Aplicaciones de las matrices y determinantes de las matrices

PRACTICA 1.

Los contratistas A, B y C hacen licitaciones para las obras p, q y r como se indica en la matriz de costos (en unidades de 100 000 dólares) ¿Qué asignación minimiza el costo total si a) Sin ninguna condición b) A cada contratista solo se le puede asignar una sola obra.

A B C  26 18 7     32 12 14   41 12 10    2.

3.

Si un obrero W puede realizar el trabajo A j en aij horas, según se indica en la matriz A y si cada obrero solo deberá realizar un solo trabajo ¿Qué asignación minimizará el tiempo total del trabajo?

Suponiendo que el estado del uso del suelo de una ciudad de 50 millas cuadradas de superficie, no baldia, en 1993 fue: I. Uso residencial 30% , II. Uso comercial 20%, III. Uso industrial 50%.

Encontrar los estados en los años 1998, 2003 y 2008, suponiendo que las probabilidades de transición para intervalos de 5 años están dadas por la siguiente matriz: AI AII AII

 0,8 0,1 0,1     0,1 0, 7 0, 2   0, 0 0,1 0,9    NOTA.- Una matriz cuadrada con elementos no negativos, si la suma de los elementos de cada una de sus filas es igual a 1, se llama matriz estocástica 4.

Sean las matrices

1 4 5 2 3    2 0 4  2 3 7 1    C   5 2  A  B   1 3 5  5 0 6 9   2  1     0 6 7 Encontrar aquellas matrices que se encuentren definidas

a) AB 5.

b) CA

c) BtAt

d) BC

e) CtB

Dadas las matrices :

5 2 a)A=   0 3

 Cos b)B=    Sen

 5 1 8   d)D=  15 3 6  10 4 2   

2 8  9 4 f)F=  0 0  0 0

 4  8 h)H=   8   16

9 5

 6  2 g)G=   1   7

0  0 7 1  6 2  0 0

2  9 i)I=  0  0 0 

9  4  0 2 8   6 14 5  3 3

 1 3 1   c)C=  2 4 5   2 0 3  

Sen   Cos 

4 5 6  7 2 1 7 2 4  4 5 7

0 1 3 4   0 4 0 0  0 7 1 0  2 1 3 0  0 1 1 1 

Hallar a) A+B , b) B²- A² , c) 2C-3D , d) Ft – 2Gt , e) 3G – G² f) H- H t DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA Definición: A toda matriz cuadrada An le asociamos un número llamado determinante, A , simbolizado de la forma:

A

a11

a12

... a1n

a21 ... an1

a22 ... a2 n ... ... ... an 2 ... ann

Dicho número es un resultado que se puede obtener de diferentes maneras. Según el orden y tipos de determinantes estudiaremos ciertos métodos para hallar el determinante.

Propiedades:

a) b) c) d) e)

f)

Si los elementos de una fila o columna son nulos el valor del determinante es 0.

Un determinante con dos filas o columnas paralelas iguales es nulo.

Si un determinante tiene dos dilas o columnas proporcionales su valor es nulo.

Si cambiamos dos filas o columnas el determinante cambia de signo.

Para multiplicar un número por un determinante se multiplica el número por los elementos de una fila o columna cualquiera. (En un determinante se puede sacar el factor común, siempre que exista un número que multiplique a todos los elementos de una fila o columna) At  A

g)

. A   n . A

h)

A.B  A . B

i)

A1 

1 A

Calculo de un determinante: I)

Método de Sarrus

Cuando el determinante es de orden dos o tres se usa la regla de Sarros, que consiste en sumar todos los productos que se obtienen al multiplicar dos o tres elementos de la matriz de todas las formas posibles, con la condición de que en cada producto exista un elemento de cada fila y uno de cada columna, con sus signos correspondientes y para ello se utiliza el esquema que sigue: Para un determinante de orden 2:

a11

a12

a21 a22

 a11. a22  a12 . a12 

 



 

Para un determinante de orden 3: a11 a12 a13

a21 a22 a31 a32 a11 a12 a21 a22

a23

a33  a11. a22 . a33  a13 . a21. a32  a12 . a23 . a31   a13 . a22 . a31  a11. a23. a32  a12 . a21. a33  a13 a23

Ejemplo 1.

Calcular los determinantes

2 3 1

1

,

2 0

1 1 1 2

2

0

3

2 3  2 1   3 1  5 1 1

2 0 2

1 1 1 2  2 1 3  1 0  0   1   2    2   11  2   2  0   2    1  0  3  0

3

 6  0  4   2  0  0   0 II.

Cálculo del determinante de orden n, por los adjuntos: Cuando el orden de los determinantes es superior a 3 la regla de Sarrus no es fácilmente aplicable y entonces utilizamos el método de los adjuntos, que reduce el orden en una unidad cada vez que le utilizamos.

Para ello vamos a definir dos nuevos conceptos: Menor complementario: Dada una matriz An se llama menor complementario de un elemento aij al determinante de la matriz, que resulta de suprimir la fila i y la columna j en la matriz An : se llama mij .

Adjunto de un elemento (o Cofactor): Al producto de  1

i j

por el menor

complementario mij de aij se llama adjunto de un elemento aij y se escribe Aij .

Aij   1

i j

 mij

A partir de estas definiciones obtenemos otra forma de calcular un determinante: el valor de un determinante de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna por sus respectivos adjuntos.

A

n

a

i o j 1

ij

x Aij  ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ai 3  Ai 3  a1 j  A1 j  a2 j  A2 j  a3 j  A3 j 

Ejemplo 2.

 ain  Ain   anj  Anj

Calcular el valor del determinante

1 1

0 2

2 0

0 1

1 1 4 1 3 1 3 2 Elegimos la primera fila ya que tiene dos elementos nulos y eso va a simplificar el cálculo: 1 1

0 2

2 0

0 1

1 1 4 1 3 1 3 2

 1  1

11

2 1

0 4

 1 A11  0  A12  2  A13  0  A14 

1 1 13 1  0  m 12 2   1  1

1 3 2

3

2 1

1 1  0  m14 

1 2

Cuando llegamos a un determinante de orden tres, podemos aplicar Sarrus: 1  16    3   4   6   2   2   1   6   3  1  4  51 III.

Método del pivote o de Chio

Si a los elementos de una fila o columna se suman los correspondientes de otras paralelas multiplicados por un número , el valor del determinante no varía. (Suma de una combinación lineal de otras filas o columnas) Basándose en esta propiedad, podemos obtener un determinante igual, pero con una fila o columna todos nulos salvo uno, que al aplicar el método anterior, se reduce su cálculo a un solo determinante de orden menor.

1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 Ejemplo 3.Calcular por el método del pivote el determinante 1 1 0 0 0 0 0 1 1 2 1 2 2 1 1

1 2 1 2 1

1

2

1

2

1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0  3a fila  1a fila  0 1 1 2 1  0 0 1 1 2 1 2 2 1 1

0 1 1

0 2 2

1 2 1

1 1 2

2 1 1

0 0 1 1 1  F5  F1  0 1 1 2 1 0 1

0 2

1 2

1 1

2 1

Desarrollamos el último determinante por la 1a columna:

1 A11  1  1  11

0 1 1 1 1 1 2 1

0 1 1 1 1 1 2 1

  0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 0 0 1 1 0 Repetimos el proceso desarrollando el determinante por la 2 a fila:

 1  A21   1   1

2 1

1 1

1 1

1 1 2 1

1 1 0

IV.

1 1

1 2 2

1 1 0

Método triangularizante Cuando calculamos el determinante de matrices triangulares o diagonales observamos que verifica que el resultado coincide con el producto de los elementos de la diagonal principal.

Con las propiedades anteriores podemos llegar a obtener un determinante que sea triangular y aplicar seguidamente el contenido expresado arriba:

1 2 1 2 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

Ejemplo 4.Calcular el determinante

0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0  F3  F1  0 1 1 2 1  F5  F1  0 1 1 2 1  0 0 1 1 2 1 2 2 1 1

0 1

0 2

1 2

1 1

2 1

0 0

0 0

1 1

1 1

2 0

cambiamos las filas 2a y 3a ( cambia el signo)

1

2

1

2

1

1

0 1 1 2 1  0 0 1 1 1  F4  F3   0 0 1 1 2 0 0 1 1 0

1

2

1

2

2

1

2

1

0 1 1 2 1 0 0 1 1 1  0 0 0 0 1 0 0 1 1 0

1

0 1 1 2 1  F5  F4   0 0 1 1 1 0 0

signo):

0 0

0 0

0 1 2 1

cambiamos 4a y 5a fila para dejarle triangular (el determinante cambia de

1  F4

2

1

2

1

0 1 1 2 1 F5         0 0 1 1 1  1  1 1 2  1  2 0 0

0 0

0 0

2 1 0 1

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA DE UNA DADA Matriz Adjunta Dada una matriz cuadrada An se llama matriz adjunta, Adj  An  a la matriz que resulta de sustituir cada uno de los elementos de la matriz An por sus adjuntos respectivos.

1 2 1   Ejemplo 1.Hallar la matriz adjunta de A   1 2 3   3 1 1  

 2   1  2 Adj  A      1   2  2 

3 1 1 1 1 3



1 3 3 1

1 1 3 1 

1 1 1 3

1 2   3 1   1 10 7  1 2    1 4 7    3 1    4  2 0    1 2  1 2 

Matriz Inversa Si A es una matriz de orden n cuyo determinante es no nulo, la matriz inversa de A es la matriz de orden n denotada por A-1 tal que A. A-1 = I , donde I es la matriz identidad de orden n.

Cálculo de la matriz inversa por el método del adjunto:

Una matriz tiene inversa si solo si Ejemplo 2.

 1 1 3    Calcular la matriz inversa de  2 2 1   1 3 1   

1 2 1   A   1 2 3   3 1 1  

A  14

1

A 

Adj  At  A

 1 1 4    Adj  A    10 4 2   7 7 0    t

 1 1 4  1     10 4 2  14    7 7 0 

MATRICES ELEMENTALES Definición 1: Sobre una matriz Anxm decimos que efectuamos una operación elemental sobre la fila o columna, cuando realizamos cualquiera de estas transformaciones: i)

Cambiar entre sí dos filas o columnas: Cij

ii)

Multiplicar una fila o columna por un número real k  0 : Fi  k  ó C j (k )

iii)

Sumar a la fila o columna i la fila o columna j multiplicada por un número real k  0 : Fij  k  ó Cij (k )

Definición 2: Se llama matriz elemental a una matriz cuadrada, que resulta de efectuar una operación elemental sobre una fila o columna en la matriz identidad.

Ejemplo 3.

1 0 0 1    F1.2     C12 0 1 1 0

Cambiar dos filas

1 0 0 1 0 0      0 1 0   C2  3   0 3 0   F2 (3) 0 0 1 0 0 1    

Multiplicar la 2a columna por  3

1 0 0 1 0 0     Sumar a la 3a fila el doble de la 2a  0 1 0   F3.2  2    0 1 0  0 0 1 0 2 1    

1 0  1 5     C2.1  5    0 1 0 1 

Sumar a la 2a columna la 1a por -5

Según el orden de la matriz unidad obtenemos una matriz elemental del mismo orden.

Teorema .- Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por filas, la matriz que obtenemos es F  A , donde F es la matriz elemental resultante de efectuar la misma operación elemental.

Si en una matriz A efectuamos una operación elemental por columnas la matriz que obtenemos es C.A, donde C es la matriz elemental resultantes de efectuar la misma operación elemental.

Ejemplo 4

 2 1 0 1    Sea A   1 2 1 2   3 1 0 1    Por filas:

 2 1 0 1   2 1 0 1      1 2 1 2   F2,1  2    3 4 1 0  =AF  3 1 0 1   3 1 0 1      Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación: 1 0 0  1 0 0      0 1 0   F2,1  2    2 1 0   F 0 0 1  0 0 1     Producto de F.A:  1 0 0   2 1 0 1   2 1 0 1       F  A   2 1 0    1 2 1 2    3 4 1 0   A  0 0 1   3 1 0 1   3 1 0 1        Por columnas:  2 1 0 1   2 3 0 1       1 2 1 2   C2,1  2    1 4 1 2  = AC  3 1 0 1   3 7 0 1      Matriz elemental obtenida al hacer la misma operación:

1  0 0  0

0 0 0  1 2   1 0 0 0 1  C2,1  2    0 0 0 1 0   0 0 1 0 0

0 0  0 0 C 1 0  0 1

Producto de A.C

 1 2  2 1 0 1     0 1  1 2 1 2    0 0  3 1 0 1     0 0 

0 0   2 3 0 1  0 0    1 4 1 2  = AC 1 0    3 7 0 1  0 1 

A partir de ahora, sólo consideraremos las matrices elementales resultado de efectuar operaciones elementales sobre las filas Operaciones elementales inversas.

Se llama operación elemental inversa aquella operación que nos anula la acción de cada operación elemental.

Ejemplo 5.

Sean las matrices elementales obtenidas como resultado de las siguientes operaciones elementales:

1 0 0 0 0 1     I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1 0 0 1 1 0 0     1 0 0 1 0 1     I 3   0 1 0   F2  2    0 2 0   E2 0 0 1 0 0 1     1 0 0 1 0 0      I 3   0 1 0   F2,3  3   0 1 3   E3 0 0 1 0 0 1      Existen otras operaciones sobre estas matrices elementales que nos anulan las operaciones anteriores y volvemos al punto de partida o sea a I 3 .

0 0 1 1 0 0     E1   0 1 0   F3,1   0 1 0   I 3 1 0 0 0 0 1     1 0 0 1 0 0 1     E2   0 2 0   F2     0 1 0   I 3 2    0 0 1    0 0 1

1 0 0  1 0 0     E3   0 1 3   F2,3  3   0 1 0   I 3 0 0 1  0 0 1     Estas operaciones se llaman operaciones inversas de las hechas en primer termino.

Resumiendo: OPERACIÇON ELEMENTAL

Cambiar la fila i por la j Multiplicar una fila por k  0 Sumar a la fila i, la j por k  0

OPERACIÓN INVERSA

Cambiar la fila j por la i Multiplicar una fila por

1 0 k

Sumar a la fila i, la j por k  0

Matrices elementales inversas Cuando en la matriz I n efectuamos una operación elemental obtenemos una matriz elemental E. Cuando en la matriz I n efectuamos la operación elemental inversa obtenemos la matriz elemental inversa de la matriz elemental E , E 1 .

Luego toda matriz elemental tiene inversa y es una matriz elemental.

En efecto, cuando hacemos una operación elemental, obtenemos E y si efectuamos la operación elemental inversa sobre E al punto de partida I n , luego se verifica: I n  Operación elemental  E   Operación inversa  E0   I n E0  E  I n  E0  E  I m

E  E0  I n  E  E0  I m

Luego E0 es la inversa de E .

Ejemplo 6 Dadas las matrices elementales que se obtienen de realizar las operaciones elementales: i) ii) iii)

Cambiar las filas 1 y 3 Multiplicar la 2a fila por 2 Sumar a la 2a fila la 3a por -3

Hallar sus matrices inversas. i) Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F13

1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1         I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1  I 3   0 1 0   F3,1   0 1 0   E11 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0         ii)

Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F2  2 

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0   1 1       I 3   0 1 0   F2  2    0 2 0   E2  I 3   0 1 0   F2     0 0   E21  2 2  0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0        

iii)

Matriz elemental que resulta de hacer la operación elemental F2,3  3

1 0 0 0 0 1 1      I 3   0 1 0   F13   0 1 0   E1  I 3   0 0 0 1 1 0 0 0      1 2 2 0 0  1    F1  2    0 1 3   E4 F1     0 2  0 0 1  0    

0 0 0 0 1    1 0   F3,1   0 1 0   E11 1 0 0 0 1     0 0  1 3   E41 0 1  

iv)

E2  E1  A  I 2  E2  E1  A  A1  I 2  A1  E2  E1  I 2  A1  E2  E1  A1

1  1   1 1 2 A1       0 1  0 1    2  Matrices equivalentes por filas Si partiendo de una matriz A podemos llegar a otra B efectuando un número finito de operaciones elementales sobre las filas y, de la misma manera, podemos volver a A desde B, realizando las operaciones inversas y en orden inverso, se dice que A y B son equivalentes por filas.

Ek  Ek 1 

E2  E1  A  B  A  E11  E21 

 Ek11  Ek1  B

En efecto: Si podemos llegar desde A a B por medio de operaciones elementales Ek  Ek 1  E2  E1  A  B Multiplicando por las matrices inversas obtenemos

E11  E21 

Ek11  Ek1  Ek  Ek 1 

E2  E1  A  A  E11  E21

 Ek11  Ek1  B

Si podemos llegar desde B a A por medio de operaciones elementales:

E11  E21 

Ek11  Ek1  B  A

Multiplicando por las matrices elementales inversas obtenemos Ek  Ek 1  E2  E1  E11  E21   Ek11  Ek1  B  B  Ek  Ek 1  Ejemplo 7 Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas.

 2 0 1   A  1 2 3   5 2 1   

1 2 3    y B   2 0 1   4 4 2   

E2  E1  A

 2 0 1 1 2 3  1 2 3        A   1 2 3   F1,2   2 0 1  F3,1  1   2 0 1   B  5 2 1   5 2 1   4 4 2        1 0 0 0 1 0     I 3   0 1 0   F1,2   1 0 0   E1 0 0 1 0 0 1    

1 0 0  1 0 0     I 3   0 1 0   F3,1  1   0 1 0   E2 0 0 1  1 0 1       1 0 0   0 1 0   2 0 1  1 2 3          E2  E1  A   0 1 0    1 0 0    1 2 3    2 0 1   B  1 0 1   0 0 1   5 2 1   4 4 2         

Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales Si A es equivalente a la matriz In entonces A tiene inversa En efecto: si A es equivalente por filas a In: Ek  Ek 1  E2  E1  A  I n

1

Multiplicando por A1 por la derecha los dos miembros obtenemos: Ek  Ek 1  E2  E1  A  A1  Ek  Ek 1  E2  E1  I n  A1  A1

 2

Luego A1 viene como producto de matrices elementales.

El método para el cálculo de A1 sale de observar 1 y  2 Ek  Ek 1 

E2  E1  A  I n

Ek  Ek 1  E2  E1  I n  A Las operaciones elementales que nos sirven para convertir A en la matriz unidad, efectuadas sobre la matriz unidad nos da la matriz inversa de A .

 1 1 1    Ejemplo 8 Hallar la matriz inversa de A   0 1 0   1 0 1   Solución  1 1 1  0 1 0 1 0 1 

 1 1 1 1 0 0   0 1 0   F1  1   0 1 0 1 0 1 0 0 1  

  1 1 0   F3,2  1   0 1 0  0 0 1 

 1  2  luego A1   0  1   2

1.9.

1 2 1 1  2

1 2 0 1 2



1 2 1 1 2



 1 1 1 1 0 0    0 1 0   F3,1  1   0 1 0 0 1 2 0 0 1  

1  1 0 0 2   0   F1,2 1   0 1 0  1  0 0 1 2 

1 2 0 1 2



1 2 1 1  2

1 2  0 1  2

1 2  0 1  2

FORMAS ESCALONADA Y REDUCIDA DE UNA MATRIZ

Formas escalonada Se llama forma escalonada por filas de una Amxn a aquella matriz que se obtiene a partir de A mediante operaciones elementales y que verifica: i)

Si tiene filas cuyos elementos son todo nulos, están en filas inferiores.

ii)

El primer elemento distinto de cero de una fila (empezando por la izquierda), se llama elemento pivote y a su columna, columna pivotal.

Dadas dos filas sucesivas, el elemento pivote de la 2a fila está más a la derecha que el elemento pivote de la 1a fila.

iii)

Ejemplo 9.

Formas escalonadas:

1 0 0   0 1 0 1 0 1 

1 0 4 5 2 5 6 1 2    2 3 5 0     ; 0 3 1 2 ;   ; 0 1 4 0 3 0 0 0 0  0 0 0 1  0 0 3     Formas no escalonadas:

1  2 5 6 0 0 0 0    ; 0 0 0  ;  0 0 2 1 0 0 7    0 0 

4 5  1 2 3  0 0 1 ;   0 0 2  0 0 0 

0 6 7  2 4 8 0 1 3  0 5 2

Forma reducida Se llama forma reducida por filas de una matriz Amxn a toda matriz escalonada con los pivotes unidad y los demás elementos de la columna del pivote, nulos.

Ejemplo 10. 1 0 3 1 3 0 0     1 2 0 3 0 1 2 ; 0 0 1 0     ; 0 0 1 4  0 0 0 0 0 0 1      Obtención de una forma escalonada El algoritmo para obtención de una forma escalonada se llama eliminación de Gauss o gaussiana y consta de los siguientes pasos: 1°

Partiendo de la izquierda, buscamos en la 1a columna un elemento distinto de cero que llevaremos a la 1a fila, si no le hay en la 1a fila, (mediante operaciones elementales) y será el 1er pivote. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del pivote.

2°

Siguiendo a la derecha, buscamos en la 2a columna un elemento distinto de cero en la 2a fila o siguientes filas. Se opera para tener un 2a pivote en la 2a fila, si está en las siguientes filas. Seguidamente con las operaciones elementales haremos ceros debajo del 2a pivote.

Seguimos sucesivamente moviéndonos hacia la derecha hasta no encontrar más pivotes.

3°

Evidentemente, dependiendo de la manera de operar y el orden de actuación, obtendremos diferentes formas escalonadas (hay infinitas), mientras que la forma reducida solo hay una.

Ejemplo 11.

1  1 Hallar la forma escalonada de la matriz A   2  1 1  1 2  1

2 1 2 1 2 4 1 4

1  0 0  0

0 1   3 0  F4,2   0 0 3 3 3 2    1 0 0 5 0 0

1  0 0  0

2 1 1 0

4 5 3 1

1 2

0 1   F2,1  1  3 0   F3,1  2    0 5 2     F4,1    6 0 0

2 1 2 1 0 3 3 3

0  3 5 2   6 0

2 1 2 1 2 4 1 4 4 5 3 1

1 2

0  3 0 3 3 3 2   1 0 0 5 0 2 1 2 1 0 3 3 3

0  0  F4,3  1  0 3 3 3 2   0 3 3 3 3 

2 1 1 0

2 0

1 5

0  0 0 3 3 3 2   0 0 0 0 5 2 0

1 5

Rango de una matriz Llamaremos rango de una matriz el número de filas con algún elemento distinto de cero que hay en cualquier forma escalonada por filas o también el número de columnas pivotales que tiene.

Número de vectores filas linealmente independientes = número de columnas  Rango  A  Rang  At  Ejemplo 12.

1  1 2 1 1   1 1   0 rg    2; rg  0 1 4 3   2 ; rg  0 0 3  0 0 0 0     0

0  5 2 0  0