5 notación científica, redondeo y exactitud

Tomado del Texto “Introducción a la Ingeniería” Pablo Grech pág. 141 Preparó Ing. Nelson Tarazona Méndez Docente TC de la Facultad de Ingenierías

Notación científica }

La notación científica es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

}

Para expresar un número en notación científica identificamos la coma decimal (si la hay) y la desplazamos hacia la izquierda si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) la desplazamos hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

Ejemplos.

} } }

732,5051 = 7,325051 • 102 (movimos la coma 2 lugares hacia la izquierda) −0,005612 = −5,612 • 10−3 (movimos la coma 3 lugares hacia la derecha).

Cifras significativas Cuando se expresa el resultado de una medida, o un resultado derivado de una o varias medidas, se usa un número finito de cifras para expresar su magnitud. Por ejemplo las medidas de una página tamaño carta son: }

} }

}

216 mm de ancho por 279 mm de largo

En este caso hay tres cifras significativas, de la cuales, las dos primeras son seguras y la tercera es razonablemente segura.

En ingeniería, se acepta como norma que de las cifras con que se expresa el resultado de una medida o un cálculo , la última cifra es aproximada, razonablemente segura y las anteriores son seguras.

Reglas para establecer las Cifras significativas Regla 1: En números que no contienen ceros, todos los dígitos son significativos.

3,14159 → seis cifras significativas →

3,14159

Regla 2: Todos los ceros entre dígitos significativos son significativos.

2,054 → cuatro cifras significativas →

2,054

Regla 3: Los ceros a la izquierda del primer dígito que no es cero sirven solamente para fijar la posición del punto decimal y no son significativos.

0,054 → dos cifras significativas →

0,054

Reglas para establecer las Cifras significativas Regla 4: En un número con dígitos decimales, los ceros finales a la derecha del punto decimal son significativos.

0,0540 → tres cifras significativas →

0,0540

Regla 5: Si un número no tiene punto decimal y termina con uno o más ceros, dichos ceros pueden ser o no significativos. (se suele indicar que dichos ceros son significativos escribiendo el punto decimal solamente. Si el signo decimal no se escribiera, dichos ceros no son significativos).

1200, → cuatro cifras significativas →

1200,

Ver mas en documento adicional sobre el tema.

Ejemplos de notación científica y cifras significativas Longitud en centímetros

Expresión en notación científica

Numero de cifras significativas

12,74

1,274 X 101

4

11,5

1,15 X 101

3

1,50

1,50 X 100

3

1,5

1,5 X 100

2

0,45

4,5 X 10-1

2

0,8

8 X 10-1

1

0,05

5 X 10-2

1

125,01

1,2501 X 102

5

2014,0

2,0140 X 103

5

Escriba en notación científica y establezca las cifras significativas Longitud en centímetros

17,87 0,4730 17,9 0,473 18 0,47 134 156700 20.000.000.000,0 1,001 1,000

Expresión en notación científica

Número de cifras significativas

Cifras significativas y notación científica Longitud en centímetros

Expresión en notación científica

Número de cifras significativas

17,87

1,787 X 101

4

0,4730 17,9 0,473 18 0,47 134 156700 20.000.000.000,0 1,001 1,000

Cifras significativas y notación científica Longitud en centímetros

Expresión en notación científica

Número de cifras significativas

17,87

1,787 X 101

4

0,4730

4,730 X 10-1

4

17,9

1,79 X 101

3

0,473

4,73 X 10-1

3

18

1,8 X 101

2

0,47

4,7 X 10-1

2

134

1,34 X 102

3

156700

1,56700 X 105

6

20.000.000.000,0

2,0 X 1010

2

1,001

1,001 X 100

4

1,000

1,000 X 100

4

Redondeo El redondeo consiste en reducir cifras de una expresión numérica en forma segura.

Cómo presentar el numero 3.333.333,33333 con menos decimales?

El problema radica en saber escoger el numero de decimales, aquí entra a jugar tanto el sentido común como la experiencia.

En ingeniería se acostumbra usar dos cifras decimales en las respuestas.

Todos los cálculos intermedios deben realizarse con el mayor número de cifras significativas, pero el resultado debe redondearse a dos cifras decimales.

Los científicos acostumbran a usar muchos decimales, en algunos casos más de diez, porque resultan ser la explicación de un raro fenómeno científico.

Reglas para el redondeo 1. Definir con cuántas cifras decimales se desea expresar una cantidad. Tomemos el número 0,98364 redondear a dos decimales.

2. Se analiza el dígito a la derecha del último decimal deseado, en este caso 3.

3. Si esa cifra es menor que cinco se elimina y todas las que se encuentran a su derecha. En este caso es 3 se elimina el 3, 6 y 4.

4. Si el dígito analizado es mayor que 5, se aumenta el último decimal deseado en 1 y se elimina los otros dígitos a su derecha. Ej. Si deseamos redondear a 3 dígitos se examina el 6 por lo tanto al ser mayor que 5 se aumenta el 3 en , quedando en 0,984 5. Cuando el digito analizado es igual a 5. Entonces se hace lo siguiente.

1. Si a su derecha se encuentran más dígitos diferentes de cero, redondee el último decimal al siguiente valor.

2. Si a su derecha no hay más digito o son ceros, redondee a la siguiente cifra si el último digito significativo a su izquierda es impar. Si fuera par déjelo tal cual.

Ej1: el numero 4,565 desea redondearse a 2 decimales, el dígito analizado sería 5. Como no hay más digito a su derecha y la última cifra a su izquierda es par no se toca y se deja tal cual. 4,56. Pero si el nro fuera 4,575, entonces quedaría 4,58.

3. Ej2: Redondear el nro 5,68256 a 3 decimales, el digito analizado es 5, a su derecha está un 6, en este caso se aumenta en 1, quedando 5,683.

Ejercicios de redondeo Después de realizar una serie de cálculos se llegó a los siguientes resultados.

Cantidades

Redondee de acuerdo con lo que la practica aconseja

Resultados

23400,3563 m2

3 dec

23400,356 m2

12316,250 m

2 dec

12316,25 m

1536,23 KWh

1 dec

1536,2 KWh

285,32 A

1 dec

285,3 A

115,275 V

2 dec

115,28 V

2,36955 mg de As

3 dec

2,370 mg de As

2,26348 g de CO2

3 dec

2,263 g de CO2

10,529 ppm de CO

1 dec

10,5 ppm de CO

Calculo del error absoluto y el error relativo El error absoluto es la diferencia absoluta entre el verdadero valor de la variable y su medida.

El error relativo se expresa como un porcentaje entre el error absoluto y el verdadero valor de la variable.

En el siguiente cuadro halle los errores absoluto y relativo.

MEDIDAS

MEDIDICIĂ“N DE PRUEBA

ERROR ABSOLUTO

ERROR RELATIVO

9,75 m/s2

0,05 m/s2

0,51%

DiĂĄmetro de la tierra = 12.742 km

11.805 Km

937 Km

7,35%

La velocidad de la luz es 186.282,397 millas/s

186.200,000 Millas/s

?

?

Gravedad = 9,80m/s2

PrecisiĂłn y exactitud La exactitud de una medida se define como la diferencia entre el valor que arroja la medida y su valor verdadero Por precisiĂłn se entiende la reproducidad de la medida. En otras palabras esta Ă­ntimamente ligado con la calidad del instrumento usado.

Si al efectuar una medida varias veces, los valores obtenidos se diferencian muy poco, se dice que el instrumento es muy preciso, si por el contrario los valores se encuentran muy dispersos, entonces el instrumento es poco preciso.

Ejercicios de Precisión y exactitud Las siguientes son las mediciones realizadas en un laboratorio por parte de dos estudiantes usando dos dispositivos de medida diferentes.

En 4 medidas se tuvieron los siguientes resultados. Califíquelos con respecto a su exactitud y precisión. (El valor verdadero de la medida es 4,8

Primer medida

Segunda medida

Tercer medida

Cuarta medida

Calificación Exac0tud / Precisión

Estudiante 1

4,7

4,9

4,5

4,8

?

Estudiante 2

2,8

3.9

2,5

4,6

?

Estudiante 3

4,6

4,4

4,5

4,6

?