SUSTITUCIONES DIVERSAS Caso #1: El integrado contiene expresiones racionales de seno y coseno. En este caso se
1 z2 1 2z 2dz realiza el cambio z tg x y se obtiene que: senx , cos x y dx 2 2 1 z 2 1 z 1 z2 Ejemplo: 30.- Calcular
dx
1 senx cos x
Solución: Sean senx
2z 1 z2 2dz 1 siendo z tg x , entonces , cos x y dx 2 2 2 1 z 1 z 1 z 2
tenemos que: 2dz dx 1 z2 1 senx cos x 2 z 1 z 2 1 1 z2 1 z2 2dz 2 dx 12 z 2z 2z 1 senx cos x 1 z2 dx dz 1 senx cos x z ( z 1)
2dz dx 1 z2 1 z2 2z 1 z 2 1 senx cos x 1 z2
dx 2dz 2 1 senx cos x 2z 2z
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
1 A B 1 A( z 1) Bz 1 A( z 1) Bz 1 ( A B) z A z ( z 1) z z 1 z ( z 1) z ( z 1)
A B 0 B A A 1 B 1. Por lo tanto se tiene que: A 1 A 1
1 A B 1 1 1 dz dz dz z ( z 1) z z 1 z ( z 1) z z 1 z ( z 1) z z 1 dz dz z 1 ln z ln z 1 c ln c . Pero z tg x por lo que se z ( z 1) z ( z 1) z 1 2
::
dz tiene que: ln z ( z 1)
31.- Calcular
dx
3 2 cos x
Solución: Sean cos x
dx 3 2 cos x
Determinar
1 1 tg x tg x dx 2 c 2 c ln 1 senx cos x 1 1 tg x 1 tg x 1 2 2
1 z2 2dz 1 siendo z tg x , entonces tenemos que: y dx 2 2 1 z 1 z 2
2dz 2dz 2 dx 2dz dx 1 z 1 z2 2 2 2 1 z 3 z 2 2z 3 2cos x 1 5z 2 3 2 cos x 3 2 1 z2 1 z2
2dz
1 5z
2
Sea u 2 5 z 2 u 5 z du 5dz du 2dz 5 1 5 z 2 2 a 2 u 2
2dz 2 5 1 tg 2 1 5z 5
du dz y a 2 1 a 1 . Luego tenemos que: 5
2dz 2 du 2dz 2 1 u tg c 2 2 2 2 1 5z 1 5z 5 a u 5 a
dx 2 5 tg 5z c 3 2cos x 5
1
1 5tg 2 x c
Caso #2: El integrando contiene expresiones irracionales. En este caso se procede de la siguiente manera: 1.
n
u se hace el cambio z n u y se transforma en una función racional.
2.
u m u se hace el cambio z M u donde M es el mínimo común múltiplo de los índices de las expresiones irracionales y se transforma en una función racional. n