Integración por fracciones parciales

INTEGRACIÓN PARCIALES.

DE

FUNCIONES

Caso #1: Integrales de la forma

RACIONALES

p( x)

 q( x) dx donde

POR

FRACCIONES

p( x) y q( x) son polinomios de grado m y

n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en n productos de factores lineales diferentes, i.e, q( x) tiene n raíces reales distintas, con lo cual, si q( x)  an x n  an1 x n1  .....  a1x  a0

,

entonces

su

factorización

es

q( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )......( x  xn ) , x1 , x2 , x3 ,....., xn son raíces distintas del polinomio q( x) . Luego la fracción parcial de

p( x) A An A A2 p ( x) es:  1   3  ......  q( x) x  x1 x  x2 x  x3 x  xn q( x)

Ejemplo: 24.- Calcular

x

x 1 dx 2  16

Solución: Determinemos

x

x 1 dx aplicando fracciones parciales.

2  16

x 1 x 1 x 1 A B     2 x  16 ( x  4)( x  4) ( x  4)( x  4) x  4 x  4 x 1 A( x  4)  B( x  4)    x  1  A( x  4)  B( x  4) ( x  4)( x  4) ( x  4)( x  4)

:: x 2  16  ( x  4)( x  4) 

x  4  1  4  A(4  4)  B(4  4)  5  8 A  0 B  A 

5 8

x  4  1  (4)  A(4  4)  B(4  4)  3  0 A  (8) B  B  

3 8

5 3 x 1 5 dx 3 dx x 1 8 Luego se tiene que: dx      8  2 x  16 8 x4 8 x4 ( x  4)( x  4) x  4 x  4 

x 1 5 3 dx  ln x  4  ln x  4  c  2 x  16 8 8

x

x 1 5 3 dx  ln x  4  ln x  4  c 2  16 8 8

25.- Calcular

x2  2 x  6  x3  x dx

Solución: Determinemos

x2  2 x  6  x3  x dx aplicando fracciones parciales.

x2  2 x  6 A B C    3 x x x x 1 x  1 2 x  2 x  6 A( x  1)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  1)   x3  x x( x  1)( x  1) 2  x  2 x  6  A( x  1)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  1)

:: x3  x  x( x 2  1)  x( x  1)( x  1) 

:: x  0  0 2 2.0  6  A(0  1)(0  1)  B.0(0  1)  C.0(0  1)  6   A  A  6

:: x  1  12 2.1  6  A(1  1)(1  1)  B.1(1  1)  C.1(1  1)  3  2 B  B  

3 2

:: x  1  (1) 2 2.(1)  6  A(1  1)(1  1)  B.(1)(1  1)  C.(1)(1  1)  7  2C

 C

7 2

Luego se tiene que:

x2  2 x  6 5 3 1 7 1    3 x x x 2 x 1 2 x  1





x2  2 x  6 dx 3 dx 7 dx dx  5    3 x x x 2 x 1 2  x  1

x2  2x  6 3 7  x3  x dx  5ln x  2 ln x  1  2 ln x  1  c

Caso #2: Integrales de la forma

p( x)

 q( x) dx , donde

p( x) y q( x) son polinomios de grado m

y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores lineales y uno de ellos se repite, i.e., una de sus raíces se repite. Supongamos que

xk se repite p  veces , i.e., ( x  xk ) p  ( x  xk )( x  xk )......( x  xk ) . Luego la fracción parcial está dada por:

Ap A3 A1 A2 1     ....  p 2 3 ( x  xk ) x  xk ( x  xk ) ( x  xk ) ( x  xk ) p

Ejemplo: 26.- Calcular

x2  2 x  4  ( x  1)3 dx

Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:

x2  2 x  4 A B C    3 2 ( x  1) x  1 ( x  1) ( x  1)3  x2  2 x  4  A( x  1)2  B( x  1)  C



x 2  2 x  4 A( x  1)2  B( x  1)  C  ( x  1)3 ( x  1)3

:: x  1  1  2  4  A(1  1)2  B(1  1)  C :: x  1  3  C :: x  0  02  2.0  4  A  B  C  4  A  B  3  A  B  1 (i) :: x  1  12  2.1  4  4 A  2B  C  7  4 A  2B  3  2 A  B  2 (ii)

De (i) y (ii) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2AABB 12 A 1

:: A  1  A  B  1  B  0 . Con lo cual se tiene que:

x2  2 x  4 1 0 3    3 2 ( x  1) x  1 ( x  1) ( x  1)3 



x2  2 x  4 dx dx dx    3 3 ( x  1) x 1 ( x  1)3

x2  2x  4 ( x  1)2 x2  2x  4 3 1 dx  ln x  1  3  c  dx  ln x  1  c 3 3  ( x  1) 2 ( x  1) 2 ( x  1)2

Caso #3: Integrales de la forma

p( x)

 q( x) dx , donde

p( x) y q( x) son polinomios de grado m

y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores cuadráticos irreducibles. Supongamos que ai x 2  bi x  ci son factores cuadráticos,

entonces

su fracción parcial es: An x  Bn A1 x  B1 p( x) .   ...  2 2 2 2 (a1 x  b1 x  c1 )(a2 x  b2 x  c2 )...(an x  bn x  cn ) a1 x  b1 x  c1 an x 2  bn x  cn

Ejemplo: 27.- Calcular

 (x

2

4x dx  1)( x 2  2 x  3)

Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:

4x Ax  B Cx  D  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 2

4x ( Ax  B)( x 2  2 x  3)  (Cx  D)( x 2  1)  ( x 2  1)( x 2  2 x  3) ( x 2  1)( x 2  2 x  3)  4 x  ( Ax  B)( x2  2 x  3)  (Cx  D)( x 2  1)  4 x  Ax3  2 Ax2  3 Ax  Bx2  2Bx  3B  Cx3  Cx  Dx2  D 

 AC  0  2A  B  D  0  3 2  4 x  ( A  C ) x  (2 A  B  D) x  (3 A  2B  C ) x  (3B  D)   3 A  2 B  C  4  3B  D  0 Determinemos la solución del sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de GAUSS-JORDAN (Se puede determinar la solución de dicho sistema aplicando el método de Carmer)

1  2 3  0

0 1 0 0  1 0 1 0 2 1 0 4  3 0 1 0

1  0 0  0

0 1 1 2

1  0 0  0

0 1 1 2

0 0

2 6

0 0

1 0

0  0 2 4   2 0  0 1

f 2  2 f1  f 2 f3  3 f1  f3 f3 

1 f3 2

1  0 0  0 1  0 0  0

0 1 0 0  1 2 1 0  2 2 0 4   3 0 1 0 0 1 1 2 0 0

1 6

0  0 1 2   2 0  0 1

f3  2 f 2  f3 f 4  3 f 2  f 4

f 4  6 f3  f 4

0  f4  1 f4  1 0 1 0 0  4    0   0 1 2 1 0  Luego Tenemos que:  0 0 1 1 2  1 2     4 12   0 0 0 1 3  0 1

 A  C  0(i )  B  2C  D  0(ii )   Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que:  C  D  2(iii )  D  3(iv) C  (3)  2  C  3  2  C  1

.

:: D  3, C  1  B  2C  D  0  B  2  3  0  B  1 . :: A  C  0  C  1  A  1 .

Luego tenemos que:

4x Ax  B Cx  D  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 4x x 1 x3  2  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3

::

2



4x x 1 x  3  2  2 2 ( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3 2

4x x 1 x3 dx   2 dx   2 dx ( I ) 2 ( x  1)( x  2 x  3) x 1 x  2x  3 2

Determinemos

x 1 dx 2 1

x

x 1 xdx dx  dx   2  2 2 1 x 1 x 1

x



x 1 1 dx  ln x 2  1  tg 1 x  c1 ( II ) 2 1 2

x

Determinemos ahora

x

2

x3 dx . Completando cuadrados se tiene que:  2x  3

x2  2 x  3  x2  2 x  1  1  3  x2  2 x  3  ( x 2  2 x  1)  2  x2  2 x  3  ( x  1)2  2 .

Luego tenemos que:

x

x3 x3 dx   dx  2x  3 ( x  1) 2  2

2

x3 x 1 2 dx   dx   dx 2 x  2x  3 ( x  1)  2 ( x  1) 2  2 2

x3 1 2 1  x  1  dx  ln ( x  1)2  2  tg    c2 x  2x  3 2 2  2 

 



2

x

2

x3 1  x 1  dx  ln x 2  2 x  3  2tg 1    c2 ( III )  2x  3 2  2 

Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

 (x

2

4x 1 1  x 1  dx  ln x 2  1  tg 1 x  ln x 2  2 x  3  2tg 1  c 2  1)( x  2 x  3) 2 2  2 

4x 1 x2  1  x 1    2 dx  ln 2  tg 1 x  2tg 1  c 2 ( x  1)( x  2 x  3) 2 x  2x  3  2  Caso #4: Integrales de la forma

p( x)

 q( x) dx , donde

p( x) y q( x) son polinomios de grado m

y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de factores cuadráticos irreducibles y uno de ellos se repite. Supongamos que ak x 2  bk x  ck se

repite

p-veces,

entonces

su

fracción Ap x  Bp

parcial

A1 x  B1 A2 x  B2 p ( x)   ...  p 2 2 (ak x  bk x  ck ) ak x  bk x  ck (ak x  bk x  ck ) p (ak x 2  bk x  ck ) p 2

Ejemplo:

x2 dx 28.- Calcular  2 ( x  4)2 Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:

es:

x2 Ax  B Cx  D  2  2 2 ( x  4) x  4 ( x 2  4)2  x2  ( Ax  B)( x2  4)  Cx  D

x2 ( Ax  B)( x 2  4)  Cx  D  ( x 2  4)2 ( x 2  4) 2  x2  Ax3  4 Ax  Bx2  4B  Cx  D  A0  A0  B 1  B 1   2 3 2 . Por lo tanto se tiene  x  Ax  Bx  (4 A  C ) x  (4B  D)    4 A  C  0  C  0 4 B  D  0  D  4 

que:

::

x2 Ax  B Cx  D x2 1 4     2  2 2 2 2 2 2 2 2 ( x  4) x  4 ( x  4) ( x  4) x  4 ( x  4) 2

x2 1 dx   2 dx   2 dx  4 2 ( I ) . Determinemos 2 ( x  4) x 4 ( x  4) 2

x

2

x

2

1 dx . 4

dx 1 1 . En este caso dx  tg 1 x  c1 ( II ) . Determinemos ahora 4 2 4 2 ( x  4) 2

determinaremos la integral usando sustitución trigonométrica.

:: 4

dx  u  atg  x  2tg  dx  2sec2  d 2 ( x  4) 2

dx 2sec2  d  4 :: x  2tg  x  4  4sec   ( x  4)  16sec  . Luego 4 2 ( x  4)2 16sec4  2

2

2

2

4

dx 4 d dx 1    4 2   cos 2  d 2 2 2 ( x  4) 8 sec  ( x  4) 2 dx 1 1  cos 2 dx 1 1  4 2   d  4 2   d   cos 2 d 2 2 ( x  4) 2 2 ( x  4) 4 4 dx 1 1 dx 1 1 .  4 2    sen2  c2  4 2    sen cos   c2 2 2 ( x  4) 4 8 ( x  4) 4 4  4

2

x2  4 :: x  4  4sec   sec    sec   4 2

2

:: x  2tg  tg 

2

x  x    tg 1   .

2 2

x2  4  cos   2

2 x 4 2

. Por otro lado

:: tg 

 4

dx 1 x  x 1  tg 1    2 ( x  4) 4  2  4 x2  4

 4

que:



sen x  sen  tg cos   sen  cos  2

2

2 x 4

2 x2  4

2

 sen 

x x 4 2

 c2

dx 1 x x  tg 1     c2 ( III ) Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene 2 2 ( x  4) 4  2  2( x  4) 2

x2 1 1  x  1 1  x  x  ( x2  4)2 dx  2 tg  2   4 tg  2   2( x2  4)  c

x2 1 1  x  x  ( x2  4)2 dx  4 tg  2   2( x2  4)  c

29.- Calcular

x

x3 dx  9 x2

4

Solución: Factoricemos el polinomio x 4  9 x 2 . x4  9 x2  x 2 ( x 2  9) . Luego se tiene que:

x

x3 x3 dx   2 2 dx . Aplicando fracciones parciales se tiene que: 2  9x x ( x  9)

4

x3 Ax( x 2  9)  B( x 2  9)  (Cx  D) x 2 x3 A B Cx  D      x 2 ( x 2  9) x 2 ( x 2  9) x 2 ( x 2  9) x x 2 x 2  9  x  3  Ax( x2  9)  B( x 2  9)  (Cx  D) x 2  x  3  Ax3  9 Ax  Bx2  9B  Cx3  Dx2 C   1 C  A  9  AC  0 1  D   B D     3  x  3  ( A  C ) x3  ( B  D) x 2  9 Ax  9B   B  D  0   A  1   9A  1 1 9 A    9B  3  9 1   B  3  B 1 3 

1 1 1 1  x x3 A B Cx  D x3 :: 2 2     2 2  9  32  92 3 x ( x  9) x x 2 x 2  9 x ( x  9) x x x 9 x3 1 dx 1 dx 1 xdx 1 dx  2 2 dx     2   2  x ( x  9) 9 x 3 x 9 x  9 3  x2  9

x3 1 1 1 1  x dx  ln x  x 1  ln x 2  9  tg 1    c 2 x ( x  9) 9 3 18 9 3 x3 2 1 1 1  x  2 2 dx  ln x   ln x 2  9  tg 1    c x ( x  9) 18 3x 18 9 3 



2

x3 1 x2 1 1 1  x  dx  ln  x2 ( x2  9) 18 x2  9  3x  9 tg  3   c