N0V3L·L3S M4T3M4T1QU3S
Plans de futur narra la història de Ferran Sunyer, un matemàtic tetraplègic i autodidacte que va assolir projecció internacional malgrat les seves limitacions físiques i els entrebancs de la universitat franquista. Com que Màrius Serra ens ha introduït en el món de les matemàtiques, hem decidit descriure-us algunes novel·les en les que les matemàtiques desenvolupen un paper fonamental. Són aquestes.
L'Home que calculava Malba Tahan Un cop acabada la pregària, el calculista va parlar així: - Quan mirem, senyora cap al cel en una nit calma i límpida, sentim que la nostra intel·ligència és poca cosa per concebre l’obra meravellosa del seu Creador. Fa temps va viure a Grècia, quan aquest país era dominat pel paganisme, un filòsof notable anomenat Pitàgores . Un dia que va ser consultat pels deixebles sobre les forces dominants dels destins dels homes, el gran savi va respondre: “ Els nombres governen el món ! “
Hank-Tade-Madya, viatjant bagdalí en un antic Irak, ens explica com troba al desert un inesperat company de viatge: Beremiz Samir, un home savi i tranquil que domina l’art d’explicar històries i la ciència de les matemàtiques. Entrelligant ambdues, va deixant els seus ensenyaments: en el viatge se’ls hi van presentant desafiaments matemàtics, sovint presentats com a disputes entre vàries persones, que Samir resol amb gran habilitat.
L’intercanvi de magnituds, per tal de simplificar els processos de mesura, constitueix l’objectiu principal d’una ciència que els homes anomenem Matemàtica. Matemàtica
Per atènyer el seu objectiu, cal que la matemàtica estudiï els nombres, les seves propietats i transformacions. Aquesta és la part que s’anomena Aritmètica. Aritmètica Un cop coneguts els nombres, és possible aplicar-los en l’avaluació de les magnituds que varien o que són desconegudes, però que trobem expressades mitjançant relacions i fórmules. Tenim d’ aquesta manera, l’Àlgebra. l’Àlgebra Els valors que mesurem en el camp de la realitat són representats per cossos materials o per símbols que tenen tres atributs: forma, mida, i posició. L’estudi d’aquests atributs és l’objectiu de la Geometria. Geometria La Matemàtica, a més s’interessa per les lleis que regeixen els moviments i les forces, lleis que apareixen en la ciència que s’anomena Mecànica. Mecànica La Matemàtica posa tots els seus preciosos recursos al servei d’una ciència que eleva l’ànima i engrandeix l’home. Aquesta ciència és l’Astronomia Astronomia. Astronomia Sense l’auxili de la Matemàtica – va prosseguir el savi -, les arts divines i les ciències humanes : La Pintura, Escultura, Pintura la Música Música, sica l’Escultura Escultura l’Arquitectura Arquitectura, Arquitectura la Retòrica, Retòrica la Dialèctica, Dialèctica i la Filosofia no podrien progressar i totes les altres ciències moririen. El progrés d’un poble es troba lligat al desenvolupament dels estudis matemàtics. En l’ Univers tot és nombre i mesura. La Unitat, símbol del Creador,és el principi de totes les coses.
Per tal que puguem comprendre la Ciència, ens cal agafar com a base el nombre. - Uassalà! Amb aquestes paraules el calculista va donar per acabada la Primera lliçó de matemàtiques.
Los jardines jardines cifrados Carlo Frabetti Se cuenta que Gertrude Stein, en su lecho de muerte, le preguntó a su compañera: «¿Cuál es la respuesta?». Y, al no obtener contestación, dijo: «Entonces, ¿cuál es la pregunta ?».
El protagonista es troba al Museu del Prado, davant “El Jardí de las Delícies” de El Bosco quan comença a pensar en Nora, el seu gran amor, que el va abandonar fa quatre anys. En aquell moment, una dona que se li assembla entra a la sala i li explica que intenta localitzar un home que havia estat parlant amb ell sobre el quadre. Intentant complaure la noia, s’ofereix per a trobar a aquest home misteriós amb l’ajuda d’un exprofessor de matemàtiques. Junts emprenen una aventura plena de misteris, conjectures, casualitats,
probabilitats i molta deducció científica, com els anagrames de Galileu i Kepler, que els portarà al descobriment d’una organització secreta molt antiga i que perdura en el temps gràcies, entre d’altres coses, al seu alt desenvolupament científic.
Els anagrames de Galileu i Kepler: L’agost de 1610, Galileu va enviar aquest missatge a l’ambaixador toscà a Praga: SMAISMRMILMEPOETALEUMIBUNENUGTTAUIRAS El text era un anagrama mitjançant el qual Galileu pretenia establir la paternitat d’un descobriment sense fer-ho de forma explícita. Galileu va demanar a l’ambaixador que fes arribar una còpia del missatge al seu amic Kepler. Aquest, acostumat a resoldre misteris va desxifrar l’anagrama de la següent manera:
Salve umbistineum geminatum Martia proles. [Salve, ardents bessons fills de Mart]
Kepler va pensar que Galileu havia descobert que Mart tenia 2 satèl·lits, la qual cosa coincidia amb les seves idees geomètriques de l’univers: la terra té 1 satèl·lit; Mart, 2; Júpiter, 4... No va ser fins al 1877 que Aseph Hall, utilitzant un telescopi cent vegades més potent que el de Galileu, va descobrir les llunes de Mart, Phobos i Deimos.
Tres mesos després, el 13 de novembre, Galileu va comunicar la solució a l’emperador Rodolfo:
Altissimum planetam tergeminum observavi. [Vaig observar que el planeta més alt era triple] Galileu havia descobert els anells de Saturn, però degut a la poca resolució del telescopi que utilitzava havia pensat que eren dues llunes, una a cada costat del planeta. Fins al 1659 no es van descobrir els anells. Un mes després del primer enviament, Galileu enviava un altre anagrama a Julià de Medicis:
HAEC IMMATURA A ME JAM FRUSTRA LEGUNTUROY
Kepler va tornar a intentar resoldre-ho i va trobar aquest text:
Macula rufa in Jove est gyratur mathem, etc. [Hi ha una taca vermella a Júpiter que gira matemàticament]
Júpiter té efectivament una gran taca vermella que està en moviment però que no va ser descoberta fins dos segles més tard. El missatge real, com va desvetllar Galileu era:.
Cynthiae figuras aemulatur mater amorum [La mare de l'amor (Venus) emula la forma de Cynthia (la Lluna)] El que Galileu havia descobert era que Venus presentava fases com la Lluna, fet que era consistent amb el gir de Venus al voltant del Sol.
El Teorema del lloro Denis Guedj Seguramente te extrañará que al referirme a matemáticas hable de literatura. Te garantizo que hay en estas obras historias que valen tanto como las de nuestros mejores novelistas.
Max és un nen de dotze anys que viu al barri de Montmatre amb els seus germans bessons, la seva mare i un vell llibreter paralític pel que treballa la seva mare. Un matí Max rescata un lloro anomenat Sensefutur i l’instal·la a casa seva. Al mateix temps, el llibreter rep un regal d’un antic amic compost per una col·lecció de llibres de matemàtiques i dues cartes. Aquestes cartes provocaran una investigació, a través de la qual es fa un repàs sobre la vida i les aportacions de grans matemàtics, des de Tales de Mileto fins a Grosrouvre, el matemàtic que va dir que havia provat el teorema de Fermat. Aquesta investigació aportarà les claus per resoldre un assassinat i el lloro esdevindrà la clau final de l’intriga.
Pierre de Fermat va escriure, el 1637, al marge del seu exemplar de l’Arithmetica de Diofanto, traduït per Claude Gaspar Bachet, en el
problema que tracta sobre escriure un número quadrat com a suma de dos quadrats:
És impossible que un cub sigui la suma de dos cubs, que una potència quarta sigui la suma de dues potències quartes i, en general, que qualsevol nombre que sigui una potència superior a dos sigui la suma de dues potències del mateix valor. He descobert una demostració veritablement meravellosa d'aquesta proposició, però aquest marge és massa estret perquè hi càpiga. No va ser fins al 1995, que es va demostrar la veracitat del teorema. Ho va fer Andrew Wiles ajudat pel matemàtic Richard Taylor. La cerca d’una demostració per a aquest teorema va estimular el desenvolupament de la teoria algebraica dels números en el segle XIX i la demostració del teorema de la modularitat en el segle XX.
La Fórmula més estimada del professor Yoko Ogawa Aun cuando se aclare la naturaleza de los números primos no digo que la vida se vuelva más fácil o agradable ni que se gane más dinero. Por supuesto, por más que nos empecinemos en volverla le espalda al mundo, muchos son los casos en que un descubrimiento matemático acaba
por aplicarse, en la práctica, a la realidad. Del estudio de la elipse resultó la órbita planetaria, y de la geometría no euclidiana, la forma del universo mostrada por Einstein. Los números primos fueron incluso cómplices de la guerra pues sirvieron de base para los mensajes en clave. Resulta horrendo. Pero ése no es el propósito de las matemáticas. Su objetivo es únicamente desvelar la verdad
Aquesta novel·la, que es va convertir en un boom al Japó, narra la història d’una mare soltera que comença a treballar com a assistenta a casa d’un vell i malcarat professor de matemàtiques que va patir un accident de cotxe que li va afectar a la memòria: només pot recordar els últims 80 minuts de la seva vida, la qual cosa l’obliga a deixar-se notes per enrecordar-se de les coses essencials, però encara és capaç de recordar tot el que té a veure amb les matemàtiques. A poc a poc comença a relacionar-se amb la mare i el seu fill i els hi transmet el seu amor per les matemàtiques. És una història d’amor i d’amistat, d’aprenentatge i creixement personal, tot relacionat amb les matemàtiques.
Una de les coses que els explica és la teoria dels nombres amics: Dos nombres amics són dos nombres enters positius a i b tals que la suma dels divisors propis d’un és igual a l’altre número i viceversa. Per exemple:
-
els divisors propis de 220 són 1, 2, 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110 que sumen 284
-
els divisors propis de 284 són 1, 2, 4, 71 y 142, que sumen 220
Si el número és amic de si mateix (és igual a la suma dels seus divisors propis) rep el nom de número perfecte, per exemple: els divisors propis de 6 són 1, 2 i 3, que sumen 6
L’Oncle Petros i la conjectura de Golbach Apostolos Doxiadis Doxiadis Toda familia tiene su oveja negra; en la nuestra era el tio Petros
És una divertida i emotiva novel·la que narra la relació que s’estableix entre el protagonista, un jove que busca la seva vocació, i el seu ancià oncle Petros, quan descobreix que l’oncle Petros va ser un nen prodigi de les matemàtiques i un eminent investigador en universitats alemanyes i britàniques. Descobreix, també, que va dedicar la seva vida a estudiar la conjetura de Goldbach, un problema matemàtic mític que encara no
s’ha resolt. La novel·la representa la lluita èpica de l’ésser humà per conquerir allò impossible.
La conjetura de Goldbach apareix en una carta que va enviar el matemàtic prussià Christian Goldbach el 7 de juny de 1742 a Leonhard Euler i diu que:
tot nombre enter superior a 5 es pot escriure com a suma de tres nombres primers. Posteriorment, Euler la va reformular en una versió més famosa:
tot nombre enter parell superior a 2 es pot escriure com a suma de dos nombres primers. És un dels més antics problemes matemàtics pertanyent a la teoria dels nombres sense demostrar.
La incógnita Newton Catherine Shaw —Y la pregunta es —prosiguió con vehemencia—, ¿qué ocurre si debido a las diminutas deformaciones de las elipses por el paso del tiempo, al final terminan por escapar, enloquecidos, venciendo la fuerza de la atracción y lanzándose sin control al espacio? Al final,
eso será lo que ocurrirá, incluso en nuestro sistema solar. ¡No, no te molestes en preocuparte! Los cálculos demuestran que eso no sucederá en muchísimos años, así que tienes tiempo suficiente para estudiar matemáticas e indagar en el problema de los n cuerpos. —Así que ésta es la influencia que ejercen los planetas entre sí —comenté, pensativa—. Es como si describiese el modo en que las relaciones entre los seres humanos distorsionan las relaciones directas y puras entre cada individuo y la Divinidad.
Cambridge, 1888. La institutriu Vanessa Duncan té el privilegi de compartir xerrades intel·lectuals amb els matemàtics més prestigiosos de la ciutat, que en les últimes setmanes es troben intentant resoldre “el problema dels tres cossos”; una incògnita que va plantejar Isaac Newton i per la que el rei Òscar II de Suècia està disposat a pagar una important suma a qui la resolgui. Però el que en un principi semblava una simple qüestió de números, es converteix en una successió d’assassinats d’acadèmics que obligaran Vanessa a recórrer tota Europa buscant l’assassí per a salvar el seu promès, un altre matemàtic, de la forca.
El problema dels tres cossos consisteix en determinar les posicions i velocitats de tres cossos, de qualsevol massa, en qualsevol instant, sotmesos a la seva atracció gravitacional mútua i partint d'unes
posicions i velocitats donades. Aquest teorema pren especial rellevància perquè contribueix a determinar les òrbites del sistema solar i la mútua relació de magnetismes i forces entre els eclipses de sol, lluna i terra, i va proporcionar les bases per a formular vàries teories. En 1776 el matemàtic francès Pierre Simon Laplace va començar a publicar 5 volums del Traité du Mécanique Céleste , en el qual afirmava categòric que, si es conegués la velocitat i la posició de totes les partícules de l'Univers en un instant, es podrien predir el seu passat i futur. Durant més de 100 anys la seva afirmació va semblar correcta i, per això, es va arribar a la conclusió que el lliure albir no existia, ja que tot estava determinat. El determinisme laplacià consistia a afirmar que, si es coneixen les lleis que governen els fenòmens estudiats i es coneixen les condicions inicials i s'és capaç de calcular la solució, llavors es pot predir amb total certesa el futur del sistema estudiat. A finals del segle XIX Henri Poincaré (1854-1912), matemàtic francès, va introduir un nou punt de vista en preguntar si el sistema solar seria estable per sempre. Poincaré va ser el primer a pensar en la possibilitat del caos, en el sentit d'un comportament que depengués sensiblement de les condicions inicials. El 1903 Poincaré postulava sobre l'aleatori i de l'atzar en els següents termes: L'atzar no és més que la mesura de la ignorància de l'home, reconeixent, al mateix temps, l'existència d'innombrables fenòmens que
no eren completament aleatoris, que simplement no responien a una dinàmica lineal, aquells als que petits canvis en les condicions inicials conduïen a enormes canvis en el resultat. Aquesta afirmació, a més, està directament relacionada amb la teoria de variables ocultes. D'aquesta manera es va començar la recerca de les lleis que governen els sistemes desconeguts, com ara el clima, la sang quan flueix a través del cor, les turbulències, les formacions geològiques, els embussos de vehicles, les epidèmies, la borsa o la forma en què les flors floreixen en un prat.
Els Crims d’Oxford Guillermo Martínez Hay una diferencia entre la verdad y la parte de verdad que puede demostrarse
Pocs dies després d’haver arribat a Oxford, un jove estudiant argentí troba el cadàver d’una anciana que ha estat asfixiada amb un coixí. L’assassí resulta ser un desafiament intel·lectual llançat a un dels matemàtics més eminents del segle: Arthur Seldom, i el primer d’una sèrie de crims. Mentre la policia investiga a varis sospitosos, el mestre i el deixeble comencen la seva pròpia investigació, que conjuga
els jocs del llenguatge de Wittgenstein, el teorema de Gödel, l’art dels vells mags i les sectes antigues de matemàtics.
Els teoremes de Gödel són dos teoremes demostrats per Kurt Gödel i s’inscriuen dins la lògica matemàtica. Diuen així:
En qualsevol formalització consistent de les matemàtiques que sigui prou forta per definir el concepte de nombres naturals, es pot construir una afirmació que ni es pot demostrar ni es pot refutar dins d'aquest sistema. Cap sistema consistent no es pot usar per demostrar-se a si mateix. Són equiparables en importància a la teoria de la relativitat d’Einstein i unes de les construccions fonamentals de les matemàtiques de tots els temps. Gödel va fer servir el rigor de les matemàtiques per a demostrar que les matemàtiques mateixes són incomplertes. En el seu article de 1931, demostra que qualsevol sistema lògic basat en axiomes i regles d’inferència, existeixen enunciats la veritat o falsedat dels quals no es pot demostrar, basant-nos en la pròpia lògica matemàtica del sistema. Abans de Gödel això ni tan sols es considerava, ja que l’interessant d’un enunciat era poder demostrar si era veritable o fals. A partir de Gödel apareix una diferència molt subtil entre veritat/falsedat i demostrabilitat.
La solitud dels nombres primers Paolo Giordano Giordano En una clase de primer curso Mattia había estudiado que entre los números primos hay algunos aún más especiales. Los matemáticos los llaman números primos gemelos: son parejas de números primos que están juntos, o mejor dicho, casi juntos, pues entre ellos media siempre un número par que los impide tocarse de verdad. Números como el 11 y el 13, el 17 y el 19, o el 41 y el 43. Mattia pensaba que Alice y él eran así, dos primos gemelos, solos y perdidos, juntos pero no lo bastante para tocarse de verdad.
La vida no és fàcil per a Alice i Mattia. El destí està entossudit a separar-los a través de nombroses barreres que els allunyen i anul·len l’atracció que els uneix. Com els nombres primers, que a priori estan a prop els uns dels altres, una distància insalvable els separa a conseqüència del que els va passar de petits. Per a demostrar al món, i a si mateixos, que el que senten va més enllà de tota realitat, hauran de trobar les forces necessàries per a superar tots els obstacles que els posaran a prova una vegada i una altra.
Curiositats dels nombres primers: -
L’únic nombre parell que és primer és el 2
-
L’únic nombre primer que acaba en 5, és el número 5
-
El nombre primer més gran trobat fins ara és el 2 elevat a la 57885161 potència, menys 1 (2^57885161-1). Té 17 milions de xifres.
-
Els primers més propers són el 2 i el 3 amb una diferència d’1
-
No se sap quin és el patró dels nombres primers ja que apareixen aleatòriament, per exemple després del 2 ve el 3, el 5 i l’11. Fins ara el més proper que s’ha trobat semblant a un patró és l’Espiral d’Ulam. L'Espiral d'Ulam, o espiral de primers és un mètode simple de representar mitjançant un gràfic que els nombres primers mostren un patró. Fou descoberta pel matemàtic Stanisław Ulam el 1963, quan, avorrit en una convenció científica, va començar a dibuixar una graella de nombres, començant per l'1 al centre, i disposant-los en espiral a partir d'aquest.
Després va encerclar tots els nombres primers i va obtenir la següent figura:
Per la seva sorpresa, els nombres encerclats tendien a alinear-se sobre línies diagonals. La imatge posterior és una espiral 200 × 200, on els primers són marcats en negre. Les línies diagonals són clarament visibles, confirmant el patró.
Tots els nombres primers, excepte el 2, són senars. Com que en l'espiral d'Ulam les diagonals adjacents són alternativament parells i senars, no és estranys que tots els nombres primers se situïn sobre diagonals alternades de l'espiral d'Ulam. El que és sorprenent és la tendència dels primers a situar-se més en algunes diagonals que en d'altres.
El curiós incident del gos a mitjanit Mark Haddon Yo creo que los números primos son como la vida. Son muy lógicos pero no hay manera de averiguar como funcionan, ni siquiera aunque pasaras todo el tiempo pensando en ellos.
Christopher és un jove de 15 anys amb la Síndrome d’Asperger, un trastorn relacionat amb l’autisme que no li permet tenir relacions socials ja que té problemes per a comprendre el llenguatge no verbal, contextual i ambiental; que descobreix al gos de la seva veïna assassinat. Aquesta troballa farà que es dediqui a investigar l’estranya mort seguint les passes del seu ídol Sherlock Holmes i aplicant els seus coneixements de lògica deductiva. La novel·la està plena de referències matemàtiques, per exemple els capítols estan
numerats amb nombres primers, apareixen les ternes pitagòriques, la teoria matemàtica del caos, o el problema de Monty Hall.
El problema de Monty Hall, aparentment senzill però amb una solució sorprenent que enganya a la intuïció, deu el seu nom al presentador del concurs de televisió Let’s Make a Deal (fem un tracte en català). Diu així: el concursant d’un programa televisiu ha de triar entre tres portes. Darrere d’una d’elles hi ha un cotxe i darrere de les altres hi ha una cabra. Quan el concursant ha triat una porta, el presentador sempre obre una altra porta on ell sap que hi ha una cabra i dóna al concursant l’oportunitat de canviar la porta triada en un principi. La pregunta és: el concursant ha de canviar de porta o no? Intuïtivament sembla que el fet de canviar o no canviar és indiferent i que en tots dos casos la probabilitat de guanyar és d’1/2. Però, la realitat és que si el concursant canvia de porta duplica les seves possibilitats de guanyar: si no canviés de porta guanyaria només si al començament havia triat la porta que conté el cotxe, per tant la probabilitat de guanyar és de 1/3; en canvi, si canviés de porta guanyaria si originalment havia triat una cabra i, per tant, la probabilitat de guanyar és de 2/3.