El campo numérico del Algebra Ing. CLARA PATRICIA HERRERA
CONJUNTOS NUMÉRICOS Naturales (N): Todos los nĂşmeros utilizados para contar. N= {1,2,3,4,‌.} Enteros (Z): Todos los nĂşmeros naturales incluyendo sus inversos aditivos. Z= {‌, -4, -3, -2, -1 , 0 , 1, 2, 3, 4, ‌} đ?‘Ž đ?‘?
Racionales (Q): Todo nĂşmero que se pueda expresar de la forma ; 5 2
;
18 ; 4
‌ etc
Irracionales (Q*): Todos los nĂşmeros imposibles de expresar como fracciĂłn. Son nĂşmeros cuya parte decimal tiene infinitos cifras no periĂłdicas. đ?œ‹ = 3,1415 ‌ 2 ‌ . đ?‘’đ?‘Ąđ?‘?
Organizar los siguientes nĂşmeros: Naturales: Enteros: Racionales: Irracional:
0
-15
3
1
7 5
-5 2
3 24 8
−
2 3
Nº REALES • Los números reales (R) son el conjunto de los números racionales e irracionales. Conjunto de números con los que se trabaja normalmente las matemáticas.
Nº IMAGINARIOS • Son aquellos que pueden surgir cuando realizamos algunas operaciones cuyo resultado no nos puede dar una raíz cuadrada de un número negativo. −9 No hay ningún número que multiplicado por si mimo (incluyendo el -) nos de -9 porque -3*-3 siempre será 9.
Nº COMPLEJOS • Son números que consta de dos clases de números reales e imaginarios: 3 + −4
(2 − −20)
Realiza y responde: Clasifica los números:
24 4
4 1,027820034…
-7 8 0,12334567… −5 -3
7
3 − 2 2,3333 3 7
• ¿Todos los números naturales son enteros? • ¿Todos los números racionales son reales?
Propiedades de los Nº Reales (R) PROPIEDADES DE IGUALDAD
1. Propiedad de Identidad (Reflexiva): a=a , 2=2 2. Propiedad de Reciprocidad (Simétrica): si a=b tenemos que b=a 3. Propiedad de Transitividad: Si a=b y b=c, entonces a=c 4. Propiedad de Sustitución: Si a=b y tenemos que: a+c=d entonces (b)+c=d
Propiedades para la suma y la multiplicaciĂłn de los nĂşmeros R. NOMBRE
SUMA
MUTIPLICACIĂ’N
Uniformidad
Si a=b y c=d entonces a+c = b+d
Si a=b y c=d entonces ac =db
Conmutativa
a+b = b+a
a*b = b*a
Asociativa
(a+b)+c =a+(b+c)
(ab)c = a(bc)
Identidad
a+0 = a
a*1=a
a + (-a) = 0
Para todo número R a≠0
Inversa
a* Distributiva
a (b+c) = ab + ac (a+b)c = ac + bc
1 đ?‘Ž
=1
Suma Suma de números positivos: Se procede a la suma aritmética que conocemos: +5 + +7 = +12 Suma de números negativos: Se procede a la suma aritmética de los valores absolutos de ambos y se le antepone el signo -. −5 + −7 = −12
Suma de un número positivo y uno negativo: Se procede a hallar la diferencia aritmética de los valores absolutos y se le antepone el signo del numero mayor. −5 + 7 = +2 5 + −7 = −2 Ejercicio:
+6 −6 −6 +6
+ + + +
−4 = 4 = +6 = −6 =
Ejercicio: (+8)-(+4)= (+8)-(-4)= (-8)-(+4)= (-8)-(-4)=
Multiplicación de números Relativos: • El producto de dos números positivos se halla multiplicando los valores absolutos de ambos. • Si ambos números son del mismo signo, el producto es (+) positivo. • Si los números tienen signos contrarios, el producto es (-) negativo. + por + = + - por - = +
+ por - = - por + = -
Ejercicios • Indique quĂŠ propiedad de los nĂşmeros reales se ilustra con cada ejemplo: a) −3 + 3 = 0 b) đ?‘Ľ + đ?‘Ś ∗ đ?‘§ = đ?‘Ľđ?‘§ + đ?‘Śđ?‘§ c) −3 ∗ 6 = 6 ∗ −3 d)4 + 7 = 7 + 4 e) (8)*1=8 f) 5 7 + −3 = 5 7 + 5 −3 1 − 9
g) −9 =1 h) 3 ∗ 4đ?‘Ľ = 3 ∗ 4 đ?‘Ľ
Potencia de nĂşmeros relativos Llamamos potencia de un numero relativo al producto de tomarlo como factor tantas veces como se quiera. Donde a = nĂşmero relativo cualquiera y donde n > 1 es un numero natural. Tendremos la notaciòn đ?‘Žđ?‘› , que se lee a elevado a la enĂŠsima potencia, e indica que a debe tomarse como factor n veces, asi: đ?’‚đ?’? = đ?’‚ ∗ đ?’‚ ∗ đ?’‚ ∗ â‹Ż đ?’‚
đ?’? đ?’—đ?’†đ?’„đ?’†đ?’”
đ?’‚đ?’? = đ?’™; donde a es la base, n el exponente y x la potencia.
Regla • La potencia de un numero positivo siempre es positiva. • La potencia de un numero negativo, serĂĄ positiva si el exponente es entero y par. • Negativa, si el exponente entero es impar: AsĂ:
đ?‘Ž2 = +đ?‘Ľ (−đ?‘Ž)2 = +đ?‘Ľ đ?‘Ž3 = +đ?‘Ľ (−đ?‘Ž)3 = −đ?‘Ľ
Producto de dos potencias de igual base.
• REGLA: Para multiplicar dos potencias de igual base, se coloca la misma base y se suman los exponentes:
đ?‘Žđ?‘š ∗ đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Žđ?‘š+đ?‘›
Ejemplo:
Realiza: (3)2 ∗ 3 1 3 3
∗
4
=
1 2 = 3
Potencia de una potencia • REGLA: Se coloca la misma base y se multiplican sus exponentes:
• Ejemplo: −22
đ?‘Žđ?‘› 3
đ?‘š
= đ?‘Žđ?‘›âˆ—đ?‘š = đ?‘Žđ?‘›đ?‘š
= −22∗3 = −26 = −64
Ojo!!! Hay que poner especial cuidado de no confundir la potencia de una potencia con la elevaciĂłn de un numero a una potencia cuyo exponente a la vez estĂĄ afectado por otro exponente. AsĂ, no es lo mismo: 42 3 42 23
4
3
���
3 2 4
= 42∗3 = 46 = 4096 = 42∗2∗2 = 48 = 65536