TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN. 1.- INTEGRACIÓN POR PARTES: Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones derivables, entonces d ( f ( x) g ( x)) f ( x)d ( g ( x)) g ( x)d ( f ( x)) , ie, d ( f ( x) g ( x)) f ( x) g '( x)dx g ( x) f '( x)dx . Luego despejando se tiene que:
f ( x) g '( x)dx d ( f ( x) g ( x)) g ( x) f '( x)dx . Integrando en ambos miembros de la
f ( x) g '( x)dx d ( f ( x) g ( x)) g ( x) f '( x)dx igualdad se tiene que: . Hacemos f ( x) u d ( f ( x)) du f '( x)dx du , g ( x) v d ( g ( x)) dv g '( x)dx dv .
Sustituyendo se tiene que: que:
udv d (uv) vdu . Pero d (uv) uv , con lo cual se tiene
udv uv vdu
Ejemplos: 1.- Calcular
x ln xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u ln x du dv xdx dv xdx v x2 c1 x , 2 Sea . Luego se tiene que: 1 1 dx 2 2 x ln xdx 2 x c1 ln x 2 x c1 x 1 1 dx dx x ln xdx x 2 ln x c1 ln x x 2 c1 2 2 x x 1 2 1 1 11 2 x ln xdx x ln x c1 ln x xdx c1 ln x c x ln xdx x 2 ln x x c 2 2 2 22 1 1 x ln xdx x 2 ln x x 2 c 2 4 1 dv xdx v x 2 c1 2 Observación: Nótese que , por lo tanto para este caso se hace
c1 0
, ya que dicha constante, al sustituirla en x cos xdx 2.- Calcular
udv uv vdu , se elimina.
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: u x du dx; dv cos xdx v cos xdx v senx . Luego sustituyendo en udv uv vdu se tiene que: xcoxdx xsenx senxdx xcoxdx xsenx ( cos x) c1 xcoxdx xsenx cos x c1 3.- Calcular
tan
1
xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx u tan 1 x du ; dv dx v dx v x 1 x2 . Luego sustituyendo en xdx tan 1 xdx x tan 1 x udv uv vdu tenemos que: 1 x2 xdx dw w 1 x 2 dw 2 xdx xdx 2 2 Ahora determinemos 1 x . Sea . Luego: xdx dw 1 dw 1 1 2 1 x2 2w 2 w 2 ln w c 2 ln 1 x c xe3x dx 4.- Calcular Solución: Aplicando integración por partes se tiene: 1 u x du dx; dv e3 x dx v e3 x dx v e3 x 3 . Luego se tiene que: 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 1 3x 3x 3x 3x xe dx 3 xe 3 e dx xe dx 3 xe 3 e dx xe dx 3 xe 9 e c e x senxdx 5.- Calcular Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: u senx du cos xdx; dv e x dx v e x dx v e x . Luego: x x x e senxdx e senx e cos xdx . Aplicando nuevamente integración por partes se u cos x du senxdx; dv e x dx v e x dx v e x tiene que: . Por lo tanto se tiene que: x x x x e senxdx e senx e cos x e (senx)dx
e x senxdx e x senx e x cos x e x senxdx 2 e x senxdx e x senx e x cos x c1
1 x 1 1 1 e senx e x cos x c1 e x senxdx e x senx e x cos x c1 2 2 2 2 1 1 e x senxdx e x senx e x cos x c 2 2 x xe dx ( x 1)2 6.- Calcular e x senxdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que: dx 1 u xe x du ( x 1)e x dx; dv v 2 ( x 1) x 1 . Luego:
xe x dx xe x 1 xe x dx xe x x x ( x 1) e dx ( x 1)2 x 1 x 1 ( x 1)2 x 1 e dx
xe x dx xe x ex c 2 ( x 1) x 1