Integración por partes

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 1.- INTEGRACIÓN POR PARTES: Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones derivables, entonces d ( f ( x) g ( x))  f ( x)d ( g ( x))  g ( x)d ( f ( x)) , ie, d ( f ( x) g ( x))  f ( x) g '( x)dx  g ( x) f '( x)dx . Luego despejando se tiene que:

f ( x) g '( x)dx  d ( f ( x) g ( x))  g ( x) f '( x)dx . Integrando en ambos miembros de la

f ( x) g '( x)dx   d ( f ( x) g ( x))   g ( x) f '( x)dx igualdad se tiene que:  . Hacemos f ( x)  u  d ( f ( x))  du  f '( x)dx  du , g ( x)  v  d ( g ( x))  dv  g '( x)dx  dv .

Sustituyendo se tiene que: que:

 udv   d (uv)   vdu . Pero  d (uv)  uv , con lo cual se tiene

 udv  uv   vdu

Ejemplos: 1.- Calcular

 x ln xdx

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u  ln x  du  dv  xdx   dv   xdx  v  x2  c1 x , 2 Sea . Luego se tiene que: 1 1 dx  2   2   x ln xdx   2 x  c1  ln x    2 x  c1  x 1 1 dx dx   x ln xdx  x 2 ln x  c1 ln x   x 2  c1  2 2 x x 1 2 1 1 11 2   x ln xdx  x ln x  c1 ln x   xdx  c1 ln x  c   x ln xdx  x 2 ln x  x c 2 2 2 22 1 1   x ln xdx  x 2 ln x  x 2  c 2 4 1 dv   xdx  v  x 2  c1  2 Observación: Nótese que , por lo tanto para este caso se hace

c1  0

, ya que dicha constante, al sustituirla en x cos xdx 2.- Calcular 

 udv  uv   vdu , se elimina.

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: u  x  du  dx; dv  cos xdx  v   cos xdx v  senx . Luego sustituyendo en  udv  uv   vdu se tiene que:  xcoxdx  xsenx   senxdx   xcoxdx  xsenx  ( cos x)  c1   xcoxdx  xsenx  cos x  c1 3.- Calcular

 tan

1

xdx

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx u  tan 1 x  du  ; dv  dx  v   dx v  x 1  x2 . Luego sustituyendo en xdx tan 1 xdx  x tan 1 x   udv  uv  vdu    tenemos que: 1  x2 xdx dw w  1  x 2  dw  2 xdx   xdx 2  2 Ahora determinemos 1  x . Sea . Luego: xdx dw 1 dw 1 1 2  1  x2   2w  2  w  2 ln w  c  2 ln 1  x  c xe3x dx 4.- Calcular  Solución: Aplicando integración por partes se tiene: 1 u  x  du  dx; dv  e3 x dx  v   e3 x dx  v  e3 x 3 . Luego se tiene que: 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 3x 3x 3x  xe dx  3 xe   3 e dx   xe dx  3 xe  3  e dx   xe dx  3 xe  9 e  c e x senxdx  5.- Calcular Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: u  senx  du  cos xdx; dv  e x dx  v   e x dx  v  e x . Luego: x x x  e senxdx  e senx   e cos xdx . Aplicando nuevamente integración por partes se u  cos x  du  senxdx; dv  e x dx  v   e x dx  v  e x tiene que: . Por lo tanto se tiene que: x x x x  e senxdx  e senx  e cos x   e (senx)dx





  e x senxdx  e x senx  e x cos x   e x senxdx  2 e x senxdx  e x senx  e x cos x  c1

1 x 1 1 1 e senx  e x cos x  c1    e x senxdx  e x senx  e x cos x  c1  2 2 2 2 1 1   e x senxdx  e x senx  e x cos x  c 2 2 x xe dx  ( x  1)2 6.- Calcular   e x senxdx 

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u  xe x  du  ( x  1)e x dx; dv  v 2 ( x  1) x  1 . Luego:

xe x dx xe x 1 xe x dx xe x x x     ( x  1) e dx     ( x  1)2 x  1  x  1  ( x  1)2 x  1   e dx 

xe x dx xe x    ex  c 2 ( x  1) x 1