Teoría de Límites. Sucesiones: una sucesión numérica no es más que una lista, o serie, ordenada de números reales. Ordenada, ya que si los números no ocupan una posición bien determinada, como las cifras que hay dentro del bombo de un sorteo de lotería, no forman una serie, es en el momento de su extracción ordenada cuando configuran la serie de extracción, de modo que cada cifra sale una o varias veces, paro cada vez en una posición distinta. El valor de los números en la serie puede o no depender de la posición en la que éstos se encuentran, de ahí que puede haber series aleatorias, sin ninguna relación en cuanto al orden y valor de los números, y series que siguen una ley o criterio de formación. Término de una serie es cada uno de los elementos que la componen y consta de dos partes bien diferenciadas: Orden del término, que nos indica qué posición ocupa dentro de la sucesión el número en cuestión, así el primero, el segundo, ....., el vigésimo, etc. ... Valor del término, es el valor numérico asociado al mismo.
Notación: para referirnos a un término de la sucesión lo haremos poniendo
a n b , donde n indica el orden o posición del término, a es el nombre genérico
del término, y b es el valor numérico del término. Terminología: para nombrar términos de una sucesión utilizaremos letras minúsculas, a, b, c, etc. .... junto con un subíndice, un número, que nos indica la posición dentro de la serie. Cuando nos refiramos a una posición genérica utilizaremos una letra minúscula n, k, i, j, etc. ... 37 Ejemplo: a 7 nos dice que el término séptimo de la serie tiene el 4 valor numérico asociado de treinta y siete cuartos. Término general: es la forma en la que nos referiremos a un término cualquiera de la sucesión, se suele indicar por a n ; a k ; a i etc. ..
Términos equidistantes de los extremos: son aquellos que se encuentran a igual distancia del primero y del último, por ejemplo: 2 ; 6 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 , son equidistantes el 6 y el 18 y el 10 y el 14. Si nos fijamos en el orden, el segundo y el penúltimo, el tercero y el antepenúltimo, en general el a k 1 y el a n k , es decir a 2 y a n -1 ; a 3 y a n - 2 , etc. ...
Clases de sucesión:
Limitadas, cuando constan de un número finito de términos, 10, 12, 40, etc. 1 ; 1.1 ; 1.2 ; 1.3 ; 1.4 ; 1.5 ; 1.6 ; 1.7 ; 1.8 ; 1.9 ; 2
Ilimitadas, cuando el número de términos es infinito. 1 ; 2 ; 3 ; ; n 1 ;
Acotadas superiormente: una sucesión a n está acotada superiormente si existe un número real M,, igual o mayor que todos los elementos de la sucesión. a n acotada superiormente M ¡ / M a n , n ¥ *
1 2 3 0, , , L 1 , acotada superiormente n2 4 5 6 por 1 e inferiormente por 0. Acotadas inferiormente: una sucesión bn está acotada inferiormente n 1
Ejemplo: a n
si existe un número real m,, igual o menor que todos los elementos de la sucesión. bn acotada inferiormente m ¡ / m bn , n ¥ *
1 3 5 , , ,L 0 acotada superiormente n 2 1 2 5 10 por 0,5 e inferiormente por 0. Acotadas: cuando lo está superior e inferiormente. Positivas: una sucesión a n se define positiva si p ¥ * / n p, a n 0 . Ejemplo: bn
Ejemplo: a n
2n 1
n2 9
, desarróllala y compruébalo. 8n 12 Negativas: una sucesión a n se define negativa si p ¥ * / n p, a n 0 Ejemplo: b n
5n
, desarróllala y compruébalo. n 1 Alternantes: una sucesión a n se dice alternante cuando el signo de sus términos se va alternando entre positivo y negativo. n Ejemplo: cn 1 2n 1 , desarróllala y compruébalo. Monotonía:
Monótonas crecientes: una sucesión a n es creciente si cada término de la misma es igual o mayor que el inmediatamente anterior al mismo.
a n es creciente a1 a 2 L a n
Monótonas estrictamente crecientes: una sucesión a n es estrictamente creciente si cada término de la misma es mayor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual). a n es estrictamente creciente a1 a 2 L a n Ejemplo: a n
n4
, desarróllala y compruébalo.
n
Monótonas decrecientes: una sucesión a n es decreciente si cada término de la misma es igual o menor que el inmediatamente anterior al mismo. a n es decreciente a1 a 2 L a n
Monótonas estrictamente decrecientes: una sucesión a n es estrictamente decreciente si cada término de la misma es menor que el inmediatamente anterior al mismo (no puede haber ninguno que sea igual). a n es estrictamente decreciente a1 a 2 L a n Ejemplo: b n
1
, desarróllala y compruébalo.
n
Monótonas constantes: aquella en la que todos los términos toman el mismo valor constantemente. a n es constante a1 a 2 a 3 L a n k Punto de acumulación, aproximación: un punto a es un punto de acumulación de una sucesión a n cuando en cualquiera de sus entornos reducidos a, x / a x a , y x a a, a , por pequeño que sea , existen términos de la sucesión. 7 9 11 13 n 2n 3 5, , , , ,L , se puede ver que los Ejemplo: a n 1 n 5 2 3 4 términos negativos van tendiendo hacia −2 y los positivos hacia 2. Límite de una sucesión: se dice que una sucesión a n tiene límite un
número a cuando, fijado un entorno del punto a, de radio tan pequeño como queramos, se puede encontrar un término, ap, de la sucesión a partir del cual todos los demás caen dentro del entorno. lím a n a 0, n ¥ / p n, a p a, , en términos de distancia n
lím a n a 0, n ¥ / p n, a a p n
Ejemplo: a n
2n 4
tiene límite y este vale 2, ya que, aún fijando un n radio de entorno grande, como de una décima, tenemos que para que se cumpla la definición 2
2p 4 p
4 p
1
p 40 , es decir, a partir
10
del término 41 todos ellos están dentro del entorno de 2, 2,101 . Si queremos podemos fijar un entorno aún más pequeño, por ejemplo de diezmilésimas, en cuyo caso 2
2p 4
4
1
p 40000 , es p p 10000 decir que a partir del término 40001, todos los demás estarán dentro del entorno 2,104 . Como la sucesión es ilimitada podemos concluir que lím
n
2n 4
2.
n
Unicidad del límite: si una sucesión tiene límite éste es único. Demostración (reducción al absurdo): supongamos que existieran dos límites, a y a’, distintos para una misma sucesión a n , necesariamente podremos encontrar dos entornos, uno de a y otro de a’, disjuntos, es decir, sin puntos o elementos comunes, en términos de conjuntos, en a, y a ', ' / a, a ', ' , del siguiente modo: Sea a a ' , es decir, la distancia entre los dos límites, tomemos entonces
y '
3 a
, de este modo los entornos ya no solapan.
3 a’
’
’
Por otro lado, de la definición de límite tenemos:
Si lím a n a n1 ¥ * / p n1 , a p a,
3 Si lím a n a ' n 2 ¥ * / p n 2 , a p a, 3 n Sea ahora n máx n1 , n 2 , existirá entonces p ¥ / p n , de modo que n
por ser p n 2 y al mismo tiempo ser p n1 , entonces ap estará o pertenecerá simultáneamente a ambos entornos, con lo que
a, a ', ' en contradicción a como hemos construido éstos, luego no puede ser y el límite ha de ser único.
Las sucesiones que tienen por límite un número real finito se llaman convergentes. Si una sucesión tiene límite entonces está acotada superior e inferiormente. Lo contrario no es cierto necesariamente
Por definición de límite a,1 dentro del cual se encuentran todos los términos de la sucesión a partir de un cierto término p-ésimo. Sea entonces k máx a1 ,a 2 ,a 3 L a p ,a 1 , éste será una cota superior para la sucesión, y del mismo modo m mín a1 ,a 2 ,a 3 L a p ,a 1 será una
cota inferior para la misma. Toda sucesión monótona y acotada es convergente. Por ser monótona será creciente o decreciente, luego una de las dos de las siguientes afirmaciones y demostraciones será suficiente. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo inferior. Se demuestra que si a n es una sucesión monótona decreciente y acotada inferiormente, tendrá un extremo inferior m, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que m será la mayor de todas las cotas inferiores y si es un número positivo, m + no puede ser una cota inferior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la sucesión para el que se verifique que m + > ap > m. Por otro lado, por ser una sucesión monótona decreciente n p m a p a n m a n m, , es decir, m es el límite de la sucesión. Toda sucesión creciente y acotada superiormente tiene límite, y éste coincide con su extremo superior. Si a n es una sucesión monótona creciente y acotada superiormente, tendrá un extremo superior k, el cual será a su vez el límite de la sucesión, ya que k será la menor de todas las cotas superiores y si es un número positivo, k − no puede ser una cota superior. Lo cual nos lleva a que debe existir un término ap de la sucesión para el que se verifique que k − < ap < k. Por otro lado, por ser una sucesión monótona creciente n p k a p a n k a n k, , es decir, k es el límite de la sucesión.
Operaciones con límites:
a n lím bn a b , siendo a y b los a n bn lím Límite de una suma: lím n n n límites respectivos de a n y b n Lo mismo sería si se tratara de una resta. a n lím bn a b , siendo a y b los a n bn lím Límite de un producto: lím n n n límites respectivos de a n y b n
a lím a n a n n , siendo a y b los límites res bn b b n lím n
Límite de un cociente: lím n
pectivos de a n y b n , siempre que b 0
an Límite de una potencia: lím a n b lím n n n
lím bn
n
a b , siendo a y b los
límites respectivos de a n y b n
bn k b , k bn k lím Límite de una constante por una sucesión: lím n n siendo b el límite de b n
a n k lím a n Límite de la potencia de una sucesión: lím n n
k
a k , siendo a
el límite de a n Cálculo práctico de límites: Se trata de sustituir n por su valor en el límite, , y realizar las operaciones indicadas, teniendo en cuenta que:
; ; ; p
si p es par ; k , con k ¡ constante ; si p es impar k , con k ¡ constante ; ;
p
; k , con k ¡ constante y k , con k ¡ constante y k , con k ¡ constante y
k 0 ; k 0 ; k 0 ;
k , con k ¡ constante y k 0 ; k
k
0, con k ¡ constante ;
, con k ¡ constante y k 0 ;
k , con k ¡ constante y k 0 ; , con k ¡ constante y k 0 ;
k
, con k ¡ constante y k 0 k Ejemplos: 3n 2 2 7n 2 1 2 3n 2 7n 1 n n n E1.- lím lím n n 5n 2 2 9 4n 5n 4n 9 n2 n2 n2 3 7 1 2 3 7 1 2 3 0 0 3 n n lím n 5 4 9 2 5 4 9 2 500 5 n n 3n 2 2 2 lím 3 3 3 E2.- lím n n n n 3n 2
lím
3n 2
2n 2 3n 1 4n 9 2n 2 3n 1 n 4n 9 lím E3.- lím 2 n n 7n 2 6n 4 7n 6n 4 3 2
2 3 1 4 9 2 4 76 4 7 4 1 4 1 n 42 E4.- lím n 2 5 2 5 2 n 1 4 8 n 4 8 4 4 1 E5.- lím n n n2 6 1 E6.- lím 4 4 61 4 6 4 4 n 6n 3
El número e, o número de Neper: definimos el número e como el límite de 1 1 1+ la sucesión a n 1 , es decir, e = lím n n n n
n
Expresiones indeterminadas, tipos de indeterminaciones: , se suele dar al calcular el límite de sucesiones definidas como cociente n 2 4n 3 de polinomios a n . Para superar la indeterminación debemos 3n 2 5 dividir todos los términos de ambos polinomios por n elevado al mayor exponente que aparezca en uno cualquiera de los dos polinomios, o en ambos (ver ejemplos 1 y 3), antes de proceder a calcular de nuevo el límite. En estos casos se suelen dar tres circunstancias básicas: 0, si p q Pp x a , si p q , donde p y q son los grados de los polino lím n Qq x b , si p q mios P y Q respectivamente, y a y b son los coeficientes de los términos de mayor grado de P y Q, respectivamente. , suele darse en muy variados casos, así pues veamos algunos y cómo superarla en cada caso según la circunstancia: n 2 n 1 n3 1 E1.- lím , en este caso procedemos primero n n n2 1 a realizar las operaciones de dentro del paréntesis antes de volver a calcular el límite, así n 2 n 1 n 3 1 n 4 n 3 n 2 n 2 n 1 n 4 n n 3 1 y el límite 3 n n2 1 n3 n n n 3 n 1 1 0 1 1 ahora será lím n n3 n 1 0 1 E2.- lím n
n 2 1 n , en este caso procederemos como si
hiciéramos una racionalización a la inversa, multiplicamos y dividimos todo por el “conjugado” de la expresión, así pasaríamos al nuevo límite
lím n
n2 1 n
n2 1 n
n 1 n 2
lím n n
2
1 n2
n 1 n 2
1
0
E3.- lím
n n
, en este caso procederemos a hacer una n 1 n doble racionalización inversa del numerador y del denominador, quedándonos, una vez reducidos términos, el siguiente límite n n2 n n2 n 1 n n 1 n 1 1 lím lím lím 1 n n n 2 2 n 1 n n n n 1 n n n 1 1 n
1 , suele darse en los límites de potencias de base polinómica y exponente
polinómico. Siempre podemos superarla con la siguiente aproximación, si b lím a n n 1 , entonces el verdadero valor del límite coincidirá con el de la n
lím bn a n 1
expresión en
. n
n 3 E1.- lím 1 , podemos resolver aplicando la fórmula o n n 2 razonando, personalmente prefiero razonar ya que las fórmulas tienden al olvido, así pues intentaré hacer que mi límite se parezca lo más posible al del número e, para ello sumo y resto uno a la expresión del paréntesis, n
n
n
n 3n 2 n3 1 lím 1 1 lím 1 lím 1 que ya se n n n n2 n2 n 2 va pareciendo más al límite del número e, el último arreglo nos deja n
lím
n 2 que el límite del exponente es 1. Hazlo aplicando la fórmula y comprueba el resultado. 1 1 1 lím 1 lím n n n 2 n 2 n
n 2
n2
1 lím 1 n n 2 por definición e
n
n n 2
e ya
n
n E2.- lím p 1 , vamos a intentar hacerlo de modo parecido al n n 1 n
n
1 n n 1p p n n p anterior, así lím lím 1 1 nlím n n n 1 n 1 n 1
n
n
n 1 n 1 n 1 n n 1 1p p n 1 1 1 p n 1 lím 1 lím 1 1 nlím n n n 1 n 1 n 1
lím
n
lím 1 1 n p n 1 1 n p p n 1 e e por definición e n 1
3n 2 5 E3.- lím n 3n 2 9
n 2 1
3n 2 5 lím 1 1 n 2 3n 9
3n 2 5 1 lím n 3n 2 9 n 2 1
n 2 1
3n 2 5 3n 2 9 lím 1 n 3n 2 9
n 2 1
14 lím n 2 1 3n 2 9
3n 9 n 14 14 lím 1 n 3n 2 9 por definición e 2
14
e
3
3 e14 e 4 3 e 2
0 , siempre se puede convertir en una indeterminación del tipo
0
1
0
1
, ya que
Límites de funciones: sea f(x) una función real de variable real definida en el intervalo abierto I a, b , y sea c a, b , f no tiene porqué estar necesariamente
definida en c, entonces decimos que tiene límite en el punto c, y escribimos lím f x L , si 0 y 0 , respectivamente radios de entornos de L y c, tales x c
que L f x siempre que c x , o en otros términos,
límf x L 0, 0 / f x L, siempre que x c, x c
Límites laterales: siempre nos podemos acercar a un punto del intervalo por dos sentidos, por la derecha y por la izquierda del punto, y así podemos decir que hay dos límites en función de por dónde nos aproximemos al punto, de este modo:
Límite lateral por la derecha: lím f x L1 0 y 0 tales que si x c
tomamos valores por la derecha de c, esto es, x c, , entonces las imágenes estarán todas comprendidas en un entorno de L1, f x L1 , .
Límite lateral por la izquierda: lím f x L2 0 y 0 tales que si x c
tomamos valores por la izquierda de c, esto es, x c, , entonces las imágenes estarán todas comprendidas en un entorno de L2, f x L2 , . Límites y continuidad: una función real de variable real definida en un intervalo abierto I a, b es continua en un punto c de dicho intervalo si está bien definida en él y además límf x f c 0, 0 / f x f c , x c
siempre que x c, .
Condiciones necesarias y suficientes de continuidad de una función en
un punto: lím f x L1 y lím- f x L2 , ambos finitos y además iguales entre x c
x c
sí y con el valor de la función en el punto, esto es, L1 L2 f c
Clasificación de los puntos de discontinuidad: Primer grado, o evitable. Se suele dar en los siguientes casos: Cuando por error hemos dejado sin definir un punto. Por ejemplo: x 1 si x 5 si 5 x 7 , en este caso el punto x = 5 ha que dado f ( x ) 6 13 x si x 7 sin definir, para evitar la discontinuidad basta con hacer x 1 si x 5 f ( x ) 6 si 5 x 7 . 13 x si x 7 Cuando por error damos un valor que no corresponde en el punto, por ejemplo:
x 1 si x 5 f ( x ) 6 si x 5 , ya que por la izquierda de 5 toma el valor 6 13 x si x 5 y por la derecha también, luego sería lógico decir que en 5 debería tomar el valor 6, y no –6 como figura. Segundo grado, primera especie, o inevitable de salto finito. Se suele dar en el caso: La función está definida por zonas y en el límite de alguna zona no coinciden los valores por la derecha y por la izquierda, por ejemplo: x 1 si x 5 si 5 x 7 , se ve que por la izquierda de 5 toma el f ( x ) 6 13 x si x 7 valor 6 y por la derecha el valor –6, hay un salto de 12 unidades. Lo mismo pasa en 7. Segundo grado, segunda especie, o salto infinito. Se suele dar en los casos: En funciones definidas por zonas, cuando en alguna de las zonas la función explota, o cuando en alguno de los límites de zona la función explota, por ejemplo: x 1 si x 5 f ( x ) 6 si 5 x 7 , en este caso al acercarnos a 7 por la 13 x si x 7 x 7 derecha la función explota a . x 1 si x 5 f ( x ) 6 si 5 x 7 , en este caso en los límites de zona no 13 x si x 7 x 12 hay problemas, pero en la zona Ⅲ, es decir, para x ≥ 7, en x = 12, la función explota. En todas aquellas funciones definidas en forma de fracción cuando el denominador se anula, por ejemplo: 2x 1 f (x) , cuando x 2 1 1 , la función explota, es decir, 2 log x 1
cuando x 2 .
Álgebra de límites: sean f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real, ambas definidas en un intervalo abierto I a, b y sea c a, b tal que ambas tienen límite en él, límf x L1 y además límg x L2 x c
x c
Límite de una suma de funciones: lím f x g x L1 L2 x c
Límite de un producto de funciones: lím f x g x L1 L2 x c f x L 1 , siempre que L2 0 gx L 2
Límite de un cociente de funciones: lím x c
Límite de la potencia de una función: lím f x L1 x c p
Límite de una potencia de funciones: lím f x x c
g x
p
L
L2
1
Límites e indeterminaciones: al igual que con las sucesiones, en los límites de funciones se nos pueden presentar las mismas indeterminaciones que con aquellas, la forma de superarlas será la misma que entonces. Además se nos puede 0 presentar la indeterminación en los casos, sobre todo, de cocientes de 0 funciones polinómicas en las que ambas tengan raíces comunes en el punto en el que calculamos el límite, así: x 2 6x 9 32 6 3 9 0 , esto nos dice que tanto el polinomio nume lím x 3 x2 9 32 9 0 rador como el denominador son divisibles por x 3 . Debemos descomponer ambos en factores, simplificar y volver a calcular el límite de la expresión simplificada, así 2 x 3 x 2 6x 9 x 3 33 0 lím lím lím 0 x 3 x 3 x2 9 x 3 x 3 x 3 x 3 3 3 6
Si aún persistiera la indeterminación deberíamos seguir simplificando hasta eliminar todas las raíces.
Límites infinitos, asíntotas verticales: se dice que una función tiene límite infinito cuando x a y f x , en términos de definición de límite
límf x 0, 0 / f x L, cuando x a, , se dice que la x a
función explota. La recta x a es una asíntota vertical para la función. De igual modo pueden ocurrir uno de los siguientes casos:
lím f x L1 pero lím f x , en este caso explota por la izx a
x a
quierda del punto. lím f x L2 pero lím f x , en este caso explota por la x a
x a
derecha del punto. lím f x lím f x , en este caso explota por ambos lados y en x a
x a
el mismo sentido. lím f x lím f x m , en este caso explota por ambos lados x a
x a
pero mientras por un lado lo hace en un sentido por el otro lo hace en sentido opuesto. Límites en el infinito, asíntotas horizontales: cuando al tender la variable a más o menos infinito las imágenes se mantienen en un entorno de un valor finito, así lím f x L 0 y M>0 / f x L, cuando x M , y de x
igual modo lím f x L 0 y M>0 / f x L, cuando x M . En x
ambos casos la recta y L es una asíntota horizontal para la función. Límites en el infinito, asíntotas oblicuas: cuando al tender la variable a f x más o menos infinito las imágenes de se mantienen en un entorno de un x f x f x L 0 y M>0 / L, cuando x M , y de valor finito, así lím x x x f x f x L 0 y M>0 / L, cuando x M . En igual modo lím x x x ambos casos hay una asíntota oblicua para la función de pendiente L y ordenada en el origen Lím f (x) ax b , es decir, de ecuación y L x b . x
Resumen del comportamiento asintótico: Hay asíntotas verticales cuando: Dado un valor de x concreto, x0: Lím f (x ) Lím f ( x ) x x 0
x x 0
Lím f ( x ) Lím f ( x ) , y uno de los dos no es finito. x x 0
x x 0
La recta de ecuación x x 0 es una asíntota vertical.
Hay asíntotas horizontales cuando:
Lím f ( x) L1, siendo L1 un valor finito. La ecuación de la asíntota x
horizontal será y L1 , y si L1 = 0, entonces es el eje de abscisas. Lím f ( x) L2 , siendo L2 un valor finito. La ecuación de la asíntota x
horizontal será y L2 , y si L2 = 0, entonces es el eje de abscisas. Lím f (x) Lím f ( x) L, finito , en este caso habría una única x
x
asíntota horizontal común a toda la gráfica y L . Hay asíntotas oblicuas cuando: f (x) L 0 , en cuyo caso: Lím x x f (x) a Lím L x x Lím f ( x ) ax b x
La ecuación de la asíntota será: y ax b Un modo sencillo para su cálculo en funciones racionales es: Hacemos la división de la fracción y el cociente es la fórmula de la asíntota. x2 3 x 3 x2 3 x 3 x 1 Ejemplo: asíntota y x 2 x 1 1 x2 Esquemáticamente: (Para funciones racionales) a) Una función tiene tantas asíntotas verticales como raíces reales distintas tenga el denominador y que no pertenezcan al numerador. b) Una función tiene una asíntota horizontal si el grado del numerador es menor o igual que el del denominador. c) Una función tiene una asíntota oblicua si el grado del numerador es uno más que el del denominador.