Sistema de ecuaciones lineales

Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1 a x  a x   a x  b 2n n 2  21 1 22 2 1    am1 x1  am 2 x2   amn xn  bn Donde A   aij 

mxn

y  A h    aij b j 

1)

El sistema tiene solución si y solo si Rang  A  Rang  A h  y se llama

2)

compatible.

Si Rang  A  r  n , entonces el sistema tiene una única solución, el sistema es

3) 4)

determinado.

Si r  n , entonces existen infinitas soluciones, el sistema es indeterminado no existe solución si r  n y algún bj  0 Si existen soluciones todas se obtienen por el método de eliminación de Gauss.

Sistema Homogéneo: Ax  0 , tiene solución x  0 y su Rang  x   n entonces existen soluciones no triviales linealmente dependientes.

Ejemplo 1. Resolver el sistema x + 2y + 3z + 4w = 5 2x + y + 2z + 3w = 1 3x + 2y + z + 2w = 1 4x + 3y + 2z + w = -5 Solución

1  2 A 3  4

2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1

5   1  1    5

x  5      y 1  , H   , X z  1       w  5 

1  2 3  4

2 3 4 1 2 3 2 1 2 3 2 1

5   1   F21 (2), F31 (3), F41 (4) 1    5

3 4 1 2  5  0 3 4  0 4 8 10   0 5 10 15

4 5  1 2 3 1    0 1 2 3 5  0  1  F32 (4), F42 (3) =  F4 ( ), F42 = 5  0 4 8 10 14  0     0 3 4 5 9  0 1  0  F4 (1/ 2), F3 (1/ 2), F34   0  0 De donde w=3 z+2w = 3 y + 2z + 3w = 5 x + 2y + 3z + 4w = 5

2 3 4 1 2 3 0 1 2 0 0 1

5  5 3  3

En consecuencia el conjunto solución es CS = { ( -2 , 2 , -3 , 3 ) } Ejemplo 2. Resolver 3x + 2 y + z= 3 2x + y + z = 0 6x + 2y + 4z = 6 Solución

2 3 4 1 2 3 0 0 2 0 2 4

5   9    14    25  5  5  6  6

3 2 1  A H    2 1 1 6 2 4 

3 2 1 3  1 1  0   F31 (2), F21 (2 )   0 3  3 3 6  0  2 2 

3 2 1  1 1  F32 (6)   0   3 3 0 0 0 

3

   2   0 

3    2  12  

De donde 0z = 12 , es decir 0 = 12 ( Contradicción)

 el sistema es incompatible.

Ejemplo 3. Resolver x - 2 y + 3z= 5 2x + y -4 z = 0 3x + 4y -11z = -5 Solución

1  2 3  A H    2 1  4  3 4  11 

5  1  2 3   0   F31 (3), F21 (2)   0 5  10  0 10  20  5  

1  2 3   F32 (2)   0 5  10 0 0 0 

5

Luego

   10  0 

5y – 10 z = - 10 x – 2y + 3z = 5

Despejando y de la primera ecuación se tiene y = 2z – 2

   10    20 

5

Se obtienen infinitas soluciones asignando valores a z Además x  2 y  3z  5

x  2  2 z  2   3z  5 x  z 1 En general si entonces z  t entonces y  2t  2  x  t  1 Luego CS  1  t , 2t  2, t  , t  R

Descipción del método de eliminación Gaussiana Considerando el sistema

2 x  4 y  6 z  18  4 x  5 y  6 z  24 3x  y  2 z  4 

1

El sistema (1) puede ser escrito en forma matricial como se observa en la columna de la derecha omitiendo las variables.

2 x  4 y  6 z  18  4 x  5 y  6 z  24 3x  y  2 z  4 

1

2 4 6  4 5 6   3 1 2

18   24  4 

2

La matriz (2) se denomina matriz ampliada del sistema (1). Ahora, las operaciones que realizaríamos sobre las ecuaciones del sistema (1) se realizarán con las filas de la matriz (2). Cada fila (ecuación) de la matriz se denotará por f i donde i  1, 2 ò 3 .

El objetivo es obtener, a través de la suma de filas o la multiplicación de una fila por un número distinto de cero, nuevas filas pero que correspondan a un sistema equivalente al dado inicialmente.

La matriz (2) deberá convertirse, si fuera posible, en una matriz de la forma:

1 ? ? ?   0 1 ? ? 0 0 1 ?   Para conseguirlo, sigamos el siguiente procedimiento: 1°

Para conseguir un 1 en la primera posición, 1 por : 2 1 2 3 1  f1  f1 :  4 5 6 2  3 1 2  2°

se multiplica la primera ecuación

9  24  4 

Luego, para obtener 0 en la primera columna de las filas 2 y 3, restamos a la segunda ecuación la primera ecuación multiplicada por 4; un proceso similar se realizará con la tercera fila o ecuación: 9  1 2 3   f 2  f 2  4 f1 :  0 3 6 12   3 1 2 4   

3 9  1 2   f3  f3  3 f1 :  0 3 6 12   0 5 11 23    Los pasos realizados equivalen a eliminar la variable x en la segunda u tercera ecuación.

3°

1 Ahora multiplicaremos la segunda ecuación por  : 3

3 9  1 2 1   f2   f2 :  0 1 2 4  3  0 5 11 23    4°

Para obtener 0 en la segunda columna de la tercera fila (ecuación), se debe multiplicar por 5 la segunda fila y sumar la tercera fila con la nueva segunda fila.

1 2 3 9    f3  f3  5 f 2 :  0 1 2 4   0 0 1 3    5°

Finalmente, para obtener 1 en la tercera columna de la tercera fila:

1 2 3 9   f3   1 f3 :  0 1 2 4  0 0 1 3   6°

Si expresamos la matriz anterior en términos de las ecuaciones, obtendríamos: x  2 y  3z  9 y  2z  4 z 3 Entonces , en la tercera fila se obtiene: z  3 y sustituyendo este valor en la segunda ecuación se obtiene: y  2 ; luego x  4 . Por lo tanto, este sistema de

ecuaciones tiene sólo una solución:  4; 2;3 .

PRACTICA 1.

Hallar la inversa de la matriz

2.

1 0 2 0 1 3 2  1 1 3     1 2 0 1 2 4 0    a) A   1 2 1  b) A  c) A    1 1 4 1   1 5 2  1 3 1        3 1 3 2   2 1 2 Dadas las matrices

2   1  2   1 

1 2 3   2 0 1  1 2 3       A   2 0 1 , B   1 2 3  , C   6 0 3   5 2 1   5 2 1   5 2 1        Hallar las matrices elementales E1 , E2 , E3 tales que a) E1 A  B b) E2 A  C c) E2 E1 A  C 3.

Demostrar que las matrices A y B son equivalentes por filas

 2 0 1   A  1 2 3   5 2 1    4.

y

1 2 3    B   2 0 1 7 2 7   

Hallar la forma escalonada de cada matriz y determinar el rango de dicha matriz:

1  3 2 3   1 1 2   1     A   4 3 1  , B   2 0 4  , C   2  1 5 1   3 5 3       1 5.

4 5 3 1

1 2

Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a)

2 x  3 y  8z  1

z  2 y  3z  4 5 z  3 y  z  13

b)

0  3 5 2   6 0

2 1 2 1 2 4 1 4

x1  2 x2  x3  x4  2 3x1  2 x3  2 x4  8

4 x2  x3  x4

1

5 x1  3x3  x4

 3

c)

x1  2 x2  x3  3x4

3

d)

2 x1  4 x2  4 x3  3x4  0 3x1  6 x2  x3  8 x4  10

2 x1  x2  5 x3  x4  5  x  x  3x  4 x  1  1 2 3 4 e)  3x1  6 x2  2 x3  x4  5 2 x1  2 x2  2 x3  3x4  5  x  y  2 z  w  4 2 x  y  3z  3w  2  g)  3x  3 y  2 z  3w  3  x  2 y  z  w  5 6.

2 x1  2 x2  x3  x4  x5 x1  2 x2  x3  x4  2 x5

1 1

4 x1  10 x2  5 x3  5 x4  7 x5

1

2 x1  14 x2  7 x3  7 x4  11x5

 1

2 x1  y  5 z  w  5  x  y  3z  4w  1  f)  3x  6 y  2 z  w  8 2 x  2 y  2 z  3w  2 27 x1  9 x2  3x3  x4  112  x  x  x  x  1 2 3 4  2 h)  4  x1  x2  x3  x4 8 x1  4 x2  2 x3  x4  13

¿Para qué valores de k  R el sistema

(a) (b) (c)

 x  y   k  1 z  k   k  1 x  y  z  2  k kx  ky  k  4  tiene solución única tiene infinitas soluciones es incompatible

7.

Dado el sistema de ecuaciones  x  2y t  b  3x  ay  5 z  2t  3  x  5 z  at  b  Señale el valor de a  b que corresponde al caso en que el sistema es compatible indeterminado y tiene el mayor número posible de parámetros.

8.

Resolver el sistema

 x1  x2  3x3  1 2 x  x  2 x  1  1 2 3 a)   x1  x2  x3  3  x1  2 x2  3 x3  5 9.

Resolver el sistema

0  x1  2 x2  x3  x4  x5 2 x  x  x  x  x 0  1 2 3 4 5   x1  7 x2  5 x3  5 x4  5 x5  0 3x1  x2  2 x3  x4  x5  0 (a) (b) (c) 10.

Tiene solución única Tiene infinitas soluciones. Expresar dichas soluciones en términos de parámetros.

Es incompatible.

Dado el sistema de ecuaciones 1  a  x  y  z  1  2 x  ay  2 z  2  x  y  1  a z  2   

¿Para qué valores de a ( a ) El sistema tiene solución única ( b ) El sistema tiene infinitas soluciones. Halle tales soluciones. ( c ) El sistema es incompatible 11.

Usando el método de Gauss, resolver según los valores de a  R el siguiente sistema de ecuaciones

 x  y  2w 3x  y  z  w   5 x  3 y  2 z  4w 2 x  y  z  w 12.

3 1 a 2

La Texas Electronics Inc. (TEI) produce tres nuevos modelos de computadoras: 1, 2 y 3. Como parte del proceso de elaboración, estos productos pasan por la

planta técnica y por la planta de ensamblaje. Los tiempo empleados por unidad en cada una de estas plantas se muestran en la siguiente tabla: Modelo

Planta Técnica Planta de ensamblaje

1

30 minutos

0,5 hora

2

12 minutos

2 horas

3

36 minutos

2 horas

Tiempo total empleado en un mes en cada planta

116 horas

370 horas

Cuantas unidades de cada modelo produjo la empresa si obtuvo una utilidad mensual de 37 500 dólares, sabiendo que las ganancias obtenidas por la venta de los modelos 1, 2 y 3 fueron de 200, 50 y 100 dólares por unidad, respectivamente? Asumir que se vendió toda la producción.

13.

En la siguiente figura se ilustra una red de calles y los números indican la cantidad de autos por hora que salen o entran (según sea el sentido de las flechas) de las intersecciones. Así por ejemplo, en una de las intersecciones ingresan x1 y x2 autos por hora y salen 400 autos por una de las calles y 400 por otra.

200

400

300

400

500

600 300

500

Si se considera que todos los autos que ingresan a cada una de las intersecciones deben salir, a) Plantear un sistema de ecuaciones que relaciones las variables x1 , x2 , x3 y x4 . b) Resolver el sistema empleando el método de eliminación gaussiana. c) Modificar uno de los números del esquema inicial para que el sistema de ecuaciones no tenga solución. Justificar su respuesta.

14.

Micaela desea cubrir sus requerimientos vitamínicos semanales de exactamente 13 unidades de vitamina A, 22 de vitamina B y 31 de vitamina C. Existen disponibles tres marcas de cápsulas vitamínicas en el mercado. La marca I contiene 1 unidad de cada una de las vitaminas A, B y C por cápsula; la marca II contiene 1 unidad de vitaminas A, 2 de B y 3 de C, y la marca III contiene 4 unidades de A, 7 de B y 10 de C. Si las cápsulas de la marca I cuestan 50 céntimos cada una, las de la marca II cuestan 70 céntimos cada una y las de la marca III, 2 soles cada una, a) ¿qué combinación de cápsulas de las marcas I, II y III producirá exactamente las unidades de vitaminas deseadas? b) ¿Cuál de esas combinaciones le ocasionará menor gasto semanal a Micaela?

15.

La siguiente tabla muestra los porcentajes de albúmina, carbohidrato y lípido en cada uno de los alimentos A, B y C.

A

B

C

Albúmina

30%

50%

20%

Carbohidrato

30%

30%

70%

Lípido

40%

20%

10%

a) ¿Es posible obtener 1kg de comida que contenga solo esos tres alimentos en un porcentaje de 47% de albúmina, 35% de carbohidrato y 18% de lípido?

Si la respuesta es afirmativa, explicar qué cantidades en gramos se requeriría de cada uno de ellos y si es negativa, justificar por qué no se podría. b) Y si pidiera combinar los tres alimentos para obtener una comida con 40% de albúmina, 40% de carbohidrato y 20% de lípido, ¿cambiaría la respuesta anterior? Justificar.

16.

Una fábrica de muebles posee tres aserraderos: A, B y C, en los cuales se corta madera a razón de 60m3, 45m3 y 30m3, por día, respectivamente. La madera se distribuye a 2 fábricas de muebles M y N que necesitan 65m3 y 70m3 por día, respectivamente. Los costos de transporte en dólares por metro cúbico desde los aserraderos hasta las fábricas se muestran en la siguiente tabla: Desde el aserradero

Hasta la fábrica M

Hasta la fábrica N

A

1,5

3,0

B

3,5

2,0

C

2,9

1,9

Considere que:  Toda la madera cortada por día en los aserraderos se debe emplear para satisfacer la demanda diaria de las fábricas.  Los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica M desde el aserradero A son iguales a los costos de transporte de la madera recibida por la fábrica N desde el aserradero B, por día.  Los costos totales de transporte de la madera desde los aserraderos a las fábricas ascienden a 242 dólares por día.

Hallar las cantidades de madera transportadas desde los aserraderos A, B y C a las fábricas M y N. 17.

La compañía Realistic Picture Frame puede fabricar cuatro tipos diferentes de marcos para pinturas: rústico, modernistas, francés y romano. Cada marco requiere de las siguientes cantidades de recursos en madera, mano de obra y tiempo de maquina, como se indica en el siguiente cuadro de tecnología de producción: Recursos utilizados por unidad producida Recursos Madera (en pies) Mano de horas)

obra

(en

Maquinas (en horas)

Rústico

Modernista

Francés

Romano

1,0

1,5

2,0

2,0

1,0

0,9

0,6

0,6

0,3

0,3

0,1

0,1

Por el momento se dispone de 1000 pies de madera, 460 horas de mano de obra y 120 horas de tiempo de máquina y se emplearán todos los recursos disponibles. a) Con la información dada ¿se puede determinar el número de marcos rústicos, modernistas, franceses y romanos que se deben producir?

Emplear el método de Gauss. b) Si además se sabe que las ganancias obtenidas por unidad de cada tipo de marco son: Rústico  $ 1,50

Modernista  $ 1,25 Francés  $ 0,95 Romano  $ 0,60 Determinar el número de marcos de cada tipo que se deben producir para obtener la mayor ganancia posible.

18.

Un ciclista se desplaza por tres tipos de terreno: cuesta arriba, llano cuesta abajo. En cada uno de ellos emplea una velocidad constante. Como desea determinar dichas velocidades, elabora la siguiente tabla de datos acerca de sus tres últimos recorridos:

Tiempo empleado (en horas)

Distancia total (en km)

Recorrido

Cuesta arriba

Terreno llano

Cuesta abajo

I

0,25

1

0,25

22

II

0,75

0,6

0,05

16

III

1

0,2

0,4

19

a) Especificar las variables que se deben determinar, indicando qué representan y en qué unidades se miden. b) Hallar las velocidades del ciclista en cada tipo de terreno. Emplear el método de eliminación gaussiana. c) Empleando la solución encontrada en b), determinar qué tiempo emplearía el ciclista en una ruta de 4km. Cuesta arriba, 15 km. En terreno llano y 10 km. Cuesta abajo.

19.

Suponga que una industria de hidrocarburos puede mezclar cuatro tipos de petróleo para abastecer sus pedidos. En la siguiente tabla se muestran las características de cada tipo de petróleo: Tipo de petróleo

Total de galones por barril

Promedio de galones de compuestos ligeros (que se evaporan con el calentamiento) por barril

Ligero

75

3

Mediano

60

2,5

Pesado

60

3

Extrapesado

45

2

Dicha industria debe abastecer un pedido de 20 barriles de petróleo que contenga en total 1 350 galones de petróleo y un promedio de 56 galones de compuestos ligeros. Usando el método de eliminación gaussiana, contestar las siguientes preguntas: a) b) c)

Con la información dada ¿se puede determinar un único número de barriles de petróleo de cada tipo que deben mezclarse para abastecer tal pedido?

Suponga que la compañía no tiene ningún galón de petróleo del tipo Extrapesado. ¿Cuántos barriles de petróleo de cada tipo se requerirá?

Modificar uno de los coeficientes del sistema planteado en la parte b) para que el problema no tenga solución. Muestre el nuevo sistema, justificando su respuesta.