INTEGRACIÓN PARCIALES.
DE
FUNCIONES
Caso #1: Integrales de la forma
RACIONALES
p( x)
q( x) dx donde
POR
FRACCIONES
p( x) y q( x) son polinomios de grado m y
n respectivamente, m n . En este caso q( x) se puede descomponer en n productos de factores lineales diferentes, i.e, q( x) tiene n raíces reales distintas, con lo cual, si q( x) an x n an1 x n1 ..... a1x a0
,
entonces
su
factorización
es
q( x) an ( x x1 )( x x2 )......( x xn ) , x1 , x2 , x3 ,....., xn son raíces distintas del polinomio q( x) . Luego la fracción parcial de
p( x) A An A A2 p ( x) es: 1 3 ...... q( x) x x1 x x2 x x3 x xn q( x)
Ejemplo: 24.- Calcular
x
x 1 dx 2 16
Solución: Determinemos
x
x 1 dx aplicando fracciones parciales. 2 16
x 1 x 1 x 1 A B 2 x 16 ( x 4)( x 4) ( x 4)( x 4) x 4 x 4 x 1 A( x 4) B( x 4) x 1 A( x 4) B( x 4) ( x 4)( x 4) ( x 4)( x 4)
:: x 2 16 ( x 4)( x 4)
x 4 1 4 A(4 4) B(4 4) 5 8 A 0 B A
5 8
x 4 1 (4) A(4 4) B(4 4) 3 0 A (8) B B
3 8
5 3 x 1 5 dx 3 dx x 1 8 Luego se tiene que: dx 8 2 x 16 8 x4 8 x4 ( x 4)( x 4) x 4 x 4
x 1 5 3 dx ln x 4 ln x 4 c 2 x 16 8 8
x
x 1 5 3 dx ln x 4 ln x 4 c 2 16 8 8
25.- Calcular
x2 2 x 6 x3 x dx
Solución: Determinemos
x2 2 x 6 x3 x dx aplicando fracciones parciales.
x2 2 x 6 A B C 3 x x x x 1 x 1 2 x 2 x 6 A( x 1)( x 1) Bx( x 1) Cx( x 1) x3 x x( x 1)( x 1) 2 x 2 x 6 A( x 1)( x 1) Bx( x 1) Cx( x 1)
:: x3 x x( x 2 1) x( x 1)( x 1)
:: x 0 0 2 2.0 6 A(0 1)(0 1) B.0(0 1) C.0(0 1) 6 A A 6
:: x 1 12 2.1 6 A(1 1)(1 1) B.1(1 1) C.1(1 1) 3 2 B B
3 2
:: x 1 (1) 2 2.(1) 6 A(1 1)(1 1) B.(1)(1 1) C.(1)(1 1) 7 2C
C
7 2
Luego se tiene que:
x2 2 x 6 5 3 1 7 1 3 x x x 2 x 1 2 x 1
x2 2 x 6 dx 3 dx 7 dx dx 5 3 x x x 2 x 1 2 x 1
x2 2x 6 3 7 x3 x dx 5ln x 2 ln x 1 2 ln x 1 c
Caso #2: Integrales de la forma
p( x)
q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores lineales y uno de ellos se repite, i.e., una de sus raíces se repite. Supongamos que
xk se repite p veces , i.e., ( x xk ) p ( x xk )( x xk )......( x xk ) . Luego la fracción parcial está dada por:
Ap A3 A1 A2 1 .... p 2 3 ( x xk ) x xk ( x xk ) ( x xk ) ( x xk ) p
Ejemplo: 26.- Calcular
x2 2 x 4 ( x 1)3 dx
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
x2 2 x 4 A B C 3 2 ( x 1) x 1 ( x 1) ( x 1)3 x2 2 x 4 A( x 1)2 B( x 1) C
x 2 2 x 4 A( x 1)2 B( x 1) C ( x 1)3 ( x 1)3
:: x 1 1 2 4 A(1 1)2 B(1 1) C :: x 1 3 C :: x 0 02 2.0 4 A B C 4 A B 3 A B 1 (i) :: x 1 12 2.1 4 4 A 2B C 7 4 A 2B 3 2 A B 2 (ii)
De (i) y (ii) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2AABB 12 A 1
:: A 1 A B 1 B 0 . Con lo cual se tiene que:
x2 2 x 4 1 0 3 3 2 ( x 1) x 1 ( x 1) ( x 1)3
x2 2 x 4 dx dx dx 3 3 ( x 1) x 1 ( x 1)3
x2 2x 4 ( x 1)2 x2 2x 4 3 1 dx ln x 1 3 c dx ln x 1 c 3 3 ( x 1) 2 ( x 1) 2 ( x 1)2
Caso #3: Integrales de la forma
p( x)
q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores cuadráticos irreducibles. Supongamos que ai x 2 bi x ci son factores cuadráticos,
entonces
su fracción parcial es: An x Bn A1 x B1 p( x) . ... 2 2 2 2 (a1 x b1 x c1 )(a2 x b2 x c2 )...(an x bn x cn ) a1 x b1 x c1 an x 2 bn x cn
Ejemplo: 27.- Calcular
(x
2
4x dx 1)( x 2 2 x 3)
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
4x Ax B Cx D 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 2
4x ( Ax B)( x 2 2 x 3) (Cx D)( x 2 1) ( x 2 1)( x 2 2 x 3) ( x 2 1)( x 2 2 x 3) 4 x ( Ax B)( x2 2 x 3) (Cx D)( x 2 1) 4 x Ax3 2 Ax2 3 Ax Bx2 2Bx 3B Cx3 Cx Dx2 D
AC 0 2A B D 0 3 2 4 x ( A C ) x (2 A B D) x (3 A 2B C ) x (3B D) 3 A 2 B C 4 3B D 0 Determinemos la solución del sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de GAUSS-JORDAN (Se puede determinar la solución de dicho sistema aplicando el método de Carmer)
1 2 3 0
0 1 0 0 1 0 1 0 2 1 0 4 3 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 2
1 0 0 0
0 1 1 2
0 0
2 6
0 0
1 0
0 0 2 4 2 0 0 1
f 2 2 f1 f 2 f3 3 f1 f3 f3
1 f3 2
1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 1 2 1 0 2 2 0 4 3 0 1 0 0 1 1 2 0 0
1 6
0 0 1 2 2 0 0 1
f3 2 f 2 f3 f 4 3 f 2 f 4
f 4 6 f3 f 4
0 f4 1 f4 1 0 1 0 0 4 0 0 1 2 1 0 Luego Tenemos que: 0 0 1 1 2 1 2 4 12 0 0 0 1 3 0 1
A C 0(i ) B 2C D 0(ii ) Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que: C D 2(iii ) D 3(iv) C (3) 2 C 3 2 C 1
.
:: D 3, C 1 B 2C D 0 B 2 3 0 B 1 . :: A C 0 C 1 A 1 .
Luego tenemos que:
4x Ax B Cx D 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 4x x 1 x3 2 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3
::
2
4x x 1 x 3 2 2 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2 x 3 2
4x x 1 x3 dx 2 dx 2 dx ( I ) 2 ( x 1)( x 2 x 3) x 1 x 2x 3 2
Determinemos
x 1 dx 2 1
x
x 1 xdx dx dx 2 2 2 1 x 1 x 1
x
x 1 1 dx ln x 2 1 tg 1 x c1 ( II ) 2 1 2
x
Determinemos ahora
x
2
x3 dx . Completando cuadrados se tiene que: 2x 3
x2 2 x 3 x2 2 x 1 1 3 x2 2 x 3 ( x 2 2 x 1) 2 x2 2 x 3 ( x 1)2 2 . Luego tenemos que:
x
x3 x3 dx dx 2x 3 ( x 1) 2 2
2
x3 x 1 2 dx dx dx 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( x 1) 2 2 2
x3 1 2 1 x 1 dx ln ( x 1)2 2 tg c2 x 2x 3 2 2 2
2
x
2
x3 1 x 1 dx ln x 2 2 x 3 2tg 1 c2 ( III ) 2x 3 2 2
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
(x
2
4x 1 1 x 1 dx ln x 2 1 tg 1 x ln x 2 2 x 3 2tg 1 c 2 1)( x 2 x 3) 2 2 2
4x 1 x2 1 x 1 2 dx ln 2 tg 1 x 2tg 1 c 2 ( x 1)( x 2 x 3) 2 x 2x 3 2 Caso #4: Integrales de la forma
p( x)
q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores cuadráticos irreducibles y uno de ellos se repite. Supongamos que ak x 2 bk x ck se
repite
p-veces,
entonces
su
fracción Ap x Bp
parcial
A1 x B1 A2 x B2 p ( x) ... p 2 2 (ak x bk x ck ) ak x bk x ck (ak x bk x ck ) p (ak x 2 bk x ck ) p 2
Ejemplo:
x2 dx 28.- Calcular 2 ( x 4)2 Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
es:
x2 Ax B Cx D 2 2 2 ( x 4) x 4 ( x 2 4)2 x2 ( Ax B)( x2 4) Cx D
x2 ( Ax B)( x 2 4) Cx D ( x 2 4)2 ( x 2 4) 2 x2 Ax3 4 Ax Bx2 4B Cx D A0 A0 B 1 B 1 2 3 2 . Por lo tanto se tiene x Ax Bx (4 A C ) x (4B D) 4 A C 0 C 0 4 B D 0 D 4
que:
::
x2 Ax B Cx D x2 1 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( x 4) x 4 ( x 4) ( x 4) x 4 ( x 4) 2
x2 1 dx 2 dx 2 dx 4 2 ( I ) . Determinemos 2 ( x 4) x 4 ( x 4) 2
x
2
x
2
1 dx . 4
dx 1 1 . En este caso dx tg 1 x c1 ( II ) . Determinemos ahora 4 2 4 2 ( x 4) 2
determinaremos la integral usando sustitución trigonométrica.
:: 4
dx u atg x 2tg dx 2sec2 d 2 ( x 4) 2
dx 2sec2 d 4 :: x 2tg x 4 4sec ( x 4) 16sec . Luego 4 2 ( x 4)2 16sec4 2
2
2
2
4
dx 4 d dx 1 4 2 cos 2 d 2 2 2 ( x 4) 8 sec ( x 4) 2 dx 1 1 cos 2 dx 1 1 4 2 d 4 2 d cos 2 d 2 2 ( x 4) 2 2 ( x 4) 4 4 dx 1 1 dx 1 1 . 4 2 sen2 c2 4 2 sen cos c2 2 2 ( x 4) 4 8 ( x 4) 4 4 4
2
x2 4 :: x 4 4sec sec sec 4 2
2
:: x 2tg tg
2
x x tg 1 . 2 2
x2 4 cos 2
2 x 4 2
. Por otro lado
:: tg
4
dx 1 x x 1 tg 1 2 ( x 4) 4 2 4 x2 4
4
que:
sen x sen tg cos sen cos 2
2
2 x 4
2 x2 4
2
sen
x x 4 2
c2
dx 1 x x tg 1 c2 ( III ) Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene 2 2 ( x 4) 4 2 2( x 4) 2
x2 1 1 x 1 1 x x ( x2 4)2 dx 2 tg 2 4 tg 2 2( x2 4) c
x2 1 1 x x ( x2 4)2 dx 4 tg 2 2( x2 4) c
29.- Calcular
x
x3 dx 9 x2
4
Solución: Factoricemos el polinomio x 4 9 x 2 . x4 9 x2 x 2 ( x 2 9) . Luego se tiene que:
x
x3 x3 dx 2 2 dx . Aplicando fracciones parciales se tiene que: 2 9x x ( x 9)
4
x3 Ax( x 2 9) B( x 2 9) (Cx D) x 2 x3 A B Cx D x 2 ( x 2 9) x 2 ( x 2 9) x 2 ( x 2 9) x x 2 x 2 9 x 3 Ax( x2 9) B( x 2 9) (Cx D) x 2 x 3 Ax3 9 Ax Bx2 9B Cx3 Dx2 C 1 C A 9 AC 0 1 D B D 3 x 3 ( A C ) x3 ( B D) x 2 9 Ax 9B B D 0 A 1 9A 1 1 9 A 9B 3 9 1 B 3 B 1 3
1 1 1 1 x x3 A B Cx D x3 :: 2 2 2 2 9 32 92 3 x ( x 9) x x 2 x 2 9 x ( x 9) x x x 9 x3 1 dx 1 dx 1 xdx 1 dx 2 2 dx 2 2 x ( x 9) 9 x 3 x 9 x 9 3 x2 9
x3 1 1 1 1 x dx ln x x 1 ln x 2 9 tg 1 c 2 x ( x 9) 9 3 18 9 3 x3 2 1 1 1 x 2 2 dx ln x ln x 2 9 tg 1 c x ( x 9) 18 3x 18 9 3
2
x3 1 x2 1 1 1 x dx ln x2 ( x2 9) 18 x2 9 3x 9 tg 3 c