8858649121417 by Aksornsmart online

คูมือครู ãªŒ»ÃÐ¡Íº¡ÒÃÊÍ¹Ã‹ÇÁ¡Ñº

Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ ©ºÑº Í- .

·Õè È¸. ¨Ð»ÃÐ¡ÒÈÃÒÂ¡ÒÃº¹àÇçºä«µ µÑé§áµ‹ Á. ¤. ’55 à»š¹µŒ¹ä»

ภาพปกนี้มีขนาดเทากับหนังสือเรียนฉบับจริงของนักเรียน

เอกสารประกอบคูมือครู

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร

รายวิชา

คณิตศาสตร เลม 1

ู ร ค หรับ

สํา

ชั้นมัธยมศึกษาปที่

เอกสารหลักสูตรแกนกลางฯ ’51 ประกอบดวย ● ● ● ● ●

●

คําแนะนําการใชคูมือครู แถบสี/สัญลักษณที่ใชสื่อความหมายในคูมือครู ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง คําอธิบายรายวิชา ตารางวิเคราะหเนื้อหากับมาตรฐานการเรียนรู และตัวชี้วัด เฉลยกิจกรรมสําหรับครู ตารางแสดงความแตกตางระหวาง “ คูมือครู ” กับ “ หนังสือเรียน * ”

ความแตกตาง

ขนาดตัวอักษร ปกดานหลัง ระบบการจัดพิมพ สวนเสริมดานหนา

คูมือครู ยอลงจากปกติ 20%

พิมพ 4 สี มี เอกสารหลักสูตร คําอธิบายรายวิชา มี กิจกรรมแบบ 5E ความรูเสริมสําหรับครู พิมพสอดแทรกไวตลอดทั้งเลม ●

หนังสือเรียน ขนาดปกติ 100% : ตัวอักษรใหญกวา ที่พิมพในคูมือครูนี้ มีใบอนุญาต/ใบประกันคุณภาพ พิมพ 4 สี

●

เนื้อหาในเลม

● ●

* ที่ ศธ. อนุญาตใหโรงเรียนใชได

มีเฉพาะเนื้อหาสาระตามที่ ศธ. อนุญาตฯ/สนพ.ประกันคุณภาพ

คําแนะนําการใชคูมือครู

: การจัดการเรียนรูสูหองเรียนคุณภาพ

คูมือครู คณิตศาสตร ม.3 เลม 1 จัดทําขึ้นเพื่ออํานวยความสะดวกแกครูผูสอนในการวางแผนและเตรียม การสอนโดยใชหนังสือเรียน คณิตศาสตร ม.3 เลม 1 ของบริษัท อักษรเจริญทัศน อจท. จํากัด เปนสื่อหลัก เสร�ม (Core Material) ประกอบการออกแบบกิจกรรมการเรียนรูใ หสอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูแ ละตัวชีว้ ดั กลุม สาระ 2 การเรียนรู คณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 โดยจัดทําตามหลักการสําคัญ ดังนี้

1. ออกแบบการสอนเปนหนวยการเรียนรูอิงมาตรฐาน คูมือครู รายวิชา คณิตศาสตร ม.3 จัดทําเปนหนวยการเรียนรูตามลําดับสาระการเรียนรูที่ระบุไวใน มาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด แตละหนวยจะกําหนดเปาหมายการสอนและจุดประสงคการเรียนรู (Objective Learning) กิจกรรมการเรียนรู (Learning Activities) และแนวทางการประเมินผลการเรียนรู (Learning Evaluation) ไวชัดเจน ครูผูสอนสามารถจัดทําแผนการสอนใหครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปน เปาหมายการเรียนรูของแตละหนวยการเรียนรู (ตามแผนภูมิ) และสามารถบันทึกผลการจัดการเรียนการสอนได อยางมั่นใจ สภ

าพ

ผู

จุดป

น

ระส

เรีย

งค



ก

รู รียน เ ร า

มาตรฐานการเรียนรู ตัวชี้วัดชั้นป

ทักษะการคิด การวัดประเมินผล การเรียนรู

กิจกรรมการเรียนรู

เทคนิคการสอน

แผนภูมิแสดงองคประกอบของการออกแบบการเรียนรูอิงมาตรฐานและเนนผูเรียนเปนสําคัญ

2. การจัดการเรียนรูที่ยึดผูเรียนเปนสําคัญ แนวคิดในการจัดการเรียนการสอนที่ยึดผูเรียนเปนสําคัญ พัฒนามาจากปรัชญาและทฤษฎีการเรียนรู Constructivism ที่เชื่อวาการเรียนรูเปนกระบวนการที่เกิดขึ้นภายในสมองของผูเรียนแตละคน ผูเรียนเปนผูสราง ความรูโดยการเชื่อมโยงระหวางสิ่งที่ไดพบเห็นกับความรูหรือประสบการณเดิมที่มีอยู คูม อื ครู

ทฤษฎีนี้มีความเชื่อวา นักเรียนทุกคนไดเรียนรูและมีความรูความเขาใจสิ่งตางๆ ติดตัวมากอนที่จะเขาสู หองเรียน ซึง่ เปนการเรียนรูท เี่ กิดจากบริบทและสิง่ แวดลอมรอบตัวนักเรียนแตละคน ดังนัน้ การจัดกระบวนการเรียนรู เสร�ม ในแตละบทเรียน ผูสอนจะตองคํานึงถึง

1) ความรูเดิมของนักเรียน การสอนที่ดีจึงตองเริ่มตนจากจุดที่วา นักเรียนมีความรูอะไรมาบาง แลวจึงให ความรูห รือประสบการณใหมเพือ่ ตอยอด จากความรูเดิม

2) ความรูเ ดิมของนักเรียนถูกตอง หรือไม ผูสอนตองปรับเปลี่ยนความรู ความเขาใจเดิมของนักเรียนใหถูกตอง และเปนพฤติกรรมการเรียนรูใหมที่มี คุณคาตอนักเรียน เพื่อสรางเจตคติหรือ ทัศนคติที่ดีตอการเรียน

3) นั ก เรี ย นสร า งความหมาย สําหรับตนเอง ผูสอนตองสงเสริมให นักเรียนนําขอมูลความรูที่ไดไปลงมือ ปฏิ บั ติ และประยุ ก ต ใ ช ค วามรู  อ ย า ง ถู ก ต อ ง ในบริ บ ทที่ เ ป น จริ ง ของชี วิ ต นักเรียน เพื่อขยายความรูใหลึกซึ้งและ มีคุณคาตอตัวนักเรียนมากที่สุด

แนวคิด Constructivism เนนใหผเู รียนสรางความรูโ ดยผานกระบวนการคิดและความอยากรูข องตนเอง โดยมีผูสอนเปนผูสรางบรรยากาศการเรียนรูและกระตุนความสนใจ คอยจัดสถานการณใหผูเรียนเกิดความ ขัดแยงทางความคิดระหวางประสบการณเดิมกับประสบการณความรูใ หม ผูเ รียนจะพยายามปรับขอมูลใหม กับประสบการณที่มีอยูเดิม แลวสรางเปนความรูใหมหรือแนวคิดใหม ให ๆ ไดดวยตนเอง

3. การบูรณาการกระบวนการคิด การเรียนรูข องนักเรียนแตละคนจะเกิดขึน้ ทีส่ มอง ซึง่ ทําหนาทีร่ คู ดิ ภายใตสภาพแวดลอมทีเ่ อือ้ อํานวยและได รับการกระตนุ จูงใจอยางเหมาะสมสอดคลองกับสภาพจิตใจและความตองการของนักเรียน การจัดกระบวนการเรียนรู และสาระการเรียนรูท มี่ คี วามหมายตอผูเ รียน จะชวยกระตนุ ใหสมองรับรูแ ละสามารถเรียนรูไ ดอยางมีประสิทธิภาพ ตามขั้นตอนการทํางานของสมอง ดังนี้ 1) สมองจะเรียนรูและสืบคนโดย 2) สมองจะแยกแยะคุ ณค าของ การสังเกต คนหา ซักถาม และทดลอง สิง่ ตางๆ โดยการลงมติ ตัดสินใจ วิพากษ ปฏิบัติ จนคนพบความรูความเขาใจได วิจารณ แสดงความคิดเห็น ยอมรับหรือ อยางรวดเร็ว ตอตานตามอารมณความรูสึกที่เกิดขึ้น ในขณะที่เรียนรู

3) สมองจะประมวลเนื้อหาสาระ โดยการสรุปเปนความคิดรวบยอดจาก เรื่องราวที่ไดเรียนรูใหมนําไปผสมผสาน กับความรูหรือประสบการณเดิมที่ถูกจัด เก็บอยูในสมอง ผานการกลั่นกรองเพื่อ สังเคราะหเปนความรูความเขาใจใหมๆ หรือเปนเหตุผลทัศนคติใหมที่จะฝงแนน ในสมองของผูเรียน คูม อื ครู

เสร�ม

การเรียนรูที่มีประสิทธิภาพจึงตองเปนการเรียนรูที่เกิดจากกระบวนการคิดของผูเรียน เพราะการเรียนรูจะ เกิดขึ้นเมื่อสมองรูคิด และตองเปนการคิดไดครบถวนตามขั้นตอนการทํางานของสมองผูเรียน โดยเริ่มตนจาก

1) ระดับการคิดขั้นพื้นฐาน ไดแก 2) ระดับลักษณะการคิด ไดแก 3) ระดับกระบวนการคิด ไดแก การสังเกต การจําแนก การคาดคะเน การคิดกวาง คิดลึกซึ้ง คิดหลากหลาย กระบวนการคิ ด อย า งมี วิ จ ารณญาณ การสื่อความหมาย การรวบรวมขอมูล คิดไกล คิดคลอง คิดอยางมีเหตุผล กระบวนการแกปญหา กระบวนการคิด การสรุปผล เปนตน เปนตน สรางสรรค กระบวนการคิดสังเคราะห วิจัย เปนตน

4. การบูรณาการกระบวนการเรียนรูพื้นฐานอาชีพ กระทรวงศึกษาธิการมีนโยบายสงเสริมการเรียนพื้นฐานอาชีพในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน เพื่อเสริมสราง ทักษะที่จําเปนสําหรับการประกอบอาชีพ และดํารงชีวิตในสังคมทองถิ่นของผูเรียนอยางมีความสุข และเปนการ เตรียมความพรอมดานกําลังคนใหมีทักษะพื้นฐาน และศักยภาพในการทํางานเพื่อการแขงขันและกาวสูประชาคม อาเซียนหรือประชาคมโลกตอไป 4.1 ทักษะพืน้ ฐานเพือ่ การประกอบอาชีพ การจัดการเรียนการสอนเพือ่ พัฒนาผูเ รียนในรายวิชาพืน้ ฐานทุกกลมุ สาระการเรียนรูและทุกระดับชั้นเรียน ผูสอนควรบูรณาการประสบการณ เรียนรูพื้นฐานอาชีพควบคูไปกับการ เรียนการสอนดานวิชาการ โดยฝกทักษะสําคัญตามที่สํานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา (สวก.) สํานักงาน คณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) เสนอแนะไว ดังนี้ 1. ฝกทักษะกระบวนการคิด มีการวางแผนตลอดแนว เพื่อศึกษาขอมูลอาชีพ 2. ฝกการตัดสินใจอยางเปนระบบ โดยใชขอมูลจากการศึกษา คนควา แหลงเรียนรูในชุมชน เพื่อลด ความเสี่ยงในการลงทุน และเพิ่มความมั่นใจเรื่องการตลาด 3. ฝกกระบวนการวางแผน การผลิตและการจัดจําหนายโดยนักเรียนคิดตนทุน กําไร ดวยตนเอง 4. ฝกการเรียนรูเ รือ่ งคุณธรรม จริยธรรม ดานการประกอบอาชีพ และการทํางานกลมุ โดยมีจติ อาสาเพือ่ สวนรวม 5. ฝกการทํางานอยางมีประสิทธิภาพ มีการประเมินผล ปรับปรุง พัฒนา และสรางสรรคตอยอดผลผลิต 6. ฝกการเสริมสรางความเชือ่ มัน่ ความเพียรพยายาม เห็นคุณคาและภาคภูมใิ จในตนเอง (Self Esteem) ในการประกอบอาชีพ และเจตคติในพื้นฐานทางอาชีพ การจัดการเรียนการสอนที่ใหผูเรียนไดลงมือปฏิบัติทักษะดังกลาว จะชวยใหผูเรียนไดรับประสบการณจริง มีทักษะ ความสามารถ และความชํานาญในการทํางานที่จะใชในการประกอบอาชีพและเปนแรงงานที่มีคุณภาพ เขาสูตลาดแรงงานในอนาคต คูม อื ครู

4.2 การจัดกระบวนการเรียนรูพื้นฐานอาชีพ การจัดกระบวนการเรียนรูมีความสําคัญอยางยิ่งที่จะชวยใหนักเรียนมีการพัฒนาทั้งดานความรู ทักษะ และคุณลักษณะตามเปาหมายของหลักสูตร การพัฒนาผูเ รียนดานทักษะพืน้ ฐานอาชีพตองอาศัยกระบวนการเรียนรู เสร�ม ทีห่ ลากหลายเปนเครือ่ งมือทีจ่ ะนําไปสูค ณ ุ ภาพทีต่ อ งการ เทคนิควิธกี ารตางๆ ทีผ่ สู อนจะตองพิจารณาใหเหมาะสม 5 กับเนื้อหาวิชาและวัยของผูเรียน โดยใหความสําคัญกับการฝกปฏิบัติ และเนนการวัดประเมินผลจากการปฎิบัติ ตามสภาพจริง ดวยวิธีการที่จัดกิจกรรมการบูรณาการใหเหมาะสมกับวัยและระดับชั้นของผูเรียน สอดคลองกับ มาตรฐานการเรียนรู และตัวชี้วัดของกลุมสาระตางๆ ที่กําหนดไวในหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขึ้นพื้นฐาน 2551 การวิเคราะหมาตรฐานและตัวชี้วัดที่จะนําไปจัดเนื้อหาความรูและทักษะ เพื่อพัฒนาผูเรียนดานพื้นฐานอาชีพ ดังตัวอยางตอไปนี้ 1. กลุมสาระการเรียนรูภาษาไทย กลมุ สาระการเรียนรูภ าษาไทยมุง เนนการพัฒนาใหผเู รียนมีความรูค วามสามารถในการใชภาษาไทย เพื่อการสื่อสาร เปนเครื่องมือในการเรียนรู การแสวงหาความรูและประสบการณตางๆ เพื่อพัฒนาความรู กระบวนการคิดวิเคราะห วิจารณ และสรางสรรคใหทันตอการเปลี่ยนแปลงของสังคม และความกาวหนาทาง วิทยาศาสตร เทคโนโลยี จึงเปนกลุมสาระการเรียนรูที่เปนทักษะพื้นฐานการประกอบอาชีพทุกอาชีพ ตัวชี้วัดที่ สามารถนํามาพัฒนาทักษะอาชีพ เชน ท 2.1 ม.1/8 เขียนรายงานการศึกษาคนควาและโครงงาน ท 1.1 ม.4-6/8 สังเคราะหความรูจากการอานสื่อสิ่งพิมพ สื่ออิเล็กทรอนิกส และแหลงเรียนรู ตางๆ มาพัฒนาตน พัฒนาการเรียน และพัฒนาความรูทางอาชีพ ท 2.1 ม.4-6/4 ผลิตงานเขียนของตนเองในรูปแบบตางๆ ท 2.1 ม.4-6/5 ประเมินงานเขียนของผูอื่น แลวนํามาพัฒนางานเขียนของตนเอง การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตน จะเปนทักษะพื้นฐานของการนําไปสูอาชีพ ทุกอาชีพ และเปนการปูทางไปสูอาชีพเฉพาะเกี่ยวกับการเขียน เชน นักเขียน นักประพันธ นักหนังสือพิมพ นัก วิจารณ เปนตน 2. กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตร กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตรมุงเนนการพัฒนาผูเรียนในการเชื่อมโยงความรูกับกระบวนการ มีทักษะสําคัญในการคนควาและสรางองคความรู พัฒนาวิธีการคิด ทั้งความคิดที่เปนเหตุเปนผล คิดสรางสรรค คิดวิเคราะห วิจารณ โดยใชกระบวนการในการสืบเสาะหาความรู การแกปญหาที่หลากหลาย เพื่อใหมีความรู ความเขาใจในธรรมชาติและเทคโนโลยี นําความรูไปใชอยางมีเหตุผล มีคุณธรรม และอยูในสังคมแหงการเรียนรู ไดอยางเหมาะสม โดยมีมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปนพื้นฐานของการประกอบอาชีพตางๆ มากมาย เชน คูม อื ครู

ว 1.1 ม.1/13 เสร�ม

อธิบายหลักการและผลของการใชเทคโนโลยีชวี ภาพในการขยายพันธุ ปรับปรุงพันธุ และเพิ่มผลผลิตของพืช และนําความรูไปใชประโยชน

ว 1.1 ม.2/4

อธิบายหลักการและผลของการใชเทคโนโลยีชวี ภาพในการขยายพันธุ ปรับปรุงพันธุ และเพิ่มผลผลิตของสัตว และนําความรูไปใชประโยชน ว 1.2 ม.4-6/3 สืบคนขอมูลและอภิปรายผลของเทคโนโลยีชีวภาพที่มีตอมนุษย และสิ่งแวดลอม และนําความรูไปใชประโยชน การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตนจะเปนทักษะพื้นฐานของการนําไปสูอาชีพที่ เกี่ยวกับเกษตรกร วิทยาศาสตร การเกษตร นักวิจัย เปนตน 3. กลุมสาระการเรียนรูสังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรม กลุมสาระการเรียนรูสังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรมมุงเนนการพัฒนาใหผูเรียนมีความรูความ เขาใจเกี่ยวกับการดํารงชีวิตของมนุษย การอยูรวมกันในสังคมที่มีความเชื่อมโยงสัมพันธกัน มีความแตกตางกัน อยางหลากหลาย สามารถจัดการทรัพยากรที่มีอยูอยางจํากัด และเขาใจการเปลี่ยนแปลง เพื่อชวยใหสามารถปรับ ตนเองกับบริบท และสภาพแวดลอม เปนพลเมืองดี มีความรับผิดชอบ มีความรู ทักษะ คุณธรรม และคานิยมที่ เหมาะสม มีมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปนพื้นฐานของการประกอบอาชี ฐานของการประ พตางๆ เชน ส 4.3 ม.1/3 วิเคราะหอิทธิพลของวัฒนธรรมและภูมิปญญาไทยสมัยสุโขทัยและสังคมไทยใน ปจจุบัน ส 4.3 ม.2/3 ระบุภมู ปิ ญ ญาและวัฒนธรรมไทยสมัยอยุธยาและธนบุรี และอิทธิพลของภูมปิ ญ ญา ดังกลาว ตอการพัฒนาชาติไทยในยุคตอมา ส 4.3 ม.3/3 วิเคราะหภมู ปิ ญ ญาและวัฒนธรรมไทยสมัยรัตนโกสินทร และอิทธิพลตอการพัฒนา ชาติไทย ส 4.3 ม.4-6/3 วางแผนกําหนดแนวทางและการมีสวนรวมในการอนุรักษภูมิปญญาไทยและ วัฒนธรรมไทย การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตนจะเปนทักษะพื้นฐาน และสรางเจตคติตออาชีพ เกีย่ วกับภูมปิ ญ ญาไทยในทองถิน่ เชน นักโบราณคดี นักประวัตศิ าสตร แพทยแผนโบราณ นวดแผนไทย ชางทอผา จักสาน นักดนตรีไทย การทําขนมหรืออาหารไทย ฯลฯ และเปนรากฐานของการศึกษาเพื่อพัฒนาตอยอดอาชีพ ที่มีฐานของภูมิปญญาไทย

คูม อื ครู

4. กลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยี กลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยีมุงพัฒนาใหผูเรียนมีฐานความรูความสามารถ และทักษะที่จําเปนสําหรับนําไปปรับใชในการประกอบอาชีพและการศึกษาตอในสาขาอาชีพตางๆ ไดอยาง เสร�ม หลากหลาย รวมทั้งใหเห็นแนวทางในการประกอบอาชีพและการศึกษาตอตามความรู ความถนัดและความสนใจ 7 มาตรฐานและตัวชีว้ ดั ของกลมุ สาระการเรียนรูก ารงานอาชีพและเทคโนโลยีสว นใหญมลี กั ษณะเปนทักษะกระบวนการ ทํางาน ซึ่งผูสอนสามารถจัดเนื้อหาและกิจกรรมการสอนใหสอดคลองกับความตองการของผูเรียนและทองถิ่นได เพื่อพัฒนาไปสูการประกอบอาชีพตางๆ เชน ง 1.1 ม.4-6/2 สรางผลงานอยางมีความคิดสรางสรรค และมีทักษะการทํางานรวมกัน ง 1.1 ม.4-6/7 ใชพลังงาน ทรัพยากรในการทํางานอยางคุมคาและยั่งยืน เพื่อการอนุรักษ สิ่งแวดลอม ง 4.1 ม.2/3 มีทักษะพื้นฐานที่จําเปนสําหรับการประกอบอาชีพที่สนใจ ง 4.1 ม.3/3 ประเมินทางเลือกในการประกอบอาชีพที่สอดคลองกับความรู ความถนัด และ ความสนใจของตนเอง ง 4.1 ม.4-6/2 เลือกและใชเทคโนโลยีอยางเหมาะสมกับอาชีพ ง 4.1 ม.4-6/3 มีประสบการณในอาชีพที่ถนัดและสนใจ การจัดรายวิชาพื้นฐานในกลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยีจึงสามารถดําเนินการ ไดอยางหลากหลาย ทัง้ อาชีพในกลมุ เกษตรกรรม อุตสาหกรรม พาณิชยกรรม ความคิดสรางสรรค และการบริหาร จัดการและการบริการ ตามนโยบายของกระทรวงศึกษาธิการ และสอดคลองกับบริบทของทองถิ่น ความพรอม ของสถานศึกษา และความตองการของผูเรียนเปนสําคัญ เพือ่ เปนแนวทางการพัฒนาหลักสูตรการเรียนการสอนใหสนองตามนโยบายการจัดการเรียนการสอน พื้นฐานอาชีพในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐานของรัฐบาลและกระทรวงศึกษาธิการ ผูจัดทําจึงวิเคราะหมาตรฐานการ เรียนรูและตัวชี้วัดในรายวิชา วิทยาศาสตร ที่สอดคลองกับทักษะปฏิบัติเพื่อเตรียมความพรอมดานพื้นฐานอาชีพ โดยเสนอแนะกิจกรรมการเรียนรูไวเปนแนวทางในการจัดการเรียนการสอนบูรณาการประสบการณการทํางานแก ผูเรียน ใหบรรลุเจตนารมยของ พ.ร.บ. การศึกษาฯ พ.ศ. 2542 มาตรา 7 ที่ระบุใหการจัดการศึกษาตองปลูกฝง ใหเยาวชนมีความรูอันเปนสากล มีจิตสํานึกในการอนุรักษทรัพยากรธรรมชาติและสิ่งแวดลอม ตลอดจนมีความ สามารถในการประกอบอาชีพ รูจักพึ่งตนเอง และมีความคิดสรางสรรค เพื่อการดํารงชีวิต การศึกษาตอและการ ประกอบอาชีพอยางมีคุณภาพของผูเรียนตอไปในอนาคต

คูม อื ครู

5. การใชวัฏจักรการเรียนรู 5E รูปแบบการสอนที่สัมพันธกับกระบวนการคิดและการทํางานของสมองของผูเรียนที่นิยมใชอยางแพรหลาย เสร�ม คือ วัฏจักรการเรียนรู 5E ซึ่งผูจัดทําคูมือครูไดนํามาใชเปนแนวทางออกแบบกิจกรรมการเรียนการสอนในคูมือครู 8 ฉบับนี้ตามลําดับขั้นตอนการเรียนรู ดังนี้ ขั้นที่ 1 กระตุนความสนใจ (Engage) เปนขัน้ ทีผ่ สู อนนําเขาสูบ ทเรียน เพือ่ กระตุน ความสนใจของนักเรียนดวยเรือ่ งราว หรือเหตุการณทนี่ า สนใจ โดยใชเทคนิควิธกี ารสอนและคําถามทบทวนความรูห รือประสบการณเดิมของผูเ รียน เพือ่ เชือ่ มโยงผูเ รียนเขาสู บทเรียนใหม ชวยใหนักเรียนสามารถสรุปประเด็นสําคัญที่เปนหัวขอการเรียนรูของบทเรียนได จึงเปนขั้นตอน การสอนที่สําคัญ เพราะเปนการเตรียมความพรอมและสรางแรงจูงใจใฝเรียนรูแกผูเรียน ขั้นที่ 2 สํารวจคนหา (Explore) เปนขั้นที่ผูสอนเปดโอกาสใหผูเรียนสังเกต และรวมมือกันสํารวจ เพื่อใหเห็นปญหา รวมถึงวิธีการศึกษา คนควาขอมูลความรูที่จะนําไปสูความเขาใจประเด็นปญหานั้นๆ เมื่อนักเรียนทําความเขาใจในประเด็นหัวขอที่จะศึกษาคนควาอยางถองแทแลว ก็ลงมือปฏิบัติเพื่อเก็บ รวบรวมขอมูลความรู สํารวจตรวจสอบ โดยวิธกี ารตางๆ เชน สัมภาษณ ทดลอง อานคนควาขอมูลจากเอกสาร แหลงขอมูลตางๆ จนไดขอมูลความรูตามที่ตั้งประเด็นศึกษาไว ขั้นที่ 3 อธิบายความรู (Explain) เปนขั้นที่ผูสอนมีปฏิสัมพันธกับผูเรียน เชน ใหการแนะนํา ตั้งคําถามกระตุนใหคิด เพื่อใหผูเรียนไดคนหา คําตอบ และนําขอมูลความรูจากการศึกษาคนควาในขั้นที่ 2 มาวิเคราะห แปลผล สรุปผล และนําเสนอผล ที่ไดศึกษาคนความาในรูปแบบสารสนเทศตางๆ เชน เขียนแผนภูมิ แผนผังแสดงมโนทัศน เขียนความเรียง เขียนรายงาน เปนตน สมองของผูเรียนจะทําหนาที่คิดวิเคราะห สังเคราะหอยางเปนระบบ ขั้นที่ 4 ขยายความเขาใจ (Expand) เปนขั้นที่ผูสอนไดใชเทคนิควิธีการสอนที่ชวยพัฒนาผูเรียนใหนําความรูที่เกิดขึ้นไปคิดคนตอๆ ไป เพื่อพัฒนาทักษะการเรียนรูและการทํางานรวมกันเปนกลุม ระดมสมองเพื่อคิดสรางสรรครวมกัน นักเรียนสามารถนําความรูที่สรางขึ้นใหมไปเชื่อมโยงกับประสบการณเดิมโดยนําขอสรุปที่ไดไปอธิบาย ในเหตุการณตางๆ หรือนําไปปฏิบัติในสถานการณใหมๆ ที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันของตนเอง เพื่อขยาย ความรูค วามเขาใจใหกวางขวางยิง่ ขึน้ สมองของผูเ รียนทําหนาทีค่ ดิ ริเริม่ สรางสรรคอยางมีคณ ุ ภาพ เสริมสราง วิสัยทัศนใหกวางไกลออกไป คูม อื ครู

ขั้นที่ 5 ตรวจสอบผล (Evaluate) เปนขั้นที่ผูสอนประเมินมโนทัศนของผูเรียน โดยตรวจสอบจากความคิดที่เปลี่ยนไปและความคิดรวบยอด ที่เกิดขึ้นใหม ตรวจสอบทักษะ กระบวนการปฏิบัติ การแกปญหา การตอบคําถามรวบยอด และการเคารพ ความคิดหรือยอมรับเหตุผลของคนอื่นเพื่อการสรางสรรคความรูรวมกัน นักเรียนสามารถประเมินผลการเรียนรูของตนเอง เพื่อสรุปผลวานักเรียนมีความรูอะไรเพิ่มขึ้นมาบาง มากนอยเพียงใด และจะนําความรูเหลานั้นไปประยุกตใชในการเรียนรูเรื่องอื่นๆ ไดอยางไร นักเรียนจะเกิด เจตคติและเห็นคุณคาของตนเองจากผลการเรียนรูที่เกิดขึ้น ซึ่งเปนการเรียนรูที่มีความสุขอยางแทจริง

เสร�ม

การจัดกิจกรรมการเรียนรูตามวัฏจักรการสรางความรูแบบ 5E จึงเปนรูปแบบการเรียนการสอนที่เนน ผูเรียนเปนสําคัญ โดยสงเสริมใหผูเรียนใชกระบวนการสรางความรูดวยตนเอง และฝกฝนใหใชกระบวนการคิดและ กระบวนการกลุมอยางชํานาญ กอใหเกิดทักษะการเรียนรูและทักษะชีวิตที่มีคุณภาพ ตามเปาหมายของการปฏิรูป การศึกษาทศวรรษที่ 2 (พ.ศ. 2552-2561) ทุกประการ คณะผูจัดทํา

คูม อื ครู

แถบสี และสัญลักษณ ที่ใชสื่อความหมายในคูมือครู 1. แถบสี

แถบสีแสดงขั้นตอนการสอนและการจัดกิจกรรม แบบ 5E เพื่อใหครูทราบวาเปนขั้นการสอนขั้นใด

เสร�ม

สีแดง

สีเขียว

สีสม

กระตุน ความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

•

Engage

เปนขั้นที่ผูสอนเลือกใช เทคนิคกระตุนความ สนใจ เพื่อโยงเขาสู บทเรียน

Explore

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนสํารวจปญหา และศึกษาขอมูล

Explain

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนคนหาคําตอบ จนเกิดความรูเชิง ประจักษ

สีฟา

สีมวง

ขยายความเขาใจ Expand

•

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนนําความรูไป คิดคนตอๆ ไป

ตรวจสอบผล Evaluate

•

เปนขั้นที่ผูสอน ประเมินมโนทัศน ของผูเรียน

สัญลักษณ

2. สัญลักษณ

วัตถุประสงค

เปาหมาย การเรียนรู

คูม อื ครู

• แสดงเปาหมาย การเรียนรูที่ นักเรียนตอง บรรลุตาม ตัวชี้วัด

หลักฐาน เกร็ดแนะครู แสดงผล การเรียนรู • แสดงรองรอย หลักฐานที่ แสดงผล การเรียนรู ตามตัวชี้วัด

นักเรียน ควรรู

NET

มุม IT

ขอสอบ

พื้นฐาน อาชีพ

• แทรกความรู • ขยายความรู • แนะนําแหลง • วิเคราะหแนว • กิจกรรม เสริมสําหรับครู เพิ่มเติมจาก คนควาจาก ขอสอบ O-NET สําหรับครู ขอเสนอแนะ เนื้อหา เพื่อให เว็บไซต เพื่อให เพือ่ ใหครู เพือ่ ใชเปน ขอควรระวัง นักเรียนไดมี ครูและนักเรียน เนนยํ้าเนื้อหา แนวทางใน ขอสังเกต ความรูม ากขึ้น ไดเขาถึงขอมูล ที่มักออก การชวยพัฒนา แนวทางการ ความรูที่ ขอสอบ O-NET อาชีพใหกับ จัดกิจกรรม หลากหลาย • ขอสอบ O-NET นักเรียน และอื่นๆ พิจารณาออก เพื่อประโยชน ขอสอบจาก ในการจัดการ เนื้อหา ม.1, 2 เรียนการสอน และ 3

ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง (เฉพาะชั้น ม.3)* สาระที่ 2 การวัด

มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพื้นฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของสิ่งที่ตองการวัด ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. หาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรง • พื้นที่ผิวของปริซึม และทรงกระบอก กระบอก 2. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม

• ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรง กลม

3. เปรียบเทียบหนวยความจุ หรือหนวยปริมาตรในระบบ เดียวกันหรือตางระบบ และ เลือกใชหนวยการวัดไดอยาง เหมาะสม

• การเปรียบเทียบหนวยความจุหรือหนวยปริมาตรในระบบ เดียวกันหรือตางระบบ • การเลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความจุหรือปริมาตร

4. ใชการคาดคะเนเกีย่ วกับการ วัดในสถานการณตา งๆ ได อยางเหมาะสม

• การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด

เสร�ม

มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกี่ยวกับการวัด ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรในการ แกปญหาในสถานการณ ตางๆ

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• การใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรในการ แกปญหา

สาระที่ 3 เรขาคณิต

มาตรฐาน ค 3.1 อธิบายและวิเคราะหรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของ • ลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก และทรงกลม กรวย และทรงกลม * สํานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน, กระทรวงศึกษาธิการ. ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร. (กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพชุมนุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย, 2551), หนา 7 - 56.

คูม อื ครู

มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนึกภาพ (visualization) ใชเหตุผลเกีย่ วกับปริภมู ิ (spatial reasoning) และใชแบบจําลอง ทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแกปญหา ชั้น

เสร�ม

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยม • สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายและการนําไปใช คลายในการใหเหตุผลและการ แกปญหา

สาระที่ 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนิพจน สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนําไปใชแกปญหา ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับอสมการ • อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและการนําไปใช เชิงเสนตัวแปรเดียวในการแก ปญหา พรอมทั้งตระหนักถึง ความสมเหตุ สมผลของ คําตอบ 2. เขียนกราฟแสดงความ • กราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางปริมาณสองชุดที่มีความ เกี่ยวของระหวางปริมาณสอง สัมพันธเชิงเสน ชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสน 3. เขียนกราฟของสมการเชิงเสน • กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร สองตัวแปร 4. อานและแปลความหมาย กราฟของระบบสมการเชิง เสนสองตัวแปร และกราฟ อื่นๆ

• กราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร • กราฟอื่นๆ

5. แกระบบสมการเชิงเสนสอง • ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และการนําไปใช ตัวแปร และนําไปใชแกปญหา พรอมทั้งตระหนักถึงความสม เหตุ สมผลของคําตอบ

คูม อื ครู

สาระที่ 5 การวิเคราะหขอมูลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวิธีการทางสถิติในการวิเคราะหขอมูล ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. กําหนดประเด็น และเขียน • การเก็บรวบรวมขอมูล ขอคําถามเกี่ยวกับปญหาหรือ สถานการณตางๆ รวมทั้ง กําหนดวิธีการศึกษาและ การเก็บ รวบรวมขอมูลที่ เหมาะสม

เสร�ม

2. หาคาเฉลีย่ เลขคณิต มัธยฐาน • คากลางของขอมูล และการนําไปใช และฐานนิยมของขอมูลทีไ่ มได แจกแจงความถี่ และเลือกใชได อยางเหมาะสม 3. นําเสนอขอมูลในรูปแบบที่ เหมาะสม

• การนําเสนอขอมูล

4. อาน แปลความหมาย และ วิเคราะหขอ มูลทีไ่ ดจากการ นําเสนอ

• การวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอ

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวิธีการทางสถิติและความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. หาความนาจะเปนของ • การทดลองสุมและเหตุการณ เหตุการณจากการทดลองสุม • ความนาจะเปนของเหตุการณ ที่ผลแตละตัวมีโอกาสเกิดขึ้น • การใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณ เทาๆ กัน และใชความรูเกี่ยว กับความนาจะเปนในการคาด การณไดอยางสมเหตุสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรูเกี่ยวกับสถิติและความนาจะเปนชวยในการตัดสินใจและแกปญหา ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับสถิติและ ความนาจะเปนประกอบการ ตัดสินใจในสถานการณตางๆ

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• การใชความรูเกี่ยวกับสถิติ และความนาจะเปนประกอบการ ตัดสินใจ คูม อื ครู

ชั้น

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 2. อภิปรายถึงความคลาด เคลื่อนที่อาจเกิดขึ้นไดจาก การนําเสนอขอมูลทางสถิติ

เสร�ม

ตัวชี้วัด

สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตร และการนําเสนอ การเชือ่ มโยงความรูต า งๆ ทางคณิตศาสตรและเชือ่ มโยงคณิตศาสตรกบั ศาสตร อื่นๆ และมีความคิดริเริ่มสรางสรรค ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชวิธีการที่หลากหลายแก ปญหา 2. ใชความรู ทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยีในการแก ปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3. ใหเหตุผลประกอบการ ตัดสินใจ และสรุปผลไดอยาง เหมาะสม 4. ใชภาษาและสัญลักษณทาง คณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และ การนําเสนอ ไดอยางถูกตอง และชัดเจน 5. เชื่อมโยงความรูตางๆ ใน คณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการทาง คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับ ศาสตรอื่นๆ 6. มีความคิดริเริ่มสรางสรรค

คูม อื ครู

สาระการเรียนรูแกนกลาง

คําอธิบายรายวิชา รายวิชา คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 รหัสวิชา ค…………………………………

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร ภาคเรียนที่ 1 เวลา 60 ชั่วโมง/ป เสร�ม

ศึกษาความรูพื้นฐาน อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม ฝกทักษะ การคิดคํานวณ ฝกการแกปญ หาและสามารถนําความรูไ ปประยุกตใชในเรือ่ ง พืน้ ทีผ่ วิ ของปริซมึ และทรงกระบอก และ ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม เปรียบเทียบหนวยความจุหรือหนวยปริมาตรในระบบ เดียวกันหรือตางระบบ และเลือกใชหนวยการวัดไดอยางเหมาะสม คาดคะเนเกี่ยวกับการวัดในสถานการณตางๆ ได อยางเหมาะสม ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายในการใหเหตุผลและแกปญหา ใชความรูเกี่ยวกับอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียวในการแกปญหา เขียนกราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางปริมาณสองชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสน เขียน กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร อานและแปลความหมายกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ อื่นๆ แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและนําไปใชแกปญหา พรอมทั้งตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบ โดยมุงเนนจัดประสบการณการเรียนรูที่เชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรกับสถานการณจริงและศาสตร อื่นๆ ใหผูเรียนมีการพัฒนาดานทักษะ/กระบวนการทางคณิตศาสตร เพื่อใหมีความรูความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร การนํา เสนอ และพัฒนาความคิดริเริ่มงานทางคณิตศาสตรทั้งในและนอกชั้นเรียน และเนนใหเห็นคุณคาและมีเจตคติที่ดีตอ คณิตศาสตร สามารถนําไปประยุกตใชในการทํางานไดอยางเปนระบบ

ตัวชี้วัด ค 2.1 ม.3/1 ม.3/2 ม.3/3 ม.3/4 ค 2.2 ม.3/1 ค 3.1 ม.3/1 ค 3.2 ม.3/1 ค 4.2 ม.3/2 ม.3/3 ม.3/4 ค 6.1 ม.1-3/1 ม.1-3/2 ม.1-3/3 ม.1-3/4 ม.1-3/5 ม.1-3/6 รวม 17 ตัวชี้วัด

คูม อื ครู

ÇÔà¤ÃÒÐË ÁÒµÃ°Ò¹¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙáŒ ÅÐµÑÇªÕÇé ´Ñ ÃÒÂÇÔªÒ ¤³ÔµÈÒÊµÃ Á.3 àÅ‹Á 1

หนวยการเรียนรูที่ 4 : ความคลาย

หนวยการเรียนรูที่ 3 : ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

หนวยการเรียนรูที่ 2 : กราฟของความสัมพันธเชิงเสน

หนวยการเรียนรูที่ 1 : พื้นที่ผิวและปริมาตร

คณิตศาสตร ม.3 เลม 1

หนวยการเรียนรู

✓

ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด

ตัวชี้วัด 2

มาตรฐาน มาตรฐาน มาตรฐาน ค 2.2 ค 3.1 ค 3.2

สาระที่ 3

มาตรฐาน ค 2.1

สาระที่ 2

✓

ตัวชี้วัด

มาตรฐาน ค 4.2

สาระที่ 4

✓

ตัวชี้วัด

มาตรฐาน ค 6.1

สาระที่ 6

มาตรฐาน การเรียนรูและ ตัวชี้วัด

คําชี้แจง : ใหผูสอนใชตารางน�้ตรวจสอบวา เน�้อหาสาระการเรียนรูในหนวยการเรียนรูสอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดชั้นปในขอใดบาง

ตาราง

เสร�ม ✓

✓

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

Ë¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ ÃÒÂÇÔªÒ¾×é¹°Ò¹

¤³ÔµÈÒÊµÃ Á.ó àÅ‹Á ñ ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๓

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑

ผูเรียบเรียง

นางกนกวลี อุษณกรกุล นางสาวนวลนอย เจริญผล นางสาวปาจรีย วัชชวัลคุ ดร. สุเทพ บุญซอน

ผูตรวจ

นางจินดา อยูเปนสุข นายรณชัย มาเจริญทรัพย นางสาวสายสุณี สุทธิจักษ

บรรณาธิการ

ศ. ดร. ณรงค ปนนิ่ม

คณะผูจัดทําคูมือครู

จันทรเพ็ญ ชุมคช ทองดี กุลแกวสวางวงศ สมใจ ธนเกียรติมงคล สายสุณี สุทธิจักษ พิมพครั้งที่ ๑

¤Œ¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢ÂÒÂ¤ÇÒÁ¤Ô´¨Ò¡

EB GUIDE

ที่พิมพกํากับหัวขอสําคัญในหนังสือเรียนหลักสูตรแกนกลางฯ ผาน www.aksorn.com ไปยังแหลงความรูทั่วไทย-ทั่วโลก

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore Engage

Expand

Explain

Evaluate

¤íÒá¹Ð¹íÒã¹¡ÒÃãªŒË¹Ñ§Ê×ÍàÃÕÂ¹ หนังสือเรียน รายวิชาพืน้ ฐาน คณิตศาสตร ม.3 เลม 1 นี้ สรางขึน้ เพือ่ ใหเปนสือ่ สําหรับใชประกอบการเรียนการสอนในรายวิชา พืน้ ฐาน กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 3 โดยเนือ้ หาตรงตามสาระการเรียนรูแ กนกลางขัน้ พืน้ ฐาน อานทําความเขาใจงาย ใหทงั้ ความรูแ ละชวยพัฒนาผูเ รียนตาม หลักสูตรและตัวชี้วัด เนื้อหาสาระแบงออกเปนหนวยการเรียนรูตามโครงสรางรายวิชา สะดวกแกการจัดการเรียนการสอนและ การวัดผลประเมินผล พรอมเสริมองคประกอบอืน่ ๆ ทีจ่ ะชวยทําใหผเู รียนไดรบั ความรูอ ยางมีประสิทธิภาพ à¹×Íé ËÒµÃ§µÒÁÊÒÃÐ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙáŒ ¡¹¡ÅÒ§Ï ãËŒ¤ÇÒÁÃÙŒáÅÐàÍ×éÍµ‹Í¡ÒÃ¹íÒä»ãªŒÊÍ¹à¾×èÍ ãËŒºÃÃÅØµÑÇªÕéÇÑ´ áÅÐÊÃŒÒ§¤Ø³ÅÑ¡É³Ð à¡ÃÔè¹¹íÒà¾×èÍãËŒà¢ŒÒã¨ ÍÑ¹¾Ö§»ÃÐÊ§¤ ¶Ö§ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞã¹ Ë¹‹ÇÂ·Õè¨ÐàÃÕÂ¹

µÑÇªÕéÇÑ´áÅÐÊÒÃÐ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒá¡¹¡ÅÒ§Ï µÒÁËÅÑ¡ÊÙµÃ¡íÒË¹´ à¾×èÍãËŒ·ÃÒº¶Ö§ à»‡ÒËÁÒÂã¹¡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ¨Ñ´¡ÅØ‹Áà¹×éÍËÒà»š¹Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ ÊÐ´Ç¡á¡‹¡ÒÃ¨Ñ´¡ÒÃàÃÕÂ¹¡ÒÃÊÍ¹

¤³Ôµ¤Ô´Ê¹Ø¡ à»š¹à¡Á ·Ò§¤³ÔµÈÒÊµÃ ·ÕèÊ¹Ø¡ áÅÐ·ŒÒ·ÒÂ à¾×èÍª‹ÇÂ ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹

ÁØÁ¤ÇÒÁ¤Ô´ à»š¹¡ÒÃ¹íÒàÊ¹ÍÊÑ¨¾¨¹ ÊÁºÑµÔ ËÃ×Í¢ŒÍ¤ÇÒÁ·Õè¼ÙŒàÃÕÂ¹¤ÇÃ¨Ð ÃÙŒ·Õèà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§¡Ñºà¹×éÍËÒ

197

หน่วยการเรีย ตัวชี้วัด

หาพื้นที่ผิวของป (ค 2.1 ม.3/1 ริซึมและทรงกระบอก หาปริมาตรข ) พีระมิด กรวยองปริซึม ทรงกระบอก (ค 2.1 ม.3/2 และทรงกลม ) เปรียบเทียบหนว ยความจุหรือ ปริมาตรใน หนวย และเลอื กใชหระบบเดียวกันหรือตางระบบ (ค 2.1 ม.3/3นวยการวดั ไดอยางเหมาะสม ■ ใช การคาดคะเนเ) สถานการณ กี่ยวกับการวัดใน (ค 2.1 ม.3/4ตางๆ ไดอยางเหมาะสม ) ■ ใช ความรูเกี่ยวกั บพื้นที่ พื้นที ปริมาตรในการแ ผ ่ ิว และ ตางๆ (ค 2.2 กปญหาในสถานการณ  ■ อธิ บายลักษณะแม.3/1) พีระมิด ทรงก ละสมบัติของปริซึม (ค 3.1 ม.3/1 ระบอก กรวยและทรงกล ) ม ■ ใช วิธีการที่ห (ค 6.1 ม.1-3ลากหลายแกปญหา /1) ■ ใช ความรู ทักษะ คณิตศาสตร และกระบวนการทาง แกปญหาใน และเทคโนโลยีในการ ไดอยางเหมาสถานการณตางๆ ะสม ■ ให เหตุผลประ (ค 6.1 ม.1-3/2) และสรุปผลได กอบการตัดสินใจ (ค 6.1 ม.1-3 อยางเหมาะสม /3) ■ ใช ภาษาและสั ในการสื่อสารกญลักษณทางคณิตศาสต การนําเสนอ ารสื่อความหมาย และ ร ได อ ย (ค 6.1 ม.1-3 างถูกตองและชัดเจน /4) ■ เชื่อ มโยงความร และนําความ ูตางๆ ในคณิตศาสต คณิตศาสตร รูหลักการ กระบวนกา ร (ค 6.1 ม.1-3ไปเชื่อมโยงกับศาสตรอรทาง ื่นๆ /5) ■ มีค วามคิดริเริ่ม (ค 6.1 ม.1-3 สรางสรรค /6) ■

■

สาระการเรี

2. รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

นรู้ที่

พื้นที่ผิวและป

ริมาตร

ยนรู้แกนก

ลาง

พื้นที่ผิวของป ปริมาตรของปรริซึมและทรงกระบอก กรวยและทรงกลิซึม ทรงกระบอก พีร ะมิด การเปรียบเที ม ยบ หนวยควา หนวยปริมาตรใน มรู ระบบเดียวกั  หรือ ตางระบบ นหรือ ■ การเล ือกใช หรือปริมาตรหนวยการวัดเกี่ยวกับความ จุ ■ การค ะเนเกี่ยวกับ ■ ใช ความรูเกี่ยวกั การวัด บพื้นที่ พื้นที ปริมาตรในการแ ่ผิวและ ■ ลัก ษณะและสม กปญหา ทรงกระบอก บัติของปริซึม พีระมิ ด กรวย และท รงกลม ■

รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้า ตัดหรือฐานเป็นวงกลมที่เท่า กันทุกประการและอยู่ในระนาบ ที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิ ตสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกั บฐานแล้วจะได้รอยตัดเป็นวงกลม ทีเ่ ท่ากันทุกประการกบั ฐานเสมอ เรียกว่า ทรงกระบอก

กิจกรรมที่ 1 ซึ่งมีมุมเท่ากันสามคู่ ดังรูป PQR ซึ ม PQR ซึ ะรูปสามเหลี่ยม PQR ABC และรู ม ABC ม ก�าหนดรูปสามเหลี่ยม ABC แล C ABC ➭ AB = 3 ซม. PQ = 2 ซม. R BC = 2.4 ซม. QR = 1.6 ซม. CA = 2.7 ซม. RP = 1.8 ซม.

การหาพื้นที ทําไดโดยการค ่ผิวของรูปเรขาคณิตสาม มิติ วิธีหนึ่ง ลีร่ ปู เรขาคณ สามารถ ติ สามมิตใิ ห แลวคํานวณ เปน หาพนื้ ทีข่ องร ปู เรขาคณติ สอง รูปเรขาคณติ สองมิติ ผิวของรูปเรข มิตนิ นั้ ก็จะได าคณิตสามมิ เ ปนพืน้ ที่ ถาตองการทร ติที่ตองการ าบความจุข วิธีการหาปร องทรงสามม ิมาตรของทรง ิติเราจะตองทร สามมิตินั้น าบ

มุมความคิด

ให้นักเรียนท�ากิจกรรมต่อไปนี้

■

ในการศึกษาเกี่ยวกับทรงกระบอกในช่ วงชั้นนี้จะศึกษาเฉพาะพื้นที่ผิวและปริ ทรงกระบอกตรงเท่านั้น มาตรของ

3.1 พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เร าสามารถหาได้โดยการคลี่รูปเรขาคณิ ตสามมิติออก เป็นรูปเรขาคณิตสองมิต ิ และค�านวณหาพ นื้ ทีข่ องรูปเรขาคณิตสองมิตแิ ต่ละรูป นัน้ แล้วน�าพืน้ ทีข่ อง ทุกรูปรวมกันเป็นพื้นที่ผิวของทรงก ระบอกรูปนั้น พิจารณาทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมี ของฐานเท่ากับ r หน่วย และความ สูงเท่ากับ h หน่วย ดังรูป

ให้นักเรียนปฏิบัติดังนี้ (หน่วยเป็นเซนติเมตร) ง AB BC และ CA ของ ΔABC (หน่ 1. วัดความยาวของ AB, PQR (หน่วยเป็นเซนติเมตร) 2. วัดความยาวของ PQ, QR และ RP ของ Δ CA วเปรียบเทียบค่าทั้งสามที่หาได้ AB BC 3. หาอัตราส่วนของ PQ , QR และ RP แล้ ผลจากการปฏิบัติ เป็นดังนี้ 1. AB = 3 เซนติเมตร BC = 2.4 เซนติเมตร CA = 2.7 เซนติเมตร คณิตคิดสนุก 2. PQ = 2 เซนติเมตร QR = 1.6 เซนติเมตร ลองนั บ ดู ซิ ว ่ า รู ป สามเหลี่ ย มที่ ก�าหนดให้รูปนี้ มีรูปสามเหลี่ยมขนาด RP = 1.8 เซนติเมตร RP ต่างๆ รวมทั้งหมดจ�านวนกี่รูป 3 3. AB PQ = 2 1 1 2 2 BC = 2.4 = 3 3 3 QR 1.6 2 4 4 5 5 CA = 2.7 = 3 6 6 7 RP 1.8 2 7 8 8 BC = CA = 3 = จะได้ AB QR RP 2 PQ

จากรูป ถ้าคลี่ทรงกระบอกออกโด ยตัดฐานทั้งสองออกก่อนจะได้ฐานทั ้งสองเป็นรูป วงกลม และตัดด้านข้างให้ขนานตาม แนวตั้งจะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า EB GUIDE

http://www.aksorn.com/LC/Math

B1/M3/02

Web Guide á¹Ð¹íÒáËÅ‹§¤Œ¹¤ÇŒÒ¢ŒÍÁÙÅ à¾ÔèÁàµÔÁ¼‹Ò¹ÃÐºº Online áºº½ƒ¡ËÑ´»ÃÐ¨íÒË¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ ª‹ÇÂ¾Ñ²¹Ò·Ñ¡ÉÐáÅÐ·º·Ç¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹

42 ตัวอย่างที่

รทางคณิตศาสตร์

ะกระบวนกา กิจกรรมเสริมทักษะแล

ื่อมโยงความรูตางๆ

ารแกปญหา การเช (มีความสามารถในก มคล้าย

เงาของดวงจันทร์ ดวงจันทร์

√37 ซม.

7 ซม.

13 ซม.

12 ซม.

áººµÃÇ¨ÊÍº¤ÇÒÁà¢ŒÒã¨ à¾×èÍ½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ¡ÒÃ¤Ô´áÅÐ á¡Œ»˜ÞËÒ¢Í§¼ÙŒàÃÕÂ¹

10 ซม.

2 ซม.

ม.

2 ซ

. 4 ซม ซม. 2

2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

2 ซม.

2. จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของแท่งปริซึมตัน แต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2)

3 ซม.

ม.

3 ซ

31 ซม.

12 ซม.

6 ซม.

โลก

ดวง าทิตย์ งสุริยุปราคา เต็ม ะมองไม่เห็นดวงอ พิจารณาภาพแสด ี่อยู่ ณ ต�าแหน่ง A จ และ กิดสุริยุปราคา คนท ยกว่า การเกิดสุริยุปราคาเต็มดวง จากภาพเป็นการเ งอาทิตย์หมด เรี ากดว ย์ แสงจ ต ิ ง ดบั งอาท บ ทร์ ละดว เพราะดวงจัน ผัสกับดวงจันทร์แ ม ะสั A จ ด กจุ จะเห็นว่าเส้นที่ลากจา

10 ซม. 6 ซม.

2 ซม. 1 ซม.

ดวงอาทิตย์

33 ซม.

1. จงหาพื้นที่ผิวด้านนอกและปริมาตรของทรงสามมิติต่อไปนี้ 1) 2)

วงโคจรของโลก

1.4

บตั ิ ดังนี้ 1. ส�าหรับพีระมิดทีก่ า� หนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ให้นกั เรียนปฏิ 1) เขียนรูปเรขาคณิตสองมิตทิ เี่ กิดจากการคลีพ่ รี ะมิด 2) ค�านวณหาพืน้ ทีผ่ วิ ของพีระมิด ด ะมิ ร 3) จงหาปริมาตรของพี (3) (2) (1)

ประจ�าหน่วยการเรียนรู้ที่

ลก เหลี่ย ตย์ ดวงจันทร์ และโ สุริยุปราคากับรูปสาม รณ์ธรรมชาติที่เกิดขึ้นเมื่อดวงอาทิ ฏกา สุริยุปราคา เป็นปราก วงจันทร์อยู่ตรงกลาง นดวง เห็ มอง ด งๆ มี า ต่ ง ่ โดย าแหน ยวกัน ท�าให้คนที่อยู่ในต� โคจรมาอยู่ในแนวเดี จะทอดมายังโลก เงาของดวงจันทร์ น (partial ้ สุริยุปราคาบางสว ที่แตกต่างกัน ดังนี น เรียกว่า การเกิด อาทิตย์ในลักษณะ าทิตย์เพียงบางส่ว ดวงอ น เห็ มอง 1. l eclipse) (tota ดวง ม เต็ กิดสุริยุปราคา r eclipsae) วงแหวน (pannula าทิตย์ เรียกว่าการเ 2. มองไม่เห็นดวงอ ป็นวงแหวน เรียกว่า การเกิดสุรยิ ปุ ราคา าทิตย์เ 3. มองเห็นดวงอ กโลกมาก ดวงจันทร์อยู่ไกลจา อ ่ เมื ด เกิ ae) eclip

ตอบ

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

แบบฝึกหัด

ับศาสตรอื่นๆ) ทางคณิตศาสตรก

ม. 4 ซ

226

กบาศก์เซนติเมตร พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งสูง 6 เซนติเมตรมีปริมาตร 32 ลู จงค�านวณหา 2) ความยาวแต่ละด้านของฐานพีระมิด 1) พื้นที่ฐานของพีระมิด 32 ลูกบาศก์เซนติเมตร วิธีทำ� 1) เนื่องจากปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ จะได้ 32 = 13 Ah 32 = 13 × A × 6 32 = 2A A = 322 = 16 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ฐานของพีระมิด เท่ากับ 16 ตารางเซนติเมตร 2) เนื่องจากฐานของพีระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 ด เท่ากับ (ความยาวด้าน) ะมิ ร านของพี ฐ ่ ที จะได้ พื้น 16 = 42 ความยาวด้านเท่ากับ 4 เซนติเมตร เมตร ดังนั้น ความยาวของแต่ละด้านของฐานพีระมิดเท่ากับ 4 เซนติ

3 ซม. 6 ซม.

5 ซม.

10 ซม.

¡Ô ¨ ¡ÃÃÁàÊÃÔ Á ·Ñ ¡ ÉÐáÅÐ¡ÃÐºÇ¹¡ÒÃ·Ò§ ¤³ÔµÈÒÊµÃ ª‹ÇÂÊÃŒÒ§·Ñ¡ÉÐ¡ÃÐºÇ¹¡ÒÃ¤Ô´ ·Ò§¤³ÔµÈÒÊµÃ ãËŒ¹Ñ¡àÃÕÂ¹

6 ซม.

ม.

12 ซ

ม.

10 ซ

3 ซม. 5 ซม.

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

ÊÒÃºÑ¤³ÔµÈÒÊµÃ Á. 3 àÅ‹Á 1 Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

¾×é¹·Õè¼ÔÇáÅÐ»ÃÔÁÒµÃ ● ● ● ● ● ● ● ●

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

●

¡ÃÒ¿¢Í§¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ àªÔ§àÊŒ¹ ●

● ●

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂÇ¡Ñº»ÃÔÁÒµÃ »ÃÔ«ÖÁ ·Ã§¡ÃÐºÍ¡ ¾ÕÃÐÁÔ´ ¡ÃÇÂ ·Ã§¡ÅÁ ¡ÒÃà»ÃÕÂºà·ÕÂºË¹‹ÇÂ»ÃÔÁÒµÃ ¡ÒÃàÅ×Í¡ãªŒË¹‹ÇÂ»ÃÔÁÒµÃáÅÐ¡ÒÃ¹íÒä»ãªŒ ¡ÒÃ¤Ò´¤Ðà¹à¡ÕèÂÇ¡Ñº¡ÒÃÇÑ´ã¹Ê¶Ò¹¡ÒÃ³ µ‹Ò§æ

¡ÃÒ¿áÊ´§¤ÇÒÁà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§ÃÐËÇ‹Ò§»ÃÔÁÒ³ÊÍ§ªØ´ ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ àªÔ§àÊŒ¹ ¡ÃÒ¿¢Í§ÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ã ¡ÒÃÍ‹Ò¹áÅÐ¡ÒÃá»Å¤ÇÒÁËÁÒÂ¢Í§¡ÃÒ¿·Õè¡íÒË¹´ãËŒ

ÃÐººÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ã ● ●

● ●

ÃÐººÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ã ¡ÒÃÍ‹Ò¹áÅÐá»Å¤ÇÒÁËÁÒÂ¡ÃÒ¿¢Í§ÃÐººÊÁ¡ÒÃ àªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ã ¡ÒÃá¡ŒÃÐººÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ã ¡ÒÃ¹íÒÃÐººÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ÊÍ§µÑÇá»Ãä»ãªŒ á¡Œ»˜ÞËÒã¹Ê¶Ò¹¡ÒÃ³ µ‹Ò§æ

1 - 80 2 3 21 31 43 53 59 65 70

81 - 134 82 91 119

135 - 186 136 145 149 159

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore Engage

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

Explain

Expand

Evaluate

¤ÇÒÁ¤ÅŒÒÂ ● ● ● ●

187 - 230

ÃÙ»·Õè¤ÅŒÒÂ¡Ñ¹ ÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ·Õè¤ÅŒÒÂ¡Ñ¹ ¡ÒÃ¹íÒÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ¤ÅŒÒÂä»ãªŒã¹·Ò§¤³ÔµÈÒÊµÃ ¡ÒÃ¹íÒ¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂÇ¡ÑºÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ¤ÅŒÒÂä»ãªŒ ã¹ªÕÇÔµ»ÃÐ¨íÒÇÑ¹

188 197 211 219

ºÃÃ³Ò¹Ø¡ÃÁ

233

¤³ÔµÈÒÊµÃ Á. 3 àÅ‹Á 2 Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

ÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹ µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ

¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹

Ë¹‹ÇÂ¡ÒÃàÃÕÂ¹ÃÙŒ·Õè

Ê¶ÔµÔ

¡ÒÃàÊÃÔÁ·Ñ¡ÉÐ¡ÃÐºÇ¹ ¡ÒÃ·Ò§¤³ÔµÈÒÊµÃ

กระตุน ความสนใจ Engage

หน่วยการเรียนรู้ที่ ตัวชี้วัด ■

■

หาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก (ค 2.1 ม.3/1) หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม (ค 2.1 ม.3/2) เปรียบเทียบหนวยความจุหรือหนวย ปริมาตรในระบบเดียวกันหรือตางระบบ และเลือกใชหนวยการวัดไดอยางเหมาะสม (ค 2.1 ม.3/3) ใชการคาดคะเนเกี่ยวกับการวัดใน สถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม (ค 2.1 ม.3/4) ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และ ปริมาตรในการแกปญหาในสถานการณ ตางๆ (ค 2.2 ม.3/1) อธิบายลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวยและทรงกลม (ค 3.1 ม.3/1) ใชวิธีการที่หลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.1-3/1) ใชความรู ทักษะ และกระบวนการทาง คณิตศาสตรและเทคโนโลยีในการ แกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/2) ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/3) ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตร ในการสื่อสารการสื่อความหมาย และ การนําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจน (ค 6.1 ม.1-3/4) เชื่อมโยงความรูตางๆ ในคณิตศาสตร และนําความรูหลักการ กระบวนการทาง คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตรอื่นๆ (ค 6.1 ม.1-3/5) มีความคิดริเริ่มสรางสรรค (ค 6.1 ม.1-3/6)

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

เปาหมายการเรียนรู

พื้นที่ผิวและปริมาตร

การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ วิธีหนึ่งสามารถ ทําไดโดยการคลีร่ ปู เรขาคณิตสามมิตใิ หเปนรูปเรขาคณิตสองมิติ แลวคํานวณหาพืน้ ทีข่ องรูปเรขาคณิตสองมิตนิ นั้ ก็จะไดเปนพืน้ ที่ ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติที่ตองการ ถาตองการทราบความจุของทรงสามมิติเราจะตองทราบ วิธีการหาปริมาตรของทรงสามมิตินั้น

สาระการเรียนรู้แกนกลาง ■ ■

■

■ ■

■

พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวยและทรงกลม การเปรียบเทียบ หนวยความรู หรือ หนวยปริมาตรในระบบเดียวกันหรือ ตางระบบ การเลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความจุ หรือปริมาตร การคะเนเกี่ยวกับการวัด ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิวและ ปริมาตรในการแกปญหา ลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม

• หาพื้นที่ผิวของปริซึม พีระมิด •

•

ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และ ทรงกลมได เปรียบเทียบหนวยความจุหรือ หนวยในระบบเดียวกัน หรือตาง ระบบ และเลือกใชหนวยการวัด ไดอยางเหมาะสม ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรในการแกปญหาใน สถานการณได อธิบายลักษณะและสมบัติของ ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย และทรงกลมได ใชทักษะและกระบวนการทาง คณิตศาสตรในการแกปญหา ในสถานการณตางๆ ไดอยาง เหมาะสม

กระตุนความสนใจ ครูนําสิ่งของ วัสดุ เครื่องใชในชีวิต ประจําวันของนักเรียน เชน กลองใส เครื่องเขียน แปรงลบกระดาน กลอง ใสชอลก เปนตน ใหนักเรียนดู พรอม ตั้งคําถาม • สิ่งของเครื่องใชเหลานี้เกี่ยวของ กับรูปเรขาคณิตสองมิติหรือไม เพราะเหตุใด • ถานักเรียนตองการผลิตสิ่งของ เครื่องใชเหลานี้ ใหเพียงพอที่ จะบรรจุ นักเรียนทราบไหมวา ปริมาณวัสดุที่ตองนํามาผลิต แตละชนิดจะมากนอยเพียงใด ตองคํานวณอยางไร

เกร็ดแนะครู การเรียนการสอนในหนวยการเรียนรูนี้ ครูใหนักเรียนไดสัมผัสของจริงเพื่อความเขาใจ โดยการสราง รูปจําลองแลวคลี่รูปนั้นๆ เชน ปริซึม ทรงกระบอก กรวย เปนตน กระตุนใหนักเรียนเห็นวา ความรูใน เรื่องนี้เปนเรื่องใกลตัวนักเรียนและสามารถนําไปประยุกตใชไดจริง คูมือครู

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore

Engage

กระตุนความสนใจ ครูเขียนคําวา “อารคิมีดิส” และ “ปริมาตร” บนกระดาน ถามนักเรียนวา • อารคิมีดิสคือใคร • อารคิมีดิสเกี่ยวของกับปริมาตร อยางไร

สํารวจคนหา ใหนักเรียนสํารวจเกี่ยวกับ การคนพบเรื่อง “ปริมาตรของ อารคิมีดิส” จากหนังสือหรือจาก เว็บไซต www.youtube.com โดย search คําวา Archimedes หรือ Crown of Syracuse

นักเรียนควรรู รัศมีของฐานเทากับรัศมีของทรง กลมเปนความสัมพันธที่มีขอจํากัดวา รัศมีของทรงกระบอกและทรงกลม ตองเทากัน

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(หนาพิมพและตัวอักษรในกรอบนี้มีขนาดเล็กกวาฉบับนักเรียน 20%) 2

1. ความรูเกี่ยวกับปริมาตร อาร์คิมีดิส (Archimedes) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงประมาณ 287 - 212 ปีก่อนคริสต์ศักราช มีค�าอุทานของท่านที่รู้จักกันดีทั่วโลกคือ “ยูเรก้า (Eureka)” ซึ่งในภาษากรีกแปลว่า ฉันรู้แล้ว ท่านอุทานค�านี้แล้ววิ่งออกมาตามถนนของเมืองไซราคิวส์ (Syracure) บนเกาะซิซิลี สาเหตุเล่ากันว่า “ครั้งหนึ่งกษัตริยเฮียโรทรงสงสัยวามงกุฎที่ทําดวย ทองคําของพระองคจะถูกชางทองผสมเงินปนเขาไปดวย เพื่อยักยอกทองบางสวนไว จึงทรงใหอารคิมีดิสชวยพิสูจน อารคิมีดิสจึงหาวิธีการพิสูจน โดยไมตองหลอมมงกุฎและ ไดคําตอบในขณะที่กําลังจะอาบนํ้าที่มีนํ้าอยูเต็มอาง เมื่อ กาวเทาลงไปในอางนํ้าจะลนออกมา ถาลงทั้งตัวนํ้าก็จะลน มากกวานี้ ทานจึงกระโดดออกจากอางและตะโกนคําวา “ยูเรกา” ซึ่งอารคิมีดิสคิดหาวิธีแกปญหาของกษัตริย ได โดยทราบวาเงินหนักครึ่งกิโลกรัมจะมีความถวงจําเพาะ กวาทองที่มีนํ้าหนักเทากัน ซึ่งไดจากกฎการหาความถวงจําเพาะที่ทานตั้งขึ้นมา อารคิมีดิสจึงชั่ง มงกุฎและทองแทงใหมนี าํ้ หนักเทากัน แลวเอามงกุฎและทองแทงจุม ลงในถวยทีม่ นี าํ้ เต็ม จึงพบวา มงกุฎทําใหนํ้าลนออกมามากกวาทองแทง” อาร์คมิ ดี สิ จึงค้นพบค�าตอบว่าในการท�ามงกุฎทองค�าของกษัตริยน์ นั้ มีสว่ นผสมของเงิน ปนอยู่ด้วย อาร์คิมีดิสเป็นผู้ที่คิดวิธีหาปริมาตรของทรงกลม โดยแสดงให้เห็นว่า ปริมาตร ของทรงกลม เท่ากับสองในสามของปริมาตรของทรงกระบอกที่มีรัศมีของฐานเท่ากับรัศมี ของทรงกลม และความสูงของทรงกระบอกเท่ากับสองเท่าของความยาวของรัศมีของฐานดังรูป r h = 2r

คูมือครู

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 3

นักเรียนเคยศึกษาเรื่องความสัมพันธ์ระหว่างรูปเรขาคณิตสองมิติกับรูปเรขาคณิต สามมิติ และเรื่องการหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิติต่างๆ มาแล้ว นักเรียนทราบแล้วว่า รูปเรขาคณิตเป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด ส่วนของเส้นตรง เส้นโค้ง ระนาบ เป็นต้น อย่างน้อยหนึ่งอย่าง รูปเรขาคณิตแบ่งเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติและรูปเรขาคณิต สามมิติ ตัวอย่างของรูปเรขาคณิตสองมิติ เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม รูปวงกลม ตัวอย่าง ของรูปเรขาคณิตสามมิติ เช่น ทรงกระบอก ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กรวย พีระมิด ทรงกลม เป็นต้น ในหน่วยนีเ้ ราจะศึกษาเกีย่ วกับเรือ่ งพืน้ ทีผ่ วิ และปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิตติ า่ งๆ โดยเริ่มจากปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวยและทรงกลม ซึ่งทุกเรื่องจะเชื่อมโยงมาจากความรู้ เดิมที่นักเรียนได้เคยศึกษามาแล้ว

2. ปริซึม (Prism) พิจารณารูปเรขาคณิตสามมิติหรือทรงสามมิติต่อไปนี้ ซึ่งเป็นตัวอย่างของทรงสามมิติ ที่เรียกว่า ปริซึม

ครูนําสิ่งของจริงหรือภาชนะที่เปน ทรงปริซึมตามลักษณะของฐานที่เปน รูปเหลี่ยมตางๆ ใหนักเรียนดูพรอม ตั้งคําถาม • ปริซึมมีหนาตัดรูปเหลี่ยมใดบาง • ปริซึมมีหนาตัดวงกลมได หรือไม

นักเรียนควรรู รูปเรขาคณิตสองมิติ (twodimension geometric ﬁfigure) เปน รูปที่ลอมรอบดวยเสนตรง หรือเสน โคงซึ่งบนระนาบเดียวกัน เชน รูป วงกลม รูปสี่เหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม เปนตน

ฐานหรือหน้าตัด

นักเรียนควรรู

ด้านข้าง ส่วนสูง ฐานหรือหน้าตัด ปริซึมตวง

ปริซึมเอียง

เรานิยมเรียกปริซมึ ตามลักษณะของรูปเหลีย่ มทีเ่ ป็นฐานหรือหน้าตัดหัวท้ายของปริซมึ นั้น เช่น ปริซึมสามเหลี่ยม ปริซึมห้าเหลี่ยม ปริซึมหกเหลี่ยม คือปริซึมที่มีฐานหรือหน้าตัด หัวท้ายเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปห้าเหลี่ยม และรูปหกเหลี่ยมตามล�าดับ

สวนของเสนตรง (line segment) เปนสวนหนึ่งของเสนตรงที่มีจุด ปลายสองจุด @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปริซึม ไดที่ http://www.learner.org/ interactives/geometry/3d_prisms. html ปริซึมสามเหลี่ยม

ปริซึมห้าเหลี่ยม

หมายเหตุ : ความสูงของปริซึมตรงคือความยาวของปริซึม

ปริซึมหกเหลี่ยม

เกร็ดแนะครู ครูควรอธิบายเสริมความรูเกี่ยว กับรูปเรขาคณิตสามมิติและคําศัพท ทรงสามมิติตางๆ จากขอมูลเสริม ทายเลมเพื่อขยายความรูใหนักเรียน เขาใจเพิ่มเติม

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Explore

Explain

Engage

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา 1. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2-3 คน ใหลองคลี่ปริซึมรูปเหลี่ยมตางๆ ที่นํามาเปนตัวอยางหนาชั้นเรียน 2. ใหนักเรียนสังเกตรูปคลี่ • เปรียบเทียบวาเหมือนหรือ แตกตางกับรูปปริซึมหนา 4 อยางไร (แนวตอบ คําตอบมีไดหลาก หลายขึ้นอยูกับตัวอยางปริซึม ที่ครูนํามาใช)

อธิบายความรู 1. ใหนักเรียนจับคูศึกษารายละเอียด เรื่องพื้นที่ผิวของปริซึม หนา 4 และใหตอบคําถาม • ปริซึมมีหนาตัดเปนรูปอะไร (แนวตอบ เปนรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก) • พื้นที่ผิวขางของปริซึมคํานวณ ไดจากการใชสูตรใด (แนวตอบ สูตร การหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมผืนผา = ความกวาง × ความสูง) 2. ครูแนะนํารายละเอียดของปริซึม ที่มีหนาตัดเปนรูปเหลี่ยมตางๆ พรอมบอกการคํานวณหาตองใช สูตรของรูปเหลี่ยมของปริซึมตาม ที่โจทยกําหนด

เกร็ดแนะครู ครูทบทวนความรูท ฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยอธิบายใหนักเรียนเขาใจสูตรการ คํานวณเพื่อเชื่อมความรูการหาพื้นที่ หนาตัดรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

มุมความคิด รูปเรขาคณิตสามมิตทิ มี่ ฐี านทัง้ สองเป็นรูปหลายเหลีย่ มทีเ่ ท่ากันทุกประการ ฐานทัง้ คูอ่ ยูใ่ น ระนาบทีข่ นานกันและด้านข้างแต่ละด้านเป็นรูปสีเ่ หลีย่ มด้านขนาน เรียกว่า ปริซมึ

ในการศึกษาเกีย่ วกับปริซมึ ในระดับชัน้ นี ้ จะศึกษาเฉพาะพืน้ ทีผ่ วิ และปริมาตรของปริซมึ ตรงเท่านั้น ในหน่วยนี้จึงน�าเสนอเฉพาะในส่วนที่เป็นปริซึมตรง

2.1 พื้นที่ผิวของปริซึม

ถ้าต้องการหาพื้นที่ผิวของปริซึม เราสามารถคลี่ปริซึมออกเป็นรูปเรขาคณิตสองมิติได้ แล้วค�านวณหาพืน้ ทีข่ องรูปเรขาคณิตสองมิตแิ ต่ละรูป แล้วน�าพืน้ ทีข่ องทุกรูปรวมกันจะได้พนื้ ทีผ่ วิ ของปริซึมรูปนั้น ตัวอย่างเช่น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย ก็คือ สองเท่าของพื้นที่ฐานนั่นเอง

b c

ปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก

22 c a

รูปคลี่ของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูปคลี่ของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก จะได้ พื้นที่หน้าตัดหัวท้ายเท่ากับสองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก สองเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก = 2 × ( 12 × a × b) ดังนั้น พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = ab ตารางหน่วย เนื่องจาก พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่ากับความกว้างคูณความยาว จะได้ พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ 1 เท่ากับ ah พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ 2 เท่ากับ ch พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ 3 เท่ากับ bh

พื้นที่รูปสามเหลี่ยม สามารถหาไดจากสูตร s(s - a) (s - b) (s - c) เมื่อ a, b, c เปนความยาวของดานทั้งสามและ s = 12 (a + b + c) คูมือครู

นักเรียนควรรู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Explore

Explain

Engage

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

สํารวจคนหา 5

และเนือ่ งจากผิวข้างเท่ากับพืน้ ทีร่ ปู สีเ่ หลีย่ มผืนผ้ารูปที ่ 1 รูปที ่ 2 และรูปที ่ 3 รวมกัน จากรูปคลี่ (a + c + b) ดังนั้น พื้นที่ผิวข้าง = ah + ch + bh เทากับความยาวเสนรอบฐาน พื้นที่ผิวข้าง = (a( + c + b) h h คือ ความสูงของปริซึม

จะได้ พื้นที่ผิวข้างเท่ากับความยาวเส้นรอบฐานคูณความสูง ดังนั้น พืน้ ที่ผิวของปริซึมทั้งหมดเท่ากับพื้นที่หน้าตัดหัวท้ายรวมกับพื้นที่ผิวข้าง พืน้ ที่หน้าตัดหัวท้าย + พื้นที่ผิวข้าง = ab + (a + b + c) h ตารางหน่วย a

a ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส

ครูใหนักเรียนนํากลองหรือภาชนะ ที่เปนปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสและผืนผา ใหนักเรียนวัดความยาว ความสูงของ ปริซึมและความสูงของรูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสและผืนผา พิจารณาความ แตกตางของปริซึมทั้งสอง

รูปคลี่ของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

พื้นที่ผิวข้างเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 และรูปที่ 4 รวมกัน

จากรูปคลี่ของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส จะได้ พื้นที่หน้าตัดหัวท้ายเท่ากับสองเท่าของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2a2 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ah + ah + ah + ah a) × h ความยาวเส นรอบฐาน = ((a + a + a + a) × = 4ah ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง ดังนั้น พืน้ ทีผ่ วิ ของปริซมึ สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั เท่ากับพืน้ ทีห่ น้าตัดหัวท้ายรวมกับพืน้ ทีผ่ วิ ข้าง = 2a2 + 4ah ตารางหน่วย

อธิบายความรู 1. ใหนักเรียนพิจารณาปริซึมสี่เหลี่ยม จัตุรัสตามรายละเอียด หนา 5 วา • คํานวณหาพื้นที่ผิวขางและหนา ตัดดวยการใชสูตรใด (แนวตอบ การคํานวณพื้นที่ ผิวขาง ใชสูตรการหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมผืนผา = ความกวาง × ความยาว การคํานวณพื้นที่หนาตัด หัวทาย ใชสูตรการหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส = ความกวาง × ความยาว ) 2. ครูอธิบายรายละเอียดปริซึม สี่เหลี่ยมผืนผาและจัตุรัส และให นักเรียนซักถามขอสงสัย

นักเรียนควรรู รูปสี่เหลี่ยมผืนผา (rectangle) เปนรูปที่มีดานยาวเทากัน 4 ดาน มีมุมเปนมุมฉากทุกมุม มีดานตรง ขามยาวเทากัน และใชสัญลักษณ ผ แทนคําวา สี่เหลี่ยมผืนผา

นักเรียนควรรู รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (square) เปน รูปสี่เหลี่ยมที่มีมุมเปนมุมฉากทุกมุม มีดานยาวเทากันทุกดาน และ ใชสัญลักษณ จ แทนคําวา สี่เหลี่ยมจัตุรัส คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ใหนักเรียนพิจารณาปริซึมสี่เหลี่ยม ผืนผา หนา 6 แลวตอบคําถาม • คํานวณหาพื้นที่ผิวขางและพื้นที่ หนาตัดของปริซึมนี้วาจะใช สูตรใด (แนวตอบ การคํานวณพื้นที่ ผิวขางใชสูตรการหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมผืนผา = ความกวาง × ความยาว การคํานวณพื้นที่หนาตัดหัวทาย ใชสูตรการหาพื้นที่ สี่เหลี่ยมผืนผา = ความกวาง × ความยาว) 2. ครูใหนักเรียนรวมกันวิเคราะหวา • ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสและปริซึม สี่เหลี่ยมผืนผาเหมือนหรือตาง กันในเรื่องใด (แนวตอบ ปริซึมทั้งสองหาพื้นที่ หนาตัดหัวทายและพื้นที่ผิวขาง โดยใชสูตร ความกวาง × ความยาว เหมือนกัน และตางกันที่ความ กวางและความยาวที่โจทย กําหนด)

6 b

ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า

รูปคลี่ของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ รูปที่ 2 รูปที่ 3 และรูปที่ 4 รวมกัน

จากรูปคลี่ของปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า จะได้ พื้นที่หน้าตัดหัวท้ายเท่ากับสองเท่าของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2ab ตารางหน่ 2 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ah + bh + ah + bh ความยาวเส นรอบฐาน = ((a + b + a + b) × h b) × = (2a (2 + 2b)h ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง ดังนั้น พืน้ ทีผ่ วิ ของปริซมึ สีเ่ หลีย่ มผืนผ้าเท่ากับพืน้ ทีห่ น้าตัดหัวท้ายรวมกับพืน้ ทีผ่ วิ ข้าง วย = 2ab + (2 22ab + (2a + (2a + 2b)h ตารางหน่ 2 เปดโลกคณิตศาสตร์ ในสมัยเรอเนซองซ (Renaissance) โบนาเวนตูรา คาวาลีเอรี (Bonaventura Cavalieri) (ค.ศ.1598 - 1647) นักคณิตศาสตรชาวอิตาลีลูกศิษยของกาลิเลโอ ไดเสนอแนวความคิดตางๆ เพื่อพัฒนา วิ ช าเรขาคณิ ต ตรี โ กณมิ ติ และพี ช คณิ ต โดยนํ า ผลงานของยุ ค ลิ ด เป น พื้ น ฐานในการศึ ก ษา คาวาลี เ อรี มีชื่อเสียงมากในเรื่องการคํานวณหาปริมาตรของทรงสามมิติตางๆ ที่มา : Dr Wong Khoon Yoong & Sin Kwa ; Meng : New Elementary Mathematics Syllabus D

ยุคลิด (Euclid of Alexandria : ยุคลิดแหงอะเล็กซานเดรีย) เปนนักคณิตศาสตรชาวกรีกที่มี ชีวิตอยูในชวง 450-380 กอนคริสตศักราช ยุคลิดเกิดที่เมือง อะเล็กซานเดรีย ประเทศอียิปต ทานไดรับการแตงตั้งเปน ศาสตราจารยและหัวหนาภาคคนแรกที่มหาวิทยาลัย อะเล็กซานเดรีย ซึ่งถือไดวาเปนมหาวิทยาลัยแหงแรกของโลก คูมือครู

นักเรียนควรรู

เกร็ดแนะครู ครูใหนักเรียนลองสรางปริซึม สี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผา ที่มีความสูงเทากัน ตางกันที่ความ ยาวของดานที่เปนหนาตัด เพื่อเสริม ความเขาใจยิ่งขึ้น

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

Engage

สํารวจคนหา 7 a

ปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

พื้นที่ผิวข้างเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปที่ 1 รูปที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รูปที่ 5 และรูปที่ 6 รวมกัน

รูปคลี่ของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

จากรูปคลี่ของปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า จะได้ พื้นที่หน้าตัดหัวท้ายเท่ากับสองเท่าของพืน้ ทีร่ ปู หกเหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่า พื้นที่หน้าตัดหัวท้าย = 2 × 3 3 × aa2 2 = 3 3a2 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ah + ah + ah + ah + ah + ah = (a + a + a + a + a + a) × h = 6ah ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง

ครูควรนํากลองบรรจุภัณฑที่เปน ปริซึมรูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา ใหนักเรียนวัดความยาว ความสูงของ ปริซึมและความสูงของรูปหกเหลี่ยม ดานเทามุมเทา แลวคํานวณพื้นที่ หนาตัดหัวทาย โดยไมใชสูตรพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมดานเทา ครูถามนําทางวา • รูปหกเหลี่ยมหนาตัดหัวและ ทายสรางใหเปนรูปสามเหลี่ยม ดานเทาไดจํานวนกี่รูป พื้นที่เทา กันหรือไม และคํานวณพื้นที่ได อยางไร (แนวตอบ สรางเปนรูปสามเหลีย่ ม ดานเทาไดจํานวน 6 รูป แตละ รูปมีพื้นที่เทากัน และคํานวณ พื้นที่ไดโดยการใชความรูเรื่อง ทฤษฎีบทพีทาโกรัส หาความ สูงของรูปสามเหลี่ยมดานเทา หรือใชสูตรจากพื้นที่ของรูป สามเหลี่ยมดานเทาได)

นักเรียนควรรู รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา สามารถสรางไดงาย เพราะวาเปน ดานที่มีความยาวเทากันทุกดาน โดยเขียนรูปวงกลม แลวแบงเสน รอบวงเปน 6 สวน ใหแตละสวนยาว เทากับรัศมีของรูปวงกลม แลวลาก สวนของเสนตรงตอระหวางจุดบน เสนรอบวง

60 ํ

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • พื้นที่หกเหลี่ยมดานเทามุมเทา สัมพันธกับรูปสามเหลี่ยม หรือไม อยางไร (แนวตอบ มีความสัมพันธกัน เนื่องจากพื้นที่หกเหลี่ยมดานเทา มุมเทาเทากับหกเทาของพื้นที่ สามเหลี่ยมดานเทา 1 รูป)

ดังนั้น พืน้ ทีผ่ วิ ของปริซมึ หกเหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่าเท่ากับพืน้ ทีห่ น้าตัดหัวท้ายรวมกับ พื้นที่ผิวข้าง = 3 3a2 + 6ah ตารางหน่วย

เกร็ดแนะครู

คงจ�าได้ว่า พื้นที่รูปสามเหลี่ยม

ในเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตรของ รูปเรขาคณิตสามมิติ มีความจําเปน ตองใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส เพื่อหา ความสูงและสูงเอียง ครูทบทวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกอนศึกษา บทเรียน

1 2

พื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า =

1 2

x ความยาวของฐาน x ความสูง xaxh

= 21 x a x

a a

a 3 2

h a

h = a2 - ( a2 )2 3

= a 2

= 4 a2 รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่ารูปนี้ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหกรูป ดังนั้น พื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ หกเท่าของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

= =

นักเรียนควรรู

(

3 2

3 4 3

a2) a2

()

2 h = a2 - a2 เปนการหาความ สูงโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัส

() a - ( a4 )

h = a2 - a2 =

2 2 = 4a - a 4

มุมความคิด พื้นที่ผิวของปริซึมเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง ซึ่งพื้นที่ผิวข้างเท่ากับ ผลคูณของความยาวเส้นรอบฐานกับความสูงของปริซมึ

2 = 3a4

= 23

EB GUIDE

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ดานเทา = 34 (ดาน)2

คูมือครู

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M3/01

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 9 ตัวอย่างที่

จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีด้านประกอบมุมฉากยาว 3 นิ้ว และ 4 นิ้ว และปริซึมแท่งนี้มีความสูง 10 นิ้ว

วิธีทำ�

3 นิ้ว

x 3

จากโจทย์ พื้นที่ผิวของปริซึมประกอบด้วยพื้นที่ฐานซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก 2 รูป และพื้นที่ผิวข้าง เนื่องจาก พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 12 × ความยาวฐาน × ความสูง จะได้ พื้นที่ฐาน = 12 × 3 × 4

4 นิ้ว

= 6 ตารางนิ้ว ฉาก จากฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หาความยาวของด้ าน ตรงข้ามมุมฉาก (x) โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ x2 = 32 + 42 x2 = 9 + 16 x2 = 25 = 52 x = 55 นินิ้ว รอบฐาน × จาก พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง (3 + 4 + 5) × 10 จะได้ พื้นที่ผิวข้าง = (3 + 4 + 5) × 10 12 × 10 = 12 × 10 120 ตารางนิ = 120 ตารางนิ้ว าน + จาก พื้นที่ผิว = สองเท่าของพื้นที่ฐาน พื้นที่ผิวข้าง จะได้ พื้นที่ผิว = (2 × 6) + 120 = 12 + 120 = 132 ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับ 132 ตารางนิ้ว ตอบ 10 นิ้ว

1. ตัวอยางที่ 1 สิ่งที่โจทยกําหนดให เพียงพอจะคํานวณพื้นที่ผิวขาง หรือไม ใหใชคําถามวิเคราะห ดังนี้ • เมื่อไรนักเรียนจะคํานวณหา พื้นที่ผิวขางของปริซึมได (แนวตอบ เมื่อโจทยกําหนดความ ยาวดานของรูปเหลี่ยมที่เปน หนาตัดหัวทายและความสูง ของปริซึมให ) • เมื่อไรนักเรียนจะนําทฤษฎีบท พีทาโกรัสมาใช (แนวตอบ เมื่อรูปปริซึมเกี่ยวของ กับรูปเหลี่ยมที่มีมุมฉากซึ่ง ทราบความยาวของดาน ประกอบมุมฉากทั้งสองดาน หรือทราบความยาวของดาน ตรงขามมุมฉากกับความยาว ของดานประกอบมุมฉากเพียง 1 ดาน) 2. ใหนักเรียนจับคู ศึกษารายละเอียด จากตัวอยางที่ 1

เกร็ดแนะครู กอนจะศึกษาจากตัวอยางนี้ ครูควรใหนักเรียนหาพื้นที่ผิวขางของ สิ่งของเครื่องใชที่เปนปริซึมใกลตัว นักเรียน โดยใหนักเรียนวัดความยาว ของดานและความสูง เพื่อใหนักเรียน ตระหนักวา บางครั้งเราไมสามารถ วัดความยาวของดานใดดานหนึ่ง ได ถาเปนดังนั้นเราจะตองนําความ รูอะไรบาง มาเชื่อมโยงจึงจะคํานวณ พื้นที่ได

นักเรียนควรรู รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right triangle) เปนรูปเหลี่ยมที่มีสามดาน มีมุมหนึ่งเปน มุมฉาก ถาวัดความยาวดานตางๆ ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก จะพบวา ดานตรง ขามมุมฉากเปนดานที่ยาวที่สุด เพราะอยูตรงขามมุมที่ขนาดใหญที่สุด คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใชคําถามใหนักเรียนคิด วิเคราะห จากตัวอยางที่ 2 หนา 10-11 • ปริซึมแทงนี้ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยม คางหมู โจทยกําหนดขอมูล เพียงพอจะหาพื้นที่หนาตัด และพื้นที่ผิวขางแลวหรือไม ถาไมเพียงพอยังขาดความยาว สวนใด และจะหาไดอยางไร (แนวตอบ ขอมูลที่โจทยกําหนด ยังไมเพียงพอที่จะหาพื้นที่ฐาน หนาตัดและพื้นที่ผิวขาง ตองหา ความยาวเสนรอบฐานซึ่งตอง ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความ ยาวดานที่ไมใชดานคูขนานของ รูปสี่เหลี่ยมคางหมูกอน) • สูตรที่ตองนํามาใชเพื่อคํานวณมี สูตรอะไรบาง (แนวตอบ สูตรที่ตองนํามาใช เพื่อคํานวณพื้นที่ผิว มีดังนี้ - สูตรพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม คางหมู - สูตรพื้นที่ขางของปริซึม)

เกร็ดแนะครู การแกปญหาโจทยครูควร พิจารณาวา โจทยกําหนดขอมูล เพียงพอนั้น หมายถึงเมื่อนําทุกคา ที่กําหนดแทนลงในสูตรจะคํานวณ ผลลัพธได โดยไมตองใชความรู อื่นเพิ่มเติม @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ สี่เหลี่ยมคางหมูไดที่ http://www. mathopenref.com/trapezoid. html

คูมือครู

10 ตัวอย่างที่

จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว ที่มีความยาวเส้นคู่ขนานเท่ากับ 9 นิ้ว และ 15 นิ้ว ตามล�าดับ และสูง 4 นิ้ว เมื่อปริซึมแท่งนี้สูง 10 นิ้ว

9 15

x 3

4 x 3

วิธีทำ�

โจทย์ต้องการให้หาพื้นที่ผิว ซึ่งประกอบด้วยพื้นที่ฐานซึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยม คางหมูหน้าจั่วสองรูปและพื้นที่ผิวข้าง จากรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว สามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความยาว ของ x ได้ดังนี้ ของ x ได้ x2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25 = 52 x = 5 นิ้ว จะได้ ความยาวของเส้นรอบฐาน = 99 + 5 + 15 + 5 = 34 นิ้ว รอบฐาน × ความสูง เนื่องจาก พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน 34 × 10 = 340 ตารางนิ ้ว จะได้ พื้นที่ผิวข้าง = 34 × และเนื่องจากฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู จะได้ พื้นที่ฐาน = 12 × ผลบวกของด้านคูข่ นาน × ความสูง พื้นที่ฐาน = 12 × (9 + 15) × 4 = 48 ตารางนิ้ว ซึ่ง พื้นที่ผิว = สองเท่าของพื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

อธิบายความรู 11

พื้นที่ผิว

= (2 × 48) + 340 = 96 + 340 = 436 ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วนี้เท่ากับ 436 ตารางนิ้ว ตอบ

2 ซม. ตัวอย่างที่

จงหาพื้นที่ผิวของปริซึมหกเหลี่ยม ฐานเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ซึ่งมีด้านยาวด้านละ 2 เซนติเมตร และปริซึมแท่งนี้ยาว 8 เซนติเมตร

8 ซม.

2 ซม.

ครูใชคําถามใหคิดวิเคราะห ตัวอยางที่ 3 • การหาพื้นที่ฐานในตัวอยางนี้ จะใชสูตร พื้นที่รูปหกเหลี่ยม ดานเทามุมเทาไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถใชสูตรพื้นที่ ของรูปหกเหลี่ยมดานเทามุม เทาได เพราะวาโจทยกําหนด ใหฐานเปนรูปหกเหลี่ยมดาน เทามุมเทา) • ขอมูลที่โจทยกําหนดเพียงพอ สําหรับคํานวณพื้นที่ผิวหรือไม (แนวตอบ ขอมูลที่โจทยกําหนด ใหเพียงพอที่จะคํานวณ พื้นที่ผิวได)

ขยายความเขาใจ

ฐานเป็นรูปหกเหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่ามีความยาวด้านละ 2 เซนติ นละ 2 เซนติเมตร เนือ่ งจาก ฐานเป็ จะได้ พื้นที่ฐาน = 3 3 × 2 × 22 2 พื้นที่รูปหกเหลี่ยม ×2 = 3 33 × 2 ด้านเท่ามุมเท่า เท่ากับ = 6 3 ตารางเซนติ ตารางเซนติ ตารางเซนติเมตร 3 3 2 x (ความยาวด้ า น) 2 รอบฐาน พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวของเส้นรอบฐาน × ความสู ง พื้นที่ผิวข้าง = (2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2) × 8 (2 2 + 2 + 2 + 2 + 2) × 8 = 96 ตารางเซนติเมตร และ พื้นที่ผิว = สองเท่าของพื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ผิว = 2 × (6 3 ) + 96 = 12 3 + 96 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของปริซึมหกเหลี่ยมนี้ ตอบ เท่ากับ 12 3 + 96 ตารางเซนติเมตร วิธีทำ�

ครูใหนักเรียนรวมกันแสดงความ คิดเห็น • นักเรียนคิดวาในชีวิตประจําวัน ของนักเรียนตองใชความรูเกี่ยว กับพื้นที่ผิวของปริซึมหรือไม และใชมากนอยเพียงใด ถาไมมี ความรูเรื่องนี้จะกระทบตอการ ดําเนินชีวิตประจําวันหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ อาจจะมีคําตอบหลาก หลายตามความคิดของนักเรียน ตัวอยางเชน ในชีวิตประจําวัน ตองใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิว ของปริซึม เพื่อตรวจสอบวา พื้นที่ผิวของบรรจุภัณฑหรือ สิ่งของ เครื่องใชที่กําหนดไว เปนจริงหรือใกลเคียงหรือไม ก็ได หรืออาจตอบวาถาไมมี ความรูเรื่องนี้ก็ไมสงผลกระทบ ตอการดําเนินชีวิตประจําวัน เพราะวาไมมีความจําเปนที่ จะตองตรวจสอบพื้นที่ผิวของบรรจุภัณฑเหลานั้น) • นักเรียนคิดวา มีอาชีพใดบางที่ตองใชความรูเรื่องนี้ (แนวตอบ อาจจะมีคําตอบหลากหลายตามความคิดของ นักเรียน ตัวอยางเชน นักออกแบบบรรจุภัณฑ สถาปนิก ชางกลึง ชางทําเฟอรนิเจอร เปนตน) คูมือครู 11

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนักเรียนจับคูรวมกันแลก เปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทยขอ ใดในแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.2 ก หนา 12-13 วาเหมือนกับ ตัวอยางใดที่เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดที่ไดไปใชใน การทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.2 ก จากนั้นนักเรียนแตละคู แลกเปลี่ยนกันตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2-3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการ แกปญหาโจทย

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.2 ก

1. รูปคลี่ในแต่ละข้อต่อไปนี้ประกอบกันเป็นปริซึมใด พร้อมทั้งค�านวณหาพื้นที่ผิว ของปริซึมนั้นๆ (จ�านวนที่ก�าหนดให้แทนความยาวที่มีหน่วยเป็นนิ้ว) 1)

3 1 12

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 ก (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.2 ก ที่สวนเสริมดานหนาของ หนังสือเลมนี้)

3 34

4) 2

2 14

NET ขอสอบ ป 52 ขอสอบออกเกี่ยวกับการหาพื้นที่ ของรูปทรงเรขาคณิต โจทยกําหนด • จงหาพื้นที่บนหนาที่มองไมเห็น ของรูปทรงเรขาคณิตขางลางนี้ รวมกันไดกี่ตารางหนวย 1. 582 ตารางหนวย 2. 682 ตารางหนวย 3. 762 ตารางหนวย 4. 772 ตารางหนวย 6

งๆ น ดังรูป 2. ของเล่นเด็กเป็นปริซึมพลาสติกแบบต่างๆ กั จงหาพืน้ ที่ผิวของปริซึมแต่ละแท่งซึ่งมีความยาว วามยาว 5 เซนติเมตรเท่ากัน 1)

2 ซม.

3 ซม. 3 ซม.

7 9 21

6 15 10

คูมือครู

(แนวคิด พื้นที่ดานขาง พื้นที่ดานลาง พื้นที่ดานหลัง พื้นที่ดานใน พื้นที่ทั้งหมด ดังนั้น คําตอบ

= 15 × 10 = 150 = 21 × 10 = 210 = ( 21 × 15) - (7 × 9) = 315 - 63 = 52 = 7 × 10 = 70 = 150 + 210 + 252 + 70 = 682 ตารางหนวย) คือ ขอ 2.)

2 ซม.

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 13

2 ซม.

1.5 ซม. 1.5 ซม.

2 ซม.

2.2 ปริมาตรของปริซึม

1 ซม. 1 ซม.

1 ซม.

รูป ก.

นักเรียนเคยศึกษาเรื่องปริมาตรของทรงลูกบาศก์ และปริมาตรของ ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมาแล้ว นักเรียนทราบว่า ทรงลูกบาศก์ที่มีด้านยาว ด้านละ 1 เซนติเมตร ดังรูป ก. จะมีปริมาตรเท่ากับ 1 × 1 × 1 = 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีความกว้าง a หน่วย ความยาว b b หน่วย และ ความสูง h หน่วย ดังรูป ข.

ครูนําสื่ออุปกรณรูปเรขาคณิต สามมิติ ไดแก ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอกและกรวย ซึ่งสามารถ แยกสวนออกและประกบใหมได หรือ อาจใชสื่อซึ่งประดิษฐขึ้นเองจาก กระดาษแข็ง ใหนักเรียนดูและถาม นักเรียนวา • ถาตองการหาปริมาตรของ รูปเรขาคณิตสามมิติเหลานี้ นักเรียนบอกไดไหมวา จะหาไดอยางไร • เราจะใชสูตร ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง หรือปริมาตร = ความกวาง × ความยาว × ความสูง ไดหรือไม

นักเรียนควรรู h

b a

ลูกบาศก (cube) มีลักษณะ รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีสัน (edge) ยาวเทากันทุกสัน เชน ถาสันยาว 1 นิ้ว มีปริมาตร 1 ลูกบาศกนิ้ว (ลบ.นิ้ว) เปนตน

รูป ข.

ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากรูป ข. = (a × b) × h ลูกบาศก์หน่วย หรือปริมาตรทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พื้นที่ฐาน × ความสูง ซึ่งทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากนี้ คือปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก = พื้นที่ฐาน × ความสูงของปริซึม

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

Engage

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา 1. ครูนํายางลบแทงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มา 2 แทง 2. ขออาสาสมัครนักเรียน 2 คน ออกมาหนาชั้นเรียนเพื่อปฎิบัติ กิจกรรม 3. ใหนักเรียนตัดยางลบแทงสี่เหลี่ยม มุมฉาก ตามแนวเสนทแยงมุม ให ขาดออกจากกัน 4. ครูใหนักเรียนสังเกตแตละสวน แลวถามนักเรียนวา • ยางลบที่ตัดแตละสวน เปนรูป เรขาคณิตชนิดใด (แนวตอบ ปริซึมสามเหลี่ยม มุมฉาก 2 รูป) • ปริมาตรของยางลบที่ตัดออก เกี่ยวของกับปริมาตรของยางลบ ทั้งกอนหรือไม และเกี่ยวของ อยางไร (แนวตอบ เกี่ยวของกับปริมาตร ของยางลบทั้งกอน โดยปริมาตร ของยางลบที่ตัดออกเปนครึ่ง หนึ่งของปริมาตรของยางลบ ทั้งกอน) • ปริมาตรของยางลบทั้งกอนหา ไดหรือไม (แนวตอบ สามารถหาปริมาตร ของยางลบทั้งกอนไดโดยใช สูตร ปริมาตร = ความกวาง x ความยาว x ความสูง • ถากําหนดให a แทนความกวางของยางลบ b แทนความยาวของยางลบ h แทนความสูงของยางลบ ปริมาตรของยางลบที่ตัดออก เทากับเทาไร (แนวตอบ ปริมาตรของยางลบที่ ตัดออก เทากับ 12 × a × b × h)

ถ้าตัดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากตามแนวเส้นทแยงมุมของหน้าตัดดังรูป ค. จะได้ปริซึม สามเหลี่ยมมุมฉากสองแท่งที่มีขนาดเท่ากัน h

รูป ค.

b a

1 ของปริมาตรของปริซมึ สีเ่ หลีย่ มมุมฉาก 2 1 × (ความกว้าง × ความยาว × ความสูง) 2 = ( 12 × ความกว้าง × ความยาว) × ความสูง = ( 12 ab) × h ลูกบาศก์หน่วย ฉาก = พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก × h ลูกบาศก์หน่วย ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากคูณความสูง ดังนั้น ปริ ในท�าานองเดี นองเดียวกัน เราสามารถหาปริ เราสามารถหาปริมาตรของปริซมึ ทีม่ ฐี านเป็นรูปสามเหลีย่ มใดๆ ได้ มใดๆ โดยแบ่งปริซึมออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากสองแท่ง ดังรูป

ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก = =

เนื่องจาก ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก = จะได้ ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก ABD = และ ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉาก BCD =

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก × ความสูง พื้นที่ ΔABD × ความสูง พื้นที่ ΔBCD × ความสูง

• นักเรียนสรุปปริมาตรของปริซึมของสามเหลี่ยมมุมฉากไดหรือไม อยางไร (แนวตอบ นักเรียนอาจจะตอบวาไดหรือไมได ครูแนะแนวทางโดยนํา 1 × a × b × h เขียนเปน 1 × a × b × h) 2 2 • ถาฐานของปริซึมไมใชรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นักเรียนคิดวา จะหาปริมาตรของปริซึมนี้ไดอยางไรบาง (แนวตอบ มีคําตอบหลากหลายอยูในดุลยพินิจของผูสอน เชน แบงฐานของปริซึมใหเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก หาปริมาตรของปริซึมแตละรูป

แลวจัดรูปใหม จะไดสูตรหาปริมาตรของปริซึมฐานตางๆ ได)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 15 พื้นที่ ΔABD + พื้นที่ ΔBCD

ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ABC = พื้นที่ ΔABC BCD ง) = (พื้นที่ ΔABD × ความสูง) + (พื้นที่ ΔBCD × ความสู = (พื้นที่ ΔABD + พื้นที่ ΔBCD) × ความสูง ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม ABC = พื้นที่ ΔABC × ความสูง = พื้นที่ฐานของปริซึมสามเหลี่ยม ABC × ความสูง ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใดๆ = พื้นที่ฐาน × ความสูง จากปริมาตรของปริซมึ สามเหลีย่ มใดๆ เราสามารถน�ามาหาปริมาตรของปริซมึ ใดๆ ได้ โดยการแบ่งปริซึมนั้นออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยม เช่น ปริซึมหกเหลี่ยมที่มีความสูงเป็น h แบ่ง ออกเป็นปริซึมสามเหลี่ยมได้ 4 แท่ง ดังรูป A

D B

ปริมาตรของปริซึมหกเหลี่ยมเท่ากับปริมาตรของปริซึม A + ปริ + ปริมาตรของปริซึม B + ปริมาตรของปริซึม C + ปริ C + ปริ + ปริมาตรของปริซึม DD A × ) + (พืน้ ทีฐ่ านของปริซมึ B × h) = (พืน้ ทีฐ่ านของปริซมึ A × h) + (พื + (พืน้ ทีฐ่ านของปริซมึ C × ) + (พืน้ ทีฐ่ านของปริซมึ D × h) C × h) + (พื + พื้นที่ฐานของปริซึม B + = (พื้นที่ฐานของปริซึม A + พื พื้นที่ฐานของปริซึม C + พื + พื้นที่ฐานของปริซึม D D) × h D) × ) × h = พื้นที่ฐานของปริซึมหกเหลี่ยม × ความสูง

ครูสุมนักเรียน 2-3 คนใหออกมา สรุปวา การใชปริมาตรของปริซึม สามเหลี่ยมมุมฉาก เชื่อมโยงไปสู ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยมใดๆ และปริมาตรของปริซึมใดๆ ตองใช สมบัติที่เกี่ยวกับจํานวนจริงบาง หรือไม ถาใช ควรใชสมบัติใด (แนวตอบ ตองใชสมบัติเกี่ยวของกับ จํานวนจริง ไดแก สมบัติการเปลี่ยน กลุมและสมบัติการแจกแจง)

เกร็ดแนะครู ครูอาจใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละความสามารถศึกษาบท เรียนหนา 14-15 เพื่อเชื่อมโยงความ รูของปริซึมสามเหลี่ยมมุมฉากไป สูปริมาตรสามเหลี่ยมใดๆ เทากับ พื้นที่ฐาน × ความสูง

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ปริมาตรของปริซึมไดที่ http:// hotmath.com/hotmath_help/ topics/prism.html

มุมความคิด

ปริมาตรของปริซมึ เท่ากับ ผลคูณของพืน้ ทีฐ่ านกับความสูงของปริซมึ ดังนัน้ V = A x h เมือ่ V แทนปริมาตรของปริซมึ ใดๆ A แทนพืน้ ทีฐ่ านของปริซม ึ และ h แทนความสูงของปริซมึ

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทยจากตัวอยางที่ 4 และตัวอยางที่ 5 ตัวอยางที่ 4 • ความยาว 4 ซม. และความยาว 8 ซม. ความยาวใดเปนความสูง ของปริซึม (แนวตอบ ความยาว 8 ซม. เปน ความสูงของปริซึม) • ขอมูลที่โจทยกําหนดเพียงพอที่ จะหาปริมาตรหรือไม ถาเพียง พอแลว จงบอกความยาว ความ กวางและความสูง (แนวตอบ ขอมูลที่โจทยกําหนด เพียงพอที่จะหาปริมาตร โดยมี ความกวาง 3 ซม. ความยาว 4 ซม. และความสูง 8 ซม.) ตัวอยางที่ 5 • ขอมูลที่โจทยกําหนดเพียงพอที่ จะหาพื้นที่ฐานหรือไม (แนวตอบ ขอมูลที่โจทยกําหนด เพียงพอที่จะหาพื้นที่ฐาน) • ความสูง 4 นิ้ว และความสูง 12 นิ้ว ความสูงใดเปนความสูงของ ปริซึม (แนวตอบ ความสูง 12 นิ้ว เปน ความสูงของปริซึม แตความ สูง 4 นิ้ว เปนความสูงของรูป สี่เหลี่ยมคางหมู) • ถาแทนความสูง 4 นิ้ว และ 12 นิ้ว สลับที่กัน ปริมาตรที่คํานวณ ไดจะถูกตองหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ปริมาตรที่คํานวณได จะไมถูกตอง)

คูมือครู

16 ตัวอย่างที่

จงหาปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าความกว้าง 3 เซนติเมตร ความยาว 4 เซนติเมตรและปริซึมแท่งนี้มีความยาว 8 เซนติเมตร ดังรูป

4 ซม. 8 ซม. 3 ซม.

ตัวอย่างที่

วิธีทำ�

เนื่องจาก ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หาพื้นที่ฐานจากสูตร พื้นที่ฐาน = ความกว้าง × ความยาว = 3 × 4 ตารางเซนติเมตร จะได้ พืพื้นที่ฐานเท่ากับ 12 ตารางเซนติเมตร าน × ความสูงของปริซึม เนื่องจาก ปริ งจาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน 12 × 8 ปริมาตรของปริซึม = 12 96 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 96 ตอบ ดังนั้น ปริ ปริมาตรของปริซึมเท่ากับ 96 ลู 96 กบาศก์เซนติเมตร

จงหาปริมาตรของปริซมึ สีเ่ หลีย่ มม ซึง่ ฐานเป็นรูปสีเ่ หลีย่ มคางหมู มีความยาวเส้นคูข่ นาน เท่ากับ 5 นินิ้ว และ 8 นิ และ 8 นิ้ว ตามล�าดับ และสูง 4 นิ้ว เมื่อปริซึมแท่งนี้สูง 12 นิ้ว

วิ ธีทำ�

จากโจทย์ สามารถสร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้ 5” 4” 8” 12”

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 17

เนื่องจาก ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู จะได้ พื้นที่ฐาน = 12 × ผลบวกของความยาวด้านคูข่ นาน × ความสูง พื้นที่ฐาน = 1 × (5 + 8) × 4 2 = 26 ตารางนิ้ว จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × ความสูงของปริซึม ปริมาตรของปริซึม = 26 × 12 = 312 ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้น ปริมาตรของปริซึมนี้เท่ากับ 312 ลูกบาศก์นิ้ว ตอบ

ตัวอย่6างที่

บริษทั ผลิตชาเขียวแห่งหนึง่ ให้พนักงานประกวดการออกแบบกล่องบรรจุชาเขียว โดยมี กติกาว่ากล่องต้องมีปริมาตร 240 ลูกบาศก์เซนติเมตร มตร และประหยัดกระดาษที่ใช้ท�า ในรอบสุดท้ายมีกล่องทีเ่ ข้ารอบ รอบ 2 กล่ กล่องดังรูป กรรมการตั กรรมการตัดสินควรเลือก กล่องมากทีส่ ดุ ในรอบสุ กล่องแบบใดเป็นกล่องบรรจุชาเขียวของบริษัท เพราะเหตุ หนด 3 ≈ 1.732) เพราะเหตุใดด (ก� (ก�าหนด 4 ซม.

วิธีทำ�

55 ซม. ซม.

44 ซม. ซม.

240 ลูกบาศก์ เซนติเมตร

รูป ก.

รูป ข. ข.

กล่องเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า 1) รูป ก. กล่ โจทย์ก�าหนดปริมาตรเท่ากับ 240 ลู 240 ลูกบาศก์เซนติเมตร จาก ปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × ความสูง 240 = ความกว้าง × ความยาว × ความสูง 240 = (4 × 5) × ความสูง 240 ความสูง = 4 × 5 = 12 เซนติเมตร

จากตัวอยางที่ 6 หนา 17-18 ครูใช คําถามนํา ดังนี้ • ขอความ “ประหยัดกระดาษที่ ใชทํามากที่สุด” หมายความวา อยางไร เกี่ยวของกับพื้นที่หรือไม (แนวตอบ หมายความวา ตองใช กระดาษนอยที่สุด ในการออกแบบ ผลิตภัณฑ ซึ่งเกี่ยวของกับการ คํานวณหาพื้นที่) • โจทย ใ นตั ว อย า งที่ 6 นี้ เป น รู ป เรขาคณิตสามมิตใิ ด เพราะเหตุใด (แนวตอบ เปนปริซึม เพราะวามี ดานขางทุกดานเปนรูปสี่เหลี่ยม ผืนผา) • ในการตัดสินเลือกกลองตองใช ความรูเรื่องพื้นที่ผิวหรือปริมาตร (แนวตอบ ในตัวอยางนี้ตองใชความ รูเกี่ยวกับพื้นที่ผิว) • ขอมูลที่โจทยกําหนดทั้งกลองรูป ก. และรูป ข. เพียงพอที่จะนําไป หาคําตอบหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เพียงพอเพราะวา สามารถคํานวณพื้นที่ฐานไดแลว นําไปหาความสูงจากปริมาตรที่ ระบุไวได) • สูตรพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมดาน เทามุมเทา เกี่ยวของกับสูตรพื้นที่ ของรูปสามเหลี่ยมดานเทาหรือไม (แนวตอบ เกี่ยวของกัน เพราะวา รูปหลายเหลี่ยมดานเทามุมเทา สัมพันธกับรูปสามเหลี่ยม ดานเทา) • กระดาษที่ใชทํากลองบรรจุ ชาเขียวรูป ข. เปนจํานวนตรรกยะ หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมเปนจํานวนตรรกยะ เพราะวาพื้นที่ฐานใชสูตร 3 3 × (ดาน)2 ถาความยาวดาน 2 เปนรากที่สองของจํานวนบวกใดๆ จะทําให (ดาน)2 เปนจํานวน ตรรกยะเสมอ)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ

18 ครูใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็น • นักเรียนคิดวา ในชีวิตประจําวัน จะได้ ความสูงของกล่อง = 12 เซนติเมตร ของนักเรียนตองเกี่ยวของกับ พื้นที่ผิวของกล่อง = สองเท่าของพื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ผิวและปริมาตรของรูป พื้นที่ผิวของกล่อง = 2(ความกว้าง × ความยาว) + [ความยาวเส้น เรขาคณิตสามมิติหรือไม รอบฐาน × ความสูง] เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย = 2(4 × 5) + [(4 + 5 + 4 + 5) × 12] เชน = 40 + 216 - เกี่ ย วข อ งกั น จึ ง จํ า เป น ต อ ง = 256 ตารางเซนติเมตร เรี ย นรู  เ พื่ อ จะได ใ ช วั ส ดุ ไ ด 2) รูป ข. กล่องเป็นปริซึมหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า คุม คา ไมสญ ู เปลาและใชตรวจ 3 สอบความถูกตอง จากพื้นที่รูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า = 3 (ความยาวด้ าน)2 2 - ไมเกี่ยวของจึงไมจําเปนตอง 3 3 2 จะได้ พื้นที่ฐาน = (4) เรียนรู) 2 • ถานักเรียนจําเปนตองตัดสินใจ = 24 3 ตารางเซนติเมตร เลือกซื้อนํ้าผลไมที่บรรจุแบบ โจทย์กา� หนดปริมาตรเท่ากับ 240 240 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร กระปอง 2 ขนาด ควรเลือกซื้อ จากปริมาตรของปริซึม = พื้นที่ฐาน × ความสู ง าน แบบใดจึงจะประหยัดเงินกวา 240 = 24 33 × ความสู × ความสูง กัน และใชความรูเรื่องใด แบบ A นํ้าผลไมบรรจุกระปอง ความสูง == 240 = 10 24 3 3 ทรงกระบอก มีรัศมีฐาน 2.5 นิ้ว 10 จะได้ ความสูงของกล่อง = เซนติเมตร ความสูง 4 นิ้ว ราคากระปองละ 3 15 บาท พื้นที่ผิวของกล่อง เท่ากับสองเท่าของพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง แบบ B นํ้าผลไมบรรจุกระปอง 3 ) + (ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง) พืน้ ทีผ่ วิ ของกล่อง = (2 × 24 (2 ทรงกระบอก มีรัศมีฐาน 2 นิ้ว (4 × 6) × 10 = 48 3 + (4 การน�า 3 มาคูณ ความสูง 5 นิ้ว บรรจุแพ็กละ 3 3 2 กระปอง ราคา 29 บาท เพื่อให้ตัวส่วนเป็นจ�านวนเต็ม 10 3 = 48 3 + 24 × × (แนวตอบ การเลือกซื้อจะตอง 3 x 3 = 3 นั่นเอง 3 3 ใชความรูเรื่องปริมาตรของ = 48 3 + 80 3 ทรงกระบอก เพื่อตรวจสอบวา = 128 3 มีปริมาตรเทากัน แบบใดใชเงิน ≈ 221.7 ตารางเซนติเมตร นอยกวา หรือถาใชเงินจํานวน เทากัน แบบใดจะไดปริมาตร มากกวา ซึ่งตองเลือกแบบ A - แบบ A มีปริมาตร = π 52 24 = 25 π จายเงิน 15 บาท - แบบ B มีปริมาตร = π (2)25 = 20 π ตองซื้อ 2 กระปอง = 2 × 20π จะไดนํ้าผลไมมีปริมาตร 40π โดยจายเงิน 29 บาท ดังนั้น ถาซื้อแบบ A เพียงเพิ่มเงินอีก 1 บาท ก็จะไดนํ้าผลไมปริมาตร 50π ซึ่งคุมคากวา)

[ [

()

คูมือครู

]

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 19

กรรมการตัดสินพิจารณาได้ว่า กล่องรูป ก. จะใช้กระดาษมากกว่ากล่องรูป ข. กล่อง รูป ข. จึงประหยัดกระดาษมากกว่า ดังนั้น กรรมการจึงควรตัดสินให้กล่องรูป ข. เป็นกล่องบรรจุชาเขียวของบริษัท ตอบ แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.2 ข

1. จงหาปริมาตรของกล่องต่อไปนี้ 1)

2) 1 ซม.

8 ซม.

1. ครูใหนักเรียนจับคูรวมกันแลก เปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทยขอใด ในแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.2 ข หนา 19 - 21 วา เหมือน กับตัวอยางใดที่เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดที่แลกเปลี่ยน กันนําไปใชในการทําแบบตรวจ สอบความเขาใจที่ 1.2 ข จากนั้น นักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2 - 3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการ แกปญหาโจทย

44 ซม. ซม.

6 ซม.

เกร็ดแนะครู

4 ซม. 4 ซม.

5 ซม. ซม. 9 ซม.

4) 2 ซม.

ครูยํ้าใหนักเรียนจดจําสูตรการหา ปริมาตรของปริซึม คือ ปริมาตรของ ปริซึม = พื้นที่ฐาน × สูง การหาความสูงตองใหตั้งฉาก กับฐานเสมอ

9 ซม. 6 ซม. 5 ซม. 5 ซม.

2.4 ซม. 2.4 ซม.

5 ซม.

10 ซม.

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ปริมาตรของปริซึม (แบบฝก เสริมทักษะ) ไดที่ http://www. kalasinpit.ac.th/elearning/ supan/testplan3.swf

2. จงหาปริมาตรของปริซึมแต่ละแท่งต่อไปนี้ 1)

7 ซม. 5 ซม. 6 ซม.

6 ซม.

8 ซม.

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Engage

Explore

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 ข (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.2 ข ที่สวนเสริม ดานหนาของหนังสือเลมนี้)

5 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

3 ซม.

NET ขอสอบ ป 52 ขอสอบออกเกี่ยวกับการคํานวณ หาปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมลูกบาศก โจทยกําหนด • กลองกระดาษสี่เหลี่ยมลูกบาศก ที่มีขนาดภายในกวาง 21 เซนติเมตร บรรจุลูกบอลลูก หนึ่งไดพอดี อยากทราบวา ปริมาตรของอากาศภายใน กลองที่มีอยูลอมรอบบอลลูกนั้น กี่ลูกบาศกเซนติเมตร 1. 4,400 ลูกบาศกเซนติเมตร 2. 4,410 ลูกบาศกเซนติเมตร 3. 4,420 ลูกบาศกเซนติเมตร 4. 4,430 ลูกบาศกเซนติเมตร (แนวคิด นําปริมาตรของกลอง ลูกบาศกลบดวยปริมาตรของ ทรงกลม จะไดปริมาตรของ อากาศภายในกลองจากสูตร ปริมาตร = ความกวาง x ความสูง ปริมาตรของกลอง = 21 × 21 × 21 = 213 ลบ.ซม. จากสูตร ปริมาตร = 12 πr3 ปริมาตรของลูกบอล 3 = 12 × 223 × 222 = 11 × 212 ดังนั้น ปริมาตรของอากาศ ภายในกลอง = 213 - 11 × 212 = 212 - 21 - 11) = 4,410 ลบ.ซม. ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2.)

( )

คูมือครู

4 ซม. 3 ซม.

5) 3 ซม. 4 ซม.

6 ซม.

ยังจ�าได้ไหม 1 ลิตรเท่ากับ 1,000 ลบ.ซม.

44 ซม. ซม.

3. 4.

กล่องบรรจุนา�้ ผลไม้ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีความจุ 11 ลิตร วามยาว 8 เซนติ เมตร ถ้าฐานกล่องมีความยาว 8 เซนติเมตร และความกว้ มตร และความกว้าง 6.25 เซนติ ง จงหาความสูงของกล่องใบนี้ จงหาค่าของ a, ของ a, b, c เมื c เมื่อก�าหนดปริมาตรของปริซึมแต่ละรูปให้ 2) ปริมาตร 174 ลูกบาศก์เซนติเมตร 1) ปริมาตร 80 ลู าตร 80 ลูกบาศก์เซนติเมตร

3 ซม. 10 ซม.

4 ซม. a

6 ซม.

4 ซม. 6 ซม.

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 21 2 ซม.

3) ปริมาตร 120 ลูกบาศก์เซนติเมตร

8 ซม.

c 3 ซม.

5. ภาชนะใบหนึ่งเป็นปริซึมที่มีหน้าตัดเป็น รูปสี่เหลี่ยมคางหมูดังรูป ภาชนะนี้มีปริมาตร 6 ลูกบาศก์เมตร จงหาความกว้างของภาชนะนี้

2 ม. 1.2 ม.

ความกว้าง 1.6 ม.

3. ทรงกระบอก (Cylinder)

พิจารณารูปต่อไปนี้ซึ่งเป็นรูปของทรงกระบอกและส่วนต่างๆ ของทรงกระบอก หน้าตัดหรือฐาน

ครูนํากลองบรรจุภัณฑที่เปน ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กระปองนมที่ สามารถแกะกระดาษที่ปดกระปอง ไดสะดวก และกระปองสเปรย กระปองนํ้าอัดลม เปนตน ใหนักเรียนดู พรอมตั้งคําถาม • กลองบรรจุภัณฑและกระปอง เหลานี้ เหมือนกันหรือแตกตาง กันอยางไรบาง (แนวตอบ เหมือนกัน : เปนบรรจุ ภัณฑที่มีความยาว ความกวาง ความสูง ซึ่งรูปจําลองเปนรูป เรขาคณิตสามมิติ แตกตางกัน : มีดานขางและ หนาตัดหัวทายเปนสี่เหลี่ยม ผืนผากับมีดานขางและหนาตัด หัวทายเปนวงกลม) • นักเรียนคิดวา กระปองนํ้า อัดลม กระปองสเปรย เปน ปริซึมหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมเปน เพราะวาดาน ขางไมเปนรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก)

แกน ส่วนสูง

นักเรียนควรรู

หน้าตัด หรือฐาน

ทรงกระบอกตรง

ทรงกระบอกเอียง

ทรงกระบอกตรง เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานเป็นวงกลมที่เท่ากัน ทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน โดยที่ฐานแต่ละข้างตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก ทรงกระบอกเอียง เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานเป็นวงกลมที่เท่ากัน ทุกประการและอยู่ในระนาบที่ขนานกัน แต่ฐานไม่ตั้งฉากกับแกนของทรงกระบอก

ลูกบาศกเมตร เปนหนวยวัดความจุ 1 ลูกบาศกเมตร = 1,000 ลิตร หรือ 1 กิโลลิตร @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทรง กระบอกไดที่ http://www. icoachmath.com/math_ dictionary/Cylinder.html

คูมือครู

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ ครูถามนักเรียนใหรวมกันแสดง ความคิดเห็น • รูปคลี่ของกลองบรรจุภัณฑหรือ กระปองเหลานี้เหมือนกันหรือ แตกตางกันอยางไร (แนวตอบ รูปคลี่จะแตกตางกัน โดยบรรจุภัณฑที่เปนกระปอง พื้นที่ผิวขางจะเปนรูปสี่เหลี่ยม ผืนผา 1 รูป ไมมีรอยพับ แต บรรจุภัณฑที่เปนกลองพื้นที่ ผิวขางจะเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา หลายรูป โดยแตละรูปจะมี รอยพับ) • รูปคลี่ของกลองบรรจุภัณฑ หรือกระปองเหลานี้เปนรูป เรขาคณิตสองมิติชนิดใด (แนวตอบ เปนรูปวงกลม รูปสี่เหลี่ยมผืนผาและ รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส) • นักเรียนคิดวา การหาพื้นที่ผิว ของทรงกระบอก ใชความรู เกี่ยวกับพื้นที่ของรูป เรขาคณิตสองมิติชนิดใดบาง (แนวตอบ รูปวงกลมและรูป สี่เหลี่ยมผืนผา) @

มุมความคิด รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีหน้าตัดหรือฐานเป็นวงกลมที่เท่ากันทุกประการและอยู่ในระนาบ ที่ขนานกัน เมื่อตัดรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ด้วยระนาบที่ขนานกับฐานแล้วจะได้รอยตัดเป็นวงกลม ทีเ่ ท่ากันทุกประการกับฐานเสมอ เรียกว่า ทรงกระบอก

ในการศึกษาเกี่ยวกับทรงกระบอกในช่วงชั้นนี้จะศึกษาเฉพาะพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ทรงกระบอกตรงเท่านั้น

3.1 พื้นที่ผิวของทรงกระบอก

การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก เราสามารถหาได้โดยการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติออก เป็นรูปเรขาคณิตสองมิต ิ และค�านวณหาพืน้ ทีข่ องรูปเรขาคณิตสองมิตแิ ต่ละรูปนัน้ แล้วน�าพืน้ ทีข่ อง ทุกรูปรวมกันเป็นพื้นที่ผิวของทรงกระบอกรูปนั้น พิจารณาทรงกระบอกกลวงที่มีรัศมีของฐานเท่ากับ r หน่วย และความสูงเท่ากับ h หน่วย ดังรูป

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวของทรงกระบอก (กิจกรรมเสริม ทักษะ) ที่ http://www.learner.org/ interactives/geometry/area_ surface2.html

จากรูป ถ้าคลี่ทรงกระบอกออกโดยตัดฐานทั้งสองออกก่อนจะได้ฐานทั้งสองเป็นรูป วงกลม และตัดด้านข้างให้ขนานตามแนวตั้งจะได้รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า EB GUIDE

คูมือครู

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M3/02

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

Engage

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

สํารวจคนหา 23

จากรูปคลี่ข้างต้นท�าให้สามารถหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกได้ดังนี้ 1) พื้นที่ผิวที่เป็นฐานทั้งสองของทรงกระบอกเท่ากับสองเท่าของพื้นที่วงกลม = 2 πr2 ตารางหน่วย 2) พื้นที่ผิวข้างเท่ากับ พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้างเท่ากับความสูงของ ทรงกระบอกและความยาวเท่ากับความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมของฐานทรง กระบอก จะได้ พื้นที่ผิวข้าง = h × 2πr = 2πrh ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง = 2πr2 + 2πrh ตารางหน่วย

2πr2

เท่ากับ พื้นที่วงกลมสองวง รวมกัน

มุมความคิด

พืน้ ทีผ่ วิ ของทรงกระบอก = 22πr2 + 2πrh เมือ่ r แทนรัศมีของฐานทรงกระบอก h แทนความสูงของทรงกระบอก

ตัวอย่1างที่ จงหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานเท่ากับ 5 เซนติ 5 เซนติเมตร 22 และสูง 6 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 7 )

วิธีท ำ�

จากโจทย์ สร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้

6 ซม.

5 ซม.

เกร็ดแนะครู ครูแนะนําคําศัพทที่เกี่ยวของกับทรงกระบอก โดยเชื่อมโยงกับกระดาษที่แกะออก 1. กระดาษที่แกะออกเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา เรียกวา พื้นที่ผิวขาง 2. ฝาและกนกระปองเปนวงกลม เรียกวา พื้นที่หนาตัดหัวทาย หรือพื้นที่ผิวที่เปนฐานทั้งสอง

1. ครู นํ า กระป อ งนม 2 ใบ และขอ อาสาสมัครนักเรียน 4 คน ชวยกัน แกะกระดาษรอบกระปองนมอยาง ระมัดระวังไมใหฉีกขาด แลวถือ กระดาษคนละขางใหเพื่อนๆ ดู 2. ครูตั้งคําถามใหนักเรียนไดความ คิดรวบยอดเกี่ยวกับทรงกระบอก • กระดาษที่แกะออกเปนรูป เรขาคณิตสองมิติชนิดใด (แนวตอบ รูปสี่เหลี่ยมผืนผา) • ความยาวของกระดาษสัมพันธ กับฝาหรือกนของกระปองหรือ ไมอยางไร (แนวตอบ สัมพันธกับความยาว เสนรอบรูปของวงกลม) • ความกวางกระดาษสัมพันธกับ กระปองหรือไม อยางไร (แนวตอบ สัมพันธกับความสูง ของกระปอง) 3. ครูใหนักเรียนทํากิจกรรม หนา 22-23 เพื่อสรุปความคิดรวบยอด การหาพื้นที่ผิวของทรงกระบอก ตามมุมความคิด หนา 23

อธิบายความรู ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทยตัวอยางที่ 1 หนา 23-24 • โจทยกําหนดขอมูลเพียงพอ ที่จะหาพื้นผิวของทรงกระบอก หรือไม (แนวตอบ เพียงพอ) • 5 ซม. เปนคาของ r หรือ 2r (แนวตอบ เปนคาของ 2r ) • เมื่อแทนคา r = 1 และ 5 h = 6 แลวนักเรียนจะทํา อยางไรไดบาง ซึ่งทําใหการ คํานวณสะดวกและรวดเร็วขึ้น (แนวตอบ ใชสมบัติการแจกแจง แตเปนการคิดแบบยอนกลับ ซึ่งเรียกวา ดึงตัวประกอบ 2 × 227 × 52 ) คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทยตัวอยางที่ 2 หนา 23-24 • พื้นที่ผิวขางของรูปเรขาคณิต สามมิตินี้ เทากับ 14 ของพื้นที่ ผิวขางของทรงกระบอกหรือไม เพราะเหตุใด ถาไมเทากัน รูปเรขาคณิตสามมิตินี้ ยังขาด พื้นที่สวนใดอีกบาง และเปนรูป เรขาคณิตสองมิติชนิดใด (แนวตอบ ไมเทากัน เพราะวา จะมีอีกสองดานซึ่งเปนรูป สี่เหลี่ยมผืนผาที่เกิดจากรอยตัด ตามความสูงของทรงกระบอก) • พื้นที่หนาตัดหัวทาย เทากับ 1 2 ของพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสอง มิติใด อยางไร (แนวตอบ พื้นที่รูปวงกลม คือ พื้นที่หนาตัดหัวทาย = 12 × π × (2.2)2 = 1 × π × (2 ×1.1)2 2 = 2π × 1.21)

รัศมีเท่ากับ 12 ของเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี = 12 × 5 5 เซนติเมตร = 2

จาก พื้นที่ผิวของทรงกระบอก = 2πr2 + 2πrh พื้นที่ผิวของทรงกระบอกประมาณ 2 227 52 2 + 2 227 52 (6) ≈ 39.286 + 94.286 ≈ 133.57 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกระบอกประมาณ 133.57 ตารางเซนติเมตร

( )( ) ( )( )

ตอบ

ตัวอย่2างที่ จงหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ ซึ่งมีฐานเป็นหนึ่งในสี่ของวงกลมที่มีรัศมี 2.2 เซนติ เมตร ดังรูป (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ) 2.2 เซนติเมตร และมี มตร และมีความยาว 8 เซนติ วามยาว

8 ซม. 2.2 ซม.

คูมือครู

วิธีทำ�

เ นื่องจากรูปเรขาคณิตสามมิติรูปนี้ มีฐานเป็นหนึ่งในสี่ของวงกลม จะได้ พื้นที่ฐาน เท่ากับ 14 πr2 (2.2)2 พื้นที่ฐาน = 14 π (2.2) 1 × 22 × 2.2 × 2.2 ≈ 4 7 ≈ 3.80 ตารางเซนติเมตร และ พื้นที่ผิวข้าง = ความยาวเส้นรอบฐาน × ความสูง จะได้ พื้นที่ผิวข้าง = 14 ของเส้นรอบวง + 2.2 + 2.2 × ความสูง พื้นที่ผิวข้าง = ( 14 × 2π × 2.2) + 4.4 × 8

( [

]

)

กระตุน ความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 25 ≈ ≈

[( 14 × 2 × 227 × 2.2) + 4.4] × 8

(3.457 + 4.4) × 8 ≈ 62.86 ตารางเซนติเมตร พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ ประมาณ (2 × 3.8) + 62.86 ≈ 70.46 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติแท่งนี้ประมาณ 70.46 ตารางเซนติเมตร

ตอบ

ตัวอย่3างที่ ถังใส่ขยะทรงกระบอกสูง 6 ฟุต และเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของถังเท่ากับ 7 ฟุต ถ้าต้องการทาสีรอบถังภายนอกแต่ไม่ทาสีก้นถังและฝาถัง โดยต้องจ่ายค่าสี ตารางฟุตละ 30 บาท จะต้ าหนดให้ π ≈ 227 ) จะต้องจ่ายเงินประมาณเท่าไร (ก� ไร (ก�าหนดให้

วิธีทำ�

จากพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก เท่ากับ 2πrh จะได้ พื้นที่ผิวภายนอกของถังใส่ขยะ = 2 × 2 × π × × 72 × 6 ตารางฟุ × 6 ตารางฟุต ระมาณ 2 พื้นที่ผิวภายนอกของถังใส่ขยะ ประมาณ 2 227 72 (6) ≈ 132 ตารางฟุ 132 ตารางฟุต ทาสี 1 ตารางฟุต ต้ต้องจ่ายค่าสี 30 บาท 30 บาท พืน้ ทีท่ าสีประมาณ 132 ตารางฟุต ต้ต้องจ่ายเงิน ประมาณ 30 × 132 = 3,960 บาท ประมาณ 30 × 132 = 3,960 ตอบ ดังนั้น จะต้องจ่ายเงินประมาณ 3,960 บาท บาท

() ( )( )

3.2 ปริมาตรของทรงกระบอก

นักเรียนทราบแล้วว่า ปริมาตรของปริซึมเท่ากับผลคูณของพื้นที่ฐานกับความสูงของ ปริซึม แต่นักเรียนอยากทราบไหมว่า เราจะหาปริมาตรของทรงกระบอกได้อย่างไร และจะใช้สูตร ปริมาตรของปริซึมได้หรือไม่ พิจารณารูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าซึ่งบรรจุในวงกลม และวงกลมทุกวงมีรัศมี เท่ากันกับพื้นที่ส่วนที่แรเงา

ครูใหนักเรียนนําภาชนะ ทรงกระบอก แลวใหอานปริมาตร ของภาชนะทรงกระบอก ที่ระบุไว ครูตั้งคําถาม ดังนี้ • นักเรียนจําไดไหมวา เคยใชวิธี การใดหาปริมาตรหรือความจุ ของทรงกระบอก (แนวตอบ คําตอบอาจจะเปน จําได หรือจําไมไดก็ได โดย ใชสูตร ปริมาตร = ความยาว × ความกวาง × ความสูง) • นักเรียนทราบไหมวา มีวิธีการ หาปริมาตรของทรงกระบอกได อยางไรอีกบาง (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของ นักเรียน) • นักเรียนคิดวา ถานําสูตร ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง ใชเพื่อหาปริมาตรของทรง กระบอกจะไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ได เพราะวาพื้นที่ฐาน เปนพื้นที่ของวงกลม)

สํารวจคนหา ใหนักเรียนจับคู ชวยกันวัด ความสูงและความยาวของ เสนผานศูนยกลางของทรง กระบอกที่แตละคนนํามา

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. จากขอมูลทรงกระบอกที่นักเรียน ไดวัดใหคํานวณปริมาตรโดยใช สูตรปริมาตร ในหนา 26 พรอม ตรวจสอบกับปริมาตร ซึ่งระบุไว ที่ภาชนะวา เทากัน หรือไม ถา ไมเทากัน นักเรียนคิดวา เกิดจาก สาเหตุใดไดบาง (แนวตอบ คําตอบมีไดหลายแบบ เชน มาจากความคลาดเคลื่อนใน การวัด หรือการบรรจุในภาชนะ อาจจะบรรจุไมเต็ม) 2. ใหนักเรียนแตละคูเลือกภาชนะ ของคูอื่น ดําเนินการตรวจสอบวา ไดปริมาตรเทากันหรือไม 3. ใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิด เห็นวา “เพราะเหตุใด ปริมาตรที่ ไดจากการคํานวณจึงไมเทากับ ปริมาตรที่ระบุไว” แลวรวมกันสรุป สูตรหาปริมาตรของทรงกระบอก (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของนักเรียน โดยใหอยูในดุลยพินิจของครู)

ขยายความเขาใจ ครูใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็น • นักเรียนคิดวา ในชีวิตประจําวัน ของนักเรียนตองใชความรูเกี่ยวกับ พื้นที่ผิวของทรงกระบอกหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนอาจจะตอบวา ตองใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิวของ ทรงกระบอก เพราะวาภาชนะที่ เปนบรรจุภัณฑสวนมากเปน ทรงกระบอก เพื่อจะไดทราบวา ตองใชวัสดุในการผลิตจํานวน เทาใด หรืออาจจะตอบวา ไมตอง ใชเพราะไมตองการรูวา บรรจุ ภัณฑนั้นใชวัสดุจํานวนเทาใดก็ได)

คูมือครู

รูปห้าเหลี่ยม

รูปหกเหลี่ยม

รูปเก้าเหลี่ยม

รูปเจ็ดเหลี่ยม

รูปแปดเหลี่ยม

รูปสิบเหลี่ยม

นักเรียนจะเห็นว่า เมื่อจ�านวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าเพิ่มขึ้น พื้นที่ ส่วนที่แรเงาจะลดลง นักเรียนคิดว่า นักเรียนสามารถระบุจ�านวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมด้าน นวงกลม แล้วท�าให้พื้นที่ส่วนที่แรเงาน้อยที่สุดได้หรือไม่ ซึ่งนักเรียนทราบว่า เท่ามุมเท่าที่บรรจุในวงกลม เราไม่สามารถระบุจ�านวนเหลี่ยมของรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้ แต่เราได้ข้อสรุปว่า เมื่อจ�านวนเหลี่ยมมากขึ้นจนไม่สามารถจะนับจ�านวนได้ พื้นที่ส่วนที่แรเงาจะเท่ากับ 0 ท�าให้รูป หลายเหลี่ยมที่ไม่สามารถนับจ�านวนเหลี่ยมได้ จะเป็นรูปวงกลม วงกลม ดังนั้น เราจึงพอจะใช้แนวคิดนี้ เพื่อการหาปริมาตรของทรงกระบอกได้ ทรงกระบอกมีฐานเป็นรูปวงกลม วงกลม ซึซึ่งหาพื้นที่โดยใช้สูตรพื้นที่วงกลมและจากสูตร ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง

ดังนั้น เราจึ เราจึงสามารถหาปริมาตรของทรงกระบอกได้ นั่นคือ ปริมาตรของทรงกระบอก = พื้นที่ฐาน × ความสู ง าน 2 หรือ V = πr × h = πr2h คณิตคิดสนุก ให้น�าเลขโดดตั้งแต่ 1-9 มาสร้างจ�านวนกี่จ�านวนก็ได้ที่มีเลขโดดไม่ซ�้ากัน โดยใช้ครบทุกตัวและเลขโดดที่ใช้ต้อง เรียงล�าดับจากน้อยไปมาก แล้วน�าจ�านวนเหล่านั้นมาบวกหรือลบกันเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็น 100 เช่น 1 + 2 + 3 - 4 + 5 + 6 + 78 + 9 = 100

• อาชีพใดจะตองใชความรูเกี่ยวกับ

พื้นที่ผิว ถาเขาไมมีความรูเรื่องนี้ จะสงผลกระทบอะไรตอเขาบาง (แนวตอบ อาชีพที่เกี่ยวของ เชน นักออกแบบผลิตภัณฑ ชางบัดกรี เปนตน)

เกร็ดแนะครู (แนวตอบ คณิตคิดสนุก สามารถหาไดหลายคําตอบ เชน 123 - 45 - 67 + 89 = 100 1 + 2 + 34 - 5 + 67 - 8 + 9 = 100 12 + 3 - 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100 เปนตน)

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 27

มุมความคิด

ปริมาตรของทรงกระบอก เท่ากับ πr2h r = πr2h เมือ่ V แทนปริมาตรของทรงกระบอก r แทนรัศมีของฐาน h แทนความสูงของทรงกระบอก

ตัวอย่1างที่ จงหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 4 เซนติเมตร และยาว 9 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 227 )

วิธีทำ�

จากโจทย์ สร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้

4 ซม. 9 ซม. 9 ซม.

ของเส้นผ่านศูนย์กลาง จาก จาก รัรัศมี เท่ากับ 12 ของเส้ = 42 2 เซนติเมตร = 2 เซนติ จาก ปริมาตรของทรงกระบอก เท่ากับ πr2h จะได้ ปริมาตรของทรงกระบอก = π × (2)2 × 9 = 36π ≈ 36 × 22 7 ≈ 113.14 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของทรงกระบอกนี้ประมาณ 113.14 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ตัวอยางที่ 1 ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห • ขอมูลที่โจทยกําหนดเพียงพอที่ จะหาปริมาตรหรือไม (แนวตอบ เพียงพอ เพราะวา ทราบรัศมีและความยาว (ความสูง)) • ตองแทนคา r ดวยจํานวนใด (แนวตอบ r = 2 ) • หนวยความยาวและรัศมีของ ทรงกระบอกเปนหนวยเดียวกัน หรือไม (แนวตอบ เปนหนวยเซนติเมตร เหมือนกัน) • ปริมาตรที่คํานวณไดเปนคา ประมาณหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เปนคาประมาณเพราะ วา คํานวณจากสูตร πr2h มี π ซึ่งเปนจํานวนอตรรกยะ เราอาจใช 3.14 หรือ 227 แทนคา π แตจํานวนทั้งสองเปน คาประมาณของ π)

ตอบ

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ปริมาตรของทรงกระบอก (กิจกรรม เสริมทักษะ) ไดที่ http://www. mathexpression.com/volumeof-a-cylinder.html

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ตัวอยางที่ 2 หนา 28 ครูใช คําถามใหนักเรียนวิเคราะห • ขอมูลที่กําหนดเพียงพอจะหา ความสูงหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เพียงพอ โดยใชสูตร ปริมาตร = πr2h) • การหาความสูงของ ทรงกระบอกตองใชความรู เรื่องใดบาง (แนวตอบ เมื่อแทนคา r และ ปริมาตรสามารถหาคา h โดย การแกสมการ) • ความสูงที่คํานวณได เปนคา ประมาณหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เปนคาประมาณ เพราะวา π เปนจํานวน อตรรกยะ และ 227 เปนคา ประมาณของ π) 2. ตัวอยางที่ 3 หนา 28-29 ครูใช คําถามใหนักเรียนวิเคราะห • นักเรียนจะหาปริมาตรของ พลาสติกไดอยางไรบาง (แนวตอบ หาไดจากสูตร ปริมาตร = พื้นที่ฐาน × ความสูง) • จะแทนคา r = 2 มิลลิเมตร ไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมได เพราะความ หนาไมใชรัศมี แตเปนระยะ หางระหวางสวนของเสนตรง 2 เสน หรือสวนของเสนรอบวง) • ถาตัดทอประปาตามความยาว 25 ซม. แลวคลี่ออกจะเปนรูป เรขาคณิตชนิดใด (แนวตอบ เปนรูปเรขาคณิตสาม มิติ หนาตัดหัวและทายเปนรูป สี่เหลี่ยมผืนผา) • ปริมาตรที่คํานวณไดเปน ปริมาตรของพลาสติกหรือไม (แนวตอบ เปนปริมาตรของ พลาสติก)

คูมือครู

ตัวอย่2างที่ จงหาความสูงของทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับ 8 นิ้ว และปริมาตรเท่ากับ 120 ลูกบาศก์นิ้ว (ก�าหนดให้ π ≈ 227 )

วิธีทำ�

จากโจทย์ สร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้ 8 นิ้ว h

เนื่องจากปริมาตรของทรงกระบอก เท่ากับ πr2h ปริมาตรของทรงกระบอก = π 82 2 h 120 = 16πh 120 h = 16π

()

120 × 7 22 × 16 ≈ 2.39 นิ้ว 2.39 ดังนั้น ทรงกระบอกนี ทรงกระบอกนี้มีความสูงประมาณ 2.39 นิ ประมาณ 2.39 ประมาณ ประมาณ 2.39 นิ้ว h

ตัวอย่างที่

≈

ตอบ

จงหาปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ทา� ท่อประปาซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก ลางภายนอก เมตร (ก�าหนด π ≈ 227 ) 22 เซนติ เซนติเมตร ท่ มตร ท่อหนา 2 มิ หนา 2 มิลลิเมตร และยาว 25 เซนติ มตร

งจาก นักเรียนได้เรียนรู้การคลี่รูปมาแล้ว ดังนั้นวิธีท�าของตัวอย่างที่ 3 วิธีทำ� เนื่องจาก อาจจะมีกิจกรรม ให้นักเรียนอภิปราย โดยการตัดตามแนวยาวตลอดทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก กรรม ให้ ราย โดยการตั ฉาก แล้วหา ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากได้จากโจทย์ สร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้ 2 มม.

2 ซม. 25 ซม.

• โจทยในตัวอยางที่ 3 มีความเหมือนหรือแตกตางจากโจทยในตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 หรือไม อยางไร (แนวตอบ มีความเหมือนกัน ในประเด็นที่เปนทรงกระบอก แตแตกตางกันที่ตัวอยางนี้เปนปริมาตรของพลาสติกไมใช

ปริมาตรของทรงกระบอก) • ปริมาตรของพลาสติกกับปริมาตรของทรงกระบอกเหมือนกันหรือแตกตางกัน อยางไร (แนวตอบ ปริมาตรของพลาสติกกับปริมาตรของทรงกระบอกแตกตางกัน โดยปริมาตรของพลาสติกไมสามารถใช สูตร πr2h ได เพราะ r ไมไดแทนความหนา แตปริมาตรทรงกระบอกคํานวณจากสูตร πr2h ไดเลย)

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 29

จากรูป ให้ R แทนรัศมีภายนอก r แทนรัศมีภายใน h แทนความสูง (ความยาวของท่อ) ปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ท�าท่อประปา เท่ากับ ปริมาตรของทรงกระบอกรัศมี R - ปริมาตรของทรงกระบอกรัศมี r จะได้ ปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ท�าท่อประปา = πR2h - πr2h = πh(R2 - r2) แทนค่า R = 1 ซม. r = 1 - 0.2 = 0.8 ซม. ซม. h = 25 ซม. จะได้ ปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ท�าท่อประปา = π × 25 × (1 × 25 × (12 - 0.82) = π × 25 × 0.36 × 25 × 0.36 = 9π ≈ 99 × × 227 ≈ 28.29 28.29 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริ ระมาณ 28.29 ลู ปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ทา� ท่อประปานี้ประมาณ 28.29 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ นอกจากวิธีท�านี้แล้ว อาจจะลองหาปริมาตรของพลาสติกที่ใช้ท�าาท่ท่อประปานี้ โดยการตัดตามแนวยาวตลอด แล้วคลี่แผ่นพลาสติกออกจะมีพื้นที่หน้าตัดหัวท้าย เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก และมีความหนา 2 มิลลิเมตร นักเรียนลองค�านวณว่า ได้ปริมาตรเท่ากันหรือไม่ และวิธีใดสะดวกกว่ากัน

ครูใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็น • ผูออกแบบบรรจุภัณฑตางๆ ตองใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิว และปริมาตรของรูปเรขาคณิต ใดมากที่สุด เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบอาจจะมีได หลากหลาย ตัวอยางเชน เปนทรงกระบอก เพราะวาบรรจุ ภัณฑที่เปนทรงกระบอกจะ สวยงาม สะดวกในการผลิต และการนําไปใช) • ในชีวิตประจําวันของนักเรียน ตองใชความรูเกี่ยวกับปริมาตร ของทรงกระบอกมากนอย เพียงใด (แนวตอบ อาจตอบไดหลาก หลาย เชน ไมไดใชเลย ใชบาง เปนตน) • นักเรียนอยากมีอาชีพการ ออกแบบบรรจุภัณฑหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ อาจจะตอบวา “อยาก” เพราะชอบคิดสรางสรรคและ งานออกแบบ หรือตอบวา “ไมอยาก” เพราะไมชอบการคิด สรางสรรคหรือสนใจอาชีพ อื่นมากกวาก็ได)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนักเรียนรวมกันแลกเปลี่ยน ความคิดเห็นวา • มีขอใดในแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.3 หนา 30-31 เกี่ยวของกับการออกแบบ บรรจุภัณฑ เพราะเหตุใด (แนวตอบ โจทยขอ 2-6 มีความ เกี่ยวของกับการออกแบบ บรรจุภัณฑ เพราะโจทยขอ 2-6 เกีย่ วของกับความจุและปริมาตร ของวัสดุที่ตองใชเพื่อผลิต บรรจุภัณฑตางๆ ดังกลาว) 2. ใหนักเรียนจับคูรวมกันทําแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 3. จากนั้นแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจสอบความถูกตอง

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.3 ที่สวนเสริมดานหนาของ หนังสือเลมนี้)

NET ขอสอบ ป 51 ขอสอบออกโจทยปญหาเกี่ยวกับ ปริมาตรของทรงกระบอก โดยโจทย กําหนด • จงหาคา d ที่ทําใหปริมาตรของ รูปทรงตอไปนี้ มีคาเทากับ 990 ลูกบาศกเซนติเมตร d

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.3

1. จงหาพืน้ ทีผ่ วิ และปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติในแต่ละข้อต่อไปนี ้ (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ) 1) 2) 14 ซม. 4 ซม.

4 ซม. 8 ซม.

3) 7 ซม.

12 ซม.

2. จงหาพื้นที่ผิวภายนอกและปริมาตรของทรงกระบอกต่อไปนี้ (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ) 1) กระปองอาหารทรงกระบอกที่มีรัศมีภายในของฐาน 3.5 เซนติเมตร กระปองหนา 1 มิลลิเมตร เท่ากันตลอดและสูง 12 เซนติเมตร 2) แจกันแก้วทรงกระบอกสูง 14 เซนติเมตร มีความหนาเท่ากันตลอดและ มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายในและภายนอก 7 และ 8 เซนติเมตรตามล�าดับ 3. 3. จงหาพืน้ ทีผ่ วิ ภายในและปริมาตรของวัสดุที่ใช้ทา� ทรงกระบอกต่อไปนี ้ (ก�าหนดให้ π ≈ 3.14) 1) ถังทรงกระบอกไม่มีฝา มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกของฐาน 42 เซนติเมตร หนา 3 มิลลิเมตร เท่ากันตลอดและสูง 15 เซนติเมตร 2) กระถางดินเผาทรงกระบอกที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกและภายในของฐาน 14 และ 12 เซนติเมตรตามล�าดับ กระถางสูง 9 เซนติเมตร และมีความหนาเท่ากันตลอด (ต้องการทศนิยมสองต�าแหน่ง) 4. บริษัทเครื่องดื่มออกแบบขนาดของกระปองน�้าอัดลมทรงกระบอก 2 แบบดังนี้ 1) แบบที่หนึ่งมีความจุ 250 มิลลิลิตรและรัศมีภายในของฐานกระปอง 3 เซนติเมตร จงหาความสูงภายในของกระปอง (ตอบในรูปของ π ) 2) แบบที่สองมีความจุ 400 มิลลิลิตรและความสูงภายใน 12 เซนติเมตร จงหารัศมีภายในของฐานกระปอง (ตอบในรูปของ π )

35 ซม.

10 ซม.

1. 8 เซนติเมตร 2. 6 เซนติเมตร 3. 4 เซนติเมตร 4. 2 เซนติเมตร

คูมือครู

(แนวคิด กําหนด d เปนเสนผานศูนยกลางภายในของทรงกระบอก และเสนผานศูนยกลางภายนอกของทรงกระบอก แตโจทยไมไดถามปริมาตรของวัสดุ จึงไมตองใชพื้นที่วงแหวน πR2 - πr2 มาคํานวณ จากสูตร ปริมาตรทรงกระบอก = πrh2 2 แทนคา จะได 990 = 227 × d2 × 35 d2 = 990 ×77 × 4 = 18 × 2 d = 6 × 6 = 6 เซนติเมตร ดังนั้น คําตอบ คือ ขอ 2.)

()

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 31

5. นายสัญญามีแท่งเหล็กตัน A กับ แผ่นเหล็กตัน B ดังรูป จงตอบค�าถามในแต่ละข้อต่อไปนี้ r = 4 ซม. 1) ปริมาตรของแท่งเหล็ก A 5 ซม. 1 ซม. 5 ซม. และแผ่นเหล็ก B เป็นเท่าไร 2) ปริมาตรของแท่งเหล็ก A B A และแผ่นเหล็ก B ต่างกันเท่าไร 3) อัตราส่วนของพื้นที่ผิวภายนอกของแท่งเหล็ก A ต่อแผ่นเหล็ก B เท่ากับเท่าไร 6. กระปองทรงกระบอกจุน�้านมวัวได้ 365 ลูกบาศก์เซนติเมตร ถ้ากระปองมีรัศมีภายนอก ของฐาน 3.7 เซนติเมตร และกระปองหนา 0.2 เซนติเมตรตลอดทั้งกระปอง จงหาความสูงของกระปอง (ก�าหนด π ≈ 3.14 ต้องการทศนิยมสองต�าแหน่ง)

ครูนําภาชนะหรือบรรจุภัณฑที่เปน ปริซึมทรงกระบอกและพีระมิด จากนั้นใหนักเรียนดูรูปคลี่ของปริซึม ทรงกระบอกและพีระมิดเหลานั้น ซึ่งมีลักษณะและภาพตางกัน แลวถามนักเรียนวา • รูปคลี่ใดไมใชรูปคลี่ของปริซึม และทรงกระบอก เพราะเหตุใด (แนวตอบ ขึ้นอยูกับรูปคลี่ที่ครู ผูสอนนํามาใหนักเรียนดู) • รูปคลี่ใดเปนรูปคลี่ของรูป เรขาคณิตสามมิติที่เหมือนกัน (แนวตอบ ขึ้นอยูกับรูปคลี่ที่ครู ผูสอนนํามาใหนักเรียนดู)

4. พีระมิด (Pyramid)

สํารวจคนหา

กิจกรรมที่ 1 ให้นักเรียนสร้างรูปเรขาคณิตสองมิติทุกรูปตามขนาดที่ก�าหนดให้ต่อไปนี้

75 �

75 � �

75 �

จัดกลุมนักเรียนคละความสามารถ กัน กลุมละ 4 คน ใหปฏิบัติกิจกรรม ที่ 1 โดยใหแตละกลุมสรางรูปพีระมิด 2 รูป เชน พีระมิดรูปสามเหลี่ยมหนา จั่ ว พี ร ะมิ ด รู ป สามเหลี่ ย มด า นเท า พีระมิดรูปหาเหลี่ยมดานเทามุมเทา เปนตน แตละกลุม วัดความยาว ความ กวาง ความสูงของรูปเรขาคณิตสอง มิติในแตละรูปคลี่ พรอมหาพื้นที่ @

ตัดตามแนวรอบนอกแล้วพับตามรอยประ น�ามาประกอบกัน ให้ความยาวของด้านที่มี ขนาดเท่ากันของรูปสามเหลี่ยมบรรจบกัน จะได้รูปเรขาคณิตสามมิติ ให้นักเรียน สังเกตรูปเรขาคณิตสามมิติที่ได้ว่า มีลักษณะอย่างไร และเหมือนกันทุกรูป หรือไม่

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ พีระมิด(กิจกรรมเสริมทักษะ) ที่ http://www.learner.org/interactives/geometry/3d_pyramids. html

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใหนักเรียนแตละกลุมนําเสนอ ผลงาน ครูใชคําถามเพื่อใหนักเรียน สังเกต ลักษณะตางๆที่เหมือนกัน ของรูปเรขาคณิตสามมิติเหลานี้ พรอมสาธิตประกอบคําอธิบาย ใหนักเรียนไดความคิดรวบยอด เกี่ยวกับพีระมิด

เกร็ดแนะครู การสอนในเรื่องนี้ครูใชการสาธิต ประกอบคําอธิบายเชื่อมโยงจาก การปฏิบัติกิจกรรม เพื่อแนะนํา สวนตางๆ ของพีระมิด

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ พีระมิดไดที่ http://www. mathsisfun.com/geometry/ pyramids.html

จากรูปเรขาคณิตสองมิติที่ก�าหนดให้ เมื่อน�าแต่ละรูปมาประกอบ เป็นรูปเรขาคณิตสามมิติจะมีลักษณะเหมือนกันทั้งสามรูป และได้รูปเรขาคณิตสามมิติดังรูป ก. เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า พีระมิด รูป ก. ให้นกั เรียนลองค้นคว้าเกีย่ วกับพีระมิดในอียปิ ต์ ซึง่ เป็นสถาปัตยกรรมทีย่ งิ่ ใหญ่ และเป็น สิง่ มหัศจรรย์ของโลก ทีส่ ร้างขึน้ โดยชาวอียปิ ต์โบราณ พีระมิดทีม่ ชี อื่ เสียงและยังคงปรากฏอยูจ่ นถึง ปัจจุบันนี้ เช่น พีระมิดแห่งเมืองกิซา (Great Pyramid at Giza) ในประเทศอียิปต์ พิจารณารูปพีระมิดซึ่งประกอบด้วยส่วนต่างๆ ของพีระมิดดังนี้ ยอด สัน หน้า ส่วนสูงของพีระมิด ฐาน พีระมิดตรง

พีระมิดเอียง

ส่วนประกอบของพีระมิด 1. ฐานของพี ของพีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ 2. เรียกส่วนที่เป็นรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปที่ไม่ใช่ฐานว่า หน้าของพีระมิด 3. เรียกขอบของแต่ละหน้าที่ไม่เป็นด้านหนึ่งของฐานว่า สันของพีระมิด 4. เรียกจุดหนึ่งเหนือฐานของพีระมิดที่เกิดจากการพบกันของสันของพีระมิดว่า จุดยอดของพีระมิด 5. เรียกส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดยอดมาตั้งฉากกับฐานของพีระมิดว่าสูงตรง 6. เรียกส่วนสูงของหน้าของพีระมิดแต่ละหน้าว่าสูงเอียง มุมความคิด รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมใดๆ มียอดแหลมซึ่งไม่อยู่บนระนาบ เดียวกันกับฐาน และหน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดร่วมกันที่ยอดแหลม เรียกว่า พีระมิด

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 33

เรานิยมเรียกชื่อของพีระมิดตามลักษณะของฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พีระมิด ฐานสีเ่ หลีย่ มผืนผ้า พีระมิดฐานสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั พีระมิดฐานหกเหลีย่ ม เป็นต้น ดังตัวอย่างรูปต่อไปนี้

พีระมิดฐานสามเหลี่ยม

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส

พีระมิดฐานหกเหลี่ยม

ตรง นั่นคือพีระมิด ในกรณีที่พีระมิดมีสันยาวเท่ากันทุกเส้น เรีเรียกพีระมิดนั้นว่า พีพีระมิดตรง นั ตรงจะมีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ในบทเรี ในบทเรียนนี้จะกล่าวถึงพีระมิดตรงเท่านั้น

4.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด

การหาพื้นที่ผิวของพีระมิดเราสามารถหาได้โดยการคลี่รูปเรขาคณิตสามมิติออกเป็น รูปเรขาคณิตสองมิติ และค�านวณหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิตสองมิตินั้นแต่ละรูป แล้วน�าพื้นที่ของ ทุกรูปรวมกันเป็นพื้นที่ผิวของพีระมิดรูปนั้น ตัตัวอย่างเช่น 1)

สูงเอียง (l)

a พีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า รูปคลี่ของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า

• ถาโจทยกําหนดความสูงของพีระมิดใหนักเรียนหา โดยใชความรูใดไดบาง (แนวตอบ ใชความรูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) • ถาโจทยกําหนดสันของพีระมิดใหนักเรียนหา โดยใชความรูใดไดบาง (แนวตอบ ใชความรูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2. ใหนักเรียนชวยกันสรุปสูตร พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานตามขอ 1), 2) และ 3) หนา 33-35

1. ครูสนทนาหรือตั้งคําถามกับ นักเรียน โดยเชื่อมโยงความรูจาก กิจกรรมรูปคลี่กับรูปเรขาคณิต สามมิติ แตละคําถาม ครูควรให นักเรียนดูจากพีระมิดฐานตางๆ ตามหัวขอ 4.1 พื้นที่ผิวของพีระมิด หนา 33-35 ประกอบดวย เพื่อจะไดเกิดความเขาใจและได ความคิดรวบยอด พรอมแนะนํา คําศัพทที่เกี่ยวของกับพื้นที่ผิว • หนาของพีระมิดแตละหนาเปน รูปสามเหลี่ยมชนิดใด เทากัน หรือไม (แนวตอบ เปนรูปสามเหลี่ยม หนาจั่ว โดยมีรายละเอียด เพิ่มเติมดังนี้ - ฐานเปนรูปสามเหลี่ยมดาน เทา หนาของพีระมิดเปนรูป สามเหลี่ยมหนาจั่ว 3 รูป ซึ่ง เทากันทุกประการ - ฐานเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนาของพีระมิดเปนรูป สามเหลี่ยมหนาจั่ว 4 รูป ซึ่ง เทากันทุกประการ - ฐานเปนรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา หนาของพีระมิดเปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 6 รูป ซึ่งเทากันทุกประการ) • ความสูงในแตละหนาของ พีระมิดเรียกวาอะไร ใชตัว อักษรใดแทน (แนวตอบ เรียกวา สูงเอียง ใช สัญลักษณแทนดวย l) • ถาโจทยไมกําหนดสูงเอียงให นักเรียนคิดวา เราหาพื้นที่หนา ของพีระมิดไดหรือไม ถาหาไม ไดโจทยตองกําหนดขอมูลใด เพิ่มเติมและนักเรียนตองใช ความรูใดเพิ่มเติมอีกบาง (แนวตอบ สามารถหาพื้นที่ได แตโจทยตองกําหนดความยาว สันของพีระมิดให ซึ่งเราตองใช ความรูทฤษฎีบทพีทาโกรัส)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ครูใชคําถามนําทาง • หนาของพีระมิดแตละหนาเปน รูปเหลี่ยมชนิดใด (แนวตอบ เปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยเปนดานฐาน หนาของพีระมิด เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 4 รูป ซึ่งเทากันทุกประการ) • ความสูงในแตละหนาของ พีระมิดเรียกวาอะไร ใชตัวอักษรใดแทน (แนวตอบ เรียกวา สูงเอียง ใช สัญลักษณแทนดวย l) • ถาโจทยไมกําหนดสูงเอียงให นักเรียนคิดวา เราหาพื้นที่หนา ของพีระมิดไดหรือไม ถาหาไม ไดโจทยตองกําหนดขอมูลใด เพิ่มเติมและนักเรียนตองใช ความรูใดเพิ่มเติมอีกบาง (แนวตอบ สามารถหาพื้นได แต โจทยตองกําหนดความยาวสัน ของพีระมิดให ซึ่งเราตองใช ความรูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) • ถาโจทยกําหนดความสูงของ พีระมิดใหนักเรียนหา l โดยใช ความรูใดไดบาง (แนวตอบ ใชความรูทฤษฎีบท พีทาโกรัส) • ถาโจทยกําหนดสันของพีระมิด ใหนักเรียนหา l โดยใชความรู ใดไดบาง (แนวตอบ ใชความรูทฤษฎีบท พีทาโกรัส) 2. ใหนักเรียนชวยกันสรุปสูตร พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จัตุรัส

คูมือครู

รูปคลีข่ องพีระมิดฐานสามเหลีย่ มด้านเท่าทีม่ คี วามยาวของฐาน a หน่วย และความยาว ของสูงเอียง l หน่วย ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ซึ่งเป็นฐานหนึ่งรูปและรูปสามเหลี่ยม หน้าจั่วสามรูป ซึ่งเป็นหน้าของพีระมิด พื้นที่ของหน้าทุกหน้าของพีระมิดรวมกันเรียกว่า พื้นที่ผิว ข้างของพีระมิด พื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าหนึ่งรูป พื้นที่ฐานเท่ากับ 43 a2 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง เท่ากับ พืน้ ทีข่ องรูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ สามรูป ซึ่งเท่ากันทุกประการ พื้นที่ผิวข้าง = 3 × ( 12 × a × l ) ตารางหน่วย จะได้ พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า = 43 a2 + 3 × ( 12 × a × l ) =

3 2 3 4 a + 2 al ตารางหน่วย

2) b

a พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปคลี่ของพีระมิด ฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส

รูปคลี่ของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส ประกอบด้วยรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเป็นฐานหนึ่งรูป และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งเป็นหน้าของพีระมิดสี่รูป พื้นที่ฐาน เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหนึ่งรูป พื้นที่ฐาน = a2 ตารางหน่วย พื้นที่ผิวข้าง เท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่รูป ซึ่งเท่ากันทุกประการ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 35

พื้นที่ผิวข้าง = 4 × ( 12 × a × l ) = 2al ตารางหน่วย ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง = a2 + 2al ตารางหน่วย 3)

สูงเอียง ( l) a a พีระมิดฐานหกเหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า

รูปคลี่ของพีระมิดฐานหกเหลี่ยม ด้านเท่ามุมเท่า

รูปคลี่ของพีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า และรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วซึ่งเป็นหน้าของพีระมิดจ�านวนหกรูป มุมเท่าซึ่งเป็นฐานหนึ่งรูป และรู พื้นที่ฐานเท่ากับพื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 3 3 (ความยาวด้าน)2 คงจ�าได้นะว่า พื้นที่ฐาน = (ความยาวด้ 2 พื้นที่ของรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า

3 3 a2 ตารางหน่วย = 2 พื้นที่ผิวข้าง เท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วหกรูป ซึ่งเท่ากันทุกประการ พื้นที่ผิวข้าง = 6 × ( 12 × a × l ) = 3 al ตารางหน่วย ซึ่ง พื้นที่ผิวของพีระมิดเท่ากับพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า เท่ากับ 3 3 a2 + 3 al ตารางหน่วย 2

เท่ากับ 3 3 (ความยาวด้าน)2 2

1. ครูตงั้ คําถามกับนักเรียน โดยเชือ่ มโยง ความรู  จ ากกิ จ กรรมรู ป คลี่ กั บ รู ป เรขาคณิตสามมิติ แตละคําถามครู ควรใหนักเรียนดูจากพีระมิดฐาน หกเหลี่ยมดานเทามุมเทา เพื่อให เกิ ด ความเข า ใจและได ค วามคิ ด รวบยอดที่สมบูรณ • หนาของพีระมิดแตละหนาเปน รูปเหลี่ยมชนิดใด (แนวตอบ เปนรูปหกเหลี่ยมดาน เทามุมเทา โดย - ฐานเปนรูปหกเหลี่ยมดานเทา มุมเทา หนาของพีระมิดเปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว 6 รูป ซึ่งเทากันทุกประการ - ความสูงในแตละหนาของ พีระมิดเรียกวาอะไร ใชตัว อักษรใดแทน (แนวตอบ เรียกวา สูงเอียง ใช l แทน) • ถาโจทยไมกําหนดสูงเอียงให นักเรียนคิดวา เราหาพื้นที่หนา ของพีระมิดไดหรือไม ถาหาไม ไดโจทยตองกําหนดขอมูลใด เพิ่มเติมและนักเรียนตองใช ความรูใดเพิ่มเติมอีกบาง (แนวตอบ สามารถหาพื้นที่ได แตโจทยตองกําหนดความยาว สันของพีระมิดให ซึ่งเราตองใช ความรูทฤษฎีบทพีทาโกรัส) • ถานักเรียนจําสูตร พื้นที่ของ รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทา ไมได นักเรียนทราบไหมวา จะ นําความรูใดหาความสูงของรูป สามเหลี่ยมหนาจั่วไดบาง (แนวตอบ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส) 2. ครูแนะนําการใชสูตรหาพื้นที่ หกเหลี่ยมดานเทามุมเทาเพิ่มเติม

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

Engage

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา 1. ครูใชคําถามเชื่อมโยงความรูจาก ตาราง หนา 36 เพื่อใหไดความ คิดรวบยอดเกี่ยวกับความยาวเสน รอบฐาน และไดสูตรพื้นที่ผิวขาง ของพีระมิด = 1 × ความยาว 2 เสนรอบฐาน × ความสูงเอียง 2. ใหนักเรียนสรุปการหาพื้นที่ผิวของ พีระมิดตามมุมความคิด หนา 36

จากตัวอย่างข้างต้น สรุปการหาพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานต่างๆ ได้ดังตาราง พีระมิดที่ก�าหนดให้

พื้นที่ฐาน

พีระมิดฐานสามเหลี่ยม พืน้ ทีร่ ปู สามเหลีย่ มด้านเท่า เท่ากับ 3 2 ด้านเท่า 4 a พี ร ะมิ ด ฐานสี่ เ หลี่ ย ม พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส จัตุรัส เท่ากับ a2

นักเรียนควรรู

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวของพีระมิด (กิจกรรมเสริม ทักษะ) ที่ http://www. bigideasmath.com/protected/ content/ipe/grade%207/06/ g7_06_04.pdf

คูมือครู

)

(

)

a2 + 2al

(

)

3 3 a2 + 3al 2

มุมความคิด

พื้นที่ผิว 3 2 3 4 a + 2 al

(

พี ร ะมิ ด ฐานหกเหลี่ ย ม พืน้ ทีร่ ปู หกเหลีย่ มด้านเท่ามุมเท่า 6 x 12 x a x l 3 3 ด้านเท่ามุมเท่า = 3al เท่ากับ 2 a2

รูปสามเหลี่ยมดานเทา มีสมบัติ ดังนี้ • มุมทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ดานเทามีขนาดเทากัน • ดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยม ที่มุมทั้งสามมีขนาดเทากันยอม ยาวเทากัน @

พื้นที่ผิวข้าง 3x 1 x ax l 2 = 32 al 4 x 12 x a x l = 2al

พื้นที่ผิวของพีระมิดเท่ากับพื้นที่ฐานของพีระมิดรวมกับพื้นที่ผิวข้างของพีระมิด พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดเท่ากับผลรวมของพื้นที่ทุกหน้าของพีระมิด

พิจารณา ารณา การหาพื การหาพื้นที่ผิวข้างของพีระมิดต่อไปนี้ จาก จาก พีพีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่าข้างต้น พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 33 × 12 × a × l = 12 × (3a) × l × a + a + a) × l = 12 × (a พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 12 × ความยาวเส้นรอบฐาน × ความยาวสูงเอียง จาก พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 4 × 12 × a × l = 12 × (4a) × l = 12 × (a + a + a + a) × l ดังนั้น พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 12 × ความยาวเส้นรอบฐาน × ความยาวสูงเอียง

(

)

(

)

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 37

จาก พีระมิดฐานหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 6 × ( 12 × a × l ) = 12 × (6a) × l = 12 × (a + a + a + a + a + a) × l พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 12 × ความยาวเส้นรอบฐาน × ความยาวสูงเอียง

มุมความคิด ตัวอย่างที่

พีระมิดฐานสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั มีฐานยาวด้านละ 6 เซนติ เซนติเมตร สู มตร สูงเอียงเท่ากับ 5 เซนติเมตร จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดรูปนี้ วิธีทำ�

จากโจทย์สามารถสร้างรูปจ�าลองพีระมิด และรู และรูปคลี่ของพีระมิดได้ดังนี้ 55 ซม. ซม.

ถ้าฐานของพีระมิดเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า พื้นที่ผิวข้างของพีระมิด = 1 x ความยาวเส้นรอบฐาน x ความยาวสูงเอียง 2

สูงเอียง 5 ซม. 5 ซม. 5 ซม.

5 ซม. 5 ซม. 6 ซม. 6 ซม.

6 ซม. 55 ซม. ซม.

6 ซม.

ตัวอยางที่ 1 ครูใชคําถามให นักเรียนวิเคราะห • ขอมูลที่กําหนดเพียงพอที่จะหา พื้นที่ผิวหรือไม (แนวตอบ เพียงพอ เพราะ กําหนดสูงเอียงและฐานเปน รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งเปน รูปเหลี่ยมที่มีดานเทาและ มุมเทา) • นักเรียนจะเลือกใชสูตรใด เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชสูตร พื้นที่ผิวขาง = 4 × 12 al เพราะวาสะดวกใน การคํานวณมากกวาใชสูตร 1 × ความยาวเสนรอบรูป × l) 2

เกร็ดแนะครู ครูตองยํ้าเตือนนักเรียนใหระมัด ระวังการใชสูตรหาพื้นที่ผิวขางวา พีระมิดตองเปนรูปหลายเหลี่ยมดาน เทามุมเทา ถาเปนรูปหลายเหลี่ยม มุมเทาแตดา นไมเทา เชน รูปสีเ่ หลีย่ ม ผืนผา จะตองหาความยาวของ สูงเอียงของรูปสามเหลี่ยมแตละรูป

จาก พื้นที่ผิวของพีระมิดเท่ากับพื้นที่ฐานของพีระมิดรวมกับพื้นที่ผิวข้าง จะได้ พื้นที่ผิว = (6 × 6) + 4 × 12 × 6 × 5 = 36 + 60 = 96 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิดรูปนี้เท่ากับ 96 ตารางเซนติเมตร ตอบ

(

)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ตัวอยางที่ 2 ครูใชคําถามให นักเรียนวิเคราะหโจทย • นักเรียนจะเลือกใชสูตรใด คํานวณ เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชสูตร พื้นที่ผิวขาง เทากับ 4 × 12 al) เพราะวา สะดวกในการคํานวณวาใชสูตร 1 × ความยาวเสนรอบรูป × l) 2 2. ตัวอยางที่ 3 หนา 38-39 ครูใช คําถามใหนักเรียนวิเคราะห • นักเรียนจะใชสูตรพื้นที่ผิวขาง เทากับ 12 × ความยาวเสนรอบ ฐาน × ความสูงเอียง ไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมได เพราะฐานของ พีระมิดไมเปนรูปหลายเหลี่ยม ดานเทาและมุมเทา) • ตัวอยางนี้ขอมูลที่กําหนดเพียง พอที่จะหาพื้นที่ผิวหรือไม (แนวตอบ ไมเพียงพอ) • ถาไมเพียงพอยังขาดสวนใด ของพีระมิด และจะตองหาสวน ที่ขาดอยูไดอยางไร (แนวตอบ ยังขาดสูงเอียง จะตอง ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสหาความ ยาวของสูงเอียงของรูป สามเหลี่ยมหนาจั่ว ที่ฐาน ยาว 6 ซม. และ 4 ซม.) • นักเรียนจําเปนตองใชความยาว ของสันหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ตองใชความยาวของ สัน หาความยาวของสูงเอียง โดยความยาวของสันจะเปน ความยาวของดานตรงขาม มุมฉาก) • ความยาวของสูงเอียงเทากันทุก เสนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมเทากันทุกเสน เพราะวาฐานของพีระมิดไมเปน รูปเหลี่ยมดานเทามุมเทา)

คูมือครู

38 V ตัวอย่างที่

พีระมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่ามีด้านยาวด้านละ 8 เซนติเมตร และหน้าทุกหน้าของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมเท่ากันทุกรูป และเท่ากับฐานของพีระมิด จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิด P วิธีทำ�

8 ซม. Q 8 ซม.

เนื่องจากฐานและหน้าทุกหน้าของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ผิวเท่ากับพื้นที่ฐานรวมกับพื้นที่ผิวข้าง คงจ�าได้นะว่า พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้ว่า พื้นที่ผิวเท่ากับสี่เท่าของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า = 3 (ความยาวด้าน)2 พื้นที่ผิว = 4 × 3 × 82 4 4 = 3 × 82 = 64 3 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พืพื้นที่ผิวของพีระมิด เท่ากับ 64 3 ตารางเซนติเมตร ตอบ นักเรียนคิดว่า พืพื้นที่ผิวของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีวิธีการหาเช่นเดียว กับพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าหรือไม่ ให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างต่อไปนี้

(

)

ตัวอย่3างที่ พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งมีความกว้างง 4 เซนติ 4 เซนติเมตร ความยาว 6 เซนติ มตร เมตร ยาว 8 เซนติ และสันทุกเส้นยาว 8 เซนติเมตร จงหาพื มตร จงหาพื้นที่ผิวของพีระมิดรูปนี้

วิธีทำ�

จากโจทย์สามารถสร้างรูปจ�าลองพีระมิดและรูปคลี่ของพีระมิดได้ ดังนี้ 3

8 ซม. 8 ซม. 4 ซม. 6 ซม.

4 ซม. 6 ซม. 4

พื้นที่ผิวของพีระมิดเท่ากับพื้นที่ฐานของพีระมิดรวมกับพื้นที่ผิวข้าง หาพื้นที่ฐานของพีระมิดและพื้นที่ผิวข้างได้ดังนี้ พื้นที่ฐาน = 4 × 6 = 24 ตารางเซนติเมตร

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 39

พื้นที่ผิวข้างของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้า คือ ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว รูปที่ 1 , 2 , 3 และ 4 จากรูปพื้นที่รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 1 เท่ากับรูปสามเหลี่ยมรูปที่ 2 และหาพื้นที่ของ รูปสามเหลี่ยมได้ดังนี้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยม = 12 × ความยาวฐาน × ความสูง 82 - 22 จะได้พื้นที่รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 1 = 12 × 4 × 60 8 = 4 15 ตารางเซนติเมตร 2 2 = 60 ในท�านองเดียวกัน รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 3 เท่ากับ พื้นที่รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 4 พื้นที่รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 3 = 12 × 6 × 55

82 - 32 = 3 55 ตารางเซนติเมตร 8 จะได้ พื้นที่ผิวข้างเท่ากับสองเท่าของพื้นที่ 3 3 = 55 รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 1 รวมกับสองเท่าของพื้นที่ รูปสามเหลี่ยมรูปที่ 3 = 2(4 15 ) + 2 (3 55 ) = 8 15 + 6 55 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของพีระมิดรูปนี้เท่ากับ 24 + 8 15 + 6 55 ตารางเซนติเมตร

ตอบ

จากตัวอย่างที่ 3 นักเรียนจะพบว่าเมื่อฐานของพีระมิดไม่เป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า ฐานของรูปสามเหลี่ยมที่เป็นหน้าของพีระมิดจะมีความยาวไม่เท่ากัน จะท�าให้หน้าของพีระมิด เป็นรูปสามเหลีย่ มหน้าจัว่ ที่ไม่เท่ากันทุกประการ ดังนัน้ การหาพืน้ ทีผ่ วิ ข้างของพีระมิดจะใช้วธิ กี าร เช่นเดียวกับพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าไม่ได้ ควรใช้การวาดรูปคลี่ของ พีระมิด เพื่อช่วยในการค�านวณหาพื้นที่ผิวข้างได้ถูกต้อง

จากตัวอยางที่ 3 หนา 38-39 ใหนักเรียนวิเคราะหโจทย • สูตรการหาพื้นที่ผิวของพีระมิด มีความยาวของสันในสูตร หรือไม (แนวตอบ ไมมี) • ถาโจทยกําหนดความยาว ของสัน นักเรียนคิดวา ขอมูลนี้ เปนขอมูลที่ไมจําเปนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ อาจจะจําเปนและไม จําเปน เพราะวาถาไมกําหนด ความยาวของสูงเอียงแสดงวา ความยาวของสันเปนขอมูลที่ จําเปน) • นักเรียนจําเปนตองใชความยาว ของสันหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ตองใชความยาวของ สัน จากสูงเอียงโดยความยาว ของสันจะเปนความยาวของ ดานตรงขามมุมฉาก) • ความยาวของสูงเอียงเทากันทุก เสนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมเทากันทุกเสน เพราะวาฐานของพีระมิด ไมเปนรูปเหลี่ยมดานเทา มุมเทา)

4.2 ปริมาตรของพีระมิด

เพื่อให้เกิดแนวคิดในการหาปริมาตรของพีระมิด ให้นักเรียนลองท�ากิจกรรมตาม ขั้นตอนต่อไปนี้

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

Engage

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา

มุม IT

ศึกษาขอมูลเกี่ยวกับปริมาตร ของพีระมิดไดที่ http://www. mathsteacher.com.au/year10/ ch14_measurement/ 25_pyramid/21pyramid. htm

13 ซม.

กิจกรรม 1. ลอกแบบของรูป ก. แล้วตัดตามแนวเส้นขอบเพื่อสร้างเป็นพีระมิดฐานสี่เหลี่ยม จัตุรัส ดังรูป ข. 13 ซม. รูป ก.

10 ซม.

10 ซม. 13 ซม. 10 ซม.

12 ซม.

13 ซม.

1. จัดกลุมนักเรียน กลุมละ 4 คน คละความสามารถกัน ปฏิบัติ กิจกรรมจากขอ 1-4 หนา 40 2. ตัวแทนกลุมรายงานผลการปฏิบัติ กิจกรรมวา ตองเททรายจาก พีระมิดจํานวนกี่ครั้งจึงเต็มปริซึม 3. ใหนักเรียนสรุปความสัมพันธ ระหวางปริมาตรของทรายใน ปริซึมกับปริมาตรของทรายจาก พีระมิดที่มีความสูงเทากันและฐาน เทากัน ซึ่งไดตามมุมความคิด หนา 41

รูป ข.

2. ลอกแบบของรูป ค. แล้วตัดตามแนวเส้นขอบเพื่อสร้างเป็นปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดังรูป ง. ซึ่งมีความสูงเท่ากับความสูงของพีระมิดที่สร้างจากรูป ก. 12 ซม.

12 ซม. 10 ซม. 10 ซม. 12 ซม.

12 10

12 ซม. รูป ค.

รูป ง.

3. ตัดตรงฐานของพีระมิดให้เป็นพีระมิดฐานเปิดดังรูป จ. แล้วบรรจุทรายให้เต็มพีระมิด รูป จ. 4. เททรายจากพีระมิดลงในปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูป ง. เมื่อเททราย 1 ครั้ง สังเกตว่าทรายเต็มปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือไม่ ถ้ายังไม่เต็มให้ ปฏิบัติซ�้าอีก จะต้องเททรายในพีระมิดกี่ครั้งจึงจะเต็มปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสพอดี จะพบว่า ต้องเททรายจากพีระมิดใส่ลงในปริซึมถึง 3 ครั้งจึงเต็มพอดี จากการทดลองในกิจกรรมนี้จะสรุปได้ว่า 3 เท่าของปริมาตรของพีระมิด เท่ากับ ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีฐานและความสูงเท่ากัน แสดงว่าปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 13 ของปริมาตรของปริซึมที่มีพื้นที่ฐานและ ความสูงเท่ากัน

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 41 น�้า

b ในท� า นองเดี ย วกั น สมมติ ว ่ า a เราต้องการเติมน�้าลงในถังน�้าทรงสี่เหลี่ยม มุมฉาก เราก็จะต้องใช้น�้า 3 เท่าของพีระมิด h h ฐานสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีพื้นที่ฐาน และความ สูงเท่ากับถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากดังรูป จ. นอกจากนั้น นักเรียนอาจจะ b รูป จ. ทดลองสร้างพีระมิดฐานต่างๆ ซึ่งก็จะพบว่า 3 เท่าของปริมาตรของพีระมิดจะเท่ากับปริมาตร ของปริซึม ซึ่งมีพื้นที่ฐานและความสูงเท่ากับพีระมิดนั้นหรืออาจใช้อุปกรณ์ส�าเร็จรูปที่สร้างด้วย พลาสติกใส และใช้น�้าสีแทนทราย

มุมความคิด

ปริมาตรของพีระมิด

หรือ V

เมือ่ V A และ h

ครูใชคําถามใหนักเรียน วิเคราะหโจทย ตัวอยางที่ 4 • ขอมูลที่กําหนดเพียงพอที่จะหา ปริมาตรหรือไม (แนวตอบ เพียงพอที่จะหา ปริมาตรได) • ความยาว ความกวางและความ สูงเปนหนวยเดียวกันหรือไม (แนวตอบ หนวยเดียวกัน) • หาปริมาตรโดยใชสูตรปริมาตร อะไรไดบาง (แนวตอบ ใชสูตร V = 13 Ah)

เกร็ดแนะครู

1 x พื พืน้ ทีฐ่ าน าน x ความสู x ความสูง 3 1 Ah = 3 แทนปริมาตรของพีระมิด แทนพืน้ ทีฐ่ านของพีระมิด แทนความสูงของพีระมิด =

ครูอาจใหนักเรียนที่มีความรูความ เขาใจเกี่ยวกับเรื่องพีระมิด ชวย อธิบายทบทวนความรูใหแกเพื่อน อีกครั้งหนึ่งโดยสรางรูปประกอบกับ อธิบายดวย

ตัวอย่4างที่ จงหาปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมมุมฉาก ซึซึ่งมีความกว้างง 6 เซนติ เซนติเมตร มตร และสูง 10 เซนติเมตร ความยาว 8 เซนติเมตร และสู

วิธีทำ�

10 ซม. 10 ซม. จากโจทย์ สร้างรูปจ�าลองได้ดังนี้ เนื่องจาก v = 13 Ah จะได้ v = 13 (6 × 8)(10) 8 ซม. = 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของพีระมิดนี้ เท่ากับ 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร

6 ซม.

ตอบ

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูถามใหนักเรียนแสดงความคิด เกี่ยวกับตัวอยางที่ 5 • ขอมูลที่กําหนดในตัวอยางที่ 5 เพียงพอที่จะหาพื้นที่ฐาน และ ความยาวแตละดานของพีระมิด หรือไม (แนวตอบ เพียงพอ) • การหาคําตอบจะตองใชความรู ใดบาง (แนวตอบ ใชความรูปริมาตร ของพีระมิดและการแกสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียว)

ขยายความเขาใจ

42 ตัวอย่างที่

พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งสูง 6 เซนติเมตรมีปริมาตร 32 ลูกบาศก์เซนติเมตร จงค�านวณหา 1) พื้นที่ฐานของพีระมิด 2) ความยาวแต่ละด้านของฐานพีระมิด วิธีทำ�

1) เนื่องจากปริมาตรของพีระมิดเท่ากับ 32 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะได้ 32 = 13 Ah 32 = 13 × A × 6 32 = 2A A = 322 = 16 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พืพื้นที่ฐานของพีระมิด เท่ากับ 16 ตารางเซนติเมตร 2) เนื่องจากฐานของพีระมิดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 2) จะได้ พืพื้นที่ฐานของพีระมิด เท่ากับ (ความยาวด้าน)2 16 = 42 ความยาวด้านเท่ากับ 4 เซนติ 4 เซนติเมตร ดังนั้น ความยาวของแต่ ความยาวของแต่ละด้านของฐานพีระมิดเท่ากับ 4 เซนติเมตร

1. ครูกําหนดประเด็นใหนักเรียน รวมกันแสดงความคิดเห็น • ในชีวิตประจําวันของนักเรียน ตองใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ผิว และปริมาตรของพีระมิดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสวนมากอาจ แบบตรวจสอบความเข้าใจที่ 1.4 จะตอบวา ไมใชเพราะวาใน ชีวิตประจําวันไมไดเกี่ยวของกับ 1. ส�าหรับพีระมิดทีก่ า� หนดให้แต่ละข้อต่อไปนี้ให้นกั เรียนปฏิบตั ิ ดังนี้ พีระมิด) 1) เขียนรูปเรขาคณิตสองมิตทิ เี่ กิดจากการคลีพ่ รี ะมิด • อาชีพใดตองใชความรูเกี่ยวกับ 2) ค�านวณหาพืน้ ทีผ่ วิ ของพีระมิด พื้นที่ผิวและปริมาตรของ พีระมิด 3) จงหาปริมาตรของพีระมิด (แนวตอบ มีหลายอาชีพ ไดแก (1) (2) (3) อาชีพนักออกแบบบรรจุภัณฑ 13 ซม. 33 ซม. ชางบัดกรี เปนตน) 12 ซม. √37 ซม. 7 ซม. • ถาผูมีอาชีพดังกลาว ขาดความ 10 ซม. รูเรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตร พีระมิด จะเกิดผลกระทบ 6 ซม. 10 ซม. อยางไรบาง (แนวตอบ คําตอบสามารถตอบ ไดหลากหลาย ตัวอยางเชน อาจใชวัสดุสิ้นเปลืองเกินไป ไมคุมคา หรืออาจจะเกิดความ เสียหายเกี่ยวกับธุรกิจได) 2. ใหนักเรียนจัดกลุมรวมกันหาแนวทางและวิธีการแกปญหาโจทยในแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 หนา 42-43 3. จากนั้นใหแตละกลุมชวยกันตรวจสอบความถูกตองของคําตอบ

คูมือครู

ตอบ

31 ซม.

10 ซม.

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Engage

Explore

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ตรวจสอบผล 43

2. จ งหาพืน้ ทีฐ่ านของพีระมิดฐานสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั แต่ละข้อต่อไปนี ้ พร้อมทัง้ หาความยาวของด้าน แต่ละด้านของรูปสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั 1) ปริมาตร 96 ลูกบาศน์นวิ้ และสูง 2 นิว้ 2) มีปริมาตร 108 ลูกบาศก์เซนติเมตร และสูง 9 เซนติเมตร 3) มีปริมาตร 216 ลูกบาศก์เซนติเมตร และสูง 8 เซนติเมตร 4) มีปริมาตร 324 ลูกบาศก์เซนติเมตร และสูง 12 เซนติเมตร 3. จงหาความสูงของพีระมิดแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) มีปริมาตร 160 ลูกบาศก์เซนติเมตร และพืน้ ทีฐ่ าน 80 ตารางเซนติเมตร 2) มีปริมาตร 294 ลูกบาศก์เซนติเมตร และพืน้ ทีฐ่ าน 126 ตารางเซนติเมตร 3) มีปริมาตร 464 ลูกบาศก์เซนติเมตร และพืน้ ทีฐ่ าน 174 ตารางเซนติเมตร 4. พีระมิดฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีความกว้างและความยาวของฐาน 8 นิ้ว และ 10 นิ้ว ตามล�าดับ ความยาวของสัน 13 นิว้ และความสูง 8 2 นิว้ จงหาพืน้ ทีผ่ วิ และปริมาตรของ พีระมิดนี้ 5. เจดียจ์ า� ลองทรงพีระมิดฐานสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั องค์หนึง่ มีฐานยาวด้านละ 10 นิว้ สันยาว 13 นิว้ ถ้าต้องการทาสีผวิ ข้างทัง้ หมด จะใช้สกี กี่ ระปอง ถ้าสี 1 กระปองทาได้พนื้ ที ่ 20 ตารางนิว้

ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.4 ที่สวนเสริมดานหนาของ หนังสือเลมนี้) @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ปริมาตรของพีระมิด (แบบฝกหัด) ไดที่ http://www.goonone.com/ index.php/2010-06-07-03-0930/871--13

5. กรวย (Cone) ให้นกั เรียนใช้วงเวียนรัศมีพอสมควร วาดรูปวงกลมลงบนกระดาษ จากนัน้ ให้ตดั กระดาษ เป็นรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง (Sector) ดั ) ดังรูป ก. แล้วน�ารูปสามเหลี่ยมฐานโค้งที่ได้มาม้วนดังรูป ข. เมื่อติดกาวตรงขอบด้านข้างจะได้รูปเรขาคณิตสามมิติดังรูป ค. เรียกรูปเรขาคณิตสามมิตินี้ว่า กรวย ซึ ซึ่งมีฐานเปิด นอกจากนั้นเราอาจสร้างกรวยซึ่งมีฐานปิดโดยน�ารูป ค. วางบนกระดาษและ ตัดกระดาษมีฐานปิดตามขนาดของวงกลมน�ามาติดกับรูป ค. จะได้รูปเรขาคณิตสามมิติดังรูป ง. เรียกรูปเรขาคณิตนีว้ า่ กรวยซึง่ มีฐานปิด นักเรียนจะเห็นว่ากรวยฐานเปิดและกรวยฐานปิด จะมีฐาน เป็นรูปวงกลม ซึ่งความยาวเส้นรอบฐานเท่า 2πr ซึ่งรัศมีของกรวยกลม ข. จะหาได้จากความยาว ของส่วนโค้งจากรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M3/03

EB GUIDE

คูมือครู

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Engage

Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ ครูนําของจริง เชน กรวยกรอกนํ้า กรวยที่ใสไอศกรีม เปนตน ใหนักเรียนดูและใชคําถาม • นักเรียนทราบไหมวา ขั้นตอน การสรางกรวยเปนอยางไร • ปริมาณวัสดุที่ใชทํากรวยตอง คํานวณอยางไร และตอง เกี่ยวของกับเนื้อหาใดบาง

ขอบด้านข้าง

สํารวจคนหา 1. ใหนักเรียนจับคูศึกษาบทเรียน หนา 44 และปฏิบัติกิจกรรม โดย กําหนดรัศมีและมุมที่จุดศูนยกลาง ตามความสมัครใจ 2. ครูใชกรวยที่นักเรียนสรางสาธิต ประกอบคําอธิบายสวนตางๆ ของ กรวย 3. ใหนักเรียนแตละคูวัดความยาว ของสูงเอียง ความสูงและเสนผาน ศูนยกลางของฐาน 4. ใหนักเรียนรวมกันสรุปเกี่ยวกับ กรวยตามมุมความคิดหนา 44

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวของกรวย (กิจกรรมเสริมทักษะ) ที่ http://www.bigideasmath. com/protected/content/ipe/ grade%207/06/g7_06_05.pdf

คูมือครู

ขอบด้านข้าง

รูป ก.

รูป ข.

รูป ค.

รูป ง.

ส่วนต่างๆ ของกรวยสามารถแสดงได้ ดังรูป ยอด สวนสูง

สวนสูง

สูงเอียง แกน ฐาน กรวยตรง

กรวยเอียง

กรวยตรง กรวยตรง ส่ส่วนสูงของกรวยจะตัง้ ฉากกับฐานทีจ่ ดุ ศูนย์กลางของฐานและจะเป็นเส้นเดียว กับแกนของกรวย ส่ ใดๆ บนขอบของฐานจะยาวเท่ากัน แกนของกรวย ส่วนของเส้นตรงที่ต่อระหว่างจุดยอดและจุดใดๆ เรียกว่าสูงเอียง นันั่นคือสูงเอียงของกรวยตรงจะยาวเท่ากัน กรวยเอียงง ส่วนสูงของกรวยจะตั้งฉากกับฐานที่จุดซึ่งไม่ใช่จุดศูนย์กลางของฐาน ลางของฐาน และ ส่วนสูงจะไม่เป็นแกนของกรวย ในบทเรียนต่อไปนี้จะกล่าวเฉพาะกรวยตรงเท่านั้น มุมความคิด รูปเรขาคณิตสามมิตทิ มี่ ฐี านเป็นวงกลม มียอดแหลมทีไ่ ม่อยูบ่ นระนาบเดียวกันกับฐาน และ เส้นทีต่ อ่ ระหว่างจุดยอดกับจุดใดๆ บนขอบของฐานเป็นส่วนของเส้นตรง เรียกรูปเรขาคณิตสามมิติ นัน้ ว่า กรวย

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 45

5.1 พื้นที่ผิวของกรวย

ให้นักเรียนน�ากระดาษสร้างกรวยฐานเปิด 1 อัน วัดความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง ของฐานและสูงเอียง สมมติว่าวัดความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานได้ เท่ากับ d จะได้รัศมีของ ฐานเท่ากับ 2d และให้เท่ากับ r และสูงเอียงเท่ากับ l เมือ่ คลีก่ รวยกระดาษออก จะได้รปู สามเหลีย่ มฐานโค้ง และเรียกพืน้ ทีข่ องรูปสามเหลีย่ ม ฐานโค้งนี้ว่า พื้นที่ผิวข้างของกรวย l

r กิจกรรมที่ 1 จากรูปให้ O เป็ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี r หน่ r หน่วย และมีส่วนโค้ง AB รองรับมุม AOB เป็ เป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งมีขนาด 180 � ให้นักเรียนตอบค�าถามต่อไปนี้ 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับเท่าไร O A r B 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับเท่าไร 3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับเท่าไร 4. ความยาวของส่วนโค้ง AB ซึ ซึ่งรองรับมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับเท่าไร 5. ความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลมเท่ากับเท่าไร 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับเท่าไร 7. อัตราส่วนในข้อ 3. และข้อ 6. เป็นอัตราส่วนที่เท่ากันหรือไม่ แนวการตอบ 2 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับ πr 2 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr2

ครูสนทนาและซักถามกับนักเรียน เกี่ยวกับความสูง เสนผานศูนยกลาง ความยาวของสูงเอียงของกรวยที่ แตละคูสรางไว • นักเรียนบอกไดไหมวา กรวยที่ นักเรียนสรางใชกระดาษ กี่ตารางเซนติเมตร (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของ นักเรียน) • นักเรียนรูไดอยางไร และ นักเรียนอยากทราบหรือไม วาจะคํานวณพื้นที่ของกระดาษ อยางไร (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของ นักเรียน)

สํารวจคนหา ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละความสามารถกัน ศึกษาบทเรียน และปฏิบัติกิจกรรมที่ 1 ถึง 3 หนา 45-48

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวของกรวยไดที่ http://www.vcharkarn.com/ vcafe/172334

คูมือครู

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. จากที่นักเรียนทํากิจกรรมที่ 1 และ 2 นักเรียนคิดวา • นักเรียนสามารถนําแนวคิดจาก กิจกรรมที่ 1 ถึงกิจกรรมที่ 2 หาวากระดาษที่นักเรียนสราง กรวย หรือพื้นที่ผิวขางของ กรวย ไดหรือไม ถาได ใหแสดงแนวคิดประกอบ (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของ นักเรียน) 2. ขออาสาสมัครนักเรียน 3-4 กลุม นําเสนอผลงาน 3. ใหนักเรียนรวมกันแสดงความ คิดเห็น

ขยายความเขาใจ

3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับ 1: 2 4. ความยาวส่วนโค้ง AB ซึ่งรองรับมุมที่จุดศูนย์กลางเท่ากับ πr 5. ความยาวเส้นรอบวงของวงกลมเท่ากับ 2πr 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับ 1 : 2 7. อัตราส่วนของพืน้ ทีส่ ว่ นทีร่ ะบายสีตอ่ พืน้ ทีข่ องวงกลมเท่ากับอัตราส่วนของความยาว ของส่วนโค้งที่รองรับมุม AOB ต่ออัตราส่วนความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลม เท่ากับ 1 : 2

กิจกรรมที่ 2 จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี r หน่วย และมีส่วนโค้ง BC รองรั รองรับมุม BOC เป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งมีขนาด 90 � ให้นักเรียนตอบค�าถามต่อไปนี้ 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับเท่าไร 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับเท่าไร O r B 3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับเท่าไร A 4. ความยาวของส่วนโค้ง BC เท่ ากับเท่าไร 5. ความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลมเท่ากับเท่าไร C 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับเท่าไร 7. อัตราส่วนในข้อ 3. และข้อ 6. เป็นอัตราส่วนที่เท่ากันหรือไม่ แนวการตอบ 2 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับ πr 4 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr2 3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับ 1: 4 4. ความยาวของส่วนโค้ง BC เท่ากับ πr 2 5. ความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับ 2πr 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับ 1 : 4 7. อัตราส่วนของพืน้ ทีส่ ว่ นทีร่ ะบายสีตอ่ พืน้ ทีข่ องวงกลมเท่ากับอัตราส่วนของความยาว ของส่วนโค้งที่รองรับมุม BOC ต่ออัตราส่วนความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลม เท่ากับ 1 : 4

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 47

กิจกรรมที่ 3 จากรูปให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง รัศมี r หน่วย และมีส่วนโค้ง BD รองรับมุม BOD เป็นมุมที่จุดศูนย์กลาง ซึ่งมีขนาด 60 � ให้นักเรียนตอบค�าถามต่อไปนี้ 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับเท่าไร 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับเท่าไร A r O 60 � B 3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับเท่าไร 4. ความยาวของส่วนโค้ง BD ซึ่งรองรับมุม BOD เท่ากับเท่าไร D C 5. ความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลมเท่ากับเท่าไร 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับเท่าไร 7. อัตราส่วนในข้อ 3. และ ข้อ 6. เป็นอัตราส่วนที่เท่ากันหรือไม่ แนวการตอบ 2 1. พื้นที่ของส่วนที่ระบายสีเท่ากับ πr 6 2. พื้นที่ของวงกลมเท่ากับ πr2 3. อัตราส่วนของพื้นที่ในข้อ 1. และข้อ 2. เท่ากับ 1: 6 4. ความยาวของส่วนโค้ง BD BD เท่ากับ πr BD เท่ 3 5. ความยาวเส้นรอบรูปเท่ากับ 2πr 6. อัตราส่วนของความยาวในข้อ 4. และข้อ 5. เท่ากับ 1 : 6 7. อัตราส่วนของพืน้ ทีส่ ว่ นทีร่ ะบายสีตอ่ พืน้ ทีข่ องวงกลมเท่ากับอัตราส่วนของความยาว ของส่วนโค้งที่รองรับมุม BOD ต่ ต่ออัตราส่วนความยาวของเส้นรอบรูปของวงกลม เท่ากับ 1 : 6 จากแนวคิดข้างต้นท�าให้สามารถน�ามาประยุกต์ ใช้ในการหาพื้นที่ผิวข้างของกรวย ได้ดังนี้

1. นักเรียนคิดวา • นักเรียนสามารถนําแนวคิดจาก กิจกรรมที่ 3 หาวากระดาษที่ นักเรียนสรางกรวย หรือพื้นที่ผิว ขางของกรวย ไดหรือไม ถาได จงแสดงแนวคิดนําเสนอผลงาน (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของ นักเรียน) 2. ขออาสาสมัครนักเรียน 3-4 กลุม นําเสนอผลงาน 3. ใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิด เห็น กิจกรรมที่ 1 กิจกรรมที่ 2 และกิจกรรมที่ 3 เหมือนหรือตาง กันอยางไร

O l

C 2πr

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ใหนักเรียนศึกษาบทเรียนหนา 48 แลวแตละกลุมตรวจสอบวา • พื้นที่ซึ่งคํานวณจากสูตร πrl เทากันกับที่หาไดในขั้นตอน สํารวจคนหาขางตนอยางไร (แนวตอบ คําตอบมีหลากหลาย ตามกิจกรรมที่นักเรียนทํา)

จากรูป พื้นที่ผิวข้างของกรวย OAB คือ พื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง ความยาวของส่วนโค้ง ACB คือ เส้นรอบฐานของกรวย พื้นที่รูปวงกลม O เท่ากับ πl2 ความยาวเส้นรอบวงของวงกลม O เท่ากับ 2πl เนื่องจากอัตราส่วนของพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAB กับพื้นที่วงกลม O เท่ากับอัตราส่วนของความยาวของส่วนโค้ง ACB กับความยาวของเส้นรอบวงของรูปวงกลม O จะได้ พื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAB เท่ากับ ความยาวของส่วนโค้ง ABC พื้นที่รูปวงกลม O ความยาวเส้นรอบวงของรูปวงกลม O พื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAB เท่ากับ 2πr หรือเท่ากับ r l 2πl πl2 ดังนั้น พืพื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAB เท่ากับ r × πl2 หรือเท่ากับ πrl l

แต่พื้นที่รูปสามเหลี่ยมฐานโค้ง OAB คือ พื้นที่ผิวข้างของกรวยที่มีสูงเอียงยาว l หน่วยย และรั และรัศมีของฐาน r หน่ องฐาน r หน่วย ดังนั้น พืพื้นที่ผิวข้างของกรวยเท่ากับ πrl มุมความคิด

พืน้ ทีผ่ วิ ข้างของกรวยเท่ากับ π πrl

เมือ่

แทนรัศมีของฐานกรวย

l แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย

ส�าหรับกรวยที่มีฝาปิดหรือกรวยตัน พืพื้นที่ผิวของกรวยจะประกอบด้วยพื้นที่ฐานซึ่งเป็น รูปวงกลมและพื้นที่ผิวข้าง เราเรียกผลบวกของพื้นที่ฐานของกรวยกับพื้นที่ผิวข้างของกรวยว่า พื้นที่ผิวของกรวย มุมความคิด

พืน้ ทีผ่ วิ ของกรวยเท่ากับพืน้ ทีฐ่ านรวมกับพืน้ ทีผ่ วิ ข้างของกรวย

พืน้ ทีผ่ วิ ของกรวยเท่ากับ πr2 + πrl

เมือ่

แทนรัศมีของฐานกรวย

l แทนความยาวของสูงเอียงของกรวย

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 49

ตัวอย่1างที่ จงหาพืน้ ทีผ่ วิ ของกรวยทีม่ รี ศั มีของฐานเท่ากับ 7 เซนติเมตร และความยาวของสูงเอียง 15 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ) ตัวอย่างที่

ตัวอย่3างที่

เนื่องจาก พื้นที่ผิวของกรวย เท่ากับ πr2 + πrl จะได้ พื้นที่ผิวของกรวย = π(7)2 + (π)(7)(15) = 49π + 105π = 154π พื้นที่ผิวของกรวย ประมาณ 154 × 227 ≈ 484 ตารางเซนติเมตร ดังนั้นพื้นที่ผิวของกรวยประมาณ 484 ตารางเซนติเมตร ตอบ จงหาความยาวของสูงเอียงของกรวยซึ่งมีพื้นที่ผิวข้าง 50.4 ตารางนิ้ว และรัศมีของฐานกรวย เท่ากับ 1.4 นิ้ว (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ) วิธีทำ�

เนื่องจาก พื้นที่ผิวข้างเท่ากับ πrl × 1.4 × l จะได้ 50.4 ≈ 227 × 1.4 × 50.4 × 7 l ≈ 1.4 × 22 1.4 × 22 ≈ 11.45 11.45 นินิ้ว ดังนั้น ความยาวของสู ความยาวของสูงเอียงของกรวยประมาณ 11.45 นิ งของกรวยประมาณ 11.45 นิ้ว ตอบ 35.64 ตารางเซนติเมตร และความยาวของ มตร และความยาวของ จงหาพื้นที่ฐานของกรวยที่มีพื้นที่ผิวข้าง 35.64 ตารางเซนติ สูงเอียง เท่ากับ 5.4 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 3.14) วิธีทำ�

ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทย ตัวอยางที่ 1-3 • ตัวอยางที่ 1 ขอมูลที่กําหนด เพียงพอที่จะหาพื้นที่ผิวของ กรวยหรือไม (แนวตอบ เพียงพอ) • ตัวอยางที่ 2 คําตอบเปน คาประมาณหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เปนคาประมาณเพราะ วาสูตรที่ใชคํานวณมี π) • ตัวอยางที่ 3 จะตองแกสมการ หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ตัวอยางที่ 1 ไมตอง แกสมการหาความยาวของสูง เอียงเพราะคํานวณพื้นที่ผิวขาง โจทยกําหนดขอมูลใหเพียงพอ ตัวอยางที่ 2 ตองแกสมการ เพราะวาโจทยกําหนดพื้นที่ ผิวขางและรัศมีของฐาน ตัวอยางที่ 3 ตองแกสมการ เพื่อหา r จึงจะคํานวณพื้นที่ฐาน ของกรวยได)

เนื่องจาก พื้นที่ผิวข้างเท่ากับ πrl จะได้ 35.64 35.64 = π × r × 5.4 × r × 5.4 35.64 r ≈ 5.4 × 3.14 ≈ 2.1 เซนติเมตร และเนื่องจากพื้นที่ฐานของกรวยเท่ากับ πr2 ≈ 3.14 × (2.1)2 ≈ 13.85 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ฐานของกรวยประมาณ 13.85 ตารางเซนติเมตร ตอบ วิธีทำ�

คูมือครู

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore

Engage

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ นักเรียนคิดวา • ถากรวยและทรงกระบอกมีความ สูงเทากันและรัศมีของฐานเทากัน แลวปริมาตรของกรวยเทากับของ ปริมาตรของทรงกระบอกหรือไม (แนวตอบ นักเรียนตอบไดอยาง อิสระ) • ถาตองการตรวจสอบวา ความคิด ขางตน ถูกตองหรือไม นักเรียน คิดวา จะใชการปฏิบัติกิจกรรม เหมือนกันกับการหาปริมาตรของ พีระมิดกับปริซึมหรือไม เพราะ เหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบวา ได เพราะวาใชความยาวของเสน รอบฐานและความสูงเหมือนกัน ตางกันเฉพาะฐานของพีระมิดกับ ปริซึมเปนรูปเหลี่ยม แตกรวยและ ทรงกระบอกเปนวงกลม)

นักเรียนทราบแล้วว่า ถ้าต้องการหาปริมาตรหรือความจุของภาชนะ สามารถท�าได้โดย การตวง ให้นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่อไปนี้ 1. น�ากระดาษมาสร้างเป็นกรวยและทรงกระบอกที่มีฐาน และความสูงเท่ากัน 2. น�าทรายละเอียดใส่ในกรวยจนเต็มพอดี แล้วเททรายจากกรวยใส่ลงในกระบอก 3. ด�าเนินการในข้อ 2. ซ�้า นักเรียนคิดว่า ต้องเททรายลงในทรงกระบอกจ�านวนกี่ครั้ง ทรายจึงเต็มทรงกระบอก พอดี ค�าตอบที่นักเรียนได้คือต้องเททรายจากกรวย 3 ครั้ง ปริมาตรของกรวยเท่ากับ 13 ของปริมาตรของทรงกระบอกทีม่ ฐี านและความสูง ดังนัน้ ปริ เท่ากัน แต่ าตรของทรงกระบอก เท่ แต่ปริมาตรของทรงกระบอก เท่ากับ πr2h ดังนั้นปริมาตรของกรวยเท่ากับ 13 πr2h มุมความคิด = 1 πr2h 3 เมือ่ V แทนปริมาตรของกรวย V

สํารวจคนหา 1. จัดกลุมนักเรียน กลุมละ 4 คน คละความสามารถปฏิบัติกิจกรรม หัวขอ 5.2 หนา 50 2. แตละกลุมสรุปความสัมพันธ ระหวางปริมาตรของกรวยกับ ปริมาตรของทรงกระบอก

เกร็ดแนะครู จากตัวอยางที่ 4 ครูดําเนิน กิจกรรมในลักษณะเดียวกับ ตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที่ 3

5.2 ปริมาตรของกรวย

คูมือครู

แทนรัศมีของฐานกรวย

แทนความสูงของกรวย

3.5 นิ้ว และความสูง 8 นิ้ว ตัวอย่4างที่ จงหาปริมาตรของกรวยที่รัศมีของฐานเท่ากับ 3.5 นิ 22 (ก�าหนดให้ π ≈ 7 )

เนื่องจาก ปริมาตรของกรวย (v) = 13 πr2h จะได้ v ≈ 13 × 227 × (3.5)2 × 8 ≈ 102.67 ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้น ปริมาตรของกรวยประมาณ 102.67 ลูกบาศก์นิ้ว วิธีทำ�

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

อธิบายความรู 51

ตัวอย่5างที่ จงหาความสูงของกรวยที่มีปริมาตร 2,120 ลูกบาศก์เซนติเมตร และรัศมีของฐาน 12 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 227)

วิธีทำ�

เนื่องจาก ปริมาตรกรวยเท่ากับ 13 πr2h 2,120 ≈ 13 × 227 × (12)2 × h 2120 × 3 × 7 ≈ h 22 × (12)2 หรือ h ≈ 2120 × 3 × 7 22 × 12 × 12 ≈ 14 เซนติเมตร ดังนั้น ความสูงของกรวยประมาณ 14 เซนติเมตร

ตอบ

ตัวอย่6างที่ จงหารัศมีของฐานกรวยที่มีปริมาตร 58.875 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร และมี มตร และมีความสูง 9 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 3.14)

วิธีทำ�

เนื่องจาก ปริ ปริมาตรของกรวย เท่ากับ 13 πr2h × 3.14 × r2 × 9 ×9 58.875 ≈ 13 × 3.14 × r r2 ≈ 58.875 ×× 33 3.14 × 9 3.14 ×9 ≈ 6.25 ≈ (2.5)2 r ≈ 2.5 เซนติ เซนติเมตร ดังนั้น รัรัศมีของฐานกรวยประมาณ 2.5 เซนติ องฐานกรวยประมาณ 2.5 เซนติเมตร

ตอบ

ครูตั้งคําถามใหนักเรียนวิเคราะห • การหาความสูงและรัศมี ของฐานในตัวอยางที่ 5 และ ตัวอยางที่ 6 ตองใชความรูใน เรื่องใดบาง (แนวตอบ ตองใชความรูเรื่อง ปริมาตรของกรวยกับการแก สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวใน ตัวอยางที่ 5 แตตัวอยางที่ 6 ไมเปนสมการเชิงเสน จึงตองใช ความรูการถอดรากที่สองของ จํานวนจริง) • ถาคาของ h และ r ที่คํานวณได ในตัวอยางที่ 5 และตัวอยางที่ 6 เปนจํานวนเต็ม ตองตอบเปน คาประมาณเสมอใชหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชเพราะวาปริมาตร ของกรวยคํานวณจากสูตรที่มี π จึงตองเปนคาประมาณเสมอ แมวาการคํานวณจะมีคาตัว ประกอบจาก 227 ได แต 227 เปนคาประมาณของ π)

ขยายความเขาใจ ครูกําหนดประเด็นใหนักเรียนรวม กันแสดงความคิดเห็น • นักเรียนคิดวาในชีวิตประจําวัน ของนักเรียนตองใชความรูเกี่ยว กับการหาปริมาตรของกรวย หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบมีหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของนักเรียน ซึ่งสวนมากอาจจะตอบไมไดใช เพราะวาในชีวิตไมไดเกี่ยวของ กับกรวย)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนักเรียนจับคูรวมกันแลก เปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทยขอ ใดในแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.5 หนา 52 - 53 วา เหมือนกับ ตัวอยางใดที่เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดที่แลกเปลี่ยน กันนําไปใชในการทําแบบตรวจ สอบความเขาใจที่ 1.5 จากนั้น นักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2 - 3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการ แกปญหาโจทย

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.5 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.5 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

NET ขอสอบ ป 51 ขอสอบออกโจทยปญหาเกี่ยวกับ กรวย โดยโจทยกําหนด • จงหาพื้นที่สวนที่แรเงา 15 ซม.

8 ซม. 2 ซม.

1. 2.25π ตารางเซนติเมตร 2. 3π ตารางเซนติเมตร 3. 6.25π ตารางเซนติเมตร 4. 9π ตารางเซนติเมตร

คูมือครู

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่ 1.5 1. ก�าหนดให้ π ≈ 227 จงหาพื้นที่ผิวข้างของกรวยแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) รัศมีของฐาน 7 เซนติเมตร และสูงเอียง 10 เซนติเมตร 2) เส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน 8.4 เซนติเมตร และสูงเอียง 7 เซนติเมตร 3) รัศมีของฐาน 3 นิ้ว และสูงตรง 4 นิ้ว 2. ก�าหนดให้ π ≈ 3.14 จงหาพื้นที่ผิวของกรวยต่อไปนี้ ต้องการทศนิยมสองต�าแหน่ง 1) รัศมีของฐาน 4 เซนติเมตรและสูงเอียง 9 เซนติเมตร 2) เส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน 10 เซนติเมตร และสูงเอียง 12 เซนติเมตร 3) รัศมีของฐาน 3 นิ้ว และสูงเอียง 4.5 นิ้ว 3. ก�าหนดให้ π ≈ 227 จงค�านวณค่าต่างๆ ของกรวยแล้วเติมลงในตารางให้สมบูรณ์ ข้อ 1 2

ความยาว สูงเอียงง (l) 77 ซม. ซม. 3.5 นินิ้ว 3.5

รัศมีของฐาน

พื้นที่ฐาน

พื้นที่ผิวข้าง

4.2 ซม. 4.2 ซม. 7 นิ 7 นิ้ว 7 ซม. 7 ซม.

550 ตร.ซม.

29 ซม. 29 ซม.

14.8 นิ 14.8 นิ้ว

616 ตร.นิ้ว

12.5 12.5 นินิ้ว

665.5 ตร.นิ้ว

1,914 ตร.ซม.

จงค�านวณหาปริมาตรของกรวยแต่ละข้อต่อไปนี้ 4. ก�าหนดให้ π ≈ 227 จงค� 1) รัศมีของฐาน 12 เซนติ เมตร และความสูง 35 เซนติเมตร องฐาน 2) รัศมีของฐาน 4 นิ้ว และความสูง 4.9 นิ้ว 3) เส้นผ่านศูนย์กลาง 7 เมตร และความสูง 4.2 เมตร 5. จงหาความสูงของกรวยแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) รัศมีของฐาน 7 เมตร และปริมาตร 392π ลูกบาศก์เมตร 2) รัศมีของฐาน 4.2 เซนติเมตร และปริมาตร 23.52π ลูกบาศก์เซนติเมตร 3) เส้นผ่านศูนย์กลางของฐาน 14 นิ้ว และปริมาตร 196π ลูกบาศก์นิ้ว

(แนวคิด เชื่อมโยงความรูจากรูปสามเหลี่ยมคลายและกรวย จาก ΔABE ~ ΔCDE 15 ซม. A B AB = AE จะได CD CE 8 ซม. 7.5 = 10 C D CD 2

2 ซม. CD = 1.5 ดังนั้น พื้นที่สวนที่แรเงา เทากับ π(1.5)2 = 2.25 คําตอบ คือ ขอ 1.)

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุนความสนใจ 53

6. จงหาพื้นที่ฐานของกรวยแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) ปริมาตร 100 ลูกบาศก์นิ้ว ความสูง 10 นิ้ว 2) ปริมาตร 24.6 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความสูง 3 เซนติเมตร 3) ปริมาตร 22.8 ลูกบาศก์เมตร ความสูง 1.2 เมตร 7. ก�าหนดให้ π ≈ 3.14 จงหารัศมีของฐานกรวยแต่ละข้อต่อไปนี้ 1) ปริมาตร 50.24 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความสูง 3 เซนติเมตร 2) ปริมาตร 78.5 ลูกบาศก์นิ้ว ความสูง 4 นิ้ว 3) ปริมาตร 314 ลูกบาศก์เมตร ความสูง 4 เมตร 8. จงหาพื้นที่ผิวข้างและปริมาตรของกรวยไอศกรีมซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 3.5 เซนติเมตร และสูงเอียง 9 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ตอบทศนิยม 2 ต�าแหน่ง) 9. ถ้าสูงเอียงและรัศมีของกรวยมีความยาว 12 เซนติเมตร และ 9 เซนติเมตรตามล�าดับ จงหาพื้นที่ผิวของกรวยและปริมาตรของกรวย (ก�าหนดให้ π ≈ 3.14 ตอบทศนิยม 2 ต�าแหน่ง) 10. กรวยอันหนึ่งมีสูงเอียงยาว 5 เซนติเมตร พื้นที่ผิวข้าง 15π ตารางเซนติเมตร จงหาปริมาตรของกรวย (ตอบในรูปของ π )

ครูสนทนากับนักเรียนเกีย่ วกับกีฬา ที่ชอบเลนมากที่สุดแลวตั้งคําถาม • กีฬาชนิดนั้นตองใชอุปกรณ อะไรบาง (แนวตอบ ขึ้นอยูกับคําตอบของ นักเรียน) • อุปกรณกีฬาฟุตบอล บาสเกตบอล เทนนิส ปงปอง บิลเลียด เปนตน มีลักษณะ อยางไร และเรียกวาอะไร (แนวตอบ เปนทรงกลม เรียกวา ทรงกลม) • นักเรียนคิดวา การหาพื้นที่ผิว ของทรงกลมจะใชแนวคิด โดย ตัดทรงกลมออกแลวคลี่ใหเปน รูปเรขาคณิตสองมิติไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบอาจจะหลาก หลาย ตัวอยางเชน ไมนาจะใช การคลี่ออกเปนรูปเรขาคณิต สองมิติได เพราะวาทรงกลม ไมมีดานที่เปนรูปเหลี่ยมเลย)

6. ทรงกลม (Sphere) ตัวอย่างทรงกลมหรือใกล้เคียงทรงกลมที่นักเรียนพบเห็นอยู่ทั่วไปได้แก่ ลูกปิงปอง ลูกบอล ลูกแก้ว ลูกกอล์ฟ เป็นต้น

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

Engage

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา ใหนักเรียนจับคูศึกษาบทเรียน กิจกรรมที่ 1 และใชคําถามเพื่อให นักเรียนรวมกันแสดงความคิดเห็น ดังนี้ • นักเรียนคิดวา วิธีปฏิบัติที่นํา เสนอสามารถปฏิบัติไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบ ทั้งไดหรือไมไดอยางอิสระ ตัวอยางเชน สามารถทําไดแต โดยการทํากิจกรรมนี้ตองใช ความพยายามและระมัดระวัง ในขณะปฏิบัติอยางยิ่ง) • ถาปฏิบัติไมได โดยแนวคิดนี้ นักเรียนยอมรับเหตุผลทาง คณิตศาสตรไดหรือไม (แนวตอบ ยอมรับได)

คูมือครู

มุมความคิด ทรงสามมิติที่มีผิวโค้งเรียบและจุดทุกจุดบนผิวโค้งอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็น ระยะเท่ากัน เรียกว่า ทรงกลม จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลางของทรงกลม ระยะที่เท่ากัน เรียกว่า รัศมีของทรงกลม

6.1 พื้นที่ผิวของทรงกลม

นักเรียนทราบหรือไม่ว่า จะใช้แนวคิดใดหาพื้นที่ผิวของทรงกลม เราสามารถหาพื้นที่ผิวของทรงกลมได้ โดยการทดลองปฏิบัติกิจกรรมที่ 1 กิจกรรมที่ 1 อุปกรณ์ 1. เชือกชนิดเดียวกัน 2 เส้น มีความยาว r พอประมาณ 2r 2. ทรงกลมตันรัศมี r หน่ r หน่วย 3. ทรงกระบอกซึ่งมีรัศมีของฐาน r หน่ องฐาน rr หน่ หน่วย r และความสูง 2 2r หน่ rr หน่ หน่วย B A วิธีปฏิบัติ รอบทรงกลม A ให้ น�าเชือกเส้นที่ 1 พันรอบทรงกลม รอบทรงกลม A ให้เต็มทั้งทรงกลมพอดี ดังรูป ตัดเชือกที่เหลือทิ้ง รอบทรงกระบอก B จนเต็มทรงกระบอก ดังรูป ตัดเชือกที่เหลือทิ้ง น�า และน�าเชือกเส้นที่ 2 พันรอบทรงกระบอก เชือกทั้งสองเส้นที่ใช้พันรอบทรงสามมิติทั้งสองมาเปรียบเทียบความยาว จะพบว่า เชือกทั้งสอง เส้นยาวเท่ากันพอดี แสดงว่า พื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = ความยาวของเส้นรอบวง × ความสูง พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2πr × h แต่ h = 2r จะได้ พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอก = 2πr × 2r = 4πr2 ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ 4πr2 หรือกล่าวได้ว่า พื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ 4 เท่าของพื้นที่วงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

Engage

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

สํารวจคนหา 55

มุมความคิด

พื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ 4 πr2 เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม

6.2 ปริมาตรของทรงกลม ในการหาปริมาตรของทรงกลม เราสามารถหาได้ โดยการทดลองปฏิบัติกิจกรรมที่ 2 กิจกรรมที่ 2 อุปกรณ์ 1. พลาสติกครึ่งทรงกลม รัศมี r หน่วย 2. ทรงกระบอกรัศมีของฐาน r หน่วย และมีความสูง 2r หน่วย 3. ทราย วิธีปฏิบัติ 1. บรรจุทรายให้เต็มพลาสติกครึ่งทรงกลม 2. เททรายจากพลาสติกครึ่งทรงกลมลงในทรงกระบอก จะต้องเททรายจากพลาสติก ครึ่งทรงกลมกี่ครั้งจึงจะเต็มทรงกระบอกพอดี 3. ด�าเนินการข้อ 2. ซ�้า นักเรียนจะพบว่า ต้องเททรายจากพลาสติกครึ่งทรงกลม 3 ครั้ง จึงจะเต็มทรง กระบอกพอดี 4. หาความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของทรงกลมกับทรงกระบอก นักเรียนจะพบว่า ต้องเททรายจากพลาสติกครึ่งทรงกลม 3 ครั้ง จึงจะเต็ม ทรงกระบอกพอดี ดังนั้นสามเท่าของปริมาตรของครึ่งทรงกลมที่มีรัศมี r หน่ หน่วย เท่ากับปริมาตรของ ทรงกระบอกที่มีรัศมีของฐาน r หน่วยและมีความสูง 2r หน่วย เนื่องจากปริมาตรของทรงกระบอกเท่ากับ πr2h = πr2 (2r) (เพราะ h = 2r) = 2πr3

1. จัดกลุมนักเรียน กลุมละ 4 คน คละความสามารถกัน ตอบคําถาม และปฏิบัติกิจกรรมที่ 2 หนา 55-56 • นักเรียนสามารถหาพลาสติก ทรงกลมไดหรือไม (แนวตอบ ได ) • ถาหาไดนักเรียนจะหาทรง กระบอกซึ่งรัศมีเทากับทรงกลม ไดหรือไม (แนวตอบ อาจจะหาไมได) • ถาหาไมไดจะสรางทรงกระบอก ไดหรือไม (แนวตอบ สามารถสรางไดโดยใช พื้นฐานความรูตามที่ได ศึกษามา) 2. แตละกลุมสรุปผลกิจกรรม รายงานผลและแสดงความคิด เห็นรวมกัน 3. ใหนักเรียนสรุปความสัมพันธ ตามมุมความคิดหนา 56

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูตั้งคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทยตัวอยางที่ 1 หนา 56 • ขอมูลที่กําหนดเพียงพอที่จะหา พื้นที่ผิวของทรงกลมหรือไม (แนวตอบ เพียงพอ) • คําตอบเปนคาประมาณหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เปนคาประมาณ เพราะวา สูตรพื้นที่ผิวและ ปริมาตรของทรงกลมจะมี π) • จะตองแกสมการหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมตองแกสมการ เพราะโจทยกําหนดรัศมีมาให แลว)

คูมือครู

และสามเท่าของปริมาตรของครึ่งทรงกลมเท่ากับปริมาตรของทรงกระบอก ดังนั้น สามเท่าของปริมาตรของครึ่งทรงกลม = 2πr3 3 × 12 × ปริมาตรของทรงกลม = 2πr3 ปริมาตรของทรงกลม = 23 × 2πr3 = 43 πr3

(

)

มุมความคิด

ปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ 4 πr3 3 เมื่อ r แทนรัศมีของทรงกลม

ตัวอย่1างที่ ทรงกลมลูกหนึ่งมีรัศมี 3 เซนติเมตร จงค�านวณหา 1) พื้นที่ผิว 2) 1) 2) ปริมาตร 22 ก�าหนดให้ π ≈ 7 และตอบเป็นจ�านวนเต็ม วิธีทำ�

EB GUIDE

1) เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ 4πr2 เมื่อ r เป็นรัศมีของทรงกลม พื้นที่ผิวของทรงกลม = 4π(3)2 พื้นที่ผิวของทรงกลมประมาณ 4 × 227 × 3 × 3 ≈ 113.14 ตารางเซนติเมตร ดังนั้น พื้นที่ผิวของทรงกลมประมาณ 113 ตารางเซนติเมตร 2) เนื่องจากปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ 43 πr3 2) ปริมาตรของทรงกลม = 43 π(3)3 4 × 22 × 3 × 3 × 3 ≈ 3 7 ≈ 113.14 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของทรงกลมประมาณ 113 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M3/04

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 57

ตัวอย่2างที่ จงหารัศมีและปริมาตรของทรงกลมซึ่งมีพื้นที่ผิว 144π ตารางเซนติเมตร ก�าหนดให้ π ≈ 227

วิธีทำ�

เนื่องจาก พื้นที่ผิวทรงกลมเท่ากับ 4πr2 จะได้ 144π = 4πr2 144π = r2 4 π2 หรือ r = 36 = 62 r = 6 เซนติเมตร ดังนั้น ทรงกลมนี้มีรัศมีเท่ากับ 6 เซนติเมตร เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ 43 πr3 ปริมาตรของทรงกลม = 43 π(6)3 22 6 × 6 × 6 4 × ≈ 3 × 7 ×× 6 × 6 × 6 ≈ 905.14 905.14 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น ปริ ปริมาตรของทรงกลมประมาณ 905.14 ลู าตรของทรงกลมประมาณ 905.14 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ

ครูตั้งคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทย • นักเรียนคิดวาในชีวิตจริงจะมี กระทะรูปครึ่งวงกลมหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ อาจจะมี เพราะ สามารถสรางขึ้นมาได) • การหาพื้นที่ผิวดานในของ กระทะตองใชรัศมีภายนอกลบ ดวยรัศมีภายในหรือไม (แนวตอบ ได ถากําหนดรัศมีให) • ขอมูลที่กําหนดเพียงพอหรือไม (แนวตอบ เพียงพอ) • ตัวอยางที่ 1-3 หนา 56-67 จะตองแกสมการหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ตัวอยาง 1 ไมตอง แกสมการเพราะกําหนดรัศมี ตัวอยางที่ 2 และ 3 ตอง แกสมการเพื่อหารัศมี)

ตัวอย่3างที่ กระทะรูปครึ่งทรงกลมใบหนึ่งมีปริมาตร 18π ลูลูกบาศก์นิ้ว จงค� าตร 18 จงค�านวณหา 1) รัศมีของกระทะ 2) พื พื้นที่ผิวด้านในของกระทะ นในของกระทะ (ค�าตอบอยู่ในรูปของ π) วิธีทำ�

1) เนื่องจาก ปริมาตรของทรงกลมเท่ากับ 43 πr3 จะได้ ปริมาตรของครึ่งทรงกลม = 12 × × 43 πr3 = 23 πr3 ซึ่ง ปริมาตรของกระทะรูปครึ่งทรงกลม เท่ากับ 18π 2 πr3 = 18π จะได้ 3 3 r = 18π × 32 × 1 π = 27

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูกําหนดประเด็นใหนักเรียน รวมกันแสดงความคิดเห็น • นักเรียนคิดวา ในชีวิตประจําวัน ของนักเรียนตองใชความรูเกี่ยว กับพื้นที่ผิวและปริมาตรของทรง กลมหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดทั้ง นําความรูไปใชหรือไมตองใช ก็ได ขึ้นอยูกับประสบการณของ นักเรียนที่มีแตกตางกัน) • อาชีพใดจําเปนตองใชความรู เรื่องพื้นที่ผิวและปริมาตรของ ทรงกลม (แนวตอบ มีหลายอาชีพ เชน นักออกแบบบรรจุภัณฑ สถาปนิก วิศวกร เปนตน) 2. นักเรียนจับคูรวมกันแลกเปลี่ยน ความคิดเห็นวาขอใดในแบบตรวจ สอบความเขาใจที่ 1.6 หนา 58-59 ที่เหมือนกับตัวอยางที่เรียนมา 3. แตละคูรวมกันทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.6 จากนั้นแลก เปลี่ยนกันตรวจสอบความถูกตอง

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.6 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.6 ที่สวนเสริมดานหนาของ หนังสือเลมนี้)

คูมือครู

Evaluate

= 33 r = 3 นิ้ว ดังนั้น กระทะใบนี้มีรัศมีเท่ากับ 3 นิ้ว 2) เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมเท่ากับ 4πr2 จะได้ พื้นที่ผิวของครึ่งทรงกลม = 12 × 4πr2 = 2π × 32 = 18π ตารางนิ้ว ดังนั้น พื้นที่ผิวด้านในของกระทะเท่ากับ 18π ตารางนิ้ว

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

ตอบ

1.6

1. จงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกลม เมื ของทรงกลม ่อก�าหนดรัศมีให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ หนด π ≈ 3.14) (ก�าหนด 1) 3.5 เซนติ 3.5 เซนติเมตร 2) 5 เมตร 5 เมตร 3) 1.5 นิ้ว 2. จงหารัศมีและปริมาตรของทรงกลม เมื าตรของทรงกลม เมื่อก�าหนดพื้นที่ผิวให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (ค�าตอบอาจ ของ π ได้ อยู่ในรูปของ ได้) 1) 64π ตารางเมตร ตารางเมตร 2) 144π ตารางนิ้ว 3) 900π ตารางเซนติ ตารางเซนติเมตร 4) 1,296π ตารางมิลลิเมตร ภายใน1,810 ภายใน 3. ลูกบาสเกตบอลมีพนื้ ทีผ่ วิ ภายใน 1,810 ตารางเซนติเมตร จงหารัศมีภายในของลูกบาสเกตบอล และปริมาตรของลมทีอ่ ยูข่ า้ งในลูกบาสเกตบอลนี ้ (ก�าหนดให้ π ≈ 227 ตอบเป็นจ�านวนเต็ม) 4. จงหาปริมาตรของทรงกลม ซึ าตรของทรงกลม ซึ่งมีพื้นที่ผิวก�าหนดให้ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (ตอบในรูปของ π) 1) 49π ตารางเซนติเมตร 2) 81π ตารางเมตร 3) 225π ตารางเซนติเมตร 4) 288π ตารางเมตร 5. เหล็กท่อนหนึ่งมีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ากว้าง 9 เซนติเมตร ยาว 27 เซนติเมตร และ สูง 30 π เซนติเมตร น�ามาหลอมเป็นลูกเหล็กทรงกลมได้ 60 ลูก ลูกเหล็กทรงกลมแต่ละลูก มีรัศมียาวเท่าใด

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 59

6. แก้วทรงกระบอกมีรศั มีของฐาน 5 เซนติเมตร บรรจุน�้าสูงขึ้นมา 8 เซนติเมตร จงหา 1) ปริมาตรของน�้า (ตอบในรูปของ π) 2) ถ้ า น� า ลู ก แก้ ว ทรงกลมใส่ ล งไปในแก้ ว ทรงกระบอก 20 ลูก ลูกแก้วแต่ละลูก มีรัศมี 1.4 เซนติเมตร อยากทราบว่า น�้าจะสูงขึ้นมาอีกกี่เซนติเมตร (ตอบทศนิยม 2 ต�าแหน่ง)

5 ซม. 8 ซม.

7. การเปรียบเทียบหนวยปริมาตร

1. ครูใชคําถามทบทวนความรูเดิม ดังนี้ • ไมบรรทัดของนักเรียนมีหนวย การวัดในระบบใด (แนวตอบ หนวยการวัดระบบ เมตริกและระบบอังกฤษ ) • ระบบเมตริก มีหนวยอะไรบาง (แนวตอบ หนวยในระบบเมตริก เชน มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร กิโลเมตร เปนตน ) • ระบบอังกฤษ มีหนวยอะไรบาง (แนวตอบ หนวยในระบบอังกฤษ เชน นิ้ว ฟุต หลา ไมล เปนตน) 2. จากนั้นครูและนักเรียนรวมกันสรุป ประเด็นสําคัญ

7.1 เปรียบเทียบหน่วยปริมาตรในระบบเดียวกัน

นักเรียนเคยศึกษาเรื่องหน่วยการวัดความยาว หน่วยการวัดพื้นที่ในระบบสากลและ ระบบอังกฤษมาแล้ว ในหัวข้อนี้เราจะศึกษาเรื่องหน่วยการวัดปริมาตรในระบบสากลและระบบ อังกฤษ ความสัมพันธ์ของหน่วยวัดปริมาตรในระบบเมตริก เนื่องจาก ความยาว 1 เซนติเมตร เท่ากับ ความยาว 10 มิลลิเมตร

เนื่องจาก พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ (ความยาวด้าน)2 1 ซม. 1 ซม.

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

= = = =

1 × 1 ตารางเซนติเมตร 1 ตารางเซนติเมตร 10 × 10 ตารางมิลลิเมตร 102 ตารางมิลลิเมตร

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ครูตั้งคําถามเพื่อทบทวนความรู เรื่องการเปลี่ยนหนวย • ใหเรียงลําดับความยาวจาก นอยไปหามาก ความยาว 1 ฟุต ความยาว 1 นิ้ว และความยาว 1 เมตร (แนวตอบ ความยาว 1 นิ้ว ความยาว 1 ฟุต ความยาว 1 เมตร) • ใหนักเรียนเปลี่ยนหนวยความ ยาวจาก 1 เมตร เปนหนวยนิ้ว จะไดกี่นิ้ว (แนวตอบ ความยาว 1 เมตร ประมาณ 39. 37 นิ้ว) • การเปลี่ยนหนวยเล็กเปนหนวย ใหญและหนวยใหญเปนหนวย เล็ก จะตองพิจารณาสิ่งใดกอน แลวตองทําอยางไร (แนวตอบ หนวยเล็กและหนวย ใหญที่ตองการเปรียบเทียบ มีเพียงหนวยเดียวหรือหลาย หนวย ซึ่งตองเปลี่ยนหนวยไป ตามลําดับความสัมพันธของ หนวยวัดปริมาตรนั้น) 2. ครูและนักเรียนแลกเปลี่ยนความ คิดเห็นและสรุปความสัมพันธของ หนวยวัดปริมาตร

เนื่องจาก ปริมาตรของลูกบาศก์เท่ากับ (ความยาวด้าน)3 1 ซม.

1 ซม.

ดังนั้น ปริมาตรของลูกบาศก์

= 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 10 × 10 × 10 ลูกบาศก์มิลลิเมตร = 103 ลูกบาศก์มิลลิเมตร เนื่องจาก ความยาว 1 เมตรเท่ากับ ความยาว 100 เซนติเมตร ดังนั้น ปริมาตรของลูกบาศก์ = 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์เมตร = 1 ลู 1 กบาศก์เมตร = 100 × 100 × 100 ลู กบาศก์เซนติเมตร 100 3 = 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร หรื หรือ = 106 ลูกบาศก์เซนติเมตร มุมความคิด 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 103 ลูกบาศก์มิลลิเมตร 1 ลู ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 1003 ลู 1 ลูลูกบาศก์เมตร หรือ เท่ากับ 106 ลูกบาศก์เซนติเมตร

ความสัมพันธ์ของหน่วยวัดปริมาตรในระบบอังกฤษ เนื่องจาก ความยาว 1 ฟุต เท่ เท่ากับความยาว 12 นิ ความยาว 12 นิ้ว งจาก ความยาว 1 ฟุ เนื่องจาก พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับ (ความยาวด้าน)2 ดังนั้น พื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส = 1 × 1 ตารางฟุต = 1 ตารางฟุต 1 ฟุ ต = 12 × 12 ตารางนิ้ว = 122 ตารางนิ้ว 1 ฟุต

คูมือครู

1 ซม.

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 61

เนื่องจาก ปริมาตรของลูกบาศก์ เท่ากับ (ความยาวด้าน)3 ดังนั้น ปริมาตรของลูกบาศก์ = 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์ฟุต ต = 1 ลูกบาศก์ฟุต 1 ฟุ = 12 × 12 × 12 ลูกบาศก์นิ้ว = 123 ลูกบาศก์นิ้ว

1 ฟุต 1 ฟุต

มุมความคิด 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 123 ลูกบาศก์นิ้ว

ตัวอย่1างที่ หาค�าตอบของโจทย์ต่อไปนี้ ใช้ความสัมพันธ์ของหน่วยปริมาตรในระบบสากล 1) ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากอันหนึ่งมีปริมาตร 8 าตร 8 ลูกบาศก์เซนติเมตร มตร จะมีปริมาตร กี่ลูกบาศก์มิลลิเมตร 2) ถังน�้าใบหนึ่งมีปริมาตร าตร 3.57 ลู 3.57 ลูกบาศก์เมตร คิ มตร คิดเป็นปริมาตรกี่ลูกบาศก์เซนติเมตร วิธีทำ�

ครูตั้งคําถามใหนักเรียนวิเคราะห ตัวอยางที่ 1 • เหตุผลใด เมื่อเปลี่ยนหนวยเล็ก เปนหนวยใหญในระบบเดียวกัน ตองใชการหาร (แนวตอบ เพราะวาหนวยเล็ก แสดงปริมาณที่นอยกวา) • เหตุผลใด เมื่อเปลี่ยนหนวย ใหญเปนหนวยใหญในระบบ เดียวกันตองใชการคูณ (แนวตอบ หนวยใหญแสดง ปริมาณที่มากกวา) • ตัวอยางที่ 1 เปนการ เปลี่ยนแปลงจากหนวยเล็กเปน หนวยใหญหรือเปลี่ยนหนวย ใหญเปนหนวยเล็ก (แนวตอบ หนวยใหญเปนหนวย เล็ก)

1) เนื่องจาก 1 ล ูกบาศก์เซนติเมตรเท่ากับ 10 103 ลูลูกบาศก์มิลลิเมตร 8 × 103 จะได้ 8 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 8 × 103 = 8,000 ลู 8,000 ลูกบาศก์มิลลิเมตร ดังนัน้ ทรงสี ทรงสีเ่ หลีย่ มมุมฉากนีม้ ปี ริมาตรเท่ากับ 8,000 ลู 8,000 ลูกบาศก์มลิ ลิเมตร 3 2) เนื่องจาก 1 ลู 1 ลูกบาศก์เมตร เท่ากับ 100 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะได้ 3.57 ลูกบาศก์เมตร = 3.57 × 1003 3.57 × 100 = 3,570,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ตอบ ดังนั้น ถังน�้าใบนี้มีปริมาตร 3,570,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูตั้งคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทย • ตัวอยางที่ 2 เปนการเปลี่ยน หนวยปริมาตรจากหนวยเล็ก เปนหนวยใหญหรือไม (แนวตอบ เปน) • ตัวอยางที่ 2 ตองใชจํานวนใด คูณหรือหาร (แนวตอบ ขอ1) ตองนํา 103 หาร ขอ 2) ตองนํา 1003 หาร) • ปริมาตรที่คํานวณได(ตัวเลข) จะมากขึ้นหรือลดลง เมื่อมีการ เปลี่ยนหนวย (แนวตอบ มากขึ้น ถาเปลี่ยนจาก หนวยใหญเปนหนวยเล็ก นอย ลงเมื่อเปลี่ยนหนวยเล็กเปน หนวยใหญ) • นอกจากวิธีทําในตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 แลว นักเรียนคิดวายังมี วิธีทําอื่นอีกหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ มีวิธีทําอื่นๆ ขึ้นอยู ประสบการณและพื้นฐาน ความรูของนักเรียน)

62 ตัวอย่างที่

จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ 1) พีระมิดมีปริมาตร 2,345 ลูกบาศก์มลิ ลิเมตร คิดเป็นปริมาตรกีล่ กู บาศก์เซนติเมตร 2) ทรงกลมมีปริมาตร 946,000 ลูกบาศก์เซนติเมตรจะมีปริมาตรกี่ลูกบาศก์เมตร วิธีทำ�

ตัวอย่3างที่ จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ 1) 5 ลู 1) 5 ลูกบาศก์ฟุตเป็นลูกบาศก์นิ้ว 2) 172,800 ลู 2) 172,800 ลูกบาศก์นิ้วเป็นลูกบาศก์ฟุต วิธีทำ�

คูมือครู

1) เนื่องจาก 103 ลูกบาศก์มิลลิเมตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะได้ 2,345 ลูกบาศก์มิลลิเมตร = 2,345 ลูกบาศก์เซนติเมตร 103 = 2,345 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 2.345 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น พีระมิดนี้มีปริมาตร 2.345 ลูกบาศก์เซนติเมตร 2) เนื่องจาก 1003 ลูกบาศก์เซนติเมตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เมตร จะได้ 946,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 946,000 ลูกบาศก์เมตร 1003 946,000 ลูกบาศก์เมตร = 1,000,000 = 0.946 ลูกบาศก์เมตร ตอบ ดังนั้น ทรงกลมนี ทรงกลมนี้มีปริมาตรเท่ากับ 0.946 ลู 0.946 กบาศก์เมตร

1) เนื่องจาก 1 ลู งจาก กบาศก์ฟุต เท่ากับ 123 ลูกบาศก์นิ้ว จะได้ 55 ลูลูกบาศก์ฟุต = 5 × 12 = 5 × 123 = 8,640 ลูกบาศก์นิ้ว เท่ากับ 8,640 ลูกบาศก์นิ้ว ดังนั้น 5 ลูลูกบาศก์ฟุต เท่ 3 2) เนื่องจาก 12 ลูกบาศก์นิ้ว เท่ากับ 1 ลูกบาศก์ฟุต จะได้ 172,800 ลูกบาศก์นิ้ว = 172,800 123 = 172,800 1,728 = 100 ลูกบาศก์ฟุต ดังนั้น 172,800 ลูกบาศก์นิ้ว เท่ากับ 100 ลูกบาศก์ฟุต

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 63

7.2 การเปรียบเทียบหน่วยปริมาตรต่างระบบกัน

1 ฟุต

เนื่องจาก ความยาว 1 ฟุต เท่ากับ ความยาว 30 เซนติเมตร 1 ฟุ ต ปริมาตรของลูกบาศก์ = 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์ฟุต = 1 ลูกบาศก์ฟุต = 30 × 30 × 30 ลูกบาศก์เซนติเมตร 1 ฟุ ต = (30)3 ลูกบาศก์เซนติเมตร = 27 × 103 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น 1 ลูกบาศก์ฟุต = 27 × 103 ลูกบาศก์เซนติเมตร เนื่องจาก ความยาว 1 ฟุต เท่ากับ ความยาว 0.3 เมตร ปริมาตรของลูกบาศก์ = 1 × 1 × 1 ลูกบาศก์ฟุต = 1 ลูกบาศก์ฟุต = 0.3 × 0.3 × 0.3 ลู 0.3 ลูกบาศก์เมตร มตร 3 = 0.3 ลูลูกบาศก์เมตร 0.027 ลูลูกบาศก์เมตร = 0.027 ดังนั้น 1 ลูลูกบาศก์ฟุต เท่ 0.027 ลูลูกบาศก์เมตร เท่ากับ 0.027

ครูกําหนดประเด็นใหนักเรียน รวมกันแสดงความคิดเห็น • ในชีวิตประจําวันของนักเรียน ตองใชความรูเรื่องการเปลี่ยน หนวยหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดทั้ง ใชความรูหรือไมตองใชความ รู เพราะวาประสบการณของ นักเรียนแตกตางกัน) • ความรูเรื่องนี้มีความจําเปนใน การดําเนินชีวิตประจําวันของ คนเราหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ มีความจําเปน เพราะ วา ในชีวิตประจําวันของคนที่ ตองเกี่ยวของกับหนวยวัดที่ตาง ระบบกัน และตองการทราบ ปริมาณใดมากกวากันจํานวน เทาไร เพื่อจะเกิดความเขาใจ ที่ตรงกันและสื่อสารกันได ถูกตอง)

มุมความคิด 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ (30)3 เท่ากับ 27 × 10 103 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ (0.3)3 เท่ากับ 0.027 ลูลูกบาศก์เมตร

ตัวอย่4างที่ จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ 1) 4 ลูลูกบาศก์ฟุตเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร 2) 270 ลูกบาศก์ฟุตเป็นลูกบาศก์เมตร วิธีทำ�

1) เนื่องจาก 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 27 × 103 ลูกบาศก์เซนติเมตร จะได้ 4 ลูกบาศก์ฟุต = 4 × 27 × 103 = 108,000 หรือ = 1.08 × 105 ลูกบาศก์เซนติเมตร ดังนั้น 4 ลูกบาศก์ฟุต = 1.08 × 105 ลูกบาศก์เซนติเมตร

นักเรียนควรรู เปลี่ยนหนวย มีขอสังเกตและควร จดจําดังนี้ • เมื่อตองการเปลี่ยนจากหนวย เล็กกวาไปสูหนวยที่ใหญขึ้นจะ ใชการหารดวยจํานวนที่มีความ สัมพันธระหวางหนวยทั้งสอง • เมื่อตองการเปลี่ยนหนวยจาก หนวยใหญกวาเปนหนวยเล็กลง จะใชคูณดวยจํานวนที่มีความ สัมพันธระหวางหนวยทั้งสอง

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนักเรียนจับคูรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทยขอ ใดในแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.7 หนา 63-64 วาเหมือนกับ ตัวอยางใดที่เรียน 2. นักเรียนนําแนวคิดที่แลกเปลี่ยน กันนําไปใชในการทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.7 จากนั้น นักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2-3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการแกปญหาโจทย

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.7 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.7 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

2) เนื่องจาก 1 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 0.027 ลูกบาศก์เมตร จะได้ 270 ลูกบาศก์ฟุต = 270 × 0.027 = 7.29 ลูกบาศก์เมตร ดังนั้น 270 ลูกบาศก์ฟุต เท่ากับ 7.29 ลูกบาศก์เมตร

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.7

1. จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ให้เป็นหน่วยที่ก�าหนดไว้ในวงเล็บ 1) 8 ลูกบาศก์เซนติเมตร (ลูกบาศก์มิลลิเมตร) 2) 4.2 ลูกบาศก์เซนติเมตร (ลูกบาศก์มิลลิเมตร) มตร กบาศก์เซนติเมตร) 3) 6,000 ลูลูกบาศก์มิลลิเมตร (ลู 4) 9,500 ลู 9,500 ลูกบาศก์มิลลิเมตร (ลู มตร (ลูกบาศก์เซนติเมตร) 5) 7 ลู 7 ลูกบาศก์เมตร (ลู มตร (ลูกบาศก์เซนติเมตร) 8.3 ลูลูกบาศก์เมตร (ลู 6) 8.3 6) มตร (ลูกบาศก์เซนติเมตร) 5,000,000 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร (ลู 7) 5,000,000 มตร (ลูกบาศก์เมตร) 7,800,000 ลูลูกบาศก์เซนติเมตร (ลู 8) 7,800,000 8) มตร (ลูกบาศก์เมตร) 2. จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ให้เป็นหน่วยที่ก�าหนดไว้ในวงเล็บ 1) 44 ลูลูกบาศก์ฟุต (ลู (ลูกบาศก์นิ้ว) 2) 3.5 ลูลูกบาศก์ฟุต (ลู (ลูกบาศก์นิ้ว) 3) 1,728 ลูลูกบาศก์นิ้ว (ลู (ลูกบาศก์ฟุต) 51,840 ลูลูกบาศก์นิ้ว (ลู 4) 51,840 (ลูกบาศก์ฟุต) 5) 691,200 ลูกบาศก์นิ้ว (ลูกบาศก์ฟุต) 3. จงเปลี่ยนหน่วยปริมาตรต่อไปนี้ให้เป็นหน่วยที่ก�าหนดไว้ในวงเล็บ 1) 635,400 ลูกบาศก์เซนติเมตร (ลูกบาศก์ฟุต) 2) 109,377 ลูกบาศก์เซนติเมตร (ลูกบาศก์ฟุต) 3) 7 ลูกบาศก์ฟุต (ลูกบาศก์เซนติเมตร) 4) 12.5 ลูกบาศก์ฟุต (ลูกบาศก์เซนติเมตร)

คูมือครู

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

Engage

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

สํารวจคนหา 65

5) 216 ลูกบาศก์ฟุต (ลูกบาศก์เมตร) 6) 251.1 ลูกบาศก์ฟุต (ลูกบาศก์เมตร) 7) 4.374 ลูกบาศก์เมตร (ลูกบาศก์ฟุต) 8) 5.103 ลูกบาศก์เมตร (ลูกบาศก์ฟุต) 9) 24,300 ลูกบาศก์เมตร (ลูกบาศก์ฟุต) 10) 2,000 ลูกบาศก์เมตร (ลูกบาศก์ฟุต)

ใหนักเรียนจับคูศึกษาบทเรียน หัวขอ 8 หนา 65 รวมแสดงความคิด เห็นวา • เห็นดวยหรือไม กับการทําเปน วิธีและแนวคิด เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดทั้งเห็น ดวยหรือไมเห็นดวย และแสดง ความคิดเห็นอยางหลากหลาย)

นักเรียนควรรู

8. การเลือกใชหนวยปริมาตรและการนําไปใช การเลือกใช้หน่วยปริมาตรโดยทั่วไปจะเลือกใช้ให้เหมาะสมกับขนาดของปริมาตรที่ ต้องการวัด เช่น ขวดบรรจุยาหยอดตาอาจมีหน่วยเป็นมิลลิลิตร แต่ขวดบรรจุน�้าขนาดใหญ่อาจใช้ หน่วยเป็นลิตร กล่องบรรจุของขนาดเล็กก็อาจใช้หน่วยเป็นลูกบาศก์เซนติเมตรหรือลูกบาศก์นิ้ว ถ้าเป็นกล่องบรรจุขนาดใหญ่อาจใช้หน่วยเป็นลูกบาศก์ฟุต หรือลูกบาศก์เมตร เป็นต้น จากการบีบน�้ายาหยอดตาความจุ 15 มิลลิลิตรจะบีบได้ 30 หยด จึงอาจ ประมาณได้ว่า ความจุ 1 มิลลิลิตรเท่ากับน�้ายาที่บีบจากขวดยาหยอดตา 2 หยด

ปัจจุบันนี้ขวดบรรจุน�้าดื่มหรือเครื่องดื่มมีขนาดต่างๆ กัน ดูได้จากสลากที่ปิด เช่น ขวดน�้าดื่มมีปริมาตร 500 ลูกบาศก์เซนติเมตร หรือ 500 500 cc. ((cc. เป็นตัวย่อของ cubic centimetre) หรือ 1 ลิตร หรือ 5 ลิตร เป็นต้น น�้าอัดลมที่บรรจุในขวดพลาสติกจะมีปริมาตร 1.25 ลิตร หรือ 2 ลิตร

มุมความคิด

1 ลิตร เมื่อเทียบหนวยวัดของไทย เทากับ 1 ทะนาน และ 1 เกวียน เทากับ 2,000 ลิตร ความจุ ใชเพื่อแสดงวาภาชนะนั้น บรรจุสิ่งของ (ซึ่งเปนของเหลว) ได ปริมาณเทาใด เชนถังใบนี้จุนํ้าได 5 ลิตร นั่นคือถังใบนี้มีความจุ 5 ลิตร ปริมาตรใชเพื่อแสดงวาปริมาตร ของเหลวที่บรรจุในภาชนะนั้นมี ปริมาณเทาใด @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับหนวย ปริมาตร (กิจกรรมเสริมทักษะ) ที่ http://www.mathsisfun.com/ measure/metric-volume.html

ความจุ 1 ลิตร เท่ากับ 1,000 มิลลิลิตร ความจุ 1 ลิตร เท่ากับ 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความจุ 1 มิลลิลิตร เท่ากับ 1 ลูกบาศก์เซนติเมตร

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู จากตัวอยางที่ 1 และ 2 หนา 66-67 ใหนักเรียนรวมกัน แสดงความคิดเห็น • การเลือกหนวยกับสิ่งของนั้น สัมพันธกันอยางไร (แนวตอบ ถาสิ่งของมีขนาดเล็ก ควรเลือกใชหนวยเล็ก และถามี ขนาดใหญควรเลือกหนวยใหญ เพื่อสะดวกและงายตอการ จดจํา)

ขยายความเขาใจ

ตัวอย่1างที่ พิจารณาว่าควรใช้หน่วยการวัดใดในแต่ละข้อต่อไปนี้จึงจะเหมาะสมพร้อมทั้งอธิบาย เหตุผล 1) ความจุของสระว่ายน�้า 2) ความจุของถ้วยกาแฟ 3) ความจุของขวดยาน�้า 4) ความจุของขวดน�้าส้ม 5) ความจุของแท็งก์น�้าขนาดใหญ่ วิธีทำ�

1) ความจุของสระว่ายน�้าควรใช้หน่วยเป็นลูกบาศก์เมตรเพราะความกว้าง ความยาวของสระน�้านิยมวัดเป็นเมตรและสระว่ายน�้าจุน�้าได้มาก 2) ความจุของถ้วยกาแฟควรใช้หน่วยเป็นมิลลิลติ ร หรือลูกบาศก์เซนติเมตร เพราะถ้วยกาแฟจุน�้าได้ประมาณหนึ่งในสี่ของลิตรซึ่งไม่มาก 3) ความจุของขวดยาน�้า ถ้าเป็นขวดขนาดเล็กและกลางควรใช้หน่วยเป็น 3) มิลลิลิตรร หรื หรือลูกบาศก์เซนติเมตร มตรแต่ถ้าเป็นขวดขนาดใหญ่ควรใช้หน่วย เป็นลิตร 4) ความจุของขวดน�้าส้มถ้าเป็นขวดขนาดเล็กและขนาดกลางควรใช้หน่วย เป็นมิลลิลิตรแต่ แต่ถ้าเป็นขวดขนาดใหญ่ก็ใช้หน่วยเป็นลิตร 5) ความจุของแท็งก์น�้าขนาดใหญ่ ควรใช้หน่วยเป็นลูกบาศก์เมตร เพราะ ตอบ แท็งก์นา�้ จุนา�้ ได้มาก

ตัวอย่2างที่ วัสดุทา� ฝ้าแผ่นหนึง่ ขนาด60 ขนาด 60×60 ตารางเซนติเมตร ขนาด 60 × 60 ตารางเซนติ มตร ถ้าบ้านหลังหนึง่ กว้าง 10 เมตร และ ยาว 12 12 เมตร จะต้องใช้วัสดุท�าฝ้ากี่แผ่น และถ้าวัสดุท�าฝ้าราคาแผ่นละ 31 บาท จะต้องจ่ายเงินค่าวัสดุท�าฝ้ากี่บาท

คูมือครู

วิธีทำ�

เนื่องจาก ความกว้าง 10 เมตร = 10 × 100 = 1,000 เซนติเมตร วัสดุท�าฝ้ากว้าง 60 เซนติเมตร จะต้องใช้ตามความกว้างของบ้าน เท่ากับ 1,000 ÷ 60 = 16.67 ประมาณ 17 แผ่น เนื่องจาก ความยาว 12 เมตร = 12 × 100 = 1,200 เซนติเมตร

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 67

วัสดุท�ำฝ้ำยำว 60 เซนติเมตร จะต้องใช้ตำมควำมยำวของบ้ำน เท่ำกับ 1,200 ÷ 60 = 20 แผ่น จึงต้องใช้วัสดุท�ำฝ้ำทั้งหมด = 17 × 20 = 340 แผ่น ถ้ำวัสดุท�ำฝ้ำรำคำแผ่นละ 31 บำท ดังนั้น จะต้องจ่ำยเงินค่ำวัสดุท�ำฝ้ำ = 340 × 31 = 10,540 บำท

ตอบ

ตัวอย่3างที่ ห้ำงสรรพสินค้ำแห่งหนึ่งโฆษณำขำยน�้ำผลไม้ชนิดกล่องขนำด 250 มิลลิลิตร ขำยเป็น แพ็กแพ็กละ 6 กล่อง รำคำ 102 บำท ส่วนกล่องใหญ่ 1 ลิตร รำคำกล่องละ 61 บำท จำกข้อมูลข้ำงต้นนักเรียนคิดว่ำควรซื้อน�้ำผลไม้ชนิดใดจึงจะประหยัดเงินกว่ำกัน

น�้าผลไม้ 250 มิลลิลิตร แพ็ก 6 กล่อง ราคา 102 บาท

วิธีทำ�

จากตัวอยางที่ 3 ครูตั้งคําถาม • การตอบคําถามในตัวอยางนี้ตอง ใชความรูเ รือ่ งใดบาง เพราะเหตุใด (แนวตอบ การเปลี่ยนหนวย มิลลิลิตรเปนลิตร แลวเปรียบ เทียบราคา) • ขอมูลที่กําหนดไดขอสรุปวา ซื้อนํ้า ผลไมกลองใหญ ประหยัดเงินกวา ถาในครอบครัวนักเรียนมีจํานวน คนดื่มนํ้าผลไม 2 คน นักเรียนคิด วาจะคุมกับจํานวนเงินที่ประหยัด ไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ อาจจะตอบวาคุมเพราะ วาทั้งสองคนชอบดื่มนํ้าผลไม หรือ ตอบวา ไมคุมเพราะวาไดปริมาณ นํ้าผลไมมากเกินความตองการ สําหรับการดื่ม)

น�า้ ผลไม้ 1 ลิตร 1 กล่อง ราคา 61 บาท

6 กล่อง รำคำ ง รำคำ คำ 102 บำท บท บำ น�้ำผลไม้กล่องเล็ก 6 กล่ 102 ำ น�้ำผลไม้กล่องเล็ก 1 กล่อง รำคำ = 17 บำท บำท 6 น�้ำผลไม้กล่องเล็ก 1 กล่อง มีควำมจุ มจุ 250 มิลลิลิตร น�้ำผลไม้กล่องเล็ก 4 กล่อง มีควำมจุ 4 × 250 250 = 1,000 มิลลิลิตร = 1 ลิตร น�้ำผลไม้กล่องเล็ก 4 กล่อง มีควำมจุ 1 ลิตร รำคำ เท่ำกับ 4 × 17 = 68 บำท แต่ผลไม้กล่องใหญ่ 1 กล่อง มีควำมจุ 1 ลิตร รำคำ 61 บำท ในปริมำณควำมจุเท่ำกันรำคำน�้ำผลไม้กล่องใหญ่ถูกกว่ำกล่องเล็ก = 68 - 61 = 7 บำท ดังนั้น ควรซื้อน�้ำผลไม้กล่องใหญ่ เพรำะจะประหยัดเงินได้ 7 บำท

ตอบ

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ ครูกําหนดประเด็นใหนักเรียน รวมกันแสดงความคิดเห็น • ความรูเรื่อง พื้นที่ผิวและ ปริมาตรเกี่ยวของกับชีวิต ประจําวันของนักเรียนอยางไร บาง (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ใหครูพิจารณาความเปน เหตุเปนผลประกอบ) • ถาขาดความรูเรื่องนี้ จะสงผล กระทบตอการนําดําเนินชีวิต ประจําวันของคนเราอยางไร บาง (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ใหครูพิจารณาความเปน เหตุเปนผลประกอบ) 2. ใหนักเรียนจับคูรวมกันหาแนวทาง และวิธีการแกปญหาโจทยในแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.8 หนา 68-70 3. จากนั้นแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจสอบความถูกตอง 4. ครูสุมนักเรียน 3-4 คู ใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการ แกปญหาโจทย

1.8

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่ 1.

30 ซม.

20 ซม

ม.

25 ซ

จากรูป ตู้ปลาท�าด้วยพลาสติกมีความหนา 1 เซนติเมตร จงหา 1) ปริมาตรของน�้าในตู้ปลา เมื่อไม่ได้ใส่วัสดุใดๆ ในตู้ปลาและเติมน�้าเต็มตู้ปลานี้ 2) พื้นที่ผิวด้านนอกของตู้ปลานี้ 2.

1 ม.

12 ม. 2 ม.

4 ม.

จากรูปแสดงหน้าตัดขวางของสระว่ายน�้าแห่งหนึ่ง ถ้าสระว่ายน�้านี้มีความกว้าง 6 เมตร จงหา 1) ปริมาตรของน�้าในสระ 2) ถ้าต้องการเปลีย่ นน�า้ ในสระว่ายน�า้ นี ้ จะต้องใช้เวลานานเท่าไร จึงจะสูบน�า้ ออกหมดสระ เมื่อสูบน�้าได้ 48 ลูกบาศก์เมตรในเวลา 1 ชั่วโมง 3.

3 ซม.

4 ซม.

12 ซม.

7 ซม.

คูมือครู

ทรงสามมิตทิ สี่ ร้างจากทรงกระบอกตัน 2 อัน ดังรูป จงหา 1) พื้นที่ผิวภายนอก 2) ปริมาตรของทรงสามมิตินี้ (ตอบในรูปของ π)

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

ตรวจสอบผล 69

4. เรือนกระจกส�าหรับทดลองปลูกพืชเมืองหนาวหลังหนึง่ ดังรูป จงหาพืน้ ทีข่ องกระจกอย่างน้อย ทีส่ ดุ ในการสร้างเรือนหลังนี ้ ถ้ากระจกราคาตารางเมตรละ 200 บาท จะต้องเสียเงินค่ากระจก ประมาณกี่บาท 3.9 ม

4.5 ม.

6 ม.

4.5 ม. 12 ม.

7.2 ม.

5. รางน�้าฝนรางหนึ่งดังรูป ความยาว 10 เมตร ถ้ถ้ารางนี้มีนา�้ ฝนเต็มจะจุนา�้ ได้อย่างมากที่สุด เท่าไร

40 ซม. 40 ซม. 5 ซม. 5 ซม.

5 ซม. 30 ซม.

6. ถังโลหะทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีขนาดภายนอกเท่ากับ 16 × 28 × 40 ลู 16 × 28 × 40 ลูกบาศก์เซนติเมตร มตร ถ้าถังโลหะนี้หนา 1 เซนติ เซนติเมตร จงหา มตร 1) พื้นที่ผิวภายในถังโลหะนี้ 2) ปริมาณโลหะที่ใช้ท�าถังนี้

ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.8 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.8 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

NET ขอสอบ ป 51 ขอสอบออกโจทยปญหาเกี่ยวกับ การนําความรูเรื่องปริมาตรของทรง กระบอกไปใช โดยโจทยกําหนด • ตองการทําเคกรูปทรงกระบอก ชิ้นหนึ่งที่มีเสนผานศูนยกลาง 28 เซนติเมตร เปนชั้นๆ ดังนี้ ชั้นที่หนึ่ง เปนเนื้อเคกหนา 3 เซนติเมตร ชั้นที่สอง เปนแยมหนา 1 เซนติเมตร ชั้นที่สาม เปนเนื้อเคกหนา 2 เซนติเมตร ชั้นที่สี่ เปนครีมหนา 1.5 เซนติเมตร ถาเนื้อเคก 100 ลูกบาศก เซนติเมตรราคา 10 บาท แยม 100 ลูกบาศกเซนติเมตร ราคา 25 บาท และครีม 100 ลูกบาศกเซนติเมตรราคา 25 บาท ถาตองการกําไรจากการ ขายเคกกอนนี้ 20% จะตองตั้ง ราคาขายเคกกอนนี้ไวกี่บาท 1. 138.60 บาท 2. 693.00 บาท 3. 831.60 บาท 4. 925.40 บาท (แนวคิด หาปริมาตรของเนื้อ เคก แยม และครีมพรอมคิด ตนทุนแตละชนิด แลวนําไปคิด ราคาขายจากที่ตองการกําไร 20% ทุนของเคกกอนนี้ (308 + 154 + 231) = 693 บาท ตองการขายใหไดกําไร 20% ตั้งราคา = 120 × 693 = 831.60 บาท 100 ดังนั้น คําตอบ คือ ขอ 3.) คูมือครู 69

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ ครูสนทนาและซักถามนักเรียน เกี่ยวกับการคาดคะเนที่นักเรียนเคย มีความรูมาแลวใน • เหตุใดตองมีการคาดคะเน (แนวตอบ เพราะวาในบาง สถานการณที่เกี่ยวของกับการ คิดคํานวณ เราตองการคาที่ ใกลเคียงซึ่งเพียงพอจะใชใน การตัดสินใจ) • มีวิธีการคาดคะเนอยางไรบาง (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ใหครูพิจารณาความเปน เหตุเปนผลประกอบ) • ผลที่ไดจากการคาดคะเนเปน อยางไรไดบาง (แนวตอบ การคาดคะเนไดคา ไมเทากัน) • เมื่อไรจึงจะยอมรับวา การคาด คะเนนั้นดีและเหมาะสม (แนวตอบ เมื่อไดคาที่ใกลเคียง มากที่สุด) • นักเรียนคิดวา ประสบการณมี ความสําคัญและจําเปนตอการ คาดคะเนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ มีความสําคัญและ จําเปน เพราะวาประสบการณ จะทําใหเราเลือกวิธีคาดคะเน ไดเหมาะสม ไดผลนําไปชวย ในการตัดสินใจไดดี)

คูมือครู

8. 9.

จากรู ป ขนมเค้ ก ทรงกระบอกสองก้ อ น เส้ น ผ่ า น ศู น ย์ ก ลางของเค้ ก ก้ อ นบนกั บ ก้ อ นล่ า งเป็ น 20 เซนติเมตร และ 26 เซนติเมตร ตามล�าดับ ความสูง ของเค้กก้อนบนและเค้กก้อนล่างเป็น 8 เซนติเมตร และ 12 เซนติเมตร ตามล�าดับ (ก�าหนด π ≈ 227 ) จงหา 1) พื้นที่ผิวด้านนอกของขนมเค้กก้อนนี้ 2) ปริมาตรของเค้กก้อนนี้

แท่งเหล็กทรงกระบอกเจาะตรงกลางออกเป็นแท่งปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งมีความกว้าง 4 เซนติเมตร และความยาว 6 เซนติเมตร โดยแท่งเหล็กมีรัศมีของฐานยาว 10 เซนติเมตร และความสูง 12 เซนติเมตร จงหาปริมาตรของแท่งเหล็กทรงกระบอกนี้ (ก�าหนด π ≈ 3.14) คุณพ่อต้องการท�าห้องน�้าใหม่ ให้มีความกว้าง 2 เมตร ความยาว 3.5 เมตร ความสูง 2.2 เมตร คุณพ่อให้โอตช่วยค�านวณว่าจะต้องใช้กระเบื้องปูรอบผนังห้องน�้าทั้งสี่ด้านกี่แผ่น ถ้าต้องตัดส่วนที่เป็นประตูขนาด 90 × 190 ตารางเซนติเมตรออก โดยคุณพ่อให้ขนาด กระเบื้องมา 2 ขนาด คือ ขนาด 13 × 13 ตารางนิ้ว ราคาแผ่นละ 12 บาทกับขนาด 8 × 10 ตารางนิ้วราคาแผ่นละ 7 บาท ตามล�าดับ คุณพ่อควรใช้กระเบื้องขนาดใดจึงจะประหยัด ค่าใช้จ่ายและประหยัดได้กี่บาท

9. การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัดในสถานการณตางๆ นักเรียนทราบแล้วว่าในการตัดสินใจบางเรือ่ งทีต่ อ้ งการความรวดเร็ว และต้องการเพียง ค่าใกล้เคียงที่เพียงพอจะใช้ประกอบการตัดสินใจได้ อาจใช้การคาดคะเน ซึ่งค่าที่ได้จากการคาด คะเนอาจมากกว่าหรือน้อยกว่าที่ได้จากการใช้เครื่องมือวัดเรียกค่าที่มากกว่าหรือน้อยกว่านี้ว่า ค่าความคลาดเคลื่อน การคาดคะเนจะมีความคลาดเคลื่อนมากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กับประสบการณ์ แนวคิด หรือรูปแบบที่ใช้ประกอบการตัดสินใจ กิจกรรมที่ 1 ให้นกั เรียนคาดคะเนสิง่ ต่างๆ ในห้องเรียนทีก่ า� หนด แล้วเปรียบเทียบกับค่าทีค่ า� นวณได้ จากการวัด พร้อมทั้งหาค่าความคลาดเคลื่อนจากการคาดคะเน

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

Engage

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

สํารวจคนหา 71 รายการ

ค่าที่ค�านวณได้ จากการคาดคะเน

ค่าที่ค�านวณได้ จากการวัด

ค่าความ คลาดเคลื่อน

1. พื้นที่ผิวด้านบนของโตะเรียน 2. พื้นที่ของพื้นห้องเรียน 3. พื้นที่ฝาห้องเรียน 4. ปริมาตรของห้องเรียน 5. ปริมาตรของกล่องใส่ดินสอทรงสี่เหลี่ยม มุมฉาก

อธิบายความรู

กิจกรรมที่ 2 ให้นักเรียนปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้ 1. จัดหาสิ่งต่างๆ ดังนี้ แก้วน�้าทรงกระบอก กรวยและลูกบอลพลาสติก 2. คาดคะเนปริมาตรของสิง่ ต่างๆ ในข้อ 1 แล้วเปรียบเทียบกับค่าทีค่ า� นวณได้ จากการวัด พร้อมทั้งหาค่าความคลาดเคลื่อน รายการ

ครูใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็นเกี่ยวกับขอความนี้ “การคาดคะเนจะมีความคลาด เคลื่อนมากนอยเพียงใดขึ้นอยู กับประสบการณ” จากนั้นใหนักเรียนทํากิจกรรมที่ 1 และ 2

ค่าที่ค�านวณได้ จากการคาดคะเน

ค่าที่ค�านวณได้ จากการวัด

ค่าความ คลาดเคลื่อน

หลังจากนักเรียนทํากิจกรรมที่ 1 และกิจกรรมที่ 2 หนา 70-71 เสร็จ แลว ครูใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็นวา • กิจกรรมใดคาดคะเนไดงายกวา และไดคาคลาดเคลื่อนนอยกวา เพราะเหตุใดจึงเปนเชนนั้น (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูและ ประสบการณของนักเรียน)

1. แก้วน�้าทรงกระบอก 2. กรวย 3. ลูกบอลพลาสติก

จากกิจกรรมที่ 1 จะพบว่าเป็นการคาดคะเนพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และคาดคะเน ปริมาตรของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก และจากกิจกรรมที่ 2 จะพบว่า เป็นการคาดคะเนปริมาตรของ ทรงกระบอก กรวย และทรงกลม แต่สิ่งต่างๆ ที่อยู่รอบตัวเรานั้น ส่วนใหญ่มีลักษณะคล้ายรูป เรขาคณิตสามมิติ เช่น ส้ม ขนมเทียน โทรศัพท์มือถือ เป็นต้น การคาดคะเนพื้นที่ผิวหรือปริมาตร ของสิ่งที่มีลักษณะคล้ายรูปเรขาคณิตสามมิติ แต่รูปเรขาคณิตต่างชนิดกัน การคาดคะเนอาจท�าได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

Engage

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา ครูนําภาชนะรูปทรงในลักษณะดัง ภาพ หรืออาจจะแตกตางก็ไดตาม ความเหมาะสม ใหนักเรียนพิจารณา แนวทางหรือแนวคิดในการคาดคะเน (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูและประสบการณ ซึ่งแนวคิดของนักเรียนอาจจะ แตกตางจากที่นําเสนอ)

อธิบายความรู 1. ครูใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะห โจทยวา • แตละตัวอยางจะใชความรูใด หรือประสบการณใดมาคาด คะเน เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลายตามพื้นความรู และ ประสบการณของนักเรียน) 2. ครูควรใหนักเรียนชวยกันแสดง ความคิดเห็น 3. ครูอธิบายเพิ่มเติม โดยรวมกัน สรุปจากตัวอยางที่นําเสนอ

คูมือครู

ให้นักเรียนพิจารณาภาพของภาชนะต่อไปนี้

จากภาพ ถ้านักเรียนต้องการคาดคะเนพืน้ ทีผ่ วิ หรือปริมาตรของภาชนะเหล่านี ้ นักเรียน มีแนวคิดหรือวิธีการคิดอย่างไรได้บ้าง ให้นักเรียนศึกษาแนวคิดการคาดคะเนพื้นที่ผิวและปริมาตร จากตัวอย่างต่อไปนี้ ตัวอย่1างที่ จงบอกวิธีการคาดคะเนความจุ และพื้นที่ผิวของแจกันที่ก�าหนด แนวคิด แจกันแต่ละใบมีลกั ษณะคล้ายทรงกลม ดังนัน้ การคาดคะเน ความจุและพื้นที่ผิวของแจกันแต่ละใบ ท�าได้โดยคาดคะเน รัศมีของแจกัน แล้วค�านวณปริมาตรจากสูตร 43 πr3 และ ค�านวณพื้นที่ผิวจากสูตร 4 πr2 ตัวอย่2างที่ จงบอกวิธกี ารคาดคะเนความจุ และพืน้ ทีผ่ วิ ของภาชนะบรรจุนา�้ ผลไม้ ดังรูป แนวคิด ภาชนะบรรจุนา�้ ผลไม้น ี้ มีลกั ษณะเป็นปริซมึ สีเ่ หลีย่ มคางหมู E D F มี ABGF ABGF เป็ เป็นฐาน ดังนัน้ การคาดคะเนความจุจะต้องคาด G AB FG, EF และระยะห่างระหว่าง คะเนความยาวของ AB, AB และ FG แล้วค�านวณหาความจุจากสูตร พื้นที่ฐานคูณ C A ความสูง B การคาดคะเนพืน้ ทีผ่ วิ ต้องคาดคะเนความยาวด้าน AF อีกหนึง่ ด้าน แล้วด�าเนินการดังนี้ 1. หาพื้นที่ผิวข้างจากสูตร ความยาวรอบฐาน × ความสูง (EF) 2. หาสองเท่าของพื้นที่ฐาน 3. หาพื้นที่ผิว โดยหาผลรวมของพื้นที่จากข้อ 1. และข้อ 2.

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 73 ตัวอย่างที่

จงคาดคะเนความจุของแจกันที่ก�าหนด แนวคิด พิจารณารูปแจกันที่ก�าหนดประกอบด้วย 2 ส่วน ส่วนบนมีลักษณะคล้ายทรง กระบอก ส่วนล่างมีลักษณะคล้ายทรงกลม ดังนั้นการคาดคะเนความจุของ แจกันนี้ ต้องคาดคะเนจากส่วนบน และส่วนล่างดัังนี้ ส่วนบน ส่วนล่าง

ส่วนบน ค าดคะเนรั ศ มี ข องปากแจกั น และความสู ง แล้ ว ค�านวณความจุจากสูตร πr2h ส่วนล่าง คาดคะเนรัศมีแล้วค�านวณความจุจากสูตร 43 πr3 แล้ว หาค่าคาดคะเนของความจุของแจกันใบนี้ โดยน�าค่า คาดคะเนความจุจากส่วนบนรวมกับค่าคาดคะเนความ จุจากส่วนล่าง

1. ใหนักเรียนหาตัวอยางภาชนะหรือ สิ่งของที่ใชในชีวิตประจําวัน ที่แตกตางจากตัวอยางที่ 1 ถึง 4 และใหใชคาดคะเนความจุของ ภาชนะเหลานั้น พรอมตรวจสอบ คาคาดคะเนโดยการปฏิบัติ 2. ใหนําเสนอแนวคิดหรือวิธีการที่ แตกตางจากตัวอยางที่ 1 ถึง 4 และจัดทํารายงานบนกระดาษ A4 สงครูผูสอน

ตัวอย่4างที่ จงคาดคะเนปริมาตรของน�้าเป็นหน่วยลูกบาศก์เซนติเมตรในหลอดแก้วจากภาพ แนวคิด การหาปริมาตรของน�า้ ในหลอดแก้ว ส่วนบนมีลกั ษณะเป็น ทรงกระบอกส่วนล่างมีลักษณะคล้ายครึ่งทรงกลม ดังนั้น การคาดคะเนความจุของน�้าในหลอดแก้ว จะต้องคาดคะเน จาก 2 ส่วน คือคาดคะเนปริมาตรของน�้าจากส่วนบนของ ส่วนบน หลอดแก้ว ต้องคาดคะเนรัศมีและความสูงของระดับน�้า แล้วค�านวณหาปริมาตรน�้าจากสูตร πr2h ส่วนล่าง

การคาดคะเนปริมาตรของน�้าจากส่วนล่างของหลอดแก้วโดยใช้สูตร 23 πr3 การคาดคะเนปริมาตรน�้าทั้งหมด โดยการน�าค่าคาดคะเนจากส่วนบนรวมกับค่าคาด คะเนจากส่วนล่าง

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M3/05

EB GUIDE

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนักเรียนจับคูรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทยขอ ใดในแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.9 เหมือนกับตัวอยางใดที่ เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดที่แลกเปลี่ยน กันนําไปใชในการทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.9 จากนั้น นักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนกัน ตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2-3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการ แกปญหาโจทย

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.9

1. ให้คาดคะเนสิ่งต่างๆ ที่ก�าหนด แล้วเปรียบเทียบกับค่าที่ได้จากการวัดพร้อมทั้งหาค่า ความคลาดเคลื่อนจากการคาดคะเน รายการ

ค่าที่ค�านวณได้ จากการคาดคะเน

ค่าที่ค�านวณได้ จากการวัด

ค่าความ คลาดเคลื่อน

1. พื้นที่ของหน้าปกหนังสือคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 2. พื้นที่ฝาตู้เย็นในบ้าน 3. พื้นที่ของวัสดุที่ใช้ท�าลูกปิงปอง 4. พื้นที่ของธนบัตรหนึ่งร้อยบาท 1 ฉบับ 5. ปริมาตรของตู้เย็นในบ้าน 6. ปริมาตรของมะนาว นไข 1 เล่ม 7. ปริมาตรของเทียนไข 1 เล่ บาท 1 เหรียญ 8. ปริมาตรของเหรียญสิบบาท 1 เหรี 9. ปริมาตรของหม้อหุงต้ม 1 ใบ 1 ใบ ง 1 โหล 10. ปริมาตรของนมกล่อง 1 โหล

2. สุ สุปัญญาต้องบริโภคน�้าส้มทุกวัน จึงต้องการตรวจสอบว่าปริมาณน�้าส้มที่เท่ากันของน�้าส้ม ส�าเร็จรูปกับน�า้ ส้มที่คั้นเอง เอง น�น�้าส้มแบบใดประหยัดเงินได้มากกว่า จึงได้ส�ารวจราคาขายส้ม เขียวหวาน พบว่า ส้มเขียวหวานราคากิโลกรัมละ 45 บาท เมื่อน�าส้มเขียวหวาน 1 กิโลกรัม มาคั้นน�้าจะได้น�้าส้มปริมาตร 600 มตร แต่น�้าส้มเขียวหวานคั้นส�าเร็จรูป าตร 600 ลูกบาศก์เซนติเมตร 100% ราคาลิตรละ 72 บาท นักเรียนคิดว่า สุปัญญาควรเลือกซื้อน�้าส้มเขียวหวานคั้น ส�าเร็จรูป 100% หรือซื้อส้มเขียวหวานสดมาคั้นเอง จึงจะคุ้มค่า โดยใช้ความรู้เรื่องการคาด คะเนมาช่วยในการตัดสินใจ (เมื่อก�าหนดให้คุณค่าทางโภชนาการของน�้าส้มเขียวหวานคั้น ส�าเร็จรูป 100% และน�้าส้มเขียวหวานคั้นสดไม่แตกต่างกัน)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Engage

Explore

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ตรวจสอบผล 75

3. จงบอกวิธีการคาดคะเนพื้นที่ผิวและปริมาตรในแตละขอตอไปนี้ 1)

ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.9 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.9 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

พื้นฐานอาชีพ

ครูแนะนํานักเรียนวาความรู เกี่ยวกับพื้นที่ผิว และปริมาตรเปน ความรูพื้นฐานที่นําไปประกอบอาชีพ ตางๆ เชน นักออกแบบบรรจุภัณฑ สถาปนิก วิศวกร เปนตน ถานักเรียน สนใจจะประกอบอาชีพเหลานี้ ควร ศึกษาเนื้อหาเรื่องนี้ใหเขาใจและฝก ทักษะการคํานวณใหเชี่ยวชาญ จะไดเปนพื้นฐานความรูสําหรับ นําไปใชตอไป

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. แบงกลุมนักเรียน ใหแตละกลุม รวมกันสรางบรรจุภัณฑทรงสาม มิติ มา 1 ชิ้น 2. แตละกลุม บอกรายละเอียดขัน้ ตอน การสรางบรรจุภัณฑและวัสดุที่นํา มาใช 3. จากนั้นแตละกลุมรวมกันออกแบบ สรางสรรคบรรจุภัณฑใหสวยงาม และนําสงครูผูสอน

ตรวจสอบผล

76 กิจกรรมเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

(มีความสามารถในการแกปญ หา มีความคิดริเริม่ สรางสรรค เชือ่ มโยงความรูต า งๆ ทางคณิตศาสตร กับศาสตรอื่นๆ)

ทรงสามมิติใดมีความจุมากที่สุด

35 ʹʹ

ปัจจุบันการออกแบบบรรจุภัณฑ์ต่างๆ มีความส�าคัญอย่าง ่ รี ปู ทรงหลากหลายปรากฏ 21ʹʹ มาก ซึง่ ส่งผลให้เกิดการสร้างสรรค์งานทีม ให้เห็น เช่น กล่องนม ลังผลไม้ อาหารกระปอง เป็นต้น สมมติว่ามีกระดาษ 21 นิ้ว × 35 นิ้ว อยู่ 1 แผ่นต้องการสร้างทรงสามมิติ เช่น ทรงกระบอก ปริซึมสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้า ปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เป็นต้น นักเรียนคิดว่าจะใช้กระดาษแผ่นนีส้ ร้างพืน้ ทีผ่ วิ ด้านข้างทรงสามมิตทิ รงใดทีม่ คี วามจุมากทีส่ ดุ แนวคิด เ นื่องจากกระดาษมีความยาว 35 นิ้ว ควรใช้ด้านนี้เป็นความยาวรอบฐานของทรง สามมิติ และด้านซึ่งมีความกว้าง 21 นิ้ว ก็จะเป็นความสูงของทรงสามมิติ จากปริมาตรของทรงสามมิติ เท่ากับ ผลคูณของพื้นที่ฐานกับความสูง ดังนั้น เราจึงเปรียบเทียบเฉพาะพื้นที่ฐานของแต่ละทรงก็จะทราบค�าตอบ

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 77

ตัวอย่างเช่น 1. ปริซมึ สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั มีความยาวเส้นรอบฐาน เท่ากับ 35 นิว้ แบ่งเป็นสีส่ ว่ นเท่าๆ กัน จะได้ความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ 354 = 8.75 ดังนั้น พื้นที่ฐานของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เท่ากับ 8.75 × 8.75 = 76.5625 ตารางนิ้ว 2. ปริซึมสามเหลี่ยม หาความยาวของด้านสามเหลี่ยมด้านเท่าได้ เท่ากับ 11.67 ดังนั้น พื้นที่ฐานเท่ากับ 43 (11.67)2 ≈ 58.97 ตารางนิ้ว 3. ทรงกระบอก หาความยาวของรัศมีของเส้นรอบวงของวงกลมได้ ให้ 2πr = 35 r = 235π ≈ 5.57 ดังนั้น พื้นที่ฐาน เท่ากับ π(5.57)2 ≈ 97.51 ตารางนิ้ว จากการค�านวณทรงสามมิตทิ งั้ 3 แบบ สามารถสรุปได้วา่ ทรงกระบอกมีความจุมากทีส่ ดุ นักเรียนคิดว่าบรรจุภัณฑ์ที่ปรากฏอยู่รอบตัวเรา ท�าไมจึงมีรูปแบบแตกต่างกัน เป็นเพราะเหตุใด

ครูใหนักเรียนรวมกันอภิปรายและ แสดงความคิดเห็นวา • รูปเรขาคณิตสามมิติมีสวน เกี่ยวของกับการออกแบบ บรรจุภัณฑ ผลิตภัณฑหรือ สิ่งของตางๆ อยางไร และ กอใหเกิดประโยชนอยางไรบาง (แนวตอบ คําตอบมีไดหลาก หลายตามพื้นฐานความรูและ ประสบการณของนักเรียน)

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ ปริมาตรของพีระมิดและกรวย (กิจกรรมเสริมทักษะ) ที่ http://www.redmond.k12. or.us/14552011718214563/ lib/14552011718214563/ Lesson_10.3.pdf

¶้าต้องการสร้างทรงสามมิติดังรูป A และ B ให้มีความจุ 250 cc. และมีความสูง 10 เซนติเมตร นักเรียนคิดว่าทรงสามมิติ แบบใดจะประหยัดกระดาษมากกว่ากัน

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน แตกลุมคละความสามารถรวมกัน แลกเปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทย ขอใดในแบบฝกหัดประจําหนวย การเรียนรูที่ 1 หนา 78-80 เหมือน และสอดคลองกับตัวอยางใดที่ เรียนมา 2. นักเรียนแตละกลุมนําแนวคิดและ วิธีการที่ไดจากการรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นไปใชในการ แกปญหาโจทยในแบบฝกหัดฯ หนา 78 3. นักเรียนในกลุมรวมกันตรวจสอบ ความถูกตองในแบบฝกหัดฯ หนา 78 @

แบบฝึกหัด

ประจ�าหน่วยการเรียนรู้ที่

1. จงหาพื้นที่ผิวด้านนอกและปริมาตรของทรงสามมิติต่อไปนี้ 1) 2) 2 ซม. 1 ซม.

2 ซม. ม.

2 ซ

. 4 ซม ซม. 2

2 ซม.

2 ซม. 2 ซม.

2 ซม.

2. จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของแท่งปริซึมตัน แต่ละข้อต่อไปนี้ 1) 2)

3 ซม.

มุม IT ม. 3 ซ

12 ซม.

66 ซม. ซม.

ม. 4 ซ

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวและปริมาตร (แบบฝกเสริมทักษะ) ไดที่ http://www.vcharkarn.com/ vcafe/164962

เกร็ดแนะครู กอนใหนักเรียนทําแบบฝกหัด ประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 นักเรียน ควรรวมกันทบทวนความรูที่เรียนมา และใหนักเรียนชวยกันเสนอแนวคิด แนวทาง และวิธีการที่เหมาะสม เพื่อแกปญหาโจทยนั้นๆ

3 ซม. 6 ซม.

5 ซม.

คูมือครู

6 ซม.

ม.

12 ซ

ม.

10 ซ

3 ซม. 5 ซม.

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 79

3. จงหาพื้นที่ผิวของลูกบาศก์ซึ่งมีปริมาตร 64 ลูกบาศก์นิ้ว 4. ปริซึมสี่เหลี่ยมผืนผ้าแท่งหนึ่งยาว 4 หน่วย และความกว้างกับความยาวของฐานเท่ากับ 2 หน่วย และ 3 หน่วย ตามล�าดับ จงหาพื้นที่ผิวและปริมาตรของปริซึม 5. รัศมีของฐานทรงกระบอกตันเท่ากับ 2 นิ้ว และความสูง 3 นิ้ว จงหา 1) ปริมาตร 2) พื้นที่ผิวข้าง 3) พื้นที่ผิว (ก�าหนด π ≈ 3.14)

6. ภาคภูมิเทน�้า 8 ลิตร ลงในถังทรงกระบอกที่ว่างเปล่า ซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 20 เซนติเมตร จงหาความสูงของน�้าในถัง ก�าหนดให้ π ≈ 227 ตอบในรูปเศษส่วน

(

1. นักเรียนแตละกลุมนําแนวคิดและ วิธีการที่ไดจากการรวมกันแลก เปลี่ยนความคิดเห็นไปใชในการ แกปญหาโจทยในแบบฝกหัดฯ หนา 79 2. นักเรียนในกลุมรวมกันตรวจสอบ ความถูกตองในแบบฝกหัดฯ หนา 79

)

7. พื้นที่ผิวข้างของทรงกระบอกเท่ากับ 880 ตารางเซนติเมตร และถ้าทรงกระบอกนี้สูง 10 เซนติเมตร จงหาความยาวเส้นรอบรูปของฐานและพื้นที่ฐานของทรงกระบอกนี้ (ตอบในรูปของ π)

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นที่ ผิวและปริมาตร (แบบฝกเสริมทักษะ) ไดที่ http://www.thaicadet.org/ StudyOnline/math02.html

เซนติเมตร 10 เซนติเมตร มตร 8. ท่อทรงกระบอกยาว 30 เซนติ มตร มีมีความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก ลางภายนอก 10 เซนติ 3.14) จงหา และหนา 2 เซนติเมตร (ก�าหนดให้ π ≈ 3.14) จงหา 1) พื้นที่ผิวภายนอก 2) พื้นที่ผิวภายใน 3) ปริมาตรของวัสดุที่ใช้ท�าท่อ 9. มานิตต้องซื้อผ้าใบมาท�าหลังคาเต็นท์มีความกว้าง 7 เมตร ความยาว 24 เมตร มี 7 เมตร ความยาว 24 เมตร ลักษณะ เป็นทรงกระบอกผ่าครึ่ง มานิตจะต้องซื้อผ้าใบท�าหลังคาอย่างน้อยกี่ตารางเมตร ารางเมตร ก�าหนดให้ π ≈ 227 10. หมอนขวานใบหนึ่งมีความยาวฐาน วามยาวฐาน 12 นิ้ว ด้านประกอบมุม หมอนขวานมีลักษณะเป็น ยอดยาว 10 นิ้ว หมอนมีความยาว 16 นิ้ว สิริโชคต้องการมอบ ปริซึมสามเหลี่ยมหน้าจั่ว หมอนขวานใบนี้ให้แด่คุณย่าเนื่องในโอกาสวันเกิดครบ 72 ปี สิริโชคต้องใช้กระดาษห่อของขวัญที่มีพื้นที่อย่างน้อยเท่าใด

(

)

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Engage

Explore

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการ ทําแบบฝกหัดประจําหนวยการ เรียนรูที่ 1 (ดูเฉลยแบบฝกหัดประจําหนวย การเรียนรูที่ 1 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

NET ขอสอบ ป 51 ขอสอบออกโจทยปญหาเกี่ยวกับ การนําความรูเรื่องทรงกระบอกไปใช โดยโจทยกําหนด • ถั ง นํ้ า ทรงกระบอกและกรวยมี ความสูงและมีเสนผานศูนยกลาง เทากัน โดยมีความสูง 15 เซนติเมตร ถ า ใช ก รวยตั ก นํ้ า ให เ ต็ ม พอดี แลวเทใสถังทรงกระบอก จงหา วาระดับนํา้ ในถังทรงกระบอกจะ สูงกี่เซนติเมตร 1. 3 เซนติเมตร 2. 5 เซนติเมตร 3. 10 เซนติเมตร 4. 15 เซนติเมตร (แนวคิด ปริมาณของกรวย เทากับ 13 ของปริมาณของทรง กระบอก เมื่อกรวยและทรง กระบอกมีความสูงเทากันและ เสนผานศูนยกลางเทากัน จะไดปริมาตรของกรวย = 13 πr2 × 15 = 5 πr2 แตปริมาตรของทรงกระบอก = πr2h πr2h = 5 πr2 จะได h = 5 นั่นคือ ระดับนํ้าในถังทรง กระบอกสูง 5 เซนติเมตร ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2.)

11. ช่างท�าลูกตุ้มเหล็กส�าหรับยกน�้าหนัก น�าเหล็กตันทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก มีความกว้าง 20 เซนติเมตร ความยาว 24 เซนติเมตร หนา 12 เซนติเมตร มาหล่อเป็นลูกตุ้มทรงกลมที่มี เส้นผ่านศูนย์กลางยาว 7 เซนติเมตร ช่างท�าลูกตุ้มจะหล่อลูกตุ้มได้อย่างมากที่สุดกี่ลูก ก�าหนดให้ π ≈ 227

(

12. 13.

)

5 ซม.

8 ซม.

20 ซม. A

h ซม.

B สีสเปรย์กระปองสองยีห่ อ้ ออกแบบฝาครอบ ต่างกัน แบบ แบบ A ฝาครอบเป็ AA ฝาครอบเป็ ฝาครอบเป็นรูปครึง่ ทรงกลม แบบ B ฝาครอบเป็ น รู ป ทรงกระบอก จงบอกวิธกี ารคาดคะเนปริมาตรและพืน้ ทีผ่ วิ ของกระปองทั้งสองใบ

หลักฐาน แสดงผลการเรียนรู • บรรจุภัณฑทรงสามมิติ • แบบฝกหัดประจําหนวยการเรียนรูที่ 1

คูมือครู

ทรงกระบอก A มีเส้นผ่านศูนย์กลางของฐานยาว 5 เซนติเมตร สูง 20 เซนติเมตร มีน�้าบรรจุเต็ม เทลงในทรงกระบอก B ซึ่งมีเส้นผ่านศูนย์กลาง ของฐาน 8 เซนติเมตร จงหาความสูงของน�้าใน ทรงกระบอก B