Explicaciones cálculo

CALCULO DEFINICIÓN

SE PUEDE DECIR QUE SURGE CON LA HUMANIDAD PERO LAS MAYORES APROXIMACIONES SE REALIZAN CON J KEPLER 1571 Y 1630, SIN EMBARGO, FUE NEWTON QUIEN DESCUBRE EL CALCULO HACIA 1665

CALCULO • Se basa en el sistema de los números REALES y todas aquellas propiedades que los regulan • Entonces cuales son esos números REALES? Veamos los diferentes sistemas de números: • ENTEROS Y RACIONALES son los numeros que habitualmente conocemos.

• 1.2.3.4.5.6.7.8.9…….

CALCULO • Cuando a los anteriores números les incluimos los negativos -1.-2.-3.-4….. 0.1.2.3.4…. Se les conoce como los enteros.

• Pero los enteros se pueden sub dividir en razones o cocientes es decir en divisiones ¾. 5/7. ½…. Y a ellos se les llama números racionales.

• También hay otra serie de números llamados complejos, decimales, periódicos, entre otros.

CALCULO • CON LOS NUMEROS REALIZAMOS DIFERENTES TIPOS DE OPERACIONES LAS MÁS COMUNES SON LA SUMA, LA RESTA, LA MULTIPLICACIÓN Y LA DIVISIÓN, COMO TAMBIEN LA COMBINACIÓN DE SIGNOS ENTRE ELLOS (+,-,x, /) PERO NOS AYUDAMOS DE OTROS SIGNOS COMO SON (), [

{}

< > entre otros.

CALCULO • VEAMOS EJEMPLOS DE NÚMEROS Y DE SIGNOS CONVINADOS ENTRE SÍ.

• 4-2(8-11) + 6, Como se puede apreciar se combinan números con signos y a la vez operaciones entre si.

• Es importante anotar que si entre un número y un paréntesis no hay signo alguno se asume que realizaremos una multiplicación.

• Es importante destacar que siempre efectuamos las operaciones que están dentro del paréntesis, las multiplicaciones, las divisiones, las sumas y las restas.

4-2(8-11) + 6 = 4-2(-3) +6 = 4+6+6 = 16.

CALCULO • DESIGUALDADES Y VALOR ABSOLUTO Cuando se resuelve ecuaciones es algo que tradicionalmente se efectúa en matemáticas.

En el Calculo se resuelven desigualdades, por ejemplo 3x -17 < 6 es decir que se requiere encontrar el conjunto de números para que esa desigualdad sea verdadera. Con ello se pueden realizar diferentes operaciones de tal manera que la ecuación no sea alterada

CALCULO â&#x20AC;˘ Por ejemplo si tenemos 2X â&#x20AC;&#x201C; 7 < 4X-2 (le sumamos 7 a los dos lados) 2x-7+7< 4x-2+7 = 2x<4x+5 (le sumo -4x) 2x-4x<4x-4x+5 = -2x<5 (multiplico por -1/2).

-2x<5 = x> -2/5.

CALCULO • EL VALOR ABSOLUTO se utiliza en cálculo con los números reales y se denota como |x|= X |x|= - X

si X es >=0 si X es <=0

Al igual que todos los números con el valo absoluto se puede realizar diferentes operaciones:

CALCULO โ ข OPERACIONES CON VALOR ABSOLUTO. Multiplicaciรณn: |a.b|= |a|x|b| Divisiรณn: |a/b|= |a|/|b| Suma: |a+b|=|a|+|b| Resta: |a-b|=|a|-|b|

CALCULO EJEMPLO

=

Conjuntos y sus Operaciones • Se define conjunto: como una proposición que se hace verdadera solo con aquellos argumentos que se llaman sus elementos.

• Los conjuntos se denotarán con letras mayúsculas del alfabeto latino y griego ejemplo A; B; ^; C; etc.

• La proposición P define al conjunto A y lo denotaremos A = {x | x satisface P} en conjuntos su utilizan los diagramas de Venn.

Conjuntos y sus Operaciones Con los conjuntos se realizan operaciones comunes como las siguientes para cada A;B y U

EJEMPLO: A= {1,3}, B= {1,2,4}, U= {0,1,2,3,4}, Entonces decimos AUB= { 1,2,3,4} define a los elementos que están en A o en B. A  B = {1} caracteriza a los elementos de A que están también en B. Ac = { 0,2,4} define a los elementos que están en U pero no están en A. A/B= { 3} es el conjunto de los elementos que están en A pero no en B. B/A= { 2,4} es el conjunto de los elementos que están en B pero no en A Bc = {0,3} los elementos de U que no están en B.

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

Diagramas de Venn

FUNCIONES Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).

FUNCIONES • A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

• La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2

FUNCIONES â&#x20AC;˘ Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2

o

f(x) = x2 .

AsĂ­, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc.

FUNCIONES • Ejemplo 1 • Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos • Conjunto X

Conjunto Y

Carlina 55 Antonio 88 Samuel 62 Adriana

88

Ramiro 90 • Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.

Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Pero si es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

FUNCIONES

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

En el plano se trazan dos rectas, una vertical y otra horizontal que al intersecarse dan origen al punto cero (0) u origen. A los ejes se las llama (Horizontal X). (Vertical Y) a las regiones que se forman se les llama cuadrantes. En ella se puede trazar y calcular una distancia entre puntos de coordenadas, basados en el Teorema de Pitรกgoras de A2+B2= C2 Por lo tanto la formula de la distancia de una recta es

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

De igual manera se puede calcular la ecuación de la circunferencia. Determinada por la ecuación que surge de la misma ecuación de la recta, pero elevando los dos términos a la raíz cuadrada para determinar la nueva formula de la ecuación de la circunferencia.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

Ejemplo: Determinar la ecuaci贸n de la circunferencia que tiene radio =5 y centro en (1,-5) encontrar las ordenadas de los puntos en esta circunferencia con abscisa = 2 .

GRAFICAS DE ECUACIONES

Cuando se usan coordenadas en el plano cartesiano permite describir curvas utilizando una ecuaci贸n determinadas por X y Y de tal manera que se satisface la ecuaci贸n para tener una igualdad verdadera.

GRAFICAS DE ECUACIONES • Pasos para graficar: • Obtener las coordenadas de algunos puntos que satisfagan la ecuación • Graficar los puntos en el plano • Unir los puntos con curvas suaves.

GRAFICAS DE ECUACIONES

GRAFICAS DE ECUACIONES

LIMITES EL Cálculo es el estudio de los Limites es decir que la función se acerca a alguna constante es decir que se expresa dentro de una formula matemática .

La noción de límite está asociada al comportamiento de una función cuando x está cerca de c paro no en c.

LIMITES Lim ( 4x -5)

cuando x está cerca de 3 4x-5 esta cerca de 4*3 – 5 = 7. Es decir

x

que reemplazamos a x por (3).

3

LIMITES Se presentan diferentes tipos de limites, por la derecha y por la izquierda.

Cuando nos referimos a los limites con la expresión L , significa que cuando x está cerca pero a la derecha © de entonces esta cerca de L, de igual manera se puede decir que el significa que cuando x esta cerca pero a la izquierda de © entonces f(x) está cerca de L. Ejemplo el

y

LIMITES •

buscamos un ę tal que

Ejercicio. Demostrar que

0< | x-2| < ę » |2x2 – 3x -2 -5| < ę x-2 Para x # 0 |2x2 – 3x -2 -5| < ę » | (2x +1) (x-2) -5 | < ę x-2

x-2 | (2x +1) -5| < ę |2(x-2)| < ę |2| |x-2 |

<ę

|x-2 | < ę /2

Teorema de los LĂ­mites 1.

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LIMITES AL INFINITO Y LIMITES INFINITOS Se utilizan los símbolos números reales mayores de 3 .

como por ejemplo ( 3,

) se denota que son todos los

Los limites al infinito lo expresamos como quiere decir que es un lugar a la derecha del eje x existe un número más grande que todos los demás es decir que se hace cada vez más grande.

Y los límites expresados como quiere decir que es un lugar a la izquierda del eje x y existe un número más pequeño que todos los demás, es decir cada vez mas negativo.

DERIVADAS • Se define como el resultado de un límite que representa la pendiente de la recta tangente a una grafica de una función en un punto determinado. Pero también puede ser la secante entre dos puntos P y Q donde P es la posición límite de la recta secante cuando Q se mueve hacia P o la lo largo de la curva.

• Ver la grafica

DERIVADAS โ ข Para ello es frecuente utilizar la expresiรณn

Ejemplo: encuentre la pendiente de la recta tangente a la curva

DERIVADAS Es claro que tiene una pendiente positiva

entonces

DERIVADAS • Podemos definir claramente que la DERIVADA de una función (f) es otra función (f´) con valor en cualquier número x es

DERIVADAS Ejemplo: sea f(x) = 13x – 6 encontrar f´ (4)

DERIVADA â&#x20AC;˘ El concepto derivada implica continuidad por lo tanto si f´de x (c) existe, entonces f es continua en c