Análisis estructural aplicaciones matlab by Bienestar U de A

Análisis Estructural con Aplicaciones en Matlab

Carlos Alberto Riveros Jerez Edwin Fabián García Aristizabal Javier Enrique Rivero Jerez Carlos Cesar Domínguez Vega Jorge Humberto Arcila Zea

Universidad de Antioquia Facultad de Ingeniería 2014

ANÁLISIS ESTRUCTURAL CON APLICACIONES EN MATLAB

Facultad de Ingeniería UdeA

 Carlos Alberto Riveros Jerez, Edwin Fabián García Aristizabal, Javier Enrique Rivero Jerez, Carlos César Domínguez Vega, Jorge Humberto Arcila Zea  Reimpresos, duplicación de textos y documentos académicos de la Universidad de Antioquia Primera Edición: septiembre de 2014 Impreso y hecho en Colombia / Printed and made in Colombia Prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio o con cualquier propósito, sin la autorización escrita de Reimpresos, duplicación de textos académicos de la Universidad de Antioquia Reimpresos, duplicación de textos y documentos académicos Teléfono: (574) 219 53 38 Correo electrónico: reimpresos@udea.edu.co Reimpresos: Programa solidario de la Dirección de Bienestar Universitario, que tiene como objetivo editar y distribuir textos y documentos académicos de mayor demanda, para hacerlos asequibles a la comunidad universitaria, en cumplimiento de disposiciones legales y con criterios de economía y calidad.

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TABLA DE CONTENIDO

1. Conceptos Fundamentales 1.1. Definición de estructura 1.2. Clasificación de las estructuras 1.3. Idealización estructural 1.4. Estabilidad 1.5. Determinación e indeterminación estática 1.6. Grado de indeterminación estática 2. Métodos Energéticos 2.1. Principio de conservación de energía 2.2. Método de trabajo virtual 2.3. Teorema de carga unitaria 2.4. Teorema de Castigliano 3. Estructuras Estáticamente Indeterminadas 4. Método de Pendiente Deflexión 5. Método de Cross 6. Análisis Matricial 7. Programación en Matlab de Algunos Métodos de Análisis 7.1. Método de Cross 7.2. Ecuación de los tres momentos 7.3. Análisis matricial 7.3.1. Código matricial cerchas 7.3.2. Código matricial general

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1. CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1.1 Definición de estructura Conjunto de elementos capaces de soportar o transmitir carga, los cuales están dispuestos de tal forma que tanto la estructura total, como sus componentes, tengan la propiedad de mantenerse sin cambios apreciables en su geometría durante los procesos de carga y descarga.

1.2 Clasificación de las estructuras Según su sistema estructural • Estructuras reticulares: Estructuras formadas primordialmente por elementos en los cuales una de sus dimensiones es bastante mayor en comparación con las otras dos, los elementos están conectados constituyendo un entramado, ejemplos de estas son las cerchas (armaduras), los pórticos rígidos, etc. • Estructuras laminares: Estructuras que tienen un espesor considerablemente menor en comparación con sus otras dos dimensiones, ejemplos de estas son los tanques circulares de almacenamiento, silos, etc. • Estructuras masivas: Forman un continuo como por ejemplo las presas de concreto reforzado (gran peso), muros de contención, etc.

Desde el punto de vista del análisis • • • •

Estáticas o dinámicas Planares o espaciales De comportamiento lineal o no lineal Determinadas o indeterminadas

1.3 Idealización estructural Reducir la estructura a un modelo matemático que la represente de forma adecuada y permita evaluar su comportamiento en forma analítica ante las diferentes solicitaciones de carga; las hipótesis que se tienen son en primer punto que las deformaciones son pequeñas y el comportamiento de los elementos de la estructura es lineal y elástico. Es importante resaltar que la estructura real es diferente a la idealizada, que luces mayores implican elementos con mayor sección transversal.

1.4 Estabilidad Una estructura es estable cuando es capaz de soportar cualquier sistema concebible de cargas sin presentar inestabilidad, la estabilidad no depende del sistema de cargas.

Estabilidad estática Para que un cuerpo sólido permanezca en estabilidad estática es necesario que se cumplan las siguientes condiciones:

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∑F = 0 ∑M = 0

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Ecuación que relaciona las fuerzas Ecuación que relaciona los momentos

Cuando hay tres reacciones de equilibrio para una estructura en el plano, debe haber por lo menos tres reacciones independientes para impedir el desplazamiento (condición necesaria pero no suficiente para el equilibrio estático).

Inestabilidad geométrica A pesar de haber un número adecuado de apoyos, su arreglo no permite a la estructura resistir el movimiento causado por una fuerza aplicada arbitrariamente.

Figura 1. Estructura con Inestabilidad geométrica.

Figura 2. Estructura con estabilidad geométrica.

Determinación e indeterminación estática Sistemas determinados: ecuaciones de equilibrio.

cuando

existen

tantas

fuerzas

desconocidas

como

Figura 3. Estructura estáticamente determinada.

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+ ↑ ∑ Fy = 0 : − P + Fya + Fyb = 0

∑F ∑M

→ + ∩ +

= 0 : Fxa = 0

= 0 : − P.

L + Fyb .L = 0 2

1.5 Grado de indeterminación estática (GIE) NTI: Número total de incógnitas NTE: Número total de ecuaciones Si NTI = NTE  el sistema tiene solución exacta

Armaduras (plano) NB= Número de barras (solo fuerza axial) NR= Número de reacciones NN= Número de nodos NTI= NB+NR, NB → Fuerza axial NTE=2NN ∑Fx ; ∑Fy GIE=NB+NR-2NN

NB=7 NR=3 NN=5 GIE=0

Figura 4. Armadura plana estáticamente determinada.

Pórticos (plano) NE= Número de elementos NTI=3NE-NR, 3NE → axial, cortante, momento, C: NTE=3NN-C, 3NN →2∑F Λ Momento, C → Rotula, M=0 GIE=3NE+NR-3NN-C NE=3 NR=5 NN=4 C=1 GIE=1 Figura 5. Pórtico plano estáticamente indeterminado.

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Armadura (espacio) NTI=NB+NR NTE=3NN ∑Fx = 0; 0; ∑Fy = ∑Fz = 0

1.5.1 Pórtico (espacio) NTI=6NE+NR NTE=6NN+C; 6NN →

∑ F(

x,y,z )

∑ M(

x,y,z )

GIE=GNE+NR-GNN-C

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2. MÉTODOS ENERGÉTICOS Los métodos energéticos se fundamentan en que el trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en energía potencial elástica de deformación; los elementos cargados almacenan la energía en forma de deformación y una vez se descargan los elementos, la energía es liberada y la estructura regresa a su estado inicial. Al deformarse la estructura, la configuración geométrica de la estructura cargada es diferente de su configuración sin carga.  Para estructuras estáticamente determinadas, los cambios extremadamente pequeños en la configuración no tienen efecto significativo sobre su geometría (y fuerzas internas).  Para estructuras estáticamente indeterminadas, las deformaciones pequeñas tienen un efecto significativo sobre la distribución de las fuerzas internas y su evaluación precisa es primordial.

Figura 6. Curva esfuerzo deformación.

Ley de Hooke: σ = E × ε De acuerdo a datos experimentales se asume que el concreto tiene un comportamiento lineal hasta aproximadamente un valor de esfuerzo de 0.45f’c. La rigidez se define como la capacidad de resistir deformaciones. A mayor rigidez, mayor control de deformaciones.

Figura 7.Curva esfuerzo deformación del concreto.

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2.1 Principio de conservación de energía “El trabajo efectuado por las cargas aplicadas se convierte en energía potencial de deformación elástica o energía elástica que se almacena en los elementos”. La energía de deformación puede ser causada por: fuerza normal, fuerza cortante, momento flector, y/o momento torsor. Todo el trabajo de las fuerzas externas debe ser igual al trabajo que hacen las fuerzas internas en la estructura.

∆we = ∆Fj × ∆D j ΔFj

Δ δDj Figura 8.

we =

1 Fj × D j 2

Δ Figura 9.

we = Q j × D j Qj

Figura10. Figura10.

El trabajo interno es igual a la energía almacenada en el elemento por deformación.

wi = ∫ ∫ σε d A d L L A

wi : Trabajo fuerzas internas σ : Esfuerzo ε : Deformación unitaria

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Fuerza Axial Causa una deformación en el eje del elemento.

Figura 11.

Figura 12.

Figura 13.

Figura 14.

wi = ∫ ∫ σε d A d L ; σ xx = n / A; ε xx = N / EA = σ / E L A

wi = ∫ ∫

L A

n N   d A d L ; A  EA 

nN dL EA L

wi = ∫

Fuerza cortante

wi = ∫ ∫ τ xyγ xy d A d L L A

µ yQ I zb τ Q VQ γ xy = xy = y G IZ b

τ xy =

Figura 15.

 µ y Q  Vy Q  wi = ∫ ∫   d A d L I b I bG Z Z    A Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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wi = ∫ L

µ yVy

G( A /αy )

dL ;

A αy = 2 IZ

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Q2 ∫∫A b2 d A

G: Módulo elástico transversal

E 2 (1 + V )

Momento Flector (eje z)

Al generarse una curvatura, se genera a la vez una distribución de esfuerzos.

Figura 16

Eje neutro: Zona de cambio de esfuerzo de compresión a esfuerzo de tracción.

Figura 17

wi = ∫ ∫ σε d A d L L A

σ xx = −

−M ZY mZ Y ; ε xx = IZ EI Z

 m Y  M Y  wi = ∫ ∫  Z   Z d A d L I Z   EI Z  L A m M wi = ∫ ∫ Z 2 Z Y 2 d A d L ; I Z = Y 2 d A EI Z L A m M wi = ∫ Z Z d L EI Z L

Momento Torsor

wi = ∫ ∫ τγ d A d L L A

t×r τ= ; J

γ=

T ×r ; GJ

J: Momento polar de inercia

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 t × r  T × r  wi = ∫ ∫    d Ad L J GJ    L A

tT 2 r d Ad L ; GJ 2 L A tT wi = ∫ dL GJ A wi = ∫ ∫

J = ∫∫ r 2 d A

Energía total interna de deformación wi (total ) = ∫ L

nN dL + AE

µ yVy

∫ G(A/α ) d L

mZ M Z dL + AE L

∫

µ ZVZ

∫ G(A/α ) d Z

∫

my M y EI y

dL +

∫ GJ d

A αy = 2 IZ

 Qy  ∫∫A  tZ  d A

A αZ = 2 Iy

 QZ ∫∫A  t y 

  d A 

2.2 Trabajo virtual El trabajo externo = Energía almacenada en la estructura

we = ∫ Fj × D j (Desplazamiento real) La ecuación general dice:

we + Q j D j = ∫

∫

(µ ) y

EI y

dL + ∫

M2 N2 dL + ∫ Z dL EA EI Z Vy2

G ( A / ay )

dL + ∫

Vz2 dL + G ( A / az )

µYQVY 2 µ ZQVZ 2 nQ N M ZQ M Z 2 M YQ M Y 2 tQT T2 + + + + + d d d d d ∫ GJ L ∫ EA L ∫ EI z L ∫ EIY L ∫ G ( A / ay ) L ∫ G ( A / az ) d L + ∫ GT d L we : Trabajo hecho por cargas externas. Q j : Carga virtual.

D j : Desplazamiento producido por una carga virtual.

Fi : Cargas aplicadas sobre la estructura. Las deformaciones virtuales se asumen son iguales a las reales. Mientras que las fuerzas si se diferencian. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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2.3 Principio de trabajo virtual Desplazamientos × Fuerzas = Reales Virtuales Qj Dj

Desplazamientos internos reales

Fuerzas internas virtuales

Desplazamientos internos reales tiene que ver con:

N VQ My Tr , , , EA IbG EI GJ Fuerzas internas virtuales tienen que ver con:

n µ Q my tr , , , A Ib I J

2.4 Teorema de carga unitaria Q j × D j = 1.0 × D j

2.4.1 Cálculo de deflexiones para armaduras Las barras sólo trabajan a fuerza axial (tensión o compresión). Suponiendo miembros de tensión transversal constante se tiene: m

nQi N i

i =1

Ai Ei

Dj = ∑

M: Número de miembros.

Procedimiento 1. Si el desplazamiento requerido es una traslación, la carga virtual Q j es una carga unitaria concentrada en el punto y en la dirección de la desviación deseada.

1,0=Qj

Figura 18.

1,0=Qj

1,0= Q j para desplazamientos así

Figura 19.

1,0= Q j para desplazamientos así ↔

2. Si el desplazamiento requerido es una rotación, la carga virtual es un momento o un par unitario concentrado en el punto y en la dirección de la rotación. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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3. Si el desplazamiento requerido es una traslación relativa entre 2 puntos, las cargas virtuales Q j son 2 fuerzas unitarias concentradas en direcciones opuestas a lo largo de la línea que une los puntos. 4. Si el desplazamiento requerido es la rotación de una barra, se aplican 2 cargas unitarias Q j en direcciones opuestas en los extremos de la barra y dicho desplazamiento se divide por la longitud de la barra para obtener la rotación.

Ejemplo 1:

Figura 20.

Calcular el desplazamiento vertical nodo C

Carga real

Figura 21.

∩ +

∑ M A = 0 : − wL

3L L + By L − P =0 2 2

wL2 3PL + 2 By = 2 L Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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By = ∩ +

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wL 3P + 2 2

∑ M B = 0 : wL

L L − Ay L − P = 0 2 2

wL2 PL − 2 Ay = 2 L

Ay =

wL P − 2 2

Corte 1-1

wL P − 2 2

X  wL P  = 0 : M1 −  −  X + wX =0 2  2 2 wL PX wX 2 M1 = X− − 2 2 2

∩ +

∑M

1 1

Figura 22.

Corte 2-2

∩ +

∑M

2 2

= 0 : − PX − M 2 = 0

M 2 = − PX

Figura 23.

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Carga Virtual

Figura 24. ∩ +

∑ M A = 0 : By L − 1.0

By = ∩ +

3 2

∑ M B = 0 : − 1.0

Ay =

3L =0 2

L + Ay L = 0 2

1 2

Corte 1-1 ∩ +

∑ M 11 = 0 :

M1 = − X / 2

1 X + M1 = 0 2

Figura 25.

Corte 2-2

∩ +

∑M

2 2

= 0 : − 1.0 X − M 2 = 0

M2 = −X

Figura 26. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Deflexión L/2  L  wLX PX wX 2   − X   1 DC =  ∫  − −   dX + ∫ ( − PX )( − X ) dX  2 2  2  0 0  2  EI L L/2  1   − wLX 2 PX 2 wX 3  2 DC = + + ∫   dX + ∫ PX dX  EI  0  4 4 4  0 

1 DC = EI

L /2

 wLX 3 PX 3 wX 4  PX 3  + + −  +  12 12 16 3 0  0

  

 wL4 PL3 wL4 PL3  + + + −  12 16 24   12 1  wL4 PL3  DC = + −  EI  48 8  DC =

1 EI

2.5 Teorema de Castigliano “La componente de desplazamiento del punto de aplicación de una acción sobre una estructura en la dirección de dicha acción, se puede obtener evaluando la primera derivada parcial de la energía interna de deformación de la estructura con respecto a la acción aplicada”.

∂w ∂P  ∂  N2 M2 V2 T2 = dx + ∫ dx + ∫ dx + ∫ dx  ∫ 2 EI 2G ( A / α ) 2GJ  ∂P  2 AE

∆P =

Tomando como referencia: we = 1/ 2 f j × D j TIPO DE ESTRUCTURA

FUERZA

ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

ARMADURA

Fuerza Axial

∑ 2 AE

∑ N ∂P

VIGA O PÓRTICO

Fuerza Axial

N2 ∫ 2 EI dx

∫ AE ∂P dx

Fuerza Cortante

V2 ∫ 2G ( A / α ) dx

∫ G ( AA) ∂P dx

Momento Flector

M2 ∫ 2 EI dx

N 2L

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DESPLAZAMIENTO LINEAL

∂N L AE

N ∂N

∂V

M ∂M dx ∂P

∫ EI

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Momento Torsor

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T ∂T

T2 ∫ 2GJ dx

∫ GJ ∂P dx

Ejemplo 2:

Figura 27.

Calcular la rotación en el punto medio (c) de la viga en voladizo.

θC =

M ∂M ∂w dx =∫ EI ∂m ∂m

Corte 1 – 1 +∑ M

1 1

= 0;

-Px − M1 = 0

M1 = −Px

∂M =0 ∂m Figura 28.

Corte 2 – 2 +∑ M

2 2

= 0;

-Px − m − M 2 = 0

M2 = − [ m + Px ] m

∂M = −1 ∂m Figura 29.

1 θC = EI

θC =

L L 2   ∫ ( −Px )( 0 ) dx + ∫ ( −Px )( −1) dx  L2  0 

1 P  2 L2  × L −  EI 2  4

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θC =

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3PL2 8EI

Ejemplo 3:

Figura 30.

Para la viga simplemente apoyada que soporta la carga lineal ω , determinar el valor de la deflexión en el centro de la luz.

∆c ↓=

M ∂M ∂w dx =∫ EI ∂P ∂P

Figura 31.

wx 2  wL P  − + × x + + M1 2 2  2 wx 2  wL P  M1 =  + × x − 2 2  2 + ∑ 11 = 0;

∂M 1 = x ∂P 2 ∆C ↓=

2 EI

w   wL x − x 2  ( 0.5 x ) dx 2 2 

∫  0

( )

 L 2  wL 2 ∆C ↓=  3 EI  4 

∆C ↓=

L w ( 2) − 4

    

5wL3 384EI

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Ejemplo 4:

Figura 32.

Calcular el desplazamiento en el extremo libre B de la viga en voladizo.

∆B ↓=

∂U M ∂M =∫ dx ∂P EI ∂P

Corte 1-1

∩ +

∑M

1 1

= 0 : PX +

wX 2 + M1 = 0 2

Figura 33.

 wX 2  M 1 = −  PX +  2   ∂M = −X ∂P L wX 2  1  ∆B ↓=  − PX −  ( − X ) dx EI ∫0  2 

L 1  wX 3  2 PX +   dx 2  EI ∫0  L

1  PX 3 wX 4  = +   EI  3 8 0 1  PL3 wL4  = +   EI  3 8 

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3. ESTRUCTURAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADAS

Si B se mueve, todo se mueve problema

y no hay

Figura 34.

Si C se mueve , se tienen que distribuir los esfuerzos en A y B. Figura 35.

Figura 36.

•

Determinada: no se afecta con: - Cambios de temperatura - Asentamiento estructural

•

Indeterminada: si se afecta con: - Cambios de temperatura - Asentamiento estructural

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Indeterminada Figura 37.

Para convertirla en determinada: (se quita el apoyo simple)

Figura 38.

Una estructura es estáticamente indeterminada si no pueden ser analizados sus aspectos internos y reacciones por las ecuaciones de equilibrio estático. • •

Método de carga unitaria Método de Castigliano

Cualquier estructura puede convertirse en estáticamente determinada suprimiendo las acciones sobrantes o hiperestáticas.

GIE = 2 NE + NR − 2 NN − C NE = 3 NR = 4 NN = 4 GIE = 2

Figura 39.

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Estructura primaria

Figura 40.

∆1 = 0 = ∆1' + ∆11 + ∆12 ∆ 2 = 0 = ∆ '2 + ∆ 21 + ∆ 22

Definición coeficientes flexibilidad:

∆11 = ∂11 X 1 ∆12 = ∂12 X 2 ∆ 21 = ∂ 21 X 1 ∆ 22 = ∂ 22 X 2

∆1' + ∂11 X 1 + ∂12 X 2 = 0 ∆ '2 + ∂ 21 X 1 + ∂ 22 X 2 = 0

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m1 (Se quitan P, Q ∧ w) m2 (Se quitan P, Q ∧ w)

Figura 41.

Por carga unitaria:

∆1' = ∫

Mm1 dx EI

∆ '2 = ∫

Mm2 dx EI

∂12 = ∫

m1m2 dx EI

∂ 21 = ∫

m2 m1 dx EI

∂11 = ∫

m1m1 dx EI

∂ 22 = ∫

m2 m2 dx EI

Método Castigliano

∆1 =

∂w =0 ∂X 1

∆2 =

∂w ∂w = 0 … ∆n = ∂X n ∂X 2

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Ejemplo 5:

Figura 42.

Grado de indeterminación estática (GIE): No. de elementos=2; No. de reacciones=5; No. de nudos=3 No. de condiciones especiales=0 GIE=3NE+NR-3NN-C=2

Estructura primaria

Figura 43.

Figura 44.

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wL2 ∑ M A = M A − FC × 2 L − RC × L + 2 + wL2 ∑ FY = RA + RC − wL

∑F

= FA + wL − FC

Figura 45.

Figura 46.

Figura 47.

El punto “C” no presenta movimiento, pero el punto “B” sí presenta movimiento. Ecuaciones de compatibilidad:

∆C = 0 = ∆′CX + ∫ Cx × ( Qx = 1) + ∫ Cx × ( Qy = 1) →

∆C ↓= 0 = ∆′CY + ∫ Cy × ( Qx = 1) + ∫ Cy × ( Qy = 1) Cargas reales: Tramo AB: ( 0<X ≤ L )

Figura 48.

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wL2 − RC L − FC ( L + X ) = 0 2 wL2 M = RC L + FC ( L + X ) − wLX − 2

( + ∑ M / corte = M + wLX +

Tramo BC: ( 0<X ≤

2L )

Figura 49. 2

w X   X   X  ∑ M / corte = M + 2  2  − FC  2  − RC  2   X   X  w 2 M = FC   + RC  − X  2  2 4 Carga unitaria: Q X

Figura 50.

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Tramo AB: ( 0<X ≤ L )

Figura 51.

∑ M / corte

1−1

= m1 − 1.0 ( L + x )

m1 = ( L + x )

Tramo BC: ( 0<X ≤

∑ M / corte

2− 2

m1 =

2 L)

 x  = m1 − 1.0    2

x 2

Carga unitaria: Q y

Figura 52.

Tramo AB:

m 2 =L Tramo BC:

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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m2 =

Facultad de Ingeniería UdeA

x 2

Desplazamientos:

Mm1 dx → EI  1  L  wX 2  = + + − − R L F L X wLX ( )  ∫0  C  ( L + X ) dx C 2  EI   

∆C = ∫

+∫

 X X wX 2   X    + RC −  FC dx   4   2    2 2   L  wX 2 L wX 3  2 2 2 2 2 R L F L F XL wL X R LX F LX F X wLX + + − − + + + − −  ∫0  C  dx C C C C C 2 2   

∆C =

1 EI

+∫

 FC X 2 RC X 2 wX 3   + −  dx  = 0 2 4 2    2

→

FC LX 2 w 2 2 wX 3 L RC LX 2 ∆C = ( RC L X + FC L X + − LX − + → 2 2 6 2 3 4 F F X w wX L )]0 + C LX 2 + C − LX 3 − 2 3 3 8 FC X 3 RC X 3 wX 4 2L ]0 = 0 + + − 6 6 16 2 2

FC 3 w 4 w 4 RC 3 L − L − L + L → 2 2 6 2 3 F F F R w w + C L3 + C L3 − L4 − L4 + C 2 L + C 2 3 3 8 6 6 1,97 RC + 2,8 FC = 1,3wL ∆C = RC L3 + FC L3 +

(

)

(

)

2L −

w 16 2

(

)

Mm2 dx EI  wX 2  1   L  = + + − − R L F L X wLX )  ∫0  C  ( L ) dx C ( EI  2     ∆C ↓= ∫

+∫

 X X wX 2   X     + − F R  C dx   C  4   2   2 2  

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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∆C ↓= +∫

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wX 2 L  1  L  2 2 2  ∫0  RC L + FC L + FC XL − wL X −  dx EI   2 

 FC X 2 RC X 2 wX 3   + −  dx  = 0 2 4 2    2

FC LX 2 w 2 2 wX 3 L L )]0 ∆C ↓= ( RC L X + FC L X + − LX − 2 2 6 F X 3 RC X 3 wX 4 2L ]0 = 0 + C + − 6 6 16 2 2

FC 3 w 4 w 4 L − L − L + 2 2 6 3 3 4 FC R w 2L + C 2L − 2L = 0 6 6 16 2 1, 47 RC + 1,97 FC = 0,84 wL ∆C ↓= RC L3 + FC L3 +

(

)

(

)

(

)

RC = −0,89 wL; FC = 1, 09 wL

Ejercicio 6:

Figura 53.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Diagrama de cuerpo libre

Figura 54.

Tramo AB

Figura 55.

∑M = M + w M = −w

x2 + FC ( 3a ) − RC ( 4a + x ) 2

x2 − FC ( 3a ) + RC ( 4a + x ) 2

∂M = −3a ∂FC ∂M = ( 4a + x ) ∂RC

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Tramo BC: ( 0<Z<5a )

Figura 56.

Figura 57.

3  4   Z  − RC  Z  5  5  3  4  M = − FC  Z  + RC  Z  5  5  ∂M 3 =− Z ∂FC 5

∑M = M + F

∂M 4 = Z ∂RC 5 Desplazamiento:

∆C = ∫ →

M ∂M dL EI ∂FC

 − wx 2  − FC ( 3a ) + RC ( 4a + x )  [ −3a ]]dx  0  2  5a 1  4   3   3  +∫ R z − FC  z    − z dz = 0 0 EI  C  5    5   5   

=∫

1 EI

R x 2 (3a ) wx 3 (3a ) = + FC ( 9a 2 ) x − RC (12a 2 ) x − C − 6 2 0 12 z 3 9z3 + FC RC 75 75

=0 0

51FC − 92 RC = −32 wa

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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M ∂M dL EI ∂RC

∆C ↓= ∫ ∆C ↓= ∫

+∫

=−

1 EI

Facultad de Ingeniería UdeA

 1  wx 2 − − FC ( 3a ) − RC ( 4a + x )  [ 4a + x ]dx  EI  2 

 4   3   4   RC  5 z  − FC  5 z    5 z dz       

wx 3 (4a ) − FC (12a 2 ) x − RC (16a 2 ) x − RC x 2 (2a ) − 6

RC x 3 wx 4 FC (3a ) x 2 2 − − RC x (2a ) − 8 2 3

+ 0

RC z 3 16 FC z 3 12 − 3 25 3 25 0

276 FC + 368 RC = −224 wa

RC = −0, 059 wa; FC = −0, 733

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4. MÉTODO DE PENDIENTE-DEFLEXIÓN Clasificado dentro de los métodos clásicos, se fundamenta en un análisis de desplazamientos y rotaciones, donde estas variables son derivadas en función de las cargas usando relaciones entre cargas y desplazamientos, posteriormente estas ecuaciones son solucionadas para obtener los valores de desplazamientos y rotaciones, finalmente los valores de fuerzas internas son determinados. Se definen nodos como los puntos donde la estructura tiene desplazamientos y/o rotaciones y grado de libertad como un desplazamiento o rotación que puede tener un punto de una estructura por efecto de aplicación de carga sobre la estructura. Considerando el tramo AB de la viga continua mostrada en la figura sobre la cual actúa una carga lineal distribuida w ( x ) por unidad de longitud y un asentamiento ∆ en el apoyo B . El valor EI es una constante a lo largo de la viga.

Figura 58. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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′ + M AB ′′ + M AB ′′′ M AB = FEM AB + M AB M AB = FEM AB + M AB =

4EIθ A 2EIθB 6EI ∆ + − 2 L L L

2EI  3∆  2θ A + θB − + FEM AB  L  L 

′ + MBA ′′ + MBA ′′′ MBA = FEMBA + MBA MBA = FEMBA + MBA =

2EIθ A 4EIθB 6EI ∆ + − 2 L L L

2EI  3∆  θ A + 2θB − + FEMBA  L  L 

Figura 59.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Ejercicio 7: Encontrar todos los momentos de la viga mostrada en la figura usando el método pendiente-deflexión. EI=7.

Figura 60.

Momentos por cargas externas •

Tramo AB ↷_+

Figura 61.

30 ( 7 2 ) wl 2 =− = −122.5 FEM AB = − 12 12 wl 2 30(7 2 ) FEM BA = = = 122.5 12 12 Tramo BC (Igual al tramo AB)

30 ( 7 2 ) wl 2 FEM BC = − =− = −122.5 12 12 30 ( 7 2 ) FEM CB = = 122.5 12 •

Tramo CD

Figura 62.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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(100 ) (4)(3 ) = Pab 2 =− −73.47 2 l 72 2 Pa 2 b (100 ) ( 4 ) (3) = 97.96 = 2 = l 72 2

FEM CD = − FEM DC

Δ=0 ya que no se referencian asentamientos en el enunciado. Así se tiene: 2 EI  3∆   2θ A + θB −  l  l 

M AB = FEM AB +

M AB = −122.5 + 2 ( 2θ A + θB ) , M BA = FEM BA +

2 EI  3∆   2θB + θ A −  l  l 

M BA = 122.5 + 2 ( 2θB + θ A )

2 EI  3∆   2θB + θC −  l  l 

M BC = FEM BC +

M BC = −122.5 + 2 ( 2θB + θC ) M CB = FEM CB +

2 EI  3∆   2θc + θB −  l  l 

M CB = 122.5 + 2 ( 2θc + θB ) M CD = FEM CD +

2 EI  3∆   2θc + θD −  l  l 

M CD = −73.47 + 2 ( 2θc + θD ) M DC = FEM DC +

2 EI  3∆   2θD + θC −  l  l 

M DC = 97.96 + 2 ( 2θD + θC )

Luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene: M BA +M BC =0 (1) M CB +M CD =0 (2) M AB =0

(3)

M DC =0

(4)

Luego de (1) se tiene: 122.5+2 ( 2θ B +θ A ) -122.5+2 ( 2θ B +θ C ) =0

( θ A +4θ B +θC ) =0 (a )

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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De (2):

122.5+2 ( 2θ c +θ B ) -73.47+2 ( 2θ c +θ D ) =0 49+2 ( θ B +4θ c +θ D ) =0 (b)

De (3): −122.5 + 2 ( 2θ A + θB ) = 0 (c ) De (4): 97.96 + 2 ( 2θD + θC ) = 0 (d ) Resolviendo (a), (b), (c) y (d): M AB =0 M BA =155.17 kN.m M BC =-155.17 kN.m M CB =114.31kN.m M CD =-114.31kN.m M DC =0 θ A = 35.38 rad θB = −9.53rad θC = 2.71 rad 28.85 θD = − rad

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Ejercicio 8: Encuentre Los momentos de la viga si el soporte en B se asienta 6mm

EI = 1

Figura 63.

•

Momentos cargas externas

Tramo AB

↷_+

Figura 64.

Tramo BC

FEM BC =0 FEM cB =0 •

Efectos Asentamientos:

Figura 65.

3∆ (3)(0.006m) = = 0.006 l 3m Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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•

Facultad de Ingeniería UdeA

Ecuación de momento:

M AB =FEM AB +

2EI  3Δ   2θ A +θ B −  l  l 

2 ( 2θ A +θ B -0.006 ) 3 2EI  3Δ  M BA =FEM BA +   2θ B +θ A − 3  l  2 M BA =75+ ( 2θ B +θ A -0.006 ) 3 2EI  3Δ  M BC =FEM BC +  2θ B +θ C −  l  l  2 M BC = ( 2θ B +θ C +0.006 ) 3 2EI  3Δ  M CB =FEM CB +  2θ c +θ B −  l  l  2 M CB = ( 2θ c +θ B +0.006 ) 3 M AB =-75+

Luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene:

M AB =0

(1)

M BA +M BC =0 (2) M CB =0

(3)

Luego de (1):

2 4  − +  θ A + θB − 0.004  = 0 (a ) 75 3 3  De (2):

2 4  2 75+  θ B + θ A -0.004  + (2θ B +θ C +0.006)=0 (b) 3 3  3 De (3):

2 ( 2θc +θ B +0.006 ) =0 (c) 3 Resolviendo (a), (b) y (c) Solución:

M AB =0 M BA =56.25kN.m M BC = -56.25 kN.m M CB =0

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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θ A = 84.38rad θB = −56.25rad θC = 28.12 rad Ejercicio 9:

Figura 66.

Calcular los momentos de la viga. Los asentamientos en los soportes son: A=32mm.

B=62mm. E=210GPa.

C=70mm.

D=28mm.

I=800 (106) mm4.

Solución: •

Momentos por cargas externas Tramo AB:

Figura 67.

(Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM AB =- 2 == -225 kNm l 62 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =225 kNm l 62 Tramo BC:

Figura 68. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

Página 41

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Pab 2 (200)(3)(32 ) == -150 kNm l2 62 (Pab 2 ) (200)(3)(32 ) FEM BA = 2 = =150 kNm l 62

FEM BC =-

Tramo CD (igual al tramo AB):

(Pab 2 ) (300)(3)(32 ) == -225 kNm l2 62 (Pab 2 ) (300)(3)(32 ) FEM DC = 2 = =225 kNm l 62 FEM CD =-

Efectos de asentamiento: Tramo AB:

∆ 0.03m = =0.005 l 6m

Figura 69.

Tramo BC:

Figura 70.

∆ 0.008m = =0.00133 l 6m Tramo CD:

Figura 71.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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∆ 0.042m = =0.007 l 6m •

Ecuaciones de momento:

Sabiendo que:

EI = 168000 KN − m 2

2EI 3∆ (2θ A +θ B - ) L L M AB =-225+56000(2θ A +θ B -0.015)

M AB =FEM AB +

2EI 3∆ (θ A +2θ B - ) L L M BA =225+56000(θ A +2θ B -0.015) M BA =FEM BA +

2EI 3∆ (2θ B +θ C - ) L L M BC =-150+56000(2θ B +θ C -0.00399) M BC =FEM BC +

2EI 3∆ (θ B +2θ C - ) L L M CB =150+56000(θ B +2θ C -0.00399) M CB =FEM CB +

2EI 3∆ (2θ C +θ D - ) L L M CD =-225+56000(2θ C +θ D +0.021) M CD =FEM CD +

2EI 3∆ (θ C +2θ D - ) L L M DC =225+56000(θ C +2θ D +0.021) M DC =FEM DC +

•

Ecuaciones de equilibrio, luego como las rotulas y las articulaciones no soportan momentos; se tiene:

M AB =0

(1)

M BA +M BC =0

(2)

M CB +M CD =0

(3)

M DC =0

(4)

Luego de (1):

-225+56000(2θ A +θ B -0.015)=0 (a) De (2):

225+56000(θ A +2θ B -0.015)-150+56000(2θ B +θ C -0.00399)=0 ( b) De (3): Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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150+56000(θ B +2θ C -0.00399)-225+56000(2θ C +θ D +0.021)=0 (c) De (4): 225+56000(θ C +2θ D +0.021)=0 (d) Resolviendo (a), (b), (c) y (d): M AB =0 M BA =153.88 kNm M BC =-153.88 kNm M CB =-107.08 kNm M CD =107.08 kNm M DC =0 θ A =0.0081 rad

θ B =0.0028 rad θ C =-0.0017 rad θ D =-0.0117 rad Ejercicio 10: Encontrar los diagramas de momento y cortante para una viga continúa de dos luces de igual longitud. w

Figura 72.

•

Momento de empotramiento:

-wL2 FEM AB = 12 wL2 FEM BA = 12 -wL2 FEM BC = 12 wL2 FEM CB = 12 •

Asentamientos:

∆ =0 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

Página 44

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•

Facultad de Ingeniería UdeA

Ecuaciones de pendiente-deflexión:

2EI wL2 (2θ A +θ B )L 12 2EI wL2 M BA = (θ A +2θ B )+ L 12 2EI wL2 M BC = (2θ B +θ C )L 12 2EI wL2 M CB = (θ B +2θ C )+ L 12 M AB =

(1) (2) (3) (4)

Además se sabe que:

M BA +M BC =0

(5)

M AB =0

(6)

M CB =0

(7)

Organizando las ecuaciones (6) en (1) y (7) en (4) se obtiene:

4EI 2EI wL2 θA + θB =0 L L 12 2EI 4EI wL2 θB + θC + =0 L L 12

(8) (9)

De (2):

M BA =

2EI 4EI wL2 θA + θB + L L 12

(10)

4EI 2EI wL2 θB + θC L L 12

(11)

De (3):

M BC =

De (5) se tiene que:

2 EI 8EI 2EI θA + θB + θ C =0 L L L

(12)

De (8) se tiene que:

wL3 θ B θA = 48EI 2

(13)

De (13) en (12) se tiene que:

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

Página 45

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θ B =-

wL3 2 - θC 168EI 7

Facultad de Ingeniería UdeA

(14)

De (14) en (9) se tiene que:

θ C =-

wL3 48EI

(15)

De (15) en (14) se tiene que:

θ B =0

(16)

De (16) en (13) se tiene que:

θA = •

wL3 48EI

(17)

Momentos:

Sustituyendo (16) y (17) en (10) se obtiene:

M BA =

wL2 8

(18)

Sustituyendo (15) y (16) en (11) se obtiene:

wL2 M BC =8

(19)

Diagrama de cortante y momentos

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

Página 46

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V(+)

Facultad de IngenierĂa UdeA

3 đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; 8

5 đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; 8

â&#x2C6;&#x2019;

M(+)

5 đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; 8

đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ??żđ??ż2 8

3 đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160;đ?&#x2018;&#x160; 8

Figura 73.

Ejercicio 11: Encontrar los diagramas de momento y cortante para la viga de la figura, la cual sufre un desplazamiento en el apoyo C de 12 mm.

Figura 74.

â&#x20AC;˘

Momentos de empotramiento: En este caso no se presentan momentos de empotramiento debido a que no existen cargas aplicadas en la viga.

â&#x20AC;˘

Asentamientos:

â&#x2C6;&#x2020; c =12mm â&#x20AC;˘

Ecuaciones de pendiente deflexiĂłn:

Riveros, C.A., GarcĂa, E.F., Rivero, J.E., DomĂnguez, C.C., Arcila, J.H.

PĂĄgina 47

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2EI (2θ A +θ B ) L 2EI M BA = (θ A +2θ B ) L 2EI 3∆ M BC = (2θ B +θ C - ) L L 2EI 3∆ M CB = (θ B +2θ C - ) L L 2EI 3∆ M CD = (2θ C +θ D + ) L L 2EI 3∆ M DC = (θ C +2θ D + ) L L 2EI M DE = (2θ D +θ E ) L 2EI M ED = (θ D +2θ E ) L M AB =

Facultad de Ingeniería UdeA

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

Además se sabe que:

M BA +M BC =0

(9)

M CB +M CD =0

(10)

M DC +M DE =0

(11)

M AB =0

(12)

M ED =0

(13)

Organizando las ecuaciones para Δ=0.012m y L=7m con (12) en (1) y (13) en (8) se obtiene:

4EI 2EI θA + θ B =0 7 7 2EI 4EI θA + θ B -M BA =0 7 7 4EI 2EI 9EI θB + θC -M BC =0 7 7 6125 2EI 4EI 9EI θB + θC -M CB =0 7 7 6125 4EI 2EI 9EI θC + θD + -M CD =0 7 7 6125 2EI 4EI 9EI θC + θD + -M DC =0 7 7 6125 4EI 2EI θD + θ E -M DE =0 7 7 4EI 2EI θ E =0 θD + 7 7 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

(14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

Página 48

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Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que: (2) y (3) en (9):

2EI 4EI 4EI 2EI 9EI =0 Î¸A + Î¸B + Î¸B + Î¸C 7 7 7 7 6125 2 8 2 9 =0 Î¸A + Î¸B + Î¸C 7 7 7 6125

(22)

(4) y (5) en (10):

2EI 4EI 9EI 4EI 2EI 9EI Î¸B + Î¸C + Î¸C + Î¸D + =0 7 7 6125 7 7 6125 2 8 2 Î¸ B + Î¸ C + Î¸ D =0 7 7 7

(23)

(6) y (7) en (11):

2EI 4EI 9EI 4EI 2EI + Î¸C + Î¸D + Î¸D + Î¸ E =0 7 7 6125 7 7 2 8 9 2 + Î¸ E =0 Î¸C + Î¸D + 7 7 6125 7

(24)

Despejando đ?&#x153;&#x192;đ??´ de (14) y reemplazando en (22)

1 8 2 9 - Î¸B + Î¸B + Î¸C =0 7 7 7 6125 2 9 Î¸ B =- Î¸ C + 7 6125

(25)

(25) en (23):

24 18 8 2 Î¸C + + Î¸ C + Î¸ D =0 49 42875 7 7 7 9 Î¸C =- Î¸ D 26 22750 -

(26)

(26) en (24):

1 9 8 9 2 + Î¸D + + Î¸ E =0 Î¸D 13 79625 7 6125 7 26 108 Î¸ D =- Î¸ E 97 84875 -

(27)

(27) en (21): Riveros, C.A., GarcĂa, E.F., Rivero, J.E., DomĂnguez, C.C., Arcila, J.H.

PĂĄgina 49

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52 216 4 θE + θ E =0 679 594125 7 9 θE = 12250

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(28)

(28) en (27):

9 6125

θ D =-

(29)

(29) en (26):

θ C =0

(30)

(30) en (25):

θB =

9 6125

(31)

(31) en (14):

θ A =•

9 12250

(32)

Calculo de los momentos: (32) y (31) en (15):

M BA =

27 42875

(33)

(31) y (30) en (16):

M BC =-

27 42875

(34)

(31) y (30) en (17):

M CB =-

9 8575

(35)

(30) y (29) en (18):

M CD =

9 8575

(36)

(30) y (29) en (19):

M DC =

27 42875

(37)

(29) y (28) en (20): Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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M DE =•

27 42875

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(38)

Calculo de las reacciones: Tramo AB:

∑M

=0:

-R AB (7)-M BA =0 27 =0 42875 27 R AB =300125 -R AB +R BA =0 -R AB (7)-

∑ F =0: Y

R BA =

27 300125

Tramo BC:

∑M

=0:

- R BC (7)+M BC +M CB =0 27 9 + =0 42875 8575 72 R BC = 300125 R BC +R CB =0

-R BC (7)+

∑ F =0: Y

R CB =-

72 300125

Tramo CD:

∑M

=0:

-R CD (7)-M CD -M DC =0 9 27 =0 8575 42875 72 R CD =300125 -R CD +R DC =0 -R CD (7)-

∑ F =0: Y

R DC =

72 300125

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Tramo DE

∑M

=0:

R ED (7)+M DE =0 27 =0 42875 27 R ED =300125 -R ED +R DE =0 R ED (7)+

∑ F =0: Y

R DE =

•

27 300125

Diagrama de momento y cortante A B

7m V(+)

72 300125

−

27 300125

−

M(+)

27 300125

−

27 42875

9 8575

72 300125

27 42875

−

27 42875

Figura 75.

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5. MÉTODO DE CROSS

Figura 76.

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Fundamentos del método de Cross:

Figura 77.

Figura 78.

δA = 0 ( por ser un apoyo simple) 1 M 2 = − M1 2

θ1 =

M1L 4 EI

Procedimiento general: Suponga que A ∧ B son empotrados.

Figura 79.

Se suelta A (se le quita el empotramiento) y queda de la siguiente forma:

Figura 80. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Se suelta B y se hace el mismo análisis

Figura 81.

EI L

(Rigidez)

Indica que valor proporcional de momento se transmite hacia un lado y que tanto se va para el extremo opuesto. Momento trasladado: Al aplicar un momento en un extremo articulado A, se genera un momento MBA en el otro extremo B. Si este extremo es articulado, el momento es cero, en tanto que si es empotrado será diferente de cero. Dicho momento se llama momento traslado o transmitido.

1 M 2 = − M1 2 Factor de transporte: Al cociente entre M1 y M2 se denomina factor de transporte. Para el caso de un extremo articulado hacia uno empotrado es de ½. Para un extremo articulado este valor es cero. Factores de distribución: Es un valor que permite distribuir un momento aplicado en un nodo entre los diversos miembros conectados a él. Se calcula como:

FDij =

K ij

∑K

; i

∑ FD i =1

= 1, 0

Análisis de vigas continuas 1. Determinar los factores de distribución en cada uno de los nudos que pueda girar. Se calcula este factor a todos los miembros que converjan en el nudo en forma rígida. 2. Determinar los momentos en extremos fijos o momentos de empotramiento (FEM o FE). 3. Equilibrar los momentos en todos los nodos que tengan libertad para girar: Procedimiento: a) En cada nodo, se debe evaluar el momento no equilibrado y distribuirlo a los miembros conectados al nodo. El momento distribuido en cada uno de los miembros rígidamente conectado al nodo se obtiene multiplicando el negativo del momento no equilibrado por el factor de distribución para el extremo del miembro. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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b) Trasladar la mitad de cada momento distribuido hacia el extremo opuesto del miembro. c) Repetir los pasos a y b hasta que todos los nodos libres queden equilibrados o bien, los momentos no equilibrados en estos sean suficientemente pequeños como para despreciarse. 4. Determinar los momentos finales en los extremos de los miembros sumando algebraicamente el momento en extremo fijo y todos los momentos distribuidos y trasladados en el extremo de cada miembro. Si la distribución es correcta, entonces los momentos finales deben satisfacer las condiciones de equilibrio en todos los nodos que puedan girar. 5. Calcular las fuerzas cortantes en los miembros. 6. Calcular las reacciones. 7. Trazar los diagramas de cortante y momento, usando la convención de signos de la viga. Condiciones de apoyo Apoyo simple en extremos: Puede analizarse la viga usando la simplificación para apoyos simples, tomando en cuenta que la rigidez relativa de 3I/4L para los claros adyacentes a los mismos. Con esto, se equilibra sólo una vez este nodo, y ya no se les traslada ningún momento adicional. Voladizo: Los tramos en voladizo no aportan rigidez al nodo correspondiente. Sin embargo, este momento en el voladizo debe calcularse y aplicarse en el nodo, el cual se consideraría como simple. Empotramiento: Basta con hacer una sola distribución Convención de signos Para los extremos de los miembros: Se consideran como momentos positivos aquellos que sean anti-horarios, en tanto que los negativos son los horarios. Para los nodos: Con el fin de garantizar la continuidad en la curva elástica del elemento, los momentos en los nodos deben ser compatibles con los de los miembros. De esta forma en un nodo, un momento será positivo si está en sentido horario.

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Ejercicio 12:

Figura 82.

Determinar los factores de rigidez:

1 L1

1 L2

1 6

1 2 3 DFBA = = = DFBC = = 4 = 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5 + + + + L1 L2 6 4 L1 L2 6 4 Momento de empotramiento (Sólo tramo A-B, porque tiene carga)

Figura 83.

Pab 2 ( 300 ) (3) ( 3) Pa 2b =- 2 = = KN m M = = 225 KN - m -225 ; BA l l2 62 2

M AB

Figura 84.

225 × 0.4 = 90, ( - ) para equilibrar; M 2 =

M 1 -90 → = -45 2 2

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Ejercicio 13:

Figura 85.

Momentos de empotramiento:

wl 2 -wl 2 (30)(5) 2 == -62,5 KN - m FEM BA = = 62,5 KN - m 12 12 12 wl 2 wl 2 (30)(7) 2 === -122,5 KN - m FEM CB = = 122,5 KN - m 12 12 12 Pab 2 Pa 2b = - 2 = -87,5 KN - m FEM DC = 2 = 87,5 KN m l l

FEM AB = FEM BC FEM CD

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−62, 5

0, 48

0,52

62,5

−122,5

122,5

−87,5

+31, 2

−17,5

−8,8

+15, 6

+28,8 +14, 4

+4, 2 +2,1

+4, 6

−7,8

−3, 9

+1,9 +0,8

+0,3 +0,15 +0,12

+45,1

0, 5

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+97,8

0, 5

−8,8

−7,8

+2, 3

+2, 0

−1, 2

−0, 6

+1, 0

+0,3

−0,5

−0, 25

+0,15

+0,13

−0, 07

+114, 5

−97,8

87,5

−3, 9

−1, 2 −0, 6

−0,5 −0, 25 −0, 07

−114, 6

+74

Modificación de rigidez para apoyos simples:

Figura 86.

M1L 4 EI = 3 M1L 4 3EI Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Ejercicio 14:

Figura 87.

Determinar los factores de rigidez:

1 3 × 6 4 = 0, 43 DFBA = 1 1 3 + × 6 6 4

DFBC

1 6 = = 0,57 1 1 3 + × 6 6 4

Momentos de empotramiento: Debido a que se está usando la simplificación para apoyos simples se debe considerar esta condición para calcular los momentos de empotramiento:

FEM AB = 0 FEM BA =

wL2 = 225 KN − m 8

0, 43

0, 57

+225

−96, 7

−128,3

+128,3

−128,3

0 0

−64, 2

Ejercicio 15:

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Figura 88.

Determinar los factores de rigidez:

1 3 1 × 4 DFBA = 7 4 = 0,3 DFBC = = 0, 7 1 3 1 1 3 1 × + × + 7 4 4 7 4 4

DFCB = 0, 7

DFCD = 0,3

Momentos de empotramiento: Debido a que se está usando la simplificación para apoyos simples, en el primero y el último, se debe considerar esta condición para calcular los momentos de empotramiento:

0,3

0, 7

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0,3 Página 61

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−306,3

−91,1

+167, 7

+71,9

+83,9

−45, 6

−58, 7

+31, 9

+16

−29, 4

−11, 2

+20, 6

+10,3

−5, 6

−66, 7

−39,1

−4,8

−3,1

−0, 6

−0, 4

+66, 7

196,9

−25, 2

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−7, 2

+3,9

+2,0

−3, 6

−1, 4

+2,5

+1,3

−0, 7

−0,9

+0,5

+0, 2

−0,5

+0,1

−0,1

+0, 4

+123,8

−123, 6

+208,8

+13, 7

+8,8

+1, 7

+1,1

+0, 2

+0,1

−208,8

6. ANÁLISIS MATRICIAL El estudio de los métodos clásicos es necesario para comprender el comportamiento de los distintos tipos de estructuras que se tienen. Sin embargo, en el momento de Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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analizar grandes estructuras, la aplicación de dichos métodos a mano se hace engorrosa y difícil. Con el nacimiento de los microcomputadores, el uso de métodos matriciales alcanzó un extraordinario desarrollo debido a la posibilidad de efectuar cálculos a grandes velocidades. Origen •

Entre 1945-1955 aparecen los primeros artículos referentes a un nuevo método de análisis que usaba matrices de flexibilidad o de rigidez de la estructura.

•

Los métodos matriciales surgen de necesidades en la industria aeronáutica.

•

En Ingeniería Estructural se necesitaban métodos que permitieran hacer diseños cada vez más complejos.

•

En septiembre de 1956 aparece un artículo escrito por Turner, Clough, Martin y Topp llamado por Stiffness and Deflection Analysis of Complex Structures

Conceptos básicos •

Métodos matriciales. Consiste en reemplazar la estructura continua real por un modelo matemático de elementos estructurales finitos, cuyas propiedades pueden expresarse en forma matricial. El proceso de análisis se puede considerar como: I. II. III. IV.

Acción sobre la estructura. Acción sobre los elementos. Respuesta de los elementos. Respuesta de la estructura.

Los métodos matriciales tienen dos grandes variantes: el método de la flexibilidad en el cual las incógnitas son las fuerzas y el método de la rigidez en el cual las incógnitas son los desplazamientos. Este enfoque se trabaja en todos los métodos del análisis estructural. Sin embargo, por ventajas computacionales el método de la rigidez ha ganado más aceptación.

{F } = [ K ]{δ}

{δ} = [C ]{F }

Metodo de los desplazamientos o rigidez

Metodo las fuerzas o flexibilidad

•

Principios del análisis matricial: Las relaciones fundamentales del equilibrio compatibilidad, fuerza-desplazamiento se mantienen vigentes.

•

Modelo analítico: La estructura se considera un montaje de miembros rectos conectados en sus extremos a nodos. Un miembro (o elemento) se define como una parte de la estructura para la cual las relaciones fuerza-desplazamiento de los miembros que se van a usar en el análisis son válidas. Un nodo se define como una parte estructural de tamaño infinitesimal al cual se conectan a los extremos de los miembros.

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•

Grados de libertad: Son los desplazamientos independientes (traslaciones y rotaciones) de los nodos que son necesarios para especificar la forma deformada de una estructura, cuando se vaya a sujetar a una carga arbitraria.

•

Convenciones en el método matricial: En el modelo analítico de una estructura: -

Los nodos se cuentan con un número dentro de un círculo (inicia con nodo libre). El orden en que se enumeren los nodos indica el sentido que se da al elemento.

Los elementos se cuentan con su número escrito dentro de un rectángulo. El sentido del mismo se define desde el nodo con el menor número (nodo inicial) hacia aquel que tenga el mayor número (nodo final).

Los grados de libertad se representan por flechas rectas (si es para traslación) o flechas curvas (si es para rotación) siempre en sentido positivo. A cada grado de libertad restringido por alguna reacción, corresponde una fuerza o momento, según sea el caso.

Al numerar los grados de libertad, el primer número es para la dirección X, el segundo para la dirección Y y el tercero en dirección Z.

Sistemas de coordenadas Tanto la estructura como cada uno de sus elementos, se estudian respecto a un sistema de coordenadas ortogonales, cartesianas y de mano derecha. En el análisis matricial se consideran dos sistemas de coordenadas: locales y globales. •

Coordenadas globales: Son llamadas también coordenadas estructurales o de la estructura. Se denomina así debido a que respecto a estas se refieren todos los datos de la estructura en su conjunto, tales como la posición de los nudos, las cargas que actúan sobre ellos, sus desplazamientos y las reacciones de los apoyos.

•

Coordenadas locales: Son llamadas también coordenadas particulares o del elemento. Se denominan así debido a que respecto a éstas se referencian todas las propiedades de los elementos, como las dimensiones y momentos de inercia, al igual que las cargas aplicadas sobre los mismos y las fuerzas internas a que se ven sometidos. Se definen colocando el eje x a lo largo del eje centroidal del elemento, colocando el origen del mismo en el nodo inicial. Los demás ejes (y, z) se definen teniendo en cuenta la ortogonalidad de los mismos. Con estas coordenadas queda definida la orientación del elemento estructural.

•

Transformación de coordenadas: Cuando los miembros de una estructura están orientados en direcciones diferentes es necesario transformar las relaciones de rigidez de cada miembro, del sistema de coordenadas locales del mismo, hacia un sistema común de coordenadas globales. Luego se combinan las relaciones

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de rigidez de los miembros así obtenidas, a fin de establecer las relaciones de rigidez para la estructura completa. Dependiendo del tipo de elemento estructural, se obtendrá una matriz de transformación diferente. Solución por el método de los desplazamientos Como se ha dicho ya, la forma matemática de este método es:

{F } = [ K ]{δ} La anterior expresión puede descomponerse, usando la partición de matrices, como sigue:

 Fn   K nn | K na   δn        − −  =  − − | − −  = − −         Fa   K an | K aa   δ a  [Fn]: Vector de cargas aplicadas (conocidas). [Fa]: Reacciones en los apoyos (desconocidas). [δn]: Desplazamientos de los nudos libres (desconocidos). [δa]: Desplazamientos de los apoyos (conocidos, casi siempre cero).

Expandiendo la anterior expresión, se obtiene:

[ Fn ] = [ K nn ][δn ] + [ K na ][δa ] [ Fa ] = [ K an ][δn ] + [ K aa ][δa ] De la primera ecuación se despeja el vector [δn] y se reemplaza en la segunda, obteniéndose:

[δn ] = [ K nn ]−1[ Fn ] − [ K nn ]−1[ K an ][δa ] [ Fa ] = [ K an ][ K nn ]−1[ Fn ] − [ K nn ]−1[ K an ][δa ] + [ K aa ][δa ] → [ Fa ] = [ K an ][ K nn ]−1[ Fn ] − ([ K nn ]−1[ K an ] + [ K aa ])[δa ]

Los pasos generales que pueden usarse para analizar una estructura por el método de la rigidez son: 1. Identificar la estructura, numerar los nudos y determinar la orientación de los elementos. 2. Calcular los términos de las matrices de rigidez de los miembros, referidas a coordenadas generales.

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3. Ensamblar la matriz de rigidez de la estructura, reordenándola para que queden separadas de una vez las fuerzas en los nudos libres y las reacciones de los apoyos. 4. Partir la matriz ensamblada y calcular los desplazamientos desconocidos. 5. Calcular las reacciones y verificar el equilibrio general de la estructura. 6. Calcular las fuerzas internas utilizando las matrices individuales y verificar, finalmente, el equilibrio de los nudos. Limitaciones de la matriz de rigidez El ensamble de la matriz de rigidez se lleva a cabo a partir de ciertas hipótesis que es importante tener en cuenta: • Material perfectamente elástico, que cumple la ley de Hooke (relación lineal esfuerzo-deformación) • Deformaciones pequeñas: implica que no se tienen en cuenta efectos de segundo orden. •

Se desprecian las fuerzas axiales en la flexión

•

Para aplicar el Principio de Superposición es necesario que se cumplan las anteriores suposiciones.

•

Todas las cargas se aplican en forma gradual, y tiene una tasa de aumento tal que todas al iniciar su aplicación en simultánea, alcancen su máximo al mismo tiempo.

•

Se omiten las deformaciones por cortante.

•

No se considera la rigidez de los nodos.

•

No hay pandeo por efecto de carga axial ni por torsión.

•

Los planos XY y YZ son los principales de la flexión y en ellos actúan las cargas.

•

El centro de cortante y el centro de torsión se asume que coinciden, de allí que la flexión y la torsión sean independientes.

•

El elemento estructural tiene sus dos extremos restringidos.

•

En el caso de pórticos uno de los planos de simetría debe coincidir con el plano de carga.

Propiedades de la matriz de rigidez •

La matriz de rigidez es simétrica (sea una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es simétrica si cumple que AT=A ó que A es anti-simétrica si AT=-A).

•

La suma de los elementos de cada columna es cero.

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•

Todos los términos de la diagonal principal son positivos y tienden a ser los mayores valores de cada una de las filas.

•

Es invertible, es decir, su determinante es distinto de cero. Una matriz de rigidez con determinante cero da indicios de una estructura inestable.

Ley de Maxwell Esta es la llamada ley de las deflexiones recíprocas, y fue desarrollada por James Clerck Maxwell en 1864. Se considera esta ley de Maxwell un caso particular de la ley de Betti. Dicha ley se enuncia así: “Para una estructura linealmente elástica, la deflexión en un punto i debida a una carga unitaria aplicada en un punto j es igual a la deflexión en j debida a una carga unitaria en i” Ley de Betti Es el caso generalizado de la ley de Mawell. Fue enunciada en 1872 por E. Betti. Esta se expresa como: “Para una estructura linealmente elástica, el trabajo virtual realizado por un sistema P de fuerzas y pares actuando a través de la deformación causada por otro sistema Q de fuerzas y pares es igual a trabajo virtual del sistema Q actuando a través de la deformación debida al sistema P”. Matriz de Rigidez - Coordenadas locales •

La estrategia para obtener la matriz de rigidez de un elemento, consiste en identificar cuáles son los grados de libertad de los extremos del mismo. La posición deformada de éste será la superposición de las posiciones deformadas debidas en cada grado de libertad.

•

Así como el método de las deformaciones coherentes permite definir coeficientes de flexibilidad, es posible obtener el inverso de éstos: coeficientes de rigidez.

•

Los coeficientes de rigidez indican la fuerza o momento que es necesario aplicar en el extremo de un elemento para obtener un desplazamiento o rotación unitaria.

Obtención de la matriz de rigidez •

Definir el sistema de coordenadas locales del elemento.

•

Definir el nodo inicial y el nodo final.

•

Identificar los grados de libertad de cada nodo (esto es, los desplazamientos posibles que puedan tener).

•

Numerar cada desplazamiento, siguiendo la notación de poner el menor número en dirección x local, el que siga en dirección y local y el tercero en z local.

•

Se aplica una traslación o giro unitario en la misma dirección de cada grado de libertad. Esto se hace a cada grado de libertad en forma independiente. Cuando

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se aplica un desplazamiento o giro unitario a un grado de libertad, se toman como cero los demás. •

Se calculan las fuerzas y momentos que se producen por la traslación o rotación unitaria en los demás grados de libertad. Recuerde que un desplazamiento en un grado de libertad de un nodo afectará en forma indirecta a todos los demás grados. Para hallar tales fuerzas y momentos se usan algunas relaciones vistas en Resistencia de Materiales, Análisis Estructural y Estática.

•

Los valores obtenidos en el punto anterior se llaman coeficientes de rigidez, y se denotan como kij, donde j es el grado de libertad que se hace igual a 1, e i es el grado de libertad en donde se induce una fuerza o momento de acuerdo al desplazamiento unitario de j.

•

De acuerdo con el teorema de Maxwell, se tiene que kij=kji, por lo que la matriz de rigidez es simétrica. Así, no se hace necesario calcular todos los términos de la matriz.

•

La matriz obtenida de la manera antes descrita está en términos de coordenadas locales

Matriz de rigidez armadura plana Hipótesis •

Se desprecia el efecto del peso propio de los elementos.

•

La unión de las barras conforman nudos articulados sin fricción.

•

Las cargas se aplican en los nudos.

•

La sección transversal de los elementos es pequeña comparada con la longitud, y por tanto su inercia se asume como nula.

•

Las barras soportan sólo a fuerza axial, y no a momentos de flexión.

Figura 89.

La matriz de rigidez de este elemento tiene la forma:

k  k [k ] =  11 12   k21 k22  Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Los componentes de la matriz de rigidez se calculan usando el mismo procedimiento antes descrito, y usando las expresiones:

δ=

FL AE

∑F

Mediante la aplicación de las anteriores ecuaciones, se obtienen los coeficientes de rigidez de la matriz para armaduras planas en coordenadas locales:

[k ] =

AE  1 −1   L  −1 1 

Matriz de rigidez-Viga sometida a fuerza cortante y momento flector Hipótesis •

La viga no está sometida a carga axial

•

No tiene cargas aplicadas entre sus apoyos. Sólo las tiene en sus extremos

•

La viga sólo está sometida a fuerza cortante y momentos flectores en sus extremos.

Para la viga considerada antes, los grados de libertad considerados son los mostrados en la siguiente figura.

Figura 90.

De acuerdo con lo anterior, la matriz de rigidez tendría esta forma:

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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 k11  k [k ] =  21  k31   k41

k12

k13

k22

k23

k32

k33

k42

k43

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k14   k24  k34   k44 

Para determinar la matriz de rigidez del elemento, se da un valor unitario a cada uno de los grados de libertad, manteniendo igual a cero los demás. Usando las ecuaciones de pendiente-deflexión se hallan las fuerzas y momentos inducidos en los otros. Como puede verse, la matriz de rigidez de una viga sin carga en su luz es de 4 x 4. Para u1=1

Figura 91.

Para u2=1

Figura 92.

Para u3=1 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Figura 93. Para u4=1

Figura 94. Finalmente, se obtiene la matriz:

u1  12 EI  L3   6 EI  L2 [k ] =   −12 EI  L3  6 EI   L2

6 EI L2 4 EI L −6 EI L2 2 EI L

−12 EI L3 −6 EI L2 12 EI L3 −6 EI L2

u4 6 EI  u L2  1  2 EI  u L  2  −6 EI  u L2  3 4 EI   u4 L 

Matriz de rigidez-Columnas En un sentido más general, deberían considerarse no columnas sino elementos sometidos a fuerza axial, fuerza cortante y momento flector. Al igual que con las vigas, no se consideran cargas entre los nudos.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Figura 95.

La matriz de rigidez de un elemento de esta naturaleza tiene orden de 6 x 6, y tendría los siguientes términos:  k11   k21 k [k ] =  31  k41  k51   k61

k12 k22 k32 k42 k52 k62

k13 k23 k33 k43 k53 k63

k14 k24 k34 k44 k54 k64

k15 k25 k35 k45 k55 k65

k16   u1    k26   u2  k36   u3    k46   u4  k56   u5    k66   u6 

La obtención de la matriz de rigidez de estos elementos puede obtenerse a partir de una superposición de las vigas y las armaduras planas.

Figura 96. Finalmente, la matriz buscada es:

 AE  L   0    0  [k ] =  AE −  L   0    0 

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 4 EI L

−

12 EI L3 6 EI L2

6 EI L2 2 EI L

−

AE L 0 0

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

−

0 12 EI L3 6 EI − 2 L

   6 EI  L2   2 EI  L   0   6 EI  − 2  L  4 EI   L  0

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Matriz de transformación Las ecuaciones de equilibrio hasta ahora obtenidas se han deducido para el sistema de coordenadas locales, en el cual el eje x coincide con el eje del elemento. Como la orientación de los elementos varía en el espacio habrá tantos sistemas de coordenadas como inclinaciones diferentes tengan los elementos. Trabajar en forma simultánea con tantos sistemas de coordenadas no es imposible, pero si es complicado y laborioso. Para facilitar esta labor, se suelen referir todas las deformaciones y las fuerzas a un único sistema de coordenadas global. Para esto es necesario establecer relaciones entre ambos sistemas. El objetivo primario de la transformación de coordenadas se esquematiza en la siguiente figura:

Figura 97. Es importante identificar el ángulo que se forma entre los dos sistemas de coordenadas. Este ángulo se mide del sistema local de coordenadas al sistema global de coordenadas. De esto depende su signo.

Figura 98. La deducción de las matrices de transformación es similar para todos los tipos de estructuras. Básicamente se fundamenta en la descomposición de vectores de fuerza en componentes ortogonales paralelas a los respectivos ejes de coordenadas locales. Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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La idea detrás de esto es encontrar un sistema equivalente de fuerzas en coordenadas globales. Por lo general suele calcularse no el ángulo entre elementos, sino que a partir de sus coordenadas se calculan los valores de sus funciones trigonométricas de seno y coseno. Para estructuras espaciales, se suelen calcular los cosenos directores de los elementos. •

Armaduras planas:

 cos θ T =  0

senθ 0

0 cos θ

0   senθ 

•

Vigas: Al ser horizontales no es necesario transformar.

•

Pórticos planos:

 cos θ   senθ  0 [T ] =   0  0   0 •

-senθ cos θ 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 cos θ 0 senθ 0 0

0 0 0 −senθ cos θ 0

0  0 0  0 0  1 

Entramados o parrillas:

0 1   0 cos θ  0 senθ [T ] =  0 0 0 0  0 0

0 -senθ cos θ 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 cos θ 0 senθ

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

0   0  0   0  −senθ   cos θ 

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7. PROGRAMACIÓN EN MATLAB DE ALGUNOS MÉTODOS DE ANÁLISIS A continuación se presentan los códigos de programación en Matlab de algunos métodos de análisis estructural, de los cuales sólo el método de Cross es tratado en este texto, sin embargo si el lector desea profundizar en estos temas puede dirigirse a alguno de los textos indicados en las referencias.

7.1.

Método de Cross

% PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % METODO DE CROSS %------------------------------------------------------------------------% - DESCRIPCION DEL PROGRAMA: calcula los momentos en cada uno % de los apoyos del sistema. % % - DESCRIPCION DATOS DE ENTRADA: % ND : Numero de nudos del sistema % NE : Numero de elementos del sistema % E : Modulo de elasticidad % L(i) : Longitud del elemento i % I(i) : Inercia del elemento i % K(i) : Rigideces de los elementos % M(i) : Vector de momentos % B(i) : Vector de momentos iniciales % B1(i) : Vector de momentos de equilibrio en los nudos % CD : Coeficientes de distribución % C : Cantidad de cargas por elemento % TC : Tipo de cargas en el elemento % TAI : Tipo de apoyo del nodo inicial % TAF : Tipo de apoyo del nodo final % w : Carga distribuida % s : distancia al nudo % P : Carga puntual % E : Error al que se quiere llegar % R : Error calculado por iteracion % M1 : Vector de momentos a distribuir por cada nudo % M2 : Vector de momentos recibidos por cada nudo % M3 : Vector de momentos acumulados % % - CODIFICADO POR: % CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA % ESTUDIANTE INGENIERIA CIVIL UDEA % - ASESOR: % CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ % GRUPO DE MODELAMIENTO DE SISTEMAS % PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % % - ULTIMA IMPLEMENTACION: SEPTIEMBRE 04 / 2009 %--------------------------------------------------------------------Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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= input('\n\n INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD [T/m^2): ');

% ---------------- VECTOR DE RIGIDECES DE LOS ELEMENTOS -------------for i=1:NE K(i)=E*I(i)/L(i); end K % ------- COEFICIENTES DE DISTRIBUCION Y MOMENTO INICIAL Y FINAL ----fprintf('\n SI EL NUDO INICIAL ES EMPOTRADO DIGITE 1'); fprintf('\n SI EL NUDO INICIAL ES SIMPLEMENTE APOYADO DIGITE 2'); fprintf('\n SI EL NUDO INICIAL ES ARTICULADO DIGITE 2'); fprintf('\n SI EL NUDO INICIAL TIENE VOLADIZO DIGITE 3'); TAI=input('\n INGRESE EL TIPO DE APOYO DEL NUDO INICIAL: '); if TAI==1; CD(1)=0; M(1)= 0; elseif TAI==2; CD(1)=1; M(1)= 0; elseif TAI==3; CD(1)=1; M(1)= input('INGRESE EL MOMENTO DEL NUDO INICIAL [T.m]: '); end fprintf('\n SI EL NUDO FINAL ES EMPOTRADO DIGITE 1'); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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fprintf('\n SI EL NUDO FINAL ES SIMPLEMENTE APOYADO DIGITE 2'); fprintf('\n SI EL NUDO FINAL ES ARTICULADO DIGITE 2'); fprintf('\n SI EL NUDO FINAL TIENE VOLADIZO DIGITE 3'); TAF=input('\n INGRESE EL TIPO DE APOYO DEL NUDO FINAL: '); if TAF==1; CD(2*NE) = 0; M(2*ND)= 0; elseif TAF==2; CD(2*NE) = 1; M(2*ND)= 0; elseif TAF==3; CD(2*NE)=1; M(2*ND)= input('INGRESE EL MOMENTO DEL NUDO FINAL [T.m]: '); end % -------------------- COEFICIENTES DE DISTRIBUCION ----------------for i=1:NE-1; CD(2*i) = K(i)/(K(i)+K(i+1)); CD(2*i+1) = K(i+1)/(K(i)+K(i+1)); end CD %------------ VECTOR DE MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO -------------------B=zeros(NE*2,1); for i=1:NE fprintf('\n\n ELEMENTO %d: ',i); C=input('\n\n EL ELEMENTO TIENE CARGAS,SI NO TIENE COLOCAR CERO, CUANTAS: '); for j=1:C fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE |'); fprintf('\n\t\t\t |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA TRIANGULAR ASCENDENTE=6|'); fprintf('\n\n\n CARGA %d: ',j); TC=input('\n\n\n INGRESE EL TIPO DE CARGA: '); if TC==1 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + (w*(L(i)^2)/(12)); B(2*i,1)=B(2*i,1) - (w*(L(i)^2)/(12)); elseif TC==2 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + (w*(s^2)*(6(8*s/L(i))+(3*(s^2)/(L(i)^2))))/(12); B(2*i,1)=B(2*i,1) - (w*(s^2)*((4*s/L(i))(3*(s^2)/(L(i)^2))))/(12); elseif TC==3 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + (P*L(i))/(8); B(2*i,1)=B(2*i,1) - (P*L(i))/(8); elseif TC==4 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + (P*s*((L(i)-s)^2)/(L(i))); B(2*i,1)=B(2*i,1) - (P*(s^2)*(L(i)-s)/(L(i))); elseif TC==5 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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ME1=input('INGRESE LA ROTACION DEL APOYO INICIAL: '); ME2=input('\n INGRESE LA ROTACION DEL APOYO FINAL: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + ME1; B(2*i,1)=B(2*i,1) - ME2; elseif TC==6 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(2*i-1,1)=B(2*i-1,1) + (w*(L(i)^2)/(30)); B(2*i,1)=B(2*i,1) - (w*(L(i)^2)/(20)); end end end B B1(1)=B(1)+M(1); B1(2*NE)=B(2*NE)+M(2*ND); for i=2:2*NE-1 B1(i)=B(i); end B1 %-------------- VECTOR DE MOMENTOS CENTRALES-------------------------E = input('INGRESE EL VALOR DEL ERROR: '); AUX = 0; M3 = B; R=100; while R > E; M1(1)=-CD(1)*B1(1); M1(2*NE)=-CD(2*NE)*B1(2*NE); for i=1:NE-1; M1(2*i)=-CD(2*i)*(B1(2*i)+B1(2*i+1)); M1(2*i+1)=-CD(2*i+1)*(B1(2*i)+B1(2*i+1)); end M1 for i=1:NE; M2(2*i-1)=M1(2*i)/2; M2(2*i)=M1(2*i-1)/2; end R=0; for i=1:2*NE; B1(i)=M2(i); M3(i)=M1(i)+M2(i)+M3(i); R=R+abs(M2(i)); end M3 R AUX=AUX+1; end AUX %-------------- VECTOR DE MOMENTOS ----------------------------------for i=1:2*NE M(i+1)=M3(i); end M %---------------- FIN DEL PROGRAMA METODO DE CROSS--------------------

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Ejercicio 16 Resolver el ejercicio 15 usando el código anterior y comparar los resultados Antes de comenzar con la solución del problema se mencionan algunos puntos:

El programa no realiza la simplificación debido a apoyos articulados o simplemente apoyados. Aunque los datos se solicitan en T-m (Tonelada-metro) se pueden ingresar en cualquier unidad siempre y cuando todos tengan la misma. El programa solicita el módulo de elasticidad y el momento de inercia de cada uno de los elementos de la viga, en caso de no tenerlos pero saber que toda la viga tiene las mismas propiedades se puede trabajar con rigideces relativas al indicar que el módulo de elasticidad es igual a 1 (uno) y el momento de inercia de todos los elementos es igual a 100 (cien).

Ahora se procede a la solución del ejercicio, primero se copia el código en el editor de Matlab se guarda y se ejecuta el programa. Se muestran los datos ingresados en negrilla:

PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL UDEA |

METODO DE CROSS

| |

|****************************************************| |****************************************************| |NOTA: | |1- LOS EMPOTRAMIENTO QUE SE TENGA EN LOS EXTREMOS, TIENEN | | |

UN COEFICIENTE DE DISTRIBUCION = 0; LOS NUDOS ARTICULADOS |

Y SIMPLEMENTE APOYADOS TIENEN UN COEFICIENTE DE DISTRIBUCION =1 | |2- LOS VOLADIZOS NO SE CUENTAN COMO ELEMENTOS |

INGRESE EL NUMERO DE NUDOS: 4 INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS: 3

INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD [T/m^2): 1

ELEMENTO 1: INGRESE LA LONGITUD DEL ELEMENTO [m]: 7

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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INGRESE LA INERCIA DEL ELEMENTO [m^4]: 100

ELEMENTO 2: INGRESE LA LONGITUD DEL ELEMENTO [m]: 4 INGRESE LA INERCIA DEL ELEMENTO [m^4]: 100

ELEMENTO 3: INGRESE LA LONGITUD DEL ELEMENTO [m]: 7 INGRESE LA INERCIA DEL ELEMENTO [m^4]: 100

L = 7

100

I =

K = 14.2857

25.0000

14.2857

SI EL NUDO INICIAL ES EMPOTRADO DIGITE 1 SI EL NUDO INICIAL ES SIMPLEMENTE APOYADO DIGITE 2 SI EL NUDO INICIAL ES ARTICULADO DIGITE 3 SI EL NUDO INICIAL TIENE VOLADIZO DIGITE 4 INGRESE EL TIPO DE APOYO DEL NUDO INICIAL: 2

SI EL NUDO FINAL ES EMPOTRADO DIGITE 1 SI EL NUDO FINAL ES SIMPLEMENTE APOYADO DIGITE 2 SI EL NUDO FINAL ES ARTICULADO DIGITE 3 SI EL NUDO FINAL TIENE VOLADIZO DIGITE 4 INGRESE EL TIPO DE APOYO DEL NUDO FINAL: 2

CD = 1.0000

0.3636

0.6364

0.3636

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

1.0000

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ELEMENTO 1: EL ELEMENTO TIENE CARGAS, SI NO TIENE COLOCAR CERO, CUANTAS: 1

|CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE | |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 | |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 | |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA TRIANGULAR ASCENDENTE=6|

CARGA 1: INGRESE EL TIPO DE CARGA: 3 INGRESE LA CARGA EN [T]: 150

ELEMENTO 2: EL ELEMENTO TIENE CARGAS, SI NO TIENE COLOCAR CERO, CUANTAS: 1

CARGA 1: INGRESE EL TIPO DE CARGA: 1 INGRESE LA CARGA EN [T/m]: 50

ELEMENTO 3: EL ELEMENTO TIENE CARGAS, SI NO TIENE COLOCAR CERO, CUANTAS: 1

CARGA 1:

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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INGRESE EL TIPO DE CARGA: 1 INGRESE LA CARGA EN [T/m]: 50 B = 131.2500 -131.2500 66.6667 -66.6667 204.1667 -204.1667

B1 = 131.2500 -131.2500

66.6667

-66.6667

204.1667 -204.1667

INGRESE EL VALOR DEL ERROR: 0.1

Después de esto el programa muestra los resultados de una serie de iteraciones (13 en total) para equilibrar todos los nudos basados en los momentos de empotramiento (vector B1) y en el error requerido. El resultado final es: M = 0.0087 -123.7000

123.6759 -208.7454

208.7694

-0.0087

Como se puede observar los momentos calculados con el programa son prácticamente iguales a los obtenidos manualmente (las diferencias se deben a la mayor exactitud del programa), certificando la efectividad del código.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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7.2.

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Ecuación de los tres momentos

% PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS %--------------------------------------------------------------------% - DESCRIPCION DEL PROGRAMA: calcula los momentos en cada uno % de los apoyos del sistema. % % - DESCRIPCION DATOS DE ENTRADA: % ND : Numero de nudos del sistema % NE : Numero de elementos del sistema % E : Modulo de elasticidad % L(i) : Longitud del elemento i % I(i) : Inercia del elemento i % A : Matriz de coeficientes del sistema % V(i) : Vector de momentos % B(i) : Vector de rotaciones de los apoyos % C : Cantidad de cargas por elemento % TC : Tipo de cargas en el elemento % w : Carga distribuida % s : distancia al nudo % P : Carga puntual % A1,A2 : Rotaciones de los apoyos inicial y final % TD : Tiene desplazamiento el nudo % D : Desplazamiento del nudo % AS : Matriz de solucion del sistema % M1 : Vector de momentos desconocidos % M : Vector de todos los momentos del sistema % % - CODIFICADO POR: % CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA % ESTUDIANTE INGENIERIA CIVIL UDEA % - ASESOR: % CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ % GRUPO DE MODELAMIENTO DE SISTEMAS % PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % %--------------------------------------------------------------------clc clear all diary on fprintf('\n\t\t\t | PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL UDEA |'); fprintf('\n\t\t\t | ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS |'); % ------------------------- INGRESO DE DATOS ------------------------fprintf('\n\t\t\t |****************************************************|'); fprintf('\n\t\t\t |****************************************************|'); fprintf('\n\t\t\t |NOTA: |'); fprintf('\n\t\t\t |1- POR CADA EMPOTRAMIENTO QUE TENGA EN LOS EXTREMOS |'); fprintf('\n\t\t\t | SE LE AGREGA UN ELEMENTO Y UN NUDO |'); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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fprintf('\n\t\t\t |2- LOS VOLADIZOS NO SE CUENTAN COMO ELEMENTOS |');

ND = input('\n\n INGRESE EL NUMERO DE NUDOS:'); NE = input('\n\n INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS:'); E

= input('\n\n INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD [T/m^2):');

% -------------------- INGRESO DE LONGITUDES E INERCIAS -------------for i=1:NE fprintf('\n\n ELEMENTO %d: ',i); L(i)=input('\n\n INGRESE LA LONGITUD DEL ELEMENTO [m]: '); I(i)=input('\n INGRESE LA INERCIA DEL ELEMENTO [m^4]: '); end L I % ------------- MATRIZ DE COEFICIENTES DEL SISTEMA-INICIAL ----------A=zeros(NE-1,ND); for i=1:NE-1 A(i,i)=L(i)/I(i); A(i,i+1)=2*((L(i)/I(i))+(L(i+1)/I(i+1))); A(i,i+2)=L(i+1)/I(i+1); end A

% ------------- VECTOR DE MOMENTOS INICIALES-------------------------M(1)= input('INGRESE EL MOMENTO DEL NUDO INICIAL [T.m]: '); M(ND)=input('\n INGRESE EL MOMENTO DEL NUDO FINAL [T.m]: '); %------------ VECTOR DE ROTACIONES EN LOS APOYOS --------------------B=zeros(NE-1,1); B(1,1)=M(1)*L(1); B(NE-1,1)=M(ND)*L(NE); B; for i=1:NE-1 fprintf('\n\n ECUACION %d: ',i); fprintf('\n\n ELEMENTO %d: ',i); C=input('\n\n EL ELEMENTO TIENE CARGAS, CUANTAS: '); for j=1:C fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE |'); fprintf('\n\t\t\t |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 |'); fprintf('\n\t\t\t |SI NO TIENE CARGA=0|'); fprintf('\n\n\n CARGA %d: ',j); TC=input('\n\n\n INGRESE EL TIPO DE CARGA: '); if TC==1 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(w*(L(i)^3)/(24*I(i))); elseif TC==2 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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B(i,1)=B(i,1)-6*((w*(s^2)*((2*L(i)-s)^2)/(24*L(i)*I(i)))); elseif TC==3 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(P*(L(i)^2)/(16*I(i))); elseif TC==4 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(P*s*(L(i)-s)*((L(i)-s)+L(i))/(6*L(i)*I(i))); elseif TC==5 A1=input('INGRESE LA ROTACION DEL APOYO INICIAL: '); A2=input('\n INGRESE LA ROTACION DEL APOYO FINAL: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(A1/I(i))-6*(A2/I(i)); end end fprintf('\n\n ELEMENTO %d: ',i+1); C=input('\n\n EL ELEMENTO TIENE CARGAS, CUANTAS: '); for j=1:C fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE |'); fprintf('\n\t\t\t |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 |'); fprintf('\n\t\t\t |SI NO TIENE CARGA=0|'); fprintf('\n\n\n CARGA %d: ',j); TC=input('\n\n INGRESE EL TIPO DE CARGA: '); if TC==1 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(w*(L(i+1)^3)/(24*I(i+1))); elseif TC==2 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*((w*(s^2)*((2*L(i+1)s)^2)/(24*L(i+1)*I(i+1)))); elseif TC==3 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(P*(L(i+1)^2)/(16*I(i+1))); elseif TC==4 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); s=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(P*s*(L(i+1)-s)*((L(i+1)s)+L(i+1))/(6*L(i+1)*I(i+1))); else A1=input('INGRESE LA ROTACION DEL APOYO INICIAL: '); A2=input('\n INGRESE LA ROTACION DEL APOYO FINAL: '); B(i,1)=B(i,1)-6*(A1/I(i+1))-6*(A2/I(i+1)); end end TD=input('EL NUDO TIENE DESPLAZAMIENTO,SI=1, NO=0: '); if TD==1 D=input('INGRESE EL DESPLAZAMIENTO DEL NUDO [m]: '); B(i,1)=B(i,1)+6*(D*E/L(i))+6*(D*E/L(i+1)); end end B %--------------------- SOLUCION DEL SISTEMA -------------------------AS=zeros(NE-1,ND-2); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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%------------ MATRIZ DE COEFICIENTES-SOLUCION DEL SISTEMA ------------

for i=1:ND-2 AS(:,i)=A(:,i+1); end AS %------------------------VECTOR DE MOMENTOS -------------------------M1=inv(AS)*B; for i=1:ND-2 M(i+1)=M1(i); end M

%-------------FIN DEL PROGRAMA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS---------

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7.3. Análisis matricial 7.3.1. Código Matricial cerchas

% PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % ANALISIS MATRICIAL DE CERCHAS PLANAS %--------------------------------------------------------------------% - DESCRIPCION DEL PROGRAMA: calcula las matrices de rigides de cada uno % de los elementos del sistema, la matriz general del sistema % % - DESCRIPCION DATOS DE ENTRADA: % ND : Numero de nudos del sisitema % NE : Numero de elementos del sistema % NI : Nudo inicial del elemento % NF : Nudo final del elemento % MR : Matriz de relacion del nodo inicial y final del elemento % x(i) : Cordenada en direccion x del nodo i % % - CODIFICADO POR: % CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA % ESTUDIANTE INGENIERIA CIVIL UDEA % - ASESOR: % CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ % GRUPO DE MODELAMIENTO DE SISTEMAS % PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % % - ULTIMA IMPLEMENTACION: JULIO 27 / 2009 %--------------------------------------------------------------------clc clear all diary on fprintf('\n\t\t\t | PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL UDEA |'); fprintf('\n\t\t\t �;| ANALISIS MATRICIAL DE CERCHAS PLANAS |'); % -------------- INGRESO DE DATOS -----------------------------------ND = input('\n\n\n INGRESE EL NUMERO DE NUDOS:'); NE = input('\n INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS:'); %------------ MATRIZ DE RELACION DE INICIO Y FIN DEL ELEMENTO (VR) --for i=1:NE MR(i,1)=i; fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); NI(i)=input('\n INGRESE EL NUDO INICIAL:'); MR(i,2)=2*NI(i)-1; Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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MR(i,3)=2*NI(i); NF(i)=input(' INGRESE EL NUDO FINAL:'); MR(i,4)=2*NF(i)-1; MR(i,5)=2*NF(i); end MR NI NF %--------------- CALCULO DEL ANGULO DE CADA ELEMENTO ----------------fprintf('\n COORDENADAS DE LOS NUDOS:\n'); for i=1:ND fprintf('\n NUDO %d:',i); x(i)=input('\n COORDENADA:x(m):'); y(i)=input(' COORDENADA:y(m):'); end for i=1:NE fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); E(i)=input('\n MODULO DE ELASTICIDAD(T/m2):'); PR=input('\n TIENES EL AREA(1=SI, 0=NO):'); if PR~=1 B(i)=input('\n BASE(m):'); H(i)=input(' ALTURA(m):'); AREA(i)=B(i)*H(i); else fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); AREA(i)=input('\n INGRESAR AREA(m2):'); end PE(i,1)=E(i); PE(i,2)=AREA(i); Dx(i)=x(NF(i))-x(NI(i)); Dy(i)=y(NF(i))-y(NI(i)); b(1,i)=Dx(i); b(2,i)=Dy(i); L(i)=(Dx(i)^2+Dy(i)^2)^0.5; SENO(i)=Dy(i)/L(i); COSENO(i)=Dx(i)/L(i); end AREA E b PE L SENO COSENO

%---------- MATRIZ DE RIGIDES PARA CADA ELEMENTO Y PARA EL SISTEMA --K=zeros(2*ND); for i=1:NE %----------------- MATRIZ DE RIGIDES PARA CADA ELEMENTO ------------E=PE(i,1); A=PE(i,2); MKle=E*A/L(i)*[ 1,-1;-1,1 ]; n=b(:,i)'/L(i); G=[n,0,0;0,0,n]; MKe=G'*MKle*G; MKe %----------------MATRIZ DE RIGIDES PARA EL SISTEMA -------------VRE=MR(:,2:5); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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K(VRE(i,:),VRE(i,:)) = K(VRE(i,:),VRE(i,:))+MKe; end; K

% -------- INGRESO DE DATOS PARA REORGANIZAR LA MATRIZ --------------VRM=1:2*ND NR = input(' NUMERO DE NUDOS RESTRINGIDOS:'); P=0; AUX=0; for i=1:NR NNR = input('NUMERO DEl NUDO RESTRINGIDO,1� LOS DE RESTRICCION TOTAL:'); RE=input('\n TIENES RESTRICCION TOTAL O PARCIAL(1=TOTAL,0=PARCIAL):'); if RE==1 VRM(2*ND-2*P)=2*NNR; VRM(2*ND-1-2*P)=2*NNR-1; VRM(2*NNR)=2*ND-2*P; VRM(2*NNR-1)=2*ND-1-2*P; AUX=AUX+2; else REXY=input('\n TIENE RESTRICCION RESPECTO A X O Y(1=X, 0=Y):'); if REXY==1 VRM(2*ND-2*P)=2*NNR-1; VRM(2*NNR-1)=2*ND-2*P; else VRM(2*ND-2*P)=2*NNR; VRM(2*NNR)=2*ND-2*P; end AUX=AUX+1; end P=P+1; end VRM AUX P %--------------- MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA ORGANIZADA ----------KM0=zeros(2*ND); for i=1:2*ND KM0(i,:)=K(VRM(i),:); end KM0; KM=zeros(2*ND); for i=1:2*ND KM(:,i)=KM0(:,VRM(i)); end KM %--------------- MATRIZ DE LOS NUDOS LIBRES Y FUERZAS CONOCIDAS ----KNN=zeros(2*ND-AUX); for i=1:2*ND-AUX KNN(i,:)=KM(i,1:2*ND-AUX); end KNN %------------ MATRIZ DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONE DE LOS APOYOS Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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KAN=zeros([AUX,2*ND-AUX]); AUX1=1; for i=2*ND-AUX+1:2*ND KAN(AUX1,:)=KM(i,1:2*ND-AUX); AUX1=AUX1+1; end KAN %-----------------

VECTOR DE FUERZAS APLICADAS Y CONOCIDAS ----------

VF=zeros(2*ND,1); NF=input('\n INGRESAR NUMERO DE NUDOS CON FUERZA:'); for i=1:NF NN=input('\n INGRESAR NUMERO DEL NUDO:'); fprintf('\n NUDO %d:',NN); F=input('\n INGRESAR LA FUERZA EN (T):'); ANG=input('\n INGRESAR ANGULO DE LA FUERZA EN (GRADOS):'); f(11)=0.5e6*sin(pi/6); f(12)=-0.5e6*cos(pi/6); FX=F*cos(pi*ANG/180); FY=F*sin(pi*ANG/180); VF(2*NN-1,1)= FX; VF(2*NN,1) = FY; end; VF %-------------- VECTOR DE FUERZAS APLICADAS Y CONOCIDAS(ORGANIZADO) – for i=1:2*ND-AUX VFR(i)=VF(VRM(i)); end VFR %-------------- VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS LIBRE --------DNL=inv(KNN)*VFR'; DNL %-------------- VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE TODOS LOS NUDOS --------DTN0=zeros(2*ND,1); for i=1:2*ND-AUX; DTN0(i)=DNL(i); end DTN0 DTN=zeros(2*ND,1); for i=1:2*ND DTN(i)=DTN0(VRM(i)); end DTN %-----------------

VECTOR DE LAS REACCCIONES EN LOS APOYOS ----------

VFA=KAN*DNL; VFA %-----------------

VECTOR DE FUERZAS INTERNAS DE LOS ELEMENTOS ------

for i=1:NE C(i)=AREA(i)*E(i)/L(i); C1(i)=COSENO(i)*(DTN(MR(i,4))-DTN(MR(i,2))); C2(i)=SENO(i)*(DTN(MR(i,5))-DTN(MR(i,3))); S(i)=C(i)*(C1(i)+C2(i)); end Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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S %---------------- FIN DEL PROGRAMA MATRICIAL PARA CERCHAS -----------

7.3.2 Código Matricial General % PROGRAMA DE INGENIEIRA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % ANALISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS %--------------------------------------------------------------------% - DESCRIPCION DEL PROGRAMA: calcula las matrices de rigidez de cada % uno de los elementos del sistema, la matriz general del sistema, %además de los desplazamientos y reacciones de cada nudo. % - DESCRIPCION DATOS DE ENTRADA: % ND : Número de nudos del sistema % NE : Número de elementos del sistema % NI : Nudo inicial del elemento % NF : Nudo final del elemento % MR : Matriz de relación del nodo inicial y final del elemento % x(i) : Coordenada en dirección x del nodo i % y(i) : Coordenada en dirección y del nodo i % TE : Vector tipo de elemento % AREA : Vector del área de los elementos en [m^2] % E : Vector de Módulos de Elasticidad de los elementos [T/m^2] % L : Vector de la longitud de los elementos en [m] % SENO : Vector del seno del ángulo de los elementos % COSENO : Vector del coseno del ángulo de los elementos % % - CODIFICADO POR: % CARLOS CESAR DOMINGUEZ VEGA % ESTUDIANTE INGENIERIA CIVIL UDEA % - ASESOR: % CARLOS ALBERTO RIVEROS JEREZ % GRUPO DE MODELAMIENTO DE SISTEMAS % PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL % UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA % % - ULTIMA IMPLEMENTACION: 07 de Abril / 2010 %--------------------------------------------------------------------clc clear all diary on fprintf('\n\t\t\t | PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL UDEA |'); fprintf('\n\t\t\t | ANALISIS MATRICIAL DE PORTICOS Y CERCHAS PLANAS |'); % ------------------------- INGRESO DE DATOS ------------------------ND = input('\n\n\n INGRESE EL NUMERO DE NUDOS: '); NE = input('\n INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS: '); %------------ MATRIZ DE RELACION DE INICIO Y FIN DEL ELEMENTO (VR) --for i=1:NE fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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fprintf('\n TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0:\n'); TE(i)=input('\n INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: '); MR(i,2)=TE(i); MR(i,1)=i; NI(i)=input('\n INGRESE EL NUDO INICIAL: '); MR(i,3)=3*NI(i)-2; MR(i,4)=3*NI(i)-1; MR(i,5)=3*NI(i); NF(i)=input(' INGRESE EL NUDO FINAL: '); MR(i,6)=3*NF(i)-2; MR(i,7)=3*NF(i)-1; MR(i,8)=3*NF(i); end fprintf('\n VECTOR DE RELACION INICIO-FIN'); MR fprintf('\n VECTOR TIPO DE ELEMENTO'); TE fprintf('\n VECTOR INICIO DEL ELEMENTO'); NI fprintf('\n VECTOR FIN DEL ELEMENTO'); NF %--------------- CÁLCULO DEL ANGULO DE CADA ELEMENTO ----------------fprintf('\n COORDENADAS DE LOS NUDOS:\n'); for i=1:ND fprintf('\n NUDO %d:',i); x(i)=input('\n COORDENADA:x[m]: '); y(i)=input('\n COORDENADA:y[m]: '); end fprintf('\n SI ES EL MISMO MODULO DE ELASTICIDAD PARA TODA LA ESTRUCTURA '); fprintf('\n\n DIGITA 1, SI ES DIFERENTE DIGITA 0 '); SE=input('\n\n SON IGUALES LOS MODULOS DE ELASTICIDAD(1=SI, 0=NO):'); fprintf('\n\n SI TIENES EL AREA DE CADA ELEMENTO DIGITA 1, SI TIENES '); fprintf('\n\n LA BASE Y LA ALTURA DIGITA 0 '); PR=input('\n\n TIENES EL AREA(1=SI, 0=NO):'); if SE==1 E=[]; E1=input('\n INGRESE EL MODULO DE ELASTICIDAD DE LA ESTRUCTURA EN [T/m^2]: '); for i=1:NE E(i)=E1 if PR==0 fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); B(i)=input('\n BASE[m]: '); H(i)=input(' ALTURA[m]: '); AREA(i)=B(i)*H(i); else fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); AREA(i)=input('\n INGRESAR AREA[m2]: '); end end else for i=1:NE if PR==0 fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); B(i)=input('\n BASE(m): '); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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H(i)=input(' ALTURA(m): '); AREA(i)=B(i)*H(i); E(i)=input('\n MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:'); else fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); AREA(i)=input('\n INGRESAR AREA(m2): '); E(i)=input('\n MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]: '); end end end for i=1:NE PE(i,1)=E(i); PE(i,2)=AREA(i); Dx(i)=x(NF(i))-x(NI(i)); Dy(i)=y(NF(i))-y(NI(i)); b(1,i)=Dx(i); b(2,i)=Dy(i); L(i)=(Dx(i)^2+Dy(i)^2)^0.5; SENO(i)=Dy(i)/L(i); COSENO(i)=Dx(i)/L(i); if PR==0 I(i)=B(i)*(H(i)^3)/12; else I(i)=input('\n INGRESAR INERCIA(m4): '); end end fprintf('\n VECTOR DEL AREA DE LOS ELEMENTOS EN [m^2]'); AREA fprintf('\n VECTOR DEL MODULO DE ELASTICIDAD DE LOS ELEMENTOS EN [T/m2]'); E fprintf('\n VECTOR DE INERCIA DE LOS ELEMENTOS EN [m^4]'); I b; PE; fprintf('\n VECTOR DE LONGITUD DE LOS ELEMENTOS EN [m]'); L fprintf('\n VECTOR DE SENO DE LOS ELEMENTOS'); SENO fprintf('\n VECTOR DE COSENO DE LOS ELEMENTOS'); COSENO

%---------- MATRIZ DE RIGIDES PARA CADA ELEMENTO Y PARA EL SISTEMA --K=zeros(3*ND); KE=zeros(6*NE,6); for i=1:NE %----------------- MATRIZ DE RIGIDES PARA CADA ELEMENTO

-------------

fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO %d:',i); if TE(i)==0 E(i)=PE(i,1); A(i)=PE(i,2); MKle=E(i)*A(i)/L(i)*[ 1,0,0,-1,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0; -1,0,0,1,0,0;0,0,0,0,0,0;0,0,0,0,0,0 ]; G=[COSENO(i),SENO(i),0,0,0,0;SENO(i),COSENO(i),0,0,0,0;0,0,0,0,0,0; 0,0,0,COSENO(i),SENO(i),0;0,0,0,SENO(i),COSENO(i),0;0,0,0,0,0,0]; Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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MKe=G'*MKle*G; MKe KE(6*i-5:6*i,:) = KE(6*i-5:6*i,:) + MKe; else E(i)=PE(i,1); A(i)=PE(i,2); MKle=[ E(i)*A(i)/L(i),0,0,E(i)*A(i)/L(i),0,0;0,12*E(i)*I(i)/(L(i)^3),6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),0,12*E(i)*I(i)/(L(i)^3),6*E(i)*I(i)/(L(i)^2); 0,6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),4*E(i)*I(i)/(L(i)),0,6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),2*E(i)*I(i)/(L(i));E(i)*A(i)/L(i),0,0,E(i)*A(i)/L(i),0,0; 0,-12*E(i)*I(i)/(L(i)^3),6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),0,12*E(i)*I(i)/(L(i)^3),6*E(i)*I(i)/(L(i)^2);0,6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),2*E(i)*I(i)/(L(i)),0,6*E(i)*I(i)/(L(i)^2),4*E(i)*I(i)/(L(i))]; G=[COSENO(i),SENO(i),0,0,0,0;SENO(i),COSENO(i),0,0,0,0;0,0,1,0,0,0; 0,0,0,COSENO(i),SENO(i),0;0,0,0,SENO(i),COSENO(i),0;0,0,0,0,0,1]; MKe=G'*MKle*G; MKe KE(6*i-5:6*i,:) = KE(6*i-5:6*i,:) + MKe; end %----------------MATRIZ DE RIGIDES PARA EL SISTEMA ----------VRE=MR(:,3:8); K(VRE(i,:),VRE(i,:)) = K(VRE(i,:),VRE(i,:))+MKe; end fprintf('MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA'); K KE; % -------- INGRESO DE DATOS PARA REORGANIZAR LA MATRIZ --------------VRM=1:3*ND; NR = input(' NUMERO DE NUDOS RESTRINGIDOS O APOYOS: '); P=0; AUX=0; for i=1:NR NNR = input('\n NUMERO DEl NUDO RESTRINGIDO,1� LOS NUDOS MAYORES Y EMPOTRADOS: '); fprintf('\n\n EMPOTRADO = 1, ARTICULADO = 2, SIMPLEMENTE APOYADO = 3') RE=input('\n\n INGRESE EL TIPO DE APOYO: '); if RE==1 VRM(3*ND-3*P)=3*NNR; VRM(3*ND-1-3*P)=3*NNR-1; VRM(3*ND-2-3*P)=3*NNR-2; VRM(3*NNR)=3*ND-3*P; VRM(3*NNR-1)=3*ND-1-3*P; VRM(3*NNR-2)=3*ND-2-3*P; AUX=AUX+3; elseif RE==2 VRM(2*ND-2*P)=2*NNR; VRM(2*ND-1-2*P)=2*NNR-1; VRM(2*NNR)=2*ND-2*P; VRM(2*NNR-1)=2*ND-1-2*P; Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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AUX=AUX+2; else REXY=input('\n TIENE RESTRICCION RESPECTO A X O Y(1=X, 0=Y):'); if REXY==1 VRM(2*ND-2*P)=2*NNR-1; VRM(2*NNR-1)=2*ND-2*P; else VRM(2*ND-2*P)=2*NNR; VRM(2*NNR)=2*ND-2*P; end AUX=AUX+1; end P=P+1; end fprintf('\n VECTOR PARA ORGANIZAR LA MATRICZ K Y LOS VECTORES F'); VRM AUX; P; %--------------- MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA ORGANIZADA ----------KM0=zeros(3*ND); for i=1:3*ND KM0(i,:)=K(VRM(i),:); end KM0; KM=zeros(3*ND); for i=1:3*ND KM(:,i)=KM0(:,VRM(i)); end fprintf('\n MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA ORGANIZADA'); KM %--------------- MATRIZ DE LOS NUDOS LIBRES Y FUERZAS CONOCIDAS ----KNN=zeros(3*ND-AUX); for i=1:3*ND-AUX KNN(i,:)=KM(i,1:3*ND-AUX); end fprintf('\n MATRIZ DE LOS NUDOS LIBRES Y FUERZAS CONOCIDAS'); KNN %------------ MATRIZ DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONE DE LOS APOYOS KAN=zeros([AUX,3*ND-AUX]); AUX1=1; for i=3*ND-AUX+1:3*ND KAN(AUX1,:)=KM(i,1:3*ND-AUX); AUX1=AUX1+1; end fprintf('\n MATRIZ DE LOS DESPLAZAMIENTOS Y REACCIONE DE LOS APOYOS'); KAN %-----------------

VECTOR DE FUERZAS APLICADAS Y CONOCIDAS ----------

VF=zeros(3*ND,1); NF=input('\n INGRESAR NUMERO DE NUDOS CON FUERZA O MOMENTO: '); for i=1:NF fprintf('\n NUDO CARGADO NUMERO %d:',i); NN=input('\n INGRESAR NUMERO DEL NUDO: '); fprintf('\n NUDO %d:',NN); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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F=input('\n INGRESAR LA FUERZA EN [T]: '); ANG=input('\n INGRESAR ANGULO CON RESPECTO AL EJE +X, DE LA FUERZA EN [GRADOS]: '); MM=input('\n INGRESAR EL MOMENTO EN [T.m]: '); FX=F*cos(pi*ANG/180); FY=F*sin(pi*ANG/180); VF(3*NN-2,1)= FX; VF(3*NN-1,1)= FY; VF(3*NN,1) = MM; end; fprintf('\n VECTOR DE FUERZAS[T] Y MOMENTOS[T.m]APLICADAS EN LOS NUDOS'); VF %-------------- VECTOR DE FUERZAS APLICADAS Y CONOCIDAS(ORGANIZADO) – for i=1:3*ND-AUX VFR(i)=VF(VRM(i)); end fprintf('\n VECTOR DE FUERZAS CONOCIDAS EN LOS NUDOS'); VFR %-------------- VECTOR DE FUERZAS Y MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO -------FFE=zeros(6*NE,1); VFE=zeros(3*ND,1); VRE=MR(:,3:8); NFE=input('\n INGRESAR NUMERO DE ELEMENTOS CON FUERZAS,CARGAS O MOMENTOS INTERNOS: '); for i=1:NFE fprintf('\n ELEMENTO CARGADO NUMERO %d:',i') NNE=input('\n INGRESAR NUMERO DEL ELEMENTO: '); fprintf('\n ELEMENTO %d:',NNE); C=input('\n\n CUANTAS CARGAS TIENE EL ELEMENTO: '); for j=1:C fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE |'); fprintf('\n\t\t\t |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 |'); fprintf('\n\t\t\t |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA TRIANGULAR ASCENDENTE=6|'); fprintf('\n\n\n CARGA %d: ',j); TC=input('\n\n\n INGRESE EL TIPO DE CARGA: '); B=zeros(6,1); if TC==1 W=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(1,1) = B(1,1); B(2,1) = B(2,1) + (W*L(NNE)/(2)); B(3,1) = B(3,1) + (W*(L(NNE)^2)/(12)); B(4,1) = B(4,1); B(5,1) = B(5,1) + (W*L(NNE)/(2)); B(6,1) = B(6,1) - (W*(L(NNE)^2)/(12)); elseif TC==2 W=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); S=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(6-5,1) = B(6-5,1); B(6-4,1) = B(6-4,1) + (W*S*((L(NNE)-S)+(S/2))/(L(NNE))); B(6-3,1) = B(6-3,1) + (W*(S^2)*(6(8*S/L(NNE))+(3*(S^2)/(L(NNE)^2))))/(12); Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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B(6-2,1) = B(6-2,1); B(6-1,1) = B(6-1,1) + (W*(S^2)/(2*L(NNE))); B(6,1) = B(6,1) - (W*(S^2)*((4*S/L(NNE))(3*(S^2)/(L(NNE)^2))))/(12); elseif TC==3 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); B(6-5,1) = B(6-5,1); B(6-4,1) = B(6-4,1) + (P/(2)); B(6-3,1) = B(6-3,1) + (P*L(NNE))/(8); B(6-2,1) = B(6-2,1); B(6-1,1) = B(6-1,1) + (P/(2)); B(6,1) = B(6,1) - (P*L(NNE))/(8); elseif TC==4 P=input('INGRESE LA CARGA EN [T]: '); S=input('\n INRECE LA DISTANCIA AL NUDO IZQUIERDO [m]: '); B(6-5,1) = B(6-5,1); B(6-4,1) = B(6-4,1) + (P*(L(NNE)-S)/(L(NNE))); B(6-3,1) = B(6-3,1) + (P*S*((L(NNE)-S)^2)/(L(NNE))); B(6-2,1) = B(6-2,1); B(6-1,1) = B(6-1,1) + (P*S/(L(NNE))); B(6,1) = B(6,1) - (P*(S^2)*(L(NNE)-S)/(L(NNE))); elseif TC==5 ME1=input('INGRESE EL MOMENTO DEL APOYO INICIAL: '); ME2=input('\n INGRESE EL MOMENTO DEL APOYO FINAL: '); R1=input('INGRESE LA REACCION DEL APOYO INICIAL: '); R2=input('\n INGRESE LA REACCION DEL APOYO FINAL: '); B(6-5,1) = B(6-5,1); B(6-4,1) = B(6-4,1) + R1; B(6-3,1) = B(6-3,1) + ME1; B(6-2,1) = B(6-2,1); B(6-1,1) = B(6-1,1) + R2; B(6,1) = B(6,1) - ME2; elseif TC==6 w=input('INGRESE LA CARGA EN [T/m]: '); B(1,1) = B(1,1); B(2,1) = B(2,1) + (W*L(NNE)/(6)); B(3,1) = B(3,1) + (W*(L(NNE)^2)/(30)); B(4,1) = B(4,1); B(5,1) = B(5,1) + (W*L(NNE)/(3)); B(6,1) = B(6,1) - (W*(L(NNE)^2)/(20)); end VFE(VRE(NNE,:),1) = VFE(VRE(NNE,:),1)+ B; VFE; FFE(6*NNE-5:6*NNE,1)=FFE(6*NNE-5:6*NNE,1)+B; FFE; end end fprintf('\n VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PARA RESOLVER EL SISTEMA'); VFE fprintf('\n VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO PARA CADA ELEMENTO'); FFE %-------- VECTOR DE FUERZAS Y MOMNETOS DE EMPOTRAMIENTO(ORGANIZADO) – for i=1:3*ND-AUX VFER(i)=VFE(VRM(i)); end fprintf('\n VECTOR DE FUERZAS DE EMPOTRAMIENTO ORGANIZADO'); VFER Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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%-------------- VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS LIBRE --------DIF=VFR'-VFER' DNL=inv(KNN)*(DIF); fprintf('\n VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE LOS NUDOS LIBRE'); DNL %-------------- VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS DE TODOS LOS NUDOS --------DTN0=zeros(3*ND,1); for i=1:3*ND-AUX; DTN0(i)=DNL(i); end DTN0; DTN=zeros(3*ND,1); for i=1:3*ND DTN(i)=DTN0(VRM(i)); end fprintf('\n VECTOR DE DESPLAZAMIENTOS[m] Y ROTACIONES[rad] DE TODOS LOS NUDOS'); DTN %-----------------

VECTOR DE LAS REACCCIONES EN LOS APOYOS ----------

for i=1:3*ND VFET(i)=VFE(VRM(i)); end VFET; VMEA=zeros(3*NR,1); for i=1:NR; VMEA(3*i-2) = VFET((3*(ND-NR)+(3*i-2))); VMEA(3*i-1) = VFET((3*(ND-NR)+(3*i-1))); VMEA(3*i) = VFET((3*(ND-NR)+(3*i))); end VMEA; VFA1=KAN*DNL; fprintf('\n VECTOR DE LAS REACCCIONES EN LOS APOYOS'); VFA=VFA1+VMEA %---------- VECTORES DE CORTANTES Y MOMENTOS DE CADA ELEMENTO -------for i=1:NE A=KE(6*i-5:6*i,:); B=DTN(VRE(i,:)'); KD = A*B; fprintf('\n VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO'); fprintf('\n ELEMENTO %d:',i); C=FFE(6*i-5:6*i); FE = KD + C end

%---------FIN DEL PROGRAMA MATRICIAL PARA PORTICOS Y CERCHAS ---------

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Ejercicio 17: Solucionar el pórtico mostrado en la figura, el cual está compuesto de elementos tipo viga (horizontales y verticales), y elementos tipo cercha (diagonales). Las vigas tienen una sección transversal de 300x400 mm, las columnas una sección de 400x400 mm, y los elementos tipo cercha una sección de 100x100 mm. Los elementos tipo viga tienen un módulo de elasticidad E=190 t/cm2, y los elementos tipo cercha un E=2040 t/cm2. El piso 2 tiene una carga horizontal P1= 1.5 Ton, y una carga vertical uniformemente distribuida Q= 1.2 Ton/m, el piso 3 una carga horizontal P= 2.5 Ton, y una carga vertical uniformemente distribuida Q= 1.2 t/m. Calcular:

Desplazamientos y giros de los nudos. Reacciones y fuerzas internas. Hacer diagramas de cortante y momento para el sistema.

Figura 99.

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Para solucionar el ejercicio se usará el código matricial general descrito anteriormente. Para la solución del ejercicio se escoge la siguiente numeración de nudos y elementos, así como la orientación indicada:

Figura 100. Primero se copia el código en el editor de Matlab, se guarda y se ejecuta el programa, al hacer esto el programa solicitará una serie de datos iniciales correspondientes a la numeración de los nodos y orientación de los elementos (figura 100), a continuación se muestra la forma en la que se ingresan estos primeros datos, así como todos los solicitados por el programa (los datos en negrilla son los ingresados por el usuario):

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PROGRAMA DE INGENIERIA CIVIL UDEA

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ANALISIS MATRICIAL DE PORTICOS Y CERCHAS PLANAS

INGRESE EL NUMERO DE NUDOS: 6 INGRESE EL NUMERO DE ELEMENTOS: 10

ELEMENTO 1: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 1 INGRESE EL NUDO FINAL: 2

ELEMENTO 2: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 2 INGRESE EL NUDO FINAL: 3

ELEMENTO 3: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 3 INGRESE EL NUDO FINAL: 4

ELEMENTO 4: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 5 INGRESE EL NUDO FINAL: 4

ELEMENTO 5: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 6

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INGRESE EL NUDO FINAL: 5

ELEMENTO 6: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 1 INGRESE EL NUDO INICIAL: 2 INGRESE EL NUDO FINAL: 5

ELEMENTO 7: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 0 INGRESE EL NUDO INICIAL: 1 INGRESE EL NUDO FINAL: 5

ELEMENTO 8: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 0 INGRESE EL NUDO INICIAL: 6 INGRESE EL NUDO FINAL: 2

ELEMENTO 9: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 0 INGRESE EL NUDO INICIAL: 2 INGRESE EL NUDO FINAL: 4

ELEMENTO 10: TIPO DE ELEMENTO, ELEMENTO TIPO VIGA=1, ELEMENTO TIPO CERCHA=0: INGRESE EL TIPO DE ELEMENTO: 0 INGRESE EL NUDO INICIAL: 5 INGRESE EL NUDO FINAL: 3

Luego de esto el programa muestra los vectores de tipo de elemento, inicio del elemento y final del elemento además de la matriz de relación inicio-fin. A continuación el programa solicita el ingreso de las coordenadas de los nudos:

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COORDENADAS DE LOS NUDOS:

NUDO 1: COORDENADA:x[m]: 0 COORDENADA:y[m]: 0

NUDO 2: COORDENADA:x[m]: 0 COORDENADA:y[m]: 2.5

NUDO 3: COORDENADA:x[m]: 0 COORDENADA:y[m]: 5

NUDO 4: COORDENADA:x[m]: 4 COORDENADA:y[m]: 5

NUDO 5: COORDENADA:x[m]: 4 COORDENADA:y[m]: 2.5

NUDO 6: COORDENADA:x[m]: 4 COORDENADA:y[m]: 0

Ahora que se tiene la configuración geométrica de la estructura se solicitan datos más específicos, como el módulo de elasticidad de los elementos y el área o dimensiones de estos:

SI ES EL MISMO MODULO DE ELASTICIDAD PARA TODA LA ESTRUCTURA DIGITA 1, SI ES DIFERENTE DIGITA 0 SON IGUALES LOS MODULOS DE ELASTICIDAD(1=SI, 0=NO):0

SI TIENES EL AREA DE CADA ELEMENTO DIGITA 1, SI TIENES

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LA BASE Y LA ALTURA DIGITA 0 TIENES EL AREA(1=SI, 0=NO):0

ELEMENTO 1: BASE(m): 0.4 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 2: BASE(m): 0.4 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 3: BASE(m): 0.3 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 4: BASE(m): 0.4 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 5: BASE(m): 0.4 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 6: BASE(m): 0.3 ALTURA(m): 0.4 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:1900000

ELEMENTO 7: BASE(m): 0.1 ALTURA(m): 0.1 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:20400000

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ELEMENTO 8: BASE(m): 0.1 ALTURA(m): 0.1 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:20400000

ELEMENTO 9: BASE(m): 0.1 ALTURA(m): 0.1 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:20400000

ELEMENTO 10: BASE(m): 0.1 ALTURA(m): 0.1 MODULO DE ELASTICIDAD EN [T/m^2]:20400000

Después de ingresar este último dato el programa arrojará una serie de vectores los cuales se muestran a continuación: VECTOR DEL AREA DE LOS ELEMENTOS EN [m^2] 0.1600 0.1600 0.1200 0.1600 0.1600 0.1200 0.0100 0.0100 0.0100

0.0100

VECTOR DEL MODULO DE ELASTICIDAD DE LOS ELEMENTOS EN [T/m2] 1900000 1900000 1900000 1900000 1900000 1900000 20400000 20400000 20400000 20400000

VECTOR DE INERCIA DE LOS ELEMENTOS EN [m^4] 0.0021 0.0021 0.0016 0.0021 0.0021 0.0016 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

VECTOR DE LONGITUD DE LOS ELEMENTOS EN [m] 2.5000 2.5000 4.0000 2.5000 2.5000 4.0000 4.7170 4.7170 4.7170 4.7170

VECTOR DE SENO DE LOS ELEMENTOS 1.0000 1.0000 0 1.0000 1.0000 0 0.5300 0.5300 0.5300 0.5300

VECTOR DE COSENO DE LOS ELEMENTOS 0 0 1.0000 0 0 1.0000 0.8480 -0.8480 0.8480 -0.8480

También se presentan las matrices de rigidez de cada uno de los elementos, así como la matriz de rigidez del sistema sin organizar (la cual no se muestra aquí):

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MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 1: 1.0e+005 * 0.0311 0 -0.0389 -0.0311 0 -0.0389

0 1.2160 0 0 -1.2160 0

-0.0389 0 0.0649 0.0389 0 0.0324

-0.0311 0 0.0389 0.0311 0 0.0389

0 -1.2160 0 0 1.2160 0

-0.0389 0 0.0324 0.0389 0 0.0649

0 -1.2160 0 0 1.2160 0

-0.0389 0 0.0324 0.0389 0 0.0649

0 -0.0570 -0.1140 0 0.0570 -0.1140

0 0.1140 0.1520 0 -0.1140 0.3040

0 -1.2160 0 0 1.2160 0

-0.0389 0 0.0324 0.0389 0 0.0649

0 -1.2160 0 0 1.2160 0

-0.0389 0 0.0324 0.0389 0 0.0649

0 -0.0570 -0.1140 0 0.0570 -0.1140

0 0.1140 0.1520 0 -0.1140 0.3040

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 2: 1.0e+005 * 0.0311 0 -0.0389 -0.0311 0 -0.0389

0 1.2160 0 0 -1.2160 0

-0.0389 0 0.0649 0.0389 0 0.0324

-0.0311 0 0.0389 0.0311 0 0.0389

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 3: 1.0e+004 * 5.7000 0 0 -5.7000 0 0

0 0.0570 0.1140 0 -0.0570 0.1140

0 0.1140 0.3040 0 -0.1140 0.1520

-5.7000 0 0 5.7000 0 0

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 4: 1.0e+005 * 0.0311 0 -0.0389 -0.0311 0 -0.0389

0 1.2160 0 0 -1.2160 0

-0.0389 0 0.0649 0.0389 0 0.0324

-0.0311 0 0.0389 0.0311 0 0.0389

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 5: 1.0e+005 * 0.0311 0 -0.0389 -0.0311 0 -0.0389

0 1.2160 0 0 -1.2160 0

-0.0389 0 0.0649 0.0389 0 0.0324

-0.0311 0 0.0389 0.0311 0 0.0389

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 6: 1.0e+004 * 5.7000 0 0 -5.7000 0 0

0 0.0570 0.1140 0 -0.0570 0.1140

0 0.1140 0.3040 0 -0.1140 0.1520

-5.7000 0 0 5.7000 0 0

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MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 7: 1.0e+004 * 3.1100 1.9437 0 -3.1100 -1.9437 0

1.9437 1.2148 0 -1.9437 -1.2148 0

0 0 0 0 0 0

-3.1100 -1.9437 0 3.1100 1.9437 0

-1.9437 -1.2148 0 1.9437 1.2148 0

0 0 0 0 0 0

1.9437 -1.2148 0 -1.9437 1.2148 0

0 0 0 0 0 0

-1.9437 -1.2148 0 1.9437 1.2148 0

0 0 0 0 0 0

1.9437 -1.2148 0 -1.9437 1.2148 0

0 0 0 0 0 0

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 8: 1.0e+004 * 3.1100 -1.9437 0 -3.1100 1.9437 0

-1.9437 1.2148 0 1.9437 -1.2148 0

0 0 0 0 0 0

-3.1100 1.9437 0 3.1100 -1.9437 0

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 9: 1.0e+004 * 3.1100 1.9437 0 -3.1100 -1.9437 0

1.9437 1.2148 0 -1.9437 -1.2148 0

0 0 0 0 0 0

-3.1100 -1.9437 0 3.1100 1.9437 0

MATRIZ DE RIGIDEZ DEL ELEMENTO 10: 1.0e+004 * 3.1100 -1.9437 0 -3.1100 1.9437 0

-1.9437 1.2148 0 1.9437 -1.2148 0

0 0 0 0 0 0

-3.1100 1.9437 0 3.1100 -1.9437 0

A continuación el programa pregunta por algunos datos referentes a los apoyos, esto con el objeto de organizar la matriz de rigidez del sistema: NUMERO DE NUDOS RESTRINGIDOS O APOYOS: 2 NUMERO DEl NUDO RESTRINGIDO,1? LOS NUDOS MAYORES Y EMPOTRADOS: 6

EMPOTRADO = 1, ARTICULADO = 2, SIMPLEMENTE APOYADO = 3 INGRESE EL TIPO DE APOYO: 1 NUMERO DEl NUDO RESTRINGIDO,1? LOS NUDOS MAYORES Y EMPOTRADOS: 1

EMPOTRADO = 1, ARTICULADO = 2, SIMPLEMENTE APOYADO = 3 INGRESE EL TIPO DE APOYO: 1

Luego de esto, entre otros datos, se muestra la matriz de rigidez del sistema organizada: Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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MATRIZ DE RIGIDEZ DEL SISTEMA ORGANIZADA KM = 1.0e+005 *

Los últimos datos solicitados al usuario se refieren a las cargas soportadas por la estructura, primero se solicitan las cargas sobre los nudos y luego cualquier otro tipo de carga: INGRESAR NUMERO DE NUDOS CON FUERZA O MOMENTO: 2 NUDO CARGADO NUMERO 1: INGRESAR NÚMERO DEL NUDO: 2 NUDO 2: INGRESAR LA FUERZA EN [T]: 1.5 INGRESAR ANGULO CON RESPECTO AL EJE +X, DE LA FUERZA EN [GRADOS]: 0 INGRESAR EL MOMENTO EN [T.m]: 0 NUDO CARGADO NÚMERO 2: INGRESAR NÚMERO DEL NUDO: 3 NUDO 3: INGRESAR LA FUERZA EN [T]: 2.5 INGRESAR ANGULO CON RESPECTO AL EJE +X, DE LA FUERZA EN [GRADOS]: 0 INGRESAR EL MOMENTO EN [T.m]: 0

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Aquí se muestran los datos de fuerzas en los nudos pedidos antes, para que el usuario pueda comprobarlos y luego se continúa con la solicitud de las cargas: INGRESAR NUMERO DE ELEMENTOS CON FUERZAS, CARGAS O MOMENTOS INTERNOS: 2 ELEMENTO CARGADO NUMERO 1: INGRESAR NÚMERO DEL ELEMENTO: 3 ELEMENTO 3: CUANTAS CARGAS TIENE EL ELEMENTO: 1 |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE | |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 | |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 | |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA TRIANGULAR ASCENDENTE=6|

CARGA 1:

INGRESE EL TIPO DE CARGA: 1 INGRESE LA CARGA EN [T/m]: 1.2 ELEMENTO CARGADO NÚMERO 2: INGRESAR NÚMERO DEL ELEMENTO: 6 ELEMENTO 6: CUANTAS CARGAS TIENE EL ELEMENTO: 1 |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA=1, CARGA UNIFORMEMENTE | |DISTRIBUIDA PARCIAL=2, CARGA PUTUAL EN EL CENTRO=3 | |CARGA PUNTUAL EN CUALQUIER PUNTO=4, OTRA CARGA=5 | |CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUIDA TRIANGULAR ASCENDENTE=6|

CARGA 1:

INGRESE EL TIPO DE CARGA: 1 INGRESE LA CARGA EN [T/m]: 1.2

Después de ingresar estos datos se muestran una serie de resultados de los cuales los más importantes y que solicita el problema son los siguientes: Respuestas:

Desplazamientos y giros de los nudos

1.0e-003 * 0 0 0 0.0674 -0.0141 -0.1054 0.1618 -0.0246 -0.2030 0.1331 -0.0834 0.1584 0.0828 -0.0599 0.0422 0 0 0

Reacciones y fuerzas internas

VECTOR DE LAS REACCCIONES EN LOS APOYOS

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-1.2087 0.8323 -0.0797 -2.7913 8.7677 0.4591

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 1: 0.2005 1.7131 -0.0797 -0.2005 -1.7131 -0.4215

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 2: 0.9061 1.2758 -0.9744 -0.9061 -1.2758 -1.2907

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 3: 1.6350 2.3827 1.2907 -1.6350 2.4173 -1.3600

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 4: -0.9374 2.8533 0.9835 0.9374 -2.8533 1.3600

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 5: -0.4221 7.2869 0.4591 0.4221 -7.2869 0.5961

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 6: -0.8772 2.3541 1.3960 0.8772 2.4459 -1.5796

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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ELEMENTO 7: -1.4092 -0.8808 0 1.4092 0.8808 0

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 8: -2.3692 1.4808 0 2.3692 -1.4808 0

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 9: -0.6976 -0.4360 0 0.6976 0.4360 0

VECTOR DE CORTANTE Y MOMENTO ELEMENTO 10: -1.7711 1.1069 0 1.7711 -1.1069 0

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E., Domínguez, C.C., Arcila, J.H.

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Hacer diagramas de cortante y momento para el sistema.

Diagrama de momento (Ton-m):

Figura 101. Diagrama de cortante (Ton):

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Figura 102. -Diagrama de fuerzas axiales (Ton):

Figura 102.

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Reimpresos: Servicio de la Dirección de Bienestar Universitario, que tiene como objetivo editar y distribuir textos y documentos académicos de mayor demanda, para hacerlos asequibles a la comunidad universitaria, en cumplimiento de disposiciones legales y con criterios de economía y calidad.

Se terminó de imprimir en Reimpresos, duplicación de textos de la Universidad de Antioquia en el mes de septiembre de 2014