Matrices y operaciones

1.1 MATRICES Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :

 a11 a12 .... a1n     a21 a22 .... a2 n   a31 a32 .... a3n  A   .........................   .........................     am1 am 2 .... amn    mxn Las matrices se nombran con letras mayùsculas A , B , C , … . En forma abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m ; j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz .

La dimensiòn de una matriz es el nùmero mxn de elementos que tiene la matriz .

MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j Las siguientes matrices no son iguales

1 2  3  A  0 5 6  Orden 2x3 Dimensiòn 6

1 0    B  2 5   3 6    Orden 3x2 Dimensiòn 6

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES : 1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .

La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n y la traza de la matriz cuadrada es el nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir : Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 +……+ a n n 2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m  n 3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :

A   a11 a12 a13 ... a1n



4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 :  a11     a21  A   a31      a   m1  5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos 0 0 0   0 0 0  0 = 0 0 0   0 0 0 6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos 0   a11 0 0   0   0 a22 0  0 0 a33 0  B=    ...........................   ............................    ann  0 0 0 Ejemplo 1 .

5 0 0   B =  0 2 0  0 0 7   7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante 0  k 0 0   0  0 k 0 0 0 k 0  B=    ...........................   ............................    k  0 0 0

8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1 0  1 0 0   0  0 1 0 B=  0 0 1 = In 0     ............................  0 0 0 1  n x n  9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .  a11 a12 a13 a14    0 a22 a23 a24   A= 0 0 a33 a34    0 0 a44  0 10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .

 a11  a21 A=   a31   a41

0

0

a22

0

a32

a33

a42

a43

0   0  0   a44 

11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn intercambiando las filas por columnas se denota A t = (aji )nxm

 a11  a21 A=   a31   a41

a12

a13

a22

a23

a32

a33

a42

a43

     4 x3

 a11  At =  a12 a  13

a21

a31

a22

a32

a23

a33

a41   a42  a43 3 x 4

5 1 1 3  2    t A Ejemplo 2 Si  entonces A   3  6  5  6 7    2 7    12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At 1 0 1  A =  0 2 4  1 4 3   

,

1 0 1    A  0 2 4 1 4 3    t

13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At

 0 1 A   1 0 

 0 1  0 1 t At     A   A  1 0  1 0  1.2 OPERACIONES CON MATRICES

SUMA DE MATRICES Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que cij = aij + bij .

Ejemplo 3 Si  3  2 1 A   4 7 5 

 9 8 6   6 6 7  y B  entonces A+B=    7 1 2   11 8 7 

PROPIEDADES Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple : 1.

2.

3.

4.

A+B=B+ A A+( B+C) =(A+B)+C A+0 = 0+A Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0

DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn, se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que d ij = a ij - b ij PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de multiplicar cada elemento de A por k .

 a11 a12 .... a1n     a21 a22 .... a2 n   a31 a32 .... a3n  k . A K .    .........................   .........................     am1 am 2 .... amn   

PROPIEDADES:  ,   y  A   aij 

mxn

1. (  . ) A =  (  A) 2.  . A  A.

 ka11 ka12 .... ka1n     ka21 ka22 .... ka2 n   ka31 ka32 .... ka3n     .........................   .........................     kam1 kam 2 .... kamn   

mxn

, B   bij 

mxn

, se cumple :

mxn

3.  .( A  B)   . A   .B 4. A.(   )  A.  A. PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices Am x n y Bn x p ellas son compatibles para la multiplicación de A por B, si el nùmero de columnas de A es igual al nùmero de filas de B .

EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es cij =  aik bkj para cada i , j k

Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB 6 4  6 3  1   A   1 3   B     5  10  7  5  2   Solucion El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además:

6 x6  4 x( 10) 6 x3  4 x( 7)  6 x1  4 x5 AB=   (1) x1  3 x5 (1) x6  3 x( 10) 5 x3  (2) x(7) 8   26  4  AB   14  36 29 3 x 3

  26  4   14  36

PROPIEDADES 1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C 2. A . ( B + C ) = A . B + A . C 3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B  B.A 4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0 5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C 6.  At    .At ;   R 7.

 A.B 

t

 Bt . At

8 29

  3 x 3