Programación lineal

PROGRAMACIร N LINEAL Investigaciรณn de Operaciones 1 Semana 2 Docente: Ing. Jorge Oyola

PROBLEMAS DE MEZCLA • Cierto tipo de problemas involucran mezclas de variables en las restricciones, por lo cual su planteamiento no es tan evidente. • Generalmente estos problemas van asociados a dietas, aleaciones, portafolios de inversiones, entre otros.

EJEMPLO 1: PROBLEMA DE LA DIETA Ozark Farms consume diariamente un mínimo de 800 lb de un alimento especial, el cual es una mezcla de maíz y soya con las siguientes composiciones:

EJEMPLO 1: PROBLEMA DE LA DIETA Las necesidades dietéticas del alimento especial son un mínimo de 30% de proteína y un máximo de 5% de fibra. El objetivo es determinar la mezcla diaria de alimento a un costo mínimo.

A continuación se plantea el modelo de programación lineal.

Variables:

đ?‘Ľ1 = lb de maĂ­z en la mezcla diaria đ?‘Ľ2 = lb de soya en la mezcla diaria FunciĂłn Objetivo: Minimizar el costo de la mezcla de alimento đ?‘? đ?‘šđ?‘–đ?‘› = 0.3đ?‘Ľ1 + 0.9đ?‘Ľ2 Sujeto a: Cantidad diaria de mezcla đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ≼ 800 Requerimiento mĂ­nimo de proteĂ­na 0.09đ?‘Ľ1 + 0.6đ?‘Ľ2 ≼ 0.3 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 → 0.21đ?‘Ľ1 − 0.3đ?‘Ľ2 ≤ 0 Requerimiento mĂĄximo de fibra 0.02đ?‘Ľ1 + 0.06đ?‘Ľ2 ≤ 0.05 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 → 0.03đ?‘Ľ1 − 0.01đ?‘Ľ2 ≼ 0 No negatividad đ?‘Ľ1 , đ?‘Ľ2 ≼ 0

EJEMPLO 2: PROGRAMACIÓN DE PERSONAL UNION AIRWAYS va a agregar vuelos desde y hacia su aeropuerto base, por lo cual necesita contratar más agentes de servicio a clientes.

Sin embargo, no está claro cuántos más debe contratar. La administración reconoce la necesidad de controlar el costo y al mismo tiempo proporcionar de manera permanente un nivel satisfactorio de servicio. Por todo esto, un equipo de IO estudia la forma de programar a los agentes para proporcionar un servicio satisfactorio con el menor costo en personal.

Con base en la nueva programación de vuelos, se ha realizado un análisis del número mínimo de agentes de servicio a clientes que deben encontrarse de guardia en diferentes momentos del día para proporcionar un nivel satisfactorio de servicio. La columna de la derecha de la tabla muestra el número de agentes necesario para los periodos dados en la primera columna. Los otros datos de la tabla reflejan uno de los acuerdos del contrato colectivo vigente entre la compañía y el sindicato que representa a los agentes de servicio a clientes. El acuerdo es que cada agente trabaje un turno de 8 horas 5 días a la semana, y los turnos autorizados son:

• • • • •

Turno 1: 6:00 a.m. a 2:00 p.m.

Turno 2: 8:00 a.m. a 4:00 p.m.

Turno 3: 12:00 a.m. (mediodía) a 8:00 p.m.

Turno 4: 4:00 p.m. a 12 p.m. (medianoche) Turno 5: 10:00 p.m. a 6:00 a.m.

Las marcas en el cuerpo principal de la tabla muestran las horas cubiertas por los turnos respectivos. Como algunos turnos son menos deseables que otros, los salarios que se especifican en el contrato difieren de uno a otro. En el último renglón se muestra la compensación diaria —con las prestaciones— por cada agente para cada turno.

El problema consiste en determinar cuántos agentes deben asignarse a los turnos respectivos cada día para minimizar el costo total de personal debido a los agentes, de acuerdo con este último renglón, al mismo tiempo que se cumplen (o se sobrepasan) las necesidades de servicio dados en la columna de la extrema derecha.

FORMULACIĂ“N PL Variables: đ?‘Ľđ?‘— = nĂşmero de agentes asignados al turno đ?‘—, para đ?‘— = 1,2,3,4,5.

FunciĂłn Objetivo: Minimizar el costo de la mezcla de alimento đ?‘? đ?‘šđ?‘–đ?‘› = 170đ?‘Ľ1 + 160đ?‘Ľ2 + 175đ?‘Ľ3 + 180đ?‘Ľ4 + 195đ?‘Ľ5 Sujeto a: đ?‘Ľ1 ≼ 48 (6-8 a.m.) đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ≼ 79 (8-10 a.m.) đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ≼ 65 (10 a.m.-12 p.m.) đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 ≼ 87 (12-2 p.m.) đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 ≼ 64 (2-4 p.m.) đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 ≼ 73 (4-6 p.m.) đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 ≼ 82 (6-8 p.m.) đ?‘Ľ4 ≼ 43 (8-10 p.m.) đ?‘Ľ4 + đ?‘Ľ5 ≼ 52 (10 p.m.-12 a.m.) đ?‘Ľ5 ≼ 15 (12-6 a.m.) đ?‘Ľđ?‘— ≼ 0, para đ?‘— = 1,2,3,4,5.

RESTRICCIONES REDUNDANTES • En el modelo se observa que hay restricciones redundantes, es decir que no son necesarias por estar incluidas dentro de otra. • La restricción �1 + �2 ≼ 65 es redundante en presencia de �1 + �2 ≼ 79 • La restricción �3 + �4 ≼ 73 es redundante en presencia de �3 + �4 ≼ 82

Bibliografía • Hillier, F. S., Lieberman G. J. (2010).

Introducción a la Investigación de Operaciones. (9a ed.). México: McGrawHill Educación.

• Taha, H. A. (2011). Investigación de Operaciones. (9a ed.). México: Pearson Educación.