Edo de orden superior

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR La forma general de expresar una ecuación diferencial de orden superior es:

an ( x) y ( n ) ( x)  an 1 ( x) y ( n 1) ( x)  an  2 ( x) y ( n 2) ( x)  ...  a1 ( x) y ' ( x)  a0 ( x) y( x)  b( x) forma general

Si an ( x)  0, entonces se tiene: y ( n ) ( x)  pn 1 ( x) y ( n 1) ( x)  pn 2 ( x) y ( n 2) ( x)  ...  p1 ( x) y ' ( x)  p0 ( x) y ( x)  g ( x) forma canónica

SOLUCIÓN (CASO HOMOGÉNEO)

y ( x), y ( x), y ( x),..., y (x )

Si 1 son soluciones linealmente independientes 2 3 n en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:

y ( n) ( x)  pn1 ( x) y ( n1) ( x)  pn2 ( x) y ( n2) ( x)  ...  p1 ( x) y ' ( x)  p0 ( x) y( x)  0 Entonces cualquier solución de dicha ecuación diferencial, en el intervalo abierto (a,b) se puede expresar en la forma:

y( x)  c1 y1 ( x)  c2 y2 ( x)  c3 y3 ( x)  ...  cn yn ( x)

SOLUCIÓN (CASO NO HOMOGÉNEO)

y ( x), y ( x), y ( x),..., y (x )

Si 1 son soluciones linealmente independientes 2 3 n en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:

y ( n) ( x)  pn1 ( x) y ( n1) ( x)  pn2 ( x) y ( n2) ( x)  ...  p1 ( x) y ' ( x)  p0 ( x) y( x)  0 y

y p ( x) es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea:

y ( n) ( x)  pn1 ( x) y ( n1) ( x)  pn2 ( x) y ( n2) ( x)  ...  p1 ( x) y ' ( x)  p0 ( x) y( x)  g ( x) en el intervalo abierto (a,b), entonces cualquier solución de la ecuación diferencial no homogénea, en el intervalo abierto (a,b), se puede expresar en la forma:

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