Máximos y mínimos

APLICACIONES DE LA DERIVADA VALORES MÁXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION. Considérese la función: Y

P

Q

Punto máximo (relativo o local)

Punto mínimo (relativo o local) X

DEFINICIONES: 

La función f tiene un máximo en x=c si existe un intervalo abierto (a ,b) sobre el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c)  f(x) para toda x perteneciente a (a, b).



La función f tiene un mínimo en x=c si existe un intervalo abierto (a, b) sobre el cual f está definida y c pertenece a (a, b) tal que f(c)  f(x) para toda x perteneciente a (a, b) .



Sea f una función diferenciable en cada punto de (a, b) y sea c un punto del intervalo (a, b). Si f tiene en c un máximo o un mínimo f ’ (c) = 0.



Si f tiene en c un máximo o un mínimo y f es diferenciable en c entonces la recta tangente en el punto (c, f(c)) es horizontal.



Una función puede tener valores extremos ( máximos y mínimos ) relativos únicamente en los puntos donde la derivada es igual a cero o en algunos puntos donde la derivada no existe.



Se les llama números, puntos o raíces criticas a los números del dominio de una función en los que la derivada es igual a cero o donde esta no existe.



El valor mayor de una determinada función en un intervalo recibe el nombre de valor máximo absoluto y el valor menor de la función en el intervalo se llama valor mínimo absoluto.

Ejemplo: Determine los puntos donde existe algún valor máximo o mínimo en la siguiente función: f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3 f ’ (x)= 3x2 – 18x + 15 f ’ (x) = 3x2 - 18x + 15 = 0 f ’ (x) = 3( x2 -6x +5) = 0 f ’ (x) = 3 ( x – 1) (x – 5) = 0 x1 =1 y x2 = 5 x1 = c =1, x2 = c = 5

a) se obtiene primera derivada de la función b) se iguala a cero y se factoriza para sacar raíces críticas

estas son las raíces criticas

Los valores de las raíces criticas se sustituyen en la función para sacar los máximos y mínimos. f (x1) = f(1) = (1)2-9(1)2+15(1)+3= 10 f (x2) = f(5) = (5)2 –9(5)2 +15(5)+3= -22

como f (1) > f (5) es un máximo como f (5) < f (1) es un mínimo

Gráfica de la función f (x) = x3 – 9x2 + 15x + 3 EJERCICIOS: 1. f (x) = x3 – 3x

f ’(x) = 3x2 – 3 f ’(x) = 3(x2 – 1) = 0 f ’(x) = 3(x –1)(x+1) = 0 x1 = 1, x2 = -1 c1 = 1, c2 = -1 f (x1) = f(1) = (1)3 – 3 = -2 f (x2) = f(-1)= (-1)3 – 3(-1) = 2

f(1)<0 es un mínimo con coordenadas (1,-2). f(-1)>0 es un máximo con coordenadas (-1,2).

Gráfica de la función f (x) = x3 – 3x 2. f (x) = -x3 + 6x2 –9x + 1 f ’ (x) = -3x2 + 12x – 9 f ’(x) = -3(x2 – 4x + 3 ) = 0 f ’(x) = -3(x - 1) (x - 3) = 0

x1 =1, x2 = 3 C1 =1, C2 = 3

f(1) = -(1)3 + 6(1)2 – 9(1) + 1 = -3 f(1) <0 es un mínimo con coordenadas (1,-3). f(3) = -(3)3 + 6(3)2 – 9(3) + 1 = 1 f(3 )>0 es un máximo con coordenadas (3,1).

Gráfica de la función f (x) = -x3 + 6x2 –9x + 1 3. f(x) = x4 – 8x2 + 16 f’(x) = 4x3 – 16x f’(x) = 4x3 – 16x = 0 f’(x) = 4x(x2 – 4) = 0 f’(x) = 4x(x – 2)(x + 2) = 0

x1 = 0, x2 = -2, x3 = 2 C1 = 0, c2 = -2, c3 = 2

f(0) = (0)3 – 8(0)2 + 16 = 16 f (0) >0 es un máximo con coordenadas (0,16). f(-2) = (-2)4 – 8(-2)2 + 16 = 0 f(-2) = 0 con coordenadas (-2,0). f(2) = (2)4 – 8(2)2 + 16 = 0 f(2) = 0 con coordenadas (2,0).

Gráfica de la función f(x) = x4 – 8x2 + 16

Como f(-2) (C2) y f(2) (C3) son iguales a 0 ( cero), para saber si son máximos o mínimos se sustituyen C2 en la primera derivada de la función tomando un número antes y un número después de C2 ; lo mismo se hace para C3.

Para f’(C2) f’(-3 ) = 4(-3)3 - 16 (-3) = - 60 ∴f(-2) es un mínimo.

f’(-1) = 4( -1)3 – 16 (-1) = 44

Para f’(C3) f’(1) = 4(1)3 – 16 (1) = -12 ∴f’(2) es un mínimo .

-3

f’(3) = 4(3)3 – 16 (3) = 60

-2

-1

1

2

3

4. f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2 f’(x) = 12x3 – 12x2 –24x f’(x) = 12x3 – 12x2 –24x = 0 f’(x) = 12x (x – 2) (x + 1) = 0

x1 = 0, x2 = 2, x3 = -1 C1 = 0, C2 = 2, C3 = -1

f(0) = 3(0)4 – 4(0)3 – 12(0) + 2 = 2 f(0) > 0 es un máximo con coordenadas (0,2). f(2) = 3(2)4 – 4(2)3 - 12(2)2 + 2 = -30 f(2) = -30 coordenadas (2,-30). f(-1) = 3(-1)4 – 4(-1)3 – 12(-1)2 + 2 = -3 f(-1) = -3 coordenadas (-1,-3). sustituir en la derivada de la función para f(C2): f’(1) = 12(1)3 – 12(1)2 – 24(1) = -24 f’(3) = 12(3)3 – 12(3)2 – 24(3) = -72 ∴ ƒ(2) es un mínimo. sustituir en la derivada de la función para f(C3): f’(-2) = 12(-2)3 – 12(-2)2 –24(-2) = -96 f’(0) = 12(0)3 - 12(0)2 – 24(0) = 0 ∴ f(-1) es un mínimo.

Gráfica de la función f(x) = 3x4 – 4x3 – 12x2 + 2