Integración por sustituciones diversas

SUSTITUCIONES DIVERSAS Caso #1: El integrado contiene expresiones racionales de seno y coseno. En este caso se

1 z2 1 2z 2dz realiza el cambio z  tg x y se obtiene que: senx  , cos x  y dx  2 2 1 z 2 1 z 1 z2 Ejemplo: 30.- Calcular

dx

 1  senx  cos x

Solución: Sean senx 

2z 1 z2 2dz 1  siendo z  tg  x  , entonces , cos x  y dx  2 2 2 1 z 1 z 1 z 2 

tenemos que: 2dz dx 1 z2   1  senx  cos x  2 z 1  z 2 1  1 z2 1 z2 2dz 2 dx    12 z 2z  2z 1  senx  cos x 1 z2 dx dz   1  senx  cos x z ( z  1)

2dz dx 1 z2   1  z2  2z 1  z 2 1  senx  cos x 1 z2 

dx 2dz  2 1  senx  cos x 2z  2z

Aplicando fracciones parciales se tiene que:

1 A B 1 A( z  1)  Bz      1  A( z  1)  Bz  1  ( A  B) z  A z ( z  1) z z  1 z ( z  1) z ( z  1)





 A  B  0  B   A A  1  B  1. Por lo tanto se tiene que: A 1 A 1

1 A B 1 1 1 dz dz dz          z ( z  1) z z  1 z ( z  1) z z  1 z ( z  1) z z 1 dz dz z 1    ln z  ln z  1  c    ln  c . Pero z  tg  x  por lo que se z ( z  1) z ( z  1) z 1 2 

::

dz tiene que:   ln z ( z  1)

31.- Calcular

dx

 3  2 cos x

Solución: Sean cos x 

dx  3  2 cos x  

Determinar

1  1  tg  x  tg  x  dx 2  c  2  c  ln  1  senx  cos x 1  1  tg  x   1 tg  x   1 2  2 

1 z2 2dz 1  siendo z  tg  x  , entonces tenemos que: y dx  2 2 1 z 1 z 2 

2dz 2dz 2 dx 2dz dx 1 z 1 z2     2 2 2   1 z 3  z  2  2z 3  2cos x 1  5z 2 3  2 cos x 3 2 1 z2 1 z2

2dz

 1  5z

2

Sea u 2  5 z 2  u  5 z  du  5dz  du 2dz 5  1  5 z 2  2 a 2  u 2



2dz 2 5 1  tg 2 1  5z 5



du  dz y a 2  1  a  1 . Luego tenemos que: 5

2dz 2 du 2dz 2 1  u     tg    c 2 2 2 2  1  5z 1  5z 5 a u 5 a

dx 2 5  tg  5z   c   3  2cos x 5

1

  1   5tg  2 x    c   

Caso #2: El integrando contiene expresiones irracionales. En este caso se procede de la siguiente manera: 1.

n

u  se hace el cambio z n  u y se transforma en una función racional.

2.

u  m u  se hace el cambio z M  u donde M es el mínimo común múltiplo de los índices de las expresiones irracionales y se transforma en una función racional. n