587
Составить уравнение параболы, которая имеет фокус Е(0; -3) и проходит через начало координат, зная, что ее осью служит ось Оу.
588
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями. Изобразить эти линии на чертеже. 588.1 588.2
; ;
588.3 588.4 588.5
; ; ;
588.6 588.7 588.8
; ; .
589
Найти фокус F и уравнение директрисы параболы
.
590
Вычислить фокальный радиус точки М параболы
, если абсцисса точки М равна 7.
591
Вычислить фокальный радиус точки М параболы
, если ордината точки М равна 6.
592
На параболе
593
Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы
найти точки, фокальный радиус которых равен 13.
.
594
Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; оси Ох и парабола простирается в бесконечность:
), параметр равен p, ось параллельна
594.1 в положительном направлении оси Ох; 594.2 в отрицательном направлении оси Ох.
595
Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина совпадает с точкой ( ; оси Оу и парабола простирается в бесконечность:
), параметр равен p, ось параллельна
595.1 в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола является восходящей); 595.2 в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола являетя нисходящей).
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:
596 596.1
;
596.2
;
596.3 596.4
; .
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:
597 597.1
; 597.2
;
597.3 .
598
Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти ее вершины А и величину параметра р:
598.1
;
598.2 ; 598.3
.
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
599 599.1
;
599.2 599.3 599.4
; ; .
600
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса
.
601
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и директриса
.
602
Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(2; -1) и директриса
.
603
Даны вершина параболы А(6; -3) и уравнение ее директрисы
604
Даны вершина параболы А(-2; -1) и уравнение е директрисы
. Найти фокус F этой параболы.
. Составить уравнение этой параболы.
605
Определить точки пересечения прямой
и параболы
.
606
Определить точки пересечения прямой
607
Определить точки пересечения прямой
608
В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне ее: 608.1 608.2 608.3
609
,
и параболы
и параболы
.
; ,
;
,
.
Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая 609.1
.
пересекает параболу
;
:
609.2 касается ее; 609.3 проходит вне этой параболы.
610
Вывести условие, при котором прямая
611
Доказать, что к параболе .
612
Составить уравнение касательной к параболе
касается параболы
.
можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом
в ее точке М1(x1; y1).
613
Составить уравнение прямой, которая касается параболы
и параллельна прямой
.
614
Составить уравнение прямой, которая касается параболы
615
Провести касательную к параболе этой касательной и данной прямой.
616
На параболе до этой прямой.
параллельно прямой
найти точку М1, ближайшую к прямой
и перпендикулярна к прямой
.
и вычислить расстояние d между
, и вычислить расстояние d от точки М1
617
Составить уравнения касательных к параболе
618
К параболе проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.
, проведенных из точки А(2; 9).
619
Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе касания.
. Составить уравнение хорды, соединяющей точки
620
Из точки Р(-3; 12) проведены касательные к параболе параболы, соединяющей точки касания.
. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды
621 Определить точки пересечения эллипса
и параболы
.
622 Определить точки пересечения гиперболы
623
Определить точки пересечения парабол
и параболы
,
.
.
624
Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.
625
Из фокуса параболы под острым углом к оси Ох направлен луч света. Известно, что параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
. Дойдя до
626
Доказать, что две параболы, имеющую общую ось и общий фокус, расположенный между ее вершинами, пересекаются под прямым углом.
627
Доказать, что если две параболы со взаимно перпендикулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.
Глава 21. Полярные уравнения эллипса, гиперболы и параболы 628 Дано уравнение эллипса . Составить его полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 628.1 в левом фокусе эллипса; 628.2 в правом фокусе.
629 Дано уравнение гиперболы . Составить полярное уравнение ее правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 629.1 в правом фокусе гиперболы; 629.2 в левом фокусе.
630 Дано уравнение гиперболы . Составить полярное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 630.1 в левом фокусе гиперболы;
630.2 в правом фокусе.
631
Дано уравнение параболы . Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.
632
Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах: 632.1 ; 632.2 ; 632.3 ; 632.4 ; 623.5 ; 632.6 .
633 Установить, что уравнение
определяет эллипс, и найти его полуоси.
634 Установить, что уравнение
определяет правую ветвь гиперболы, и найти ее полуоси.
635 Установить, что уравнение
определяет эллипс, и составить полярные уравнения его директрис.
636 Установить, что уравнение директрис и асимптот этой гиперболы.
определяет правую ветвь гиперболы, и составить полярные урвнения
637 На эллипсе
найти точки, полярные радиус которых равен 6.
На гиперболе
найти точки, полярные радиус которых равен 3.
638
639 На параболе
найти точки:
639.1 с наименьшим полярным радиусом; 639.2 с полярным радиусом, равным параметру параболы.
640 Дано уравнение эллипса . Составить его полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.
641 Дано уравнение гиперболы
. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной
оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы.
642
Дано уравнение параболы . Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в вершине параболы.
Глава 22. Диаметры линий второго порядка 643 Составить уравнение диаметра эллипса
, проходящего через середину его хорды, отсекаемой на прямой
.
644 Составить уравнение хорды эллипса
, проходящей через точку А(1; -2) и делящейся ею пополам.
645
Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса Ох угол 450.
646
Составить уравнения двух взаимно двух взаимно сопряженных диаметров эллипса параллелен прямой
.
, из которых один образует с осью
, из которых один
647
Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаметров эллипса перпендикулярен к прямой
, из которых один
.
648
На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр.
649
Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров.
650
Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать, что каждый диаметр окружности является главным.
651
а). В эллипс вписан равнобедренный треугольник так, что его вершина совпадает с одной из вершин эллипса. Доказать, что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса; б). Доказать, что стороны прямоугольника вписанного в эллипс,параллельны осям этого эллипса; в). На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его главные диаметры. Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произвольную произвольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, праллельны паре его сопряженных диаметров. а). Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме квадратов его полуосей), б). Доказать, что площадь параллелограмма, построенного на двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина постоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его полуосях).
652 653
654 Составить уравнение диаметра гиперболы
, походящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой
. 655 Дана гипербола
. Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(3; -1) и делится точкой
А пополам. 656
Составить уравнениядвух сопряженных диаметров гиперболы А(8; 1).
, из которых один проходит через точку
657 658 659 660 661
Составить уравнения сопряженных диаметров гиперболы , угол между которыми равен 450. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее центр. Доказать, что оси гиперболы являются единственной парой ее главных диаметров. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главные диаметры. Составить уравнение диаметра параболы
, проходящего через середину ее хорды, отсекаемой на прямой
. 662 663 664
Дана парабола . Составить уравнение ее хорды, которая проходит через точку А(2; 5) и делится точкой А пополам. Доказать, что ось параболы является единственной ее главным диаметром. На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.
Глава 5. Упрощение общего уравнения линии второго порядка. Уравнения некоторых кривых Глава 23. Центр линии второго порядка Установить, какие из следующих линий являются центральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:
665 665.1
;
665.2
;
665.3
;
665.4
;
665.5 665.6
; ;
665.7
;
665.8
. Установить, что следующие линии являются центральными, и для каждой из них найти координаты центра:
666 666.1
;
666.2
666.3
;
;
666.4
.
Установить, что каждая из следующих линий имеет бесконечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров:
667 667.1
667.2
;
;
667.3
.
Установить, что следующие уравнения определяют центральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр:
668
668.1
668.2
;
;
668.3
668.4
;
.
669
При каких значениях m и n уравнение
669.1 центральную линию;
669.2 линию без центра;
669.3 линию, имеющую бесконечного много центров.
определяют:
670
Дано уравнение линии : 670.1 пересекает эту линию в одной точке; 670.2 касается этой линии; 670.3 пересекает эту линию в двух точках; 670.4 не имеет общих точек с этой линией.
. Определить, при каких значениях углового коэффициента k прямая
671
Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку M(6; -2) и
касается прямая 672
в точке N(2; 0).
Точка Р(1; -2) является центром линии второго порядка, которая проходит через точку Q(0; -3) и касается линии Ох в начале координат. Составить уравнение этой линии.
Глава 24. Приведение уравнения центральной линии второго порядка к простейшему виду Определить тип каждого из следующих уравнений; каждое из них путем параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:;
673
673.1
673.2
673.3
;
;
673.4
673.5
;
.
Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов отноительно старых и новых осей координат:
674
674.1
;
674.2
;
674.3
;
674.4
;
674.5
.
Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:
675 675.1
675.2
;
;
675.3
;
675.4
675.5
675.6
;
;
.
Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы; оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решению, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
676
676.1
;
676.2
;
676.3
;
676.4
676.5
;
:
676.6
.
То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
677 677.1
;
677.2
;
677.3
;
677.4
;
677.5
;
677.6
;
677.7
677.8
;
.
678
Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:
678.1
;
678.2
;
678.3
;
678.4
. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:
679 679.1 679.2
; ;
679.3
679.4
;
.
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:
680
680.1
;
680.2
680.3
680.4
;
;
.
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:
681
681.1
;
681.2
681.3
681.4
;
;
.
682
Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими
уравнениями: 682.1
:
682.2 682.3 682.4 682.5
; ; ; .
683
Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.
684
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) определяет эллипс в том и тольк в том случае, когда А и суть числа разных знаков.
685
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и суть числа одинаковых знаков.
686
Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени ( >0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда =0.
687
Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( <0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда .
Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени ( <0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда =0.
688
Глава 25. Приведение параболического уравнения к простейшему виду Установить, что каждое из следующих уравнений является параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:
689
689.1
:
689.2 689.3
; . То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:
690 690.1
;
690.2
;
690.3
.
691
Для любого параболического уравнения доказать, что коэффициенты А и С не могут быть числамы разных знаков и что они одновременно не могут обращаться в нуль.
692
Доказать, что любое параболическое уравнение может быть написано в виде Доказать, что эллиптические и гиперболические уравнения в таком виде не могут быть написаны.
693
Установить, что следующие уравнения являются параболическими, и записать каждое из них в виде, указанном в задаче 692: 693.1 693.2
; ;
693.3 693.4 693.5
; ; .
.
694
Доказать, что если уарвнение второй степени является параболическим и написано в виде , то дискриминант его левой части определяется формулой
695
Доказать, что параболическое уравнение , , приводится к виду - дискриминант левой части данного уравнения.
.
при помощи преобразования , где
,
,а
696
Доказать, что параболическое уравнение определяет параболу в том и только в том случае, когда что в этом случае параметр параболы определяется формулой
.
. Доказать,
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:
697
697.1
;
697.2
697.3
697.4
;
;
.
698
Доказать, что уравнение второй степени является уравнением вырожденной линии в том и только в том случае, когда =0.
699
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару параллельных прямых, и найти их уравнения: 699.1
;
699.2 699.3
; .
700
Не проводя преобразований координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:
700.1
700.2
700.3
;
;
.
Глава 26. Уравнение некоторых кривых, встречающихся в математике и ее приложениях 701
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(c; 0), F2(c; 0) есть постоянная величина a2. Такое геометрическое место точек называется овалом Кассини (см. рис.).
702
Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний от которых до двух данных точек F1(а; 0), F2(а; 0) есть постоянная величина а2. Такое геометрическое место точек называется лемнискатой (см. рис.). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом – рассматривая ее как частный вид овала Кассини). Составить также уравнение лемнискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с началом координат.
703
Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров,опущенных из начала координат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади S.
704
Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).
705
Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой скоростью . Составить в даной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью v (спираль Архимеда, (см. рис.).
706
Даны прямая и окружность радиуса r, которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок ОМ=ВС (см. рис.). При вращении луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую циссоидой. Составить уравнение циссоиды.
707
Даны прямая x=a (a>0) и окружность радиуса а, проходящая через начало координат О и касающаяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, параллельные соответственно осям Оу и Ох (см. рис.). Точка М пересечения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую верзьерой. Составить ее уравнение.
708
Из точки А(-а; 0), где а>0, проведен луч АВ (см. рис.), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки BM, BN одинаковой длины b (b=const). При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую конхоидой. Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
709
Из точки А(-а; 0), где a>0, проведен луч АВ (см. рис.), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки BM и BN, равные ОВ. При вращении луча точки M и N описывают кривую, называемую строфоидой. Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
710
Из начала координат проведен луч, пересекающий данную окружность (а>0) в точке В (см. рис.); на луче по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки BM и BN постоянной длины b. При вращении лча точки M и N описывают кривую, называемую улиткой Паскаля (см. рис.). Составить ее уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полю с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
711
Отрезок длины 2а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок (см. рис.), сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. Точка М описывает кривую, называемую четырехлепестковой розой.
712
Отрезок длины а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях. Через концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точке Р. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок. Эта траектория называется
астроидой.
713
Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью опущен перпендикуляр ОМ. Вывести уравнение траектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.
714
Нить, намотанная на окружность , разматывается так, что в точке В,где нить отделяется от окружности, она остается касательной к ней (см. рис.). Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положением конца является точка А(а; 0), где а>0. Линия, о которой идет речь, называется эвольвентой окружности.
715
Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (см. рис.). Вывести параметрические уравнения циклоиды, принимая в качестве параметра t угол, на который поворачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный момент (t=0) точка М находится в начале координат. Исключить параметр t из полученных уравнений.
716
Круг радиуса а катится без скольжения по окружности , оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется кардиоидой (см. рис.). Вывести параметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в начальный момент (t=0) точка М находится справа на оси Ох. Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А. Доказать, что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля
(см. задачу 710).
717
Круг радиуса а катится без скольжения по окружности , оставаясь вне ее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется эпициклоидой (см. рис.). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t=0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.
718
Круг радиуса а катится без скольжения по окружности , оставаяь внутри нее. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется гипоциклоидой (см. рис.). Вывести параметрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t=0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что астроида (см. задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды.
Часть 2. Аналитическая геометрия в пространстве
Глава 6. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
Глава 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
719
Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам: A(3; 4; 6), B(-5; 3; 1), C(1; -3; -5), D(0; -3; 5), E(-3; -5; 0), F(-1; -5; -3).
720
Найти координаты проекций точек A(4; 3;5 ), B(-3; 2; 1), C(2; –3; 0), D(0; 0; -3): 1). На плоскость Oxy; 2). На плоскость Oxz, 3). На плоскость Oyz, 4). На ось абсцисс, 5). На ось ординат; 6). На ось апликат.
721
Найти координаты точек, симметричных точкам A(2; 3; 1), B(5; -3; 2), C(-3; 2; 1), D(a; b; c) относительно: 1). Плоскости Oxy, 2). Плоскости Oxz, 3). Плоскости Oyz, 4). Оси абсцисс, 5). Оси ординат, 6). Оси апликат, 7). Начала координат.
722
Даны четыре вершины куба A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Определить его остальные вершины.
723
В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1).
724
; 2).
; 3).
; 4).
В каких октантах могут быть расположены точки, если: 1).
; 5).
; 6).
; 2).
; 3).
.
; 4).
; 5).
.
725
Найти центр шара радиуса R=3, который касается всех трех координатных плоскостей и расположен: 1). Во втором октанте, 2). В пятом октанте, 3). В шестом октанте, 4). В седьмом октанте, 5). В восьмом октанте.
Глава 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
726
Даны точки A(1; -2; -3), B(2; -3; 0), C(3; 1; -9), D(-1; 1; -12). Вычислить расстояние между 1). А и С, 2). B и D, 3). C и D.
727
Вычислить расстояния от начала координат О до точек A(4; -2; -4), B(-4; 12; 6), C(12; -4; 3), D(12; 16; -15).
728
Доказать, что треугольник с вершинами A(3; -1; 2), B(0; -2; 2), C(-3; 2; 1) равнобедренный.
729
Доказать, что треугольник с вершинами A1(3; -1; 6), A2(-1; 7; -2), A3(1; -3; 2) прямоугольный.
730
Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(4; -1; 4), M2(0; 7; -4), M3(3; 1; -2).
731
Доказать, что внутренние углы треугольника M(3; -2; 5), N(-2; 1; -3), P(5; 1; -1) острые.
732
На ось абсцисс найти точку, расстояние от которой до точки А(-3; 4; 8) равно 12.
733
На оси ординат найти точку, равноудаленную отточек А(1; -3; 7) и В(5; 7; -5).
734
Найти центр C и радиус R шаровой поверхности, которая проходит через точку P(4; -1; -1) и касается всех трех координатных плоскостей.
735
Даны вершины M1(3; 2; -5), M2(1; -4; 3), M3(-3; 0; 1) треугольника. Найти середины его сторон.
736
Даны вершины A(2; -1; 4). B(3; 2; -6), C(-5; 0; 2) треугольника. Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.
737
Центр масс однородного стержня находится в точке С(1; -1; 5), один из его концов есть точка A(-2; -1; 7). Определить координаты другого конца стержня.
738
Даны две вершины A(2; -3; -5), B(-1; 3; 2) параллелограмма ABCD и точка пересечения его диагоналей E(4; -1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.
739
Даны три вершины A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C(1; 2; -3) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, противоположную B.
740
Даны три вершины A(3; -1; 2), B(1; 2; -4), C(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.
741
Отрезок прямой, ограниченный точками A(-1; 8; 3), B(9; -7; -2), разделен точками C, D, E. F на пять равных частей. Найти координаты этих точек.
742
Определить координаты концов отрезка, который точками C(2; 0; 2), D(5; -2; 0) разделен на три равные части
743
Даны вершины треугольника A(1; 1; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
744
Даны вершины треугольника A(1; -1; -3), B(2; 1; -2), C(-5; 2; -6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.
745
В вершинах тетраэдра A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, z3), D(x4, y4, z4) сосредоточены равные массы. Найти координаты центра масс этой системы.
746
В вершинах тетраэдра A1(x1, y1, z1), A2(x, y2, z2), A3(x3, y3, z3), A4(x4, y4, z4) сосредоточены массы m1, m2, m3, m4. Найти координаты центра масс этой системы.
747
Прямая проходит через две точки M1(-1; 6; 6) и M2(3; -6; -2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями.
Глава 7. Векторная алгебра Глава 29. Понятие вектора. Проекция вектора 74 8
Вычислить модуль вектора
74 9
Даны две координаты вектора X=4, Y=-12. Определить его третью координату Z при условии, что
75 0
Даны точки A(3; -1; 2), B(-1; 2; 1). Найти координаты векторов
75 1
Определить точку N, с которой совпадает конец вектора
75 2
Определить начало вектора
75 3
Дан модуль вектора
={6; 3; -2}.
и
=13.
.
={3; -1; 4}, если его начало совпадает с точкой М(1; 2; -3).
={2; -3; -1}, если его конец совпадает с точкой (1; -1; 2).
=2 и углы
=450,
=600,
=1200. Вычислить проекции вектора
на координатные оси.
75 4
Вычислить направляющие косинусы вектора
={12; -15; -16}.
75 5
Вычислить направляющие косинусы вектора
={3/13; 4/13; 12/13}.
75 6
Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы: 756. 1 756. 2 756. 3
75 7
=450,
=600,
=1200;
=450,
=1350,
=600;
=900,
=1500,
=600.
Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 757.
=300,
=450;
1 757. 2 757. 3
=600, =1500,
=600: =300.
75 8
Вектор составляет с осями Ox и Oz углы
75 9
Вектор
=1200 и
=450. Какой угол он составляет с осью Oy?
составляет с координатными осями Ox и Oy углы
=600,
=1200. Вычислить его координаты при условии, что
=2.
76 0
Определить координаты точки М, если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.
Глава 30. Линейные операции над векторами 76 1
76 2
По данным векторам 1).
, 2).
, 3).
Даны
=13,
=19 и
и
построить каждый из следующих векторов: , 4).
.
=24. Вычислить
.
76 3
Даны
76 4
Векторы
и
взаимно перпендикулярны, причем
76 5
Векторы
и
образуют угол
=600, причем
76 6
Векторы
и
образуют угол
=1200, причем
=11,
=23 и
=30. Определить
.
=5,
=5 и
=3 и
=12. Определить
=8. Определить
=5. Определить
и
и
.
.
и
.
76 7
Какому условию должны удовлетворять векторы 767. 1 767. 2 767. 3
76 8
и
, чтобы вектор
; .
векторами
и
.
По данным векторам 769. 1 769. 2
, чтобы имели место следующие соотношения:
;
Какому условию должны удовлетворять векторы
76 9
и
; ;
и
построить каждый из следующих векторов:
делил пополам угол между
769. 3
;
769. 4
.
77 0
770. 1 770. 2 770. 3 770. 4
В треугольнике АВС вектор
и вектор
качестве масштабной единицы
, построить также векторы:
; ; ; ;
. Построить каждый из следующих векторов. Принимая в
770. 5 770. 6
77 1
; .
Точка О является центром масс треугольника АВС. Доказать, что
.
77 2
В правильном пятиугольнике ABCDE заданы векторы, совпадающие с его ребрами: . Построить векторы:
, 772. 1 772. 2 772. 3
; ; .
,
,
,
77 3
В параллелепипеде ABCDA’B’C’D’ (рис.) заданы векторы, совпадающие с его ребрами: Построить каждый из следующих векторов:
773. 1
;
,
,
.
773. 2
;
773. 3 773. 4 773. 5
; ; .
77 4
Три силы
,
,
, приложенные к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Определить
77 5 775. 1 775. 2 775. 3 775. 4 775. 5 775. 6
величину их равнодействующей
, если известно, что
Даны два вектора
={-2; 1; 0}. Определить проекции на координатные оси следующих векторов:
={3; -2; 6},
=2Н,
=10Н,
=11Н.
; ; ; ; ; .
77 6
Проверить коллинеарность векторов ={2; -1; 3} и ={-6; 3; -9}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
77 7
Определить, при каких значениях
,
векторы
и
коллинеарны.
77 8
Проверить, что четыре точки A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C(2; 2; -7), D(3; -5; 3) служат вершинами трапеции.
77 9
Даны точки A(-1; 5; -10}, B(5; -7; 8), C(2; 2; -7), D(5; -4; 2). Проверить, что векторы и коллинеарны, установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.
78 0
Найти орт вектора
={6; -2; -3}.
78 1
Найти орт вектора
={3; 4; -12}.
78 2
Определить модули суммы и разности векторов
78
Дано разложение вектора
по базису ,
,
:
={3; -5; 8} и
={-1; 1; -4}.
. Определить разложение по этому же базису
3
78 4
вектора
, параллельного вектору
Два вектора
={2; -3; 6} и
и противоположного с ним направления, при условии, что
={-1; 2; -2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора
направленного по биссектрисе угла между векторами
78 5
=75.
и
, при условии, что
.
Векторы ={2; 6; -4} и ={4; 2; -2} совпадают со сторонами теругольника АВС. Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающими с его медианами AM, BN, CP.
78 6
Доказать, что если
и
- какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащих в их плоскости,
может быть представлен в виде ,
и
.
. Доказать, что числа
и
однозначно определяются векторами
78 7
На плоскостиданы два вектора
78 8
На плоскости даны три вектора ={3; -2}, ={-2; 1}, векторов, принимая в качестве базиса два других.
78 9
Даны три вектора
={3; -1},
={2; -3},
={1; -2},
={1; 2}. Найи разложение вектора
={9; 4} по базису
,
.
={7; -4}. Определить разложение каждого из этих трех
={-1; 7}. Определить разложение вектора
по базису
,
.
79 0
Принимая в качестве базиса векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС, опреедлить разложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и совпадающие с его медианами.
79 1
На плоскости даны етыре точки A(1; -2), B(2; 1), C(3; 2), D(-2; 3). Определить разложение векторов
79 2
и
Доказать, что если
, принимая в качестве базиса векторы
,
быть представлен в виде
,
и
,
.
- какие угодно некомпланарные векторы, то всякий вектор . Доказать, что числа
,
,
,
пространства может
однознчно определяются векторами
,
,
,
Числа
79 3
,
,
,
в виде
называется разложением его по базису
,
,
.
называются коэффициентами этого разложения.
Даны три вектора ,
79 4
. (Представление вектора
={3; -2; 1},
={-1; 1; -2},
={2; 1; -3}. Найти разложение вектора
={11; -6; 5} по базису
.
Даны четыре вектора ={2; 1; 0}, ={1; -2; 2}, ={2; 2; -1}, ={3; 7; -7}. Определить разложение каждого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.
Глава 31. Скалярное произведение векторов 79 5
Векторы
и
образуют угол
, зная, что
=3,
=4, вычислить:
795. 1 795. 2 795. 3 795. 4 795. 5 795. 6 795. 7
79 6
; ; ; ; ; ; ;
Векторы
и
взаимно перпендикулярны; вектор
=8, вычислить: 796. 1 796. 2
; ;
образует с ними углы, равные
; зная, что
=3,
=5,
796. 3
.
79 7
Доказать справедливость тождества
79 8
Доказать, что
79 9
Считая, что каждый из векторов
,
справедливо равенство
.
и выяснить его геометрический смысл.
; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства?
,
отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении
80 0
Даны единичные вектторы
80 1
Даны векторы .
,
,
,
,
, удовлетворяющие условию
, удовлетворяющие условию
. Зная, что
. Вычислить
=3,
=1,
.
=4, вычислить
80 2
Векторы
,
,
попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 600. Зная, что
=6, определить модуль вектора
80 3
=2,
=2,
.
Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении перпендикулярны.
80 4
Какому условию должны удовлетворять векторы
80 5
Доказать, что вектор
и
векторы
,
, чтобы вектор
перпендикулярен к вектору
.
будут взаимно
был перпендикулярен к вектору
.
80 6
80 7
80 8
Доказать, что вектор
Даны векторы
и
перпендикулярен к вектору
.
, совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора,
приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису
Векторы
и
образуют угол
; зная, что
,
, вычислить угол
,
.
между векторами
.
80 9
Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника.
и
81 0
Определить геометрическое место концов переменного вектора вектор
удовлетворяет условию
, где
- данный вектор и
, если его начало находится в данной точке А и - данное число.
81 1
Определить геометрическое место концов переменного вектора вектор числа.
81 2
удовлетворяет условиям
Даны векторы 812. 1 812. 2 812. 3 812. 4 812. 5 812. 6
={4; -2; -4},
; ; ; ; ; .
,
, где
={6; -3; 2}. Вычислить:
и
, если его начало находится в данной точке А и
- данные неколлинеарные векторы и
,
- данные
81 3
Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в
81 4
Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить:
конец вектора
={2; -5; -7}.
814. ; 1 814. ; 2 814. ; 3 814. 5 Найти координаты векторов
и
.
81 5
Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1).
81 6
Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1(5; 3; -7) в положение M2(4; -1; -4).
81 7
Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
81 8
Определить, при каком значении
81 9
Вычислить косинус угла, образованного векторами
82 0
Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.
82 1
Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.
82 2
Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
векторы
и
={2; -4; 4} и
взаимно перпендикулярны.
={-3; 2; -6}.
82 3
82 4
Вектор , коллинеарный вектору координаты.
Найти вектор
={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что
, коллинеарный вектору
={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию
.
=50, найти его
82 5
Вектор
, перпендикулярный к векторам
Найти его координаты, зная, что
82 6
Найти вектор
и .
, зная, что он перпендикулярен к .
, образует с осью Oy тупой угол.
={2; 3; -1},
={1; -2; 3} и удовлетворяет условию
82 7
82 8
Даны векторы
удовлетворяет условиям
,
Даны векторы ,
82 9
={1; 2; -3}. Найти вектор
={3; -1; 5},
, ,
Найти проекцию вектора
при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и
.
и
. Найти вектор
, удовлетворяющий условиям
.
={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
83 0
83 1
Найти проекцию вектора
={
; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы
, а с осью Oy – острый угол
.
Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора Ox, Oy углы
, а с осью Oz – тупой угол
,
83 2
Вычислить проекцию вектора
83 3
Даны векторы
,
,
={5; 2; 5} на ось вектора
,
на ось, составляющую с координатными осями
.
={2; -1; 2}.
. Вычислить
.
83 4
Даны векторы
83 5
Даны векторы
83 6
Сила, определяемая вектором
83 7
={3; -4; 2} и
={1; -3; 4},
,
,
={-1; 1; 4}. Вычислить
.
. Вычислить
.
={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором
. Найти составляющую силы
в направлении вектора
Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора
.
={1; -3; 1} на ось вектора
.
83 8
Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить
.
Глава 32. Векторное произведение векторов 83 9
Векторы
84 0
Даны:
=10,
=2,
84 1
Даны:
=3,
=26 и
и
образуют угол
. Зная, что
. Вычислить
=72. Вычислить
.
.
=6 и
=5, вычислить
.
84 2
Векторы
и
842. 1 842. 2
84 3
84 4
=3,
=4, вычислить:
; .
Векторы 843. 1 843. 2 843. 3
взаимно перпендикулярные. Зная, что :
и
образуют угол
. Зная, что
=1,
=2, вычислить:
; ; .
Какому условию должны удовлетворять векторы
и
, чтобы векторы
и
были коллинеарны?
84 5
Доказать тождество
84 6
Доказать, что
84 7
Даны произвольные векторы
84 8
Векторы
,
,
удовлетворяют условию
84 9
Векторы
,
,
и
.
; в каком слуае здесь будет знак равенства?
,
,
,
. Доказать, что векторы
связаны соотношениями
. Доказать, что
,
,
компланарны.
,
.
. Доказать коллинеарность векторов
.
85 0
Даны векторы
={3; -1; -2} и
={1; 2; -1}. Найти координаты векторных произведений:
и
850. 1 850. 2 850. 3
85 1
; ; .
Даны точки A(2; -1; 2), B(1; 2; -1), C(3; 2; 1). Найти координаты векторных произведений: 851. 1 851. 2
; .
85 2
Сила
={3; 2; -4} приложена к точке А(2; -1; 1). Определить момент этой силы относительно начала координат.
85 3
Сила
={2; -4; 5} приложена к точке M0(4; -2; 3). Определить момент этой силы относительно точки A(3; 2; -1).
85 4
Сила ={3; 4; -2} приложена к точке С(2; -1; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.
85 5
Сила ={2; 2; 9} приложена к точке А(4; 2; -3). Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С(2; 4; 0).
85 6
Даны три силы ={2; -1; -3}, ={3; 2; -1}, ={-4; 1; 3}, приложенных к точке С(-4; 1; 3), приложенные к точке С(-1; 4; -2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А(2; 3; -1).
85 7
Даны точки А(1; 2; 0), В(3; 0; -3), С(5; 2; 6). Вычислить площадь треугольника АВС.
85 8
Даны вершины треугольника А(1; -1; 2), В(5; -6; 2) и С(1; 3; -1). Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
85 9
Вычислить синус угла, образованного векторами
86 0
Вектор
, перпендикулярный к векторам
=6, найти его координаты.
={2; -2; 1},
={4; -2; -3} и
={2; 3; 6}.
={0; 1; 3}, образует с осью Оу тупой угол. Зная, что
86 1
Вектор
, перпендикулярный к оси Oz и к вектору
={8; -15; 3}, образует острый угол с осью Ox. Зная, что
=51, найти его координаты.
86 2
Найти вектор
, зная, что он перпендикулярен к векторам .
={2; -3; 1} и
={1; -2; 3} и удовлетворяет условию
86 3
86 4
Доказать тождество
Даны векторы
={2; -3; 1},
.
={1; 2; 3}. Вычислить
={-3; 1; 2},
Глава 33. Смешанное произведение трех векторов 865
Определить, какой является тройка
,
,
(правой или левой), если
и
.
865.1
,
865.2
,
865.3
,
865.4
865.6
,
;
,
; , ,
;
,
,
.
Векторы
Вектор .
;
,
,
вычислить
867
;
,
865.5
866
,
, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что
,
,
,
,
.
перпендикулярен к векторам
и
, угол между
и
равен 300. Зная, что
,
,
, вычислить
868
Доказать, что
869
Доказать тождество
870
Доказать тождество
871
Доказать, что векторы
; в каком случае здесь может иметь место знак равенства?
.
, где
,
,
и
- какие угодно числа.
, удовлетворяющие условию
, компланарны.
872
Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов , где по крайней мере одно из чисел
873
Даны векторы
874
Установить, компланарны ли векторы 874.1 874.2 874.3
={1; -1; 3},
={-2; 2; 1},
={2; 3; -1},
={1; -1; 3},
={3; -2; 1},
={2; 1; 2}, ={3; -1; -2};
={2; -1; 2},
={1; 2; -3},
,
={1; 9; -11};
={3; -4; 7}.
,
,
не равно нулю.
={3; -2; 5}. Вычислить
,
, если:
.
,
,
является зависимость
875
Доказать, что точки А(1; 2; -1), B(0; 1; 5), C(-1; 2; 1), D(2; 1; 3) лежат в одной плоскости.
876
Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(2; -1; 1), B(5; 5; 4), C(3; 2; -1), D(4; 1; 3).
877
Даны вершины тетраэдра A(2; 3; 1), B(4; 1; -2), C(6; 3; 7), D(-5; -4; 8). Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.
878
Объем тетраэдра v=5, три его вершины находятся в точках A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3). Найти координаты четвертой вершины D, если известно, что она лежит на оси Oy.
Глава 34. Двойное векторное произведение
879
Доказать тождество
880
Решить задачу 864, используя результаты задачи 879.
.
881
Даны вершины треугольника A(2; -1; -3), B(1; 2; -4), C(3; -1; -2). Вычислить координаты вектора h, коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную сторону, при условии, что вектор Оу тупой угол и что его модуль равен
.
образует с осью
882
Считая, что каждый из векторов справедливо равенство
883.1
, .
Доказать тождества:
883
,
;
отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении
883.2
;
883.3
;
883.4
883.5
;
;
883.6
при условии, что векторы
и
взаимно перпендикулярны;
883.7
;
883.8
883.9
;
;
883.10
;
883.11
;
883.12 .
884
Три некомпланарных вектора
,
и
приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через
концы этих векторов, перпендикулярна к вектору
Глава 8. Уравнение поверхности и уравнения линии
Глава 35. Уравнение поверхности
885
Даны точки М1(2; -3; 6), M2(0; 7; 0), M3(3; 2; -4), M4( на поверхности, определенной уравнением уравнением?
; 4; -5), M5(1; -4; -4), M6(2; 6;
). Установить, какие из них лежат
, и какие не лежат на ней? Какая поверхность определена данным
886
На поверхности найти точку, для которой: 1). Абсцисса равна , ордината рана 2; 2). Абсцисса равна 2, ордината равна 5, 3). Абсцисса равна 2, апликата равна 2; 4). Ордината равна 2, апликата равна 4.
887
Установить, какие геометрические образы определяются следующими уравениями в декартовых прямоугольных координатах пространства: 887.1
;
887.2
;
887.3
;
887.4
;
887.5
;
887.6
;
887.7
;
887.8
;
887.9
;
887.10
;
887.11
;
887.12
;
887.13
;
887.14
;
887.15
;
887.16
;
887.17 887.18 887.19 887.20
; ; ; .
888
Даны две точки F1(-c; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии a>0, c>0; a>c.
Задача 0888 Даны две точки F1(—с; 0; 0) и F2(c; 0; 0). Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек есть величина постоянная, равная 2а при условии а>0, с>0; а>с.. Р е ш е н и е. Обозначим буквой М произвольную точку пространства, буквами х, у, z — её координаты. Так как точка М может занимать любое положение, то х, у и z являются переменными величинами; их называют текущими координатами. Точка М лежит на данной поверхности в том и только в том случае, когда MF1 + MF2 = 2a (1) Это есть определение поверхности, выраженное символически. Выразим MF1 и MF2 — через текущие координаты точки М: MF1 =
, MF2 = .
Подставим полученные выражения в равенство (1). Тем самым мы найдём уравнение (2) которое связывает текущие координаты х, у, z. Это и есть уравнение данной поверхности. Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной поверхности, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты такой точки будут удовлетворять уравнению (2); для каждой точки, не лежащей на поверхности, условие (1) не будет выполняться и, следовательно, её координаты не будут удовлетворять уравнению (2). Таким образом, задача решена; дальнейшие выкладки имеют целью представить уравнение поверхности в более простом виде.
Уединим в уравнении (2) первый радикал: возведём обе части этого равенства в квадрат и раскроем скобки; мы получим: x2 + 2cx+с2+y2 + z2 =4а2 — 4а или а Снова, освобождаясь от радикала, найдём: a2x2 — 2a2cx + а2с2 + a2 y2 + a2 z2 = a4 — 2а2сх + с2x2, или (а2 — с2) х2 + a2y2 + a222 = а2 (а2 — с2). (3) Так как а > с, то а2 — с2 > 0; положительное число a2 — с2 обозначим через b2. Тогда уравнение (3) примет вид b2x2 + а2y + a2z2 = a2b2
или Рассматриваемая поверхность называется эллипсоидом вращения. Уравнение (4) называется каноническим уравнением этого эллипсоида.
889
Вывести уравнение сферы, центр которой находится в начале координат и радиус которой равен r.
890
Вывести уравнение сферы, центр которой C( ,
891
Из точки P(2; 6; -5) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxz. Составить уравнение геометрического места их середин.
892
Из точки А(3; -5; 7) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oxy. Составить уравнение геометрического места их середин.
893
Из точки С(-3; -5; 9) проведены всевозможные лучи до пересечения с плоскостью Oyz. Составить уравнение геометрического места их середин.
894
Вывести уравнение геометрического места точек, разность квадратов расстояний от которых до точек F1(2; 3; -5), F2(2; -7; -5) есть величина постоянная, равная 13.
895
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух точек F1(-a; 0; 0), F2(a; 0; 0) равна постоянной величине
.
,
) и радиус которой равен r.
896
Вершины куба суть точки A(-a; -a; -a), B(a; -a; -a), C(-a; a; -a), D(a; a; a). Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний от которых до граней этого куба есть величина постоянная, равная
.
897
Вывести уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух точек M1(1; 2; -3), M2(3; 2; 1).
898
Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от которых до двух даных точек F1(0; 0; -4), F2(0; 0; 4) есть величина постоянная, равная 10.
899
Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний от которых до двух данных точек F1(0; -5; 0), F2(0; 5; 0) есть величина постоянная, равная 6.
Глава 36. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей 900
Даны точки M1(3; 4; -4), M2(-3; 2; 4), M3(-1; -4; 4), M4(2; 3; -3). Определить, какие из них лежат на линии ,
и какие не лежат на ней.
Определить, какие из следующих линий проходят через начало координат:
901 901.1
,
;
901.2 901.3
902
На линии , 902.1 абсцисса которой равна 3; 902.2 ордината которой равна 2; 902.3 апликата которой равна 8.
, ,
; .
найти точку:
Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
903 903.1
,
;
903.2
,
;
903.3
,
;
903.4
,
903.5
,
;
903.6
,
;
903.7
,
;
903.8 903.9
;
,
; ,
;
903.10 903.11
,
; ,
.
904
Составить уравнения линии пересечения плоскости Oxz и сферы с центром в начале координат и радиусом, равным 3.
905
Составить уравнения линии пересечения сферы, центр которой находится в начале координат и радиус раен 5, с
плоскостью, параллельной плоскости Oxz и лежащей в левом полупространстве на расстоянии двух единиц от нее.
906
Составить уравненя линии пересечения плоскости Oyz и сферы, центр которой находится в точке С(5; -2; 1) и радиус равен 13.
907
Составить уравнения линии пересечения двух сфер, одна из которых имеет радиус, равный 6, и центр в начале координат; другая имеет радиус, равный 5, и центр С(1; -2; 2).
908
Найти точки пересечения поверхностей
909
Найти точки пересечения поверхностей
,
,
Глава 37. Уравнение цилиндрической поверхности
,
.
,
.
с образующими, параллельными одной из координатных осей Установить, какие геометрические образы определяются в пространственной системе координат следующими уравнениями:
910
910.1
;
910.2 ; 910.3 ; 910.4 910.5 910.6 910.7
; ; ; ;
910.8 910.9 910.10
; ; .
911
Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность 1). Oxy; 2). Oxz; 3). Oyz.
,
на плоскость:
912
Найти уравнение проекции окружности Oxy; 2). Oxz; 3). Oyz.
,
на плоскости: 1).
Глава 9. Уравнение плоскости. Уравнения прямой. Уравнения поверхностей второго порядка
Глава 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор 91 3
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; 1; -1) и имеет нормальный вектор n={1; -2; 3}.
91 4
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор n={5; 0; -3}.
91 5
Точка Р(2; -1; -1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.
91 6
Даны точки M1(3; -1; 2), M2(4; -2; -1). Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1 перпендикулярно вектору
91 7
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М1(3; 4; -5) параллельно векторам a1={3; 1; -1) и a2={1; -2; 1}.
.
91 8
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0, y0, z0) параллельно векторам a1={l1, m1, n1} и a2={l2; m2; n2}, может быть представлено в следующем виде:
.
91 9
92 0
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M1(2; -1; 3), M2(3; 1; 2) параллельно вектору a={3; -1; 4}.
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) параллельно вектору a={l; m; n}, может быть представлено в следующем виде:
.
92 1
92 2
Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М1(3; -1; 2), М2(4; -1; -1), М3(2; 0; 2).
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3; y3; z3), может быть представлено в следующем виде:
.
Определить координаты какого-нибудь нормального вектора каждой из следующих плоскостей. В каждом случае написать общее выражение координат произвольного нормального вектора:
92 3 923. 1
;
923. 2
;
923. 3
;
923. 4
;
923. 5
;
923. 6
.
92 4
Установить, какие из следующих пар уравнений определяют параллельные плоскости: 924. 1
,
924. 2
,
924. 3
92 5
,
; ; .
Установить, какие из следующих пар уравнений определяют перпендикулярные плоскости: 925. 1
,
925. 2
,
925. 3
,
; ; .
92 6
Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять параллельные плоскости: 926. 1
,
926. 2
,
;
926. 3
92 7
,
.
Определить, при каких значениях l и m следующие пары уравнений будут определять перпендикулярные плоскости: 927. 1
,
927. 2 927. 3
92 8
;
;
, ,
; .
Определить двугранные углы, образованные пересечением следующих пар плоскостей:
928. 1 928. 2 928. 3
, ,
; ;
,
;
928. 4
,
.
92 9
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат параллельно плоскости
93 0
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(3; -2; -7) параллельно плоскости
93 1
Составить уравнение плоскости, которая проходит через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям ,
.
.
.
93 2
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -1; 1) перпендикулярно к двум плоскостям
93 3
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точку М0(x0; y0; z0) перпендикулярно к плоскостям
.
,
, может быть представлено в следующем виде:
.
93 4
Составить уравнение плоскости, которая проходит через две точки М1(1; -1; -2), M2(3; 1; 1) перпендикулярно к плоскости .
,
93 5
Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две точки M1(x1; y1; z1), M2(x2, y2, z2) перпендикулярно к плоскости , может быть представлено в следующем виде:
.
93 6
Установить, что три плоскости координаты.
,
,
93 7
Доказать, что три плоскости
,
,
имеют общую точку, и вычислить ее
проходят через одну прямую.
93 8
Доказать, что три плоскости параллельным прямым.
93 9
Определить, при каких значениях a и b плоскости 939. имеют одну общую точку; 1
,
пересекаются по трем различным
,
,
,
:
939. проходят через одну прямую; 2 939. пересекаются по трем различным параллельным прямым. 3
Глава 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнения плоскости "в отрезках" 940
Составить уравнение плоскости, которая проходит: 940.1 через точку М1(2; -3; 3) параллельно плоскости Оху; 940.2 через точку М2(1; -2; 4) параллельно плоскости Oxz; 940.3 через точку М3(-5; 2; -1) параллельно плоскости Oyz.
941
Составить уравнение плоскости, которая проходит: 941.1 через ось Ох и точку М1(4; -1; 2); 941.2 через ось Oy и точку М2(1; 4; -3); 941.3 через ось Oz и точку М3(3; -4; 7);
942
Составить уравнение плоскости, которая проходит: 942.1 через точки М1(7; 2; -3) и М2(5; 6; -4) параллельно оси Ох; 942.2 через точки P1(2; -1; 1) и P2(3; 1; 2) параллельно оси Оу; 942.3 через точки Q1(3; -2; 5) и Q2(2; 3; 1) параллельно оси Oz.
943
Найти точки пересечения плоскости
с координатными осями.
944
Дано уравнение плоскости
945
Найти отрезки, отсекаемые плоскостью
946
Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость
947
Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью
948
Плоскость проходит через точку М1(6; -10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок a=-3 и на оси апликат отрезок c=2. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.
. Написать для нее уравнение в отрезках.
на координатных осях.
от координатного угла Оху.
и координатными плоскостями.
949
Плоскость проходит через точки М1(1; 2; -1) и M2(-3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b=3. Составить для этой плоскости уравнение в отрезках.
950
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М1(2; -3; -4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковые величины (считая каждый отрезок направленными из начала координат).
951
Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки М1(-1; 4; -1), М2(-13; 2; -10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
952
Составить уравнение плоскостей, которые проходят через точку М1(4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.
953
Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок c=-5 и перпендикулярной к ветору n={-2; 1; 3}.
954
Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l={2; 1; -1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки a=2, b=-2.
955
Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости осях Ох и Оу отрезки a=-2, b=2/3.
и отсекающей на координатных