Integración de potencias trigonometricas

INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Caso #1: Integrales del tipo

 sen udu n

o bien  cos n udu , donde n es un número entero

positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera: 1. sennu  (senu)n1 senu , donde n  1 es par. Luego sennu  (sen2u ) utilizamos

la

identidad

sennu  (1  cos2 u )

n 1 2

fundamental

sen2u  1  cos2 u .

Con

la

identidad

cosn u  (1  sen2u)

n 1 2

senu y

lo

cual

senu .

2. cosn u  (cos u)n1 cos u , donde n  1 es par. Luego cos n u  (cos 2 u ) utilizamos

n 1 2

fundamental

cos2 u  1  sen2u .

Con

n 1 2

cos u y

lo

cual

cos u .

Ejemplo: 7.- Calcular  cos3 2xdx Solución: :: el exponente es impar  cos3 2 x  cos2 2 x cos 2 x  cos3 2 x  (1  sen2 2 x) cos 2 x . Luego se tiene que:

 cos

3

2 xdx   (1  sen2 2 x) cos 2 xdx   cos3 2 xdx   cos 2 xdx   sen2 2 x cos 2 xdx ( I )

Calculemos  cos 2xdx . Sea u  2 x  du  2dx 

  cos 2 xdx 

1 1 1 cos udu   cos 2 xdx  senu  c1   cos 2 xdx  sen2 x  c1 ( II )  2 2 2

Ahora procedamos a calcular 

du du  dx . Luego  cos 2 xdx   cos u 2 2

 sen 2x cos 2 xdx . Sea w  sen2x  dw  2cos 2xdx 2

dw  cos 2 xdx . Luego se tiene que: 2

 sen 2 x cos 2 xdx   w 2

2

dw 2

1 2 11 3 w dw   sen2 2 x cos 2 xdx  w  c2  2 23 1   sen2 2 x cos 2 xdx  sen3 2 x  c2 ( III ) 6   sen2 2 x cos 2 xdx 

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

 cos

3

2 xdx 

1 1 sen2 x  sen3 2 x  c 2 6

Caso #2: Integrales del tipo

 sen u cos n

m

udu , donde al menos unos de los exponentes es

un número entero positivo impar. Se toma la expresión que contenga el exponente impar y se aplica el caso #1.

Ejemplo: 8.- Calcular

 sen x cos 5

4

xdx

Solución:

 sen x cos 5

4

xdx   sen4 xsenx cos4 xdx   sen5 x cos4 xdx   (sen2 x)2 senx cos4 xdx 

  sen5 x cos4 xdx   (1  cos2 x)2 senx cos4 xdx   sen5 x cos4 xdx   (1  2cos2 x  cos4 x)senx cos4 xdx   sen5 x cos4 xdx   (cos4 xsenx  2cos6 xsenx  cos8 xsenx)dx   sen5 x cos4 xdx   cos4 xsenxdx  2 cos6 xsenxdx   cos8 xsenxdx .

Sea w  cos x  dw  senxdx  dw  senxdx . Luego se tiene que:

 sen x cos 5

4

xdx   w4 (dw)  2 w6 (dw)   w8 (dw)

  sen5 x cos4 xdx   w4 dw  2 w6 dw   w8dw

1 2 1   sen5 x cos4 xdx   w5  w7  w9  c 5 7 9 1 2 1   sen5 x cos 4 xdx   cos5 x  cos7 x  cos9 x  c 5 7 9

Caso #3: Integrales del tipo

 sen udu n

o bien  cos n udu , donde n es un número entero

positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera: n

1. sennu  ( sen2u) . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene 2

que: cos 2u  cos 2 u  sen2u  cos 2u  1  2sen2u  sen 2u  n

1  cos 2u . Por lo tanto 2

2

n  1  cos 2u  se tiene que: sen u    , donde es par.

2 2   n

n

2. cosn u  (cos2 u) . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene 2

que: cos 2u  cos 2 u  sen2u  cos 2u  2cos 2 u  1  cos 2 u  n

1  cos 2u . Por lo 2

2

n  1  cos 2u  tanto se tiene que: cos n u    , donde es par.

2 2  

Ejemplo: 9.- Calcular

 sen 3xdx 4

2  1  cos 6 x  Solución:  sen4 3xdx    sen2 3x  dx   sen 4 3xdx     dx 2   2

 1  2cos 6 x  cos 2 6 x    sen4 3xdx    dx 4   1 1 1   sen4 3xdx   dx   cos 6 xdx   cos 2 6 xdx 4 2 4   sen4 3xdx 

1 1 1 1  cos12 x dx   cos 6 xdx   dx  4 2 4 2

  sen4 3xdx 

1 1 1 1 dx   cos 6 xdx   dx   cos12 xdx  4 2 8 8

  sen4 3xdx 

3 1 1 dx   cos 6 xdx   cos12 xdx  8 2 8

3 11 1 1   sen4 3xdx  x  sen6 x  sen12 x  c 8 26 8 12



3

1

1

 sen 3xdx  8 x  12 sen6x  96 sen12 x  c 4

Caso #4: Integrales del tipo

 sen u cos n

m

udu , donde ambos exponentes son números

enteros positivo par. Se aplica el caso #3.

Ejemplo: 10.- Calcular

 sen x cos 4

2

xdx

Solución:  1  cos 2 x  1  cos 2 x dx  sen x cos xdx   (sen x) cos xdx   sen x cos xdx    2  2 2

4

2

2

2

2

4

2

 1  2cos 2 x  cos 2 2 x  1  cos 2 x   sen x cos xdx    dx  4 2   4

2

  sen4 x cos2 xdx 

1 (1  2cos 2 x  cos 2 2 x)(1  cos 2 x) dx  8

  sen4 x cos2 xdx 

1 (1  cos 2 x  2cos 2 x  2cos 2 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x)dx  8

  sen4 x cos 2 xdx 

1 (1  cos 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x)dx 8

  sen4 x cos2 xdx 

1 1 1 1 dx   cos 2 xdx   cos2 2 xdx   cos3 2 xdx  8 8 8 8

  sen4 x cos2 xdx 

1 1 1 1  cos 4 x 1 dx   cos 2 xdx   dx   cos 2 2 x cos 2 xdx  8 8 8 2 8

  sen4 x cos2 xdx 

1 1 1 1 1 dx   cos 2 xdx   dx   cos 4 xdx   (1  sen2 2 x) cos 2 xdx  8 8 16 16 8

 sen x cos 4

2

xdx 

1 1 1 1 1 dx   cos 2 xdx   cos 4 xdx   cos 2 xdx   sen2 2 x cos 2 xdx  16 8 16 8 8

  sen4 x cos2 xdx 



 sen x cos 4

2

1 1 1 dx   cos 4 xdx   sen 2 2 x cos 2 xdx  16 16 8

xdx 

1 1 1 x  sen4 x  sen3 2 x  c 16 64 48

Caso #5: Integrales del tipo

 tan

n

udu o bien

 cot

n

udu , donde n es un número entero

positivo. En este caso se procede de la siguiente manera: 1. tan n u  tan n2 u tan 2 u  tan n u  tan n2 u(sec2 u 1) 2. cot n u  cot n2 u cot 2 u  cot n u  cot n2 u(csc2 u 1) Ejemplo: 11.- Calcular

 tan

3

xdx

Solución:

 tan xdx   tan x tan xdx   tan xdx   tan x(sec x 1)dx   tan xdx   (tan x sec x  tan x)dx   tan xdx   tan x sec 3

2

3

2

Determinemos

 tan x sec

3

2

 tan x sec

2

2

3

2

xdx   tan xdx ( I )

xdx . Sea u  tan x  du  sec2 xdx , con lo cual se tiene que:

1 xdx   udu   tan x sec2 xdx  u 2  c1  2

Luego sustituyendo (II) en (I) y sabiendo que

 tan x sec

2

xdx 

 tan xdx  ln sec x  c

2

1 tan 2 x  c1 ( II ) 2

se tiene que:

 tan

3

xdx 

1 tan 2 x  ln sec x  c 2

12.- Calcular  cot 4 4xdx Solución:

 cot 4xdx   cot 4x cot 4xdx   cot 4xdx   cot 4x(csc   cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   cot 4 xdx   cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   (csc 4 x  1)dx   cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   csc 4 xdx   dx ( I ) 4

2

2

4

4

2

2

4

2

2

4

2

2

2

4 x  1)dx

2

2

2

2

Determinemos  cot 2 4 x csc2 4 xdx . Sea u  cot 4 x  du  4csc2 4 xdx  

du  csc2 4 xdx 4

Con lo que se tiene que: 1  du  4 x csc2 4 xdx   u 2      cot 2 4 x csc2 4 xdx    u 2 du 4  4  1 1   cot 2 4 x csc2 4 xdx   u 3  c1   cot 2 4 x csc2 4 xdx   cot 3 4 x  c1 ( II ) 12 12

 cot

2

Ahora determinemos  csc2 4xdx . Sea w  4 x 

 csc

2

4 xdx 

dw  dx , por lo que se tiene que: 4

1 1 csc2 wdw   csc2 4 xdx   cot 4 x  c2 ( III ) . Luego sustituyendo (II) y  4 4

(III) en (I) y sabiendo que  dx  x  c3 se tiene que:

 cot

4

4 xdx  

1 1 cot 3 4 x  cot 4 x  x  c 12 4

Caso #6: Integrales del tipo  secn udu o bien  cscn udu , donde n es un número entero positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:

1. secn u  secn2 u sec2 u  secn u  (sec2 u)

( n  2)

2. cscn u  cscn2 u csc2 u  cscn u  (csc2 u)

( n 2)

2

sec2 u  secn u  (tan 2 u  1)

2

csc2 u  cscn u  (cot 2 u  1)

( n  2)

2

sec2 u

2

csc2 u

( n 2)

Ejemplo: 13.- Calcular  sec6 4xdx Solución:

 sec 4xdx   sec 4x sec 4 xdx   sec 4 xdx   (sec 4 x) sec 4 xdx   sec 4 xdx   (tan 4 x  1) sec 4 xdx   sec 4 xdx   (tan 4 x  2 tan 6

4

2

6

2

6

2

2

2

6

2

2

4

2

4 x  1)sec2 4 xdx

  sec6 4 xdx   (tan 4 4 x sec2 4 x  2 tan 2 4 x sec2 4 x  sec2 4 x)dx

  sec6 4 xdx   tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx   sec2 4 xdx ( I )

Determinemos

 tan

4

4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx .

Sea u  tan 4 x  du  4sec2 4 xdx 

du  sec 2 4 xdx . Luego se tiene que: 4

du du  2 u 2 4 4 1 1   tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx   u 4 du   u 2 du 4 2 11 5 11 3   tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx  u  u  c1 45 23 1 1   tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx  tan 5 4 x  tan 3 4 x  c1 ( II ) 20 6

 tan

4

4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx   u 4

Por otro lado tiene que:

 sec

 sec

6

2

4 xdx 

4 xdx 

1 tan 4 x  c2 ( III ) . Luego, sustituyendo (II) y (III) en (I) se 4

1 1 1 tan 5 4 x  tan 3 4 x  tan 4 x  c 20 6 4

Caso #7: Integrales del tipo  secn udu o bien  cscn udu , donde n es un número entero positivo impar. En este caso se aplica integración por partes.

Ejemplo: 14.- Calcular  sec3 xdx Solución:

 sec

3

xdx   sec x sec2 xdx .

Sea u  sec x  du  sec x tan xdx . Sea dv  sec2 xdx  v   sec2 xdx  v  tan x .

Aplicando integración por partes se tiene que:  udv  uv   vdu por lo tanto:

 sec xdx  sec x tan x   tan x sec x tan xdx   sec xdx  sec x tan x   sec x(sec x  1)dx   sec xdx  sec x tan x   sec xdx   sec xdx  2 sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c 3

3

  sec3 xdx  sec x tan x   sec x tan 2 xdx

2

3

 2 sec3 xdx  sec x tan x   sec xdx

3

3

1

1 1   sec3 xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c 2 2 Caso #8: Integrales del tipo

 tan

n

u secm udu o bien

 cot

n

u cscm udu , donde m es un

número entero positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera.

1. tan n u secm u  tan n u secm2 u sec2 u  tan n u secm u  tan n u(sec2 u)

 tan n u secm u  tan n u(tan 2 u  1)

( m 2) 2

sec2 u

( m 2) 2

sec2 u

2. cot n u cscm u  cot n u cscm2 u csc2 u  cot n u cscm u  cot n u (csc2 u ) ( m 2)

 cot n u cscm u  cot n u(cot 2 u  1)

2

( m 2) 2

csc2 u

csc2 u

Ejemplo: 15.- Calcular

 tan

3

x sec4 xdx

Solución:

 tan x sec xdx   tan x sec x sec xdx   tan x sec xdx   tan   tan x sec xdx   (tan x  tan x)sec xdx   tan x sec xdx   tan x sec xdx   tan x sec xdx 3



4

3

3

4

3

4

 tan

3

x sec4 xdx 

2

2

5

3

3

5

4

3

x(tan 2 x  1)sec2 xdx

2

x(cot 2 x  1) csc2 xdx

2

2

3

2

1 1 tan 6 x  tan 4 x  c 6 4

16.- Calcular  cot 2 x csc4 xdx Solución:

 cot x csc xdx   cot x csc x csc xdx   cot x csc xdx   cot   cot x csc xdx   (cot x  cot x) csc xdx   cot x csc xdx   (cot x csc x  cot x csc x)dx   cot x csc xdx   cot x csc xdx   cot x csc xdx 2



4

2

2

2

4

4

2

4

4

2

4

 cot

2

4

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

1 1 x csc4 xdx   cot 5 x  cot 3 x  c 5 3

Caso #9: Integrales del tipo

 tan

n

u secm udu o bien

 cot

n

u cscm udu , donde n y m

números enteros positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera.

1. tan n u secm u  tan n1 u secm1 u sec u tan u 

tan n u secm u  (tan 2 u)

( n 1) 2

tan n u secm u  (sec2 u  1)

secm1 u sec u tan u 

( n 1) 2

secm1 u sec u tan u

2. cot n u cscm u  cot n1 u cscm1 u csc u cot u 

cot n u cscm u  (cot 2 u)

( n 1) 2

cot n u cscm u  (csc2 u  1)

cscm1 u csc u cot u 

( n 1) 2

cscm1 u csc u cot u

Ejemplo: 17.- Calcular  cot 3 x csc5 xdx Solución:

 cot x csc xdx   cot x csc x csc x cot xdx    cot x csc xdx   (csc x  1) csc x csc x cot xdx   cot x csc xdx   (csc x csc x cot x  csc x csc x cot x)dx   cot x csc xdx   csc x csc x cot xdx   csc x csc x cot xdx 3



5

2

4

3

5

2

3

5

6

3

5

 cot

3

4

4

6

4

1 1 x csc5 xdx   csc7 x  csc5 x  c 7 5

Caso #10: Integrales del tipo

 tan

n

u secm udu o bien

 cot

n

u cscm udu , donde n es un

número entero positivo par y m es un número entero positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera. n

n

n

n

1. tan n u secm u  (tan 2 u) 2 secm u  tan n u secm u  (sec2  1) 2 secm u integración por partes.

2. cot n u cscm u  (cot 2 u) 2 cscm u  cot n u cscm u  (csc2  1) 2 cscm u integración por partes.

Ejemplo: 18.- Calcular

 tan

2

x sec xdx

y

se

aplica

y

se

aplica

Solución:

 tan x sec xdx   (sec x 1)sec xdx   tan   tan x sec xdx   sec xdx   sec xdx 2

2

2

2

x sec xdx   (sec3 x  sec x)dx

3

Por ejercicio #14,

 sec

3

1 1 xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c1 y 2 2

 sec xdx  ln sec x  tan x  c

2

con lo cual se tiene que:

1 1 x sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  ln sec x  tan x  c 2 2 1 1   tan 2 x sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c 2 2

 tan

2

Caso #11: Integrales de la forma

 cos(nu) cos(mu)du ,

 sen(nu) cos(mu)du ,  sen(nu)sen(mu)du

o bien

donde m y n son números reales cualesquiera. En este caso se

procede de la siguiente manera: 1. sen(nu  mu)  sen(nu) cos(mu)  sen(mu) cos(nu) sen(nu  mu)  sen(nu) cos(mu)  sen(mu) cos(nu) 2. cos(nu  mu)  cos(nu) cos(mu)  sen(nu)sen(mu) cos(nu  mu)  cos(nu) cos(mu)  sen(nu)sen(mu) Ejemplo: 19.- Calcular

 sen3x cos 2 xdx

Solución: sen(3x  2 x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x  sen(5x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x ( I ) sen(3x  2 x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x  sen( x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x ( II )

Sumando (I) y (II) se tiene que:

sen5 x  senx  2sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x 

1 1 sen5x  senx 2 2

1 1 sen5xdx   senxdx  2 2 1 1   sen3x cos 2 xdx   cos 5 x  cos x  c 10 2   sen3x cos 2 xdx 

20.- Calcular  cos 4 x cos 7 xdx Solución: cos(7 x  4 x)  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x  cos11x  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x ( I )

cos(7 x  4 x)  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x  cos3x  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x ( II )

Sumando (I) y (II) se tiene que: 1 1 cos11x  cos3x  2cos 7 x cos3x  cos 7 x cos3x  cos11x  cos3x 2 2 1 1   cos 7 x cos3xdx   cos11xdx   cos3xdx 2 2 1 1   cos 7 x cos 3xdx  sen11x  sen3x  c 22 6