Algebra by BENALCAL

Índice Unidad I Capítulo 1

Teoría de exponentes - Ecuaciones exponenciales

Capítulo 2

Grados y polinomios

Capítulo 3

Productos notables

Capítulo 4

División algebraica I

Capítulo 5

División algebraica II

Capítulo 6

Factorización I

Capítulo 7

Factorización II

Capítulo 8

Fracciones algebraicas

Capítulo 9

Repaso I

Unidad II Capítulo 10

Radicación algebraica

Capítulo 11

Factorial - número combinatorio

Capítulo 12

Binomio de Newton

Capítulo 13

Números complejos

Capítulo 14

Ecuaciones de primer grado

Capítulo 15

Ecuaciones de segundo grado

Capítulo 16

Ecuaciones polinomiales

Capítulo 17

Repaso II

102

Unidad III Capítulo 18

Matrices

108

Capítulo 19

Determinantes

115

Capítulo 20

Sistema de ecuaciones

121

Capítulo 21

Desigualdades e inecuaciones lineales

127

Capítulo 22

Inecuaciones polinomiales fraccionarias

133

Capítulo 23

Inecuaciones irracionales

139

Capítulo 24

Relaciones binarias

144

Capítulo 25

Repaso III

150

Unidad IV Capítulo 26

Funciones I

156

Capítulo 27

Funciones II

162

Capítulo 28

Progresión aritmética (P.A.)

169

Capítulo 29

Progresión geométrica (P.G.)

174

Capítulo 30

Logaritmos I

180

Capítulo 31

Logaritmos II

186

Capítulo 32

Repaso IV

192

Álgebra

Capítulo

Teoría de exponentes Ecuaciones exponenciales La calculadora Voyage 200 virtual de texas En el siglo XV, el matemático francés Nicolás Chuquet introdujo en Europa occidental el uso de los números negativos, además de una notación exponencial muy parecida a la que usamos hoy en día, en la cual se utilizan indistintamente exponentes positivos o negativos. Asimismo, en 1489 el matemático alemán Johann Widmann d´Eger inventó los símbolos "+" y "–" para sustituir las letras "p" y "m", que a su vez eran las iniciales de las palabras piu (más) La famosa calculadora Texas Instruments ahora llega en su version virtual, y con miles de y minus (menos), empleadas para librerías. Características: Herramienta Personal Educativa para estudiantes universitarios de ingeniería, matemáticas, ciencias y estadística • Su Sistema Algebraico Computacional representar la suma y la resta. Luego, (CAS) permite investigar las matemáticas y ciencias utilizando notación algebraica, gráficos, tablas, matrices y otros recursos. en 1525, el matemático alemán Christoph Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada que usamos hoy en día. Este símbolo era una forma estilizada de la letra «r» de radical o raíz. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Exponentes y radicales -- Definición matemática -- Teoremas y propiedades .. Ecuaciones exponenciales -- Definición matemática -- Reglas prácticas de resolución

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Síntesis teórica

TEORÍA DE EXPONENTES

Exponente

Nulo

Operaciones

Radical

Ecuaciones exponenciales

Negativo

Multiplicación

Exponente fraccionario

Resolución

División

Operaciones

Bases iguales

Potenciación

Multiplicación

Analogías

División

Logaritmos

Potenciación

Radicación

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Completar:

a) x2 .x3

c) x21 ÷ x10 = ..........

= ........... b) (x4)3 =............... 2

d) x5 = ................

2. Efectuar:

–1 2

a) x 3 =...........

b) x

c) 3–3=...........

d) 2–2=...........

=...........

5. Resolver:

a) 9 . 16 = ............. b) 3 8 . 3 27 =.............

c) 4 16.81= ..............

27 =.............. 8

a) 2x = 4

→ x =

3. Reducir:

c) x(x–2) = 0

a) (–2)0+20 = ............. b) -10 +10 =...........

c) (2012)0 – 20120 = ..... d) 21 +12 =.............

b) 3x+2=312 →x=

d) (x+1)(x–2) = 0

x = ' 1 x2 =

x1 = x2 =

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x3.x7.x10.x2 4 3

3. Completar: A. (25 + 3 8 – 623)0

x22

(x2)3)4

x24

x4 ÷x–2

= ...........................

B. 34 + 33 + 32 + 31 = ........................... C. (x2)3. (x3)4. (x2)5 = ...........................

4 3 5 6 D. 2 .27 .28 .2 = ........................... 2 .2

4. Reducir: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales:

x+ 2 + x 4 S= 4 4x

x A. 52 =25 → x=4 ....................................( ) 5. Reducir: 5

B. 4x = 64 → x=6 ....................................( ) (x3 y3 x2 y2) 2 M= ( x5) 2 (y4) 3 C. 33+33+33=34.......................................( ) 1 –1 1 –1 ` x j + c y m =x+y................................( ) D.

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: (x4) 2 (x3) 2 x12 4

–1 2

1 2

a) 1 d) – 1 5

6. Calcular: 2n+3

2x=5 8

→

2x+1=

x x ... x 1 444 2 44 43 8 veces

c) 1 5

b) 5 e) – 5

(225) 2n + 3 .225 52n + 3 .52 .4 + 52n + 3 .53

a) 45 d) 5

b) 25 e) 1

c) 15

7. Reducir: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto 7x + 4 + 7x + 3 + 7x + 2 + 7x + 1 + 7x a la teoría de exponentes y las ecuaciones S = 7x–4 + 7x–3 + 7x–2 + 7x–1 + 7x exponenciales: a) 49 b) 343 c) 2401 22 2 2 2 2 d) 16 807 e) 4096 ....................................... ( ) A. ((x ) ) = x

6 x 3 x x 3 x ... x 3 x j =x25...............( ) 8. Reducir: B. ` 1 44444 4 2 44444 43 10 veces

81 80

) S = c 3 2 3 2 3 2 3 2 m x . x . x . x D. 2x+3=512 → x=9................................ ( ) a) x b) x2 c) xx x – 1 –1 d) x e) x 3. Completar: 9. Reducir: -1 -1 -1 A. Si: E= ` 1 j +` 1 j +...+` 1 j → E = –n n x x x "n –n 6n –n (n n) n @ , 1 444444 4 2 444444 43 R = n n ;n≠0 20 veces "6n –1(n1–n) n @ , B. Si: 36x = 216 → x = a) n b) n2 c) n–1 –2 d) n e) 1 3 4

24 12

=x2y...................................... (

C. Si: M =

D. Si: xx = 256 → x =

x y

3 4

x96 → M =

4. Reducir: E=

(x2) 4 (y3) 2 (x3) 3 (y4) 2 ; x, y ≠ 0 (x4) 2 (y3) 5 (x2) 6 (y2) 2

a) x3y5 d) x–3y–5

1 b) x5y3 c) 5 3 x y e) 1

Colegios

TRILCE

26x + 1 + 43x + 1 + 82x + 1 = 3584

–2–1

1 b) 3 c) 4 2 e) 1

a) 2 4 d) 3

–32x

11. Hallar "x", si: 8–9

= 1 2

5. Simplificar: –9 K=c 1 m 125

10. Encontrar "x" en:

a) –5

1 d) 3

1 b) – 1 c) 5 5 e) – 1 4

Central: 6198-100

Álgebra 12. Calcular el valor de "x6" en: 6

xx =

1 2

a) 2

1 b) 1 c) 4 2

d) – 1 2

e) - 2 15. Un padre decide dar como propina a sus tres hijos las siguientes cantidades: S/.4x, S/.2x+1 y S/.8x . Si el monto repartido fue de S/.88, ¿cuánto le tocó a cada uno?

13. Indicar el valor de "x" que verifica: xx =

a) 2–n

d) n

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 25 días de gestación. Suponiendo que cada pareja solo se cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 125 días?

4 nx 2 b) 2n+1 c) n e) n 2

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: (x3) 5 (x2) 3 x16 8

– 13

3x=7 → 3x+1= 9

x x ... x 1 44 4 2 44 43 9 veces

3. Completar:

1 2

A. Si: E= x –1 + x –1 + ... + x –1 → E=............... 1 4 4 4 44 2 4 4 4 44 3 10 veces

B. Si: 25x = 625 → x= ...............

C. Si: M =

D. Si: xx = 27 → x= ...............

3 36

→ M= ...............

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la teoría de exponentes y las ecuaciones exponenciales: 4. Reducir:

A. ((x4)4)4=x4 .......... ( )

x 4 x x 4 x ... x 4 x o =x18............( ) B. e 1 4444 4 2 44444 3

8 veces

C. x20 10

=x4y2............(

)

D. Si: 3x–2=81 → x=6............( )

(x4) 2 (y3) 2 (x2) 4 (y3) 3 (x2) 4 (y2) 3 (x2) 2 (y3) 2

5. Efectuar:

M = 8–27

–0,5

–9–4

6. Simplifique:

2 m + 1.52m + 1–2 m .52m ; m ≠ 0 23 .5 m + 5 m

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

7. Reducir:

11. Hallar "x" en:

x+ 1 x+ 2 x+ 3 x+ 4 x K = 3 x–1+ 3 x–2 + 3x–3 + 3x–4 + x3 3 +3 +x +3 +3

–2x–1

=1 5

12. Indicar "x" que verifica: x 8. Reducir: M= ` 3 x2 . 3 x2 . 3 x2 j . x–25 9. Reducir: 27

S = –n x2 >

xn x

x ' x ' x 'n x

=1 2

13. Indicar "x", que verifica: xx =

10. Si: 2x + 2x – 1 + 2x – 2 + 2x – 3 + 2x – 4 = 1984

1 3

14. Una raza especial de conejos se reproduce de tal manera que cada pareja da lugar a dos machos y dos hembras después de 30 días de gestación. Suponiendo que cada pareja solo se cruza una vez,¿cuál es la población generada por una pareja después de 120 días? 15. Un padre decide dar como propina a sus dos hijos las siguientes cantidades: S/.3x+3 – 3x+2 y S/.3x+1 – 3x. Si el monto repartido fue de S/.60x, ¿cuánto le tocó a cada uno?

hallar: x

Tú puedes 1. Simplificar: P =

;

a) 1

nn – (n

5n n nn j E

n)5

a) a

–1

(a2 + a) a + a H 1+a2 a . 1+a2 aa

1+a2 a

n n e) n c) nn d)

b) n

2. Simplificar: J = >

nn+1

b) 1

c) a + 1

3. Calcular "a2 + b2", si al reducir: a – c bn + a m 2n

x x3 x5 x7 ...

d) a2

e) aa

x2n–1 , se obtiene como exponente de "x" a:

a) 10 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25 x+1

4. Resolver: xx

– 32

= 2–2

; indicar: x + 1

3 b) 2 c) 4 d) 1 e) 1 a) 2 3 3 3 2 1- x 5. Calcular xx , luego de resolver: x- x = 318 a) 1/3 b) –1/3 c) 1/9

Colegios

TRILCE

d) –1/9

e) 1/27

Central: 6198-100

Capítulo

Grados y polinomios Descartes y Viete y sus notaciones algebraicas El uso de los polinomios tiene sus antecedentes en la resolución de ecuaciones algebraicas; el estudio de ecuaciones sencillas es muy antiguo, puesto que se conocen problemas propuestos en papiros y tablillas de las civilizaciones griega y babilónica. El simbolismo usado en los polinomios y ecuaciones se ha ido René Descartes Francois Viéte elaborando a lo largo de la historia y no tomó su forma actual hasta el siglo XIX. En 1591, el matemático francés François Viète desarrolló una notación algebraica muy cómoda: representaba a las incógnitas con vocales y las constantes con consonantes. En 1637, el matemático francés René Descartes fusionó la Geometría y el Álgebra inventando la "Geometría analítica". Inventó la notación algebraica moderna, en la cual las constantes están representadas por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, … y las variables o incógnitas por las últimas: x, y, z. Introdujo también la notación exponencial que usamos hoy en día. http://alerce.pntic.mec.es/jjir0003/1cmas/Algebra/polinomios.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Expresiones algebraicas .. Polinomios .. Teoría de grados .. Polinomios especiales

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Síntesis teórica

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Notación

Grados

• Variables • Constantes o

parámetros

Valor numérico

Monomio

Polinomio

• G. Absoluto

• G. Relativo

Reglas para calcular grados en operaciones

• Suma coeficientes • Término

independiente

Monomios

Colegios

TRILCE

Polinomios

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 4. En: Q(x;y;z) = 2ax3y6 - 6x5z6y7 - 219x6y9z12

1. Efectuar:

a) xm . xn = ........ b) xm ÷xn =..........

x m =............

m n

x =............

2. Efectuar:

a) x4 .x6. x13= ....... b) ((x4)3)2=...........

3 6 8 c) x .2x .5x =......... d) x .x

3 4

x24 y12 =.......

• Variables: ....................................

• Constantes: .................................

• Mayor exponente de "x": ........................

• Mayor exponente de "y": ........................

• Mayor exponente de "z": ........................

5. Si: P(x) = 4x2 – 3x + 2; calcular:

3. Completar: Coeficiente Parte literal A(x;y)=2005x6y7 T(x;y)=3ax4y6

P(2) = __________

P(–1) = ___________

P(0) = __________

P(1) = ____________

P(x;y)=219a2b3x6y7

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: P(x;y)=5x2y5

P(x)=x2+x+2

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

P(x)=2x3+4x+1

3. Completar: GA=7 GR(x)=3 Polinomio cúbico GA=7 GR(x)=2 Polinomio mónico

A. Un polinomio es .................. cuando sus términos tienen el mismo grado absoluto.

B. Sea: M(x;y;z) = 3a2b3x4y9z13 • G.R.(x) = • G.R.(y) = • G.R.(z) = • G.A.(M) =

C. Sea: P(x;y) = 3x3y2 + 5x5y • G.R.(x) = 2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los • G.R.(y) = polinomios: • G.A.(P) =

A. En: Q(x;y)=58xn–3 y; si: n=4 → GA=9...( )

B. Si: Q(x;y)= 25x4y5z6 → GR(z)=6............( )

C. El polinomio: P(x;y) = 4x2y3 – 3xy4 es homogéneo .......................................... ( )

D. Si un polinomio se anula para todo valor de la variable, el polinomio se llama......................

4. Dado el polinomio (exponentes de sus variables n

enteros positivos): x2 + x3 + x3 ; (n ≠ 0) , el mínimo entero "n" que cumple es:

D. El polinomio: P(x)=x4+x3+x2+1 es ordenado y completo........................................ ( ) 5. Si el polinomio es completo y ordenado en forma creciente: P(x) = pxm–7 + nxn–1 + mxp–4 hallar: m . n . p

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Aprende más

1. Relacionar correctamente: P(x)=2x4+5x2+3x

P(x)=x2+x3+x+5

P(x;y)=2x2y5+3x3y4

P(x;y) ≡ Q(x;y)

Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio homogéneo

A. Si: GR(x)=10 → m =9.............................( B. Si: GR(y)=12 → n =12............................( C. Si: GA=15 → m+n =14.........................( D. Si: m=3, n=5 → GA =9.........................(

) ) ) )

A. El polinomio: P(x;y)=2x4y5+5x6y3+3x2y7 es un polinomio..................... B. El polinomio: P(x;y)=x100+2x50+3x10+4 es un polinomio..................... C. El polinomio: P(x;y)=2x4+5x3+4x2+5x+2 es un polinomio..................... D. Si los polinomios: ax2+bx+c y mx2+ nx+p son identicos → a=.....; b=.....; c=.....

4. Dado el polinomio:

P(x;y) = xm+2yn–1 + xm+6yn – xm+4yn+4

Si el G.R.(x) = 20 y el grado absoluto es igual a 40, calcular el G.R.(y).

a) 22 d) 24

b) 20 e) 28

c) 18

5. Indique el grado de "R", sabiendo que:

R(x) = x

a) 1 d) 4

n–1 2

+3x

11 – n 3 +

b) 2 e) 5

219 es un polinomio. c) 3

6. En el polinomio: P(x;y)=4xm+n–2ym–3+8xm+n+5ym–4+7xm+n–6ym+2 Se verifica que la relación entre los grados relativos de "x" e "y" es 2; y además el menor exponente de ‘‘y’’ es 3. Hallar su grado absoluto.

Colegios

TRILCE

c) 17

P(x;y;z)=xm–nyp–mzn+6+xm–2nyp+3nzn+4+xm+3nyp–2mzn+2

3. Completar:

b) 16 e) 21

7. El polinomio:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto al polinomio: P(x;y)=xmyn+xm+1yn–1+xm–1yn+2

a) 15 d) 18

contiene término independiente para cada una de sus variables.

Halle: G.A.(P) + G.R.(x) + G.R.(y) + G.R.(z)

a) 38 d) 24

b) 36 e) 28

c) 40

8. Dados los polinomios "P" y "Q" de los que se conoce: G.A. `4 PQ j = 3

G.A. (P3 ÷ Q) = 4

¿Cuál es el grado de "Q"?

a) 2 d) 8

b) 4 e) 10

c) 6

9. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a+2by4 – x2ayb+7+xa–1ya–3b

Calcular: G.A.(P) + ab

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

10. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x) = xn+4+...+xa – 1+xa–2+xa–3

Calcular: a + n

a) 3 d) 16

b) 9 e) 12

c) -4

11. Calcular "A + B + C", si: (x+1)[A(x+2)+B(x–2)–3x]+15x≡(x–2)[3x+C(x+2)] Se verifica para todo "x".

a) 20 d) 23

b) 21 e) 24

c) 22

12. Si "P(x)" es idénticamente nulo, hallar "a - b" en: P(x–a) = b(x+2)+a(x+3)+2

Central: 6198-100

Álgebra

a) – 1 d) – 4

b) – 2 e) – 5

c) – 3

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "A" , "B" y "C" de forma cuadrada (de dimensiones: "x" , "y", "z" respectivamente); y de colores: "D" y "F" de forma rectangular (de dimensiones: "a", "b" y "c", "d" respectivamente) que conforman un área de: 2A+3B+2C+D+F . ¿Cuál es el área total?

13. El siguiente polinomio: P(x)= 5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a

es ordenado de forma creciente y completo.

Calcular: ab + bc + ac

a) 15 d) 27

b) 20 e) 29

15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (a – 4)x4 + 12x2 – (b – 2) S2: 12x4 + (c – 2)x2 – 10 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y perciben la misma cantidad, hallar "a+b+c" y cuál será su sueldo.

c) 22

Practica en casa 5. Indique el grado de "P", sabiendo que:

1. Relacionar correctamente: P(x;y)=x3+7+x2+4x

P(x;y)=3x3y6+8x2y7

A(x;y) ≡ B(x;y)

P(x)=4x6+8x3y+6x

Polinomios idénticos Polinomio ordenado Polinomio completo Polinomio

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al polinomio: P(x;y) = xayb + xa+1yb–1+xa–1yb+3

A. B. C. D.

Si: GR(x)=14 → a =13.........................( Si: GR(y)=15 → b =12.........................( Si: GA=20 → a+b =15........................( Si: a=5; b=6 → GA =13......................(

) ) ) )

3. Completar:

A. El polinomio: P(x;y)=9x8y5+4x6y7+8x2y11 es un polinomio ..................... B. El polinomio: P(x) =3+x10+x15+2x20 es un polinomio ..................... C. El polinomio: P(x) = x3+ 2x2+ 9x +1 es un polinomio ..................... D. Si los polinomios: px2+qx+r y mx2+ ax+f son idénticos → p=.....; q=.....; r=.....

4. Dado el monomio: M(x;y)=(3n+1)x6n–5y2n+3 Se tiene: G.R.(x) = G.R.(y) Calcular: G.A.(M) + coeficiente (M)

www.trilce.edu.pe

P(x) = x

n–1 3

+ 3x2n–3 + 219x5–n+2012

es un polinomio.

6. Si el grado absoluto de: P(x;y) = x2ay3b+1+7xay3b–1–5xay3b–3 es igual a la mitad de la suma de los exponentes de todas sus variables, calcular: G.R.(y) 7. En el siguiente polinomio:

P(x;y) = 5xn+3ym–2z6–n + xn+2ym–3zn+m

Donde: G.R.(x) – G.R.(y) = 3 ∧ G.A.(P) = 13 Calcular: 2m – n.

8. Si: P(x) es de 5to grado. Q(x) es de 4to grado. R(x) es de 3er grado.

Hallar el grado de:

(P4 – Q3) R P.Q (P – Q) 2

9. Si el polinomio:

P(x;y) = axa+3 – abxa–1yb+2+2byb+8

es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:

10. Si el polinomio: P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)

Es completo y ordenado. Calcular: (m + n + p)

Cuarto año de secundaria

Capítulo

11. Hallar "a + b + p" en: a

(aa – 2)x5+(bb – 3)x3+(p – 7)≡14x5+24x3+10 12. Se tiene: (a – 4)xy2 – (20 – b)x2y+ax2y ≡ 0 Determinar: ab . 13. Si el polinomio:

P(x) = mxp – 8+nxm–4+pxn+5+qxq – 2

es completo y ordenado en forma descendente, calcular la suma de coeficientes.

14. Las aulas del colegio TRILCE tienen losetas de colores: "P", "Q" y "R" de forma cuadrada (de dimensiones: "a" , "b" y "c" respectivamente); y de colores: "M" y "N" de forma rectangular (de dimensiones: "x", "m" y "c" , "n" respectivamente) que conforman un área de: 5P+3Q+2R+M+N . ¿Cuál es el área total? 15. El sueldo "S1" y "S2" de dos profesionales depende del número de semanas "x" que laboran y está dado por: S1: (n+1)x5 + 10x2 + (p+1) S2: 8x5 + (m –2)x2 + 11 Si ambos profesionales trabajan tres semanas y perciben la misma cantidad, hallar "m+n+p" y cuál será su sueldo.

Tú puedes x–25 12

1. Si la expresión: E(a;b)= a valor de (x – y) es:

y+3 48

es de cuarto grado con respecto a "a" y de sexto grado absoluto, el

a) 28 b) 29 c) 31 d) 32 e) 35 (b–4)

2(b – 4)

(b – 4)

2. Dado el polinomio: P(x;y) = 2xa – 3ya – (xy)a +4y4+a , donde "a" y "b" son números naturales. Si la suma de los grados absolutos de los términos del polinomio es (a2 + 2)2, el valor de "b" será: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 3. Si el polinomio: P(x) = (x2+x+3)(a – b)+(x2+x+4) (b – c)+(x2+x+5) (c – a) es idénticamente nulo, el valor de: [(b + c) ÷ a] es:

a) 1

b) -1

c) 2

d) -2

e) 3

4. Si el polinomio: P(x;y)= 3 xm–2yn–1(x7+y2n–3) es un polinomio homogéneo cuyo grado de homogeneidad es 16, hallar "mn". a) 30 b) 20 c) 35 d) 41 e) 45 5. Un polinomio "P(x)" de tercer grado, cumple con la siguiente condición: P(x) – P(x – 1) ≡ 2x(3x + 2). Hallar el coeficiente de "x" en el polinomio "P(x)". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

Productos notables Pensamiento matemático El pensamiento matemático es la capacidad que nos permite comprender las relaciones que se dan en el mundo circundante y la que nos posibilita cuantificarlas y formalizarlas para entenderlas mejor y poder comunicarlas. El desarrollo de los procesos cognitivos en el campo de la Didáctica de la Matemática es capaz de ayudar en la percepción geométrica de los productos notables y de la media geométrica, los cuales se deben realizar coordinando cierta caracterización, en donde el proceso cognitivo de visualización está íntimamente relacionada con la forma geométrica de la figura; es decir, su configuración y el razonamiento se basa en aplicar las afirmaciones matemáticas que les corresponda algebraicamente, tomando en consideración la noción de área. La coordinación de estos procesos cognitivos permitirá construir desde una perspectiva geométrica las fórmulas usadas en algunos productos notables como son el cuadrado de una suma y de una diferencia. Así mismo, se tomará en cuenta las nociones de área para la acepción geométrica tanto de los productos notables como de la cuadratura del rectángulo o la cuadratura del triángulo, las cuales son llamadas muchas veces media geométrica. http://www.sinewton.org/numeros/numeros/71/Articulos_02.pdf

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Formas generales .. Identidades auxiliares .. Igualdades condicionales

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Síntesis teórica

PRODUCTOS NOTABLES

Binomio al cuadrado

Identidades Legendre

Si: x+y+z=0

Complementarias

x 2 + y2 + z2

I. (x2n+xn+1)(x2n–xn+1) II. x3 + y3 + z3

Diferencia de cuadrados II. (x+y+z)(x2+y2+z2–xy–xz–yz) Binomio al cubo III. (x+a)(x+b)(x+c) Suma o diferencia de cubos

2 binomios con término común

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Efectuar:

4. Efectuar:

a) (x2y7)(x3y4)

= ...................

a) (x+1)(x+1) =................................

b) (x6y5) ÷ (x2y3)

= ...................

b) (x – 1)(x – 1) =................................

c) (–5x2)(+2x3)

= ...................

c) (x+2)(x – 2) =................................

d) (–3x2y3) ÷ (–3xy2) = ...................

d) (x+3)(x – 3) =................................

2. Reducir:

a) –5x2 +4x2–10x2 = .................

b) 3xy+4xy – 6xy = .................

c) 4x3+5x3 – 2x3 = .................

d) 4x2y+7x2y – 2x2y = .................

3. Efectuar:

a) x (x+y) = ................

b) x (x – 1) = ................

c) x2 (x2 +1) = ................

d) x3 (x3 – y3) = ................

5. Efectuar:

a) (2x+1)(x2) =.................................

b) (3x+2)(x2) =.................................

c) (2x+1)(x – 1) =.................................

d) (3x+1)(2x+1) =................................

Aplica lo comprendido 3. Completar:

1. Relacionar correctamente:

A. (x + a)(x +b) = ...................................

B. (x + a)(x +a) = ...................................

C. (x + y)3

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los productos notables:

D. (x + y + z)2 = ....................................

A. (x+y)2 – (x – y)2 = 0............................ ( )

4. Reducir: (x - y)(x + y) (x2 + y2) + y4

(x+y)(x – y) (x–y)(x2+xy+y2) (x+y)2 (x+y)(x2–xy+y2)

A B C D

x2+2xy+y2 x2 – y 2 x3–y3 x3+y3

= ....................................

B. (x+y)2 = x2 + y2 ................................ ( )

C. x2

D. (x+y)2 + (x – y)2 = 4xy ...................... ( )

www.trilce.edu.pe

= (x – y)(y +x)......................... ( )

5. Si: x + y + z = 0, calcular: x3 + y3 + z3 M = xyz

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 2(x2+y2) 4xy xy=6 x+y+z=0

7. Hallar el valor numérico de: P(x) = (x + 1)(x – 1)(x4 + x2 + 1)

(x+y)2+(x – y)2 x3+y3+z3=3xyz (x+y)2 – (x – y)2 (x – 2)2+(y – 3)2=0

A B C D

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a los productos notables:

A. (x – y)3 = x3 – y3 – 3 x y (x – y).............( )

B. (x – y )(x+ y )=x – y ........................( )

C. (x – 2)4 (x + 2)3 = (x2 – 4)7 ...................( )

D. x2 + y2+ z2=2(xy+xz+yz)...................( )

A. (x + y)2 +2(x + y) + 1= ..........................

B. ( x + y )( x – y ) =.............................

C. Si: x+y+z=0 → x3+y3+z3 ......................

D. (x + y)3 = .................................................

4. Reducir: P = ( 7 + 3 ) 2 +( 7 – 3 ) 2

a) 2 d) 40

b) 10 e) 16

c) 20

a) 52 d) 49

a) 666 d) 999

b) 51 e) 60

b) 444 e) 333

c) 111

8. Hallar “n”:

a) 4 d) 8

(13) (85) (74 + 64) (78 + 68) + 616 = 7n–3 b) 6 e) 5

c) 7

9. Hallar el valor numérico de: (x+1)(x2 – x+1)(x6 – x3+1)(x9 – 1) – x18+1 para: x = 2012 a) 0 d) 1

c) 201218

b) 2012 e) 2012!

10. Si: a + b + c = 0, calcular: 3 3 3 M = (a + b) + (b + c) + (c + a) (a + b) (b + c) (c + a)

a) 3 d) –2

b) –3 e) 16

c) 4

11. Hallar el valor numérico de: E = (a2 – b2) [(a2 + b2)2 – a2b2] Para: a3 = 2 +1 ∧ b3 = 2 – 1

a) 9 d) 6

b) 2 e) 1

c) 4 2

12. Si: x2 – 5 x + 1 = 0; calcular:

5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1 hallar: S = a3 + b3

Para: x = 4 + 15 + 4 – 15

3. Completar:

c) 50

y 8x4 y + 3xy4 6. Si: x + = 2; calcular: y x x5 + 2y5

M = x4 + x2 + 12 + 14 x x

a) 10 d) 13

13. Si: x =

b) 11 e) 14 4

c) 12

4 8 ∧ y= 2 1

3 b) 11 a) c) 1 11 3

d) 2

Colegios

TRILCE

e) 1 11

Calcular: =

a) 2 d) 3 2

4 2

(x + y) – (x – y) G x2 + y2 b) 4 e) 2 2

c) 3

Central: 6198-100

Álgebra 14. Se desea embalar una caja de dimensiones: Largo= x+1, Ancho=x+2 y Altura=x+3 ; para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la mínima cantidad de papel que necesitamos para forrarlo?

15. Un padre decide poner a prueba la habilidad matemática de sus hijos Edú y Mathías, para lo cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos montos están escritos de la siguiente manera: Edú → ( 3.5.17.257 + 1) 256 Mathías → 41282 - 41272 ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 2(a2+b2) 4ab ab=15 a+b+c=0

9. Multiplicar: S = ^8 2 + 1h^ 8 2 – 1h^4 2 + 1h^ 2 + 1h^ 2 h

(a+b)2+(a–b)2 a3+b3+c3=3abc (a+b)2 – (a – b)2 (a–5)2+(b–3)2=0

A B C D

10. Si: a + b + c = 0, reducir: 2 2 2 2 2 S= c a + b + c mc a 2 + ab + b2 m bc ac ab b + bc + c

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a los productos notables:

A. (a + b)3 = a3 + b3 – 3 ab(a+b)............ ( B. (a – b )(a + b )=b – a.......................... ( C. (a – 2)4 (a + 2)4 = (a2 – 4)8.................... ( D. a2 + b2 + c2 = 3abc............................. (

) ) ) )

3. Completar: A. (a+b+c)2+2(a+b+c)+1= ......................... B. ( a + b ) ( a – b ) (a + b)=........................ . C. Si: a + b + c =0 →3abc = ........................ D. (a – b)3 = ..................................................... 4. Simplificar:

S = (a + b) (a2 + b2) (a4 + b4) (a – b) + 2b8

Para: a =

2+1 ∧ b =

2 –1

12. Si: a + a– 1 = 3, calcular: M = a–3 + a–2 + a–1 + a0 + a1 + a2 + a3

13. Hallar el valor numérico de: Para: x = 3 4 , y = 3 16

(x + y) 4 – (x–y) 4 2x2 + 2y2

y y S = c x + m – c x – m ; x,y ≠ 0 y x y x 5. Si: a + b = 4 ∧ ab = 1 Hallar: P = (a2 + b2)2 6. Si: (x + y)2 = 4xy 3x + y Calcular: y 7. Reducir: S = (x + 1) (x – 1) Si: x = 3 + 8 + 3 – 8

(x4

+ 1)

8. Calcular el valor de: 32 2 4 8 16 32 64 S= 1 + 3 (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1) (2 + 1)

www.trilce.edu.pe

11. Obtener el valor de:

14. Se desea embalar una caja de dimensiones: Largo= x –1, Ancho=x +1 y Altura=x+4 ; para lo cual utilizamos papel de colores. ¿Cuál es la mínima cantidad de papel que necesitamos para forrarlo? 15. Un padre decide poner a prueba la habilidad matemática de sus hijos Paolo y Diego para lo cual entrega sus propinas en dos sobres cuyos montos están escritos de la siguiente manera: Paolo → ( 2.4.10.82 + 1) 81 Diego → 1222 – 1212 ¿Cuánto le tocó a cada uno?

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Tú puedes 3 3 2 2 1. Simplifique: 9 (a + b ) - 23(a + b), si se sabe: a + b = 8 4ab 9 ab

a) 1 b) 2 c) 8 d) 0 e) 9

2. A partir de la siguiente relación:

4 = a + b, reducir: 2163+183ab 1 + 1 a –b a - 3 b +3

a) 2 b) 4 c) 1 d) 3 e) - 4

3. Si se sabe que: (a + b - 3)2 = (a - b)2 + 3 ; calcular el valor de: A =

2ab a + b –1

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -2 4. Si: a = 5 - 2 b = 2 - 3

calcular el valor de:

a) 5+ 2

b) 5 - 2 c) 2 - 3

2 (a3 –b3) (a2 –ab + b2) (a6 + b6) + b12 d) 2 +3 e) 2+ 3

5. Si: x = 0,5 ( 3 3 + 3 2 )

y = 0,5 ( 3 3 - 3 2 )

calcular: E = 4xy(3x2 + y2) (x2 + 3y2)

3 3 2 a) 4 b) 5 c) 3 d)

Colegios

TRILCE

e) 5 3 3

Central: 6198-100

Capítulo

División algebraica I Horner, Ruffini y la división algebraica William George Horner, recibió su educación en la Escuela de Kingswood de Bristol. Resulta sorprendente que, cuando tenía 14 años, se convirtiera en maestro auxiliar de dicha escuela y, años más tarde, en Director. Horner solamente realizó una única contribución significativa a las matemáticas: el método Ruffini W. George Horner de Horner para resolver ecuaciones algebraicas. Este fue presentado a la Royal Society el 1 de julio de 1819 y publicado el mismo año en las Philosophical Transactions of the Royal Society. No obstante, algunos años antes Ruffini había descrito un método semejante, por el cual le fue concedido la medalla de oro por la Italian Mathematical Society for Science, que había reclamado mejoras sobre los métodos para obtener soluciones numéricas de ecuaciones. Sin embargo, ni Ruffini ni Horner fueron los primeros en descubrir este método, ya que el matemático chino Zhu Shijie (1270 - 1330) lo había empleado quinientos años antes. http://es.scribd.com/doc/4796836/Division-de-Polinomios

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica .. Métodos de división algebraica

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Síntesis teórica

DIVISIÓN ALGEBRAICA

- Dividendo

Definición

- Divisor - Cociente - Resto

Identidad fundamental

Métodos de División

Horner

Colegios

TRILCE

Propiedades de los grados

Teorema del Resto

Ruffini

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 4. Si: P(x) = –5x +2x4 + 3x2 + 1, entonces:

1. Efectuar: 25 a) 45x5 =......... 9x

6 b) 12x2 =......... 4x

13 6 3 6 c) 56x 12.x =......... d) 72x 8.x =......... 7x 9x

2. Si: P(x) = 5x2 +3x + 1, calcular:

5. Identificar en la siguiente división:

• P(2) = ________

• P(–1) = _________

• P(0) = ________

• P(1) = _________

3. Si: P(x) = 3x3 + 6x4 + 4x2 + 3x + 2, completar:

• • • • •

• Completar el polinomio: ............................. • Ordenar crecientemente:............................. • Ordenar decrecientemente:......................... • Término independiente: ............................. • Suma de coeficientes:..................................

Variable: ................................ Grado del polinomio: ................................ Coeficientes: ................................ Coeficiente principal: ................................ Término independiente: ............................

4x2+8x+9

x+1

3x+8 4x+1 •

Dividendo: .................

•

Divisor:......................

• Cociente:................ •

Residuo: ................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: D(x)=d(x)q(x)+R(x)

R(x)=0

Grado[D] – Grado[d]

División exacta

Identidad fundamental de la división Grado[R]máx

Grado[d] – 1

Grado[q]

3. De la división, completar: 4 3 2 2x + 3x2 + x + 9x – 15 2x + 3 x – 5

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) respecto a la división: 4 3 5 x + 12x 2+ 11x + 3x + 6 x + 5x–1

A. El grado del polinomio dividendo es 5.....( B. El grado del polinomio divisor es .............................................................( C. El grado del polinomio cociente es 2.....( D. El grado máximo del polinomio residuo 1 ..........................................................(

www.trilce.edu.pe

) 2 ) ) es )

Cociente: q(x) =

Residuo:

R(x) =

4. De la división, hallar el resto: 8 4 2 4x –6x + 2x + 1 x –1 5. De la división, hallar el resto: 100 50 + 1 –x 2x 50 x –1 Cuarto año de secundaria

Capítulo

Aprende más 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 1 2 –1

–2 4 –4 1 –1 2 –1 0 0 6 –3 4 –2 0 3 2 2 –3

x5–2x4+4x3–4x2+x–1

x3+3x+2

x2 – 2x+1

2x – 3

Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica:

2 3 4 B. Al dividir: 5x - 9x - 5x –8 + 2x –3 + x

•

Cociente: q(x) =

•

Residuo:

R(x) =

4. Calcular "a + b", si la siguiente división deja residuo –12: 4 3 x2 + ax + (b + 1) 5x + 4x –13 x2 + 2x–1

a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) – 3

5. Hallar "m + n + p", si la siguiente división es exacta: 6x5 –17x4 + 7x3 + mx2 + nx + p 3x3 –4x2 + 5x–7

A. En el método de Horner para dividir, se utilizan los polinomios completos y ordenados ............................................ ( ) b) 18 c) 17 B. En el método de Ruffini se calcula solo el a) 22 e) 28 residuo ................................................( ) d) 25 C. El teorema del resto sirve para calcular los polinomios cociente y residuo...............( ) 6. Calcular "m+p+n", si la siguiente división: D. El máximo grado del resto es el grado del dividendo menos uno............................( ) mx4 + nx3 + px2 + 17x–5 2x2 –x + 1 3. Completar: tiene residuo: R(x) = 6x – 3 y un cociente cuya 4 3 2 A. Al dividir: 6x + 10x–x2 –5–5x suma de coeficientes es 4. –3 + 2 x + x 2 –1

–1

• Cociente: q(x) = •

Colegios

Residuo:

TRILCE

–5

a) 10 d) 100

b) 70 e) – 7

c) – 1

4 2 7. Dividir: 4x + x –3x + 4 2x–1

–5

e indicar el producto de coeficientes del cociente.

a) 2 d) – 4

b) – 2 e) 6

c) 4

R(x)= Central: 6198-100

Álgebra 8. Hallar el residuo en:

13. Hallar el resto de:

5 3 x + (3 2 – 2) x + 2 2 + 7 x– 2+1

3 3 2 x (x–3) + 52(x + 1) –15x + 14 x –3 x + 1 a) 14 b) 8 c) 26 d) 15 e) 13

a) 9 d) 12

b) 10 e) 13

c) 11

9. Hallar la suma de coeficientes del cociente de la división (n ∈ ): 14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", 4 2 3 2 2 cuya área "A(x)" depende del número de nx + (3–n –n) x + (5n–3) x –8nx–8n x–n–1 alumnos "x", se sabe que: ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 9x2 + mx + n si el resto es 64. BASE : B(x)= 4x2 + x – 3 ¿Cuál es el polinomio que representa la otra a) 50 b) 53 c) 51 dimensión? d) 52 e) 60 10. Calcular el resto de la siguiente división: 15. Edú y Mathías compiten por ser el mejor alumno 40 39 de Álgebra; para ello deben resolver algunas 4x + 8x + 1 divisiones, obteniendo los resultados vistos en x+2 la tabla: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 División

11. Calcular el resto de: (x + 1) (x +23) (x + 5) (x + 7) + 4 x + 8x + 11

a) - 9 d) - 12

b) - 10 e) - 13

E D Ú M A T H Í A S

c) - 11

12. Hallar el resto de: 70 60 x40 + x20 + 7 x + x + x10 + 1

a) 8 d) 7

www.trilce.edu.pe

b) 9 e) 6

Cociente

Residuo

x2+2x+1

–11x+1

5x4 + 16x3 –8x + 2 x+3

5x3+x2+4x–2

–1

4x4 –5x3 –2x2 + 3x–1 x2 –2x–1

4x2+3x+8

22x–6

2x4 + 5x3 –4x2 –3x + 1 x+3

2x3–x2+2x+4

–1

4x 6 x – 7x + 2 x2 + 2x + 1

¿Quién ganó la competencia?

c) 10

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Practica en casa 1. Utilice el siguiente esquema de Horner, donde la única variable es "x" y relacione las columnas correctamente: 5 7

–37

2 3 4 B. Al dividir: 9x - 7x–2x –14 + x –2 + x

–12

–3

Cociente: q(x) =

Residuo:

R(x) =

4. Calcular "a + b" si la siguiente división: 10x4+6x3–37x2+36x–12

2x2+4x–3

5x2–7x+3

3x–3

Polinomio divisor Polinomio cociente Polinomio residuo Polinomio dividendo

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la división algebraica:

A. En el método de Horner para dividir se utilizan los polinomios con sus variables............... ( ) B. En el método de Ruffini se calcula el cociente y el residuo.............................................. ( ) C. En el teorema del resto no es necesario realizar la división para calcular el residuo.............( ) D. El máximo grado del resto es el grado del divisor menos uno.................................... ( )

3. Completar :

4 3 2 x + 3x + 25x + ax + (b + 1) x + 2x–1 deja como residuo a: –2. 5. Calcular (mn)2 si la división es exacta: 4 3 6x + 52x + 2mx–3n 2x + x + 3

6. Calcular "b - a" si al dividir se obtiene como resto cero: 4 2 x 2+ ax + b x +x+ 1

7. Hallar el residuo en: 4 3 2 15x –8x –9x + 7x + 1 5x–1 8. Al dividir: 3 x4 –2 2 x3 – (2 3 –1) x2 – 6 x + m x– 6

se obtuvo como resto: 3m – 4. Calcular "m".

A. Al dividir: 5x –9x 28 + 20x 4 + x –2x

9. Calcular el valor de "a", si la división: 3 2 2 x –ax –2ax–a x–a–3 deja como residuo: 7a + 2

10. Calcular el resto de la división: 5 4 (2x + 3) + (x + 3) –6x x+2

Cociente: q(x) =

Residuo:

Colegios

TRILCE

R(x) =

11. Calcular el residuo de la división: (x + 1) (x–2) (x + 4) (x–5) (x + 7) (x–8) + 1 (x + 9) (x–10) + 70 Central: 6198-100

Álgebra

ÁREA : A(x)= 8x4 + 6x3 – 23x2 + ax + b BASE : B(x)= 4x2 – 3x +1

12. Calcular el resto de: y8 + y6 - y4 + y2 + 5 y2 –2

13. Hallar el resto de: 3 3 2 x (x–2) + 26 (x + 1) –12x + 4 x –2x + 1

¿Cuál es el polinomio que representa la otra dimensión?

15. Edú, Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben resolver algunas divisiones, obteniendo los resultados vistos en la tabla. ¿Quién ganó la competencia?

14. El patio del colegio TRILCE tiene forma rectangular de dimensiones "B(x)" y "H(x)", cuya área "A(x)" depende del número de alumnos "x"; se sabe que:

División Edú

Cociente

Residuo

3x4 + 2x3 –5x2 + x + 1 3x3+5x2+1 x–1

Mathías

x4 –x3 + x2 –3x + 2 x2 + x + 2

x2–2x+1

Diego

4x3 –2x2 + x–1 x2 + x + 1

4x – 6

Tú puedes 4 3 2 1. En la siguiente división: 3x –x +2 2x + ax + a , el residuo no es de primer grado. Hallar el valor de "a". x + x–1

a) 12 b) 11 c) 13 d) 16 e) 22 4 3 2 2. En la división: 3x –x + 22x + ax + a + 8 , hallar el residuo, si no es de primer grado. x + x–1

a) 20 b) 22 c) 28 d) 30 e) 29 3. Según este esquema de Horner: 5 20 6a 7 –2

–3b

(n–4) n (n+4) Encontrar el valor de "a + b + c + d + n".

a) ( 121+2)

b) ( 2 +1)

–17c

c) ( 144 – 1)

d) 3 25

e) 1

4. Si al dividir: P(x) = 6x5 – x4 + (mx)2 + x + 3 – 2n + n2, entre: Q(x) = (x – 2x2 + 3x3), se obtiene un residuo que al permutar sus coeficientes extremos es igual al cociente. Hallar "n ÷ m" e indicar su menor valor.

a) 0

b) –1

c) 1

d) 2 3

e) – 1 3

5 4 3+ 27x2 + 19x + 5 es exacta. 5. Calcular "A + B – C", si la siguiente división: Ax + Bx + Cx 3+ 4x 3x + 1

a) 41 b) 21 c) 11 d) 10 e) 40 www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

División algebraica II Lectura En las civilizaciones antiguas, las expresiones algebraicas se escribían utilizando abreviaturas solo ocasionalmente. Sin embargo. en la Edad Media los matemáticos árabes fueron capaces de d e s c r i b i r c u a l q u i e r potencia de la incógnita "x" , a partir del cual desarrollaron el álgebra fundamental de los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos. Esta álgebra incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas de polinomios, así como el conocimiento del teorema del binomio. En España, donde la influencia árabe fue muy importante,surgió el término álgebra, usado para referirse al arte de restituir a su lugar los huesos dislocados; por ello, el término algebrista hacía referencia a la persona que sabía arreglar las dislocaciones (en El Quijote podemos encontrar estos términos en muchos de sus capítulos). El libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, fue la obra más importante del matemático árabe; parte de su título dio nombre a toda una disciplina matemática: el Álgebra. Al-jabr quiere decir algo así como "restitución", que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuación, restituir el valor de la incógnita. Con el Álgebra pasamos del número al símbolo, de lo particular a lo general. La gran expresividad del lenguaje algebraico facilita la obtención de relaciones, propiedades y la resolución de problemas. http://exactas.unsa.edu.ar/ingreso/images/pdf/teo2.pdf

En este capítulo aprenderemos .. División algebraica II -- Cocientes notables -- Divisibilidad algebraica

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

DIVISIBILIDAD ALGEBRAICA

Definición

Propiedades

En P(x), si: P(a) = 0 ⇒

Si: P(x) ÷ g(x)

R=0

P(x) ÷ h(x)

R=0

Si: P(x) ÷ g(x) P(x) ÷ h(x)

R=r R=r

COCIENTES NOTABLES (C.N.)

xn ± an x±a

Casos: − ; + ; −

− + +

Nº términos

www.trilce.edu.pe

Término general

m n Si: x ± a es un C.N. ⇒ x p ± aq

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar:

3. Hallar "x" en:

a) (x4)5 = ...................................

a) x = 36 9 x

b) x + 1 = x + 2 6 7

b) x5.x4 = ...................................

10 c) x x

= ...................................

4 9 d) x .3x x

= ...................................

2. Dado el polinomio: P(x)=x2–5x+1, Calcular:

a) P(3) = ...............................

b) P(–1)= ...............................

c) P(0)= ...............................

d) P(1)= ...............................

4. Dados: D(x)=dividendo, d(x)=divisor, q(x)=cociente y R(x)==residuo → D(x)=....................................

3 2 5. Hallar el cociente de: x + 3x + 3x + 1 x+1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

P (x) =T(x) Q (x)

x+2

x4 – y4 x–y

x2 – xy+y2

x2 + 4x + 4 x+2

P(x)=T(x).Q(x)

x3+x2y+xy2+y3

x +y x+y

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio ( x2+x – 20) es divisible por (x – 4) ..................................................( )

x5 + y5 =x4+x3y+x2y2+xy3+y4............( ) x+y

x3 –y3 =x2–xy+y2..................................( ) x–y

D. El polinomio ( x3 – 3x +2) es divisible por (x+1)......................................................( ) Colegios

TRILCE

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–4), entonces P(4)=...................... x20 –y30 B. En el cociente notable: 2 3 , el número de términos es ............. x –y

C. Desarrollar: x4 –y4 =......................................... x–y D. El polinomio ( x2 – 3x +2) es divisible por (x–1) y por ...................................

4. Hallar "m" si: P(x)=x3+2x2+x +m es divisible por: x – 2.

5. Hallar "n" para que la división genere un cociente notable: xn –yn–20 x5 –y3

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

12 24 6. Indicar el cuarto término de: 625x3 –6a 5x –a

P(x) es divisible por (x – k)

xn - an x-a

x40 - y16 x5 - y2

P(k) = 0

P(x) es divisible por Q(x)

El cociente posee 8 términos

Tk=xn–k.ak–1

Su residuo es cero

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al x30 + y30 cociente notable: 10 x + y10 A. El término central es: x10y10 ................. ( )

b) a18 e) 25x3a6

c) 5x3a12

a+ 1

7. Hallar "a" para que: cociente notable.

a) 1 d) 4

–y27 genere un xa – y

b) 2 e) 5

c) 3

8. Calcular "n" si la división:

x5n –y6n + 1 genera un cociente notable. xn –y2n–3

B. El número de términos es tres................. ( ) C. El producto de sus términos extremos es: –x30y10................................................... ( )

9. Calcular el término central generado por el desarrollo del cociente notable:

D. Si: P(x)=x2–4x+m es divisible por (x–1) → m= .................................... x5 –y5 4. Al desarrollar el cociente notable: , indix–y car uno de los términos. a) x4y d) x+y

b) xy3 e) –xy3

c) y5

5. Calcular el segundo término al desarrollar: 12 x 3–81 x –3 a) 3 d) x6

www.trilce.edu.pe

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

20 + 20 (x 1) 4– (x – 1)4 (x + 1) – (x–1)

A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–5), entonces se cumple: P(5)=........... B. En el desarrollo del cociente notable: x120 –y60 , el número de términos es .......... x10 –y5 C. El sexto término en el desarrollo del cociente x 9 –y 9 notable: es .......... x–y

a) 25x6a6 d) a6

3. Completar:

b) 2x4 e) 3x6

a) 8(x2 – 1) d) (x2 + 1)8

b) (x + 1)8 e) (x2 – 1)8

c) (x – 1)8

10. Si el polinomio: ax7 + bx5 – 1 es divisible por: mx5 + nx4 + px3 – x – 1, calcular el valor de "ab + mn + p".

a) 1 d) 5

b) 3 e) 7

c) 4

11. Si el polinomio: ax5+bx4+1, es divisible por: x2 – 2x + 1, calcular el valor de "ab".

a) 1 d) 5

b) –1 e) 20

c) –20

12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 1) y (x – 1), se obtuvo como restos 7 y 5 respectivamente. Hallar el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 1).

a) 6 – x d) x + 6

b) x + 1 e) x – 6

c) x – 1

c) 3x2

Cuarto año de secundaria

Capítulo

13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 1) y (x + 4), tiene por coeficiente principal 2 y como término independiente 20. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 2).

a) 180 d) 162

b) 210 e) 124

15. Mathías y Diego compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo los resultados vistos en la siguiente tabla: D I E G O

c) 148

14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son divisibles por (x2+2x+3) y también por (x+1), hallar el área cuadrangular en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=3.

x15 –y15 x3 –y3

CN: x12+x9y3+x6y6+x3y9+y12

xn y64 x27 –yn

Si es CN → n=12

M x12 –y12 CN:x10+x8y2+x6y4+x4y6+x2y8+y10 A x2 –y2 T H n2 5 n 7 Í x + –y + Si es CN → n=5 A xn –y2 S

¿Quién ganó la competencia?

x8 –y8 , es .......... cociente notable: x–y D. Si: P(x)=x2–5x+m es divisible por (x–2), entonces m= ..............................

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: P(x) es divisible por (x – b) Tk

=xn–k.yk–1

M(x) es divisible por N(x) 30 - 40

x y x6 - y8

Elcociente posee 5 términos

P(b)=0

xn - yn x-y

Su residuo es cero

x3 –y3 4. Desarrollar el cociente notable: ; indicar x–y el producto de sus términos. 5. ¿Cuál es el tercer término del desarrollo de: x10 –y5 ? x2 –y 6. Indicar el sexto término de:

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al x40 + y20 cociente notable: 8 x + y4 A. El término central es: x16y8.....................( ) B. El número de términos es cinco...............( ) C. El producto de sus términos extremos es: x32y32......................................................( ) 3. Completar: A. Si el polinomio P(x) es divisible por (x–7), entonces se cumple: P(7)= ..... B. En el desarrollo del cociente notable: x100 –y50 , el número de términos es .......... x10 –y5 C. El quinto término en el desarrollo del Colegios

TRILCE

256x16 –y8 2x2 –y

56 7. Si el cociente notable: x n –1 tiene 28 términos, x –1 calcular: n2+n+1 8. Hallar el número de términos del siguiente x20 – yn cociente notable: n x + y5

9. Hallar el valor de "a" si la división genera un C.N.

xa –y5a–8 x2 –y9

10. Determinar "a" para que el polinomio: P(x)=x3+ax+3 sea divisible por (x+1). 11. Determinar "a + b" de manera que el polinomio: P(x) = x3 + ax + b sea divisible por: (x – 1)2.

Central: 6198-100

Álgebra 12. Al dividir por separado un polinomio "P(x)" entre los binomios (x + 2) y (x – 2), se obtiene como restos 5 y 13 respectivamente. Calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x2 – 4).

15. Edú y Paolo compiten por ser el mejor alumno de Álgebra; para ello deben desarrollar algunos ejercicios sobre cocientes notables, obteniendo los resultados vistos en la siguiente tabla:

13. Un polinomio "P(x)" de tercer grado es divisible entre (x + 3) y (x + 2), tiene por coeficiente principal 3 y como término independiente 24. Calcular el resto que se obtiene al dividirlo entre (x – 3).

P A O L O

14. La construcción de una base cuadrangular de un edificio está en función de un polinomio cúbico cuya variable "x" representa el número de obreros que laboran. Si las dimensiones de dicha base son divisibles por (x2+3x+2) y también por (x–3), hallar el área en función de "x" y cuántos obreros trabajan si: x=4.

E D Ú

x20 –y10 x4 –y2

CN: x16+x12y2+x8y4+x4y6+y8

xn –y27 x8 –yn

Si es CN → n=6

x16 –y12 x4 –y3

CN: x12+x8y3+x4y6+y9

xn –y36 x4 –yn

Si es CN → n=12

¿Quién ganó la competencia?

Tú puedes 9

234 + 232 + 230 + ... + 1

9– 1 1. Calcular "M+N" si: M = 9 9 –89 +79 –...–9 + ; N = 32 2 2 + 228 + 224 + ... + 1 9 + 9 + 9 + ... + 9 + 9 + 1 a) 3,2 b) 5,8 c) 7,6 d) 9,8 e) 18 x3n + 4 –y4n–4 2. Indique qué valor toma "n" para que: 3n 2 4n–8 genere un C.N. x + -y a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) Nunca genera C.N. 3. Si se sabe que: ". . . + x6y6 + xayb + x2y12 + . . ." son tres términos consecutivos de un C.N., hallar el valor de "a + b". a) 13 b) 15 c) 12 d) 14 e) 10 4. Si se divide "P(x)" entre (x + 2)4, el residuo es: (x3 – 12x + 17). Calcular el residuo de dividir "P(x)" entre (x + 2)2. a) 4x + 4 b) 4x – 4 c) –16x + 13 d) –16x – 13 e) 33 5. Sea "P(x)" un polinomio de término independiente 21; tal que: P(2) = 3 y P(3) = 3. Hallar el término independiente del cociente de dividir "P(x)" entre (x – 2) (x – 3). a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Factorización I Matemática incaica En el campo de la ADN ARN Matemática, los incaicos destacaron principalmente por su capacidad de cálculo en el ámbito económico. Los quipus y yupanas fueron señal de la importancia que tuvo la matemática en la administración incaica. Esto dotó Ácido ribonucleico a los incas de una aritmética sencilla pero efectiva para fines contables, basada en el sistema decimal; conocieron el cero, y dominaron las cuatro operaciones fundamentales. Por otra parte, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exigió el desarrollo de una geometría práctica, indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par desarrollaron importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales tomaban el cuerpo humano como referencia. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Conceptos previos .. Criterios de factorización

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN

Definición

- Factor

- Nº factores

- Factor primo

- Nº factores primos

Factorización en: Z, R, C

Factorización en Z

Factor común

Identidades

Aspa simple

Agrupación

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 4. En:

1. Efectuar:

a) x(x+4 ) =.....................

b) x(a+b+c ) = ....................

c) x2(x2 +2 ) = ....................

d) x3(x3+x2+3 ) = ....................

N=23.34.53.72.115

* Número de factores primos=........

* Factores primos=........

2. Efectuar: 5. En:

a) x(2x+3) =.......................

b) 2x(x – 1) =.......................

P(x)=4.(x+1)(x –1)(x+3)(x–1)

c) 4x2(x2 –1) =.......................

* Número de factores primos algebraicos =........................................

3x2(x3

y3)

=.......................

3. Efectuar:

a) (x+2)(x+1) =.......................

b) (x+1)(x–3) =.......................

c) (x–1)(x–2) =.......................

d) (x – 3)(x+2) =.......................

* Factores primos algebraicos=................

..............................................................

Aplica lo comprendido 3. Completar luego de factorizar:

1. Relacionar correctamente: Método para factorizar

A. L(x;y)=xy+y+x+1= ................................

Polinomio

B. Q(x)=4x2 – 1= ........................................

Identidades

P(x)=x2+7x+10

Agrupación de términos

P(x)=x2 – 4

Aspa simple

P(y)=y3+y2+y

Factor común

P(x;y)=px+qx+py+qy

C. R(x)=x5+3x3+x2= ..................................

4. Factorizar: Q(x) = 400x2 – 121

2. Sea: M(x) = 3x2(2x + 1)4 (x – 2)5

Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A. B. C. D. Colegios

El número de factores primos es 2..........( La suma de los factores primos es: 4x......( El factor primo de mayor multiplicidad es (x – 2) .................................................( Un factor primo es: 3x2..........................(

TRILCE

D. P(x)=x2+4x–21= ....................................

5. Factorizar: M(x) = ax + bx + x2 + ab

) ) ) ) Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más

1. Relacionar correctamente: 8x3+27y3 x2–4xy–32y2 8x3–27y3 x2–8xy–48y2

A B C D

(x+4y)(x–12y) (2x+3y)(4x2–6xy+9y2) (x+4y)(x – 8y) (2x–3y)(4x2+6xy+9y2)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 6x3 +5x2 – 4x A. Tiene tres factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........( ) C. La suma de sus factores primos es: 6x – 1 ................................................( ) D. Tiene un factor cuadrático.................... ( )

A. F(x;y;z)=y2+xy+xz+yz = ........................ 36x2

25y2=

B. P(x;y) =

C. P(x;y) = 216x3 + 27y3= .............................

D. P(x)=x2(x+8)+2x(x+8)+(x+8) = .............

–

...............................

4. ¿Cuántos factores primos de segundo grado tiene el siguiente polinomio? P(x;y) = x5y + ax4y + x3y + ax2y

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Factorizar: P(x; y) = 2x2y + 3xy2 + xy Indicar el número de factores primos.

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

6. Factorizar: P(x; y) = 3x2 + 20xy + 12y2 e indicar la suma de factores primos.

a) 4x – 8y d) 2x + 4y

b) 4x + 8y c) 2x – 4y e) 3x2 + 12y2

7. Indicar verdadero (V) o falso (F): I. II.

Un factor primo del polinomio: P(x;y) = xm+n + ym+n + (xy)m + (xy)n luego de factorizar es: xn + ym Factorizando: P(x;y)=(x–y)3–(x–y)2–2(x–y) la suma de sus factores primos es: 3x–3y–1.

www.trilce.edu.pe

b) V F e) Ninguna

c) F V

8. Factorizar: P(x;y) = (x – y)3 – (x – y)2 – 2(x – y)

indicando un factor primo.

a) x – y + 3 d) x – y – 8

b) x – y + 2 e) x

c) x – y + 1

9. Factorizar: P(x; y) = x9y - x3y7 Indicar un factor primo.

a) x2 + xy + y2 b) x2 – xy – y2 c) x2 + y2 d) x2 + y e) x2 – y

10. Indicar el número de factores de: P(m; n; p) = (2m+3n–p)2–14m–21n+7p–18

3. Completar luego de factorizar:

a) F F d) V V

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Factorizar: P(x;y) = 4(x + 3y)2 – 9(2x – y)2 indicando un factor primo.

a) 8x + 3y d) 8x – y

b) 8x – 3y e) 4x – y

c) 8x + 6y

12. Factorizar: A(n)=(n+3) (n+2) (n+1)+(n+2) (n+1)+ (n+1)

indicando el factor primo que más se repite.

a) n + 4 d) n + 3

b) n + 1 e) n + 8

c) n + 2

13. Factorizar: P(x;y) = 36x4 - 109x2y2 + 25y4 indicando el número de factores primos.

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadrada, se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: V(x)=x3+6x2+9x. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? 15. La base de un edificio es de forma rectangular donde "A(x)" representa el área total del terreno en función de "x". Si: A(x)=6x2+11x+3 hallar las dimensiones de la base y cuál es su valor si: x=4.

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Practica en casa 7. Al factorizar: P(x) = x2(x+2)2 + x2+2x – 12

1. Relacionar correctamente: 27x3+8y3

(x+6y)(x–3y)

x2+3xy–18y2

(3x+2y)(9x2–6xy+4y2)

27x3 – 8y3

(x+9y)(x–6y)

x2+3xy–54y2

(3x–2y)(9x2+6xy+4y2)

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) luego de factorizar: A(x) = 9x3 +7x2 – 2x A. Tiene dos factores primos...................... ( ) B. Tiene dos factores primos mónicos........ ( ) C. La suma de sus factores primos es: 11x–1.... ( ) D. Tiene un factor cuadrático.................... ( ) 3. Completar con la expresión factorizada:

A. F(a;b;y)=y2+ay + ab + yb= .......................

B. P(x;y) = 81x2 – 49y2=...............................

C. P(x;y) = 64x3 + 125y3=...........................

D. P(x) =x2(x+5)+4x(x+5)+4(x+5)=............

4. Factorizar: P(x; y; z)=x2+xy+zx+zy+x+y Indicar un factor primo. 5. Factorizar: F(x) = 8x6 + 7x3 – 1; indicar el número de factores primos. 6. Dar la suma de los términos independientes de los factores primos de: P(x;y) = x2 + 2x + xy + y + 1

Colegios

TRILCE

I. Existen dos factores primos de segundo grado. II. Existe un factor primo de primer grado. III. El polinomio "P(x)" tiene tres factores primos.

8. Factorizar: P(a;b;c) = (a–b)(a3–c3) – (a–c)(a3–b3) la suma de sus factores primos es: 9. Factorizar: M(a; b) = a2 – 4 + 2ab + b2 Indicar un factor primo. 10. Indicar el número de factores primos de: P(x) = (x2 + 7x + 5)2 + 3(x2 + 1) + 21x + 2 11. Factorizar: P(x;y) = (1 + xy)2 – (x + y)2 12. Factorizar: P(x) = (x+4)(x+2)(x+1)+(x+4)(x+1)–2 (x+1)

indicando la suma de factores primos.

13. Factorizar: P(x;y) = 100x4 – 29x2y2 + y4 indicando el número de factores primos. 14. El volumen "V(x)" de una caja con base cuadrada se calcula mediante el producto de sus tres dimensiones y está dado por: V(x)= x3+8x2+ 16x. ¿Cuáles son las dimensiones de la caja? 15. La base de un edificio es de forma rectangular donde "A(x)" representa el área total del terreno en función de "x". Si : A(x) =12x2+11x+2, hallar las dimensiones de la base y cuál es su valor si : x=3.

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Al factorizar: xn + 4 – xn + 2+x4 + x3 – x2 + x+2, uno de sus factores primos tiene:

a) 3 términos

b) 4 términos

c) 5 términos

d) 6 términos

e) 7 términos

2. Uno de los factores primos de: x2x + xx – 12, para: x=3, se convierte en: a) 23 b) 25 c) 30 d) 31 e) 33 3. Factorizar: P(x;y) = x6 + 2x5y – 3x4y2 + 4x2y4 – y6 ; indicando un factor primo.

a) x3 – xy+y2

b) x3 – x2y+y2

c) x2 – xy+y3

d) x3 – x2y+y3

e) x2 – xy2+y3

4. Factorizar: F(a;b) = (a + b)7 + c3(a + b)4 – c4(a + b)3 – c7, indicando un factor primo.

a) a+b+c

b) ab+bc+ac

c) a2+ab+b2

d) a – b

e) a2+b2+ c2

5. Factorizar: P(x) = (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)2 – x6, indicando un factor primo.

a) x+2

www.trilce.edu.pe

b) x+3

c) x4+1

d) x+7

e) x+8

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Factorización II Yupana, o Ábaco inca Su potencial de contabilidad tes aún muy discutido, ya que la información numérica y las operaciones matemáticas eran realizadas en estas. Estos podían ser de piedra tallada o de barro, tenían casilleros que correspondían a las unidades decimales y se contaba con la ayuda de piedrecitas o granos de maíz quinua. Se podían indicar unidades, decenas, centenas, etc., de acuerdo a si estaban implícitas en cada operación. Investigaciones recientes en relación a las yupanas sugieren que eran capaces de calcular cifras considerables basándose en un sistema probablemente no decimal, sino en relación al número 40. En el 2010, el investigador peruano Andrés Chirinos ,revisando dibujos y descripciones antiguas de Guaman Poma de Ayala, descifró que la Yupana es una tabla con once agujeros, que él denomina "calculadora prehispánica" y es capaz de sumar, restar, multiplicar y dividir y posiblemente también registrar textos. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica_incaica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Conceptos previos .. Criterios de factorización

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIZACIÓN EN Z (Parte II)

Aspa doble

Divisores binomios o Evaluación binómica

Aspa doble especial

A qué polinomios se aplica

Regla para factorizar

A qué polinomios se aplica

Regla para factorizar

•

"Ceros" del polinomio

•

Regla para calcular "ceros"

Regla para factorizar

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de factorizar:

3. Si: P(x) = (x+1)2 (x2 + 2x + 3)3, completar:

A. L(x;y) = x4y2+ x2y2 + xy ........................ ..

B. Q(x) = x2 +x – 2 = .................................. C. R(x) = x2+ 5x = .....................................

D. P(x) = x2 – x – 6 = ....................................

• • • •

Número de factores primos: ......................... Factores primos: ........................................... Factores primos lineales: .............................. Factores primos cuadráticos: ........................

Calcular el cociente de:

3 2 x –3x + 4x + 1 x–1

2. Completar:

A. Divisores de 6= ........................................

B. Divisores de 15= ......................................

C. Divisores de 20= ......................................

D. Divisores de 36= ......................................

5. Obtener el cociente de: 4 2 x + 2x + x–1 x+2

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: Posibles ceros

3. Factorizar por aspa doble: Polinomio

±(1;2;5;10)

P(x)=x3+8x2+17x–10

± (1;2;4;8)

P(x)=x3–7x2+16x–12

± (1;2;3;6)

P(x)=x3–6x2+11x–6

± (1;2;3;4;6;12) D

P(x)=x3–8x2–x+8

P(x; y) = 6x2 – 5xy – 25y2 –23x – 5y +20

4. Factorizar por aspa doble especial: P(x) = x4 + 3x3 – x2 + 7x + 2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. El polinomio: P(x)=x3+3x2+x–2 se factoriza por divisores binómicos...................... ( ) B. El polinomio: P(x)=x4+x2+2 es mónico...( )

C. El polinomio: P(x) = x3 – 6x2 +11 x – 6 tiene como un posible cero a: x=2..................( )

5. Factorizar por divisores binómicos: P(x) = x3 – x2 – 2x – 12

D. El polinomio: P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1 se factoriza por aspa doble.......................... ( )

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 8. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 + 9x2 + 11x + 6 Indique el número de factores primos.

1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar

Polinomio

Divisores binómicos

P(x)=x2+3x+2

Aspa doble especial

P(x)=x4+3x3–x2+7x+2

Aspa doble

P(x;y)=x2+3xy+2y2–7x–9y+10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso(F) al factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 13x 10

) ) ) )

3. Completar al factorizar por aspa doble:

Luego: P(x;y) = (

)

4. Factorizar: P(x) = x3 – 5x2 – 2x + 24 indicar la suma de los términos independientes de los factores primos.

a) –7 d) 4

b) –5 e) 6

c) –3

5. Indicar un factor primo de: P(x)=x3(x+1)+2x2+5(x–3)

a) x2 – 5 d) x2 – 3

b) x2 + 5 e) x2 + 3

c) x2 – x – 3

6. Factorizar: H(x) = x3 – 7x + 6 Indicar un factor primo.

a) x – 3 d) x + 1

b) x + 2 e) x

c) x – 1

7. Factorizar: P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x-11y–10, indicando la suma de sus factores primos.

a) 5x+2y+3 d) x+y+1

www.trilce.edu.pe

b) 5x+y–3 e) x+2y+3

a) 3x+y d) 5x–2y+2

b) 3x+y+2 e) 5x + 2

c) 5x+2y

a) 4x + 3 d) 4x + 6

b) 4x + 4 e) 4x + 7

c) 4x + 5

11. Indicar un factor primo de: P(x) = x4 + 4x2 + 16 a) x2 + 2x + 4 b) x2 + 2x c) x2 – 2x 2 2 d) x – 2x + 3 e) x + 6x – 1

12. Indicar un factor primo de: P(x)=6x6–5x5–6x4–13x2–6

)(

P(x;y) = x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y + 6 III

c) 3

10. Factorizar: P(x) = x4 + 5x3 – 7x2 - 29x + 30 indicar la suma de todos los factores primos.

A. El polinomio tiene dos factores primos.... ( B. El polinomio tiene tres factores primos.... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2.... ( D. Uno de los factores primos es: x – 2........ (

b) 2 e) 5

9. Factorizar: P(x;y)=15x2+11xy+2y2+16x+6y+4 Indicar un factor primo.

P(x)=x3–x2–2x–12

Aspa simple C

a) 1 d) 4

c) 5x+2y–3

a) 2x3 – 1 c) 2x3 – 3x2 – 2 e) x3 – 3

b) 2x3 – 3x3 + 2 d) x3

13. Indicar un factor primo de: P(x; y; z) = 10x2 – yz + 3y2 – 17xy + 5xz

a) y – x d) 2x – 3y – z

b) 2x+3y+z c) 5x – y e) 5x + y

14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" y altura "H(x)". Encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x"; se sabe que: VOLUMEN : V(x)= x3 – 6x2 + 11x – 6 ALTURA : H(x)= x – 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8. 15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x) ; donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)=x4+6x3+7x2+6x+1, hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de x.

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Practica en casa 7. Factorizar: P(x;y)=3x2+4xy+y2+4x+2y+1 indicando uno de los factores primos.

1. Relacionar las columnas correctamente: Método para factorizar

Polinomio

Divisores binómicos

P(x;y)=6x2+7xy–3y2+11x–11y–10

Aspa doble especial

P(x)=x2 – 2x – 24

Aspa simple

P(x)=x4+6x3+7x2+6x+1

Aspa doble

P(x)=x3+6x2+11x+6

8. Factorizar: P(x) = x4 – 2x3 –10x2 + 5x + 12 9. Factorizar: P(x; y)=10x2+11xy–6y2–x–11y–3 Indicar un factor primo. 10. Indicar un factor de: P(x)=x4+7x3+14x2+7x+1 11. Factorizar: P(x) = x4 + 2x2 + 9 indicar un término de un factor primo.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) al factorizar: P(x) = x3 – 3x +2 3.

A. El polinomio tiene dos factores primos..... ( B. El polinomio tiene tres factores primos..... ( C. La suma de sus factores primos es: 3x+2.... ( D. Uno de los factores primos es (x – 1)........ ( Completar al factorizar por aspa doble: P(x;y) = 5x2 + 8xy + 3y2 + 2x + 0y – 3 I

III

Luego: P(x;y) = __________________

4. Factorizar: P(x) = x3 + 2x2 – 5x – 6 indicar la suma de los factores primos. 5. Indicar un factor primo de: M(x) = 2x3 – 5x2 – 23x - 10

12. Indicar la suma de coeficientes de los factores primos de: P(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10 ) ) ) )

13. Indicar un factor primo de: P(x; y; z)=6x2 – 20y2 – 14z2+7xy+38yz – 17xz 14. El volumen de una caja está dado por "V(x)" y altura "H(x)", encontrar los valores de las otras dimensiones si estos son polinomios de coeficientes enteros que dependen del valor de "x", se sabe que: VOLUMEN : V(x)= x3+6x2 + 11x +6 ALTURA : H(x)= x + 2 Además calcular el valor de dichas dimensiones si el valor de "x" es 8. 15. Los ingresos de una tienda están dados por: I(x)=P(x).Q(x); donde: I(x): Ingreso; P(x): Precio de venta; Q(x): Cantidad de artículos vendidos. Si el ingreso es: I(x)= x4+3x3+ 7x2 +7x +6; hallar el precio de venta y la cantidad de artículos vendidos en función de "x".

6. Indicar un factor primode: P(x) = x3 + 5x + 6

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Al factorizar: P(x) = x5 + 5x4 + 7x3 – x2 – 8x – 4 , indique "V" o "F"

I. El polinomio tiene cinco factores primos. III. La suma de sus factores primos es: 3x+2

a) FVFF

b) VVVV

II. El polinomio tiene tres factores primos. IV. Uno de los factores primos es: (x + 2)2.

c) FVVV

d) FVVF

e) VVVF

2. Factorizar: P(x;y) = 24x3y2+60x2y2 – 6xy4 + 6xy3 + 36xy2 a) 6xy2 (x + y + 1)(2x – y + 3) c) 6xy2 (2x + y + 2)(x – y + 3) e) 6xy2 (2x + y + 2)(2x – y + 3)

b) 6xy2 (x + y + 2)(2x – y + 3) d) 6xy2 (2x + y – 2)(2x – y – 3)

3. Factorizar: P(x) = x5 + x + 1 a) (x2 + x + 1) (x3 – x2 + 1) c) (x2 – x – 1) (x3 – x2 + 1) e) (x2 + x + 1) (x3 + x2 – 1)

b) (x2 + x + 1) (x3 + x2 + 1) d) (x2 – x – 1) (x3 + x2 + 1)

4. Factorizar: P(x) = x12 – 3x9 – 7x6 + 27x3 – 18 a) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3 – 5)(x3 – 3) c) (x+1)(x2 – x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) e) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+4)(x3 – 3)

b) (x – 1)(x2+x+1)(x3 – 2)(x3+3)(x3 – 3) d) (x – 1)(x2+x+1)(x3+2)(x3+3)(x3 – 3)

5. Indicar un factor primo de: P(x) = x5 – x4 + 2x2 – 2x + 1

a) x2 + x + 1

www.trilce.edu.pe

b) x3 + x + 1

c) x2 + x – 1

d) x3 – x+1

e) Ninguna

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Fracciones algebraicas Lectura Federico Villarreal a los Universidad Nacional Mayor de San Marcos 20 años obtuvo el título de preceptor el cual le permitió dirigir la escuela oficial de Túcume y dirigió un colegio de instrucción media donde enseñó matemáticas .En 1873, con 23 años descubrió un método para elevar un polinomio cualquiera a una potencia cualquiera. Estudió Ciencias Matemáticas en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos (UNMSM), graduándose Federico Villarreal como Bachiller con la tesis: Fórmulas y métodos que deben completarse en matemáticas puras; y como licenciado con la tesis: Efectos de la Refracción sobre el Disco de los Astros. En 1881 , se graduó de Doctor en Ciencias Matemáticas mediante la tesis: Clasificación de Curvas de Tercer Grado destacando por su originalidad y conclusiones. Esto le mereció a Villarreal la medalla de oro otorgada por la Facultad de Ciencias al primer Doctor de su época, quien a la vez, se constituye en el primer matemático profesional del siglo XX en el Perú. http://www.arrakis.es/~mcj/villarreal.htm

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Simplificación de fracciones .. Operaciones con las fracciones algebraicas

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Definición

Simplificación de fracciones

Fracciones irreductibles

Operaciones con fracciones

Adición y sustracción

Regla práctica: caso: a ± c

Multiplicación

División

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar:

c) x14.x11 = ......................................

a) (x+y)(x – y)=...............................

d) x.x4.x7 = ............................

b) (x+y)2=.......................................

c) (x+a)(x+b)=.....................

d) (x–y)(x2+xy+y2)=....................................

2. Factorizar:

4. Efectuar: a) 1 + 3 = ........................... 2 2

a) x2+5x=.........................

b) x2–9=.....................................

c) x2 – x – 6 =..................................

d) x2 +5x +4 =................................

3. Efectuar:

b) 3 – 1 =............................. 2 3

c) 1 . 3 . 2 =.................................. 2 4 3 d) 1 ' 3 =....................................... 4 5 5. Efectuar:

a) x10 .x13 = ....................................

a) c – 1 mc – 1 m = .......................... 2 3

b) x15 .x23 . x7 = .............................

b) `– 1 j ' c+ 2 m =............................ 4 3

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 25x3 y4 5x2 y2

3. Efectuar las siguientes operaciones:

13xy3

x'y y x

x2 –y2 xy

169x4 y5 z6 13x3 y2 z6

x2 y2

x–y y x

5xy2

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas: x2 - 4 =1 ; x ≠ ±2...................................( ) A. x2 –4 B. x – 6 =1 ; x ≠ 6...........................( ) x–6 x–6 C. Si: x=5, la fracción: 3 no está definida..( ) x–5

12x2 y3 z4 B. = 4xyz 3 (x2 –25) = C. 3x2 –75 x2 ' x = D. y2 y3 4. Reducir: 57x5 x2 y3 y4 z6 19x4 y2 z4 5. Simplificar: 2 x 2+ 2x–35 x –3x–10

1 D. 1 + 1 + 1 = .....................( ) x y z x+y+z

Colegios

x + z + y = A. y y y

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: x2 –4x + 4 x–2

x + 7 + 2x–5 + x–2 x x x

x–6

x2 –36 x+6

x + y x–y – y y

x3 + 1 - x2 + 1 x–1 1–x x + 1 1 + x

6. Reducir:

x–2

a) x2 + 1 d) x2 + 4

b) x2 + 2 e) x2 + 5

c) x2 + 3

2x + my es independiente de 4x + 3y "x" e "y", hallar "m".

7. Si la fracción:

a) 6

3 b) 1 c) 6 2

d) 4

e) 1

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las x+ 3 = A + B 8. Si: 3 x–5 x + 4 fracciones algebraicas: x2 –x–20

A. (x –

y)a–1

= 1 (x–y)..................................( ) a

x+y B. =(x–1+y–1)–1; xy ≠ 0 .....................( ) xy

1 no está definix –x–2 da.............................................................( ) D. El valor de ( x ) es cero, si: x=0..........( ) x+1

C. Si: x=2, la fracción:

3. Completar luego de reducir:

b) 1 e) 4

c) 2

2xy 5. Simplificar: 1 ; x + x + 2 2 E 2 x–y x+y x –y 1 c) x a) 2 b) x–y x+y x+y d) 1

www.trilce.edu.pe

a) 8 d) 12

b) 4 e) 9

c) – 6

9. Obtener el producto resultante:

1 1 1 1 `1 + x jc1 + x + 1mc1 + x + 2 m ... c1 + x + n m

x + n b) x + n + 1 c) x–n a) n x n

2 2 4. Reducir: 2x2 –10x + x 2+ 16x + 15 x –25 x + 6x + 5

10. Dado:

x2 + 7x + 10 = B. x+5 x2 + 5x + 4 + x2 –x–6 = C. x–3 x+4 2 2 D. c x –25 mc x –36 m = x–5 x+6

a) 0 d) 3

Hallar: (A × B)A+B

x+1 x–n + 1 e) d) x x+n

A. 1 = 1– 1 x

e) x x+y

A = 1+

1 1+

;B = 2 +

1+ 1 j

Calcular "A2 – B"

a) - 1

1 1+

b) 0

1+ 1 j

c) 1

3 e) 5 d) 2 4 11. Simplificar: a + 2a 2 a –b b+ 2 b 2 a +b b + 2b 2 a –b a+ 2 a 2 a +b a+b b) a–b c) a –b a 2 b a d) e) a+b b2

a) 1

Cuarto año de secundaria

Capítulo

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 41x2 + 400 , en m2. Si el ancho del terreno es : B(x) = x2+x–20, ¿cuál es la dimensión del largo?

2 12. Si la fracción: 3 – 22x + 4x 2x –x–1 β es equivalente a: α + + θ 2x + 1 x – 1 α + 3 (θ + β) Hallar: 15

1 c) 3 a) – 1 b) 5 5 5

1 e) 1 d) 15 3 a2+b2+c2=3 ab+ac+bc=0

13. Sabiendo que: Calcular:

15. Durante el programa de vacunación nacional contra la gripe porcina, el Ministerio de Salud asegura que el costo por vacunar al "x"% de la población es aproximadamente: 3 P(x)= 8002x 3 , en millones de soles. Calcu900x –x lar el costo por vacunar a toda la población.

4 2 4 2 4 2 a – (bc) + b – (ac) + c – (ab) a (a–b–c) b (b–a–c) c (c–a–b)

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x2 –6x + 9 x–3

x + 2 + 3x + 5 + x–7 x x x

x–3

x2 –100 x + 10

x + m – x–m m m

x – 10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a las fracciones algebraicas:

A. (m – n)x–1= 1 (m–n); x ≠ 0.....................( ) x

x+y B. = 1 + 1 ; xy ≠ 0.........................( ) xy x y 1 , no está 2 x –2x–8 definida...................................................( )

C. Si: x = 4, la fracción:

D. El valor de (

y+2 ) es cero, si: y=2.........( ) y–2

3. Completar luego de reducir: A. 1 = 1+ 1 x

x2 + 3x + 2 + x2 –3x–18 = C. x–6 x+1 2 2 D. c x –49 mc x –81m = x+7 x+9 2 2 4. Reducir: a –25a + 6 + a 2+ a–20 a –a – 2 a – 3a – 4

5. Reducir: c 1 + 1 + 22 m (x – 1) 6x + 1 6x–1 x –1 6. Efectuar:

x2 – 2x3 + x2 x + 1 x2 –1 x–1

7. Si la fracción: F(x; y) =

mx–12y 4x–6y

es independiente de "x" e "y", calcular "m". 8. Si: 2 3x + 4 = A + B x+ 1 x+ 2 x + 3x + 2

Hallar: A.B

9. Reducir: 1 1 1 +..."n" fracciones + + n (n + 1) (n + 1) (n + 2) (n + 2) (n + 3)

x2 + 4x + 3 = B. x+1 Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 10. Calcular "P ÷ Q", si: P = m+

Q = n+

1 n+

m+ 1 ...3

Hallar "M.N".

12. Si al reducir: 1 – 2x+x2+

4 (x3 + y3 + z3) –3xyz xyz

14. El colegio TRILCE tiene su local de forma rectangular; su área "A(x)" depende del número de alumnos "x", y está dada por: A(x) = x4 – 25x2 + 144, en m2. Si el ancho del terreno es: B(x) = x2–7x +12, ¿cuál es la dimensión del largo?

–2 – 2 – 1 –1 –1 –1 11. Si: M = (a–1 –b –1) –1 ; N = (a–2 –b –2) –1 (a + b ) (a –b )

calcular: W =

n+ 1 ...3 1

13. Si: x–1+y–2+z–3=–3×2

1–x4 1 + 2x + x2

15. Durante el programa de vacunación nacional contra la gripe porcina, el Ministerio de Salud asegura que el costo por vacunar al "x"% de la 2 población es aproximadamente: P(x)= 750x 2 820x–x en millones de soles. Calcular el costo por vacunar al 70% de la población.

se obtiene: m–nx , indicar "a+b+m+n". a + bx

Tú puedes 1. Si:

= 1, x ≠ 1 , reducir: M = c

a) 1

x- 4 m 1 + x5

b) - 1

c) 2

2. Si: (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 , calcular: K =

a) 2

c) 2-1

b) 3 2

d) - 2

e) 3 2

- xyz (x + y + z) (xy) 2 + (xz) 2 + (yz) 2 d) 2-2

e) 9

-1

7x2 (y - z) - 3 7 (x - z) - 2 . G G = 3. Reducir: = (z - x) 2 (z - y) 2

a) (y - z)4 (x - z)2 d) 7x4 (y - z)-4 (x - z)-2

b) 7x (y - z)-4(x - z)-2 e) 7x4 (y - z) (x - z)

c) x(y - z)-4 (x - z)-2

4. Si: a + b + c = 7 y b + c + a = 5 , hallar: ` a + 1jc b + 1m` c + 1j b c a 2 a b c 2 b c a a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 5. Si: am = bn = cp, calcular: E =

a) 1

www.trilce.edu.pe

b) 2

mnp (a + b + c) (ab + ac + bc) abc (m + n + p) (mn + mp + np) c) am

d) abc

e) mnp Cuarto año de secundaria

Capítulo

Repaso I Lectura En el año 1900, durante un discurso en el Congreso Internacional de Matemáticos, David Hilbert propuso una lista de 23 problemas matemáticos. Esta lista, que toca varias áreas de las matemáticas, formó un foco central para muchos matemáticos del siglo XX. A la fecha (2011), diez han sido resueltos, siete parcialmente resueltos y dos siguen abiertos; los cuatro restantes están formulados de manera muy vaga para decidir si han sido resueltos o no. Algunas conjeturas notables fueron finalmente probadas. En 1976, Wolfgang Haken y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el teorema de los cuatro colores. Andrew Wiles, basado en el trabajo de otros, probó el último teorema de Fermat en 1995. Paul Cohen y Kurt Gödel probaron que la hipótesis del continuo es lógicamente independiente de los (no puede ser probada o negada de) axiomas de la teoría de conjuntos. En 1998, Thomas Callister Hales probó la conjetura de Kepler. En el año 2000, el Clay Mathematics Institute anunció los siete problemas del milenio, y en 2003 la demostración de la conjetura de Poincaré fue resuelta por Grigori Perelmán (que declinó aceptar el premio). http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Teoría de exponentes / Ecuaciones Exponenciales .. Grados/ Polinomios especiales .. Productos Notables .. División algebraica I .. División algebraica II .. Factorización I

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra * Completa el crucigrama algebraico.

2 6

4 5

6 7 2

VERTICAL

HORIZONTAL 1. Método para factorizar expresiones de la forma: ax2+bxy+cy2+dx+ey+f 2. Forma de encontrar el resto sin dividir. 3. División de polinomios utilizando solo coeficientes y una línea divisoria. 4. Igualdades donde la variable está en el exponente. 5. Polinomios de igual grado absoluto. 6. Método de división de polinomios donde el divisor es de primer grado. 7. Expresiones algebraicas donde la variable está en el denominador.

www.trilce.edu.pe

1. 2. 3. 4.

Método para factorizar expresiones cuadráticas. Transformación de polinomios de suma a productos. Aplicaciones de los productos notables. Teoremas y propiedades de los exponentes y radicales. 5. Exponentes enteros de una o más variables en los polinomios. 6. Multiplicaciones conocidas sin efectuar dichas operaciones. 7. Método para factorizar, por el método de Rufini, polinomios de grado mayor o igual a tres. 8. Divisiones exactas, cuyo resultado es conocido como su desarrollo. Cuarto año de secundaria

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Simplifique: S=

(x3 y) 2 y3 ; x ≠ 0, y ≠ 0 (x2) 2 (y3) 2

y x x b) a) c) x y y2 x2 d) y

e) x.y

2. Simplifica: L=

4 c) 2 a) x–1 y–n b) n xy xy x d) xyn e) yn

a) 1 d) 4

4. Simplificar:

b) 2 e) 5

c) 3

5+ 2+ 5– 2 5– 2 5+ 2

7 b) 7 c) 7 a) 3 2 6

a) x – 3 d) x – 2

b) x + 3 e) x + 5

c) x + 2

a) (x – 1)(x + 2)(x – 3) b) (x + 1)(x – 2)(x + 3) c) (x – 1)(x – 2)(x – 3) d) (x + 1)(x + 2)(x + 3) e) (x + 1)(x + 2)(x + 4)

8. Factorizar: P(x;y) = 4x2 + 12xy + 5y2 + 12x + 18y + 9

indicar un factor primo.

a) 2x + 5y + 3 c) 2x + 5y + 5 e) 2x + 5y + 7

b) 2x + 5y + 4 d) 2x + 5y + 6

4 3 2 9. Dividir: x + 4x2 + 6x –7x + 2 x + 2x + 1 Indicar el resto.

14 e) 14 d) 3 5

5. Si a + b + c = 0, reducir:

10. Calcular "a + b", si la siguiente división: 4 3 x2 + ax + (b + 1) 5x + 4x –13 x2 + 2x–1

2 2 2 R= a + b + c ab + bc + ac

a) 1 d) – 2

Colegios

2y 2y 3. Reducir: S= c 3x + m – c 3x – m 2y 3x 2y 3x

P(x) = (x–3)(x–2)(x–1)+(x–1)(x–2)–(x–1)

7. Factorizar: F(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6

x3n + 1yn x3n + 4 y4n

6. Dar un factor primo de:

TRILCE

b) 2 e) 0

c) – 1

a) 1 – 10x d) 10x – 2

b) 1 + 11x e) 4x – 1

deja como residuo a: –12

a) 2 d) – 2

b) 3 e) 1

c) 1 – 11x

c) – 3

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más –2 3 5 1. Simplifique: Q= 25 c a3 b m ; b>0 , a>0 a b –2

8. En el esquema de Horner mostrado: 3 A1 A2 A3 A4 A5 K1 K2

a b) b a) c) ab b a a e) a d) `bj b2

7x + 6

a) 5 d) 1

73x – 4

b) –5 e) 6

c) 3

3. Simplificar: R=(a+b+c+d)2–(a+b+c)(a+b+d)–(b+c+d)(a+c+d)

a) ab d) -cd – ab

b) ac + cd e) 0

c) cd + ab

4. Hallar el número de factores primos del polinomio: P(x;y) = 13x10y5 – 26x7y8 + 39x11y9

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

5. Factorizar: P(x) = x3 – x – 6

a) (x + 2) + 2x + 3) b) (x - 2) (x2 + 2x + 3) c) (x + 1) (x2 + 2x + 6) d) (x – 1) (x2 – 2x + 6) e) (x – 2) (x2 – 2x + 3)

a) – 25 d) 21

b) 25 e) 0

a) (x2 + x + 3) (x2 – x + 6) b) (x2 + 5x + 6) (x2 – 2x + 6) c) (x2 – 5x + 3) (x2 – 2x + 6) d) (x2 + 5x – 3) (x2 + 2x – 6) e) (x2 + 5x + 3) (x2 + 2x + 6)

www.trilce.edu.pe

42 8

2 3 –7 se pide encontrar el mayor coeficiente del dividendo. a) 10 d) 6

9. Calcular "x" en:

b) 8 e) 38 x+3

a) 2

c) 4

x–2 =

b) 2 2

2 e indicar: x 8x 8

c) 2 2

d) 2 e) 4 10. Factorizar: F(x;y)=x2(x – y)2 – 14xy2(x – y)+24y4 dar un factor primo.

a) x + 2y d) x – y

b) x – 3y e) x + 8y

c) x – 4y

P(x;y)=xa+3y2+5xb–5y+bx8yc+4+x10y9

c) 24

7. Factorizar: P(x) = x4 + 7x3 + 19x2 + 36x + 18

–18 –14 6

11. Calcular "a + b + c" , si el polinomio:

(x2

6. Calcular (mn)2, si la siguiente división es exacta. 4 3 6x + 52x + 2mx–3n 2x + x + 3

–12 6

2. Resolver:

es homogéneo.

a) 44 d) 41

b) 43 e) 40

c) 42

12. El siguiente polinomio: P(x)=5x3a–9+10xa+b–3+20(x2)4b–c+a

es ordenado en forma creciente y completo. Calcular: ab + bc + ac.

a) 15 d) 27

b) 20 e) 2

c) 22

13. Si el siguiente polinomio de 14 términos es completo y ordenado: P(x)=xn+4+...+xa–1+xa–2+xa–3

Calcular: a + n.

a) 3 d) 16

b) 9 e) 12

c) –4

Cuarto año de secundaria

Capítulo

14. ¿Cuál es el polinomio de primer grado "P" tal que: P(2) = 3; P(3) = 2P(4)?

a) P(x) = –2x + 1 c) P(x) = –x + 4 e) P(x) = x + 5

b) P(x) = –x + 5 d) P(x) = x + 4

15. Hallar el grado del término de posición 1 en el xa –y5a - 8 desarrollo de: si es un C.N. x2 –y9

a) 12 d) 18

b) 14 e) 20

c) 16

16. El residuo de la siguiente división: 4 3 + 6x2 – (a + 2) x + (b + 3) x –4x (x + 1) 2

es : – (27x+11); indicar "a + b".

a) - 3 d) 4

b) 0 e) 5

c) 3

3 x –2x a) 1 d) 7

a) – 4 d) – 24

b) 4 e) – 2

c) – 6

19. Simplificar: 2ab 2 + b2 a – ab E(a;b)= a3 –b3 2a – 1 c 3 mc m a + b3 a–b 1+

1 a) 2

b) 1

b d) a

e) 0

c) a b

20. Reducir:

17. Indicar el resto : 4

18. Hallar el resto de la división: (x6 –9x + 6) 2012 + (x6 –9x + 4) 2011–2 (x6 –9x) –14 x6 –9x + 5

3 x – 5 x + (7 – 3 ) x– 3 b) 3 e) 9

c) 5

1 1 1 + + (a–b) (a–c) (b–a) (b–c) (c–a) (c–b)

a) 0 d) abc

b) 1 e) –a–b–c

c) 2abc

Practica en casa 7. Si:

–8a3 3 1. Reducir: R = c –6 m b

2. Resolver: 32x+3=3x ; dar la mayor solución. 3. Reducir: K=( 8 + 3 ) 2 + ( 8 – 3 ) 2

6x2

5. Factorizar: P(x) = – indicar un factor primo.

ax + bx 2+ 9x + 10x + 3 3x + x + 3

Colegios

TRILCE

1 m 2

a 9

1 d e

+ 11x – 6

6. Calcular "ba" si la siguiente división es exacta. 4

deja como resto (4x – 10), calcular "A + B".

8. En el esquema de Horner mostrado:

4. Factorizar: P(x;y) = 4x2 + 13xy + 10y2 + 18x + 27y + 18 indicar la suma de factores primos. x3

x5 + 3x4 –3x3 –4x2 + (A–1) x + (B + 1) x2 + 2x – 2

–2

f g 4

h –3

Determinar: (m+n+p) – (a+b+c) 9. Calcular x,

si: xx+1

x+1

=227

Central: 6198-100

Álgebra 10. Dar la suma de factores primos de: P(a;b;c;d) = a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2

es homogéneo, la suma de sus coeficientes es:

12. Dado el polinomio homogéneo: P(x;y)=5x3a–2by4–x2ayb+7+xa–1ya+3b

P(x)=3xp–n–5–4xn–m+3+7xm–6+x2+(m+p)

11. Si el polinomio: P(x;y)=axa+3–abxa–1yb+2+2byb+8

13. Si el polinomio "P(x)" es completo y ordenado: 0

Calcular: (m + n + p).

14. Si: a+b+c=60 3 + (b–20) 3 + (c–30) 3 hallar: M = (a–10) (a–10) (b–20) (c–30) 15. Calcular "n", si la división:

Calcular: G.A.(P) + ab.

x5n –y6n + 1 n 2n 3 ; genera un cociente notable. x –y

Tú puedes 1. Efectuar: >^ - 32h

- 0, 4

4. Dado el polinomio homogéneo: -1 3

+ ^ - 64h

- 20

- c- 1 m 2

- 3- 1

+c 1 m 125

a) 1

b) 1 3

d) – 1 3

e) 3

1 - 2- 1

- 16

+ c 1m 6

c) -1

P(x;y) = xa+yb+c+xbyc+xcyb+xdye+xeyd;

si la suma de todos los exponentes del polinomio propuesto es 42, hallar: E = a + b + c + d + e

a) 7 d) 28

b) 14 e) 35

c) 21

2. Uno de los factores primos de: P(x;y;z)=zx4 + 4x2y2 – 4x2y2z +4y4z- x4 - 4y4, es:

5. Determinar la suma de coeficientes del factor primo con mayor término independiente al factorizar:

P(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 3x - 28

a) 1 + z d) x – 2y

b) 2 – z e) x + 2y

c) z – 1

3. Si: H= (x–5) (x + 6) (x–1) (x + 2) + 196 hallar: H + 16, 25 a) 2x + 1 b) x + 1 2 + 2 x 1 d) e) 2x – 1 2

www.trilce.edu.pe

a) –2 d) 6

b) 7 e) 9

c) 8

c) x + 2

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Radicación algebraica Números irracionales famosos

Tras distinguir los números componentes de la recta real en tres categorías: (naturales, enteros y racionales), podría parecer que ha terminado la clasificación de los números, pero aún quedan "huecos" por rellenar en la recta de los números reales. Los números irracionales son los elementos de dicha recta que cubren los vacíos que dejan los números racionales. Los números irracionales son los elementos de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales no periódicas. De este modo, puede definirse al número irracional como un decimal infinito no periódico. En general, toda expresión en números decimales es solo una aproximación en números racionales al número irracional referido; por ejemplo, el número racional 1,4142135 es solo una aproximación a 7 cifras decimales del número irracional 2 , el cual posee infinitas cifras decimales no periódicas. Debido a ello, los números irracionales más conocidos son : Número "pi"= 3,14159 ... ; Número "e"= 2,7182 ... ; Número "áureo"= 1,6180 ... http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_irracional

En este capítulo aprenderemos .. Definición de radicación .. Radicales dobles .. Racionalización

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

RADICACIÓN ALGEBRAICA

Analizar ejemplos: Definición

caso 1: x = 4 caso 2: x2 = 4

Radicales homogéneos

Racionalización

Radicales semejantes

Para expresiones monomias índice 2 o sus potencias

Operaciones Para suma o resta de radicales

índice 3 o sus potencias

Adición y sustracción Radical doble Multiplicación y división Transforman un radical doble a suma o resta de radicales simples.

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Efectuar las siguientes operaciones:

4. Reducir:

a) 9 + 49 – 121= ....................................

b) 81 + 100 – 169 = ................................ c) 25 36 – 16 49 = .................................

1 = .................. 4

5. Reducir:

2. Completar :

x4 y8 = .................................................. 3

6 6 b) x y = ................................................

a) n es el ....................................................... b) A es el .......................................................

x8 y16 = ............................................

3. Reducir: a)

36 = ................ 25

c) 49.16 = ............. d) 3 64.27 = ...........

d) 144 256 ' 16 64 = ............................

Dado

16 = ...............

81= ................

64 = ................

x16 y16 = ........................................

64 = ..............

Aplica lo comprendido 3. Efectuar:

1. Relacionar correctamente: 1 + 1 3 +1 3 –1

5+2 6

1 x

x+ y x–y

1 x– y

3+ 2

x x

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F): A. 3 5 > 3 ............................................... ( )

B. 20 = 2 5 .......................................... ( )

C. 5 + 2 = 7 .................................... ( )

Colegios

TRILCE

3 . 3 5 =12 15 ...................................... ( )

a) 81 - 3 27 + 5 - 32 b) 7 2 + 3 50 c) 5 8 - 3 18 ^ 3 + 2 h^ 3 - 2 h d)

4. Descomponer el radical doble en radicales simples: a) 12 + 2 35

b) 14–2 33

5. Racionalizar las siguientes expresiones: a) 5 = 5 2 x b) 1 = 7– 6

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

6. Si: a + 4 b + 2 = a–2 + 2b

3+2 2

12 4 7

1 x y

F.R.= x8 y5

1 x6 y4

17 + 2 72

a) – 5 2 b) 3 + 2 c) 3 –1 d) 2 +1 e) 7+ 2

5+ 3 F.R.=12 x6 y8

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

Además: a > b; a, b ∈ , descomponer en radicales simples: a + b + 2 a + 6b

8 + 60

7. Reducir: T= 13–2 40 + 7 + 40 + 11 + 6 2 33 + 8 2 + 3– 8 + 11– 72

a) 2 A. El radical doble: 13– 120 es igual a: 2 – 1 10 – 3 ................................................. ( ) d)

B. El radical doble: 6 + 2 8 es mayor que 2 +3 ................................................... ( ) 8. Al reducir:

C. El factor racionalizante de 1 es 3 +1 3 –1 ............................................................... ( )

D. El factor racionalizante de: 3 16 es

4 .... ( )

3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional

Factor racionalizante

Expresión racional

5– 3 3

a) 12

b) 14

e) 15

d) 11

c) 9

9. Simplificar:

1 + 2 1 + ... + 2 1 + 2 3 + 2 2

Indicando uno de los radicales simples.

10. Efectuar:

x y

T= 4. Calcular: N=( 7 + 2 ) ( 7 – 2 ) + (3 + 2 ) (3– 2 ) + ( 5 + 2) ( 5 –2)

b) 11 e) 17

c) 13

5. ¿Cuál de las raíces es menor? 8 ó 3 11 ó 4 36 3 3 6 a) 8 b) 11 c)

d) 11 e) 6

www.trilce.edu.pe

7 + 4 5 + 2 9 + 2 7–2 6 , se

2 d) 6 e) 2

5 3 7

a) 10 d) 15

e) 1

a) 2 b) 3 c) 5

3– 2

c) 3 2 –1

obtiene: a + b , a>b. Hallar: a+b

xy2

b) 3 2

1 1 – 1 + 1 + 8+ 6 6 –2 2 + 2 2

a) 2 d) -1

b) -2 e) 0

c) 1

11. Simplificar: 4 1 + J= 4 + 1 5 1+ 1– 1 5 1+ 5

a) 0 d) 6

b) 1 e) 5 +1

c) 5

Cuarto año de secundaria

Capítulo

12. Simplificar:

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada

M= 1

1 –2 1 –2 2 –1

a) 2

–2

12 , y el otro rectangular 15 + 3 de base =2 3 y la altura H= 15 + 3 , Si se

de lado L=

– 2

desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo

b) 1

c) 0

d) 2 +1 e) 2 –1 13. Indicar el denominador racionalizado de: 4 + 2 3+ 5

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

costo por m2 es

de $120, ¿cuánto costó el

sembrado?

15. La dificultad para producir una sustancia "α" está dado por: F(x)= 3 x2 , donde "F(x)" es el número de unidades de la sustancia "α" y "x" es el costo,en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán, si : x=8 y x=27?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

4. Calcular:

8– 48

3– 6

1 x5 y8

F.R.=15 x11y5

15 4 10

1 x y

15–2 54

6– 2 F.R.=15 x10 y7

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

10 + 2 h ( 10 – 2 ) + ^ 6 + 2h^ 6 –2h + ^3 + 7 h^3– 7 h

5. ¿Cuál de las raíces es mayor? 6 ; 3 3 ; 6 15 ;12 32 6. Dado: a + 60 , donde a∈ ; al descomponer en radicales simples, uno de ellos es 5 . ¿Cuál es el otro? 7. Calcular "A+B", si:

A. El radical doble: 11 + 40 es igual que: 10 +1 ...................................................( ) A= 12 + 12 + 12 + ... + 2 B. El radical doble: 5 + 2 6 es mayor que: 3 +1 ...................................................( ) B= 19 + 2 48 – 13 + 48 + 3 1 C. El factor racionalizante de es 5 +1 5 +1 ( ) 8. Simplificar: 4 D. El factor racionalizante de 8 es 4 2 .......( )

3. Respecto a la Racionalización, completar: Expresión irracional 6– 2 4

x2 y3

2+ 3 3

Colegios

N=^

TRILCE

x2 y5

Factor racionalizante

Expresión racional

M= 2 3 + 5– 13 + 48 9. Simplificar: 3– 3 +

2+ 2 2 3+

2 – 12 + 18– 128

10. Reducir: 1 1 1 1 T= + + + 5 +2 3+ 2 2+ 3 6+ 5

Central: 6198-100

Álgebra 11. Efectuar:

14. Se tiene dos jardines; uno de forma cuadrada 1– 3 1 3– 3– 1 3

U= 2 3 12. Simplificar: M= 4–

de lado L=

1 , y el otro rectangular de 2+ 3

base B = 2 3 y altura H= 2 + 3 . Si se desea sembrar con grass ambos terrenos cuyo costo por m2 es de $150, ¿cuánto costó el sembrado?

1 4–

–1

4–

– 3

15. La dificultad para producir una sustancia "α"

1 2– 3

está

dado por: F(x)=4 x , donde "F(x)" es el

número de unidades de la sustancia " α" y "x"

13. Indicar el denominador racionalizado de: 219 S= 1+ 2+ 3 + 6

es el costo, en miles de dólares, para producirla. ¿Cuántas unidades "α" se producirán , si : x=16 y x=81?

Tú puedes 1. Descomponer en radicales simples la expresión: M= 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 2n + 2n 2n a) n +1

b) 2n +1

e) n –1

d) n 2 + n

2. Si: x2 = x + 1, x > 0, reducir: E = x + x – a) x 2 x d) 2 3. Calcular:

100

( k–

c) n

x–1 2

b) 2x 2

c) 2 2

e) 2 x

k ) ; indicar la parte racional.

k= 1

a) 45

d) 48

4. Si: 1 < x < 2, reducir: a)

b) 46

c) 47

e) 49 3 x + 6 + 2 7x–7 + x–2 x–1

6 2

7 + 1 d) 2

b) 7

c) 7 –1 2

e) 7 2

5. Si al dividir 26–2 7 entre 3– 7 , se obtiene una expresión de la forma "a+ b ", donde "a" y "b" son enteros positivos, entonces "a2 – b" es:

a) 9

d) 2

www.trilce.edu.pe

b) 15

c) 29

e) 18 Cuarto año de secundaria

Capítulo

Factorial - número combinatorio Factorial - número combinatorio

El matemático francés Christian Kramp fue quien popularizó la notación "n!". Los factoriales se utilizan considerablemente en la rama de la Matemática combinatoria. Por medio de esta, los factoriales intervienen en el cálculo de las probabilidades y en el ámbito del Análisis. También en las Combinaciones y permutaciones, donde normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar en si el orden de las cosas es importante. Por ejemplo: "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas". No importa en qué orden pusimos las frutas; podría ser "bananas, uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas": es la misma ensalada. "La combinación de la cerradura es 472". Ahora sí importa el orden; "724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente: 4-7-2. Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso. "Si el orden no importa, es una combinación. Si el orden importa, es una permutación". http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

En este capítulo aprenderemos .. Factorial de un número .. Número combinatorio

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FACTORIALES COMBINACIONES

Factorial

Combinaciones Definición

Notación

Notación:

CnK

Número combinatorio n

Casos: C1 ; C0 ; Cnn

Factorial de: uno y de cero Adición Igualdad de factoriales Complementarias Propiedad degradativa Igualdad

Superior e inferior

Degradación

Inferior

Superior

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 3. Simplificar:

1. Efectuar:

a) x11 .x12. x14 = ...............................

b) x25 .x28 . x–27 = ...............................

c) x114 ÷x101

d) (x48 y25)(x36y22) = ...............................

= ...............................

2. Factorizar: a) x(x+2)+y(x+2)+z(x+2)=.........................

x (x + 1) (x + 2) =............................. a) x (x + 1) (a + 3) (a–1) (a–4) =............................. b) (a–1) (a–4) (a + 3)

c) 4.7.9.8 =............................. 9.7.4

d) 1.2.3.4.5 =............................. 4.3.2

b) x2(x+1)+y2(x+1) =.........................

4. Completar:

c) x2 – 3x - 18 =.........................

d) x2 +9x –10 =.........................

5. Resolver:

b) 3.9.27.81= 3

a) 2.4.8.16= 2

a) 4x+3=21

c) 2x+1=16

b) x2 – 169=0 d) 3x–1=27

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: 5!+3!

3. Completar: x=10

Cx =C10

x=3

B. (x – 5)! =1→ x1 =

(x–2)!=4!

x=6

C. C6 = Cx → x1=

126

D. Cx+3 = C15 → x1=

20 Cx+7

20 =C10

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio:

A. 5! + 4! = 9! ........................................... ( )

B. C1 +C1 =C2 ......................................... ( )

C. C2 =C7 ............................................. ( )

D. (x–4)!=120→x=124............................... ( )

Colegios

A. (x – 2)! =24→ x =

TRILCE

; x 2= ; x 2= ; x 2=

4. Reducir:

S = 9!17! 8!18!

5. Reducir: 3

C0 + C1 + C2 + C3

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: 7

C3 n

Ck +Ck+1 7

C3 +C2 n

n! k! (n–k) !

Ck+1

7 C6 3 2

A. Si: M= 31! → M=930 ......................... ( ) 29!

B. C1 + C2 = C2 ................................... ( ) C. C0 + C1 + C2 = C4 ......................... ( )

D. Si: E=

51! → E=50! .................... ( ) 49! + 50!

3. Completar: A. Si: (5x – 2)! =120 → x = B. Si: (n – 9)! =1→ n =........ ; ........

C. Si: C3 = C4 → x=........

D. Si: M=C0 +C1 +C2 → M=

Calcular "A.B"

a) 56 d) 650

www.trilce.edu.pe

a) 1 d) 160

b) 20 e) 180

c) 120

8. Reducir: A = 11!–10! + 10!–9! + 9!–8! +... 9! 8! 7!

a) 380 d) 387

b) 385 e) 400

c) 386

9. Si: A = 2 (n!) – (n–1) (n–1) ! , n ∈ n ! + (n – 1 ) !

Entonces podemos afirmar que:

a) A < 0 d) A ∉

b) A > 2 e) A<1

c) A=1

1 + 2.2! + 3.3! + ... + n.n! = 719

a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

= 36x – 2

a) 1 d) 6

b) 3 e) 7

c) 4

12. Hallar "x" en: b) 560 e) 1

c) 65

b) 9 e) 12

1024.(x – 1)![1.3.5.7....(2x – 3)] = (2x – 2)!

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

13. Hallar "a+b" si:

(x + 5) ! (x + 11) ! = 20! (x + 6) ! + 5 (x + 5) !

a) 8 d) 11

5. Calcule el valor de "x", si:

c) 6

7. Sabiendo que: 3C7k = 11C7k–1 ; k ∈ Calcular: (k!) ! k!

x x [C3] [C2]

71! 69! + 70!

b) 5 e) 8

11. Hallar la suma de todas las soluciones de:

4. Si: A = 6! + 7! + 8! 6! + 7!

a) 4 d) 7

10. Calcular el valor de "n" en:

n+1

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio:

6. Indique la suma de los valores de "x" que verifican la ecuación: 35 35 Cx2 = C2x

a+3

a+1

C10 + C7 c) 10

a) 20 d) 26

a+1

+ 2C8

b) 22 e) 28

a+1

+ C9

b+2

= Cb–3 c) 24

Cuarto año de secundaria

Capítulo

14. La permutación con repetición es una técnica de conteo, donde los elementos a ordenar tienen repetidos uno o más elementos. Este número de ordenamientos diferentes está dado por: n

n! , donde: a!b!c!...

Pa,b,c,... =

n : Número de elementos a ordenar a,b,c,...: Elementos repetidos de un primer, segundo, tercer tipo, etc. Según esto,indicar cuántos ordenamientos pueden formarse con las letras de la palabra "BÁRBARA". 15. ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente cuatro frutas, podemos preparar si disponemos de diez frutas diferentes?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: 9 C2 x

Cn+Cn+1 10

C2+C8 n

5. Hallar el valor de "a", sabiendo que:

n! k! (n–k) !

Cn+1 9 C8 2 1

x+1

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al factorial y número combinatorio:

A. Si: M= 41! → M=1640......................... ( ) 39!

B. C1 + C2 = C3 ................................... ( ) C. C0 + C1 + C2 = C3 ........................ ( )

D. Si: E=

31! → E=30..................... ( ) 29! + 30!

(a + 7) ! (a + 5) ! = 15! (a + 6) ! + (a + 5) ! 2n

6. Calcular el valor de "p" en: C10–p = Cp–2 m+1

7. Calcular "m" en: 5C5

= 9C4

8. Hallar "a+b" en: 120720 = a(b!)! . [(a – 1)!](b!)! y! + 2. (y–1) ! y!–23 9. Resolver: = y y! + (y + 1) ! 10. Resolver: 1.1! + 2.2! + 3.3! + ... + x.x! = 40 319 11. Determinar: x+y, si:

y 5 Cxx + 5 + Cxx + + 1 = Cx + 3

3. Completar: A. Si: (4x – 3)! =720 → x =............

B. Si: (n – 81)! =1 → n =............. ; ............

C. Si: C11 = C15 → x=................

D. Si:

44 M=C0

TRILCE

(1! + 2! + 3!) (2! + 3! + 4!) (3! + 4! + 5!) ..."n" factores (1! + 2!) (2! + 3!) (3! + 4!) ..."n" factores

44 C1

45 C2

13. Hallar "x":

→ M = ............

4. Simplificar: F = 16! + 17! + 18! + (5!) ! 120! 16! + 17!

Colegios

12. Simplificar:

3 x x x x C0 + C1 + C2 + C3 = x + 6x–3 ; x ∈ 6

Central: 6198-100

Álgebra

14. La permutación con repetición es una técnica de conteo, donde los elementos a ordenar tienen repetidos uno o más elementos. Este número de ordenamientos diferentes está dado por:

15. ¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente tres frutas, podemos preparar si disponemos de ocho frutas diferentes?

n! , donde: = a!b!c!...

n Pa,b,c,...

Según esto,indicar cuántos ordenamientos pueden formarse con las letras de la palabra "TERRENO".

: Número de elementos a ordenar

a,b,c,... : Elementos repetidos de un primer, segundo,tercer tipo,etc.

Tú puedes 1. Siendo n ∈

, hallar: M = 1n 6C04n –C24n + C44n –C46n + ... + C44nn @ 4

a) 1

c) (–1)n

b) –1 n

2. Reducir:

k= 1

3. Calcular: E = e a) 1

m–1 2 n –m o+e o , para m; n ∈ 2n + 1 2n + 1 b) – 1

4. Sean m; n; k ∈

a) m

d) 1

e) – 1 n

∧ m ; n > 1000

c) 0

/ m > n ≥ k ; reducir:

i= k

e) 4

C kn––11 C2kn–1

2 c) 1 a) 1 b) n n+1 n+1

d) 2

b) m + 1

e) m + n m–n

d) mn

i–1 m–1 e oe o k–1 n–k

c) m – 1

m+1

d) Cn

e) Cn+1

n n n n n 5. Calcular: ^C0h – ^C1 h + ^C2h – ^C3 h + ... – ^C nh 2

a) Cn

www.trilce.edu.pe

b) (–1)nCn

c) (–1)nCn

2n–1

d) (–1)nCn

e) 0

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Binomio de Newton Un binomio particular La mayor parte de la notación matemática que se utiliza hoy en día no se inventó hasta el siglo XVIII. Antes de eso, las matemáticas eran escritas con palabras, un minucioso proceso que limita el avance matemático. En el siglo XVIII, Euler fue responsable de muchas de las notaciones empleadas en la actualidad. La notación moderna hace que las matemáticas sean más sencillas para los profesionales, pero para los principiantes resultan complicadas. Los matemáticos quieren que sus teoremas a partir de los axiomas sigan un razonamiento sistemático. Esto sirve para evitar teoremas erróneos, basados en intuiciones falibles, que se han dado varias veces en la historia de esta ciencia. El nivel de rigor previsto en las matemáticas ha variado con el tiempo: los griegos buscaban argumentos detallados, pero en tiempos de Isaac Newton los métodos empleados eran menos rigurosos. Ahora, los matemáticos continúan apoyándose entre ellos mediante demostraciones asistidas por ordenador. http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general del desarrollo del binomio .. Análisis de los términos .. Término general .. Suma de coeficientes .. Suma de exponentes .. Otros desarrollos

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

BINOMIO DE NEWTON

Desarrollo de: (x+a)n; n ∈ Z+

Análisis de términos

Término general

Número de términos

Notación

Coeficientes equidistantes

Fórmula

Suma de coeficientes

Adicionales

Caso 1 n

C0 + C1 + C2 + ... + Cn

Caso 2 n

C0 + C2 + C 4 + ... + Cn

Término central (los 2 casos)

Caso 3 n

C1 + C3 + C5 + ... + Cn − 1

www.trilce.edu.pe

En: (a1+a2+a3+...+am)n

Coeficiente

Número de términos

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 4. Efectuar:

1. Efectuar: a) (((x)m)n)p= ............ b) xn.xm.xp = ............ m c) x n =.................... x

m p d) x .nx =................. x

a) (x + 2)2 = ...............................

b) (x – 4)2 = ...............................

c) (x + 1)3 = ...............................

d) (x – 2)3 = ............................... 2. Del polinomio cuadrático: P(x) = x2 +3x + 2, calcular: 5. Completar: a) P(1) = ................ b) P(0) =.................. n a) Cn =................... c) P(2) = ................ d) P(0)+P(2) = ........... 3. Dados los monomios, completar: a) P(x;y) = 4x10y12

• GR(x) =......... • GR(y)= ........ • GA=.........

b) C1 = .................

c) C0 =...................

b) P(x;y;z) = –5x8y7z4

• GR(x)=............... • GR(y)=..............

• GR(z)=............... • GA=.................

Aplica lo comprendido 3. Respecto al binomio: (x2 +y4)6, completar:

1. Relacionar correctamente:

a) Número de términos =

Tiene 5 términos

b) Suma de coeficientes =

Suma de coef.=4

c) suma de exponentes =

Tiene 6 términos

(x2+y3)4

Suma de coef.=27

(x2+2y)3

(x2+y4)5 (x2+y)2

4. El quinto término en el desarrollo (x + y)7 es: 2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: (5x+y)12

A. El número de términos de: es 12 ..............................................................( )

B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x+y)3 es 8 ...........................................( )

C. El número de términos de: (x2+y)n+1 es 10, si n=9 ...................................................( )

D. El tercer término al desarrollar: (x+1)2 es 2x ...............................................................( )

Colegios

TRILCE

5. El desarrollo de (x + y)2n – 1 tiene 20 términos. Calcule "n".

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente a partir del binomio 5. Hallar el lugar del término independiente en el (x+a)n: desarrollo de: 2n

n+1

Tk+1=Ck xn–k.ak

(α + β) (n) (n + 1) 2

Suma de exponentes en (xα+yβ)n Término general Suma de coeficientes Número de términos

1 P(x) = c x5 + 5 m , siendo "n" par. x n + 1 a) 2

b) n 2

e) n – 2

d) n + 2

c) n – 1 2

6. Si el décimo término en el desarrollo de (xb+xc) d es x18, calcular "c + d".

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: 7. A. El número de términos de: (12x4+y5)12 es 12 .........................................................( )

a) 1 d) 11

b) 2 e) 13

c) 9

Si el grado absoluto del séptimo término en el desarrollo de: P(a; b; c) = (a2b + c)n es 30, hallar el grado de su término central.

B. La suma de coeficientes al desarrollar: (x4+y3)5 es 32.........................................( )

C. El número de términos de: (x2+y3)n+1 es 12, de: si n=10...................................................( ) 8. En el desarrollo n 1 +, el término de lugar 17 es c 2 + xm , x ∈ D. La suma de exponentes al desarrollar: x n (x6+y2)4 es 80.........................................( ) de la forma: T17 = C16x2. Calcular el valor de "n".

3. Respecto a los binomios completar: A. El tercer término de (x2 + y3)6 es: ______________

B. El penúltimo término de (3x2 – y3)12 es:

C. La suma de coeficientes de (2x + y)5 es: ______________ D. La suma de exponentes de (x3 + y2)4 es: ______________

a) 16 d) 19

b) 24 e) 47

c) 28

b) 17 e) 20

c) 18

9. Calcular “n” si al desarrollar: F(x) = (x6 – 1)4(x4 + x2 + 1)2n(x2 – 1)2n se obtienen 25 términos.

______________

a) 16 d) 31

a) 8 d) 18

b) 10 e) 20

c) 12

10. Indicar el valor de "k" si en el desarrollo de: (x +1)36, los términos de lugares (k – 4) y k2 tienen coeficientes iguales.

a) 7 d) 9

b) 6 e) 10

c) 5

x2 y 4. Calcular el término de lugar 13 en el desarrollo 11. En el desarrollo de: e 5 + x o , existen dos y de: términos consecutivos, el primero independiente 15 2+ 1 de "x" y el segundo independiente de "y". m P(x) = c x x5 Indique el número de términos del desarrollo.

a) 252x61 d) 30x6

www.trilce.edu.pe

b) 455x–54 e) 4x10

c) 125x–8

a) 54 d) 62

b) 60 e) 63

c) 61

Cuarto año de secundaria

Capítulo

n + 20 n 15. El código modular de un alumno del colegio xm + y e o, 12. Al desarrollar la expresión: TRILCE en la UGEL está determinado curiosamenn–10 x y te en el triángulo de Pascal en la fila 8 y columnas: admite un solo término central cuya parte literal 3; 4; 5 y 6. ¿Cuál es dicho código modular? es: x60y600. Hallar: n ÷ m

a) 44 d) 10

b) 40 e) 8

c) 4 Fila 1 Fila 2

13. Si un término del desarrollo de: 1 4 1 4 m 4 4 B(x) = ;c x + 4 m – c x – 4 m E x x 13 es igual a: 3×2 ; calcular el valor de "m".

a) 1 d) 6

b) 2 e) 8

Columna 1 Columna 2

c) 4

14. Un alumno del colegio TRILCE le pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: "`x + 1 j ". ¿Cuál fue su nota? x

Practica en casa 1. Relacionar correctamente al desarrollar: (a+x)n 2n

n+1 n tk+1=Ck

an–k.xk

(π + θ) n (n + 1) 2

Suma exp. de (xπ+yθ)n Suma de coeficientes Número de términos Término general

b) El penúltimo término de (4x3 + y2)10 es:

__________________ c) La suma de coeficientes de (3x + y)4 es: __________________ d) La suma de exponentes de (x4 + y3)5 es: __________________ 6

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto al desarrollo del binomio de Newton: (5x4+y7)10

A. El número de términos de: es 11 ............................................................ ( ) B. La suma de coeficientes al desarrollar: (4x2 – y2)3 es 27 .................................... ( ) C. El número de términos de: (x4+y6)n –1 es 12, si n=12 .................................................. ( ) D. La suma de exponentes al desarrollar: (x4+y3)3 es 42......................................... ( )

x 2 4. Calcular el cuarto término de: c 2 + x m 5. Hallar el término independiente en el desarrollo de: (x3 + x–1)4n ; n ∈ +. 6. Indicar el valor de "n", si la expansión de (x3 + y2)n, contiene a: x18y16. 7. Calcular el valor de "n" para que el término 12 n 1 5 del desarrollo de c x + x3 m , contenga a: x12.

3. Respecto a los binomios completar:

a) El cuarto término de (x3 + y4)5 es:

__________________ Colegios

TRILCE

8. Hallar "n" para que el "t25" del desarrollo de: 5n+2

2 y2 ex + o y x

, contenga a: x44. Central: 6198-100

Álgebra 9. Desarrollando la expresión: (a2 + a)n.(a2 – 1)n + 2.(1 – a–1)n, se obtiene 21 términos en total. Hallar "n". 10. Calcular el valor de "k" en el desarrollo de (1+x)43, si se sabe que los coeficientes de los términos de lugares (2k+1) y (k+2) son iguales. 11. ¿Cuál es el número de términos en el desarrollo n n de: ` 8 x + yj , si los coeficientes de los términos de lugares 7 y 8 son iguales?

14. El código modular de un alumno del colegio TRILCE en la UGEL está determinado curiosamente en el triángulo de Pascal en la columna 3 y filas : 5; 6; 7 y 8. ¿Cuál es dicho código modular? Columna 1 Columna 2

Fila 1 Fila 2

12. Si el producto de la suma de los coeficientes de los desarrollos de: (a + b)m; (c + d)n; (a + 1)p es 4096, siendo "m", "n" y "p" pares consecutivos, hallar el valor de: mn + np + pm. 13. Determinar "a + b" en la expansión de: b

2a yb P(x; y) = e 4xb–5 – 2 o y 2x

de modo que admita un solo término central cuya parte literal es: x24y15.

15. Un alumno del colegio TRILCE le pregunta al profesor acerca de su nota del examen bimestral de Álgebra, y el profesor le responde curiosamente lo siguiente: "Tu nota es el término independiente al desarrollar el siguiente 6 binomio: " c x + 12 m ". ¿Cuál fue su nota? x

Tú puedes 3 1 4 2 1. Determinar el coeficiente del término en el desarrollo de: P(x;y;z)=`2x – 4 y z j , en el que los exponentes de "x", "y", "z" (en ese orden), formen una progresión aritmética. 12

a) 376 b) 495 c) 572 d) 396 e) 478 2. Determine el coeficiente de x6y3 en el desarrollo del producto: (x + y)5 (2x – y)4

a) 160

b) 36

c) 24

d) – 48

e) – 96

3. ¿Cuántos términos enteros tiene el desarrollo de: ^12 34 + 34 12 h1234 ? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) Más de 4 1 4n 4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de `x + j entre el 1 x n+ coeficiente de xn en el desarrollo de: (1 – 4x)–( 2(

a) 1

b) – 1

c) 2

d) – 2

e) 1 2

5. Si el tercer término del desarrollo del binomio (n+x3)n es "nk" veces el cuarto término del desarrollo de (n + x2)n, hallar "n", si k ∈ +. 3–2k b) 1 + k c) 2 + 3k d) 3 + k e) 3 + 2k a) k k k k k www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Números complejos Euler y sus aplicaciones en los números complejos Entre 1545 y 1560, los matemáticos italianos Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron cuenta de Producto de Producto de que el uso de un número y dos números los números su conjugado cualquiera imaginarios era indispensable para poder resolver todas las ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria). Los números complejos se utilizan en todos los campos de la Matemática, en muchos de la Física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en Ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica. En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del Álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado "n" tiene exactamente "n" soluciones complejas. Los números complejos contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

En este capítulo aprenderemos .. Unidad imaginaria .. Números complejos

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

NÚMEROS COMPLEJOS

Unidad imaginaria

Definición: i2

Potencias

Propiedades

Números complejos

Conjugados

Operaciones

Opuestos

Suma y resta

Iguales

Multiplicación

Imaginario puro

División

Potencia

Reales

Gráfica en el plano Gaussiano

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Completar luego de resolver:

3. Reducir:

a) x2 = 16 → x = ...................

8 = ...........

12 =...........

b) x2 = 100 → x = ...................

c) 48 = ..........

75 =...........

c) x2 = 13 → x = ...................

4. Racionalizar:

d) x2 = 48 → x = ...................

1 =........... 8

a) x65=x34.x12. ....... c)

x–8

1 =........... 3

5. Racionalizar:

2. Completar:

=...........

b) x43=x12.x19. ....... d)

x–48

=..........

1 = .......... 2+1

1 =........... 3 –1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

Z=3+4i W=5+12i

Zimag.puro : a=8

–25

–1

Z=(a–8)+4i

z+w=8+16i

A. (1 – i)2 = ..................................

B. i+i2+i3+i4 = ..................................

C. z=5+12i →|z| = ..................................

D. (1+i)4 = ..................................

4. Determinar el valor de "m", si: 5 + mi es 2 – 3i imaginario puro.

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

A. Si: z=4–3i → z=3–4i............................ ( )

B. (1 + i)2 = 2i........................................... ( )

D. –36 + –9 = 9i................................... ( )

C. Si: z=3+2i → |z|=5............................ ( )

Colegios

5. Hallar "a", si: a + 4i es un complejo real. 3 + 2i

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 7. Determinar la suma:

1. Relacionar correctamente: Z=3+4i W=5 – 12i

Zimag.puro : a=3 Wreal : b=2

–1

–9 + –25 i258 C Z=(a–3)+4i D W=5 – (b – 2)i

1+2i+3i2+4i3+5i4+6i5 + ......... ("4n" sumandos)

A. Si : Z ∈ C→Z+Z=2Re(Z)...................... (

)

B. (1 + i)2 – (1 – i)2= 0.............................. ( 1 + i + 1–i = 2i ............................... ( C. 1–i 1+i

)

b) 2n(1 – i) e) –1 – i

D. i + i2 + i3 + ..... + i48 = 1................... (

) )

Z = (3+4i)(1+ 3 i)(2 2 – 2 2 i) a) 10 d) 60

b) 40 e) 80

c) 20

9. Efectuar y dar el módulo del complejo:

2 i – 29 i 4

2 a) c) 2 2 b) 9 3 d) 3 e) 10. Si la gráfica del número complejo:

3. Completar: A. Z1 = 3 – 2i → Z 1= ................................... * B. Z2 = – 2 + 5i → Z2= .............................. C. Z3 = 6+ 8i → |Z3|= ................................ D. Z4 = – 7 + 7i → |Z4|= ............................ 4. Efectuar:

Z = 1 + mi ; m ∈ 1 – mi Es la que se muestra en la figura, encontrar el valor de "m".

Im(Z)

Re(Z)

i343 + i459 + i623 + i975 + i1240 – i4020 a) 4i d) –4 5. Reducir:

b) 4 e) 0

c) –4i

i9 + i16 + i40 – 2 ; (i = –1) i –i13 –i39 + 2i8 22

a) 1 d) 2i

b) 2 e) 4i

i200

201202

a) 2 d) 1 + i

www.trilce.edu.pe

+i301

302303

+i402

b) 4 e) 2 + 2i

+i503

c) 2i

b) –2 e) 2

c) 1

1 1 1 1 `1– i jc1– 1 + i mc1– 2 + i m ... c1– 219 + i m =a+bi

c) i

403404

a) 4 d) –1

11. Si:

6. Calcular:

c) –2n–2ni

8. Determinar el módulo de:

|Z|=5; |W|=13

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

a) 2+2i d) –n – ni

504505

Calcular: (a + b)(2192 + 1)

a) 1 d) –2

b) 2 e) 3

c) -1 k

2011

k + k2 i ; 12. Calcular el valor de: E = 2 E k = 1 ki – k

Donde: i = –1

a) 1 d) –i

b) i e) 0

c) –1

Cuarto año de secundaria

Capítulo

13. Indique la parte real de: Z=(1+i)2+(1+2i)2+(1+3i)2+...+(1+ni)2; n∈ n (n + 1 ) a) 2

+ c) n (2n 5) 3

b) n

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos: A=1+2i , B=6+14i y C=15+2i ; además: i= –1 ; |Z1|, |Z2| y |Z3| son módulos. Im(Z)

n (n + 1) e) n (2n+5)(1–n) d) 6 6

B |Z2|

|Z1|

14. Calcular la suma de los 100 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=(n+1)i n+1; n ∈ *, siendo: i= –1.

|Z3|

Re(Z)

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

6. Efectuar:

Z=6+8i W=5 – 12i

Zimag. puro : a=3

–4 + –49

–1

i34

z=(a–3)+ai

|Z|=10; |W|=13

20 1819

T = i17

28 2627

+i25

36 3435

+i33

7. Calcular: S=i2+2i4+3i6+4i8+...+2ni4n 8. Encuentra el módulo del complejo:

z = (3 + 4i) . (5 + 12i) (1 + i) . ( 7 + i)

9. Calcule el equivalente de:

2 i–

i+ 5 i

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) :

A. Si: W ∈ C → W+W=2Re(W).................( )

B. (1 + i)2 + (1 – i)2= 4i............................. ( ) 1 + i – 1–i = 0 .................................. ( ) C. 1– i 1 + i

10. Si la gráfica del número complejo: Z= m + i ; m ∈ , es la que se muestra en la 1 + mi figura, encontrar el valor de "m". Im(Z)

D. i + i2 + i3 + ..... + i480 = 1................... ( ) Re(Z)

3. Completar:

A. z1 = 4 – 3i → z 1= B. z2 = – 3 + 6i → z*2 = C. z3 = 3+ 4i → |z3|= D. z4 = – 6 + 6i → |z4|=

4. Efectuar:

i100 + i101 + i102 ...... + i2006

32 54 65 5. Calcular: M = i46 + i520+ i673 i + i –i

Colegios

TRILCE

11. Si: `1 + 1jc1 + 1 m ... c1 + 1 m =a+bi i 1+i 99 + i

Calcular el valor de "a – b".

12. Calcular el valor de:

2012

n= 1

;

n + n2 i E ; donde: i = –1 ni – n2

Central: 6198-100

Álgebra 13. Indique la parte imaginaria del complejo definido por: Z=(1+2i)2+(1+3i)2+(1+4i)2+...+[1+(n+1)i]2

|Z1| , |Z2| y |Z3| son módulos.

14. Calcular la suma de los 40 primeros términos de una sucesión, donde el término general está definido por: Tn=nin ; n ∈ *,siendo: i = –1 .

1m(z)

B z2

z1 A

z3

RE(z)

15. Calcular el perímetro de un terreno de forma triangular, el cual está representado en el plano gaussiano por los números complejos : A=2+i, B=10+7i y C=18+i; además : i = –1 ;

Tú puedes 1. Sea "z" un número complejo que satisface: z + 1 = 1 ; entonces: z –1

a) Re(z)>0 b) Re(z) ≤ 0 c) Im(z) ≥ 0 d) "z" es un número real. e) "z" es un número imaginario puro.

2. Si: 3 a + bi =m+ni ; {a; b; m; n} ⊂ R, i2 = –1. Calcular:

a b c1 – 3 m c 3 + 1m m n

d) –3i

e) 3

d) 3

e) 1 3

a) 3i

b) 1

c) –1 2

z1 + z2 – z1 –z2 3. Sean: z1, z2 ∈ C; reducir: Re (z .z ) + Re (z .z ) 1 2 1 2

b) 1 2

a) 1

c) 2

4. Efectuar: (m + nw) 2 + (n + mw2) 2 + (m + nw2) 2 + (n + mw) 2 + 2mn

Si: n > m; w =

a) m + n

1 b) m – n

c) n – m

d) 2n – m

e) 2m – n

5. Sabiendo que "z1" y "z2" representan un número real puro e imaginario puro respectivamente, hallar el valor de: R = a – b; ab ≠ 0 Donde: z1 = a + b + 2i ; z2 = a + (b + 8) i ; a ∧ b ∈ a–b–3i a–bi

a) 30

www.trilce.edu.pe

b) –3

c) –60

d) 10

e) 24

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Ecuaciones de primer grado El ábaco y los chinos Desde el siglo XVII aC. los matemáticos de Mesopotamia y de Babilonia ya sabían resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Además resolvían también, algunos sistemas de ecuaciones con dos ecuaciones y dos incógnitas. En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un álgebra muy elemental que usaron para resolver problemas cotidianos que tenían que ver con la repartición de víveres, de cosechas y de materiales. Ya para entonces tenían un método para resolver ecuaciones de primer grado que se llamaba a "método de la falsa suposición". No tenían notación simbólica pero utilizaron el jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila) para designar la incógnita. Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado, así como sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de representar números positivos y negativos. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Teoría de ecuaciones .. Ecuaciones de primer grado

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica TEORÍA DE ECUACIONES

Igualdad

Identidad

Ecuación

Solución (Raíz)

Ecuaciones de 1er. grado

Forma general: ax + b = 0

Clasificación

Análisis de la raíz Compatible

Determinado

Indeterminado

Incompatible

Análisis Pérdida de solución

Compatible

Incompatible

Determinado

Soluciones extrañas Indeterminado

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Del polinomio lineal: P(x) = 12x + 7 completar:

4. Efectuar:

• Término lineal = .................................

a) (x + 1)(x + 4) = ...................

• Coeficiente principal = ..............................

b) (x – 3)(x – 1) = ...................

• Término independiente = ....................

5. Completar:

2. Efectuar:

a) x+7=12; entonces: x= .............

a) x3. x5 = ...............................

b) x – 5=8; entonces: x= .............

b) x2 . x5. x9 = ........................

c) x – 9 = –11; entonces: x= .............

d) x =2; entonces: x= ............. 6

e) 4x +3= 8; entonces: x= .............

3. Efectuar:

a) (x + 1)2 = ...................

b) (x – 3)2 = ...................

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

x4 + x–2 =4 x–6

x2+x4=2x3+1

Ec. irracional

x xx =2

Ec. fraccionaria

Ec. trascendente

x =2

Ec. polinomial

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: xn–2 + x = 4

A. Si: n=3 es una ecuación lineal................ ( )

B. Si: n=2 es una ecuación lineal................ ( ) C. Si: n=3; entonces: x = 2......................... ( )

D. Si: n=2; entonces: x = 0......................... ( )

Colegios

TRILCE

A. Si : 3x+2=3x+2 ; entonces: CS = ...........

B. Si : 2x+1=x+4 ; entonces: CS = ...........

D. Si : 6x+5=6x+2 ; entonces: CS = ...........

C. Si : 4x+2=3x+2 ; entonces: CS = ...........

4. Resolver: (x – 5) (x + 3) = (x + 8) (x – 2) 5. Resolver: 2x – 3 = x + 2 3 4

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecuación lineal: ax+b=0 t a≠0∧b∈ ⇒x=– b a

a=0;b≠0⇒0x=–b B x+axn–1=n

a=0;b=0⇒0x=0 D

Compatible indeterminada Si: n=2; a≠0 ⇒Ecuación lineal Compatible determinada Incompatible

A. Al resolver: 2x + 3x – 30 = 3x + 30; el valor de "x" es 30.....................................( ) B. Al resolver: 2-[2–x–(–x)]=x+2; el valor de "x" es 2 ...................................................( ) C. Al resolver: 5(x - 3)=4( 3 – x ); el valor de "x" es 3 ...................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =44 ; el valor de "x" 2 3 es 24 .......................................................( )

3. Completar las siguientes proposiciones: A. La igualdad: 4x+1=x+7 es una acuación compatible ............

B. La igualdad: 9x+5=5+9x es una ecuación compatible ................

C. Al resolver:

1 + 1 = 1 + x – 2; la x–3 x–3 ecuación es.............................

D. Si la raíz de la ecuación; ax+3= 2x + 31 es: x = 2; el valor de "a" es 7 ....... 4. Resuelva: 5x–2 – 3x + 4 = 7x–5 – 1 2 3 4 1 b) 1 a) c) – 1 2 3 3

d) 3

e) – 2

a) 34 d) 18

www.trilce.edu.pe

b) 17 e) – 17

a) 0 d) 2

b) – 1 e) 1 2

c) 1

7. Resuelva: x – 3x–2 = 3– 2x–5 5 3

a) 0 d) 4

a) {0} d) {a}

b) 1 e) 16

c) 2

c) 33

b) {1} e) {ab}

c) {6}

9. Resuelva en "x": x + a – x–b =2 b a

a) {a+b} d) {a}

b) {b–a} e) {b}

c) {a–b}

10. Calcule "x" en: x + x + x + x =6 3 35 15 63 27 b) 17 c) 37 a) 2 2 2 7 d) 2

e) 1

11. Resuelva: x–17 + x + 7 + x + 2 =3 32 56 51

a) {49} d) { 7 } 9

b) {32} e) {45}

c) {51}

12. Resolver en "x": a `1– a j + b c1– b m = 1 b x a x

a) a+b d) 1

b) ab e) a2+ab+1

c) a – b

13. Indicar el valor de "x" en: x–a + x–b + x–c = 2 c 1 + 1 + 1 m bc ca ab a b c 1 + 1 + 1 a) a b c

5. Resolver: x + 2 + x + 1 = x +2 3 5 2

5x – 7x + 4x–5 = 4 + 8x–5 – 11x–3 5 2 5 2 2

8. Resuelva en "x". (x + a2) (x + b2) = (x + ab)2 ; a ≠ b

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

6. Calcule el valor de "x" en:

d) a2+b2+c2

b) a+b+c

c) abc

e) a+b – c

Cuarto año de secundaria

Capítulo

14. Mathías decide repartir 100 soles entre tres personas, de manera que la primera reciba 5 soles más que la segunda, y que esta reciba 10 soles más que la tercera. ¿Cuánto recibe la tercera persona?

15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento lineal: TF = T0 – 3 t 2 Donde: Tf : Temperatura final (°C) T0 : Temperatura inicial (°C) Dt : Variación del tiempo en horas Si a las nueve de la noche la temperatura era de 8°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 2°C?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente, a partir de la ecuación lineal: mx+n=0 m≠0; n∈ ; n x=– n m m=0; n ≠ 0 ⇒0x=–n

A B

x+mxn–1=n

m=0 ; n=0 ⇒ 0x=0

Incompatible Si: n=2; m ≠ 0 ⇒Ecuación lineal Compatible indeterminada Compatible determinada

A. Al resolver: 2x+3x – 30=3x+30; el valor de "x" es 30.............................................( )

B. Al resolver: 6–[6–x–(–x)]=x+6; el valor de "x" es 2...................................................( )

C. Al resolver:5(x – 9)=4( 9 – x ); el valor de

"x" es 9 ..................................................( ) D. Al resolver: x+ x + x =58; el valor de "x" 4 5 es 40.......................................................( )

3. Completar las siguientes proposiciones: A. La ecuación de primer grado se llama también .............................

B. La igualdad: 7x+4=4+7x es una ecuación compatible .........................

Colegios

TRILCE

C. Al resolver: 1 + 5 = 1 +x ; la ecuación x–5 x–5 es .....................

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F):

D. Si la raíz de la ecuación; ax+3 = 2x + 33 25 es: x = 1; el valor de "a" es .............

4. Resolver: x + 2 – x–4 =2 4 2 5. Resolver: 3x–1 + 2x–1 =x 7 3 6. Resolver: 2 c x + 1m = 3 c x–6 m 3 5 4 3 7. Resolver: x – (5x – 1) – 7–5x =1 10 8. Resolver: 1 c x– 7 m – 1 `x– 7 j + 1 c x – 7 m =0 4 5 3 4 2 3 9. Resolver: x–a + x–b =2 ; a ≠ b b a 10. Dar el C.S. de la ecuación: x + x + x + ... + x =6 5 45 9.13 21.25 11. Resolver: x–32 + x–51 + x–34 =1 15 4 13

Central: 6198-100

Álgebra 12. Dada la ecuación lineal en "x": x–a + x–b + x–c =3 b+ c a+ c a+ b

15. En cierto lugar del país, la temperatura en invierno desciende mediante el comportamiento lineal:

Indique el valor de: (a + b – x)2

TF = T0 – ∅t 2

13. Indicar el valor de "x" en: a + b – x + a + c – x + b + c– x + 4x =1 c b a a+b+c 14. Paolo decide repartir 90 dólares entre tres personas, de manera que la tercera reciba 5 dólares menos que la segunda y esta 10 dólares más que la primera. ¿Cuánto recibe la segunda?

Donde: TF : Temperatura final (°C) T0 : Temperatura inicial (°C) Dt: Variación del tiempo en horas

Si a las once de la noche la temperatura era de 7°C, ¿a qué hora la temperatura habrá descendido 4°C?

Tú puedes 1. Resolver en "x":

a) a

2. Resolver en "x":

a) a + b + 1

x + a2 x–b2 –c2 =1 + (a + b–c) (a–b + c) (c–a–b) (b–a–c) b) b

a) 1

d) a + b

e) bc

a+x + b+x x–a + x–b = 1 + a + ab 1 + b + ab 1–a + ab 1–b + ab b) a + b – 1

3. La solución de la ecuación:

c) ab

1–a .

b) –1

c) ab + 1 4

1+x = 1+a . 1–x

d) ab – 1 4

e) ab

1–x es: 1+x

c) a

d) –a

e) 2a

4. Resolver en "x": x – a + 2 4–a = 3 a–4 + a a) 20 b) 16 c) 12 d) 8 e) 4 4 5. Resolver: 1 + x 4 = 1 y dar como respuesta una solución. 2 (1 + x)

a) 1+ 3

www.trilce.edu.pe

b)1– 3

c) 3 + 3 + 2 3 d) 3 – 3–2 3

e)1 + 3 + 3 + 2 3

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Ecuaciones de segundo grado Lectura En el siglo III, el matemático griego Diofanto de Alejandría publicó su Aritmética en la cual, por primera vez en la historia de las matemáticas griegas, se trataron de una forma rigurosa no solo las ecuaciones de primer grado, sino también las de segundo. Introdujo un simbolismo algebraico muy elemental al designar la incógnita con un signo que es la primera sílaba de la palabra griega arithmos, que significa número. Los problemas de Álgebra que propuso prepararon el terreno de lo que siglos más tarde sería la "teoría de ecuaciones". A pesar de lo rudimentario de su notación simbólica y de lo poco elegantes que eran los métodos que usaba, se le puede considerar como uno de los precursores del álgebra moderna. Al-Juarismi a menudo es apodado "el padre del Álgebra", por sus importantes contribuciones a este campo. Aportó una exhaustiva explicación a la solución de ecuaciones de segundo grado con raíces positivas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Métodos de resolución .. Propiedades de las raíces .. Naturaleza de las raíces: Análisis del discriminante .. Formación de la ecuación cuadrática .. Ecuaciones cuadráticas equivalentes

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

ECUACIONES DE 2do. GRADO

Resolución

Factorización

Naturaleza de las raíces

Discriminante (D)

Fórmula general Análisis de las raíces Propiedades de las raíces

Adición

Reconstrucción de la ecuación cuadratica

Observaciones

Raíces simétricas

Raíces recíprocas Ecuaciones equivalentes

D>0 D=0 D<0

Multiplicación

D≥0

Sustracción (Legendre)

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 1. Del polinomio cuadrático: P(x) = 5x2 – 3x+8, completar:

3. Factorizar:

a) mx2 + bx2 = ...................

b) 5x2 + 10x = ................... c) 3y3+4y2 = ...................

a) Coeficiente del término cuadrático : .............

b) Coeficiente del término lineal: .....................

c) Término independiente:...........................

4. Factorizar:

2. Completar:

a) x2 + 3x + 2 = ...................

a) Opuesto de 7:.......................

b) x2 – 2x – 24 = ...................

b) Opuesto de –9:.....................

c) x2+x – 12 = ...................

c) Recíproco de 6:....................

5. Factorizar:

d) Recíproco de –5:..................

a) x2 – 16 = ...................

e) Recíproco del opuesto de –8:..........

b) x2 – 100 = ...................

c) x2 – 64 = ...................

Aplica lo comprendido 3. Respecto a la ecuación: x2 – x – 2=0, completar:

1. Relacionar correctamente: x2+6x+1=0

C.S.={–5;5}

Suma de raíces =

x2=25

D=0

Producto de raíces =

(x–3)(x–4)=0

x1+x2=–6

x2+2x+1=0

C.S.={3;4}

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: x2 + 3x + 1 = 0

A. La suma de raíces es igual a –3...............( )

B. Tiene raíces recíprocas............................ ( )

D. Su producto de raíces es 1....................... ( )

5. Resolver: x2 – 5x + 2 = 0

C. Su discriminante es igual a 10................. ( )

Colegios

Discriminante = 4. Resolver: x2 – 4x – 12 = 0

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente:

7. Relacione:

x2+x+1=0

x1.x2=1/4

x2+6x+5=0

x1+x2=–1

x2–9x+8=0

D=16

4x2+4x+1=0

C.S.={1;8}

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: mx2 + nx + m = 0

I. x2 + 6x + 10 = 0 II. 2x2 + 5x – 1 = 0 III.4x2 – 4x + 1 = 0

A. Raíces reales y diferentes B. Raíces reales e iguales C. Raíces imaginarias y conjugadas

a) IA – IIB – IIIC c) IC – IIA – IIIB e) IA – IIC – IIIB

b) IB – IIA – IIIC d) IC – IIB – IIIA

A. La suma de raíces es igual a: –m/n..........( )

B. Tiene raíces recíprocas............................ ( )

C. Su discriminante es igual a: n2–4mn........( )

8. Si: 3x2 – 7x + 1 = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, calcule: E = 1 + 1 x1 x2

D. Su producto de raíces es 1....................... ( )

3. Respecto a la ecuación: 5x2 – 4x – 2=0 de raíces x1; x2 completar: x1 + x2 = x1 . x2 =

4. Luego de resolver: 2x2 – 3x – 1 = 0 , señalar una raíz. 3– 15 b) 3 + 17 c) 3 + 17 a) 2 4 2 3– 15 e) 17 –3 d) 4 2 5. Sea la ecuación: (2k + 1)x2 + (3k – 3)x+5 = 0. Calcular "k", si la suma de sus raíces es 3/4. 1 b) 1 a) c) 1 4 2 d) 2 e) 3 4 6. Calcular el valor de "p", si la ecuación: 3x2 – (4p - 20)x + 1 = 0 tiene raíces simétricas.

a) – 5 d) 0

www.trilce.edu.pe

b) 5 e) 1 5

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

9. Si: x (x – 6) = – 3 tiene C.S.={x1; x2}, calcular el valor de: T=(1+x1) (1+x2)

a) 8 d) 11

b) 9 e) 12

c) 10

10. Si: x2 + 2bx + 3c = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, x2 + x22 + 6c calcule el valor de: M= 1 b2

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

11. Formar la ecuación cuadrática de raíces: x1 = m + m2 –1 x2 = m – m2 –1

a) 2x2 – mx+2=0 c) 2x2 – 2mx+1=0 e) 2x2 – mx+1=0

b) x2 – 2mx+1=0 d) x2 – mx+1=0

12. Sean "a" y "b" las raíces de: x2+2012x+2002=0. Calcular: G = a2+b2+a2b2+2ab(a+b+1)

a) 169 d) 121

b) 81 e) 144

c) 100

c) 6

Cuarto año de secundaria

Capítulo

13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2m – n)x2 + x = 2x2 – 1 (m2 + n2)x2 + 2x = – x2 – 2 (m;n∈R). son equivalentes, calcular "m.n"

a) 3 d) – 2

b) 1 e) – 3

c) 2

15. El profesor de Álgebra indica a sus alumnos que las raíces "x1" y "x2" de una ecuación cuadrática cortan al eje X tal como se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la ecuación cuadrática? y 21

14. Edú encuentra dos números cuya suma es ocho y su hermano Mathías encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a dos tercios. ¿Cuál fue el mayor número encontrado?

x1=3

x2=7

f(x) x

–4

Practica en casa 6. La ecuación: (2m – 8)x2+3(m+4)x+(m – 7)=0, tiene raíces simétricas. Calcular "m".

1. Relacionar correctamente: x2+3x+1=0

x1.x2=1/9

x2+3x+2=0

x1+x2=–3

x2–5x+4=0

D=1

I. x2 + 5x + 6 = 0

9x2+6x+1=0

C.S.={1;4}

II. x2 + 5x + 9 = 0

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación: ax2 + cx + b = 0 (c≠0)

A. La suma de raíces es igual a: –b/a........... ( )

B. Tiene raíces simétricas............................ ( ) C. Su discriminante es igual a: c2 – 4ab...... ( )

D. Su producto de raíces es: b/a................. ( )

3. Respecto a la ecuación: 2x2 – 3x – 4 = 0 de raíces x1, x2 completar:

• x1 + x2 = • x1 . x2 = • D=

4. Resolver: x2 – x – 3 = 0, e indicar el valor de la mayor raíz. 5. Hallar "k", si la suma de raíces de la siguiente ecuación: (k – 1)x2 – 8kx + 4 = 0 es 10. Colegios

TRILCE

7. Relacione:

III.9x2 – 6x + 1 = 0

A. Raíces reales y diferentes B. Raíces reales e iguales C. Raíces imaginarias y conjugadas

8. Si: mx2 + 8(m – 1)x – 2m = 0 tiene C.S. = {x1 ; x2}, y además: 1 + 1 = 3; x1 x2 calcular "m". 9. Si: 3x2 + 7x + 2k = 0 tiene C.S. {x1 ; x2}; calcular "k" si: (x1 + 3) (x2 + 3) = 0 10. La ecuación: x2 – 2x + 2008 = 0; tiene

a+b C.S. = {α ; β}. Calcular: G= cβ + 2008 m β

11. Formar la ecuación cuadrática, cuyas raíces son: x1 = 2 – 3 ; x2 = 3 + 2 12. Sean "m" y "n" las raíces de:

x2 + 1999x + 2012 = 0

Calcular: M=m2+n2+m2n2+2mn(m+n+1) Central: 6198-100

Álgebra 13. Si las siguientes ecuaciones cuadráticas: (2n +1)x2 + 5nx + 20 = 0 (5m – 52)x2 + (m–4)x + 4 = 0 son equivalentes, calcular "m.n".

15. El profesor de Álgebra indica a sus alumnos que las raíces "x1" y "x2" de una ecuación cuadrática cortan al eje "X" tal como se muestra en el siguiente gráfico. ¿Cuál es la ecuación cuadrática? y

14. Paolo encuentra dos números cuya suma es doce y su hermano Diego encuentra que la suma de las inversas de los mismos números es igual a tres octavos. ¿Cuál fue el menor número encontrado?

32 0

x1=4

x2=8

f(x) x

–4

Tú puedes 1. Si "α" es solución de: x2 – 3 x+1=0, halle: α12 + α6 + 1 a) 3 b) 2 c) 1 d) - 1 e) 4 2. Si: x2+3x+1=0 tiene C.S. = {x1 ; x2} , calcular el valor de:

1 1 + 5 (x1 + 3) (x2 + 3) 5

a) 32 b) 43 c) 51 d) 83 e) 123 3. Si "D" es el discriminante de: x2 – (D – 1)x + (D + 19 ) = 0 (D > 0), determinar el conjunto solución. 4 5 9 b) 5 11 3 9 3 11 a) f ' ; 1 ' ; 1 c) ' ; 1 d) ' ; 1 e) 2 12 2 2 2 2 2 2 2 β2 = c – 20; calcular el mayor valor po4. Si: x2–x–c=0 tiene C.S.={α; β}, de modo que: α + β+1 α+1 sitivo de "c".

a) 6

b) 12

c) 8

d) 16

5. Si una de las raíces de: x2 + px + q = 0 es el cuadrado de la otra, calcular:

e) 14 p3 + q2 + q pq

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Ecuaciones polinomiales Lectura El desarrollo del Álgebra vino de la mano de Al-Karaji. En su tratado al-Fakhri extiende la metodología para incorporar potencias y raíces de cantidades desconocidas. La primera demostración por inducción matemática de la que se tiene constancia aparece en un libro escrito por Al-Karaji en el 1000 d.C., en el que demuestra el teorema del binomio, el triángulo de Pascal, y la suma de cubos integrales. Durante la primera mitad del siglo XVI, Scipione del Ferro y Niccolò Fontana Tartaglia descubren soluciones complejas a las ecuaciones cúbicas, trabajando en la resolución de ecuaciones. Gerolamo Cardano publicará el Ars magna junto con un trabajo de su alumno Ferrari, quien resuelve las ecuaciones de cuarto grado. En 1572, Rafael Bombelli publica su L’Algebra, en el que demuestra cómo utilizar las cantidades imaginarias que podrían aparecer en la fórmula de Cardano para las ecuaciones de grado tres. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Forma general .. Teorema fundamental del álgebra .. Teorema de Cardano – Viette .. Teoremas adicionales .. Ecuación cúbica .. Ecuación bicuadrada

Colegios

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica ECUACIONES POLINOMIALES

P(x)=a0xn+a1xn–1+...an=0; a0≠0

Teorema de Cardano

Características

C.S. = {x1; x2; x3; ....; xn}

Ecuación bicuadrada

Teorema del factor

Resolución

Cero o raíz

Por factorización

Multiplicidad de raíces

Dos pares de raíces simétricas

Resolución

Fórmula

Paridad de raíces Propiedades Factorización Suma

Producto

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

Capítulo

Saberes previos 4. Completar:

1. Resolver:

a) x2 – 9 = 0 b) x2 + 9 = 0 c) x (x – 2) = 0 d) x2 – x – 2=0

→ → → →

x1 = x1 = x1 = x1 =

; x2 = ; x2 = ; x2 = ; x2 =

2. Resolver:

a) x2 +x +5 = 0 → b) 4x2 +2x – 3=0 → c) x2 – 12 = 0 → d) x2 +3x = 0 →

x1 + x 2 = x1 + x2 = x1 + x 2 = x1 + x 2 =

3. Resolver:

a) x2 +3x +6 = 0 → b) 2x2 +3x – 12 = 0 → c) x2 – 4 = 0 → d) x2 + 4x = 0 →

a) x1 b) x1 c) x1 d) x1

= 4+ 3 → x2 = = 5 – 7 → x2 = = 6 → x2 = = – 2 5 → x2 =

5. Completar:

a) x1 b) x1 c) x1 d) x1

= 3 – 2i → =4+i → = 2i → =–i →

x2 = x2 = x2 = x2 =

x1. x 2 = x 1. x 2 = x1. x 2 = x1. x 2 =

Aplica lo comprendido 3. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación: 2x3 – 6x2 + 7x + 1 = 0, completar:

1. Relacionar correctamente: x4 – 4x2+4=0

(x+1)(x+2)(x+3)=0 B

C.S.={–1;–2;–3} Ecuación bicuadrada

(x2–1)(x2–4)=0

Ecuación cúbica

x3–x2–6x+3=0

C.S.={1;–1;2;–2}

2. Indicar Verdadero (V) o Falso (F) respecto a la ecuación polinomial:

A. Presenta doce raíces................................( )

B. Presenta tres soluciones...........................( )

D. La suma de soluciones es cero.................( )

A. x1 + x2 + x3 =

B. x1x2 + x2x3 + x1x3 =

C. x1x2x3 =

4. Resolver: (x2 – 4)(x2 – 9) = 0 5. Hallar el mínimo valor de "x” luego de resolver: x3+x2 – 6x=0

C. Una raíz es ocho.....................................( )

Colegios

P(x) = 85(x – 3)2(x + 2)3(x + 1)2=0

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación: 3x4+6x3+2x2–5x+7=0; relacionar correctamente: x1.x2.x3.x4

2 3

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4

7 3 –2

x1+x2+x3+x4

5 3

2. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0; a ≠ 0 "b", "c", "d" , "e" ∈ .

A. Presenta cuatro raíces................................( )

B. Si: a≠b≠c≠d ∧ e=0→ x1=0 es una raíz.....( )

C. Si: a=d ∧ b=c=e=0→x1=0 es una raíz..( )

D. Posee solo tres raíces reales.......................( )

3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 45(x – 6)4(x + 2)8(x – 1)2 x=0

A. La raíz que más se repite es: .......................

B. La raíz: x=–2 tiene multiplicidad: ..............

C. La ecuación tiene ............... raíces.

D. La ecuación tiene .............. soluciones . x3

3x2

4. Si una raíz de: – – 13x + 15=0 es igual a 5, hallar las otras raíces.

a) {3 ; – 1}

b) {– 3 ; – 1} c) {– 3 ; 1}

d) {– 1 ; 1} 3

e) { 1 ; – 1} 3

5. Si la ecuación: xn+2 + 4xn+1 + 7xn – 1 = 0 presenta cuatro raíces, hallar "n".

a) 4 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) 3 e) 5

c) 2

6. Si una raíz de: x3 – 5x2 + 4x – 20 = 0 es igual a 5, hallar las otras dos.

a) – 2

b) – 2 i

d) ± 2 i

e) 1 2

c) 2 i

7. Halle el valor de "a" en la ecuación: x3 + x2 + (1 – 3a)x – 24 = 0, si el producto de dos de sus raíces raíces es - 8.

a) – 1 d) 5

b) 2 e) 6

c) 4

8. Si: 3x3 – 2x2+7x+k=0 tiene C.S.={x1; x2; x3}; además: 1 + 1 + 1 =8 x1x2 x 2 x3 x1x3 7 Calcular "k". 7 a) 4

d) – 1

b) – 7 4 e) 1 4

c) 1

9. Calcular el valor de "m", sabiendo que las raíces de: 4x3 – 24x2+mx+18 = 0 son: x1=α+β, x2=α y x3 = α – β.

a) 18 d) 25

b) 21 e) 27

c) 23

10. Calcular "a + b" en la ecuación: x3 + ax2 + bx + 7 = 0 para que una de sus raíces sea x1 = 1 – siendo "a" y "b" ∈ .

a) 2 d) – 8

b) 5 e) – 5

c) 8

11. Si "x0" es una raíz de la ecuación: x5 – 3 = 4x, 2x50 – 5 hallar el valor de: 8x 0 + 1 1 b) 2 a) c) – 3 2 3 5 d) –4 e) 1

Cuarto año de secundaria

Capítulo

12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 36x4 – 148x2 + 16=0. a) 0 b) 11 c) 5 6 3 d) – 11 e) – 5 6 6 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces : – 2 3 y 5.

a) x4+42x2+280=0 b) x4 – 40x2+390=0 c) x4 – 37x2+300=0 d) x4 – 42x2+280=0 e) x4+37x2+280=0

14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo para forrar una caja de galletas que tiene las siguientes dimensiones: Largo = x1 + x2 + x3 Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 Altura = x1x2x3

donde: "x1", "x2" y "x3" son raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3–12x2+42x–25=0

15. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones:

Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3

donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3– 6x2+11x–6=0. Calcular el área rectangular.

Practica en casa 1. Sean "x1", "x2", "x3" y "x4" raíces de la ecuación:

8x4–3x3+16x2–24x+1=0; mente:

x1.x2.x3.x4

relacionar correcta-

x1.x2.x3+...+x2.x3.x4

3 8

x1.x2+x1.x3+...+x3.x4

x1+x2+x3+x4

1 8

2. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F) respecto a la ecuación: ax3 + bx2 + cx + d = 0 ; a ≠ 0 "b", "c", "d" ∈

A. Presenta tres raíces...................................( )

B. Si: a≠b≠c ∧ d=0→x1=0 es una raíz.........( )

D. Posee solo dos raíces reales......................( )

C. Si: a=d ∧ b=c→x1=–1 es una raíz..........( )

3. Respecto a la ecuación polinomial ,completar: P(x) = 36(x + 2)5(x – 3)6(x + 1)4x2=0

A. La raíz que más se repite es: .......................

Colegios

100

TRILCE

B. La raíz: x=–1 , tiene multiplicidad: .............

D. La ecuación tiene ............ soluciones.

C. La ecuación tiene .............. raíces.

4. Si una raíz de: P(x) = 2x3 – 27x2 + 73x – 30=0 es igual a 1 , hallar las otras raíces. 2 5. La ecuación: 3xn–8 + 4xn–7 + 5 = 0 presenta diez raíces. Calcular "n". 6. Si una raíz de: x3 – 3x2 + 9x – 27 = 0 es igual a 3, hallar las otras dos raíces. 7. Si una raíz de la ecuación: x3–12x2+39x–n=0 es la semisuma de las otras dos, calcular: n–3 . 8. Las raíces de: 2x3 + 9x2 + 10x + b = 0 son proporcionales a 1, 2 y 6. Calcular: b2 – 1 9. La ecuación: (n+1)xn–1+6x2 – 2nx + 3n = 0tiene tres raíces: "x1" ; "x2" y "x3". Calcule: G = x1 + x2 + x3 + x1x2x3 10. Si: 3 – 2 2 es una raíz de la ecuación: x3 – 8x2 + ax + b = 0, calcular el valor de "a – b". 11. Si "b" es una raíz de la ecuación: 3 2x3 – x + 5 = 0, calcular: E= b + 1 b–3 Central: 6198-100

Álgebra 12. Indicar la suma de la mayor raíz positiva con la mayor raíz negativa que se obtienen al resolver: 9x4 – 37x2+4=0. 13. Formar una ecuación bicuadrada que tenga por dos de sus raíces a – 2 y 2. 14. Calcular la cantidad mínima de papel decorativo para forrar una caja de galletas que tiene las siguientes dimensiones: Largo = x1 + x2 + x3 Ancho= x1x2 + x2x3 + x1x3 Altura = x1x2x3 donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 15x2+36x – 20 = 0.

15. El campo de fútbol de un club campestre está representado por un rectángulo de dimensiones: Largo = x1x2 + x2x3 + x1x3 Ancho= x1x2x3 + x1 + x2 + x3

donde: "x1", "x2" y "x3" son las raíces de la siguiente ecuación polinomial: x3 – 4x2 + 10x – 8 = 0. Calcular dicha área rectangular.

Tú puedes 1. Si "x1", "x2" y "x3" son las raíces de: x 3+mx+10=0; calcular la suma de cubos de las mismas. a) – 18 b) 27 c) – 30 d) – 27 e) 18 2. En la ecuación cúbica: x3 + 2007x2 + 2008x + 2009 = 0, la suma de inversas de dos de sus raíces es igual a la tercera; halle esta última.

a) 2

b) 3

c) - 1

d) 4016

e) 2007

3. Sea la ecuación: x3 – 5x2 = 5x – 1, cuyas raíces son: – 1, α y β. Calcular el valor de:

2 α2 + β 6α – 1 6β – 1

a) 1 b) 2 c) – 3 d) 4 e) –2 4. Si: "α" es una raíz de la ecuación: x2 = – x – 1 "β" es una raíz de la ecuación: x5 = x + 2

Indicar el valor de: β5 – a3β+2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 5. Si: x1 = 3 – 2 3 , x2 = – 3 y "x3" son raíces de la ecuación: x3 + ax2 + bx + c = 0; determinar:

(a – x3), si: c = 4 3 – 6

a) 2 3 + 4 3

www.trilce.edu.pe

b) –8–2 2

c) –9+ 3

4 –2 3 d) 2 3 e) 3

Cuarto año de secundaria

101

Capítulo

Repaso II Matemática moderna La historia matemática del siglo XIX es rica y fecunda. Numerosas teorías nuevas aparecen y se completan trabajos comenzados anteriormente. Domina la cuestión del rigor; esto se manifiesta en análisis con Cauchy y la suma de series (la cual reaparece a propósito de la Geometría), teoría de funciones y particularmente sobre las bases del cálculo diferencial e integral, al punto de desplazar las nociones de infinitamente pequeño que habían tenido tanto éxito el siglo pasado. Más aún, el siglo marca el fin del amateurismo matemático: las matemáticas eran consideradas hasta entonces como obra de algunos particulares; en este siglo, se convierten en profesiones de vanguardia. El número de profesionales no deja de crecer y las matemáticas adquieren una importancia nunca antes vista. Las aplicaciones se desarrollan rápidamente en amplios dominios, haciendo creer que la ciencia todo lo puede; algunos sucesos así parecen atestiguarlo, como el descubrimiento de un nuevo planeta únicamente por el cálculo, o la explicación de la creación del Sistema Solar. El dominio de la Física, ciencia experimental por excelencia, se ve completamente invadido por las matemáticas: el calor, la electricidad, el magnetismo, la mecánica de fluidos, la resistencia de materiales y la elasticidad, la cinética química, ... son todas matematizadas. http://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_matem%C3%A1tica

En este capítulo aprenderemos .. Radicación algebraica .. Factorial - número combinatorio .. Binomio de Newton .. Números complejos .. Ecuaciones de primer grado .. Ecuaciones de segundo grado .. Ecuaciones polinomiales

Colegios

102

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra * Completa el crucigrama algebraico. 7 3 1 2 3 5

1 4 5 4

6 6

HORIZONTAL

VERTICAL

Igualdades de la forma: ax+b=0 (a≠0). Igualdades de la forma: ax2+bx+c=0 (a≠0). Expresiones algebraicas de la forma: n x , n ∈ , n ≥ 2. Combinaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k". 5. Raíces de una ecuación cuadrática cuyo producto es uno. 6. Ecuaciones cuárticas de la forma: x4n+x2n+1=0. 7. Expresiones binomiales elevados a un cierto exponente natural. 8. Los números complejos de la forma: z=a+bi, están expresados mediante la forma...

1. Cantidades que tienen parte real y parte imaginaria. 2. El producto de números consecutivos desde el 1 hasta el mismo número inclusive. 3. Igualdades polinomiales de grado "n" (n ≥ 2). 4. Forma de efectuar los radicales presentes en el denominador. 5. Representan el conjunto solución de una ecuación. 6. Son raíces opuestas de una ecuación cuadrática cuya suma es cero. 7. Son radicales de la forma: A + B 8. Es la unidad que representa a las cantidades imaginarias.

1. 2. 3. 4.

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

103

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Reducir: E= 18 + 2 8 – 50 – 98

8. x1.x2

(

)

2. Transformar a radicales simples:

9. 2x2 – 5x + 2 = 0

(

)

10. Raíces reales y diferentes

(

)

11. El polinomio: P(x)=x3–x tiene: (

(

)

(

)

(

)

a) 4 + 2 3

6 + 20

6 + 7 , se obtiene: "a+b c " 7– 6 Hallar "a + b + c".

3. Al racionalizar:

5. De la igualdad: C3x = Cx+6 Hallar un valor de "x". 6. Obtener el quinto término en la expansión de: (x3 + 1)7. 7. Simplificar: 1+i – ; i= - 1 i 1– 1 + i 1– 1 + i 1– i 8. Resolver: 9x–(5x+1)–{2+8x–(7x–5)+9x}=0

14. El polinomio: H(x)=2(x–1)4(x+2)7; tiene:

b A. c B. D = a2 – 4cb

C. x = 0 ∨ x = 10

D. Raíces recíprocas

10. Relacione correctamente, de acuerdo a la ecuación: cx2 + ax + b = 0, (c ≠ 0) , donde "x1" y "x2" son sus raíces.

G. D>0

I. D<0

(

)

2. x1 + x2

(

)

3. Discriminante

(

)

4. x2 = 16

(

)

5.  x1 – x2

(

)

6. Raíces imaginarias conjugadas

(

)

7. x2 = 10x

(

)

TRILCE

)

Relacionar:

E. D =0

1. Raíces reales e iguales

(

15. Unidad imaginaria.

9. Hallar "m", si las raíces de la ecuación: (m – 3)x2 – (m + 2)x + 3m – 15 = 0 son recíprocas.

Colegios

104

12. La ecuación: 4 + 2x–1 = 4 + 1 es: x–1 5 x–1 5 13. La ecuación: x–(2x+1)=8–(3x+3)+2x–6 es:

4. Hallar "x" en la ecuación: (x – 2)! = 120. 30

)

F. – a c

H. x = 4 ∨ x = –4

2 J. a –4cb c

K. Once raíces

L. Compatible indeterminada

M. Incompatible

N. i = (0; 1) = –1

N. Tres raíces

Central: 6198-100

Álgebra Aprende más 1. Descomponer los siguientes radicales dobles en radicales simples. a) x+1+2 x

b) x 5 + y + 2 5xy c) 2x + 2 x2 –4 ; (x ≥ 7) 2. Calcular "A + B", si:

15 + 2 56 – 8 + 2 7 = A – B a) 6 d) 9

b) 7 e) 10

c) 8

3. Hallar el lugar del término independiente en la expansión de: P(x) = (x2 + 13 )15 ; x ≠ 0. x

a) Lugar 6 d) Lugar 9

b) Lugar 7 e) Lugar 10

c) Lugar 8

4. A partir de la ecuación: a! (a! - 5) = 6, calcular el valor de: a + 1.

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

c) 4

5. Calcular "n" a partir de: 8 C2

8 C3

a) 9 d) 3

9 C4

10 C5

b) 7 e) 1

c) 6

Hallar el valor de "n", si el grado del sexto término es 45.

a) 6 d) 12

c) 4

8 10 7. Si: z= (1 + i) + (14 + i) , hallar: Re(z)+Im(z) (1–i)

a) 4 d) 12

b) - 4 e) - 6

b) 48 e) - 12

c) - 48

10. Calcular "k", si las raíces de la ecuación: x3 – 6x2 + kx + 10 = 0 están en progresión aritmética.

a) 4 d) - 6

b) – 8 e) 2

c) 3

11. Si "a" y "b" son las raíces de la ecuación: 2 2 x2 – 6x + c = 0 , entonces: a + b + 2c 9 es igual a:

a) 3 d) 4

b) 6 e) – 3

c) – 6

12. Sea la ecuación: (m – 5)x + 2n = 12 indeterminada; hallar "mn".

a) 5 d) 18

1 a) 2

b) 8 e) 9

a) 24 d) - 24

b) 6 e) 36

c) 30

13. Resolver: (x+1)2 + (x+2)2 = (x+3)2 + (x+4)2

11 Cn

6. A partir del binomio: P(x,y) = (x5 + yn)8

9. Hallar el mayor valor de "α", tal que una de las raíces de: P(x) = x3 – 28x + α es el doble de la otra.

c) - 12

d) – 3 2

3 b) – 1 c) 2 2 e) – 5 2

14. Si una solución de la ecuación dada es 3 , halle 2 el valor de "m": 4mx2 + 10mx – 2m – 11 = 0

a) 2

b) – 4

d) 5

e) 1 4

c) 1 2

15. Resolver:

2 2 x2 + 7x + 12 = x2 + 8x + 13 x + 5x + 15 x + 6x + 16

8. Si: w = 3 – 2i y z = i + w , hallar: z – w 3– z

Indicar una de sus raíces.

5 a) 3

a) 1

1 b) 3 c) 2 2

d) – 1 2

e) – 3 2

d) – 5 3

www.trilce.edu.pe

3 b) – 3 c) 5 5 e) - 1

Cuarto año de secundaria

105

Capítulo

16. Siendo "x1" y "x2" raíces de la ecuación: x2 – 8x – 12 = 0 calcular: (x1 + 1)–1 + (x2 + 1)–1

19. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de:

8 b) 10 a) c) – 10 5 21 3 2 d) e) – 5 15

17. Hallar el valor de “k” para el cual la ecuación: x2 + 2(k + 2)x + 9k = 0 tiene raíces iguales. Indique el mayor valor.

a) 4 d) – 1

b) 2 e) 3

c) – 4

18. Dada la ecuación: 5x2+7x+3=0, determinar la ecuación de segundo grado que tiene por raíces las inversas de las raíces de la ecuación dada.

a) x2+7x+5=0 c) 2x2 – 7x+3=0 e) 3x2+7x+5=0

x3 – 6x2+11x – 6=0 Calcular: (x1x2x3) ÷ (x1 + x2 + x3)

1 a) 2

b) – 1

c) 1

6 e) 11 d) 5 3

20. Simplificar: 2 ( 2 i) 3 + 8 i6 ; i = -1 = G i9 – i4

a) 8 d) – 4

b) – 8 e) 2

c) 4

b) x2+2x – 3=0 d) x2+5x+7=0

Practica en casa 1. El término central en la expansión de: P(x)=(x4+xn)14 ; es de grado 49; hallar "n". 2. Hallar "x" en la ecuación: 3 (x–4) !–2 = 2 (x–4) ! + 2

a+1

a+2

a+3

4. Calcular la posición del término en el desarro2y 4 3 llo de: cax + 2 m , x ≠ 0, que adopta la forma: x 24xnyn. 5. Efectuar: 16–2 63 + 12–2 35 + 8–2 15 + 4– 12

106

TRILCE

16x–[3x – (6–9x)] = 30x+[–(3x+2) – (x+3)]

+Ca+1+Ca+2+...+C2a–1 =126

Obtener el valor de: M= 5a + 4

Colegios

7. Resolver:

3. De la ecuación: Ca

6. Efectuar: 1 3 2 + – 5+2 6 7 + 2 10 8 + 2 15

8. Formar la ecuación de segundo grado, si sus raíces son:

x1 = 3+ 5

x2 = 3 – 5

9. Simplificar:

5i15 –4i6 + 7i25 2i3 + 4i13 + 4i28

10. Hallar "m", si las raíces de la ecuación son iguales: x2 – 2 (1+3m)x+7(3+2m)=0; (m>0)

Central: 6198-100

Álgebra 11. Resolver en "x": 2 22 2 2 (a – b)x+ (a + b ) = 2a (a + b ) (a + b) x (a + b)

14. Reducir: M =

12. Al resolver la ecuación: x4–5x2–6=0 en C, hallar una raíz.

15. Si "x1", "x2" y "x3" son raíces de la ecuación: 2x3 – x2 + 3x – 4 = 0, calcule el valor de:

a - bi +i a + bi ; i = - 1 a + bi - i a - bi

1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 x1 x2 x3 x1x2 x1x3 x 2 x3

13. Si: z= a + 2i es un número real, halle el valor b–3i de: a + b . a

Tú puedes 1. Siendo "a" y "b" raíces de la ecuación: 5x2 – 23x + 11 = 0; hallar el valor de E= c 3a–1 m . c 3b–1 m 2b – 9 2a–9 1 b) 3 c) a) 1 2 2 2. Indicar la solución de:

d) 2

e) 4

x2 + x4 –1 + x2 – x4 – 1 = x

a) 2 b) 0 c) 1 d) 3 e) –3 3. Indicar el equivalente de: c

1 + 7 i 4+ 1 – 7 i 4 m c m 2 2

a) 1 b) – 1 c) 3 d) 5 e) 6 1 4n 4. Hallar el cociente que se obtiene al dividir el término central del desarrollo de `x + x j , entre el coeficiente de "xn" en el desarrollo de: (1 – 4x)–

a) 1

b) – 1

1 cn + m 2

c) 2

d) – 2

e) 1 2

d) 3 3

e) 4 2

5. Calcular: 1 + 3 + 3.5 + 3.5.7 + 3.5.7.9 + ... 4 4.8 4.8.12 4.8.12.16

a) 2 3

www.trilce.edu.pe

b) 3 2

c) 2 2

Cuarto año de secundaria

107

Capítulo

Matrices Biografía de Gauss, Karl Friedrich Matemático, físico y astrónomo alemán. Nacido de una familia humilde, desde muy temprana edad dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió Gauss a su padre cuando Universidad Göttingen estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo). Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del Álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró. Su fama como matemático creció considerablemente cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica. En 1807, aceptó el puesto de profesor de Astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. En esos años maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

En este capítulo aprenderemos .. Definición y orden de la matriz .. Tipos de matrices .. Relación entre matrices .. Operaciones con matrices

Colegios

108

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

MATRICES

Arreglo rectangular de números ordenados en filas y columnas

Adición

Multiplicación por un escalar

Multiplicación de matrices

A = [aij]m×n

B = [bij]m×n

"k" es un número real

B = [bij]n×p

A + B = [aij +bij]m×n

kA = [kaij]m×n

www.trilce.edu.pe

A m×n

A×B=C . B n×p = C m

× p

Cuarto año de secundaria

109

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver:

3. Resolver:

• 3x–1 = x + 5 2

→ x = ___________

• x+2[x+2(x+2)] = 6 → x =

• x + x = 5 3 2 6

→ x = ___________

• 3 – {x – (1 – x)} = x → x =

• (x+1)(x+3)=x2

→ x = ___________

a c a+c 4. Si: e o + e o = e o b+d b d

2. Siendo: A = e

4 8 5 o 3 1 6

Completar:

• • • • •

Elementos de la fila 1: __________________ Elementos de la fila 2: __________________ Elementos de la columna 1: _____________ Elementos de la columna 2: _____________ Elementos de la columna 3: _____________

1 3 m Calcular "mn", en: e o + e o = e o 2 4 n

5. Si: (a b) – (c d) = (a – c b – d)

Calcular "x+y", en: (7 4) – (1 3) = (x y)

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente dada la siguiente matriz: 4 3 A = e o 8 7 a11+a12

Traz(A)

a11+a21

a12+a22

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) respecto a la siguiente matriz: B = e

•

Su traza es 10........................................( )

•

La traza de su transpuesta es 7...............( )

•

Es de orden 4........................................( )

•

a11 + a22 = 8 .......................................( )

Colegios

110

2 1 o 9 5

TRILCE

3. Completar correctamente a partir de la matriz:

•

Ct =

•

2C =

•

C2 =

C=e

4 1 o 0 3

4. Calcular "abcd" si: a c 3 –2 5 1 e o= e o–e o –1 0 b d 4 –1

5. Calcular "x+y+z+w", si: x z 1 –1 0 –2 e o–e o= 2e o y w 2 3 1 –1

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente las siguientes columnas: Condición para sumar, restar o A igualar matrices Condición para multiplicar ma- B trices La matriz transC puesta La traza de una D matriz

Cambia filas por columnas Suma los elementos de la diagonal principal Número de columnas de la primera igual al número de filas de la segunda Igual orden

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

A=e

2x–1 y 5 –y 2 –x o ; B= e o 3–y 2 x+1 2

C=e

–2 5 o 4 –1

Hallar "A+C", si: A = B

5 3 5 3 5 2 a) e o b) e o c) e o 3 1 9 1 4 –2 1 2 5 2 d) e o e) e o 0 1 3 1 6. Escribir explícitamente la matriz:

• Para multiplicar matrices necesariamente deben tener el mismo orden.................... ( )

• Toda matriz tiene inversa........................ ( )

• Al elevar una matriz al cuadrado, todos los elementos se elevan al cuadrado............. ( )

5. Sean las matrices:

i A = (aij)2x3 / aij = )2 + j ; i H j i – j;i < j

3 4 5 3 –1 –2 3 1 2 a) e o b) e o c) e o 1 0 0 5 6 –1 5 6 –1 2 – 1 –2 3 1 2 d) e o e) e o 5 6 –1 5 6 1

• Una matriz y su transpuesta siempre tienen la misma traza......................................... ( )

7. Escribir explícitamente la matriz:

3. Completar:

• La matriz que tiene igual número de filas y columnas se llama matriz ______________

• La matriz que al multiplicar por otra matriz resulta la matriz identidad, se llama matriz

A = (aij)3x2 / aij = i+2j

3 5 3 7 5 7 a) f 4 6p b) f 4 8p c) f6 8p 5 7 5 6 7 9 4 2 4 5 d) f0 0 p e) f 1 6p 1 4 0 7

_________________

• El producto indicado de la cantidad de filas y columnas se llama ____________ de la matriz.

4. Si: e

a x–2 4 3 o=e o 3 5– y 3 –3

calcular: a – x + y

a) 8 d) 7

www.trilce.edu.pe

8. Sean las matrices:

b) 6 e) 3

c) 5

A =e

0 1 2 3 o ; B=e o 3 2 0 –1

que verifican el sistema de matrices x, y

) x + 2y = A x – y =B

Calcular la matriz "x".

Cuarto año de secundaria

111

Capítulo

J3 5 N 4 7 K2 2 O 4 7 a) e o f 3 3 p b) K O c) 1 3 0 K2 – O 1 0 2P L J J9 7 N 9N K 3 – 2O K4 2O d) K4 K3 O e) O –7 O K K –1O L3 L4 P P

x+y= e

Hallar: xt . yt

1 0 0 –1 2 1 o ; AB= e o ; BA= e o 0 1 1 2 –1 0

hallar: (A + B)2

4 0 0 4 4 4 a) e o b) e o c) e o 0 4 4 0 4 4 –4 0 0 –4 d) e o e) e o 0 –4 –4 0

9. Dado el sistema matricial:

13. Si: A2=B2= e

5 1 1 1 o ; x–y=e o –2 3 2 7

6 6 6 –6 5 –5 a) e o b) e o c) e o 2 12 2 –12 2 0 1 –1 –6 6 d) e o e) e o 2 1 –2 12

14. Edú administra tres tiendas y en cada una de ellas produce tres tipos de artículos: "a", "b" y "c". Por cada kilogramo de artículo "a" obtiene una ganancia de S/.0,4 por el "b" S/.0,3 y por el "c" S/.0,5. La siguiente tabla muestra el número de kilogramos de artículos vendidos diariamente en cada una de las tiendas. Calcular la ganancia de Edú en cada tienda y la ganancia total. Artículos

3 –1 10. Si: A = e o ; además: F(x) = x2 + 2x – 5 2 1

Hallar "F(A)" e indicar la suma de sus elementos.

a) 6 d) 12

b) 8 e) 15

A=e

Clase de árbol

Si "A" y "B" son permutables respecto a la multiplicación, hallar "m+n".

a) 1 d) 4

c) 3

12. Si "x" es matriz solución de: Ax = B, calcular la 11 2 traza de "xtB", siendo: A = e o y B = e o 2 1 1

a) 0

b) 1

d) 3

e) 1 2

Colegios

112

TRILCE

3 200 100 300

15. En un vivero se cultivan dos árboles: eucalipto y huarango que son distribuidos en dos mercados, como se muestra:

m 1 2 –1 o o ; B=e n 5 3 1

b) 2 e) 5

1 200 300 100

c) 10

11. Sean las matrices:

a b c

Tiendas 2 100 200 200

Eucalipto Huarango

Mercado A 80 40

B 50 90

La ganancia por la venta de cada árbol es: S/.8 por el eucalipto y S/.6 por el otro. Calcular la ganancia obtenida en cada mercado y la ganancia total.

c) 2

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Relacionar correctamente las tablas respecto a la matriz. 6 4 A=e o 2 5

7. Sean las matrices:

A= e

2 3 1 –2 3 o ;B=e o 1 2 4 1 2

Hallar "AB".

Traz(A)

a21+a12

–22

Traz(–At)

8. Hallar "x" al resolver el sistema de matrices x,y ) x 2y = A 2x + 3y = B

a21a12 – a11a22

–11

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la matriz: 3 5 B=e o 7 4

Donde: x ; y ∈ k2x2

6 –3 12 8 A=e o ;B=e o 7 4 –7 8

9. Dados:

A= e

2 –1 5 1 o ; B=e o 1 2 0 –1

• b11b22 = b21+b12 ...................................( )

• La traza de "B" equivale a 12...................( )

• El orden de la matriz es 2×2....................( )

10. Dada la matriz:

3. Dada la siguiente matriz: 3 4 5 A = f0 2 3p 0 0 1 Completar:

• "A" se denomina matriz triangular _________ • El valor de su traza es: __________________ • La suma de sus elementos es: ____________

4. Sean las matrices:

x–2y x 2 y+4 A== G G ; B== 3 x–y 3 4

Hallar "xy", si: A = B.

5. Luego de escribir explícitamente la matriz, hallar "Traz(B)", si: B = [bij]3x3 / bij = 2i – j

Si: P(x; y) = x+y+2, hallar: P(A; B)

Donde se cumple:

x–2y x + 3y 2x A = >3y–x x + y 2x–y H 9 7 8

Traz(A) = 16 ; a21+a31=a22+1

Calcular "xy".

11. Calcular "xy", si las matrices:

12 3 21x 48 A=e o ;B=e o 1 4 16 y–1

verifican: A2 = B

12. Hallar la matriz "x" que resuelve: 1 3 11 4 e ox=e o 2 1 7 3 Indicar como respuesta la suma de sus elementos.

6. Sean las matrices:

A=e

x–3y x 2 6–y – 4 –8 o ; B =e o;C=e o 1 y 1 6–x 2 3

Si: A = B, hallar: 3A + 2C.

www.trilce.edu.pe

13. Sea: B = [bij]3x3 ; si: bij = 2i – (–2)j

Indique la traza de "B".

Cuarto año de secundaria

113

Capítulo

14. Mathías produce los artículos "A", "B" y "C" y las vende en cajones a dos supermercados diferentes "La Oferta" y "La Rebaja". La ganancia que se obtiene es de S/.10 por cada cajón de artículo "A", S/.8 por el de "B" y S/.6 por el de "C". Calcular la ganancia generada por las ventas en cada supermercado, si el número de cajones vendidos a los supermercados se muestra a continuación: Supermercados La Oferta La Rebaja 60 80 80 100 70 50

Artículos A B C

15. En una fábrica se recogen dos producciones al año, que se distribuyen en tres mercados. La tabla muestra el número de paquetes enviados a cada mercado. Producción 1 2

Supermercados A B C 100 90 50 60 110 80

La ganancia de la primera producción es de S/.6 por paquete y S/.8 en la segunda producción. Calcular la ganancia obtenida por cada mercado y la ganancia total anual.

Tú puedes 1. Si: A = e

–3 5 2 –3 –7 3 o ;B=e o ;C=e o ; resolver: 3(x – 2A) = 5(B – C) + 2(x – A – B) –2 2 4 5 2 –1

29 –4 29 –4 –29 4 29 4 –29 –4 a) e o b) e o c) e o d) e o e) e o 6 –28 –6 28 –6 28 6 28 6 28 2. Hallar el valor de "F(A)", si: F(x) = x3 – 3x2 – 2x + 4; siendo: A = e

2 3 o. 3 –1

4 8 –4 8 –4 –8 –4 21 –4 21 a) e o b) e o c) e o d) e o e) e o 12 16 12 –16 –12 –16 21 –25 –21 25 1 –1 1 3. Dada la matriz: A = f2 –1 0 p , calcular: A100. 1 0 0

a) A

b) – A

c) I

d) 2I e) φ

6 3 2 2 0 1 4. Hallar la suma de los elementos de la matriz: C = (BA)t – 2A, si: A = f–1 4 1p ; B = f–2 4 0 p 2 2 1 1 –5 – 2

a) –2

R S0 S1 5. Calcular: S S2 S3 T

b) –1 0 1 2 3

c) 0

d) 1

e) 2

V 1W – 1 –1 4 2W 2 2 H= G > W 1 3W 1 1 4W X

R V R V R V R V R V S5 W S5 W S5 W S5 W S5 W S10 W S15 W S15 W S10 W S15 W a) S15 W b) S20 W c) S25W d) S20 W e) S25W S W S W S W S W S W S20 W S25 W S30 W S30 W S35W T X T X T X T X T X Colegios

114

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

Determinantes ¿De dónde surgieron los determinantes? Por supuesto, en el contexto de la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Pero no solamente ahí: una vez dentro del cálculo diferencial e integral, también en los sistemas de ecuaciones diferenciales, cambios de variables en métodos de integración, y en el estudio de propiedades de las formas cuadráticas en tres o más variables que se pueden ver asociadas, por ejemplo, a la teoría de números, pero que aparecen en muchas otras partes de las matemáticas. Es casi increíble pero se encuentra un método matricial en la China del 200 a.C.; se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Ya en el siglo XVI, Cardano ofreció un método para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones, que es básicamente lo que conocemos como la "regla de Cramer'' (aunque no llega a la noción de determinante). Tampoco se puede dejar de reconocer en el trabajo Elements of curves de Witt, en 1660, lo que podría señalarse como una diagonalización de una matriz simétrica. Puede decirse que los sistemas de ecuaciones lineales fueron iniciados por Leibniz en 1678; de hecho, en 1693 usó índices en los coeficientes de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y, eliminando las variables, obtenía una expresión como "determinante". Se afirma que la primera aparición del determinante en Europa se dio en una carta de Leibniz a L'Hôpital, en 1683, e incluso usó el término "resultante'' para sumas combinatorias de términos de un determinante. Algo similar a la regla de Cramer se encuentra en algunos de sus trabajos. También estudió sistemas de coeficientes de formas cuadráticas, que lo Cardano

empujaron hacia las matrices.

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Regla de Sarrus .. Propiedades generales .. Menor complementario de una componente .. Método de Cramer

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

115

Capítulo

Síntesis teórica

DETERMINANTES

|A| o Det (A) "A" una matriz cuadrada

Orden 1

Orden 2

Orden 3

A = [a11]

a11 a12 A= a21 a22

a11 a12 a13 A = a21 a22 a23 a31 a32 a33

|A| = (a11a22 a33 +a12 a23a31+a21a32a13)

|A| = a11

|A| = a11 a22 –a21 a12

– (a31a22a13+a21a12a33+a32a23a11)

Propiedades

•

|A| = |At|

•

|AB| = |A||B|

•

A = A B B ;B≠0

=kn |A| k : Es un escalar ; A : una matriz de orden "n"

• |kA|

Colegios

116

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 3. Hallar "x" en:

1. Resolver:

• 2x – 1 = x – 1 → x = ____________ 3

• 3(x – 2) = 4(x – 3) → x = ____________

• x + x = 5 → x = ____________ 2 3 6

7x + 3x = 38 8 2 4. Efectuar: 2 4 5 3 e o+e o -1 0 3 1

2. Resolver:

• x2 – 9 = 0

→ CS = ________________

• x2 – 5x = 0

→ CS = ________________

• x2 – 5x + 6 = 0 → CS = ________________

5. Efectuar: 2 1 3 e oe o 1 2 1

Aplica lo comprendido 3. Completar correctamente:

1. Relacionar correctamente: a c 0 b

a a b b

a d c b

a+b b c+d d

ad – bc

• El ......... de la matriz identidad es la unidad.

• El determinante es un valor asociado a una matriz ...............

ab – cd 0

• En la matriz de orden 2: A = e

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) respecto a:

6 9 B== G 2 3

• |B| =

• |Bt| = 0 ................................................. ( )

• |B| es negativo ...................................... ( )

www.trilce.edu.pe

Su determinante equivale a: ....................

4. Calcular "x" en: x 2 =4 5 1 5. Calcular:

• |B| es positivo ....................................... ( ) |Bt|

a+b b o a a

............................................. ( )

1 0 0 2 4 0 3 5 6

Cuarto año de secundaria

117

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente las tablas:

6. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

a c ab b d

a c b d

ab bc ab ad

c a d b

ad bc bc ad

a b c d

a2 c2 b2 d2

a c – b d

x –1 1 0 =0 –3 2 x 4 x

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

c) 3

x y z 7. Calcular: P(–1; 0; 2), si: P(x;y;z) = 2 0 1 1 4 3

a) 19 d) 22

b) 20 e) 23

c) 21

8. Hallar el determinante de la matriz: 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta...( ) • El determinante de la matriz identidad es cero.........................................................( ) • Si dos filas son iguales el determinante de la matriz es cero .........................................( ) • Si su determinante es cero, la matriz es simétrica ................................................( )

3. Completar:

• Al intercambiar dos filas o columnas contiguas en una matriz, el valor del determinante cambia de ________________ • Un escalar que multiplica a un determinante solo afecta a una __________ o ___________ • El método de Sarrus solo se aplica para matrices de orden _____________

4. Calcular el determinante:

a) 100 d) 10

b) 90 e) 0

c) 80

Colegios

118

TRILCE

b) 1 e) 0

c) 2

9. Si "a" y "b" son raíces de: x2 – 4x+1=0, calcular el determinante de: α+β α+β A = = G –β α a) 4 b) 9 d) 25 e) 36 10. Calcular "x" al resolver:

c) 16 x 3 4 4 6 2x + 3 = 7 x–3 2 5

Indicar como respuesta: 3x+2.

a) 2 d) 8

b) 4 e) –2

c) 6

a) 1 d) 4

b) 2 e) –3

c) 3

12. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

1 5 25 1 7 49 1 8 64 a) 5 d) 3

a) 14 386 d) 14 387

7 4 8 5 x = G= = G 5 3 6 4

5. Calcular:

14 387 14 388 A== G 14 386 14 387

11. Calcular el determinante de la matriz "x" que verifica:

4 –3 5 3 –2 8 1 – 7 –5

x + 3 –1 1 =0 5 x–3 1 6 –6 x + 4 b) 4 e) 2

c) 6

a) 0 d) 4

b) – 5 e) – 4

c) 6

Central: 6198-100

Álgebra 13. Resolver:

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por la relación: I = P.Q., donde:

x 6 7 x x+3 x x + 1 x + 5 x + 1 + 0 –2 8 = 8 0 0 1 x+2 x+7 x+2

I : Ingreso

P : Precio unitario

Q : Cantidad vendida

a) – 4 d) –2

b) 6 e) 7

c) 3

14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: G 0 = 15 ; 4 1

A 2 = 46 1 3

2 2 3 T 1 1 T + = 19 0 X 1 = 200 ; 2 3 2 3 0 0 5

¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes?

3 4 3 P = 2 0 1 5 7 1 3 4 Q = 2 5

¿Cuál fue su mejor nota?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x 2 5 1 =4

2 1 3 4. Calcular el determinante: 5 3 2 1 4 3

x=4

x 3 x 4 =0

x=14

x 16 2 8 =0

x=2

2 5 =8 x 9

x=0

1 a a2 5. Calcular: 1 b b2 1 c c2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres–1 2 –4 3 ponda: |A| = ; |B| = 3 –4 2 –1

•

|A| < |B|........................................ (

)

•

|A| > |B|........................................ (

)

•

|A| = |B|........................................ (

)

•

|A| + |B| = – 4.............................. (

)

3 6. Dadas las matrices: A = e 1 AB hallar: B A x 7. Calcular "x" al resolver: 5 25

1 4 2 o y B=e o; 1 0 3

x x 2 4 = 24 4 16

910 450 370 8. Calcular: |B| = 500 230 180 410 220 190 9. Calcular: |C| =

2012 2013 2014 0 5 25 0 0 2

3. Completar respecto al determinante:

10. Indicar el producto de las soluciones al resolver:

1 1 1 |M| = 1 a b 1 a2 b2 • Es el determinante de ...........................

x 0 0 3 3 =0 5 x –1 + –2 x 8 2 1

•

El valor de |M| es ................................

www.trilce.edu.pe

11. Resolver:

1 x 3 0 –1 1 = 0 –4 –2 2 Cuarto año de secundaria

119

Capítulo

4 3 12. Calcular: |A| = 2 1

5 6 7 8

2 4 6 8

15. Si el ingreso diario de un producto está dado por la relación: I = P.Q., donde:

4 3 2 1

1 b c 13. Hallar "|A|" si: A = >1 a + b b + c H 1 2b a + c 14. Un alumno del colegio Trilce tiene sus notas de Aritmética (A), Álgebra (X), Geometría (G) y Trigonometría (T), representados por los siguientes determinantes: 3 2 = 52 4 X

;

2 A = - 54 4 5

I : Ingreso

P : Precio unitario

Q : Cantidad vendida

¿Cuál fue el ingreso mensual si está representado por el valor de los siguientes determinantes?

2 P = 5 2

3 2 3

5 5 3 4 ; Q= 3 6 4

3 0 0 2 1 T 3 = 62 + 2 G 0 = 96 ; 2 5 T 4 1 4 2

¿Cuál fue su mejor nota?

Tú puedes 1. Sea la progresión geométrica: ÷÷2:n2:n3:n4... cuya razón es: k2; se cumple en ella que la suma de los cuatro primeros términos es igual a 80. (k ∈ +). Hallar: 2a – b, a partir del siguiente resultado: ak k ak3 k3 a 1 ak2 k2 + + 2 + 3 3 =120 2 bk 2k bk 2k bk 2k b 2

a) 1 d) 4

b) 2 e) 6

c) 3

2. Si "A" es una matriz definida por: h –1 0 0 hx h –1 0 , A = hx2 hx h –1 hx3 hx2 hx h entonces el valor del "Det(A)", es:

a) h3(x+h)3 c) (x+h)3 e) h(x+h)3

b) x3(x+h) d) x(x+h)3

4. Calcular: x 0 –1 1 0 1 x –1 1 0 1 0 x–1 0 1 0 1 –1 x 1 0 1 –1 0 x

a) (x2+x+1)(x3+x+1)

b) (x2 – x+1)(x3+1)

c) (x2 – x+1)(x3 – x – 1)

d) (x2 – x – 1)(x3 – x – 1)

e) (x2 – x+1)(x3 – x+1)

5. Hallar: x n–1 0 0 . . . 0

1 0 x 2 n–2 x 0 n–3 . . . . . . 0 0

0 ... 0 0 ... 0 3 ... 0 x ... 0 . . . . . . 0 ... x

3. Calcular:

a) (af+be – cd)2 c) (af – bd+ce)2 e) (ad – bf+ce)2

Colegios

120

0 –a –b –c

TRILCE

a b c 0 d e –d 0 f –e –f 0

b) (af – be+cd)2 d) (ad+bf – ce)2

(x+n – k)

k= 1

(x+n+2k)

k= 1

(x+n – 2k)

k= 1

(x+n+1 – 2k)

k= 1

(x+n – 1 – 2k)

k= 1

Central: 6198-100

Capítulo

Sistema de ecuaciones Gabriel Cramer Fecha y lugar de nacimiento: 31 de julio de 1704 en Génova (Suiza). Fecha y lugar de fallecimiento: 4 de enero de 1752 en Bagnolssur-Cèze (Francia). Un poco de su vida : Cramer viajó bastante y conoció a muchos grandes matemáticos de su época, con los que mantenía correspondencia intercambiando información sobre nuevos descubrimientos matemáticos. Aunque la regla lleva su nombre, hay razones para pensar que Mc Laurin usó esta regla antes. Escribió sobre filosofía de la leyes y del Gobierno, y sobre la historia de las matemáticas. Trabajó en una oficina pública, participó en la artillería y en actividades de fortificaciones para el Gobierno, instruyó a trabajadores sobre técnicas de reparación de catedrales. El trabajo más conocido es Introduction á l´Analyse des Lignes Courbes Algebriques (1750); estudió y clasificó las Curvas Algebraicas (la regla de Cramer aparecía en el apéndice). El exceso de trabajo, combinado con la caída de un carruaje provocaron su fallecimiento. Fue una persona de buen corazón y Cramer agradable, nunca contrajo matrimonio.

En este capítulo aprenderemos .. Definición, forma general de un sistema lineal .. Solución de un sistema, sistemas equivalentes .. Clasificación de los sistemas lineales .. Método de resolución de un sistema lineal

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

121

Capítulo

Síntesis teórica

SISTEMAS DE ECUACIONES

Definición

Resolución

Clasificación

Igualación

Reducción

Compatible

Incompatible

Sustitución

Cramer

Determinado

Indeterminado

(1er grado)

Colegios

122

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Resolver:

4. Resolver:

•

x + 4 = x–5 3 2

→ x=

•

2x–1 + 3x–1 = x 2 3

→ x=

•

x – 4 = 5 → x = 3

•

4x2 – 49 = 0 → C.S. = {

;

}

•

9x2 – 1 = 0 → C.S. = {

;

}

;

}

5. Resolver:

2. Resolver:

x – 1 = 2 → x =

•

x2 – x = 20 → C.S. = {

•

x2 + x = 30 → C.S. = {

;

}

3. Resolver:

•

1 + 1 = 5 x x+1 6

→ CS =

•

1 – 1 = 1 x+2 x+3 6

→ CS =

Aplica lo comprendido 1. Resolver: x+y = 9 ) x – y =1 2x + y = 11 ) 2x – y = 1 2x + y = 11 ) x + 2y = 4 x + 3y = 3 ) 3x + y = 13

3. Completar respecto al sistema: A

xy=15

)mx + y = 1 x + my = 1

x+y=5

•

Si: m=1, el sistema es .............................

•

Si: m=–1, el sistema es ...........................

•

Si: m=2, el sistema es .............................

xy=20

x+y=4

4. Indicar el valor de "x+y" del sistema:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) dado el sistema: ) 4x + 5y = 2 5x + 6y = 1

• • • •

Es compatible indeterminado................( No tiene solución..................................( Es compatible determinado...................( Se cumple que: x+y=–1......................(

www.trilce.edu.pe

)7x + 4y = 3 5x + 3y = 1 5. Calcular "x" al resolver el sistema:

) ) ) )

Z4 3 ] +y =3 [ x ]2+6 =3 y \x

Cuarto año de secundaria

123

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar al sistema: ) ax + by = c mx + ny = p Sistema incompati- A ble Sistema compatible B determinado Sistema compatible C indeterminado

a =b=c m n p a !b m n a =b!c m n p

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•

• •

•

Un sistema lineal es de ............... grado. Se usa los determinantes para resolver un sistema lineal usando la regla de ................. Las ecuaciones de un sistema lineal, gráficamente representan .......... en el plano cartesiano.

4. Calcular "xy" al resolver:

b) 3 e) –2

c) 1

7. Calcular "x" al resolver: )2 (x + 3) + 3 (y + 2) = 18 3 (x + 4) + 4 (y + 3) = 36

a) –12 d) 6

b) –6 e) 12

c) 0

a) 1 d) 4

b) 2 e) 5

9. Indicar el valor de "m" en el sistema indeterminado: ) –mx + y = 1 x – my = 1

a) 1 d) 2

b) – 1 e) – 2

c) ±1

c) 3

)(m – 3) x + 3y = 5 2x + (m – 2) y =7

5. Resolver:

y x * 7 + 3 = 2 x–y = 4 Indicando el valor de "x+y"

11. Calcular "m" para que el siguiente sistema tenga solución única:

a) 3 d) 12

b) 7 e) 15

c) 10

Colegios

TRILCE

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

c) 5

Z 2x + 3y = 13 ] [ 4x + 5y = 23 ] 6x + my = 18 \

124

a) 2 d) –1

10. Calcular "m" para que el siguiente sistema sea inconsistente:

)2x + 3y = 8 4x + 5y = 14

El sistema incompatible tiene infinitas soluciones............................................. ( ) El sistema indeterminado no tiene solución 8. Calcular "a" en el sistema incompatible: ............................................................. ( ) )(a + 2) x + 2ay = 7 Todo sistema inconsistente es incompati5x + (a + 3) y = 8 ble ................................................ ( ) Todo sistema indeterminado es inconsis a) 2 b) 4 c) 6 tente ................................................ ( ) d) 8 e) 10

3. Completar:

6. Calcular "x – y" al resolver: Z1 2 7 ] + = 6 [ x y ]2+ 1 = 4 3 \x y

a) 2 d) 7

b) 4 e) 8

c) 6

Central: 6198-100

Álgebra 12. Calcular "a" para que el sistema siguiente sea compatible determinado: Z x – 3y = – 1 ] [ 5x – 7y =11 ] 9x – ay = 35 \

a) 3 d) 9

b) 5 e) 11

c) 7

13. Calcular "6x" del sistema:

Z 2 4 ] 3x + y + 3x – y = 3 [ 2 – 4 =1 ] + y 3x – y x 3 \

a) 1 d) 7

b) 3 e) 9

14. Edú, Mathías y Carla pueden soldar 37 metros lineales por hora cuando trabajan juntos. Edú y Mathías juntos pueden soldar 22 metros lineales por hora, mientras que Edú y Carla juntos pueden soldar 25 metros lineales por hora. ¿Cuántos metros lineales por hora pueden soldar cada uno de ellos por separado? 15. Un ciclista tiene un promedio a distintas velocidades cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo. Él estima el siguiente kilometraje para sus tres últimos recorridos: km cuesta km terreno km cuesta Tiempo arriba llano abajo total (horas) 2 15 5 1,5 6 9 1 1,4 8 3 8 1,6

c) 5

¿Cuáles son las velocidades promedio cuesta arriba, en terreno llano y cuesta abajo?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

)

2x + 3y = 4 4x + 6y = 8

10x + 15y = 30 B ) 2x + 3y = 5 2x + 3y = 5 ) 3x + 2y = 5

ax + by = c bx + ay = d

Compatible determinado

Completar:

• El sistema es inconsistente si ..............

Comtapible Indeterminado

• El sistema es indeterminado si .....................

• El sistema es .......... si: a=b y c ≠ d

Incompatible

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: • Todo sistema incompatible es inconsistente ............................................................... ( ) • Todo sistema inconsistente es indeterminado .......................................................... ( ) • Un sistema compatible puede tener dos soluciones............................................... ( ) • El sistema incompatible no tiene solución.... ( )

www.trilce.edu.pe

3. Dado el sistema: )

4. Calcular: (x + y)y – x , al resolver: )2x + 5y = 26 3x – 4y = –7 5. Calcular "xy" al resolver: 3 2 )2 x + 3 y = 6 42 x + 24 y = 8

6. Indicar el valor de "7y" luego de resolver: )3 (x + 5) + 5 (y + 3) = 36 4 (x + 2) + 2 (y + 4) = 18 7. Indicar "x" que verifica el sistema: Z4 3 ] + =4 [ x y ] 2 – 6 = –3 \x y

Cuarto año de secundaria

125

Capítulo

8. Resolver e indicar el valor de "y": Z ] 3x – 4 = 5 y ] [ 1 = 2 ]x 2 5 ] + y \ 9. Para qué valor de "m" el siguiente sistema: ) (m – 2) x + 3y = 4 6x + (2m + 1) y = 12

tiene infinitas soluciones.

10. Hallar "m" para que el sistema sea incompatible: )(1 + 2m) x + 5y = 7 (2 + m) x + 4y = 8 11. Calcular "a2 + b2" en el siguiente sistema compatible indeterminado. )(α – 3) x – (β – 5) y = 10 4x – 3y = 5 12. Calcular " x + y " al resolver: 9x – 4y = 108 ) 3 x + 2 y = 18

13. Luego de resolver el sistema: ) 3 x + y + 2 – 2x–3y–7 = 10 2 x + y + 2 + 3 2x–3y–7 = 14

Indicar el valor de "3x – 2y".

14. La edad de Edú es la suma de las edades de Fatima y Mathías. La edad de Fatima es 2 años más que la suma de las edades de Mathías y Marco. La edad de Mathías es cuatro veces la edad de Marco. La suma de las cuatro edades es 42. ¿Qué edad tiene Edú? 15. En una feria campestre los boletos para los adultos se venden en $ 5,50; para los jóvenes en $ 4,00 y para los niños $ 1,50. El día de la apertura, el número de boletos para jóvenes y niños que se vendieron fue 30 más que la mitad de los boletos de adultos vendidos. El número de boletos para jóvenes vendidos tiene cinco más que cuatro veces el número de boletos para niños. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron, si la venta total de boletos ascendió a $ 14 970?

Tú puedes 1. Calcular "y" al resolver:

1 b) 1 c) 1 a) 2 90 60 1 d) e) 1 30

) x + 2y + 8xy = 9 x – 2y = 1

a) 4 d) 16

b) 6 e) 32

c) 8

2. Hallar "xy" del sistema:

x + y–3 2x + y–5 = =2 3 x–y + 4 x–2y + 7

a) 2 d) 5

b) 3 e) 6

3. Calcular "xyz" al resolver: Z1 1 1 ] + – = ]] x y z [ 1 – 1 + 1 = x y z ] 1+ 1= ]] y z \ Colegios

126

TRILCE

6 4 1 x

c) 4

4. Indicar "xy" luego de resolver el sistema: Z a b ] ]x– a + y– b = a + b [ a – b = a– b ]] x– a y – b \

a) a d) a+b

b) b c) a – b e)1+ a + b + ab

5. Indicar "x – y" al resolver: 2 2 )ax + by = 2 (a –b ) bx + ay = a2 – b2

a) a+b d) b

b) a – b e) 1

c) a

Central: 6198-100

Capítulo

Desigualdades e inecuaciones lineales

Números reales En la gran mayoría de los temas que se tratan en Matemática, se tiene como Universo un conjunto que es llamado el conjunto de los números reales. Conoceremos algunas de sus propiedades fundamentales; además, se tendrá una idea descriptiva de dicho conjunto. De una manera inductiva se analizará la formación del conjunto universo de los números reales, empezando por los números naturales, considerados como un conjunto primitivo en la construcción de los números. Veremos como surge la necesidad de aumentar dicho conjunto para formar el conjunto de los números enteros, continuando con los racionales y paralelamente con los irracionales, hasta llegar finalmente al conjunto universo de los números reales. Definición número real, todo número racional o irracional y se designa por la letra . Los números reales se expresan en forma decimal, un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas. En Matemática, los números reales incluyen a los números racionales y los números irracionales.

En este capítulo aprenderemos .. Desigualdades .. Inecuaciones lineales

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

127

Capítulo

Síntesis teórica

DESIGUALDADES

Definición

• Notación • Relación de

orden

Teoremas

Inecuaciones

Intervalos C∈R

Solución

Operaciones entre desigualdades Inecuaciones de 1er. grado

Multiplicando o dividiendo por "C" a los 2 miembros Sumando o restando "C" a los 2 miembros Elevando a exponente par

Suma

Resta

Acotados

Multiplicación

No acotados

División

Elevando a exponente impar

Colegios

128

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 3. Completar usando los símbolos mayor (>), menor (<) o igual (=).

1. Completar:

• •

El opuesto de – 6 es ................ El opuesto de 3 es ............... 4

•

El recíproco de – 6 es ...............

•

El recíproco de 3 es ............... 4

2. Indicar si los valores son reales o imaginarios en:

•

x = –16

→ x es .........................

•

–8

→ y es .........................

•

z = – 25

→ z es .........................

•

→ w es .........................

(–4) 2

•

3 4

..........

5 4

•

– 3 4

.......... – 5 4

•

1 .......... 2 2 3

•

– 1 2

.......... – 1 3

4. Resolver:

•

x2 + 1 = 0 → CS= ..................................

•

x2 – 2 = 0 → CS= ..................................

5. Resolver:

•

x + 1 = 4 + 1 → CS= ..................... x–4 x–4

•

5(x – 6) = 3(x – 6) → CS= ........................

Aplica lo comprendido 3. Completar correctamente:

1. Relacionar correctamente: a+b=b+a a(b+c)=ab+ac a(bc)=(ab)c a+0=0+a=a

A B C D

Ley distributiva Ley conmutativa Elemento neutro Ley asociativa

•

Si: x ∈ 〈 – 3 ; 2〉 → x2∈ .......................

•

Si: x ∈ 〈 0 ; 1〉 → 1 ∈ ......................... x

•

Si: x ∈ 〈– 2 ; 3〉 → x3 ∈ .......................

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: •

Se cumple siempre: x<y → 1 > 1 ..................................( x y

•

Se cumple siempre: x<y → x3<y3 ..............................................(

• •

Se cumple siempre: x<y → x2<y2 ...............................................( Se cumple siempre: a<x<b → a2<x2<b2 ...............................(

www.trilce.edu.pe

)

4. Resolver: x–1 + x–1 <1 2 3

) 5. Resolver: (x – 1)(x – 5) ≥ (x – 3)2 ) )

Cuarto año de secundaria

129

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: a≥b b≤a≤0 0≤b≤a a≤0≤b

ab+a3 ≤ 0 a2 ≥ b2 a 3 ≥ b3 a2 ≤ b2

A B C D

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•

x ≥ 1 → x2 ≥ 1....................................... ( )

•

–1 < x ≤ 2 → 0 ≤ x2 ≤ 4....................... ( )

•

–4 < x ≤ – 2 → 4 ≤

•

x ≤ – 2 → x2 ≤ 4................................... ( )

≤ 16.................. ( )

3. Completar adecuadamente:

• Representado gráficamente como un segmento de recta, al conjunto de infinitos puntos reales se le denomina ..................... • Ningún número real elevado al cuadrado puede ser ............... • El único número real que no tiene inversa es el ...............

4. Si: –2 < x ≤ 3, calcular el intervalo de: x2 – 1 a) ]– 1 ; 8] d) [– 1 ; 8]

b) [3 ; 9] e) ]– 1 ; 8[

c) ]3 ; 8]

5. Si: x ∈ 〈– 2 ; 5], hallar el intervalo de variación de: M = 2x + 1 x–6 3 3 3 a) ; ; 11E b) ;– ; 11E c) ;– ; 3E 8 8 8 3 3 ; 11@ d) ;– 11 ; e) 8 8

a) 50 d) 7

b) 49 e) 0

c) 48

7. Si: x ∈ +, indicar el mínimo valor que toma: x + 150 6 x Colegios

130

TRILCE

b) 5 e) 25 10

c) 10

8. ¿Cuántos valores enteros negativos verifican? x – x < x – 1 3 6 2 4

a) 2 d) 5

b) 1 e) Ninguno

c) 3

9. Indicar la suma de los valores enteros que verifican: 1 – 2x < 10 + x < 15 – 4x

a) – 2 d) – 3

b) – 6 e) – 5

c) – 4

10. Indicar el menor valor que puede tomar "x" en: 2x + 1 + 3x – 1 ≥ x + 3 3 4

a) 5 d) –3

b) 8 e) 7

c) 4

11. Indicar la raíz cuadrada del mayor número entero que verifica la inecuación: 1 ` x + 1j + 1 ` x j + 1 ` x + 2j < 3 6 2 2 5 3 10

a) 5 d) 2

b) 3 e) 6

c) 4

12. Indicar cuántos valores enteros de "x" verifican el sistema: Z 2x–3 x–1 <2 + ] 9 5 [ ] x + 2 + 3x–2 > 4 5 \ 3

a) 5 d) 2

b) 3 e) 1

c) 4

13. Para: a<b<0, calcular el máximo valor que podría tomar "x" en la desigualdad:

6. Si: x, y ∈ +, calcular el máximo valor que puede tomar "xy", si: x+y=14

a) 5 2 d) 10

2 b2 + (1 + 4x) c a – b m # a b a b a 2 2 a) a b) b c) 4ab a+b 4b (a + b) 4a (a + b)

a2 e) b2 d) 4b 4a

Central: 6198-100

Álgebra 14. Las lecturas de temperaturas con las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula: C = 5 (F - 32). ¿Qué valores de "F" corresponden 9 a los valores de "C" tales que: 30 ≤ C ≤ 40?

15. La producción estimada "x" en la refinería "La Pampilla" verifica: 200 000 ≤ 5x - 4 500 000 ≤ 225 000, donde "x" es la medida en barriles de petróleo. Determinar: • La producción máxima de la refinería. • La producción mínima de la refinería.

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

5. Si: a<m<b, ¿cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

b<0<a

0< 1 < 1 a b

a>b>0

a – b<0

a<b<0

ab<0

a<b

ab>0

II. a2 –m2 ∉

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• 0<x<1 → 1 >1 ...................................( x

)

• 0<x<1 → 12 > 13 ...............................( x x

)

• – 1<x<1 → 0 ≤ x3 ≤ 1 .........................(

)

• –1<x ≤ 0 →

x3<x2 ...............................(

)

• El ............................ cerrado incluye a los extremos.

• La media aritmética de números positivos, siempre es ............ o .............. que la media geométrica. • La media aritmética es igual a la media geométrica cuando los elementos que la conforman son .....................

4. Sea: a; b; c ∈ +; hallar el intervalo de "M" en: M= a + b + c b c a

www.trilce.edu.pe

III. a–1>b–1

6. Si: x ; y ∈ +, tal que: x + 2004y = indique el máximo valor de "xy".

2004 ,

7. Si: x > 5, ¿cuál es el mínimo valor que toma la expresión: E(x) = x + 49 ? x-5 8. Indicar cuántos valores enteros positivos verifican:

3. Completar adecuadamente:

I. m2 – (a+b)m+ab<0

x – 2x < 1 – x 2 3 2 4 9. Indicar la suma de los valores enteros de "x" que verifican: 3 $ 1 – x $ 2 2 6 3

10. Indicar cuántos valores enteros de "x" verifican el sistema: 2x+8 ≤ 5x – 1 ≤ 3x + 7 11. Resolver el sistema: 4x–9 < x–3 / 3x + 10 > 2x–5 7 4

12. Si: a>0, resolver: x–1 + x + a > 2 a 2a + 1

Cuarto año de secundaria

131

Capítulo

13. Si: a>b; además: a y b ∈

resolver:

15. La producción estimada "x" en la refinería "La Pampilla" verifica: 100 000 ≤ 30x - 5 600 000 ≤ 325 000 donde "x" es la medida en barriles de petróleo.

ax + b < bx + a b a a b 14. Las lecturas de temperaturas con las escalas Fahrenheit y Celsius se relacionan mediante la fórmula: C = 5 (F - 32). ¿Qué valores de "F" 9 corresponden a los valores de "C" tales que: 50 ≤ C ≤ 60?

Determinar:

• La producción máxima de la refinería • La producción mínima de la refinería.

Tú puedes + 3 1. Sea: a>0 y b>0, determinar el menor valor de "k" tal que: (a3 b)3 ≤ k ; k ∈ . a +b a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

2. Si: a ; b ; c ∈

a) k≤1

2 2 2 , se puede afirmar que: k = (a + b + c) (a + b + c ) es: abc

b) k≤2

c) k≥1

d) k≥9

e) k≤20

3. Si: x>0, calcular el mínimo valor de la expresión: K = x + 42 x 3 3 3 3 d) 3 2 a) 3 b) 2 c) 2 3

e) 3

4. Sabiendo que: a ; b ; c ∈ + donde: a ≠ b ≠ c ; indicar el menor valor entero que puede tomar: k = (a + b + c) (a–1 + b–1 + c–1)

a) 9

b) 10

c) 8

d) 11

e) 6

5. Calcular el mínimo valor positivo de: E= a + b + c , si f(x)=ax2+bx+c es no negativo 6x ! R / a > 0 b–a 5 e) 7 a) 3 b) 2 c) 4 d) 2 2

Colegios

132

TRILCE

Central: 6198-100

Capítulo

Inecuaciones polinomiales fraccionarias Inecuación de grado superior Una inecuación es una expresión matemática la cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad; una expresión algebraica acompañado con una desigualdad nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente “x” puede tomar el valor cualesquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. y

Región de viabilidad

La región de viabilidad en un problema de programación lineal está definida por un juego de inecuaciones.

Otras aplicaciones de la programación lineal

En este capítulo aprenderemos .. Inecuaciones polinomiales .. Inecuaciones fraccionarias

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

133

Capítulo

Síntesis teórica

INECUACIONES POLINOMIALES Y FRACCIONARIAS

De 2do grado

Inecuaciones de grado superior

Método de los puntos críticos y signos en los intervalos

Inecuaciones fraccionarias

Aplicación directa de las propiedades en R

Criterio del discriminante

Colegios

134

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Resolver:

•

4. Si: x∈〈–2; 6〉, indicar los intervalos de variación de:

x – 1 > 2x – 1 3 5 x + x $1 6 3

•

(x2 – 4) → x ∈

•

(x – 4)2 → x ∈

2. Si: x ∈ 〈1; 7] , indicar a qué intervalo pertenece:

•

(8 – x) ∈ ..........

•

(2x – 1) ∈ ..........

5. Si: x ∈ [1; 5], indicar el intervalo de variación de:

3. Si: x ∈ [2; 5〉, indicar el intervalo de variación de:

•

x + 2 ∈ .......... m x+1

3 m ! .......... x+1

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente: x2+1 ≥ 0 x2+1<0 x2 – 1≤ 0 (x – 1)2 ≤ 0

A B C D

3. Completar: x∈φ x ∈ {1} x∈ x ∈ [–1 ; 1]

• Si: (x – 5)2<0 → x ∈ ...........

• Si: (x – 5)2 ≤ 0 → x ∈ ...........

• Si: (x – 5)2 ≥ 0 → x ∈ ...........

• Si: (x – 5)2 >0 → x ∈ ...........

2. Indicar verdadero (V) o falso (F): 4. Resolver:

(x – 2)(x – 4) (x – 6) < 0

• Si: x2 – x+1<0 → x ∈ φ ........................ ( )

• Si: x2 – x+1>0 → x ∈

• Si: x2 – x>0 → x ∈ 〈0 ; 1〉 ..................... ( )

5. Resolver:

• Si: x2+x<0 → x ∈ φ .............................. ( )

(x2+4)(x2 – 4) ≥ 0

www.trilce.edu.pe

....................... ( )

Cuarto año de secundaria

135

Capítulo

Aprende más 1. Relacionar correctamente: (x – n)2 ≥ 0 (x – n)2 ≤ 0 (x – n)2 < 0 (x – n)2 > 0

A B C D

x∈{ } x ∈ – {n} x ∈ {n} x∈

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

•

Si: –3<x<4 → 9<x2<16.................... ( )

•

Si: –5<x<–2 → 0<x2<25.................. ( )

•

Si: – 6<x<5 → 0 ≤ x2<36.................. ( )

•

Si: x>–1 → x3>–1............................... ( )

3. Completar:

• En una inecuación fraccionaria, los puntos críticos que provienen del ................. siempre son abiertos.

• Si el discriminante de un polinomio de segundo grado es positivo, se aplica el método de los puntos .............

• Un polinomio de segundo grado será no negativo, si el coeficiente principal es positivo y el ............ negativo o cero.

4. Resuelva: 15x2 – 2x – 8 ≤ 0; calcula el producto del mínimo y el máximo valor de su conjunto solución. 4 a) b) – 2 15 5 8 8 d) – e) 15 15

c) – 1 15

a) 7

b) 7 2

c) – 3 2

1 e) 1 d) 2 4 6. Resuelva la inecuación cuadrática: x2+14x+49 ≥ 0

b) 1+2 2 e) 1 – 2 2

c) 2 2 – 1

8. Resuelva la inecuación polinomial: (x+2)(4x – 1)(–x + 3) > 0 e indica cuántos enteros no negativos la verifican.

a) 4 d) 1

b) 3 e) 0

c) 2

9. Hallar el máximo valor entero de "M" de modo que se cumpla lo siguiente: x2 – 5x+4 – M ≥ 0 ; ∀ x ∈

a) – 3 d) 0

b) – 5 e) –2

c) – 4

10. Luego de resolver la inecuación: (x – 4)5 (x2 – x+2)2 (2x – 1)3 (x4 – 16)<0

se obtiene: C.S. = 〈– a ; 1 〉 ∪ 〈a ; b〉 a Calcular el valor de "ab".

a) 2 d) 8

b) 4 e) 12

c) 6

11. Luego de resolver la inecuación: (x2 – x)2 (x3 – 1)(2x2 – 3x+1) (2x – 1)4<0 se obtiene: C.S. = 〈– ∞ ; m〉 – {n} Calcular el valor de: mn. a) 9 d) 1

b) 8 e) 0

c) 4

12. Resuelva las siguientes inecuaciones: 2 2x–1 G 0 / x + x–2 > 0 x–1 x+4

e indica el intervalo solución común.

a) 〈–4 ; 1 〉 b) 〈– 2 ; 1 ] c) 〈–2; +∞〉 2 2 d) 〈– 4 ; 1 ] e) 〈–2 ; 2〉 2

a) 〈 5 ; +∞〉 b) 〈–∞; –2] ∪ 〈3;+∞〉 3

13. Luego de resolver la inecuación fraccionaria:

+ d) c) φ

x – 2 + 1 <0, se obtiene: C.S.= 〈a;0〉 ∪ 〈b;–a〉 2x –1 x

Calcular el valor de (2b + a).

Colegios

136

a) 2 d) 2 2

5. Si: 〈–∞ ; b] ∪ [1; +∞〉, es el conjunto solución de la inecuación: 2x2+ax+1≥ 0; calcular: b – a

7. Calcular el valor de (a – 2) si la inecuación en "x": x2 + 2(1 – 2 )x+ a ≤ 0, se verifica para un solo valor de "x".

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

a) 0

b) 1 2

d) 2

e) 4

c) 1

14. Un rebaño de venados se introduce en una isla pequeña. Al principio el rebaño aumenta con rapidez; pero finalmente, el alimento disminuye y la población también. Suponga que el número "N(t)" de venados, a los "t" años, es: N(t) = - t4 + 21t2 + 100, donde: t > 0

Determine los valores de "t" para los cuales: N(t) > 0.

15. Un fabricante de cierto artículo ha estimado que su ganancia en miles de dólares está dada por la expresión: - 6x4+30x2 - 10, donde "x" (miles) es el número de unidades producidas. ¿Qué nivel de producción le permitirá obtener una ganancia de al menos $ 14 000?

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: x2 ≤ 9 (x2+3)(x–3) ≤ 0 x2 ≤ –9 x2 ≥ –9

A B C D

7. Hallar el mínimo valor entero de "a", que verifique la inecuación: 1+8x–3x2<a; ∀x∈ .

x∈φ x∈ x ∈ [–3 ; 3] x ∈ 〈–∞ ; 3]

8. Resolver: x3 > x

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• • • •

Si: x2 ≤ 0, entonces: x ∈ φ ....................( Si: x2 ≥ 0, entonces: x∈ ....................( Si: x3 ≤ 0, entonces: x ∈ –...................( Si: x3 ≥ 0, entonces: x ∈ +..................(

) ) ) )

9. Dadas las inecuaciones:

• 2x – 1 < 1 → C.S.=A x+2

• 1 – x > 0 → C.S. = B 1+x

Hallar "A – B".

3. Completar al resolver las inecuaciones: 10. Indique el conjunto solución de: x3+x2 ≤ 42x

•

Si: x – a < 0 ; a<b → x ∈ .............. x–b

•

Si: (x – a)(x – b) ≥ 0 ; a>b → x ∈ ..............

11. Resolver:

•

Si: (x – a)2(x – b) ≤ 0 ; a<b → x ∈ ..............

(x+6)4 (x+2)6 (x – 4)8 (x – 3)11 > 0

4. Resolver: 3x2 – x –10 > 0 12. Indica la suma de valores enteros que verifican: 5. Resolver la siguiente inecuación cuadrática: 4x2 – 4x + 6 ≤ 0 6. Luego de resolver la inecuación: ax2+bx+c ≤ 0, por el criterio de los puntos críticos, se obtiene: C.S.=[ 1 ; 2] . Calcular el valor de: b – c 2 a

www.trilce.edu.pe

2 (–x +2 8) (x + 2x – 8) ≤ 0 (x + 9) (–x–4)

13. Resuelva la inecuación polinomial: (x – 2)(x – 4)(x – 6) ... (x – 44)<0 indicar la suma de soluciones enteras.

Cuarto año de secundaria

137

Capítulo

14. El precio de venta de un artículo está dado por: p = (200 - 3q) dólares, en donde "q" es el número de artículos vendidos. El costo de producir estos "q" artículos es: C=(650+5q) dólares. ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir y vender de manera que la utilidad no sea menor que 2500 dólares?

15. Un rebaño de venados se introduce en una isla pequeña. Al principio el rebaño aumenta con rapidez, pero finalmente, el alimento disminuye y la población también. Suponga que el número "N(t)" de venados, a los "t" años, es: N(t) = - t4 + 32t + 144 ; donde: t > 0

Determine los valores de "t" para los cuales: N(t)>0.

Tú puedes + x 1. El C.S. de la inecuación: (a – b) (x 1) – 1< es: 〈– ∞ ; – 1〉; entonces: (a – b) x – 1 x–a+b

a) a – b = 2

b) b – a = 1

c) b + 2a = 1

d) 3b + 2 = a

e) b – 2a = 1

2. Resolver: (x – 2)3 . 5 x + 1 . 7 x + 3 . (x – 4) 6 . 4 64 – x2 ≥ 0 a) [–3; –1] ∪ [2 ;+∞> b) [–3; –1] ∪ [2; 8] d) e) +

c) [–3; –1] ∪ [2; 8] ∪ {–8}

3. Resuelva: x(2x + 1) (x – 2) (2x – 3) > 63 Indique el producto de valores enteros negativos mayores que –5.

a) 6

b) –6

c) 24

d) –24 3

e) 12

(x – 19) – 2 < (x – 19) – 4 4. Determinar el conjunto "A", si: A = ' x ! / 1 (x – 19)2 + 1 (x – 19) 2 + 2

a) x<17

b) 7<x<19

c) 0<x<17

d) x>19

e) 0<x<19

2 3 + 5. Indique las soluciones negativas de la inecuación: (x –2x5–35) (x3 22) (x –1) ≥ 0 x + 2 x –x –2

– b) a) 〈–1; 0〉 c) 〈–7; 0〉 d) [–5; –2]

Colegios

138

TRILCE

e) [–5; –1]

Central: 6198-100

Capítulo

Inecuaciones irracionales Algo de historia de los números irracionales La introducción de los distintos sistemas de números no ha sido secuencial. En el siglo VII a.C, los griegos descubrieron las magnitudes irracionales, es decir números que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado; familiarizados con la extracción de las raíces cuadradas y cúbicas, sin embargo no conocían los números negativos y el cero; tampoco tenían un sistema de símbolos literales bien desarrollado. Cuando la matemática Griega comenzó a declinar, Diofanto abandonó la representación geométrica de los números y empezó a desarrollar las reglas del Álgebra y Aritmética, utilizando un literal, por ejemplo, para representar las incógnitas de una ecuación. Fueron los indios, entre los siglos V- XV, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con Longitud Circunferencia Número p = = 3,14159... los números irracionales de forma semejante Diámetro que con los racionales, sin representarlos 1 n Número e = Lim (1+ ) = 2,7182818... geométricamente. Utilizaban símbolos n x→∞ Base Logaritmos Neperianos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación, encontraron métodos para Número φ = 1 + 5 = 1,61803... Número Áureo resolver ecuaciones y descubrieron la fórmula 2 del binomio de Newton (en forma verbal). A principios del siglo XVI, los italianos Tartaglia y Ferrari lograron resolver por radicales, de forma general, las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La notación algebraica se perfecciona gracias a Viéte y Descartes. A mediados del siglo XVII en Gran Bretaña, Neper inventa los logaritmos y Briggs elabora las primeras tablas de logaritmos decimales. A partir de esta época el nacimiento del análisis hizo que se despreciase un poco el álgebra debido al interés sobre los estudios de magnitudes variables. Los matemáticos G. Cantor, R. Dedekind, K. Weiertrass y B. Bolzano fueron los que culminaron la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números naturales, enteros, racionales e irracionales, que considerados juntos, constituyeron lo que se denominó el sistema de los números reales.

En este capítulo aprenderemos .. Forma general .. Método de resolución

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

139

Capítulo

Síntesis teórica

INECUACIONES IRRACIONALES

Q (x) # impar

P (x) #

impar

P(x) ≤ Q(x)

Q (x)

impar

par

P (x)

P (x) $ Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 (Q(x))par ≤ P(x)

P(x) ≥ (Q(x))impar

P(x) ≥ 0 Q(x) < 0

UNIÓN

par

P (x) # Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 P(x) ≤ (Q(x))par

Colegios

140

TRILCE

par

P (x) #

par

Q (x)

P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 P(x) ≤ (Q(x))

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Resolver:

4. Resolver:

•

x3<1

→ x ∈ ............

•

x2<1

→ x ∈ ............

2. Resolver:

•

x2+2<3 → x ∈ ............

•

5<x2+6 → x ∈ ............

•

(x – 1)5 (x – 2)7 ≥ 0

•

(x – 5)2 (x – 8)3 ≤ 0

5. Resolver:

•

x2 –4 ≤ 0 x2 –9

•

x2 + 9 <0 x2 + 4

3. Resolver:

•

(x2+1)(x4+1)>0 → x ∈ ............

•

(x3+1)(x6+32)<0 → x ∈ ............

Aplica lo comprendido 1. Relacionar correctamente:

3. Completar:

x >2

x ∈ [0 ; +∞〉

x <2

x∈φ

x> – 2

x <– 2

•

x ∈ [0 ; 4〉

•

x–3 ≤ 1 → x ∈ ......

x ∈ 〈4 ; +∞〉

•

x–3 ≤ 1 → x ∈ ......

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

x–1 + 1–x ≤ 0 → x ∈ ......

4. Resolver:

x–4 ≥ 2

• Si: 3 x <2, entonces: x<8....................... ( ) • Si: x ≤ 0, entonces: x ∈ φ........................( ) • Si:

x <0, entonces: x ∈ φ.......................( )

5. Resolver: 25–x2 ≤ 4

• Si: x < 5 , entonces: x ∈ [0; 5〉..............( )

Aprende más 1. Relacionar correctamente: x >0

x∈{ }

x <0

x ∈ R+

x ≤0

x ≥0

x ∈ R+0 x ∈ {0}

• Solo dos valores reales verifican: x2 –n2 + n2 –x2 ≥ 0.............................. ( ) 3. Completar adecuadamente:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• El radicando de una raíz de índice par en una inecuación irracional no puede ser .............

• Todo radical de índice impar puede ser .......... o .............

• Ningún valor real verifica: x <–1.........( )

• Cualquier valor real verifica: x >–1......( )

• Al resolver una inecuación irracional el resultado obtenido se debe .............. con las condiciones de existencia.

• Solo un valor real verifica: x–n + n–x ≤ 0 ................................... ( ) www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

141

Capítulo

12. Resolver la inecuación:

4. Resolver: x – 4 <3 a) [0; 1[ d) ]–2; 2]

c) [4; 13[

b) ]–3; 2] e) ]1; 3]

a) 〈1; 2〉 b) 〈2; 3〉 c) 〈3; 4〉 d) 〈4; 5〉 e) 〈5; 6〉

x–2 ≥3

5. Resolver:

8 2 3 5 4x + 2 (x 2–25) . 29 x–8 <0 (x + 1) (2x + 5)

a) 〈–∞; 3] b) 〈–∞; 11〉 c) 〈2; 9〉 d) 〈11; +∞〉 e) [11; +∞〉

13. Resuelve: x2 + x – 2 <5 – x

6. Resolver: 3 – x +1>0

a) 〈– ∞ ; –1] ∪ [1; 25 〉 b) 〈– ∞ ; –2] ∪ [1; 27 〉 11 11

a) 〈–∞ ; 3] b) 〈–∞ ; –3] d) 〈3; +∞〉 e) [3 ; +∞〉 7. Resolver:

c) 〈–3; 3〉

2 – x <x

a) [0; 1[ d) ]–2; 2]

c) [4; 6[

b) ]0; 2] e) ]1; 2]

8. Resolver: x – 5 +3<0 a) [0; 5[ b) ]0; 5] d) ]–3; 5] e) φ 9. Resolver: x – 4 ≤ x – 1

c) [0; 3[

a) 〈–∞ ; 4] b) 〈–∞ ; 4〉 c) 〈1; 4〉 d) 〈1 ; +∞〉 e) [4; +∞〉

a) 〈–∞ ; 3] d) [3; 6] 11. Resolver:

b) 〈–∞ ; 6] e) [3; +∞〉

14. Para que un medicamento tenga efectos benéficos, su concentración en la sangre debe ser mayor que un determinado valor, llamado concentración terapéutica mínima. Supóngase que la concentración "C", en mg/L, de determinado medicamento a las "t" horas después de haberla ingerido oralmente, es: C(t) = 220t . t +4 Si la concentración terapéutica mínima es 4 mg/L, determinar cuándo se rebaja esta.

un medicamente mediante una inyección

c) 〈3; 6〉

intravenosa. Supóngase que la concentración "C" del fármaco, después de "t" horas, está dado por: 3 , 5t C(t) = mg/L. Si la concentración terapéutica t+ 1 mínima es 1,5 mg/L, determine cuándo se rebasa

x – 11 ≤ – 2

a) 〈–∞ ; 3] b) 〈–∞ ; 11] d) 〈11 ; +∞〉 e) [11 ; +∞〉

e) x ∈

15. Para el tratamiento de la arritmia. Se aplica

x–3+ 6–x ≥ 0

10. Resolver:

c) 〈– ∞ ; –4] ∪ [2; 23 〉 d) x ∈ {0} 11

c) 〈2; 11]

esa concentración.

Practica en casa 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

1. Relacionar correctamente:

Colegios

142

TRILCE

x +1 ≤ 0

x ∈ [0 ; +∞〉

x– 1 ≥ 0

x ∈ [1; +∞〉

x– 1 ≤0

x∈φ

x +1 ≥ 0

x ∈ [0; 1]

• Si: 3 x <–1 , entonces: x ∈ φ.................... ( )

• Si:

• Si: 3 x ≤ 0 , entonces: x ∈ {0}.................( )

• Si: 3 x $ 3 2 , entonces: x ∈ [2;+∞〉.........( )

x >–1 , entonces: x ∈

.................. ( )

Central: 6198-100

Álgebra 3. Completar:

• En las inecuaciones irracionales de radicales de índice ........ no se hace restricciones previas.

• En los radicales de índice par se hace la restricción: ........ mayor o igual a cero.

• El radicando puede ser ......... o ........... en radicales de índice impar.

4. Resolver: 5x–2 > 10–x 5. Resolver:

1 > x –1 x +1

6. Resolver la desigualdad: x+2 ≤ 3 x3 + 8 7. Resolver: x2 – 9 ≤ 4

8. Al resolver:

x2 – 4 +5>0 9 – x2

Se obtiene: x ∈ 〈a ; b] ∪ [c ; d〉 Hallar el valor de: E = a + b + c + d

9. Resolver:

–x2 + 6x–8 . (x2 –5x) ≥ 0 x –1

10. Resolver: (x – 2)3.^5 x + 1h . ^7 x + 3h (x – 4)6.^4 64–x2 h ≥0 11. Si: A = 〈– ∞ ; a] ∪ [b ; c〉 , es el conjunto solución de: x2 –5x + 4 <7 – x; calcular el valor de "a+b+c". 12. Resolver:

x–2 <2 4–x

13. Resolver: 6x – 2 >x+1 14. Después de "t" minutos de introducir un bactericida experimental en cierto cultivo, el número de bacterias está dado por: 10 000 + 2000. Determine el momento en t2 + 1 que el número de bacterias esté por debajo de 4000. 15. Para que un medicamento tenga efectos benéficos, su concentración en la sangre debe ser mayor que un determinado valor, llamado concentración terapéutica mínima. Supóngase que la concentración "C", en mg/L, de determinado medicamento a las "t" horas después de haberla ingerido oralmente, es: C(t) = 212t . Si la concentración terapéutica t +3 mínima es 3 mg/L, determinar cuándo se rebaja esta.

Tú puedes 1. Indica un intervalo solución de la siguiente inecuación: 1–x – 1–3x > 3 + x – 3–x a) [–1; 3〉 b) <0; 1 ] 3 c) 〈–1;3] ∪ 〈4;+∞〉 d) [–3; 0〉 e) 〈–3; 1] ∪ [3; +∞〉 2. Resolver:

x2 –3x–4 ≥ x2 – 2x – 29 5– 16–x2

a) [–4; –1] ∪ {4} c) [–2; –1] ∪ {4} e) x ∈ {0} 3. Sea

b) [–3; –1] ∪ {4} d) [–2; 1] ∪ {4}

"S" el conjunto solución de: 2 2 x –4x + ≠ ≥ (x – 3) x + 2 ; entonces: x – x2 + 5x + 5

www.trilce.edu.pe

a) S = 〈–2; 3〉 c) S ⊂ [1; +∞〉 e) S ⊂ 〈– ∞ ; 0]

b) S ⊂ [–2; 2] d) S = [0; 1〉

4. Resuelva: x – 2 + x – 1> 2x a) [ 2 + 5 ; +∞〉 b) [ 1 + 7 ; +∞〉 2 2 c) [ 3 + 10 ; +∞〉 d) 〈 1 + 7 ; +∞〉 2 2 e) 〈 3 + 10 ; +∞〉 2 5. Resolver:

x + 1– 4 x –1 # 8 x + 1– 8 x –1

a) x ∈ {1; 2} c) x ∈ 〈0; 1] e) x ∈ {2}

x + 1+ 8 x – 1 8 x + 1 + 16 x2 –1

b) x ∈ {9; 12} d) x ∈ {1}

Cuarto año de secundaria

143

Capítulo

Relaciones binarias

Lectura En esta sección estudiaremos formalmente las parejas de objetos que comparten algunas características o propiedades en común. La estructura matemática para agrupar estas parejas en conjuntos es la teoría de relaciones binarias. Se llama relación entre los conjuntos "A" y "B" a un subconjunto del producto cartesiano AxB. Esta puede estar formada por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de AxB. Si establecemos una relación entre los elementos de un mismo conjunto, existen tres propiedades fundamentales que pueden cumplirse en esa relación: reflexiva, simétrica y transitiva. Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada. Se llama función a una relación en la cual a cada elemento del conjunto de partida le corresponde solo un elemento del conjunto de llegada. A

"A" menor que "B" RELACIÓN

"A" mitad de "B" FUNCIÓN

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Producto cartesiano .. Relación binaria

Colegios

144

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

RELACIONES BINARIAS

Par ordenado

Producto cartesiano

Relación

Definición

Notación

Igualdad de pares

Notación

www.trilce.edu.pe

Dominio

Notación

Rango

Propiedades

Cuarto año de secundaria

145

Capítulo

Saberes previos 4. Indicar el número de elementos de los conjuntos:

1. Resolver:

• 3x – 4 = 2(x – 1) → x =

• 2x+1= x + x → x = 3 4

• A = {x ∈

/ x ∈ 〈1 ; 5〉} → n(A) =

• B = {y ∈

/ y ∈ 〈2 ; 10〉} → n(B) =

2. Resolver:

5. Si: A = {x ∈

• 3x+1>13

• 5x – 2<0

3. Calcular "xy" en:

• (x – 1; y+1) = (3; 7) → xy=

• (x+y; x – y) = (9; 1) → xy =

B = {y ∈

+ –

/ x ∈ 〈–3 ; 4〉}

/ y ∈ 〈– 5 ; 2〉}

Indicar el número de elementos de:

• A ∩ B = ________________

• A ∪ B = ________________

Aplica lo comprendido 1. Relacionar los conjuntos con su número de elementos, siendo:

A = {1 ; 3} B = {2 ; 4 ; 6} n(A×B)

(A2)

n(B2)

n (A2xB2)

3. Completar correctamente:

• El número de elementos de "A×B" y el número de elementos de "B×A" son ................... • El número de elementos de .................. es igual a n(A) × n(B) • Una relación de "A" en "B" es un ........... del producto cartesiano: A×B

* Siendo: A = {–1; 2; 3} ; B = {–2 ; –1}

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) a partir de los conjuntos: A = {–1; 2; 3} ; B = {–2; –1}

4. Indicar por extensión: R1 = {(x; y) ∈ A×B / xy<0} 5. Indicar el número de elementos de:

• • • •

Colegios

146

(–1; 3) ∈ A×B ........................................( (–1; 2) ∈ B×A ........................................( (–1; –1) ∈ B2 ..........................................( (2; –2) ∈ A2.............................................(

TRILCE

) ) ) )

R2 = {(x; y) ∈ B×A / x+y>0}

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, a partir de los siguientes conjuntos:

A = {x ∈ B = {x ∈

/ x ∈ 〈0 ; 4] } / x ∈ [2 ; 4}

n(A×B)

n(B2)

144

n(A2)

n(A2×B2)

• • • •

El par (2; 5) ∈ A×B ................................ ( ) El par (3; 3) ∈ A2 ................................... ( ) El par (5; 1) ∈ B×A ................................ ( ) El conjunto: R = {(2; 3), (3; 3), (1; 1)} es una relación de A×B .................................... ( )

3. Completar a partir de los conjuntos: A = {3; 4; 5} ; B = {4; 5} • Si: R={(x; y) ∈ A×B / x=y} entonces: R = { _______________ } • Si: R = {(x; y) ∈ A×B / x ≥ y} entonces: R = { _______________ } • Si: R = {(x; y) ∈ A×B / x<y} entonces: R = { _______________} 4. Calcular "ab" en la igualdad: (a+b; 8) = (10; a+1)

a) 12 d) 9

b) 21 e) 24

c) 18

5. Calcular el número de elementos del producto cartesiano: A2×B2, si: A={1;2;3;4} y B={5;6;7}

a) 150 d) 160

b) 144 e) 80

c) 81

6. Si: A={x ∈ / 1<x ≤ 6} y B={x∈ / 3 ≤ x<9}; indicar el número de elementos de: A×B

a) 21

www.trilce.edu.pe

b) 32

d) 49

e) 30

7. Calcular la suma de elementos del dominio de: R 1 = {(x; y) ∈ A×B / x<y}

Si: A = {7; 19; 21; 24} y B = {4; 5; 16; 20}

a) 33 d) 26

b) 47 e) 76

c) 28

8. Si: A={9; 10;15} y B={5; 7}, indicar el número de elementos de: R2={(x; y)∈A×B/x+y≥17}

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dados los conjuntos: A = {1; 2; 3} ; B = {1; 3; 5}

c) 48

a) 1 d) 3

b) 2 e) 0

c) 4

9. Si: A={x ∈ + / –3 ≤ x ≤ 3} B={x ∈ – / –2 ≤ x ≤ 2} Indicar el número de elementos de: A2×B2

a) 36 d) 9

b) 4 e) 16

c) 25

10. Calcular " x " en la siguiente igualdad: y

(x+y; 4) = (12; x – y)

a) –1 d) 2

b) 4 e) 1

c) 3

11. Si: A={–6; –8; 3; 4} y B={–4; –2; –1; 2}, indicar el número de elementos de: R4={(x; y) ∈ A×B / xy>0}

a) 8 d) 9

b) 12 e) 10

c) 4

12. Dado el conjunto: A={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} se define: R = {(x; y) ∈ A×A / 2x+y=10} Indicar la suma de elementos del dominio de "R".

a) 18 d) 19

b) 15 e) 10

c) 14

13. Del conjunto: A = {x ∈ / (x – 2)5 (x+3)7(x – 5)6<0} se define: R={(a; b) ∈ A×A / a+b ≥ 0}. Indicar el número de elementos de "R".

a) 2 d) 6

b) 5 e) 7

c) 4

Cuarto año de secundaria

147

Capítulo

14. Un ciclista corre en línea recta 200 m hacia el este. Luego 200 m hacia el norte, 300 m al nor este y 100 m hacia el este; 100 m al norte y 150 m al nor este. ¿A qué distancia del punto de origen está?

B Entradas Segundo Sopa Arroz con pato Choclo con queso Ají de gallina Papa con ocopa Mondonguito a la italiana Rocoto relleno Tallarín verde Ceviche Cau Cau Patasca

15. En un negocio de comidas se observa los siguientes carteles: A Entradas Sopa Ensalada mixta Papa a la huancaina Papa rellena Salpicón de pollo

Segundo Arroz con pollo Escabeche Cau Cau Tallarín rojo Ají de gallina Lomo saltado

Responder:

• ¿Cuántas relaciones de Entrada - Segundo hay en el cartel "A?

• ¿Cuántas relaciones de Entrada - Segundo hay en el cartel "B"?

• ¿Cuántas relaciones comunes de Entrada Segundo hay en "A" y "B"?

• Si: R3={(x ; y) ∈ A × B / x = y}, entonces:

Practica en casa 1. Relacionar correctamente a partir de los conjuntos: A = {x ∈ /x ∈ 〈1; 5〉} ; B = {x ∈ /x ∈ [0;3]} n(B×A)

n(B2)

n(A2)

n(A2×B2)

144

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dados los conjuntos: A = {2; 4; 6} y B = {0; 2; 4}

• (2; 4) ∈ A2 .............................................. ( ) • (2; 0) ∈ B×A ........................................... ( ) • (A×B) ∩(B×A) tienen dos pares ordenados en su intersección .................................. ( ) • R={(2; 2), (4; 4), (6; 6)} es una relación de "A" en "B" .. ............................................ ( )

3. Completar correctamente, dados los conjuntos: A = {1; 2; 3; 4} y B = {4; 6; 8; 10}

• Si: R1={(x ; y) ∈ A × B / x < y}, entonces:

• Si: R2={(x ; y) ∈ B × A / x = 2y}, entonces:

Colegios

148

n(R1)= _______________________

n(R2)= _______________________

TRILCE

n(R3)= _______________________

4. Calcular "ab" en la igualdad: (a + b ; 5) = (12 ; a – 4) 5. Calcular el número de elementos del producto cartesiano "A×B", si: A={8; 9; 0} y B={5; 6; 2; 7} 6. Si: A={x ∈ / 3 ≤ x ≤ 5} y B={x ∈ /2<x<6}, indicar el número de elementos de: A×B. 7. Calcular la suma de elementos del dominio de: R = {(x ; y) ∈ A×B / x=2y} Si: A={8; 9; 10} y B={4; 5; 16; 20} 8. Si: A={6; 8} y B={5; 9}, indicar el número de elementos de: R={(x;y) ∈ A×B / x+y<15} 9. Calcular la suma de elementos del dominio de: R = {(x; y) ∈ B×A / x<y} Si: A={8; 9; 10} y B={1; 2; 12; 18} 10. Si: A={–6; –8} y B={–5; –3; 1; 2}, indicar la suma de elementos del rango de: R={(x; y) ∈ A×B / xy<0} 11. Si: A={–1; 0; 1} y R={(x; y) ∈ A2 / x2=y2}, indicar el número de elementos de "R". Central: 6198-100

Álgebra 12. Dados los conjuntos: A={x ∈ B={x ∈ / 2 < 3x–1 < 5} 4 hallar "A×B" y "B×A".

/|x – 1|=4} y

15. En un negocio de comidas se observa los siguiente carteles: A

13. Si los pares ordenados (2n;0) , (0; –n) y (n;1) pertenecen a la relación: R= {(x; y) ∈ × / y = ax+b}, hallar el valor de "a+b".

Entrada

Segundo

Entrada

Segundo

Sopa

Arroz con pato

Ensalada

Arroz a la cubana

Ensalada

Arroz con pollo

Causa

Arroz con pato

Papa a la huancaina

Tallarín saltado

Papa rellena Lomo saltado

14. Un ciclista corre en línea recta 100 m hacia el este, luego 100 m hacia el norte, 150 metros al nor este y 50 m hacia el este, 50 m al norte y 75 m al nor este. ¿A qué distancia del punto de origen está?

Causa

Tallarín rojo

Papa con ocopa

Cau Cau

Papa a la huancaina

Lentejas con pescado

Choclo con queso

Lentejas con pescado

Ceviche

Chicharrón

Sopa

Pescado frito

Ceviche

Jalea

Responder:

• ¿Cuántas relaciones de "Entrada - Segundo" hay en el cartel "A"?

• ¿Cuántas relaciones de "Entrada - Segundo" hay en el cartel "B"?

• ¿Cuántas relaciones comunes de "Entrada Segundo" hay en "A" y "B"?

Tú puedes 1. Dados: A = {x ∈ a+b=0}

/ x3 = x} y B = {x ∈

/ x2<16}; hallar "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ A×B /

a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 2. Dados: M={x ∈

/ x4 – x=0} y N={x ∈

/ x4 – x2=12}; hallar "n(R)", siendo:

R = {(a; b) ∈ M×N/a–b>0}

a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 3. Dados: A = {x ∈

/ ||x – 2| – 3 | = 0}; hallar "n(R)", siendo: R = {(a; b) ∈ A2 / 0<a+b<10}

a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 4. Hallar la suma de elementos del dominio de "R", si: P={x∈

/ x3 – x2 – 6x=0} y R={(a;b)∈P2/ab<0}

a) 2 b) 0 c) –2 d) 1 e) –1 / (x – 2)2 – |x – 2| – 6=0}, N = {x ∈ 5. Sean los conjuntos: M = {x ∈ ° R = {(a; b) ∈ N×M / a – b = 3}. Hallar: n(R).

/x2 ≤ 4x – 4} y

a) 2 b) 0 c) 4 d) 1 e) 3 www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

149

Capítulo

Repaso III Tartaglia y las ecuaciones de tercer grado Niccoló Fontana Tartaglia (1499 - 13 de diciembre de 1557), fue un matemático italiano apodado Tartaglia (el tartamudo), debido a que en su niñez recibió una herida cuando las tropas de Gastón de Foix tomaban Brescia, su ciudad natal. Descubridor de un método para resolver ecuaciones de tercer grado, estando ya en Venecia, en 1535 su colega del Fiore, discípulo de Scipione del Ferro, de quien había recibido la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas, le propone un duelo matemático que Tartaglia acepta. A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado. Por lo que, consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su contrincante, sin que este logre resolver ninguna de las propuestas por Tartaglia. El éxito de Tartaglia en el duelo llega a oídos de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula, a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicara. Sin embargo, en vista de que Tartaglia no publica su fórmula, y que según parece llega a manos de Cardano un escrito inédito de otro matemático fechado con anterioridad al de Tartaglia y en el que independiente se llega al mismo resultado, será finalmente Cardano quien, considerándose libre del juramento, la publique en su obra Ars Magna (1570). A pesar de que Cardano acreditó la autoría de Tartaglia, este quedó profundamente afectado, llegando a insultar públicamente a Cardano tanto personal como profesionalmente. Como consecuencia de lo anterior las fórmulas de Tartaglia serán conocidas como fórmulas de Cardano.

En este capítulo aprenderemos .. Matrices .. Determinantes .. Sistemas de ecuaciones .. Desigualdades e inecuaciones lineales .. Inecuaciones polinomiales y fraccionarias .. Inecuaciones irracionales .. Relaciones binarias

Colegios

150

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra * Completa el crucigrama algebraico.

3 4 5

2 2 3

4 7

5 6 7 1

HORIZONTAL

VERTICAL

1. Es un conjunto de dos elementos que tienen un orden. 2. Es un conjunto de ecuaciones que verifican simultáneamente para los mismos valores de sus incógnitas. 3. Son arreglos rectangulares de elementos en filas y columnas. 4. Son comparaciones que se establecen entre cantidades reales utilizando las relaciones de orden. 5. Método para resolver un sistema sumando o restando para eliminar una variable. 6. Inecuaciones donde la variable está afectada por un radical. < 0, A ≠ 0. 7. Inecuaciones de la forma: Ax+B >

1. Son sistemas de ecuaciones que no tienen solución. 2. Son subconjuntos del producto cartesiano y que tienen una condición determinada. 3. Es el producto (sin efectuar) de filas y columnas en un arreglo rectangular: "... de la matriz" 4. Son inecuaciones de la forma: < 0 ; a0 ≠ 0. a0xn+a1xn–1+a2xn–2+...+an > 5. Es el valor que se obtiene escalarmente al desarrollar convenientemente una matriz cuadrada. 6. Son inecuaciones de la forma: < 0 ; a ≠ 0. ax2+bx+c > 7. Es una forma de resolver un determinante de orden tres, aumentando filas o columnas.

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

151

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Hallar "x" en la siguiente igualdad:

7. Resolver:

a + 2b 3 x 3 e o= e o a–b a+ b 2 6

• x2 (x – 3) – 16(x – 3) = 0

• x2 – 2x – 35 ≤ 0

• 16x–3 > 64x+2

+ • (x–6) (x 5) ≤ 0 x–1

a) 4 d) 7

b) 5 e) 8

c) 6

2 1 2. Dada la matriz: A = e o ; además: 0 1 P(x) = x2 – 5x+2; hallar la suma de los elementos de "P(A)".

a) 8 d) –8

b) 6 e) –4

c) –6

3. Hallar "x" en: 1 0 1 1 0 2 1 0 3 1 0 x 1 1 0 + 1 2 0 + 1 3 0 + ... + 1 x 0 =72 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

a) 9 d) 10

b) 8 e) 7

c) 11

8. Resolver:

(x - 3)5(x – 4)6(x2 – x – 6) > 0

a) ] – 2 ; + ∞ [

b) ] - 2 ; + ∞ [ – {3}

c) [2 ; + ∞]

d) ] - ∞ ; – 2[

e) ] - 2 ; + ∞[ – {3 ; 4}

9. Resolver: 2 2x - x - 2 ≤ 0 x + 4x + 3

4. Resolver: 1 2 1

3+ –1 0 1

a) 8 d) 6

x 0 –8 x

–5

b) 3 e) 10

c) 4

a) ] – 3 ; – 1[ ∪ ]1 ; 2] b) ] – 3 ; – 1] c) ] – 3 ; – 1[ ∪ ] – 1 ; 2] d) ] – 1 ; 2] e) ] – 3 ; 2[

5. Sea: x ∈ [5 ; 7]; indicar el intervalo de: g(x) = x2 – 4x + 9

10. Determine el C.S. de:

a) [5; 30] d) [14; 30]

4 2 x -2x - 6 ≤ 0 x -1

6. Si: x ∈

b) [7; 30] e) [15; 30]

c) [10; 30]

hallar el mínimo valor de:

G = x + 200 8 x

a) 8 d) 11

Colegios

152

2 2 0

TRILCE

b) 9 e) 12

a) ] – 1 ; 1[

b) [3 ; +∞[

c) ]– ∞ ; – 2[

d) [-

e) [–

3 ; –1[ ∪ ]1 ;

c) 10

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 4 3 5 6 1. Sean las matrices: A= = G y B= = G 2 1 7 8

Hallar la traza de la matriz: 2A – B+I, donde "I" es la matriz identidad.

a) – 4 d) 1

b) – 5 e) 2

c) – 1

2. Dadas las matrices:

1 1 2 1 –3 A = = G ; B = >2 3H 3 –2 4 1 2 Calcular la suma de los elementos de la matriz: A×B.

a) 8 d) 5

b) 9 e) 4

c) 6

d) 40

e) – 36

7. Resolver: (x – 5)(x+3)+

a) x ∈ φ

d) x ∈

1 >(x – 6) (x + 4)+ 1 x–8 x–8 b) x ∈

– {8}

c) x ∈ {5}

e) x ∈ 〈0;+∞〉 – {8}

8. Si: x ∈ [4 ; 7], ¿entre qué límites varía la expresión: 2x + 1 – 1 ? x–2 2 [ 5 ; 4〉 c) [2; 4] a) 〈 5 ; 2〉 b) 2 2 d) [ 5 ; 4] e) 〈– 5 ; 4〉 2 2 9. Resolver: x2 – 4x+1 ≤ 0

3. Sean las matrices:

x–3y x 2 6–y – 4 –8 A== G;B= = G ;C== G 1 y 1 6–x 2 3

Si: A=B, calcular: 2B+C.

a) x ∈ [2 – 3 ; 2+ 3 ] b) x ∈ [1– 3 ; 1+ 3 ]

c) x ∈ [– 3 ; 3 ]

e) x ∈

d) x ∈ f

0 2 0 3 2 0 a) G b) G c) G = = = 4 5 5 4 5 4

10. Si: {x; y} ⊂ +, hallar la variación de: y E = x + + 5 y x

1 0 0 1 d) G e) G = = 4 5 5 4

Calcular la traza de: A2 + 2A.

a) 13 d) 10

b) 2 e) 9

a) 1 d) 0

b) 2 e) – 3

c) 11

c) 3

www.trilce.edu.pe

b) 32

a) 2 d) 1

b) 3 c) 2 e) 3

a) [0 ; 2] ∪ [3 ; +∞〉 b) 〈– ∞ ; 0] ∪ [ 2 ; 3] c) [– 2 ; 3〉 d) 〈–2 ; 3] e) [– 2 ; 0] ∪ [3 ; +∞〉 13. Resolver: (x – 4)x3 ≤ 9x(x – 4)

4 0 0 3 0 0 31 1 1 + 2 2 4 74 –1 –2 1 0 6 a) 36

12. Resolver: x3 – 5x2+6x ≥ 0

6. Calcular el valor de:

c) E ≥ 7

2 F(x) = x – 2x + 2 ; ∀ x > 1 x –1

5. Luego de resolver la ecuación: x –1 1 0 =0 –3 2 x 4 x Indicar la suma de soluciones.

b) E ≥ 2 e) E ≤ 2

11. Hallar el valor mínimo de:

2 1 4. Dada la matriz: A = = G 3 –1

a) E ≥ 5 d) E ≤ 7

c) 38

a) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] b) 〈– ∞ ; – 3] ∪ {3 ; 4} c) [– 3 ; 0] ∪ [3 ; 4] d) 〈– ∞ ; – 3] ∪ [0 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉 e) [– 3 ; 3] ∪ [4 ; +∞〉

Cuarto año de secundaria

153

Capítulo

a) 〈– ∞ ; 2] ∪ [3 ; + ∞〉

14. Indicar un intervalo solución de: c x – 2 m ` x + 2 j ≤ 0 x–3 x a) 〈 0 ; 3〉 b) [–2 ; 2] d) 〈– 2 ; 0] e) [– 2 ; 0〉

b) 〈– ∞ ; – 3〉 ∪ [2 ; + ∞〉 c) 〈 0 ; 2]

15. Indicar la suma de los valores enteros que no satisfacen la inecuación fraccionaria siguiente: 2 2x – 11 # 1 x – 3x – 10 2

a) 5 d) 3

b) 7 e) 8

c) 6

16. Sean los conjuntos:

A = {x ∈ B = {x ∈

/ 3x – 1 > – 2} / 3 x + 2 $ 3 x2 –x–1}

c) 〈– ∞ ; – 3〉 ∪ [2 ; + ∞〉 d) 〈– 3 ; 2] ∪ {3} – {–1} e) 〈– ∞ ; 2] ∪ {3} – {1} 18. Si se verifica: ax2 – (a – 1)x – 1 > 0 ; ∀ x ∈ ¿qué se puede afirmar de "a"?

+ b) – a) c) + d) – {1} e) Ø

19. Si la siguiente inecuación: –ax2+2x>2x2 – ax+1>x2+x – a

Indicar el conjunto: A ∩ B.

a) [–1 ; 3]

b) [–1;3]–{ 1 } c) [–1 ; 1 ] 3 3

d) [ 1 ; 3] 3

e) 〈 1 ; 3] 3

Se verifica para todo "x" que pertenece a los reales, entonces "a" ¿en qué intervalo se encuentra?

a) 〈– ∞ ; – 2〉 b) Ø d) 〈0 ; + ∞〉 e) 〈3 ; + ∞〉

c) 〈– ∞ ; 1〉

17. Indicar el C.S. de la siguiente inecuación:

20. Si: x ∈ 〈0 ; 2〉 , entonces: 2x2 – 12x+19, ¿en qué intervalo se encuentra?

50 23 + 7 (x–3) 3 (x 1)37(x–2) 4 ≤ 0 (x + 1) (x + 3) (x + 1)

a) [1 ; + ∞〉 b) [1 ; 19〉 c) [– 4 ; 8〉 d) 〈3 ; 19〉 e) 〈0 ; 19〉

Practica en casa 2 3 1. Si: C= = G 1 –2

Hallar la traza de: C2.

2. Si:

5. Si:

m+4 2 –2 1 + =5 A 1 5 5 –1

Hallar: |A|.

0 3 –3 1 A== G ;B== G 4 5 4 2

Hallar: 2At – 3B+5I.

6. Resolver: (5+2x)(3 – 4x) ≥ 0

3. Calcular: 3 4 –6 2 5 –4 –1 7 2 4. Resolver e indicar el mayor valor de "x" en: 3 x –x 2 –1 3 = 6 x + 10 1 1 Colegios

154

TRILCE

7. Calcular el mayor número entero "m" que satisface la desigualdad: 2x2 – 4x+1>2m 6 x ∈ . 8. Si: |x| ∈ [ 1 ; 2 ], indicar la suma del mayor y 3 3 2 x +1 menor valor de: x 9. Resolver: 2x+8(x+1)>3(2x+1)+15

Central: 6198-100

Álgebra 10. Hallar el conjunto solución de la inecuación: 40[2(x–2)+7]<6[6{2(x–1)+2}]+160

13. Hallar el conjunto solución de: 3x2 – 6x + 8 > – 4

11. Si: {a ; b} ∈ , resolver: xa2 – (a+b)2 ≥ a2 – 2ab+b2 – xb2

14. Calcular "xy" en la igualdad:

^x + 3 ; 27 – yh =^ 12 ; x + 3 h

12. Al resolver: (a+1)x+1<ax+8<(a+2)x–2 el C.S. de "x" es 〈m ; n〉. Hallar "m+n", si: a ∈ .

15. Si: A = {–2; 0; 2} y R = {(x; y) ∈ A2/x2=y2} hallar el número de elementos de "R".

Tú puedes 1. Encontrar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I. –1 < – x < e ⇒ x2 ∈ [0 ; e2〉 II. – 5 ≤ x2 < 4 ⇒ x ∈ 〈– 2 ; 2〉 III. x2 > 1 ⇒ x ∈ 〈1 ; +∞〉

a) V V F

b) F V V

c) F F F

2. Calcular el mayor número real "m" tal que:

d) V V V

x2 + 2 ≥ 2m ; ∀ x ∈ x2 + 1

e) V F F

a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3 3. Resolver en

x – 3 +1 < 2x – 7.

a) [– 7 ; 7 ] b) [ 7 ; 51] 2 2 2

c) 〈 7 ; +∞〉 d) 〈 17 ; +∞〉 e) – [7 ] 2 4 2

4. Resolver: x + 1 > 2 , si: a>2b>0. a bx + a a) 〈– ∞ ;

a 〉 b) 〈– a ; a 〉 c) 〈– a ; –a 〉 d) 〈 a ; – a 〉 e) 〈 –a ; a 〉 a–2b b 2b–a b 2b –a 2b–a b b 2b–a

5. Resolver: 3–x – 4 – 1 – x <0

a) [– 15 ; 1]

www.trilce.edu.pe

b) [– 15 ; 1 〉 c) 〈 0 ; 1]

d) 〈– 15 ; 1 〉 e) 〈– 1 ; 1]

Cuarto año de secundaria

155

Capítulo

Funciones I Las funciones en el desarrollo de las matemáticas Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después; y el Límite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el Cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. En la obra Introductio in Analysi Infinitorum, Leonhard Euler intenta por primera vez dar una definición formal del concepto de función al afirmar que: "Una función de cantidad variable es una expresión analítica formada de cualquier manera por esa cantidad variable y por números o cantidades constantes". Como puede observarse, esta definición difiere de la que actualmente se conoce. "Algunas cantidades en verdad dependen de otras, si al ser combinadas las últimas las primeras también sufren cambio, y entonces las primeras se llaman funciones de las últimas. Esta denominación es bastante natural y comprende cada método mediante el cual una cantidad puede ser determinada por otras. Así, si "x" denota una cantidad variable, entonces todas las cantidades que dependen de "x" en cualquier forma están determinadas por "x" y se les llama funciones de "x". En la historia de las matemáticas se le dan créditos al matemático suizo Leonhard Euler(1707-1783) por precisar el concepto de función, así como por realizar un estudio sistemático de todas las funciones elementales, incluyendo sus derivadas e integrales; sin embargo, el concepto mismo de función nació con las primeras relaciones observadas entre dos variables, hecho que seguramente surgió desde los inicios de la Matemática en la humanidad, con civilizaciones como la babilónica, la egipcia y la china. Antes de Euler, el matemático y filosofo francés René Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de Geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de "variable" y "función", realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.

En este capítulo aprenderemos .. Definición de función en pares ordenados .. Regla de correspondencia .. Identificación de una función y su gráfica .. Cálculo del dominio y rango de una función

Colegios

156

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FUNCIONES I

Definición y regla de correspondencia

Notación

Cálculo del dominio y rango

Regla para reconocer una función

Si: (x; y) ∈ "F" ∧ (x;z) ∈ "F"

y=z

Función con regla de correspondencia

(x; y) ∈ "F" ↔ y=F(x) A B ∈R↔B≠0

Pre-imagen (dominio)

Imagen (rango)

www.trilce.edu.pe

par

impar

A ∈R↔A≥0

A ∈R↔A∈R

Cuarto año de secundaria

157

Capítulo

Saberes previos 1. Si: A={1; 2}, B={3; 5}, indicar por extensión:

4. Si: P(x) = x2+3x+2, calcular:

• A×B = _______________________

• P(1) + P(2) = _____________________

• A2= __________________________

• P(–3) + P(0) = ____________________

2. Si: A = {x ∈ B = {y ∈ Indicar:

/ x ∈ [2 ; 5]} / y ∈ 〈0 ; 3〉}

5. Si: P(x) = 2x+5; calcular:

• n(A×B) = ________________________

• n(A2)= ___________________________

3. Resolver:

• (x – 1; 5) = (3; y+2) → xy=

• (x+y; x – y)= (6; 4) → xy=

• P(x – 1)= __________________________

• P(3x+1) = _________________________

• En una función a cada primer componente le corresponde solo una ..................

• Se llama función ................... a aquella cuya regla de correspondencia es de primer grado.

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las reglas de correspondencia y los pares ordenados: F(x)=x2+x – 2

(–1;1)

G(x)=2x+1

(–1;2)

H(x)=2x2 – 1

(1;0)

I(x)=x2+1

(–1;–1)

4. Dada la función: F(x)= x + 2

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

• F={(1;2),(3;5),(1;2)} es función............... ( )

5. En la función: F(x)={(2;7), (1;8), (6;1), (8;5)}

• G={(0;1),(2;1),(4;1)} es función.............. ( )

• H={(–1;1),(–1;–1),(1;–1)} es función...... ( )

Calcular: F(–1)+F(7) – F(14)

Calcular: S=F[F(1)] + F[F(6)]+F[F(8)–3]

3. Completar correctamente:

• Un conjunto de pares ordenados se obtiene al relacionar dos conjuntos por medio del producto .....................

Colegios

158

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente, respecto al dominio de las funciones: F(x)= x–4

G(x)= x–2 x–4

x∈

–{±2}

x∈

I(x)= 21 x –4

x ∈ [4; +∞〉

• • • •

–{4}

F(0) = 3 .................................................( No existe "F(4)"......................................( ( 5 ; 2) ∈ F............................................( (– 8 ; 1) ∈ F.........................................(

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

c) 2

a) {0;7} d) {2}

b) {0} e) { }

c) {7}

8. Indicar el dominio de: G(x)= x 2+ 7 x –9

) ) ) )

a) – {3} d)

• Toda función es una ...................... • A la ................ solo le corresponde una segunda componente • El dominio de la función es el conjunto de .....................

b) –{9} c) –{3;–3} e) { }

9. Indicar el rango de: H(x)= 6x–5 3x–4 a) – { 4 } b) – {4} 3 d)

3. Completar:

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)= 9–x2

Calcular: f[g(3)]+g[f(2)]+g[f(0)]

7. Indicar el rango de: F(x)= x–7 + 7–x

x ∈ [–2; 2]

H(x)= 4–x

– {2}

e) { }

10. Indicar cuántos valores enteros pertenecen al dominio de: F(x)= 4–x2

a) 6 d) 2

b) 4 e) 5

c) 3

4. Calcular la suma de los elementos del dominio de la función: F={(3;4), (n+1;7), (n;1), (3;n2), (2;9)}

11. Indicar la suma de los elementos del dominio de la función: F={(7; 4), (m–1; 9), (m; 6), (7; m+3)}

a) 5 d) –4

b) –2 e) 0

c) 2

5. Sea la función:

F= {(3;5), ` 4; a j , (5;2), (4;9), c3; b m } 2 4

Calcular "a – b"

a) –6 d) 18

b) –2 e) 38

c) 2

6. Sea "f" y "g" dos funciones donde:

0 1 2

www.trilce.edu.pe

–1 1 3

b) 11 e) 12

c) 10

12. Si (2;m) y (n;7) pertenecen a la función: F(x)=4x+3, calcular "mn".

a) 16 d) 9

b) 11 e) 8

c) 4

13. Si el dominio de la función: F(x)= 1–x2 +x–1 es de la forma: [a ; b] – {c}, hallar ab+ac+bc.

a) 8 d) 9

a) –3 d) 0

b) –2 e) 1

c) –1

1 2 4

Cuarto año de secundaria

159

Capítulo

14. Si la producción inicial es de 30 artículos y se sabe que en los primeros 12 meses aumenta la cantidad de artículos producidos en forma lineal; además en el cuarto mes se produjo 190 de ellos. Obtener:

• La expresión que define la producción "P" en función al tiempo "x" en meses. • La producción al año.

15. Para niños cuyas edades están entre seis y diez años, la altura en pulgadas "y" en promedio es una función lineal de la edad en años "t". La altura de un niño es 48 pulgadas a la edad de seis años y de 50,5 pulgadas a la edad de siete años. • •

Expresar "y" en función de "t". ¿Qué altura en promedio tiene un niño de ocho años?

Practica en casa 6. Dadas las funciones "f" y "g" definidas en los siguientes diagramas:

1. Relacionar correctamente, dada la función: F(x)= ) x + 2 ; x < 5 x2 + 1 ; x $ 5 F[F(1)]

F[F(3)]

F[F(4)]

F[F(–1)]

1 2 5

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: F(x)=x2–x+2

• • • •

(2; 2) ∈ F ...............................................( (–1; 4) ∈ F .............................................( F(1) – F(0) = 0 .......................................( F[F(–2)]+F[F(2)]=0 .................................(

) ) ) )

3. Completar:

• En un par ordenado que proviene de una regla de correspondencia, a la primera componente se le denomina pre imagen y a la segunda ....................... • La abscisa se obtiene de la primera componente y la ....................... se obtiene de la segunda componente. • Se llama función ............. a aquella cuya regla de correspondencia es de segundo grado.

4. Calcular "ab" en la función: F = {(2; 7), (6; a–b), (6; 1), (2; a+b)} 5. Calcular "n" en la función: F={(5; 9), (3; 6), (n; 1), (5; n2)} Colegios

160

TRILCE

f 4 5 2

Hallar el valor de:

2 5 4

6 3 5

f(1) + g(2) f[g(4)] + g[f(2)] x+1 x–2

7. Hallar el dominio de: F(x) =

8. Hallar el dominio de la función: F(x) = 4 x – 3 + 8 3 – x 9. Sabiendo que: F(x) = )3x + 4 ; x < 0 2x – 3 ; x $ 0 Calcular: E = F[F(1)] – F[F(0)] 10. Si el rango de la función: F(x) = 2 8 x +9 es: 〈a+1 ; b+1] , calcular: a . b 11. Hallar el rango de la función: F(x) = 4+2x – x2 ; x ∈ [–2; 3〉. 12. Determinar el rango de la función: G(x) = 24x x +1 Central: 6198-100

Álgebra 13. Si el dominio de: 2 F(x) = x –5x2 + 6 7x–x –12 es: [a ; b〉 – {c}, calcular "a+b+c". 14. Un vendedor tiene un sueldo mensual de S/.1000 más el 40% de comisión sobre el monto vendido en ese mes; entonces:

15. Para niños cuyas edades están entre 5 y 11 años, la altura en pulgadas "y" en promedio es una función lineal de la edad en años "t". La altura de un niño es 42 pulgadas a la edad de cinco años y de 58 pulgadas a la edad de siete años.

• Hallar la expresión que defina el ingreso "I" mensual del vendedor en función del monto (x) vendido en el mes. • Si en un mes vendió S/.3500, ¿cuál fue su ingreso en ese mes?

• Expresar "y" en función de "t". • ¿Qué altura en promedio tiene un niño de ocho años?

Tú puedes 1. Dada la función "F" tal que: F(4)=1; 2F(2)=3F(3). Además: F(x) = ax+b. Luego podemos afirmar:

a) F(2)=2 d) F(–2)=7

b) F(3)=1 c) F(10)=5 e) F(2)+F(8)=3

2. Si: F(x+y)=F(x)+F(y) ; F(2)+F(5)=42

4. Un hombre dispone de 40 m de alambre para cercar un jardín rectangular. Sabiendo que solo debe colocarlo sobre tres lados porque el cuarto limita con su casa, determinar el área máxima que puede cercar. a) 120 m2 d) 300

b) 180 e) 240

c) 200

Calcular la pendiente de la función lineal "F"

a) 7 d) 21

5. Hallar el rango de: F(x) = ex + e–x – 2 Si: e = 2,7182

b) 4 e) 6

c) 12

3. La gráfica de la función: f(x)=mx2+nx – 20 3 intersecta al eje "x" en los puntos (–2; 0) y (5; 0); al eje "y" en el punto (0; p). Hallar el valor de: m – 3n+p

a) –2 d) 1

www.trilce.edu.pe

b) –1 e) 2

a) [– 2 ; +∞〉 b) [ 2 ; +∞〉 c) [ 2 ; 2] d) [2– 2 ; +∞〉 e) [2+ 2 ; +∞〉

c) 0

Cuarto año de secundaria

161

Capítulo

Funciones II El plano cartesiano Está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas (x), y la vertical, eje de las ordenadas (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. ¿Quién inventó el plano cartesiano? El plano cartesiano se atribuye a René Descartes, filósofo, matemático y científico francés. El diccionario establece que Descartes es considerado el pionero de la Filosofía Moderna. René Descartes nace el 31 de marzo de 1596 cerca de Poitiers. Hijo de jurista, su madre muere al año de su nacimiento durante el parto de un hermano que tampoco sobrevivió. Él y sus dos hermanos fueron educados por su abuela, pues su padre se ausentaba largas temporadas por razón de su trabajo en el Parlamento de Bretaña y René Descartes acabó dejando atrás a sus hijos al contraer nuevas nupcias con una doncella inglesa. A los 18 años ingresa en la Universidad de Poitiers obteniendo su licenciatura en 1616. Descartes fue siempre un alumno sobresaliente.Fundamentó su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un "punto de partida" sobre el que edificar todo el conocimiento. En su faceta matemática que le lleva a crear la Geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: dos rectas perpendiculares entre sí, que se cortan en un punto denominado "origen de coordenadas", ideando así las denominadas coordenadas cartesianas.

En este capítulo aprenderemos .. Funciones especiales .. Trazado de gráficas especiales .. Intersección de gráficas .. Cálculo de áreas .. Cálculo de valores máximos y mínimos

Colegios

162

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

FUNCIONES II

Gráficas especiales

Función

Función lineal

Dominio Rango

cuadrática

Dominio Rango (según la gráfica)

Gráficas

Valor absoluto

Raíz cuadrada

Dominio Rango

Gráfica

Gráficas

Si: a > 0

Si: a < 0

Si: a > 0

www.trilce.edu.pe

Si: a < 0

Cuarto año de secundaria

163

Capítulo

Saberes previos 1. Si: F(x)=x+5, calcular:

4. Indicar el rango de:

• F(x–2)=

• F(x)=x2+9 →

• F(x+3)=

• G(x)= x – 5 →

2. Si: G(x)=x2+4, calcular:

• G(3)+2=

• G(2) – 1=

5. Dadas las funciones: F(x) = x + 3 ; G(x) = x–1 x –1 Calcular:

3. Indicar el dominio de:

• F(x)= x–6 →

• G(x)= 4–x2 →

• F(0) + G(2) →

• F(2) + G(5) →

Aplica lo comprendido 3. Completar correctamente, dada la función

1. Relacionar correctamente: Funciones F(x)=x2 –1

Máx=–1

–1

Mín=–1

– 2x+1

Mín=–2

Mín=0

G(x) =

x2+2x

H(x) =

I(x) = – x2 – 1

2. Indicar verdadero (V) o falso (F), dada la función: y = F(x) = (3 – x) (3+x)

• Su gráfica es una ....................

• Al coeficiente 3 se le denomina ................... de la recta.

• El ................... con el eje "y" equivale a 7.

4. Calcular el área de la región formada por la recta: y = –2x+8, con los ejes coordenados.

• Su mínimo valor es 9 ............................. ( )

• Su máximo valor es 3............................. ( )

5. Calcular el área de la región formada por la

• Su mínimo valor es 3.............................. ( )

función: y = |x| – 6, con el eje de abscisas.

• Su máximo valor es 9............................. ( )

Colegios

164

lineal: y = 3x+7

Valores

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente las tablas respecto a la gráfica y el cuadrante en el que se definen. F(x)= x

I y II C

G(x)=x2

I y III C

H(x)=– x2

I(x)=x3

III y IV C

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

6. Indica cuántas gráficas corresponden a funciones:

II.

III.

IV.

• La gráfica de: y=(x – 1)2 – 1 es una

parábola ................................................. ( )

• El mínimo valor de: y = x es cero........ ( )

• La gráfica de: y=5 es una recta............... ( )

• La gráfica de: x=5 no corresponde al de una función.................................................... ( )

b) 4 e) 3

a) 1 d) 2

7. Al graficar: F(x)=x2 – 4, calcular "m.n+p".

3. Completar:

c) 0

• F(x) = – x+6 es decreciente y ..............

sobre el origen.

• G(x)=x2 tiene mínimo valor en el punto ............

• H(x)= –x se define en el ............ cuadrante.

4. Al graficar: F(x) = 2x – 4, se obtiene:

y F a

a) –10 d) 6

b) –12 e) –6

8. Bosquejar la gráfica de: F(x)=x – 3, si: x ∈ [4 ; 6].

b) y

Hallar "a×b".

a) –6 d) –8

a) –5 y 3 d) –5 y –3

b) –10 e) –9

c) –4

b) –3 y 5 e) 0 y –5

d) y

c) 5 y 3

y x

www.trilce.edu.pe

y x

5. Hallar los interceptos con el eje "x", en la gráfica de la función: F(x)=x2+2x–15.

c) –8

Cuarto año de secundaria

165

Capítulo

y x

x e)

a) (–2; –4) d) (–3; –7)

b) (–3; 7) e) (0;2)

c) (–4; –10)

10. Calcular el área encerrada por el eje "x" y las gráficas de las funciones: F(x) = x; G(x) = 6 – x. a) 10 u2 d) 8

b) 9 e) 6

11. Graficar: F(x)=

3x2+6x+1

y x

12. Graficar: F(x)= –2x2+8x–10 a)

y x

Colegios

166

TRILCE

Calcular: a+b+c+d a) 6 b) 5 d) –2 e) 7

c) 4

• ¿Qué altura alcanza la bola para: x=0, x=2 y x=5? • ¿Cuándo alcanzará el punto más alto? ¿A qué altura está ese punto?

15. La tarifa de los taxis de una ciudad es de 1 euro por bajada de bandera y por cada kilómetro recorrido 0,8 euros; luego:

y x

14. Desde un tejado situado a 80 metros de altura, se lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 m/s. La altura "y" de la bola sobre el nivel del suelo viene dada por: y=–5x2+20x+80, donde "x" es el número de segundos que ha transcurrido desde el instante que se lanzó la bola.

F d

b x

x e)

13. Al graficar: F(x)=x2 – 6x+5, se obtiene la figura siguiente:

x c)

c) 12

9. Hallar el punto de intersección de las gráficas de las funciones: F(x)=2x – 1 ∧ G(x) = 3x+2.

• Elabora una tabla que exprese el precio del viaje según los kilómetros que hagamos. • Encuentra la función que relaciona los kilómetros recorridos (x) y el precio del viaje (y).

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: F(x)=1–|x|

Mín=0

G(x)=|x|–1

Máx=1

H(x)=|x–1|

Mín=1

J(x)=1+|x|

Mín=–1

8. Hallar la suma de las ordenadas de los puntos de intersección de las funciones siguientes: F(x)=x2 – 4; G(x) = 14 – x2 9. Hallar "ab" de la gráfica: y

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda, dada la función: y=ax2+b

• • • •

Tiene máximo, si: a<0 ..........................( Tiene mínimo, si: b<0 ...........................( El mínimo es b, si: a>0 ..........................( El máximo es "b", si: a<0 ......................(

) ) ) )

F(x)=ax3+b (1; 2)

(0; a)

10. Esbozar el gráfico de la función: F(x)= 3 1 – 2 x + 3 2

3. Completar:

• La gráfica de la función constante es ............ al eje "x". • La gráfica de la función identidad: y=x, forma un ángulo de ............. grados con el eje de abscisas. • La gráfica de: y= –x, se define en el ........ y en el ......... cuadrante.

4. De:

11. Grafique la función: 2 F(x)= (x –2 x–2) (x–3) x –5 x + 6 12. Del gráfico de la función "f", hallar: Dom(f) ∩ Ran(f) y 4

y 6

–2

2 2 3

+ Calcular: F (2) F (6) 2F (3) 5. Calcular el área encerrada por las siguientes funciones: F(x)=x; G(x)=–x; H(x)=4 6. Calcular el área encerrada entre los ejes positivos de "x" e "y" y la gráfica de la función: F(x) = – 3x + 6 7. Calcular "m.n+p", si la gráfica de: F(x)=x2 – 4 es: y F m

n p

www.trilce.edu.pe

2 1 2 –2

13. Hallar el máximo valor de la función: F(x)=10x – x2 – 25 14. El peso de un recién nacido es 3,8 kg. Si en los primeros 10 meses aumenta su peso en formal lineal y en el tercer mes pesa 5,6 kg, entonces:

• Hallar la expresión que define su peso "W" en función al tiempo "X" en meses. • Hallar el aumento mensual de peso. • Hallar su peso en el décimo mes.

15. Si la producción mensual de "x" artículos, viene dada por: P(x)=–x2+40x – 300, entonces:

• Hallar la cantidad de artículos que se debe producir para obtener la máxima producción en un mes. • Hallar la máxima producción en un mes.

Cuarto año de secundaria

167

Capítulo

Tú puedes 1. Si "h" es una función lineal, de pendiente 3 e intersección con el eje "y" igual a 5, hallar la regla de correspondencia de la función "g(x)" si: g(x) – x = h(1) + h(x+1)

a) g(x)=4x+4 d) g(x)=3x+13

c) g(x)=4x+12

b) g(x)=4x+16 e) g(x)=3x+12

2. Del siguiente gráfico:

(2; 0)

Hallar la ecuación de la parábola, si el punto (3; 2) pertenece a ella y su rango es el intervalo: [– 1 ;+∞〉. 4

a) y=x2 – 3x+2 d) y=2x2+3x+2

b) y=x2+3x+2 e) y=2x2 – 3x – 2

c) y=x2 – 3x – 2

3. Indicar cuántos puntos de la forma (a; b), donde "a" y "b" ∈ , se encuentran dentro de la zona limitada por las funciones: F(x)=(x+2)(x – 2) y G(x) = (2+x)(2 – x). a) 21 b) 19 c) 14 d) 12 e) 17 4. Calcular el área de la región sombreada:

y F(x)=x2–2x–3 x

a) 36 u2 b) 18 c) 24 d) 12 e) 25

5. Graficar: F(x) = x2+2mx+m2 si: m<0. a) b) c) d) e) y

y x

Colegios

168

TRILCE

y x

Central: 6198-100

Capítulo

Progresión aritmética (P.A.) Aquiles y la tortuga

Supongamos, decía Zenón de Elea (490-430 a.C.), que Aquiles, que corre cinco veces más rápidamente que una tortuga, juega con ella una carrera dándole una ventaja de cinco kilómetros. Cuando Aquiles recorra esos cinco kilómetros, la tortuga habrá avanzado un kilómetro. Cuando Aquiles cubra ese kilómetro que lo separa ahora de su contrincante, esta habrá caminado a su vez un quinto de kilómetro, es decir, doscientos metros. Pero cuando Aquiles trate de alcanzarla corriendo esos doscientos metros, la tortuga habrá recorrido cuarenta metros. Y una vez que Aquiles salve esos cuarenta metros, con la esperanza de alcanzarla, la tortuga habrá avanzado ocho metros, y todavía le llevará ventaja. Una ventaja que disminuye sin cesar, pero que siempre está, porque cada vez que Aquiles recorre la distancia que lo separa de la tortuga, esta, en ese lapso de tiempo, se habrá movido algo, por poco que sea, y en consecuencia, lleva siempre la delantera. En conclusión, Aquiles nunca la alcanza.

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Principales fórmulas .. Medios diferenciales o aritméticos

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

169

Capítulo

Síntesis teórica

PROGRESIÓN ARITMÉTICA (P.A.) Representar: • 3 términos • 4 términos

Notación

Suma de términos equidistantes

Término de posición "n"

Término central

Suma de "n" términos

Interpolación

Medios aritméticos

Razón de interpolación

Colegios

170

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Saberes previos 1. Calcular el número que continúa en las sucesiones:

• 2; 7; 12; 17; 22; ... • 3; 1; –1; –3; ...

2. Efectuar la suma:

• S = 1+2+3+...+20 → S=

• E=2+4+6+...+30 → E=

4. Sea la sucesión: ak=2k+3. Indicar el valor de:

• a1+a2+a3+a4

•

a5 + a10 a2

5. Sea la sucesión: ak=k+1.

3. Resolver:

• 3(x–2)+4(x–5)=2(4x–1) → x=

+ • x + 1 + x–1 = 2 (x 3) → x= 3 2 5

¿Qué lugar ocupa el número 99?

Aplica lo comprendido 1. Sea la progresión aritmética: ÷ a1.a2.a3. ... .an Relacionar las columnas correctamente.

3. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Razón

a1+an 2

Número de términos

an–a1 +1 r

Suma de términos

2a1+(n–1)r .n 2

Término central

a3 – a 2

2. Calcular el vigésimo término en cada una de las siguientes progresiones.

• ÷ 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ...

• ÷ 81 ; 77 ; 73 ; 69 ; ...

• El décimo término de una P.A. es 57, y la razón es 5. Entonces el primer término es 9 ...................................................... ( ) • En una P.A. el tercer término es 18 y el séptimo término es 30. Entonces la razón es 6......... ( )

4. En la P.A.: '4; 7; 10; 13; ... Calcular:

• a2013 – a2011

• La suma de los 10 primeros términos.

5. Calcular la razón de una P.A. si se sabe que: a8 = 19 y a13 = 44

Aprende más 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en la P.A. de término general: an=6n – 5.

1. Relacionar correctamente: ÷2; 5; 8; ...

a15=71

÷2; 6; 10; ...

a15=58

÷1; 6; 11; ...

a20=39

÷1; 3; 5; ...

a20=59

www.trilce.edu.pe

• La razón es –5 ........................................ ( )

• Los tres primeros términos suman 20....... ( )

• Todos sus términos son positivos............. ( )

Cuarto año de secundaria

171

Capítulo

3. Completar correctamente:

• Si la ............ es negativa, la P.A. es decreciente. • A los números que se ubican entre otros dos para formar una P.A. se les llama ................ • La suma de los términos .......... es el doble del término central.

4. En la P.A.: ÷3; 8; 13; 18; ... Calcular el lugar que ocupa el número 53. a) 13º b) 10º c) 18º d) 15º e) 11º 5. Calcular "x" en la P.A.: ÷(x – 2) ; (2x+6) ; (4x+10); ...

a) 6 d) 8

b) 4 e) 5

c) 7

6. Calcular la razón de una P.A., si se cumple que el cuarto término es 10 y el décimo es 4.

a) – 6 d) – 3

b) – 2 e) – 1

c) – 4

7. En la P.A.: ÷12 ; x ; y ; z ; 29 calcular: x+2y+z

a) 66 d) 78

c) 74

8. En la P.A.: ÷ 1 ; x ; 1 ; ... 3 2 calcular el cuarto término. 7 b) 5 c) 1 a) 12 12 6 7 e) 5 d) 6 6 9. En la P.A.: ÷7 ; x ; y ; z ; 21 calcular la razón.

b) 2,4 e) 1,6

c) 3,5

10. Calcular el término siguiente en la P.A.: ÷(3x – 5) ; (4x+6) ; (6x+10) ; ...

a) 60 d) 68

b) 70 e) 80

c) 58

11. Calcular la suma de los 15 primeros términos de una P.A. cuyo término enésimo es: 4n+1.

a) 420 d) 372

b) 480 e) 515

c) 495

12. La suma del cuarto y décimo término de una P.A. es 60 y la relación del segundo y décimo término es como 1 es a 3. Hallar el primer término. a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 9 13. En una P.A. el término de lugar "m" es "n" y el término de lugar "n" es "m". Calcular la razón.

b) 84 e) 82

a) 2,5 d) 1,8

a) 6 d) – 3

b) – 1 e) – 4

c) – 2

14. Un alpinista escala una montaña de 5700 m de altura. En el transcurso de la primera hora alcanzó una altura de 800 m; mientras que durante cada hora siguiente subió a una altura de 25 m menor que en la precedente. ¿Cuántos metros ascendió durante la última hora en que alcanzó la cima? 15. Una deuda se paga en cuotas que conforman una progresión aritmética. El primer pago realizado es S/.31 y el último S/.94. Si la suma que se debía es igual a S/.625, determinar el incremento que se realizó en cada pago.

Practica en casa 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en la P.A.: ÷ (3x–7); (4x+1); (6x–1).

1. Relacionar correctamente:

Colegios

172

÷ –4; –1; 2; ...

a8=31

÷ 6; 2; –2; ...

a6=31

÷ 1; 7; 13; ...

S5=10

÷ 3; 7; 11; ...

S5=–10

TRILCE

• • • •

La razón es 10 ....................................... ( ) El cuarto término es 76 .......................... ( ) El valor de "x" es 10 .............................. ( ) El primer término es 23.......................... ( )

Central: 6198-100

Álgebra 3. Completar:

• Si la razón es positiva, la P.A. es ..................... • Se llama ................. a la diferencia de dos términos consecutivos. • La suma de todos los términos de una P.A. se puede hallar multiplicando el término ......... por el número de términos.

10. ¿Cuánto es la suma de los 25 términos de una P.A., cuyo primer término es 4 y la razón es 10? 11. Una P.A. de 30 términos tiene por primer término 200 y por suma 5130. ¿Cuánto valen la razón y su último término?

4. En la P.A.: ÷2; 6; 10; 14; ... calcular el vigésimo término.

12. Hallar la suma de los 25 primeros términos de la P.A.: ÷ 2 ; 11 ; 16 ; ... 5 15 15

5. En la P.A.: ÷1; 5; 9; 13; ... calcular la suma de los 15 primeros términos.

13. Hallar el número de términos y la suma de ellos, de una P.A. cuya razón es 3, su primer término es 6 y su último término 123.

6. En la P.A.: ÷2; x; y; 23; ... calcular la razón. 7. Hallar el término de lugar 120 de la progresión aritmética: ÷ –8; –3; 2; 7; 12; ...

14. No pudiendo cancelar una deuda de S/.12 950, Mathías le propone a su acreedor pagarle del siguiente modo: S/. 600 al final del primer mes y cada mes siguiente S/.50 más que el anterior. ¿Cuál será el importe del último pago?

8. Hallar el término de lugar 26 de la P.A.: ÷ 2 ; 7 ; 5 ; ... 3 6 3

15. Un peón debe llevar una carretilla de arena al pie de cada uno de los 9 árboles que están a lo largo lado de una calzada; los árboles tienen entre sí 8 m de distancia y el montón de arena está a 10 m antes del primer árbol. ¿Cuánto habrá recorrido después de haber terminado su trabajo y vuelto la carretilla al montón de arena?

9. En una P.A., el término de lugar 40 es 59 y el término de lugar 27 es 33. Hallar el primer término y la razón de dicha progresión.

Tú puedes 1. Indique el número de términos de una P.A., si el primer término es (m – 2), la razón (2 – m) y la suma de términos (10 – 5m). a) 10 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 2. Indicar la relación correcta de la P.A.: ÷(m – n)–1 ; (2m)–1 ; (m – p)–1.

a) n=mp

b) m=n+p

c) m=np

c) m2=np

e) m=(np)2

2 2 3. Calcular: b +2 c de la P.A.: ÷ (a+b)–1 ; (b+c)–1 ; (a+c)–1. a

a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 4 e) 0,25 4. La suma de los seis términos centrales de una P.A. creciente de 16 términos es 141 y el producto de los extremos es 46. ¿Qué lugar ocupa en la progresión el número 7? a) 5º b) 7º c) 9º d) 2º e) 3º 5. Si "Skn" es la suma de los "kn" primeros términos de una P.A., calcular el valor de: M=

S9n S5n - S4n

a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15 www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

173

Capítulo

Progresión geométrica (P.G.) El premio al inventor del ajedrez La famosa leyenda del inventor del Ajedrez, dice que el Rey de Persia, aburrido en los ratos muertos, de repente quedó fascinado por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que quedó tan agradecido que el Rey ofreció al matemático oriental lo que deseara. El inventor contestó: -Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4 por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero. (Es decir la suma de los 64 primeros términos de una P.G. de razón 2 y cuyo primer término es 1). El rey se mofó pensando la minucia que le estaba pidiendo y, solicitando a su visir que preparara el premio solicitado, hizo los cálculos y se dio cuenta que era imposible cumplir la orden, pues la suma de los granos de las 64 casillas era nada menos que la cantidad de: 18.446.744.073.709.551 616 granos. (En cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28 220 granos, por lo que el resultado sería de unas 653 676 260 585 toneladas; que ocuparían un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado. Para producir tal cantidad de trigo se necesitaría estar cultivando la Tierra (incluidos los mares), durante ocho años.

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Principales fórmulas .. Medios geométricos o proporcionales

Colegios

174

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

PROGRESIÓN GEOMÉTRICA (P.G.)

Producto de términos equidistantes

Término central

Suma de términos

Producto de términos

Término de posición "n" Limitada

Ilimitada

Interpolación

Medios geométricos

Razón de interpolación

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

175

Capítulo

Saberes previos 1. Indicar el número que continúa en las sucesiones:

4. Sea la sucesión: ak=2k–1 Calcular:

• 1 ; 1 ; 1 ; ... 4 2

• a1+a3

• 9 ; 3 ; 1 ; ...

•

a8 a6

2. Si: Sk = k2+1, hallar:

• S4

• S5 – S2

5. Dada la sucesión: bk=31–k , indicar el lugar que ocupa el número 1 . 729

3. Resolver:

• (x+3)2 – (x – 3)2 = 48

• (x+2)2+(x – 2)2 = 8x

Aplica lo comprendido 1. Sea la P.G.: ÷÷ t1 : t2 : t3 : ... : tn Relacionar las columnas correctamente. Término central

Suma de los "n" primeros términos

Razón de interpolación

3. Indicar verdadero (V) o falso (F):

–1 q–1

m+1

tn t1

t1.tn

2. Calcular el sexto término de cada una de las progresiones:

• ÷÷ 3 : 6 : 12 : 24 : ... 2 • ÷÷ : 1 : ... 3

Colegios

176

TRILCE

• En la siguiente progresión geométrica: ÷÷ 512 : 256 : x : 64 : y, el valor de "x+y" es igual a 160 ......................................... ( ) • En una P.G., el quinto término y el segundo son 81 y 24 respectivamente; entonces la 2 razón es: ............................................ ( ) 3 4. Calcular:

S= c1– 1 m + c 1 – 1 m + c 1 – 1 m +... 2 3 4 9 8

5. Calcular la razón en una P.G., si se cumple que: t9=3 y t14=96

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 8. En la P.G.: ÷÷ 48; 72; 108; ... Calcular el lugar que ocupa el número 243.

1. Relacionar correctamente: ÷÷ 64; 32; 16; ...

a5=5, 3

÷÷ 24; 12; 6; ...

a8=0,5

÷÷ 16; 24; 36; ...

a6=0,75

÷÷ 27; 18; 12; ...

a5=81

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las sumas de infinitos términos. S = 1+ 1 + 1 +... 2 4 E = 1+ 1 + 1 +... 3 9

• S>E ....................................................... ( )

• S<E ....................................................... ( )

• S+E= 7 ................................................. ( ) 2

3. Completar correctamente:

• Si la ........ es menor que 1 y mayor que 0, la progresión geométrica es decreciente. • La P.G. es alternada cuando la razón es menor que .............. • El ....... de los términos equidistantes es constante.

4. Calcular "x" en la P.G.: ÷ ÷ (2x – 6) ; ( 3 x) ; (2x+6); ... a) 3 b) 6 c) 7 d) 4 e) 5 5. Calcular la razón de una P.G., si se cumple que el cuarto término es 96 y el noveno es 3.

a) 0,5 d) 1

b) 0,2 e) 2

c) 0,4

6. En la P.G.: ÷÷ 16 ; x ; y ; z ; 81 calcular: x+y+z.

a) 96 d) 128

b) 84 e) 114

c) 74

7. En la P.G.: ÷÷ 32; x; y; z; 162 calcular la razón.

a) 3,5 d) 1,8

www.trilce.edu.pe

b) 2,4 e) 1,6

c) 1,5

a) 6º d) 7º

b) Ninguno e) 5º

c) 8º

9. Calcular el término siguiente en la P.G.: ÷÷ (x – 1) ; (2x+1) ; (7x – 1) ; ...

a) 80 d) 68

b) 81 e) 70

c) 64

10. En la P.G.: ÷÷ 18 ; x ; y ; z ; 88 calcular: x.z – y2.

a) 6 d) 1

b) 4 e) 0

c) 2

11. Una progresión geométrica admite cuatro términos, siendo la suma de sus extremos 27 y la de los centrales 18. Calcular la suma de cifras del mayor de estos números.

a) 3 d) 6

b) 4 e) 7

c) 5

12. Tres números positivos en progresión aritmética son aumentados en 3; 3 y 7 respectivamente, formando una progresión geométrica de suma 28. ¿Qué números son?

a) 3; 5 y 7 d) 1; 5 y 9

b) 2; 6 y 10 e) 3; 7 y 11

c) 3; 6 y 9

13. La diferencia del tercer término con el sexto de una progresión geométrica es 26 y el cociente 27. Calcular el primer término.

a) 245 d) 342

b) 234 e) Ninguna

c) 243

14. Se deja caer una pelota desde una altura: h=270m. En cada rebote la pelota se eleva 2/5 de la altura de la cual cayó la última vez. ¿Qué distancia total recorre la pelota hasta quedar en reposo? 15. Se tiene una circunferencia de radio "R"; dentro de ella se dibuja una circunferencia concéntrica y de radio la mitad de la primera; luego se dibuja otra circunferencia concéntrica y radio la mitad de la segunda y así indefinidamente. Si se suman las áreas de todas las circunferencias, se obtiene la misma área de una circunferencia cuyo radio sería: Cuarto año de secundaria

177

Capítulo

Practica en casa 1. Relacionar correctamente respecto a las siguientes sumas límite. M=8+2+ 1 +.. 2

32 3

N=8+4+2+1+...

128 15

P=8+1+ 1 +... 8

Q=8+ 1 + 1 +... 2 32

64 7

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

• Si la razón es mayor que 1, la progresión geométrica es creciente ..........................( ) • Si la razón está entre –1 y 1, la P.G. se aproxima a cero .....................................( ) • La suma límite se puede calcular para cualquier valor de la razón .....................( ) • Las P.G. siempre crecen al infinito .........( )

3. Completar respecto a la P.G.: ÷÷ (x – 8) ; (x – 4) ; (x+8)

• La razón equivale a ............... • El cuarto término equivale a .................... • La suma de los .......... primeros términos equivale a 80.

4. En la P.G.: ÷÷ 0,25; 0,5; 1; 2; ... , calcular el décimo término. 5. En la P.G.: ÷÷ 1; 3; 9; 27; ... Calcular la suma de los seis primeros términos. 6. En una progresión geométrica, el primer término es 6 y el término de lugar 15 es 54. Hallar el octavo término.

9. La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente, es el doble de la suma de los cinco primeros términos. Hallar la razón. 10. Si el segundo y el sexto término de una P.G. son 24 y 96, ¿cuál es el cuarto término? 11. El primer término de una progresión geométrica es 1 y la razón es 2. Hallar el producto de los siete primeros términos. 12. Una hoja de papel se parte por la mitad; después se superponen las dos mitades y se vuelven a partir por la mitad, y así sucesivamente. Después de ocho cortes, ¿cuántos trocitos de papel habrá? 13. La suma de los siete primeros términos de una progresión geométrica creciente es 2186, y la razón del séptimo término sobre el segundo término es 243. Hallar el término de lugar 4. 14. Se dibuja un triángulo equilátero de lado "m"; si se unen los puntos medios de los lados, se forma otro triángulo equilátero. Al efectuar la misma operación indefinidamente, la suma de los perímetros de todos los triángulos es: 15. Calcular la suma de las áreas de todos los cuadrados que se forman en la figura, al unir los puntos medios de los lados. b

7. Hallar la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: ÷÷ 4 ; 2 ; 1 ; ... 3 3 3 8. En una progresión geométrica el primer término es –5 y la razón es –1/5. Hallar el término de lugar 10. Colegios

178

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Si: "x"; "y" ; "z" son términos consecutivos de una P.G. creciente, indicar el valor de "z" en el sistema: )2x + y + z = 40 3y – z = 10 a) 16 b) 12 c) 20 d) 32 e) 15 2. En una P.G., la suma de los seis primeros términos es igual a nueve veces la suma de los tres primeros términos. Hallar la razón de la progresión. a) 3 b) 2 c) 5 d) 4 e) 6 3. Indique el valor de:

1 + 1 + ... + 1 281 282 2100

1 –1 b) 1 –1 c) 2100 –1 d) 220 –1 e) 280 –2 a) 100 80 80 100 2 2 2 2 2101 4. Encontrar una P.A. y una P.G., si se sabe que los primeros términos son iguales a 2, tienen el mismo tercer término y el undécimo término de la P.A. es igual al quinto término de la P.G. Indicar la suma de las razones de ambas progresiones. a) 8 b) 2 c) 3 d) 5 e) 6 2 3 4 5. Calcular: S = 1+2 c 1 m + 3 c 1 m +4 c 1 m +5 c 1 m +... 2 2 2 2

a) 2

www.trilce.edu.pe

b) –4

c) –6

d) 6

e) 4

Cuarto año de secundaria

179

Capítulo

Logaritmos I Música y logaritmos Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el número de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino que representan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes. Supongamos que la nota do de la octava más baja, que representaremos por cero, está determinada por "n" vibraciones, el do de la m-ésima octava producirá "n.2m" vibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimos numerando las notas, tendremos que sol será la 7a, la la 9a, la 12a será de nuevo do, en una octava más alta, etc. Como en la escala cada nota tiene 12 2 más vibraciones que la anterior, entonces el número de estas en cualquier tono se puede expresar con la fórmula: Npm=n.2m(12 2 )p. Tomando logaritmos: p logNpm=logn+(m+ )log2 12 Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad y pasando los logaritmos a base 2, se tiene que: p logNpm = m+ 12 En el tono sol de la tercera octava: 3+ 7 ≈3,583; donde 3 es la característica del logaritmo del número de 12 vibraciones y 7/12, la mantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de vibraciones es 23,583, que es 11,98 veces mayor que las del tono do de la 1a octava.

En este capítulo aprenderemos .. Definición .. Propiedades fundamentales .. Cambio de base .. Regla de la cadena .. Otras definiciones

Colegios

180

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

LOGARITMOS I

Definición

logbA

Cologaritmo =A Antilogaritmo

Logaritmo del producto Cambio de base c

logbA

propiedades

logbc

Logaritmo del cociente

Logaritmo de una potencia

Logaritmo de una raíz

Regla de la cadena

Logb M =Log nMn b

Logb M =Log n

Log nM = 1 Log M b b n

Log n

www.trilce.edu.pe

M =n Log M b

Cuarto año de secundaria

181

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver:

4. Resolver:

• 3x= 1 → x= 3

23 = 512 → x =

• 4x=8 → x=

2. Resolver:

5. Resolver:

• x2=7 → x=

• x2 – 20=0 → x=

• 2x–1=49 → x =

• 52x–5 = 125 → x=

3. Resolver:

• xx = 318 → x=

• xx = 16 → x=

Aplica lo comprendido 1. Relacionar las columnas correctamente, siendo: A>0 , B>0 , b>0 ∧ b ≠ 1 logb(AB)

logb( A ) B

logbA–logbB

bx=A

logbA+logbB

logbA

logbA=x

2. Hallar "x" en cada una de las ecuaciones:

• log2x=4

• log2(2x – 1)=3

3. Indicar verdadero (V) o falso (F).

• log44=0 ............................................ ( )

• log91=9 ............................................ ( )

• log264=8 ............................................ ( )

4. Calcular: S = log2(log24) + log3(log327) 5. Calcular: M = log100 + Ln 1 + log381 e

Aprende más 1. Relacionar correctamente: Es la base del logaritmo natural Es el logaritmo decimal de 10 Es el logaritmo decimal del logaritmo natural del número "e" Al sumar logaritmos decimales se obtiene un logaritmo en base Colegios

182

TRILCE

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresA

Cero

Diez

"e"

Uno

ponda en: E = a

logbc

• Si E=1, entonces: a=1 ó c=1..................( )

• Si E= c , entonces: a=b2 .......................( )

• Si E= a , entonces: c= b ......................( )

• Si "c" es igual a "b2", el resultado es "a2".....( )

Central: 6198-100

Álgebra 3. Completar:

11. Calcular:

6log53 + 3log56 1 + log 3 5 6

• En una multiplicación de logaritmos, se puede cancelar la ..................... de un logaritmo con el número de otro logaritmo. • En el logaritmo natural y el logaritmo decimal no se coloca la ............... • Al dividir el logaritmo natural de "a" entre el logaritmo natural de 10 se obtiene el logaritmo .................. de "a".

4. Calcular: log1000+Ln e +log0,1 – Lne2

a) 0,2 d) 0,5

b) 3 e) 1

c) 4

1 b) 1 c) 1 a) 7 2 4 1 e) 1 d) 3 5

12. Calcular: 3 + log 8 + 82 + log 4 4 8log 4

5. Calcular: log86 . log310 . log64 . log3

2 b) 3 c) 3 a) 3 2 5

13. Calcular:

2 e) 5 d) 9 3 6. Calcular: log89.log274 log1625.log12532 15 b) 13 c) 3 a) 7 2 4 8 e) 5 d) 15 7 7. Calcular: log276.Ln81.Log36e 2 b) 3 c) 2 a) 3 2 5 5 e) 5 d) 9 2

a) 2

b) 3

d) 5

e) 1

a) 8 d) 5

b) 13 e) 10

c) 134

1 1 1 + + 1 + log4 36 1 + log2 72 1 + log18 8

a) 3 d) 4

b) 2 e) 0,5

c) 1

14. La magnitud de un terremoto en la escala de Richter se calcula mediante la fórmula: x M(x) = log( ) x0 Donde: x → Lectura del sismógrafo x0 = 10–3 → Lectura referencial

c) 4

9. Calcular: (2+log27)(2+log72)–(log249+log74)

b) 130 e) 127

Responder:

1 – 1 8. Calcular: log50 5 log2 5

a) 128 d) 135

c) 14

10. Si x=log53, calcular: log153. 1 1 b) 1 c) a) x–1 x x+1

• Si se registra una lectura de 102, indicar la magnitud del movimiento telúrico. • Si se produce un terremoto de grado 6 en la escala de Richter, indicar la magnitud de la lectura del sismógrafo.

15. La demanda "D" de un producto se relaciona con su precio de venta "P" mediante la ecuación: logaD = logaC – k.logaP Donde "a", "C" y "k" son constantes positivas.

• Despejar "D" de esta ecuación. • Para un precio de S/.10 con: C=1000 y k=2, indicar el valor de la demanda.

x+1 d) x e) x x+1 www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

183

Capítulo

Practica en casa 1. Relacionar correctamente:

8. Calcular: (1+log53)(1+log35) – log53 – log35

log816

–2

9. Calcular:

log8127

–3

log0,2125

4 3

log 4 log7 2 log5 18 3 + + log3 12 log7 12 log5 12

log0,01

3 4

10. Si x=log23, calcular: log62.

2. Indicar verdadero (V) o falso (F):

11. Calcular:

• El (log20,5) es negativo .......................... ( )

24 + log34 + 42 + log32 6 log 16 8 3

• El (log0,10,01) es positivo ....................... ( )

• No existe [log(log10)] ............................ ( )

12. Calcular:

• No existe [log(log0,1)] ........................... ( )

36log35 log34 5

3. Completar correctamente:

• La base del logaritmo decimal es .................

• El logaritmo de la .............. siempre es cero.

• El logaritmo equivale a 1 cuando la ............ y el ........... son iguales.

13. Calcular: 1 1 1 + + 1 + log x yz 1 + log y xz 1 + log z xy

14. Si "P" representa el precio de venta de un artículo, y "x" es la demanda correspondiente

4. Calcular: log0,25+log0,52+log0,254

en cantidad vendida por día, entonces la relación entre "P" y "x" se puede expresar, algunas veces, mediante: P=P0e–ax , donde

5. Calcular:

"P0" y "a" son constantes positivas. Exprese "x"

log 0, 2 + log4 0, 5 25 log2 0, 25 + log5 0, 04

como función de "P".

6. Calcular:

15. La ley de Pareto para países capitalistas, afirma

log 8 + log 3 81 + log 4 64 8 9 2 3

que la relación entre el ingreso anual "x" y el número "y" de individuos cuyo ingreso es mayor que "x" es: logy=logb – klogx, donde

7. Calcular:

"b" y "k" son constantes positivas. Despeje "y"

1 1 + log2 6 log108 6

de esta ecuación.

Colegios

184

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Tú puedes 1. Si: xy.yx = (xy)2 con x ≠ y, reducir:

y x + log y x + 1 log x y + 1

a) 0,5 b) 1 c) 2 d) 0 e) 0,25 2. S log1428 = a, calcular: log4916. 2 (a–1) b) 2 (1–a) c) 2–a 1–a d) a–2 e) a) a 2–a 2–a 2–a 1–a 1–y log c x m + log c m +y – y 1 1 3. Si x2+y2=1, reducir: . x–y+1 2 log c m x+y+1

a) 2

4. Calcular: log(log

a) –36

b) 1 63)

c) 0,5

d) 0,25

e) 4

c) 3

d) 6

e) 9

(log936) b) –1

5. Si logaba=3, calcular: logab( a 3 b ). 1 b) 2 c) 2 d) 5 a) 6 5 3 6

www.trilce.edu.pe

e) 1

Cuarto año de secundaria

185

Capítulo

Logaritmos II Los logaritmos y la intensidad del sonido La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce, medida en watts por metro cuadrado. La intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbral de audibilidad) es aproximadamente 10–2 W/m2. La

sonoridad de un sonido se define como I L = 10log ( –2 ) , donde "I" es la intensidad y "L" se mide 10 en decibelios. Los escalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. forman en nuestro oído una progresión aritmética; en cambio la energía de estos sonidos constituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, una conversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87 decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en voz alta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superior a 80 decibelios es perjudicial.

En este capítulo aprenderemos .. Ecuaciones logarítmicas .. Aplicación de propiedades .. Otras aplicaciones

Colegios

186

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Síntesis teórica

LOGARITMOS II

Ecuaciones logarítmicas

logbx=N ↔ x=bN; b>0; b≠1; x>0

logbx = logby

logbxx = logby

x=y

xx = y

cologbx=–logbx

www.trilce.edu.pe

Lnx=y → ey = x

ax = m

x = logam

antilogbx=bx

Cuarto año de secundaria

187

Capítulo

Saberes previos 1. Resolver:

4. Resolver:

• 3(x – 1)+2(x – 2)=4(x – 3) → x=

• 4x – 9(2x) + 8 = 0 → x = 1

• x–1 – x–2 = x–3 → x= 3 4 6

• 9x = 4(3x) – 3 → x1=

; x 2=

5. Resolver:

2. Resolver:

• (x – 4) (x – 1) = 10 → x1=

• x(x – 2) = 15 → x1=

; x 2=

• 32x–10 = 7x–5 → x=

• (3x+2x)(3x–2x)=0 → x=

3. Resolver:

• 4x–1 . 2x–3 = 16x–5 → x=

• 2x–8 = 4x → x=

Aplica lo comprendido

3. Indicar verdadero (V) o falso (F), si: f(x)= 4 +log4x 3

log3 3

• f(1)=0 ................................................. ( )

antilog5(log56)

1 2

• f(16)=

lne5

• f(64)=4 ................................................. ( )

1. Relacionar las columnas correctamente: 2

log25

+log663

2. Hallar "x" en cada caso:

4. Resolver:

• log3(5x+1)=4 →

10 ............................................. ( ) 3

logx+log(x – 1)=log6

x= 5. Resolver:

• x=log7(3

Colegios

188

TRILCE

log37

) →

log4log2(x – 1)=0

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Relacionar correctamente: logbx=a

x= b a

logxb=a

x=ab

logax=b

x= a b

logxa=b

x=ba

8. Indicar el producto de las soluciones al resolver: log23x=4

2. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corresponda en: logb(logax)=c.

• • • •

Si: c=0, entonces: x=a........................... ( Si: c=1, entonces: x=ab ........................ ( Si: bc=1, entonces: x=a ........................ ( Si: c=–1 y b=2, entonces: x= a .......... (

) ) ) )

a) 3 d) 6

b) 4 e) 1

c) 2

9. Indicar el producto de las soluciones al resolver: (Lnx+1)Lnx=90 1 a) e

c) e2

b) e

d) e3

e) 1

3. Completar:

10. Indicar la suma de las soluciones al resolver:

• En una igualdad de dos logaritmos, se igualan los números siempre y cuando tengan la misma ................... • El cologaritmo y el logaritmo en la misma base se diferencian solo en el ............... • El antilogaritmo decimal del logaritmo decimal del número "p" es igual a ............ 4. Calcular x + 1 , si: log3(log2x)=1

a) 1 d) 5

b) 3 e) 2

c) 4

log32

a) 4 d) 5

b) 3 c) 1 e) 2

a) 2 d) –3

www.trilce.edu.pe

log2x – logx2 = 15 a) 0,1 d) 100

b) 0,001 e) 10

c) 0,01

b) 5 e) 4

b) –1 e) 1

12. Indicar la suma de las cifras de la solución de: log3(log2x – 1) = 1

c) 2

7. Calcular log9(0,5x) en: log36=log9(2x)

11. Indicar la menor solución al resolver:

=antilog32

log636–colog3x=antilog23 a) 6 d) 3

10 e) 26 d) 3 5

log2x

6. Calcular "log3x", si:

= 81

17 b) 82 c) 5 a) 4 9 2

5. Calcular log3(x+2), si:

log3x

c) –2

a) 11 d) 7

b) 9 e) 8

c) 10

13. Calcular "x" al resolver: 10logx – 3 = 2,012

a) 2,032 d) 2,015

b) 2012 e) 2015

c) 2009

Cuarto año de secundaria

189

Capítulo

14. La potencia de entrada (Pi) de un amplificador es de 1w (watt); entonces:

3 Calcular la potencia de salida (P0), si la ganancia en decibelios (db) es de 10 db. Usar la fórmula:

G=10.log(

15. En la figura siguiente se presenta la gráfica: f(x)= Lnx ; (x>0). El valor máximo de "f(x)" se x tiene cuando: x=e; responder: y Lnx y= x

P0 ) Pi

0,1

• G = Ganancia (db) • P0 = Potencia de salida (watt) • Pi = Potencia de entrada (watt) 3 Se considera "volumen moderado" un volumen de 80 db. Si un amplificador tiene P la relación: 0 igual a 1 000 000, indicar si Pi excede o no el volumen moderado.

3 Los enteros 2 y 4 tienen la rara propiedad de que: 24=42. Demostrar que si: xy=yx, para números reales positivos "x" e "y", entonces: Lnx = Lny . x y

3 Emplee la gráfica de "f" para explicar por qué muchos pares de números reales satisfacen la ecuación: xy=yx.

Practica en casa 1. Relacionar correctamente: log4x= 5 2

e10

Ln(logx)=0

0,2

log5x=–1

log375 – log35 = 1 + log3x 6. Calcular " x + 9 ", si: log3(log4(log2x))=0

log(Lnx)=1 D 32 2. Indicar verdadero (V) o falso (F) en: logba=c

• • • •

Si: b=1, entonces: c=1........................... ( Si: a=1, entonces: c=0 .......................... ( Siempre "a" debe ser positivo ................. ( Siempre "c" es positivo ........................... (

7. Calcular "log(x – 10)", si: eLn8+antilog2=10logx+colog100 ) ) ) )

3. Completar correctamente:

• La .............. de logaritmos es igual al logaritmo del producto de los números. • "e" es la base del logaritmo ................ • El .............. es un exponente.

4. Calcular "a+b+c", si: log3a = 2 ; log4b = 1 ; log6c = 0

8. Calcular "log2(x+2)", si: colog2antilog26+log3antilog3x=logx+cologx 9. Indicar la menor solución obtenida al resolver: 2+log3x2 = log372 – log32 10. Indicar el producto de las soluciones al resolver: (logx+2)logx=3

5. Calcular "x", si: Colegios

190

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra 11. Indicar la suma de las soluciones al resolver: x

log2x

= 16

12. Indicar el producto de las soluciones al resolver:

14. La temperatura "T" en ºC de un objeto en el momento "t" se expresa: T=75.e–2t Donde: t : Horas T : Temperatura en ºC expresar "t" en función de "T". 15. La energía "E(x)" de un electrón, después de pasar a través de un material de espesor "x", x – está expresada por: E(x)=E0e x0 , donde "E0" es la energía inicial y "x0" la longitud de radiación; entonces:

log23x – log3x3 = 10

13. Calcular "x", al resolver:

100logx – 2 = 1,44

• Expresar en términos de "E0", la energía de un electrón al pasar a través del material de espesor "x0". • Expresar en términos de "x0", el espesor al cual el electrón pierde el 99% de su energía inicial.

Tú puedes 1. Hallar "x" en: logx 4 125 = 3 . 2 1 b) a) 2 c) 5 5

d) 5

e) 25

2. Calcular el valor de "x" en: 3logx81=x. 1 d) 1 e) 1 a) 1 b) 3 c) 3 9 27 3. Resolver: 4x=2(14x)+3(49x).

log 7 log 3 b) log27 c) d) log 2– log 7 log 3 + log 2

a) log73

e) log3

10x + 10y = a 4. Dado el sistema: * , calcular: 10x – 10y. x – y = log c a + b m a–b

a) 2

b) a

c) b

d) 2b

e) a+b

b) logb(logac)

c) loga(logca)

d) logacb

e) log(logbac)

5. Resolver: ab =c

a) loga(logbc)

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

191

Capítulo

Repaso IV El último teorema de Fermat El teorema en cuestión establece que para: n>2, la ecuación: xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas (para n=2 se trata del teorema de Pitágoras, que sí tiene soluciones enteras: son las llamadas "ternas pitagóricas"). En realidad no se trataba de un teorema, sino una conjetura, porque Fermat nunca publicó una demostración. En un libro sobre la obra de Diofanto escribió que había encontrado una solución maravillosa del enunciado, tras lo que añadió: "este margen es demasiado estrecho para contenerla". La gracia del asunto estriba en que estamos hablando del siglo XVII y en que durante más de trescientos años los más grandes matemáticos buscaron sin éxito la dichosa demostración, hasta que, por fin, en los años noventa del pasado siglo XX, Wiles y Taylor lo consiguieron utilizando unas matemáticas inimaginables en la época de Fermat. Eso sí; la cantidad de buenas matemáticas que se han desarrollado por culpa del comentario "al margen" es extraordinaria. De lo que siempre nos quedara la duda es de si Fermat realmente había encontrado una "maravillosa demostración" o simplemente se trató de una broma.

En este capítulo aprenderemos .. Funciones I .. Funciones II .. Progresión aritmética .. Progresión geométrica .. Logaritmos I .. Logaritmos II

Colegios

192

TRILCE

Central: 6198-100

Álgebra

Cruci - álgebra

* Completa el crucigrama algebraico. 1 3

4 6

7 5

3 2 4

6 7

HORIZONTAL

VERTICAL

1. Es el logaritmo del inverso multiplicativo de un número. 2. Se define mediante: antilogbN = bN. 3. Su gráfica es una parábola. 4. Es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de una función o los valores de: y = F(x) 5. Es el logaritmo donde no es necesario colocar su base, llamado también logaritmo de Briggs. 6. Gráficas cuya forma es una "V". 7. Son igualdades donde la variable está incluida o forma parte de un logaritmo.

1. Es aquella sucesión en la cual cualquier término, después del primero, es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante. 2. Es aquella suma de términos en progresión geométrica cuya razón está entre 0 y 1 y su número de términos es ilimitado. 3. Son logaritmos cuya base es el número trascendente "e" (e = 2,718281...). 4. Es aquella sucesión en la cual cualquier término, después del primero, es igual al anterior sumado con una cantidad constante. 5. Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de una función o los valores de "x". 6. Gráficas cuya regla de correspondencia es: F(x)= x 7. En una progresión aritmética se calcula así:

www.trilce.edu.pe

a n + a1 2a + (n–1) r mn j n= c 1 2 2 Cuarto año de secundaria

193

Capítulo

Aplica lo comprendido 1. Hallar el dominio de la función: –15+8x – x2

f(x) =

6. Obtener el valor de:

a) x∈[1;2 ] d) x∈[3; 5]

b) x∈[2; 3] e) x∈[3; 6]

c) x∈[3; 4]

a) {–11; 1; 22} c) {0; 1; 22} e) {1; 13; 22}

b) {–3; 1; 22} d) {–8; 0; 27}

Calcular:

f(85)+f(31)+f(7) g(100)+g(1000)–g(10)

a) 0 d) 3

b) 1 e) 4

e) x

y x

a) 8 d) 13

Colegios

194

TRILCE

a) 42 d) 162

b) 152 e) 216

a) 3 d) 13

b) 5 e) 11

y x

c) 8

H(x)=6–|x–2| G(x)=4

b) 10 e) 14

c) 144

10. Calcular el área de la región sombreada limitada por las funciones indicadas.

5. Se tiene la función: F(x)=ax+6; si la gráfica pasa por el punto (2; 8), calcular: F(7)

c) 13

9. Sabiendo que el conjunto de pares ordenados: F={(3; a2), (3; 1), (5; 4), (5;a+b), (b; 4)} Representa una función, indicar la suma de elementos del dominio.

b) 12 e) 16

c) 2

4. Graficar: F(x)=2x+3

a) 11 d) 22

8. Indicar el quinto término de una P.G. creciente de siete términos, si la suma de los tres primeros es 26 y la suma de los tres últimos 2106.

1 1 b) 2 c) 3

7. Tres números consecutivos de una progresión aritmética creciente tienen como suma 42 y como producto 2688. Hallar el tercer término.

3. Sea: f(x)=log3(x – 4) y g(x)=logx

a) 1

1 1 d) 4 e) 5

2. Sea la función "f" cuya regla de correspondencia es: f(x)=x3 – 2x+1; calcular el rango de "f", si el Dom(f)={–2; 0; 3}.

S = 0,25+(0,25)2+(0,25)3+...

c) 11

a) 24 u2

b) 32

d) 16

e) 20

c) 48

Central: 6198-100

Álgebra

Aprende más 1. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las siguientes proposiciones: 2.

• • • •

logaM+logaN=loga(M.N) ....................... ( logaMn=nlogaM ................................... ( loga1=a ................................... ( logaM – logaN=loga(M – N) .................(

) ) ) )

5. Si: ÷ (x+y); (4x – 3y); (5y+3x) son tres términos consecutivos de una progresión aritmética, cuál es la relación entre "x" e "y"? x = 1 b) x =2 c) x =3 a) y 3 y y x =5 e) x = 1 d) y y 4

Relacionar las columnas: F(x)=|x| Función valor absoluto F(x)= x Función raíz cuadrada F(x)=ax2+bx+c Función cuadrática F(x)=x Función identidad

6. Si se sabe que: "a"; "a2" y "3a" son tres términos de una P.A., calcular la suma de los 10 primeros términos.

x y

B 45º

a) 11+10a d) 55a

b) 100a+11 c) 111a e) 110a

7. Hallar el valor de "c2", en la P.A.: x

÷ a; b; c; d; e; si se sabe que: a+e=20

a) 400 d) 10

C 45º

45º

b) 100 e) 160

c) 20

D x

3. Calcular el valor de "x" en cada una de las

8. Las dimensiones de un paralepípedo rectangular están en P.A. cuya suma de dichas dimensiones es 30m. Si el volumen del paralelepípedo es de 640 m3, ¿cuánto miden las aristas?

a) 6; 10; 14 d) 4; 10; 16

b) 8; 10; 12 e) 2; 8; 14

c) 2; 10; 11

siguientes ecuaciones: 9. Al resolver la ecuación:

log(x+4)(x3 – x)=log(x+4)(5 – x)x

• log2(5x+1)=4 → x =

• log5(x – 3)=log52+log53 → x =

• log(

2x – 1 )=log3 – log2 → x = x–5

4. ¿Cuántos términos hay que tomar en la progresión aritmética: ÷ –2; 2; 6; 10; 14; ... para que la suma sea 8190?

a) 63 d) 66

www.trilce.edu.pe

b) 64 e) 67

c) 65

Indique su conjunto solución.

a) {–3} d) {–3; 2}

b) {2} e) {–3; 0; 2}

c) {0;2}

10. Luego de resolver la siguiente ecuación: logx2 – log

x (16 )

2 = log x 2 ( 64)

Indicar el producto de sus soluciones.

a) 12 d) 16

b) 17 e) 24

c) 1

Cuarto año de secundaria

195

Capítulo

11. Calcular "x", en: 10 loge ) e5

a) (

d) ( e ) 10

5 ln10

logx

b) (

17. Si "x", "y", "z" son términos consecutivos de una P.A., simplificar:

x1–lnx = e5 e 5ln10 ) 10

e) ( 10 ) e5

c) ( 10 ) e

5loge

4 d) 9

b) log2 e) 5

c) Ln2

F = {(4; a+3), (–2; a), (4; 2a–1)}

Calcular: F(4)+F(–2)

a) 13 d) 10

b) 9 e) 11

e) 1

18. Si la suma de un número infinito de términos de una P.G. decreciente es 2 y la suma de sus 7 8 , hallar la razón. cubos es 511

13. A partir de la función:

x2 (y + z) + y2 (z + x) + z2 (x + y) (x + y + z) 3

1 b) 7 c) 2 a) 9 9 9

Ln 'log c 15 m –2 log c 5 m + log c 16 m1 8 3 27 e

a) e d) 0,47712

ln10

12. Hallar el valor de:

1 b) 1 c) 1 a) 2 3 4 1 e) 1 d) 6 8

c) 8

19. El costo de un producto es igual al número de 14. Dada la función:

productos "x" fabricados. El precio de venta de

Calcular: ab. a) –33 d) 27

b) 18 e) –27

c) –23

regla

• Hallar la función ganancia "G(x)" en términos de la cantidad "x" de productos fabricados.

15. Dada la función "G" con correspondencia: G(x)=x+b

cada uno es de S/.200, entonces:

F={(4; 8), (b; 3), (4; a+b), (5; 9), (5; a2)}

• Hallar la máxima ganancia.

20. El costo de un artículo es igual al número de artículos "x" producidos. El precio de venta de

Calcular "G(2)", si: G(–2) = 1

cada uno es de S/.400, entonces:

a) 6 d) 5

b) 8 e) 9

c) 3

• Hallar la función ganancia "G(x)" en términos de la cantidad "x" de artículos producidos.

16. Sea la función "f" con dominio: {2; 3; 4}y f(x)=x2+1; hallar la suma de elementos del rango de "f(x)".

a) 30 d) 28

Colegios

196

TRILCE

b) 24 e) 26

• Hallar la máxima ganancia.

c) 32

Central: 6198-100

Álgebra

Practica en casa 9. Hallar el dominio de la función "F", si:

1. Resolver: x

log5 (log4 x) log5 x

F(x)= 4 x – 2x – 1 = – colog23

2. Calcular la suma de soluciones de: 9log8x + 2logx8 = 9 3. Calcular el logaritmo en base 16 del logaritmo de 2 2 en base 8. 4. Calcular: E= c

1 1 Ln25 c m 2 + log3 5 mc 1– log45 9 m Ln3

5. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es la raíz positiva de la ecuación: x2–17x–84=0. Siendo el sexto término 15, hallar la razón.

10. Sea la función: F(x)=7 – x2 Calcular: Dom(F) – Ran(F)

11. Sea "F" una función cuyo rango es un conjunto unitario, además: F={(x+y;y), (xy; x–y), (x–y; y), (4y; x–1)}. Hallar la suma de los elementos del dominio de "F". 12. Calcular el valor de "x" que satisface: logx 20 343 = 1 10 13. Determinar la suma de las soluciones de la ecuación: 9

6. Determinar el mayor de los cinco primeros términos en una P.A., sabiendo que la suma de los tres últimos es igual al duplo de los tres primeros, y que la suma de estos cinco términos es 90.

7. Hallar la suma de todos los números de dos cifras que son múltiplos de 3. 8. Dado el conjunto: A={1; 2; 3; 4} y dadas las funciones "F" y "G", definidas de "A" en " " por: F(x)=mx – b G = {(1; a), (1; 7), (2; 5), (m; 6), (4; b), (4; 8)} Calcular: F(2)+a

log9 [log(x2+x+4)]

14. Se quiere construir un jardín de forma rectangular de perímetro 60 m. ¿Cuál sería el área máxima que tendría este jardín?

15. La figura muestra un terreno en forma de trapecio sobre el cual, se desea construir una pileta circular de área máxima. Hallar dicha área H si: B=8 – H, b= ; (H : Altura del trapecio). 2 b r o

www.trilce.edu.pe

Cuarto año de secundaria

197

Capítulo

Tú puedes 1. Dada la función: F(x)=

x + 1 – x–1 , hallar su dominio. x–1 x + 1

a) 〈–1 ; 0] ∪ 〈1 ; +∞〉 b) 〈– 1 ; 1〉 c) 〈– ∞ ; – 1〉 ∪ 〈1 ; + ∞〉 d) 〈–1 ; +∞〉 e) 〈– ∞ ; –1〉 2. Sabiendo que: f(x)= 1 , calcule: f(1)+f(2)+...+f(10)+f(1–1)+f(2–1)+...+f(10–1) x+1

a) 1 10

b) 100

c) 8

d) 10

e) 20

3. Si el dominio de la función "f", cuya regla de correspondencia es: f(x)= 3– x2 –2x–a + tiene solo cinco elementos enteros, señale el número de valores enteros de "a".

x ;a∈ x +1 2

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

4 3 2 4. Dada la función: F(x)= x –6x +2 15x –18x + 11 , determine el rango. x –3x + 3

a) [2 2 ; +∞〉 b) [1; +∞〉 c) [3; +∞〉 d) [ 2 ; +∞〉 e) [0; +∞〉

5. Dada la función: F(x)= 9 + 2 20–x2 –x – x + 5

Halle el mayor elemento de su rango.

3 a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 2

Colegios

198

TRILCE

Central: 6198-100