ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR La forma general de expresar una ecuación diferencial de orden superior es:
an ( x) y ( n ) ( x) an 1 ( x) y ( n 1) ( x) an 2 ( x) y ( n 2) ( x) ... a1 ( x) y ' ( x) a0 ( x) y( x) b( x) forma general
Si an ( x) 0, entonces se tiene: y ( n ) ( x) pn 1 ( x) y ( n 1) ( x) pn 2 ( x) y ( n 2) ( x) ... p1 ( x) y ' ( x) p0 ( x) y ( x) g ( x) forma canónica
SOLUCIÓN (CASO HOMOGÉNEO)
y ( x), y ( x), y ( x),..., y (x )
Si 1 son soluciones linealmente independientes 2 3 n en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:
y ( n) ( x) pn1 ( x) y ( n1) ( x) pn2 ( x) y ( n2) ( x) ... p1 ( x) y ' ( x) p0 ( x) y( x) 0 Entonces cualquier solución de dicha ecuación diferencial, en el intervalo abierto (a,b) se puede expresar en la forma:
y( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) c3 y3 ( x) ... cn yn ( x)
SOLUCIÓN (CASO NO HOMOGÉNEO)
y ( x), y ( x), y ( x),..., y (x )
Si 1 son soluciones linealmente independientes 2 3 n en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:
y ( n) ( x) pn1 ( x) y ( n1) ( x) pn2 ( x) y ( n2) ( x) ... p1 ( x) y ' ( x) p0 ( x) y( x) 0 y
y p ( x) es una solución particular de la ecuación lineal no homogénea:
y ( n) ( x) pn1 ( x) y ( n1) ( x) pn2 ( x) y ( n2) ( x) ... p1 ( x) y ' ( x) p0 ( x) y( x) g ( x) en el intervalo abierto (a,b), entonces cualquier solución de la ecuación diferencial no homogénea, en el intervalo abierto (a,b), se puede expresar en la forma:
y( x) c1 y1 ( x) c2 y2 ( x) c3 y3 ( x) ... cn yn ( x) y p ( x) ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS DE COEFICIENTES CONSTANTES DE ORDEN SUPERIOR Si se tiene la ecuación diferencial:
an y ( n) ( x) an1 y ( n1) ( x) an2 y ( n2) ( x) ... a1 y ' ( x) a0 y( x) 0 cada una de sus soluciones tiene la forma:
y ( x) e rx y`( x) re rx y``( x) r 2e rx y```( x) r 3e rx ... y ( n ) ( x) r n e rx an r n e rx an 1r n 1e rx an 2 r n 2e rx ... a1re rx a0e rx 0 an r n an 1r n 1 an 2 r n 2 ... a1r a0 e rx 0 an r n an 1r n 1 an 2 r n 2 ... a1r a0 0 Ecuación auxiliar asociada a la ecuación homogénea
CASO 1
r , r2 ,..., rn , por lo tanto existen n
La ecuación auxiliar tiene n raíces reales y distintas : 1 soluciones linealmente independientes de la forma:
y1 ( x) e r1x y2 ( x) e r2 x y3 ( x ) e r3 x .... yn ( x) e rn x Por lo tanto la solución general será:
y( x) c1er1x c2er2 x c3er3 x ... cnern x / ci lR, i 1, 2,..., n CASO 2 La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz real de multiplicidad m: raíz existen m soluciones linealmente independientes de la forma:
r , por lo tanto debido a esta
y1 ( x) e rx y2 ( x) xe rx y3 ( x) x 2 e rx .... ym ( x ) x m 1e rx CASO 3
r i
La ecuación auxiliar tiene al menos una raíz compleja de multiplicidad m: tanto debido a esta raíz existen 2m soluciones linealmente independientes de la forma:
, por lo
y11 ( x) e x cos( x)
y21 ( x) e x sen( x)
y12 ( x) xe x cos( x)
y22 ( x) xe x sen( x)
y13 ( x) x 2 e x cos( x)
y23 ( x) x 2e x sen( x)
....
....
y1m ( x) x m 1e x cos( x)
y2 m ( x) x m 1e x sen( x)
EJEMPLOS: Determinar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
2.
2 y (5) ( x) 7 y (4) ( x) 12 y(3) ( x) 8 y``( x) 0 y (5) ( x) 5 y (4) ( x) 2 y (3) ( x) 10 y``( x) y`( x) 5 y( x) 0
3.
16 y (4) ( x) 24 y``( x) 9 y( x) 0
1.
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES NO DONDE g(x) SE ESPECIFICA EN EL CUADRO ADJUNTO:
HOMOGÉNEAS
MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN PARTICULAR: #
g(x)
1
ae x
2
an x n an1 x n1 ... a1 x a0
asen( x) b cos( x)
3 4
a x n
n
an1 x n1 ... a1 x a0 e x
y p ( x)
x s Ae x
x s An x n An1 x n1 ... A1 x A0
x s Asen( x) B cos( x) x s An x n An1 x n1 ... A1 x A0 e x
5
pn ( x)sen( x) qm ( x) cos( x)
x s PN ( x)sen( x) QN ( x)cos( x) ; N max m, n
6
asen( x) b cos( x) e x
x s Asen( x) B cos( x) e x
7
pn ( x)sen( x) qm ( x) cos( x) e x
x s PN ( x)sen( x) QN ( x)cos( x) e x ; N max m, n
Nota: s es el menor entero no negativo de manera tal que ningún término de la solución particular sea solución de la correspondiente ecuación homogénea MÉTODO DE VARIACIÓN DE PARÁMETROS:
y ( x), y ( x), y ( x),..., y (x )
Si 1 son soluciones linealmente independientes 2 3 n en el intervalo abierto (a,b) de la ecuación diferencial homogénea:
y ( n) ( x) pn1 ( x) y ( n1) ( x) pn2 ( x) y ( n2) ( x) ... p1 ( x) y ' ( x) p0 ( x) y( x) 0 entonces la solución particular
y p ( x) de la ecuación no homogénea tiene la forma:
y p ( x) v1 ( x) y1 ( x) v2 ( x) y2 ( x) ... vn ( x) yn ( x) donde los parámetros correspondientes deben satisfacer las condiciones siguientes:
v1 `( x) y1 ( x) v2 `( x) y2 ( x) ... vn `( x) yn ( x) 0 v1 `( x) y1 `( x) v2 `( x) y2 `( x) ... vn `( x) yn `( x) 0 v1 `( x) y1 ``( x) v2 `( x) y2 ``( x) ... vn `( x) yn ``( x) 0 ... v1 `( x) y ( n 1) ( x) v2 `( x) y2( n 1) ( x) ... vn `( x) yn( n 1) ( x) g ( x) 1
Expresando en forma matricial, se tiene:
y1 y1 ` . . . ( n 1) y 1
... yn v1 ` 0 ... yn ` v2 ` 0 ... . . . ... . . . ... . . . ( n 1) ... yn vn ` g ( x)
y2 y2 ` . . . y2( n 1)
Por lo tanto cada parámetro está dado por: 0
y2
...
yn
0
y2
...
yn
0
y2 `
...
yn `
0
y2 `
...
yn `
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
.
.
.
...
. v1 `( x)
g ( x)
... y
W y1 , y2 ,..., yn
( n 1) n
v1 ( x)
g ( x)
y
( n 1) 2
... y
W y1 , y2 ,..., yn
. ( n 1) n
y1
0
...
yn
y1
0
...
yn
y1 `
0
...
yn `
y1 `
0
...
yn `
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
( n 1)
v2 `( x)
y
( n 1) 2
y1
g ( x) ... y
. ( n 1) n
W y1 , y2 ,..., yn
( n 1)
v2 ( x)
y1
g ( x) ... y
dx
. ( n 1) n
W y1 , y2 ,..., yn
dx
... y1
y2
...
0
y1
y2
...
0
y1 `
y2 `
...
0
y1 `
y2 `
...
0
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
.
...
.
.
...
.
.
...
.
. ( n 1)
vn `( x)
y1
y
( n 1) 2
... g ( x)
W y1 , y2 ,..., yn
. ( n 1)
vn ( x)
y1
y
( n 1) 2
... g ( x)
W y1 , y2 ,..., yn
dx
SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 1. Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de primer orden tiene la forma:
a11 ( x)u´( x) b11 ( x)v´( x) a12 ( x)u ( x) b12 ( x)v( x) f1 ( x) a21 ( x)u´( x) b21 ( x)v´( x) a22 ( x)u ( x) b22 ( x)v( x) f 2 ( x) 2. Un sistema de ecuaciones diferenciales de 2x2 de segundo orden tiene la forma:
a11 ( x)u´´( x) b11 ( x)v´´( x) a12 ( x)u´( x) b12 ( x)v´( x) a13 ( x)u ( x) b13 ( x)v( x) f1 ( x) a21 ( x)u´´( x) b21 ( x)v´´( x) a22 ( x)u´( x) b22 ( x)v´( x) a23 ( x)u ( x) b23 ( x)v( x) f 2 ( x) MÉTODO DE OPERADORES DIFERENCIALES / ELIMINACIÓN PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTANTES. El operador diferencial D actúa sobre una función derivándola. Las derivadas de primer orden, segundo orden, tercer orden, etc… se las puede expresar mediante operadores diferenciales en la forma:
y`( x) Dy y``( x) D 2 y y```( x) D 3 y ... y ( n ) ( x) D n y