APLICACIONES DE LA DERIVADA VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. Considérese la función: Y
P
Q
Punto máximo (relativo o local)
Punto mínimo (relativo o local) X
DEFINICIONES:
La función f tiene un máximo en x=c si existe un intervalo abierto (a ,b) sobre el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x perteneciente a (a, b).
La función f tiene un mínimo en x=c si existe un intervalo abierto (a, b) sobre el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c) f(x) para toda x perteneciente a (a, b) .
Sea f una función diferenciable en cada punto de (a, b) y sea c un punto del intervalo (a, b). Si f tiene en c un máximo o un mínimo f ’ (c) = 0.
Si f tiene en c un máximo o un mínimo y f es diferenciable en c entonces la recta tangente en el punto (c, f(c)) es horizontal.
Una función puede tener valores extremos ( máximos y mínimos ) relativos únicamente en los puntos donde la derivada es igual a cero o en algunos puntos donde la derivada no existe.
Se les llama números, puntos o raíces criticas a los números del dominio de una función en los que la derivada es igual a cero o donde esta no existe.