Factorización

FACTORIZACIÓN Ing. Clara patricia herrera

FACTORIZACIÓN • Factorizar O Descomponer factorialmente un polinomio algebraico consiste en escribirlo como el producto de expresiones muy sencillas, llamados factores.

Casos de FactorizaciĂłn 1.

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Factor comĂşn.

Factor ComĂşn por agrupaciĂłn de tĂŠrminos.

Diferencia de cuadrados perfectos.

Trinomio cuadrado perfecto.

Trinomio de la forma đ?‘Ľ 2đ?‘› + đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘?

Trinomio de la forma đ?‘Žđ?‘Ľ 2đ?‘› + đ?‘?đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘?

Suma y diferencia de los cubos perfectos.

Caso 1: FACTOR COMÚN • Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de 4 o más términos. No aplica para monomios.

• El factor común es aquellos que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos del polinomio. Puede ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica encerrada entre paréntesis, o una combinación de todo lo anterior.

Caso 1: Factor Común ¿Cómo realizar la Factorización? De los coeficientes de los términos se extrae el MCD (Máximo Común Divisor). De las letras o expresiones encerradas en paréntesis, se extrae la de menor exponente. Se escribe el factor común, seguido de un paréntesis donde se anota el polinomio que queda después de que el factor común ha abandonado cada termino.

Factor Común

Ejemplos con Factor Común 3𝑥 + 3𝑦 = 3 𝑥+𝑦 10𝑎 − 15𝑏 = 5 2𝑎 − 3𝑏 𝑚𝑝 + 𝑚𝑞 + 𝑚𝑟 = 𝑚 𝑝+𝑞+𝑟 −7𝑥 3 + 8𝑥 2 − 4𝑥 + 11 = − 7𝑥 3 − 8𝑥 2 + 4𝑥 − 11 𝑥 𝑎+1 −𝑡 𝑎+1 +5 𝑎+1 = 𝑎+1 𝑥−𝑡+5 12𝑐 3 𝑑 4 𝑓 2 − 6𝑐 2 d𝑓 2 + 30𝑐 5 𝑑 3 𝑓 2 ℎ − 18𝑐 2 𝑑𝑓 3 = 6𝑐 2 d𝑓 2 2𝑐𝑑 3 − 1 + 5𝑐 3 𝑑 2 ℎ − 3𝑓

Caso 2: Factor Común por agrupación de términos

• Se aplica en polinomios que tienen 4,6, 8 o más términos (siempre que el número de ellos sea par), y donde ya se ha verificado que no se puede extraer factor común. (se ha descartado el caso 1).

Caso 2: Factor Común por agrupación de términos

¿Cómo realizar la Factorización?

• Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre ellos.

• La agrupación se hace colocando paréntesis.

• ¡Cuidado! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en paréntesis si éste queda procedido de signo negativo.

• Se extrae factor común de cada grupo (aplicamos caso 1).

• Por ultimo, se extrae factor común de toda la expresión.

Caso 2: Factor Común por agrupación de términos

• Ejemplo 1: 𝑝𝑥 + 𝑚𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑚𝑦 = 𝑝𝑥 + 𝑚𝑥 + 𝑝𝑦 + 𝑚𝑦 =𝑥 𝑝+𝑚 +𝑦 𝑝+𝑚 = (𝑝 + 𝑚)(𝑥 + 𝑦) • Ejemplo 2: 2𝑎𝑐 − 5𝑏𝑑 − 2𝑎 + 2𝑎𝑑 + 5𝑏 − 5𝑏𝑐 = 2𝑎𝑐 − 2𝑎 + 2𝑎𝑑 − 5𝑏𝑐 + 5𝑏 − 5𝑏𝑑 = 2𝑎𝑐 − 2𝑎 + 2𝑎𝑑 − 5𝑏𝑐 − 5𝑏 + 5𝑏𝑑 = 2𝑎 𝑐 − 1 + 𝑑 − 5𝑏 𝑐 − 1 + 𝑑 = 𝑐 − 1 + 𝑑 (2𝑎 − 5𝑏)

Caso 3: Diferencia de Cuadrados Perfectos • Se aplica sólo en binomios, donde el primer término es positivo y el segundo término es negativo.

• Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos ( es decir números que tienen raíz cuadrada exacta, tales como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 400, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2,4,6, 8n, 10m,etc).

Caso 3: Diferencia de Cuadrados Perfectos ÂżCĂłmo realizar la FactorizaciĂłn? ď ś Se extrae la raĂ­z cuadrada de cada tĂŠrmino: Al coeficiente se le extrae la raĂ­z cuadrada normalmente y, a las letras su exponentes se dividen entre 2.

81=9 225=15 đ?‘Ľ6 = đ?‘Ľ3 đ?‘š8 = đ?‘š4 ď ś Se abren dos grupos de parĂŠntesis, conectados entre si por multiplicaciĂłn. ď ś Las raĂ­ces cuadradas que se obtuvieron de cada tĂŠrmino, se anotan dentro de cada parĂŠntesis: En el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir, se obtiene el producto notable Suma por diferencia)

Caso 3: Diferencia de Cuadrados Perfectos Ejemplos: 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎2 = 𝑎

𝑏2 = 𝑏

= 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 49𝑥 4 𝑦 2 − 64𝑤 10 𝑧14 49𝑥 4 𝑦 2 = 7𝑥 2 𝑦 64𝑤 10 𝑧14 = 8𝑤 5 𝑧 7 = 7𝑥 2 𝑦 + 8𝑤 5 𝑧 7 7𝑥 2 𝑦 − 8𝑤 5 𝑧 7

Caso 4: Trinomio Cuadrado Perfecto Características y ¿Cuándo aplicarlo?  El trinomio debe estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos)  Tanto el primero como el tercer término deben se positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raíz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman una Diferencia de cuadrados perfectos (caso 3).

Caso 4: Trinomio Cuadrado Perfecto ¿Cómo realizar la factorización?

1. Debemos verificar que se trata de un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP). Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.

2. Realizamos el doble producto de la raíces obtenidas y comparamos el resultado con el segundo término (sin fijarnos en el signo). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un TCP. 3. La factorización de un TCP es un Binomio elevado al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.

Caso 4: Trinomio Cuadrado Perfecto Ejemplo 1: đ?&#x;’đ?’™đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’™đ?’šđ?&#x;? + đ?&#x;—đ?’šđ?&#x;’ = (2đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś 2 )2 Ejemplo 2: 25đ?’Žđ?&#x;’ + đ?&#x;?đ?&#x;” − đ?&#x;’đ?&#x;Žđ?’Žđ?&#x;? = (5đ?‘š2 − 4)2

Caso 5: Trinomio de la forma đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„ CaracterĂ­sticas y cuĂĄndo aplicarlo: ďƒźEl trinomio debe estar organizado en forma descendente. ďƒźEl coeficiente del primer tĂŠrmino debe ser uno (1). ďƒźEl grado (exponente) del primer tĂŠrmino debe ser el doble del grado (exponente) del segundo tĂŠrmino.

Caso 5: Trinomio de la forma đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„ ÂżCĂłmo realizar la factorizaciĂłn?

1.

2.

3.

4.

5.

Se abren dos grupos de parĂŠntesis.

Se le extrae la raĂ­z cuadrada al primer tĂŠrmino y se anota al comienzo de cada parĂŠntesis.

Se definen los signos: el signo del primer parĂŠntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer y segundo tĂŠrmino; el signo del segundo parĂŠntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer termino.} Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el tĂŠrmino independiente (es decir c) y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo tĂŠrmino (es decir b).

Se anotan las cantidades que satisfacen las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios vacĂ­os de cada parĂŠntesis, en sus lugares respectivos.

Caso 5: Trinomio de la forma đ?&#x;?đ?’? đ?’? đ?’™ + đ?’ƒđ?’™ + đ?’„ Ejemplo 1: đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ − 15 = (đ?‘Ľ − 5)(đ?‘Ľ + 3) Ejemplo 2: đ?‘Ľ 4 + 11đ?‘Ľ 2 + 28 = (đ?‘Ľ 2 + 7)(đ?‘Ľ 2 + 4) Ejemplo 3: đ?‘Ľ 2 + 14đ?‘Ľ + 13 = (đ?‘Ľ + 13)(đ?‘Ľ + 1)

Caso 6: Trinomio de la forma đ?’‚đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„

Características y cómo aplicarlo: • El trinomio debe estar organizado en forma descendente. • El coeficiente principal (es decir, del primer tÊrmino) debe ser positivo y diferente de 1. • El grado o exponente del primer termino debe ser el doble del exponente del segundo tÊrmino.

Caso 6: Trinomio de la forma đ?’‚đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„

ÂżCĂłmo realizar la factorizaciĂłn?

1. Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir a.

2. En el numerador aplicamos la Propiedad Distributiva teniendo presente que en el segundo tĂŠrmino el producto no se realiza sino que se deja expresado: La cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un parĂŠntesis, y el coeficiente original queda por fuera.

3. Se expresa el primer tĂŠrmino como el cuadrado de lo que quedĂł en parĂŠntesis en el segundo tĂŠrmino.

Caso 6: Trinomio de la forma đ?’‚đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„

4. Aplicamos el Caso 5 (Trinomio de la forma đ?’™đ?&#x;?đ?’? + đ?’ƒđ?’™đ?’? + đ?’„ ) en el numerador.

5. Aplicamos el Caso 1 (factor comĂşn) en los parĂŠntesis formados.

6. Simplificamos la fracciĂłn (para eliminar el denominador)

Caso 6: Trinomio de la forma 𝒂𝒙𝟐𝒏 + 𝒃𝒙𝒏 + 𝒄 Ejemplo 1: 𝟐𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟏𝟐= (𝒙 + 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟑) 6𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟒= (𝟑𝒙 + 𝟒)(𝟐𝒙 − 𝟏) Casos especiales: 15𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙𝟐 − 𝟏𝟐= (𝟑𝒙𝟐 − 𝟒)(𝟓𝒙𝟐 + 𝟑) 6𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒂𝒙 − 𝟏𝟎𝒂𝟐 = (𝟐𝒙 − 𝟓𝒂)(𝟑𝒙 + 𝟐𝒂) 20−𝟑𝒙 − 𝟗𝒙𝟐 = (𝟑𝒙 + 𝟓)(𝟒 − 𝟑𝒙)

Caso 7: Suma y diferencia de cubos perfectos

Características y cuándo aplicarlo:  Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser positivo o negativo).  Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíces cubicas exactas, como 1, 8, 27,64,125,216,343,515,729,1000, etc) y los exponentes de las letras son cantidades divisibles entre 3 (como 3, 6, 12, 15, 18, etc).

Caso 7: Suma y diferencia de cubos perfectos ¿Cómo realizar la factorización?

1. Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente, y alas letras, su exponente se divide entre 3.

2. Se abren dos grupos de paréntesis conectados entre si por multiplicación.

3. En el primer paréntesis (llamado FACTOR CORTO) se construye un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado FACTOR LARGO) se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el Factor corto, pero en el siguiente orden: El primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por ultimo, el segundo al cuadrado.

Caso 7: Suma y diferencia de cubos perfectos

4. Por ultimo definimos los signos, de la siguiente manera: si se trata de una suma de cubos, en el factor corto va signo Positivo, y en el factor largo van signos intercalados, iniciando con positivo. Si tenemos una diferencia de Cubos, en el factor corto va signo negativo y en el factor largo van signos positivos.

Caso 7: Suma y diferencia de cubos perfectos

Suma de cubos: đ?’‚đ?&#x;‘ + đ?’ƒđ?&#x;‘ = 3 3 3 đ?‘Ž =đ?‘Ž đ?‘?3 = đ?‘? = đ?‘Ž + đ?‘? đ?‘Ž2 − đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?2 Diferencia de cubos: đ?’‚đ?&#x;‘ − đ?’ƒđ?&#x;‘ = 3 3 3 đ?‘Ž =đ?‘Ž đ?‘?3 = đ?‘? = đ?‘Ž − đ?‘? đ?‘Ž2 + đ?‘Žđ?‘? + đ?‘?2

Caso 7: Suma y diferencia de cubos perfectos

Ejemplo: 𝟖𝒙𝟑 + 𝟏𝟐𝟓𝒚𝟔 = 3 3 3 8𝑥 = 2𝑥 125𝑦 6 = 5𝑦 2 = 2𝑥 + 5𝑦 2 2𝑥 2 − 10𝑥𝑦 2 + 5𝑦 2 = 2𝑥 + 5𝑦 2 4𝑥 2 − 10𝑥𝑦 2 + 25𝑦 4 Ejemplo: 343𝒌𝟐𝟏 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒍𝟏𝟐 = 3 3 7 21 343𝑘 = 7𝑘 1000𝑙12 = 10𝑙 4 = 7𝑘 7 − 10𝑙 4 49𝑘14 + 70𝑘 7 𝑙 4 + 100𝑙 8

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