TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 1.- INTEGRACIÓN POR PARTES: Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones derivables, entonces d ( f ( x) g ( x)) f ( x)d ( g ( x)) g ( x)d ( f ( x)) , ie, d ( f ( x) g ( x)) f ( x) g '( x)dx g ( x) f '( x)dx . Luego despejando se tiene que:
f ( x) g '( x)dx d ( f ( x) g ( x)) g ( x) f '( x)dx . Integrando en ambos miembros de la
f ( x) g '( x)dx d ( f ( x) g ( x)) g ( x) f '( x)dx igualdad se tiene que: . Hacemos f ( x) u d ( f ( x)) du f '( x)dx du , g ( x) v d ( g ( x)) dv g '( x)dx dv .
Sustituyendo se tiene que: que:
udv d (uv) vdu . Pero d (uv) uv , con lo cual se tiene
udv uv vdu
Ejemplos: 1.- Calcular
x ln xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u ln x du dv xdx dv xdx v x2 c1 x , 2 Sea . Luego se tiene que: 1 1 dx 2 2 x ln xdx 2 x c1 ln x 2 x c1 x 1 1 dx dx x ln xdx x 2 ln x c1 ln x x 2 c1 2 2 x x 1 2 1 1 11 2 x ln xdx x ln x c1 ln x xdx c1 ln x c x ln xdx x 2 ln x x c 2 2 2 22 1 1 x ln xdx x 2 ln x x 2 c 2 4 1 dv xdx v x 2 c1 2 Observación: Nótese que , por lo tanto para este caso se hace
c1 0
, ya que dicha constante, al sustituirla en x cos xdx 2.- Calcular
udv uv vdu , se elimina.