Baccalaur´ eat S
´ Centres Etrangers Juin 2007 Dur´ee : 4h00
Exercice 1 : ` tous les candidats Commun a
4 points
Pour chacune des questions de ce QCM, une seule des trois propositions A, B ou C est exacte. La candidat indiquera sur sa copie le num´ero de la question et la lettre correspondant la r´eponse choisie. Aucune justification n’est demand´ee. Une r´eponse exacte rapporte 0,5 point. Une r´eponse inexacte enl`eve 0,25 point. L’absence de r´eponse n’apporte ni n’enl`eve aucun point. Si le total est n´egatif, la note de l’exercice est ramen´ee ` a 0. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. 1. On tire au hasard simultan´ement 3 boules de l’urne. a) La probabilit´e de tirer trois boules noires est : 1 1 A. 56 B. 120 C. 3!1 b) La probabilit´e de tirer 3 boules de la mˆeme couleur est : 11 A. 11 B. 120 C. 16 56 24 2. On tire au hasard une boule dans l’urne, on note sa couleur, on la remet dans l’urne ; on proc`ede ainsi `a 5 tirages successifs et deux `a deux ind´ependants. a) La probabilit´e d’obtenir 5 fois une boule noire est : 3 3 5 5 A. 38 × 58 B. 38 C. 15 b) La probabilit´e d’obtenir 2 boules noires et 3 boules blanches est : 3 2 3 2 B. 2 × 58 + 3 × 38 C. 10 × 85 × 38 A. 85 × 38 3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : R1 l’´ev´enement : ”La premi`ere boule tir´ee est rouge” ; R2 l’´ev´enement : ”La deuxi`eme boule tir´ee est rouge” ; N1 l’´ev´enement : ”La premi`ere boule tir´ee est noire” ; N2 l’´ev´enement : ”La deuxi`eme boule tir´ee est noire”. a) La probabilit´e conditionnelle PR1 (R2 ) est : 5 A. 85 B. 47 C. 14 b) La probabilit´e de l’´ev´enement R1 ∩ N2 est : B. 15 C. 15 A. 16 49 64 56 c) La probabilit´e de tirer une boule rouge au deuxi`eme tirage est : 3 A. 85 B. 57 C. 28 d) La probabilit´e de tirer une boue rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est : A. 15 B. 38 C. 57 56
Exercice 2 : ´serve ´ aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spe ´cialite ´ Re I. 1. 2. 3.
5 points
Restitution organis´ ee de connaissances. D´emontrer qu’un nombre complexe z est imaginaire pur si et seulement si z = −z. D´emontrer qu’un nombre complexe z est r´eel si et seulement si z = z. D´emontrer que pour tout nombre complexe z, on a l’´egait´e : zz = |z|2 .
Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O; ~u, ~v ). On se propose de d´emontrer, `a l’aide des nombres complexes, que tout triangle de sommets A, B, C, deux `a deux distincts, d’affixes respectives a, b, c et dont le centre du cercle circonscrit est situ´e `a l’origine O, a pour orthocentre le point H d’affixe a + b + c. II. Etude d’un cas particulier. √ √ On pose : a = 3 + i, b = −1 + 3i, c = − 5 − i 5. 1. V´erifier que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. 2. Placer les points A, B,C, et le point H d’affixe a + b + c, puis v´erifier graphiquement que le point H est l’orthocentre du triangle ABC. III. Etude du cas g´ en´ eral. ABC est un triangle dont O est le centre du cercle circonscrit, et a, b, c sont les affixes respectives des points A, B, C. 1. Justifier le fait que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si : aa = bb = cc 2. On pose w = bc − bc. a) En utilisant la caract´erisation d’un nombre imaginaire pur ´etablie dans le I, d´emontrer que w est un imaginaire pur. b+c w b) V´erifier l’´egalit´e : (b + c)(b − c) = w et justifier que : = . b−c |b − c|2 b+c est un imaginaire pur. c) En d´eduire que le nombre complexe b−c 3. Soit H le point d’affixe a + b + c. −−→ −−→ a) Exprimer en fonction de a, b et c les affixes des vecteurs AH et CB. −−→ −−→ b) Prouver que (CB, AH) = π2 + kπ, o` u k est un entier relatif quelconque. −→ −−→ (On admet de mˆeme que (CA, BH) = π2 + kπ, avec k ∈ Z). c) Que repr´esente le point H pour le triangle ABC ?
Exercice 2 : ´serve ´ aux candidats ayant choisi l’enseignement de spe ´cialite ´ Re
5 points
Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonormal direct (O; ~u, ~v ). L’unit´e graphique est 2 cm. Le but de l’exercice est d’´etudier la similitude plane indirecte f d’´ecriture complexe : √ √ z 0 = i 2 z + 2i 2 − 2,
et d’en donner deux d´ecompositions. I. Restitution organis´ ee de connaissances. On rappelle que l’´ecriture complexe d’une similitude plane directe autre qu’une translation est de la forme : z 0 = az + b, o` u a et b sont des nombres complexes , avec a 6= 1. D´eterminer en fonction de a et de b ’affixe du centre d’une telle similitude plane directe. II. Premi` ere d´ ecomposition de f . Soit g la similitude plane directe d’´ecriture complexe : √ √ z 0 = i 2 z + 2i 2 − 2. 1. Pr´eciser les ´el´ements caract´eristiques de g (centre, rapport, angle). 2. D´eterminer une r´eflexion s telle que f = g ◦ s. III. Deuxi` eme d´ ecomposition de f . 1. Montrer que f admet un unique point invariant not´e Ω. D´eterminer l’affixe ω de Ω. 2. Soit D la droite d’´equation : y = x + 2. Montrer que pour tout point N appartenant `a D, le point f (N ) appartient aussi `a D. 3. Soit σ la r´eflexion d’axe D et k la transformation d´efinie par : k = f ◦ σ. a) Donner l’´ecriture complexe de σ. (Indication : on pourra poser z 0 = az + b et utiliser deux points invariants par σ pour d´eterminer les nombres complexes a et b). √ √ b) En d´eduire que l’´ecriture complexe de k est : z 0 = 2 z + 2 2 − 2. c) Donner la nature de la transformation k et pr´eciser ses ´el´ements caract´eristiques. 4. D´eduire de ce qui pr´ec`ede une ´ecriture de la similitude indirecte f comme compos´ee d’une r´eflexion et d’une homoth´etie.
Exercice 3 : 4 points
` tous les candidats Commun a
Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal (O;~ı,~), on d´esigne par C la courbe repr´esentative d’une fonction f d´efinie et d´erivable sur un intervalle I de R, f et f 0 ne s’annulant pas sur l’intervalle I. On note M un point de C d’abscisse x et d’ordonn´ee y = f (x). On d´esigne par T la tangente `a la courbe C au point M . On rappelle qu’une ´equation de T est de la forme : Y = f 0 (x)[X − x] + f (x). I. Question pr´ eliminaire. 1. Montrer que T coupe l’axe des abscisses en un point H dont l’abscisse XT v´erifie : XT = x −
f (x) . f 0 (x)
2. Montrer que T coupe l’axe des ordonn´ees en un point K dont l’ordonn´ee YT v´erifie : YT = f (x) − xf 0 (x). II. k d´esigne un r´eel fix´e non nul. On cherche `a d´eterminer les fonctions f pour lesquelles la diff´erence x − XT est constante et ´egale `a k, pour tout nombre r´eel x (Propri´et´e 1). 1. D´emontrer que f v´erifie la propri´et´e 1, si et seulement si, f v´erifie l’´equation diff´erentielle : y0 =
1 y. k
2. En d´eduire la famille des fonctions v´erifiant la propri´et´e 1 et d´eterminer pour k = fonction f de cette famille qui v´erifie de plus la condition : f (0) = 1.
1 2
la
III. k d´esigne un r´eel fix´e non nul. On cherche `a d´eterminer les fonctions f pour lesquelles la diff´erence y − YT est constante et ´egale `a k, pour tout nombre r´eel x appartenant `a l’intervalle ]0; +∞[ (Propri´et´e 2). 1. D´emontrer que f v´erifie la propri´et´e 2, si et seulement si, f v´erifie l’´equation diff´erentielle : y0 =
k . x
2. En d´eduire la famille des fonctions v´erifiant la propri´et´e 2 et d´eterminer pour k = fonction f de cette famille qui v´erifie de plus la condition : f (1) = 0.
1 2
la
Exercice 4 : 7 points
` tous les candidats Commun a
1 Le but de l’exercice est de montrer que l’´equation (E) : ex = , admet une unique solution dans x l’ensemble R des nombres r´eels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicit´ e de la solution. On note f la fonction d´efinie sur R par : f (x) = x − ex . 1. D´emontrer que x est solution de l’´equation (E) si et seulement si f (x) = 0. ´ 2. Etude du signe de la fonction f . ´ a) Etudier le sens de variation de la fonction f sur R. b) En d´eduire que l’´equation (E) poss`ede une unique solution sur R, not´ee α. c) D´emontrer que α appartient `a l’intervalle [ 21 ; 1]. ´ d) Etudier le signe de f sur l’intervalle [0; α]. II. Deuxi` eme approche. On note g la fonction d´efinie sur l’intervalle [0; 1] par : g(x) =
1+x . 1 + ex
1. D´emontrer que l’´equation f (x) = 0 est ´equivalente `a l’equation : g(x) = x. 2. En d´eduire que α est l’unique r´eel v´erifiant g(α) = α.
3. Calculer g 0 (x) et en d´eduire que la fonction g est croissante sur l’intervalle [0; α]. III. Construction d’une suite de r´ eels ayant pour limite α. On consid`ere la suite (un ) d´efinie par : u0 = 0 et, pour tout entier naturel n, par : un+1 = g(un ). 1. D´emontrer par r´ecurrence que, pour tout entier naturel n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α. 2. En d´eduire que la suite (un ) est convergente. On note l sa limite. 3. Justifier l’´egalit´e : g(l) = l. En d´eduire la valeur de l. ` l’aide de la calculatrice, d´eterminer une valeur approch´ee de u4 arrondie `a la sixi`eme 4. A d´ecimale.
Mise `a disposition P.-A. Desrousseaux
´ Centres Etrangers Juin 2007
Baccalaur´ eat S
Correction
Exercice 1 : 4 points
` tous les candidats Commun a 1. a) La probabilit´e de tirer trois boules noires est : p = P (N N N ) =
3 2 1 1 × × = . 8 7 6 56
R´eponse A. b) La probabilit´e de tirer 3 boules de la mˆeme couleur est : p0 = P (RRR) + P (N N N ) =
1 11 5 4 3 × × + = . 8 7 6 56 56
R´eponse A. 2. X ´etant la variable al´eatoire qui compte le nombre de boules noires tir´ees. Il s’agit d’une loi binomiˆale de param`etres n = 5 et α = 38 . a) La probabilit´e d’obtenir 5 fois une boule noire est : 5 3 P (X = 5) = . 8 R´eponse B. b) La probabilit´e d’obtenir 2 boules noires et 3 boules blanches est : 3 2 3 2 5 5 3 5 3 P (X = 2) = × × = 10 × × . 2 8 8 8 8 R´eponse C. 3. a) La probabilit´e conditionnelle PR1 (R2 ) est : 74 . R´eponse B. b) La probabilit´e de l’´ev´enement R1 ∩ N2 est : P (R1 ∩ N2 ) = PR1 (R2 ) × P (R1 ) =
5 3 15 × = . 8 7 56
R´eponse C. c) La probabilit´e de tirer une boule rouge au deuxi`eme tirage est : P (R2 ) = P (R1 ∩ R2 ) + P (N1 ∩ R2 ) =
5 5 4 3 5 × + × = . 8 7 8 7 8
R´eponse A. d) La probabilit´e de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu’on a obtenu une boule noire au second tirage est : PN2 (R1 ) = R´eponse C.
15 P (R1 ∩ N2 ) 5 = 56 5 = . P (N2 ) 7 1− 8
Exercice 2 : ´serve ´ aux candidats n’ayant pas choisi l’enseignement de spe ´cialite ´ Re
5 points
I. Restitution organis´ ee de connaissances. On pose z = x + iy. 1. z = −z ⇐⇒ x − iy = −(x + iy) ⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0 ⇐⇒ z est un imaginaire pur. 2. z = z ⇐⇒ x − iy = x + iy ⇐⇒ 2iy = 0 ⇐⇒ y = 0 ⇐⇒ z est un r´eel pur. 3. zz = (x + iy)(x − iy) = x2 + y2 = |z|2 . II. Etude d’un cas particulier. √ √ √ 1. OA = |a| = 10, OB = |b| = 10 et OC √ = |c| = 10. Ainsi O est le centre du cercle (de rayon 10) circonscrit au triangle ABC. √ √ 2. H a pour affixe h = a + b + c = 2 − 5 + i(4 − 5). On v´erifie sur le graphique ci-dessous que le point H est l’orthocentre du triangle ABC.
III. Etude du cas g´ en´ eral. 1.O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC si et seulement si OA2 = OB 2 = OC 2 ce qui revient d’apr`es le I.3. `a aa = bb = cc. 2. a) On dispose de w = bc − bc, ainsi w = bc − bc = −w. Donc, d’apr`es le I.1, w est un imaginaire pur. b) (b + c)(b − c) = bc − bc + (bb − cc) = w car bb = cc. b+c (b + c)(b − c) (b + c)(b − c) w = = = . b−c |b − c|2 (b − c)(b − c) (b − c)(b − c) b+c est un imaginaire pur. b−c −−→ −−→ 3. a) L’affixe du vecteur AH est (a + b + c) − a = b + c, et celle du vecteur CB est b − c. −−→ −−→ b+c b+c b) (CB, AH) = Arg = π2 + kπ, o` u k ∈ Z, car d’apr`es le 2.c), est un imaginaire b−c b−c pur. c) |b−c|2 est un r´eel et d’apr`es le a), w est un imaginaire pur, donc
c) D’apr`es la r´eponse pr´ec´edente, (AH) ⊥ (BC) donc (AH) est a hauteur issue de A dans −→ −−→ le triangle ABC, et puisqu’on admet que (CA, BH) = π2 + kπ, avec k ∈ Z, c’est que (BH) est la hauteur issue de B dans le triange ABC. Ainsi, H est l’orthocentre de ce triangle.
Exercice 2 : ´serve ´ aux candidats ayant choisi l’enseignement de spe ´cialite ´ Re
5 points
I. Restitution organis´ ee de connaissances. (a 6= 1). L’affixe ω du centre de cette similitude v´erifie : ω = aω + b c’est `a dire ω =
b . 1−a
II. Premi` ere d´ ecomposition de f . √ 2i 2 − 2 √ = −2 ; 1. D’apr`es le I, l’affixe ω du centre Ω de la similitude directe g est ω = 1−i 2 √ √ le rapport est k = |a| = |i √ 2| = 2 ; l’angle θ = Arg(a) = Arg(i 2) = π2 (2π). 2. La r´eflexion s d’axe (Ox) a pour expression z 0 = z. On v´erifie ais´ement que pour tout nombre complexe z, g ◦ s(z) = g(z) = f (z). III. Deuxi` eme d´ ecomposition de f . 1. On pose ω 0 , l’ (ou les) affixe(s) du (ou des) point(s) fixe(s) de f . ω 0 = x0 + iy 0 . ω 0 v´erifie √ √ ω 0 = i 2 ω 0 + 2i 2 − 2 en identifiant les parties r´eelles et imaginaires, on obtient le syst`eme : 0 √ 0 x =0 √ − 0 2y 0 + 2√ 2x − y + 2 2 = 0 Ainsi, x0 et y 0 ´etant d´etermin´es de fa¸con unique, ω 0 est unique. La r´esolution du syst`eme pr´ec´edent donne : x0 = −2 et y 0 = 0, ainsi ω 0 = −2 = ω. 2. Un point N (x; y) de D a pour affixe z =√x + iy avec √ y = x +√2 et dans ce cas, √ le point 0 = x0 + iy 0 = i 2 z + 2i 2 − 2 = i 2 (x + iy) + 2i 2 − 2 = f√ (N ) a alors pour affixe z √ √ √ ( 2 x + 2 2 − 2) + i( 2 x + 2 2). Ainsi, N ∈ D ⇐⇒ y = x + 2 ⇐⇒ y 0 = x0 + 2 ⇐⇒ f (N ) ∈ D. 3. Soit σ la r´eflexion d’axe D, d’´ecriture complexe z 0 = az + b. a) Les points A(−2) et B(2i) sont situ´es sur D donc sont invariants par σ. Ainsi, −2 = −2a + b 2i = −2ia + b Ce qui donne a = i et b = −2 + 2i. Finalement, σ : z 7→ z 0 = iz − 2 + 2i.
b) Puisque par hypoth`ese, k = f ◦ σ, pour tout nombre complexe z, √ √ √ √ k(z) = f ◦ σ(z) = f (iz − 2 + 2i) = i 2 (iz − 2 + 2i) + 2i 2 − 2 = 2 z + 2 2 − 2. √ √ c) Puisque 2 est un nombre r´eel,√diff´erent de 1, k est une homth´etie de rapport 2 ; √ son centre v´erifie, ω 00 = 2 ω 00 + 2 2 − 2, ce qui donne ω 00 = −2 = ω. 4. k = f ◦ σ donne k ◦ σ −1 = f ◦ σ ◦ σ −1 = f , or σ −1 = σ, donc f = k ◦ σ. Finalement, f s’´ecrit comme la compos´ee de la r´eflexion σ et de l’homoth´etie k (qui ont mˆeme centre Ω).
Exercice 3 : 4 points
` tous les candidats Commun a I. Question pr´ eliminaire. 1. T coupe l’axe des abscisses au point H d’ordonn´ee nulle, ainsi : 0 = f 0 (x)[XT − x] + f (x) ⇐⇒ 0 = f 0 (x).XT − x.f 0 (x) + f (x) f (x) ⇐⇒ f 0 (x).XT = x.f 0 (x) − f (x) ⇐⇒ XT = x − 0 . f (x) 2. T coupe l’axe des ordonn´ees au point K d’abscisse nulle, ainsi : YT = f 0 (x)[0 − x] + f (x) ⇐⇒ YT = f (x) − x.f 0 (x).
II. 1. On pose y = f (x) pour tout x r´eel. y f v´erifie la propri´et´e 1, si et seulement si, y v´erifie la propri´et´e 1 ⇐⇒ XT − x = − 0 y y 1 0 ⇐⇒ k = 0 ⇐⇒ y = y. y k 2. Les fonctions qui v´erifient l’´equation diff´erentielle : y0 =
1 y k
s’´ecrivent
1
pour tout x r´eel, f (x) = A.e k x avec A ∈ R. Pour k = 21 et f (0) = 1, on trouve A = 1, ainsi il s’agit de la fonction d´efinie sur R, par l’expression : f (x) = e2x . III. 1. On pose y = f (x) pour tout x > 0. f v´erifie la propri´et´e 2, si et seulement si, y v´erifie la propri´et´e 2 y − YT k ⇐⇒ YT − f (x) = −x.f 0 (x) ⇐⇒ YT − y = −x.y 0 ⇐⇒ y 0 = ⇐⇒ y 0 = . x x 2. Les fonctions qui v´erifient l’´equation diff´erentielle : y0 =
k x
s’´ecrivent
pour tout x > 0, f (x) = k.ln(x) + B avec B ∈ R.
Pour k = 12 et f (1) = 0, on trouve B = 0, ainsi il s’agit de la fonction d´efinie sur ]0; +∞[, par l’expression : f (x) = 12 .ln(x).
Exercice 4 : 7 points
` tous les candidats Commun a I. Existence et unicit´ e de la solution. 1. x est solution de l’´equation (E) si et seulement si ex = x1 ⇐⇒ e−x = x ⇐⇒ x − e−x = 0 ⇐⇒ f (x) = 0.
2. a) La fonction f est d´erivable sur R. Pour tout x de R, f 0 (x) = 1 + e−x , qui est strictement positive, donc la fonction f est strictement croissante sur R. b) f est continue sur R car elle est d´erivable ; f est strictement croissante sur R ; limx→−∞ f (x) = −∞ et limx→+∞ f (x) = +∞, d’apr`es le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, il existe une unique valeur r´eelle α solution de l’´equation f (x) = 0, c’est `a dire que, d’apr`es le I.1, l’´equation (E) poss`ede une unique solution sur R, not´ee α. c) f ( 12 ) ≈ −0, 11 < 0 et f (1) ≈ 0, 63 > 0, donc α ∈ [ 21 ; 1]. d) Puisque f est strictement croissante sur R et que f (α) = 0, on en d´eduit que f (x) ≥ 0 pour tout x de [0; α]. II. Deuxi` eme approche. 1. g(x) = x ⇐⇒
1+x = x ⇐⇒ 1 + x = x.(1 + ex ) ⇐⇒ 1 = x.ex ⇐⇒ e−x = x ⇐⇒ 1 + ex
f (x) = 0. 2. α est l’unique r´eel v´erifiant f (α) = 0 donc l’unique r´eel v´erifiant g(α) = α, d’apr`es la r´eponse pr´ec´edente. 3. g est d´erivable sur [0; 1], pour tout x de cet intervalle, g 0 (x) =
(1 + ex ) − ex (1 + x) 1 − xex = . (1 + ex )2 (1 + ex )2
Pour tout x ∈ [0; α], (1 + ex )2 > 0 et 1 − xex = ex .f (x) qui est positif sur cet intervalle d’apr`es le 1.2.d), donc g 0 (x) ≥ 0, ainsi la fonction g est croissante sur l’intervalle [0; α]. III. Construction d’une suite de r´ eels ayant pour limite α. 1. On v´erifie la propri´et´e au rang initial : u0 = 0, u1 = g(u0 ) = 0 ≤ u0 ≤ u1 ≤ α.
1 2
et α ∈ [ 12 ; 1], ainsi, on a bien
On suppose que la propri´et´e est vraie `a un rang n fix´e, c’est `a dire que 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α. On la d´emontre au rang suivant : on a suppos´e que : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α on compose `a l’aide de la fonction g qui est croissante sur [0; α] : g(0) ≤ g(un ) ≤ g(un+1 ) ≤ g(α) sachant que g(0) = 21 , g(un ) = un+1 , g(un+1 ) = un+2 , g(α) = α, 1 ≤ un+1 ≤ un+2 ≤ α. 2 ainsi, la prorpi´et´e est v´erifi´ee au rang n + 1. 0≤
Finalement, pour tout entier naturel n : 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α. 2. La suite u est croissante puisque pour tout entier naturel n : un ≤ un+1 ; elle est major´ee puisque pour tout entier naturel n : un ≤ α. Donc elle converge. On note l sa limite. 3. La suite u est d´efinie par r´ecurrence `a l’aide de la fonction g. Cette fonction est continue sur [0; α], et u est convergente, d’apr`es le cours, on a alors : g(l) = l. α ´etant l’unique r´eel v´erifiant g(α) =, c’est que = α. ` l’aide de la calculatrice, u4 ≈ 0, 567143 . 4. A
Mise `a disposition P.-A. Desrousseaux