Estructuras hormigón 2014 2

Estructuras de Hormigón: Vigas y Columnas

Carlos Alberto Riveros Jerez Edwin Fabián García Aristizabal Javier Enrique Rivero Jerez

Universidad de Antioquia Facultad de Ingeniería Escuela Ambiental Programa de Ingeniería Civil Medellín

 Carlos Alberto Riveros Jerez, Edwin Fabián García Aristizabal, Javier Enrique Rivero Jerez  Reimpresos, duplicación de textos y documentos académicos de la Universidad de Antioquia Primera Edición: marzo de 2012 Tercera edición: septiembre de 2014 Reimpresión: septiembre de 2014 Impreso y hecho en Colombia / Printed and made in Colombia Prohibida la reproducción total o parcial, por cualquier medio o con cualquier propósito, sin la autorización escrita de Reimpresos, duplicación de textos académicos de la Universidad de Antioquia Reimpresos, duplicación de textos y documentos académicos Teléfono: (574) 219 53 38 Correo electrónico: reimpresos@udea.edu.co Reimpresos: Programa solidario de la Dirección de Bienestar Universitario, que tiene como objetivo editar y distribuir textos y documentos académicos de mayor demanda, para hacerlos asequibles a la comunidad universitaria, en cumplimiento de disposiciones legales y con criterios de economía y calidad.

TABLA DE CONTENIDO

1.

Elementos estructurales y funciones primarias de las edificaciones ............................... 2

2.

Tipos de estructuras de hormigón ................................................................................... 6

3.

Estados límite y filosofías de diseño ............................................................................. 19

4.

Propiedades del concreto y el acero de refuerzo ........................................................... 27

5.

Propiedades mecánicas del concreto y el acero de refuerzo.......................................... 34

6.

Flexión ........................................................................................................................... 43

7.

Consideraciones básicas en la teoría de flexión ............................................................ 60

8.

Cargas ............................................................................................................................ 68

9.

Vigas simplemente reforzadas....................................................................................... 74

10. Procedimiento de diseño para vigas simplemente reforzadas ....................................... 80 11. Vigas doblemente reforzadas ........................................................................................ 90 12. Procedimiento de diseño de vigas doblemente reforzadas ............................................ 98 13. Análisis y diseño de vigas T ........................................................................................ 104 14. Cortante ..................................................................................................................... 1233 15. Diseño a cortante ....................................................................................................... 1288 16. Requerimientos de diseño a cortante ......................................................................... 1322 17. Torsión....................................................................................................................... 1522 18. Adherencia y anclaje ................................................................................................. 1666 19. Desarrollo de barras - secciones críticas ................................................................... 1766 20. Ganchos estándar ....................................................................................................... 1800 21. Procedimiento de corte del acero de refuerzo ........................................................... 1900 22. Empalme de barras .................................................................................................... 1977 23. Columnas ................................................................................................................... 2066 24. Diseño de columnas para cargas axiales concéntricas .............................................. 2177 25. Diagrama de interacción............................................................................................ 2200 26. Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta) ....... 2322 27. Columnas biaxiales ................................................................................................... 2355 28. Efectos de esbeltez .................................................................................................... 2411

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1. ELEMENTOS ESTRUCTURALES Y FUNCIONES PRIMARIAS DE LAS EDIFICACIONES Los diferentes elementos estructurales usados en estructuras de concreto pueden ser clasificados básicamente en las siguientes tipologías: • Elemento tipo viga.

• Elemento tipo columna.

• Elemento tipo losa / placa.

• Elemento tipo muro / diafragma.

Elemento tipo viga: Definición: miembro sujeto básicamente a esfuerzos de flexión y cortante.

Figura 1

Propiedades elásticas: Flexión

 EI  kb = f    Ln 

Cortante

ks =

Esfuerzo normal

σ=

Esfuerzo cortante

τ =

GA L

My I VQ Ib

Flexión δ b =F (carga, condiciones de soporte, L, E, I) Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Elemento tipo columna: Definición: miembro sujetos a flexión, cortante y fuerza axial.

Figura 2

Propiedades elásticas:

EA L

Axial

ka =

Flexión

 EI  kb = f    Ln 

Cortante

ks =

Normal

GA L

δb =F (carga, condiciones de soporte, L, E, I) VQ Ib

Esfuerzo cortante

τ =

Esfuerzo Normal

F σa = A

Esfuerzo Normal

My σb = I

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Elemento tipo losa / placa Definición: miembro sujeto a flexión bidireccional y cortante.

Figura 3

Elemento tipo muro / diafragma Definición: miembro sujeto a cortante.

Figura 4

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Funciones primarias de las edificaciones Dar soporte a las cargas gravitacionales en condiciones de resistencia y servicio de diseño durante: •

Uso normal de la edificación (condiciones de servicio).

•

Consideraciones máximas de cargas durante su vida útil.

•

Cargas ambientales de variadas intensidades.

Figura 5

Tipos de Cargas: Gravedad:

Laterales:

•

Muerta

•

Viento

•

Viva

•

Sismos

•

Impacto

•

Presiones laterales de suelo

•

Lluvia/granizo

•

Variación de temperatura

•

Inundaciones

•

Fuerzas centrífugas

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2. TIPOS DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN Sistemas estructurales de soporte a cargas verticales.

Sistemas estructurales de soporte a cargas laterales.

Sistemas de soporte a cargas verticales: •

Placa plana.

•

Losa plana (con ábacos y/o capiteles).

•

Losa aligerada armada en una dirección.

•

Losa aligerada armada en dos direcciones.

Figura 6

Ventajas: •

Relativa facilidad de construcción.

•

Techos a la vista planos (reduce costos acabados).

•

Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.

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Figura 7

Ventajas: Las mismas del sistema de placa plana y adicionalmente se tienen las siguientes: •

Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.

•

Aumento de la rigidez torsional.

•

Disminución de deflexiones en el borde de la placa.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces cortas o medianas con cargas pequeñas.

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Figura 8

Ventajas: •

Aumento de la resistencia ante cargas verticales y laterales.

•

Relativa facilidad de construcción.

•

Techos a la vista planos (reduce costos acabados).

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas pequeñas.

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Figura 9

Ventajas: •

Disminución de deflexiones en la losa.

•

Incremento de la resistencia a cortante de la losa.

•

Techos a la vista planos (reduce costos acabados).

•

Muy eficiente para alturas de entrepiso relativamente pequeñas.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas con cargas moderadas a altas.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Figura 10

Figura 11 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Ventajas: •

Luces más largas para resistir cargas mayores.

•

Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.

•

Las instalaciones hidrosanitarias y eléctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas.

•

Buena resistencia a la vibración.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces medianas a largas con cargas altas.

Figura 12

Ventajas: •

Reducción del peso propio de la losa debido al aligeramiento.

•

Las instalaciones hidrosanitarias y eléctricas pueden ser ubicadas entre las viguetas.

•

Buena resistencia a la vibración y excelente terminado.

•

Sistema adecuado para uso en edificaciones de luces largas con cargas altas.

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Figura 13

Sistemas de Soporte a Cargas Laterales •

Generalidades del sistema pórtico.

•

Pórticos placa/losa-columna con ábacos y/o capiteles.

•

Pórticos viga-columna.

•

Sistema de muros de cortante.

•

Sistema dual.

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Figura 14

Figura 15

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Figura 16

Ventajas del sistema pórtico: •

Uso óptimo del espacio de los pisos (parqueaderos).

•

Proceso de construcción relativamente simple y del que se tiene mucha experiencia.

•

Generalmente económico para alturas inferiores a 20 pisos.

•

En Colombia, la mayoría de pórticos han sido hechos en concreto reforzado.

Desventajas del sistema pórtico: •

Generalmente, los pórticos son estructuras flexibles y su diseño es dominado por desplazamientos laterales para edificaciones con alturas superiores a 4 pisos.

•

Las luces tienen longitudes limitadas cuando se usa concreto reforzado tradicional (generalmente inferiores a 10 metros). La longitud de las luces puede ser incrementada con el uso de concreto pretensado.

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Figura 17

Figura 18

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Figura 19

Figura 20

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Figura 21

Figura 22 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Figura 23

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3. ESTADOS LÍMITE Y FILOSOFÍAS DE DISEÑO Procedimiento de diseño Fase 1 Definición de las necesidades de los clientes y las prioridades •

Requerimientos funcionales.

•

Requerimientos estéticos.

•

Requerimientos de presupuesto.

Fase 2 Desarrollo conceptual del proyecto •

Desarrollo de posibles esquemas.

•

Análisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada arreglo.

•

Selección del sistema estructural más favorable.

Fase 3 Diseño del sistema individual •

El análisis estructural (basado en el diseño preliminar) Análisis de cargas y determinación de esfuerzos o fuerzas internas en términos de momentos, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.

•

Diseño Especificaciones de construcción.

Dimensionamiento y diseño de los elementos estructurales.

Estética.

Factibilidad de construcción.

Mantenimiento.

Estados límite Condición en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su uso previsto.

En estructuras de concreto reforzado se tienen tres estados límites: •

Estado límite último.

•

Estado límite de servicio.

•

Estado límite especial.

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Estado límite último •

Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca probabilidad de ocurrencia).

•

Tiene que ver con la pérdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como un cuerpo rígido (volcamiento, deslizamiento de la estructura).

•

Tiene que ver con la ruptura de los componentes críticos, causando el colapso parcial o completo (flexión, falla a cortante).

Colapso progresivo (1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante la vinculación de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado detallamiento en el corte del acero de refuerzo, proporcionando vías alternativas de transmisión de cargas en caso de falla localizada. (2) Formación de un mecanismo plástico (articulaciones plásticas) en algunas zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. (3) Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente incremento en los momentos de diseño de los elementos de soporte a cargas verticales. (4) Fatiga en elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos por las cargas de servicio (pueden causar colapso).

Estado límite de servicio La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo produce fugas de líquidos. La corrosión del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las deflexiones excesivas causan mal funcionamiento de la maquinaria, rompimiento de vidrios o vitrinas actuando como elementos no estructurales. Cambios en las distribuciones de fuerzas. Las vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas.

Estado límite especial El daño y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran magnitud, inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares, efectos de corrosión, inestabilidad física y química a largo plazo.

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Diseño en estado límite Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad para las estructuras normales con base en las recomendaciones de los códigos de construcción vigentes.

Considerar los estados límites significativos. Los elementos se deben diseñar para el estado límite último, el servicio se comprueba.

Códigos de Construcción Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormigón, actuando en conjunto deben ser analizados, es comprensible que el análisis del esfuerzo en un elemento de hormigón armado tiene que ser parcialmente empírico, aunque racional. Estos principios semi-racionales están siendo revisados constantemente y mejorados como resultado de la investigación teórica y experimental que se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de información para estos cambios, así como principal referente de los diferentes códigos de construcción a nivel mundial.

Filosofías de diseño •

Método de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio).

•

Método de resistencia (enfocado en condiciones de cargas últimas).

Método de esfuerzos admisibles La seguridad en el diseño se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir esfuerzos que corresponden a una fracción de fy, por ejemplo 0,5. Este valor equivale a proveer un factor de seguridad de 2. Este método no es apropiado para el diseño de estructuras modernas debido a las siguientes limitaciones: •

El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elástico de materiales homogéneos.

•

Este método no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida más fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.

•

El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modelo son de naturaleza determinística (sin variación).

•

La selección del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida de confianza en términos de probabilidad de falla.

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Método de resistencia El método de resistencia se considera conceptualmente más realista para establecer la seguridad estructural, en este método las cargas de servicio son incrementadas por medio de factores para obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; ésta carga es llamada carga factorizada o carga mayorada.

Resistencia Proporcionada ≥ Resistencia Requerida

Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de comportamiento prescrito por el código de construcción y la resistencia requerida se obtiene mediante la realización de un análisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia proporcionada" se conoce comúnmente como "resistencia última".

Provisiones de seguridad Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseñados para resistir carga adicional por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algún tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural.

•

Variabilidad en resistencia

•

Variabilidad en cargas

•

Consecuencia de la falla

Variabilidad en resistencia •

La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo.

•

Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se encuentran consignados en los planos estructurales.

•

Los efectos de la simplificación hecha en la derivación de la resistencia de los elementos.

La siguiente gráfica muestra una comparación de la medida y cálculo de los momentos de falla basados en todos los datos de vigas de hormigón armado con f'c > 2000 psi.

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Figura 24

Variabilidad en cargas Distribución de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas.

Figura 25 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Consecuencias de la falla Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinación de un nivel aceptable de seguridad: •

La posible pĂŠrdida de vidas humanas.

•

El costo de retirar escombros con la correspondiente sustituciĂłn de la estructura y su contenido.

•

Costo para la sociedad.

•

Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.

Margen de seguridad Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de la estructura.

Figura 26

El tÊrmino Y = R – S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como:

Y el Ă­ndice de seguridad es:

Pf = Probabilidad de [đ?&#x2018;&#x152; < 0]

β=

Riveros, C.A., GarcĂ­a, E.F., Rivero, J.E.

Y

Ď&#x192;Y

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Figura 27

Cargas Especificaciones Las ciudades en los EE.UU. en general, basan sus códigos de construcción en uno de los siguientes tres códigos (después del 2000): •

International Building Code IBC.

•

Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee 318, 2008.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rigió los códigos de construcción antes del año 2010 fue: •

Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-98, 1998.

Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los códigos de construcción después del año 2010 es: •

Reglamento Colombiano de Construcción Sismo Resistente, NSR-10, 2010.

Cargas Muertas •

El peso de toda la construcción permanente.

•

Magnitud constante y ubicación fija.

Ejemplos: •

Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).

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Equipos de servicio fijo (HVAC, pesos de tubería, bandeja de cables).

Pueden ser inciertas: •

Espesor del pavimento.

•

Relleno de tierra sobre la estructura subterránea.

Cargas Vivas •

Cargas producidas por el uso y ocupación de la estructura.

•

Máximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.

•

No menos que el mínimo de carga uniformemente distribuida dada por el código.

Cargas Ambientales •

Cargas de nieve.

•

Sismo.

•

Viento.

•

Presión del suelo.

•

Estancamiento de aguas pluviales.

•

Diferenciales de temperatura.

Cargas de Construcción •

Materiales utilizados para llevar a efecto la construcción de una edificación.

•

Peso de la formaletería que soporta el peso del concreto fresco.

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4. PROPIEDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO Definición de Concreto Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava / piedra), y agua con o sin otros aditivos.

Hidratación Proceso químico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua para luego endurecerse formando una masa sólida y de esta forma uniendo los agregados entre sí.

Calor de hidratación El calor se libera durante el proceso de hidratación. En grandes masas de hormigón el calor se disipa lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansión de volumen; más adelante hay contracción por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de medidas especiales para controlar la fisuración.

Dosificación El objetivo es lograr la mezcla con: •

Resistencia adecuada.

•

Trabajabilidad adecuada para la colocación.

•

Bajo costo.

Bajo costo •

Minimizar la cantidad de cemento.

•

Gradación buena de los materiales (disminuyendo los vacíos y por lo tanto la pasta de cemento requerida).

Relación agua-cemento (A / C) •

El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla.

•

El aumento de A / C: los resultados en disminución de la resistencia debido al mayor volumen de vacíos en la pasta de cemento y debido al agua libre.

•

La completa hidratación del cemento requiere A / C ~ 0,25.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua durante la hidratación y proporcionar trabajabilidad.

•

Valor típico de A / C = 0,40-0,60

Tabla 1 Relación Típica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresión y Flexión del Peso Normal del Concreto Probabilidad de la Resistencia del Concreto a los

Relación Agua/Cemento

28 Días Compresión

Galones por Saco

Litros por Saco

(94 lb.)

(50 kg)

0,35

4,0

0,4

Por el Peso

Flexión

psi

N/mm2

psi

N/mm2

17,5

6300

41

650

4,5

4,5

20,0

5800

40

610

4,2

0,44

5,0

22,0

5400

37

590

4,1

0,49

5,5

24,5

4800

33

560

3,9

0,53

6,0

26,5

4500

31

540

3,7

0,58

6,5

29,0

3900

27

500

3,5

0,62

7,0

31,0

3700

25

490

3,4

0,67

7,5

33,5

3200

22

450

3,1

0,71

8,0

35,5

2900

20

430

3,0

Las proporciones se dan por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir, 1:2:4) con la relación A / C especificada separadamente.

Agregados Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido.

El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no mezclada, burbujas de aire.

Los agregados más densos dan mejor: •

Fuerza.

•

Resistencia a la intemperie (durabilidad).

•

Economía.

Agregado fino: arena (pasa a través de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)).

Agregado grueso: grava.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Gradación buena •

2-3 grupos de tamaño de la arena.

•

Varios grupos de tamaño de la grava.

El tamaño máximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben ajustarse a las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2).

•

1/5 de la dimensión más estrecha.

•

1/3 de la profundidad de la losa.

•

3/4 de la distancia mínima entre barras de refuerzo.

Resistencia de los agregados Agregados fuertes: cuarcita.

Agregados débiles: arenisca, mármol.

Resistencia intermedia: piedra caliza, granito.

En el diseño de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran importancia: •

Calidad.

•

Trabajabilidad.

•

Economía.

Calidad La calidad del hormigón se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que afectan a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son de buena calidad, son la relación A / C, y la medida en que ha progresado la hidratación. La durabilidad del hormigón es la capacidad del concreto para resistir la desintegración debido procesos de congelación y descongelación, y en algunos casos debido al ataque químico.

Trabajabilidad La trabajabilidad del hormigón se puede definir como la composición característica indicativa de la facilidad con que la masa de material plástico puede depositarse en su lugar definitivo, sin segregación durante la colocación, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el elemento estructural.

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Economía La economía tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de resistencia, y facilidad de manejo y disposición del concreto. El costo de producción de concreto de buena calidad es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construcción.

Tabla 2. Influencia de los ingredientes en las propiedades del concreto.

Ingrediente

Calidad

Trabajabilidad

Economía

Agregados

Incrementa

Disminuye

Incrementa

Cemento Portland

Incrementa

Incrementa

Disminuye

Agua

Disminuye

Incrementa

Incrementa

De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill Book Company, New York, 1979.

Ensayo de asentamiento La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la mezcla se hace con el ensayo de asentamiento de cono.

Figura 28

Capa 1: Llenar 1 / 3 (25 inserciones).

Capa 2: Llenar 2 / 3 (25 inserciones).

Capa 3: Llenar completo (25 inserciones).

Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general está entre 2 y 6 pulgadas).

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de hormigón.

Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento Tipo de Estructura Secciones masivas, pavimentos y pisos fundidos sobre el suelo Losas pesadas, vigas, muros Muros delgados y columnas, losas ordinarias y vigas.

Asentamiento (in.)

Mínimo

Máximo

1

4

3

6

4

8

Aditivos •

Mejoran la trabajabilidad.

•

Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento.

•

Ayudan en la curación.

•

Mejoran la durabilidad.

Incorporación de aire Añadir vacíos de aire con burbujas •

Ayuda con los ciclos de congelación/descongelación, facilidad de trabajo, etc.

•

Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero también disminuye A / C.

Superplastificantes Incrementan la trabajabilidad por la liberación química del agua contenida en los agregados finos.

Tipos de cemento •

Tipo I: Es el más utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormigón en general, al que no se le exigen propiedades especiales.

•

Tipo II: Es el que se debe usar en obras que estén expuestas a la acción moderada de sulfatos y se requiera moderado calor de hidratación, como por ejemplo canales de aguas negras.

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•

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Tipo III: Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de elementos prefabricados de concreto.

•

Tipo IV: Es el que desarrolla bajo calor de hidratación. Se usa para represas y obras que posean un gran volumen de concreto.

•

Tipo V: Es el que ofrece alta resistencia a la acción de sulfatos, útil para obras que se encuentren en contacto con el medio marino

Mecanismos de falla del concreto Microfisuras por retracción Corresponde a la contracción inicial del concreto debido a la retracción por fraguado, la contracción de hidratación, y la contracción por secado.

Figura 29

Microfisuras por adherencia Son extensiones de microfisuras de retracción, al aumentar el esfuerzo a compresión el campo de fisuramiento incrementa, la contracción de microfisuras amplía pero no se propaga en la matriz.

Ocurren cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia última del concreto.

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Figura 30

Microfisuras de matriz Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 30-45 % de la resistencia última del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan el puente entre sí correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen justo antes del fallo.

Figura 31

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5. PROPIEDADES MECÁNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO Concreto

Figura 32

La prueba de resistencia estándar generalmente utiliza una muestra cilíndrica. La prueba se hace después de 28 días para la prueba de resistencia, f’c. El concreto se sigue endureciendo con el tiempo y para un cemento Portland normal se incrementará con el tiempo aproximadamente de la siguiente forma: Tabla 3 Edad Relación de Resistencia

7 Días 0,67

14 Días 28 Días 0,86

1

3 Meses

6 Meses 1 Año 2 Años

1,17

1,23

1,27

1,31

5 Años 1,35

Resistencia a la compresión, f’c Por norma se define a 28 días para la resistencia de diseño Relación de Poisson, ν Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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ν ~ 0,15 a 0,20 generalmente se usa ʋ = 0,17

Figura 33

Módulo de elasticidad del concreto (Ec) Corresponde al módulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 f’c. NSR-10 (C.8.5.1).

El módulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:

wc1.5 × 0, 043 f ´c En MPa. Para valores de wc comprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3. Para concreto de densidad normal, Ec puede tomarse como 4700 f ´c Donde wc = Peso (kg / m3)

1440 Kg/ m3 < wc < 2560 Kg/ m3

Ec (MPa) = 4700 f ´c Para el peso normal del concreto:

wc ≅ 2400 Kg/m3

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Deformación del concreto a máximo esfuerzo de compresión •

Para las curvas típicas de la compresión εc varía entre 0,0015-0,003.

•

Para la resistencia normal de hormigón εc ~ 0,002.

Figura 34

Deformación máxima utilizable, εcu •

La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0,003. NSR-10 (C.10.2.3). εcu = 0,003.

•

Usado para flexión y compresión axial.

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Las curvas Esfuerzo vs Deformación para un concreto típico en compresión:

Figura 36

Tipos de falla a compresión Hay tres modos de falla: •

El concreto falla a cortante bajo compresión axial.

•

La separación de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como división o fractura de columna.

•

Combinación de la falla cortante y fractura de columna.

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Figura 37

Resistencia a tracción del concreto •

Resistencia a tracción ~ 8% a 15% del f´c .

•

Módulo de rotura, fr.

Para los cálculos de deflexión, se usa:

fr = 0, 62λ f´c( MPa ) Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificación λ como multiplicador de

f´c en todas las ecuaciones y secciones aplicables del Título C del

Reglamento NSR-10, donde λ = 0,85 para concreto liviano de arena de peso normal y 0,75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolación entre 0,75 y 0,85 con base en fracciones volumétricas, cuando una porción de los agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal. Se permite la interpolación lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado fino de peso normal y una combinación de agregados gruesos de peso normal y de peso liviano. Para el concreto de peso normal λ = 1,0 . Si se especifica la resistencia promedio a la tracción por hendimiento del concreto de peso liviano, fct, entonces:

λ=

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fct ≤ 1,0 (0,56 f´c )

NSR-10, C.8.6.1

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Ensayo

Figura 38

Figura 39

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Acero de refuerzo

Figura 40

• Tipos más comunes para miembros no pretensados: Laminados en caliente, barras corrugadas.

Tejidos de alambre soldado.

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Figura 41

Tabla 4: áreas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, áreas, perímetros y pesos de barras estándar. Área De Diámetro

Sección

Perímetro

Transversal in.

Barra

Unidad De Peso Por Pie

Diámetro

Área

in2.

in.

lb.

mm.

mm2.

#

Nominal

Actual

2

1/4

0,250

0,05

0,79

0,167

6,4

32

3

3/8

0,375

0,11

1,18

0,376

9,5

71

4

1/2

0,500

0,20

1,57

0,668

12,7

129

5

5/8

0,625

0,31

1,96

1,043

15,9

200

6

3/4

0,750

0,44

2,36

1,502

19,1

284

7

7/8

0,875

0,60

2,75

2,044

22,2

387

8

1

1,000

0,79

3,14

2,670

25,4

510

9

118

10 11 14 18

1,128

1,00

3,54

3,400

28,7

645

114

1,270

1,27

3,99

4,303

32,3

820

138

1,410

1,56

4,43

5,313

35,8

1010

134

1,693

2,25

5,32

7,650

43,0

1450

214

2,257

4,00

7,09

13,600

57,3

2580

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Tipos ASTM A615 - Especificación estándar para barras de acero deformadas.

ASTM A616 – Barras para rieles de acero.

ASTM A617 – Barras para ejes de acero.

ASTM A706 – Barras de baja aleación de acero.

Curva esfuerzo-deformación para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo

Figura 42

Es = módulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la curva esfuerzo deformación y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como un valor constante de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.2).

Figura 43

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6. FLEXIÓN Localización del acero de refuerzo

Figura 44

Figura 45

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Figura 46

Figura 47

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Figura 48

Esfuerzo flector en vigas La viga es un elemento estructural diseñado para soportar principalmente momentos flectores y cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de compresión considerable.

C=T M = C*(jd) M = T*(jd) El esfuerzo en un bloque es definido como:

σ = (M × y) / I Sxx = I / (y max ) La ecuación para el módulo Sxx para el cálculo del esfuerzo de compresión máxima.

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Figura 49

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Figura 50

Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.

Figura 51

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Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores extremas tengan un esfuerzo equivalente al módulo de rotura del concreto fr. La sección de concreto entera es efectiva, las barras de acero en el lado de tensión tienen la misma deformación que la del concreto ubicado alrededor de las barras de refuerzo.

Estado de carga #3: La resistencia a la tracción del hormigón excede la equivalente al módulo de rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las fisuras se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la tracción y el acero comienza a trabajar eficazmente resistiendo la carga de tensión total.

Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el rango lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0,45 f´c y pasar a un comportamiento no lineal del material.

Estado de carga #5: Falla de la viga.

Figura 52 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Figura 53

Figura 54 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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El diagrama momento-curvatura muestra los cinco estados de la viga. El diagrama es del ángulo de curvatura, φ ,

(σ ) E φ= = y y

ε

( M y I )   E  φ= y M φ= EI La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.

Figura 55

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Tipos de fallas por flexión de una viga de concreto reforzado: El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su máximo valor esfuerzo (condición de falla sub-reforzada).

Figura 56

El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormigón alcanza su máximo valor esfuerzo y deformación (condición de falla balanceada).

Figura 57

El concreto alcanza su máximo valor esfuerzo y deformación antes que el acero alcance su esfuerzo de fluencia (condición de fallan sobre-reforzada).

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Figura 58

Análisis de vigas en condiciones de cargas de servicio

Ec – Módulo de Elasticidad - Concreto Es – Módulo de Elasticidad - Acero As – Área del Acero d – Distancia al acero b – Ancho h – Alto n – Relación Modular

n=

Es Ec

Propiedades de la Mecánica de Materiales

y=

Centroide

∑y A ∑A i

i

i

Momento de Inercia

I =∑ I i + ∑ ( yi − y ) Ai

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2

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Sección no fisurada

Figura 60

Tabla 5 Área

yi

yiA

I

yi - y

(yi -y)2 A

Concreto

bh

h/2

bh2/2

bh3/12

(h/2-y)

(h/2-y)2bh

Acero

(n-1)As

d

d(n-1)As

---

(d-y)

(d-y)2(n-1)As

bh 2 + ( n − 1) Asd yi Ai ∑ 2 = y = ∑ Ai bh + ( n − 1) As I=

∑ I + ∑( y − y ) i

i

2

2

bh3  h 2  Ai = +  − y  bh + ( d − y ) ( n − 1) As 12  2 

Sección fisurada Para una sección fisurada el concreto esta en compresión y el acero está en tensión. La deformación en la viga es lineal.

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Figura 61

1 fc 2 T= As × fs C = yb

Condición de equilibrio

T =C As × fs = yb

1 fc 2

 yb  fs =   fc  2 As  Usando la Ley de Hooke

f = Eε

ε c  Es   2 As  2nAs  yb  Esε s  =  = c →  Ecε= yb ε s  Ec   yb   2 As  Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar

y

. Se debe utilizar la condición

de compatibilidad de deformaciones.

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Figura 62

Usando la condición de compatibilidad de deformaciones.

εs

d−y

=

εc y

⇒

εc y = εs d − y

Se sustituye en la primera ecuación.

Se sustituye para la relación de deformación

y 2nAs = d−y yb Reorganizar la ecuación en una ecuación de segundo grado

 2nAs   2nAs  y2 +  0  y − d =  b   b  Utilizar una relación de áreas de concreto y acero

ρ=

As → y 2 + 2n ρ d y − 2n ρ d 2 = 0 bd

Modificar la ecuación para definir una relación adimensional.

2

y y 0   + 2n ρ   − 2n ρ = d  d  Usando la fórmula cuadrática

 y  −2n ρ ± ( 2n ρ ) + 8n ρ  = 2 d  2 y ( n ρ ) + 2n ρ − n ρ  =  d  2

Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d . El momento de inercia es definido usando el teorema de los ejes paralelos

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Figura 63

I =∑ I i + ∑ ( yi − y ) Ai 2

2

by 3  y  2 I= +   by + ( d − y ) nAs 12  2  by 3 2 I= + ( d − y ) nAs 3

EJEMPLO 1 Considere una viga rectangular simplemente reforzada con un área de acero de refuerzo As. Determinar la ubicación del centroide y el momento de inercia para la sección mostrada en la figura, considerando los casos de sección no fisurada y fisurada. Compare los resultados.

Es = 200000 MPa

(C.8.5.2)

Ec = 25000 MPa d = 340mm b = 300mm h = 400mm

Usar 4 barras Nº7 para el acero de refuerzo.

Una barra Nº7 tiene un área de 387 mm2, entonces 4Nº7 corresponde a 1548 mm2.

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Se tiene la relación modular, = n

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Es 200000 MPa = = 8 Ec 25000 Mpa

Sección no fisurada

y

bh 2 300mm × (400mm) 2 + (n − 1) × As × d + (8 − 1) ×1548mm 2 × 340mm 2 2 = = 212mm bh + (n − 1) × As 300mm × 400mm + (8 − 1) ×1548mm 2 2

bh3  h 2  I= +  − y  bh + ( d − y ) ( n − 1) As 12  2  2

300mm × (400mm)3  400mm 2  I = + − 211, 6mm  × 300mm × 400mm + ( 340mm − 211, 6mm ) ( 8 − 1) ×1548mm 2 12  2 

I = 1794795564mm 4 Sección fisurada

= ρ

As 1548mm 2 = = 0, 0152 bd 300mm × 340mm

2 2 y ) 0,3863  = ( n ρ ) + 2n ρ − n ρ= ( 8 × 0, 0152 ) + ( 2 × 8 × 0, 0152 ) − ( 8 × 0, 0152= d  y 0,3863= = × d 0,3863 × 340mm = 131mm

300mm × (131,35mm ) by 3 2 2 = I + ( d − y ) nAs= + ( 340mm − 131,35mm ) × 8 ×1548mm 2 3 3 4 I = 765751065mm 3

Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se reduce de 1794795564 mm4 a 765751065 mm4.

El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La sección fisurada pierde más de la mitad de su resistencia original.

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EJEMPLO 2 Determinar la distribución de esfuerzos para los siguientes momentos Mu1= 75 KN-m y Mu2= 125 KN-m.

Es = 200000 MPa Ec = 25000 MPa d

= 590 mm

b = 300 mm h = 650 mm As = 1548 mm2

Relación modular, = n

Es 200000 MPa = = 8 Ec 25000 Mpa

Para agregado grueso de origen ígneo se tiene Ec = 4700 f´c (C.8.5.1) 2

2

 Ec   25000  f´c = =  28, 29 MPa → 28MPa   =  4700   4700  El módulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10)

= fr 0, 62 × λ f´c = = 3, 28MPa fr 0, 62 ×1× 28 Tensiones elásticas sección no fisurada

bh 2 300mm × (650mm) 2 + (n − 1) × As × d + (8 − 1) ×1548mm 2 × 590mm 2 2 = y = = 339mm 300mm × 650mm + (8 − 1) ×1548mm 2 bh + (n − 1) × As 2

bh3  h 2  I= +  − y  bh + ( d − y ) ( n − 1) As 12  2 

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300mm × ( 650mm )  650mm 2  + − 339mm  × 300mm × 650mm + ( 590mm − 339mm ) × ( 8 − 1) ×1548mm 2 12  2  3

I =

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2

I = 7586523836 mm 4 Concreto a compresión

fcc

75 KN − m ) × 0,339m (= 7,586 ×10−3 m 4

3,35MPa

Concreto a tracción

= fct

m) ( 75KN − m )( 0, 650m − 0,339 = 7,586 ×10−3 m 4

3, 07 MPa < fr

La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una sección no fisurada es correcta.

Tensiones elásticas sección fisurada

As 1548mm 2 = ρ = = 0, 0087 bd 300mm × 590mm 2 2 y ) 0,31  = ( n ρ ) + 2n ρ − n ρ= ( 8 × 0, 0087 ) + ( 2 × 8 × 0, 0087 ) − ( 8 × 0, 0087= d  y= 0,31× d= 0,31× 590mm= 183mm

300mm × (183mm ) by 3 2 2 = I + ( d − y ) nA= + ( 590mm − 183mm ) × 8 ×1548mm 2 s 3 3 4 I = 2664 245916 mm 3

Concreto a compresión

fcc =

(125KN − m ) × 0,183m = 2, 664 ×10−3 m 4

8,59 MPa < 0, 45 f´c = 12, 6 MPa

La suposición de que el concreto se encuentra en la zona de tensiones elásticas correspondiente a una sección fisurada es correcta.

Esfuerzo en el acero

 0,183m × 0,3m   yb  × 8,59 MPa = 152,32 MPa fs =   fc =  −3 2   2 As   2 ×1,548 ×10 m 

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7. CONSIDERACIONES BÁSICAS EN LA TEORÍA DE FLEXIÓN •

Las secciones planas continúan siendo planas antes y después de la aplicación de la carga. Este enunciado no es cierto para vigas de gran altura h> 4b.

•

La deformación en el acero de refuerzo es igual a la deformación en el concreto medidas al mismo nivel.

•

El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias en deformación de las curvas σ − ε del concreto y el acero.

Supuestos adicionales para el diseño (con el fin de simplificar) •

Resistencia a la tracción del concreto no se considera para el cálculo de resistencia a la flexión.

•

El concreto se asume que falla en compresión cuando:

ε c (esfuerzo concreto) = ε cu (estado límite) ε c (esfuerzo concreto) = 0, 003 NSR-10 C.10.2 Suposiciones de diseño C.10.2.3 La máxima deformación unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a compresión del concreto se supone igual a 0,003.

La relación σ − ε para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y cuando los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.

Figura 66

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La fuerza de compresión se modela como Cc = k1k 3f´c b × c en la posición x = k 2 × c

Figura 67

Los coeficientes de compresión de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:

Figura 68

k3 es la relación de máximo esfuerzo para f´c en la zona a compresión de una viga para la resistencia del cilindro, f´c (0,85 es el valor típico para un concreto común).

La zona de compresión se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.

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Figura 69

La distribución rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce como coeficiente β1 , que es la proporción del promedio que incluye la distribución de esfuerzos.

= β1

0,85 para f´c ≤ 28 MPa  f´c − 28  ≥ 0, 65  7 

β1 = 0,85 − 0, 05 × 

Requisitos para el análisis de vigas de concreto reforzado •

Esfuerzo – compatibilidad de deformación El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensión en el punto simétrico.

•

Equilibrio Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.

Figura 70

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Condición de equilibrio

∑F

x

=0

⇒

T =C

As= × fs 0,85 f´c × a × b 0 ∑M =

⇒

a  T  d −  = Mn 2 

Figura 71 Resistencia de la sección a flexión

T= As × fs = C 0,85 f´c × a × b As × fs a= 0,85 f´c × b

Mn = T ( Momento del brazo ) a  Mn = As × fs  d −  2 

Se debe confirmar ε s > ε y

εy = c= = εs

σy Es a

β1

(d − c) ε c

c

> εy

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EJEMPLO 3 Determinar la ubicación del eje neutro y el momento de diseño para la viga rectangular mostrada en la figura.

f´c = 28 MPa fy = 420 MPa b = 300 mm d = 440 mm h = 500 mm Usar 4 Nº7 para el acero de refuerzo, As = 1548 mm2. β1 = 0,85 para f´c ≤ 28MPa (C.10.2.7.3) Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:

C =T 0,85 f´c × b × a = As × fy = a

As × fy 420 MPa ×1548mm 2 = = 91mm 0,85 × f´c × b 0,85 × 28MPa × 300mm

El eje neutro se encuentra ubicado a:

c =

a 91mm = = 107 mm β1 0,85

Revisión si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:

ε= y

fy 420 MPa = = 0, 0021 Es 200000 MPa  d −c 

 440 mm − 107 mm   × 0, 003= 0, 0093 107 mm 

εs =   × 0, 003=   c  

0, 0093 > 0, 0021 fluencia del acero de refuerzo. Este valor debe ser superior a 0,005.

a 0, 091m    Mn = As × fy  d −  =(1,548 ×10−3 m 2 ) ( 420000 KPa )  0, 44 m −  = 256,5 KN − m 2 2    Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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EJEMPLO 4

Para la viga mostrada en la figura con f´c = 41MPa, fy = 420MPa y d = 640mm.

Determinar el área de acero para la condición balanceada de la sección sombreada, la cual muestra el área de concreto a compresión, determinar el momento nominal resistente de la sección y la ubicación del eje neutro.

Determinar el área de concreto:

Ac = 150 mm ×100 mm + 300 mm × 80 mm = 39000 mm 2 Por condición de equilibrio se tiene:

C =T C = 0,85 × f´c × Ac = 0,85 × 41000 KPa × 0, 039 m 2 = 1359 KN 0,85 × f´c × Ac 1359 KN = = 3, 236 ×10−3 m 2= 3236 mm 2 As × fy= 0,85 × f´c × Ac ⇒ As= fy 420000 KPa Determinar el centroide de la zona de compresión del concreto:

= y

yA ∑ = ∑A i

i

i

150 mm ×100 mm × 50 mm + 300 mm × 80 mm ×140 mm = 105 mm 150 mm ×100 mm + 300 mm × 80 mm

Momento resistente de la sección:

Mn = T ( d − y ) = 1359 KN × ( 0, 64 m − 0,105 m ) = 727,1 KN − m

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Determinar la ubicación del eje neutro:

 f´c − 28   41 − 28   = 0,85 − 0, 05 ×   = 0, 76 (C.10.2.7.3)  7   7 

β1 = 0,85 − 0, 05 ×  c =

a 180 mm = = 237 mm 0, 76 β1

c 237 mm = = 0,37 d 640 mm

EJEMPLO 5 Determinar el momento último que resiste la sección mostrada en la figura

f´c = 28MPa fy = 420 MPa

As = 4 × ( 510mm 2 ) = 2040mm 2

Verificación cuantía mínima

= ρ

As 2040 mm 2 = = 0,126 bd 300 mm × 540 mm

f´c 1, 4 28 1, 4 ≥ = ≥ 4 fy fy 4 × 420 420 0, 0031 ≥ 0, 0033 → ρ > ρ min ρ= min

ρ min =

Equilibrio de fuerzas

T =C As × fy= 0,85 × f´c × Ac = Ac

As × fy 2040 mm 2 × 420 MPa = = 3600 mm 2 0,85 × f´c 0,85 × 28 Mpa

A1 = 2 × 75 mm ×100 mm = 15000 mm 2 A2 = Ac − A1 = 36000 mm 2 − 15000 mm 2 = 21000 mm 2 A2 = bx → x =

A2 21000 mm 2 = = 70 mm b 300 mm

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Ubicación eje neutro

a = 100mm + 70mm = 170mm 170mm = c = 200mm 0,85 Verificación falla tensión

c 200 mm = = 0,370 < 0,375 →= φ 0,9 d 540 mm Determinar el centroide de la zona a compresión del concreto

= y

yA ∑ = ∑A i

i

i

2 × 75 mm ×100 mm × 50 mm + 70 mm × 300 mm ×135 mm = 99, 6 mm 2 × 75 mm ×100 mm + 70 mm × 300 mm

Momento resistente

Mn = As × fy × (d − y ) = 2, 04 ×10−3 m 2 × 420000 KPa × (0,54 m − 0,1m) = 377 KN − m φ Mn =× Mu = 0,9 377 KN − m = Mu 339,3 KN − m

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8. CARGAS Provisiones de seguridad Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseñados para llevar algo de carga de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por las que algún tipo de factor de seguridad es necesario en el diseño estructural.

•

Las consecuencias de la falla.

•

La variabilidad en la carga.

•

La variabilidad en la resistencia.

Especificaciones Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus códigos de construcción en uno de los 3 códigos modelo: •

Uniform Building Code.

•

Basic Building Code (BOCA).

•

Standard Building Code.

Estos códigos se han consolidado en el 2000 International Building Code.

Las cargas en estos códigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures, las cuales han sido actualizadas para ASCE 7-02.

En Colombia a nivel de normativa tenemos: •

Código Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.

•

Normas Colombianas de Diseño y Construcción Sismo-resistente NSR-98.

•

Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.

Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga" para determinar la carga última.

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NSR-10 Capítulo B.2 — COMBINACIONES DE CARGA B.2.2 — NOMENCLATURA D=

carga muerta consistente en:

(a) peso propio del elemento. (b) peso de todos los materiales de construcción incorporados que

a la edificación y

son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo muros y particiones

divisorias de espacios. (c) peso del equipo permanente.

E=

fuerzas sísmicas reducidas de diseño (E = Fs/ R) que se emplean para diseñar los

miembros estructurales.

F=

cargas debidas al peso y presión de fluidos con densidades bien definidas y alturas máximas

controlables.

G=

carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribución del empozamiento.

L=

cargas vivas debidas al uso y ocupación de la edificación, incluyendo cargas debidas a

objetos móviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reducción que se permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en cuenta en la carga viva L. Le =

carga de empozamiento de agua.

Lr =

carga viva sobre la cubierta.

H=

cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua freática o de materiales almacenados

con restricción horizontal.

T=

fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variación de temperatura, retracción

de fraguado, flujo plástico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o combinación de varios de estos efectos.

W =

carga de viento.

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B.2.4 — COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MÉTODO DE RESISTENCIA B.2.4.1 — APLICABILIDAD — Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la sección B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el reglamento de diseño del material, con la excepción de aquellos casos en que el Reglamento indique explícitamente que deba realizarse el diseño utilizando el método de los esfuerzos de trabajo. Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la sección B.2.3.1.

Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas menores que los que prescribía el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de los materiales estructurales en esta nueva versión del Reglamento (NSR-10) se han prescrito valores de los coeficientes de reducción de resistencia, φ , menores que los que contenía el Reglamento NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla estructural que limita el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las nuevas ecuaciones de combinación de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de reducción de resistencia, φ , que contenía la NSR-98.

B.2.4.2

—

COMBINACIONES

BÁSICAS

—

El

diseño

de

las

estructuras,

sus

componentes y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseño igualen o excedan los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes combinaciones: 1.4 (D+F)

(B.2.4-1)

1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr ó G ó Le)

(B.2.4-2)

1.2D+1.6 (Lr ó G ó Le) + (L ó 0.8W)

(B.2.4-3)

1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr ó G ó Le)

(B.2.4-4)

1.2D+1.0E+1.0L

(B.2.4-5)

0.9D+1.6W+1.6H

(B.2.4-6)

0.9D+1.0E+1.6H

(B.2.4-7)

Las ecuaciones más generales de la carga última que van a ser más utilizadas en este libro son:

U = 1.4D U = 1.2D + 1.6L

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RESISTENCIA Los factores de carga van a generar la carga última, que se utiliza en el diseño y análisis de los elementos estructurales.

Mu = φ Mn

Mu - Momento Último Mn - Momento Nominal

φ

- Factor de Reducción de Resistencia

El factor de reducción de la resistencia, φ , varía de miembro a miembro, dependiendo si está en tensión o compresión o dependiendo también del tipo de miembro.

Tres posibilidades en el comportamiento inelástico de vigas de concreto reforzado •

Falla a compresión.

•

Falla a tensión.

•

Falla balanceada.

Falla a compresión El acero entra en fluencia después de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo repentino (frágil). La viga es conocida como una viga sobrereforzada.

Figura 72

Falla a tensión El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de compresión secundaria. La viga es conocida como una viga subreforzada.

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Figura 73

Falla balanceada El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como una viga en condición balanceada.

Figura 74

La falla a tensión de la viga subreforzada es la más conveniente. Es un tipo de falla que permite soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente apreciada antes del colapso de la viga.

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Figura 75

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9. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS Cuantía balanceada

ρ bal = Valor único cuando se presentan simultáneamente las siguientes condiciones:

ε c = 0,003 εs = ε y Usando la relación de triángulos semejantes:

εy 0 , 003 = cb d − cb

Figura 76

La ecuación puede ser rescrita para encontrar c b

ε y cb 0 , 003d − 0 , 003cb =

cb ( 0 , 003 + ε y ) = 0 , 003d = cb

c 0 , 003d = ⇒ b d ( 0,003 + ε y )

cb  0 , 003   Es  =   = d  ( 0 , 003 + ε y )   Es   

0 , 003 ( 0,003 + ε y ) 600 ( 600 + fy )

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Ecuación de momento nominal

C= T

⇒ 0,85 f´c × b × a = As × fy As × fy a= 0,85 f´c × b a  Mn = As × fy  d −  2 

La ecuación puede ser también escrita en la forma:

fy × As × d   As   b  2  = Mn fy     d  d − 1, 7 f´c × b × d   b× d  d   Utilizando la relación

r=



fy ρ d   1, 7 f´c 

= Mn

( ρ fy )( r ) d 2  d − 

Utilizando

b yρ d

ω=ρ

fy y f´c

ω   = Mn ω ( r ) f´cd 3 1 −   1, 7  = Mn ω ( r ) f´c (1 − 0,59ω ) d 3 Utilice la relación

r=

b yK d

Mn = Kbd 2 = K ω f´c (1 − 0,59ω ) Esta simplificación es comúnmente usada en tablas de diseño de vigas de concreto reforzado.

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Cuantía Mínima ρ mín (NSR-10) C.10.5 — Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión C.10.5.1 — En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

AS ,min =

Pero no menor a

1, 4bw

0, 25 f´c bw d fy

(C.10-3)

d fy

C.10.5.2 — Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As no debe ser menor que el valor dado por la ecuación (C.10-3) remplazando bw por 2bw o el ancho del ala, el que sea menor.

C.10.5.3 — Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada sección el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por análisis.

Determinación del coeficiente de reducción de resistencia

Figura 77

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Factores de reducción de resistencia φ NSR-10 — C.9.3 — Resistencia de diseño

φ = 0.90

•

Tensión Axial

•

Compresión axial

•

Miembro con refuerzo en espiral

φ = 0.75

Otros miembros de refuerzo

φ = 0.65

Cortante y torsión

φ = 0.75

NSR-10 C.9.3 — Resistencia de diseño C.9.3.4 — Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES) que dependen de muros estructurales, construidos en sitio o prefabricados, o pórticos resistentes a momento para resistir los efectos sísmicos, E, φ debe modificarse de acuerdo con lo indicado en (a) hasta (c): (a) En cualquier elemento estructural que se diseñe para resistir E, φ para cortante debe ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexión del elemento. La resistencia nominal a flexión debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas más críticas e incluyendo E; (b) En diafragmas φ para cortante no debe exceder el mínimo φ para cortante usado para los elementos verticales del sistema primario de resistencia ante fuerzas sísmicas; (c) En nudos y vigas de acople reforzadas en forma diagonal φ para cortante debe ser 0,85.

Limitaciones relacionadas con la relación de refuerzo, ρ La selección del acero será determinado por el límite inferior de la siguiente forma:

= As(min)

0, 25 f´c bw d fy

≥

1, 4bw d fy

f´c & fy son en MPa

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Valor muy pequeño para As

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(Mn < Mcr )

ε s es muy grande (grandes deflexiones) Cuando la viga se agrieta (Mn > Mcr ) la viga falla inmediatamente porque (Mn < Mcr ) Requisitos adicionales para el valor de cuantía mínima Si el As (suministrado) ≥

4 As (requerido por diseño) 3

Basado en el análisis, entonces el As (min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3

4 3

φ Mn ≥ Mu

Para el As (suministrado)

NSR-10 C.7.12 — Refuerzo de retracción y temperatura C.7.12.1 — En losas estructurales donde el refuerzo a flexión se extiende en una sola dirección, se debe colocar refuerzo normal al refuerzo a flexión para resistir los esfuerzos debidos a retracción y temperatura.

C.7.12.1.1 — El refuerzo de retracción y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2 ó C.7.12.3.

C.7.12.1.2 — Cuando los movimientos por retracción y temperatura están restringidos de manera significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3.

C.7.12.2 — El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de retracción y temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente: C.7.12.2.1 — La cuantía de refuerzo de retracción y temperatura debe ser al menos igual a los valores dados a continuación, pero no menos que 0,0014: (a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350: 0,0020 (b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de alambre: 0,0018 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa, medida a una deformación unitaria de 0,35 por ciento:

0, 0018 × 420 fy C.7.12.2.2 — El refuerzo de retracción y temperatura no debe colocarse con una separación mayor de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.

C.7.12.2.3 — En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retracción y temperatura debe ser capaz de desarrollar fy en tracción de acuerdo con el Capítulo C.12.

C.7.12.3 — El acero de preesforzado, que cumpla con C.3.5.6, empleado como refuerzo de retracción y temperatura, debe suministrarse de acuerdo con lo siguiente: C.7.12.3.1 — Se deben diseñar los tendones para que produzcan un esfuerzo promedio de compresión mínima de 0,7 MPa en el área bruta del concreto usando esfuerzos de preesforzado efectivo, después de las pérdidas, de acuerdo con C.18.6.

C.7.12.3.2 — El espaciamiento entre los tendones no debe exceder 1,8 m.

C.7.12.3.3 — Si el espaciamiento entre los tendones excede 1,4 m se debe colocar refuerzo adherido adicional de retracción y temperatura, de acuerdo con C.7.12.2, entre los tendones en los bordes de la losa, en una zona que se extiende desde el borde en una distancia igual al espaciamiento entre los tendones.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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10. PROCEDIMIENTO DE DISEĂ&#x2018;O PARA VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS 1. UbicaciĂłn del refuerzo Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (regiĂłn del concreto sometida a tracciĂłn). Los esfuerzos de tracciĂłn en el concreto pueden ser debidos a: a) FlexiĂłn b) Carga axial c) RetracciĂłn de fraguado.

2. Aspectos constructivos La formaleterĂ­a es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en varios pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales. La formaleterĂ­a no viene en dimensiones intermedias diferentes a mĂşltiplos de 50 mm y 100 mm.

3. Alturas o espesores de las vigas TABLA C.9.5(a) â&#x20AC;&#x201C; Alturas o espesores mĂ­nimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas en una direcciĂłn a menos que se calculen las deflexiones

Elementos

Espesor mĂ­nimo, h Simplemente Con un extremo Ambos extremos En voladizo apoyados continuo continuos Elementos que NO soporten o estĂŠn ligados a divisiones u otro tipo de elementos susceptibles de daĂąarse debido a deflexiones grandes

Losas macizas en una direcciĂłn Vigas o losas nervadas en una direcciĂłn

đ?&#x2018;&#x2122; 20 đ?&#x2018;&#x2122; 16

đ?&#x2018;&#x2122; 24

đ?&#x2018;&#x2122; 18.5

đ?&#x2018;&#x2122; 28 đ?&#x2018;&#x2122; 21

đ?&#x2018;&#x2122; 10 đ?&#x2018;&#x2122; 8

NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: (a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los valores de la tabla deben multiplicarse por (1,65-0,0003wc), pero no menos de 1.09. (b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0,4 + fy/700)

Riveros, C.A., GarcĂ­a, E.F., Rivero, J.E.

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NSR-10 C.10.4 — Distancia entre los apoyos laterales de elementos sometidos a flexión C.10.4.1 — La separación entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces el menor ancho b del ala o cara de compresión.

C.10.4.2 — Deben tomarse en cuenta los efectos de la excentricidad lateral de la carga al determinar la separación entre los apoyos laterales.

Las dimensiones de la viga de sección transversal “b” y “h” son por lo general en múltiplos de 50mm o 100mm para facilidad de encofrado.

Figura 78

4. Recubrimiento del acero de refuerzo El recubrimiento es igual a la dimensión entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo. ¿Por qué es necesario el recubrimiento? a) Para adherir el refuerzo al concreto. b) Para proteger el refuerzo contra la corrosión. c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan pérdida de la resistencia). d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fábricas, etc. dan cuenta del control para la abrasión y el desgaste.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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NSR-10 C.7.7 — Protección de concreto para el refuerzo C.7.7.1 — Concreto construido en sitio (no preesforzado).

A menos que en C.7.7.6 ó C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente: Recubrimiento de concreto, mm (a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a él: 75 mm (b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie: Barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm): 50 mm Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambre MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores 40 mm (c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo: Losas, muros, viguetas: Barras No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) 40 mm Barras No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm) y menores 20 mm Vigas, columnas: Armadura principal, estribos, espirales 40 mm Cáscaras y placas plegadas: Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) y mayores 20 mm Barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm), alambres MW200 ó MD200 (16 mm de diámetro) y menores 13 mm

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5. Límites del espaciamiento del refuerzo NSR-10 C.7.6 — Límites del espaciamiento del refuerzo C.7.6.1 — La distancia libre mínima entre barras paralelas de una capa debe ser db , pero no menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.

C.7.6.2 — Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o más capas, las barras de las capas superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre entre capas no menor de 25 mm.

C.7.6.3 — En elementos a compresión reforzados con espirales o estribos, la distancia libre entre barras longitudinales no debe ser menor de 1,5 db, ni de 40 mm. Véase también C.3.3.2.

C.7.6.4 — La limitación de distancia libre entre barras también se debe aplicar a la distancia libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.

C.7.6.5 — En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separación del refuerzo principal por flexión no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450 mm, excepto que en secciones críticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el espesor de la losa (véase el Capítulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en losas la separación máxima no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm (véase C.7.12).

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Dimensiones mínimas de recubrimiento del acero de refuerzo Interior de la viga

Figura 79

Disposición inadecuada del acero de refuerzo

Figura 80

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C.3.3 — Agregados C.3.3.1 — Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas: (a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33), (b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330).

Se permite el uso de agregados que han demostrado a través de ensayos o por experiencias prácticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean aprobados por el Supervisor Técnico.

C.3.3.2 — El tamaño máximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a: (a) 1/5 de la menor separación entre los lados del encofrado, ni a (b) 1/3 de la altura de la losa, ni a (c) 3/4 del espaciamiento mínimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo, paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.

Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para diseñar la trabajabilidad y los métodos de compactación son tales que el concreto se puede colocar sin la formación de hormigueros, vacíos o segregación en la mezcla.

Figura 81 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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EJEMPLO 6 Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-10.

Analizar la misma viga si f’c = 41MPa.

f´c = 21 MPa fy = 420 MPa As = 2550 mm 2

Cuantía de la viga

As = bd

= ρ

2550 mm 2 = 0, 0187 ( 350 mm )( 390 mm )

Cuantía mínima

f´c 1, 4 21 MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0, 0027 ≥ = 0, 0033 (C.10.5) fy 4 fy 4 × 420 MPa 420 = 0, 0033 ⇒ 0, 0187 > 0, 003 cumple

ρ mín = ρ mín

Localización eje neutro

420 MPa × 2550 mm 2 As × fy = = 171mm 0,85 × f´c × b 0,85 × 21 MPa × 350 mm a 171mm c = = = 201mm 0,85 β1

a =

c 201mm = = 0,52 d 390 mm

∴ la viga no es subreforzada

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La deformación en el acero de refuerzo es:

 d −c 

 390 mm − 201mm   × 0, 003= 0, 0028 201mm 

εs =   × 0, 003=   c  

La viga está trabajando en la zona de transición cerca a la zona de compresión ϕ=0,65 la relación c/d es mayor a 0,375 por lo tanto es recomendable rediseñar la viga. La otra opción es diseñar la viga calculando el valor correspondiente al coeficiente de reducción de resistencia, lo cual implicaría una viga trabajando en la zona a compresión, lo cual no es muy recomendable.

Para el caso f’c = 41MPa

As 2550mm 2 = ρ = = 0, 0187 bd 350mm × 390mm Cuantía mínima

ρ mín =

f´c 1, 4 41MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0, 0038 ≥ = 0, 0033 4 fy 4 × ( 420 MPa ) 420 fy

ρ mín = 0, 0038 ⇒ 0, 0187 > 0, 0038 cumple Localización del eje neutro

420 MPa × 2550mm 2 As × fy = = 88mm 0,85 × f´c × b 0,85 × 41MPa × 350mm a 88mm c = = = 116mm β1 0, 76

a =

c 116mm = = 0, 297 d 390mm La deformación del acero es:

 d −c 

 390mm − 116mm   × 0, 003= 0, 0071 116mm 

εs =   × 0, 003=   c  

La viga está ubicada en la zona de tensión ( φ =0,9). Esta segunda conformación de viga corresponde a un diseño de acuerdo con la NSR-10.

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EJEMPLO 7 Determinar el valor de L que causa que la sección alcance φMn WD = 15 KN/m WL = 20 KN/m

(incluye peso de la viga)

d = 440 mm 3 No. 8

L=?

f´c = 21MPa

fy = 420 MPa

b = 300 mm Notas aclaratorias: • Utilizar concreto f’c=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa • La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida WL se aplican en toda la longitud de la viga simplemente apoyada Cuantía de la viga

= ρ

As 1530 mm 2 = = 0, 0187 bd 300 mm × 440 mm

Cuantía mínima

f´c 1, 4 21MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0, 0027 ≥ = 0, 0033 4 fy 4 × 420 MPa 420 fy cumple = 0, 0033 ⇒ 0, 0116 > 0, 0033

ρ mín = ρ mín

Equilibrio de fuerzas

T =C

× fy 0,85 f´c × a × b ⇒ = As= a

As × fy 1530 mm 2 × 420 MPa = = 120 mm a 0,85 f´c × b 0,85 × 21MPa × 300 mm

Localización eje neutro = β1 0,85 para f´c ≤ 28MPa

= c

a 120mm = = 141mm β1 0,85

Verificación falla tensión Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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c 141mm = = 0,32 < 0,375 d 440mm  440 mm − 141mm   d −c  εs =   × 0, 003= 0, 007  × 0, 003=  141mm  c    La viga esta trabajando en la zona de tensión φ = 0,9

Momento resistente

 

a

φ Mn = 0,9 × As × fy  d −  2   

φ Mn =0,9 ×1,53 ×10−3 m 2 × 420000 MPa ×  0, 44 m −

0,12 m   2 

Mu φ= Mn 220 KN − m = Momento cargas externas

Wmay = 1, 2 × (15 KN m) + 1, 6 × (20 KN m) = 50 KN m Wmay × L2 8 8Mu = Wmay

Mu = Lmax

Lmax =

8 × 220 KN − m 50 KN m

Lmax = 5,9 m

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11. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Efecto de la adición de refuerzo a compresión sobre la resistencia de una viga Menos concreto es necesitado para resistir la C y por lo tanto el eje neutro se mueve hacia arriba.

T= As × fy C =T

Figura 82

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Viga simplemente reforzada

a   C= Cc ; Mn = As × fy  d − 1  2  Viga doblemente reforzada

a   C= Cc + C′s ; Mn = As × fy  d − 2  2  y ( a2 < a1 ) Razones para la provisión de refuerzo a compresión •

Reducción de las deflexiones por carga sostenida.

•

Ductilidad del hormigón en la zona de compresión.

•

Transferencia de carga al acero de compresión.

•

Reducción del esfuerzo en el concreto.

•

Menos deflexión por carga sostenida.

Fig 5-14 Efecto del refuerzo a compresión en las deflexiones por carga sostenida (MacGregor).

Figura 83

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Aumento de la ductilidad Reducido el esfuerzo en el bloque se incrementa la deformación en el acero y se obtiene mayor curvatura.

Fig 5-15 Efecto del refuerzo a compresión sobre la resistencia y la ductilidad de las vigas sub-reforzadas (MacGregor).

ρ > ρ bal

Figura 84

Cambia el modo de falla de compresión a tensión Cuando ρ > ρ bal

ρ − ρ´

Facilidad de construcción Las barras de las esquinas son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.

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Efecto de la adición de refuerzo a compresión Comparar la distribución de deformaciones en dos vigas con el mismo As

Figura 85

Sección 1

T = As × fs = ×b × a 0,85 f´c×b × β1 × c1 T= Cc1 0,85 f´c= c1 =

As × fs 0,85 f´c × b × β1

Sección 2

T = As × fs T= C ′ + Cc1 = As′ × fs′ + 0,85 f´c × b × a2 = As′ × fs′ + 0,85 f´c × b × β1 × c2 As × fs − As′ × fs′ c2 = 0,85 f´c × b × β1 Además de que As refuerza la zona de compresión de modo que es necesario menos concreto para resistir un determinado valor de T. El eje neutro asciende (c 2 < c1 ) y ε s incrementa (ε s2 > ε s1 ) Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Cuatro posibles modos de falla •

Subreforzado

Caso 1: Acero a tensión y compresión fluyen.

Caso 2: Sólo el acero a tensión fluye.

•

Sobrereforzado

Caso 3: Sólo el acero a compresión fluye.

Caso 4: Falla del concreto.

Análisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas Comprobación de compatibilidad de deformaciones: asumir ε 's usando triángulos semejantes

ε s′

= ( c − d ')

0, 003 c

⇒ = ε s′

( c − d ') × 0, 003 c

Figura 86

T =Cc′ + Cs′

⇒ c=

As − As′ ) fy ( a= 0,85 f´c × b

a

β1

( As − As ) fy ′

c=

β1 ( 0,85 f´c × b )

c=

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( ρ − ρ ' ) d fy β1 ( 0,85 f´c )

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La deformación en el acero de compresión es:

 

ε s′ =1 −

d′   × ε cu c

 β1 ( 0,85 f´c ) d ′  ε s′ = 1 −  × 0, 003 ( ρ − ρ ') d fy  

Figura 87

Verificación:

εy =

fy Es

 β1 ( 0,85 f´c ) d ′  ε s′ = 1 −  × 0, 003 ( ρ − ρ ') d fy  

ε s′ ≥ ε y  β1 ( 0,85 f´c ) d ′  fy 1 −  × 0, 003 ≥ 200000 ( ρ − ρ ' ) d fy    β ( 0,85 f´c ) d ′   600  ( ρ − ρ ') ≥  1   d fy    600 − fy  Si la afirmación es verdadera, entonces:

Mn =

( As − As ) fy  d − a2  + As′ × fy ( d − d ′)

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′

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De otro modo la deformación en el acero de compresión es:

fs = Eε s Calcular el esfuerzo en el acero de compresión.

 β ( 0,85 f´c ) d ′  fs′ 200000 × 1 − 1 =  × 0, 003 ( ρ − ρ ') d fy   Volver atrás y calcular el equilibrio con fs’

T = Cc′ + Cs′ ⇒

As × fy − As′ × fs′ ) ( a= 0,85 f´c × b

c=

a

Iterar hasta que el valor de c se ajuste para el fs

β1

d′  ′  fs= 1 −  600 c  Volver atrás y calcular la capacidad de momento de la viga

Mn=

( Asfy − As fs )  d − a2  + As fs ( d − d ′) ′

′

′

′

Limitaciones sobre la relación de refuerzo para vigas doblemente reforzadas NSR-10 C.10.5 — Refuerzo mínimo en elementos sometidos a flexión C.10.5.1 — En toda sección de un elemento sometido a flexión cuando por análisis se requiera refuerzo de tracción, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:

AS ,min = Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

0, 25 f´c bw d fy

(C.10-3)

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Pero no menor a

1, 4bw

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d fy

C.10.5.2 — Para los elementos estáticamente determinados con el ala en tracción, As, min no debe ser menor que el valor dado por la ecuación (C.10-3) reemplazando bw por 2bw o el ancho del ala, el que sea menor.

C.10.5.3 — Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada sección el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por análisis.

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12. PROCEDIMIENTO DE DISEÑO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS Procedimiento cuando las dimensiones de la sección son conocidas

1. Calcular el valor para el diseño de momento, Mu. 2. Calcular d, dado que h es conocida.

d ≈ h − 60 mm

Para una sola capa de refuerzo

d ≈ h − 90 mm

Para dos capas de refuerzo

3. Estimar el valor de

c , el cual provocará una deformación, ε t > 0,005 d

y encontrar el área

As1 para una sección simplemente reforzada. Calcular c de d.

4. Determinar la capacidad de momento nominal proporcionado por As1 As1 =

0,85 f´c × b × a fy

a   = Mf1 As1 × fy  d − 1  2 

5. Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada y que debe soportar

As ′ ∆M =

Mu

φ

− Mf1

Si ∆M ≤ 0 , el acero de compresión no se requiere para resistir

Mu

φ

Si ∆M > 0 , diríjase al paso 6.

Nota: Utilice φ = 0,9 para flexión sin carga axial, que dependerá de la deformación en el acero de tracción. NSR-10 Cap. 9.3.

6. Determine As ′ requerido para resistir ∆M Asumir (ε s ' ≥ ε y )

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As ′( requerido ) =

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∆M ( d − d ′ )( fy )

7. Calcular la tracción total para el refuerzo requerido

As( requerido = As1 + As ′( requerido ) ) 8. Seleccione las barras de refuerzo para As (proporcionado) ≥

As (requerido)

Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal.

9. Confirme que ε 's ≥ ε y , Si no regrese al paso 6 y sustituir fs ′ = Es ε´ s por fy para obtener el ′

valor correcto de As ( requerido )

10. Calcular el momento Mn para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado.

Comprobar la resistencia φ Mn ≥ Mu Mantener sobredimensionado en un 10%.

11. Comprobar si ρ siempre está dentro de los límites permitidos.

EJEMPLO 8 Determinar el momento nominal Mn para la sección mostrada en la figura considerando el acero de refuerzo a compresión.

f´c = 28 MPa fy = 420 MPa h = 450 mm d = 390 mm d ' = 60 mm b = 300 mm 2N º 6 = 2 × 284 mm 2 = 568 mm 2 As ′ = 4N º 7 = 4 × 387 mm 2 = 1548 mm 2 As = Determinar valores de cuantía

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= ρ

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As 1548 mm 2 = = 0, 0132 bd 300 mm × 390 mm As′ 568mm 2 = = 0, 0049 bd 300mm × 390mm

= ρ'

Determinar el valor de cuantía efectiva

ρef =ρ − ρ ' =0, 0132 − 0, 0049 =0, 0083 Verificación cuantía mínima

f´c 1, 4 28 MPa 1, 4 ≥ ⇒ = 0, 0031 ≥ = 0, 0033 4 fy 4 × 420 MPa 420 fy ρ > ρ mín ⇒ 0, 0132 > 0, 0033 cumple

ρ mín =

Determinación cuantía mínima para viga simplemente reforzada

 β1 ( 0,85 f´c ) d '   600   0,85 × ( 0,85 × 28 ) × 60   600    ≥  390 × 420 d × fy    600 − 420     600 − 420 

( ρ − ρ ') ≥ 

0, 0083 ≥ 0, 0247 no cumple El acero de refuerzo a compresión no ha alcanzado la fluencia.

Utilizar procedimiento iterativo para determinar fs

 β 0,85 f´c d '  = ( 600 − fs′ )  ( ρ1 −( ρ ') × d ×) fy  × 600   β ( 0,85 f´c ) d '    0,85 × ( 0,85 × 28 ) × 60  600 1 − 1 600 1 − 64,32 MPa fs ′ = = = 0, 0083 × 390 × 420   ( ρ − ρ ') × d × fy   Primera iteración:

= c

As × fy − As′ × fs′ 1548 mm 2 × 420 MPa − 568 mm 2 × 64,32 MPa = = 101mm 0,85 × f´c × β1 × b 0,85 × 28MPa × 0,85 × 300 mm

 60 mm  fs′ = Es × ε 's = 200000 MPa × 1 −  × 0, 003 = 244 MPa  101mm  Segunda iteración:

= c

As × fy − As′ × fs′ 1548 mm 2 × 420 MPa − 568 mm 2 × 244 MPa = = 84mm 0,85 × f´c × β1 × b 0,85 × 28 MPa × 0,85 × 300 mm

 60 mm  fs = Es × ε 's = 200000 MPa × 1 −  × 0, 003 = 171 MPa  84 mm  Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Tercera iteración:

As × fy − As′ × fs′ 1548 mm 2 × 420 MPa − 568 mm 2 ×171 MPa = c = = 91mm 0,85 × f´c × β1 × b 0,85 × 28 MPa × 0,85 × 300 mm  60 mm  fs ′ = Es × ε 's = 200000 MPa × 1 −  × 0, 003 = 204 MPa  91mm  Cuarta iteración:

c =

As × fy − As ′ × fs ′ 1548 mm 2 × 420 MPa − 568 mm 2 × 204 MPa = = 88 mm 0,85 × f´c × β1 × b 0,85 × 28 MPa × 0,85 × 300 mm

 60 mm  fs ′ = Es × ε 's = 200000 MPa × 1 −  × 0, 003 = 191 MPa  88 mm  Quinta iteración:

c =

As × fy − As ′ × fs ′ 1548 mm 2 × 420 MPa − 568 mm 2 ×191 MPa = = 89 mm 0,85 × f´c × β1 × b 0,85 × 28 MPa × 0,85 × 300 mm

 60 mm  fs ′ = Es × ε 's = 200000 MPa × 1 −  × 0, 003 = 196 MPa  89 mm  Tomar fs’ = 196MPa y c = 89mm.

Determinar momento nominal Mn =

( As × fy − As × fs )  d − a2  + As × fs ( d − d ')

Mn =

((1,548 ×10

′

( 0,568 ×10

−3

−3

′

′

′

0,85 × 0, 089m   m 2 ) ( 420000 KPa ) − ( 0,568 ×10−3 m 2 ) (196000 KPa )  0,39 − + 2  

)

m 2 ) (196000 KPa )( 0,39m − 0, 06m )

= Mn 226,5 KN − m

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EJEMPLO 9 Determinar el momento máximo y su correspondiente momento nominal para la sección mostrada en la figura. La zona a compresión se encuentra en la parte superior.

Determinar el refuerzo requerido en la zona a tracción.

f´c = 41 MPa fy = 420 MPa  f´c − 28   41 − 28   = 0,85 − 0, 05 ×   = 0, 76  7   7 

β1 = 0,85 − 0, 05 × 

Condición viga subreforzada

 ε cu  0, 003   = = × 540 = c  mm 203mm × d    0, 005 + 0, 003   ε cu + ε s  0, 76 × 203mm = 154mm a= β1c =

Verificación fluencia acero a compresión

ε cu × (c − d )

0, 003 × (203 − 60) = 203 c 420 fy 0, 0021 ≥ = = 0, 0021 ε= s ' Es 200000

= εs '

→ cumple

Momento aportado por el refuerzo superior

Ms ′ = As ′ × fy ( d − d ') = ( 900 ×10−6 m 2 ) ( 420000 KPa )( 0,54 − 0, 06 ) m = 181KN − m

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Momento aportado por el bloque a compresión

a  Mc 0,85 f´c × AC1 ×  d −  − 0,85 f´c × AC 2 × ( d − 0,137 ) = 2  0,154   Mc =0,85 × 41000 × 0, 6 × 0,154  0,54 −  − 0,85 × 41000 × 0, 44 ( 0,154 − 0,12 )( 0,54 − 0,137 ) 2   Mc 1281 KN − m = Momento último que resiste la sección.

M= n Mc + Ms '

Mn = 1281 + 181 = 1462 KN − m φ Mn = Mu = 0,9 ×1462 KN − m = Mu 1316 KN − m Condición de equilibrio

= As × fy 0,85 f´c ( ( 600 × a ) − 440 ( a − 120 ) ) + As ′ × fy As

0,85 × 41× ( ( 600 ×154 ) − 440 (154 − 120 ) ) + ( 900 × 420 ) = 7326 mm 2 420

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13. ANÁLISIS Y DISEÑO DE VIGAS T

Figura 88

Figura 89

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Si el eje neutro desciende, dentro del espesor de la losa se analiza la viga como una viga rectangular, de lo contrario como una viga T.

Figura 90

Ancho de ala efectivo Las partes cercanas a las almas son más altamente esforzadas que las áreas fuera del alma.

Figura 91

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Ancho Efectivo be be es el ancho que es esforzado de manera uniforme para dar la misma fuerza de compresión que se desarrolla actualmente en la zona de compresión de ancho b(actual).

Figura 92

NSR-10 C.8.12 — Sistemas de vigas T C.8.12.1 — En la construcción de vigas T, el ala y el alma deben construirse monolíticamente o, de lo contrario, deben estar efectivamente unidas entre sí.

C.8.12.2 — El ancho efectivo de la losa usada como ala de las vigas T no debe exceder 1/4 de la luz de la viga, y el ancho sobresaliente efectivo del ala a cada lado del alma no debe exceder: (a) 8 veces el espesor de losa, y (b) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma

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L 4 be ≤ 16hf + bw be ≤

be ≤ bactual C.8.12.3 — Para vigas que tengan losa a un solo lado, el ancho sobresaliente efectivo del ala no debe exceder: (a) 1/12 de la luz de la viga, (b) 6 veces el espesor de la losa, y (c) la mitad de la distancia libre a la siguiente alma.

L + bw 12 be ≤ 6hf + bw be ≤ be ≤

bactual =bw + 0,5 × ( distancia libre a la siguiente alma )

C.8.12.4 — En vigas aisladas, en las que solamente se utilice la forma T para proporcionar con el ala un área adicional de compresión, el ala debe tener un espesor no menor de 1/2 del ancho del alma, y un ancho efectivo no mayor de 4 veces el ancho del alma.

bw 2 be ≤ 4bw hf ≥

C.8.12.5 — Cuando el refuerzo principal de flexión en una losa que se considere como ala de una viga T (excluyendo las viguetas) sea paralelo a la viga, se debe disponer de refuerzo perpendicular a la viga en la parte superior de la losa de acuerdo con lo siguiente: C.8.12.5.1 — El refuerzo transversal se debe diseñar para resistir la carga mayorada que actúa sobre el ala suponiendo que ésta trabaja en voladizo. Para vigas aisladas debe considerarse el ancho total del ala. Para otros tipos de vigas T, sólo es necesario considerar el ancho sobresaliente efectivo del ala.

C.8.12.5.2 — El espaciamiento del refuerzo transversal no debe exceder de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.

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Varias geometrías posibles de vigas T

Figura 93

Análisis de vigas T Caso 1: a ≤ hf Asumir ε s ≥ ε y ⇒ fs = fy La viga se comporta en condición sub-reforzada. Comprobar a ≤ hf

Figura 94

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Equilibrio

T = C⇒a=

As × fy 0,85f´c × be

Figura 95

εs ≥ ε y c=

a

β1

 d −c  = εs   ε cu ≥ ε y  c 

Figura 96

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Calcular Mn

a  Mn = As × fy  d −  2 

Caso 2: a > hf

Cf 0,85 f´c × ( b − bw ) × hf = Cw 0,85 f´c × bw × a = T= As × fy

Figura 97

Asf =

0,85 f´c × ( b − bw ) × hf fy

Las aletas son consideradas como de compresión de acero equivalente

T = Cf + Cw ⇒ a =

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( As − Asf ) fy 0,85 f´c × bw

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Figura 98

Confirmar

a > hf c=

a

β1

 d −c  = εs   ε cu ≥ 0, 005  c  Confirmar

fy f´c 1,18ϖ d hf ≤ c hf ≤ a 1,18ϖ d ó = =

ϖ =ρ

β1

Determinar los momentos nominales

M n Mn1 + Mn2 = a Mn1 = ( As − Asf ) fy  d −  2  h   Mn2 Asf fy  d − f  = 2 

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La definición de Mn1 y Mn2 para la viga T están dados como:

Figura 99

El momento último Mu para la viga T está dado como:

Mu = φ Mn φ = 0,9 Procedimiento de diseño cuando las dimensiones de la sección son desconocidas (Vigas T) Suponiendo que las propiedades del material, las cargas y la longitud del tramo son todas conocidas. Estimar las dimensiones de su propio peso con las siguientes reglas generales: •

La profundidad, h, se puede tomar aproximadamente como 8 a 10% del tramo (1 pulgada de profundidad por pie de tramo) y estimar el ancho, b, aproximadamente como un medio de h.

•

El peso de una viga rectangular será de aproximadamente 15% de las cargas superpuestas (muertas, vivas, etc.) Supongamos que b es aproximadamente un medio de h.

Los valores inmediatos de h y b a partir de estos dos procedimientos deben seleccionarse.

Calcular el peso propio y Mu.

•

Alternativamente, se puede utilizar el mismo procedimiento de una viga rectangular garantizando que la viga T cumpla con las disposiciones de la NSR-10.

Procedimiento de diseño cuando las dimensiones de la sección son conocidas (Vigas T) •

Determinar el valor del momento de diseño, Mu.

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•

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Suponga que el valor de la sección resultante será la tensión controlada ε t

≥ 0,005 de

manera que pueda tomarse φ = 0,9 •

Calcular d, ya que h es conocida.

d ≈ h − 60 mm

Para una capa de refuerzo

d ≈ h − 90 mm

Para dos capas de refuerzo

•

Determinar el ancho efectivo del ala, be

•

Comprobar si la capacidad requerida del momento nominal se puede proporcionar con la compresión en el ala solamente.

Cf1 = 0,85 f´c × be × h f

Si

y

M f1 = Cf1 ( d − h f / 2 )

Mu > φ M f1 → Necesita utilizar el alma por debajo de los rebordes. Vaya al paso 4.

Si Mu ≤ φ M f1 → Utilice el procedimiento de diseño para vigas rectangulares. b = be  a  d -  = 095d  2

NOTA:

φ = 0,9 Para flexión sin carga axial.

NSR-10 C.9.3 — Resistencia de diseño C.9.3.1 — La resistencia de diseño proporcionada por un elemento, sus conexiones con otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento NSR-10, multiplicada por los factores φ de reducción de resistencia dados en C.9.3.2, C.9.3.4. y C.9.3.5 C.9.3.2 — El factor de reducción de resistencia, φ, debe ser el dado en C.9.3.2.1 a C.9.3.2.7: C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4

φ = 0,90

(Véase también C.9.3.2.7) C.9.3.2.2 — Secciones controladas por compresión como se definen en C.10.3.3: (a) Elementos con refuerzo en espiral según C.10.9.3

φ= 0,75

(b) Otros elementos reforzados.

φ= 0,65

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Para las secciones en las que la deformación unitaria neta a la tracción en el acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, εt , se encuentra entre los límites para secciones controladas por compresión y las secciones controladas por tracción, se permite que φ aumente linealmente desde el valor correspondiente a las secciones controladas por compresión hasta 0.90, en la

medida que εt aumente desde el límite de deformación unitaria controlado por

compresión hasta 0.005.

En forma alternativa, cuando se usa el Apéndice C-B, para elementos en los cuales fy no exceda 420 MPa, con refuerzo simétrico, y cuando (d – d´) / h no es menor de 0.70, se permite aumentar Φ linealmente hasta 0.90, en la medida que φPu disminuye desde 0.10f´cAg hasta cero. Para otros elementos reforzados φ puede incrementarse linealmente a 0.90 en la medida que φPu disminuye desde 0,10f´cAg ó φPb, el que sea menor, hasta cero.

C.9.3.2.3 — Cortante y torsión

φ = 0.75

C.9.3.2.4 — Aplastamiento en el concreto (excepto para anclajes de postensado y modelos puntaltensor)

φ = 0.65

C.9.3.2.5 — Zonas de anclaje de postensado

φ = 0.85

C.9.3.2.6 — Los modelos puntal-tensor (Apéndice C-A) y puntales, tensores, zonas de nodos y áreas de apoyo en esos modelos

φ = 0.75

C.9.3.2.7 — Las secciones a flexión en los elementos pretensados donde la longitud embebida del torón es menor que la longitud de desarrollo, como se establece en C.12.9.1.1: (a) desde el extremo del elementos hasta el extremo de la longitud de transferencia

φ = 0.75 (b) Desde el extremo de la longitud de transferencia hasta el extremo de la longitud de desarrollo, debe permitirse que φ sea incrementado linealmente de 0.75 hasta 0.9.

Donde la adherencia del torón no se extiende hasta el extremo del elemento, se debe asumir que el embebido del torón se inicia en el extremo de la longitud no adherida. Véase también C.12.9.3.

C.9.3.3 — Las longitudes de desarrollo especificadas en el Capítulo C.12 no requieren de un factor

φ.

C.9.3.4 — Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES) que dependen de muros estructurales, construidos en sitio o prefabricados, o Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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pórticos resistentes a momento para resistir los efectos sísmicos, E, φ debe modificarse de acuerdo con lo indicado en (a) hasta (c): (a) En cualquier elemento estructural que se diseñe para resistir E, φ para cortante debe ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexión del elemento. La resistencia nominal a flexión debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas más críticas e incluyendo E; (b) En diafragmas φ para cortante no debe exceder el mínimo φ para cortante usado para los elementos verticales del sistema primario de resistencia ante fuerzas sísmicas; (c) En nudos y vigas de acople reforzadas en forma diagonal φ para cortante debe ser 0.85.

C.9.3.5 — En el Capítulo C.22, φ deben ser 0.60 para flexión, compresión, cortante y aplastamiento en concreto estructural simple.

•

Encontrar la capacidad de momento nominal proporcionada por los rebordes sobresalientes solamente (sin incluir ancho del alma).

Para una sección en forma de T

= Cf 0,85 f´c ( be − bw ) hf = M f Cf ( d − hf / 2 ) •

Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada por el alma.

M = w •

Mu

φ

− Mf

Calcular la profundidad del bloque de compresión, mediante la resolución de la siguiente ecuación para a.

= M w Cw ( d − a / 2 ) = M w 0,85 f´c × bw × a ( d − a / 2 ) •

Encontrar el área de refuerzo requerida, As (req)

Asf = Cf / fy = Asw Cw / fy ,= donde Cw 0,85 f´c × bw × a As( requerido= Asf + Asw )

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•

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Seleccione las barras de refuerzo para

As (proporcionado) ≥ As (requerido) Confirme que las barras se ajustarán dentro de la sección transversal. Puede ser necesario cambiar los tamaños de barras para ajustar el acero en una capa e incluso para ir a dos capas de acero.

•

Calcular el actual Mu para las dimensiones de la sección y el refuerzo seleccionado. Verificar la resistencia φ Mn ≥ Mu mantener el sobre-diseño en un 10%

•

Comprobar si el As proporcionado está dentro de los límites permitidos.

As (proporcionado) ≥ As (minimo) Limitaciones en el refuerzo de vigas T Límites inferiores •

Alma de la viga T a compresión (parte inferior):

As = bw d

ρ= min

•

f´c 4 fy 1, 4 fy

Zona de ancho efectivo a compresión (parte superior):

As(min)

•

   mayor entre   

Si As (proporcionado) ≥

 f´c bw d  2 fy    f´c = menor entre  be d   mayor entre  4 fy    1, 4 b d   fy e  4 As (requerido) 3

Basado en el análisis entonces As (min) no es requerido.

φ Mn ≥

4 Mu para As (proporcionado) 3

Nota: Confrontar con NSR-10 C.10.5.3

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Requerimientos adicionales para vigas T cuando las alas se encuentran sometidas a esfuerzos de tracción NSR-10 C.10.6 — Distribución del refuerzo de flexión en vigas y losas en una dirección C.10.6.6 — Cuando las alas de las vigas T están en tracción, parte del refuerzo de tracción por flexión debe distribuirse sobre un ancho efectivo del ala como se define en C.8.12 o un ancho igual a 1/10 de la luz, el que sea menor. Si el ancho efectivo del ala excede de 1/10 de la luz, se debe colocar algún refuerzo longitudinal en las zonas más externas del ala.

be (compresión) >

1 10

EJEMPLO 10 Determinar el momento nominal y el momento último de la viga mostrada en la figura.

be = 1400 mm = t h= 75 mm f bactual = 2200 mm d = 440 mm As = 5733 mm 2 fy = 345 MPa f´c = 21 MPa bw = 300 mm L = 5600 mm Verificar be

L 5600 mm b= = 1400 mm (C.8.12.2) e ≤ 4 4 be ≤ 16h f + bw = (16 × 75 mm ) + 300 mm = 1500 mm 2200 mm be ≤ bactual = Determinar la cuantía del refuerzo ρ y verificar que es mayor que ρ mín .

= ρ

As 5733 mm 2 = = 0, 0434 bw d 300mm × 440mm

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ρ mín

1, 4 1, 4 = = 0, 0041 fy 345

ρ mín = 0, 0041

f´c 21 = = 0, 0033 4 fy 4 × 345

0,0434 > 0,0041 cumple

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sección trabajando con refuerzo mínimo

Determinar ω , verificar que el valor de c es mayor hf.

fy 5733 mm 2 345MPa = × = 0,153 f´c 1400mm × 440mm 21MPa

ϖ= ρ

1,18ϖ d

1,18 × 0,153 × 440mm  = 93, 4mm  β1 0,85  se analiza como viga T hf = ≤ a 1,18ϖ d ⇒ 75mm ≤ 1,18 × 0,153 × 440= mm 79, 4mm  h f= ≤c

⇒ 75mm ≤

0,85 × f´c ( be − bw ) h f 0,85 × 21MPa × (1400mm − 300mm ) 75mm = 4268mm 2 = 345MPa fy

= As f

Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.

= a = c

As − As ) × fy ( 5733mm (=

− 4268mm 2 ) × 345MPa = 94mm 0,85 × 21MPa × 300mm

f

0,85 × f´c × bw

2

a = 111mm

β1

d 

 

 440 mm







0, 0089 > 0, 005 − 1 0, 003 = εs =   − 1 0, 003 = c 111 mm El acero fluye en la zona de tracción.

Determinar los componentes de momento

Mn1 = ( As − As f ) fy  d − a2 

0, 094m   Mn1 = ( 5, 733 ×10−3 m 2 − 4, 268 ×10−3 m 2 ) ( 345000 KPa )  0, 44m −  = 199 KN − m 2   hf   Mn2 ( As f ) fy  d −  = 2   m 593KN − m Mn2 = ( 4, 268 ×10−3 m2 ) ( 345000KPa )  0, 44m − 0, 075 = 2  Mn= Mn1 + Mn2= 199 KN − m + 593KN − m= 792 KN − m Mu φ= Mn 0,9 ( 792 KN − m = = ) 713KN − m Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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EJEMPLO 11 Determinar el ancho efectivo para la viga de borde y efectuar el análisis. Utilizar 4Nº8 para determinar el momento último.

fy = 345MPa f´c = 21MPa As = 2040mm 2 Columnas ( 300mm × 300mm )

Determinar be

L 6000mm = + bw + 300= mm 800mm 12 12 be ≤ 6h f + bw = ( 6 × 200mm ) + 300mm =1500mm be ≤

be ≤ bactual =bw + ( 0,5 × luz _ libre ) =300mm + ( 0,5 × 4700mm ) =2650mm Se selecciona be= 800mm

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Verificación de ρ mín

= ρ

As 2040mm 2 = = 0, 02 bw d 300mm × 340mm

ρ mín

1, 4 1, 4 = = 0, 0041 fy 350 f´c 21 = = 0, 0033 4 fy 4 × 345

ρ mín = 0, 0041 Cumple

Determinar ω y verificar que el valor de c es mayor que hf.

fy 2040 mm 2 345MPa = × = 0,123 f´c 800mm × 340 mm 21MPa

ϖ= ρ

1,18ϖ d

1,18 × 0,123 × 340mm  = 58 mm  β1 0,85  No cumple. ≤ a 1,18ϖ d ⇒ 200mm ≤ 1,18 × 0,123 × 340= hf = mm 49,3 mm  ≤c h f=

⇒ 200mm ≤

No cumple, efectuar análisis como viga rectangular.

Determinar el valor de c y verificar la deformación unitaria en el acero, εs.

As × fy 2040mm 2 × 345MPa = = 49mm 0,85 × f´c × b 0,85 × 21MPa × 800mm a 49mm c = = = 58mm β1 0,85

a =

d 

 

 340mm 

 

0, 0146 > 0, 005 − 1 0, 003 = εs =  − 1 0, 003 =  c 58mm El acero fluye en la zona de tracción.

a 0, 041m    Mn = As × fy ×  d −  = ( 2, 04 ×10−3 m 2 ) ( 345000 KPa )  0,34m −  = 225 KN − m 2 2    Mu = φ Mn = 0,9 × 225 KN − m = 203KN − m EJEMPLO 12 Un sistema de entrepiso en concreto consta de vigas T paralelas y simplemente apoyadas, espaciadas 5000 mm entre centros y con luces entre apoyos de 10000 mm. La losa con espesor de 200 mm esta vaciada monolíticamente con las almas de las vigas T que tienen un ancho bw=400mm y una altura total medida de la parte superior de la losa, igual a h=800mm. La altura efectiva se tomará 75mm menor que la altura total. Además de su propio peso cada viga T debe sostener una Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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carga muerta de 4KN/m2 y una carga viva de 10KN/m2. Las resistencias de los materiales son f’c=21MPa y fy=420MPa. Determinar el área de acero requerida a tensión y seleccione las varillas de acero correspondientes.

Determinación peso de la viga

= V

V ( ( 5000 × 200 ) + ( 600 × 400 ) ) × L ⇒=

= Wviga

24 KN / m )(12, 4m ) (= 3

3

12, 4m3

298 KN

Carga muerta

 298 KN  2 WD =( 4 KN / m 2 ) +   =9,96 KN / m  5m ×10m  2 WD 9,96 KN / m = = × 5m 49,8 KN / m ( distribuida ) Carga viva

= WL 10 KN / m 2= × 5m 50 KN / m ( distribuida ) Carga mayorada:

= Wmay 1, 2WD + 1, 6WL Wmay = (1, 2 × 49,8 KN / m ) + (1, 6 × 50 KN / m ) = 139, 76 KN / m Determinación de Mu

Wmay × L2 = Mu = 8

10m ) (139, 76 KN / m )(=

Determinación de be

2

8

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1747 KN − m

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L 10000mm b= = 2500mm e ≤ 4 4 be ≤ 16h f + bw = (16 × 200mm ) + 400mm = 3600mm be ≤ b = 5000mm be = 2500mm Verificación Momento aletas

= C f 1 0,85 f´c × be ×= h f 0,85 ( 21000 KPa )( 2,5m )( 0, 2= m ) 8925 KN hf   0, 2   M f 1 = C f 1 ×  d −  = ( 8925 KN )  0, 725 −  m = 5578 KN − m 2  2    Mu 1747 KN − m ≤ 0,9 × 5578 = = 5020 KN − m ⇒ Utilizar procedimiento viga rectangular As × fy Mu

a = As = a 0,85 × f´c × be  φ fy  d −  2  Supongo a = 100 mm (primer tanteo)

As = 6847 mm 2 a = 64 mm Supongo a = 64 mm (segundo tanteo)

As = 6669 mm 2 a = 63 mm Supongo a = 63 mm (tercer tanteo)

As = 6664 mm 2 a = 63 mm Utilizar 10 varillas Nº10 Verificación

c 74mm = = 0,102 < 0,375 → ok d 725mm

Verificación ancho mínimo (refuerzo dos filas) para 5 varillas Nº10 y tamaño de agregado ¾” se requieren 360mm < 400mm  cumple.

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14. CORTANTE

Figura 100

Distribución de los esfuerzos distribuidos a través de la sección transversal

τ=

VQ Ib

El esfuerzo cortante actuando en una viga rectangular

Figura 101

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ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

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La ecuación del esfuerzo cortante de una viga rectangular viene dada por:

τ=

VQ Ib

bh3 − Momento de Inercia 12 2  bh   h  bh Q max =   ×   = 8  2  4 3 V  1,5 τ ave τ max =×   = 2  bh 

I =

Nota: El máximo cortante se produce primero en el eje neutro.

La distribución ideal de esfuerzo cortante se puede describir como:

Figura 102

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Página 124

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

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Una descripción realista de la distribución de esfuerzos cortantes se muestra de la siguiente forma:

Figura 103

El esfuerzo cortante que actúa a lo largo de la viga puede ser descrito con un bloque de esfuerzo:

Figura 104

Usando el círculo de Mohr, el bloque de esfuerzo puede ser utilizado para encontrar el cortante máximo.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Agrietamiento inclinado de vigas de concreto reforzado Patrones típicos de grietas para una viga de altura considerable

Figura 105

Las fisuras por flexión y cortante comienzan como una fisura por flexión y se propagan debido al esfuerzo cortante. Las fisuras por flexión en vigas son verticales, perpendicular al eje neutro.

Figura 106

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Página 126

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

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Para una viga profunda las grietas se presentan como: Fisuras generadas por esfuerzo cortante: Inclinadas en diagonal, interceptándose la fisura con las barras longitudinales más las verticales o las de refuerzo inclinado.

Figura 107

Las fisuras a cortante fallan en dos formas principalmente:

Figura 108 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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15. DISEÑO A CORTANTE Cuando no se usan estribos: Resistencia Total = v cz + v ay + v d

v cz -

Cortante en la zona de compresión

v ay - Trabazón en el agregado

vd -

Fuerza de dovela en las barras longitudinales.

Nota:

v cz Incrementa de

V V a bd by

Figura 109

Factores que intervienen en la resistencia del concreto al esfuerzo cortante (sin refuerzo a cortante) •

La resistencia del concreto a la tracción afecta la generación de fisuras diagonales.

•

Relación de refuerzo longitudinal, ρw

ρw =

As bw d

(Restringe las grietas)

Para 0, 00075 ≤ ρ w ≤ 0, 0025 : Vc ≅ 0,17λ Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

f´c × bw d Página 128

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

•

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Relación luz de aplicación de la carga que genera esfuerzos cortantes versus altura efectiva de la viga, a / d … M / (Vd)

a ≤2 d

⇒ Un diseño a cortante más detallado es requerido

a >2 d

⇒ Esta relación tiene poco efecto

Figura 110

•

El aumento en el tamaño de la viga lleva por lo general a un incremento en la profundidad de la viga reduciendo el esfuerzo cortante en fisuras inclinadas.

•

Fuerzas axiales Tensión Axial:

Reduce las cargas en las fisuras inclinadas

Compresión Axial: Incrementa las cargas en las fisuras inclinadas.

Función y determinación de la resistencia del refuerzo a cortante El refuerzo a cortante es proporcionado para asegurar que la capacidad a flexión en viga sea completamente desarrollada, garantizando un modo de falla a flexión en condición de viga subreforzada, pues la falla por cortante es frágil. Actúa como "pinzas" para impedir la ampliación de las fisuras generadas por cortante. El refuerzo a cortante debe anclarse adecuadamente a fin de desarrollar el esfuerzo de fluencia para el cual es diseñado.

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Refuerzo a cortante Estribos

Vs =

Av × fy × d ( sin α + cos α ) s

α = 90o ⇒ Vs =

Av × fy × d s

Figura 111

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Barras inclinadas

Vs =

Av × fy × d ( sin α + cos α ) s

α = 45o ⇒ Vs =

1, 41Av × fy × d s

Figura 112

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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ESTRUCTURAS DE HORMIGĂ&#x201C;N: VIGAS Y COLUMNAS

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16. REQUERIMIENTOS DE DISEĂ&#x2018;O A CORTANTE NSR-10 CAPĂ?TULO C.11 â&#x20AC;&#x201D; CORTANTE Y TORSIĂ&#x201C;N C.11.1 â&#x20AC;&#x201D; Resistencia al cortante C.11.1.1 â&#x20AC;&#x201D; Salvo para elementos diseĂąados de acuerdo con el ApĂŠndice A, el diseĂąo de secciones transversales sometidas a cortante debe estar basado en

Ď&#x2020;Vn â&#x2030;Ľ Vu Capacidad â&#x2030;Ľ Demanda

(C.11-1)

Donde Vu es la fuerza cortante mayorada en la secciĂłn considerada y Vn es la resistencia nominal a la cortante calculada med

Vn = Vc + Vs

(C.11-2)

Donde Vc es la resistencia nominal al cortante proporcionado por el concreto, calculada de acuerdo con C.11.2, C.11.3, o C.11.11 y Vs es la resistencia nominal al cortante proporcionada por el refuerzo de cortante calculada de acuerdo con C.11.4, C.11.9.9 o C.11.11.

C.11.1.1.1 â&#x20AC;&#x201D; Al determinar Vn, debe considerarse el efecto de cualquier abertura en los elementos.

C.11.1.1.2 â&#x20AC;&#x201D; Al determinar Vc, cuando sea aplicable, pueden incluirse los efectos de tracciĂłn axial debida al flujo plĂĄstico y retracciĂłn en elementos restringidos y los efectos de la compresiĂłn inclinada por flexiĂłn en los elementos de altura variable.

C.11.1.2 â&#x20AC;&#x201D; Los valores de â&#x2C6;&#x161;đ??&#x;´đ??&#x153; usados en este CapĂ­tulo no deben exceder 8.3 MPa excepto en lo permitido en C.11.1.2.1.

C.11.1.2.1 â&#x20AC;&#x201D; Se permite usar valores de â&#x2C6;&#x161;đ??&#x;´đ??&#x153; mayores que 8.3 MPa al calcular Vc, Vci y Vcw para

vigas de concreto reforzado o preesforzado y losas nervadas de concreto con un refuerzo mĂ­nimo en el alma, de acuerdo con C.11.4.6.3, C.11.4.6.4 Ăł C.11.5.5.2.

C.11.1.3 â&#x20AC;&#x201D; Se permite calcular el mĂĄximo Vu en los apoyos de acuerdo con C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2 cuando se cumplan todas las condiciones (a), (b) y (c) siguientes: (a) la reacciĂłn en el apoyo en direcciĂłn del cortante aplicado introduce compresiĂłn en las zonas extremas del elemento,

Riveros, C.A., GarcĂ­a, E.F., Rivero, J.E.

PĂĄgina 132

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(b) las cargas son aplicadas en o cerca de la cara superior del elemento, (c) ninguna carga concentrada se aplica entre la cara del apoyo y la ubicación de la sección crítica definida en C.11.1.3.1 u C.11.1.3.2.

C.11.1.3.1 — Para elementos no preesforzados, se permite diseñar las secciones localizadas a una distancia menor a d medida desde la cara del apoyo para el Vu calculado a la distancia d.

C.11.1.3.2 — Para elementos de concreto preesforzado, se permite diseñar las secciones localizadas a una distancia menor que h / 2 desde la cara del apoyo para el Vu calculado para una distancia h / 2.

C.11.1.4 — Para elementos de gran altura, losas y zapatas, muros, ménsulas y cartelas, deben aplicarse las disposiciones especiales de C.11.7 a C.11.11.

C.11.2 — Resistencia al cortante proporcionada por el concreto en elementos no preesforzados C.11.2.1 — Se debe calcular Vc siguiendo los requisitos de C.11.2.1.1 a C.11.2.1.3, a menos que se realice un cálculo más detallado, según C.11.2.2. A todo lo largo del presente Capítulo, excepto en C.11.6, λ debe usarse como se define en C.8.6.1.

C.11.2.1.1 — Para elementos sometidos únicamente a cortante y flexión:

= Vc

0,17λ f´c × bw × d

(C.11-3)

C.11.2.1.2 — Para elementos sometidos a compresión axial:

= Vc

0,17(1+

Nu )λ f´c × bw × d 14 A g

(C.11-4)

La cantidad Nu /Ag debe expresarse en MPa. C.11.2.1.3 — Para elementos sometidos a tracción axial significativa, Vc debe tomarse como cero a menos que se haga un análisis más detallado usando C.11.2.2.3.

C.11.2.2 — Se permite calcular Vc mediante el método más detallado de C.11.2.2.1 a C.11.2.2.3.

C.11.2.2.1 — Para elementos sometidos únicamente a cortante y flexión:

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= Vc

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  Vu × d    0,16λ f´c + 17 ρ w  Mu   bw d   

Pero no mayor que 0,29λ

(C.11-5)

f´c × bw × d . Al calcular Vc por medio de la ecuación (C.11-5),

Vu×d / Mu no debe tomarse mayor que 1.0, y Mu ocurre simultáneamente con Vu en la sección considerada.

C.11.2.2.2 — Para elementos sometidos a compresión axial, se permite utilizar la ecuación (C.11-5) para calcular Vc con Mm sustituyendo a Mu y Vu×d / Mu no limitada a 1.0, donde

 4h - d  Mm = Mu - N u    8 

(C.11-6)

Sin embargo, Vc no debe tomarse mayor que

Vc =0,29λ f´c × bw × d 1 +

0, 29 N u Ag

(C.11-7)

La cantidad Nu / Ag debe expresarse en MPa. Cuando Mm calculado, por medio de la ecuación (C.11-6) es negativo, Vc debe calcularse por medio de la ecuación (C.11-7).

C.11.2.2.3 — Para elementos sometidos a tracción axial significativa:

 0, 29 N u Vc =0,17 1 +  Ag 

  λ f´c × bw × d 

(C.11-8)

Pero no menor que cero, donde Nu es negativa para la tracción. Nu / Ag debe expresarse en MPa. C.11.2.3 — Para elementos circulares, el área usada para calcular Vc debe tomarse como el producto del diámetro y la altura efectiva de la sección de concreto. Se permite tomar d como 0.80 veces el diámetro de la sección de concreto.

NSR-10 C.12.13 — Desarrollo del refuerzo del alma C.12.13.1 — El refuerzo del alma debe colocarse tan cerca de las superficies de tracción y comprensión del elemento como lo permitan los requisitos de recubrimiento y la proximidad de otros refuerzos.

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C.12.13.2 — Los extremos de las ramas individuales de los estribos en U, simples o múltiples, deben anclarse de acuerdo con lo indicado en C.12.13.2.1 a C.12.3.2.5.

C.12.13.2.1 — Para barras No. 16 y alambre MD200 (16 mm de diámetro) y menores y para barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm), No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y No. 8 (1”) ó 25M (25 mm) con fyt igual a 280 MPa o menos, un gancho estándar alrededor del refuerzo longitudinal.

C.12.13.2.2 — Para estribos No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm), No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y No. 8 (1”) ó 25M (25 mm) con fyt mayor que 280 MPa, un gancho de estribo estándar abrazando una barra longitudinal más una longitud embebida entre el punto medio de la altura del elemento y el extremo exterior del gancho igual o mayor que 0,17db f yt /(λ f´c ) .

C.12.13.2.3 — Para cada rama de refuerzo electrosoldado de alambre liso que forme un estribo en U sencillo, ya sea por: (a) Dos alambres longitudinales colocados con un separación de 50 mm a lo largo del elemento en la parte superior de la U. (b) Un alambre longitudinal colocado a no más de d/4 de la cara en compresión, y un segundo alambre más cercano a la cara en compresión y separado por lo menos 50 mm del primero. Se permite que el segundo alambre esté colocado en una rama del estribo después de un doblez, o en un doblez que tenga un diámetro interior de doblez no menor de 8db.

C.12.13.2.4 — Para cada extremo de un estribo de una rama de refuerzo electrosoldado de alambre, liso o corrugado, dos alambres longitudinales con una separación mínima de 50 mm y con el alambre interior al menos a d/4 ó 50 mm, desde d/2. El alambre longitudinal exterior en la cara de tracción no debe estar más lejos de la cara que la porción del refuerzo primario de flexión más cercano a la cara.

C.12.13.2.5 — En viguetas, como se definen en C.8.11, para barras No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm) y alambres MD130 (12.9 mm de diámetro) o menores, un gancho estándar.

C.12.13.3 — Entre los extremos anclados, cada doblez en la parte continúa de los estribos en U, sencillos o múltiples, debe abrazar una barra longitudinal.

C.12.13.4 — Las barras longitudinales dobladas para trabajar como refuerzo de cortante, si se extienden dentro de una zona de tracción, deben ser continuas con el refuerzo longitudinal, y si se extienden dentro de una zona de compresión, deben anclarse más allá de la mitad de la altura útil, Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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d/2, como se especifica para la longitud de desarrollo en C.12.2 para la fracción de fyt que se necesita para satisfacer la ecuación (C.11-17).

C.12.13.5 — Las parejas de estribos en U colocados para que formen una unidad cerrada deben considerarse adecuadamente empalmados cuando la longitud del empalme por traslapo sea de 1.3ld.

En elementos con una altura útil de al menos 450 mm, los empalmes con Abfyt no mayor que 40 kN por rama se pueden considerar adecuados si las ramas de los estribos se prolongan a lo largo de la altura total disponible del elemento.

NSR-10 C.7.10 — Refuerzo transversal para elementos a compresión C.7.10.5 — Estribos Los estribos para elementos sometidos a compresión deben cumplir con lo siguiente: C.7.10.5.1 — Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm), para barras longitudinales No. 10 (1-1/4”) ó 32M (32 mm) o menores; y diámetro No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm) como mínimo, para barras longitudinales No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm), No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (21/4”) ó 55M (55 mm) y paquetes de barras. En estructuras de capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se permiten estribos de barra Nº 2 (1/4") ó 6M(6 mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos.

C.7.10.5.2 — El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento sometido a compresión.

C.7.10.5.3 — Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo.

C.7.10.5.4 — La distancia vertical entre los estribos de los extremos del elemento y la parte superior de la zapata o losa de entrepiso, o el refuerzo horizontal más bajo de la losa, ábaco superior o descolgado para cortante, debe ser menor a la mitad del espaciamiento entre estribos.

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C.7.10.5.5 — Cuando vigas o ménsulas concurran a una columna desde cuatro direcciones, se permite colocar el último estribo a no más de 75 mm debajo del refuerzo más bajo de la viga o ménsula de menor altura.

C.7.10.5.6 — Cuando se coloquen pernos de anclaje en los extremos de las columnas o pedestales, los pernos deben estar circundados por refuerzo lateral que también rodee al menos cuatro barras verticales de la columna o pedestal. El refuerzo transversal debe distribuirse dentro de 125 mm medidos desde el parte superior de la columna o pedestal y debe consistir en al menos dos barras No. 4 (1/2”) ó 12M (12 mm) o tres barras No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm).

Procedimiento de diseño • Determinar Vu • Determinar φ Vc • Verificar φ Vc En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4) En caso negativo. OK

1 Vu ≥ φVc → En caso afirmativo, se requiere refuerzo a cortante (ir al paso 4) 2 En caso negativo. OK • Si

1 φVc ≤ Vu ≤ φVc → Ubicar refuerzo mínimo 2

= Av( min ) 0, 062 f´c

bw s ( 0,35bw s ) ≤ f yt f yt

También:

smax ≤

d ≤ 600 mm 2

( C.11.4.5.1)

• Si Vu ≥ φVc, → calular Vs (req'd)

Vu ≤ φVn = φVc + φVs ⇒ φVs = Vu − φVc ⇒ Vs =

Vu

φ

− Vc

Verificar

Vs ≤ 0,66 f´cbw d

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( C.11.4.7.9 )

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Nota: Si cumple OK, sino cumple hay que rediseñar.

• Resolver para el espaciamiento de estribos requerido (resistencia) Suponiendo estribos # 3, # 4 ó # 5.

s≤

Av f yt d

De la ecuación C.11-15

Vs

• Verifique requisito mínimo de acero (Ec. C.11-14)

= smax

Av f yt 0, 062 f´cbw

≤

f yt 0,35bw

• Verifique requisito espaciamiento máximo (C.11.4.5)

d ≤ 600 mm 2 d ≤ ≤ 300 mm 4

Si Vs ≤ 0,33 f´c bw d → smax ≤

Si Vs ≥ 0,33 f´c bw d → smax Nota: Si Vs ≥ 0, 66 f´c bw d

( Ilegal )

Use el espaciamiento más pequeño.

Ubicación del cortante máximo para el diseño a cortante de vigas Miembros no pretensados Secciones ubicadas a menos de una distancia d de la cara del apoyo pueden ser diseñados para el cortante, Vu, que corresponde al calculado a una distancia d.

Figura 113

La compresión lleva la carga directamente en el apoyo. Cuando: •

La reacción en el apoyo introduce compresión en las zonas extremas del miembro.

Ninguna carga concentrada ocurre a d de la cara de apoyo.

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Figura 114

EJEMPLO 13 Debe proyectarse una viga rectangular para soportar una fuerza cortante de 140 KN. No se usa refuerzo a cortante. Si f’c = 28MPa ¿Cuáles deben ser las dimensiones mínimas de la viga?

Vu = 140 KN Vu 140 KN = ϑu = φ × bw × d 0, 75 × bw × d Determinar el valor de fuerza cortante para la cual no se requiere refuerzo

ϑ= u

ϑC 2

⇒ ϑ= 0,17 × λ × f´= c 0,17 × 1× 28MPa = 0,89 MPa (C.11 − 3) C

Igualando las dos expresiones se tiene

ϑc 140 KN 0,89 ×103 KPa 140 KN 2 ×140 = ⇒ = = ⇒ bw × d = m 2 419476mm 2 3 2 0, 75 × bw × d 2 0, 75 × bw × d 0, 75 × 0,89 ×10 Tomando bw = 600mm y d = 700mm.

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EJEMPLO 14 Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura. ¿Qué parte de la viga requiere refuerzo a cortante?

•

Cortante en el apoyo

= Vuap •

100 × 5,5 = 275 KN 2

Determinar valor de cortante a una distancia “d ” del apoyo

V= u 275 KN − 100 × 0, 29 KN = 246 KN Vu ϑu = 0, 75 × bw × d •

Esfuerzo crítico en el concreto

ϑ= 0,17 × λ × f´= c 0,17 × 1× 21MPa = 0, 78MPa (C.11 − 3) C

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•

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Diagrama de esfuerzos cortantes

0, 275MN = 4, 21MPa 0, 75 × 0,3 × 0, 29 0, 245MN = ϑu = 3, 75MPa 0, 75 × 0,3 × 0, 29 = ϑu

Ld1 2750mm = ⇒ = Ld1 2495mm 4, 21MPa 4, 21 − 0,39 Ld 2 2750mm = ⇒= Ld 2 2240mm 4, 21MPa 4.21 − 0, 78

Se requieren estribos hasta una distancia de 2495mm.

EJEMPLO 15 Diseñar el refuerzo transversal de la viga mostrada en la figura de acuerdo a las fuerzas cortantes indicadas. f’c=28MPa y fy=420 MPa.

1. DISEÑO VIGA SOPORTE IZQUIERDO • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.

V1d = 426 KN − 120 KN / m ( 0,34m ) = 385, 2 KN = ϑu1d

0,385MN = 3, 77 MPa 0, 75 × 0, 4 × 0,34

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Esfuerzo crítico en el concreto

ϑ= 0,17 × λ × f´= c 0,17 × 1× 28 = 0,899 MPa (C.11 − 3) c ϑu1d ≥ ϑC ⇒ 3, 77 MPa > 0,899MPa → Determinar ϑs ϑs = ϑu1d − ϑc = 2,87 MPa Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av

387 = mm 2 fy 420 MPa

s =

Av × fy 387 mm 2 × 420 MPa = = 141mm ϑs × bw 2,87 MPa × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

Av × fy 0, 062 × bw ×

fy 387 × 420 420 ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

a)

S max =

b)

0,33 × f´c ⇒ 0,33 × 28 =1, 75MPa > 3, 77 MPa − 0,89 MPa = 2,88MPa (C.11.4.5.3)

f´c

≤

No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.

= S

141 ≅ 71mm 2

S max ≤

d ≤ 300mm ⇒ 71mm ≤ 85mm ≤ 300mm → Usar el menor valor 4

Colocar 5 estribos ϕ ½” tres ramas c/71mm • Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.

= V2 d 426 KN − 120 KN / m ( 0,34 ×= 2 ) 344, 4 KN

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0,344 MN = 3,37 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

= ϑu 2 d

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas.

387 = mm 2 fy 420 MPa

Av = s

Av × fy = (ϑu 2 d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 163mm ( 3,37 MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy 387 × 420 420 fy ≤ ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × 400 0, 062 × bw × f´c 0,35 × bw 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 3,37 MPa − 0,89 MPa = 2, 48MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.

163 ≅ 82mm 2

= S

d ≤ 300mm ⇒ 82 mm ≤ 85mm ≤ 300mm → Usar el menor valor 4 2d − ( 5 × 71) − 50

S max ≤

N=

82

Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/82 mm • Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “3d” de la cara de la columna.

= V3d 426 KN − 120 KN / m ( 0,34 ×= 3) 303, 6 KN

ϑu 3d =

0,303MN = 2,97 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados ϕ=1/2” tres ramas

Av s =

387 mm 2 fy 420 MPa = Av × fy = (ϑu 3d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 195mm ( 2,97 MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5) Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

Página 143

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

a) S max =

Av × fy 0, 062 × bw ×

f´c

≤

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387 × 420 420 fy ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2,97 MPa − 0,89 MPa = 2, 08MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.

= S

195 ≅ 97 mm 2

S max ≤

N=

d ≤ 300mm ⇒ 97 mm ≤ 85mm ≤ 300mm → Usar el menor valor.

4

3d − ( 4 × 82 ) − ( 5 × 71) − 50  4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/85 mm.

85

• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “4d” de la cara de la columna.

= V4 d 426 KN − 120 KN / m ( 0,34 ×= 4 ) 263KN

ϑu 4 d =

0, 263MN = 2,58MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” tres ramas

Av

= mm 2 fy 420 MPa 213

Av × fy = s = (ϑu 3d − ϑc ) × bw

213mm 2 × 420 MPa = 132mm ( 2,58MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5)

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

213 × 420 420 fy ⇒ =682mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2,58MPa − 0,89 MPa = 1, 69 MPa (C.11.4.5.3) Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo.

d ≤ 600mm ⇒ 132mm ≤ 170mm ≤ 600mm Usar el menor valor.

2 4d − ( 4 × 85 ) − ( 4 × 82 ) − ( 5 × 71) − 50

S max ≤

N=

132

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

 3 estribos φ 3/8” tres ramas c/132mm.

Página 144

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN: VIGAS Y COLUMNAS

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• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “5d” de la cara de la columna.

= V5 d 426 KN − 120 KN / m ( 0,34 ×= 5 ) 222 KN = ϑu 5 d

0, 222 MN = 2,17 MPa 0, 75 × ( 0, 4m )( 0,34m )

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

142 mm 2 fy 420 MPa =

Av s =

Av × fy = (ϑu 3d − ϑc ) × bw

142mm 2 × 420 MPa = 116mm ( 2,17 MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación requerimientos mínimos (C.11.4.5).

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

142 × 420 420 fy ⇒ =455mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2,17 MPa − 0,89 MPa = 1, 28MPa (C.11.4.5.3) Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo.

S max ≤

N=

d ≤ 600mm ⇒ 116mm ≤ 170mm ≤ 600mm → Usar el menor valor.

2

5d − (3 ×132) − ( 4 × 85 ) − ( 4 × 82 ) − ( 5 × 71) − 50  2 estribos ϕ 3/8” dos ramas 116

c/116mm.

• Determinar el valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.

= V6 d 426 KN − 120 KN / m ( 0,34 ×= 6 ) 181.2 KN

= ϑu 6 d

0,181MN = 1, 77 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av = s

142 = mm 2 fy 420 MPa Av × fy = (ϑu 3d − ϑc ) × bw

142mm 2 × 420 MPa = 169mm (1, 77 MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Por requerimientos mínimos colocar estribos ϕ 3/8” c/170mm para el resto de la viga hasta el punto de cortante cero.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

Página 145

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2. DISEÑO VIGA SOPORTE DERECHO • Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “d” de la cara de la columna.

V1d = 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 ) = 449,1KN = ϑu1d

0, 449 MN = 4, 4 MPa 0, 75 × 0, 4 × 0,34

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

= mm 2 fy 420 MPa 387

Av = s

Av × fy = (ϑu1d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 116mm ( 4, 4MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy 0, 062 × bw ×

f´c

≤

fy 387 × 420 420 ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 4, 4 MPa − 0,89 MPa = 3,51MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo Este valor se aproxima al valor obtenido por 0, 66 ×

= S

f´c = 3, 49 .

116 ≅ 58mm 2

S max ≤

d ≤ 300mm ⇒ 58mm ≤ 85mm ≤ 300mm 4

Colocar 6 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/58mm.

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “2d” de la cara de la columna.

= V2 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 = × 2 ) 408,3KN

ϑu 2 d =

0, 408MN = 4 MPa 0, 75 × 0, 4 × 0,34

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

Página 146

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Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

387 = mm 2 fy 420 MPa

Av

s =

Av × fy = (ϑu1d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 131mm ( 4MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy 0, 062 × bw ×

f´c

≤

fy 387 × 420 420 ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 4 MPa − 0,89 MPa = 3,11MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.

= S

131 ≅ 66mm 2

S max ≤

d ≤ 300mm ⇒ 66mm ≤ 85mm ≤ 300mm 4

2d − ( 6 × 58 ) − 50 = 5  Colocar 5 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/66mm.

66

= N

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “3d” de la cara de la columna.

= = × 3) 367,5 KN V3d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34

ϑu 3d =

0,367 MN = 3, 6 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av

= s

= mm 2 fy 420 MPa 387

Av × fy = (ϑu 3d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 150mm ( 3, 6MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy 0, 062 × bw ×

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

f´c

≤

387 × 420 420 fy ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

Página 147

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= 2, 71MPa (C.11.4.5.3) b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 3, 6 MPa − 0,89 MPa No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el espaciamiento máximo.

= S

150 ≅ 75mm 2

S max ≤

d ≤ 300mm ⇒ 75mm ≤ 85mm ≤ 300mm 4

3d − ( 5 × 66 ) − ( 6 × 58 ) − 50 = 4  Colocar 4 estribos diámetro 1/2” tres ramas c/75mm.

75

N

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “4d” de la cara de la columna.

= = × 4 ) 326, 7 KN V4 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 = ϑu 4 d

0,326 MN = 3, 2 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” tres ramas

Av

= s

387 = mm 2 fy 420 MPa

Av × fy = (ϑu 4 d − ϑc ) × bw

387 mm 2 × 420 MPa = 176mm ( 3, 2MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

a) S max =

Av × fy 0, 062 × bw ×

f´c

≤

387 × 420 420 fy ⇒ =1239mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 3, 2 MPa − 0,89 MPa = 2,31MPa (C.11.4.5.3) No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar el espaciamiento máximo.

= S

176 ≅ 88mm 2

S max ≤

N

d ≤ 300mm ⇒ 88mm ≤ 85mm ≤ 300mm 4

4d − ( 4 × 75 ) − ( 5 × 66 ) − ( 6 × 58 ) − 50 = 4  Colocar 4 estribos ϕ ½” tres ramas c/85mm.

85

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “5d” de la cara de la columna.

= = × 5 ) 285,9 KN V5 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34

ϑu 5 d =

0, 286 MN = 2,8MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 1/2” dos ramas

= mm 2 fy 420 MPa 258

Av

s =

Av × fy = (ϑu 5d − ϑc ) × bw

258mm 2 × 420 MPa = 142mm ( 2,8MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

258 × 420 420 fy 826mm ≤ 3m ⇒ = = 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

= 1,91MPa (C.11.4.5.3) b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2,8MPa − 0,89 MPa No cumple por lo cual hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad y verificar espaciamiento máximo.

= S

142 ≅ 71mm 2

S max ≤

N

d ≤ 300mm ⇒ 71mm ≤ 85mm ≤ 300mm 4

5d − ( 4 × 85 ) − ( 4 × 75 ) − ( 5 × 66 ) − ( 6 × 58 ) − 50 = 5 71

Colocar 5 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/71mm.

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “6d” de la cara de la columna.

= V6 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 = × 6 ) 245,1KN

ϑu 6 d =

0, 245MN = 2, 4 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av

142 = mm 2 fy 420 MPa

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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= s

Av × fy = (ϑu 5d − ϑc ) × bw

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142mm 2 × 420 MPa = 99mm ( 2, 4MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

fy 258 × 420 420 ⇒ = = 826mm ≤ 3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

= 1,51MPa (C.11.4.5.3) b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2, 4 MPa − 0,89 MPa Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar

S max ≤

d ≤ 600mm ⇒ 99mm ≤ 170mm ≤ 600mm espaciamiento máximo.

2

6d − ( 5 × 71) − ( 4 × 85 ) − ( 4 × 75 ) − ( 5 × 66 ) − ( 6 × 58 ) − 50 = 4 99

N

Colocar 4 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/99mm.

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “7d” de la cara de la columna.

= V7 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 = × 7 ) 204,3KN = ϑu 7 d

0, 204 MN = 2 MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av

= s

= 142 mm 2 fy 420 MPa

Av × fy = (ϑu 5d − ϑc ) × bw

142mm 2 × 420 MPa = 134mm ( 2MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5):

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

142 × 420 420 fy ⇒ =455mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 2 MPa − 0.89 MPa = 1,11MPa (C.11.4.5.3) Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo.

S max ≤

d ≤ 600mm ⇒ 134mm ≤ 170mm ≤ 600mm 2

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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7 d − ( 4 × 99 ) − ( 5 × 71) − ( 4 × 85 ) − ( 4 × 75 ) − ( 5 × 66 ) − ( 6 × 58 ) − 50 = 2 134

N

Colocar 2 estribos diámetro 1/2” dos ramas c/134mm.

• Determinar valor de la fuerza cortante a una distancia “8d” de la cara de la columna.

= = × 8 ) 163,5 KN V7 d 489,9 KN − 120 KN / m ( 0,34 = ϑu 7 d

0,164 MN = 1, 61MPa 0, 75 × 0, 4m × 0,34m

Seleccionando estribos cerrados diámetro 3/8” dos ramas

Av

s =

= mm 2 fy 420 MPa 142

Av × fy = (ϑu 5d − ϑc ) × bw

142mm 2 × 420 MPa = 207 mm (1, 61MPa − 0,89MPa ) × 400mm

Verificación de requerimientos mínimos (C.11.4.5)

Av × fy a) S max = 0, 062 × bw ×

f´c

≤

142 × 420 420 fy ⇒ =455mm ≤ =3m 0,35 × bw 0,35 × 400 0, 062 × 400 × 28

b) 0,33 × f´c ⇒ 0,33 × = 28 1, 75MPa > 1, 61MPa − 0.89 MPa = 0, 72 MPa (C.11.4.5.3) Cumple por lo cual no hay que reducir el espaciamiento calculado a la mitad, verificar espaciamiento máximo.

S max ≤

d ≤ 600mm ⇒ 207 mm ≤ 170mm ≤ 600mm .

2

Para el resto de la viga colocar estribos diámetro 3/8” dos ramas c/170mm.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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17. TORSIÓN Distribución de esfuerzos sobre una sección transversal sujeta a torsión

Figura 115

Máximo esfuerzo cortante, τ max

τ max = η

Τ x2 y

Donde

η = Factor de forma Τ = Momento torsor x, y= Dimensiones de la sección transversal El factor de forma es diferente para los casos lineales y no lineales.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Modo de falla: La falla a torsión del concreto simple se produce de repente con una fisura de tracción inclinada en una de las caras más amplias, entonces se extiende en las caras estrechas. El aplastamiento del concreto se produce en la cara opuesta más amplia.

Resistencia a la torsión, Τup del concreto simple.

Varias teorías se han presentado para el cálculo de resistencia a la torsión del hormigón simple incluyendo teorías plásticas, elásticas, y de flexión oblicua.

•

Flexión Oblicua

Figura 116

Τ = Momento torsor aplicado M, Ttw = Son los momentos de flexión y torsión respectivamente sobre el plano de M=

π 4

T 2

b = 2y

2y) x (= 2

x2 y 6 3 2 Tup 3Tu p M 2 = x2 y = σ= t S x2 y 3 2

= S

Donde,

Tu p = Torsión última de hormigón simple, cuando σ alcanza a σ t Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Tu p =

x2 y σt 3

(

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)

σt = 0.85 fr ≈ 0.85 0, 62λ f´c = 0,527λ f´c T cr =

x2 y = = λ x 2 y f´c Tu p 0,527λ f´c 0,176 3

Resistencia a la torsión contribuida por el acero Considere el sistema que consiste en estribos de acero longitudinal y transversal. x1 , y1 Son las dimensiones del armazón de acero como se muestra en la figura:

Figura 117

• Momento torsional con respecto al eje vertical delos estribos

Ts1 = ( Atα1 fs )

y1 x1 s

Donde,

At Área de un brazo de estribo fs Esfuerzo en esa sección s

Espaciamientos estribos

• Momento torsional con respecto al eje horizontal de los estribos

Ts2 = ( Atα 2 fs )

x1 y1 s

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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• Momento torsional total

At fs x1 y1 (α1 + α 2 ) s A fs Ts = t x1 y1α t s

Ts =

α t = Determinado experimentalmente Concepto de diseño • Capacidad de torsión máxima total, Tu

T= u Tc + Ts Donde,

Tc = Capacidad a torsión contribuida por el concreto.

Ts = Capacidad a torsión contribuida por el acero = Tc β Tu p

( β ≈ 0, 4 )

Por lo tanto

Tc = 0,8 f´c x 2 y El coeficiente β representa la reducción en la resistencia a la torsión proporcionada por el concreto después de la fisuración. Tras la formación de fisuras el esfuerzo del concreto y la deformación son parcialmente transferidos al acero. La rigidez y la resistencia del sistema dependerán de la cantidad de refuerzo transversal y longitudinal.

• La falla final puede ser en uno de los siguientes caminos: Subreforzada: Tanto el acero longitudinal y transversal fallan antes.

Sobrereforzada: El concreto es aplastado antes de que entre en acción el acero.

Parcialmente sobre o sub -reforzada

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Para elementos subreforzados α t es independiente de la relación de acero:

Figura 118

• Sugerencia del código

αt = 0, 66 + 0,33

y1 ≤ 1,50 x1

Funciones del refuerzo longitudinal • Anclar los estribos, especialmente en las esquinas.

• Controla la ampliación de la fisura.

Condición Subrefuerzada

Al ≤ 2 At

x1 + y1 s

Donde,

Al Volumen por longitud de acero longitudinal El acero entra en fluencia.

Torsión combinada con flexión - Torsión combinada con cortante En general el cortante existe al mismo tiempo con la flexión. La existencia de cortante reducirá la capacidad de resistir en torsión. Así, es necesario considerar el caso de la torsión combinada con cortante.

•

Para vigas con refuerzo transversal Torsión pura:

T= u Tc + Ts

Cortante puro:

V= u Vc + Vs

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Figura 119

• Diseño para torsión Igual interacción como en los miembros sin refuerzo transversal.

• Exceso de torque Más allá de lo resistido por el concreto, la misma cantidad de refuerzo se proporciona en los miembros sujetos a torsión más cortante como serían requeridos para los miembros puramente torsionales.

Este refuerzo torsional se añade al que se requiere para llevar a momentos de flexión y cortante.

Tu ≤ φTn = φ (Tc + Ts ) Donde

Tu Factor de torque

φ Factor de capacidad de reducción para torsión = 0.75 Tn Resistencia nominal para la torsión Tc Momento de torsión soportado por el hormigón Ts Momento de torsión soportado por el acero Tc =

To 2

 T   Vc  1+  o     Vo   Tc 

2

Donde

To = 0,8 f 'c x 2 y

Torsión pura

Vo = 2 f´cbd

Cortante puro

To x 2 y 0, 4 = 0,= 4 Vo bd CT Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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bd x2 y

CT =

Suponer

Vc Vu = Tc Tu De tal manera que

0,8 f´c x 2 y = Vc 2  0, 4 Vu  1+    CT Tu 

Tc

= Ts

α t At fy

= x1 y1 Vs s

2 f´cbd Tu   1 +  2,5CT  Vu  

2

Av fyd s

Tu = φ (Tc + Ts ) = φTn Tu − φ Tc Ts =

φ

= At

sTs s (Tu − φTc) = α t fyx1 y1 α tφ fyx1 y1

• Ts ≤ 4Tc se requiere para asegurar fluencia del acero primero.

• La separación mínima de los estribos de torsión 4( x1 + y1 ) ó 12 in Condición que debe cumplirse para no considerar efectos de torsión • Los efectos torsionales pueden despreciarse si n

Tu < 0,5φ f´c ∑ ( xi 2 yi ) i =1

Donde n

∑ (x i =1

i

2

yi ) Suma de los pequeños rectángulos para formas irregulares.

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Secciones Huecas

Figura 120

• Cuando h > • Cuando

x , considerar la sección transversal en forma de sólido.

4

x x ≤ h ≤ asumirlo como sólido, pero multiplicar 10 4

• Cuando h <

∑ (x

2

 h y ) por  4   x

x , se considera como una sección de pared delgada. Compruebe si hay 10

inestabilidad (pandeo local).  Formulación general del post-agrietamiento comportamiento de flexión, cortante, y tensión interacción en vigas R / C.  Discusión de las aplicaciones: los sistemas de carriles-guía de hormigón de monorriel de levitación magnética y la infraestructura de transporte.  Ejemplo de diseño: cortante y torsión.

Procedimiento de diseño de elementos sometidos a torsión según la NSR-10 1. Determinar los diagramas de cortante, momento y torsión.

2. Determinar las dimensiones de la viga, las cuales deben ser adecuadas para resistir los momentos de flexión y además que cumplan con los límites máximos permitidos para control de deflexión.

3. Determinar si la torsión debe ser considerada C.11.5 (a) en elementos no preesforzados:

 A2 Tu ≤ φ 0, 083λ f´c  cp P  cp Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

   Página 159

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(b) en elementos preesforzados:

 Acp2 Tu ≤ φ 0, 083λ f´c  P  cp

 f cp  1 + 0,33λ f´c 

(c) en elementos no preesforzados sometidos a tracción axial o fuerzas de compresión:

 A2 Tu ≤ φ 0, 083λ f´c  cp P  cp

 Nu  1 + 0,33 Ag λ f´c 

4. Verificar si la sección transversal del elemento es adecuada C.11.5.3.1. Las dimensiones de la sección transversal deben ser tales: (a) en secciones sólidas: 2

2

 Vu   TuPh   Vc  ≤φ + 0, 66 f´c    + 2   bw d   1, 7 A0 h   bw d 

(b) en secciones huecas:

 Vu   TuPh   Vc  ≤φ + 0, 66 f´c   + 2   bw d   1, 7 Aoh   bw d  5. Determinar el refuerzo requerido por flexión y el área de refuerzo requerido por cortante. El área del refuerzo por cortante debe expresarse en términos de Av/s (área de acero de estribo por unidad de longitud). Este valor debe ser combinado con el área del refuerzo de estribos requeridos por torsión. Nota: verificar requisitos para diseño a cortante según la NSR-10.

Av = s 6.

Vs Vu − Vc s , V= fyd φ

Determinar el área del acero para estribos requerido por torsión en términos de At/s

At Tu = s 2φ A0 f yt Cotθ Donde A0 debe determinarse por análisis, excepto que se permite tomar A0 igual a 0.85 A0h; θ no debe tomarse menor a 30° ni mayor que 60°, se permite usar: (a) θ = 45° en elementos no preesforzados o con un preesforzado con una fuerza efectiva de preesforzado no menor a un 40por ciento de la resistencia a tracción del refuerzo longitudinal.

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7. Combine el área de acero requerida para cortante y torsión y seleccione el diámetro de las barras de refuerzo. Exprese At/s en términos de Av/s. Para un estribo con dos ramas tenemos:

Av  A   2A  (total = )  v + t  s  s   s  El espaciamiento del refuerzo transversal por torsión no debe exceder el menor valor entre Ph/8, ni 300 mm.

8. Verificar el área de acero mínimo de estribos cerrados

 Av   s

  2 At +   s

 0,35bw ≥ f yt 

9. Determinar el área de refuerzo longitudinal por torsión

AL =

At  f yt  2 ph   cot θ s  fy 

Donde θ tiene el mismo valor utilizado en (6) y At/s el valor calculado en (6). El área mínima total de refuerzo longitudinal para torsión debe calcularse como:

= AL min

0, 42 f´c Acp fy

f A  −  t  ph yt fy  s 

Donde ALmin no puede ser menor que cero, a At/s no debe tomarse menor que 0,175bw/fyt. El refuerzo longitudinal por torsión debe distribuirse uniformemente alrededor del perímetro de la sección transversal 10. Este paso es opcional. Se permite reducir el área de refuerzo longitudinal para torsión en la zona de compresión por flexión en una cantidad igual a Mu/ (0,9dfy).

11. Combinar el refuerzo longitudinal por flexión y torsión y seleccionar el diámetro de las barras de refuerzo.

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EJEMPLO 16 Diseñar la viga mostrada en la figura

f c′ = 21MPa

fy = 420 MPa (Referencia longitudinal)

240MPa (Referencia transversal) = Mu 250 KN − m Vu = 200 KN = Tu 20 KN − m

• Determinar si la torsión debe ser considerada

 Acp2 Tu ≤ φ × 0, 083 × λ f´c  P  cp

  

( C.11.5.2.2 )

Acp =0,3 × 0, 65 =0,195m 2 Pcp = 2 ( 0,3 + 0, 65 ) = 1,9m

 0,1952  = Tu ≤ 0, 75 × 0, 083 ×1, 0 × 21 ×   5, 71KN − m < 20 KN − m  1,9  No se pueden despreciar los efectos de la torsión • Verificar si la sección del elemento es adecuada 2

 Vu   Tu × Ph   +  bw × d   1, 7 A0 h2

2

  Vc  + 0, 66 f´c   ≤ φ   bw × d  

= Vc 0,17λ f c′ × bw × d

x= 300 − 2 ( 40 ) = 220mm y= 650 − 2 ( 40 ) = 570mm

A0 h = 0,57 × 0, 22 = 0,1254m 2

Ph = 2 ( 0,57 + 0, 22 ) = 1,58m

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2

2

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 200 ×103   20 ×106 ×1580  ≤ 0, 75 0,17 × 21 + 0, 66 21   + 2   300 × 590   1, 7 ×125400 

(

)

1, 64 N / mm 2 ≤ 2,85 N / mm 2 → Cumple • Determinar el refuerzo requerido por flexión

a As × fy  Mu= φ As × fy  d −  → a= 2 0,85 f´c × b 

As =

(1)

Mu a  φ fy  d −  2 

(2)

Solucionando por iteraciones: Asumimos viga rectangular b = 500mm con a = 80mm

As

= a As

= a As

= a

250 ×10002 = 1203mm 2 0, 08   0,9 × 420000  0,59 −  2  

Reemplazando en (2)

1203 × 420 = 57 mm 0,85 × 21× 500 250 ×10002 = 1178mm 2 0, 057   0,9 × 420000  0,59 −  2  

Reemplazando en (2)

1178 × 420 = 55mm 0,85 × 21× 500 250 ×10002 = 1176mm 2 0, 055   0,9 × 420000  0,59 −  2  

Reemplazando en (2)

1176 × 420 = 55mm 0,85 × 21× 500

Seleccionamos 2 No7 + 2 No6 área = 1342mm 2

bmin = 230 mm < 500 mm → cumple • Determinar el área de refuerzo por cortante

= Vu 200= KN φ (Vc + Vs ) Vc= 0,17λ f´c × bw × d= 0,17 ×1, 0 × 21 × 0,3 × 0,59 ⇒ 137,89 KN

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Vu

V= s

φ

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− Vc

Vs=

200 − 137,89= 128, 78 KN < 0,33 21 × 0,3 × 0,59 ×1000= 267, 67 KN → cumple 0, 75

S=

Av × fy × d Av ⇒ = Vs S

Vs 128, 78 = = 0,909mm 2 / mm fy × d 240000 × 0,59

• Determinar el área de acero para estribos requerido por torsión.

At Tn = s 2 A0 × f yt

T= n

Tu =

φ

20 = 26, 67 KN − m 0, 75

A0 = 0,85 A0 h = 0,85 × 0,1254 = 0,10659m 2

At 26, 67 ×106 = = 0,5213mm 2 / mm s 2 ×106590 × 240 • Determinar área acero combinada por cortante y torsión.

AV A 2A (total )= V + t = 0,909 + 2 × 0,5213= 1,9516mm 2 / mm s s s Seleccionar estribos No. 3 de dos ramas AV = 142mm 2

= s

142 = 73mm 1,9516

Verificar NSR − 10

s≤

Ph 1580 = = 198mm < 300m → Cumple 8 8

Área mínima de estribos

AV 2 At b = + 1,9516 mm 2 / mm = > 0,35 w 0, 4375mm 2 / mm → cumple s s fyT •

Determinar el área del refuerzo longitudinal por torsión:

AL=

At  f yt Ph  S  fy

= AL min

  240  2 = 0,5213 ×1580 ×  = 471mm  420  

0, 42 f´c Acp fy

A − T  S

  f yt  0, 42 21 ×195000  240  0,5213 ×1580 ×      Ph= 420  420    fy 

AL min = 423mm 2

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At bw = 0,5213 mm 2 / mm > 0,175 = 0, 2187 mm 2 / mm → cumple S f yt •

El máximo espaciamiento entre las barras de refuerzo longitudinal es de 300mm. Se divide en 3 áreas iguales para ser colocadas en la parte superior, inferior y en la mitad de la altura de la sección de la viga.

As =

AL 471mm 2 = = 157 mm 2 (2 barras N 0 5 ) 3 3

Las barras longitudinales deben tener un diámetro de al menos 0,042 veces el espaciamiento entre estribos, pero no menos de diámetro N 0 3 .

0, 042 × 73mm = 3mm Verificación bmin = 130mm < 300mm → Cumple.

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18. ADHERENCIA Y ANCLAJE Las fuerzas desarrolladas en la viga por la carga aplicada de forma perpendicular a su eje neutro se pueden apreciar en la siguiente figura:

Figura 121

Fuerzas en las barras de refuerzo El esfuerzo de adherencia proporciona un mecanismo de transferencia de fuerzas entre el concreto y el refuerzo.

Figura 122

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Condición de equilibrio para la barra de refuerzo

∑ F = 0 ⇒ T − Fuerza de adherencia = 0 ⇒

π db2 4

0 fy − π dblb µ =

fyd ⇒ ld = b 4µ

µ = Esfuerzo de adherencia Coeficiente de fricción ≈ k

f´c

k = f (φbar ) Nota: El esfuerzo de adherencia es cero en las fisuras.

Fuentes de transferencia por adherencia •

La adhesión entre el concreto y refuerzo.

•

Fricción.

•

Trabazón mecánica.

La concentración de esfuerzos en bordes causa la ocurrencia de agrietamiento.

Nota: Estas propiedades se pierden rápidamente cuando el concreto es sometido a tracción.

Fuerza de interacción entre el acero y el hormigón.

Figura 123

La separación generada por las grietas ocasiona la pérdida de la transferencia de adherencia. El refuerzo se puede utilizar para restringir estas fisuras.

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La distribución de esfuerzos dentro de una viga se ve afectada por: •

Distancia mínima al borde y el espaciamiento de las barras.

•

Resistencia a la tracción del hormigón.

•

El esfuerzo de adherencia promedio a lo largo de las barras (Aumento de esfuerzo de adherencia da lugar a mayor fuerza de cuña).

El fisuramiento generado por fuerzas de adherencia puede ser clasificado en tres tipos: en el primer caso se tiene un recubrimiento inferior mayor al lateral, por lo cual la fisura se propagará predominantemente en dirección horizontal, en el segundo caso se da cuando los dos recubrimientos, lateral e inferior son iguales, la dirección predominante es en cualquiera de los dos sentidos y dependerá de factores locales como la ubicación de agregados gruesos que impidan la propagación de la fisura, finalmente cuando el recubrimiento inferior es menor al lateral las fisuras se propagarán predominantemente en dirección vertical.

Figura 124

Figura 125 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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El fisuramiento del hormigón se produce a lo largo de las barras, ya sea en planos verticales como en la figura (a) o en un plano horizontal como en la figura (b). Tal división viene en gran parte de la acción de acuñamiento cuando el corrugado de la barra deformada genera fuerza en el hormigón.

El tipo de fisuramiento horizontal frecuentemente comienza con una fisura diagonal. La acción de dovela incrementa la tendencia al fisuramiento. Esto indica que las fisuras generadas por cortante y las generadas por flexión están a menudo estrechamente relacionadas entre sí.

Figura 126

Expresiones de código para determinar la longitud de desarrollo de barras en tracción Longitud de desarrollo ld Se define como la menor longitud de la barra en la que el esfuerzo de la barra puede incrementar de cero a la resistencia a la fluencia, fy. La longitud de desarrollo ld es utilizada debido a que los esfuerzos de adherencia, µ, varían a lo largo de un barra sometida a tensión.

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Figura 127

NSR-10 - CAPITULO C.12 LONGITUDES DE DESARROLLO Y EMPALMES DEL REFUERZO C.12.1 — Desarrollo del refuerzo — Generalidades C.12.1.1 — La tracción o comprensión calculada en el refuerzo de cada sección de elementos de concreto estructural debe ser desarrollada hacia cada lado de dicha sección mediante una longitud embebida en el concreto por medio de gancho, barra corrugada con cabeza o dispositivo mecánico, o una combinación de ellos. Los ganchos y barras corrugadas con cabeza no se deben emplear para desarrollar barras en compresión.

C.12.1.2 — Los valores de

f´c usados en este Capítulo no deben exceder de 8.3 MPa.

C.12.1.3 — Además de los requisitos establecidos en este Capítulo que afectan el detalle del refuerzo, se deben cumplir los requisitos de integridad estructural de C.7.13.

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C.12.2 — Desarrollo de barras corrugadas y de alambres corrugados a tracción C.12.2.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre corrugado en tracción, ld , debe determinarse a partir de C.12.2.2 ó C.12.2.3, con los factores de modificación de C.12.2.4 y C.12.2.5, pero ld no debe ser menor que 300 mm.

C.12.2.2 — Para barras corrugadas o alambres corrugados, ld debe ser: Espaciamiento y recubrimiento

Barras No. 6 (3/4”)

Barras No. 7 (7/8”)

ó 20M (20 mm) o

ó 22M (22 mm) y

menores y

mayores

alambres corrugados Espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo empalmados o desarrolladas no menor que db , recubrimiento libre no menor que db , y estribos a lo largo de ld no menos que el mínimo del Título C del Reglamento NSR-10 o espaciamiento libre entre barras o alambres que están siendo desarrolladas o empalmadas no menor a

 fyψ tψ e    db  2,1λ f´c 

 fyψ tψ e    db  1, 7λ f´c 

 fyψ tψ e    db  1, 4λ f´c 

 fyψ tψ e λ    db  1,1λ f´c 

2db y recubrimiento libre no menor a db Otros casos

C.12.2.3 — Para barras corrugadas y alambres corrugados ld debe ser:

  fyψ tψ eψ s ld =    c + K tr  1,1λ f´c  b  db 

  d b    

(C.12-1)

 cb + K tr   no debe tomarse mayor a 2.5 y  db 

En donde el término 

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K tr =

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40 Atr s×n

(C.12-2)

En donde n es el número de barras o alambres que se empalman o desarrollan dentro del plano de hendimiento. Se puede usar Ktr = 0 como una simplificación de diseño aún si hay refuerzo transversal presente.

C.12.2.4 — Los factores a usar en las expresiones para la longitud de desarrollo de barras y alambres corrugados en tracción en C.12.2 son los siguientes: (a) Cuando para el refuerzo horizontal se colocan más 300 mm de concreto fresco debajo de la longitud de desarrollo o un empalme, ψ t = 1.3 . Otras situaciones ψ t = 1.0 (b) Barras o alambres con recubrimiento epóxico con menos de 3db de recubrimiento, o separación libre menor de 6db , ψ e = 1.5 . Para todas las otras barras o alambres con recubrimiento epóxico,

ψ e = 1.2 . Refuerzo sin recubrimiento y refuerzo recubierto con cinc (galvanizado), ψ e = 1.0 .

No obstante, el producto ψ tψ e no necesita ser mayor de 1.7. (c) Para barras No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm) o menores y alambres corrugados, ψ s = 0.8 . Para barras No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm) y mayores, ψ s = 1.0 . (d) Donde se use concreto liviano, λ no debe exceder de 0.75 a menos que se especifique fct (véase C.8.6.1).

Donde se use concreto de peso normal, λ = 1.0.

C.12.2.5 — Refuerzo en exceso Se permite reducir ld en ( As requerido) / ( As suministrado) cuando el refuerzo en un elemento sometido a flexión excede el requerido por análisis, excepto cuando se requiere específicamente anclaje o desarrollo para fy o el refuerzo sea diseñado según C.21.2.1.6.

C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, ldc , se debe calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero ldc no debe ser menor de 200 mm.

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C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados, ldc debe tomarse como el mayor

 0, 24 fy   db y ( 0, 043 fy ) db , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante  λ f´c 

entre  

0.043 tiene la unidad de mm2/N C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud ldc en 12.3.2 por los siguientes factores: a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis (As Requerido)/(As Proporcionado) b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros………………………………………0.75

EJEMPLO 17 Para una viga de concreto reforzado, con una altura efectiva de 540 mm y un ancho de 300 mm, reforzada con 5 varillas No. 6 y recubrimientos del refuerzo medidos a centro de barra de 60 mm, determinar la longitud de desarrollo de las barras. La viga se encuentra simplemente apoyada.

f´c = 21MPa fy = 420 MPa Verificación de las condiciones de recubrimiento de concreto.

Para barras de diámetro ¾”, db = 19mm.

Recubrimiento libre = 60mm-10mm = 50mm > db Separación libre entre barras

= S

300mm − ( 2 × 60mm ) b − 2 × recubrimiento = − db = − 19mm 26mm > db N º Espacios 4

Las barras están confinadas por estribos Nº 3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la ecuación.

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ld fyψt ψe =

db 2,1×λ f´c

( C.12.2.2 )

ψt = 1,0 Refuerzo colocado parte inferior viga

(C.12.2.4)

ψe = 1,0 Refuerzo sin recubrimiento epóxico

(C.12.2.4)

( C.12.1.2 )

f´c = 21 = 4,6 MPa < 8,3 MPa ld 420×1,0×1,0 = = 44 db 2,1×1× 21 Por lo tanto ld =× 44 19mm = 836mm Para el caso general tenemos ( Ktr = 0 )

Ld = db

(C.12.2.3)

fyψt ψeψ s  c + K tr  1,1× λ f´c    db  ψt = ψe = 1,0

(C.12.2.4)

ψ s = 0,8 Barras Nº 6 o menores

(C.12.2.4)

(C.12.2.3)

C = dimensión del espaciamiento o recubrimiento del refuerzo

.

Menor distancia desde el centro de la barra a la superficie más cercana del concreto, C1 o la mitad de la separación centro a centro de las barras que se desarrollan, C2.

c1 = 60mm  b − 2 × 60   300 − 2 × 60  c 2 = 0,5   = 23mm  ⇒ c 2 = 0,5 ×  4    N °espacios  c = 23mm  c + K tr  23 si  = 1, 21 ⇒ 1,5  < 1,5 usar 1,5 ⇒ 19  db  ld 420 × 1× 1× 0,8 = = 44 ⇒ ld = 44 × 19 = 836mm db 1,1× 1× 21 × 1,5 EJEMPLO 18 Solucionar el ejemplo anterior si las barras están recubiertas por epóxico y el As requerido para el análisis es 1200mm2.

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ld fyψt ψe =

db 2,1× λ f´c

( C.12.2.2 )

ψt = 1,0 Refuerzo colocado parte inferior viga

(C.12.2.4)

ψe = 1,5 Refuerzo con recubrimiento epóxico

(C.12.2.4)

f´c = 21 = 4,6 MPa < 8,3 MPa = Rs

( C.12.1.2 )

As req 1200mm 2 = = 0,85 As sum 1420mm 2

ld 420×0,85×1,0×1,5 = = 56 db 2,1×1× 21 Por lo tanto ld =× 56 19mm = 1064mm

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19. DESARROLLO DE BARRAS - SECCIONES CRÍTICAS Miembros sometidos a flexión Las secciones críticas para el desarrollo del refuerzo en elementos sometidos a flexión son: •

Puntos de máximo esfuerzo.

•

Puntos donde las barras son cortadas.

•

Cara del apoyo.

•

En los puntos de inflexión en donde el momento cambia de signo.

Secciones críticas para el refuerzo de momento negativo Tres secciones son críticas para el refuerzo de momento negativo: Sección 1: Se encuentra en la cara del apoyo, cuando tanto el momento negativo como el esfuerzo presentan sus valores máximos. Dos longitudes de desarrollo, X1 y X2 deben ser revisadas y chequeadas.

Figura 128 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Sección 2: Es la sección donde parte de la barra de refuerzo negativo puede ser terminada. Para desarrollar la fuerza de tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X2 antes de que puedan ser terminadas. Una vez que parte de las barras se terminan las barras restantes desarrollan el esfuerzo máximo.

Sección 3: Es un punto de inflexión. Las barras se extenderán a una distancia X3 más allá de la sección 3: X3 debe ser igual o mayor que la profundidad efectiva d, 12db ó 1/16 de la luz libre, el que sea mayor.

Por lo menos 1/3 del refuerzo total previsto para el momento negativo en el apoyo se extenderá a una distancia X3 más allá del punto de inflexión.

Secciones críticas para el refuerzo de momento positivo Sección 4: Localizada donde el momento máximo positivo y esfuerzos son máximos. Dos longitudes de desarrollo X1 y X2 tienen que ser chequeadas. La longitud X1 es la longitud de desarrollo ld especificada por la NSR-10 C.12.11. La longitud X2 es igual o mayor que la profundidad efectiva d, 12db.

Sección 5: Es donde parte de las barras de refuerzo positivo pueden ser cortadas. Para desarrollar la fuerza de tensión total, las barras deben extenderse a una distancia X2. Las barras restantes tendrán un esfuerzo máximo debido a la terminación de parte de las barras. En la cara de la sección de apoyo 1, por lo menos 1/4 del refuerzo de momento positivo en miembros continuos deben llevarse a lo largo de la misma cara del miembro en el apoyo, de acuerdo con la NSR-10 C.12.11.1. Para vigas simplemente apoyadas por lo menos 1/3 del refuerzo debe llevarse y anclarse en el apoyo.

Sección 6: Es en los límites de los puntos de inflexión; de acuerdo al capítulo C.12.11.3 de la NSR-10.

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Longitud de desarrollo para barras en compresión NSR-10 C.12.3 — Desarrollo de barras corrugadas y alambres corrugados a compresión C.12.3.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas y alambre a compresión, ldc , se debe calcular a partir de C.12.3.2 y de los factores de modificación de C.12.3.3, pero ldc no debe ser menor de 200 mm.

C.12.3.2 — Para las barras corrugadas y alambres corrugados, ldc debe tomarse como el mayor

 0, 24 fy   db y ( 0, 043 fy ) db , donde λ se toma como indica C.12.2.4 (d) y la constante λ f´ c  

entre  

0.043 tiene la unidad de mm2/N C.12.3.3 — Se permite multiplicar la longitud ldc en 12.3.2 por los siguientes factores: a) El refuerzo excede lo requerido por el análisis (As Requerido)/(As Proporcionado) b) El refuerzo está confinado por una espiral cuya barra tiene un diámetro no menor de 6 mm y no más que 100 mm de paso o dentro de estribos No. 13 de acuerdo con C.7.10.5, y espaciadas a distancias no mayores que 100 mm medidos entre centros …………………………................... 0.75 Nota:

ldc < ld Generalmente porque: • Es favorecido por el efecto de compresión en el apoyo.

• El debilitamiento producido por la generación de las grietas de tracción por flexión no afecta a las barras en compresión.

C.12.4 — Desarrollo de paquetes de barras C.12.4.1 — La longitud de desarrollo de cada barra individual dentro de un paquete de barras sometido a tracción o a comprensión, debe ser aquella de la barra individual aumentada un 20 por ciento para un paquete de 3 barras y en un 33 por ciento para un paquete de 4 barras.

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C.12.4.2 — Para determinar los valores adecuados de espaciamiento y recubrimiento en C.12.2.2, así como el parámetro de confinamiento en C.12.2.3 y el factor ψ e en C.12.2.4(b), un paquete de barras debe ser tratado como una sola barra de un diámetro derivado del área total equivalente y con un centroide que coincide con el del paquete de barras.

Otros C.12.6 — Desarrollo de las barras corrugadas con cabeza y ancladas mecánicamente en tracción.

C.12.7 — Desarrollo de refuerzo electrosoldado de alambre corrugado a tracción.

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20. GANCHOS ESTÁNDAR Un gancho se utiliza al final de una barra cuando su longitud de empotramiento recta es menor que la longitud de desarrollo en condición de barra recta requerida. El diámetro mínimo de curvatura, medida en el interior de la barra principal de un gancho estándar D es:

Figura 131

La distribución de esfuerzos para un gancho de 90° bajo una fuerza P se muestra en la siguiente figura:

Figura 132 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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NSR-10 CAPÍTULO C.7 — DETALLES DEL REFUERZO C.7.1 — Ganchos estándar El término “gancho estándar” se emplea en el Título C del Reglamento NSR-10 con uno de los siguientes significados: C.7.1.1 — Doblez de 180º más una extensión de 4db, pero no menor de 65 mm en el extremo libre de la barra.

C.7.1.2 — Doblez de 90º más una extensión de 12db en el extremo libre de la barra.

C.7.1.3 — Para estribos y ganchos de estribo (a) Barra No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) y menores, doblez de 90º más 6db de extensión en el extremo libre de la barra, ó (b) Barra No. 6 (3/4”) ó 20M (20 mm), No. 7 (7/8”) ó 22M (22 mm), y No. 8 (1”) ó 25M (25 mm), doblez de 90º más extensión de 12db en el extremo libre de la barra, ó (c) Barra No. 8 (1”) ó 25M (25 mm) y menor, doblez de 135º más extensión de 6db en el extremo libre de la barra.

C.7.1.4 — En los estribos de confinamiento requeridos en el Capítulo C.21 en estructuras de capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES), para construcción sismo resistente, deben emplearse ganchos sísmicos con un doblez de 135º o más, con una extensión de 6db pero no menor de 75 mm, que abraza el refuerzo longitudinal del elemento y se proyecta hacia el interior de la sección del elemento. En los ganchos suplementarios el doblez en los extremos debe ser un gancho sísmico de 135º, o más, con una extensión de 6db, pero no menor de 75 mm, y se permite que en uno de los extremos se utilice un gancho de 90º, o más, con una extensión de 6db.

Los ganchos sísmicos están definidos en C.2.2

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Los ganchos resisten a tracción por esfuerzos de adherencia en la superficie de la barra.

Figura 129

Ganchos estándar para anclaje a tracción El uso de ganchos estándar para anclaje a tracción: Los ganchos proporcionan un anclaje adicional cuando hay insuficiente longitud disponible para desarrollar una barra.

Nota: A los ganchos no se les permiten el refuerzo de compresión desarrollado.

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C.12.5 — Desarrollo de ganchos estándar en tracción C.12.5.1 — La longitud de desarrollo para barras corrugadas en tracción que terminen en un gancho estándar (véase C.7.1),  d h se debe calcular de C.12.5.2 y los factores de modificación de C.12.5.3, pero  d h no debe ser menor que el mayor de 8d b y 150 mm.

(

)

C.12.5.2 — Para las barras corrugadas,  d h debe ser 0, 24ψe fy / λ f´c db con ψ e igual a 0.75 para concreto con agregados livianos. Para otros casos, ψ e y λ deben tomarse igual a 1.0.

C.12.5.3 — La longitud  d h en C.12.5.2 se puede multiplicar por los siguientes factores cuando corresponda: a) Para ganchos de barras No. 36 y menores, con recubrimiento lateral (normal al plano del gancho) no menor de 65 mm, y para ganchos de 90º, con recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho no menor de 50 mm…….................................................................................0.7 b) Para ganchos de 90º de barras No. 36 y menores que se encuentran confinados por estribos perpendiculares

a la barra que se está desarrollando, espaciados a lo largo de  d h a no más de

3d b ; o bien, rodeado con estribos paralelos a la barra que se está desarrollando y espaciados a no más de 3d b a lo largo de la longitud de desarrollo del extremo del gancho más el doblez ....... 0.8 c) Para ganchos de 180º de barra No. 11 (1-3/8”) o 36M (36 mm) y menores que se encuentran confinados con estribos perpendiculares a la barra que se está desarrollando, espaciados a no más de 3d b a lo largo de  d h .......................................................................................................0.8 d) Cuando no se requiera específicamente anclaje o longitud de desarrollo para f y , y se dispone de una cuantía de refuerzo mayor a la requerida por análisis. ( As requerido) /( As proporcionado).

En C.12.5.3 (b) y C.12.5.3(c), db es el diámetro de la barra del gancho, y el primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho, a una distancia menor a 2db del borde externo del gancho.

C.12.5.4 — Para barras que son desarrolladas mediante un gancho estándar en extremos discontinuos de elementos con recubrimiento sobre el gancho de menos de 65 mm en ambos lados y en el borde superior (o inferior), la barra con el gancho se debe confinar con estribos, perpendicular a la barra en desarrollo, espaciados en no más de 3db a lo largo de  d h . El primer estribo debe confinar la parte doblada del gancho dentro de 2db del exterior del doblez, donde Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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db

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es el diámetro de la barra con gancho. En este caso, no deben aplicarse los factores de

C.12.5.3. (b) y (c).

C.12.5.5 — Los ganchos no deben considerarse efectivos para el desarrollo de barras en comprensión.

Figura 130

Diseño de ganchos estándar para anclaje a tracción Longitud de desarrollo para barras enganchadas,

ldh= ldh × Multiplicadores Cuando, ldh ≥ 8 d b y ldh ≥ 150 mm La longitud de desarrollo básica para barras enganchadas = ldh Cuando fy = 420 MPa

 0, 24ψ e fy  ldh =  d  λ f´c  b  

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Condiciones

Multiplicadores

Recubrimiento de concreto para ganchos de

0,7

180°

para

barras

N°

11

o

menores.

Recubrimiento Lateral ≥ 65 mm.

(Normal plano gancho)

Recubrimiento de concreto para ganchos de 90°

para

barras

N°

11

o

menores.

Recubrimiento Lateral ≥ 65 mm.

0,7

Recubrimiento en la extensión de la barra más allá del gancho.

Recubrimiento Extensión ≥ 50 mm.

Estribos

Para barras N° 11 o menores Gancho con estribos verticales u horizontales

0,8

espaciados a lo largo de ldh a una distancia no superior a 3db cuando db es diámetro de la barra enganchada.

No importa si es de 90° ó 180° Exceso de refuerzo Donde el anclaje o desarrollo para fy no se

( As requerido) / ( As suministrado)

especifica requerida.

EJEMPLO 19 Determinar la longitud de desarrollo requerido para las barras Nº8 superiores de la viga de voladizo que se une la columna, si las barras son rectas y con ganchos de 90º y 180º. Las barras están confinadas por estribos Nº3 espaciados a 150mm en toda la longitud de la viga en voladizo.

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• Barras rectas Verificación de las condiciones de recubrimiento del concreto.

Para barras de diámetro 1” db=25mm.

Recubrimiento libre = 70mm − 13mm = 57 mm > db

Separación libre entre barras:

b − 2 × recubrimiento N º espacios

− d= b

300mm − ( 2 × 70mm ) − 25mm = 28mm > db 3

Las barras están confinadas por estribos Nº3, por lo tanto se cumplen las condiciones de la ecuación.

ld fyψ tψ e = ( Para barras Nº8 ) db 1, 7×l f´c

(C.12.2.2)

Determinación factores

(C.12.2.4)

ψt = 1,3 Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300 mm de concreto ψe = 1,0 Refuerzo sin recubrimiento epóxico ld 420×1,3×1, 0 = = 70 db 1, 7×1× 21 ld = 25 mm = 1750 mm Por lo tanto 70× Verificación longitud de desarrollo de las barras en el voladizo.

ld + recubrimmiento lateral<1400mm 1750mm + 50mm < 1400mm No cumple • Barras con ganchos 90º

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lhb 0, 24× fy ×ψ e 0, 24× 420×1 = 22 = = db 1× 21 l f´c

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(C.12.5.2)

lhb = 22× 25 mm = 550 mm > 8db = 200mm Ninguna modificación aplica por lo tanto 550 ldh = mm

(C.12.5.3)

550 mm + 50 mm < 1400 mm → Cumple

Verificación longitud del gancho

12db + 3db + db ≤ 400mm − ( 2 × 70mm ) − 400mm ≤ 238mm

25mm 19mm − 2 2

No cumple, luego no es posible colocar el gancho de 90º en la viga.

• Barras con ganchos 180º

lhb 0, 24× fy ×ψ e 0, 24× 420×1 = = = 22 db l f´c 1× 21

(C.12.5.2)

lhb = 22× 25 mm = 550 mm > 8db = 200 mm Ninguna modificación aplica por lo tanto ldh = 550 mm

(C.12.5.3)

Verificación longitud del gancho

6db + db += db 200mm ≤ 238mm → cumple Se puede usar ganchos a 180° con un ldh =550 mm de los cuales 200mm deben ir en el gancho.

EJEMPLO 20 Determinar el anclaje de las barras en la columna de acuerdo a la figura. La columna forma parte de una estructura ubicada en una zona de amenaza sísmica alta y por lo tanto resiste cargas laterales.

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f´c = 21MPa fy = 420 MPa • Longitud de desarrollo básico para barras de gancho

ldh = lhb × factores y lhb ≥ 150mm donde lhb ≥ 8db lhb 0, 24 × fy ×ψ e 0, 24 × 420 ×1 = = = 22 (C.12.5.2) db λ f´c 1× 21 lhb =× 22 25mm = 550mm • Verificación recubrimiento concreto

Recubrimiento lateral: 50mm<65mm No cumple Recubrimiento gancho 50mm • Verificación de estribos

→ cumple usar factor = 0,8 (C.12.5.3) 70mm < 3d= 75mm b = 440mm l= 550mm × 0,8 dh Longitud anclaje disponible de la columna

lac = 400 − 50mm = 350mm Las barras Nº8 no alcanzan a desarrollar ldh dentro de la columna.

Como la viga hace parte de estructura ubicada en zona de amenaza sísmica alta y resiste cargas laterales, las barras Nº8 deben anclarse de tal forma que puedan desarrollar fy en la cara de los apoyos. Lo ideal en este caso es redimensionar los elementos estructurales o disminuir el diámetro de las barras longitudinales, pero en este caso es imposible por lo cual se plantea el siguiente procedimiento:

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ld db

fyψ tψ e 1, 7 × λ f´c

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( Para barras ≥ Nº 6 ) (C.12.2.2)

Factores (C.12.2.4)

ψ= 1,3 → Refuerzo colocado parte inferior viga con más de 300mm de concreto t ψ e =1,0 → Refuerzo sin recubrimiento epóxico ld 420 ×1,3 ×1, 0 = = 70 db 1, 7 ×1× 21 Entonces ld =× 70 25mm = 1750mm

πd = π ( 3db ) = π ( 3 × 25mm ) = 236mm

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21. PROCEDIMIENTO DE CORTE DEL ACERO DE REFUERZO Puntos de corte de barras ¿Por qué se deben ubicar puntos de corte para el acero de refuerzo? Por aspectos económicos.

Figura 133

Factores que afectan la localización de los puntos de corte del acero de refuerzo • Las barras no son necesarias para resistir las fuerzas de tracción o las barras restantes son adecuadas (determinado por los diagramas de cortante y momento).

• Las barras deben extenderse a cada lado de la sección para desarrollar fuerza de la barra en esa sección.

• Las mayores concentraciones de esfuerzo ocurren cuando las barras de tensión son cortadas en las regiones de cortante moderado a alto, esto conduce a la formación de fisuras.

• Los requisitos del código de construcción especificados (buenas prácticas).

• Las incertidumbres en las cargas (consideraciones sísmicas).

Mantener puntos de corte a un mínimo con el propósito de simplificar el diseño y construcción.

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Determinación de la ubicación de puntos de corte a flexión Dada una viga simplemente apoyada con una carga distribuida.

Figura 134

NRS-10 C.12.10 — Desarrollo del refuerzo de flexión — Generalidades C.12.10.3 — El refuerzo se debe extender más allá del punto en el que ya no es necesario para resistir flexión por una distancia igual a d ó 12db, la que sea mayor, excepto en los apoyos de vigas simplemente apoyadas y en el extremo libre de voladizos.

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Figura 135

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Procedimiento general - puntos de corte de barras • Determinar los puntos de corte teóricos de flexión y el diagrama de momentos.

• Extraer las barras para satisfacer los requerimientos de la NSR-10 (C.7.13, C.12.1, C.12.10, C.12.11 y C.12.12) • Diseñar estribos adicionales para los puntos donde las barras son cortadas en la zona de tensión a flexión (C.12.10.5) Reglas generales para el corte de barras Todas las barras Regla 1.

Las barras deben extender el largo de d o 12 db más allá de los puntos de corte a la flexión, excepto en los apoyos o los extremos de los voladizos (C.12.10.3).

Regla 2.

Las barras deben extenderse por lo menos ld desde el punto esfuerzo máximo de la barra o desde los puntos de corte de flexión de barras adyacentes (C.12.10.2 C.12.10.4 y C.12.12.2).

Barras – Momento positivo Regla 3.

Integridad estructural Soportes simples Por lo menos un tercio de la parte del refuerzo del momento positivo se debe extender 150 mm en los soportes (C.12.11.1).

Vigas interiores continuas con estribos cerrados Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo se debe extender 150 mm en el soporte (C.12.11.1 y C.7.13.2.3).

Al menos una cuarta parte del refuerzo de momento positivo debe ser continuo o se debe empalmar cerca del apoyo con un empalme a tensión clase A y en apoyos no continuos debe ser terminada con un gancho estándar. (C.7.13.2.3).

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Vigas continuas perimetrales Al menos una cuarta parte del refuerzo momento positivo requerido en el centro de la luz se hará continuo alrededor del perímetro de la losa y debe ser confinado por estribos cerrados o estribos con ganchos de 135 grados alrededor de barras superiores. La continuidad del refuerzo, puede ser proporcionada por el empalme de refuerzo inferior o cerca del apoyo con empalmes a tensión clase A (C.7.13.2.3).

Vigas que forman parte de un marco que es parte del sistema primario de resistencia a carga lateral del edificio Este refuerzo debe estar anclado para desarrollar la resistencia a la fluencia especificada fy, en la cara del soporte (C.12.11.2) Regla 4.

Los Estribos En el punto de momento positivo de inflexión y en los apoyos simples, el refuerzo de momento positivo debe satisfacer la siguiente ecuación (C.12.11.3). Un aumento del 30% en el valor de Mn/Vu se permitirá cuando los extremos de refuerzo están confinados por la reacción de compresión (generalmente cierto para soportes simples).

ld ≤

Mn + la Vu

Barras - Momento Negativo Regla 5.

El refuerzo de momento negativo debe estar anclado en o a través de columnas de soporte o de los miembros que dan apoyo a la viga ( C.12.12.1).

Regla 6.

Integridad Estructural Vigas Interiores Por lo menos un tercio del refuerzo de momento negativo se debe extender por el mayor de d, 12 db o (ln / 16) más allá del punto de inflexión de momento negativo (C.12.12.3).

Además de la regla satisfactoria anterior, una sexta parte del refuerzo de negativo que se precisa en el apoyo debe ser continuo en la mitad del tramo. Esto puede lograrse por medio de un empalme a tensión clase A en la mitad del tramo (C.7.13.2.2).

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Consideraciones adicionales Vigas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) (C.21.3.4) C.21.3.4.1. El ancho del elemento, bw, no debe ser menor que 200 mm.

C.21.3.4.2. La excentricidad respecto a la columna que le da apoyo no puede ser mayor que el 25% del ancho del apoyo medido en la dirección perpendicular a la dirección del eje longitudinal de la viga.

C.21.3.4.3. En cualquier sección de la viga el refuerzo superior e inferior no debe tener una cuantía, ρmin, inferior la que se obtiene con la ecuación C.10-3, ni debe exceder 0,025. Debe haber al menos dos barras continuas con diámetro igual o superior a Nº 4 (1/2”) ó 12M (12 mm), tanto arriba como abajo.

C.21.3.4.4. La resistencia a momento positivo en la cara del nudo no debe ser menor que un tercio de la resistencia a momento negativo proporcionada en esa misma cara del nudo. La resistencia a momento negativo o positivo, en cualquier sección a lo largo de la longitud del elemento, no debe ser menor de un quinto de la resistencia máxima a momento proporcionada en la cara de cualquiera de los nudos.

C.21.3.4.5. No se permiten empalmes por traslapo dentro de los nudos.

Diagramas de momento de resistencia La resistencia de una viga es una función de su profundidad, d, ancho, b, y el área de acero, As. Es una práctica común cortar las barras de acero donde ya no son necesarias para resistir los esfuerzos de flexión. En vigas continuas de momento positivo las barras de acero pueden ser dobladas por lo general a 45 °, para proporcionar un refuerzo a la tracción de los momentos negativos sobre el soporte. La capacidad de momento nominal de una viga de hormigón sub-reforzado es:

a  Mn As × fy  d −  = 2  Donde

a=

As × fy 0,85 f´c × b

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La resistencia al momento último de una barra, Mnb es:

a  Mnb =Abs × fy  d −  2  Donde

Abs es el área de la barra.

La intersección de las líneas de momento de resistencia con el diagrama de momentos de flexión generado por cargas externas indica los puntos teóricos donde cada barra puede ser terminada.

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22. EMPALME DE BARRAS ¿Por qué necesitamos los empalmes de barras? Para tramos largos cuando los diámetros comerciales no permiten cubrir estas distancias en un solo tramo.

Tipos de empalmes • Empalmado y soldado (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia).

• Conectores mecánicos, (debe desarrollar 125% de la resistencia a la fluencia).

• Unión de empalmes.

Empalme de traslapo a tensión Tipos de empalmes • Empalme con contacto.

• Empalme sin contacto.

Distancia ≤ 150 mm.

Distancia ≤ Longitud del empalme.

La longitud de empalme es la distancia que las dos barras se superponen.

NRS-10 C.12.15 — Empalmes de alambres y barras corrugadas a tracción.

C.12.15.1 — La longitud mínima del empalme por traslapo en tracción debe ser la requerida para empalmes por traslapo Clases A o B, pero no menor que 300 mm, donde: Empalme por traslapo Clase A

1, 0 ld

Empalme por traslapo Clase B

1,3 ld

Donde ld se calcula de acuerdo con C.12.2 para desarrollar fy, pero sin los 300 mm mínimos de C.12.2.1 y sin el factor de modificación de C.12.2.5.

C.12.15.2 — Los empalmes por traslapo de alambres y barras corrugadas sometidas a tracción deben ser empalmes por traslapo Clase B, excepto que se admiten empalmes por traslapo de Clase A cuando: (a) el área de refuerzo proporcionada es al menos el doble que la requerido por análisis a todo lo largo del empalme por traslapo y (b) la mitad, o menos, del refuerzo total está empalmado dentro de la longitud de empalme por traslapo requerido.

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C.12.15.3 — Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en tracción, la longitud del empalme por traslapo debe ser el mayor valor entre el ld de la barra de mayor tamaño y el valor de la longitud del empalme en tracción de la barra de diámetro menor.

C.12.15.4 — Los empalmes soldados o mecánicos utilizados donde el área de refuerzo proporcionada es menor del doble de la requerida por el análisis, deben cumplir con los requisitos de C.12.14.3.2 o de C.12.14.3.4.

C.12.15.5 — Los empalmes soldados o mecánicos que no cumplen con los requisitos de C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4 se permiten para barras No. 5 (5/8”) ó 16M (16 mm) o menores si cumplen con C.12.15.5.1. a C.12.15.5.3: C.12.15.5.1 — Los empalmes deben estar escalonados cuando menos 600 mm.

C.12.15.5.2 — Al calcular las fuerzas de tracción que pueden ser desarrolladas en cada sección, el esfuerzo en el refuerzo empalmado debe tomarse como la resistencia especificada del empalme, pero no mayor que fy. El esfuerzo en el refuerzo no empalmado debe tomarse como fy veces la relación entre la menor longitud anclada más allá de la sección y ld , pero no mayor que fy.

C.12.15.5.3 — La fuerza de tracción total que puede ser desarrollada en cada sección debe ser de al menos el doble que la requerida por el análisis, y al menos 140 MPa veces el área total del refuerzo proporcionado.

C.12.15.6 — Los empalmes en elementos de amarre en tracción se deben hacer con un empalme

soldado

o mecánico completo, de acuerdo con C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4, y los

empalmes en las barras adyacentes deben estar escalonados por lo menos a 750 mm.

As, Prop/ As Req ≥ 2,0

< 2,0

% As Empalmado

Clase De Empalme

Traslapo Requerido

Notas

≤ 50

A

ld

Deseable

>50

B

1.3ld

OK

≤ 50

B

1.3ld

OK

>50

B

1.3ld

Evitar

Donde:

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As ,req Determinado para flexión

ld

El desarrollo de la longitud de las barras (no se permite utilizar el exceso de factor de modificación de refuerzo), ld debe ser mayor que o igual a 300 mm.

• Los empalmes traslapados no se utilizarán para las barras mayores que N º 11.

• Los empalmes traslapados deben ser colocados fuera de las regiones de altos esfuerzos de tracción, localizar cerca de los puntos de inflexión.

C.12.16 — Empalmes de barras corrugadas a compresión C.12.16.1 — La longitud de un empalme por traslapo en compresión debe ser de 0.071f y db , para fy igual a 420 MPa o menor, o (0.13f y − 24)db para fy mayor que 420 MPa, pero no debe ser menor que 300 mm. Para f’c menor que 21 MPa, la longitud del empalme por traslapo debe incrementarse en 1/3.

C.12.16.2 — Cuando se empalman por traslapo barras de diferente diámetro en compresión, la longitud del empalme por traslapo debe ser la mayor de ldc de la barra de tamaño mayor, o la longitud del empalme en compresión por traslapo de la barra de diámetro menor. Se permite empalmar por traslapo barras No. 14 (1-3/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) con barras de diámetro N° 36 y menores.

C.12.16.3 — Los empalmes soldados o mecánicos usados en compresión deben cumplir con los requisitos de C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4.

C.12.16.4 — Empalmes a tope C.12.16.4.1 — En las barras que se requieren sólo para compresión, se permite transmitir el esfuerzo de compresión por apoyo directo a través de cortes a escuadra, mantenidos en contacto concéntrico por medio de un dispositivo adecuado.

C.12.16.4.2 — Los extremos de las barras deben terminar en superficies planas que formen un ángulo recto con el eje de la barra, con una tolerancia de 1.5º, y deben ser ajustadas con una tolerancia de 3º respecto al apoyo completo después del ensamble.

C.12.16.4.3 — Los empalmes de tope se deben usar únicamente en elementos que tengan estribos cerrados o espirales.

C.12.17 — Requisitos especiales de empalmes en columnas Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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C.12.17.1 — Los empalmes por traslapo, empalmes mecánicos, empalmes soldados a tope, conexiones mecánicas, o empalmes de tope deben usarse, con las limitaciones de C.12.17.2 a C.12.17.4. Los empalmes deben satisfacer los requisitos para todas las combinaciones de carga de la columna.

C.12.17.2 — Empalmes por traslapo en columnas C.12.17.2.1 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es de compresión, los empalmes por traslapo deben cumplir con C.12.16.1, C.12.16.2, y cuando sea aplicable C.12.17.2.4 o C.12.17.2.5.

C.12.17.2.2 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es de tracción, y no excede y 0.5f y en tracción, los empalmes por traslapo por tracción deben ser Clase B si más de la mitad de las barras se empalman en cualquier sección, o empalmes por traslapo por tracción de Clase A si la mitad o menos de las barras están empalmadas por traslapo en cualquier sección, y los empalmes por traslapo tomados alternadamente están escalonados una distancia ld .

C.12.17.2.3 — Cuando el esfuerzo en las barras debido a las cargas mayoradas es mayor que y

0.5f y en tracción, los empalmes por traslapo por tracción deben ser Clase B. C.12.17.2.4 — En elementos sometidos a compresión en que los estribos a lo largo de toda la longitud del empalme por traslapo tengan un área efectiva no menor que 0.0015hs , en ambas direcciones, se permite multiplicar la longitud del empalme por traslapo por 0.83, pero la longitud del empalme por traslapo no debe ser menor que 300 mm. Las ramas del estribo perpendiculares a la dimensión h deben usarse para determinar el área efectiva.

C.12.17.2.5 — En elementos sometidos a compresión con espirales, se permite multiplicar la longitud del empalme por traslapo de las barras dentro de la espiral por 0.75, pero dicha longitud no debe ser menor de 300 mm.

C.12.17.3 — Empalmes soldados o mecánicos en columnas Los empalmes soldados o mecánicos en columnas deben cumplir con los requisitos de C.12.14.3.2 ó C.12.14.3.4.

C.12.17.4 — Empalmes a tope en columnas.

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Se permite usar empalmes a tope que cumplan con C.12.16.4 para barras de columnas sometidas a esfuerzos de compresión con la condición de que los empalmes estén escalonados o que se especifiquen barras adicionales en las zonas de empalme. Las barras que continúan en cada cara de la columna deben tener una resistencia a la tracción, basada en fy, no menor que y 0.25f y veces el área del refuerzo vertical en esa cara.

Esfuerzo De Tensión De Barras

% Empalme

Empalme A

fs En Compresión

fs + ≤ fy / 2

fs + > fy / 2

Clase De Empalme

Compresión >50 ≤ 50

Tracción B Tracción A (Escalonadas por ld) Tracción B

EJEMPLO 21 Para la viga simplemente apoyada mostrada en la figura. Determine la localización de los puntos de corte de barras. No considerar el peso de la viga.

f´c = 21MPa fy = 420 MPa

Diagrama de momentos.

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Determinar la ubicación del eje neutro para el momento máximo

× fy 0,85 f´c × a × b = ⇒a As= 4 × 510mm ) × 420 MPa (=

As × fy 0,85 f´c × b

2

a

0,85 × 21MPa × 350mm a 137 mm = = 161mm c = β1 0,85

137 mm

c 161mm φ 0,9 = = 0,374 ≤ 0,375 →= d 430mm

Determinar momento nominal máximo que resiste la viga.

a 0,137    Mn =As × fy  d −  =( 4 × 510 ×10−6 ) × 420000  0, 43 −  2 2    Mn 309, 73KN − m = Verificación capacidad viga

Mu= φ Mn= 0,9 ( 309, 73KN − m= ) 279 KN − m ≥ 275KN − m → OK Determinar el momento último de una barra Nº8.

0,137  a   Mubarra = φ As × fy  d −  = 0,9 × ( 510 ×10−6 ) ( 420000 )  0, 43 −  KN − m 2 2    ubarra 70 KN − m M= Por lo tanto tenemos Mu (1 barra) = 70 KN-m

Mu (2 barras) = 139,5 KN-m

Mu (3 barras) = 209,25 KN-m

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Mu (4 barras) = 279 KN-m

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Determinar longitud de desarrollo

ld db

fyψ tψ e ( Para barras ≥ Nº 6 ) (C.12.2.2) 1, 7 × λ f´c

Determinación factores (C.12.2.4)

ψ=t 1, 0 → Refuerzo colocado parte inferior viga sin más de 300mm de concreto. → Refuerzo sin recubrimiento epóxico. ψ e = 1,0 ld 420 ×1, 0 ×1, 0 = = 54 db 1, 7 21 54 × 25mm = 1350mm Por lo tanto ld = Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 3Nº8.

• Extremo izquierdo

M ( x ) =Mo + m ( x − 1,5) 275 − 160 = m = 57,5 2

∴ Mo =160

Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia se cortarían teóricamente las barras en el extremo izquierdo.

M ( x) = 160 + 57,5 ( x − 1,5) 209,25 − 160 = x = + 1,5 2,36m 57,5 • Extremo derecho

M ( x) = 275 + 57,5 ( x − 3,5) Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Ahora se iguala el momento que soportan 3 barrasN°8 con esta ecuación para saber a que distancia se cortarían teóricamente las barras en el extremo derecho.

209,25 = 275 − 57,5 ( x − 3,5) 209,25 − 275 = x = + 3,5 4,64m −57,5 Puntos de corte de la primera barra La mayor entre d y 12db  la = 430mm Extremo izquierdo  2,36m − 0, 43m = 1,93m Extremo derecho 

4, 64m + 0, 43m = 5, 07 m

5,07-1,93=3,14 esta es la longitud de la barra cortada y tiene que ser mayor que 2ld=2700 mm por lo que cumple Determinar punto en el diagrama de momentos correspondiente al momento aportado por 2Nº8.

M ( x) = m ( x) = m

160 − 0 = 106, 7 1,5

M ( x ) = 106, 7 ( x ) • Extremo izquierdo

139,35 = 106, 7 ( x = ) → x 1,31m • Extremo derecho

139,35= 160 − 106, 7 ( x − 5,5 ) → x= 5, 69m Puntos de corte de la segunda barra Extremo izquierdo  1,31m − 0, 43m = 0,88m Extremo derecho  5, 69m + 0, 43m = 6,12m Verificación corte de varillas consecutivas

2,36 − 0,88 ≥ ld ⇒ 1, 48 ≥ ld= 1,35 → OK 6,12 − 4, 64 ≥ ld ⇒ 1, 48 ≥ ld= 1,35 → OK

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Según el C.12.11.1 al menos 1/3 del refuerzo para el momento positivo en elementos simplemente apoyados debe extenderse dentro del apoyo. Por lo tanto no se pueden efectuar más cortes, las restantes 2Nº8 deben llevarse a los apoyos.

Verificación empotramiento de los apoyos

ld ≤

1,3 × Mn 1,3 ×139,35 1, 69 (C.12.11.3) + la ⇒ +0= Vu 107,5

Lo anterior se cumple

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23. COLUMNAS Análisis y diseño de columnas cortas Columna corta • Miembro estructural vertical.

• Transmite cargas de compresión axial con o sin momento.

• Transmite cargas de pisos y techos a la cimentación.

Espiral

Estribos Figura 136

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Configuración del refuerzo transversal: • Estribos Aproximadamente el 95% de todas las columnas de los edificios poseen una configuración del refuerzo en estribos. La esencia de la presencia de estribos en columnas es para restringir los efectos de pandeo localizado en las barras longitudinales y así

proporcionar

confinamiento al núcleo • Espiral Recientes investigaciones han mostrado la bondad de este tipo de refuerzo transversal en columnas, conformando un elemento más dúctil y menos propenso a sufrir pandeo local de barras longitudinales durante eventos sísmicos.

Comportamiento elástico de columnas Un análisis elástico utilizando el método de sección transformada sería: Para carga concentrada, P

fc =

P l Ac + nAst

Esfuerzo uniforme sobre la sección

fs = nfc

n = Es / Ec

Ac

Área del concreto

As

Área del acero

El cambio en la deformación del concreto con respecto al tiempo afecta y afectará los esfuerzos en el concreto y en el acero como se muestra en la siguiente figura: Esfuerzo en el concreto

Figura 137

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Esfuerzo en el acero

Figura 138

Un análisis elástico en columnas no funciona pues los efectos de deformación y retracción afectan la deformación en el concreto como se muestra en la siguiente figura:

Figura 139

Dentro del comportamiento elástico hay que tener en cuenta la deformación y la retracción de fraguado del concreto, por lo tanto es imposible calcular las deformaciones en el acero y en el concreto utilizando un análisis elástico.

Por lo tanto, no es posible calcular las deformaciones reales en una columna de concreto reforzado para todas las cargas que actúan a través del tiempo. Como resultado, el método de esfuerzos admisibles, procedimiento fundamentado en un análisis elástico se encontró que era inaceptable. Las columnas de hormigón armado han sido diseñadas por el método de resistencia desde 1940.

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Comportamiento, capacidad nominal y de diseño bajo cargas axiales concéntricas • Comportamiento inicial hasta la carga nominal – Columnas con estribos y con espiral.

Figura 140

Figura 141

P = 0,85 f´c × ( Ag − Ast ) + Ast fy 0 Ag = bh

Área bruta.

Ast

Área longitudinal del acero.

f´c

Resistencia a la compresión de concreto.

fy

Resistencia a la fluencia del acero.

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0,85

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Factor que depende de las condiciones de curado consolidación de la columna.

• Máxima Capacidad Nominal Para Diseño

Pn( max ) = rP0

r

Factor de reducción que tiene en cuenta efectos accidentales por flexión.

r = 0, 75

Estribos

r = 0,8

Espiral

C.10.3.6.1

• Requerimientos para el acero longitudinal, Ast

ρg =

Ast Ag

NRS-10 C.10.9 — Límites del refuerzo de elementos a compresión (columnas) C.10.9.1 — El área de refuerzo longitudinal, Ast , para elementos no compuestos a compresión no debe ser menor que 0, 01Ag ni mayor que 0, 04 Ag . Para estructuras con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) y especial (DES) en el Capítulo C.21 se restringe el área máxima admisible.

0, 01 ≤ ρg ≤ 0, 04 C.10.9.2 — El número mínimo de barras longitudinales en elementos sometidos a compresión debe ser de 4 para barras dentro de estribos circulares o rectangulares, 3 para barras dentro de estribos triangulares y 6 para barras rodeadas por espirales, que cumplan con C.10.9.3.

C.10.9.3 — La cuantía volumétrica del refuerzo en espiral, ρ s , no debe ser menor que el valor dado por:

 A  f´c = ρ s 0, 45  g − 1  Ach  f yt Donde el valor de f yt a usar en la ecuación (C.10-5) no debe ser mayor de 700 MPa. Para f yt mayor de 420 MPa, no deben usarse empalmes por traslapo de acuerdo con C.7.10.4.5(a).

Requerimientos de refuerzo para estribos laterales C.7.10.5 — Estribos Los estribos para elementos sometidos a compresión deben cumplir con lo siguiente: C.7.10.5.1 — Todas las barras no preesforzadas deben estar confinadas por medio de estribos transversales de por lo menos diámetro No. 3 (3/8”) ó 10M (10 mm), para barras longitudinales No. 10 (1-1/4”) ó 32M (32 mm) o menores; y diámetro No. 4 (1/2”) ó 12M Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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(12 mm) como mínimo, para barras longitudinales No. 11 (1-3/8”) ó 36M (36 mm), No. 14 (13/4”) ó 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4”) ó 55M (55 mm) y paquetes de barras. En estructuras de capacidad de disipación de energía mínima (DMI) se permiten estribos de barra Nº 2 (1/4") ó 6M(6 mm) cuando las columnas soportan únicamente uno o dos pisos.

C.7.10.5.2 — El espaciamiento vertical de los estribos no debe exceder 16 diámetros de barra longitudinal, 48 diámetros de barra o alambre de los estribos, o la menor dimensión del elemento sometido a compresión.

C.7.10.5.3 — Los estribos deben disponerse de tal forma que cada barra longitudinal de esquina y barra alterna tenga apoyo lateral proporcionado por la esquina de un estribo con un ángulo interior no mayor de 135º, y ninguna barra longitudinal debe estar separada a más de 150 mm libres de una barra apoyada lateralmente. Cuando las barras longitudinales estén localizadas alrededor del perímetro de un círculo, se permite el uso de un estribo circular completo.

C.21.3.5. Columnas con capacidad moderada de disipación de energía (DMO) C.21.3.5.1. La dimensión menor de la sección transversal, medida en una línea recta que pasa a través del centroide geométrico, no debe ser menor de 250 mm. Las columnas en forma de T, C o I pueden tener una dimensión mínima de 0,20 m pero su área no puede ser menor de 0,0625 m².

C.21.3.5.2. El área de refuerzo longitudinal, Ast, no debe ser menor que 0,01Ag ni mayor que 0,04Ag. C.21.3.5.3. Los empalmes mecánicos deben cumplir C.21.1.6 y los empalmes soldados deben cumplir C.21.1.7. Los empalmes por traslapo se permiten únicamente en la mitad central de la longitud del elemento y deben diseñarse como empalmes en tracción.

C.21.3.5.6. En ambos extremos del elemento debe proporcionarse estribos cerrados de confinamiento con un espaciamiento de S0 por una longitud L0, medida desde la cara del nudo.

El espaciamiento S0 no debe exceder el menor de (a), (b), (c) y (d): (a) Ocho veces el diámetro de la barra longitudinal confinada de menor diámetro. (b) 16 veces el diámetro de la barra del estribo cerrado de confinamiento. (c) Un tercio de la menor dimensión de la sección transversal de la columna. (d) 150 mm.

La longitud L0, no debe ser menor que la mayor entre (e), (f) y (g): (e) Una sexta parte de la luz libre de la columna. (f) La mayor dimensión de la sección transversal de la columna. (g) 500 mm.

C.21.3.5.7. El área total de la sección transversal del refuerzo de estribos cerrados de confinamiento rectangulares, Ash, colocados en la longitud L0 no debe ser menor que la requerida por las ecuaciones (C.21-2) y (C.21-3).

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Ash = 0, 20 ×

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 sbc f´c  Ag − 1  f yt  Ach  ó

Ash = 0, 06

sbc f´c f yt

C.21.3.5.10. El primer estribo cerrado de confinamiento debe estar situado a no más de S0/2 de la cara del nudo. Este requisito establece que el primer estribo debe ubicarse a una distancia, medida desde la cara del nudo, igual a S0/2 = 0,035 m en columnas o 0,05 m en vigas.

C.21.3.5.11. Fuera de la longitud L0, deben colocarse estribos de confinamiento con la misma disposición, diámetro de barra y resistencia a la fluencia, fyt, con un espaciamiento centro a centro que no debe ser mayor que 2 veces el espaciamiento utilizado en la longitud L0.

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Ejemplos de configuraciones de estribos en columnas

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Figura 142 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Requerimientos de refuerzo para estribos en espiral NSR-10 C.7.10 — Refuerzo transversal para elementos a compresión C.7.10.4 — Espirales El refuerzo en espiral para elementos a compresión debe cumplir con C.10.9.3 y lo siguiente: C.7.10.4.1 — Las espirales deben consistir en barras o alambres continuos espaciados uniformemente,

con

un tamaño y disposición que permitan su manejo y colocación sin

distorsión de las dimensiones de diseño.

C.7.10.4.2 — Para elementos construidos en obra, el diámetro de barra utilizada en espirales no debe ser menor de 10 mm.

C.7.10.4.3 — El espaciamiento libre entre hélices de la espiral no debe exceder de 75 mm ni ser menor de 25 mm. Véase también C.3.3.2.

C.7.10.4.4 — El anclaje de la espiral debe consistir en 1.5 vueltas adicionales de la barra o alambre en cada extremo de la espiral.

Relación del refuerzo en espiral, ρ s

Figura 143 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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ρs =

ρs =

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Volumen del Espiral 4 Asp = Volumen del Núcleo Dc s Asp π Dc 1 4 π Dc2 s  Ag   f´c  − 1 ×     Ac   f yt 

ρs= 0, 45 ×  Donde

Asp =

Ac =

Área de sección transversal del refuerzo en espiral

π Dc2 4

=

Área central

Dc =

Diámetro central. Borde exterior al borde exterior de la espiral.

s=

Espaciamiento del acero en espiral (centro a centro)

f yt =

Resistencia a la fluencia del acero en espiral (≤ 420 MPa)

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24. DISEÑO DE COLUMNAS PARA CARGAS AXIALES CONCÉNTRICAS Requerimientos de resistencia general NRS-10 C.9.3 — Resistencia de diseño C.9.3.1 — La resistencia de diseño proporcionada

por un elemento, sus conexiones con

otros elementos, así como sus secciones transversales, en términos de flexión, carga axial, cortante y torsión, deben tomarse como la resistencia nominal calculada de acuerdo con los requisitos y suposiciones del Título C del Reglamento NSR-10, multiplicada por los factores

φ de reducción de resistencia dados en C.9.3.2, C.9.3.4. y C.9.3.5.

C.9.3.2 — El factor de reducción de resistencia, φ , debe ser el dado en C.9.3.2.1 a C.9.3.2.7.

C.9.3.2.1 — Secciones controladas por tracción como se define en 10.3.4…...…0.90 (Véase también C.9.3.2.7).

C.9.3.2.2 — Secciones controladas por compresión como se definen en C.10.3.3: (a)

Elementos con refuerzo en espiral según C.10.9.3…………….…………..0.75

(b)

Otros elementos reforzados. …………………………………………….….0.65

Para las secciones en las que la deformación unitaria neta a la tracción en el acero extremo en tracción en el estado de resistencia nominal, ε t , se encuentra entre los límites para secciones controladas por compresión y las secciones controladas por tracción, se permite que φ aumente linealmente desde el valor correspondiente a las secciones controladas por compresión hasta 0.90, en la medida que ε t aumente desde el límite de deformación unitaria controlado por compresión hasta 0.005.

En forma alternativa, cuando se usa el Apéndice C-B, para elementos en los cuales fy no exceda 420 MPa, con refuerzo simétrico, y cuando (d - d´ )/ h

no es menor de 0,70, se

permite aumentar φ linealmente hasta 0.90, en la medida que φ Pn disminuye desde

0,10 f´cAg hasta cero. Para otros elementos reforzados φ puede incrementarse linealmente a 0.90 en la medida que φ Pn disminuye desde 0,10 f´cAg ó φ Pn , el que sea menor, hasta cero.

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Expresiones para el diseño de columnas

ρg =

Ast Ag

0,01 ≤ ρg ≤ 0, 04

= φ Pn φ r  Ag ( 0,85 f´c ) + Ast ( fy − 0,85 f´c )  ≥ Pu        Acero  Concreto  = φ Pn φ r Ag 0,85 f´c + ρ g ( fy − 0,85 f´c )  ≥ Pu Cuando ρ g es conocido o asumido:

Ag ≥

Pu

φ r 0,85 f´c + ρ g ( fy − 0,85 f´c ) 

Cuando Ag es conocido o asumido:

Ast ≥

 Pu  1 − Ag ( 0,85 f´c )   ( fy − 0,85 f´c )  φ r 

EJEMPLO 22 Diseño de columna corta para carga axial concéntrica.

= = = Pdl 750 KN ; Pll 1500 KN ; Pw 300 KN = = f´c 28 MPa fy 420 MPa Diseñar una columna cuadrada con ρ g = 0, 03 y seleccionar el refuerzo longitudinal transversal.

Determinar la carga

= + 1 , 6 Pll Pu 1, 2 Pdl Pu =1, 2 × 750 1 KN + , 6 ×1500 KN Pu = 3300 KN

Pu = 1, 2 Pdl + 1 , 0 Pll + 1 , 6 Pw

Pu =1, 2 ( 750 1 KN ) + , 0 (1500 1 KN ) + , 6 ( 300 KN ) Pu = 2880 KN Chequear la compresión o tensión en la columna

= Pu 0,9 Pdl − 1, 6 Pw

Pu = ( 0,9 × 750 KN ) − (1, 6 × 300 KN )

Pu = 1 95 KN Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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= r 0,= 75; φ 0, 65 = y ρ g 0, 03 Para una columna cuadrada Ag ≥

Pu

φ r ( 0,85 f´c + 0,85 ρ g ( fy − f´c ) )

Ag ≥ 1 89689 mm 2 Ag = b 2 ⇒ b = 435 mm ⇒ b = 450 mm Para una columna cuadrada= 0,03 ( 450mm = As ρ= ) 6075 mm2 g Ag 2

Ast ≥

 Pu  1 − 0,85 f´c × Ag   ( fy − 0,85 f´c )  φ r 

Ast ≥ 4922 mm 2

(

)

Usar 8 #9; Ast = 8 × 645mm 2 = 5160mm 2 Chequear Po

= P0 0 ,85 f´c ( Ag − Ast ) + Ast fy P0 = KN 6864

φ Pn = φ rP0 = 0,65 × 0,75 × 6864 KN φ Pn 3346 KN > 3300 KN OK = Usar estribo #3 y calcular el espaciamiento

s=

b − # db − 2 ( recubrimiento + d estribo ) ( # barras − 1)

450mm − 3(29mm) − 2 ( 40mm + 10mm ) 2 = s 132mm < 150mm OK s=

Diseño del estribo

 1 6 db 16 = = ( 29mm ) 464mm    480mm  s → espaciamiento estribos s ≤  48d estribo = 48 (10mm ) =  menor b ó d = 450mm    Usar estribo #3 con 450mm de espaciamiento en la columna.

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25. DIAGRAMA DE INTERACCIÓN Comportamiento bajo cargas combinadas de flexión y axial Generalmente el momento está representado por la carga axial de excentricidad

Figura 144

La interacción entre el diagrama de carga axial y el momento (envolvente de falla).

Figura 145

Nota: Cualquier combinación de P y M fuera de la envolvente provocará la falla.

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Diagrama de interacción de carga axial y el momento.

Figura 146

Fuerzas de acción resultante en el centroide (h / 2 en este caso)

Pn = Cs1 + Cc − Ts2    La comprensión es positiva

Momento en el centro geométrico

h h  h a  Mn = Cs1 ×  − d1  + Cc ×  −  + Ts2 ×  d 2 −  2 2  2 2  Columnas en tracción pura La sección está completamente agrietada (sin capacidad axial de resistencia en el concreto).

Deformación uniforme ≥

−εy

N

Pn(Tracción ) = ∑ − As × fy i =1

i

Columnas Factor de reducción de resistencia , φ , NSR-10

φ = 0,9

• Tracción axial, y tracción axial con flexión.

• Compresión axial y compresión axial con flexión.

Miembros con refuerzo en espiral

φ = 0,75

Otros miembros reforzados

φ = 0,65

Excepto para valores bajos de compresión axial, φ puede ser aumentado de la siguiente manera: Cuando fy ≤ 420 MPa y el refuerzo es simétrico y

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( h − d ′ − ds ) > 0,70 h

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d s Distancia desde la fibra de tracción extrema al centroide del refuerzo a tracción.

Entonces φ puede aumentar linealmente hasta 0,9 φ Pn decrece de 0,10 f´c a cero.

Figura 147

Diseño de columnas para carga combinada de flexión y axial (columna corta) Seleccionar la sección transversal y el refuerzo para resistir la carga axial y momento.

Tipos de columnas • Columna reforzada con espiral - Más eficiente para e/h <0,1 , pero más costosa la formación y la espiral.

• Columna reforzada con estribos – Barras en cuatro caras usadas cuando e/h < 0,2 y para flexión biaxial Procedimiento General El diagrama de interacción para una columna se construye utilizando una serie de valores para Pn y Mn. El gráfico muestra la envolvente fuera del problema.

Procedimiento general para la construcción de diagramas de interacción • Calcular P0 y determinar el máximo Pu en compresión.

• Seleccione un valor de c.

• Calcular el esfuerzo en los componentes de acero.

Calcular las fuerzas en el acero y el concreto, CC, CS1 y Ts. Determinar el valor Pu. Calcular el Mu alrededor del centro.

Calcular el brazo del momento, e = Mn / Pn • Repetir con una serie de valores de c.

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• Obtener el valor de máxima tensión.

• Graficar Pu versus Mu • Determinar φ Pn y φ Mn Encontrar el nivel de compresión máxima.

Tener presente que el valor de φ variará linealmente desde 0,65 hasta 0,9 para los valores de deformación, para el caso de columnas con estribos.

El componente de la tensión será φ = 0,9

EJEMPLO 23 Considerar una columna cuadrada (500mm x 500mm) con 8 barras #10 y f´c = 28MPa y

fy = 420 MPa . Se especifica una distancia desde la cara externa de la columna al eje del refuerzo longitudinal de 66 mm. Dibujar el diagrama de interacción.

La deformación última del concreto ε cu y el acero ε y :

ε cu = 0, 003 ε= y

420 fs = = 0, 0021 E y 200000

Se hallan las áreas del acero Ast y de la sección Ag :

Ast = 8 × 819mm = 6552mm 2 = Ag

500mm ) (= 2

250000mm 2

Carga P0 :

= P0 0,85 f´c ( Ag − Ast ) + fyAst 0,85 × 28MPa × ( 250000 − 6552 ) mm 2 + 420 MPa × 6552mm 2 P0 = P0 = 8546 KN

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Columna con estribos r = 0.75, en espiral r = 0.8, Carga nominal Pn:

= Pn rP = 0, 75 × 8546 KN 0 Pn = 6409, 4 KN Determinar la localización del punto de balance cb , este se puede encontrar usando semejanza de triángulos.

cb 434mm = 0, 003 0, 003 + 0, 0021  0, 003  = ⇒ cb   × 434mm  0, 0051  cb = 255,3mm Determinar el esfuerzo del acero

 cb − 66mm   255,3mm − 66mm  = ε S 1 =  ε cu   × 0, 003 cb 256,8mm     ε S 1 = 0, 00222  cb − 250mm   255,3mm − 250mm  = ε S 2 =  ε cu   × 0, 003 cb 255,3mm     ε S 2 = 0, 00006  434mm − cb   434 − 255,3mm  = ε S 3 =  ε cu   × 0, 003 cb  255,3mm    ε S 3 = 0, 00210

200000 MPa × 0, 00222 f S 1 E= = S ε S1 f S 1 = 444 MPa ⇒ 420 MPa → compresión 200000 MPa × 0, 00006 f S 2 E= = Sε S 2 f S 2 12, 46 MPa = → compresión 200000 MPa × 0, 00210 f S 3 E= = Sε S 3 f S 3 420 MPa → tensión = Calcular las fuerzas en la columna

C= 0,85 f´c × b × β1 ×= c 0,85 × 28MPa × 500mm × 0,85 × 255,3mm C

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CC 2582, 4 KN → compresión =

CS 1 = AS 1 ( f S 1 − 0,85 f´c ) = 3 × 819mm 2 ( 420 MPa − 0,85 × 28MPa )

CS 1 973,5 KN → compresión =

CS 2 = AS 2 ( f S 2 − 0,85 f´c ) = 2 × 819mm 2 (12, 46 MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 2 = −18,58 KN → compresión

TS 3 = AS 3 f S 3 = 3 × 819mm 2 × 420 MPa TS 3 1031,88 KN → tensión = Pn = 2582, 4 KN + 973,5 KN − 18,58 KN − 1031,88 KN Pn = 2505, 44 KN Calcular el momento cerca del centro

h h a h   M= CC  −  + CS 1  − d1  + TS 3  d3 −  2 2 2 2    500mm 0,85 × 255,3mm   500mm  M= 2582, 4 KN  − − 66mm   + 973,5KN  2  2   2  500mm   + 1031,88KN  434mm −  2   M 365, 4 KN − m + 179,1KN − m + 189,9 KN − m = M 734, 4 KN − m = Un solo punto del diagrama de interacción (2505,44KN, 734,4KN-m). La excentricidad del punto está definida como

= e

M 734, 4 KN − m = = 0, 293= m 293mm P 2505, 44 KN

Ahora seleccionar una serie de puntos adicionales seleccionando valores de c.

Seleccionar c=d=434mm.

Determinar el esfuerzo del acero,

 c − 66mm  = ε S 1 =  ε cu c   f S1 = ε S 1 0, 00254 ⇒ =

 434mm − 66mm    × 0, 003 434mm   508,8MPa → 420 MPa compresión

 c − 250mm   434mm − 250mm  = ε S 2 =  ε cu   × 0, 003 434mm c     0, 00127 ⇒ = f S 2 254,38MPa → compresión ε= S2

εS3 = 0 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Calcular las fuerzas en la columna

0,85 f ' c × b × β1 ×= C= c 0,85 × 28MPa × 500mm × 0,85 × 434mm C CC = 4390 KN

3 × 819mm 2 × ( 420 MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 1 = AS 1 ( f S 1 − 0,85 f ' c ) = CS 1 = 973,5 KN

2 × 819mm 2 × ( 254,38MPa − 0.85 × 28MPa ) CS 2 = AS 2 ( f S 2 − 0,85 f ' c ) = CS 2 = 377, 7 KN

Ts = Asfs = 3 × 819mm 2 × 0 MPa Ts = 0 KN Pn =4390 KN + 973,5 KN + 377, 7 KN Pn = 5741KN Calcular el momento cerca del centro

h a h  M= CC  −  + CS 1  − d1  2 2 2   500mm 0,85 × 434mm   500mm  M= 4390 KN  − − 66mm   + 973,5 KN  2  2   2  M 467 KN − m = Un solo punto del diagrama de interacción (5741KN, 467KN-m). La excentricidad del punto está definida como:

= e

M 467 KN − m = = 0, 0813= m 81mm P 5741KN

Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por compresión, en la cual se tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.

c = 0, 6 → c= 0, 6 × dt = 0, 6 × 434mm= 260, 4mm dt Seleccionar c=260,4mm Determinar el esfuerzo del acero

 c − 66mm  = ε S 1 =  ε cu c   = f S1 ε S 1 0, 00224 ⇒ =

 260, 4mm − 66mm    × 0, 003 260, 4mm   447,9 MPa → 420 MPa compresión

 260, 4mm − 250mm   c − 250mm  = ε S 2 =  ε cu   × 0, 003 c 260, 4mm     Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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ε= f S 2 23,96 MPa 0, 00012 ⇒ = S2  434mm − c   434mm − 260.4mm  = ε S 3 = ε y   ( 0, 0021)  434mm − c   434mm − 260.4mm  ε S= 0, 0021 ⇒ f S= 420 MPa → tensión 3 3 Calcular las fuerzas en la columna

C= c 0,85 × 28MPa × 500mm × 0,85 × 260, 4mm 0,85 f ' c × b × β1 ×= C CC = 2634 KN

CS 1 = AS 1 ( f S 1 − 0,85 f ' c ) = 3 × 819mm 2 × ( 420 MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 1 = 973,5 KN

CS 2 = AS 2 ( f S 2 − 0,85 f ' c ) = 2 × 819mm 2 × ( 23,96 MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 2 = 0, 27 KN

Ts = Asfs = 3 × 819mm 2 × 420 MPa Ts = 1032 KN Pn = 2634 KN + 973,5 KN + 0, 26 KN − 1032 KN Pn = 2576 KN Calcular el momento cerca del centro

h h a h   M= CC  −  + CS 1  − d1  − TS  d3 −  2 2 2 2    500mm 0,85 × 260, 4mm   500mm  − − 66mm  M = 2634 KN   + 973,5KN  2  2   2  500mm   + 1032 KN  434mm −  2   = M 736 KN − m Un solo punto del diagrama de interacción (2576KN, 736KN-m). La excentricidad del punto está definida como:

e =

M 736 KN − m m 286mm = = 0, 2857= P 2576 KN

Hay un punto especial el cual representa el límite de la zona controlada por tensión, en la cual se tiene el siguiente dato según el método de los esfuerzos límites.

c = 0,375 →= c 0,375 × = dt 0.375 × 434mm = 162, 75mm dt

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Seleccionar c=162,75mm Determinar el esfuerzo del acero

 c − 66mm  = ε S 1 =  ε cu c   = ε S 1 0, 00178 ⇒ = f S1

 162, 75mm − 66mm    × 0, 003 162, 75mm   356, 68MPa

 162, 75mm − 250mm   c − 250mm  = ε S 2 =  ε cu   × 0, 003 c 162, 75mm     εS2 = −0, 00161 ⇒ f S 2 = 321, 66 MPa → tensión  434mm − 260, 4mm   434mm − c  = ε S 3 = ε y   × 0, 0021  434mm − c   434mm − 260, 4mm  ε S= 0, 0021 ⇒ f S= 420 MPa → tensión 3 3 Calcular las fuerzas en la columna

C= c 0,85 × 28MPa × 500mm × 0,85 ×162, 75mm 0,85 f ' c × b × β1 ×= C CC = 1646, 2 KN

CS 1 = AS 1 ( f S 1 − 0,85 f ' c ) = 3 × 819mm 2 × ( 356, 68MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 1 = 817,9 KN TS 2 = AS 2 f S 2 = 2 × 819mm 2 × 321, 66 MPa TS 2 = 526,99 KN TS 3 = AS 3 f S 3 = 3 × 819mm 2 × 420 MPa TS 3 = 1031,94 KN Pn = 1646, 2 KN + 817,9 KN − 526,88 KN − 1031,94 KN Pn = 905,3KN Calcular el momento cerca del centro

h h a h   M= CC  −  + CS 1  − d1  − TS  d3 −  2 2 2 2    500mm 0,85 ×162,75mm   500mm  M = 1646, 2 KN  − − 66mm   + 817,9 KN  2  2   2  500mm   + 1031,94 KN  434mm −  2   M 297,7 KN − m + 150,5KN − m + 189,9 KN − m = = M 638,1KN − m

Un solo punto del diagrama de interacción (905.3KN; 638.1 KN-m). La excentricidad del punto está definida como: Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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= e

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M 638,1KN − m = = 0, 7048= m 705mm P 905,3KN

Seleccionar c=153mm.

Determinar el esfuerzo del acero

 c − 66mm  = ε S 1 =  ε cu c   f S1 = ε S 1 0, 00171 ⇒ =

 153mm − 66mm    × 0, 003 153mm   341,18MPa → compresión

 c − 250mm   153mm − 250mm  = ε S 2 =  ε cu   × 0, 003 c 153mm     380,39 MPa → tensión −0, 00190 ⇒ f S 2 = εS2 =  434mm − c   434mm − 153mm  = ε S 3 = ε y   × 0, 0021  434mm − c   434mm − 153mm  0, 0021 ⇒ f S= 420 MPa → tensión ε S= 3 3 Calcular las fuerzas en la columna

C= 0,85 f ' c × b × β1 ×= c 0,85 × 28MPa × 500mm × 0,85 ×153mm C CC = 1547, 6 KN

CS 1 = AS 1 ( f S 1 − 0,85 f ' c ) = 3 × 819mm 2 × ( 341,18MPa − 0,85 × 28MPa ) CS 1 = 779,8 KN TS 2 = AS 2 f S 2 = 2 × 819mm 2 × 380,39 MPa TS 2 = 623, 08 KN TS 3 = AS 3 f S 3 = 3 × 819mm 2 × 420 MPa TS 3 = 1031,94 KN Pn = 1547, 6 KN + 779,8 KN − 623, 08 KN − 1031,94 KN Pn = 672, 4 KN Calcular el momento cerca del centro

h h a h   M= CC  −  + CS 1  − d1  + TS  d3 −  2 2 2 2    500mm 0,85 ×153mm   500mm  = − − 66mm  M 1547, 6 KN   + 779,8 KN  2  2   2  500mm   + 1031,94 KN  434mm −  2   M = 286,3 + 143,5 + 189,9

= M 619, 6 KN − m Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Un solo punto del diagrama de interacción (672.4KN, 619.6KN-m). La excentricidad del punto está definida como

e =

M 619, 6 KN − m m 922mm = = 0,9216= 672, 4 KN P

La máxima tensión en la columna

Pn =As × fy =8 × 819mm 2 × 420 MPa Pn = 2751,84 KN

Punto 1 2 3 4 5 6 7

c (mm) 0 434 260,4 255,3 162,75 153 0

Pn (KN) 6409 5741,1 2575,7 2505,4 905,3 672,4 -2751,84

Mn (KN.m) 0 466,9 736 734,4 638,1 619,6 0

e (mm) 0 81 286 293 705 922

Diagrama de interacción 8000 6000

Pn (KN)

4000 2000 0 0

100

200

300

400

500

600

700

800

-2000 -4000

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Mn (KN.m)

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Los datos anteriores deben ser afectados por el coeficiente de reducción de resistencia φ cuyo valor depende de la zona en la que se encuentre el elemento (compresión, transición o tensión).

Punto

c (mm)

Pn (KN)

1 2 3 4 5 6 7

0 434 260,4 255,3 162,75

6409,4 5741,1 2575,7 2505,4 905,3 672,4 -2751,8

153 0

Mn (KN.m) 0 466,9 736 734,4 638,1 619,6 0

φ Mn (KN.m) 4166,13,05 0 3731,72 303,49 1674,21 478,40 1653,56 484,70 814,77 574,29 605,16 557,64 -2476,66 0 φ Pn (KN)

φ 0,65 0,65 0,65 0,66 0,9 0,9 0,9

e (mm) 0 81 286 293 705 922

Diagrama de interacción 5000 4000

φ Pn (KN)

3000 2000 1000 0 -1000

0

100

200

300

400

500

600

700

-2000 -3000

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φ Mn (KN.m)

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26. DISEÑO DE COLUMNAS PARA CARGA COMBINADA DE FLEXIÓN Y AXIAL (COLUMNA CORTA) Columna con estribos - Barras en dos caras (más alejado del eje de flexión) - Más eficiente cuando e / h> 0,2 - Forma rectangular incrementa la eficiencia Empalmes -Normalmente, las barras longitudinales empalmadas justo por encima de cada planta. (No sísmicas).

-Tipo de estribo que depende del estado de esfuerzo (C.12.17) Para todas las barras en compresión Use estribos a compresión (C.12.16)

0 ≤ fs ≤ 0,5 fy Sobre la cara a tracción Estribo a tracción Clase A Barras de empalme <1/2 Clase B Barras de empalme >1/2

fs > 0,5 fy

Estribo a tracción Clase B

Revisión cortante en columnas Recordar (Compresión Axial)

 N = Vc 0,17 1 + u  14 A g 

  λ f´c bw d 

Si Vu > 0,5φVc

C.11-4 Las sujeciones deben satisfacer a C.7.10

Recordar

0,01 ≤ ρ ≤ 0,04 NSR-10 C.10.8 — Dimensiones de diseño para elementos a compresión (columnas) C.10.8.1 — Elementos en compresión aislados con espirales múltiples Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión, con dos o más espirales entrelazados, debe tomarse a una distancia fuera de los límites extremos de los espirales igual al recubrimiento mínimo del concreto requerido en C.7.7.

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C.10.8.2 — Elementos en compresión construidos monolíticamente con muros Los límites exteriores de la sección transversal efectiva de un elemento en compresión con espirales o estribos, construido monolíticamente con un muro o pilar de concreto, no deben tomarse a más de 40 mm fuera de la espiral o estribos de dicho elemento.

C.10.8.3 — Elementos en compresión de sección circular equivalente En lugar de utilizar el área bruta para el diseño de un elemento sometido a compresión de sección transversal cuadrada, octogonal o de otra forma geométrica, se permite utilizar una sección circular con diámetro igual a la menor dimensión lateral de la sección real. El área bruta considerada, las cuantías requeridas de refuerzo y la resistencia de diseño deben basarse en dicha sección circular.

C.10.8.4 — Límites de la sección Para un elemento a compresión que tenga una sección transversal mayor que la requerida por las consideraciones de carga, se permite emplear un área efectiva reducida A g , no menor que la mitad del área total, con el fin de determinar el refuerzo mínimo y la resistencia. Esta disposición no se aplica en elementos (pórticos resistentes a momento o muros estructurales) con capacidad de disipación de energía moderada (DMO) o especial (DES) diseñados de acuerdo con el Capítulo C.21.

Diagramas de interacción adimensionales

Pn f´cAg

versus

Mn f´cAg h

ó

= Kn

Pn = versus Rn f´cAg

Pne f´cAg h

Procedimiento de diseño de columnas usando diagramas de interacción adimensionales • Calcular los factores de carga Pu , Mu y e para las combinaciones de carga pertinentes • Seleccionar caso potencialmente crítico • Utilice un estimativo de h para determinar γ h, e / h para el casa crítico • Usar diagramas de interacción adimensionales Leer

Pn f´cAg

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Para el cálculo requerido Ag =

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Pu × f´c  φ Pn  f´c × A g 

  

• Determinar Ag = b × h • Si las dimensiones son significativamente diferentes de los estimados (paso 3), calcular (e / h) y rehacer los pasos 4 y 5.

Revisar A g si es necesario.

• Determinar Ast = ρ Ag • Utilizando las dimensiones reales y tamaños de barras para comprobar todas las combinaciones de carga (utilizar los gráficos o exactamente los diagrama de interacción).

• Diseño de refuerzo lateral.

La utilización de estos diagramas de interacción adimensionales dependerá del manual o la referencia usada para determinar los parámetros adimensionales.

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27. COLUMNAS BIAXIALES Carga axial y flexión biaxial

Figura 148

Momentos de flexión biaxial

M x = P × ey M y = P × ex

Figura 149 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Métodos de análisis aproximados Utilizando la superficie de falla

 1 S2   Pn , e , e x y  La ordenada

  

1 1 sobre la superficie S2 se aproxima por la ordenada sobre el plano Pn Pn

  1 . El plano S2 es definido por los puntos A, B y C. S'2   Pn , e , e  x y  

Figura 150

P0 =

Resistencia a la carga axial bajo compresión axial pura (Corresponde al punto C)

P0x =

Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial, e y (Corresponde al punto B)

P0y =

Mn x = Mn y = 0

M n x = P ne y

Resistencia a la carga axial bajo excentricidad uniaxial, e x (Corresponde al punto A)

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P u , M u y , Mu x

Diseño de

P u , P ue x , P u e y

Figura 151

1 1 1 1 1 ≈ '= + − Pn Pn P0x P0y P0 ⇒ Pn ≈

Pn =

1 1 1 1 + − P0x P0y P0

Resistencia nominal de carga axial a excentricidades, e x y e y limitados a los casos cuando Pn ≥ 0,1 f´cAg

Procedimiento de análisis: Método de Bresler Fórmula:

1 1 1 1 ≅ + − Pn P0x P0y P0

Pasos: • Calcular P0 • Calcular P0y

( Pn para e = e x , e x = 0 )

• Calcular P0x

( Pn para e

• Calcular Pn

(de la fórmula de Bresler)

x

= 0, e = e y )

Pu ≤ φ Pn Donde, φ = 0, 65 (columna reforzada con estribos)

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EJEMPLO 24 La sección de una columna corta es (400mm x 600mm) y esta reforzada con 8 barras #10.

Determinar la carga última permitida en la sección φ Pn con las consideraciones: d’=64mm,

ex = 200mm y ey = 300mm .Usar f´c = 28MPa y fy = 420 MPa Calcular la carga P0, a compresión sin los momentos.

Ast = 8 × 819mm 2 = 6552mm 2

= P0 0,85 f´c ( Ag − Ast ) + Ast fy P0 = 0,85 × 28MPa × ( 240000mm 2 − 6552mm 2 ) + 6552mm 2 × 420 MPa P0 = 8308 KN Pn = rP0 =× 0, 75 8308 KN = 6231KN Calcular Pnx empezando con el término ey verificando que la compresión controla. Chequear para

ey = 300mm ≤ 0, 6d = 0, 6 × 536mm = 321, 6mm Calcular la carga nominal, Pnx y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.

Pn = CC + CS 1 + CS 2 − T Los componentes de la ecuación de equilibrio son:

= CS 1 2457 mm 2 ( 420 − 0,85 × = 28 ) MPa 973,5 KN = T 2457 mm 2 × f s d   536mm  fs =  − 1 × 200000MPa × 0, 003 =  − 1 × 600MPa c   c  Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, fs Calcular el momento cerca del acero a tensión:

β c  Pne ' = CC  d − 1  + CS 1 ( d − d ') 2   Donde

e ' = 236mm + 300mm = 536mm = Pn ( 536 mm ) 7616 536 c( mm − 0, 4 c ) + 973,5 KN ( 536mm − 64mm ) El resultado de la ecuación es:

Pn = 7616 5, c − 68c 2 + 459,5 Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa:

Pn = 7616 973,5 c+ KN − 2457 mm 2 × fs

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Pn = 7616 5, c − 68c 2 + 459,5 Igualando y despejando fs

= fs 0, 21 + 0, 0023c 2  536  = − 1 × 600 fs   c  Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para c usando una técnica iterativa.

 536  2 0, 21 + 0, 0023c= − 1 × 600   c  Pn = c+ KN − 2457 mm 2 × fs 7616 973,5

× Pn = mm + 973,5 KN − 2457 mm 2 × 309 MPa 7616 353,82 Pn = 1936 KN Entonces

Pnx = 1936 KN

Empezar con el término ex y asumir que la compresión controla.

ex = 64mm ≤ 0, 6d = 0, 6 × 336mm = 201, 6mm Calcular la carga nominal, Pny y asumir que el segundo acero a compresión no contribuye.

Pn = CC + CS 1 + CS 2 − T Los componentes de la ecuación de equilibrio son:

CC = 0,85 × 28MPa × 600mm × 0,8c = 11424c

= CS 1 2457 mm 2 ( 420 − 0,85 × = 28 ) MPa 973,5 KN T = 2457 mm 2 ( f s ) d   336mm  − 1 × 600 MPa fs =  − 1 × 200000 MPa × 0, 003 =  c   c  Usar semejanza de triángulos para encontrar el esfuerzo en el acero, fs.

Calcular el momento cerca del acero a tensión:

β c  Pne ' = CC  d − 1  + CS 1 ( d − d ') 2  

Donde

e ' =136mm + 200mm = 336mm Pn ( 336mm = c×( − 0, 4 c ) + 973,5 × ( 336 − 64 ) ) 11424 336 El resultado de la ecuación es:

Pn = 11424c − 13, 6c 2 + 788 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Combinando las dos ecuaciones y solucionando para Pn usando una solución iterativa

Pn = 11424 973,5 c+ KN − 2457 mm 2 × fs Pn = 11424c − 13, 6c 2 + 788 Igualando una ecuación a la otra y despejando fs

= fs 0, 075 + 0, 0055c 2  336mm  = fs  − 1 × 600 MPa  c  Combinando las dos ecuaciones y resolviendo para “c” usando una técnica iterativa.

 336mm  0, 075 + 0, 0055 = c2  − 1 × 600  c 

Pn = c+ KN − 2457 mm 2 ( fs ) 11424 973,5 Pn = × 11424 227, 7 mm + 973,5 KN − 2457 mm 2 × 285,37 MPa Pn = 1901,1KN Entonces

Pn y = 1901,1KN Calculando la carga nominal

1 1 1 1 = + − Pn Pnx Pn y Pn0 1 1 1 1 = + − Pn 1936 1901,1 6231 Pn = 1133, 72 KN ⇒ Pu = φ Pn = 0, 65 ×1133, 72 KN = 736,9 KN

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28. EFECTOS DE ESBELTEZ Columna larga Columna cargada excéntricamente con pasador al principio y al final de esta.

Deflexión lateral

M = P×( e + ∆ )

Deflexión por cargas

Figura 152

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∆ o = Deflexión de primer orden, debido a M o ∆ a = Deflexión de segundo orden, debido a Po OA - curva de momento final OB - curva para el máximo Momento de la columna (a la mitad de altura) NSR-10 C.10.10 — Efectos de esbeltez en elementos a compresión C.10.10.1 — Se permite ignorar los efectos de esbeltez en los siguientes casos: a) en elementos sometidos a compresión no arriostrados contra desplazamientos laterales cuando:

klu ≤ 22 r

(C.10-6)

b) en elementos a compresión arriostrados contra desplazamientos laterales cuando:

M  klu ≤ 34 − 12  1  r  M2 

(C.10-7)

Donde el término M1/M 2 es positivo si la columna está flectada en curvatura simple y negativo si el elemento tiene curvatura doble.

Se

permite

considerar

los

elementos

a

compresión

como

arriostrados

contra

desplazamientos laterales cuando los elementos de arriostramiento tienen una rigidez total que restringe los movimientos laterales de ese piso de al menos doce veces la rigidez bruta de las columnas dentro del piso.

C.10.10.1.1 — La longitud no apoyada lateralmente de un elemento en compresión, lu , debe tomarse como la

distancia libre entre losas de piso, vigas u otros elementos capaces de

proporcionar apoyo lateral en la dirección que se está considerando. Cuando existan capiteles o cartelas en las columnas, lu debe medirse hasta el extremo inferior del capitel o cartela en el plano considerado.

C.10.10.1.2 — Se puede tomar el radio de giro, r, igual a 0.3 veces la dimensión total de la sección en la dirección en la cual se está considerando la estabilidad para el caso de elementos Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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rectangulares y 0.25 veces el diámetro para elementos circulares en compresión. Para otras formas, se permite calcular r para la sección bruta de concreto.

k = Factor de longitud efectiva (en función de las restricciones finales).

Marcos arriostrados

0,5 ≤ k ≤ 1, 0

Marcos no arriostrados

1, 0 ≤ k ≤ ∞

Relación de esbeltez Relación de esbeltez para columnas a) Conexión Simple – no resistente a momento b) Conexión empotrada – resistente a momento

Figura 153 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Relación de esbeltez para columnas en pórticos con desplazamiento lateral

Figura 154

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Relación de esbeltez para columnas en pórticos sin desplazamiento lateral

Figura 155

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lu =

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La altura de la columna sin apoyo desde la parte superior del piso hasta la parte inferior de las vigas o losas en el piso

r=

r=

Radio de giro

I A

r 0 ,3 × (Profundidad total de columnas rectangulares) =

r = 0.25× ( Profundidad total de columnas circulares )

NSR-10 (C.10.10.1.2)

M1/M 2 = Relación de los momentos en los dos extremos de las columnas Donde

M 2 > M1

(Con un rango de -1 a 1)

Figura 156

Curvatura Simple

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Figura 156

Curvatura Doble

M1  = 0 ,5  M2   Suele ser conservador (Marcos no arriostrados)  k = 1,0  M1 /M 2 ≥ −0,5

Marcos no balanceados

Nota: El código define que:

M1 ≥ −0,5 M2

(Marcos no arriostrados)

Rango posible de

klu ⇒ de 22 a 40 r Factor de magnificación en marcos no arriostrados Si los efectos de esbeltez deben ser considerados, la magnificación del factor para el marco no arriostrado, δ ns , causará un aumento en la magnitud del momento de diseño.

M c = δ ns M 2 Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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Donde

= δ ns

Cm ≥ 1, 0  Pu  1−    0, 75 Pc 

Los componentes de la ecuación para una carga de pandeo de Euler para una columna con apoyo fijo al extremo.

Pc =

π 2 EI

( klu )

2

Y la rigidez, EI es tomada como

= EI

0, 2 Ec I g + Es I se 1 + βd

⇒ EI =

conservativamente

0, 4 Ec I g 1 + βd

Un factor de coeficiente que relaciona el diagrama de momento real con el diagrama de momento uniforme equivalente.

Para los miembros sin cargas transversales se toma la ecuación (10-16):

M  Cm = 0, 6 + 0, 4  1  ≥ 0, 4  M2  Para otras condiciones, como los miembros con cargas transversales entre apoyos, C m = 1,0 El valor mínimo permitido de M2 es:

M = Pu (15 + 0, 03h ) 2,min Donde 15 y h están en milímetros. Para los elementos en que M2,min , excede a M2 , el valor de Cm en la ecuación (10-16) debe ser igual a 1.0, ó estar basado en la relación de los momentos calculados en los extremos, M1 M2 .

EJEMPLO 25 Una columna de sección cuadrada de 400 mm x 400 mm y reforzada con estribos está sometida a la acción de dos momentos en sus extremos M1=100 KN-m y M2=120 KN-m, en condición de curvatura simple. La carga última actuando en la columna es Pu=400 KN formando parte esta columna de un pórtico arriostrado contra desplazamiento lateral. Si lu es igual a 5 m, k=1.0, fy= 420 MPa y f´c=28 MPa, determinar el momento de diseño de la columna. Asumir PD=200 KN.

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Verificar si deben ser considerados los efectos de esbeltez:

r = 0,3 × ( Profundidad total de columna rectangular ) r = 0,3 × 400mm = 120mm

klu 1, 0 × 5000mm = = 41, 67 r 120mm M   100  34 − 12  1  = 34 − 12  24 =  120   M2  Como

M  klu > 34 − 12  1  r  M2 

Se deben considerar los efectos de esbeltez

M 2,min = Pu (15 + 0, 03h ) = Pu (15 + 0, 03 × 400) = 400 KN × 0, 027 mm = 10,8 KN − m como M 2,min < M 2 cumple

= Ec 4700 = f´c 4700 = 28 24870 MPa

bh3 0, 44 = I g = = 0, 002133m 4 12 12 = EI

0, 4 Ec I g 0, 4 × 24870000 KPa × 0, 002133m 4 = = 14146 KN − m 2 1 + βd 1 + 200 KN / 400 KN

Determinación de la carga crítica

= Pc

π 2 EI

= 2 ( klu )

π 2 ×14146

= 5585 KN 2

(1, 0 × 5, 0 )

M   100  Cm = 0, 6 + 0, 4  1  = 0, 6 + 0, 4  0,93 ≥ 0, 4 = M 120    2 = δ ns

Cm 0,93 = = 1, 03 ≥ 1, 0 400  Pu    1−  1−     0, 75 Pc   0, 75 × 5585 

Momento de diseño de la columna

Mc = δ ns M 2 = 1, 03 ×120 = 123, 6 KN − m

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AGRADECIMIENTOS

Los autores expresan sus más profundos agradecimientos al Profesor Eric W. Sandt, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad Texas A&M, por su amabilidad en permitirnos usar como referencia su material de clase del curso Structural Concrete Design.

BIBLIOGRAFÍA

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Asociación Colombiana de Ingeniería Sísmica, AIS. Normas Colombianas de diseño y Construcción Sismo Resistente: NSR-10.

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McCormac, Jack C., and Brown, Russell. Design of Reinforced Concrete, 8ª Edición.

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Nawy, Edward. Reinforced Concrete: A Fundamental Approach, 6ª Edición. Pearson/ Prentice Hall, 2009.

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Massachusetts Institute of Technology, Mechanics and Design of Concrete Structures, MIT Open Course Ware.

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Nilson, Arthur. Diseño de Estructuras de Concreto. 12ª Edición. Santafé de Bogotá, McGraw-Hill, 1999.

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Wight, James, and MacGregor, James. Reinforced Concrete: Mechanics and Design, 5ª Edición. Pearson Education, 2009.

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Winter, George. Proyecto de Estructuras de Hormigón, Reverte, reimpreso 2002, 1986.

Riveros, C.A., García, E.F., Rivero, J.E.

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