FUNDAMENTOS DE PROGRAMACIร N LINEAL Investigaciรณn de Operaciones 1 Semana 1 Docente: Ing. Jorge Oyola
Modelación Matemática en IO • El modelo matemático de un problema industrial está conformado por el sistema de ecuaciones y expresiones matemáticas relacionadas que describen la esencia del problema. • Los modelos utilizados en la investigación de operaciones constan de elementos como variables de decisión, función objetivo, restricciones y parámetros.
Variables de decisiĂłn • Las variables de decisiĂłn son la forma en la que se representan las decisiones cuantificables de un problema. • Si deben tomarse đ?‘› decisiones cuantificables relacionadas entre sĂ, se representan como đ?‘› variables de decisiĂłn. • Ejemplo: đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 , ‌ , đ?‘Ľđ?‘›
FunciĂłn Objetivo • Se le llama funciĂłn objetivo a la medida de desempeĂąo adecuada de un problema. • Se expresa como una funciĂłn matemĂĄtica de las variables de decisiĂłn. • Siempre se querrĂĄ optimizar esta funciĂłn ya sea minimizĂĄndola o maximizĂĄndola. • Ejemplo: đ?‘? = đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 + â‹Ż + 3đ?‘Ľđ?‘›
Restricciones • Las restricciones son todas las limitaciones que se puedan imponer sobre los valores de las variables de decisión son expresadas en tÊrminos matemåticos. • Casi siempre estån en forma de ecuaciones o desigualdades. • Ejemplo: �1 + �2 + �3 ≤ 15
Parámetros • Los parámetros son las constantes de la función objetivo y los términos independientes de las restricciones (el lado derecho de las expresiones)
Modelado con Programación Lineal (PL) • El modelado con programación lineal se refiere a la elaboración de modelos con los elementos mencionados previamente, cuyas funciones matemáticas deben ser funciones lineales. • El término programación se refiere en realidad a planeación ya sea de actividades o de asignación de recursos.
Modelo de ProgramaciĂłn Lineal Maximizar/Minimizar đ?‘? = đ?‘?1 đ?‘Ľ1 + đ?‘?2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› Sujeta a las restricciones đ?‘Ž11 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› ≤ đ?‘?1 đ?‘Ž21 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› ≤ đ?‘?2 â‹Ž đ?‘Žđ?‘š1 đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘š2 đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘šđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› ≤ đ?‘?đ?‘š y đ?‘Ľ1 ≼ 0, đ?‘Ľ2 ≼ 0, ‌ , đ?‘Ľđ?‘› ≼ 0
En el modelo presentado anteriormente, se tiene que: • La funciĂłn objetivo se representa con la letra đ?‘? y se puede requerir que sea maximizada o minimizada. • Los valores đ?‘?1 hasta đ?‘?đ?‘› son los coeficientes de la funciĂłn objetivo. • Los valores đ?‘Žđ?‘–đ?‘— son las constantes de entrada al modelo. • Los valores đ?‘?1 hasta đ?‘?đ?‘š son los tĂŠrminos independientes de las restricciones. • Las primeras đ?‘š restricciones se conocen como restricciones funcionales. • Las restricciones de đ?‘Ľđ?‘— ≼ 0 se conocen como restricciones de no negatividad.
Ejemplo 1 Adaptado de Taha (2011) • Pintucol es una empresa que produce dos tipos de pinturas: para interiores y para exteriores. Para su proceso de producción utilizan dos materias primas (MP1 y MP2). Para producir una tonelada de pintura para interiores consume 3 ton de MP1 y 1 ton de MP2. Por otra parte, para producir una tonelada de pintura para exteriores consume 5 ton de MP1 y 2 ton de MP2. En total, tiene disponible 30 ton de MP1 y 12 ton de MP2. La utilidad que le produce cada tonelada de pintura para interiores y exteriores son $7000 y $5000, respectivamente.
Ejemplo 1 En el enunciado se observa que: • Las decisiones recaen sobre las toneladas de pintura que se deben producir, por lo tanto estas son las variables decisión. • Las utilidades se generan por tonelada de cada tipo de pintura, por lo tanto estas son los coeficientes de la función objetivo. • El problema es de utilidades generadas, por lo tanto la función debe maximizarse, pues las utilidades siempre se querrán maximizar. • Las toneladas de materia prima que utilizan cada tipo de pintura son las constantes de entrada al modelo. • Las capacidades de materias primas son los términos independientes de las restricciones.
Ejemplo 1 Teniendo en cuenta lo anterior, el modelo de PL para el ejemplo en cuestiĂłn es: • Variables: đ?‘Ľ1 = Ton de pintura para interiores a producir đ?‘Ľ2 = Ton de pintura para exteriores a producir • FunciĂłn objetivo: đ?‘? đ?‘šđ?‘Žđ?‘Ľ = 7000đ?‘Ľ1 + 5000đ?‘Ľ2 • Sujeto a las restricciones: 3đ?‘Ľ1 + 5đ?‘Ľ2 ≤ 30 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 ≤ 12 đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ≼ 0
Terminología de las soluciones del modelo de PL • Una solución es cualquier posibilidad deseable o no permitida. • Una solución factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen. • Una solución no factible es aquella para la que al menos una restricción se viola. • La región factible es el conjunto de todas las soluciones factibles. • Es posible que un problema no tenga soluciones factibles.
Terminología de las soluciones del modelo de PL • Una solución óptima es una solución factible que proporciona el valor más favorable de la función objetivo. • El valor más favorable es el valor más grande si la función objetivo debe maximizarse, o el valor más pequeño si debe minimizarse. • Es posible que un problema tenga múltiples soluciones óptimas, que tenga infinitas soluciones óptimas o que no tenga soluciones óptimas (Z no acotada).
Terminología de las soluciones del modelo de PL • Una solución factible en un vértice (FEV) es una solución que se encuentra en una esquina de la región factible. • Si un problema tiene exactamente una solución óptima, ésta debe ser una solución FEV. • Si el problema tiene múltiples soluciones óptimas, al menos dos deben ser soluciones FEV.
Supuestos de la Programación Lineal Los supuestos de la programación lineal son: • Proporcionalidad • Aditividad • Divisibilidad • Certidumbre
Supuesto de Proporcionalidad • La contribuciĂłn de cada actividad al valor de la funciĂłn objetivo đ?‘? es proporcional al nivel de la actividad đ?‘Ľđ?‘— , como lo representa el tĂŠrmino đ?‘?đ?‘— đ?‘Ľđ?‘— en la funciĂłn objetivo. • La contribuciĂłn de cada actividad al lado izquierdo de cada restricciĂłn funcional es proporcional al nivel de la actividad đ?‘Ľđ?‘— , como lo representa el tĂŠrmino đ?‘Žđ?‘–đ?‘— đ?‘Ľđ?‘— en la restricciĂłn. • Este supuesto elimina cualquier exponente diferente de 1 para las variables en cualquier tĂŠrmino de las funciones en un modelo de programaciĂłn lineal.
Supuesto de Aditividad โ ข Cada funciรณn de un modelo de programaciรณn lineal es la suma de las contribuciones individuales de las actividades respectivas.
Supuesto de Divisibilidad • En un modelo de programación lineal, las variables de decisión pueden tomar cualquier valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones funcionales y de no negatividad. • Como cada variable de decisión representa el nivel de una actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales.
Supuesto de Certidumbre • Se supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de programación lineal son constantes conocidas. • En los problemas reales, este supuesto casi nunca se satisface por completo, por eso se utiliza un análisis de sensibilidad después de encontrar una solución óptima.
Bibliografía • Hillier, F. S., Lieberman G. J. (2010). Introducción a la Investigación de Operaciones. (9a ed.). México: McGrawHill Educación. • Taha, H. A. (2011). Investigación de Operaciones. (9a ed.). México: Pearson Educación.