8858649121424

คูมือครู 㪌»ÃСͺ¡ÒÃÊ͹ËÇÁ¡Ñº

˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ ©ºÑº Í- .

·Õè ȸ. ¨Ð»ÃСÒÈÃÒ¡Òú¹àÇçºä«µ µÑé§áµ‹ Á. ¤. ’55 ໚¹µŒ¹ä»

ภาพปกนี้มีขนาดเทากับหนังสือเรียนฉบับจริงของนักเรียน

เอกสารประกอบคูมือครู

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร

รายวิชา

คณิตศาสตร เลม 2

ู ร ค หรับ

สํา

ชั้นมัธยมศึกษาปที่

เอกสารหลักสูตรแกนกลางฯ ’51 ประกอบดวย ● ● ● ● ●

●

คําแนะนําการใชคูมือครู แถบสี/สัญลักษณที่ใชสื่อความหมายในคูมือครู ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง คําอธิบายรายวิชา ตารางวิเคราะหเนื้อหากับมาตรฐานการเรียนรู และตัวชี้วัด เฉลยกิจกรรมสําหรับครู ตารางแสดงความแตกตางระหวาง “ คูมือครู ” กับ “ หนังสือเรียน * ”

ความแตกตาง

ขนาดตัวอักษร ปกดานหลัง ระบบการจัดพิมพ สวนเสริมดานหนา

คูมือครู ยอลงจากปกติ 20%

พิมพ 4 สี มี เอกสารหลักสูตร คําอธิบายรายวิชา มี กิจกรรมแบบ 5E ความรูเสริมสําหรับครู พิมพสอดแทรกไวตลอดทั้งเลม ●

หนังสือเรียน ขนาดปกติ 100% : ตัวอักษรใหญกวา ที่พิมพในคูมือครูนี้ มีใบอนุญาต/ใบประกันคุณภาพ พิมพ 4 สี

-

●

เนื้อหาในเลม

● ●

* ที่ ศธ. อนุญาตใหโรงเรียนใชได

มีเฉพาะเนื้อหาสาระตามที่ ศธ. อนุญาตฯ/สนพ.ประกันคุณภาพ

3

คําแนะนําการใชคูมือครู

: การจัดการเรียนรูสูหองเรียนคุณภาพ

คูมือครู คณิตศาสตร ม.3 เลม 2 จัดทําขึ้นเพื่ออํานวยความสะดวกแกครูผูสอนในการวางแผนและเตรียม การสอนโดยใชหนังสือเรียน คณิตศาสตร ม.3 เลม 2 ของบริษัท อักษรเจริญทัศน อจท. จํากัด เปนสื่อหลัก เสร�ม (Core Material) ประกอบการออกแบบกิจกรรมการเรียนรูใ หสอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูแ ละตัวชีว้ ดั กลุม สาระ 2 การเรียนรู คณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 โดยจัดทําตามหลักการสําคัญ ดังนี้

1. ออกแบบการสอนเปนหนวยการเรียนรูอิงมาตรฐาน คูมือครู รายวิชา คณิตศาสตร ม.3 จัดทําเปนหนวยการเรียนรูตามลําดับสาระการเรียนรูที่ระบุไวใน มาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัด แตละหนวยจะกําหนดเปาหมายการสอนและจุดประสงคการเรียนรู (Objective Learning) กิจกรรมการเรียนรู (Learning Activities) และแนวทางการประเมินผลการเรียนรู (Learning Evaluation) ไวชัดเจน ครูผูสอนสามารถจัดทําแผนการสอนใหครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปน เปาหมายการเรียนรูของแตละหนวยการเรียนรู (ตามแผนภูมิ) และสามารถบันทึกผลการจัดการเรียนการสอนได อยางมั่นใจ สภ

าพ

ผู

จุดป

น

ระส

เรีย

งค



ก

รู รียน เ ร า

มาตรฐานการเรียนรู ตัวชี้วัดชั้นป

ทักษะการคิด การวัดประเมินผล การเรียนรู

กิจกรรมการเรียนรู

เทคนิคการสอน

แผนภูมิแสดงองคประกอบของการออกแบบการเรียนรูอิงมาตรฐานและเนนผูเรียนเปนสําคัญ

2. การจัดการเรียนรูที่ยึดผูเรียนเปนสําคัญ แนวคิดในการจัดการเรียนการสอนที่ยึดผูเรียนเปนสําคัญ พัฒนามาจากปรัชญาและทฤษฎีการเรียนรู Constructivism ที่เชื่อวาการเรียนรูเปนกระบวนการที่เกิดขึ้นภายในสมองของผูเรียนแตละคน ผูเรียนเปนผูสราง ความรูโดยการเชื่อมโยงระหวางสิ่งที่ไดพบเห็นกับความรูหรือประสบการณเดิมที่มีอยู คูม อื ครู

ทฤษฎีนี้มีความเชื่อวา นักเรียนทุกคนไดเรียนรูและมีความรูความเขาใจสิ่งตางๆ ติดตัวมากอนที่จะเขาสู หองเรียน ซึง่ เปนการเรียนรูท เี่ กิดจากบริบทและสิง่ แวดลอมรอบตัวนักเรียนแตละคน ดังนัน้ การจัดกระบวนการเรียนรู เสร�ม ในแตละบทเรียน ผูสอนจะตองคํานึงถึง

3

1) ความรูเดิมของนักเรียน การสอนที่ดีจึงตองเริ่มตนจากจุดที่วา นักเรียนมีความรูอะไรมาบาง แลวจึงให ความรูห รือประสบการณใหมเพือ่ ตอยอด จากความรูเดิม

2) ความรูเ ดิมของนักเรียนถูกตอง หรือไม ผูสอนตองปรับเปลี่ยนความรู ความเขาใจเดิมของนักเรียนใหถูกตอง และเปนพฤติกรรมการเรียนรูใหมที่มี คุณคาตอนักเรียน เพื่อสรางเจตคติหรือ ทัศนคติที่ดีตอการเรียน

3) นั ก เรี ย นสร า งความหมาย สําหรับตนเอง ผูสอนตองสงเสริมให นักเรียนนําขอมูลความรูที่ไดไปลงมือ ปฏิ บั ติ และประยุ ก ต ใ ช ค วามรู  อ ย า ง ถู ก ต อ ง ในบริ บ ทที่ เ ป น จริ ง ของชี วิ ต นักเรียน เพื่อขยายความรูใหลึกซึ้งและ มีคุณคาตอตัวนักเรียนมากที่สุด

แนวคิด Constructivism เนนใหผเู รียนสรางความรูโ ดยผานกระบวนการคิดและความอยากรูข องตนเอง โดยมีผูสอนเปนผูสรางบรรยากาศการเรียนรูและกระตุนความสนใจ คอยจัดสถานการณใหผูเรียนเกิดความ ขัดแยงทางความคิดระหวางประสบการณเดิมกับประสบการณความรูใ หม ผูเ รียนจะพยายามปรับขอมูลใหม กับประสบการณที่มีอยูเดิม แลวสรางเปนความรูใหมหรือแนวคิดใหม ให ๆ ไดดวยตนเอง

3. การบูรณาการกระบวนการคิด การเรียนรูข องนักเรียนแตละคนจะเกิดขึน้ ทีส่ มอง ซึง่ ทําหนาทีร่ คู ดิ ภายใตสภาพแวดลอมทีเ่ อือ้ อํานวยและได รับการกระตนุ จูงใจอยางเหมาะสมสอดคลองกับสภาพจิตใจและความตองการของนักเรียน การจัดกระบวนการเรียนรู และสาระการเรียนรูท มี่ คี วามหมายตอผูเ รียน จะชวยกระตนุ ใหสมองรับรูแ ละสามารถเรียนรูไ ดอยางมีประสิทธิภาพ ตามขั้นตอนการทํางานของสมอง ดังนี้ 1) สมองจะเรียนรูและสืบคนโดย 2) สมองจะแยกแยะคุ ณค าของ การสังเกต คนหา ซักถาม และทดลอง สิง่ ตางๆ โดยการลงมติ ตัดสินใจ วิพากษ ปฏิบัติ จนคนพบความรูความเขาใจได วิจารณ แสดงความคิดเห็น ยอมรับหรือ อยางรวดเร็ว ตอตานตามอารมณความรูสึกที่เกิดขึ้น ในขณะที่เรียนรู

3) สมองจะประมวลเนื้อหาสาระ โดยการสรุปเปนความคิดรวบยอดจาก เรื่องราวที่ไดเรียนรูใหมนําไปผสมผสาน กับความรูหรือประสบการณเดิมที่ถูกจัด เก็บอยูในสมอง ผานการกลั่นกรองเพื่อ สังเคราะหเปนความรูความเขาใจใหมๆ หรือเปนเหตุผลทัศนคติใหมที่จะฝงแนน ในสมองของผูเรียน คูม อื ครู

เสร�ม

การเรียนรูที่มีประสิทธิภาพจึงตองเปนการเรียนรูที่เกิดจากกระบวนการคิดของผูเรียน เพราะการเรียนรูจะ เกิดขึ้นเมื่อสมองรูคิด และตองเปนการคิดไดครบถวนตามขั้นตอนการทํางานของสมองผูเรียน โดยเริ่มตนจาก

4

1) ระดับการคิดขั้นพื้นฐาน ไดแก 2) ระดับลักษณะการคิด ไดแก 3) ระดับกระบวนการคิด ไดแก การสังเกต การจําแนก การคาดคะเน การคิดกวาง คิดลึกซึ้ง คิดหลากหลาย กระบวนการคิ ด อย า งมี วิ จ ารณญาณ การสื่อความหมาย การรวบรวมขอมูล คิดไกล คิดคลอง คิดอยางมีเหตุผล กระบวนการแกปญหา กระบวนการคิด การสรุปผล เปนตน เปนตน สรางสรรค กระบวนการคิดสังเคราะห วิจัย เปนตน

4. การบูรณาการกระบวนการเรียนรูพื้นฐานอาชีพ กระทรวงศึกษาธิการมีนโยบายสงเสริมการเรียนพื้นฐานอาชีพในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐาน เพื่อเสริมสราง ทักษะที่จําเปนสําหรับการประกอบอาชีพ และดํารงชีวิตในสังคมทองถิ่นของผูเรียนอยางมีความสุข และเปนการ เตรียมความพรอมดานกําลังคนใหมีทักษะพื้นฐาน และศักยภาพในการทํางานเพื่อการแขงขันและกาวสูประชาคม อาเซียนหรือประชาคมโลกตอไป 4.1 ทักษะพืน้ ฐานเพือ่ การประกอบอาชีพ การจัดการเรียนการสอนเพือ่ พัฒนาผูเ รียนในรายวิชาพืน้ ฐานทุกกลมุ สาระการเรียนรูและทุกระดับชั้นเรียน ผูสอนควรบูรณาการประสบการณ เรียนรูพื้นฐานอาชีพควบคูไปกับการ เรียนการสอนดานวิชาการ โดยฝกทักษะสําคัญตามที่สํานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา (สวก.) สํานักงาน คณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) เสนอแนะไว ดังนี้ 1. ฝกทักษะกระบวนการคิด มีการวางแผนตลอดแนว เพื่อศึกษาขอมูลอาชีพ 2. ฝกการตัดสินใจอยางเปนระบบ โดยใชขอมูลจากการศึกษา คนควา แหลงเรียนรูในชุมชน เพื่อลด ความเสี่ยงในการลงทุน และเพิ่มความมั่นใจเรื่องการตลาด 3. ฝกกระบวนการวางแผน การผลิตและการจัดจําหนายโดยนักเรียนคิดตนทุน กําไร ดวยตนเอง 4. ฝกการเรียนรูเ รือ่ งคุณธรรม จริยธรรม ดานการประกอบอาชีพ และการทํางานกลมุ โดยมีจติ อาสาเพือ่ สวนรวม 5. ฝกการทํางานอยางมีประสิทธิภาพ มีการประเมินผล ปรับปรุง พัฒนา และสรางสรรคตอยอดผลผลิต 6. ฝกการเสริมสรางความเชือ่ มัน่ ความเพียรพยายาม เห็นคุณคาและภาคภูมใิ จในตนเอง (Self Esteem) ในการประกอบอาชีพ และเจตคติในพื้นฐานทางอาชีพ การจัดการเรียนการสอนที่ใหผูเรียนไดลงมือปฏิบัติทักษะดังกลาว จะชวยใหผูเรียนไดรับประสบการณจริง มีทักษะ ความสามารถ และความชํานาญในการทํางานที่จะใชในการประกอบอาชีพและเปนแรงงานที่มีคุณภาพ เขาสูตลาดแรงงานในอนาคต คูม อื ครู

4.2 การจัดกระบวนการเรียนรูพื้นฐานอาชีพ การจัดกระบวนการเรียนรูมีความสําคัญอยางยิ่งที่จะชวยให นักเรียนมีการพัฒนาทั้งดานความรู ทักษะ และคุณลักษณะตามเปาหมายของหลักสูตร การพัฒนาผูเรียนดาน ทักษะพื้นฐานอาชีพตองอาศัยกระบวนการเรียนรูที่หลากหลายเปนเครื่องมือที่จะนําไปสูคุณภาพที่ตองการ เสร�ม เทคนิควิธีการตางๆ ที่ผูสอนจะตองพิจารณาใหเหมาะสมกับเนื้อหาวิชาและวัยของผูเรียน โดยใหความสําคัญ 5 กับการฝกปฏิบัติ และเนนการวัดประเมินผลจากการปฎิบัติตามสภาพจริง ดวยวิธีการที่จัดกิจกรรมการบูรณาการ ใหเหมาะสมกับวัยและระดับชั้นของผูเรียน สอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรู และตัวชี้วัดของกลุมสาระตางๆ ทีก่ าํ หนดไวในหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขึน้ พืน้ ฐาน 2551 การวิเคราะหมาตรฐานและตัวชีว้ ดั ทีจ่ ะนําไปจัดเนือ้ หา ความรูและทักษะ เพื่อพัฒนาผูเรียนดานพื้นฐานอาชีพ ดังตัวอยางตอไปนี้ 1. กลุมสาระการเรียนรูภาษาไทย กลมุ สาระการเรียนรูภ าษาไทยมุง เนนการพัฒนาใหผเู รียนมีความรูค วามสามารถในการใชภาษาไทย เพื่อการสื่อสาร เปนเครื่องมือในการเรียนรู การแสวงหาความรูและประสบการณตางๆ เพื่อพัฒนาความรู กระบวนการคิดวิเคราะห วิจารณ และสรางสรรคใหทันตอการเปลี่ยนแปลงของสังคม และความกาวหนาทาง วิทยาศาสตร เทคโนโลยี จึงเปนกลุมสาระการเรียนรูที่เปนทักษะพื้นฐานการประกอบอาชีพทุกอาชีพ ตัวชี้วัดที่ สามารถนํามาพัฒนาทักษะอาชีพ เชน ท 2.1 ม.1/8 เขียนรายงานการศึกษาคนควาและโครงงาน ท 1.1 ม.4-6/8 สังเคราะหความรูจากการอานสื่อสิ่งพิมพ สื่ออิเล็กทรอนิกส และแหลงเรียนรู ตางๆ มาพัฒนาตน พัฒนาการเรียน และพัฒนาความรูทางอาชีพ ท 2.1 ม.4-6/4 ผลิตงานเขียนของตนเองในรูปแบบตางๆ ท 2.1 ม.4-6/5 ประเมินงานเขียนของผูอื่น แลวนํามาพัฒนางานเขียนของตนเอง การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตน จะเปนทักษะพื้นฐานของการนําไปสูอาชีพ ทุกอาชีพ และเปนการปูทางไปสูอาชีพเฉพาะเกี่ยวกับการเขียน เชน นักเขียน นักประพันธ นักหนังสือพิมพ นัก วิจารณ เปนตน 2. กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตร กลุมสาระการเรียนรูวิทยาศาสตรมุงเนนการพัฒนาผูเรียนในการเชื่อมโยงความรูกับกระบวนการ มีทักษะสําคัญในการคนควาและสรางองคความรู พัฒนาวิธีการคิด ทั้งความคิดที่เปนเหตุเปนผล คิดสรางสรรค คิดวิเคราะห วิจารณ โดยใชกระบวนการในการสืบเสาะหาความรู การแกปญหาที่หลากหลาย เพื่อใหมีความรู ความเขาใจในธรรมชาติและเทคโนโลยี นําความรูไปใชอยางมีเหตุผล มีคุณธรรม และอยูในสังคมแหงการเรียนรู ไดอยางเหมาะสม โดยมีมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปนพื้นฐานของการประกอบอาชีพตางๆ มากมาย เชน

คูม อื ครู

ว 1.1 ม.1/13 เสร�ม

6

อธิบายหลักการและผลของการใชเทคโนโลยีชวี ภาพในการขยายพันธุ ปรับปรุงพันธุ และเพิ่มผลผลิตของพืช และนําความรูไปใชประโยชน

ว 1.1 ม.2/4

อธิบายหลักการและผลของการใชเทคโนโลยีชวี ภาพในการขยายพันธุ ปรับปรุงพันธุ และเพิ่มผลผลิตของสัตว และนําความรูไปใชประโยชน ว 1.2 ม.4-6/3 สืบคนขอมูลและอภิปรายผลของเทคโนโลยีชีวภาพที่มีตอมนุษย และสิ่งแวดลอม และนําความรูไปใชประโยชน การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตนจะเปนทักษะพื้นฐานของการนําไปสูอาชีพที่ เกี่ยวกับเกษตรกร วิทยาศาสตร การเกษตร นักวิจัย เปนตน 3. กลุมสาระการเรียนรูสังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรม กลุมสาระการเรียนรูสังคมศึกษา ศาสนา และวัฒนธรรมมุงเนนการพัฒนาใหผูเรียนมีความรูความ เขาใจเกี่ยวกับการดํารงชีวิตของมนุษย การอยูรวมกันในสังคมที่มีความเชื่อมโยงสัมพันธกัน มีความแตกตางกัน อยางหลากหลาย สามารถจัดการทรัพยากรที่มีอยูอยางจํากัด และเขาใจการเปลี่ยนแปลง เพื่อชวยใหสามารถปรับ ตนเองกับบริบท และสภาพแวดลอม เปนพลเมืองดี มีความรับผิดชอบ มีความรู ทักษะ คุณธรรม และคานิยมที่ เหมาะสม มีมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดที่เปนพื้นฐานของการประกอบอาชี ฐานของการประ พตางๆ เชน ส 4.3 ม.1/3 วิเคราะหอิทธิพลของวัฒนธรรมและภูมิปญญาไทยสมัยสุโขทัยและสังคมไทยใน ปจจุบัน ส 4.3 ม.2/3 ระบุภมู ปิ ญ ญาและวัฒนธรรมไทยสมัยอยุธยาและธนบุรี และอิทธิพลของภูมปิ ญ ญา ดังกลาว ตอการพัฒนาชาติไทยในยุคตอมา ส 4.3 ม.3/3 วิเคราะหภมู ปิ ญ ญาและวัฒนธรรมไทยสมัยรัตนโกสินทร และอิทธิพลตอการพัฒนา ชาติไทย ส 4.3 ม.4-6/3 วางแผนกําหนดแนวทางและการมีสวนรวมในการอนุรักษภูมิปญญาไทยและ วัฒนธรรมไทย การจัดการเรียนการสอนตามตัวชี้วัดดังกลาวขางตนจะเปนทักษะพื้นฐาน และสรางเจตคติตออาชีพ เกีย่ วกับภูมปิ ญ ญาไทยในทองถิน่ เชน นักโบราณคดี นักประวัตศิ าสตร แพทยแผนโบราณ นวดแผนไทย ชางทอผา จักสาน นักดนตรีไทย การทําขนมหรืออาหารไทย ฯลฯ และเปนรากฐานของการศึกษาเพื่อพัฒนาตอยอดอาชีพ ที่มีฐานของภูมิปญญาไทย

คูม อื ครู

4. กลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยี กลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยีมุงพัฒนาใหผูเรียนมีฐานความรูความสามารถ และทักษะที่จําเปนสําหรับนําไปปรับใชในการประกอบอาชีพและการศึกษาตอในสาขาอาชีพตางๆ ไดอยาง เสร�ม หลากหลาย รวมทั้งใหเห็นแนวทางในการประกอบอาชีพและการศึกษาตอตามความรู ความถนัดและความสนใจ 7 มาตรฐานและตัวชีว้ ดั ของกลมุ สาระการเรียนรูก ารงานอาชีพและเทคโนโลยีสว นใหญมลี กั ษณะเปนทักษะกระบวนการ ทํางาน ซึ่งผูสอนสามารถจัดเนื้อหาและกิจกรรมการสอนใหสอดคลองกับความตองการของผูเรียนและทองถิ่นได เพื่อพัฒนาไปสูการประกอบอาชีพตางๆ เชน ง 1.1 ม.4-6/2 สรางผลงานอยางมีความคิดสรางสรรค และมีทักษะการทํางานรวมกัน ง 1.1 ม.4-6/7 ใชพลังงาน ทรัพยากรในการทํางานอยางคุมคาและยั่งยืน เพื่อการอนุรักษ สิ่งแวดลอม ง 4.1 ม.2/3 มีทักษะพื้นฐานที่จําเปนสําหรับการประกอบอาชีพที่สนใจ ง 4.1 ม.3/3 ประเมินทางเลือกในการประกอบอาชีพที่สอดคลองกับความรู ความถนัด และ ความสนใจของตนเอง ง 4.1 ม.4-6/2 เลือกและใชเทคโนโลยีอยางเหมาะสมกับอาชีพ ง 4.1 ม.4-6/3 มีประสบการณในอาชีพที่ถนัดและสนใจ การจัดรายวิชาพื้นฐานในกลุมสาระการเรียนรูการงานอาชีพและเทคโนโลยีจึงสามารถดําเนินการ ไดอยางหลากหลาย ทัง้ อาชีพในกลมุ เกษตรกรรม อุตสาหกรรม พาณิชยกรรม ความคิดสรางสรรค และการบริหาร จัดการและการบริการ ตามนโยบายของกระทรวงศึกษาธิการ และสอดคลองกับบริบทของทองถิ่น ความพรอม ของสถานศึกษา และความตองการของผูเรียนเปนสําคัญ เพือ่ เปนแนวทางการพัฒนาหลักสูตรการเรียนการสอนใหสนองตามนโยบายการจัดการเรียนการสอน พื้นฐานอาชีพในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐานของรัฐบาลและกระทรวงศึกษาธิการ ผูจัดทําจึงวิเคราะหมาตรฐานการ เรียนรูและตัวชี้วัดในรายวิชา คณิตศาสตร ที่สอดคลองกับทักษะปฏิบัติเพื่อเตรียมความพรอมดานพื้นฐานอาชีพ โดยเสนอแนะกิจกรรมการเรียนรูไวเปนแนวทางในการจัดการเรียนการสอนบูรณาการประสบการณการทํางานแก ผูเรียน ใหบรรลุเจตนารมยของ พ.ร.บ. การศึกษาฯ พ.ศ. 2542 มาตรา 7 ที่ระบุใหการจัดการศึกษาตองปลูกฝง ใหเยาวชนมีความรูอันเปนสากล มีจิตสํานึกในการอนุรักษทรัพยากรธรรมชาติและสิ่งแวดลอม ตลอดจนมีความ สามารถในการประกอบอาชีพ รูจักพึ่งตนเอง และมีความคิดสรางสรรค เพื่อการดํารงชีวิต การศึกษาตอและการ ประกอบอาชีพอยางมีคุณภาพของผูเรียนตอไปในอนาคต

คูม อื ครู

5. การใชวัฏจักรการเรียนรู 5E รูปแบบการสอนที่สัมพันธกับกระบวนการคิดและการทํางานของสมองของผูเรียนที่นิยมใชอยางแพรหลาย เสร�ม คือ วัฏจักรการเรียนรู 5E ซึ่งผูจัดทําคูมือครูไดนํามาใชเปนแนวทางออกแบบกิจกรรมการเรียนการสอนในคูมือครู 8 ฉบับนี้ตามลําดับขั้นตอนการเรียนรู ดังนี้ ขั้นที่ 1 กระตุนความสนใจ (Engage) เปนขัน้ ทีผ่ สู อนนําเขาสูบ ทเรียน เพือ่ กระตุน ความสนใจของนักเรียนดวยเรือ่ งราว หรือเหตุการณทนี่ า สนใจ โดยใชเทคนิควิธกี ารสอนและคําถามทบทวนความรูห รือประสบการณเดิมของผูเ รียน เพือ่ เชือ่ มโยงผูเ รียนเขาสู บทเรียนใหม ชวยใหนักเรียนสามารถสรุปประเด็นสําคัญที่เปนหัวขอการเรียนรูของบทเรียนได จึงเปนขั้นตอน การสอนที่สําคัญ เพราะเปนการเตรียมความพรอมและสรางแรงจูงใจใฝเรียนรูแกผูเรียน ขั้นที่ 2 สํารวจคนหา (Explore) เปนขั้นที่ผูสอนเปดโอกาสใหผูเรียนสังเกต และรวมมือกันสํารวจ เพื่อใหเห็นปญหา รวมถึงวิธีการศึกษา คนควาขอมูลความรูที่จะนําไปสูความเขาใจประเด็นปญหานั้นๆ เมื่อนักเรียนทําความเขาใจในประเด็นหัวขอที่จะศึกษาคนควาอยางถองแทแลว ก็ลงมือปฏิบัติเพื่อเก็บ รวบรวมขอมูลความรู สํารวจตรวจสอบ โดยวิธกี ารตางๆ เชน สัมภาษณ ทดลอง อานคนควาขอมูลจากเอกสาร แหลงขอมูลตางๆ จนไดขอมูลความรูตามที่ตั้งประเด็นศึกษาไว ขั้นที่ 3 อธิบายความรู (Explain) เปนขั้นที่ผูสอนมีปฏิสัมพันธกับผูเรียน เชน ใหการแนะนํา ตั้งคําถามกระตุนใหคิด เพื่อใหผูเรียนไดคนหา คําตอบ และนําขอมูลความรูจากการศึกษาคนควาในขั้นที่ 2 มาวิเคราะห แปลผล สรุปผล และนําเสนอผล ที่ไดศึกษาคนความาในรูปแบบสารสนเทศตางๆ เชน เขียนแผนภูมิ แผนผังแสดงมโนทัศน เขียนความเรียง เขียนรายงาน เปนตน สมองของผูเรียนจะทําหนาที่คิดวิเคราะห สังเคราะหอยางเปนระบบ ขั้นที่ 4 ขยายความเขาใจ (Expand) เปนขั้นที่ผูสอนไดใชเทคนิควิธีการสอนที่ชวยพัฒนาผูเรียนใหนําความรูที่เกิดขึ้นไปคิดคนตอๆ ไป เพื่อพัฒนาทักษะการเรียนรูและการทํางานรวมกันเปนกลุม ระดมสมองเพื่อคิดสรางสรรครวมกัน นักเรียนสามารถนําความรูที่สรางขึ้นใหมไปเชื่อมโยงกับประสบการณเดิมโดยนําขอสรุปที่ไดไปอธิบาย ในเหตุการณตางๆ หรือนําไปปฏิบัติในสถานการณใหมๆ ที่เกี่ยวของกับชีวิตประจําวันของตนเอง เพื่อขยาย ความรูค วามเขาใจใหกวางขวางยิง่ ขึน้ สมองของผูเ รียนทําหนาทีค่ ดิ ริเริม่ สรางสรรคอยางมีคณ ุ ภาพ เสริมสราง วิสัยทัศนใหกวางไกลออกไป คูม อื ครู

ขั้นที่ 5 ตรวจสอบผล (Evaluate) เปนขั้นที่ผูสอนประเมินมโนทัศนของผูเรียน โดยตรวจสอบจากความคิดที่เปลี่ยนไปและความคิดรวบยอด ที่เกิดขึ้นใหม ตรวจสอบทักษะ กระบวนการปฏิบัติ การแกปญหา การตอบคําถามรวบยอด และการเคารพ ความคิดหรือยอมรับเหตุผลของคนอื่นเพื่อการสรางสรรคความรูรวมกัน นักเรียนสามารถประเมินผลการเรียนรูของตนเอง เพื่อสรุปผลวานักเรียนมีความรูอะไรเพิ่มขึ้นมาบาง มากนอยเพียงใด และจะนําความรูเหลานั้นไปประยุกตใชในการเรียนรูเรื่องอื่นๆ ไดอยางไร นักเรียนจะเกิด เจตคติและเห็นคุณคาของตนเองจากผลการเรียนรูที่เกิดขึ้น ซึ่งเปนการเรียนรูที่มีความสุขอยางแทจริง

เสร�ม

9

การจัดกิจกรรมการเรียนรูตามวัฏจักรการสรางความรูแบบ 5E จึงเปนรูปแบบการเรียนการสอนที่เนน ผูเรียนเปนสําคัญ โดยสงเสริมใหผูเรียนใชกระบวนการสรางความรูดวยตนเอง และฝกฝนใหใชกระบวนการคิดและ กระบวนการกลุมอยางชํานาญ กอใหเกิดทักษะการเรียนรูและทักษะชีวิตที่มีคุณภาพ ตามเปาหมายของการปฏิรูป การศึกษาทศวรรษที่ 2 (พ.ศ. 2552-2561) ทุกประการ คณะผูจัดทํา

คูม อื ครู

แถบสีและสัญลักษณ ที่ใชสื่อความหมายในคูมือครู แถบสีแสดงขั้นตอนการสอนและการจัดกิจกรรม แบบ 5E เพื่อใหครูทราบวาเปนขั้นการสอนขั้นใด

1. แถบสี เสร�ม

10

สีแดง สีแดง

สีเขียว สีเขียว

สีสม สีสม

กระตุน ความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

•

•

•

Engage

Explore

เปนขั้นที่ผูสอนเลือกใช เทคนิคกระตุนความ สนใจ เพื่อโยงเขาสู บทเรียน

Explain

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนสํารวจปญหา และศึกษาขอมูล

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนคนหาคําตอบ จนเกิดความรูเชิง ประจักษ

สีฟา สีฟา

สีมวง สีมวง

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

•

Evaluate

เปนขั้นที่ผูสอนให ผูเรียนนําความรูไป คิดคนตอๆ ไป

•

เปนขั้นที่ผูสอน ประเมินมโนทัศน ของผูเรียน

2. สัญลักษณ สัญลักษณ เปาหมาย การเรียนรู หลักฐาน แสดงผล การเรียนรู เกร็ดแนะครู นักเรียนควรรู @

NET

ขอสอบ

B

พื้นฐานอาชีพ

B คูม อื ครู

มุม IT

บูรณาการ สูอาเซียน

วัตถุประสงค • แสดงเปาหมายการเรียนรูที่นักเรียนตองบรรลุตามตัวชี้วัด •

แสดงรองรอยหลักฐานที่แสดงผลการเรียนรูตามตัวชี้วัด

•

แทรกความรูเสริมสําหรับครู ขอเสนอแนะ ขอควรระวัง ขอสังเกต แนวทางการจัด กิจกรรมและอืน่ ๆ เพื่อประโยชนในการจัดการเรียนการสอน

•

ขยายความรูเพิ่มเติมจากเนื้อหา เพื่อใหนักเรียนไดมีความรูมากขึ้น

•

แนะนําแหลงคนควาจากเว็บไซต เพื่อใหครูและนักเรียนไดเขาถึงขอมูลความรู ที่หลากหลาย

•

วิเคราะหแนวขอสอบ O-NET เพื่อใหครูเนนยํ้าเนื้อหา ที่มักออกขอสอบ O-NET

•

กิจกรรมสําหรับครูเพื่อใชเปนแนวทางในการชวยพัฒนาอาชีพใหกับนักเรียน

•

ขยายความรู แนะนํากิจกรรมเพื่อพัฒนานักเรียนใหมีความพรอม สําหรับเขาสูประชาคมอาเซียน

• ขอสอบ O-NET พิจารณาออก ขอสอบจากเนื้อหา ม.1, 2 และ 3

ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง (เฉพาะชั้น ม.3)* สาระที่ 2 การวัด

มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพื้นฐานเกี่ยวกับการวัด วัดและคาดคะเนขนาดของสิ่งที่ตองการวัด ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. หาพื้นที่ผิวของปริซึมและทรง • พื้นที่ผิวของปริซึม และทรงกระบอก กระบอก 2. หาปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรงกลม

• ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวย และทรง กลม

3. เปรียบเทียบหนวยความจุ หรือหนวยปริมาตรในระบบ เดียวกันหรือตางระบบ และ เลือกใชหนวยการวัดไดอยาง เหมาะสม

• การเปรียบเทียบหนวยความจุหรือหนวยปริมาตรในระบบ เดียวกันหรือตางระบบ • การเลือกใชหนวยการวัดเกี่ยวกับความจุหรือปริมาตร

4. ใชการคาดคะเนเกีย่ วกับการ วัดในสถานการณตา งๆ ได อยางเหมาะสม

• การคาดคะเนเกี่ยวกับการวัด

เสร�ม

11

มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกี่ยวกับการวัด ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรในการ แกปญหาในสถานการณ ตางๆ

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• การใชความรูเกี่ยวกับพื้นที่ พื้นที่ผิว และปริมาตรในการ แกปญหา

สาระที่ 3 เรขาคณิต

มาตรฐาน ค 3.1 อธิบายและวิเคราะหรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. อธิบายลักษณะและสมบัติของ • ลักษณะและสมบัติของปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก กรวย ปริซึม พีระมิด ทรงกระบอก และทรงกลม กรวย และทรงกลม * สํานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน, กระทรวงศึกษาธิการ. ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร. (กรุงเทพมหานคร : โรงพิมพชุมนุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย, 2551), หนา 7 - 56.

คูม อื ครู

มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนึกภาพ (visualization) ใชเหตุผลเกีย่ วกับปริภมู ิ (spatial reasoning) และใชแบบจําลอง ทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแกปญหา ชั้น

เสร�ม

12

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยม • สมบัติของรูปสามเหลี่ยมคลายและการนําไปใช คลายในการใหเหตุผลและการ แกปญหา

สาระที่ 4 พีชคณิต

มาตรฐาน ค 4.2 ใชนิพจน สมการ อสมการ กราฟ และตัวแบบเชิงคณิตศาสตร (mathematical model) อื่นๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและนําไปใชแกปญหา ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับอสมการ • อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและการนําไปใช เชิงเสนตัวแปรเดียวในการแก ปญหา พรอมทั้งตระหนักถึง ความสมเหตุ สมผลของ คําตอบ 2. เขียนกราฟแสดงความ • กราฟแสดงความเกี่ยวของระหวางปริมาณสองชุดที่มีความ เกี่ยวของระหวางปริมาณสอง สัมพันธเชิงเสน ชุดที่มีความสัมพันธเชิงเสน 3. เขียนกราฟของสมการเชิงเสน • กราฟของสมการเชิงเสนสองตัวแปร สองตัวแปร 4. อานและแปลความหมาย กราฟของระบบสมการเชิง เสนสองตัวแปร และกราฟ อื่นๆ

• กราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร • กราฟอื่นๆ

5. แกระบบสมการเชิงเสนสอง • ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และการนําไปใช ตัวแปร และนําไปใชแกปญหา พรอมทั้งตระหนักถึงความสม เหตุ สมผลของคําตอบ

คูม อื ครู

สาระที่ 5 การวิเคราะหขอมูลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวิธีการทางสถิติในการวิเคราะหขอมูล ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. กําหนดประเด็น และเขียน • การเก็บรวบรวมขอมูล ขอคําถามเกี่ยวกับปญหาหรือ สถานการณตางๆ รวมทั้ง กําหนดวิธีการศึกษาและ การเก็บ รวบรวมขอมูลที่ เหมาะสม

เสร�ม

13

2. หาคาเฉลีย่ เลขคณิต มัธยฐาน • คากลางของขอมูล และการนําไปใช และฐานนิยมของขอมูลทีไ่ มได แจกแจงความถี่ และเลือกใชได อยางเหมาะสม 3. นําเสนอขอมูลในรูปแบบที่ เหมาะสม

• การนําเสนอขอมูล

4. อาน แปลความหมาย และ วิเคราะหขอ มูลทีไ่ ดจากการ นําเสนอ

• การวิเคราะหขอมูลจากการนําเสนอ

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวิธีการทางสถิติและความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณไดอยางสมเหตุสมผล ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 1. หาความนาจะเปนของ • การทดลองสุมและเหตุการณ เหตุการณจากการทดลองสุม • ความนาจะเปนของเหตุการณ ที่ผลแตละตัวมีโอกาสเกิดขึ้น • การใชความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณ เทาๆ กัน และใชความรูเกี่ยว กับความนาจะเปนในการคาด การณไดอยางสมเหตุสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรูเกี่ยวกับสถิติและความนาจะเปนชวยในการตัดสินใจและแกปญหา ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชความรูเกี่ยวกับสถิติและ ความนาจะเปนประกอบการ ตัดสินใจในสถานการณตางๆ

สาระการเรียนรูแกนกลาง

• การใชความรูเกี่ยวกับสถิติ และความนาจะเปนประกอบการ ตัดสินใจ คูม อื ครู

ชั้น

สาระการเรียนรูแกนกลาง

ม.3 2. อภิปรายถึงความคลาด เคลื่อนที่อาจเกิดขึ้นไดจาก การนําเสนอขอมูลทางสถิติ

เสร�ม

14

ตัวชี้วัด

สาระที่ 6 ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตร และการนําเสนอ การเชือ่ มโยงความรูต า งๆ ทางคณิตศาสตรและเชือ่ มโยงคณิตศาสตรกบั ศาสตร อื่นๆ และมีความคิดริเริ่มสรางสรรค ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.3 1. ใชวิธีการที่หลากหลายแก ปญหา 2. ใชความรู ทักษะและ กระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยีในการแก ปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3. ใหเหตุผลประกอบการ ตัดสินใจ และสรุปผลไดอยาง เหมาะสม 4. ใชภาษาและสัญลักษณทาง คณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และ การนําเสนอ ไดอยางถูกตอง และชัดเจน 5. เชื่อมโยงความรูตางๆ ใน คณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการทาง คณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับ ศาสตรอื่นๆ 6. มีความคิดริเริ่มสรางสรรค

คูม อื ครู

สาระการเรียนรูแกนกลาง

-

คําอธิบายรายวิชา รายวิชา คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 3 รหัสวิชา ค…………………………………

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร ภาคเรียนที่ 2 เวลา 60 ชั่วโมง/ป เสร�ม

ศึกษาความรูพื้นฐานอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คําตอบของอสมการและกราฟการแกอสมการแสดงคําตอบ ของอสมการ และการแกโจทยปญหาเกี่ยวกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว สถิติ การกําหนดประเด็นการเขียนขอ คําถาม การกําหนดวิธกี ารศึกษาและการเก็บรวบรวมขอมูล การนําเสนอขอมูล การหาคากลางของขอมูล การเลือกใช คากลางของขอมูล การอาน การแปลความหมายและการวิเคราะหขอมูล การใชขอมูลสารสนเทศ ความนาจะเปน การทดลองสุมและเหตุการณ การหาความนาจะเปนของเหตุการณซึ่งผลที่เกิดจากการทดลองสุมแตละตัวมีโอกาส เกิดขึ้นเทาๆ กัน การใชความนาจะเปนในการคาดการณและตัดสินใจ ฝกทักษะ / กระบวนการทางคณิตศาสตรโดยจัดประสบการณหรือสรางสภาพการณในชีวิตประจําวันที่ใกลตัว ใหผูเรียนไดศึกษาคนควา ทดลอง ปฏิบัติ สรุปและรายงานผล เพื่อพัฒนาทักษะ / กระบวนการในการคิดคํานวณ การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อความหมายทางคณิตศาสตรและนําพื้นฐานความรู ประสบการณดานความคิด ทักษะกระบวนการทีไ่ ดไปใชในชีวติ ประจําวันและการเรียนรูส งิ่ ตางๆ พรอมทัง้ เห็นคุณคาและมีเจตคติทดี่ ตี อ คณิตศาสตร สามารถนําไปประยุกตใชในการทํางานไดอยางเปนระบบ

15

ตัวชี้วัด ค 4.1 ม.3/1 ค 5.1 ม.3/1 ม.3/2 ม.3/3 ม.3/4 ค 5.2 ม.3/1 ค 5.3 ม.3/1 ม.3/2 ค 6.1 ม.1-3/1 ม.1-3/2 ม.1-3/3 ม.1-3/4 ม.1-3/5 ม.1-3/6 รวม 14 ตัวชี้วัด

คูม อื ครู

คูม อื ครู

ÇÔà¤ÃÒÐË Áҵðҹ¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙጠÅеÑǪÕÇé ´Ñ ÃÒÂÇÔªÒ ¤³ÔµÈÒʵà Á.3 àÅ‹Á 2

หนวยการเรียนรูที่ 4 : การเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร

หนวยการเรียนรูที่ 3 : ความนาจะเปน

หนวยการเรียนรูที่ 2 : สถิติ

หนวยการเรียนรูที่ 1 : อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว

คณิตศาสตร ม.3 เลม 2

หนวยการเรียนรู

✓

1

2

3

ตัวชี้วัด

มาตรฐาน ค 4.2

สาระที่ 2

4

5

✓

1

✓

2

✓

3

มาตรฐาน ค 5.1

✓

4

ตัวชี้วัด

✓

1

มาตรฐาน ค 5.2

สาระที่ 5

✓

1

✓

2

มาตรฐาน ค 5.3

✓

✓

✓

✓

1

✓

✓

✓

✓

2

✓

✓

✓

✓

3

✓

✓

✓

✓

4

ตัวชี้วัด

มาตรฐาน ค 6.1

สาระที่ 6

16

มาตรฐาน การเรียนรูและ ตัวชี้วัด

คําชี้แจง : ใหผูสอนใชตารางน�้ตรวจสอบวา เน�้อหาสาระการเรียนรูในหนวยการเรียนรูสอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดชั้นปในขอใดบาง

ตาราง

เสร�ม ✓

✓

✓

✓

5

✓

✓

✓

✓

6

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ ÃÒÂÇÔªÒ¾×é¹°Ò¹

¤³ÔµÈÒʵà Á.ó àÅ‹Á ò ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๓

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑

ผูเรียบเรียง

นางกนกวลี อุษณกรกุล นางสาวนวลนอย เจริญผล นางสาวปาจรีย วัชชวัลคุ ดร. สุเทพ บุญซอน

ผูตรวจ

นางจินดา อยูเปนสุข นายรณชัย มาเจริญทรัพย นางสาวสายสุณี สุทธิจักษ

บรรณาธิการ

ศ. ดร. ณรงค ปนนิ่ม

คณะผูจัดทําคูมือครู

จันทรเพ็ญ ชุมคช ทองดี กุลแกวสวางวงศ สมใจ ธนเกียรติมงคล สายสุณี สุทธิจักษ พิมพครั้งที่ ๑

สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ ISBN : 978-616-203-185-4 รหัสสินคา ๒๓๑๖๐๐๖ รหัสสินคา ๒๓๔๖๐๑๕

¤Œ¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢ÂÒ¤ÇÒÁ¤Ô´¨Ò¡

EB GUIDE

ที่พิมพกํากับหัวขอสําคัญในหนังสือเรียนหลักสูตรแกนกลางฯ ผาน www.aksorn.com ไปยังแหลงความรูทั่วไทย-ทั่วโลก

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore Engage

Expand

Explain

Evaluate

¤íÒá¹Ð¹íÒ㹡ÒÃ㪌˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร ม.3 เลม 2 นี้ สรางขึ้นเพื่อใหเปนสื่อสําหรับใชประกอบการเรียนการสอน ในรายวิชาพืน้ ฐาน กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 3 โดยเนือ้ หาตรงตามสาระการเรียนรูแ กนกลางขัน้ พืน้ ฐาน อานทําความเขาใจงาย ใหทงั้ ความรูแ ละชวยพัฒนาผูเ รียนตาม หลักสูตรและตัวชี้วัด เนื้อหาสาระแบงออกเปนหนวยการเรียนรูตามโครงสรางรายวิชา สะดวกแกการจัดการเรียนการสอนและ การวัดผลประเมินผล พรอมเสริมองคประกอบอืน่ ๆ ทีจ่ ะชวยทําใหผเู รียนไดรบั ความรูอ ยางมีประสิทธิภาพ µÑǪÕéÇÑ´áÅÐÊÒÃСÒÃàÃÕ¹Ãٌ᡹¡ÅÒ§Ï µÒÁËÅÑ¡ÊٵáíÒ˹´ à¾×èÍãËŒ·ÃÒº¶Ö§ ໇ÒËÁÒÂ㹡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ¨Ñ´¡ÅØ‹Áà¹×éÍËÒ໚¹Ë¹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ Êдǡᡋ¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹¡ÒÃÊ͹ หนวยการเรีย

นรูที่

ตัวชี้วัด

ใชความรูเกี่ย วกับอสมการเชิ ตัวแปรเดยี วในก งเสน ตระหนักถึงความารแกป ญ  หา สมเหตุสมผลขพรอมทัง้ คําตอบ (ค 4.2 อง ■ ใช วิธีการที่ห ม.3/1) (ค 6.1 ม.1-3ลากหลายแกปญหา /1) ■ ใช ความรู ทักษะแล ะกระบวนกา ทางคณิตศาสต ร ในการแกป รและเทคโนโลยี ไดอยางเหมาญหาในสถานการณตางๆ ะสม ■ ให เหตุผลประกอบก(ค 6.1 ม.1-3/2) ารตัดสินใจ และสรุปผลได (ค 6.1 ม.1-3 อยางเหมาะสม ■ ใช ภาษาและสั /3) ในการสื่อสาร ญลักษณทางคณติ ศาสต การนาํ เสนอ การสื่อความหมายและร (ค 6.1 ม.1-3ไดอยางถูกตองและชดั เจน ■ เชื ่อมโยงความร/4) และนําความ ูตางๆ ในคณิตศาสต ทางคณิตศาสตรู หลักการ กระบวนกา ร อื่นๆ (ค 6.1 รไปเชือ่ มโยงกบั ศาสต ร ร ■ มี ความคิดริ ม.1-3/5) (ค 6.1 ม.1-3เริ่มสรางสรรค /6) ■

■

สาระการเรี

1

à¡ÃÔè¹¹íÒà¾×èÍãˌࢌÒ㨠¶Ö§ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞ㹠˹‹Ç·Õè¨ÐàÃÕ¹

ÁØÁ¤ÇÒÁ¤Ô´ ໚¹¡ÒùíÒàʹÍÊѨ¾¨¹ ÊÁºÑµÔ ËÃ×Í¢ŒÍ¤ÇÒÁ·Õè¼ÙŒàÃÕ¹¤ÇèРÃÙŒ·Õèà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§¡Ñºà¹×éÍËÒ

¤³Ôµ¤Ô´Ê¹Ø¡ ໚¹à¡Á ·Ò§¤³ÔµÈÒʵà ·Õèʹء áÅзŒÒ·Ò à¾×èͪ‹Ç ½ƒ¡·Ñ¡ÉТͧ¼ÙŒàÃÕ¹

47

อสมการเชิงเส ตัวแปรเดียวน

อสมการคือ ประโยคสัญ ลักษณที่กล ของจํานวนโด าวถึงความส ยม ัมพันธ สัมพันธของจ ีสัญลักษณ <, ≤, >, ≥ หรือ ≠ ํานวน บอกความ การหาคําตอ บของโจทย เราสามารถ ปญหาที่เ นําไปใชตอบ คําถามบางอย กี่ยวของกับอสมการ างได

ยนรูแกนก

อสมการเชิง เสนตัวแปรเด และการนําไปใช ียว

à¹×Íé ËҵçµÒÁÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙጠ¡¹¡ÅÒ§Ï ãËŒ¤ÇÒÁÃÙŒáÅÐàÍ×é͵‹Í¡ÒùíÒä»ãªŒÊ͹à¾×èÍ ãËŒºÃÃÅصÑǪÕéÇÑ´ áÅÐÊÌҧ¤Ø³ÅѡɳРÍѹ¾Ö§»ÃÐʧ¤

ลาง

จากขอมูลขางตน ตอบคําถามตอไปนี้ ่ยวมาจากภาคใดมากที่สุด 1) นักทองเที่ยวและนักทัศนาจรชาวไทยที่มาเที มุ ใดมาทองเทีย่ วนอยทีส่ ดุ 2) นักทองเทีย่ วและนักทัศนาจรชาวตางประเทศกล จากถิ่นที่อยูใดมากที่สุด 3) นักทองเที่ยวและนักทัศนาจรชาวตางประเทศมา แนวการตอบคําถามมีดังนี้ ่ยวมาจากภาคเหนือมากที่สุด 1) นักทองเที่ยวและนักทัศนาจรชาวไทยที่มาเที ม่ าจากโอเชียเนีย 2) นักทองเทีย่ วและนักทัศนาจรชาวตางประเทศที ่มาจากทวีปยุโรปมีมากที่สุด 3) นักทองเที่ยวและนักทัศนาจรชาวตางประเทศที

5

¹Ñ¡·ÑȹҨà ËÁÒ¶֧ ¼ÙŒ·Õèà·ÕèÂǪÁÀÙÁÔ»ÃÐà·È ËÃ×ÍâºÃҳʶҹ ʋǹ¹Ñ¡·‹Í§à·ÕèÂÇ ËÁÒ¶֧ ¼ÙŒ·Õ跋ͧà·ÕèÂÇä»Âѧʶҹ·Õ赋ҧæ

4. การแจกแจงความถี่ของขอมูล

าจากการสังเกต” ยังเปนขอมูลที่ไม เนื่องจาก “ขอมูลดิบ” หรือ “คะแนนดิบ” หรือ “ค าใจ และยังไมสามารถแปลความหมายของ ไดดําเนินการอยางเปนระบบที่งายตอการทําความเข ขอมูลในภาพรวมได เชน 10 คน พบวานักเรียนแตละคน จากการตรวจใหคะแนนผลงานของนักเรียน จํานวน ไดคะแนนดังนี้ 21 ตามลําดับ 20 24 18 19 20 15 20 22 14 และ จากขอมูลที่ได ถาจะตองตอบคําถามวา าไร 1) คะแนนที่นักเรียนสอบไดนอยที่สุด เทากับเท มีกี่คน 2) คะแนนที่นักเรียนสอบไดนอยกวา 15 คะแนน ี่คน 3) คะแนนที่นักเรียนสอบได 16-20 คะแนน มีก ไมยากนักแมจะยังไมไดจัดทํา เนื่องจากมีจํานวนขอมูลนอย นักเรียนคงหาคําตอบได บมีจาํ นวนมากขึน้ นักเรียนอาจจะตองใชเวลา ขอมูลใหเปนระบบก็ตาม แตถา ขอมูลดิบหรือคะแนนดิ ของนักเรียน 40 คน และมีผลคะแนนดังนี้ เพื่อหาคําตอบ สมมติวาคุณครูตรวจใหคะแนนผลงาน EB GUIDE

http://www.aksorn.com/LC/Math B2/M3/03

4) อสมการในข้อ 1., 2. และ 5. เป็ นอสมการที่เ 5) อสมการในข้อ 6. และ 8. เป็นอสมการท ป็นจริง ี่เป็นเท็จ

พิจารณาสมการ 1) 1 + 8 = 3 + 6 2) 42 + 4 = 52 - 5 3) 2(6) = 3(5) 4) 56 = 20 + 7

นักเรียนทราบมาแล้วว่า2สมการ 1) และ 2) เป็นสมการทเี่ ป็นจริง และสมการ 3) แล เป็นสมการที่เป็นเท็จ ะ 4)

ในการศึกษาเกี่ยวกับอสมการ นัก เรียนจะได้ศึกษาอสมการที่เป็นจริง และอสมการที่ เป็นเท็จเช่นเดียวกันกับการศึกษาเรื ่องสมการ

ให้นักเรียนพิจารณาอสมการในแต่ล ะข้อต่อไปนี้

1. 20 + 6 20 + 6 < 47 - 2 47

2. 42 + 100 42 + 100 ≤ 82 + 50 คณิตคิดสนุก

3. 51 + 49 51 + 49 > 86 จ�านวนนับ 5 จ�านวน

4. 846 + 15 846 + 154 4 > 1,001 เรียงกันรวมกันได้ 1,270 จงหา

นักเรียนทราบหรือไม่ จ�านวนนับ 5 จ�านวนนั้น 1) อสมการในข้อใดเป็นอสมการท 1) ี่เป็นจริง 2) อสมการในข้อใดเป็นอสมการท 2) ี่เป็นเท็จ

ตอบค�าถามข้างต้นได้ดังนี้ 1) อสมการในข้อ 1. และ 3. เป็นอสมการท ี่เป็นจริง 2) อสมการในข้อ 2. และ 4. เป็นอสมการท ี่เป็นเท็จ มุมความคิด

เรียกประโยคสัญลักษณ์ที่แสดงถึ งความสัมพันธ์ของจ�านวนโดยม ีสัญลักษณ์ < , ≤ , >, ≥ หรือ ≠ บอกความสัมพันธ์ของจ� านวนว่า อสมการ

Web Guide á¹Ð¹íÒáËÅ‹§¤Œ¹¤ÇŒÒ¢ŒÍÁÙÅ à¾ÔèÁàµÔÁ¼‹Ò¹Ãкº Online Ẻ½ƒ¡ËÑ´»ÃШíÒ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ ª‹Ç¾Ѳ¹Ò·Ñ¡ÉÐáÅзº·Ç¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹

µÑÇÍ‹ҧáÊ´§ÇÔ¸Õ¡ÒäԴ à¾×èͪ‹ÇÂ㹡Ò÷íÒ¤ÇÒÁࢌÒ㨠145

35

12

ตัวอย่2างที

้ โดยวิธีแทนค่าตัวแปร จงหาจ�านวนเต็มที่มากที่สุดที่เป็นค�าตอบของอสมการต่อไปนี 2) 3y ≤ 5 1) x + 5 < 6

่

วิธีทำ�

1) x + 5 < 6 ลองแทนค่า x ด้วย -2, -1, 0, 1, 2 จะได้ -2 + 5 = 3 ท�าให้ 3 < 6 ซึ่งเป็นจริง -1 + 5 = 4 ท�าให้ 4 < 6 ซึ่งเป็นจริง

0 + 5 = 5 ท�าให้ 5 < 6 ซึ่งเป็นจริง

1 + 5 = 6 ท�าให้ 6 < 6 ซึ่งไม่เป็นจริง

2 + 5 = 7 ท�าให้ 7 < 6 ซึ่งไม่เป็นจริง

+5 <6 ดังนั้น 0 เป็นจ�านวนเต็มที่มากที่สุดที่เป็นค�าตอบของอสมการ x 2) 3y ≤ 5 ลองแทนค่า y ด้วย -1, 0, 1, 2 จะได้ 3(-1) = -3 ท�าให้ -3 ≤ 5 ซึ่งเป็นจริง 3(0) = 0 ท�าให้ 0 ≤ 5 ซึ่งเป็นจริง

3(1) = 3 ท�าให้ 3 ≤ 5 ซึ่งเป็นจริง

3(2) = 6 ท�าให้ 6 ≤ 5 ซึ่งไม่เป็นจริง

≤5 ดังนั้น 1 เป็นจ�านวนเต็มที่มากที่สุดที่เป็นค�าตอบของอสมการ 3y ตอบ

แบบตรวจสอบความเข้าใจที่ 1.2 รที่ก�าหนดให้หรือไม่ 1. จงตรวจดูว่า จ�านวนที่ให้ไว้ในวงเล็บ [ ] เป็นค�าตอบของอสมกา [-3] 2) 2x - 1 < 3 1) x + 3 > 9 [6] [9] 2(a-3) ≥ 12 4) 3) 7x + 4 > 18 [5] - 3 6) m 5 ≤ 1 [18] 5) b2 + b3 > 7 [12] 8) 3x - 7 ≠ 2x + 4 [2] 7) 3x 2+ 4 ≤ 1 [3]

ẺµÃǨÊͺ¤ÇÒÁࢌÒ㨠à¾×èͽƒ¡·Ñ¡ÉСÒäԴáÅÐ á¡Œ»˜ÞËҢͧ¼ÙŒàÃÕ¹

ร

รทางคณิตศาสต มทักษะและกระบวนกา

ร อื่ มโยงคณิตศาสต กิจกรรมเสริ ณิตศาสตร การเช อื่ ความหมายทางค ารใหเ หตุผล การส (มีความสามารถในก ล ศ ุ กับศาสตรอื่นๆ) รวมกันซื้อสลากการก

ล และได จํานวน วมงานเพื่อการกุศ เธอและเพื่อนซื้อสลาก ญาและเพื่อนๆ ไปร กิจกรรมที่ 1 พิช ที่จําหนายมีราคาใบละ 100 บาท 41311-41320 และเลขที่ ี่ ซึ่งสลาก 10 ใบ ไดเลขท มี ม เล 1 ก 2 เลม สลา ะเอียดตอไปนี้ รายล ง ดั ล างวั ร ี 51241-51250 โดยม

สลากเพื่อการกุศล

กษอักษร นายสมชาติ ารัยสลาก ประธานฝ งหมายเลขตั้งแต

บ เรีย ํานวน 59,999 ฉบั สลากจัดจัดพิมพจ สิทธิ์รับรางวัลได ที่จะมี ผูถือสลากเทานั้น

00001 - 59999

ล ลสลากเพื่อการกุศ

รางวั 1 รางวัล งคํา หนัก 3 บาท รางวัลที่ 1 สรอยคอทอ งคํา หนัก 2 บาท 1 รางวัล รางวัลที่ 2 สรอยคอทอ งคํา หนัก 1 บาท 3 รางวัล รางวัลที่ 3 สรอยคอทอ งคํา หนัก 2 สลึง 5 รางวัล รางวัลที่ 4 สรอยคอทอ งคํา หนัก 1 สลึง 120 รางวัล รางวัลที่ 5 สรอยคอทอ

บคําถามตอไปนี้ างตนใหนักเรียนตอ จากรายละเอียดข อไปนี้ นของเหตุการณต คําหนัก 3 บาท 1) หาความนาจะเป ทอง รางวัลไดสรอยคอ • เหตุการณที่ถูก ทองคําหนัก 2 บาท รางวัลไดสรอยคอ ก ู ถ ่ ี ท  ารณ ก เหตุ าหนัก 1 สลึง • ัลไดสรอยคอทองคํ กไมเกิน 1 บาท รางว ก ู ถ ่ ี ท  ารณ ก • เหตุ สรอยคอทองคําหนั ได ล ั รางว ก ู ถ ่ ี ท  • เหตุการณ

¡Ô ¨ ¡ÃÃÁàÊÃÔ Á ·Ñ ¡ ÉÐáÅСÃкǹ¡Ò÷ҧ ¤³ÔµÈÒʵà ª‹ÇÂÊÌҧ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡ÒäԴ ·Ò§¤³ÔµÈÒʵà ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹

1

แบบฝกหัด

ประจําหนวยการเรียนรูที่

1. ขอความตอไปนี้ขอความใดเปนอสมการ 1) 3x + 8

2) 9y - 7 > 0

3) 5 + 4a = 3 5) 2b2 ≥ 4 7) m2 - 4 ≥ 3

4) 4c ≠ 2c -1 6) 7k - 3 ≠ 2k +1 8) 5 + 2n = (n + 3) + (n + 2)

9) x2 + 2 ≠ 6

10) 3b + 1 > 4b + 8

2. จงตรวจดูวา จํานวนที่ใหไวในวงเล็บ [ ] เปนคําตอบของอสมการที่กําหนดใหหรือไม 1) 2x - 3 > 7

2) 4x - 5 ≤ 3

[5]

3) 4x ≠ 12

[3]

5) 7(3x - 1) < 12

[-3]

[2] 1 4) 4(2x + 1) > 7 2 6) 12(x - 4) ≠ 7 (x - 7) 25 8) 7(x - 1) < (3x + 4) [3] 10) 12 (4x - 5) > 4 - x [2]

7) 4(3 - x) > 2x + 1 [6] 9) x 3- 1 > - 4x [2] 3. กราฟตอไปนี้แสดงจํานวนใด 1) 2) 3) 4) 5)

-1

0

1

2

3

4

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

0

1

2

3

[] []

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Expand

Evaluate

ÊÒúѤ³ÔµÈÒʵà Á. 3 àÅ‹Á 2 ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

1

ÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ ● ●

● ●

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

2

Ê¶ÔµÔ ● ● ● ● ● ● ●

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

3

¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂǡѺÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ ¤íҵͺ¢Í§ÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ áÅСÃÒ¿áÊ´§¤íҵͺ ¡ÒÃá¡ŒÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ â¨·Â ÍÊÁ¡ÒÃàªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ

¤ÇÒÁÃÙŒàº×éͧµŒ¹à¡ÕèÂÇ¡ÑºÊ¶ÔµÔ ¡ÒÃÈÖ¡ÉÒâ´Â㪌ÃÐàºÕºÇÔ¸Õ·Ò§Ê¶ÔµÔ ¡ÒÃà¡çºÃǺÃÇÁ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ ¡ÒÃᨡᨧ¤ÇÒÁ¶Õè¢Í§¢ŒÍÁÙÅ ¡ÒÃËÒ¤‹Ò¡ÅÒ§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ·ÕèäÁ‹á¨¡á¨§¤ÇÒÁ¶Õè ¡ÒÃàÅ×Í¡áÅСÒÃ㪌¤‹Ò¡ÅÒ§¢Í§¢ŒÍÁÙÅ ¡ÒÃ㪌¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂǡѺʶԵԻÃСͺ¡ÒõѴÊÔ¹ã¨

¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹ ● ● ●

¡Ò÷´ÅͧÊØ‹ÁáÅÐà˵ءÒó ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¢Í§à˵ءÒó ¡ÒùíÒ¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂǡѺ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹ä»ãªŒ

1 - 36 2 8 14 29

37 - 102 38 39 45 47 64 81 89

103 - 152 104 116 138

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Explore Engage

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

4

Explain

Expand

Evaluate

¡ÒÃàÊÃÔÁ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡Òà ·Ò§¤³ÔµÈÒʵà ● ● ●

153 - 211

¤ÇÒÁÃÙŒà¡ÕèÂǡѺ·Ñ¡Éзҧ¤³ÔµÈÒʵà ¡Ô¨¡ÃÃÁ¾Ñ²¹Ò·Ñ¡ÉСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵà ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡Ò÷ҧ¤³ÔµÈÒʵà ¡ÑºÍѵÃÒʋǹµÃÕ⡳ÁÔµÔ

154 156 196

ºÃóҹءÃÁ

212

¤³ÔµÈÒʵà Á. 3 àÅ‹Á 1 ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

1

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

3

¾×é¹·Õè¼ÔÇáÅлÃÔÁÒµÃ

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

2

ÃкºÊÁ¡Òà àªÔ§àÊŒ¹ÊͧµÑÇá»Ã

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

4

¡ÃÒ¿¢Í§¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸ àªÔ§àÊŒ¹

¤ÇÒÁ¤ÅŒÒÂ

กระตุน ความสนใจ Engage

หนวยการเรียนรูที่

1

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

อสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว

ตัวชี้วัด ■

■

■

■

■

■

■

ใชความรูเกี่ยวกับอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียวในการแกปญ  หา พรอมทัง้ ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของ คําตอบ (ค 4.2 ม.3/1) ใชวิธีการที่หลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.1-3/1) ใชความรู ทักษะและกระบวนการ ทางคณิตศาสตรและเทคโนโลยี ในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/2) ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/3) ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตร ในการสื่อสาร การสื่อความหมายและ การนําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจน (ค 6.1 ม.1-3/4) เชื่อมโยงความรูตางๆ ในคณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตรไปเชือ่ มโยงกับศาสตร อื่นๆ (ค 6.1 ม.1-3/5) มีความคิดริเริ่มสรางสรรค (ค 6.1 ม.1-3/6)

สาระการเรียนรูแกนกลาง ■

อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว และการนําไปใช

อสมการคือประโยคสัญลักษณที่กลาวถึงความสัมพันธ ของจํานวนโดยมีสัญลักษณ <, ≤, >, ≥ หรือ ≠ บอกความ สัมพันธของจํานวน การหาคําตอบของโจทยปญหาที่เกี่ยวของกับอสมการ เราสามารถนําไปใชตอบคําถามบางอยางได

เปาหมายการเรียนรู • ใชความรูเกี่ยวกับอสมการเชิงเสน

ตัวแปรเดียวในการแกปญหาได • ใช ทั ก ษะและกระบวนการทาง คณิ ต ศาสตร ใ นการแก ป  ญ หาใน สถานการณตา งๆ ไดอยางเหมาะสม

กระตุนความสนใจ ครูสนทนาซักถามนักเรียนเกี่ยวกับ การเปรียบเทียบจํานวนสองจํานวน และการใช สั ญ ลั ก ษณ แ สดงการ เปรียบเทียบ • ถ า กํ า หนดจํ า นวนสองจํ า นวน ซึ่ ง เป น ค า คงตั ว นั ก เรี ย นบอก ได ไ หม ว า จํ า นวนใดมากกว า จํานวนใดนอยกวา และมากกวา กันอยูเทาไร ( แนวตอบ สามารถตอบได ว  า จํานวนใดมากกวาหรือนอยกวา) • นักเรียนเขียนโดยใชสัญลักษณ แสดง “มากกวา >” และ “นอยกวา <” ไดหรือไม (แนวตอบ คําตอบมีทงั้ ไดหรือไมได แตนักเรียนสวนใหญควรตอบวา เขียนได)

เกร็ดแนะครู การเรี ย นการสอนเรื่ อ งนี้ ครู ค วร จัดกิจกรรมการเรียนการสอนทีม่ งุ เนน ใหนักเรียนเขาใจสัญลักษณและการ ใช ส มบั ติ ข องการไม เ ท า กั น เพื่ อ หา คําตอบของอสมการ และสรางความ เขาใจการเปลี่ยนประโยคภาษาเปน ประโยคสัญลักษณเพื่อจะไดนําไปใช แกปญหาโจทยได

คูมือครู

1

กระตุน ความสนใจ สํารวจคนหา Engage

Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอกจากฉบั (หนาพิมพและตัวอักษรในกรอบนี้มีขนาดเล็ กวาฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ 1. ครูเขียนโจทย a - b = 8 โดย a, b แทนจํานวนสองจํานวนบนกระดานดํา ครูถามนักเรียนวา • นักเรียนบอกไดไหมวา จํานวนใด มากกวา จํานวนใดนอยกวา (แนวตอบ ได a มากกวา b) • ถาเขียนแสดงโดยใชสัญลักษณ เปน a > b หรือ b < a นักเรียน คิดวาถูกตองหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ถูกตอง เพราะผลลบ เปนจํานวนบวก) 2. ครูใหนักเรียนยกตัวอยางสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียว แลวครูทบทวน การแกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว โดยใชคําถามเชื่อมโยงกับสมการ ที่นักเรียนยกตัวอยาง 3. ครูเขียนอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 2 -3 อสมการ และถามนักเรียนวา • ประโยคสั ญ ลั ก ษณ ที่ เ ขี ย นเป น สมการหรือไมเพราะเหตุใด ( แนวตอบ ไม เ ป น เพราะไม ใ ช สัญลักษณ “ = ”) • นักเรียนไดศึกษาการแกสมการ เชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย วมาแล ว นักเรียนอยากทราบไหมวา การ แกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ใชสมบัตเิ หมือนกันหรือแตกตาง กั น กั บ การแก ส มการเชิ ง เส น ตัวแปรเดียว และอสมการเชิงเสน ตั ว แปรเดี ย วเกี่ ย วข อ งกั บ ชี วิ ต ประจําวันอยางไรบาง (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นั ก เรี ย นและคํ า ตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

1. ความรูเกี่ยวกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ในครอบครัวหนึง่ มีพนี่ อ งสองคน คือ นองภูผากับพีน่ าํ้ ฟาทัง้ คูแ ขงกันออมเงิน โดยตกลง กันวาจะหยอดเงินลงในกระปุกออมสินของตนเองทุกวัน วันละ 5 บาท เปนเวลา 15 วัน แตทั้งภูผา และนํา้ ฟาตางก็ลมื หยอดกระปุกไปบางวัน เมือ่ ครบ 15 วัน คุณพอซึง่ เปนกรรมการตัดสินไดนาํ เงิน ในกระปุกของแตละคนออกมานับ คุณพอบอกวาภูผาเก็บเงินไดนอยกวานํ้าฟา นํ้าฟาขยันเก็บเงิน จึงเก็บเงินไดมากกวาภูผา ถาใหพี่นํ้าฟาเก็บเงินไดจํานวน x บาท นองภูผาเก็บเงินไดจํานวน y บาท เราเขียนประโยคสัญลักษณแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนเงินของนํ้าฟาและภูผา จากขอความวา “ภูผาเก็บเงินไดนอยกวานํ้าฟา” ไดเปน y < x และจากขอความวา “นํ้าฟาเก็บเงินไดมากกวาภูผา” ไดเปน x > y จากสถานการณนี้ ภูผาบอกพอวา “เขาแนใจวาไดหยอดกระปุกครบ 10 วันแนนอน แตอีก 5 วันไมแนใจวาหยอดกระปุกหรือไม เขาควรมีเงินมากกวาหรือเทากับ 50 บาท แตก็ไมถึง 75 บาท ถาพีน่ าํ้ ฟาเก็บเงินไดมากกวาก็คงมากกวาไมเทาไร” นํ้าฟาบอกนองวา “เธอนาจะลืม หยอดกระปุกไป 2 วันเทานั้นแตก็ ไมแน ใจนัก เธอคิดวาเธอนาจะเก็บเงินไดนอยกวาหรือ เทากับ 65 บาท และไมตํ่ากวา 50 บาท แนนอน”

เปดโลกคณิตศาสตร ไดโอแฟนทัส (Diophantus) นักคณิตศาสตรชาวกรีก ไดชื่อวาเปนบิดาของวิชาพีชคณิต เพราะเปนคนแรกที่สามารถถายทอดความคิดและเขียนออกมาอยางมีระบบ โดยใชสัญลักษณที่เขา กําหนดขึ้นเองในรูปของการแกสมการแบบตางๆ ที่ไมจํากัดตายตัว เชน สมการที่มีขอมูลไมเพียง พอที่จะหาคําตอบ แตสามารถแสดงคําตอบเปนจํานวนที่มีลักษณะเฉพาะ ที่สมบูรณเพียงพอในรูปที่ ชัดเจนแนนอนได ที่มา : Tay Choon Hong, Mark Riddington, Martin Grier. Mathematic Counts 2.

สํารวจคนหา 1. ก อ นให นั ก เรี ย นศึ ก ษาบทเรี ย น หนา 2 - 5 ครูตั้งคําถามนําวา • นักเรียนในหองนี้ ใครมีความสูง ตํ่ากวา 160 เซนติเมตร • วั น นี้ นั ก เรี ย นได อ  า นหนั ง สื อ มากกวา 10 หนา หรือไม 2. เมือ่ ครูไดคาํ ตอบจากนักเรียนใหนาํ มาเขียนประโยคสัญลักษณ เชน • x < 160 • y > 10

2

2

คูมือครู

นักเรียนควรรู สัญลักษณ (symbol) เปนสิง่ ทีน่ กั คณิตศาสตรไดกาํ หนดขึน้ มาเพือ่ ใชแทนขอความซึง่ เกีย่ วกับจํานวน สําหรับสื่อความหมายใหเขาใจตรงกันและชัดเจนโดยใชระยะเวลาในการเขียนสั้นๆ และรวดเร็ว สวนเครือ่ งหมายเปนสิง่ ทีน่ กั คณิตศาสตรกาํ หนดขึน้ มาเพือ่ ใชบอกการดําเนินการเกีย่ วกับจํานวนตางๆ เชน + _ × ÷ < > ≤ ≥ เปนตน

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 3

นักเรียนทราบหรือไมวา จะเขียนประโยคสัญลักษณแสดงจํานวนเงินของภูผาและแสดง จํานวนเงินของนํ้าฟาไดอยางไร เราเขียนประโยคสัญลักษณแสดงจํานวนเงินของภูผาจากขอความวา “เขาควรเก็บเงินไดมากกวาหรือเทากับ 50 บาท” ไดเปน y ≥ 50 และจากขอความ “เขาเก็บเงินไดไมถึง 75 บาท” ไดเปน y < 75 และเขียนประโยคสัญลักษณแสดงจํานวนเงินของนํา้ ฟาจากขอความวา “เธอนาจะเก็บเงิน ไดนอยกวาหรือเทากับ 65 บาท” ไดเปน x ≤ 65 และจากขอความวา “เธอเก็บเงินไดไมตํ่ากวา 50 บาท ไดเปน x ≥ 50” ภูผาบอกคุณพอวา “นาจะลองนับเงินของแตละคนใหมอกี ครัง้ หนึง่ เขาอาจเก็บไดเทากับ พี่สาวก็ได” คุณพอบอกภูผาวา “นับเงินสองครั้งแลว เขาเก็บเงินไดไมเทากับพี่ พี่นํ้าฟาเก็บเงินได มากกวา” ภูผาจึงยอมรับอยางกลาหาญในคําตัดสินของพอ แลวบอกคุณพอวาจะตัง้ ใจเก็บเงินใหม อีกครั้งหนึ่งใหไดมากกวาพี่นํ้าฟาใหได ภูผาคิดวา “เขาอาจเก็บเงินไดเทากับนํา้ ฟา” เขียนประโยคสัญลักษณแสดงความสัมพันธ ระหวางจํานวนเงินของภูผาและนํ้าฟาไดเปน y = x คุณพอบอกภูผาวา “เก็บเงินไดไมเทากับพี่นํ้าฟา” เขียนประโยคสัญลักษณแสดงความ สัมพันธระหวางจํานวนเงินของภูผาและนํ้าฟาไดเปน y ≠ x จากสถานการณ ที่ก ล าวมาข างต นจะพบคํ าที่แสดงความสัม พัน ธระหวา งจํา นวน สองจํานวน ไดแก นอยกวา มากกวา มากกวาหรือเทากับ นอยกวาหรือเทากับ เทากับ ไมเทากับ ในชีวิตจริงเราจะพบคําเหลานี้อยูเสมอ นักเรียนควรจดจําสัญลักษณแทนความสัมพันธระหวาง จํานวนสองจํานวนซึ่งมีดังนี้ < > ≥ ≤ = ≠

แทนความสัมพันธ แทนความสัมพันธ แทนความสัมพันธ แทนความสัมพันธ แทนความสัมพันธ แทนความสัมพันธ

นอยกวา มากกวา มากกวาหรือเทากับ นอยกวาหรือเทากับ เทากับ ไมเทากับ

ครูใชคําถามนําทางใหนักเรียนคิด วิเคราะห • ประโยคทีเ่ ปนอสมการ มีลกั ษณะ อยางไรบาง ใหยกตัวอยางประกอบ (แนวตอบ ประโยคที่แสดงความ สัมพันธของจํานวน โดยมีสญ ั ลักษณ <, >, ≤, ≥, ≠ บอกความสัมพันธ ระหวางจํานวนทัง้ สองขาง ตัวอยาง เชน x < 5, y ≥ 23)

นักเรียนควรรู ไมถึง ขอความนี้มีความหมายวา นอยกวา เขียนแทนดวยสัญลักษณ < มีขอ สังเกตเกีย่ วกับสัญลักษณทคี่ วรจํา คือ ทางดานปลายแหลมจะเปนตัวแปร และอีกดานหนึ่งจะเปนจํานวนคงที่ นอกจากนีใ้ นโจทยปญ  หาจะมีขอ ความ อื่น เชน นอ ยกวา ปรากฏอยู ซึ่งมี ความหมายเหมือนกันและเปนการ บงบอกวาตองใชสัญลักษณนี้ในการ แกโจทยปญหา

นักเรียนควรรู ไมตํ่ากวา ขอความนี้มีความหมาย วา มากกวาหรือเทากับ เขียนแทนดวย สั ญ ลั ก ษณ ≥ มี ข  อ สั ง เกตเกี่ ย วกั บ สัญลักษณทคี่ วรจํา คือ ทางดานปลาย แหลมจะเปนจํานวนคงที่และอีกดาน หนึ่งเปนตัวแปร นอกจากนี้ในโจทย ปญหาจะมีขอ ความอืน่ เชน ไมนอ ยกวา ปรากฏอยู ซึง่ มีความหมายเหมือนกัน และเปนการบงบอกวา ตองมีการใช สัญลักษณนี้ในการแกโจทยปญหา

คูมือครู

3

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใหนักเรียนจับคูตอบคําถามที่ ไดศึกษาบทเรียน หนา 4 ขอ 1) - 5) จากนั้ น แต ล ะคู  ต รวจสอบคํ า ตอบ จากหนังสือเรียน หนา 4 - 5 และให นักเรียนรวมกันแลกเปลี่ยน อธิบาย คําตอบของแตละคูวาถูกตองหรือไม หากยังไมสมบูรณครูควรชีแ้ นะเพิม่ เติม

นักเรียนควรรู น อ ยกว า เป น คํ า ที่ ใ ช แ สดงการ เปรี ย บเที ย บจํ า นวนสองจํ า นวนที่ ไมเทากัน ซึ่งใชสัญลักษณ <

นักเรียนควรรู จริ ง (true) เป น คํ า ที่ บ  ง บอกให ทราบวาขอความหรือโจทยปญหานั้น สอดคลองกับขอเท็จจริงและเหตุผล ทางคณิตศาสตร

นักเรียนควรรู เท็ จ (false) เป น คํ า ที่ บ  ง บอกให ทราบวาขอความหรือโจทยปญหานั้น ขัดแยงกับขอเท็จจริงและเหตุผลทาง คณิตศาสตร

@

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิม่ เติมเกีย่ วกับอสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียวไดที่ http://edltv. thai.net/index.php?mod=Cours es&file=showcontent&cid=262&s id=308

4

คูมือครู

4

นักเรียนเคยศึกษาเรื่องสมการในชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 และทราบมาแลววา เราเรียก ประโยคสัญลักษณที่กลาวถึงความสัมพันธของจํานวน โดยมีสัญลักษณ = บอกความสัมพันธ ระหวางจํานวนวาสมการ ในหัวขอนี้นักเรียนจะไดศึกษาเรื่องอสมการ ตอไปนี้เปนประโยคภาษาซึ่งแปลงเปนประโยคสัญลักษณที่ตอไปเรียกวา อสมการ ให x แทนจํานวนหนึ่ง ประโยคภาษา 1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

หาสิบนอยกวาเจ็ดสิบ เกาสิบแปดมากกวาสิบสาม กําลังสองของจํานวนหนึ�งมากกวาหรือเทากับสิบแปด สองเทาของผลบวกของจํานวนหนึง� กับเจ็ดนอยกวาหรือเทากับสิบ ยี่สิบเอ็ดไมเทากับหกสิบสี่ สองเทาของสิบแปดนอยกวายี่สิบหา จํานวนหนึ�งหารดวยแปดมากกวาสาม สี่รอยนอยกวาเจ็ดสิบสอง

1.

2.

3.

4.

ประโยคสัญลักษณ 50 < 70 98 > 13 x2 ≥ 18 2(x + 7) ≤ 10

5.

6.

7.

8.

21 ≠ 64 2(18) < 25 x 8 >3 400 < 72

ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางของอสมการขางตน แลวตอบคําถามตอไปนี้ 1) นักเรียนทราบหรือไมวาอสมการคืออะไร 2) อสมการในขอใดเปนอสมการที่ไมมีตัวแปร 3) อสมการในขอใดเปนอสมการที่มีตัวแปร 4) อสมการในขอใดเปนอสมการที่เปนจริง 5) อสมการในขอใดเปนอสมการที่เปนเท็จ ตอบคําถามขางตนไดดังนี้ 1) อสมการ หมายถึง ประโยคสัญลักษณที่แสดงถึงความสัมพันธของจํานวนโดยมี สัญลักษณ < , ≤ , > , ≥ หรือ ≠ บอกความสัมพันธระหวางจํานวน 2) อสมการในขอ 1., 2., 5., 6. และ 8. เปนอสมการที่ไมมีตัวแปร 3) อสมการในขอ 3., 4. และ 7. เปนอสมการที่มีตัวแปร ตัวแปรนั้นคือ x

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 5

4) อสมการในขอ 1., 2. และ 5. เปนอสมการที่เปนจริง 5) อสมการในขอ 6. และ 8. เปนอสมการที่เปนเท็จ พิจารณาสมการ 1) 1 + 8 = 3 + 6 2) 42 + 4 = 52 - 5 3) 2(6) = 3(5) 4) 562 = 20 + 7 นักเรียนทราบมาแลววาสมการ 1) และ 2) เปนสมการทีเ่ ปนจริง และสมการ 3) และ 4) เปนสมการที่เปนเท็จ ในการศึกษาเกี่ยวกับอสมการ นักเรียนจะไดศึกษาอสมการที่เปนจริง และอสมการที่ เปนเท็จเชนเดียวกันกับการศึกษาเรื่องสมการ ใหนักเรียนพิจารณาอสมการในแตละขอตอไปนี้ 1. 20 + 6 < 47 - 2 คณิตคิดสนุก 2. 42 + 100 ≤ 82 + 50 3. 51 + 49 > 86 จํานวนนับ 5 จํานวน เรี ย งกั น รวมกันได 1,270 จงหา 4. 846 + 154 > 1,001 จํานวนนับ 5 จํานวนนั้น นักเรียนทราบหรือไม 1) อสมการในขอใดเปนอสมการที่เปนจริง 2) อสมการในขอใดเปนอสมการที่เปนเท็จ ตอบคําถามขางตนไดดังนี้ 1) อสมการในขอ 1. และ 3. เปนอสมการที่เปนจริง 2) อสมการในขอ 2. และ 4. เปนอสมการที่เปนเท็จ

ครูตั้งคําถามใหนักเรียนคิดวิเคราะห • คํากลาวทีว่ า “อสมการตองมีตวั แปร เสมอ” ขอความนีถ้ กู หรือไม เพราะ เหตุใด (แนวตอบ คํากลาวนี้ ไมถกู ตอง เพราะ 10 > 9 จัดเปนอสมการได หรือ 3x < 12 จัดเปนอสมการไดเชนกัน ดังนั้น อสมการมีไดทงั้ อสมการทีม่ ตี วั แปร และไมมีตัวแปร)

นักเรียนควรรู สมการ (equation) มีความหมายวา การเท า กั น ซึ่ ง ในทางคณิ ต ศาสตร สามารถแบงการเทากัน (equality) เปน 2 ลักษณะ คือ - การเทากันอยางแทจริง (indentical equality) เปนการเทากันของ ตัวเอง เชน 3 = 3, 2x + 2x = 7x เปนตน - การเทากันในบางกรณี (conditional equality) เปนการเทากันในกรณี อยางใดอยางหนึง่ หรือหลายอยาง เชน 2x = 8 เทากันเมือ่ x = 4, x2 = 9 มีได 2 กรณี x = 2, -2 เปนตน

เกร็ดแนะครู มุมความคิด เรียกประโยคสัญลักษณที่แสดงถึงความสัมพันธของจํานวนโดยมีสัญลักษณ < , ≤ , >, ≥ หรือ ≠ บอกความสัมพันธของจํานวนวา อสมการ

(แนวตอบ คณิตคิดสนุก จํานวนนับ 5 จํานวน ไดแก 252, 253, 254, 255, 256)

คูมือครู

5

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวตองมี ลักษณะสําคัญอะไรบาง ใหยกตัวอยาง ประกอบ (แนวตอบ อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ตองมีลักษณะสําคัญ 3 สวน คือ ส ว นที่ ห นึ่ ง เป น ประโยคที่ แ สดง ความสัมพันธของจํานวนที่ไมใช สัญลักษณเทากับ (=) สวนที่สอง ตองมีตัวแปรหนึ่งตัว สวนที่สาม เลขชี้กําลังของตัวแปร ตองเปนกําลังหนึ่งเทานั้น ดังนั้น รูปทั่วไปของสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว คือ ax + b ≥ 0 หรือ ax + b ≤ หรือ mx + n ≠ 0)

นักเรียนควรรู ตัวแปร (variable) คือ สัญลักษณ ที่ใชแทนจํานวนใดๆ ที่ไมทราบคาใน โจทยปญหา โดยทั่วไปจะใชตัวอักษร เชน a, b, c, d,…y, z

6

ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางของอสมการตอไปนี้ 1) 3x + 5 < 7 2) 4x + 2 ≤ 9 3) 7x + 1 > 3 4) 2x + 4 ≥ 6 5) - 3x + 2 ≠ 10 6) 6(x + 3) > 12 7) 14x + 8 < 2x - 3 8) 7(x + 2) ≥ 3(2x + 4) 9) (x - 2) ≥ -15 10) (x - 4) ≠ (x + 3) เรียกอสมการในขอ 1) - 10) วา อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว นักเรียนอธิบายลักษณะของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวไดหรือไม มุมความคิด เรียกอสมการที่อยูในรูปตอไปนี้วา อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว 2. ax + b ≤ c 1. ax + b < c 4. ax + b ≥ c 3. ax + b > c 5. ax + b ≠ c เมื่อ a, b, c เปนคาคงตัวโดยที่ a ≠ 0 และ x เปนตัวแปร

นักเรียนควรรู มากกวาหรือเทากับ เปนขอความ ทีใ่ ชแสดงการเปรียบเทียบจํานวนสอง จํานวนซึ่งอาจจะมีคาเทากันหรืออีก จํานวนหนึ่งตองมากกวา

เกร็ดแนะครู ครูควรอธิบายความแตกตางและ ความหมายของ “จํ า นวนหนึ่ง ” ให นักเรียนเขาใจ “จํานวนหนึ่ง” เปนคําอานของ “1” “จํานวนจํานวนหนึง่ ” เปนขอความ ใชแทนจํานวนที่ไมทราบคา

6

คูมือครู

แบบตรวจสอบความเขาใจที่

1.1

1. จงเขียนประโยคสัญลักษณแทนประโยคภาษาในแตละขอตอไปนี้ 1) สามเทาของจํานวนจํานวนหนึ�งนอยกวาเกา 2) จํานวนจํานวนหนึ�งหักออกดวยเจ็ดมากกวายี่สิบ 3) สี่เทาของจํานวนจํานวนหนึ�งรวมกับสิบเอ็ดนอยกวาหรือเทากับสิบหา 4) สองเทาของจํานวนจํานวนหนึ�งหักออกดวยยี่สิบสองมากกวาหรือเทากับสิบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

ขยายความเขาใจ 7

5) สองเทาของผลบวกของจํานวนจํานวนหนึ�งกับสามไมเทากับแปด 6) เจ็ดเทาของผลตางของจํานวนจํานวนหนึ�งกับสิบหกมีคาไมเกินสี่ 7) เศษหนึ�งสวนหาของจํานวนหนึ�งเมื่อนําไปรวมกับแปดสิบมีคาไมนอยกวาหก 8) ผลคูณของจํานวนจํานวนหนึ�งจํานวนกับเจ็ดเมื่อบวกกับสามมีคาอยางมากสิบแปด หนึ�งกับสองเมื่อหารดวยแปด มีคาไมมากกวาสามสิบเอ็ด 9) ผลบวกของจํานวนจํานวนหนึ 10) เศษสีส่ ว นหาของผลบวกของจํานวนจํานวนหนึง� กับสามมีคา ไมถงึ ครึง� หนึง� ของจํานวนนัน้ 2. จงเปลี่ยนประโยคสัญลักษณในแตละขอตอไปนี้เปนประโยคภาษา กําหนดให x แทนจํานวน จํานวนหนึ่ง 1) 21 < 56 คณิตคิดสนุก 2) 7x ≥ 19 3) 4x + 3 ≤ -2 4) 2x - 9 ≠ 17 5) 3(x - 2) > 26 6) 3x + 7 ≤ x - 2 7) 25 (x + 1) > 2x -7 ใหเติมตัวเลข 1-9 ลงไป 8) 7x + 23 x ≤ 24 ในวงกลม เพือ่ ใหอสมการเปนจริง โดยหามใชตัวเลขซ เลขซ้ํา้ กัน (มีหลาย 9) x 2+ 3 ≥ 18 + x วิธีนะจะ) 10) x 2- 1 ≠ x

> > >

< > < > < >

1. ใหนักเรียนจับคูรวมกันแลกเปลี่ยน ความคิดเห็นวาโจทยขอใดในแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.1 หนา 6 - 7 วาเหมือนกับตัวอยางใดที่เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดทีแ่ ลกเปลีย่ นกัน นําไปใชในการทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.1 จากนั้นนักเรียน แตละคูแ ลกเปลีย่ นกันตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2 - 3 คูใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธกี ารแกปญ  หา โจทย

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.1 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.1 ที่ ส  ว นเสริ ม ด า นหน า ของ หนังสือเลมนี้)

> > >

ไมมากกวา ขอความนีม้ คี วามหมาย วา นอยกวาหรือเทากับ เขียนแทนดวย สั ญ ลั ก ษณ ≤ มี ข  อ สั ง เกตเกี่ ย วกั บ สัญลักษณทคี่ วรจํา คือ ทางดานปลาย แหลมจะเปนตัวแปรและอีกดานหนึ่ง จะเปนจํานวนคงที่ แตถาเปนจํานวน คงที่ทั้งสองดาน ดานปลายแหลมตอง เปนจํานวนทีน่ อ ยกวาเสมอ นอกจากนี้ ในโจทยอาจจะมีขอ ความอืน่ ๆ ปรากฏ เชน ไมมากกวา ไมเกิน เปนตน ซึ่ง ขอความเหลานี้เปนการบงบอกเกี่ยว กับการใชสัญลักษณในการแกปญหา

เกร็ดแนะครู (แนวตอบ คณิตคิดสนุก สามารถเติม ตัวเลขลงในวงกลมได ดังนี้ ) 4 8 3

< > <9>6 <7>2

> > >

3. ประโยคสัญลักษณที่กําหนดใหตอไปนี้ประโยคใดเปนอสมการ 2) 4b - 5 > 0 1) 4x + 3 ≠ 0 3) 8 + 10y = 6 4) 7x - 3 = x + 6 6) 2x ≤ 1 5) a - 8 ≠ 2a - 8 7) 8b + 4 ≥ 3 8) 4 - x = -(x - 4) 2 9) 5 c - 7 < c 10) n2 ≠ 100

นักเรียนควรรู

> > >

5 1

คูมือครู

7

กระตุนความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา 1. ครู ส นทนาซั ก ถามนั ก เรี ย นเพื่ อ เชื่ อ มโยงความรู  ก ารแก ส มการ เชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย วกั บ การแก อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว • สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว มีคําตอบของสมการกี่คา (แนวตอบ มีคําตอบของสมการ 1 คา) • การหาคําตอบของสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียววิธีใดที่ไมใชสมบัติ ของการเทากัน (แนวตอบ การลองแทนคา) • นักเรียนคิดวานักเรียนสามารถ ระบุจํานวนคําตอบของอสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียวไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนอาจจะตอบวา ไดหรือไมได) 2. ให นั ก เรี ย นจั บ คู  ศึ ก ษาบทเรี ย น หนา 8 - 9 พรอมสรุปความแตกตาง ระหวางจํานวนคําตอบของสมการ เชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย วกั บ อสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียว 3. ถาครูกําหนดอสมการให • นักเรียนจะรูไดอยางไรวา จะนํา จํานวนจริงใดมาแทนคาตัวแปร แลวทําใหอสมการเปนจริง จํานวน จริงเหลานัน้ เปนเพียงคําตอบหนึง่ เทานั้น นักเรียนจะระบุคําตอบ ของอสมการใหชดั เจนไดอยางไร (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

นักเรียนควรรู ≯เปนสัญลักษณซงึ่ หมายความวา

อาจจะนอยกวาหรือเทากับ เมือ่ กําหนด a และ b แทนจํานวนใดๆ ให a ไมมาก กวา b จะใช ≯ เขียนแทนดวย a ≯ b

8

อธิบายความรู

คูมือครู

8

2. คําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและกราฟแสดงคําตอบ ในการศึกษาสมการที่มีตัวแปร นักเรียนไดทราบแลววา คําตอบของสมการที่มีตัวแปร คือ จํานวนจริงที่แทนคาตัวแปรในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง เชน สมการ 2x + 7 = 15 เมื่อแทนคา x ดวย 4 จะทําใหสมการเปนจริง จึงเรียก 4 วาเปนคําตอบของสมการ แตเมื่อแทนคา x ดวยจํานวนจริงอื่นๆ ที่ไมใช 4 จะทําใหสมการเปนเท็จ เชน เมื่อแทนคา x ดวย 2 จะได 2(2) + 7 = 4 + 7 = 11 ซึ่ง 11 ≠ 15 หรือเมื่อแทนคา x ดวย 1.5 จะได 2(1.5) + 7 = 3 + 7 = 10 ซึ่ง 10 ≠ 15 เปนตน นั่นคือจํานวนจริงอื่นๆ ที่ไมใช 4 ไมเปนคําตอบของสมการ 2x + 7 = 15 ทํานองเดียวกันในการศึกษาอสมการที่มีตัวแปร นักเรียนจะไดศึกษาวิธีการหาคําตอบ ของอสมการที่มีตัวแปร ใหนักเรียนพิจารณาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว x + 2 > 5 1) แทนคา x ดวย 2 จะไดอสมการ 2 + 2 > 5 อสมการที่ไดเปนเท็จ เพราะ 2 + 2 = 4 ซึ่ง 4 ไมมากกวา 5 (เขียนเปนสัญลักษณไดวา 4 ≯ 5) เรียก 2 วาไมเปนคําตอบของอสมการ 2) แทนคา x ดวย 2.8 จะไดอสมการ 2.8 + 2 > 5 อสมการที่ไดเปนเท็จ เพราะ 2.8 + 2 = 4.8 ซึ่ง 4.8 ไมมากกวา 5 (เขียนเปนสัญลักษณไดวา 4.8 ≯ 5) เรียก 2.8 วาไมเปนคําตอบของอสมการ 3) แทนคา x ดวย 3 จะไดอสมการ 3 + 2 > 5 อสมการที่ไดเปนเท็จ เพราะ 3 + 2 = 5 เรียก 3 วาไมเปนคําตอบของอสมการ 4) แทนคา x ดวย 3.12 จะไดอสมการ 3.12 + 2 > 5 อสมการที่ไดเปนจริง เพราะ 3.12 + 2 = 5.12 ซึ่ง 5.12 > 5 เรียก 3.12 วาเปนคําตอบหนึ่งของอสมการ 5) แทนคา x ดวย 4 จะไดอสมการ 4 + 2 > 5 อสมการที่ไดเปนจริง เพราะ 4 + 2 = 6 ซึ่ง 6 > 5 เรียก 4 วาเปนคําตอบหนึ่งของอสมการ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 9

มุมความคิด คําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว คือ จํานวนจริงที่แทนคาตัวแปรในอสมการ แลวทําใหอสมการเปนจริง

ขอสังเกต จากขอ 1) - 5) นักเรียนจะสังเกตเห็นวา เมื่อนําจํานวนจริงที่นอยกวาหรือเทากับ 3 ไปแทนคา x ในอสมการ x + 2 > 5 แลวอสมการที่ไดเปนเท็จ แตเมื่อนําจํานวนจริงที่มากกวา 3 บางจํานวนไปแทนคา x ในอสมการ x + 2 > 5 แลว จะทําใหอสมการนั้นเปนจริง ดังนั้น จึงคาดการณไดวาคําตอบของอสมการ x + 2 > 5 คือ จํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 3 ซึ่งจะแสดงใหเห็นจริงไดในเรื่องการแกอสมการ

การเขียนคําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว เราสามารถเขียนกราฟแสดงจํานวน ที่เปนคําตอบของอสมการได โดยแทนจํานวนทุกจํานวนที่เปนคําตอบของอสมการบนเสนจํานวน ใหนักเรียนพิจารณาการเขียนกราฟแสดงจํานวนตอไปนี้ เราสามารถใชกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 3 ไดดังนี้ -1

0

1

2

3

4

5

เนื่องจากทุกจํานวนตองมากกวา 3 ดังนั้น จะเขียนจุดโปรง ( ๐) บนจุดที่แทน 3 เพื่อแสดงวากราฟไมรวมจุดที่แทน 3 และลากเสนทึบตอจากจุดโปรงไปทางขวาของเสนจํานวน ถาตองการแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ 3 จะทําอยางไร เราสามารถใชกราฟแสดง ไดดังนี้ -1

0

1

2

3

4

5

เนือ่ งจากทุกจํานวนตองมากกวาหรือเทากับ 3 ดังนัน้ จะเขียนจุดทึบ ( • ) บนจุดทีแ่ ทน 3 เพื่อแสดงวากราฟรวมจุดที่แทน 3 และลากเสนทึบตอจากจุดทึบไปทางขวาของเสนจํานวน

ครูใหนกั เรียนศึกษาบทเรียน หนา 9 พรอมตอบคําถาม • นั ก เรี ย นทราบไหมว า การเขี ย น คําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปร เดียว ใชวิธีใดไดบาง (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้ น ฐานความรู  ข องนั ก เรี ย น และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน) • นั ก เรี ย นบอกความเหมื อ นและ ความแตกตางระหวางเสนจํานวน กับกราฟแสดงคําตอบของอสมการ ไดหรือไม วาเปนอยางไร (แนวตอบ เหมือนกันในประเด็นที่ใช เสนจํานวน แตแตกตางในประเด็น ทีก่ ราฟแสดงคําตอบของอสมการมี จุดโปรง จุดทึบและเสนทึบระหวาง จุดโปรงหรือจุดทึบและหัวลูกศร)

นักเรียนควรรู

คําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปร เดี ย ว มี ข  อ สั ง เกตว า อสมการเชิ ง เสนตัวแปรเดียวบอกความสัมพันธ มากกวาหรือนอยกวาหรือไมเทากัน จะมีคําตอบไดหลายคําตอบ ตรงตาม เงื่อนไขของโจทย

นักเรียนควรรู

จุดโปรง ( ๐ ) เปนสัญลักษณทแี่ สดง วาจํานวน ณ จุดนัน้ ไมเปนคําตอบของ อสมการ

นักเรียนควรรู

จุดทึบ ( • ) เปนสัญลักษณทแี่ สดงวา จํ า นวน ณ จุ ด นั้ น เป น คํ า ตอบของ อสมการดวย

คูมือครู

9

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูใหนกั เรียนศึกษาบทเรียน หนา 10 พรอมตอบคําถาม • นั ก เรี ย นทราบไหมว า การเขี ย น คําตอบของอสมการเชิงเสนตัวแปร เดียว ใชวิธีใดไดบาง • นั ก เรี ย นบอกความเหมื อ นและ ความแตกตางระหวางเสนจํานวน กับกราฟแสดงคําตอบของอสมการ ไดหรือไมวาเปนอยางไร (แนวตอบ เหมือนกันในประเด็นที่ใช เสนจํานวน แตแตกตางในประเด็น ที่กราฟแสดงคําตอบของอสมการ มีจดุ โปรง จุดทึบและเสนทึบระหวาง จุดโปรงหรือจุดทึบและหัวลูกศร) • สิ่งที่ควรระมัดระวังเมื่อเขียนกราฟ แสดงคําตอบของอสมการมีอะไร บาง (แนวตอบ การเขียนจุดโปรง จุดทึบ และหัวลูกศร)

10

นักเรียนเขียนกราฟแสดงจํานวนในขอตอไปนี้ไดหรือไม 1) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 3 2) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 3 3) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่ไมเทากับ 3 4) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -1 แตนอยกวา 3 จากคําถามขางตนเขียนกราฟแสดงจํานวนไดดังนี้ 1) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวา 3 เปนดังนี้ -1

-1

10

คูมือครู

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

3) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่ไมเทากับ 3 เปนดังนี้ -1

กราฟแสดงจํ า นวนจริ ง ในที่ นี้ หมายถึงการเขียนสวนของเสนตรง หรื อ รั ง สี บ นเส น จํ า นวนจริ ง (real number line) หรื อ เรี ย กสั้ น ๆ ว า เสนจํานวน (number line) เพื่อแสดง จํานวนเหลานั้นใหเดนชัดยิ่งขึ้น

เขียนกราฟแสดงจํานวน จะใชเสน จํานวนโดยมีเสนทึบ จุดทึบและจุดโปรง เพือ่ แสดงใหเห็นชัดเจนวา จํานวนจริง ที่ตองการกลาวถึงเปนจํานวนใด

1

2) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ 3 เปนดังนี้

นักเรียนควรรู

นักเรียนควรรู

0

0

1

2

3

4

5

4) กราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -1 แตนอยกวา 3 เปนดังนี้ -1

0

1

2

3

4

5

เรียกกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนทีเ่ ปนคําตอบของอสมการวา กราฟแสดงคําตอบ ของอสมการ

EB GUIDE

http://www.aksorn.com/LC/Math B2/M3/01

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 11 ตัวอยางที่

1

จงหาจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ โดยวิธีแทนคาตัวแปร 1) a - 9 > 0 2) 2b ≥ 10 1) a - 9 > 0 ลองแทนคา a ดวย 8, 9, 10, 11, 12 จะได 8 - 9 = -1 ทําให -1 > 0 ซึ่งไมเปนจริง 9 - 9 = 0 ทําให 0 > 0 ซึ่งไมเปนจริง 10 - 9 = 1 ทําให 1 > 0 ซึ่งเปนจริง 11 - 9 = 2 ทําให 2 > 0 ซึ่งเปนจริง 12 - 9 = 3 ทําให 3 > 0 ซึ่งเปนจริง จากการลองแทนคา a ขางตนพบวา คา a ที่ทําให a - 9 > 0 เปนจริง คือ 10, 11, 12 ดังนั้น 10 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ a - 9 > 0 วิธีทํา

2) 2b ≥ 10 ลองแทนคา b ดวย 10, 15, 20, 25 10 = 5 ทําให 5 ≥ 10 ซึ่งไมเปนจริง จะได 2 15 = 7.5 ทําให 7.5 ≥ 10 ซึ่งไมเปนจริง 2 20 = 10 ทําให 10 ≥ 10 ซึ่งเปนจริง 2 25 = 12.5 ทําให 12.5 ≥ 10 ซึ่งเปนจริง 2 ดังนั้น 20 เปนจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ 2b ≥ 10

ตัวอยางที่ 1 ครูใชคาํ ถามใหนกั เรียน คิดวิเคราะห • ข อ 1) - 2) นั ก เรี ย นควรจะเลื อ ก จํานวนเต็มบวกหรือจํานวนเต็มลบ มาแทนคา เพราะเหตุใด (แนวตอบ ขอ 1) ใชจํานวนเต็มบวก เพราะว า ผลลบเป น จํ า นวนบวก ตัวตั้ง (a) จึงตองเปนจํานวนบวก ขอ 2) ใชจํานวนเต็มบวกเพราะวา ผลหารเปนจํานวนบวกและตัวหาร เปนจํานวนบวก) • นั ก เรี ย นคิ ด ว า จํ า นวนเต็ ม บวกที่ นํามาแทนคาในขอ 1) และขอ 2) ควรจะเปนจํานวนชนิดใด จึงจะ สะดวก (แนวตอบ ขอ 1) เปนจํานวนเต็มคู หรือคี่ก็ได ขอ 2) เปนจํานวนเต็มคู จึงสะดวก ที่สุดเพราะตัวหารเปน 2) • วิธที นี่ าํ เสนอในขอ 2) นักเรียนคิดวา เหมาะสมหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของนักเรียน)

นักเรียนควรรู จํานวนเต็มทีน่ อ ยทีส่ ดุ เปนขอความ ทีก่ าํ หนดเพือ่ ใหระบุคาํ ตอบของสมการ หรือคําตอบของอสมการ

ตอบ

คูมือครู

11

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู ขยายความเขาใจ Explain Explain

ขยายความเข Expand าใจ Expand

ขยายความเขาใจ ครูใหนกั เรียนจับคูร ว มกันแลกเปลีย่ น ความคิดเห็นวา โจทยขอใดในแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 หนา 12 - 13 วาเหมือนกับตัวอยางใดที่เรียนมา

นักเรียนควรรู มากที่ สุ ด ข อ ความนี้ บ  ง บอกว า ควรเลือกใชสัญลักษณ < เนื่องจาก คํ า ตอบของอสมการจะต อ งเป น จํานวนที่มีคานอยกวาจึงสามารถหา จํานวนเต็มที่มากที่สุดได

12

คูมือครู

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ตัวอยางที่ 2 หนา 12 ครูใชคําถาม ใหนักเรียนคิดวิเคราะห • ขอ 1) นักเรียนควรใชจํานวนเต็ม บวกหรือจํานวนเต็มลบมาแทนคา เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้ น ฐานความรู  ข องนั ก เรี ย น และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน) • นักเรียนคิดวา จํานวนเต็มทีม่ ากทีส่ ดุ จะเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบ เพราะเหตุใด (แนวตอบ จะเปนจํานวนเต็มบวก เพราะผลบวกของ x กั บ 5 เป น จํานวนบวก) • ขอ 2) จํานวนเต็มทีม่ ากทีส่ ดุ จะเปน จํานวนลบไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมไดเพราะวา 3y เปน จํานวนบวก จะไดวา y ตองมีคา เปน จํานวนเต็มบวก)

ตรวจสอบผล

12 ตัวอยางที่

2

จงหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ โดยวิธีแทนคาตัวแปร 1) x + 5 < 6 2) 3y ≤ 5 วิธีทํา

1) x + 5 < 6 ลองแทนคา x ดวย -2, -1, 0, 1, 2 จะได -2 + 5 = 3 ทําให 3 < 6 ซึ่งเปนจริง -1 + 5 = 4 ทําให 4 < 6 ซึ่งเปนจริง 0 + 5 = 5 ทําให 5 < 6 ซึ่งเปนจริง 1 + 5 = 6 ทําให 6 < 6 ซึ่งไมเปนจริง 2 + 5 = 7 ทําให 7 < 6 ซึ่งไมเปนจริง ดังนั้น 0 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ x + 5 < 6 2) 3y ≤ 5 ลองแทนคา y ดวย -1, 0, 1, 2 จะได 3(-1) = -3 ทําให -3 ≤ 5 ซึ่งเปนจริง 3(0) = 0 ทําให 0 ≤ 5 ซึ่งเปนจริง 3(1) = 3 ทําให 3 ≤ 5 ซึ่งเปนจริง 3(2) = 6 ทําให 6 ≤ 5 ซึ่งไมเปนจริง ดังนั้น 1 เปนจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ 33y ≤ 5

แบบตรวจสอบความเขาใจที่

1.2

1. จงตรวจดูวา จํานวนที่ใหไวในวงเล็บ [ ] เปนคําตอบของอสมการที่กําหนดใหหรือไม 1) x + 3 > 9 [6] 2) 2x - 1 < 3 [-3] 3) 7x + 4 > 18 [5] 4) 2(a-3) ≥ 12 [9] b 5) 2 + 3b > 7 [12] 6) m 5- 3 ≤ 1 [18] 7) 3x 2+ 4 ≤ 1 [3] 8) 3x - 7 ≠ 2x + 4 [2]

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

ขยายความเขาใจ 13

2. จงหาจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ โดยวิธีแทนคาตัวแปร 1) m + 4 > 0 2) 3x ≥ 9 3) 23 x ≥ 9 3. จงหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ โดยวิธีแทนคาตัวแปร 1) 7x < 2 2) 2x + 3 < 4 3) b + 2 ≤ 4 23 4. กราฟตอไปนี้แสดงจํานวนใด 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

1. ใหนกั เรียนนําแนวคิดทีแ่ ลกเปลีย่ นกัน ไปใชในการทําแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.2 จากนัน้ นักเรียนแตละคู แลกเปลี่ยนกันตรวจสอบคําตอบ 2. ครูสุมนักเรียน 2 - 3 คู ใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธกี ารแกปญ  หา โจทย

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.2 ที่ ส  ว นเสริ ม ด า นหน า ของ หนังสือเลมนี้) @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิม่ เติมเกีย่ วกับคําตอบ ของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและ กราฟแสดงคําตอบ (แบบฝกเสริมทักษะ) ไดที่ http://www.kutasoftware.com/ FreeWorksheets/Alg1Worksheets/ Two-Step%20Inequalities.pdf

คูมือครู

13

กระตุนความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

สํารวจคนหา

14 1. ครูกําหนดอสมการเชิงเสนตัวแปร เดี ย ว ที่ มี ค วามสั ม พั น ธ ซั บ ซ อ น ไมสะดวกทีจ่ ะหาคําตอบของอสมการ 5. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา 4 โดยวิธีการแทนคา เชน x 9- 4 - x > 5 แลวใหนักเรียนชวยกันหาคําตอบ 6. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่นอยกวาหรือเทากับ -3 ของอสมการโดยการแทนคาพรอม 7. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนระหวาง 5 และ 9 แสดงความคิดเห็นวาการแทนคา เปนวิธีสะดวกหรือไม 8. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -2 แตนอยกวาหรือเทากับ 2 2. ครูตั้งคําถามใหนักเรียนตอบ 9. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ -3 แตนอยกวา 2 • การดําเนินการเกีย่ วกับจํานวนใน สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวและ 10. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนทีม่ ากกวาหรือเทากับ -5 แตนอ ยกวาหรือเทากับ 5 อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวมี ความแตกตางกันหรือไม (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก 3. การแกอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียนไดทราบมาแลววา การแกสมการ หมายถึง การหาคําตอบของสมการ เราเรียก นักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับ จํานวนจริงทีแ่ ทนคาตัวแปรแลวทําใหสมการนัน้ เปนจริงวา คําตอบของสมการ และในการแกสมการ ดุลยพินิจของครูผูสอน) • สมบัตขิ องการเทากันทีใ่ ชในการ เราใชสมบัติของการเทากัน ไดแก สมบัติสมมาตร สมบัติการถายทอด สมบัติการบวกและสมบัติ แกสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว การคูณ เพื่อสรางสมการที่สมมูลกัน นักเรียนทราบหรือไมวาสมบัติดังกลาวขางตน นํามาใชใน มีสมบัติอะไรบาง ทํานองเดียวกับการแกอสมการที่มีตัวแปรไดหรือไม ใหนักเรียนศึกษาสมบัติของการไมเทากัน ดัง (แนวตอบ สมบัติการบวก สมบัติ ตอไปนี้ การคูณ) • นั ก เรี ย นคิ ด ว า สมบั ติ ดั ง กล า ว 3.1 สมบัติของการบวก สามารถนํามาใชในการแกอสมการ àÃÕ¡ÍÊÁ¡ÒÃÊͧÍÊÁ¡Ò÷ÕèÁÕ ไดหรือไม เพราะเหตุใด ให a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ ¤íҵͺàËÁ×͹¡Ñ¹Ç‹Ò ÍÊÁ¡Òà (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก ·ÕèÊÁÁÙšѹ ¨íÒäÇŒ¹Ð¤ÃѺ 1) ถา a < b แลว a + c < b + c หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง 2) ถา a ≤ b แลว a + c ≤ b + c นักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับ เนื่องจาก a < b มีความหมายเหมือนกันกับ b > a ดุลยพินิจของครูผูสอน) ¨ÃÔ§äËÁ¹Ð • นักเรียนคิดวาการใชสมบัตกิ ารบวก a ≤ b มีความหมายเหมือนกันกับ b ≥ a 5 < 8 áÅŒ Ç 5+ 3< 8+ 3 และสมบัตกิ ารคูณเพือ่ แกอสมการ ดังนั้น สมบัติการบวกจึงเปนจริงสําหรับกรณีตอไปนี้ดวย 7 > 2 áÅŒÇ 7 + 3 > 2 + 3 เชิงเสนตัวแปรเดียว มีความเหมือน ถา a > b แลว a + c > b + c หรือแตกตางกับแกสมการเชิงเสน ถา a ≥ b แลว a + c ≥ b + c ตัวแปรเดียว เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก เราแสดงการพิสูจนสมบัติของการบวกได กอนทําการพิสูจน นักเรียนควร หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง ศึกษาบทนิยามตอไปนี้ใหเขาใจกอน นักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับ ดุลยพินิจของครูผูสอน) 3. ครูยกตัวอยาง ใชการถาม - ตอบ ประกอบคําอธิบายเกี่ยวกับสมบัติ การบวกและสมบัติการคูณตามหนา 14 และหนา 18 โดยกําหนดจํานวนคาคงตัวแทน a, b และ c เพื่อใหนักเรียนเกิดความเขาใจ กอนสรุปความรู ตามหนา 14 หัวขอ 3.1 ขอ 1) และ 2) 4. ครูใชคําถาม กําหนด a และ b แทนจํานวนจริงใด จะเขียน a มากกวา b ในรูปสมการไดหรือไม ถาเขียนไดจะเขียนอยางไร (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูของนักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของครูผูสอน) 5. ครูบอกบทนิยาม a > b และ a < b ตามมุมความคิดหนา 15 และอธิบายเพิ่มเติมวา การพิสูจนสมบัติการบวกและสมบัติการคูณ ตองใชบทนิยามนี้ 6. ครูใชการถาม - ตอบ ประกอบคําอธิบายในแตละบรรทัดในหนา 15

14

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 15

มุมความคิด 1. ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ a > b ก็ตอเมื่อ a - b เปนจํานวนจริงบวกหรือ เขียนไดเปน a - b > 0 2. ให a และ b เปนจํานวนจริงใดๆ a < b ก็ตอเมื่อ a - b เปนจํานวนจริงลบหรือ เขียนไดเปน a - b < 0

เราแสดงการพิสูจนสมบัติของการบวกไดดังนี้ 1) กําหนด a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ และให a < b จะได a-b < 0 (a + c) - (b + c) < 0 (เพราะ c - c = 0) ดังนั้น a + c < b + c นั่นคือ ถา a < b แลว a + c < b + c 2) กําหนด a, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ และให a > b จะได a-b > 0 (a + c)) - (b + c)) > 0 (เพราะ c - c = 0) ดังนั้น a+c > b+c นั่นคือ ถา a > b แลว a + c > b + c การพิสูจนวา ถา a ≤ b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ แลว a + c ≤ b + c สามารถ พิสูจนไดทํานองเดียวกัน ใหนักเรียนศึกษาการใชสมบัติของการไมเทากันที่เปนสมบัติของการบวก ชวยในการ แกอสมการตามตัวอยางตอไปนี้

ครูตั้งคําถามใหนักเรียนคิดวิเคราะห • นักเรียนไดใชสมบัติการบวกและ สมบัติการคูณเพื่อหาคําตอบของ สมการเชิงเสนตัวแปรเดียวมาแลว นั ก เรี ย นบอกได ไ หมว า เมื่ อ ใช สมบัติดังกลาวแลว แตละขางของ สมการเปนอยางไร (แนวตอบ เทากัน) • นักเรียนคิดวา เมือ่ นําสมบัตดิ งั กลาว มาใชเพือ่ แกอสมการเชิงเสนตัวแปร เดียว แตละขางของอสมการจะเปน แบบเดียวกันกับสมการหรือไม (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้ น ฐานความรู  ข องนั ก เรี ย น และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน)

นักเรียนควรรู จํ า นวนจริ ง บวก (positive real number) เปนจํานวนทีม่ คี า มากกวา 0

นักเรียนควรรู จํ า นวนจริ ง ลบ (negative real number) เปนจํานวนทีม่ คี า นอยกวา 0

นักเรียนควรรู http://www.aksorn.com/LC/Math B2/M3/02

นักเรียนควรรู

EB GUIDE

สมบัตกิ ารบวก (additive property) จํา นวนที่นํา มาบวกทั้งสองขางของ อสมการจะเป น จํ า นวนบวกหรื อ จํานวนลบก็ได ไมทําใหความสัมพันธ ระหวางจํานวนในอสมการเปลีย่ นแปลง ไป และไมทําใหคําตอบของอสมการ เปลี่ยนไป

การแกอสมการ ถาในอสมการนั้นมีตัวแปรคําตอบของอสมการหาได โดยการ สรางอสมการที่สมมูลกันดวยการใชสมบัติ (property) ของการไมเทากัน คูมือครู

15

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ครูตั้งคําถามเกี่ยวกับกราฟแสดง คําตอบวา • เมื่อไรตองใชจุดโปรงหรือจุดทึบ บนเสนจํานวน ( แนวตอบ ใช จุ ด โปร ง เมื่อโจทย กําหนดอสมการที่ มี สั ญ ลั ก ษณ <, > ใชจุดทึบเมื่อโจทยกําหนด อสมการที่มีสัญลักษณ ≤, ≥) 2. ครูใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยาง ที่ 1 - 2 และใหนกั เรียนสังเกตจํานวน ทัง้ สองขางของอสมการ กราฟแสดง คําตอบของอสมการกับสัญลักษณ <, >, ≤ และ ≥ • นักเรียนบอกความสัมพันธระหวาง กราฟแสดงคําตอบของอสมการกับ สัญลักษณในอสมการไดหรือไม (แนวตอบ คําตอบมีไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของนักเรียน โดยคาดหวังวา คําตอบของนักเรียน เปนดังนี้ ถานําจํานวนบวกคูณ อสมการกราฟคําตอบของอสมการ จะมี 2 ประเด็น - จากจุดโปรงหรือจุดทึบลากเสน ทึบไปทางซายตามสัญลักษณ < ที่มีในอสมการ - จากจุดโปรงหรือจุดทึบลากเสน ทึบไปทางขวาตามสัญลักษณ > ที่มีในอสมการ)

16 ตัวอยางที่

1

จงแกอสมการ x - 4 < 7 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

x-4 < 7 นํา 4 มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได x - 4 + 4 < 7 + 4 ดังนั้น x < 11

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อนําจํานวนจริงใดๆ ที่นอยกวา 11 เชน 10.5, 10, 6 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ x - 4 < 7 จะไดอสมการที่เปนจริง

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ x - 4 < 7 คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีน่ อ ยกวา 11 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -2

ตัวอยางที่

2

0

2

4

6

8

10 11 12

ตอบ

จงแกอสมการ x + 2 ≥ 9 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

x+2 ≥ 9 นํา (-2) มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได x + 2 + (-2) ≥ 9 + (-2) x ≥ 7 ดังนั้น

ตรวจสอบคําตอบ

เมือ่ นําจํานวนจริงใดๆ ทีม่ ากกวาหรือเทากับ 7 เชน 7, 7.1, 8.3 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ x + 2 ≥ 9 จะไดอสมการที่เปนจริง

ดังนั้น คําตอบของอสมการ x + 2 ≥ 9 คือจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา หรือเทากับ 7 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -2

16

คูมือครู

0

2

4

6 7 8

10

12

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 17 ตัวอยางที่

3

จงแกอสมการ 4x + 7 < 3x พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

4x + 7 < 3x นํา (-3x) มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได 4x + 7 + (-3x) < 3x + (-3x) ดังนั้น x +7 < 0 นํา (-7) มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได x + 7 + (-7) < 0 + (-7) ดังนั้น x < -7

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อนําจํานวนจริงใดๆ ที่นอยกวา -7 เชน -8, -8.5, -9 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ 4x + 7 < 3x จะไดอสมการที่เปนจริง

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 4x + 7 < 3x 3x คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีน่ อ ยกวา -7 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -12

ตัวอยางที่

4

-10

-8

-7 - 6

-4

-2

0

จงแกอสมการ 7x - 6 ≤ 8x - 10 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

77xx - 6 ≤ 8x - 10 (-7x) มาบวกทั้งสองขางของอสมการ (-7 นํา (-7x) จะได 7x - 6 + (-7x) ≤ 8x - 10 + (-7x) -6 ≤ x - 10 นํา 10 มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได - 6 + 10 ≤ x - 10 + 10 ดังนั้น 4 ≤ x หรือ x ≥ 4

ตอบ

ครูใชการถาม - ตอบ ประกอบคํา อธิบาย สําหรับตัวอยางที่ 3 - 4 เพื่อให นักเรียนสังเกต วิเคราะหความแตกตาง กับตัวอยางที่ 1 - 2 • ตั ว อย า งที่ 3 และตั ว อย า งที่ 4 แตกตางจากตัวอยางที่ 1 และ ตัวอยางที่ 2 หรือไม อยางไร (แนวตอบ แตกตาง คือ ตัวอยางที่ 3 และ 4 ทั้งสองขางของอสมการ มีตัวแปร แตตัวอยางที่ 1 และ 2 มีตัวแปรเพียงขางเดียวเทานั้น) • นักเรียนคิดวา การแกอสมการใน ตัวอยางที่ 3 และ 4 จะเหมือนกัน หรือแตกตางกันจากตัวอยางที่ 1 และ 2 หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เหมือนกัน คือ ใชสมบัติ การบวก แตกตางกัน คือ ใชสมบัติ การบวก 2 ครัง้ ครัง้ หนึง่ บวกดวย ตัวแปรและอีกครั้งหนึ่งบวกดวย คาคงตัว) • นักเรียนคิดวาตองใชสมบัตกิ ารบวก กี่ครั้ง (แนวตอบ ใชสมบัตกิ ารบวก 2 ครัง้ ) • นักเรียนจะนําจํานวนใดบวกทั้ง สองขางของอสมการ (แนวตอบ ตัวแปรและคาคงตัว) • สัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ทั้งสองขางตางกันเทาไร (แนวตอบ ตางกันอยู 1) • นักเรียนควรจัดใหตวั แปรอยูข า งใด ของอสมการ เพราะเหตุใด (แนวตอบ ดานซายเพราะสะดวก ในการคํานวณและการอานคาของ ตัวแปร)

นักเรียนควรรู นํา (-7x) มาบวกทั้งสองขางของ อสมการ เป น วิ ธีก ารการใช ส มบั ติ การบวก เพื่อใหอสมการที่มีตัวแปร ทั้งสองขางของอสมการนั้น มีตัวแปร มาอยูขางเดียวกันและคาคงตัวอยูอีก ขางหนึ่ง คูมือครู

17

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ ครู ส นทนาและซั ก ถามนั ก เรี ย น เพื่อทบทวนและตอบคําถาม • การใชสมบัติการบวกในสมการ เชิงเสนตัวแปรเดียวกับอสมการ เชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย วมี ค วาม เหมือนกันหรือแตกตางกันอยางไร (แนวตอบ เหมือนกัน) • อสมการเชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย ว เมือ่ นําจํานวนจริงใดๆ ทีไ่ มเทากับ 0 คูณทัง้ สองขาง อสมการทีไ่ ดจะมี การเปลี่ยนแปลงหรือไม เพราะ เหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

นักเรียนควรรู สมบั ติ ก ารคู ณ (multiplicative property) จํานวนทีน่ าํ มาคูณทัง้ สองขาง ของอสมการจะเปนจํานวนเต็มยกเวน 0 หรือเศษสวนก็ได ไมทาํ ใหคาํ ตอบของ อสมการเปลี่ยนไป แตความสัมพันธ ในอสมการจะเปลี่ยนไปถาใชจํานวน ลบคูณ

นักเรียนควรรู C ≠ 0 เปนขอกําหนดทีต่ อ งใชสมบัติ การคูณ เพื่อหาคําตอบของอสมการ เพราะวาเมือ่ นํา 0 ไปคูณกับจํานวนจริง ใดๆ จะได ผ ลคู ณ เท า กั บ 0 ซึ่ ง ไม สามารถหาคํ า ตอบของอสมการได เพราะจะเปนอสมการที่ไมมีตัวแปร และทําใหอสมการไมเปนจริง

18 ตรวจสอบคําตอบ

เมือ่ นําจํานวนจริงใดๆ ทีม่ ากกวาหรือเทากับ 4 เชน 4, 4.5, 5 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ 7x - 6 ≤ 8x - 10 จะไดอสมการทีเ่ ปนจริง

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 7x-6 ≤ 8x -10 คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีม่ ากกวา หรือเทากับ 4 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -2

0

2

4

6 7 8

10

12

ตอบ

3.2 สมบัติของการคูณ ให a,, b และ c เปนจํานวนจริงใดๆ และ c ≠ 0 1) ถา a < b และ c เปนจํานวนบวกแลว ac < bc เชน 2 < 3 และ 5 > 0 แลว 2(5) < 3(5) -3 < -2 และ 5 > 0 แลว (-3)(5) < (-2)(5) 2) ถา a ≤ b และ c เปนจํานวนบวกแลว ac ≤ bc 3) ถา a < b และ c เปนจํานวนลบแลว ac > bc เชน 2 < 3 และ -5 < 0 แลว 2(-5) > 3(-5) -3 < -2 และ -5 < 0 แลว (-3)(-5) > (-2)(-5) 4) ถา a ≤ b และ c เปนจํานวนลบแลว ac ≥ bc a < b มีความหมายเหมือนกับ b > a เนื่องจาก a ≤ b มีความหมายเหมือนกับ b ≥ a สมบัติของการคูณจึงเปนจริงสําหรับกรณีตอไปนี้ดวย ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc ถา a ≥ b และ c > 0 แลว ac ≥ bc ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc ถา a ≥ b และ c < 0 แลว ac ≤ bc

เกร็ดแนะครู ครูควรเริ่มจากรูปธรรมไปสูนามธรรมซึ่งมีสัญลักษณ โดยครูกําหนดอสมการที่ไมมีตัวแปร ใหนักเรียนหา ผลคูณของอสมการดวยจํานวนบวก 2 - 3 จํานวน และหาผลคูณดวยจํานวนลบ 2 - 3 จํานวน จากนั้นใหนักเรียน สังเกตผลคูณของจํานวนทั้งสองขางของอสมการ แลวสรุปผลคูณตามสมบัติขอ 1) - 4)

18

คูมือครู

กระตุนความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Explain

Evaluate

สํารวจคนหา 19

ขอสังเกต เมื่อนําตัวคูณ (c) ซึ่งเปนจํานวนบวกคูณทั้งสองขางของอสมการ จะไดอสมการที่ ใช สัญลักษณแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนเหมือนเดิม เมือ่ นําตัวคูณ (c) ซึง่ เปนจํานวนลบคูณทัง้ สองขางของอสมการ จะไดอสมการที่ใชสญั ลักษณ แสดงความสัมพันธระหวางจํานวนตางจากสัญลักษณเดิม ดังนี้ สัญลักษณที่ใชแสดงความสัมพันธ ระหวางจํานวนในอสมการ

สัญลักษณที่ใชแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนใน อสมการเมื่อนําจํานวนลบคูณทั้งสองขางของอสมการ

< ≤ > ≥

> ≥ < ≤

เราแสดงการพิสูจนสมบัติของการคูณไดดังนี้ 1) ถา a < b และ c เปนจํานวนบวกแลว ac < bc พิสูจน กําหนด a, b, c เปนจํานวนจริงใดๆ ที่ a < b และ c > 0 เนื่องจาก a < b ดังนั้น a - b < 0 (มุมความคิด) จะได c(a - b) < 0 (ผลคูณของจํานวนบวกกับจํานวนลบ) ac - bc < 0 (สมบัติการแจกแจง) ac < bc (มุมความคิด) นั่นคือ ถา a < b และ c เปนจํานวนบวกแลว ac < bc 2) ถา a < b และ c เปนจํานวนลบแลว ac > bc พิสูจน กําหนด a, b, c เปนจํานวนจริง a < b และ c < 0 เนื่องจาก a < b ดังนั้น a - b < 0 (มุมความคิด) จะได c(a - b) > 0 (ผลคูณของจํานวนลบกับจํานวนลบ) ac - bc > 0 (สมบัติการแจกแจง) ac > bc (มุมความคิด) นั่นคือ ถา a < b และ c เปนจํานวนลบแลว ac > bc การพิสูจนสมบัติของการคูณขออื่นๆ ทําไดทํานองเดียวกัน

1. ให นั ก เรี ย นจั บ คู  ศึ ก ษาบทเรี ย น หนา 18 - 19 แลวใหซกั ถามขอสงสัย 2. สําหรับการพิสจู น ครูใชการถาม - ตอบ ประกอบคําอธิบาย โดยบอกภาพรวม แกนกั เรียนวาตองใชบทนิยาม a < b และ a > b • a < b เขียนในรูปการลบอยางไร (แนวตอบ ให a และ b เปนจํานวน จริงใดๆ a < b ก็ตอเมื่อ a - b เปนจํานวนจริงลบหรือเขียนได เปน a - b < 0) • ถานําจํานวนจริง c > 0 คูณทั้ง สองขาง อสมการทีไ่ ดเปนอยางไร ( แนวตอบ ยั ง คงเป น อสมการที่ แสดงความสัมพันธนอยกวา) • ดานซายของอสมการสามารถใช สมบัติใดได เพราะเหตุใด ( แนวตอบ สมบั ติ ก ารแจกแจง เพราะวามีการดําเนินการระหวาง การคูณกับการบวก) • จะสรุปผลเกี่ยวกับ ab และ bc อยางไร เพราะเหตุใด (แนวตอบ ac < bc เพราะวามี ผลลบเปนจํานวนลบ)

นักเรียนควรรู

สมบัติการแจกแจง (distributive property) เปนสมบัติที่เกี่ยวกับการ คูณและการบวก a(b+c) = ab+ac

@

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการ แกอสมการไดที่ http://www.intmath. com/inequalities/1-propertiesinequalities.php

คูมือครู

19

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู 1. ครู ใ ห นั ก เรี ย นสั ง เกตอสมการใน ตัวอยางที่ 5 - 6 หนา 20 แลวถาม นักเรียน ดังนี้ • จะตองใชสมบัติการบวกหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ไมตอ งใช เพราะวาแตละ ข า งของอสมการไม มี ก ารบวก ของพจนตัวแปรและคาคงตัว) • จะตองใชสมบัติการคูณหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบตองใช เพราะวาสัมประสิทธิ์ ของตัวแปรยังไมเทากับ 1) 2. ใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางที่ 5 และ 6

20

ใหนักเรียนศึกษาการใชสมบัติของการไมเทากันที่เปนสมบัติของการคูณชวยในการ แกอสมการตามตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่

5

จงแกอสมการ 3x > - 4 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อนําจํานวนจริงใดๆ ที่มากกวา - 43 เชน 1, 0, 2.5 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ 3x > -4 จะไดอสมการที่เปนจริง

นักเรียนควรรู

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 33x > - 4 คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีม่ ากกวา - 43 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้

1 เปนเศษสวนที่เรียกวา เศษสวน 3 แท (proper fraction) เปนเศษสวน ที่มีตัวเศษนอยกวาตัวสวน @

3x > - 4 1 นํา 3 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ จะได 13 (3x) > 13 (-4) ดังนั้น x > - 43

4 3

-3

-2

-1

0

1

2

ตอบ

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิม่ เติมเกีย่ วกับคําตอบ ของอสมการเชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย ว (กิจกรรมเสริมทักษะ) ไดที่ http:// www.phschool.com/atschool/ academy123/english/academy 123_content/wl-book-demo/ph183s.html

20

คูมือครู

ตัวอยางที่

6

จงแกอสมการ -2 -2xx > 7 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

( )

-2x > 7

¹íÒ (- 12 ) ¤Ù³·Ñé§Êͧ¢ŒÒ§¢Í§ÍÊÁ¡Òà ¹Ñ¡àÃÕ¹ÊѧࡵËÃ×ÍäÁ‹Ç‹ÒÊÑÞÅѡɳ > à»ÅÕè¹໚¹ÊÑÞÅѡɳ <

นํา - 12 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ จะได - 12 (-2x) < - 12 (7) ดังนั้น x < - 72

( )

( )

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 21 ตรวจสอบคําตอบ

เมื่อนําจํานวนจริงใดๆ ที่นอยกวา - 7 เชน -4, -4.3, -5 เปนตน 2 ไปแทนคา x ในอสมการ -2x > 7 จะไดอสมการที่เปนจริง

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ -2x > 7 คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีน่ อ ยกวา - 72 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ 7 2

-4

-3

-2

-1

0

ตอบ

ตอไปนี้เปนตัวอยางการใชสมบัติของการไมเทากันที่เปนสมบัติของการบวกและสมบัติ ของการคูณชวยในการแกอสมการ ตัวอยางที่

7

จงแกอสมการ 5x - 7 ≥ 2x พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

2 5x - 7 ≥ 2x นํา (-2x)) มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได 5x 5 - 7 + (-2x) (-2 ) ≥ 2xx + (-2x) (-2 หรือ 3 -7 ≥ 0 3x Í‹ÒÅ×Á ! ¡ÃÒ¿áÊ´§¤íҵͺ ¢Í§ÍÊÁ¡ÒèеŒÍ§Áըشâ»Ã‹§ (๐) นํา 7 มาบวกทั้งสองขางของอสมการ ËÃ×ͨش·Öº ( • ) จะได 3x - 7 + 7 ≥ 0 + 7 º¹àÊŒ¹¨íҹǹ หรือ 3x ≥ 7 1 นํา 3 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ 1 (3x) 1 จะได 3 (3 ≥ 3 (7) หรือ x ≥ 73

ตรวจสอบคําตอบ

เมือ่ นําจํานวนจริงใดๆ ทีม่ ากกวาหรือเทากับ 7 เชน 3 เปนตน ไปแทนคา x ในอสมการ 5x - 7 ≥ 2x ที่เปนจริง

7, 3, 4.5, 6 3 จะไดอสมการ

ครูใชการถาม - ตอบประกอบคํา อธิบาย สําหรับตัวอยางที่ 7 หนา 21 - 22 • โจทย อ สมการตั ว อย า งที่ 7 มี ลักษณะเหมือนหรือแตกตางจาก ตัวอยางที่ 5 และ 6 หรือไม อยางไร (แนวตอบ แตกตาง โดยดานซาย ของอสมการมีการบวกของพจน ตัวแปรและคาคงตัว) • การแก อ สมการตั ว อย า งที่ 7 นั ก เรี ย นต อ งใช ส มบั ติ ใ ดบ า ง เพราะเหตุใด และตองใชสมบัติ ใดกอน เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชสมบัติการบวกและ สมบัตกิ ารคูณ เพราะวาดานซาย ของอสมการมีการบวกของพจน ตัวแปรและคาคงตัว จึงตองใช สมบัติการบวกกอน) • สมบั ติ ก ารบวกต อ งใช กี่ ค รั้ ง เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชสมบัตกิ ารบวก 2 ครัง้ เพราะวาผลบวกในดานซายจาก ครั้งที่ 1 ยังมีการบวกของตัวแปร และคาคงตัว) • นักเรียนบอกไดไหมวาเมื่อไหร นั ก เรี ย นต อ งใช ส มบั ติ ก ารคู ณ ในการแกอสมการ (แนวตอบ เมือ่ ตัวแปรและคาคงตัว ไมอยูด า นเดียวกันและมีสมั ประสิทธิ์ ของตัวแปรไมเทากับ 1)

เกร็ดแนะครู การใชสมบัติการไมเทากันนั้น ครู เนนยํ้าใหเห็นวา สมบัติของการบวก และสมบัติการคูณเปนวิธีการที่นํามา ใชในการแกอสมการที่มีตัวแปรเพื่อ หาคํ า ตอบของอสมการ ซึ่ ง ต อ งให นักเรียนเขาใจและรูจักเลือกจํานวน ที่มาใชใหเหมาะสม

คูมือครู

21

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครู ใ ช ก ารถาม - ตอบประกอบคํา อธิบาย สําหรับตัวอยางที่ 8 หนา 22 • การแก อ สมการตั ว อย า งที่ 8 นั ก เรี ย นต อ งใช ส มบั ติ ใ ดบ า ง เพราะเหตุใด และตองใชสมบัติ ใดกอน เพราะเหตุใด ( แนวตอบ สมบั ติ ก ารแจกแจง สมบัตกิ ารบวกและสมบัตกิ ารคูณ เพราะวาดานซายของอสมการ มีการคูณและการบวกของพจน ตัวแปรและคาคงตัว จึงตองใช สมบัติการการแจกแจงกอน) • สมบั ติ ก ารบวกต อ งใช กี่ ค รั้ ง เพราะเหตุใด (แนวตอบ ใชสมบัตกิ ารบวก 2 ครัง้ เพราะว า ผลบวกจากครั้ ง ที่ 1 ยั ง มี ก ารบวกของตั ว แปรและ คาคงตัว) • นักเรียนบอกไดไหมวาเมื่อไหร นั ก เรี ย นต อ งใช ส มบั ติ ก ารคู ณ ในการแกอสมการ (แนวตอบ เมือ่ ตัวแปรและคาคงตัว ไมอยูด า นเดียวกันและมีสมั ประสิทธิ์ ของตัวแปรไมเทากับ 1)

22

ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 5x - 7 ≥ 2x คือจํานวนจริงทุกจํานวนทีม่ ากกวา

หรือเทากับ 73

เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ 7 3

-1 ตัวอยางที่

8

0

1

2

3

5

4

ตอบ

จงแกอสมการ 2n - 6 (n + 3) ≤ - 14 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

2n - 6 (n + 3) ≤ -14 จะได 2n - 6n - 18 ≤ -14 -4n - 18 ≤ -14 -4 นํา 18 มาบวกทั้งสองขางของอสมการ จะได -4 - 18 + 18 ≤ -14 + 18 -4n ¹íÒ (- 14 ) ¤Ù³·Ñé§Êͧ¢ŒÒ§¢Í§ÍÊÁ¡Òà -4 ≤ 4 -4n ¹Ñ¡àÃÕ¹ÊѧࡵËÃ×ÍäÁ‹Ç‹ÒÊÑÞÅѡɳ ≤ นํา - 14 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ à»ÅÕè¹໚¹ÊÑÞÅѡɳ ≥ - 14 (-4n) (-4 ) ≥ - 14 (4) จะได ดังนั้น n ≥ -1

( )

( )

( )

ตรวจสอบคําตอบ

เมือ่ นําจํานวนจริงใดๆ ทีม่ ากกวาหรือเทากับ -1 เชน 0, 1, 2 เปนตน ไปแทนคา n ในอสมการ 2n - 6 (n + 3) ≤ -14 จะไดอสมการ ที่เปนจริง

ดังนั้น คําตอบของอสมการ 2n - 6 (n + 3) ≤ - 14 คือจํานวนจริงทุกจํานวนที่ มากกวาหรือเทากับ -1 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -2

22

คูมือครู

-1

0

1

2

3

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 23

เมื่อนักเรียนแกอสมการจนมีความชํานาญแลว นักเรียนไมจําเปนตองเขียนคําอธิบาย ตางๆ ในการแกอสมการก็ได ดังตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่

9

จงแกอสมการ 15 - 5x ≤ 8 - 6x พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ

15 - 5x ≤ 8 - 6x 15 - 5x + 6x ≤ 8 x + 15 ≤ 8 x ≤ 8 - 15 x ≤ -7 ดังนั้น คําตอบของอสมการ 15 - 5x ≤ 8 - 6x คือจํานวนจริงทุกจํานวน ที่นอยกวาหรือเทากับ -7 เขียนกราฟแสดงคําตอบของสมการไดดังนี้ วิธีทํา

-10

ตัวอยางที่

10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

ตอบ

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละความสามารถกัน รวมกันศึกษา ตัวอยางที่ 9 - 10 หนา 23 พรอมบอก สมบั ติ ที่ นํ า มาใช ใ นแต ล ะบรรทั ด ซึ่งไมไดแสดงไว และสรุปขอสังเกต ที่บางอสมการไมจําเปนตองใชสมบัติ การคูณ (แนวตอบ ตัวอยางที่ 9 ใชสมบัตกิ ารบวก 2 ครัง้ คือ ในบรรทัดที่ 2 และบรรทัดที่ 4 ตัวอยางที่ 10 ใชสมบัตกิ ารแจกแจง สมบัติการบวกและสมบัติการคูณ ดังนี้ - ในบรรทัดที่ 2 ใชสมบัตกิ ารแจกแจง - ในบรรทัดที่ 4 ใชสมบัติการบวก - ในบรรทัดที่ 6 ใชสมบัติการคูณ สําหรับตัวอยางที่ 9 และ 10 เริ่มนับ บรรทัดที่ 1 จากวิธีทํา)

จงแกอสมการ 5(x - 2) - 3 > 4(2x 4(2 - 1) พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา

ที่นอยกวา -3

4(2 - 1) 5(x - 2) - 3 > 4(2x 5x - 10 - 3 > 8x - 4 5x - 13 > 8x - 4 5x - 8x > -4 + 13 -3x > 9 -3 x < -39 x < -3 ดังนั้น คําตอบของอสมการ 5(x - 2) - 3 > 4(2x - 1) คือจํานวนจริงทุกจํานวน เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -5

-4

-3

-2

-1

0

1

ตอบ

คูมือครู

23

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ตั ว อย า งที่ 11 - 12 หน า 23 ครู ใช คํ า ถามโดยเชื่ อ มโยงความรู  ก าร แกสมการที่เปนเศษสวน • สมการที่เปนเศษสวน นักเรียน จะตองทําอยางไรกอนจึงสามารถ ใช ส มบั ติ ก ารบวกหรื อ สมบั ติ การคูณได ( แนวตอบ นํ า ค.ร.น. ของทุ ก เศษสวนคูณทั้งสองขาง) • นั ก เรี ย นคิ ด ว า อสมการที่ เ ป น เศษสวนตองดําเนินการเชนเดียว กันกับสมการทีเ่ ปนเศษสวนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ เชนเดียวกัน แตตอง ใชจํานวนบวกคูณ จึงจะทําให สัญลักษณที่แสดงความสัมพันธ ในอสมการคงเดิม) • การทํ า ให ทุ ก พจน ใ นอสมการ เปนจํานวนเต็มจะตองใชความรู ใดบาง และตองทําอยางไร (แนวตอบ ความรูเรื่อง ค.ร.น.)

• ค.ร.น. ของตัวสวนคูณทัง้ สองขาง ของอสมการจะต อ งใช ส มบั ติ การแจกแจงหรื อ ไม ถ า ไม ใ ช สมบัตนิ จี้ ะไดหรือไม และตองทํา อยางไร (แนวตอบ ตองใชถาแตละดาน ของอสมการมีพจนมากกวา 1 พจน ไมใชสมบัตนิ กี้ ไ็ ดแตตอ งนํา ค.ร.น. คูณทุกๆ พจนในแตละดานของ อสมการ)

นักเรียนควรรู ค.ร.น. ยอมาจาก ตัวคูณรวมนอย (least common multiple ; lowest common multiple : L.C.M.) ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวนใดๆ เปน จํ า นวนที่ ห ารลงตั ว ด ว ยจํ า นวนนั บ สองจํานวนนั้น

24

คูมือครู

24

จงแกอสมการ 2x3 - 16 > 3x2 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ 2x - 1 > 3x 6 2 3 วิธีทํา นํา ค.ร.น. ของ 3, 6 และ 2 คือ 6 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ 6 2x3 - 16 > 6 3x2 6 2x3 - 6 16 > 3(3x) 2(2x) - 1 > 9x 4x - 1 > 9x 4x - 9x > 1 -5x > 1 x < - 15 ดังนั้น คําตอบของอสมการ 2x3 - 16 > 3x2 คือจํานวนจริงทุกจํานวน ที่นอยกวา - 15 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ ตัวอยางที่

11

(

) ( ) ( )( )

1 0 5

-1 ตัวอยางที่

12

1

จงแกอสมการ 3x3- 2 + 9xx 7+ 1 ≥ 1 พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ 33x - 2 + 9x + 1 ≥ 1 3 7 วิธีทํา นํา ค.ร.น. ของ 3 และ 7 คือ 21 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ 21 3xx3- 2 + 9x 7+ 1 ≥ (21)(1) 21 3x3- 2 + 21 9x 7+ 1 ≥ 21 7(3x - 2) + 3(9x + 1) ≥ 21 21x - 14 + 27x + 3 ≥ 21 48x - 11 ≥ 21 48x ≥ 32 x ≥ 23

(

( ) (

) )

ตอบ

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 25

ดังนั้น คําตอบของอสมการ 3x3- 2 + 9x 7+ 1 ≥ 1 คือจํานวนจริงทุกจํานวน ที่มากกวาหรือเทากับ 23 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -1

0

2 3

1

ตอบ

ในการแกอสมการ บางครั้งเราตองการหาคําตอบหนึ่งของอสมการที่สอดคลองกับ เงื่อนไขบางเงื่อนไขได ใหนักเรียนพิจารณาตัวอยางตอไปนี้ ตัวอยางที่ 2 1 13 จงหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ 3 x - x < 3 (2 - 5x) 2 x - x < 1 (2 - 5x) 5 3 3 วิธีทํา นํา 3 คูณทั้งสองขางของอสมการ 3 23 x - x < 3 13 (2 - 5x 5x) 3 23 x - 3( 3(x)) < 3 13 (2 - 55x)) 2x - 3x < 2 - 5x 5 2x - 3x + 5x < 2 4x < 2 x < 24 x < 12 ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 23 x - x < 13 (2 - 5x) คือจํานวนจริงทุกจํานวน ที่นอยกวา 12 นั่นคือ จํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการที่กําหนด คือ 0

(

) [ ] ( ) ()

ตอบ

ตัวอยางที่ 13 - 14 หนา 25 - 26 ครู ใ ช คํ า ถามโดยเชื่ อ มโยงความรู  การแกสมการที่เปนเศษสวน โดยใช แนวทางเดียวกับตัวอยางที่ 11 และ 12 เมื่อศึกษาจบแลวใหรวมแสดงความ คิดเห็นวา • ตัวอยางที่ 13 และ14 มีลักษณะ ของโจทยเหมือนหรือแตกตางกัน กับตัวอยางที่ 11 และ 12 หรือไม อยางไร (แนวตอบ เปนเศษสวนเหมือนกัน แตกตางตรงประเด็นคําถามทีถ่ าม จํานวนเต็มมากที่สุด) • โจทย อ สมการที่ ต  อ งการให ห า คําตอบที่มากที่สุดหรือนอยที่สุด ได ควรระบุเงื่อนไขใดเพิ่มเติม หรือไมอยางไร (แนวตอบ ควร คือตองระบุวา คําตอบ เปนจํานวนเต็ม) • เห็นดวยหรือไมเห็นดวย กับวิธีที่ นําเสนอในตัวอยางที่ 11, 12, 13 และ 14 ถาไมเห็นดวยใหบอก เหตุผลพรอมแสดงวิธขี องตนเอง (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับ ดุลยพินิจของครูผูสอน) • โจทยอสมการ ถาทําดานซาย ให อยูใ นรูปอยางงายกอนโดยไมตอ ง นํา 3 คูณทั้งสองขางไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ได เพราะทั้งสองพจน เปนเอกนามคลาย)

คูมือครู

25

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

กระตุนความสนใจ 1. ครูสนทนาและซักถามนักเรียนวา • การแกอสมการซึ่งมีสัญลักษณ >, <, ≥ และ ≤ วาคําตอบของ อสมการจะมากกวา, นอยกวา, มากกวาหรือเทากับ, นอยกวา หรือเทากับ เปนไปตามสัญลักษณ ทีม่ ใี นอสมการหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน) • นักเรียนอยากทราบไหมวา การ แก อ สมการที่ มี สั ญ ลั ก ษณ ≠ จะดําเนินการอยางไรบาง (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน) 2. ครูกาํ หนดอสมการทีม่ สี ญ ั ลักษณ ≠ เชน 2x - 3 ≠ 5x - 2 และใชคําถาม • นักเรียนคิดวาการแกอสมการนี้ จะเกี่ ย วข อ งกั บ อสมการที่ มี สัญลักษณ >, < หรือเกี่ยวของ กับสมการหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ท าง คณิตศาสตรของนักเรียน และ คําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน) • นักเรียนคิดวาคําตอบของอสมการ จะเกีย่ วของกับ “ไมเทากัน” หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

นักเรียนควรรู

2x + 13 > 2 _ 4 - x สามารถทําได 3 4 อีกวิธี คือ 2x +3 13 + 4 4- x > 2 12 2x +3 13 + 12 4 4- x > 12 × 2 8x + 52 + 12 - 3x > 24 5x + 64 > 24 5x > -40 x > -40 5 x > -8

( ) ( )

26

คูมือครู

26

จงหาจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการ 22xx 3+ 13 > 2 - 4 4- x 2x + 13 > 2 - 4 - x 3 4 วิธีทํา นํา ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คือ 12 มาคูณทั้งสองขางของอสมการ 12 2x 3+ 13 > 12 2 - 4 4- x 4(2x + 13) > 12(2) - 12 4 4- x 8x + 52 > 24 - 3(4 - x) 8x + 52 > 24 - 12 + 3x 8x - 3x > 24 - 12 - 52 5x > -40 x > -40 5 x > -8 ดังนัน้ คําตอบของอสมการ 22xx 3+ 13 > 2 - 4 4- x คือจํานวนจริงทุกจํานวน ที่มากกวา -8 จํานวนเต็มที่มากกวา -8 ไดแก -7, -6, -5, … นั�นคือ จํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการที่กําหนด คือ -7 ตัวอยางที่

14

(

)

(

)

( )

ตอบ

ตัวอยางที่ 1 - 14 ที่กลาวมาขางตน นักเรียนจะไดเห็นการแกอสมการที่ใช สัญลักษณ < , ≤ , > และ ≥ แสดงความสัมพันธของจํานวน นักเรียนคิดวาการแกอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียวที่ใชสัญลักษณ ≠ แสดงความสัมพันธของจํานวน จะทําไดอยางไร การแกอสมการ A ≠ B มีวิธีการดังนี้ 1. หาคําตอบของสมการ A = B โดยการแกสมการ 2. คําตอบของอสมการ A ≠ B คือจํานวนจริงทุกจํานวนที่ไมเทากับคําตอบ ของสมการ A = B ในขอ 1.

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา Explore

Engage

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

สํารวจคนหา 27 ตัวอยางที่

ใหนักเรียนศึกษาตัวอยางที่ 15 - 16 จากบทเรียน หนา 27 - 28

จงแกอสมการ 6(2x + 3) ≠ 4 - (x - 1) พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ

15

วิธีทํา

ที่ไมเทากับ -1

พิจารณาสมการ

6(2x + 3) = 4 - (x - 1) 12x + 18 = 4 - x + 1 12x + x = 4 + 1 - 18 13x = -13 x = - 13 13 = -1 คําตอบของสมการ 6(2x + 3) = 4 - (x - 1) คือ -1 ดังนั้น คําตอบของอสมการ 6(2x + 3) ≠ 4 - (x - 1) คือจํานวนจริงทุกจํานวน เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ -3

-2

-1

ตอบ

1

0

จงแกอสมการ 12 + 3a + 1 12 ≠ 8 12 + 2aa พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ วิธีทํา พิจารณาสมการ 1 + 33a + 1 1 = 8 1 + 2a 2 2 2 17 1 + 3a 3 2 3 + 2 = 2 + 2a 3 - 2a = 172 - 12 - 32 3a a = 132 คําตอบของสมการ 12 + 3a + 1 12 = 8 12 + 2a 2 คือ 132 หรือ 6 12 ดังนั้น คําตอบของอสมการ 12 + 3a + 1 12 ≠ 8 12 + 2a คือจํานวนจริง ทุกจํานวนที่ไมเทากับ 6 12 เขียนกราฟแสดงคําตอบของอสมการไดดังนี้ ตัวอยางที่

16

4

5

6 6 12 7

8

9

มุมความคิด

A=B

คําตอบของอสมการ A ≠ B คือ จํานวนจริงทุกจํานวนที่ไมเปนคําตอบของสมการ

ตอบ

อธิบายความรู 1. ให นั ก เรี ย นบอกความแตกต า ง ระหว า งคํ า ตอบของอสมการที่ มี สัญลักษณ > และ < กับ ≠ (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้ น ฐานความรู  ข องนั ก เรี ย น และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน) 2. อสมการจะตองมีสัญลักษณอะไร จึงจะหาจํานวนทีม่ ากทีส่ ดุ หรือนอย ที่สุดได ( แนวตอบ มี สั ญ ลั ก ษณ < โดย สัมประสิทธิ์ของตัวแปรเปนจํานวน บวก จึงหาคําตอบทีเ่ ปนจํานวนเต็ม ที่มากที่สุดได และมีสัญลักษณ > โดยสั ม ประสิ ท ธิ์ ข องตั ว แปรเป น จํ า นวนบวกจึ ง หาคํ า ตอบที่ เ ป น จํานวนเต็มที่นอยที่สุดได) 3. ใหนกั เรียนบอกขอทีค่ วรระมัดระวัง ในการแกอสมการ (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพืน้ ฐานความรูท างคณิตศาสตร ของนักเรียนและคําตอบขึ้นอยูกับ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

ขยายความเขาใจ 1. ครู ใ ห นั ก เรี ย นบอกสมบั ติ ต  า งๆ และความรูทางคณิตศาสตรที่ตอง นํ า มาใช เ พื่ อ แก อ สมการ พร อ ม ยกตั ว อย า งโจทย ป ระกอบโดย ไมตองแสดงวิธีทํา 2. กําหนดประเด็นคําถามใหนักเรียน แสดงความคิดเห็น “อสมการกับ ชีวิตประจําวันของขาพเจา”

คูมือครู

27

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน คละความสามารถรวมกันแลกเปลีย่ น ความคิดเห็นวาโจทยขอใดในแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 หนา 28 เหมือนและสอดคลองกับตัวอยางใด ที่เรียนมา 2. นักเรียนแตละกลุมนําแนวคิดและ วิธกี ารทีไ่ ดจากการรวมกันแลกเปลีย่ น ความคิดเห็นไปใชในการแกปญ  หา โจทยในแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.3 3. นักเรียนในกลุมรวมกันตรวจสอบ ความถูกตองแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.3

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.3 ที่ ส  ว นเสริ ม ด า นหน า ของ หนังสือเลมนี้)

เกร็ดแนะครู ในแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 นี้ ครูควรชีแ้ นะวา การทําโจทยตอ งคํานึงถึง พืน้ ฐานความรูข องนักเรียนเปนสําคัญ เพราะว า โจทย บ างข อ นั ก เรี ย นที่ มี ความสามารถในการทางคณิตศาสตร สูงสามารถทําไดงาย ซึ่งครูควรแนะ นักเรียนเหลานี้ไดมีสวนรวมแนะนํา ใหนักเรียนอื่นๆ ไดเขาใจและฝกทํา รวมกัน

28

คูมือครู

28

แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 1. จงแกอสมการในแตละขอตอไปนี้ พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ 1) m + 3 > 0 2) c + 7 > 4 3) 3 + x < 4 12 4) y - 18 ≥ -14 5) n - 24 ≥ -32 6) 7 - x > 5 8) 5x + 3 < 7x - 9 7) 4a + 6 ≠ 3a - 6 10) 8 < 2 (t + 3) - t 9) 7x - 5(x - 2) ≠ 3 2. จงแกอสมการในแตละขอตอไปนี้ 1) n - 4 ≥ 7 3) 2y + 1 < 5.8 5) 2xx - 7 < -4 + x 7) 3x 3 - 3( 3(x -5) ≥ 11 9) 6c 6c - 5(c 5( - 3) > -18 11) y - (5y + 3) ≠ -3(y + 3) + 4y 13) 12 (3 - 8x) 8 ) > 15 (1 - 15 x)) 15) 3(x 2+ 4) + 2(x5- 3) ≥ 1

2) -2 < x - 5 4) p + 5 ≥ 9 6) 6y + 9 < -8 + 7y 8) 10) 12) 14)

7a - 4 (a( - 2) > 13 7.2 ≤ 3 (x ( - 1) - 4x 3 14 x - 9 ≠ 7 12 x + 3 - 2 [-2 (2 - a)] > - 14 + 7a 16) 5(x4- 3) + 3(x 2+ 1) ≤ 3x8 -2 3. จงหาจํานวนเต็มที่มากที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ 1) 12 + 16 c < 38 - 13 c 2) 12 n - 14 > 38 + 45 n 3) 5m - 12 (3m + 8) ≥ -4 + 92 m 4) 8x - (4 - x) < -[-{-(2 - 4x)}] 4. จงหาจํานวนเต็มที่นอยที่สุดที่เปนคําตอบของอสมการตอไปนี้ 1) 2x - 3 + 4x > 7 - 2x 2) 3 ≤ 1 23 x - x 3) 14 (3 - 2x) > 10(1 - 12 x) 4) 4(x 5+ 1) + 3(x2- 2) ≥ 2

กระตุน ความสนใจ Engage

สํารวจคนหา Explore

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Explain

Evaluate

กระตุนความสนใจ 29

4. โจทยอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ประโยชนของการแกอสมการที่ไดกลาวไปแลวในหัวขอที่ผานมา คือใชหาคําตอบของ โจทยปญหาที่เกี่ยวของกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวได วิธีแกโจทยปญหาอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว มีวิธีคลายคลึงกับการแกโจทยปญหา สมการเชิงเสนตัวแปรเดียว ดังนี้ 1. กําหนดตัวแปรเพื่อแทนจํานวนที่เราตองการทราบคา 2. เขียนปญหาใหอยูในรูปอสมการ 3. หาคําตอบโดยการแกอสมการ พิจารณาคําตอบโดยตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ไดในสถานการณ ตางๆ นี้

ตัวอยางที่

1

เมื่อนํา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจํานวนเต็มบวกจํานวนหนึ่งกับ 18 ทําใหผลลัพธ มีคานอยกวา 6 จงหาวาจํานวนเต็มบวกที่มีสมบัติดังกลาวเปนจํานวนใดไดบาง วิธีทํา

สมมติใหจํานวนเต็มบวกที่ตองการคือ x เมื่อนํา 50 ไปลบออกจากผลบวกของจํานวนเต็มบวกจํานวนนี้กับ 18 ทําให

ผลลัพธนอยกวา 6 (x + 18) - 50 < 6 x + 18 < 6 + 50 x + 18 < 56 x < 56 - 18 หรือ x < 38 จํานวนเต็มบวกที่ตองการ คือจํานวนเต็มบวกทุกจํานวนที่นอยกวา 38 จะได

1. ครู คั ด เลื อ กข อ ความแสดงความ คิ ด เห็ น ของนั ก เรี ย นในขั้ น ตอน ขยายความเขาใจ หนา 27 “อสมการ กั บ ชี วิ ต ประจํ า วั น ของข า พเจ า ” ให นั ก เรี ย นที่ เ ป น เจ า ของอ า นให เพื่อนๆ ฟง 2. ครู ท บทวนขั้ น ตอนการแก โ จทย ปญหาสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว โดยใช คํ า ถาม แล ว บอกนั ก เรี ย น ว า การแก โ จทย อ สมการเชิ ง เส น ตัวแปรเดียว ใชขั้นตอนเหมือนกัน 3. ครูซักถามสนทนากับนักเรียน • ขั้ น ตอนการตรวจสอบคํ า ตอบ ของโจทยสมการหรือตรวจสอบ ความสมเหตุ ส มผล มี ค วาม จําเปนหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน) • ขัน้ ตอนการตรวจสอบคําตอบของ โจทยอสมการและการตรวจสอบ ความสมเหตุสมผลของคําตอบ นักเรียนคิดวาขั้นตอนดังกลาว มีความจําเปนหรือไม เพราะเหตุใด และขั้นตอนใดจะใหความมั่นใจ วาถูกตอง เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลาก หลายตามพื้ น ฐานความรู  ข อง นักเรียน และคําตอบขึ้ น อยู  กั บ ดุลยพินิจของครูผูสอน)

สํารวจคนหา

1. ให นั ก เรี ย นอ า นโจทย ป  ญ หาใน ตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 ครูใหนกั เรียน รวมกันแสดงความคิดเห็นวา • เมือ่ แกอสมการไดคา ของตัวแปร แลว จะตรวจสอบโดยใชความ สมเหตุสมผลหรือตรวจคําตอบ เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูของนักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของครูผูสอน) 2. ใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางที่ 1, 2 และ 3 พรอมตรวจสอบวาขอแสดงความคิดเห็นของนักเรียนขางตนวา สอดคลองกับการนําเสนอในแตละตัวอยาง หรือไม (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูของนักเรียน และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของครูผูสอน) ตอบ

คูมือครู

29

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

นักเรียนควรรู คะแนนเฉลีย่ เปนการคํานวณหาคา กลางของคาเฉลีย่ เลขคณิตของขอมูล ซึ่งคํานวณจากสูตรคาเฉลี่ยเลขคณิต เทากับ ผลรวมของขอมูลทุกคา จํานวนขอมูลทั้งหมด

30

คูมือครู

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

อธิบายความรู ครูถามใหนักเรียนตอบ • ตัวอยางที่ 1 - 3 เปนโจทยปญหา อสมการที่มีการกลาวถึงอสมการ จํานวนกี่ครั้ง อะไรบาง (แนวตอบ 1 ครั้ง โดยมี <, > และ ≤) • ลักษณะของโจทยปญ  หาในตัวอยาง ที่ 4 คล า ยกั น กั บ โจทย ป  ญ หาใน ตัวอยางใดบาง (แนวตอบ ตัวอยางที่ 1 และตัวอยาง ที่ 2) • เมือ่ แกอสมการไดคา ของตัวแปรแลว ค า เหล า นั้ น จะเป น คํ า ตอบของ อสมการหรือไม เพราะเหตุใด ถาไมใช คําตอบของอสมการจะตองทําอยางไร จึงไดคําตอบของอสมการ ( แนวตอบ อาจจะเป น หรื อ ไม ก็ ไ ด เพราะว า จํ า นวนเหล า นั้ น อาจจะ ไมสอดคลองกับบางเงือ่ นไขทีโ่ จทย กําหนดไว จะตองตรวจสอบวาคาที่ ไดทําใหอสมการเปนจริงจึงจะสรุป วาเปนคําตอบของอสมการ)

ขยายความเขาใจ

30 ตัวอยางที่

2

ในระดับชั้นมัธยมศึกษาปที่ 2 ภาคเรียนที่หนึ่งมีการทดสอบผลสัมฤทธิ์ของการเรียน วิชาคณิตศาสตรทั้งหมด 4 ครั้ง แตละครั้งมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน นายนิทัศน สอบ 3 ครั้งแรกไดคะแนน 85, 91 และ 76 คะแนน เขาจะตองไดคะแนนอยางตํ่า กีค่ ะแนนในการทดสอบครัง้ ทีส่ ี่ เขาจึงจะไดคะแนนเฉลีย่ จากการทดสอบทัง้ สีค่ รัง้ มากกวา 85 คะแนน ถาคะแนนที่ใหเปนจํานวนเต็มเทานั้น ใหการทดสอบครั้งสุดทายนายนิทัศนสอบได x คะแนน นายนิทัศนสอบ 4 ครั้งไดคะแนน 85, 91, 76 และ x คะแนน เขาตองการคะแนนเฉลี่ยมากกวา 85 คะแนน 85 + 91 +76 + x > 85 4 85 + 91 + 76 + x > 85 × 4 252 + x > 340 x > 340 - 252 ……………① หรือ x > 88 คะแนนทดสอบมีคะแนนเต็ม 100 คะแนน ……………② จาก ① และ ② แสดงวานายนิทัศนไดคะแนนไมตํ่ากวา 89 คะแนน และไมเกิน 100 คะแนน หรือไดคะแนนตั้งแต 89 คะแนน ถึง 100 คะแนน จึงจะได ตอบ คะแนนเฉลี่ยตามตองการ วิธีทํา

ตัวอยางที่

3

จํานวนบวกสองจํานวนไมเทากันใหผลบวกเทากับ 32 และผลตางของสองจํานวนนี้ มีคาไมเกิน 11 จงหาจํานวนบวกที่มีคามาก วิธีทํา

ใหจํานวนบวกที่มีคามากกวา คือ x จะได จํานวนบวกที่มีคานอยกวา คือ 32 - x ผลตางของจํานวนบวกสองจํานวนนี้มีคาไมเกิน 11 จะได x - (32 - x) ≤ 11 x - 32 + x ≤ 11 2x ≤ 43 x ≤ 432 หรือ x ≤ 21.5

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

อธิบายความรู 31

เนือ่ งจากผลบวกของจํานวนสองจํานวนเทากับ 32 จํานวนสองจํานวนนี้ จะเทากัน เมื่อจํานวนแตละจํานวนเทากับ 322 = 16 นั่นคือ จํานวนบวกที่มีคามากตองมากกวา 16 แตไมเกิน 21.5 ตอบ ตัวอยางที่

4

เมื่อวานนี้เปนวันเกิดของธิดารัตน คุณพอและคุณแมของธิดารัตนจึงใหเงินธิดารัตน เปนจํานวนเทาๆ กัน ธิดารัตนนําเงินไปฝากคุณยาไว 100 บาท แลวนําเงินที่เหลือ ไปเทีย่ วกับพีส่ าว เมือ่ กลับมาบานธิดารัตนนบั เงินดู พบวาเธอใชเงินไปทัง้ สิน้ 180 บาท และเหลือเงินอยูไมถึง 40 บาท จงหาวาคุณพอและคุณแมใหเงินธิดารัตนคนละกี่บาท

ใหคุณพอและคุณแมใหเงินธิดารัตนคนละ x บาท ดังนั้น ธิดารัตน ไดรับเงินทั้งหมด x + x = 2xx บาท หักสวนที่นําไปฝากคุณยา 100 บาท และที่ใชไป 180 บาท ธิดารัตนจะเหลือเงิน 2x 2 - (100 + 180) หรือ 2x 2 - 280 บาท แตธิดารัตนเหลือเงินไมถึง 40 บาท ¶ŒÒàÃÒäÁ‹¾Ô¨ÒÃ³Ò จะได 2x - 280 < 40 ¤ÇÒÁÊÁà˵ØÊÁ¼Å¢Í§¤íҵͺ àÃÒµŒÍ§µÍº¼Ô´á¹‹æ àÅ 2xx < 40 + 280 2x < 320 x < 320 2 ……………① หรือ x < 160 แตจํานวนเงินที่ธิดารัตน ไดรับทั้งสิ้นตองมากกวา 100 + 180 บาท หรือมากกวา 280 บาท นั่นคือ 2x > 280 x > 280 2 ……………② หรือ x > 140 จาก ① และ ② แสดงวาธิดารัตนไดรบั เงินจากคุณพอและคุณแมคนละเทาๆ กัน ตอบ เปนจํานวนที่มากกวา 140 บาท แตไมถึง 160 บาท วิธีทํา

1. ครูใหนักเรียนแตละคูเขียนขอสรุป เกี่ยวกับคําตอบของโจทยอสมการ วา มีความสอดคลองกับอสมการ หรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ สามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้ น ฐานความรู  ข องนั ก เรี ย น และคําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของ ครูผูสอน) 2. ครูสุมนักเรียน 4 คู ใหอานขอสรุป พรอมใหชว ยกันแสดงความคิดเห็น และร ว มกั น สรุ ป ให ไ ด ข  อ สรุ ป ที่ สมบูรณถูกตอง

นักเรียนควรรู เหลืออยูไ มถงึ 40 ขอความนีห้ มายถึง มีเงินนอยกวา 40 บาท โดยขอความ วา “นอยกวา” เปนการบงชี้วา ตองใช สัญลักษณ < เพื่อเขียนอสมการ

เกร็ดแนะครู ตัวอยางที่ 1 ถึง 4 ครูควรใหนกั เรียน รวมกันคนหาคําศัพททางคณิตศาสตร ที่ บ  ง บอกการใช สั ญ ลั ก ษณ ใ นการ แกอสมการ เชน นอยกวา มากกวา อยางตํ่า ไมตํ่ากวา ไมเกิน ไมถึง เปนตน และรวมกันทบทวนความรู กอนทีจ่ ะทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.4

คูมือครู

31

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถูกตองจากการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.4 ที่ ส  ว นเสริ ม ด า นหน า ของ หนังสือเลมนี้)

Expand

Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูใหนกั เรียนจับคูร ว มกันแลกเปลีย่ น ความคิดเห็นวาโจทยขอใดในแบบ ตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 หนา 32 วาเหมือนกับตัวอยางใดที่เรียนมา 2. นักเรียนนําแนวคิดทีแ่ ลกเปลีย่ นกัน นําไปใชในการทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.4 จากนั้นนักเรียน แตละคูแ ลกเปลีย่ นกันตรวจคําตอบ 3. ครูสุมนักเรียน 2 - 3 คู ใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธกี ารแกปญ  หา โจทย และใหนักเรียนที่มีแนวคิด แตกตางนําเสนอดวย

ขยายความเขาใจ ตรวจสอบผล

32

แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 1. เมื่อนํา 13 ของจํานวนหนึ่งลบออกจาก 11 จะไดผลลัพธมากกวา 5 จงหาจํานวนนั้น 2. ถาสามเทาของจํานวนเต็มบวกจํานวนหนึง่ มากกวา 30 อยูไ มถงึ 15 จงหาวาจํานวนทีม่ สี มบัติ ดังกลาว เปนจํานวนใดไดบาง 3. จํานวนจํานวนหนึ่งรวมกับ 14 ของผลบวกของจํานวนนั้นกับ 8 แลวยังนอยกวา 10 จงหาวา จํานวนดังกลาวเปนจํานวนใดไดบาง ถา 1) จํานวนนั้นเปนจํานวนนับ 2) จํานวนนั้นเปนจํานวนเต็ม 4. การทดสอบผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวิชาคณิตศาสตร ในภาคเรียนนี้มี 5 ครั้ง แตละครั้งมี คะแนนเต็ม 100 คะแนน ถาวริศราทดสอบ 4 ครั้งแรกไดคะแนน 80, 92, 86 และ 78 แลว เธอตองไดคะแนนอยางตํา่ กีค่ ะแนนในการทดสอบครัง้ ทีห่ า เธอจึงจะไดคะแนนเฉลีย่ จากการ สอบทั้งหาครั้งมากกวา 85 คะแนน คะแนนที่ไดเปนจํานวนเต็ม 5. ความยาวของดานยาวของรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผายาวมากกวาสองเทาของความยาวของดานกวาง อยู 4 เมตร ถาความยาวรอบรูปยาวไมเกิน 38 เมตร จงหาความยาวของดานกวางที่มาก ที่สุดที่เปนไปไดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้

NET ขอสอบ ป 51 6. แมคา ซือ้ เหมาไขไกมา 1,000 ฟอง เปนเงิน 2,750 บาท นํามาขายปลีกโดยขายไขขนาดใหญ ขอสอบออกเกี่ยวกับโจทยปญหา ฟองละ 3.50 บาท ขนาดเล็กขายฟองละ 1.50 บาท เมือ่ ขายไขหมดแลวพบวาไดกาํ ไรมากกวา อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว โจทย กําหนด 300 บาท จงหาวาไขที่ซื้อมาเมื่อแยกตามขนาดแลวไดไขชนิดใดมากกวา • ตะกราใบหนึ่งมีผลไมสามชนิด 7. ตวงทองซื้อดอกกุหลาบสีแดงกับสีเหลืองรวมกันมากกวา 20 ดอกแตไมถึง 24 ดอกเปนเงิน คือ สม มะมวงและมังคุด ถา ตะกราใบนี้มีสม 8 ผล และถา 105 บาท ถากุหลาบสีแดงราคาดอกละ 5 บาท และกุหลาบสีเหลืองราคาดอกละ 4 บาท นํามะมวงออกจากตะกรา 1 ผล เขาจะซื้อกุหลาบสีแดงไดมากที่สุดกี่ดอก มะมวงกับมังคุดจะมีจาํ นวนเทากัน เมื่อนับผลไมทั้งหมดในตะกรา 8. ปาทองซื้อสับปะรดมา 30 ผล ราคาผลละ 15 บาท โดยแบงเปนขนาดใหญและขนาดเล็ก หลังจากที่นํามะมวงออกไปแลว ขนาดใหญขายผลละ 25 บาท ขนาดเล็กขายผลละ 20 บาท เมื่อขายหมดปาทองไดกําไร 1 ผล พบว า ผลไม ทั้ ง หมดใน มากกวา 200 บาท จงหาวามีสับปะรดผลใหญอยางนอยที่สุดกี่ผล ตะกรามีจํานวนนอยกวา 20 ผล ขอใดตอไปนี้ถูก 1. มีมะมวงอยูในตะกราไมเกิน 6 ผล 2. มีมะมวงอยูใ นตะกราอยางนอย ที่สุด 7 ผล 3. มีมะมวงอยูใ นตะกรานอยกวา 6 ผล 4. มีมะมวงอยูในตะกรามากกวา 7 ผล (แนวคิด ใหมังคุดและมะมวงมีจํานวนเทากัน คือ x ผล นับจํานวนผลไมหลังจากนํามะมวงออกไป 1 ผล จะมีจํานวนนอยกวา 20 ผล จะได 2x + 8 < 20 2x < 12 x<6 ดังนั้น มังคุดจะมีอยางมาก 5 ผล มะมวงมีมากกวามังคุด 1 ผล ดังนั้น มีมะมวงในตะกราไมเกิน 6 ผล คําตอบ คือ ขอ 1.)

32

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

33 กิจกรรมเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

(มีความสามารถในการใหเหตุผล การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร การเชื่อมโยง คณิตศาสตรกับศาสตรอื่นๆ)

นักเรียนไดเรียนรูเ กีย่ วกับอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว และทราบวาการเขียนคําตอบ ของอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวอาจแสดงโดยใชเสนจํานวนจริงมาแลว เคยสงสัยบางไหมวา ความรูในวิชาอื่นๆ ที่เกี่ยวของกับเรื่องอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวมีเรื่องใดบาง ใหนักเรียน พิจารณาเรื่องตอไปนี้ การแบงชวงเวลาตามแบบไทย การแบงชวงเวลาทางประวัติศาสตร ไทย นักประวัติศาสตรไทยจะจัดแบงเวลาให เหมาะสมกับสภาพสังคมไทย ซึง่ ภาพรวมการแบงชวงเวลาทางประวัตศิ าสตรไทยจะนิยมใชรปู แบบตางๆ สําหรับการศึกษาการแบงชวงเวลาใหเชือ่ มโยงกับเรือ่ งอสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว จะนําเสนอ 2 รูปแบบ ไดแก แบงชวงเวลาตามราชธานีกับแบงชวงเวลาตามรัชกาล มีดังนี้ 1) แบงตามราชธานี เปนการแบงชวงเวลาโดยใชเกณฑที่มีราชธานีแหงนั้นๆ เปนศูนยกลางในการปกครองบริหารอาณาจักร ตารางแสดงการแบงยุคสมัยตามราชธานี ชื่อเรียกยุคสมัย สมัยสุโขทัย สมัยอยุธยา สมัยธนบุรี สมัยรัตนโกสินทร

ยุคสมัยตามราชธาน� กรุงสุโขทัย กรุงศรีอยุธยา กรุงธนบุรี กรุงเทพฯ

ชวงระยะเวลา พ.ศ. 1792 - พ.ศ. 2006 พ.ศ. 1893 - พ.ศ. 2310 พ.ศ. 2310 - พ.ศ. 2325 พ.ศ. 2325 - ปจจุบัน

จากตารางแสดงการแบงเวลายุคสมัยตามราชธานี นักเรียนสามารถแสดง ชวงระยะเวลาของราชวงศดวยเสนจํานวนจริงได และอธิบายเสนจํานวนนั้นโดยใชความรู เรื่องอสมการ พ.ศ.

1700

1800

สมัยสุโขทัย 1900 2000

2100 2200 สมัยอยุธยา

สมัยธนบุรี 2300 2400 2500 สมัยรัตนโกสินทร

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ ครูใหนกั เรียนแบงกลุม กลุม ละ 5 คน ใหแตละกลุมรวมกันนําความรูวิชา อื่นๆ ที่เกี่ยวของกับอสมการเชิงเสน ตั ว แปรเดี ย วมาสร า งผลงาน 1 ชิ้ น เชน สรางเสนแบงราชวงศตางๆ สมัย อยุธยา สรางเสนชวงอายุของสถานที่ หรือบุคคลตางๆ เปนตน จัดทําลง กระดาษ A4 สงครูผูสอน ครูชี้แนะเพิ่มเติมการสรางชิ้นงาน โดยเปดโอกาสใหนักเรียนซักถาม

นักเรียนควรรู การแบงชวงเวลา เปนขอความที่ กําหนดหรือกติกาที่บงบอกเปนระยะ หรือชวง ซึ่งสามารถนําไปประยุกตใช โดยการเขียนกราฟแสดงขอมูลได

เกร็ดแนะครู การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ในหนวยนี้ ครูควรเชื่อมโยงความรูกับ ศาสตรอื่นๆ โดยใหนักเรียนรวมกัน ตัง้ ประเด็นในการรวมทํากิจกรรม เชน ประวัติครอบครัวของนักเรียน ประวัติ นักวิทยาศาสตร ประวัติของบุคคล สําคัญตางๆ ระยะเวลาการสรางเมือง หรือสถานที่สําคัญตางๆ เปนตน

คูมือครู

33

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ขยายความเขาใจ 1. ครูสมุ นักเรียน 2 - 3 กลุม แตละกลุม ให ม านํ า เสนองานหน า ชั้ น เรี ย น และใหกลุมอื่นๆ รวมสนอแนวคิด ที่แตกตาง 2. ครูคัดเลือกชิ้นงาน 3 ชิ้นงาน ให นั ก เรี ย นร ว มกั น อภิ ป รายและ แลกเปลี่ยนความคิดเห็น จากนั้น ครูวิเคราะหใหเห็นวาความรูเรื่อง อสมการเชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย ว สามารถนําไปประยุกตใชในเรื่อง ตางๆ ในชีวิตประจําวันไดอยางไร

34

จากเสนจํานวนพบวาบางชวงเวลาจะเกิดการซอนกันของยุคสมัยสองยุค เชน ชวงปลายสมัยสุโขทัยกับชวงตนสมัยอยุธยา กลาวคือสมัยสุโขทัยมีชวงเวลาประมาณ 200 ป และชวงปลายของสมัยสุโขทัยจะเริ่มมีสมัยอยุธยาเกิดขึ้นซอนกันประมาณ 100 ป แลวเขาสูสมัยอยุธยาอยางแทจริงอีกประมาณ 300 ป และจะพบวาสมัยธนบุรีมีชวงเวลาสั้น ที่สุดประมาณ 15 ปเทานั้น พอถึงสมัยรัตนโกสินทรตั้งแต ปพ.ศ. 2325 ถึงปจจุบันประมาณ 200 กวาป ถาเปรียบเทียบทัง้ 4 ราชธานีคาดการณวา สมัยรัตนโกสินทรจะมีชว งเวลายาวทีส่ ดุ 2) แบงตามรัชกาล เปนการแบงชวงเวลาโดยใชเกณฑชว งระยะทีพ่ ระมหากษัตริย พระองคนั้นๆ ครองราชย โดยจัดเรียงตามลําดับรัชกาล ตารางแสดงการแบงยุคสมัยตามลําดับรัชกาล ชื่อเรียกยุคสมัย

ยุคสมัยตามรัชกาล

ชวงระยะเวลา

ชื่อเรียกรัชกาลที่ 1 รัชสมัยพระบาทสมเด็จพระพุทธยอดฟาจุฬาโลก- พ.ศ. 2325 - พ.ศ. 2352 มหาราช ชื่อเรียกรัชกาลที่ 2 รัชสมัยพระบาทสมเด็จพระพุทธเลิศหลานภาลัย พ.ศ. 2352 - พ.ศ. 2367 ชื่อเรียกรัชกาลที่ 3 รัชสมัยพระบาทสมเด็จพระนั่งเกลาเจาอยูหัว

พ.ศ. 2367 - พ.ศ. 2394

ชื่อเรียกรัชกาลที่ 4 รัชสมัยพระบาทสมเด็จพระจอมเกลาเจาอยูหัว

พ.ศ. 2394 - พ.ศ. 2411

ชื่อเรียกรัชกาลที่ 5 รัชสมัยพระบาทสมเด็จพระจุลจอมเกลาเจาอยูหัว พ.ศ. 2411 - พ.ศ. 2453

จากตารางแสดงการแบงชวงยุคสมัยตามรัชกาล ใหนักเรียนคนควาเพิ่มเติมวา สมัยรัชกาลที่ 6 ถึงรัชกาลที่ 9 อยูในชวงระยะเวลาพ.ศ.ใดบาง และใหสรางเสนจํานวน แสดงชวงระยะเวลา พรอมทั้งอธิบายเสนจํานวนนั้นโดยใชความรูเรื่องอสมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว

34

คูมือครู

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

Engage

Explore

Explain

ขยายความเขาใจ Expand

35

1

แบบฝกหัด

ประจําหนวยการเรียนรูที่

1. ขอความตอไปนี้ขอความใดเปนอสมการ 1) 3x + 8

2) 9y - 7 > 0

3) 5 + 4a = 3 5) 2b2 ≥ 4 7) m2 - 4 ≥ 3

4) 4c ≠ 2c -1 6) 7k - 3 ≠ 2k +1 8) 5 + 2n = (n + 3) + (n + 2)

9) x2 + 2 ≠ 6

10) 3b + 1 > 4b + 8

2. จงตรวจดูวา จํานวนที่ใหไวในวงเล็บ [ ] เปนคําตอบของอสมการที่กําหนดใหหรือไม 1) 2x - 3 > 7

[5]

2) 4x - 5 ≤ 3

3) 4x ≠ 12

[3]

4)

5) 7(3x - 1) < 12

[-3]

6)

7) 4(3 - x) > 2x + 1 [6] 9) x 3- 1 > - 4x [2] 3. กราฟตอไปนี้แสดงจํานวนใด

8)

1) 2) 3) 4) 5)

10)

[2] 1 4(2x + 1) > 7 2 12(x - 4) ≠ 7 ((x - 7) 52 7( - 1) < (3x (3 + 4) [3] 7(x 1 (4x 2 (4x - 5) > 4 - x [2]

-1

0

1

2

3

4

5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-3

-2

-1

0

1

2

3

-2

-1

0

1

2

3

4

-2

-1

0

1

2

3

[] []

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเขาใจ 1. ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน แตกลุมคละความสามารถรวมกัน แลกเปลี่ยนความคิดเห็นวาโจทย ขอใดในแบบฝกหัดประจําหนวย การเรียนที่ 1 หนา 35 - 36 เหมือน และสอดคล อ งกั บ ตั ว อย า งใดที่ เรียนมา 2. นั ก เรี ย นแต ล ะกลุ  ม นํ า แนวคิ ด และวิ ธีก ารที่ ไ ด จ ากการร ว มกั น แลกเปลี่ ย นความคิ ด เห็ น ไปใช ในการแกปญ  หาโจทยในแบบฝกหัดฯ หนา 35 - 36 3. นักเรียนในกลุมรวมกันตรวจสอบ ความถู ก ต อ งของแบบฝ ก หั ด ฯ หนา 35 - 36 4. นักเรียนในกลุมรวมกันวิเคราะห หาแนวคิดและวิธกี ารแกปญ  หาโจทย ใหถูกตองและเหมาะสม

เกร็ดแนะครู ก อ นให นั ก เรี ย นทํ า แบบฝ ก หั ด ประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 นักเรียน ควรรวมกันทบทวนความรูที่เรียนมา และใหนักเรียนชวยกันเสนอแนวคิด แนวทาง และวิธีการที่เหมาะสมเพื่อ แกปญหาโจทยนั้นๆ @

มุม IT

ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับโจทย อสมการเชิงเสนตัวแปรเดียว (แบบฝก เสริ ม ทั ก ษะ) ได ที่ http://www. youtheducationservices.ca/ secure/subjects/number_ concepts/pdfs/9_Inequalities_ Wrksht.pdf

คูมือครู

35

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

อธิบายความรู

ขยายความเขาใจ

Engage

Explore

Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

(ยอจากฉบับนักเรียน 20%)

ตรวจสอบผล ตรวจสอบความถู ก ต อ งจากการ ทําแบบฝกหัดประจําหนวยการเรียนรู ที่ 1 (ดู เ ฉลยแบบฝ ก หั ด ประจํ า หน ว ย การเรียนรูที่ 1 ที่สวนเสริมดานหนา ของหนังสือเลมนี้)

หลักฐาน แสดงผลการเรียนรู • ชิ้ น งานจากการนํ า ความรู  เ รื่ อ ง

อสมการเชิ ง เส น ตั ว แปรเดี ย ว ประยุกตใชในชีวิตประจําวัน • แบบฝกหัดประจําหนวยการเรียนรู ที่ 1

B

B

พื้นฐานอาชีพ

ครูควรชี้แนะใหนักเรียนเห็นความ สําคัญและประโยชนของอสมการที่ เกี่ยวของกับงานอาชีพ ซึ่งการเรียน เรือ่ งอสมการตองใชความเขาใจเกีย่ วกับ สมบัติของการไมเทากัน และทักษะ การคิดคํานวณ จึงตองหมั่นฝกทักษะ เพื่อใหเกิดความเชี่ยวชาญและเปน พื้นฐานสําหรับการเรียนรูในระดับชั้น ทีเ่ กีย่ วของกับวิชาชีพ เชน นักเศรษฐศาสตร วิศวกร ชางสํารวจ เปนตน

36

คูมือครู

36

4. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวา -2 แตนอยกวาหรือเทากับ 5 5. จงเขียนกราฟแสดงจํานวนจริงทุกจํานวนที่มากกวาหรือเทากับ -4 แตไมถึง 7 6. จงแกอสมการตอไปนี้ พรอมทั้งเขียนกราฟแสดงคําตอบ 1) 3x > - 6 2) 45 q ≤ 12 4) 2 ≥ 1 16 b - b 3) 4 - 1 45 x ≠ x 5) 5x - 7x > 40 7) 3 - x + 5x ≥ 3x -2 9) 3x - 2x + 6 > 7 - 12x 11) 2x5- 1 - 12 ≤ x 6- 8

6) 4x - x + 6 < 2x + 7 8) 2(7x - 8) + 7(2 -x) ≤ 26

10) 6x - 1 + 2x < 4 + 7x 12) 2x 3+ 13 > 2 - x 6- 8 7. ความยาวของดานยาวของรูปสี่เหลี่ยมผืนผามากกวาความยาวของดานกวางอยู 2 ฟุต จงหา ขนาดที่เล็กที่สุดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผารูปนี้ ถาเสนรอบรูปยาวมากกวา 16 ฟุต และความยาว ของดานยาวและดานกวางเปนจํานวนเต็ม 8. ในหองเรียนหนึ่ง อัตราสวนผลบวกของนํ้าหนักของนักเรียนชายตอผลบวกของนํ้าหนักของ นักเรียนหญิงเทากับ 5 : 3 ถานํ้าหนักของนักเรียนหญิงในหองนี้รวมกันเปน 870 กิโลกรัม และนํ้าหนักเฉลี่ยของนักเรียนชายมากกวา 80 กิโลกรัม นักเรียนชายในหองนี้มีจํานวนมาก ที่สุดกี่คน