PROBABILIDAD
El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación: ¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ? ¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ? ¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no. ¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,
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Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o prรกctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad. En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.
PROBABILIDAD
El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadĂstico. El cĂĄlculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadĂstica inferencial.
PROBABILIDAD Fenómenos Aleatorios y Fenómenos Deterministicos.
Fenómeno Aleatorio.Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad. Fenómeno Determinista.Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.
PROBABILIDAD La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.
Experimento aleatorio.Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados. Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes. Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.
PROBABILIDAD Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones: 1. Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones; 2. Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener; 3. El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.
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Probabilidad e Inferencia. Se presentan dos candidatos al cargo de la presidencia del CEUDLA, y se desea determinar si el candidato X puede ganar. Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones. Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.
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Espacio Muestral Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S. Ejemplos: 1.- Experimento: Se lanza una moneda. Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento). S = { s, a }
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2.- Experimento: Se lanza un dado. Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interĂŠs: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
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Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ... Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… ⊂ S Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento. Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)
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Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades: Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral. E = S y N(E) = N(S) Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío. Φ ⊂ S, y N(Φ) = 0
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Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto N(E) > 1 Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A. Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como: c
A = { s ∈ Ω tal que s ∉ A}
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Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.
PROBABILIDAD OPERACIÓN UNION
EXPRESION DESCRIPCION A∪B
INTERSECCION
A∩B
DIFERENCIA
A-B
Unión de eventos originales: es el evento que sucede si y solo si A sucede o B sucede o ambos suceden Intersección de los eventos originales, es el evento que sucede si y sólo si A y B suceden simultáneamente. La diferencia de los eventos originales A y B, es el evento que sucede solo en A pero no en B.
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Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn. Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B ⊂ Ω gráficamente se puede expresar como: S
A
B
Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.
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S
A
B
Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en comĂşn.
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De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes. Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A ∩ B = ∅, lo que ocurre en la fig. 1.
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Probabilidad Clásica y Frecuencial. Probabilidad frecuencial y regularidad estadística Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor. Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol {s }, se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.
PROBABILIDAD Probabilidad frecuencial y regularidad estadĂstica La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el nĂşmero de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.
PROBABILIDAD Esto es:
N ( A) P( A) = N (Ω)
(2)
donde N(A) = número de elementos del evento A N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.
PROBABILIDAD Probabilidad clásica.Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:
NCF P ( A) = NCT
(1)
donde NCF - número de casos favorables NCT - número de casos totales
PROBABILIDAD Leyes De La Probabilidad Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad). Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostraci贸n. Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.
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Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal que A ⊂ S, entonces se cumple que 0 ≤ P(A) ≤ 1 (3) esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible. P(A) ___________________________________ -2 -1 0 1 2
PROBABILIDAD Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno P(Ω) = 1 Ejemplo.Experimento.- Se lanza un dado Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.
N ( A) N ( S ) P( A) = = =1 N (Ω ) N (Ω )
PROBABILIDAD Teorema 1.- Si Φ es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de Φ es igual a 0
N (∅) P (∅) = =0 N (Ω) Ejemplos: Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto. Que aparezca un siete al lanzar un dado Que una persona viva 250 años En estos casos los eventos son vacíos
PROBABILIDAD
Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que A ⊂ Ω, B ⊂ Ω y A ∩ B = ∅, es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
A
B
A∪B
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Axioma 4.Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos: P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4, ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An) Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.
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Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A ∩ B ≠ ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A∪B
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Diferencia Sean A y B dos eventos: A-B = { x | x ∈ A y x ∉ B } A B
A-B
PROBABILIDAD
Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un espacio muestral, tal que A⊂S, complemento
del
evento
A,
si Ac es el entonces
la
probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir P(Ac) = 1 – P(A)
PROBABILIDAD Probabilidad Condicional.
Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral â„Ś, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:
P( A ∊ E ) P( A / E ) = P( E )
PROBABILIDAD Eventos Independientes: Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:
P( A / E ) = P( A) P( E / A) = P( E ) P( A ∊ B) = P ( A) P( B ) Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.
PROBABILIDAD Probabilidad Condicional. Ley Multiplicativa de la Probabilidad. Ya que (A∩E) = (E∩A) y despejamos a P(A∩E), se tiene que la probabilidad de la intersección es:
P( A ∩ E ) P( A / E ) = P( E ) P ( E ∩ A) P ( E / A) = P ( A) P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P( E/A ) P( A )
PROBABILIDAD
Probabilidad Condicional. Si A y B son independientes:
P( A ∩ E ) = P( A / E ) P( E ) = P ( A) P ( E ) = P( E/A ) P( A ) = P(E)P(A) P ( A ∩ E ) P ( A) P ( E ) P( A / E ) = = = P ( A) P( E ) P( E ) P ( E ∩ A) P ( E ) P ( A) P ( E / A) = = = P( E ) P ( A) P ( A)
Referencias ď‚› Trueba,
L. (2012). Probabilidad y EstadĂstica [Diapositivas de PowerPoint]. Recuperado de: http://matematicas.reduaz.mx/home/Docentes/ltru .