Integración por partes

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TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 1.- INTEGRACIÓN POR PARTES: Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones derivables, entonces d ( f ( x) g ( x))  f ( x)d ( g ( x))  g ( x)d ( f ( x)) , ie, d ( f ( x) g ( x))  f ( x) g '( x)dx  g ( x) f '( x)dx . Luego despejando se tiene que:

f ( x) g '( x)dx  d ( f ( x) g ( x))  g ( x) f '( x)dx . Integrando en ambos miembros de la

f ( x) g '( x)dx   d ( f ( x) g ( x))   g ( x) f '( x)dx igualdad se tiene que:  . Hacemos f ( x)  u  d ( f ( x))  du  f '( x)dx  du , g ( x)  v  d ( g ( x))  dv  g '( x)dx  dv .

Sustituyendo se tiene que: que:

 udv   d (uv)   vdu . Pero  d (uv)  uv , con lo cual se tiene

 udv  uv   vdu

Ejemplos: 1.- Calcular

 x ln xdx

Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u  ln x  du  dv  xdx   dv   xdx  v  x2  c1 x , 2 Sea . Luego se tiene que: 1 1 dx  2   2   x ln xdx   2 x  c1  ln x    2 x  c1  x 1 1 dx dx   x ln xdx  x 2 ln x  c1 ln x   x 2  c1  2 2 x x 1 2 1 1 11 2   x ln xdx  x ln x  c1 ln x   xdx  c1 ln x  c   x ln xdx  x 2 ln x  x c 2 2 2 22 1 1   x ln xdx  x 2 ln x  x 2  c 2 4 1 dv   xdx  v  x 2  c1  2 Observación: Nótese que , por lo tanto para este caso se hace

c1  0

, ya que dicha constante, al sustituirla en x cos xdx 2.- Calcular 

 udv  uv   vdu , se elimina.


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