Aplicaciones de los sistemas de ecuaciones

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 2011

´Indice 3.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . .

3.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . .

3.3. Fracciones parciales . . . . . . . .

3.4. Determinaci´ on de curvas . . . . .

3.5. Balanceo de Reacciones Qu´ımicas 3.6. Aplicaciones a Manufactura . . .

3.7. Aplicaciones Diversas . . . . . .

3.8. Transferencia de Calor . . . . . .

3.9. Splines c´ ubicos . . . . . . . . . .

3.10. Suma de los primeros cuadrados 3.11. Integraci´on num´erica . . . . . . .

3.1.

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1 1 1 3 4 5 6 6 8 8 9

Introducci´ on

En esta lectura veremos algunas aplicaciones de los sistemas de ecuaciones lineales. Las aplicaciones de la resoluciones de sistemas son innumerables, y por consiguiente es imposible pretender cubrir las aplicaciones.

Queda como reto personal encontrar situaciones donde surgan este tipo de problemas.

3.2.

Objetivo

La lectura pretende que usted conozca algunas de las situaciones que conducen a la resoluci´on de un sistema de ecuaciones lineales. Notablemente, la t´ecnica de las fracciones parciales, el ajuste de curvas y algunos m´ as.

3.3.

Fracciones parciales

Una t´ecnica muy conveniente utilizada en algunas tareas matem´aticas es aquella conocida como fracciones ´ parciales. Esta se aplica para simplificar integrales o transformadas de Laplace, por citar algunos ejemplos. La idea principal consiste en cambiar la forma que puede ser expresado un cociente entre polinomios a otra forma m´as conveniente para cierto tipo de c´ alculo.

Ejemplo 3.1 Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 1 a b = + (x − 2)(x + 3) x−2 x+3

Soluci´ on Se debe cumplir: 1 (x−2)(x+3)

=

a x−2

=

a (x+3)+b (x−2) (x−2) (x+3)

=

ax+3a+bx−2b (x−2)(x+3)

=

(3 a−2 b) + (a+b) x (x−2)(x+3)

+

b x+3

Esto se cumple si: 1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a − 2 b) + (a + b) x Es decir, si: 3a − 2b = 1 a + b = 0 El cual tiene como soluci´ on: a=

1 1 yb=− 5 5

Ejemplo 3.2 (Forma dudosa) Determine los valores de las constantes a y b para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a b = + (x + 1)(x2 + 1) x + 1 x2 + 1 Soluci´ on Se debe cumplir: 2+2x+2x2 (x+1)(x2 +1)

b x2 +1

=

a x+1

=

a (x2 +1)+b (x+1) (x+1) (x2 +1)

=

a x2 + a + b x + b (x+1)(x2 +1)

=

(a+b) + (b) x+a x2 (x+1)(x2 +1)

+

Esto se cumple si: 2 + 2x + 2x2 = (a + b) + (b) x + a x2 Es decir, si: a + b = 2 + b = 2 a = 2 El cual no tiene soluci´ on. ¿Qu´e puede andar mal? La forma propuesta para la expresi´on en fracciones parciales.

Ejemplo 3.3 Determine los valores de las constantes a, b y c para que satisfagan: 2 + 2x + 2x2 a bx + c = + 2 2 (x + 1)(x + 1) x+1 x +1

2

Soluci´ on Se debe cumplir: 2x2 +2x+2 (x+1)(x2 +1)

=

a x+1

=

a(x2 +1)+(bx+c)(x+1) (x+1)(x2 +1)

=

ax2 +a+bx2 +bx+cx+c (x+1)(x2 +1)

=

(a+b)x2 +(b+c)x+(a+c) (x+1)(x2 +1)

+

bx+c x2 +1

Esto se cumple si: 2x2 + 2x + 2 = (a + b)x2 + (b + c)x + (a + c) Es decir, si: a + b = 2 b + c = 2 a + c = 2 El cual tiene como soluci´ on: a = 1, b = 1 y c = 1

3.4.

Determinaci´ on de curvas

Un problema comun en diferentes ´ areas es la determinaci´ on de curvas. es decir el problema de encontrar la funci´on que pasa por un conjunto de puntos. Usualmente se conoce la naturaleza de la funci´on, es decir, se conoce la forma que debe tener la funci´ on. Por ejemplo, l´ınea recta, par´abola o exponencial etc. Lo que se hace para resolver este tipo de problemas es describir la forma m´as general de la funci´on mediante par´ ametros constantes. Y posteriormente se determinan estos par´ametros haciendo pasar la funci´on por los puntos conocidos.

Ejemplo 3.4 Determine la funci´on cudr´ atica que pasa por los puntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).

Soluci´ on La forma m´as general de una cuadr´ atica es: f (x) = a x2 + b x + c donde los coeficientes a, b, y c son constantes num´ericas. El problema consiste en determinar estos coeficientes.

As´ı pues los par´ametros a, b, y c se vuelven ahora las inc´ognitas. Y para poderlas determinar requerimos de ecuaciones o igualdades que deben satisfacer. Para determinar estas ecuaciones debemos usar los puntos.

Para que la funci´on pase por el punto P (1, 4) se debe cumplir que f (x = 1) = 4 es decir, se debe cumplir: a (1)2 + b (1) + c = 4 es decir, se debe cumplir: a+b+c=4 Procediendo de igual manera con el punto Q(−1, 2): formulamos la ecuaci´on: a−b+c=2 3

y para R(2, 3): 4a + 2b + c = 3 Resumiendo para que la funci´ on f (x) = a x2 ecuaciones: a a 4a

+ b x + c pase por los puntos P , Q, y R deben cumplirse las + b + c =4 − b + c =2 + 2b + c = 3

La soluci´on a este sistema es:

2 11 a = − , b = 1, y c = 3 3 La misma situaci´on presentada en el problema de las fracciones parciales que originaba un sistema inconsistente, se puede presentar en la determinaci´ on de funciones. Y la conclusi´on es similar: si el sistema originado es inconsistente lo que se concluye es que no existe una funci´on con esa forma general que pase exactamente por los puntos dados.

Ejemplo 3.5 Conociendo la soluci´ on general a una ED: y(t) = C1 et + C2 e−t + C3 e3 t Determine en orden los valores de las constantes C1 , C2 , y C3 para que se cumpla: y(0) = 0, y 0 (0) = −1, y 00 (0) = −2 Soluci´ on En este caso las inc´ ognitas son las constantes C1 , C2 , y C3 . Para determinarlas requerimos las ecuaciones y para ellas debemos determinar las derivadas de y(t): y(t) = C1 et + C2 e−t + C3 e3 t y 0 (t) = C1 et − C2 e−t + 3 C3 e3 t y 00 (t) = C1 et + C2 e−t + 9 C3 e3 t Usando las condiciones iniciales y las derivadas calculadas tenemos: 0 = C1 + C2 + C3 −1 = C1 − C2 + 3 C3 −2 = C1 + C2 + 9 C3 La soluci´on es: C1 = 0, C2 = 1/4 y C3 = −1/4.

3.5.

Balanceo de Reacciones Qu´ımicas

Una aplicaci´on sencilla de los sistemas de ecuaciones se da en el balanceo de reacciones qu´ımicas. La problem´atica consiste en determinar el n´ umero entero de mol´eculas que intervienen en una reacci´on qu´ımica cuidando siempre que el n´ umero de ´ atomos de cada sustancia se preserve.

Ejemplo 3.6 Balancee la reacci´on qu´ımica a CH4 + b O2 → c CO2 + d H2 O Soluci´ on Para determinar los coeficientes a, b, c, y d que representan el n´ umero de mol´eculas de las sustancias en la 4

reacci´on debemos igualar el n´ umero de ´ atomos en cada miembro: Por los ´ atomos de carbono a=c Por los ´ atomos de ox´ıgeno 2b = 2c + d Por los ´ atomos de hidr´ ogeno 4a = 2d Este sistema es consistente y origina infinitas soluciones. La f´ormula general para las soluciones queda: a = 21 d b = d c = 12 d El valor m´as peque˜ no de d que hace que los n´ umeros de mol´eculas sean enteros positivos es d = 2: a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2

3.6.

Aplicaciones a Manufactura

Ejemplo 3.7 Patito computers fabrica tres modelos de computadoras personales: ca˜ non, clon, y lenta-pero-segura. Para armar una computadora modelo ca˜ non necesita 12 horas de ensamblado, 2.5 para probarla, y 2 m´ as para instalar sus programas. Para una clon requiere 10 horas de ensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalar programas. Y por u ´ltimo, para una lenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5 para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si la f´ abrica dispone en horas por mes de 556 para ensamble, 120 para pruebas, y 103 horas para instalaci´ on de programas, ¿cu´ antas computadoras se pueden producir por mes?

Soluci´ on En nuestro caso las inc´ ognitas el n´ umero de cada tipo de computadora a producir: x = n´ umero de computadoras ca˜ non y = n´ umero de computadoras clon z = n´ umero de computadoras lenta-pero-segura Para determinar las ecuaciones debemos utilizar los tiempos de ensamblado, pruebas, e instalaci´on de programas.

Ensamblado 556(total) = 12 x(ca˜ non) + 10 y(clon) + 6 z(lenta) Pruebas 120(total) = 2.5 x(ca˜ non) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta) Instalaci´ on de programas 103(total) = 2 x(ca˜ non) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta) Al resolver este sistema obtenemos: x = 34, y = 4, z = 18 5

Dado lo com´ un de las aplicaciones hacia el ´ area de manufactura, existe una forma simple de construir la matriz del sistema de ecuaciones que en general se trabaja como una tabla: En la u ´ltima columna aparecen los recursos: un rengl´on para cada tipo de recursos y en cuya posici´ on final se pone el total de recursos disponibles.

En las primera columnas se colocan los objetos o modelos a ser ensamblados o construidos: en cada posici´on se coloca el total de recursos que consume en forma unitaria cada tipo de objeto.

Recurso Ensamble Pruebas Instalaci´ on

3.7.

Recursos requeridos por unidad Ca˜ non Clon Lenta 12 10 6 2.5 2 1.5 2 2 1.5

Total 556 120 103

Aplicaciones Diversas

Ejemplo 3.8 Un negociante internacional necesita, en promedio, cantidades fijas de yenes japoneses, francos franceses, y marcos alemanes para cada uno de sus viajes de negocios. Este a˜ no viaj´o tres veces. La primera vez cambi´ o un total de $434 a la siguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2 marcos por dolar. La segunda vez, cambi´ o un total de $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2 francos, y 1.5 marcos por dolar. La tercera vez cambi´ o $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y 1.2 marcos por dolar. ¿Qu´e cantidades de yenes, francos y marcos compr´o cada vez?

Soluci´ on En nuestro caso las inc´ ognitas son las cantidades de moneda extranjera requerida que se mantuvo fija en los tres viajes: x = cantidad de yenes y = cantidad de francos z = cantidad de marcos Primera vez: 434(total) =

1 1 1 x+ y+ z 100 1.5 1.2

406(total) =

1 1 1 x+ y+ z 100 1.2 1.5

434(total) =

1 1 1 x+ y+ z 125 1.2 1.2

Segunda vez:

Tercera vez:

Resolviendo el sistema anterior obtenemos: x = 10500, y = 126, z = 294

3.8.

Transferencia de Calor

Ejemplo 3.9 Un aspecto importante del estudio de la Transferencia de Calor es determinar la temperatura en estado estable de una placa delgada cuando se conocen las temperaturas alrededor de la placa. Suponga que la placa de la siguiente figura representa una secci´ on transversal perpendicular a la placa.

6

t

TCO

TCN t

t

t

tT1

tT2

tT3

t

tT4

tT5

tT6

t

t

t

t TCE t

TCS

Sean T1 , T2 , T3 , T4 , T5 , y T6 las tempreaturas interiores de los nodos de la red. La temperatura en un nodo es aproximadamente igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos m´as cercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda.

As´ı por ejemplo T1 = (TCN + T2 + T4 + TCO ) /4.

Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que TCN = 25o , TCE = 37o , TCS = 10o , TCO = 31o Reporte s´olo el valor de T2 .

Soluci´ on Las ecuaciones para las temperaturas de los puntos interiores a la placa T1 a T6 quedan: T1 T2 T3 T4 T5 T6

= = = = = =

(TCN + T2 + T4 + TCO )/4 (TCN + T3 + T5 + T1 )/4 (TCN + TCE + T6 + T2 )/4 (T1 + T5 + TCS + TCO )/4 (T2 + T6 + TCS + T4 )/4 (T3 + TCE + TCS + T5 )/4

Usando los datos de las temperaturas a los costados de la placa y convirtiendo cada ecuaci´on a la forma can´onica queda (conviene multiplicar por 4 cada ecuaci´on): 4 T1 − T2 − T4 −T1 + 4 T2 − T3 − T2 + 4 T3 −T1 + 4 T4 − T2 − T4 − T3

−

T5

− T6 − T5 + 4 T5 − T6 − T5 + 4 T6

Quedando          

 T1 T2 T3 T4 T5 T6 4 −1 0 −1 0 0 56   −1 4 −1 0 −1 0 25   0 −1 4 0 0 −1 62   −1 0 0 4 −1 0 41   0 −1 0 −1 4 −1 10  0 0 −1 0 −1 4 47

7

= = = = = =

56 25 62 41 10 47

Al reducir la matriz obtenemos la soluci´ on: T1 T2 T3 T4 T5 T6

3.9.

= = = = = =

25.527 24.496 27.527 21.614 19.931 23.614

Splines c´ ubicos

Ejemplo 3.10 Determine los coeficientes que deben tener los polinomios 2

3

2

3

S1 (x) = A1 + B1 (x − 0.4) + C1 (x − 0.4) + D1 (x − 0.4) S2 (x) = A2 + B2 (x − 0.5) + C2 (x − 0.5) + D2 (x − 0.5)

para que se cumpla: 1. − 3. − 5. − 7. −

S1 (0.4) S2 (0.5) S10 (0.5) S100 (0.4)

= = = =

2. − 4. − 6. − 8. −

0.528571 0.895926 S20 (0.5) 0

S1 (0.5) S2 (0.6) S100 (0.5) S200 (0.6)

= = = =

0.895926 0.356182 S200 (0.5) 0

Lo que debe hacer es tomar como inc´ ognitas dichos coeficientes, usar las condiciones anteriores para construir ecuaciones, y resolver el sistema que se forma.

La condici´on 1. lleva a la ecuaci´ on A1 = 0.528571 La condici´on 2. lleva a la ecuaci´ on A1 + .1 B1 + .01 C1 + .001 D1 = .895926 La condici´on 3. lleva a la ecuaci´ on A2 = .895926 La condici´on 4. lleva a la ecuaci´ on A2 + .1 B2 + .01 C2 + .001 D2 = .356182 La condici´on 5. lleva a la ecuaci´ on B1 + .2 C1 + .03 D1 = B2 La condici´on 6. lleva a la ecuaci´ on 2 C1 + .6 D1 = 2 C2 La condici´on 7. lleva a la ecuaci´ on 2 C1 = 0 La condici´on 8. lleva a la ecuaci´ on 2 C2 + .6 D2 = 0.

Al resolver este sistema de 8 ecuaciones con 8 inc´ogintas daa la soluci´on: A1 = .52857100 B1 = 5.9412975 C1 = 0.0 D1 = −226.77475 A2 = 0.89592600 B2 = −.86194500 C2 = −68.032425 D2 = 226.77475

3.10.

Suma de los primeros cuadrados

Ejemplo 3.11 Existe una f´ormula para calcular la suma 1 + 4 + 9 + · · · + n2 .

Sabiendo que la f´ormula es un polinomio de grado tres en la variable n, encuentre dicha f´ormula. Sugerencia: Proponga como f´ormula F (n) = A n3 + B n2 + C n + D donde A, B, C y D son inc´ ognitas. Dando los valores n = 1, n = 2, n = 3 y n = 4 y conociendo los resultados que dan esas sumas, plantea y resuelve el sistema.

Soluci´ on Para n = 1 la suma da: 1 X i2 = 12 = 1 i=1

8

Por tanto, la f´ormula para n = 1 debe dar 1. La ecuaci´on queda: A 13 + B 12 + C 1 + D = A + B + C + D = 1 Para n = 2 la suma da:

2 X

i2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5

i=1

Por tanto, la f´ormula para n = 2 debe dar 5. La ecuaci´on queda: A 23 + B 22 + C 2 + D = 8 A + 4 B + 2 C + D = 5 Para n = 3 la suma da:

3 X

i2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14

i=1

Por tanto, la f´ormula para n = 3 debe dar 14. La ecuaci´on queda: A 33 + B 32 + C 3 + D = 27 A + 9 B + 3 C + D = 27 Para n = 4 la suma da:

4 X

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

i=1

Por tanto, la f´ormula para n = 3 debe dar 14. La ecuaci´on queda: A 43 + B 42 + C 4 + D = 64 A + 16 B + 4 C + D = 30 Al resolver este sistema de 4 ecuaciones para A, B, C y D obtenemos: 1 1 1 A= ,B= ,C= 3 2 6 Por tanto la f´ormula de la sumatoria queda: ∀n ∈ N,

n X

i2 =

i=1

3.11.

1 3 1 2 1 n + n + n 3 2 6

Integraci´ on num´ erica

Ejemplo 3.12 La integral de una funci´ on en un intervalo se puede aproximar dividiendo el intervalo en un n´ umero de puntos adecuado (2 n + 1) y en cada 3 puntos consecutivos cambiar la funci´on a integrar por la par´abola (polinomio cuadr´atico) que pasa ellos. Utilice esta t´ecnica para calcular la integral Z 1.8 f (x) dx 1.

Utilizando los datos: i 1 2 3 4 5

xi 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8

f (xi ) 1.37772 1.28014 1.36167 2.69787 2.55062 9

Soluci´ on Primero calculemos la par´ abola que pasa por los 3 primeros puntos. La par´abola ser´a f1 (x) = a1 x2 + b1 x + c1 .

Al aplicar las condiciones de que pase por esos puntos quedan las ecuaciones Para (1.0, 1.37772) 1.00 a1 + 1.0 b1 + c1 = 1.37772 Para (1.2, 1.28014) 1.44 a1 + 1.2 b1 + c1 = 1.28014 Para (1.4, 1.36167) 1.96 a1 + 1.4 b1 + c1 = 1.36167 Resolviendo el sistema se obtiene a1 = 2.238875, b1 = −5.413425, c1 = 4.552270 Por tanto, Z

1.4

Z

1.6

f (x) dx ≈ 1.0

f1 (x) dx = 0.5239966667 1.0

Por otro lado, para u ´ltimos 3 puntos la par´ abola ser´a f2 (x) = a2 x2 + b2 x + c2 . Al aplicar las condiciones de que pase por esos puntos quedan las ecuaciones Para (1.4, 1.36167) 1.96 a2 + 1.4 b2 + c2 = 1.36167 Para (1.6, 2.69787) 2.56 a2 + 1.6 b2 + c2 = 2.69787 Para (1.8, 2.55062) 3.24 a2 + 1.8 b2 + c2 = 2.55062 Resolviendo el sistema se obtiene a2 = −18.543125, b2 = 62.310375, c2 = −49.528330 Por tanto, Z

1.8

Z

1.8

f (x) dx ≈ 1.4

As´ı Z

1.8

Z

1.4

f (x) dx = 1.0

f2 (x) dx = 0.9802513333 1.4

Z

1.8

f (x) dx ≈ 1.504248

f (x) dx + 1.0

1.4

10