Calcul intégral by beebac

DEVOIR SURVEILLÉ 9 (2 heures)

2003/2004

La calculatrice est autorisée. Les exercices sont indépendants. Une grande part de la notation sera accordée à la rédaction et aux justifications données.

Exercice 1 (6 points) Différentes techniques de calcul d'intégrales Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes

1. On considère l'intégrale I suivante : I=

x2 dx x+2

1 0

a. Démontrer que pour tout réel x de [0 ; 1], on a : x2 4 =x-2+ x+2 x+2 b. En déduire la valeur exacte de I. 2. On considère les intégrales I et J suivantes : I=

+3 dx e +4

ln16 e x 0

ln16 0

1 dx e +4 x

a. Calculer I - 3J et I + J. b. En déduire la valeur exacte de I et de J. 3. Soit ¦ la fonction définie sur [-1 ; 1] par : ¦(x) = 1 - x 2 a. Vérifier que la courbe C¦ représentant ¦ est le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives.

b. En déduire :

1 - x 2 dx =

p 4

4. On considère l'intégrale I suivante : I=

e t sin t dt

À l'aide de deux intégrations par parties successives, calculer I.

Exercice 2 (3 points) Deux questions ouvertes 1. Si deux fonctions ¦ et g continues sur un intervalle I = [a, b] sont telles que ¦ = g sur I alors :

¦(t ) dt =

g (t )dt a

La réciproque n'est pas vraie. Trouver un contre-exemple. 2. Si deux fonctions ¦ et g continues sur un intervalle I = [a, b] sont telles que ¦  g sur I alors :

b a

¦(t ) dt 

g (t )dt a

La réciproque n'est pas vraie. Trouver un contre-exemple.

TS DS 9

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Exercice 3 (3 points) Calcul intégral et électricité Soit w un réel strictement positif et T =

2p . w

1. Démontrer que : 1 T

T 0

1 sin (wt ) dt = 2 2

On rappelle que : sin2(A) =

1 - cos(2 A) 2

2. On appelle intensité efficace Ieff d'un courant alternatif, l'intensité d'un courant continu (on devrait plutôt dire "constant") qui produirait, à travers la même résistance R, le même effet calorifique pendant la durée d'une période T. Dans le cas d'un courant de type sinusoïdal : si I(t) = Imax sin(wt) est l'intensité du courant à l'instant t du courant alternatif, la loi de Joule donne : 2 T= R I eff

Imax =

En déduire la relation :

RI 2 (t ) dt

2 Ieff

Exercice 4 (8 points) Intégrales et suites On considère la suite (In) définie pour n Î  par : In =

t n e - t dt

1. Calcul des premiers termes a. Calculer I0. b. À l'aide d'une intégration par parties, calculer I1. 2. Etude de la convergence de la suite (In). a. Montrer que la suite (In) est positive. b. Montrer que la suite (In) est décroissante. c. En déduire que la suite (In) converge. 3. Calcul de la limite de la suite (In) a. Démontrer que pour tout entier naturel n : In+1 = (n + 1)In -

1 e

b. Démontrer que pour tout entier naturel n Î * : 1 1  In  (n + 1)e ne c. En déduire la limite de la suite (In). 4. Approximation de certains termes de (In) a. À l'aide de la question 3.b., donner un encadrement de I10. Quelle est l'amplitude de cet encadrement ? b. À partir de quelle valeur de n l'encadrement de In a une amplitude inférieure à 10-3 ?

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DEVOIR SURVEILLÉ 9 : CORRIGÉ

2003/2004

Exercice 1 (6 points) Différentes techniques de calcul d'intégrales 1. On considère l'intégrale I suivante : I=

x2 dx x+2

1 0

a. Pour tout réel x de [0 ; 1], on a : x 2 - 4 + 4 ( x - 2)( x + 2) + 4 x2 4 = = =x-2+ x+2 x+2 x+2 x+2 b. On a ainsi : I=

2 æ x - 2 + 4 ö dx = é x - 2 x + 4 ln( x + 2) ù = - 3 + 4 ln 3 ç ÷ ê ú 0è 2 2 x+2ø ë2 û0 1

2. On considère les intégrales I et J suivantes : I=

+3 dx e +4

ln16 e x

ln16 0

1 dx e +4 x

a. On a : I - 3J =

ln16 0

(

)

ln16 ex = ln 20 - ln 5 = ln 4 dx = é ln e x + 4 ù ë û0 e +4 x

I+J=

ln16

1 dx = ln 16

b. Pour calculer I et J, on résout le système : ì I + J = ln16 í î I - 3J = ln 4 En soustrayant les deux équations, on obtient : 4J = ln 16 - ln 4 = ln 4 = 2 ln 2 J= D'où :

ln 2 2

I = 2 ln 2 + 3J =

7ln 2 2

3. Soit ¦ la fonction définie sur [-1 ; 1] par : ¦(x) = 1 - x 2 a. Soit M(x, y) un point de C¦ . On a alors : y = 1 - x2  0 Donc M est situé dans le demi-plan des ordonnées positives. De plus : OM2 = x 2 + y 2 = x 2 + 1 - x 2 = 1 Et comme OM  0 (c'est une distance) :

OM = 1

Donc M est situé sur le demi-cercle de centre O et de rayon 1 correspondant aux ordonnées positives. Réciproquement, soit N(a, b) un point de ce demi-cercle. On a alors :

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b  0 et ON2 = 1 b  0 et a 2 + b 2 = 1 b  0 et b 2 = 1 - a 2 Et comme a Î [-1 ; 1], on a 1 - a 2  0, d'où : b = 1 - a 2 b = ¦(a) N Î C¦ On a montré que la courbe C¦ coïncide avec le demi-cercle de centre O et de rayon 1 qui est situé dans le demi-plan des ordonnées positives. b. La quantité

1 0

1 - x 2 dx représente l'aire du domaine délimité par C¦, l'axe des abscisses et les droites

verticales d'équations respectives x = 0 et x = 1. Ce domaine est un quart de disque de rayon 1. Son aire est donc égale à

p : 4

p u.a. 4

1 - x 2 dx =

y 1 C¦

-1

4. On considère l'intégrale I suivante : I=

e t sin t dt

u(t) = et et

On pose : Ainsi :

v'(t) = sin t

u'(t) = e et v(t) = = -cos t t

Une intégration par parties donne : p

I = éë -e t cos t ùû + 0 Posons :

e t cos t dt

Une nouvelle intégration par parties permet d'exprimer J en fonction de I : p

J = éëe t sin t ùû 0 Finalement :

e t sin t dt = -I

I = ep + 1 - I 2I = ep + 1 I=

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ep + 1 2

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Exercice 2 (3 points) Deux questions ouvertes ¦(t) = t et g(t) = -t sur [-1 ; 1]

1. Il suffit de choisir :

On a alors :

¦(t ) dt =

g (t )dt =

1 -1

t dt =

1 -1

( -t )dt = 0

Et pourtant, les fonctions ¦ et g sont différentes sur [-1 ; 1] ¦(t) = t et g(t) =

2. Il suffit de choisir :

On a alors :

1 0

¦(t ) dt 

sur [0 ; 1]

1 et 2

¦(t ) dt =

On a donc bien :

3 4

g (t ) dt =

3 4

g (t ) dt 0

Et pourtant, on n'a pas ¦  g sur [0 ; 1] puisque ¦(0,9) >

3 4

Exercice 3 (3 points) Calcul intégral et électricité 2p . w

Soit w un réel strictement positif et T = 1. On a : 1 T

sin 2 (wt ) dt =

1 2T

T 0

(1 - cos(2wt ) ) dt = 1 T

Et puisque 2wT = 4p :

1 é sin(2wt ) ù 1 é sin(2wT ) ù = tT2T êë 2w úû 0 2T êë 2w úû

sin 2 (wt ) dt =

1 2

2. En simplifiant par R, on obtient : 2 I eff T=

T 0

2 I 2 (t )dt = I max

T 0

2 sin 2 (wt ) dt = I max

T 2

2 2 I max = 2 I eff

D'où :

Imax =

2 Ieff

Exercice 4 (8 points) Intégrales et suites On considère la suite (In) définie pour n Î  par : In =

t n e - t dt

1. Calcul des premiers termes a. On a :

b. On a : Posons : TS DS 9

I0 =

1 0

1 1 e -t dt = é -e -t ù = -e-1 + 1 = 1 ë û0 e

I1 =

te - t dt

u(t) = t et v'(t) = e-t Page 5

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u'(t) = 1 et v(t) = -e-t

Ainsi : Une intégration par parties donne : 1

I1 = é -te - t ù + ë û0

1 2 e -t dt = éë (-t - 1)e - t ùû = -2e-1 + 1 = 1 0 0 e

2. Etude de la convergence de la suite (In). tn  0

a. Pour tout réel t de [0, 1], on a :

Comme l'exponentielle est strictement positive : tn et  0 Et en intégrant entre 0 et 1 :

1 0

t n e - t dt  0 In  0

b. Étudions, pour tout entier naturel n, la signe de la différence In+1 - In : In+1 - In =

t n +1e -t dt -

t n e - t dt =

(t n +1 - t n )e - t dt =

t n (t - 1)e -t dt

t-10

Or, comme t Î [0, 1], on a :

tn(t - 1)et  0

D'où Et en intégrant entre 0 et 1 :

1 0

t n (t - 1)e -t dt  0 In+1 - In  0

Ceci étant valable pour tout entier naturel n, on en déduit bien que la suite (In) est décroissante. c. La suite (In) est décroissante et minorée par 0 (puisque positive) donc bien convergente. 3. Calcul de la limite de la suite (In) a. On effectue une intégration par parties. On pose : u(t) = tn+1 et v'(t) = e-t u'(t) = (n + 1)tn et v(t) = -e-t

Ainsi : On obtient : 1

In+1 = éë -t n +1e - t ùû + (n + 1) 0

1 0

t n e - t dt = -e-1 + (n + 1)In = (n + 1)In -

1 e

b. D'une part, on a d'après la question 2.a. : In+1  0

Pour tout entier naturel n : Et d'après 3.a. :

(n + 1)In In 

1 0 e

1 (n + 1)e

D'autre part, on a d'après la question 2.b. : Pour tout entier naturel n : Et d'après 3.a. :

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In+1 - In  0 (n + 1)In -

1 - In  0 e

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1 0 e

nIn Et pour n Î * :

In 

1 ne

Conclusion : pour tout entier naturel n Î * : 1 1  In  (n + 1)e ne c. On a :

1 1 = lim =0 (n + 1)e n®+¥ ne

lim n®+¥

Du théorème des gendarmes, on déduit : lim In = 0

n®+¥

4. Approximation de certains termes de (In) a. Pour n = 10, l'encadrement de la question 3.b. donne : 1 1  In  11e 10e Soit approximativement : 0,03344  In  0,03679 L'amplitude de l'encadrement est de : 1 1 1 =  0,00335 10e 11e 110e b. On recherche les valeurs de n pour lesquelles : 1 1  0,001 ne (n + 1)e 1  0,001e n(n + 1) n2 + n -

1000 0 e

D=1+

On calcule le discriminant :

4000 e

L'inéquation admet les racines suivantes : n1 =

-1 - D -1 + D  -19,68 et n2 =  18,68 2 2

Comme n est entier naturel, on a :

S = 19, +¥

Conclusion : à partir de n = 19, l'encadrement de In a une amplitude inférieure à 10-3.

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