UNIDAD 4. Técnicas de Conteo e Introducción a la Probabilidad Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo son aquellas usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Se les denomina técnicas de conteo a: las combinaciones, permutaciones y diagrama de árbol, las que a continuación se explicarán y hay que destacar que éstas nos proporcionan la información de todas las maneras posibles en que ocurre un evento determinado. Las bases para entender el uso de las técnicas de conteo son el principio multiplicativo y el aditivo, los que a continuación se definen y se hace uso de ellos. Supongamos que lanzamos 3 dados y nos piden el número de formas en que pueden caer. Una forma lenta y tediosa de hacerlo es rotar dado a dado y anotar para luego contar todos los posibles resultados: 1,1,1; 1,1,2; 1,1,3;…; hasta llegar al 6,6,6. Por tanto la respuesta a la situación anterior es 216. ¿Cómo fue posible esto? Veamos un segundo ejemplo. Supongamos que desean regalarle un automóvil nuevo a su pareja o al profesor de estadística descriptiva. Por tanto se dirigen a un concesionario de BMW y se encuentran con que este ofrece 9 modelos de autos distintos (i3, i8, serie 1, serie 2, serie 3, serie 4, serie, 5, serie 7) cada uno de ellos con 5 opciones de potencia (320 CV, 400 CV, 420 CV, 450 CV, 500 CV) , 8 colores (Rojo, negro, azul, amarillo, coral, púrpura, gris y blanco) y 3 tipos de interiores distintos (Estándar, cuero, lino). Entonces, ¿Cuántas elecciones distintas pueden hacer?; la respuesta es 1080. Para este caso a diferencia del anterior, los resultados pueden no ser igualmente probables a menos que usted escoja aleatoriamente en un garaje con los 1080 automóviles. Nota: La unidad de potencia presentada en el ejemplo anterior es Caballo de Vapor (CV). 1 CV= 0.9863 HP (Caballos de fuerza).
Teorema fundamental del conteo. Lo primero a estudiar en esta unidad es el teorema fundamental del conteo (TFC), el cual establece que:
“Sí un evento puede ocurrir de m formas distintas y si después que han sucedido puede seguir un segundo evento que puede ser de cualquiera de n formas, entonces los dos eventos pueden ocurrir simultáneamente en el orden establecido de (m) (n) formas.” Esta regla se puede extender a cualquier cantidad de eventos.
Como en el ejemplo de los 3 dados, ninguno estaba relacionado en forma alguna cuando se lanzan y como cada uno puede caer de 6 formas distintas (se desprecia la posibilidad de que se mantengan sobre una arista o punta), el número total de formas en que pueden caer uno después del otro (incluso al tiempo, pues no tiene importancia el orden) es 6 x 6 x 6 = 216. De forma similar ocurre con el ejemplo de los coches: 9 x 8 x 5 x 3 = 1080. Nota: A lo anterior es conocido comúnmente como el principio multiplicativo.
Principio Multiplicativo. Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de;
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Ejemplo: ¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9?, a. Si es posible repetir letras y números b. No es posible repetir letras y números c. Cuántas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D y empiezan por el cero d. Cuantas de las placas diseñadas en el inciso b empiezan por la letra D seguida de la G.
Solución: Considerando 26 letras del abecedario y los dígitos del 0 al 9 a. 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 75,760,000 placas para automóvil que es posible diseñar b. 26(todas las letras) x 25 (al menos una letra no se podrá repetir) x 24 (al menos 2 letras no se podrán repetir) x 10(todos los dígitos) x 9 (al menos 1 dígito no se podrá repetir) x 8 (al menos 2 dígitos no se podrán repetir) x 7 (al menos 3 dígitos no se podrán repetir) = 78,624,000 placas para automóvil c. 1 x 25 x 24 x 1 x 9 x 8 x 7 = 302,400 placas para automóvil d. 1 x 1 x 24 x 10 x 9 x 8 x 7 = 120,960 placas para automóvil Ejemplo: Cuántos números telefónicos es posible diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9?, a. Considere que el cero no puede ir al inicio de los números y es posible repetir dígitos b. El cero no debe ir en la primera posición y no es posible repetir dígitos c. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b empiezan por el número siete? d. ¿Cuántos de los números telefónicos del inciso b forman un número impar? Solución: a. b. c. d.
9 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 900,000 números telefónicos 9 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 136,080 números telefónicos 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15,120 números telefónicos 8 x 8 x 7 x 6 x 5 x 5 = 67,200 números telefónicos
Principio Aditivo Si se desea llevar a efecto una actividad, la cual tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas… y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de, M + N + … + W maneras o formas Ejemplo: Imagine que usted desea comprar una lavadora de ropa, para lo cual ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool (W), Easy (E) y General Electric (G.E), cuando
acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tendría usted de comprar una lavadora? Solución: Sea: M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora Note que a diferencia de los ejemplos anteriores, la primera opción es libre (W o E o GE), pero las características de cada una de las primeras opciones cambian conforme a la misma, por tanto el principio multiplicativo no aplicaría. En el principio aditivo las opciones no son indiferentes entre sí y el conteo es dependiente a los eventos predecesores, es decir, mantienen una relación conforme al evento anterior. En el ejemplo del carro BMW, era indiferente si se compraba un automóvil serie 7 respecto a los demás, también era indiferente si después se seleccionaba el color negro, lo propio con potencia 400 CV y con interiores en cuero. Cada uno de estos pasos en el ejemplo, no condicionaba el siguiente (Principio multiplicativo). PERO, Ahora suponga en el mismo ejemplo que el asesor de ventas le mencione que los vehículos serie 7 solo vienen en color Blanco y que los vehículos i8 solo vienen con potencias superiores o iguales a 400 CV. Lo que ocurre ahora es el condicionamiento del siguiente paso conforme al anterior, es decir que si elegimos el vehículo serie 7 solo podremos tenerlo en color blanco; entonces sería un error multiplicar todas las opciones de todas las características ofrecidas. Es en este caso donde podríamos aplicar el principio aditivo.
Entonces, cuando se trate de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos indiferentes o independientes, entonces haremos uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas dependientes para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo. Diagrama de árbol. Un diagrama de árbol es una representación gráfica de un experimento que consta de r pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. En el podemos graficar los principios multiplicativos y aditivos aplicados sobre una situación respectivamente. Empecemos con este ejemplo. Suponga que existen 3 caminos de la ciudad A a la ciudad B y dos caminos de la ciudad B hasta la ciudad C. ¿De cuantas maneras distintas puede viajar una persona desde A hasta C pasando por B? Solución: Considere el siguiente diagrama, llamado diagrama de árbol.
Hay dos decisiones que deben tomarse: 1. Desde A. ¿Cómo ir hasta B? 2. Desde B ¿Cómo ir hasta C? Cuando la persona se encuentra en A, esta puede decidir por 3 caminos hasta B (que son
los 3 caminos mostrados en la primera parte del grĂĄfico). Y estando en B puede decidor por 2 caminos para llegar a C. SegĂşn el teorema fundamental del conteo existirĂan 2 x 3 = 6 caminos desde A hasta C. Otra forma de obtener el mismo resultado es contando el nĂşmero de “hojasâ€? que quedan al final del ĂĄrbol, es decir, contar el nĂşmero de C´s resultantes. Permutaciones Un arreglo ordenado de n objetos se llama permutaciĂłn. Ejemplo: ÂżCuĂĄntas posibles permutaciones hay de 3 letras, A, B Y C? SoluciĂłn.: Es aparentemente sencillo y podrĂa enlistarse el resultado de la siguiente manera: 1. ABC 2. ACB 3. BAC 4. BCA 5. CAB 6. CBA Por tanto existe 6 posibles permutaciones de las letras A, B y C. Ahora bien, es posible utilizar el TFC para determinar el nĂşmero de permutaciones de n objetos, el cual se denotarĂa por đ?‘ƒđ?‘›đ?‘› . Para hacerlo, podemos imaginar que los n objetos se colocan en n cajas dispuestas en fila: La primera caja se puede llenar de n formas, la segunda caja de (n-1) formas, la tercera caja se puede llenar de (n-2) formas y asĂ sucesivamente hasta la Ăşltima caja. Por tanto el nĂşmero de permutaciones de n objetos es igual a: đ?‘ƒđ?‘›đ?‘› = đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) ‌ (2)(1) El resultado de đ?‘ƒđ?‘›đ?‘› se le llama n factorial, que se denota como n! En consecuencia, 3!= (3)(2)(1) = 6 Y 5!=(5)(4)(3)(2)(1) = 120. El nĂşmero de permutaciones de n objetos tomados de n a la vez se denota đ?‘ƒđ?‘›đ?‘› = đ?‘›!
Ejemplo: El nĂşmero de permutaciones de 5 objetos es đ?‘ƒđ?‘›đ?‘› = đ?‘›! đ?‘ƒ55 = 5! đ?‘ƒ55 = (5)(4)(3)(2)(1) đ?‘ƒ55 = 120 Suponga que deseamos determinar el nĂşmero de permutaciones de cinco objetos tomados 3 a la vez; esto se escribe como đ?‘ƒ35 . Podemos pensar este problema como el de colocar 5 objetos distintos en tres cajas; la primera caja puede llenarse de 5 maneras. DespuĂŠs de hacer esto, la segunda caja puede llenarse de 4 formas, luego la tercera se llena de tres maneras. Como consecuencia del TFC, el nĂşmero de permutaciones de 5 objetos distintos tomados 3 a la vez es (5)(4)(3)=60 por tanto đ?‘ƒ35 = 60 . Para desarrollar una fĂłrmula de cĂĄlculo del valor de đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› ., hagamos las cuatro observaciones siguientes relativas a đ?‘ƒ35 . 1. De los cinco objetos, 3 deben colocarse o permutarse y (5-3)=2 no deben colocarse. 2. El nĂşmero de permutaciones de los objetos que deben colocarse es 5)(4)(3)=60, y el de aquellos que no deben colocarse es 2!=2. Por cada una de las 60 permutaciones de los objetos que debemos colocar, tenemos dos que no deben reacomodarse. Por el TFC, el nĂşmero total de colocaciones de 5 objetos distintos es 5!=(5)(4)(3)(2)(1) = 120. Por tanto por la observaciĂłn 2 tenemos que 5!=(60)(2)=120 = đ?‘ˇđ?&#x;“đ?&#x;‘ x(5-3)!. Si dividimos ambos lados de la igualdad, tenemos la siguiente relaciĂłn đ?‘ƒ35 =5!/(5-3)! La siguiente formula calcula el nĂşmero de permutaciones de n objetos tomados de r en r đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› . (con n>r) đ?‘›!
đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› = (đ?‘›âˆ’đ?‘&#x;)!. Ejemplo: Suponga que 10 estudiantes estĂĄn disponibles para 3 tareas distintas en el campus. ÂżDe cuantas formas pueden cubrirse los trabajos? SoluciĂłn: Necesitamos determinar cuĂĄntas formas hay de asignar las 3 tareas entre los 10 estudiantes o el nĂşmero de acomodos de 10 objetos tomados de 3 en 3. Para lo cual tenemos que:
10!
đ?‘ƒ310 = (10−3)!. 10! (7)! = 720
đ?‘ƒ310 = đ?‘ƒ310
Combinaciones Cuando tratamos con permutaciones de objetos, el orden de selecciĂłn o de colocaciĂłn es importante; hay ocasiones en que nos interesa considerar colecciones de objetos donde el orden no es importante; cuando ocurre esto, la selecciĂłn se llama combinaciĂłn. En otras palabras, una selecciĂłn de r objetos de una colecciĂłn de n objetos distintos, sin importar el orden en que los objetos son seleccionados, se llama combinaciĂłn, y el nĂşmero de combinaciones de n objetos tomados de r en r se denota por(đ?‘›đ?‘&#x;). El sĂmbolo (đ?‘›đ?‘&#x;) es llamado tambiĂŠn coeficiente Binomial. Por ejemplo, supongamos que en un experimento se requiere seleccionar a un comitĂŠ de tres mujeres de un grupo de ocho; aquĂ no importa el orden de la selecciĂłn de una combinaciĂłn. El nĂşmero de combinaciones (o selecciones) de ocho mujeres tomado tres a un tiempo se denota por (83). Partiendo de que: đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› = đ?‘&#x;! ∗ (đ?‘›đ?‘&#x;) Podemos llegar a: (đ?‘›đ?‘&#x;) =
đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› đ?‘&#x;!
(Demostrar)
SegĂşn la situaciĂłn anterior, el nĂşmero de maneras de elegir a tres mujeres de un grupo de ocho es igual a: đ?‘› đ?‘ƒđ?‘&#x;đ?‘› ( )= đ?‘&#x; đ?‘&#x;! 8 đ?‘ƒ38 (8)(7)(6) ( )= = = 56 3 3! 6 Podemos expresar tambiĂŠn la fĂłrmula de combinatoria como: đ?‘› đ?‘›! ( )= đ?‘&#x; đ?‘&#x;! (đ?‘› − đ?‘&#x;)! Ejemplo: Se realiza un estudio para determinar la opiniĂłn de los profesores de una universidad respecto al aborto; si se elige una muestra de cuatro profesores de un total de 45, ÂżCuĂĄntas muestras distintas pueden seleccionarse?
Solución: Para esta situación, en una muestra no importa el orden, nos interesa determinar el número de combinaciones de 45 profesores tomados de cuatro en cuatro. Por tanto tenemos: 45 45! ( )= 4 4! (45 − 4)! 45 (45!) ( )= 4 (4!)(41!) 45 (45) (44) (43) (42) (41!) ( )= 4 (4!)(41!) (
45 (45) (44) (43) (42) (41!) 45 (45) (44) (43) (42) = 148.995 ( ) = )= (4!) 4 (4!)(41!) 4
AHORA ¡ENTRÉMOS A PROBABILIADD!
Espacio de probabilidad Eventos causales y eventos aleatorios A cualquier persona que preguntemos ¿cuánto tiempo tardas en recorrer los 120 kilómetros que separan Cartagena de Barranquilla, si nos desplazamos con velocidad constante de 60 kms/hora?, a sin dudar te responderá que 2 horas. Ahora bien, su actitud será muy distinta si, antes de lanzar un dado, le preguntamos por la cara que nos mostrará. Se trata de dos fenómenos de naturaleza bien distinta, el primero pertenece a los que podemos denominar deterministas, aquellos en los que la relación causa-efecto aparece perfectamente determinada. En nuestro caso concreto, la conocida ecuación física d = v · t, describe dicha relación, el segundo pertenece a la categoría de los que denominamos aleatorios, que se caracterizan porque aun repitiendo en las mismas condiciones el experimento que lo produce, el resultado variará de una repetición a otra dentro de un conjunto de posibles resultados.
La Teoría de la Probabilidad pretende emular el trabajo que los físicos y, en general, los científicos experimentales han llevado a cabo. Para entender esta afirmación observemos que la ecuación anterior, d = v · t, es un resultado experimental que debemos ver como un modelo matemático que, haciendo abstracción del móvil concreto y del medio en el que se desplaza, describe la relación existente entre el espacio, el tiempo y la velocidad. La Teoría de la Probabilidad nos permitirá la obtención de modelos aleatorios o estocásticos mediante los cuales podremos conocer, en términos de probabilidad, el comportamiento de los fenómenos aleatorios Experimento, resultado, espacio muestral y suceso Nuestro interlocutor sí que será capaz de responder que el dado mostrará una de sus caras (1, 2, 3, 4, 5, 6). Al igual que sabemos que la extracción al azar de una carta de una baraja inglesa pertenecerá a uno de los cuatro palos: Trébol, Diamante, Corazón y Picas. Es decir, el experimento asociado a nuestro fenómeno aleatorio da lugar a un resultado, E (evento), de entre un conjunto de posibles resultados. Este conjunto de posibles resultados (o total eventos) recibe el nombre de espacio muestral S. Formalmente un espacio muestral de un experimento es la colección de todos los resultados posibles. Así mismo un evento simple es un evento que solo contiene un resultado. Subconjuntos de resultados con una característica común reciben el nombre de sucesos aleatorios o, simplemente, sucesos. Cuando el resultado del experimento pertenece al suceso A, decimos que ha ocurrido o se ha realizado A. A continuación mostramos un ejemplo de experimento aleatorio y el espacio muestral asociado. Lanzamiento de dos monedas. (C es cara y + es cruz o sello) Al lanzar dos monedas el espacio muestral viene definido por S ={CC, C+, +C, ++}, que son todos los posibles resultados que usted pueda obtener. Dos ejemplos de eventos en este espacio pueden ser: A = {Ha salido una cara}={C+,+C}, Es decir, los eventos en el cual haya salido una sola cara. B = {Ha salido más de una cruz}={++}. Es decir, el evento en el que haya salido más de una cruz C = {Ha salido al menos una cruz}= { C+, +C, ++}, }. Es decir, los eventos en los que haya salido al menos de una cruz.
Eventos y conjuntos Puesto que los sucesos no son más que subconjuntos de S, podemos operar con ellos de acuerdo con las reglas de la teoría de conjuntos. Todas las operaciones entre conjuntos serán aplicables a los eventos y el resultado de las mismas dará lugar a nuevos eventos cuyo significado debemos conocer. Existen, por otra parte, eventos cuya peculiaridad e importancia nos lleva a asignarles nombre propio. De estos y de aquellas nos ocupamos a continuación: Evento cierto o seguro: cuando llevamos a cabo cualquier experimento aletorio es seguro que el resultado pertenecerá al espacio muestral, por lo que S, en tanto que evento, ocurre siempre y recibe el nombre de suceso cierto o seguro. Evento imposible: en el extremo opuesto aparece aquel evento que no contiene ningún resultado que designamos mediante ∅ (vacío) y que, lógicamente, no ocurre nunca, razón por la cual se le denomina suceso imposible. Eventos complementarios: la ocurrencia de un evento, A, supone la no ocurrencia del suceso que contiene a los resultados que no están en A, es decir, Ac . Ambos sucesos reciben el nombre de complementarios. Unión de eventos: la unión de dos sucesos, A ∪ B, da lugar a un nuevo evento que no es más que el conjunto resultante de dicha unión. En consecuencia, A ∪ B ocurre cuando el resultado del experimento pertenece a A, a B o ambos a la vez. Intersección de eventos: la intersección de dos sucesos, A ∩ B, es un nuevo evento cuya realización tiene lugar si el resultado pertenece a ambos a la vez, lo que supone que ambos ocurren simultáneamente. Efectos incompatibles: Existen eventos que al no compartir ningún resultado su intersección es el suceso imposible, A ∩ B = ∅. Se les denomina, por contexto de la experimentación aleatoria pero, aunque no hubiera sido así, la necesidad del concepto nos hubiera obligado a inventarlo. Basándonos en teoría de conjuntos, los eventos y espacios muestrales pueden ser representados mediante Diagramas de Venn
UniĂłn A U B
Diferencia B-A
IntersecciĂłn A ∊ B,
Complemento đ??´Ě…
Continua abajo.
A ∊ B = ∅.
Pobabilidad Ya sabemos que la naturaleza aleatoria del experimento impide predecir de antemano el resultado que obtendremos al llevarlo a cabo. El concepto de probabilidad aparece ligado en sus orĂgenes a los juegos de azar, razĂłn por la cual se tiene constancia del mismo desde tiempos remotos. A lo largo de la historia se han hecho muchos y muy diversos intentos para formalizarlo, dando lugar a otras tantas definiciones de probabilidad que adolecĂan todas ellas de haber sido confeccionadas ad hoc, careciendo por tanto de la generalidad suficiente que permitiera utilizarlas en cualquier contexto. No por ello el interĂŠs de estas definiciones es menor, puesto que supusieron sucesivos avances que permitieron a Kolmogorov enunciar su conocida y definitiva axiomĂĄtica en 1933. MĂŠtodo clĂĄsico (Formula de Laplace). Si el experimento conduce a un espacio muestral finito con n resultados posibles, S = {E1, E2, . . . , En}, todos ellos igualmente probables, la probabilidad de un evento A que contiene m de estos resultados se obtiene mediante la fĂłrmula: đ?‘ƒ(đ??´) =
đ?‘š đ?‘›
conocida como fĂłrmula de Laplace, que la propuso a finales del siglo XVIII. La fĂłrmula se enuncia como el cociente entre el nĂşmero de casos favorables y el nĂşmero de casos posibles. ObsĂŠrvese la incorreciĂłn formal de esta aproximaciĂłn en la medida que exige equiprobabilidad en los resultados para poder definir, precisamente, la probabilidad, lo cual implica un conocimiento previo de aquello que se quiere definir. La anterior definiciĂłn es aplicable cuando las condiciones exigidas al experimento son satisfechas y dejan un gran nĂşmero de fenĂłmenos aleatorios fuera de su alcance. Estos problemas se soslayan con la definiciĂłn axiomĂĄtica propuesta por A.N.Kolmogorov en 1933: Tenga en cuenta que la probabilidad de un evento es un nĂşmero entre 0 y 1, inclusive, que se asocia al evento. Si E es un evento, entonces P (E) denota la probabiliad de E que es la posibilidad del suceso del evento E. Si la probabilidad es 0, entonces el evento no ocurre; si es 1, el evento ocurre; mientras mĂĄs cercano sea P (E), mĂĄs posibilidades hay de que ocurra, y mientras mĂĄs cercano sea P (E) a cero, menos probable es que suceda.
Propiedades de la Probabilidad
P(Ei) ≼ 0 P(Ei) ≤ 0 ∑ đ?‘ƒ(đ??¸đ?‘– ) = 1 Donde ∑ đ?‘ƒ(đ??¸đ?‘– ) es la suma de las probabilidades para todos los resultados (eventos simples) en el espacio muestral 1. 2. 3.
Ejemplo: Veamos la siguiente situaciĂłn. Seguros NariĂąo quiere estimar la probabilidad de que le ocurra un accidente a un automĂłvil de la policĂa en la ciudad de Barranquilla durante un perĂodo de tiempo; el Ăşltimo mes, 7 de 20 autos de la policĂa tuvieron accidentes. a. b.
ÂżCuĂĄl serĂa la estimaciĂłn dada por usted de la probabilidad deseada? ÂżCuĂĄl es la probabilidad de que un auto de la policĂa no se accidente?
SoluciĂłn: a. Dado que el espacio muestral o todos los posibles eventos recaen en los 20 autos (se accidenten o no) y basados en eventos anteriores, podrĂa decirse que de mantenerse las mismas condiciones 7/20 = 0.35, donde 7 es el nĂşmero de casos favorables ocurridos con anterioridad y 20 es el nĂşmero de posibilidades de que ocurra el accidente. La probabilidad de que en ese perĂodo de tiempo se presenten accidentes es del 35% o simplementes 0.35 b. Basados en la propiedad nĂşmero 3, el complemento del evento anterior es que ningĂşn automĂłvil de la policĂa tenga un accidente, por tanto la respuesta serĂa 1(Total autos) - 0.35 (total autos accidentados) = 0.65 (probabilidad de que no se accidenten) Ejemplo: Recordemos el ejemplo del dado: “Al lanzar dos monedas el espacio muestral viene definido por S ={CC, C+, +C, ++}, que son todos los posibles resultados que usted pueda obtenerâ€? Calcule la probabilidad de que: a. b. c. d.
Salga al menos una cara Salgan dos caras No salgan caras Salgan dos caras y luego dos cruces
Solución: a. Que salga al menos una cara, quiere decir que en el espacio muestral, los eventos CC, C+ y +C cumplen dicha condición, por tanto la probabilidad es: ¾ = 0.75 b. Que salgan dos caras, quiere decir que en el espacio muestral, el evento CC, es el único que cumple dicha condición, por tanto la probabilidad es: ¼ = 0.25 c. Que no salgan caras, quiere decir que en el espacio muestral, el evento ++, es el único que cumple dicha condición, por tanto la probabilidad es: ¼ = 0.25 d. La probabilidad que salgan dos caras es 0.25, y la probabilidad que salgan dos cruces es 0.25. por tanto la probabilidad que salgan dos caras y luego dos cruces es 0.25x0.25= 0.0625 es decir 1/16 posibilidades de que ocurra el evento, en otras palabras, de 16 lanzamientos por lo menos 1 cumplirá esta situación. A lo anterior es conocido como probabilidad condicional.
BIBLIOGRAFIA
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