Anti derivada La primera parte del curso ha estado caracterizada por la operación derivación así como la aplicación de la derivada en la resolución de diversos problemas. Esta operación posee lo que pudiera llamarse una operación inversa o una anti operación, de forma similar como ocurre con los procesos elevar al cuadrado y extraer raíces. Y de la misma manera que elevar al cuadrado es una operación sencilla y no la extracción de raíces, ocurre entre los procesos de derivar y realizar la operación de anti derivar (a la cual le llamaremos más adelante proceso de integración). A modo de ejemplo podemos plantearnos el siguiente: Supongamos ahora que lo que conocemos del movimiento es precisamente la velocidad v = v(t) en cada momento y lo que queremos es encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que una población de bacterias está creciendo podría desear deducir de qué tamaño será la población en cualquier instante de tiempo. Evidentemente nos encontramos en presencia de un proceso inverso en alguna medida de lo que hasta el momento hacíamos.
1. Primitivas o anti derivadas. Comencemos definiendo lo que llamaremos primitiva o anti derivada de una función dada. Definición Una función P se llama primitiva o anti derivada de una función f en un intervalo I si la derivada de P es f, esto es P´(x) = f(x) para todo x en I. f ( x ) P( x )
cos x Ejemplos sencillos: x 2
sen x x3 /3
ex
ex 1
1/ x
ln x
OBSERVACIONES 1. De la definición se sigue que P no es única. 2. Para que P´(x) exista se precisa la continuidad de P(x). 3. Una primitiva o anti derivada de una función dada no es única, por ejemplo una primitiva de f ( x ) 1 2 es P( x ) arctan(x ) pero también lo es Q( x ) arctan(x ) 2 1 x
4. No siempre es posible encontrar de inmediato primitivas de funciones dadas, por ejemplo si ahora f ( x ) arctan(x ) no parece inmediato mostrar una primitiva, y sin embargo ésta existe. Lo cual se verifica de inmediato: lnx 2 1 Una Primitiva de f ( x ) arctan(x ) es P ( x ) x arctan(x ) 2 x 1 2x Comprobemos; P ( x ) arctan(x ) , simplificando se obtiene 2 2 2 x 1 1 x P ( x ) f x . El problema reside en ¿CÓMO ENCONTRAR LA ANTIDERIVADA? Uno de los objetivos que nos planteamos en esta y en las siguientes actividades está relacionado con técnicas para la obtención de primitivas o antiderivadas
Ahora, como hemos observado, una función puede tener más de una primitiva, pero podemos hacernos la pregunta: ¿Qué relación existe entre ellas? TEOREMA
Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) +C (C constante) para todo x en I. La demostración es inmediata Como P es primitiva de f en I, se tiene Px f x (1) para todo x en I Como Q es primitiva de f en I se tiene Qx f x (2) para todo x en I Restando 1 y 2 se tiene Px Qx 0 para todo x en I, en virtud de una de las consecuencias del Teorema de Lagrange, se tiene P x Qx C o P x Qx C . Ejemplos Encuentre la antiderivada más general de la función. Compruebe su respuesta por derivación. 5 4 x 3 2x 6 10. f x x6 12. f x 3e x 7 sec2 x
2 x2 16 f x 1 x 2 La integral indefinida. Representación geométrica y propiedades. Definición
Sea F una primitiva de f en un intervalo I. Al conjunto de todas las primitivas de f en I lo denotaremos por el símbolo f ( x )dx y le llamaremos integral indefinida de la función f. Notación: f ( x )dx F ( x ) C OBSERVACIONES:
1. Al símbolo
es una S alargada y se denomina símbolo integral.
2. 3. 4. 5.
A la función f le llamamos integrando. A la constante C le llamaremos constante de integración. La variable x se llama variable de integración, puede emplearse cualquier letra. El termino dx, diferencial de la variable de integración, al parecer es superfluo pero más adelante veremos la importancia de su presencia. Representa respecto a que variable se integra. 6. A la operación de búsqueda de primitivas o anti derivadas se le llama integrar Ejemplos 1. 2. 3. 4. 5.
n x dx
x n 1 C n 1
1
x dx ln x C e dx e C senxdx cos x C sec xdx tan x C x
x
2
1
dx arctan x C 1 x 2 Nota: A este grupo de integrales se les conoce como integrales inmediatas, y están referidas al proceso inverso de la derivada. Sólo observemos que el caso # 1, llamada integral de una potencia se cumple para n 1 y cuando n 1 , se obtiene el caso 2. 6.
Propiedades 1. Sea f una función con integral indefinida en un intervalo I, entonces a. d f ( x )dx f ( x )dx b. f ( x )dx df ( x ) f ( x ) C
c. 0dx C 2. Si f y g son funciones con primitivas en un intervalo I y a y b son constantes se tiene
(af ( x ) bf( x ))dx a f ( x )dx b g( x )dx
(Propiedad de linealidad)
Observaciones:
NO existen propiedades relacionadas con el producto o con el cociente de funciones. Las propiedades 1.a y 1.b, nos indican que los símbolos de integral y de diferencial se destruyen, cuando se anteponen.
Interpretación geométrica de la integral indefinida.
Constituye una familia de curvas monoparametricas (dependientes del parámetro C). Por ejemplo 1
x dx ln x C En la gráfica aparecen 6 curvas para C = 0; 1; 2; 3; 4; 5
Integración por completamiento de diferencial. Las fórmulas de integración anteriores permiten la obtención de primitivas de funciones que no se encuentran en la tabla, como por ejemplo 1 3x sin(2 x)dx, e dx, 4 x 2 dx . Los ejemplos que se proponen son para aplicar la propiedad 1.b y la propiedad de linealidad (homogénea cuando se trata de una sola función) Ejemplos: Obtener cos(2 x)dx . Aquí f ( x) cos(2 x) pero dg ( x) 2 cos(2 x)dx si g ( x) sen(2 x) , luego cos(2 x)dx
1 1 1 2. cos(2 x)dx dg ( x) sen(2 x) C 2 2 2