Г.М.Заславский, Р.З.Сагдеев ВВЕДЕНИЕ В НЕЛИНЕЙНУЮ ФИЗИКУ: ОТ МАЯТНИКА ДО ТУРБУЛЕНТНОСТИ И ХАОСА Дается представление о характерных нелинейных процессах современной классической физики для частиц и полей. Приведены многочисленные примеры. Рассматриваемые явления естественным образом включают как регулярные процессы, так и динамический хаос и турбулентность. Чтение книги не требует от читателя специальной подготовки. Для студентов старших курсов и научных работников, интересующихся методами и приложениями современного нелинейного анализа. Содержание Предисловие 7 Часть I. ЧАСТИЦЫ 9 Глава 1. Элементы динамики 9 1. Фазовое пространство 9 Траектории и фазовый поток 9 Гамильтоновские системы 10 Теорема Лиувилля 11 Уравнение непрерывности 11 2. Системы с одной степенью свободы 12 Фазовый портрет 12 Переменные "действие-угол" 13 Спектр нелинейных колебаний 14 Расплывание фазовой капли 15 3. Пример: нелинейный маятник 16 Траектории нелинейного маятника 16 Спектр нелинейного маятника 18 Общие свойства периода колебаний 20 4. Еще два примера нелинейных колебаний 21 Нелинейные колебания плазмы 21 Колебания в прямоугольной яме 23 Ротатор 24 5. Интегральные инварианты Пуанкаре 25 Первый интегральный инвариант 25 Теорема Лиувилля 25 6. Многомерные интегрируемые системы 26 Первые интегралы движения 26 Теорема Лиувилля-Арнольда 27 Инвариантные торы 27 Резонансы 27 Переменные "действие-угол" 28 Однозначность инвариантных торов 29 Следствия 29 Спектральное разложение 30
Нетривиальный пример (цепочка Тоды) 7. Отображения Дискретное время Отображение Пуанкаре Равновесие атомных цепочек 8. Заключительные замечания Комментарии к главе 1 Глава 2. Приближенные методы 1. Теория возмущений Возмущение и топология фазового пространства Ряды по степеням возмущения Возмущение свободного движения Резонансы и малые знаменатели Внутренние резонансы Резонанс волна-частица Опрокидывание фронта волны Замечание о степенных рядах 2. Метод усреднения Теорема об усреднении Усредненные уравнения Уравнение Ван дер Поля Движение в быстропеременных полях Маятник с осциллирующей точкой подвеса Вихревой дрейф 3. Адиабатические инварианты Определение адиабатических инвариантов Усреднение уравнений Изменение адиабатического инварианта Адиабатические инварианты при N>2 Нарушение адиабатической инвариантности Почти адиабатические инварианты 4. Заряженные частицы в магнитном поле Дрейфовое приближение Адиабатические инварианты 5. Линейные аналогии адиабатической инвариантности Линейный осциллятор с переменной частотой Квантовомеханическая аналогия Обход особенностей в комплексной плоскости Матрица перехода Переходное излучение Замечание о роли нелинейности Комментарии к главе 2 Глава 3. Специальные методы 1. Нелинейный резонанс
31 31 32 33 33 35 36 36 37 37 38 38 39 41 42 43 45 46 46 47 48 49 51 52 54 54 55 56 57 58 60 60 60 62 63 63 64 65 67 68 69 70 71 72
Уравнения резонанса Свойства нелинейного резонанса Внутренний нелинейный резонанс 2. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) Основная задача динамики Теорема об устойчивости Теорема о сохранении инвариантных торов (Колмогоров-Арнольд) Следствие 3. Структурные свойства фазовых траекторий Классификация особых точек Предельные циклы Топологическая эквивалентность Индексы Пуанкаре Пример 1 Пример 2 Пример 3 Пример 4 Следствие Структурная устойчивость 4. Простейшие бифуркации Тангенциальная бифуркация Смена устойчивости Бифуркация удвоения Бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа (ПАХ) Бифуркация удвоения периода Теорема Шарковского Замечание о бифуркациях Комментарии к главе 3 Глава 4. Эргодическая теория и хаос 1. Эргодичность и перемешивание Мера в фазовом пространстве Эргодичность Перемешивание Спектр 2. K-системы Локальная неустойчивость Пример Связь перемешивания с локальной неустойчивостью Д-системы Энтропия Колмогорова-Синая 3. Примеры Пример 1 Пример 2 У-системы Аносова
72 74 76 77 78 78 78 79 80 80 82 83 85 85 86 85 85 86 86 87 88 89 89 89 92 95 95 95 95 96 96 98 99 100 100 100 102 103 103 104 105 106 107 107
Биллиарды 4. Возвраты и периодические орбиты Теорема Пуанкаре о возвратах Периодические орбиты Пример Синус-отображение Теорема Боуэна Комментарии к главе 4 Глава 5. Хаос в деталях 1. Универсальное отображение для нелинейных колебании Структура отображения Вывод отображения Критерий стохастичности Структура фазового пространства Стохастическое море Спектральные свойства Временные масштабы Редукция к одномерному перемешиванию Одномерный коррелятор 2. Перекрытие резонансов Построение системы резонансов Условие перекрытия резонансов 3. Образование стохастического слоя Динамика вблизи сепаратрисы Отображение вблизи сепаратрисы Ширина стохастического слоя Перекрытие резонансов вблизи сепаратрисы Гомоклиническая структура Стохастический слой нелинейного резонанса 4. Разрушение интегралов движения Природа разрушения интегралов Двумерные колебания Связанные ротаторы 5. Стохастические аттракторы Финитность движения Аттракторы и репеллеры Стохастический аттрактор Квазиаттракторы 6. Примеры стохастических аттракторов Стандартное диссипативное отображение Условие появления стохастичности Структура стохастического аттрактора Стохастический аттрактор при перекрытии резонансов 7. Общие замечания о появлении хаоса
109 110 111 112 113 114 114 115 116 116 116 118 119 120 120 121 124 125 125 127 127 128 129 129 130 131 133 135 137 139 139 140 142 144 144 144 145 146 146 147 149 150 151 152
"Стохастическая паутина" Диффузия Арнольда Канторторы Замедление диффузии Число вращения Переход КАМ-тор-кантор-тор "Дьявольская лестница" Комментарии к главе 5 Глава 6. Элементы кинетики 1. Уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова Структура уравнения Временные масштабы Вывод кинетического уравнения Дивергентная форма кинетического уравнения Влияние границы стохастичности Корреляционные эффекты 2. Кинетика при диссипативных отображениях Структура кинетического уравнения Динамика моментов 3. Стохастическое ускорение и "нагрев" частиц Стохастичность и идеи нагрева и ускорения Модель Улама Ускорение в поле тяжести Стохастический нагрев в поле волнового пакета Влияние трения на динамику в волновом пакете Комментарии к главе 6 Глава 7. Фрактальные свойства хаоса 1. Фракталы Хаусдорфова размерность Примеры Определение фрактала Связь с ренормаличационной группой 2. Фракталы и хаос Размерность стохастического аттрактора Фрактальные свойства локализации мод Размерность разветвления Распределения и спектральная плотность Комментарии к главе 7 Часть II. ВОЛНЫ Глава 8. Нелинейные нестационарные волны 1. Укручение волн Бегущие волны Опрокидывание фронта волны Роль диссипации. Уравнение Бюргерса
152 153 154 155 156 156 157 157 158 159 159 159 160 161 162 163 166 166 167 168 168 168 171 172 176 176 177 177 177 178 179 180 181 181 183 184 184 186 187 187 187 187 188 189
Число Реинольдса Спектр ударной волны 2. Стационарные волны Ударная волна Влияние дисперсии. Уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ) Спектр периодических волн Нелинейная дисперсия 3. Примеры стационарных волн Ионно-звуковые волны Критическая скорость Магнитозвуковые волны Уравнение синус-Гордона 4. Бесстолкновительные ударные волны Формирование волны Структура фронта волны Магнитозвуковая ударная волна Образование "бора" Ускорение ионов на фронте волны Комментарии к главе 8 Глава 9. Гамильтоновское описание волн 1. Вариационные принципы Степени свободы Лагранжиан Метод Уизема Гамильтоновский формализм Стационарные волны Канонические переменные 2. Резонансное взаимодействие волн Распадные и нераспадные спектры Уравнения для волн Эволюция волнового триплета Распадная неустойчивость Аналогия с параметрическим резонансом Распад плазмона 3. Резонансы нелинейных волн Константа связи Внешнее возмущение Укороченные уравнения Нелинейный резонанс 4. Взаимодействие нелинейных волн Малый параметр взаимодействия Неодномерный ионный звук Взаимодействие двух волн Взаимодействие трех волн
192 192 193 193 194 196 197 198 198 199 200 202 203 203 204 205 207 208 208 209 210 210 211 212 213 215 216 218 218 219 220 221 222 223 224 224 225 227 228 230 230 231 232 234
Комментарии к главе 9 Глава 10. Хаос в волновых полях 1. Слабонелинейные поля Построение отображения Локальная неустойчивость фаз K-энтропия Расцепление корреляций 2. Проблема Ферми-Паста-Улама (ФПУ) Уравнения и предпосылки О переходе "дискретность-непрерывность" Оценка области стохастичности 3. Турбулентность слабонелинейного поля Основное кинетическое уравнение Кинетика фононов Слабая турбулентность 4. Стохастическая неустойчивость нелинейной волны Канонические уравнения Расстояние между резонансами Перекрытие резонансов Диффузионная динамика волны Комментарии к главе 10 Глава 11. Сильная турбулентность 1. Модель Лоренца Уравнения модели Лоренца Линеаризация Последовательность бифуркаций Аттрактор Лоренца 2. Конвективные ячейки Конвекция Бенара-Рэлея Неустойчивости Переход к турбулентности Электрогидродинамическая конвекция Турбулентность и неупорядоченные структуры 3. Особенности возникновения турбулентности Существует ли сценарий турбулентности? Необходима ли диссипация? Локальная неустойчивость и фрактальность Центральный пик Пространственно временной хаос 4. Ленгмюровская турбулентность Образование "плазмбнного конденсата" Модуляционная неустойчивость Коллапс ленгмюровских колебаний Турбулентность
237 237 238 238 241 243 244 245 245 245 246 248 248 250 252 252 253 254 255 255 257 258 259 259 260 261 262 262 263 265 265 266 267 267 267 268 268 268 268 269 269 270 272 274
5. Солитонная турбулентность Комментарии к главе 11 Глава 12. Точно интегрируемые волновые уравнения 1. Интегрирование КдВ-уравнения Операторные пары Лакса Метод ОЗР Солитонные решения N-солитонные решения Интегралы движения 2. Интегрируемые уравнения Комментарии к главе 12 Часть III. ПРИМЕРЫ Глава 13. Движение частиц в волновых полях 1. Регулярная и стохастическая динамика частиц в поле волнового пакета Времени- и пространственноподобные волновые пакеты Отображения Динамика в0 пространственноподобном пакете Кинетика стохастического нагрева частиц Обобщение 2. Движение в магнитном поле и поле волнового пакета Уравнение движения Резонансы "волна-частица" Перекрытие резонансов продольного движения Кинетическое уравнение 3. Парадокс исчезновения затухания Ландау 4. Стохастическая паутина Отображение с подкручиванием Резонансное подкручивание Фазовая плоскость Резонанс a^4 Образование стохастической паутины Симметрия фазовой плоскости Диффузия Комментарии к главе 13 Глава 14. Биллиарды 1. Перемешивающие биллиарды Анализ траекторий Кинетика частицы в биллиарде 2. Нелинейная динамика лучей Уравнения траектории луча Нелинейный пространственный резонанс Пример Двумерные сечения Глава 15. Нелинейная оптика
275 276 277 277 277 279 280 281 283 284 284 285 285 285 285 286 288 289 291 292 293 294 295 296 297 298 298 299 300 301 304 304 306 307 308 308 308 310 311 312 313 314 315 316
1. Нелинейная геометрическая оптика Узкие волновые пучки Параболическое уравнение Самосжатие волновых пакетов Самофокусировка Пороги устойчивости Стационарные волны 2. Нелинейные кооперативные явления при взаимодействии поля излучения с веществом Кооперативные эффекты Атомы+поле излучения как динамическая система Связанное состояние атомов с полем излучения Разрушение связанного состояния Комментарии к главе 15 Глава 16. Структурные свойства одномерных цепочек 1. Атомные цепочки Дискретное уравнение синус-Гордона Стационарные состояния цепочки Нелинейный резонанс в структурах Несоразмерные структуры § 2. Спиновые цепочки Условия равновесия Эквивалентная динамическая система Хаотические структуры и ближний порядок в них 3. Возбуждение в молекулярных цепочках Описание модели Коллективные возбуждения Комментарии к главе 16 Глава 17. Возмущения в задаче Кеплера 1. Нелинейная динамика в кулоновском поле Параметры движения Переменные действие-угол Спектральные свойства 2. Возбуждение и ионизация атома водорода 3. Диффузия эксцентриситета орбит в гравитационном поле планет Масконы Мультипольное разложение Изменение интегралов движения Резонансы и их ширина Перекрытие резонансов Диффузионные орбиты 4. Диффузия комет из облака Оорта Облако Оорта Простейшее отображение
316 316 317 318 320 320 321 322 323 324 326 328 330 331 331 332 332 333 335 336 336 337 338 340 340 341 343 344 344 344 345 346 347 349 349 350 351 351 352 354 355 355 356
Диффузия орбит Другие возмущения Комментарии к главе 17 Список литературы Предметный указатель
358 359 359 360 367
Предметный указатель Инвариант адиабатический см. Адиабатический инвариант 54, 62, Адиабатический инвариант 63, 70, 71 - интегральный 25 Аносова система 107 - почти адиабатический 60 Арнольда диффузия 153 Инвариантный тор 27 Атомная цепочка 33, 331 Интегралов разрушение 139 Аттрактор 144 Ионно-звуковые волны 198, 231 - Лоренца 262 КАМ-теория 77 - стохастический 145, 151 Канонические переменные для волн Бегущие волны 187 214, 216 Бесстолкновительные ударные волны Кантор-тор 154 203 Квазиаттрактор 146, 151 Биллиарды 109, 308 Кеплера задача 344 Бифуркации 87 Колебания в яме 23 Бор 207 - плазмы 21 Боуэна теорема 114 Конвективные ячейки 262 Бюргерса уравнение 189 Константа связи волн 224 Ван дёр Поля уравнение 48 Контур неприводимый 29 Вариационный принцип 210 Кооперативные эффекты 323 Взаимодействие волн 230 Коррелятор одномерный 99, 123, 125 Вихревой дрейф 52 Критическая скорость 199, 201 Возмущений теория 37 K-системы 103 Волновой триплет 220, 234 Лагранжиан волн 211 Волновые пучки 316 Ленгмюровская турбулентность 269 Вращения число 156 Ленгмюровский коллапс 272 Время возврата 112 Лиувилля-Арнольда теорема 27 Гиперболическая точка 13 Лиувилля теорема 11, 25 Гомоклиническая структура 135 Лоренца модель 259 Действие 29 Ляпунова показатель 101 - угол переменные 13, 28, 345 Магнитозвуковая волна 201 Дивергентная форма 161 - - ударная 205 Динамика лучей 311 Масконы 349 Диффузия волн 255 Матрица перехода 67 - орбит 358 Маятник нелинейный 16 Дрейф в магнитном поле 60 Мера в фазовом пространстве 96 Дьявольская лестница 157 Метод обратной задачи рассеяния Знаменатели малые 39, 41 279 Излучение переходное 68 - Уизема 212
Модуляционная неустойчивость 270 Молекулярные цепочки 340 Надбарьерное отражение 56 Нелинейная дисперсия 216 Нелинейный резонанс волн 228 Несоразмерные структуры 335 Неустойчивость локальная 100, 241 Облако Оорта 355 Опрокидывание волны 43, 188, 189 Опрокидывания время 45, 189 Особые точки 80 Отображение 31 - диссипативное 147 - Пуанкаре 33 - с подкручиванием 299 - сепаратрисное 131 - стандартное 34, 35, 119 - универсальное 116 Параболическое уравнение 317 Перемешивание 99 Перемешивающий биллиард 308 Период колебании 20 Периодические орбиты 112 Плазменный конденсат 269 Предельные циклы 82, 91 Пуанкаре индекс 85 - теорема о возвратах 111 Пуассона скобки 26 Размерность разветвлений 184 - стохастического аттрактора 181 - Хаусдорфа 177 Распад плазмона 223 Распадная неустойчивость 221 Распадный спектр 218 Резонанс 27 - внутренний 41 - волн 228 - волна частица 42, 294 - нелинейный 72, 313, 333 - - внутренний 76 Резонансов перекрытие 127, 128, 133 Рейнольдса число 192 Ренормализационная группа 180 Репеллер 145
Ротатор 24 Ротаторы связанные 142 Ряды степенные 38 Самосжатие волновых пакетов 318 Самофокусировка 320 Сепаратриса 12, 17 Солитон 195 Спектр динамической системы 100 - колебаний 14 - маятника 18 - ударной волны 192 Спектральное разложение 30 Спиновые цепочки 336 Стационарная волна 193, 215, 321 Степени свободы волны 210 Стохастическая паутина 152, 298 Стохастический нагрев 168, 175, 289 - слой 129, 137 Стохастическое море 120 - ускорение 168, 171, 175 Стохастичности критерий 119 Стохастичность 96 Тода цепочка 31 Топологическая эквивалентность 37, 83 Top инвариантный 27 Турбулентность сильная 252, 258 - слабая 252 - солитонная 275 Ударная волна 192, 193 Укручение волн 45, 188 Улама модель 168 Уравнение КдВ 194 - Ландау-Лифшица 217 - синус-Гордона 202 Усреднение в быстрых полях 49 Усреднения метод 46 Устойчивость структурная 86 Фазовая капля 15 Фазовый объем 10 - портрет 12 Ферми-Паста-Улама проблема 245 Финитность движения 10, 144
Фокера-Планка-Колмогорова уравнение 159 Фононов кинетика 250 Фракталы 177, 179 Хаос 96
Циклы Пуанкаре 111 Число Маха 200 Эллиптическая точка 13 Энтропия Колмогорова-Синая 104 Эргодичность 98