c 2010 £. 25 ¿¢ °¿
¨±¼¬ ¢ , ²®¬ 91, ¢»¯. 2, ±. 68 { 71
¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«-³¡¨©¶ . . µ °®¢
1) , . . ¬1)
¨§¨·¥±ª¨© ¨±²¨²³² ¨¬. . . ¥¡¥¤¥¢ , 119991 ®±ª¢ , ®±±¨¿ ±²¨²³² ®ª¥ ®«®£¨¨ ¨¬. . . ¨°¸®¢ , 117997 ®±ª¢ , ®±±¨¿ Department of Mathematics, University of Arizona, 857201 Tucson, USA ®±²³¯¨« ¢ °¥¤ ª¶¨¾ 14 ¤¥ª ¡°¿ 2009 £.
§³· ¥²±¿ ±² ²¨±²¨ª ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«-³¡¨©¶ ¯®¢¥°µ®±²¨ ¨¤¥ «¼®© ²¿¦¥«®© ¦¨¤ª®±²¨. ®«»-³¡¨©¶» (½ª±²°¥¬ «¼»¥ ¢®«») ¢®§¨ª ¾² ¢ ¯°®¶¥±±¥ ½¢®«¾¶¨¨ ±² ²¨±²¨·¥±ª¨ ®¤®°®¤»µ · «¼»µ ³±«®¢¨© ± £ ³±±®¢»¬ ° ±¯°¥¤¥«¥¨¥¬ ¢¥°®¿²®±²¨ ¯°¨ ¢ °¨ ¶¨¨ ±°¥¤¨µ ª°³²¨§ ®² ¬ «»µ ( 2 = 1:54 10 3 ) ¤® ³¬¥°¥»µ ( 2 = 3:08 10 3 ). ±²®²» ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ½ª±²°¥¬ «¼»µ ¢®« ³¬¥¼¸ ¾²±¿ ± °®±²®¬ ±¯¥ª²° «¼®© ¸¨°¨» · «¼»µ ³±«®¢¨©, ®¤ ª® ¨ ¤«¿ ¸¨°®ª¨µ ¯ ª¥²®¢ (Ak =k 1) ®±² ¥²±¿ § ·¨²¥«¼®©.
¨ ¨¬¥¾² ¢¨¤
¥£®¤¿ ³¦¥ ¥±®¬¥®, ·²® ¢®«»-³¡¨©¶» (½ª±²°¥¬ «¼»¥ ¢®«») § ª®®¬¥°® ¢®§¨ª ¾² ¢ °¥§³«¼² ²¥ ½¢®«¾¶¨¨ ±¯¥ª²° «¼® ³§ª¨µ ¯ ª¥²®¢ £° ¢¨² ¶¨®»µ ¢®« (±¬., ¯°¨¬¥°, [1 { 8]). ®¦® ±ª § ²¼, ·²® ¢®«»-³¡¨©¶» ¥±²¼ ¥«¨¥© ¿ ±² ¤¨¿ ¬®¤³«¿¶¨®®© ¥³±²®©·¨¢®±²¨. ±²®¿¹¥© ±² ²¼¥ ¯°¥¤±² ¢«¥» °¥§³«¼² ²» ¯® ª®«¨·¥±²¢¥®¬³ ¨±±«¥¤®¢ ¨¾ ½²®£® ½´´¥ª² . » °¥¸ «¨ ·¨±«¥® ³° ¢¥¨¿ ©«¥° , ®¯¨±»¢ ¾¹¨¥ £«³¡®ª³¾ ¨¤¥ «¼³¾ ¦¨¤ª®±²¼ ±® ±¢®¡®¤®© ¯®¢¥°µ®±²¼¾ ¢ ¤¢³¬¥°®© £¥®¬¥²°¨¨ 0 < x < 2 , 1 < < y < (x). ° ¨·»¥ ³±«®¢¨¿ ª®¶ µ ¨²¥°¢ « x = 0; 2 ¯°¥¤¯®« £ «¨±¼ ¯¥°¨®¤¨·¥±ª¨¬¨. ¥·¥¨¥ ¯°¥¤¯®« £ «®±¼ ¯®²¥¶¨ «¼»¬, ¦¨¤ª®±²¼ ¥±¦¨¬ ¥¬®©,
Rt (u; t) = i(URu Uu R); Vt (u; t) = i(UVu Bu R) + g(R 1); U = P (V R + RV ); B = P (V V );
£¤¥ P { ®¯¥° ²®° ¯°®¥ª²¨°®¢ ¨¿ ¨¦¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼, P = 21 (1+ iH ), H { «®£ ®¯¥° ²®° ¨«¼¡¥°² ¤«¿ ¯¥°¨®¤¨·¥±ª®£® ±«³· ¿
Z 2 f (u0) 1 H [f ](y) = v:p: du0 : 2 0 tan( u 2 u ) 0
¨±²¥¬ (1) ¢ ±²®¿¹¥¥ ¢°¥¬¿ ¸¨°®ª® ¨±¯®«¼§³¥²±¿. ²°®£¨¥ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ °¥§³«¼² ²» ® ° §°¥¸¨¬®±²¨ ±¨±²¥¬» (1), ² ª¦¥ ®¯¨± ¨¥ ¬¥²®¤®¢ ¥¥ ·¨±«¥®£® °¥¸¥¨¿ ¯°¨¢¥¤¥» ¢ ° ¡®² µ [9 { 12]. ¸¨µ ½ª±¯¥°¨¬¥² µ · «¼»¥ ³±«®¢¨¿ ®¯°¥¤¥«¿«¨±¼ ª ª ± ¬¡«¼ ¡¥£³¹¨µ ¢ ®¤³ ±²®°®³ ¢®« ±® ±°¥¤¨¬ § ·¥¨¥¬ ¢®«®¢®£® ·¨±« K0 = 25. » ¯°¥¤¯®« £ «¨, ·²® · «¼®¥ ¢®§¬³¹¥¨¥ ¯®¢¥°µ®±²¨ § ¤ ¥²±¿ ±³¬¬®© £ °¬®¨ª ±® ±«³· ©»¬¨ ´ § ¬¨
v = r ; div v = 0;
² ª ·²® ¯®²¥¶¨ « ¯®¤·¨¿«±¿ ³° ¢¥¨¾ ¯« ± = 0: » ®±³¹¥±²¢«¿«¨ ª®´®°¬®¥ ®²®¡° ¦¥¨¥ ®¡« ±²¨, § ¿²®© ¦¨¤ª®±²¼¾, ¨¦¾¾ ¯®«³¯«®±ª®±²¼, ª®®°¤¨ ²» ª®²®°®© w = u + iv. ²®¡° ¦¥¨¥ § ¤ ¥²±¿ ´³ª¶¨¥© z = z (w), z = x + iy. ¨ ¬¨·¥±ª¨¥ ³° ¢¥¨¿ ´®°¬³«¨°³¾²±¿ ¤«¿ ¯¥°¥¬¥»µ ¼¿·¥ª®
0 (x) =
X
1 Kmax 2 1 Kmax 2
(k k0 ) cos(kx k ):
(2)
¤¥±¼ Kmax { ¯®«®¥ ·¨±«® ±¯¥ª²° «¼»µ ¬®¤, k { ±«³· © ¿ ¢¥«¨·¨ , ° ¢®¬¥°® ° ±¯°¥¤¥«¥ ¿ ¨²¥°¢ «¥ 21 Kmax < k < 12 Kmax. · «¼»¥ § ·¥¨¿ ¯®«¿ ±ª®°®±²¥© ¯°¥¤¯®« £ «¨±¼ ±¢¿§ »¬¨ ± (2) ´®°¬³« ¬¨ «¨¥©®© ²¥®°¨¨. ®´®°¬®¥ ¯°¥®¡° §®¢ ¨¥ ®±³¹¥±²¢«¿«®±¼ ¯°¨ ¯®¬®¹¨ ¨²¥° ¶¨®®£® «£®°¨²¬ , ¯°¥¤«®¦¥®£® . . ¼¿·¥ª® ¨ ¤¥² «¼® ®¯¨± ®£® ¢ [10].
@ 1 R= 0 V =i zw @z 1)
(1)
e-mail: zakharov@math.arizona.edu, roman@shamin.ru
68
¨±¼¬ ¢ ²®¬ 91 ¢»¯. 1 { 2 2010
69
¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«-³¡¨©¶
³ª¶¨¿ (k) ®¯°¥¤¥«¿« ±¼ ¯® ´®°¬³«¥ (k) =
(
k ; exp ( k2 ) + k ;
jkj > Kw ; jkj Kw :
(3)
¤¥±¼ k { ¥§ ¢¨±¨¬»¥ ±«³· ©»¥ ¯ ° ¬¥²°», ° ¢®¬¥°® ° ±¯°¥¤¥«¥»¥ ¨²¥°¢ «¥ 12 Kmax < < k < 12 Kmax. ¨±«® 1 Kw 10 ®¯°¥¤¥«¿«® ±¯¥ª²° «¼³¾ ¸¨°¨³; , { \¢³²°¥¨¥" ¯ ° ¬¥²°» ±¯¥ª²° , ®¯°¥¤¥«¥»¥ ² ª, ·²®¡» \¢¥¸¨¥" ¯ ° ¬¥²°» { ±°¥¤¿¿ ª°³²¨§ , 2 =
¨ ¤¨±¯¥°±¨¿ D,
0 ZKw D=@ k2 e
k2
1 Z 2 dx; 2 x 2
0
1 0 ZKw dkA @ e
Kw
k2
1 dkA
1
;
Kw
¯°¨¨¬ «¨ § ¤ »¥ § ·¥¨¿. «¥¥, ¬» ¢»·¨±«¿«¨ ²®·»¥ § ·¥¨¿ ¯®«®© ½¥°£¨¨ E ¨ ±«¥¤¨«¨ § ²¥¬, ·²®¡» ¢ª« ¤ ¢ ¥¥ ±«³· ©®£® ¸³¬ ±®±² ¢«¿« ¥ ¡®«¥¥ ²°¥µ ¯°®¶¥²®¢. »«® ¯°®¤¥« ® 5000 \½«¥¬¥² °»µ" ½ª±¯¥°¨¬¥²®¢. ª ¦¤®¬ ½ª±¯¥°¨¬¥²¥ ¢°¥¬¿ ¬¥¿«®±¼ ¢ ¨²¥°¢ «¥ 0 < t < 200, ·²® ±®®²¢¥²±²¢®¢ «® ¯°¨¡«¨§¨²¥«¼® 500 ¯¥°¨®¤ ¬ ¢®«. ±«¨ ¯°®¨±µ®¤¨«® ®¡°³¸¥¨¥ ¢®«, ±·¥² ¯°¥ª° ¹ «±¿ ¤®±°®·®. ° ±·¥² µ ¯®«®¥ ·¨±«® £ °¬®¨ª ¡»«® Kmax = 2048 ¨«¨ Kmax = 4096 ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¯®«®© ½¥°£¨¨, ª®²®° ¿ ¬¥¿« ±¼ ¢ ¯°¥¤¥« µ 1:5 10 4 E 4 10 4. ¥£¨±²° ¶¨¿ ¢®«-³¡¨©¶ ¯°®¨§¢®¤¨« ±¼ ±«¥¤³¾¹¨¬ ®¡° §®¬. ®±«¥ ®ª®· ¨¿ ½«¥¬¥² °®£® ½ª±¯¥°¨¬¥² ° ±±·¨²»¢ « ±¼ ¢¥«¨·¨ : max (x; t) : =
hj ji
¤¥±¼ ¬ ª±¨¬³¬ ¢ ·¨±«¨²¥«¥ ¡¥°¥²±¿ ¯® ª®®°¤¨ ²¥ ¨ ¯® ¢°¥¬¥¨ § ¨²¥°¢ « 0 < t < T , T 1Z
hj ji = T
0
max j (x; t)jdt:
x2(0;2 )
\ ®« -³¡¨©¶ " ´¨ª±¨°®¢ « ±¼, ¥±«¨ ¯ ° ¬¥²° ¯°¥¢»¸ « ª°¨²¨·¥±ª®¥ § ·¥¨¥ = 1:8. ®¥ ®¯°¥¤¥«¥¨¥ ª®«¨·¥±²¢¥® «¨¸¼ ¥±³¹¥±²¢¥® ®²«¨· ¥²±¿ ®² ®¡¹¥¯°¨¿²®£®, ª®£¤ ±·¨² ¥²±¿, ·²® ¢®«»-³¡¨©¶» ¢¤¢®¥ ¯°¥¢»¸ ¾² ±³¹¥±²¢¥³¾ ¢»±®²³ (signi cant wave height) °¥¡®¢ «®±¼ ² ª¦¥, ·²®¡» «®ª «¼ ¿ ª°³²¨§ ¢®«» j x j ¯°¥¢»¸ « ª°¨²¨·¥±ª®¥ § ·¥¨¥ 0<x< max2 j x j 0:3. ²® ²°¥¡®¢ ¨¥ ¨±¼¬ ¢ ²®¬ 91 ¢»¯. 1 { 2 2010
¢»§¢ ® ®·¥¢¨¤»¬¨ ´¨§¨·¥±ª¨¬¨ ±®®¡° ¦¥¨¿¬¨ ¨ ¿¢«¿¥²±¿ ¢¥±¼¬ ±³¹¥±²¢¥»¬. ¥§³«¼² ²» ½ª±¯¥°¨¬¥²®¢ ¯°¨¢¥¤¥» ¢ ² ¡«¨¶¥. ® £®°¨§®² «¨ ®²«®¦¥» § ·¥¨¿ ¤¨±¯¥°±¨¨, ¯® ¢¥°²¨ª «¨ { § ·¥¨¿ ª¢ ¤° ² ª°³²¨§». ¨±«® æ ª²¨¢»µç ¬®¤ · «¼®£® ³±«®¢¨¿ ¤«¿ ª ¦¤®£® ½ª±¯¥°¨¬¥² ² ª¦¥ ¯®ª § ®. § ¸¨µ ¤ »µ ±«¥¤³¥², ·²® ¤ ¦¥ ¤«¿ ¢®« ¤®¢®«¼® ³¬¥°¥®© ª°³²¨§» ( 2 ' 2:06 10 3 , ' 0:045) ®¡° §®¢ ¨¥ ½ª±²°¥¬ «¼®© ¢®«» § ±²®«¼ ª®°®²ª¨© ®²°¥§®ª ¢°¥¬¥¨ ª ª 500 ¯¥°¨®¤®¢ (¯°¨ ¯¥°¨®¤¥ 10 ± ½²® ¬¥¼¸¥ ¯®«³²®° · ±®¢) ¥±²¼ ¢¥±¼¬ ¢¥°®¿²®¥ ±®¡»²¨¥, ¤ ¦¥ ¥±«¨ ±¯¥ª²° «¼ ¿ ¸¨°¨ ¯® ¢®«®¢»¬ ·¨±« ¬ ±° ¢¨¬ ± ¥±³¹¨¬ ¢®«®¢»¬ ·¨±«®¬. ®¡±²¢¥®, ½²®² ½ª±¯¥°¨¬¥² ¨ ¯®¤·¥°ª¨¢ ¥² \®¡»¤¥®±²¼" ½ª±²°¥¬ «¼»µ ¢®«. °¨±.1 ¢®±¯°®¨§¢¥¤¥ · «¼»© 0.010 y 0.005 0 –0.005 –0.010 0
1
2
3 x
4
5
6
¨±.1. °®´¨«¼ · «¼®© ¢®«». °¥¤¿¿ ª°³²¨§ {
2 = 2:56 10 3 , ¤¨±¯¥°±¨¿ D = 4
0.020 y 0.015 0.010 0.005 0 –0.005 –0.010 0
1
2
3 x
4
5
6
¨±.2. °®´¨«¼ ¢®«»-³¡¨©¶». °¥¬¿ t = 67:2, ¯ ° ¬¥²° = 2:13, ¬ ª±¨¬ «¼ ¿ ª°³²¨§ { 0:558
¯°®´¨«¼ ¢®«» ¢ µ®¤¥ ½¢®«¾¶¨¨ ª®²®°®© ¢®§¨ª« ¢®« -³¡¨©¶ , ¯°®´¨«¼ ª®²®°®© ¯®ª § °¨±.2. °¨±.3 ¯°¨¢¥¤¥ ¯«®²®±²¼ ¨¬¯³«¼± ¢ ¬®¬¥² ®¡° -
70
. . µ °®¢, . . ¬¨
D D = 0:07 Kw = 1 D=2 Kw = 1 D=4 Kw = 2 D=6 Kw = 3 D=8 Kw = 4 D = 10 Kw = 5 D = 12 Kw = 6 D = 14 Kw = 7 D = 16 Kw = 8 D = 18 Kw = 9 D = 20 Kw = 10
2 = 1:54 10
3
2 = 2:06 10
2 = 2:56 10
3
2 = 3:08 10
3
0:141
0:638
0:828
0:849
0:152
0:457
0:616
0:554
0:011
0:231
0:346
0:272
0:000
0:192
0:305
0:246
0:011
0:154
0:280
0:195
0:022
0:125
0:247
0:186
0:010
0:173
0:256
0:172
0:000
0:058
0:216
0:170
0:000
0:136
0:208
0:151
0:000
0:118
0:219
0:134
0:034
0:127
0:206
0:099
3
¸¥¨¿. » ¯®« £ ¥¬, ·²® ¯°¨ ¨±¯®«¼§®¢ ¨¨ ¡®«¥¥ ±®¢¥°¸¥»µ ¬¥²®¤¨ª § ¢¨±¨¬®±²¼ ¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ½ª±²°¥¬ «¼»µ ¢®« ®² ª°³²¨§» ®±² ¥²±¿ ¬®®²®®©.
0.40 P 0.35 0.30 0.25 0.20
1.0
0.15
P
0.9
0.10 0.8 0.05 0
0.7 1
2
3 x
4
5
6
¨±.3. «®²®±²¼ ¨¬¯³«¼± ¢ ¬®¬¥² ®¡° §®¢ ¨¿ ¢®«»-³¡¨©¶», ¯°¨¢¥¤¥®© °¨±.2
0.6 0.5 0.4 0.3 0.2
§®¢ ¨¿ ½²®© ¢®«»-³¡¨©¶». ²¥°¥±®, ·²® ¢¥°®¿²®±²¼ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ½ª±²°¥¬ «¼»µ ¢®«, ° ±±¬ ²°¨¢ ¥¬ ¿ ª ª ´³ª¶¨¿ ®² ±°¥¤¥© ª°³²¨§» ¯°¨ § ¤ ®© ¤¨±¯¥°±¨¨ ¨¬¥¥² ¬ ª±¨¬³¬ ¯°¨ ¢¥±¼¬ ³¬¥°¥®© ª°³²¨§¥ ( 2 = 2:0 10 3), § ²¥¬ ³¡»¢ ¥² ¯°¨ ³¢¥«¨·¥¨¨ ª°³²¨§». ²®² ´ ª² ®¡º¿±¿¥²±¿ ³¢¥«¨·¥¨¥¬ ±¨«» ª®ª³°¨°³¾¹¥£® ½´´¥ª² { ®¡°³¸¥¨¿ ¢®«. ±¯®«¼§®¢ ¿ ¬¨ ±µ¥¬ ±·¥² ¯®§¢®«¿¥² ¢¥±²¨ ½ª±¯¥°¨¬¥² ²®«¼ª® ¤® ¯¥°¢®£® ®¡°³-
0.1 0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20 D
¨±.4. ±²®²» ¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«³¡¨©¶. § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¤¨±¯¥°±¨¨. 2 = 1:54 10 3 { ±¯«®¸ ¿ «¨¨¿, 2 = 2:56 10 3 { \²¨°¥", 2 = 2:06 10 3 { ²®·¥· ¿ «¨¨¿, 2 = 3:08 10 3 { \²®·ª ²¨°¥"
¨±¼¬ ¢ ²®¬ 91 ¢»¯. 1 { 2 2010
¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«-³¡¨©¶
°¨±.4 ¯°¨¢¥¤¥» £° ´¨ª¨ · ±²®²» ¢¥°®¿²®±²¨ ¢®§¨ª®¢¥¨¿ ¢®«-³¡¨©¶ ¢ § ¢¨±¨¬®±²¨ ®² ¤¨±¯¥°±¨¨. § ª«¾·¥¨¥ ¢²®°» ¡« £®¤ °¿² ª ´¥¤°³ \ ¨´´¥°¥¶¨ «¼»¥ ³° ¢¥¨¿ ¨ ¬ ²¥¬ ²¨·¥±ª ¿ ´¨§¨ª " ¨ «¨·® § ¢¥¤³¾¹¥£® ª ´¥¤°®© ¯°®´. . . ª³¡ ·¥¢±ª®£®, . . ¢¥ª®¢³ ¨ . . ¥¢¥°®¢³ § ¯°¥¤®±² ¢«¥»¥ ¢»·¨±«¨²¥«¼»¥ ¬®¹®±²¨. ¡®² ¢»¯®«¥ ¯°¨ ´¨ ±®¢®© ¯®¤¤¥°¦ª¥ £° ² # -7550.2006.2, £° ² ®±±¨©±ª®£® ´®¤ ´³¤ ¬¥² «¼»µ ¨±±«¥¤®¢ ¨© # 09-05-13605-®´¨ ¶ ¨ °®£° ¬¬®© ´³¤ ¬¥² «¼»µ ¨±±«¥¤®¢ ¨© °¥§¨¤¨³¬ \ ²¥¬ ²¨·¥±ª¨¥ ¬¥²®¤» ¢ ¥«¨¥©®© ¤¨ ¬¨ª¥". 1. . . ³°ª¨, . . ¥«¨®¢±ª¨©, ®«»-³¡¨©¶»: ´ ª²», ²¥®°¨¿ ¨ ¬®¤¥«¨°®¢ ¨¥, ¨¦¨© ®¢£®°®¤: ¨¦¥£®°®¤±ª¨© £®±. ²¥µ. ³¨¢¥°±¨²¥², 2004, c. 158. 2. K. L. Henderson, D. H. Pelegrine, and J. W. Dold, Wave Motion 29, 341 (1999).
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