Unterrichtsskript Mathematik Fachhochschulreife Elmar Mรถnig 20.06.2012
1
2
Zahlen ............................................................................................................................................ 4 1.1
Eigenschaften der natürlichen Zahlen..................................................................................... 4
1.2
Ganze Zahlen ........................................................................................................................... 5
1.3
Rationale Zahlen ...................................................................................................................... 6
1.4
Irrationale Zahlen .................................................................................................................... 8
1.5
Reelle Zahlen ........................................................................................................................... 9
1.6
Intervalle.................................................................................................................................. 9
1.7
Zusammenfassung ................................................................................................................. 10
Grundlagen .................................................................................................................................. 11 2.1
Rechnen mit reellen Zahlen................................................................................................... 11
2.1.1
Elementare Rechenregeln ............................................................................................. 11
2.1.2
Rechnen mit Potenzen .................................................................................................. 14
2.1.3
Zahlen in Exponentialdarstellung .................................................................................. 15
2.1.4
Rechnen mit Wurzeln .................................................................................................... 15
2.1.5
Doppelbrüche ................................................................................................................ 17
2.2
Gleichungen........................................................................................................................... 18
2.2.1
Äquivalenzumformung .................................................................................................. 18
2.2.2
Wurzelgleichungen – Quadratische Gleichungen ......................................................... 20
2.2.2.1
3
Lösungsmöglichkeiten von quadratische Gleichungen ............................................. 20
2.2.3
Bruchgleichungen .......................................................................................................... 22
2.2.4
Betragsgleichungen ....................................................................................................... 23
2.2.5
Bruchungleichungen / Betragsungleichungen .............................................................. 23
2.2.6
Exponentialgleichungen ................................................................................................ 23
Funktionen ................................................................................................................................... 24 3.1
Definition und ihre Darstellung ............................................................................................. 25
3.2
Funktionsarten ...................................................................................................................... 27
3.2.1
Rationale Funktionen .................................................................................................... 28
3.2.1.1
Lineare Funktionen .................................................................................................... 28
3.2.1.2
Quadratische Funktionen .......................................................................................... 35
3.2.1.2.1 Einführungsbeispiel ............................................................................................. 35 3.2.1.2.2 Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen .............................................. 37 3.2.1.2.3 Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung. ............................... 40 3.2.1.2.4 Zusammenfassung Quadratische Funktionen ..................................................... 42 3.2.1.2.5 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen ...................... 44
Seite 1
4
7
3.2.1.4
Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. ................... 48
Einführung ............................................................................................................................. 50
4.1.1
Tangenten – Sekantensteigung ..................................................................................... 50
4.1.2
Einfache Ableitungsregeln ............................................................................................. 51
4.1.3
Ableitungen höherer Ordnung ...................................................................................... 53
4.2
6
Ganzrationale Funktion n – ten Grades..................................................................... 46
Differenzialrechnung ............................................................................................................... 50 4.1
5
3.2.1.3
Diskussion Ganzrationaler Funktionen (GRF) ........................................................................ 54
4.2.1
Beispiele für Ganzrationale Funktionen ........................................................................ 55
4.2.2
Spezialfälle ..................................................................................................................... 55
4.2.3
Kurvendiskussion – Beispiel –........................................................................................ 56
4.3
Funktionen aus gegebenen Bedingungen ............................................................................. 60
4.4
Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung .................................................................... 62
4.5
Extremwertaufgaben............................................................................................................. 64
Integralrechnung....................................................................................................................... 66 5.1
Einführung ............................................................................................................................. 66
5.2
Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen ................................................................... 67
5.3
Mehrere Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen ........................................................ 67
Trigonometrie ............................................................................................................................ 70 6.1
Bogenmaß des Winkels ......................................................................................................... 70
6.2
Gleichung des Ursprungkreises ............................................................................................. 71
6.3
Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck........................................................ 72
6.4
Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis .............................................................................. 74
6.4.1
Sinuswerte ..................................................................................................................... 74
6.4.2
Kosinuswerte ................................................................................................................. 76
6.4.3
Tangenswerte ................................................................................................................ 77
6.5
Sinussatz ................................................................................................................................ 79
6.6
Kosinussatz ............................................................................................................................ 80
6.7
Aufgabentypen ...................................................................................................................... 81
6.8
Trigonometrische Funktionen ............................................................................................... 82
6.9
Goniometrische Gleichungen / Additionstheoreme ............................................................. 86
Die Komplexe Zahlen ................................................................................................................ 88 7.1
Die imaginären Zahlen........................................................................................................... 88
7.2
Einführung der komplexen Zahlen (complecti (lat) = umfassen) .......................................... 89
Seite 2
7.3
Darstellung von komplexen Zahlen ....................................................................................... 89
7.3.1
Arithmetische (kartesische) Form (Addition und Subtraktion) ..................................... 89
7.3.2
Goniometrische Form (Multiplikation und Division) ..................................................... 92
7.3.3
Exponentialform (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren) ................................. 93
Seite 3
1 Zahlen “Die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen Wissenschaft sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen. Verfolgen wir genau, was wir beim Zählen der Menge tun: wir beziehen Dinge auf Dinge, bilden ein Ding durch ein Ding ab. Ohne diese Fähigkeit ist überhaupt kein Denken möglich ...”
R. Dedekind, 1887 In der Algebra rechnet man mit Zahlen bzw. mit Variablen, die stellvertretend für Zahlen stehen. Je nach Problemstellung verwendet man natürliche, ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen. Die Menge R der reellen Zahlen ist die umfassenste Zahlenmenge, die in der Schulmathematik verwendet wird.
1.1 Eigenschaften der natürlichen Zahlen N = {0,1, 2,3, 4,...} - natürliche Zahlen N* = {1, 2,3, 4,...} - positiv natürliche Zahlen 2, 4, 6,8,... - grade Zahlen;
1,3,5, 7,... - ungerade Zahlen
Welche Operationen und Relationen werden auf der Menge der natürlichen Zahlen betrachtet? Die Menge der natürlichen Zahlen hat folgende Strukturen und Eigenschaften:
27 + 3 = 30 7 ⋅ 3 = 21
• •
Addition, z.B. Multiplikation, z.B.
•
Ordnungsrelation, z.B.
27 < 30
( a < b oder a = b oder a > b )
Die Addition der Zahlen a und b kann als Aneinanderlegen zweier Pfeile am Zahlenstrahl illustriert werden. Die Zahl a wird durch einen Pfeil repräsentiert, der bei 0 beginnt und bei a endet. Der die Zahl b repräsentierende Pfeil wird zur Spitze des zu a gehörenden Pfeils verschoben und endet dann bei a + b . Der zusammengesetzte Pfeil repräsentiert die Summe a + b .
Seite 4
Abbildung 1: Darstellung der Addition der natürloichen Zahlen
a+b = b+a
( a + b) + c = a + (b + c)
– das Kommutativgesetz – das Assoziativgesetz
Die Multiplikation zweier natürlichen Zahlen a , b wird definiert als
a ⋅ b = b + b + b + ... + b
a , b heißen Faktoren des Produkts a ⋅ b .
a − mal
a ⋅ b = a a + ... + a + a + b − mal
a ⋅b = b⋅ a ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
- das Kommutativgesetz - das Assoziativgesetz
Die Subtraktion ist innerhalb der Menge nicht immer ausführbar:
27 − 6 = 21 ∈ N ; 6 − 27 = −21 ∉ N
1.2 Ganze Zahlen Um solche Situationen behandeln zu können, erweitern wir die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen.
Abbildung 2: Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden
Die negativen Zahlen (..., −3, −2, −1) erweitern den Bereich der natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen
Z = {0, ±1, ±2, ±3, ±4,...} – ganze Zahlen Die ganzen Zahlen können auf einer Zahlengeraden dargestellt werden. Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen wird nach links erweitert und wir markieren den Punkt links von 0 im Abstand einer Einheit mit −1 .
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Abbildung 3: Zur Darstellung des Betrages einer Zahl a
Der Betrag einer Zahl a wird gemäß der Darstellung am Zahlenstrahl als Abstand zum Nullpunkt definiert. Definition: Der Betrag a einer Zahl a definiert als
a, a ≥ 0 a = − a, a < 0 Die Menge der ganzen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: • • •
Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen)
Unterschied von der Menge der natürlichen Zahlen: Zu jeder ganzen Zahl a gibt es eine eindeutige bestimmte ganze Zahl b , so dass a + b = 0 , b = − a . b nennt man dann das additive Inverse von a . •
Ordnungsrelation
Die Division ist auf der Menge der ganzen Zahlen nicht immer ausführbar:
6 :3 = 2∈Z ; 3:6 =
1 ∉Z 2
1.3 Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form
q⋅x = p , x =
p , q ≠ 0 , p, q ∈ Z q
lösen können. Wir können uns x als ein geordnetes Paar x = ( p, q ) vorstellen. Solche Zahlen werden auch gebrochene Zahlen, Quotienten genannt. Die Darstellung einer rationalen Zahl als Bruch ist nicht eindeutig!
3 4 5 1 = = = 6 8 10 2 Seite 6
Man kann Brüche kürzen und erweitern, ohne ihren Wert zu verändern. Eine eindeutige Darstellung als Bruch lässt sich durch die Forderung erreichen, dass Zähler und Nenner teilerfremd sind. Abbrechende Dezimalbrüche: Periodische Dezimalbrüche:
3 = 0, 6 5 1 = 0, 3333... = 0, 3 3
Die Periode wird durch Überstreichen der Ziffernfolge, die sich periodisch wiederholt, gekennzeichnet:
7 7 7 7 + 2 + 3 + 4 + ... 10 10 10 10 5 31 31 31 0, 0531 = 2 + 4 + 6 + 8 + ... 10 10 10 10
3, 7 = 3 +
Definition: Jede rationale Zahl lässt sich durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch darstellen. Umgekehrt lässt sich jeder abbrechende oder periodische Dezimalbruch als Bruch p
q
darstellen.
Die Menge der rationalen Zahlen Q hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: • • • • •
Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) Ordnungsrelation Division (Existenz von multiplikativen Inversen)
Unterschied von der Menge der ganzen Zahlen: Zu jeder rationalen Zahl a gibt es eine eindeutig bestimmte rationale Zahl b , so dass a ⋅ b = 1 . b nennt man dann das multiplikative Inverse von a
a ⋅ b = 1 , b = a −1 •
Ordnungsrelation
Jede Größe, die wir durch Addition, Substraktion, Multiplikation und Division rationaler Zahlen erhalten, entspricht wieder einer rationalen Zahl. Mathematisch gesprochen ist die Menge der rationalen Zahlen “abgeschlossen” gegenüber arithmetischen Operationen, da diese Operationen nicht aus der Menge herausführen.
Seite 7
x 2 = 2 , x = ± 2 , Was ist 2 ≃ 1, 41 ;
2?
x=1,4142135623730950488016887242096980785696718753 . . . 699 x 2 = 1,9999999999999999999999999999999999999999999999 . . . 010 Diese Zahl genügt der Gleichung x 2 = 2 mit hoher Genauigkeit, aber nicht exakt. Mit einer endlichen Dezimalentwicklung erhalten wir niemals eine Zahl, die quadriert genau 2 ergibt. Die Länge der Diagonale eines Quadrats der Länge eins, bezeichnet durch die Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier natürlichen Zahlen schreiben, d.h. dass rationale Zahl ist.
2,
2 keine
Abbildung 4: Zur Darstellung der Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden 2
2
2
AC = AB + BC = 12 + 12 = 2 ⇒ AC = 2
1.4 Irrationale Zahlen Die irrationalen Zahlen sind unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche. Die meisten Funktionswerte der Wurzelfunktionen, logarithmischen Funktionen oder trigonometrischen Funktionen, auch die Zahlen π und e sind irrationale Zahlen. Die Kreiszahl
π = 3,141592654...
Die Eulersche Zahl
e = 2, 718281828459...
Abbildung 5: Bilder Internet
Seite 8
1.5 Reelle Zahlen Alle rationalen und irrationalen Zahlen ergeben zusammen die Menge der reellen Zahlen, R . Die Menge der reellen Zahlen entspricht anschaulich der Menge aller Punkte der Zahlengeraden. Die den reellen Zahlen entsprechenden Punkte bedecken die Zahlengerade lückenlos !
Abbildung 6: Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl Die Menge der reellen Zahlen hat folgende Strukturen und Verknüpfungen: • • • • •
Addition Multiplikation Subtraktion (Existenz von additiven Inversen) Division (Existenz von multiplikativen Inversen) Ordnungsrelation
Kommutativgesetz: a + b = b + a , a ⋅ b = b ⋅ a Assoziativgesetz: Distributivgesetz:
( a + b) + c = a + (b + c) , ( a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
1.6 Intervalle Endliche Intervalle ( a < b )
]
[
[
[
[
]
1. offenes Intervall
( a, b ) = { x a < x < b}
2.
halboffenes Intervall
a, b ) = { x a ≤ x < b}
3. Abgeschlossenes Intervall
[ a, b ] = { x a ≤ x ≤ b}
a, ∞ ) = { x a ≤ x < ∞} 2. ( a, ∞ ) = { x a < x < ∞} 1.
[ ] [
3.
( −∞, b ) = { x − ∞ < x < b} R = ( −∞, ∞ )
Seite 9
1.7 Zusammenfassung Natürliche Zahlen N
N = {0,1, 2,...}
Ganze Zahlen Z
Z = {..., −2, −1, 0,1, 2,...} N ⊂ Z (...ist Teilmenge von...)
Bruchzahlen Q≥0
Rationale Zahlen Q
p Q≥0 = p, q ∈ N und q ≠ 0 q 4 z.B.0;3; ;1,37;0, 3 3 N ⊂ Q≥0
p Q = p, q ∈ Z und q ≠ 0 q 5 1 z.B.1; ; 2,5; −0, 3; − 8 17 N ⊂ Q ; Z ⊂ Q ; Q≥ 0 ⊂ Q
Reelle Zahlen R
Komplexe Zahlen C
5 z.B.3; ; π ; 4; − 3 2 N ⊂ R; Z ⊂ R; Q≥0 ⊂ R; Q ⊂ R
C = a + bi a, b ∈ R; i 2 = −1
{
3 z.B.7; − ; −4; −1 5 R⊂C
Seite 10
}
2 Grundlagen 2.1 Rechnen mit reellen Zahlen Rechenoperation Addieren Subtrahieren Multiplizieren Dividieren
Schreibweise a+b a −b a ⋅b a a : b oder b
Potenzieren
an
Radizieren (Wurzelziehen)
a , allgemein: n a
Name der einzelnen Terme a, b : Summanden a : Minuend b : Subtrahend a, b : Faktoren a : Dividend (Zähler) b : Divisor (Nenner) a : Basis (Grundzahl) n : Exponent (Hochzahl) a : Radikant n : Wurzelexponent
Betrag: Der Betrag einer Zahl gibt ihren „Abstand“ zur Null an. Er ist daher nie negativ. In bestimmten Situationen benötigen wir von einer Zahl nur den Betrag, der unabhängig vom Vorzeichen ist. Wenn wir uns z.B. 4€ geliehen haben, sagen wir: „Ich habe 4€ Schulden“, obwohl wir uns im Minusbereich befinden.
2.1.1
4 =4
Name des Ergebnisses Summe Differenz Produkt Quotient Potenz Wurzel
(wir lesen: "Betrag von 4 gleich 4")
−4 = 4 (wir lesen: "Betrag von -4 gleich 4")
Allgemein:
a a = −a
falls a ≥ 0 falls a ≤ 0
Elementare Rechenregeln Beispiele
Punktrechnung vor Strichrechnung
24 ⋅ ( −2 ) + 12 : 4 + 5 ⋅10 = −48 + 3 + 50 =5
Potenzrechnung vor Punktrechnung
5 ⋅ 23 = 5 ⋅ 8 = 40 −5 ⋅ 23 = −5 ⋅ 8 = −40 −24 = ( −1) ⋅ 24 = ( −1) ⋅16 = −16 aber : ( −2 ) = 16 4
Klammerrechnung geht vor (von innen nach außen)
4 7 3 − ⋅ 9 = ⋅ 9 = 2 ⋅ 9 = 18 2 2 2 2 ⋅ 7 a − ( 2a + 4a ) = 2 ⋅ [ 7 a − 6a ] = 2⋅a = 2a
Seite 11
Termumformung Rechengesetze
Auflösen von Klammern
Multiplikation von Klammern
a+b = b+a a ⋅b = b⋅a a + (b + c) = (a + b) + c a ⋅ (b ⋅ c) = (a ⋅ b) ⋅ c a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c a ⋅ (b − c) = a ⋅ b − a ⋅ c (a + b) : c = a : c + b : c (c ≠ 0) (a − b) : c = a : c − b : c (c ≠ 0) a + (b + c) = a + b + c a − (b + c) = a − b − c
Kommutativgesetz der Addition Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Addition Assoziativgesetz der Multiplikation
Distributivgesetz a + (b − c ) = a + b − c a − (b − c ) = a − b + c
( a + b ) ⋅ ( c + d ) = ac + ad + bc + bd
Binomische Formeln
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2
1.
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2
2. binomische Formel
binomische Formel
3. binomische Formel
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 = (a + b)3 a 3 − 3a 2b + 3ab 2b3 = (a − b)3 a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2 = ( 2 x + 3 y )
+
2
nach 1. binomischer Formel
(
) − 16 = ( a + 4 ) ⋅ ( a − 4 ) = ( a + 4 ) ⋅ ( 2 + 2 ) ⋅ ( a − 2 ) + 1 = n + 1 = ( n + 1) ⋅ ( n − n + 1)
9 s 2 − 36 st + 36t 2 = 9 ⋅ s 2 − 4 st + 4t 2 = 9 ⋅ ( s − 2t ) a4 n3
2
3
2
3
2
2
2
nach 2. binomischer Formel nach 3. binomischer Formel mit
a 3 + b3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )
Wir lösen eine Plusklammer auf, indem wir das Pluszeichen vor der Klammer und die Klammer weglassen.
3 + ( 3x − 7 ) = 3 + 3x − 7 = 3x − 4
Wir lösen eine Minusklammer auf, indem wir das Minuszeichen vor der Klammer weglassen und die Vorzeichen in der Klammer umkehren.
3 − ( 3 x − 7 ) = 3 − 3 x + 7 = −3 x + 10
Brüche werden multipliziert, indem wir die Zähler und die Nenner jeweils multiplizierten.
a d ad ⋅ = b c bc
Wir dividieren zwei Brüche, indem wir den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizieren.
a b c d
Vorgehensweise Faktorisieren / Klammern auflösen: Seite 12
5a + ( −4b + 7c ) = 5a − 4b + 7c 5a − ( −4b + 7c ) = 5a + 4b − 7c
=
a c a d ad : = ⋅ = b d b c bc
Faktorisierungsbeispiel:
Faktorisieren a.)
2ab + 6b = 2b(a + 3)
b.)
−5mn − 20m + 15m 2 = −5m(n + 4 − 3m)
c.)
x − y = (−1)(− x + y ) = −( y − x)
d.)
3ax − bx + 6ay − 2by = x(3a − b) + 2 y (3a − b) = (3a − b)( x + 2 y )
Beim Ausklammern von 2b teilen wir jeden Summand durch 2b Beim Ausklammern eines negativen Terms ändern sich die Vorzeichen der Summanden in der Klammer. Durch Ausklammern von -1 kann man die Reihenfolge bei einer Differenz vertauschen 1. Ausklammern bei je zwei Summanden 2. Ausklammern der Klammer
Aufgaben
Seite 13
2.1.2 Rechnen mit Potenzen Definition: Ein Ausdruck der Form an heißt Potenz, und zwar n-te Potenz von a. a heißt Basis, n heißt Exponent. z.B.: 3²= 9 ist die zweite Potenz von 3. an bedeutet eine Rechenvorschrift: Nehmen Sie a n-mal mit sich selber mal. an = a ⋅ a ⋅ a ⋅ a ... ⋅ a .
•
z.B.: 25 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
n Faktoren
•
a1 = a
z.B.: 91 = 9; (-6)1 = -6; 0,231 = 0,23
•
a0 = 1
z.B. 140 = 1; 1,170 = 1; (-7)0 = 1
•
Wenn a ≠ 0: a-n =
1 an
z.B. 3-2 =
•
Wenn a > 0: a n = n a
z.B. 4 2 =
1
1
1 1 1 1 1 = ; (-2-2)= = ; -3 = 23 2 2 3 9 ( −2 ) 4 2 2
1
4 = 2; 27 3 = 3 27 = 3, denn 3³ = 27.
Rechenregeln 1)
an · am = an + m
z.B. 3² · 34 = 36
⋅3 Begründung: 3² · 34 = 3 2
2) (an)m = an · m
⋅
+ Faktoren
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 36 4
z.B. (72)3 = 76
Begründung: (72)3 = 72 · 72 · 72 = 72 + 2 + 2 = 76 3)
an = an - m m a
z.B.
58 = 58 - 2 = 56 2 5
58 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 Begründung: 2 = = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56 5 5⋅5 Nachtrag zur Definition von a0, a1, a-n: 1=
37 = 30 . 37
6=
617 = 61 16 6
Regel 3) und die Definitionen passen zueinander.
1 912 = 17 = 912 - 17 = 9-5 5 9 9 4)
n
a m = m an
5
z.B. 13 7 = 7 135 =
Seite 14
(
7
13
)
5
5
(
Begründung: 13 7 = 135 5
)
1 7
= 7 135
( ) = ( 13 ) 5
1
13 7 = 13 7 5) an · bn = (a · b)n
7
5
z.B. 113 · 43 = (11 · 4)3 = 443
Begründung: 113·43 = 11·11·11·4·4·4 = 11·4·11·4·11·4 = 44·44·44 = 443 n
6)
an a = , falls b ≠ 0 bn b
z.B.
135 = 45
13 ⋅ 13 ⋅ 13 ⋅ 13 ⋅ 13 13 13 13 13 13 13 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 4⋅4⋅4⋅4⋅4 4 4 4 4 4 4
5
Die Regeln gelten sämtlich auch, wenn m und n Dezimalzahlen sind. Aufgaben 2.1.3 Zahlen in Exponentialdarstellung Für betragsmäßig besonders große oder kleine Zahlen wird häufig die EXPONENTIALDARSTELLUNG
(Potenzdarstellung)
mit
Zehnerpotenzen
verwendet.
Diese
Darstellungsart bietet einen schnelleren Überblick über die Größenordnung solcher Zahlen.
Beispiel:
Taschenrechner
1.000.000 = 106
238 = 274877906944
ist eine Millionen
2, 748779069 x1011 Beide Arten sind möglich 2, 74877906911 6140000 = 6,14 ⋅1000000 = 6,14 ⋅106
Übungen:
96528, 47 = 9, 652847 ⋅10000 = 9, 652847 ⋅104 1 1 = 5 ⋅ 3 = 5 ⋅10−3 1000 10 1 0, 00000478 = 4, 78 ⋅ 0, 000001 = 4, 78 ⋅ 1000000 1 = 4, 78 ⋅ 6 = 4, 78 ⋅10 −6 10 0, 005 = 5 ⋅ 0, 001 = 5 ⋅
2.1.4 Rechnen mit Wurzeln Das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens: Eine positive Zahl b heißt n-te Wurzel einer Zahl a , wenn gilt:
(
b n = a a, b ∈ R 0+ ; n ∈ N
{0;1})
Wir schreiben: b = n a .
a : Radiant n : Wurzel exp onent
Für n = 2 sagt man statt „zweite Wurzel“ auch „Quadratwurzel“, meistens aber nur
Seite 15
„Wurzel“. Für ungeradzahliges n ist
n
a auch definiert, wenn die Basis a negativ ist.
Übungen:
2
3
8 = 2,
denn 2 = 8
5
243 = 3 ,
denn 35 = 243
4
5, 0625 = 1, 5 ,
denn 1,54 = 5, 0625
a= a 16 = 4 ,
denn 42 = 16
3
−8 = −2 ,
denn ( −2 ) = −8
5
−243 = −3 ,
denn ( −3) = −243
1
1
3
5 = 53
3 = 32
4
x = x4
3
3
5
Wurzeln in Potenzschreibweise 1
n
a = an
(
a ∈ R 0+ ; n ∈ N
{0 :1}
)
1
Addition und Subtraktion von Wurzeln Wurzel können wir nur dann addieren bzw. subtrahieren, wenn sie sowohl gleiche Radikanden als auch gleiche Exponenten haben.
1 5
z = z5
5 2 + 3 2 = ( 5 + 3) 2 = 8 2 6 5 − 2 5 = ( 6 − 2) 5 = 4 5 3 4 x + 9 4 x = 12 4 x ( x ∈ R + ) 7 z − 10 z = −3 z
(z ∈R ) +
Multiplikation und Division von Wurzeln n
a ⋅ n b = n a ⋅b
5 ⋅ 6 = 5 ⋅ 6 = 30 3x ⋅ 8 y = 24 xy
n
n
a a a : b = a : b oder n = n b b n
n
( a, b ∈ R ; n ∈ N +
3
{0 :1})
( x, y ∈ ℝ ) + 0
2 ⋅ 3 32 = 3 64 = 4 1 2
1 2
1
12 2 12 : 3 = 12 : 3 = = 4 = 2 3 6u 6u 3u = = ( v ≠ 0) 4v 2v 4v 3 32 3 32 3 = = 8=2 3 4 4 Beweis für die Division: 1 n
1
a a a n n a = = = 1 n b b b n b
n
Partielles – teilweises Wurzelziehen Zerlegung in Faktoren mit anschließendem Wurzelziehen! n n
a na = und b b
n
32 = 16 ⋅ 2 = 16 ⋅ 2 = 4 2 3
36a = 36 ⋅ a = 6 a ( a ∈ ℝ +0 )
ab = n a ⋅ n b
3 3 3 = = 64 8 64
Aber Vorsicht!
9 + 16 = 25 = 5 9 + 16 = 3 + 4 = 7
54 = 3 27 ⋅ 2 = 3 27 ⋅ 3 2 = 3 3 2
3
3 3 5 5 5 13 =3 = = 5 27 3 3 27
Seite 16
Radizieren von Wurzeln n m
(
a = m⋅n a a ∈ ℝ + ; m, n ∈ ℕ
{0;1})
4
5=
2 4
5 = 2⋅4 5 = 8 5 1
1 1 1 ⋅ 1 2 4 5 = 5 4 = 5 4 2 = 58 = 8 5
denn : Rationalmachen des Nenner Liegt ein Bruch mit irrationalen Zahlen im Nenner vor, so ist es zweckmäßig, den Bruch so zu erweitern, dass sein Nenner rational wird.
a 5 5
=
a 5 a 5 = 25 5 5 5
(
)
2 ⋅ 1+ 2 2 2+2 2 = = = −2 − 2 2 1− 2 1− 2 1− 2 ⋅ 1+ 2
(
)(
)
Aufgaben 2.1.5
Doppelbrüche
x− y x − y x2 − y 2 x+ y = : = x2 − y2 x + y x − y x− y
Brüche werden umgeschrieben
x− y x− y ⋅ = x + y x2 − y 2
Erster Bruch mit dem Kehrwert des zweiten multipliziert
( x − y )( x − y ) = ( x + y )( x + y )( x − y )
Multiplikationsregel, Binomische Formel
x− y ( x + y)2
Gekürzt, Klammern zusammengefasst Aufgaben
Seite 17
2.2 Gleichungen 2.2.1
Äquivalenzumformung Eine Gleichung kann mit einer Balkenwaage verglichen werden. Die Balkenwaage bleibt im Gleichgewicht, wenn die Inhalte der rechten und der linken Waageschale um die gleiche Mende vergrößert oder vermindert werden. Die Waage bleibt im Gleichgewicht, wenn die Waageschalen vertauscht werden. Zur Berechnung des unbekannten Gliedes einer Gleichung formt man die Gleichung so um, dass das unbekannte Glied positiv ist und links vom Gleichheitszeichen steht.
Beispiel:
x + 8kg = 12kg
− 8kg
x + 8kg − 8kg = 12kg − 8kg x = 4kg Vorgang
Beispiel
Erklärung Die linke und die rechte Seite einer Gleichung können ausgetauscht werden. Dies ist z.B. notwendig, wenn die gesuchte Größe auf der rechten Seite der Gleichung steht.
d ⋅π 6 3
V=
Seiten austauschen
d 3 ⋅π =V 6 p1 V2 = p 2 V1
Kehrwert bilden
Von der linken und der rechten Seite einer Gleichung können die Kehrwerte gebildet werden. Dies ist z.B. notwendig, wenn die gesuchte Größe im Nenner eines Bruches steht.
p 2 V1 = p1 V2 2⋅s + d = D Summengleichung
−d
2⋅s + d − d = D − d 2⋅s = D − d D 2 − d 2 = 1,27 ⋅ A
Differenzgleichnung
D − d + d = 1,27 ⋅ A + d 2
2
2
2
D 2 = 1,27 ⋅ A + d 2 m ⋅ c ⋅ (ϑ 2 − ϑ1 ) = Q
Produktgleichung
+d2
: m⋅c
m ⋅ c ⋅ (ϑ 2 − ϑ1 ) Q = m⋅c m⋅c Q (ϑ2 − ϑ1 = m⋅c
D+d = U ⋅π 2 D+d ⋅ 2 = U ⋅π ⋅ 2 2 D + d = U ⋅π ⋅ 2
Quotientengleichung
Potenzgleichung
a3 = V 3
(c
2
a3 = 3 V
− a2
) =b 2
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung werden durch den gleichen Faktor geteilt. So wird ein Faktor beseitigt.
Die linke und die rechte Seite der Gleichung werden radiziert. So wird die Potenz beseitigt.
3
C 2 − a2 = b
Auf der linken und der rechten Seite der Gleichung wird der gleiche Wert addiert. So wird ein Subtrahend beseitigt.
Die linke und die rechte Seite einer Gleichung werden mit dem gleichen Wert multipliziert. So wird ein Divisor beseitigt.
a=3V
WurzelGleichung
Auf der linken und der rechten Seite der Gleichung wird der gleiche Wert addiert. So wird ein Summand beseitigt.
( )2 2
c 2 − a 2 = b2
Seite 18
Die linke und die rechte Seite der Gleichung werden potenziert. So wird eine Wurzel beseitigt.
Allgemeine Regeln zur Formelumstellung Regel 1:
Beide Seiten einer Gleichung dürfen mit der gleichen Größe multipliziert werden oder durch die gleiche Größe dividiert werden.
Regel 2:
Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Größe addiert oder subtrahiert werden.
Regel 3:
Man darf bei einer Formel (Gleichung) die Vorzeichen sämtlicher Glieder auf beiden Seiten ändern, indem man beide Seiten mit (-1) multipliziert.
Regel 4:
Man darf die beiden Seiten einer Formel (Gleichung) vertauschen.
Regel 5:
Bei einer Gleichung darf auf beiden Seiten die gleiche Größe potenziert werden. Z.B. 1 2 1 3⋅ 3 2 3 2 3 3 3
a =x
Beispiel:
a
Lösen Sie die Gleichung nach
R2 auf.
1 1 1 = + R R1 R2 Isolieren der gesuchten Größe (Regel 2)
1 1 1 = − R2 R1 R Hauptnenner bilden
1 R − R1 = R2 R1 ⋅ R (Regel 1)
R2 =
R1 ⋅ R R − R1 Aufgaben
Seite 19
=x
a= x
2.2.2
Wurzelgleichungen – Quadratische Gleichungen
2.2.2.1 Lösungsmöglichkeiten von quadratische Gleichungen Es gibt mehrere Lösungsmethoden zur Bestimmung der Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen. Im Unterricht und bei den Klassenarbeiten findet ausschließlich die Methode der quadratischen Ergänzung Anwendung. Eine quadratische Gleichung sollte man zunächst auf die Normalform bringen, d.h.
ax 2 + bx + c = 0
a2 x 2 + a1 x + a0 = 0
bzw.
Nun gibt es prinzipiell drei Methoden, die zur Lösungsmenge führen.
(A) Die Methode der quadratischen Ergänzung Beispiel:
2 x 2 − 24 x + 64 = 0 x 2 − 12 x + 32 = 0
Koeffizient vor x 2 auf 1 bringen Ziel ist es, die linke Seite so zu verändern, dass die Wurzel gezogen werden kann z.B. ( x − 6 )
x 2 − 12 x = −32 2
12 12 x − 12 x + = −32 + 2 2
2
2
( x − 6)
2
Den Term ohne x auf die rechte Seite und die quadratische Ergänzung auf beiden Seiten der Gleichung addieren. Bionomische Formel anwenden
=4
x−6 = 2
Wurzel ziehen, d.h.
x − 6 = ±2
8 x = 6±2 = 4
Lösungsmenge bestimmen
L = {4;8} (B) Die p-q-Formel
Die Gleichung der speziellen Form
x 2 − px + q = 0 hat die Lösungen: 2
x1 = − 2
Beispiel:
p p ± −q 2 2
x 2 − 12 x + 32 = 0
mit:
8 x 1 = 6 ± 36 − 32 = 6 ± 4 = 6 ± 2 = 2 4
p = −6 2 q = 32
p = −12
L = {4;8}
Seite 20
2
(C) Die allgemeine Lösungsformel (Mitternachtsformel)
ax 2 + bx + c = 0
Herleitung:
:a
b c x+ =0 a a b c x2 + x = − a a
x2 +
−
Quadratische Ergänzung QE
2
x2 +
c a
b c b b x+ = − + a a 2a 2a
2
Anwendung der Binomischen Formel
2
b c b2 x + = − + 2a a 4a 2
Umformung
2
b −4ac + b 2 x + = 2a 4a 2 x+
b b 2 − 4ac =± 2a 4a 2 x1 =
b b 2 − 4ac ± 2a 4a 2
x1 =
b b 2 − 4ac ± 2a 4a 2
2
2
Wurzel ziehen
−
b 2a
Satz von Vieta Oftmals lässt die Lösung der quadratischen Gleichung auch mit Hilfe des Satzes von Vieta bestimmen. Fragestellung: Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 1 und 2 hat. Behauptung:
( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) = 0 ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) = x 2 − 3x + 2 x 2 − 3x + 2 = 0 allgemein:
( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) = 0 x ⋅x ( x − x1 ) ⋅ ( x − x2 ) = x 2 − ( x 2 + x2 ) ⋅ x + 1 2 p
q
Normalform:
x 2 + px + q = 0 Satz von VIETA
p = − ( x1 + x2 )
q = x1 ⋅ x2
Seite 21
2.2.3 Bruchgleichungen Der Hauptnenner bei Brüchen und Bruchtermen ist das kgV (kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner). Beispiel 1: (mit Brüchen) Erweiterungsfaktoren
= = = Hauptnenner = 3 12 15
2 5 8 3 12 15
2⋅ 2⋅
2⋅ 2⋅
3 3⋅ 3⋅ 3⋅
5 5
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 5 2⋅2 = 4
= 60
Beispiel 2: (Variablen) Erweiterungsfaktoren
= = = Hauptnenner =
x 3x 2y
1 2 7 x 3x 2 y
3⋅ 2⋅ 2⋅
3⋅
2 ⋅3⋅ y = 6 y 2⋅ y = 2y 3 ⋅ x = 3x
x x x⋅
y y
= 6xy
Beispiel 3: (mit Variablen-Termen) Erweiterungsfaktoren 5 2x +1
1 6x + 3
2 15x
( 2 x + 1) ( 2 x + 1)
2x +1
=
6x + 3
=
3⋅
15x
=
3⋅
5⋅
x
Hauptnenner =
3⋅
5⋅
x⋅
3 ⋅ 5 ⋅ x = 15 x 5 ⋅ x = 5x
( 2 x + 1) ( 2 x + 1) Aufgaben
Seite 22
= 15 x ( 2 x + 1)
2.2.4
Betragsgleichungen
2.2.5
Bruchungleichungen / Betragsungleichungen
2.2.6
Exponentialgleichungen
Seite 23
3 Funktionen Der Begriff Funktion ist von zentraler Bedeutung für die gesamte Mathematik. Seine Entwicklung zu der heute gebräuchlichen Form hat Jahrhunderte gedauert. Die Namen bekannter Mathematiker sind mit diesem Prozess eng verbunden: GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646 bis 1716) verwendete erstmals 1692 das Wort Funktion als Bezeichnung für Längen, die von einem als beweglich gedachten Punkt einer Kurve abhängen. Von JOHANN BERNOULLI (1667 bis 1748) stammt die erste Definition, LEONHARD EULER (1707 bis 1783), FOURIER (1768 bis 1830) und DIRICHLET (1805 bis 1859) trugen in der Folge maßgeblich zur weiteren Herausbildung und Präzisierung des Funktionsbegriffs bei. Auch bei der Anwendung der Mathematik in den Naturwissenschaften, in der Technik, Wirtschaft und Gesellschaft spielt der Funktionsbegriff eine wichtige Rolle. Am Anfang steht dabei meist die übersichtliche, komprimierte und auf Wesentliches konzentrierte Beschreibung bestimmter „funktionaler“ Zusammenhänge und Abhängigkeiten, wobei hierfür vor allem Gleichungen, Tabellen, grafische Darstellungen oder auch umgangssprachliche Darstellungen genutzt werden. Einige Beispiele sollen dies im Folgenden illustrieren.
Beispiel 1: Wasser besitzt die Fähigkeit, auch gasförmige Stoffe, z.B. Sauerstoff, Kohlenstoffdioxid, Schwefeldioxid oder Chlor, lösen zu können. Praktisch bedeutsam ist diese Lösefähigkeit u.a. für die Atmung der Fische: Reicht in einem Gewässer der von Fischen benötigte Sauerstoff nicht aus, so kann es auch ohne Verschmutzung zum Fischsterben kommen. Die Löslichkeit von Sauerstoff im Wasser ist von der Temperatur abhängig, wie die folgende Tabelle zeigt: Beispiel 2: Die Siedetemperatur von Wasser hängt vom Luftdruck ab. Ist der Druck höher oder geringer als der normale Luftdruck, so ist auch die Siedetemperatur höher bzw. geringer als 100 °C. Ersteres macht man sich bei Schnellkochtöpfen zunutze. Beispielsweise beträgt bei einem Druck von 130 kPa die Siedetemperatur des Wassers 108 °C, bei 180 kPa schon 117 °C. Der zweite Sachverhalt ist die Ursache dafür, dass Wasser auf dem Montblanc (4807 m), auf dem der Luftdruck nur noch 55 % des normalen Werts beträgt, bereits bei 85 °C siedet.
Seite 24
Temperatur Sauerstoff in °C
in mg/l
0
14,16
4
12,70
8
11,47
12 16
10,43 9,56
20
8,84
24
8,25
28
7,75
3.1 Definition und ihre Darstellung Eine Zuordnung stellt eine Beziehung zwischen einer Ausgangsmenge und einer Zielmenge her. Dabei werden Elemente der Ausgangsmenge mit Elementen der Zielmenge zu geordneten Paaren verknüpft. Geordnete Paare lassen sich in einer Wertetabelle erfassen und als Graph im Koordinatensystem darstellen. Eine Zuordnung heißt Funktion, wenn jedem Element der Ausgangsmenge genau ein Element der Zielmenge zugeordnet wird. Der Graph einer Funktion schneidet jede Parallel zur y-Achse (einschließlich der yAchse selbst) in höchstens einem Punkt.
Zuordnung: unabhängige Variable
y = f ( x ) = x2 abhängige Variable
Funktion
Relation
f ( x ) = x2
g ( x) = x
Df
Wf
Definitionsbereich
Wertebereich
Bei reellwertigen Funktionen ist der Wertebereich Teilmenge der reellen Zahlen.
Wf ⊆ ℝ Als Namen für Funktionen verwendet man in der Regel (Klein-) Buchstaben. Bei einer Funktion f wird jedem Element x aus der Definitionsmenge D f genau ein Funktionswert f ( x ) zugeordnet. Die Menge aller Funktionswerte ist die Wertemenge W f . Die Zuordnungsvorschrift wird in der Regel durch eine Funktionsgleichung angegeben.
(
Der Graph von f entspricht der Menge aller Punkte P x f ( x )
(
)
mit x ∈ D f . Mit der
)
Punktprobe wird geprüft, ob ein Punkt P x f ( x ) auf dem Graphen einer Funktion f liegt: Man setzt die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung ein. Entsteht eine wahre Aussage, so ist P Punkt des Graphen. Bei einer falschen Aussage ist P nicht Punkt des Graphen.
Seite 25
Übungen: 1.) Bestimmen Sie anhand der Wertetabellen je eine mögliche Funktionsgleichung. Lösung:
x f ( x) g ( x)
-1
0
1
2
3
0
1
2
3
4
1
0
1
4
9
f ( x) = x +1
g ( x ) = x2 2.) Führen Sie die Punktprobe für die
( )
(
)
Punkte P 2 4 und Q −1 5 bei den Funktionsgleichungen
f ( x ) = −5 x + 14
g ( x ) = 3x 2 + 2
P liegt auf dem Graphen von f , aber nicht auf dem Graphen von g . Q liegt auf dem Graphen von g , aber nicht auf dem Graphen von f .
durch. 3.) Geben Sie die jeweils maximale Definitionsmenge der folgenden Funktionen an. a.) f ( x ) = 3
a.) D f = ℝ
b.) g ( x ) = 4 x − 6
b.) D f = ℝ
1 x d.) k ( x ) = 15 x3
c.) D f = ℝ
c.) h ( x ) =
e.) l ( x ) =
{0}
d.) D f = ℝ e.) D f = [ −2; ∞[
x+2
Seite 26
3.2 Funktionsarten
Seite 27
3.2.1
Rationale Funktionen
3.2.1.1 Lineare Funktionen Aus der Sekundarstufe I sind Ihnen die Graphen linearer Funktionen als Geraden bekannt und deren Funktionsgleichungen als Geradengleichungen. Proportionale Zusammenhänge lassen sich durch Geraden darstellen. Sie kennen die Funktionsgleichung der Geraden in der Form:
y = m ⋅ x + b oder y = m ⋅ x + n Da Geradengleichungen zur Familie der ganzrationalen Funktionen gehören, die ein zentrales Thema der Oberstufenmathematik sind, soll deren Darstellungsart von Anfang an auf diese übertragen werden.
Definition Ganzrationale Funktion n – ten Grades
Eine Funktion f ( x ) mit f ( x ) = an xn + an −1xn −1 + an − 2 xn − 2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 heißt ganzrationale Funktion n - ten Grades. Die Zahlen an ; an −1 ; an− 2 ; .... a2 ; a1 ; a0 heißen Koeffizienten Da die beiden letzten Summanden a1x + a0 zum Funktionsterm der Geradengleichung gehören, folgt die Definition:
Definition Ganzrationale Funktion 1. Grades
Eine Funktion f ( x ) mit f ( x ) = a1x + a0 und a1 ∈ ℝ , a0 ∈ ℝ
heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion
Beispiele für Funktionsgleichungen linearer Funktionen:
f ( x ) = 2x − 13
f ( x) =
3 x+3 4
f ( x) = − 3 ⋅ x − π
f ( x) = 5
f ( x ) = 3x + a0
Achsenschnittpunkte Achsenschnittpunkte sind die Punkte, in denen y = f ( x ) der Graph die Koordinatenachsen schneidet. Py ( 0 | ? ) Diese Werte lassen sich mehr oder weniger genau aus dem Graphen ablesen. Oft besteht auch die Möglichkeit, der Wertetabelle diese Daten zu entnehmen. Nun soll es darum gehen, diese Werte durch Rechnung, ohne Wertetabelle und Graph zu nutzen zu bestimmen.
f ( x ) = a1x
Px ( ? | 0 ) x
Der Schnittpunkt mit der y- Achse kann für alle lineare Funktionen der Form
f ( x ) = a1x + a0 direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden ⇒ Py ( 0 | a0 ) .
Schnittpunkt mit der x- Achse (Abszisse) Px: Die y-Werte (Funktionswerte) aller Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben den Wert 0.
Lösungsansatz: Px ( x | 0 ) ⇒ f ( x ) = 0 wegen P ( x f ( x ) )
Seite 28
Übung 1: Stellen Sie für die ganzzahligen Werte von D eine Wertetabelle auf und zeichnen Sie den Graphen.
f (x) =
3 x − 3 Definitionsmenge D = {x | −1 ≤ x ≤ 5}ℝ 4
Bestimmen Sie die Wertemenge W für die Definitionsmenge D. In welchen Punkten schneidet der Graph die Koordinatenachsen?
Lösung:
3 x−3 D = {x | −1 ≤ x ≤ 5}ℝ 4 3 3 3 12 f ( −1) = ⋅ ( −1) − 3 = − − 3 = − − = −3,75 4 4 4 4 3 f ( 0 ) = ⋅ 0 − 3 = −3 4 3 3 3 12 9 f (1) = ⋅ 1 − 3 = − 3 = − = − = −2,25 4 4 4 4 4 3 3 3 6 3 f ( 2 ) = ⋅ 2 − 3 = − 3 = − = − = −1,5 4 2 2 2 2 3 9 9 12 3 f (3) = ⋅ 3 − 3 = − 3 = − = − = −0,75 4 4 4 4 4 3 f (4) = ⋅ 4 − 3 = 3 − 3 = 0 4 3 15 15 12 3 f (5) = ⋅ 5 − 3 = −3 = − = = 0,75 4 4 4 4 4 f (x) =
x −1 0 1 2 3 4 5 f ( x ) −3,75 −3 −2,75 −1,5 −0,75 0 0,75 y 1 1
0
1
2
1
3
4
f ( x)
2 3 4
W = {y | −3,75 ≤ y ≤ 0,75}ℝ Py ( 0 | −3 ) und Px ( 4 | 0 )
Übung 2: Berechnen Sie die Achsenschnittpunkte und zeichnen Sie den Graphen für
2 3 f ( x) = − x + 3 4 Kontrollieren Sie die Nullstelle durch Einsetzen in f(x).
Lösung:
2 3 x+ 3 4 Schnittpunkt mit der y − Achse : f (x) = −
3 3 f ( 0 ) = ⇒ Py 0 4 4 Schnittpunkt mit der x − Achse : 2 3 3 f (x) = 0 ⇔ − x + | − 3 4 4 2 3 3 ⇔ − x = − | ⋅ − 3 4 2 9 9 ⇔ x = ⇒ Px 0 8 8
y 2
f ( x)
1 2
1
0
1
2
3
4 x
1 2 3
Probe:
2 9 3 18 3 3 3 9 f = − ⋅ + = − + =− + =0 3 8 4 24 4 4 4 8 Seite 29
5 x
Die Steigung Die meisten Schienen oder Straßenfahrzeuge können nur geringe Steigungen überwinden. Im Gebirge setzt man daher Zahnradbahnen oder Seilbahnen ein, diese eignen sich auch für steile Strecken. Das Verkehrsschild „12% Steigung“ bedeutet: Auf 100 m horizontaler Strecke steigt die Straße um 12 m an. Es wird ein Höhenunterschied von 12 m überwunden.
12%
Steigungsdreieck 12 m 100 m
Das Verhältnis zwischen Höhenunterschied und horizontaler Strecke wird Steigung genannt.
Im dargestellten Fall beträgt die Steigung 12m : 100 m = 0,12 ≙ 12%
Gegenkathete = tan ( α ) Ankathete Der Winkel α wird auch Steigungswinkel genannt.
Gegenkathete
Definition Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:
Steigung = m =
α Ankathete
In der nebenstehenden Grafik ist eine Ursprungsgerade, durch die Punkte P1 und P2 abgebildet. Die Steigung der Geraden soll mit Hilfe der Koordinaten von P1 und P2 ermittelt werden. Die Längen von Gegenkathete und Ankathete sind durch die Koordinatendifferenzen der beiden Punkte festgelegt.
y
P2
y 2 = f(x 2 )
y = f(x)
∆y = y 2 − y1
y1 = f ( x1 )
Für die Differenzen schreibt man:
P1
x1
∆x = x 2 − x1 bzw. ∆y = y 2 − y1
Seite 30
α ∆x = x 2 − x1
x2
x
Aus dem Steigungsdreieck lässt sich die Steigung der Geraden ablesen:
Steigung = m =
△ y y 2 − y1 f ( x 2 ) − f ( x )1 = = = tan ( α ) △ x x 2 − x1 x 2 − x1
Die Steigung einer Geraden im Koordinatensystem ist das Verhältnis von Gegenkathete zur Ankathete eines beliebigen rechtwinkligen Dreiecks (Steigungsdreieck), dessen Hypotenuse Teil des Funktionsgraphen ist. Die Vermutung liegt nahe, dass der Koeffizient a1 der Geradengleichung f(x) = a1x + a0 für die Steigung der Geraden verantwortlich ist. Das soll nun bewiesen werden. Behauptung:
Beweis:
f ( x 2 ) = a1x 2 + a0
Die Steigung m entspricht dem Koeffizienten a1 der Geradengleichung:
m= =
f ( x1 ) = a1x1 + a0
∆y f(x 2 ) − f(x1 ) a1x 2 + a0 − (a1x1 + a0 ) = = x 2 − x1 x 2 − x1 ∆x
a1x 2 + a0 − a1x1 − a0 a1x 2 − a1x1 a1(x 2 − x1) = = = a1 ⇒ m = a1 x 2 − x1 x 2 − x1 x 2 − x1
f ( x ) = a1x + a0 Satz
Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion f ( x ) = a1x + a0 der durch die Punkte P1 ( x1 | y1 ) und P2 ( x2 | y 2 ) verläuft wird durch den Koeffizienten a1 bestimmt. a1 =
△y y 2 − y1 f(x 2 ) − f(x1 ) = = = tan α x 2 − x1 △x x 2 − x1
Kurzform: a1 =
y 2 − y1 x 2 − x1
Übung 3:
K f ist das Schaubild der linearen Funktion f mit f ( x ) = 1,5x − 2 ; x ∈ ℝ. Statt Schaubild einer Funktion Kf sagt man auch Graph einer Funktion f. a) Liegt der Punkt P( 2,5 | 1,75 ) auf der Geraden K f ? b) Die Punkte A ( x A | 4 ) und B ( −2 | yB ) liegen auf K f . Bestimmen Sie x A und xB . c) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x). d) Für welche x- Werte gilt f(x) > 0? e) Bestimmen Sie den Wertebereich von f(x), wenn D = ℝ * gewählt wird. + f) Der Graph g entsteht durch Verschiebung von Kf in y- Richtung und verläuft durch N( 4 | 0 ).
Lösung a) f ( x ) = 1,5x − 2
Punktprobe: P ( 2,5 | 1,75 ) : f(2,5) = 1,5 ⋅ 2,5 − 2 = 1,75 ⇒ P liegt auf der Geraden K f oder P ∈ K f
Seite 31
b)
A ( xA | 4) :
⇒ 1,5 ⋅ x A − 2 = 4 | + 2 ⇔ 1,5 ⋅ x A = 6 | : 1,5 ⇔ xA c)
B ( −2 | y B ) :
f(x A ) = 1,5 ⋅ x A − 2 = 4
f( −2) = 1,5 ⋅ ( −2 ) − 2 = yB
⇒ yB = 1,5 ⋅ ( −2 ) − 2 = −5
= 4
Nullstelle: f ( x ) = 0 ⇔ 1,5x − 2 = 0 ⇔ 1,5x − 2 = 0 | +2 ⇔
d)
3 4 4 x = 2 | ⋅2 ⇔ 3x = 4 |: 3 ⇔ x = ⇒ Px 0 2 3 3
f ( x ) = 1,5x − 2 > 0 ⇔ ⇔x>
e)
4 4 ⇒ Für x > ist f(x) > 0 3 3
f ( x ) = 1,5x − 2 ⇒ f ( x ) > −2
f)
3 3 2 x − 2 > 0 | +2 ⇔ x > 2 | ⋅ 2 2 3
Df = ℝ *+ ⇒
(ℝ
* +
bedeutet x > 0
)
Wf = {y | y = f ( x ) > −2}
Verschiebubg in y - Richtung durch N ( 4 | 0 ) ⇒ parallele Gerade 3 x + a0 Punktprobe mit: 2 3 N ( 4 | 0 ) :⇒ g ( 4 ) = 0 ⇔ ⋅ 4 + a0 = 0 ⇔ 6 + a0 = 0 | −6 ⇔ a0 = −6 2 3 3 g ( x ) = x − 6 verläuft parallel zu f ( x ) = x − 2 durch N ( 4 | 0 ) 2 2 g( x) =
Lage zweier Geraden zueinander Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen hat bekanntlich entweder eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Was aber hat das mit der Lage zweier Geraden zueinander zu tun? Ein Fallbeispiel soll zur Klärung dienen.
Übung 4 Ein Ökokühlschrank (1) kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €. Ein Billigkühlschrank (2) kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €. Nach welcher Zeit hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank bezahlt gemacht (sich amortisiert)?
Lösung Die Funktionsgleichungen für die Kostenentwicklung lauten: Für den Ökokühlschrank:
(1) K1 ( x ) = 20x + 400 ( x = Zeit in Monaten, K1 ( x ) in € )
.
Für den Billigkühlschrank:
(2) K 2 ( x ) = 40x + 200 ( x = Zeit in Monaten, K 2 ( x ) in € ) Seite 32
.
Der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes.
Kostengleichheit herrscht, falls K1 ( x ) = K 2 ( x ) K1 ( x ) = K 2 ( x )
.
y Kosten in €
⇔ 20x + 400 = 40x + 200 | −400 ⇔ 20x = 40x − 200 | −40x
800
⇔ −20x = −200 |: ( −20 ) ⇔ x = 10
600
eingesetzt in K1 ( x )
400
⇒ K1 (10 ) = 20 ⋅ 10 + 400 = 600
200
eingesetzt in K 2 ( x )
K1 ( x )
S ( xS | yS ) xS 0
⇒ K 2 (10 ) = 40 ⋅ 10 + 200 = 600
K2 ( x )
y S = K1 ( x S ) = K 2 ( x S )
2
4
6
8
10
12 x
Monate
Ergebnis: Das Gleichungssystem K1 ( x ) = 20x + 400 und K 2 ( x ) = 40x + 200 wurde durch das Gleichsetzungsverfahren gelöst. Der Wert x = 10 bedeutet, nach 10 Monaten hat sich der Ökokühlschrank amortisiert. Der Wert y = 600 bedeutet, für beide Kühlschränke sind nach 10 Monaten die gleichen Kosten entstanden ( 600 € ). Ab jetzt sind die Gesamtkosten für den Ökokühlschrank geringer. Um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen ist stets ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen zu lösen. Hat f(x) = g(x) genau eine Lösung, dann schneiden sich die Graphen von f und g in einem Punkt. Die Geraden haben unterschiedliche Steigungen. Hat f(x) = g(x) keine Lösung, dann haben beide Geraden keinen gemeinsamen Punkt. Sie verlaufen parallel zueinander. Hat f(x) = g(x) unendlich viele Lösungen, dann sind beide Geraden identisch. Genau eine Lösung y 2 1
f ( x)
1 0 1 2 3 4 5 x 1 2
g( x)
Keine Lösung
Unendlich viele Lösungen
y
y
2
2
1
g(x)
1
f ( x) g(x)
1 0 1 2 3 4 5x
1 0 1 2 3 4 5 x
1
1
f ( x)
2
Seite 33
2
Rechtwinklig zueinander verlaufende Geraden Ermittelt man die Steigung von zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden, so ist zu vermuten, dass es zwischen den Steigungen beider Geraden einen Zusammenhang gibt. Vorübung:
y
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion
f (x) =
3
3 x 2
2 3
in ein Koordinatensystem. Zeichnen Sie zu diesem Graphen mit dem Geodreieck eine senkrechte Gerade durch den Koordinatenursprung und lesen Sie deren Steigung ab.
2 x
3 2 Vermutung: Steigung der Geraden h: a1h = − 2 3 stellt den negativen Kehrwert von a1g dar.
Steigung der Geraden g: a1g = a1h
Man spricht hier vom einem negativ- reziproken Steigungsverhältnis. Das bedeutet: a1h = −
Satz
1 a1g
bzw. a1g ⋅ a1h = −1 oder a1g = −
1 a1h
Für die Steigung zweier senkrecht aufeinander stehender Geraden g und h gilt:
a1g ⋅ a1h = −1 bzw. a1g = −
1 1 oder a1h = − a1h a1g
Die Geraden sind zueinander orthogonal.
Seite 34
3.2.1.2 Quadratische Funktionen 3.2.1.2.1 Einführungsbeispiel Jeder, der sich auf die Führerscheinprüfung vorbereitet sollte wissen, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt. Nach folgenden Faustregeln lassen sich aus der Geschwindigkeit v in km/h der Reaktionsweg r und der Bremsweg b in Meter berechnen. Achtung: Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04 Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet. 2
v Bremsweg: b= 10
Reaktionsweg: r=
v ⋅3 10 2
1 v Bemerkung: ab Juni 2004 gilt für den Bremsweg: b= ⋅ 2 10
Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel: Der Brems – bzw. Reaktionsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.
a) Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg berechnet werden kann. b) Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen. c) Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem. d) Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.
Problemlösung: a) Die Funktionsgleichung 2
v 1 2 3 v alte Regelung: f(v) = + ⋅3 = v + v 100 10 10 10 2
neue Regelung: f(v) =
1 v v 1 2 3 ⋅ + ⋅3 = v + v 2 10 10 200 10
b) Die Wertetabelle
v (in km/h) 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 f(v) (in m) 0 4 10 18 28 40 54 70 88 108 130 alt f(v) (in m) 0 3,5 8 13,5 20 27,5 36 45,5 56 67,5 80 neu
Seite 35
c) Die Graphen 2
f ( x) :=
1 x x ⋅ + 3⋅ 2 10 10
2
x + 3⋅ x 10 10
g ( x) :=
140 130 120 110 100 f ( x) g ( x)
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 x
Die x – Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da. Die y – Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da. d) Der Kommentar Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer. Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m. Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m. Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll. Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, dass es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form:
f(x) = a2 x 2 + a1x + a0 Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt.
Seite 36
3.2.1.2.2 Normalparabel, Formfaktor und Verschiebungen Arbeitsauftrag:
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a2 die Funktion f(x) = a2 x 2 und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f1(x) = x 2
f2 (x) =
3 2 x 2
f3 (x) =
1 2 x 4
f4 (x) = −
Die Funktionsgleichungen der abgebildeten Parabeln unterscheiden sich nur durch den Koeffizienten a2 von x2.
6
6
5 4 3
f 1 ( x)
2
f 2 ( x) f 3 ( x)
f1(x) = x 2
1 4
3
2
f 4 ( x)
1
1
0 1
2
3
3 2 x 2 1 f3 (x) = x 2 4 1 f4 (x) = − x 2 4 f2 (x) =
4
2 3 4 5
−6
6 −4
1 2 x 4
x
4
Dieser Koeffizient a2 ist für die Form der Parabel verantwortlich und heißt demnach Formfaktor. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( 0 | 0 )
Wie beeinflusst der Formfaktor die Gestalt der Parabel?
Formfaktor
Parabelbezeichnung
a =1
→
Normalparabel
a >1
→
gestreckte Parabel
0 < a <1 a = −1
→ →
gestauchte Parabel an der x - Achse gespiegelte Normalparabel
a < −1
→
gestreckte Parabel, an der x - Achse gespiegelt
−1 < a < 0
→
gestauchte Parabel, an der x - Achse gespiegelt
Seite 37
Arbeitsauftrag:
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von a0 die Funktion f(x) = x 2 + a0 und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f1(x) = x 2
f2 (x) = x 2 + 2
f3 (x) = x 2 − 2 Es handelt sich dabei um eine verschobene
8
8
Normalparabel, deren Scheitelpunkt S
7
um a0 Einheiten verschoben wurde.
6 5
f1(x) = x 2
4
f 1 ( x) f 2 ( x) f 3 ( x)
3
f2 (x) = x 2 + 2
2
f3 (x) = x 2 − 2
1 3
2
1
0
1
2
Die Verschiebung erfolgt längs der Ordinatenachse, wobei die Richtung der Verschiebung durch das Vorzeichen von a0 bestimmt wird.
3
1 2 −3
3 −3
Der Scheitelpunkt S hat die x
3
Koordinaten S ( 0 | a0 ).
Arbeitsauftrag:
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u die Funktion f(x) = ( x + u ) und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. f1(x) = x 2
f2 (x) = ( x + 2 )
f3 (x) = ( x − 2 )
2
2
Wertetabellen: f1 x −2 −1 0 1 2 f2 y 4
1
0 1 4
x −4 −3 −2 −1 0 f3
x 0 1 2 3 4
y 4
y 4 1 0 1
1
0
1
4
5
5
4 f 1 ( x)
3
f 2 ( x)
2
f 3 ( x)
1
−1
6
5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
1 −6
x
Seite 38
6
4
2
Es handelt sich um eine verschobene Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um u Einheiten auf der x – Achse verschoben wurde. Der Scheitelpunkt S hat die Koordinaten S ( -u | 0 ).
u>0
⇒
Verschiebung nach links; der Scheitelpunkt S liegt links vom Ursprung
u<0
⇒
Verschiebung nach rechts; der Scheitelpunkt S liegt rechts vom Ursprung
Arbeitsauftrag:
Untersuchen Sie für verschiedene Werte von u und a0 die Funktion f(x) = ( x + u ) + a0 und zeichnen Sie die Graphen in ein Koordinatensystem. 2
f1(x) = x 2
f2 (x) = ( x − 2 ) + 3
f3 (x) = ( x + 1) − 2
2
2
9
9
8 7 6 5 f 1 ( x)
4
f 2 ( x)
3
f 3 ( x)
2 1 5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
1 2 −3
3 −5
x
5
Der Graph von f2 (x) ist wieder eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um zwei Einheiten nach rechts und um drei Einheiten nach oben verschoben ist. Der Graph von f3 (x) ist ebenfalls eine Normalparabel, deren Scheitelpunkt S um eine Einheit nach links und um zwei Einheiten nach unten verschoben ist.
Eine Funktion der Art
f(x) = ( x + u ) + a0 2
nennt man Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Der Graph der Funktion ist eine Normalparabel, die um den Wert u in Richtung der Abszissenachse und um a0 in Richtung der Ordinatenachse verschoben ist.
Seite 39
Bezeichnet man den Scheitelpunkt mit S ( x s | y s ) , so lautet die Scheitelpunktform der quadratischen Funktion: f(x) = ( x − x s ) + y s 2
In Kurzform: S ( x s | y s ) ⇔ f(x) = ( x − x s ) + y s 2
Beispiel:
S ( 3 | −1) ⇔ f(x) = ( x − 3 ) − 1 2
Bisher haben wir nur die Normalparabel verschoben. Die gleichen Verschiebungen lassen sich auch mit einer beliebigen Parabel durchführen. Dabei ist dann der Formfaktor a2 zu berücksichtigen.
Allgemein gilt: Ist f(x) = a2 x 2 + a1x + a0 die Funktionsgleichung einer Parabel die den Scheitelpunkt S ( x s | y s ) besitzt, so ist f(x) = a2 ( x − x s ) + y s die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung. 2
3.2.1.2.3 Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung. Wir wissen bereits das gilt:
f(x) = a2 x 2 + a1x + a0 ⇔ a2 ( x − x s ) + y s ⇒ S ( x s | y s ) 2
Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.
Beispiel 1: f(x) = 3x 2 − 12x + 15 soll in die Scheitelpunktform überführt werden. 1. Schritt: Der Faktor vor x 2 wird ausgeklammert ⇒ f(x) = 3 ⋅ x 2 − 4x + 5 2. Schritt: quadratische Ergänzung in
[ ] und Umformung
2 2 2 2 ⇒ f(x) = 3 ⋅ x 2 − 4 x + ( 2 ) − ( 2 ) + 5 = 3 ⋅ ( x − 2 ) + 1 = 3 ( x − 2 ) + 3 ⇒ S ( 2 | 3 ) 2. Binomische Formel
Beispiel 2: 1 1 1 f(x) = x 2 − 3x + 4 = x 2 − 6x + 8 = x 2 − 6x + 32 − 32 + 8 2 2 2 1 1 1 1 2 2 ⇔ f(x) = ( x − 3 ) − 1 = ( x − 3 ) − ⇒ S 3 | − 2 2 2 2 Beispiel 3:
f(x) = −
2 2 1 2 1 3 1 3 9 1 3 9 3 3 x − x − = − x2 + x + = − x2 + x + − + 3 2 4 3 2 4 3 2 4 4 4
2 2 2 1 3 9 36 1 3 27 1 3 9 9 3 ⇒ f(x) = − x + − + ⇒ S− | − = − x + + = − x + − 3 4 16 16 3 4 16 3 4 16 4 16
Seite 40
Allgemein:
f ( x ) = a2 ( x − x S ) + yS
f ( x ) = a2 x 2 + a1x + a0 a a = a2 x 2 + 1 x + 0 a2 a2
xS = −
2 2 a1 a1 a0 a1 2 = a2 x + x + − + a2 2a2 2a2 a2
yS =
2 a1 a12 4a0a2 = a 2 x + − 2+ 2a2 4a2 4a22 2 a1 4a0a2 − a12 = a 2 x + + 2a2 4a22 2
a1 4a0a2 − a12 = a2 x + + 2a2 4a2 a1 4a0a2 − a12 PS − 2a 4a2 2
Seite 41
a1 2a2
4a0a2 − a12 4a2
3.2.1.2.4 Zusammenfassung Quadratische Funktionen
Funktionsgleichung Die Funktionsgleichungen haben die Form:
f ( x ) = a2 x 2 + a1x + a0 Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades. Die Graphen werden Parabeln genannt.
Scheitelpunkt-Scheitelpunktform. Allgemein gilt: Ist f(x) = a2 x 2 + a1x + a0 die Funktionsgleichung einer Parabel die den Scheitelpunkt S ( x s | y s ) besitzt, so ist f(x) = a2 ( x − x s ) + y s die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung. 2
Achsenschnittpunkte y f(x)
Der Schnittpunkt mit der y − Achse : Py ( 0 | y s ) ⇒ y s = f ( 0 )
Py ( 0 | y s )
Die Schnittpunkte mit der x − Achse : Px1 ( x1 | 0 )
Px i ( xi | 0 ) ⇒ f ( xi ) = 0
Px2 ( x 2 | 0 ) x
S ( xs | ys )
Symmetriebetrachtungen Die abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y – Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitel S( xs | ys ) lautet
6
f ( x) g ( x)
x = xs hier x = 3 Auch die Nullstellen sind symmetrisch zur Symmetrieachse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x – Wert des Scheitels berechnet werden.
−5
6 5 4 3 2 1 1 0 1 1 2 3 4 5 −1
Normalform der quadratischen Gleichung: f(x) = x 2 + px + q 2
x1/2 = −
p p ± −q 2 2
2
p Diskriminante: D = − q 2
Seite 42
3
x
p-q-Formel, Diskriminante und Lösungsmenge
p − q − Formel:
2
4
5
6
7
7
Die Diskriminante D bestimmt die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung. p x1 = − + D ∨ 2 D > 0 ⇒ L = {x1 ; x 2 }
p x2 = − − D 2 Zwei Lösungselemente
D = 0 ⇒ L = {x}
Ein Lösungselement (Doppellösung)
D<0⇒L ={
Kein Lösungselement
}
Scheitelpunktberechnung über die Nullstellen: Nullstellen : x1; x 2 bekannt ⇒ x s =
x1 + x 2 ⇒ S ( x s | f(x s ) ) 2
Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung f(x) = 3x 2 − 12x + 15 soll in die Scheitelpunktform überführt werden. 1. Schritt: Der Faktor vor x 2 wird ausgeklammert ⇒ f(x) = 3 ⋅ x 2 − 4x + 5 2. Schritt: quadratische Ergänzung in
[ ] und Umformung
2 2 2 2 ⇒ f(x) = 3 ⋅ x 2 − 4 x + ( 2 ) − ( 2 ) + 5 = 3 ⋅ ( x − 2 ) + 1 = 3 ( x − 2 ) + 3 ⇒ S ( 2 | 3 ) 2. Binomische Formel
Der Satz von Vieta Wurzelsatz von Vieta
x1 + x 2 = −p
∧
x1 ⋅ x 2 = q
Nullstellen und Linearfaktoren Sind x1 und x 2 die Nullstellen der quadratischen Funktion mit der Funktionsgleichung f(x) = a2 x 2 + a1x + a0 so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben: f(x) = a2 ( x − x1 ) ( x − x 2 ) Linearfaktor Linearfaktor
Der Satz vom Nullprodukt Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. ( x + a )( x + b ) = 0 ⇔ x1 = −a und x2 = −b Beispiele: ( x − 2 )( x + 1) = 0 ⇔ x1 = 2 und x 2 = −1 x ( x + 3 ) = 0 ⇔ x1 = 0 und x 2 = −3
Seite 43
3.2.1.2.5 Aufstellen der Funktionsgleichung aus gegebenen Bedingungen Drei unterschiedliche Punkte, die alle auf einer Parabel liegen sollen sind gegeben. Daraus soll die Funktionsgleichung der Parabel bestimmt werden.
P1 (1| 2 ) ; P2 ( 5 | 4 ) ; P3 ( 3 | −1)
Funktionsgleichung allgemein: f ( x ) = a2 x 2 + a1x + a0
Zur Bestimmung der Funktionsgleichung müssen für die allgemeinen Koeffizienten a2, a1 und a0 die entsprechenden Zahlenkomponenten bestimmt werden. Da alle drei gegebenen Punkte P1 , P2 und P3 Punkte der zu bestimmenden Parabel sind, kann durch dreimaliges Einsetzen der Koordinaten dieser Punkte an den Stellen x und y der allgemeinen Funktionsgleichung ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten erzeugt werden, aus denen sich die Koeffizienten a1, a2 und a3 bestimmen lassen. Aufstellen des Gleichungssystems:
P (x | y) P1 (1| 2 )
P2 ( 5 | 4 )
f(x) = a2 x 2 + a1x + a0
=y
Das ist ein Gleichungssystem bestehend
f(1) = 1 a2 + 1 a1 + 1 a0
=2
aus drei linearen Gleichungen mit drei
f(5) = 25 a2 + 5 a1 + 1 a0
=4
Unbekannten.
P3 ( 3 | −1) f(3) = 9 a2 + 3 a1 + 1 a0
= −1
Mit dem Additionsverfahren lässt sich die Lösung finden.
Das Additionsverfahren lässt sich schematisieren. Das führt zum Gauß – Algorithmus. Beim Gauß – Algorithmus rechnet man nur mit den Koeffizienten.
Gauß – Algorithmus: a0 a1 a2 1 1 1 2 1 5 25 4
Lösung durch einsetzen: Beim Gauß - Algorithmus wird −4a2 = −4 | ( −4 ) ⇔ a2 = 1 zeilenweise gearbeitet. II − I
1 1 0
3 1 4
9 −1 III − I 1 2 24 2 : 2
0 1 0
2 1 2
−3 8 1 2 12 1
2a1 + 12a2 = 1 ⇔ 2a1 + 12 ⋅ 1 = 1| − 12 ⇔ 2a1 = −11| : 2 11 2 a0 + a1 + a2 = 2 ⇔ a1 = −
Zeilen darf man: - vertauschen - mit einer Zahl multiplizieren - durch eine Zahl dividieren - addieren - subtrahieren Werden die Spalten vertauscht, dann müssen auch die Koeffizienten mitgenommen werden
11 +1= 2 2 −3 III − II 0 2 8 9 4 9 1 1 1 2 ⇔ a0 − = | + 2 2 2 0 2 12 1 13 ⇔ a0 = 0 0 −4 −4 2 11 13 Funktionsgleichung: f ( x ) = x 2 − x + 2 2 ⇔ a0 −
Das Ziel ist es auf eine Dreiecksform zu kommen.
x x x x 0 x x x 0 0 x x
Seite 44
Der Funktionsgraph: Um die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion zu erhalten sind drei Punkte nötig.
9
9
8 7
Wir erinnern uns: Bei einer linearen Funktion (Gerade) waren es nur zwei Punkte.
6 5 4 f ( x)
3
Y
2 1 1
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 −4
4 −1
x, X
7
Seite 45
Um den Graphen einer Parabel sauber zeichnen zu können, sind außer den vorgegebenen drei Punkten noch der Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte nötig. Wenn wir zudem auch noch die Symmetrie zur Senkrechten durch den Scheitelpunkt berücksichtigen, benötigen wir in den meisten Fällen keine weiteren Punkte.
3.2.1.3 Ganzrationale Funktion n – ten Grades Eine Funktion f ( x ) mit
f ( x ) = an xn + an−1xn−1 + an−2 xn−2 + ... + a2 x 2 + a1x + a0 heißt ganzrationale Funktion n - ten Grades. Die Zahlen an ; an−1 ; an−2 ; .... a2 ; a1 ; a0 heißen Koeffizienten Ganzrationale Funktionen entstehen durch zusammensetzen von Potenzfunktionen. Verlauf des Graphen Der Verlauf des Graphen einer ganzrationalen Funktion wird durch den Summanden mit der höchsten Potenz bestimmt. 4
4 4
4
3
3
2
2
1 f ( x)
1 f ( x)
3
2
1
1
0
1
2
3 −4
4 −3
x
3
2
1
2
3
4
x
x
3
8 7 6 5 4 3 2 1
8
f ( x)
7 6 5 4 3 2 11 0 1 2 2 3 4 5 6 7 8 −7
0
f(x) = − x 3 − x 2 + 4x + 1
6 5 4 3 2 1
6
−8
1
−3
f(x) = x + x − 4x − 1
f ( x)
1
3
3
3
2
2
2 −4
3
−6
7 6 5 4 3 2 11 0 1 2 2 3 4 5 6 −7
x
2
f(x) = 0,2x 4 + 2x 3 + 5x 2 + x − 2
f(x) = −0,2x 4 − 2x 3 − 5x 2 − x + 2
an > 0
n gerade Verlauf von II nach I
n ungerade Verlauf von III nach I
an < 0
Verlauf von III nach IV
Verlauf von II nach IV
Seite 46
2
Beispiele:
f ( x ) = 4x 3 + 2x 2 − 7
n = 3 (ungerade) ∧ an = 4 > 0
⇒ III − I
f ( x ) = −2x + 3x − 4x + 7 n = 4 (gerade) ∧ an = −2 < 0 4
f ( x ) = −5x + 2x + 9 5
⇒ III − IV
2
4
n = 5 (ungerade) ∧ an = −5 < 0 ⇒ II − IV
Symmetrien: Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus geraden Exponenten besteht oder f ( −x ) = f ( x )
Achsensymmetrie wenn für alle x ∈ D gilt:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann punktsymmetrisch, wenn die Funktionsgleichung nur aus ungeraden Exponenten besteht oder
f ( − x ) = −f ( x )
Punktsymmetrie wenn für alle x ∈ D gilt
Bemerkung: Unter Achsensymmetrie ist immer die Symmetrie zur y – Achse zu verstehen. Punktsymmetrie ist die Symmetrie zum Koordinatenursprung. Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen
Schnittpunkt mit der y − Achse
Py ( 0 | y s ) :
Bedingung: y s = f ( 0 )
Beispiel:
f ( x ) = 3x 4 − 2x 2 − 3 ⇒ f ( 0 ) = 3 ⋅ 0 4 − 2 ⋅ 02 − 3 = 0 − 0 − 3 = −3 ⇒ Py ( 0 | −3 ) oder Py ( 0 | f(0) ) Die y – Koordinate von Py ist immer identisch mit dem Koeffizienten a0. Sie lässt sich stets aus der Funktionsgleichung ablesen.
Schnittpunkt mit der x − Achse
Px ( x s | 0 ) Nullstelle :
Bedingung: f ( x ) = 0
Satz: Eine ganzrationale Funktion n ten Grades hat höchstens n Nullstellen. Ist der Grad n ungerade, so hat sie mindestens eine Nullstelle.
Seite 47
3.2.1.4 Verfahren zur Berechnung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen. Faktorisierungsverfahren: Beispiel:
f ( x ) = 2x 3 − 2x 2 − 4x = 0 der Faktor x kann ausgeklammert werden
(
)
⇔ x 2x 2 − 2x − 4 = 0 ⇒ x1 = 0 und der Klammerausdruck ist Null ⇒ 2x 2 − 2x − 4 = 0 ist eine quadratische Gleichung mit x 2 = −1 x 3 = 2 ⇒ L = { 0 ; − 1; 2 } als Lösungsmenge geschrieben ⇒ Px1 ( 0 | 0 ) ; Px2 ( −1| 0 ) ; Px3 ( 2 | 0 ) Koordinaten der Schnittpunkte mit der x - Achse f (x) =
x + 1)( x − 2 ) x (
⇔ f ( x ) = 2x 3 − 2x 2 − 4x
Produkt aus Linearfaktoren
Substitutionsverfahren: Beispiel:
f ( x ) = x 4 − 13x 2 + 36 = 0 biquadratische Gleichung Substitution: x 2 = z ⇒ f ( z ) = z 2 − 13z + 36 = 0
⇒ z1 = 9 und z2 = 4
Substitution rückgängig machen: x2 = z1 = 9 und x 2 = z 2 = 4 ⇒ x1 = 3
x 2 = −3 x 3 = 2
x 4 = −2
⇒ L = {3 , − 3 ; 2 ; − 2}
⇒ Px1 ( 3 | 0 ) ; Px2 ( −3 | 0 ) ; Px3 ( 2 | 0 ) ; Px 4 ( −2 | 0 ) f ( x ) = ( x − 3 )( x + 3 )( x − 2 )( x + 2 ) ⇔ f ( x ) = x 4 − 13x 2 + 36 Produkt aus Linearfaktoren
Polynomdivision: Ist eine Nullstelle einer ganzrationalen Funktion (Polynom) bekannt, dann kann der Grad des Polynoms durch Polynomdivision um eins verringert werden. Zwischen der Polynomdivision und dem schriftlichen dividieren besteht ein Zusammenhang. Folgende Gegenüberstellung soll das im Falle einer Division ohne Rest zeigen. 62228 : 47 = 1 3 2 4 x 3 − 6x 2 + 11x − 12 : ( x − 4 ) = x 2 − 2x + 3
−47 152 −141 112 − 94 188 − 188 0
47 ⋅ 1
( − (x
)
3
− 4x 2
)
− 2x 2 + 11x
47 ⋅ 3
(
− −2x 2 + 8 x 47 ⋅ 2 47 ⋅ 4
( x − 4 ) ⋅ x2
)
( x − 4 ) ⋅ ( −2x )
3x − 12 − ( 3x − 12 ) 0
Seite 48
( x − 4) ⋅ 3
Die Zahl 62, bestehend aus den ersten zwei Ziffern der zu teilenden Zahl wird durch den Teiler (47) dividiert. Das Ergebnis (1) wird mit dem Teiler 47 multipliziert und von der Zahl (62) subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion (152) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist.
Der erste Summand des zu teilenden Polynoms ( x3 ) wird durch den ersten Summanden des Teilers ( x ) dividiert. Das Ergebnis ( x2 ) wird mit dem Teiler ( x – 4 ) multipliziert und von dem zu teilenden Polynom subtrahiert. Mit dem Ergebnis der Subtraktion ( -2x2 + 11x 12 ) verfährt man in gleicher Weise. Man führt dieses Verfahren so lange durch, bis das Subtraktionsergebnis Null ist.
(
)
Probe: ( x − 4 ) ⋅ x 2 − 2x + 3 = x 3 − 6x 2 + 11x − 12
Probe: 47 ⋅ 1324 = 62228
Beispiel: f ( x ) = x 3 + 3x 2 − 4x − 12
f ( 2 ) = 8 + 12 − 8 − 12 = 0 ⇒ x1 = 2 ist Nullstelle (durch probieren gefunden) Polynomdivision.
(x −( x
)
3
+ 3x 2 − 4x − 12 : ( x − 2 ) = x 2 + 5x + 6
3
− 2x
2
)
Jetzt muss nur noch die quadratische Gleichung
5x 2 − 4x
(
− 5x 2 − 10x
x 2 + 5x + 6 = 0 gelöst werden.
)
6x − 12 − ( 6x − 12 ) 0
2
5 5 x 2 + 5x + = −6 + 2 2
2
2
5 1 x + 2 = 4 5 1 =± 2 2 x 2 = −2 x3 = −3 x+
⇒ L = {2 ; − 2 ; − 3} ⇒ Px1 ( 2 | 0 ) ; Px2 ( −2 | 0 ) ; Px3 ( −3 | 0 )
f ( x ) = ( x − 2 )( x + 2 )( x + 3 ) Produkt aus Linearfaktoren
Seite 49
4 Differenzialrechnung 4.1 Einführung 4.1.1 Tangenten – Sekantensteigung Besonders einfach lassen sich die Unterschiede zwischen der Sekante und der Tangente beim Kreis beschreiben. Alle Geraden können bezüglich eines Kreises unterschieden werden in Sekanten, Tangenten und Passanten – je nachdem, ob sie mit dem Kreis zwei Punkte, einen oder gar keinen Punkt gemeinsam haben. Die Kreistangente trifft den Kreis also in genau einem Punkt. Sie steht dort senkrecht auf dem zu diesem Punkt gehörenden Berührungsradius. Die Definition kann für beliebige Kurven/Funktionsabschnitte Verwendung finden. Abbildung 7: Tangente und Sekante
m=
∆y ∆x
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x → 0 x ∆ tan β
f ′ ( x ) = lim
tan α
tan α : Tangentensteigung tan β : Sekantensteigung
Abbildung 8: Tangenten- und Sekantensteigung
Bestimmung der Tangentensteigung mit Hilfe von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.
f ( x) = x
x + ∆x − x ∆x = lim = lim 1 = 1 ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆x →0 2 ( x + ∆x ) − x 2 = lim x 2 + 2x∆x + ∆x 2 − x 2 f ′ ( x ) = lim ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x ⋅ ( 2x + ∆x ) f ′ ( x ) = lim = 2x ∆x →0 ∆x
f ′ ( x ) = lim
f ′( x) = 1
∆x → 0
f ( x ) = x2
f ( x ) = x3
( x + ∆x ) = lim
3
− x3
x3 + 3 x 2 ∆x + 3 x∆x 2 + ∆x3 − x3 f ′( x) = lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x 2 2 ∆x ⋅ ( 3 x + 3 x∆x + ∆x ) = 3x 2 f ′ ( x ) = lim ∆x → 0 ∆x Seite 50
f ′ ( x) = 2x
f ′ ( x ) = 3x 2
Aufgaben Die Funktion f ′ heißt Ableitungsfunktion der Funktion f . Die Funktionswerte von f ′ geben die Steigung des Graphen von f an der entsprechenden Stelle an. Welcher der roten Graphen ist der Graph von f ′ ? Begründen Sie.
Antwort: p ( x) kann es nicht sein, da die Werte von p ( x) nur positiv sind. Bei f ( x) liegen aber im Bereich von 0 bis 4 negative Tangentensteigungen vor.
h( x) hat für die Werte kleiner 0 negative Werte. Bei der Funktion liegen aber für x-Werte kleiner Null positive Tangentensteigungen vor.
g ( x) hat für x-Werte kleiner Null positive Werte; zwischen 0 und 4 negative Werte und für x-Werte größer 4 wieder positive Werte. Dies entspricht den Tangentensteigungen der Funktion.
4.1.2
Einfache Ableitungsregeln
Die POTENZREGEL ist in der Mathematik eine der Grundregeln der Differentialrechnung. Sie dient der Ermittlung der Ableitung von Potenzfunktionen . Sie lautet:
f ( x ) = xn f ′ ( x ) = n ⋅ x n −1 Beispiele: a.) f ( x ) = x 4 ⇒ f ′ ( x ) = 4 ⋅ x3 b.) f ( x ) = x −3 ⇒ f ′ ( x ) = −3 ⋅ x −4 5
c.) f ( x ) = 3 5 = x 3 ⇒ f ′ ( x ) =
5 53 −1 5 23 5 3 2 ⋅x = ⋅x = ⋅ x 3 3 3
KONSTANTENREGEL:
f ( x) = c f ′ ( x ) = lim
∆x → 0
c−c 0 = lim = lim 0 = 0 ∆ x → 0 ∆x ∆x ∆x →0
Seite 51
FAKTORREGEL:
f ( x) = c ⋅ g ( x)
Fazit:
c ⋅ g ( x + ∆x ) − g ( x ) c ⋅ g ( x + ∆x ) − c ⋅ g ( x ) = lim ∆x →0 ∆x → 0 ∆x ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x ) f ′ ( x ) = c ⋅ lim ∆x → 0 ∆x
Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren erhalten.
f ′ ( x ) = lim
g ′( x )
f ′ ( x) = c ⋅ g′ ( x) Beispiele: a.) f ( x ) = 3 ⋅ x5 ⇒ f ′ ( x ) = 3 ⋅ 5 ⋅ x5−1 = 15 ⋅ x 4 b.) f ( x ) = −2 ⋅ x −3 ⇒ f ′ ( x ) = ( −2 ) ⋅ ( −3) ⋅ x −3−1 = 6 ⋅ x −4 =
6 x4
SUMMENEREGEL:
f ( x) = g ( x) + h ( x) f ′ ( x ) = lim
Fazit:
g ( x + ∆x ) + h ( x + ∆x ) − g ( x ) + h ( x )
Eine Summe von Funktionen wird
∆x summandenweise abgeleitet. g ( x + ∆x ) + h ( x + ∆x ) − g ( x ) − h ( x ) f ′ ( x ) = lim ∆x →0 ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x ) + h ( x + ∆x ) − h ( x ) f ′ ( x ) = lim ∆x → 0 ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x ) h ( x + ∆x ) − h ( x ) f ′ ( x ) = lim + ∆x → 0 ∆x ∆x g ( x + ∆x ) − g ( x ) h ( x + ∆x ) − h ( x ) f ′ ( x ) = lim + lim ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x →0
f ′ ( x ) = g ′ ( x ) + h′ ( x ) Beispiel:
f ( x ) = 3 ⋅ x 2 − 2 x −4 + 3 x − 2 ⇒ f ′ ( x ) = 6 x + 8 x −5 + 3 − 0 Aufgaben
Seite 52
4.1.3
Ableitungen höherer Ordnung
Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung f ( x ) = 0, 05 x 4 − der Ableitungsregeln erhalten wir die:
Erste Ableitung
f ′ ( x ) = 0, 2 x 3 − 0, 4 x 2 − 1, 6 x
Zweite Ableitung
f ′′ ( x ) = 0, 6 x 2 − 0,8 x − 1, 6
Dritte Ableitung
f ′′′ ( x ) = 1, 2 x − 0,8
Vierte Ableitung
f (4) ( x ) = 1, 2
Fünfte Ableitung
f (5) ( x ) = 0
Sechste Ableitung
f (6) ( x ) = 0
Seite 53
2 3 x − 0,8 x 2 . Mit Hilfe 15
4.2 Diskussion Ganzrationaler Funktionen (GRF) Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten. Man kann also ihren Funktionsterm in folgende Form bringen: n
f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x1 + a0 x 0 = ∑ ai xi 1
i =0
Beispiel einer GRF und deren Ableitungen:
f ( x) =
1 5 x − x3 9
f ′′′ ( x ) = f IV ( x ) =
f ′′ ( x ) =
20 3 x − 6x 9
Seite 54
60 2 5 x − 6 f ′ ( x ) = x 4 − 3x 2 9 4
120 x 9
f ( x) =
1 5 3 x −x 9
4.2.1 •
Beispiele für Ganzrationale Funktionen Die Funktion mit dem Term f ( x ) = −2 x3 + 3 x 2 − 5 x + 4 ist eine ganzrationale Funktion vom Grad 3 mit den Koeffizienten -2, 3, -5 und 4.
•
Bei der Funktion f : x → −2 x ( x − 1)( x + 3) muss der Funktionsterm zunächst 2
durch Auflösen der Klammern in eine Summe umgeschrieben werden:
f ( x ) = −2 x ( x − 1)( x + 3) = ( −2 x 2 + 2 x )( x 2 + 6 x + 9 ) = −2 x 4 − 10 x 3 − 6 x 2 + 18 x 2
der Grad ist also 4 und die Koeffizienten sind -2, -10, -6, 18 und 0. •
Bei einer ganzrationalen Funktion vom Grad 5 mit den Koeffizienten -1, 0, −2π , 0, 1 kann der Funktionsterm geschrieben werden als
2,
f ( x ) = − x 5 + 2 x3 − 2π x 2 + 1
4.2.2
Spezialfälle
•
Für n = 0 ergeben sich konstante Funktionen f : x → a0
•
Für n = 1 ergeben sich lineare Funktionen f : x → a1 x + a0 (statt m schreibt man für die Steigung hier also a1 , und statt b für den y-Achsenabschnitt also a0 ).
•
Für n = 2 ergeben sich quadratische Funktionen f : x → a2 x 2 + a1 x + a0 (statt a, b und c schreibt man hier also a2 , a1 und a0 ).
•
Für n = 3 ergeben sich kubische Funktionen f : x → a3 x3 + a2 x 2 + a1 x + a0 .
•
Für n = 4 spricht man manchmal von quartischen Funktionen. Ist nur an ≠ 0 und alle anderen Koeffizienten sind gleich 0, so ergibt sich eine
•
Potenzfunktion f : x → an x n mit natürlichem Exponenten.
Seite 55
4.2.3
Kurvendiskussion – Beispiel –
Diskutieren Sie die Funktion: f ( x ) =
1 5 x − x3 9
1. Definitionsbereich Die GRF sin in ganz R definiert. D f = R , weil f GRF ist. 2. Nullstellen
f ( x) = 0
1 ⇔ x 3 x 2 − 1 = 0 9 1 ⇔ x3 = 0 ∨ x2 = 1 ⇔ x 2 = 9 9 ⇔ x1 = 0 ; x2 = 0 ; x3 = 0 ; x4 = 3 ; x5 = −3
N f = {0, 0, 0,3, −3}
3. Linearform Die GRF n-ten Grades f ( x ) = an x n + an −1 x n −1 + ... + a2 x 2 + a1 x1 + a0 x0 = 1
n
∑a x i
i
hat
i =0
die Nullstellen x1 , x2 ,...xn . Dann gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra:
f ( x ) = an ( x − x1 )( x − x2 ) ... ( x − xn −1 )( x − xn ) Somit für das Beispiel:
f ( x) =
1 1 ( x − 0 )( x − 0 )( x − 0 )( x − 3)( x + 3) = x3 ( x 2 − 9 ) 9 9
4. Stetigkeit Eine Funktion heißt stetig, wenn man ihren Graphen zeichnen kann, ohne den Bleistift abzusetzen. f ist nicht stetig in x0
f ist stetig in x0 ⇔ lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0
f ( x ) ist Ganzrationale Funktion f heißt stetig in D f ⇔ f ist stetig in allen Punkten des D f . GRFn sind stetig in allen Punkten ihres Definitionsbereiches D f = R . Somit für das Beispiel: f ist GRF ⇒ f ist stetig in D f = R
Oder: Eine Funktion f heißt stetig in x0 , wenn
f ( x0 ) = lim f ( x0 + h) = lim f ( x0 − h) = f ( x0 ) . h →0
h →0
Seite 56
(Nähere ich mich von rechts oder von links der Stelle x0 und lasse den Abstand
h immer kleiner werden, so werde ich, wenn der Abstand gleich 0 ist, bei beiden (rechts und links) den Funktionswert x0 erreichen.) 5. Symmetrie a. Achsensymmetrie
b. Punktsymmetrie
G f ist achsensymmetrisch (as)
G f ist punktsymmetrisch (ps)
⇔ f ( x) = f (−x)
⇔ f ( x) = − f ( −x)
Somit für das Beispiel: a.) b.)
1 f ( − x ) = − x5 + x3 ≠ f ( x ) ⇒ G f ¬ as 9 1 − f ( − x ) = x 5 − x 3 = f ( x ) ⇒ G f ist ps 9
6. Ordinatenschnittpunkt
1 f ( 0 ) = ⋅ 0 5 − 03 = 0 9 7. Verhalten im Unendlichen
1 +∞ 1 5 3 51 lim f ( x ) = lim x − x = lim x − 2 = x →±∞ x →±∞ 9 x −∞ x →±∞ 9 0 8. Extrema a. 1. und 2. Ableitung
5 4 x − 3x 2 9 20 3 f ′′ ( x ) = x − 6x 9
f ′( x) =
b. Nullstellen der 1. Ableitung
5 5 f ′ ( x ) = 0 ⇔ x2 x2 − 3 = 0 ⇔ x2 = 0 ∨ x2 = 3 9 9 ⇔ x = 0 ∨ x = 2,32 ∨ x = −2,32 c. Extrema bestimmen
f ′′ ( 0 ) = 0 ⇒ G f hat in x = 0 kein Extremum
Seite 57
20 ⋅ 2,323 − 6 ⋅ 2,32 = 13,8 > 0 9 ⇒ G f hat in x = 2,32 ein lokales Minimum f ′′ ( 2,32 ) =
f ( 2,32 ) = −5, 02 ⇒ Min ( 2, 32 − 5, 02 ) 20 3 ⋅ ( −2,32 ) − 6 ⋅ ( −2,32 ) = −13, 9 < 0 9 ⇒ G f hat in x = −2,32 ein lokales Maximum f ′′ ( −2,32 ) =
f ( −2, 32 ) = +5, 02 ⇒ Min ( −2,32 + 5, 02 ) 9. Wendepunkte und Wendetangenten a. 3. Ableitung
f ′′′ ( x ) =
60 2 x −6 9
b. Nullstellen der 2. Ableitung
20 2 20 f ′′ ( x ) = 0 ⇔ x x 2 − 6 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x =6 9 9 27 ⇔ x = 0 ∨ x2 = = 2, 7 10 ⇔ x = 0 ∨ x = 1, 64 ∨ x = −1, 64 c. Wendepunkte bestimmen
f ′′′ ( 0 ) = −6 ≠ 0
⇒ G f hat in x = 0 einen Wendepunkt
f ′ ( 0 ) = f ′′ ( 0 ) = 0 ⇒ G f hat in x = 0 einen Sattelpunkt f ( 0 ) = 0 ⇒ SP ( 0 0 ) 20 ⋅1, 642 − 6 = 12 ≠ 0 3 f (1, 64 ) = −3,11 ⇒ WP1 (1, 64 − 3,11) f ′′′ (1, 64 ) =
20 2 ⋅ ( −1, 64 ) − 6 = 12 ≠ 0 3 f ( −1, 64 ) = +3,11 ⇒ WP2 ( −1, 64 3,11) f ′′′ ( −1, 64 ) =
⇒ G f hat in x = 1, 64 einen Wendepunkt
⇒ G f hat in x = −1, 64 einen Wendepunkt
d. Punkt-Steigungsform der Wendetangenten
f ′ ( xW ) = mW =
t ( x ) − f ( xW ) x − xW
∆y = f ′ ( xW ) ∆x
Seite 58
e. Tangentengleichung
xW = 1, 64
xW = −1, 64
f ′ (1, 64 ) = −4, 05
f ′ ( −1, 64 ) = −4, 05
−4, 05 =
t ( x ) + 3,11 x − 1, 64
−4, 05 =
t ( x ) − 3,11 x + 1, 64
−4, 05 x + 6, 65 = t ( x ) + 3,11
−4, 05 x − 6, 65 = t ( x ) − 3,11
t1 ( x ) = −4, 05 x + 3,54
t2 ( x ) = −4, 05 x − 3, 54
10. Wertetabelle und Graph der Funktion
Seite 59
4.3 Funktionen aus gegebenen Bedingungen Durch eine Kurvendiskussion können wir verschiedene Eigenschaften einer gegebenen Funktion ermitteln, um beispielsweise den Graphen zu zeichnen. In der Praxis ist es oftmals umgekehrt: Der Funktionsgraph oder bestimmte Eigenschaften sind gegeben, und die zugehörige Funktionsgleichung soll ermittelt werden. Auch für Kurven und Formen aus der Realität können wir „passende“ Funktionsgleichungen finden.
Beispiel: Eine Funktion 4. Grades ist gesucht. Ihr Graph ist: •
achsensymmetrisch zur y-Achse
•
hat in W 1 0 einen Wendepunkt.
( )
Eine Tangentengleichung im Wendepunkt lautet y = −2 x + 2 .
Lösung:
Allgemeine Funktionsgleichung angeben:
f ( x ) = a4 x 4 + a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, enthält der Funktionsterm nur xPotenzen mit geraden Exponenten.
Allgemeine Gleichungen (unter Berücksichtigung der Symmetrie):
f ( x ) = a4 x 4 + a2 x 2 + a0 f ′ ( x ) = 4a4 x 3 + 2a2 x f ′′ ( x ) = 12a4 x 2 + 2a2 Bedingungsgleichungen aufstellen
f (1) = 0
⇔ a4 ⋅14 + a2 ⋅12 + a0 = 0
(I)
f ′′ (1) = 0
⇔ 12a4 ⋅12 + 2a2 = 0
(II)
f ′ (1) = −2 ⇔ 4a4 ⋅13 + 2a2 ⋅1 = −2
(III)
Gleichungssystem aufstellen und lösen f (1) = 0 ⇔ a4 + a2 + a0 = 0 (I )
( II )
f ′′ (1) = 0
⇔ 6 a4 + a2 = 0
( III ) f ′ (1) = −2
⇔ 2 a4 + a2 = − 1
(IV)=(II)-(III) ⇔ a4 = 0, 25
⇔ 4 a4 = 1
Funktionsgleichung angeben f ( x ) = 0, 25 ⋅ x 4 + a − 1,5 ⋅ x 2 + 1, 25 f ( x ) = 0, 25 ⋅ x 4 + a − 1,5 ⋅ x 2 + 1, 25
a4 = 0, 25 in ( II ) : 6 ⋅ 0, 25 + a0 = 0
⇔ a 0 = −1,5 a4 = 0, 25; a 0 = −1,5 in ( I ) : 0, 25 − 1,5 + a2 = 0
⇔ a 2 = 1, 25
Seite 60
t ( x ) = −2 x + 2
Eine Formulierung und deren „Übersetzung“ in die Funktionsschreibweise liefert folgende Übersicht: Der Graph der Funktion f ( x )
f ( x)
f ′( x)
f ′′ ( x )
•
schneidet die x-Achse an der Stelle a (Nullstelle).
•
berührt die x-Achse an der Stelle a.
f (a) = 0
•
schneidet die y-Achse an der Stelle b.
f (0) = b
•
geht durch den Punkt P a b
• •
hat einen Hochpunkt/Tiefpunkt an der Stelle a. hat einen Hochpunkt/Tiefpunkt
•
hat an der Stelle a die Steigung m.
•
hat einen Wendepunkt an der Stelle a.
f ′′ ( a ) = 0
•
hat die stärkste Steigung/das größte Gefälle an der Stelle a.
f ′′ ( a ) = 0
•
hat in P a b einen Wendepunkt.
f (a) = b
( ) Die Tangente in P ( a b ) hat die Steigung m. Die Tangente im Wendepunkt W ( a b ) hat
f (a) = b
f ′(a) = 0
f (a) = b
f ′(a) = m
f (a) = b
f ′(a) = m
•
( )
f (a) = 0
f (a) = b
P (a b)
( )
hat im Punkt P a b einen Sattelpunkt
die Steigung m.
Seite 61
f ′(a) = 0 f (a) = b
f ′(a) = 0 f ′(a) = m
f ′′ ( a ) = 0 f ′′ ( a ) = 0
f ′′ ( a ) = 0
4.4 Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung Die Idee von Newtons Verfahren besteht darin, dass Funktionen in kleinen Bereichen gut durch ihre Tangenten angenähert werden. Wenn man von einer Stelle aus eine benachbarte Nullstelle auffinden möchte, so schaut man, wo die Tangente an den Graphen an der betreffenden Stelle eine Nullstelle hat, und verwendet dann diese Nullstelle als nächste Näherung. Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse ist leicht zu berechnen, wenn man den Funktionswert und die Steigung der Tangenten kennt. Diese wird gegeben durch die erste Ableitung der Funktion, die auch numerisch gut angenähert werden kann. Das hier vorgestellte Näherungsvery t ( x) fahren von Newton hat den Vorteil, dass die Nullstellen mit ausreichender Genauigkeit und wenigen Näherungsschritten bestimmt werden können.
P1
Grundsätzlich gilt auch hier, wie bei anderen Näherungsverfahren, dass der Näherungswert in etwa bekannt sein muss. Der geschätzte oder graphisch ermittelte Wert x1 ist Startwert für das
P2 Q
Näherungsverfahren.
x2
x1
x
x0 Abbildung 9: Newton-Verfahren
1. Näherungsschritt: (Abbildung 9: Newton-Verfahren) Zum Startwert x1 gehört der Punkt P1 , dessen Tangente die x-Achse im Punkt Q
(
schneidet. Mit P1 x1 f ( x1 )
)
(
)
und Q x2 0 wird der Steigungswert der Tangente t ( x)
ermittelt:
mt =
∆y f ( x1 ) − 0 ⇔ mt = ∆x x1 − x2
Die Steigung der Tangente ist auch die Ableitung der Funktion f an der Stelle x1 . Also ist: f ′( x1 ) = mt
f ′( x1 ) =
f ( x1 ) f ( x1 ) ⇔ x2 = x1 − x1 − x2 f ′( x1 )
2. Näherungsschritt: x2 und f ( x2 ) sind die Koordinaten von P2 . Wie im ersten Näherungsschritt wird x3 ermittelt, usw. Die Näherungsschritte für das Newton-Verfahren lauten:
xn +1 = xn −
f ( xn ) ; n ∈ N ; f ′( x) existiert und f ′( x ) ≠ 0 f ′( xn )
Seite 62
Achtung: Nicht jeder Startwert führt dazu, dass die Näherungswerte gegen x0 konvergieren (Abbildung 9: Newton-
y
Verfahren). Ist hier der Startwert x1 = 1 , so schneidet die Tangente die
f ( xn )
x-Achse weit entfernt von x0 .
xn +1
xn
x
Abbildung 10: Newton-Verfahren (schlecht gewählter Startwert)
Beispiel für die Bestimmung einer Nullstelle:
f ( x ) = 0, 04 x 3 − 0, 25 x − 1 Für die Funktion sollen die Nullstellen ermittelt werden. x1 = 3, 5 ist der Startwert. Er kann aus Abbildung 9: Newton-Verfahren entnommen werden.
xn +1 = xn −
f ( x ) = 0, 04 x 3 − 0, 25 x − 1 f ′( x ) = 0,12 x 2 − 0, 25
f ( xn ) f ′( xn )
Gleichung der Funktion Gleichung der Ableitungsfunktion
Von Vorteil ist es, sich für die n Schritte eine Tabelle anzulegen.
n
xn
1 2 3 4
3,5 3,63115 3,62566 3,62564
f ( xn ) f ′( xn )
f ′( xn )
f ( xn ) -0,16 0,00732 0,00002 -0,00001
1,22 1,33223 1,32745 1,32743
-0,13115 0,00549 0,00002 -0,000004
xn +1 3,63115 3,62566 3,62564
x0 = 3, 62565 ± 0, 000004 ist die Nullstelle. Sie kann beliebig genau bestimmt werden. Übung: Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktion f ( x ) = x 3 − 3 x 2 + 3 x − 3 . Der erste Näherungswert ist x1 = 2, 5 . Bestimmen Sie die Nullstelle so, dass sie auf 6 Stellen nach dem Komma genau ist. f ′( x ) = 3x 2 − 6 x + 3
n
xn
1 2 3 4
2,5 2,296296296 2,260932225 2,259921861
f ′( xn )
f ( xn ) 1,375 0,178275667 0,004819286 0,000003862
Funktionswerte nähern sich immer mehr der Zahl 0.
6,75 5,041152261 4,769850228 4,762209287
xn +1 2,296296296 2,260932225 2,259921861 2,259921065
Das Ergebnis ändert sich nach 6 Stellen nach dem Komma nicht mehr.
Bei der Fortsetzung des Verfahrens ändern sich die 6 Stellen nach dem Komma nicht mehr. x = 2, 259921 ist eine Näherung, die auf 6 Stellen nach dem Komma genau ist.
Seite 63
Aufgaben
4.5 Extremwertaufgaben Für die Lösung einer Extremwertaufgabe benötigt man in der Regel eine Haupt- und eine Nebenbedingung. Die Hauptbedingung enthält eine Formel für die optimierende Größe. Diese Formel wird als Funktion aufgefasst, die jedoch meistens von mehr als einer Variablen abhängig ist. Die Nebenbedingung ist eine Gleichung, die einen gegebenen Zusammenhang zwischen den Variablen beschreibt. Die
Zielfunktion
erhält
man,
indem
die
nach
einer
Variablen
umgestellten
Nebenbedingung in die Hauptbedingung eingesetzt wird. Durch eine Extremwertbestimmung für die Zielfunktion erhält man die gesuchten optimalen Werte. Dabei ist der in der Regel eingeschränkte Definitionsbereich zu berücksichtigen. In einem Fußballstadion befindet sich eine Laufbahn für Leichtathleten. Die Innenumrandung der Laufbahn besteht aus zwei geraden Stücken und zwei Halbkreisbögen und ist immer 400 m lang. Das Fußballfeld, welches im Inneren der Laufbahn an die geraden Stücke der Laufbahn angrenzt, ist so zu bemessen, dass die Spielfläche A maximal groß wird. Sie nimmt dann einen Extremwert an. Bestimmen Sie die Abmessungen [x, r] des Fußballstadions. Abbildung 11: Extremwertaufgabe – Fußballstation
1. Schritt: Hauptbedingung erstellen
A( x, r ) = x ⋅ 2r
2. Schritt: Nebenbedingung erstellen
l = 2 x + 2π r = 400 2π r = 400 − 2 x 2r =
3. Schritt: Zielfunktion formulieren
400
π
A( x ) =
4. Schritt: Definitionsbereich festlegen
−
400
π
2x
π ⋅x−
2
π
⋅ x2
Für r = 0, kann die Spielfeldfläche max. 200m betragen.
D = { x ∈ R 0 ≤ x ≤ 200}
Seite 64
5. Schritt: Zielfunktion ableiten
6. Schritt: Ableitung null setzen
A′( x ) =
400
400
⋅x=0
π
−
4
π
π
−
4
π
⋅x
0 = 100 − x x = 100 Der Extremwert liegt an der Stelle xE=100m
7. Schritt: Zweite Ableitung von A( x ) bilden
8. Schritt: Polarität der zweiten Ableitung an der Stelle xE ermitteln.
A′′( x ) = −
A′′( x ) = −
4
π 4
π
<0
Da die zweite Ableitung für alle x kleiner null ist, kann der Extremwert nur ein Maximum sein.
9. Schritt: Extremwert berechnen
2r =
400
2r =
200
π
−
2 ⋅ 100
π
π
2r = 63, 66 Die Spielfeldbreite beträgt 63,66m.
Amax = 100m ⋅ 63, 66m = 6366m2 Aufgaben
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5 Integralrechnung 5.1 Einführung Fall 1: Wird ein Körper von einer bestimmten Stelle s1 nach s2 bewegt, ergibt sich für die verrichtete Arbeit :
Fall 2: Ein Auto beschleunigt konstant vom Stand v = 0 auf eine Geschwindigkeit v0 . Dabei steigt die Geschwindigkeit linear mit v ( t ) = a ⋅ t an. Der Weg s entspricht in diesem Fall der markierten Dreiecksfläche im Bereich [ 0;t1 ] . Er berechnet sich
Fall 3: Wenn eine Kraft nicht linear zur Wegstrecke verläuft, z.B. beim Beschleunigen eines Autos („Gas geben“, dann wird die Berechnung der verrichteten Arbeit W schwieriger.
geometrisch:
W = F0 ⋅ ( s2 − s1 ) = F0 ⋅ ∆s
Weg s =
1 ⋅ Grundseite ⋅ Höhe 2
1 ⋅ t1 ⋅ v ( t1 ) 2 1 s ( t1 ) = ⋅ a ⋅ t12 2 s=
Krummlinig begrenzte Flächen bestimmt man mit der Integralrechnung
W
Abbildung 12: Einführung in die Integralrechnung Beispiel: Ein Pkw beschleunigt konstant in 10s vom Stand auf v = 30 m/s. Welche Wegstrecke legt er dabei zurück.
Seite 66
?
5.2 Flächenberechnung bei Exponentialfunktionen Gegeben ist die Funktion f ( x ) = e x − 1 . Gesucht ist die Größe der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [ −3; 2] .
Lösung: Der Graph von f geht durch den Ursprung:
A = A1 + A2
f ( 0) = e −1 = 1 −1 = 0 0
0
=
Also zerfällt die zu bestimmende Fläche in die Teilflächen A1 über [ −3; 0] und A2 über
∫ (e
x
− 1) dx +
−3
2
∫ (e
x
− 1) dx
0
= 1 − 0 − ( e3 − ( −3) ) + e2 − 2 − (1 − 0 )
[0; 2] .
= 1 − e3 − 3 + e 2 − 3 ≈ −2, 05 + 4, 39 = 2, 05 + 4, 39 = 6, 44 Der Flächeninhalt der gesuchten Fläche beträgt etwa 6,44 FE.
A2 A1
5.3 Mehrere Teilflächen zwischen zwei Funktionsgraphen Haben zwei Funktionen mehr als zwei Schnittstellen, so zerfällt die von den Graphen umschlossene Fläche in mehrere Teilflächen. Diese müssen getrennt berechnet werden, da die entsprechenden Flächenstücke bei der Differenzenfunktion oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegen können. Folgende Arbeitsschritte sind erforderlich: 1. Bestimmung der Differenzenfunktion d ( → Integrand ) 2. Bestimmung der Nullstellen von d ( → Integrationsgrenzen ) 3. Berechnung des Integrals bzw. der Integrale
( → Fläche ggf . als Summe von Teilflächen )
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Gegeben
sind
die
Funktionen
f
und
mit
g
den
Gleichungen
f ( x ) = 0, 25 x 3 − 0,5 x 2 − 1, 25 x + 3 und g ( x ) = −0, 75 x3 + 1,5 x 2 + 3, 75 x − 3 . Gesucht ist die Größe der Fläche A, die von den Graphen der Funktionen
f
und g vollständig
umschlossen wird.
1. Schritt: Differenzenfunktion
d ( x) = f ( x) − g ( x)
d ( x ) = 0, 25 x3 − 0,5 x 2 − 1, 25 x + 3
A2
− ( −0, 75 x3 + 1, 5 x 2 + 3, 75 x − 3) = 0, 25 x3 − 0,5 x 2 − 1, 25 x + 3 +0, 75 x 3 − 1,5 x 2 − 3, 75 x + 3
A1
d ( x ) = x3 − 2 x2 − 5 x + 6 2. Schritt: Nullstellen von d ( x )
x3 − 2 x 2 − 5 x + 6 = 0 f (1) = 13 − 2 ⋅12 − 5 ⋅1 + 6 = 0 → Nullstelle : x01 = 1
(x −(x
3
− 2 x 2 − 5 x + 6 ) : ( x − 1) = x 2 − x − 6
3
− x2 ) − x2 − 5x − ( − x2 + x ) − 6x + 6 − ( −6 x + 6 ) 0
A1
x2 − x − 6 = 0 2
1 1 x − x+ = 6+ 2 2 2
2
1 24 + 1 25 = x− = 2 4 4 1 5 x− = 2 2 x02 = −2
A2
x03 = 3
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2
4. Schritt: Bestimmung der Teilflächen in den Intervallgrenzen A = A1 + A2 1
A=
3 2 ∫ ( x − 2 x − 5 x + 6 ) dx +
−2
3
∫(x
3
− 2 x 2 − 5 x + 6 ) dx
1
1
3
2 2 1 1 = x 4 − x 3 − 5 x 2 + 6 x + x 4 − x3 − 5 x 2 + 6 x 3 3 4 −2 4 1 =
63 16 63 16 253 +− = + = = 21, 083 4 3 4 3 12
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6 Trigonometrie 6.1 Bogenmaß des Winkels Die Messung von Winkeln im Gradmaß ist eine traditionelle Art, Winkelgrößen anzugeben. Die Einteilung des Vollwinkels in 360 Grad ist allerdings gekünstelt und historisch bedingt. Man hat diese „schiefe“ Zahl auch schon durch sogenannte Neugrad ersetzt, bei der ein rechter Winkel 100 Neugrad, ein Vollwinkel also 400 Neugrad erhält. Es gibt aber auch noch eine natürliche Art, das Winkelmaß anzugeben. Dies ist das sogenannte Bogenmaß. Beim Bogenmaß des Winkels wird der zum Winkel gehörende Kreisbogen berechnet bzw. angegeben, wobei man dann den Radius 1 zugrunde legt. Das Bogenmaß ist also die Länge des Bogens im Einheitskreis.
α ⋅ 2πr erhält man durch Kürzen und Ersetzen von 360° α r = 1 diese Bogenmaßformel: x = ⋅π 180°
Ausgehend von der Formel b =
Daraus erhält man folgende Tabelle der wichtigsten Winkel.
α
30°
45°
60°
90°
120°
135°
180°
270°
360°
x
π 6
π 4
π 3
π 2
2 ⋅π 3
3 ⋅π 4
π
3 ⋅π 2
2π
Bogenminute Die Winkelminute oder Bogenminute, offizielle Bezeichnung "Minute", ist der sechzigste Teil eines Winkelgrads. Sie stellt eine Unterteilung der Maßeinheit Grad zur Angabe der Größe ebener Winkel dar. Der Vollwinkel hat 360 Grad. Ein Grad besteht aus 60 Winkelminuten: 1°=60′. Eine Winkelminute entspricht somit 1′ =
1 Grad = 0,016 Grad . 60
Eine Winkelminute wiederum besteht aus 60 Winkelsekunden: 1′ = 60′′ somit gilt: 1° = 3600′′ . Als Dezimalminute bezeichnet man eine Angabe der Minuten mit Dezimalstellen statt Winkelsekunden. Analog zur üblichen Angabe von Uhrzeiten werden Winkel auch in einer Schreibweise, die Grad, Minuten und Sekunden gemeinsam verwendet, angegeben. Der anzugebende Winkel wird dabei als Summe von drei Winkeln dargestellt, wobei die Zahlenwerte vor den Minuten und Sekunden kleiner als 60 sind. Diese Schreibweise wird zum Beispiel bei geographischen Koordinaten für die Angabe von Längengrad und Breitengrad verwendet. 51° 14′ 4,2″ ist die Schreibweise für 51 Grad + 14 Winkelminuten + 4,2 Winkelsekunden.
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Umrechnung
Winkelminuten Winkelsekunden + 60 3600 Winkelsekunden Winkelminuten+ 60 =Grad+ 60
Winkel (in Grad ) = Grad +
Letztere Schreibweise wird im folgenden Beispiel benutzt: 51° 14′ 4,2″ (sprich: 51 Grad; 14 Minuten; 4,2 Sekunden) lassen sich wie folgt in Dezimalschreibweise umrechnen: -
zunächst die Sekunden in Minuten ergibt die Minuten in Grad insgesamt also
4,2″ · 1′ / 60″ = 0,07′ 51° 14,07′ 14,07′ · 1° / 60′ = 0,2345° 51° + 0,2345° = 51,2345°.
Die Umrechnung von Dezimalgrad in Grad-Minuten-Sekunden erfolgt, indem der Dezimalteil zunächst mit 60 multipliziert wird. 0,2345° · 60′ / 1° = 14,07′ Die daraus resultierende Ganzzahl sind die Winkelminuten. Der verbleibende Dezimalteil wird wieder mit 60 multipliziert. 0,07′ · 60″ / 1′ = 4,2″ Die daraus resultierende Zahl sind die Sekunden
6.2 Gleichung des Ursprungkreises Für jeden Punkt auf dem Kreis gilt nach Pythagoras
x2 + y2 = r 2 Dies nennt man Kreisgleichung. Beispielsweise hat der dargestellte Kreis den Radius 4, also ist seine Gleichung
x12 + y12 = 16 Ein Kreis mit dem Radius 1 heißt Einheitskreis. Die Gleichung des Einheitskreises lautet:
x2 + y2 = 1 Die Lage eines Punktes kann man anstelle dieser sogenannten "kartesischen" Koordinaten x und y auch noch durch sogenannte Polarkoordinaten festlegen. Darunter versteht man den Radius des Ursprungskreises, auf dem der Punkt liegt, und den
( )
Winkel gegen die positive x- Achse, den der Radius bildet: P r α
Seite 71
6.3 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck (a) Nach dem 2. Strahlensatz gilt:
BC AC = DE AE Nun ist AE = r = 1 und DE = sin α . Setz man dies ein folgt:
BC sin α BC = ⇒ sin α = 1 DE AC Das bedeutet, daß man aus den beiden Seiten BC (sie liegt dem Winkel α gegenüber und heißt daher Gegenkathete) und AC (sie liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt daher Hypotenuse), den Winkel α berechnen kann.
5 ⇒ α = 38,7° 8 AB AD = (b) Nach dem 1. Strahlensatz folgt: . Setzen wir hier AE = r = 1 und AC AE AB cos α AB = ⇒ cos α = AD = cos α ein, so folgt: 1 AC AC Beispiel: BC = 5,0cm; AC = 8,0cm ⇒ sin α =
AB 7 = ⇒ α = 45,6° AC 10 In dieser Kosinusformel steht im Zähler die Seite AB . Da diese am Winkel α liegt,
Beispiel: AB = 7,0cm; AC = 10,0cm ⇒ cos α =
heißt sie Ankathete.
sin α =
Gegenkathete Hypotenuse
und
cos α =
Ankathete Hypotenuse
(c) Verwenden wir noch die Formel tan α =
sin α , dann erhält man damit die dritte cos α
Formel.
BC sin α AC BC Gegenkathete = = = tan α = Ankathete cos α AB AB AC
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Übung: Soll man eine Höhe bestimmen, bei der die Messung der Entfernung bis zum Fußpunkt nicht möglich ist, dann steckt man eine Standlinie s senkrecht auf den Turm zulaufend ab und misst in deren Endpunkten die beiden Höhenwinkel α und β . Die Messung wird in der Augenhöhe a durchgeführt. Auf diese Weise entstehen zwei ineinander geschachtelte Dreiecke ACD und ABS. Sie sind natürlich gekoppelt und zwar auf zwei Weisen. Zum einen haben sie die gemeinsame Höhe h1 , zum Anderen gilt für die Grundseite AC = BC + s . Lösung (ohne Werte): Teildreieck ACS: Teildreieck BCS: Divisionstrick:
h1 AC h tan β = 1 BC tan α h1 BC BC ⋅ = = tan β AC h1 BC + s
tan α =
(BC + s ) ⋅ tan α = BC ⋅ tan β BC ⋅ tan α + s ⋅ tan α = BC ⋅ tan β BC ⋅ ( tan β − tan α ) = s ⋅ tan α BC = Höhe h1 bestimmen:
s ⋅ tan α ( tan β − tan α )
h1 ⇒ h1 = BC ⋅ tan β BC s ⋅ tan α h1 = ⋅ tan β ( tan β − tan α )
mit tan β =
h1 =
s ⋅ tan α ⋅ tan β ( tan β − tan α )
Und für die gesamte Höhe erhält man dann unter Berücksichtigung der Augenhöhe:
h1 =
s ⋅ tan α ⋅ tan β +a ( tan β − tan α )
Zahlenbeispiel:
Wir verwenden diese Meßwerte: α = 27,0° ; β = 65,0° und
s = 65,0m sowie die Augenhöhe a = 1,60m . Ergebnis:
h1 = 45,0m
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6.4 Punktkoordinaten auf dem Einheitskreis DEFINITIONEN: Die x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis nennt man den Kosinus des Winkels α , geschrieben cos α . Die y- Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis nennt man den Sinus des Winkels α , geschrieben sin α . Sinus und Kosinus gehören zu den sogenannten Trigonometrischen Funktionen. Sie ordnen jedem Winkel α je einen Funktionswert zu. Zunächst einmal reichen zur Beschreibung der Lage eines Punktes Winkel von 0° bis 360° aus. Und da 360° wieder dieselbe Lage ergibt wie α = 0° , beschränken wir uns vorerst auf den Definitionsbereich D = [0°;360°[ . Da die Punkte auf dem Kreis mit Radius 1 liegen und die Sinus- und Kosinuswerte nichts anderes sind als Koordinaten dieser Kreispunkte, müssen wir festhalten, dass diese Koordinaten, also die Sinus- und Kosinuswerte nur Zahlen aus dem Wertebereich W = [ −1;1] sind. Übungen mit dem Taschenrechner:
α sin α cos α 6.4.1
30°
45°
60°
70°
0,50 0,87
0,71 0,71
0,87 0,50
0,94 0,34
Sinuswerte Wir haben die Sinuswerte als die yKoordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis definiert. Wir lassen nun den Punkt P0 mit
( )
den Koordinaten 1 0 um der Kreislinie einmal umlaufen und halten fest, was wir dabei für y-Koordinaten erhalten.
α ist der zugehörige Drehwinkel !
α von 0° bis 90°: α von 0° bis 90°:
y1 = sin α1
wächst von 0 bis 1
y 2 = sin α 2
fällt wieder von 1 nach 0
Wenn dabei P1 und P2 auf gleicher Höhe liegen, also wenn
α1 + α 2 = 180° ⇒ α 2 = 180° − α1 ist, dann liegen gleiche Sinuswerte (y-Koordinaten) vor: sin (180° − α1 ) = sin α1
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α von 180° bis 270°: α von 270° bis 360°:
y 3 = sin α3
wird negativ und fällt von 0 nach -1.
y 4 = sin α 4
ist negativ und steigt von - 1 nach 0.
Wir beobachten, dass P3 die entgegengesetzte y-Koordinate hat wie
P1 , wenn gilt: P3 liegt punktsymmetrisch zu P1 . Für den Winkel bedeutet dies α 3 = 180° + α1 ; sin (180° + α1 ) = − sin α1 Und P4 hat die entgegengesetzte y-Koordinate wie P1 , wenn gilt:
P4 liegt achsensymmetrisch zu P1 : sin ( 360° − α1 ) = − sin α1 Vorzeichentabelle der Sinusfunktion
Nun tragen wir die Sinus-Werte als y-Koordinaten ab. Dies kann man einfach dadurch machen, dass man die y-Koordinaten des auf dem Einheitskreis umlaufenden Punktes in ein neues Achsenkreuz überträgt. Die senkrechten Linien markieren die Winkel 90°, 180° , 270° und 360°. Die an der xAchse stehenden Zahlen geben die Lände des Bogens an, der zum Winkel α gehört, also das Bogenmaß des Winkels. Gemäß der Formel
b=
α 360°
⋅ 2π r bzw. wegen r = 1 ⇒ b =
α 180°
⋅π
geht die Bogenlänge für einen Umlauf von 0 bis 2π ≈ 6, 28 . Es ist leicht einzusehen, dass sich diese Sinuslinie für jeden weiteren Umlauf wiederholt. Man sagt, sie ist periodisch und hat die Periodenlänge 2π .
Übungen: Gegeben ist ein Sinuswert. Finde die passenden Winkel im Bereich
D = [ 0°;360°[ : a.) sin α = 0, 4
b.) sin α = −0, 75
Da sin α > 0 ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 1. oder 2. Feld. Für das erste Feld liefert der Taschenrechner
α1 ≈ 23,6°
Da sin α < 0 ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 3. oder 4. Feld. Der Taschenrechner liefert zu sin α = +0,75 zunächst α′ ≈ 48,6° . Dies ergibt
Für das zweite Feld gilt:
α1 ≈ 360° − α′ = 360° − 48,6° = 211,4°
α 2 ≈ 180° − α1 ≈ 180° − 23,6° = 156,4°
Für das dritte Feld gilt:
α 2 ≈ 180° + α1 ≈ 180° + 48,6° = 228,6° Seite 75
6.4.2
Kosinuswerte Wir haben die Kosinuswerte als die xKoordinaten der Punkte auf dem Einheitskreis definiert. Wir lassen nun den Punkt P0 mit
( )
den Koordinaten 1 0 um der Kreislinie einmal umlaufen und halten fest, was wir dabei für xKoordinaten erhalten.
α von 0° bis 90°: α von 0° bis 90°:
x1 = cos α1
fällt von 1 bis 0
x2 = cos α 2
fällt von 0 nach -1
Wenn dabei P1 und P2 auf gleicher Höhe liegen, also wenn
α1 + α 2 = 180° ⇒ α 2 = 180° − α1 ist, dann liegen entgegengesetzte Kosinuswerte (x-Koordinaten) vor: cos (180° − α1 ) = − cos α1
α von 180° bis 270°: α von 270° bis 360°:
x3 = cos α 3
wächst wieder von -1 nach 0
x4 = cos α 4
steigt von 0 nach 1.
Wir beobachten, dass P3 die entgegengesetzte x-Koordinate hat wie
P1 , wenn gilt: P3 liegt punktsymmetrisch zu P1 . Für den Winkel bedeutet dies α 3 = 180° + α1 ; cos (180° + α1 ) = − cos α1 Und P4 hat die gleiche x-Koordinate wie P1 , wenn gilt:
P4 liegt achsensymmetrisch zu P1 : cos ( 360° − α1 ) = cos α1 Vorzeichentabelle der Kosinusfunktion Nun übertragen wir die Kosinus-Werte wieder in ein neues Achsenkreuz, um die Kosinuskurve zu erzeugen. Doch jetzt müssen wir x-Werte übertragen, daher legen wir das Achsenkreuz für die Kosinuskurve vertikal. Diese Kurve y = cos x ist genauso periodisch mit der Periodenlänge
2π wie die Sinuskurve y = sin x . Die Einheiten auf der x-Achse geben die Bogenlänge an, die senkrechten Striche die Grad-Maße 90° , 180°, 270° und 360°. Man merkt sich, dass die Kosinuswerte im 1. und 4 Feld positiv, im 2. und 3. negativ sind.
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Vergleich der Sinus und Kosinusfunktion
Übungen: Gegeben ist ein Kosinuswert. Finde die passenden Winkel im Bereich
D = [0°;360°[ : a.) cos α = 0,4 Da cos α > 0 ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 1. oder 4. Feld. Für das erste Feld liefert der Taschenrechner
α1 ≈ 66,4° Für das vierte Feld gilt:
α 2 ≈ 360° − α1 ≈ 360° − 66,4° = 293,6°
b.) cos α = −0,75 Da cos α < 0 ist, liegt der zugehörige Kurvenpunkt im 2. oder 3. Feld. 1. Möglichkeit: Der Taschenrechner liefert zu cos α = +0,75 zunächst α′ ≈ 41,4° . Dies ergibt
α1 ≈ 180° − α′ = 180° − 41,4° = 138,6° Für das dritte Feld gilt:
α 2 ≈ 180° + α′ ≈ 180° + 41,4° = 221,4° 2. Möglichkeit: Der Taschenrechner liefert zu cos α = −0,75 zunächst α1 ≈ 138,6° . Nun subtrahieren wir dies von 180° und erhalten α′ = 180° − 138,6° = 41,4° . Dazu addieren wir wieder 180° und kommen ins 3.Feld zu
α 2 ≈ 180° + α′ ≈ 180° + 41,4° = 221,4° 6.4.3
Tangenswerte
( )
Nun zeichnen wir im Kreispunkt Q 1 0 die Tangente ein und verlängern die Radien bis zu dieser Tangente. Die y-Koordinate des Schnittpunktes P mit dieser Tangente nennt man den Tangens des Winkels α . Die Gerade durch den Ursprung schneidet die Tangente nicht mehr, wenn α = 90° ist. Also gibt es den Wert tan 90° NICHT ! Aber man kann sagen: α → 90° ⇒ tan α = ∞ Zu Winkeln über 90° bis 180° gehört dann eine fallende Gerade, d.h. ein negativer Tangentenabschnitt.
Seite 77
Für Winkel im Bereich 180° bis 270° steigt dann die Gerade wieder und man erhält dieselben Tangenswerte wie im 1. Feld. Für die Winkel über 270o° bis vor 360° fällt die gerade wieder wie im 2. Feld.
Vorzeichentabelle für die Tangensfunktion:
Trägt man für beliebige Winkel die Tangenswerte ab, entsteht dieses Schaubild, das aus beliebig vielen Kurvenästen besteht, und das an den Stellen Sperrlinien enthält, an denen kein Tangenswert existiert, also bei 90° (entspricht der Bogenlänge
1 π ), 2
dann wieder bei 270°
(entspricht der
Bogenlänge
3 π ) und so weiter im Abstand 4
180° (entspricht π ).
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6.5 Sinussatz Einführungsbeispiel Ein Schiff peilt ein Leuchtfeuer an. Dazu misst es α = 43° in Fahrtrichtung und nach einer Fahrtstrecke von c = 15km β = 58° . Wie groß ist bei der zweiten Peilung die Entfernung des Schiffs vom Leuchtfeuer? Wie gr0ß war auf der Fahrt von A nach B die kürzeste Entfernung e des Schiffs vom Leuchtfeuer? Wie weit war es in A vom Feuer entfernt? Beginnen Sie zuerst mit einer Skizze.
Lösung: Leuchtfeuer γ = 43°
ha
b
a e = hc α = 43°
β = 58°
c = 15 km
B
γ = 180° − α − β = 79°
A
sin β =
ha h und sin γ = a c b
Auflösen nach ha und Gleichsetzen liefert:
ha = c ⋅ sin β und ha = b ⋅ sin γ c sin γ = b sin β c ⋅ sin β 15km ⋅ sin 58° ⇒b= = = 12,959km sin γ sin 79° ⇒ c ⋅ sin β = b ⋅ sin γ ⇒
Für die kürzeste Entfernung gilt:
e ⇒ e = b ⋅ sin α = 12,959km ⋅ sin 43° = 8,838km b e e 8,838 sin β = ⇒ a = = = 10, 421km a sin β sin 58° sin α =
Im allgemeine Dreieck gilt der Sinussatz:
a b c = = sin α sin β sin γ
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6.6 Kosinussatz Einführungsbeispiel Zwei Stichstraßen sind b = 350m und c = 500m lang und schließen einen Winkel α = 65° ein. Wie lang wird die Verbindungsstraße a von B nach C? Fertigen Sie zuerst eine Skizze an.
C
a
hc α = 65°
x
c-x c = 500 m
A
B
Die Höhe hc teilt AB = c in zwei Teilstücke x und c − x . Dabei ist x = b ⋅ cos α , weil
cos α =
x 2 2 2 ist. Nach dem Satz des Pythagoras gilt: hc = b − x und b 2 a 2 = hc2 + ( c − x ) .
a 2 = hc2 + c 2 + x 2 − 2c x a 2 = b 2 − x 2 + c 2 + x 2 − 2c ⋅ b ⋅ cos α a 2 = b 2 + c 2 − 2c ⋅ b ⋅ cos α a 2 = ( 350m ) + ( 500m ) − 2 ⋅ 350m ⋅ 500m ⋅ cos 65° 2
a=
2
( 350m ) + ( 500m ) 2
a = 473, 90m Im allgemeine Dreieck gilt der Kosinussatzsatz:
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
Seite 80
2
− 2 ⋅ 350m ⋅ 500m ⋅ cos 65°
6.7 Aufgabentypen Damit Sie eine bessere Übersicht über die möglichen Aufgabentypen erhalten, werden diese nun systematisch aufgelistet. Ein Dreieck ist bestimmt, wenn drei Stücke gegeben sind. Die drei Winkel genügen allerdings nicht, denn dadurch ist das Dreieck nur bis auf die Ähnlichkeit festgelegt. Es bleiben also folgende Fälle:
Lösung mit dem Sinussatz 1. Winkel – Seite – Winkel (WSW)
C
Eine Seite und zwei anliegende Winkel sind gegeben
A
B
2. Winkel – Winkel – Seite (WWS)
C
Eine Seite, ein anliegender Winkel und ein Gegenwinkel sind gegeben.
A
B
3. Seite – Seite – Winkel (SSW)
C
Zwei Seiten und ein Gegenwinkel ist gegeben.
A
B
Lösung mit dem Kosinussatz 1. Seite – Winkel – Seite (SWS)
C
Zwei Seiten und der eingeschlossenen Winkel ist gegeben
A
B
2. Seite – Seite – Seite (SSS)
C
Drei Seiten sind gegeben A
Seite 81
B
6.8 Trigonometrische Funktionen Die Funktion y = a ⋅ sin ( bx + c ) + d Sehr viele Vorgänge in der Natur oder bei technischen Abläufen sin periodisch. Nicht immer aber reicht die Sinusfunktion in ihrer reinen Form zur Beschreibung aus. Dies hat mehrere Ursachen: Zum einen besitzt die Sinusfunktion nur Werte zwischen +1 und -1, zum anderen sind die angesprochenen Vorgänge gewöhnlich nicht winkel- sonder zeitabhängig mit einer Periode, die nicht einfach als ein Vielfaches von 2π zu fassen ist. Daher muss die Sinusfunktion zur Beschreibung dieser Vorgänge entsprechend modifiziert werden. Diese
Modifikation
und
ihre
Auswirkungen
sind
in
der
folgenden
Übersicht
zusammengefasst; die Graphen dienen der zusätzlichen Illustration. Analoges gilt auch für die übrigen trigonometrischen Funktionen. In der Praxis ist jedoch die Sinusfunktion (bzw. die ihr gegenüber um
π 2
verschobene Kosinusfunktion) am
bedeutendsten. Funktion
y = sin ( x )
Auswirkung
Seite 82
Anwendungsbereich Allgemein periodischer Vorgang
Funktion
Auswirkung Verschiebung in y- Richtung
Anwendungsbereich Ă&#x153;berlagerung einer Gleichund einer Wechselspannung
Funktion
Auswirkung Phasenverschiebung
Anwendungsbereich Beschreibung des Stromund Spannungsverlaufs im Wechselstromkreis
y = sin ( x ) + d
y = sin ( x + c )
Seite 83
Funktion
Auswirkung Veränderung der Amplitude Faktor -1 entspricht Phasenverschiebung von 180°
Anwendungsbereich Ausschlag eines Pendels
Funktion
Auswirkung Veränderung der Periode b>1: Beschleunigung 0<b<1: Verlangsamung b<0: „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Anwendungsbereich Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwingung (z.B. Klängen von Musikinstrumenten)
y = a ⋅ sin ( x )
y = sin ( b ⋅ x )
Seite 84
Funktion
y = a ⋅ sin ( b ⋅ x + c ) + d
Auswirkung Veränderung der Periode b>1: Beschleunigung 0<b<1: Verlangsamung b<0: „Rückwärtslauf“ wenig sinnvoll
Anwendungsbereich Gleichzeitige Betrachtung einer Grundschwingung und ihrer Oberschwingung (z.B. Klängen von Musikinstrumenten)
Der Graph dieser Funktion geht aus der Sinusfunktion hervor: y = 1,5sin ( 2 x − 1) +
1 2
1. 1,5 fache Ordinaten 2. Stauchung auf die halbe Periodenlänge 3. Verschiebung um eine Einheit nach rechts 4. Verschiebung um 0,5 nach oben
Seite 85
6.9 Goniometrische Gleichungen / Additionstheoreme Wichtige Formeln Wir wissen bereits folgendes: sin α = CD , cos α = OC , tan α = AB , OA = OD = r = 1 . Da die Strecken CD und AB parallel sind, gilt für die Figur OACDB der 2, Strahlensatz. Er besagt, dass folgende Verhältnisgleichung gilt:
OA AB = , oder nach AB umgestellt: OC CD AB =
OA ⋅ CD OC
Nun ersetzen wir die Streckenlängen durch das, was wir über sie wissen und erhalten:
tan α =
sin α cos α
Diese Formel gilt übrigens für alle Winkel, auch wenn sie hier nur für α < 90° abgeleitet worden ist. Das zweite Ergebnis erhält man aus obiger Abbildung durch Anwendung des Satzes von Pythagoras im Dreieck OCD :
CD + OC = OD d.h. ( sin α ) + ( cos α ) = 1 , was man kürzer so schreibt 2
2
2
2
2
sin 2 α + cos 2 α = 1 Übung 1: Es ist gegeben sin α = 0, 4 . Berechne dazu cos α (ohne α zu bestimmen! ). Lösung 1:
( cos α )
2
= 1 − ( sin α ) ⇒ cos α = ± 1 − ( sin α ) 2
2
also: cos α = ± 1 − ( 0, 4 ) = ± 1 − 0,16 ≈ ±0,92 2
Man kann nun die Tangensformel noch mit der Pythagorasformel kombinieren. Dann entstehen Formeln wie diese, die man dann in Formelsammlungen findet:
Übung 2: Bestimmen Sie aus sin α = 0, 6 direkt den Tangenswert: Lösung 2:
3 0, 6 0, 6 3 tan α = ± =± =± = ± 5 = ± = ±0, 75 4 0,8 4 1 − 0,36 1 − sin 2 α 5 sin α
Winkel 0° 30°
Sinus 0
Kosinus 1
Tangens 0
1 2
1 1 = 3 3 3
45° 60°
1 2 2 1 3 2
1 3 2 1 2 2 1 2
90°
1
0
----
Seite 86
1 3
Eine trigonometrische Gleichung (auch goniometrische Gleichung) ist eine Gleichung, in der die zu bestimmende Variable nur im Argument von trigonometrischen Funktionen (Winkelfunktionen) vorkommt. Bei der Lösung dieser Gleichungen sind die Beziehung zwischen den Winkelfunktionen hilfreich, insbesondere die Additionstheoreme. Wegen der Periodizität der Winkelfunktionen haben trigonometrischen Gleichungen im Allgemeinen unendlich viele Lösungen. Durch Beschränkung der Grundmenge auf ein „Basisintervall“ (zum Beispiel [0,2·π] oder [0,π]) reduziert man die Zahl der Lösungen auf eine endliche Anzahl oder man beschreibt die Lösungen durch einen Periodizitätssummanden (wie k·2·π oder k·π). Die trigonometrische Gleichung kann man unter Verwendung der Beziehung
sin x = cos x
cos x = 1 − sin 2 x
Durch Quadrieren erhält man:
sin x = 1 − sin 2 x sin 2 x = 1 − sin 2 x
also
2 ⋅ sin 2 x = 1 2 ⋅ sin 2 x = 1 1 2 x = 45° ± k ⋅ 90°
sin x = ± mit den Lösungen: bzw. im Bogenmaß
Da das Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, muss man diese Lösungen an der Ausgangsgleichung verifizieren. Dadurch erhält man als gültige Lösungen der Ausgangsgleichung
x=
π 4
±k⋅
π
( k = 0,1, 2,...)
( k = 0,1, 2,...)
2
+
1 1 1 : arcsin = 45° und arccos = 45° 2 2 2
−
1 1 1 : arcsin − = −45° und arccos − = 135° 2 2 2
sin x = x=
π 4
1 2
± 2k ⋅
π 2
( k = 0,1, 2,...)
Lösungsweg: ♦ Die gegebene Gleichung wird (ev. mit Additionstheoreme) so umgeformt, dass alle in ihr auftretenden trigonometrischen Funktionen das gleiche Argument besitzen ♦ dann formt man diese Bestimmungsgleichung so um, dass nur noch eine trigonometrische Funktion auftritt ♦ man löst diese Gleichung wie eine algebraische Gleichung und erhält die Hauptlösungen ♦ durch beachten der Periodizitäten erhält man die anderen Lösungen im Lösungsintervall.
Seite 87
7 Die Komplexe Zahlen 7.1 Die imaginären Zahlen x2 + 1 = 0
Taschenrechner ERROR!!
x 2 = −1
Weil es keine reelle Zahl gibt, deren Quadrat minus 1 ist.
Aus diesem Grund wird definiert:
−1 =: i
: heißt, „ist definiert als“ In der Elektrotechnik wird i auch als j bezeichnet.
x2 + 1 = 0 x 2 = −1 x1 = +i x2 = −i
imaginäre Einheit
L = {±i}
imago (lat):
nur
in der
Vorstellung
bestehend
Beispiel: Probe:
x2 + 4 = 0 x 2 = −4 x1/ 2 = ± −4 = ± 4 ⋅ −1 = ±2i L = {±2i}
( 2i )
2
+ 4 = 0 ∨ ( −2i ) + 4 = 0 2
4i 2 + 4 = 0 ∨ 4i 2 + 4 = 0 4 ⋅ (−1) + 4 = 0 ∨ −4 + 4 = 0 −4 + 4 = 0
Folgerung:
i -1 k i = −i 1
i = −1 = i i 2 = −1 i 3 = i 2 ⋅ i = ( −1) ⋅ i = −i i 4 = i 2 ⋅ i 2 = ( −1) ⋅ ( −1) = 1 i 5 = i 2 ⋅ i 3 = ( −1) ⋅ ( −i ) = i i 6 = i 3 ⋅ i 3 = ( −i ) ⋅ ( −i ) = i 2 = −1 ...
Seite 88
für k = 4n + 1 ; n ∈ N für k = 4n + 2 ; n ∈ N für k = 4n + 3 ; n ∈ N für k = 4 n + 4 ; n ∈ N
7.2 Einführung der komplexen Zahlen (complecti (lat) = umfassen) x2 − 2x + 5 = 0
VIETA
p = −2
x1 + x2 = − p
q = +5 2
2 2 x 2 − 2 x + = −5 + 2 2
( x − 1)
2
2
= −4
1 + 2i + 1 − 2i = 2 = − p x1 ⋅ x2 = q
(1 + 2i ) ⋅ (1 − 2i ) = 12 − 2i + 2i − ( 2i )
2
= 12 − ( 2i ) = 1 − 4i 2 = 5 2
x − 1 = −4 = 4 ⋅ −1 = 2i x1 = 1 + 2i x2 = 1 − 2i
7.3 Darstellung von komplexen Zahlen 7.3.1 Arithmetische (kartesische) Form (Addition und Subtraktion) Darstellung der komplexen Zahlen als Summe einer reellen und imaginären heißt arithmetische, kartesische oder algebraische Darstellungsform. Die Darstellungsebene heißt Gauß´sche Zahlenebene mit dem Realteil auf der Abzisse (x-Achse) und dem Imaginärteil auf der Ordinate (y-Achse).
Jeder komplexen Zahl z wird repräsentativ durch einen Pfeil vom Nullpunkt aus (Ortsvektor), der bestimmt ist durch seine Länge (Betrag der komplexen Zahl z) und dem Winkel ϕ von der positiven Realachse aus (Argument der komplexen Zahl z).
2.1.a
z = a + b⋅i a = Re { z} b = Im { z}
heißt „komplexe Zahl mit heißt Realteil von z heißt Imaginärteil von z
2.1.b
z1 = a1 + b1 ⋅ i
z1 , z 2 heißen gleich, wenn sie in Real- und Imaginärteil
z 2 = a2 + b2 ⋅ i
übereinstimmen.
Re { z1 } = Re { z 2 } ⇒ a1 = a2 Im { z1 } = Im { z 2 } ⇒ b1 = b2 2.1.c
z1 = a1 + b1 ⋅ i
Zwei komplexe Zahlen z1 , z 2 mit gleichen Realteilen und
z 2 = a1 − b1 ⋅ i
Imaginärteilen mit entgegen gesetzten Vorzeichen heißen zueinander konjugiert komplex.
Seite 89
z = a + b⋅i
Darstellung als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl.
Die komplexe Zahl wird als Pfeil (Vektor), der vom Nullpunkt zum Punkt (a;b) geht, dargestellt.
z steht demnach für die Vektoraddition von a und bi.
Definition
Heißt Betrag der komplexen Zahl z
z = a + bi = a 2 + b2 Addition
Subtraktion
z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) ⋅ i
z1 − z2 = ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) ⋅ i
(Multiplikation)
(Division)
z1 ⋅ z 2 = ( a1 ⋅ a2 − b1 ⋅ b2 ) + ( a1 ⋅ b2 + a2 ⋅ b1 ) ⋅ i z1 z2
=
( a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 ) + ( a2 ⋅ b1 − a1 ⋅ b2 ) ⋅ i a22 + b22
a22 + b22
Beispiel für Addition Gegeben: z1 = −1 + 3 ⋅ i
z2 = 6 + 2 ⋅ i Re { z} = −1 + 6 = 5 Im { z} = 3 + 2 = 5
z = 5 + 5⋅i
Seite 90
Beispiel für Division
Beispiel für Potenzieren
(Arithmetische Form)
(Arithmetische Form)
z1 = 5 − 2 ⋅ i
z 2 = −1 − 2 ⋅ i
z 2 = −1 − 2 ⋅ i
Pascalsche Dreieck
z= z=
( (
) ( )(
5 − 2 ⋅i −1 + 2 ⋅ i z1 = ⋅ z2 −1 − 2 ⋅ i −1 + 2 ⋅ i −5 + 5 2 ⋅ i + 2 ⋅ i − 2i 2
( −1)
2
−
−3 + 6 2 ⋅ i 3 z = −1 + 2 2 ⋅ i z=
(
2 ⋅i
)
) )
a = −1 b = 2 ⋅i
2
(
z = ( z 2 ) = −1 − 2 ⋅ i 5
− 10 ⋅ ( −1)
2
5
) ⋅ ( 2 ⋅ i ) + 5 ⋅ ( −1) ⋅ ( 2 ⋅ i ) − (
z = 1 ⋅ ( −1) − 5 ⋅ ( −1) 5
)
4
2 ⋅ i + 10 ⋅ ( −1) ⋅ 3
3
1
(
2 ⋅i 4
z = −1 − 5 2 ⋅ i + 20 + 20 2 ⋅ i − 20 − 4 2 ⋅ i z = −1 + 11 2 ⋅ i
Seite 91
2
2 ⋅i
)
5
7.3.2
Goniometrische Form (Multiplikation und Division)
z = a + b⋅i Umrechnung:
a r a = r ⋅ cos ϕ
cos ϕ =
r = z = a 2 + b2
ϕ = arctan
b r b = r ⋅ sin ϕ
sin ϕ =
z = r ⋅ ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ )
b a
Multiplikation
Division
z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ r2 cos (ϕ1 + ϕ 2 ) + i ⋅ sin (ϕ1 + ϕ 2 )
z1 r1 = cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + i ⋅ sin (ϕ1 − ϕ 2 ) z 2 r2 z2 ≠ 0
(Potenzieren)
z n = r n ⋅ ( cos ϕ + i ⋅ sin ϕ )
n
z n = r n ⋅ cos ( n ⋅ ϕ ) + i ⋅ sin ( n ⋅ ϕ ) Vorzeichenregelung bei der Darstellung von komplexen Zahlen in der Gauß´schen Zahlenebene.
Seite 92
Beispiel für die Division (Goniometrische Form)
z1 r1 = cos (ϕ1 − ϕ 2 ) + i ⋅ sin (ϕ1 − ϕ 2 ) z 2 r2 z1 = 4 + 4i
z 2 = 4 − 2i
r1 = z1 = 32
r2 = z 2 = 20
4 4
−2 = −26,57 4
ϕ1 = arctan = 45
ϕ 2 = arctan
liegt im 1. Quadranten
liegt im 4.Quadraten
ϕ1 = 45
ϕ 2 = 360 − 26,57 = 333, 43
z1 = 32 ⋅ ( cos 45 + i ⋅ sin 45 )
z2 = 20 ⋅ ( cos 333, 43 + i ⋅ sin 333, 43 )
z=
z1 32 = cos ( 45 − 333, 43 ) + i ⋅ sin ( 45 − 333, 43 ) z2 20
z = 1, 265 ⋅ [0, 316 + i ⋅ 0, 949] z = 0, 4 + 1, 2 ⋅ i
7.3.3
Exponentialform (Potenzieren, Radizieren und Logarithmieren)
z = r ⋅ eiϕ
ϕ = ϕ1 + k ⋅ 360
k ∈Z
Euler´sche Formel
eiϕ = cos ϕ + i ⋅ sin ϕ
Seite 93
Multiplikation
Division
z1 ⋅ z 2 = r1 ⋅ eiϕ1 ⋅ r2 ⋅ eiϕ 2 = r1 ⋅ r2 ⋅ e (
i ϕ1 +ϕ 2 )
z1 r1 ⋅ eiϕ1 r1 i (ϕ1 −ϕ 2 ) = = ⋅e z 2 r2 ⋅ eiϕ 2 r2
z2 ≠ 0
Potenzieren
z n = ( r ⋅ eiϕ ) = r n ⋅ ei⋅nϕ n
n∈Z
Beispiel für das Potenzieren (Exponentialform)
z = 4 − 2i
r = z = 20
ϕ = arctan
z = 20 ⋅ e −i 26,57
−2 = −26,57 4
Zeichnerische Lösung für z 2
liegt im 4. Quadranten
ϕ = 360 − 26,57 = 333, 43
z = 20 ⋅ ei 333,43
z 2 = 20 ⋅ e
(i 333,43 ⋅2) = 20 ⋅ ei 666,86 = 20 ⋅ ei 306,86
Zeichnerische Lösung für z 3
z 2 = 20 ⋅ ( cos 306,86 + i ⋅ sin 306,86 ) z 2 = 20 ⋅ ( 0, 6 − i 0,8 ) z 2 = 12 − 16 ⋅ i
z 3 = 20 ⋅ 20 ⋅ e
(i 333,43 ⋅3)
= 89, 44 ⋅ ei1000,29 = 89, 44 ⋅ ei 280,29
z 3 = 89, 44 ⋅ ( cos 280, 29 + i sin 280, 29 ) z 3 = 16 − 88 ⋅ i
Seite 94
Gemischte Übung Wandeln Sie die gegebenen komplexen Zahlen in alle Darstellungsarten (Arithmetische Form, goniometrische Form und Exponentialform) um und berechnen Sie anschließend die Aufgabe.
z +z z = 1 32 (z ) 2 Geg.: Kartesische Form
Geg.: Exponentialform
z1 = 1 − 2 ⋅ i
z 2 = 5 ⋅ ei 26,57
goniometrische Form
liegt im 1.
z1 = 12 + 22 = 5 −2 ϕ = arctan = −63, 43 1
Quadranten
a = r ⋅ cos ϕ a = 5 ⋅ cos 26,57 = 2
z2 = 5
b = r ⋅ sin ϕ
ϕ = 26,57
b = 5 ⋅ sin 26,57 = 1
liegt im 4. Quadranten Arithmetische Form
ϕ = 360 − 63, 43 = 296,57
z2 = 2 + i
z1 = 5 ⋅ ( cos 296,57 + i ⋅ sin 296,57 ) Exponentialform
goniometrische Form
z1 = 5 ⋅ ei 296,57
z1 + z2 = (1 − 2 ⋅ i ) + ( 2 + i ) z3 = 3 − i
z 2 = 5 ⋅ ( cos 26,57 + i ⋅ sin 26,57
( z2 )
3
= z4 =
(
5 ⋅ ei 26,57
)
3
= 5 ⋅ 5 ⋅ ei⋅3⋅26,57 = 5 ⋅ 5 ⋅ ei⋅79,71
z4 = 5 ⋅ 5 ⋅ cos 79, 71 + 5 ⋅ 5 ⋅ sin 79, 71 ⋅ i Goniometrische Form
z4 = 2 + 11 ⋅ i
r3 = 10
Goniometrische Form
ϕ 3 = −18, 43
z 4 = 5 ⋅ 5 ⋅ ( cos 79, 71 + i ⋅ sin 79, 71 )
ϕ 3 = 360 − 18, 43 = 341,57 z3 = 10 ⋅ ( cos 341,57 + i ⋅ sin 341,57 )
r4 = 5 ⋅ 5
ϕ 4 = 79, 71
Seite 95
z3 r3 = cos (ϕ 3 − ϕ 4 ) + i ⋅ sin (ϕ 3 − ϕ 4 ) z 4 r4 10
cos ( 341,57 − 79, 71 ) + i ⋅ sin ( 341,57 − 79, 71 ) 5⋅ 5 z = −0, 04 − 0, 28 ⋅ i z=
Grafische Darstellung
z1 + z2 = z3
( z2 )
3
z3 =z z4
= z4
Seite 96
Programm zur grafischen Darstellung und Berechnung von komplexen Zahlen:
Calc 3D Prof. => Freeware Download: www.bko.bplaced.net Bereich: Mathematik
Aufgaben
Seite 97
Abbildung 1: Darstellung der Addition der natürloichen Zahlen ............................................................ 5 Abbildung 2: Darstellung der ganzen Zahlen auf der Zahlengeraden ..................................................... 5 Abbildung 3: Zur Darstellung des Betrages einer Zahl a ......................................................................... 6 Abbildung 4: Zur Darstellung der Zahl Wurzel 2 auf der Zahlengeraden ................................................ 8 Abbildung 5: Bilder Internet .................................................................................................................... 8 Abbildung 6: Irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl............................................................................ 9 Abbildung 7: Tangente und Sekante ..................................................................................................... 50 Abbildung 8: Tangenten- und Sekantensteigung .................................................................................. 50 Abbildung 9: Newton-Verfahren ........................................................................................................... 62 Abbildung 10: Newton-Verfahren (schlecht gewählter Startwert) ....................................................... 63 Abbildung 11: Extremwertaufgabe – Fußballstation ............................................................................ 64 Abbildung 12: Einführung in die Integralrechnung ............................................................................... 66
Seite 98