Anti derivada La primera parte del curso ha estado caracterizada por la operación derivación así como la aplicación de la derivada en la resolución de diversos problemas. Esta operación posee lo que pudiera llamarse una operación inversa o una anti operación, de forma similar como ocurre con los procesos elevar al cuadrado y extraer raíces. Y de la misma manera que elevar al cuadrado es una operación sencilla y no la extracción de raíces, ocurre entre los procesos de derivar y realizar la operación de anti derivar (a la cual le llamaremos más adelante proceso de integración). A modo de ejemplo podemos plantearnos el siguiente: Supongamos ahora que lo que conocemos del movimiento es precisamente la velocidad v = v(t) en cada momento y lo que queremos es encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo. Un biólogo que conoce la rapidez a la que una población de bacterias está creciendo podría desear deducir de qué tamaño será la población en cualquier instante de tiempo. Evidentemente nos encontramos en presencia de un proceso inverso en alguna medida de lo que hasta el momento hacíamos.
1. Primitivas o anti derivadas. Comencemos definiendo lo que llamaremos primitiva o anti derivada de una función dada. Definición Una función P se llama primitiva o anti derivada de una función f en un intervalo I si la derivada de P es f, esto es P´(x) = f(x) para todo x en I. f ( x ) P( x )
cos x Ejemplos sencillos: x 2
sen x x3 /3
ex
ex 1
1/ x
ln x
OBSERVACIONES 1. De la definición se sigue que P no es única. 2. Para que P´(x) exista se precisa la continuidad de P(x). 3. Una primitiva o anti derivada de una función dada no es única, por ejemplo una primitiva de f ( x ) 1 2 es P( x ) arctan(x ) pero también lo es Q( x ) arctan(x ) 2 1 x