Publicación Digital

Diseño de Sistemas de Control en Tiempo Discreto

PUBLICACION DIGITAL TEORIA DE CONTROL 2

PEDRO JIMENEZ C.I: 20.351 .504.

Cabudare, Abril 2017

Prof. Ing. Marienny Arrieche

I PARTE DESARROLLO 1). ¿Qué es estabilidad en los sistemas de control en Tiempo Discreto?

La estabilidad de sistemas discretos está determinada por la ubicación de sus polos.

 La condición de estabilidad consiste en que éstos deben estar ubicados en el interior del círculo unitario.  Si algún polo está situado sobre la circunferencia unitaria el sistema es críticamente estable.  Los ceros no afectan a la estabilidad con lo cual pueden localizarse en cualquier lugar del plano z:  Ceros en el interior del círculo unitario, sistema de fase mínima  Ceros en el exterior del círculo unitario, sistema de fase no mínima

2 ) . ¿ C u áles s on l os p as os p ara anal i z ar e l e rror e n e s t ad o p e rmanente p ara l os s i s te mas d e c ont rol e n t i e mpo di s c reto?

E r ro r e n e s t a d o e s t a c i o n a r io o p e r m a n e n te : El error en un sistema de control es la diferencia entre el valor deseado r(t) y el valor actual c(t), de la variable controlada.

El error en estado estacionario es aquel error que permanece después de que ha desaparecido el transitorio.

 Puede observarse de que el error depende:  De la entrada: R(S)  De las características del sistema de lazo abier to GH(S)

Para el siguiente sistema de control, la función de transferencia de lazo cerrado es

¿ C u áles s on l os p as os p ara anal i z ar e l e rror e n e s t ad o p e rmanente p ara l os s i s te mas d e c ont rol e n t i e mpo di s c reto?

El error en estado estacionario es:

Error en estado estable para una entrada escalón de magnitud R_1,R(s)=R_1⁄s:

La constante estática de error de posición K_p se define como:

Error en estado estable para una entrada rampa de magnitud R_2,R(s)=R_2⁄s^2:

¿ C u áles s on l os p as os p ara anal i z ar e l e rror e n e s t ad o p e rmanente p ara l os s i s te mas d e c ont rol e n t i e mpo di s c reto?

La constante estática de error de velocidad K_v se define como:

Error en estado estable para una entrada parábola de magnitud R_3,R(s)=R_3⁄s^3:

La constante estática de error de aceleración K_a se define como:

Âż C u ĂĄles s on l os p as os p ara anal i z ar e l e rror e n e s t ad o p e rmanente p ara l os s i s te mas d e c ont rol e n t i e mpo di s c reto?

3 y 4). ¿Qué es tiempo de levantamiento y el sobrepaso máximo?

Para poder entender mejor que es el tiempo de levantamiento es buenos conocer al menos de forma general las definiciones de respuesta transitoria.

Definiciones d e las especificaciones d e respuesta transitoria: Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada escalón unitario, dado que ésta es fácil de generar y es suficientemente drástica.

La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una práctica común usar la condición inicial estándar de que el sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las características de respuesta se comparan con facilidad.

La respuesta transitoria de un sistema de control práctico exhibe con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:  Tiempo de retardo, td: el tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta alcance la primera vez la mitad del valor final.  Tiempo d e levantamiento, tr: el tiempo de levantamiento es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%.

¿Qué es tiempo de levantamiento y el sobrepaso máximo?

Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.  Tiempo pico, tp: el tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.  Sobrepaso máximo (porcentaje), Mp el sobrepaso máximo es el valor pico máximo de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.

Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. Se define mediante:

La cantidad de sobrepaso máximo (en porcentaje) indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema .  Tiempo d e asentamiento, ts: el tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final (por lo general, de 2 a 5%) y permanezca dentro de él. El tiempo de asentamiento se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión determinan cuál criterio de error en p o r c e n t a j e u s a r.

5 ) . ¿ Qu é d i fe re nc ias ex i s te n e nt re e l c ál c u lo y d i b u jo d e l as t raz as d e l d i ag rama d e b od e e n t i e mp o c ont i nuo y e n t i e mp o d i s c reto?

 Un diagrama de bode es una representaci ón gráfica que sir ve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente posee dos graficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase.

Recibe su nombre de Hendrik Wade Bode el científico nor te americano que lo desarrollo .

 El diagrama de Bode consiste en 2 trazas por separado, la magnitud logarítmica /G( jv)/ en función del logaritmo de v y el ángulo de fase G( jv) en función del logaritmo de v. la traza de la magnitud logarítmica se basa en la factorizaci ón de G( jv), de tal forma que funciona en el principio de sumar los términos individuales factorizados, en vez de multiplicar los términos individuales

II PARTE PRĂ CTICO 1). Considere la siguiente ecuaciĂłn caracterĂ­stica : đ?‘ƒ đ?‘§ = 1+

đ?‘˜ 1,1353(đ?‘§ + 0,5232) = 0 (đ?‘§ − 1)(đ?‘§ − 0,1353)

D ete r m in e e l v a l o r K y ex a m i n e s u e s t a b i l i d a d a t r av ĂŠ s d e l C r i te r i o d e J u r y.

đ?‘ƒ đ?‘§ =

(đ?‘§ − 1)(đ?‘§ − 0,1353) + đ?‘˜ 1,1353(đ?‘§ + 0,5232) (đ?‘§ − 1)(đ?‘§ − 0,1353)

đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘§2 − 0,1353đ?‘§ − đ?‘§ + 0,1353 + 1,1353đ?‘˜đ?‘§ + 0,5940đ?‘˜ = 0. đ?‘§ − 1 . (đ?‘§ − 0,1353) đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘§2 + đ?‘§(−0,1353đ?‘§ − 1 + 1,1353đ?‘˜) + 0,1353 + 0,5940đ?‘˜ = 0 đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘§2 + đ?‘§(−1,1353 + 1,1353đ?‘˜) + 0,1353 + 0,5940đ?‘˜ = 0 đ?‘ƒ đ?‘§ = đ?‘§2 + 1,1353(đ?‘˜ − 1)đ?‘§ + 0,1353 + 0,5940đ?‘˜ = 0 Por el criterio de estabilidad de Jury se deben cumplir estas condiciones para que sea estable

P(1)>0 −1 đ?‘ƒ −1 > 0 đ?‘›

P(1)>0 n=2 đ?‘ƒ 1 = 1 + 1,1353 đ?‘˜ − 1 + 0.5940đ?‘˜ + 0,1353 > 0 đ?‘ƒ 1 = 1 + 1,1353đ?‘˜ − 1,1353 + 0.5940đ?‘˜ + 0,1353 > 0 0 1,7293đ?‘˜ > 0 → đ?‘˜ > 1,7293 đ?‘˜> 0

C O N T I N UAC I Ă“ N

đ?‘ƒ đ?‘§ = 1+

−1

đ?‘›

đ?‘˜ 1,1353(đ?‘§ + 0,5232) = 0 (đ?‘§ − 1)(đ?‘§ − 0,1353)

đ?‘ƒ −1 > 0

(-1)^n P(-1)>0

đ?‘”đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘œ

â&#x2020;&#x2019; ( -1)^2 [1+1 ,1353(k-1)+0.5940k+0,1353]>0 k < 2 , 27 0 6 / 0 , 5 41 3 â&#x2020;&#x2019; k < 4 , 1 9 47 0 < k < 4 , 1 9 47

đ?&#x2018;§0

đ?&#x2018;§1

đ?&#x2018;§2

0,5940k+0,1353

1,353(k-1)

1

đ?&#x2018;&#x201C;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x17D;

1

đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0,594đ?&#x2018;&#x2DC; + 0,1353 đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0,594đ?&#x2018;&#x2DC; + 0,1353 Como k es positivo đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0,594đ?&#x2018;&#x2DC; + 0,1353 Debemos comprobar que: đ?&#x2018;&#x17D;0 < đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x17D;0 < đ?&#x2018;&#x17D;2 Y ademĂĄs đ?&#x2018;&#x17D;2 = 1 debo comprobar que: đ?&#x2018;&#x17D;0 = 0,594đ?&#x2018;&#x2DC; + 0,1353 < 1 â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x2018;&#x2DC; â&#x2C6;&#x2C6; (0; 4,1947) Si k = 0

->

0,1353

<

1

Como no se cumple la condiciĂłn el sistema no es estable.

2 ) . D a d o e l s i g u i e n te s i s te m a d e l a z o c e r r a d o . d e te r m i n e s u e s t a b i l i d a d a t r av ĂŠ s d e l m ĂŠ to d o d e t r a n s f o r m a c i Ăł n b i l i n e a l y e l c r i te r i o d e e s t a b i l i d a d Ro u t h : đ?&#x2018;ˇ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D;

Aplicando la transformaciĂłn bilineal se hace uso del cambio :

đ?&#x2018;§= 1+đ?&#x2018;¤ 1+đ?&#x2018;¤ đ?&#x2018;&#x192; = 27 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

đ?&#x2018;&#x192;

đ?&#x2018;&#x192;

đ?&#x2018;&#x192;

đ?&#x2018;&#x192;

1+đ?&#x2018;¤ + 27 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

2

+9

1+đ?&#x2018;¤ +1= 0 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

1+đ?&#x2018;¤ 27 1 + đ?&#x2018;¤ 3 27 1 + đ?&#x2018;¤ 2 9 1 + đ?&#x2018;¤ = + + +1 = 0 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 3 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 2 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

1+đ?&#x2018;¤ 27 1 + đ?&#x2018;¤ = 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ đ?&#x2018;&#x192;

3

1+đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

3

+ 27 1 + đ?&#x2018;¤

2

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ +9 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ 3

2

+ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤

3

= 0

1+đ?&#x2018;¤ = 27 1 + 3đ?&#x2018;¤ + 3đ?&#x2018;¤2 + đ?&#x2018;¤3 + 27 1 + 2đ?&#x2018;¤ + đ?&#x2018;¤2 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ + 9 1 + đ?&#x2018;¤ 1 + 2đ?&#x2018;¤ + đ?&#x2018;¤2 + 1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;¤ + 3đ?&#x2018;¤2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤3 = 0

1+đ?&#x2018;¤ = 27 + 81đ?&#x2018;¤ + 81đ?&#x2018;¤2 + 27đ?&#x2018;¤3 + 27 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤ + 2đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;¤2 + đ?&#x2018;¤2 + đ?&#x2018;¤3 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ + 9 1 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;¤ + đ?&#x2018;¤2 + 2đ?&#x2018;¤2 + đ?&#x2018;¤3 + 1 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;¤ + 3đ?&#x2018;¤2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;¤3 = 0

1+đ?&#x2018;¤ = 28 + 78đ?&#x2018;¤ + 84đ?&#x2018;¤2 + 26đ?&#x2018;¤3 + 27 + 27đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; 27đ?&#x2018;¤3 + 9 â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;¤ â&#x2C6;&#x2019; 9đ?&#x2018;¤2 + 9đ?&#x2018;¤3 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;¤ = 0 8đ?&#x2018;¤3 + 48đ?&#x2018;¤2 + 96đ?&#x2018;¤ + 64 = 0 đ?&#x2018;¤3 + 6đ?&#x2018;¤2 + 12đ?&#x2018;¤ + 8 = 0

D a d o e l s i g u i e n te s i s te m a d e l a z o c e r r a d o . d e te r m i n e s u e s t a b i l i d a d a t r av ĂŠ s d e l m ĂŠ to d o d e t r a n s f o r m a c i Ăł n b i l i n e a l y e l c r i te r i o d e e s t a b i l i d a d Ro u t h : đ?&#x2018;ˇ đ?&#x2019;&#x203A; = đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;&#x2018; + đ?&#x;?đ?&#x;&#x2022;đ?&#x2019;&#x203A;đ?&#x;? + đ?&#x;&#x2014;đ?&#x2019;&#x203A; + đ?&#x;? = đ?&#x;&#x17D;

Aplicamos el criterio de estabilidad de Routh para evaluar la estabilidad

đ??ś0 =

6 â&#x2C6;&#x2014; 12 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2014; 1 64 32 = = 6 6 3

đ??ś1 =

6â&#x2C6;&#x2014;0â&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2014;0 = 0 6

32 â&#x2C6;&#x2014;8â&#x2C6;&#x2019;0 đ??ś0 = 3 = 8 32 3

Como la primera columna consta de nĂşmeros positivos es estable.

3 ) . D a d o e l s i s te m a d e c o n t r o l d e l a z o c e r r a d o , encuentre la expresiĂłn del error asĂ­ como la c o n s t a n te d e e r r o r d e a c e l e r a c i Ăł n e s t ĂĄ t i c a , k a .

1- đ??¸ đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ??ś đ?&#x2018; . đ??ˇ(đ?&#x2018; )

đ??ş đ?&#x2018; .đ??ť đ?&#x2018; =

đ??ś(đ?&#x2018; ) đ??¸ đ?&#x2018;

2- đ??ś đ?&#x2018; = đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??¸(đ?&#x2018; )

S u s t i t uyo 1 ) e n 2 ) : đ??¸ đ?&#x2018; = đ?&#x2018;&#x2026; đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??¸ ( đ?&#x2018; ). đ??ˇ ( đ?&#x2018; )

đ??¸ đ?&#x2018; 1+đ??ş đ?&#x2018; đ??ť đ?&#x2018; .đ??ˇ đ?&#x2018;

đ??¸ đ?&#x2018; =

= đ?&#x2018;&#x2026; (đ?&#x2018; )

đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) 1+đ??ş đ?&#x2018; đ??ť đ?&#x2018; .đ??ˇ đ?&#x2018;

ContinuaciĂłn

El error estacionario es entonces đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x2026;(đ?&#x2018; ) 1+đ??ş đ?&#x2018; đ??ť đ?&#x2018; .đ??ˇ đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim đ?&#x2018;&#x2020;đ??¸ đ?&#x2018; = lim đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0

La constante de aceleraciĂłn estĂĄtica es: đ??žđ?&#x2018;&#x17D; = lim đ?&#x2018; 2. đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ(đ?&#x2018; ) đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;

Como no nos indican la funciĂłn de entrada, entonces se evaluaran los 2 tipos de funciones mĂĄs conocidas si la entrada es parabĂłlica đ?&#x2018;&#x2026;3 đ?&#x2018; 3 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 1 + đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ ( đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim

đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; 2 ( 1

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim

đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; 2

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; =

lim đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; =

đ?&#x2018;&#x2026;3 0+đ??žđ?&#x2018;&#x17D;

=

đ?&#x2018;&#x2026;3 đ??žđ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2020;&#x2019;

đ??žđ?&#x2018;&#x17D; =

đ?&#x2018; 2

+

đ?&#x2018;&#x2026;3 +đ??ş đ?&#x2018; .đ??ť đ?&#x2018; .đ??ˇ đ?&#x2018; )

đ?&#x2018; 2đ??ş

đ?&#x2018;&#x2026;3 đ?&#x2018; .đ??ť đ?&#x2018; .đ??ˇ đ?&#x2018;

đ?&#x2018;&#x2026;3 + lim đ?&#x2018; 2đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ đ?&#x2018; đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;&#x2026;3 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;

si la funciĂłn es escalĂłn đ?&#x2018;&#x2026;1 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 1 + đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ ( đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;

ContinuaciĂłn

đ?&#x2018;&#x2026;1 đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 1 + đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ ( đ?&#x2018; )

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim

đ?&#x2018;&#x2026;1. đ?&#x2018; 2 đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; = lim 2 đ?&#x2018; â&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018; + đ?&#x2018; 2 . đ??ş đ?&#x2018; . đ??ť đ?&#x2018; . đ??ˇ ( đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; =

0 0 + đ??žđ?&#x2018;&#x17D;

â&#x2020;&#x2019;

đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018; =

0 đ??žđ?&#x2018;&#x17D;

K a p u e d e te n e r c u a l q ui e r v a l o r d i fe r e n te d e â&#x20AC;&#x153; 0 â&#x20AC;? .