Giải đề thi Hình học không gian ĐH 2002- 2013

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2014

TUYỂN TẬP ĐỀ THI ĐẠI HỌC: Chủ đề: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Đề 01: ĐH A- 2002 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN), biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Bài giải: 1 a Gọi K là trung điểm của BC và I = SK ∩ MN . Từ giả thiết ⇒ MN = BC = , 2 2 MN // BC ⇒ I là trung điểm của SK và MN. Ta có ∆SAB = ∆SAC ⇒ Hai trung tuyến tương ứng AM = AN . ⇒ ∆AMN cân tại A ⇒ AI ⊥ MN .

S ( SBC ) ⊥ ( AMN )  ( SBC ) ∩ ( AMN ) = MN ⇒ AI ⊥ ( SBC ) ⇒ AI ⊥ SK .

Mặt khác  N AI AMN ⊂ ( )   AI ⊥ MN I  Suy ra ∆SAK cân tại A ⇒ SA = AK =

SK 2 = SB 2 − BK 2 =

a 3 .

2

M

3a 2 a 2 a 2 − = 4 4 2

A

K

2

3a 2 a 2 a 10  SK  ⇒ AI = SA − SI = SA −  − =  = 4 8 4  2  2

2

C

B

2

1 10a 2 Ta có S∆AMN = MN . AI = (đ.v.d.t) 2 16 Chú ý: Có thể chứng minh AI ⊥ MN như sau: BC ⊥ ( SAK ) ⇒ MN ⊥ ( SAK ) ⇒ AI ⊥ MN Đề 02: ĐH B- 2002 Cho hình lập phương ABCD. A1B1C1D1 có các cạnh bằng a . a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1D . b) Gọi M, N, P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB1 , CD, A1D1 . Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N .

Bài giải: * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1D :  A1B ⊥ AB1 Ta có  ⇒ A1 B ⊥ ( AB1C1D ) ⇒ A1 B ⊥ B1 D  A1B ⊥ AD Tương tự A1C1 ⊥ B1D ⇒ B1D ⊥ ( A1 BC1 ) .

Gọi G = B1D ∩ ( A1 BC1 ) . Do B1 A1 = B1 B = B1C1 = a nên GA1 = GB = GC1

P

A1

B1

C1 G

M

I A

⇒ G là tâm tam giác đều A1BC1 có cạnh bằng a 2.

B Gọi I là trung điểm của A1 B thì IG là đường vuông góc chung của A1 B và B1D ,

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

1

D1

E D N C

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 1 1 3 a 6 nên d ( A1B, B1D ) = IG = C1 I = A1B . = 3 3 2 6 * Tính góc giữa hai đường thẳng MP và C1 N : Gọi E là trung điểm của CC1 thì ME ⊥ ( CDD1C1 ) ⇒ hình chiếu vuông góc của MP trên

( CDD1C1 ) là

ED1 . Ta có: ∆C1CN = ∆D1C1 E ⇒ C1D1E = C1CN = 900 − D1C1 N ⇒ D1E ⊥ C1 N .

Từ đây, theo định lý ba đường vuông góc ta có MP ⊥ C1 N . Đề 03: ĐH D- 2002 Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC); AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD).

Bài giải: D 2 2 2 Ta có: AB + AC = BC ⇔ ∆ABC vuông tại A. 1 I Do đó: VABCD = AB. AC. AD = 8 cm 3 .

6 Mặt khác CD = 4 2 cm, BD = BC = 5 cm.

Nên ∆BCD cân tại B, gọi I là trung điểm của CD. A 1 2 ⇒ S∆BCD = DC. BI = 2 34 cm 2 3VABCD 6 34 C 1 Ta có: VABCD = d ( A, ( BCD ) ) .S∆BCD ⇔ d ( A, ( BCD ) ) = = cm 3 17 S∆BCD Đề 04: ĐH Dự bị A-1 2002 Tính thể tích khối tứ diện ABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và BAC = CAD = DAB = 600 .

Bài giải: Đề 05: ĐH Dự bị A-2 2002 Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng 60 0 . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a .

Bài giải: Đề 06: ĐH Dự bị B-1 2002 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE. Bài giải: Đề 07: ĐH Dự bị B- 2 2002 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi α , β , γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh rằng: cosα + cosβ + cosγ ≤ 3 .

Bài giải:

Đề 08: ĐH Dự bị D-1 2002 Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a = 6 2 . Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng AD và BC. Bài giải: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

2

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

B

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2014

Đề 09: ĐH Dự bị D-2 2002 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a 6 a , biết rằng SA = .

2 Bài giải: Đề 10: ĐH A- 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện [ B, A ' C, D ] .

Bài giải: Cách 1: Đặt AB = a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên A’C, suy ra BH ⊥ A ' C , mà BD ⊥ ( A ' AC ) ⇒ BD ⊥ A ' C ,

B'

C'

do đó A ' C ⊥ ( BHD ) ⇒ A ' C ⊥ DH .

Vậy góc phẳng nhị diện [ B, A ' C , D ] là góc BHD .

Xét ∆A ' DC vuông tại D có DH là đường cao, ta có CD. A ' D a.a 2 a 2 .

DH . A ' C = CD. A ' D ⇒ DH = = = A 'C 3 a 3

A'

D' H B

a 2 .

I 3 A D 2a 2 2a 2 2a 2 2 2 2 + − 2. .cos BHD .

Mặt khác: 2a = BD + DH − 2 BH .DH .cos BHD = 3 3 3 1 Do đó cos BHD = − ⇒ BHD = 1200.

2 Cách 2: Ta có BD ⊥ AC ⇒ BD ⊥ A ' C (Định lý ba đường vuông góc).

Tương tự, BC ' ⊥ A ' C ⇒ ( BC ' D ) ⊥ A ' C. Gọi H là giao điểm của A’C và (BC’D).

Các tam giác vuông HA’B, HA’D, HA’C’ bằng nhau ⇒ HB = HC ' = HD ⇒ H là tâm tam giác đều BC’D ⇒ BHD = 1200. Đề 11: ĐH B- 2003 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD = 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông.

Bài giải: * Chứng minh rằng bốn điểm B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng: B' A'  A ' M // NC Ta có  ⇒ A ' MCN là hình bình hành,  A ' M = NC D' do đó A’C và MN cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường. M Mặt khác A’DCB’ là hình bình hành nên trung điểm I của A’C cũng chính là trung điểm của B’D. I Vậy MN và B’D cắt nhau tại trung điểm I của mỗi B A đường nên B’MDN là hình bình hành.

600 Do đó: B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng (đ.p.c.m) * Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông: D

C

Tương tự ∆A ' BC vuông tại B có BH là đường cao và BH =

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

3

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

C'

N

C

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 2 2 2 2 2 2 Mặt khác DM = DA + AM = DC + CN = DN , hay DM = DN .

Vậy hình bình hành B’MDN là hình thoi.

Do đó, B’MDN là hình vuông ⇔ MN = B ' D ⇔ AC = B ' D ⇔ AC 2 = B ' D 2 = B ' B 2 + BD 2 ⇔ 3a 2 = B ' B 2 + a 2 ⇔ B ' B = a 2 ⇔ AA ' = a 2 Đề 12: ĐH D- 2003 Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường thẳng ∆ . Trên ∆ lấy hai điểm A, B với AB = a . Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, trong mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC = BD = AB . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a .

Bài giải: * Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD: Ta có ( P ) ⊥ ( Q ) và ∆ = ( P ) ∩ ( Q ) , mà AC ⊥ ∆ ⇒ AC ⊥ ( Q ) ⇒ AC ⊥ AD hay CAD = 900 .

Tương tự, ta có BD ⊥ ( P ) , do đó CBD = 900 .

Vậy A và B cùng nằm trên mặt cầu đường kính CD. Bán kính của mặt cầu là: CD 1 R= = BC 2 + BD 2 2 2 1 a 3 = AB 2 + AC 2 + BD 2 = 2 2 * Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD): Gọi H là trung điểm của BC ⇒ AH ⊥ BC. Q Do BD ⊥ ( P ) nên BD ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( BCD ) .

P C H

B A

D

1 a 2 .

BC = 2 2 Đề 13: ĐH Dự bị A-1 2003 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc BAC = 1200 , cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC’. Chứng minh rằng, tam giác AB’I vuông ở A. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I).

Bài giải: Vậy AH là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) và AH =

Đề 14: ĐH Dự bị A-2 2003 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a , BC = b . Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và góc BDC = 900 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a và b .

Bài giải: Đề 15: ĐH Dự bị B-1 2003 Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a , mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ ( 0 < ϕ < 90 0 ). Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).

Bài giải: Đề 16: ĐH Dự bị B-2 2003 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tìm điểm M thuộc cạnh AA’ sao cho mặt phẳng (BD’M) cắt hình lập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất.

Bài giải:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

4

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

∆

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 17: ĐH Dự bị D-1 2003 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng: tam giác AMB cân tại M và tính diện tích tam giác AMB theo a .

Bài giải: Đề 18: ĐH Dự bị D-2 2003 Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c . Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng: 2S ≥ abc ( a + b + c ) .

Bài giải: Đề 19: ĐH A- 2004 Trong hệ trục Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A(2;0;0), B (0;1;0), S (0;0;2 2 ) . Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BM. b) Giả sử mp(ABM) cắt đường thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN. Bài giải: Đề 20: ĐH B- 2004 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng ϕ (0 0 < ϕ < 90 0 ) . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo ϕ . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ .

Bài giải: * Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD): Gọi giao điểm của AC và BD là O thì SO ⊥ ( ABCD ) , suy ra SAO = ϕ .

S Gọi trung điểm của AB là M thì OM ⊥ AB và SM ⊥ AB ⇒ Góc giữa hai mặt phẳng ( SAB ) và ( ABCD ) là SMO .

Tam giác OAB vuông cân tại O, a a 2 a 2 ⇒ SO = tan ϕ . nên OM = , OA = 2 2 2 D SO O Do đó tan SMO = = 2 tan ϕ. ϕ OM I A B * Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ : M

1 1 a 2 2 3 Ta có VS . ABCD = SO.S ABCD = a 2 . tan ϕ = a tan ϕ (đ.v.t.t) 3 3 2 6 Đề 21: ĐH D- 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A ( a;0;0 ) , B ( − a;0;0 ) , C ( 0;1;0 ) , B ' ( − a;0; b ) , a > 0, b > 0 . a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ theo a, b. b) Cho a và b thay đổi, nhưng luôn thoả a + b = 4 . Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng B’C và AC’ lớn nhất.

Bài giải: Đề 22: ĐH Dự bị A-1 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật

(

)

ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc toạ độ O, B (1;0;0 ) , D ( 0;1;0 ) , A ' 0;0; 2 .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

5

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

C

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A’, B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’D’ lên mp(P). b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A’C. Tính diện tích thiết diện của hình chóp A’.ABCD với mặt phẳng (Q).

Bài giải: Đề 23: ĐH Dự bị A-2 2004 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD

(

) (

có đáy là hình chữ nhật, AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết A − 2; −1;0 , B

)

2; −1;0 , S ( 0;0;3) .

a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh SB, song song với hai đường thẳng AD, SC. b) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P).

Bài giải:

Đề 24: ĐH Dự bị B-1 2004 Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC, tam giác ABC có AB = BC = 2a , góc ABC bằng 120 0 . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Bài giải: Đề 25: ĐH Dự bị B-2 2004 Cho 2 điểm A(2;0;0), M (1;1;1) . a) Tìm toạ độ điểm O’ đối xứng với O qua đường thẳng AM. b) Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi luôn đi qua đường thẳng AM, cắt các trục Oy, Oz lần lượt bc tại các điểm B, C. Giả sử B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , b > 0, c > 0 . Chứng minh rằng: b + c = . Xác 2 định b, c sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Bài giải: Đề 26: ĐH Dự bị D-1 2004 Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a . Trên các nửa đường thẳng Ax, By vuông góc với mp(ABCD) và nằm về một phía đối với mp(ABCD), lần lượt lấy các điểm M, N sao cho tam giác MNC vuông tại M. Đặt AM = m, BN = n . Chứng minh rằng: m ( n − m ) = a 2 và tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích hình thang ABMN. Bài giải: Đề 27: ĐH B- 2005 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ với A ( 0; −3;0 ) , B ( 4;0;0 ) , C ( 0;3;0 ) , B ' ( 4;0; 4 ) . a) Tìm toạ độ các đỉnh A’, C’. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC’B’). b) Gọi M là trung điểm của A’B’. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC’. Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng AC’ tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Bài giải:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

6

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 28: ĐH Dự bị A-2 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OAB.O’A’B’ với O ( 0;0;0 ) , A ( 2;0;0 ) , B ( 0; 4;0 ) , O ' ( 0;0; 4 ) . a) Tìm toạ độ các điểm A’, B’. Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm O, A’, B’, O’. b) Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) qua M vuông góc với O’A và cắt OA, A’A lần lượt tại K, N. Tính độ dài đoạn KN. Bài giải: Đề 29: ĐH Dự bị B-1 2005 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A ( 0;0;0 ) , B ( 2;0;0 ) , D ' ( 0; 2; 2 ) . a) Xác định toạ độ các đỉnh còn lại của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: Hai mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) vuông góc nhau. b) Chứng minh rằng tỉ số khoảng cách từ điểm N thuộc đường thẳng AC’ ( N ≠ A ) đến mặt phẳng (AB’D’) và (AMB’) không phụ thuộc vào vị trí của điểm N. Đề 30: ĐH A- 2006 Cho hình trụ có các đáy là hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a . Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a . Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB. Bài giải: Kẻ đường sinh AA’. Gọi D là điểm đối xứng với A’ qua O’ H O' A' D và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A’D. Do BH ⊥ A ' D và BH ⊥ AA ' nên BH ⊥ ( AOO ' A ') .

B

1 Suy ra: VOO ' A ' A = BH .S∆OO ' A .

3 Ta có A ' B = AB 2 − A ' A2 = 3a ⇒ BD = A ' D 2 − A ' B 2 = a a 3 ⇒ ∆BO ' D đều ⇒ BH = .

2

A

Vì AOO’ là tam giác vuông cân với cạnh góc vuông bằng a nên S∆AOO ' =

O

1 2 a .

2

1 3a a 2 3a 3 Vậy thể tích khối tứ diện OO’AB là V = . . = (đ.v.t.t) 3 2 2 12 Đề 31: ĐH B- 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a,

AD = a 2, SA = a , SA vuông góc với mp(ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mp(SAC) vuông góc với mp(SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. Bài giải: S AI 2 AI 1 Gọi O là giao điểm của tam giác ABC, do đó: = ⇒ = AO 3 AC 3 V AI AM 1 1 1 N nên AIMN = . = . = (1) VACDN AC AD 3 2 6 M A V NC 1 = (2) Mặt khác ACDN = I VACDS SC 2 B

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

7

O

C

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

D

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN V 1 Từ (1) và (2) suy ra: AIMN = .

VACDS 12

Luyện thi Đại học 2014

1 2 a3 1 2a3 . Vậy VAIMN = .VACDS = (đ.v.t.t) Mà VSACD = SA.S∆ACD = 3 6 12 72 Đề 32: ĐH D- 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Bài giải: V SM SN Ta có: S . AMN = .

VS . ABC SB SC AM và AN lần lượt là đường cao của các tam giác SAB và SAC. Do ∆SAB = ∆SAC , nên ta có:

SM SA2 4 a 2 SM 4 S = = 2 =4⇒ = .

2 MB AB a SB 5 SN 4 = Tương tự: N SC 5 4 4 16 9 Do đó: VS . AMN = . .VS . ABC = ⇒ VA. BCNM = VS . ABC 5 5 25 25 M 3 C A 1 3a Mà VS . ABC = SA.S∆ABC = 3 6 3 3a3 B (đ.v.t.t) suy ra: VA. BCNM = 50 Đề 33: ĐH Dự bị A-1 2006 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, a 3 và góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là các trung điểm của các cạnh A’D’ và 2 A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mp(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN. Bài giải: AA ' =

Đề 34: ĐH Dự bị A-2 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Trên cạnh a 3 SA lấy điểm M sao cho AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại điểm N. Tính thể tích 3 khối chóp S.BCNM. Bài giải: Đề 35: ĐH Dự bị B-1 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD = 600 , SA vuông góc với mp(ABCD), SA = a . Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’.

Bài giải:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

8

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 36: ĐH Dự bị B-2 2006 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a , cạnh bên AA ' = b . Gọi α là góc giữa hai mp(ABC) và (A’BC). Tính tan α và thể tích khối chóp A’.BB’C’C. Bài giải: Đề 37: ĐH Dự bị D-1 2006 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Bài giải: Đề 38: ĐH Dự bị D-2 2006 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K 2 thuộc cạnh CC’ sao cho CK = a . Mặt phẳng (α ) đi qua A, K và song song với BD chia khối 3 lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.

Bài giải: Đề 39: ĐH A- 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối CMNP. Bài giải: S

VCMNP CN CP 1 = = (1) .

VCMBD CB CD 4 VCMBD VM . BCD MB 1 = = = (2) VCSBD VS . BCD SB 2 Lấy (1) nhân (2) vế theo vế ta có: VCMNP 1 1 = ⇒ VCMNP = VS . BCD .

H VS . BCD 8 8 D Gọi H là trung điểm của AD, ta có SH ⊥ AD , mà ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) nên SH ⊥ ( ABCD ) .

Ta có:

M

A

B N P

C

1 1 a 3 1 2 3a3 3a3 Do đó: VS . BCD = SH.S∆BCD = . . a = . Vậy VCMNP = .

3 3 2 2 12 96 * Chứng minh BP vuông góc AM: Ta có SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ BP (1) Xét hình vuông ABCD ta có ∆CDH = ∆BCD ⇒ CH ⊥ BP (2) .

Từ (1) và (2) suy ra BP ⊥ ( SHC ) . Vì MN // SC và AN // CH nên (AMN) // (SHC).

Suy ra BP ⊥ ( AMN ) ⇒ BP ⊥ AM (đ.p.c.m)

Đề 40: ĐH B- 2007 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC. Bài giải: * Chứng minh MN vuông góc với BD: Gọi P là trung điểm của SA. Ta có MNCP là 9 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 hình bình hành nên MN // (SAC).

E S Mặt khác: BD ⊥ ( SAC ) nên BD ⊥ MN (đ.p.c.m) * Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC: M Ta có P 1 1 a 2 d ( MN , AC ) = d ( N , ( SAC ) ) = d ( B, ( SAC ) ) = BD = .

2 4 4 A a 2 I Vậy d ( MN , AC ) = .

B C N 4 Đề 41: ĐH D- 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC = BAD = 900 , BA = BC = a, AD = 2 a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD).

Bài giải: V SH S Ta có: S . HCD = .

VS . BCD SB Tam giác SAB vuông tại A và AH là đường cao SH SA2 2 a2 SH 2 nên = = 2 =2⇒ = .

2 HB AB a SB 3 H D 2 2 1 a2 2a3 A Vậy VS . HCD = VS . BCD = . .a 2. = 3 3 3 2 9 1 C Mặt khác VS . HCD = d ( H , ( SCD ) ) .S∆SCD B 3 3V ⇔ d ( H, ( SCD ) ) = S . HCD (*) S∆SCD Ta có ∆SCD vuông tại C do AC 2 + CD2 = AD2 1 1 ⇒ S∆SCD = CD.SC = .a 2.2 a = 2 a 2 .

2 2 3VS . HCD 3 2 a3 a Thay vào (*) ta được: d ( H, ( SCD ) ) = = = .

S∆SCD 9 2a2 3

Đề 59: ĐH Dự bị A-2007 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5 và

BAC = 1200 . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh: MB ⊥ MA1 và tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).

C1 A1 Bài giải: * Chứng minh: MB ⊥ MA1: B1 Ta có: A1 M 2 = A1C12 + C1 M 2 = 9a 2 M

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos1200 = 7a2 BM 2 = BC 2 + CM 2 = 12 a2 A1 B 2 = A1 A2 + AB 2 = 21a 2 = A1 M 2 + MB 2 ⇒ MB vuông góc với MA1 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

10

A

C

1200

B

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

D

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM): Hình chóp M.ABA1 và C.ABA1 có chung đáy là tam giác ABA1 và đường cao bằng nhau nên thể tích bằng nhau.

1 1 ⇒ V = VM . ABA1 = VC. ABA1 = AA1.S ABC = a3 15 3 3

⇒ d ( a,(( MBA1 ) ) =

3V S∆MBA1

=

Luyện thi Đại học 2014

6V a 5 = 3 MB. MA1

Đề 43: ĐH Dự bị A-2 2007 Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 60 0 , với ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a . Tính theo a khoảng cách từ B đến mp(SAC).

Bài giải: Gọi M là trung điểm của BC thì SM ⊥ BC, AM ⊥ BC ⇒ SMA = ( SBC, ABC ) = 60o Suy ra ∆SMA đều có cạnh bằng Do đó SSMA

a 3 2

1 1 3a 2 3 3a 2 3 o = .SM. AM.sin 60 = . . = 2 2 4 2 16

S

1 1 3a2 3 a3 3 Ta có VS . ABC = 2 VS . BAM = 2. . BM.SSAM = .a. = 3 3 16 16 Gọi N là trung điểm của đoạn SA. Ta có CN ⊥ SA ⇒ CN =

a 13 4

N

A

B

(vì ∆SCN vuông tại N)

600

1 1 a 3 a 13 a 2 39 ⇒ SSCA = . AS.CN = . . = 2 2 2 4 16

C

a3 3 1 1 a 2 39 .d ( B, ( SAC ) ) = .SSCA .d ( B, ( SAC ) ) = .

16 3 3 16 3 3a ⇒ d ( B, ( SAC ) ) = a3 3. 2 = 13 a 39 Đề 44: ĐH Dự bị B-1 2007 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh: SC ⊥ ( AHK ) và tính thể tích hình chóp O.AHK. Bài giải: * Chứng minh: SC ⊥ ( AHK ) : Ta có: BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AH Mặt khác: AH ⊥ SB ⇒ AH ⊥ (SBC) ⇒ AH ⊥ SC (1) Tương tự AK ⊥ SC (2) Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ (AHK ) * Tính thể tích hình chóp O.AHK: Ta có VS . ABC =

Ta có: SB 2 = AB 2 + SA2 = 3a 2 ⇒ SB = a 3 .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

11

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN a 6 2a 3 2a 3 AH .SB = SA. AB ⇒ AH = ⇒ SH = ⇒ SK = 3 3 3 (do 2 tam giác SAB và SAD bằng nhau và cùng vuông tại A)

HK SH 2a 2 = ⇒ HK = .

BD SB 3 Gọi AM là đường cao của tam giác cân AHK ta có: 4a2 2a AM 2 = AH 2 − HM 2 = ⇒ AM = .

9 3

Luyện thi Đại học 2014 S

K

Ta có HK // BD nên

H

D

A O

B

C

1 1a 2 1 2 a3 Lúc đó: VO. AHK = OA.S AHK = . HK . AM = (đ.v.t.t) 3 3 2 2 27 Đề 45: ĐH Dự bị B-2 2007 Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2 R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R . Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mp(SAB) và (SBC) bằng 60 0 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Chứng minh: Tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp S.ABC. Bài giải: * Chứng minh tam giác AHK vuông: S  SA ⊥ BC Ta có: AS ⊥ CB  ⇒ BC ⊥ ( SAC ) ⇒ BC ⊥ AK  AC ⊥ BC Mặt khác: AK ⊥ SC ⇒ AK ⊥ (SCB) ⇒ AK ⊥ HK ⇒ ∆AHK vuông tại K. * Tính thể tích khối chóp S.ABC: Kẻ CI ⊥ AB. Do giả thiết ta có:

H K

A R 2 Ta có SA ⊥ (ABC) nên (SAB) ⊥ (ABC) ⇒ CI ⊥ (SAB) Suy ra hình chiếu vuông góc của ∆SCB trên mặt phẳng (SAB) là ∆SIB 3 3 3 Vì BI = AB . Suy ra SSIB = SSAB = . R.SA (∗) 4 4 4 1 1 Ta có: SSBC = BC.SC = R 3. SA2 + R 2 2 2

AC = R = OA = OC ⇒ ∆AOC đều ⇒ IA = IO =

Theo định lý về diện tích hình chiếu ta có: SSIB = SSBC .cos60o =

B

I

C

1 R 3 SSBC = SA2 + R 2 2 4

(∗∗)

R 1 R3 6 . Lúc đó: VS . ABC = SA.S∆ABC = (đ.v.t.t) Từ (∗), (∗∗) ta có: SA = 3 12 2 Đề 46: ĐH Dự bị D-1 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC = a , AA ' = a 2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AA’ và BC’. Tính thể tích khối chóp M.A’BC’.

Bài giải:

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

12

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 47: ĐH Dự bị D-2 2007 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a .

M là trung điểm của đoạn AA’. Chứng minh: BM ⊥ B ' C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B’C. Bài giải: Đề 48: ĐH A- 2008 Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2 a , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’, B’C’.

A' Bài giải: B' * Tính thể tích của khối chóp A’.ABC: C' Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra A ' H ⊥ ( ABC )

1 1 2 BC = a + 3a 2 = a .

2 2 2 Do đó A ' H = A ' A2 − AH 2 = 3a 2 ⇒ A ' H = a 3 .

1 a3 Vậy VA '. ABC = A ' H .S ABC = (đ.v.t.t) 3 2 * Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’:

và AH =

B

A K

H C

Trong tam giác vuông A’B’H có: H ' B = A ' B '2 + A ' H 2 = 2a nên tam giác B’BH cân tại B’. a 1 = . Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ thì ϕ = B ' BH . Vậy cos ϕ = 2.2a 4 Đề 49: ĐH B- 2008 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2 a , SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.BMDN: Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra SH ⊥ ( ABCD ) . Do đó SH là đường cao của hình chóp S.BMDN. AB Ta có: SA2 + SB 2 = a 2 + 3a 2 = AB 2 nên tam giác SAB vuông tại S, suy ra SM = = a . Do đó 2 a 3 tam giác SAM đều, suy ra SH = .

2 1 S Diện tích tứ giác BMDN là S BMDN = S ABCD = 2a 2 .

2 Thể tích khối chóp S.BMDN là 1 3a 3 V = SH .S BMDN = (đ.v.t.t).

3 3 * Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. A E a H Kẻ ME // DN ( E ∈ AD ) suy ra AE = .

M 2 Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. B C N

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

13

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

D

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Ta có ( SM , ME ) = ϕ .

Theo định lí 3 đường vuông góc ta có SA ⊥ AE. a 5 a 5 Suy ra SE = SA2 + AE 2 = , ME = AM 2 + AE 2 = .

2 2 a 2 = 5.

Tam giác SME cân tại E nên SME = ϕ và cos ϕ = 5 a 5 2 Đề 50: ĐH D- 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a , cạnh bên AA ' = a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C. Bài giải: 1 2a 3 Ta có: VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = a 2. a 2 = (đ.v.t.t) 2 2 Gọi E là trung điểm của BB’, ta có EM // CB’.

Suy ra: B’C // (AME) nên d ( B ' C, AM ) = d ( B ' C, ( AME ) ) = d ( C, ( AME ) ) .

VC. AEM MC 1 1 1 1 a2 a 2 2 a3 = = ⇒ VC. AEM = VC. AEB = . . . = .

2 2 3 2 2 24 VC. AEB CB 2 A' 3VC. EAM 1 suy ra VC . EAM = d ( C, ( EAM ) ) .S∆EAM ⇔ d ( C, ( EAM ) ) = (*) S∆EAM 3 Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên AE, ta có AE ⊥ HM. Hơn nữa BM ⊥ ( ABE ) ⇒ BM ⊥ AE , nên ta được AE ⊥ HM. Ta có

a 6 , ∆ABE vuông tại B 2 1 1 1 3 a 3 = + = ⇔ BH = . nên BH 2 AB 2 EB 2 a 2 3

C' B'

Mặt khác AE =

E H

a2 a2 a 21 Tam giác BHM vuông tại B nên MH = . + = 4 3 6 1 1 a 6 a 21 14 a2 AE. HM = . . = .

2 2 2 6 8 V a 7 .

Thay vào (*) ta được: d ( C, ( EAM ) ) = C. EAM = 7 S∆EAM

A

C M B

Do đó S∆AEM =

a 7 .

7 Đề 51: ĐH Dự bị A-1 2008 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B, BA = BC = 2a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E của AB và SE = 2a . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC và M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho ECM = α (00 < α < 900 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC . Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a , α và tìm α để thể tích đó lớn nhất .

Bài giải: Vậy d ( B ' C, AM ) =

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

14

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 52: ĐH Dự bị A-2 2008 Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông SA = SB = SC = a . Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD ⊥ SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI .

Bài giải: Đề 53: ĐH Dự bị B-1 2008 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. Bài giải: Đề 54: ĐH Dự bị B-2 2008 Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác đều cạnh a , các mặt ACD và BCD vuông góc với nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc gữa hai đường thẳng AD, BC .

Bài giải: Đề 55: ĐH Dự bị D-1 2008 Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P làn lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4 BM , AC = 3 AP, BD = 2 BN . Mặt phẳng (MNP) cắt AD tại Q. Tính tỷ số AQ và tỷ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mặt phẳng (MNP) .

AD Bài giải: Đề 56: ĐH A- 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a .

Bài giải: S Ta có ( SIB ) ⊥ ( ABCD ) và ( SIC ) ⊥ ( ABCD ) suy ra SI ⊥ ( ABCD ) .

Kẻ IK ⊥ BC ( K ∈ BC ) ⇒ BC ⊥ ( SIK ) ⇒ SKI = 600 .

Diện tích hình thang ABCD: S ABCD = 3a 2 .

A

3a 2 Tổng diện tích các tam giác ABI và CDI bằng , I 2 K D C 3a 2 . suy ra S∆IBC = 2 2S 3a 15 2 .

BC = ( AB − CD ) + AD 2 = a 5 ⇒ IK = ∆IBC = BC 5 1 3 15a 3 Thể tích khối chóp S.ABCD là: V = SI .S ABCD = (đ.v.t.t) 3 5 Đề 57: ĐH B- 2009 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB ' = a , góc giữa đường thẳng BB’ và mặt (ABC) bằng 600 , tam giác ABC vuông tại C và BAC = 600 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC. Bài giải: Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

15

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

B

A'

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 B' Gọi D là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ABC, ta có B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ B ' BG = 600 C'

a 3 a 3a và BG = ⇒ BD = .

2 2 4 AB 3 AB AB , AC = Tam giác ABC có: BC = ⇒ CD = .

2 2 4 B A 600 G 1 9a 3 D Lúc đó: VA ' ABC = VB ' ABC = B ' G.S∆ABC = (đ.v.t.t) 3 208 C Đề 58: ĐH D- 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA ' = 2 a, A ' C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).

Bài giải: M A' C' * Tính thể tích khối chóp IABC: Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; I B' IH là đường cao của tứ diện IABC. IH CI 2 2 4a ⇒ IH // AA ' ⇒ = = ⇒ IH = AA ' = .

AA ' CA ' 3 3 3 K

⇒ B ' G = B ' B.sin B ' BG =

AC = A ' C 2 − A ' A2 = a 5, BC = AC 2 − AB 2 = 2a .

C 1 A H Diện tích tam giác ABC: S∆ABC = AB.BC = a 2 .

2 B 1 4a 3 Thể tích khối tứ diện IABC: V = IH .S∆ABC = (đ.v.t.t) 3 9 * Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC): Hạ AK ⊥ A ' B ( K ∈ A ' B ) . Vì BC ⊥ ( ABB ' A ' ) nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ ( IBC ) .

Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) là AK. 2S A ' A. AB 2a 5 AK = ∆A ' AB = = .

2 2 5 A' B A ' A + AB Đề 59: ĐH A-2010 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD. H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SH = a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a .

Bài giải: * Tính thể tích khối chóp S.CDNM: S SCDNM = S ABCD − S AMN − S BCM

1 1 a 2 a 2 5a 2 AM . AN − BC.BM = a 2 − − = 2 2 8 4 8 3 1 5 3a Suy ra: VS .CDNM = SH .SCDNM = (đ.v.t.t) 3 24 * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC: B ∆ADM = ∆DCN ⇒ ADM = DCN ⇒ DM ⊥ CN , kết hợp với DM ⊥ SH suy ra DM ⊥ ( SHC ) . = AB 2 −

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

16

K N

A M

H

D M

C

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Hạ HK ⊥ SC ( K ∈ SC ) , suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC, do đó: CD 2 2a SH .HC 2 3a 2 3a = và HK = = , do đó: d ( DM , SC ) = .

Ta có: HC = CN 19 5 19 SH 2 + HC 2 Đề 60: ĐH B- 2010 Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a , góc giữa hai mặt phẳng ( A ' BC ) và ( ABC ) bằng 60 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a .

Bài giải: C' A' * Tính thể tích khối lăng trụ: B' Gọi D là trung điểm BC, ta có: 0 BC ⊥ AD ⇒ BC ⊥ A ' D suy ra ADA ' = 60 .

3a 3a 2 Ta có AA ' = AD.tan ADA ' = và S∆ABC = .

2 4 G 3 3a 3 (đ.v.t.t) Do đó: VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = 8 A C * Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC: H D Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, suy ra: GH / AA’ ⇒ GH ⊥ ( ABC ) . B Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC, ta có I là giao điểm của GH với trung trực của AG G trong mặt phẳng (AGH).

GE.GA GA2 Gọi E là trung điểm AG, ta có: R = GI = = .

E GH 2GH AA ' a a 3 7a 2 H Ta có: GH = = ; AH = ; GA2 = GH 2 + AH 2 = .

A 3 2 3 12 2 7a 2 7a . = .

Do đó: R = I 2.12 a 12 Đề 61: ĐH D- 2010 Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA = a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABCD ) là điểm H thuộc đoạn AC và

AC . Gọi CM là đường cao tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính 4 thể tích khối tứ diện SMBC theo a .

Bài giải: Từ giả thiết, ta tính được 3a 2 a 2 a 14 S AH = , SH = , CH = , SC = a 2 ⇒ SC = AC .

4 4 4 Do đó, tam giác SAC cân tại C nên M là trung điểm của SA. V SM 1 1 M = ⇔ VS . MBC = .VS . ABC .

Ta có: S . MBC = VS . ABC SA 2 2 AH =

A

1 14 a3 Ta có: VS . ABC = SH.S∆ABC = 3 24 1 14 a3 Do đó: VS . MBC = .VS . ABC = (đ.v.t.t).

2 48 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

H B

17

D

O C

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 62: ĐH A- 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B, AB = BC = 2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.

Bài giải: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) Nhận xét rằng: Do  và ( SAB ) ∩ ( SAC ) = SA nên SA ⊥ ( ABC ) . ( SAC ) ⊥ ( ABC ) Vậy SA là đường cao của khối chóp S.BCNM. S * Tính SA:

 AB ⊥ BC Dễ thấy:  và ( ABC ) ∩ ( SBC ) = BC  SB ⊥ BC ˆ = 600 . nên góc giữa ( ABC ) và ( SBC ) là góc SBA Xét ∆SAB vuông tại A: A SA ˆ = ˆ = 2a.tan 600 = 2a 3 . tan SBA ⇔ SA = AB.tan SIA M AB * Tính diện tích hình thang BMNC: MN + BC ) MB ( a + 2a ) a 3a 2 ( Ta có: S BMNC = = = 2 2 2 2 1 1 3a = 3a 3 (đ.v.t.t) Vậy VS . BCNM = SA.S ∆BCD = .2a 3.

3 3 2 Cách khác: Với lập luận như trên, tính được SA = 2a 3 V AS AM AN AM AN 1 1 Ta có: A. SMN = . . = . = ⇔ VA.SMN = VA. SBC VA.SBC AS AB AC AB AC 4 4

N 600 B

1 1 1 1 1 4 3a 3 Tính VA. SBC = SA.S ∆ABC = SA. . AB.BC = .2 3a. .4a 2 = (đ.v.t.t) 3 3 2 3 2 3 1 1 4 3a 3 3a 3 Suy ra: VA. SMN = VA. SBC = . = (đ.v.t.t) 4 4 3 3 Mặt khác: 4 3a 3 3a 3 VA. SBC = VA. SMN + VS . BCNM ⇔ VS . BCNM = VA. SBC − VA.SMN = − = 3a 3 (đ.v.t.t) 3 3 Cách khác: Ứng dụng phương pháp tọa độ Phân tích: ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SA ⊥ ( ABC ) . Như vậy đường cao S.ABC là SA. * SAC ABC ⊥ ( ) ( )   BC ⊥ ( SAB ) * ⇒ BC ⊥ SB và BC ⊥ AB nên góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) là  SB ⊂ ( SAB ) góc SBA ⇒ SBA = 600. Suy ra: SA = AB. tan 600 = 2 3a .

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

18

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

C

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN + Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Luyện thi Đại học 2014

(

Khi đó: B ( 0;0;0 ) , A ( 2 a;0;0 ) , C ( 0;2 a;0 ) , S 2a;0;2 a 3

)

⇒ M ( a;0;0 ) , N ( a; a;0 ) .

(

)

S  BS = 2 a;0;2 3a  z  2   Ta có:  BM = ( a;0;0 ) ⇒  BM, BN  = 0;0; a   BN = ( a; a;0 )  1 3 3 Suy ra: VS . BMN = BS.  BM, BN  = a (đ.v.t.t)   6 3 x N 1 2 3 3   A a (đ.v.t.t) Tương tự: VS . BNC = BS. BN, BC =   60 0 2a 6 3 M 2a 3 Lúc đó: VS . BCNM = VS . BNM + VS . BCN = 3a (đ.v.t.t) B * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.   BA = ( 2 a;0;0 ) Ta có:  ⇒  BA, SN  = 0;4 3a2 ;2a 2 và BS = 2 a;0;2 a 3 .  SN = − a; a; −2 a 3 BS.  BA, SN  4 3a3 2a 39 = = Lúc đó: d ( SN; AB ) = 13  BA, SN  a 52   Đề 63: ĐH B- 2011 Cho lăng trụ ABCD. A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,

(

(

)

)

(

(

)

y C

)

AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) bằng 600 . Tính thể tích khối ABCD. A1B1C1D1 .

Bài giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là trung điểm của AD. Ta có: A1O là chiều cao của lăng trụ ABCD. A1 B1C1 D1.

 A O ⊥ ( ABCD ) ⇒ AD ⊥ A1 I Theo giả thiết:  1 OI ⊥ AD

Ta có: ( ADD1 A1 ) ∩ ( ABCD ) = AD (1)

D1

 AD ⊥ OI (2) Theo chứng minh trên ta lại có:   AD ⊥ A1I Từ (1) và (2) suy ra, góc giữa hai mặt phẳng ( ADD1 A1 ) và (ABCD) là góc giữa OI và A1I , ˆ = 600 . tức là góc A IO

C1

A1

1

* Tính chiều cao A1O : Xét ∆A1IO vuông tại O, ta có:

I

60 0

B1

D

C O

A

B

ˆ = A1O ⇔ A O = OI .tan A IO ˆ = a .tan 600 = a 3 . tan A1IO 1 1 OI 2 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

19

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN * Tính diện tích đáy ABCD: Ta có: S ABCD = AB. AD = 3a 2 .

Luyện thi Đại học 2014

a 3 3a 3 2 Vậy Vl¨ng trô = A1O.S ABCD = . 3a = (đ.v.t.t) 2 2 Đề 64: ĐH D- 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, BA = 3a, ˆ = 300.

BC = 4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a .

Bài giải: 1 * Ta có S∆ABC = BA. BC = 6 a2 .

S 2 ( SBC ) ⊥ ( ABC ) Do  , dựng SH ⊥ BC suy ra SH ⊥ ( ABC ) .

SBC ABC BC ∩ = ( ) ( )  Xét tam giác SHB vuông tại H, ta có: SH sin SBH = ⇔ SH = SB sin SBC = 2a 3 sin 300 = a 3 . B H SB 1 Lúc đó: VS . ABC = SH.S∆ABC = 2 3a3 (đ.v.t.t) 3 A * Tính S∆SAC :

C

Ta có SA = SB 2 + AB 2 = a 21 , AC = 5a, SC = SB 2 + BC 2 − 2 SC. BC.cos300 = 2 a . dễ thấy: SA2 + SC 2 = 25a 2 = AC 2 ⇔ ∆SAC vuông tại S. 1 Lúc đó: S∆SAC = SA.SC = 21a2 .

2 3VS . ABC 3.2 3a3 6 7a 1 = = . * Ta có: VS . ABC = d ( B, ( SAC ) ) .S∆SAC ⇔ d ( B, ( SAC ) ) = S∆SAC 3 7 21a 2

Đề 65: ĐH A- 2012 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao HA = 2 HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a .

S Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABC: Ta có SCH là góc giữa SC và (ABC), suy ra SCH = 600 .

Gọi D là trung điểm của cạnh AB. K a a 3 a 7 Ta có: HD = , CD = , HC = HD 2 + CD 2 = .

6 2 3 A C a 21 N SH = HC.tan 600 = .

D x 3 H B 1 1 a 21 a 2 3 7a3 . = (đ.v.t.t) Lúc đó: VS . ABC = .SH .V∆ABC = .

3 3 3 4 12 * Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC: Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên Ax và SN. Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

20

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 3 3 Ta có: BC // (SAN) và BA = HA nên d ( SA, BC ) = d ( B, ( SAN ) ) = d ( H , ( SAN ) ) .

2 2 Ta cũng có: Ax ⊥ ( SHN ) nên Ax ⊥ HK . Do đó: HK ⊥ ( SAN ) . Suy ra d ( H , ( SAN ) ) = HK .

Ta có: AH =

2a a 3 , HN = AH .sin 600 = , HK = 3 3

SH .HN 2

2

SH + HN

=

a 42 .

12

a 42 .

8 Đề 66: ĐH B- 2012 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = a, AB = a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối chóp S.ABH theo a.

Bài giải: Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. S  AB ⊥ CD Ta có  ⇒ AB ⊥ ( SCD ) ⇒ AB ⊥ SC.  AB ⊥ SO Vậy d ( SA, BC ) =

H

Mặt khác SC ⊥ AH ⇒ SC ⊥ ( ABH ) .

a 3 a 3 a 33 , OC = nên SO = SC 2 − OC 2 = .

2 3 3 A SO.CD a 11 Do đó DH = = .

O SC 4 D 2 1 11a Suy ra S∆ABH = AB.DH = .

B 3 8 7a 1 7 11a 3 2 2 Ta có SH = SC − HC = SC − CD − DH = . Do đó: VS . ABH = SH .S ∆ABH = (đ.v.t.t) 4 3 96 Đề 67: ĐH D- 2012 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A ' C = a . Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.

Bài giải: * Tính thể tích của khối tứ diện ABB’C’: a a Tam giác A’AC vuông cân tại A và A ' C = a nên A ' A = AC = . Do đó AB = B ' C ' = .

2 2 Ta có: CD =

1 1 2a 3 Lúc đó: VABB ' C ' = B ' C '.S ∆ABB ' = B ' C '. AB.BB ' = (đ.v.t.t) 3 6 48 * Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’): Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của ∆A ' AB .  AH ⊥ A ' B Ta có  ⇒ AH ⊥ ( A ' BC )  AH ⊥ BC nghĩa là AH ⊥ ( BCD ') . Do đó AH = d ( A, ( BCD ' ) ) .

Ta có:

1 1 1 6 a 6 = + = 2 . Do đó d ( A, ( BCD ') ) = .

2 2 2 AH AB AA ' a 6

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

21

D'

C'

A'

B'

D

A

H C B

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

C

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Luyện thi Đại học 2014

Đề 68: ĐH A- 2013 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC = 300 , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).

Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABC: Gọi H là trung điểm BC, suy ra SH ⊥ BC . Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ⊥ ( ABC ) .

S Ta có BC = a ⇒ SH =

a 3 ; 2

a a 3 a AC = BC.sin30 0 = ; AB = BC.cos30 0 = .

2 2 1 1 1 a3 Do đó: VS . ABC = .SH .S∆ABC = .SH . AB. AC = (đ.v.t.t) 3 3 2 16 B 300 * Tính khoảng cách từ C đến (SAB): Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB . H Mà SH ⊥ ( ABC ) , suy ra SA = SB = a .

a

I

A

C

Gọi I là trung điểm AB, suy ra SI ⊥ AB .

AB 2 a 13 Do đó SI = SB − = .

4 4 2

(

)

Từ đó suy ra: d C , ( SAB ) =

3VS . ABC a 39 = .

13 S∆SAB

Đề 69: ĐH B- 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tính của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).

Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABCD:

a 3 .

2 Mà (SAB) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH ⊥ ( ABCD ) .

Gọi H là trung điểm AB, suy ra SH ⊥ AB và SH =

1 3a3 Do đó VS . ABCD = SH .S ABCD = (đ.v.t.t) 3 6 * Tính khoảng cách từ A đến (SCD): Do AB / / CD và H ∈ AB nên d A, ( SCD ) = d H , ( SCD ) .

(

) (

A

)

B

SH .HK

=

SH 2 + HK 2 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

D

H

Suy ra: HI ⊥ ( SCD ) .

(

I

)

Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc của H trên SK. Ta có: HK ⊥ CD .

Mà SH ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SHK ) ⇒ CD ⊥ HI .

Do đó: d A, ( SCD ) = HI =

S

K a

C

a 21 .

7 22

CLB Giáo viên trẻ TP Huế

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2014 Đề 70: ĐH D- 2013 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, BAD = 1200 , M là trung điểm cạnh BC và SMA = 450 . Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC).

Bài giải: * Tính thể tích của khối chóp S.ABCD:

a 3 3a2 Ta có: BAD = 120 ⇒ ABC = 60 ⇒ ∆ABC đều. ⇒ AM = ⇒ SABCD = .

2 2 0

0

Ta có: ∆SAM vuông tại A có SMA = 450 ⇒ ∆SMA vuông cân tại A

a 3 .

2 1 a3 Do đó: VS . ABCD = SA.SABCD = (đ.v.t.t) 3 4 * Tính khoảng cách từ D đến (SBC): Do AD / / BC nên d D , ( SBC ) = d A, ( SBC ) .

S

⇒ SA = AM =

(

) (

)

H

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.  AM ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SAM ) Ta có:  SA BC ⊥  ⇒ BC ⊥ AH ⇒ AH ⊥ ( SBC ) ⇒ d A, ( SBC ) = AH .

(

A a

B

D 450

M

C

)

AM 2 a 6 a 6 . = ⇒ d D , ( SBC ) = 2 4 4 -------------------RẤT MONG NHẬN ĐƯỢC SỰ GÓP Ý CỦA QUÍ THẦY CÔ VÀ CÁC BẠN HỌC SINH ĐỂ CÁC EBOOK SAU CÀNG HOÀN THIỆN HƠN! Xin chân thành cám ơn!

Ta có: AH =

(

Giáo viên: LÊ BÁ BẢO…0935.785.115…

)

23

CLB Giáo viên trẻ TP Huế