Introducción a la Derivada
Antes de iniciar, es importante reflexionar… Dónde estoy, y a dónde voy?
Dominio del Lo que yo Fuerzas externas Cálculo que atacan quiero lograr!! Diferencial y r a s m a c o i t t a c Tá es n Posición actual o i Dónde estoy? c Ej. Apatía, irresponsabilidad ac distracciones, etc.
Introducción a la Derivada
Recordemos el camino trazado… Unidad 1. Funciones de una variable Unidad 2. Limites y continuidad
Unidad 3. La derivada Unidad 3. La derivada
Cálculo Diferencial
Unidad 4. Aplicaciones de la derivada
Pero, antes de iniciar veamos una simple pregunta…
Y elanalizamos Ya También tema que funciones… limites iniciamos de hoy funciones… es….
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…”
Qué es una derivada? ( un minuto de silencio…)
veamos un ejemplo...
Introducción a la Derivada
“La pregunta del millón…” Si tenemos una función definida por
y=x
La mayoría contestaría: “su derivada es:
2
y′ = 2 x
”
MUY BIEN!! ….. Pero……..
Qué es una derivada? “memorizar términos matemáticos y no tener la mínima idea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..” “las matemáticas no se memorizan… se deben razonar!!”
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos.
La recta secante y la recta tangente en términos geométricos Recta tangente
Recta secante “es una recta que intersecta un círculo en dos puntos”
“es una recta que tiene un punto en común con un circulo”
apliquemos lo anterior en una func
Introducci贸n a la Derivada
Algunos conceptos b谩sicos. Funci贸n original
La recta secante y la recta tangente en una funci贸n
Introducci贸n a la Derivada
Algunos conceptos b谩sicos.
La recta secante y la recta tangente en una funci贸n
Funci贸n original
Recta secante
Introducci贸n a la Derivada
Algunos conceptos b谩sicos.
La recta secante y la recta tangente en una funci贸n
Funci贸n original Recta tangente
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. Sabemos que una de las características principales de una recta es su pendiente (m) En términos muy simples la pendiente de una recta es un valor numérico que representa la inclinación de dicha recta
( x2 , y2 ) y2 − y1
( x1 , y1 )
x2 − x1
y2 − y1 m= x2 − x1 Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. De acuerdo a lo anterior, la obtención de la pendiente de una recta secante en la curva de una función es: Función original
( x2 , y2 ) Recta secante
( x1 , y1 )
y2 − y1 m= x2 − x1
Introducción a la Derivada
Algunos conceptos básicos. Pero……….. y como obtener análogamente la pendiente de una recta tangente si solo conoce un punto?
Recta tangente
( x1 , y1 )
y2 − y1 m= =? x2 − x1
Introducción a la Derivada
Algo de historia. Esta cuestión se originó con los matemáticos griegos hace dos mil años, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemáticos ilustres, entre los que se encuentran :
Pierre de Fermat
Rene Descartes
Gottfried Wilhelm Leibniz
Leibniz, llamado por muchos el padre del Cálculo Moderno, en 1684 propuso un método general para encontrar las tangentes a una curva a través de lo que el llamo símbolos.
Cómo?
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
mtan
Observe que si hacemos Supongamos que deseamos diversas aproximaciones de rectas conocer la pendiente de la secantes, podemos hacer una recta tangente en X=1 muy buena estimaci贸n de la Pendiente de la recta tangente
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan ( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducci贸n a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un m茅todo para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
Introducción a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
mtan
Observa que el punto
( x2 , y2 )
Cada vez se acerca más al punto
( x1 , y1 )
( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
Continuar
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Atajo
Introducción a la Derivada
La derivada. Recuerda que lo que se desea es conocer un método para encontrar el valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE
Ahora, como expresar el comportamiento anterior en términos matemáticos?
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
mtan =
y2 − y1 Aprox. msec x2 − x1
Procedemos a sustituir:
msec
y2 − y1 = x2 − x1
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
mtan =
y fy(2x− 2 ) −1 f ( x1 ) x2 x−2 x−1 x1
f ( x2 ) f ( x1 )
y2 − y1 y =mfsec( x=) x2 − x1
Considerando: Procedemos a sustituir:
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
f ((xx22))−−f (fx(1 )x1 ) x2 −∆xx1
Ahora Consideremos:
∆x = x2 − x1
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆x
Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que ∆x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
f ( x2 ) − f ( x1 ) ∆x
Ahora recordemos el comportamiento de las rectas secantes y podemos ver que ∆x tiende a disminuir Presiona para observar nuevamente el comportamiento (utiliza el botón atajo para regresar a esta diapositiva)
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
f ( xf2 )( x−2 )f −( xf1 )( x1 ) lim ∆x ∆x ∆x → 0
Se puede observar que el punto ( x2 , y2 ) cada vez se aproxima más al punto ( x1 , y1 ) pero no llegará a tocarlo
Podemos expresar lo anterior así:
∆x → 0
Analizando dicho comportamiento, procedemos a aplicar un límite así:
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
ff ((xx1 2+)∆−x)f−( xf 1()x1 ) lim ∆∆xx
∆x → 0
Finalmente considerando lo siguiente:
x2 = x1 + ∆x
La expresión nos queda así:
Introducción a la Derivada
La derivada.
mtan ( x2 , y2 )
( x1 , y1 )
∆x = x2 − x1
mtan =
f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) lim ∆x
∆x → 0
Finalmente considerando lo siguiente:
x2 = x1 + ∆x
La expresión nos queda así:
Introducción a la Derivada
La derivada. Este límite (el cual genera otra función), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a la gráfica de una función….. Y se le conoce comúnmente como:
=
La Derivada Misma, que en honor a Leibniz puede ser representada así:
mtan =
f ( x1dy + ∆x) −Por f (su x1 )origen basado en lim dx ∆x incrementos
∆x → 0
Introducción a la Derivada
La derivada. f ( x1 + ∆x) − f ( x1 ) dy = lim ∆x dx ∆x → 0
Y precisamente por esta fórmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:
Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es:
y=x
2
dy = 2x dx
Y gracias a esta función que se “deriva” de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la función original
Comprobemos lo anterior con una breve práctica..
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido…. Procederemos a la aplicación del límite deducido para obtener la derivada de la función:
Recordemos que la derivada esta definida por el límite:
Al evaluar el término
f ( x + ∆x )
se puede observar que:
y = f ( x) = x
2
dy f ( x + ∆x) − f ( x) = lim dx ∆x →0 ∆x
y = f ( x + ∆x) = ( x + ∆x) Al sustituirlo obtenemos:
2
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido…. f ( x + ∆x)
f (x)
dy ( x + ∆x) − x = lim dx ∆x →0 ∆x 2
2
Al desarrollar el binomio al cuadrado obtenemos:
dy ( x + 2 x(∆x) + (∆x) ) − x = lim dx ∆x→0 ∆x 2
dy 2 x(∆x) + (∆x) = lim dx ∆x→0 ∆x
2
2
2 Reduciendo términos:
Aplicando los teoremas sobre límites tenemos lo siguiente:
Introducción a la Derivada
Aplicación del límite obtenido…. 0
dy 2 x (∆x) + (∆x) = lim = lim 2 x + lim ∆x ∆x →0 ∆x →0 dx ∆x →0 ∆x 2
Al evaluar dichos límites llegamos a la conclusión que:
Si tenemos una función definida por Entonces su derivada es:
y=x
2
dy = 2x dx
as al desarrollo del límite anterior po alizar su aplicación en diversas funci como se muestra en la siguiente tab
liquemos la derivada para obtener ndientes de las rectas tangentes
Tomada de “El Cálculo” por Louis Leithold
Representación gráfica de:
7 6
y=x
5 4
La función que representa su derivada es:
3 2 1 −4
−3
−2
−1
1 −1 −2
2
2
3
4
5
dy = 2x dx
Representación gráfica de:
7 6
y=x
5 4
La función que representa su derivada es:
3 2
mmtantan==−?2 −4
−3
1 −2
−1
2
1
2
3
4
−1
5
dy = 2x dx
−2
mos conocer la pendiente de la recta Observe que:
x = −1
Al sustituir en la derivada el valor de X:
mtan
dy = = 2(−1) = −2 dx
Representación gráfica de:
7 6
y=x
5 4
La función que representa su derivada es:
3 2
mtan = −2 −4
−3
1 −2
−1
1 −1
2
2
3
4
5
dy = 2x dx
−2
mos obtener las pendientes de divers ocalizadas en la gráfica de una funció
Representación gráfica de:
7 6
y=x
5 4
La función que representa su derivada es:
3 2 1 −4
−3
−2
−1
1 −1
2
2
3
4
5
dy = 2x dx
−2
mos obtener las pendientes de divers ocalizadas en la gráfica de una funció
Referencias
Solís C., F. (2007). La recta tangente y su relación con la derivada de una función [Diapositivas de PowerPoint]. Recuperado de: http ://yaqui.mxl.uabc.mx/~fsolisc/oda_la_derivada .