electrónica digital by Isabel Navarro

INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL

Profesor: Ángel Millán León I.E.S. “Virgen de Villadiego” Peñaflor (Sevilla)

I.E.S. “Virgen de Villadiego”

Departamento de Tecnología

Índice de la Unidad Didáctica INTRODUCCIÓN A LA ELECTRÓNICA DIGITAL. 1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL. 2. OPERACIONES BINARIAS. 2.1. Ideas previas 2.2. Conversión de binario a decimal. 2.3. Conversión de decimal a binario. 2.4. El sistema hexadecimal. 2.5. Suma binaria. 2.6. Diferencia binaria. Algoritmo de la resta.

3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD. 3.1. Definiciones. 3.2. Funciones básicas. 3.3. Álgebra de Boole. Propiedades.

4. PUERTAS LÓGICAS. 4.1. Puerta NOT. 4.2. Puerta OR. 4.3. Puerta AND. 4.4. Puerta NOR. 4.5. Puerta NAND. 4.6. Puerta OR Exclusiva (XOR ú OREX). 4.7. Puerta NOR Exclusiva (XNOR ó NOREX).

5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO. 6. APÉNDICE: MÉTODO DE KARNAUGH PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS.

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1. INTRODUCCIÓN: DE LO ANALÓGICO A LO DIGITAL. No cabe duda de que en el mundo de hoy en día la Electrónica juega un papel de vital importancia. En la Unidad anterior has estudiado la electrónica analógica, que permite infinidad de aplicaciones. Recuerda que un circuito analógico puede funcionar con diversos rangos de tensiones. Sin embargo, en los circuitos digitales sólo hay 2 voltajes. Esto significa que al utilizar 2 estados lógicos se puede asociar cada uno con un nivel de tensión, así se puede codificar cualquier número, letra del alfabeto u otra información. Estos 2 estados de tensión reciben diferentes nombres, los más utilizados son estado lógico 0 y estado lógico 1, o bien falso y verdadero, respectivamente. Al utilizarse sólo dos estados lógicos (0 y 1) se dice que la lógica digital es binaria, ya que el código binario se basa en la utilización de dos únicas cifras, 0 y 1. Una de las principales ventajas de este sistema es la sencillez de sus reglas aritméticas, que hacen de él un sistema apropiado para el uso de computadores y dispositivos digitales. En 1854, el matemático inglés George Boole publica “Las leyes del pensamiento”, donde da a conocer el álgebra que lleva su nombre. Este álgebra permite explicar las leyes fundamentales de aquellas operaciones de la mente humana por la que se rigen los razonamientos. En 1938, el matemático Claude Shannon demostró cómo las operaciones booleanas elementales se podían representar mediante circuitos eléctricos, y cómo la combinación de circuitos podía representar operaciones aritméticas y lógicas complejas. Además demostró que el álgebra de Boole se podía usar para simplificar circuitos conmutadores. El enlace lógica-electrónica estaba establecido. En 1942 funcionó la ABC, la primera computadora digital, y en 1946 se terminaba el ENIAC, primera computadora electrónica. En 1960 aparece el primer circuito integrado, y con él la revolución en este campo. Los circuitos integrados se adaptaron perfectamente a la lógica digital. Las aplicaciones más representativas de la electrónica digital son: - Sistemas de control industrial (controladores o autómatas programables). - Equipos de proceso de datos (tratamiento de datos, ordenadores). - Otros equipos y productos electrónicos (electrodomésticos, alarmas, etc.). Hoy en día, la palabra “digital” aparece en multitud de situaciones, y siempre asociada a cosas novedosas. La expresión “sonido digital” nos “suena” muy bien. Creemos que es un sonido perfecto. Lo asociamos a un CD, o al audio de una película en DVD, que consideramos casi real. Llevamos tiempo con televisión digital por satélite y, desde noviembre de 2005, la Televisión Digital Terrestre es una realidad en vuestras casas. Gracias a un decodificador digital-analógico, podéis recibir unas imágenes y sonidos de una calidad bastante superiores a los que teníais antes. No cabe duda, por tanto, de que estamos en un campo que tiene una gran importancia a día de hoy, que, además, está en continua evolución, y que posee, sin duda, un gran futuro, que puede solucionar tus expectativas académicas y profesionales.

Introducción a la electrónica digital, 1

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2. OPERACIONES BINARIAS. 2.1. Ideas previas. La clave del sistema binario es que para expresar cualquier número tenemos que usar sólo dos cifras: el 0 y el 1. Recordemos, que un número como 10, en sistema binario, no debe leerse como “diez”, sino como “uno”,”cero”. Para aclararnos mientras estemos manejando dos sistemas de numeración diferentes, colocaremos en la parte inferior derecha 2) o 10), según estemos hablando de un número en sistema binario o decimal, respectivamente. Así, por ejemplo, 112) deberá leerse como “uno uno en sistema binario”, y 1110) se leerá como once, igual que hasta ahora. 2.2. Conversión de binario a decimal.

BYTE BIT 0

0 1

↓

En el diagrama anterior, vemos que cada cifra (bit) puede tomar únicamente dos valores, los ya citados 0 y 1. Pero, dependiendo de la posición del bit, la importancia o peso que tiene cada uno no es la misma. Así, por ejemplo, mientras que un uno en la primera casilla tendría un peso de “1”, en la cuarta casilla desde la derecha tendría un peso de 23 = 8. Unos ejemplos: 102) = 0·20 + 1·21 = 210)

1012) = 1·20 + 0·21 + 1·22 = 510)

Fácil, ¿no? Pues anímate a averiguar los siguientes números en sistema decimal para entrenarte: 1001

1 1010

1011

100 1001

101 1001

Nota: observa que hemos dejado un espacio entre cada cuatro bits. Conviene que te acostumbres a esto, ya que te será de utilidad en el futuro.

2.3. Conversión de decimal a binario. Para convertir de decimal, el proceso es un poco más complicado. Necesitamos una técnica, a la que llamaremos algoritmo de la división. Consiste en dividir tantas veces por dos como se pueda, y los restos y el último cociente obtenido nos proporcionan la expresión binaria (invertida) de nuestro número decimal. Veámoslo con un ejemplo, calculando la expresión binaria de 14710) (ver figura de la derecha). Se van haciendo las sucesivas divisiones por 2. Los restos y el último cociente nos dan la expresión binaria que buscamos, pero en orden invertido. A saber: 1001 0011 Introducción a la electrónica digital, 2

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2.4. El sistema hexadecimal. Aunque los circuitos electrónicos digitales y los ordenadores utilizan el sistema binario, trabajar con este sistema de numeración resulta DECIMAL HEXADECIMAL BINARIO 0 0 0000 pesado, y suele producir equivocaciones cuando se trabaja con 1 1 0001 números binarios demasiado largos. El sistema Hexadecimal está en base 16, sus números están representados por los 10 primeros dígitos de la numeración decimal, y el intervalo que va del número 10 al 15 están representados por las letras del alfabeto de la A a la F. Actualmente el sistema hexadecimal es uno de los más utilizados en el procesamiento de datos, debido principalmente a 2 ventajas: La primera ventaja es la simplificación en la escritura de los números decimales, cada 4 cifras binarias se representan por una hexadecimal.

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

La segunda es que cada cifra hexadecimal se pueden 15 F 1111 expresar mediante 4 cifras binarias, con lo que se facilita la transposición entre estos 2 sistemas. Para convertir un número binario en hexadecimal se realiza el mismo proceso, pero a la inversa. Ejemplo: Número Hexadecimal: B7E16) B: 1011 (11)

Número Binario: 1011 0111 11102)

7: 0111 E: 1110 (14) Para pasar del número hexadecimal al sistema decimal, se han de multiplicar los dígitos hexadecimales por las distintas potencias de base 16 que representan cada dígito del sistema de numeración hexadecimal (160, 161, 162...). Ejemplo: B7E16) = 11•162 + 7•161 + 14•160 = 2816 + 112 + 14 = 2.94210) A la inversa, para convertir el número decimal en hexadecimal, éste se irá dividiendo por el número 16 sucesivamente hasta que ya no se puedan realizar más divisiones con el mismo número. El número hexadecimal resultante estará formado por el último cociente seguido de todos los restos sucesivos obtenidos desde el último hasta el primero. Veamos, por ejemplo, qué sucede con el 350 Expresión decimal:

Nº Hexadecimal: 15E16)

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Otra posibilidad en la conversión de números decimales y hexadecimales es utilizar los binarios como intermediarios, es decir, en cualquiera de los sentidos, se obtendría en primer lugar el número binario y después éste pasaría al código definitivo. Por último, otra posibilidad de cálculo la ofrecen las calculadoras de sobremesa o las que suelen venir con algunos sistemas operativos. En ese caso basta teclear la cantidad estando seleccionado un sistema: binario, octal, hexadecimal o decimal, y después conmutar al sistema de destino deseado y el número aparecerá automáticamente.

2.5. Suma de dos números binarios. Para sumar en sistema binario, basta recordar que sólo disponemos de dos números, el cero y el uno. Así pues, cuando nos pasemos del 1, habrá que “llevarse” una cifra y colocarla a la izquierda de la que tenemos. O, simplemente, tener en cuenta que 1+1 sigue siendo igual a 2, salvo que en binario “2” se escribe “10”. En definitiva, puedes utilizar las siguientes reglas: 0+0=0

0+1=1

1 + 1 = 10

Veamos algunos ejemplos:

1 0 → 210 ) + 1 → 110 )

1 0 → 210 ) + 1 0 → 210 )

1 1 → 310 )

1 0 0 → 410 )

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1 1 1 → 710 ) + 1 0 1 → 510 ) 1 1 0 0 → 1210

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2.6. Diferencia binaria. Para hacer la diferencia binaria, utilizaremos el siguiente algoritmo o procedimiento, que obtiene la diferencia binaria a partir de una suma: 1) Colocar el minuendo. 2) Colocar el sustraendo bajo el minuendo, pero con las cifras invertidas, cambiando ceros por unos y unos por ceros. 3) Colocar tantos “1” a la izquierda del nuevo sustraendo como sea necesario para que ambos tengan las mismas cifras. 4) Añadir un “1” como tercera fila de la suma. 5) Efectuar la suma. 6) Quitar la cifra de la izquierda del resultado. Nos ha quedado escrito el número que es la diferencia de los dos que nos han dado. Desarrollemos este algoritmo para hacer la diferencia de 1310) = 11012) y 510) = 1012): Paso 1)

Paso 2)

1 1 0 1

+ Paso 3)

0 1 0

Paso 4)

1 1 0 1 + 1 0 1 0 Paso 5)

1 1 0 1 1 0 1 0 + 1 Paso 6)

1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 + 1

1 1 0 0 0

= 810)

3. FUNCIÓN LÓGICA. TABLA DE VERDAD. 3.1. Definiciones. Una variable lógica A es aquella que puede tomar únicamente dos valores: 0 y 1. Una función lógica F es un conjunto de variables lógicas A, B, C, relacionadas por los símbolos de las operaciones permitidas: suma, producto y negación. Por ejemplo:

F = A + B + A·C Una función acepta sólo dos entradas (0 y 1) y produce un solo valor (salida). Una tabla de verdad es una tabla donde se recoge el valor de la función para las diferentes combinaciones posibles de las variables. Si hay n variables, tendremos 2n combinaciones posibles. Introducción a la electrónica digital, 5

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3.2. Funciones básicas. Veamos las funciones más sencillas que podemos encontrar en electrónica digital. Observa la tabla con el circuito equivalente de cada función. Te ayudará a entender. NOMBRE DE LA FUNCIÓN

TABLA DE VERDAD

ESQUEMA ELÉCTRICO 0

Cero F=0

A 0 1

F=0 0 0

Identidad F=1

A 0 1

F=1 1 1

A 0 1

Igualdad F=A

F 0 1 Ā

A 0 1

Negación F=Ā

F 1 0

Suma o Unión F=A+B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

F 0 1 1 1

Producto o Intersección F = A·B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

F 0 0 0 1

Piensa, en cada caso, en el estado que tiene la lámpara al accionar los correspondientes pulsadores y compara con las respectivas tablas de verdad.

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3.3. Álgebra de Boole. Propiedades. El álgebra de Boole es una estructura matemática, que cuenta con dos números (0 y 1) y tres operaciones (suma, producto y negación). Parte de unos postulados iniciales, de los que se pueden deducir leyes, teoremas y otras consecuencias. Veámoslos:

Postulados. Son enunciados que no necesitan demostración. Postulado 1. El elemento identidad de la suma es el “0”. (A + 0 = A) Postulado 2. El elemento de identidad del producto es el “1”. (A · 1 = A) Postulado 3. La suma es conmutativa A + B = B + A Postulado 4. El producto es conmutativo: A · B = B · A Postulado 5. La suma es asociativa: (A + B) + C = A + (B + C) Postulado 6. El producto es asociativo: (A · B) · C = A · (B · C) Postulado 7. El producto es distributivo respecto de la suma: A · (B + C) = (A · B) + (A · C) Postulado 8. La suma es distributiva respecto del producto: A + (B · C) = (A + B) · ( A + C). Postulado 9. Para cada valor A existe un valor Ā tal que A· Ā = 0 y A + Ā = 1. Éste valor es el complemento lógico o negado de A. Postulado 10. El álgebra de Boole es cerrada bajo las operaciones suma, producto y negación.

Teoremas. Son enunciados que se pueden demostrar a partir de los postulados de partida. Teorema 1: A + A = A

Teorema 6: A + A·B = A + B

Teorema 2: A · A = A

Teorema 7: A·(A + B ) = A

Teorema 3: A · 0 = 0 Teorema 4: A + 1 = 1 Teorema 5: A + A·B = A

( ) Teorema 9: A·(A + B ) = A·B · A + B) = A Teorema 10: (A + B )( Teorema 8: A· A + B = A·B

Leyes de De Morgan DM1: A + B = A·B DM2: A·B = A + B

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4. PUERTAS LÓGICAS. Una puerta lógica es un circuito electrónico que tiene el mismo comportamiento que una función lógica. Por tanto, la tabla de verdad de una puerta lógica es la misma que las de una función lógica. Las puertas lógicas tienen una única salida, aunque pueden tener una o más entradas. Las puertas lógicas a la salida pueden dar niveles de tensión alto (1) o niveles de tensión bajo (0). En estos dispositivos hay que tener en cuenta que dependiendo de la tecnología del fabricante de los circuitos (TTL y CMOS) varían los niveles de tensión en las entradas y en las salidas. Esto hay que tenerlo en cuenta ya que en la electrónica digital lo que se pretende es enviar la información más fiable posible. Por ejemplo el voltaje de alimentación de las puertas TTL es de 5 V, mientras que el de las puertas CMOS varía entre 3 y 15 V. Según se ha comentado, cualquier función lógica puede representarse mediante combinación de puertas lógicas. A esto se le llama implementación. 4.1. Puerta NOT. La figura muestra es símbolo de un circuito NOT, al cual se le llama más comúnmente INVERSOR. Este circuito siempre tiene una sola entrada y su nivel lógico de salida siempre es contrario al nivel lógico de esta entrada. Junto a la figura, se indica la tabla de verdad de esta función.

A NOT 0 1 1 0

4.2. Puerta OR. La puerta OR es un circuito que tiene dos entradas y cuya salida es igual a la suma lógica de las entradas. La figura muestra el símbolo correspondiente a una puerta OR de dos entradas. Como se puede ver en la tabla de verdad, la salida será ALTA si por lo menos una de las entradas está ALTA.

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

OR 0 1 1 1

4.3. Puerta AND. En la figura se muestra el símbolo de una puerta AND de dos entradas. La salida de la puerta AND es igual al producto lógico de las entradas. En otras palabras, la puerta AND es un circuito que opera en forma tal que su salida es ALTA sólo cuando las dos entradas son ALTAS. 4.4. Puerta NOR. En la figura se muestra el símbolo de una puerta NOR de dos entradas. Es igual al símbolo de la puerta OR excepto que tiene un círculo pequeño en la salida, que representa la operación de inversión. De este modo, la puerta NOR opera como una puerta OR seguida de un INVERSOR, de manera que los circuitos de la figura son equivalentes y la expresión de salida para la puerta NOR es la de la derecha. Introducción a la electrónica digital, 8

A B AND 0 0

0 1

1 0

1 1

A B NOR 0 0

0 1

1 0

1 1

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4.5. Puerta NAND. En la figura se muestra el símbolo correspondiente a una puerta NAND de dos entradas. Es el mismo que el de la puerta AND, excepto por el pequeño circulo en su salida, que vuelve a indicar la operación de inversión. De este modo, la puerta NAND opera igual que la AND seguida de un INVERSOR, y la salida de esta puerta es la que aparece en la tabla de la derecha.

A B NAND 0 0

0 1

1 0

1 1

A 0 0 1 1

B XOR 0 0 1 1 0 1 1 0

4.6. Puerta OR Exclusiva (X-OR u OR-EX). En la figura se muestra el símbolo de una puerta XOR de dos entradas. La salida es 1 lógico si y solo si A es diferente de B. Si A y B son ambas 0 lógico o ambas son 1 lógico entonces SAL vale 0. La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la puerta. Observa que es parecido al de la puerta OR Puede representarse como la función siguiente:

F = A·B + A·B 4.7. Puerta NOR Exclusiva (X-NOR o NOR-EX). La salida de esta puerta es un 1 lógico si y solo si las dos entradas son iguales, ya sea que ambas sean 0 o ambas 1. La tabla de verdad la tienes junto al símbolo de la puerta. Observa que es parecido al de la puerta NOR Esto puede representarse mediante la función siguiente:

F = A·B + A·B

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A 0 0 1 1

B XNOR 0 1 1 0 0 0 1 1

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5. LA ELECTRÓNICA DIGITAL EN EL MERCADO. Los circuitos integrados o CI's, se han convertido en el componente más importante de la electrónica moderna y se forman o fabrican con la unión de varios componentes comunes como transistores, diodos, resistencias y hasta condensadores, en un solo envoltorio y configurados ya como un circuito completo (chip). Al aumentar la densidad y reducir el tamaño al mismo tiempo, se presenta un avance importantísimo en el diseño de circuitos electrónicos. Usando la misma tecnología de los transistores, con ellos es posible agrupar cientos o miles de componentes en un envoltorio, que es similar en tamaño a un condensador pequeño. Los circuitos integrados digitales se clasifican por familias. Las más populares son: ¾ La familia TTL (Transistor-Transistor Logic o Lógica transistor-transistor). Se identifican generalmente con un número o combinación de números y letras. Generalmente su referencia empieza con el número 74 (véase la tabla adjunta). Como, por ejemplo, 7400, 7402, etc. ¾ La familia CMOS (Complementary Metal Oxide Semiconductor). Se identifican generalmente con el número 4000 y posteriores, como 4001, 4002, etc. Esta familia requiere un manejo especial ya que la electricidad estática del cuerpo humano podría dañarlos al tocar sus terminales. Cada circuito integrado tiene cierto número de pines o terminales. Es muy importante saber dónde va conectado cada terminal, ya que si se conecta en forma errada se puede dañar fácilmente. Para eso se recomiendan los manuales técnicos, como el TTL Cookbook y el CMOS Cookbook, manual de reemplazos ECG o los manuales de los fabricantes. Se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones: La ranura y el punto son para localizar el pin #1. El terminal o pin #1, esta señalado por el punto que está a la izquierda de la ranura. Los pines están numerados en el sentido contrario a las manecillas del reloj en forma de U Los circuitos integrados vienen en configuraciones de 8, 14, 16, 18, 20, 24, 40 y 64 pines. A menudo los circuitos integrados no se sueldan directamente al circuito impreso. Para colocarlos, se pone primero una base en el circuito y luego los integrados se enchufan en las bases. Esto aumenta un poco el costo, pero evita el calentamiento en el proceso de soldadura y facilita la reparación de los equipos, pues solo es cambiar el integrado por uno nuevo cuando se dañe.

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TABLA DE CIRCUITOS INTEGRADOS COMERCIALES

Precio: 0.24 € + I.V.A.

Precio: 0.32 € + I.V.A.

Precio: 0.27 € + I.V.A.

Precio: 0.23 € + I.V.A.

Precio: 0.34 € + I.V.A.

Precio: 0.42 € + I.V.A.

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¿Cómo se emplean estos circuitos integrados? Pues bien, imagina que quieres implementar la función F = A·B + C . La tabla de verdad de esta función es la que aparece A B C A·B en la derecha. De ella se deduce que la salida de la 0 función únicamente es cero cuando A = B = C = 0; 0 0 0 A = C = 0, B = 1 y A = 1, B = C = 0. 0 0 1 0

F = A·B + C 0 1

Para “observar” el comportamiento de la función F vamos a montar un circuito electrónico, en el que el encendido de una lámpara indicará un “1” de dicha función. Si la lámpara está apagada, sin embargo, tendremos un “0” de la función.

En la función F tenemos dos operaciones: un producto y una suma lógicos. Por tanto, necesitaremos un C.I. con puertas AND (el 7408) y otro con puertas OR (el 7432).

Para simular las variables A, B y C, emplearemos pulsadores normalmente abiertos (NA) con esos nombres, y seguiremos el convenio utilizado hasta ahora: 0 = desactivado, 1 = activado. Conectamos los pulsadores A y B, respectivamente, a las patillas 13 y 12 del 7408. Esto efectúa el producto lógico de ambas variables. La salida de esta puerta lógica (patilla 11) se conecta a una puerta del circuito 7432, por ejemplo, en su patilla 9. A la otra entrada (patilla 10) conectamos el tercer pulsador. Con esto, se efectúa la segunda operación (la suma), la cual tenemos disponible a la salida de la puerta OR correspondiente (patilla 8). No hay que olvidar conectar las correspondientes alimentaciones (VCC) y las masas (GND).

El objetivo de todo diseñador de circuitos lógicos debe ser el conseguir un circuito empleando el menor número de puertas lógicas posibles y, con ello, el menor número de circuitos integrados posible. Es muy común, sin embargo, emplear sólo puertas NAND (C.I. 7400) o sólo puertas NOR (C.I. 7402), para lo cual hay que transformar la función lógica del sistema mediante procedimientos algebraicos para transformar el aspecto de la función F.

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6. APÉNDICE: MÉTODO DE KARNAUGH PARA LA SIMPLIFICACIÓN DE FUNCIONES LÓGICAS. Cuando las funciones lógicas tienen una expresión grande, el procedimiento algebraico nos puede llevar a cometer errores, porque se convierte en algo pesado. Se utiliza entonces el procedimiento de los diagramas o mapas de Karnaugh. Este método consiste en formar diagramas de 2n cuadros, siendo n el número de variables de la función. Cada cuadro representa una de las diferentes combinaciones posibles y se disponen de tal forma que se puede pasar de un cuadro a otro en las direcciones horizontal o vertical, cambiando únicamente una variable, ya sea en forma negada o directa.

MAPAS DE KARNAUGH PARA DOS, TRES Y CUATRO VARIABLES 2 VARIABLES

3 VARIABLES

4 VARIABLES

Se numera cada celda con el número decimal correspondiente al término binario que contiene, para facilitar el trabajo a la hora de colocar la función. Para simplificar una función lógica por el método de Karnaugh se seguirán los siguientes pasos: 1º) Se coloca un 1 en los cuadros correspondientes a los términos que valen 1 en la función. 2º) Se agrupan mediante lazos los unos de casillas adyacentes siguiendo estrictamente las siguientes reglas: a) Dos casillas son adyacentes cuando se diferencian únicamente en el estado de una sola variable (¡OJO!: las de los extremos son adyacentes, ya que puedes imaginar que el diagrama es flexible y se “enrolla” sobre sí mismo) b) Cada lazo debe contener el mayor número de unos posible, siempre que dicho número sea potencia de dos (1, 2, 4, etc.) c) Los lazos pueden quedar superpuestos y no importa que haya cuadrículas que pertenezcan a dos o más lazos diferentes. d) Se debe tratar de conseguir el menor número de lazos con el mayor número de unos posible. 3º) La función simplificada tendrá tantos términos como lazos posea el diagrama. Cada término se obtiene eliminando la o las variables que cambien de estado en el mismo lazo. Vamos a ver todo el proceso con una función que nos sirve de ejemplo: Introducción a la electrónica digital, 13

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(

)

F =A·B· C + D + C·B + D·A En primer lugar, obtenemos la tabla de verdad de la función. Fíjate bien cómo se hace: vamos haciendo los productos o sumas más sencillos, y de ahí vamos pasando a las operaciones más complicadas:

(

)

A B C D A C

D A·B C + D A·B· C + D

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

C·B D·A C·B + D·A

A continuación, escribimos el cuadrado. Una vez hecho esto, en las casillas que corresponda hay que poner los “UNOS” de la función F. Así, la primera combinación que hace uno a la función F es precisamente la 0, por lo que en la primera casilla habrá que colocar un uno. Sucede esto también con las casillas 2, 4, 6, 7, 12, 13, 14 y 15: El siguiente paso es hacer grupos de 8, 4, 2 ó 1 “unos” que estén adyacentes. Para eso, te puedes imaginar que el cuadrado es flexible y que, enrollándolo sobre sí mismo, tocaría el lado izquierdo con el derecho.

CD AB

01 0

10 3

1 4

1 12

1 8

1 9

1 14

1 11

10 Así, por ejemplo, el primer grupo de mayor tamaño que puede hacerse es de cuatro “unos”, formado por las casillas 12, 13, 14, 15. Otro es el formado por las casillas 6, 7, 14 y 15 (no importa que haya casillas que ya hayan sido seleccionadas: buscamos siempre el grupo más grande posible).

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Pasamos a grupos de 2 “unos”. En este caso tenemos el formado por las casillas 0 y 4. Y, también, el formado por las casillas 0 y 2 que, si enrolláramos el cuadrado, serían adyacentes. Con esto, hemos terminado todos los posibles grupos (no hay grupos ni de ocho, ni de un “unos”), que son: {0,2}, {4,12}, {12,13,14,15} y {6,7,14,15} Ahora llega el momento de escribir los términos de la función simplificada. Como hay cuatro grupos, la función simplificada tendrá cuatro términos. Los términos de 4 (22) “unos” contienen 2 variables. Los términos de 2 ( 21) “unos” contienen 3 variables. En el grupo {0,2} la variable que cambia de valor es C, que debe eliminarse. Entonces, el término correspondiente puede escribirse A·B·D . En el grupo {4,12} la variable que cambia de valor es A, que debe eliminarse. Entonces, el término correspondiente puede escribirse B·C D En el grupo {12,13,14,15}, cambian de valor C y D, que deben eliminarse, y el término correspondiente puede escribirse A·B. En el grupo {6,7,14,15}, cambian de valor A y D, que se eliminan, y el término correspondiente puede escribirse B·C. Por tanto, la función puede escribirse entonces como:

F =A·B·C + B·C·D + A·B + B·C

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ELECTRÓNICA DIGITAL. ACTIVIDADES CONVERSIÓN DE BINARIO A DECIMAL Y VICEVERSA. 1. Convierte los siguientes números dados en sistema binario a sistema decimal: 1012)

10012)

1001012)

1112)

1010010002)

1000100102)

100000012)

2. Convierte los siguientes números decimales a binario: 6510)

12710)

12810)

100010)

10010)

3. Escribe en una columna los 20 primeros números naturales en código binario. 4. La clave para abrir la caja fuerte de un banco está escrita en binario en un papel. Obtén los números de dicha clave, sabiendo que cada número tiene un tamaño de 8 bits. 101001010010101001010100000101010110000100000101 5. Un radiotelescopio situado en Puerto Rico ha recibido el siguiente mensaje binario desde el espacio: 00000111000011100000101100000000. Suponiendo que el mensaje esté cifrado con caracteres de 8 bits, que los extraterrestres conozcan nuestro alfabeto, y que a cada letra le corresponde un número decimal, traduce el mensaje recibido. Puedes emplear la siguiente tabla de equivalencia. A B C D E F G H I J K

L M N O P Q R

V W X

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 6. Convierte los siguientes números, dados en sistema decimal, a binario: 2510)

13510)

25510)

25610)

104010)

101010)

1000010)

511510)

7. Convierte los siguientes números binarios a decimal: 11001002)

100100012)

1010010002)

1110001110012)

CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL Y VICEVERSA 8. Convierte los números del ejercicio 7 a hexadecimal. 9. Convierte a binario los siguientes números expresados en sistema hexadecimal: AB16)

ABC16)

7HF16)

11CF16)

BBC16)

OPERACIONES CON NÚMEROS BINARIOS 10. Efectúa la suma binaria de los números del ejercicio 8, agrupados de dos en dos. 11. Efectúa las siguientes operaciones en binario: 1 1 1 0 1 + 1 1 0 1

Introducción a la electrónica digital, 16

1 1 1 1 1 + 1 1 1

1 1 0 0 1 0 0 1 +

1 0 1 0 1 1

12. Efectúa las siguientes sumas binarias: 1 1 1 0 1

1 0 1 0 1 1 0 1 0

+ 1 1 0 1 1 0 0

+ 1 1 1 1

13. Convierte los siguientes números a binario y súmalos después: a) 135, 215; b) 10000, 100100; c) 255, 256; d) 103.256, 20.130. 14. Efectúa las siguientes diferencias en binario: 1 1 0 0 1 − 1 0 0 1

1 1 1 1 1 − 1 1 1

1 1 0 0 0 0 0 1 − 1 0 1 1 1 1

15. Convierte los siguientes números a binario y efectúa la resta de ambos: a) 2300 y 349; b) 18 y 17; c) 45098 y 23421; d) 1506 y 1420. 16. Busca en bibliografía especializada las siguientes cuestiones: a) ¿Cómo se indica la coma decimal en binario? b) ¿Cómo se indica el signo menos para expresar que un número es negativo?

FUNCIONES LÓGICAS (I). OPERACIONES. 17. Obtén la tabla de verdad de las funciones siguientes: a) NOT; b) AND; c) OR; d) NOR; e) NAND. 18. Demuestra los Teoremas del Álgebra de Boole empleando tablas de verdad: obtén la tabla de verdad de la expresión de la izquierda, la de la derecha y compáralas. (El teorema estará demostrado si ambas tablas de verdad son iguales). 19. Comprueba, empleando una tabla de verdad, las leyes de De Morgan. 20. Obtén la tabla de verdad de la función: F = (A + B )·C 21. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + A·B + A·C + A·B·C

(

)( )

22. Obtén la tabla de verdad de la siguiente función: F = A + B · A·B

( )( ) 24. Obtén la tabla de verdad de la función: F = (A + B·A )( · B + A) 23. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + B · A + B

25. Obtén la tabla de verdad de la función: F = A + B + A·C + A·B·C . Simplifica hasta que sea posible.

(

)

26. Considera las funciones: F1 = A + B ·(A·B ) y F2 = A·B + B . Construye la tabla de verdad de ambas funciones. También se pide: a) tabla de verdad de la función F1 + F2; b) tabla de verdad de la función F1·F2; c) tabla de verdad de la función F1 + F2 ; d) simplifica la expresión final de cada uno de los resultados.

Introducción a la electrónica digital, 17

27. Obtén la expresión de la función F cuya tabla de verdad se da a la derecha.

C G

0 0 0 0 1 1 1 1

0 0 1 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 1 1 1 0

28. Obtén la expresión de la función G cuya tabla de verdad aparece a la izquierda. Simplifícala. 29. Simplifica por el método de Karnaugh la función lógica H cuya tabla de verdad es la que aparece a la derecha. 30. Obtén la tabla de verdad de la función suma de F y G, a la que llamaremos I. Es decir: I = G + H. Simplifica la función que resulta por el método de Karnaugh. Implementa la función resultante con puertas lógicas.

31. Obtén la tabla de verdad de la función J = G·H. Simplifica la función que resulta, empleando el método de Karnaugh. Impleméntala con puertas lógicas.

(

)

32. Sea la función lógica: F = A·B + A· B + C . Se pide:

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 1

0 1 0 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

a) Obtén su tabla de verdad. b) Simplifícala. c) Implementa las dos formas (simplificada y no simplificada) con puertas lógicas. A la luz del resultado, contesta: ¿Por qué debe simplificarse una función lógica? FUNCIONES LÓGICAS (II). CIRCUITOS CON INTERRUPTORES. 33. Obtén la tabla de verdad de dos interruptores conmutados. ¿Cuál es la función lógica que indica el estado de la lámpara?

34. Obtén la tabla de verdad del circuito de la derecha y la expresión de la función que nos indica el estado de la lámpara L. Implementa dicha función con puertas lógicas.

Introducción a la electrónica digital, 18

H 1 1 0 0 0 1 0 1

35. Obtén la tabla de verdad de la función L, que nos da el estado de la lámpara según se encuentren los pulsadores. Obtén también la expresión algebraica de la función L. 36. Obtén la tabla de verdad del circuito de la figura de la derecha. ¿Puedes escribir la función que nos indica el estado de la salida S? 37. Dibuja un circuito eléctrico equivalente a las siguientes puertas lógicas: a) NOT; b) AND; c) OR; d) NOR; e) NAND; f) XNOR; g) NOR-EX.

PUERTAS LÓGICAS. IMPLEMENTACIÓN. 38. Implementa con puertas lógicas la función F = A + B·C . 39. Implementa con puertas lógicas la función F = A + A·B·C . 40. Implementa con puertas lógicas la función F = A·B + A·C 41. Implementa con puertas lógicas las siguientes funciones, realizando previamente una simplificación, caso de que sea posible: a) F = A + B ; b) F = A + B + C ;

(

)(

)

c) F = A + B ; d) F = A + B ; e) F = A + B · A + B . 42. Implementa sólo con puertas NAND las puertas: NOT, OR, NOR y AND. 43. Implementa sólo con puertas NOR las puertas: NOT, OR, NAND y AND 44. Implementa sólo con puertas NAND la puerta OREX. 45. Implementa sólo con puertas NOR la puerta OREX. 46. Implementa sólo con puertas NAND la puerta NOR-EX. 47. Implementa sólo con puertas NOR la puerta NOR-EX. 48. Implementa A+B con puertas NAND. 49. Ídem con puertas NOR.

(

)

50. Implementa la función lógica F = A· B + A·C sólo con puertas NAND, e indica si esta operación tiene alguna ventaja. 51. Implementa A·B·C con puertas NAND 52. Ídem con puertas NOR.

Introducción a la electrónica digital, 19

PUERTAS LÓGICAS. PROBLEMAS. 53. Un local tiene tres puertas, cada una con un sensor, que se activa al abrirse cada puerta. Cuando se abren exactamente dos puertas a la vez, se dispara una alarma, a la que llamaremos W. Obtén la tabla de verdad de la función que nos da el estado de dicha alarma, así como la expresión de dicha función, simplificada al máximo. Implementa el circuito de control de la alarma con puertas lógicas. 54. La alarma de una vivienda posee tres sensores: A, B y C. Dicha alarma debe activarse cuando por lo menos dos de los tres sensores estén activados. Se pide: a) tabla de verdad de la función E, que nos indica el estado de la alarma; b) simplifica la función algebraicamente; c) simplifica la función usando un diagrama de Karnaugh; d) implementa la función empleando cualquier tipo de puertas. 55. Se ha instalado dos luminosos en la puerta de una consulta médica, uno con el rótulo “PASE”, y otro con el rótulo “ESPERE”. El primero debe encenderse sólo si está el médico y no hay un paciente en el interior de la consulta. Se pide: a) tabla de verdad de la función “P”, que nos indica el estado del cartel de “PASE”; b) ídem para el rótulo “ESPERE”; c) expresión algebraica de la función P; d) ídem para la función “E”. 56. En una familia de tres miembros (los dos padres y un hijo) deciden construir un circuito lógico que decida cuándo se ve la televisión. El circuito debe cumplir las siguientes condiciones: a) La decisión la toman los padres. b) Si los padres no se ponen de acuerdo, decidirá el hijo. Según esto, se pide: 1) tabla de verdad del circuito; 2) expresión sin simplificar de la función lógica E, que indica el estado del televisor; 3) expresión simplificada de dicha función; 4) construye el circuito lógico empleando puertas lógicas. 57. En una familia de cuatro miembros (padre, madre, hermano y hermana), a la hora de ver la tele, emplean el siguiente procedimiento: a) Deciden los padres. b) Si no se ponen de acuerdo, deciden los hijos. c) Si tampoco se ponen de acuerdo los hijos, se hará lo que diga la madre. Se pide: a) tabla de verdad de la función T, que indica el estado del televisor; b) expresión simplificada de la función T; c) implementa la función T con puertas lógicas. 58. Un juego de habilidad tiene 3 pulsadores, A, B y C. Gana el jugador que antes activa su pulsador, o el que no ha pulsado si lo hacen dos simultáneamente. Si los tres pulsadores son activados a la vez, no ganaría ninguno. Se pide: a) construye la tabla de verdad de la función Ji, que nos indica si el jugador i ha ganado o no; b) obtén la expresión algebraica de las funciones Ji. 59. Una máquina-herramienta tiene cuatro detectores de seguridad, 2 superiores y 2 inferiores. La máquina se para cuando se accionen, simultáneamente, al menos un detector superior y un detector inferior. Se pide: a) tabla de verdad de la función lógica “estado de la máquina”; b) simplificación por Karnaugh; c) implementa la función lógica con puertas lógicas cualesquiera; d) implementa la función sólo con puertas NAND.

Introducción a la electrónica digital, 20

60. Se ha instalado una alarma en una puerta. Para su funcionamiento, se ha habilitado un sensor en cada uno de los vértices de la puerta. Para que se active la alarma, deben activarse dos o más sensores, pero no se activará si están a la misma altura o en la misma vertical. Se pide: a) tabla de verdad de la función H, que nos indica el estado de la alarma; b) expresión simplificada de H; c) implementa H con puertas lógicas cualesquiera; d) implementa H sólo con puertas NAND. 61. En una fábrica hay tres depósitos de agua, con sensores de nivel A, B y C. En los depósitos A y B hay una bomba hidráulica en cada uno (que llamaremos S y T, respectivamente). S envía el agua al depósito B, y T al C. Una bomba se pone en marcha cuando su correspondiente depósito está lleno, y el depósito de destino no lo esté. Se pide: a) tabla de verdad de las funciones S y T, que nos dan los estados de las dos bombas; b) simplifica sus expresiones; c) impleméntalas usando puertas lógicas cualesquiera; d) impleméntala sólo con puertas NAND; e) un LED indicador se enciende cuando funciona cualquiera de las dos bombas. Implementa con puertas lógicas la función L que nos indica su estado. 62. En una fábrica de piezas metálicas, se dispone de tres detectores de barrera fotoeléctrica. Dos de ellos miden la longitud de la pieza, de modo que si la pieza interrumpe los haces láser que inciden sobre las células fotoeléctricas simultáneamente, la pieza es rechazada (por ser demasiado larga). Un tercer detector mide la altura de la pieza. Si se activa, la pieza también es rechazada (por ser demasiado alta). Un cilindro neumático N se activa cuando hay que rechazar cada pieza. Te pido: a) calcula la tabla de verdad de la función lógica N que nos indica el estado del cilindro neumático; b) simplifícala al máximo, usando el método de Karnaugh; c) implementa la función con puertas lógicas cualesquiera; d) ídem, pero sólo con puertas NAND; e) ídem sólo con puertas NOR. 63. Una sala tiene 5 puertas: A, B, C, D y E. La puerta E está automatizada, de modo que permanece abierta únicamente si hay un número impar de puertas abiertas. Diseña un circuito lógico, con puertas de cualquier tipo, que permita el control de E. 64. Diseña un circuito de control de un motor mediante tres pulsadores, A, B y C, que cumplan las siguientes condiciones: 9 Si se pulsan los tres pulsadores el motor se activa. 9 Si se pulsan dos pulsadores cualesquiera, el motor se activa, pero se enciende una lámpara de peligro. 9 Si sólo se pulsa un pulsador, el motor no se activa, pero sí se enciende la lámpara indicadora de peligro. 9 Si no se pulsa ningún pulsador, el motor y la lámpara están desconectados. Se pide: a) tabla de verdad; b) expresión algebraica de las funciones L y M que nos indican, respectivamente, la activación de la luz y del motor; c) simplifica ambas funciones empleando el método algebraico; d) simplifica ambas funciones empleando el método de Karnaugh; e) implementa el circuito con puertas lógicas. 65. Diseña un circuito lógico constituido por tres pulsadores, A, B y C y una lámpara, que funcione de forma que ésta se encienda cuando se pulsen los tres pulsadores a la vez, o sólo uno cualquiera. Determina: a) tabla de verdad; b) expresión algebraica (simplificada); c) implementa el circuito con puertas lógicas.

Introducción a la electrónica digital, 21

66. El limpiaparabrisas de un automóvil dispone de dos sensores infrarrojos situados sobre la luna delantera. Cuando se activa uno de los sensores y el vehículo está en marcha, el limpiaparabrisas se pone en marcha. Obtén: a) la tabla de verdad de la función que nos indica el estado del limpiaparabrisas; b) expresión (sin simplificar) de dicha función; c) expresión simplificada de dicha función (emplea el método de Karnaugh); d) implementa la función lógica sólo con puertas NAND; e) implementa la función sólo con puertas NOR.

Introducción a la electrónica digital, 22