Inicio de las ecuaciones difernciales

ECUACIONES DIFERENCIALES Definición: toda ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se denomina ecuación diferencial.

Ejemplos: x

dy  y2  e x dx

d 2 y 3dy   4 y  x2 2 dx 2dx  2 u  u   u       0 x 2  y  x 

CLASIFICACIÓN DE DIFERENCIALES:

ECUACIONES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo, orden y linealidad.

De acuerdo al tipo: i. Ecuaciones diferenciales ordinarias Si una ecuación diferencial sólo contiene derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria.

Ejemplos: dy  3 xy  x 2  2 dx ( x  2 y  3)dx  (2 x  y  1)dy  0 d3y dy y 3 x  3 y dx dx

dy dz 3 2 0 dx dx

ii. Ecuaciones parciales

diferenciales

Toda ecuación diferencial que contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes se denomina ecuación diferencial parcial.

Ejemplos:  2u  u  u   3    0 xy  x  y  2 3  u    u    u    xyz 3 x    2     x  x  y  z    y   

Clasificación de acuerdo al orden: Definición del orden ecuación diferencial:

de

una

El orden de una ecuación diferencial le corresponde al de la derivada de mayor orden que aparece en dicha ecuación. i. Ecuaciones diferenciales de Primer Orden: dy  3 xy  x 2  2 dx ( x  2 y  3)dx  (2 x  y  1)dy  0 dy y  3x  0 dx

ii. Ecuaciones de diferenciales Segundo Orden:

3 xy´´2 y´4 y  Sen( x )  2u  u  u   3    0 xy  x  y 

y´´3 y´2 y  0

iii. Ecuaciones diferenciales de Tercer Orden 2 3  u    u    u    xyz 3 x    2     x  x  y  z    y   

d3y dy y 3 x  3 y dx dx

y´´´2 y´´5 y  4e 2 x  3 x 2  1 iv. Ecuaciones diferenciales de Orden Superior y 4   3 y  3   5 y  x  2

Clasificación linealidad:

de

acuerdo

a

la

Se clasifican en ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.

Las ecuaciones diferenciales lineales de orden n son todas aquellas que pueden expresarse de la siguiente forma: (*)

an ( x) y n ( x)  an1 ( x) y( n1) ( x)  ....  a2 ( x) y´´( x)  a1 ( x) y´( x)  a0 ( x) y( x) 

Si f(x)=0, la ecuación diferencial lineal es homogénea.

Si f(x)≠0, la ecuación diferencial lineal es no homogénea.

Si a i ( x ), i  0,1,2,..., n son todos valores constantes, entonces la ecuación diferencial lineal es de coeficientes constantes; caso contrario se dice que la ecuación diferencial lineal es de coeficientes variables.

1er orden   a1 ( x) y´(x)  a0 ( x) y ( x)  f ( x) 2 do orden   a 2 ( x) y´´(x)  a1 ( x) y´(x)  a0 ( x) y ( x)  f ( x) 3er orden   a3 ( x) y´´´(x)  a 2 ( x) y´´(x)  a1 ( x) y´(x)  a0 ( x) y ( x)  f ( x)

En las ecuaciones lineales se observa las siguientes propiedades: i. La variable dependiente y, y todas sus derivadas son de 1er grado.

ii. Cada coeficiente depende solamente de la variable independiente x. iii. Toda ecuación diferencial que no pueda expresarse en la forma (*) se llama ecuación no lineal. dy  sen ( x ) y  e x dx d2y dy x 2  2  x 2 y  cos( x )  x 2 dx dx y´´´2 y´4 y  ln( x ) x2

Ecuaciones diferenciales no lineales:

dy 4 xy  ex dx dy  y3 dx d2y dy 3  sen ( y ) 2 dx dx xy dy e 1 dx

Solución de una ecuación diferencial ordinaria Definición: Cualquier función  definida en un intervalo I que posee al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de orden n reducen la

ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo I.

 Solución Explícita: Se denomina solución explícita de dny  f ( x , y, y´,..., y ( n1) ) n dx

en un intervalo I a toda función  que al sustituirse por y (y=(x)) en la ecuación diferencial la satisface para cualquier valor de x del intervalo I. Ejemplo: x  ( x )  e Sea y´´-3y´+2y=0 donde

Al comprobar que la función  satisface la ecuación diferencial dada, se

concluye que  ( x)  e es solución explícita de la ecuación diferencial dada x

 Solución implícita: Definición: La relación G(x,y)=0 se denomina solución implícita de la ecuación dny  f ( x , y, y´,..., y ( n 1) ) n dx

diferencial en un intervalo I, si es que la relación G(x,y)=0 define una o más soluciones explícitas de dicha ecuación diferencial en I .

Demostrar que x+y+exy=0 es una solución implícita de la ecuación diferencial: dy 1  xe  dx  1  ye xy

x+y+exy=0

xy

0

(*)

dy dy )  e xy ( x  y)  0 dx dx dy  (1  xe xy )  1  ye xy dx dy 1  ye xy   dx 1  xe xy En(*)  (1 

1  ye xy xy (1  xe ) * (  )  1  ye 0 xy 1  xe  1  ye xy  1  ye xy  0  0  0( identidad ) xy



x+yexy=0 es solución implícita de (*)