CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS 36 2.3.2.3 Puissance moyenne en régime sinusoïdal 1. Puissance active : On la définit par P = U I cos φ. On l’appelle puissance active car c’est elle qui est réellement utile (par exemple, dans un moteur, c’est la puissance active qui est transformée en puissance mécanique, aux pertes près). Deux cas se présentent : – −π/2 < φ < +π/2 : P > 0, ce qui signifie que le dipôle est récepteur de puissance ; – +π/2 < φ < +π : P < 0, ce qui signifie que le dipôle est émetteur de puissance. Cas d’un condensateur ou d’une bobine : √ – Condensateur : on a i(t) = C du(t) dt donc si u(t) = U 2 cos ωt, alors √ √ i(t) = −CωU 2 sin ωt = (CωU ) 2 cos [ωt − (−π/2)] | {z } I On en déduit que φ = −π/2, et donc que dans le cas d’un condensateur parfait, la puissance active est nulle. – Bobine : on a de même u(t) = L di(t) dt , qui nous amène facilement à φ = +π/2, et donc également à une puissance active nulle. 2. Puissance réactive : On ne peut pas faire de différence, simplement en examinant le bilan de puissance active, entre un condensateur et une bobine. Par symétrie avec la définition de la puissance active, on définit la puissance réactive, souvent notée Q, par Q = U I sin φ . L’unité de puissance réactive est le Volt Ampère Réactif (VAR). Quand 0 < φ ≤ π/2, Q > 0 et on dit que le dipôle est de type inductif. Quand −π/2 ≤ φ < 0, Q < 0 et le dipôle est dit capacitif 2.8 . 3. Puissance apparente : P = U I cos φ et Q = U I sin φ amènent naturellement à définir la quantité S = p P 2 + Q2 = U I, appelée puissance apparente. Il vient alors P = S cos φ : cos φ est donc un facteur mesurant l’efficacité de production de puissance active du système, et est appelé facteur de puissance . 2.3.3 Représentation complexe d’un signal harmonique On considère un signal harmonique x(t) = x0 cos ωt. On définit alors sa représentation complexe x e sous la forme x e(t) = x0 ejωt On identifiera par la suite x et x e, et on écrira donc souvent par abus de notation : x(t) = x0 ejωt . On verra plus tard que l’utilisation de la représentation complexe permet de simplifier les calculs. Pour repasser ensuite dans le domaine réel, il suffit de prendre la partie imaginaire 2.9 du résultat des calculs 2.10 : x(t) = =[e x(t)]. Dérivation : A partir de la forme complexe, il est aisé d’établir une relation entre e(t) et sa dérivée par ¡ jωt ¢ un signal x jωt rapport au temps. En effet, si x(t) = x0 ejωt , alors dx = (jω)x e = jω x e , soit : 0 0 dt dx = jωx dt De même, pour intégrer un signal, il suffit de diviser sa représentation complexe par jω. Expression de la puissance en notation complexe : L’expression utilisable en notations réelles et donnée dans le paragraphe 2.3.2.2 ne l’est plus quand on manipule les représentations complexes. La puissance instantanée devient i 1 h p(t) = < u(t)ei∗ (t) 2 √ 2.8. Attention : si l’on change la définition du déphasage et que l’on pose par exemple i(t) = I 2 cos (ωt + φ), alors la puissance réactive est définie par Q = −U I sin φ. 2.9. On peut également définir la représentation complexe à partir de x(t) = x0 cos 2πνt, auquel cas pour revenir à la représentation réelle du signal il faut prendre la partie réelle. 2.10. Les signes <(z) et =(z) désignent respectivement les parties réelle et imaginaire du nombre complexe z.