1.1 MATRICES Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de nùmeros ( reales o complejos) aij , llamados elementos dispuestos en m lineas horizontales , llamadas filas y en n lineas verticales llamadas columnas ; de la forma :
a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2 n a31 a32 .... a3n A ......................... ......................... am1 am 2 .... amn mxn Las matrices se nombran con letras mayùsculas A , B , C , … . En forma abreviada la matriz anterior puede escribirse en la forma A = ( aij ) mxn con i = 1, 2 , 3 , …, m ; j = 1,2,3, ,… n , o Amxn . Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) . Por ejemplo el elemento a 25 se ubica en la segunda fila y quinta columna de la matriz . La dimensiòn de una matriz es el nùmero mxn de elementos que tiene la matriz . MATRICES IGUALES.-Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensiòn y cuando los elementos que ocupan los mismos lugares son iguales ., Si A =( a ij ) mxn y B = ( b ij ) mxn , entonces A = B si y solo si a ij = b ij para cada valor de i , j Las siguientes matrices no son iguales
1 2 3 A 0 5 6 Orden 2x3 Dimensiòn 6
1 0 B 2 5 3 6 Orden 3x2 Dimensiòn 6
ALGUNOS TIPOS DE MATRICES : 1.MATRIZ CUADRADA.- es aquella que tiene el mismo nùmero de filas que de columnas , es decir m = n , y se dice que la matriz cuadrada es de orden n .
La Diagonal Principal de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a 11 , a 22 , a 33 , a 44 ,…… a n n y la traza de la matriz cuadrada es el nùmero dado por la suma de los elementos de la diagonal principal , es decir : Traza ( A ) = a 11 + a 22 + a 33 + a 44 +……+ a n n 2. MATRIZ RECTANGULAR .- es toda matriz en la que m n 3.MATRIZ FILA - es una matriz de orden 1 x n :
A a11 a12 a13 ... a1n
4. MATRIZ COLUMNA .- es una matriz de orden m x 1 : a11 a21 A a31 a m1 5. MATRIZ NULA- es la matriz que tiene todos sus elementos nulos 0 0 0 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 6. MATRIZ DIAGONAL es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal son nulos 0 a11 0 0 0 0 a22 0 0 0 a33 0 B= ........................... ............................ ann 0 0 0 Ejemplo 1 .
5 0 0 B = 0 2 0 0 0 7 7. MATRIZ ESCALAR.- es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a una constante 0 k 0 0 0 0 k 0 0 0 k 0 B= ........................... ............................ k 0 0 0
8. MATRIZ UNIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la que k = 1 0 1 0 0 0 0 1 0 B= 0 0 1 = In 0 ............................ 0 0 0 1 n x n 9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR .- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por debajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j . a11 a12 a13 a14 0 a22 a23 a24 A= 0 0 a33 a34 0 0 a44 0 10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR.- es la matriz cuadrada que tiene todos sus elementos que se encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij = 0 , para todo i > j .
a11 a21 A= a31 a41
0
0
a22
0
a32
a33
a42
a43
0 0 0 a44
11. MATRIZ TRASPUESTA .- es la matriz que se obtiene de la matriz A = ( aij )mxn intercambiando las filas por columnas se denota A t = (aji )nxm
a11 a21 A= a31 a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
4 x3
a11 At = a12 a 13
a21
a31
a22
a32
a23
a33
a41 a42 a43 3 x 4
5 1 1 3 2 t A Ejemplo 2 Si entonces A 3 6 5 6 7 2 7 12. MATRIZ SIMETRICA .- es toda matriz tal que A = At 1 0 1 A = 0 2 4 1 4 3
,
1 0 1 A 0 2 4 1 4 3 t
13. MATRIZ ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal que A = - At
0 1 A 1 0
0 1 0 1 t At A A 1 0 1 0 1.2 OPERACIONES CON MATRICES
SUMA DE MATRICES Si A = ( aij )mxn y B = ( bij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma A + B como la matriz de orden mxn , C = ( cij )mxn tal que cij = aij + bij .
Ejemplo 3 Si 3 2 1 A 4 7 5
9 8 6 6 6 7 y B entonces A+B= 7 1 2 11 8 7
PROPIEDADES Si A , B y C son matrices de orden mxn , se cumple : 1. 2. 3. 4.
A+B=B+ A A+( B+C) =(A+B)+C A+0 = 0+A Existe la matriz opuesta de la matriz A , denotada por – A , que se obtiene cambiando los signos de todos los elementos de A , tal que A + ( - A ) = 0
DIFERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices A y B , de orden mxn, se define como la matriz D = A + ( - B ) . es decir D = ( d ij ) mxn tal que d ij = a ij - b ij PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ . Dado el nùmero real k y la matriz A mxn , el producto k.A es otra matriz del mismo orden , que resulta de multiplicar cada elemento de A por k .
a11 a12 .... a1n a21 a22 .... a2 n a31 a32 .... a3n k . A K . ......................... ......................... am1 am 2 .... amn
PROPIEDADES: , y A aij
mxn
1. ( . ) A = ( A) 2. . A A.
ka11 ka12 .... ka1n ka21 ka22 .... ka2 n ka31 ka32 .... ka3n ......................... ......................... kam1 kam 2 .... kamn
mxn
, B bij
mxn
, se cumple :
mxn
3. .( A B) . A .B 4. A.( ) A. A. PRODUCTO DE MATRICES .- Dadas dos matrices Am x n y Bn x p ellas son compatibles para la multiplicación de A por B, si el nùmero de columnas de A es igual al nùmero de filas de B . EL producto A. B es la matriz C de orden m x p , tal que los elementos cij de C es cij = aik bkj para cada i , j k
Ejemplo 4 Dadas las matrices A y B, hallar AB 6 4 6 3 1 A 1 3 B 5 10 7 5 2 Solucion El número de columnas de A , n = 2 , es igual número de filas de B entonces existe AB, además:
6 x6 4 x( 10) 6 x3 4 x( 7) 6 x1 4 x5 AB= (1) x1 3 x5 (1) x6 3 x( 10) 5 x3 (2) x(7) 8 26 4 AB 14 36 29 3 x 3
26 4 14 36
PROPIEDADES 1. A. ( B . C ) = ( A. B ) . C 2. A . ( B + C ) = A . B + A . C 3. El producto de matrices no siempre es conmutativo A. B B.A 4. Si A . B = 0 no implica que A = 0 ò B = 0 5. Si A.B = A . C no implica necesariamente que B = C 6. At .At ; R 7.
A.B
t
Bt . At
8 29
3 x 3