

Teo rema . U n a f u n e i ó n , e o n t i n u a e n u n i n t e r v a 1 o e e r r a e s u n i f o r m e m e n t e e o n .t i n u a e n e s e i n t e r v a 1 o. do (a, b], Teorema . do [a, bl

Un a fun c ión c o n t i n u a en un i n t e r v a l o c e rra e s a eo tada en e s e int e r va 1 o .

Teorema. S i u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n e l i n t e r v a l o [a, b], e s p o s i t i va e n un e x t r e m o e n e s t e i n t e r va l o y n e ga t i va (a , b ) , en e1 ot ro , entone es en e l inte r ior del int e rva 1 o e x .i s t e p o r l o rre n o s u n p u n t o e n e l q u e l a f u n c i ó n s e a n ul a . gjem plos. l. Todo pol inom io de grado im par

tiene por lo m enos una ra íz real. Para dem ostrarlo, reesc ribamos nues tro polinom io en la s igui ente forma / (X) = r11+1

( a1 + � + 7aa +

y aceptemos, por ejem plo , que

a0 > o.

tes is tiene, cuando x tiende a + oo o

•• •

+ :iii a.. + iJii+T t�t'r+')

La expresión dentro del parén -

- oo, un l ím ite igual a a, . Por con

siguiente , existe un núm ero M > O, tal que pa ral x i > Mla expresión del pa réntesis es positiva ( ver Pág. 49 ) . De donde s e deduce que

un punto

Como la func i6n f ( x ) es continua , existirá en el intervalo ( -M -1, M+l ) por lo m enos en el que f ( x ) • o.

CONTINUIDAD ,DE LAS FUNCION�

( O, 1 ) .

2 . La ecuac ión y • cos x tiene, por l o m enos, una raíz en e l in.terva l o de

Efectivam ente , la función cont inua f ( x ) • x - cos x • t i ene en el punto x • O un val o r - 1 < , y en e l punto x = � un valor

i >O .

Teorem a . S i l a f u n e i ó n f ( x ) e s e o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o e e rrado (a, b1 enLone es en este inte rval o ex i ste , p o r l o m e n o s un punto e n e l q u e l a fun c i ó n a l canza u n va l o r m á x i m o y o t ro punto y po r l o m en o s e n e l qu e l a f u n e i ó n t i e n e u n v a 1 o r m ín i m o . En otras palabras en u n i n t e r v a 1 o y tos X1 x1, t a 1 e s q u e

[a, b]

ex i sten dos pun -

f (x1) ,;;;;. ¡ (x) <./(X1)

pa ra tod o

[a, b]

Teorema. U n a f u n e i ó n , e o n t i n u a e n u n i n t e r v a l o e e r I' a do ( a , b , ) t iene e n este inte rva l o todo s los va l o re s e o m p r e n d i d o s e n t r e s u s v a l o r e s m á x i m o y m ín i m o .

[O , i]

Ejem plos.

todos los val o 3. L a func i6n y sen x * * adquiere, en el inte rvalo res con1 p rend idos entre O y 1 , lo que geom étr icam en Le e s evidente ( ver' la Fig. 13 ) . '"'

4 . Una funci 6 n f ( x ) , con l inua en e l intervalo ( a , b, ) y que posee e n d ife

rentes puntos del interval o val o res diferentes, es estr ictam ente m onóto na en este inte rvalo. Efectivam ente , en caso contrario, en e l intervalo (a, b , ) existirían nú a, �. y (a < � < y), ;tal es que el núme ro /(�) no estuviera entre f ( a)

m eros Y

/ (y).

Sea por ejem plo J (y) > f (a) > / (�).De acuerdo con nuestro teorema

en el interva l o (�, y) existe un punto 6, en el que la func ión f ( x ) adquiere un val o r

/ (a) . Además 6 :F a , así que a no pertenece al intervalo (� . y) .

Tenem os , por consiguiente, la supos ic i6n .

/ (6) =/(a.J , para

8 :;6 a. ,

lo que contradice

Por cons igu iente , la func ión es monótona . FUN CION ES COM P UESTAS

l O . D e f i n i e i ó n . Ocurre a m enudo que tres va r iables dadas x, y, u, es tén relac ionadas entre sí de m anera que y es una func ión de u y u una fun...

La cont inu idad de las func iones y • sen x , y y • cos x se dem ostrará después. ( ver Pág . 66 )

Ver la nota ante rior.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

c i6n de x , esto es

x =f(u) (a � u � �) , u = cp (x) (a a;;;; x � b). Si los va loPes adquiPidos pop' la func ión 'P (x) , están contenidos en el in tePvalo [a, �] , ' entonces la va Piable y puede considePaP se depend iente de la vaPiable x, ya que a cada valoP x del intePvalo ( a , b , ) coPPesponde un �]; a és valoP detePm inado de la vaPiable u , conten ido en el intePvalo ta Ú ltima COPPesponde un valOP detePm inado de la vaP ia�le y; asf pues; a cada valoP de la vaP iable x del intePvalo ( a , b ) coPPesponde un valoP de finido de la va Piable y . En este caso s e dice que la vaPiable y es una f u n c i ó n c o m p u e s t a de la vaPiable x a tPavés <lle la vaPiable u. Esta fun ción se PepPesenta poP m edio del sfm bolo / (cp (x)), y la dependencia funci� nal se escPibe en la fopma

[a ,

.v =f(q¡ (x)).

Ejemplo .

Y = U', U = x' - 3x,

� = (x1 - 3x)1 ,

11 . C o n t i n u i d a d d e u n a F u n e i ó n C o m p u e s t a . SobPe las fun c iones com puestas podemos enunciaP el s iguiente

TeoPema. S i l a f u n c i ó n Y =f (a) e s c o n t i n u a e n a � u <: �, 1 a f u n e i ó n u = q¡ (x) e s e o n t i n u a p a P a a � x � b y s e s a t i s fa e e n 1 a s d e s i g u a l d a d e s . a � cp (x) � �. e n t o n e e s 1 a f u n e i 6 n eom puesta y = f (<9 (x)) e s e o n t i n u a p a P a t o d o s l o s v a 1 o P e s d e x del inte Pva l o y

a � x � b.

D e rn o s t P a c i ó n . PaPa la dem ostración del teoPema obsePvemos que si la secuencia {x.. } tiende a un valoP defin ido x, entonces la coPPespondien te secuencia {y, } = {f (!f (x,))} tiende a / ( cp (x )). En efecto , en viPtud de la continuidad de la función ' (x) la secuencia { cp (x, ) } = { u, ) tiende a u = !f (x);

y a causa de le. continuidad de la función / (uJ , la sewencia {y,} = {/(u,)}

tUmde a Jl =f (u) =/ (cp (x)). F UN CIONES IN V ERSAS 1 2 . D e f i n i e i 6 n . Sea dada l a función y • f ( x ) , continua y estrictam ente monótona en un intePvalo ( a, b , ). Hagamos / (a ) = �. / (b) = P- En viPtud de la continuidad de la func ión , la vaPiable y tom a todos los valoPes contenidos entl'e a Y � · Y sobpe todo, ya que , la función es estPictam ente m onó tona , entonces todo valoP de la variable y del intePvalo-coPf>esponde a uno y solamente a uno de los valoPes de la va Pi-able x del intePvalo [a, b].

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

L uego la va riable x pued e cons idera rse w m o una función d e la va riable y defin ida en el intervalo [11 , �]. Repr>esen tando esta función por el sím bolo tf {Y), podemos esc·r> ibi r> : •

X = cp (y).

La func ión x,::::::!f {y) se lléiT1a func 1ón inver s a de la

func ión y "" f ( x ) .

1 3 . I n t e r p r e t a e i 6 n G e o m é t r> i e a . Obten e mos la gpáfica de la func ión y = cp {x) d e la s igu ien te m anePa . GiPamos la bisectriz del ángulo L ( + x, + Y> ( Fig. 9 ) ; la nueva posición oe la gpáfica de la func i 6n y f (x ) daPá la g páfica de

Fig. 9

la función y = '9 (x).

14 . C o n t i n u i d a d d e u n a F u n c i ó n I n v e P s a .

Teorema. L a f u n c i ó n i n v e P s a d e u n a f u n c i ó n c o n t i n u a y e s t r> i c t a m e n -t e m o n ó t o n a t a m b i é n e s c o n t i n u a y e s t P i c t a m e n t e rrn n ó t o n a .

Ad m i t a mos , para concPetaP, que la func ión f ( x ) es Oem ostPae i ón cPec iente. AhoPa , si la func ió� ::::; 'fl (y)no fuePa estPictamente cPec iente se tendPían dos paPes de valoPes cor>Pespondientes (x1, y1 ) , (x1, y1), que satisfa P ían las desigualdades •

x, <x.,

Y1 �.Ya•

lo que con t r>a d i c e la suposic ión de que la func ión f ( x ) es estrictam ente cre ciente.. Se pPocede análogam ente en el caso de que la func ión sea estPicta m ente decPec i ente. Para la demostr>ac ión de la cont inu idad de la funciónx = cp (y)en un punto

a r b itrario y= Yc;( 11 <Y� � ) P POcedam os de la s i gu i ente manera .

Sea un núm ePo aPbitP a Pio po sit ivo e . Hagamos x0 = Cf {y0) y tom emos dos nú mer>os a Pbitra r> ios x, y x1 , tal e s qu e: l ) a < x1 < .t'0 < x. < b;

Haciendo aho ra y, =/(x,) Y y 1 =/ (x1}0bser>vamos que para todo y. co m p Pen d ido entr>e y, x,

Y�..

el correspond iente valor> de x esta com prendido entPe

por> consigu iente , difiere de �o en m enos que

l a func ión x = � (y) es continua ,

m ucstra

la continu idad par>a

pa ra v = Yo· y = 11 y y = � -

Así pues ,

De manera sem ejante se de -

64 15.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

CON TI N U IDAD Y GRA F ICAS DE F U N C I ON E S EL EM ENTAL ES Func ión

P o t e n c i al

y = x".

l . n e s un núm e ro natural . En e ste caso la f6 Pm u l a antes menc ionada defi ne la función para todos l o s va lores x . Esta func ión es cont mua pa ra todos los va loPes de la va riable x, ya que , como se desprende del teo rema sobre el l ím ite del p roducto de s e cuencias, si lim xk = x, k -+ CD

entonces

lim x: = x"

• -+ 00

En l a figu pa 1 0 s e m uestran las gpáficas de l a s func iones Y = ·"' y Y = x , .

2 . n O, bajo l a cond ic ión d e que y = 1 , pa Pa x • O. La fó rm ulay = x" define entonc es la fun =

c ión que para todos los valo res de x adqu i e-: re el valor l . Poi" cons iguiente , esta func ión e s continua .

Fig. lO

3. n e s un n ú m e ro entero negativo . Hac i endo n = - r (r > O) obsePvamos 1

que nuestra función t iene la fo rma Y = ? · y como e l coc iente de dos func io nes continuas y definida s donde quiera cp1 (x) = 1 , cp1 (x) = x', es una func ión continua , y defin ida donde q u ie Pa , sal vo en x = O .

4 . n e s e l rec íproco d e un núm e ro ente ro , Haciendo n 1 / r ( r , e s un núme ro ( entero·) , tenemos Y = Vx ( tom emos en considera c ión solam ente la --= =

ra íz no negativa ) . L a func íón e s defin ida pa ra todo x > O; ' s i r es un número i m par, entonces l a fó rm ula ante i" iO r define una función para todo Cuando x • O l a func ión está defin ida únicam ente para el ca x<O so en que r sea un núm e po pos itivo; la función adqu iere entonces el va loP c e ro . •

L a continu idad se dem u e stra de la sigui ente manera : cuando r e s un númePo posi t i vo par, la func ión inversa x =y' se Pá est Pictam ente cPec iente y defin ida pa ra todo y � O, , por lo que en v i rtud del teorema sobre las - func iones inversa s s e infiere l a continu idad d e l a función y = VX

para x � O. De manera aná l oga procederemos cuando r sea un núm e Po po -

s it ivo im pa r . En este caso , la fun c ión x = y' e s estr ictam ente creciente y continua para todos los va lo res de y , poi" consiguiente la func ión y = Vx tam b i én es continua paPa to dos l os valores de x. En e l caso de un núm e ro r ente ro negativo es fác i l dem ostra r la continu idao para todoV'xpara el que exista , si obse rvamos que x= V-

1¡

-v

5 . n es un núm ero r-ac iona l . H ac i endo n • p /q ( p y q, enter-os ), vemos que la func ión es defin ida pa ra todo

x > O.

Cuando

n > O.

la función tam - -

CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES

b i én será defin ida pa ra x = O , ad q u i r iendo e l valor cero .

La func ión las fun c 1 0nes

y = xPtq puede cons ide rarse como una func ión fo rm ada por Y = llP, t

ll = X q .

Com o a m ba s func toncs son continuas pa ra aquellos va lore s pa ra los

cua les son defin idas , entonces en v i rtud del teorema sobre las func iones

c o m puestas , la func ión y = xP t tam b i én es cont mua paPa aque l los va lor>e s e n l os que es defin ida .

6 . n es un núm ero i r> Pac iona l .

En e ste caso la func ión es defin ida paPa to -

do x > O. P a Pa x • O la fó Pm ulay = .t-sol o t iene sent ido cuando entonces tenemos y = O .

n > O;

L a func ión es continua para todos los valore s de x pa Pa los que es de fin ida por la f6 Pmula y = .t- .

Efect ivam en te , tomando unnúmePo a pos itivo, d ifePente de la unidad ob y = a•. donde u = n logca x. tenemos para x >· O: .Y - a" 1ota x, as r que Pe Po , . como se demostPa Pá después ( ve r Pai:'ors . 1 6 y 1 7) la función a• es continua papa todo u , y la func ión 1og4 x ta m b i én es continua para todo x > o,

por> cons igu ient e � en virtud del teoPema sobre la continui<Bd de una fun c ión com puesLa ( ver Pág. '6.2 ) , la funcióny = x"e s continua para todo x > O. Si n > o, puede dem ostPa rse que la func ióny = x"e s continua a la dePe cha si el punto x • O, esto e s , que lim x" = O. PaPa e l lo tom emos un núrn e •

X -+ +0

r>o r>acional P , a Pb i tPaPio que sarisfaga La cond ic ión O <r< n. Par>a O .:;;;;; x � l tenernos o � x" =s;;;; x �. Es sabido que la función x' es continua a la de r>echa pa r>a x = O, es deciP l im xr = O; En v i rtud de la ú l i:.i rn a des igua ldad, ocurPe .

X -+ +0

l o m ismo pa Pa la func ión, .Y -:- .t-.

. Resum i endo todo lo expPesado podemo.s afi Pmar> que la fun c i ón· y = x" es co ntinua pa ra todos los valor>es de x . para los que sea definida . Ejem plo . L as func iones

ere, son continuas par>a todos l o s. pun to s en los que d ichas funciones son de fi nidas. En general cada g r>ado del po1 i no m io es una func ión continua en to do s los puntos en los que es defin ido.

1 6 . L a f u n e i ó n e x p o n e n e i a l y = ax. La continu idad de la fun c i ón

y = ax,

Fig. l l

a > O,

s e dem uestr>a fác i l m en -

CALCULO DIFERENCIAL E . INTEGRAL

te , en la s i.c4 u i e n t e fo r> m a .

x. un val o r> a P b i tr> a r> io d. e la va r> iél b l e x .

Sea

Pop un teo r>ern a cono c ido , tenemos : .

J im axo + h = Jim (aXo . a ") = aXo lim a �.

h -+ 0

h --. 0

P e Po , c o m o se dem ost ró ( Pág. 49 ) :

Jim a" = J 11 -+ 0

así que

Ji m axo+ h = axo. h--.0 De sueNe q u e e l l írn i w de la fuuc 1Óll e x i s l. e pa r>a caaa va l o P de x y es i:;ual 8 1 va l o P de 1ó fun c ión en el punto x. P o P con s i g u tente , l a func ión es po t e n c i a l es co n t i n u a P.J PU tooo s l o s Vu t o P e s de x. En la F i g . 11 se m ues tra la gr>áfi c a a e La func ión y = 2 x.

l 7 . L a f u n e i 6 n L o � a P í t m i e a Y= loga x. La func ión y =Joga x, a > o a =1= 1 ,es defin iaa so ta -

m ente cuando x> O. Com o la func ión i n v e P sa X = a' es estP i c tam onte m onó tona y con t inua , eri tonces ( ve r Pág. 63 ) la func ión y = es cont inua pa ra todos l o s loga � valores pos i t tvo s d e x .

Fig . 1 2 t r>a en l a F i g . 1 2 .

18 F u n e i o n e s

La gr>áfica de l a fun c ión

y ±= log, x se m u es-

T P i g o n o m é t r i e a s y = sin x, y= cos x.

Sea xo un va l o r> c ua l q u i e ra , p e ro fijo , de lo va P ia b l u x. En tonces v isto

que

lim sl n h= O,

h -t>O

lim cos h = 1

h -. 0

( Pfig. 4q ) , o btenem os

lim sin (x0 + h) = lim (sin x0 cos h + cos xo sin h) = sin x •• h-+0 h-+0 lim cos (x0 + h) = lim (cos x0 cos h - sin x sin h) = cos x . h -+ 0

h -+ 0

P o P con s i r,u i e n te , las func iones y = sen x ( Fi g . 1 3 ) , y continuas t ) 2 P a todos los valor>es ú e x . y = t g X ( Fig . 15) .

Com o

tg x = sin x

cos x '

•

c o s x ( Fig. 1 4 ) son

eíttonce s , e sta fun c i ón es def i n ida y cont inua pa Pa to-

dos l o s va l o Pes d e x , pa Pa los cuo. l e s + 3n

cos x =l= o. L os val or> e s e xc l u idos son :

-. 2 ' - 7 • ± 2 · · ·· �

x - ± .2:

CONTINUIDAD ·DE ·LAS FUNCIONE,S

F i g . 14

F ig. 13

.. (2n - l) n: en g e n e Pa 1 x = + 2 , conde n e s un num e Po n a tuP a 1 . .

Fig. 1 6

Fig. 1 5

•

c tg X ( Fig. 1 6 ) .

Como ctg x = ��; , e sta func ión es continua y definida para tudi>s los va1 o Pes d e x ¡_)ar>a los cual es sin x =1= O . Lo s va1oPes ..,¡ u e s e excluyen son •

x = O, ± 1t, + 2-rr, . . . ,

ó , en gene Pa1 x = + n1T, don d e n • O, 1 , 2, Y = sec x ( Fig. 1 7 ) .

Com o

secx = 1 - , es La func i ón es defin ida y continua pa Pa todos los va -

cos x

lor> es de x , pa Pa los cua le s cos x * O. . Y = cosec x ( Fig. 1 8 ) . Como

cosecx = -!- entonces e s La fun c i ón e s d e f in i da y c on L inua paPa to sm x '

dus los valor>es de x . en l o s que Y =

19 .

sin x =F O.

Fun c i o n e s T P i gonom é t P i ca s In v e n sas . ( Fig. 19 }. a pc sen x

Esta fun c i ó n es definida en el inte Pval o

(- J , + J )

en la s igu i ente fo rmu :

CALCULO DIFERENCIAL ' E INTEGRAL

o/C

Fig. 1 7

F ig. 1 8

y :

- -- - -· -- ·

·----- - - T • •

---- · - - - --

1 1

ya QrCS(f}J

Fig. 1 9

� - -- - -·- - · - , 1 1

r � - � - - - - - -- - - 1

----- - - - - -

- ji-_,¿ _ _ _ ___ _ __

Fig . 2 0

a rcsen x e s · -e l ángulo y com pPendido en el intervalo- :¡ e¡;;;; y E; "iY sa ti sface

la ecua c ión x = s en y . Es fác il veP que solam ente existe un án gu l o que sa tisface las dos condiciones m encionadas. As( pues la func ión d e f i n id a y

ción x • s en y �a ra

a P c s e n X es l a fun c i ó n inve rsa de la fun

i <;y < -i . . Como en este interva l o la func ión

x = sen y e s estr ictamente creciente y continua , entonces y = are sen x es una fuúc ión estr ictam ente c rec iente y c ont i nua . y • are cos x ( Fig. 20 ) .

Esta func ión a l igual que la ante r ior e s defin i da pa Pa - 1 <: x < 1 de la s iguien te m anera : a re cos x es e l 'ángulo ·y que sat i sfaoe l a d e s i gua l dad 0 .-;y .;;;; ir · y a lu ecuac ión x, = cos y . Exist e solam en�.. e uri ángulo que sat i s face am bas c on d i c ion e s . As( pues , la función y = a re c o s X es \a func tón inve rsa de x • cos y , en ia suposic i.ón q ue O ..; y <;; n. Com o en este interva ' l o la func ión x • cos y es c o n t i nua y estr i c ta m en t e decpeciente . entonces l a func i ón y • a re cos x e s cont inua y estrict�mente decreciente. y "" are tg x ( Fig. 21 ).

Defin i m os esta fu n c i ó n pa f"'a todos los valor es de x , e n la s i �u 1ente for ma : are tg x e s el ángulo y que satisface las des igualdades - -i <Y < � y la

ecuac ión tg Y • x . Asr pues , la función y • are tJt; x es la func ión inve rsa de

x • tg y

CON'I1NUIDAD DE 'LAS FUNCIONES

e n la suposic ión que-

; <Y < -i En este inte Pya l o x = tgyes estric

tam ente crec iente y co.nt inua , po r con s igui ente la func ión y = are tg x es tam b i én continua y e st rictam ente creciente. y = are ctg x ( Fig. 22 ) . r

!'( -y- - - -

·-- -- - - - - - - -

- -----

�

-- - ---- -- - - - ;¡- - - ------2

v·orc(q :e

Fig. 22

Fig. 21

Defin im os esta func ión para todos l os va l o r ss de x en la s i gu i ente r'or ma are ctg x es e l ángul o ) que saLisface las desigualdade SO e c i ente y c o nt in u a entonces la func ión y .. a re ctg x tam b i én es estr ictam ente decrec iente y continua. a

y = are sec x

( Fig. 23 ) .

Defin i m o s esta func ión para t odo s l o s valo res d e x q u e sati sfacen l a con d ic ión

l x l ;;;;a= 1 , de la s ig u i ente rnan era : are sec x es el ángulo y que sat is

face las desigualdades O e;;;; y E:;; w y la ecuac t ón x • se e y . P o r consigu i en te , paPa x ;;;;a= 1 la fuuc t�::> n y = a re sec x es ia func ión inversa de x = sec y

en la supo s i c ión que

O .;;; y < T . Com o en esLe intervalo la func ión x = sec y

-i )

es est P i c tam em:e c reciem:e y continua ( exce,.>to pa ra � = . entonces la fun c ión y = a re sen x es esLrictam ente c rec iente y con t m ua pa ra x �

� -� - -- - - - - - -

11 I t

-1

_ _

l1 1 1

F ig. 23

- - - - - -- - - -

____ _ _ ___

� � �-- �-�-------�� -

- - - -- - - -

--'=

Fig. 24

P a P 3 x � - 1 la func ión y = a r e sen x es la func i6n i n v e P sa de x = sen y en

C�CULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

l a SüiJosic ión que

·n:

2 <y EO; rr. Como en este intervalo la func ión x = sec y

es c s c r ic tam ente c rec i ente y con t inua ( excepto p.::.ra

func ión y

v = -i ) . entonces l a

.. a re s e c x es estrictam enLe c recience y continua para x � - J .

y = a rc · co sec x ( Fig. 24 ) .

Defin i m o s esta func ión para woos l os va lores de x ·� ue se�ti sfacen k. cond i c i.ón l x l ;;;;;., 1 , de la si�u i en Le m an e r>a : a re cosec x es e l ángul o y •

que satisfé:1 ce las des i.;; u al dades -

-i <; y � y y a lu ecua c i ón cosec y • x .

P o r ,tanto la func iGn y = a r e cosec x p<Jra

de x = cosec y si t1acemos

x ;;;;;., 1

es l a func i ón inversa

< Y �� . Corn o en este im:e rva i o 1 .... fun c i ón

x • cosec y es esLr ictamente c rec ien w y continua ( e xce pto p¿¡ ra y = O ) . en tonces la func ión y • a re cosec x es estrictam ente crecien t:e y continua pa ra t.

x;;;;;., Para x�- 1 la func i6n y = are cosec x e s l a fur.c ión inversa d e x cosec y ( --i <;y < O ) Como en este m Le r va l o la func ión x cosec y es esLric z

tamente d e c re ciente y cont inua ( exce pto pa ra y • O ) , entonces léi func i ón y • are cosec x es estri c l.amen te decrec iente y oontinua para x .e;;: - 1 . .

•

CAPITULO DERIVADA

DEFINICION

1. O ef i n i e i ón

DIFERENCIAL

UNA

Y CONCEPTO

FUNCION

DERIVADA

d e l a D e r i v a d a . Sea una func ión y f( x ) definida en la vec i ndad de un punto x0• Tom emos un punto X1 de esta vec indad, dife -

rente de

X0•

La d iferenc ia x1 - x0 , que se represen ta por

Ax, será de

signada con e l nom bre de i n e r e m e n t o d e 1 a v a I" i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Sim ilarm ente, a la corPespondiente d ifePencia y1 -y0 que deno tar>emos con el sím bolo Ay la llamar>emos i n e .r e m e n t o d e l a v a I" i a b 1 e d e p e n d i e n t e . Se obt ienen las Pelaciones s igu ientes

x1 = x0 + Ax, Yt = Yo + Ay , Yo + Ay = / (X0 + Ax). Como

tendPemos El coc iente

Ax =

1 (X0 + .lx) - 1 (X0) Ax

sePá des ignado con el nom bPe de r e l a c i ó n d i f e r e n c i a l .

La expres ión, 1 lxo + .:h) - / (xo> ( supon iendo que xo t iene un va lor definido consx A

tante ) puede cons iderarse como una func ión del increm ento Ax. Podemos in v estiga r tam b ién si esta expres ión t i ene un l ím ite cuando Ax, tiende a ce P o.

S i el l ír!üte de esta expPes 1ón . cuando .1x, tiende a cePo existe , d i Pemos que es l a derivada de la func ión y f( x ) . cvn Pespecto a x, en el punto x�. RepPesentaremos a la d e P i vada con e l s ím bolo f '( x ) , ó y� ó más bre vem m t e con y ' Fre cuentem ente l a deri vada s e repPesenta con e l s ím bolo �: . '""

Este sím bolo recue rda '-1ue la derivada es e l l ím ite del coc iente 71

Ax '

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

De suePte que l . m .iy

l im 1 (x,+.1x) - / (x0)

�-+O

� -+ 0

.ix

du /( ) .!.. . Xo = Yx = Y = d.... x 1

La definic i6n antePioP pa r>a la dePivada coPPesponde m as exactamente a la definici6n de la P P i m e P a d e P i v a da de la func i6n y • f( x ) que debemos distinguir' de las dePivadas de oPden supeP lOP ,1 ( como vePemos más taPde. ) Ejemplos .

l . y • x. RepPesentando pop .ix un incPemento aPbitraPio de la vaPiable _. .. y pop &y el coPPespondiente incPem ento de la va riable y . obtenemos : de donde

&y = dx,

.iy 1 Ax - .

pop consiguiem.e .

As( pues, la derivada de la funci6n y • x es igual a la unidad para to do x.

Y = x'.

Calculemos la derivada para .x.

•

�.

'l'enemo s :

f(x + dx) = (x + &x)1,

pop tanto

de donde

Pasando al l ím ite , obtenemos

l im !Y = 2x + lim &x = 2x.

Ax-+0

� -+ 0

PoP consiguiente , pa ra x • 2 encontPamos y " • 4 . 8

+I 3 • Y = :laxx + C alcule mos la dePivéd I.

•.

para x • 1 . Tenemo s :

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

po P tanto

de donde

como

Ai =

+--:1....J--: l3 (x +' --:&x ax-+ ] (= � 1) '

��0 &x = - (3x + 1 )1 ; As! pues, pal"a x • 1 obtenemos :

Yx = - 16 • 4 . y = 2 + 3x - x• . Ca lculemos la del"ivada para x • O . Tenem os: /(0) = 2, f(O + Ax) =/( Ax) .= 2 + 3Ax - (Ax)1, por tanto

Ay = f (O + Ax) -f(O) = 3Ax - (Ax)1; de donde &y - 3 .t �.• EX - - """'

así pues

4y = 3. lim .-

Ax -+ 0 ux

2 . D e l" i v a d a s U n i l a t e i" a l e s . De la m isma mane ra como se de fi ni ó el concepto de l ím ite unilateral puede defi n i l" se tam b ién el concepto de derivada unilateral . Los lím ites uni laterales

x + > - l<xJ y li m /( ,

h-+ - 0

.., .. + o

J fm

ICx. + h) - /(xJ

de finen las derivadas izquierda y derecha, respectivamente. En particular, en los extremos del intervalo [a, b] de defin ición de la fun ción, puede hablarse ·so lamente de derivaoas unilaterales , es decil", de ló derivada a la derecha en el punto a y de la derivada a la izquierda e n el punto b . Las observaciones hechas en relación con las derivadas un i l a tera l e s son l a s m ismas �..; ue las �...�ue se hicieran en relac ión con los l ím i tes unilaterales. En part icular , de la existenc ia de la derivada se d ed uce la existencia de amba s derivadas unilaterales. Asim ismo de la e xistenci'a e i gua l d a d de las de:rivaoas unilaterales se deduce la existen -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

c ia ae la der ivada . 3 . E x i s t e n c i a d e l a D e r i v a d a y C o n t i n u i d a d . P� ra que la

relac i6n �Y tenga un l ím h.e es necesario que lim A.y = O, es de c i r , que la ux

función sea cont inua e n el punto

x0•

� -+ 0

S in e m bar.\:,o com o s e demostrará

destJués , la continuidad no es suficien te pa ra la existencia de la deriva da . 4. L a

D e r i v a d a co m o F u n c i ó n . S i una func ión tiene derivada en cada uno de los puntos del intervalo [a, b] ( en los extrem os del interva l o las derivadas se suponen uni laterales ) entonces esta derivaua puede conside rarse como una nueva func ión de la va riable x. Esta función re c i be el nom bre de la f u n e i ó n d e r i v a d a de la func ión prim itiva y • f( x ) . A su vez , se dice ctue la función f( x ) posee derivadas y si no se indica un intervalo en particular, debe entenderse 4ue la de rivada exi s t e e n tooos l o s puntos d e l inte rvalo d e defin i c ión d e l a func ión f( x ) ( en los extremos d e l intervalo se cunsidera ún icam ente la dePi vcda un ilate Pal ) .

5. 1 n t e P p P e t a e i 6 n d e 1 a D e P i v a d a e n G e o m e t r í a y e n Fí s i e a . Conside Pem os que l a gPáfi ca de la func ión y f( x ) ( F ig. 2 5 ) . Es fá-

cil obsePvar que la Pelac ión

Ay es t:.x

igual a la tangenLe del án�u lo a. fopma-

do pop la d iPecc lón ¡,.�ositiva de la secante que pasa por los puntos A y B ( correspondi entes a los puntos x y x + A.x , con la diPección positiva del eje OX *· Si 1 y 1 ahora el inc Pem ento Ax tiende a cero , esto 1 es. que el punto B se a pPox ima al punto A, :J v 1 tendPemos que el ángulo ex t iende al ángu -1 lo a fo Pm ado po P la diPecc 16n positiva de 1 1 la tangente ron la d i Pección pos itiva del e 1 1 je OX , y tgcx tiende a tg a. 1 --- - - - -

PoP tanto ,

� ...� t:.x

l lm Ay = tg a* *.

Fig. 2 5 Así pues , puede afi PmaPse lo sigu iente : L a d e P i v a d a e n u n p u n t o dado x es igual a la tangente de l ángulo foPmado por la d i P e c c i ó n . p o s i t i va d e l a tangen te , en el p u n to {x. d e 1 a e u P va e o n 1 a d i P e e e 1 ó n p o s i t i v a d e 1 e j e f (x) ) ox .

O b s e P v a e i 6 n . Conoc iendo la deri vada , puede construiPse fác i lm en te la tangente d e l a curva que representa gpáficam ente la func 16n dada . Se *

Se considera ademá s como tlirecc i6n positiva de la secante , la d t Pec c ión de A a B , es dec i P , la d i recc ión en la que x crece . ** Vol vemos a considePar positiva la di recc 1ón de la secante , aquella en que x c·rece.

DERIVADA • Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

.ve tam bién que s i y "= O , entonces tg O O y por co n s igu iente l a tangente es paralela al eje OX . Obsérvase tam b ién que uno de los p r o b l em a s l i gados al concepto de derivada es el pro b l em a de la dete rm inac i6n de las tangentes a la curva . =

Además de esta interpretación geom étrica podemos encontPaP m ulti tuc de ejem plos que i lustPan el concepto de la derivada en Física. Ejemplos . l . S ea un punto material A que se des p l a za sobre una Pecta . Elegido un sentido de fin ido sobPe esta Pecta y un punto aPbitraPio O, po d e m os de tePm indP exactam ente la posición del punto A por m edio de un númePo s, cu y o valoP absoluto es igual a la long itud del segm ento OA. Antepo nemos á s el si gn o + , si el sentido del vectoP OA co incide con el sentido elEgido sobre la Pecta , y el signo - en el caso contrario . ( Fig. 26 ).

Es clBPo que a cada momento de t iem po t corresp o nde una posición de fin ida del punto A y a causa de ello un núme ro definido s . Por tanto pue de decirse que es una función d e l t iempo t, esto es, S • f (t)

Fijem os un m om ento cualquiera d e tiem po t; Pe presentemos con 4.t un incPemento arbi tPario de t , y con 4.s el inc remento corres pondiente a la var iable s. Si e l movim iento Fia. 26 es un iform e esto e s , si el punto A reco rre en t lem pos iguales espacios iguales, léi velocidad del cue rpo s erá de f inida o

� , la que en e te caso es constan te. Si el mov im iento es uniform e , defin i remos la velocidad como el Hm � , por lo qu e la v e -

por la rel a:: ión

af -+ 0

l o c i dad e s l a p r i m e ra d e ri vada d e l e s pa c io con res pecto a l tiempo.

2 . De la m i sm a maner a , definimos la a c e l e r a c i 6 n c o m o l a p r i m e r a d e r i v a d a d e 1 a v e 1 o e i d a ·d e o n r e s p e e t o a 1 t i e m p o.

6. F u n c i o n e s C o n t i n u a s q u e n o T i e n e n D e r i v a d a e n u n P u n t o D a d o . ( E j e m p l o s ) . Como ya se había dicho una función con t inua no forzosam ente pose� derivada finita . Como ejem plo puede ser v i r la función Y = l x l ( Fig . 27 }. En x • O la derivada no e x iste ; las deri r vadas, derecha e izquierda, son respecti vam ente i¡¿ual a + 1 y - l. Ejemplo de la func i6n continua que no tiene derivada derecha ni derivada izquierda es la funci ón y�/.1:1 x sin _!_X para x =1= O, Y= Fig. 27 para x = O. O P ara x • O , encontramos 11y . 1

{

l1x

= stn !lx .

Pero la e x p res i ón sin 11� no tiene l ím ite derecho ni l ím ite izqu 1e rdo.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

y hac iendo &x,.

;k , obtenemos

f- = Ji m sin 1m = O, 1 obtene m o s : llm sin i- = lim sin (4n + 1 ) � = (4n + 1) .......

efecto , haciendo Ax11 =

l im sin

11 -+ 00

Asfm ismo ha e iendo tendremos :

&X'" = - ..!.. II'Jt '

XII

n -+ oo

II .... QO

X11

11 -+ oo

y correspondientemente &x-11 = -

(4n + 1)

J x,.

i- '

11m sin ¡- = 0 '

11 -+ 00

lim sin

11 -+ 00

•

.f- = - 1 . XII

TEOREMAS SOB R E L A D ER IVADA 7. D e r i v a d a d e u n a F u n c i ó n C o n s t a n t e . L a d e r i v a d a d e u n a f u n e i 6 n e o n s t d n t e e s i g u a i a e e r o . Este teorema es evi dente puesto que para todo &x ter.cm os &y = O y por cons igu iente fly = 0 ' flx

luego

8 . D e r i va d a d e f u n c i6n

lim � fl = 0.

U-+0

Func i ón P ot e n c ia.

L a d e r i vada de

l e.

Y = x" ( s i e n d o n u n e n t e r o p o s i t i v o ) s e e x p r e s a p o r l a f ó r m !:!_ la Esta fórm ula es vá l ida para n > )¡ para todo x y para n = 1 con x =;6 0. Pa ra n= 1 y ·x = O, esta fórmula pierde todo sent ido ( ya que la expresión 0° carece de conten ido ) ; en este caso , com u v im os en la Pág . 7� la derivada es igua l a la un idad.

D e m o s t r a e i 6 n . S i con &X' representamos el inc rem ento de la va - r iable � y con 4y e l inc remento co rrespondiente d e l a va r iable y, entonces y + 4y = (x + &x-)11, por consigu iente 4y = (x + &x)" - �.

Apl icando e l b inom io de Newton , obtenemos: Ay = (�) x" - 1 Ax + (�)x"-1 (&x)1 +

por cons igu ieute, en la supos ic ión de que m os :

. . .

+ (&x)11,

n > 1 ( ver lo ante r io r ) , tendre

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION Co mo

lim Ax- = 0, lim (A.x-)1 = 0, . .

U -+ 0

entonces

Ax -+ 0

�·

llm (4x)11 - • = o,

U -+ 0

y' = lim lly = nx;" - • Jt .

Ax-+Ollx

•

9.De r i vada del P ro d u c to d e una C on stante p o r una Func ión. Teorema. S i Y = a f (x), siendo a u n n ú m e r o e o n s t a n t e y f ( x ) u n a t un e i 6 n e o n d e r i v a d a e n u n p u n t o x. e n t o n c e s l a f u n c i ó n y t i e n e t a m b i én una d e r i vada en d i cho punto x, igua l a y' = af (x) . E jem plo. Podemos ·hacer a = 5 , f (x) = r . Como f' ( x ) • 2x, entonces De m o s t r a e i 6 n

•

y � = l O x. Tenemos

de donde

lly - a /(x + llx) - /(x) ' llx -:ll x pop consiguiente, Y � = af(x). 10.

De r i vada de Sum a , P roducto

Cociente .

Teorema . S i l a s f u nc i 6 n � s f (x), �p (x) t i e n e n d e r i vad a s e n u n p u n t o x , e n t o n e e s s u s.u m a y p P o d u e t o t i e nen tam b i én d e r i vada s en d i cho punto a saber : 1 )

La d e r i vada de la suma a

y' = f' (x) + �p' (x) . L a de r i vada de 1 p Pod u e to

S i ad i e io na 1 m e nte s u po n e m o s

y =1 (x) ' (x)

y' = 1 (x) �p (x) +f' (x) 1p (x) .

e x i st e 1 a d e P i v a d a d e 1

e s i g u a1 a

que

e o e i e n "t e

y = 1 (x)

T (X)

cp (x) =#= O,

es i -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

gual a

y - cp. (x)/' (x)cpa-(x)/(x) cp' (x) , _

•

D e m o s t r a e i 6 n . 1 ) Sí con Ax y 4y Pepr>esentam os . r>espectivamen t e . los íncr>em entos de las var>iables x é y . entonces de la r>elac i6n .1 = f(x) + 'P (x)

obtenemo s :

y + 4y = f (x + 4x) + Cf (x + 4x):

r>estando de esta ígualdod la a n te r> i o r> . obtenemo s :

4y = / (x + 4x) - / {x) + tp (x + Ax) - cp (x) .

de donde Por consiguiente

Ay _ 1 (x + Ax) - 1 (x) + cp (x + Ax) - cp (x) fl.x Axfl.x • •

•

lim fl.y = l im / (x + Ax) - / (x) + l im cp(x + fl.x) - cp (x) fl.x 0fl.x Ax -+ o fl.x � -+ 0

4x -+

esto es

y: =f (x) + cp' (x) . Ejem p1 o

1 . S ea

podemos considerar f (x)

Como

r , cp (x} = r.

r (x) = 2xl

entonces

cp' (x) = 3r

2 ) Tenemos :

i + 4Y = f (x + 4x> 'tp (x + 4x); de donde

4y =f(x + 4x) Cf (x + Ax) -j(x) Cf (x).

Restando y sumando . en el m íembr>o der>echo de la igualdad anter>ior. el p roducto f (x) cp <x + Ax), obten emos : Ay = [f<x + Ax) -f (x) ] tp (x + .1x) + f (x) [cp (x + Ax> - cp (x)],

por cons iguiente. con a po y o en los teor>ernas sobre los l ím ites de la su ma y del p roducto encontramos :

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE ,UNA FUNCION

l im U -+ 0

!YX = Ulim-+ 0f (x + tJ.:X) - / (x) . lim � <x + Ax> + 4x -+ 0 +t (x}

cp (x + tJ.x) - cp (x) lim ; u -+ o tJ.x

com o las func iones/ (x} , cp (x)sun continuas en e l punto x , tendremos y' =/ (x} cp (x} + f(x) cp ' (x).

Ejem plo 2 . Sea si hacemos { (x)'= x• + r ,

entonces /' (x) = 2x + ax•, por cons iguiente

q¡ (x) = 5x-,

' !f (x) = l O x.

y' = (2x + 3x') 5x3 + (r + x3) t Ox = 20x' + 25..-:'".

3 ) Como se na v isto ( ver Pá g . 5 7 ) para valores suficientem ente peque

ños de .:ix

•

tenemos

Por> tanto , puede esc ri b irse :

es dec i r , Ay

cp (x + Ax) =1= O.

1 (x

+ tJ.x) cp (x) - cp (x + !J.x) 1 (x) cp (x + tJ.x) cp (x)

Restando y sur.- ando en el num erador de la fracc i6n , el producto cp (x) /(x), obtenemos : Ay

de donde tJ. lim y 4 x -+ O tJ. x

Po r> consiguiente EJ EM P L OS .

- __ . • y!f (X) '

cp (x) [/ (x + tJ.x) :- 1 (x)] - (cp (x + !J.x) - cp (x)] 1 (X) cp (x + tJ.x) cp (x)

1 + !J.x) - cp (x) cp (x) Jim 1 (x + !J.x) - (x) - 1 (x) li m cp (x 4x -+ o tJ.x 4x -+ o tJ.x cp (x) lim cp (x + tJ.x) 4x -+ O , _ cp (x) /' (x) - / (x) cp' (x) V cpz (x)

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

este caso f( x ) -- 1 . f ' b c ) 1

O , po r consiguiente ,

'"'

(x) y , = - cpcpa' (x)

4 .y = x - •para x � O¡ 0\ Y = XJ · �de donde

y , = �.x•o = - 5 -· x

sx•

r+s 5. Y = � + x· ·

•

Haciendo/ (x) = x• + s.� (x) = l + x' en todo punto x .,.: - l,obtenemos y

, _

( 1 + x') 2x - 3r (x1 + 5) ( 1 + x')1

2x - 1 5r - x' (1

+-�;)t-

PROBLEMAS Calcular la s derivadas de las siguientes funciones : l . y = 7,

Y' = O.

2 . y = x', 3 . y = 2x*,

y' = 6x'. Y ' = 6r.

y = 6x + 2 '

1 x' + 5x' Y = -3- = a <xt + sx->.

7 y = <5 + 6x) (4 - 3x), ·

1 y' = 3 (Sx• + 1 5x'). y' = 9 (1 - 4x). ,. = 64x' y' =='1'

+ 66r.

9 4x' "

- 16 + 4x + 4r <r + 2x + S>'

y, = (3 - 2x)' . 12

1 2.

�

Y= X .

15 y' = - ii ·

' - 54 f

y- x 11.

1 2 + 22

x•• ·

u e s.t

e - u n a. . F u n c i 6 n C o m

� S i l -9

'tu n c i Ó•n r .

t e� L Y = / (� X ) e S t á f o r m a d a p o r 1 a s f u n e i 6 n e S y u = � (x), e o n t í u a s , e n t o n e e s 1 a d e r i v a d a d e l a f un -

e ión

eom

pu esta ex i ste

e .s · i g u a 1

...

Y: = f'(u) · U'x•

. :y z

Ejem pl o .

. :;.

'; , ·,· .

� /'(� '(.t))'<(/(�).

•J

Sea

hac iendo

u = 5 + 2x -:- 3x1, obtenemo s :

y =u•;

po r tanto

y' = 5u�u' y finalm ente

y' = 5 (5 + ��.- ��)' (� ,-;-,fix)� , •

. -

. ..

�

. .;,

•

• J :

Demostraremos en prim e r lugar . el teorema formu l ado ba.io la condii . .· '! c t6n de que para �x :f- 0 • _.

�u = � (x.+ AxJ T f (x) =1= o. Haciendo Ay =/(u + 4u) -./(u), obtenemos � .... o

Como lim

po r tanto

4u = O, tendremos

� -- &y &u . · 4.1Ci � &u.- &�

l i m &y = lim AY l i m &u .

u ... o

llx

Au -+ o

&u AJ& -+ o 4x

la demostrac i6n para el caso g en e ral se da en la Pág. 1 i3

' ; J ,

,¡

1 2 . D e r i v a d a d e 1 a F u n a i 6 n l ti v e r ·s a . S i u n a f u n e i 6 n e s t r i c t a rn e n t e m o 11 é) t c;> � a -� � �- f ( ,x _L �. i e n �. .. . p a r � q � e . r t q v a l o r · d. e · x , ct e_ ·r rv a d a ·· ct ff·e fl e n t e d e ·c e t> o . e n t o n c e s r a · r·un c i 6 n i n v e r s a x = 'f (y) t i e n e , e n e 1 p u n t o y e o r r e s p on .. II A N A C H .- (,

CALCULO DIF·ERENCIAL E INTEGRAL ·

d i ente . una d e r i v ada

f' (y) = ¡, �X)

•

D e m o s t r a e i 6 n . Representemos por 4y el increm ento de la va riable y . y por 4x el incremento correspondiente de la variable x. Ten dremos :

por consiguiente, 1

· f, (y) = Ayti-+m o AA-Y = --¡¡� A -+ O Ax x

Corno

lim 4x = O, entonc es

Ay -+ 0

lim

lim 44' = r (x)

�

Ay -+ 0 &.OAo = A.Jf -+ 0 y, por consiguiente

f' (y) = /, :x) .

EJ EMPLOS. 1 . .v = /(x) = YX'.

Elevando al cuadrado obtenemos : y• = x. Por consiguiente , la funci6n inversa es Como cp' (y) = 2y, tendremos

Elevando al cuadrado : de donde

y X = f' (.y) = 2y = 2}""i'"

+1 = x'i'+'2 '

1 - 2y• X = cp (y) = yr=-r ·

Apl icando a ' (y) el teorel)la sobre la derivada de un cociente , obtenemos :

83 m' ' ") T V

y. por tanto.

.)'�

1 - 1) (- 4y) - ( 1 - 2ya) 2y (11 - J)l

= (Y

<Y - 1)1

, íx + 2 1 1 1 (y' .- 1)1 ,' (Y) = � = 2 · <x + 2)1 r x + l .

Esta de rivada puede calcularse también apoyándonos en ·el ejem plo an-o terior y en el teo rema de l a de r iva da d e una fm c i 6n com pu esta : Haciendo obtenem os:

por comiguiente.

y, = 21 . (x +1 2)1 ,r/i"=F2 ;:¡::-¡ ·

el m ismo resultado anterioP .

DIFERENCIAL DE l.)NA FU N C ION 13. D e f i n i c i ó n d e l a

Dife renc ial .

' Suponga'mo s' que la funci6ri y • f( x } tiene una de rivadél continua . Representemos por A.t un i'n cre · "" m e nto arbitrario de la variable independiente x, y por Ay el corre�pon d lenté increm ento de la variable de pe nd i en te·· y . La e x presi 6n ·. /(x) � aue representa remo � por los símbolos d:sy, dj (x) será design�da con el �o�. bre de d i f e r e n Ci a l de la variable y con P es p e cto a la variable X en el p un to x. ·E scrib i e ndo , po r necesidade,s de e; i m e tr ra , d,r . en luaan de k , . . '

�-

obtenemos la s i gui e nte fó.Pmula :

. (1 )

d e donde dxY ti..�

=f(x) .

Obse rvemos , además, que las dife rencial es dJ y d� son funciones de la va riable x, y que la func ión d;sX

ad q ui e re un valor con sta n t e �.

1 4 . D i f e r e n c i a l d e u n a · F u n c i 6 n C o m p u e s t a . Consideremos ahora el c a so en que x es una func i6n de otra variable t : X = !f (t) .

Supongamos qu e la func ión !f (t) es contfnua y que tiene de r i v a da contfnua . S8a X = !f (t1) = x1 el valor de rp (t) cuand o t • t1 ; s e tend rá

(2)

. 8-t

Análogam ente con lo an terior obtenemos la fórmula

(3) La variable y puede considerarse dependiente de t, a sabe r : Y = l(x) = /( � (t)) = � (t) ,

Obtenemos ahora · la rerac ión

(4)

Pero con base en el teorema sobr � 1� del' ivada de una func ión com pue s ta . vemos que � (t1) = /' (x1) !fi ' (t1). ·

Substituyendo esta expres ión en la fópmula ( 4 ) , obtene.m o s : · tltY = 1' (x1) !fi ' (t1) d1t,

de donde , en vi rtud de la fórmula ( 3 )

dtY 7"" f' (x,) d1 x_.

(5)

Com pa rando la f ór>mula ( l ) con la fórm ula (.5 ) a<ive rti 1r;os que pueden escri b i rse s i m bó l icam ente en la fo rma ·

dY·=f' (x) dx.

( 6)

Las fórm ula.s, .( 1 J y ( 5J. pueden obtenerse de la fó rm ula ( 6 ) esc ribiendo ' en lua�1r . Ci e � , c;o r re s �nd � éntem. ente , dx- (J t!t .

· Lo s s r� bu � o� .u y Y dx no so� . los l'Tlás . �decuados . S in emb argo , cuando ' no ha ya pos ibi l idad de confu s i ón los usaremos en i uga r de los s fm bolos dJ , , dJfx ó de los co r> r>espond iente � d,j . d1 x.. Se aprec ia el valor de la fó r-

mula (t) ) s i volvernos la atención a l necho de qu� se emplean oos f6rmulas para determ inar la derivada d e 'J con respecto á x . - A sabe r , cuando· la va' ·. ri·a ble y depe.óde 'tlirectéim ente de x , entonces �··

.·

. .

Y � =r (x) ' uando la det->endencia de la var iable Y con respecto á X se da PO I' m edio de otra func ión ( interme dia ) u , entonces

y� =/' (u) u�.

Pa ra encontra r l as diferenc iales, usamos en am bos casos , las m ismas fórmula s :

dxY, =Í (x) dzX, dxJ' = í (u) dxU

dy - f' (x) dx, dy =/' (u) dll.

DEIUYADA �y ·DIFERENCIAL ·DE UNA .• I'U]'CION

1 5. D i f e P e n c i a l d e l a S u m a . e l P P o d u c t o y e l C o c i e n t e . De los teoPem as sobpe léS d e r i vadas d e la suma , el PPOducto y el cocien te pueden obtenePse f6Pm ulas análogas , las d ifePenc ial <;s de la sum a , ppo ducto �· cociente . Sean u y v func iones de x : u = f (x), v rp (x), =

que poseen dePivadas continuas . Si hacem os

ento nces

de donde

PO P consigu iente,

dy =;:: du + dv.

es deci P,

d (u + v) = du + dv. análogam ente

d cu = c du,

don de e

es un núm ePo con�tante

d (uv) == 1l dv + v dti;

( *) � v dll ;a ll dv .

. O b s e P v a c i 6 n . En la práct ica fpecuÉmtem erÍte resu l ta .ni ás c o ri v e :.. , , n i ente o p e ra P con d i fe Pen c ia l e s y d e s p ués d i vid iendo entPe l a d iferencial de la va Piable independ i ente , · pasaP a las dePivadas •

I n t e P p P e t a c i ó n G e o m é t r i c a · d e l a D i f e P é n c i a l . La dife Pencial puede repPesentaPse geom étPieam ente de la s ig u i ente m anePa

16.

En la Fig. 28 se ve que

dy =/' (x) ax = tg a · dx = CD.

La dife Pencial dY,. en téPm inos generales� eE; d i f� Pen te ;.de . !iy , pero su d ifePencia B D es m uy pequeña en c om pa r•a c i 6n con dx ,' pa Pa dx muy pequeñas , ya que lim.

dJt

.... flyd- y o

li m

ü -+ 0

d [� dx - dxy] . l' (x) -1' (x) -·0 -

•

En la pPáctíca , cuando se tPa ta solam ente de valo r>es a p Poxi mados pue de consideParse. pa ra pequeños increm entos dx, que dJI = dy =f' (x) dx.

<:ALCULO DIFERENCIAL • E · INTEGRAL: . , ,': ·

Fig, 28 ·

D ERIVADAS DE LAS FU N CION ES EL EMEN TAL ES

1 7. O e r i v a d a d e f u n c i 6n

F u n e i 6 n P o t·e n e i a

•

d e r i va da

pa Pa u n n a r b i t P a r i o , s e e x p P e s a p o P l a f 6r m u l a

un entero regat ivo.

Ya hemos demostrado ( Pág. 76 ) esta fOrmula paPa el caso en que n es Pasemos ahora a los casos restantes, a saber, cuan do : n es un núm er.o entero negati vo , n es un núm ero racional , n e s un húmero real arbitPSrio, n e s un núm e ro ent e ro ne gat i vo . Haciendo n = - r (r > O) , pre sentarros la funci6n en 1a forma 1 Y=7

(x :p O) .

De acuerdo con' e l teoPem a sobre la dePivada de un coc iente, tenem os :

x' ·O - rxr-• x2r

at;)f pues

. . rx' - • , es declr y", = - � = - r�- ... , �

•

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCJON

n e s e 1 n ú m e r o r e cí p r o e o

d e u n e n t e r o . Hagam os n = ..!. T

Que es la funci6n inversa de por consiguiente ,

x; = ry"- 1 •

de donde, por el teorema sobre la derivada de una función inversa te nemos : , Yx

como

. X1�

P -1 Y · =

entonces

ry"_-¡ (Y =I= O , x 1

•

x - (7 - t) '

Yx =-¡ X asr que , otra vez

•

0).

( �)r-t = xt-.!." = x - (} - t} ,

Pa ra x

__¿,_ 1

· -·yx -,

.!_ _ 1

y; = nxn - t ( si x =;6 0) .

O la derivada no existe .

n es u n n ú m e i"' o r a c i o n a l . Hagamos ' n = E. Q ces, considerar la func i6n L

y=xq

. . Podernos enton -

(x � O)

co rno una función com puesta fo rmada por las funciones 1

y U = x9 . Por e l teo rema sobre l a derivada d e una fu10i6n com puesta , para x =F O tenem o s : Y = ttP

e s d e c-i r , nueva m ente n e s u n n ú m e r o i r r a c i o n a l . En este caso nuestra func i ón pue de con s idera rse com puesta , fo rmada po p las func iones

y = e" ,

u = n loge x

Entonce s , con ba se el páP Pafo de donde , com o

( = n tn· x).

19 (veP Pág. 9 0 ) tenemos pa Pa x =f= O -

' 'rl

·lf '

e =y = x .

•

, - x" n · ,x = nx" - 1 . Y� -¡-

tenern o s :

S i n > 1 , J)uede dem ost PaPse que la deP ivada y� = 0 pa ra x = O. S i n < J ,entonces pa ra x .. O, l a d e P i vada no ex i ste . 3

Ej em plos .

s ' 1 . Y = Vxa = xx�s y =5

pop con s i g u iente ,

y = xY2, y' = JI2 xY2-t. ; ;. .

a s í que

-1'

-�

3 3 -= 1 . = r: t" s = 5 .

�

Vx·l

1 _ ,!_ 1 2 (x + a) 2 . 2 Yx + a ·

: ·

Usa m us , pa pa esto , el �eoP � rn a .�o bre la d e P i va da <;lEf una ft.m ? i6n co;m. puesta ( u "" x + a ) .

t . y = V3x - 2x1,

2. y = 1x y 1 + 2x,

s. y - 2 + Yx - 2 - vx-

PROBLEMAS

3 - 4x ' 3 V (3x - 2x1)* 7 ( 1 + 3x) y' JÍl + 2x · 2 y' = �=-"JÍx (2- - --==JÍx )1 - ' y'

DERJv.A>DA� Y.. DIFERENCIAL. DE lJNA¡ . FUNCION

D e P i v a d a d e u n a F un e i 6 n L o g a P í t m i e a da d e la func ión

•

La de P í va -

•

(a > O, a =j= 1 )

y = loga x

se e x p P e s a m e d i a n t e l a f 6 P m u l a 1 Yx' = X 1 oga e = 1 X lal ll (donde ln a = log a ) . e

D e m o s t P a c i 6 n . Tenem o s :

y + dy = loga (.t + .1x),

de donde

Ay = loga (.� + .ix) - loga x,

x+ -x-.ix = loga ( + /l:( ). J !lx llxx) ' -=!lx lix log ( 1 + x ) = -x1 · llx-x log ( t + � � llx = _!_x loba [( 1 + &-xx ) J

poP cons iguiente,

Ay = loga

poP tanto

lly

6 haciendo

: .:.__ ,, . obtenemo s : ·

...

. � '

lim

(t b):ii

4X -+ 0 JC

1 t�::;;:: T oo

-x·

•

POP COnsiguiente.,

( 1 + _!_ ) ' = e. En v i Ptud de ( l ) tenemo s : 1 oga ( 1 + "-x )¡x] Yx = rm ll y = t•rm [lim

llx -+ 0

+ X

t· -¡x llx -+ O ..

lim l r l -+ + oc

. llx -+ O

( llxx ) ¡x] x

Com o e l loga P itmo es una func ión cont ínqa . tendPem os

_lx

y� = loga lim 1 + = ...!._ log e = _1- . u x ln a llx -+ 0 En paPticul a P , s i y x = ln x • entonces .y'x - ..!. ' - loge x .

[

Así pues, si se toma e l núm ePo e com o base de los logal'l itmos, la

dePivada expPesa más sencillam ente , en la foPma -¡ .

Los l.ogar it -

m o s d e base e s e l laman loga P itmos natuPal es. S iem pPe que se �s c r>i ba l n x sin indicaP s u base , s e entendePá que s e tPata de l loga rit mo natuPal del núm ePo x . Eje m plos . l · Y = log 10 X, Y = J log10 e = J . 0.4342945 ' -x x ,

2 . Y = ln/ (x)

(/ (x) > 0).

. .. •

(1 )

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Hac iendo

u =/(x), tenem o s :

n u, Yx = -u1 · u = /'u / (XJ t 3. y = ln Jft ox - x•= } n (1 0x-x1).Aquf tenem os / (x) = t Ox-x•, Y=

por consigu iente . según el ejem plo anterior,

5-x I 0 - 2x y, = 21 . IOx = IOx - ? · - xa

PROBLEMAS 1

t. y = ln 8x,

2. y = Jn

y' = X ·

:t�= = ln (5 + 4x) - ln (3 + 7x),

S. y = ln (ln x),

19 D e r i v a d a d e de la func ión

una

Exponencial .

Fun c ión

d e i" i v a d a

y= a" se

expresa

po r

pa r t i c u l a r ,

la fó rm u la

y' = a" l n a. si

entonces

y' = e".

O e m o s t r a e i ó n . La func ión inve rsa de As pues. x = Iog. y .

y = a", es la func ión

1 x,.., = )oa e

�a ,

en v irtud del teorema sobre la de ri vada de una func ión inversa . c uidan do que � r#: O, obtenem os :

Y -Y,x -" I n a , -u - -"'

1ogoe

En pa r>ticula r . si a • e . entonc es ln a • 1 , po r> consigu i En t e . cuando v = e",

tendrem os y� = e"

•

As( pues , la func i6n Y = e"

t i e ne La interesante propiedad de que es

DERIVADA��Y ·DIFERENCIAL DE · UNA' FUNCION

igual a su dePivada . E j em plos

2 . Y = r'.

Haciendo

u = r, obtenemo s : Y = e". y' = e" u' = 2xr'.

Hac iendo 11 �- V 1 + 2x + 3x1 = (1 + 2x + 3x1) 2·,. tenem os nuevamente : y = e", y' = e"u'; · cal culamos u ' apl icando otPa vez el teoPema sobPe la d e P Í va da de una función com puesta . Haciendo v = 1 + 2x + 3r , o btenemos :

poP consiguiente, )1

de donde

u ' = ...!_ 2 =

2 -t fix

VJ + 2x + :ir '

1 + 3x

YJ + 2x + 3x1

e Y1+�+�

•

PROBLEMAS l. l.

Y = (7'x + 3)1,

2. y = In ( l l tr + 2),

3. y = x•tr,

y' = 1 0 (71% + 3n� In 7. ' = l l tr Y. 1 1? + 2 " y' = eX (x' + 3r).

20. D e P i v a d a s d e 1 a s Fu n e i o n e s Y sen x , y ' • cos x. =-

Tr igon6m étr ieas

Tenemos Ay

y + Av = sin (x + Ax) ,

sin (.x + b) Ax

- sin

(

2 sin 2 cos x + 2 dx

)

•

C.ALCULO · DIII'ERBNCJAL . E INTEGRAL por con s ig u i ente ,

Hac i endo �2'( = h , o bt e n e m o s sen x ::. cos x :

tJ.x sin -;¡ tJ.x = tJ.x

por cons igu ient e ,

cos x

)

llx sin 2

h -+ 0

y' =

, y' = - sin x. _

(

os x + 2 .

, a causa d e la c ont inu idad d e l a s func iones 2

A.a; -+ 0

lun... -�6- = hm. sin-¡¡-h = 1 ( ve r Pág . tJ 3 ) , lim cos ( x +A: ) =IIm cos (x + h) = cos x. .

•

lim !-" = cosx.

liX -+ O

(

)

O�� e rvem os que c o s x s en }- �x ; po r cons igu t ente , la func i6n y = cos x puede e xpresarse com o una ftnc i6n com puesta, fo rm ada po r .

las fun c i ones

•

y = sm z

z = 2 - x.

A p i i cundo el teo r>en1a sobre la de r i vada de una func ión com puesLa ob tenem os :

pero

y� = cos z

C 0 m 0 y = tg x =

coc iente , o bt en e m os

��S: ,

Yx -

.v = ctg x,

� ( i -x ) = sin x ,

y�=- sin x.

J' = tg x, -" = cos1 x ·

por con s ig u i en t e ,

Z� = -- 1 ,

por> consigu i ent e , ,

ento n C e S pOP el teorema SOb!'e la de P i Va da del cos x · cos x - sin x · ( - sin � _ cos1 x + sin1 x cos•x ' cos1 x '

Yx = cosz X ·

DERJ\lADA . Y DIFERENCh\L DE UNA FU�CION

Sim i l a Pm ente con l o ant e P i o P

COS X Y = sin x '

a s í que

- (sin1 x + cos2 x) sin X · ( - sin x) - cos x cos x = = sin2 x sin1 x

sin1 x • J

, = sec x, y' = sec x tg x.

Tenem o s :

Y = cosx ·

poP tanto

, _ COS X · Ü - 1 · ( - sinx)

YA -

sin x CUS1 X '

cos1 x

1 sin x , scc x tg x• x Yx. = cus x . cos =

de donde

.V = cosec x, y' == - cosec x ctg x. Tenem o s :

1 Y = sin x '

p o p consigu i ente , Sin x •Ü - l · COS X ' Yx = -· sin1 x

de donde

Ejem plos .

l . y .. sen 4 x. 2.

' -

-:-

3. Y = cos

' y = cos U · ll�

c os1 u • 11

. 1

•

y = sen u , a s í que

•

· 4 cos 4x.

obtenemos y • tg u ,

p o r> cons i g u i ente ,

Hac iendo u

COS X sin1 � ;

cosec x ctg x.

Hac i endo u = 4 x , o btenemos

Hac iendo ll = x�;

Y = tg x•. y

cos x

yx = _._ sin x · sin x- =

c �xl · 2x. os

- 10

c o s x , encontPam o s y = u

y' = 1 0u'u' = - 1 0 cos8 x sin x.

PROBLEMAS l . y = 2 cos x + 5 sin x,

y' = - 2 sin x + 5 cos x.

2. y = cos 2x + 1 ,

y' = - 2 sin 2x.

, a s í que

CALCULO DIFERENC1U E INHGBA.L.-

3. y = sin1x,

y' = 2 sin x cos x = sin 2x. 1 +� , Y = - sin1 (x + r) '

4. y = ctg (x + eX),

21. Der ivadas d e las funciones trigonom étricas inversas. 1 y == aresin x, y�, == .. r

la función inversa será x

,. t - r

sen y . por cons iguienLe ,

x; = cosy.

De donde. según el teorema sobre la derivada de una función inversa obtenemo s : J

donde y =fo -±: i ,

Y){ = x� = cosy '

que cor>responde a los valo res x =F + t .

Com o

( la ra rz positiva . porque - -i- <Y <�· - 1 . entonces cosy = vr=-x1,

de d0 nd e Obse r va e i6 n existe . y = arccos x,

1 y, = .... V I -- xa '

•

y� == -

Puede demostrarse que para x = + 1 la d e ri vada no (\ x ! < 1 ).

1 ,._ . l' l - x-

La demosLrac i6n es sem ejante a la anre r 10 r . y = arctg x ,

y" = + r · 1 ,

La función inversa será x

tgy , por consigu iente .

, ,/..

x' - ' 1

Y - cos•_v

( puesto que- :¿ r. < Y < 2 r. , entonces x� e x i st e s ie m pre y es diferenLe de cero ) .

D e d o nd e

DERJVADA Y DIFERENCIAL DE UNA Fl)NCION ,

J'x = 7 = cos l y,

pero

-1-y = 1 + tg1 y = 1 + x• cosa

por consiQui ente

.v = arcctg x,

•"y

Yx = I + x• ·

•

Yx = - ¡ + r "

La demostrac ión es análoga a l a anterior y = arcsec x,

, Ys =

lxl

-t

(1 � 1 > 1 ).

La función inversa será x • sec y y po r consigu iente . x' JI

= secy tgy

con exc l us ión dey = O, y = n, que corresponde a los valores.x = donde ,

Yx = sec y tg y

Para x > J tendremos O

± J) .de

<.v < 1" por tanto

•

sec 1 = x = 1 x ·1,

tgy = Y sec•y - 1 =

Tomamos l a ra íz d e signo positivo , porque e n este caso t g y e s positi va . Por consigu iente , para x > 1 tendremos Parax <-1tenemos -i por consigu i ente

<Y <

, 1•

l x rY x• - 1 n , es decir, tgy < O, por tanto •

tgy = - V sec1 y - t = - v·x1 ·- t ,

Comox < - 1 ,entonces 1 x 1 = - x y nuevamente !

Y = arccosec x ,

(l x l > 1 ).

La demostrac ión es semejante a la ante r ior

•

'CALCULO DIFERENCI� E INTEGRAE �

C)6

Ejem plo s . y = arcsin V?.

Ha c i endo

U = .�T.

t en em os :

y = arcsin u , 1 , = Y 1/ 1 - llz . U ' ,

po:P con s i g u ie nt e ,

3 l ry , = ---= · r x. V 1 - x1 2 1

1 -x

•

y = arctg 1 + x .

H ac i e nd o

entonces y = arctg u, u'

Y = l + u: • _.

pe :Po

l l - \ 1 - x) · 1 � u ' _ ( 1 -f- x) · (-( 1 -!x)1 = - (1 + x)1 '

po:P con s igu iente ,

3 . y = arcctg

- r:¡:;;r

Vx.

Sea

u = Vx.

obtenemos y

- -

y arcctg u, 1 1 , 1 + u' · u = - J + x 2 yi" . 1

PROBLEMAS 1 í- , 1. y := arcctg J X

2. y = arcsln (2x Y 1 - r),

3. y = x arcsin x + Y 1 - x•,

Y' = ,

2 (x +

wvx- ·

Y = JÍ I - r ' y' = are sin x.

•

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FU�CION 2 2 . D e r> i v a d a

L o g a r ít m i e a .

Consider>ernos la func ión

y = {/ (X)} 'I'IX)0

donde las func iones f ( x ) y 'f (x) son continuas, además / (x) > O. Tornan do loga r> itmos natur>a les en am bos m iem bros , obtenemos : In y = 'f (x) ln / (x) .

Consider>ar>emos á ln y como una func ión com puesta de la var iable x. Encontremos su derivada : '

lj = (x) ln/(x) + (x) 1í::: . 'f

(1)

La ex p res ión � rec ibe el norn b r>e d e r i v a d a l o g a r ít m i e a d e l a f u n c i ó n y . L a igualdad ( l ) tonando en cuenta que y = {/ ( x)} �x1 ,nos da A s í pu es , m ed iante

rivada de la func ión

Ejem plo s .

y' = {/ (x)} ''�

(tp' (x) ln 1 (x) + (x) (x) J • f' { (XI

la derivada loga rítm ica pode m os detePm inar la de Y = {/(x) } ''�• •

l . Encontr>aP la dePivada de la func ión y = x" (x > O) . Tenemos ln y • x ln x po r> consigu iente ,

y-' = l . Jn x + x · -1 = ln + 1 x

de donde

y' = x" ( ln x + 1 ) .

De t er>m i n aP la dePivada de la func i6n

y = ( sin x\cou

Tomando loga r> itm os , obtene m os :

lny = cos x ln sln x,

P:)r const gu.tente .

t_ = - sin x ln sin x+ cos x � �n x ' Y

[

PROBLEMAS t. Y = x'" x,

y' = 2 ln x x - l l n x.

cos- x

y' = (sin x)c:os x - sin x ln sin x+ sin

•

(O < x < w).

· 98 2

•

CALCULO DIFERENCIAL . E INTEGRAL

.Y = (In x)x,

3. y =

y' = (In x)x 1 1 1 + I n x • l n In xJ. -

(-¡r.

y' =

(�f t n x.

DERIVADAS Y DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

2 3 . D e r> i v a d a s d e O r> d e n S u'p e r> i o r> . S i l a func ión y = f ( x ) ti e ne una p r> im e r>a d e r> i vada , entonces la de r> i vada de e sta d e r> i vada , s i e x iste , r>ec i be e l no m b r>e de d e r> i v a d a s e g u n d a de la func tón f( x ) . Aná l ogam ente , l a d e r i va da d e l a segunda der> i vada s e L lama d e r> i v a éi a t e r> e e r> a , etc . S i m bó l icum ente léE de r> i vadas de o r>den sup e r> io r> s e e sc r> i b i r>án d e l a sigu i ente m an e r>a :

6 6 o tam b ién Ejemplos.

f' (x) , /"(x), /'"(x), f<'1(x) , f<11(x), . . . , pn1(x) , dy d2y d'v dx ' dxz ' dx'

d4y

dny

d5y

· dx4 ' dx' ' • • • ' dxn • x

l . Encmt r>a r> léS d e r> i vadas d e la func i ón y = a . Tenem o s : y' = ax ln u,

y" = ax'(In a)1, y'" = ax (In a)� , x S i y = e , entonces v1n 1 = e�.

" 2 . Encontr>a r> la d e r>i vada de la func i ón y = x . Tenem o s : y"' = k (k - l ) (k - 2) x"-•, y ' = kxk- t , • · . · · · • · • · y " == k (k - l ) xk-s, y1n1 = k (k - 1 ) (k - 2) . . . [k - (n - l )] x � - n. S i k es un núm er>o natu r>a l , tendr>emos y1k1 _ k (k - J ) ( k - 2} . . . (k - (k - 2)] - l = k f, ylk +t) = O. 3� Encon tr>a r> las der> i vada s de la func i ón

t' = ·x- ·

y" = - x• .!_ = (- 1 )1 · �x2 • ,, _ 1 · 2 _ ( t ) ·· 1 · 2 y -7 - · ·-;F •

x . Tenem o s :

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FpNCION y

(4)

1 ·2·3 = (- 1 ), · 1 · 2·3 =-� -;r

. . . .

y'n' = (- lt- 1� . �

4. Encontra r las deri va. das d e la func ión y = sen x.

y' = cos x = sin ( x + -i) , y" = - sin x = sin (x + n) = sin ( x+ 2·--i) y'" = cos x = sin ( x + 3 · i) , :y 1'1 = sin = sin ( x + 4 · 1-)

Tenem o s

Aná l ogam ente , si y • cos x, entonces y1n' =

cos ( x + n -i) .

PROBLEMAS

1 . y = e' + �x.

2. y = sin 5x, 3.

1 - cos x sin x '

4. y = l n / (x),

s. Y = Yx.

" 4' 3 'x y"' = 41e1+ u. • . , 1 y<fJ) = 4ne' + "'. y = e + , y1n1 = 5n sin 5x +

(

tg :¡ y" = -- · x

" y

n · -i ) .

2cos• 2

f (X) f" (X) - /'1 (X) r <x)

,, 3 1 Y = s -v.xa ·

24 . F 6 I' m u l a d e L e i b n i z . Sea y de l a va r i a b l e x. Entonces

...,

u v, donde u y v son func iones

= u"v + u'v' + u'v' + uv" = u"v + 2u'v' + u'fl', + u'v" + uv"' = y"' = u"'v + u"v' + 2u"v' + 2u'v" = u"'v + 3u"v' + 3u'v" + uv"' , y''' = u'''v + 4u '"v' + 6u"v" + 4u'v"' + uv'''· ..v"

Ve m o s pu es , que l o s coefic i entes de las fó rm u la s esc P ita s antes se o b -

lOO

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

t ienen igual q ue en e l desa :r>r>o l l o d e l b inom io (a + bt según la fó r>mula de N ewton . Con ayuda de la inducc ión c o m p l eta puede den J O st:r>a :r>se l a va l idez de l a f6 :r>m ula , sem ejante a la fó:r>m u la de N e wton , a sabe r> :

y '"l = u<"lv +

(7)

l u l" - 'v'

(� )

u l" - z 'v"

+ . . . + uv'"'.

Esta fó r·mula se designa con e l nom b:r>e de f 6 :r> rn u 1 a d e

Leibniz.

Ejem plos.

1 . Deter>m ina:r> la de:r>ivada enésima de la fun c i ón •

Hac iendo u

x , obtenemos , según la fó :r>m u l a de L e i bniz :

2 . F:r>ecuentemente la fór>m ula de L ei bn iz per>m ite dete rm ina r> con fac i l idad el val o r> de la d E1p ivada enés ima pa :r>a un va l o r> pa r>ticular> de x. A c l a r>em os con al gunos ejem plo s . Determ ma:r> el v a l o r> d e la d e :r> i vada enésima d e la func ión

= a re tg x, pa:r>a x = o . Tenem os :

/' (x ) = 1

de donde

f i X ) =

� x� '

/' (x) ( 1 + x1 ) = l .

Tom ando a h o :r>a la de r>i vada enésima según l a f6 :r> m u l a de L e ibniz , ob tenem o s :

Haci�ndo x

(7)P"1 (x) · 2x + (�)pn-l ) (x) · 2 = O.

/'" + i' (x) ( 1 + x1) +

O obtenem o s :

por cons i gu i ente ,

(n > 0).

H em os obten ido una fó rm u l a c onveniente de reducc ión pa ra e l val o r> de

l a deriva da enésima , cuando x = O. Como /' ( 0 ) = 1 , /" (x) = - (1

n = 2, 3 , 4, 5,

. • •

:xz¡n esto

/" (0) = 0,

entonces , hac i endo

, obtenemos de la fór> mula de reducc i ón /' " ( 0 ) = - 2 · 1 = - 2,

/'41 (0) = 0 , /'11 (O) = -- 4 3 · ( - 2) ·

24,

3. DetePm ina :r> e l valo r> d e l a d e r> i vada ené s i m a de la func ión

1 01

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA FUNCION

pa ra x = 0 ..

Tenem os :

/ (x) (x2 - 3x + 1 ) (n > 2 ) ,

To rn ando l a de r ivada enés i m a

/'"1 (x) (x1 - 3x + 1 ) +

2x + 1 .

obcenem o s :

( 7)1'" -11 (x) (2x - 3 ) + (�)¡m-I) (x) · 2 = O.

Ha c i endo x = O , encontram o s :

¡en' (O) - 3n/1" - 11 (O) + n (n - 1 ) /V'- 1> (O) = O,

de donde

¡en> (O) = 3n/e"- 11 (O) - n (n - t ) J<" - 1 ' (O)

('1 > 2).

Determ inando la prim e ra y la segunda der ivadas d i rectam ente , obte nem o s : /' (O ) = 5,

de s p u é s hac iendo n

/" (O) = 28;

• 3, 4, 5 , . . . , determ inam o s m ed ian te l a fó rm ula de r>edu c c i ón , las derivadas de o rden supe r io P . PROBLEMAS

1 . y = e " (3x1 - 4),

2. y = x l n x,

3. y = x1 sin x,

y<"l = x2 sin

yen¡ = e" !3x1 + 6nx + 3n (n - 1 ) - 4).

¡n¡

(- 1 )" (n - 2) !

( x + n i) + 2n?' sin [x+cn- 1 -i] +n (n- 1 ) sin [x+<n-2) -i] . )

4. f (x) = (arcsin x)1, (1 - x1) !" (x) - x!' (x) = 2, j<2"+ 11 (0) = 0, jl1"1 (0) = 2 · 21 · 41 · 61 (2n - 2)1• 5. f (x) = e510 x , /' (x) = f (x) cos x, • • •

u e donde

/ (0) = 1 , /' (0) = 1 , /" (0) = 1, /"' (O) = O, /'"' = - 3, . . .

25 . R e p r e s e n t a e i 6 n dad a s las dos func i ones ue

Pa ram ét riea de una x =/ (t) ,

Y = <p (t)

Fun e i 6n .

Sean

una va r i a b l e t, defi n idas y contínuas en uno y el m ism o inte rva l o . S i

J02

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

la func ión x = f ( t ) es e st P i c tam ente m o n ó t o n a , entonces existe su fun c ión inversa es tam b ién contínua y est r i c tam e n te m onóton a . P o r e sta razón y puede ronsidera rse c o m o u n a vaP ia b l e de pend iente de l a va riable x a t ravés de la va r iabl e interm edia t. Hac i endo

f = � (x) ,

y = p ( p (x)) = F

(x).

vemos que la función y = F ( x ) es continua . D i r>ernos que esta fun c i6n ha s i do dada pa ram étricam ente , p o r m e d i o de la var> ia b l e t .

Ejemplo l . Sea ( O � � n).

x = r cos t, y = r sin t

Com o la func ión x = r cos t decrece estr ictam ente pa ra O � t � n. en to n c e s , des pejando t de l a p r> i m era ecuac i ón y subst i tuyendo en l a segunda , obtenem o s la fun c ión bu scada de la va r iable x.

O m ás fác i l m e nte , s i obse rvam o s que

x! + y! = rt ( cos 1 t + sin1 t) = r1, de donde

Vr� - x' .

Escogernos la r>a íz de s igno pos t t ivo ya que la fun c i ón y ne ga t i va pa r> a o � � n.

r sen t es no

Tomando ' n � � 2n, o btenemos :

Y = - Vr z

J)\� s así que c uando t va r ía de O a

2n, l a s fórmulas

x = r cos t , y = r sin t

determ i nan dos func lOnes de l a va r i e b l e x c uy a s gr>áf i. cas fo r> m a n u n a c i r c unferencia com pl eta . La re r:.> resentac i6n pararn étr i ca t i ene un val o r> pa rt i c u l a rm ente i m por tan· te en el estud i o de l m o v i m iento de un punto . Si un t>unto se m ueve en un plano , sus coo rdenadas x , y , se i"án func iones d e l t i em p o t . Dadas estas funáones

x =/.(t), Y = q/(t), e l rn ovim iento del punto queda perfecta m ente determ inado . En todo inte r va lo de t í e m po , en el que la fuhc ión f ( t ) sea est rictam ente m onótona , pue d e proced e rse co m o ante s , pa i"a dete rm inar la func ión y = F ( x ) cuya g rá f ica será la curva desc rita , en e s te interva l o de t i em po , po r el punr.o de m ov im iento, En el ejem plo an Le r i o r las func iones desc r i b ían el m ov i m iento u n i form e de un p unto sobre u na c i i" c u n f e i" enc ia . Supongam o s ahu ra que las func iones

X =/(t),

poseen de r ivada s contínuas en l a vec i ndad de c i e rto val o r de t y q ue ade más pa r>a e se va l o r , f '( t ) 1= O . Sea la func iónt = <j> (x)l a func ión inversa ( en

DERIVADA . Y DIFERENCIAL ·oE ()NA FVNCION

103

la vec indad del punto t) de x • f ( t ) . Com o l a func ión · � (x) tiene una de .r>ivada que se expr»esa po r> la fó r»m ula

�· (x)

l (t )

•

enton ce s , por» el teor»ema sobr»e la der»ivada de U&.a funaón com puesta , la F (x) tfl (</J (x)) t iene por» der»i vada fun c ión y =

y: = !fi ' (� (x)) · �' (x),

!f' t ) , Yx = f' (tt) ·

por> consigu iente ,

Dem ostr»am o s . po r» lo tanto , que la der» ivada de una func ión r»epr»esen tada par»am étr» icam ente , se expr>esa por» la fó r»mula

Yx, = ,.f' (t)(t) •

s i solam ente /' (t) =F o.

Ej e m p 1 o nem o s :

2 . Cons ider»ando la func ión definida en el ejem pl 'o. l , o b te -

Yx' = � r sin t - - e tg t

(t .:fo O, 1t).

Es fác il deter»m ina P. las der»ivadas de o r»den super>ior», adm itiendo la e x i stenc ia de las · cor»r»espond ientes der»ivadas de las func i ones / (t) y Cfl (t) .

Obtenem os la der»ivada segunda de la s igu iente maner»a . Obser»vemos que la func i ón y� está dada pa r>am étr»ica m en te por» las func iones: ,_

()_ yX - ,' f<ij -;- lf¡ (f)';

x =/ (t) . .

de donde

!' (t) lf" (t) -- l' (t) lf' (t) {/' (t)l' Anál oga m e n t e . haciendo v; = rp1 (t), obtenemos : t Yx,, = /��' (( )

po r> cons igu iente

;>o .r> con s igu i ente ,

•

' y�' = { [/' (t)l1 cp (t) -/' (f)/"' (t) rp (t) " ' <t 3/' <t>f" <t> rp <t> + 3 V" (t >r cp )} · v,

��>J' .

P r>osigu iendo de la lT) isma maner»a podemos determ inar» l a der»ivada de cual quier» o t�den .

1 04

CALCULO- DIFERENCIAL E INTEGRAL PROBLEMAS

1 . y = al,

x = a ( l - t), x = sln 2t,

2. y = sin1 t,

3. y = :ñn t - t cos t,

x = cos t + t sin t, 1 t• 4. y = 2 ' 2t', x = a ..fr

y� = - 1 . ' j . 2t y.r; = -¡ Lg '

Y� = tg t. ,_ Y� -

26. D i f e r e n e i a 1 e s d e d iferenc ial

-. íi. . V 2

S u p e r i o r . Como ya se ha d icho, la

Orden

dx)l = f' (x) d"x Cabe entonces habla r de la d iferencial de

es una función de la variable x. una d iferenc ial . Esc ribam os

d� (d.J') = �.J'. d" (d!,y) = d� , • • • • • • ! • • • • • • • •

d" (d= - ly) = d�.

ó d ife rene ia 1

L lana rem o s d i f e r e n e i a 1 e n é s i m a m o o r d e n a la expres ión d;y

e il é s i

Apl icando el teo rema sobre la d iferenc ial de l prod ucto , o bten e m o s :

�J = d¡¡;[/' (x) d"x] = dJ' (x) d"x +!' (�)d!x. Corno

d�x = O ( ya que d.X e s const�nte ) . entonces

d!y =1" (x) (d�)'.

Se obtienen . s im i la .rm en t e : .

d� =f"' (x) (d�)1 , .

d:V =f<n¡ (x) (d"x)n . De donde

d! y , Y /" (x ) = ( d! dxx>• , f (x) - (d�x)' , _

E scrib iendo d en luga r> de dx

. . . •

d; y f1n1 (x) - (dxx>n _

dxn en luga r de 1 (dxxf',

•

o btenem os

105

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA Ft!NCION

dy = 1' (x) , dx d2� =1" (x) , dx :':. = !"' (x) ,

Debe, sin em ba Pgo , I"eco PdaPse que en estas fóPmulas las d ife Pencia l e s se han tomado con Péspecto a la va Piable x . m

ACeptemos ahoPa q u e y y x son func ion e s d e l a va Piable t .

os :

( Como aho Pa d1x no es una fundón constante , d:x se ) , y po P con s i guiente

Obtend Pe

no pod Pá e t im ina P

d'tY = /"' (x) (dtx)' + 3/" (x) dtxd:x + /'(x) d:x. Em pleando los s (m bolos incompletos , obtene mos :

dy =1' (x) dx, d'y =!" (x) dx1 + /' (x) d'x, d'y =f"' (x) dx' + 31" (x) dxd1x +!' (x) d'x,

ObsePvem os que éstas fó pmu l as son efect i vas s iem ppe y cuando en l ugaP de d se esc r> i ba d�, ya que entonces

d!x = O , d!x = O . etc.

Como antes, cont inuaPem os usando los s(m bo los incom p l etos en todos los casos en que no haya pos ibil idad de confu s ión . Si la func i ón y

F ( x ) es dada paPam étPicam ent'e poP las func iones

x =/ (t), y = !f (t) , entonces , tom ando d ifePenc iales con Pespecto a la va Piable t , obtenem o s : de donde

dy = F' (x) dx = y:dx,

y ' = .!!_t• X

d,x.

cp' (t) dt - cp' (t) /' (t) dt - /' (/) •

106

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

D iferenciando o cra vez con respecto á t.

encontram o s :

dy ' dyx. = d dx

por consigu iente ,

d'3 donde

Hac iendo

dx = f (t) df,

tJIX =f" (f) dt1, dy = f{)1 (t) dt, d � Y = f" (t) dfl,

obtenemos l a f6 rmu la deduc ida en la Pág. 1 03 .

...

Análogam ente

d - dyd1x dY:x ......:.... d xt:Jiy dx1 ' dxld'y - dxd1xdy - 3dxt:Jixd1y + 3 (d'x)1 dy dx•

De aqu í fác il m ente o btenemos l a fó rm u l a m o st r ada en l a Pág. 1 03 Sea l a func ión y f( x ) , cu ya fun c i 6n inve rsa es x = tp (y). Detern"Jine m os las d e r i vadas de la func ión tp (y) ¡_:>o r m ed i o de l a s dePivadas de 'la · funci6n f ( x ) . •

ObsePve m o s Que d ifePenc iando con Pespecto a l a vaP ia b l e y . encon¡:ra mo s :

tJiy = d1y = =0 dx = x�dy = ff ' (y) áy, tJIx = x;dy' = cp" (y) dy1, d11; ;r.;>dy', ' �<ni (�) d)/ • o o o

D e donde

dy =1' (x) dx =l' (x) x' dy , d'y = O =1" (x) (x' )'dyf1+ 1' (x) x; dy', d1y = O =1"' (x) (��)1 dy1 + 3/" (x) x;,x:¡,dy' + !' (xl ��· dy',

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PoP consigui ente, 1

x, = (' (x) ' " f' (x)(x�)• /" (x) xv = /' (x) - 11' (x)}* ' · 3 [/" 1x))1 - !' (x) /'" (x) x·; (/' (x)]• •

DERIVADA Y DIFERENCIAL DE UNA F{jNCION

cp, (Y ) = xy, = ¡, 1(x) .

107

Tomando la dePivada con Pespecto á Y Y considePando f '( x ) como u na función com puesta ue la vaPiable y á u•avés d e l a vaPiable x , obtene mos: XJI � - [/' (x)JI - 1/' (x)J' f' (x) x),

,, _ _

xy po r> cons igu i en t e ,

f' (x)

•

(X) · 3 [/' (x))1 /" (x) x;

[/' (x))1/"' (x) x; - f' i/' (x)]'

f' (x) f'" (x) . = 3 (f'(x)]1 1/'- (x)JI

x' JI

PROBLEMAS t. y = 1 1 , 2. y = 4x + 1, 3. y = 9x4,

4. y = a + 2bx + ex!, 2 5· Y = ? = 2X _ , '

1 1 4 s :; xa = s x bx) (a - bx), 7. y = (a x• 2x + 1 B. y x' - 1 , x• + ax• + ax + 1 9 Y x+ 1 · 10. y = (2 + 3x) (8 + 7x), 1 1. y = (a + x')', 6.

12. y = (6x1 - 5 x')',

1 3. y = xa2 + ( 1 -3 x)• ,

1 4. y = V l + 5x , 15. y =

1 6. y

1 1. y =

V <2xt

r>' ·

va• - x•

( 2;x - 9�. ) v3x + r ,

_ (8x4 + 4x1 + 3)y'"xa=i ' 1 8· Y 1 5x' 19. v = ln (2 + 5x)

20. y = In x", 21 . y = In

( a � x) ,

y' = O. y' = 4. y' = 36x'. y' = 2b + 2cx. 8 y' = - xr · y' = - 20

V? .

y' = - �·+ 4 ' + 3x1 + 2x + 2 x y' = (x - 1 )1 y' = 2x + a - 1 .

y ' = 38 + 42x. y' = 6x (a + xlf.

1 x')'. y' = 4x (1 2 - x1) (6 - 5 9 4 y' = - xa + (l - x)' " 5 y - 2 V 1 + 5x 8x (4 - 3x) y, . 4 V2x1 - x' ' a• y' = ---�== (a1 - x1) Va• - xl 1 y' = 2x1"JÍ 3x + x• 1 Y, = �v x• - 1 5 , Y = 2 + 5x ' !!_ Y, _ - X • 1 y' = - a+x' , _

•

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

108 22. y = In

X _

x;' ,

23. y = -¡ ln x,

tr - I

29· Y = r + l

2r y' = <r + t )• ·

---

30. y = ln (emx + e - mx),

, m (�x - e - m� y - emx +-e - mx - : 81. y = sin 1 2x, y' = l 2 cos 1 2x. 82. y = sin (px + q), y ' = p cos (px + q). 83. y = X COS X, y' = COS X - X sin X. 34. y = x• sin x + 3x' cos x - 6x sin x - 6 cos x, v' = x• cos x. .V ' = ti1 X + ctg' X, ctg X - 2x, 35. y = tg X 86. y = x - sin x cos x. y' = 2 sin1 x. 3 y' = 87. y = 3 tg x + tg• x. cos'x " sin x a cos x + b , 38. Y Y a + b cos x ' (a + b cos x)1 • 89. y = 1n sin x, y ' = ctg x. 40. y = In cos x, V ' = - tg x. 2 41. y = In tg x, y' = sin 2x . a Y' = -· 42. y = arcsln ax, V l - a•Xi 1 y' 43. y = arccos (a - x), V l - (a - x)1 • a , 44. y = arctg ax, = V 1 + a•x* ' 1 y ' = r { 3 arcsin ..!.. 45. y = x1arcsin ..!.. , X yxz - J X \ . � 2 46. v = arctg r=-xa • y' = 1 -t x• · •

47. y = arcsin 2x V 1 - x•,

48. y = arctg

y¡-:¡:7 - 1 x

1 -_x, 49. y = arccos Y _

•

V1 2 (1

�1

x' .

t x') •

2 Vx - x1

)•

50. v = { Y 1 - x• - ( 1 - } x• ) arc tg yl'='? , y ' = x arctg }'- 1 - x,1 • 51. v = t• + St - 1 , x = t' + 2t, 52. v = arctg (21 + 1 ), x = e- t•,

53. y = a sin t + b cos t.

= g• " t f. 54. y = arcsin (11 - 1), x = arccos 2t,

21 + 8 Yx = 5t' + 2 '

y; y; ,

21 (2t1 + 2t + 1) • _

(a cos t - b sin t) cos•

Yx = -

4 sin

.. � • JI 2=tí

t 2

CAPITUW VI

TEOREMA DE BOLLE. TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIO.

FORMULA DE TAYLOR . l. Te o r e m a s o b r e e 1 va 1 o r

m ed io .

Adm itamos que la func ión

y = f( x ) defin ida y cont i nua en e l inter>va l o [a, b] tiene derivada en cada

uno de l os puntos inte riores de este interva l o .

Tracem os la cuerda AB un iendo los· puntos de la cu r>va correspon d i entes a los extrem o s del inter>valo la, b] . Sea 11 el ángulo que fo r>ma la cue rda con el eje OX ( Fig. 2 9 ). Es cla r>o, intu it i vam ente , que existe sobre la curva un punto e po r> lo m enos, d iferente de A y B, en e l que l a tangente y es pa ra lela a la cuerda A B . Repr>esentem os p o r E la abscisa del punto e , por a el ángulo que la tangente en este punto fo rma con el eje O X , y por h la l ongitud del inte r>valo [a, b] . En virtud de la observac ión hecha , tenemos tg a. = tg á,

Fig. 29 y del t r> \á ng u l o A D B obtenemo s : tg a. =

!� = f <a + � - /(a) .

a < E < �;r + h = b, entonces E = a + 6h, Com o m e r>o que sat isface las desigua l dades 0 < 6 < 1 . de

(1 )

(2 ) donde 6 es c i e rto n Q. Observe m os que

( 1 ) y ( 2 ) obtenemos

/(a +h) - /(a) h

Esta ecuac ión se conoce con e l nom br>e de T e o r e m a s o b r e e 1 m e d i o y puede fo r>mular>se de la sigu i ente manera .

v a 1 o r>

T e o r> e m a . S i l a f u n c i ó n y = f( x ) e s c o n t i n u a e n e l - i n t e r> v a l o c e r> r> a d o [a, b] y t i e n e d e r> i v a d a e n c a d a u n o d e l o s p u n t o s i n t e P i o r> e s d e e s t e i n t e r> v a l o , e n t o n c e s e x i ste un n úm ePo 6, q u e s a t i s f a e e 1 a s d e s i g u a 1 d a d e s 0 < 6< :, t a l q u e /(b) - / (a) b-a

1 09

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2. T e o P e m a d e

R o 1 1 e . Si en paPti culaP suponemos que la fun

c ión tiene el m i sm o valoP en los extPem os del intePvalo .. entonces la cuePda AB es paPal ela al eje OX y por cons igu iente 1a tangent6 en el - punto C ·también e s pa palela a l eje OX ( Fig. 30}; asím ismo la dePivada en el punto e es igual a cePo . PoP t�nto podemos enunciaP el siguiente

T e o P e m a . S i u n a f u n c i ó n, c o n t i n u a e n e l i n t e P v a l o e e r P a d o [a, b] y e on d e P i v ada en to do s 1 o s p un to s in te P i o P a s d e e s t e · i n t e r v a l o, a d q u i e P e v a l o P e s i g u a l e s e ñ l os extrem o s del intervalo enton ces cuando m enos en u n p u n t o i n t e r i o r d e 1 i n t e P v a 1 o [a, b]. 1 a de P ivada es i gual a c e ro . •

y O b s e r v a e i ó n . En el teorema de Rolle no se presupone ni la existencia de las dePi - /:� vadas de la función en los extr>emos del ínter A� L�4l valo [a, b], n i la continu idad de la dePivada - 1 1 � donde quiePa en el interior de [a , b]. La supo: J 1 : sic i6n sobre la existencia de la der i vada en : ,' J el interior de la, b] es esencial . Basta que en ! : un punto del inter ior de [a, b] n o exista l a de - -;;1 0 1---"""" 0---e�----�b• r ivada, para que no se anule en n ingún punto del intel'valo . Como/ ejem plo puede se rvi r la Fig. 30 función mostPada por la gráfica de la F ig . 31 , que no t iene derivada solamente en un punto . El teorema de Rolle establece en forma abso y luta que aunque solo sea en un punto interior, la d e r i vada será igual a cero; por esta razón si la derivada fuera igual a cero en los e xtre mos del intervalo , entonces, independ ientemen 1 1 te de ello , podt>ía asegu ra rse que además en :: 1 1 1 1 algún punto interior la der ivada también es - 1 1 1 1 igual a cero. 1 1

A�8

Fig. 31

El teorema de Rolle es uno de los teore - mas pPinci pales del cálculo d iferenc ial .

3 . D ·e m o s t P a c i ó n d e l · t e o r e m a d e R o l l e . Si nuestra func ión adquiere en todo el intervalo [a, b] un valor constante , entonces en todo - punto intePior del intePvalo su derivada será igual a cero. Por• cons igu ien te el teorema es c ier>to en este caso . Aceptemos ahora que nuestra func i611 no es constante. En v irtud de que l a función e s continua e n e l intervalo cerrado adquiere u n valor máx i m o y un valor m ínimo ( veP Pág . 61 ) .. puede afírmarse que solam ente uno :.. de estos val ores es adquirido en un punto intePior del intervalo La, b). S ea por ejem plo , que la función adquiere un valor máximo en el punto e (a < E.ey) . Entonces para todo valor de h es vál ida la des igua l dad -

1 11

TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIO Com o dem o s t r>a P e m o s ahoPa , e l punto e s dec i r' ,

a e s el p u n t o que pequ e P ía m o s

Obse P v e m o s q u e s i :

/ (� +h) - /(E) � O· h

enton c e s en ton c e s

/(E + h) - /(E) � O h ==--

•

P o P e sta Paz6n , si h t i ende a c e ro , adqu i P i endo va l o P e s po s it i vo s , enton - ces

h o / (e) = lim I <E + h> - I <E> � . 11 -+ +0

A s i m i sm o si h ti ende a c e ro adqu í P i e ndo va l o Pes n ega t i vo s , entonces

p o P cons ig u iente ,

h) /' (e) = lim / (E + h f<E> �.(). h-+- 0

de donde

con lo que s e dem uestPa e l teo r e m a d e Ro l l e . An� l oga m e n t e s e P ea l iza l a d e m ostPa c i6n en e l caso en q u e e n e l p u n to � (a < e < b) a dq u i e Pa u n va l o r' m ín i mo .

4. D e m o s t P a e i 6 n

Hagam os

del

Teo Pem a so b Pe

e l

val o P

medio.

f <a + h) - / (a) = (l) h

6 D e f i n i m o s un a fu n c ión

/ (a + h) -/ (a) - /UI} =-_- 0.

cp ( t) , en el segm enr:: o

cp (t) =/(a + t) -/(a) -- tw;

(1 )

O � t � h,

hac iendo

ve m os qu e :

1 ) cp (O) = cp (h) = O; 2) Cfi' (t) =/' (a + t) - w.

(2 )

En vi rtud d e ésto , según el teo r>em a de Rol l e , existe ta l punto E (O < que cp' (EJ = o. P o P c on s i g u i en te , de acue rdo con l a fórrn ul a ( 2 ) ob ten e m os :

E < h) ,

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

112

cp ' (�) =/' (a + E> - (1) = 0 ,

de donde

e = Oh <o < o < t ) ,

Hac iendo

(1) =/' (a + E) . obtenemos con apoyo en ( l )

f (a + h) - 1 (a)

/' (a + 6h).

Hemos dem ostPado , por tanto, el teoren1a sobre el va lor m ed l O .

5. C o n s e e u e n e i a s d e 1 t e o r e m a s o b r e e l v a 1 o r m e d i o . La, b], S i una func i ó n c ont inua en e l i n te r va l o c e p rado t i en e d e P i vada n u l a donde qu i e Pa en e l i n t e r i o P , en ton c e s tal func ión e s co nstan t e en e ste i n t e P v a l o . -

O e m o s t I" a e i 6 n .

valo [a, bJ

. •

Sean x, y x0 + h dos puntos a rbitPaPios del in te!:

Según el teorema sobre el va lor m edio tenemos:

Pero de la condi c ión

/ (x, + h) - / (Xo) h

r <x, + 6h).

r (x, + 6h) = 0 ,

se s i gue que

/(x,-,�L h) - i (x0) 0 - . h _ __

Asf, la función t iene un va lor constante en e l intervalo

[a, b]

•

T e o P e nl a . S i u n a f u n c i ó n c o n t i n u a t i e n e e n "t o d o e l interva lo d e r ivadas pos itivas ( ó negat ivas ) enton c es e s e st r i c ta m e n t e c r e c i en t e ( 6 d e c p e c i e n t e ) e n e s t e i n tePva l o .

O e m o s t P a c i 6 n . Si x, y x, + h Ch > O) son dos puntos arb itrari os del intePvalo [a , b], entonces p or el teoPema sob re el valor m ed io tenemos : . / (x, + h) - / ( x0) /' (x, + 6h). h como

1 (x0 + h) -1 (x0) = h/' ( x, + 6h);

h > O, /' (x0 + 6h) > O ,

tendremos

/(x0 + h) -/ (x0) > O, por cons igu i ente , Por tanto la func ión es estrictam ente c reciente.

TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIO.

113

PPocedemos análogamente en el caso en que en todo e l intePvalo [a, b] la dePivada sea negativa . 6. D e P i v a d a d e u n a

f u n c i ó n c o m p u e s t a . Con a yuda del -

teoPema s�bPe el valoP m ed io , dem ostPaPemos ahoPa el teoPema sobPe la dePivada de una función com puesta , que ppesen tam os antes ( veP. Pág. 81 ) sin dem ostPación .

Sea y =/( cp (x)) una func ión com puesta fo pmada con las funciones Y =/ (u), u = cp (x), contínuas y que poseen deP i va das contínuas. RepPesentemos poP 4x un incPem ento aPbiti'aPio de la va Piable x, y poi' 4u, 4y los co - ppespondientes inc Pem entos d e las vaPiable s u , y , TendPem os :

Y + !:J.Y =f (u + Au) , .Y =f (u), poP consiguiente,

Ay =f �u + !:J.u) -/ (u). Con base en el teOPema sobi'e el valoP m edio podemos escPibiP la úl tima igualdad en la sigu iente fopma : de donde :

A/ /' (u + 6Au) !:J.u

� =f' (u + 6Au) :: .

Si ahopa Ax tiende a cePo , entonces , vista la continuidad de la función U = cp (x) el incPem ento Au , val e dec iP 6.1u, tiende a cePo , y la expPesi6n x t i ende á u ' Pasando al l ím ite obtenem os, x· Y� = f' (u) u�.

7. E 6 P m u l a d e T a :y l o P . S u p o n g a m o s q u e l a f u n c i ó n [a, b], t i e n e d e r> i v a d a s e on t in ua en e1 i nte Pva 1 o h a sta d e o Pd en n -1 , in c l u s i v e , con t i n ua s tam b i é n en e s t e i n t e P v a l o c e P P a d o ; P e s p e c t o a l a d e i' i v a d a e n é s i m a -: a c e p t a m o s q u e e x i s t e e n t o d o s l o s p u n t o s i n t e i' i o r e s p e I' t e n e e e n d e l i n t e I" v a 1 o ( a , b ) S i l o s puntos x y x + h al intePva lo ( a , b ) tiene lugap la fópmu la Y= f( x ) ,

•

f <x + h> =f (x) +

h' í" (X> + + 3T

• • •

�� í <x> + :, l" <x> +

- i .n. n- 1 1 + (nlz" (x) + Rn (x, h), - l}lJ .

q u e s e 1 1 a m a f6 Pm u 1 a d e Tay1 o P . P e s i d u o d e l a f 6 p rn u 1 a d e T a y 1 o P .

R" (x, h)

r>eci be el nom br>e de

114

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

U s a r e m o s dos expresiones dife rentes para el residuo . Una de el las es

Rn Q

satisfac e la cond ición ores ión es

(x, h) = !� /'111 (x + 6h) ,

O < 6 < 1 , dada po r L a g r a n g e La segunda e� •

(x, h) = (n � 1) 1 ( 1 6')11 - 1 f"� �x + 6'h) , 0 < 6' < 1 , propuesta por Cauchy. Rn

donde , nuevam ente

S i en pa rticular, e l inte rva lo (a , b ) cont iene el núm e ro O , entonces escribiendo , er. la fó rmula de Ta ylor, O en l ugar de x y x en l ugar de h, obtenem os la l lamada fó rmula de Maclaurin :

f (x) = f(O) + � f (O) + rl /" (O) + . . . + (nx.::_-;) 1¡t"-1 1 (O) + Rn (x);

R (x ) t iene la fo rma : n

Residuo, en l a forma de Lagrange Rn

Residuo en

n (x) = � n . f ¡ (IJx)

la fo r m a de R11

Cauchy.

{l -6')'' -1 f11' (6'x) (x) = � (n - 1)1

O b s e r v a e i ó n . Am bos res iduos ( en la fo rma de Lagrange y de Cauchy ) son , ev identem ente , igua l es entr'e sí y so lam ente d ifieren en la for•m a . Para inves t iga r la fórmula de Ta ylor de una func ión dada se usa una u otra fo rma según convenga al casv considerado . 8 . D e m o s t r a e i ó n d e l a f ó r m u 1 a d e T a y l o r . Sean a. Y � (a. ::F � ) dos pun tos arbitra r ios del inte rval o ( � . b ) -y p un núm ero na w ral · cua l quiera � t . Hagatnos / ( � ) -- / (a) -

� /' (a) - � f" (a) (� - a)P

19 (t)

Defin imoo la func ión Cf (t)

. • •-

� G� 1 ¡cn - •l (a)

( -a n-

de la sigu iente m anera :

= /(�) -/(t) - � � /' (t) - � ;lt)"/" (t) - . . . .

r -

t)ll- 1 j111 - 1)

(n - 1) 1

= (1).

(t) - • (lilp - ·� AP

•

(1)

TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIO !fl (�) = 0 ,

Obse r>varn os q u e hac i en do t = � . obten e m o s obtenefil o s , en v i r>tud de ( l ) tp ( a.) = O . Encontr>em os cp' (t) :

115 y hac i endo t = a.:

cp' ( t) = - f' (t) - �

� t !" (t) + /' (t) _1� -;/>1/"' (t) +

ó desp1.1és úe s im pl ificar>

j<lrl (t) !(1' (t) = (l)p (Ar - tf- l - ('(n -t)lr-1 1) 1 -

(2 }

Como se dem o str>ó ante s ,

p o r lo que , en v i r>tud ct e l teor>ema de R o l l e , e x iste un punto �. com p r> en - y p, e n e l que l a d e r> ivada d e l a func ión !fl ( t) s e a n ul a . As r d i do ent r> e p u e s , de a c u e r>do c o n ( 2 )

<' - E >lr - 1 (n - 1) 1

De dond e

,�� , <e> - o -

Q) = <� - E)lr -p �� p (n - 1) 1 � <e>

Substi tuyend o en ( l ) e l val o r> d e t r>a n sfo r>m a c ión :

(1) , obten e m o s , desp u é s d e una -

/(�) =/ (a.) + ' � cz í ( a.) + (' ;- cz)•r (a.) + . . . , ' cz) lr - 1 ( + a. ·· · (n - 1 )1 ( ) + Rn _

d ond e

Rn = (�

;�:�"7) �)�r -p ¡m (e);

� es un núrn c r>o com pr>end ido entr>e H a c 1 en cl o a h o ra

�

a s í que

( O < O < t).

encontr>a m o s :

� - a. = h, � = x + 6h, � - e = h ( t - O>.

( 3)

] 16

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL

Substituyendo e stas expresiones en la fórmula ( 3 ) , obtenemos :

l<x + h> =l<x> +

donde

-IT r (x) + . . . + (n""_ 1> ¡!'"- •• (x) + R,, -1

R11 =

l - O)"-' /'"' (x + 6h)' JaPh"-P( p (n - 1) 1

R11

p (n - 1) 1

11'

- 6)"-P/'"' (x + 6h).

Como p es un núm er>o natural a r>b itrar>io � 1 , entonces haciendo pr>imero p•n, y después p • l , obtenemos el residuo cor>respondi ente a la for>ma de Lagr>ange 6 de Cauchy , respectivam ente. Como en la f6rmula anter>ior el número 6 depende de p, entonces par>a p n , y pa ra p = 1 ob tenemos, en térm inos generales, d ifer>entes valores de 6, por lo que el segundo de estos valores que apa rece en la forma de Cauchy , l o r>epr>e -

•

sentamos por 6' ..

E j e m p 1 o s . l . f( x )

•

x e . Tenemos :

/' (x) =/" (x) = . . . =/'111 (x) = ex;

de donde

/(O) =/' (O) =/" (O) =

• • .

=/1111 (.0) = 1 ,

Apl icando la fór>m ula de Maclaurin, obtenemos;

x + 2T x' + . . . + ( x11--11) ! + nrx11 �· ex= l + n n _..,.

Para a > o al substitu i r> en esta fórm ula x por x ln a , obtenemos

2 . f( x )

a+ x= l + x 1ln1 a + x' ln' 21

�

s en x. Tenemos :

• • •

a + x11nl�ttx + "'11-1(n -ln11-1 1 1) 1

/(0) = 0, /'"' (x) = sin { x + n i ) ( ver Pág . 9 9 f<111 (O) = sin ni .

Así pues, si n = 2k, entonces si n = 2k

O - 1 , entonces /1111 (0) =/<2�-I) (O) = sin (2k - 1 ) i= ( - J )IITi•

po r consiguiente , para n

f<"' (O) = f<1111 (O) = sin 1m= ;

2k obtenernos :

•

TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIO

y para

SID •

X r X= IT3T + 5T + ( 1 >" (2k�--13) 1 + •k+ (2kx- 11) 1 ( 6x -t· 2k 2--1 ) 1

SID

. . .

•

3 . F( x )

si n

...

/ (0) = 1 , /'"' (x) = cos ( x + n-i ) /'"' (O) = cos n i . ...

( ver Pág q9

2k obtenemos: f'"'

(O) = /''"' (O) = (

1 , tendremos

cos x. Tenemos :

Ade m ás , para n y

1 ) ";

/'"' (O) =/11 1_1, (O) = O.

Por> cons igu iente, para n

tendremos:

cos x = 1 -� + + (- J ) .t-1 (2.tX111-2)1 l +. 2 1 +E_ 4 ! -� :x;Ú6 1 + (2k) 1 cos (6x + kn), • • •

pa Pa

4 . f( x )

•k-1 r COS X - 1 - 21 + 41 - . . . + (- 1)k- l (2kx :l) l + + (2k:x;lk-• _ 1, 1 cos [6x + (2k - 1 ) 2 J . 1t

ln ( l + x ) . Tenemos :

/ (0) = 0, (x) ( 1)n( 1 +1+(nx)-" 1) 1

/'"'

POP con s igu iente ,

( ve r Pág. qq )

/'"1 (O) = ( - t )n + 1 (n -· 1 ) 1 , Jl"' (O) ll !

As í pues , obtenemos : )C

( - 1 )"+ 1 n

x• r ln (t +x) = ¡ - 2 - . + ( - 1 )" x" - l + R, (x) , +3 - 1 ". x R (X) = ( - l )" + 1 n (l +x" Dx)" ( - l )"+ • (1(1 -+0')" O'�)" n

. .

n - I

J17

11 8

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 5 . f( x ) = (

obtenem os :

pm (x)

1 + x ) P ( P . a Pb i t Pa P io ) . Tom a ndo en cuenta que

=p (p - 1 ) . . (p - n + 1 )( 1 +xY'- n = ( � ) n 1 ( 1 +xY'- n , .

/ ( 0) = 1

de donde

' pn> (O) = ( Pn ) ni ' ¡<nn> (O)1 = ( Pn ) '

x)" = 1 + ( � ) x + ( � ) x' + ( � ) x3 + . . . . . . + ( n !:_ 1 ) xn - 1 + Rn (x) , Rn (x) = ( � )(1 + 6xy- nxn . ( � ) n ( 1 - O')n - 1 ( 1 + O'xY' -nxn. (1 +

En l a s fó P m u l ¿¡ s ante r i o Pes . l o s núm e r-o s d e s igua ldades :

sa t i sfac en l a s

O < fJ < t , o < O' < J .

PROBLEMAS

l . DemostPa P que pa Pa e l po l inom i o f ( x ) . de grado n . tene m o s :

h' hn ¡<m (x). (x + h) = 1 (x) + TIh /' (x) + TI /" (x) + . . . + liT

Co m o sa bem o s ( Pág . 61 ) ejem 9 l o 2 . la ecuac ión x = c o s x t i e p o P l o m e no s una Pa íz . P a P t i endo de q u e l a n e . en el inte P va l o , func ión f ( x ) = x - cos x t iene d e P i vadas p o s i t i vas en e l i ntePva l o deP'l os t Pa P que en este intePvalo no ex iste m á s de una Pa íz .

( o, T )

(o, ; )

3 . De m o st Pa P que

1 1 ·3 1 .. r--_ 1 +x- 1 + 2 x - . x + • • x - . . . + Rn (x) , 24 246 n . 2n ) R (X) = (0 < 6 < 1 ) n ( - l )n -1 1 · 32·4. . .(. . 2n- 3 .• x n -.!.... (1 + Ox) ( 1 - O')n-1 ) n . . . (2 ·3· 1 --1 ) 3 5 _ xn (O < 0' < 1 ). n ( 1 2·2·4·6 . . . 2 (n - 1 ) n - ...!... 1

•

(1 + O'x)

4 . Con a poy o en e l pPobl ema ante r l O P , d e m o s t Pa P . que pa Pa s;;; O,OJ

O :s;; x

es vá l ida l a ig ua l dad a p Po x i m ada . 1

con un e P P O P m eno r que 8 · 1 0. , ta c ifPa d e c i m a l . Pop eje m p l o .

9. C o n v e x i d a d .

+ x = 1 + .!_2 � .

por con s i g u i ente . exacta ha sta l a cua P -

:r!,0046 = 1 ,0023.

Se d ic e que la c u r va . gPáf íca de l a func ión

119

TEOREMA SOBRE EL VALOR MEDIP y = f( x ) , e s convexa hac ia arr i ba , e n el punto

dad d e l punto

que para todo punto

x = x , s i ex i ste tal vecin o

h de es ca

� ec i ndad t iene l u - -

gar l a d es igua ldad

Geom étricam ente esta desigualdad signifi ca que la parte de la curva , correspondien te a esta v ec i n da d está abajo de la tangen : t e , trazada en el punto x x , ( Fig. 32 ). =

Análoga m ente defin imos el sen t ido de la convexidad hac ia a bajo . Med iante el teorema de Tay l o r se - p uede dem ostra r , fá c il m ente , l a s igu i ente propo s i c i ón : Teorema. todos

los

puntos

la func i6n

s e g u n d a ·s n e g a t i v a s

uno

los

func ión

puntos

( 6

este

convexa hac ia

Dem ostrac ión .

Fig . 3 2 .

continua

in ter io pes de l

da s

,1(

i n t e r va l o

positivas ) ,

t iene

f ( x ) (a,

b )

en ton e es

intePvalo

l a gpá f i ca

aPr i ba

ha c ia a ba j o

(

x0 Y x0 + h (h:FO)

dePiva

en eada

esta

e stán e n el inter io r -

d e l inte rvalo ( a , b ) , entonces en v i rtud d e l a fórmula d e Tay l o r ten emos :

y como

f (x0 + h) =f (x0) + h/' (x0) + ; /" (x0 + 6h) (O < 6 <t ) ,

h1 > O, entonces / (x0 + h) - / (x0) - h/' (x0) > O npH /" (x) > O , 1 (x0 + h) - / ( x0) - h/' (x0) < O npH /" (x) < O .

Ejem plos.

y = x' - ax1 + bx + c (a > O), y" = 6x - 2a. x > f la cu rva es convexa 11ac ia a bajo, puesto que A s f pue s , para l.

aquí l a segunda d e r i vada es pos itiva .

Y= sin x, y"= - sin x. Si Y > O, entonces y" <O, por cons igu i ente , sobre e l eJe OX , la si

nusoide es convexa hac ia a r- r i ba .

3 . y = .x• - 6x' + 12x-, y" =

12r - 36x + 24 = 1 2 (.� - 1 ) (x - 2).

La cu rva , p o r cons igu i ente , es convexa h a c ia abajo pa ra x < t � c on vexa ha c ia a r r iba para ha c ia a bajo pa ra x > 2.

1 < x < 2,

CAPITVW VIl MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION. EXPRESIONES INDETERMINADAS.

VAWR EXTREMO. PUNTOS DE INFLEXION .

l . D e f i n i e i 6 n d e V a l o r E x t r e m o Se dice que una tune ión tiene un máximo en cierto punto ( Fig. 33 ) si los valores de la función en la ve c indad del punto dado no exceden los valores de la función en este PUnto. •

Análogamente se define el m rn i m o . ( Fía. 34 ). Si en c ie rto punto la función tiene un máximo o un m fnimo, entonces se dice que en este punto tiene lugar un v a l o r e x t r e m o •

De las definiciones anteriores se deduce que si en un punto x = x. . la

función y • f ( x ) tiene un valor ext·r em o, entonces para todo h , menor en valor absoluto a cierto e > o , se t end rá : f (x0 + h) - / (x0) � O

t (x0 + h) -/ (x0) �o

si tiene lugar un máximo;

(l )

si tiene lugar un m fnimo.

(2)

Asf, en am bos casos la diferenc ia / (x0 + h) -/(X0}

no cam b ia de signo

para valores de h suficientem ente pequeños. y

r �¡L

� 1 1 1

1 1 1

--�--------�--� Iq •f¡ 0 � 1

o F i g . 34

Fig. 33

O b s e r v a e i 6 n . Si en cierto punto x0

la condición 1 h 1 < e , tenemos : / (x0 + h) - / (x0) < O ,

para todo h =1= O , que satisface

diremos que en este punto tiene lugar un máximo propio. De la m isma manera se define el m ín imo propio. Procede advertir que el máximo no es necesariamente el valor más grande que adquiere la función. Fuera de la vecindad con siderada la fun c ión puede adqu irir valores mayores ( Fig. 3 5 ) . E s claro tam bién que la función puede tener varios máxim os ' Y m fnimos. Por> ejemplo, la funcióny= sfn ..!.. adqui e re un número de veces el valor '

121

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFL�XION

máxim o igual a lél unidad pa ra 2

x = -; , Sit , • • • • (4n + 1)1t

2. C o n d

i c i ó n N e c e s a r i a p a r a l a E x st e n c i a d e l o s Va l o r e s E x t r e m o s Si l a func ión y = f (x ) tiene un va l o r e xt r e m o pa ra x = x0 , e nton c es la d e i v da en este punto, si ex is te es igual a ce ro . En o t r a s pa l abras, l a y tangente en el punto de l val or extremo ( si e x t

iste ) es pa ral ela al eje OX .

Sea que p ara x = x0 la fun c i6n t i en e un máxi-

m o . Supon iendo que e x i ste m os :

/' (x0)

obten e -

f 0 + h) - f (x0) /' (x ) = li m J (X0 + h) - J (x0) = J i m (x o h -+ + 0 h h h -+ - 0

F ig. 3 5

•

P e ro en virtud de (l ) pa ra h positivos sufic i ent em ente p e q u e ñ o s , tenemos: J (X,

por c o ns ig u e nte ,

+ h) - f (X0) .... .-. 0 h

lim 1 (Xo + h) - 1 (x.) .s:;;;; 0 h

h -+ +0

(3) Análogam ente , . pa x;a h n e gat v o s ,

suficientemente pe queños , o btenem o s :

lim / (Xo + h - / (Xo) � O,

h-+-0

poP con sigu i ente, /' (x0) � 0 .

(4)

De las desigualdades ( 3 ) y ( 4 ) se dedu c e /' (x0) = 0.

O b s e r v a ci 6 n . No d e b e pensa rse que si en cierc.o pu nto la derivada es nu l a, entonces en ese punto s iem pre tendrá luga r un va l o r m á x i m o . Por e jem pl o , la func ión y = x• c uya d e r i va da y' = 3x' es i g u a l a cero pa r a x = O, n o tiene valor extremo en el punto x = O, ya que :

y c::: O para .x< O y =O para x = O

y > o para x > O.

Sea qu e la func ión y

f ( x ) tiene derivada en todos l o s puntos interiores

12 2

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

b . ).

del intePva l o { a , De l teoPema dem o s t Pa do se deduce q u e s i n u estPa func i6n t i ene en el int e P iO P del inte Pva l o { a , b puntos de va l o P es extPe m o s . en ton ces e l los se e n c u ent Pan entPe a q u e l los p u n t o s en l os que la de P i vada se a n u l o . P o P e l l o basta detePm ina P todos l os val o Pes de x del in t e P va l o { a , paPa l o s c u a l es. "'{ x ) O e invest igap en c uá l e s de é s tos s e t ienen val o P e s extPe m o s . El estud io de l o s va l o Pes Pestante s . de x de l i n t e Pva l o { a , p iePde im po Ptan cia .

)

b )

E j em pl o

¿ P a Pa qué va l o P es de x , la func ión ] x• - x1 - 2 x· + 2 Y = -;¡3

puede ten e P va l o Pes e x t Pem o s ?

Encon tPem o s la pP im e Pa d e P i vada :

y' = x' - 2x1 - 3x.

Com o es fác i l veP , la ecuac ión

y' = O, esto e s

x• - 2x1 - 3x = O, t i ene so l am en t e t Pe s Pa íces :

x1 = 0, X1 = 3, X8 = - l .

poP con s i g Ú i ente l a fu n c i ó n dada puede t e n e r va l o Pe s e x t P e m o s pa Pa = Ü, 3 , -l .

3. C o n d i c i ó n

Sufic iente pa Pa l a Ex i stenc ia d e Va l o Pes E x t P e m o s . El s i g u i ente teo Pem a n o s pe Pmite , en r11 uchos casos de c i d i P s i en c ie Pto punto t iene l uga p un m á x i m o o un m ín i m o . T eo Pema . S i la p u nto x = xo

de1

n. u a s un

m á x i m o

/" (x0) > 0.

función y = { x ) t i e n e en l a v e c i n d a d d e P i va do s p Pi m e Pa y segunda e onti -

pPop 1o

f" (x0) = O

conc l u s iones

en tonees

/" (x0) < O no

entone es si

una

t iene

posi b le

saea P

p o s t e P .t o P .

lél f6Pm u l a d e Tay l o P tenem o s :

/ (x0 + h) =/ (x0) +

� ¡· (x0) + �f"(x0 + 0h) (O < 6 < 1 ).

/' (x0) = 0,

en tonces

x = x0

l u g a f'

y u n m ín i m o P P o p 1 o s i

in vest i ga c i ón

O e m o s 1.: P � e 1 ó n . - Según

Com o según l a c on d i c i ón

paPa

ingunas

1 23

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFL�ION

Si aceptamos aho r>a que f' (x0) < 0 , entonces por> e f ecto d e la continui dad d e l a segunda der>ivada , e x i ste necesar>iam ente c i e r> t¿¡ vec mdad d el pun tO x = x0 en la que r (x) < O. Es e v i d ente

que si x0 + h (/z::foO)

pe t n ece a

esta vec indad , entonces

/" (x0 + 6h) < O. • Así pues . por cu n to h > o , o bt e n e m o s : a

po r> con s i g u i ente , Aceptando q u e

pa r>a x = x0 t i e ne l ugar un m ti x i m o pr>opw.

f' (x0) > 0 , dem o st ram os o n á l oga m ente que para x = x0

tiene l uga r u n m ín i m o p ro p i o . Ejem plo . D e t

er m i n r los m ti x i m o s y m ín i m o s de la función

La p r> im e ra

ci e r> i v d

a a:

Así

Y = -¡1 X' - 32 x - 23 x· + 2 . •

derivada es cero par>a x = O , 3 , -1 Encontr>em 0s la s egu n da .

y" = 3x1 - 4x - 3.

pues,

r(0) = - 3 < 0 , por Consigu iente , paPa X = Ü tene m o s el m áxi m o : y = 2;. /" (3) = 12 > 0, por cons i guiente , pa r>a x = 3 tenem o s el m íni ,/

4. C o n d i c i ó n

r>al :

o : y = - 9_!_4 .

•

f' (- 1 ) = 4 > 0, po r c ons i gu iente , par>a x . n 1mo : = 1 5 . Y 12

1 tenem o s el m í-

S u f i ci e n t e G e n e r a l . En caso de duda , cuando

f" (x0) = 0 , puede usarse la s i gu ien te p ro po s i c ión m á s gen e -

Teor>ema . S i l a f u n c i 6 n y = f ( x ) t i e n e e n l a v e c i n d a d d e l p u n t o x = x0 , d e r> i v a d a s o n t i n u a s h a s t d e o r d e n , inc l us ive y si (n > 1 ) e

a d e m ti

P e m o s e n e 1 p u n t o x =x0

e ntonc e s ,

p a r> a

t n1 p a r> ,

1 éJ n e i6n no Y p n r> a n p a r>

t i ene va1 r> e s e x l a fun c ión t i ene

1 24

pio

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL m

áxim o

e u a n d o

prop io

f"1 (x0 ) > O.

e u a n d o

f"1 (x1) < O

u n

m ín i m o

p ro

D e m o s t r a e i 6 n . Al c u m p l i rse l a s con d i c io n e s d e l t e o r e m a , l a fó r m ul a d e Ta y l o r a d qu i e r e l a f o r m a

.f x + 6h) f (x0 + h) -f{x0) = � n. "1 { 0

(O < 6 < 1 ).

Para n pa r , la dem ostra c ió n se l l eva a cabo c o m o en el t e o r e m a ante rior. A d m i ta m o s a h o ra q u e n s e a u n n ú m ero im pa r , y s e a

Es fác i l v e r que e x i ste una

.f"> (x0 ) > 0.

v ecindad d e l p unto x = x0 e n l a que

f"1 (x) > O.

P a ra val o r e s s uf i c i en tem ente p e q u e n o s y p o it i os de h o b t e n e m o

s v

t a razón :

s , por e s

por cons igu i ente ,

de donde

P a ra v a l o r es negat iv o s de h , suf i c i entem ente p e q u e ñ o

to, tendrem os:

s e n valor absolu

fl"' (x0 + Oh) > O, h" < O ,

a s 1 c¿u e

/(x0 + h) -/(x0) < O,

por lo que

f (x0 + h) < 1 (x .) .

De su e r te que en una v e c n d a d a r bitra r ia d e l punto

m a yores y m en o P e s que

se tiene un

/ (x0)

va l o r e xtre m o .

•

e x i s t en va l o r e s

E to s i gn i f i c a que en el p un o

P Pocederem o s aná logam ente c uando

Ej e m pl os .

v = x' - 6x' + 1 2x - 3 , y' = 3x' - 1 2x + 1 2, y" = 6x - 1 2, y " ' = 6.

/ '"' (x) < O.

x = xP

125

IIAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION

Par>a d ete r m m a r los valores extremos r>esolvemos la ecuación y' = O ,

es d ecir

3x' - 1 2x + 1 2 = 0.

Obtenemos la ra íz x = 2 . Como pa r>a x = 2 la s eg unda der>ivada es igual a cero y la te rce r>a der>ivada es positiva , entonces par>a x 2 no existe · un va lor extrem o . =

(x + 3)' Y = (x + 2)1 ' , x (x + 3)' ' Y = (x + 2)1 , , 6 (x + 3> Y = (x + 2)6 ' 6 (3x + 10) , Y = - (x + 2)'

Par>a el pr imero de estos va l o re s la segunda der ivada es positiva y para el segund o nul a . Para x1 = 0 tenemos , por cons igu iente , un m ín im o . Sub st i t uy end o x. en la ter.c era derivada o b t e nen o s y"' = 6 =f: O . En el pun t o x. = -3 no se tiene valor extr>emo. Las ráíces de la ecuaci -.Jn y' = O

ser>án

x1 = 0 , x, = - 3

3. L a deriva da

y = x• (x - 1 )' + 1 , y' = x' (x - 1 ) 1 ( 7x - 4).

es nula en los puntos 4

x1 = 0, x = 1 , x1 = ¡ ; 1 y" = x1 (x - 1 ) (42x1 - 48x + 1 2) , /" (x1 ) = 0, r (x ) = 0, r (x. ) > O, 1

Po r>

con si gu ient e para x = i- tenemos un m ín im o . Además ,

y"' = x [(3x - 2) cp (x) +x (x - l ) cp ' (x)],

don de cp (x) = 4 2r - 48x + 1 2 .

por> con s i gu i ente

/"' (x1) = 0, /'" (x1 ) = cp ( 1 ) = 6

e sto es, pa r>a x = x, =lno se tienen valores extr>emos. Haciendo

(3x - 2) cp (x) + x (x - 1 ) cp' (x) = � (x).

1 26

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

o btenem o s

y <&l = � (x) + �' (x),

poP consigu i ente ,

esto e s

pa Pa

pa> (x1 ) = � (0 ) = - 2tp (0) = -24 <0, 4.

x = x1 = 0 y

t i ene l ugap un m á xim o .

x1 - 2x - 21 6x + 14

6.xl + 28x + 98 (6x + 14)1

•

pePmanec iendo positiva e n fodo t i e m p o . P o P cons igu iente , l a funció.p no t i e ne va l o P e s extPemos en n ingún punto y e n todo t i em po e s c Pe c i ente . En este ejem p l o la p P i m e Pa d e P ivada no es n u la pa Pa n in gún v a l o P de x ,

5. P u n t o

I n f l e x i ó n . Se d ice que el

punto x = x0 e s , pa pa la func ión

f ( x ) , un punto de infl e x ión , si papa va l o P e s sufic i entem ente pequeños de y h la expPe s 16n =

(1 ) cam bia de s igno s im ul tá nea m ente con el cam bio de signo de h , 6 en otPas . pal a b Pa s , s i e x i ste un n ú m e Po s > O tal Qu e la expPes ión ( l ) sea constan tem ente pos iti va pa pa s>h>O y nega t i va pa Pa -s < h < O ; ó con s tantem ent e negat iva pa pa y constantem ente po s it i va papa s> h >O

-e<h < O y

Fig. 37

Fig. 3 6

Geom étP icam ente e sto s ign i f i c a q u e l a paPt e d e l a cuPva c o r pe s p on d i en te a un h po s i t i vo , está del lado opue sto de la tangeute ( co n st p u fda en el p unto co P P e s pondiente a l valoP x = x0 ) Pes pecto a la pa Pte de l a cu Pva coPPes•

pon d i ente a un h n e gat i v o ( Figs . 3 6 y

37).

A p l i c a ndo e l teoPema so b Pe e t va l o P m ed io , o btenem o s :

/ (x11 + h) - / (x0) - h/' (x0) = h/' (x0 + Oh) - h/' (x0) = ( O < O < 1 ). = h [f' (x0 + 0h) - /' (x0)]

Supongamos que la PP im era d e P i vada tiene , et1 el pun to x0

ppopi o : l a e x p P e s i6n

f' (x0 + Oh) -/' (x0 )

un n-, á x i m o

pa pa va l o P e s suf ic i entern.en te peq u e,

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION

ñ o s d e h (difer>entes d e cePo ) tendrá e l m i s m o s igno . sión

P o r l o que

127

la expr>e

cambiar>á de signo simultáneamente con el ca m b io de s igno de h . En viP tud de la defin i c ión , el punto X0 e s un p unt o de inflexión. He m os de m o s tr>ado, por> tanto , la sigu iente pr>opostci6n : Te o Pe m a. S i 1 a p P i m e P a d e P i v a d a d e 1 a f u n e i ó n y = f ( x) un e xt Pem o p Po p i o , en ton e e s e 1 pun x = x0 t ien e , paPa

d e i n f l e x i ó n d e l a f u n c i ó n y = f (x).

es un punto

As í pu es , de ter>m inando l o s puntos en los que l a pr>im er>a der>ivada tiene un valor> extr>emo , obtenemos los puntos de inflexión de la función y = f ( x ) . ( En l a pr>áctica , e n gener>al son todos los o untos )

El teo r>e m a inver>so s in em bar>go , no es ve r>dader>o . Puede suced& por> ejem plo , que el punto sea un punto de inflexi6n y pa ra l os puntos no exista la der> ivada , así que no se p u e de decir> nada so x =f= x0

�o

br>e los valor>es extr>emos de la der>ivada en el punto

Con apoyo en los cof"Pespondientes teor>emas sobr>e los va lor>es e xtr>e mos de una fun ción podemos establ ecer> léE cond iciones sufi c i entes paPa los puntos de inflexión. l ) S i l a f u n c i ó n y = f (x) t i e n e , e n l a v e c i n d a d d e u n p u nd e P i vada s e o nt in ua s h a sta d e o Pd e n x0 inclusive y si = O, ¡<n> /" =/"' = . . . =f<n- 1) =1= O , Y s i entone e s pa Pa un n pa P , e 1 punto = x0 n o e s u n .1,) u n -

(n� 2)

(xo)

(Xo)

(xo)

to de i nfl e x ión y pa pa Punto d e infl ex ión .

u n n im pa P , e 1 punto

2 ) E n p a r> t i c u l a p ,- x= x0 /"

(x0) = O

E j em plos .

/"' ( 0 =/= O .

= Xo

es un

e s un punto de infl e xión si

y = x' - 6x1 + 2x - l , y'= 3x1 - 12x + 2 , v"= 6x - 12 , y"'= 6.

La segunda der>ivada e s nula paPa x 2 . Co m o l a ter>cer>a der>ivada es difer>ente de c e Po , entonces para x = 2 tenemos un punto de infle xión . =

128

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2.

(

�)

y = x• x• - 5x + , y' = 5x1 (x1 - 4x + 4), y" = 20x (x1 - 3x + 2), y"' = 20 (3x1 - 6x + 2 ).

La segunda de r>ivada tiene las Paíces x1 = 0, x. = 1 , x, = 2 . Como paPa estos valoPes La tePcePa dePivada es difer>ente de cePo , enton ces estos puntos son puntos de infl exi6n. 6.

Va l o P e s E xt p em o s d e F un c i o n e s dada s P a P a m é t P i c a e n t e . Sean dadas las dos funciones

X = f (t), y = Cf (f) ,

continuas en ciePto intePvalo a. <. t <. � y con dePivadas , PPim ePa y segunda , continuas en ese intePvalo. Admitamos además que la función x f ( t ) es estPictam ente monótona en el intePvalo. Luego las ecuac iones antes es c r>itas definen á y como una func i6n de La vaPiable x (veP Pág. 1 01 l . L a s dePivadas de esta func ión se dan pop las f6Pmulas cp ' (t) Yx = /' (t) , , 1' (t) cp" (t) - /" (t) cp' (t) Yx = =

lf' (t)J'

(bajo la condici6n de q_ue en el punto considePado

f' (t) =1= o

PaPa detePm inaP loo valoPes extPemos d e esta funci6n PPOcedemos igua l que antes. A sabeP, encontPam os inicialm ente ! o s puntos en !os que y; = o esto es, en los que ·�· (t) = o,

/' (t) =1= o .

Si t, es tal punto, entonces, tomando en cuenta que cp' (t0) = 0 segunda dePivada y� , o bt enem o s la f6Pmula , cp" (t,) Yx = v· (to>t• .

paPa la

Así pues , tiene lugap un m ín imo cuando q¡- (t0) > 0 , y un máx im o c ua ndo q¡" (t,) < O. Si !( (t) = O. , sePá necesaPio investiga!' las dePivada s ct e oPden supePioP. Los puntos en los que f' {tJ = O Pequ lePen un estudio esp ecial . •

Ejemplos. l.

1 sin 2t, O eo;; t .s;;; Tt, r > O. x --:- r cos t, v = 4 r dx

di = - r sin t , tJix tJt• = - r eos t,

dt = 2 r cos 2t, tPv tJt• = - r sin 2t.

1 29

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION

Par>a

t=I= O , ten em os:

cos 2t

di = - 2 sin t

el'y

dxl =

sin t sin 2t + cos t cos 2t 2r(sint)'

El numer>adoP de la PPim e Pa dePivada tiene una Pa íz t = paPa la cual no se anula el denom inador>. Para t= i , la segunda dePivuda adquiere e l valor

Así pues , para

(sin .¡.

r <O.

t = i tiene lu g r un máximo propio. a

v=t' - 2t - t. t!l = 311 - 2 , dt tJZy = 6t. dt' Por> consiguiente, para t =I= O obtenemos:

dy 3t1 - 2 rJiy 4t1 · 6t - (3t1 - 2) l2t1 dxl 64t'

di = -;¡¡¡--

•

El numerador de la p r> ím e ra deriv ada tiene una ra íz t. =

y otPa

-{j paPa las cuales el denominador> no se anul a . Substituyendú estas raíces en la expresión de la segunda derivada obtenem os , paPa t = t. un va l o r positivo , para t=t. un val o P negativo . PoP lo tanto , parat = Vi- ten Jf"iun máx imo . pa ra t d r em os un m ínimo

= -

= -·

PROBLEMAS

�.

Encontrar los puntos de l'os valoPe& ext P e m o s d e las func iones :

Y = x (a - x)' (a > O); mu

papa

Y = xt - 8x' + 22xt - 24x + 12; mu

� 3 . � = x ; mio

papa

m ln

papa

X= e •

� - y = r;

1 = ln 2 ' .

papa

X = 2, mio

papa

x = J,3:

1 30

CALCULO DIFERENCIAL E I�TEGRAL

�=(n+{) • (máx. para valores pares de n; m in -

5 . y = r lin x;

en los puntos pa ra valores i m pares de n J.

6 . Insc r i b i r el cono de m a yo r> volúm en en una esfera de rad io r. ( L a dista!] c ía de la base al centro de la esfera ser� igua l a r /3 ) .

7 . Demostrar que d e todos los triángulos d e base y pe rím etros dados , e l i sósceles es el de mayor áPea . 8 . Encontrar el punto cuya suma de los cuadrados de las distancias a los vért ices de un tr i�ngulo t i ene un valor m ín imo. ( El centro de gravedad - del tr i�ngulo ) . 9 . Dem ostra r que l a cuerda m ás corta de la parábola forman do un ángulo recto , tiene una l ongitud 3p l""3:

y1 =2px, que la corta

10. Inscribir en l,.lna esfera : a ) un cil ind 1·o; b ) uu cono de áreas máximas. ( La altura del c i l indro es igual r

y' 2 (1 - ;5)

y la de l cono

{s�23 - 'Y17>

Encontrar los puntos de valores extremos de las func iones dadas para m étricamente. 11

y = t• + St - 1 , x = t' + 2t,

Mfn . pa ra t

1 2 . . � = e - P.

-4.

v = arct¡ (2t + I),

•

No t i ene valores extre m os.

EXPRESIONES IND�ERMINADAS

(ELDIINACION DE LAS INDETEilMINADAS) 7. l n d e t e r m i n a c i o n e s d e l a F o r m a

� ' � Nos ocuparemos - ��)- . - en el caso en que el -

a hora del estudio del l ím ite d e l a relac ión num erado r y el denom inador tiendan a cero o al infi nito . Estos casos se 00 representa rán respectivamente por los sím bolos � o QO o

Teorema . S e a n 1 a s f u e i o n e s f ( x ) , g l x ) e o n d e r i v a d a s p r i m e r> a s e n l a v e c i n d a d d e l p u n t o x =: a ( c o n e x c l u s i ó n , p o s i b l e m e n t e d e l p u n t o a ) q u e s a t i s fa c en l a s r e l a c i o n e s

S i existe el l fm i te

lim rcx> ��.. g'(x)

lim / (x) = lim g (x) = O.

x....

�.....

entonces e xiste tam bién e l Hm i t e

Jim· /Cx> ... g(x)

� 11

131

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION t iene l ugar> la igualdad

Ji m (x) = l im f(x)

x-+a g'(x) •

�-+a g (x)

O b s e r> v a e i ó n .

Ademá s adm i t i m o s i m p l c i ta m en t e que las fun c i ones g ( x ) y g '( x ) no s e an ulan en n inguna pa r>te de la vec i ndad del punto a, con exc l usión q u i zá del pr>o p i o ¡Junto a .

De m o st r>ac i 6n

Sea x d ife r>ente de a .

y definam o s la func ión cp {t)

Hagamos

/ (x) = a. g (x)

(l )

de la va r> ia b l e t, hac iendo

cp ( t) = 1 (t) - wg (t).

cp (a) = cp (x) = O. P o r> lo que , en v w t u d del Teor>ema de R_olle, �� co m p r> e n d 1 d o entr>e a y x (difer>ente de a ) , q u e cp' (E) = O. Com o cp' ·(t) =/' (t) - �g' (t).ent o nce s cp' (E) =/' (e) - Cl)g'(e),

Es fác il ver> que e x i ste ta l pun to

por> consiguien t e ,

f (x)

g (x)

f' (E)

= w = g' (E) •

(2)

Obse P ve m o s que s i x t i enoe ha c ia a , ent onces � t i ende á a . A s í pues,

su�on i endo la e x istenc ia del l ím ite l a existen c ia de l l ím ite

lim / (x) x-+e� g (x)

llm f' (x)

( 2 ) establ ecemos

de la r>ela:: i ón x-+a g(x) ' y la va l idez d e la igua l dad .

E j em p l o s .

- 5x + 6 2x - 5 1 • r1 m r h. m 2x ? - aX + 2 =X-+ - a= - t. X-+2

3• 1.

- 1 ' " ' -X

eax

�-+0

•

aetJX = lim = a. x�

1 . ·sx' 5 h. m x', _ 1 = hm p = 3 .

x-+1 "

x-+1 .,�

O b s e r> v a e i ó n

•

Si r>esulta q u e

c il ver> d e la demostr>ac ión

E je m plos.

lfm /' (x) = + 80

llm f (x) =+ oo.

X-+tJ g (X)

x-+a K' (X) -

, e ntonces . como es fá -

1 32

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 = lo eX = + eX l 1o m --xaoo . 1m ar x-+0 X-+0 1 X hm 1 lim X-+0 te X - sin X �-+o - COS X cos• x -

oo .

Teorema . S e a q u e l a s f u n e i o n e s f ( x ) , g ( x ) t i e n e p r i m e ra s der ivadas donde y u i e ra , en la vec indad d e l pun t o x "' a ( c o n l a p o s i b l e e x c l u s i ó n d e l p r o p i o p u n t o a ) y que sat i sfacen las relaciones e fl t O n C e S ,

lim / (x) = lim g (x} = + oo ; X-+G X-+IJ

S i e X i S t e e l l Í rn Í t e

exi st i rá tam b i én e 1

f x lim ' ( X)) X-+IJ g' (

x 1 {m i t e lim f ( ) x-+a g (x)

d r á 1 u g a r 1 a i g u a 1 da d

x x lim f ( ) = l im /' ( ) �-+IJ g (X) X-+IJ g' (X)

(o si es igua1

e rá i gua 1

+ oo),

+ oo )

t en -

•

Com o la dem ostraci ón de este teorem a es más d ificil la om itire m os . Ejem plo s .

7. 8.

O b s e r v a e i 6 n . S i resulta que +oo

llmf (x) = Iim g' (x) = O

x-+ca

x-+a

( Pespecti.vam en-

) entonces la investigación del l ím ite de la Pelad6n

/' (x) g' x ( )

con

base en los m ismos teoPemas puede reduci Pse a la investigac ión del l ím i -

te de l a Pelaci6n

Ejern plCDs.

/" (x)

C' lX)

Corn o es fác il veP, esto puede genePal izarse .

�

a - 2a _ l 2a _ a - 2ax + a lilh 2 x im �-+1 2bx - 2b - x-+ 1 2b - b x-+1 - 2bJC;. + b - cos x = u sin x = li cos x = ..!_ J O. lim 1-;¿¡--m - x-+mO 2X X-+0 2 x-+O 2

9. lim

1 33

IIAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXION cos x l i m � = lim c?s x = oo . 1 1 . limO X1 - &In X = :. 1 - COS X -+O sm X � o

�-+

�

N ue stros teo rema s son vá l idos s iem p r>e y cuando x t i e nda á oo , y + oo). En e st e caso s e s u po ne 'lue pa Pa todo x , rna �-+OO x-+oo y o r que c ua l q u i e r n ú rn e Po A, l as fun c i o n e s f ( x ) y g ( x ) t ienen d e P i vada .

lim/ (x) = lim g (x) = O ( o

Ejem plos. x

ln = . x lim ¡ = 0 1 2. hm X 1 3.

e: =�-+llm+oo !: =x-+lim+oo �2 = + oo. � -+ +00

X-+ +00

�-+ + oo X

lim

�

- - ar c� x 14 . rtm 21 x - 1 x-+00 In __ 2 x+ l _

.&.A

1 - -·�-'� 1 +� .1 .....oo __

1 ·tm

x:' - 1

_. A.-

�-+oo 1 + x:'

11m 1

= - t.

8 . Fo pmas indetePm inadas O . oo , oo - oo , t oo , 00o, oo.

lim g (x) = + oo , entonces la i n v es t i ga c i ó n de l l ím ite del 1 (x) p Poducto lim/ (x) g (x} se reduce a la inve s ti ga c i ón de l o s l ím ites 1 (X) �-+a . g (x) . lim 6 que son , cOPPespondi entem ent e , i n d e t e P m ina c L On e s de l a fu P Si lim/(x) = O, �-+a

x-+a

•

�,

x-+a Ti"'::\" 1

(x) o

m� o

EJ e m p l o s

��

CIO

2. •

In x t· -; . l.tm x 1 n x = 11m - = tm -- = hm ( - x) = O. 1 X-+0 X-+0 1 %-+0 x-+0 x x• 1 X 1'tm xe - � = 11 m '::% = h m - = 0. _

.C-++oo r: -

%-+ +oo

im/ �... .

Olf e Penc ia q u e es una E em pl o s .

x-+ +oo r •

(x) = l lm g (x) = + oo, �-+Q

llm [/(x) - g (x)] x-+a

se reauce a la investigac ión del •

indeterm i na c i6 n de la fopma

lim

x-+1

X-+ 1

(-1In x x -1 _1 ) = im x(x--1 1-) Inlnxx _!_2 2x - x1 - 1 · (-2 1 X -1 _ ) - um 1 l

_ _ _

x;' -

_ _ _

x-+1

en ton ce s la inves t i ga c ión del l ím ite de la

X-+t (X1 - l ) (,¡c - )

•

0 •

11m g (x) 1- l(i) ,

....a

--"i':{ /(x) g ve�

13 4

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL lim X-+O

sin x (-1 _ _ _!_ ) = 1Im = o. sin X X X-+O X sin X x-

Las inde te rm inac iones de la fo rm a t �, oo 0 , 0° se redu cen a indete r m inac i ones de l a fo r m a O · oo con a y uda d e la ident idad

[/ (X)f (�) = e� (x) In /(x)..

Pa Pa e l l o se su pond rá que

/ (x) > o.

Ejem plo s .

lim r = lim ex ln x; x-+ +0 x-+ + O ln x l. lim x 1n x = •m -- = 0 , x-+ +O x-+ +O 1 X _

po r consigu i ente ,

lim r = e0 = l . x-+ + 0

.!. In x

.!_

lim x x = 11m e x x-+ +� x-+ +oo

In X 1 lim - l n x = l 1 m 7 = O· • x-++ � x-++� X

as í pues , 1

t im x -;¡ = t 0 = x-+ +�

.!. .!.. tn (l +mx) lim ( t + mx) x = lim e x x-+0 x-+0

lim - ln ( l + mx) = lim x-+0 X x-+0

por tanto

ln (l + mx)

•

lim (1 + mx)� = .-. x-+0

PROBLEMAS l. 2.

1m '!x � :: In !!... 1� b )(.

•

Jlm .Yti+X - y2a

X-+ 11

- sin x 1 6' x_a ( 1 2x----tg•- ) - ·

S. Um x

lf m x-+0

X-+0

-.rf"! 8.

Y a + 2x - Y3a 2ii

l 6

MAXIMOS Y MINIMOS. PUNTOS DE INFLEXJON

) Um (xx llm ctgx x• = l . 2 7. llm (1 - x) tg 2 x= - . 8. lim x11 O (n lim xf='i = e - • lim (l. )t2 lim f <a+h) - / (a) - hf(a) /" (tZ). _!_ 2 Ir' lim /(a +h> + f�- h) - 2/(a) /1 (4). S

•

1 -In

x-+O

X-+1

�-+l

x-++o

10.

l l.

11-+0

h-+0

- �·

�

> 0).

X-+1

x-++ O

1 2•

In JC -;::

135

CAPITULO VID SERIES SERIES CON TERMINOS CONSTANTES Ser ies

l. O e f i n i e i 6 n d e S e r i e . cuencia de núm e ros

{a,.}.

Hagam os

Co n v e r g e n t e s . Sea dada la se

•, = a,, s, = a1 + a, , •, = a1 + a, + a,, ;,. . �. :.,_:a.·+ ..: -i- a,.. Si la secuenc ia {s,.} tiene un l ím ite S, entonces simb6l icam ent� escribi mos esto a sr: 6

La expresión que se encuentra en el m iem bro derecho de estas dos igua ldades se llama serie y {s,.} es la secuencia de sus sum a s p a r e i a El núm ero S se l lama s u m a d e l a s e r i e ·

1es.

a1 + a. + a. + · · ·

Se d ice tam bién que la se rie

a1 + a. + a. + ·· · c o n v e r g e á S . Los núm eros se llaman t é r m i n o s d e 1 a s e r i e .

Una serie que no es convergente se d ice que es d i v e r g e n t e . Ejem p lo s .

1 . a, = aq"- • , l q l < J

( serie geom étrica ) . Como es sabido ( ve r IntPoducci6n

Como

entonces ( Pág. 2 9 )t lim 1 q" 1 = o , por lo que

Par . 4

esto es

a atf s,. = a 11 - q" =J q. q-1 -q. -·

11 -+ 00

lql < l,

a 11m s, = � ,

11 -+QC; 1

-q

�·q = a + aq + tMf + . . . + aq" + . . . , 1 36

SERIES 6

�

q" - t

1 - q= � a Por ejem p l o ,

( 1 )1 ( 1 )3

l = :r + 2 + 2

n=l

= _!_ _ _l _ . = n-(n-1+ l) n n+l'

1 37

(

+ · . . + �) + · · ·

= :E (})".

n=!

( 1 -{) ({ - }) + (}- i-) . . + (_!_ -- __!_ \ + + n . fl -t- 1 ) '

por cons i g u i e nte ,

e sto es ,

s, =

s, = l -n+ l ' 1

d e donde

S = l i m s, = l ; n -+ CD

As í pues,

una

L fm i t e de

una

L ñ (n1+ 1} n=l

•

S e cu e n e i a Co n v e r g e n t e e o m o l a S u m a

S e r i e . Sea

lim ó, = g

11 -+ 00

a� = b�, a, = b, - b, _ 1 ,

En ton c e s , hac i endo

n = 2, 3,

. • .

obtenemos :

por con s igu i ente ,

s, = ó, ,

así que CD

b b a = + g=L n=l , l L ( n + t - n)· n=l

Por ej�m pl o , si

- �±.! bn 3n - 1 '

e ntonces

p o r con s i gu i ente ,

lim n -+ 00

bn = } ;

i- = b� + L (bn+t - bn) = } + L 9n• +3! - 2 ' n=l

n=l

1 38

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

,, a,. 3. C o n d i c i ó n N e c e s a r> i a d e C o n v e r> g e n c i a . Si l a se r> ie � n=l

e s conve r>aen te , entonces

Esto r>esu l ta e v idente s i obser>va m o s que Efe ctivam en te , •

lim a,. = lim (s,. - s,. _ 1) = lim s,. - lim s,. _ 1 = S - S = 0

11 -+ 00

11 -+ (Y\

•

La a p l icac ión de esta cond ición pe r> m i te . a m en udo , com pr>obar> la d i ve r> genc ia de a l guna ser> i e . Por> ejem plo , sabem os que ia ser> i e geom é t .r i ca 00

� atf- 1 es d i ve r>�ente par>a

a =F O

n=l

/ q / � 1 , po r>que

l an l = l a l · l tf - • ¡ � ! a j.

No debe . s in em ba r>go , p e nsa r> se que puede sacar>se una conc l u s i ón in ve r>sa : cuando

entonces la se r> ie

l im an = O ,

n -+ oo

r> é p l ica puede ser>vir> la ser>ie

En efe c tO ,

lim n -+ oo

� a,.

n=l

es conv e r> gente . Como

In ( 1 + ..!..n ) = I n 1 = 0.

S in em ba r>go , p o r> otr>a pa r>te ,

In por> cons i g u i ente , ·

( 1 + �) = In n � 1 = In (n + 1) - In n,

. . + [In (n + 1 ) - ln n]

s,. = (ln 2 - In 1 ) + Cln 3 - ln 2) + .

s,. = ln (n + 1). Así pues , la secuenc ia s,

t iende á

� In ( 1 + ! ) es d i ve r>gente .

n=1

+ oo, po r> cons igu i ente la ser>i e

Otr>o e.ie m plo ae s e r> 1 e d i ver>g� nte con tér>m inos que t tenden a cer>o es l a

l l a m ada s e r> i e a r> m ó n i e a

L ¿ . Efect i va m ente , s i es L a ser>ie fue r>a

n�l

conve rgente , entonces r>epr>esentando su suma po r> S , tend r> tam os

lim (s,,. - s,)

, ... oo

= 11m

lim s, = S - S = O.

s1 ,. 11 -+ 00 , ... oo

139

SERIES

L a pPi m e r>a pa Pte dec r>ece s i cada uno d e sus t é rm m o s s e s ubst ttuye pop De

aquí �... - s,.

dad lim (s1,. - s,.) = O •

11 -+ 00

S e P i e s A e o t a d a s . Se d i c e que la s e r i e

cuen c ia

{ s,.}

S i la s e r i e

iñ ·

> ni,;= }. De donde se conc l u y e que no es pos i bl e la igual OC'

� a,. e s a e o t a d a s i la se-

n=t

de s u s sum as p a rc ia l es es acotada .

� a,. es convePgente , esto es , si la secuel1 c ia

{s,.}

e s conver-

g ente , entonc e s esta secuencia es acoLada ( ve r e l teo r>ema d e ia P ág . 2 5 ) . n=l

Esto s i gni fi c a que la ser i e v e rgen l e

acotada .

p t icar con la se P i e

:f a,. , es acotada , a s f que t o d a s e r i e e o n -

n == l

No pode m o s , s i n em ba rgo , a f i r> m a r> s u r e c íp roca . Lo que pod r íam os r e 00

� ( - 1 )11 = - 1 + 1 - 1 + 1 - . . .

n=l

Aquí tenem os :

s1 __:. - 1 . s1 = 0, s3 = - 1 , Por con s i g u i ente , vemos que

No obstante ,

la secuen c ia s

no t i ene l ím ite , esto es , la se r i e

� ( - 1)11 es n= l

d ivePgente . So bre una se r i e acotada , de térm inos no -negat i vo s , pod e m o s e sta b l ecer e l s i gu i ente teorem a : Una ser i e ve rgent e .

acotada

con

térm inos

n o - n e g at i v o s

es con

L a dern ostrac t ón puede hacerse de inm ed iato . Es suf i c i ent e con obse r var que p o r l a s c o nd i c iones antes m enc ionadas l a secuencia {s,. } e s no d e c r>e c i en t e y acotada , en v i rtud de l o · cual se concl uye su convergenc i a ( ve r Pág . ).

Ejem pl o . L a s e P i e

L ns (s > 1 ) l

e s conve rgente .

Efectivam ente , según el

n=l

teo rem a . so b re el val o r m ed io tenem os :

(x + h) -.r+ 1 - x-.r+1 = ( - s + 1) h (x + M) -"; hac iendo

Como

x = n, h

-1 , o btenemos pa r>a n > 1

1 1 1 (n - 1)"-1 - n"_ , = (s - l ) (n - O)s ·

) 4-0

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

en tonces.

1 > ñi '

1 1 - 1 ( (n - w - l .- )

1 1 ñS < S

poP cons i g u i ente ,

A s í pue s ,

d e donde

Com o

1 .

(n - Cl)"

j,s - l

sn <

, entonces

•

+ s � 1 ( 1 - n}-1)

ns - 1

< ,

•

p o r> cons ig u i ente .

sn < I + s--1 -1 = s_-s _I '

De donde s e ve que la s e P i e

� _!_ (s > t ) � ns

tada , y poP tanto , conve Pgen t e . n = l

con téPm inos po s i tivos es aco

5 . S e P i e s A b s o l u t a m e n t e C o n v e P g e n t e s . Se d i ce q u e una sePie es a b s o l u t a m e n t e ( o i n c o n d i c i o n a l m e n t e ) c o n v e r g e n t e , s i otPa se P i e foPm ado con l a s m a gn i tudes n bso l u tas d e l o s t é Pm inos d e la p P i m ePa es conve Pgente.

� ( - { r es a bso l utam ente cortve Pgente

Ejem plo . La s e P ie n Pie

ya que la se -

es conve rgente .

TeoPema . U n a s e P i e a b s o 1 u t a m e n t e e o n v e P g e n t e e s e o n vePgente en sent ido o Pd ina P io . Su sum a se o btiene su rra n d o l a s u m a d e s u s t é P rn i n o s p o s i t i v o s c o n l a s u m a d e sus t é P m inos negat ivo s . O b s e P v a e i 6 n . Llam a Pemos suma de l o s té Pm mos po s i t i vos de la se oo

� an

( s i e x i ste ) a la suma de la s e P ie obten ida de la ser> ie � an al n= l n =1 su bst itu i P po P c e Po los t é Pm inos nega t i vo s . Sim i l a Pm ente de finimos l a sum a de los té Pm inos n egat i vo s . Pie

N u est Po teo Pema af i pm a 4ue s i la seP i e � an es a bso l utam ente convepgenn=l

te , entonces Pe pPe sentando po P T l a suma de sus téPm mos pos itivos y poP W l a suma de téPm inos negat ivos , obtene m o s : S = T + W.

1 41

SERIES

D e m o s t P a e i ó n . Re ppesen te m o s po r> t ( wn , cor>r>espond iencem ente ) n l a ené s i m a suma pa Pc ial de l a s e r> i c de t é r>m inos posit ivos ( ne ga t i vos , r>es pectivam ent e ) . E s c l a Po q u e l a s s e c u e n c i a s {tn } cotadas , y a que

{ wn} son m onótonas Y a

00 � 1 an 1 , 1 tn 1 � n=l 00 ! Wn 1 � � 1 an 1 · n= l P o r> l o tanto l u s secu enc ias {tn } y { wn } son con v er>gentes . H agam o s

T = lim tn , n -+CXl W= nlim wn ; -+ 00 T e s , po r> cons i gu iente , l a sumrt d e l o s t é r>m inos pos it ivos Y W l a suma

el e l os nega t i v o s . Obse r>ve m o s a h o r>a que

lim sn = lim tn + lim wn .

sn = tn + wn , n -+� n --.oo n-+ao A s í pu es ,

Por> consigu i ente . l a s e r> i e

� an

n =1

c onve r>ge y s u suma e s i gual a l a sum a

d e l os t é r>m ino s pos it ivos , adic ionada con la sum a de sus téPm inos nega t i vos . 6.I n d e p e n d e n c i a de l a S u m a O r> d e n d e l o s T é r> m i n o s .

una

S e r> i e

P e s pe c t o a l

Teor>em n . L a s u m a d e u n a s e P i e a b s o l u t a m e n t e g e n t e n o d e p e n d e d e l o ra d e n d e s u s t é P m i n o s .

e o n v e r>

142

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Obs e r va c i ón . Aná l oga m en t e a lo d i c h o a n t es ( Pág . l 3 ) pa ra l a s secuen c ia s , se d i �e que dos ser i es d i f i e r e n sol a m e n te p o r e l o rde n d e sus tér - m inos , s i cada t é r m i n o a pa rece e l m i sm o n ú m e ro ( f i n i to o tn f t n i to ) d e ve c e s en am bas s e r i e s . O e m o s t P a e i 6 n . RepPesentem os p o p

t é Pm inos de l a se P i e de s u s téPm i n o s .

� bn 4-J CD

n= l

•

l a s u m a de l o s n p P im e Po s

s�

obten i da d e l é1 se P i e � a,.a l t e Pando e l o P O en -

Acept e m o s in i c i a l m ente que la se p i e

n=l

e s t� fo pm ada s o l a m ente - -

� a,.

n=t

po P térm inos no -negativo s . E l i ja m o s un n ú m e ro ente Po a r b i t Pa P i o m . P u e s to q u e t o do s l o s t é rm inos de la suma

s',

pe rte n e c e n a la se P i e

P u ede e n c o n t P a P s e un nú m e Po N ta l que l .a su m a

t é P rrü n os

, s,

De sue Pte q u e

( y q u i zá , aún ot Pos ) .

� a,. , 00

n=1

contenga to d o s l os

P e Po

e sto es ,

s� � S. As í pue s , la s e c u e n c i a

te , conve Pgent e . H a c i endo

{s�}

(1 )

en no -dec Pec i en t e y a cotada , po p cons i gu i e!!_

S' = lim s� , 11 -+ 00

obtenemos , d e a c u e Pdo c o n ( 1 )

S' � S.

(2)

P roced iendo a ná l oga m e n t e , pod e rn o s dem ostPar que S' ;;;a, S.

Efectivamente , podemos cons i d e Pa r la s e P i e

CID

(3)

� a,. c o m o obten i da de la se -

n=t

al al t e Pa P el o Pden d e sus téPm inos.

1 43

SERIES De las desigualdades ( 2 ) y ( 3 ) obtenemo s :

S' = S.

De manera análoga se proceder� cuando l os térm inos de la serie � a,. n =l sean no -pos itivos. OD

Pasem os ahora al caso general ( esto es, se desistirá de suponer que a:.

ismo signo ) . Observemos qu e � . a,. tienen el m OD OD las series que se obtienen ae las ser ies 1; a,. y � b,. al substituir sus

l os térm inos de la serie

n=l

n= l

térm inos nega tivos ( o positivos ) po r ceros d ife r i rán solam ente en e l or den de sus térm inos , y por consiguiente y en v i rtud de l o demostrado , tendrán la m isma suma . Así pues , en am bas series las sumas de l o s tér m inos negativos serán respectivam ente i�uales , ya que (a causa del teo rema anter io r ) am bas ser ies tienen las m ismas sumas .

7. S e r i e s C on d i e i o n a l m e n t e C o n v e r g e n t e s . Las series con no vergentes abso lutam ente convergentes se l laman e o n d i c·i o n a 1 m ente convergentes . Ejem plc,. L a serie ·

es convergente , ya que 8

-1

1 - 1 + 2 - 2 + a - a- + · · · + , - ,. + · · · 1 = 0 S1 = ..!_ - o, 2 t s.. -

por consigu ¡ente ,

. . . s.,. = o, s••+a = n +1 l ' t

liln s,. = O.

'1 -+0D

S in em b ar go esta serie no es a b sol utamente convergente , ya que la se-

rie

e s divergente .

+ 1 + 2l + 2l + T1 + al + · · · +.-1 + .-l + · · ·

Efectivam ente , t en em os : s1,. = 2 1 + + + . + ¿} .

{

-} } . .

Ya que la expres.i6n encer rada en el paréntesis es la enésima suma de la serie arm6nica ( ver Pág. 1 3 9 ) , entonces lim s1 ,. = oo . ... 00

•

O b s e r v a e i 6 n . Se puede demostrar que cua l quier serie condicional m ente convergente puede ser t ransformada en una serie que converge a un núm ero arbitra r io fijado de antem ano , a l te rando el orden de sus tér m inos. P o r consi guiente , si la sum a de una s e r i e convergente no depen de del orden de sus térm ino s , entonces esta serie es abso l utam ente con vergente . 8 . C o n d i c i 6 n N e c e s a r i a y Su f i c i e nt e o e C o n v e r ge n c i a d e u n a S e r i e . Análogamente a la teoría de las secuencias ( Pág 25 ) puede form ularse la condic ión necesa r ia y sufidente para que la serie

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

144 al

� a,. sea conve rgente .

n=l

Observem os que si

p> O

, entonces

Por tanto es vál ida la s igu 1 ente proposic i6n : Teorem a

de Cauehy

•

Pa ra

que

1 a s e r i e n=1 � a,. s e a e o n -

v e r g e n t e e s n e c e s a r i o y s u f i c i e nt e q u e p a r a t o d o e > O p u e d a e n c o n t r a r s e u n n ú m e r o N t a l q u e p a r a l o s e n t e r o s e u a l e s q u 1 e r a p > o y n > N s e e u m p 1 a 1 a d e s i g u a ld a d

l sn+,, - sn l < e,

e sto es , l an + • + an+� + · . · + an+p l < e .

Ej em pl o . Sea { a,. } un a secuenc ia arbitraria con térm i nos positivos , de crecientes y que tienden a cero.

Demostrar que la seflie

a1 - a. + aJ - a, + . . · + ( - J)" - 1 an + · . . es convergente . Tenem o s :

(P > O).

Aceptem os que n es par ; entonces obtenem o s :

Co m o y las expresiones en los pa réntesis son , evidentem onte no -posit ivas.

Observem os , todavía que

En efecto ,

y las expres iones entre pa réntesis son no -negativas.

Puede dem o stra rse , análoga m en�:e , que si n es im par entonces

- an =s:;;; sn +p - sn =s:;;; O.

Asf pue s . pa ra cua l esqu i e r n

P>o

tenem os :

1 s,+ p - sn 1 ::::;;;; an . e nt on c es pa r>a todo núm e ro e > O puede torn a r se tal

Com o li m an - O n número N qrJ.e pa �a cada n > N S e sa tisfaga la des igualdad o

< e;

poP co ns i �u i e nt e , pa Pa todo rz > N y p > ot i e n e luga P la desigu aldad

SERIES

145

l 8n +p - 8n l < e.

Entonces , nuestPa se P ie satisface la condici6n dP, Cauchy y poP cons i gu 1ente , es convePgente .. Las s igu ientes sePies pueden se Pvi P de ejem plos : l _

_!_ + 31 - 41 + . . . , . 2

CRITIBIOS DE

1 + 1

t -Y2

y a - ·· ·

CON 'IERG�CIA

9. Com p a P a c i 6 n

d e S e P i e s . No s iern pPe es fácil inve stiga P la con vePgenc ia o divePgenc ia de una seP i e dada . En mucho s casos se hace uso de la siguiente ppoposic i6n : TeoPema . S i , a p a P t i P d e c i e P t o t é P m i n o , t o d o s l o s t é P -

m inos su b s e c u ente s d e la s e P ia

du1 o 1 os eo P Pespond ientes entone es de

� n=l a

téPm inos

no e x c ed e n en m 6oo

b,. d e l a s e P i e 1� =1

1a eonve Pge ne i a de 1a s e Pie

d u e e 1 a e o n v e ¡., g e n e i a d e l a s e P i e

'\" a,. n�¡

l uta ) y de la d i vePgenc ia de la seP1e 00

d i v e P g e n e i a d e 1 a s e P i e � b,..

n=l

11 = 1

� t,.

(bn ;;a: 0),

s e d e-

n ;:::1

(. i n e l u s o , a b s o -

}; a,. 00

s e dedue e 1a

D e m o s t P a e i 6 n . Sea a N aquel tél"m ino . a pa Pti P del cual cada uno de

los téPm in os subsec!lentes Es fácil

veP , que haciendo

obtenem os : S i ahoPa adm itimos

hac iendo

a,. (n > N) satisfacen la desigualdad l an l � b,..

�� = �a. l + l a. l + · · · + l a,. j , s,. = b� + ". + · . · + b,. , 00

(1 )

que la sePie � b,. es conve Pgente, entonces, n =l

t e�d Pem os :

ele donde , en v i rt ud de ( 1 ) P o P consiguiente , la ser>ie

� 1 a,. 1 e s acotada , y po r �anto ccnver>gente.

n= l

1 46

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Así pues la serie

1: a. es absolutam en�e convergente .

••l

De la aceptación de aue la serie 1! a, es divergente . se conc luye ra di -

vergencia d e la serie

"='

tan sólo de lo demostl'aao la convergencia de la serie

convePger.cia de la sePie � a,.. - oo

•=•

Ejemplos.

l. La se r i e 1 + 2�3 + 4�5 +

intervalo

� b,

n =l

im p l ica la

es convergente . ya que sus térm inos son m e -

. . .

��

nores que los térm inos d e l a serie conve rgente 2 . La serie

Efectivam ente , en caso contrario , en virtud

� b,

n= l

( Pág.l39 )

f + �+i+ · · · es a bsolutamence convergente para todo

- •

<x< t

n=t n

d�l

ya que las magn itudes abso l utas de l os térrru -

nos de e sta serie no exceden a los térm inos a e la se r i e geom étrica � l x l"·

3. La serie

L � (.s .;; l) e s divergente ya que sus té rm inos no son �

res que los térm inos de la ser ie arm ón ica � ..!.. n=t

� �� · •=1

n=l

m en o-

fll

_!_O . C !' i t e r i o d e .. C a u- c h y . Si los térm inos de la ser i e 1:. a, son no -n� ··==·

gat ivos . entonces es várido el siguiente teorema :

C r it e r i o de Cau c h y . l ) S i e x i s t e u n núm e r o no -n e ga tivo q< t, ta l q u e a p a rt i P de e i e r to té r m in o a todos l o s s u b s e c u e n t e s s at i s f a g a n l a d e s i g u a l d a d :

entonees la ser i e

y.ra;. .¡¡;; q

(n > N),

e s e o n. v e P g e n t e .

� a,

n=l

S i e x i s t e u n q ;;;;::, t , t a l q u e a p a P t i r d e c i e r t o t é r m i n o

2 )

�

todos 1o s s u bse eu e nte s sa t i sfa gan

entonc es l a serie

ya: � q

de s ig ua 1dad (n > N),

es d ivergente.

D e m o s t r a e i ó n . En el prim er caso tenemos :

Catno la serie �q"

a• .¡¡;;

es la serie geom é t P ica , convergente (O � q< t )

enton ces. de acuerdo con el teorema so bre la com pa ración de series. la converge. En el segundo caso tenem os : a ,.

Como la serie vergente .

� q"

l! q" es divergente

<n > N).

(q � 1 ), r3ntonces la serie

es di -

1 47

S EmES

Para las a p l i caciones es frecuentem ente útil la proposic ión sigu iente, que fácilmente se deduce de las a nte r i o res; '

Teorema. S i l o s t é r m i n o s d e l a s e r i e � a, s o p n o - n e g a t i v o s y s i lim V á" e x i s t e e nt o n e e s ,

11 -+ 00

La serie converge , si

s í lim VD;= 1 11 -+ 00

la ser i e .

11 -+00

y.'a; < r ;

,/lim y a,. > 1 ;

La serie di verge , sí

11 -+ IID

� entonces no es pos ible dec i r nada s' o b re l a conver&en c ia de

D e m o s t P a e i 6 n . Hagamos

el igiendo un núme ro e > :}, m e ro N , que pa r>an > NSe a

lim

:ra;= l· 11 •

11 -+ 00

a rbitra r i o , podemos encontrar · c ie r to nú -

esto es,

Si se acepta que 1 < 1 , enton ces hac iendo e = J ; z , q < 1 , ;ra;; <q para ao

A s í pues , según e l teorema a nt e r i o r la se r i e

Sí

q= l+ e, obtenemos : n > N.

� a, es Gonvergente.

n=l

t > 1 , entonces , hac i en do

l-l e=2- , q=l - a,

o b t en em o s :

n '; > N.

PB I"a

Por consigui ente , la serie Ejemplo s .

l . La sel"íe L 1 00

n ::;: t ¡;;;

2. La sel"ie

� a,.

n=d

es d i vergente .

es convergente, ya que lim

11 -+ 00

im ..!.. = o . V�n = nl-+oo �

L 2� ,.: es convel"gente p a ra o < < 1 , pu e s to que

•=1

v x" = llm o

11-+ c:IJ

21,. ,.

ltm o

"""i'iiti = 21' = X x

2 11

11 -+ 00 -

3 . El criterio de Cauchy no resuelve el pro b l e m a de la convergencia de

la serie

co -

L �,; ya que tene m o s :

·-·

1 48

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL lim n-.co

VTfii,= 11m. ( --=) 1 ' "' n-.co Vfn

S in embargo sabem os que para � .;;;; t la serie es divergente ( Pág. 14 6 ) y para ' > 1 convergente ( Pág. 139 ) 1 1 . C r i tce r i o d e D • A l e m b e r t . Aceptemos que todos l o s térm inos de la serie � o . son positivos ( en pa rticula r , d iferentes de cero ) Se puede

ll = t

form ular el sigu iente teo rema :

Criterio d e D ' Al embert. 1) S i existe �n núm e ro no -n�

g a t i v o q < 1 , t a 1 q u e a p a r t i r d e e i e r t o t é r m i n o aN l o s subsecuentes sat isfagan la des igualdad

_,.

an + s � Q a11

todos -

(n > N),

es convergente .

e n tonc e s l a se r i e

2 ) Si ex iste un nfimero q � t , que , a pa rti r de c i e rto té rm ino aN to dos los subsecuentes satisfagan la des igua ldad

an+s an

entonces la serie

==-

>- q

<n> N),

es dive r��ente.

(n > NJ,

...

D e m o s t r a e i 6 n . Observem os que en el primer caso an+ s � a11q -II = N + 1 , N + 2, N -j- 3, por consigu iente , haciendo , N + p (p > O), nem as ;

Com o la serie � aN+ •qP- • ,u=l tam bi�n conve rge .

aN_.. � a ,.,+ 1q, aN+ a � aN+aq � a��.��. • q•,

......

converne

(q.< 1 ),

entonces la se r ie

obte -

� a ._.

n=l n

Sim ilarm ente procedemos en e l segundo caso . De este c r iterio se deduce la s igu iente proposic ión : Teorem a

ea que

1 o s

t é r n1 i n o s

de 1a serie

li m an + • p o s i t i v o s y q u e e x i s t e e 1 l ( m i t e n-.oo an

s i 11111 a,. -4', < 1 , . .... oo

n=l

son

Entonees

1 a s e r i e s e r> á e o n v e r> [!, e n t e ;

� > 1 , l a s e r> i e s e r á d i v e r g e n t e . ar. E n e 1 e a s o e n q u e lim a,. + , == 1 , n o e s p o s i b 1 e a f i r m a r n a n-+'n an

Cltr

•

� an

•-:JO

d a s o b,r e 1 a e o n v e r> g e n e i a d e l a s e r> i. e . t

L a d em ostrac ión es sem ejante a la dem ost ra c ión desa . r r>o i lada en l a Pág. 1 4 7 .

149

SERIES Ejem plos. l . La serie

� (7) x"

� ñf 11=1

es conve rgente para todo x .

Efectivam ent:.e , tenemos 11 -+ oo

lt m o

[ fll + l . 1 1"] = ltm -i+-1� ::�. 0. 1X X (n + I >,· . n1

X 1

11 -+ oo •• o

2. La serie k � �s convergente para O � x < 1 . 11

:::::; 1

Efectiva m ente , tenemos

11 -+oo

lim

( .l.+n+J• :;) = lim · n_ x = x. _ 11 -+ m n + l

otzo

Por consigu iente , si O � x < 1 , la serie será convergente ; así .m ism o , si x> t , la serie será divergente .

3 . La serio

� 2111l! � 7 00

n;l

311 '

QD converge s iem pre pero la serie L, -7 es d i ve rgente.

Efectivam ente , en el primer caso tenemos : 2' a11 + 1 2 . . l tm = 1 tm �--11 -+ oo an e n-+ oo 1 + y en e l segundo caso 3 lim a11 + r = lim

u;l

-- < 1 -(--})n-

11-+00 iln

_, '

( + �r

11-+00

PROBLEMAS

Demostrar' la con vergencia de las series : QO

n=1

11= 1 y la d i vergenc ia de

L �· 4.,:l:1 � . L �'i • L (tn�)i' 00

las series: 00

�

� 00

n=l

�

"'- 2n + S ' 11=2 "'- Iñil ' "'- -.r r n (n

11:=1

11= 1

-T 1)

•

� n' .._, íO(ji ·

11:=1

SECUENCIAS Y SERIES DE FUNCIONES

1 2 . D e f i n i e i 6 n d e l a C o n v e r g e n e i a d e u n a S e e u e n e i a F un e i o n a . Sea dada la secuencia de funciones {/,. (x)}, ' definidas en el in-

t e Pvalo ( a , 1>\ L Se o ice q¡_¡e la func i 6n f ( x ) , defin jda en el intervalo ( a , b ) , e s e l l í m i t e d e l a s e c u e n c i a f u n c i o n a l {/,. (x)},_ e n este inter va lo � s i pa ra cada punw x del intervalo ( a , b ) o lim /, (x0) ¡ (xJ. 11 -+00

Si f ( x ) e s el l ím ite de la secuenc ia {/,. (x)} en el intervéilo ( a , b ) , escri b i remos : 1 1m /,. (x) =/ (x). 11 -+00

El concepto de suma S ( x ) de la se r i e � ¡, (x) . se define de m anera se 11=1 m ejante.

150

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Ejemplos.

lh• f. (4=0,

l . ,¡'.¡ (�) = •a,.� :

ya que

11-+CI)

1 1,. (x) 1 � .!. n

u� t. (z) = r.. .

..... oo

Bt.acuY811l ente, tenemos:

Pero

•-+ao

por aoosigu iente ,

lim

Z -+ OD

-i'·•

3 . /,. (z) = n sin

*) = Jim e

z ln ( 1 + � )

...

( 1 + !!!. ) " = e"', ·

Z-+ CI)

)

= Ji m

Z -+ 00

Efectivam ente , tenem os :

Jlm z sin !!!.. �

Z -+ 00

* **

tim

li -+ IXl

)

•

lim /,. (x) = x.

11 -+ :1)

In ( 1 + �)=m

esto es

( 1 +.!!!)

zln

= l1m

( 1 + -¡ ) 11

Z -+ 00

lim n sin � = x..

JC 1

m sin -¡

-- = m

1._ z

=e .

4 . ¡. (x) = n (xñ - 1 ). Hac iendo uso de

lim

Z-+0

obtenemos :

a" - l -. In a, -z JC 11 - 1

lim /,. (x) = lim -- = ln x 1 fl -+ 00 -

11 -+ 00

1 3 . C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e . Se di ce que d o s func iones f ( x ) y f (x) en un intei;lvalo cerrado (4, bJ d i f-i e r en entre sf en m en os q u e e (a > 0), si pa ra todo x d•l intervalo [�, bJ tiene lugar la desigualdad

fo? loo + + ' 9· 1». + + +U Gl • (;.

V.(x) - f (x) j < a.

SEIDES

Un (x)}

Se dice , asfm ismo, ...1ue la secuencia func ional

15 1 convePge uni -

fopm emente en el intePvalo [a, b] a la función f ( x ) si pa Pa todo s > o en contPamos en nuestra secuenc ia una función f ( x ) tal que toda func ión subN secuente difiePa de f ( x ) en menos que esto es papa a � x � b , n > N. (x:) 1<s

lfn -/ (x)

Ejem plo.

{'sinnnx}

La secuen cia

Efectivamente , tenemos :

•

convePge un ifoPmem ente a cePo.

1 0 sin nx 1 n _

poP consiguiente , paPa

n > ..!.. se tiene

�

_!_

......,. n '

•

O b s e P v a e i ó n . Es evidente que una secuenc ia funcional , un ifoPm emen te convePgente hac ia ciePLa función f ( x ) convePge también a e l la en sent ido oPdinaPio. La Pec ípPoca . sin em baPgo , no puede afiPmaPse . En efecto, considePemos la secuencia func ional :

fn (X) =x" (O ..;:;;; x � 1 ) .

ConvePge en el intePvalo ceP Pado (0 , 1 ] a la func ión f ( x ) . defin ida en la si gui ente foPme

{

/ (x) = �

PBl'a

para

O�x< 1,

x= l .

ObsePvem o s , sin ern bapgo , que paPa un núm ero sitivo y para una función aPbitraPia f ( x ) • x n qa la igualdad Asf pue s , paPa .r = JYS' t enemo s .

•

aPbitPaPio po-

de nuestpa secuencia es vál i-

/n ( Vfe) = a.

1 1 (x) -/ (:x) 1 ..

= e.

P epo entonces n inguna de las func iones de nuestPa secuencia puede dife P i P de f be) en m enos que e esto es, la secuencia no co n vePge unifoPme rnente á f ( x ) . •

14 O p e P a c i o n e s e n t r e S e c u e n c i a s F u n c i o n a l e s U n i f o P m e m e n t e C o n v e Pg ent e s . C o n d i ci 6 n N e e e s a P i a y S u f i e i e n t e d e C o n v e r g e n c i a U n i f o r m e . Com parando la definición de la con ve rgenc ia de las secuencias num � ricas ron la definición de la convergencia uniforme de secuenc ias de funci ones vemos que estas últ im a s son la gene ral ización natuPal de tas PPime Pas. Muchos de los teoremas de la teo r ía de l as secuencias num �ricas fácil m ente se transladan a las s ecuenc ias un ifo rm em ente conve r gent e s de fun -

15 2

CALCULO DIFERENCIAL. E INTEGRAL

e tones.

l . Si las secuencias funcionales V,. (x)} y { �,. (x) } convergen uniforme

m ente en

� (x}

[a, b], á f ( x ) y á

, respectivamenLe , entonces :

1 ) La secuencia V,. (xJ + �.. (x).} conve rge uniformem ente a!f (x) + � (x) ;

2 ) L& secuenc ia (/,. (x) · �,. (;) } con ve l"ge unifo l"me mente a f (x) · � . (x)

2. Si existe un número « > O , tal yue para todo x del intervalo fa, b]

{ �:�=� } converge uni formem ente a ��=� . 1 �� (x) i > «,

entonces la secuenc ia

Cona ,c ión N ecesa r ia y S u fic iente de Con v e rgenc ia U n i f o r m e P a r a q u e u n a s e e u e n e i a f u n e i o n a 1 {/,. (x)} e o n -

V e 1" j a

U n i f O r m e m e n t e e n e 1 i n t e r V a 1 O C e r r a d O fa, b) t a f u u c i 6 n e s n e e e s a r i o y s u f i c· i e n t e q u e p a r a t o do •> 0 pueda dete rm ina rse e n l a secu enc ia una fun c-i ó n f ( x ) t a l q u e d o � f u n c i o n e s c u a l e s q u i e r a , _s u b s e N e n e l i n t e rc u e n t e _s d i f i e r a n e n t r e s í e n m e n o s q u e a, v a l o : [a, 'b] .._. e s t o e s , •

e ierta

1 /p (x) -/q (x) 1 < •

Uemo s t rae i6e .

que la secuená�

Para

Esta condición es nec·esaria . En efecto supongamos

{/,. (x)J

converge un it'o rm e m ente a f ( x ) en ( a , b ) . Eli -

giendo un número arbitl"al"io , e' > O, puede en virtud de la . definici 6n de con vergencia unifol"m e fijal"se en la secuencia una función f N (x ) , tal que 1/ (x) -/,. (x) l <_•' -pa ra ( ) a e;;;; x < b, n > N. 1 Tomando ahora dos funciones al"bitl"al"ias f ( x ) y t ( x ) ubicadas en la se -

cuencia de funciones f ( x ) , obtenemos N

l f, (x) -/, (x) l ::c:J/p (�) -/ (x) +l(x) -/q (x) l < lf, (x) -/ (x) 1 + 1/(x) -/, (x) 1 · De donde , en virtud de ( l ) , obtenemos:

11, (x) -1. (x) 1 < 2 e' , Haciendo ahora

e' = f,

pa ra

(2)

com probam os la necesidad de nuestra condic ión .

La condición es suficiente tam bién. Adm itam os que nuestra secuencia sa tisface esta condic ión. Entonces, com o fác ilm ente se ve, converge pa ra to do a E; x E; b ; lo que se deduce inmedia tam ente del teorema de Cauchy sob r> e las secuenc ias.

1 53

SERIES

Hagamos 11-+00

lim /,. (x) =1 (x).

Sea e un núm ePo aPbitPaJ;> io pos itivo . En v i Ptud de la s u p o sic i ó n , en la secuenc ia exíste una func ión f ( x ) tal que N {3 )

pePO

lfm

p -+ oo

IIP (x) -/,. (x)l = I / (x) -1n (x) 1

poP cons·igu iente , con fundamento en ( 3 ) ,

1/(x) - /,. (x) l � s

pa pa

Vem os , as í, que la secuenc ia

(a :::;;;; x :::;;;; b) ,

a � x :s:;;;; b,

n > N.

{/,. (x)} es un i fo pm e m ent e conve rgente .

1 5 . C o n d i e i ó n S u f i e i e n t e d e Co n t i n u i d a d d e u n a F u n e i ó n L r m i t e , E 1 1 r m i t e d e u n_ a s e e u e n e i a u n i f o P m e m e n t e e o n v e P g e n t e d e f u n e i o n e s e o n t i n u a s e s u n a f u n e i ó n e o n t i n u a. D e m o s t P a e i ó n . Acept:emos que la secuencia

{/,. (x)}

de func iones

continua s , en el intePvalo &arPado [ a , b] , convePge unifopm emente , en este intePvalo,- a la función f { x ) . El ijam os un n ú m e po aPbitPa P io e' > O Co mo se deduce de la condic i ó n , existe en nuestPa secuenc ia una ft1nc ión f ( x ) que difiere de f ( x ) en m enos que e' , es dec ir, n 1 / (x ) -/,. (x) l < e' (a <; x <; b). (l ) •

Sea x

un punto interior cualquiera de l intervalo [a, bJ. Corno según la o condic ión f { x ) es continua, existirá una vec indad tal del pu n t o x0 que para n todo punto x 'de esta vec indad se satisfaga la desigualdad

P ero de qonde

11,. (x') .-/,. �x.>-l < e'.

{2)

!/ (x') -/ (X0) 1 = 1/ (x') -/,. (x') + 1,. (x') -/,. (x0) + /,. (x,) -/ (x,) 1 .

1 f ( x') -/(x0) 1 E;;;;; 1/(x') -/,. (x') 1+11,. (x') -/,. (x.) 1+11,. (x0)-/(xJ 1 ·

Con fundamento en { 1 ) y ( 2 ) , tenemos :

I / (x') -/ (xJ 1 < e' + e' + e' = 3e'.

Haci endo e' = ..!.. vemos que para todo punto x se encuent ra una ve 3 ' o cindad tal que en cada punto x ' t iene l ugar la d e s igualdad

1/ (x') -/ (xo) 1 < e-. Asf pues , la fund6n f ( x ) es co n t in ua pa r>a x • x

Análogam ente se dem ues o tra su c o ntin u id ad para x • a § x • b . De suerte que l a func i ó n f ( x ) es con•

154

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

t inua en el intePvalo cePPado [a, b].

O b s e P v a e i 6 n . Es fác il demostPaP que si una secuencia de funciones continuas convePRe unifopm em ente , enton ces su func ión l ím ite no necesa n Píam ente es continua. Efectivam ente hac iendo f ( x ) x vemos que n o pa Pa o =s;;;;; x < 1 , lfm r' = 11-+co 1 para x = 1 ( veP ejem plo , Pá g. l 5l l .

{

•

A s í pues , l a función l ím ite n o es cont inua paPa x

•

l 6 . C o n v e P g e n c i a U n i f o p m e d e l a s S e P i e s . El concepto de con vePgencia un ifoPm e de una secuencia de func iones puede extende Pse fácil m ente a las sePies func ional es.

CID

Se dice que la s e P i e f u n e i o n a l � /,. (x)

c o n v e P g e u n i f o P m e m e n t e , en un intePvalo cePPado [a, b], si la co n=t

PPespond i ente secuencia funcional { s,. (x)} de sus sumas paPciales con vePge un ifoPm em ente en este 1ntePvalo .

PaPa investigap si una sePie func ional dada convePge uni foPm emente , l o q u e fpecuenternente es im portante , e n muchos casos es sufic iente la sigu ien te pr>o pos ic i6n . C o n d i c i ó n d e C o n v e p g ecJl c i a U n i f o p m e d e u n a S e P i e . S e a 1 a s e P i e f u n e i o n a 1 � /,. (x) y la se Pie num éPica convepgente CID n=1 ., con tePm inos no -negattvos. Si a par>tiP de cierta funci6n f ( x) se a,. N �� satisfacen si e m pi'> e las desigualdades papa n > N, a <; x < b, 1 1,. (x) l <: a,

a a d..a

�

Entonces la sePie

�- ¡,. (x)

convePge un ifopm emente en el - intePvalo [a, b].

D e m o s t P a e i ó n . ObsePvemos que si': p > q > N, entonce s , hac iendo ,. s,. (x) = � /, (x) , a = a n=l • n =l � o btenemos : n =t

�

pop consigu iente ,

1 sP (x) - sr¡ (x) 1 < llr¡+t (x) 1 + llr¡+a (x) 1 + . . + l lp (x) 1 · ·

Por> lo que , en viPtud de la condición l sp (x) - s11 (x) j .-; aq+t + aq+a + . . . + a,. esto es,

l sp (x) - s, (x) l � a - ar¡ paPa a ,.¡;; x <; b, p > q > N. (l ) P CID Com o de acue Pdo con dicha condic ión , la se Pie . � a,., y po p consigu iente

l a secuencia

{o.. },

n=l

conve pge, entonces con base en el teoPema de Cauchy

155

SEWES

puede dete rm inarse un núm e ro N 'tal que para P > N' la des igualdad

q > N' es vál ida (2)

Tomando aho ra un número arb itrario N ....mayor que l os núm eros N y N 'ob tenemos, e n vi rtud d e ( l ) y ( � ) Pal:'a j sp (x) - sq (x) l < s a <. x :¡;¡;;, b, P > q > N'. Así pues , la secuencia vergen un iform emente. Ejem plo. L a serie rrado

[ - h, hj

{s, (x)},

L�

y por consiguiente la serie

•=t

converge unifoPm em ente en el intePvalo ce -

11= 1

lhi<I '� / .;;;; 1�111 E; / h /";

bajo la condic ión d e que

la propia serie geom étrica

� /,. (x), con -

Efectivamente , tenemo s :

convePge pa Pa l h l < l .

� 1 h 1"

y Un ifo rm e de S e P ies Func i o oo h a l e s . Se dice que la serie funcional � 1. (x) ca:ny4lrge absol uca y unifo r ao n==l m em ente en un intervalo cerrado [a, b], si la ser ie � l/11 (x) \ converge unifor111=1 m emente en este intervalo . Es fácil ver que s i 1 a s e r i e e o n v e r g e a b s o l uta y u n ifo r m e m e n t e , enton c e s tam b i én c on v e rge u n i f-o r m e m e n t e . L a rec íproca, no obstante no es verdade ra . n=1

17. C o n v e p g e n c i a A b s o l u t a

1 8.

D i f e r e n c i a c i ó n d e S e c u e n c i a s y S e r i e s . Si las funciOnt;�s de la secuencia {/� (x)} son continuas y tiene primeras derivadas continuas en el intervalo 1ta, b] y si las sec uencias {/, (x)} y 1{/� (x) } convergen uniforme mente en este intervalo , hac iendo

lim /11

11 -+ QO

(x) = 1 (x)

podem o s aseveraP que la func ión f ( x ) tiene derhada y tJUe Oemo st rae i6n .

Jim fn

11-+CO

Hagamos

(x) =f (x) .

lim

11-+C.O r,. (x) = lf (x). Sea x0 un punto a rbitrario en el interioP de l intervalo [a, b]. Por el teo rema sobre el valop medio tenernos :

1'" (x, + � -/, (x,) lf (xJ 1 = \t;. (xo + Oh) - lf (xo) 1= = \1� (x0+ 6h) - '9 (x, +M> + lf (x0 + 6h) - f (x0) \ <;

<;; \ (,.

(x0+0h) -· !p (x0+6h) 1 + 1 cp (x0 +011) -• (x0)j.

(1)

1 56

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Sea e un nú m e Po aPb itPa P i o . pos it i vo .

vePge

Com o la secuenc ia

{ f, (x) }

con

e i st e un núm e po N tal que pa Pa to desiguaload

unifo pm em ente a cp (x) entonces n > N' y pa Pa rodo x es vá l ida la

T·

IJ;, (x) - f (x)l < De donde se despPende q u e paPa n > N y paPa todo h , tenem os :

(2) Corno l a func ión f (x) e s continua e n Lacuo que e l l ím ite d e l a secuencia un ifopm em ente c t>nve Pgente de func iones con t inua s , e x i s t i Pá núm ePo 7l > O, tal que papr-, todo x que sat isface la des ic;ua l dad l x' - x, l <lJ t iene luga p

1 f (x') - <p (x0)l

P o P con s igu iente , s i obteuer.' os :

lhl <

7¡,

<i.

entonce s . tom ando en c uenta que 0 < 6 < 1 ,

6h) - f (x0)\ 1 pa Pa cua l q u ieP n > N . \ h \ < ll·, Si se acepta que n t iend e al infin ito , entonces de la desigualdad (4 ) obt e 1 <p (x0 +

- <p

nem os la des igualdad

{5 )

Así pues , nem as dem ostPado que pa pa cua lquieP núm e Po e> O puede en contPaPse un r¡ > O, ta l que pa P< I wdo 0 < \ h l < lJ se sat isface - la des igual dad ( 5 ) . PoP consigu i ente,

,. ... o

lim 1

esto e s

(x, + h) - 1 (x.) b

Anál ogam ente se obtiene la demostPac ión pa pa x

• a y pa Pa x

O b s e P v a e i 6 n . l . S i la secuenc ia de d e P i vadas no convePge un ifopm e m ente entonces l a aseve ración del teo Pem a seP fa l sa . PoP ejem pl o ,

l a secuencia dePivadas

{sinnnx}

puede

t i ende un ifoPm em ente a cero : la secuencia de las

{cos nx t no t i ende a c e Po , ya que po p ejen pl o , pa Pa x .. O su l í

m ite es igual a l .

b s e P v a e i 6 n 2 . Un teoPema anál ogo puede foP m ula Ps e pa Pa P i es S i 1 a s · f u e i o n e s u ( x ) son con dnuas y tiene d e P i vadas continuas n oo en [a , b] y i l a s sePies u ,. (x) y � u � (x) conve Pgen un ifo Pm emente , enwn -

ces hac iendo

las se

�

,.=1

n-1

157

SERIES 00

S (x) = � u, (x), n=l

<Xl

S' (x) = � u � (x).

tendPemos :

n=l

19, S e P i e s d e

Potene ias .

una se Pie de la forma

Se l lama

se P i e d e pot en e ¡a s

� a,x•·. Es una se Pie func ional con t é rm inos 00

n=O

Ejemplos ,

1. 1

+ x + x• + . . . + x" + . . .

�2! + 31� + t +-=+ 11

+ xñf" +

• • •

. . •

Teo rema . S i la seri'e de potencias

� a,x" conve Pge pa Pa x = xo =F O, entonn =o

ces en todo inte rva lo cerPado alojado en el inLerior del inte rvalo ·:- 1 xol• 1 xo 1), converge absol uta y uni form em ente .

D e m o s t r a e i ó n . Consideremos el intl.:rvalo cerPado [- h, h] {h > O), alo jado en el interior del inte rvalo (- l x, j , l,x0 j). Sea x un punto a Pbitrar io del in tePvalo [- h, h] , por wnsigu iente , 1 x ¡�h .. Observemos que por la cond ic ión

dada , la serie

<Xl

� a� converge , y po r cons 1 gu i ente , lim a� = O,

n=O

11 -+ 00

puesto que la secuenc ia {a,�} en tanto que conve Pgente , es acotada . De sue r

t e que existe u n número M > O , tal que paPa todo n es vál ida la ex presión

l a,x; ¡ < M.

Como

, entonces

I J

(l )

" PePo 0 < h < l x0 l , poP lo que la-; serie geom ét rica, � M !!._ es conveP¿;ente y

POP consiguiente , la se Pie

1 x 1 � h,

� 1 a,.x" 1 n=O oo

n=O

conve Pge uni formem ente para

pues sus térm inos en viPtud de ( l ) son menores en m ódulo que

los térm inos correspondientes de la serie convergente

11�0 M 1 { r• , lo que por

el teoPema de la Pág. 1 54 es suficiente para la convergenc ia uniform e . 20. R a d i o d e C o n v e P g e n e i a d e u n a S e P i e d e P o t e n e i a s

teoPema antes dem ostrado .se deduce que si paPa c iePto x • L la sePie

•

Del

158

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

� a,x" diverge , entonces- para todo x, para el que l x 1 > 1 L ¡,

n-o

la serie

� a� tam bién diverge. De donde , hac iendo uso de la teorfa de los nú -

m e r'o� irrac ionales l l egamos a la conclusión de que si la serie no es con

vergente pa ra todos los x, entonces e t conjunto de tales valores de x . para los que la serie converge, forman un intervalo con centro en el punto x • O . Representando por R e l extrem o derecho de este inte rvalo , vemos que

entonces la serie n� a� es convergente y si l x i > R, la serie

l x J < R,

�

n� a,.x" será di ver gente . oo

De suerte que puede fo:rm ula'se el siguiente teorem a : 00 Teorema . S i l a s e r i e 1: a,.x" n o e s e o n v e r g e n t e p a r a t o d o s •-o

l o s v a l o r e s d e x , e x i s t et t a l n a m e 1" oR � O)> a r a e l q u e l a ao

s e r 1 e �� a,x"

eonve rja pa ra

P a ra x=±R gente.

1x1 <R

y d i v e 1" j a p a 1" a J x 1 > R.

l a s e r i e p u e d e s e r c o n v e r g e n t e o d i v e l"

El núm e ro R rec ibe el nom bre de r a d i o d e c o n v e r g e n c i a d e 00

ser1e

�

Si la serie 11 a,x" converge para todo x. se dice que su •=o

radio de convel"gencia es igual a + OQ. n�O

•

21 . C o n t i n u i d a d d e l a S u m a · d e u n a S e r i e d e P o t e n e i a s . Co mo una serie de potencias es un iform em ente convergente en t.odo iritel"valo cel"rado , com pl etamente al ojado en el interior del intervalo (- � R), . entono••

L a s u m a d e una s e r i e óe p o t e n c ia s es una f u n c i ó n c o n t i n u a p a I"' a t o d o s 1 o s v a l o r e s d e x d e m 6 d u l o .m: e n o r q u e e l r a d i o d e e o r1 v e r g e n e i a . O b s e r v a e i ó n . Si la serie de potenc ias converge donde quiel"'a , enton ces su: suma es una función cont inua donde qu iera.

2 21 C á l c ul o d e l R a d i o d e C o n v e r g e n c i a . Pa Pa determ inar el ra dio de conve rgencia es suf ic iente , por' lo co m íin usar uno de los s igu ientes teoremas: ,

Teorema : l . Si existe

g :::p O,

n� a . Y'

ent on e e s

ft-+00 lim

e. l r a d t <D. d e C?Onvereencia

será el núm ero

g • o. e n t o n c e s

V'fii:l = g

R= + oo.

R= f.

s e l" i e

SERIES

Teopema

2. S i

entonces

g =/= 0,

,.� a,.x" s e r á

en ton c es

•

O ,

lim . ...·oo

existe

n a

159

,a,. ... 1 1 = g

Padi o

a,.

c o n ve p g en c i a

sePie

m. e P o

R= + oo.

a Dem ostPac i6n . La de m ost Pa c i 6n del t e o Pe ma 1 se desp pende i nm ed ia tr"f)ente d e l c P it e io de Cauch y ( Pag. 1 4 7 ) . Efectiva m ente , tenemos:

po P c n s

papa

lim

ig u i ente , l a s e ri e

!xl <

IJ -+ 00

V' l a,.x" i = lim JY ¡ a,. J - l x l = K· l x l;

� ¡ a,.r- ¡ 1n=O

8 -+ 00

conve Pge papa

,K· I x l < 1

( e sto e s ,

-i) ) y d iverg e pa pa 'K · I x l > l . ( e sto es, papa l x l > � ) . Ve

m os asr que

..!.. e s el Pa d i o de conve pgenc ia . Si g • O , entoncesg· l x i = O < t '

poi"' consigu iente , la serie s i em p f'e con ve Pge.

Aná l oga m ente , con apoyo en el c f'ite Pio de D ' A l em be rt ( Pa g.l48 ) , pue de dem ostra f'se el teo:rema 2 .

2 3 . D i f e f' e n c i a _y i 6 n d e S e r i e s d e té f'mino a t é Pr:n i n o la sePie de po tenc i as

Poten c i a s .

Dife renc iando

o btenem os una nueva sePie de p o te n c i a s : P uede de m o s t ra rs e l a vef'ac idad d e l a propos i c i ón siguiente .

(1 ) (2}

L a s s e f' i e s ( 1 ) y ( 2 ) t i e n e n u n o y e l m i s m o f' B d e 1 a e o n v e P g e n e i a . L a s u m a d e 1 a s e r i e ( 2 ) e s i g u al a l a d e P i v a d a d e l a s e P ie (1 ) pa ra t o d o s l o s va l o r e s d e x rn e n o f' e s e n m ó d u l o q u e e l r a d i o d e c o n v e r g e n c i a d e e s t a s·· s e P f e s d io

Teo rema .

•

Dem ostf'ac i6n . Adm i tamos que R es el

( 1 ) . Sea

Tom em o s un núm e Po a PbÚ r a P io Com o

� que s at i sfa ga la desigua ldad l x / < tJ.< R.

lim Yfn = 1 ,

.. ... llO

e x istirá un n ú m e Po N tal que pa :ra toao P O P consiguiente ,

Pad io de conve pgen c ia de la se Pie

1 60

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 a, 1 1 jY'n X 1" < 1 a,. 1 <�".

Dado que los té r m i no s de la s e P i e �· l a, I I V'iiX I" no exceden l os té Pm inos

de l a se P i e conve r gen te

�

"?J1 1 a, 1

" <�

t2 +

en t onc e s la se Pie

,� na,x" con -

ve Pge a b s o l u ta m ente . Di vid iendo esta sepie entPe x vem os que la se"ie �

� na,x"- • es tarnbi�n absdutarn ente conve Pgente pa Pé\ todo ¡ x 1 <.R. n=1 oo Aceptem os ahopa que I � I > R, . Puesto que la se r i e � l a,. l ¡ x ¡" es d in=a

ve Pgen te y sus téPm inos son menores que l o s de la s e r i e i n 1 a. l j .rl11 en .ll :::a t

tonces esta última sepie es tam b ién divepgente , de donde se inf ie re que la s e pi e

� n l a, 1 1 �- · 1 es d iv e Pg ente para ,l x i > R.

de convepgencia de la

Así pues, el pad io -

s e P i e ( 2 ) es ta m b i én R. < R Si O < r , e n tonc e s la s e r ie ( 2 ) c on v e Pg e unifopmem ente en el in t e P va l o f- r., rl , y pop consiguiente , de acuePdo con el teoPema sobPe la difePencia ci6n de se Pies ( Pág . 1 55 ) , su suma es la deP i vada de la suma ( 1 ) . Com o I' puede seP un núm ero pos i t i v o a rbitPa rio, satisfac iendo úni camcnte r < R, e nto nces la suma de la s e ri e ( 1 ) posee d on d e qu ie ra en el dePivada, que es la suma de la serie ( 2 ). i nte r i o P del intePval o (- R, R) 11:::1 1

O b s e r v a e i 6 n . El t e o Pe ma dem ostPado es válido ta rn bién con res pecto a la sePie obtenida de la s e rie ( 2 ) m ed i ante una diferenciación ulte rior.

Ejem pl o . Como se sa be,

1 -x ' ¡x¡ < t: l + 2x + Br + · · · +nx"-• + . . . =( �x)* • f x i < J , l 2 + 3 · 2x + 4 · 3r + . . . + n (n - 1 ) _.r'l-• + . . . =o _:x)' , l x l < l .

po r c on s i gu i ente ,

t + x + r + · · · + ..r'l + · · · = -1-

S e P i e d e T a y 1 o I' . Sea f ( x ) una func i6n continua , defin ida en el i nte r va l o cerrad o [a, 6], con d e P iva da s de todos L o s ó rdenes , continuas ta m bi én en este i n t e P va l o. Rc ppe seiJtando vor x., x. + h d os puntos a r b itra rios d e l i n t e rva l o (9 b ) y por un núm ero natu Pal aP bitra rio, obte� mos según la f6 Pm ula d e Tay l or ( Pag. 1 1 3 ) : 24 .

•.

s i e n do

h'"

,_,

1 (x, +h) =/ (x,) + if l' (x0) + . . . + (n - l)l R, (x0, h) =

� P,., (x0 + 0h) = (n �l )t (l - 0')"- • ¡t•, (x. + O'"h), O<O<J,

+ ) La se rie

O < O' < J .

� l an l czn es conve rgente ya que

•=1

pn - •, (x,) + R, (x., h),

O < cz < R·

SERIES

Puede su c ede r> que para un c pecim iento i l i m i t a d o d e n , la e x p P e s i 6n R,. (x0 , h) t ienda a oo Po , es dec i P que

1 61

lim R,. (x0 , h) = O.

11 -+ 00

En este caso la sePie inf inita / (xo> + l' (x0) +

convePge al l ím ite

f (x. + h) .

f <x. + "> = 1 (x.> +

; r (x0)+ . . . + �J<"• (x0) + . . . Tenem o s , asf,

{T /' (x.) + ; r (xo) + . . . +�.rll) (x.) + . . ..

la sePie en el m iem bPo dePecho Pecíbe e l nom b Pe de S e P i e d e T a y 1 o P . Asf pues , h em os demostrado l a ppoposic i6n siguien te :

TeoPema. S i t ·a f u n c i ó n f ( x ) y s u s d e P i v a d a s d e t o d o s l o P ÓP d e n e s s o n e o n t i n u a s e n e l i n t e P v a l o e e P P a d o [a, b] S O n d O S p U n t O S a P b i t P a P i O S U e O S t e l n t e-P V ay x., x0 + h lo, entonces

� r (x.> + ; r <x.> + . +�t"• (xJ + . · · == =1 (x8) + f � fl"• (x8) ,

l <x. + h> =f <x.> +

11 = 1

bajo

e o n d i e i 6 n d e q u e e 1 t é P m i 11 o

de la f6Pmula

de l

Pe s id uo

R,. (x.. h)

Ta y t o P t i e n d a a c e P o . c u a n d o n C Pe c e

i l im i tadam ente .

O b s e P v a e i 6 n . Si el intePvalo [a, b] cont iene al pun to x O , entonces substituyendo O en l u ga p d e x. y x en lugap d e h en l a sePie de Taylo r> , o b tenemos =

f ( x) =f (O) +TI /'(0) +

ao T!'

�r(O)+

(O) + L 1ii /"', (0),

�J<,., (O) + . . . =

•= 1

i>u JO la cond ic i ón ; um R,. (0 , x) = O. 11 -+ 00

•

E s tü e s l a l l an ada S e P i e

M a e l a u r> i n. .

E l leor>em é:l a P P i oa fo Pm ulacio t i ene un va l o r> fundam ental . P r>opoPciona el desa r>r>o llo de la func i ón f ( x ) en una se P i e de potencias c:1anao e l térrr1 in o d e l r>esiduo R,. (x0, h) liende a cePo.

O b s e P va ci 6 n . En pa r>t i cu l a P e l tér>m i no r>e sidua l tiende a ·CePo cuando lé:ls dePivadas de l a func i ó n s o n acotadas en su tota l i dad en el inte rva l o [a, b], e.to e s , c u an d o pa r>.:l lodo natur>al n Y p o r n todo x d e este inter>va l o

1 62

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 /',.) <x> I < M

Efectivam ente , en ese caso tenern o s :

j nt

y como

llm R

11 -+ 00

, (x, h) = o.

r X11 + . . . +nt +... +uX + 2f

paPa c ada x . 2.

.oz!

lim l..! !r = o ni

Ejem p l o s . :-

• -+ oo

( v e r Pág . 3 0 ) , tendrem os

l. e = t

I R, (x. , h)l = �l'n) (x + 6h> < M �

sin x=uX - X13i+ JC'ru - . . + (- 1 ) <2nJC'II++Il)t + • • • 11

pa ra c u a l q u ie r x .

3. cosx= l -�2J + �-� 41 61 +

• • •

14 + <- l ,. X2n) ) ( l+ • . .

pa Pa todos l o s x .

x x' x'

x4 + 4 . In (1 +x> - y - 2 3 - 4 + · · · + ( - 1)"+1 xll + ñ

pa ra 5 . (1

1 < x E;;; + 1 .

+xf= 1 + (�) x+ (�) x• + . . . + (�) x"+ . . y

. •

p a rbitrario.

D e m o s t r a e i 6 n. l . L a fun c ión e

e s co nt i n ua en e l inte rval o c er rado

[- A, A] . (A es un núm e Po a r b it ra P i o posi tivo ) así com o sus de P i vadas

de todos los órdenes , ue c o i n c id en con e l la . P o P tanto l a s d e r ivadas de todos los ó rdenes son a c o ta da s e n s u t o ta l i da d , a sa ber

pa f'a t o d o núme ro nat u rn l n y pa ra todo x d e l interva l o

[- A, A].

P o r cons iguient e , en v i rtud de la o bse rva ct6n anLe r t o r l a s e r i e de Tay l o r es con ve rgente para , es dec i r , pa rd todo x ya que A e s un núm e r o a rbitra r i o .

- A <; x E;;;; A

2 , 3 . L a s m is m as con s i d e roc iones en re l a c i ón c o n las fu n c i o n e s s e n x Y

1 63'

SERIES

cos x . pues las derivadas de todos los órdenes son continuas y en m ódu lo no exceden a la unidad .

y sus derivadas de todos los órdenes son cont i I n (1 + x) n uas en todo intervalo cerrado que no contenga al punto .� = - 1 El té rm ino pesidual de la fó rmula de Maclau rin , para esta func ión t iene la forma 4 . La función

( Pág. l l 8 ) :

x (1 - 0'),.-1 ..n R11 (x) = (- t )n + t n ( l + - (- t )'r+ t Ox)11 (1 + O'x)11 � ' n

Hacie ndo

, obtenemos

1 R,.

por consiguiente ,

o b ten emos

1 Rll (x) 1

Como

e <; x � O (O < e < 1 ), (1

- 0')¡.-t

(1 + fl'x)ll 1 x" 1 = (l

O os;;;; 6'u <6' < 1

entonces . hac iendo - x = u ,

(

- fl ')ll -1 u11 - 1 - fl' - 1 - O;u O )ll u _

, entonces

)"-1 � -

O< t - 6' < 1 - 6'u

/�.�: < t.

ull < un < -

De estas desigualdades obtenemo s : 1 R11 (x) 1 < 1 - o•

Como

lim R,. (x) = O.

11 -+ 00

Así m ismo , s i

x,ll

(x) 1 = n (1 + Gx)11 �

entonces

1 -u

,,_

•

, por cons iguiente

•

lim e" = O ,

11 -+ 00

lim R11 (.�) = O.

,. ,.,. 00

6'u '

y por cons igu iente

Como e es un núm ero arbitrario positivo , m eno r que la unidad , hemos demostrado la val idez de la fó rm ula de Maclaurin para la func ión ln ( l + x> en el intervalo - 1 < x .¡¡¡;;; t . Pa r>a x = - 1

que , como

obtenemos la serie

- 1 - .!.. _ _!_ _

••• •

sabern o s , ( ver Pág . 1 39 ) es d i vergente .

l o s Ó r> denes en todo

5 . La ft,mc ión

es cont inua , en conjunto con s u s der>ivadas d e todo s intervalo cePPado que no contenga el pun to x = - 1 .

(1 + x)P

El térm ino del r>esiduo de l a f6 r>m ula c.ie Maclaur> in pa r>a esta fun c ión

1 64

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

( Pág. l l 8 ) tiene la fo rma

R,. (x)

(�) (1 + 6x)P ..."x" (�) n ( 1 - 6')11 ... 1 (1 + 6'x)P-" =

o < 6 < 1 , 0 < 6' < l .

x",

SiO <· x < e < t , entonces , usando la p r im e ra fO L"'m a d e l r e s i du o , o btene mos:

R,. (x)

p (p - 1) • • • (p - n + 1) 1 ·2 n .

po r consiguiente para n > p

com o Jlm

k -+ 00

tendrem os lim k -+ 00

...

(1 + Ox)'* P '

_ (p -kk) x x, _

j (p - k) x l =x < s . k

Ex iste , por consiguien te , un nú m e ro 1{ tn l q u e pa r a

� {p �k) x l < e.

k>K

se rá

Hac iendo n > P y n > K obtenemos :

y como

lim en - K- s = 0 ,

11 -+ 00

tendrem os li m R,. (J.') =; O.

11 -+ 00

- a < x <; O (O < e < 1 i, haciendo· x = - a y em pleando la segunda fo Pma u e l r·es iduo , obtenemos: R" (x) = p (p -1 ·2 (n(p--1)" + 1 ) ( 1 - 6')" 1 ( 1 + 6'x)P-" x",

l) . .

...

. • .

asr que

R,. (x) de donde

p (p - 1 ) . (p - n :f- 1) 1 · 2:. . •tn - 1..1 . .

( 1 - ) n - 1 { 1 - D'u)P- • (- 11)." 8' t - O'u-

1 65

SEIDES

Com o

1pu 1 1

(p - J ) u

( 1 - 6'uY'-'

<P - 2) u \ 2

l(p-n n-+1 1 )u 1 ( 1

I R,. (x) ! = •

• •

'a\P - • T

es ta com pr>end ido entr>e 1 y

(!=:.!:)"-' 1 -

O'u

{l - er- •

y ( 11 �0�� r -·

c o m o sabem os , n o e s m a y o r q u e l a un idad ( ver> Pág J 63 ) ser>á sufic iente con co m p r>obar> que

La demostr>ac i6n es la m i sm a com o la de l caso ante r> io r>

e es un núm ar>o pos i t i vo a r> b i t r> a r> w m enor> que l a un idad , se de f6 r>m ula de Ma c lau r> i n pa r>a nues

r n u e st r>a efectivam ente , la va l idez ae la

Como

t ra fun c ión en el inter>va l o

O b s e r> v a e i 6 n . A pl ic a n d o e l ú l u m o desar>r>o l l o obten e m o s las ser> ies :

Conve r>gentes par>a l . D e m o s t r>a r

- 1 <x< 1 .

PROBLEMAS

la val idez de ros siguientes de sa rr o l l o s

2 . L a función tg x t iene un desarro l l o convergente pa r>a 1 " 1 <

+ ) Se d iferenc fan a m bo s m iem bros de las igua ldades.

16 6

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL tg X • • •

B,'l" (21 - 1) 8,2' (2' - 1 ) _. + ••• X+ 21 JI# ·41 + BJn_ ,2'" (2"" - 1) x,M -r• + · · · (2n)l

l lamados n ú m e r o s d e

Dete rm inar las constantes Be r n o u 1 1 i . 3.

DemostPaP la va l idez de los s igu i entes desaProl los :

cos x stn x 1 sln (x + h) = sln x + ¡¡- h - � h + . . . ; cos x x cos (x + h) = cos.x - stn -1-h - 2! IJI + . . . ; 1 ' + . . . , l h l < l x f. l n (x + h) = l n x + +

� { (�Y { (�)

4 . S i se requ i e re resolver la eet�aci6n f ( x ) • O entonces representando con

x un valor aprox lmado de una raíz ( obten ida , por ejem plo , po r tanteos ) y c 8n xo + h la raíz desco·n ocida , obtenemo s : O = 1 (Xo + h) = 1 (x0) + h/' (x0) + . . .

S i h e s suf icientem ente pequeño , entonces desprec iando los térm inos que

contienen IJI, h1 de donde

,etc . , obtenemos :

O = 1 (X0 + h) � 1 (Xo). + h/' (xo), / (X.)

h :::::: - f (Xo) "

Así pues e l nuevo valor a p roximado de la Paíz buscada t i ene la forma /(x.) X :;::z: "e f' (Xo) Con el val o r aproximado obten ido puede pPoceders e com o antes y calcu lar' una nueva aproximaci6n , etc . El m étodo desc rito fué ppopuesto por Ne wton .

Resol ver' poP este m étodo las ecuaciones : x' + 2xl + 3x + 4 = 0; 2 sin X = %; Jn x = x.

•

CAPITULO IX

ftJNCIONES DE DOS VARIABLES.

CONCEFI'O DE FUNCION DE · DOS VARIABLES

1 Conj unto s plano s D o m i n i o s . Se dice que un conjunto de puntos es un e o n j u n t o p l a n o , s i los puntos de este conjunto e s tán e n u n plano . •

•

Un conjunto plano· es P e s t P i n g i d o si existe un c íPculo que l o contenga e n s u intePiOP, Un segm ento, un tr iángulo, etc . , son conjuntos PestPing idos. Una l ínea Pecta no es un conjunto PestPingido.

V e e i n d a d de un punto P es la inte PioPídad de todo c íPculo con - centPo e n P . S i un punto de un conjunto dado posee la ppopiedad d e que exista c i e Pta veci ndad suya total mente pe_Ptenec i ente al conjunto , enton ces tal punto Pec i be el nomb l'e de punto i n t e P i o P del conjunto dado. Un conjunto fopmado exclusivamente po r pun tos intePioPes Peeibe el nom bPe d e d o m i n i o a b i e P t o 6 bPevemente, d o m i n i o . Los do m inios más simpl es son : la intePioPidad de un tPiángul o , de un pol ígo no , de un cíPcul o , de una el ipse , etc. -

Se d i ce que un dom in io es conexo s i dos c �y lesqu iel'a de sus pun - tos pueden uniPse m ediante una l ínea quebPada integPamente al ojada en el dom inio dado . Todos los dom in ios antes m encionados son dom in ios conexos; e l dom inio PepPesentado poP las intePioPidades de dos cíPcu - l o s que no tienen ningún punto e n común no e s conexo . E l conjunto que obtenemos al excl u i r' de uu cíPculo la c íPcunfepenc ia y un diámetl'o tam bién es UIJ dom inio no conexo. -

2_._ P u n t os d e f r o n t e r a . _ . D o m i n í o s c e P P a d o s . Un punto , no pePtenec iente a un dorn inio, se dice que es f p o n t e l' o s i cada una de sus vecindades contiene puntos pel'tenecientes al dom inio. El conjun to de todos los puntOS fpontcPOS se llama f P O n t e P a de este d O m i-:_ n i o . La fpontel'a de la intePiOPidad de un pol ígono , de un c íPculo, etc. son Pespectivamente, la pol ígonal , la c i PcunfePencia , etc . ·

_ _

El conjunto fo Pmado po P e l dom inio y su fpontePa se l lama d o m i n i o c e i' P a d o . 3. D o m i n i o s d a d o s m e d i a n t e d e s i g u a 1 d a d e s cuente enco nt ra r dom inios definidos de la s i guiente manePa .

•

Es fre -

Sea que se tienen dos funciones def inidas y continuas en el intei'V..2

lo cePPado [a, b]:

Y = /(x), Y = f (X).

+ ) Si en e l plano tenemos un núm ePo finito de puntos A • A , A

entonces el conjunto de segmentos A • A • A A 1 2 2 3 l ínea quebPada que une los puntos A1 y A .

16 7

•

. . .

1 A

n -l

2 A

•

• • •

A n

es una

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 68

Aceptem os además que

'f (x) <f(x)

Esto significa ( Fig. 38· ) que la g�áfiq� de la funci6n f{ x ) se encuentra 'f (x) ( con abajo de la gráfica de la func i6n exclusi6n, quizá. de los extremos del interva lo, en los que es posibl e /(x) = 'f (x)). El conjunto de los puntos ( x . y ) que satis - facen las desigualdades :

forman un dom in io conexo y l e siPven d e fponte o a ra las gráficas de las funciones f( x ) . 'f (xr y los -: segm entos Pectfl ineos que unen los co rpespon Fig. 3 8 dientes extPemos de estas curvas . Es ev idente que en algunos casos estos segmentos se reducen a puntos.

PROBLEMAS tv1ostPaP los dom inios dados po P las desigualdades : l . - 1 < x < 1, JC.1 < y < x1 + 1 ; \

S. 1 < x < 3,

3 - JÍ4x - x* - 3 < y < 3 + Y 4x - J&l - 3;

5. O < x < 1,

O b s e P v a c i 6 n . Es común encontraPse con un dom inio ceppado de finido pop las des igualdade s : a < x :r:;;; b, a' <y < b . Este , evidentem ente , e s un Pectángulo con v�rtices( a , a ') , ( a , b ') , ( b , a ') , ( b, b ) . '

4 . F u n c i o n e s d e d o s v a P i a b l e s . Sea E un conjunto a Pbitra rio de puntos del p lano OX Y. Se dice que una func i6n e stá definida en el conjunto E , s i cada punto ( x , y ) del conjunto E está en coP respondenc ia con un númePo real z . La dependencia funcional se Pepresentará como antes po r :

1 69

FUNCIONES DE DOS VARIABLES Z =f (X, y) ,

Z = !p (X, Y)

Los núm e r>o s x. y . se l laman v a r> i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s . el núme r>o z v a r> i a b l e d e p e n d i e n t e ; en cuanto a la funci6n f( x . y ) se dir>á que es una función d e l a s dos va f' iables independ ientes x . y . de fin ida en el conjunto E. Gene r>alm ente el conjunto E es un dom inio abier>to o cer>r>ado. E j e m p l o s d e f u n c i o n e s d e d o s v a r> i a b l e s : p a r> a todo x. y .

2 . z = Yt - x• -y• l 3 . Z = (X - 1) (y - 2) Si la funci6n f( x . y ) está defin ida solamente por> una f6r>m ula , con sider>ar>emos que el conjunto E está for>mado por> aquellos y solam ente aquellos puntos ( x, y ) pa r>a los q ue la fó r>mula define un val o r> de la fur:c ión . 5 . I n t e r> p r> e t a c i 6 n

geo m ét r ic a d e una func ión de dos

v a r> i a b 1 e s . Tom em os. en el espacio, un sistema de coordenadas - OX Y Z . Por> i m a g e n d e l a f u n c i 6 n z • f( x , y ) , definida e n e l con jun to E , tomamos el conjunto de todos los puntos ( x , y , z ) ( superficie ) , aonue x , y son las coordenadas d e los �untos <..l e l conjunto E , y z •f( x , y ) . Ej e m p l o s .

1 . z = 1 - x -y

( Fig . 39 )

La imagen geométrica es el p lano que pasa por> los puntos ( 0 , O, 1 ) , ( 1 , O, 0 ) , (U, 1 , O ) .

Fig. 39

Fig. 40.

r +y• ...; t (hem isferio; Fig. 40 J.

paráboloide de r>evoluci6n ; Fig. 41 ) . 3 .t = r +r Si la func ión f( x , y ) e s definida e n el rectángulo a < x < b, la ex p res i 6n .t =f(x8, y) a' <y < b' , entonces, haci endo x = x. <a < x. < b), pue de considera rse como una función de una variable y, definida en el ir. ter>val o ( a ', b ') . .

1 70

CALCULO DIFERENCIAL · E INTEGRAL

Tom emcs en cal idad de ejes coordenados O ' Y ' Z ' sobre el plano x = x0 las intersecciones de éste con los planos OXY y OXZ . El ijamos las m is - � mas di recciones d e los ejes O Y y OZ para los ejes O ' Y ' y O ' Z ' ( Fig. 42 ) . z'

/' O'

1 1 1 1

0}- - -- - -T---

/.Xa /

y y'

Fig. 42

Fig. 41

Const r>uyamo s , sobre el plano O ' Y ' Z' , la g Páfica de la función z' .. f( x , y ) ; Evidentem ente, esta gráfica es la l ínea de intePsecc ión de la supe pficie - z • f ( x , y ) con el plano

Si la función f( x , y ) vaP ía Pegularmente, entonces, trazando estas sec c iones con presic 6n adecuada , podemos Pepresentar con sudiciente claPi dad la imagen geom étPica de la función z • f( x , y ) .

Pod emo� estud iaP tam b ién las intePsecc tones d e l a su pePfic ie con pla nos paral elos al plano OX Z , La suposic ión hecha en el sentido de que la :: func ión está defin ida en un rectángulo no e s , evidentem ente , ob l i gatoPia ; la m isma imagen puede e studiarse cuando la función está def i nida en con - juntos planos arbitraPios. E j e m p l o s . Investigap las intePsecciones de las s igu ientes superfi c ies con p lanos paPalelos a los planos coordenados O X Z y O YZ : 1 . z = xy

las secciones son rectas ) . ( l a s secciones son parábolas ) .

3 . z = xy• ( l a s secciones con planos paralelos al plano OXZ son rectas, las secciones con planos paralelos al p iano O YZ son pa rábolas . 6 . L ín e a s d e n i v e l . L ín e a d e n i v e l de una superficie z=f( x , Y l e s la proyección , sobre e l plano OX Y , d e l a inter secc ión de e sta superfic i e con un plano paral el o a l plano O X Y . En otras pa labras, una l ínea de n i vel es el conjunto de todos los puntos ( x , y ) en los que la func ión toma un m ismo valo r . Trazando una serie de l íneas de n ivel y obse rvando los va l o r>E$ adquir>idos po r la función , o btenemos una represen tac ión más o m enos exacta de la var> 1aci6n de la func ión (. F ig 4 3 ) . •.

1 7'1

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

PROBLEMAS

DetePm inar las l íneas de nivel de las supePficies: 1 . z = Y t - xs - ya .

Las l íneas de n ivel son c írcu los , con excepción del valor z • 1 , paPa el que la l ínea de n ivel se reduce a un punto ( Fig. 44 ) . 2. z = 3.i• + 2y

( elipses confocales )

S. z = xy

( hipéPbolas ) . UIII'I'B Y CONTINUIDAD DE UNA FVNCION.

7. D e f i n i e i ó n d e 1 fm i t e . Se d ice que la secuencia de puntos con coopdenadas {(xm Y,.) } tien de a un punto (x , y ) si o o lim x,. = x0 lim y,. =Yo· y 11-+GD 11-+CO F ig . 44 Además la distancia d entPe el punto ( x ' y ) n n n de la secuenc ia y e l punto l ím ite ( x , y ) , c1,1ando n crece il im itadamente; 0 0 tiende a CePo ya que

d = Y (x,. - x0 )1 + (y11 -Y0)1 • : Rec fpPocam ente, si lim d,. = o, la secuencia de los puntos

de al punto ( x

, y

)

11-+00

{x,. , y,.} tie!!

•

Sea la func ión z • f( x , y ) definida en ciePta vecindad K del punto ( x ,y ) 0 0 con exclusión , quizá del ppopio punto ( X ' y ) . Se dice que g es el 1 rm i t e o o d e 1 a f u n e i ó n f (x , y ) cuando x é y tienden , Pespectivan1ente , á x , Y , 0 0 si papa toda secuencia de puntos {(x,. , y,.}}, d ifepentes de { x , y ) pePtene 0 0 ci entes a la vec indad K y que tienden a ( x y ) , tenem os : o o lim f (xn, Yn) = g 11-+GD . El l ím ite se representa por : •

lim / (x, y} = g.

�-+Xo Y-+)te

O b s e r v a e i 6 n . El l ector po drá fác ilmente com prende r el s ignificado de los sím bolos :

1 72

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL lim /(x, y) = + oo, l im/(x, y) = g, I im /(x, y) = + oo �-+�o X-+ao X-+ao Y-+Yo y-+ ao. y-+ ao

Ejem plos.

l . lim (x1 -y1 ) = - 3 .

l - xy + 1 = 1. 2 . l.lffi -¡-X-+O X

X-t-1 y-.2

. 1 1 = + oo. +

3. lim X-+0 X ��

Y-+ 1

lim

� ao

X-t-ao

1+1 .,. = O.

8 . T e o r e m a s s o b r e l í m i t e s . Para una func ión de dos varia - - bles puede dem ostrarse multitud d e teoremas análogos a los obtenidos pa ra las funciones de una vaPiable. La demostrac ión de el los se hace por los m ismos métodos,

Teorema z

P a r a q u e u n n ú m e r o g s e a e l l ím i t e d e l a

( x, y ) t i e n d e a ( x , y ) , e s n e c e s a 0 0 rio y suf i c i ente que los val o r es de la func ión e n l o s -

func ión

• f( x, y ) c u a n d o

p u n t o s s u f i c i e n t e m e n t e p r ó x i m o s a l p u n t o (x

, y ) difie - o o r a n t a n p o e o e o m o s e a d e s e a b 1 e d e g ; 6 , en otras palabras, q u e a t o d 9 n u m e r o e>O p u e d a p o n e r s e e n e o r r e s p o n d e n - -

c i a u n a v e c i n d a d d e l p u n t o (x

, y ) tal q u e e l va l o r d e o o l a fun c ión e n un punto c ua l qu i e ra d e esta v e c indad ( d i -

f e r e n t e , s i n e m b a r g o , d e ( x , y )), d i f i e r a d e g o o que e

en m enos -

Para las funcion es de dos variabl es son vál idos tam b i én los teoremas sobre e l l rm ite de la sum a , el producto y e l cociente , sim ilares a los co - rrespond ientes teorem as d e las funciones de una variable. Asím ismo , e s verdadero el T eorema. Si

lhn / (x , y) = g

X-+Xo

Y-+Yo

y s i . g > O, e x i s t e u n n ú m e r o cz > O Y l a v e c i n d a d d e l p u n t o ( x , 0 y ) e n c u y o s p u n t o. s ( con la pos ible excepción del punto ( x0 , y0 ) ) 0 t iene l uga r l a d e s i gua ldad l (x, y) > cz . .9 . C o n t i n u i d a d . C o n t i n u i d a d u n i f o r m e Se dice que la fuq_ c i6n z • f( x , y ) e s cont inua e n e l punto ( x , y ) s i está definida en este o o punto y en uno c ua l q u i e ra de sus vecindades y •

173

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

lim/(x, y ) =1 (X0 , Y0). X-+Xo

Y-+Yo

E j e m p 1 o s . Las f un c i on e s donde q u i e ra .

z =

O b a e r v a e i ó n . Si la f un c i ó n se d i ce que es cont inua en e l punto

x + y,

z = x• - y•

son continuadas -

y ) está defin ida en el conjunto E ) , ael conjunto E , con respecto o a e ste conjunto , s i pa ra toda secuenc ia de ¡;>un tos pertenec ien {(x, , y , )} , tes a E y c onvergentes a ( x , y ) , tenemos o o l l m f (x, ,y,) =f (x0 ,y0) . z =f( x ,

( x

, y

n-+ oo

Si la fun c i 6 n es c o n t i n u a en cada punto del conjunto E , con respecto a este conjunto , se d ice b rev e me n t e , que es e o n t i n u a e n E Así que , si po r ejem plo , la función es continua en un don-: inio ce rrado 2 , eutonc es en los puntos int er w r e s de él es continua en sentido o rd ina rio y en t o s puntos fronteros es cont inua c o n resb)ecto al conjunto Q •

Es pos i b l e fo rm ular t e or e m as y definic iones sem ejante s a l o s expues tos para 1 a s fun c iones de una va ria b l e , po P ejem plo teo Pema s relat i vos a l a cont inu idad d e l a suma , el p Poducto y e l c o c i e nte de dos funci vnes contJ. nua s . a ) Sean , una. func i6n f ( x , y ) defin ida en u n dom inio � y u n punto ( x 0 , y 0 ) per>tenec iente a u . Entonces, l a e o n d i e i 6 n n e e e s a r i a y s u f i e i e !l te

para la c ontinu idad

con e

ión

r> e s p e c t o

c ons i ste

pun tos sufi e ientem ente

( pe r>tenec i entes a

)

, y0 ) , 0 q u e l o s v a l o r e s d e l a f u ll..

la fun c ió n en un punto ( x

d if ieran

p r> 6 x i m o s

a l (.> u n t o ( x , y ) o o t a n p o e o e o m o s e q u i e r> a d e 1

) . En otr>as palabr>as , , o yo t o d o n ú m e P o e>O p ue da s e l e c c i o n a r s e u n a vec in - d a d t a l d e l p u n t o (x par>a l a q u e l O S v a l o r> e s ct e l a o Yo ) f un c i ón e n l o s punto s d e é sta per>tenec ientes a Q ) d i f i � r a n v a l o r> q u e

d e

l a f u n e i 6 n e n e l p u n t o ( .x '

d e f( x

, ·.i ) en m enos q u e e o o b ) Una función , defin ida en un conjunto Z aPb itPaPio , es u n i f o P m e - •

m e nte

e o n t i n u a en él si los valo Pes de la función en los puntos sufi - c i entemente próximos d e este conjunto d ifiePan entPe sr tan poco cuanto s e quiePa , e s d ec i :r , si paPa todo núm ePo e > O s e encuentPa c ierto núm ePo 7J > o, tal que los val o Pes de la func ión en dos puntos cualesquiePa del conju nto ·z, cuya d istancia entPe sí sea m enor' que 7J , d ifie:ran entPe sí en m� no s que e • -

e) S i l a f u n c i ó n e s d ef in i da y c o n t i nu� e n u n d o m i n io

Pes t P i ng i do y e e r ra d o , en ton e e s :

1 )

nio :

e s a c o tada y u n i fo Pm e m e n t e cont i nua e n e st e d o m i

174 Q,

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 ) adqui ere ,

p o r l o m en o s en un punto d e l d o m i n i o

u n vai o r m á x i m o y e n o t P o

punto ,

v a l o r m ín i m o . 3 )

por lo

m e n-o s , u n -

s i s e acepta q u e e l conjunto d e l os puntos inte -

r i o r e s d e l d o m i n i o g e s' u n c o n j u n t o c o n e x o , e n t o n c e s -

1 a f u n e i ón

a d q u i e r e t o d o s 1 o s v a 1 o r e s e o m p r e n d i d o s e ll.

tre e1 máximo

e 1 m ín i m o .

d ) s i una func ión , continua en un dom inio cerrado g , es pos itiva en - a lgún punto de este dom inio , exist i rá cierta vecindad d e e ste punto y una constante a.�> o , tal que en cada punto de esta vecindad ( perteneciente a Q ) tiene h.igaP la desigualdad 1 (x, y) > 11.

DERI VADAS PARCIA L ES. 1 0. O e f i n i e í ó n d e 1 a s d e r i v a d a s a r e i a 1 e s . Sea una fun c ión z • f x , y continua en la vec indad de ciePto punto ( x , y ) . Represente mos con �x el inc Pem ente de la vaP iable x .

Hagamos

Az =f<x + Ax, y) -f(x, y).

!�

El l ím ite ( si existe ) de la razón

cuando

flr,

cibe el nombre de p r i m e r a d e r i v a d a p a r e i a 1 Esta derivada pa Pc ial se representa con el símbolo :

iJx

As( que ,

t iende a cero re con respecto á x. -

1s' (x Y) • •

a /� (x, y) = : = llm /(x + 4x, y) - /(x, y) .

iJx M"-+O 4x Anál ogam ente se define la derivada paPcial con respecto á y

Ejemplos.

f'1 (X, .Y) = a: = lim / (x, � Ay -+0

t . z = 5r + Bxy• + y:

iJ: 1 ox = 0x + By1,

3. z

"Vx - "Vy '

�z

ox =

a_y = 1 6xy + ay•.

_ Y �- � X +>' ' OXa (X +yji ' oy- (X + yf

2. z = 2L

y + 4y) - / (X, y)

•

y )• ' a;= 2 yy <Y.-: - JI"y)• •

2 'JI'X (J"X - Y

FUNCIONES D E DOS VARIABLES

y z = in x + , x -y

1 75

2x oz iJz 2y iJx = - x• - y' ' ay = x• - y' ·

z=y sinx+ cos (x -y), =y cos x - sin (x -y), -ay = sinx+ sin (x--y). 6. Z =arctg -=. , x �y • x' 5.

iJz ox

iJz

oz = �' dx x• +y' • oy - -

+ y'

z = xyex+�y, = ex�•Yy (1 +X), ay = r+IYx (1 + 2y). OX iJz

iJz

l l . D e P i v a d a s p a P c i a l e s d e s e g u n d o o P d e n . S i se adm ite que las func iones f ' y f' ex isten en la vecindad de un punto ( x , y ) , puede y

sucedeP que cada una de é stas tengan dePivadas paPc iales con Pespecto á x y con Pespecto á Estas dePivadas paPcial es se PepPesentan con los s(m bolos :

� =1"x• = iJiz dx df'

� =/"

ox• '

a¡;, -1"

iJiz dx - yx - oy dx ,

iJiz ax ay • ay

�- f• _ iJiz ayt. ,� -

Eje m p l o s .

z=x' + 4xly' + 7xy+ l .

Tenemos :

:� = 4x' + Bxy' + 7y, �= 1 2x1yl + 7x,

POP consiguiente , 2.

iJiz = 1 2r ax�

+ By ,

iJiz iJiz . iJx oy = uy iJx ::-;:: 2 4xy

sen x cos y ,

d? = - sm x

(Jiz

•

iJz iJx

cos y,

o•z

• + 7 , dy' =24x•y.

= cos

x cos y,

ay =- stn x siny, cos x sin y, = - sin x cos y.

iJ1z iJiz iJ = iJ =y ox ox y

•

iJiz ' oy

En ambos ejem plos obtenemos O!z iJie = Bx ay ay ax··

Como ve Pernos ahoPa , esta pPopiedad pePtenece a toda función f( x, y ) Qúe satisf.s;lga c iePtas condiciones genePa les .

J 76

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

P e e 1 e a m b i o d e 1 o r> d e n d e l a d i f e r> e n c i a c i 6 n . S i e u l a v e c i n d a d d e u n p u n t o ( x, y ) e x i s t e n l a s y s o n e o n t i n u a s , s e r> á n i g u a l e s e f;; y f;� d e r> i v a d a s t r> e s ( , e n e s t e p u n t o . o s t r> a e i ó n Cons id e r>emos la expr>es i6n Oe 12. T e o

e m

so b

donde

.ix,

•

u =1 (x + Ax, y + Ay) -1 (x, y + Ay) -/ (x + Ax, y) + 1 (x, .Y),

tienen algún val o r> constante. L a

de las va r> i a b l e s x é y. Sea

lf (x, y) = 1 (x, y +.i..v) - / (x, y) .

Entonces

lf (x + Ax, y) =f<x + Ax, y + Ay) - / (x + Ax, y).

pues,

u = 1f (x + Ax, y) - 'P (x, y) .

Con s i d e rando constante á y, obt e n m o

valor> m

expr>esi6n

/ (x, y + Ay) -/ (x, y)

puede cons ide r>arse como una funcióil

Así

ed io

s de acuer>do con el teo f'ema sobf'e e l

s i endo

lf� (x, y) =/� (x, y + A.v) - 1� (x, y) .

Substituyendo eu l u ga p de x la expf'esión

x + 6Ax, obtenem o s : u = 4x [/� (x + OAx, y + Ay) - /� (x + OAx, y)].

Apl icando , nuevam ente , a la

expr>es1ón dentr>o del par>éntesis el t e o Pe

ma sobre el va l o r' m e d i o , ob te n e m o s : 11

= AxAyf;y (x + 6Ax, y + 6'Ay).

Si in icialm ente hub iésem os hec h o

� (x, y) =1 (x + Ax, y) - f (x, y),

( 1 )

entonces, pr'oced i endo de maner>a aná loga , habríamos o o t n i o

e d

u = � (x, y + Ay) - � (x, y) ,

despue s a e d i -

( 2 ) Com parando entr>e sí las igual dades ( 1 ( 2 obtenern o s , v idi r> ent r>e e l factor cvm ún l a igual dad AxAy,

donde

)

f';y (x + 6Ax, y + O'Ay) =t;Jf (x + 61Ax, y+ O;Ay),

·1, �. 81 • o:

son nílme ros pos itivos, m enor>es que la un ida d . Si,

1 77

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

ahofla hacem os que Ax y Ay tiendan a ceflo , en v ifltud de la continuidad de las deflivadas " r..]IJI obtenemos : /JfJ!'

PROBLEMAS Com pi"obai" , poi" cálcul o , la va l idez de l a igualdad iJiz i1z t)x iJy = oy ox

pafia las funciones :

x-v 2. z = � +y . X .s. 1 = e"y + yxl.

4 . Pafia las funciones dadas en los pflob lemas

del Páfl. 1 0

•

1 3 . D e fl i v a d a s p a fl c i a l e s d e O I" d e n s u p e fl i o n . Al igual - - que las defli vadas d e �egundo OI"den s e definen las defli va das á e oflden su periofl. La deflivada pa rcial ae orden n es , poi" consiguiente , e l I"esultado de difeflenciaciones sucesivas con I"especto a Las variables x é y. La defli vada pa flc ial de enésimo orden que obtenemos tomando p veces la defliva da pa rcial con I"especto á x y l a func ión así obten ida , deflivada d e q veces con I"especto á y, se I"epflesenta rá poi" el sím bolo

iY'z "

iJxl'iJy'l = I"P' y" (x, y)

Eje m pl o

•

Cal culemos

(p + q = n).

Sea

•

Obtenemos : oz

iJx = 4x' - Bxy•,

o•z

iJx oy = - 1 6xy,

iJiz ox o,• = - 1 6x.

El I"esultado f inal no depende del O I"den en que se tom en las derivadas Parc iales, �i todas las deflivadas pa fl c ia l e s , hasta la de enésim o o flden . -

178

. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRA:U

inclusive , son continuas. Efectivam ente, de acuerdo con el último teore ma demostraoo 1,.1odemos alterar el o ttden de dos diferenciaciones sucesi vas. Puesto que va Piando varias veces el o rden de dos d iferenciaciones: sucesivas podemos pasar de la derivada de a lgun o rden a la de cualqu ieP otro, entonces el resultado final será exaGtamente definido si solam ente se da el núm �o de diferenciaciones con respecto á x y á. y. Por tanto el sím bolo :fl ( p + q • n ) es com pl etamente sufic iente para Pepre oxP

sentar todas las derivadas pa rc iales de enésimo o Pden , bajo la condic ión de que sean continuas en . la vecindad del punto ( x, y ) . Ejem p1o

•

Sea

z = ar�tg

Tenem os :

yx JÍJ + x• +y• .

� - 1 5 J - 5(r +y•) + 5Ix1y1 - 6(x� + .t>

ox•iJya -

u, v:

!!.

(I + r + r> 2

14 . F u n e i ó n e o m p u e s t a . Sea dada una func ión de las vaP iables

z • f (u, v ) , continua en conjunto con sus prime ras derivadas parc ial es en e l rectán gulo IX :s;;:;; u ..; � IX' < v < Jr Sea que las variab ies u , v son func iones de las vaPiables x , y , es aec i r : .'" = f (x, y), v = c1J (x, y). ,

son continuas asíAdm itamos que las funciones cp (x,.y), t (x, y) · como sus dePivadas parc iales de primer oPden en el rectángulo a <:. x � b. a' <y ,;;;, b' y que además .. ' 11 < f (x, y) <;; �. IX � ' (x, y) <; W. ·

Bajo estas cundic iones la var iabl e z puede cons idera rse como una función de las vai'iabla; x, y, á sabe r : Z =/[lf (x, y) , � (x , Y)] = F (x, y).

Se d ice que la función z • F(x, y ) es una f u n e i ó n e o m p u e s t a formada poP las variables intermediar ias u , v. Satisfechas las cond ic io nes anteriores es fácil demostrar que l a función F( x, y ) e s continua en el rectángulo a � x � b, a' :s;;. y :s;;. b': 15. D e r i v a d a s p a r c i a l e s d e f u n c i o n e s c o m p u e s t a s . Para defini r la derivada paPcial con resgec.to á x, representemos por el incPemento de la variable z, y por .:ix , A. u, Av, flz los correspondientes incrementos de las var iables u , v, z. As1 que fl u = lf (x + flx, y) cp (x, y), Av = � <x + &x , y) - � (x, y), flz =f<u + A u, v + llv) -/(u, v). -

119

FUNCIONES DE DOB VARIABLES

Transformemos la expr>esi6n par>a

4z en

la siguiente forma :

Az = [1 (u + Au, v + áv) - / (u, v + Av)] + [1 (a. v + Av) -f(a, t:r)).

Apl icando ahora , a cada paréntesis el teorem a sobre el valor medio, y consider>ando paPa el lo á · v + llv, como constante en el pPim e P paPénte - s is y á u e n . el segundo, obtenemos: Az =f� (u + 6ia, v + Av) !l a +/'.q (u, v + 0'/lv) Av,

de donde

!: = /� (u + Mu, v + llv) � +!; (u, v + 6'iv) !� ·

Si Ax' tiende a cero, entonces, en el l ím ite tenemos: '' + !''•"' rfrx�

(Ji = ¡atf.Ji

�

( 1 )

Análogam ente ( 2 )

PoP ejem plo, sea entonces

Si se supone que u y v son funciones únicamente de la variable x, de tal suePte que entonces 6=/(11, v) =/[cp {x), <t (x)] = F (x).

Asf pues, z es una función com puesta de la vaPiable x establecida a tPa vés d e las variables u y v . En cirtud de ( 1 ) y tomando e n cuenta que en este caso oz _ dz obtene.m os: ox - dx. ,

Sea . po p ejem plo

entonces

( 3 )

iii = "u"-•a• + u" In U · t:r,. = = <JI (x) [f (x)�,- •,· (x) + [cp �)J"'Jt) In cp (x) . !JI' (x) .

180

CALCULO -DIFERENCIAL E INTEGRAL Si

z = f( x , y ) ,

y = � (x), obtenem os : z =f[x, � (x)]= F (x) .

A p l i c9ndo la fó r>rn u l a ( 1 ) baJo la cond ic i6n que

di _,, +1' , di - Jf yYJf·

P o r> ejem p l o , sea de donde

dx.

l. l = ln

x + Y�

X - fr - ya

xl - y

2. z = xq:v •

8. z = lu

y , tend re n1 o s :

( 4 )

PROBLEMAS 01

ll + u ' 1 n u-=-Q

iJx

y = 2x - 3,

oz dx

/ ax + by Y ax - by = In ,Yrjj_ v '

y xa _ ya ' dJi = - y yxz iJz

2x _

4x (x - 3)

(XZ + 2x - 3)1

•

abx

.·

= x, v

= 2x + 3y1 + (6xy + 4) 4x.

LL D c m o st r>a r> q u e no e x i ste una fu n c i n P u r> c w l c s se c x p Pe s eH p o r> l a s fó rm u l a s :

den s [.

z = f( x , y ) c u y a s d e r> i va da s

dx = y, d_Y = 2x.

iJz

Ro s u l ta r> ía que d e t8 l func i ón l a s d c r> i vadas pa r>c ta l e s de s e g u n d o o r>iJZz iJZ z se f' ía n co1-: t in u a s y , po r> c c n s i g u 1 entc , i gua l e s e n t re y

dx dy

ay iJx

FUNCIONES IMPLICITAS

l b . D e f i n i c i ó n d e u rt a f u n c i ó n i m p l í c i t a . S e a una fun c ión d e f i n ida y con t m ua s en c i e r>to dom im c. P u ede suceder> que c x • s ta una func i 6 n c o n t i t:. u a y = f( x ) ta l (1 u c l a s pa r>ejas ( x , y ) c o r> r e s pon G t Ci i C e s sat i SfiJ P Íaú a ia C C UdC l Ófl z=

F ( x , y)

F (x, y) = O.

( 1 )

En e s t e caso se d i c u q u e la func ión f ( x ) e stá daaa im p l í c itam e n t e p o r>

l <..t e c ua c ión ( 1 ) .

Ejem p l os .

F un c i o n e s dada s i m pl i c i to m e n te :

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

l -x +x

1 . Y �l

2 . Y = Vr•

181

3x1 - 2xy + y1 - 1 = O.

No d e b e pensa r>se q ue la e c u a c i ón ( 1 ) liada d e f i n e s i cm p r> e una fun .;.. en efecto , no e x t s t i r> n i n&, u n a f u n c ión c on r. w un q u e sa t i sfaga a l a e c u a c ió n ( 1 ) , o pueden e x i s t i r> va r• ia s d e ta l e s func i on e s .

c i ón im p l íc i ta . P u e d e ,

Ej e m p l o s .

l . N o e x i s t e n in .�una func ión q u e sa t: i sfaga a l a e c ua c i ó n

X 1 +Y 1 + l = 0.

2 . L a s func & o n e s

m a ecuac ión , a sab e P :

sa t i sfacen u n a m i s -

1 7 . T e o rema de la e x is t en cia de una f un ci 6 n im p l (ci t a .

una

P P l m e r> a s

¡) u 1 1 t o

z = F(x, y ) ,

func ión

d e r> i v a d a s

, b

1) F (a, b) = O,

2) F� (a, b) =1= O,

e x i s t i r> á

c on t i n ua

una

l a

1 ) / (a) = b,

vec indad

La d e m o st r>a c i ón de

E j e m p 1 o . S ea

Tenern o s :

H a c i en d o

a =

e n

l as

so l a m en t e

2) F[x, / (x)] = O.

p a r> c i a l e s

s at 1 s f a e e

) ,

c O iYt i 'n u a

vecindad

eond i e i on es :

una

d e l

conjunto

fun e i 6n

punto

a ,

c o ·n

d e

s u s

f( x ) , d e f i n i d a ta l

que

este teorema se rá o m i t i da dada su com p l ej idad .

r� = x + t .

- l / 3 , obtenem os :

F ( 2 , - i-) = 0, F; ( 2 , . --} ) = 3 :f= O .

P o r> co n s i gu iente de a c u e rdo c o n n u e s t r o te o r e m a e x i st e una y sola m en te una f u n c ión y = f{ x ) , c on t i n ua en la v e c indad d e l p u n t o x = 2 , a u.e

1 32

CALCULO: DIFERENCIAL E · INTEGRAL

adquiere el valor - l /3 en est� punto y que satisface a la ecuación F(x, y) = O . Lo m ismo puede dec irse sobre cualquier otro punto ( a , b ) que satis faga .las condic iones ab + a + b - 1 = O, a + . 1 � O. En nuestro ejem plo po demos encontrar la función desconocida al resolver la ecua ción F( x , y ) ':' con respecto á y .

1 8 . D e r i v a d a d e u n a f u n e i ó n i m p 1 í e i t a . Aceptemos que l a funciÓn y • f( x), continua en la vec indad del punto x • a , está dada en forma im plíc ita por F(x, y ) • O. Adm itam os tam bién que la función - - z • F( x, y ) es continua en conjunto con sus derivadas parc iales de primer . orden en la vec indad del punto x • a, y • f(a ) , f(a ) • b y . que .Fy' (a, b) � O.

Representemos por Ax un incremento arb itraPio de la var iable x. Hagamos . !Ay =1 (a + .ix) -1 (a) ;

tenemos . por cons iguiente , F (a + Ax; b + Ay) - F (a, b) = O

Procediendo como lo hicimos en l a Pág.1 79 , obtenemos :

F (a + Ax , b. + Ay) - F (a, b) = = � (a + 6Ax , b + Ay) Ax + F� (a, b + 6Ay) Ay = 0. ( 1 ) Puesto que F' ( x , y ) es una función continua y como F ' ( a , b ) � O , y y entonces para un incremento fl.y suficientem ente pequeño tenemos tam bién Por lo que, pa ra Ax , ducirse

suficientem ente pequeños, de ( 1 ) puede de ( 2 )

Cuando Ax tiende a cero , en virtud de la continuidad de la función y•f( x ) , e l increm ento Ay tam bién tiende a cero . Así pues , el m íemb ro derecho de la iaualdad ( 2 ) tiene por l ím ite F� (a, b) Por tanto

Fy (a, b) • ·

r (á) = 1im � 6 " " .... o

F: (a, b)

- -;;;¡---:- . 1·y (a,

L ueao hemos demostrado la siguiente p poposición : T e o r e m a . S i l a f u n c i ó n c o n t i n u a y • f ( x ) d a d a e n f o-r

O t i en e d e r i va m a i m p 1 r e i t a p o r l a e e u a e i ó n F ( x , ·Y ) das F ' y F ' c o nt i n u a s tam b i én ento n c e s l a f u n c i ó n y Y •

y • f( x )

183

FUNCIONES DE DOS VARIABLES

, t i e n e d e I" i v a d a p a I" a t o d o v a l o I" d e . x , p a r a e 1 y e s t a d e P i v a d a s e e x p i" e s a p o i" l a que F; [x, /(x)} :;6 0,' fóPmula •

iJF , Fx (x, y) , iJx - - -)1 = - F; (x, y) iJF •. iJy --

(

)

Nos ocupaPemos ahoPa de la detei"m inacion de la segunda Oei"ivada de una func ión i m p l íc ita . Podem os considei"ai" a l a dei"iyada y ' como una func ión com puesta y PO I" la func ión , continua fo pmada por la func ión continua F� (x, Y) tamb i én , y • f( x ). F; (x, y) Si a las condic iones antei"iores agregamos todav ía la condic ión de que la función F ( x , y ) tenga segundas derivadas parciales continuas ento!!_ ces del teorema sobre la derivada de una func ión com puesta y de ( 3 ) se desprende la existenc ia de y '' . Apl icando la fórmula ( 4 ) ( pág.l80 ) . obtenemos: -

•

� + Y' = tl1:.=_!_ I- �1 ..! [- Fy�Jy· .tú

Así pues,

iJJt.

DJ'

•

De donde

Fórmulas análogas se obtienen para las derivadas de orden supePiOI", aunque Pesultan demasiado com pl icadas. O b s e I" v a e i ó n . Procede advei"t i i" que en las fórmulas obten idas pa Pa las de i" ivadas el símbolo 1 repPesenta una función de la vaP table x de f m ida poi" la ecuac ión F ( x , Y J • O; los m iembPos dePechos de estas fórmu las son, por consiguiente , funciones d e una va P ia bl e , esto es, de la va Pia ble x y no de las dos va r>iables x é y , com o lo papece a p i" im e i"a v i sta . Ej e m p l o s . l . F(x, Y) = x• +y• - t = 0 .

Ten em os :

iJF iJF iJIF iJIF' iJIF iJx = 2x; dY = 2y; --a? = 2; a? = 2 ; iJx iJy = O.

1 84

CALCULO DIFERENCIAL E I�TEGRAL " 1 Y, = - y, y, = - y¡ ·

PoP tanto

Dife :r>enc iando la segunda de Pivada y cons ide:r>ándola com o una fun - c ión com puesta , obtenemos :

2. F (x, y) =y - xe" + x = O Tenem os : ,

pop consigu iente , ·3.

.,JI - l

Y = •-w · sen ( x + y ) - y = O . ,-

cos

Y - - cos (x +y) - 1 ' y" (JC +y)

sin (JC +Y> [cos (x +y) - 1)1 •

19 . M á x i m o s y m í n i m o s d e f u n e i o n e s i m p 1 í e i e a s . Sea la función z = F(x, y ) continua e n conjunto con sus de:r> ivadas pa:r>c ial es hasta e l segundo oPden , inc l usive, en el dom inio Q Cons ide:r>emos el p:r>oblema de la dete:r>m inac ión de los valoPes ext:r>emos de una función - dada impl ! citam ente pop l a ecuación F{x, Y) = O. •

C item os las condiciones necesa:r>ias más s im pl e s . PaPa ello enco!:!_ tPemos puntos ( x , y ) , que satisfagan las cond i c iones :

F (x, Y) = O,

f"x (x, y) = O,

F; (x, y) =1= O .

S i existe un punto ( x , y ) que satisfaga estas condic iones , enton o o ces en v i Ptud de los teo:r>emas ante :r>ioPes ( Pág. l 80 y s iguientes ) existe - una func ión y = f( x ) , cont inua e n conjunto con sus dePivadas d e p:r>ime:r> Y segundo o:r>den que satisfacen la ecuación ( 1 ) en la vec indad del punto x .. x y que adqu iePe , paPa x = x , un valoP y = y o o o ObsePvem os además que /, F� (x.,y.) •

F.y (x.,y.>

(x,) - --,-- - 0. _

Com o r-: (x,, y,) = O, entonces , a pl icando la fó:r>mula pa :r>a la de:r>ivada segunda de una func 1ón im p l ícita ( Pág.l 83 ) , obtenemos :

r (x•) =

�. (Xe��Yol Fy (x.,y.)

•

Por> consigu iente , si F;. (x0 , Y0) ::;6 0, la func ión y = f( x ) tend:r>á un valoP ext:r>emo en el puntQ x • x Este se:r>á un máx imo p:r>opio o un m ín im o , de[Jend iendo oe q ue F:.. {x,t.Y oP o F; (x, J',) tengan un m ismo signo ó signos d ifePentes. Si F;. (x0 , y,) = O, enLOnces es necesaPio investigar> la s de:r>ivadas de oPden supe :r> ioP. •

FUNCIONES DE DOS VARIABLES Ejem p1o

•

1 85

Sea

Tene m o s : F� = - 3y + 3x',

� = 3y1 - 3x.

Resolviendo el sistema de ecuaciones F ( x , y ) .. O y F "" ( x , y ) �· O obtene x m os dos soluciones : Tenem o s :

Fy (Xl , y1 ) = 0,

2. F1 (x1 , y1 ) = 3 v-

De donde se ve que la pP imePa so luc i6n es desechabl e . Adem á s , F;. . (x2, y,) = 6x1 = 6 V2-

y F, (x,, y1) tieneu e l

Puesto que Fx. (x1 , y,) gaP un máximo ppopio.

ismo signo , tendPá lu

PROBLEMAS

Com ppoba P , en los ppoblemas 1 -4 , los Pesulta os detePm inando y de la ecuación F ( x , ·y ) = O . '·

lA El

/-"()(., .Y) = Ar + 2Bxy + Cy' + 2Dx + 2Ey + F = O; B

C D E F dv Ax + B.v + D d'y dX = - JJx + Cy + E ' dr = - (& + Cy -t- h)'.

2. F (x, y) = x' - 3c xy +y' = O;

dy ey - x• �y di = - ex - y• ' Jii

3. F (x, y) = yx - x)' = 0;

2c1xy (ex - v')' '

dy v• (In x - 1 ) di = x1 (ln y - 1) •

4. F (x, y) = eY + are-Y - 2bx = 0;

5 . DemostPa P que la función im p l (cita dada poP la ecuac ión F (x, .v> = r - 4a'xy + x' = O,

t iene un va loP extPemo Pé!Pa

x = ± a V"3, y = ± a V21. ·

In vestiga p s i éste es un máximo o un m ínim o . 6. lnvest igaP l o s valoPes extrem os d e las func iones d e l o s problemas 1 y 2 . 7. Dem ostra r que en todos los triángulos de altu ra

dada y de á Pea 2P y su

P . conocida , el de m enoP pePfm etPo es el isósce les cuya base es

a ltu:Pa

111

CAPlTUW X

FORMULA Y SERIE DE TAYWB. MA;xDIOS Y MINIMOS. DD'DENCIALES DE FUNCIONES DE DOS VAIUABLES. FOIIIIULA Y SERIE DE TAYLOR

PARA . FUNCIONES DE DOS VAlliABLES.

l. F 6 r m u 1 a d e · T a y l o r . Sea una función f( x, y ) continua en con junto con todas sus derivadas parc iales, hasta la de enési"rn o o rden inclu sive, en la vecindad de un punto (x, y ) . Sea el punto ( x + h. y + k ) perte nec i ente a esta vecindad. Considerando constantes á x, Y hl k podemos tratar la expresi6n f( x + h y + k ) como una func ión de la variable t. Hagamos, por ronsiguiente., q¡ (t) =/(x + ht, y + kl) •. .

Encontremos las derivadas de la función co (t), m-ediante el teorem á - sobre l a doPivada d e una funcióa compuesta ( Pág. l 79 ) . Para ello hagamos :

u = x + lit , v = .v + kt ,

As( que cp (t) =/(u, v).

DifePenciantlo con respecto á t, obt0nemos: <9 (t) =/a (U, v) tü +fv ( U ,

de donde

(l) dt ' do

!p ' - (t) =Íu (u , v�h +¡; (u, {1) k.

Volviendo a la notación ante Pior, obtenemos

'f' (t) = h� (x + ht, y + kt) + kl� <x + ht, y + k t).

Análogame nte encontramos :

t" <t> = �t.=. cx +ld, Y + �t) +

+ ?.� (.t + /d, y + kt) + lt'Í,• <x + ld, Y -1 M)

Esta derivada puede escribirse simb61icamente en la forma

t" (t) = [lt� (x + ld. y + kt) + k/; (x + ht, y + kt>J1 '.

Calculanio la derivada siauiente , obtenemos :

t"' (t) = �t•f; <x+ht, Y + �tt) + Sk'k/;1 (x + ht, Y + kt) + + aw¡;. (x + ht, y + kt) + ••f'; (x + Id, , + .,,

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR

187

s imból icamente : ,,� (t) = [,V: <z + ht, Y + kt) + kf; <x+ ht, Y + kt)J''· Por inducción .encontramo s :

,,,., (t) = [lif� <x + ht, Y + kt) + kt; <x + hf Y + kt>r'. • .

Observemos ahora que apl icando a la función ff (t) la fórmula de t\.1a c laurin y hac iendo t • l , obtenemos :

cp (l ) = cp (O) +

-h cp' (O) + �

.,.

(O) + . . . . + (n � 1)1 cp<"-11 (O) +R,..

El térm ino del res iduo puede escribirse , por ejem plo , en l a forma de Lagrange : 1

R,. = ñj cp1111(6) (0 < 6 < 1 ). Pero

' ( 1 ) =/(x + h, .v + k), ' (O) =1 (x, y) , ,, (O) = h/� (x, y) + k/; (x. y). t• (O) = Jalf:. (x, y) + 2W� (x, Y) + k•t;. (x, Y) = = [h/� (x, Y> + w; (x, y)J11,

en general ,

Por consiauiente.

f<x + h, y + k> =f (x, Y> + [h/� (x, Y) + lif� (x, y)] + + [Iif� (x, Y> + lif� (x, y)J•' + · · •

• . .

+ <• � i)t.[h/� (�. Y) + � (z, y)f- '' + R.:

para el térm ipo deJ residuo tenemos la f6nmu la R,. = ,J; t� <x + Oh, .v + Ok) + kl; <x + Oh, .v + Dk)]"'1

(0 < 6 < 1 ). Asf pues, hemos obtenido la fórmula de Taylor para una función de dos variables. S i tomamos, en particular, x • O , y • O , entonces substituyen do en la f� rmula de Taylor x • O, y • O y ·despues escribimos x 6 y en l ugar de h y k , obtenemos la fórmula de Maclaurin para una función de dos variable s en la forma

1 88

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL

f(x, Y) =/(0, 0) + -fr [x/� (0, O) +Yí, (0, O)]

+ 2f [xt: (0, O) + y/� (0, O)JI' + . . . 1

• · · + (n � l)! [x/� (0, O) + y/; (0 , O)J<"- J' + R,.,

donde O b s e r v a e i 6 n . De la fórmula de Taytor, para n • l , obtenemos el teorema s o b re el va l o r m ed io pa Pa una func i6n de dos va r iab l e s :

/ (x + h, Y + k) - / (x, Y) = = h/� (x + 6h, y + 6�) + kl� (x -t 6h, y + Ok)

(0 < 6 < 1 ).

2 . S e P i e s d e Ta y 1 o r y d e M a e 1 a u P i n . Adm itamos que la funciÓn f( x , y ) es .coutinua e n conjunto con sus de Pivadas pa Pc iales d e to - dos los ÓPdenes d e l a vecindad d e c iePto punto ( x, y ) . Re pPesentemos por ( x + h, y + k ) un punto aPbitPaPio de esta vec indad , y poP n un número natural aPbitPaPio . PoP lo antePiOP, tenem os ( veP PaP. 1 ) :

l <x + �. Y + k) =/ (x, v> + � [h/� (x, y) + kt; (x, y>J + 1 + 2f [h/� (x, v> + k!� (x, y)]'l' + · . . • • •

+ (n � l)! [hf� (x, y) + k/� (x, y))"'- 1 1 + Rn•

lim R,. = O,

IS-+Q)

obtendPemos el CtesaPPollo de nuestra f unc ión en una se P ie convePgente -

l<x + h, Y + k) =l (x, Y> + ft [h/� (x, v> + kt; (x, y)] + •

. •

. . + � [h/� (x, y) + kf� (x, y)r' + · . . ,

que denom inaPemos S e P i e d e T a y 1 o P . S i , en paPticulaP , se hace x = O , y = O y en lugaP de h Y k se escri ben x é y . obtendPemos la se Pie de Mac lauPin :

f(x, Y) =/(O, O) + * [xt: co , O) + yt; co, O>J + . . .

. . . + ,};- [xf� (O, O) + yf� ( O, o>r' + . . .

Ejem plos .

18 9

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR

x + <x +y>' + + <x +y>" + · . . - l + +y 1 e �&+Y ·•· �� 1! ni •

2 . sin x sin y =

� 2xy �.ir- (4x'y + 4xy') + 6� (6x5y + 20x'y' + 6xy�) + . . 3. a rctg ;t: = a rctg y + � [xz �yz h - x• �y• k] + 2x + 2f1 [(x•-+2xyy•)z h• + 2(x•(x'+-yy•)a•) (x• +yyz)z kz l + =

T '

• •

MAXIIIOS Y MINIMOS DE nJNCIONES DE DOS VARIABLES.

3 . D e f i n i c i ó n d e v a l o r e x t r e m o . Se dice que la función z = f( x, y ) adquiere un v a l o r m á x i m o en algún punto, si en cada uno de los puntos de su vecindé.ld el valor d e la función no es m a yo r que su va

lor> en el punto dado. SubstituyendS)' en esta definición la expresión "no es mayor " por> el tér>m ino "menor " o � tenemos la definici6n de un m á x i m o p r> o p i o . De las definiciones anter>ioPes con las modificaciones adecuadas, ob tenemos la defin ición de un m ín imo. As f pues, s i e n u n p u n t o (x; y') t i e n e l u g a r u n m á x i m o e x i s r. l r> á c i e r> t a v e c i n d a d d e l p u n t o ( x ; y ' ) t a l q u e p a P a t o do p u n t o ( x ' + h , y .. + k ) p e r t e n e e i e n t e a e 1 1 a s e s a t i s f a r> á l a d e s i g u a l d a d . en

te ,

/ (x) + h, y' + k> � / (x', y');

e l c u s o d e u n m á x i m o p r o p i o t e n e m o s , e v i d e n t e m e l!._

/(x' + h, y ' + k> <l (x', y'),

y k n o son n u l o s s im u l táneam ente . Par>a los m ínimos tienen lugar las des i gua l dade s inve rsas . Así que erJ ambos casos puede afirmaPse que e n l o s puntos d e l o s va lor>es extPemos la expPesión f( x '+ h , y '+ k ) - f( x ', y ') , paPa valoPes sufi - c ientem ente pequeños de h y k , t ie ne un signo constante. Si t i ene lugar un máximo pr>opio la expPesión antePioP, paPa h y k suficientemente peque - n o s es difePente d e cePo , excepto papa h ,.. k • O. s i

C on di c i one s ne c e sa r-i a s--pa ra J.a e x 1 s t en c 1 a d e un va 1 o r

mos que la func ión fl x . y J tiene derivadas paPciales de punto adquiePe un valoP extPemo. De la definición de valoP extremo se desppende que la función f(x, y ') x ', también tie consider>ada como una función de una var iable x, para x ne un valor> extPem o, Por tanto

e x t r> e m o

Aom 1 ta

Pr> im e r o Pd er, continuas e n la vecindad del punto ( x ', y') y que en dicho - •

f� (x', y') :_ O.

190

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Análogam ente obtenemos :

t; (.t', y') = O.

L uego hemos demostpado el sigu iente TeoPema S i l a fun ción z • f ( x , y ) , c on t i nua en c onj unto con s u s d e P i vadas p a P c ia l e s d e pP i m e P o P d en en l a v e c indad d e un punto ( x ', y ') t i en e un val o P e x - t P e m o e n d i c h o punto , ento n c e s a m ba s pP i m e Pa s de P i vada s pa rc ia l e s son n u l a s en e s t e punto . • - Coad t o t aa euftot a a t a pa p a la a xt e ta D o l� da ua Y a l o P x t re m o Si una función t( x, y ) , c on t inua en conjunto con sus derivadas e paPciales de prim e ro y segundo orden en la vec indad de un punto ( x ', y '} sat isface las condiciones .. •

•

/� (x', y') = O, t; (x', y') = O,

entonces, haciendo

- podTemos afiPmaP que : a ) paPa A./ Oen e l punto ( x ', y ') l a func ión tiene un valoP e:�<:tPemo que se r>á . u n m á x i m o p P o p i o,. s i ¡;, (x', y') < o, un

rn i m o p P o p i o , s i

¡;, (x', y') > O ;

b ) p a p a -1 < 0 u o s e t e n d P á u n v a l o P e x t P e m o e n e l p u n - t o ( tX ' , y ' ) ; e ) pa pa á=O p u e d e t en e P s e o n o un vo l O P e x t p e m o . ' 0 b S e P v a e i Ó n . En e l caso a ) la� der> ivadas h• (x', y ) y j ;. (x', y') son difePcntes de cePo y tiene el m ismo signo , ya que de lo contPaPio no ser>fa posibl e A .;; o. . D e m os tPac ión . a ) Adm itamos que A > o. . Apl icando la fóPmula de TayloP bajo las condiciones

obtenem os : donde

La antepior> f6 Pm ula puede escPibiPse en la for>ma siguiente :

1 91

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR

Aceptemos ahora que t;. cx', y') > O. . De la continuidad de las de - rivadas parciales de segundo orden se deduce l im r =ha (x' y') > 0

h�o

.t ..... q

•

y también lim (rt - s1) = � > O.

.... o

h -+0

Por lo que, para h Y k suficientemente pequenas r > o, rt -:- s• > o.

Por consiguiente, en virtud de ( 2 )

/(x' + h, y' + k) -/(x' , y') � O.

La igualdad es posible solamente cuando h k O. De consiguiente en el punto (x', y') tiene lugar un m ínimo propio. En la demostración supusimos que ¡:.·(x', y') > O; Adm itamos que t :. (x', y') < o y procediendo de manera semejante se puede demostrar que en el punto ( x', y :") tiene lugar un máximo propio. b ) Supongamos que � < O, y hagamos •

r, =f;. (x', y'), S0 = Íxy (x', y '), t, =í;• (x', y').

Observemos que el polinom io

r, + 2s,x + t,x•

no conserva un signo constante, ya que el discrim inante r.t, - S: < O. Ex isten, por tanto, dos valoi'es �.

�. tales que

r, + 2s,�1 + tJ: > O, r, + 2s0�1 + tJ! < O.

Es evidente que a causa de la continuidad de las derivadas parciales de segundo orden �� (r + 2s�1 + �:> = r, + 2sJ1 + t,�: > O. . ... o

Pop consiguiente, existe una vecindad (�) del punto ( · x', y ') tal que si ( x '+ h , y '+ k ) , pePtenece a (�) , tendremos r + 2s�1 + t�! > O.

( 3 )

19 2

CALCUW DIFERENCIAL · E INTEGRAL

Tomemos ahoPa una vecindad (l') aPbit.PaPiamente pequeña del punto ( x '� y ') po�Pemos siem pPe elegir un númePo p, tan pequeño que el punto pePtenezca tanto a a•, como a a. Haciendo (x' + p, y' + P�.)

- -

h = p, k = p�• •

tendPemos, en viPtud de ( 1 ) y ( 3 ) :

�

/ (x' + h, y' + k) -/(x', y') = ! p1 [r + 2s�. + �!] > O.

Así pues, en toda vecmdad de un punto ( x ', y ') existe un punto ( x ..+ h , y '+ k ) tal que PPocediendo de manera análoga con el valoP �., demostPamos que en toda vecindad de un punto ( x .. , y ') existe también otPO punto ( x .. h , y "+ k ) , paPa el cual +

A�r que en el punto ( x ', y"')no se tiene un valoP extPemo. e ) A = O En este caso se obsePva que paPa la funci6nes .•

z = x' ..L.!'', z = x1 +y•

tenemos A = O . en el punto ( O, O ). La PPimePa de estas funciones tiene un m ínimo en este punto y la segunda no lo tiene. Ejem plos. 1 . z = x' + xy +y• - mx - ny .

Tenem o s :

�� = X + 2:v - n , = 2x + y - m, -rvy �x · �� di! = 2, ()ji, = 2,. �x�y - 1,

A = 2 · 2 - 1 1 = 3.

PaPa enc ontPaP l o s puntos en los que es pos ible el va l oP e x t Pe m o , Pesol ve m os el s i stem a de ecuac ione s .

�,=o,

�� z �x = O,

esto es,

2x +y - m = O, x + 2y - n = 0.

La solución única de este sisterna sePá x' =

PoP cuanto

} (2m - n), y' = } (2n - m). A=3> o,

eri el punto ( x ' , y ') existe un valoP extPemo. Com o iJ1z

Oii =.2 > 0,

193

FORMULA Y SERIE DE T.AYLOR

en el punto x' =

{ (2m - n), y' = { (2n - m)

nuestra función tiene un máximo. 2.

(A, 8, e ::fo OJ; 2 . z = Ax1y + Bxy1 - exy oz oz • iJx = 2Axy + By - ey, � = Ax1 + 2Bxy - ex, Olz iJiz o1z ax- = 2Ay , ox ay = 2Ax + 2By - e, ay� = 2Bx, 4ABxy - (2Ax +- 28y - C)1 • A

Resol viendo las ecuaciones

� - 0 iJz - 0 iJx - ' iJy - '

es decir

\2Ax + By - e)y = 0 , (Ax + 2By � C) x = 0 .

De las que obtenemos las cuatro soluciones : x = O, y = O; e x = O, y = -¡¡ ;

Los valores corre spondientes de - es

serán :

• ' - e• ' - e• ' l. 3 e.

Las tres primeras solUciones no dan un valor extremo ya que A < O. Para e X = 3A '

e Y = 38

OSz obtene tenemos un valor extremo. Substituyendo estos valores en or 2AC mos 3if Tenemos, por consiguiente, un máximo o un m ínimo dependie do de que

l. z =

PROBLEMAS

� xy + (47 - x - y) ( � + { )

2, z = rJI' (6 _ x _

( máx:

· =

( máx : x "' 3 ,

y • 20 ) . y z 2

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

194

a•c� > b'

en la s u po s ic ión que

4. z = x' + Jl' + 3xy

( m áx : x 5. z = e - �2 -Y1 (r + 2JI'>

(

( m ín : x

� y 3, y = ;a ;

max :

6. z = r + xy• + 3a xy mln : x =

y = O;

m áx : x = O, y = � 1 ) .

� y3, y = �a ) .

(a > O)

x=-

- 1 , y = -1 ).

7. Encontra r e l tr iángu l o de ma yo r á rea p c on un pe rím etro dado 2 s .

( Em p l ea r la fórmula P = V s (.s - x) (s - y) (x + y - s); y representan dos de los lados qel t r iángul o )

donde

DIFERENCIAL . DE lJNA FVNCION DE DOS VARIABLES 6 Defintctdn de diferencial. . Sea una fun ción z f( x, y ) con t inua en conJunto con su s def1ivadas parc ial e s de p r ime r o rd en en la vecin dad de un punto ( x, y ) Designem os con Ax, Ay los incrementos a rbi-:. t ra r io s de las va Pia b l e s x , y . La expres ión : =

•

/� (x, y) Ax +l; (x, y) Ay

recibe el nom bre de d i f e r e n c i a l t o t a l d e l a f u n c i ó n z =f ( x , y J con Pespecto a l a s va Piables x , y . La d iferenc ia l total se P e p Pesentará po r el s ím bo l o dx.,Z· E s c r i b iendo en l uga p de Ax, Ay los sím bo l o s dx x; dxyY • ,

obtenemo s :

( l )

7 . D i f e r> e n e i a 1 d e u n a f u n e i ó n e o m p u e s t a . Adm itamos ahQ. ra que las va r> ia b l e s x , y, son func i ones continj.¡as de otr>a s va r> ia b l e s u, v: x = cp (u, v),

y = � (u, v).

Su pongam o s además que l a s fun c io n e s cp y � t i ene n d e r> i va da s pa r>c ia l es cont inuas de p p i m e r> o r>den . Podem os , po r> tanto , cons ide r>a r> a la va r>ia bl e z c o m o una f un c ión c om pue sta de las va r> ia b l e s u , v, a sabe r , z = 1[<p (u, v), � (u, v)] ---:- F ( u, v).

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR

195

De donde De a c u e r>d o con e l -teo r>em a sob r>e las d o r> i va d a s d e fu n c i on e s com pue�

ta s , ten em o s :

: + /� (x, y) � , F'v (u , v) = !� (x, y, :: +!;. (x, y) � . F: (u, v) = /� (x , y )

S u b s t itu y en d o e stas e � p r> e s i on e s en la f ó r> na u l a

( � ) , o b w nen · o s :

d11vZ = [t� (x, Y) : +�� (x, y) :: ] d11fiU + + [t� (x, y) � + 1;. (x, y) :] d11vv, _

po p con s i g u i ente ,

du� =/� (x, Y) [:: d11vU + � d,"v] + + l;. (x, y) [t d11vu + t d1111v ]

Com o JB:s e xp r>es iones dentr>o de l o s p a r> é ü te s i s son la s d ife fl en c iéJ les

duvX•

d,v y , tend r>e m o s

8. A p l i e a e i ó n

fu n e i on e s

( 3 )

va Pia b 1 e .

en q u e l a s va �i a b l e s x , y , son fu nc i o n e s c o n t muas de una va r> i a b l e t y que a

d e

u na

Convenga m os

t i e n e n d e fl i vadas cont inua s de p r> i m e fl O flden . De sue flt e q u e ,

X = � (t), y = � (/) .

P o r> c on s igu i ente la va r> i a b l e z puede cons i d e va flse c o m o u na fun c i ón com

p u e sta de la va r> in bl e t :

D e donde

Z = / (� (t), � (t)] = F (t).

d1z = F' (t) d¡f.

Según el t e o fl e m a so b fle l a s de fl i vadas de una func ión com pue sta , te nem o s :

F' (t) = /� (x, y) x; + t; (x, Y ) Yí.

p o r> tanto

Com o

196

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL .

entonces

9. C a s o e n q u e u n a d e l a s v a r i a b l e s e s f u n c i ó n d e l a o t r a . Supongamos, por último, que la variable y es función de la varia ble x , y que posee prime r>a dePivada continua ; Así que

Y = !f (x) .

La variable z puede consideParse como una función com puesta de la variable x : z =f[x, !p (x)] = F (x) ,

por> consiguiente,

dzZ = F� (x) dx;X.

Según el teor>ema sobr>e las der>ivadas de una función compuesta, ten� m os: F� (x) =/� (x, y) +!� (x,y)y�,

por> tanto Como

dxZ = f� (x ,y) dx;X + h (x,y)y�x x.

entonces Com par>ando las fórmulas ( 1 ) , ( .3 ) , ( 4 ) , ( 5 ) ; vemos que todas ellas pueden pr>esentar>se simból icamente en la for>ma única : dz =!� (x, y) dx +t,;, (x, y) dy

ó iJ

dz = oz dx + a_y dy. x

( 6 )

Los sím bolos dx, dy, dz no son los mejor>es. per>o de { 6 ) obtenemos las ·fórmulas ( l ) , { .3 ) , { 4 ) , ( 5 ) substituyendo , siempr>e, en l ugar de d los símbolos dxy' d'"'' dt, d". 10. D i f e r> e n c i a l e s p a r c i a l e s . Si la var> iab le y asume algún v§!. lor> constante , entonces la expr>esi6n

f'x (x,y) dx

será la d ifer>encial de la función f( x, y ) consider>ada como una función de la variable x. La expresión¡� (x.y) dx se llama d i f e r e n e i a l p a r e i a 1 - -

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR

197

o n P e s p e e t o a l a v a P i a b l e x . Análogamente, la expPesi6n t; (x,y) d.y se llama d i f e P e n e i a l p a P e i a 1 e o n P e s p e e t o a l v a P i a ff 1 e y. PoP consiguiente, puede deciPse que : l a d i f e P e n e i a l t o t a 1 e s 1 a s u m a d e l a s d i fePenc ia l e s pa pc ia l e s . ll. D i f e P e n c i a l e i n c p e m e n t o d e u n a f u n c i ó n . Ocupémo nos ahoPa de la Pelaci6n entPe la difePencial total dz y el incPemento total e

�z = / (x + �x, Y + �Y) -/(x, y)

de la vaPiable z. Según el teoPema sobPe el valoP m ed i o ( Pág . l 88 ) , tenen� os : �z = f� (x + 6-ix, y + 6.1y) 11x + t; (x + 6�x, y + 6.iy) .1y, de donde �z - dz = [f� (x + 6.ix, y + 6.1y) -fx (x, y)] �x + + v; (x + 6.1x, y + 6.i y) -t; (x, y)] .iy

Las expPesiones dentpo de los paPéntesis tianden a cePo ya que las dePivadas pPimePas se han considePado continuas. Como 1 11 x 1 �1 y flx3 + flyz ,

siempPe que

I 11Y I

f llxz + llyz

�1

.1y no sean nulas simultáneamente , enwnces llz - dz

Ax -+ o Y llx2 + lly1 4.y -+ o

lim

En cálculos ppá cticos, cuando se tPata solamente de valoPes apPoxim� dos puede, papa 1 Ax y Ay suficientem ente pequeños, tomapse .1z :::::: dz.

PROBLEMAS

l . Suponiendo que las vaPiables ll· y 1:1 son funciones continuas de las vaPiables x, y, y que poseen pPirnePas dePivadas continuas, demostPaP que. 1) d (u + t�) = du + dv;

2) d (utl) = u dt1 + t1 du; tri

tl dU - U dtl

Demostpemos, pop ejem plo, la fóPmula ( 2 ) d (tw) = 0

�':') dx + 0�;ti) dy

(u : + v�) dx+ (u�+v �) =

dy,

198

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

como

oo ) ( ou ou ) (fi dx + a;; dy + o ax dx+ ¡¡y dy d(uo)=u (iJv

•

po r cons i g u i en t e ,

d (uo) =u do + o du.

2. Ca l c u l a r l a s d ife renc i a l e s oe l a s s ig u ientes ful)c ione s :

z = 'J:Tx' - 54x'y + 36xyt - sy•, dz = 3 (3x - 2y)1 (3dx - 2dy); , x dx +y dy) . z dz _ _ 4 ((x• + y•)• dx _ Vy . z dz- 2 Vxy (Vx+-Vxdy }ry )1 ' z = ln tg .=y , dz = 2 (y dx -2xxdy) . y siny 1 - xy dx _dy z = arccos dz - 1 + xz + í +r � Yl +XZ + r + xtyz ' '

1 2 . D i f e r e n c a l e s d e o r> d e n s u p e r i o r> . S 1 a c e p ta m o s qu e dx y dy son c n n t idades cons La n t es , ent o n c e s dz se r>ii ul la func i ón de l a s - var> i a b l e s x , y . P o d em o s , por tanto , h n b l a r s o b r e la d i fe r en c ia l de una d i f e r enc ia l . L a s e g u n d a o i f e p e. n c i a l o d i f e r> e n c i a l d e s e g u f\ ci O orden se Pá la d ifer>en c i a l de la d i fer enc ial ; aná l o ga m ente se d efinen l u s d iferenc i a l e s de o rd e n s u pe r io r . S im bó l i c a m e n te se r e p r e se n tan en l a s i gu i ente fo rm a :

d dz = d1� d�z = d'z,

E j e m p l o s . D e t e rm ina r l a s d i fe r> e n c i a l es ( c on res pecto á x , y ) d e or>den s u p e r t o r d e l a func i ón z = f( x , y ) , c on t i n ua en conjunto con sus d c r> i va d a s pa r> c i a l e s , h a stn la de o rden n , in c l u s i ve . En e ste ca so c on s i d e Parno s á dx y dy c o m o n Lí m e ro s constante s , po r c on s i gu i e n t e

d1x = d'x = d1y = d1y =

• . .

• • •

= dnx = O, = dny = O

199

FORMULA Y SERIE DE TAYLOR así que, crz = v;.dx

dz =/�dx + /;dy,

+ fx� dy] dx + [1:vdx + 1;. dy] dy '

p o r tanto

Aná loga m ente

dlz = f��'dx• + 31x' �'ydx•dy + 3f"' dx dy' + f"'dy• . .

. .

d"z = J!:"nldxn +

x� . . . . . .

(7) f�':l-1yd� - • dy +

� .

•

. . . + fj':/dyn.

S im bó l i cam ente , escr i b im o s :

d"z = (/�dx + t;dy) <m.

O b s e r v a e i 9 n . Si hubiésem o s s u pu e sto que x é y e ran fun c i ones -

de las va r i a b l e s u , v ent o n c e s no h u b i Aram os pod ido hace r

d�� = O

cJiuv.Y = O . . Ep e s e caso se h u b i e ra o bt e n i d o una fórm u l a c o n s id e rab l e m ell.

te m á s coinpl i ca da . P o r e j em pl o :

d1z = [f;.dx + /';.¡dyJ dx + [f�d'x] + + [!�; dx + t;. dy] dy + [l;d•y], por cons i g u i ente,

PROBLEMAS

1. z= sin x cos y, = cos x cos y dx - sin x sin y dy, d z = - sin x cos y dJC' - 2cos x sin y dx dy - sin x cos y dv'' dlz = - cos x cos y dx' + 3sin x sin y dx'dy - 3cos x cos y dx dy• + sin x sin y áy•.

'!Z

2. Z = Y ln x,

dz = 1. dx + Jn x dy, X

d1z = - L dx1 + � dx dy ' x1 x 2y 3 d'z = X' dx' - ? drdy.

200

CALCULO DIFER�CIAL E INTEGRAL

3 . Calcular las diferenciales de segundo y tePcer orden de las - - - - funciones propuestas en e l problema 2 d e l a Pág . l99 ·

CAPITULO XI

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLE!S.

l. D o m i n i o s . L l a m a r e m o s p u n t o d e l e s pa c i o d e t r e s '"' d i m e n s i o n e s a 1 t r r o d e n ú m e r o s (x, y, z) P unto d e 1 e s p a e i o d e e u a t r o d i m e n s i o n e s a 1 o s e u a t r o n u m e r o s (x, y, z, t). Análogam ente defin iremos el punto de un espacio de va rias dimensiones. O b s e r v a e i o n 1 . El trio de núm e ros (x, y, z) puede considera rse como las coordenadas de algún punto del espacio en el cual se han tomado trES ejes OX , O Y , OZ , mutuamente perpendiculares . Esta interpretación geom é trica- e s imposible para los cuatro núme ros (x, y, z, t) L lama remos v e c i n d a d d e l p u n t o

del espac io de

tres dimensiones a la interioridad de la esfera con centro en el punto P . L uego , la vec indad del punto P es el conjunto de los puntos (x, y, z), que Sé!_ tisfacen la desigualdad donde r es un núme ro arbitrario fijado de antemano. Asim ism o la vecin es el conjunto de puntos (x, y, z, t), dad del punto P (x0, y0,-.z0, t0) que satisfacen la desigualdad (1)

O b s e r v a e i ó n 2 . L lamaremos esfera en el espacio de cuatro d im en s iones con centro e n e l punto (x, y, z, t� al conjunto de puntos (x0, y0, z0, t0) . ·

que satisfacen la desigualdad (x - x0)1 + (Y

y0)1 + (z - Z0)1 + (t - t,)1 < ,.. ,

El conjunto de puntos que satisfacen la desigualdad ( l ) se designa con el nomb re de i n t e r i o r i d a d de esta esfera . El dom inio y los puntos fronteros en un espac io de varias d im ensiones se define al igual que en el espacio de dos d imensione s . P rocede solam ente substitu i r el concepto de vecindad en el e s pacio de dos dim ens iones por el concepto de vec indad en el espacio de va rias d im ensiones. Ejem plos.

l . Dom inios de tres d im ens iones son la inter>ior>idad de un cubo , de un paralelepípedo r>ecto, de una esfera, etc. Las fr>onter>as de estos dom inios son , r>espectivamente, la super�ic ie del cubo, del paralelepípedo r>ecto , de la esfer>a .

202

CALCULO DIFERENCIAL E, INTEGRAL 2 . E l conjunto de puntos

(x, y, z, t) , que satisfacen las desigualdades :

a � x � a', ó �y � b', c � z � c', d � t � d',

es un dom inio cePPado de cuatl"'O dimensiones que llamaPemos i n t e ( tetPadimensional ). 3.

1"' v a l 0

El conjunto de punto s (x, y , z) , que satisfacen las desigualdades

- l < x < t , - V1 - x1 <Y < Vf="Xi , - V 1 - x• -y• < z < V 1 - x• - y• , x• + y' + z' = 1 ). es el dom inio (de la intePioPidad de la esfePa

2 . F u n e i o n e s d e v a 1"' i a s V a 1"' i a b 1 e s . Sea E un c o n J u n to aPbi t P é:J rio del espacio de tl"'es dimensiones. Se dice que en el conjunto E e s tá Ci c f 1

nida una función si a cada punto (x, y, z) del cor:Uunto E le C O I"'I"'esponue un n ú mel"'o real t. La dependencia funcional se pepPesentaPá , como antes, por

f =/ (x, y , z).

Los númePos x , y , z , son las v a i a b 1 e s i n d e p e n d i e n t e s , el n ú m c es la v a i a !) 1 e d e p e n d i e n t e . De la misma manePa se d e f ine u na función de vaPias vaPiables. 1"'

1"'

I"'O t

Ejem p l o s de fun c i ones de va P i a s va P ia b l e s . x, y, z;

1 . f = x1 + Y' + z• 2.

u = x•

3. w

x, y, z, t;

-f..y• + z• + t•

·x + y + z t-J

x, y, z.

t =f= 1

L ím i t e . C o n t i n u i d a d . Se dice que la secuencia de pun tos { (x,,, (x0 , y 0 , z0) , si Y11, Z11)} tiende al punto 3.

n -.. oo

lim X11 = X0 ,

n -.. oo

limy11 =Y0,

11 -+ 00

lim Z11 = Z0•

Análogamente se defiú�n los l ím ites en espacios de cuatpo o más o i m en siones. Establecido el concepto de l ím ite de una secuencia , oefinirnos e l c 0_n cep� de l ímite y continuidéld de una función de vaPias vaPiables, de la m i sm a manePa que como lo h icimos papa una función de dos vaPiables. Los teoPe mas establecidos en los p.p. 8, 9 del capítulo IX (con las mod ificaciones ad e cuados ) tienen lu gap también paPa las funciones de vaPias vaPiables. está de f i n ida en 4 . D e P i v a d a s P a P c i a l e s . Si la función f =/ (x, y, z) la vecindad de un punto (x, y, z), entonces el l ím ite 1"

h �O

/ (x + h, y, Z) - / (X, y, Z)

si existe, Pecibe el nombl"'e de p p i m e l"' a d e P i v a d a p a P c i a l , con pes pe g_ to á x y se pepPesenta po i"' los símbolos : �

iJx

rx �. Y. �·

SimilaPmente se definen las del"'ivadas paPciales con Pespecto a ot Pas va .. Piables, y también los dePivadas de una func ión de mayol"' númePo de vaP ia bles. ·Ejemplos .

203

FUNCIONES �E VARIAS VARIABLES

t = 3x2 - 2xy + z1 ,

at at at ax = 6x - 2y, a; = - 2x, az = 2z. 1

�.

La expresión

u = 2x - 3y + zt + 2t1, iJtz _ ou = -3 otz _ t 2 dx - , ay , dz - '

representa la función que se obtiene derivando la func ión t, in-icialm ente p veces con respecto á x, después q veces con respecto á y y por último, I" ve ces con respecto á z.

Como dos derivaciones (ver Pag. I 7 8 ) sucesivas pueden p o r>m u ra rs e. en tonces la derivada parcial quedará definida si se da el número de dePivac io nes con resp�cto a cada una de las variables (con la cond ición de que todas las derivadas parciales sean continuas). Ejem plos. 1.

iJiu • iJiu + ox iJy iJz = 6t y1z, iJy"iJ.x = 6x1 6t1yz

u = y1r + tty•xz1,

5 . F ó r m u l a y S e r i e d e T a y l o r . Si la función t f(x, y , z ) tiene en la vecindad de un punto (x, y, z) dePivadas continuas hasta la de enésimo oPden, entonces, procediendo como lo hicimos para una función de dos varia bles (Pag. l 86) obtenemos la fórmula de Taylor (y la corPespondiente fórmula de Maclaqrin ) . En el caso en que el residuo tienda a cero , obtenemos el de sar>rollo de nuestra función en serie de Taylor (y la correspondiente serie de Maclaurin ). =

Ejemplos.

eJt+J!+z = 1 + x+1y1 +z + (x +..v + zr + • + (x +..v +z>" + . .. l x+.v x+.v - z (.x + y2)11 - .zl + •(x• + .v>' - z' +1 2 . ln + 1 +z 1 •• • 3 2 . . . + (- l)" (x + y)" � - z"- 1 + R,., 1.

- (- 1 )11+ 1

[

(.x +..v>"

R,.- IJ- (1 + 0x + Oy)11 - (I + b)'*J -

0 <... 6 < 1

•

CAPITUW XD

LA INTEGRAL INDEFINIDA. METODOS DE INTEGRACION l.

F u n c i 6 n P r i m i t i.v a . Se d ice que la funci6n F ( x ) es la func i6n primit'iva de lp función f( x) en un cierto intervalo (finito o no ) , si en o a a a p u n t o de e e t e i n t e r v a l o se e f e c t d a la r e l a c i � n

(1 1

��x) = / (x).

Ejemplos. La función y • sen x es la funci6n prim itiva de la función y • cos x en el intervalo ( - oo, + oo), ya que

2 . La func ión

sin x d --¡¡;- = cosx.

y = V1 - x• es la func ión PI"im itiva de la función y •

-- ..r:-_ en el intervalo ( - 1 < x < + 1 ), puesto que r l - x1

d ( Vl - x•) = - -x__

- l < x <t •

Vl - xt ' la función prim itiva se la llama tam bién i n t e g I" a l d a , I"epPesentándosela con e l s fm bolo dx

indefini

� / (x) dx.

De acuerdo con ( U , s i C denota una constante arbiti"aria

d [F

(=�+ q

/(x) .

Asr pues, F ( x ) + C es tam b i én una integral indefin ida oe la funci6n f( xL Puede entonces escribirse :

� 1 (x) dx = F (x) + C.

Inversam ente , si las func iones F ( x ) y F ( x ) son in tegralvs inde 1 2 finidas de la func ión f( x ) , en el intervalo ( a, b , ) , tendremos

d {F1 (x) - F1 (x)} dx

/(x) -/(x) = O.

De aquf se concluye, apoyándose en el teo rema sobre el valoi" m edio ( Pá g. U� ) F1 (x) - F1 (x) = const. De esta manePa , si se conoce una función p pim itiva , se pueden ob tener todas las que se deseen , difi i"iendo éstas de la pPim e ra so lo en una constante arbitraria. Cabe preguntar qué func iones poseen inte g ra les indefin idas. Como se dem ost Pará posterioPmente , cua lquier func ión continua posee integral indefinida .

N o t a . Si se dice que la función F ( x ) es una inLegral indefinida de la func ión f( x ) sin indicar en qu6 intervalo , deberá sobreentende Pse que se trata de un inte i"valo cua l quiera , en el que la func ión f( x ) est6 defi nida.

LA INTEGRAL INDEFJNIDA . METODOS DE INTEGRACION 2 . F 6 1' m u 1 a s

escl'ibil'se

S dx.

Fundam enta1 e s . Entonces :

1 . S dx = x + e ya que d(x

tC)

S tdx,

puede

S xn dx = n � I � + • + e, n =/= - 1 , puesto que la dei'J:ada de la función n S -x = ln x + e, x > O. .

vez de escl'ibil'

205

� � + • pal'a n + 1 =1= o es 1

x".

S � = ln ( - x) + e, x < O. Ambas f6:rmulas se com p:rueban po:r dife:renciaci6n. Puede substituí!' selas poi' una f61'mula : 3.

S x-• dx= S � = ln l x l + e.

De la m isma mane:ra verificamos, por diferenciación laa fórmulas : + e, a> o, a =f= l . 4: S tr dx = 5. � ex dx = ex + e.

1::

6. S sm x dx = - cos -: + c. cos � dx 7. . = sin x + c. · · dx 8. y 1 _;:;;¡ = arcsin x + e = - arccos x + C'.

S . J

9. 5 1 :x¡ = arctg x + e = - arcctg x + C'.

3 . A l g u n a s P l' o p i e d a d e s en el inte:rvalo (a, b

I n t e g l' a l

I n d e f i n i d a . Sea

S t(x) dx= F(x), S � (x) dx = � (x). Puesto que . se obtiene es decil',

d [F (x) ::t: � (x)] dx

/(x) + � (x),

� [/(x) + � (x)]dx = F(x) + � (x), S [! (x) + � (x)] dx = S t(x) dx + S � (x) dx.

Así pues, la i n t e g :r a 1 d e u n a s u m a e s i g u a 1 a 1 a s u m a d e 1 a s i n t e g 1' a 1 e s d e t o d o s 1 o s s u m a n d o s ( si ésta s existen ) . S i o designa u n núme:ro a:rbit:ra:rio, d [c F (x)] _ d F (x) _ dX - C -¡¡x - C /(X) ,

po:r consiguiente

S cf(x) dx = e F (x),

206

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

es decir.

� e/ (x) dx =e � 1 (x) dx.

Ast u n f a c t o r d e la i ntegral . Ejemplos. l. �

c on stante

puede

saca rse

del

s i an o

(3x1 - 2x + 7) dx = ) 3x1 dx - � 2xdx + � 7dx = = 3 ) x1 dx - 2 � xdx + 7 ) dx = = 3 :f1 X8 - 2 :f1 X1 + 7 •X + C = X� -X1 + IX + C. (' X2 - X� + 1 dx = 5 ( ?1 - xa1 + xa1 ) dx = 2. j = 5 x -a dx -- .}r x - 1 dx +- 5 x -• dx= -1--2 x-• - -1--J x - • +· + _l-_4 x -" + C= - 2xr +4x•4x� - l +C :�. S'( 5 Vx -. 3 V? - ;x) dx = 5 J x2 dx - 3 J x'"'!f dx - 2 J x --j- dx= 5 --1- x i- + t _ 3 _3_1_ x { + t 5+1 21 + 1 - 2 / x --r + • +c= � V x3 - � VX' -4 Vx+ . c. � -2+1 _m_x• 4 . S x Yfxdx= S x · x;}- dx = S x�+ t c dX= 2m-lV l "'rx+ dx s -3 1 + C. dX=--.¡- x vx 5 . S x� vx = X . 2r vx - sx + 3rr - 4 d t>. x= x• S = S (2x3 - 5x-• + 3e� - 4x -1) dx = = 23 x y3/.:x - 5 ln l xl + 3e�+x + C. ·�

•

1 n t e a r a e i 6 n p o r S u b s t i t u e i 6 n . Existen alaunos m6todos . Uno de ellos es el llama para la obtención de una función primitiva · do m6todo de i n t e a r a e i 6 n p o r s u b s t i t u e i 6 n o c a m b i o d e va r iabl e . Supongamos que en el intervalo [a, b]

•

� /(x) dx=F(x).

x= !f (t}

(1)

y su primera derivada son conti Admi � mos que l a funci6n nuas en el intervalo a � t � �. y que a � lfi (t¡ :s:;;;; b para todos los puntos t del intervalo ra, �] Como sabemos. bajo estas suposiciones la fun C l6n compu esta F [Cf ( t)] está definida pa ra a E:;; t � � y

Puesto que

dF!it (t)) = F' [!f (t)] !p'(t). F'

(x) =/(x),

LA INTEGRAL INDEnNJÍ)A .METODOS DE INTEGRACION

entonces

de donde

207

� (/)] =/[cp (t)] cp' (t),

S 1 [cp (t)] cp' (t) dt = F [lf (t)].

(2 )

En otras palabras, si no es posible evaluar directamente la in tearal ( 1 ) , se presenta sin embarao la posibilidad de calcular la ( 2 ) , e s decir, determinar l a funci6n F[cp ( t)]. . Conociendo esta última. es fécil obtener la funci6n primitiva F ( x ) para aquellos valores de x que ll � t ��. la fUnCi6n X = cp ( t) adqUiere en e)' intervalO Observemos además que en' base a ( 1 ) y ( 2 ) ,

� 1 (x) dx = S 1[cp (t)] cp' (t) dt

pa ra x

(3)

= cp (t).

Obtenemos formalmente esta f6rmula escribiendo X = lfi (t), dx = t¡' (f) dt. . Ejemplos. l.

S <a+ bx)" dx, n + - 1 , b + O.

Escribamos decir,

a+ bx = t;

entonces

t-a x= b-

De aquf

+e S (a + bx)" dx= S dt-b = -b1 �n+l t"

2. S a +dxbx = ¡¡1 ln l a + bx I + C.

dt á.A -- T '

'" + 1

La substituci6n es la misma que la del ejemplo anterior. 3.

S Ya - x a > O. a •

Escribamos

X= va t, dx = va dt;

asr que

,, dx == r a - x.

entonces

adt = J/ a - at . dx

S ,,,

dJ 1 -�

x +C

= arcs1n ,,,-a S ...r,a- .x• .

= arcsin t + c, •

N o t a . Intercambiando las letras x y t en la f6rmula ( 3 ) . obtenemos

S l[cp (x)] cp ' (x) dx= S.! (t) dt Para t= , (�).

Obtenemos formalmente esta f61"mula escribiendo y

'9'

' (x) --:- t (x) dx dt. =

Fz-ecuentemente se encuentran intearales de esta forma. aunque no siemppe es fácil la substitución . Ejemplos.

S 2x + l

4. 1 = x- + x + 1 dx.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

208

Escribamos en� otras palabras consecuentemente

I= In ¡x• +x+ t i + C. n � - 1 ).

= S (a + bx1)11 x dx, (b � O,

Escribamos

a + bxt = t, 2bx dx = dt.

Entonces

Xdx = 2bJ dt.

Por consiáuiente de donde

l= �� r xl +a ·

Eacribamos V r + a + X= t, de donde así pues

Escribamos

t= slnx, dt = cos x dx,

es decir por consiauiente

'= S t" dt,

s (x•x+dxl)í*' =;6 1 . n

Escribamos

Por consiautente

x• + 1 =t, 2x dx = dt.

1 dt 1 1 1 1 l = -;¡: 5 ¡;¡= - 2 (n - J) tn -• + C = 2 (n - l) (x*+ t)n -• + C.

�loaamente obtenemos:

LA INTEGRAL INDEFINJDA . METODOS DE INTEGRACION

209

5 . I n t e a r a c i 6 n p o r P a l" t e s . Sean u y v funciones de la val"ia ble x con del'ivadas en el intel"valo (a. b ) . Tendl"emos entonces

(uv)' = uv' + vu',

de donde

uv ' = (uv)' - vu '.

Intearando ambos m iembros de la ecuaci6n y considel"ando que

� (uv) 'dx =

obtenemos

U'll,

� uv' dx = uv - � vu' dx,

(1)

si existen ambas inteal"ales. Empleando diferenciales. la f6rmula antel"iol" puede escribiJ'Ise de la siauiente manel"a : S u.dv = uv - S v du. (2) La f6J'Imula ( 2 ) hace posible la evaluación de la inteal"al vez que se haya evaluado

) v du,

por

S xex d.x.

Esc ribamos

Poi' consiguiente.

2 . S ln x dx.

ll = x, du = dx, dv = ex dx, v = S ex dx ; ex l = xe:t - � ex dx = xe:t - e:t + C.

Escl"ibamos

P or consiauiente 3. 1 = � x" ln x dx, EscJ'Iibamos

n =1= - t .

U = ln x,

dtt= -¡ '

dv = dx,

v= dx=x.

l = x ln x - S dx = x ln x - x + C.

ll = Jn x,

una

que puede seJ'I más sencilla que

la pJ'Iirnel"a . Este ·m 6todo s e llama d e i n t e a l" a c i 6 · n Ejemplos. 1. 1=

S u dv

dU = � X

•

p a J'I t e s �

CALQJLO DIFERENCIAL E INTEGRAL

210

d'fl = x" dx,

" - x'f+I .Jn.X - 1&"+1 1_ n + l x dx -,;:¡::r (n + J ,• + C. 6. I n t e a l" a l e s d e F u n c i o n e s E l e m e n t a l e s . + e, n :;= - 1. x" tlx == t.

Poi" consiauiente

2. 3.

.x;n+I JO X n+I

_ _

;..; 11

S tt; == ln i � I + C.

t�" ü ==

� + e, S r llx == r + c.

� ln z llx == x (ln x - l) + C ( ve l' Pa l'. 5 , Ej. 2 ) 4. � sln xdx == - oos x + C. � cosxdx == sln x + c. 5. � tg xdx ::= - ln f cos x i + C• Escl"ibamos Entonoee 6.

cos x = t,

- sin x dx=dt.

S tg dx = S ::.: dx = S -tdt = - In 1 t 1 + e = - ln l aJS X 1 +C. X

S ctg x dx == ln f sln x f + C.

Em pleando la substitución sln x = t. 7.

J aosec x dx == tn l tg fl + c.

Se tiene

Poi' consiauiente

Esc P i bamos

tlx 1 tg x -;¡ = t, 2 -x = dt.

Entonces 8.

see

en este caso esto es 9.

cosec x dx =

1 -} ( i - x ) 1 + e.

x dx == m ctg

Esc ribam os

coa• 2

S � = In 1 t 1 + e = In 1 tg f (+C. 1C

x = 2 - t, dx = - dt;

J ec x dx = - S ( i - t J dt = - S t dt, J ec x dx = - In 1 tg -f 1 + e = In 1 ctg -f ¡+e= = ln j ctg ..!_ ( � - x ) j + c. 2 2 • sec

S arcsln x dx == x are sin x + V 1 x• + e Intearern os poi" pal"tes . Escribamos JJ __:_ arcsi n x, d'U = dx,

cosec

Íix , dU = � r 1 - x· 'fi = X.

LA INTEGRll INDEFINIDA METODOS DE INTEGRACION

211

S arc,:;in x dx = x arcsln x. - S ltd� :J "

Entonces

Para evaluar la última integral . escribamos por lo tanto

• X dX l l J JÍ1 - x•= - 2 l JÍt = - t = � -. !7 V

t!t

"1 ¡-¡-----::¡

V 1 - x• .

x• + c. 1 0. � arccos x dx = x arccos x - V 1 Procedamos como en el ejemplo anterior o bien haaamos uso de la f6rmula arcsin x + arccos x = i .

Escribamos

de donde

dv = dx,

11.

.\ arctg x dx = x arctg x - ln ( l + x1) + C.

U = arctg x, du = t::FX' , v = x;

arctg x dx = x arctg x Para la evaluaci6n de la tlltima intearal . escribamos 1 + x• = t, 2x dx = dt, xdx = 2 dt, por consiauiente 1 2.

S 1 x:f!? ·

J• x dx S { dt

= -1- = 2 tn lt1 = 2 ln ( l + r). r:¡::xt arcctg x dx = x arcctg x + tn (t + r) + C.

�

Procedam os com o en el ejemplo anterior o usemos la fórmula arctg x + arcctg x ;

1 3.

•

S arcsec x dx = x arcsec x - In (V? - 1 + l x l} + c.

Escribamos

Entonces

u = arcsec x, du

dx Jxl y

xl - 1

, dv = dx,

x dx J rcs c x dx = x arcsec x - .f l x \'Vxt -l a

Puesto que

S v:- l = ln i JI?

{

(ver Par . 4 , Ej. 6 ) . entonces

S l x i JÍx dxxl - 1

I +xl

'V = X. •

- t n !Vx• - 1 + x l = ln (V x• D� r>a x < - ' -I n (Vx• - 1 + x) P?rax > 1 ; en ambos casos consecuentemente puede escribirse = ln (yx• - 1 + l x l).

S l x 1 Vdxx1 - 1

arccosec x dx = x arccosec x + In (V x• 1 + 1 x 1) + C. P rocedamos como en el ejem plo ante rior o usem os la f6rmula

1 4. f

arcsec x + arccosec x = i .

7. · F 6 r m u l a s

Reducción .

··

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

212 1.

Encontrar la intearal

1,. = S sin" x dx (n entero }

n =f= - 1 y n =f= O . Puesto que sin" x = sin" -1 x sin• x = sln"-• x - sin"-1 x cosl x,

Consideremos los casos en que entonces

(1) Escribamos

U = cos x,

da = - sin x dx, dv = sin"-1 x cos x dx, v = sirt' - 1 x cos x dx = sin " - ' x *)

S sin"-• x cos• x dx

Entonces

+ S n - 1 dx = +_ 1 _1 1,.. n- 1 n-

cos x sin"-1 x

n-l

sin" x

11 - 1

•

cos x sln" - 1 x

Substituyendo este resultado en la relaci6n ( 1 ). obtenemos cos x sin" - • x 1 -/ 1" = 1 n-1 n - 1 "' "-1 d e donde cos x sin"- 1 + n - 1 1n = n 1n - a n Observemos que esta dltima f6rmula e s válida para todo por lo que cos x sinn - 1 x + n - l -- si nn - 1 x dx (n =1= O}. n n _

•

(J *) n =1= o ,

(2)

Es conveniente usar esta fórmula para el caso en que n > o . Ejemplo l . Tenemos

S sin' x dx cosxsln'x + 6s s s n x dx, 6 S lin4 x dx = COS Sin1 " + �s sJ 1 ,�_ S sin1 x dx = cos x2sin x + T1 x, 4

por lo que

1 •

D X �M-,

Para obtener la fórmula de reducción para n < O, escribamos la fór mula ( 1 *) d e l a siauiente manera ¡ n-a 1 " n-1 Esc ribiendo n - 2 = - k, obtenemos COS X Sin - .t +' X k-2 + k - 1 1-.t+a• !_,. = k-1 por consiauiente k-2 dx dx = (3) stnl x (k - l) stok- 1 x k - 1 sinl-• x Para k 1 ; tenemos :

= n n--I + cosxslnn-1x

cosx

Ejemplo 2 .

+ s l tg i/+c

S :x = ln ( Pá r . 6, Ej . 7 ) . 2 I n 1 tg !!.. 2 l+e 2 S É-- - �+.!. 2 2 x x_ - -�+.!. S _!!!:_ Procediendo análoaamente , obtenemos •

Il.

•

sin'

Vel"

Par- . 4. Ej . 7 .

Sin1 x

sin x -

sin1

•

LA INTEGRAL INDEFINJDA. METODOS 1 DE INTt:GRACION

I11

dx coskx

2 s dx

sin x k(k - 1) cosk - l x + k - 1

Encontrar la integral I,. =

(n, entero positivo ) . Tenemos 1 1

cosk - • x

S cx• � I)"

213

(4)

(k =F 1 ).

(5)

� ar ctg x + C

Considerem os ahora que n > t . Subst ituyendo en el num erador al fac tor 1 por la d ife rencia (x2 + 1 ) - x1 , obtenemos

In =

s (x1x1+dx1 )11 "

dx (x2 + 1 )" 1

s x dx = V=

Escri bam os en la segunda integral por lo tanto

x dx dv = (1Cz + I )" '

S y en consecuenc ia

(xz + })TI

"K.2 dx

¡n _ -

u = x,

du = dx,

1 -- (2n - 2) (xz + } )TI - 1 *) ,

(X: + })TI = - (2n - 2) (x� + 1)11 - 1

es decir

•

x (2n - 2) (x• + 1)" 1

+S (2n - 2) (x1dx

+ 1 )11 - 1 '

1_¡

2n - 2 Tl - 1 '

+ 2n -- 3 1 2n

n - 1"

Obtuvim os entonces la fórm ula de reducción

Ejemplo 3

pop lo tanto

S (xz dx+ 1)"

S 2 dx

(n > 1 ).

S (x1 dx+ 1 J' = 4(x1x+ 1 )1 + 4 s (x1dx+ 1 )2 ' 1 dx x 1 S J (x' + l l = 2 (x1 + 1) + 2 x2 + 1 ' 3

r dx J x• + 1

(X + IJ'

= arctg x,

X 3 3 X ar x + C. 4 (x• + 1)• + 2 · 4 x� + 1 + 2 · 4 ctg

EncontPar

P robl emas s igu ientes integra l e s :

las

(6 )

214

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (a + bx)11+ 1 + C, b (n + 1 ) In 1 a ! bx" 1 + C.

4• .\ (a + bx)"dx � S a ��n

(n i: - 1 ;

S Va•dx- 1 -b1 Mcsinb !!.__a x + C. S aZ + biXZ arctg a X + C. S x3x• �-;� 5+dx = In 1 x: - x + 5 1 + C. 1 dx = In 1 -- 3x2 + x - 1 1 + C. S·X, -' ;.6� X X- 1 (x) S 1'(X) dx = In 1 1 (x) cos+ C.(ax + b) + C. l t . 5 sin (ax + b) dx = a cos (x' + + C. S x sin (x1 + 1) dx = - 1 -+- C (n .¡... 1 ). 13· 5 � - x (ln x)" - (n - l ) (l n x.t' t • t x x x [ g + 3 ;g • + 5 g ] dx. = � tg• x + x + ! tg• x + C. X S sin' x 5 1 6; 7.

b 1xf

10.

12.

1 4.

15.

COS1

tg•

•

S [sin1 x. - 5 sin' x + sin x.l cos x dx. = -6- - 4 sin4 x + 2 sin' + C dx

r -v

¡ [ <x + a>T- x2 ] + C.

a J x + a + Vx l [ cos (a + b) x + cos (a - b) x ] e 17. (' sm . ax cos (/,.,x dx = - 2 + . a+b a-b

16.

S . ax . b� dX = - 21 [sin (aa ++bb) X sin (aa -bb) X ] + e 1 [Sin (a + b) X + Sin (a - b) X] + e 19. 5 os ax cos bx dx = 2 -- +-a b a b 18

•

20.

SIR

5 sm. xdxcos x 1

•

tg x

•

- ctg x + C. -... , \: 5

21 . S x V 1 + x dx= � (1 + x)2 - { <t + xf2 + C. dx a cta (.!..a tg ) -tab r s a• cos• x + sin1 x = _!__ tg x dx 1 S a cos1 x + b sin1 x --· 2b In a + x 1 + X) (sin cos x d . .}r 1 + a! ) + C. 5 s x x - (a +x a•- cos x . s + b x + x dx a 1 l t x l =2 g + + {tn l tg ( f + T) l+ftn ltg � 1 + C. s X*x)1 dx = 31 (arctg x) +C.

22•

28.

ea�

24 2� .

ea x

26.

JC-= _

eax

sin e cos sin 2x .

sin

b tg

�- a COS

e ·

+ C.

(arct�

28.

VX-f- 1 _ Vx + l dx = 2 <x + 1)3 - 5 <x +1f6 +

•

7 3 + <x + 1) - ¡6 <x + t)T + -.¡<x +t)3 - j.(x +t)2 + C.

LA INTEGRAL INDEFINIDA METODOS DE IN'I;EGRACION

Solucione s .

1) mx = t; 2) ax + b = t;

5) a + bx" � t;

215

b% 6), 7) a = t;

8) xJ - X + 5 = t; 9) x1 - 3xJ + x - 1 = t; 10) /(x) = t; 1 1) ax + b = t; 12) r + 1 = t; 13) 1n x = t; l4) tg x = t; l5) sin x = t; 16) multiplicar el numerador y el denominador por Y x + a - J(i; 11), 18), 19)

3), 4) a + bx = t;

substituir el producto por la suma

20) tg x = t;

1 sln ax cos bx = '2 [sfn (a + b) x + sfn (a - b) x];

21) 'V t + x = t; 22), 23) tg x = t; 24), 25) apl icar en ambas inteara les el m'todo de iiltegraci6n por partes y después resol ver el sistema de ecuaciones obtenido '. 26} 'Substitu ir seno 2x por 2 sen x cos x ; 27) aréte x

=t;

28) .x + l = t'.

CAPITULO

XIII

INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES - - ----'

l . D e s e o m p o s i e i 6 n d e u n P o 1 i n o m i o e n F a e t o r e s En Al gebra + se demuestra que cualquier polinomio Q ( x) puede expresarse como el producto •

(1)

Q (x) = A (x - ex) (x - �) . . . (x - y},

donde A es el coeficiente de la potencia mayor de x en el polinomio

Q (x) y

a, �.,

• • •

son las rafees de la ecuaci6n Q ( x ) • O. Los facto

res x - a, _x - a , . . . , x - y se denom inan factores elementales. Si algunos de los factores elementales del polinom io Q ( x ) son iauales entre sf, al agruparlos obtenemos la expresi6n ( 2)

Q (x) = A (x "'- cx)' (x -�)" . . . (x - ·y)',

donde r, s, , t son nómeros naturales y r + s + . . . + t • n ( siendo n el arado del polinom io Q ( x )). . • .

Ejemplos. 1 . El polinom io

tiene las rafees

3x1 + 3x - 6

a = t , � = - 2,

por lo que

3x1 + 3x - 6 = 3 (x - t ) (x + 2). 2. El pol inom io

(i = V _ 1 ) ,

x' - 1 por lo que

3 . El polinom io

tiene las rafees

a= 1,

�=- 1,

y = i,

x' - 1 = (x - 1 ) (x + 1 ) (x - z) (x + z}. x1 - 2x1 + x = x (x - 1 )1•

Si el pol inom io elemental x - cx

aparece en el desarrollo ( 2 ) con potencia r , a a se l e llama r a f z d e m u l ti pl i c idad r . Las rafees

ex, �

•

• • •

pueden ser complejas. Es de importan -

cia para nosotros el siguiente teorema del Algebra : s i e 1 p o l i n o m i o Q ( x ) c o n c o e f i c i e n t e s r e a l e s t i e n e u n a r a fz r - m ti l t i p l e c o m p l e j a a + b i , t i e n e t a m b i é n l a r a íz r - m ú l t i p l e co m p l eja a -b i , conjugada d e l a ante r i o r . As( pues, si Q ( x) es un polinom io con coeficientes r e a 1 e s , ca-

da vez que en el desarrollo ( 2 ) aparezca el factor

[x - (a + bi)r. apa

+ Las demostraciones de los teoremas de los parágrafos 1 y 2 se encuentran en los cursos generales de Alaebra Superior .

INTEGBACION DE PUNCIONE$ RACIONALES

217

recerá tambi6n el factor [x - (a - bi)]'. Multiplicando estos factores. obtenemos [x - (a + bi)]' [x - (a - bi)]" = [(x - a) - bi]' [(x - a) + bi]' = ' = [(x - a)1 + b1]' = (x1 + px + q) , donde

El pol inom io x' +px + q tiene las rafees a • bi y a - bi no pudi6n dosele representar como el producto de pol inomios de primer grado con coeficientes reales. Proced iendo de una manera análoga con el res to de las rarees complejas. llegamos finalmente a la representación : del polinom io Q ( x ) en la forma En

Q (x) = (x - cx)' (x - �)" . . . (ax• + bx + c)t (dx1 + ex + f>n . . .

(3 )

este desarrollo todos los números ex, � , • • • , a, b, e, d, e, t, . . . son

reales. y los pol inom ios ax' + bx + c, dx• + ex +l, . . . no pueden presentarse en la forma de productos de pol inom íos de primer grado con coefi cientes reales. Ejemplos. l . x3 + 1 ·= (x1 - x + 1 ) (x + 1 ). 2 . x1 - 1 = (x1 + x + 1 ) (x - 1 ). 3 . x' + 1 = (x' + x V 2 + 1 ) (x' - x V2 + 1 ). 4. x' - 1 = (x1 + 1 ) (x - 1 ) (x + 1 ) . 5. Desarrollar en factores los siguientes pol inom ios : a) x• - sx + 6; X8 + 3x1 - 6x; e) x' - l ; d) x8 - l ; e) x1 (x1 - 3x + 2 )1 (x3 + 1 )1•

2. D e s a r r o l l o

de una Func ión Rac ional en F racc iones E 1 e m e n t a 1 e s ( S i m p 1 e s ). Se llama t u n e i 6 n r a e i o n a 1 aquella funci6n definida en la forma de un cociente de dos pol inom ios. en aquellos puntos en los que el denominador no tienda a ce ro. Esto es.

PQ (x)x) . (

una función- racional puede escribirse en la forma de un quebrado donde P ( x ) y Q ( x ) son polinom ios. Si el grado del numerador es igual o mayor que el del denom i nador. entonces. efectuando la división. obtenemos :

PQ ((x)x) = W (x> + R (x)

Q (x) ,

donde W ( x ) es un cierto polinom io y R ( x ) es un polinom io de grado m enor que Q ( x ) . Ejemplos. l. ·

x'+x +l x• + 1 = x +

x1 + 1

•

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

218

x' - x' +x + 3 2 . x' +x• + 2x 1

Sea

P(x) Q (x) '

3x +2

1 + x• + 2x

l .

una funci6n I'acional , donde P ( x ) y Q ( x ) son polino -

m ios con coeficientes I'eales. Adm itamos, que el polinom io Q ( x ) pue de escl'ibirse en la fol'ma ( 3 ) (vel' Pa.217 ) . T e. o l' e m a . S i e l a l' a d o d e l n u m e l' a d o l' d e l a t u n c i 6n

d o l' , p u e d e f o l' m a

e s m e n o 1' q u e

P (x) Q (x)

I' a c i o n a l

enton c e s

s u d e n o m i n a_

e s c l' i b i l' s e e s t a f u n c i 6 n

A C B P(x) Q(x) = (X - a)' + (X - a)'-• + · + x:=cz+ + ex �W + (x - �>s-• + · . . + x � � + . . . ' '

(J)

E n este desal'rollo, A. B . c . . son constantes. El desal'I'o llo ( 1 ) se llama d e s a 1' 1' o 1 1 o d e u n a t u n e i 6 n 1' a e i o n a 1 e n f l' a c c i o n e s e l e m e n t a l e s . La igualdad ( 1 ) se vel'ifica pal'a todo x I'eal. excepto pal'a los . .

valol'es

x = (l, �. y,

• . •

es decil', pal'a las I'aíces I'eales de la ecua -

ci6n Q ( x ) • O . Cada tacto!' del polinomio Q ( x ) a pa rece como denominado!' en el desal'I'ollo ( 1 ) , en todos los &I'ados enteros, PI'inc ipiando con el &I'ado que el tacto!' tiene en el desarrollo ( 3 ) ( pal'á&I'afo 1 ) y finali zando con el &I'ado pl'imero . Los numel'adol'es de l a s fl'acciones del desarl'ollo ( 1 ) son cons tantea o bien polinom ios de pl'imel' &I'ado, dependiendo de que sea ei denominado!' COI'I'espondiente de PI'imel' o de seaundo &I'ado . Pal'a detel'minal' los níimel'os A, B, c multiplicamos ambos m iembl'OS de la I'elaci6n ( 1 ) POI' Q ( x ) . Quitando así los denom inado I'eS, d isponemos en el seaundo m iembl'o de un polinom io en poten c ías de x. Dado que la iaualdad entre el polinomio P ( x ) y el poJ ino m io del segundo m iembl'o es válida pal'a todos los valol'es de x los coeficientes de las nú smas potencias de la val'iable x sel'án iauª Ies entre sf. Obtenemos de esta manel'a una sel'ie de ecuaciones de pl'imel' &I'ado , de las que detel'm inamos las incoanitas A, B, C, O b s e 1' v a e i 6 n . Antes de desal'I'ollal' la función I'acional dada en fl'acciones elementales, es necesal'io vel'ifical' que : .

. . .

•

•. .

+ La iaualdad es válida para todo x, difel'ente de a, '· y, , sealln la condición. Pal'a x = a, p, l• es válida en virtud de la continuidad. . . .

• • •

219

INTEGRACION DE FUNCION� RACIONALES

1�. El arado del numePadoP es menor que el del denominado!".

El numerador y el denominador sean primos entr� sí.

•

Ejemplos. Desarrollar las siguientes funciones racionales en fNCCiooee elementales . 2x - 1

3 · x1 - 5x + 6 ·

Dado que

x' - 5x + 6 = (x - 3) (x - 2),

hac iendo

A B 2x - l x1 - 5x + 6 = x - 3 + x - 2 '

de donde. multipl icando ambos miembros poi'

x1 - 5x + 6

obtenemos

2x - 1 = A (x - 2) + B (x - 3),

por lo que 2x - 1 = x ( A + B) - 2A - 38, POI' consiguiente

de donde A 5. B • Así pues •

A + B = 2, 2A + 3B = 1 , -

2x - 1 x1 - 5x + 6 4.

x-3 - x-2 ·

3x' + 3x + 1 2

( X - 1) (x + 2) X

•

Apliquemos aquf otro método que conduce más rápidamente al objetivo. en el caso en que el denom inador tenas solo rarees reales simples (no repetidas ) . Hagamos 3x' + 3x + 12 A B C (x - 1 ) <x + 2) x = x - 1 + x + 2 + x '

de donde 3x1 + 3x + 1 2 = A (x + 2) x + B ( x - 1 ) x + C (x - l ) (x + 2).

Haciendo sucesivamente x • o . 1 . -2 . obtenemos : 1 2 = - 2C, 1 8 = 3A,

1 8 = 68;

aS!í pues. A = 6, 8 = 3, C = - 6, - - -

- - - -- .1. - .... :. - -·-

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

220

6. 3 6 x - J + x + 2 -· -x ·

3x' + 3x + 1 2 (x - J) (x + 2) x

(x - a) (x - �) (x - ·r) '

P (x)

P ( x ) es un pol inom io de grado m enor que 3 y donde diferentes entre sr. Hagamos A B x-a + x-�

(x - a) (x - �) (x - ·C)

P (x)

de donde

+ x -e

ex,

�. r

son

1 '

P (x) = A (x - �) (x - y) + B (x - cx)( x - ¡) + C (x - cx) (x - �). Hac iendo sucesivamente

P (tt)

x = cx, � , 1 , obtenem os :

A- (a - � ) (a - r) ,

6 · (X3x2+ +J ) (xx +- 21)3 por lo tantp

•

- (� - a) ( � - •r) ,

P(p)

A B e X + 1 + (X - ))2 + X - l

•

C-

P (r) (r - a) (r - �) .

3x1 + x + 2 = A (x - 1 )1 + 8 (x + t ) + C (x + 1 ) (x - 1 ),

(2 }

de donde

3x• + x + 2 = x• (A + C) + ..t· ( - 2 A + 8) + A + 8 - C, asr pues

obtenemos finalm ente

A= 1,

8 = 3,

C= 2 .

Los coeficientes A, B, C pueden obtenerse por otro m étodo . Ha ciendo en ( 1 ) suces ivamente x = - l . + 1 , obtenemos :

4 = 4A,

6 = 28,

por consiguiente

Para qeterm inar el coeficiente C, der ivamos ambos m iembros de ( 2 ) :

6x + 1 = 2A (x - 1 ) + 8 + C. 2x .

INTEGRACION DE FUNCIONE$ RACION�ES

221

Haciendo ahora x • 1 , obtenemos: por consiguiente, e 2 . E s conveniente emplear este método e n aquel caso en que el de nom inador de la funci6n racional t�ene rafees reales múltiples. •

1•

x6 + I A 8 C O? (x - l ) (x + 1)1 = XI + x + x - 1

por consiauiente

+ (x +D 1)2 + x +E 1

•

x6 + 1 = A (x - 1 ) (x + 1 )1 -t- Bx (x - 1 ) (x + 1 )1 + + Cx' (x + 1 ) ' + Dx2 �x - 1 ) + Ex' (x - 1 ) (.t + 1 ).

Haciendo sucesivamente x • O, 1 , - 1 , obtenemos: l = - A, 2 = 4C, 2 = - 2D,

de donde

Así pues ,

tenemos : �'

+ 1 = - (x - 1 ) (x + 1 )1 + Bx (x - 1 ) (x + 1 )1 + 1 + 2 x• (x + 1 )1 - x• (x - 1 ) + Ex1 (x - 1 ) (x + 1).

Derivando

ambos m iembros, obtenemos:

4x' = - (x + 1 )1 - 2 (x - 1 ) (x + 1 ) + B [(x - 1 ) (x + 1 )1 + + x (x + 1 )1 + 2x (x - 1 ) (x + 1 )] + x <x + 1 )1 + x• (x + 1 ) - 2x (x - 1 ) - x• + E[ 2x (x - 1 ) (x + 1 ) + x• (x + 1 ) + x• (x - 1 )].

Haciendo ahora sucesivamente x • O, - 1 , hal lamos : 0 = 1 - B,

por consiguiente

- 4 = - 5 - 2E,

1 8 = 1 , E= - � ·

d e donde x1 + 2x - 1 = A (x1 + t ) + (Bx + C) (x - 1 ) .

Haciendo x • 1 , obtenemos 2 • 2A , es decir, A • l . Efectuándo las operaciones e igualando coeficientes, hallamos:

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 = A"+ 8,

2 = - 8 + C,

- 1 = A - C,

por consiguiente 8 = 0;

C = 2.

A Bx + C Dx +E 3x1 + 1 9. (x+ I)(r + I)1 x + l + (X• + t )1 + x•+ t ·

Qu itando denom inadores e igualando coeficientes, obtenemos : A + D = O, E + D = O, 2A + 8 + E + D = 3, 8 + C+ E + P = 0 , A + C+ E = 1 ,

por consiguiente A = 1 , 8 = 1 , C= - 1 , D = - 1 , E = l . 1 0. Desarrollar en fracciones elementales las funciones racionales que aparecen como integrandos en los problemas del final de este cap(tulo . 3. 1 n t e g ra 1 e s

d e F u n e i o n e s R a e i o n a 1 e s . Desarrollando una función racional en fracciones elementales, llevamos la integral de la función racional a integrales del tipo

A dx S x=-a In 1 x - 1 + C; A A dx + b ) S (x (r 1) (JC a)'- 1 e (r:f=l); ) A x+B X S (ax1+bx+c)'

a) C

a)' = -

ax' +bx + c no tenga ra rees reales, así que

( siempre que el pol inom io

b1 - 4ac < O). Para calcular la integral del tipo e } , observemos que

por consiguiente

- bl · ax' + bx + c = a ( x+ 2ab ) ' + 4ac �

(1 )

Introduzcamos una nueva variable z , de acuerdo\ con la fórmula a

( x + 2iib )' 4ac

- bl 1 =�z ,

(2)

INTEGRACION DE FUNCIONE$ RACIONALES

223

de donde encontrarnos

" + y.ftiC=lji 2a

X = - 2{i

(3)

Teniendo en cuenta ( 1 ) y ( 2 ) . tenemos :

Así pues. empleando la substituci6n ( 3 ) . obtenemos :

- s Mz+N . S �ax1Ax+B +bx+ cY dX - (zl + 1)' dz,

donde M y N denotan constantes cualesquiera . Adem6s.

zdz dz S (zaMz+N + 1Y dz = Ms (z• + 1)' + N s (z• + l)r •

Aplicamos a la seaunda intearal la f6rmula de reducción ( Pa. 213 . fór mula ( 6 ) ) ; haciendo e n l a primera intearal z• + 1 = t ( Pa. 208, Ej . 8 ) . obtenemos : 1

+ (r + 1 ) ; S (zltdt + w = - 2 (r - 1) (z'+ 1)'-1 S :.� 1 = � ln (z1 + 1 ) + C.

Ejemplo.

S(2x1 5x+ - 4x + 10)2 dx, 3

2x• - 4x + 1 0 = 2 (x1 - 2x + 5) = 2 [(x - 1 )1 + 4J = 2 (

Haciendo

x - 1 )1 + 8.

x = t + 2z ,

2 (x - 1 )1 = 8r , de donde

así que

2x1 - 4x + 1 0 = 8 (z1 + 1) , dx = 2dz,

por consiauiente

3 +B -! s� 1 dt S -5x+ 4x + WJ"dx = S s•lOz tz�+ 1t 2dz 16 z�+ 1 + S (z• + l)i ' (2x

(

Pero

zdz 1 1 -�r+ 1 S (z1 + lf = tz• + 1 , + 21 arctg

Sdz�zZ+ 1)1 =z :¿

224

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

( vett Pg. 213 . f6"ttmula ( 6 ) ) . As! pues, -32

5x + 3

8 1a + z

z= x -; 1 , hallamos

Substituyendo ahotta

_ 5 1 S (2x11 - 4x + 10)1 dX -- 5 +4zz� + 1 1+ 1 + -sarctgz+ C iS:.! (z a + + 8 arctg z + C.

5x + 3 -1 1 2x - 1 4x + 10t dx- 4 (2x1 - 4x + 1 0) + 8 arctg x-:¿-+C.

(2r -

P tt o b l e m a s

.t.

e a i culap la s s iguientes integf'ales

) (2x + 1 ) dx - -;¡-x - 4 x + 41n l x+ 1 1 + -s ln 2x + 1 1 + C. S (x + 1x'dx X 1 3 1 -11 S (x -+ 1f1 (x + 1 1 x - 2 x• - 1 + 4 J n x + 1 ' + C. S (X - 1)' dx - (X - 1)1 +C. S (x+dx2:(:� 3f 2 �2x+ 3 + IIn (=t�) 1 + C. +C. S ? + x + l ya arctg ya x rdx 2 1 1)(x• +4) 3 arctg � - 3 arctg x + C. S (xl3xl+ -5x+2 + 3x - dx = S 4 17 = ¡ ln l x - 2 1 + f4 J n (x1 + 3) - Y3 2l arctg Xa + C• Y 1 1_ ¡ x - 1 1 5 1 (x - 1 )1 + 1 n x -f- C. + x1 dx ¡ a 1 + 2--. arctg -x + C (a ,� O) . 4a In a--x a a S5 a = 1 l x + l l -6ln (x2 '3 ' 0. t 1> + ya1 arctg 2xya- +C. ln x+ 1 x+ = 5 •dx 1 = 31 Jn \ x - 1 ¡ - 61 tn (x1 +x + 1> - ya1 arctg 2xya+ t -f- C.

5x' + 1

2• S.

)

.7.

x.' - 2x'

x+1 3 x• - 3x1 1

-x

-¡--::¡ - k

-x

11.

_ __ _ _ -x+x 1

xdx 1 1 + 'V2 + x1 1 x -. + C. 1 2. S x"+ 1 = 4 2 In 1 - x y--2 + x1 + 2 2 arctg -1V2 -x dx 1 ¡ cx - 1 ) Jfx• - x + l l 1 x 'V:f 1 3. S X-,- 1 = -6 In (X + 1 ) VX2 + X + 1 2 3 arctg -1- X + C. + 1 -t- C. 14. S (x• +f-' l )3 dX - 4 4(xx•1 ++ 3l)z+ ln V-x2s xl 1 ¡ x• + 1 1 .la. 1 x• dx - 6 I n x• - •l + C. x x2 x 1 6. Sx• -6x't odx• + g = 241 1nx' 1 x3 - 9l 1 + C. 1 7. S (5 - 1x'J•dx 5 (5 - 7x•)z + C. 18 �1 )2 dX 3x• (x• - 3x• +1 4> + 30 + t n (x" + I )' +C. (x" ,rr

•

, r-r

2 (X4 + )

,rr

INTEGRACION DE FUNCIO� RACIONAJ.,ES x-a z x-�= ,

hac iendo x=�

225

obtenem o s :

+ a1 -- z� ' dx = (a1 --- z�)a dz,

z (x - a) (x - �) = (a - Mz 1 z) ( - *'

por consiguiente

((x

dx a) (x

�)) n

(a _ �)an - 1

s -zz)han -• dz. (1

Determ inar por este m �todo las integrales a

) S 1 - dx 2)1 ; b ) (x1 dx- 1)1 (x

3x +

S u 1a e s t i o n e s

; e)

S·(x• -dxa•)• ·

•

En 1 ), 2 ) dividimos la parte entera, desarrollando la funci6n ra cional restante en tracciones elementales. En 3 ) , 4 ) , 5 ) , . . . , 1 3 ) deS!! rroll ar en fracciÓnes elementales ; 1 4 )

x• = t;

1 5) , 1 6) , 1 7 )

x' = t,

18)

. INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Si l. I n t e a r a c i 6 n d e Fun c i on e s I r ra c i o na l e s S i m pl e a la va r iable x apa rece dentro del etano de intearac16n en diferentes po tencias fracionarias. entonces. s i con p s e desiana a l m ínimo comdn denominador de los exponentes de las potencias de x. se podl''· me - .•

x=zP elim inar las potencias fraccionarias.

diante la substitución

Ejemplo l .

S (1 + x)"Y x V _

x = z', dx = 6z' dz,

haciendo

por consiauiente

Ejemplo 2. 1 = f

dz 5 (1 6.:' + z*) zl

J1 +VxV X dx;

obtenemos

obtenemos : z1dz 6 + zl = 6z - 6 arctg z + C,

r. r= x + C. "" - 6 arctg v1= 6 y

haciendo x = z', dx = 4z' dz

por consiauiente

r:;=i V? - x+{ t/? - 2 VX-+ 4 Vx-4 In <Vx+ t)+c O b s e r v a i 6 n 1 Se procede ·en una forma an,loaa si dentro del e

•

siano de intearaci6n aparecen potencias fraccionarias del binomio ax + b. La substituoi6n ax + b = zP ( p. lo m ismo que en el cas4 rior) permite elim inar las potencias fraccionarias. Ejemplo 3.

5 x Vdxx + 1 ; x + t = z1, dx = 2z dz,

por consiau iente asr que

s (z1?.z-dzl) z = 2 s dz = In j 4z 1 1 + e, + :2 - 1

INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAI�S a

ob 88 r V.o i6n

. Si bajo . el &iano de intearaoit1n aparecen po -

tencias fr.acc¡onarias diferente s de la expresi6n posible elim inarlas mediante la substituci4n

en loa ca sos ante r iores ) Ejemplo 4 .

227

ax + b a'x + b'

es entonces

;�+� = zP ( p. iaual que •

dx 1 + " = z·. x = ,•- 1. , ·s .!.." ,yrr=FX --xdx=- (z2z' -dzJ )• ,

•

por oonsiauiente

e s d ec ir

1= � 2

-{ 1 �"- tn jx ( � - 1 )*l +c. .

Binom ias

1n te a ra 1 • s

Las intearale s del tipo

S x"' (ax" + lif dx, •

donde m . o y p aon n4meros racionales. se llaman i n t e a P a l e s b i nom ia s . Si p ea un ndmero entero. la intearal se encuentra direotamen te seadn el m'todo descPito en el p61'l'afo l . Sea ahora p un n4meJto no entero . Introduzcamos la substitu - -

cUSn

1 .! - 1

..!..

> o,

X = Z11 1 dX = -¡¡ Z"

entonces

•

.cm (ax' + bY' dx = -¡; •+1

dz.

� -· (az + b)P dz =

=-l- S z-.-+p-2 ( az -:- b ydz.

As! pues. vemos que si

m +n 1 ea un n6mero enter

e , la inteat'al

binom ia se transforma en una iDtearal de funci6n r-ac iona l ' mediante

la substituci6n

(«

az + b := f e s e l denominador del nftmePO p )

Si �;!"' 1 + P es

n6mero entero. obtendremos una funci6ri racio

nal por medio de la substituci<Sn az + =r � -

(ca, . iaual que en la precedente )

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

228

De esta manera, 1 a i n t e a r a 1 b i n o m i a p u e d e t r a n s t o r e n intea r a l de una fun c i 6n ra c io n a l s i uno d e núm eros

m a ree

los

m+t

p, n- ' n- + P es

ente ro .

Ejem plo .

m =3, n = 2,

Aqu!, tenemos

p = - -;¡3 ·

Por lo tanto

m+t

= 2,

n por lo que puede transformarse la intearal dada en una funci6n racio na l . 1-laaa m o s

x1 =z, x dx= 21 dz,

por consiauiente

Escribamos ahora

= 2t S z ( l - z}- �2 dz. 1

entonces

"""T" z =t• (t > O), dz= -2tdt,

= -S 1 -;./• dt = ..!._t '+ t +e= Yl 1-z + V 1 - z + e'

poi" consiguiente ·

l=,r, 1 t- x• + VI-Xi+C= 2 - x• + c. 3. I n t e a F a c i 6 n

Funciones

)Íl - x1 " Ra c i o na l e s

R(x,

y )� La in -

t e a r a c i <S n d e l a f u n c i <S n r a c i o n a l R ( x , y ) , c u a n d o (y = Va:? + bx + c) c on d u c e l a i n t e a r a c i 6 n d e u n a f u n c i 6 n r a c i o na l e n t , m e d i a n t e u n a . d e l a a t r e s

elauteotes substituciones: 1 ) 'B > O� Haaamos

de donde + Se l lama una funci6n

Vax1 + bx + c -x"J;'"a= t,

ax• + bx + e = ax• + 2x Vat + t•,

(1 )

f u n e i 6 n r a e i o n a 1 R ( x , y l d e d o s v a J'l i a b 1 e s , a definida como el cociente de dos polinomios en ( x , y ) para aquellos puntos en los que el denominador sea distinto de cero. Supcm dremos siempFe que los coeficientes de los polinom ios son reales y que los polinomios son primos entre sr.

INTEGRACION DE FUNCIONES · ALGEBRAICAS por consiguiente

bx + e

Escr ibiendo obtenemos

229

2x lf{ii + t•.

-e X= b -t12Yat

•

bt-Ya dt' dx = 2 -Va(b ...:.t' ..+2Vat)' V ax• + bx + e = x Va+ t = - Va t' + bt - Va b - 2 Va t e

e .

De este m odo , por m edi Ó de la substituc ión ( l ) , expresam os en forma raci'Onal

x, Vax'+bx + e, dx

m ediante la va riable t.

Por consigu iente , la integral

conduce a una integral de una func ión raciona l de la variabl e t . Ejemplo l .

Dado que

a = l > O, obtenemos entonces de donde

t1 - 5 dx= 2 - t' + 6t - S dt Vx' + 6x+ 5 = - �' + 6t - 5 X =66 - 2t 2t ' (6 - 2t)1 •

por cons igu iente es decir

1 = - ln

/ 3 + x - Vx' + 6x + 5 I + C.

2) c � O.

Hagamos

Vax' +óx + e =xt + JIC,

de donde

axz + óx +e =x"t• + 2xt Ve+ e, ax + b.;::= xt' + 2t VC.

Por consigu iente, al hacer x=

obtenem os

_2 dX-

2t aVc-b - t' ,

"Vct' -bt +a "Ve dt (a - t')1

{2)

CALCULO DIFERENCIAL E .INTEGRAL

230

11"

y ax• + b + X

C -X _

+ V-- Vc t' -a b-t -t-tz a Vc C-

•

As! pues, tambi6n en este caso, deapu6s de �cer la substitu -

S R (x, y) llx •• t�aasforma en UDS intearal de tun -

ci6n e 2 ) ' la intearal

ci6a racjonal de la variable t. Ejemplo 2 . .

teaem�s c = 4 > o.

•

V - x• - 3x + 4 '

Haaamos

de donde

por conaiauiente

as! que

r 2dt

1 = - J tt+ l

Z arc tg t + C,

= -

x+4 l= . - 2 aretg v - :x• - 3 x

3 ) b1 - 4ac > o.

Desianando como tenemos

Escribamos

2 +e _

ex· y · � las ra!cee de la ecuaoi6a

ax1 + bx + e � a (x - cx) (x - p).

V ax' + bx + c ::=!: Y.'a (x - cx) (x - �) == t. (x de donde

haciendo

obtenemos

ax2 + bx + c = O, ob

(3)

a (x - a) (x - �) = t1 (x - cx)1, a (x - �) ...:.._ t� (x -cx)_; a� ....:. aJS

X = t;J - t• dx = 2a (P -:- ·a) t dt (a - ·t1)•

• c = q (�.� a) t Vax• + bx 1 a-t •

•

Por lo tanto, mediante la substituci6n ( 3 ) , la intaaral

� R (x, y) dx

ae transforma en uaa intearal de tunct6a racional de la yartable t. 8jemplo 3.

231

INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Ten em os

1l - 4 ae=41 - 4 · 1 · 3 = 4 > 0;

puesto que

- x1 + 4x - 3= - (x - l ) (x - 3), entonces escribimos

V - ( x - l ) (x - 3) = (x - l ) t.

De donde

4/ dt dx = - (t' + 8 1 J}

_ t1 + 3 X - tl + l , por consiauiente

1= -

V - x1 + 4x -- 3 = t= � ¡ ,

S t?:_1 = - 2 arctg t + C = - 2 arctg JI"� =!+ c.

O b s r v a e i 6 n . Si a < o y

las dos primeras substituciones no

e < o,

serán convenientes. BD este caso es posible siempre emplear la ter -

será siempre neaativo, y la expresión

Vax• + bx + e no será real

sea oual fuer-e el valor de x.

<4 . A l a u a o e c i on e e

P a r t i o u l a P e 's

Casos

R a c i on a l e e R C x , y J c o n

1 J Una tntearal

del tipo

In t ea ra l e s

Ú' == Var + bx + c).

S v axi +dxbx + c , a < O, b1 - 4ac > O,

puede calcularse tambi6n por e l siauiente m6todo. Tenemos

Haciendo

ax• -f - bx + c = - ( x YTai - -b- ) • + bl - 4ac . 4jal 2 YIQT ( x .. /1::'1 r

j aj - 2 Y j a l

esto es

X=2 ¡ a j + b

entonces

Yiii=Tae dz,

Por consiauiente

2¡a¡

)•

b'-4ac 1

= 4TtiT Z '

vb2=4aC z 2laL '

b2-4ac

axa + bx + c = --;¡¡a-¡-- (1 - z1). ·

Fun -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

232

l = ,r J, a 1 \ r

así que

Ejem plo l .

.. r-= = " 1 -

l 1a1

r- arcsi n z + C,

dx 1-S V 5x - 6x1- - l '5 ) 1 1 5x - 6x1 - 1 = - ( x V 6 - 2 6 + -y :¡.¡ o 5 )1 1 ( x V6 - 2 y6 = 24 Z '

Hagamos

de donde

pop

1 5 1 x = 12 + 12 z, dx = 12 dz,

5x - 6x1 - 1 =

consiguiente

así que

dx Y 5x - 6x1 - 1

i2 dJ

J_ Jfl J 2__)Í6

S 'JÍSx -d6x3 - l x

� ( 1 - z1), J Jf6 arcsin z + e, o

- ,:1

J }"6 arcsl n ( 1 2x - 5) + C=

1 = - Jfti arcsln ( - 1 2x + 5)

EscPibamos

+C.

dx S (x - a)'Y ax1 + bx +e ·

entonces

x = a. + : ·

m os

- Si

x > a. , . entonces

Puesto que entonces

z > o.

Por consiguiente, para x > a. obtene -

bx + e = Y L12 + ::Z + N f VLz1 + Mz +N (L = aa.' + ba. + c, M = 2aa. + b N=a).

Jt"ax• +

dx = - z'!!a , d

z 1_ - s Y Lz2 + M: + N (x > a.) . /-

Procediendo análogamente, obtenemos Ejemplo 2 .

- ')Í Lz1 + Mz + N

<X < a.).

�TEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

233

- (x- 1) Y x1 + 1 • 1-S x - 1 = _!_z ' dx

Hagamos de donde

ya que para

1 , z > O, · entonces Vx• + 1 = � V 2z1 + 2z + 1 , de donde _ 1--

dz s Y2z1 + 2z + 1 .

Aplicando en la última integral la substitución (ver Pg. 229 ) l'r2z1 + 2z + 1 = V2z + t,

obtenemos

l= ..)_ ln (4z + 2 - 2 V2 V 2z1 + 2z + 1 ) + C. r

Haciendo. finalmente ·

z = -1-

x - 1 ' obtenemos para x > 1 : � ln / 2x + 2 - 2"V2"JJ?'+l i + C. -1 Y2

· 1) x1 S Puede fác ilmente demostrarse que la fórmula obtenida es tam (X -

bi6n válida para 3)

Y +1

x< t.

I = S (ax• + Y ax• + e T}

Axdx

•

Calculemos esta integral por medio de la substitución V ax• + c = t. Tenemos ax

•+

Por consiauiente

e = t• , x• = -a e , xdx=-t a dt . l-5 A dt - at1 + (al t'- -

ac) •

Es fácil calcular la última integral ( Ver Cap. XIII ) . Ejemplo 3 . Hagamos de donde

V • + 4 = t,

1 = r' 2tzdt- 7 = . t .,

,r� l n 2 r 14

t - Y1

y'"!_ + c. 2

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL

23 4

POI' consiguiente

l= Escribamos

A dx

S (ax• + T) Y ar + e • V ax• + c = xt,

de donde

x• =ti - a '

por consiauiente

y por lo tanto

xdx = - (t1ct-dta}* ' dx x dx dx dt it = x•t = - t• Y ax' + e A dt

l = - S 1t*+ (cze - 1af •

1 - S (2r + I> Yr + 4 ·

Ejemplo 4 . Hac iendo

Vxa:.t=4 = xt, dx

obtenemos. como anteriormente 4

r = t• - t , y r + 4 = I - t1 ' por consiau iente

1= Puesto que

S • + = ---- "'V7 arctg YJ + C. t

t = vx• + 4 X

1 1= - arctg y x• + 4 .+ c x Jf 7 J17

entonces

O b s e r v a e i 6 n . Una intearal del tipo

S (czx• + y) Yax• + e X Ax + B

les de los tipos 3 ) se calcula tomAndola como la suma de dos inteara y 4). 5) 1

. +

B) dx ( R• = S (ax• + �x(Ax+ 1>+Vax" + bx + c • �"

4 Q:Y < O •) a -r-.t.. O) '

entonces ar + �x + 'Y fiene !"afees !"eales y la integ!"al Si �· se calcula fácilmente. •

4CI"f > o,

235

INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS Trataremos de llevar esta into&ttéU a una del tipo (A,x + B) dx (ar + r) Yax1 + e

tX : a = � : b,

a) Si

(1 )

entonces. por la substituci6n

b +z x = - 2a

transformamos nuestra intearal en una del tipo ( 1 ) . Si

tX,

�

ao son propottcionales a los ntimeros a. b. esto es. si

� - a� =f= O,

entonces. escttibimos

X_ - pzz++ lq

y tomamos

los adme.ros p y q de tal suerte qu e nuestra intearal se transfoi'Dle ea UDa del tipo ( 1 ) . Bmpleand·o l a subatituci6n ( 2 ) . obtenemos :

·- . l=+S

(el s ipo depende de que .

(2') -

(Lz+M)dz

(«tZ1 + P1z + -r�rVa.:• + b1z + c1

· z> - 1 6

z < - 1 ) . donde

M = (Aq + B) (p q) a1 = ap• + bp + c, � � = 2a.pq + � + 2y, b1 = 2apq + b (p + q> + 2c , Ct = aq• + bq + c. Ya = a.9' + � + y,

L = (Ap + B) (p -'q), llt = a.p• + �P + y,

Determillemos los neimeros p y q de tal suerte que �. = o y b1 = o.

PaPa ello. habr' que l'esolver el sistema de ecuac iones

0,}

2tX pq + � (p + q) + 2y = 2a pq +.b (p + q) + 2c = O.

Puede demostrarse que el si st em a ( 3 ) tiene soluci6n real si

l)dx - J (x1 + 2x +(2x+ r6) }Í2x1 + 4x

Ejemploa

(3)

a.b- - a� * O y �1 - 4a.y < O.

-1•

Dado que los coeficientes de loa pol inom ios son proporcionales. hacemos entonc es la su bstituoi6n ' 4

x:= - 2 • 2 + z = z - 1 .

,_S (2z - l)d.; -

De acuerdo con uaa substitucicSn. tal . obtenemos

5) dx S (3x1 - 10x +(2x9)-Jf5x1 - 12x + 8 •

Uaemoa la aubstituci6n

(z1 + 5) y

:u• 3 •

. , �-P�f .., _ .

1 •

236

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Determinarnos los números p y q del sistema ( 3 ) : 6pq - l O (p + q> + 1 8 = 0, 1 0pq - 1 2 (p + q> + 1 6 = 0 ,

de donde pq = 2, p + q = 3 y por lo tan to P = 1 , q = 2. Consecuentemente, al subst itu ir z+2 1 x=z+ t = 1 +z + l '

obtenemos para

Estas últimas integrales las calcularnos en los ejemplos referentes a Ios tipos 3 ) y 4 ) , ( Pág.234) . Por lo tanto !

ya que

Yí!_ 2 = 2 r3.-1 4 In yY z•• + 4 +- {� ,

z +4

,; r 7

, ; --

r � + 4 + C; arctg ---:;¡=-

z, 7

entonces 3

1 = ----=. l n 2 Vl4

Y 5x1 - 12x + B - (x - 1 )

Jt'f2 +

V 5x1 - 12x + S + (x - 1 ) Jff

+ � ar ctg V5x1 - 1 2x + 8 + c. La fó rmula (4 ) vál ida para x > t . Considerando ahora que en la

z< - 1,

y por

consi gui ente

< 1,

obtenemos:

V.t2 + 4 -

z = _x-2

entonces

substitución

=z+2 X z+1

y; + -1 arctg � + c. z v7 Y7 "VI4 y z• + 4 + Y1

1 = - 2-- ln

Puesto que

(4)

<x - 2> V1

x-l '

2,;-

y z• + 4 = - V 5x1 - l2x + 8 , x-l

237

�TEGRACION · DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

v2.2 + l 4 JÍ5x1 - 12x + B + (x - 1) V}

l = � ln 2 JÍ

vtxz - 1 2x + 8 - (x - l )

tg y 5x1 - t2x + s + e 1_ +_ ,í- are r

(x - 2) ,í r 7

•

Vemos entonces que la f6:rmula ( 4 ) es válida pa:ra todos los valo:res de la va:riable x. Para · x = t es válida en virtud de la continuidad de la derivada y de la funci6n integrando . 5. O b s e r v a c i o n e s

I n t e a :r a 1

acerca de

T :r a n s f o :r m a c i 6 n d e l a

�R (x, y) dx.

Aunque las substituciones indicadas en el párrafo 3 transfo:rman sie!!l pre a la integ:ral � R (x, y) dx en la integ:ral de una funci6n :raci�nal . es sin embargo f:recuente para evitar cálculos engorrosos, transformar previamente en una forma adecuada a la funci6n R(x. y ) . Notemos que s i n e s un níímero natural y que entonces

Y = V ax* + bx + c,

y•n = (ax1 + bx + c)n, y•n + • =y•n. y = (ax• + bx + c)ny .

De aquí vemo s que cada uno de l os polinomios H ( x. y) en las varia bles x. y puede presentarse en la .forma H (x, y) = W1 (x) +y W1 (x),

donde W1 (x)_ y w. (x) son polinom ios en x. Por lo que a la función raci2_ nal R(x. y ) . cociente de dos pol inomi:os, es posible llevarla a la fo:rma w, (x) +

donde

w. , w . w., w, •

(x) R (x' y) = W, (x) + yw. (x) '

yW.

son pol inomios cuai esquiera .

Multiplicando numerador y denominador por se:rvando que

(donde

W (x) - v W, (x) ,.�

( W1 (x) - y W, (x)] ( W1 (x) ·+ y W, (x)] = w: (x) -y1 W: (x) _:_ p• (x)

P. (x)

es un polinom io ) . obtenemos R (x' Y) =

P1 (x) + yP, � x) P1 (X)

Haciendo además P1 C.i) = T (X) ' P1 (x)

P, Cx) y' -S( ) .P1 (x) - X '

238

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

obtenemos

R. (.t, y) = T (x) -l-- S(x) .

{l)

r a c i o n a l R(x, y ) (y = V ax• + bx + c >

De aqu( vemos que a una f u n c i ó n

es siempre posible llevarla a la forma ( 1 ) , donde T( x ) y S ( x ) son fun ciones racionales. Ejemplos

xx -+ "Vxa Y"� -1

por lo tanto

Cx + Yxa=i >•

(X - l( X1

-·

1) (X + JÍ�· - 1)

= 2x1 - l + 2x y'r - 1 ,

x + Y� 2,r _ 1 + 2x' - 2x . x - Y x' - 1 Yx' - l2 P<x> + Q (x)y pa + Q•yt + 2PQy pe + Q•r + 2PQyt • P �» - Q(X) .)I pa Q1y' ·(pa - Qly')y • pi - Qly' Volvamos a la intearal ) R (x, y) dx En virtud de ( 1 ) .;_

•

S R (x, y) dx = S T (x) dx + S S�x> dx.

•

tenemos

La prtmera intearal en el m iembro derecho es una intearal de función racional ; en el oapftulo X III se estudiar»on intearales de este tipo. Para el cálculo de la intearal cional S( x ) a la forma

S � dx l levamos a la función ra s

(x) , S (x) = W (x) + P Q(x)

donde W( x ) . P ( x ) y Q( x ) son polinomios. siendo el arado del polinomio P ( x ) menor que el de Q( x ) . Desarrollando, finalmente, la funci6n P (x> en fracciones elementales, reducimos el cáiculo de la intearal al cálculo de intearales del tipo

(x)

s dx

(x - a)' y '

+ lJ)

(Ax dx (ax• + �x + r)' y •

�

Q (x) S x) dx

(Z)

Mo&tl"amos ahol"a alaunos m6todos simples para el cálculo de l as inteal"ales ( 2 ) . a ) Inte&l"ales del tipo

S Y ax• + bx + e W (x) dx

( siendo W(x) un pol inom io ) � i W( x ) es un polinomio de &l"ado

n -;;;:: 1 ,

puede entonces de - -

mostl'arse que la intearal de un tipo ta l e s siempre posible l leval'la a la forma

239

INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

donde A, B, , C, D son ciePtas constantes *. · PaPa determinar estas constantes difepenéiemos ambos m iem • • •

broa de la igualdad y multipl iquémoslos en seauida por

JI ax• + bx + c.

Iaualando los coeficient�s de potencias iguales de la vaPiable x en am bos tniem·bros de la ecuaci6n obtenida , estableceremos un sistema de ecuaciones del que podr4n determ inarse las constantes A, B, C, D . • • .

Aaí pues, el c4lculo d e la intearal

dx aJe' + bx + c

cálculo de la intearal

•

J Y a?W (+x) dbxx + c s e reduce al -

Esta tiltima podpemos calcular -

l a con ayuda de . alauna de las substituciones indicadas en e l párrafo 3 ( P a . 228 ) Eje� p1 o 3 .

Haaamos

5x• - 6x 1 S V 5x1 -6x - 1 dx = S Y5x dx. ' -6x

...,.. }

5x' - Sx - l dx= (Ax + 8) }15x• - 6x � t + c Y 5� 6x - 1 -

dx 5x1 - 6x - 1

dePivando ambos miembros de la igualdad, encontramos: 5JC' - 6x - 1 }Í5x1 - 6x - 1

A V5x1 - 6x - 1 +

1 Ax + B) ( IOx - 6)

+ 2 ( y5? - 6x - 1 + r sx• - 6x - 1

multipl icando ambos m iembros por el radical y ordenando, obtenemos:

5x1 __; 6J: - 1 = 10Ax1 + (58 - 9A) x + (C - A - 38);

por consiguiente

10A = 5 , 58 - 9A = - 6, C- A - 38 = - 1 de donde Así pues,

8 = -!. C = - s7 · 10 1 � vsx• - 6x - 1 dx =

V 5x1 - 6x - 1 - !_5 s = (..!._2 X -�) 10 Y5x1

Respecto a la ííltima integral , escribiendo obtenemos:

tú 6x - 1 •

V 5x1 - 6x - 1 =X V5 + t,

S Y5x2 - 6x - l dx

b) Intearal del tipo *

ys tn ¡ t ox - 6 - 2 V5 V5x* - 6x - l j+C.

S (x - cz)r y ax• + bx + c W (x) dx

La existencia de tal desarrollo la · admitimos si� demostraci6n.

CALCULO · DIFERENCIAL E INTEGRAL

240

(W(x ), pol inom io de grado menor que r )

r= 1,

el pol inom io W(x) es una constante , y por lo tanto,

obtenemos una integral como la conside rada en la Pg . 232 . Si

r> 1,

puede demostrarse ( om itimos la demostrac ión) que

una integral de este tipo puede l levarse a la forma

S (X - a)'JÍa( r + bx + W x) dx

(x _ a)'

_ Ax'-• + Bx'-· + · · · + c v -

-1

• + bx + e +

+ nf

dx (x - a) 'Y ax1 + bx + e '

donde A, B , , C, D, son ciertas constantes, que se determ inarán como se h izo en el caso a ) en la P a . 2 39 • . Cal culamos la Qltima integral como lo hicimos en la Pg. 23 2. • . .

Ejem plo 4 .

r ' X +1 X1 + 1 y dx = dx = J (x (x y + 1 x1 S 1 )1

' - 1)

- (x- 1 )1 "

_ Ax + B 1 rx. + 1 + C ·

S (x - Y x1 + f)

1 •

Derivando ambos m iembros de la igualdad, obtenemos :

x1 + l (X - 1)1 Y X 1 + 1 = - Ax -t- A + 2B Ax + B x_ C y xz + t + (x - 1)' (x - 1)z Yx• + 1 + (x - 1} Yx2 + 1 ' •

m ultipl icando ambos m iembros de la igualdad obtenida por (x - 1 )3J(x• + 1

y agrupando té rm inos semejantes, encontramos x• + 1 = - x1 (2A + B - C) - x (A + B + 2C) - (A + 2B - C). por consiguiente

de donde As! pues

yx� + 1 d - - ..!_ x + 1 V xz

S (x - 1 )1 x

4 (x - W

+ 1 + _!_4 S (x - 1)dx x1 + 1

La 6ltima integral fue ya calculada en la Pa. 233 . e ) Una integral del tipo

S (!!X1 + �x + Yaxz + bx + e 1Y

•

W(x) di

W(x ) , pol inom io de grado m enor que 2r; el pol inomio

ax• + lix + 1 es -

INTEGRACION DE FUNCIONES ALGEBRAICAS UD

241

polinomio con raíces complejas. esto es. p• - 4C%y < O) .

Si r= 1 , el poH nomio W(x) será de primer grado y la inte gral d&da coincidirá con la estudiada en la Pg. 2!5. r> J, es posible demostrar que la integral En el caso en que del tipo considerado puede lleva rse a la forma

ax1 + bx + c = S («X1 + Ix + -rYAYzr-' Bxar-& .W(x) dx

+ + .. (cu• + �x + -r>r-J .

,---=• ....,._.,. ._ ._ ax

+C · Y

+ bx + c

Dx + E dx , <izx• + 'x + -r>Yax.• + bJ& + �

donde A. B • • • • • c. o. E. son las correspondientes constantes. que se determinaÑn corno en el caso a ) . Pg. 239 . La integral

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

. x+ 3 1 3 J J"T=""iii dx = - -¡� + 2" arcsin 2x + C. lxt I95x1 dx 1 4. s l Yx• ± 6x ± 5 1 = -.¡- (1 )� - 77X1 + J05X - 175) Y X1 ± 6x ±5 + dx 15. S (x - 2::-:)6x,:-:Y:r:: -3::=x::r:13·1 =-::::;:s.x==t::::5:;: = 2 (x _ 2)* Y 3xt - 8x + 5 - i l n l 2x - 3 +y-�x;- s.x.+ s ¡ ±c. 16. J<x + J ;�r=? - Jf! ¡.: t c. 1-7 5 x dx1 ± 0 1 ±� lxl ±C ' Y X' . dx Vx.,*_,.±-=2x,....,.+ 2 + 18. s 2 (x ± 1 )1 (x ± J )1 yx• + 2x ± 2 -+ . .!.. n 1 + Y x*+ 2x± 2 + C 2 xt1 1 x• 3 a t�x x-x + S Y2ax 3- ? =- X--t2 -Gx ..rr2aC� -+ . + 2 at arcslna dx �S (xtp)Vx 1 _ 1 - l' l -/J* arccos � +P + con¡p i < L 13.

r;;;--c---::-...,...-:

1 9•

20.

•

JI%

CAPrnJL0 XV INTEGIIACION DE CIERTAS FUNCIONES NO ALGEBRAICAS

1 , O b s e r v a c i o n e s G e n e r a l e s . Co m o caso má� grales de funciones no algebrá icas, se presenta la integré

. S 1[f (x)].f? (x) dx, . anal izada en e l Cap. X l l , Pág.20 7. S

Ejem plos. l. 1 = sin (�) � dx

Ha c iendo

�� t, a" ln a dx ::dt,

-1-·S

coa t + e, 1 = Jn a sin t dt = _ Jñ4

Obtenemos

po r cons igu iente 2. 1=

(a > t).

S (ln x) � .. '

Jn a

•

��s �· dt = { t• + c. ' 1= -.¡-1 (ln x)'+ c.

obtenem os

3" 1=

cos (� + c

ln x = l, � = dt,

Hac iendo

por l o que

S e"ln " cos x dx.

Hac iendo

sfn x.=t,

obtenem os

coa x dx � dt,

1 = ( ei dl .-:. e' + c, l = e'ID. x + c.

consecuentem ente

� sfn1 x cos• x dx, 1 1 = S sin' x cos• x cos x dx = S sfn x ( 1 - sin x) cos x dx. Hac iendo sin x = t.

J =;

Entonces

de donde 5. 1 = ·

S t• ( t - t•>

··

S co •

Escribie ndo

sln'� dx sx

1_ -

dt =

� �

sin1x _ slri1 x

+ c.

+ C•

s cos• x cosdx• = s tg1.x cosdx• · sln1 x

t¡ x = t, coa* "' =

dt.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

244

tenemos :

Asf pues 6.

S t dt = at• + c; 1

3 1= �

J (arcsfo x)' � .

Hagamos aquí obtenemos :

Yl - xi

arcsln x = t,

.. .

,� = dt' x� , ,-

S f t4 + c. { (arcslo x)� + C.

1 = t' dt =

por lo que

1 .:__

2 Integra l e s de

-r ít m i c a s . 1 Una

+ C.

Func i o n e s Ex ponenc i a l e s

L o ga - -

integral del tipo

se transfo rma , mediante la substituc ión a" = t en la integral

5/ (t) dt Ejemplo l . 1=S V a"dx. Hagamos a" = t. entonces 1 s v• -it!!. . 1=t In a _!__ !n a

•

Supon iendo ahora que obtenem o s :

1 - 2 s Z1 --

ln a

1 - t = z•,

dz = 1 1 - z• Jn a

l 2z + ln I � 1 + C J J . z

1 +z

De donde , volv iendo a la va P iable x : . encontramos 11 .

z= V t - t = V t - a",

JÍ � · 1 =� [2 V t - a" + ln ¡ l1 +- JÍl , J + C. - a" na

Una integPal del tipo

S W (x) a" dx,

donde W ( x ) e s un pol inom io que se calcula poP el método de la integrac ión POP paPtes. Hac iendo u = W (x), du = W' (x) dz, obtenem os :

dv = a"dx, S W (x) a" dx = Wl(nx)a

fl =

a" -

a" ln a '

-1ln-a S W' (x) dx a"

•

Dado que el grado del pol inom io W ' ( x ) eS" menor que el del pol ino m io W ( x ) � entonce s , procediendo de la m isma manera , l l ega rem os finalm ente a la integral

S ax dx=·� In a '

INTEGRACION DE FUNCIONES NO ALGEBRAICAS

ajemplo 2 .

245

1= S (x1 - 2x + 3) a" dx.

Integr>ando por> pa r>tes, obtenem os : 1 = (x• -

�:t 3) a" 1� a S (2x - 2) a" dx.

Apl icamos a la íiltima integr>al nuevamente el m étodo de la integr>a - c ión por> parte s :

r ( 2X -. dx = �X -� �J De este m odo , finalm ente obtenem os :

2) a"

-1!n-a S

2ax iJx

•

[X1 - 2x +3 2x -2 + 2 ] a" + C. In a (In a)2 (In a)'

I II .. Una integr>al del tipo

S W (ln x) dx,

donde W es un pol inom io, se tr>ansfo rm a en una integral del tipo II m e - d iante l a substituc ión ln x = t. En efecto , tenem os : po r cons igu ient e ,

x = e', dx = e' dt,

� W (ln x) dx � S W (t) e1 dt.

Ejempl o 3 . Haci endo obtenemos :

ln x = t, 1= S (t1 - 2t + 3) et dt.

Integrando por> pa rtes , como en el ejem plo 2 , hal lamos : as í que

1 = w - 4t + 7) e' + e,

1= (ln1x - 4 ln x + 1)x + c.

1 V. Una integr>al del tipo

S r' (In x) m dx

( donde m es un ente ro posit ivo y n un enter>o ) se ca lcula m ed iante la - - substituc ión

ln x = t,

si n • - 1 , o b ien m ed iante la integrac ión por pa rtes si n f. A sabe r> , hagamos

li = {ln x)m, d'fl = x" dx,

n+l = nx+ I

du = m (ln x)m - 1 'V

;

d: ,

- l.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

246

en tonc es

S � (1 n x) dx x'�+•n +(In1x)"' - n +m s ...11

x" (In x)"'- ' dx. .

P roced iendo análogam ente , llegam os a la integral Las integra l es del titJO

dx.

S W(x) (ln x)* dx

( donde m > o en t . , W (x) es un pol inom io ) se ca lculan como las del tipo 1 V. Ejem plo 4 .

1 = S ( 2x - 3) (ln x)1 dx. \

Inte gram os po r pa rtes . Hac iendo

U = (ln x)1, du = 2 ln x dx X t dv = (2x - 3) dx, v = x• - sx.

obtenem os :

1 = (x1 - 3x) (In x)1 - 2 S (x - 3) In x dx. Integrando nuevam ente por pa rtes , encontramos : Entonces ,

S (x - 3) ln x dx = ( -} x• - 3x ) ln x - S ( -} x - 3 ) dx. 1

= (x1 - 3x) (In x)1 - (x1 - 6x) In x + { x• - 6x + C.

3. I n t e g r a c i ó n d e F u n c i o n e s T r i g o n o m é t r i c a s . l . S i R ( u , v ) es una función racional de las var>iables u , v, la inte - - gral S R (sin x, cos � dx s e transform a e n una integral de ur,a func ión rac io - -

nal m ed ian te l a substitución En efecto , tenem os :

tg 2 = t.

sin x cos x Ya que entonces

x = 2 arct¡ t . dx = _2 dt

1 + �' '

y dx se expresan racional mente en func ión de la variable t , la integral S R (sin x, cos x) dx pod rá entonce s t ransform � rse Puesto qu e sin x, cos x

eo una i ntegra l de func ión ra ciona l con ayuda de la subst ítuc ión ind icada . Ejem plo l . Hac iendo

dx4

1- 3 Rin X X

tg2 = t,

COS X

INTEGRACION DE FUNCIONES NO ALGEBRAICAS

�

obtenemos :

247

1 + t•

2 dt

es deciP,

As( pues,

1 tg 2 -2 + C. 1= 5 In

2 te -= 2+

1 1 . En al gunos casos, la integPal S R (sfn x, cos x) dx puede calcula Pse con

m ayop Papidez, empleando las · substituciones que se dan ensegu ida . a ) Si R ( u , v ) es una función im paP de la va r>iable u , es dec i P , si

R (u, v) = - R (-11, v), se em plea entonces la substituc ión

cos x = t:

as( q ue

t•,

sfn x = Y 1

rlx = - -dt __ fl - t1

(O < x < n).

b) S i R { u , v ) es una func ión im pa p d e la va r> iable v, es entonces po subst itución

s i bl e empleap la

sln x = t, dt dx = - 'Vt - t•

c�s x = Vl - t' ,

( --f <x< + i)

•

e ) Si R ( u , v ) es una función pa P de las va r>iables u , v , esto es, si

R (u, v) = R (- a, - v),

tg x =t

se hace entonces uso de la subst ituc ión

Ejem plos.

( -� <1 x < + f) . dt

&in x = JÍ 1 + t• , �os .x = y 1 + ji , t

S stn• "'

• 1cos* x + 1 dx.

dx = 1 + 11

•

La func ión integpando es im paP con relación a sen x , po rque sin' x ( sin x)' coSi x + 1 cos• x + J • apl i quem os po r> consigu iente la substitución _

As ( pues

COS X =;::: t ,

•

s t*�· +- 1� dt = S ( 1 - t• 2 1 ) t

- sin x dx = dt.

d =t

2 arctg ·t + C.

248

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

1 =tos x - 2 arctg (cos x) + C.

Obtenem os finalm ente : 3

•

1 - 5 4 sin1COS1x - 1 dx. X

La func ión integrando es impar con respecto a cos x , así que es po sible em p lear la su bstiLuc i6n

slnx=t, cos xdx=dt. 1 = S 41t•--t·1 dt= S [ - -¡1 + s3 2t -1 1 - s 2t +1 t l dt, 1 = - 1 t+ 163 tn 1 22tt +- 11 1 + e;

De e sta m anera de donde

fina lm ente, 4.

1_ r

1 3 1 2 sin x - 1 / + C. - 4sln x + wln 2 sin x + 1

- J sin1 x - 4 sin x cos x + 5 c os•x

•

Dado que la función integrando es una función par en relac ión con sin x

cos ,. , hacem os entonc es

tgx=u.

l = S u1 - 4u + 5 S 2)1 + 1 arctg (u - 2) + e, por cons igu i ente 1 = arctg (tg x - 2 ) + C. Tenem os , de este m odo , dtt

(u -

111.

Cons ide remos ahora una integral del tipo

l sin" x cos� xt/x.

Si s y k son enteros, entonces, como se deduce de Il, Pág . 24 7. para f3 im par, apl icam os la substituc ión cos x • t para k im par , ápl icam os la substitución sen x • t para s y k pa res, apl icarnos la subst ituc ión Si s y k son núm e ros fracc ionar ios , entonces, haciendo sen x = t, obte - nern os : (1 ....:_ ·

tg x =t.

s sin" x cos� x dx = S t".

� - 1 dt. t1)_2_

La última integral es una integral b inorn ia . Solo puede cal cularse en el caso en que uno de los núm e ro s s + 1

2 ,

k - 1 s + k sea entero ( Pág.288) 2 , 2

1 = S }l'"igX' dx = S sfn2 x cos 1 xdx. Ya que stk = O, entonces , apl icando la subst ituc ión slnx=t, 5.

-2

INTEGRACION DE FUNCIONES NO ALGEBRAICAS ..!.

obtenem os la integFal

249

1= S t2 (l - �) . dt, -

la cual se tom a en la úl tima fo rma. En efecto , hac iendo

t = Vz:

obtenemos :

l = f S z -1 C ��) -. dz. -

Substituyendo, finalm ente

-z -z = w6 ,

1 = - 2 s �tt¡

obtenemo s :

• .

Desarrol lando la func ión integrando en fracciones elementa l es + ) e inte grando dfiJ _ y2 ar tg w c iifi:FT Ya que os• " = V tg , w= 1- ---¡r = sin1

1 1 +a,.J-'2+ r 1 w"V2 4"V2 1" 1 - wñ+r + 2 c 1 - + . V� - v l - t* Vc x c x 1_ arctg y2ct� " + C. 1 ln 1 + y2'"Ctg"X + ctgx __,'2 ctgx 1 1-r +ctgx �< 2,ctgx r 1 - 2"J12

entonces

I V . Integra les del tipo

� W (x) sin mx dx, donde W( x ) es un pol inom io, se calculan po r el m étodo de integrac ión por partes . En efecto , hac iendo

tt = W(x),, dv =sin m� dx,

obtenem os :

da = W' (x) dx, v=- -m1 cos mx,

S w(x) sinmx dx=- ! W(x) cos mx + ! S W' (x) cos mx dx.·

P rocediendo análogam ente , reduciremos el grado del pol inom io y lle ga remos finalm ente a la integral Ejem plo . 6 1=

S cos mx dx o S sinmx dx.

S (r - 2x + 3) sin 2x dx,

Integrem os po r parte s :

- { <r - 2x + 3: cos 2x + { S (2x - 2) cos 2x dx, S(2x - 2) cos 2x dx =-} (2x -2).sin 2x - -} S 2 sin 2x dx. f

CALC�O DIFERENCIAL E INTEGRAL

250

De donde

l = - 2 (r' - 2x + 3) cos 2x + 2 (x - 1 ) sin 2x + 4 cos 2x + C.

O b s e I' v a e i 6 n . La func ión sin• x (k > O ) puede s iem·p Pe l l eva Pse a la foi'ma de una sum a de senos y cosenos de a pgumentos m ú l tiplos de x . Como se sabe, 1 1

sin 1 x = 2 - 2- cos 2X,

de donde

1 1 sin x = 2 sin x - 2 cos 2x·sfn x

Pei'O

cos 2x sin x = 21 sin (2x + x) 3

poi' lo tanto

2 sln (2x - x),

sin ' x = 4 sin x -- 4 sln 3x

•

En general , disponiendo ya de una pepPesentac i6n tal paPa sin• x, ob tenemos de ella una f6Pm ula análoga papa sinA+ 1x, al m ul t i pl ica P am bos - m iembPos d e l a igualdad poP sin x y hac iendo uso después d e las sigu ientes Pelacione s : 1 lin x cos t7x = sin (v + l ) x - 1

2 sin (v - l ) x,

1 sin x sin vx = 2 cos (v - l ) x -- 2 cos (v + l ) x. 1

De donde se infiePe que integPa les del tipo

� W (x ) sin• x dx.

( k > oentei'o ) pueden lleva Pse a la fo pma de las del tipo IV . Ejemplo 7.

1= � {x' - 1 ) sin1 x dx.

Pu_esto que entonces

1= { S (x' - l ) dx - { S (x1 - 1 ) cos 2x dx.

Apl icando a la segunda integPal el m étodo de integPac i6n poP par>tes , obtenem os {xt - 1 ) cos 2x dx = {x' - 1 ) sin 2x x1sin 2x dx,

poi' consigu iente , 1

-} 5

Jr sin 2x dx = - { x• cos 2x + S x cos 2x dx, S COS 2x dx = 2 sin 2x + COS 2x + C, 1

1 4

= -} x' - {-x- -} (2x' - Sx - 2) sin 2x - �(2x• - 1 ) cos 2.r. + C.

INTEGRACION DE FUNCIONES NO ALGEBRAICAS

S f(arcsfn x) dJ& poP m ed io de la substituc ión se l leva a la fol'ma

S i abo ra

arcsln x = t

S t <t> cos t di.

f ( t J • • u n p o l i n o m l o . e n t o n o a a l a G l t i m a i D t e a l' a l p o c1 1' 4 c a l c u l a ,t

e e P O I' e l m a t o d o d e 1 D t 8 & 1' 8 C l 6 n P O I' p a r t e e ( Y e l' p i & l D 8 ! 2 4 9 J •

Ejemplo l .

Apl iquem os la su bstituc ión Entonces

� (ai'CIIn x)1 tú.

arcsin x = t.

·= � ,. cos t dt.

lntegPando PO P pa Ptes , Obtenemos

l = � afn t - 2 � t sin t dt,

Así pues, Puesto que entonces

� t sin t dt = - t cos t + � cos t dt = - t cos t + sin t + C. 1 = (,. - 2 ) sin t+ 2t cos t + C.

sin t = x, cos t = JIT="ii 1 = [(arcsin x)1 - 2] x + 2

II. La integpal

, JIT="ii arcsfn x +c.

� W(x) arcsln x dx

( donde W( x ) es un po l inom io ) se calcula poP el m étodo de integPación po r pa r>tes. Efectivam ente , haciendo

ll = arcsln x, dfl = W (x) dx, obtenemos : Ejem plo 2 .

:� , da .-= .. r;--: - ...-

, 1

v= � W (x) dx = · W1 (x),

S W (x) arcsin x dx = W1 (x) arcsln " - J:.��

Integr>am os por> paPtes

1 = S 2x arcsln x dx.

l = x• arcsln x -

f Ylr-dxr '

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

252

Calculando la última integpál según el m étodo descP ito en la Pág.2 3 8, ob tenemos 1 = - !.. x• + 2 arcsin x -f- C, � y1 "Vt =xt por lo que

S :_dY-

1 = x• arcsln x + 2 x

111. La .integral

V1=:? - 2 arcsln x + C. 1

S W (x) arctgx dJt

( donde W( x ) es un po l inom io ) se ca lcula por el método de integPación PO P pa Ptes4 En efecto , haciendo dll = r::t"'? '

d'U = W (x) dx,

obtenemos : Ejem plo 3 .

'U =

S W (x) arctg x dx = W1 (x) arctg x - S ��)? . 1=

S x arctg x dx.

Integramos poP pa Ptes. Obtenemos :

� s + x¡ dx,

1 = 2 ,r arctg x - 2

poP consigu i ente

S W (x) dx = wl (x),

S 1 :? dx = S ( 1 - 1 �? ) dx . x - arctg x + C; 2

S X arctg X dx = 2 r arctg X - X + 2 arctg X + 1

5. E j e m p l o s d e F u n c i o n e s n o I n t e g pa b l e s p o p M é t o dos Elem ental e s . Ya hetnos estud iado una sePie de m étodos· que en algunos casos pe Pm iten expPesa P la integpal indefin ida de una func ión dada pop m ed io de funcio - n e s elem enc.al es. N o debe s in emba pgo pensarse que pueda a s f PepPesen ta Pse una integPal indefin ida poP una función continua cual qu iePa . Es po - sibl e , po p ejem plo , demostPaP que las integPales

S e"- dx S sln x dx s � dx X

no puederi ser> ex pr>esadas pop func iones elem entales . H a sido tar0 bién dem ostPado + ) que , con excepc ión de l o s tPes casos que he mos e studiado anter> ioPm ente , las integpales b inom ias no pueden seP expr>esadas eu fo rma elem ental ( Pág . 2 27) . La integpal dx Y W(x) '

+ ) Por P . L . Cheb i sh e v (N ota de la r eda� ión rusa )

INTEGRACION DE FUNCIONES NO ALGEBRAICAS

253

donde W ( x ) de un pol inom io de tePcePo 6 mayop gpado puede también , en c íePtos casos , PepPesenta Pse en foPma el ementa l . Ejem plos. l. La integPal no puede expPesaPse poi" func iones elementales.

S t'::x

s�=s!!:.. dy. .

En erecto , introduciendo una nueva va Piabl e pop m edio de la substituc ión x = e"obtenemos : Y

In x

Dado que la integpal en el segundo m iembpo no puede expPesaPse pop func iones elementales , sucedePá lo m ismo paPa la integPal dada . stn x 2 . La integpalr .. dx integpada pop. paPtes , se tP�msfopma en la s iguien � " te foPma sin x = _ sin x + � x• dx x

•

En el segundo m iembPo tenem os una integl"al no expPesable poi" fun c iones elem entales, poi" lo que la integPal dada no podPá tam poco expPe - saPse asr,

PROBLEMAS 3eu + 2e�

· t.

- t l +3 rn cr+ 2) + C. Ss ezx +dx,r _ 2 ttx1 = 3- t?1 +l ry� · �

Y 1 + � ...,... 2 ° + 1 + Yl C. t!x 1 ae" a*r b e - = 'iib arct¡ T + C (a, b #; 0). + • �

+e"+

- 4x' 7 12r - 24x + 24) + c. 5. � r (x• t x + l ) dx = r (xl - x + 2> + C.

4. � x'�dx = r <"'

� ((ln x)1 - 2 1n xJ dx = x [(ln x)l - 4 1n x + 4J + C. 7. � (In x)' dx = x ((In x)' - S (In x)' + 20 (In x)' - 60 (In x)' + 6.

"; [

-}]

+ 120 1n x - 120] t C. c1n x)l - In x + x• (In X)1 dx = + C. dx 1 1 " 9. 3 ± cos x = ¡12 arctg y2 tg 2 + C. 10. SiD1 X }ÍCOS X dx = 2 C.OS1 X ('OS X yCQS"i + C. "" sin1 x 1 1 1 1. � CQSiX dx = 3 + 5 t¡a x tg' x + C. dx 1 12. X 8.

S S 5

l 3.

l 4.

15.

( (+

(

)

) {)

1 arct y2-- ) C· "Vi4 g + S 7 cost x + 2 sin1 x -x si�4x'+ stn 2x + ) + c. S ( { = 2 os cos x cos 3x x c dx -+S x 2 s 5 ± 3 stn x ± 7 cos x dx -stn2x =-}ln J t¡ x t+{ ln l t¡ (-i-+f )l + � Jo j tg f l C. J sin' x dx = -io cos 5x + � cos 3Jc - � cos x + C. =

8106

1 \

t 7 &

. CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

254

16.

1 7•

18. 19.

20.

21 . 22.

Seos' S

x sln1 x dx =

� [-A-

coa 5x -

d:JC 1 cos x 2 s1n• x = - a s�n•x ·- a ctg x + C.

J + C.

cos 3x - 2 cos x

� x' cos x dx = (3r - 6 ) cos x + (r - 6x) sin x + C.

S� S ' S 1 �? ( Í ) S rR

tú = x te x + 1n lcoa xt + C.

- 1 dx = - -¡ arcti x + ln

lxl � + C.

arct¡ x tú =

= xal'tlla x

arctg x arctg x - In � + C. dx = x - -vr:::"? arcsin x + C.

Sugestiones .

13 ) Substitu ir en . primer l ugar e l producto d e los cosenos por su suma; 19 ) integrar por partes ; 21 ) expresar e l num e rador del quebrado en la for -

x' + 1 - 1 •

y descornponer la integral en dos integrales, integrando -

en seguida por pa rtes ; 22 ) integrar por pa Pte s .

CAPI'nJW XVI

LA INTEGRAL DEFINIDA

l . D é f i n i e í 6 n d e 1 a I n t e g r a 1 D e f i n i d a Sea una func i6n - D iv idamos el in - y f( x ) , defin ida y a cotada en e l intervalo· (a, b) (a <6) tePvalo ( a , b } en un núm ePo a P D itra Pio d e se� entos ( n o necesaP iam ente • . .

•

iguales ) , cuyas l ongitude� des ignaPem os con 4x, , 4x, , . . t i vam ente . Designem os con e,, e• . uno en cada segm ento . FoPmenos la suma :

. . .

Ax,. * ) .+ ) , Pespec -

, e. l o s puntos a Pb itra Piam ente tomados , -

A= /(E 1) 4x1 + / (E1) 4x1 + . . . + t <�") � x". Fác ilm ente se interpPeta el s ign ificado geom étPico de la suma A, so bPe todo cuando la función f( x ) es no -n�ativa en el intePva l o ( a , b ) . En efecto , en e ste caso , el producto f (E,) Ax1 es igu a i al área del Pectángulo c uya base es Ax1 y cuya a l tupa es 1 (E1 )¡ La suma A , po r con s iauiente , represen ta la suma de las áPeas de los Pectáng , Ax,. y c u l os cuyas bases son Ax,, A%1 ,

�

• • •

yas altu Pas son / (E1), /-(E1) , • • ·/ (E,.) ( Fig. 4 5 ) . o.-<� 'L lamaPemos QOPtadpna a . al con - \> A.x,. junto de l o s segm entos Axt•. Ax., DesignaPem o s con e l s ím bolo ¡a¡ . a l a l ongitud del mayop segm ento pertene c i entea la co Ptadu Pa . . Q L lama Pemos noPmal a la secuen - si c i a d e coPtaduPas {3,. } . • •

.•

um ¡a,.\ = 0.

D -+ CID

· \ o' V\

Fig. 4 5

en otras palabPa s , si la l on!dtud del mayor de los segm entos, pePtenec i en te a l a e o P t a d u P a a,., tiende a c ero , c'1ando el núm ePo n tiende al iñ= fin ito . PoP ejem plo , d i v id iendo el intervalo ( a , b } en aos , tre s , cuatro , c inco etc . segm entos iguale s , obtenemos una secuenc ia noPmal de c ortaduras . Escogiendo una secuencia noPmal aPbitra P ia d e coPtadura { !,.} y for mando pa ra cada cortadu ra � �� l a coPPespond iente suma An , obtenemos una se cuen c ia de Si...l m as {A,.}. Pa Pa una secuenc ia dada de cortaduPa s {!,.} pueden o btene Pse d ife Pentes secuenc ias de sumas {A11} depend iendo de qu é pun tos a se e scojan . •

+ ) En lo sucesivo frecuentem ente el autor rep Pesenta por· U¡, Ax., • • • , tu,. " n o solam ente las l ong itudes sino tam b ién los p r>opios segm énto s . Nota de la redacc i6n .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

256

D e f i n i c i 6 n . Si la func i6n f( x ) posee la ppo piedad de que p a r a c a d a s e c u e o c i a n o P m a l d e c o P t a d u P a s {a,.} l a s e c u e n c i a {A;a } de s u tn a s e o P P e s p o n d i e n t e e o n v e P g e , ( independ ientem ente de la el ecci6n de los puntos l1E1 ) , se d ice entonces que la f u n e i 6 n f ( x ) e s in t e g Pa b l e en e l i n t e Pvalo ( a , b ) . Dem ostPernos que si la func i6n es integPable entonces, paPa una se cuencia noPmal {a,} cua l qu iePa de co Ptadu ras , las sumas coPPespond ie!!. tes {A,.} tienden s iem ppe a uno . y al m ismo l ím ite. En efecto , aorn itamos que la func i6n f( x ) es integPable en ( a , b ) . Esco jélm os dos secuencias no rmales de co Ptadu Pas .{a,} y {a'�}· des ignem os cón �{A..}y { A',.} las co PPespondientes sec uenc ias de sumas . Entonces la se - �.. . �·,. , cuenc�:a d e co Ptac:tu ras aJ , a'1, � ., a' 1 , e s tam b ién una secuenc ia noPmal . De esta m anePa , de acuePdo con la condic ión , la secuencia de las sumas At, A ' , A 1 , A.' o . conve Pge . Ya que las subsewencias de una se - 1 cuencia cc.nve rgente conve rgen a uno y a l m ismo l ím ite , entonces •

•

o o '

· · o

•

lim A,. = lim A' 11o II ... CXI

R -+ CXI

Vemos esta foPlna que las secuenc ias de sumas {A,.} y { A 11'} convepgen a uno al m ism o l ím ite o El l ím ite común de las secuenc ias { A ,. }, co rPespondientes a las secue!! c ías norma l es de co rtauuPas recibe el nombre de i n t e g �:� a l d e f i n i d a d e l a f u n e i 6 n f ( x ) en el intePvalo ( a ,b ) . L a integral defin ida s e designa con el s ím bolo

- y

S f (x)

dx..

O b s e P v a e i 6 n 1 . Sea y f( x ) una func ión continua en el intePvalo cerPado [a, b]o ( PostePioPmente se aemostra rá que tal func ión es integrabl e · ) . Adm i tam os que /(x) > O paPa a < x < bo Des ignemos con D el dom in io com pPe!!, dido entPe la cuPva , el eje OX y las OPdenadas x • a , x • b ( Fig. 4 6 ) . Form err. os una CO Ptaúura a aPOitra P ia d e l segm ento [a, b]o Sean Ml, ml , M., m., . . . los va lo res máximos y m ínimos Pespect ivamente que la función f( x ) toma en los se ..,m e ntos co Prespond ientes d e l a coPtauu Pa � - . Designem os - • . , E',, a' a• Pespectivam ente , COn E,, E&, · • los puntOS en los que la func ión tO - m a los va lo r-es máximos y m ínimos aPPiba ind icados. De este m odo •

•

/ (�1) = M1, / (E 1) = M1 , . . . , /(E'1) = m1, /(e'.) = m., . . . Sean

= M1Ax1 + M1Ax1 + . . , o = m1Ax1 + m.Ax, + x + A ) A' =/ (E/) Ax1 +/(e'. 1 L os Pectahgul os cuyas bases son Ax1, Ax1 , o o . y las e OPPespondi_entes al tu - del im i tan un dom inio D , m ientras que los rectán gulos co n Pas M1 , M1 , . las m ismas bases , pe ro con al tuPas m.,. m., . . quedan com p pend1das en e ste

A =1 <e. > Ax1 + / (E1) �x1 +

o • o

. • •

o •

• • •

dom inio. Puesto que pa ra cada secuenc ia no rmal de cor>tadu ras

lim A,. = lim A',. =

n -+ co

... ao

� / (x) dx,

{ �,.· }

tenem os

LA INTEGRAL DEFINIDA

257

es entonces natul"al detel"m inal" el ál"ea del dom inio D como el valol" de la integl"al b

S t<x) dx,

lo que corresponderá a nuestras re presentac iones intui tiva s O b s e r v a e i ó n .2 . En una integl"al definida ·

� /(x) dx ( en opos ición a -

la integl"al ind efin ida ) en luga r de x puede escribil"se otl"a l etl"a cualquie I"a . Esto es b

� /(x) dx == �f(t) dt ;=. � / (z) dz a

•

Ejemplos. l . La función y • e es integl"a �l e en cualquiel" intervalo y b

S dx = c (b - a) . e

Efectivarrente , fol"mando una col"tadur>a 1� cual qu iel"a y e scogiendo al"bitl"al"iam ente lo $ puntos e l , e .. . . e,. uno d e cada intel"valo pel"tenec ien te a l a cortadul"a � . , obtenemo s :

/ (e,) = t, /(E.) = c, . . • ,

po i" cons igui ente _

A = cAx1 +cAx. +

De esta mane l"a , poi" defin ic ión :

. . •

= c (b - a).

� c dx = c (b - a) b

•

La gl"áfica de la func ión y • e es una recta , paralela a l eje OX . S i nuestl"a integl"al es entonces igÚal al á rea del rec tángulo l im itado po r la recta dada , por el eje OX y po r las rectas x • a , x • b . 2 . La función y • x es integ rabl e e n cualquiel" intel"valo y_

e > O,

Sx dx = tt ; aa •

Form em os una cortadul"a arbitl"ar ia � del intervalo ( a , b ) . Escogien do arbitrariam ente los puntos e. , e., . . . uno en <Bda uno de los segm entos Ax1 , de la co rtadura b y haciendo /(x) = xobtenemos : • • • •'

Ax1,

por consiguiente , Sean Entonces

x,, x1, A=

t <e.> � e • . t <e.> = e•.

· · ··

A =: e,Ax, + E.Ax. + . . -+ E,.Ax,. . x,. los puntos m edios de los segm entos Ax,, Axa, • • · • u,..

x1Ax1 + x1Ax1 + . . . + 'x,.Ax,. + (E1 - X1) Ax1 + + <E1 -x1) Ax1 + . . . + <E. - x,.) Ax,..

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

258

Designemos los puntos de divis ión ( es dec i r los extremos de los seg m entos que forman l a cortadura a) po r las l et ras

Obtenem o s :

a, l!x1 = a1 - a, x = a� + 2 a . +- a4x1 = a1 - a1, x� _ 2 l 1

Por lo tanto

x1.ix1 +x1dx1 + . . . +xnl!xn1 =

As( pues

a11 - a1 + a11 - a.!1 +

. +

,. - an- 1

,. - a•

IJI - al + A=2- R,

donde

41.r,

Com o entonces

IRI � { .ix l ¡a¡ +} &x. ¡a¡ + o = -} (b - a) ¡a¡ .

Fig. 46 ·

o o

ras

Por lo tanto , si tomamos ma secuencia normal arbit ra r ia de cortad!! entonces { an }

b1 - a•

An = -·2- + Rn, IRnl � 2 (b - a) lanf· 11m Dado que n -+ oo ¡ani = O,entonces lim R• n =• o, por l o que b -- a nlim -+ oo An = 2 ' 1

asr que

1 1 S-x dx = b--2-a. .

• La i m a a e n a e o m 4 h r i c a de

e nt o n e e s l a

l a f u n c i 6n y • x e s una r e c t a . S i O

i n t e a r a 1 d e fj n i da

< a < h,

r e p re s e n t a e 1 4 r e a de 1 d o m i n i o l i m i t a d o

por l a r e cta dada , po r el e je OX y por l a s r e c t a s x • a , x • b : e s o b vi o

q u e s e t r a t a d e l t!l r e a d e u n t r a p e c i o . 3 . S i l a función f( x ) es idénticam ente n u l a en todo e l

con exc lus i6n de un núm ero fin ito de puntos , .entonces b

intervalo ( a ,b ) -

S!(x) dx = 0.

Sea k el núm e ro de puntos en los que la función es d i st inta de cero , Y s ea M el val o r máximo de la func ión f{x) en el intervalo ( a , b ) . Para una cortadura b� cua l qu ie ra , tenemos

LA INTEGRAL DEFINIDA

259

IAI � 2kM /�. As í pues , si {a11} es una secuenc �a noPmal aPb ítPa P ía de coPtaduPas y {A11} es la secuen cia de las sumas coPPespondientes , entonces n=

IAn l � 2kM 1a11¡,

• -+ QD

1 , 2,

. . •

Ya que lim ¡ani = O. entonces lim A,. = O , po p lo que ,. .... CX) •

S ! (x) dx = O

•

a . A l a u n a a p p o p t a cs a d e a d e l a a I n t e.a P a l e a D e f l n l d a a ._ De l a d e f l a i o i 6 n d e i n t e a P a l d e f i n l d a , a e d e d u c e r • o l l m e n t e t o a a i a u l e n t e a t e o :r e rQ a a : reoPema 1 L a s u m a d e d o s f u n e i o n e s 1 (x) y cp (x)·, i n t e g P a b 1 e s e n e 1 i n t e P v a l o ( a , 'Q�J , e s t a m b i é n i n t e g P a b l e e n e ste i n t e P va l o y ·

•

� [/ (x) + cp (x)] dx = � /(x) dx + � cp(x) dx. .

D e m o a t :r a o i 6 n . S l e a

u n a o o :r t a d u :ra a :r b t t :r a :r t a , t e n e m o e

3 )

A =/(�1 ) Ax. +i<a� ) Ax. + . . . , A' = cp (�1) Ax1 + cp (e1) Ax1 + . . . , A + A' = [! (e1) + cp (e1)] Ax 1 + [/ <�.> + ] Axa + . · .

De este m dd o , si '{!,,}' es una seQuenc ia nopmal a Pb itPa P ia de coPtadl!_ Pas , entonces

11m ( A11 + A� ) = 11m A11 + 11m A�, n = oo n = oo n = oo p o P consigu iente , l a func ión / (x) + cp (x) es integpable e n e l inte!lvalo ( a ,b ) y b

� [/ (x) + cp (x)] dx = � / (x) dx + � cp (x) dx.

A n 4 l o a a m e n t e s e p u e d e d e m o a t :r a l' e l a l a u t e n t e

· Te o P e m a 2 E 1 p 1' u d u e t o d e u n a e Ó n s t a n t e a 1' t> i t 1' a - P í a C P O I' l a f u n c i ó n f ( x ) , i n t e g p a b l e e n ( a , b ) e s i n t e - gPabl e e n este intePvalo y •

� cf (x) dx = c � f (x) dx. a

Ejem plos . l . Basándose en los ejem plos del páPPafo 1 , detePm inaP el valoP de la sigu iente integPal : 1

1 = � (bx + c) dx . o

Tenemos : l

l= 5 bx dx + S e

) 1

dx = b x dx + c dx = { b + c.

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

260

2 . S i las func iones y 'f d ifie ren entre sf únicam ente en un - - número fin ito d e puntos d e l inte rvalo ( a , b ) , entonces, supon iendo qu.e una de el las sea integrable , puede afirmarse que la otra tam b ién lo es, y que además b b

(x)

f (x)

S 1 (x) dx = S 'f (x)dx.

En efecto , admitam os que 'f es integra ble en el intervalo ( a ,b ) . En v i rtud del" ejem pl o 3 , Pá s . 258 tenemos : b

(x)

S [/(x) - 'f (x)]dx = O.

(1 )

• Cl

Puesto que

+ 'f 'f entonces la func ión f( x ) , suma de dos funcio n es integrables, es integrable y , en vi rtud de ( 1 ) , se obtiene la :relac ión deseada .

(x),

/ (x) = fl(x) - (x)]

3 . I n t e g :r a b i l i d a d d e u n a F u n c i ó n C o n t i fl u a . Sea y•f( x ) una fun ción con tinua en e l inte rvalo a .-;: ¡¡¡¡; b. Fo:rm em·os una co rtadura a!: los valores b it:ra :ria � .1 del segm ento [a, b]. Designemos con M 1 , M 2

• • •

los val ores m fnimos que la función f( x ) toma m áximos y con m , m , 1 2 :respectivam ente en los segmentos .Ul, . .. . de la cortadu ra a . Hagam os : • • •

... , }

Axt, S M 1 Ax1 + M.Ax. + -m Ax 1 + m1Ax1 + . . . , s_ A = / (�1 ) Ax1 +t<e.> Ax. + . . .

Llama :rem os s u m a s u p e :r i o :r al número S y á s , correspond ientes a la cortadura ·�. Tenem os obv iam ente :

(1 ) s u m a i n f e :r i o :r

•

J l4

L ema 1 S i l a f u n e i 6 n f ( x ) e s e o n t i n u a e n e 1 i n t e :r v a l o - ( a , b ) y s i '{ �n}� p :r e s e n t a u n a s e e u e n e i a n o :r m a l a :r b i t :r a :r i a d e e o :r t a d u ¡., a s d e 1 i n t e :r v a 1 o ( a , b ) , e n t o n e e s lim y sn :representan l a suma supe:rio:r e inferior covl"e sp<fnalentes a la co:rtadu.Pa·�n>· � una co:rtaou:ra arbitraria . Conservando O e rn o s t :r a e i ó n . Sea la notac ión antePio:r, tenem os , efi vi r>tud de ( 1 ) : •

(Sn - s,.) = O

(S"

(2)

S-s=(M1 - m1 ) Ax1 + (M1 - m1) Ax1 + . . .

Puesto que la func ión es un ifo r>m em ente continua en el inter>valo

¡ a' - � l < tr•

entonces , pa r>a todo e > O se encuentr>a un ta l , que si entonces 1 1 (aw) 1 < e.Adm itamo s que � 1 < r,: entonces

7J > O,

(e') -/

M1 - m1 <e, M1 -m1 <e, ...

Po:r cons igu iente es dec i P

S-

s < eAx1 + eAx, + . . . = e (Ax1 + Áx* + . . .),

[a, b]�

•

LA INTEGRAL DEFINIDA

261

o :s;;;; S - s < 1 (b - a) ,

Puesto que

lim f a,. ¡ = o, ex i ste entonces un núme ro N tal que para ca -

n -+ oo.

da n > N se tendrá l a,.[ < "l· dremos Dado que

(3 )

De donde , en virtud de ( 3 ) , pa ra n > N ten -

o � s.. - s,.< e (b - a) .

• puede ser un núm e r>o pos i t ivo cua lquiera , entonces llm (S,. - s,.) = O..

11 -+ 00

Lema 2. S e a n a y � d o s c o r t a ct u r a s d e [a, b]. . S i l a f u n c i 6 n f ( x ) e s e o n t i n u a e n [a, b] , y s i S d e s i g n a a 1 a s u m a - s u p e r i o r e o r r e s p o n d i e n t e a 1 a e o r t a d u r a a y s' 1 a s u m a infe r i o r , c o r re spond i en t e a l a co r tadu ra � , e n ton c e s

S � s' ( es dec i r toda suma superior es igual o ln ayo p que una suma inferior cualquiera ) . D e m o s t r a e i 6 n . Sea ·

S == M1Ax1 + M.Ax, + ·· · · s' = m 1 Ax; + m,Ax� + ·· · Adrn itamos in icialmente que /(x) ;;;:, O para a < x < b

( ver F ig. 46 ) . E n este caso D desümará la región l im itada por la curva y •f( x ) , el eje OX y las rectas x = a y x = b . Fác ilm ente s e observa que l o s rectán - gulos con bases Ax1, Ax. , . . . y altu r>as M1, M,, .. . cubren por com p leto a l dom i n i o D , y que dentro de este dom in io se hal lan todos los rectángulos con ba ses Ax;, Ax;, y altu ras m;, m�,... Se deduce oe aquí que los rectángulos - con bases · �1 , Ax1, . . . cubren a los rectángu los con baseS¡ Ax;�... Ax; , Puesto - que S es la surña de las áreas de los rectángulos prim er>os y s' la de l os segundos, entonces .•.

... •

S ;p, s'. Si aho ra la funci6n f( x ) es no -negativa en [a, b],

entonces , haci endo

l(x) =/(x) - m ( m es e l va lor m ín imo d e l a func i6n f( x ) , obtenem os :

l(x) ;;;:, O

De otra manera S � s· ( aqu f , S f(x), correspond iente a la co r>tadura pond iente a la cortadura cJ ' ) . Pero

a <; x c; b. es la suma su perior de la funci6n a, y ¡; es la suma infer ior , corre s -

= M1dX1 + M1dx1 + . . . = (M1 - m) dx1 + (M1 - m) .ix, + ...

M1 .-M., . . son los valo r>es máximos de la func i6n /(x) en los intervalos Áx,, .

Ax�, . . . )�As í pues.

S= S - m (b - a) .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

262

Análogarr:ente obtenem os : Ya que s � l, entonces

? = s' - m (b - a).

S - m (b - a) � s' - m (b - a),

e s dec i r

S ;;::, s'. Teorem a . U n a f u nc i 6 n

•fl x ) ,

eont inua en e l

in t e r va -

l o [a, b] e s i n t e g r a b l e e n e s t e i n t e r v a l o . O e m o s t r a e i 6 n . Sea {a,. } una secuencia normal arbitraria de co!:

tadu ras {S;z}, {s,.} las sumas, superior e inferior respectivam ente , cor res ponü ientes a las cortaduras �� y { A11} las sumas definidas en el pár rafo l . Si P y q son núm eros natural es arbitrarios, entonces , de acuerdo con el Lema 2 , Por lo que

Sp - Sq ';;:!: sq - Sq,

S9 - S, ';;:!: s, - SP.

De donde se s igue que

- (Sq - sq) �Sp - Sq <. S, - s;,, Dado que de acuerdo con el lema 1 lim (S 11 -+QO ,. - s,) = O, entonces, escogiendo un. núm e ro arbitra r io e> O, hallamos un N tal que para n > N o � S11 - s,. < e. S i , por consiguiente , p > N y q > N. entonces, en vi r>tud de ( 4 esto es

- a < S, - S, < e,

De donde vem os que la secuenc ia {S11} satisface la condición de Cauchy, siendo por lo tanto convergente. Puesto que .

entonces , en virtud del l ema 1 , Tomando en cuenta que

lim s,. = lim S11•

n -+·OD

11 -+ 0D

•,. < An < S,.,

conclufmos, en base en ( 5 ) , que existe el l ím ite lim A,. .

IJ -+ QD

LA INTEGRAL DEFINIDA As( pues . 1? func ión f( x ) es i�tegrable en el inte rva lo

263

[a, •1

4 . A l a u n a s c o n d i c i o n e s d e l n t a t r a b i li d a d , P r e s e n t e m o s _

aqui \ sin d�m ostrac ión ) algunas cond iciones ae mtegrab i l ioad de func io nes discontinuas . rr e o r e m a l . U n a f u n c i ó n a c o t a d a , c o n u n n ú m e r o f i n i t o d e p u n t o s d e d i s e o n t i n u i d a d e n e l i n t e r v a l o [a b], es integrdble en este inte Pvalo . D e aquí s e s igue d e inm ed iato que una func ión acotada , con un núme ro fin ito de puntos de _d iscont inuidad en [a, b], es integPable en todo inteP valo pa Pc ial [Cl, �] (a =e:;;; Cl < � � b) Es vá l ida así m ism o la s igu i en te ppo pos ic ión . Te o P e m a 2 . S i una fu n c i ó n e s in t e g Pa b l e e n e l in - t e r v a l o [a, b], es entonces tamb ién integPab le en cualquier> inte Pvalo pag c ial [cx , �J (a � Cl < � � b) Ej emplos. l. L a - func ión ,

•

/(x) = :��

(O < x < 1 )

es continua en el interioP del inte Pvalo ( O , 1 ) . Si está defin ida en los ex tPemos del intervalo po r> m ed io de las cond ic iones

/(0) = 0, /( 1 ) = - 1 , entonce s , com o es fác il

pr>obaP

l im /(x) =/(0),

x-+ +0

lim / (x) = / ( 1 ) .

x-+ 1 - 0

As( pue s , esta func ión es cont inua tam b ién en los extPem os del intervalo y pop consiguimte , integPable en e l inte Pvalo [0, 1] 2 . La fun ción . 1 1 (x) = sin x O < x ==:;;; 1 , 1 (O ) = 5, ,

es integPa ble en el intePvalo (0, 1] , ya que es acotada y t i ene en este int�P valo un ' so lo punto de discontinuidad : x = O . 3 . La fu�c ión

{ 1 parao ==:;;; x < 1 , f f.x) = 0 » 1 =e:;; X < 2 , 3 » 2 � x =s:;; 3

es in tegPable en el intePvalo ( 0 , 3 ) . En efecto, es acotada y t t ene ún ica - m ente dos punto s d e discont inu idad� x = 1 y x = 2. 5 . C o P t a d u P a d e l I n t e P v a l o d e I n t e r> a c i 6 n 'eopem a . i a < b <c y S Í la func iÓn f( X es integPable en e l intePVa l o ( a , e ) , entonces b e e ·

S / (x) dx + S / (x) d x = S t (x) dx.

D e rn o s t P a e i 6 n . F o Prn e m o s una s e cu e n c ia normal de co PtaduPas { an} de l segm ento ( a , c ) de tal suerte q u e e l p unto b sea un punto de s e pa rac ión pa ra una C O Ptadu ra a P b i tPa r> i a - an. • R e p r e s e n t e m o s con {An} la se c u encia de l a s s u m a s co P Pespondientes a l a s c o r>tadura s { an } . L a s u m a An

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL puede esc ribirse de la sig u iente mane('a :

A,. = [! (E;) u; + (E;> Ax; + . . . ] + [! (��) 4� +1 (E:) .U: + .. .J,

donde Ax�, Ax�, ···• y 4z;, Ax;, . . . denotan segmentos de la co rtadura �� contenidos en (a,b ) y en (b, e }·, respectiv�mente. Designando con A� la suma encerrada en el primer paréntesis y con 1 K, la encerrada en el segundo , ob tenemos :

A,._=�� + A:.

(l)

Adm itam os que la función es integrable en ( a , c ); entonces, de acuer do con el teo rema 2 , parágrafo 4, será tam b ién integra ble en ( a , b ) y en ( b , e ) , y además 11m A,. = • -+ oo -

� 1 (x) dx,

•

11 -+ 00

.1 1• A

� = t (x) dx,

�

11m A: = / (x) dx.

11 -+ 00

De donde , en v irtud de ( l ), se deduce la val idez de nuestro teo rem a . Ejem plo . Sea f( x ) una función dada , def in ida en el inte rvalo ( O, 1 ) de la sigu iente manera :

/(x) =

npu O <; x <

1 » 2 <: x < l .

Esta func ión e s acotada y continua en todo e l intervalo ( O , 1 ) , excepto en e l punto x = , siendo por l o tanto integrabl e . Tenem os : l

�

S t (x) dx = S /(x) dx + S /(x) dx = Sx4x+ S 1 dx = j- + { = } T

( ver los ejemplos del parágrafo 1 ). 6. A 1 g u n a s---n e s i g u a 1 d a d e s p a r a 1 a s 1 n t e s r a 1 e s O e f i nidas. Teo rema . Si la func ión y f( x ) es integrable en el intervalo [a, b] y en él satisface la conc Üc ión m </(x) <: M para a <: x < b, •

entonces

�

m (b - a) < / (x) dx <; M (b - a) . ..

La demostración se obti ene de la obse rvación de que para cada co rtadura 1 a tenemos

m (b - a) < A < M (b - a) .

Observa c ión . De este teo rema se s igue que si entonces

S / (x) dx � O

•

LA INTEGRAL DEFINIDA

265

Basta en efecto hace:r m = O. De aquf se desp:rende de inm ediato que s i las func iones 1 (x) y cp (x), son inte&:rables e n [a, b] , Y si satisfacen pa:ra . a < x � b la desigua ldad

1 (x) < cp (x),

entonces

� /(x) dx < S cp (x) dx. •

•

En efecto, pa:ra

(1 )

a <; x <: b tenemos cp (x) -/ (x) ;;;;,. O, po :r l o que •

S [cp (x) / (x)] dx ;.r.O,

•

po:r 'consigu iente

•

S 'f (x) dx - S 1 (x) dx O.

•

;;a

•

De aquf se deduce la d esigua ldad . ( 1 ) Ejem plos . l . · Conside:rem os la func ión

•

/(x) = x (t - x). Dete:rm inando sus válo:res máximo y m fn im o en el inte :rvalo se :rva fác ilm ente que 1

lO, t], se ob

O c;/(x) < -¡ (O < x < 1 ).

De aqu f tenem os que

{

O <; � x (l - x) dx < . .

La evalua c ión inmediata de esta integ:ral , según un m étodo conocido . nos da un valo:r de 1 / 6 , valo:r que satisface la última desigualdad . 2. L a func ión

f.(x) = r (x > O)

es continua en el inte:rvalo ( 0 , 1 ) , si im ponem os la cond ición f( O ) • l ( ve:r Pág 134 ejem plo 6 ) . Com o es fácil com p:roba :r , esta func ión toma en este intervalo un v� lo:r m fnimo pa :ra mo

�

•,

} , ( ve:r Pág-. 129 p:roblema 4 ) . s iendo este valor m fn i f (x) <; 1 (O <; x <;,l ). Podemos por

Por ot:ra pa :rte , e s evidente que l

lo tanto toma :r m = � - -¡, .M - 1 Obtenem os entoñce s la desigua ldad 1

t - .,._

S-rdx <;; 1 (e - .

:;;::: 0,692 . .·. J.

No es posible en este caso ca l cula:r el valo:r exacto de la integral por m étodos elem ental es .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

266

3 . Si / (x) y cp (x) son funcione s cont inuas en ( a ,b ) , entonces paPa toda de donde 1 (l) --:- 11

1 ().) =

r [1 (x) + lcp (x}]1 dx � o,

� <y1 (x) dx + 2). S f (x) cp (x) dx + S t• (x) áx �0. a

Dado. que el t P inom io

(2)

a.l• + 2�1 + ·r

es no -nega t i vo pa Pa todos los }. cuando y sola m ente cuando

�· E;;; a.y, 1 4 1

�· - ar � o . es d ec i P

·• b b b dx (x) • cp1 (x) dx \�� dx ¡ � (x) x) ] 1 cp n ( ,íb lb

entonces, en vi Ptud de ( 2 ) o

�

· a

(3)

•

\ � 1 (x) cp (x) dx l E;;; V � Jl(x) dx · l � cp1 (x) dx. a

Pa Pa

cp (x) = 1 obtenemos :

J f1 (x) dx 1 •

(4)

E;;; Jt b - a

{ {t• (x) dx . IJ

La desigualdad ( 3 ) y la ( 4 ) COPPe spondientem ente ( la que . com o puede d em ost Pa Pse , es vál ido pa Pa una pa peja cua l q u i e Pa de func iones integPab l es ) se designa com o desigua ldad de Sch wa Pz . 7. L r m i t e s d e 1 a 1 n t e g P a 1 . lnt Poduzcamos l a s igu i ente defin í c i6n . Sea f( x ) u n a func ión integPab l e en (a, b), a < b. Haga m o s entonces 4

� 1 (x) dx

Teo Pem a . S i

�. f (x) dx,

S 1 (x) dx = a. (J

a, b, c

son núm ePos a p b itPa P ios , e

� 1 (x) dx + � f (x) dx = � 1 (x) dx

en to n c e s

(1 )

l a co nd i c i ó n d e q u e tod a s l a s i n t e g Pa b l e s e x i stan . a < b < c, la Pe t a c i6n ( 1 ) se deduce entonces Dem ostPa c iGn . Si del t 00Pema d d pa Págpafo 5 . a < c < b. Entonces Adr · i ta r n o s que bajo

poP cons iguiente

S / (x) dx + S / (f) dx = S f(x) dx,

S f(x) dx � S f (x) dx = S /(x) dx,

•

LA INTEGRAL DEFINIDA b

de donde

267

S f(x) dx + S f(x) dx = S f(x) dx. b

' G

Si adm itimos que a = e, el teo pema será ev idente . En efecto , en - este caso tendPem o s : b tJ IJ

S 1 (x) dx + � 1 (x) dx = O = S 1 (x) dx

•

Razonam os en una fo pma análoga si b e 6 si a = b . Ob sePva c i ón l . La fó rm ula ( 1 ) puede escr ibi Pse tarrt b i én de la si gu iente manePa : e tJ =

� f(x) dx + S f(x) dx + S f (x) dx = O.

ObsePvac ión 2 . Los núm c Pos a , b que a pa recen en la integPal b

S j (x) dx,

se denom i nan l ím ites + ) de esta integral , independ ientem ente de que a ,;;;;;. b ' o de que a > b . El núm e r>o a se l lama l í m i t e i n f e P i o r , y el b , l ( m ite supe rio P . 8. F u n c i ó n d e l Lím i t e S u p e r i o r ( o I n f e r i o P ) d e l a IntegPal . Si la func ión f( x ) es integrable en [a, b], y si 11 es un punto cual - - qu iera del intePvalo [a, b], puede entonces defin irse una nue va func ión f( x ) po r m ed io de la fórmula Jf

F (x) = f(t) dt •

(a < x < b)

•

La func ión F( x ) es definida para cualquier x del inte rvalo [a, b]. La función F( x ) es entonces una func ión del l ím ite su per ior• de la integral de la func ión f( x ) . Análogamente puede cons ideParse una función del Hm ite inferior de la integral de la func ión f( x ) , es dec i r , una func ión . e) (x) = /(t) dt. ·

Es claPo que

c) (x) = - F(z).

Es necesario no pePder de vista que la función del 1 ím ite super io r o infer ior, depende tam b i én de la elecc ión que se haga del punto 11 Teorema. L a f u n c i ó n •

F (x) = S f (t) dt

e s e o n t i n u a e n e u a l q u i e r p u nt o d e 1 i n t e P v a 1 o f a , b ) . a

+ ) Más exactam ente , l !m ites de la integra c ión . ( N . de la R )

268

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Dem ostración . Sean x1 (a , b ) , Tenemos :

Fex, + >.> - F ex,) = .

y x, + >. puntos arbitra r ios del intervalo

.... +l

....

•

a"e+l

...

S /(t)dt- �1 et) dt = S t et) dt + S fet)dt;

por lo que , según el teorema del parágrafo 7

Fex, + l) - P(x1) =

..._S1t(t)dt. ....

Sea f( x ) una fun c i ón que en 4 < x < b sa tisface la desi gual dad

lt ex> I < L. De acuerdo con el teo rerna del parágrafo 6 ( Pág . 2 64) y ( 1 )

f F ex, + l.) - F exJ 1 < L 1 x, + l. - x, l = L · l l l.

De donde se ve que

!�· 1 F(x¡ +l> -F(x1) 1 =0. ...

S tet> dt • ex> = St et)dt '

es una función continua . Pero esto s ignifica que la función Observac ión . Es ev idente que i.� func ión •

...

es tam b ién una función continua , ya que

ct (x) = - Fex).

Ejem plo s . l . La integral

es una función continua para x > o� Com o se demostra rá ( ver adelante , teol'ema 3 del parágrafo 9 ) ,

F(x) :i::: la x.

2 . Aná l ogam ente

F(x) =

...

j rf,.

es una func ión continua para todo x. Aqu í se tendrá F (x) = arctg x ( ver adelante, teorema 3 del pa rágrafo 9 ) . 3. La integral ...

F (x) - f

- J JÍ(l - t1) (1 - k*tt) o

es tam b ien una función continua para O < x < 1 . Sin em bargo, no es posible evaluá rsel a por rnétoaos elem entales. Esta función es llamada i n t e g r a 1 e l íp t i c a .

LA INTEGRAL DEFINIDA

269

4 . Puede dec i rse l o m ism o respecto a la funci6n

F (x)= S st�.t dt, Jt

continua para todo x. ( Pa r>a t • O , tom amos com o valor> del integrando igual á 1 ) . 9. In t e g r a l D e f i n i d a y F u n c i ó n P r i m i t i v a . Teorem a . S i l a f u n c i ó n f ( x ) e s i n t e g r a b l e e n [t�t bJ ,

a ,_;: t& < b y a <;. x <, b, e x� i S t e e n t O n C e S 1 a d e r i V a d a d e l a f U n C i Ó n � 1 (t) dt Y e s i g u a l a 1 a f u n e i 6 n i n t e g r a n d o e n e a d a p u n .

t o e n e l q u e e st a fun c i ón s e a c o n t i n u a Demostración . Sea f( x1 una func ión continua en el punto x, del inte_r val o [aj b]. Entonces , escogiendo un núm e r>o arbitrar io i > O , podremos hallar un 11 > b, tal que para cada punto x del intervalo [a, b], satisfaga la desigualdad .

(1 )

pudiendo util izarse también la des igual dad e sto es Haciendo

hal lamos

•

1/(x) -f (x,) 1 < a, /(x,) < f(x) <1 (x,) + a. �1

(2)

F(x) = � / (t) dt, .

1 (XI - F(x¡)

•

JC - "'

1& - .1&.

·S f<t> dt. �

P o r> consiguiente , s i x .satisface la desigual dad ( 1 ) , entonces , en virtud de las desigual dades ( 2 ) y del teorema del parágrafo 6

f(x ) - a <·F (.�&).1& -- X..F (X.) <f (� >+• · •

•

Puesto que e fué arbitrariamente escogido ,

es dec i r , F' (xl) existe y

lim F (.�&) - F (X.)

Jt -+ Jte

.1& - X.

1 (x,) ,

De esLe teorema se s igue inm ediatam ente la s i guiente proposic ión : T e o r> e m a 2 . L a f u n c i ó n c o n t i n u a f ( x ) e n e l i n t e r v a l o [a, b] p o s e e e n e s t e i n t e r> v a l o u n a p r i m i t i v a . Esta pr im i tiva es la función

F (x)

� f (t) dt + C.

Obser>vación . Puede dem ostrarse tam b ién el teorema 1 para la fun�

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

270

c i6n

el> (x) = � f (t) dt. '1

�

Efectivame nte , tenem os : �

S t <t) dt = - S t<t) dt.

·X

es necesa r> io , s in embar>go , nota r> que «D' (x) = ·-

•

f (x).

Teor>ema 3 . S i F ( x · ) e s l a f u n c i 6 n p r> i m i t i .v a d e l a f u n c i 6 n f ( x ) , e o n t i n u a e n e 1 i n t e r> v a 1 o [a, b], e n t o n e e s �

S t(t) dt =F(x) -F (cx), a �P. <a b, a � x � b. (3) t(t) dt son las funciones pr>im iti Oem ostr>a ci6 . Puesto que F ( x ) y

va s de l a funci6n f( x ) , difer>i r>án entr>e sí únicam ente en una constante . Por> cons igu iente x

S /(t) at = F (x.) +.c.

•

Ha ci endo x= cx, a s í que

O=F (cx) + C.

obtenem os

De aqu í se s igue que C = - F (cx),

�

S 1 \t) dt=F(x) -F(cx) .

Observac ión. Ha ciendo x = b, cx =a, en la f6 r>m ul a ( 3 ) , obtenem os :

S f(t) dt = F (b) -F (a) b

• •

La f6r>m ula ( 4 ) nos per>m ite ca l c u lar> una integr>a l defin ida si se cono ce la funci6n pr>im itiva , es dec i r> , si se conoc.e la integr>a l indefin ida . PaPa ab re v iaP ., l a fó r>m ula ( 4 ) fpecuentem ente s e esc r>ibe en otr>a fo r>ma: b

� /(t) dt = F(t) 1

. ti

PoP ejem plo ,

Ejem plos. l . Ca lculaP la inteaPal Puesto que entonces

•

S sln x ú.

S sln x dx = - cos x,

s tt

sin x dx = - cos ..:¡ + cos O = l .

LA INTEGRAL DEFINIDA

271

Ca l culaP la integPal x" dx, n =F - 1· · o Dado que x" dx =

�

S :"�� , S dx =-: n¡ f • 1

entonces

•

3 . CalculaP la integPal r ar.:t='i' dx,

Dado que

a> O·

S i?� � tlx = { In (a' +r),

1 l • J rr i? r + i*-dx = a- ln 2a' -3 1n a = a- ln 2. •

entonces

4. CalculaP la integPal Tenem os :

PoP cons igu iente, haciendo tg x = t,

-� = dt, obtenemos:

CUII- X

tr " • coa•xdx= " S t'dt=-r=T S sin. r stn• te• f te' _!_ � CoiTitix=.,.- -s- s · ,.

•

y de donde

5. Cal cul a P la integPal T

•

l,. =

� stn• x dx

( n , núm ePo natuPa l )

S sln" x dx obtuvimos ( ve P Pág . 21 2) la f6Pm!!_ n -; = - cou�n·-·� + 1 S lla• · • x dz.

Pa pa la integPal indefin ida la de Peducc i6n sta• x dx De donde

Si 4 � 2. el PP lm e P sumando del segundo m iembro ser.' enton ce s nu lo y pop lo tanto 1 - !!.=.!

. - " '·-··

Con ayuda de esta fóPmula , y ten iendo en c uenta que

/o-:- 2 , 1, = 1 , 11:

fá-c i l m ente obtenernos pop inducción :

272

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2

.. .

.,. xdx = 1 o 43 . 2n-m- 1 11: 2,

/1,. = sin Ian+ l =

o "

5 sin o

111 + 1

x dx= T1 32 0 54

o . .

+l o 2n2n

lOo T e o r e m a I n t e g r a l s o b r e e l V a l o r M e d i o . S i l a f u n e i 6 n f ( x } es in tegrable en el intervalo {a, b], entonce s el número

•

b� a S f (x, dx 111

se l lama v a l o r m e d i o d e 1 a f u n e i 6 n f ( k ) en e l interval o [a, b] Es vál ida la sigu iente proposic i6n : T e o r e m a i n t e g r a l d e l v a 1 o r m e d i o o 6 i 1 a f u n e i 6 n f( x ) e s a e o t a d a y e o n t i n u a e n e 1 i n t e r i � r d e l i n t e r v a 1 o [a,',. b], e x i s t e e n t o n c e s d e .n t r o d e e s t e i n t e r v a l o u n p u n t o E 1 1 (a < e < b)t a l •q u e 'b •

/(E) = 6� a S f(x) dxo 111

Pemost raci6n o Hagam os para a ,.;;;;; x ..; b :1(

F (x) = � f(t) dto

(1 )

111

La funci6n F( x } es Wla funci6n cont inua en [a, b] y d e acuerdo con el parágrafo 9 , posee en cualquier punto de este intervalo una derivada F'

a<x < b.

(x) =/(x),

•

(2)

Adem ás, de acuerdo con el teo rema del va t o r medio, estud iado en el Cálculo Dife renc ial , existe un punto e, que satisface la rela ción

( = (b -a) (e), F'

F (b) - F a)

Ya que , de acue rdo con ( l )

F (b) entonces, en virtud de ( 2 ) y ( 3 )

= S /(t) dt, •

•

F(a) = S t (t) dt = O, fl

S /(t) dt= (b - a)f(E}o

•

De aquf se obtiene la dem ostraci6n de nuestr>o teo rema .

Ejem plos . l . El valo r medio de· la funci6n en el inte rvalo ( O , 1

/(x) = x (l -x)

) es igual a

S f(x) dx = s1 ·

(3)

LA INTEGRAL DEFINIDA

273

Puesto que esta función es continua , entonces, para un c ierto x = e (04<1 > . tendrem o s : 1 E (l - � = 6 • dem ostrándose fác i l m ente l o propuesto . 2 . El valor m ed i o de la func ión

/ (x) = x stn x en e l intervalo

(O , 1t)_

es igua l a

J aln x

x-dx = l.

En v i rtud de la continuidad de esta func ión , tendrem os p o r consi - - gu iente , para u n c ierto E f del intervalo ' (O, ·n) l a igualdad � sln E = L �( S e dem uestra fác i l mente y en forma inmediata que existen cuandp m enos dos val ores tal es de E\ ).

PROBLEMAS l . Cal culaP las s igu ientes integrales def in idas.

r dx � xr- x + l 1

21t

3 y3 ;

o¡ para. m � n, ( m ,n , enteros pos itivos ) l cos mxcos nx dx = { K'Para m=n

2•

e) f)

. S" arcsin x dx= f - 1; 1

g) J o

r+l

� + x• + 1 dx = 2 JI2 ;

S 1 +tt;os x = l ;

- 1t

S (ii cos1 x + sin* x -

2ab

(a > O, b > O);

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

274

2 . De m o s t ra r q u e e l va l o r m ed i o d e l ra d i o vect o r de l a e l 1 pse 1 - 8 cos tf

es I gua l a la m i tad de su e j e rn e no r . ( Com o se s a be , li P = -¡¡ •

donde

�

b d e s ignan l o s sem i ejes de l a e l i p se .) P ro c e d e de a q u í ca l c ul a P

e l va l o r m ed io d e l a func i ó n

p 1 - 1 cos cp 1

(O, 21tl Ca l c u l a r' el va l o r> m ed i o de la f u n c 16n

en e l i n t e Pva l o 3.

en e l i n t e Pva l o

( ::!l:f)

lo.

/(x)

Sfñl x + 4 cos1 � cosl x

[ -i] Com ppoba P d i Pccta m e nte o.

es e l va l o p de la fun c i 6n f( x ) pa ra

Tom ando e n l a d e s i gua l dad b m

un c i c Pt o

(b - a) � � f (x) dx � M (b •

que e ste va l o P m e d i o

x=�

de e s t e

interva

- a,

M' c o m o l o s va l o P e s m ín i m o y m á x i m o d e l a fun c i ó n

en e l i n t e P va l o

/ (x) = x (l - x)1

( 0 , 1 ) , demostf'a r que o�

x (l - x)1 .dx :s::: ..! · � 27 '

CompPoba f' I O de spu é s por cá l c u l o d i r> e c to de la l ntegPa l . 5 . Ca !. c u l a r> con l (rn ites d e O á 3 la i n t egpa l de la fun c ión f( x ) d e fi n í -

dé"� li e l a s i gu i e nte m a nePa�

y vé r i f i c a P d i P e c ta m e nt e

/ (x) =

{

1 -x

pa pa

papa

(2 - x)1

O =so;; x � I .

pa Pa 2 < x tS1; 3,

1 < x E; 2,

que l a func ión obten ida F (x) = S / (t) dt "

es con t i nu� en e l int e P va l o ( 0 , 3 ) . y que su d e r i vada en un punto cualquiera d e l inte P iO P de este i nt e Pva l o e x i s t e y es i gua l a f( x } . 6 . Con a y uda de la f6 Pm u l a ( 4 ) de la Pág . 21 3dem ostPa P que

LA INTEGRAL DEFINIDA

1 ·3

. . .

2 4 ·

L)a r>a tod o n ú m e ro natu ra l

•

(2n - 1) 1t 2n. 2

•• •

275

CAPI'I1JLO XVD

TllA.NSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS. INTEGRACION DE SECUENCIAS Y SERIES

l. Cam b i o

Va r ia b l e s

Se requiere efectuar en la integral

las

Inteara l e s

D e f i n i da s .

� /(x) dx

x = cp (t)

la substitución

te fórmula de gral defin ida :

Tiene

•

l u aa r e n t on c e s l a

substitución de b

siguien

v a- r i a b l e s e n u n a

inte

� / (x) dx = � l[cp (t)] cp' (t) dt,

donde

cp (�) = b.

Demostraremos esta fórmula bajo las condiciones : l . Las funciones

cp (t)

cp' (t)

son continuas en (rl, �].

2. La función f ( x ) es definida y continua para todo valor que la fun -

ci6n x = cp (t)

adquiera en el intervalo [rl, �].

3 . cp ( !l ) = a, !f (�) = b.

D e m o s t r a e i ó n . Desianemos éon M y m , respectivamente, los valores máximo y m Cnimo de la función : X = cp (t),

Sea F (x) = S /(x) dx,

m E;;;; x E;;;;M .

De acuerdo con el teorema de la substitución en las integrales indef_!. nidas ( Pg. 206), es válida, para

!l � t � � , la siguiente igualdad :

F [cp (t)] = /[cp (t)] cp' (t) dt.

De donde

J /(cp (t)] f� (t) dt = F [cp (�)) - F (cp (rl)] = F (b) - F (a).

(1 )

Y a que

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS b

S / (x) dx = F(b) -F (a), a

277

( 2)

entonces, de la com paración de las dos últimas i2ualdades, obt�nemos la f6rmula buscada . En muchos casos, sin considerar la posibil idad de determinar la integral indefinida de una función dada, es posible calcular la integral definida dentro de ciertos l ím ites por medio de un cambio conveniente de variables. O b s e r v a e i ó n Si en vez de la condición 3 hubiéramos tenido la CO!!. dición •

cp (cx) =é,

entonces, como es fácil demostrar, en lugar de la relación ( 1 ) hubiérª mos obtenido �

S f [cp (l)) cp' (t) dt = F (a) � F (b) . a

De donde, en virtud de la relación ( 2 ) b

S f (x) dx = � / [!f (t)] cp' (t) dt. Cl

¡¡

Ejemplos. l . Calcular la integral 1

I = S x l''1 + x1 dx. o

Haaamo�

es decir,

v··J +· X1

Tenemos

x = Vt• - t . t= 1

Puesto que

t = V2

para x = O , para x = t .

tdt dx = yt• - 1 '

entonces

' = S t•dt = {- 1 ;2 = 2v;- � . 1

Calcular la intearal

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

278

S inJ -t- : ;1x) d 1

(1 +

Hagamos

dt dx = cos1 t

x =tgt,

Los nuevos l Cm ites de integraci6n serán. como es fácil ver. O y As! pues. 1

S 1

l n (l + x> dx = S "

+ XZ

�·\ "

In (l + tg t) ..!!.!_ = e I n 1 + tg4 t cos• t J u

- .J I n

o �

� n

-;;:

si n t + cos t cos t 1f

dt= J¡ In o

= S In V2 dt + S In cos ( -io

�.

( 1 + tg t) dt =

(

"V2 cos � - t cos t

)

dt =

) dt - S In cos t dt. u

Haciendo en la segunda integral

-i- - t=a, dt= - da. obtenemos :

5tn cos ( T - t) = S( - In cos a) da = S In cos a da. o

" 4

De este m odo. las dos últimas integrales se anulan . Obtenemos consiguientemente T

n l + x> S l ( dx = S In v- dt = 8 In 1

1 + xa

3 . Calcular la integral

Tenemos :

2 - r

5 x sinos•x x dx - J x sincos•x x dx _l J -� dx cos' n

1 +e

Haciendo en la seaunda integral

x=n - t,

¡ rr

1 +

•

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

279

dx = - dt,

obtenemos:

S x sin x dx = -S �

1 + cos' x

2 "

(1t - t)sin (1t t) _ 1 + cos' (1t - t) dt -

s "'

(n: - t) sin t

1 + cosz t dt

•

Escribiendo nuevamente x en lugar de t, hal lamos :

S 1 +x sincos•x x dX = is x sin K

-s .

dx + rr 1 + cosz x

sin X dx = rr 1 + cos2 x X

s sin ' dx -

�

S sin "'

1 + cos x

1 + cos• x •

Evaluando esta integral por un método '!! a conocido , obtenemos fi nalm ente :

S x sin x dx "

1 + cos2 x

: _ 1t

- -:r ·

Problemas

dx � J ·· � d· = (i-f)·· j' dx dx = l n S dx 1t�z .

Calcular las siguientes integrales definidas.

S (1 - vxzr� a

Substitución x = sin' f· 2.

(a > O).

Substitución X = a cos f· 2a

2 + y5" 1 + 'V2 ' Substitución x = a tg f.

vx• + a•

Y20X=7

Substitución x = 2a sin1 Cf.

2. I n t e g r a c i ó n

por

P a r t e s . Sean las funciones f ( x ) y

cp (x) . CO!.!,

tinuas en conjunto con sus derivadas en el inte rvalo ( a . b ) . Sea ade más.

Enton c es

F (x) =1 (x) cp (x).

280

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL F'

Puesto que

(x) =1 (x} cp' (x) +r (x) cp (x). b

entonces

�

J [1

de donde

S (x)dx =F(x) l F'

ca ,

x) ,, (x) +l' (x) cp (x)] dx = /(x) ' (x)

r:.,

S , <x> ,. <x> dx ---: , <x> , <x> 1: -Sr <x>' , (x) dx.

Bjernploe. l . Calcular la intearal

(1 )

S xcosxdx. o

Haciendo en la f6rmula ( 1 )

/ (x) = x,

obtenemos:

x cos x dx = x sin x

a. Calcular la intearal

S x• (1 - x)1 dx.

'Haciendo

/(x)= x1, obtenemos:

1: - f sln x dx = .:-.2.

� 1

x' ( 1

()

(1 - x'

cp. x = - -4- , ·

- x)' dx = - x• < 1 -¡ x)•¡: + � 2x<t -¡x.,. dx; 1

Bl primer sumando del seawado m iembro es iaual a cero. Intearando nuevamente· por partes. obtenemos:

2 1

. x)' \ 1 + 21 s. --6� x ( l -x)'dx= x)1 dx. - 2 x --5o 1

Vuelve a anularse el Pl'imer sumando . m ientl'&& que para el aeaundo tenemos

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

1 s ( t - x) dx = - ¡o -

Por eonsiau iente ,

tuae ion e s ea

oo .

e e e u e i1 e i a

inte r va l o

{ S u,. (t) dt } . .

{u,. (x)},

tunc i6n

con ve P &e

i n t e P v a l o [a, b]

Demoetraci6n. De la ooaveraeacia

•

o o n v e :r a e

· [a, bt

S e :r i e s

Seeue ne ia e

intervalo

eete

x)' ( t = 1

6- o

•

1 (1 -

•

S X1 (1 - x)1 dx = � ·

3 . 1 n t e a �t a e i 6 D d e auiente teo:rema : Teore m a l. S i a t iauae

281

u( x),

tune iones

�

e on -

u n i t o .- m e m e n t e

enteaoes

Demostremos el s!

sec u en c ia

d·e

un i fe r m em ente

fu n c i6D S u (t) dt •

•

uaifoPme de la eeouenoia {u,. (x)} : ee

ue i6D u ( x ) es continua (p4aa. U5l,i63 ) y adem4s, que Pe>-O Pa cada a6me:ro es pos ible hal lar un adme:ro N tal , ·que para > N , tendrá luaa:r la desiaualdad un D cual qu iera , aiaue que la f

. 1

•

l u,. (x) - u (x) l < e para a < x < b. Por lo taDto, papa .e

, > N • ea vi Ptud del parqrafo 6,

1 S [u,. (t) - u (t)] dt 1 .-; (x - a) .;¡;; (b - a), 1

•

ea deoiP, 1C

j.S •

u,. (t) dt -

Puesto que

( Pa. 264) •

S u (t) dt 1 � e (b - a) par a x <: b.

e;¡;;

es un n6mero positivo a:rbitrario, la 6ltima

�-

deaiaualdad mueetra entonces que la secuencia de funciones oonverae uniformemente a la función

S u (t) dt.

Obeervaci6n. Del anterior teorema 1 , pa:ra x • b, se deduce la relaci6n 11m

S . (t) dt S u (t) 111 s

·�- .

um ,_ (t}¡lt.

. -��

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

282

e s t o e s . e n e l c a s o de u n a s e c u e n c i a u n i f o r m e rl) e n t e c o n v e r a e n t e , e l e t a n o

d e i n t e a r a l y e l e t a n o d e l (m i t e p u e d e n i n t e r c a m b i a r s e .

Puede demostrarse un teorema análogo para las series uniform !_ mente convergentes . T e o r e m a 2. S i l a s fu n c i o n e s d e l a s e c u e n c i a {In (x) }

son

e ont inua s

pa ra

e n [a, b] y

un i fo rm e m ente f ( x ),

entonces

a � x � b,

tiene

serie

,I: In (x)

serie como

suma

e on ve rge

f u nción

L � In (f) dt n =l a

conve rge

ta m b ién

un i fo r m e m ente

f � In (f) df = l (i) di 00

pa r t i c u l a r .

(a � x �h).

n=l a

pa ra

L � In (f) di = � 1 (f) dt.

La demostración se obtiene fácilmente de la definición de conve� gencia uniform e de una serie y del teorema l . Ejem plos. l . La secuencia

{ u,1 (x) } , donde u n (x) = xn ,

converge uniformemente a la función u ( x ) • O en el intervalo ya que ¡ u11 (x) l �

para O � x � -} .

De acuerdo con el teorema 1 , tenemos :

para

o � x -�

1 2.

5 un (f) dt = S u (t) dt n -+ lim

efecto , la integral X

xn + t

S un (t) dt = + 1 < + 1 n

t iende i.m ifo rmem ente a c e ro para

2. Hagamos

n --+

[o , {]

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

283

J n1x si O � x � ..!.. , Un (x) = ·t { sí ti1 < x � n

un (x)

Como es fác il ver. las funciones [0 , 1 ]

un (O) = O ,

Tenemos

po r lo que li m

Para

x>O

son continuas en el intervalo

R -+ 00

un (0) = 0.

n � ..!.. tenemos : X

. ; 1 . h m un (x) = X

un (x) = ¿,

por lo que

n -+ <10 {u,. (x)}

Así pues. la secuencia

conver.ge a la funci6n

u (x) = x1 (x > 0) , para la que u ( 0 ) • O. Esta, convergencia no es uniform e . pues la fun -

c i6n U ( X ) es discontinua para X • 0 . Cslculando la integral obtenemos :

� un (x) dx, o

.! n I u, (x) dx = S un <x) dx + S u,. (x) dx = n 1

-¡¡

Sn•x dx + S �=f + tn n. 1

Vemos de esta manera. que en este caso la secuencia de inteara les diver·ge. independientemente de que la secuencia de funciones con :: verja. Por consiguiente. es esencial la condici6n de que haya conver aencia uniforme en el teorema l . 3 . La serie

converge uniform emente en todo intervalo. pues 1/n (

y la serie

_L. � .

x) 1 - 1� n• 1 --= � _!_n• •

como se sabe ( Pa. I4o > . es convergente . Designan -

do su suma con t ( x ). obtenemos en virtud del teorema 2 .

CALCULO DIFERENCIAL · E INTEGRAL

x= i y para x = n

particular. para

S /(t) dt = p - 3i + 5' - . . .

4. 1 n t e a r a e i 6 n

� /(t) dt = O.

o·

obtenemos:

Series

P o t e n e i a s . Sea que la serie de

potencias

tiene un radio de converaencia R . Converae entonces esta serie para y converae uniformemente en cada intervalo

[a, b],

(1 )

do!!.

de - R < a < b < R. Sea f ( x ) la suma de la serie ( 1 ). Sea6n el teorema 2. tenemos:

�

��f (x} dx = � a0 dx + �a1x dx + � a1x1dx + . . . + � a,.x"dx + (-R <x < R). En otras pálabras %

s t<x> dx = a0x + ! x• + . . + n�

1 rr + •

• . •

+...

(- R < x < R).

La serie ( 2 ) converae uniformemente en cada intervalo

(:2)

[a, bl,

donde - N < a <b < R.

Observación l . S i

F (x) = S /(x) dx,

entonces

S /(x) dx = F (x) - F (O). X

De aqur. haciendo F (O) = C, obtenemos en virtud de ( 2 ) :

F(x)= St(x)dx = C+a.x+�x· + . + n � J rr+• + . . . .

f i n i da de la f u n o t 6 n A e ( p u e e , l a d l t l m a s e r i e r e p r e s e n ta l a l n t e a r a l i n d e

f (x) ptara

-R<. x <R.

Ejemplo. Jncearando entre loe lrm ttes de O a x las series de potenct.e

conoclclaa c Pa. l 65 ) :

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

�- = 1 t•

___ _ 1

y 1 - ta -

convergentes para

- t1 + t' + . . . + ( - 1 ) " t1" + . . . ' l t1 � t' _!_ + 1 ·3 . . . (2n - l t a" + + :l + 2 · 4 + 2 · 4 . . ; 2n • • •

¡t1< 1,

• • · '

obtenemos las series :

x' r �4+ 1 arctg x = -l ( - 1 )" 3 + 5 -· · ·+ 2n + l ···' .. + J .3 . . . (2n l ) x2"-t- • + � + arcsln x = .!...1 + _!_2 �3 +� :¿ 4 5 24 X

-'-

·-

•

•.

converaentes tambi6n para 1 x 1 < t . Haciendo en la últi�a serie

_l -.-

· •

2n + 1

· . . . 2n

x = 21 ,

· • · '

encontramos :

tr = 2+2 · 3 ·2' + 2·1 ·34 5 ·121 + · · . 1t

Con esta serie se calcula cómodamente a n . O b s e r v a c i ó n 2 . Si la función dada f ( x ) admite un desarrollo en S!. rie de potencias, es posible entonces obtener la intearal de esta fun- ci6n intearando térm ino a término esta serje . El método indicado para obtener la intearal , es particularmente cómodo cuando no sea posible evaluarla por al auno& otro& m6todos. · Ejemplos. l . La intearal

S sinxx dx

no puede evaluarse por medio de los m 6todos anteriormente desoritos.

sin x X

ya que la función prim itiva

no pertenece a las funciones eleme!!.

tales conocidas. Puede sin em barao eváluarsele fácilm�nte empleaDdo un desarrollo en serie. En efecto, tenemos : x• sin x=-¡¡X - x' 31 + 51 - · + < - t ) ( 2nJC"'+I + 1;1 + · . . 11

• .

por consiauiente, para x =F O sin x

x• + �

x- = l - 31

51 -:- . . .

1 )"

(2n + 1 �

• • •

La serie en el seaundo m iembro converae ( a la unidad ) tam bi6n para

X • 0.

función

stnx X

no es definida para x

lim

%-+0

�=1

•

O, pero tiene el lím ite

( ver Pa. 52 ) . Por consiguiente, si en el punto x O le asianamos un va lor l , obtenemos entonces la funci6n representada por la íiltima serie de potencias , que es discontinua para todo valor de x . Intearando t6rmino a térm ino . obtenemos l a sez-ie •

286

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

x S --¡� dx = (b -- a) - 3.3! + "5.5! - . . . + + ( - 1 ) (211 + 1 ) (2n + 1) ! + · · · 1 b

�-�

�rn + J _ atil + l

�-�

de convergencia m uy rápida . por medio de la cual es fácil calcular la integral con la exactitud que se desee . 2 . En la teoría del péndulo matemático se demuestra que la durac ión de una oscilac ión la da la fórmula

en la que 1 es la longitud del péndulo , a la acelerac ión debida a la fuerza de gravedad y

k = sm 2 , •

donde

es el ángulo formado por

la vertical y la posic ión e xtrema del péndulo (O < ex < n).

No es posible expresar la integral del segundo m iembro en térm i nos de funciones el ementales. pudiendo sin embargo calcularsela por m edio de un desarrollo en serie . Substituyendo en el desarrol lo de la

�� " - t1

,. 1

función

mostrado en el ejemplo de la Pa. 284 . a la variable

k sin :p, obtenemos :

t por

3 2 .4· (k sin �) + 21·3.4 ·.65 (k SID Cf) +

1 ( k Sin 1 + 2" . .:p)• + 1

•

, , •

La serie en el segundo m i em bro converge uniformemente en el intervalo

(o , i) . En efecto, el térm ino general de esta serie satis -

tace la desigualdad

1 1 · 3·5 . . . (2n - 1) (k sm .:¡)111 1 � s n 2·4·6 . . . 2n .

cz l In 2 •

· e s decir, su valor modular no excede e l valor modular del térm ino gene ral de la serie obtenida al substituir en el desarrollo de la función el valor

cz t = sin 2 .

Esta última serie converge . ya que

O < sin i < 1 .

Podemos, por consiguiente, ( ver Pg. 282) integrar ambos m i embros entre los 1 rm ites :

o, i =

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS 2 •

J JÍ I - � slnz cp = 1- + i- k1 J sin1q¡d:p + �:! k' J si n4 q¡ d:p +

Como se sabe ( ver Pg. 2 72)

287

. . •

1 ·3·5 . . . (2n - 1 ) 1t 2 · 4 · 6 . . 2n .

:f ·

Substituyendo esta exppesíón en la serie obtenida, llegamos a la f6Pm!:!. la

T = lt -v¿ [t + ({ rk· + (;::Yk' + (�rk·+ . . . J .

Calculando la suma de los n primeros térm inos de esta serie, podremos determ inar el tiempo f con la exactitud deseada .

5. I n t e g pa c i 6 n y D i f e r e n c i a c i ó n m e d i a n t e u n P a r á m e t r o . Sea K ( x , t) una funci6n definida y continua en el rectángulo b

Dado que la integral

� K (x, t) dx

existe para cualquier valor de la variable t en el intePvalo

[a', ó'],

podremos defin ir en este intePvalo una función f ( t ) haciendo b / (t) = S K (x, t) dx. a

(1 )

DemostraPemos que la 'f u n c i 6 n f ( x J . d e f i n i d a p o r l a fó rm u l a ( 1 ) , e s continua . En efecto, si t ' es un punto aPbitrario del intePvalo [a', b'J, y si { tn } es .una secuencia arbitra·ria de puntos de este intervalo. secue.9

cia que converee a t ' , entonces. en virtud de la continuidad uniforme, la secuencia de funciones (de la variable x ) memente en

(K(x, tn )}

c onve rg e unifor

[a, b] a la funci6n K ( x. t ' ). Así pues. según el teoPema 6.2 ,

bre la intearaci6n de secuencias. tendremos :

lim K (x, tn)dJI = S K (x, t') dx, n-+OO � G!

�

de donde. en virtud de ( 1 )

288

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

lim 1 (t,.) =1 (t'),

..ro ...

11 -+ 00

la fuac16D f (x) • OODtinua. o.DoetNmoe MGN la alauieDte PJIOP081Ci&a.

T e o l' e m a

p a l' o l a l Jt e s p e o t o a L

K ( x, t J e a o o n t rn u a y p o e e e ... 41e i' 1 Ya d a

la fu n o i 6 n

1 • < 6 .c; t.

, o o n t l n Cl a e n e l P e o t &a a u l o

e n t o n o • • l a f u n o l 6 n a l' b l t r a l' l a t

/(t) = S K(x, t) dx

exiate y se

•

e x p r e sa

fó rm ula

/' (t} = S K; (x, t) dx

(a' � t � b').

DemoatraoicSn. aean

lo (a•,

por

b'). Tenemos:

t' + l

�

/(t' + -/(t')

dos puntos a rb itrarios del interv,!

s K (x, t' + l) - K (x, t') dx •

•

Pero. de acuerdo con el teorema sobre el valor medio

por lo tanto,

Si aho ra

/(t' + 1) - /(t') 4

J Kí (x, t' + 81) ti

dx.

tiende a cero, entonces, en virtud de la converae.,!!

.lia uniforme, la tunc i6n

Kí (x, i' + al) tenderá uniformemente a

k;- (x, t' ).

Por conaiauiente

t lim / (t' + l.)1 - J ( ')

l. -+ 0

S K; (x, t') dx •

con lo que se demuestra nuestro teorema. Te o re m a 2 . S i r ect6nau l o

e n ton e • •

fun c i 6n

int ea ra l

K ( x , t ) es continua en e l

a <; x < b� a' <; t <; b', de

func i6n

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

289

/"(s) = � K (x, s) dx se

po r

e x p re sa

fó rm u l a

}

� / (s) ds = � { � K(x, s) ds dx

es decir

•

}

(a' � � b'), f

}

S { � K(x, s) dx ds= � { S K(x, s) ds dx.

D e m o s t ra c i ón .

Sea

F (t) = Entonces, dado que

J { J K(x, s) ds} dx.

(1)

tt { J K (x, s) ds } = K(x, t), .

hallamos, según el teorema 1 : b

F' (t) = S K(x, t) dx=/ (t). ,

Por consiauiente,

F (t) = � !(t) dt + C .

•

F (rl) = c. Pero de ·la ecuación ( 1 ) se siaue que F(rl) = � { S K(x, s) dx= ·O, Para determ inar la constante c. haaamos 11

así que e . o y

•

S /(s) ds = ,S { .S K(x, s) ds } dx. . r

ds}

F(t) = � / (t) dt

es deci r

Observación.

•

t = rl; obtenemos

particular, haciendo

a = a', t = b',

J, { � K (x, s) dx } ds = 5 { J, K(x, s) ds } dx. b'

obtenemos :

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

296

Por consiguiente, si se satisfacen las anterioref::l condiciones, el orden de integraci6n no afecta el resultado . Hasta ahora hemos supuesto que los l fm ites de intearaci6n han sido constantes . Consideremos ahora integrales cuyos trrn ites de inte graci6n s�an funciones de la variable t. Sean

cp (t), V>

[�', b']

intervalo

funciones continuas con derivadas continuas en el

sean, además tales que

a � (t) � b para a' < t � b'. Supongamos que la fU11 ci6n K ( x, t) es definida y continua en el

rectángulo a .s;;;; x � b, a' � t E;; b' y que posee en este rectángulo una der_i vada parcial continua, respecto á t . Tiene entonces lugar la siautente proposici6n . T e o r e m a 3. L a d e r i va d a d e l a fu n c i 6 n •Wl

/(i) = � K (x , t) dx

existe

tVJ•

e xp r e sa cj¡ (l)

po r

f6 r m ul a

/' (t) = � K� (x, f) dx + K [o/ (t) , t] 9' ( t ) - K[cp (f), t] r{J '(f). t¡?(l)

Demostraci6n. Hagamos

� K (x , .t) dx

F U, u, v).

Tenemos, evidentemente : ·

/ (t) = F [t , cp (t) , 4 ( t)] .

De acuerdo con el teorema sobre la diferenciaci6n de una funci6n cof!! puesta, obtenemos :

Puesto que F; (t, u, v) = � K ; (x, t ) ch , fJ

F� ( t, u, v) = - K (u, t), F� (t, u, v) = K (v, t). "

entonces

/' (t) = � K ; (x, t) di + K (v, t) v' - K(u, t) u ' . V

Substituyendp aquí

u = cp (t), v = 4 (t), demostramos nuestro teorema.

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

Ejemplos. l . Tenemos:

291

211+1 - 1

S x" dx = � 1

Derivando respecto á !!.· obtenemos :

f\ Xn ln x itx = (n + 1 ) 211+{ll1 1n+21 )1- 2n+1 + 1 2

•

Como fácilmente se comprueba. tiene lugar la fórmula :

Derivando respecto á

ex ,

obtenemos:

ex,

hallamos

3 . Tenemos

Derivando respecto a

inteaFando respecto á m iembro t

COS X dJC. 1tCX =(1 + a cosx)1 �;

dx S da .f 1 + a cos x

•

Finalmente. pa ra

da ! + = cc,s x

S .

� S JÍ 1 - a1 da = tt arcsin t

o •

4 . Haciendo

S . .f

o t

1t1< t

desde O hasta t. obtenemos en el primer •

y en el segundo

(1 - aa) 2

In ( 1 + t C?�_"t:l . f r COS X

•

tenemos:

In. (1 + t cos x) cos x

dx = n ares m t .

CALCULO WDIFERENCIAL E INTEGRAL

292

(n =1=

hallamos

e dt

j (xy) -/ (x) = J T

DePivando Pespecto á

1).

X '

T= J

r dt J

-¡ ·

la última integpal . obtenemos :

.i.. J' t!!_t iJx xy

_!_ y - _!_ = o. xy x

Por consiguiente. esta integral no depende de x · Haciendo x • 1 , nos damos cuenta que el valor de esta integral es f ( y } . De donde •

1 (xy) _:_f(x) + / ( y ).

H emos obtenido as! la propiedad fundamental de la func ión / (x) = l n x.

P r 'o b l e m a s l . Calcular la integ � l

S fld-x x4

2 1

con exactitud hasta la quinta cifPa decimal . mediante el desarrollo en serie. 2 . Comprobar, que integPando térm ino a térm ino la serie

y que al multiplicar después por n + 1 ambos miembros, se obtiene una serie análoaa para

(1 + x)"+

•

3 . Integrando entre los límites O á x la sePia de McLaurin paPa la

función

Y 1 + xz

' se llega a la fórmula

1 + x ) - X- 21 x3• + 21 ··43 5x1 - 21 ·· 43 ·· 65 -:¡x1 + · . .

,r -1 _

ln (x + r

válida para 1 x 1 < 1. Demostrap que la secuencia

convepge a f ( x } • O en el intervalo secuencia de integpales

S In (x) dx

{O, l J

no uniformemente. y que la

convePge a la integral

S 1 (x) dx = o.

TRANSFORMACION DE INTEGRALES DEFINIDAS

1x1 < 1

5. Demostrar que para

Demostl'al' que pal'a 1 x 1

293

7 . Empleando el método de la difel'enciaci6n e idteal'aci6n m ediante un parámetl'o, deducil' nuevas integl'ales de las siauientes : 1

Í ea" dx = ea a- 1 ; J

2CI

•

b ) j' v2ax - x• dx = tt� o

2 "

e ) 0 az ces� x + b2 sin1

ttx

( vel' Pg. 2 79 , problema 4 )

2:0 ( ver Pg. 2 74• PI'Oblema 1 )

S e-.a" cos bx dx=- az �-¡ji (e-a11 COS b1t - 1). "

8 . Demostl"al' las siguientes f61'mulas, derivando las inteal'ales respe_e to a un parámetl'o : + xy '

a ) arctg x + arctg y = arctg tx- Y

b ) arcsin x + arcsin y = arcsin (xV! - y • + y'JÍI - x1).

Pal'a qué valores de

es posible derivar la integral

xn dx

�1

CAPmJLO XVID

INTEGIULES DIPilOPIAS

En este capítulo definimos la noci6n de intearal pare aquellos casos en que la funci6n intearando no sea definida en ciertos puntos , o cuando no sea acotada, o finalmente, cuando el i n t e r v a 1 o d e i n tegra c i ó n sea infin i to . i . I n t e a r a l d e u n a F u n c i ó n n o D e f i n i d a e n c i e r t o s P u,E

� Admitamos que la fimción f ( x ) sea definida en todo el intervalo [a, ó],

excepto en un núme_ro finito de puntos

pondremos también que la función f ( x ) es acotada. Definamos de una manera al'bitraria la función f ( x) en loa pun tos

xl' x1,

• • •

, xk .

todo el intervalo ces la integral

q¡

Desianemos por ra, b]

•

(x)

una nueva función definida en

Si la función es integrable en b

[a , b],

entO,!!

S (x) dx

recibirá el nombre de i n t e a r a 1 i m p r o p i a de la funci6n f ( x ) . Si hubiéramos definido a l a función f ( x ) en los, puntos x1,X1 , /

en una forma distinta, hubiéramos entonc,ss obtenido otra función Pero, como es fácil ver,

• • •

xk,

' (x).

� Pi (x) - cp (x)] dx = O,

pues ;¡ (x) - <p (x) ea iaual a cero en cualquier punto, salvo en los pun Así pues, si la función 19 (x) es integrable. 'if (x ) se tos xl' x1 , , xk. • • •

r4 también una función intearable y b

S i¡ (x) dx = S <p (x) dx.

Se ve entonces de aqu{, que una intearal impropia no depende de la forma en que se haya definido a 1� función f ( x ) en loa puntos x1 , x. , , xk. 11

11.

• • •

Desianaremos a tearal ordinaria :

la intearal impropia como lo hicimos con la in •

St(z)dz. •

295

INTEGRALES IMPROPIAS Ejem plos 1. S_e_a_ 1 para x =fo O. /(x) = sln x-

f (X) =/(x) P81'8

Si se supone que

X :;-!: 0,

Y f ( O) = O ,

entonces, como es fácil observar, la funci6n f (x) tiene solamente un punto de discontinuidad : x • O. Por consiauiente, la funci6n f (x) es integrable en cada intei"V_! lo R e s u l ta a h ( q u e , po r e je m p l o ,

e • i au a 1 a

la i n te a r a 1

J 9J

(x)

la t n t e • r a l I m p r o p i a

dx•

r J

sin

1 i d x e x i st e y

An 4 1 o aa m e n t e , 1 a tune i 6 n

_!,!,�_l5_._ X

p o s e e u n a t n t e a r a 1 i m p r o p-I a e n c a d a i n t e r v a l o .

l. La tunci6n x ln x tiene una lntepal tmpi'Opia en cualquier intervalo

«' < x < a;

en efecto ,

x > O,

ee continua para

pero dado que

lim x ln x = O,

X -+ 0

ea acotada en este intervalo. 2.

Integ ra l

una

Func i4n

funci6n f ( x ) es definida en el intervalo

A c o ta d a . Admitamos que la excepto quizá en el -

[a, b],

punto a , en cuya vecindad no es acotada la funci6n . Si la funci6n f (x) es intearable en cada intervalo [a + e, b], e > O, a + e < b, y s i ex iste el l (m ite

S / (x) dx, .

donde

• -+ + O a + •

lim

llamaremos entonces a este l ím ite i n t e g r a l b S / (x) dx.

im p ro p ia :

Ejemplo l . La funci6n

es continua en cada punto del intervalo • O. Tenemos:

por lo que

s :-x = 2 - 2 Ve

(O, 1 ], (e > O),

excepto en el punto

296

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

s· Yd�x = 2 . 1

�im • -+ + O

•

De esta manera , la integral impropia de la función el intervalo [O, 1 ] , es igual a 2 : 1

Y = lrx 1

.f ::X=2.

Si en el intervalo [a, b] existe un número finito de puntos, en cuya vecindad la función f ( x ) no es acotada, se divide entonces el in te rvalo [a, b] en un número finito de intervalos, .de tal suerte que úni camente en la vecindad de uno de los extremos de cada uno de el los la func ión no sea acotada. Si en cada uno de estos intervalos la tun ción posee integral impropia , a la que hemos anteriormente definido, l lamaremos entonces a la suma de todos estos intervalos, integral impropia en el inte·rvalo [a, b]. Ejemplo 2 . La función

•

J' x tl - x)

no es acotada en las vecindades de

los puntos x • O y x • l . Para investigar si existe la integral impro pia en el intervalo

analicemos los l fm ites

[O, 1 ], 2 1

lim • -+ + O

1-a

S Yx {I - x) ·

S Yx (dxl - x) '

Puesto que

{1)

S yx (ldx- x) = arcsin (2x - 1 ),·

los. t rm ites ( 1 ) son entonces iguales, respectivamente a : lim [arcsin O - arcsin (2e - 1 )] = �2 ,

• -+ + O

· lim [arcsin ( t - 2e) - arcstn 0] = ·� 2•

a -+ + O

Por consigu iente, 1

S Yx (l - = Tt. o

3 . I n t e g r a l e n u n I n t e r v a l o I n f i n i t o . Sea la función f ( x ) d� finida para todo x > a. Adm itamos que en cada intervalo finito a � x � b es integrable la función f ( x ) . S i existe

297

INTEGRALES IMPROPIAS b llm St(�) dx, b-+ +oo a

(1)

l lamaremos entonces a este l ím ite integral impropia de la función f ( x ) e n los límites d e a hasta + oo y la representaremos por e l símbolo +oo

(2 )

� / (x) dx.

En este caso diremos también que la integral ( 2 ) con ve rae . Si el l ímite ( 1 ) no existe, se dice entonces que la integral ( 2 ) diverae . Ejemplo l . La función

es continua para

x> 1

Y=? •

Dado que tJ

S Xi1 dx = 1 .

--: -¡; ,

entonces b

S .;X dx = 1 ,

lim

b -. + oo t

por lo que

+ oo

S � = 1. l

Análoaamente se definen las intearal es impropias a

+�

S /(x) dx =

- oc

llm S t(x) dx, b-+ -oo b +o

S 1(x) dx = � 1 (x) dx + � 1 (x) dx.

- oo

- co

Ejemplo 2. Sea / (x)

Tenemos :

S �x2 =

S 1 �xa =

- co

lim

f 1 +dxx

a -+ -l- ':t:> 0

lim

a -.. - oo

= 1 � x= · a =

S 1 +dxX. =

l i m arctg a = � ; ..... oo 2

l i m (- arctg a) = � .

G -+ - oo

298

CALCULO DIFERENCIAL · E INTEGRAL

Por consiauiente + .:o

+oo

S 1 �x2= S l �\� + S 1 �xa=tt. O

- oo

4. C r i t e r i o d e E x i s t e n c i a d e l a I n t e g r a l I m p r o p i a . l. T e o r e m a . S e a cp (x) u n a f u n c i ó n n o n e g a t i v a y n o a c_g tada

impropia no en

acotada eada

e nton c e s

vecind�d del el en

interva l o la

punto ·�

ten iendo

[a, b] (a < b) . S i

vecindad

del

punto

i n t e g ra l fun c i6n

f ( x ).

i n t e g ra b l e

i n t e r v a 1 o la', h]

(a < a' < b) y a d e m á s (a < x � b}, 1 / (x} 1 � cp (x)

integral

impropia b

� / (x) dx

e x i ste. Demostraci6n. Sea

una secuencia arbitraria de números posit.!

l•,.}

v o e d e c r e c l e n t e e , q u e c o n ve rae n a c e r o . S e a a d e m • •

(a < b). Formemos la serie b

a+�

S cp (x) dx + S cp (x) dx + S cp (x) dx + . . .

a + ••

Para la suma da la iaualdad

a + a1 a +•n-J

···+

a + ••

a + •n

(1 )

cp (x) dx + . . .

de los n· primeros tárm inos de esta serie, es válJ. sn =

� cp (x) dx.

a+ .,.

Asr pues, la serie ( 1 ) converge, y su suma es iaual a la inte

aral im propia de la función cp (x) Ya que seaún la condición

11 (x) 1 E;;; cp (x)

entonoes 11

[a, b]. (a < x E;;; b) ,

1 S 1 (x) dx 1� S lf(x)J dx S cp (x) dx Cl

�

E;;;

•

(a < tl < � E; b).

299

INTEGRALES IMPROPIAS De donde se deduce que la serie b

a + •a

a + •1

S 1 (x) dx + S 1 (x) dx + S 1 (x) dx -1- . . .

a+�

a+� a + •11 - 1

o ·+

a + a11

a+�

/ (x) dx +

(2)

o o .

es absolutamente convergente, ya que sus términos no exceden en m ó dulo a los términos correspondientes de la serie ( 1 ) sn Desianemos con a la suma de los · n primeros términos de la serie ( 2 ) , obtenemos: b sn = S / (x) dx, o

a + a11

existe, por consiguiente

S / (x) dx. n -+ oo lim

a + •"

{en }, Puesto que este l ím ite existe para cada secuencia que satisface las condiciones anteriormente impuestas, existe entonces b lim S /(x) dx, a

-+ + O a + •

teniendo por lo tanto la función f ( x ) una intearal impropia en el inte_r valo [a, b].

S e;; 1

Ejemplo 1 . La integral 1

tencia de la intearaL ( ver Pg.2� 6 )·

s< 1,

11. Si

existe.

�

J -v-x 0

existe, pues

j e;; j � ;x

y la exi�

la hemos demostrado ya con anterioridad

entOnces la integral impropia

efecto, tenemos: a

1 at - .r . lim -¡ = lim -- (a1 -$ - e 1 -") = -X -+ + O - S - S 1 -+ +O 1 1

func ión

f (x) e s

e n e 1 p u n t o x • O, y s i e 1 e n [O, aj y s < I, • e n to n c e s

conve rae .

continua en

[0, a],

produeto /(x) xs l a integra l

/(x) dx

excepto aeotado (3)

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

300 En

efecto, si

1 / (x) xr 1 � A ,

entonces

1/ (x) j �

�

( O < x � a) .

Dado que papa la función � (s < t ) existe la integPal impPopia en el in - tePvalo (_O , :z] , entonces, d e acuepdo con e l teoPema anteJ"ior., existe la integpal im pPopia ( 3 ) En paPticular, la integPal ( 3 ) convePge si txiste el l(m ite (s < t ) •

PoP ejemplo, lr

pop consiguiente

lim

-+ + O

Y Sin X

x'i = 1 1m

x -+ + O

r C:x ) Y sin x

y-"'- = 1 Sin X

existe . 1 1 1 . PaPa las integPales con 1 írn ites infinitos, puede enuncia r: se un teoP� ma análogoc Teo Pem a S e a Cfl (x) u n a f u n e i 6 n o n e g a t i v a y s u p o !!. g a m o s que la integpal i m p P o p i a •

+oo

•

� Cf! (x) dx.

ex iste . E n t o n c e s , s i l a f u n c 1 ó n f ( x ) e s i n t e g r' a l> l e e n c a d a i n t e P v a l o [a, b] (a < b) y p a P a a � x s e s a t i s f a e e l a d e s i g u a 1 -

dad .

1/ (x) 1 � Cfl (x),

e x i ste en t o n c e s la i n t egra l i m p P o pi a +-:.o � f (x) dx. a

La demostPaci6n se hace en fo pma semejante al caso anterioP. Un cPitePio análogo tiene lugap paPa el intePvalo ( - oo , + oo ) . 00

Ejem plo 2. La integPal S t�:� dx existe, pues

y la fuñci6n

1 + x1

posee la integpal im ppopia

INTEGRALF...'t IMPROPIAS

1V .

S i I X''/(x) 1 00

en tone es

{

< A pa Pa

51 (x) dx

x> a> O

ex i ste .

)' e s t n t e g P a b l e e n En efecto , en este caso

:.-:

cada

//(x) / y adem ás

C\ dx, _ - 1.tm ..,11 x b -+ + oo

s> l,

<�

dx _ 1. s tm " b -+ + oo

[b-s+t - a -.r+J] _1_ _ -

- s

(s - l ) as - a ·

l a func i ón

ga t i va ,

dec Pec iente

se P i e

� f (n)

ñ=l

im pPo Pi

{

defiuiaa

)

e s c o n t rn u a ,

pa Pa

todo

no ne la

x� 1.

e on v e Pg e o d i ve Pg e entone e s d e pend i en -

conve Pgen c ia a

[a, b] (a < b).

intePva l o

5 . A pl icac i 6n a las se Pie s .

· Teo pem a .

q u e l a -f u n e i 6n

su p on e

301

d i ve Pgen c ia d e

i n t e g ra l

- -

� f (x) dx.

Demostrac ión . Observem o s que en e l intePva l o [n , n + 1 ] e l va l o r m� x i m o de la func i 6n f ( x ) sePá f ( n ) y que el m fn i m o seflá f (n +U . Por con sigu iente , de acuerdo c on el teorema enunc iado en la Pág . 274 .

f (n + 1 ) <::

n+l

5 /(x) dx :;;;;;. f(n),

n = 1 , 2,

• • •

PoP lo que n+t

/(2) +f(:J) + . . . + f (n + 1 ) :;;;;;. � f(x) d.r: � =r:;;. J P ) +/ ( 2) + . . . + f (n) . 1

Si e x i ste la inte gPal

pa Pc iales de la sePie nega t ivos, con verge .

� f (x) dx, entonces la secuenc ia d e l a s sumas

� / (n)

n=l

(l) .

e s a cotada , y está sePie , con t é Pm inos no

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

302

y a l a t n v e r s a , a d m t t a m o s a h o r a q u e la s e r i e Ento nces. secuencia

n=rl

1: / ( n)

c o n ve rae .

e n vi rtud de la e e a unda de l a s d e e i aua lda d e e ( 1 ) , n

{ ¿/ (x) dx � _

e a a c o ta d a .

Esta secuencia no decrece, ya que •

+1 n • ¡t • � 1 (x) dx = � 1 (x) dx + � f (x) dx � � 1 (x) dx, 1

� O. pues 1 Asf pues, la secuencia

(x)

{ ) l (x) dx} converge a un cierto núme r>o g . 1

Puesto que pa r>a cada e > O existe un núm e ro N ta l que pa r>a un entero cualquie ra n > N se cum ple la desigualdad. ,

g-- e < )t<x) dx < c + e. 1

Sea ahora x un núme r>o a rbitr>a r> io , ma yor> que N + l . Ex iste enton ces un enter>o

n> N

tal que n

n < x .;;;; n "

+ l . Podem os esc r i b i r : · n+l

l / (t) dt = l/ (t) dt + ll (t) dt = l f (f) dt 1

de donde se deduce

n+l

l 1 (f) dt,

� 1 (t) dt .;;;; � 1 (t) dt � � 1 (t) dt.

Puesto que

en tonces, a lo sum o

n > N,

�·:'

- e < � 1 (t) dt < g + e. ){

L a s ú l t i m a s des igua ldades son vá l idas para cual quier Demost r>ada la convergenc ia de la serie ci a de la integr>a l

()(,

� l (n) se deduce la ex isten - -

n=l

� ¡ (�) dx, es dec ir>, queda demostr>ada la segunda parte

de nu cstr>o teo r>ema . Ejem plos. l . Sea / (x) = x - '1.. Tenem os :

Por> lo tanto

x> N + 1.

1 (x) dx

{

x - .. + J

a+ 1 ln x

si ll =1= 1 ' si a = t .

303

INTEGRALES IMPROPIAS

Se ve de aqu í de inm ediato, que la integral

(T.)

5J(x) dx existe solam en

te para a > t . Por consigu iente , de acuer>do con el úl timo teo rem a , la serie 2 . Sea

(T.)

L � c onverge para a > 1 y diver>ge para a � 1 ( ver Pág. 1 4 B t . n= l l.

1 (x) = . dn x "

Como es fá c il ver, tenem o s : por lo que

�f(x) dx = ln In x,

� 1 (t) dt In In x In In 2 .

As f pues, la integr>al

2 (T.)

5 J(t) dt n o ex iste . deciuc iendo se de aqu í, según

nuestr>o teor>ema , que la ser>ie

L n ln1 n dive r>ge. 00

n=2

' O b s' e r v a c i 6 n . El teor>ema sigue s iendo vá l ido si la func i6n f ( x ) es defin ida y posee las propiedades ante r iorm ente enum e radas paPa

x � k. 00

Basta substitu i r en el teo r>ema � J (n) y .

n= l

�

� f (x) dx, por

� f (n )

n=k

y --

� 1 (:e) dx. respectivam ente . En el ejem plo 2 em plearnos ya esta p ropiedad .

�

6. 1 n t e g r a 1 e s i m p r o p i a s u n i f o r m e m e n t e

Sea K ( x , s ) una función

cont inua. defin ida pa ra

poseyendo la pr>op iedad de qu e la integral irn pr>o pia r>a cada s de l inter>valo

C o n v e Pg e n

x � a, a � � � s

a:;

� K (x, s) dx e x ista Pª-

[a, �].

D e f i n i e i 6 n . La integra l i m pr>opia

5 K(x, s) dx se d e n o m i n a - -

u n i f o r m e m e n t e c o n v e r g e n t e r e s p e c t o á s e n e l i n t e .r -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

304

va l o

[oc, �], si pa pa cada e > O existe un A � a tal que

pa Pa cada

e > A y todo s del in tePvalo

� � K (x, s) dx / < e e

[oc, �).

Esta defin ici6n PecuePda la defin ici6n de la convepgencia un ifopme de una sePie de func iones. Efectivam ente , las integPales imppopias uni foPmem entec onv e rg-entes poseen ppopiedades análoga s a las de las se - P ies un ifo pm emente conv e f'gentes . ConsidePam os ahoPa estas pPopieda des. Es evidente que oo

•+1

a+2

•

a+l

S K {x, s) dx = S K (x, s) dx + S K (x, s) dx + ·

. • .

(1 )

L a se P ie en el segundo m iem b Po convePge un ifopmem ente en el in tePvalo [oc, �], s i la integpal en el pPimer m iem bPo conve Pge un ifoPm e mente en este inte Pva l o . En efecto , existe entonces pa Pa cua l qu ie P intePvalo

e. ,

un núm e Po A � a , tal que pa Pa cada n > A, p > o y pa Pa todo s del

[oc, � ] se cum ple n+l

•

n +p

n+2

1 S K (x, s) dx + S K (x, s) dx + . . . + S

K(x, s) dx =

= 1 S K(x, s) dx l < e.

n+l

n +p - l

n +p

Puesto que losté rm inosde la se Pie ( 1 ) son func iones contfnuas del pa Pám etPo s, su suma se Pá tam bién una func i6n conti nua de l a va P iable

s en el intePva l o [a, �] . lntegPando téPm ino a téPm ino la sePie ( 1 J Pes pecto a s , en los 1 ím ites de " a �' obtenemos una se Pie convePgente cuya suma es igual a la integpal de la funci ón que se hal la er;.el p P imeP m i em b po de la ecuac ión ( 1 ) , cal culada entPe los m ismos l ím ites : 11

�

S ds � K(x, s) dx= S ds S K(x, s) dx + S ds S K (x, s) dx +

•

a+l

•

a+ 2

•

a+t

. • •

Va Piaudo en cada sumando del segundo m iembPo el o Pden de inte - gpac ión , lo que e s l íc ito haceP, e n vi Ptud del teo Pem a 2 ( ve P Pág. 2 8 8 . obte_nem os : 11

<lO

S ds S K(x, s) dx =

•

es dcc i P 11

<lO

•+1

S dx S K(x, s) ds + � dx S K (x, s) ds -t-

• +2

•+1

•

S ds S K (x, s) dx = Jim S dx S K (x, s) ds.

•

• + 11

11 -+ 00

. .

·•

(2J

(3)

INTEGRALES IMPROPIAS 00

.305

�

Nos cePc io Pamos aho l"'a que la integi"'al im pPopla

� dx S K(x, s) ds

•

ex iste . En efecto , en caso conti"'a P i o , exist i l"' ía una secuenc ia cpeciente de núm eros mayores que a, k. < k. < k. < · · · ·

que tendePía a

ta l que la secuenc ia de integPales

{.t..� dx S K (x, s) ds} IJ

•

�

serfa divergente . Por cons igu iente , sería d ivergente la se Pie .t,

f'l

•

�

••

� dx � K(x, s) dx + � dx � K (x, s) dx +

• . •

•• P ero esta ser ie es convergente, ya que se obtiene , com o la se rie ( 2 J , al integra r la ser ie un iformem ente convePgente •

"•

·t.

.t,

S K(x, s) dx = � K(x, s) dx + � K(x, s) dx +

• . •

alterando el o rd'en de integrac ión . Se de entre l os l ím ites de a. a � m uesti"'a así la convergencia de la integi"'al 00

� dx � K(x, s) ds.

Por lo tanto la igualdad ( 3 ) puede esci"'i birse en la fo pm a P

•

�

� ds S K(x, s) dx = S d_x S K(x, s) tú.

•

<•>

Adrn itamos aho i"'a que la func i6n K ( x, s ) sat isface , además de las con d ic iones anteP iormente indicadas , las s igu ientes : l a . Existe la de Pivada /G (x , s) y es contfnua en cada punto del dom i nio en e l cual e s defin ida l a func i6n K ( x, s ) : 2.

L a integral im pPopia � K; (x , s) dx converge un iform e m ente Pespe9_

to á s en el intei"'valo [a., �). Dem ostre m os que en este caso , la func ión Pivada contfnua y que ·oo

�S K (x, s) dx = S K� (x, s) dx .

S K (x, s) dx posee una de

CALCULO, DIFEBBNCIAL E. INTEGRAl .

En efecto , la ser ie <X>

a+t

a +2

e� + t

S /G (x, s) dx = S K� {x, s) dx + S K; (x, s) dx + · · ·

(5)

conve rge uniform em ente , l o que s e dem uestra e xactam ente igual que co ( l ) Pero esta ser ie se obtiene derivando térm i no a térm ino la serie ( l ) . En tal virtud, su suma, que es contfnua, dada la conve rgenc ia uniforme ,. es de acuerdo con el teorema conocido de la teoría de series ( Pág, l 56 . Igual a la derivada de la suma de la se rie (1 ) , que era l o que s e quería demostra r . E n otras pa labras , h e m o s demostrado - e l s igu iente teorem a : m o se h izo para la se rie

Teorema l . a ) S i e o n t rn u a

pa ra

pa ra l a f un c i ón K ( x , s ) d ef i n ida y

x ;;;;::: a, ex � s ...; �. '

•

. j

i nt eg ra l

existe 1a

. QD

S K (x, s) dx

im propia .

para cada s del inte rvalo [cx, ' �] y s i e s' t á i n t e·g· .� a l c o n v e f' g e u n. i form em ente en este inte r va l o , l a integral e s entonée s u n a f u n c i 6 n c c; n t i n u a d e l - p a r á m e t r o- s . ·

- ·

b ) Bajo l a s m i s m a s cond ic ion e s , e x i st e l a in tegra l �

S dx S K·(:c, s) ds,

�

y s e v e r i fica l a igua l dad <X>

<X>

S dx. S K.(x, s) ds -:- S ds s K (x, s) dx. :

e ) eon

•

d i e i o n e s y a d em á s , pa ra

vad a pía

S i l a f u n c i .6 n K ( x , s ) s a t i s f a c � l a s a n t e r i o r e s oont in ua

/C (x, s),

· ,

pa � a

x � a,

·� s � � p o s e e u n a d e r i

1 a cual

i n t e g r a l. i m p � o -

<X> .

� K�(x, 8) dx

ex iste y conve rge uniform em ente , gral <X>

PO Se e en e 1

inte rVa l O

e n t o n c e s fa

S K (x, s) dx

[ tl, �l

Una de r i Vada

in te -

C Ont inUa r e S

p e c t o á S ; l a c u a l s e e x p r e s a m e éi.i a n t e l a f ó r m u l a <X>

<X>

isS K (x, s) dx = S K� {x, s) dx,

307

INTEGRALES. IMPROPIAS

Para establecer la convergéncia uniform e de una integral im propia m uchas veces basta con apl ica r el sigu iente teo rema : Teo rem a 2 .

S i 1 a f u n e i 6 n tf (x, s) e s e o n t ·¡ n ·u a y n o n e -

ga t i va e n e l d o m i n i o la

integral

x � a, cx =s;;;; s E;;; �

y si existe para ella

im pro p ia d e conve rgenc ia un ifo rm e U)

� tf (x, s) dx,

enton c e s , pa ra cada fun c ión K ( x . s ) q ue sa t i sfac e l a desigualdad 1 K (x, s) l � tf (x, s)

y s e a c o n t fn ua e n e s e m i sm o d o m j n i o , l a i n t e g r a l propia

S K (x, s) dx

ex iste .

y c on v e rge un ifo r m e m ente .

D e m o st rae i6n . do s del intervalo

La existencia de la integral

� K (x, s) dx para to a

[ex, �] se deduce del teorema enunciado en la Pág . 300

que para cada s tenem os :

I K (x, s) 1 < ' (x, s)

y . adem ás. para todo s existe la integral

(x ;;a, a)

� ' (x, s) dx.

•

En vi rtud de la convergenc ia uniforme QO

de la integral

S rp (x, s) dx

para cada a > O se hal la un núm.e ro A ;;;;;:,: a, tal que para todo c > A y para cada s del intervalo[ex, - �]. Puesto que para todo d > c . se tendré 4

f S K (x, s) dx j < S I K (x, s) l dx � S !f> (x, s) dx, e

CALCUW DIFERENCIAL E ·INTEGRAL'

308

entonce s , as(m ismo

1 � K (x, s) ds 1 � � cp (x, s) dx < E. e

Por l o tanto , la integral

� K (x, s) dx converge un iforrii e'm erite en [11, �].

Observac ión . Si, en paPt icula P , la funci6n cp (x , s)no depende dé s y la _ integral

existe. Es ev idente entonces, que esta integral puede considerárse com o . un ifo pm em ente conve Pgente . En las apl ica c iones , es este' el caso que . - -:- . con más fPecuencia se encuentPa . Ejem plo s . l . La integPal ·

� e-" sin sx dx

converge un ifoPm em ente respecto ar parám etPo s en cualquieP intervalo . En efecto , tenem os :

y la integral

S e- x dx,

como es fácil veP , existe efectivame nte

e - x dx = - e ·· ..,

poP lo que

� e- " dx = t - e -•.

Pasando el l (m ite , obtenem os Gl)

Dado que la integPal q no depende en lo abso luto del paPárn etPc s, convePge entonces unifo Pmem ente Pespecto a este pa rám et Po _en cual qu ieP intePvalo. De acuerdo con e l teorema 2 , e sto m ismo puede deci Pse respecto a la integpal imppopia ppopuesta . PoP cons igu iente , es tina fun c ión contfnua del pa rámetPo s . PaPa determ inar esta func ión , notemos que

S e - " dx

Jt + • cos •x) , - - e - (aln lu Jr e -Jt sln sx dx + 4fl .

309

INTEGRALES IMPROPIAS po r l.o· qu�·

S e -:- "

sin

s sx dx = _ t +r

_ _

e-" (sln sa +s cos sa) t +r

Cuando s c rece . il im itadam ente , como es fác i l ver, el segundo tér mino del segundo riúem bro t iende entonces a cero . Obtenemos de esta manera : a;¡

r e -X sm • sx dx = 1 +S s* • J

Iiú:egrando am pos m iembros respecto a s entre los l ím ite s de O á integral . ·obtenemos ·: · CX) . CX) y y

y , no perdiendo de v ista la con ve rgenc ia un ifo rm e de nuest ra

. } ds � e - " sin sx dx = � dx � e-" sin sx ds = o

o·

-S e -x. 1 - xcos xy dx -_ - !2 t n (t +y ) .o

De P i vandó · nuestra in��gral respecto á S, obtenemos : CX)

Puesto que CX)"

� .xe-x cos sx dx. .

y como fácilm ente se ve , existe la in -

¡ xe-"' cos sx l:� xe-"

tegra( S x�-:-."dx, la int egral Óbten ida por de r ivac i6n c onverge entonces .

. o

un ifo rmem ente y, poP cons igu iente ,

) 1 -r . f xe - x cos sx dx = d ( = di 1 + r = 00

2. La int egral

CX)

Ji*:..

conve rge unifo rmem ente respecto é s en cada intervalo (X

(l + ,-•t

[tx, �] para

1 .;;;

< � o En efecto , en ese inte rvalo, se tiene la des igualdad

y la

. ii + r � XT+l '

integral

J x*� l = "�� arctgx=-i o

existe y .n o depende del p a r>ám e t r o s . Se deduc e de aqu f en una fo rma a nál oga a l ejem plo ante r io r' , l a conve rgencia un ifo rm e de l a integral y su cont inuidad en [« ·�J ;. · •.

CALCULO DIFERENCIAL. E INTEGRAL

Es fácil eva l uaP esta integpal , si tomamos en cuenta que ·r 1 x

J � = -¡- arctg 8 ,

) dX

as( que

-- = lim arctg - = 28 · a

XZ + r

...

IntegPando entPe l os l fm ites 1 á ·y, obtenemos

po p cons igu iente

S� dS Jr m = re·dX .¡f xzt.s¡::::i �r ardg l.X arctg.!.X dx, -

De Pivando la integral dada , obtenemos

Esta integral conve Pge tam b ién uniformem ente en

y la integra l

.f (x*'�l)i

[«, �].

ya que

·'

existe, como fác il m ente se dem uestra PoP lo tanto

oof

dx_ = - p , . � 2.r � o

es dec ir

.OD

S (x1 + Si)í = 4s' • o

Debe ppocedePse en una forma análoga en la soluc ión de los proble mas que a continuac ión se pPoponen sobPe la deP i vac i6n e integPaci6n de integpales im p r>oPias .

1 . Evalua r> Las

PROBLEMAS

s i gu ientes integrales i m propias:

INTEGRALES -. IMPROPIAS 00

S e-udx =- -¡¡l (a > O); b ) .f e-ucos bxdx = a• � b• (a > O);

.. d

'7t

J r 41 � xl

(a > Ol:

•

d) s 1 -dxcosx ' e)

o <:rJ

S sin x dx

1 ( 1 1

dem ostra r que no existen

" -- �8 I +x S� x1dx 8 a a O g) s Jfa• - x• 15

( > )

( em plear l a subst ituc ión Dem ostrar l a e x istencia de las s igu imtes· · integra l es :

x= a slncp).

.f ::1 ; sf ' b ) f ( : x ) dx

cons ideramos que para x • O, la func ión integr-ando es igual a l . )

Jn x dx <• > O). ) .f .ii+1 QO

Dem ostrar que las sigüente s integrales no e x i sten : a)

5 cosxdxx + x1 (a > O);

a* •

( para x = O, la función integrando , es po r defin ic i6n ,

igual a la unidad )

S sin ¿ dx.

' - 311

31 2

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

4. Dem ostr-a P que la se P i e

.L, Jn!+ a

n =2

convepge paPa cua l qu ie P

5 . Dern ostPa P la convePgenc ia de la se Pie

�� [�

- In

� 1] .

ca > G.

6. ObteneP nuevas integrales de la ) , b ) pop d ifePenc iac ión e integpac ión .

7. Derivando la integPal

oo ' cr• /(a) = S e-x - XI dx o

pespecto á a é introduc iendo en la integpa l obten ida la nueva vaP iable 1 =� . dem ostPaP que /' (a) = - 21, es dec i P , que 1'

/' (a) / (a) -

_ _

lntegPando ambos m iembros, tenemos : Hac iendo a = O, obtenemos :

Jn /(a)=- 2a + C. l (a) =C'e-acr. OD

c• = f(O) = e - � dx. e !(a) =e-211 e - � dx. 8. Demostra P la convePgencia unifoPme de las integPales : co

a ) S e - a� dx. paraa a � 1 ; o

- crx x cos

X•,�4X= (aa•• +- 11)1 paraa a :;a: 1

•

CAPITUW XIX

APLICACION DEL CALCULO INTEGRAL

l . C á l c u l o d e u n A r e a . D e t e r m i n a m o s anteriorm ente el á rea de la región l im itada po r la curva contínua y =f( x ) , por las rectas x :o:a , x=b ':! pcr el eje OX , com o la integral de la función f( x ) en el intervalo ( a , b ) , bajo la condic ión /(x) � o. N os proponernos ahora dete rm ina r el á r>ea de la reg ión l im i tada por l a s r>ectas x =a , x =b y por l a s dos curvas cont inuas y =f( x ) , y = g( x ) , 1

bajo la cond ic ión de que/(x) .,¡;;g (x) . A sa ber, la evaluam os com o la integral b

� [g (x) -f(x)J dx. ' Puede fundamenta r>se esta evaluac ión intu itivam ente de la s igu iente m aner>a : Si ambas func iones son no negativas, entonces ( Fig, 4 7 ) el ár>ea mos trada es igual a la diferenc ia entre el · área de la región l i m itada · por la : curva y • g( x ) , po r> las rectas x aa , x:o:b y por el eje OX y e l área l im ita da por la c ur>va y :o:f( x ) , po r las rectas x =a , x ab y por> el eje OX. Por l o tanto , nuestra ár>ea e s igual a b

S g (x) dx S 1 (x) dx.

•

··

S i las func iones f( x ) y g( x ) tienen signo arbJ. t r>a r> io , entonces, en vi r>tud de su acotam iento , existe una constante e , tal , que las fun c iones

/1 (x) =/(x) + c, g1 (x) = g (x) + c

b X

Fig, 4 7 ser>án s ien q,>r>e no nega tivas. El área de l a reg ión compr>endida entre l as curva s y •f ( x ) , y =g ( x ) y las rectas x = a . x =b , 1 1 coinc ide evidentem ente con e l á rea ante r> i o r> , siendo igua l a b

�

S [g1 (x) -/1 (x)] dx = i [g (x) -/ (x)] dx. Ejem plos. l . Eva luar el ár>ea P de un cuadrante de la el ipse . El cuadrante de la e l i12... se x;l tii

t-ybi"• = l

está l im itado por las recta s x •O , x •a , el eje OX y la curva Y = �lÍaa=?

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

314

Por consigu ient e ,

P= !!.. a .)r V a• o

x1 dx,

4 . Asf p u es el á re.a de l.q e ri pse es igual a de do nd e P= fCIJb

rrab-.

2 . E va l ue r e l á rea ) de la r e g i ó n ! im i tada �o r las rectas

x =a , x =b

y la pa rábola y• = 2px .

Ten e m o s aquf: '

/(x) = - V2JW, g (x) = + V 2px,

po r' lo que

a = O, b = x, 'V2JJX=y, o b ten emo s la f:flomula conoc ida para el área del segm ento de la pa rábo.la

Haciendo

P= 3 xy.

va :

PROBL EMAS E v a l u a r l a s s i & u i e n t e s á .P e a s : , l . E 1 á rea de la .Peg i6n l im itada por la h i t>é.Pbola

� = e (e > a):

[

P = a e. Ycr=i1 - a1 ln e

) JfCI"=til OX ,

2. El él .P ea de la reg ión l im itada por> e l eje

·a

y = x YT='i', P = a ; b ) Y = Y l - x1, P=i ·

S . El área de ·la región l im itada po.P las curvas

( Oll!i; x ..; .¡. )

Y el eje OX .

xtil• -bl r = 1 y l a .Pe<2_

la recta x•l y la cur_

Y = sln'x, y = cos• x

4 . De m o s t ra r que s i las funciones y = /(x), y = cp (x) cont fnuan en el ig sus co.Pr>espóhd ientes curvas · t e r va l o [a, b] p o seen la pro p i e da d t e nga n ún icam ente un núm e ro finito de puntos com une s , el á r>ea de la re gión l im itada po r> estas cu Pvas y po r> las rectas x•a , xab se expr>esar>á entonces por la int e g r>al

de que

b P= S I.J (x) - cp (x) 1 dx. a

APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL

- 315

5. Basándose en la conoc�da fó:rm ula pa :ra el á:rea del secto:r c i:rcula:r demost:ra:r ( en fo:rrna análoga a como se h izo en la Pág.2 5 6que el á:rea del secto:r l im itado po :r las :rec tas , = , .. T = Ta y la curva r = f<T>· f <T> desi&, nando una func ión cont inua y no negativa en el intervalo '• E:; ' :E;;; '• y / (TJ / (TJ = r1 ( en coordenada s po lares ) , se exp:resa por la integ:ral = r., P

'P2

{ S /' (!p) d,. "•

6. Apl icando la f6:rmula del p:robl ema 5, evaluar el á:rea de

a ) El lemniscato

( T ' 150; + T) , P =

,. � o' eos 2,

....:.

b ) Ei fol ium de Desca rtes '=a

cos cp sin T cos1 ' + sln1

T• a P f¡ = ·

E; T E; 2 K

�

7 . Evaluar' e l á Pea d e l a Pegión l im itada poi' los ejes cooPdenados y la cu:rva

(a > O, b > 0). 2. C á l c u l o d e l a L o n g i t u d d e u n A :r c o . Adm itan1os que las func iones son definidas, continuas y que poseen der ivadas contfnuas en el intePvalo a. � t � �- El conjunto de todos los puntos del espac io cu - yas coo Pdenadas sean ( x , y , z ) , coPrespondientes a uno y a l rri ism o · va lor de l a va Piable t , detePm inen una c iePta cuPv�.

La va Piable t se l lama P a P á m e t r o y la F u n e i 6 n ' P a p a m é t r i e a de esta curva .

Presi6n

Form e m os una cortadura arb itra ria

del segmento

( 1 ) es la Ex .

[a., �].

Sean - los puntos a. < t. < t. < . . . < � los puntos de esta cortadura Designam os como A, A 1 , A1, _8 { Fig. 48 ) los z puntos de la curva correspond ientes a los valo Pes a., t1, t1, , � · del paPámetro . • • •

• • •

Hagamos

.u. = /(t.) -/(a.), 4x. = / (t.) -/(t, ) , Determinem os análogamente dy 1, dy1, Dado que la iongitud de la cuePda

AA1

• • •

, A.r1, A.r1, • • •

Pta. 48

se expresa po:r la f6rmula

AA1 = V Ax� ·+ Ay! + AZ:, entonces la l ongitud de la l ínea quebrada AA1A1 f6r>m ula

• • •

se expr>esa r>á po P la

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

3i6

(2)

De acuePdo con el teoPema sobPe el valoP medio, �. = !' <a,) t .

Así p ue s , s i se hace entonces

(11 < e, < t,).

(AX 1) 1 = /'1 ( t1 ) At: + p,At:.

Proced iendo en foPma análoga papa

v�: + ay� + az: = =

+..,....t--1)--= ....,.a... 1 -r : ,¡-(t--: a�t:. l'r[=-:/= 1+ A.= <p':e'� ( p( t1-:-)--:) ]-:t:--= +--:t 1-:-::+-�:-:-,¡r-:(-:. )-+,--

H a c i endo

y c m p l ea q d o

A.y1 , A.z1, obt.Gnembs :

1 V/' 1 (t) + <p ' (t) + ��· ( t) = F ( t)

las desigualdades

vraT- vm� v l a + b J E:; VfliT+ VTbT.·

o b t ene m o s :

F ( t.) At. P Po c ed i e ndo en

V 1 p, + al + 'tl i · Atl � v�: + ay: + Az: EO;

E:; F (t , ) M , + V ! P1 + a. + t, I · At1 •

for>ma semejante paPa

Ax1 , !iy1 , Az1 ,

_. . .

P= F ( f1) At1 + F (f1) At1 + . . . ,

y hac i-e ndo

R = V 1 pl + a l + t, l Atl + V 1 p. + a. + 't. 1 at. + . . . ,

obtenemos eu viPLud de ( 2 ) y ( 3 ) las desigualdacies P - R � L � P + R.

(3)

(4)

(5)

DetePm inemos Designemos con p al mayop de los númePos a a y :r: De l a f6Pm ula ( 4 ) se obtien'e fa c n m ente

aná l oga m en t e

p 1 , p. , . . •

Escojamos una secuencia a Pb i t r-a P i a noPm a l izada de coPtaduPas

(6 )

PaPa las COPtaduPaS an , del m ismo m odo q u e antes, dc t e Pm in e m o s los númePOS Pn , Rn , Ln, Pn• an , -t:. De la isrna rnanePa que pa pa las f6pmul as ( 5 ) y ( 6 ) , tendPe m o s ; m

pn - Rn � Ln � pn + Rn, Rn 1 �

VPn + an +-:en (� - 11).

(1)

APLiCACIONES DEL CALCULO INTEGRAL

317

De la continuidad unifo r>m e de l a s f un c i on e s t' • (t), cp'• (t), �'• (t) con s ider>an do ( · 3 ) , · se deduce

lim -p11 = 0 ; lim a"· = o , lim :tn = 0 11-:+00 11-:+00 11 -:+ 00

Enton ces , d e acuer>do con ( 7 } P e co , corno es fá C'il veP

lim Pn = 11 -:+00

� F (t) dt;

P o r> l o. que . , en v i r>tUd de ( 7 ) , la se cuenc ia

lim L� = 11 -+ 0Q .

•

{ L11 } conva rge y

� F Ú) dt = � V r· (t) + <p'1 (t) + �·· (t) dt.

t o n g i t u. d d e l a · c u r> v a dada se denom ina L ím ite de la s� 'L a c-uencia { L,;J; · d e s ignando la l ong i tud de la c ur>va con s, obte n e m o s final - m_ente a

� V/'1 (t) + <p' 1 (t) + ��· (t) dt.

Observa c i,6n l . .Si las func i o n e s l ó.

[a. � �]

/ (1), <p (t), � (t) poseen en el inte Pva

der> i vadas a contínua s <.1 aiTl bo s lkidos excepto en un núm e Po fi -

n ito d.e punto s de este interva l o , y s i la inte�Pal e x i ste ( en el sent ido O P , li

� y·/· (t) + <p'• (t) -t- ��· (t) dt

d ínario o "en el irn ppopio· ) , su valor' se denom ina ta m b ién l ongi tud de l a c ur>va dada . Es posible demost Par que p a P a cada sec uencia uu rm al de c o � tadur>as · {�11}

l a secuenc ia de núm uPos

{L11 }, dete P m inado s con1o anter io�

m ente , convePge a esta integpa l , · ObsePvac ión 2 . E� fpec uente que una c u r va se de po r l a s f6 P m ulas

y = a (x) , z = � (x), poseyendo las fun c ion0s a. (x), � (x) de r i va das Cül l t ínuds en el i nte rva l o [xl ' x.].

Esta r>epi'te senta c i6n de la .cu Pva puede considePaPse como del t i po pa Pam � t P i co , lo que inm ediatam ente se ve si se esc P ibe X

=·t, )1 . a. (t), Z = � (/)

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

318

En este caso

�

s = Y 1 + t�'1 (x) + �·· (x) dx. Jfa

En particolar, para curvas planas , ' da con frecuencia

s= Ejemplos.

( � (x) = O) obtenemos la f6rm u l a usa

� Y 1 +Y'1 dx.

�

Jfa

l . Calcula r la longitud del arco de la parábola

ce hasta el punto K ( x, y )

y• = 2px desde el vérti -

•

Puede obtenerse una representac i6n paramétrica haciendo

De donde

8 = \ , í t + t dt = .l. V y1 + P• + .!!.. t n Y + 'Y;r:E'P' 2p 2 � y pr p •

•

2. Calcular la longitud de ai"co de c icloide x = a (t - sfn t), y · a (l - cos t) entre los l ím ites de t a t 1 2.

Tenemos :

8= =

�

� V a* (1 - cos t)1 + a• stn• t dt = a S Y2 ( 1 - cos t) dt =

'·

� f '·

sin

'·

{ � - cos -?) (O

dt = 4-a cos,

En particular', hac i endo t • O , t • 1 2 ' la c icloide es Ba .

.;;;;; t1 <: t1

< 2tt).

2tt, enconti"amos que la longitud de

PROBLEMAS Calcular' la longi tud de los a reos de las sigu ientes curva s : l . D e la cicloide � = 2r .m• t, y = 2r stn• t t¡ t

entre los l ím i tes d e cero á t .

(• = [Y ±éos3 t os• t l"3 1n ( Y3 cos t + Yl ± 3 cos' t) - 2 ± Y3 1n (2 + v3>] ) . ,

2 . De la curva

entre los lím ites d e O á Y 3

= t•, y = t -

<s = 2 Y3>. 3 . De la catenaria

-4-,.

APUCACIONES DEL CALCULO INTEGRAL

entr>e los l ím ites de x

a x • 2

l s = -f (e0

"•

4 . De l a cu�va

- e ---;¡, "•

319

�(e a- e - ;-) J. Xa

Jra

entrae los l ím ites de O á x . (s = x + z).

l ico

5 . De la cu r>va dete r>m i'nada pora la intePsec c ión de l c i l indrao par>a bó -

(y + z>' = 4ax

c on el cono el íptico

'4 3 x' +y' - z' = O,

entrae el or>igen de cooPdenadas y el punto ( x . y . z ) . (s = :J"2).

Sugestión . To m a r> á x en cal idad de par>ámetr•o .

3 . V o 1 u m e n d e u n e u e P p o d e R e v o 1 u e i ó n Sea y •f( x ) - Desig - una func ión cont inua y n o nega tiva e n e l inte ravalo [a, b] (a > h). ·

•

nemos con D l a raeg ión l im i tada pora l a cu r>va y • f( x ) , el eje O X y las Pec tas X ""a . x • b . Supongd'iTlos ano r>a Que la cuPva y•f( x ) Pea l iza una Potac ión com pleta alr>ededora del eje OX y ·que la raeg \ón D desc r i be en v i Ptud de este gir>o un c i e r>to cuer>po T .' Evaluem o s el volumen de este cue r>po . PaPa el efecto , for>m emos una coPtad u r>a aPbitr>ar ia

� · del segmen -

to [a, b] y designemos, r>espectivamente . con M 1 , m 1 , M ., m., . . . los va l or>es -

máximos y m ín imos de la func ión f( x ) en los d ife r>entes segm entos de la -

coPtadur>a �.

O b·s ePve m o s que los Pectáugulos cuyas bases son �1 , dx1 ,

y c uyas alt u r>a s son

M 1 , M11 , • • • ,

• • •

Pespec t i varTLnte , cubPen totalm ente a la 1

r>egión D . P o r> cons igu iente , el cue r>po for>mado po r> la POtac ión com p leta de estos rec tángulos , co.utiene el cue r>po T. El vo lum en de este c ue r>po , que cont i ene el T, se exp resa po r la fó r>mula Anál oga m e nte , l os r>ectángulos c o n base s Ax 1 ,

Ax1 ,

• • •

y altu r>as

m1 ,

m . , · · · están tota l m ente co m p re nd id o s en la r-egión D , y po r> con siguiente ,

e l c u e ra po que

el�os d�sc P i ben queda con ten ldo en el c ue r>po T,_ ( F i g . 49 J .

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL

320 y

Designando con al volumen del cuer po con ten ido en T, obtenemos : w = n(.ix1m: + .ix,m: + ... ) . Si { an } denota una secuencia ar� bitrar>ia normalizada de curtadur>as del inter>valo [a, b], entonces, como es fá - c i l obser>var>.

l i m Wn = l i m wn = n=ao n= (SJ =

Fig. 49

� /1 (x) dx. IJ

Por> lo tanto. de acue r>do con las repre sentaciones intuitivas. deter>rn inamos e l volum en del sól iao de revo lución por> medio de la fór>mula b V=n � /� (x) dx. IJ

- Ejem plos. l . Calcular> el volumen de una esfer>a de r>adio r. La esfer>a se obtiene al gir>ar> el sem ic írculo y= V r• -x• ( - r � x � r) alr>ededor> del eje O X . Por> consiguiente, +r

V=n S (r1 - x1) dx = 34 nr•, -T

,lo que coincide con la fór>rn ula conocida. 2 . Eva lu a r> el volumen del cuer>po formaoo por> la Potación de la ci - -

cloide

x = a (t - sin t), y = a (l - cos t),

(O E; t � 2n)

alrededor> Gel eJe O X . Cuando t var>ía de O a 2n , cr>ece n to ces x de O a 2na , pues dx O < t < 2n. di = a ( 1 - cos t} > O Por> lo tanto. y es W!a func t6n de la va r> i a u l e x eü el inLer>valo (O, 2na1 e

a s í que

.MB

V=n S y' dx. Intr>oduciendo la Vür>iabte t, obtenemos: o

2•

V= tt S fa (l - cos t)]1 a (l - cos t) dt= 5n1a1•

APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL

321

PROBLEMAS Calcular los volúmenes de los siguientes cuerpos de revolución . l . Ca lcular e l volumen de l toroide formado a l girar el a rco de la c ircunferencia

Y = JÍ�

alrededor del eje OX entre los lím ites de

(

V = 1t

[r (X. Xt) - x: ;- x: ] ) .

Xs ( -

r=E:;; x, < Xs =E:;; r)

2. Del cono truncado ( fórm ula conocida en la Geom etría elem ental )

( O� t .;; -f)

3 . Del cuerpo obtenido al girar el arco de astroide

x=r cos• t, y = r sin' t

( V 1� 1tr') -

= al rededor d e l e je OX . 4 . Del cuerpo obtenido al girar la curva (0 t!!O; X EZ; 3a) T (.X 4a) = a.x (X 3a) o

alrededor del eje OX.

(

";' (15 - 16 ln 2) )

•

5. Del cue rpo obtenido al giPaP la cuPva (Y' b')' = a,•x

al rededor del eje OY(- b< y < b)o

( V=:S::.' ) .

Sugesti �n . El volumen se expPesa aquí por la fóPm ula 1t J x:' dyo

4 Area

-·

d e u n a S u p e P f i c i e d e R e v o l u c i ó n . Sean la fun

c ión y •f( x ) y su primera dePivada contfnuas y no negativas ·en el interva lo [a, b] (a < b). Supongamos que la curva C, gráfica de la función f( x ) , des cribe al Peal izar una Potac ión com pleta al Pededor de l eje OX la superfi c ie W. Se trata de determ inaP el áPea de la superficie W. Tomemos una b

cortadura arbit Paria

del segmento [a, b]

y designemos como a < x1 <lx1

< o . a los puntos de esta cortadura . Sean A,, A1, e COrPespondientes a los puntos x1, X1, • • •

• o o

puntos ue la curva

, Al girar al rededoP del eje OX, la l ínea quebPada AA_1A, B descPibe una supePficie, for-mada poP las superficies latePal es de los co nos truncados ( Fig. 50 ). El á Pea de esta supePficie se exp:resa por la fórmula o o o

donde

P. = 2Tt JI

Ax1 + Ay• 1 (a) +21(X.) + 2Tt V.1x• + Ay'/ (x,) +2 1 (x,J + o o , l

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

322

Fig. 50. De acuePdo con el teopema sobPe el valoP medio , tenemos :

V ax: + .1y: = donde

y 1 -t- ( :�:)*.ixl = Jlr 1 + r • (e.> u,,

�� es un ' númePo com ppendido ent{le a y x . 1 Su pon i endo que

_ / (a) + / (X.) �

e 1 _-

encontramos

/ ( r:. l) ,

Asf que , donde

s = 2Tt' V1 + r· (E�>1 <��> .ul + 2Tt' v 1 + r· <E.> t<e.> .1x. + . . , R = 2Tt' JÍ1 +r· (el ) e l .ixl + 2Tt' V 1 +r· (e.> e• .ix. + . . . Designando con

l'J,

valoP máximo de lf (x) !

al mayor de los núm e Pos 1 e 1 ¡, 1 e. l • • • • , y con M al

en ( a , b ) , obtenemos :

l R l � 2n Y t + M1 íb - a) lJ .

Si e scogem os ahoPa una secuenc ia aPbitParia norm a l izada { a,.}

de cortaduPas y determ inamos los núm e PCs do como se determ inaPon los Se obse rva fác ilm ente que n-+oo

P,. , R,., Sn, 1),._, del m ismo mo -

P, R, S, l'J, obtend rem os entonce s :

P,. = S,. + R,.. b

S f (x) V 1 +/'1 (x) dx. a

lim S,. = 2n

De la continu idad un ifo Pm e de la función f( x ) en el int e Pvalo se deduce que pop l o que

lim 7)11 = 0,

IJ -+ QD

, .

lim R = O

rJ -+ 00

[a, b]

APLicACIONES DEL CALCULO INTEGRAL Asf pue�. lim Pn = 2n

n-+OO

323

¡,

� f (x) V 1 + /'1 (x) dx.

Entonces. intu itivam ente . detePm inamos el á Pea de la supe Pficie de Pevolución poP m ed io de la f6Pmula A = 2n

� f (x) V 1 + /'1 (x) dx.

(1 )

ObsePvac i6n . Adm itamos que l a func i6n f( x ) continua y no n egativa -

en el intePvalo [a, b] posea en este intePva lo una deP ivada c on t i n uG . con -

exclus ión de un núm e po fin ito de pun tos del intePvalo y que ex iste la inte g pal ( en sentido oPd ina r io o im pPop io ) 1

� f(x)V 1 + /'1 (x)dx.

Puede dem ostPa Pse que bajo estas condic iones,

lim Pn

n -+

tam b ién exi2_

te y que es i gual a la integPal arPiba i nd icada.. m ult ipl icada pop 2n. En este caso , el áPea de la su perfic i e de Pevol uci6n se detePm ina po p la fó P m ula ( 1 ) . Ejem plo s . l . Cal culaP el áPea de una esfePa de Padio P . Tenemos aqu í : x• / (� == V r• f' (x) = - _x_

(- r � x EO; r),

yrl - x1 '

así que

S V r• x• y' 1 + r : dx = 2n+fr dx

+ ,.

A = 2n

-r

4nr•.

2 . E valuaP . e l áPea de _ la superficie obtel!ida al giPa P la c iclo ide x = a (t - sin t), y = a ( l - cos t) (O � t ==:;: 2n),

al r>etiedor del eje OX ( veP Pág. 3 20t . lntPoduci endo l a va Piable t. obtenemos : . h

A = 2n

5 a ( l - cos t) JÍt + [a(t�� t)r a (l - cos t) dt = � 'lta1•

PROBLEMAS

Cal cular> las á Peas de las s1gu¡entes supePUCles de Pevoluc ión :

l . Del pa r>abo lo ide de Pevoluc ión , obte nido al g i r>aP la pa Pá bola alPe dedoP del eje OX entPe lgs l ím ites O Y x : y = 2px

.!. � 2n J'Í) _A = Y f(p + 2x> 2 - p 2 1•

324

<:;ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2 . Del e l i pso ide de Pevol uc i6n , obten ido al g i PaP la e l ips e . x2 y aa +bi = 1

a ) al rededo P del eje OX

(a > b):

[

}"".....---¡ji]

A = 21t b' + r a1b arcsin � ; ,r a' - b' a

b ) a l Pededo P de! eje OX

(a�

yaa=¡¡a] .

+ ab' In a b va• - b' En el caso b ) , el á P ea de la supetafic i e está dada PO P la f6 Pmula A = 21t

3 . Del casquete esfé P ico , obten ido a l g i PaP el c íPculo xt +y - 2rx = 0

a l rededoP del eje OX ent Pe los l ím ites O y h : A = 21trh.

4 . Del toPo ide , obten ido al g i PaP e l c íPculo de Paoio P a l PededoP de una Pecta contenida en el plano del c íPculo, a una .distancia a >r del centPo de éste . Calc ulaP tam bién e l vol um en de este toPo ide :

A = <k'ar, V= 21f!ar',

CAPITULO XX

LA INTEGRAL DOBLE. CONDICIONES DE INTEGRABILIDAD z =f(x, y)

l . Def i n i c ión de l a Integr>al Dob l e sobP e un Rectángu l o . Sea una fun c i6n defin ida y a cotada en e l r>ectángul o O , detePm inado m e d iante l a s d� s igua l dades a <: x � b, a' <. y � b' ( F ig. 51 ) . Pa Ptamos e l Pectángulo D e n u n núm c r>o a P b itPa P io de P ectángulos ( - no necesaPi§. z � � b o

m ente igua l e s ) cuyas á r>eas sean Aa1, Aa_ , • • .

, Aan *).

Des ignemos con (e·t , lit), (�•• ll �),

... , (e,., lln) l a s coordenada s d e l o s pun tos a P b i t Pa r> iam ente escogido s , uno pa pa cada Pectángu l o . Fo Pm em os l a suma

. --h-d b

fejd b

F ig , 51

A = / (e1 , lh) Aa 1 + + j(e., ll1) Aa1 + . . . + (en, 'ln' Aan .

E.s fác i l ver> que si en e l Pectángulo D la func ión / (x , y) > O, enton c e s la sume. A r>epPesenta la suma de l o s pa Pa l e l e p ípedos r>ectos cuya s bases 9on

Aa 1 , Aa1 , y s u s a l tu r>as

t (e1 , ll1) , / (e.. ll.) ,

L l am a r> em os e o r> t a d u r a � - a l conjunto ae Pectá n gu l os y con 1 a 1 designa r>em o s la iongitud de l a m a y o r> de l a s d i agona l e s de l o s Pectán - gulos Aal , " Aa., d e l a CO Pt a d u r>a a Llam a remo s n o r> m a a la secuenc ia cte c o r>tadur>as {an } si

Def in i e i 6n . S i o a P a u n a s e e u e n e i. a n o P m a l e u a 1 q u i e r a d e e o P t a ñ u P a s { �n } 1 a s e e u e n e i a e o P r e s D o n d i e n t e d e l a s s u m a s { An } e s e o n v e r g e n t e ( inaependentem ente de la ele c c ió n de l o s pun (OS (e , 7))), , S e d i C e e n t O n C e S q U O a fUnCiÓn eS - i n t. e g r a b l e e n e l r> e c t á n g u l o D . P u ede dem ostPa r>se ( com o en e l caso de una func ión de u n a var> ia - b l e , Pág .256) q u e s i 1 a f u n e i 6 n e s i n t e g P a b 1 e , e n t o n e e s p a r> a u n a s e c u e u c i a n o r> m a l c u a l q u i e r> a d e c o r> t a d u r> a s 1 a e o P P e s P o n d i e n t e s e e u e n e i a d e s u m a P {An J t i end e a uno y al m i smo l ím it e . Este l ím ite eor� ún se denom ina integr>3 l d o b l e de l a func ión f( x, y ) e n e l dom i n i o r> e c tang u l a r> ·

+ ) En l o q u e s i g u e , denota e l. a u t o r> con aa1, aa1, Pectángulos como los dom in ios ( N . d e l a R . J

tanto l o s pro p io s - -

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

326

La integral dobl e se denota pot4 el s ím bolo

S St.<x, y)�a � -� i(z, y)ú d)l. 1

· Observac ión . l . Si la func ión z•f( x , y ) et:i continua y no-negativa en el rectángul o D, el volumen deLdom inio c l im itado por la superficie a •f ( x , y ) , por el plano c oo rdenado OX Y y po r lo_s plano que pa san ! P9r l o s l ados del rectángulo D paralelam ente el eje OZ , se determ inará entonces com o el valor de l a integral

� S t<x, Y> dtl. n

( Poste riorm ente se demost rará que c ua lquier func ión , continua en un rectángulo , e s integra ble en �1 . 1 1 Esta determ inac ión intu it iva d e l vol�m�n d Err un dom inio puede fundam enta rse. Ues ¡gn& ; m o s con l o s val ores m áximos y m ín imos de l a ftmc ión f( x , y) en l os rectángul o s d e la cortadura a respectiva y (el, 7)1 ) , mente , y con (el, �.), corre spondi entem ente , l os puntos en los que la func ión toma estos va loree¡

M1, M11,

• • •

m1� m., , • . •

7J .),(e., 7J.),

Fig.

52 '

{e¡,

. . •

S =/(e1, 7J1) Aa1+/(E., 7J1)Aa.+ = M1Aa1 + M.Aa. + . . . s ='f(e1, �1) Aa1+/(E1, �.)Aa. + . . . =m1Aa1 +m.Aa. + . . . . •

Los pa ra l e l epípedos rectos corre s pondientes a la suma S l l e nan en su total idad al dom in io considerado , m i entras que l os paPa l e l ep ípedos rectos . correspondientes a la sum a s se h a l l an todo s en e s t e dom i n i o ( Fig. 52 ) . Ya que pa P.a una secuencia normal arbitraria. de co Ptaduras {t.} se t i ene

11m S,. = lfm s,.

•-+ •

S S f(z, )') do, D

la determ ina c ión del vol um en d e l dom inio dado com o· el valor de La inte gral a r riba ind icada . conc uerda total m ente con .nuestra s represen ta c i o n e s intu itiva_s. r r , (x ) dz d Observaci6n 2 . En que integral doble J J ,Y [.Y en l uga r de x . Y , o

ouede esc r i b i rse otras dos le tras cualesq u i e Pa ; así poP ejem plo

S S t<x, y) dx dy= ( � t<•, fl) d• drl= S S t < t)dfiJdt. b

•.

Ejem plos. l . La func i6n z ,. e es integrab l e en un rectáz,1gul o cual quiera y

S S � da= c i DI D

lDJ denota e l a rea de l rectá ngul o O ) . En efecto , tomando una co PtaduPa a roit ra r ia a y e scogi endo l os puntos (�1, 1]¡ ) , (&1 , 1J1 ) , a rbitra r.i.am ente , uno en cada Pectángu lo de los qu e • •

LA INTEGRAL DOBLE

327

constituyen la co Ptauura � 3 �,. vern os , que

t <e. , 7J1) = c, t <e. , 71.> = c, . . . , poP cons igu iente A = cAa1 + cAa. + . . . = c i D l . P ero , po p defin i c ión

� � da = e 1 D 1 · D

Geom ét r i cam �nte, la func ión z =c P epresenta un plano pa ra lelo a l coordenado OX Y . S i c > O, > la integpal ( l ) re presenta rá el vo lum en del paPalelepfpedo Pecto c uya oase es D y su a ltu ra e

��y

2 . Ca lc�lar la int�gral sobl e dx dy en e l cuadPado D con véPtices en . (0, O}, ( 1 , O), ( 1 , 1 ) , (O , 1 ) L a funci6n / (x, y) =y es continua , y en base en lo asevePad o , integra ble . PaPa cal c ul a r esta integral , pa r>tam os nue stro cuadPado en c uad Pa dos igua les m ed iante Pectas oa pa l e las a los ejes de coo rdenada s . En ca da uno de l lo s , como punto (e1 , r;.) tom a rem o s e l vért i ce su p e P i o P dePe cho. Puesto que el áPea d e cada cuadPado es igual a 1 , obtendPemos ,. , 1 entonces pa ra la sum a � / (e1 , 711) Aa 1 el v a l o r- jii �'1¡· Dado que los núm eros "lll . tiene los va loPes 1 n y cada uno oe estos. valo r es se hal la 2 , 1i ñ 1i en " cuad Pados . que fo rman una faja ho Pizonta l , la suma conrl ide rada tend Pá i..mtonces el valo P 1

• • •

n - 00

Pasando a l lfm ite pa ra

,obtenemos

SS y dx dy = { . n

Este Pesultado puede obtenePse po r un m é todo e l ern ental . Basta o b sePvaP que la integPa l cons iderada , representa · el vol u m en de l prisma recto . cuya base es el t P iángulo rectángu lo isósceles: de lados un itarios y a l tu ra unitaria . abl l l dad . 2 . C o n d i c l o n e e d e la t • w r Teo Pem a • 1 L a· s u m a d e d o s

f u n e i o n e s / (./, y) y , (x, y) integrables en un rectángulo D . es tam bién integrable en este rectángu lo y

S S [1-(x, JI) + cp (x, y)] da = S � f (x, y) da + SS cp (x, . y) d_a. D

T e o r e m a 2 . E l p r> o d u c t o a e u n a c o n s t a n t e p o P u n a fun c i ón f ( x , y ) integ r a b l e en u n P e c tá n g u l o O , e s ta m b ién i nt e g ra b l e . y

� � cf (x, y) da = c � S f (x, y) da. D

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

328

Estos teoPemas se siguen de inmediato de la definiCión oe integPal doble; se demustPan como los COPPespondientes del Capítulo X VI ( Pág.264 T e o P e m a 3.- L a f u n c i 6 n z f ( x , y ) continua en el Pectang ulo D . es integPa b l e e n est e Pectángu l o . =

La demostPaci6n de este teoPema se hace en foPma análo.?;a a la del coPPespondiente teor>ema paPa una función de una vaPiable ( Capítulo X VI , Pág.262). PaPa el efecto, definamos el concepto de suma supePioP S y su ma infePior> s , coPPespondientes a la coPtaduPa �. en una foPma sim ilaP a como se nizo paPa la integPal definiáa oPoinaPia , Así M, , M., .

S = M1Aa, + M1Aa1 + . . . ,

s = m1Aa1 + m.Aa. + · · . ,

. y m1, m1, donde son los val o Pes máximos y m ínimos de la función f ( x, y) en los Pectángulos 11a1, 11a., . Pespectivarnente. Puede demostPaPse que par>a toda secuencia nor>mal oe coPtaduPas { �,.} es válida la Pelaci6n • • •

• •

lim (S,. - s,.) = O

rJ-+ 00

que además, paPa dos coPtaduPas cua�esquiePa ppe ti

�

�·

se tendPá siem

S ;;;;;::. s'.

Puede el .l ectoP fácilmente dernostPaP estas ppo.piedades haciendo las subtituciones obvias yOPr>esoondientes en las demostpaciones de l o s le ·mas 1 y 2 ( Cap. X VI P ág s 2 60 , 2 62 . En base a las propiedades ( 1 ) y ( 2 ) de rnostPamos nuestPo teoPema en for>ma análoga al teoPema de la Pág� 262 casi sin modificaciones. Un teopema más genePal es el siguiente: T e o P e m a .4 . U n a f u n e i 6 n , d e f i n i d a y e o t a d a . e n u n P e e t á n g u 1 o D , s e P á i n t ·e g P a b 1 e e e s t e r> e e t á n g u l o s i discontinuidad. s e l o e a 1 i z a n e n u n todos sus puntos de n ú e P o f i n i t o d e e u P v a s q u e s e a n l s P e p r> e s e n t a e i o n e s g p á f i c a s d e f u n c i o n e s c o n t i n u a s (de la for>ma o Y = !f (x) X = f (y)). ) , Orri itimos la demostPaci6n de este teoPema. Ejemplo. Sea f ( x, y) una funcj6n de{inida en el r>ectángulo O con véP tices (O, ·o), ( á; O)z-." (3-, 1 ), (O, 1 ) de la siguiente manePa : 0 < x � 1 y aPbitPaPia Y� f(x, Y> = (..:.¡ paPa 1 <x ce;;;; 3 y aPbitPar>ia y. ... 2 paPa Como es fácil veP, esta func16n es acotada y continua en cualquieP punto, excepto los puntos del segm ento de Pecta x l que e halla en el Pectángulo ciado. En viPtud del teor>ema 4 la función f (x, y ) es integPa ble en este Pectángulo. 3.L a i n t e g P a l d o b l e p o m o R e i t e P a c i 6 n . Veamos ahur>a un teoPema que no�. pePrrl itiPá calculaP una integPal doble po p medio de integr>ales oPdina�ias . T e o P e m a .S i 1 a f u n e i 6 n f (x, y ) es continua en el Pecrángu lo D ( (a :s;;:;; x ..;;; b, a; ..; y ..;;;; b')� ) entonces a

•

IJI

�Sf(x, y) da = } {J,t<x, .Y) dy } d� = J,�}f(x, y) dx } dy..

LA INTEGRAL DOBLE

329

Demostra c ión . Formem os las cortaduras arb itraPias �· y � del intervalo [a, b] po r medio de los segm entos , y ctel intervalo La', b'] por los . segmento s &y , ,&y., respectivam ente . Sean a = x. < x� < . . , y a' =Y 1 <Y. < · � · · respectivam ente los extrem os de los seg m entos de l a s co rtaduras �· y � En l os puntos de sepa ración de �· y r' tracem os rectas pa rale las al eje OY y al OX , respec tivamente ( Fig. 53 ) . Obtenem os de este mo do la co rtadura a del rectángul o D en una O•X, X, ,ro Ó ( 0 serie de rectángulos. Sea &a" aquel rectá!!. gulo de la co rtadura � cuyas proyecc iones Fig. 53 sob re los ejes coordenados sor &x,, y &y,. respect ivamente . Designemos finalm ente con in,.�.. M111, los va lores m ínimos y máximos de la func ión f ( x , y ( en - e l rectángulo Aa111• Hagam os

Ax,, Ax.,

• .

F (x) =

S J<x, y)dy.

«'

Escojamos los puntos a rb itrar ios �. , � � . . . , en los segm entos respectivam ente , y sea

A = F(�1) Ax1 + F (�) Ax1 + .

En virtud de ( l )

Dado, que

• •

Y•

F<a.> = � t <a., .v> dy = � t<El, Y> dy + � t<a., y) dy + . . .

para Y • ..; y <y., entonces

�

m11Ay1 .;;;; / (� 1 , y) dy < M11AYu· Y•

Análogam ente

m11 Ay1 < � /(e,, y) dy .:;;; M11Ay, J'J'

y asr sucesivamente . Por lo que . de acuerdo c on ( 3 ) , hal lamos

m 11 A�1 + m11AY, +

•

• •

� F (E1 ) e¡¡;; M11Ay1 + M114.Y1 + . . .

P roced iendo análogam ente , encontramos además "'u&Y1 + m,.Ay• + . . <::: F (e ) .;;;; M11 A t11 + A ti

...

�

y asf suc esivam ente . Puesto que

M•• �. + • • •

entonces en base a ( 2 ) , ha l lam os Aa11=; �;. x1A�•• + m.1Aa1 1 +muAa. . + • . . .;;; m11Aa 1 1 + m11Aa 11 + ..; A E;;; M 11Aa1 1 + M11Aa11 + +.M11Aa11+M11Aa11 + • • . . • .

• • .

Axt, Ax., • •

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

330

Des ignando con S y S el m ie m bpo izqu i e Pdo y deP�cho Pesp.e ctiva m en te en l a 9adena ! ú l ti ma de desigua ldades, o b tenem os :

s_� A E;;; S

•

. Si constP u i m o s .aho ra qos secuencias nopm ales de coPtadu P�s l�:J y {a;}.,: de los segm ento s [a, bJ. y [a; L /J'],l a COP PeS pond iente secuenc ia de co Ptadu Pas . del Pectángulo 0. sePá tam b i i§"n- una secuencia norm al .

{ 3,.�..

ne · acuePdo con las des igualdades

( 4 ) , tenemos

s,. < A,. ..; S,..

Ya que

lim s,.= lim S,. = SS t (x, y) do

11-+00

entonce s , en vi Ptud de ( 5 ) , pa Pa ca§_a secu enc ia no Pmal de cortaduras {6,.} ex iste el llnf'A,.; ; epto�ces de acuePdo con ( 2) la func i6n F ( x , y ) es integra ble en el int-ePvalo .Ja, b] y 6

� F (x) dx= ltm A,. = � � f(x, y) da. 11 -+ CO

Ve dond t:. , en vi Ptud de ( l )

t11

� � f(x, y) da = � { � f(x, y) dy} dx. Anál ogam ente ou ede obtene Pse

•'

•

� � f(x, y} da = � { � f(x, y) dx} dy. D

ObsePva c i6n . Es pos ible ctem ostraP un teoPema aún m á s gen e Pa l . Ad m itam os que la func i6n f ( x , y ) es integPa bl e en el Pectángul o O y que pa ra cada x la función f ( x , y ) , con sidePada como func i ón de la va Piabl e y , es integPa bl e . Bajo �sta s cond ic iones puede afiPma Pse que .

1 ) La funci6 n

-S'

F (x) = t (x, Y) dy es integPa ble en [a: b]; •' j

1JI

SSt <x, Y) da = S { St cx, y) dy} dx. -

Ejem plos . l . Ca l c u l a P

G a'

S S x'y dxdy : en el rectángu lo D, l im itado poP las Pecta s x =-2, x=o, Y = 1 , y = S.�'renem o s aq u í· � SS x�v ��x dy = ( dy s xty dx = r x= = s dy [�] S = { ( (125y - 8y) dy = 1 17t.f3 1 56 2 ·

x=2 j Es posi b l e tam b ién integPaP en un o rden inve pso :

S S x1y dx dy = S dx ( x'ydy =

2 [�Jy¡::: :a S = S dx = 2 J (9x S

J'=d

5 -

' -� x 1) dx = 4 � •

1 56.

•

LA INTEGRAL DOBLE 2.

Dem o strar que

331

�

� � f (x) � (y) dxdy = [ � 1 (x) dx ] · [ � !f (y) dy ] , D

donde f (x),· cp (y) - son funcwues con t i ruas en los in te P va l o s [a, b] � te. ,�'d], res pectivarñenfe , ev'"aluándose la integPal doble en el P e c tán g u l o O l i m i t a d o po p las Pectas Aqu ( tenemos

�

SS t<x) ff {y) dx dy == � dx � /(X) !f {y) dy.1 D

Puesto q ue al integ rar ' Pespecto a x se con sidePa ·! com o constante , se �endrá

a s r que

� � / (x) f{) (y) dxdy = � l (x) dx 5 !p {y) dy. D

Ya qu e S 'f (Y) dy es constante , podPá sacaPse l e del s igno de integPac i6n j , después de lo cual o b t ene m o s el P e su l tado qu e P i do �

Puede e m pl ea Pse esta fórmula .en e l ejem plo 1 .

3 . Si l a funci6n ·f . ,( 2C,Y )es defin i da y acotada en el Pectángu t o

(a c:; x c:; b, 1J' c:; y c:; b') y · se anula en to d os los puntos de este Pectángulo, e x

cepto en aquél l os situados en un númepo fin ito de cuPvas de · la foP m a o X = <Hy) , entonces

Y == <p

•

S S /(x, y) dx dy = O. D

Puesto que com o puntos de d iscontinu idad solo pueden seP como es · fá cil ver, los puntos de las cuPvas a P Pi ba citada s , esta func i6n será enton ces integrable en el rectángu l o O ( teorema 4 , Pág;,3g_8� · Oesginem os con /, (;i1Y.n una función igual a la f ( x , y ) "en todo el rectángulo O , e xcepto en aqüe os puntox l ocal izados en cu rvas de la forma � ;= �·(y), en los que l a igualaremos a cero. y hagam os 1 1.1 t

/1 (x, y) = / (x, Y) -/, (x, y).

Las func iones f1·(%. v) :"'J' /. (x, ·yl son t n te g ra b l es po r la m isma razón que lo es la func i6n f ( x , y·). Y& que en t onces

�/Cx, y) dx dy = SJ t, (x,y) dx dy + SJ I. �. y) dx dy.

Evídentem eñte oas.tará convencerse que am bas integPales en el segundo m iertl bro son iguales a ce rol

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

332

Pa Pa la p r> ime r>a integf'al , en v i r>tud del teof'ema m ostr>ad o , tenem os b'

S S 11 (x, y) dx dy = S dx S t. (x, y) dy. a Si la func ión f1 (x, J') se hace ·x=x., esa func ión se tr>an sf<rm a ,en una D

�

fun c ión de la va f'iable y , nula paPa todos los va l or>es de y, e :>rcepto pa pa un núrn e r>o fin ito de e l la s , que cor> r>espond en a l os puntos d e inte r>sec c ión d e la f'ecta x = x. con l as cur>va s que élnter> ior>mente se han exclui : do. Por> cons igu iei1:e , ( ver> Pt!i c; . 259 ) . y

St1 (X0, Y) dy = O '

pa Pa todo z., de donde de inm ed iato se col ige que la pr>ime f'a integr>a l en el m iembr>o def'echo es i gual a cePo. Pa Pa l a func ión /1 y) la dem ostr>ac ión es an� l oga .

_ [;1

(x,

4 . - L a D o b l e I n t e g r> a l e n u n D o m i - -

- --[&!J

o· ----

• 1

1 1

n i o . Sea • un dom inio c er>rado acotado ( ve r Pág . F i g . 54 1 6 7 ) . Sea z = f(x, y) una func ión defin ida y acotada en el dom inio (1) y sea

D (a .;;;;; x e;;;;; li, a' <;y <: b') un rectángulo a rb itraf'io, que contiene en su inte rior a l dom in io (1) ( ver Pág. 54 ) . Definamos en e l rectá ngu l o O una nue va funcióny) de 18 siguiente manera : pa ra puntos ( x ,y ) conten ido s en (1) y) Y) _ 0 para los puntos restuntes del rectángulo D

F(x,

F(x, /( { x,

Diremos q ue la fun c i6n f (x, y)" es integf'able en el dom inio oi, si la - func i6n y) l o e s en e l rectangu lo D . L lamar>em os integf'a l dobl e d e -

F(x, la función f(x, y) en el dom inio

•

a l va l o r de la integra l

S S" F(x, y) da. D

Designa f'e m o s , como antes , a la integral doble en el dom m io el s ímbolo

S St <x, Y) da, o con SS I<x, y) d� dy. ..

Asf pues, por defin ic i6n

(1)

con

� S t(x, .Y) da = S S F(x, y) da D

•

Obse r>va c ión . Si su bstitu imos al rectángulo O por> otro O ' , que conten ga tam bién al dom in io m, obtendr>em os al m ismo val o r de la integf'a l . : Es fá cil demostra r esto en el caso en que el rectángu l o O se ha l l e com pl etam ente en D ' . S i no es a s í, basta r>á tom a f' un tercer f'ectángul o D " que contenga a los D y D ' . Las integrales en D y D ' serán igua l es a la i!!, tegral en D ' ' , por l o que serán iguales entre s í. Defin ic i6n . Un dom in io c e rf'ado

•

se llama

r e g u 1 a f'

s i esta -

l im itado por u n núm ero finito d e cuf'vas, representables en l a forma o x =� ty).

y= rp

(x)1

LA INTEGRAL DOBLE

333

Teoi"'ema 1 L a f u n e i ó n 1 (x, y),a e o t a d a y e o n t i n u a e n u n d o m i n i o I"' e g u l a I"' iw e s i n t e g I"' a b l e e n e s t e d o m i n i o •

•

Dem osti"'�ción . Tom emos un I"'ectángul o cualquiei"'a D . que contenga al dom in i o Q), y definam os , com o antes la función F ( x, y) Es fác i l vei"' que to dos los puntos de d i scontinuidad de esta función se encuenti"'an en la fi"'on te i"'a del dom inio (1) Poi"' consigu i ent e , de acuei"'do con el teoi"'ema 4 , ( pág . 3 2 8 ) . la fun ción F (x, y) es integJ"'a b l e . Ejem pl os.

l. Un pol ígono cei"'I"'ado e s un dom inio I"'egul a i"' . En efecto , su fi"'ontei"'a está foi"'mada poi"' un núm e i"'o fin ito de segm entos que son las gi"'áfi cas de func ion es cont inuas del tipó y = ax + b o x= c . 2 . El dom in io cei"'I"'ado l im itado po i"' una e l i pse es tam bién I"'egulai"'. S i poi"' ejem plo la e l i pse está dada p o i"' la ecuac ión b1r + a•y• = a1b 1 1a fi"'onte i"'a de nuesti"'o dom inio estai"'á entonces, foi"'m ada poi"' dos cur>vas :

Y= +

donde _ a < x .;;;; a. _

� Va• - r Y

y= -

� Vtt - x•,

3 . S i un dominio r>egul ai"' (1) esta constituido POI"' un núm e i"'o fin ito de dominios I"'egul ai"'es (1)1, w1, , wkt de los cual es no hay un solo pa i"' con un punto intei"'ior> com ún , entonces como es fácil vei"' , el pi"'opio dom inio O) es I"'egula i"' . En efecto , la fi"'ontei"'a del dom inio (1) e stá foi"'mada po i"' un núm e I"'O fin ito de cui"'va s continua s de la fo i"'ma - - - l Y = f9 (x) y x = � (y)cada una d e las cua les se ha l la en la fi"'ontei"'a de los dom in ios •., . . . ' .,� El dom inio ., se denom ina s u m a d e l o s d q_ m i n i o s (1) • ' . .. , e»1•••

·�

¿;J;-J F ig . 55

Teo i"'ema 2 . S i u n a f u n c i ó n f ( x , y ) C O !!. tinua en e l do m in i o • es l a suma d e d o s d o m i n i o s I"' e g u 1 a I"' e s •1 y •• - { s i n puntos intei"'iOI"'es comunes Fig. 55 ) , entO!!. ces

� � f_(x, y) da = � � /(x, y) da + � � / (x, y) da. •

4D¡

Demosti"'ac i6n . Tomemos un I"'ectángulo cualquiei"'a D que englo be al ?Q. m inio • Des ignemos con F (x, y), - F1 (x, y) , F1 (x, y) las coi"'I"'espond ientes f �n c iones , defin idas en el I"'ectángul o D y éonstr>u ida s como se consti"'uy6 la func ión f ( x , y ) { Pág. 331 ) en los dom inios ·•, •1, •• Tenem os poi"' consigu ie!!. te

S.S / (x, y) da = SJ F (x, y) da� S S t <x, y) da = S S F1 (x, y) da; S S l(x, y) da -=;:= S S F (x, w1

Obse i"'vemos que la func ión

1'11

)) dQ.

' (x; y) !C:!!: P(x, y) - F1 (x, y) - F1 (x, y)

(1)

(2)

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 334 es nula d ondequ i e ra , excepto qu izá en l o s puntos que se encuent ran en la pa rte com ú n de los dom inios •, y •• En v ista de la Pégu l a r idad de los do � m inios •, ••Y •. o btenemo s (ver Pág. 331 ejem plo 3 ) :

SS"t (x, y)da =O. p.

De dond e , considerando las i gual dade s ( l ) y ( 2 ) , dem ostra m o s nuestro teorem a .

Observa c i6n l . E l teorem a 1 perm i te ca l c u l a r e l área d e u n dom in i o re.eula r cu'a l qu i era . • Designando esta á rea con e l s ím bo l o �fl t o btenern os , po r definic i6n

;i(x-;jf�

Existe la i ntegra l en el m iembro derec ho , ya que l a func i6n J , es evidentem ente continua en todo dorr. inio ce rrado 1� Si el do rri inio l@_l es un rectángu l o , obtenemos entonces pa ra su á rea el m i sm o va lor que en la defin i ci ón usual ( ver Pág. · 32 6 Ejetn_ pl o l ) . 2 . S i la fun c i6n / (x, Y ) e s continua y n o negativa en, un

Observac i 6n

dom in io regu la r (el entonces l os puntos (x, y, .1)�. pa ra los que(x,

y) se ha.l l e -

en el dom in io fl' y z satisfaga las des igual dades ·o ..; z<{(x, Jl. dete rm inarán un cue rpo . cuyo vo lum en d efinamos por la fórm u l a V==

s· � /(x, ,.r) •

llo•

Com o ante r i o rm ente ( Pág. 32 6 ) es fác i l convencerse que la definí c i6n ante r i or concuerda c on e l conce pto intu it ivo de vol u m e n . ,

Eje m p l o s .

4 . A pl i quem os e l teo rem a 2 en- l a eva l uac i6n d e la integra l de la fun c i6n , i (x, V), definida en el ejem plo de .la Pág . 331 . La recta � =- l d i v ide al. : rect�ngulo D en dos rectángul os que no poseen puntos interiores com unes. Des ignando con a l rectángulo de la izqu i e rda y con a l de l a de re - · c ha , ob.tenem o s :

p,:

p;.

5 . Des ignemos con ,e un pol ígono cua l qu i era cerrado y pa rtá m oslo a P b itra P i a m e nte en un núme ro fin ito de po l ígonos fll1 , ._, • • • , m.�

Hagam o s f (x, y} = C• dent ro de (l)• (k = 1 , 2,

...

, n), _donde �.l.' c . ,

...

; ·�,._ son

con stante s cual esquiePa . En las fronteras- de los pol ígonos de f in im os ':lna

func ión en foPma a Pb itra P ia , so l o i m pon i é n do l e la condic i6n de que sea a c ot a d a .

De a c u e Pdo con e! teoPem a 4 ( Pág. 331 )� la func i6n frx, )'}. e s integra ble el el po� fgono lttl F ina l m en t e , e l teoPema 2 hac e posible -evalu�r esta

integpal :

335

LA INTEGRAL DOBLE

5. C o n d i c i o n e s d e i n t e g r a b i l i d a d . Teorema sobre e1 va1 or m edi o. PaPa las func iones integrabl es en un dom in io(l)['legu l a r arb i tra rio, son vál idos teoremas análogos a l o s del Par . 2 ( Pag. 328 ) :

y · rp (x , y) , Te o r e m a 1 L a s u m a d e d o s f u n e i o n e s /(x, y ) i n t e g r a b 1 e s e n '..l n e' o n; i n i o r e g u l a r 0), e s t a rr1 b i é n i n t e g r a b l e e n e s t e d o r11 i n i o y •

S•S [/ (x, y) + ' (x, y )] da = S•S!(x: y) da + SwS ' (x, y) da.

Teo re m a

2 . E l p r o d u c t o d e u n a co·n a t a n t e C p o r u n a f u n c i 6 n

t n t e a r a b l e e n u n do m i n i o r a a u l a p d om i n i o

•

/(x, )') ,

ta m b t • n e a i n t e a r a b l e e n e s t e

�S c/(x,'y) da = c � S ! (x, y) da. Cll

. El teorema 3 del parágrafo 2 corresponde al 1 del 4 . Las dem ostra c ion es d e esto s teoremas s e obtienen fác i l m ente em p l ean do l a defin ic ión de la doble integral en un dom inio regular y los teo Pem as-: m enc ionados del pa rágpafo 2 . Obse rvac ión . S i l a s funciones f (x , y) Y (.X; Y ) son integrables e n un dom inio regulaP 9l_1 Y satisfacen en éi la de s igualdad /(x, y) e:;;;;q¡ (x,y), en -

tone es

� � /(x, y) da � � � !f (x, y) da. •

•

En efecto , de acuepdo con el teoPema 1 , la última desigual dad es equ i val ente a la des igua ldad.

S S [f (x, Y) -f (x, Y)] da � O •

•

De la d ifin ic ión m isma de la dob l e integPal , se deduce de inm ed iato que la integPal· de una función no negativa es n o n e g a t i v a .

PaPa una func ión de dos va Piables t iene l uga r el teoPem a sobr>e el va l o r> m edio, anál ogo al teor>ema an te r> i or>m ente dem ostr>ado sobpe el val o r> m edio pa pa el caso de una func ión de una var iable ( Pag . 2 ó5) :

Te o P e m a 3 . S i 1 a f u n e i ó n / (x, y) e s i n t e g P a b 1 e e n u n d o m i n i o c e P P a d O ,•h y s i s a t i s f a c e e n é l l a s d e s i g u a l d a des

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL.

336

m <./ (x, y) :s;¡;; M , entonces

m l w l � S S / (x, y) da ..=; M l w l. U)

En efecto , de las cond ic iones del teorema y de la última observación , se desprende que

S Sm da .;;; S S 1 (x, y) da ..=; S S M da, w

�

•

y en virtud del teo rem a 2 y de la defin ic ión de área de un dom in io, tene m os :

Obse rv� c ión . En forma anál oga a la definic ión de la Pag. 272 para una función de una variabl e , com o v a l o r m e d i o d e l a f u n c i ó n /(x, y), ir. tegrabl e en el dom inio •. , entenderemos el núm e ro

r.-r SS /(x, y) da. Ql

In tegral D o b l e en un Dom in i o c o m o Re i te ra c ión . Adm itamos que el dom inio regula!" • esté definido por las des igualdades 6;

a < x ..;;; b,

donde cp 1 (x) e n [a. b]

cp1 (x)

cp1 (x) <;y <; cp1 (x),

son func i ones c on t inua s

Fig. 56

( Fig. 56 ) . L lam aremos n o P m a l ( respecto a l eje OX ) a un dom inio en e� tas cond ic i ones. Sea D un Pectángulo cualquiera , determ inado por las des igualdades -

a .;;;; x ,.;;;;; b, a' �Y <. b' y que com prenda al dom inio • be

St la función /(x, y)es contfnua en el dom i ..; io • , entonce s , como se s�

� � /(x, y) da = S S F (x, y) da, D

•

donde

. {

F (x , y) =

/(.e, ;JI) �

en los puntos de dom inio .-; en los demás puntos del rectángulo

LA INTEGRAL ·DOBLE

337

Si l a x es constante , la funs ión F ( x,y ) , considerada como func ión so l o de la variable y, tenc rá no más de dos puntos de discontinuidad .

. Estos pueden ser solo los puntos P y Q en los que la recta trazada .. desde ·el punto x en el eje OX paral elam ente' al eje OY, intersecta la fron tera del dom in io •· Así pues , para cada x exi ste la integral b'

SP (x, y)dy.

De aqu í que , de acuerdo con la observac ión de la P ag . 3 3 0�. se deduce que b /JI

S S F (x; y) da = S { S' F(x,y)dy} dx. a

Tomando una x arbitra ria y hac iendo

Y1= rp, (x), Y1 = 1f1 (x) obtenemos : Y• F S F(x,y) dy+ S F(x, y)dy. dy+ y) F(x,y)dy= (x, S S

�

S F(x, y)dy= � F(x, y)dy.

Observemos además que pa ra l o tanto , 1!

y1 <; y E;;;; y1• tendremos F(x,y)=/ (.x, y) . Por -� (�

Y•

S F (x,y) dy= St(x,y) dy= lp,S(x)'/(x, y)dy.

�

De donde , en vir>tud de (1 ) y ( 2 ) , obtenemos finalmente .

SS •

t(x,

{'(X)

(S)

y)4a = S" t S t<x, Y> dy} "· ,. (x)

Observac ión . Puede hacerse un razonam iento análogo para un dom i n io normal' respecto al eje OY, definido por las de sigualdades

En este caso tenemos

d •• (y)

•• (y)

S /(x, y) dx} dy. �¡/ (x,y) da= � dy.¡., �(y)/-(x, y) dx= S {.¡.,"(y) m

(4)

Si es posible d ividir al dom in io • en un núm ero finito de dom inios nor mal es (1);; • . , . . . · • entonces ·

S•S l <x, Y> da= �U)•�t <x. Y> dó + S � J<x. y) da-+ w1

.••

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

338

PaPa el cálcu l o de las integt'a l e s en los dom inios empl ea P las f6Pm ulas ( 3 ) y (4 ) .

•

••

•.. ...

, basta

Ejem pl os:

l . Evalua P l a doble integPal d e l a func ión

1 (x, y) = r + xy + 2y1,

tomada en e l tP i¿ngulo D l i m itado pop los ejes d e coo Pdc nadas y po r la Pecta v = _: x + l . Corn o e s fác i l ve P , este tPiángulo es un dom inio noPmal defin ido las des i�ua ldaoe s

pop

O � x =s;;;;; l, O �y � 1 -x. P o r consiguiente

cp1 (x) = O, obtenem o s

cp (x) = 1 - x. 1

·-�

�� (x1 + xy + 2y1) da = i dx i (x1 + xy + 2y1) dy = D

t lx• ( l - x) + x ( 1 -; x)l + 2 (1 -; x)IJ dx = � · o

•

N uestPO t Piángul o puede tam b ién defini Pse por las desigualdades ·.

O �y � l , O � x � l -y. Al l ector le se Pá fác i l ver ificar que la integral 1

1-y

� dy � <r + xy + 2y1) dx

tiene el m ism o valor que el anteriorm ente calculado. 2. Calcular la íntegPal � � (2x + 3y + t ) dx dy un triángulo c on véPtices ( -l ,. -1 ) , ( 2 , -4 ) y (1 , 3 ) . m edio del integrando en e ste tPiángulo.

en un dom inio l im itado po r EncontPa P adem ti s el valoP

Establezcam os en prirn e P l uga r , por el m étodo conoc ido , las ecuacio nes de las pecta s que fopm an los lados del tPiángulo (las ecuac iones se muestran en la Fig. 5 7 ) . En seguida , poi' m eiiío de la Pecta x•l , dividimos co1 e l tPiángulo en dos dom inios nopm ales •. Y HubiePa pod ido u9 l iza rse la Pecta y = -1 ) . Com o ya sabem os , •

339

LA INTEGRAL DOBLE

Puesto que los dom inios . •. y 1 �· son noPm a l es , ca da una de las integrales del segundo m iem bpo puede � eva luarse como · el p poducto de dos integpa les , obte n iéndose

+1 = S fl-2xy -1

� � (2x.+ 3y + l ) dx dy = + 1 2%+1 � (2x + 3y + 1 ) dy = -1� dx-x-2 ly=2x+l dx =+s·1 (212 x + 9x - -¡3 dx = . + !.y• +Y =

-7x+ 10

)

� (2x + 3y + 1 ) dy � � (�x + 3y + t ) dx dy 1� dx -x-2 2 Y=-7x+ 10 = \2 (60x1 - 1 98x + 1 56) dx = - 1 . \ [2xy +2_y' +Yl Y = x-2 r r m1

y=-x-2

Anál ogam ente

Fig. 5 7

y por último

SS (2x + 3y + 1 ) dx dy = 3.

2x + 3y + 1 en el tPiáE Para encontraP el va loP m eo io de la - función gu lo m o strado, hay que dividir el va lor obtenido paPa la integral entPe el á rea del triángulo, la que com o es fá cil ver , es igual a 9. Obtenem os así 1 / 3 com o valoP m ed io. b)

3 . Ca lcular el á Pea del dom in io (1), l im ita do poP la parábol a y• = 2x y la cue rda que une los puntos ( 2 , -2 ) y ( 8 ,4 ) ( F i g . 58 ) .

L a recta x = 2 d ivide al dom inio ., en dos dom inios normales : e l do m inio 1 •,�· , d efinido po P las des i gualdades : y el

1 •. ,

, definido poP

Así pues

Y2i

SS dxd:� = SS dxdy+S S dx dy = �

l'!i

1111

..,.

S dx S dy + � dx S d.v = ( 2 Y2X dx+ S <Y2x - x + 4)dx=ts.

-l'!i

�;- 4

�

Puede calcula rse el á rea del dom inio • po r otro m étodo .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

340

En efecto , pueden conside Pa Pse este dom in io com u uu1•rnal y defin i do poi" las desigualdades

-2 <y < 4, �<x<y + 4.

PoP l o tanto

Fig. 58 4. Ca lcula P el gualdades

a pea del dom inio noPrn al co, defin ido poi" las desi

a <; x <; b, /1 (x ) < y </1 (x), donde /1 (x). ' /1 (x) .

son func ion es contfnuas en e l inte Pva l o

/1 (x) <f. (x) , s i endo

pa Pa las que se cum pl e la desigual dad ( ve P Pag . 313 1

[a, IJ],

a < x <b

Tenern os a quí:

PeP O

/a ('*)

J dy =/1 (x) -/, (x"·

fa(�

PoP consigu i ente

1 • 1 = S fl. (x) -/1 (x)] dx •

•

CalculaP el volum en de la esfepa

El plano OX Y coPta a esta esfe Pa según el c íPcu l o

x• +y• = r•, cuya inte PioPidad , incluyendo las fpontePas, des igna Pem os con (1). Corn o fácilm ente se ve, el h ern isfe Pio s ituado aPPiba del plano OX Y , es el con junto de todos los puntos ( x , y , z ) tal e s que el punto ( x , y ) se l oca l ice en el dom inio co, y z satisfaga la des i gualdad :

LA INTEGRAL DOBLE

341

O E;;; z E;; Y r' - x1 -y•.

En vi f"tud de nuestf'a c efin ición de vol úm en ( tJag.3 34, obtenemos papa el volum en buscado de toda la esfe r>a +r

V = 2 � � V r• - x• -y• da = 2 � dx -r

+Yr• - x•

�

_y.,.-:=¡;

Vr• -x• -y*dy.

Al im:: e gPa i" I"especto é y , d eher>á tom a r>se á x com o constante . sible intf'oduc i f' una nueva va r> iab l e con la substituc ión cp

Y = V r• Entonces

+Y� - �

P o r> lo tanto

-Y� - �

.·

dy = V r•

x• sin cp,

V r• - x• - y•dy =

Es po -

x• cos lll dCD.

+�

S (r 1 - x 1) cos 1 cp dcp = i (r1 - x1 ).

-2 X

V= 2

S i (r1 - x1) dx = } 11'r1•

-r

6. Cal cula!" el volumen de la pa r>te común de dos c i l ind Pos c i r>cula r>es d e i gual I"adi o , cuyos ejes se CO I"tan pef'pend icular>m ente . Tom emos los ejes de estos c il indr>os como ejes coo r>ctenados OZ y O Y

S u s ecuaciones podr>án entonces esc P i b i i"se

La paf'te com ún de estos c i l ind r>os se define , com o se sabe , PO I" las <!_e sigualdades x'

+ y• <; r1 , x' + z' E;;; r'.

Dado que no es fácil r>epr>esentar> o bosque.ia f' esta peg ión , se I"azonar>á de la sigu i ente m anef'a : Este dom inio es sim étPico r>especto al _plano O X Y . Ba sta f'á entonces cal cula P el vol u m en de su m i tad super>ior>, def in ida poP las desigualdades

x• + v• <; r', x•

+ z' =r;;;; r•, z � o.

Designem os con (X0, Y0) un c i erto sistema de núm e !"os. que satisfagan a la pr>im e r>a de estas desigualdades. PaPa qu e el punto (x0 , Y0, ;t) se l ocal i -

ce en l a m itad supePiOI' conside r>ada , ser>á n ecesa r>io y sufic iente que

O E;;; z E; V r•

x:.

Por> con siguiente , esta m itad su pe r>ior coin c ide con el con -

�ALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

342

junto de todos los puntos ( x,y,z ) tal es que ( x , y·) se encuentre en el c írculo

x' +y• =ñ r•,

y z satisfaga las condiciones anteriores .

Designando

con t•

x• +.Y..• = r• incluyendo su fronte ra , ohtendre la inte rioridad del c írculo mos para el volumen de toda la parte común de nuestros c i l indros , la inte gral . V= 2

Cl)

+ Yr• -Jtl

� dx � Yfi='ild.Y = 2 � 2 (r1 - x1) x'] +� = 316 r . 4 [r1x - 3 -r

=2 =

� � Yfi='ildxdy = -- Y�

-r

.- r·

•

dx =

PROBLEMAS

l o Calcular las integl"ales dobles

sigu iente s :

SS cos•yda en el cuadrado O x i• O<y< � .

a) Respuesta ' b)

:!..

16 .

normal definido por l a s desigualdades SSv4+ x +y ;o e n u n dom inio O c; y c;5 0tS;x<5- y. 56

Respuesta

n·

Respuesta

-} a•.

x � e ) i yá* - •- ya en un dom in io normal de fin ido por las des igual dades O < x <a. � <y.¡; �. SS vcOS*y+ i*stn•y do en el re stángulo

d) Respuesta e)

y la

j-.

l im itado po r el eje OX � . la recta SS y.,. � �do en el tr iángulo .

re�ta

Respuesta urt

' ' = -¡; x; r. > O, a > O.

2 . Establecer, por m edio d e integrares dobles, las f6rm ulas conocidas para las áreas d e : a ) un triángulo: b ) un tra pec io : e ) un sector c i rcular y d ) una el i pse .

3. Por m edio de la transformac i6n de una dob l e integral en una inte gral reiterada , dem ostra r que : a)

•

� dx �� /(x,y) dy= o� dy � /(x, y)á

para una funci6n c ual qui era f ( x , y ) continua en el triángulo l im i tado po r las rectas (a > O);

y=O. x=a. y=x

LA INTEGRAL DOBLE

} J

dJc

Yo•- �

/(JC, y) • =

Y .. -�

J J ,,

343

/(JC, y) b

pa ra una funci6n cua l qu i e pa f ( x , y ) conti nua en el pPim e-r cuad -rante del c i� �_+yt = a.

culo

Dem ostra P g u e el vol um en de u n segm ento esfé-rico s e exp-resa

po p la fórm u l a

donde P e s el -rad i o d � la esfePa y w la altu -ra del segm ento .

Calcula-r el volum en d e l cue -rpo l im itado poP el pa -raboloide e l ípti

•=;+t

y el plano

• = k (k > O).

Respuesta

6. Las cooroenadas del cent:ro de g-ravedad de un dom i n io �)lano o> c on una m asa unifo pm em ente dist-rihu ida . son l os v!J lo-res m ed i os de las fun c i on es x ,y ; es dec i -r Dete-rm ina p l a s coo Pd�m�das del cefltPo de g-ra v edad de : a ) el sem ic f-rr.ul o

F.+,.< ,a,. , ;;;. O;

el tPtángulo del cjern tl l O 2 ( Pá�. 338 )

Respuesta a '

(o, aa); .;

( : : :) -

CAPI'I1JLO XXI LA INTBGilAL a.JR'VtLINEA P DE LINEA l . A r e o S i m p l e . Adm itamos que las funciones x =f(t), Y = , (t), z = � (t) (a <: t < b)

(1)

son cont inuas en el intervalo [a, bJ. . Al conjunto de todos los puntos del espac io, cuyas coordenadas (x, y, z� coPPespo nden a uno y al m ismo va loP de la vaPiable t se l e l lama a r e o s i m p 1 e ( o abre viadam ente a PeoJ a 1 o s difePentes valoPes del paPámetro t coPPespon si den diferentes puntos, o en otPas palabras si las igualdades ·

1 (t') =1 (f') , ' (t') =' (f'), t (t') = t (f')

impl i can que t' = t".

L os puntos A, B, coPPesponúientes a los valoPes extePnos a, b del parám etro t se denom inan ext:l"emos del arco . Se dice que un aPeo tal une l os puntos A y B ( Fig. 59 J . Un a Peo s im ple s e desiana tam bién por el sfm bolo A8. ·- s 11 ·

La Pepresentac i6n paPam étrica de un a rco sim ple poP medio de las funci ones que sati sfagan las condicio nes apriba anotadas, se llama n o r m a 1 •

Eje m plos :

¡V · Fi1. 59

Son a rcos sim ples : a) un segmento ; b ) una l ínea quebrada AA1A, . · . A• . sian ppe que los segm entos contiguos tengan un solo punto común y que los qlle no l o sean no tengan punto común alguno; e ) un a Peo de ciPcunfe Penc ia corPe s pond iente a un ángulo centPal ex, , donde O < ex < 2n) ; y d ) la

gráfica de una función continua y ::= f(x) , en el intePvalo [a, bJ .

En el ca -

so d ) , el aPeo paramétricamente se reppesenta así: x = t, y = f(t), z = O (a <: t <:b)

Teniendo una repPesen tac ión pa pam étrica noPmal cualquiePa de un a rco sim ple, podemos obtener de ella un conjunto infinito de otras peppe sentaciones. Basta pal"a ello toma!" una func ión contínua aPbítl"aPia t = ex (s)

estl"ictam ente monótona en un c iePto intervalo [a', b'] y que tome los valo res a, b en los extPernos de este intePvalo. Las nuevas Peppesentac iones papamétricas sePán x =f[ex (s)] = f1 (s) , Y = !p [ex (s)] = !f11 (s), z == � [ex (s)] = �� (s) (a' .¡¡¡; 6 .;;;; b') .

·LA INTEGRAL ;DE UNEA Si en el careo AB se considera una di recci6n dete rm inada , es de c i r , si tornamos al punto A como princ ipio y al B como fina l , se presen tarán entonces dos posibil idades : al punto A corresponde el val o r t == a, o b ien t = b. d el parámetro t. En el pr imer caso , d i remos que la repre sentación param étrica e o n e u e r" d a con la di rección escogida y que en el segundo , n o e o n e u e r d a . Si la representac ión no concuerda con la di recc ión escog ida , entonces, hac imdo t = - s, , obtendremos l a representac ión concordante : x =f ( - s) = /1 (s) , y = cp ( - s) = cp 1 (s), z = � ( - s) = �1 (s) (- b :s;;;;; s � - a) .

Ejem plos : l . Obtenemos la representac ión normal del segm ento que une los puntos

A (x. , Y1, Z1 )

y B (x ., .Y;."'z. ) , hac iendo , po r ejem plo x = x1 + (x1 - x. ) i, Y = Y1 + <Y. -Ys ) t, z = z. + (z1 - Z1) t

para O � t .;;;; 1 . . Esta representac ión concuerda con la d i recc ión de A á B .

2. Obtenemos la Pepresentac ión noPmal de l a m itad s u perior de l a -

e l i pse

escrib iendo x = a cos t, Y = b sin t, z = O

para O e;;;;; t � rr ejem plo t = s•

•

Obtenern os otra representación normal haciendo , po r , y po r lo tanto ,

x = a cos s• , y = b sin s•, z = Ó,

2. I n t e g r a l d e L f n e a a l o L a r g o d e u n -

que el a rco sim pl e AB

A r c o . Adm itamos .

está dado por la representac ión normal

x = / (t), y = cp (t), z = � (t) (a � t ,.¡;;,; b)

(¡) y además, que la func ión ( 1 ) tiene der ivada s c on � inua s en el intervalo . Tom emos en el a peo la d i recc ión de A hac ia B y s u pongam os [a, bJ . que la repPe sentac íón pa ram étrica ( 1 ) concuerda con la di recc ión esco gida . Sea P (x, y, z) una func ión definida y c;? Ontinua en todos los puntos del aPCO

Formem os una co rtadura cua l qu ie ra del intervalo [a, bJ:

y designem os con to = a < t 1 < t. < los extremos de l os segm entos A!.. A.t., que const ituyen esta co rtaduPa . Tom em os en cada uno de estos segm entos un punto aPbitPa rio Sean J

• ••

a . , a.,'t � . .

346

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Form e m os

la suma

(1)

O= P (�1, 7¡1, C1) (x1 - x0) + P (�1, 7¡1, C,) (x. - x1) + . . . Hac i endo F (t) = P if (t) , !f (t), � ( t)], esc r i bamos la suma ( 1 ) com o 0 = F (�1) [/(t1 ) -/ (t0)] + F (�1) 1/ (t1) -/(t1)] + . . .

(2 )

� -:-: �·>. � � : -. �

(3)

}

De acuerdo con e l teorema sobre el va l o r m ed io . existen t)untos ��. ��. para los c ua l es tienen l uga r las s igu iente$ igua l dAdes :

Hagamos

� �· � �·

t<t,> -t<tJ =r < �;> <t. - t.> <t. < �; < t, > , (t:) < ; ) t· t. (t: >: . . . .

E\ntonces . en virtud r.le ( 2 ) , obtenem os O= U + R.

d on d e

(4)

o· = F (�;)f (�;) At1 + F <�;)f (�; ) At, +

R = a¡/' (�;) At, + •J (�;) At1 +

Si se d e s i ?.na ahora con '1

. . .,

. . •

a l mayor d e l os nOn1 eros

y con M al �al o r máximo de lá fun c ión ton ces

(5)

l a. ¡, 1 •, 1, · · · •

lf (t) l. en el i nt9rvo l o [a, b],

I R I < MJ¡At1 + MY¡At. + . . . = MY¡ (b - a) .

(6)

Tom emos upa secuenc ia normal a rb itra r ia {l,.}, de cortaduras y ae {O,.} la secuencio de l a s StJmas corre s : JOn<t ien tes , forrrté!_

s \ �nem os con

das anál ogam ente o la suma G. De acuerdo con ( 4 ) , pa ra �na d ef i n i c ión aná loga de las sumas o� �-� R,. tendrem os : ·

O,. = O:. + R,..

(7)

1 R,. l < MlJ. (b - a),

(8)

y . de acuerdo c on ( 6 )

11m a. =

.... QO

•

S F (t) f (t) dt

•

En virtud de la continuiaad un iforme de la función F (t) ( B ) . lim R,. = O.� Por lo tanto

= 0, y �or con siguiente , de um o. =

.... QO

•

. ... QD

•

tendrem os lim Jj,.

S F (t>r (tJ dt = S PV<t>. , (t), t (t)]f (t) dt.

•

......

(9)

El 1 (m ite de la secuencia {O,.} se i lama i n t e g r a l de l ínea de l a función P(x, �. •>· tomada a lo largo del careo AB en la d irección de A a B . s e destana con e l símbolo (10)

LA INTEGRAL DE LINEA

347

Así pues, obtenemos la fórmula 6

S P(x, y, •> ü = S Pfl(t), tp (t), � <t>Jr <t) dt

•

(tt)

O b a e r v a c t e n l . P u e d e d e m o e t r a r e e C o m i U m o a la d e m o a t ra c t G n )

que el valor de la integral de l ínea ( l O ) no depende de la representación param6trica (1 } siem pre que e§ta concuerde con la d i recc i ón escogida en el arco. En otras palabras, si el a rco AB se d iera a tra v�s de otra re presentación normal que tam b i én concordara con la d irecc ión escogida , . p roced iendo entonces de una manera anál oga , obtendPfamos el m i sm o va lor para la integral ( l O )

O b s e r v a e i o n 2 . S i e n el a rco s e toma l a d i recc ión d e B á A , e n tonces , como se sabe , la Pepresentac i 6n

(- b < .s < - a)

x =/(- s), .Y = tp (- s), • =� H-s) es una Pepl"esentac ión norma l del a rco c i6n de B á A . De este m odo

ÁB,

q u e concue rda COQ l a d i rae_9

-·

S P(x, y, •) d.% = S Pfl(-s), tp {- s), t (- s)][-r (- s)] d.s.

-•

Haciendo s :=i: ._ t,

obtenemos •

P (z, y, .e) u = - P V<t>, tp (l), � <t>Jr <t) dt.

Por lo tanto

P (x, y, . .t) dz = - S P (x, y, a) dz. .o

(12)

O b s e r v a e i ó n 3 . Si en el a rco AB tomamos un punto arb itrara io C , corarespondiente a l valor del parám etrao t = c (a < c < b) , , entonces f:

( P(x, y, •> ttx = S Pfl(t), , (t), � (t>Jr (t) dt, • ñ

l P(x, y,

•> t�x =

•

J P[f (t), , (t), t <t>Jr (t) dt.

348

CALCULO DIFERENCIAL .E INTEGRAL P o r consiguiente , en v i rtud de ( 1 1 )

S P (x, Y, z) d�= S P(x, y, z) dx+ S P(x, y, z) dx.

Á]

�

éiJ

Obse rvae ió n 4 En la fopma análoga se definen l as integrales de l ínea simbol izadas po r .

S P(x, y, z).dz.

l P (x, y, z) dy,

Á]

Pa ra esta s integrales se verifican las s i gu ientes relac iones : b

S P(x, y, z) dy= S P [/(t), !p (t), � (t)] f' (t)dt,

•

S P(x, y, z) dz = S P[/(t), 'P (t), � (t)]�' (t) dt.

Ejem pl o s :

� (x' +y' ) dy

l . Ca lcula P la integral

x=rcos t, .Y=rsln t, z=at desde A (r, o, O) hasta B (r, o, 2wa) . .

a l o la rgo del arco de la hél ice (O

..; t ..; 2w)

Substitu im os esta in tegPal po r una integral defin ida ordina ria , toman do en cuenta que t!1. dt

= r eos t.

De esta mane ra

S ex• +y'> dy = S r• cos t dt = o

Obten emos análogam ente

•

S <x' + Y)dx = S -r' slnt dt==O

•

S (r +y') dz = J r•a dt = 2wr'a.

2. Calcular la integral

� xdy

a lo lapgo d el arco

x=acos t, y=asln t en la di recc ión cont raria a la d� la re pre sentac ión pa ram étr ica Tenemos aqu f

J x dy= - S acos t·acos t dt= - � . •

349

LA INTEGRAL DE UNEA

d e L ín e a a l o L a p g o d e u n a

3. I n t e g r a l

C u P va APbi -

t r a r i a . Adm itamos que la cuPva C está fopmada po P un núm e Po fin ito de arcos s i m pl es .AA� ' A;A•. • A:A.. . . . ( Fig. 60 ) . Escojam os en estos a Peos d i Pecc iones tales que un punto que sea extPemo de dos aPeos con secuti vos . sea PPinc ipio de uno y final • : Ciel otPo . Adm itamos po p ej m pl que hemos Pela

kfA,A,

: :

Las d i cionado las di Pece iones AA1, A1A1 , recc íones de e stos arcos nos definen una c i ePta d i Pec es definida c ión en la cuPva . S i la func ión A y contínua en todos los puntos de la cu Pva C, entende 1 remos entonc es como i n t e g r a l de l ín e a de Fi � . 60 la func ión según la CUPVa e ( en una " diPecc ión escogida ) , la suma de las integpales a lo lapgo de cada aPeo en paPticulaP + • • • •

...,

•

P(�. y, z)

P (x, y,z)

Asr pue s , po p defin ic ión

S P (x, y, z) dx= S P (x, y , z) dx+ S P(x, y, z) dx+ AA,

A-;')11

. •

�

Sea una cuPva dada po P la PepPesentac i6n papam étrica

x=f (t), y= cp (t) , z=� (t)

(a <: t ..;;;; b) .

Adm itam os que en los intervalos (a, a1), (a1 , a.), . . . (a<a1<a. < <b) estas funciones son continuas , que poseen derivadas continuas l unilate

ral es en l os e xtremos ) , y que además estas func iones , c onside:Padas en

. . •

(a. , a,), · · · • (al , a.), dan representaciones norma los intervalos (a,-al ) , l es de l os arcosAA1, A1 A1, A1A, , , concordantes con las direcc i ones se l eQ. cionadas. Es fác il observar que bajo tales suposic iones , tendremos : • • •

S P(x, y, z) dx = S P[/(t), cp (t), !JI (t)]f (t) dt.

•

Si en los puntos al, a., . . . no existe la dePivada interpretarse e sta integral en el sent ido im propio .

f' (t)

debe rá

Caben observac iones análogas para las integra l es + Obviam ente , bajo la cond i ción que l a s integrales en cada uno de estos a rcos existan .

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

350

!- P(x,y, z) dy, S P (x, y, z) dz.

Ej em p l o s . l . Ca lcular la integPal

� <x+ 2y -z) dx

a lo laPgo de una l fnea quebrada que una los puntos A (0,.

O, 0) , C ( 1 , O, 0) , 8 ( 1 , 1 , 1 )

Según l o anterior. es necesaPio eva l ua r la integral en e l segm ento de A á C y enseguida en el segm ento de C á B , sumando l os Pesu l tádos obte n idos.

Y= z=O, l a integral -

Dado que a lo laPgo del segm ento AC tene m os pPirn ePa será entonces una integral definida oPd inaria :

S (x+ 2y -z) dx= S xdx={ . O

La segunda integral es igual a cero . ya que x es constante en el seg m ento CB . 2 . Calcular la integPal .

S (x• +y)dx

B (O ,

1) ; d esde el punto A ( O, O)hasta el punto a ) a l o laPgo del ·segmento que une estos puntos ; b ) a lo l a Pgo de la cuPva foPmada poP el segm ento AC que une el punto A con el punto C (l , po r el aPeo m enoP de una c i PcunfePenc ia un itaP ia que una los puntosC y B ; e ) a l o la Pgo d e la l ínea quebPada A B C .

O).·Y ·

el caso b ) . tenem os :

S (x• +y)dx= S (x1 +y) dx+ S (x1 +y)dx.

AC.

La PPim e pa integpal es una integPal definida o PdinaPia , ya que y • O en Calculamos l a segunoa integPal hac iendo x = cos t, y = sln t

de donde

351

LA INTEGRAL DE UNEA ¡¡¡ dx As í pues

= - sln t. 1

r <x• +y> dx= x• dx= o ic

l Cxi +y)dx= - j De aqu í que

t + sin t) sin tdt = - (-i + }) .

(cos1

J (x1 +y) dx= - -i .

En el caso e ) , d e acuePúO con lo antePioP

J (x• + y) dx= -} .

calculaP l a in tegpal en el segmento CB , a pl icam o s la P e ,,resenta paPamétPica .

PaPa c i ón

Obtenemos

x= l·- t. y, = t

(O � t � 1 ).

S (x• +y) dx= - S [(1 - t)1 + t]dt = - �.6

�

De esta mane Pa , en este caso

El t Pa ba jo Com o una 1n L egPa l d e L í ea n

•

Corno se sabe

S l un punto m a teP i a l se despla za pectilfneamente desde el punto A (x 1, Y 1 , Z 1)

hasta el B (x., Y1, z1) bajo la acción de una fuePza constante fJ , paPalela al eje OX . el tPabajo Pealizado poP esta fuePza se expr>esaP,á eatonces por> la fó pm ula Supongamos a hor>a que las func iones ( 1 ) ( Pág.3451 d e sc r> i b en e l moví m iento de un cueppo material a lo lar>go de la curva ( C ) . Supongamos adem á s que durante el movimiento, el punto expe r im enta la acc ión de u n a fuer>za que permanece pa pa l.e l a al eje OX , aunque va ri an d o e n magn i -

352

CALCULO . DIFERENCIAL E INTEGRAL

tuo. oea que P (x, y, z) designe et. m 6dulo de esta fuerza en el punto (x, y; z), qué ae halla en la curva ( C ) . Formemos una cortadura a rb itraria � del segm ento [a, bf

con los puntos a < t. < t. < . � . , a los que en la -

curva corresponden los puntos A,, A 1� 1'- A1 , pectivamente (x, , y,, Z,0) , (x1, y1, Z1) ,

• • •

cuyas coo:rdenadas son res -

• • •

Las expresiones

,r epresentan los trabajos efectuados en los segmentos A0A1, A 1 A1, por las fuerzas constantes P (x0 , y0, z0) � P (x1, lJ• z1) , respectivam e_!! te . • • • ,

• • •

De esta manera, a la suma O = P (x,, y0 ,_ z0) (x1 - x0) + P (x1, y1 ,_ Z1) (x1 - x1) + . . . Puede considerársele como un valor aproximado del t rabajo Peal izado por la fuerza operante . Dado que para cada secuencia normal . {�,.}

de cortadura la secuen -

cia corFespondiente {O,.} de l�s sum as tiende a la integral de l ínea

� P (x, y, 1) dX;

entonces, intuitivamente , diremos que la anter ior integral da la magnitud del trabajo realiZado por la fuerza variable P (x, y, e) a lo largo de la cur_ va e . Observaci6n. Si la fuerza variable lo e s en módulo y en direcci6n , designando entonces con P (x, y , e), Q (x, y, z)� R (x, y, z) sus proyecciones sobre los ejes coordenados, d�terfllinamos· el trabajo realizado por la fuerza a lo larao de la curva e, por m edio de la f6rmula L=:=�

�

P (x, y, e) dx +

Q (x, y, e) dy + R (x, y, z) dz.

Usualmente, se escribe en la forma abreviada siguiente :

L = P (x, y, e) dx + Q (x, y, z) dy + R (x, y, z) dz.

353

LA INTEGRAL DE UNEA Ejem p l o .

Cal cular e l trabajo efectuado por una fue rza constante tanto en m agn i tud com o en d i recc ión , poP ejem pl o la fuePza debida a la gPavedad , al desplazaPse un punto a l o laPgo de una curva dada . Hac iendo coin c idiP la diPección pos itiva del eje ;oz con La d iPecc ión de la fuerza ( l o que es siem pre pos ibl e , escog iendo convenien tem ente el sistema de cooPdenadas ) tendPem os :

P (.x, y, z) = Q (x , y, z) = O,

donde e es una constante positiva .

R (x, y , z) = c,

Si la cuPva esta dada en foPQ"la pa Pam étPica X .

f (t), Y = Cf (t),

= � (t)

(et =s:;;; t < �),

y el movim iento tiene luga P en una d i Pecc ión concoPdante con esta Pe pPe sentac ión paPam étPica, obtendPemos ·entonces fi

L = � c dz = � c�' (t) dt = c [cJ¡ (�) - � (et)]. e

Designado el PPinc ipio y el fín de la curva con (x1, y1, z1) y encontramos

(x., Y. , z.),

L = c (z1 - z1) . Vemos, que en este caso, el trabajo no depende de la tPayecto Pia , si no únicam ente d e la d ifePencia de n iveles m edidos según el eje OZ � 5 . e u r v a e e P P a d a . Una cuPva fopmaqa poP dos arcos sim ple.s que posean solo extPem os comunes, se denom ina c u P v a c e P P a d a sim pl e .

Tal es son , poP ejem plo , la ci rcunfe Penc ia , la elipse, el triángulo , el pol fgono, etc . Una cuPva ce PPada simple puede da pse tam bién pop medio de una re ·ppesentac ión pa ramétrica : ·

x =/(t) , Y = !f (t), z = � (t), en la que l as func iones sigu ientes condic iones

/ (t), !f (t);'"cJ¡ (t)

1) 1 (a) = 1 (b),

t', t"

{1 )

son continuas y satisfacen las -

cp (a) = cp (b) ,

2 ) si para dos va lores d istintos

(a < t <: b),

!JI (a) = !JI (b);

del parám etro se cum ple

CALCULO -DIFERENCIAL E INTEGRAL f (t' ) = / (t"), cp (t') == cp (f'), � (t' ) = � (t"),

ento nces

t' = a, t" = b , ¿o bien t' = b, t = a "

En otras palabras, en la representac ión ( 1 ) , a cada punto de la curva , con exclusión de uno de ellos , corresponde sol o un valor del parámetro . Al punto excluido, le corresponden dos val ores del parám e tro t, a saber t -::!1= a y A una representac ión hecha con func iones que po t=b sean las propiedad es indicada s , se le llama n o p m a l . .

•

Consideremos algunas propiedades im po r>tantes de las curvas cePP2 das sim pl es planas .

a ) . Cada curva de este tipo di vide al plano en dos dom inios , de los cuales, uno { l im itado ) m se l lama dom inio interior de la curva C , y el segundo ( i l im itado ) tú' se l lama dom inio exterior de la curva C , l a curva C e s l a frontera de l os dom in ios co, co ' . •

b ) . Dos puntos cualesquiera del dom inio Ol (o dos cual esquiera del (1)') pueden un irse por una l ínea quebrada que no posea puntos c o m unes con l a cu rva C .

e ) . Cada arco simple, uno de cuyos extremos se hal l e Ol' , , corta a la cur en e l dom in io Ol , y e l otro en va C. Fác i l m ente verificará el l ector en una forma int ituiva estas propi edades para la circunferencia , el triángulo y el pol ígono. En el caso general , su dem ostración es com pleja , por l o que la om iti rem os .

Fig. 61 En una curva C pueden escoge rse dos direcc i ones. Si la curva C. es plana , a una de e llas se le l lama i z q u i e P d a y a la otra d e P e e h a . Suponi endo que , con exclusión de algunos puntos , la curva C posea tan gente , es entonces posible caracte riza r la d i recc ión izqu ierda de la si guiente manera .

En un punto arbitrario M de nuestra cur va trazamos el segm ento MB perpend icular a la tangente en este punto , encontrándose este segm ento (excepto el punto M ) totalm ente dentro del dom inio lim itado por la curva ( Fig. 6l ) . Si el vector MB forma con la di rección de la tangente ( que con "'

cuerda con la de la curva ) un afígulo

+-i ,

enton ces la d i recc ión escQ.

gida en la cu rva será izqu ierda . La con ven ienc ia de esta di recc.ión con siste que al avanza r a lo la rgo de la cu rva en la dire�ci6n izqu i e rda , tendremos un dom in io l im itado po r la curva por el lado izquierdo . Si la cu rva C está dada po r una repPeseñtac ión noPmal , esta repre sentación puede ser entonces concordante o no concordante con la d irec c ión tomada en la cu rva . S i la direcc ión es no conco Pdante con la diPe.f c ión adoptada , entonces , haciendo t = - s, obtendremos una Pepresenta c ión concoPdante ( ver Pag. 345 .)

LA INTEGRAL · nE LINEA

355

Ejem plos . l . Hac iendo x = a cos t,

Y = b sin t

( O � t � 21T),

obtenemos la representación param étrica normal de la el i pse :

concordante con la dirección i zquierda . en

2 . L a representación normal param étrica del cuadrado con vértices (O, O), (1 , O), (1 , 1 ), (O, t ) puede da rse por ejem plo, así x = t,

y=o y=t_ 1

pa ra o � t � 1 ; para 1 � t � 2; para 2 � t � 3 ; x = 3 - t, y = t x = O, y = 4 - t pa ra 3 � t � 4 . x= 1,

Es fác il verificar que las funciones de este m odo definidas X =:= / (t) , Y = Cf (t)

son continuas en el intervalo (O, 4] y que satisfacen las condiciones 1 ) y 2 ) . Cuando t c rece de cero a cuatro, el punto (/ (t), cp (t)) reco r re el cua d rado en la direcc ión izqu ierda pasando por cada punto solo u na vez ( con exclusión del punto

(O , 0)).

Substituyendo en estos ejem plos á t por - s obtenemos rep resentac io .-. nes normales concordantes con la dirección derecha . 6. I n t e g r a l d e L ín e a a l o L a r g o d e u n a C u r v a C e r r a d a . Adm i tamos que la curva cerrada simple C está dada por la represen tación paramétrica normal X =/ (t), Y = 'f (t) ,

z = � (t),

a � t :s;;. IJ.

Supongamos que en los intervalos (a, a 1),

(a1 , a1), • • • [a < a1 < a1 <

. . .

<b]

las funciones dadas poseen deri vadas continuas ( unilaterales en los ex tremos ). Si la función P (x, y, z) es definida y contfnua en l os puntos de la curva C, entonces de acuerdo con el parágrafo 3 b

� P (x, y, z) dx =± J P[l(f), �p (t), tJ¡ (t)]/' (t) dt;

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

356

dependiendo el signo de que la integi'al se tom e concoi'dantem ente con la I'epi'esentac ión pa r>amétr>ica de la cur>va C o en la di i'ecc ión contr>ar>ia .

Si en la cur>va tomamos dos puntos ar>bitr>a r>ios A y B { Fig, 62 ) , en ton ces, haci endo que los ar>cos .GEJ y s"';A tengan dir>ecc iones concor>dantes : con la di r>ección escogida en la cur>va � podr>á escr>ibi r>se

� P (x, v, z) dx

� P (x, y, z) dx + S P (x, y, z) dx.

A";;B

BnA

7. I n t e g i' t l e s d e L ín e a a l o L a i' g o d e e U r V a S P l a n a S C e I' r·a d a S Sean C., C. dos curvas cerradas planas cuya parte común sea solo el a rco sim t>le AB { Fig, 63 ) . Adm itam os ade más que los dom inios inte rior>es (1)• y O>.� l im itados poi' las curvas C 1 y c., no poseen puntos comunes. Supongamos que la curva e, esté formada por l os arcos l1 y AB, .Y la c. poi' L. y AB Los a rcos L1 y L1 forman una curva cerrada sim ple C,1 que limJ. ta al dom inio CJ), , el que a su vez contiene a los dom inios fl)1 y eo.. Si en las curvas e, y e; se el i ge l a dirección izqu ieroa , las di recciones de los arcos L. y L, en e serán concondantes con su di recci6n izqu ier>da . Puesto que el a rco AB tiene en las cui'vas C, , c. dir>ecc iones cont raria s , ent, nces •

Fig 62 ,

F i g , 63

Poi' cons iguiente ,

•

� P (x, y) dx = � P (x, y) dx + � P (x, y) dx, � P (x, y) dx = ( P (x, y) dx + � P (x, y) dx. C,

C•

�

As{ que

� P (x, y) dx = � P (x, y) dx + � P (x, y) dx.

�

Adm itamos que la frontel'a e del dom in io O> está formada por varias cur>vas cerradas sim ples é1 , c. , c., ( Fig, 64) Se llam a rá d irecci6n iz - quierda d e la cui'va e1 respecto a l dom inio (1) a la dirección tal , que al . . .

recorrer la cur>va e l tengamos al dominio

•

a la izqu ierda . As{ pues , la

direcc ión izquierda r>especto a un dom inio , depende de que éste se halle dentr>o o fue r>a de la curva cer>r>ada dada . Por ejemplo, para un dom inio com pr>endido dentr>o de dos c i rcuilfer>encias concéntricas , la

LA INTEGRAL DE LINEA

357

diPección izqu iePda Pespecto 91 dom inio en la ciPcunfePencia intePioP, s� Pá contPaPia a la di Pección izquiePda a la ciPcunfepencia extePioP. En fopma análoga se define la di Pecc i6n izqu iePda Pes pecto a (1) en las :: CUPVaS C , C1, 1 • • •

t.:1 , c.., . · · di Pecc ión izquiePda

Torr, emos en cada una de las cuPvas Pespecto a ·{1}

Se l lama entonces integPal de l ínea to mada a lo laPgO de la fpontePa C en la diPeC c i6n izqu i ePda , a la suma de las integPales tomadas a lo laPgO de las CU PVaS C1 , C1 , .( en la di Pecci6n izquierda Pespecto a ot • •

� P (x, y) dx =

= � P (x, y) dx + � P (x,y) dx + . . . e,

Fig. 64

ConsidePem os el sigu iente teoPema :

S i un dom in io e e PPado (1) es la suma de dos dom inios ce PPados •1 , •. , que no poseen entPe sf puntos inte PioPes comunes, entonces, suponiendo que las coPPespondi entes fPontePas C , CJ I_ 'C, estén constituídas poP un núm ePo fin ito de cupvas sim pl es cePPadas ( Fig. 65 ) , podPá escPibiPse

(' P (x, y) dx = ) P (x, y) dx + l P (x, y) dx.

�

L a s i n t e g Pa l e s s e t o m an en una m i s m a d i Pe c c i 6n P e s p e e t o a 1 d o m i n i o . Esta última Pelación es claPa intu itivam en te, si obse Pvamos que cuando un ciePto aPeo pePtenece il o-, entonces o pePtenece so lo c ., o solo C� con la m isma diPecci6n que en C; si poP el contPaPio, un c ierto aPeo, no pePteneciente a C, pePtenece a C1, pePte necePá necesaPiam ente a c. , pePo con diPecci6n contPaPia en c •.

8. T e o P e m a ( F 6 P m u l a ) d e G P e e n . Sea un dom inio noPmal definido poP las d� (1) a sigualdade s : Fig. 65

11 (x) < Y <1, (x),

donde l1 (x) Y t. (x) s o n f u n c i o n e s c o n t i n u a s e n [a, b] . Sea P (x, y ) , u n a f u n c i ó n d a d a d e f i n i d a y c o n t fn u a t a n t o e n e l (1). i n t e P i o P e o m o e n 1 a f P o n. t e P a d e 1 d o m i n i o S u p oE gam os

iJP

es acotada y contfnua ad em á s qu e 1 a d e P i vada ;¡¡en todo punto intePioP del dom in io •· . Tiene lugar entonces la si guiente relac ión

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

. 358

S P (x, y) dX = - ss;: da, e

(1)

donde C es la fponte pa del dom inio Pección izqui e Pda . Oem o st Pa e i6n .

(1)

y la integPal se toma en la�i -

Es fác i l veP ( obsePvación 2 . Pag . 347 ) que b

� P (x, y) dx = � P [x, t1 (x)] dx - S P [x, t, (x)] dx, a

ss :; tu

/a(X)

ya oue

da =

b fa (x)

s s :: dxdy . a /1 (x)

J :; dy = P[x, t, {x)] - P [x, /1 (x)]

/¡{x) .

entonces

.lUIH a < x < b,

SS:: da = s{[P(x, t. (x)] - P [x, tl (x)J} dx. •

(2 )

{3)

Igualando ( 2 ) y (3 ) , obtenemos :

S P (x, y) dx = - ss:; da . e

Se supone que el dom inio (1) puede d i vidiPse en un núm ePo fin ito de dom in ios (1) 1 • (1), , . • • • no pmales Pespecto al eje OX , la f6Pmula ( l ) es vá l ida tam bién en este caso. En efecto , designando con C1, c• . . • . · las fPontePas de los dom inios •1 • w., , obtene mos, de acuePdo con. el teoPema que cono.c emos ( Pag.

S P {x, y) dx = S P (x, y) dx + S P (x, y) dx + . . .

�

Apl i cando solo el teoPema dem ostPado , hal lamos

S P (x, y) dx = - ss:: da - ss �: da -

PoP consigu iente

.LA INTEGRAL DE · LINEA .

359

J P (x, y) dx = - ss : da.

Bajo las suposiciones correspondientes respecto a la frontera del do (J) y respecto a la func ión Q (x, y, z): encont ram os, procediendo m inio en forma análoga a lo ante rior

\ Q (x, y) dy = �� da.

Reun iendo am bas fórmulas abtenem os

S ; (x, Y) dx + Q (x, y) dy = SS ( oxoQ - ayoP ) da· e

Esta fórmula contiene a las dos ante riores com o casos pa rticulares ( para Q = O, respectivam ente ) y se denom ina F 6 r m u 1 a d e Green. Ejemplo. Apl icando la fó rmula de Green a la integral

� (2x - 3y )dx + (x -y) dy, e

donde C denota una circunferenc ia unita ria , recorrida en la direcc ión izqu ierda , obtenem os P (x, y) = 2x - 3y, oP , ay = - 3

Q (x, y) = ·x -y, oQ = l . ox

Por consiguiente

� (2x - 3y) dx + <x -y) dy = � � 4da = 41t.

Es fácil verificar este resultado cal culando di rectam ente la integral . dada .

9 . A p 1 i e a e i o n e s d e 1 T e o r e m a d e G r e e n . El teorema de Green es uno de los teoremas fundamentales de la teoría de las integra les dobl es . Sus aplicaciones son de particular im portanc ia en la Física Matemática .

El valor fundam ental del teorema de Green rad ica en . que perm ite expresar una integral de l ínea por m ed io de una integral dob1e e inver sam ente . Ind iquemos aqu í algunas cie las consecuencias inm ediata s .

1. Designando con C la frontera d e l dom inio

Y con A su á Pea

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL a� hacer

P (x, y) =y, oy = 1 , encontramos

� y dx = - � � da = -A.

Hac iendo además

�.��

oQ Q (x, y) = x, ox = 1 ,

obtenemos

S x dy = SS da = A.

Por lo tanto

} S (x dy -y dx). e

Las integrales se toman en la diflección izqu ieflda .

2. Designemos con (1) ., un dom inio conten'ido en el intefliOfl de una cuflva ceflflada C. S�an P (x, j) y Q {x;.Y) func iones acotadas y contf_?uas de.!} tilo de "• con deJ11vadas parc1aies oP� y oQ acotadas y contmuas Ji" iJy también dentflo de • Demostflem os el siguiente teoJlema. •

TeoJlema . P a fl a q u e e u a 1 q u i e Jl e u Jl v a e e fl r a d a e , u b i e a d a d e n t fl o d e w1 , t e n g a 1 u g a fl 1 a fl e 1 a e i ó n ,

es necesaflio y sufic iente que en cada P!Jnto (�, y) del dom in io veflifique la igualdad . oP

·�

a; = ax · SupondJlemos que en la CUJlVa C8JlJlada e· es apl icable el teorema de GJleen . Demostrac ión . Suponiendo que iJP iJQ oy = ox '

obtenemos, d e acuerdo con la fórmula de Oreen

361

LA INTEGRAL DE LINEA

S P (x, y) dx + Q (x, y) dy = SS ( :� -:P) da = O, o

�

lo que demuestra la suficienc ia de la condic ión . ' Adm itamos ahora que para cada cu rva cerrada sim ple C tiene lugar la relac ión

S P (x, y) dx + Q (x, y) dy = O. --,

De aquf se desprende , de acuerdo con la fórmula de Green

Sea que la proposic ión del teorema no se cum ple , de tal sue rte que en un cierto punto (x0, y0) del dom inio tengam os, por ejem plo. (1) ex > O.

iJQ iJP se e ncuentra un En vi rtud de la c�ntinuidad de la func ión ox - ay cfrculo sufic ientemente pequeho K . con centro en el punto · (X0 , V0t en cada uno de cuyos puntos se cum ple la desigualdad . •

Entonces

( Con l KÍ' se designa el á rea del c frculo K ) . Pero esto contradice la relacH>n \ 1 J , vál ida para cada dom in io • , esto es , para cada c fPC!:!. lo K . P rocedemos análogam ente pa ra cx < O. Observac ión . Adm itamos que para cada curva cerrada simple C ' , b icada dentro de (1)� tengamos •

S P(x, y) dx t Q (x, y) dy = O.

362

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

, Bajo una cond ic ión tal , puede afir>m a r>se que s i dos punt6s cual esqui e ra A y B del dom inio .o. se unen por> el ar>co AB , ubicado en (1) entonces la integr>al

.S P(x, y) dx + Q(x, y) dy

ÁB

F i g . 6 6.

no depende del a r>co ÁiJ,1 s ino solo del punto inicial A y del final B . En otras palabr>as , esta integral t i ene un valor> y solo uno en todos los a rcos que unan al punto A con el punto B .

E n efecto , unam os los dos puntos A y B por m edio d e dos a r>cos AmB� Y Consider>ari, do la curva cer>rada AmBnA,tenemos

An8 3 ( Fig. 6 6 ) , que no tengan puntos com une s , excepto A y B .

S P(x,y) dx + Q (x,y) dy = O,

AmBnA

por> con s i gu i ente

S P (x, y) dx + Q (x, y) dy + � P(x, y) dx + Q (x, y) dy = O

AmB

BnA

así que

· � \ P (x, y) dx + Q (x, y) dy = � P (x, y)'dx + Q (x, y) dy. �B

AnB

(2) .

Adm itam os ahor>a que los ar>cos AmB . AnB tengan , además de los puntos A y B, un núm e ro fin ito de puntos com un es a islados de a m bos a r>cos . De m ostrar>em os que la fór>m ula ( 2 ) s i gue siendo vá l ida en este caso.

En ef�cto , desi gnando con , . , R, s 'denadam ente los puntos a isla dos y l os e xtremos de am bos a r>cos ( Fig. ·5 7 ) observamos fác i l m ente que e n Virtud de lO ya indicado, las integrales de l fnea , tO madas en los tPa m os AP, : jel ar>co AtñB, , son r>espectivamente iguales a los tom ados en los tr>am os cor>respo ndi entes del arco Anlf:

P, Q,

•

. ·.

Por> l o tanto

F i g , 67

La fó r>mula (2 ) es vál ida tam b ién cuando los a rcos AmB y AnBl posean un núm e r>o fin ito de puntos c om unes. Sin em bargo es en este caso difíc i l la dem ostrac ión , que om i t i r>emos . El lector> fác i l m ente obser>va r>á que , Rl contra P í o , de la s u po s i c i ón , la integral

LA INTEGRAL DE I.JNEA

363

� P (x, y) dx + Q (x, y ) dy

.4B

no dependen del aPeo AB, s ino solo de l os puntos i n i c ial y f inal , de d onde se s i gue que pa pa cada c u r va ceppada e • , t end P em o s : ·

� P (x, y) dx + Q (x , y) dy = O.

Adm itam os , como an tes , que (1) · es la poPc i6n inte PiO P del do - - m inio l i mgado poP l a cu Pva c ePPadn C . Sean P (x; y) y Q (x, y ) funcio -

n e s d e f.1 0 1' d as y contmua s en .

tinua s tam b ién en guiente teo Pem a :

(1), •

(l)

iJP iJ't con d e r t. vad as l)aPC i. a l es ay y ilx · con -

Bajo esta s cond i c i on e s , ctemo stPa rem o s el s i

V (x, y) , Teorem a . 2 . pa ra aue ex i sta 1a fun e i 6n d e f i n i d a e n (l) t a l q u e P (x, y) y Q (x, yr sean sus d e ri va d a s p a P e i a 1 e s P e s ¡> e e t o a x , y , P e s p e e t i v a me n t e e s n e c e s a p i o y s u f i c ..t e n t e q u e e n c ,a d a p u n t o d e l d o m i n i o w ' se cum Q la la igÍ.taldad •

aP oQ = oy ax ·

Dem ostra c ión , Dem o·stPam o s que e ra n ecesa ri a en l Fl P a g . 1 76.

En efecto, s i

= P (x, y) · y

iJV iJy = Q (x, y) ,

entonces '

Pa Pa lR d em o strac ión de la suf i c i enc ia , adm ita m o s qu e en el do m in io ci> se c um p l e la cond ic i 6n ( 3)

En vi rtud de la o hs e r va c i 6n en la P á g . 3 61 , el valoP de l a i ntegra l

� P (x, _v) dx + Q (x,y) dy

.4B

n o dependen del a Pe o A B , sino únicflm ente del punto i n i c i a l A y del -

final B . Obtenemos l a func i6n V (x , y) · d e l a s igu iente manePa . 'Tom e m o s Deter>m ina m os e l va l o r d e l a en (1) u n ounto cua l qu i e r>a A (x0, Y.0). func i 6n V (x , y ) en u n p u n t o a r>b i t Pa rio BJx, y ) de� dom in io w n a c i endo

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

364

V (x, y) = � P (x, y) dx + Q (x, y) dy ;

V (x0, y0) = 0,

.4B

donde A B es un aPeo aPbitPa P io que une los puntos A y B . PaPa la dete P m inac jón de l a s de Pivadas pa pc iales d e la func ión V (x, y) , obsePvemos que Si el punto C del dom inio w posee las COOPdenadas (x + h , y) , e ntonces

V (x + h, y) = � P(x, y) dx + Q (x, y) dj, ABC

donde el a Peo ABC está fo Pmado po p el a Peo A B y el segm ento Pecti l í neo B C , papalelo al eje OX . PoP con s i gu iente

V(x + h, y) = � P dx + Q dy + ( Pdx + Q dy *) .4B

Puesto que

x+h

� Pdx + Q dy = � P dx,

en ton ce E'

•+ •

V<�±A.1-V�z)-Í S P (z, y) dz •

•

De quf que, en vi Ptud del teopema sobPe el val o P m edio ( IJag. 272 ) V (x + h, y) - V (x, V) h

P (x + 6h, y)

Tomando en cuenta la continuidad de la func ión av

P(x, y), obtenemos :

ox = P(x, y).

Se de rn u estPa análogam ente que av

oy = Q (x, y).

Obse Pvaci6n . l . Pued e demostPaPse que , bajo las condic iones del teoPema ante rior, la función V (x, .v)') está defin ida con exactitud hasta

LA INTEGRAL DE UNEA

365

una constante a rb itra ri a . Basta , obviam ent e , dem ostra r que la func ión satisface dentro del dom in io Q)� l im i tado por la curva C , las cond iciones

V (x, y)

ov =O, oy

avx =O o ,

entonces

•

V (x, y)= const.

En efecto, un iendo dos puntos cualesquiera A y B del aom inio Q) por m ed io de un a rco sim pl e , ub icado com pl etam ente en w obtene , m os : d\l ff <t>. � (t)J � 1, (t) + av <p (t) 0 • dt

_ -

x�f(t), Y = !f (t) - constituyen la rc presentac 1ó n normal del -

donde a rco AB .

Asr pues

V [/ (t), <p (t)] = const.

De aquí se sigue el val o r de la func ión igual a su val o r en el punto B .

V(x,y) en el punto A es

Obse rvac ión . 2 . Los resu l tados últim os son aná l ogos a l teorema sobre la existencia de l a func ión prim itiva pa ra una func i ón contínua de una va r iabl e. Efecti vam ente , hemos dem ostrado que bajo dete rm inada s cond icio nes, existe una func ión que posee una derivada dada y que dos func io nes tal es , d ifieren entre sí sol o en una constante . Ejem p l o s . l : Las funciones

P(x, y)=x' + y,

Q(x, y)= O

no sati sfacen a la condición de nuestro teorema , ya que

oy :;::::: t ,

iJP

Com o nos hemos cerc iorado ya ( Pág . 3 5 0 , eje m p l o 2 , la integral de l ínea � P (x, y) dx +'.Q (x, y) dy pu ede toma r d ife rentes va l ores pa ra d i s t inta s cu rvas que unan d o s m i smos puntos. 2. Para

Plx, y) = X + y ,

Q (x, y) = x -.Y1

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

366

tenemos

oy = ox = ·

PoP lo tanto , existe la func ión V (x, y) , paPa la cual av

De la PPim ePa ecuac ión se sigue que V (x , y) =

•

-y .

� x• + xy + (y), Cf

donde f cY) - es una c i e Pta función de la va Piab l e y, pop m ed io de la se.1unG.a ecuac ión av

01 = x + rp' (..Y) = x -y• ,

de donde rp' (y) = - y• ,

donde C es una constante a PbitPa Pia . Finalm ente .

(.Y) = - -}y• + e,

La dete rm inam os

CAPITUW XXII

TRANSFORMACIONES CONTINUAS.

CAMBIO DE VARIABLES EN LAS INTEGRALES DOBLES

l.T r a n a t o r m a g l o n e e

S i a Oida punto A de cie rto conjunto B + ' le co

rresponde un punto B de otro conjunto B y cada punto del conjunto B co 1 1 rresponde pop lo menos a un punto del conjunto E, se r ice que existe una t r a n s f o P m a e i 6 n u n i v a l u a d a d e t i n i d a 1el c onj unto B sobre el conjunto B • 1 Bl conjunto s se llama i m a a e n del conjunto E. Puede ocurrir que 1 este oonjunto est6 p&PCial o totalmente conten ido en B, o que coincida con

a1.

BjempJos. l . Sea gue el conjunto E es un c írculo de Pad io P con cen t Po en O. A ca da f_) Unto A de l con junto E, l e hacemos C O I" P e s >)ondef" en e l pun Lo m ed io B del s egm ento O A . La im agen d e l conjun w E s e Pá un c íPcu l o de radi o } P y c oncéntf'ico con el )J I" i m e Po .

2 . Sea E u n t P iánF:: u lo cua l qu i e ra . A Códa punw de l conjun to E l e hace m os CO I"Pe s¡,>ond e P su �lf'Oyecc i 6o sobre e l eje OX. L a i m agen del conjun to E será un se.:::; m en to a l ojado sobPe el eje OX.

S i a l punLo A de coo Pdenadas x , y , C O PPesponue un punto D de coo Pdena d a s x; y; enton ces la t: Pansfo rm ac i6n se aefine m ed iante dos func iones da o as

x' =1 (x, y),

y' = cp (x, y),

(l )

d efinidas en el conjunto E, l a s c u a l e s dan la pos i b il iaaa de encontPa P l a s c o o rdenadas d e B a t Pavés de las coo Pdenadas de A.

Eje n • pl os .

3 . Si e n e l e j e m p l o 1 . d e l n d m e r o P , e l c e n t r o O

t i eae l a s ooo rdena -

d a s p , q . e n t o n c e s la t r a n s f o r m a c i 6 n •• d e t e r m i n a p o r l a e fu D c l o n e a

x +p

X = -2- '

, _y + q 2 • -

4. L a t Pansfo Pmac i6n en el ejem p l o 2 se detePm ina po P l a s func i ones x ' = x, y = O '

cada pun to P. ( x , y ) del conjun to E l e hacem os COI"Pespond e P el pun to B ( x "", y ') , cuyas coof"denadas se dete f'm inan por" l a s func iones

5. A

x' = x cos cx -y sin ex,

y' = x sln cx +y cos ex .

+ ) Su pond P e m o s que los c onjun tos E y E1 s o n p l anos , aunque e sta P estPic

·c i6n no es necesa Pia.

368

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

La i m a gen es el conjunto que se obtiene gi Pando el conjunto E un ángulo en toPno a l o P i gen d e c oo rd en ada s .

Tran s fo r m a e ion e s Cont inua s T r a n s f o P m a e i o n e s B iu n í v o e a s . Si las funciones (1 ) , · que definen la transformac i6n, son conti nuas . entonces la t ransfo Pma c i6n tam bién l l eva el nom bPe de e o n t i n u a .

•

Las transformac iones dadas en l o s ejempl � s 1 á 5 son con t i nua s .

Si a dos puntos d ifePentes del conj un to c o r r e s pon en siem pre dos pun tos difepentes- del conjunto E • entonces tal tra n sfor m ac i6n se d i c e que es 1 b i U n ( v O C a . ( CO PPesponclenCia de uno a uno ) . -

En los e j e m pl o s 1 y 5 l as tPansfo pmacic;mes son b iu a fv o c a s . En el ejem plo te n e m o s una tPaüsfoPmac LÓn que no es b iimív o c a .

Sea que un conjunto E se

t ran sf o r m a biunívocamente sobre e l

con jun to E 1

Si A e s u n punto a r b i t ra P i o d e l c o n j un to E y B es el co r r e s pond i e nte punto de E • le co Presponda aquel punto A del . conjunto E, cuya imagen es el pun1 to 8 , se l lama t r a n S f O P m a C i 6 n i n V e r S a •

PaPa dete Pm ina P l a s func iones que definen l a transfoPmac í6n inversa . es uecesélPio Pe sol veP l a s ecuac iones ( l ) con P es p e c to a x, y .

Si l a t P a n sfo r m a c i ón ael conjunto E so b r e e l conjunto E e s biun ív o ca y 1 com:inua . y ·s i la t P a n s foP m a c i 6n i n vePsa tam b ién es co n t i nua , se d ic e que la t Pa�1sfo P m ac i6n del conjunto E, so n Pe el conjunto E • es m u t u a m e n t e 1 con t i nua .

FPecuentem ente se d ic e , pa ra a b P e v i a P , ()ue el conjunto E e s la imagen 1 c o nt inu a ( biunívoca ) del c on j u nto E .

Ejem plos.

L L a transfo rma c i ón i n v e r sa pa r>a e l ej e m p l o 1 (veP tam bién el eJem plo

3) se determ ina p o P l éS func iones : x = 2x' -p,

y = 2y' - q.

2. La transfo Pmac ión in v eP s& pc.'t' a el eje m p l o 5 s e ciete Pm ina j::> o P l a s

func i on e s :

x = x' cos a +y' sin a,

y =y' cos a - x' sin a.

. 3 . Las tr&nsfo Prnac ioncs da da s e� l os ej e m p l o s 1 y 5 son n:út:uamen t:e con tin u a s . Demos aho Pa al �unos t e o Pe rn a s so b Pe las tPa nsfo Pn'1 fi c ioues con L inuos Y

TRANSFORMACIONES CONTINUAS

369

biun ívocas ( om it i Pemos las demostPaciones ) . TeoPema l . L a t P a n s f o P m a c i 6 n c a n t i n u a y b i u n í v o c a d e un a peo s i m p l e ( cu P va c e P Pada ) e s tam b i én u n a Pe o s im p l e ( c u P va c e P rada ) . Ta l t Pansfo P m a c i 6 n e s m u tua m ente continua.

TeoPema 2 . L a t r a n s f o r m a c i 6 n c o n t i n u a y b i u n í v o c a d e un dom inio tam bién es un dom in io.

TeoPema 3 . L a i m a g e n e o n t i n u a y 1;) i u n í v o e a d e u n a e u r v a e e P r a d a s i m p 1 e e y d e u n d o. m. i n i o (1), a i o j a d o e n e l i n t e P i o r d e e s t a C U P V a , e s u n a c u r v a c e r r a d a s i m p l e C' y el dom in io 0>'. q u e e stá d ent ro de e 1 1a . En e sta t Pan s formac i 6n l a i m age n de l a CU PVa e S e Pá l a c u r va e ' y l a i m a g e n d e l d o m i n i o e» ,e s e l d o m i n i o �·. T a l t r a n s f o r maci6n e s m utuam ente continua. 3. D e t e P m i n a n t e F u n e i o na l

x' =l (x, y) ,

( J aeob iano )

y' = f9 (x, y),

•

Si las fundones

definidas en la vec indad de ( x , y ) , Lienen dePivadas parciales de PPimeP o r den e n e ste punto , entonces la exppesi6n

./� (x, .Y)!fy (x, y) -1; (x, y)

ff� (�, y) =

� �i �: �:

se l lam a d e t e r m i n a n t e f u n ci o n a l o j a e o b i a n o de estas func iones. El jacobiano se represente por el s ím bolo :

Ejemplo l .

entonc&s

x = rcos !f, y -rsin ff, D (JC, i)

'1>f,t)

� ¡; �-= r. = ü� �� -�:e

Demostremos ahora el siguiente teorema: Teorema . S i l a s f u n c i o n e s eontinuas cont inuas

e n e 1 do m i n i o e n ton ces

p a pa

(1) ,

=1 (x, y) , y' = !f1 (x, y).

t i ene n

d e r> i v a d a s p a r e i a 1 e s (x, y ), en e l que el

·t o d o p u n t o

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

370

j a c o b i an o

.D (x', y') D (x, y)

e s d i t' e r e n t e d e c e P o , s e p u e d e e l e -

g i P u n a v e e i n d a d t a l d e d i e h o p u n t o �q u e 1 a ·t r an sf o r m a c i 6 n d e f i n i d a p o r e s t a s f u n c i o n e s s e a b i u n ív o c a e n l a v e c inda d e l eg ida + ) . _ _

D e m o s t P a e i 6 n . Sea que en el punto A (x,, Yo) el jacobiano es difePen te de cero, e sto e s .

(l )

Aceptemos. contrariam ente a l teoPem a , que en toda vec indad del punto A se encuentren dos puntos d i stintos A' (x, y), B'- (x + h, y ;f- k),' para los cuales se satisfacen las relaciones

Tomemos la secuencia de c írculos ,, con c entPos

y con

en el punto

A (x0, J',)

radios {r,.},lque tienc;ien a cePo. Según lo supuesto. en cada un<;> de es tos c írculos se encuentPan dos puntos d iferentes A� {�,., y,.} �� {x,. + h,., �� + k,.}, para los que tenemos :

/(x,. + h,., y,. + JJ,.) = / (x,., x,.) , cp (x,. + h,., y,. + k,.) = 'f (x,., y,.). Según el teoPem a sobre el va lor m ed io ten e m os : /(x,. + h,. , y,. + k;,) -11x,., y,.) = h,./� (�,., 1),.) + k,./; (E,., ·Jj,. )= O, -f (z,. +-h,., y,. + k,.) - 'i (x,., y,.) = h,.cp� (E�, J)�) + k,.cp; (E�, Jj;J = O

(\>'er Pág . l 88) , donde

E,. = x,. + &,.h11, 'II,. = Y,. + &,.k,., e�·= x,. + &�,., J)� = y,. + &�k,., O < &,. < l ! O < &� < t .

Por cuanto h k no son s imtlltéÍneam ente nula s , entonces del anterior , y ,. sistema de ecuaciones homogéneas se desprende que (3 ) Com o

tendremos

llm r,.=O. ..

.....

l�m x,.= x,, ..... .. lim h,. = O; ti-+CID

limy,. =v,, lim k,.=O.

11-+00

tl-+00

Pasando a l l fm ite y tomando en cuenta ( 3 ) y l a suposic ión d e que las de rivadas pa rc ia l es son continuas , obtenemos:

+ ) P u e d e demostParse tam b ién q u e uuestra transformación tam bién es mú tuam ente continua en esta vec indad . ·

TRANSFORMACIONES CONTINUAS

371

P e r>o esto contr>ad ice la r>elac i6n ( l ) . Por> cons i gu i ente , existe c ie r>ta vec indad del RUnto ( x , y ) en la que la tr>ansfor>mac i6n es biun ívoca . o o Ejem plo 2 .

Sea dado e l s istem a d e ecuaciones Cf (x, .Y), X1 =1 (x, y),

y' =

donde las func iones / (x, y), cp (x, Y) son continuas y poseen der>ivadas pa r>c i!!!. l es cont ü : uas en la vec indad del punto ( x , y ) en el cua l e l jacob iano es 0 0 diferente de cer>o , y sea ·

/(x0, Y8) = a, cp (x0, Y,) = b.

De acu e r>do con el último teo r>em a , existe un c fr>culo K , con cent r>o en el punto ( x , y ) , en el que la t r>ansfor>mac ión defin ida po r> las últimas ecua o o c ion es es biunívoca y continua . Según el teor>em a 3 ( Pág. 3 70 ) la imagen del cfr>culo K se r>� c i e r>ta cu r>va c e r>I"ada C y el dom inio • esta r>á dentr>o de esta cu r>va , a la que , en pa r>ticula i" , pePtenece el punto (a ,b ) . La tr>ansfo r> maci6n e s , además m utuam ente cont inua . D e esta m aner>a , si (a1 , b ) e s 1 un punto ar>b itr>aPio dentPo de la cu Pva C , entonces en e l inte doP del c fi" - cul o K ex iste solam ente u n punto que satisface l a s ecuac ione s .

Este punto va r> fa cont inuamente junto con ( a , b ) . 1 1 O b s e r> v a c í 6 n l . S i el jacobiano es d ifePente d e c ePo en todos los puntos del dom in i o ¡. entonces la t Pansfo Pmac i6n en una ciePta vecindad , d e cada punto de este dom in io es buin (voca . Puede , sin emba pgo , sucedei" que la tPansfopm a - - c i6n n o sea bu in(voca en todo e l dom inio . Tom emos, po r> ejem plo , la tPansfoPmac i6n defin ida poi" las fun ciones: ( - oo < x, y < + oo). ¡X' =:= r cos y, y' = eX sfny El jacob iano de esta s funciones es igua l a el�t ' , y por> consigu i ente , siem pr>e es dife r>ente de cer>o . No obstante , pa r>a x O, y • O ; x • O , ,Y ::::: 2� ob ten emos x "'• l , y "'= O, así que la transform ac ión no e s bi un fvoca . 'Adem4s, si en algún punto el jacob iano tiende a cePO , entonc es, a pesaP de ello, la trans foi"maci6n . -Em la vec indad de e ste punto puede ser bu infvoca . Asf la trans foPma c i6n d efin ida por la.a fun ciones "'

x' = x', y' =y'

( - oo < x, y < + oo),

(1)

372 ·es biun fvoca ;

CALCUL.:> DIF};RENCIAL E INTEGRAL la transfo rmación inversa se define po r las f u nc ion es 3r.::; X= y � ,

Y = V.Y'.

y p o r c on s iguien -

El jaco b iano de la transformación ( l ) c; s igual a

te igua l a cero , pa ra x = O ó

y = O.

O b s e r v a e i ó n 2 . Aceptem os que l a s fun c ion es

x' =1 (x, y), y' = cp (x, y) '1 sean continuas en con j u n to con sus derivadas parciales de primer orden , en un dom i n i o conexo (ver Pág . l 6 7 ) . Si se supone que l a t ransfo rma c ión , defin ida p or estas funciones, es biun fvoca puede demostrarse que e l jaco c iano es � O o don d e q u i e ra < 0.

Om iti rem os la demostración . Ejem p l os .

3 . J aco b i a n o de la transfo rm a c ión l i nea l

y' = a1x + b� + c1

x' = a1x + bsY + c1 ,

es igua l a

a .b . - a .b l .

Si éste fue r>a diferente de ce ro , enLonces , co rn o se

sabe de la teor fa de las ecuac i o n e s linea l es, el sistema podr fa resolverse con respecto á .x y á y o bt e n i én d o s e ecuac iones de forma a n 6 l o ga . Tenern o s , p ue s , u n a transfo rn1ac i6n b iun ívoca y c on t in u a de toco el p l a n o OX Y so br>e todo el p lano O "'X 'Y :' Si el jacot>iano ( que en e s t e ejem pl o n o c ontiene a l a s varia bles x , y ) es i g ua l a cero , entonces , com o se sabe de la Geom etría A nal ítica , la i m a g e n del plmo OX Y s e r á una recta o un punto . En este caso la trélnsfo rrn a c ión e s co n t in ua pePo no es biun ívoca. 4. La in Lrod ucc i6n de coordenadas p o l a res x

r cos cp, y = r sin cp,

puede con s i d e Parse com o la tNm sfo r>m ac i 6 n del pluno de l.:ts va r i a b le s r , sot>Pe e l p l ano OX Y . E l jacot: iano d e e sta t ré'nsfoPmac i6n e s igual , com o se sabe á r ( ve P Pág .3 70). Para P .. O y rp� a P b_i t ra r io obtenem os x = O , y = O , esto es , todos los pun�os de la recta r = O convePgen al or igen de coordena �=tf: O , , la das de l plano OX Y . E n la vecinda_d del punto (r, tp)f en l a cual t rélnsfo r>m a c i6n es b iu n ívoca y la tPansforrnac i6n inve rsa se d a pÓP : r=

y x� + y•, ---=-

y cp = aresi n y x• + y'

arccos .. r ::¡--¡--::¡ , X

' x• + r

donde la e l e c c ión del signo de l a s c o m o los va l o r>e s del ángulo s e dete rm inan un i va l entem ente de. acuerdo con la ront inuidad de l a tPonsfo r>

ra íces así

rn a c i6 n .

Como l o s pun tos (r, tp)\1 y (r, cp + 2nn); . donde n es un n ú m er o ente ro a rb i t Pa Pi o , cor r es p o n d e n a uno y a l m ismo punto del plano OX Y , en t o nc es cada uno de l o s puntos de este plano es l a im agen de un conjunto inf in i to de pu n tos

del plano

( r, tp).

8n las a p l i c a-c i o n e s es frec uen te que se tom e

r � O, Y u n ángulo

cfl

c ond i -

373

TRANSFORMACIONES CONTINUAS

c ionado o :¡¡;;;; <p" < 21T. Se com ppueba fác i l m en te que la im agen , b iu n ívoca y co n t inua , del dom in i o inte P i O P de un Pectángu l o , defin ido pop l a s d e s i gua ldades

O :¡¡;;;; r :¡¡;;;; a, O :¡¡;;;; q¡ :¡¡;;;; 21T,

e s el dom in io o b t e n i d o de la inte P i o ridad de l c íP c u l o

e l la e l segm e nto del e ;i e 5.

O :¡¡;;;; x � a, y = O.

x' + y' :¡¡;;;; a' e l im ina n d o d e

La t Pansfo Pm ación

x' = x +y, y' = xy es c ontinua pero no biún ívoca en todo e l p l a no OX Y . Efec t i va m en te , a l os puntos (x, y) y (y, x) s i m ét P icam ente dispuestos con r> especto a la recta y

d ife l"e n t es en sene ra l , copres ponde uno y e l m ism o ounto ( x ', y ') . r Su cletel"mínante fun c i onal es igual

�� ! J = x -Y, por c on s igui ente igua l

=--

c e ro pa r>ü la rec

ta y = x . Pa ra encontrar> i a i m agen d e l p lano OX Y , a pa P c i P d e e sta t P3nsfo r m ac i6n observemos que par>a e l punto (x .., y ') dado l os núm ePos x , son l a s ra , fee s de la ecuac i ón cuadrática . z• - x'z +y ' = 0·

Com o e s sab ido e sta ecuac i6n t i ene r>a fces r>ea l es , cuando y solam ente cuan-

x'; - 4y' � O

de puntos b ol a .

•

P o P consigu i en te , l n im agen del �J lano OX Y es e l conjunto

(x' ,_ y'), distPibu fdos bajo la paPábola

Y =T ,

6 en ln ) I"'O[J ia pa Pá-

S egún el teo pern a de la pág ina 369 , nuestPa tPansfo Pm a c i6n es b iun ívoca en c i ePta vec i ndad de cada punto ( x , y ) , fuePa de la r>ecta y = x. Efect i vam ente

Peso l v i endo l a s ecuac iones con Pes pecto á x y y qu e definen la t ransfopm ac ión , o

en contPam os

. x' +Y x'' - 4y'

xr V� · , Y x= - 2

x·- V� 2

x' + V;,c¡y.

PaPa c i e Ptn vec indad del punto x , y t i enen l ugclP l a p r> i m e ra o la segunda o o de e stas pos i b i l idades , de pendiendo de que se ce nga X0 > Yo o b ien, xo < Yo · S i , �,>o·r e l contr>a r> i o x

, la tPW1sfo r>m aci6n no ser>á b i un ívoca en n ingu -

na vecindad d e l punto (x0, Y 0), y� qu e en -toda vec inclad puede encontr>a r.se un pa r> o

de puntos s i m étrica m enLe d i s pu e stos con Pes pec to a la genes son uno y el m i smo punto d e l p l ano O "' �x ' y;

ec ta y ... x , cuyas ima

Asim i sm o , s i nuestpa t ransfo rm ac ión es b iun ívoca en un c ie Pto dom i n io co �. enton c e s este dom in i o n o puede co n t e n e r> n i ngún punto de la Pecta y x y po r> cons igu i ente , está a l ojado com pletam ente é :H'P i ba o a bajo de e sta r>ecta. De esto s e deduce que el jac o b iano t iene un s i gno c o n s ta n t e en el dom i n i o ( ve r l a observac i ón 2 , Pág.372) .

n e xo

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

374

PROBLEIIAS

1 .. Demostr>ar que para la t ransformac ión J&' -x! .- y', ..v' = � .

la imagen del plt:tno OX Y es todo el plano o • x • Y' L a transformación' no es b iu nívoca en ninguna vec indad del punto (0, O ) . .

2 . Demostrar que pa ra la transformación

= J&, -,, = X,. + yala imagen oel plano OXY será el orutjunto de puntos del plano O ' X ' Y ' disttti ' J&

buídos arriba de la parábola Y' ::=_ J&it ' y en la m isma . La transformación no es biunívoca en. las veándades de los puntos del eje OX .

4. C a m b i o d e V a r i a b l e s e n I n t e s r a l e s D o b l e s . Sean · !' /y - �'·Jios dom inios regulaees , ;del imitados respectivam ente por las cur>vas sim ples ce . -. rradas e y e � Adm itamos que: li:!B lun�on_es

. x' = f (x, y),

y' = !f (X, Y)·

son definidas y continuas. asr c'o mo sus P Pimeras derivadas parc iales, en cier to dom inio cerrado O que contiene en su interior parte del dom in io ·1t.. 1'Sea p (x: y') una función continua en' CI'. 'Si deseam os introduc ir las nueva-s varia bles x , y. l igadas a las variables x: y ' por las ecuac iones («),km la integral S S P (x', y') dx'dy'�

se. emplea

�» '

la fórmula

donde La fórmula (1 ) es vál ida bajo las siguientes condi c iones :

l . La función P { x '. y ). definida y continua en cierto dom inio cerrado D 'que ..

contiene no solam ente al dom inio .,· , .sino a toda imagen del dom inio \m ¡después

de la transfo rmación («).�

2� .Las funciones / · J¡ IP transforman b iunívocam ente la curva C so bre la cu r va e � . -

3 . Si un punto recorre la curva e hacia la izqu ierda , entonces el punto co rrespondiente de la curva e1a recorrer� , según la cond ición 2, hacia la iz qu ierda o hacia ,la d e rec ha En el prim e r caso �:endremos e ..:;.,... l , ! , y en el s&gundo ' e = - 1 .''. P o l" tanto , · e ' no depende de la función P ( x . y ) sino solam ente de la tbansformación definida por las f�ndones ·-1. .Y !f. : .

...

O b s e r. v a c i 6 n . De la cond ic ión l se despr>ende la existenc ia de la inte&tral en el m iembro de Pecho de la igua ldad ( 1 ) . En at1anto a la tr>ansfoPmac ión biuní voca en el intePior> del dom inio, l i m i tado poi"' la cuP.va C, no es posibl e dec iP na

da .

Ha-Pernos la demostración m encionada en la suposic ión que se satisfacen cier-

TRANSFORMACIONES CONTINUAS

375

tas condic iones ad icionales , a saber supondremos que; a ) la curva C tiene una represen_t:ac ión normal que satisface las. condic iones de la Pág. 353 b ) El dom inio .., .. (correspondientem ente·, •' ))puede dividirse en un número f i n ito d e dom inios normales con1 respecto a cada uno d e los ejes OX , O Y , (co rrespondientem ente , O'X;.- O' Y). ).

e ) L as funciones ,f (x � y) y ' q> (x, y) tienen derivadas parc iales de segundo o r den , continuas e n . .. 1

d ) Existe una func ión F( x ', � definiaa en O ' que satisface la l'el a c i6n

F'y (x'., y') = P (x', .y').

en el dom in io •'· "·

Según el teorema de Oreen , tenem os :

S F (x', y') dx':= - SS :; dx' y' �

= --

(1 }

S S P (x', y') dx'dy'.. �

La integral ese toma en di rección izquier9-a a lo la pgo de la curva C '.

(2)

Sean las funciones una representac ión normal de la curva C seglln la di reoc ión izqu ierda . Enton ces, en virtud de la condic ión 2. las funciones ��

e&·(t), � (t)] = 'V (t) =f[á (t) , �: (t)J= u (t), y' = !fl(t,[ <; t � t,)

(3)

serán una representac ión normal de la curva e :

Como l a s funciones /, q> ' tienen -derivadas parc iales continuas y de acuerdo con lo supuesto, la curva C satisface la condic ión ( a ) , puede considerarse que el intervalo (t0, t 1] puede s e r divid ido en un num ero finito de intervalos, e n los que las func iones cz (t), � (t) tienen derivadas continuas ( en los extremos de l os intervalos las derivadas son unilaterales ) , y por� consi auie nte , las funcio nes u (t) ' y v (t) tam b ién tienen derivadas continuas en estos intervalos ( en loP extremos , uni l aterales ) . En virtud de 3 tenem os : t,

i·F (x', y') dx' = e J F [u (t), v (t)] u' (t) dt,

donde

(4 )

a = ± l�dependierido de que la curva Cse rec.orre en la dirección izquier

da y e l recorrido correspond iente de la cu r>va C' se haga también en la direc c ión izquie rda o en la contraria . (ver Pág . 3_54 )

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

376

De las relaciones (3 ) obtenemos ( excepto para un núme ro finito de puntos ) : ' tt (t) = /� Cl (t), � (t

[

De aquí y de { 4 ) se deduce

}

F (x', y') d�' = &

t� .

]

) ci' (t) + t; [Cl (t), � (t)J' (t).,

�

F [tt (t), v (t)]/� [e� (t), P (t)] e�'(t) ·di+ • f[Jt (t),. v (t)].t; [a(t),· ' (t)] p' (i) dt. 1 �

Fácilmente se adviePte que las integPales en el m iembPo dePecho de esta igualdad son igua l es , respectivamente , a las integrales

�

F[f (x, y), !fl (x

JI)]/� (x, y) dx. � F[,f. (x,. )'), ' (xt .J')]/) (.e; y) dy,

y ambas integrales se toman en la direcci6n izquierda. Om iti�ndo, pa ra sim pl ificar , lm variablm x , y, puede por e:onsigu iente , e-so ¡;tbl rse �

F (x', y') dx' = 1

F V. t).f.dx + 1

�

F V.

ti/; dy.

(5)

Transform emos e l m iem bro derecho de l a i gua lda d ( 5 ) m ed iant:e la f6rmula de Green . Obtenemos :

Pero

F (x', y') dx'

SJ {-cl[F�')/;J+ 8[F��'>I;J}

tl[F(f,oycp) fx] ft:, (f, •>t; ·+ F�, (f,· f) cp_,' J/� + F (f, •>t;_,, a[F(� cp)ly] [F�, (f, 'P) f; + P,., (f, !f) 'P�J.t; + F(f, ,)¡;_,. x

Por tanto

�

F (x', y') dx' = - e

.[S P_,, (/, f)g�:��

De donde ,. en virtud de ( 1 ) y ( 2 ) , obtenemos :

S S P (x' , yc) dx'dy' = • S S P[l (x, y), � (x, w

dx dy .

dx dy.

' X y.

)]D(/, )d d D (x, y)

O b s e r v a e i.6 n . Si la fronte ra del dom inio •' consiste de var ias curvas cerradas C•' ' c..•' . ·: . , C'., entonces el teorema anterl<> r contintSa s iendo vál id o s o ..

lamente en el caso en que la forntcra del dom inio lit consista del m ismo n ú me r o d e cu rvas cerrGdas e,, C1, , e,., l a s q u e m ediante l a s func iones f, !(1 se e; , ·e�, '. ·. . P rocede supon er transform en b iun ívocam enLe en las Qurvas. ·

• • •

aún que s i el punto describe las cu r va s C1 , C1,

• • •

en direcc ión i zquierda , e n -

tonces e l punto correspondiente describe l a s curvas

en direcci6n izqu ierda o siem pre en dirección derecha .

e; , e�, . . .. ' C',.

s i em pr e

La demostraci6n se conduce análogamente a la anterior , si se hace uso d el

377

TRANSFORMACIOÑES CONTINUAS teovema geneval de Gveen . ( Pág. 359 ) Observación 2 .. Aceptemos que el signo jacobiano

el dom ini9 · (,, · Según la f6vmula (l ) Aquí

a ___: + t

P( x ', y 1

•

P (x', y') dx'dy' =

P (f,

D (/, 'f) D (�, y)

no cam bia en

�p) {e g��:;�] dx dy .

(6)

depende ún icam ente de f y de cp, pevo no de P . Haciendo

SS dx'dy' =SS (e D(x, ')] dy

1 , obtenemo s :

.,,

D (/,

y) dx .

•

Pov cuanto el m iem bvo izquievdo de esta igualdad es positivo . la función ' debe s e v no -negativa ya que según los supuesto el jacobiano

.g��.�

no cam bia de signo , y como

&� + t.

entonces

/) (/, 'f) • lf(i;1)

l� �., t)y) l.

Pov consiguiente , en este caso se�n 'l a f6Pmula ( 6) encontvamos :

y�)"dx'dy' SJ P (f, !f) ��.;� ldx dy .

P (� •.

Ob s e v va e i6n 3 � PÜed e detnostvavse que la. f6Pm ula ( 1 1 ) es vál ida sien pl"e y cuando se sati sfagan las condiciones siguientes:

l ). Los dom inios .- y ..t' sean regul.aPes ;

2 ). Las tun�ones fjx, ¡) . y transfc;>Pmen biunívocam ente la parte intev del dom inio • sobre toda la parte interiol" del dom inio �. ..

cp (x:.Y)

En · este caso n o e s obl igatovio suponer que l a transfoPmac ión sea biun fvocé sobve la fPontera . Ejem plos.

1_. Ca lcular la integral � � (xi +y'}dzllysobl"e el sectol" civEular • , l im itado poi" e eje OX la recta Hagamos

Y=xtga(0 <·• <2w)

lY la c ircunferenc ia

,cl + y' = l .

Estas •cuaciones tran�forman biunfvocam ent.e la interioridad del r>ectángu lo V � <'tJ<; ..1 , ..O < cp < t�) der plano : (r. cp)' en la inter>ior>idad del sector (•), y el jacob1ano

D(x, y) = r

J.J(T_, T)

,378

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

tiene un s i¡no con state . �or> consi&u i en te

,f$

(.<' +Y') dx dy

tf (r'

cos'

' + r'lln' f) r dr d<p

j ¡ d,

r'dr =

P-qf'a el cálcu i o de la inteer>al so b re todo el c fr>cu lo un itar>io no podríam os uti l iza r> la tr>a ri s t o r>mac ión anter> ior> ya que ella no es m utuam ente unívoca en n in guna vecindad del punto r • O. Sin embargo puesto que el resu ltado obte n ido es cor i'e cto pa r>a todo • < 21t, tendr>emos que al pasa r al l ím ite , cuando e� - 2w, · la integral sobr>e todo el c rrculo toma el !va lor :i· • ·

Como este r>azonam iento es vál ido par>a cualquier funci6n cont inua la inte -grac ión sobre todo un árculo unitario puede l l evarse a coo rdenadas polar>es . aunque aqu í las cond i c iones de nuestro teo rema no se cum plen .

Esto , por otr>a Pa r>te , se sigue t am b i én de la observac ión 3 y de la p ropiedad de nuest:ra transformac ión ( ver e l ejei'lplo 4, Pág .37 2 ) . Ca fcu\ar> el volumen de l e l i pso ide

Com o el el ipso ide es sim étrico con respecto al olano OX Y , entonces y el dom in io

•

V=2JS c · y 1 -;-�dxdy,

de integrac ión sera la ·elipse

t + , == • ·

Hagamos x • au , y • bv. Se comprueba� fácilmente que estas fó rm ulas deter m inan una refl exión m utuamente unívoca del c írculo un itario K del p lano OUV en la e l ipse ... Puesto Que

obtendremos :

SS y" .

}- .t;- dx drSJ Vt -tf -V ab da d11 .

Introduc i endo las coo r>denadas pol a r>e s ( ver e l ejem plo ante r io r ) encontramos

F ina l m ente

S) y

tt = ! cos

t - ..·�;¡r da dv -:4

'' -v

� d �,y

!11

l·

= r sin cp

r1dr= s2

V == ¡ 'IUibc•

Representemos po r f(x, y), do s func iones continuas y con deriYadas - • (x, Yl parcia l es , c ont i n u as tambl,a. en la ve cipda d del punto (x • y ) . Supongamos o

TRANSFORMACIONES CONTINUAS

379

también que su jacobisno P <� l){i:Y) .

es diferente de cero en esLe punto .

La transfo rmaci6n definida po r las ecuac iones x' .

(x, y), y'= f (x, y),

es m utuam ente b iunívoca en la vecil'\dad �e c ierto punto (x • y ) . 0 0 Así, si se contruye un c írculo k

ae radio suficientem ente pequeno . con cen r tro en e l punto (x , y ) , la imagen de este c írculo será denta curva cerrada K o o r así como el dom inio que se encuentra en e . interior de esta c urva . El área l i m itada po r esta curva es igual a la integral

D (/, y)'f) dx dy• -:- . .D(fc. · SS dx'dY' -•SS

«, «; Representando por m y M los valo res m ínimo y máxim o , respectivamen r r te , del jacobiano , en . el círculo K obtenemos , ·según el teorema de la Pág. 335 r

�,\ K;\ < SS ��;�dx dy � M,I K,I. «.

. (/, 'f) dx dy � M m- ,.;;; ¡ K, \ ítJ D�

es decir,

r •

y M en virtud de la r r continuidad del jacobiano , tenderán al valor de éste en el punto (.x0 , Y0 ) • Si el radio r tiende a cero, entonces los núm e ro m

Por lo que

,11m _. 0TR;f ·

jj D{/, '>.dxdy = D (/, ')\ .

Mulripl icando am bos m iembros por lim

' -+ o

l K; 1 K

D(x, y) � :: �•

Q(x. y)

_¡ . , obtenemos :

=;:: 8

'f) l

� -� .

•

D (x, y) �� == �·�. D (f,

•

Vemos, asf, que la m agn itud absoluta del jacobiano es igual a t l ím ite de la relac i6n entre t K; -, K, · y e l jacobiano será posÚivo o negativo de acuerdo

con que se conserve o ho la direcc i6n de c irculación. Tene m os aquí cierta analogía con las pro(?iedaaes conoc idas de la de rivada de una func i6n de una var iabl e.

380

CALCUW DIFERENCIAL E INTEGRAL PROBLEMAS

l . P o P m e d io de l o s ej e m p l o s ante P i o Pes de cam b ios de va Piables , c a l c u l a P :

a ) E l vo l u m en d e l a poPc ión d e l e l i psoide

a lojada en e l pPim eP o c ta nt e entP� l os planos x • O , y .,. O , z = O y el pl ano !!. + 1... - t' a

V=� uk (5)'"1 - 4).

b ) El vo l u m en d e l cuePpo dete Pm inado poP l a int e Psecci6n d e l a e sf e Pa � +r + ,. = ,.

con el c i l ind Po c i Pc u l a P

4 V = 3 K (rl - (rl

xt + r = iz'

(a > r). .!. - a")2J.

e ) Las coo pdenad a s d e l c e nt Po de gPavectad ( v e P Pág . 34 3 , p po b l e m a 6 ) de un c u a Pto de l a e l i p s e alo.indo en e l P P i m e P c u ad Pante : 2.

Dem ostPaP m ed i an t e un c a m b i o de va P ia b l e s , q u e la t Pansfo P m ac i6n x' = Y'Y. y' = - 2x Vy,

es biun ívoca pa Pa y > . o . y que posee la p po ()ied a d de que la imagen de c ua l qui e r dom inio c e P Pado del plano OX Y ( a l o jado s o b P e el e j e OX ) es un clom in io ce PPa do con la m i sm a á Pea .

CAPITULO XXIII INTEGRAL MULTIPLE.

l . 1 n t e s r a 1 T r i p 1 e . Sea O un conjunto de puntos . {x, y, z) en el espac i(h:-\' YZ¡Jue satisfacen las desigualdades a <:; x <; a',

c <. z <. e'.

b <.y � b',

Ev identem ente D es un pa ral elepíp edo re cto de vol umen �

y es su d iagonal .

= (a' - a) (b' - b) (e' - e�

1 = V (a' - a)1 + (b' - b)1 +

(e' - c)1•

Dividam os a D ·en un núm e ro finito de paral el ep ípedos rectos de vo l úm enes &t1, A-r1 , . . . + ) . L lamaremos e o r t a d u r a �� al conjun to 0.e estos paral elepípedos rectos .

Re presenta remos con

m ayop de las d iagonal es de l os papalelepípedo s .

1 � r a la

se· d i rá que la secuencia de co rtsduPas e s n o r m a 1 s i llm ¡ an \ = 0.

...

Adm itam os que en el pa ral elepípedo recto D , f (x, y, z) . es una func ión á rbitraPta y el ija -: definida y acotada . Form em os una coPtaduPa bm os tam b ién a Pb itra riam ente en cada paPalelepfpedo de l o s que consti tuyen la CO Ptadura a�. un punto . RepPesentemos las coo rd inadas de los puntos escogidos por <� •• JJ1 , C1), <e.. JJ. , c. > . . . y fopm emos la suma : n

Si paPa cada secuencia noPmal de coPtaduPas ci iente secuenc ia de la sum as

{Anf

c ión / (x, y , z} es i n t e g P a b l e e n D .

{ �n }

la coPPespon

t iene l ím ite , se dice que la fun

Puede dem ostraPse ( c om o en l a

doble integpal ) que en este caso las secuenc ias

fAn }

t i enden a un l í

m ite com ún al que l lamam os. i n t e g r a l t P i p l e d e l a f u n c i ó n / (x , y, z) e n e l p a P a l e l e p í p e d o P e c t o C . Se Pepresenta m e d iante el srm bo l o

S � S t (x, y, z) d,;

HJIH

S � S t (x, y, z) dx dy dz.

+ ) En lo que sigue tanto l o s paPalelepípedos com o los dom inios se representarán tam b ién po r At1, At.,_. . . ( N ota de la Red ) .

382

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

2. I n t e g r a 1 M ú 1 t i p 1 e . Sea D el conjunto de puntos (x, y, z, t)' del espacio iie c ua t ro d im ensiones, que satisfacen las des igualdades : a � x � a', b �y <, b', c � z t;;;. b',

d <;. t <.d'.'

El conjunto D se l l am a i n t e r v a 1 o del espaci o tetrad i mensional ( Pag.2 02L Como m ed ida de este intervalo (al que tamb ién l lam amos valumen ) se tiene el núme ro

,;= (a' - a) (b' - b) (c' - c) (d' - d).

Se l lama diagonal del intervalo al número

l=V(a' -a)� +(ÍI -b)1 + (c' -c>* + (d' -d)1.

D ivid iendo el intervalo D Ém un núme ro finito de inte rval os de m edí A-t1 , A.'t1 , obtenemo s la cortadura t . Representamos con • • •

1 ' ¡�·

a la m a yo r de l as diagonales de l os intervalos que entran en la

cortadura

. ,,

. Se d ic e que la secu enc ia de las cortaduras

{ �,. }4

es noi'mal , si

Sea que la función · / (x, y� · z, t) 1 es defin ida y acotada en el intervalo Tom em os, arbitrai'iam ente , en cada intei'valo un pun �11:1 , . . .

4't1,

to cuyas coordinadas serán respectivam ente y foi'm em os la suma :

(a., 1Js• � tl) ;. lE., 1J,, �� t,), ••

A =1 (�1 , 1J1, C,, �¡) A-.:1 +/(E., 1Ja, e_, 11) A.'t1 + . . .

. Si para cada secuencia normal de contadui'as diente secuenc ia de sumas func ión

f (x, . ,, . z, t)

{A,.}

, la co i'res pon -

tiene l fm ite , entonces se d ice que la

es i n t e g r a b 1 e en el intervalo D.

de las s ecuencias {A,.l · c ión /(x, ,, z, t) e n el sím bolo

El l ím ite com ún

se l l am a i n t e g I' a 1 e u á d r u p 1 e d e l a f u Il. e l i n t e r v a i o D . Se representa m ed iante -

� � � � 1 (x, y, z, t) dt o ·

{ !,. }

. • . .

J SSS t<x. y, z, t) dx dy dzJit. D

Se define s im ilarmente la integral múltiple en un espac i o de un núm_e ro cual quiera. de d i m ensiones_.

Los teoremas 1 , 2 , 3 Y 3. C o n d i c i o n e s d e I n t e g i' a b i l i d a d . 4 ( Pár. 2 , Pag.327) si guen siendo vál idos para las integi'ales ti'iples Y míiltiples. En fos teoremas 1 , 2 , 3 , en cal idad de dom inio D , debe tom 2_r se un paralelp(pedo recto como intei'valo.

L a s demosti'ac i ones de esto s

383

INTEGRAL MULTIPLE teoremas son análogas. En e l teorema 4 se hace la m od i ficac i6n si - guiente : en e l caso de l a integral triple suponem os que los puntos de d iscontinu idad de la funci6n sub integra l están alojados en un número finito de superfic ies que son las i mágenes geom é t r ica s de la func i6n continua j _:.fcx:·,y; · o de 1.x = , (y�-'z) .. o Y = , (x, t). En e l caso de la inte - gral ouádxiup fe-stipondrernos que l os- puntos de d i scontinu idad están sobre un núm e ro fin ito de imágenes m últiples , que son im ágenes geo CT}'é tricas de func iones cont inuas tal e s como t =f(x, o e�.

y�'z) ,

x = <p (y;" z,-t)

Var iantes anál ogas se introducen [ •a ra e l caso de mayor núm e ro de d i m ensiones.

4. L a i n t e g r a 1 m ú 1 t i p 1 e e o m o r e i t e r a e i ó n . Teo rem a . S i p a r a 1 e 1 e p rp e d o

1 a f u n e i 6 n /(�, y¡ z)

eont inua

en e l

- -

r e e t o D (a <: x .;;;; a·, b <. y .;;, b', e � z .;;; e') e n t o n e e s

�Á S t<x�

J[�{}

y , �) d,; =

t:'

_uj!

} ]

t<x, y, z) dz dy dx.

L a demostración de este teorema e s análoga a la del teorema del Pár. 3, Pág. 328. Un teo rema análogo t i ene l uga r para las integral es m últiples. O b s e r v a e i 6 n . Puede dem ostra rse un teorema más gen e ra l . Aceptemo s q ue la func ión / (x, y, z) es integrabl e en O y que para todo pa r de val o res x, J la funci 6 n /(x, y, z), conside rada como función de una sola var ia ble .r es integrab l e . Bajo tales cond iciones puede afi r ma rse que : ,. lo

1 ) F.(z, Y) =;r

<•cx..;;;; d� 2 1 s¡st <z.

Sl<z. .

y, �).

es una funci6n integrable en el rectángu -

b < )· < b'):

•) '* =

tHf ' i

}

!x. y. •l d• do.

srs +y + �).d,;l (x'

E j e m p 1 o . Ca lcular la i ntegral .· l ep ípedo recto O determ inado por l a � des igua ldad es

O c;; x �a,

obtenemos :

o e:;;; y ..; b,

O < z < e.

sobre el paral e

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

•

Sfbu'+;e+b�l-d�=

��e + -:�+ -.=� (a- + ll + c�;

5. I n t e g r a l l\t1 ú l t i p l e s o b r e un D o m i n i o . Sea r�:. un do m in io acotado y cerrado en el espacio trid im ens iona l , ( ve r P ág. _202 ) .

Adm itam os que l a funci6n f�x, -,; z} es d efinida y acotada en el do m inio � Sea D un paralel epípedo recto cualquiera .

_(a < x < a',

que cont iene al dom inio .� haciendo

F (x, y, z) =

{/(:·,ti X, , .)'

�}

b < y < b'

c < z < c')�

Definamos en O una nueva funci6n F (x, y, .1),

D i remos que la funci6n l(x,. y,· z) es integrable en

�

es integrable en D. L lamarem os al valoP de la integ al

�l�

s i- F' (x� v, z)

P.(x, y,

z) d�

integral tPiple de la func i6n J (�,. y, z). en el dom inio ,. . La trip le }nte gral sobre el dom inio • se repPesenta rá , com o antes , m ed iante el sím bolo

fSS t <x, y, •) •. •

s �� /(x, y, .l) dx dy dz. •

A s ( , p u e e , s e ¡¡ d n l a d e f l n i c l 6 n a l' l' i ba m e n c i o n a d a

S�S i (x, y, �) tñ = SSS F (x, •

y, z) 4�.

Como fác ilm ente se com prueba , para la triple integral t iene lu ga r una obse rvac ión análoga a la de la Pág. 333.

El dom inio cerrado ·� e s r e g u 1 a r s i s u f r o n t e r a e o n s i ste en un n ú m ero f i n i to de supe rf i c i e s suscept i .b l e s d e r e p r e s e n t a r s e e n u n a d e l a s s i g u i e n t e s f o !_ mas

El l ector com probará fác i l m ente , que l os teorem as 1 y 2 ( Pág. -

333) son vál idos tam bién para las integrales triples ( con los cam b ios

correspondientes ) .

E l volum en d e un dom in io regular cerrado la fórm ula da l•l=

SSS ..,

(1)

s e d e t e rm ina poP

•

Tal defin i c ión y teo r e m a s tienen l uga r pa ra integPa l e s m últiples c ua l esqu i e Pa .

INTEGRAL MULTIPLE

385

Fác i lm ente podPá el lectoP fopm ular los teo Pema s 1 , 2, Par. 5 ( Pág. ) para laR integpal es múltiples . L as dem ost:Paciones son análogas.

334

Como val o P medio de la func ión / (x, mos la cantidad

y, •>en e l dom into

•·

obtene

e om o R e ite Pae i6n en un Sea • . un dom in io Petular en el p lano OXY y • un dom i n io Pegulap en e l e spac io de tPes d im ens iones. defin idos d e l a s iguien te manera : Fl dom in io eo está constituido por todos los puntos (%, y, .J) para los cuales e l punto (x, y) pe rtene c i ente a •• z satisface las de s i gualdade s

6. L a I n e e g P a 1 M ú 1 t í p l e

Oom in io .

tf 1

(x, y) <; z < fa (x, y),

donde f. Y) y f. (�, JI) son func ion es continuas defin idas en e,. A tal dom in io lo l lama re m os n o r m a 1 con relación al plano OX Y. El do - m inio • está del i m itado poP la s supePfic ies z = ,1 (x, y) y f1

(x,

z= (z, y),

l a supe pfici e lateral del c i l indro d e base •., cuyas genePatr ic e s son pa palelas al eje OZ.

Sea D un pa .ra l e le p fpedo recto cua l quiera detel'ITlj

nado po.r las des i gualdades a � x <. a'. b <y � ll, c .;;;. z .;;;, c' que enci e.rra al dom inio " · S i la func ión y, ·,) e s continua en •, entonce s , como sabem os:

/(x,

donde F (x, z) =f(x, del paralel epípedo D .

y, z) en

•

y F (x,

y, z) = O en l o s Pescantes puntos

F(x, y, z)�

L a función considerada com o func ión d e una so la vari� b l e z , tiene no m á s de dos puntos de d i scontinu idad : estos pueden seJ:i solamente los puntos en los que la .recta que sal i endo del punto .)') pa pa l elam ente a 02, in tersecta la f ponte ra del dom inio a. P o P cons i guiente , para todo punto (x, y)existe la integpal

(x,

•

S F(x, y, z)dz= W (x, y).

�

De donde , en v i Ptud de la obse rvac ión de la Pág. 383 se despren de qu e e'

�.� l l<x, y, z)d�= SjSF<x, y, .r)d'l:=u {�F(x, y, z)dz} d�. (J)

donde

D' Pe p.r esenta el P e c tá n g u l o d efin ido pop l a s des igualdades

PePo como fác i l m ente se adv i e Pte , para � . JI fi jo s , tenem os

386

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL e'

W (x, y) = F (x, y, z) dz =

•

..(... y)

�... y)

S F (x, y, z) dz =

\ti(.., y)

S f{x, y, z) dz,

(2)

•• (.., y)

cuando {x, y) pertenecen a

•J I

lf (x, y) = S F (x, y, z) á = O en los restantes puntos del rectángulo D'. �

Por consiguiente. · � � W(x, y) da = S S W(x, y) da. D'

"'•

Así pues, en virtud de (l J y ( 2 )

�e�. y)

� � � / (x, y, z) dt = � �{ � "'

· wa

/(x,

,.{�, y)

}

z) dz da.

Fórmulas análogas s e obtienen para dom inios normales en relación con los planos O YZ y OXZ. Ej em p lo s .

� �S (2x + 3y - z) dxdy dz l . · Calcular la integral ... z = O, z = a, x = O, y = O, gulaP, de caras Tenemos <p. (x, Y) = O, <p1 (X, Y) = a. El dom inio rá d triánglllo d e lados x = O, y = O, Así pues, Como

(1) ,

en el prisma tflian , en el plano oxy se -

S � S (2x + 3y z) dx dy dz = S � { f (2x + 3y z) dz \ da. -

S (2x + 3y- z) dz 41

.... .

(2x + a _� ,

3y)

entonces , finalmente , para nuestra integral obtenemos :

I�[ (2x+3y)

�-X

�] da = � dx � [<2x+3y) a - �] dy = = � ab· - ! a1b1 • 6

2. Ca l cu l a r> el volumen d e un dom i n i o no rm a l con res¡Jecto a l plano -

OXY.

Conse r>vando la nota c i ón ant e r i o r , obtenem o s :

INTEGRAL MULTIPLE

V= esto es

387

..(a-, 7)

S �� dx dy dz = SS { S dz } da, w,

..,

V = S j [Cf>a (x. Y)

•·<�.7)

f 1 (x. Y)] da

(ver Pag�340 Ejemplo 4 )

PROBLEMAS l. Cal cular la triple integral

SSS (1 - x)• yr=yrdxd y d� D

en el paralelep(pedo recto D, l im itado por los planos x = :t: 1 1 Y = :!: 1 , • = ::!: l.

4n: Respuesta . 3 .

2. Las coordenadas del centro de gravedad de un cuerpo hom ogéneo son l os valores m edios de las funciones x, y, z, es decir

Determ inar el centro de gravedad ; a ) de la octava parte del eli psoide xl

alojada en el prime r octante .

y•

(il' + bl + ? = l,

b ) Del cono c i rcular de radio r y al tura w . Respuesta .

d istancia

3 e; a) E = s a, 11 = s b, C = s 3

{-e desde la base.

3 . Calcular el triple integral

b ) sobre la altu ra del cono a una

SSS r sin y dt e n e l dom inio w

•,

nor -

mal con relac i6n al plano OYz,com prendido entre este plano y las supe r ficies Respuesta :

EsTA OBRA HA siDO EDITADA POR U NIÓN TIPOGRÁFICA EDITORIAL HISPANO AMERICANA, DE MÉXICO, D. F.,

767. FuE IM PRESA EN CEN

TRAL DE EDITORIALEs, S. A., DE MÉxico,

Av. UN IVERSIDAD,

VICENTE BERISTÁIN, YO, y SE TERMINÓ EL DÍA 2 1 DE NOVIEM BRE DE 1 96 7 . L A EDICIÓN CONSTA D E 1 ,500 E J EMPLARES .

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