2.BATXILERGOA
Homologia
Paraleloak ez diren bi planok, zuzen–sorta bat ebakitakoan sorturiko bi irudien arteko erlazioari, HOMOLOGIA deitzen zaio. Proiektatzeko aukera hau irudikatze-sistemak erabiltzen dituzte hiru dimentsiono irudiak paperean proiektatzeko. Honelako erlazioak sortu dira: • A1 puntua A’ puntuari dagokio. • r1 puntua r’ puntuari dagokio. • B1 puntua B’ puntuari dagokio. • C1 puntua C’ puntuari dagokio.
α eta β planoak ez dira paraleloak. Plano hauek V puntutik abiatzen dira eta hiru zuzenak ebakitzen dituzte, ebakidura puntuak lortuz (A1, B1, C1, A’, B’ eta C’).
Homologiaren elementuak
Homologian elementu hauek hartzen dute parte: o Homologia zentroa, V puntua da. Zuzen-sortaren abiapuntua da. Homologia zentroa propioa eta inpropioa izan daiteke.
Homologia zentro propioa
Homologia zentro inpropioa
o Homologia ardatza, bi planoen arteko ebakidura-zuzena.
Homologia ardatza
o Puntu homologoak AA’, B-B’ eta C-C’ dira, baldintza hauek betetzen badute: - Lerro zuzenean egotea eta homología zentroa V puntua izatea. - Zuzen homologoak, N-N’, M-M’ eta E-E’, homología ardatzan ebakiak izateak.
Azken baldintza honen arabera, Homologia ardatza, puntu bikoitzen leku geometrikoa da, hau da, elkarren artean homologoak diren puntuen leku geometrikoa da.
o Limite- zuzenak, (muga lerroak ere deitzen dira) infinituko puntuen puntu homologoek duten leku geometrikoak dira.
L limite zuzena, π’ planoan kokatuta dago eta infinituko puntu homologoen leku geometrikoa da. L’ limite zuzena, π planoan kokatuta dago eta infinituko puntu homologoen leku geometrikoa da.
Espaziotik paper laura pasatzea
Homologia bat definitzekoa moduak Honako elementu hauek ezagutu behar dira homología bat definitzeko: - Zentroa, ardatza eta bi puntu homologoak. - Zentroa, ardatza eta aurkitu nahi den irudi homologoaren limite zuzena. Honela goiko figura paperera (planora) eramaten denean, honela irudikatzen da Ikusten den bezala, homología-ardatzaren paraleloan daude muga-lerroak ML. Gainera, bi muga-lerroetako batetik, M’L’-tik edo ML-tik, V homología-zentrora dagoen distantzia, eta beste muga-lerrotik, M’L’-tik edo ML-tik alegia, homología-ardatzera dagoen distantzia berdinak dira.
Irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren polĂgono homologoa.
B puntutik hasiko gara. B puntuaren homologoa aurkitzeko, B eta A puntuak elkartu eta homologíaardatza 1 puntuan ebaki arteraino, luzatuko dugun zuzena Puntu horretan 1’ dago, ardatzaren barnekoak dira eta. 1’ puntua A’rekin lotuko dugu eta V zentroa B-rekin elkartuko ditugu. Bi zuzen horiek B puntuaren B’ puntu homologoan elkar ebakiko dute. Honela jokatuta lortuko ditugu gainerako puntuak. Infinituko puntu batetik, A’B’ zuzenean dagoen infinituko Z’ puntutik adibidez, abiatuko gara mugak-lerroak lortzeko. Infinituko Z’ puntua A’B’ zuzenean badago, AB zuzenean egongo da haren puntu homologoa. A’B’ zuzenarekiko paraleloa V puntutik marrazten badugu, ML muga-lerroaren barneko Z puntuan ebakiko du paralelo horrek AB zuzena. Z puntua lortu ondoren, jakinik muga-lerroak distantzia berdinera daudela homología-zentrotik eta homología ardatzetik eta paraleloak direla homología-ardatzarekiko, ML eta M’L’ zuzenak trazatuko ditugu.
Irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren polĂgono homologoa.
B puntuaren homologoa aurkitzeko, B puntutik igaroko den edozein zuzen r trazatuko dugu. Zuzen horrek 1 puntuan ebakiko du ML muga-lerroa eta 2 puntuan homología-ardatza. R zuzenaren r’ zuzen homologoak 2’ puntutik igaro beharko du eta V1 zuzenaren paraleloa izango da. r’ eta VB zuzenen arteko elkarguneak zehaztuko digu B puntuaren B’ puntu homologoa. Aurreko ariketan bezala jokatuko dugu gainerako puntuak lortzeko.
Kasu bereziak 1. AFINITATEA Homologia zentroa infinituan dagoenean, hau da, zentro inpropioa denean kasu berezi bat dau, Afinitate dugu.
Homologia-zentroa inpropia izatearen ondorio bat puntu homologoak batzen dituzten zuzenak paraleloak direla da. Afinitate-norabidea esaten zaie zuzen horien norabideari, eta afinitate-norabidea zeiharra edo elkarzuta izan daiteke afinitate-ardatzarekiko. Muga-lerroak inpropioak izango dira.
K=AoA/AoA’=BoB/BoB’=CoC/CoC’ erlazioari, afinitate-arrazoia du izenak K konstanteak.
Irudi afinak, afinitate-ardatzaren alde banatan badaude, afinitatearrazoia negatiboa izango da, k<0. Bi irudiak afinitate-ardatzaren alde berean badaude, positiboa izango da afinitate-arrazoia, k>0.
Irudiko datuak ezagututa, marraz ezazu emandakoaren poligono afina.
Iruduko datuak ezagututa eta jakinik afinitate-arrazoia K = -1 dela,marraz ezazu emandakoaren poligono afina.
2. HOMOTEZIA Homotezia ere, homologiaren kasu berezi bat da. Kasu honetan, homologíaardatza inpropioa da eta ondorioz ez dago muga-lerrorik. Beheko irudian A’B’C’ triangelua da ABC triangeluaren homologoa. Triangelu hauetan K=OA’/OA=OB’/OB=OC’/OC betetzen da. K homotezia-arrazoia da. Homotezia-arrazoia positiboa denean, K>0, alde berean daude homoteziazentroa eta puntu homologoak. Homotezia-arrazoia negatiboa denean, K<0, alde desberdinetan daude homotezia-zentroa eta puntu homologoak.
Beheko irudian, bi zirkunferentzia homotetiko ditugu eta honako hau betetzen dute:
Beraz,
Ariketa: O homotezia-zentroa, K = 2,5 homotezia-arrazoia, eta C zentroa eta 10mm erradio dituen zirkunferentzia bat ezagututa, kalkula ezazu zirkunferentzia horren homotetikoa OC=25mm dela jakinik.
Emandako ABCD poligonoaren polĂgono homotetikoa irudikatu bere homotezia-arrazoia K=-1 ezagututa.