ECUACIONES DIFERENCIALES Definición: toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial. Ejemplos: x
dy y2 e x dx
d 2 y 3dy 4 y x2 2 dx 2dx 2 u u u 0 x 2 y x
CLASIFICACIÓN DE DIFERENCIALES:
ECUACIONES
Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.
De acuerdo al tipo: i. Ecuaciones diferenciales ordinarias Si una ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Ejemplos: dy 3 xy x 2 2 dx ( x 2 y 3)dx ( 2 x y 1)dy 0 d3y dy y 3 x 3 y dx dx
3
dy dz 2 0 dx dx
ii. Ecuaciones parciales
diferenciales
Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial. Ejemplos: 2u u u 3 0 xy x y u 2 u 3 u xyz 3 x 2 x x y z y
Clasificación de acuerdo al orden: Definición del orden ecuación diferencial:
de
una
El orden de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. i. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden: dy 3 xy x 2 2 dx ( x 2 y 3)dx ( 2 x y 1)dy 0 dy y 3x 0 dx
ii. Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden:
3 xy´´2 y´4 y Sen( x ) 2u u u 3 0 xy x y
y´´3 y´2 y 0
iii. Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden u 2 u 3 u xyz 3 x 2 x x y z y
d3y dy y 3 x 3 y dx dx
y´´´2 y´´5 y 4e 2 x 3 x 2 1 iv. Ecuaciones diferenciales de Orden Superior y 4 3 y 3 5 y x 2
Clasificación linealidad:
de
acuerdo
a
la
Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden expresarse de la siguiente forma: (*)
an ( x ) y n ( x ) an1 ( x ) y ( n1) ( x ) .... a2 ( x ) y´´( x ) a1 ( x ) y´( x ) a0 ( x ) y( x )
Si f(x)=0, la ecuación diferencial lineal es homogénea. Si f(x)≠0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea.
Si a i ( x ), i 0,1,2,..., n son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal es de coeficientes variables. 1er orden a1 ( x) y´(x) a0 ( x) y( x) f ( x) 2 do orden a2 ( x) y´´(x) a1 ( x) y´(x) a0 ( x) y( x) f ( x) 3er orden a3 ( x) y´´´(x) a2 ( x) y´´(x) a1 ( x) y´(x) a0 ( x) y( x) f ( x)
En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades: i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado.
ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x. iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama ecuación no lineal. dy sen( x ) y e x dx d2y dy x 2 2 x 2 y cos(x ) x 2 dx dx y´´´ 2 y´4 y ln( x ) x2
Ecuaciones diferenciales no lineales:
dy 4 xy ex dx dy y 3 dx d2y dy 3 sen( y ) 2 dx dx xy dy e 1 dx Solución de una ecuación diferencial ordinaria Definición: Cualquier función definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reducen la
ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo I.
Solución Explícita: Se denomina solución explícita de dn y f ( x , y, y´,..., y ( n1) ) n dx
en un intervalo I a toda función que al sustituirse por y (y=(x)) en la ecuación diferencial la satisface para cualquier valor de x del intervalo I. Ejemplo:
x ( x ) e Sea y´´-3y´+2y=0 donde
Al comprobar que la función satisface la ecuación diferencial dada, se
concluye que ( x) e x es solución explícita de la ecuación diferencial dada
Solución implícita: Definición: La relación G(x,y)=0 se denomina solución implícita de la ecuación dny f ( x, y, y´,..., y ( n 1) ) n dx
diferencial en un intervalo I, si es que la relación G(x,y)=0 define una o más soluciones explícitas de dicha ecuación diferencial en I . Demostrar que x+y+exy=0 es una solución implícita de la ecuación diferencial: dy 1 xe dx 1 ye xy
x+y+exy=0
xy
0
(*)
dy dy ) e xy ( x y) 0 dx dx dy (1 xe xy ) 1 ye xy dx dy 1 ye xy dx 1 xe xy En(*) (1
1 ye xy xy (1 xe ) * ( ) 1 ye 0 xy 1 xe 1 ye xy 1 ye xy 0 0 0( identidad) xy
x+yexy=0 es solución implícita de (*)