La enciclopedia matemática

METAMATE - UNIDAD #3

LA ENCICLOPEDÍA MATEMÁTICA

LICEO JAVIER MATEMÁTICAS V BACH. "C" MATUTINA SANTIAGO VALDEZ ACUÑA

ÍNDICE PÁGINA 1 CICLO 1

División larga de polinomios División sintética de polinomios Teorema del residuo Teorema del factor

PÁGINA 4 CICLO 2

Teorema fundamental del algebra Teorema de los ceros racionales Regla de los signos de descarte Teorema del limite superior e inferior

PÁGINA 7 CICLO 3

Función exponencial Diferencia con el modelo lineal Ejemplos: Ejercicio Problema de aplicación

CICLO 1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS La división de polinomios, también llamada división polinomial o división polinómica, es un algoritmo que permite dividir un polinomio entre otro polinomio que no sea nulo. Ósea, es como una división normal, como siempre, pero ahora pero ahora con polinomios. Por ejemplo: (3x^2 - 2x - 8)/(x + 2) Para la realización de una división de polinomios se encuentran dos formas de hacerlo, de la forma larga, división larga de polinomios; o la sintética, división sintética de polinomios.

División larga de polinomios Esta forma de división se puede comprender como el proceso matemático largo de la división de números, pero en este caso con polinomios y añadiendo la variable "x".

Para hacer la comparación están los siguientes ejemplos: "División normal":

159.5 6 957 -6 35 -30 057 - 54 030 - 30 0

División larga de polinomios:

2x^2 - 4x +3 3x - 2 6x^3 - 16x^2 +17x - 6 -6x^3 + 4x^2 0 - 12x^2 +17x +12x^2 - 8x 0 + 9x - 6 - 9x + 6 0

1

Y el resultado es lo que queda arriba, es decir en este caso del ejemplo sería: 2x^2 - 4x +3.

Si se da el caso de que quede residuo la respuesta se tiene que quedar como lo que te quedo en el cociente mas el residuo dividido el divisor.

División sintética de polinomios Esta forma de división de polinomios sintetiza el procedimiento de la división haciéndola más practica o rápida. Sin embargo, le divisor siempre tiene que tener la forma de "x - c". Para realizar esta división solo escribimos las partes esenciales del dividendo, ósea los coeficientes. En ejemplo para entender mejor el procedimiento:

2x^3 - 5x^2 +6x - 4 x-2

2

+2 -5 +6 -4

Después de esto, para poder resolverlo debes de bajar el el primer número, en este caso es el +2, multiplicarlo por el valor de "c", poner el resultado abajo del -5 y hacer la operación, el resultado lo multiplicas por el valor de "c" y repetir el procedimiento.

Cuando llegues al final, si el resultado fue 0 no tienes residuo pero si sí, tendrás residuo.

Ejemplo del procedimiento:

2

+2 -5 +6 -4 +4 -2 +8 +2 -1 +4 +4

Cociente: 2x^2 - x + 4 Residuo: +4

Recordatorio, si el dividendo se salta un exponente es decir, del 5 al 3, en tu división sintética debes de poner como coeficiente del exponente faltante 0.

Teorema del residuo El teorema del residuo se cumple cuando la función polinomial P(x) se divide entre "x-c" y el residuo está valuado como el valor de P(c).

2

Este teorema es usado para encontrar más rápido el residuo de una división polinomial. Para ello solo debes de sustituir el valor de c por el de x en la P(x). A continuación un problema resuelto , para entender mejor el tema: Sea P(x) = 2x^5 - 7x^3 + 2x^2 - 3x - 5 A) Encontrar el cociente y el residuo de P(x) si se divide entre x - 3 B) Use el Teorema del residuo para encontrar P(3) A)

3 +2 +0 -7 +2 -3 -5 +6 +18 +33 +105 +306 +2 +6 +11 +35 +102 +301

Cociente: 2x^4 + 6x^3 + 11x^2 + 35x + 102 Residuo: +301

B) P(3) = 2(3)^5 - 7(3)^3 + 2(3)^2 - 3(3) - 5 P(3) = 486 - 189 + 18 - 9 - 5 P(3) = + 301

Teorema del factor

Este teorema sirve para comprobar o encontrar los factores del polinomio, para ello deben de cumplir con la condición de que el valor de "c", un número real, es cero de P si y solo si x-c es un factor de P(x). Es decir que cuando sustituimos el valor de c por x, p(c) debe de dar como resultado 0, ya que esto comprueba que sí es un factor del polinomio. A continuación un ejercicio resulto para comprender mejor el tema: Sea P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4. Determine que P(2) = 0 y use este dato para factorizar P(x) completamente P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 4 P(2) = 16 - 20 + 4 P(2) = 0

2 +2 -5 +0 +4 +4 -2 -4 +2 -1 -2 +0

Cociente: 2x^2 -x - 2 Sin residuo

Como resultado llegamos que x-2 si es factor del polinomio y también llegamos a factorizar completamente P(x), el cual es = (x-2)(2x^2 -x - 2).

3

CICLO 2 CEROS REALES Y COMPLEJOS Los ceros reales son valores de "x" cuando "y" es igual a cero, y representan las intersecciones "x" de la gráfica. Por otro lado, los ceros complejos son valores de "x" cuando "y" es igual a cero, pero no se pueden ver en la gráfica. Ya que los ceros complejos consisten en números imaginarios.

Teorema fundamental del algebra Este teorema nos dice que si tenemos una función P(x) dada por un polinomio de grado n, necesariamente vamos a tener n raíces en el polinomio; o dicho de diferente manera vamos a tener n valores de x tales que el polinomio evaluado en esos valores nos dé 0. Dentro de este teorema se trabajan raíces reales y raíces complejas.

Cuando se realiza un ejemplo o ejercicio en gráficas con polinomios de grado 2 o 3 o 4... se debe de saber que si se da el caso de tener raíces complejas, estas siempre van a venir en parejas de números conjugados.

Ejemplo de gráfica con dos polinomios de grado dos

En el ejemplo podemos ver que la parábola naranja tiene dos raíces reales, ya que existen intersecciones en el eje X. Pero en la parábola verde no hay puntos específicos, ya que esas raíces son complejas y porque no existen intersecciones.

4

Teorema de los ceros racionales Este teorema se deriva de los aportes de Galois y de otros muchos matemáticos. Este teorema establece que si hay una función polinomial con la forma de:

todos los "a" son coeficientes enteros y los exponentes también son coeficientes enteros. Por otro lado, el teorema decreta que todo 0 racional del polinomio es de la forma racional p/q. Donde la p es un factor del coeficiente constante a0 y q es un factor del coeficiente constante de an.

Para entender mejor el tema aquí hay un ejemplo del tema: Sea P(x) = x^4 + 2x^2 - 6x + 3. Encuentre los ceros de P.

Factores de 3 Factores de 1

=

±1; ±3 ±1

1 +1 +0 +2 -6 +3 +1 +1 +3 -3 +1 +1 +3 -3 0

(x-1)(x^3+x^2+3x-3) Ceros= +1, núm. irracionales

**No se siguió simplificando debido a que los ceros son irracionales.

Regla de signos de descarte La regla de signos de descartes establece que el número posible de raíces del polinomio P(x) es igual al número de cambios de signo en los coeficientes de los términos o menor que los cambios de signo por un múltiplo de 2. Por ejemplo, si hay si hay 4 cambios de signo en los coeficientes esto significa que el número posible de raíces positivas del polinomio es 4 o 2.

A continuación un ejercicio resuelto para comprender mejor el tema: Sea P(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 4.

P(x) = x^3 + 3x^2 + 6x + 4 P(-x) = -x^3 + 3x^2 - 6x + 4

To

.

3

3

+ 0 0 - 3 1 C 0 2

Ningún cambio de signo. (0) Tres cambios de signos. (3)

(+) (-) 0 3 1

(0,3) (0,1)

Esta tabla de descartes nos dice que podemos encontrar raíces, en primer lugar 0 positivas, 3 negativas y 0 complejas; o 0 positivas, 1 negativa y 2 complejas.

5

Teorema del límite superior e inferior Este teorema establece que si hay una función polinomial P(x) con coeficientes reales, entonces, si está tiene un número positivo b, b será un limite superior si al dividir el polinomio dentro de (x-b) obtenemos en el cociente y residuo solamente términos positivos. Y si tiene un número negativo c, c será un limite inferior si al dividir el polinomio dentro de (x-c) obtenemos en el cociente y residuo términos alternantes de signos. Es decir, +,-,+... o -,+,-...

Para entender mejor este teorema está este ejemplo resuelto: Demuestre que todos los ceros reales de la función polinomial P(x) = x^4 5x^2 - 10x - 5 se encuentren entre 3 y -3. ¿3 es límite superior del polinomio P(x)?

3 +1 +0 -5 -10 -5 +3 +9 +12 +6 +1 +3 +4 +2 +1

R//3 sí es el límite superior del polinomio P(x).

¿-3 es límite inferior del polinomio P(x)?

-3 +1 +0 -5 -10 -5 -3 +9 -12 +66 +1 -3 +4 -22 +61

6

R//-3 sí es el límite inferior del polinomio P(x).

CICLO 3 FUNCIÓN EXPONENCIAL La función exponencial está definida de la siguiente forma F(x)=a^x. Esta función tiene la característica de que si el valor de a es mayor que 0 pero menor que 1 es una función decreciente, pero si el valor de a es mayor que 1 es una función creciente.

Si es negativo el valor de a siempre va a ser decreciente, pero puede ser creciente si y solo si el exponente es negativo.

Las funciones exponenciales se caracterizan únicamente por el hecho de que la tase de crecimiento de dicha función es directamente proporcional al valor de la función.

La funciones decreciente y crecientes se miran de la siguiente manera:

Función creciente

Función decreciente

DIFERENCIA CON EL MODELO LINEAL La diferencia que existe entre una función lineal y una función exponencial es el crecimiento. En las funciones lineales el crecimiento, como su nombre lo dice, es lineal o en otras palabras constante. En cambio, en las funciones exponenciales el crecimiento es el resultado de un incremento a razón constante.

7

Por ejemplo, en los siguientes tablas se puede ver que en una el incremento es constante y en la otra es exponencial.

4 6 8 2 3 4

Esta es una función lineal debido a que su incremento es constante. Cada vez que aumenta dos veces en X, aumenta una vez en Y.

X 0 1 3 4 Y 1 2 4 8

Mientras que esta es una función exponencial debido a que su incremento es a razón constante. Cada vez que aumenta uno vez en X el valor de Y se multiplica por dos.

X 2 Y 1

Ejemplos

EJERCICIO Según la función F(x)= 5^x construye un cuadro de valores y traza la gráfica.

F(x) = 5^x

X

Y

F(-2) = 5^-2 = 1/25 = 0.04 F(-1) = 5^-1 = 1/5 = 0.2 F(0) = 5^0 = 1 F(1) = 5^1 = 5 F(2) = 5^2 = 25 F(3) = 5^3 = 125

-2 -1 0 1 2 3

0.04 0.2 1 5 25 125

Gráfica hecha en GeoGebra.

8

PROBLEMAS DE APLICACIÓN Una persona invierte un capital de Q2500.00 en un banco que le ofrece una tasa de interés anual del 8.0%. ¿Cuál sería la capital dentro de 3 años? ¿En cuántos años tendría una capital de Q5000.00?

La función de este problema sería:

F(x) = 2500(1 + 0.08)^x Sustituimos el valor de x por 3, debido a que nos piden la capital dentro de tres años.

Y resolvemos la ecuación.

F(3) = 2500(1 + 0.08)^3 F(3) = 2500(1.259712)

F(3) = 2500(1.08)^3 F(3) = 3,149.28

R// Dentro de 3 años la capital va a ser de Q3149.28 Ahora, como en el ejercicio anterior vamos a sustituir el valor de F(x) por el de 5000 ya que es el valor de la capital final. Y debemos de despejar el valor de x

5000 = 2500(1 + 0.08)^x log(5000/2500) = log(1.08)^x x = log(5000/2500)/Log(1.08)

5000/2500 =(1.08)^x log(5000/2500) = x * log(1.08) x = 9.00646835

R// Para tener una capital de Q5000 van a tener que pasar 9 años.

9

LA

ENCICLOPEDIA

MATEMÁTICA

Y eso es todo amigos Hecho por Santiago Valdez Acuña V curso "C" #33