Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. (2012 -176с).pdf by Botanam

ГЛАВА I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА § 1. Десятичная система счисления 2. 954 003 057 000 000 (девятьсот пятьдесят четыре триллиона три миллиарда пятьдесят семь миллионов); 831 000 820 000 (восемьсот тридцать один миллиард восемьсот двадцать тысяч); 63 900 000 000 000 (шестьдесят три триллиона девятьсот миллиардов). 3. а) 545; б) 1786; в) 3004; г) 689. 4. а) 2822; б) 1143; в) 471; г) 379. 6. а) Единицы тысяч; единицы; б) десятки тысяч; единицы тысяч; в) сотни тысяч; первая 7 стоит в разряде сотни тысяч, а вторая 7 — в разряде сотен; н) сотни миллиардов; первая 7 стоит в разряде десятки миллионов, вторая 7 — в разряде единицы миллионов; третья 7 — в разряде единицы тысяч. 7. а) Единицы тысяч; б) десятки и единицы; в) нет отсутствующих разрядов; г) единицы миллионов; десятки тысяч; сотни; единицы. 8. Десятки триллионов. а) 0; б) 1; в) 2; г) 8. 9. М. 5 8 ! 40; К. 5 5 ! 25; Е. 8 7 ! 56; Ф. 5 7 ! 35; Т. 4 9 ! 36; Р. 8 8 ! 64; А. 9 3 ! 27; И. 3 8 ! 24. 27 А

10. а) б) в) г) 11. а) б) в) г) 12. а) 13. а) в) 14. а) б) в)

64 Р

24 И

35 Ф

40 М

56 Е

36 Т

24 И

25 К

27 А

100 000 (сто тысяч); 10 000 (десять тысяч); 1 000 000 000 (один миллиард); 100 000 000 000 (сто миллиардов). 99 999 (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 999 999 (девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 (девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять); 99 999 999 999 (девяносто девять миллиардов девятьсот девяносто девять миллионов девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять). 107; б) 333 000; в) 990; г) 4000. 102 230 071; б) 580 000 240 500; 48 044 876 000 000; г) 34 515 500. Сто девять миллионов сто тридцать пять тысяч пятьдесят четыре; восемьдесят пять миллиардов два миллиона пятьсот пятьдесят одна тысяча семьдесят семь; девятьсот десять триллионов сорок два миллиарда двадцать миллионов триста восемь тысяч сто пятьдесят;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

337

г) семьдесят девять миллионов четыреста две тысячи семьсот двадцать. а) 53 801 50 000 + 3000 + 800 + 1; 53 801 5 ! 10 000 + 3 ! 1000 + 8 ! 100 + 1; б) 6275 6000 + 200 + 70 + 5; 6275 6 ! 1000 + 2 ! 100 + 7 ! 10 + 5; в) 189 032 100 000 + 80 000 + 9000 + 30 + 2; 189 032 1 ! 100 000 + 8 ! 10 000 + 9 ! 1000 + 3 ! 10 + 2; г) 201 734 200 000 + 1000 + 700 + 30 + 4; 201 734 2 ! 100 000 + 1 ! 1000 + 7 ! 100 + 3 ! 10 + 4. 125 378 567 > 99 987 398; 125 378 567 < 125 378 568; 125 378 567 > 125 367 569. а) 356; 357; 258; 359; 360; 361; б) 10 998; 10 999; 11 000; в) 951 399; 951 400; г) нет таких натуральных чисел. а) 55""" < 56"""; б) ""32"" > 9748; в) 95""" > "4""" г) "6"" > 14""; д) """ < """"; е) 93" < 15"""; ж) "4""" < 96"""; з) 35"" и "3"". (В примере з) первое число больше второго, если первую звездочку второго числа заменить цифрами 1; 2; 3, а если заменить цифрами 4; 5; 6; 7; 8; 9, то второе число больше первого.) а) 9; б) 0; в) 8; 9; г) 9; д) 50 303; 50 313; е) 60 783 < 60 791; ж) 71 209 < 71 218; или 70 219; 70 229; 70 239; 70 249; 70 259; 70 269; 70 279; 70 289; 70 299; з) 49 310 > 49 305. 456 — четыреста пятьдесят шесть; 4560 — четыре тысячи пятьсот шестьдесят; 45 600 — сорок пять тысяч шестьсот. Если цифры числа сдвигаются на один разряд влево, то в записи числа справа дописывается нуль; значимость этой цифры увеличивается на разряд; величина числа увеличивается в 10 раз. 32 500 000 — тридцать два миллиона пятьсот тысяч; 3 250 000 — три миллиона двести пятьдесят тысяч; 325 000 — триста двадцать пять тысяч. Если две цифры числа сдвигаются на один разряд вправо, то в записи числа справа отбрасывается один нуль; значимость цифры при сдвиге ее на один разряд вправо уменьшается на один разряд, а величина числа при этом уменьшается в 10 раз. Чтобы умножить натуральное число на 10, 100, 100 и т.д., надо справа к этому числу приписать столько нулей, сколько их содержится в 10, 100 и т.д. Например, 25 ! 10 250; 36 ! 100 3600; 104 ! 1000 104 000. Чтобы разделить натуральное число, заканчивающиеся нулями, на 10, 100, 1000 и т.д., надо в этом числе справа отбросить столько нулей, сколько их содержится в 10, 100, 1000 и т.д.

338

22.

23. 24.

25.

26.

27. 28.

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.*

Например, 1900 : 100 19; 7 680 000 : 1000 7680; 37 000 000 : 1 000 000 37. а) 124 ! 100 12 400; б) 915 000 : 100 9150; в) 750 ! 1000 750 000; г) 3590 ! 10 35 900; д) 247 ! 1000 247 000; е) 4 753 000 : 100 47 530; ж) 900 ! 100 90 000; з) 84 600 : 10 8460. а) 67 ! 10 : 2 335; б) 5 ! 116 116 : 1 ! 10 58 ! 10 580; в) 444 ! 4 444 : 2 ! 10 2220; г) 2350 ! 5 2350 : 2 ! 10 11 750. а) 58 ! 5 58 : 2 ! 10 290; б) 5 ! 280 280 : 2 ! 10 1400; в) 588 ! 5 588 : 2 ! 10 294 ! 10 2940; г) 5 ! 3700"#"3700 : 2 ! 10 1850 ! 10 18 500. а) 35 ! 5 35 ! 10 : 2 350 : 2 175; б) 264 ! 5 264 : 2 ! 10 132 ! 10 1320; в) 331 ! 5 331 ! 10 : 2 3310 : 2 1655; г) 4300 ! 5 4300 : 2 ! 10 2150 ! 10 21 500. а) 59 ! 5"#"59 ! 10 : 2 590 : 2 295; б) 181 ! 5 181 ! 10 : 2 1810 : 2 905; в) 679 ! 5 679 ! 10 : 2 6790 : 2 3395; г) 2830 ! 5"#"2830 : 2 ! 10 1415 ! 10 14 150. а) 6800; б) 701 020; в) 530 000; г) 28 640. Г. 15 ! 2 + 14 30 + 14 44; К. 9 + 39 : 3 9 + 13 22; И. 51 + 12 ! 4 51 + 48 99; Ц. 8 + 8 ! 10 8 + 80 88; М. 17 ! 3 – 18 51 – 16 33; Й. 11 ! 9 – 44 99 – 44 55; Н. 3 + 9 ! 7 3 + 63 66; И. 36 : 4 + 2 9 + 2 11; А. 17 + 4 ! 5 17 + 20 37. 33 М

37 А

44 Г

66 Н

11 И

29. 15 325 000; 100 250. 30. а) 1 392 000; в) 40 426 000 000 000; 31. 3 + 380 + 320 + 40 + 120

88 Ц

22 К

99 И

55 Й

б) 149 600 00; г) 5 894 240 000. 863 (га).

§ 2. Числовые и буквенные выражения 32. 1) 3) 5) 7) 8) 33. 1) 5) *

15 – 5 10; 2) 15 + 5 20; 4) 3 ! 5 15; 6) 2 ! 15 – 3 ! 5 30 – 15 15; (2 ! 15) : (3 ! 5) 30 : 15 2. x – y; 2) x : y; 3) 3y; 6) 2x + 3y; 7)

15 : 5 3; 2 ! 15 30; 2 ! 15 + 3 ! 5 x + y; 2x – 3y;

Решения и ответы приводятся к учебникам указанных годов.

30 + 15

45;

4) 2x; 8) (2x) : (3y).

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

339

34. Заменим в № 32 стоимость плитки шоколада буквой х, а стоимость батона хлеба — буквой у. Тогда получим такие же выражения, что и в № 33. 1) x – y; 2) x : y; 3) x + y; 4) 2x; 5) 3y; 6) 2x + 3y; 7) 2x – 3y; 8) (2x) : (3y). 35. 1) Числовые выражения: 17 + 5 48; 86 : 2 + 43 15; буквенные выражения: 23 5 – 3x; 2x – m. 2) Числовые выражения: 21 + 56 7; 12 + 71 + 5 28; буквенные выражения: 2d – 54; x + y + z; 5t. 36. а) 100 (8 + 7) ! 15 100 ! 1500; б) (57 – 42) 1000 ! 15 1000 ! 15 000; в) (32 + 24) : 7 ! 56 : 7 ! 8; г) 81 : (77 – 68) – 81 : 9 ! 9; 37. а) 15 2 + 42 : 6 ! 30 + 7 ! 37; б) 270 : 3 – 25 3 ! 90 – 73 ! 15; в) 17 3 + 4 13 ! 51 + 52 ! 103; г) 45 : 3 – 64 : 32 ! 15 – 2 ! 13. 38. а) 3 (a – b); б) 25 : (x + y); в) 3 a + b; г) 72 – 2 c. 39. 1) 2 + 6 ! 8 (км); 2) (2 + 6) : 2 ! 4 (км); 3) 2 (2 + 6) ! 16 (км); 4) 2 2 ! 4 (км); 5) 2 6 ! 12 (км); 6) 2 6 – 2 2 ! 12 – 4 ! 8 (км); 7) (2 6) : (2 2) ! 12 : 4 ! 3 (раза). 40. 1) (x + y) км; 2) (x + y) : 2 км; 3) 2(x + y) км; 4) 2x км; 5) 2y км; 6) 2(x – y) км; 7) 2x : 2y (раз). 41. Л. (6 + 18) : 8 ! 24 : 8 ! 3; Г. 124 : (20 + 11) ! 124 : 31 ! 4; Р. 9 (106 – 103) ! 9 3 ! 27; Е. 8 + (58 – 36) ! 8 + 22 ! 30; Б. 50 : (430 – 405) ! 50 : 25 ! 2; А. 33 : 3 ! 11. 11 А

42. а) б) в) г) д) 43. а) б) в) 44. 1) 2) 45. 1) 46. а) 47. а)

3 Л

4 Г

30 Е

2 Б

27 Р

11 А

6 + 4 ! 10; е) 86 – 54 ! 32; 36 + 4 ! 40; ж) 510 не делится нацело на 7; 32 : 8 ! 4; з) 20 + 28 ! 48; 6 30 ! 180; и) 56 – 40 ! 16. 9 – 4 ! 5; 15 + 5 ! 20; г) 25 3 ! 75; ж) 30 – 17 ! 13; 63 – 12 ! 51; д) 27 : 9 ! 3; з) 540 – 500 ! 40; 35 : 5 ! 7; е) 36 : 4 ! 9; и) 640 + 360 ! 1000. 720; 1440; 2880; 5760; 1286; 1504; 1784; 2896. 47; 2) 27; 3) 21. 103; б) 177; в) 11; г) 23. 41; б) 14; в) 27; г) 185.

340

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

48. а a+6 6а

1 7 6

4 10 24

7 23 42

12 18 72

20 26 120

49. а) b; б) а; в) b; г) а. 50. а) m; б) m; в) n; г) n. 51. а) m 8 + n; б) a 4b; в) c d – 3; г) e g : 6. 52. I — 500 кг  II — 2200 кг ?  III — ? на 250 кг >, 1) 500 + 250 750 (кг); 2) 500 + 2200 + 750 3450 (кг). Ответ: трем магазинам продано 3450 кг кондитерских изделий. 53.

−

1 450 000 500 000

950 000 (ð.) Ответ: чистый доход, полученный фабрикой за год равен 950 000 р. 54. 35 000 – 5000 30 000 (р.). Ответ: чистый доход предприятия увеличился на 30 000 р.

Контрольные задания 1. Числовые выражения: 328 – 18 ! 3; 81 : 9 + 72. Буквенные выражения: 3a – 178; x – 5y. 2. 5 ! 4 + 17 20 + 17 37. 3. а) (3m) р.; б) (2t) р.; в) (3m + 2t) р.

§ 3. Язык геометрических рисунков 55. М. 20; Р. 12; 22 Г

О. 29; Я. 16; 24 Е

29 О

20 М

Т. 36; И. 7; 24 Е

36 Т

Г. 22; Е. 24. 12 Р

7 И

16 Я

57. 1. а) АВ; б) пересекаются прямые CD и АВ; EF и АВ; прямые CD и EF не пересекаются. 2. Точки М и N принадлежат прямой а, а точки С и D ей не принадлежат. 3. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О. Прямая а пересекает отрезок MN в точке K.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

341

58.

59. Угол СВА (или АВС); треугольник ORT; четырехугольник DKEF (трапеция); прямоугольный треугольник NTV. 60. 1) 52 – 13 39 (км/ч); 2) 52 : 13 4 (раза); 3) 260 : 13 20 (ч); 4) 260 : 52 5 (ч); 5) 260 : 13 – 260 : 52 20 – 5 15 (ч); 6) (260 : 13) : (260 : 52) 20 : 5 4 (раза); 8) 260 : (13 + 52) 260 : 65 4 (ч). 61. 1) (y – x) км/ч; 2) (y : x) (раз); 3) (260 : х) (ч); 4) (260 : у) (ч); 5) (260 : х – 260 : у) (ч); 6) (260 : x) ! (260 : y) (раз); 7) (260 : (x + y)) (ч). 62. х 36 42 180 240 24 x–6 х:6

18 4

30 6

36 7

174 30

234 40

63. а) 89 367 288; 89 788; б) 89 367 288; 36 288. 64. 1) 17; 4) 21; 7) 37; 10) 44; 2) 19; 5) 13; 8) 54; 11) 51; 3) 19; 6) 24; 9) 20; 12) 34. 65. 1) 850; 5) 700; 9) 5200; 13) 2400; 2) 2150; 6) 900; 10) 9100; 14) 14 000; 3) 2650; 7) 1300; 11) 11 200; 15) 37 000; 4) 6100; 8) 2100; 12) 14 000; 16) 43 000. 66. Если первое слагаемое увеличится на 16, а второе — на 4, то сумма увеличится на 20; — если первое слагаемое увеличится на 30, а второе уменьшится на 5, то сумма увеличится на 25; — если первое слагаемое увеличится на 18, а второе уменьшится на 4, то сумма увеличится на 14; — если первое слагаемое увеличится на 3, а второе уменьшится на 8, то сумма уменьшится на 5; — если первое слагаемое уменьшится на 5, а второе увеличится на 15, то сумма увеличится на 10; — если первое слагаемое уменьшится на 12, а второе — на 5, то сумма уменьшится на 17.

342

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

67. Клубничное варенье — 850 г  Вишневое варенье — ? в 2 раза >, ?  Сливовое варенье — ? на 300 г >, Решение. 1) 850 2 ! 1700 (г); 2) 850 + 300 ! 1150 (г); 3) 850 + 1700 + 1150 ! 3700 (г). Ответ: Наташа привезла в подарок 3700 г варенья. 68. 1) 14 – 12 ! 2 (июля); 2) 19 ч 30 мин – 10 ч 20 мин ! 9 ч 10 мин. Ответ: теплоход отплыл из Уфы 2 июля в 9 ч 10 мин. 69. 6 ч 20 мин 15 с + 10 мин 40 с ! 6 ч 30 мин 55 с. Ответ: правильное время 6 ч 30 мин 55 с.

Контрольные задания 1. Прямая АВ, отрезок MN, треугольник CDE. 2.

§ 4. Прямая. Отрезок. Луч 70. 1) 2) один отрезок соединяет точки А и В. 3) через точки С и D проходит только одна прямая.

4) Прямые MN и CK не могут иметь других точек пересечения, кроме точки А. Любые две пересекающиеся прямые могут иметь только одну точку пересечения.

71. Лучи KL и АВ пересекаются. Лучи KL и MN, лучи АВ и MN не пересекаются. 72.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

343

73. 2) Отрезок — все точки прямой, расположенные между какими-либо двумя точками этой прямой, и сами эти две точки. Луч — все точки прямой, расположенные по одну сторону от какой-либо точки этой прямой и сама эта точка. 74. 1) Каждое число нижней строки на 10 больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под числом 100 — число 110; б) п + 10. 2) Каждое число нижней строки в 2 раза больше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 20; а под число 100 — число 200; б) 2п. 3) Каждое число нижней строки получается умножением на само себя соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 100; а под числом 100 — число 10 000; б) п п. 4) Каждое число нижней строки в 3 раза больше соответствующего числа нижней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 30; а под числом 100 — число 300; б) 3 п. 5) Каждое число нижней строки на 1 меньше соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 9; а под числом 100 — число 99; б) п – 1. 6) Каждое число нижней строки получается умножением на себя 3 раза соответствующего числа верхней строки. а) Под числом 10 должно стоять число 10 10 10 ! 1000; а под числом 100 — число 100 100 100 ! 1 000 000; б) п п п. 75. 1) 12 50 м; 2) 200 м; 3) (5 12) : (200 – 50) мин. 76. а) (y – x) м/мин; б) 10: (y – x) мин. 77. 1) Скорость волка — 3х м/мин; 2) скорость сближения волка и зайца — (30 – х) м/мин; 3) время, которое потребуется волку, чтобы догнать зайца — 10 : (3х – х) мин. 78.

5 10 2 5+ 2a + 3b + 3 10 ! 40 4 5– 4a – 2b – 2 10 ! 20 а b

6 5 2 6+ + 3 5 ! 27 4 6– – 2 5 ! 14

7 2 2 7+ + 3 2 ! 20 4 7– – 2 2 ! 24

8 1 2 8+ + 3 1 ! 19 4 8– – 2 1 ! 30

9 0 2 9+ + 3 0 ! 18 4 9– – 2 0 ! 36

344

2002–2011 гг.

"#$%"#$&'#

79. а) б) 80. а) б) 81. 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 82. 2)

100 – 28 72; в) 100 – 63 37; д) 25 – 15 10; 100 – 31 69; г) 100 – 79!"!21; е) 75 – 45 30. 50 – 25 25; в) 50 – 18 32; д) 25 – 8 17; 50 – 32 18; г) 50 – 29 21; е) 75 – 34 41. 15 + 2 17 (км/ч); 15 – 2 13 (км/ч); 3 # (15 + 2) 51 (км); 3 # (15 – 2) 3 # 13 39 (км); 68 : (15 + 2) 68 : 17 4 (ч); 78 : (15 – 2) 78 : 13 6 (ч); (15 + 2) – (15 – 2) 17 – 13 4 (ч). (х + 2) км/ч; (х – 2) км/ч; (х + 2) – (х – 2) км/ч; t — определенное время, тогда: t # (x + 2) км; t # (x – 2) км; А — путь при движении по течению реки, тогда: А : (х + 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути; В — путь при движении против течения реки, тогда В : (х – 2) ч — необходимое время для преодоления этого пути. 3) 8 # (х + 2) — расстояние, которое пройдет катер за 8 ч по течению реки; 10 # (х – 2) — расстояние, которое пройдет катер за 10 ч против течения реки. 83. Задача. Лера нашла 49 грибов; Юля — ? в 2 раза меньше, чем Саша — ? на 20 грибов меньше, чем Решение. 1) 48 : 2 24 (гриба); 2) 48 + 24 72 (гриба); 3) 72 – 20 52 (гриба); 4) 52 – 48 4 (гриба); 5) 52 – 24 28 (грибов). Ответ: больше всех грибов набрал Саша, что на 4 гриба больше, чем Лера и на 28 грибов больше, чем Юля. Саша набрал 52 гриба. +19 +17 :5 :3 85. а) 100  → 20  → 39  → 13  → 30; ⋅7 −26 ⋅3 −45 б) 8  → 56 → 30  → 90 → 45; ⋅3 +10 +29 :5 → 45  → 55  → 11  → 40; в) 15  :6 :2 +42 −13 → 8 → 50  г) 48  → 25 → 12.

}

Контрольные вопросы 1. Один. 2. Только одну. 3. Изображение отрезка ограничено 2 точками: началом и концом отрезка.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

§ 5. Сравнение отрезков. Длина отрезка 88. AB AD; BC DC. 89. CM AM; BM DM; BC

AB.

NK; MN

LK.

90. MO OK LO ON; ML 91. а) 1) 15 + 19 34 (см); 2) 50 – 34 16 (см). Ответ: 16 см.

б) 1) 38 + 26 64 (см); 2) 64 – 50 14 (см). Ответ: 14 см. в) Рисунок аналогичный рисунку в задании а). 1) 23 + 21 44 (см); 2) 50 – 44 6 (см). Ответ: MN 6 см. г) Рисунок аналогичный рисунку в задании б). 1) 42 + 34 76 (см); 2) 76 – 50 26 (см). Ответ: MN 26 см. 92. а) MN 3 ! AB 3 ! a (см); б) KL AB + 25 a + 25 (см); в) CD AB : 4 a : 4 (см); г) EF AB – 8 a – 8 (см). 93. а) BC AC – AB 10 – 7; б) BC AC – AB 10 – x; в) BC AB + AC x + 2; г) BC AD – (AB + CD) a – (x + c). 94. а) AB 2x 2 ! 5 10 (см); б) ED

3!5

15 (см);

в) FK

x:2

5 см : 2

2 см 5 мм;

г) РО

х:4

5 см : 4

1 см 15 мм.

345

346

95.

2002–2011 гг.

Уменьшаемое +6 +2 +18 +45 –17 –9

Вычитаемое +4 –5 –6 –10 +7 +5

#$%&#$%'($

Разность 6 – 4 2, т.е. +2 +7 +24 +55 –24 –14

96. а) m 4n; n m : 4; m : n 4; б) a b : 4; b a – 4; a – b 4; в) c d : 4; d 4c; d : c 4; г) e g – 4; g e + 4; g – e 4. 101. 1 способ 1) 115 – 90 25 (км/ч); 2) 3 ! 25 75 (км). 2 способ 1) 3 ! 115 345 (км) — путь легкового автомобиля; 2) 3 ! 90 270 (км) — путь грузовика; 3) 345 – 270 75 (км). Ответ: грузовик отстанет от легкового автомобиля на 75 км. Для того, чтобы эта задача решалась в одно действие, можно изменить вопрос задачи. Например, какое расстояние будет между грузовиком и легковым автомобилем через 1 час после начала движения? Тогда решение имеет вид: 115 – 90 25 (км).

Контрольные задания 1. Отрезки равны, если при наложении их можно совместить. Отрезки равны, если они имеют одинаковую длину. 2. AB CD; BC AD; AO OC; BO OD. 3. MN NK LK ML; KO ON MO OK.

§ 6. Ломаная 102. 1) Замкнутые ломаные: CDEFGHIJAB, MNKLP; незамкнутые ломаные: ABCDE; MNKL. 2) MNKLP; NKLPM; KLPMN; LPMNK; PMNKL; MPLKN; NMPLK; KNMPL; LKNMP; PLKNM. Таким образом, замкнутую ломаную MNKLP можно назвать 10 способами. 103. ABCD.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

347

104. 12 незамкнутых ломаных:

105. 3 замкнутые ломаные:

106. Длина ломаной равна сумме длин всех звеньев, из которых она состоит. 1) MNKEP — незамкнутая ломаная. Ее длина: MN + NK + KE + EP 2 см + + 3 см + 1 см + 4 см 10 см. 2) AB + BC + CD 1 см 8 мм + 2 см 5 мм + + 1 см 9 мм 6 см 2 мм. 107. a + b + c.

348

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

108. а) AB x см  ВС — в 2 раза >, чем ?  CD — на 6 см <, чем Решение. (x + 2x + (x – 6)) см. б) AB y см;  ВС — в 3 раза <, чем ?  CD — на 8 см >, чем Решение. (y + y : 3 + (y : 3 + 8)) см. 109. Длина ломаной MNKL (незамкнутой): MN + NK + KL. а) MN a  NK — в 3 раза >, чем ?  KL — на 12 см >, чем Решение. (a + 3a + (a + 12)) см. б) MN b  NK — на 7 см >, чем ?  KL — в 4 раза >, чем Решение. (b + (b + 7) + 4(b + 7)) см. Результат 110. Множитель Множитель !2 !2 :2 : 10 : 10 : 100

111. а) б) 112. а) б) 113. а) б) в) г) 114. а)

!2 ! 10 : 10 ! 10 : 10 : 10

!4 ! 20 : 20 не изменится : 100 : 100

100 – 17 83; в) 50 – 24 26; д) 100 – 6 94; 100 – 64 36; г) 50 – 36 14; е) 100 – 73 27. 100 – 82 18; в) 50 – 39 11; д) 75 – 50 25; 100 – 8 92; г) 50 – 14 36; е) 50 – 22 28. Стоимость трех книг — 3х; 2у — стоимость двух альбомов; (у – х) — на сколько альбом дороже книги; (5х + 4у) — стоимость 5 книг и 4 альбомов. (a + b) км/ч — скорость, с которой пассажирский и товарный поезда удаляются друг от друга; б) (1750 : а) ч — время, необходимое пассажирскому поезду для преодоления 1750 км; в) (1750 : b) ч — время, необходимое товарному поезду для преодоления 1750 км; г) 1750 : (a + b) ч — время сближения поездов, если они выйдут одновременно навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 1750 км.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

349

115. Задача. I окунь — 400 г  II окунь — ? на 60 г >, чем ?  III окунь — ? в 2 раза <, чем Решение. 1) 400 + 60 460 (г); 2) 400 + 460 860 (г); 3) 860 : 2 430 (г); 4) 860 + 430 1290 (г). Ответ: масса всех трех окуней равна 1290 г или 1 кг 290 г. 116. Возможные варианты кодового номера магнитной карты Антона: 9697; 9688; 9679; 6997; 6988; 6979; 7897; 7888; 7879; 8788; 8779. Нельзя утверждать, что Антон сможет воспользоваться картой, если ошибется 4 раза, так как всего 12 вариантов кодового номера его карты.

}

Контрольные задания 1. Ломаная ABCDE — незамкнутая, состоит из 4 звеньев: AB, BC, CD, DE.

2. Ломаная MNKLT — замкнутая, состоит из 5 звеньев: MN, NK, KL, LT, ТM.

§ 7. Координатный луч 118. 7; 9; 13; 17; 20; 21. 119. C, F, I, N, U. 120. а) б) 121. 122. а) A(6); B(12); C(15); D(21); F(30); G(42); H(63); б) A(10); B(20); C(25); K(30); D(35); F(50); G(70); H(105);

350

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

в) A(15); B(45); C(60); D(90); F(135); G(195); H(300); г) A(4); B(20); C(24); D(44); F(52); G(64); H(80). 123. а) 4;

б) 10;

в) 30;

г) 25;

124. 31 + 7 38; 48 – 25 23. 125. 1) а) 40 + 8 + 15 63; б) 32 – 16 – 14 2; 2) а) 40 + 23 63; б) 32 – 30 2. 126. 1) 6 ! (4 + 3) 6 ! 7 42 (м2); 2) 28 : (4 + 3) 28 : 7 4 (ч). 127. 1) 360 : 6 60 (деталей) — изготавливает мастер за 1 день; 2) 360 : 12 30 (деталей) — изготавливает ученик за 1 день; 3) 60 + 30 90 (деталей) — изготавливают ученик и мастер за 1 день, работая одновременно; 4) 360 : 90 4 (дня). Ответ: за 4 дня, работая одновременно, мастер и ученик изготовят 360 деталей. 128. 1) 1800 : 90 20 (м) — за 1 день ремонтирует I бригада; 2) 1800 : 45 40 (м) — за 1 день ремонтирует II бригада; 3) 20 + 40 60 (м) — за 1 день ремонтируют I и II бригады вместе; 4) 1800 : 60 30 (дней). Ответ: за 30 дней будет закончен ремонт дороги, если обе бригады будут работать совместно.

Контрольные вопросы 2. 3. M(3); N(9); K(17).

§ 8. Округление натуральных чисел 132. а) б) в) г) 133. а) в)

2578 " 2600; 86 039 " 86 000; 448 731 " 449 000; 2 180 960 " 2 181 000; 7 734 106 " 8 000 000; 6 381 710 " 6 000 000; 12 803 326 " 12 800 000; 257 902 581 " 257 900 000. 8 999 996 " 9 000 000; б) 8 999 996 " 9 000 000; 8 999 996 " 9 000 000; г) 8 999 996 " 9 000 000.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

351

134. а) до тысяч; б) до десятков тысяч; в) до сотен; г) до сотен тысяч. 135. 99 999 995. 136. 15 : 5 3 (ч). Ответ: Аладдин потратит на возвращение примерно 3 часа. 137. 1) 17 ! 6 102 (км), 102 " 100; 2) 16 – 6 10 (ч). Ответ: машине понадобится примерно 6 ч для очистки пути; начать работу ей нужно примерно в 10 ч, чтобы закончить очистку в 16 ч. 139. 1) 24 : 4 6 (га) — орошает I машина за 1 час; 2) 24 : 3 8 (га) — орошает II машина за 1 час; 3) 6 + 8 14 (га) — поливают обе машины за 1 день, работая одновременно; 4) 14 ! 8 112 (га). Ответ: машины за 8 ч совместной работы оросят 112 га. 140. а) 100 – 15 85; б) 80 + 15 95; в) 50 + 13 63; г) 70 – 10 60. 141. а) +61; б) –20; в) +20; г) –8; д) –20; е) +6. 142. 40 рублей. 143. Иа-Иа записал число 181 (1 + 8 + 1 10; 1 + 0 1). Пятачок записал число 929 (9 + 2 + 9 20; 2 + 0 2). 144. 1) 48 : 3 16 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 16 – 2 14 (км/ч). Ответ: собственная скорость катера равна 14 км/ч. 145. 1) 60 : 4 15 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 16 – 15 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. 146. 1) 88 : 8 11 (км/ч) — скорость лодки против речения реки; 2) 88 : 22 4 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 11 + 4 15 (км/ч). Ответ: скорость лодки в стоячей воде равна 15 км/ч. 147. 1) 48 : 3 16 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 48 : 24 2 (км/ч) — скорость течения реки; 3) 16 – 2 14 (км/ч). Ответ: при движении по озеру скорость теплохода равна 14 км/ч. 148. 1) 12 ! 19 228 (м) — преодолел автобус за 12 с; 2) 228 – 180 48 (м) — преодолел прохожий за 12 с; 3) 48 : 12 4 (м/с). Ответ: прохожему пришлось бежать со скоростью 4 м/с. 149. а) ! 6; б) : 5; в) : 5; г) : 6; д) ! 3; е) ! 3.

Контрольные задания 1. 68 823 " 69 000; 238 480 " 238 000; 2 560 511 " 2 561 000. 2. а) До десятков тысяч; б) до сотен.

352

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

§ 9. Прикидка результата действия 152. а) Десятки тысяч; цифра 1; б) если второе число уменьшить в два раза, то старший разряд суммы не изменится; если второе число увеличить в 2 раза, то не изменится; если увеличить в 10 раз, то не изменится; если увеличить в 100 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд суммы изменится, а если его увеличить в 2 раза, то тоже изменится; в) десятки тысяч; цифра 1; г) если второе число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности не изменится; а если увеличить в 2 раза, то не изменится, но если увеличить в 10 раз, то изменится. Если первое число уменьшить в 2 раза, то старший разряд разности изменится, а если увеличить в 2 раза, то изменится цифра старшего разряда разности. 153. Пусть х г — масса одного огурца. На рисунке видно 10 огурцов. Составим уравнение, учитывая, что 1 кг 1000 г: 10x + 500 + 100 1000 + 1000; 10x + 600 2000; 10x 2000 – 600; 10x 1400; x 1400 : 10; x 140. Значит, 140 г весит один огурец. Ответ: масса одного огурца равна 140 г. 154. 1) 31 691 ! 30 000; 490 ! 500; 31 691 490 ! 30 000 " 500 15 000 000. Поэтому, Пончик стал миллионером. б) 30 000 " 250 7 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 2 раза ниже. 3000 " 50 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы цена на соль была в 10 раз ниже. в) 30 000 : 2 15 000; 15 000 " 500 7 5000 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 2 раза меньше. 30 000 : 10 3000; 3000 " 500 1 500 000. Пончик стал бы миллионером, если бы ему удалось продать соли в 10 раз меньше. г) 150 000 000 : 500 300 000 (г). Пончику нужно продать больше 300 000 г соли, чтобы купить виллу. 155. а) 20 км 2 000 000 см; 24 см ! 20 см; 2 000 000 : 20 100 000. 165. а) (24 + 12) " 2 72; б) (150 – 60) : 3 30; в) 72 : (36 – 24) " 10 60; г) 150 – (2 " 24 + 12) : 6 140.

353

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

166. а) б) в) г)

Контрольные вопросы 1. 2. 3. 4.

Десятки тысяч. Сотни. Тысячи. Сотни.

§ 10. Вычисления с многозначными числами 167. 1)

2 741 439 45 361

6 478 497 5 954 502

−

922 564 723 154

−

564 589 57 175

2 786 800 168. а) 48 489 + 72 655

12 432 999 б) 4 728 088 + 252 245

199 410 в) 5 388 226 − 2 881 622

507 414 г) 1 925 908 − 71 414

121 144 169. а) 485 992 + 68 622

4 980 333 б) 329 527 − 177 028

2 506 604 в) 442 774 + 652 887

1 854 494 г) 131 357 − 81 592

170. а) Река Длина, км

2850 3821

6671 5) 2700 − 130

1 094 887

152 499

554 614

49 765

Амазонка Висла Ганг Дунай Муррей Нил Ориноко Сена 6400

−

1047

6671 271

6400 6) 2570 + 160

2700

−

2850

6400 5353

1047 7) 2730 − 1954

2570

6671

2730

776

1047 1653 2700

776 2730 2570 б) Из перечисленных рек самая длинная — Нил (6671 км), а сама короткая — Сена (776 км).  6400 − Ориноко короче Амазонки на 3670 км  2730 ;    3670 

354

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

 6671 − Нил длиннее Ганга на 3971 км  2700 .    3971  171. Пельсианы — ? Рангаты — ? Кабриосы — ?

}

1250 юке

Решение. 1) 1780 − 1084 696 (юке) — рангаты; 3)

−

   1780 юке. 

1084 юке

−

1250 696 554 (юке) — пельсианы;

1084 554

530 (юке) — кабриосы. Ответ: рангаты стоят 696 юке, пельсианы — 554 юке, кабриосы — 530 юке. 172 Первый и третий примеры вычислены неправильно. 173. а) 5000 100 ! 500 000; б) 4000 700 ! 2 800 000; 5243 4359 × × 128 700 41944

3051300

10486 5243 671104 в) 7000 500 ! 3 500 000; ×

7051 503

г) 5000 4000 ! 20 000 000; ×

4506 4110

21153 35255 3546653

4506 4506 18024 18519660

д) 5000 400 ! 20 000 000; 4503 × 356 27018 22515

е) 500 500 ! 2 500 000; ×

5006 474

20024

13509

35042 20024

1603068

2372844

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

174. а) 20 000 3000 ! 60 000 000; 20134 × 3005

б) 70 000 200 ! 14 000 000; 70342 × 201

100670 60402 60502670 в) 13 000 800 ! 10 400 000; 13150 × 752

70342 140684 14138742 г) 400 90 000 ! 36 000 000; 90012 × 456

2630 6575 9205

540072 450060 360048

9888800

41045472

д) 7000 8000 ! 56 000 000; е) 6000 700 ! 4 200 000; 5604 6520 × × 705 8000 52160000

28020 39228

3950820 175. а) 50 000 2000 ! 100 000 000; б) 3000 8000 ! 24 000 000; 2307 3465 × × 46200 8012 4614 6930 13842 3465 9228 27720 106593400 27761580 в) 8000 400 ! 3 200 000; 8230 × 400 3292000

г) 7000 3000 ! 21 000 000; 3249 × 7006 19494 22743

д) 1000 100 ! 100 000; 1035 × 96

22762494 е) 50 9000 ! 450 000; 9008 × 54

6210 9315

45040

99360

486432

36032

355

356

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

176. 1)

2105 125

4731 50

2105 4731

236550 (p.)

10525

6836 (чел.)

4210 2105 263125 (p.) 4)

−

15936 6836 9100

9100 35

455

236550 + 263125 318500 818175 (p.)

273 318500 (p.)

Ответ: выручка от продажи билетов на футбольный матч составила 818 175 р. 177. 1)

35 12 70

420 46000

252

168

420 (вагонов);

19320000 (кг);

19 320 000 кг 19 320 т. Ответ: на комбинат перевезут 19 320 т зерна. 178. 1)

4537 5

22685 (л) — выкачали большие насосы за 1 час; 2)

2120 3 6360 (л) — выкачали малые насосы за 1 час;

22685 6360 29045 (л) — выкачали насосы вместе за 1 час;

29045 6

174270 (л). Ответ: в подвале скопилось во время наводнения 174 270 л воды.

357

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

179. 1 способ 1)

257 17

−

4095

274

1799

4369 274

257 4369 2 способ 1) 17 – 1

16;

257 16

−

1542

4112 17 4095

257 4112 Ответ: разница между требуемым и полученным числом составляет 4095. 180. Правильно выполнены вычисления 1) и 3). В вычислении 2) правильный ответ 501. 181. а) 3000 : 20 −

150;

2898 23 23 126

−

59 46

−

138 138

б) 12 000 : 300 −

40;

11040 345 1035 32 −

690 690 0

0 в) 70 000: 100 −

69000 138 690 500 0

700;

г) 40 000 : 70 ! 600; −

37872 72 360 526 −

187 144

−

432 432 0

358

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

д) 550 000: 90 −

6000;

546455 91 546 6005

е) 12 000 : 60 ! 200; −

11774 58 116 203 17 − 174 174

4 45 − 455 455

0 182. а) 200 000 : 50 ! 4000; −

162648 54 162 3012 6 − 64 54 −

б) 60 000 : 100 ! 600; −

60625 125 500 485

−

1062 1000 −

108 108

625 625 0

0 в) 170 000 : 30 6000; 166496 32 − 160 5203 −

64 64

г) 20 000 : 500 ! 40; 17898 471 − 1413 38 −

9 − 96 96

3768 3768 0

0 д) 400 000 : 100 ! 4000; −

380665 95 380 4007 6 66 665 − 665 0

е) 30 000 : 50 ! 600; −

34349 49 343 701 4 49 − 49 0

359

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

183. а) 308 37 – 29 101 + 253 9 ! 10 744; 1)

× +

308 2) 37

2156 924

× +

101 29

4) − 11396 2929

3) × 253 9

909 202

10744

8467

2277

8467 2277

2929

11396 1

б) (3107 + 287) 43 ! 145 942; 1)

3107 287

3394 43

10182 13576

3394

145942 1

в) 38 027 24 + 24 508 – 2408 356 ! 79 908; 1)

38027 24

2408 356

912648 24508

12040

912648

7224

−

937156

14448

152108 76054

937156 857248 79908

857248

г) (10 000 – 7875) (10 201 – 1785) ! 478 125; 1)

−

10000 7875

2) 201 10 ! 2010;

2125

−

2010 1785 225

2125 225

10625 4250 4250 478125

184. 1) 78 т 625 кг ! 78 625 000 г; 2) 18 кг 500 г ! 18 500 г; 3) 78 625 000 : 18 500 ! 4250 (мон.);

360

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

−

786250 185 740 4150 −

462 370 −

925 925 0

Ответ: в трейлер погрузили 4250 мониторов. 185. 1025550 11925 − 95400 86 −

71550 71550 0

Ответ: на одного человека приходится в среднем 86 л воды в день. 2) 21600 30 186. 1) 93600 − − 21 72000 720 (ð.) 21600 (ð.)

−

6 6 0

187.

Ответ: оптовая цена куртки меньше розничной на 720 р. 78 + 43 35

156 (ð.) Ответ: цена 1 кг получившейся смеси — 156 р. 1) Если взятьпо 2 кг печенья каждого сорта, то стоимость смеси увеличится в 2 раза. Но цена смеси не изменится. А если взять по пол килограмма, то стоимость смеси уменьшится в 2 раза, но цена смеси при этом не изменится. 2) Если к смеси добавить 1 кг печенья третьего сорта, то ее цена увеличится на 35 р., а если первого сорта, то увеличится на 78 р. 188. 1) 2 р. 20 к. 220 к.; 2) 20 ! 220 4400 (к.) 44 (р.) — стоимость 20 л воды; 3) 44 + 88 132 (р.) — стоимость напитка; 4) 20 + 2 22 (р.) — количество напитка; 5) 132 : 22 6 (р.) — цена напитка. Ответ: стоимость напитка — 132 р., а его цена — 6 р. 1

а) (320 : 8 – 30) : 2 + (578 : 17 + 87) : 11 1) 320 : 8 40; 2) 40 – 30 10;

16; 3) 10 : 2

361

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

−

578 17 51 34 −

34 87

121 11 11 11

−

121

68 68

−

0 1

11 11

395 52

−

498 385;

20540 603

19937

790

19937 25 99685

1975

39874

20540

498425

−

960 24 96 40

−

498425 40 498385

0 1

в) 395 ! 52 – 603 ! 25 – 960 : 24 5425; 3) 960 24 2) 1) 603 395 × × − 25 52 96 40 3015 790 0 1206 1975 3

1024 104192

−

20540 15075 5465

−

5465 40 5425

г) 256 ! 407 – 33 078 : 298 104 081; 2) 33078 298 1) 256 − × 298 111 407 1792

15075

20540 1

16;

б) (395 ! 52 – 603) ! 25 – 960 : 24 1)

7) 5 + 11

−

104192 111 104081

327 298 −

298 298 0

190. Между 30 липами, по условию, есть 29 мест для высадки камелий. 1) 29 ! 2 58 (к.) — камелий по одну сторону аллеи; 2) 58 ! 2 116 (к.). Ответ: посадили 116 кустов камелий. 191. а) (s – 4) — длина грунтовой дороги; 3v — скорость автомобиля по шоссе;

362

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

(s : 3v) — время, за которое автомобиль по шоссе доедет из поселка Левино до поселка Новопокровское; (s – 4) : v — время, за которое автомобиль по грунтовой дороге преодолеет пусть от поселка Левино до поселка Новопокровское. б) Равенство s : 3v (s – 4) : v означает, что автомобиль преодолевает путь по грунтовой дороге и по шоссе за одинаковое время. 192. а) б) 193. а) б)

Контрольные задания а)

4 570 852 64 208

б)

−

4 635 060 в)

24042 307

г)

−

6 353 054 738 536 5 614 518 2835 27 27

168294 72126 7380894

105

13 −

135 135 0

§ 11. Прямоугольник 194. а)

Р 10 + 6 + 5 + 3 + 5 + 3 20 + 12 32; S S1 + S2 3 ! 5 + 3 ! 10 15 + 30 45;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

363

P 6 + 10 + 2 ! 5 + 2 ! 3 16 + 16 32; S S1 + S2 6 ! 5 + 3 ! 5 30 + 15 45;

P 2 ! (6 + 10) 2 ! 16 32; S S2 – S1 6 ! 10 – 3 ! 5 60 – 15 45. Далее будем рассматривать один из указанных способов решения: б)

2(a + b); S

2 ! (a + b); S

ab – (a – d) ! (b – c);

в)

ab – cd;

г)

P 2 ! (a + b); S ab – d ! (a – c). 195. Площадь каждой из закрашенных фигур равна 1 см2, так как составляет 4 полных клетки. 196. 1) — равные прямоугольники: 1) и 7); 2) и 6); 4) и 5); — прямоугольники, имеющие одинаковую площадь: 2), 4), 5), 6); 3), 1) и 7); — прямоугольники, имеющие одинаковый периметр: 1), 4), 7), 5); 2) и 6); 2) — нет; — нет; — нет; — нет; — нет. 197. 1) Площади всех фигур, изображенных на рисунке 27 равны. Равных фигур среди изображений нет.

364

198. 199.

200.

201.

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

2) — истинно; — ложно; — ложно; — истинно. а) 5 см; б) 8 см; в) 10 см; г) 12 см (так как S 12 ! 12 144 (см2)). 100 10 ! 10 2 ! 50 5 ! 20 4 ! 25 Поэтому периметр прямоугольника может быть равным: 2 ! (10 + 10) 40 (см); 2 ! (2 + 50) 104 (см); 2 ! (5 + 20) 50 (см); 2 ! (4 ! 25) 58 (см). Наименьший периметр у прямоугольника со сторонами 10 см и 10 см, т.е. у квадрата со стороной 10 см. а) 24 + 15 39; 24 – 15 9. Значит, от числа 24 на 15 единичных отрезков удалены точки с координатами 9 и 39; б) 78 + 159 237. От числа 78 на 159 единичных отрезков удалена точка 237. а)

б)

в) г) 202. а)

б)

в)

203. а) (6568 – (8007 – 6999)) ! 1001 5 565 560; 3) 2) 6568 1) 8007 5560 × − − 1001 6999 1008 1008

556

5560 556

5565560

365

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2. 3

б) (801 601 + (10 000 – 9876) 99) 40 ! 19 747 080; 124 4) 481401 3) 1) 10000 2) 801 × − + × 99 9876 12276 601 124

1116

493677

801

1116

4806

12276

481401

493677 × 40 19747080 2

в) 157 464 : (14 904 : 23) ! 243; 2) 157464 648 1) 14904 23 − − 138 1296 648 243 −

110 92

−

184 184

2786 2592 −

1944 1944

0 1

0 3

г) (97 548 + 69 432) : (16 400 – 15 388) ! 165; 1)

97548 69432

166980

−

16400 15388

1012

−

166980 1012 1012 165

−

6578 6072 −

204. а) 1) 1000 : 10 ! 100 (л); 2) 8500 : 100 ! 85 (р.) — стоит 10 л бензина; 3) 210 : 10 ! 21 (л); 85 × 21

5060 5060 0

85 170 1785 (р.). Ответ: 210 л бензина стоят 1785 р. б) 1) 52 ч 30 мин ! 52 60 мин + 30 мин ! 3120 мин + 30 мин ! !"3150 мин;

366

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

2) 3150 : 10 315 (мин) — затрачивает рабочий на изготовление 1 детали; 3) 43 ч 45 мин 43 ! 60 мин + 45 мин 2580 мин + 45 мин "2625 мин; 4) 2625 25 − 25 105 (мин) — затрачивает станок-автомат на изготовление 1 детали; 12 −

125 125 0

5) 315 : 105 3 (раза). Ответ: автомат работал быстрее рабочего в 3 раза.

Контрольные задания 1. АВ 18 мм; ВС 44 мм. Р 2 ! (АВ + ВС) 2 ! (18 + 44) 2 ! 62 124 (мм); SABCD AB ! BC 18 ! 44 792 (мм2). 18 × 44 72 72 792 2. Фигуры являются равными, если при наложении их друга на друга они совпадают.

§ 12. Формулы 206. а) S

a!b 25 × 24

600 (см2);

б) S

100 50

600 в) S a ! b 57 × 61 +

25 ! 24

57 342 3477

a!b 125 × 48

61 ! 57

3477 (м2);

г) S

48 ! 125

6000 (см2);

1000 500

6000 a ! b 218 ! 105 218 × 105 1090 218 22890

22 890 (м2);

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

207. а) б) в) г) 208. s а) в) 209. а)

Р 2 ! (a + b) 2 ! (12 + 15) 2 ! 27 54 (м); P 2 ! (a + b) 2 ! (34 + 25) 2 ! 59 118 (м); P 2 ! (a + b) 2 ! (78 + 22) 2 ! 100 200 (см); P 2 ! (a + b) 2 ! (154 + 146) 2 ! 300 600 (см). v!t s 15 ! 4 60 (км); б) s 70 ! 2 140 (км); s 90 ! 3 270 (км); г) s 26 ! 7 182 (км). б) 13 ì 90 ñì 5 ìì 2 ò 540 êã + 14 ì 00 ñì 15 ìì 380 êã + 5 ì 30 ñì 00 ìì 2 ò 702 êã 33 ì 20 ñì 20 ìì

5 ò 622 êã в)

7 ãà 17 à 65 à + 12 ãà 53 à 12 ãà 35 à

210. 1)

367

г)

94 à 25 ì2 + 75 à 47 ì2 60 ì2 170 à 32 ì2

5460 5450

10910 — второе слагаемое; 3) 15510 + 10910 5460

10910 4600

15510 — третье слагаемое; 4) 31880 × 2 63760

31880 — четвертое слагаемое; Ответ: сумма всех четырех слагаемых равна 63 760. 211. I — 99; II — (999 – 99); III — 100; IV — ? 1) 999 – 99 900; 2) 900 + 100 + 99 1099; 3) 2645 – 1099 1546. 2654 − 1099 1546 Ответ: четвертое слагаемое равно 1546.

Контрольные задания 1. Формула — это равенство, которое представляет собой запись правила вычисления значения какой-либо величины. 2. а) S a ! b; P 2 ! (a + b); б) s v ! t. 3. P a + b + c, где a, b, c — длины сторон треугольника.

368

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

§ 13. Законы арифметических действий 211. а) 48 + 56 + 52 48 + 52 + 56 100 + 56 156; б) 34 + 17 + 83 34 + (17 + 83) 34 + 100 134; в) 56 + 24 + 38 + 62 (56 + 24) + (38 + 62) 80 + 100 180; г) 88 + 19 + 21 + 12 (88 + 12) + (19 + 21) 100 + 40 140; д) 25 + 65 + 75 25 + 75 + 65 100 + 75 165; е) 35 + 17 + 65 + 33 (35 + 65) + (17 + 33) 100 + 50 150; ж) 27 + 123 + 16 + 234 (27 + 123) + (16 + 234) 150 + 250 400; е) 156 + 79 + 21 + 44 (156 + 44) + (79 + 21) 200 + 100 300. 215. 1) S 6 ! 8 + 3 ! 6 48 + 16 66; 2) S 6 ! (8 + 3) 6 ! 11 66. 221. S ab – ac или S a ! (b – c). c a

S—?

224. а) 560 ! 188 – 880 ! 56 560 ! 188 – 88 ! 560 560 ! (188 – 88) "560 ! 100 56 000; б) 84 ! 670 – 640 ! 67 84 ! 670 – 64 ! 670 670 ! (84 – 64) 670 ! 20 "13 400; в) 490 ! 730 – 73 ! 900 490 ! 730 – 730 ! 90 730 ! (490 – 90) "730 ! 400 292 000; г) 36 ! 3400 – 360 ! 140 360 ! 340 – 360 ! 140 360 ! (340 – 149) "360 ! 200 72 000. 226. а) 258 ! (764 + 548) > 258 ! (764 + 545); б) 751 ! (339 + 564) < 751 ! (340 + 564); в) 532 ! (618 – 436) 532 ! (618 – 436); г) 496 ! (862 – 715) > 496 ! (860 – 715). 30 38 43 59 72 227. c d 3(c – d) 3c – 3d

15 45 45

22 48 48

26 51 51

41 54 54

53 57 57

3 ! (30 – 15) 3 ! 15 45; 3 ! (38 – 22) 3 ! 16 48; 3 ! (43 – 26) 3 ! 17 51; 3 ! (59 – 41) 3 ! 18 54; 3 ! (72 – 53) 3 ! 19 57; 3(c – d) 3c – 3d. 228. (16 + 2) ! 32 16 ! 32 + 2 ! 32 16 ! 32 + 64; значит, произведение 16 ! 32 увеличится на 64; 16 ! (32 – 3) 16 ! 32 – 16 ! 3 16 ! 32 – 48; значит, произведение 16 ! 32 уменьшится на 48; (81 + 2) ! 42 81 ! 42 + 2 ! 42 81 ! 42 + 84; значит, произведение 81 ! 42 увеличится на 84;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

229. 230. 231.

232.

369

81 (42 – 1) ! 81 42 – 81 1 ! 81 42 – 81; значит, произведение 81 42 уменьшится на 81. а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; в) 2896; 2897; 2899; 2899; 2900; в) 129; 130; 131; г) 488; 489; 490; 491; 492. а) 40 + 15 + 17 ! 72; в) 40 – 15 – 17 ! 8; б) 40 – 15 + 17 ! 42; г) 120 – 60 – 60 ! 0. Белые носки — ? 84 пары Голубые носки — ? на 20 пар >, чем Решение. 1) 84 – 20 ! 64 (пары); 2) 64 : 2 ! 32 (пары) — белых носков; 3) 32 + 20 ! 52 (пары) — голубых носков. Ответ: 32 пары белых носков, 52 пары голубых. 1) 44 + 18 + 29 ! 91 (кг); 2) 580 – 91 ! 489 (кг); 3) 489 : 3 ! 163 (кг); 4) 163 + 44 ! 207 (кг) — гречка; 5) 163 + 18 ! 181 (кг) — перловка; 6) 163 + 29 ! 192 (кг) — рис. Ответ: в магазине имеется 207 кг гречки, 181 кг перловки, 192 кг риса.

}

§ 14. Уравнение б) у ! 0; в) х ! 4; 233. а) х ! 0; 234. а) у ! 1; б) п ! 1; в) m ! 43; 236. а) S ! a b ! 7 12 ! 84 (см2); б) b ! S : a ! 48 : 12 ! 4 (см); в) a ! S : b ! 144 : 12 ! 12 (см); г) b ! S : a ! 120 : 8 ! 15 (см); Р ! 2 (a + b) ! 2 (8 + 15) ! 2 23 ! 46 (см). 237. а) 56 ! 7 t; t ! 56 : 7; t ! 8; 204 б) 204 ! v 12; v ! 204 : 12; v ! 17; − 12 −

г) а ! 0. г) х ! 1.

12 17

84 84 0

в) S : 34 ! 306; S ! 306 34; S ! 10 404;

× +

306 34

1224 918

10404 г) 125 : t ! 25; t ! 125 : 25; t ! 5.

370

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

238. а) 4 12 : 2 ! 24; в) 60 : 5 – 4 3 ! 0; б) 25 4 – 18 2 ! 64; г) 45 : 15 + 17 3 ! 54. 239. а) 60 – 675 : 45 ! 45; в) 320 + 48 – 48 ! 320; б) 98 – 65 – 33 ! 0; г) 0 97 5 ! 0. 240. 1) 3 30 ! 90 (б.); 2) 90 : 2 ! 45 (б.) — одного сорта батоны; 3) 45 3 ! 135 (б.). Ответ: в булочную было завезено 135 батонов. 241. Картофель — ? в 5 раз >, чем 204 à Капуста — ? Решение. Все поле разделено на 6 равных частей, 5 из них занимает картофель, 1 — капуста. 1) 204 6 − 18 34 (а) — занято под капусту;

}

−

24 24

0 2) 34 5 ! 170 (а) — занято картофелем. Ответ: 34 а занято капустой, 170 а — картофелем.

§ 15. Упрощение выражений 242. а) б) в) г)

23 15 + 15 77 ! 15 (23 + 77) ! 15 100 ! 1500; 67 58 + 33 58 ! 58 (67 + 33) ! 58 100 ! 5800; 340 7 + 16 70 ! 34 70 + 16 70 ! 70 (34 + 16) ! 70 50 ! 3500; 250 61 – 25 390 ! 260 61 – 250 39 ! 250 (61 – 39) ! 250 22 ! !"5500; д) 79 21 – 69 21 ! 21 (79 – 69) ! 21 10 ! 210; е) 55 682 – 45 682 ! 682 (55 – 45) ! 682 10 ! 6820; ж) 7300 3 + 730 70 ! 730 30 + 730 70 ! 730 (30 + 70) ! 730 100 ! !"73 000; з) 500 38 – 50 80 ! 50 380 – 50 80 ! 50 (380 – 80) ! 50 300 ! !"15 000. 244. а) 17m + 5m ! m (17 + 5) ! 22m; б) 24b + 7a – 5a ! 24b – (7 – 5) a ! 24b – 2a; в) 6a – a ! 6 a – 1 a ! (6 – 1) a ! 5a; г) y – 8 невозможно упростить; д) 9с + 4с – 6с ! (9 + 4 – 6) с ! 7с; е) 5 + 12n – 2n ! 5 + (12 – 2) n ! 5 + 10n. 245. 1) Сочетательный закон умножения; 2) переместительный и сочетательный законы умножения. 246. а) 15a 4 ! 15 4 a ! 60a; б) 3b 12 ! 3 12 b ! 36b; в) 17a 5b ! 17 5 a b ! 85ab; г) 11a 7b ! 11 7 a b ! 77ab;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

д) е) 247. а) б) в) г) 248. а)

249.

251.

252.

253.

371

c 18 d 3 ! 18 3 c d ! 54cd; x 9 4 y ! 9 4 c y ! 36xy. 5x + 8x ! (5 + 8) x ! 13x; при x ! 13 13x ! 13 13 ! 169; 12y – 6y ! (12 – 6) y ! 6y; при y ! 6 6y ! 6 6 ! 36; 9a + 7a ! (9 + 7) a ! 16a; при a ! 16 16a ! 16 16 ! 256; 18b – 7b ! (18 – 7) b ! 11b; при b ! 11 11b ! 11 11 ! 121. 39x – 5x – 4x + 28 ! (39 – 5 – 4) x + 28 ! 30x + 28; при x ! 3 30x + 28 ! 30 3 + 28 ! 90 + 28 ! 118; при x ! 5 30x + 28 ! 30 5 + 28 ! 150 + 28 ! 178; б) 28y – 18y + 6y ! (28 – 18 + 6) y ! 16y; при y ! 1 16y ! 16 1 ! 16; при y ! 2 16y ! 16 2 ! 32; в) 12 + 15a + 24a + 5a ! 12 + (15 + 24 + 5) a ! 12 + 44a; при a ! 0 12 + 44a ! 12 + 44 0 ! 12 + 0 ! 12; при a ! 3 12 + 44a ! 12 + 44 3 ! 12 + 132 ! 144; г) 26 + 14b – 4b ! 26 + (14 – 4) b ! 26 + 10b; при b ! 4 26 + 10b ! 26 + 10 4 ! 26 + 40 ! 66; при b ! 10 26 + 10b ! 26 + 10 10 ! 26 + 100 ! 126. а) 15x – 8x ! 21; б) 2x + 4x ! 30; (15 – 8)x ! 21; (2 + 4)x ! 30; 7x ! 21; 6x ! 30; x ! 21 : 7; x ! 30 : 6; x ! 3; x ! 5; в) 4y + 2y – y ! 20; г) 7y + y – 2y ! 24; (4 + 2 – 1)y ! 20; (7 + 1 – 2)y ! 24; 5y ! 20; 6y ! 24; y ! 20 : 5; y ! 24 : 6; y ! 4; y ! 4; д) 3x – x ! 12; е) x + 8x ! 72; (3 – 1)x ! 12; (1 + 8)x ! 72; 2x ! 12; 9x ! 72; x ! 12 : 2; x ! 72 : 9; x ! 6; x ! 8. ж) 9x + x – 9x ! 5; з) 4x + 3x – 7x ! 6; (9 + 1 – 9)x ! 5; (4 + 3 – 7)x ! 6; x ! 5; 0 6 ! 6 — ложное; х ! 5; не имеет решения. а) 5a + 10b ! 5 a + 5 2 b ! 5 (a + 2b); б) 8x – 16y ! 8 x + 8 2 y ! 8 (x + 2y); в) 27p + 9q ! 9 3 p + 9 q ! 9 (3p + q); г) 26m – 15n; здесь нельзя вынести общий множитель за скобки. а) 22l – 33f + 44 ! 11 2 l – 11 3 f ! 11 4 ! 11 (2l – 3f + 4); б) 7c + 21d + 7 ! 7 c + 7 3 d + 7 1 ! 7 (c + 3d + 1); в) 12m + 24n + 18 ! 6 2 m + 6 4 n + 6 3 ! 6 (2m + 4n + 3); г) 45m + 15n – 30 ! 15 3 m + 15 n – 15 2 ! 15 (3m + n – 2). 1) 24 : 2 ! 12 (км/ч) — скорость катера по течению реки; 2) 24 : 3 ! 8 (км/ч) — скорость катера; 3) 12 – 8 ! 4 (км/ч) — скорость течения реки. Ответ: скорость течения реки равна 4 км/ч.

372

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

254. vпо течению vтеплохода + vреки; vпротив течения vтеплохода – vреки; тогда vтеплохода vпротив течения + vреки; vпо течению vпротив течения + vреки + vреки vпротив течения + 2 ! vреки. 1) 119 : 7 17 (км/ч) — скорость теплохода против течения реки; 2) 17 + 2 ! 1 19 (км/ч) — скорость теплохода по течению реки; 3) 19 ! 7 133 (км) — путь по течению реки. Ответ: по течению реки теплоход пройдет 133 км. 255. 1) 5 ! 2 10 (кг); 2) 1 + 1 + 1 3 (кг); 3) 10 – 3 7 (кг). Ответ: масса тыквы равна 7 кг. 256. а) 1) 16 – 14 2 (км/ч); 2) 2 : 2 1 (км/ч). Ответ: скорость течения реки равна 1 км/ч. б) Скорость моторной лодки по течению реки 15 км/ч, а против течения — скорость 14 км/ч; тогда скорость течения реки будет равна 500 м/ч. 257. 1) 720 : 36 20 (км/ч) — скорость теплохода по течению; 2) 720 : 45 16 (км/ч) — скорость теплохода против течения; 3) (20 – 16) : 2 2 (км/ч) — скорость течения; 4) 16 + 2 18 (км/ч) — скорость теплохода. Ответ: собственная скорость теплохода равна 18 км/ч. 258. а) 36 + 15 ! 3 – 1 80; в) 10 ! 6 + 10 ! 9 150; в) 36 : 0 ! 20 80; г) 8 ! 0 ! 25 0. 259. а) 523 ! (747 + 956) 523 ! (762 + 958); б) 359 ! (764 – 547) 359 ! (766 – 549); в) 756 ! (459 – 327) 756 ! (449 – 317); г) 312 ! (245 + 768) 312 ! (235 + 778).

Контрольные задания 1. а) 4m + 5m + 8 (4 + 5) ! m + 8 9m + 8; б) 3 ! 7x 21x. 2. 13y – 7y + 2 (13 – 7) ! y + 2 6y + 2; при y 4 6y + 2 6 ! 4 + 2 24 + 2 26. 3. 6x + 3x 27; (6 + 3) ! x 27; 9x 27; x 27 : 9; x

§ 16. Математический язык б) 5а; 264. а) а + 30; 265. а) х – 7; б) 2х; 266. а) 5a + 3(a + 30) 250; б) 3(a + 30) – 5a 50; в) 7a > 300; г) 7(a + 30) > 300.

в) 3 ! (а + 30); в) 6(х – 7);

г) 5а + 3 ! (а + 30). г) 2х + 6(х – 7).

373

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

267. а) в) 268. а) б) в) г) 269. а) б) в) г) 270. а)

2x + 6(x – 7) 54; б) 6(x – 7) – 2x 6; 2x > 20; г) 6(x – 7) < 40. 3(n + 5n) 360; 3 ! 6n 360; 18n 360; 6 ! 5n – 3n 540; 30n – 3n 540; (30 – 3)n 540; 27n 540; 3 ! 5n < 350; 15n < 350; 3n > 50. 2v + 4(v : 3) 260; 2v 60 + 4(v : 3) или 2v – 4(v : 3) 60 или 2v – 60 4(v : 3); 2v > 120; 4(v : 3) < 150. 240 : 8 – 30 : 2 + 561 : 17 + 66 : 11 54; 1) 240 : 8 30; 2) 30 : 2 15; 4) 66 : 11 6; 3) 561 17 − 55 33 −

51 51 0

5) 30 – 15 15; 6) 15 + 33 48; 7) 48 + 6 54; б) 47 027 ! 24 + 31 352 – 2408 ! 356 47027 2) 1) 1128648 × + 24 31352 188108 + 94054

1160000

1128648

302 752; 2408 3) × 356

−

1160000 857248 302752

14448 + 12040 7224 857248

в) (240 : 8 – 30) : 2 + (561 : 17 + 66) : 11 9; 1) 240 : 8 30; 2) 30 – 30 0; 3) 0 : 2 0; 4) 561 : 17 33; 5) 33 + 66 99; 6) 99 : 11 9; 7) 0 + 9 9; г) 140 013 – 25 ! 3571 – 119 ! 309 13 967; 3571 2) 119 3) 140013 1) × × − 25 309 89275 17855 + 7142 89275

1071 357 36771

50738

−

50738 36771 13967

374

2002–2011 гг.

271. 1)

#$%&#$%'($

48 êã 300 ã − 5 êã 700 ã 42 êã 600 ã — масса масла в одном бочонке;

42 êã 600 ã 4 170 êã 400 ã Ответ: в четырех бочонках содержится 170 кг 400 г масла. ×

272. Наибольший общий делитель чисел 48 и 36: 48 = 6 !8 = 3 2 2 2 2, 36 = 4 9 = 2 2 3 !3 НОД (48,36) = 12. 48 относится к 36 как 4 к 3. 60 : 4 = 15, 15 3 = 45. Ответ: 45 а

Контрольные задания б) х + х – 3 " 2х – 3; в) 2х – 3 " 28. 1. а) х – 3; 2. а) Произведение числа 3 и суммы чисел х и у; б) произведение разности чисел х и у и числа 10; в) частное чисел 30 и х; г) частное чисел у и 12; д) сумма произведений чисел 2 и х и чисел 3 и у.

§ 17. Математическая модель 275. В стаде а овец и b коров, тогда: 1) a + b " 30 — всего в стаде 30 голов скота; 2) a " 3b — овец в 3 раза больше, чем коров; 3) a " b + 15 — овец на 15 больше, чем коров; 4) a – b " 17 — овец на 17 больше, чем коров; 5) a : 5 " b — коров в 5 раз меньше, чем овец. Турист а км прошел пешком и b км проплыл на плоту, тогда: 1) a + b " 30 — турист всего преодолел 30 км; 2) a " 3b — турист прошел пешком в 3 раза больше, чем проплыл на плоту; 3) a " b + 15 — турист прошел пешком на 15 км больше, чем проплыл на плоту; 4) a – b " 17 — турист прошел пешком на 17 км больше, чем проплыл на плоту; 5) a : 5 " b — турист проплыл на плоту путь в 5 раз меньший, чем прошел пешком. За конфеты заплатили а рублей, а за печенье — b рублей, тогда: 1) a + b " 30 — всего за покупку заплатили 30 рублей; 2) a " 3b — конфеты стоят в 3 раза больше, чем печенье; 3) a " b + 15 — конфеты дороже печенья на 15 рублей; 4) a – b " 17 — печенье дешевле конфет на 17 рублей; 5) a : 5 " b — печенье в 5 раз дешевле конфет. В классе а девочек и b мальчиков, тогда 1) a + b " 30 — всего в классе 30 учеников; 2) a " 3b — девочек в 3 раза больше, чем мальчиков в классе;

375

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

3) 4) 5) 276. а)

a b + 15 — девочек в классе на 15 больше, чем мальчиков; a – b 17 — мальчиков в классе на 17 меньше, чем девочек; a : 5 b — мальчиков в классе в 5 раз меньше, чем девочек. Ручка стоит 94 рубля, а карандаш — 17 рублей. Тогда стоимость 2 ручек и 1 карандаша равна 2 ! 9 + 17; б) Расстояние 18 км велосипедист преодолевает за 6 часов, а пешеход за 9 часов. Через какое время они смогут встретиться, если выйдут навстречу друг другу из пунктов, расстояние между которым 25 км? 277. а) (42 ! 124 + 2430) : 38 ! 202 – (3008 : 94 + 527 ! 8) : 72 40 543; 1) 3) 7638 38 2) 5208 124 + − × 2430 76 201 42 +

7638

248 496

3 −

5208

38 38 0

× +

201 202

402 402

40602 7) 4216 + 32

−

3008 94 282 32

−

648 648

527 8

4216

188 188

0 8) 4248 72 − 360 59

4248

−

40602 59 40543

0 б) (64 ! 125 + 128 ! 75) : 800 ! 5000 – (300 ! 400 + 5107 ! 800) : 70 "49 920; 1) 3) 9600 2) 128 125 + × × 8000 75 64 +

500 750

−

17600 800 16 22 −

16 16 0

17600

9600

8000 4)

640 896

22 5000

110000

6) 300 ! 400

120 000;

376

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

5107 800

4085600

4085600 120000

−

4205600 70 42 60080

4205600

5 −

56 56 0

10)

−

110000 60080

49920 278. а) 1) 8 4 ! 32 (раза) — во столько раз увеличится запас корма; 2) 32 14 ! 448 (дней). Ответ: на 448 дней хватит корма другому заводчику. б) 1) 22 8 ! 176 (лука) — на столько больше посадили бы лука; 2) 1024 – 176 ! 848 (лука) — высажено на 8 грядках; 3) 848 : 8 ! 106 (лук.). Ответ: на каждую грядку посадили 106 луковок.

Контрольные задания 1) В столовой стульев в 4 раза больше, чем столов; 2) в столовой стульев на 30 больше, чем столов.

ГЛАВА II. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ § 18. Деление с остатком 282. 29 : 6 ! 4 (5 ост.). Проверка: 6 4 + 5 ! 29. Ответ: Аня живет на 5 этаже. 283. а) a : b ! 5 (3 ост.); а — делимое, b — делитель; 5 — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a ! b 5 + 3. б) a : b ! n (3 ост.); а — делимое; b — делитель; п — неполное частное; 3 — остаток. Проверка: a ! b n + 3. в) a : b ! n (r ост.); a — делимое; b — делитель; n — неполное частное; r — остаток. Проверка: a – b n + r.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

284. 1)

−

75 9 72 8

3 2) 48 17 − 34 2 14 3) 412 : 400 4)

−

370 185 370 2

75 : 9

48 : 17

8 (3 ост.), 75

9 ! 8 + 3;

2 (14 ост.), 48

1 (12 ост.), 412 370 : 185

377

17 ! 2 + 14;

400 ! 1 + 12;

2 (0 ост.), 370

185 ! 2 + 0.

0 285. а) 9 — делитель, 4 — неполное частное; б) 3 — делитель; 7 — неполное частное; в) 8 — делитель; 5 — неполное частное; г) 9 — делитель; 3 — неполное частное. 286. а) 8 ! 7 + 3 59; б) 12 ! 7 + 2 86. 287. 1) 51 : 4 12 (3 ост.); 2) 12 : 5 2 (2 ост.). Ответ: Инна живет в 3 подъезде на 3 этаже. 288. 1) 229 : 3 76 (1 ост.); 2) 76 : 12 6 (4 ост.). Ответ: Женя живет в 7 подъезде на 5 этаже. 289. 1) 272 – 205 + 1 68 (кв.) — в этом подъезде; 2) 68 : 17 4 (кв.) — на одном этаже; 3) 219 – 205 + 1 15 (кв.) — находится между квартирами № 205 и № 219; 4) 15 : 4 3 (3 ост.). Ответ: Надя живет на 4 этаже. 290. а) 26; 16; 36; 46; 56; 66; 76; 86; 96. Всего 9 таких чисел. б) 106; 116; 126; и т.д. Всего 30 таких чисел. 291. При делении на 7 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6. При делении на 9 могут получиться остатки 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. При делении на 19 — 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18. Не существует числа, которое при делении на 10 дает в остатке 12, так как 12 больше 10. 292. 1) 1; 2) а 2п — четные, так как при делении на 2 остаток 0; b 2n + 1 — нечетное, так как при делении на 2 остаток 1. 293. 1) (13 + 25) : 10 38 : 10 3 (8 ост.); 2) 233; 105; (33 + 105) : 10 138 : 10 13 (8 ост.); 3) 43; 21 235; (21 235 + 43) : 10 21 278 : 10 2127 (8 ост.); 4) остаток всегда равен 8 — сумме остатков от деления на 10 указанных чисел;

378

294. 195. 296. 297.

298.

299.

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

5) 123; 2459; остаток от деления на 10 суммы этих чисел равен: 3 + 9 12, то есть 2, действительно: (123 + 2459) : 10 2582 : 10 !258 (2 ост.); 6) а) (11 + 16) : 10 27 : 10 2 (7 ост.); б) 5 + 7 12, то есть остаток 2, действительно: (25 + 117) : 10 !142 : 10 14 (2 ост.); 6 + 4 10, значит, остаток 0, действительно: (216 + 5414) : 10 !5630 : 10 563 (0 ост.). 9 – 3 6 — остаток, действительно: (359 – 243) : 10 116 : 10 11 (6 ост.). 99; 111; 3п, где п — натуральное число. 73; 97; 163; 253; 3п + 1, где п — натуральное число. 1) 35 : 14 2 (7 ост.); 2) 7 — половина 14, значит 7 км велосипедист проедет за 30 мин. Ответ: велосипедист преодолеет 35 км за 2 ч 30 мин. 1) 56 : 16 3 (8 ост.); 2) 8 — половина 16, значит, за 8 р. можно купить 500 г сахара. Ответ: можно купить 3 кг 500 г. 10 10 : 3 3 (1 ост.), третья часть 60 мин — 20 мин; 20 11 : 3 3 (2 ост.), две третьи части 60 мин — 40 мин. Ответ: 10 м улитка преодолеет за 3 ч 20 мин, а 11 м — за 3 ч 40 мин.

Контрольные задания 1. Делимое, делитель, неполное частное, остаток. 2. 287 24 287 : 24 11 (23 ост.); − 24 11 −

47 24 23

11 — неполное частное, 23 — остаток. 3. 29 — делимое, 8 — делитель, 3 — неполное частное, 5 — остаток.

§ 19. Обыкновенные дроби 303. а) 3 : 4 =

3 — числитель (три четверти); 4 — знаменатель

б) 1 : 7 =

1 — числитель (одна седьмая); 7 — знаменатель

в) 15 : 31 =

15 — числитель (пятнадцать тридцать первых); 31 — знаменатель

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

379

17 — числитель (семнадцать восемьдесят третьих). 83 — знаменатель 1 85 а) = 1 : 369; = 85 : 369; 369 369 1 158 б) = 1 : 453; = 158 : 453; 453 453 1 1067 в) = 1 : 1478; = 1067 : 1478; 1478 1478 1 45 г) = 1 : 781; = 45 : 781. 781 781 3 1 1 1 7 2 5 5 а) б) г) > . > ; > ; в) < ; 14 14 5 7 10 10 8 6 8 2 10 6 2 б) ì; в) ÷; г) а) ì; êì. 14 11 5 3 1 2 1) ì; ì. 2 4 — длина отрезка АВ в 2 раза меньше длины отрезка CD; — каждый отрезок разделен на 6 равных частей; г) 17 : 83 =

305.

306. 307. 308. 309.

— для отрезка АВ —

2 2 ì; для отрезка CD — ì; 6 6

— смотри пункт 4; — для отрезка АВ: длину отрезка АВ 1 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 2 из них, получили ì; 6 для отрезка CD: длину отрезка CD 2 м разделили на 6 равных час2 тей и взяли 1 из них, получили ì. 6 4 310. 1) кг; 4000 : 5 800 (г); 5 4 кг; 1000 : 5 200 (г); 200 ! 4 800 (г); 2) 5 4 4 кг кг; 800 г 800 г; в первом случае 4 кг разделили на 5 % 3) 5 5 во втором — 1 кг раздели на 5 равных частей и взяли 4 таких части; 4) 1 способ: число 5 разделить на число 6; 2 способ: единицу разделить на 6 равных частей и взять 5 таких частей. Аналогичным образом можно получить двумя способами дроби 3 17 7 , , . 14 24 6

380

2002–2011 гг.

1 3 часть торта; а мальчикам — торта; 6 6 2 3 б) площадь под луком равна a; под свеклой — a; 10 10 4 1 под морковью — a; под чесноком — a. 10 10 1 2 3 3 б) ; в) ; г) . а) ; 6 6 6 6 1 2 1 4 2 3 6 или ; б) или ; в) или ; г) или 1. а) 2 6 3 6 3 6 6 5 3 а) Закрашена части фигуры, не закрашена части; 8 8 4 1 2 4 2 2 в) ; ; г) ; . б) ; ; 5 5 6 6 4 4 Предложим два способа из всех возможных. а) б)

311. а) Девочке досталась

312. 313. 314.

315.

#$%&#$%'($

в)

г)

316.

317. Удобно выбрать единичный отрезок равный 12 клеткам.

318. 420 : 70 6 (ч). 1 Ответ: в первый день была продана часть капусты. 6

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

381

Контрольные задания 1. 7 : 8 =

7 ; 7 — делимое, числитель; 8 — делитель, знаменатель. 8

5 = 5 : 12; 5 — делимое, числитель; 12 — делитель, знаменатель. 12 2 5 7 7 б) 4. а) < ; < . 9 9 18 11

§ 20. Отыскание части от целого и целого по его части 320. 1) 36 : 9 4 (уч.). Ответ: в олимпиаде по математике приняли участие 4 ученика. 4 ! 9 36 (уч.). Ответ: в пятом классе всего 36 учащихся. 2) — количество учащихся в классе; — в первой задаче эта величина известна, а во второй — нет; — в первой задаче требуется найти часть от целого, а во второй — целое по его части; — да, в этих задачах то, что известно и что требуется найти поменяли местами. 321. 21 : 3 7; 30 : 6 5; 42 : 7 6; 50 : 10 5. 322. а) 7 ! 2 14; б) 5 ! 4 20; в) 2 ! 5 10; г) 15 ! 9 135. 323. а) Нужно найти часть от целого; 900 : 15 60 (м2). б) Нужно найти целое по его части; 60 ! 15 900 (м2). Ответ: площадь участка 900 м2. 325. а) 1) 35 : 5 7; б) 1) 24 : 4 6; 2) 7 ! 2 14; 2) 3 ! 6 18; в) 1) 72 : 9 8; г) 1) 51 : 3 17; 2) 5 ! 8 40; 2) 2 ! 17 34. 326. а) 1) 16 : 2 8; б) 1) 45 : 3 15; 2) 3 ! 8 24; 2) 15 ! 5 75; в) 1) 36 : 3 12; г) 1) 60 : 5 12; 2) 7 ! 12 84; 2) 12 ! 8 96. 327. 1) 720 : 8 90 (кг); 2) 90 ! 5 450 (кг). Ответ: за день было продано 450 кг картофеля. 328. 1) 34 : 2 17 (км); 2) 17 ! 5 85 (км). Ответ: длина маршрута равна 85 км. 329. 1) 30 : 5 6 (чел.); 2) 3 ! 6 18 (дев.). Ответ: в классе 18 девочек.

382

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

330. 1) 15 : 3 5 (га); 2) 5 ! 10 50 (га). Ответ: общая площадь пахотной земли хозяйства равна 50 га. 331. 1) 30 : 6 5 (авт.); 2) 5 ! 5 25 (авт.); 3) 30 – 25 5 (авт.). Ответ: в автосалоне было 25 легковых автомобилей и 5 грузовых. 332. 1) 25 : 5 5 (м); 2) 5 ! 2 10 (м); 3) 10 : 2 5 (м). Ответ: ширина зала равна 10 м, а его высота — 5 м. 333. 1) 270 : 2 135 (кн.); 2) 135 ! 9 1215 (кн.). Ответ: всего в библиотеке 1215 книг. 334. 1) 16 : 8 2 (кл.); 2) 2 ! 45 90 (кл.); 3) 2 ! 37 74 (кл.); 4) 90 + 74 164 (кл.). Ответ: в коллекции Антона 164 клипа. 335. 1) 8 – 5 3 (части) — осталось пройти; 1 часть всего маршрута; 2) 120 : 3 40 (км) — приходится на 8 3) 40 ! 8 320 (км) — весь маршрут. Ответ: длина туристического маршрута равна 320 км. 336. 1) 15 – 7 8 (част.) — занято картофелем; 1 часть площади огорода; 15 3) 12 ! 15 180 (а) — площадь огорода. Ответ: площадь огорода равна 180 а. 337. а) 2) 96 : 8

12 (а) — приходится на

3 8 1 часть фигуры составляют 2 клетки; 8 б) 3 4 1 часть фигуры составляют 4 клетки; 4 в) 3 5

383

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

1 часть фигуры составляют 4 клетки. 5 4) 3 4 1 часть фигуры составляют 4 клетки и 1 половинка клетки. 4 338. а)

б) (48 + 34) (25 + 31) + (39 – 25) : (18 – 11) ! 4594; 82 1) 48 + 34 ! 82; 2) 25 + 31 ! 56; 3) × 56 +

492 410 4592

4) 39 – 25 ! 14; 6) 14 : 7 ! 2;

5) 18 – 11 ! 7; 7) 4592 + 2 ! 4594.

  II  (100 − 99)  12 645  III  ?  Решение. 1) 100 – 99 ! 1; 2) 9999 + 1 ! 10 000;

339. I  9999

Ответ: третье слагаемое равно 2645. 340. 1) 540 – 80 ! 460 (пар); 2) 12650 + 460

−

12645 10000 2645

13110 (пар). Ответ: за следующую неделю фабрика выпустит 13 110 пар обуви.

384

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

Контрольные задания 1. а) 60 : 5 12; б) 1) 48 : 8 6; 2) 6 ! 7 42. 2. а) 16 ! 4 64; б) 1) 60 : 3 20; 2) 20 ! 8 160. 3. 1) 54 : 2 27 (км); 2) 27 ! 3 81 (км). Ответ: автомобиль должен был проехать 81 км. 4. 1) 155 : 5 31 (мин); 2) 31 ! 2 62 (мин). Ответ: чтобы выполнить домашнее задание по математике Лене понадобилось 62 мин.

§ 21. Основное свойство дроби 1 часть фигуры 2 3 1  часть фигуры  èëè  ;  6 2

3   èëè  , а оранжевым — 6

2 части фигуры 6 1 1 2    èëè  , зеленым —  èëè  ; 3 3 6

1 2   èëè 3  , оранжевым — 6

341. а) Желтым закрашена

б) желтым закрашено

в) оранжевым закрашено 2 4   èëè 3  ; 6

1 2  части фигуры  èëè  , а зеленым —  3 6

6  г) оранжевым цветом закрашена вся фигура — 1  èëè  .  6 342. а) Закрашено 2   èëè 3  ; б) закрашено 2   èëè 3  ;

3 части фигуры 9

1 6   èëè  , не закрашено — 3 9

1 6 12  части фигуры  èëè  , не закрашено —  3 18 18

в) закрашено —

2 1 6  3  èëè  , не закрашено — èëè  ;   3 3 9  9 

г) закрашено —

1 1 9  9  èëè  , не закрашено — èëè  .   2 2 18  18 

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

385

343.

Если числитель и знаменатель дроби равны, то эта дробь равна 1. 344. 1 от 12 см; 3 2 от 12 см; 3 1 от 12 см; 6 4 от 12 см; 6 1 от 12 см; 12 8 от 12 см; 12 16 от 12 см. 24 2 4 8 16 2 4 8 16 = . = ; = ; также = = 3 6 12 24 3 6 12 24 3 345. от 8 см; 4 6 от 8 см; 8 12 от 8 см; 16 24 от 8 см. 32 24 3 24 6 24 12 3 6 12 24 = ; = ; = ; также = = = . 32 4 32 8 32 16 4 8 16 32 1 15 15 : 5 3 8 1 9 3 3 3:3 8:8 9:3 346. = = ; = = ; = = ; = = . 12 12 : 3 4 25 25 : 5 5 16 16 : 8 2 15 15 : 3 5 4 4:2 2 2:2 1 2 б) 347. а) = = ; = = ; 10 10 : 2 5 6 6:2 3 9 9:3 3 12 12 : 4 3 г) в) = = ; = = . 15 15 : 3 5 16 16 : 4 4

386

2002–2011 гг.

8 8:4 15 15 : 15 1 2 б) = = ; = = ; 12 12 : 4 3 30 30 : 15 2 14 14 : 7 2 30 30 : 5 6 г) в) = = ; = = . 21 21 : 7 3 35 35 : 5 7 3 3 12 12 : 4 3 6 6:2 9 9:3 = = ; = = ; = = . 14 14 : 2 7 21 21 : 3 7 28 28 : 4 7 2 2 10 10 : 5 2 18 18 : 9 2 6 6:3 4 4:2 = = ; = = . = = ; = = ; 15 15 : 3 5 10 10 : 2 5 25 25 : 5 5 45 45 : 9 5 1 12 12 : 6 2 8 8:8 а) б) = = ; = = ; 18 18 : 6 3 24 24 : 8 3 30 30 : 15 2 5 5:5 1 в) г) = = ; = = . 45 45 : 15 3 15 15 : 5 3 6 6:2 16 16 : 4 6 3 б) а) = = ; = = ; 14 14 : 2 7 28 28 : 4 7 25 25 : 5 5 42 42 : 7 6 в) г) = = ; = = . 35 35 : 5 7 49 49 : 7 7 1 21 21 : 7 3 15 15 : 5 3 2 2:2 = = ; = = ; = = . 25 25 : 5 5 10 10 : 2 5 35 35 : 7 5 1 24 24 : 8 3 33 33 : 11 3 4 4:4 = = ; = = . = = ; 16 16 : 4 4 32 32 : 8 4 44 44 : 11 4 1 1⋅ 4 4 2 2⋅4 8 3 3⋅3 9 1 1⋅ 2 2 = ; = ; = ; = . = = = = 3 3 ⋅ 4 12 3 3 ⋅ 4 12 4 4 ⋅ 3 12 6 6 ⋅ 2 12 1 1⋅ 8 8 7 7 ⋅ 4 28 б) а) = = = ; = ; 3 3 ⋅ 8 24 6 6 ⋅ 4 24 15 15 ⋅ 2 30 3 3⋅3 9 в) г) = . = = ; = 12 12 ⋅ 2 24 8 8 ⋅ 3 24 2 2 ⋅ 6 12 1 1⋅5 5 б) а) = ; = ; = = 5 5 ⋅ 6 30 6 6 ⋅ 5 30 9 14 3 3⋅3 7 7⋅2 г) в) = = = ; = . 10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2 2⋅2 4 4 5 2 5 а) = < , значит, < ; = ; 3 3⋅2 6 6 6 3 6 2 2⋅4 8 8 4 2 4 б) = ; = > , значит, > ; 3 4 ⋅ 2 12 12 12 3 12 3 3⋅2 6 6 5 3 5 в) = > , значит, > ; = ; 4 4⋅2 8 8 8 4 8 3 3 ⋅ 8 24 24 24 3 24 г) = ; = = , значит, = . 4 4 ⋅ 8 32 32 32 4 32

348. а)

349. 350. 351.

352.

353. 354. 355. 356.

357.

358.

#$%&#$%'($

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

359. а)

4 4⋅2 8 8 7 4 7 = ; = > , значит, > ; 5 5 ⋅ 2 10 10 10 5 10

б)

5 5 ⋅ 4 20 20 27 5 27 = ; = < , значит, < ; 8 8 ⋅ 4 32 32 32 8 32

в)

9 3 3⋅3 7 9 7 3 = ; = < , значит, < ; 10 10 ⋅ 3 30 30 30 30 10

г)

2 2⋅4 8 5 8 5 2 = < , значит, < . = ; 7 7 ⋅ 4 28 28 28 28 7

387

9 3 6 3 6 2 8 4 б) в) г) = ; = ; = ; = . 12 4 14 7 21 7 10 5 361. 1 способ: 1) 10 : 5 3 ! 6 (ш.) — забила команда России; 2) 10 : 10 4 ! 4 (ш.) — забила команда Канады. Ответ: победителем матча стала команда России со счетом 6 : 4. 2 способ: 360. а)

3 3⋅2 6 — забила команда России; = = 5 5 ⋅ 2 10

6 4 > . 10 10 Ответ: тот же.

362. 1)

3 3⋅2 6 (часть) — составляет мощность «Явы» от мощности = = 7 7 ⋅ 2 14 «Харлей Дэвидсона»;

6 11 < . 14 14 Ответ: бîльшую мощность имеет мотоцикл «Хонда». 2)

2 2⋅2 4 4 7 2) = ; = < . 5 5 ⋅ 2 10 10 10 Ответ: ближе к Солнцу расположен Меркурий, значит, ближе к Земле расположена Венера, так как она дальше, чем Меркурий от Солнца.

363. 1)

364. 1) 2)

3 3 ⋅ 10 30 = = ; 50 50 ⋅ 10 500 11 11 ⋅ 5 55 = = ; 100 100 ⋅ 5 500

6 3 3⋅2 = . = 250 250 ⋅ 2 500 Ответ: бîльшую массу имеет Марс. 3)

388

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

365 а)

б)

3 5

5 9 г)

в)

2 5 6 8 366. а) 367. а) 368. а) б) в) г) 369. а) б)

в)

12 3 8 2 12 3 17 б) в) г) = ; = ; = ; . 16 4 12 3 20 5 20 1 1 1 1 2 2 15 15 б) в) г) > ; < ; < ; > . 2 4 100 10 170 70 28 78 3 1 3 4 4 1 1 1 до 1 не хватает , а < , так как — ; но < ; 4 4 4 5 5 5 5 4 5 4 1 1 > , так как < ; 6 5 6 5 7 8 1 1 < , так как < ; 8 9 9 8 9 8 1 1 > , так как < . 10 9 10 9 2 15 2 2 ⋅ 15 30 30 15 15 ⋅ 2 30 30 < , так как < ; = , = , = = 13 16 13 13 ⋅ 15 195 16 16 ⋅ 2 32 195 32 357 7 51 7 7 ⋅ 51 51 51 ⋅ 7 357 = = = , = ; < , так как 22 64 22 22 ⋅ 51 1122 64 64 ⋅ 7 448 357 357 < ; 1122 448 51 54 51 51 ⋅ 18 918 > , так как = , = 100 100 100 100 ⋅ 18 1800 910 54 54 ⋅ 17 918 918 = ; = > ; 100 110 ⋅ 17 1870 1800 1870

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

389

3 62 3 3 ⋅ 62 186 62 62 ⋅ 3 186 185 186 > , так как = > . = , = ; = 4 125 4 4 ⋅ 62 248 125 125 ⋅ 3 375 248 375 1 1 1 370. а) 1 äì = ì; 1 ìì = ì; 1 ñì = ì; 100 10 1000 10 1 50 1 б) 10 ñì = ì= ì; 50 ñì = ì = ì; 100 10 100 2 10 1 100 1 10 ìì = ì= ì; 100 ìì = ì= ì; 1000 10 1000 10 1 25 1 3 5 75 в) 5 äì = ì = ì; 75 ñì = ì = ì; 25 ñì = ì = ì; 2 100 4 4 10 100 г)

80 8 2 ì= ì= ì; 1000 100 25 30 3 30 3 г) 30 ñì = ì= ì; 30 ìì = ì= ì; 100 10 1000 100 55 11 55 11 ì= ì; 55 ìì = ì= ì. 55 ñì = 100 20 1000 200 1 1 100 ñì 1 100 ñì = 25 ñì; ì= ì = 1 ñì; ì= = 10 ñì; 4 4 100 10 10 1 100 ñì 1 100 ì ì= = 20 ñì; ì= = 50 ñì. 5 5 2 2 1 1 > , значит, Наташины родители отдают меньшую часть своих 10 20 доходов за оплату жилья. Поэтому в семье Наташи доход больше. 1 1 > , значит, родители Юли отдают бîльшую часть своего 14 18 дохода в качестве оплаты за жилье, поэтому у семьи Юли жилищные условия лучше. 1) 126 : 7 18 (км); 2) 18 ! 3 54 (км). Ответ: в первый день туристы прошли 54 км. 2) 10379 1) 41516 4 × − 9 4 10379 (ð.) 80 ìì =

371.

372.

373.

374. 375.

93411 (ð.) 1 15 − 12 31 − 28 36 − 36 0 Ответ: на ремонт квартиры было истрачено 93 411 р.

390

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

Контрольные задания 3 12 12 : 12 1 9 9:3 б) = = ; = = . 36 36 : 12 3 15 15 : 3 5 3 3⋅3 9 5 5 ⋅ 4 20 3. а) б) = = = ; = . 8 8 ⋅ 3 24 6 6 ⋅ 4 24 1 1⋅ 3 1 1⋅ 2 3 2 4. = = = ; = . 10 10 ⋅ 3 30 15 15 ⋅ 2 30 2. а)

§ 22. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа 376.

2 5 6 — правильная дробь; и — неправильные дроби. 5 5 5

2 5 6 < 1; = 1; > 1. 5 5 5 Вывод: любая правильная дробь меньше 1; любая неправильная дробь больше 1; если в неправильной дроби числитель и знаменатель одинаковые, то дробь равна 1. 377. а)

б)

378. а) б) 379. а) б) 380. а) 381. а)

3 13 19 1 3 ; ; ; ; эти дроби правильные так как их ; 7 14 20 4 16 числитель меньше знаменателя; 8 15 17 32 28 ; ; ; ; ; эти дроби неправильные, так как 3 6 3 32 28 числитель каждой из них больше или равен знаменателю. 7 — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; n 17 − n — неправильная при п 1, 2, 3, 4, 5, 6. 11 m — правильная при m 1, 2, 3, 4, 5; 6 16 — правильная при m больше 12. 4+m 3 9 24 30 б) 3 = ; в) 3 = в) 3 = 3= ; ; . 1 3 8 10 5 25 35 55 б) 5 = в) 5 = г) 5 = ; ; . 5= ; 1 5 7 11

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

385.

2 3 7 7 8 3 ; 7 ; 8 ; 8 . ; 2 ; 6 5 10 8 15 16 4

386. а)

3 15 =2 ; 6 6

б)

2 8 =1 ; 6 6

в)

4 16 =2 ; 6 6

г)

5 23 =3 . 6 6

387. а)

22 4 =2 ; 9 9

б)

19 3 =4 ; 4 4

в)

14 2 =3 ; 4 4

г)

18 2 =4 . 4 4

3 1⋅ 4 + 3 7 = = ; 3 4 4

б) 2

3 2 ⋅ 5 + 3 13 = = ; 5 5 5

в) 3

1 3 ⋅ 3 + 1 10 = = ; 3 3 3

г) 4

1 4⋅2 +1 9 = = ; 2 2 2

д) 1

7 1 ⋅ 8 + 7 15 = = ; 8 8 8

е) 3

4 3 ⋅ 11 + 4 37 = = . 11 11 11

389. а) 1

3 1 ⋅ 7 + 3 10 = = ; 7 7 7

б) 2

4 2 ⋅ 9 + 4 22 = = ; 9 9 9

в) 5

2 5 ⋅ 3 + 2 17 = = ; 3 3 3

г) 6

3 6 ⋅ 5 + 3 33 = = ; 5 5 5

д) 2

11 2 ⋅ 15 + 11 41 = = ; 15 15 15

е) 7

3 7 ⋅ 8 + 3 59 = = . 8 8 8

388. а) 1

390. 1) 1 7 1 13 1 5 =1 ; =1 ; =1 ; 12 6 4 12 6 4 2) 392.

1 7 2 12 2 18 3 24 4 6 =1 ; =1 ; =2 ; =3 ; =4 . 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

37 7 =1 ; 30 30 −

37 30 30 1

37 7 =3 ; 10 10 −

7 393. а)

37 10 30 3

37 2 =7 ; 5 5 −

583 43 = 12 ; 45 45

37 5 35 7 2

б)

424 21 = 13 ; 31 31

−

583 45 45 12

−

424 31 31 13

−

133 90

−

114 93

391

392

2002–2011 гг.

в)

21 321 =4 ; 75 75 321 75 − 300 4

г)

55 719 =8 ; 83 83 719 83 − 664 8

21 394. а)

435 51 =6 ; 64 64 −

55 б)

435 64 384 6

793 33 = 20 ; 38 38 −

793 38 76 20 33

51 в)

11 389 = 14 ; 27 27 −

389 27 27 14

−

119 108

г)

48 543 =9 ; 55 55 −

543 55 495 9 48

11 395. а)

499 13 = 18 ; 27 27 499 28 − 27 18 −

172 46 =2 ; 63 63 172 63 − 126 2

229 216

13 345 = 15; 23 −

345 23 23 15

−

115 115

133 1537 =6 ; 234 234 −

1537 234 1404 6 133

0 46 133 13 ; 6 ; 15; 18 . 63 234 27 172 1537 345 499 Поэтому: ; ; ; . 63 234 23 27 2

#$%&#$%'($

393

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

б)

345 = 15; 23 −

345 23 23 15

−

115 115

9 75 =6 ; 11 11 75 11 − 66 6

1 267 = 19 ; 14 14 −

267 14 14 19

−

127 126

952 240 =2 ; 356 356 −

952 356 712 2 240

51 3 = 12 ; 4 4 −

51 4 4 12

−

11 8 3

1 3 9 240 ; 15; 12 ; 6 ; 2 . 14 4 11 356

Поэтому: 396. а)

б)

267 345 51 75 952 ; ; ; ; . 14 4 11 356 23

3 3⋅2 6 = ; = 4 4⋅2 8

3 3 ⋅ 6 18 = ; = 4 4 ⋅ 6 24

3 3⋅3 9 = ; = 4 4 ⋅ 3 12

3 3 ⋅ 10 30 = ; = 4 4 ⋅ 10 40

3 3 ⋅ 4 12 = ; = 4 4 ⋅ 4 16

3 3 ⋅ 50 150 = ; = 4 4 ⋅ 50 200

5 15 15 : 3 = = ; да, эту дробь можно еще упростить: 17 75 : 3 25 5 5:5 1 = = . 25 25 : 5 5

397. а)

21 21 22 7 7⋅3 7 22 = ; = < ; значит, < ; 15 15 ⋅ 3 45 45 45 15 45

б)

17 17 ⋅ 2 34 31 34 31 17 = ; = < ; значит, < ; 27 27 ⋅ 2 54 54 54 54 27

в)

5 5⋅2 5 11 10 10 11 < ; значит, < ; = ; = 18 18 ⋅ 2 36 36 36 18 36

г)

3 3 ⋅ 4 12 12 9 3 9 = ; = > ; значит, > . 4 4 ⋅ 4 16 16 16 4 16

394

2002–2011 гг.

x 2 2 2 ⋅ 6 12 = ; значит, х 12; = ; = 18 3 3 3 ⋅ 6 18 15 3 б) = ; 15 : 3 5; 4 ! 5 20; значит, х 20; x 4 x в) 1 = ; х 337; 337 33 г) = 3; х 33 : 3; х 11. x 1 100 ñì 1 100 ñì б) а) ì= = 4 ñì; ì= = 2 ñì; 25 25 50 50 1 100 ñì 1 100 ñì г) в) ì= = 25 ñì; ì= = 20 ñì. 4 4 5 5 7 15 1 а) 7 ìèí = ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; 60 60 4 45 9 1 51 17 б) 45 ñ = ÷= ÷= ÷= ÷; 51 ñ = ÷; 3600 720 80 3600 1200 1 80 8 4 120 ÷ = ÷ = ÷ = 1 ÷; 120 ìèí = ÷ = 2 ÷; в) 80 ìèí = 3 60 6 3 60 5000 25 6600 11 7 5 г) 5000 ñ = ÷= ÷= ÷=1 ÷; 6600 ñ = ÷ =1 ÷. 3600 18 3600 6 18 6 1) 72 : 4 18 (эксп.); 18 2) × 11 18 + 18 198 (ýêñï.) Ответ: в коллекции энтомолога 198 экспонатов. 1) 120 : 15 8 (задач); 2) 8 ! 2 16 (задач). Ответ: за первые 10 дней Света решила 16 задач. 1) 5 – 2 3 (части); 2) 36 : 3 12 (км); 3) 12 ! 5 60 (км). Ответ: длина маршрута равна 60 км.

398. а)

399.

400.

402.

403.

404.

Контрольные задания 4 25 =3 . 7 7 2 3 ⋅ 5 + 2 17 3. 3 = = . 5 5 5

#$%&#$%'($

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

395

15 4 — правильная дробь; — неправильная дробь; 28 3 15 4 15 4 < 1; > 1; значит, < . 28 3 28 3

§ 23. Окружность и круг 405. Окружность изображена на рисунке слева, а круг — на рисунке справа. Для построения окружностей используется циркуль. — Окружности принадлежат точки A, B, C; кругу — A, B, C, O, M; — окружности не принадлежат точки O, M, N; кругу — N; — дуги между точками А и В; А и С; В и С; — центры окружности и круга обозначены точкой О; — радиусами окружности и круга являются отрезки OA, OB, OC (r — радиус); — OM; ON; OM < r; ON > r; — бесконечно много; — d — диаметр окружности, круга; у окружности и круга бесконечно много диаметров; — все диаметры одной окружности (круга) равны между собой и равны двум радиусам; — все радиусы одной окружности (круга) равны между собой и равны половине диаметра; — d 2 ! r; — r d : 2. 406. а) r 2 см; d 2 ! r 2 ! 2 4 (см).

Рисунки в дальнейших заданиях выполняются аналогично заданию а). б) r 4 см; d 2 ! r 2 ! 4 8 (см); в) r 3 см; d 2 ! r 2 ! 3 6 (см); г) r 3 см 5 мм; d 2 ! r 2 ! 3 см 5 мм 7 (см). 407. а) d 4 см; r d : 2 4 : 2 2 (см) (смотри рисунок к заданию № 406(а)); б) d 6 см; r d : 2 6 :2 3 (см); в) d 9 см; r d : 2 9 см : 2 4 см 5 мм; г) d 10 см; r d : 2 4 : 2 5 (см).

396

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

408. а) Участок ограничивает круг радиуса 4 м.

Пострадает от козы заштрихованная красным цветом часть огорода. б)

По сравнению с предыдущей задачей площадь участка увеличится более, чем еще на одну такую же площадь.

О1

6м

О2

409. Точки С и F принадлежат окружности, так как OC OF OA r; остальные точки — B, D, E окружности не принадлежат, так как OB < r, OD > r, OE > r. 410. Радиус большей окружности равен 3 ! 2 6 (см), а ее диаметр: 6 ! 2 12 (см). 413. а) 14x – 9x 125; б) 15y + 25y 120; (14 – 9) ! x 125; (15 + 25) ! y 120; 5x 125; 40y 120; x 125 : 5; y 120 : 40; x 25; y 3; в) 13x + 5x 108 : 2; г) 29y – 17y 12 ! 4; (13 + 5) ! x 54; (29 – 17) ! y 48; 18x 54; 12y 48; x 54 : 18; y 48 : 12; x 3; y 4.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

397

414. а) 9 (142 – 35) + (42 6 + 748) : 25 ! 1003; 3) 42 1) 142 – 35 ! 107; 2) 107 × × 6 9 4)

252 748

963 5) 1000 : 25 ! 40;

253 6) 963 + 40 ! 1003.

1000 б) 1872 : (105 : 3 – 11) + 493 ! 571; 1) 105 3 2) 35 – 11 ! 24; − 9 35 −

15 15 0

−

1872 24 168 78

−

192 192

493 78 571

0 415. а) Координату точки М-18 увеличили на 12, а затем уменьшили на 6, получили точку N. Найдите координату точки N. б) Координату точки N-73 увеличили на 12, потом уменьшили на 21, получили точку М. Найдите координату точки М. 416.

(15 + 25) 20 – 19 096 : 62 ! 492; 1) 15 + 25 ! 40; 2) 40 20 ! 800; 3) 19096 62 4) 800 − − 308 186 308 49 496 − 496 0

492

398

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

417. (s + 7) : (y + 3) > s : y. 418. a) 1) 1728 − 1242 2)

486 (р.) — разница стоимости фляг; 486 9

−

54 (р.) — цена меда;

36 36

0 1728 54 − 162 32 (кг) — во второй фляге; −

108 108 0

1242 54 108 23 (кг) — в первой фляге.

−

162 162

0 Ответ: в первой фляге 23 кг меда, а во второй — 32 кг. б) 1) 2436 − 2184 252 (р.) — разница стоимости меда; 2)

−

252 6 24 42 (кг) — масса меда в первой и во второй фляге;

−

12 12

0 3) 2436 42 − 210 58 (р.) — цена меда во второй фляге; −

336 336

0 4) 58 – 6 52 (р.) — цена меда в первой фляге. Ответ: в каждой фляге масса меда равна 42 кг, цена меда в первой фляге — 52 р., а во второй — 58 р.

399

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

419.

9 1 5 2 1 2 5 = ; ; ; < < ; 18 2 6 3 2 3 6 3 4 5 Значит, < < . 6 6 6 10 4 4 ⋅ 2 8 3 б) = ; ; = = 16 8 8 ⋅ 2 16 4 8 10 3 Значит, < < . 4 16 4

1 1⋅ 3 3 2 2 ⋅2 4 = ; = . = = 2 2⋅3 6 3 3⋅2 6

3 ⋅ 4 12 8 10 12 = ; < < . 4 ⋅ 4 16 16 16 16

Контрольные задания 1. Круг содержит и часть плоскости, ограниченную окружностью. 2. а) r OA 4 см; d AB; В О r

б) d

2!4

8 (см).

§ 24. Сложение и вычитание обыкновенных дробей 1 ; 6 2 2) а) = 6 3 3) а) = 6 3 4) а) = 6 или

420. 1) а)

3) а)

1 ; 6 1 3 ; б) = 3 6 1 4 ; б) = 2 6 1 2 ; б) = 2 6 б)

1 2 3 + = ; 6 6 6

2 6 2 в) 6 4 в) 6 2 в) 6

в) 1 ; 2 2 ; 3 1 ; 3

б)

1 ; 3 1 = ; 3 2 = ; 3 1 = ; 3 =

1 3 4 + = ; 6 6 6

3 = 6 2 г) = 6 5 г) ; 6 1 г) . 6 г)

1 ; 2 1 ; 3

400

2002–2011 гг.

в) 4) а) в) 421. 1) а) 2) а) 3) а) 4) а)

2 2 4 + = ; 6 6 6 6 3 3 − = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 7 3 б) ; ; 16 12 5 5 б) ; ; 12 16 8 12 б) ; ; 12 16 4 4 б) ; ; 16 12

г) б) г) в) в) в) в)

"#$%"#$&'#

3 2 5 + = ; 6 6 6 6 4 2 − = ; 6 6 6 6 5 1 − = . 6 6 6 7 5 г) ; ; 20 18 7 11 г) ; ; 20 18 14 16 г) ; ; 20 18 6 2 г) ; . 20 18

или 7 5 12 б) + = ; 16 16 16 7 7 14 г) в) + = ; 20 20 20 16 12 4 б) − = ; а) 16 16 16 20 14 6 г) в) − = ; 20 20 20 3 5 3+5 8 + = = = 1; 8 8 8 8 7 2 7−2 5 1 − = = = ; 15 15 15 15 3 2 7 2+7 9 + = = ; 17 17 17 17 7 5 7 −5 2 1 − = = = ; 16 16 16 16 8 24 13 24 − 13 11 1 − = = = ; 33 33 3 33 33 5 2 5+2 7 1 + = = = ; 21 21 21 21 3 72 34 72 + 34 106 + = = = 156 156 156 156 23 75 52 75 − 52 − = = ; 341 341 341 341

3) а)

422. а) б) 423. а) б) 424. а) б) 425. а) б)

3 12 5 18 12 12 18 18

5 8 = ; 12 12 11 16 + = ; 18 18 8 4 − = ; 12 12 16 2 − = . 18 18 1 3 2 1+3 +2 6 в) + + = = ; 7 7 7 7 7 3 8 4 3+8−4 7 г) + − = = . 11 11 11 11 11 2 9 2 + 9 11 в) + = = ; 25 25 25 25 9 12 3 12 − 3 г) − = = . 13 13 13 13 14 4 14 + 4 18 2 в) + = = = ; 27 27 3 27 27 16 12 16 + 12 28 4 г) + = = = . 35 35 35 35 5 +

53 ; 78

401

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

34 62 34 + 62 96 32 + = = = ; 105 105 105 105 35 231 128 231 − 128 103 − = = . г) 520 520 520 520 2 5 2 3 4 7 4 3 в) 1 − = − = ; 426. а) 1 − = − = ; 5 5 5 5 7 7 7 7 3 4 3 1 10 11 10 1 г) 1 − б) 1 − = − = ; − = . = 4 4 4 4 11 11 11 11 1 3 16 − 1 − 3 12 3 427. а) 1 − − = = = ; 16 16 16 16 4 2 8 25 − 2 − 8 15 3 б) 1 − − = = = ; 25 25 5 25 25 7 5 24 − 7 − 5 12 1 в) 1 − − = = = ; 24 24 24 24 2 17 11 30 − 17 − 11 2 1 г) 1 − − = = = . 30 30 30 30 15 428. Примем весь путь за 1. в)

1−

4 9 4 9−4 5 = . = − = 9 9 9 9 9

Ответ: во второй день турист прошел

5 пути. 9

429. Примем количество страниц в книге за 1. 1−

3 7 3 7−3 4 = . = − = 7 7 7 7 7

Ответ: Денис прочитал во второй день 4 1 3 − = 15 15 15 4 3 7 2) + = 15 15 15 7 15 3) 1 − = − 15 15

430. 1)

4 книги. 7

— израсходовал Робинзон Крузо на втором году; — израсходовал Робинзон Крузо за два года вместе; 7 8 — осталось муки. = 15 15

Ответ: Робинзон Крузо за два года израсходовал а осталось у него — 431. 1 полка — на 2 полка —

8 муки. 15

1 книг больше, чем 7

7 запаса муки, 15

? часть всех книг ? часть всех книг

402

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

Решение. 1 равен 7, то количество всех книг 7 разделили на 7 равных частей. Если на 1-ой полке на 1 такую часть

Так как знаменатель дроби

4 3 всех книг, а на 2-ой полке — всех книг 7 7 7   îáùåå ÷èñëî êíèã  1 = 7  . 432. Примем объем книги за 1. больше, то на ней

1 9 1 8 — сумма двух равных частей; = − = 9 9 9 9 4 8 2) : 2 = — объем книги, прочитанный за 2-ой день; 9 9 4 1 5 3) + = . 9 9 9 5 Ответ: Денис в первый день прочитал книги, а во 2-ой — 9 4 книги. 9 433. а) (506 123 + 29 376 : 72 – 61 830) : 4 ! 204; 1) 1 −

× +

123 506

738 615

−

29376 72 288 408

−

576 576

62238 4)

−

62646 61830 816

62238 408 62646

0 5)

−

816 4 8 204

−

16 16 0

б) (47 020 + 9687) : (4066 – 38 107) ! 107 2) 1) 47020 × + 38 9687 56707

856 321 4066

3) 4066 – 4066 ! 0; 4) 56 707 : 0. На 0 делить нельзя. Значит, нельзя вычислить значение данного числового выражения.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

434. Решение. 1)

4725 15

23625 4725

70875 (р.) — вырученные деньги за I неделю; 2)

−

4725 300 4425 (р.) — новая цена пары лыж;

3) 15 + 12 4)

× +

27 (пар) — продали за II неделю;

4425 27

30975 8850

119475 (р.) — вырученные деньги за II неделю; 5)

3700 15

185 + 37 55500 (р.) — закупка 15 пар; 6)

−

70875 55500 15375 (р.) — прибыль за I неделю;

× +

3700 27

259 74 99900 (р.) — закупка 27 пар;

−

119475 99900 19575 (р.) — прибыль за II неделю.

Ответ: да, магазину удалось увеличить прибыль.

403

404

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

435. Незакрашенной осталась: 1−

7 16 7 9 части квадрата. = − = 16 16 16 16

1 1 2 1 3 + = + = 4 8 8 8 8 2 1 4 1 незакрашено: + = + = 4 8 8 8 3 8 3 5   èëè 1 − 8 = 8 − 8 = 8  . 1 1 4 1 5 2) Закрашено: + = + = 2 8 8 8 8 3 незакрашено: части круга 8 5 8 5 3   èëè 1 − = − =  . 8 8 8 8

436. 1) Закрашено:

437. Незакрашенной осталось а закрашено

части круга;

1 8

частей круга;

1 часть квадрата, 16

1 1 часть круга, незакрашена часть 2 2

круга. 4 2 круга или круга, незакрашено 6 3 2 1 круга или часть круга. 6 3 3 5 6 5 6 + 5 11 440. а) + = + = = ; 8 16 16 16 16 16 5 2 5 4 5+4 9 1 б) + = = = ; + = 18 9 18 18 18 18 2 б) Закрашено

1 8

5 частей круга 8

15 квадрата. 16

438. а) Закрашена

1 4

1 2

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

в)

4 3 8 3 8 + 3 11 + = = = = ; 7 14 14 14 14 14

г)

37 7 3 7 30 7 + 30 + = = = = . 100 100 100 10 100 100

441. а)

3 4 9 4 9 + 4 13 + = + = = ; 5 15 15 15 15 15

б)

2 5 8 5 8 + 5 13 + = + = = ; 7 28 28 28 28 28

в)

3 6 3 12 3 + 12 15 + = + = = ; 22 11 22 22 22 22

г)

9 3 3 15 3 15 + 3 19 + = + = = = . 20 20 10 4 20 20 20

442. а)

5 2 5 6 5 + 6 11 2 + = + = = =1 ; 9 3 9 9 9 9 9

б)

1 3 1 9 1 + 9 10 5 + = = = ; + = 12 4 12 12 12 12 6

в)

1 3 4 3 4+3 7 + = + = = ; 2 8 8 8 8 8

г)

827 17 81 17 810 17 + 810 + = + = = . 1000 1000 1000 100 1000 1000

443. а)

5 1 5 4 5+4 9 3 + = + = = = ; 12 3 12 12 12 12 4

б)

11 3 11 9 11 + 9 20 5 + = + = = = ; 24 24 6 24 8 24 24

в)

5 1 20 1 20 + 1 21 7 + = + = = = ; 6 24 24 24 24 24 8

г)

957 57 9 57 900 57 + 900 + = + = = . 1000 1000 1000 10 1000 1000

444. а)

11 3 11 6 11 − 6 5 − = − = = ; 16 8 16 16 16 16

б)

5 5 10 5 10 − 5 5 − = − = = ; 6 12 12 12 12 12

в)

4 4 8 12 8 12 − 8 − = − = = ; 21 21 7 21 21 21

г)

17 4 17 8 17 − 8 9 3 − = − = = = . 30 15 30 30 30 30 10

405

406

2002–2011 гг.

445. а) б) в) г) 446. а) б) в) г) 447. а) б) в) г) 449. а) б) в) г) 450. а) б) в) г)

7 5 14 5 14 − 5 9 1 − = − = = = ; 9 18 18 18 18 18 2 9 14 1 14 5 14 − 5 − = − = = ; 25 25 25 5 25 25 7 9 70 9 70 − 9 61 − = − = = ; 10 100 100 100 100 100 7 21 28 21 28 − 21 7 − = − = = . 11 44 44 44 44 44 7 1 7 3 7−3 4 1 − = = = ; − = 12 4 12 12 12 12 3 22 5 22 15 22 − 15 7 − = − = = ; 27 9 27 27 27 27 3000 43 3000 − 43 2957 3 43 − = − = = ; 10 000 10 000 10 10 000 10 000 10 000 289 31 21 310 21 310 − 21 − = − = = . 1000 1000 100 1000 1000 1000 5 1 5 4 5−4 1 − = − = = ; 8 2 8 8 8 8 5 7 11 21 11 21 − 11 10 − = − = = = ; 24 24 12 8 24 24 24 17 5 17 15 17 − 15 2 1 − = − = = = ; 18 6 18 18 18 18 9 677 777 1 777 100 777 − 100 − = − = = . 1000 1000 1000 10 1000 1000 2 1 8 3 8 + 3 11 + = + = = ; 3 4 12 12 12 12 4 3 16 15 16 − 15 1 − = − = = ; 5 4 20 20 20 20 1 1 3 2 3−2 1 = ; − = − = 2 3 6 6 6 6 5 3 20 9 20 + 9 29 5 + = + = = =1 . 6 8 24 24 24 24 24 1 2 5 4 5+4 9 + = = ; + = 2 5 10 10 10 10 1 2 5 4 5−4 1 − = − = = ; 2 5 10 10 10 10 1 1 3 2 3+2 5 + = = ; + = 4 6 12 12 12 12 9 5 27 25 27 − 25 2 1 − = − = = = . 10 6 30 30 30 30 15

#$%&#$%'($

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

451. а) б) в) г) 452. а) б) в) г) 453. 1)

407

5 3 2 9 8 9 + 8 17 + = + = = =1 ; 12 4 3 12 12 12 12 3 1 9 5 9−5 4 − = − = = ; 5 3 15 15 15 15 3 2 9 8 9−8 1 − = = ; − = 4 3 12 12 12 12 3 3 21 6 21 + 6 27 + = + = = . 4 14 28 28 28 28 1 1 3 2 3−2 1 − = − = = ; 4 6 12 12 12 12 3 1 9 5 9 + 5 14 + = = ; + = 5 3 15 15 15 15 11 4 3 16 15 16 + 15 31 + = + = = =1 ; 20 20 20 5 4 20 20 7 1 14 5 14 − 5 9 − = − = = . 10 4 20 20 20 20 2 4 4 5 = ; < . 9 18 18 18 Значит, за обедом съели больше хлеба.

2 5 4 5 4+5 9 1 + = + = = = . 9 18 18 18 18 18 2 1 За обедом и завтраком съели часть батона. 2 1 2 1 1 3) 1 − = = = . 2 2 2 2 1 На ужин осталась часть батона. 2 3 9 10 9 = ; > . 454. 1) 7 21 21 21 Значит, для приготовления какао потребовалось молока меньше, чем для приготовления каши. 2)

10 3 10 9 10 + 9 19 + = + = = . 21 7 21 21 21 21 19 Было использовано молока. 21 19 21 19 2 = − = . 3) 1 − 21 21 21 21 2 Осталось молока. 21

408

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

1 9 1 9−1 8 ; x= − ; x= ; x= ; 9 9 9 9 9 9 5 5 9−5 4 б) x = 1 − ; x = − ; x = ; x= ; 9 9 9 9 9

455. а) x = 1 −

в) x = 1 −

2 7 2 7−2 5 ; x= − ; x= ; x= ; 7 7 7 7 7

г) x = 1 −

4 7 4 7−4 3 ; x= − ; x= ; x= . 7 7 7 7 7

456. а) y = 1 −

5 8 5 8−5 3 ; y= − ; y= ; y= ; 8 8 8 8 8

б) y = 1 −

7 12 7 12 − 7 5 ; y= − ; y= ; y= ; 12 12 12 12 12

в) y = 1 −

5 16 5 16 − 5 11 ; y= ; y= ; − ; y= 16 16 16 16 16

15 24 15 24 − 15 9 3 ; y= ; y= ; y= ; y= . − 24 24 24 24 24 8 457. Примем объем бассейна за 1. г) y = 1 −

1 1 часть бассейна, а другая — часть. 30 15 Тогда за 1 час совместной работы заполнится:

За 1 час одна труба заполнит

1 1 1 2 1+2 3 1 (часть). + = + = = = 30 15 30 30 30 30 10 Если за 1 час совместной работы обеих труб заполняется

1 часть 10

10   заполнится обеими трубами, бассейна, то весь бассейн  1 =  10  работающими одновременно за 10 часов. 458. 1) 1 −

2 5 2 5−2 3 (часть) — прошел турист за второй день; = − = = 5 5 5 5 5

2) 45 : 5 3 ! 27 (км). Ответ: за второй день турист прошел 27 км. 459. 1)

2 5 2+5 7 (часть) — убрали за первые два дня вместе; + = = 9 9 9 9

7 9 7 9−7 2 (часть) — убрали в третий день; = = − = 9 9 9 9 9 3) 171 : 9 2 ! 19 2 ! 38 (га). Ответ: в третий день было убрано 38 га земли. 2) 1 −

409

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

460. 1) 2)

2 3 4 3 4+3 7 (часть) — прочитал Максим за два дня; + = + = = 5 10 10 10 10 10 5 1 5 7 = — половина книги; < ; 10 2 10 10

7 10 7 10 − 7 3 (часть) — осталось прочитать; = − = = 10 10 10 10 10 4) 170 : 10 3 ! 51 (стр.). Ответ: за два дня Максим прочитал больше половины книги; осталось ему прочитать 51 страницу. 3) 1 −

463. Удобно разделить отрезок MN на 12 равных частей, KN = ML =

9 3 = . 12 4

8 2 = ; 12 3

5 5 5 отрезка MN; отрезка KN; отрезка 12 8 9 5 1 5 2 ML; = 1 отрезка MK; = 1 отрезка NL. 4 4 3 3

Отрезок KL составляет

Контрольные задания 1. а)

2 3 2+3 5 + = = ; 7 7 7 7

б)

11 7 11 − 7 4 − = = . 15 15 15 15

2. а)

1 1 2 1 2+1 3 + = + = = ; 2 4 4 4 4 4

б)

2 4 6 4 6−4 2 − = − = = . 3 9 9 9 9 9

§ 25. Сложение и вычитание смешанных чисел 464. 1) 2 +

2 2 =2 ; 7 7

2) 2

5 5 3+2 3 2 + =2+ =2+ =2 ; 7 7 7 7 7

3) 2

5 5 2 3  3 2 + 1 = (2 + 1) +  +  = 3 + = 3 ;  7 7 7 7 7 7

4) 2

2 2 9 3+6 3 6 + =2+ = 2+ = 2+1 = 3 ; 7 7 7 7 7 7

5) 2

2 2 9 6 3  3 6 + 1 = (2 + 1) +  +  = 3 + = 3 + 1 = 4 . 7 7 7 7 7 7 7

410

2002–2011 гг.

5 5 5 5 − 1 = (1 − 1) + = 0 + = ; 9 9 9 9 5 2 5−2 3 1 1 = 1+ = 1+ = 1 ; 1 − = 1+ 9 9 9 9 3 3 5 5 5−5 = 1 + 0 = 1; 1 − = 1+ 9 9 9 5 7 14 7 14 − 7 7 − = = . 1 − = 9 9 9 9 9 9 2 8 3+5 3 5 + =3+ =3 =3 ; 3 3 12 12 12 12 3 5 5 3+5 8 2 3  3 +1 = (3 + 1) +  3 + =4+ =4+ =4+ =4 ;   13 12  12 12 12 12 3 4 3 + 11 3 11 1 1 7 14  3 11 3 =3+ = 3+ = 3+1 = 4 ; + =3+ +  =3+  12 12 12 12 6 6 12 6 12 1 7 14 1 3 + 11 11 3  3 11 = 4+ = 4+ = 4+1 = 5 . 3 + 1 = (3 + 1) +  +  = 4 +  12 12 6 6 12 12 6 12 12 2 7 7 3 3 3  2 + +4 =4+ =4+ =4+ =4 ;   15 15  15 15 5 5 5 2 7 7 9 3 3  2 + 1 +4 = (1 + 4) +  =5+ =5+ =5 ;   15 15  15 15 15 5 5 2 2 7 21 7 14  14 7  +4 =4+ + =4+ = 4+ = 4+1 =5 ;   15 15  5 5 5 15 15 15 14 7 21 7 2 2  14 7  +4 = (1 + 4) +  1 + =5+ =5+ =5+1 = 6 .   15 15  15 15 15 5 5 5 4 4 4 4 − 1 = (1 − 1) + =0+ = ; 1 11 11 11 11 2 2 2 4 2  4 =1 ; −  = 1+ − = 1+  1  11 11 11 11 11 11 4 4 4  4 − = 1+  −  = 1 + 0 = 1; 1  11 11 11 11

465. 1) 1 2) 3) 4) 466. а) б) в) г) 467. а) б) в) г) 468. а) б) в)

#$%&#$%'($

4 7 15 7 15 − 7 8 − = − = = . 11 11 11 11 11 11 5 5 5 5 469. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1 + = 1 ; 9 9 9 9 5 2 3 1 1  5 2 б) 2 − 1 = (1 − 2) +  −  = 1 + = 1 + = 1 ;  9 9 9 9 9 3 3 5 5  5 5 в) 2 − 1 = (2 − 1) +  −  = 1 + 0 = 1;  9 9 9 9 г) 1

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

411

7 7 7 14 7 5  14 7  −1 =1 − 1 = (1 − 1) +  −  =0+ = .  9 9 9 9 9 9 9 9 4 4 4 4 470. а) 2 − 1 = (2 − 1) + = 1+ =1 ; 11 11 11 11 4 2 2 2 2  4 б) 2 −  = 1+ −1 = (2 − 1) +  =1 ;  11 11 11 11 11 11 г) 2

4 4 4  4 −1 = (2 − 1) +  −  = 1 + 0 = 1;  11 11 11 11 8 8 7 15 7 4  15 7  г) 2 −1 =1 −1 = (1 − 1) +  −  =0+ = .  11 11 11 11 11 11 11 11 57 81 157 81 76 81   157 16 = −1 = 15 −1 = (15 − 1) +  − = 14 +   100 100  100 100 100 100 100 19 76 (ñ). = 14 = 14 25 100 19 Ответ: Ваня пробежал дистанцию за 14 ñ. 25 68 21  31 68 21  31 + 13 + 10 = (15 + 13 + 10) +  + + 15 =  100 100 100  100 100 100 1 1 6 120 = 38 + = 38 + = 38 + 1 = 39 (ñ). 5 5 5 100 1 Ответ: в эстафете команда имела результат 39 ñ. 5 1 1 3+4 1 1 4+5 а) б) + = ; + = ; 4 3 12 5 4 20 1 1 5+6 1 1 4+7 г) в) + = ; + = . 6 5 30 7 4 28 1 1 5+8 1 1 2+9 б) а) + = ; + = ; 8 5 40 9 2 18 1 1 3 + 11 1 1 2 + 15 г) в) + = ; + = . 33 30 11 3 15 2 1 1 1+2 1 1 4 +3 а) + = ; + = ; 12 6 12 3 4 12 1 1 1+ 6 1 1 3+1 1 1 3+6 1 1 2+9 б) + = ; + = ; + = ; + = ; 18 6 18 6 18 18 6 3 18 9 2 18 1 1 10 + 3 1 1 6 + 5 1 1 2 + 15 1 1 1+ 6 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 3 10 5 6 30 15 2 30 5 30 30 30 1 1 1+ 8 1 1 8 + 4 1 1 1+2 1 1 2 + 16 г) + = . + = ; + = ; + = ; 32 32 4 32 4 8 32 32 16 32 16 2 в) 2

471.

472.

473.

474.

475.

412

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

1 1 5+9 1 1 3 + 15 1 1 1+ 9 1 1 1 + 15 + = ; + = ; + = ; + = ; 9 5 45 15 3 45 5 45 45 3 45 45 1 1 1+ 8 1 1 2 + 20 1 1 1+ 4 1 1 8 +5 + = ; б) + = ; + = ; + = ; 40 40 5 40 20 2 40 10 40 5 8 40 1 1 1+2 1 1 8 +3 1 1 4 + 6 1 1 1+ 8 в) + = ; + = ; + = ; + = ; 24 12 24 3 8 24 6 4 24 24 3 24 1 1 3 + 12 1 1 1+3 1 1 1+ 4 1 1 9+1 г) + = ; + = ; + = . + = ; 12 3 36 12 36 36 9 36 4 36 36 36 1 2 1 477. а) 1 ìèí = ÷; 2 ìèí = ÷= ÷; 60 60 30 10 1 20 1 10 ìèí = ÷ = ÷; 20 ìèí = ÷ = ÷; 60 6 60 3 5 30 1 15 1 1 ÷= ÷; 15 ìèí = ÷ = ÷; ÷ = ÷; 30 ìèí = б) 5 ìèí = 60 60 12 60 4 2 45 3 45 ìèí = ÷ = ÷; 60 4 12 1 24 2 48 4 ÷ = ÷; 24 ìèí = ÷ = ÷; 48 ìèí = ÷ = ÷; в) 12 ìèí = 60 5 60 5 60 5 1 10 1 300 1 г) 1 ñ = ÷; 10 ñ = ÷= ÷= ÷; 300 ñ = ÷; 3600 3600 360 3600 12 600 1 ÷ = ÷. 600 ñ = 3600 6 1 60 ìèí 1 60 ìèí 478. ÷= = 1 ìèí; ÷= = 3 ìèí; 60 60 20 20 1 60 ìèí 1 60 ìèí ÷= = 30 ìèí. ÷= = 20 ìèí; 2 2 3 3 476. а)

Контрольные задания 2 2 6 1 1 5  5 =3+ =3+ =3 ; +2 = (1 + 2) +  +   15 15  5 5 15 15 15 1 1 4 3 3 7  7 =2+ =2+ =2 ; б) 3 − −1 = (3 − 1) +    12 12  3 3 12 12 12 4 4 19 8 11  11 8  в) 1 =3+ = 3+1 =4 ; +2 = (1 + 2) +  +   15 15  15 15 15 15 15 8 8 2 11 19 11 7  19 11 =0+ = = . г) 3 −2 = (2 − 2) +  − −2 =2   12 12  12 12 3 12 12 12 12

1. а) 1

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

413

§ 26. Умножение и деление обыкновенной дроби на натуральное число 481. а) в)

5 5 ⋅ 3 15 1 ⋅3 = = =2 ; 7 7 7 7

б)

2 2 ⋅ 5 10 ⋅5 = = = 2; 5 5 5

3 3⋅2 6 ⋅2 = = ; 7 7 7

г)

4 4 ⋅ 4 16 1 ⋅4 = = =1 . 15 15 15 15

482. а) 6 ⋅ в) 7 ⋅ 483. 10 ⋅

9 8 6 ⋅ 8 48 = = =3 ; 13 13 13 13

б) 8 ⋅

1 12 8 ⋅ 12 96 = = =5 ; 19 19 19 19

3 7 ⋅ 3 21 5 = = =2 ; 8 8 8 8

г) 9 ⋅

4 9⋅4 6 2 = =2 =2 . 5 15 15 5

1 10 ⋅ 1 1 (часть). = = 100 100 10

Ответ: за 10 ч Валера успеет изучить

1 часть пособия. 10

1 10 ⋅ 1 10 = = = 1. 10 10 10 Ответ: за 10 мин Сережа очистит всю дорожку.

484. 10 ⋅

1 ÷; 3 2 3⋅2 6 2 = = = 2) 3 ⋅ (запасов) — съели за 1 час. 15 15 15 5

485. 1) 20 ìèí =

2 всех запасов Кролика, 5 2 5 2 3 — это меньшая часть его запасов, так как осталось: 1 − = − = 5 5 5 5 2 бîльшая часть, чем . 5 Ответ: за час Вини-Пух с Пяточком съели

486. 1) 10 ⋅

1 10 ⋅ 1 1 (часть) — пролетит самолет за 10 с; = = 1000 1000 100

2) 187 1000 ! 187 000 (м) ! 187 (км). Ответ: за 10 с самолет пролетит

1 часть расстояния между 100

городами А и В, расстояние между городами А и В равняется 187 км. 487. а) 5 ⋅

1 5 ⋅1 5 1 (часть); = = = 20 20 20 4

б) 10 ⋅

1 10 ⋅ 2 1 (часть) — за 10 мин; = = 20 20 2

414

2002–2011 гг.

"#$%"#$&'#

1 часть составляет 30 г, тогда в горшочке было: 30 20 ! 600 (г) 20 меда; 1 20 ⋅ 1 20 г) 20 ⋅ = = = 1. 20 20 20 Значит, за 20 мин Винни-Пух съел все содержимое горшочка с медом. 30 мин – 20 мин ! 10 мин. Поэтому, 10 мин Винни-Пух шел с пустым горшочком. в)

1 часть 30 мин, тогда Винни-Пух с пустым 3 1 часть пути. горшочком шел 3 488. Примем объем танка для хранения нефти за 1, тогда за 1 час один 10 мин — это

1 1 часть танка, а другой — часть. 4 16 1 1 4 1 5 (часть) — за 1 час заполнят оба насоса; + = + = 1) 4 16 16 16 16 5 3 ⋅ 5 15 (часть). 2) 3 ⋅ = = 16 16 16 15 Ответ: за 2 ч будет заполнено части танка, если оба насоса 16 будут включены одновременно. 489. Примем партию деталей за 1, тогда фрезеровщик за 1 час обработает насос заполнит

1 1 часть партии, а его ученик — часть. 3 6 1 1 1 2 3 1 1) + = + = = (часть); 6 3 6 6 6 2 1 2⋅1 2 2) 2 ⋅ = = = 1. 2 2 2 Ответ: да, за 2 часа фрезеровщик и его ученик успеют обработать партию деталей, если будут работать одновременно. 6:2 3 6 :2 = = ; 7 7 7 15 15 : 3 5 3) :3 = = ; 34 34 34 5 5 5 492. а) :6 = = ; 11 ⋅ 6 66 11 3 3 3 в) :4 = = . 7 ⋅ 4 28 7

491. 1)

8:4 2 8 :4 = = ; 25 25 25 5 5:5 1 4) : 5 = = . 8 8 8 4 4 4 б) :7 = = ; 5 ⋅ 7 35 5

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

493. 1) 1 − 2)

1 2 1 1 = − = (часть) — осталось пиццы; 2 2 2 2

1 1 1 :4 = = (часть). 2 2⋅4 8

Ответ: каждому из гостей досталась 494. 1) 2)

1 часть пиццы. 8

3 3:3 1 (часть) — колбасы; :3 = = 8 8 8 1 1 1 (часть) — хлеба. :3 = = 4 4 ⋅ 3 12

Ответ: каждому из друзей досталась и

1 часть батона колбасы 8

1 часть батона хлеба. 12 6:2 3 6 :2 = = ; 7 7 7

б)

1 1 1 :2 = = ; 7 7 ⋅ 2 14

в)

3 15 15 : 5 :5 = = ; 11 11 11

г)

17 17 17 :5 = = . 11 11 ⋅ 5 55

496. а)

4 24 24 : 6 :6 = = ; 25 25 25

б)

17 17 17 :3 = = ; 31 31 ⋅ 3 93

в)

16 16 16 :5 = = ; 19 ⋅ 5 95 19

г)

18 : 9 18 2 :9 = = . 23 23 23

495. а)

497. 1)

5 5 5 (м/мин); :6 = = 9 9 ⋅ 6 54

2) 9 ⋅

5 9 ⋅ 5 45 5 (м). = = = 54 54 54 6

Ответ: скорость гусеницы равняется преодолеет 498. 1)

415

5 м/мин, за 9 мин гусеница 54

5 м. 6

2 1 2 2 (часть) — за 1 день; : 10 = = = 3 ⋅ 10 30 15 3

2) 15 ⋅

1 15 ⋅ 1 15 = = = 1. 15 15 15

1 часть дров: 15 за 15 дней он успеет заготовить все необходимое на зиму количество дров.

Ответ: за 1 день Кот Матроскин успевал заготовить

416

2002–2011 гг.

3 3 3 1 (часть) — за 1 с; : 21 = = = 10 ⋅ 21 210 70 10 1 ⋅ 60 60 6 1 (часть). ⋅ 60 = = = 2) 70 70 7 70 6 Ответ: за 1 мин заполнится бензобака. 7 1 2 2 (часть) — за 1 день; = 1) : 3 = 7 7 ⋅ 3 21 2 ⋅ 5 10 2 (часть). 2) ⋅5 = = 21 21 21 10 Ответ: за 5 дней смогут прополоть поля. 21 1 ⋅ 10 10 1 ⋅ 10 = = = 1; 1 10 ! 10; 10 10 10 1 1 1 ⋅ 10 1 ⋅ 10 10 1 10 1 ⋅ 10 = = = ; ⋅ 10 = = = ; 100 100 100 10 1000 1000 1000 100 1 ⋅ 10 10 1 1 ⋅ 10 = = = . 10 000 10 000 1000 10 000 1 1 1 1 1 1 1 1 : 10 = : 10 = = ; : 10 = = ; ; 10 ⋅ 10 100 100 100 ⋅ 10 1000 10 10 1 1 1 1 1 1 : 10 = = . : 10 = = ; 1000 1000 ⋅ 10 10 000 10 000 10 000 ⋅ 10 100 000 5 ⋅ 3 15 5 5 1  1 4  1 2 = = =2 ; а)  +  ⋅ 3 =  +  ⋅ 3 = ⋅ 3 =  6 6  6 3 6 6 2 2 6 2 1 4 13 13 13  17  17 б)  : 13 =  : 13 = : 13 = = = − ; −    30 30   30 15  30 30 ⋅ 13 390 30 7 7 7  1 6  1 3 ; = в)  +  : 5 =  +  : 5 = : 5 =  8 8  8 4 8 ⋅ 5 40 8 13 ⋅ 4 52 13 7  12 1   4 1 г)  +  ⋅ 4 =  ⋅4 = = =5 . +  ⋅4 =  9  3 9 9 9 9 9 9 1 1⋅5 5 1  3 2  3 1 а)  −  ⋅ 5 =  −  ⋅ 5 = ⋅ 5 = = =1 ;  4 4  4 2 4 4 4 4 8 1 1 16 16 : 2  15 5 б)  + :2 =  :2 = :2 = = ; +    21 21  7 21 21 21 21 1 2 5 5 5 1  7  7 в)  :3 = :3 = = = ; − −  :3 =    10 10   10 5  10 10 ⋅ 3 30 6 1⋅5 5 1 2 1 1  3 1 г)  − ⋅5 = ⋅5 = ⋅5 = = . − ⋅5 =     12 12   4 12  6 6 6 12

499. 1)

500.

501.

502.

503.

504.

#$%&#$%'($

417

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

Контрольные задания 1)

2 ⋅ 6 12 2 ⋅6 = = = 4; 3 3 3

8 2 8 8 :4 = = = ; 11 ⋅ 4 44 11 11

3 3 3 :5 = = . 7 7 ⋅ 5 35

ГЛАВА III. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ § 27. Определение угла. Развернутый угол 506.

507. DOA, 508. а)

б)

COB. СО — общая сторона AOC и AOB — развернутый;

МО — общая сторона

KOM и

BOC,

NOM.

510. I способ Если урожай третьего участка уменьшить на 12 ц, то с каждого из трех участков земли картофеля собрали поровну, всего 156 – 12 ! !"144 (ц). Тогда с каждого участка собрали 144 : 3 ! 48 (ц) картофеля. Но это количество картофеля, собранное с первого и второго участков. Тогда с третьего участка собрали 48 + 12 ! 60 (ц) картофеля. Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц.

418

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

II способ Увеличим урожай первого и второго участка на 12 ц, тогда с каждого из трех участков соберут картофеля поровну, а вместе 156 + 12 2 ! ! 180 (ц). С каждого участка соберут 180 : 3 ! 60 (ц). Но это количество картофеля, собранное с третьего участка. Тогда с первого и второго соберут по 60 – 12 ! 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. III способ Обозначим количество картофеля, собранного с первого и второго участков, х кг; тогда с третьего участка собрали (х + 12) кг, а вместе с трех участков (x + x + x + 12) кг. Но по условию задачи с трех участков вместе собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x + x + x + 12 ! 156; 3x + 12 ! 156; 3x ! 156 – 12; 3x ! 144; x ! 144 : 3; x ! 48. Итак, получили, что с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 ! 60 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. IV способ Обозначим количество собранного картофеля с третьего участка земли х кг. Тогда с первого и второго участков собрали по (х – 12) ц, а с трех участков вместе — (x – 12 + x – 12 + x) ц. По условию задачи, с трех участков собрали 156 ц картофеля. Составим уравнение: x – 12 + x – 12 + x ! 156; 3x – 12 – 12 ! 156; 3x ! 180; x ! 60. Итак, получили, что с третьего участка собрали 60 ц картофеля, а с первого и второго — по 60 – 12 ! 48 (ц). Ответ: с первого и второго участков собрали по 48 ц картофеля, а с третьего — 60 ц. 511. 1) х ц; (х + 12) ц; (x + x + x + 12) ц; 2) x + x + x + 12 ! 156; 3) мы найдем массу картофеля, собранного со второго (и первого) участка: x + x + x + 12 ! 156; 3x + 12 ! 156; 3x ! 156 – 12; 3x ! 144; x ! 144 : 3; x ! 48; 4) со второго участка собрали 48 ц картофеля, а с третьего — 48 + 12 !" ! 60 (ц). 512. 1) (х + 27) книг стоит на второй полке; 2) (x + x + 27) книг стоит на двух полках; 3) x + x + 17 ! 185; 2x + 27 ! 185; 2x ! 185 – 27; 2x ! 158; x ! 158 : 2; x ! 79. Значит, на первой полке стояло 79 книг, а на второй — 79 + 27 ! !"106 (книг).

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

419

513. Обозначим третье слагаемое буквой х, тогда сумма трех слагаемых — (6485 + (6485 – 4163) + х). По условию задачи, сумма трех слагаемых равна 15 731. Составим уравнение: 6485 + (6485 – 4163) + х 15 731. 6485 + 2322 + х 15 731; 8807 + х 15 731; х 15 731 – 8807; х 6924. 6485 6485 15731 − − + 4163 2322 8807 2322

8807

6924

Итак, третье слагаемое равно 6924. Ответ: 6924 — третье слагаемое. Можно было решить эту задачу по действиям: 1) 6485 − 4163 2322 — второе слагаемое; 2) 6485 + 2322 8807 — сумма первого и второго слагаемых; 3)

−

15731 8807

6924 Ответ: 6924 — третье слагаемое. 514. Пусть исходное выражение имело вид: a – b c. Если вычитаемое уменьшить на 262, выражение примет вид: a – (b – 262) c. а) Уменьшаемое уменьшить на 262; б) уменьшаемое уменьшить на 262 + 74 336; в) уменьшаемое уменьшить на 262 – 35 227.

Контрольные задания 1.

2. Дополнительные лучи.

!KAN, !KAL, !KAM, !MAL, !LAM, !MAN; !MAN и !KAL — развернутые.

420

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

СОА — острый, AOD — тупой, COD — развернутый; 2) COA и DOA — прямые, COD — развернутый. 1)

§ 28. Сравнение углов наложением 516. а) Угол СВА меньше угла MNK, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; б) угол KNM меньше угла CBA, так как он целиком расположен внутри него, если их попытаться совместить; в) CBA и KNM равны, так как они совпадают, если их совместить. 517. а) ABC больше A1B1C1; б) B1A1C1, B1C1A1; B1A1C1 меньше A1B1C1; B1C1A1 меньше A1B1C1. 518. 1 способ 1) 135 : 5 ! 27 (км/ч) — общая скорость велосипедистов; 2) 27 – 13 ! 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 2 способ 1) 13 " 5 ! 65 (км) — проехал первый велосипедист за 5 ч; 2) 135 – 65 ! 70 (км) — проехал второй велосипедист за 5 ч; 3) 70 : 5 ! 14 (км/ч) — скорость второго велосипедиста. Ответ: скорость второго велосипедиста равна 14 км/ч. 519. Первый — ? на 32 кг тяжелее, чем  Второй — ? на 14 кг легче, чем  280 êã Третий — ?  Решение. а) Отколем от первого куска 32 кг, а от третьего — 14 кг, тогда каждый кусок мрамора будет одинаковой массы, а всего останется 280 – (14 + 32) ! 280 – 46 ! 234 (кг). Масса каждого куска мрамора равна 234 : 3 ! 78 (кг). Но это масса второго куска мрамора. Масса первого — 78 + 32 ! 110 (кг), а третьего — 78 + 14 ! 92 (кг). Ответ: масса первого куска мрамора равна 110 кг, второго — 78 кг, третьего — 92 кг. б) (х + 32) кг — масса первого куска; (х + 14) кг — масса третьего куска; ((x + 32) + x + (x + 14)) кг — масса трех кусков; в) (x + 32) + x + (x + 14) ! 280; x + 32 + x + x + 14 ! 280; 3x + 46 ! 280; 3x ! 280 – 46; 3x ! 234; x ! 234 : 3; x ! 78.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

421

Контрольные задания АОВ меньше

ВОС.

§ 29. Измерение углов 522. MNK ! 35"; ABC ! 35"; 523. а) ABC ! 75" — острый;

524.

DEF ! 140"; FGH ! 130". б) MNK ! 120" — тупой;

в)

DEF ! 30" — острый;

г)

LNP ! 145" — тупой;

д)

PST ! 45" — острый;

е)

QEH ! 130" — тупой.

ABC ! 21";

DEF ! 145";

MNK ! 40";

FGH ! 100".

1 3 1 10 1 50 5 ; 3°  = ; 10°  = ; 50°  = ; 180 180 60 180 18 180 18 30 1 60 1 90 1 б) 30°  = ; 60°  = ; 90°  = ; 180 6 180 3 180 2 120 2 150 5 120°  = ; 150°  = ; 180 3 180 6 45 1 135 3 80 4 в) 45°  = ; 135°  = ; 80°  = ; 180 4 180 4 180 9 12 1 12°  = ; 180 15

526. а) 1° 

422

2002–2011 гг.

15 1 18 1 36 1 = ; 18°  = ; 36°  = ; 180 12 180 10 180 5 20 1 = . 20°  180 9

г) 15° 

527. а)

1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 45°; 2 2

б)

1 1 прямого угла: ⋅ 90° = 30°; 3 3

в)

2 ⋅ 90° 2 2 = 60°; прямого угла: ⋅ 90° = 3 3 3

г)

1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 45°; 4 4

д)

1 1 развернутого угла: ⋅ 180° = 60°; 3 3

3 развернутого угла: 4 3 ⋅ 180° 3 ⋅ 180° = = 135°. 4 4 528. а) 15 ! 10 " 150 ; в) 12 : 6 ! 7 " 14 ; б) 8 : 2 ! 5 " 20 ; г) 18 : 9 ! 11 " 22 . 529. 1) 20 ч 55 мин – 17 ч 55 мин " 3 ч; 2) 60 ! 6 " 360 (км); 3) 537 – 360 " 177 (км); 4) 177 : 3 " 59 (км/ч). Ответ: скорость второго поезда равна 59 км/ч. е)

"#$%"#$&'#

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

423

530. 1) 165 – 105 60 (р.) — разница стоимости куска ситца и бязи; 2) 60 : 4 15 (м) — длина куска ситца и бязи; 3) 105 : 15 7 (р.) — цена 1 м ситца; 4) 7 + 4 11 (р.) — цена 1 м бязи. Ответ: в каждом куске ситца и бязи по 15 м ткани; 1 м бязи стоит 11 р., а 1 м ситца — 7 р.

Контрольные задания 1.

!MNL !MNK – !KNL 180" – 65" 115".

2. !ABC 70" — острый; !MNK 90" — прямой; !CDE 130" — тупой.

§ 30. Биссектриса угла 531.

533. а) 8 углов; из них 4 развернутых угла; б) пусть при пересечении двух прямых образовались углы 1; 2; 3; 4. !1 !2; !3 !4; а также еще четыре развернутых угла: 5; 6; 7; 8; !5 !6 !7 !8 180". Пусть !1 80". !1 + !3 180", !3 180" – !1 180" – 80" 100". Значит, !1 !2 80", !3 !4 100". Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 80", 100", 80", 100" и четыре развернутых угла. 534. 1) 180" – 25" 155". Ответ: при пересечении двух прямых образовались углы 25", 155", 25", 155". 535. Диагональ квадрата является биссектрисой его угла, а диагональ прямоугольника не является биссектрисой его угла. Биссектриса делит развернутый угол на два равных прямых угла: 180" : 2 90". 536. 1) Можно провести диагональ клетки в тетради.

424

537.

2002–2011 гг.

AOC,

AOB,

"#$%"#$&'#

BOC — тупые. Четыре угла с таким условием построить нельзя, так как сумма четырех тупых углов будет больше 360!.

538. Сумма всех углов, образованных при пересечении двух прямых (не считая развернутых) равна 360!. 360! : 4 " 90!. Поэтому, если провести 4 луча, то все образовавшиеся углы не будут острыми. Значит, нужно провести 5 лучей. BOC — прямой, целиком расположен внутри развернутого угла AOD, при этом AOB и DOC — острые, AOB " 43!, DOC " 45!. 540. MON + NOA " 75! + 105! " 180!, значит, лучи OM и OA могут быть дополнительными. NOA + AOB " 105! + 75! " 180!, значит, лучи ON и ОВ могут быть дополнительными. 541. OK — биссектриса угла MOC, OP — биссектриса угла CON. KOP " 45!, так как: KOP " KOC + POC " 1 1 ∠MOC + ∠CON = 2 2 1 = (∠MOC + ∠CON ) = 2 1 1 = ∠MON = ⋅ 90° = 45°. 2 2 542. а) 425 17 + 3008 ! 10 403; 1)

× +

435 17

3045 435

7395 3008

10403

7395 б) 435 (17 + 3008) ! 1 315 875; 3008 2) 1) 3025 + × 17 425 3025

15125 + 9075 12100 1315875

425

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

в) 27 64 + 89 502 ! 46 406; 27 2) 1) 502 × × 64 89 108 + 162 1728

44678 1728 46406

4518 4016 44678

г) 27 (64 + 89) 502 ! 2 973 762; 153 2) 1) 67 × + 27 89 153

1071 + 306 4131

× +

4131 502

8262 20655 2073762

543. Примем всю работу за 1, тогда первая мастерская выполнит за 1 день 1 1 1 часть; третья — часть всей работы; вторая — часть. 24 16 48 1 1 1 6 4 2 6 + 4 + 2 12 1 (часть) — + + = + + = = = 1) 16 24 48 96 96 96 96 96 8 выполнят за 1 день три мастерские, работая одновременно. 2) Значит, всю работу три мастерские, работая одновременно, выполнят за 8 дней. 1 1⋅ 8 8 1 3) ⋅8 = = = (часть) — выполнит первая мастерская; 16 16 16 2 1 ⋅ 960 1 4) ⋅ 960 = = 480 (книг) — переплетет первая мастерская; 2 24 1 1⋅ 8 1 5) ⋅8 = = (часть) — выполнит вторая мастерская; 24 24 3 1 ⋅ 960 1 6) ⋅ 960 = = 320 (книг) — переплетет вторая мастерская; 3 3 1⋅ 8 1 1 (часть) — выполнит третья мастерская; 7) ⋅8 = = 48 6 48 1 ⋅ 960 1 6) ⋅ 960 = = 160 (книг) — переплетет третья мастерская. 6 6 Ответ: за 8 дней три мастерские, работая одновременно, выполнят всю работу, причем первая успеет переплести 480 книг, вторая — 320 книг, третья — 160 книг; распределить книги между мастерскими, чтобы эта работа была выполнена за более короткий срок, нельзя. 544. 2) Обозначим буквой х количество зерна на втором элеваторе, тогда на первом элеваторе было 3х т зерна. Если с первого элеватора вывезти 850 т, то на нем останется: (3х – 850) т, если со второго

426

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

элеватора вывезти 150 т, то на нем останется: (х – 150) т. Так как после этого на обоих элеваторах зерна осталось поровну, составим уравнение: 3x – 850 x – 150. 1) 850 – 150 700 (т); 2) 700 : 2 350 (т) — на втором элеваторе; 3) 350 ! 3 1050 (т) — на первом элеваторе. Ответ: на первом элеваторе было 1050 т зерна.

Контрольные задания 1 Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий данный угол на два равных угла. 2. Луч BK — биссектриса "ABC; ∠ABK = ∠CBK =

1 1 ∠ABC = ⋅ 70° = 35°. 2 2

§ 31. Треугольник 546. 1) "ABC 45# + 30# 75#; 2) 120# 90# + 30#; 105# 60# + 45#; 15# 45# – 30#; 3) 135# 90# + 45#; 150# 90# + 60#; также можно построить углы по 30#; 60#; 45#; 90#. 547. 1) 8 + 12 20 (чел.) — размещаются в 1-ой 8-местной и в 1-ой 12-местной шлюпках одновременно; 2) 340 : 20 17 (шлюп.) — количество шлюпок; 3) 17 ! 8 136 (чел.) — всего в 8-местных шлюпках; 4) 17 ! 12 204 (чел.) — всего в 12-местных шлюпках. Ответ: в 8-местных шлюпках могут разместиться 136 человек, а в 12-местных — 204 человека. 548. 1) 240 : 8 – 300 : 20 + 576 : 32 30 – 15 + 18 15 + 18 33; −

566 32 52 18

−

256 256 0

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

427

б) ((160 240 : 8 + 7 997 000 : 100) : 1000 7 + 947) 100 ! 164 7000; 2) 7 997 000 : 100 ! 79 970; 1) 160240 8 − 16 20030 −

024 24 0

79970 20030

4) 100 000 : 1000 ! 100;

100000 5) 100 7 ! 700;

947 700

7) 1647 100 ! 164 700.

1647 550. Обозначим массу одного апельсина х г. 7 х + 2 200 ! 2 1000 + 500; 7х + 400 ! 2500. 551. 3) (х + 45) м — количество ткани, которое было в куске сатина зеленого цвета; 2х м — количество ткани, оставшейся в куске сатина синего цвета; (28 + 2х) м — количество ткани, которое было в куски сатина синего цвета. б) х + 45 ! 2х + 28. 552. а) AB = x ñì;   B C = 2x ñì;  P∆AB C  ? A C = (2x − 7) ñì;

б)

553. а) б) 554. а)

б)

P"ABC ! AB + BC + AC; P"ABC ! x + 2x + (2x – 7) ! x + 2x + 2x – 7 ! 5x – 7 (см); AB = y ñì;   B C = 4y ñì;  P∆AB C  ? A C = (4y − 10) ñì; P"ABC ! AB + BC + AC; P"ABC ! y + 4y + (4y – 10) ! y + 4y + 4y – 10 ! 9y – 10 (см). 5x – 7 ! 68; 5x ! 68 + 7; 5x ! 75; x ! 75 : 5; x ! 25. Значит, АВ ! 15 м; ВС ! 2 15 ! 30 (м); АС ! 30 – 7 ! 23 (м). 9y – 10 ! 197; 9y ! 197 + 10; 9y ! 207; y ! 207 : 9; y ! 23. Значит, АВ ! 23 см; ВС ! 4 23 ! 92 (см); АС ! 92 – 10 ! 82 (см). MN ! a см; NK ! (a – 30) см; KM ! 4(a – 30) см. P"MNK ! MN + NK + KM; P"MNK ! a + (a – 30) + 4(a – 30); MN ! b см; NK ! (b + 12) см; KM ! 2b см. P"MNK ! MN + NK + KM; P"MNK ! b + (b + 12) + 2b ! b + b + 12 + 2b ! 4b + 12.

428

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

555. а) a + (a – 30) + 4(a – 30) 108; a + a – 30 + 4a – 120 108; a + a + 4a – (30 + 120) 108; 6a – 150 108; 6a 108 + 150; 6a 258; a 258 : 6; a 43. Значит, MN 43 см; NK 43 – 30 13 (см); KM 4 ! 13 52 (см). Ответ: MN 43 см; NK 13 см; KM 52 см. б) b + b + 12 + 2b 164; 4b + 12 164; 4b 164 – 12; 4b 152; b 152 : 4; b 38. Значит, MN 38 см; NK 38 + 12 50 (см); KM 2 ! 38 76 (см). Ответ: MN 38 см; NK 50 см; KM 76 см. 559. а) ((24 ! 250 + 18 ! 350) : 60 ! 40 + (44 ! 4500 + 108 ! 1500) : 20) : 40 655; 1) 2) 3) 6000 18 44 + × × 6300 350 4500 +

6300

198000 4)

−

12300 60 12 205

205 40

8200

030 30

−

12300

90 + 54

220 176

108 1500

198000 8)

198000 162000 360000

540 + 108 162000 10)

18000 8200 26200

44 4500

220 + 176

0 7)

−

360000 20 2 18000

−

16 16 0

11)

−

26200 40 24 655

−

22 20

−

20 20 0

429

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

б) (64 125 + 128 75) : 800 5000 – (300 400 + 5107 800) : 70 ! !"49 920; 1)

125 64

500 + 750

× +

8000 4)

−

17600 800 16 22 −

128 75

9600 8000

17600

640 896 9600

22 5000

6) 300 400 ! 120 000;

110000

16 16 0

5107 800

4085600

4085600 120000 4205600

−

4205600 70 42 60080 −

056 56 0

10)

−

110000 60080

49920 560. а) 1 способ — алгебраический. Обозначим меньшее число х, тогда бîльшее число — (х + 200). Так как сумма этих чисел равна 790, составим уравнение: x + x + 200 ! 790; 2x + 200 ! 790; 2x ! 790 – 200; 2x ! 590; x ! 590 : 2; x ! 295. Значит, меньшее число — 295, а большее — 295 + 200 ! 495. Ответ: искомые числа 295 и 495. 2 способ — арифметический. 1) 790 – 200 ! 590 — сумма двух равных чисел; 2) 590 : 2 ! 295 — меньшее число; 3) 295 + 200 ! 495 — бîльшее число. Ответ: искомые числа 295 и 495. б) 1 способ — алгебраический. Обозначим количество гирь по 5 кг х штук, тогда гирь по 3 кг было (24 – х) штук. Так как на одну чашу весов поставлены гири массой по 5 кг, а на другую — по 3 кг, а весы находятся в равновесии, составим уравнение: 5x ! 3(24 – x); 5x ! 72 – 3x; 5x + 3x ! 72; 8x ! 72; x ! 72 : 8; x ! 9.

430

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

Значит, гирь массой по 5 кг было 9 штук, а по 3 кг — 24 – 9 !15 (штук). Ответ: на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг. 2 способ — арифметический. 1) 3 " 24 72 (кг) — масса 24 гирь по 3 кг; 2) 3 + 5 8 (кг) — масса 1 гири по 3 кг и 1 гири по 5 кг вместе; 3) 72 : 8 9 (шт.) — количество гирь по 5 кг; 4) 24 – 9 15 (шт.) — количество гирь по 3 кг. на одной чаше весов находится 9 гирь массой по 5 кг, а на другой — 15 гирь массой по 3 кг. 561. а) 1

563. 564.

565.

б) 5

5 1 1 +2 =7 ; 8 8 2

8 6 20 1 7 г) 2 + 3 = 6. +2 =5 ; 32 8 32 4 8 2) Не существует треугольника со сторонами 2 см, 3 см и 5 см, потому что 2 см + 3 см 5 см, то есть вместо треугольника мы получим отрезок длиной 5 см, разделенный на две части длиной 2 см и 3 см. От 4 см до 14 см, не включая 4 см и 14 см, например, 4 см 2 мм, или 10 см, или 13 см 9 см и т. д. — Если a 8, b 7, c 12, то 12 < 8 + 7; 7 < 12 + 8. Значит, треугольник со сторонами a 8, b 7, c 12 существует; — если a 3, b 14, c 10, то 3 < 14 + 10; 14 > 3 + 10; 10 < 3 + 14; 14 < 3 + 10; значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 5, b 11, c 9, то 5 < 11 + 9; 9 < 5 + 11; 11 < 5 + 9, значит, треугольник с данными сторонами существует; — если a 21, b 6, c 13, то 21 > 6 + 13; 6 < 21 + 13; 13 < 21 + 6; 21 > 6 + 13, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 11, b 21, c 10, то 11 < 21 + 10; 21 11 + 10; 10 < 21 + 11; 21 11 + 10, значит, треугольник с данными сторонами не существует; — если a 10, b 22, c 11, то 22 > 10 + 11; 10 < 22 + 11; 11 < 10 + 22; 22 > 10 + 11, значит, треугольник с данными сторонами не существует. а) нельзя, так как 10 см + 10 см < 30 см; б) можно, так как 30 см + 40 см > 50 см, 40 см + 50 см > 30 см, 50 см + 30 см > 40 см; в) можно, так как 8 см 8 мм + 29 см 12 мм > 21 см 5 мм, 8 см 8 мм + 21 см 5 мм > 29 см 12 мм, 29 см 12 мм + 21 см 5 мм > > 8 см 8 мм; г) нельзя, так как 238 см 7 мм + 432 см 6 мм 691 см 3 мм, 671 см 3 мм < 781 см 4 мм. в) 3

562.

1 2 3 + =1 ; 4 4 4

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

431

Контрольные задания 1. Угольник с углами 90 , 60 , 30 и угольник с углами 90 , 45 , 45 . 2. 75 ! 45 + 30 ; 135 ! 90 + 45 ; угол 25 при помощи угольника построить нельзя. 3. Прямоугольным называют треугольник, в котором есть прямой угол. Тупоугольным называют треугольник, в котором есть тупой угол. Остроугольным называют треугольник, в котором все углы острые.

прямоугольный тупоугольный остроугольный 4. P"ABC ! AB + BC + AC; P"ABC ! 1 см 6 мм + 2 см 1 мм + 2 см 7 мм ! 6 см 4 мм.

§ 32. Площадь треугольника 566. Чтобы найти площадь треугольника АВС, нужно найти половину площади прямоугольника ABCD. 567. а) SABCD ! AB # AD; SABCD ! 10 мм # 26 мм ! 260 мм2; S"ABD ! 260 : 2 ! 130 (мм2); б) S"ADC ! SABCD : 2 ! (AD # DC) : 2 ! (26 # 15) : 2 ! 390 : 2 ! 195 (мм2); в) S"ABD ! SABCD : 2 ! (AB # AD) : 2 ! (13 # 34) : 2 ! 442 : 2 ! 221 (мм2); г) S"ABC ! SABCD : 2 ! (AB # BC) : 2 ! (27 # 26) : 2 ! 702 : 2 ! 351 (мм2). 568. S"ABC ! S"ABD + S"BDC ! (AD # BD) : 2 + (DC # BD) : 2 ! (AD # BD # DC # BD) : 2 ! !$(BD # (AD + BC)) : 2 ! (BD # AC) : 2. Значит, S"ABC ! (BD # AC) : 2. 569. а) (15 # 20) : 2 ! 150 (мм2); б) (22 # 19) : 2 ! 418 : 2 ! 209 (мм2); в) (18 # 23) : 2 ! 414 : 2 ! 207 (мм2); г) (21 # 22 ) : 2 ! 462 : 2 ! 231 (мм2). 571. а) S"ADC ! (16 # 27) : 2 ! 216 (мм2); б) S"MNK ! )19 « 20) : 2 ! 190 (мм2); в) S"ABC ! (16 # 25) : 2 ! 200 (мм2); г) S"MNK ! (18 # 21) : 2 ! 189 (мм2). 572. а) Третья сторона треугольника может быть меньше 23 см, но больше 9 см; б) третья сторона треугольника может быть меньше 69 см 3 мм, но больше 25 см 9 мм; в) третья сторона треугольника может быть меньше 17 см, но больше 7 см; г) третья сторона треугольника может быть меньше 10 см 1 мм, но больше 5 см 5 мм. 573. а) 8 см (4 см нельзя взять, потому что тогда 4 + 4 ! 8 (см), то есть треугольник со сторонами 4 см, 4 см и 8 см не существует). б) 13 см (так как 6 + 6 < 13); в) 37 см (так как 18 см 4 мм + 18 см 4 мм < 37 см); г) 23 см 4 мм (так как 11 см 7 мм + 11 см 7 мм ! 23 см 4 мм).

432

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

574. Расстояние между точками А и С может быть больше 18 см, но меньше 30 см. Тогда расстояние между точками А и D может быть больше 12 см, но меньше 36 см.

24 см

B 6 см

7 см

А D

575. а) Точка K не лежит на отрезке MN, то есть точки K, M, N — вершины MNK, так как: KM < MN + KN (23 см < 75 см + 57 см); MN < KM + KM (75 см < 23 см + 57 см); KN < KM + MN (57 см < 23 см + 75 см).

23 см

M 57 см

75 см N

б) Точка М лежит на отрезке KN, так как KM + MN ! KN (49 см + 37 см ! !"86 см). 576. а) Конфеты I сорта Конфеты II сорта

49 см

37 см

86 см

Цена 1 кг Количество Стоимость 96 р. 40 кг (40 # 96) р. 78 р. ? кг ? р.

}

6570 ð.

Решение. 96 1) × 40 3840 (р.) — стоят 40 кг конфет I сорта; 2)

−

6570 3840 2730 (р.) — стоят конфеты II сорта;

2730 78 234 35 (кг) — купили конфет II сорта. 390 − 390 0 Ответ: было куплено 35 кг более дешевых конфет. −

б) vа ! 105 км/ч, tа ! 2 мин + 10 мин a

Sa vм ! 210 км/ч tм ! 10 мин Sм

vм ! 15 км/ч m

433

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

vа скорость автомобиля; tа время автомобиля; vм скорость мотоциклиста; tм время мотоциклиста. Решение. 2 10 ÷; 10 ìèí = ÷; 60 60 12 1 ÷ = ÷; 2 ìèí + 10 ìèí = 12 ìèí = 60 5 1 105 ⋅ 1 = 21 (км) — путь автомобиля до разворота 2) 105 ⋅ = 5 5 мотоциклиста;

1) 2 ìèí =

10 210 ⋅ 1 70 = = = 35 (км) — пусть мотоциклиста до его 60 6 2 разворота; 4) 105 + 15 120 (км/ч) — общая скорость мотоциклиста и автомобиля при движении их навстречу друг друга; 5) 35 – 21 14 (км) — разница пути, пройденного мотоциклистом за 10 мин, а автомобилем за 12 мин;

3) 210 ⋅

14 7 = ÷ = 7 ìèí. 120 60 Ответ: через 7 мин после разворота инспектор повстречает «Оку». 577. а) 395 ! 52 – 603 ! 25 – 960 : 24 5425; 603 395 1) 3) 960 24 2) − × × 96 40 25 52 6) 14 : 120 =

790 1975

−

20540 15075 5465

−

5465 40 5425

б) 256 407 – 33 087 : 298 ! 104 081; 256 2) 33078 298 1) − × 298 407 111 1792 + 1024 104192

15075

20540 4)

3015 1206

−

104192 111 104081

327 289

−

298 298 0

434

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

3 1 11 8 11 − 8 − = = = ; 15 15 5 15 15 15 9 15 + 9 24 6 г) + = = = . 28 28 28 28 7

3 5 3+5 8 1 + = = = ; 16 16 16 16 2 23 18 23 − 18 5 1 в) − = = = ; 25 25 25 25 5

578. а)

б)

Контрольные задания 1. а) S б) S

(15 ! 32) : 2 (15 ! 38) : 2

240 (мм2); 285 (мм2).

§ 33. Свойства углов треугольника 580. Если один из острых углов прямоугольного треугольника равен а", то второй — (90" – а"). Тогда острые углы прямоугольного треугольника будут равны: 42" и 90" – 42" 48"; 87" и 90" – 87" 3"; 62" и 90" – 62" 28"; 21" и 90" – 21" 69"; 51" и 90" – 51" 39"; 30" и 90" – 30" 60"; 45" и 90" – 45" 45". Поэтому бîльший острый угол прямоугольного треугольника равен: 48", 87", 62", 69", 51", 60", 45". 582. #А

28"

180" – (40" + + 78") 62"

65"

136"

#В

39"

40"

180" – (65" + + 25") 90"

44"

Вид

180" – (28" + 78" + 39") 113" тупоугольный остроугольный

#А

180" – (128" + + 54") 2"

109"

38"

180" – (43" + + 59") 78"

#В

128"

180" – (109" + + 90") 62"

76"

43"

#С

54"

90"

#С

Вид

тупоугольный остроугольный

583. #А 70", #С 30", #В 80" #А + #В + #С 180", действительно 70" + 30" + 80"

25" прямоугольный

180" – (38" + + 76") 66" прямоугольный

180" – (136" + + 44") 0" не существует

59" не существует B

180". A

584. #Р 140", #K 23", #M 17" #M + #P + #K 180", действительно, 140" + 23" + 17"

180".

K P

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

435

585. 180 – 2 ! 25 " 180 – 50 " 130 . Ответ: величина третьего угла треугольника равна 130 . 586. 1) 180 – 68 " 112 — сумма двух равных углов; 2) 112 : 2 " 56 . Ответ: искомые углы равны по 56 . 587. #N — ? в 2 раза <, чем 3 раза <, чем   #N — ?  180° #K — ?  Решение. Обозначим #M " x . тогда #N " 2x , #K " 3x . Известно, что #M + #N + #K " 180 . Составим уравнение: x + 2x + 3x " 180; 6x " 180; x " 30. Значит, #M " 30 , #N " 2 ! 30 " 60 , #K " 3 ! 30 " 90 . Ответ: #M " 30 . #N " 60 , #K " 90 .  на 28 <, чем 588. Первый угол — ? в 2 раза <, чем   180° Второй угол — ?  Третий угол — ? Решение. 1 способ — арифметический 1) 180 – 28 " 152 — сумма четырех равных углов; 2) 152 : 4 " 38 — величина первого угла — меньшего; 3) 38 ! 2 " 76 — величина второго угла; 4) 38 + 28 " 66 — величина третьего угла. Ответ: первый угол равен 38 , второй — 86 , третий — 66 . 2 способ — алгебраический Обозначим первый угол х , тогда второй — 2х , третий — (х + 28) . Сумма всех углов треугольника 180 , составим уравнение: x + 2x + x + 28 " 180; 4x + 28 " 180; 4x " 180 – 28; 4x " 152; x " 38. При х " 38 2х " 2 ! 38 " 76 ; при х " 38 х + 28 " 38 + 28 " 66 . Ответ: первый угол равен 38 , второй — 76 , третий — 66 . 589. #С " 180 – (#А + #В); #С " 180 – (45 + 70 ) N M " "$180 – 115 " 65 . C Ответ: 65 .

45 °

70 ° B

A P

590.

#Р " 180 – (80 + 30 ) " 180 – 110 " 70 . С данными углами можно начертить бесконечно много треугольников (их стороны будут различны).

80 °

30 °

436

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

591. а) Если A ! C ! 60", то B ! 180" – 2 # 60" ! 180" – 120" ! 60". Значит, в $АВС все углы по 60", и все стороны равны. B

60 °

б)

60 °

D ! 180" – (55" + 70") ! 55". Значит, в $CDE углы С и D равны по 55", и CE ! DE. D

70 °

55 °

592.

5 см

594.

С ! 50";

593.

1) АВС ! 100"; 2) ВА ! 6 см, ВС ! 4 см; 3) АС; 4) АС ! 7 см 8 мм, А ! 30", 5) A + B + C ! 180".

70 °

K 7 см

B C A

DE ! 5 см, EK ! 7 см, DEK ! 70". Вывод: чтобы построить треугольник по двум его сторонам и углу между ними, нужно: 1) построить данный угол; 2) на его сторонах отложить отрезки, равные данным сторонам треугольника; 3) соединить полученные на сторонах угла точки отрезком. BAC + CAD + BAC + BCA + Поэтому

B + BCA ! 180"; D + ACD ! 180"; DAC ! A; DCA ! C. A + B + C + D ! 360".

437

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

595. а) 32 15 ! 32 (10 + 5) ! 32 10 + 32 5 ! 320 + 160 ! 480; 48 15 ! 48 (10 + 5) ! 48 10 + 48 5 ! 480 + 240 ! 720; 86 15 ! (80 + 6) 15 ! 80 15 + 6 15 ! 1200 + 90 ! 1290; б) 24 250 ! (20 + 4) 250 ! 20 250 + 4 250 ! 5000 + 1000 ! 6000; 48 250 ! (40 + 8) 250 ! 40 250 + 8 250 ! 10 000 + 2000 ! 12 000; 36 250 ! (30 + 6) 250 ! 30 250 + 6 250 ! 7500 + 1500 ! 9000; в) 1200 : 50 ! 24; 1600 : 50 ! 32; 4500 : 50 ! 90; г) 1600 : 25 ! 16 (100 : 24) ! 16 4 ! 64; 2400 : 25 ! 24 (100 : 25) ! 24 4 ! 96; 1700 : 25 ! 17 (100 : 25) ! 17 4 ! 68. 596. а) б)

4⋅2 8 4 4 4 4 2 ⋅2 = = ; :2 = = = ; 15 15 15 15 ⋅ 2 30 15 15 4 4 4 4 ⋅ 3 12 4 4 :3 = = ; ⋅3 = = = ; 15 15 15 5 15 15 ⋅ 3 45

10 1 10 10 10 ⋅ 7 70 10 10 :7 = = . ⋅7 = = = =3 ; 21 21 3 3 21 21 21 ⋅ 7 147 597. а) 128 430 + 675 – 34 125 : 375 + 6795 ! 62 419; в)

128 430

384 + 512

−

34125 375 3375 91 −

55040 4)

−

375 375 0

55715 5) 55624 + 6795 91

62419 55624 б) 712 398 : 3209 – 189 + 15 631 : 203 ! 110; 1)

−

712398 3209 2) 15631 203 − 6418 1421 77 222 −

7059 6418

−

6418 6418

0 3)

−

222 189 33

1421 1421

77 33

110

55040 675 55715

438

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

598.

а)

б)

в)

г)

599.

а)

б)

600. Площадь фигуры на рисунке 1) меньше площадей фигур на рисунках 2) и 3); а площади фигур на рисунках 2) и 3) равны. Равные периметры имеют фигуры на рисунках 1) и 2); периметр фигуры на рисунке 3) меньше периметров фигура на рисунках 1) и 2). 601. 1) (60 2) : (90 – 60) ! 120 : 30 ! 4 (ч). Ответ: токарь догонит ученика через 4 ч по количеству изготовленных деталей. 2) (60 2) : (90 – 60) ! 120 : 30 ! 4 (ч). Ответ: автобусу потребуется 4 ч, чтобы догнать грузовик. При решении задач получены одинаковые выражения, значит, ситуации, данные в этих двух задачах, описываются одинаковыми математическими моделями.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

439

602. а) 3 (17 – 13) ! 3 4 ! 12 (пл.). Ответ: за три часа работы первая швея обработает на 12 платьев больше, чем вторая. б) Скорость одного мотоциклиста 17 км/ч, а второй за 1 час проезжает 13 км. На сколько километров больше преодолеет первый мотоциклист, чем второй за 3 ч?

Контрольные задания 1. "АВС — прямоугольный, "DEF — остроугольный, "MNK — тупоугольный. 2. Сумма углов треугольника равна 180#. 3. $A ! 180# – ($B + $C) ! 180# – (45# + 34#) ! 180# – 79# ! 101#.

§ 34. Расстояние между двумя точками. Масштаб 604. 1)

Описание маршрута От подъезда Кости до входа в школу От подъезда Насти до входа в школу От подъезда Кости до подъезда Насти

Длина маршрута 9 см 9 мм 2000 ! !%19 800 см ! 198 м 8 см 2 мм 2000 ! !%16 400 см ! 164 м 7 см 5 мм 2000 ! !%15 000 см ! 150 м

Расстояние 6 см 2000 ! 12 000 см !% ! 120 м 5 см 5 мм 2000 ! !%11 000 см ! 110 м 4 см 7 мм 2000 ! !%9400 см ! 94 м

2) В каждом случае длина маршрута больше, чем расстояние. 605. 1 способ — арифметический 1) 8 15 ! 120 (мест) — дополнительные места в 8 автобусах; 2) 360 – 120 ! 240 (мест) — в поданых 8 автобусах; 3) 240 : 8 ! 30 (мест) — в одном автобусе. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 2 способ — алгебраический Пусть в каждом из поданых автобусов было по х мест. Тогда в каждом автобусе могло быть по (х + 15) мест, а в 8 автобусах вместе — 8 (х + 15) мест. По условию в таких автобусах могло бы разместиться 360 человек. Составим уравнение: 8(x + 15) ! 360; x + 15 ! 360 : 8; x + 15 ! 45; x ! 45 – 15; x ! 30. Ответ: в каждом из поданых автобусов было по 30 мест. 606. 1) 1872 − 1440 432 (р.) — разница стоимости сельди в бочонках; 2)

−

432 12 36 36 (р.) — цена 1 кг сельди;

−

72 72 0

440

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

−

1440 36 144 40 (кг) — масса сельди в одном бочонке;

0 4) 40 + 12 52 (кг) — масса сельди в другом бочонке. Ответ: в первом бочонке — 40 кг сельди, а во втором — 52 кг. 607. а) 1) 12 + 6 18 (м) — можно было бы купить ткани; 2) 18 ! 2 36 (р.) — стоят 6 м ткани; 3) 36 : 6 6 (р.) — стоит 1 м ткани. Ответ: цена 1 м ткани равняется 6 р. б) (x – 2) р. — новая цена ткани; (12х) р. или 18 ! (х – 2) р. Получим уравнение: 12x 18(x – 2). При x 6 12x 12 ! 6 72 (р.); 18(x – 2) 18 ! (6 – 2) 18 ! 4 72 (р.); 72 72.

Контрольные задания Чтобы найти расстояние между двумя точками, нужно провести отрезок прямой с концами в этих точках.

§ 35. Расстояние от точки до прямой. Перпендикулярные прямые 609. Н. 16 ! 2 – 32 0; К. 18 – 51 : 3 18 – 17 1; Л. 36 : 2 – 48 : 2 18 – 16 2; И. 17 ! 3 – 24 ! 2 51 – 48 3; Р. 35 ! 2 – 7 ! 9 70 – 63 7; Е. (28 + 26) : 6 54 : 6 9; Д. 14 ! 3 – 111 : 3 42 – 37 5; Я. 103 ! 2 – 99 ! 2 206 – 198 8; П. 72 – 17 ! 4 72 – 68 4; У. 16 ! 4 – 116 : 2 64 – 58 6. 4 П

9 Е

7 Р

4 П

9 Е

610. AD "#a; BE " a. 612.

5 Д

3 И

1 К

6 У

2 Л

8 Я

7 Р

AN " AB, AN 1 см 2 мм; NK " BC, NK 1 см 4 мм. AN и NK — расстояние от точки N до сторон угла АВ и ВС соответственно.

0 Н

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

613. A

а) KN AB, KN ! 2 см; KM BC, KM ! 2 см. KN — расстояние от точки K до стороны угла АВ. KM — расстояние от точки K до стороны ВС.

441

б) Нужно опустить перпендикуляр из этой точки на продолжение луча. D 614. 1) AK a; 2) BD c. A

a K

616. а) 1) 11 " 21 ! 231 (р.); 2) 9 " 21 ! 189 (р.); 3) 231 – 189 ! 42 (р.); 4) 16 – 9 ! 7 (р.); 5) 42 : 7 ! 6 (кг); 6) 21 – 6 ! 15 (кг). Ответ: по цене 16 р. за 1 кг нужно взять 6 кг карамели, а по цене 9 р. за 1 кг — 15 кг. б) 1) 19 " 32 ! 288 (р.); 2) 11 р. 40 коп. " 32 ! 364 р. 80 коп.; 3) 364 р. 80 коп. – 288 р. ! 76 р. 80 коп.; 4) 11 р. 40 коп. – 5 р. ! 6 р. 40 коп.; 5) 76 р. 80 коп. : 6 р. 40 коп. ! 12 (мотков); 6) 32 – 12 ! 20 (мотков). Ответ: было приобретено 12 мотков по цене 5 р. и 20 мотков по цене 11 р. 40 коп. 617. а) б) в) г) 618. 1) 2) 3) 4)

7 1 7 4 7 + 4 11 + = + = = ; 16 4 16 16 16 16 25 2 25 8 25 − 8 17 − = − = = ; 36 36 36 9 36 36 5 11 15 11 15 − 11 4 − = − = = ; 7 21 21 21 21 21 1 5 3 5 3+5 8 4 + = + = = = . 6 18 18 18 18 18 9 17 " 3000 ! 51 000 (л); 51 000 + 20 000 ! 71 000 (д); 400 + 800 ! 1200 (л); 1200 " 17 ! 20 400 (л);

442

2002–2011 гг.

"#$%"#$&'#

5) 71 000 – 20 000 50 600 (л). Ответ: насосы успеют откачать воду из трюма, потому что через 17 мин в нем будет 50 600 л воды, а судно может затонуть, если объем воды в трюме превысит 80 000 л.

Контрольные задания 1. OB ! b. 2.

CK ! a. C

AM ! m.

§ 36. Серединный перпендикуляр 619. а) AB > BC; б) AB BC; в) AB BC; г) AB BC. 623. 1) 2 " 11 22 (ноги); 2) 30 – 22 #8 (ног); 3) 8 : 2 4 (порос.); 4) 11 – 4 7 (петух.). Ответ: по тропинке шло 7 петухов и 4 поросенка. 624. 10 р. + 10 р. : 2 10 р. + 5 р. 15 р. Ответ: 15 р. стоит книга. 625. а) 1 способ — арифметический 1) 115 – 25 90 (кг); 2) 90 : 2 45 (кг); 3) 45 + 25 70 (кг). Ответ: в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. 2 способ — алгебраический Пусть в одном мешке было х кг моркови, тогда в другом мешке — (х + 25) кг. Так как в двух мешках было 115 кг моркови, составим уравнение: x + x + 25 115; 2x + 25 115; 2x 115 – 25; 2x 90; x 90 : 2; x 45. Пусть х 45, х + 25 45 + 25 70 (кг). Ответ: : в одном мешке было 45 кг моркови, а в другом — 70 кг. б) 1 способ — арифметический 1) 98 – 18 80 (м); 2) 80 : 2 40 (м);

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

443

3) 40 + 18 58 (м). 2 способ — алгебраический Пусть длина части сетки — х м, тогда длина второй части — (х + + 18) м. Так как длина всей сетки 98 м, составим уравнение: x + x + 18 98; 2x 98 – 18; 2x 80; x 80 : 2; x 40. При х 40, 40 + 18 58 (м). Ответ: сетку-рабицу разрезали на две части длиной 40 м и 58 м. 1 3 5 6 5 + 6 11 + = + = = ; 4 10 20 20 20 20 3 1 18 5 13 б) − = − = ; 5 6 30 30 30 7 2 21 4 17 в) − = − = ; 10 15 30 30 30 5 3 10 9 19 г) + = + = . 12 8 24 24 24 Пусть задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 3x + 15 177; 3x 177 – 15; 3x 162; x 165 : 3; x 54. Ответ: было задумано число 54. Обозначим задуманное число х, тогда по условию задачи составим уравнение: 2x – 48 244; 2x 244 + 48; 2x 292; x 292 : 2; x 146. Ответ: задумали число 146. Обозначим искомое число х, тогда по условию задачи составим уравнение: x : 10 + 99 126; x : 10 126 – 99; x : 10 27; x 27 ! 10; x 270. Ответ: искомое число — 270. Пусть во второй фляге было х л молока, тогда в первой — 3х л. По условию задачи составим уравнение: 3x – 15 – (x + 15) 0; 3x – 15 – x – 15 0; 3x – x – 30 0; 2x 30; x 15. При х 15, 3х 3 ! 15 45 (л). Ответ: в первой фляге было 45 л молока, а во второй — 15 л. 15 коробок по 14 конфет и 14 коробок по 15 конфет.

626. а)

627.

628.

629.

630.

631.

§ 37. Свойство биссектрисы угла 633. O

а) Точка О на рис. а) равноудалена от сторон квадрата и расположена на биссектрисе его углов (в точке их пересечения).

б) Точка О на рис. б) равноудалена от сторон треугольника и расположена на биссектрисе его угла (т. О — точка пересечения биссектрис углов треугольника).

444

2002–2011 гг.

!"#$!"#%&"

634. Нет. 635. Маша и Саша должны стоять внутри этого треугольника в точке пересечения биссектрис его углов.

636. 1 способ — алгебраический Пусть гараж стоит х р., тогда стоимость автомобиля — (2х + 97 300) р. Так как автомобиль и гараж вместе стоят 355 600 р., составим уравнение: x + 2x + 97 300 355 600; 3x 355 600 – 97 300; 3x 258 300; x 258 300 : 3; x 86 100. При х 86 100, 355 600 – х 355 600 – 86 100 269 500 (р.). Ответ: автомобиль стоит 269 500 р. 2 способ — арифметический 1) 355 600 – 97 300 258 300 (р.); 2) 258 300 : 3 86 100 (р.); 3) 355 600 – 86 100 269 500 (р.). 637. 1 способ — арифметический 1) 22 – 14 8 (м) — разница отрезанных кусов ткани; 2) 8 : 2 4 (м) — длина одной из оставшихся частей ткани; 3) 4 + 22 26 (м) — первоначальная длина ткани в куске. 2 способ — алгебраический Подставим полученное в 1 способе решение в это уравнение: 26 – 14 3 ! (26 – 22); 12 3 ! 4; 12 12. Получим верное равенство. Значит, х 26 является решением данного уравнения. Ответ: в каждом куске первоначально было 26 м ткани. 638. 1 способ — арифметический 1) 112 – 10 102 (р.); 2) 102 : 2 51 (р.); 3) 51 – 14 37 (р.); 4) 112 – 37 75 (р.). 2 способ — алгебраический Пусть у старшего брата было х р., тогда у младшего — (112 – х) р. По условию задачи составим уравнение: x – 14 – 10 112 – x + 14; x – 24 126 – x. Подставим полученное в 1 способе решение х 75 в это уравнение: 75 – 24 126 – 75; 51 51 — верное равенство. Значит, х 75 — решение данного уравнения. При х 75, 112 – 75 37 (р.). Ответ: у младшего брата было первоначально 37 р., а у старшего — 75 р. 639. 1 способ — арифметический 1) 3560 – 920 2640 (т); 2) 2640 : 2 1320 (т); 3) 1320 – 60 1260 (т);

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

445

4) 3560 – 1260 2300 (т). 2 способ — алгебраический Пусть у второго предприятия было х т удобрений, тогда у первого — (3560 – х) т. По условию задачи составим уравнение: (3560 – x) – 60 x + 60 + 920; 3500 – x x + 980. Подставим в это уравнение х 1260. 3500 – 1260 1260 + 980; 2240 2240 — верное равенство. Значит, х 1260 является решением данного уравнения. При х 1260, 3560 – 1260 2300 (т). Ответ: на первом предприятии было 2300 т удобрений первоначально, а на втором — 1260 т. 24 3 32 1 б) = ; = . 64 8 64 2 641. Длина встречного поезда 300 м. 640. а)

Контрольные задания 1. Точки биссектрисы угла равноудалены от сторон этого угла. 2. BD 4 см, !ABC 60", BD — биссектриса A !АВС. M DM # AB, DK # BC. DM, DK — расстояние от точки D до D сторон угла. DM DK 2 см. B

ГЛАВА IV. ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ § 38. Понятие десятичной дроби. Чтение и запись десятичных дробей 643. 34,6 (тридцать четыре целых шесть десятых); 30,46 (тридцать целых шесть сотых); 33, 046 (тридцать три целых сорок шесть тысячных); 0,346 (ноль целых триста сорок шесть тысячных); 0,0346 (ноль целых триста сорок шесть десятитысячных); 30,406 (тридцать целых четыреста шесть тысячных); 0,0046 (ноль целых сорок шесть десятитысячных).

446

644.

2002–2011 гг.

"#$%"#$&'#

Десятки Единицы Десятые Сотые Тысячные Десятитысячные 20,0002 2 0 0 0 0 2 30,7090 3 0 7 0 9 0 82,4 8 2 4 82,40 8 2 4 0 82,400 8 2 4 0 0 0

двадцать целых две десятитысячных; тридцать целых семьсот девять тысячных (или тридцать целых семь тысяч девяносто десятитысячных); восемьдесят две целые четыре десятых; восемьдесят две целые сорок сотых; восемьдесят две целые четыреста тысячных. Последние три числа равны. Нули, которыми оканчиваются десятичные дроби, можно отбросить. 87 67 4 38 1 4 ; ; ; ; ; 5 ; 100 3 53 100 10 1000 десятичные дроби: 5,87; 0,5; 0,025; 0,07;

547. а) обыкновенные дроби:

65 3 7 79 6 8 ; ; ; ; ; 78 ; 1000 10 000 4 25 100 10 десятичные дроби: 78,056; 0,24; 0,3; 0,005.

б) обыкновенные дроби:

648. а) 0, 68 = б) 7, 5 = 7

68 3 206 ; 0, 03 = ; 0, 206 = ; 100 100 1000 5 5 64 ; 4, 05 = 4 ; 3, 64 = 3 ; 10 100 100

в) 0, 007 =

7 21 5 1 ; 0, 0021 = ; 0, 0005 = = ; 1000 10 000 10 000 2000

г) 45, 0471 = 45 649. а) б)

27 471 54 = 302 . ; 302, 0054 = 302 5000 10 000 10 000

4 78 8 253 = 0, 78; = 0, 08; = 0, 253; = 0, 4; 10 100 100 1000 52 9 798 = 0, 052; = 0, 009; = 0, 0798; 1000 1000 10 000 45 = 0, 0045. 10 000

650. а) 6

8 49 3 74 = 6, 8; 7 = 7, 49; 8 = 8, 03; 52 = 52, 074; 10 100 100 1000

б) 245

245 5 8752 = 65, 8752; = 245, 245; 55 = 55, 005; 65 1000 1000 10 000

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

6 98 547 26 798 1547 =2 = 2, 6; =7 = 7, 98; =1 = 1, 547; 10 100 1000 10 100 1000 605 9605 =9 = 9, 605; 1000 1000 5 156 12 408 8 г) = 15 = 15, 6; = 124 = 124, 08; 10 10 100 100 1 15 001 28 000 = 28. = 15 = 15, 001; 1000 1000 1000 1 1 ⋅ 25 25 а) = = = 0, 25; 4 4 ⋅ 25 100 3 3 ⋅ 25 75 б) = = 0, 75; = 4 4 ⋅ 25 100 1 1⋅5 5 в) = = = 0, 05; 20 20 ⋅ 5 100 1 нельзя представить в виде десятичной дроби. г) 17 Пусть ватное одеяло стоит х р., тогда шерстяное — 2х р. По условию задачи составим уравнение: 36 x + 2x 32 ! 32 000; 36x + 64x ! 32 000; 100x ! 32 000; x ! 32 000 : 100; x ! 320. При х ! 320, 2х ! 2 320 ! 640 (р.). Ответ: ватное одеяло стоит 320 р., а шерстяное — 640 р. Пусть было приобретено х столов, тогда приобрели 4х стульев. За х столов заплатили (2850 х) р., а за 4х стульев — (1350 4х) р. Так как за всю покупку заплатили 123 750 р., составим уравнение: 1350 4x + 2850x ! 123 750; 5400x + 2850x ! 123 750; 8250x ! 123 750; x ! 123 750 : 8250; x ! 15. При х ! 15, 4х ! 4 15 ! 60 (столов). Ответ: было приобретено 15 столов и 60 стульев. а) (246 535 + 367 129) : 1208 ! 508; 2) 613664 1208 1) 246535 − + 6040 367129 508 в)

652.

653.

654.

655.

447

613664

−

9664 9664 0

б) 917 180 : (4321 – 2805) ! 605; 2) 917180 1516 1) 4321 − − 9096 2805 605 1516 −

7580 7580 0

448

2002–2011 гг.

в) 805 009 – 608 040 : 563 1) 608040 563 − 563 1080 −

"#$%"#$&'#

803 929; 2) 805009 − 1080 803929

4504 4504 0

г) 503 440 : 248 + 48 752 50 782; 1) 503440 248 2) 48752 + − 2030 496 2030 −

744 744

50782

Контрольные задания 1. 6,43 — шесть целых сорок три сотых; сотые — младший разряд дроби; 0,0076 — ноль целых семьдесят шесть десятитысячных; десятитысячные; 35,07 — тридцать пять целых семь сотых; сотые; 0,035 — ноль целых тридцать пять тысячных; тысячные. 6 9 = 0, 009. = 0, 6; 10 1000 4 2 6 3 3. 0, 4 = = ; 0, 06 = = . 10 5 100 50 2.

§ 39. Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т. д. 656. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 35,82 — тридцать пять целых восемьдесят две сотые; 3,582 ! 10 35,82. 657. 3,582 — три целые пятьсот восемьдесят две тысячные; 358,2 — триста пятьдесят восемь целых две десятых; 5,7364 — пять целых семь тысяч триста шестьдесят четыре десятитысячных; 5736,4 — пять тысяч семьсот тридцать шесть целых четыре десятых; 0,1954 — ноль целых тысяча девятьсот пятьдесят четыре десятитысячных;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

658.

659.

660. 661. 662.

663.

664. 665. 666.

667.

668.

669.

670.

449

1954 — тысяча девятьсот пятьдесят четыре. 3,582 100 ! 358,2; 5,7364 1000 ! 5736,4; 0,1954 10 000 ! 1954. 176,2 — сто семьдесят шесть целых две десятых; 17,62 — семнадцать целых шестьдесят две сотых; 176,2 : 10 ! 17,62. 275,2 — двести семьдесят пять целых две десятых; 2,752 — две целых семьсот пятьдесят две тысячных; 205,93 — двести пять целых девяносто три сотых; 2,0593 — две целых пятьсот девяносто три десятитысячных; 6817,3 — шесть тысяч восемьсот семнадцать целых три десятых; 6,8173 — шесть целых восемь тысяч сто семьдесят три десятитысячные. 275,2 : 100 ! 2,752; 205,93 : 100 ! 2,0593; 6817,3 : 1000 ! 6,8173. 65,7 10 ! 657 (р.) — стоимость 10 м ситца; 65,7 100 ! 6570 (р.) — стоимость 100 м ситца. 388 : 10 ! 38,8 (р.) — цена 1 кг печенья. а) 27,67 10 ! 267,7; б) 38,6 : 100 ! 0,386; в) 0,678 1000 ! 678; г) 6,32 : 10 000 ! 0,000632; д) 23,7 100 ! 2370; е) 4,72 : 1000 ! 0,00472. а) 43,26 : 10 ! 4,326; б) 36,32 100 ! 3632; в) 5,009 : 1000 ! 0,005009; г) 0,008 10 000 ! 80; д) 864 : 100 ! 8,64; е) 0,02 1000 ! 20. а) 7,42 100 ! 742; б) 0,35 10 ! 3,5; в) 941,3 : 1000 ! 0,9423; г) 265 039,32 : 10 000 ! 26,503932. а) 245,3 100 ! 24530; б) 0,26 : 10 ! 0,026; в) 0,427 : 1000 ! 0,000427; г) 0,0068 10 000 ! 68. а) x ! 48,5 : 10; x ! 4,85; б) x ! 0,372 : 10; x ! 0,0372; в) x ! 0,62 : 100; x ! 0,0062; г) x ! 3267,39 : 1000; x ! 3,26739; д) x ! 33 : 10; x ! 3,3; 5 е) x ! 5 : 100; x = = 0, 05. 100 а) x ! 26,5 : 100; x ! 0,265; б) x ! 8,67 : 1000; x ! 0,00867; в) x ! 0,0045 : 100; x ! 0,000045; г) x ! 0,34 : 1000; x ! 0,00034; д) x ! 72 : 1000; x ! 0,072; е) x ! 0,38 : 10; x ! 0,039. а) x ! 68,23 10; x ! 682,3; б) x ! 0,02 10; x ! 0,2; в) x ! 34,2 100; x ! 3420; г) x ! 0,0047 1000; x ! 4,7. а) x ! 5,43 100; x ! 543; б) x ! 0,765 100; x ! 76,5; в) x ! 3,749 1000; x ! 3749; г) x ! 3,6 1000; x ! 3600. 0,059 10 ! 0,59 (км); — пройдет Ирина за 10 мин; 0,059 100 ! 5,9 (км) — пройдет Ирина за 100 мин.

450

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

671. 0,53 : 10 0,053 (м/мин) — скорость движения улитки; 0,53 м 53 см; 53 : 10 5,3 (м/мин). 12 2 672. = . 18 3 673. 1) 1170 : 15 78 (км) — проезжает велосипедист ежедневно; 2) 78 : 6 13 (км/ч) — скорость велосипедиста; 3) 416 : 4 104 (км) — должен проезжать турист за 1 день; 4) 104 : 13 8 (ч). Ответ: турист должен проводить в движении по 8 ч в день. 674. 1) 45 : 5 9 (раз); 2) 337 ! 9 3033 (дернин). Ответ: для газона необходимо 3033 дернин.

Контрольные задания 1. а) б) в) г)

3,65 ! 10 36.5; 23,2 : 100 0,0232; 7,89 ! 10 000 78 900; 648,25 : 100 6,4825.

§ 40. Перевод величин в другие единицы измерения 675. 1) 45 см 45 ! 10 мм 450 мм; 2,78 см 2,78 ! 10 мм 27,8 мм; 0,24 дм 0,24 ! 100 мм 24 мм; 0,046 м 0,046 ! 1000 мм 46 мм; 2) 0,52 см 0,52 ! 10 мм 5,2 мм; 85,2 дм 85,2 ! 100 мм 8520 мм; 77,098 дм 77,098 ! 100 мм 7709,8 мм; 32,6 м 32,6 ! 1000 мм 32 600 мм. 1 1 1 676. 1) 1 км 1000 м; 1 äì = ì; 1 ñì = ì; 1 ìì = ì; 10 100 1000 2) 3 км 3 ! 1000 м 3000 м; 7 см 7 : 100 м 0,07 м; 6 дм 6 : 10 м 0,6 м; 8 мм 8 : 1000 м 0,008 м; 3) 4 км 4 ! 1000 м 4000 м; 8 см 8 : 100 м 0,08 м; 6 дм 6 : 10 0,6 м; 5 мм 5 : 1000 м 0,005 м; 4) 56 км 56 ! 1000 м 56 000 м; 56 см 56 : 100 м 0,56 м; 12 дм 12 : 10 м 1,2 м; 89 мм 89 : 1000 м 0,089 м. 677. а) 480 км 480 ! 1000 м 480 000 м; 480 дм 480 : 10 м 48 м; 480 м 480 : 100 м 4,8 м; 480 мм 480 : 1000 м 0,48 м; б) 525 км 525 ! 1000 м 525 000 м; 525 см 525 : 100 м 5,25 м; 525 дм 525 : 10 м 52,5 м; 525 мм 525 : 1000 м 0,525 м;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

451

в) 3 км 3000 м; 3 см 0,04 м; 3 дм 0,3 м; 3 мм 0,003 м; г) 67 км 67 000 м; 67 см 0,67 м; 67 дм 6,7 м; 67 мм 0,067 м. 678. а) 4,2 мм 0,0042 м; 9,45 м 0,0054 м; 45,21 дм 4,521 м; 7,2 км 7200 м; б) 0,85 см 0,0085 м; 88,3 дм 8,83 м; 0,054 км 54 м; 0,05 мм !0,00005 м; в) 21,3 дм 2,13 м; 0,48 мм 0,00048 м; 8399,5 см 83,005 м; 8,08 км 8080 м; г) 0,087 км 87 м; 78,32 дм 7,832 м; 0,2 мм 0,0002 м; 6,6 см 0,066 м. 679. а) 1 дм 5 см 15 см 0,15 м; 7 дм 5 см 75 см 0,75 м; 8 см 4 мм 85 мм 0,084 м; 7 см 3 мм 73 мм 0,073 м; б) 32 см 4 мм 324 мм 0,324 м; 2 дм 5 мм 205 мм 0,205 м; 67 см 12 мм 682 мм 0,682 м; 42 дм 7 мм 4207 мм 4,207 м; в) 117 см 5 мм 1175 мм 1,175 м; 80 дм 87 мм 8087 мм 8,087 м; 95 см 2 мм 952 мм 0,952 м; 55 дм 5 мм 5505 мм 5,505 м; г) 230 см 7 мм 2307 мм 2,307 м; 39 дм 15 мм 3915 мм 3,915 м; 2 см 4 мм 24 мм 0,024 м; 41 дм 9 мм 4109 мм 4,109 м. 680. а) 1 га

10 000 м2; 1 ñì2 =

1 ì2 ; 1 км2 1 000 000 м2; 1 000 000 2 3 дм 3 : 100 м2 0,03 м2; 9 см2 9 : 10 000 м2 0,0009 м2; 0,00468 км2 0,00468 " 1 000 000 м2 4680 м2; 4 мм2 4 : 1 000 000 м2 0,000004 м2; 2,1 а 2,1 " 100 м2 210 м2; 8670 мм2 8670 : 1 000 000 м2 0,00867 м2; 0,69 дм2 0,69 : 100 м2 0,0069 м2; 4,8 см2 4,8 : 10 000 м2 0,00048 м2; 0,59 см2 0,59 : 10 000 м2 0,000059 м2; 0,88 дм2 0,88 : 100 м2 0,0088 м2; 4,008 га 4,008 " 10 000 м2 40 080 м2; 0,034 мм2 0,034 : 1 000 000 м2 0,000000034 м2. 42 дм2 42 : 100 м2 0,42 м2; 6578 мм2 6578 : 1 000 000 м2 0,006578 м2; 0,095 км2 0,095 " 1 000 000 м2 95 000 м2; 63 см2 63 : 10 000 м2 0,0063 м2; 423 мм2 423 : 1 000 000 м2 0,000423 м2; 2,3 дм2 2,3 : 100 м2 0,023 м2; 1 ìì2 =

б)

в)

г)

681. а)

б)

1 1 ì2 ; ì2 ; 1 äì2 = 10 000 100

452

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

0,045 см2 0,045 : 10 000 м2 0,0000045 м2; 5,8 км2 5,8 ! 1 000 000 м2 5 800 000 м2; в) 1,008 см2 1,008 : 10 000 м2 0,0001008 м2; 5,07 дм2 5,07 : 100 м2 0,0507 м2; 2,5 а 2,5 ! 100 м2 250 м2; 8,07 мм2 8,07 : 1 000 000 м2 0,00000807 м2; г) 0,005 а 0,005 ! 100 м2 0,5 м2; 44 га 44 ! 10 000 м2 440 000 м2; 0,28 мм2 0,28 : 1 000 000 м2 0,00000028 м2; 4320 см2 4320 : 10 000 м2 0,432 м2. 682. Пусть карамели с черной смородиной было х кг, тогда карамели с клубникой — 3х кг, а с малиной — 6х кг. Так как масса карамели всех сортов — 56 кг, составим уравнение: x + 3x + 6x 56; 10x 56; x 56 : 10; x 5,6. Ответ: масса карамели с черной смородиной равна 5,6 кг. 683. Пусть под овес отведено х га поля, тогда под посевы пшеницы — 4х га, а под просо — 5х га. Так как площадь поля — 365 га, составим уравнение: x + 5x + 4x 365; 10x 365; x 365 : 10; x 36,5. Ответ: под посевы овса отведено 36,5 га поля. 3 1 3 2 + = + 8 4 8 8 2 1 4 1 б) − = − 3 6 6 6 7 1 7 − = − в) 12 2 12 2 2 2 6 г) + = + 9 3 9 9

684. а)

5 ; 8 3 1 = = ; 6 2 6 1 = ; 12 12 8 = . 9 =

Контрольные задания 1. 2,3 мм 2,3 : 1000 м 0,0023 м; 5,04 км 5,04 ! 1000 м 5040 м. 2. 3,6 дм2 3,6 : 100 м2 0,036 м2; 0,45 га 0,45 ! 10 000 м2 4500 м2.

§ 41. Сравнение десятичных дробей 2) 651,0786 < 651,098; 685. 1) 48,326 < 48,5; 3) 52,6 > 52,59. 686. а) 35,87 > 35,8695; б) 23,53 23,530; в) 60,35 < 60,5; г) 0,1200 0,12. 687. а) 2,386 < 2,39; б) 43,7 > 43,696; в) 5,09 < 5,1; г) 0,486 < 0,5. 688. 0,82; 0,8056; 0,7208; 0,7; 0,387; 0,362; 0,25998; 0,25; 0,216958; 0,00489.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

453

689. 0,0057; 0,0964; 0,2; 0,205; 0,21; 0,5125; 0,801; 0,81. 690. а) 0; 1; 2; б) 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; в) 0; г) 0; 1; 2; 3; 4. 691. в) 9; б) 0; 1; в) 0; г) от 0 до 9 включительно. 692. а) 0,017 < 0,1 б) 0,003 < 0,01; в) 0,01 < 0,08 < 0,1; г) 0,001 < 0,007 < 0,01. 693. а) 8,01 < 8,015 < 8,2; б) 10,5 < 10,503 < 10,51; в) 7,2 < 7,24 < 7,3; г) 4,87 < 4,8705 < 4,871. 694. АВ 367 см 367 : 100 м 3,67 м; CD 5698 мм 5698 : 1000 м 5,698 м; EF 79 дм 79 : 10 м 7,9 м; GH 2,8 м. Наибольшую длину имеет отрезок EF. 695. а) AK 3,37 м; BD 57,2 дм 57,2 : 10 м 5,72 м; MK 167,24 см 167,24 : 100 м 1,67245 м; LG 6318 м 6318 : 1000 м 6,318 м. Наименьшую длину имеет отрезок MK. б) MN 0,0834 м; KL 83,4 см 83,4 : 100 м 0,834 м; ST 0,834 дм 0,834 : 10 м 0,0834 м; PQ 834 мм 834 : 1000 м 0,834 м; MN ST 0,0834 м; KL PQ 0,834 м. 696. а) 2 мг 2 : 1 000 000 кг 0,000002 кг; 2 г 2 : 1000 кг 0,002 кг; 2 ц 2 : 100 кг 200 кг; 2 т 2 ! 1000 кг 2000 кг; б) 6 г 6 : 1000 кг 0,006 кг; 79 г 79 : 1000 кг 0,079 кг; 285 г 285 : 1000 кг 0,285 кг; в) 8 мг 8 : 1 000 000 кг 0,000008 кг; 85 мг 85 : 1 000 000 кг 0,000085 кг; 659 мг 659 : 1 000 000 кг 0,000659 кг; г) 7,8 т 7,8 ! 1000 кг 7800 кг; 54 ц 54 ! 100 кг 5400 кг; 12,03 т 12,03 ! 1000 кг 12 030 кг. 697. а) 2 кг 235 г 2,235 кг; б) 3 кг 600 г 3,600 кг 3,6 кг; в) 20 кг 860 г 20,860 кг г) 86 кг 44 г 61 мг 86,044061 кг. 698. а) 2,1 г 2,1 : 1000 кг 0,0021 кг; б) 0,3604 г 0,3604 : 1000 кг 0,0003604 кг; в) 8,9 мг 8,9 : 1 000 000 кг 0,0000089 кг; г) 0,035 мг 0,035 : 1 000 000 кг 0,000000035 кг. 699. 0,776 ! 10 7,76; 78,34 : 10 7,834; 0,00742 ! 1000 7,42; 759,2 : 100 7,592; 0,0736 ! 100 7,36; 77 : 10 7,7. 700. а) 26,397 " 26,4; 3,039 " 3,000 3; 35,262 " 35,3; 8,132 " 8,1; 299,9999 " 300; б) 76,343 " 76,34; 22,038 " 22,04; 0,685 " 0,69; 0,00098 " 0; 7,008 " 7,01.

454

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

701. а) До десятых; б) до сотых; в) до единиц; г) до тысячных; д) до сотых; е) до десятитысячних; ж) до сотых; з) до сотых.  702. а) Гребешки — ? в 5 больше, чем  Мидии — ?  444 моллюска Жемучижницы — ? столько же, сколько  Решение. Пусть в аквариуме было х мидий, тогда гребешков в нем было 5х, а жемчужниц — (5х + х). Так как всего в аквариуме было 444 моллюска, составим уравнение: 5x + x + 5x + x 444; 12x 444; x 444 : 12; x 37. Значит, мидий было 17, гребешков: 5 ! 37 185; жемчужниц: 37 + 185 222. Ответ: в аквариуме было 185 гребешков, 37 мидий, 222 жемчужницы. б) Обозначим количество купюр х, тогда десятрублевых денежных знаков было на сумуу 10х р., а пятирублевых — 5х р. Так как всего денежных знаков было на сумму 525 р., составим уравнение: 10 x + 5x 525; 15x 525; x 525 : 15; x 35. Итак, десятирублевых денежных знаков было на сумму: 35 ! 10 "350 (р.), а пятирублевых: 35 ! 5 175 (р.). Ответ: десятирублевых денежных знаков дали на сумму 350 р., а пятирублевых — на сумму 175 р.

}

Контрольные задания 1. а) 8,9 > 8,53; 2. а) 3,48 # 3,5;

б) 15,38 < 15,4; б) 4,319 # 4,3;

в) 3,250 3,25. в) 4,98 # 5.

§ 42. Сложение и вычитание десятичных дробей 703. 1)

2, 4 24 + 3, 2 32 56

705. а)

г)

706. а)

4, 52 452 + 2, 31 231

5, 6

683

6, 83

272, 30 34, 15

б)

306, 45 42, 00 3, 08

23, 009 5, 934 д) + 12, 800

45, 08

18, 734

708, 51 62, 00 770, 51

б)

15, 000 8, 009

621, 7 54, 3 676, 0

0, 204 204 + 0, 378 378

0, 582 582 в) 0, 0078 + 78, 78 78, 7878 е) 13, 10 + 0, 09 13, 19 в)

99, 3300 0, 0777 99, 4077

455

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

г)

д)

48, 548 259, 452

е)

47, 35 2, 65

12, 70 1, 38

50, 00 308, 000 14, 08 707. 8000,7 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 0,0078 — наименьшее число, составленное из этих же цифр. 8000, 7000 − 0, 0078 8000, 6922 708. 1) 1, 16 2) − 0, 43 − 0, 38 0, 14 0, 05 1, 02 709. I). − 15, 31 − 46, 37 6, 15 7, 75 9, 16 III)

−

710. а)

−

43, 57 18, 40

б)

−

0, 210 0, 184

−

з)

−

68, 44 711. а)

−

52, 12 15, 30

−

0, 590 0, 032

б)

−

21, 916

в)

−

29, 435 29, 039

0, 0200 0, 0061

135, 00 134, 93

д)

−

2, 000 1, 827

е)

−

0, 700 0, 695 0, 005

5, 00 2, 49 2, 51

и)

−

15, 003 8, 740 6, 263

в)

−

74, 38 56, 80 17, 58

е)

−

0, 173 з)

37, 182 5, 900 31, 282

0, 07

0, 558 ж) 34, 000 − 12, 084

56, 00 12, 25

0, 170 0, 092 0, 078

и)

−

3, 262

72, 0 125, 00 − 15, 6 54, 09 56, 4

0, 0139

36, 82 г)

−

0, 396

0, 026 ж) 72, 00 − 3, 56

IV)

43, 75 д)

65, 70 3, 270 − 52, 25 0, 008 13, 45

25, 973

25, 17 г)

−

38, 62

82, 784 64, 123 − 33, 600 38, 150 49, 184

II)

1, 400 1, 076 0, 324

70, 91

456

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

712. а)

52, 960 52, 960 − + 5, 079 12, 387

65, 347 47, 881 Ответ: С(47,881); В(65,347). б) АС больше СВ на 2,85; значит, АС АВ 21,7 – 12,85 8,85; O 21, 70 − 0 12, 85

СВ + 2,85. A

8, 85 АС + СВ АВ. Дальше задачу можно решать двумя способами. I способ — арифметический. 1) 8,85 – 2,85 6 — сумма двух равных отрезков; 2) 6 : 2 3 — длина СВ; 3) 3 + 2,85 5,85 — длина АС. II способ — алгебраический. Пусть ВС х, тогда АС х + 2,85. Так как AC + CB AB, AB 8,85, составим уравнение: x + 2,85 + x 8,85; 2x + 2,85 8,85; 2x 8,85 – 2,85; 2x 6; x 6 : 2; x 3. Итак, CB 3; AC 3 + 2,85 5,85. Ответ: AB 8,85; AC 5,85; CB 3. 713. Рассмотрим два случая. 1) Пусть точка С лежит правее точки В на координатном луче. A

0 18

Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC AB + BC 8,6 + 18 26,6. Ответ: AB 8,6; AC 26,6; BC 18. 2) Пусть точка С лежит левее точки В на координатном луче. O

0 18

Тогда: AB 25,9 – 17,3 8,6; BC 18; AC BC – AB 18 – 8,6 9,4. Ответ: AB 8,6; AC 9,4; BC 18. 714. а) 0,37 2 – 1,63; б) 0,64 1 – 0,36; в) 2,05 5 – 2,95; г) 4,368 7 – 2,632. 715. 8322,2 — наибольшее число, составленное из данных цифр; 2,2238 — наименьшее число, составленное из данных цифр. 8322, 2000 8322, 2000 + − 2, 2238 2, 2238 8324, 4238 8319, 9762 Если каждое из записанных чисел увеличить в 10 раз, то результаты сложения и вычитания увеличатся в 10 раз, а если каждое из записанных чисел уменьшить в 10 раз, то эти результаты уменьшаться в 10 раз.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

457

716. а) 3,8 10 + 3,8 100 + 3,8 1000 ! 38 + 380 + 3800 ! 4218; 3800 + 380 38 4218 б) 4,7 : 10 + 4,7 : 100 – 4,7 : 1000 ! 0,47 + 0,047 – 0,0047 ! 0,5123; 0, 470 0, 5170 + − 0, 047 0, 0047 0, 517

0, 5123 в) 25,22 10 + 186,354 100 – 16,7 10 ! 252,2 + 18635,4 – 167 ! 18720,6; 18653, 4 18887, 6 + + 167, 0 252, 2 18887, 6 18720, 6 г) 79,504 : 10 + 0,2534 100 ! 0,92038 10 ! 7,9504 + 25,34 – 9,2038 !" ! 24,0866; 25, 3400 33, 2904 + − 7, 2904 9, 2038 33, 2904 24, 0866 719. 45 дм ! 45 : 10 м ! 4,5 м; 2 (5,5 + 4,5) ! 2 10 ! 20 (м). Ответ: периметр изгороди равен 20 м. 720. 350 мм ! 350 : 1000 м ! 0,35 м; 2 (1,25 + 0,35) ! 2 1,6 ! 3,2 (м). Ответ: периметр полки равен 3,2 м. 721. 54 см ! 54 : 100 м ! 0,54 м; 3) 4, 06 2) 2, 30 1) 2, 30 + + + 0, 54 4, 06 1, 76 1, 76 (ì) 8, 12 (ì) 4, 06 (ì) Ответ: периметр ковра равен 8,12 м. 722. а) 4,45 10 + 844 : 100 – 35,7 : 1000 + 509,432 : 10 ! 44,5 + 8,44 – – 0,0357 + 50,9432 ! 103,8475; 44, 50 52, 9400 52, 9043 + − + 8, 44 0, 0357 50, 9432 52, 94 52, 9043 103, 8475 б) 59,9997 100 + 685826,1 : 1000 + 3,7672 100 ! 5999,97 + + 685,8261 + 376,72 ! 7062,5161; 5999, 9700 6685, 7961 + + 685, 8261 376, 7200 6685, 7961

7062, 5161

458

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

723. а) 2,2 м 2,2 ! 100 м 220 см; 3 см + 15 см < 220 см; значит, треугольник с данными сторонами не существует; б) 65,5 см 65,5 : 100 м 0,655 м; 21,5 м + 0,655 м < 45,15 м; значит, треугольник с данными сторонами не существует; в) 7,01 м 7,01 ! 10 дм 70,1 дм; 34,2 дм + 35,9 дм 70,1 дм; 34, 2 + 35, 9 70, 1 Значит, треугольник с данными сторонами не существует; г) 0,2 м 0,2 ! 1000 мм 200 мм; 85 мм + 253,7 мм > 200 мм; 200 мм + 253,7 мм > 85 мм; 85 мм + 200 мм > 253,7 мм. Так как все три вышеописанные условия выполняются, то треугольник с данными сторонами существует. Р 85 мм + 200 мм + 253,7 мм 538,7 мм. 253, 7 + 200, 0 85, 0 538, 7 724. 800 г 800 : 1000 кг 1, 5 + 1, 2 0, 8

0,8 кг.

3, 5 (êã) Ответ: вес покупки Саши равен 3,5 кг; значит, в пластиковом пакете, рассчитанном на 3 кг, он покупку унести не сможет. 725. 1) 50 ! 2 100 (кг); 2) 81, 0 74, 7 + 37, 2 46, 0 238, 9 (êã) 3) 100 + 238,9 338,9 (кг); 4) 0,4 т 0,4 ! 1000 кг 400 кг; 338,9 кг < 400 кг. Ответ: в багажник автомобиля можно положить 2 мешка моркови. 726. 14, 10 + 2, 25 1, 40 17, 75 (ì) Ответ: длина сваи 17,75 м.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

459

727. Пусть меньшее из двух чисел — х, тогда большее — 9х. Так как сумма двух чисел равна 43,862; составим уравнение: x + 9x 43,862; 10x 43,862; x 43,862 : 10; x 4,3862. Значит, меньшее число — 4,3862; а бîльшее: 43,862 – 4,3862 !39,4758; 43, 8620 − 4, 3862 39, 4758 Ответ: искомые числа равны 4,3862 и 39,4758. 728. Пусть меньшее из двух данных чисел равно х, тогда бîльшее — 99х. Так как их сумма равна 91,964, составим уравнение: x + 99x !91,964; 100x 91,964; x 91,964 : 100; x 0,91964. Значит, меньшее число — 0,91964; а большее: 91, 96400 − 0, 91964 91, 04436 Ответ: искомые числа равны 0,91964 и 91,04436. 729. а) 9x; 99x; б) x + 9x; x + 99x; x + 9x 43,862 (решение уравнения смотри в № 727); x + 99x 91,964 (решение уравнения смотри в № 728). 730. 1) 11 – 1 10; 2) 9,045 : 10 0,9045 — меньшее число; 3) 9, 0450 — большее число. + 0, 9045 9, 9495 Ответ: искомые числа равны 0,9045 и 9,9495. 731. 1) 101 – 1 100; 2) 634,28 : 100 6,3428 — меньшее число; 3) 634, 2800 — большее число. + 6, 3428 640, 6228 Ответ: искомые числа равны 6,3428 и 640,6228. 732. а) 11x; 101x; б) 11x – x; 101x – x; к № 730: 11x – x 9,045; 10x 9,045; x 9,045 : 10; x 0,9045; к № 731: 101x – x 634,28; 100x 634,28; x 634,28 : 100; x 6,3428. 733. а) В этой группе уравнений находится неизвестное слагаемое. x + 5,032 27,2; x 27,2 – 5,032; 27, 200 − 5, 032 22, 168 x

22,168;

460

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

x + 29,17 13,4; x 13,4 – 29,17; нельзя решить (ошибка в условии) 52 + x 78,035; x 78,035 – 52; x 26,035. б) в этой группе уравнений х — неизвестное уменьшаемое. x – 93,1 79,01; x 79,01 + 93,1; x 172,11; 79, 01 + 93, 10 172, 11 x – 42,12 90; x 90 + 43,12; x 133,12; x – 42,16 69,2; x 69,2 + 42,16; x 111,36. 69, 20 + 42, 16 111, 36 в) в этой группе уравнений х — неизвестное вычитаемое. 48,5 – x 37,1; x 48,5 – 37,1; x 11,4; 55,05 – x 33,9; x 55,05 – 33,9; x 21,15; 55, 05 − 33, 90 21, 15 22,99 – x 17,3; x 22,99 – 17,3; x 5,69. 22, 99 − 17, 30 5, 69 725. 1)

50, 12 + 10, 08 35, 90 96, 10 (кг) — продали за три дня;

160, 3 96, 1

−

267, 4 256, 4

11, 0 (êã) 256, 4 (êã) Ответ: масса пустого контейнера равна 11 кг.

461

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

736. 1)

−

61, 50 10, 06 51, 44 (м) — длина крайнего пролета;

51, 44 52, 44

102, 88 (м) — сумма длин крайних пролетов; 3) 61, 5 + 61, 5 61, 5 184, 5 (м) — сумма длин средних пролетов; 4)

184, 50 102, 88

287, 38 (ì) Ответ: длина моста равна 287,38 м. 737. 0, 25 4, 56 7, 30 15, 20 − + + + 3, 86 4, 13 0, 80 3, 28 4, 38

3, 76

4, 02

19, 06

19,06 4,38 4,02 3,76 Р О М Б

Синие четырехугольники называются ромбами. У ромба все стороны равны. 738. (17,03 – 12,5) + 6,3 10,83. 17, 03 4, 53 + − 12, 50 6, 30 4, 53 10, 83 Ответ: искомое число равно 10,83. 739. 18,6 – (33,5 – 22,68) 7,78. 33, 50 18, 60 − − 22, 68 10, 82 7, 78 10, 82 Ответ: искомое число равно 7,78. 740. (15 – 14) ! (12,4 – 4,92) 1 ! 7,489 7,48 (км).

−

12, 40 4, 92 7, 48

Ответ: искомое расстояние равно 7,48 км. 741. (15 261,4 – 5781,35) – 5781,35 3698,7 (р.). 15261, 40 9480, 05 − − 5881, 35 5781, 35 9480, 05 3698, 70 Ответ: во второй день было выручено на 3698,7 р. больше, чем в первый.

462

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

742. 2215 г 2215 : 1000 кг 2,215 кг; (64,85 + 32,75 + 2,1) – 2,215 97,485 (кг). 64, 85 99, 700 − + 32, 75 2, 215 2, 10 97, 485 99, 70 Ответ: масса полученной латуни равна 97,485 кг. 743. 1750 кг 1750 : 1000 т 1,75 т; 4,25 + (4,25 – 1,75) + (4,25 + (4,25 – 1,75) – 2,39) 11,11 (т). 4, 25 4, 25 6, 75 6, 75 − + + − 1, 75 2, 50 2, 39 4, 36 2, 50 6, 75 4, 36 11, 11 Ответ: за три дня было израсходовано 11,11 т муки. 744. 74,8 – (31,45 + 31,45 : 10 + (31,45 – 6,78)) 15,535 (м). 1) 31,45 : 10 3,145; 3) 31, 450 4) 74, 800 2) 31, 45 − − + 3, 145 59, 265 6, 78 24, 670 15, 535 24, 67 59, 265 745.

Ответ: в мотке осталось 15,535 м шпагата. C D ACB ! ADB ! 90", то есть углы, опирающиеся на диаметр окружности — прямые (если вершины этих углов лежат на окружности). A B O

746.

ABC — острый; ABD — прямой (AD — диаметр); ABE — тупой.

B A

747. O

748. а) б) в) г)

Нужно сложить полученный круг дважды пополам (смотри пунктирные линии). Тогда точка пересечения диаметров — центр круга.

Площадь уменьшится в 2 раза; площадь уменьшится в 4 раза; площадь уменьшится в 10 раз; площадь уменьшится в 100 раз.

463

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

749.

79, 261 15, 324 1, 0500 1, 0500 210, 600 43, 521 − − + − − 5, 700 0, 0024 68, 150 28, 700 0, 0024 8, 926 1, 0524

11, 111

44, 024

1, 0476

37, 821

201, 674

28, 163 17, 305 + 4, 590 21, 840

11,111

1,0476

11,111

44,024

201,674

44,024

1,0524

37,821

1,0476

11,111

50,003

21, 895

21,895

50, 003

Контрольное задание !A + !B + !C " 180#; !C " 180# – (!A + !B); !C " 180# – (60,25# + + 72,87#) " 46,88#. +

60, 25 180, 00 − 72, 87 133, 12

133, 12

46, 88

§ 43. Умножение десятичных дробей 750. 1) 1,2 $ 47 " 56,4; 4) 0,12 $ 47 " 5,64; 751. 13 $ 4 " 52; 1,3 $ 4 " 5,2; 0,13 $ 4 " 0,52; 13 $ 0,4 " 5,2; 13 $ 0,04 " 0,52; 1,3 $ 0,04 " 0,52; 1,3 $ 0,04 " 0,052; 0,13 $ 0,4 " 0,052; 0,13 $ 0,04 " 0,0052;

2) 1,2 $ 4 " 5,64; 3) 1,2 $ 0,47 " 5,64; 5) 0,12 $ 4,7 " 0,564; 6) 0,012 $ 47 " 0,564. 16 $ 3 " 48; 16 $ 0,3 " 4,8; 1,6 $ 3 " 4,8; 16 $ 0,03 " 0,48; 1,6 $ 0,2 " 0,48; 1,6 $ 0,03 " 0,048; 0,16 $ 3 " 0,48; 0,16 $ 0,3 " 0,048; 0,16 $ 0,03 " 0,0048;

15 $ 6 " 90; 0,15 $ 6 " 0,9; 1,5 $ 0,006 " 0,0090 " 0,009; 0,015 $ 0,06 " 0,0090 " 0,009; 0,015 $ 6 " 0,090 " 0,9; 0,015 $ 0,06 " 0,00090 " 0,0009; 0,15 $ 0,006 " 0,00090 " 0,0009; 0,00015 $ 6 " 0,00090 " 0,0009; 15 $ 0,0006 " 0,0090 " 0,0009.

464

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

752. 1)

753. а)

356 34

1073 81

1073 8584

1424 + 1068

12104 3,56 3,4 ! 12,104;

86913 1,073 8,1 ! 8,6913;

× +

б)

31, 54 32

6308 9462

3, 245 61

2500 4375

46250 0,074 6,25 ! 0,46250 ! ! 0,4625. 44, 44 60, 5 г) × × 3, 005 4, 8

в)

3245 19470

625 74

22220 13332

133, 54220 197, 945 1009, 28 133,54200 ! 133,5422; 290,40 ! 290,4. б) 2, 3456789 в) 754. а) 71, 7 21, 004 × × × 0, 3 9, 01 6, 5 +

0, 70370367

717 6453

646, 017 136,5260 ! 136,526. 1

290, 40 г)

105020 126024

45, 34 20, 01

4534 9068 907, 2534

136, 5260

4840 2420

755. а) 13,3456789 3 + 99,7654321 3 + 766,666667 ! 1106; 2) 1) 13, 3456789 99, 654321 × × 3 3 40, 0370367 3) 40, 0370367 + 299, 2622963

1106, 000000

339, 3333330 1

299, 2962963 339, 333333 + 766, 666667

б) 7,6 0,25 + 290 : 100 + 25,8 0,5 – 420 0,03 ! 15,1; 2) 290 : 100 ! 2,9; 3) 25, 8 1) 7, 6 × × 0, 25 0, 5 +

380 152

1, 900 420 4) × 0, 03

12, 90

1, 9 12, 9

14, 8 12, 9

−

27, 7 12, 6

12, 60 15, 1 14, 8 27, 7 В условии этого задания опечатка: если в 5) действии будет стоять знак минус, то пример решить нельзя).

465

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2. 1

в) 5700 0,105 – 87 1,7 + 8009 : 1000 – 8009 0,001 ! 450,6; 1)

0, 105 5700

735 525

× +

598, 500 4)

−

598, 5 147, 8

450, 600 8, 009

450, 6

8, 009 1

609 87 147, 9

8009 0, 001

3) 8009 : 1000 ! 8,009;

87 1, 7

−

450, 600

458, 609

458, 609 8, 009

г) 5867 : 100 + 78,55 2,08 + 51,09 3,4 – 586,7 0,1 ! 337,09; 51, 09 78, 55 3) 1) 5867 : 100 ! 58,67; 2) × × 3, 4 2, 08 +

62840 15710

173, 706

163, 3840 4)

586, 7 5) 163, 384 6) 222, 054 7) 395, 76 + + − 58, 670 173, 706 58, 67 0, 1 58, 67

756. а) б) в) г) 757. а) б) в) г) 758. а) б) в)

20436 15327

222, 054

395, 760

337, 09

27,3 0,5 2 ! 27,3 1 ! 27,3; 0,25 53,34 4 ! (0,25 4) 53,34 ! 1 53,34 ! 53,34; (2,5 0,4) (50 0,02) ! 1 1 ! 1; 44,81 (125 0,08) ! 44,81 10 ! 448,1. 5 79,23 0,2 ! 79,23 (5 0,2) ! 79,23 1 ! 79,23; 72,3 (0,25 0,4) ! 72,3 0,1 ! 7,23; 1,25 500 0,2 0,08 ! (1,25 0,08) (500 0,2) ! 0,1 100 ! 10; 579 (5 0,002) ! 579 0,01 ! 5,79. 0,125 6,53 8 ! (0,125 8) 6,53 ! 1 6,53 ! 6,53; 28,25 (0,8 12,5) ! 28,25 10 ! 282,5; 125 0,2 16,79 0,4 ! 125 (0,2 0,4) 16,79 ! 125 0,08 16,79 ! !"10 16,79 ! 167,9; г) 28,81 (0,25 0,4) ! 28,81 0,1 ! 2,881. 759. а) 72,58 0,1 ! 7,258; б) 72,58 0,01 ! 0,7258; 72,58 : 10 ! 7,258; 72,58 : 100 ! 0,7258; в) 72,58 0,001 ! 0,07258; г) 72,58 0,0001 ! 0,007258; 72,58 : 1000 ! 0,07258; 72,58 : 10 000 ! 0,007258.

466

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

760. а) 0,07 100 0,23 + 0,25 16,5 ! 7 0,23 + 0,25 16,5 ! 5,735; 3) 4, 125 1) 0, 23 2) 16, 5 × + × 0, 25 1, 610 7 1, 61

825 330

5, 735

4, 125 1

б) 3,75 2,05 + 0,05 30,48 ! 9,2115; 3, 75 1) 2) 30, 48 × × 2, 05 0, 05 +

1875 750

7, 6875 1, 5240 9, 2115

1, 5240

7, 6875 1

в) 135,2 2,02 – 46,002 2,9 ! 139,6982; 135, 2 46, 002 2) 1) × × 2, 02 2, 9 +

2704 2704

273, 104 1

133, 4058

712 1424

−

14, 3112 13, 2660 1, 0452

1206 1206 13, 266

14, 3112 1

273, 1040 133, 4058 139, 6982

414018 92004

г) 71,2 0,201 – 6,6 2,01 ! 1,0452; 2, 01 71, 2 2) 1) × × 6, 6 0, 201 +

−

д) 7,5 0,4 + 3,2 0,17 ! 3,544; 3, 2 2) 1) 7, 5 × × 0, 17 0, 4 3, 00

224 32

3, 000 0, 544 3, 544

0, 544 1

е) 4,28 0,2 – 1,7 0,3 ! 0,346; 2) 1, 7 1) 4, 28 × × 0, 2 0, 3 0, 856

0, 51

−

0, 856 0, 510 0, 346

467

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2. 1

ж) 0,8 3,15 + 0,18 3,6 ! 3,168; 1) 3, 15 2) 0, 18 × × 3, 6 0, 8 108 2, 520 + 54

3) + 2, 520 0, 648 3, 168

0, 648 1

з) 7,1 1,3 – 0,19 5,02 ! 8,2762; 5, 02 1) 2) 7, 1 × × 0, 19 1, 3 +

9, 23

0, 9538 3

−

4518 502

213 71

9, 2300 0, 9538 8, 2762

761. а) (62 – 14,8) (34 – 0,175) – 961,9196 ! 634,6204; 33, 825 3) 2) 34, 000 1) 62, 0 × − − 47, 2 14, 8 0, 175 47, 2

33, 825

−

1596, 5400 961, 9196 634, 6204

67650 + 236775 135300 1596, 5400

б) 32,05 (28,03 + 11,5) – 1266,9365 ! 0; 2) 1) 28, 03 3) 1266,9365 – 1266,9365 ! 0; 39, 53 × + 32, 05 11, 50 39, 53

19765 + 7906 11859 1266, 9365 1

в) 3,324 052 100 – 8,9 0,32 ! 3,324 52 – 8,9 0,32 ! 170; 1)

× +

3, 324 52

6648 16620 172, 848

× +

8, 9 0, 32

178 267

2, 848

−

172, 848 2, 848 170, 000

468

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

г) (4,99 – 0,88) (5,131 + 4,369) ! 39,045; 2) 5, 131 1) 4, 99 − + 0, 88 4, 369 4, 11

× +

9, 500

4, 11 9, 5

2055 3699 39, 045

764. 1) 0,8 1,25 ! 1,000 ! 1; 3)

× +

2) 2,5 0,4 ! 1,00 ! 1;

6, 25 0, 16

3750 625

1, 0000 1,0000 ! 1; 5)

0, 15625 6, 4

62500 93750

3, 125 0, 32

6250 9375

1, 00000 1,00000 ! 1; 0, 78125 6) × 1, 28 625000 + 156250 78125

1, 000000

1, 0000000 1,000000 ! 1; 1,0000000 ! 1. 765. 1) 42, 80 − 4, 78 38, 02 (р.) — цена одного метра шелка; 2)

42, 8 9, 75

2140 + 2996 3852 417, 300 (р.) — стоит атлас; 3)

× +

38, 02 10, 5

19010 3802 399, 210 (р.) — стоит шелк;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

469

417, 30 399, 21 816, 51 (р.) — стоит вся покупка.

816,51 < 900. Ответ: хватит 900 р. на покупку тканей. 766. 1) 27, 4 + 25, 8 13, 7 66, 9 (м) — длина всех коридоров; 2)

14, 6 2 29, 2 (ì)

12, 6 2 25, 2 (ì) 5)

29, 2 25, 2

−

66, 9 54, 4

12, 5 (ì) 54, 4 (м) — длина дорожки; Ответ: не хватит 12,5 м дорожки для коридоров. 767. 1)

−

65, 4 10, 8 54, 6 (км/ч) — скорость второго грузовика;

65, 4 54, 6

120, 0 (км/ч) — общая скорость грузовиков; 3)

120 0, 9

108, 0 (км). Ответ: расстояние между городами равно 108 км. 768. 1) 0, 0350 − 0, 0285 0, 0065 (км/ч) — разность скоростей ракет; 2)

0, 0065 2

0,013 км

0,013 ! 1000 м

13 м.

0, 0130 (êì) Ответ: через 2 с после старта вторая ракета отстанет от первой на 13 м.

470

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

Контрольные задания а)

× +

8, 41 16

б)

2, 34 0, 7

1, 638

5046 841

134, 56 в) 15,3 0,01 ! 0,153;

г) 0,048 0,001 ! 0,000048.

§ 44. Степень числа 769. 2) а) 53 > 5 3; б) 82 > 8 2; в) 45 > 4 5; г) 17 < 1 7. 771. а) 142 ! 14 14 ! 196; б) 272 ! 27 27 ! 729; 14 27 × × 14 27 +

56 14

196 в) 252 ! 25 25 ! 625; 25 × 25 +

125 50

189 54 729

г) 362 ! 36 36 ! 1296; 36 × 36 +

216 108

1296 625 3 772. а) 2,5 ! 2,5 2,5 2,5 ! 6,25 2,5 ! 15,625; × +

6, 25 2, 5

3125 1250

15, 625 б) 0,84 ! 0,8 0,8 0,8 0,8 ! (0,8 0,8) (0,8 0,8) ! 0,64 0,64 ! 0,4096; 0, 64 × 0, 64 +

256 384

0, 4096

471

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

в) 3,12 3,1 ! 3,1 9,61; ×

г) 0,25 0,2 ! 0,2 ! 0,2 ! 0,2 ! 0,2 0,00032;

3, 1 3, 1

31 93

9, 61 773. а) 0,14 0,1 ! 0,1 ! 0,1 ! 0,1 0,0001; б) 0,033 0,03 ! 0,03 ! 0,03 0,000027; в) 0,5042 0,504 ! 0,504 0,254016; × +

0, 504 0, 504

2016 2520

0, 254016 г) 0,045

0,04 ! 0,04 ! 0,04 ! 0,04 ! 0,04

0,0000001024;

0, 000064 0, 0016

384 64

0, 0000001024 3

1 2

774. а) 1,15 – 0,12 1)

1,15 ! 1,15 – 0,12 ! 0,12

1, 15 1, 15

575 + 115 115

0, 12 0, 12

24 12

1,3081; 3)

−

1, 3225 0, 0144 1, 3081

0, 0144

1, 3225 (1,15 – 0,12)2 1)

1, 15 − 0, 12

1,0609;

2) 1,032

1,03 ! 1,03

1, 03

1,0609;

× +

1, 03 1, 03

309 103 1, 0609

(1,15 – 0,12) ! (1,5 + 0,12)

1,3081;

472

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

−

1, 15 0, 12

1, 27

1, 03

× +

1, 27 1, 03

381 127 1, 3081

Значение первого и третьего выражений равны. б) (7,6 – 0,54)2 49,8436; 7, 06 2) 7,062 7,06 ! 7,06 49,8436; 1) 7, 60 × − 7, 06 0, 54 7, 06

4236 4942

49, 8436 7,62 – 2 ! 7,6 ! 0,54 + 0,542 49,8436; 7, 6 2) 1) 0, 54 × × 7, 6 0, 54 +

456 532

57, 76

0, 2916

× +

15, 2 0, 54

608 760

−

3) 2 ! 7,6

15,2;

216 216

57, 760 8, 208

49, 5520 0, 2916 49, 8436

49, 552

8, 208 Значения первого и второго выражений равны. (7,6 – 0,54) ! (7,6 + 0,54) 57,4684; 8, 14 2) 7, 60 3) 1) 7, 60 + × − 0, 54 7, 06 0, 54 7, 06

8, 14

4884 5698 57, 4684

775. а) При а 1,4; b 1) 14 × 14 +

56 14 1, 96

0,7 a2 + b2 1,42 + 0,72 2,45; 3) 2) 0,72 0,7 ! 0,7 0,49;

1, 96 0, 49 2, 45

473

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

б) При а 1,4; b 0,7 (a + b)2 (1,4 + 0,7)2 2,12 4,41; 2, 1 × 2, 1 21 + 42 4, 41 в) При а 1,4; b 0,7 a2 + 2ab + b2 1,42 + 2 ! 1,4 ! 0,7 + 0,72 1,96 + + 1,4 ! 1,4 + 0,49 1,96 + 1,96 + 0,49 4,41; 1, 96 + 1, 96 0, 49 4, 41 г) При а 1,4; b 0,7 a2 – 2ab + b2 1,42 – 2 ! 1,4 ! 0,7 + 0,72 1,96 – – 1,96 + 0,49 0,49. Равны значения выражений б) и в). 776. а) При а 23,2: b 4,2 a2 – b2 23,22 – 4,22 520,6; 4, 2 3) 538, 24 23, 2 2) 1) × − × 4, 2 17, 64 23, 2 84 520, 60 464 + 168 + 696 17, 64 464 538, 24 б) При а 23,2: b

4,2 (a – b)2

(23,2 – 4,2)2

192

361;

19 19 171 + 19 361 ×

в) При а 23,2: b 4,2 a2 – 2ab + b2 23,22 – 2 ! 23,2 ! 4,2 + 4,22 "528,24 – 46,4 ! 4,2 + 17,64 361; 3) 343, 36 1) 2) 538, 24 46, 4 + × − 17, 64 4, 2 194, 88 +

928 1856

343, 36

361, 00

194, 88 г) При а 23,2: b 4,2 a2 + 2ab + b2 23,22 + 2 ! 23,2 ! 4,2 + 4,22 "538,24 + 194,88 + 17,64 750,76; 538, 24 + 194, 88 17, 64 750, 76 Равны значения выражений б) и в).

474

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

777. а) При а 9,6; b 2,4 a2 – b2 9,62 – 2,42 86,4; 1) 2) 3) 92, 16 2, 4 9, 6 × − × 2, 4 5, 76 9, 6 576 96 86, 40 + + 864 48 92, 16 5, 76 б) При а 9,6; b 2,4 (a – b)2 (9,6 – 2,4)2 7,22 51,84; 7, 2 × 7, 2 144 + 504 51, 84 в) При а 9,6; b 2,4 (a – b) ! (a + b) (9,6 – 2,4) ! (9,6 + 2,4) "7,2 ! 12 86,4; 7, 2 × 12 144 + 72 86, 4 г) При а 9,6; b 2,4 (a + b)2 (9,6 + 2,4)2 122 144. Равны значения выражений а) и в). 778. а) При а 3,5; b 0,42 a2 – b2 3,52 – 0,422 12,0736; 0, 42 3, 5 3) 12, 2500 2) 1) × × − 0, 42 3, 5 0, 1764 84 175 + 12, 0736 + 168 105 0, 1764 12, 25 б) При а 3,5; b 0,42 (a – b)(a + b) (3,5 – 0,42) ! (3,5 + 0,42) 12,0736; 3, 92 3) 2) 3, 50 1) 3, 50 + × − 0, 42 3, 08 0, 42 3, 08

3, 92

3136 1176 12, 0736

в) При а 3,5; b 3, 92 × 3, 92 784 + 3528 1176 15, 3664

0,42 (a + b)

(3,5 + 0,42)

3,922

15,3664;

475

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

г) При а 3,5; b 0,42 a2 + 2ab + b2 3,52 + 2 ! 3,5 ! 0,42 + 0,422 "12,25 + 7 ! 0,42 + 0,1764 15,3664; 1) 0, 42 2) 12, 2500 × + 2, 9400 7 0, 1764 2, 94 15, 3664 Равны значения выражений а) и б); в) и г). 782. Р 4 ! 24,16 96,64 (м); S 24,162 24,16 ! 24,16 583,7056 (м2). 24, 16 24, 16 × × 24, 16 4 96, 64

14496 2416 + 9664 4832

583, 7056 Ответ: периметр данного квадрата равен 96,64 м; а его площадь — 583,7056 м2. 783. Р 2 ! (2,51 + 0,602) 6,224 (м); S 2,51 ! 0,602 1,51102 (м2). +

0, 602 3, 112 × 2 2, 510 3, 112

6, 224 +

2, 51 0, 602

502 1506

1, 51102 Ответ: периметр прямоугольника равен 6,224 м; а его площадь — 1,51102 м2. 784. 4,6 ! 42,8 + 5,75 ! (42,8 + 25,32) 588,57 (р.); 196, 88 2) 3) 1) 4) 68, 12 42, 80 42, 8 + × + × 391, 69 5, 75 25, 32 4, 6 +

2568 1712 196, 88

68, 12

34060 + 47684 34060

391, 6900 Ответ: необходимо заплатить 588,57 р. за всю ткань. 785. а) 0,1 м (так как 0,12 0,1 ! 0,1 0,01); б) 0,2 м (так как 0,22 0,2 ! 0,2 0,04); в) 0,5 м (так как 0,52 0,5 ! 0,5 0,25); г) 0,3 м (так как 0,32 0,3 ! 0,3 0,09).

588, 57

476

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

786. Sпрямоугольника 13, 2 × 9, 3 +

13,2 ! 9,3

122,76 (см2).

396 1188

122, 76 а) Sквадрата 13,22 13, 2 × 13, 2

13,2 ! 13,2

174,24 (см2).

264 + 396 132 174, 24 174,24 см2 > 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата больше площади прямоугольника. б) Sквадрата 9,32 86,49 (см2). 9, 3 × 9, 3 +

279 837

86, 49 86,49 см2 < 122,76 см2. Ответ: площадь квадрата меньше площади прямоугольника. 787. 1) 1, 25 2) 3) 0, 8 0, 75 × × × 0, 4 4 0, 6 0, 750 (ì2 ) 4) 0, 32 × 2 0, 64 (ì2 ) 7) 3 + 0,64 + 0,3

3, 00 (ì2 ) 5) 0, 2 × 0, 3 0, 06 (ì2 ) 1, 75 3,94 (м2); 8) × 3, 5 +

875 525

0, 32 (ì2 ) 6) 0, 06 × 5 0, 30 (ì2 ) 9)

−

6, 125 3, 940 2, 185 (ì2 )

6, 125 (ì2 ) Ответ: площадь оставшегося пластика равна 2,185 м2. 788. 1) 10 + 15,5 + 10 35,5 (м) — длина; 2) 10 + 4,8 + 10 24,8 (м) — ширина; 3) 2 ! (35,5 + 24,8) 120,5 (м);

10 10

4,8 10

10 15,5

10 + 4,8 + 10

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

10 + 15,5 + 10

35, 5 60, 3 × 24, 8 2

60, 3 120, 6 Ответ: длина забора равна 120,6 м. 789. а) 3,2 2,5 + 6,04 ! 14,04; 3, 2 8, 00 × + 2, 5 6, 04 +

160 64

14, 04

8, 00 б) 16,7 – 3,5 1,08 ! 12,92; 1, 08 16, 70 × − 3, 5 3, 78 +

540 324

12, 92

3, 780 в) 12,108 + 6,2 5,05 ! 43,418; × +

5, 05 12, 108 + 6, 2 31, 310

1010 3030

43, 418

31, 310 г) 3 (12,85 + 10,9) ! 71,25; 12, 85 23, 75 + × 10, 90 3 23, 75 71, 25 790. 3,1 (x + y) ! 3,1 y + 3,1x ! 3,1x + 3,1y. 791. 0,9 (m – n) ! 0,9m – 0,9n. 792. 0,55 (x + y) ! 0,55x + 0,55y ! y 0,55 + x 0,55.

477

478

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

794. 1)

13, 233 5, 680

15, 708 3, 520

−

12, 188; Π; 7)

2 Р

3 А

4, 541 2, 800 7, 341; Α;

15, 680 4, 321

−

16, 110 8, 223 7, 887; Ö;

−

3, 1800 0, 0018 3, 1782; ß.

1, 2404; È; 1 Т

20, 001; Ε;

1, 2370 0, 0034

17, 80 2, 51

15, 29; Ρ;

18, 913; Τ; 4)

−

4 П

5 Е

6 Ц

7 И

8 Я

В трапеции две противолежащие стороны параллельны, а две другие — нет.

Контрольные задания 1. а) 252 — двадцать пять в квадрате; 25 — основание степени; 2 — показатель степени; б) 35 — три в пятой степени; 3 — основание степени; 5 — показатель степени. 2. 252 25 ! 25 625; 35 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 ⋅ 3 = 243. 9

§ 45. Среднее арифметическое. Деление десятичной дроби на натуральное число 797. а)

−

12, 4 5 10 2, 48 −

24 20

−

б)

−

13, 08 4 12 3, 27 −

40 40 0

10 8 −

28 28 0

в)

−

526, 4 4 4 131, 6

−

12 12 −

6 4

−

24 24 0

479

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

г)

−

12, 48 6 12 2, 08 −

д)

36, 47 7 35 5, 21 14 − 14 7 − 7 0

е)

1, 271 31 124 0, 041 31 − 31 0

в)

930, 62 62 62 15, 01 310 − 310 62 − 62 0

е)

−

48 48 0

798. а)

г)

799. а)

г)

15, 9 15 15 1, 06 90 − 90 0

б)

74, 88 36 72 2, 08 288 − 288 0

д)

303, 66 14 28 21, 69 23 − 14 96 − 84 126 − 126 0

б)

495, 12 12 − 48 41, 26 15 − 12 31 − 24 72 − 72 0

д)

−

7, 35 49 49 0, 15 245 − 245 0 −

−

в)

−

240, 72 34 238 7, 08

е)

−

272 272 0

56 56 0

1265, 04 36 108 35, 14 185 − 180 50 − 36 144 − 144 0

−

32, 56 8 32 4, 07

59, 348 74 592 0, 802 148 − 148 0

59, 74 29 58 2, 06 174 − 174 0

16, 04 8 16 2, 005 −

040 40 0

480

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

800. а)

−

0, 0578 34 34 0, 0017 −

б)

−

238 238

0, 03948 42 378 0, 00094 −

168 168 0

0 в)

−

0, 0837 27 81 0, 0031 −

г)

−

27 27

0, 03478 94 282 0, 00037 −

658 658 0

0 д)

−

0, 52974 81 486 0, 00654 −

е)

−

0, 095 19 95 0, 005

437 405 −

324 324 0

801. а)

−

0, 087 15 75 0, 0058 −

б)

−

0, 000135 5 10 0, 000027

120 120

−

0 в)

−

0, 1062 18 90 0, 0059 −

0 г)

−

162 162

0, 001824 32 160 0, 000057 −

−

0, 152 16 144 0, 0095 −

80 80 0

224 224 0

0 д)

35 35

е)

−

0, 72 24 72 0, 03 0

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

481

a+b

802. 0

Ответ: 2a; a + b; 2b. 803. 0

a+b

Ответ: b > a. 804. 1) (4 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 2 + 4) : 8 25 : 8 3,125 ! 3; 25, 8 − 24 3, 125 10 − 8 20 − 16 40 − 40 0 2) (4 + 3 + 3 + 3 + 3 + 5 + 3 + 4) : 8 28 : 8 3,5 ! 4; 28, 8 − 24 3, 5 40 − 40 0 Ответ: Незнайка за первую четверть может получить тройку по математике, но если исправит все двойки на тройки, то получит четыре. 805. Пончику нужно получить пять пятерок, тогда окончательная его отметка будет: (2 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5) : 9 36 : 9 4. 806. 1) 3,5 мин 3,5 " 60 с 210 с. 1000, 210 − 840 4, 7619... (ì/ñ); 4,7619… ! 4,762 (м/с). 1600 − 1470 1300 − 1260 400 − 210 1900 − 1890 10... Ответ: искомая скорость равна 4,762 м/с.

482

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

2) 14,5 мин 14, 5 × 60 870, 0 (ñ)

14,5 ! 60 с −

870 с;

5000, 870 4350 5, 7471... (ì/ñ)

−

6500 6090 −

4100 3480

−

6200 6090 −

1100 870

230... Ответ: искомая скорость равна 5,747 м/с. 3) 34,5 – (3,5 + 14,5) 34,5 – 18 16,5 (мин); 16,5 мин 16,5 ! 60 с 990 с; 10 000 – (1000 + 5000) ×

16, 5 60

−

4000, 990 3960 4, 0404... (ì/ñ)

990, 0 (ñ)

−

4000 (м);

4,0404… " 4,040 (м,с).

4000 3960 −

4000 3960

40... Ответ: искомая скорость равна 4,040 м/с. 4) (4,762 + 5,747 + 0,040( : 3 " 4,850 (м,с); 4,8496… " 4,850. 4, 762 14, 549 3 − + 5, 747 12 4, 8496... 4, 040 25 − 14, 549 24 −

14 12 −

29 27

−

20 18 20...

Ответ: 4,850 м/с.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

5) 34,5 мин ×

34,5 ! 60 с

34, 5 60

2070 с;

−

10000, 2070 8280 4, 8309... ≈ 4, 831 (ì/ñ)

2070, 0 (ñ) −

17200 16560 6400 6210

−

19000 18630 370...

Ответ: искомая скорость равна 4,831 м/с. 807. 1) −

22, 57 12, 36

−

10, 21 2 10 5, 105

10, 21 −

12, 360 5, 105 17, 465

2 2

−

10 10 0

Итак, С(17,465). 2) (12,36 + 22,57) : 2 17,465; 12, 36 34, 93 2 + − 22, 57 2 17, 465 34, 93 −

14 14 −

9 8

−

13 12 −

10 10

0 Результаты, полученные в 1) и 2) случае одинаковые. 808. O 0

M 77,36

N 122,64

Точка K — середина отрезка MN. Найдем координату точки K.

483

484

2002–2011 гг.

−

"#$%"#$&'#

122, 64 45, 28 2 77, 36 + − 77, 36 4 22, 64 22, 64 45, 28 100, 00 5 − 4 −

12 12 −

8 8 0

Итак, K(100). Найдем среднее арифметическое координат всех точек, то есть точек M и N. (77,36 + 122,64) : 2 200 : 2 100. Вывод: среднее арифметическое координат концов отрезка есть координата середины отрезка. 809. Пусть A(a), B(b), C(c), тогда: c (a + b) : 2. 810. а) 1,53x + 0,47x 15; (1,53 + 0,47)x 15; 2x 15; x 15 : 2; x 7,5; б) 3,28x + 4,72x 17; (3,28 + 4,72)x 17; 8x 17; x 17 : 8; x 2,125; 17, 8 − 16 2, 125 −

10 8

−

20 16 −

40 40 0

в) 84,6x – 44,6x 35; (84,6 – 44,6)x 35; 40x 35; x 35 : 40;

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

x −

0,875; 35, 0 40

320 0, 875 300 − 280 200 − 200 0 г) 39,49x + 10,51x 18; (39,49 + 10,51)x 18; 50x 18; x 18 : 50; x 0,36; 18, 0 50 − 150 0, 36 300 − 300 0 811. а) 6,5x – 2,5x 19; (6,5 – 2,5)x 19; 4x 19; x 19 : 4; x 4,75; 19, 4 − 16 4, 75 30 28 20 − 20 0

−

б) 4,58x + 2,42x 7,14; (4,58 + 2,42)x 7,14; 7x 7,14; x 7,14 : 7; x 1,02; 7, 14 7 − 7 1, 02 −

14 14 0

485

486

2002–2011 гг.

в) 7,14x + 17,86x 38; (7,14 + 17,86)x 38; 25x 38; x 38 : 25; x 1,52; 38, 25 − 25 1, 52 −

130 125 −

50 50 0

г) 199,29x – 119,29x 72; (199,29 – 119,29)x 72; 80x 72; x 72 : 80; x 0,9; 72, 0 80 − 720 0, 9 0 812. а) 1,9x + 3,34x – 2,24x 30,66; (1,9 + 3,34 + 2,24)x 30,66; 3x 30,66; x 30,66 : 3; x 10,22; 30, 66 3 − 3 10, 22 −

6 6

−

6 6 0

б) 96,41x – 88,24x + 1,83x 0,0202; (96,41 – 88,24 + 1,83)x 0,0202; 10x 0,0202; x 0,0202 : 10; x 0,00202; 96, 41 8, 17 − + 88, 24 1, 83 8, 17 10, 00

#$%&#$%'($

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

в) 4,25x + 56,402x – 4,652x 58,912; (4,25 + 56,402 – 4,652)x 58,912; 56x 58,912; x 58,912 : 56; x 1,052; +

54, 402 60, 652 58, 912 56 − − 4, 652 4, 250 56 1, 052 60, 652

56, 000

−

291 280 −

112 112 0

г) 5,45x – 4,568x – 0,882x 0; (5,45 – 4,568 – 0,882)x 0; 1x 0; x 0; 5, 450 1, 882 − − 4, 568 0, 882 1, 882

1, 000

813. а) 34,98x – 33,98x + 24x 87,29; (34,98 – 33,98 + 24)x 87,29; 25x 87,29; x 87,29 : 25; x 3,4916; −

87, 29 25 75 3, 4916

−

122 100 −

229 225 −

40 25

−

150 150

0 б) 56,289x + 45,07x – 100,359x 52,15; (56,289 + 45,07 – 100,359)x 52,15; 1x 52,15; x 52,15;

487

488

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

56, 298 101, 359 − 45, 070 100, 359

101, 359

1, 000

в) 25,5x – 13,08x – 12,42x 52,907; (25,5 – 13,08 – 12,42)x 52,907; 0 ! x 52,907; 25, 50 − 13, 08 12, 42

12,42 – 12,42

Уравнение не имеет решения, так как если один из множителей равен 0, то и все произведение равно 0. г) 186,37x – 95,327x – 52,043x 12,48; (186,37 – 95,327 – 52,043)x 12,48; 39x 12,48; x 12,48 : 39; x 0,32; −

186, 370 91, 043 12, 48 39 − − 95, 327 52, 043 117 0, 32 91, 043

39, 000

−

78 78 0

814. (10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 8 + 9 + 10 + 10 + 11 + 11 + 12 + 13 + 13 + 13 + + 14 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 10 + 10 + 9) : 24 (70 + 36 +33 + 24 + + 16 + 52 + 28) : 24 (103 + 60 + 80 + 16) : 24 259 : 24 10,791666… "# " 10,8$. Ответ: среднесуточная температура "10,8$. 815. а) 270,48 : 14 – (15,45 : 15 + 54,252 : 9) 12,262; 1)

−

15, 45 15 15 1, 03 −

45 45 0

−

54, 252 9 54 6, 028 −

6, 028 1, 030 7, 058

25 18 −

72 72 0

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

− −

270, 48 14 5) 19, 320 − 7, 058 14 19, 32 12, 262 130 126 44 42

−

28 28 0

б) 270,14 : 14 – 15,45 : 15 + 54,252 : 9 !24,318; 19, 32 18, 290 + − 6, 028 1, 03 24, 318 18, 29 в) 270,48 : 14 – 15,45 : 15 – 54,252 : 9 !12,262; 19, 32 18, 290 − − 6, 028 1, 03 12, 262 18, 29 г) 54,252 : 9 + 270,48 : 14 – 15,45 : 15 !24,318; 6, 028 25, 348 − + 1, 030 19, 340

19,32 – 1,03 + 6,028

19,32 – 1,03 – 6,028

6,028 + 19,32 – 1,03

25, 348 24, 318 816. а) 0,3 " (23,316 : 5,8 + 0,5175 : 0,75) – 1,413 1) 23,316 : 5,8 233,16 : 58 4,02; −

233, 16 58 232 4, 02 −

116 116

0 2) 0,5175 : 0,75 −

51, 75 75 450 0, 69 −

675 675 0

51,75 : 75

0,69;

489

490

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

4, 02 0, 69 4, 71

4, 71 0, 3

5) 1,413 – 1,413

1, 413

б) 0,3 ! 23,316 : 5,8 – 0,5175 : 0,75 0 1,413 0,482; 4, 02 1, 206 1, 896 × + − 0, 3 0, 690 1, 413

0,3 ! 4,02 + 0,69 – 1,412 "

1, 206 1, 896 0, 483 в) 0,3 ! 23,316 : 5,8 + 0,3 ! 0,5175 : 0,75 – 1,413 – 1,413 0; 0, 69 1, 206 × + 0, 3 0, 207 0, 207 1, 413 1,413 – 1,413 0; г) 23,316 : 5,8 + 0,3 ! 0,5175 : 0,75 – 1,413 "2,814; 4, 020 4, 227 + − 0, 207 1, 413 4, 227

1,206 + 0,3 ! 0,69 –

4,02 + 0,207 – 1,413

2, 814

817. 1) − 442, 0 109 436 4, 0550... ≈ 4, 1 (ì) — высота 1 этажа Чикагского небоскреба; 600 − 545 550 − 545 50... 2)

412, 0 110 330 3, 7454... ≈ 3, 7 (ì) — высота 1 этажа Нью-Йоркского небоскреба. 820 − 770 500 − 440 600 − 550 500 − 440 60... Ответ: высота одного этажа Чикагского небоскреба больше, чем у Нью-Йоркского. −

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

818.

491

269, 1 117 234 2, 3 (ì)

−

351 351

0 Ответ: длина окружности колеса автомобиля равна 2,3 м. 819. а) (28,7 – 23,4) : 2 2,65 (км/ч). 28, 7 5, 3 2 − − 23, 4 4 2, 65 5, 3

−

13 12 −

10 10 0

Ответ: скорость течения реки равна 2,65 км/ч. б) 1) (23,1 – 18,8) : 2 2,15 (км/ч) — скорость течения реки. 23, 1 4, 3 2 − − 18, 8 4 2, 15 4, 3

−

3 2

−

10 10 0

18, 80 2, 15

20, 95 (êì/÷) Ответ: собственная скорость теплохода равна 20,95 км/ч. 820. Нужно рассмотреть случаи движения по течению реки и против течения реки. 821. 1) 112, 0 + 96, 5 208, 5 (км) — общий путь; 2)

3 ÷ 20 ìèí 2 ÷ 60 ìèí 5 ÷ 60 ìèí = 6 ÷ — общее время;

492

2002–2011 гг.

−

#$%&#$%'($

208, 5 6 18 34, 75 (êì/÷)

−

28 24

−

45 42 −

30 30 0

Ответ: средняя скорость автомобиля на всем пути равна 34,75 км/ч. 822. 1) s : v (ч); 2) (s – 20) (км); 3) (v – 12) км/ч; 4) (s – 20) : (v – 12) (ч); 5) s : v – (s – 20) : (v – 12) (ч); 6) s : v + (s – 20) : (v – 12) (ч); 7) s + (s – 20) 2s – 20 (км); 8) (2s – 20) : (s : v – (s – 20) : (v – 12)) (км/ч).

Контрольные задания 1. а)

−

б) − 20, 7 6 18 3, 45

18, 96 12 12 1, 58 69 − 60 −

−

96 96

−

2. (54,8 + 152,07 + 80,53) : 3

287, 40

30 30 0

0 152, 07 + 54, 80 80, 53

27 24

−

287, 4 3 27 95, 8

−

17 15 −

24 24 0

95,8;

493

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

§ 46. Деление десятичной дроби на десятичную дробь 823. 1) 2) 3) 824. а)

1,5 : 0,3 15 : 3 5; 4,2 : 0,06 420 : 6 70; 0,35 : 0,5 35 : 50 0,7; 6 : 0,8 60 : 8 7,5; −

4) 5) 6) б)

9 : 4,5 90 : 45 2; 0,072 : 0,1 0,72 : 1 0,72; 1,634 : 0,0001 16 340 : 1 16 340. 160 : 0,016 160 000 : 16 10 000;

60, 0 8 56 7, 5 −

40 40 0

в) 32 : 1,28 −

3200 : 128

г) 24 : 6,25

25;

3200 128 256 25

−

640 640

2400, 625 1874 3, 84

−

5250 5000

−

2500 2500 0

825. а) 1 : 0,5 10 : 5 2; б) 19 : 0,0608 190 000 : 608 190000 608 − 1824 312, 5 −

760 608

−

1520 1216 −

3040 3040

0 в) 4 : 0,025 4000 : 25 4000 25 − 25 160 −

150 150 0

160;

312,5;

2400 : 625

3,84;

494

2002–2011 гг.

г) 8,932 : 2,9 −

89,32 : 29

3,08;

89, 32 29 87 3, 08 −

232 232 0

826. а) 9 : 0,36

900 : 36

−

900, 36 72 25

−

180 180

25;

0 б) 89 : 0,02848 −

8 900 000 : 2848

3125;

8900000 2848 8544 3125

−

3560 2848 −

7120 5696

−

14240 14240 0

в) 34 : 0,085 3400 : 85 3400 85 − 340 40

40;

0 г) 225 : 0,625 −

225 000 : 625

360;

225000 625 1875 360

−

3750 3750 0

827. а) 0,75 : 0,15 75 : 15 5; б) 1,836 : 0,204 1836 : 204

"#$%"#$&'#

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

−

1836 204 1836 9 0

в) 7,05 : 1,5 −

70,5 : 15

4,7;

70, 5 15 60 4, 7

−

105 105 0

г) 12,4 : 0,031 −

12 400 : 31

400;

2,091 : 41

0,051;

12400 31 124 400 0

828. а) 0,2091 : 4,1 −

2, 091 41 205 0, 051 −

41 41 0

б) 519,536 : 15,2 −

5195,36 : 152

5196, 36 152 456 34, 18

−

635 608 −

273 152

−

1216 1216 0

34,18;

495

496

2002–2011 гг.

в) 3,5 : 0,4 −

35 : 4

8,75;

35, 0 4 32 8, 75

−

30 28

−

20 20 0

г) 3,76 : 0,4 −

37,6 : 4

9,4;

37, 6 4 36 9, 4 −

16 16 0

829. а)

−

1680 400 1600 0, 42 −

б)

800 800 0

−

7230, 0 5000 5000 1, 446

−

22300 20000

−

23000 20000

−

30000 30000 0

в) 16,92 : 4,23 −

1692 : 423

1692 423 1692 4 0

г)

−

6448, 0 8000 64000 0, 806 −

48000 48000 0

#$%&#$%'($

497

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

830. а)

836. а)

−

17, 5 14 14 1, 25 35 − 28 70 − 70 0 42, 25 13

65 65

0 69,02 : 3,4 −

259 37 259 7

в)

−

8610 246 728 35

−

1130 1130

г)

−

825, 6 32 25, 8 ≈ 26 64

−

185 160

−

1840, 0 736 1472 2, 5

−

3680 3680 0

32 26 −

−

3, 25 ≈ 3

39 −

б)

256 256

0 690,2 : 34 20,3;

690, 2 34 20, 3 ≈ 20 68

−

102 102 0

б) −

21, 45 3 900, 0 93 60, 48 12 − − 7, 15 ≈ 7, 2 21 9, 76... ≈ 9, 7 60 5, 04 ≈ 5 837

−

630 558 −

720 651

−

48 48 0

−

1, 05 12 96 0, 0875 ≈ 0, 09 −

90 84

−

60 60 0

4 3

−

15 15 0

69... в)

−

34, 53 15 2, 302 ≈ 2, 30 30 −

45 45 −

30 30 0

498

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

−

106500 2145 8580 49, 650... ≈ 49, 65 20700 19305 13950 − 12870 10800 − 10800 750...

−

г) −

1066, 56 275 48, 156 15 − 3, 8784 ≈ 3, 878 825 3, 2104 ≈ 3, 210 45 −

31 30

−

15 − 15

2415 2200

−

60 − 60 0

2156 1925 −

2310 2200

−

1100 1100 0

−

61, 25075 25 2, 45003 ≈ 2, 450 50

112 100 125 − 125 075 − 75 0 837. а) Да; б) нет; в) да; 838. 2,5 км 2,5 ! 1000 м 2500 м; 25000, 0 3333 − 23331 7, 50... ≈ 7, 5 (ñ) −

−

16690 16665

250... Ответ: взрыв будет услышан через 7,5 с.

г) да.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

829. 100 : 0,29 10 000 : 29 ! 344,8 (м). 10000 29 − 87 344, 82... ≈ 344, 8 −

130 116 −

140 116 −

240 232 −

80 58

22... Ответ: в мотке !344,8 м нити. 840. 44,46 кг 44,46 " 1000 г 44 460 г. −

444600 2925 2925 152 (ì)

−

15210 14625 −

5850 5850 0

Ответ: в мотке 152 м проволоки. 841. 1200 24 − 120 50 (ñò.) 50 + 1 51 (ст.) (1 крайний столб). 0 Ответ: был установлен 51 столб. 842. 1) (30 + 37,5) " 2 67,5 " 2 135,0 (м) — длина изгороди; 2) 1350 25 − 125 54 (ñò.) −

100 100 0

3) 54 + 1 55 (ст.). Ответ: для изгороди понадобится 55 столбов. 2) x " 7,08 84,96; 843. 1) 2,6x 1307,8; x 1307,8 : 2,6; x 84,96 : 7,08; x 503; x 12;

499

500

"#$%"#$&'#

2002–2011 гг.

−

13078 26 130 503 −

78 78

−

8496 708 708 12

−

1416 1416

0 0 3) 512x 5,12; x 5,12 : 512; x 512 : 51 200; x Действительно, 512 ! 0,01 5,12. 4) x ! 23,5 143,35; 5) 5,3x 4,24; x 143,35 : 23,5; x 4,24 : 5,3; x 6,1; x 0,8; 1433, 5 235 42, 4 53 − − 1410 6, 1 424 0, 8 −

235 235

0,01.

0 6) 0,342x 0,342; x 0,342 : 0,342; x 1. Действительно, 0,342 ! 1 0,342. 7) 2,31x 0,1617; 8) x ! 3 3,0468; x 0,1617 : 2,31; x 3,0468 : 3,4; x 0,07; x 1,002; −

16, 17 231 1617 0, 07

−

34, 068 34 34 1, 002 −

068 68 0

8) 28x 0,028; x 0,028 : 28; x 0,001. Действительно, 28 ! 0,001 0,028. 844. б) 0,3 ! (28,56 + 1,5) – 0,512 8,506; 3) 9, 018 1) 28, 56 2) 30, 06 + × − 1, 50 0, 3 0, 512 30, 06

9, 018

8, 506

в) 0,3 ! 28,56 + 0,3 ! 1,5 – 0,512 8,506; 3) 8, 568 1) 28, 56 2) 1, 5 × + × 0, 3 0, 450 0, 3 8, 568

0, 45

9, 018

−

9, 018 0, 512 8, 506

501

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

845. а) 0,51 + 0,8 (5 : 4 + 38 : 1,9 + 91,2 : 15,2) ! 22,31; 1)

−

5, 0 4 4 1, 25

−

2) 380 : 19 ! 20;

−

10 8

−

912 152 912 6

20 20 0

1, 25 + 20, 00 6, 00

27, 25 0, 8

21, 800

21, 80 0, 51 22, 31

27, 25 в) 0,51 + 0,8 5 : 4 + 0,8 38 : 1,9 + 0,8 91,2 : 15,2 ! 22,31; 1)

1, 25 0, 8

1, 000 3) 0,8 6 ! 4,8;

0, 8 20 16, 0 4)

0, 51 1, 00 + 16, 00 4, 80 22, 31

846. а) (x + 25.32) р.; 4,6х р.; 5,75 (х + 25,32) (р.); 4,6x + 5,75 (x + 25,32) (р.); 5,75(x + 25,32) – 4,6x (р.); б) 4,6x + 5,75(x + 25,32) ! 588,57; 4,6x + 5,75x + 145,59 ! 588,57; 10,35x ! 588,57 – 145,59; 10,35x ! 442,98; x ! 442,98 : 10,35; x ! 42,8; 5,75(x + 25,32) – 4,6x ! 104,81; 5,75x + 145,59 – 4,6x ! 194,81; 1,15x ! 194,81 – 145,59; 1,15x ! 49,22; x ! 49,22 : 1,15; x ! 42,8. Найдена цена ситца за 1 м.

502

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

847. 1)

−

26, 03103 3 8, 67701 ≈ 8, 68 24

2) −

20 18

−

23 21

−

8, 62222 4 2, 155... ≈ 2, 16 8 −

6 4

−

22 20

21 21

22 20

−

03 3

−

2...

0 3)

−

9, 27 4 8 2, 3175 ≈ 2, 32

−

1103, 13 15 105 73, 542 ≈ 73, 54

12 12

−

53 45

−

7 4

−

30 28

81 75 63 − 60

20 − 20

− 0

0 848. 1) −

428, 402 52 8, 238... ≈ 8, 24 416 −

124 104

−

200 156 −

442 442

30 30

2) −

171, 376 8 21, 422 ≈ 21, 42 16

−

11 8

−

33 32 −

17 16

26... −

16 16 0

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

−

60, 01 5 12, 002 ≈ 12, 00 5

−

10 10 −

−

199, 95 25 7, 998 ≈ 8, 00 175 −

010 10

503

249 225

−

245 225

0 −

200 200 0

849. а) При а 3; b 0,1 a3 + b3 33 + 0,23 27 + 0,008 27,008; б) при а 3; b 0,2 (a + b)3 (3 + 0,2)3 3,23 3,2 ! 3,2 ! 3,2 32,768; в) при а 3; b 0,2 (a + b)(a2 – ab + b2) (3 + 0,2) ! (32 – 3 ! 0,2 + 0,22) "3,2 ! 8,44 27,008; г) при а 3; b 0,2 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 33 + 3 ! 32 ! 0,2 + 3 ! 3 ! 0,22 + + 0,23 27 + 0,36 + 0,008 32,768. Итак, при данных значениях переменных а и b равны значения выражений а) и в); б) и г), то есть a3 + b3 (a + b)(a2 – ab + b2); (a + b)3 "a3 + 3a2b + 3ab2 + b3. 850. а) 1,5x + 3x + 3 ! 0,83 4,5x + 2,49; б) 7,1 + 17 – 5x 24,1 – 5x; в) 1,2y + 6 – 1,7 1,2y + 4,3; г) 3x + 2,5x – 15 5,5x – 15. 851. а) y + 7y – 21,7 8y – 21,7; б) 1,1x + 2,6x _ 5,2 3,7x – 5,2; в) x + 4,5x + 9x + 46,8 14,5x + 46,8; г) 7,1x + 1,42 + 1,8 7,1x + 3,22. 852. а) 3x (р.); (х – 0,85) р.; 4(х – 0,85) р.; 3х + 4(х – 0,85) (р.); 3х – 4(х "0,85) (р.); 30 – (3х – 4(х – 0,85)) (р.); б) 3x + 4(x – 0,85) 23,9; 3x + 4x – 3,4 23,9; 7x 23,9 + 3,4; 7x 27,2; x 27,3 : 7; x 3,9. Найдена цена ручки — 3,9 р. 853. Цена тетради — х р., а книги — (х + 7) р. Дальше задание можно выполнить также, как в № 852. 28, 4 ⋅ 2, 5 − 1, 34 71 − 1, 34 69, 66 = 3; = = 1, 089 : 1, 5 + 6, 3 : 0, 28 0, 72 + 22, 5 23, 22 0, 72 − 0, 104 − 0, 112 ⋅ 0, 5 0, 616 − 0, 056 0, 56 б) = = = 8; 0, 07 0, 063 : 1, 26 ⋅ 0, 13 0, 05 ⋅ 1, 4 1 : 0, 25 0, 135 : 0, 054 4 (2, 1 − 1, 965) : (0, 12 ⋅ 0, 45) в) − = − = 0, 0325 : 0, 13 0, 16 ⋅ 6, 25 0, 25 1

854. а)

504

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

2, 5 − 4 = 10 − 4 = 6; 0, 25 4, 488 7, 1 ⋅ 1, 5 (4, 3 + 2, 8) ⋅ (4, 3 − 2, 8) г) + = + 37, 4 = (3, 6 − 0, 63) : (4, 61 + 7, 27) 0, 12 2, 97 : 11, 88 10, 65 = + 37, 4 = 42, 6 + 37, 4 = 80. 0, 25 =

855. 1)

−

5775 35 35 165 (р.) — стоит 1 м ткани;

−

227 210 −

175 175 0

20, 25 165

10125 + 12150 2025 3341, 25 (ð.) Ответ: стоимость ткани равна 3341,25 р. 24 52, 8 16 856. 1) 2) × − 2, 2 48 3, 3 (ì) +

48 48

−

48 48

52, 8 (ì) — расстояние;

0 Ответ: длина окружности заднего колеса равна 3,3 м. 8, 1 2) 857. а) 1) 4, 47 − × 0, 4 2, 12 3, 24

894 + 447 894 9, 4764 — новое произведение;

−

9, 4764 4, 4700

5, 0064 Ответ: новое произведение больше первоначального на 5,0064.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. %+3.-'970, 5. 6. 87-:179*2.

858. 1) 5,1 2 ! 10,2 (раза);

× +

505

28, 1 10, 2

562 281 286, 62 (ì2 )

Ответ: искомая площадь равна 286,62 м2. 1, 25 2) 859. 1) 15, 0 12 × − 26 12 1, 25 (ðàç) −

30 24

−

60 60

750 250 32, 50 (р.) — стоимость карамели;

0 3) 32, 5 + 26, 0 58, 5 (ð.) Ответ: было куплено конфет на общую сумму 58,5 р. 860. а) 72, 0 45 Частное увеличится в 1,6 раза; − 45 1, 6 −

270 270

0 б) частное не изменится; в) частное не изменится; г) 2,5 0,5 ! 1,25 (раза); частное уменьшится в 1,25 раза. 861. 1) 135 2) 540 15 − — один из множителей; − 81 45 36 54 90 − 90 0 81, 0 36 72 2, 25 — второй множитель. 90 − 72 180 − 180 0 Ответ: искомые числа равны 36 и 2,25. 3)

−

506

#$%&#$%'($

2002–2011 гг.

б) 1,68 – 0,5 1,18; 862. а) 0,25 + 0,3 0,55; в) 0,2 + 8,09 8,29; г) 0,75 – 0,098 0,652. 1, 0 5 1, 0 2 1, 0 4 3, 0 4 − − − − 10 0, 2 10 0, 5 8 28 0, 75 0, 25 −

20 20

−

20 20 0

Контрольные задания а)

−

б)

288, 36 36 288 8, 01 −

36 36

−

39, 22 74 370 0, 53 −

222 222 0

§ 47. Понятие процента 864. 100 % — все высаженные овощи; 8 % ! 3 24 % — занято помидорами; 100 % – (6 % + 24 %) 68 % — занято картофелем. 865. 100 % — воздух; 75,5 % – 52,4 % 23,1 % — приходится на кислород; 100 % – (75,5 % + 23б1 %) 1,4 % — приходится на остальные газы. 866. 100 % — все книги библиотеки; 36 % : 3 12 % — справочники и словари; 100 % – (36 % + 12 %) 51 % — художественная литература. 1% 867. Сотая часть числа Десятая часть числа Пятая часть числа Четвертая часть числа

10 % 20 % 100 % 4

Половина числа Три четверти числа Треть числа

= 25 %

50 % 3 ! 25 % 75 % 100 % 3

≈ 33 %

868. На остальных насекомых приходится 50 % коллекции.

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

507

869. 100 % – 10 % 90 %. Ответ: на остальные монеты приходится 90 % коллекции. 870. 100 % – 25 % 75 %. Ответ: на отечественную литературу приходится 75 % библиотечного фонда.

Контрольные задания 1 % — это сотая часть величины.

§ 48. Задачи на проценты 874. 1) 180 : 6 30 (марок) — величина 1 %; 2) 30 ! 100 3000 (марок). Ответ: в коллекции филателиста 3000 марок. 875. 1) 750 : 100 7,5 (уч.) — величина 1 %; 2) 7,6 ! 6 45 (уч.). Ответ: шахматный кружок посещают 45 учеников. 876. 1) 18 : 3 6 (уч.) — величина 1 %; 2) 6 ! 100 600 (уч.). Ответ: в школе 600 учеников. 877. 1) 150 : 100 1,5 (дер.) — величина 1 %; 2) 1,5 ! 8 12 (лип). Ответ: в парке 12 лип. 878. 1) 131,1 : 23 5,7 (м) — величина 1 %; 2) 5,7 ! 100 570 (м). Ответ: бригада должна отремонтировать 570 м дороги. 879. 1) 1500 : 100 15 (монет) — величина 1 %; 2) 15 ! 21 315 (монет) — старинные; 3) 15 ! 2 30 (монет) — иностранные; 4) 15 ! 5 75 (монет) — юбилейные. Ответ: в коллекции 315 старинных монет, 30 иностранных и 75 юбилейных. 880. 1) 48 : 60 0,8 (тыч. р.) — величина 1 %; 2) 0,8 ! 100 80 (тыч. р.). Ответ: для оборудования кабинета нужно 80 тысяч рублей. 881. 1) 1200 : 100 12 (марок) — величина 1 %; 2) 12 ! 5 60 (марок) — старинные; 3) 12 ! 18 216 (марок) — юбилейные; 4) 12 ! 6 72 (марки) — иностранные. Ответ: в коллекции 60 старинных марок, 216 юбилейных и 72 иностранные. 882. 1) 1260 : 20 63 (р.) — величина 1 %; 2) 63 ! 100 6300 (р.). Ответ: за ремонт кухни было уплачено 6300 р. 883. 1) 10 000 : 100 100 (м2) — величина 1 %; 2) 100 ! 15 1500 (м2) — брюссельская капуста;

508

884.

885.

886.

887.

888.

889.

890.

891.

892.

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

3) 100 24 ! 2400 (м2) — капуста кольраби; 4) 100 28 ! 2800 (м2) — цветная капуста. Ответ: под брюссельскую капусту отведено 1500 м2; под капусту кольраби — 2400 м2; под цветную — 2800 м2. 1) 800 : 10 ! 80 (пар) — величина 1 %; 2) 80 100 ! 8000 (пар). Ответ: на оптовую базу поступило 8000 пар обуви. 1) 87 : 75 ! 1,16 (га) — величина 1 %; 2) 1,16 100 ! 116 (га). Ответ: бригада должна убрать урожай с 116 га. 1) за 100 % примем путь лыжников за три дня — это 87 км; 2) 87 : 100 ! 0,87 (км) — 1 %; 3) 0,87 35 ! 30,45 (км) — I день; 4) 0,87 38 ! 33,06 (км) — II день; 5) 87 – (30,45 + 33б06) ! 87 – 63,51 ! 23,49 (км) — III день. 1) весь путь, он неизвестен; 2) 33 : 30 ! 1,1 (км) — 1 %; 3) 1,1 100 ! 110 (км) — весь путь за три дня; 4) 1,1 38 ! 41,8 (км) — II день; 5) 110 – (33 + 41,8) ! 110 – 74,8 ! 35,2 (км) — III день. 1) выпущенны за месяц 2500 деталей; 2) 2500 : 100 ! 2,5 (детали) — 1 %; 3) 25 35 ! 875 (деталей) — I декада; 4) 25 40 ! 1000 (деталей) — II декада; 5) 2500 – (875 + 1000) ! 2500 – 1875 ! 625 (деталей) — III декада. 1) выпущенные за месяц детали; неизвестна; 2) 102 : 17 ! 8 (деталей) — 1 %; 3) 8 100 ! 800 (деталей) — за месяц по плану; 4) 8 34 ! 204 (детали) — II декада; 5) 800 – (102 + 204) ! 800 – 306 ! 494 (детали) — III декада. 1) 382 200 : 100 ! 3822 (р.) — 1 %; 2) 3822 45 ! 171 990 (р.) — материалы; 3) 171 900 2 ! 343 980 (р.) — стоимость работ и материала; 4) 383 200 – 343,980 ! 38 220 (р.) — доставка. Ответ: стоимость материала равна 171 990 р., а доставки — 38 220 р. 1) 60 : 15 ! 4 (стр.) — 1 %; 2) 4 100 ! 400 (стр.) — всего в книге; 3) 4 25 ! 100 (стр.) — II день; 4) 400 – (100 + 60) ! 400 – 160 ! 240 (стр.) — III день. Ответ: во второй день Оля прочитала 100 страниц книги, а в третий — 240 страниц. 1) 35 : 100 ! 0,35 (кг) — 1 %; 2) 0,35 14 ! 4,9 (кг) — сушеные грибы; 3) 2,8 : 14 ! 0,2 (кг) — 1 % для второго случая; 4) 0,1 100 ! 20 (кг) — свежие грибы. Ответ: из 35 кг свежих грибов можно получить 4,9 кг сушеных; а чтобы получить 2,8 кг сушеных грибов, нужно взять 20 кг свежих грибов.

509

&'(')*' +,-./)')*0 1 +2'3)*1+ $. $. 4+3.-'970, 6. 8. :7-;179*2.

893. 1) 100 % – 35 % 65 % — остается вареного мяса; 2) 1 : 65 0,01538… ! 0,015 (кг) — 1 % для первого случая; 3) 0,015 " 100 1,5 (кг) — свежее мясо; 4) 2 : 100 0,02 (кг) — 1 % для второго случая; 5) 0,02 " 65 1,3 (кг) — вареное мясо. Ответ: нужно взять !1,5 кг свежего мяса, чтобы получить 1 кг вареного; а из 2 кг свежего мяса получится 1,3 кг вареного.

Контрольные задания 1. 2. 3. 4.

5,96 : 100 0,0596 — 1%. 0,079 " 100 7,9 — 100 %. 186 : 100 " 34 1,86 " 34 – 63,24. 53,94 : 62 " 100 0,87 " 100 87.

§ 49. Микрокалькулятор 894. а)

215, 710 34, 527 250, 237

б)

−

7549, 25 6343, 77 1205, 48

в)

× +

15, 78 30, 05

7890 4734 474, 1890

г)

−

382, 27 127 381 3, 01 −

127 127 0

895. а) 395,561; проверка: 395,561 – 54,281 341,28. Так как получили второе слагаемое, то сумма найдена правильно. б) 300,652; проверка: 300,652 + 390,4 691,052; в) 271,488; проверка: 271,488 : 12,8 21,21; г) 322,5; проверка: 322,5 " 18 5805. 896. а) 0,302; проверка: 0,302 – 0,052 0,25; б) 0,0937; проверка: 0,0937 + 0,0088 0,1025; в) 28,08; проверка: 28,08 : 0,8 35,1; г) 0,1416; проверка: 0,1416 " 2,5 0,354. 897. 25 32; 4,23 74,088; 37 2187; 5,14 676,5201. 898. а) 67,111 – 33,048 34,063; б) 165,42 + 73,55 238,97; в) 166,663 – 102,58 64,083; г) 311,5 : 2,8 111,25. 899. а) 546,31 – 452,8 93,51; б) 2,626 + 11,44 14,066; в) 74,11 + 85,32 159,43; г) 1,8 " 1,3536 2,43648. 900. #А — ? в 2 раза >, чем 2x°  #В — ? x°  180° #С — ? на 20$ <, чем  (x − 20)°

510

2002–2011 гг.

#$%&#$%'($

Решение. 2x + x + x – 20 180; 4x 180 + 20; 4x 200; x 50. Итак, !B 50", !А 2 # 50" 100"; !С 50" – 20" 30". Ответ: !А 100"; !В 50"; !С 30". 901. 1 способ: !ABF 180" – 158" 22"; !DBF 165" – 22" 143". 2 способ: !CBD 180" – 165" 15"; !DBF 158" – 15" 143". 3 способ: 1) 158" + 165" 323"; 2) 323" – 180" 143". Ответ: !DBF 143". 902. 1) 6 : 8 # 3 0,75 # 3 2,25 (сотки) — занято под огурцы; 2) 2,25 : 5 # 2 9,45 # 2 0,9 (сотки) — занято под огурцы для открытого грунта; 3) 2,25 – 0,9 1,35 (сотки) — тепличные сорта. Ответ: тепличными сортами занято 1,35 сотки участка. 903. Единичный отрезок — 8 клеток.