8858649122650

คูมือครู 㪌»ÃСͺ¡ÒÃÊ͹ËÇÁ¡Ñº

˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ ©ºÑº Í- .

ภาพปกนี้มีขนาดเทากับหนังสือเรียนฉบับจริงของนักเรียน

กระบวนการสอนแบบ 5 Es ชวยสรางทักษะการเรียนรู กิจกรรมมุงพัฒนาทักษะการคิด คำถาม + แนวขอสอบเพื่อยกผลสัมฤทธิ์ O-NET กิจกรรมบูรณาการเตรียมพรอมสู ASEAN 2558

เอกสารประกอบคูมือครู

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร

คณิตศาสตร เลม 1 ชั้นมัธยมศึกษาปที่

1

สําหรับครู

คูมือครู Version ใหม

ลักษณะเดน

ขยายพื้นที่รูปเลมใหญขึ้นกวาเดิม จัดแบงพื้นที่ออกเปนโซน เพื่อคนหาขอมูลไดงาย สะดวก รวดเร็ว และดูเปนระเบียบ กระตุน ความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล

กระตุน ความสนใจ

Evaluate

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู Explain

ขยายความเขาใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

เปาหมายการเรียนรู สมรรถนะของผูเรียน คุณลักษณะอันพึงประสงค

หน า

โซน 1 กระตุน ความสนใจ

Engage

สํารวจคนหา

Explore

อธิบายความรู

Explain

ขยายความเขาใจ

Expand

ตรวจสอบผล

หน า

หนั ง สื อ เรี ย น

โซน 1

หนั ง สื อ เรี ย น

Evaluate

ขอสอบเนน การคิด

แนว  NT  O-NE T

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

O-NET บูรณาการเชื่อมสาระ

เกร็ดแนะครู

ขอสอบ

โซน 2

โซน 3

กิจกรรมสรางเสริม กิจกรรมทาทาย

นักเรียนควรรู

โซน 3

โซน 2 บูรณาการอาเซียน มุม IT

No.

คูมือครู

คูมือครู

No.

โซน 1 ขั้นตอนการสอนแบบ 5Es

โซน 2 ชวยครูเตรียมสอน

โซน 3 ชวยครูเตรียมนักเรียน

เพื่อใหครูเตรียมจัดกิจกรรมการเรียน การสอน โดยแนะนําขั้นตอนการสอนและ การจัดกิจกรรมแบบ 5Es อยางละเอียด เพื่อใหนักเรียนบรรลุตามตัวชี้วัด

เพื่อชวยลดภาระครูผูสอน โดยแนะนํา เกร็ดความรูสําหรับครู ความรูเสริมสําหรับ นักเรียน รวมทั้งบูรณาการความรูสูอาเซียน และมุม IT

เพื่อใหครูสะดวกตอการจัดกิจกรรม โดย แนะนํากิจกรรมบูรณาการเชือ่ มระหวางสาระหรือ กลุมสาระการเรียนรู วิชา กิจกรรมสรางเสริม กิจกรรมทาทาย รวมถึงเนื้อหาที่เคยออกขอสอบ O-NET แนวขอสอบ NT/O-NET ทีเ่ นนการคิด พรอมเฉลยและคําอธิบายอยางละเอียด

ที่ใชในคูมือครู

แถบสีและสัญลักษณ

แถบสีแสดงขั้นตอนการสอนและการจัดกิจกรรม แบบ 5Es เพื่อใหครูทราบวาเปนขั้นการสอนขั้นใด

1. แถบสี 5Es สีแดง

สีเขียว

กระตุน ความสนใจ

เสร�ม

สํารวจคนหา

Engage

2

•

เปนขั้นที่ผูสอนเลือกใช เทคนิคกระตุน ความสนใจ เพื่อโยง เขาสูบทเรียน

สีสม

อธิบายความรู

Explore

•

เปนขั้นที่ผูสอน ใหผูเรียนสํารวจ ปญหา และศึกษา ขอมูล

สีฟา

Explain

•

เปนขั้นที่ผูสอน ใหผูเรียนคนหา คําตอบ จนเกิดความรู เชิงประจักษ

สีมวง

ขยายความเขาใจ

ตรวจสอบผล

Expand

•

Evaluate

เปนขั้นที่ผูสอน ใหผูเรียนนําความรู ไปคิดคนตอๆ ไป

•

เปนขั้นที่ผูสอน ประเมินมโนทัศน ของผูเรียน

2. สัญลักษณ สัญลักษณ

วัตถุประสงค

• เปาหมายการเรียนรู

• หลักฐานแสดง ผลการเรียนรู

• เกร็ดแนะครู

แทรกความรูเสริมสําหรับครู ขอเสนอแนะ ขอควรระวัง ขอสังเกต แนวทางการจัด กิจกรรมและอืน่ ๆ เพื่อประโยชนในการ จัดการเรียนการสอน ขยายความรูเพิ่มเติมจากเนื้อหา เพื่อให ครูนําไปใชอธิบายเพิ่มเติมใหนักเรียน ไดมีความรูมากขึ้น

•

ความรูห รือกิจกรรมเสริม ใหครูนาํ ไปใช เตรียมความพรอมใหกบั นักเรียนกอนเขาสู ประชาคมอาเซียนใน พ.ศ. 2558 โดย บูรณาการกับวิชาทีก่ าํ ลังเรียน

บูรณาการอาเซียน

•

คูม อื ครู

แสดงรองรอยหลักฐานตามภาระงาน ที่ครูมอบหมาย เพื่อแสดงผลการเรียนรู ตามตัวชี้วัด

• นักเรียนควรรู

มุม IT

แสดงเปาหมายการเรียนรูที่นักเรียน ตองบรรลุตามตัวชี้วัด ตลอดจนสมรรถนะ ที่จะตองมี และคุณลักษณะที่พึงเกิดขึ้น กับนักเรียน

แนะนําแหลงคนควาจากเว็บไซต เพื่อให ครูและนักเรียนไดเขาถึงขอมูลความรู ที่หลากหลาย ทั้งไทยและตางประเทศ

สัญลักษณ

ขอสอบ

วัตถุประสงค

O-NET

(เฉพาะวิชา ชัน้ ทีส่ อบ O-NET O-NET)

ขอสอบเนน การคิด

แนว  NT  O-NE T (เฉพาะระดับชัน้ มัธยมศึกษาตอนตอนตน)

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET (เฉพาะระดับชัน้ มัธยมศึกษาตอนปลาย)

บูรณาการเชื่อมสาระ

กิจกรรมสรางเสริม

กิจกรรมทาทาย

• ชีแ้ นะเนือ้ หาทีเ่ คยออกขอสอบ

O-NET โดยยกตัวอยางขอสอบ พรอมวิเคราะหคาํ ตอบ อยางละเอียด

• เปนตัวอยางขอสอบทีม่ งุ เนน

การคิดและเปนแนวขอสอบ NT/O-NET ในระดับมัธยมศึกษา ตอนตน มีทงั้ ปรนัย - อัตนัย พรอมเฉลยอยางละเอียด

• เปนตัวอยางขอสอบทีม่ งุ เนน

การคิดและเปนแนวขอสอบ O-NET ในระดับมัธยมศึกษา ตอนปลาย มีทงั้ ปรนัย - อัตนัย พรอมเฉลยอยางละเอียด

• แนะนําแนวทางการจัดกิจกรรม

เชือ่ มกับสาระหรือกลุม สาระ การเรียนรู ระดับชัน้ หรือวิชาอืน่ ทีเ่ กีย่ วของ

• แนะนําแนวทางการจัดกิจกรรม ซอมเสริมสําหรับนักเรียนทีค่ วร ไดรบั การพัฒนาการเรียนรู

• แนะนําแนวทางการจัดกิจกรรม ตอยอดสําหรับนักเรียนทีเ่ รียนรู ไดอยางรวดเร็ว และตองการ ทาทายความสามารถในระดับ ทีส่ งู ขึน้

คําแนะนําการใชคูมือครู การออกแบบกิจกรรมการเรียนการสอน คูม อื ครู รายวิชา คณิตศาสตร ม.1 เลม 1 จัดทําขึน้ เพือ่ ใหครูผสู อนนําไปใชเปนแนวทางวางแผนการสอนเพือ่ พัฒนา ผลสัมฤทธิท์ างการเรียน และประกันคุณภาพผูเ รียน ตามนโยบายของสํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขัน้ พืน้ ฐาน (สพฐ.) โดยใชหนังสือเรียน คณิตศาสตร ม.1 เลม 1 ของบริษัท อักษรเจริญทัศน อจท. จํากัด เปนสื่อหลัก (Core Material) เสร�ม ประกอบการสอนและการจัดกิจกรรมการเรียนรูใหสอดคลองกับมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดกลุมสาระการเรียนรู 3 คณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พ.ศ. 2551 โดยออกแบบกิจกรรมการเรียนการสอนตาม หลักการสําคัญ ดังนี้ 1 ออกแบบการสอนเปนหนวยการเรียนรูอิงมาตรฐาน คูม อื ครู รายวิชา คณิตศาสตร ม.1 เลม 1 วางแผนการสอนโดยแบงเปนหนวยการเรียนรูต ามลําดับสาระ (Strand) และหมายเลขขอของมาตรฐานการเรียนรูแ ละตัวชีว้ ดั แตละหนวยจะกําหนดเปาหมายการเรียนรูแ ละจุดประสงคการเรียนรู (Objective Learning) กิจกรรมการเรียนรู (Learning Activities) และแนวทางการประเมินผลการเรียนรู (Learning Evaluation) ไวชัดเจน ครูผูสอนสามารถจัดทําแผนการสอนใหครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรู ตัวชี้วัด สมรรถนะ และ คุณลักษณะอันพึงประสงคทเี่ ปนเปาหมายการเรียนรูต ามทีก่ าํ หนดไวในสาระแกนกลาง (ตามแผนภูม)ิ และสามารถบันทึก ผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนของผูเรียนแตละคนลงในเอกสาร ปพ.5 ไดอยางมั ง ่นใจ แผนภูมิแสดงความสัมพันธขององคประกอบการออกแบบการเรียนรูอิงมาตรฐานและเน มาต นผูเรียนเปนสําคัญ

พผ

ูเ

จุ ด ป ร

ะสง

คก า

ส ภา

รี ย น

ร

รู ีเรยน

มาตรฐานการเรียนรู ตัวชี้วัดชั้นป

ทักษะการคิด การวัดประเมินผล การเรียนรู

กิจกรรมการเรียนรู

เทคนิคการสอน คูม อื ครู

2 การจัดการเรียนรูที่ยึดผูเรียนเปนสําคัญ แนวคิ ด ในการจั ด การเรี ย นการสอนที่ ยึ ด ผู  เ รี ย นเป น สํ า คั ญ พั ฒ นามาจากปรั ช ญาและทฤษฎี ก ารเรี ย นรู  Constructivism ที่เชื่อวา การเรียนรูเปนกระบวนการที่เกิดขึ้นภายในสมองของผูเรียนแตละคน ผูเรียนเปนผูสรางความรู โดยการเชื่อมโยงระหวางสิ่งที่ไดเรียนรูจากบทเรียนใหมกับความรูหรือประสบการณเดิมที่มีอยู ทฤษฎีนี้มีความเชื่อวา ผูเรียนทุกคนไดเรียนรูและมีการสั่งสมความรูความเขาใจเกี่ยวกับสิ่งตางๆ ติดตัวมากอน ทีจ่ ะเขาสูห อ งเรียน ซึง่ เปนการเรียนรูท เี่ กิดจากประสบการณและสิง่ แวดลอมรอบตัวผูเ รียนแตละคน ดังนัน้ การจัดกิจกรรม เสร�ม การเรียนการสอนในแตละหนวยการเรียนรู ผูสอนจะตองคํานึงถึง

4

1. ความรูเดิมของผูเรียน วิธีการสอนที่ดีจะตองเริ่มตนจากจุดที่วา ผูเ รียนมีความรูอ ะไรมาบาง แลวจึงใหความรู หรือประสบการณใหม เพื่อตอยอดจาก ความรูเดิม นําไปสูการสรางความรู ความเขาใจใหม

2. ความรูเดิมของผูเรียนถูกตองหรือไม ผูส อนตองปรับเปลีย่ นความรูค วามเขาใจเดิม ของผูเรียนใหถูกตอง และเปนพฤติกรรม การเรียนรูใ หมทมี่ คี ณุ คาตอผูเรียน เพื่อสราง เจตคติหรือทัศนคติที่ดีตอการเรียนรู สิ่งเหลานั้น

3. ผูเรียนสรางความหมายสําหรับตนเอง ผูสอนตองสงเสริมใหผูเรียนนําความรู ความเขาใจที่เกิดขึ้นไปลงมือปฏิบัติ เพื่อขยายความรูใหลึกซึ้งและมีคุณคา ตอตัวผูเรียนมากที่สุด

แนวคิด Constructivism เนนใหผูเรียนสรางความรูโดยผานกระบวนการคิดและความอยากรูของตนเอง โดยมีผูสอนเปนผูสรางบรรยากาศ

การเรียนรูและกระตุนความสนใจ คอยจัดสถานการณใหผูเรียนเกิดความขัดแยงทางความคิดระหวางประสบการณเดิมกับประสบการณ ความรูใ หม เพือ่ กระตนุ ใหผเู รียนเชือ่ มโยงความรู ความคิด กับประสบการณทมี่ อี ยูเ ดิม แลวสังเคราะหเปนความรูห รือแนวคิดใหมๆ ไดดว ยตนเอง

3 การบูรณาการกระบวนการคิด การเรียนรูของผูเรียนแตละคนจะเกิดขึ้นที่สมอง ซึ่งเปนอวัยวะที่ทําหนาที่รูคิดภายใตสภาพแวดลอมที่เอื้ออํานวย และไดรบั การกระตนุ จูงใจอยางเหมาะสม สอดคลองกับสภาพจิตใจและความตองการของผูเ รียนแตละคน การจัดกิจกรรม การเรียนรูและสาระการเรียนรูที่สอดคลองกับความสนใจและมีความหมายตอผูเรียน จะชวยกระตุนใหสมองของผูเรียน สามารถรับรูและเรียนรูไดอยางมีประสิทธิภาพตามขั้นตอนการทํางงานของสมอง ดังนี้ 1. สมองจะเรียนรูและสืบคน โดยการสังเกต คนหา ซักถาม และทดลอง ปฏิบัติ จนทําใหคนพบความรูความเขาใจ ไดอยางรวดเร็ว

2. สมองจะแยกแยะคุณคาของสิ่งตางๆ โดยการตัดสินใจวิพากษวิจารณ แสดง ความคิดเห็น ยอมรับหรือตอตานตาม อารมณความรูสึกที่เกิดขึ้นในขณะที่เรียนรู

3. สมองจะประมวลเนื้อหาสาระ โดยการสรุปเปนความคิดรวบยอดจาก เรื่องราวที่ไดเรียนรูใหมนําไปผสมผสานกับ ความรูห รือประสบการณเดิมทีถ่ กู จัดเก็บอยูใ น สมอง ผานการกลัน่ กรองเพือ่ สังเคราะหเปน ความรูค วามเขาใจใหมๆ หรือเปนทัศนคติใหม ที่จะเก็บบรรจุไวในสมองของผูเรียน

การเรียนรูที่มีประสิทธิภาพจึงตองเปนการเรียนรูที่เกิดจากกระบวนการคิดของผูเรียน เพราะการเรียนรูจะเกิดขึ้น เมื่อสมองรูคิด และตองเปนการคิดไดครบถวนตามขั้นตอนการทํางานของสมองผูเรียน โดยเริ่มตนจาก 1. ระดับการคิดพื้นฐาน ไดแก การสังเกต การจําแนก การคาดคะเน การสื่อความหมาย การรวบรวมขอมูล การสรุปผล เปนตน

คูม อื ครู

2. ระดับลักษณะการคิด ไดแก การคิดกวาง คิดลึกซึ้ง คิดไกล คิดหลากหลาย คิดคลอง คิดอยางมีเหตุผล เปนตน

3. ระดับกระบวนการคิด ไดแก กระบวนการคิดอยางมีวิจารณญาณ กระบวนการแกปญหา กระบวนการ คิดสรางสรรค กระบวนการคิดสังเคราะห เปนตน

5Es การจัดกิจกรรมตามขั้นตอนวัฏจักรการเรียนรู 5Es ขั้นตอนการสอนที่สัมพันธกับขั้นตอนการคิดและการทํางานทางสมองของผูเรียนที่นิยมใชอยางแพรหลาย คือ วัฏจักรการเรียนรู 5Es ซึ่งผูจัดทําคูมือครูไดนํามาใชเปนแนวทางออกแบบกิจกรรมการเรียนการสอนในแตละหนวย ตามลําดับขั้นตอนการเรียนรู ดังนี้ ขั้นที่ 1

กระตุนความสนใจ

(Engage)

เสร�ม

5

เปนขั้นที่ผูสอนนําเขาสูบทเรียน เพื่อกระตุนความสนใจของผูเรียนดวยเรื่องราวหรือเหตุการณที่นาสนใจโดยใชเทคนิควิธีการ และคําถามทบทวนความรูหรือประสบการณเดิมของผูเรียน เพื่อเชื่อมโยงผูเรียนเขาสูความรูของบทเรียนใหม ชวยใหผูเรียนสามารถ สรุปความสําคัญหัวขอและสาระการเรียนรูของบทเรียนได จึงเปนขั้นตอนการสอนที่สําคัญ เพราะเปนการเตรียมความพรอมและสราง แรงจูงใจใฝเรียนรูแกผูเรียน

ขั้นที่ 2

สํารวจคนหา

(Explore)

เปนขัน้ ทีผ่ สู อนเปดโอกาสใหผเู รียนลงมือศึกษา สังเกต หรือรวมมือกันสํารวจ เพือ่ ใหเห็นขอบขายของประเด็นหรือปญหา รวมถึง วิธีการศึกษาคนควา การรวบรวมขอมูลความรูที่จะนําไปสูการสรางความเขาใจประเด็นหรือปญหานั้นๆ เมื่อผูเรียนทําความเขาใจใน ประเด็นหรือปญหาที่จะศึกษาคนควาอยางถองแทแลว ก็ลงมือปฏิบัติเพื่อเก็บรวบรวมขอมูลความรู สํารวจตรวจสอบ โดยวิธีการตางๆ เชน สัมภาษณ ทดลอง อานคนควาขอมูลจากเอกสาร แหลงขอมูลตางๆ จนไดขอมูลความรูที่เกี่ยวของกับประเด็นหรือปญหาที่ศึกษา

ขั้นที่ 3

อธิบายความรู

(Explain)

เปนขั้นที่ผูสอนมีปฏิสัมพันธกับผูเรียน เชน ใหการแนะนํา ตั้งคําถามกระตุนใหคิด เพื่อใหผูเรียนคนหาคําตอบ และนําขอมูล ความรูจากการศึกษาคนควาในขั้นที่ 2 มาวิเคราะห สรุปผล และนําเสนอผลที่ไดศึกษาคนความาในรูปแบบสารสนเทศตางๆ เชน เขียนแผนภูมิ ผังมโนทัศน เขียนความเรียง เขียนรายงาน เปนตน ในขั้นตอนนี้ฝกใหผูเรียนใชสมองคิดวิเคราะหและสังเคราะห อยางเปนระบบ

ขั้นที่ 4

ขยายความเขาใจ

(Expand)

เปนขั้นที่ผูสอนเลือกใชเทคนิควิธีสอนตางๆ ที่สงเสริมใหผูเรียนนําความรูที่เกิดขึ้นไปคิดคนสืบคนตอๆ ไป เพื่อพัฒนาทักษะ การเรียนรูและการทํางานรวมกันเปนกลุม ระดมสมองเพื่อคิดสรางสรรครวมกัน ผูเรียนสามารถนําความรูที่สรางขึ้นใหมไปเชื่อมโยง กับประสบการณเดิมโดยนําขอสรุปทีไ่ ดไปใชอธิบายเหตุการณตา งๆ หรือนําไปปฏิบตั ใิ นสถานการณใหมๆ ทีเ่ กีย่ วของกับชีวติ ประจําวัน ของตนเอง เพื่อขยายความรูความเขาใจใหกวางขวางยิ่งขึ้น ในขั้นตอนนี้ฝกสมองของผูเรียนใหสามารถคิดริเริ่มสรางสรรคอยางมี คุณภาพ เสริมสรางวิสัยทัศนใหกวางไกลออกไป

ขั้นที่ 5

ตรวจสอบผล

(Evaluate)

เปนขัน้ ทีผ่ สู อนประเมินมโนทัศนของผูเ รียน โดยตรวจสอบจากความคิดทีเ่ ปลีย่ นไปและความคิดรวบยอดทีเ่ กิดขึน้ ใหม ตรวจสอบ ทักษะ กระบวนการปฏิบัติ การแกปญหา การตอบคําถามรวบยอด หรือการเคารพความคิดหรือยอมรับเหตุผลของคนอื่น เพื่อการ สรางสรรคความรูร ว มกัน ผูเ รียนสามารถประเมินผลการเรียนรูข องตนเอง เพือ่ สรุปผลวามีความรูอ ะไรเพิม่ ขึน้ มาบาง เกิดความเขาใจ มากนอยเพียงใด และจะนําความรูเหลานั้นไปประยุกตใชในการเรียนรูเรื่องอื่นๆ หรือในชีวิตประจําวันไดอยางไร ผูเรียนจะเกิดเจตคติ และเห็นคุณคาของตนเองจากผลการเรียนรูที่เกิดขึ้น ซึ่งเปนการเรียนรูที่มีความสุขอยางแทจริง

การจัดกิจกรรมการเรียนรูตามขั้นตอนวัฏจักรการเรียนรู 5Es จึงเปนรูปแบบการเรียนการสอนที่เนนผูเรียน เปนสําคัญอยางแทจริง เพราะสงเสริมใหผูเรียนไดเรียนรูตามขั้นตอนของกระบวนการสรางความรูดวยตนเอง และ ฝกฝนใหใชกระบวนการคิดและกระบวนการกลุมอยางชํานาญ กอใหเกิดทักษะชีวิต ทักษะการทํางาน และทักษะการ เรียนรูที่มีประสิทธิภาพ สงผลตอการยกระดับผลสัมฤทธิ์ของผูเรียน ตามเปาหมายของการปฏิรูปการศึกษาทศวรรษที่ 2 (พ.ศ. 2552-2561) ทุกประการ คูม อื ครู

O-NET การเพิ่มผลสัมฤทธิ์ O-NET

การจัดกิจกรรมการเรียนการสอนตามขั้นตอนวัฏจักรการเรียนรู 5Es ในแตละหนวยการเรียนรู ทางผูจัดทํา จะเสนอแนะวิธีสอน รูปแบบกิจกรรมการเรียนรู พรอมทั้งออกแบบเครื่องมือวัดและประเมินผลที่สอดคลองกับตัวชี้วัด และสาระการเรียนรูแกนกลางไวทุกขั้นตอน โดยยึดหลักสําคัญ คือ หลักของการวัดและประเมินผล เสร�ม

6

1. การวัดและประเมินผลทุกครั้ง ควรนําผลมาปรับปรุงพัฒนาผูเรียน เปนรายบุคคล

2. การวัดและประเมินผลมี เปาหมาย เพื่อพัฒนาการเรียนรู ของผูเรียนจนเต็มศักยภาพ

3. การนําผลการวัดและประเมินผล ทุกครั้งมาวางแผนปรับปรุงกิจกรรม การเรียนการสอน การเลือกเทคนิค วิธีสอน และสื่อการเรียนรูให เหมาะสมกับสภาพจริงของผูเรียน

การทดสอบผูเรียน 1. การใชขอสอบอัตนัย เนนการอาน การคิดวิเคราะห และการเขียนเพิ่มมากขึ้น 2. การใชคําถามกระตุนการคิดควบคูกับการทําขอสอบที่เนนการคิดอยางตอเนื่องตามลําดับกิจกรรมการเรียนรู และตัวชี้วัด 3. การทดสอบตองดําเนินการทั้งกอนเรียน ระหวางเรียน และหลังเรียน การทดสอบควรใชขอสอบทั้งชนิดปรนัยและ อัตนัย และเปนการทดสอบเพื่อประเมินผลการเรียนของผูเรียนแตละคน เพื่อการสอนซอมเสริมใหบรรลุตัวชี้วัด ไดครบถวน 4. การสอบกลางภาค (ถามี) ควรนําแบบฝกหัดหรือขอสอบทีน่ กั เรียนสวนใหญไมสามารถตอบไดหรือไมครบถวนชัดเจน มา สรางเปนแบบทดสอบอีกครัง้ เพือ่ ตรวจสอบความรูค วามเขาใจทีถ่ กู ตอง และประเมินความกาวหนาของผูเ รียนแตละคน 5. การสอบปลายภาคเรียนเพื่อวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนตามตัวชี้วัดที่สําคัญ ควรออกขอสอบใหมีลักษณะเดียวกับ ขอสอบ O-NET โดยเนนการคิดวิเคราะห สังเคราะห เชื่อมโยงประยุกตใช เพื่อสรางความคุนเคย และฝกฝน วิธีการทําขอสอบดวยความมั่นใจ 6. การนําผลการทดสอบของผูเรียนมาวิเคราะห โดยผลการสอบกอนการเรียนตองสามารถพยากรณผลการสอบ กลางภาค และผลการสอบกลางภาคตองทํานายผลการสอบปลายภาคของผูเ รียนแตละคน เพือ่ ประเมินพัฒนาการ ความกาวหนาของผูเรียนเปนรายบุคคล 7. ผลการทดสอบปลายป ปลายภาค ตองมีคาเฉลี่ยสอดคลองกับคาเฉลี่ยของการสอบ NT ที่เขตพื้นที่การศึกษา จัดสอบ รวมทั้งคาเฉลี่ยของการสอบ O-NET ชวงชั้นที่สอดคลองครอบคลุมมาตรฐานการเรียนรูและตัวชี้วัดสําคัญ เพือ่ สะทอนประสิทธิภาพของครูผสู อนในการออกแบบการเรียนรูแ ละประกันคุณภาพผูเ รียนทีต่ รวจสอบผลไดชดั เจน การจัดการเรียนการสอนในแตละหนวยการเรียนรู ตองใหผูเรียนไดสั่งสมความรู ความเขาใจตามลําดับขั้นตอน ของกิจกรรมในวัฏจักรการเรียนรู 5Es เพื่อใหผูเรียนไดเติมเต็มองคความรูอยางตอเนื่อง จนสามารถปฏิบัติชิ้นงานหรือ ภาระงานรวบยอดของแตละหนวย ผานเกณฑประกันคุณภาพในระดับที่นาพึงพอใจ เพื่อรองรับการประเมินภายนอกจาก สมศ. ตลอดเวลา คูม อื ครู

ASEAN การเรียนรูสูประชาคมอาเซียน เพื่ออํานวยความสะดวกแกครูผูสอนในการจัดกิจกรรมการเรียนรูบูรณาการอาเซียนศึกษา ผูจัดทําไดวิเคราะห มาตรฐานการเรียนรู และตัวชี้วัดที่มีสาระการเรียนรูสอดคลองกับองคความรูเกี่ยวกับประชาคมอาเซียนในแงมุมตางๆ ครอบคลุมทัง้ ประชาคมการเมืองและความมัน่ คงอาเซียน ประชาคมเศรษฐกิจอาเซียน และประชาคมสังคมและวัฒนธรรม อาเซียน เพื่อสงเสริมการเรียนรูใหผูเรียนเกิดความตระหนัก มีความรูความเขาใจเหมาะสมกับระดับชั้นและกลุมสาระ การเรียนรู โดยเสนอแนะวิธีการจัดกิจกรรมบูรณาการเนื้อหาสาระตางๆ ที่เปนประโยชนตอผูเรียนและเปนการชวย เตรียมความพรอมผูเ รียนทุกคนทีจ่ ะกาวเขาสูก ารเปนสมาชิกของประชาคมอาเซียนไดอยางมัน่ ใจตามขอตกลงปฏิญญา เสร�ม ชะอํา-หัวหิน วาดวยความรวมมือดานการศึกษาเพือ่ บรรลุเปาหมายประชาคมอาเซียนทีเ่ อือ้ อาทรและแบงปน จึงกําหนด 7 เปนนโยบายใหกระทรวงศึกษาธิการจัดการเรียนรูเตรียมความพรอมผูเรียนเขาสูประชาคมอาเซียนภายในป พ.ศ. 2558 ตามแนวปฏิบัติที่สําคัญ ดังนี้

การจัดการเรียนรูส ู ประชาคมการเมืองและความมัน่ คงอาเซียน 1. การสรางความรูความเขาใจ และตระหนักถึงความสําคัญของ กฎบัตรอาเซียน และความรวมมือ ของ 3 เสาหลัก ซึง่ กฎบัตรอาเซียน ในขณะนี้มีสถานะเปนกฎหมายที่ ประเทศสมาชิกจะตองปฏิบัติตาม หลักการที่กําหนดไวเพื่อใหบรรลุ เปาหมายของกฎบัตรมาตราตางๆ

2. การสงเสริมหลักการ ประชาธิปไตยและการสราง สิ่งแวดลอมประชาธิปไตย เพื่อการอยูรวมกันอยางกลมกลืน ภายใตวิถีชีวิตอาเซียนที่มีความ หลากหลายดานสังคมและ วัฒนธรรม

4. การตระหนักในคุณคาของ สายสัมพันธทางประวัติศาสตร และมรดกทางวัฒนธรรมที่มี พัฒนาการรวมกัน เพื่อเชื่อม อัตลักษณและสรางจิตสํานึก ในการเปนประชากรของประชาคม อาเซียนรวมกัน

3. การสงเสริมการศึกษาดาน สิทธิมนุษยชน เพื่อสรางประชาคม อาเซียนใหเปนประชาคมเพื่อ ประชาชนอยางแทจริง สามารถ อยูรวมกันไดบนพื้นฐานการเคารพ ในคุณคาของศักดิ์ศรีแหงความ เปนมนุษยเทาเทียมกัน

5. การสงเสริมสันติภาพ ความ มั่นคง และความปรองดองในสังคม ทั้งระดับประเทศและภูมิภาคของ อาเซียนบนพื้นฐานสันติวิธีและการ อยูรวมกันดวยขันติธรรม

คูม อื ครู

การจัดการเรียนรูส ู ประชาคมเศรษฐกิจอาเซียน

เสร�ม

8

1. การพัฒนาทักษะการทํางาน เพื่อเสริมสรางผูเรียนใหมีทักษะ วิชาชีพที่จําเปนสอดคลองกับ ความตองการของตลาดแรงงาน และสถานประกอบการในอาเซียน สามารถเทียบโอนผลการเรียน และการทํางานตามมาตรฐานฝมือ แรงงานในภูมิภาคอาเซียน

2. การเสริมสรางวินัย ความรับผิดชอบ และเจตคติรักการทํางาน สามารถพึ่งพาตนเอง มีทักษะชีวิต ดํารงชีวิตอยางมีความสุข เห็นคุณคา และภูมิใจในตนเอง ในฐานะที่เปนพลเมืองไทยและ อาเซียน

3. การเรียนรูเพื่อพัฒนาตนเอง อยางตอเนื่องตลอดชีวิต ใหมี ทักษะการทํางานตามมาตรฐาน อาชีพ และคุณวุฒิของวิชาชีพสาขา ตางๆ เพื่อรองรับการเตรียมเคลื่อน ยายแรงงานมีฝมือและการเปน ประชาคมเศรษฐกิจอาเซียนที่ เขมแข็ง เพื่อสรางขีดความสามารถ ในการแขงขันในเวทีโลก

การจัดการเรียนรูส ู ประชาคมสังคมและวัฒนธรรมอาเซียน 1. การเสริมสรางความรวมมือ ในลักษณะสังคมที่เอื้ออาทร ของประชากรอาเซียน โดยยึด หลักการสําคัญ คือ ความงดงาม ของประชาคมอาเซียนมาจาก ความแตกตางและหลากหลายทาง วัฒนธรรมที่ลวนแตมีคุณคาตอ มรดกทางวัฒนธรรมของอาเซียน ซึ่งประชาชนทุกคนตองอนุรักษ สืบสานใหยั่งยืน

2. การเสริมสรางคุณลักษณะ ของผูเรียนใหเปนพลเมืองอาเซียน ที่มีศักยภาพในการกาวเขาสู ประชาคมอาเซียนอยางมั่นใจ เปนผูที่มีสุขภาพสมบูรณแข็งแรง มีทักษะการสื่อสาร ทักษะการ ทํางาน ทักษะทางสังคม สามารถ ทํางานรวมกับผูอื่นไดอยาง สรางสรรค และมีองคความรู เกี่ยวกับอาเซียนที่จําเปนตอการ ดํารงชีวิตอยางมีคุณภาพ

4. การสงเสริมการเรียนรูดาน ศิลปะ วัฒนธรรม ประเพณี วิถชี วี ติ ความเปนอยูข องเพือ่ นบาน ในอาเซียน เพื่อสรางจิตสํานึกของ ความเปนประชาคมอาเซียนและ ตระหนักถึงหนาที่ของการเปน พลเมืองอาเซียนรวมกัน

3. การสงเสริมการเรียนรูภาษา อังกฤษเพื่อการสื่อสารและการ ทํางานตามมาตรฐานอาชีพที่ กําหนดและสนับสนุนการเรียนรู ภาษาอาเซียนและภาษาเพื่อนบาน เพื่อชวยเสริมสรางสัมพันธภาพทาง สังคม และการอยูรวมกันอยางสันติ ทามกลางความหลากหลายทาง วัฒนธรรม

5. การสรางความรูและความ ตระหนักเกี่ยวกับดานสิ่งแวดลอม ปญหาและผลกระทบตอคุณภาพ ชีวิตของประชากรในภูมิภาค รวมทั้งแนวทางการพัฒนาอยาง ยั่งยืน ใหเปนมรดกสืบทอดแก พลเมืองอาเซียนในรุนหลังตอๆ ไป

กระทรวงศึกษาธิการจึงประกาศนโยบายการปฏิรูปการศึกษาทศวรรษที่ 2 (พ.ศ. 2552-2561) เพื่อเรงพัฒนาเด็ก และเยาวชนไทยใหเปนทรัพยากรมนุษยของชาติที่มีทักษะและความชํานาญ พรอมเผชิญกับความเปลี่ยนแปลงและ การแขงขันทั้งในภูมิภาคอาเซียนและภูมิภาคอื่นๆ ของสังคมโลก ทั้งนี้ผูบริหารสถานศึกษา ครูผูสอน และผูปกครอง ควรรวมมือกันอยางใกลชิดในการดูแลชวยเหลือผูเรียนและจัดประสบการณการเรียนรูเพื่อพัฒนาผูเรียนจนเต็มศักยภาพ เพื่อกาวเขาสูการเปนพลเมืองอาเซียนอยางมีเกียรติภูมิและศักดิ์ศรีความเปนมนุษยของตน คณะผูจัดทํา คูม อื ครู

ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง สาระที่ 1

คณิตศาสตร (เฉพาะชั้น ม.1 เลม 1)*

จํานวนและการดําเนินการ

มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถึงความหลากหลายของการแสดงจํานวนและการใชจํานวนในชีวิตจริง ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน

ม.1 1. ระบุหรือยกตัวอยาง และเปรียบเทียบ • จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ ศูนย เศษสวน • หนวยการเรียนรูที่ 2 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ ศูนย และทศนิยม ระบบจํานวนเต็ม เศษสวน และทศนิยม • การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม เศษสวน และทศนิยม 2. เขาใจเกี่ยวกับเลขยกกําลังที่มี เลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม และเขียน แสดงจํานวนใหอยูในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตร (scientific notation)

• เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม • การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณ วิทยาศาสตร (A × 10n เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เปนจํานวนเต็ม)

เสร�ม

9

• หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง

มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถึงผลที่เกิดขึ้นจากการดําเนินการของจํานวนและความสัมพันธระหวางการดําเนินการตางๆ และ สามารถใชการดําเนินการในการแกปญหา ชั้น

ตัวชี้วัด

สาระการเรียนรูแกนกลาง

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน

ม.1 1. บวก ลบ คูณ หารจํานวนเต็ม และนํา • การบวก การลบ การคูณ และการหาร ไปใชแกปญหา ตระหนักถึงความ เศษสวนและทศนิยม สมเหตุสมผลของคําตอบ อธิบายผลที่ • โจทยปญ หาเกี่ยวกับเศษสวนและทศนิยม เกิดขึ้นจากการบวก การลบ การคูณ การหาร และบอกความสัมพันธของ การบวกกับการลบ การคูณกับการหาร ของจํานวนเต็ม

• หนวยการเรียนรูที่ 2 ระบบจํานวนเต็ม

3. อธิบายผลที่เกิดขึ้นจากการยกกําลัง • เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ของจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยม

• หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง

4. คูณและหารเลขยกกําลังทีม่ ฐี านเดียวกัน • การคูณและการหารเลขยกกําลังที่มี และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ฐานเดียวกันและเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม

• หนวยการเรียนรูที่ 3 เลขยกกําลัง

มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจํานวนและนําสมบัติเกี่ยวกับจํานวนไปใช ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.1 1. นําความรูและสมบัติเกี่ยวกับ จํานวนเต็มไปใชในการแกปญหา

สาระที่ 3

สาระการเรียนรูแกนกลาง

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน

• ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับ และการ • หนวยการเรียนรูที่ 1 นําไปใช สมบัติของจํานวนนับ • การนําความรูและสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็ม • หนวยการเรียนรูที่ 2 ไปใช ระบบจํานวนเต็ม

เรขาคณิต

มาตรฐาน ค 3.1 อธิบายและวิเคราะหรูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติ ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.1 1. สรางและบอกขั้นตอนการสราง พื้นฐานเรขาคณิต

สาระการเรียนรูแกนกลาง

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน

• การสรางพื้นฐานทางเรขาคณิต • หนวยการเรียนรูที่ 4 (ใชวงเวียนและสันตรง) พื้นฐานทางเรขาคณิต 1) การสรางสวนของเสนตรงใหยาวเทากับ ความยาวของสวนของเสนตรงที่กําหนดให

_________________________________ * สํานักวิชาการและมาตรฐานการศึกษา สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน, กระทรวงศึกษาธิการ. ตัวชี้วัดและสาระการเรียนรูแกนกลาง กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร. (กรุงเทพมหานคร : ชุมนุมสหกรณการเกษตรแหงประเทศไทย, 2551), หนา 7-56

คูม อื ครู

ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.1

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน

2) การแบงครึ่งสวนของเสนตรงที่กําหนดให 3) การสรางมุมใหมีขนาดเทากับขนาด ของมุมที่กําหนดให 4) การแบงครึ่งมุมที่กําหนดให 5) การสรางเสนตั้งฉากจากจุดภายนอก มายังเสนตรงที่กําหนดให 6) การสรางเสนตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่ง บนเสนตรงที่กําหนดให

เสร�ม

10

สาระการเรียนรูแกนกลาง

2. สรางรูปเรขาคณิตสองมิติโดยใช การสรางพื้นฐานทางเรขาคณิต และบอกขั้นตอนการสรางโดยไมเนน การพิสูจน

• การสรางรูปเรขาคณิตสองมิติ โดยใชการสราง • หนวยการเรียนรูที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต (ใชวงเวียนและสันตรง) พื้นฐานทางเรขาคณิต

3. สืบเสาะ สังเกต และคาดการณ เกี่ยวกับสมบัติทางเรขาคณิต

• สมบัติทางเรขาคณิตที่ตองการการสืบเสาะ สังเกต และคาดการณ เชน ขนาดของมุม ตรงขามที่เกิดจากสวนของเสนตรงสองเสน ตัดกัน และมุมที่เกิดจากการตัดกันของ เสนทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยม

สาระที่ 5

• หนวยการเรียนรูที่ 4 พื้นฐานทางเรขาคณิต

การวิเคราะหขอมูลและความนาจะเปน

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวิธีการทางสถิติและความรูเกี่ยวกับความนาจะเปนในการคาดการณ ไดอยางสมเหตุสมผล ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.1 1. อธิบายไดวาเหตุการณที่กําหนดให เหตุการณใดจะมีโอกาสเกิดขึ้นได มากกวากัน

สาระที่ 6

สาระการเรียนรูแกนกลาง • โอกาสของเหตุการณ

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน • หนวยการเรียนรูที่ 5 โอกาสของเหตุการณ

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกปญหา การใหเหุตผล การสื่อสาร การสื่อความหมายทางคณิตศาสตร และ การนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตรและเชื่อมโยงคณิตศาสตรกับศาสตรอื่นๆ และ มีความคิดริเริ่มสรางสรรค ชั้น

ตัวชี้วัด

ม.1 1. ใชวิธีการที่หลากหลายแกปญหา - 2. ใชความรู ทักษะและกระบวนการ ม.3 ทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยีในการ แกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยาง เหมาะสม 3. ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจและ สรุปผลไดอยางเหมาะสม 4. ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตร ในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และ การนําเสนอไดอยางถูกตองและชัดเจน 5. เชื่อมโยงความรูตางๆ ในคณิตศาสตร และนําความรูหลักการ กระบวนการ ทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับศาสตร อื่นๆ 6. มีความคิดริเริ่มสรางสรรค

คูม อื ครู

สาระการเรียนรูแกนกลาง

หนวยการเรียนรูในหนังสือเรียน • หนวยการเรียนรูท ี่ 1 สมบัตขิ องจํานวนนับ • หนวยการเรียนรูท ี่ 2 ระบบจํานวนเต็ม • หนวยการเรียนรูท ี่ 3 เลขยกกําลัง • หนวยการเรียนรูท ี่ 4 พืน้ ฐานทางเรขาคณิต • หนวยการเรียนรูท ี่ 5 โอกาสของเหตุการณ

คําอธิบายรายวิชา รายวิชา คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 1 รหัสวิชา ค…………………………………

กลุมสาระการเรียนรู คณิตศาสตร ภาคเรียนที่ 1 เวลา 60 ชั่วโมง/ป

ศึกษา ฝกทักษะการคิดคํานวณ และฝกการแกปญหาในสาระตอไปนี้ เสร�ม 11 จํานวนเต็มบวก จํานวนเต็มลบ และศูนย การเปรียบเทียบจํานวนเต็ม เลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม การเขียนแสดงจํานวนในรูปสัญกรณวิทยาศาสตร (A × 10n เมื่อ 1 ≤ A ≤ 10 และ n เปนจํานวนเต็ม) การบวก การลบ การคูณ และการหารจํานวนเต็ม โจทยปญ หาเกีย่ วกับจํานวนเต็ม การคูณและการหาร เลขยกกําลังที่มีฐานเดียวกัน และเลขชี้กําลังเปนจํานวนเต็ม ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับและการนําไปใช การนําความรูและสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใช พื้นฐานทางเรขาคณิต การสรางรูปเรขาคณิตโดยใชวงเวียนและสันตรง การสรางรูปเรขาคณิตสองมิติ โดยใชการสรางพื้นฐานทางเรขาคณิต การสืบเสาะ สังเกตและคาดการณสมมบัติทางเรขาคณิต โอกาสของเหตุการณ การคาดคะเนโอกาสที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณตางๆ โดยใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยีในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ได อยางเหมาะสม รูจักใชวิธีการที่หลากหลายในการแกปญหา เพื่อใหมีความรูความเขาใจ มีทักษะในการคิดคํานวณ การแกปญหา การใหเหตุผล การสื่อความหมาย ทางคณิตศาสตร และสามารถนําไปใชในการเรียนรูส งิ่ ตางๆ และใชในชีวติ ประจําวันอยางสรางสรรค มีระเบียบ มีความรับผิดชอบ มีวิจารณญาณและมีความเชื่อมั่นในตนเอง สามารถทํางานอยางเปนระบบ รวมทั้งเห็น คุณคาและมีเจตคติที่ดีตอคณิตศาสตร ตัวชี้วัด ค 1.1 ค 1.2 ค 1.4 ค 3.1 ค 5.2 ค 6.1

ม.1/1 ม.1/1 ม.1/1 ม.1/1 ม.1/1 ม.1-3/1

ม.1/2 ม.1/3

ม.1/4

ม.1/2

ม.1/3

ม.1-3/2

ม.1-3/3 ม.1-3/4 รวม 16 ตัวชี้วัด

ม.1-3/5

ม.1-3/6

คูม อื ครู

สาระที่ 1

มาตรฐาน ค 1.2 ตัวชี้วัด

คูม อื ครู

หนวยการเรียนรูที่ 5 : โอกาสของเหตุการณ

หนวยการเรียนรูที่ 4 : พื้นฐานทางเรขาคณิต

หนวยการเรียนรูที่ 3 : เลขยกกําลัง

✓

✓

✓ ✓

✓

✓

หนวยการเรียนรูที่ 2 : ระบบจํานวนเต็ม

1 ✓

1

มาตรฐาน มาตรฐาน ค 1.3 ค 1.4 ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด

2

3

✓ ✓ ✓

1

4

5

สาระที่ 3

มาตรฐาน ค 3.1 ตัวชี้วัด

6

-

-

✓

1

สาระที่ 5

-

มาตรฐาน มาตรฐาน มาตรฐาน มาตรฐาน ค 3.2 ค 5.1 ค 5.2 ค 5.3 ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด ตัวชี้วัด

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

1 2 3 4 5 6

มาตรฐาน ค 6.1 ตัวชี้วัด

สาระที่ 6

12

1 2 1 2 3 4

มาตรฐาน ค 1.1 ตัวชี้วัด

เสร�ม

หนวยการเรียนรูที่ 1 : สมบัตขิ องจํานวนนับ

หนวยการเรียนรู

มาตรฐาน การเรียนรู และตัวชี้วัด

ตาราง วิเคราะหมาตรฐานการเรียนรูแ ละตัวชีว้ ดั รายวิชา คณิตศาสตร ม.1 เลม 1

คําชี้แจง : ใหผูสอนใชตารางนี้ตรวจสอบความสอดคลองของเนื้อหาสาระการเรียนรูในหนวยการเรียนรูกับมาตรฐาน การเรียนรูและตัวชี้วัดชั้นป

กระตุน้ ความสนใจ Engage

ส�ารวจค้นหา Explore

อธิบายความรู้ Explain

ขยายความเข้าใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ ÃÒÂÇÔªÒ¾×é¹°Ò¹

¤³ÔµÈÒʵà Á.ñ àÅ‹Á ñ ชั้นมัธยมศึกษาปที่ ๑

กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑

ผูเรียบเรียง

นางกนกวลี อุษณกรกุล นางสาวปาจรีย วัชชวัลคุ ดร. สุเทพ บุญซอน

ผูตรวจ

นางสาวอัศนีย สวางศิลป นางจินดา อยูเปนสุข นายรณชัย มาเจริญทรัพย

บรรณาธิการ

ศ.ดร. ณรงค ปนนิ่ม นางสาวนวลนอย เจริญผล

พิมพครั้งที่ ๘

สงวนลิขสิทธิ์ตามพระราชบัญญัติ ISBN : 978-616-203-093-2 รหัสสินคา ๒๑๑๖๐๐๕

¤Œ¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢ÂÒ¤ÇÒÁ¤Ô´¨Ò¡

¾ÔÁ¾ ¤ÃÑ駷Õè ñ ÃËÑÊÊÔ¹¤ŒÒ òñôöðòó

EB GUIDE

ที่พิมพกํากับหัวขอสําคัญในหนังสือเรียนหลักสูตรแกนกลางฯ ผาน www.aksorn.com ไปยังแหลงความรูทั่วไทย-ทั่วโลก

( ดูผงั มโนทัศน ไดทปี่ กหลังดานใน)

คณะผูจัดทําคูมือครู

จันทรเพ็ญ ชุมคช ทองดี กุลแกวสวางวงศ สมใจ ธนเกียรติมงคล สายสุณี สุทธิจักษ

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

อธิบายความรู้

Explore

Explain

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

¤íÒá¹Ð¹íÒ㹡ÒÃ㪌˹ѧÊ×ÍàÃÕ¹ หนังสือเรียน รายวิชาพืน้ ฐาน คณิตศาสตร ม.1 เลม 1 นี้ สรางขึน้ เพือ่ ใหเปนสือ่ สําหรับใชประกอบ การเรียนการสอนในรายวิชาพืน้ ฐาน กลุม สาระการเรียนรูค ณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 1 โดยเนือ้ หาตรงตามสาระการเรียนรูแ กนกลางขัน้ พืน้ ฐาน อานทําความเขาใจงาย ใหทงั้ ความรูแ ละชวย พัฒนาผูเ รียนตามหลักสูตรและตัวชีว้ ดั เนือ้ หาสาระแบงออกเปนหนวยการเรียนรูต ามโครงสรางรายวิชา สะดวก แกการจัดการเรียนการสอนและการวัดผลประเมินผล พรอมเสริมองคประกอบอืน่ ๆ ทีจ่ ะชวยทําใหผเู รียนไดรบั à¹×Íé ËҵçµÒÁÊÒÃСÒÃàÃÕ¹ÃÙጠ¡¹¡ÅÒ§ ความรูอ ยางมีประสิทธิภาพ ¤³Ôµ¤Ô´Ê¹Ø¡ ໚¹à¡Á·Ò§ ãËŒ¤ÇÒÁÃÙጠÅÐàÍ×Íé µ‹Í¡ÒùíÒä»ãªŒÊ͹à¾×Íè ¤³ÔµÈÒʵà ·ÕèʹءáÅÐ ãËŒºÃÃÅصÑǪÕéÇÑ´ áÅÐÊÌҧ¤Ø³ÅѡɳР·ŒÒ·Ò à¾×èͪ‹Ç½ƒ¡·Ñ¡ÉÐ Íѹ¾Ö§»ÃÐʧ¤ ẺµÃǨÊͺ¤ÇÒÁࢌ Ò ã¨ à¡ÃÔè¹¹íÒà¾×èÍãˌࢌÒ㨶֧ÊÒÃÐÊíÒ¤ÑÞ ¢Í§¼ÙàŒ ÃÕ¹ à¾× Í è ½ƒ ¡ ·Ñ ¡ ÉСÒÃ¤Ô ´ áÅÐ ã¹Ë¹‹Ç·Õè¨ÐàÃÕ¹ á¡Œ»˜ÞËҢͧ¼ÙŒàÃÕ¹

µÑǪÕéÇÑ´ªÑé¹»‚áÅÐÊÒÃСÒÃàÃÕ¹Ãٌ᡹¡ÅÒ§ µÒÁËÅÑ¡ÊٵáíÒ˹´à¾×Íè ãËŒ·ÃÒº¶Ö§à»‡ÒËÁÒ 㹡ÒÃÈÖ¡ÉÒ ¨Ñ´¡ÅØ‹Áà¹×éÍËÒ໚¹Ë¹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ Êдǡᡋ¡ÒèѴ¡ÒÃàÃÕ¹¡ÒÃÊ͹ หนวยการเรีย

นรูที่

ตัวชี้วัด ค 1.4 ม.1/ 1 นําความรูและสม บัติเกี่ยวกับจํ แกปญหา านวนเต็มไปใช ในการ ค 6.1 ม.13/1-6 ■ ใชวิธีการที่ห ลากหลายแก ปญหา ■ ใชความรู ทั กษะ และกระบว นการทางคณิ และเทคโนโลยี ตศาสตร ในการแกปญ หาในสถาน ไดอยางเหม การณตางๆ าะสม ■ ใหเหตุผลประ กอบการตัด สินใจ และส เหมาะสม รุปผลไดอยา ง ■ ใชภาษาและสั ญลักษณทางคณ ิตศาสตรในการ การสื่อความ สื่อสาร หมาย และก ารนําเสนอได และชัดเจน อยางถูกตอง ■ เชื่อมโยงความ รูตางๆ ในคณ ิตศาสตร และน หลักการ กระบ ําความรู วนการทางคณิ ตศาสตรไปเชื ศาสตรอื่นๆ ่อมโยงกับ มีความคิดริเ ริ่มสรางสรร ค

1

สมบัติของจํา

■

■

นวนนับ

จํานวนนั ประโยชนในก บเปนจํานวนทีม่ นุษยนาํ มาใ ช ารบ บอกจํานวนส อกปริมาณของสิ่งตางๆ เพือ่ มา สัตวเลี้ยง บอ ชิกในครอบครัว บอกจ เชน ํานวน กจํานวน การศึกษาเรื่อ ไรนา เปนตน งสมบัติของจ สามารถนําคว ามรูเรื่องสมบ ํานวนนับ เรา ไปใชแกปญ ัติของจํานวนน  หาไ และ ค.ร.น. รวมด โดยเฉพาะเรือ่ งการหา ห.ร ับ .ม. ทั ง ้ เป น พืน้ ฐาน คณิตศาสตรใ นระดับสูงขึ้น ในการศกึ ษาวิชา ตอไป

1. ตัวประกอบ 1. บ ได้แก่ จำานวน 1, 2, 3, 4, 5, ... ในระดับประถมศึกษา นักเรียนได้ทราบแล้วว่า จำานวนนั ยๆ ไม่สิ้นสุด ซึ่งเริ่มต้นจาก 1 และมีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ่งไปเรื่อ ถนำาจำานวนนับเหล่านั้นมา และสามาร าติ นวนธรรมช า จำ า ว่ บ นวนนั า กจำ เราสามารถเรีย จำานวนนับหรือไม่ก็ได้ บวก ลบ คูณ และหารกันได้ ซึ่งผลลัพธ์อาจเป็น และการหารไม่ลงตัว เช่น เมื่อนำา ว ตั การหารลง ง ้ ั ท จะมี บ นวนนั า ำ งการหารจ อ ่ ในเรื ่นคือ 8 หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อนำา 2 ไปหาร 7 2 ไปหาร 8 ได้ผลหารเป็น 4 เหลือเศษเป็น 0 นั วย 2 ไม่ลงตัว ได้ผลหารเป็น 3 เหลือเศษเป็น 1 นั่นคือ 7 หารด้ วย 2 คือ 0 และ 1 ด้ ใดๆ บ นวนนั า เศษที่เกิดจากการหารจำ ว่า จำ�นวนคู่ เช่น 2, 4, 6 เรียกจำานวนนับที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษเป็น 0 เศษเป็น 1 ว่า จำ�นวนคี่ เช่น 1, 3, 5 อ เหลื ว แล้ 2 ย ว ารด้ ห ่ ที บ เรียกจำานวนนั ต่อไปนี้ หนดให้ า ำ ก ่ ที ให้นักเรียนพิจารณาการจัดดินสอ 12 แท่ง

สาระการเรียนรู

■

ห.ร.ม. และ

แกนกลาง

ค.ร.น. ของจ

ํานวนนับ และก

ารนําไปใช

จัดแถวละ 3 แท่ง ได้ 4 แถว

จัดแถวละ 4 แท่ง ได้ 3 แถว

จัดแถวละ 5 แท่ง ได้ 2 แถว เหลือเศษ 2 แท่ง

àÊÃÔÁ·Ñ¡ÉÐàªÔ§à·¤â¹âÅÂÕ à»š¹¡Ô¨¡ÃÃÁ½ƒ¡ ·Ñ¡ÉСÒäԴ ¡Òäíҹdz áÅЪ‹Ç¾Ѳ¹Ò ¼ÙŒàÃÕ¹ãËŒ4) Áถ้าÕ¤ผลคูسณของจำÀÒ¾µÒÁµÑ ǪÕéÇÑ´ านวนเต็มสองจำานวนใดเท่ากับศูนย์ จำานวนใดจำานวนหนึง่

านวนเต็มใดๆ และ อย่างน้อยหนึ่งจำานวนต้องเป็นศูนย์ กล่าวคือ ถ้า a และ b แทนจำ แล้วจะได้ a = 0 หรือ b = 0 ข้อสังเกต

มุมความคิด

a ×b=0

การหารจำานวนเต็มใดๆ ด้วยศูนย์ ถ้า a แทนจำานวนเต็มใดๆ a ไม่มีความหมาย 0 ใดๆ a + 0 = 0 + a = a เมื่อ a แทนจำ�นวนเต็ม ใดๆ a × 0 = 0 × a = 0 เมื่อ a แทนจำ�นวนเต็ม 0 = 0 เมื่อ a แทนจำ�นวนเต็มใดๆ ที่ไม่เท่�กับ 0 a

เสริมทักษะเชิงเทคโนโลยี

คำาสั่ง ให้นักเรียนปฏิบัติกิจกรรมต่อไปนี้ 674,325 376,524 1. สร้างจำานวนที่มีหกหลัก จากเลขโดด 2 ถึง 7 เช่น 234,567 9 ลงตัวหรือไม่ แล้วใช้เครื่องคำานวณตรวจสอบว่า จำานวนที่สร้างขึ้นหารด้วย และ 9 เช่น 1,236,789 2. สร้างจำานวนที่มีเจ็ดหลัก จากเลขโดด 1, 2, 3, 6, 7, 8 ส่ ร้างขึน้ หารด้วย 9 9,261,783 7,129,863 แล้วใช้เครือ่ งคำานวณตรวจสอบว่า จำานวนที ลงตัวหรือไม่ และ 9 เช่น 1,245,789 3. สร้างจำานวนที่เจ็ดหลัก จากเลขโดด 1, 2, 4, 5, 7, 8 จำานวนที่สร้างขึ้นหาร 4,581,279 5,148,792 แล้วใช้เครื่องคำานวณตรวจสอบว่า ด้วย 9 ลงตัวหรือไม่ 57,412,368 4. สร้างจำานวนที่มีแปดหลัก จากเลขโดด 1 ถึง 8 เช่น 12,345,678 งขึ้นหารด้วย 9 ลงตัว 82,167,435 แล้วใช้เครื่องคำานวณตรวจสอบว่า จำานวนที่สร้า หรือไม่ าทำาไมจำานวนหลายหลักที่สร้างขึ้นจากเลขโดดที่กำาหนดให้ ● นักเรียนทราบหรือไม่ว่ จึงหารด้วย 9 ได้ลงตัว ่สร้างขึ้นว่ามีลักษณะ นักเรียนลองสังเกตผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำานวนที ●

อย่างไร

นักเรียนคิดว่ายังมีจ�านวนนับอื่นๆ ที่เป็นตัวประกอบของ 12 อีกหรือไม่

Web Guide á¹Ð¹íÒáËÅ‹§¤Œ¹¤ÇŒÒ¢ŒÍÁÙÅ à¾ÔèÁàµÔÁ¼‹Ò¹Ãкº Online

ÁØÁ¤ÇÒÁ¤Ô´ ໚¹¡ÒùíÒàʹÍÊѨ¾¨¹ ÊÁºÑµÔ ËÃ×Í¢ŒÍ¤ÇÒÁ·Õè¼ÙŒàÃÕ¹¤ÇèÐÃÙŒ ·Õèà¡ÕèÂÇ¢ŒÍ§¡Ñºà¹×éÍËÒ

68

จัดแถวละ 7 แท่ง ได้ 1 แถว เหลือเศษ 5 แท่ง

จัดแถวละ 6 แท่ง ได้ 2 แถว

นว่า จากตัวอย่างการจัดวางดินสอแบบต่างๆ นักเรียนจะเห็ อดีแถวโดยไม่เหลือเศษ เมื่อจัดดินสอแถวละ 3, 4 หรือ 6 แท่ง จะจัดได้พ งตัว ล ได้ 12 ร สามารถหา 6 และ 4 3, พราะ เ ้ นี น เช่ น ที่เป็ ตัวประกอบของ 12 เรียก 3, 4 และ 6 ซึ่งสามารถหาร 12 ได้ลงตัวว่า

¢ŒÍÊѧࡵ ª‹ÇÂ์¹ãËŒàË繤ÇÒÁÊíÒ¤ÑÞ ¢Í§à¹×éÍËÒ·Õè¼ÙŒàÃÕ¹¤Ç÷ÃÒº

27

แบบตรวจสอบความเขาใจที่

2

1.5

1. จงหา ค.ร.น. ของจํานวนนับต อไปนี้ 1) 12 และ 18 คณิตคิดสนุก 2) 5, 12, 18 และ 20 3) 75, 135 และ 225 4) 140, 220 และ 385 ใหเติมจํานวนนับตัง้ แต 1 ถึง 7 5) 78, 302 และ 522 ลงในวงกลมโดยใหจํานวนในวงกลม 6) 81, 135 และ 243 แตละวงรวมกันไดผลลัพธเทากัน 2. กําหนดจํานวนนับตอไปนี้ ทุกวงจะทําไดกี่แบบ 1) 7, 28 2) 12, 18 3) 12, 35 4) 96, 120 5) 136, 510 6) 128, 160 จงหา ก. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ข. ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของแตละขอ ค. ผลคูณของจํานวนนับทีก่ าํ หนดให ใ นแตละขอ เปรียบเทียบผลคณู ที่ไดน นั้ กับผลลัพธ ที่ไดจากขอ ข. และเขียนผลสรุปที ่ได 3. จํานวนนับสองจํานวนมี ค.ร.น. เปน 425 และ ห.ร.ม. เปน 5 ถาจํ านวนหนึ่งเปน 25 แลว จงหาอีกจํานวนหนึ่ง 4. จํานวนนับสองจํานวนมี ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เทากับ 6 และ 540 ตามลํ าดับ ถาจํานวนแรก มีคาเทากับ 54 จงหาอีกจํานวนหนึ ่ง 5. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุด ซึ่ง หารดวย 12, 30 และ 36 แลวเหลือ เศษ 3 เทากัน 6. รานขายขนมไทยแหงหนึง่ รับขนมจ ากผูผลิตเปนงวดๆ ดังนี้ รับขนมกล วยทุก 4 วัน รับขนม ฟกทองทุก 5 วัน และรับขนมสอดไส ทุก 6 วัน ขนมที่เหลือของแตละวัน จะไมน ถารานนี้รับขนมทั้งสามอยางนี้พรอ มกัน เมื่อวันที่ 22 ตุลาคม 2552 จงหาว ํามาขายใหม าครั้งตอไป 1) รานนี้จะรับขนมฟกทองและขนมส อดใสมาขายพรอมกันเมื่อใด 2) รานนี้จะรับขนมทั้งสามอยางมาขา ยพรอมกันเมื่อใด 7. นาฬกาปลุกสามเรือน เรือนแรกป ลุกทุก 30 นาที เรือนที่สองปลุกทุก 50 นาที เรือนที่สาม ปลุกทุก 1 ชัว่ โมง ถานาฬกาปลุกทัง้ สามเรอื นปลุกพรอมกันครัง้ แรกเวลา 15.00 น. จงหาวา นาฬกาจะปลุกพรอมกันครั้งตอไปเวล าใด http://www.aksorn.com/LC/Math

¡Ô ¨ ¡ÃÃÁàÊÃÔ Á ·Ñ ¡ ÉÐáÅСÃкǹ¡Ò÷ҧ ¤³ÔµÈÒʵà ª‹ÇÂÊÌҧ·Ñ¡ÉСÃкǹ¡ÒäԴ ·Ò§¤³ÔµÈÒʵà ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹ 79

B1/M1/02

EB GUIDE

Ẻ½ƒ¡ËÑ´»ÃШíÒ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ ª‹Ç¾Ѳ¹Ò·Ñ¡ÉÐáÅзº·Ç¹¤ÇÒÁÃÙŒ¢Í§¼ÙŒàÃÕ¹ 157

ณิตศาสตร์

ระบวนการทางค มเสริมทักษะและก

) ริเริม่ สร้างสรรค์ อ และมีความคิด กิจกรร หตุผล การนำาเสน ก้ปญั หา การให้เ สามารถในการแ วาม ค ป (มี รู ดัง

และแผนภ�พ ข

กิจกรรมที่ 1

หนดแผนภ�พ ก

กำ�

5 6 1 2 3 ภาพ4 ข แผน 5 6 ประก�ร 1 2 3 ภาพ4 ก งสองเท่�กันทุก ้ ทั �พ นภ แผน แผ ก กับแผนภ�พ �พ ข ประกบ นภ แผ � นำ อ ่ เมื

่ม ให้นักเรียนแบ่งกลุ ห้แต่ละกลุ่ม ดังแผนภ�พ ค 4 คน และใ กลุ่มละ 3 หรือ ูตรการหาผลบวกของ 7 ร่วมกันเพื่อหาส + 4 + ... + n 3 + 2 + 1 6 5 4 3 2 1 5 6 หน่วย 1 2 3 ภาพ4 ค ละคว�มกว้�ง 6 รืออ�จกล่�วได้ว่� แผน ย�ว 7 หน่วย แ ร.หน่วย ห ี่ยมผืนผ้�มีคว�ม หล เ ่ สี × 6 = 42 ต ป ู ร ด้ จะไ

มผืนผ้�เท่�กับ 7 ูป ย ่ ี 2 ร หล เ ่ สี = 4 ป ู 6 องร × ข ่ ดังนั้น พื้นที สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดเท่�กับ 7 ูป แผนภ�พ ค มีร = 21 + 6 มจัตุรัสทั้งหมด ย ่ ี 5 หล เ ่ 4 + สี ป + งรู ขอ + 3 แต่ 1 + 2 ืนผ้�หรือจำ�นวน 1 × 6) องรูปสี่เหลี่ยมผ (7 ข ่ ที น ้

พื 6 = � บว่ + 2 จะพ 3 + 4 + 5 นธ์กับ 1 + 2 + มีคว�มสัมพั

4

แบบฝกหัด

ประจําหนวยการเรียนรูที่

1. กําหนดมุมที่มีขนาด x และ y ดังแสดงในรูป 1) จงสรางมุมที่มีขนาด (x + y) 2) จงสรางมุมที่มีขนาด (x - y) x y 3) จงสรางมุมที่มีขนาด 3y ∧ ∧ 2. จงสรางรูปสามเหลี่ยม ABC ที่มี AB ยาวเทากับ PQ, BAC มีขนาดเทากับ x และ ABC มีขนาดเทากับ y x

y

P

Q

3. จงบอกชื่อมุมทั้งหมดที่มี Y เปนจุดยอดมุม และแขนของมุมไมใชรังสีเดียวกัน พรอมทั้ง ระบุแขนของมุม B A

C Z

Y

X

∧

∧

4. ถา YT เปนรังสีที่แบงครึ�ง XYZ จงบอกชื่อมุมที่เกิดจากการแบงครึ�ง XYZ น�้ 5. จงสรางมุมขนาด 157 12 องศา 6. จงสรางรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก XYZW ให XY = ZW = AB และ YZ = WX = CD A

C

B

D ∧

7. จงสรางรูปสามเหลี่ยม ABC ให AB = RS, BC = PQ และ m(ABC) = 45 ํ P

P

Q

R Q

R

S

S

กระตุน้ ความสนใจ Engage

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

Explore

Explain

ขยายความเข้าใจ Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

ÊÒúѤ³ÔµÈÒʵà Á.1 àÅ‹Á 1 ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

1

ÊÁºÑµÔ¢Í§¨íҹǹ¹Ñº ● ● ● ● ●

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

2

Ãкº¨íҹǹàµçÁ ● ● ● ● ● ● ● ●

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

3

µÑÇ»ÃСͺ ¨íҹǹ੾ÒÐ ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ µÑÇËÒÃËÇÁÁÒ¡ (Ë.Ã.Á.) áÅСÒùíÒä»ãªŒ µÑǤٳËÇÁ¹ŒÍ (¤.Ã.¹.) áÅСÒùíÒä»ãªŒ

¨íҹǹàµçÁ ¡ÒÃà»ÃÕºà·Õº¨íҹǹàµçÁ ¨íҹǹµÃ§¢ŒÒÁáÅФ‹ÒÊÑÁºÙó ¡Òúǡ¨íҹǹàµçÁ ¡ÒÃź¨íҹǹàµçÁ ¡Òäٳ¨íҹǹàµçÁ ¡ÒÃËÒèíҹǹàµçÁ ÊÁºÑµÔ¢Í§¨íҹǹàµçÁáÅСÒùíÒä»ãªŒ

àŢ¡¡íÒÅѧ ● ● ● ●

¡ÒÃà¢Õ¹àŢ¡¡íÒÅѧ·ÕèÁÕàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁ ¡ÒäٳàŢ¡¡íÒÅѧ àÁ×èÍàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁºÇ¡ ¡ÒÃËÒÃàŢ¡¡íÒÅѧ àÁ×èÍàÅ¢ªÕé¡íÒÅѧ໚¹¨íҹǹàµçÁºÇ¡ ¡ÒÃà¢Õ¹¨íҹǹã¹ÃÙ»ÊÑޡó ÇÔ·ÂÒÈÒʵÃ

1 - 30 2 5 6 8 18

31 - 82 32 34 37 40 51 54 62 66

83 - 112 84 89 92 98

กระตุน้ ความสนใจ Engage

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

Explore

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

4

● ●

●

5

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

¾×é¹°Ò¹·Ò§àâҤ³Ôµ

●

˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè

ขยายความเข้าใจ

Explain

113 - 160

¨Ø´ àÊŒ¹µÃ§ ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÃѧÊÕ ÁØÁáÅЪ¹Ô´¢Í§ÁØÁ ¡ÒÃÊÌҧ¾×é¹°Ò¹ ¡ÒÃÊÌҧÃÙ»àâҤ³ÔµÍ‹ҧ§‹ÒÂ

114 118 121 142

âÍ¡Òʢͧà˵ءÒó

161 - 178

à˵ءÒó âÍ¡Òʢͧà˵ءÒó

168 171

● ●

ºÃóҹءÃÁ

179

¤³ÔµÈÒʵà Á.1 àÅ‹Á 2 หนวยการเรียนรูท่ี

1

หนวยการเรียนรูท่ี

หนวยการเรียนรูท่ี

4

หนวยการเรียนรูที่

เศษสวน

3

10

คูอันดับและกราฟ

y

5

สมการเชิงเสน ตัวแปรเดียว

5

-10

-5

0

-5

-10

6

ทศนิยม

การประมาณคา

หนวยการเรียนรูที่

หนวยการเรียนรูท่ี

2

ความสัมพันธระหวาง รูปเรขาคณิต สองมิติและสามมิติ

5

10

x

กระตุน้ ความสนใจ กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

เปาหมายการเรียนรู

หนวยการเรียนรูที่

1

ตัวชี้วัด ค 1.4 ม.1/1 ■ นําความรูและสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในการ แกปญหา ค 6.1 ม.1-3/1-6 ใชวิธีการที่หลากหลายแกปญหา ■ ใชความรู ทักษะ และกระบวนการทางคณิตศาสตร และเทคโนโลยีในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม ■ ใหเหตุผลประกอบการตัดสินใจ และสรุปผลไดอยาง เหมาะสม ■ ใชภาษาและสัญลักษณทางคณิตศาสตรในการสื่อสาร การสื่อความหมาย และการนําเสนอไดอยางถูกตอง และชัดเจน ■ เชื่อมโยงความรูตางๆ ในคณิตศาสตร และนําความรู หลักการ กระบวนการทางคณิตศาสตรไปเชื่อมโยงกับ ศาสตรอื่นๆ ■ มีความคิดริเริ่มสรางสรรค ■

1. หา ห.ร.ม. ของจํานวนนับได 2. หา ค.ร.น. ของจํานวนนับได 3. นําความรูเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในการ แกปญหาได 4. นําสมบัติเกี่ยวกับจํานวนเต็มไปใชในการ แกปญหาได 5. ใชทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร ในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ได อยางเหมาะสม

สมบัติของจํานวนนับ จํานวนนับเปนจํานวนทีม่ นุษยนาํ มาใชเพือ่ ประโยชนในการบอกปริมาณของสิ่งตางๆ เชน บอกจํานวนสมาชิกในครอบครัว บอกจํานวน สัตวเลี้ยง บอกจํานวนไรนา เปนตน การศึกษาเรื่องสมบัติของจํานวนนับ เรา สามารถนําความรูเรื่องสมบัติของจํานวนนับ ไปใชแกปญ  หาได โดยเฉพาะเรือ่ งการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. รวมทัง้ เปนพืน้ ฐานในการศึกษาวิชา คณิตศาสตรในระดับสูงขึ้นตอไป

สมรรถนะของผูเรียน 1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ความสามารถในการคิด 3. ความสามารถในการแกปญ  หา

คุณลักษณะอันพึงประสงค 1. มีวินัย 2. ใฝเรียนรู 3. มุงมัน่ ในการทํางาน

สาระการเรียนรูแกนกลาง ■

ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับ และการนําไปใช

กระตุน้ ความสนใจ

Engage

ครูใหนักเรียนดูภาพหนาหนวยและสนทนา ซักถามนักเรียนวา • จํานวนสิ่งของที่อยูในภาพ ใชจํานวนชนิดใด (แนวตอบ จํานวนนับ) • นักเรียนบอกไดไหมวา สมบัติของจํานวนนับ มีอะไรบาง (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพืน้ ฐานความรู เชน สมบัตกิ ารสลับทีข่ อง การบวกและการคูณ เปนตน)

เกร็ดแนะครู กิจกรรมการเรียนการสอนของหนวยการเรียนรูน ี้ ครูควรใชเทคนิคการสอนสาธิต และบรรยายรวมกัน โดยยกตัวอยางสิง่ ของจริงหรือภาพประกอบทีอ่ ยูใ กลตวั นักเรียน สําหรับในโจทยปญหายกตัวอยางสถานการณที่อยูในชีวิตประจําวัน เพื่อใหนักเรียน ไดเขาใจในสมบัติของจํานวนนับวาสามารถนําไปใชไดจริง

คู่มือครู

1

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้ Exploreนหา

กระตุน้ ความสนใจ

Explain

Expand

1. ตัวประกอบ ในระดับประถมศึกษา นักเรียนได้ทราบแล้วว่า จำานวนนับ ได้แก่ จำานวน 1, 2, 3, 4, 5, ... ซึ่งเริ่มต้นจาก 1 และมีค่าเพิ่มขึ้นทีละหนึ 1 ่งไปเรื่อยๆ ไม่สิ้นสุด เราสามารถเรียกจำานวนนับว่า จำานวนธรรมชาติ และสามารถนำาจำานวนนับเหล่านั้นมา บวก ลบ คูณ และหารกันได้ ซึ่งผลลัพธ์อาจเป็นจำานวนนับหรือไม่ก็ได้ ในเรื่องการหารจำานวนนับจะมีทั้งการหารลงตัวและการหารไม่ลงตัว เช่น เมื่อนำา 2 ไปหาร 8 ได้ผลหารเป็น 4 เหลือเศษเป็น 0 นั่นคือ 8 หารด้วย 2 ลงตัว เมื่อนำา 2 ไปหาร 7 ได้ผลหารเป็น 3 เหลือเศษเป็น 1 นั่นคือ 7 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว เศษที่เกิดจากการหารจำานวนนับใดๆ ด้วย 2 คือ 0 และ 1 2 เรียกจำานวนนับที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษเป็น 0 ว่า จำ�นวนคู่ เช่ 3 น 2, 4, 6 เรียกจำานวนนับที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษเป็น 1 ว่า จำ�นวนคี่ เช่น 1, 3, 5 ให้นักเรียนพิจารณาการจัดดินสอ 12 แท่ง ที่กำาหนดให้ต่อไปนี้

Explore จัดแถวละ 3 แท่ง ได้ 4 แถว

จัดแถวละ 5 แท่ง ได้ 2 แถว เหลือเศษ 2 แท่ง

จัดแถวละ 4 แท่ง ได้ 3 แถว

จัดแถวละ 7 แท่ง ได้ 1 แถว เหลือเศษ 5 แท่ง

จัดแถวละ 6 แท่ง ได้ 2 แถว

นักเรียนคิดว่ายังมีจ�านวนนับอื่นๆ ที่เป็นตัวประกอบของ 12 อีกหรือไม่

จากตัวอย่างการจัดวางดินสอแบบต่างๆ นักเรียนจะเห็นว่า เมื่อจัดดินสอแถวละ 3, 4 หรือ 6 แท่ง จะจัดได้พอดีแถวโดยไม่เหลือเศษ ที่เป็นเช่นนี้เพราะ 3, 4 และ 6 สามารถหาร 12 ได้ลงตัว เรียก 3, 4 และ 6 ซึ่งสามารถหาร 12 ได้ลงตัวว่า ตัวประกอบของ 12

นักเรียนควรรู 1 จํานวนนับ (counting number) หรือจํานวนเต็มบวก( positive number) 2 จํานวนคู (even number) เปนจํานวนเต็มที่หารดวย 2 ลงตัว 3 จํานวนคี่ (odd number) เปนจํานวนเต็มที่หารดวย 2 แลวเหลือเศษ 1

คู่มือครู

Evaluate

2

ใหนักเรียนจับคูศึกษาเนื้อหาในหนังสือเรียน หนา 2-4 จากนั้นใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น ในประเด็นตอไปนี้ • บอกความเหมือนและความแตกตาง จากคําถามขั้นกระตุนความสนใจ ที่วา “ถามีเหรียญ 1 บาท จํานวน 12 เหรียญ ให จัดวางเหรียญเรียงเปนรูปสี่เหลี่ยมผืนผา” กับ “การจัดเรียงดินสอ 12 แทง ในหนังสือเรียน หนา 2 และหนา 3” นักเรียนคิดวาจะจัดเรียง ใหแตกตางกันไดอยางไรบาง และมีทั้งหมด กี่แบบอยางไร (แนวตอบ จํานวนสิ่งของเทากัน ตางกันที่ชนิด ของสิ่งของและการจัดเรียง)

2

ตรวจสอบผล

Engage

ครูใชคําถามกระตุนถามนักเรียนวา • จํานวนนับที่นํามาหาร 24 ไดลงตัว มีจํานวน ใดบาง และมีทั้งหมดกี่จํานวน (แนวตอบ มีทั้งหมด 8 จํานวน ไดแก 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24) • ถามีเหรียญ 1 บาท จํานวน 12 เหรียญ ใหจัด วางเหรียญเรียงเปนรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผา นักเรียน คิดวา จะจัดเรียงใหแตกตางกันไดอยางไรบาง และมีทั้งหมดกี่แบบ (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูของนักเรียน) • วิธีการหาคําตอบของทั้งสองขอขางตน ใชวิธี การเดียวกันหรือไม วิธีการนี้ใชความรูทาง คณิตศาสตรในเรื่องใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพืน้ ฐานความรูข องนักเรียน เชน จํานวนนับ จํานวนคู เปนตน)

ส�ารวจค้นหา

อธิ บายความรู ้ 11:01 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010

บูรณาการเชื่อมสาระ

การเรียนรูเรื่องจํานวนนับที่ใชตัวเลขแตละตัวมีคาประจําหลักตางกัน ซึ่งจํานวนดังกลาวเขียนแทนโดยใชเลขโดด 0, 1, 2, 3, …, 9 จํานวนเหลานี้นํา ไปใชในการนับปริมาณของสิ่งของตางๆ จะตองมีหนวยที่กําหนดชัดเจน เชน ไขไก 3 ฟอง แห 2 ปาก ขลุย 4 เลา ปากกา 3 ดาม เปนตน หนวยที่บอก จํานวนสิ่งของเหลานี้เปนความรูที่สามารถเชื่อมโยงบูรณาการกับกลุมสาระ การเรียนรูภาษาไทย เรื่องลักษณนาม เปนคํานามชนิดหนึ่งที่สวนใหญตาม หลังคําวิเศษณบอกจํานวน ครูควรใหนักเรียนสืบคนลักษณนามของสิ่งตางๆ เพิ่มเติมไดจากเว็บไซตราชบัณฑิตยสถาน

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

อธิบายความรู้ 3

แต่ถ้านักเรียนจัดดินสอแถวละ 5 แท่ง จะเห็นว่าเหลือเศษ 2 แท่ง และถ้านักเรียนจัด ดินสอแถวละ 7 แท่ง จะเห็นว่าเหลือเศษ 5 แท่ง ทั้งนี้เพราะ 5 และ 7 หาร 12 ไม่ลงตัวหรือกล่าวว่า 5 และ 7 ไม่เป็นตัวประกอบของ 12 เนื่องจาก จำานวนนับที่หาร 12 ลงตัว ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ดังนั้น จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 มุมคว�มคิด จำ�นวนนับใดๆ ที่ห�รจำ�นวนนับที่กำ�หนดให้ได้ลงตัว เรียกว่� ตัวประกอบของจำ�นวนนับนั้น ตัวอย่�งที่

1

การหาตัวประกอบของจำานวนนับใดๆ สามารถหาได้หลายวิธี ดังตัวอย่างต่อไปนี้ จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ 15 วิธีที่ 1 หาจำานวนนับต่างๆ ที่หาร 15 ลงตัว เนื่องจาก 15 เป็นจำานวนนับที่หารด้วย 2 แล้วเหลือเศษ 1 ดังนั้น 15 เป็นจำานวนคี่ จำานวนนับที่นำาไปหาร 15 ได้ลงตัว ต้องเป็น 15 หรือจำานวนคี่ที่ไม่เกิน ครึ่งหนึ่งของ 15 จึงตรวจสอบการหารด้วย 1, 3, 5, 7 และ 15 ดังนี้ 15 หารด้วย 1 ได้ผลหารเป็น 15 เหลือเศษเป็น 0 แสดงว่า 15 หารด้วย 1 ลงตัว 15 หารด้วย 3 ได้ผลหารเป็น 5 เหลือเศษเป็น 0 แสดงว่า 15 หารด้วย 3 ลงตัว 15 หารด้วย 5 ได้ผลหารเป็น 3 เหลือเศษเป็น 0 แสดงว่า 15 หารด้วย 5 ลงตัว 15 หารด้วย 7 ได้ผลหารเป็น 2 เหลือเศษเป็น 1 แสดงว่า 15 หารด้วย 7 ไม่ลงตัว 15 หารด้วย 15 ได้ผลหารเป็น 1 เหลือเศษเป็น 0 แสดงว่า 15 หารด้วย 15 ลงตัว จากการหารข้างต้นพบว่า จำานวนนับทุกจำานวนที่หาร 15 ลงตัว ได้แก่ 1, 3, 5, 15 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 15 คือ 1, 3, 5 และ 15 1, 3, 5 และ 15 วิธที ี่ 2 เนือ่ งจาก 15 หารด้วย 1 ได้ผลหารเป็น 15 เหลือเศษเป็น 0 เราสามารถ เขียนความสัมพันธ์ได้วา่ 15 = 1 × 15 ซึง่ แสดงว่า 15 หารด้วย 1 ลงตัว และ 15 หารด้วย 15 ลงตัวด้วย เราจึงสามารถหาตัวประกอบของ 15 ได้ โดยพิจารณาจากการคูณของ จำานวนนับที่มีผลคูณเป็น 15 15 = 1 × 15 จะได้ 1 และ 15 เป็นตัวประกอบของ 15 15 = 3 × 5 จะได้ 3 และ 5 เป็นตัวประกอบของ 15 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 15 คือ 1, 3, 5 และ 15 ตอบ วิธีทำ�

Explain

1. ครูใชคําถามเพื่อเชื่อมโยงความสัมพันธ ระหวางการคูณและการหาร ดังนี้ • การคูณและการหารมีความสัมพันธกัน หรือไม อยางไร (แนวตอบ มีความสัมพันธกัน ดังนี้ ตัวตั้งเทากับตัวหารคูณผลหาร (ถาเปนการ หารลงตัว) หรือตัวตั้งเทากับตัวหารคูณ ผลหาร บวกเศษ (ถาเปนการหารไมลงตัว) • การหารลงตัวและการหารไมลงตัว เมื่อเขียนเปนความสัมพันธระหวางการคูณ และการหารแตกตางกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ แตกตางกันโดยการหารไมลงตัว จะตองนําเศษจากการหารไปบวกดวย) 2. จากขอความในตัวอยางที่ 1 หนา 3 ที่วา “....จํานวนนับที่นําไปหาร 15 ไดลงตัว ตองเปน 15 หรือจํานวนคี่ที่ไมเกินครึ่งหนึ่งของ 15 จึงตรวจสอบการหารดวย 1, 3, 5, 7 และ 15” ใหตอบคําถามตอไปนี้ • ถานักเรียนตองอธิบายใหเพื่อนๆ ทราบวา เปนเพราะเหตุผลใด นักเรียนจะอธิบาย อยางไร และ 15 ตองนํามาตรวจสอบ ดวยหรือไม (แนวตอบ ใชความสัมพันธระหวางการคูณ และการหาร ถาใช 1 แลวไมตองนํา 15 มาตรวจสอบอีก)

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ก. 30 มีตัวประกอบเฉพาะอยู 3 จํานวน ข. 1 เปนตัวประกอบของจํานวนนับทุกจํานวน ค. ตัวประกอบรวมของ 35 และ 210 คือ 1, 5 และ 7 ง. แยกตัวประกอบของ 12 = 3 × 4 1. ขอ ก. และขอ ข.

2. ขอ ข. และขอ ง.

3. ขอ ก. ถึงขอ ค.

4. ถูกทุกขอ วิเคราะหคําตอบ ก. ถูก ตัวประกอบทั้งหมดของ 30 มี 1, 2, 3, 5, 6, 15 และ 30 มีที่เปนจํานวนเฉพาะ 3 จํานวน คือ 2, 3, 5 ข. ถูก เพราะ 1 หารทุกจํานวนไดลงตัว ค. ถูก ตัวประกอบของ 35 คือ 1, 5, 7, 35 ตัวประกอบของ 210 คือ 1, 2, 3, 5, 6, 7, 30, 35, 42, 70, 105, 210 ตัวประกอบของ 35 และ 210 คือ 1, 5 และ 7 ง. ผิด เพราะการแยกตัวประกอบตองเขียนในรูปการคูณของจํานวนเฉพาะ ดังนั้น ขอ ก. ถึงขอ ค. ถูก จึงตอบขอ 3.

คู่มือครู

3

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:01 AM ขยายความเข้ Expand าใจ February 1, 2010

4 ตัวอย่�งที่

2

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของ 36 วิธีทำ�

ตัวอย่�งที่

3

Expand

Evaluate

1. ใหนักเรียนประเมินผลระดับความเขาใจ ในเนื้อหานี้ดวยการเขียนบอกระดับเปนดีมาก ดี ปานกลางหรือตองเพิ่มความเขาใจอีก 2. ครูประเมินผลการเรียนรูจ ากการตรวจสอบความ ถูกตองการทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.1 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.1 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

เกร็ดแนะครู ครูแนะนําวิธีลัดการหาจํานวนนับที่หารลงตัวดวย 3 และ 11 • ผลบวกของเลขโดดทุกหลักหารลงตัวดวย 3 จํานวนนั้นจะหารลงตัวดวย 3 • ผลบวกของเลขโดดในตําแหนงที่เปนจํานวนคี่เทากับผลบวกของเลขโดด ในตําแหนงที่เปนจํานวนคูนั้นจะหารลงตัวดวย 11

4

คู่มือครู

ตัวประกอบของ 36 1 และ 36 2 และ 18 3 และ 12 4 และ 9 6

เนื่องจาก 36 = 1 × 36 36 = 2 × 18 36 = 3 × 12 36 = 4 × 9 36 = 6 × 6 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 36 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36

ตอบ

จงหาตัวประกอบทั้งหมดของจำานวนต่อไปนี้ 1) 385 2) 460

1. ใหนักเรียนแตละคูชวยกันแลกเปลี่ยนแนวคิดใน การทําแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.1 หนา 5 2. ใหนักเรียนทุกคนทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.1 จากนั้นแตละคูแลกเปลี่ยนกันตรวจสอบ คําตอบ

ตรวจสอบผล

ตรวจสอบผล Evaluate

Explain

ครูใชคําถามเชื่อมโยงจากตัวอยางที่ 3 หนา 4 • จาก 385 ถาใชวิธีตรวจสอบวา “นําจํานวนคี่ ที่ไมเกินครึ่งหนึ่งของ 385” นักเรียนคิดวา ตองใชกี่จํานวน และมีจํานวนใดบาง (แนวตอบ 192 จํานวน ไดแก 1, 3, 5, ... 383) • นักเรียนทราบวาจํานวนนับที่มี 5 เปนเลขโดด ในหลักหนวยหารลงตัวดวย 5 ซึ่งเมื่อเขียน ในรูปการคูณ “385 = 5 × 77” นักเรียนจะใช ขอความนี้หาตัวประกอบอื่นไดหรือไม และ ใชอยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรู เชน 11, 35, 55 เปนตน) • จากขอความ “460 = 2 × 230” นักเรียนจะใช ขอความนี้หาตัวประกอบอื่นๆ ไดหรือไม และ ใชอยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรู)

ขยายความเข้าใจ

อธิบายความรู้

วิธีทำ�

1) เนื่องจาก 385 = 1 × 385 385 = 5 × 77 385 = 7 × 55 385 = 11 × 35 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 385 คือ 1,1, 5, 7, 11, 35, 55, 77 5, 7, 11, 35, 55, 77 และ 385

ตัวประกอบของ 385 1 และ 385 5 และ 77 7 และ 55 11 และ 35

ตัวประกอบของ 460 1 และ 460 2 และ 230 4 และ 115 5 และ 92 10 และ 46 20 และ 23

2) เนื่องจาก 460 = 1 × 460 460 = 2 × 230 460 = 4 × 115 460 = 5 × 92 460 = 10 × 46 460 = 20 × 23 ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 460 คือ 1, 2, 4, 5, 10, 20, 23, 46, 92, 115, 230 และ 460

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ตอบ

จงหาจํานวนนับที่มีจํานวนเฉพาะเปนตัวประกอบที่ตางกัน 4 จํานวน แนวตอบ 2 × 3 × 5 × 7 2 × 3 × 5 × 11 2 × 3 × 7 × 11 3 × 5 × 7 × 11

= = = =

210 330 462 1155

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้ Exploreนหา

กระตุน้ ความสนใจ 5

แบบตรวจสอบคว�มเข�ใจที่

1.1

1. จงหาตัวประกอบทั้งหมดของจำานวนต่อไปนี้ 1) 24 2) 48 3) 117 4) 120 5) 132 6) 225 7) 279 8) 380 9) 420 10) 540 2. จำานวนนับใดที่เป็นตัวประกอบของจำานวนนับทุกจำานวน 3. จำานวนนับที่อยู่ระหว่าง 20 กับ 40 ซึ่งมี 6 เป็นตัวประกอบมีกี่จำานวน และมีจำานวนใดบ้าง 4. จำานวนนับที่อยู่ระหว่าง 10 - 99 ซึ่งมี 12 เป็นตัวประกอบมีกี่จำานวน และมีจำานวนใดบ้าง

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 2 คือ 1, 2

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 6 คือ 1, 2, 3, 6

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 3 คือ 1, 3

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 8 คือ 1, 2, 4, 8

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 5 คือ 1, 5

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 9 คือ 1, 3, 9

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 7 คือ 1, 7

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 10 คือ 1, 2, 5, 10

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 11 คือ 1, 11

จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 12 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 12

อธิบายความรู้

จากตารางแสดงตัวประกอบข้างต้น จะเห็นว่า 1 มีตัวประกอบที่เป็นจำานวนนับเพียง 1 ตัว คือ 1 2, 3, 5, 7, 11 มีตวั ประกอบทีเ่ ป็นจำานวนนับทีแ่ ตกต่างกันเพียงสองตัว 4, 6, 8, 9, 10, 12 มีตัวประกอบที่เป็นจำานวนนับอื่นๆ ที่แตกต่างกันมากกว่าสองตัว 1 เรียก 2, 3, 5, 7, 11 ว่าเป็นจำานวนเฉพาะ เรียก 1, 4, 6, 8, 9, 10, 12 จึงไม่เป็นจำานวนเฉพาะ มุมคว�มคิด จำ�นวนนับที่มีตัวประกอบที่แตกต่�งกัน เพียงสองตัว เรียกว่� จำ�นวนเฉพ�ะ

กิจกรรมสรางเสริม ใหนักเรียนหาจํานวนเฉพาะทั้งหมดที่อยูระหวาง 1 ถึง 100

Explore

ใหนักเรียนจับคูศึกษาเนื้อหาในหนังสือเรียน หนา 5

ให้นักเรียนพิจารณาตารางแสดงตัวประกอบของจำานวนนับตั้งแต่ 1 ถึง 12 จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 4 คือ 1, 2, 4

ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2 คน ออกมาเขียน ตัวเลข 1 ถึง 50 บนกระดาน จากนั้นใชการถาม กระตุน • นักเรียนทราบไหมวา จํานวนนับตั้งแต 1 ถึง 50 จํานวนนับใดมีตัวประกอบ 2 จํานวน 3 จํานวน 4 จํานวน และจํานวนนับใดที่มี ตัวประกอบมากที่สุด และมีกี่จํานวน (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรู)

ส�ารวจค้นหา

2. จํานวนเฉพาะ จำานวนนับที่เป็นตัวประกอบของ 1 คือ 1

Engage

Explain

1. จากที่นักเรียนศึกษาเนื้อหา หนา 5 ใหสังเกต ขอความตอไปนี้ “จํานวนนับที่เปนตัวประกอบของ 4 และ 9 จํานวนนับที่เปนตัวประกอบของ 6, 10 และ 12 จํานวนนับที่เปนตัวประกอบของ 8” 2. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • 4 และ 9 มีจํานวนของตัวประกอบเทากัน หรือไม เทากับเทาไร และจํานวนทั้งสองนี้ มีลักษณะเหมือนกันอยางไร (แนวตอบ 4 และ 9 มีจํานวนตัวประกอบ เทากัน คือ 3 จํานวน ลักษณะการเขียน เหมือนกัน คือ เขียนอยูในรูปการคูณซํ้า ของจํานวนเดียวกัน คือ 2 × 2 กับ 3 × 3) • นักเรียนคิดวาจํานวนคี่ที่มากกวา 3 และหาร ดวย 3 ไมลงตัว จะเปนจํานวนเฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ยกตัวอยางประกอบ (แนวตอบ บางจํานวนเปนจํานวนเฉพาะ เชน 7, 11 เปนตน แตบางจํานวนไมเปนจํานวน เฉพาะ เชน 25, 35 เปนตน)

นักเรียนควรรู 1 ไมเปนจํานวนเฉพาะ ผลคูณของจํานวนเฉพาะตั้งแต 2 จํานวน ขึ้นไปไมเปน จํานวนเฉพาะ เชน 3 × 5 =15 เพราะมี 1, 3 และ 5 เปนตัวประกอบ

กิจกรรมทาทาย ใหนักเรียนหาจํานวนเฉพาะ 3 จํานวน ที่มีผลบวกของจํานวนทั้งสาม เปนจํานวนเฉพาะ

คู่มือครู

5

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

ขยายความเข้าใจ

Expand

Evaluate

ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

ตรวจสอบผล

6 ฉันไม่ ใª่ จ�านวนเฉพาะ

แบบตรวจสอบคว�มเข�ใจที่

3. การแยกตัวประกอบ

9 11

13

9 11

7 15

11

?

พิจารณาการเขียน 12 ในรูปการคูณของตัวประกอบ จะพบว่า สามารถเขียนได้ หลายวิธีดังนี้ 1) 12 = 1 × 12 2) 12 = 2 × 6 3) 12 = 3 × 4 4) 12 = 2 × 2 × 3

9

11

5

เรียกตัวประกอบที่เป็นจำ�นวนเฉพ�ะ ว่� ตัวประกอบเฉพ�ะ

7 15

7

มุมคว�มคิด

แนวตอบ จากรูปหวงโซอาหารมีจํานวนที่หายไป เมื่อสังเกตจํานวนในหวงโซ ที่กําหนดใหตามเข็มนาฬกา จะพบวาเปนแบบรูปของจํานวนที่มีความสัมพันธ แบบเพิ่มขึ้นและลดลงสลับกันไป โดยเพิ่มขึ้นครั้งละ 4 แลวลดลงครั้งละ 2 ดังนั้น จํานวนในหวงโซที่ตองการคือ 13

3

3

9

นักเรียนจะเห็นว่า ตัวประกอบของ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ในบรรดาตัวประกอบของ 12 จะมี 2 และ 3 ซึ่งเป็นจำานวนเฉพาะ เรียก 2 และ 3 ว่าเป็นตัวประกอบเฉพาะของ 12

เฉลย คณิตคิดสนุก

5

1.2

จำานวนใดที่ขาดหายไปจากห่วงโซ่

Evaluate

7

แต่ฉันเป็น จ�านวนเฉพาะ

1. จำานวนนับที่เป็นจำานวนเฉพาะซึ่งเป็นจำานวนคู่มีกี่จำานวน จำานวนใดบ้าง 2. จงหาจำานวนเฉพาะทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง 26 กับ 50 3. จงเขียนจำานวนเฉพาะที่น้อยที่สุด ซึ่งมากกว่าจำานวนต่อไปนี้ 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 4. จงเขียนจำานวนเฉพาะที่มากที่สุด ซึ่งน้อยกว่าจำานวนต่อไปนี้ 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 คณิตคิดสนุก 5. จงหาจำานวนเฉพาะทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 50

ตรวจสอบความถูกตองการทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.2 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

คู่มือครู

ตรวจสอบผล

Explain

1. ใหนกั เรียนคิดวิเคราะหและแสดงเหตุผลประกอบ • เลือกจํานวนเฉพาะ 3 จํานวนที่ตางกัน หาผล คูณของสองจํานวนแลวลบดวยจํานวนที่เหลือ นักเรียนคิดวาผลลบจะเปนจํานวนเฉพาะ หรือไม เพราะเหตุใด ใหยกตัวอยางประกอบ (แนวตอบ ผลลบเปนจํานวนเฉพาะหรือไมเปน จํานวนเฉพาะก็ได ถาไดผลลบเปนจํานวน เฉพาะ เชน (2 × 7) - 3 = 11 และถาได ผลลบไมเปนจํานวนเฉพาะ เพราะวาผลคูณ ของจํานวนเฉพาะที่มากกวา 2 ยอมเปน จํานวนคี่ เมื่อลบดวยจํานวนเฉพาะอีก 1 จํานวน จะทําใหผลลบเปนจํานวนคูเสมอ เชน (5 × 7) - 11 = 24) • ถานําจํานวนเฉพาะ 2 จํานวนคูณกันแลวบวก ดวยจํานวนนับที่ไมใชจํานวนเฉพาะเพียง 1 จํานวน นักเรียนคิดวาผลบวกจะเปนจํานวน เฉพาะหรือไม เพราะเหตุใด ยกตัวอยาง ประกอบ (แนวตอบ ผลบวกเปนจํานวนเฉพาะก็ไดหรือ ไมเปนจํานวนเฉพาะก็ได เพราะวาผลคูณของ จํานวนเฉพาะไมเปนจํานวนเฉพาะ ซึ่งทําให ผลบวกของผลคูณกับจํานวนนับที่ไมเปน จํานวนเฉพาะเปนจํานวนเฉพาะได เชน (5 × 7) + 12 = 47 และไมเปนจํานวนเฉพาะ ได เชน (5 × 7) + 14 = 49) 2. ใหนักเรียนแตละคูแลกเปลี่ยนแนวคิดและทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.2 หนา 6 จากนั้น ใหแลกเปลี่ยนกันตรวจสอบคําตอบ

6

ขยายความเข้าใจ

อธิ บายความรู ้ 11:01 AM ขยายความเข้ Expand าใจ February 1, 2010

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนเฉพาะ 3 จํานวนที่มีผลคูณไมมากกวา 100 มีจํานวนใดบาง แนวตอบ จํานวนเฉพาะ 3 จํานวนที่มีผลคูณไมมากกวา 100 ไดแก - 2, 3, 5 เมื่อนํามาคูณกันจะเทากับ 30 - 2, 3, 7 เมื่อนํามาคูณกันจะเทากับ 42 - 2, 5, 7 เมื่อนํามาคูณกันจะเทากับ 70

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้ Exploreนหา

กระตุน้ ความสนใจ 7

ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2 คน ใหเขียน จํานวนนับตั้งแต 15 ถึง 32 บนกระดาน สนทนา และซักถามนักเรียนวา • มีจาํ นวนนับใดบางทีม่ ตี วั ประกอบเปนจํานวน เฉพาะเหมือนกัน (แนวตอบ จํานวนคู ไดแก 16, 18, 20, 22, 24, 28, 30 มี 2 เปนตัวประกอบเฉพาะ จํานวนที่มี 3 เปนตัวประกอบเฉพาะ ไดแก 15, 18, 21, 24, 27 และ 30 จํานวนที่มี 3 และ 5 เปนตัวประกอบเฉพาะ ไดแก 15 และ 30)

จากการเขียน 12 ในรูปการคูณของตัวประกอบในขอ 4) จะเห็นวานอกจากจะเปน การเขี ยน 12 ในรูป การคูณ ของตั วประกอบแล ว ยั งเปน การเขี ยน 12 ในรูป การคู ณ ของ ตัวประกอบเฉพาะอีกดวย เราเรียกการเขียนในลักษณะน�้วา การแยกตัวประกอบของ 12 มุมความคิด การแยกตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ เปนการเขียนจํานวนนับนั้นในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบของจํานวนนับใดๆ สามารถทําไดหลายวิธี ดังตัวอยางตอไปน�้ ตัวอยางที่

1

จงแยกตัวประกอบของ 120 วิธีทํา

วิธีที่ 1 ใชแผนภาพตนไม 30

120 4

5 6 2

3

ส�ารวจค้นหา

1

หรือ 120

10 12

2

5 4 3

อธิบายความรู้

2

ดังนั้น

à¹×èͧ¨Ò¡ ¡ÒÃᡵÑÇ»ÃСͺ¢Í§ 120 ໚¹¡ÒÃà¢Õ¹ 120 ã¹ÃÙ»¡Òäٳ¢Í§µÑÇ»ÃСͺ੾ÒÐ ´Ñ§¹Ñé¹ ¨íҹǹ·ÕèËÒà 120 ŧµÑÇáÅÐ໚¹¨íҹǹ੾ÒÐ ¤×Í 2, 3 áÅÐ 5

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M1/01

ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. 156 = 2 × 3 × 3 × 13 2. 312 = 2 × 2 × 2 × 3 × 13 3. 108 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 4. 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 9

ตอบ EB GUIDE

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

วิเคราะหคําตอบ 1. ผิด 156 = 2 × 2 × 3 × 13 2. ถูก 312 = 2 × 2 × 2 × 3 × 13 3. ผิด 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 4. ผิด 252 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2.

Explain

ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • การแยกตัวประกอบโดยใชแผนภาพตนไม และใชการหารมีความเหมือนหรือแตกตาง กันหรือไม อยางไร (แนวตอบ ตอบไดหลากหลาย มีทั้งแตกตาง กันและเหมือนกัน แตกตางกัน คือ แผนภาพตนไมตอ งเขียน จํานวนนับเปนรูปการคูณของสองจํานวน ซึ่งไมจําเปนตองเปนจํานวนเฉพาะ ทําตอไป เรื่อยๆ จนกวาจะไดจํานวนนับที่เปนจํานวน เฉพาะ สําหรับการหารแตละครั้งตองใช จํานวนเฉพาะที่หารลงตัวเปนตัวหาร จนผลหารจํานวนสุดทายเปนจํานวนเฉพาะ เหมือนกัน คือการนําจํานวนเฉพาะ ทั้งหมดเขียนในรูปการคูณ)

2

ดังนั้น 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 วิธีที่ 2 ใชการหาร 2 120 2 60 2 30 3 15 5

Explore

ใหนักเรียนศึกษาเนื้อหาในหนังสือเรียน หนา 6-8

2

2

Engage

นักเรียนควรรู 1 แผนภาพตนไม (tree diagram) เปนวิธีการที่นํามาใชเพื่อแยกตัวประกอบ ของจํานวนนับ ซึ่งจํานวนที่จะใชวิธีนี้ควรเปนจํานวนที่มีคาไมมากนัก เชน 8, 12, 16 เปนตน โดยการเขียนจะแบงเปนกิ่ง สามารถเขียนไดทั้งแนวตั้งและแนวนอน ตัวอยางเชน การแยกตัวประกอบของ 8 และ 12 แนวนอน

แนวตัง้ 8 2

3 4

2 8=2×2×2

12 2

4

2

2 12 = 3 × 2 × 2

คู่มือครู

7

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

ขยายความเข้าใจ

Evaluate

1. ใหนักเรียนประเมินผลระดับความเขาใจ ในเนื้อหานี้ ดวยการเขียนบอกระดับเปนดีมาก ดี ปานกลางหรือตองเพิ่มความเขาใจอีก 2. ครูประเมินผลการเรียนรูจากการตรวจสอบ ความถูกตองการทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.3 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

Explain

ตัวอยางที่

2

Evaluate

จงแยกตัวประกอบของ 693 วิธีทํา

ãËŒ¹Ñ¡àÃÕ¹Åͧ㪌ÇÔ¸Õ á¼¹ÀÒ¾µŒ¹äÁŒá¡µÑÇ»ÃСͺ ¢Í§ 693

3 693 3 231 7 77 11

ดังนั้น 693 = 3 × 3 × 7 × 11 แบบตรวจสอบความเขาใจที่

ตอบ

1.3

1. จงแยกตัวประกอบของจํานวนในแตละขอตอไปนี้ 1) 63 2) 81 3) 105 4) 125 5) 145 6) 189 7) 315 8) 1,183 9) 1,260 10) 2,572 2. จงหาจํานวนนับที่มีหนึ่งหลัก ซึ่งเมื่อแยกตัวประกอบแลวจะไดตัวประกอบเฉพาะไมซํ้ากัน 2 จํานวน

4. ตัวหารรวมมาก (ห.ร.ม.) และการนําไปใช ถานักเรียนมีเชือกอยู 3 เสน ยาว 84, 108 และ 156 เมตร ตามลําดับ และตองการ ตัดเชือกแตละเสนเปนเสนสั้นๆ ใหเชือกแตละเสนที่ตัดนั้นยาวเทาๆ กัน และยาวมากที่สุดเทาที่ จะยาวได นักเรียนจะทราบไดอยางไรวา เชือกที่ตัดแลวนั้นจะยาวท จะยาวที่สุดเสนละกี่เมตร ในทางคณิตศาสตร เราตอบคําถามนี้ไดอยางรวดเร็ว โดยใชความรูเ รือ่ ง ห.ร.ม. นักเรียน 1 อยากรูจัก ห.ร.ม. หรือไม พิจารณา จํานวนนับทุกจํานวนที่หาร 12 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 จํานวนนับทุกจํานวนที่หาร 18 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 เรียก 1, 2, 3 และ 6 วาตัวประกอบรวมหรือตัวหารรวมของ 12 และ 18 ในบรรดาตัวหารรวมของ 12 และ 18 จะเห็นวา 6 เปนตัวประกอบรวมที่มากที่สุดหรือ ตัวหารรวมที่มากที่สุด

1 ห.ร.ม. เปนชื่อยอของตัวหารรวมมาก (Greatest Common Divisor ยอวา G.C.D.) บางครั้งเรียกวา Highest Common Factor ยอวา H.C.F.

มุม IT ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแยกตัวประกอบ (แบบฝกเสริมทักษะ) ไดที่ http://www.math-aids.com/Factors/

คู่มือครู

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

8

นักเรียนควรรู

8

ตรวจสอบผล

Expand

1. ใหนกั เรียนแสดงความคิดเห็นในประเด็นตอไปนี้ • นักเรียนคิดวา การแยกตัวประกอบมีความ จําเปนตอการดําเนินชีวิตประจําวันของ นักเรียนหรือไม อยางไร ยกตัวอยางประกอบ (แนวตอบ อาจจะตอบวามีความจําเปนหรือ ไมมีความจําเปนตอการดําเนินชีวิตประจําวัน ก็ได ครูควรใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น อยางอิสระ) 2. ใหนักเรียนรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นและ หาแนวทางและวิธีการแกโจทยปญหาในการทํา แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3 จากนั้นให นักเรียนรวมกันตรวจสอบความถูกตองใน แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.3

ตรวจสอบผล

ขยายความเข้าใจ

อธิ บายความรู ้ Expand าใจ July 12, 2012 10:50 AMขยายความเข้

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบของ 10010 จะมีผลบวกเทาไร 1. 30 2. 34 3. 38 4. 40 วิเคราะหคําตอบ แยกตัวประกอบของ 10010 10010 = 2 × 5 × 7 × 11 × 13 ผลบวกคือ 2 + 5 + 7 + 11 + 13 = 38 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 3.

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา ส�ารวจค้ Exploreนหา

อธิบายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุEngage ้นความสนใจ

กระตุน้ ความสนใจ 9

เรียกตัวประกอบร่วมที่มากที่สุด หรือตัวหารร่วมที่มากที่สุดของ 12 และ 18 ว่า ตัวหารร่วมมากของ 12 และ 18 ซึง่ เขียนย่อๆ ว่า ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 จึงกล่าวได้วา่ 6 เป็น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 1

อธิบายด้วยแผนภาพได้ดังนี้ จ�านวนนับที่หาร 12 ลงตัว

จ�านวนนับที่หาร 18 ลงตัว

ตัวประกอบร่วมของ 12 และ 18

Engage

1. ครูอานขอความ “ถานักเรียนมีเชือก... เชือกที่ ตัดแลวนั้นจะยาวที่สุดเสนละกี่เมตร” หนา 8 แลวใหนักเรียนรวมกันแสดงความคิดเห็นวา จะหาคําตอบไดอยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามความคิดของนักเรียน โดย ขึ้นอยูกับพื้นฐานความรูและประสบการณ) 2. นักเรียนอยากทราบไหมวา การหาคําตอบ นี้จะใชความรูเรื่องตัวประกอบและการแยก ตัวประกอบหรือไม และมีขั้นตอนอยางไรบาง (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย เชน ใชการหารลงตัว ใชตัวประกอบ เปนตน)

ส�ารวจค้นหา ตัวหารร่วมที่มากที่สุด คือ 6 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 12 และ 18 คือ 6 ตัวอย่างที่

1

จงหาตัวหารร่วมมากของ 36 และ 48

วิธีท ำ� จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร 36 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ 36 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 และ จ�านวนนับทุกจ�านวนทีห่ าร 48 ลงตัว คืคือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 และ 48 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 และ 48 ตัวหารร่วมของ 36 และ 48 คื และ 48 คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ตอบ ดังนั้น ตัตัวหารร่วมมากของ มมากของ 36 และ 48 คื 36 และ 48 คือ 12 12 นวน เพื่อหา หา นักเรียนสามารถใช้หลักการหาตัวหารร่วมมากของจ�านวนนับสองจ�านวน ตัวหารร่วมมากของจ�านวนนับมากกว่าสองจ�านวนได้ านวนได้ ดังตัวอย่างที่ 2

Explore

ใหนักเรียนแบงกลุม กลุมละ 4 คน แตละกลุม คละความสามารถทางคณิตศาสตรและรวมกัน ศึกษาเนื้อหาในหนังสือเรียน หนา 9-11

ตัวอย่2า งที่ จงหาตัวหารร่วมมากของ 24, 32 และ 40

วิธีท ำ�

จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร 24 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, และ 24 2, 3, 4, 6, 8, 12, และ จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร 32 ลงตัว คือ 1, 2, 4, 8, 16 และ 32 8, จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร าร 40 ลงตั 40 ลงตัว คืคือ 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 และ 40 1, 2, 4, 5, 8, 10, 10, 20 และ 40 ตัวหารร่วมของ 24, 32 และ 40 คือ 1, 2, 4 และ 8 ดังนั้น ตัวหารร่วมมากของ 24, 32 และ 40 คือ 8 ตอบ

กิจกรรมสรางเสริม ใหนักเรียนเขียนแผนภาพแสดงตัวหารรวม ของ 36, 45 และ 48

กิจกรรมทาทาย ใหนักเรียนเขียนแผนภาพแสดงตัวหารรวมของ 132, 144 และ 182

นักเรียนควรรู 1 แผนภาพ เรียกแผนภาพที่นําเสนอวา แผนภาพเวนน (Venn diagram) เปนภาพที่เขียนขึ้นเพื่อแสดงความสัมพันธระหวางกลุม 2 กลุม หรือ 3 กลุม นิยมใช วงกลมหรือวงรีแทนกลุมตางๆ ซึ่งอาจจะเปนจํานวนสองจํานวน หรือชนิดของสัตว ตัวอยางเชน ตัวหารรวมของ 24, 32 และ 40 สามารถเขียนแสดงเปนแผนภาพ เพื่อสะดวกในการหาคําตอบได ดังนี้ 32 24 3 6 12 24

12 48

16 32

5 10 20 40 40 คู่มือครู

9

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

อธิบายความรู้

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:02 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

Explain

1. ครูสมุ นักเรียน 2 กลุม แตละกลุม สงตัวแทนเลือก หัวขอการหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาตัวหารรวม และการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ และ นําเสนอขั้นนตอนการหา ห.ร.ม. หนาชั้นเรียน 2. ใหนักเรียนกลุมอื่นๆ รวมกันแสดงความคิดเห็น เพิ่มเติม และใหนักเรียนชวยกันสรุปความหมาย ของ ห.ร.ม. และวิธีการหา ห.ร.ม. โดยการ พิจารณาจากตัวรวม 3. ครูใชคําถามนักเรียนแสดงความคิดเห็น • การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาตัวหารรวมและ ใชการแยกตัวประกอบ วิธีการทั้งสองมีความ เหมือนหรือแตกตางกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย มีทั้งเหมือนกันและแตกตางกัน เหมือนกัน คือตองใชการหารลงตัว แตกตางกัน คือจํานวนที่เปนตัวหาร ไมจําเปนตองเปนจํานวนเฉพาะแตตองหาร ทุกจํานวนลงตัว สวนการแยกตัวประกอบ แตละจํานวนตองเขียนในรูปการคูณของ จํานวนเฉพาะ)

10

มุมความคิด การหา ห.ร.ม. ของจำานวนนับตั้งแต่สองจำานวนขึ้นไป เป็นการหาตัวหารร่วมมากของจำานวนนับเหล่านั้น

เนื่ อ งจากการหา ห.ร.ม. ของจ� า นวนนั บ ตั้ ง แต่ ส องจ� า นวนขึ้ น ไป เป็ น การหา ตัวหารร่วมมากของจ�านวนนับเหล่านัน้ เราจะใช้การหาตัวหารร่วมในการหา ห.ร.ม. ของจ�านวนนับ โดยวิธีต่างๆ ดังนี้

4.1 การหา ห.ร.ม. โดยการพิจารณาตัวหารร่วม ตัวอย่3 างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24

วิธีทำ�

จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร 18 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 6, 9 และ 18 จ�านวนนับทุกจ�านวนที่หาร 24 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 และ 24 ตัวหารร่วมของ 18 และ 24 คือ 1, 2, 3 และ 6 ตัวหารร่วมมากของ 18 และ 24 คือ 6 ตอบ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คือ 6

4.2 การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตั 4.2 การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ

ตัวอย่4างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24

วิธีทำ�

18 = 2 × 3 × 3 24 = 2 × 2 × 2 2 × 3 3

จากการแยกตัวประกอบของ ประกอบของ 18 18 และ 24 จะได้ตัวหารร่วมมากของ 18 และ 24 คือ 2 2 × 33 18 และ 24 คื ตอบ ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คื ห.ร.ม.

อ 6 ตัวอย่5างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 56, 84 และ 140

วิธีทำ�

มุม IT ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบและการหาร ไดที่ http://edltv.thai.net/index.php?mod=Courses&file=showcontent&cid=15 5&sid=108&lid=5&lid_parent=26 เว็บไซตโครงการจัดทําเนื้อหาระบบ e-Learning ของการศึกษาทางไกลผาน ดาวเทียม

10

คู่มือครู

56 = 2 × 2 × 2 × 7 84 = 2 × 2 × 3 × 7 140 = 2 × 2 × 5 × 7

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จงหา ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 60 เทากับเทาไร 1. 2 2. 3 3. 4 4. 6 วิเคราะหคําตอบ หา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ 24 = 2 × 2 × 2 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 60 = 2 × 3 × 5 ห.ร.ม. คือ 2 × 3 = 6 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

อธิบายความรู้ 11

จากการแยกตัวประกอบของ 56, 84 และ 140 จะได้ตัวหารร่วมมาก ของ 56, 84 และ 140 คือ 2 × 2 × 7 ตอบ

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 56, 84 และ 140 คือ 28 ตัวอย่างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 8 และ 15

วิธีท ำ�

6

8 = 2 × 2 × 2 15 = 3 × 5 จากการแยกตัวประกอบ จะเห็นว่า ไม่มีจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวหารร่วม ของ 8 และ 15 แต่เนื่องจาก 1 เป็นตัวหารร่วมของจ�านวนนับทุกจ�านวน ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 8 และ 15 คือ 1 ตอบ

ตัวอย่7างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 20, 21 และ 27

วิธีท ำ�

20 = 2 × 2 × 5 21 = 3 × 7 27 = 3 × 3 × 3 จากการแยกตัวประกอบ จะเห็นว่า ไม่มีจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวหารร่วมม ของ 20, 21 และ 27 แต่เนือ่ งจาก 1 เป็ เป็นตัวหารร่วมของจ�านวนนับทุกจ�านวน ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 20, 21 และ 27 คืคือ 11 ตอบ

4.3 การหา ห.ร.ม. โดยวิ โดยวิธีหารสั1 ้น

การหา ห.ร.ม. โดยวิ การหา ห.ร.ม. โดยวิธหี ารสัน้ ของจ�านวนนับ ตัตัง้ แต่สองจ�านวนขึน้ ไป ไป มีมีวธิ กี ารดังนี้ ขั้นที่ 1 เขียนจ�านวนนับทุกจ�านวนที่ก�าหนดให้ในแถวที่หนึ่ง ขั้นที่ 2 น�าจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของจ�านวนนับทุกจ�านวน นวน หาร หาร จ�านวนนับเหล่านั้น แล้วเขียนผลลัพธ์ ในแถวที่สอง อง ท�าเช่นนี้ไปเรื่อยๆ ยๆ จนกระทั่งไม่สามารถหาจ�านวนเฉพาะใดๆ นวนเฉพาะใดๆ มาหารผลหารทุกจ�านวนนั้น ได้ลงตัวอีกแล้ว

จะได้ว่า ห.ร.ม. ของจ�านวนนับที่ก�าหนดให้ คือ ผลคูณของจ�านวนเฉพาะที่เป็น ตัวหารทุกตัว

กรณีที่ไม่สามารถหาจ�านวนเฉพาะมาหารได้ลงตัว แต่ 1 เป็นตัวหารร่วมของ มของ จ�านวนนับทุกจ�านวน ดังนั้น 1 จึงเป็นตัวหารร่วมมากของจ�านวนนับที่ก�าหนดให้

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ให A เปน ห.ร.ม. ของ 63, 84 และ 105 แลว B เปน ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 72 แลว (A ÷ B) × 4 เทากับเทาไร 1. 5 2. 7 3. 9 4. 36

Explain

1. ครูสุมนักเรียน 2 กลุม ออกมานําเสนอขั้นตอน การหา ห.ร.ม. โดยพิจารณาตัวหาร หนาชั้นเรียน จากนั้นใหนักเรียนกลุมอื่นๆ รวมกันแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติม 2. ครูใชคําถามใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น • การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการหารสั้นมีความ เหมือนหรือแตกตางจากการหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบหรือไม อยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย มีทั้งเหมือนกันและแตกตางกัน เหมือนกัน คือตองใชการหารลงตัว และ จํานวนที่เปนตัวหารตองเปนจํานวนเฉพาะ แตกตางกัน คือการหารสัน้ ตองนําจํานวน ทุกจํานวนเปนตัวตั้งและนําจํานวนเฉพาะ ที่เปนตัวประกอบรวมของทุกจํานวนเปน ตัวหาร ซึ่งตองหารไปจนกวาจะไมมี ตัวประกอบรวมของจํานวนทุกจํานวน) • การหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ กับการใชวิธีหารสั้น นักเรียนคิดวา วิธีใด เหมาะสมกวากัน เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย โดยใชพื้นฐานความรูที่ไดศึกษาคนหา รวมกัน)

นักเรียนควรรู 1 การหา ห.ร.ม. โดยวิธีหารสั้น เปนวิธีการที่เหมาะสมและสะดวกเมื่อจํานวน ที่ตองการหา ห.ร.ม. เปนจํานวนที่มีคามากและมีหลายจํานวน แตถาเลือกใช แผนภาพตนไมอาจจะไมสะดวก เพราะยุงยากในการเขียนและสิ้นเปลืองเวลา

วิเคราะหคําตอบ หา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ A = ห.ร.ม. ของ 63, 84 และ 105 คือ 21 B = ห.ร.ม. ของ 24, 36 และ 72 คือ 12 (A ÷ B) × 4 = (21 ÷ 12) × 4 = 74 × 4 = 7 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2. คู่มือครู

11

กระตุน้ ความสนใจ กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

กระตุน้ ความสนใจ

อธิ บายความรู ้ 11:02 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

Expand

12

พิจารณาการหา ห.ร.ม. โดยวิธีการหารสั้นในตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่8างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 โดยวิธีหารสั้น

วิธีทำ�

ตัวอย่9างที่

จงหา ห.ร.ม. ของ 18, 36 และ 54 โดยวิธีหารสั้น

วิธีทำ�

อย่างที่ ตัว10

จงหา ห.ร.ม. ของ 28, 30 และ 45 จงหา ห.ร.ม. ของ 28, 30 และ 45

วิธีทำ�

4.4 การหา ห.ร.ม. โดยใช้ 4.4 การหา ห.ร.ม. โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหาร

2 18 24 3 9 12 3 4

3, 4 ไม่มีตัวประกอบร่วม ที่เป็นจ�ำนวนเฉพำะอีก

2 × 3 = 6 ดังนั้น ตัวหารร่วมมาก คือ 2 × 3 = 6 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 18 และ 24 คือ 6

2 3 3

18 9 3 1

36 18 6 2

ตอบ

54 27 9 3

1, 2, 3 ไม่มีตัวประกอบร่วม ที่เป็นจ�ำนวนเฉพำะอีก

2 × 3 2 3 × 3 = 18 3 ดังนั้น ตัตัวหารร่วมมาก มมาก คือ 2 × 3 × 3 = 18 นั่นคือ ห.ร.ม. ของ 18, 36 และ 54 คื ห.ร.ม. ของ อ 18

ตอบ

พิจารณาจ�านวนนับ 28, 30 และ 45 พบว่ 28, 30 และ 45 าไม่มีจ�านวนเฉพาะใดหารได้ลงตัว ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 28, 30 และ 45 คื ห.ร.ม. ของ 28, 30 และ อ 1 ตอบ 1

ขั้นตอนของการหา ห.ร.ม. โดยขั ตอนของการหา ้นตอนวิธีการหาร มีวิธีการดังนี้ ถ้าต้องการหา งการหา ห.ร.ม. ของ 150 และ 675 ห.ร.ม. ของ 150 และ 675 ขั้นที่ 1 เขี 1 เขียนจ�านวนนับสองจ�านวนในรู านวนในรูปแบบต่อไปนี้

นักเรียนควรรู 1 ขั้นตอนวิธีการหาร หรือเรียกอีกอยางหนึ่งวา “ขั้นตอนวิธีแบบยูคลิด” เปน ผลงานของยุคลิดแหงอะเล็กซานเดรีย (Euclid Alexandria) เปนนักคณิตศาสตร ชาวกรีก อยูในชวงประมาณ 450-380 ปกอนคริสตศักราช

คู่มือครู

Evaluate

Engage

1. ครูกําหนดจํานวนนับที่มี 3 หลัก สองจํานวน เชน 253 และ 351 แลวใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็นวา • วิธีใดจะเหมาะสมที่สุดที่จะนํามาใชหา ห.ร.ม. ของทั้งสองจํานวนนี้ เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูและความเขาใจของ นักเรียน) 2. ครูสนทนาและซักถามนักเรียนโดยเชื่อมโยง จากจํานวน 253 และ 351 วา • จํานวน 253 และ 351 เปนจํานวนทีเ่ ปนผลคูณ ของจํานวนเฉพาะที่มีสองหลัก จึงไมสะดวก ที่จะหา ห.ร.ม. โดยการแยกตัวประกอบ หรือ โดยวิธีหารสั้นใชหรือไม (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดอยางอิสระ แตควรตอบวาใชเปนสวนใหญ) • นักเรียนอยากทราบไหมวา วิธกี ารการหา ห.ร.ม. ที่สะดวกและเหมาะสมสําหรับจํานวนที่มีคา มากนัน้ มีขนั้ ตอนอยางไร แตกตางจากวิธกี าร ดังกลาวขางตนอยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและความ เขาใจ)

12

ตรวจสอบผล

150 675

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนที่มากที่สุดที่หาร 511 และ 1868 แลวเหลือเศษ 5 เทากัน

แนวตอบ นําเศษ 5 ลบออกจากทั้งสองจํานวน 511 - 5 = 506 1868 - 5 = 1863 1 506 1863 3 345 1518 7 161 345 2 161 322 23 ห.ร.ม. ของ 506 และ 1863 คือ 23 ดังนั้น จํานวนที่มากที่สุดที่หาร 511 และ 1868 เหลือเศษ 5 เทากัน คือ 23

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

ส�ารวจค้ Exploreนหา

Engage

13

ขั้นที่ 2 น�าจ�านวนที่มีค่าน้อย (150) ไปหารจ�านวนที่มีค่ามาก (675) และเขียน ผลหารและเศษในรูปแบบต่อไปนี้

ขั้นที่ 3 น�าเศษที่ได้จากขั้นที่ 2 (75) ไปหารตัวหารในขั้นที่ 2 (150) และเขียน ผลหารและเศษในรูปแบบต่อไปนี้

ผลหาร

เศษ

ขั้นที่ 4 จากขั้นที่ 3 พบว่าเศษเหลือจากการหารเป็น 0 แสดงว่า 75 หาร 150 ลงตัว และ 75 หาร 675 ลงตัว จะได้ว่า ห.ร.ม. ของจ�านวนนับทั้งสอง คือ จ�านวนนับตัวสุดท้ายที่น�าไป หาร 150 ได้ลงตัว (ในที่นี้คือ 75) 75 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 150 และ 675 คือ 75

150 675 4

600

75

ผลหาร เศษ

2 150 675 4 150 600 0 75

675 = 75 × 9 แสดงว่า 75 หาร 675 ลงตัว

อย่างที่ ตัว11

โดยใช้ขั้นตอนวิธีการหาร จงหา ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 โดยใช้

มาหา ห.ร.ม. ก่อน ดั น ดังนี้ วิธีท ำ� น�า 70 กับ 105 มาหา ห.ร.ม. ก่

2

จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 70 กับ 105 คือ 35 น�า 35 และ 150 มาหา ห.ร.ม. ต่อ ดังนี้

70 105 70 70 0 35

1

กิจกรรมทาทาย ใหนักเรียนหาจํานวนนับที่มากที่สุดที่หาร 1276, 1657 และ 1784 แลว เหลือเศษเทากัน เศษนั้นเทากับเทาไร

ส�ารวจค้นหา

Explore

ใหนักเรียนแตละกลุมศึกษาเนื้อหาใน หนังสือเรียน หนา 12-14

อธิบายความรู้

Explain

1. ครูสุมตัวแทนนักเรียน 2 กลุม ออกมานําเสนอ ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. โดยใชขั้นตอนวิธีการ หาร หนาชั้นเรียน จากนั้นใหนักเรียนอื่นๆ รวมกันแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติม 2. ครูใชคําถามใหนักเรียนคิดวิเคราะห • การหา ห.ร.ม. โดยใชวิธีการหารสั้นมี ความเหมือนหรือแตกตางจากการหา ห.ร.ม. โดยใชขั้นตอนวิธีการหารหรือไม อยางไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย มีทั้งเหมือนกันและแตกตางกัน เหมือนกัน คือตองใชการหาร แตกตางกัน คือใชการหารสั้นจะนําทุก จํานวนมาเปนตัวตั้ง และตองหาตัวประกอบ รวมของทุกจํานวน แตใชขั้นตอนวิธีการหาร แตละครั้งจะใชจํานวนเพียงสองจํานวน โดย นําจํานวนที่นอยกวาเปนตัวหารและจํานวน ที่มากกวาเปนตัวตั้ง ผลลบจะใชเปนตัวหาร ตอไปจนกวาจะหารลงตัว) • การหา ห.ร.ม. โดยวิธีการหารสั้นกับการใช ขั้นตอนวิธีการหาร นักเรียนคิดวาวิธีใด เหมาะสมกวากัน เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย โดยใชพื้นฐานความรูที่ไดศึกษาคนหา รวมกัน)

เกร็ดแนะครู ครูแนะนํา “การหา ห.ร.ม. โดยใชขั้นตอนวิธีการหาร” พรอมอธิบายความ แตกตางระหวาง “ขั้นตอนวิธีการหาร” กับ “การหารสั้นและการหารยาว” ดังนี้ การหารสั้นและการหารยาวจะมีการหาผลหารในหลักตางๆ จากหลักที่มาก ที่สุดไปจนถึงหลักหนวย ซึ่งผลหารในแตละหลักจะมาจากตัวหารตัวเดียวกัน ขั้นตอนวิธีการหารมีรูปแบบการเขียนจํานวนนับทั้งสองเฉพาะซึ่งการหาร แตละครั้งตัวหารจะไมใชจํานวนเดิม และใชจํานวนนับสองจํานวนที่ตองการมาหา ห.ร.ม. หารกัน โดยใชจํานวนนอยเปนตัวหารและจํานวนมากเปนตัวตั้ง ทําเชนเดียว กับการหารยาว หาผลลบและใชผลลบเปนตัวหาร และใชตัวหารครั้งแรกเปนตัวตั้ง ดําเนินการอยางนี้ไปเรื่อยๆ จนกวาจะหารลงตัว

คู่มือครู

13

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

อธิบายความรู้

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:02 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

Expand

14

3

35 150 30 140 5 10 10

0

4 2

จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 35 กับ 150 คือ 5 ตอบ

ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 คือ 5

การหา ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 ที่แสดงวิธีท�าไปแล้วนี้ นักเรียนจะเห็นว่า เราหา ห.ร.ม. ของ 70 และ 105 ก่อน จะได้ว่า ห.ร.ม. คือ 35 แล้วจึงน�าจ�านวนที่เหลือคือ 150 และ 35 ไปหา ห.ร.ม. อีกครั้งหนึ่ง นักเรียนสามารถจะหา ห.ร.ม. ของจ�านวนสองจ�านวนใดๆ ก่อนก็ได้จาก 70, 105 และ 150 แล้วจึงน�าจ�านวนที่เหลือกับ ห.ร.ม. ที่หามาได้ไปหา ห.ร.ม. อีกครั้งหนึ่ง ก็จะได้ ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 ดังนี้

น�า 105 กับ 150 มาหา ห.ร.ม. ก่อน ดังนี้

ห.ร.ม. ของ 105 กับ 150 คื 150 อ 15 จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 105 กั ไป น�าา 15 15 กักับ 70 มาหา ห.ร.ม. อี 15 70 มาหา ห.ร.ม. กครั้งหนึ่ง ขั้นต่อไป น�

มุม IT ศึกษาขอมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการหา ห.ร.ม. โดยใชขั้นตอนวิธีการหาร (ยูคลิด) ไดที่ www.youtube.com/watch?v=eYoWSsT6SC

คู่มือครู

Evaluate

Explain

ครูใชคําถามใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น • นักเรียนคิดวา ถาใชจํานวนนับสองจํานวนอื่น เชน 70 กับ 150 มาหา ห.ร.ม. กอน แลวนํา ห.ร.ม. ที่ไดไปหา ห.ร.ม. กับ 105 แบบใดจะ สะดวกและรวดเร็วกวากันหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและความ เขาใจ นักเรียนควรจะตอบวาสะดวกและ รวดเร็วกวา เพราะวาทัง้ สองจํานวนเปนพหุคณ ู ของ 10) • นักเรียนคิดวา การหา ห.ร.ม. โดยขั้นตอนวิธี การหาร เมื่อมีจํานวนนับ 3 จํานวน นักเรียน ควรจะเลือกสองจํานวนใดมาหา ห.ร.ม. กอน เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและความ เขาใจ เชน นําจํานวน 2 จํานวนที่มีคามาก มาหา ห.ร.ม. โดยการตั้งหารกอน นําจํานวน ที่มีคานอยมาหา ห.ร.ม. โดยการตั้งหารกอน เปนตน)

14

ตรวจสอบผล

2

1

105 150 90 105 15 45 45

0

15 10 5

70 60 10 10 0

1 3

4 2

กิจกรรมทาทาย ใหนักเรียนหา ห.ร.ม. ของ 667, 928 และ 1073 โดยปฏิบัติตาม ขั้นตอนตอไปนี้ 1. หา ห.ร.ม. โดยใชขั้นตอนวิธีหาร 2. หาผลลบของ 928 - 667 และ 1073 - 928 3. นําผลลบของขอ 2. มาหา ห.ร.ม.

4. เปรียบเทียบ ห.ร.ม. ที่ไดจากขอ 1. กับขอ 3.

กระตุ้นความสนใจ Engage

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

ส�ารวจค้ Exploreนหา

15

จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 15 กับ 70 คือ 5 ดังนั้น ห.ร.ม. ของ 70, 105 และ 150 คือ 5

ตอบ

การนําความรู้เกี่ยวกับ ห.ร.ม. ไปใช้

1

ความรูเ้ กีย่ วกับ ห.ร.ม. สามารถน�าไปประยุกต์ใช้กบั โจทย์ปญ หาทีเ่ กีย่ วข้องกับการหาร ซึ่งต้องการทราบจ�านวนที่มากที่สุด ดังตัวอย่างต่อไปนี้ อย่างที่ ตัว12

ลุงสมานมีเชือกอยู่ 3 เส้น ยาว 84, 108 และ 156 เมตร ตามล�าดับ ต้องการตัดเชือก แต่ละเส้นเป็นเส้นสั้นๆ ให้เชือกแต่ละเส้นที่ตัดนั้นยาวเท่าๆ กัน และยาวมากที่สุด เท่าที่จะยาวได้ จะได้เชือกยาวเส้นละกี่เมตร และได้เชือกกี่เส้น

วิธีท ำ� ความยาวของเชือกเส้นสั้นๆ ที่ยาวเท่ากันและยาวมากที่สุด หาได้จากการหา จ�านวนนับที่มากที่สุด ที่น�าไปหาร 84, 108 และ 156 ลงตัว

ซึ่งต้องหา ห.ร.ม. ของ 84, 108 และ 156

2 84 108 156

2 42 54 78

3 21 27 39 2

7 9 13

ห.ร.ม.ของ 84, 108 และ 156 คือ 2 × 2 × 3 = 12

จะได้เชือกที่ตัดแล้วยาวที่สุดเส้นละ 12 เมตร เชือกเส้นแรกยาว 84 เมตร ตัดออกเป็นเส้นสั้นๆ เส้นละ 12 เมตรได้ 84 = 7 เส้น 12 108 เชือกเส้นที่สองยาว 108 เมตร ตัดออกเป็นเส้นสั้นๆ เส้นละ 12 เมตรได้ 12 = 9 เส้น เชือกเส้นที่สามยาว 156 เมตร ตัดออกเป็นเส้นสั้นๆ เส้นละ 12 เมตรได้ 156 = 13 เส้น 12 จะได้เชือกทั้งหมด 7 + 9 + 13 = 29 เส้น ตอบ ดังนั้น เชือกยาวเส้นละ 12 เมตร และได้ เมตร และได้เชือก 29 เส้ ก เส้น

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ลูกเสือ 3 กอง กองละ 84, 98, 126 คน ตามลําดับ แบงเปนหมูละเทาๆ กัน จะไดลูกเสือมากที่สุดหมูละกี่คน 1. 6 2. 7 3. 12 4. 14 วิเคราะหคําตอบ ลูกเสือ 3 กอง กองละ 84, 98 และ 126 คน แบงเปน หมูละเทาๆ กัน ใหไดลูกเสือมากที่สุด นําไปหา ห.ร.ม.

2 84 98 126 7 42 49 63 6 7 9 ห.ร.ม. คือ 2 × 7 = 14 จะไดลูกเสือมากที่สุดหมูละ 14 คน ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

ส�ารวจค้นหา

Explore

ใหนกั เรียนกลุม เดิมศึกษาเนือ้ หาในหนังสือเรียน ตัวอยางที่ 12-15 หนา 15-17

อธิบายความรู้

Explain

1. ตัวอยางที่ 12 ครูสุมนักเรียน 1 กลุม สงตัวแทน ออกมาอธิบายขั้นตอนแกโจทยปญหา และให นักเรียนกลุมอื่นรวมกันแสดงความคิดเห็น 2. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • ขอความใดในโจทยที่บงบอกวาตองแกโจทย ปญหาดวยการหา ห.ร.ม. (แนวตอบ ตองการตัดเชือกแตละเสนเปน เสนๆ ใหแตละเสนที่ตัดนั้นยาวเทาๆ กัน และยาวมากที่สุด) • นักเรียนคิดวา โจทยปญหาขอนี้สามารถใช วิธีการอื่นในการหา ห.ร.ม. ไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและความ เขาใจ และใหอยูในดุลยพินิจของครูผูสอน)

นักเรียนควรรู 1 ประยุกต (applied) การนําความรูทางกระบวนการทางคณิตศาสตรไปใช ใหเกิดประโยชน เชน การหารนําไปใชในเรื่องการแบงสิ่งของ นําความรูหา ห.ร.ม. ไปแกโจทยปญหาในชีวิตประจําวัน เปนตน 2 7 9 13 จํานวนทั้งสามนี้เปนผลหารของจํานวนนับหารดวย ห.ร.ม. ของจํานวน 108 ทั้งสาม เชน 7 = 84 12 , 9 = 12 เปนตน

คู่มือครู

15

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

อธิบายความรู้

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:02 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

Expand

16 อย่างที่ ตัว13

สมหมายเลี้ยงหมู 38 ตัว ไก่ 86 ตัว และวัว 122 ตัว เขาต้องการแบ่ง หมู ไก่ และวัว เป็นกลุม่ กลุม่ ละเท่าๆ กัน ให้แต่ละกลุม่ มีจา� นวนสัตว์มากทีส่ ดุ และเป็นสัตว์ชนิดเดียวกัน โดยที่เมื่อแบ่งแล้วจะต้องเหลือสัตว์ส�ารองไว้ชนิดละ 2 ตัว เขาจะแบ่งสัตว์ได้ทั้งหมด กี่กลุ่ม กลุ่มละกี่ตัว

วิธีท ำ� เนื่องจากต้องการหาจ�านวนนับที่มากที่สุดที่หาร 38, 86 และ 122 แล้วจะ เหลือเศษ 2 เท่ากัน ซึ่งหมายถึงการหาจ�านวนนับที่มากที่สุดที่หาร 38 - 2, 86 - 2 และ 122 - 2 ลงตัว หรือจ�านวนนับที่มากที่สุดที่หาร 36, 84 และ 120 ลงตัว ซึ่งต้องหา ห.ร.ม. ของ 36, 84 และ 120

2 36 84 120

2 18 42 60

3 9 21 30

3 7 10 ห.ร.ม. ของ 36, 84 และ 120 คือ 2 × 2 × 3 = 12 แสดงว่า เขาจะต้ เขาจะต้องแบ่งสัตว์แต่ละชนิดเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 12 ตัว (36 ÷ 12) + (84 ÷ 12) + (120 ÷ 12) จ�าานวนกลุ นวนกลุ่มของสัตว์ที่แบ่งได้เท่ากับ (36 = 3 + 7 + 10

= 20 20 กลุ่ม หมด 20 กลุ่ม กลุ่มละ 12 ตัว ตอบ ดังนั้น สมหมายแบ่ สมหมายแบ่งสัตว์ได้ทั้งหมด หมด 1 กระดาษรูปสีเ่ หลีย่ มมุมฉากแผ่นหนึง่ กว้างง 1.4 เมตร และยาว 1.8 เมตร ถ้ 1.4 ายอดหญิง ต้องการตัดกระดาษแผ่นนี้เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีพื้นที่มากที่สุด และไม่ให้เหลือเศษ จะตัดกระดาษยาวด้านละกีเ่ มตร มตร และได้กระดาษกีแ่ ผ่น 2 140 เซนติ วิธีท ำ� กระดาษ กว้าง 1.4 เมตร = 140 เซนติเมตร

ยาว 1.8 เมตร = 180 180 เซนติเมตร ยอดหญิงต้องการตัดกระดาษเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่มากที่สุด และไม่ให้เหลือเศษ ซึ่งต้องหา ห.ร.ม. ของ 140 และ 180

อย่างที่ ตัว14

เกร็ดแนะครู ครูชี้แนะเพิ่มเติมเกี่ยวกับหลักการเปลี่ยนหนวยวัดจากหนวยเล็กเปนหนวยใหญ จากหนวยใหญเปนหนวยเล็ก ควรใหนักเรียนยกตัวอยางและฝกการเปลี่ยนหนวย ถานักเรียนยังไมเขาใจครูควรใหนักเรียนที่มีความสามารถทางคณิตศาสตรชวย ทบทวนและฝกทักษะเพิ่ม

นักเรียนควรรู 1 รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle) เปนรูปเรขาคณิตสองมิติที่มีมุมสี่มุมเปน มุมฉาก และมีดานที่อยูตรงขามขนานกันสองคู แตละคูมีความยาวเทากัน 2 กวาง 1.4 เมตร = 140 เซนติเมตร สําหรับโจทยปญหาตัวอยางนี้ตองเปลี่ยน หนวยวัด เมตรเปนเซนติเมตร เพราะวาวิธีการหา ห.ร.ม. มีขอตกลงจากจํานวนนับที่ เทานั้น คู่มือครู

Evaluate

Explain

1. ครูสุมนักเรียนอีก 3 กลุม สงตัวแทนออกมา อธิบายขั้นตอนการแกโจทยปญหาตัวอยางที่ 13 ตัวอยางที่ 14 และตัวอยางที่ 15 ตามลําดับ 2. ครูตั้งคําถามใหนักเรียนแสดงความคิดเห็น • โจทยตัวอยางที่ 12 และตัวอยางที่ 13 มีลักษณะเหมือนกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ ตัวอยางที่ 12 กับตัวอยางที่ 13 มีลกั ษณะเหมือนกัน คือมีจาํ นวนนับ 3 จํานวน และใชวิธีการหารสั้นเพื่อหา ห.ร.ม.)

• โจทยตัวอยางที่ 13 และตัวอยางที่ 14 มีลักษณะใดที่เหมือนกัน และสิ่งใดที่แตกตาง กันบาง (แนวตอบ ตัวอยางที่ 13 และตัวอยางที่ 14 เหมือนกัน คือ ตองใชการหา ห.ร.ม. ในการ แกโจทยปญหา แตแตกตางกัน คือ ตัวอยางที่ 13 มีจํานวนนับ 3 จํานวน แตตัวอยางที่ 14 มีทศนิยม 2 จํานวน จึงตองใชการเปลี่ยน หนวยเพื่อใหเปนจํานวนนับ ตัวอยางที่ 13 หา ห.ร.ม. ดวยวิธีการหารสั้นแตตัวอยางที่ 14 ใชขั้นตอนวิธีการหาร) • โจทยตวั อยางที่ 13 ถึงตัวอยางที่ 15 มีลกั ษณะ ใดที่แตกตางกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ มีลักษณะที่แตกตางกัน ไดแก ตัวอยางที่ 13 ใชวิธีการหารสั้น แตตัวอยาง ที่ 14 และตัวอยางที่ 15 ใชวธิ กี ารหาร ตัวอยาง ที่ 13 และตัวอยางที่ 14 เปนโจทยปญหา กําหนดสถานการณให แตตัวอยางที่ 15 โจทยกาํ หนดเศษสวนใหหา ห.ร.ม. เพือ่ ทําเปน เศษสวนอยางตํ่า)

16

ตรวจสอบผล

ขอสอบ

O-NET

ขอสอบป ’ 52 ออกเกี่ยวกับโจทยปญหาการหา ห.ร.ม. กระดาษหนึ่งแผน กวาง 18 เซนติเมตร ยาว 63 เซนติเมตร ถาตองการ ตัดกระดาษดังกลาวเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีดานกวางและดานยาวเปน จํานวนนับที่มากที่สุดเทาที่จะทําได โดยที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้จะตองมีขนาด เทากับทุกชิ้น และเมื่อตัดเสร็จแลวจะตองไมมีเศษกระดาษเหลืออยูเลย จงหาวาจะตัดกระดาษไดทั้งหมดกี่ชิ้น 1. 126 ชิ้น 2. 42 ชิ้น 3. 14 ชิ้น 4. 8 ชิ้น วิเคราะหคําตอบ ตองการตัดกระดาษกวาง 18 เซนติเมตร ยาว 63 เซนติเมตร เปนรูป จ ใหมีพื้นที่มากที่สุด และมีขนาดเทากันทุกชิ้น และ ไมใหเหลือเศษ หา ห.ร.ม.ของ 18 และ 63 คือ 9 ตองตัดกระดาษแผนนี้ยาวดานละ 9 เซนติเมตร ดานกวางตัดได 189 = 2 สวน ดานยาวตัดได 639 = 7 สวน ตัดกระดาษได 2 × 7 = 14 ชิ้น ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 3.

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

Engage

Explore

Explain

3

140 180 120 140 20 40 40

0

17

จะได้ว่า ห.ร.ม. ของ 140 และ 180 คือ 20 ต้องตัดกระดาษแผ่นนีย้ าวด้านละ 20 เซนติเมตร หรือ 20 = 0.2 เมตร 100 140 กระดาษกว้าง 140 เซนติเมตร ตัดได้ 20 = 7 ส่วน กระดาษยาว 180 เซนติเมตร ตัดได้ 180 20 = 9 ส่วน ตัดกระดาษได้ 7 × 9 = 63 แผ่น ดังนั้น ยอดหญิงจะตัดกระดาษยาวด้านละ 0.2 เมตร

และได้กระดาษทั้งหมด 63 แผ่น ตอบ

อย่างที่ ตัว15

จงท�า 120 135 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต�่า

กระตุ้นความสนใจ

1 2

1 วิธีทำ� การท�า 120 น เศษส่ ว นอย่ า งต� า ่ สามารถท� าได้โดยการน�า ห.ร.ม. ให้ เ ป็ 135 ของ 120 และ 135 มาหารทั้งตัวเศษ และตัวส่วน หา ห.ร.ม. ของ 120 และ 135 ได้ดังนี้

8

ห.ร.ม. ของ 120 และ 135 คือ 15 ดังนั้น 120 = 120 ÷ 15 = 8 135 ÷ 15 9 135 แบบตรวจสอบความเข้าใจที่

1.

1.

120 135 120 120 0 15

1 2

อำจท�ำไดอีกวิธีหนึ่ง ดังนี้ 120 ÷ 55 120 = 120 135 ÷ 5 135

= 24 27 24 ÷ 33

= 24 27 ÷ 3

= 8 9

1.4

จงหา ห.ร.ม. ของจ�านวนต่อไปนี้ 1) 27 และ 36 3) 16, 24 และ 32 5) 108, 216 และ 621

2) 16, 72 และ 104 4) 12, 42 และ 72 6) 35, 245 และ 420

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ที่ดินแปลงหนึ่งยาว 20 วา กวาง 18 วา ตองการลอมรั้วลวดหนาม โดย ปกเสาใหหางกันมากที่สุด และเสาแตละตนมีระยะหางเทาๆ กัน ตองปกเสา ใหหางกันกี่วา และใชเสากี่ตน แนวตอบ หา ห.ร.ม. ของ 20 และ 18 เทากับ 2 ตองปกเสาใหหางกัน 2 วา หาจํานวนเสา โดยนําความยาวรอบรูปของที่ดิน แลวหารดวย ห.ร.ม. 2 จะไดเทากับ 2(20 2+ 18) = 38 ตน ดังนั้น ปกเสาหางกัน 2 วา ใชเสา 38 ตน

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

ขยายความเข้ Expand าใจ

ตรวจสอบผล Evaluate

ขยายความเข้าใจ

Expand

1. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันแสดงความคิด ในประเด็นตอไปนี้ • ตัวอยางที่ 12 ถึงตัวอยางที่ 15 นักเรียน คิดวา มีขอความใดที่บงบอกวาเปนการหา คําตอบดวยการหา ห.ร.ม. (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความ คิดเห็นไดหลากหลายตามพื้นฐานความรู และความเขาใจ นักเรียนควรตอบขอความ วา “ยาวเทากันและยาวที่สุด” “จํานวนสัตว มากที่สุด” “มีพื้นที่มากที่สุด”) • ในชีวิตประจําวันของคนเราตองใชความรู เกี่ยวกับ ห.ร.ม. หรือไม ยกตัวอยางประกอบ (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและความ เขาใจที่แตละกลุมไดศึกษาและวิเคราะห รวมกัน คําตอบขึ้นอยูกับดุลยพินิจของครู ผูสอน โดยครูผูสอนควรชี้แนะขอความที่ บงบอกวาเปนการหา ห.ร.ม. เพิ่มเติม) 2. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันแลกเปลี่ยน ความคิดเห็นและหาแนวทางและวิธีการ แกโจทยปญหาในการทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.4 3. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันตรวจสอบความ ถูกตองในแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4

ตรวจสอบผล

Evaluate

1. ใหนักเรียนประเมินผลระดับความเขาใจ ในเนื้อหานี้ดวยการเขียนบอกระดับเปนดีมาก ดี ปานกลางหรือตองเพิ่มความเขาใจอีก 2. ครูประเมินผลการเรียนรูจากการตรวจสอบ ความถูกตองการทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.4 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.4 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

เกร็ดแนะครู ครูชี้แนะเพิ่มเติมเกี่ยวกับขอความที่บงบอกวาตองแกโจทยปญหาดวยการหา ห.ร.ม. เชน “พรอมกัน” “มากที่สุด” เปนตน ครูควรใหนักเรียนยกตัวอยางขอความ อื่นๆ และรวมกันแสดงความคิดวาขอความใดบงบอกบางและอาจจะรวมกันสราง โจทยปญหาและแกปญหารวมกัน

นักเรียนควรรู 1 เศษสวนอยางตํ่า มีตัวเศษ (numerator) และตัวสวน (denominator) ที่มี 1 เปนตัวประกอบรวม เชน 35 , 11 15 เปนตน

คู่มือครู

17

กระตุน ความสนใจ กระตุEngage นความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

กระตุน ความสนใจ

อธิ บายความรู  11:02 AM ขยายความเขาใจ February 1, 2010 Explain 18

2.2. จงหาจ�านวนที่มากที่สุดที่หาร 218 และ 371 แล้วเหลือเศษ 2 เท่ากัน 3.3. กิ๊บมีลูกปดสีแดง 750 เม็ด เกมีลูกปดสีเขียว 625 เม็ด และกิ่งมีลูกปดสีเหลือง 450 เม็ด ต้องการแบ่งลูกปดออกเป็นกอง กองละเท่าๆ กัน ให้แต่ละกองมีจา� นวนลูกปดมากทีส่ ดุ และ ไม่เหลือเศษ แต่ละกองเป็นสีเดียวกัน จะแบ่งลูกปดได้กี่กอง กองละกี่เม็ด 4.4. แม่ค้ามีส้มโชกุน 120 ผล ส้มบางมด 150 ผล และส้มโอ 180 ผล ต้องการแบ่งส้มออก เป็นกอง กองละเท่าๆ กัน ให้แต่ละกองมีจา� นวนมากทีส่ ดุ และไม่เหลือเศษ แต่ละกองจะต้อง เป็นส้มชนิดเดียวกัน จะแบ่งส้มได้ทั้งหมดกี่กอง กองละกี่ผล 5.5. สมชัยต้องการติดตั้งพัดลมเพดานในหอประชุม ซึ่งกว้าง 16 เมตร ยาว 24 เมตร โดยให้ พัดลมแต่ละตัวมีระยะห่างเท่ากัน และตัวที่อยู่ใกล้ฝาผนัง มีระยะห่างจากฝาผนั 1 งที่ใกล้นั้น เท่ากับระยะห่างจากพัดลมตัวอื่นๆ จงหาว่า ต้อ2งใช้พัดลมอย่างน้อยกี่ตัว 6.6. ถ้าลุงชายต้องการล้อมรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง 135 เมตร ยาว 216 เมตร โดย ปกเสาต้นที่อยู่ติดกันตามแนวรั้วให้มีระยะห่างเท่ากัน ต้องใช้เสาอย่างน้อยที่สุดกี่ต้น 7.7. แปลงปลูกผักรูปสามเหลี่ยมแปลงหนึ่ง มีความยาวด้านเท่ากับ 3.5, 4.9 และ 5.6 เมตร ต้องการปกเสาเพือ่ ท�ารัว้ โดยปกเสาต้นทีอ่ ยูต่ ดิ กันตามแนวรัว้ ให้มรี ะยะห่างเท่ากัน และห่าง มากที่สุด จงหาว่า 1) เสาแต่ละต้นห่างกันกี่เมตร 3) ด้านที่ยาว 3.5 เมตร ใช้เสากี่ต้น 2) จะต้องใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น 4) ด้านที่ยาว 5.6 เมตร ใช้เสากี่ต้น

5. ตัวคูณรวมนอย (ค.ร.น.) และการนําไปใช วิชัยมีแก้วอยู่จ�านวนหนึ่ง เขาต้องการน�าแก้วที่มีอยู่ทั้งหมดบรรจุลงในกล่อง ซึ่งมี สามขนาด โดยที่ขนาดเล็กจุ 4 ใบ ขนาดกลางจุ 6 ใบ ขนาดใหญ่จุ 8 ใบ ไม่ว่าจะเลือกใช้กล่อง ขนาดใดก็ตาม เพียงขนาดเดียวก็สามารถบรรจุแก้วที่มีอยู่ได้เต็มกล่อง จากข้อความข้างต้น นักเรียนทราบหรือไม่ว่าวิชัยมีแก้วอย่างน้อยที่สุดกี่ใบ 2 การใช้ความรู้เรื่อง ค.ร.น. จะช่วยให้นักเรียนหาจ�านวนแก้วนี้ได้ จากความรู้เรื่องตัวประกอบของจ�านวนนับ เราทราบว่า 3 เป็นตัวประกอบของ 9 และ 4 เป็นตัวประกอบของ 12 ในทางคณิตศาสตร์เรากล่าวว่า

9 เป็นพหุคูณของ 3 เพราะ 9 หารด้วย 3 ลงตัว

12 เป็นพหุคูณของ 4 เพราะ 12 หารด้วย 4 ลงตัว

นักเรียนควรรู 1 ใชพัดลมอยางนอยกี่ตัว ขอความนี้ใหสังเกตคําวา “อยางนอย” ไมไดแสดงวา ค.ร.น. ของจํานวนนับเหลานั้นเปนคําตอบ 2 รูปสี่เหลี่ยมผืนผา หรือเรียกวา รูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก (rectangle) เปนรูป เรขาคณิตสองมิติที่ดานตรงขามมีความยาวเทากันสองคู 3 ค.ร.น. หรือตัวคูณรวมนอย (least common multiple; lowest common multiple (L.C.M.) คือจํานวนนับที่นอยที่สุดซึ่งหารดวยจํานวนนับเหลานั้นลงตัว)

คูมือครู

Evaluate

Engage

ครูขออาสาสมัครนักเรียน 1 คน อานขอความ หนา 18 ที่วา “วิชัยมีแกวอยูจํานวนหนึ่ง...บรรจุแกว ที่มีอยูไดเต็มกลอง” ครูตั้งคําถามกระตุนใหนักเรียน แสดงความคิดเห็น • จํานวนแกวทีว่ ชิ ยั มีหารดวย 4, 6 และ 8 ลงตัว หรือไม (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น อยางเปนอิสระ และนักเรียนควรตอบวา หารลงตัว ถามีนักเรียนตอบไมลงตัว ครูชี้แนะเพิ่มเติม) • ขอความใดที่สามารถอางอิงและสนับสนุน คําตอบขางตนได (แนวตอบ ไมวาจะเลือกใชกลองขนาดใด ก็ตาม เพียงขนาดเดียวก็สามารถบรรจุแกว ที่มีอยูไดเต็มกลอง) • วิชัยมีแกวทั้งหมดกี่ใบ (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดหลากหลายตามพื้นฐานความรูและ ความเขาใจ) • คําตอบจากขอขางตนที่วา วิชัยมีแกวทั้งหมด กี่ใบนั้น มีคําตอบเพียงคําตอบเดียวหรือ มีหลายคําตอบ เพราะเหตุใด (แนวตอบ มีคําตอบไดหลายคําตอบ เพราะวา มีจํานวนที่หารดวย 4, 6 และ 8 ลงตัว มีได หลายจํานวน เชน 24, 48, 72 เปนตน) • การแกโจทยปญหานี้เกี่ยวของกับการหาร ลงตัว หรือการแยกตัวประกอบหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดได ตามพื้นฐานความรู แตนักเรียนตองตอบวา เกีย่ วของ เพราะวามีจาํ นวนนับตัง้ แต 2 จํานวน ขึ้นไปที่เปนตัวหาร)

18

Expand

ตรวจสอบผล

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

มีสมุด 21 โหล ดินสอ 14 โหล ไมบรรทัด 7 โหล ตองการนําไปแจกให นักเรียนระดับชั้นประถมศึกษาแหงหนึ่ง โดยนักเรียนแตละคนตองไดรับ สิ่งของทั้ง 3 อยางเทาๆ กัน จะแจกใหนักเรียนมากที่สุดกี่คน และไดรับแจก อยางละเทาไร แนวตอบ เนื่องจากจํานวนนักเรียนที่ไดรับแจกตองมากที่สุด แสดงวา จํานวนสิ่งของแตละอยางที่แจกตองนอยที่สุด จึงตองหา ห.ร.ม. ของ 21, 14, 7 แตตองเปลี่ยนหนวยโหลเปนหนวยยอย คือ เลม แทง และอัน ตามลักษณนาม เพื่อให ห.ร.ม. ที่ไดสอดคลองกับโจทย และเปนไปไดตาม สถานการณ สมุด 21 โหล (252 เลม) ดินสอ 14 โหล (168 แทง) และไมบรรทัด 7 โหล (84 อัน) นํา 252 (เลม) 168 (แทง) และ 84 (อัน) หา ห.ร.ม. ได 84 ดังนั้น นักเรียนมีมากที่สุด 84 คน แตละคนไดรับแจกสมุด 3 เลม ดินสอ 2 แทง และไมบรรทัด 1 อัน

กระตุ้นความสนใจ Engage

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explore

Explain

Expand

Evaluate

ส�ารวจค้ Exploreนหา

19

จ�านวนนับที่หารด้วยจ�านวนนับที่ก�าหนดให้ลงตัว เรียกว่า พหุคูณของจ�านวนนับที่ ก�าหนดให้นั้น เช่น 1 ก�าหนดจ�านวนนับ คือ 3 จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ ของ 3 ได้แก่ 3, 6, 9, 12, 15, 18, ... ก�าหนดจ�านวนนับ คือ 4 จ�านวนนับทีเ่ ป็นพหุคณ ู ของ 4 ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, ... ให้นักเรียนพิจารณาข้อความต่อไปนี้ จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 6 ได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ... จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 8 ได้แก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ... จากข้อความข้างต้นจะเห็นว่า มีจา� นวนนับทีเ่ ป็นพหุคณ ู ของ 6 และ 8 บางจ�านวนซ�า้ กัน ได้แก่ 24, 48, 72, ... เรียก 24, 48, 72, ... ว่าพหุคูณร่วมของ 6 และ 8 “...” เป็นสัญลักษณ์แสดงว่า เรียก 24 ว่าพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของ 6 และ 8 มีจ�านวนอื่นๆ อีก ตามความสัมพันธ์ ของล�าดับ หรือเรียก 24 ว่าตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) ของ 6 และ 8 ซึ่งกล่าวได้ว่า ค.ร.น. ของ 6 และ 8 คือ 24 ตัวอย่1า งที่ จงหาจ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของ 3 และ 5

วิธีท ำ�

จ�านวนนับทีเ่ ป็นพหุคณ ู ของ 3 ได้แก่ 3,3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ... จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ ของ 5 ได้ 5 ได้แก่ 5,5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... ดังนั้น จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของ มของ 3 และ 5 ได้ 15, 30, 45, ...

3 และ 5 ได้แก่ 15, 30, 45, ...

ตัวอย่2า งที่ จงหาตัวคูณร่วมน้อยของ 4 และ 6

วิธีท ำ�

จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 4 ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ...

12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 6 ได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของ มของ 4 และ 6 ได้ 12, 24, 36, ...

4 และ 6 ได้แก่ 12, 24, 36, ... ดังนั้น ตัวคูณร่วมน้อยของ 4 และ 6 เท่ากับ 12 ตอบ

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนนับที่นอยที่สุดที่หารดวย 99, 132 และ 165 ลงตัว 1. 980 2. 1080 3. 1155 4. 1980 วิเคราะหคําตอบ

ตอบ

หา ค.ร.น. ของ 99, 132 และ 165 11 99 132 165 3 9 12 15 3 4 5 ค.ร.น. = 11 × 3 × 3 × 4 × 5 = 1980 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

ส�ารวจค้นหา

Explore

ใหนักเรียนจับคูศึกษาตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยาง ที่ 3 หนา 19-23

อธิบายความรู้

Explain

1. ครูสุมนักเรียน 3 คู ใหแสดงความคิดเห็น เกี่ยวกับขั้นตอนการแกโจทยปญหาในตัวอยาง ที่ 1 ตัวอยางที่ 2 และตัวอยางที่ 3 และครูเปด โอกาสใหนักเรียนอื่นๆ รวมแสดงความคิดเห็น เพิ่มเติม 2. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • พหุคูณรวมกับพหุคูณรวมนอยของจํานวน นับสองจํานวนใดๆ เหมือนกันหรือแตกตาง กันอยางไร (แนวตอบ พหุคูณรวมเปนจํานวนนับตั้งแต สองจํานวนขึ้นไป แตพหุคูณรวมนอยมีเพียง 1 จํานวน) • ตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 2 มีลักษณะ เหมือนหรือแตกตางกันอยางไร (แนวตอบ มีลักษณะเหมือนกัน คือ ตัวอยาง ที่ 1 และตัวอยางที่ 2 โจทยกําหนดจํานวน 2 จํานวน และมีลักษณะแตกตางกัน คือ ตัวอยางที่ 1 ใหหาพหุคูณรวมของจํานวน ที่กําหนด แตตัวอยางที่ 2 ใหหาตัวคูณ รวมนอยของจํานวนที่กําหนด) • ตัวอยางที่ 3 มีลักษณะแตกตางจากตัวอยาง ที่ 1 และตัวอยางที่ 2 หรือไม อยางไร (แนวตอบ แตกตางกัน คือ ตัวอยางที่ 3 กําหนดใหหาจํานวน 3 จํานวน แตตัวอยาง ที่ 1 และตัวอยางที่ 2 กําหนดใหหาจํานวน 2 จํานวน และตัวอยางที่ 1 และตัวอยางที่ 3 ใหหาพหุคูณรวมของจํานวน แตตัวอยางที่ 2 ใหหาตัวคูณรวมนอย)

เกร็ดแนะครู ครูควรทบทวนความรูเรื่องพหุคูณ โดยใหนักเรียนรวมกันยกตัวอยางและ ฝกทําโจทยปญหาเพื่อใหเกิดความเขาใจ ซึ่งจะไดนําไปใชในการหา ค.ร.น.

นักเรียนควรรู 1 พหุคูณ (multiple) ของจํานวนนับใดๆ คือ จํานวนนับที่มีจํานวนนั้น เปนตัวคูณรวม เชน 7, 14, 21, 28,… เปนพหุคูณของ 7

คู่มือครู

19

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

อธิบายความรู้

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:02 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

Explain

1. ครูสุมนักเรียน 3 คู ใหแตละคูนําเสนอขั้นตอน การแกโจทยปญหาของตัวอยางที่ 4 ตัวอยาง ที่ 5 และตัวอยางที่ 6 2. ใหนักเรียนอื่นๆ รวมกันแสดงความคิดเห็นและ เสนอแนวทางการแกโจทยปญหาของแตละ ตัวอยาง 3. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • ตัวอยางที่ 4 และตัวอยางที่ 5 มีลักษณะ เหมือนกันหรือแตกตางกันอยางไร (แนวตอบ มีลักษณะเหมือนกัน คือทั้งสอง ตัวอยางกําหนดจํานวนใหหา ค.ร.น. แต แตกตางกัน คือวิธีการหา ค.ร.น. ตัวอยาง ที่ 4 ใชการพิจารณาพหุคูณ และตัวอยางที่ 5 ใชวิธีการแยกตัวประกอบในการหา ค.ร.น.)

• จํานวนในแตละตัวอยางมีความยุงยากในการ หาพหุคูณรวมหรือไม (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรูและประสบการณที่ได ศึกษามา มีทั้งความยุงยากและไมมีความ ยุงยาก)

20

ตัวอย่3า งที่ จงหาพหุคูณร่วมของ 3, 4 และ 6

วิธีทำ�

จ�านวนนับทีเ่ ป็นพหุคณ ู ของ 3 ได้แก่ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, ... จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 4 ได้แก่ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ 6 ได้แก่ 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... ดังนั้น จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของ 3, 4 และ 6 ได้แก่ 12, 24, 36, ... ตอบ มุมความคิด การหา ค.ร.น. ของจำานวนนับตั้งแต่สองจำานวนขึ้นไป เป็นการหาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจำานวนนับเหล่านั้น

เนื่องจากการหา ค.ร.น. ของจ�านวนนับตั้งแต่สองจ�านวนขึ้นไป เป็นการหาพหุคูณร่วม ที่น้อยที่สุดของจ�านวนนับเหล่านั้น เราจะใช้การหาพหุคูณร่วมในการหา ค.ร.น. ของจ�านวนนับ โดยวิธีการต่างๆ ดังนี้

5.1 การหา ค.ร.น. โดยการพิ 5.1 การหา ค.ร.น. โดยการพิจารณาพหุคูณ ตัวอย่4า งที่ จงหา จงหา ค.ร.น. ของ 6 และ 8 ค.ร.น. ของ 6 และ 8 วิธีทำ�

จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ ของ 6 ได้ 6 ได้แก่ 6,6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

12, 18, จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของ ของ 8 ได้ 8 ได้แก่ 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, ...

8, 16, 1 จ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของ มของ 6 และ 8 ได้แก่ 24, 48, 72, ... ตอบ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 6 และ 8 เท่ ค.ร.น. ของ 6 และ ากับ 24 การหา การหา ค.ร.น. โดยการพิ ค.ร.น. จารณาพหุคูณ มีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 11 หาจ�านวนนับที่เป็นพหุคูณของแต่ละจ�านวนที่โจทย์ก�าหนด ขั้นที่ 22 หาจ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมของจ�านวนนับที่โจทย์ก�าหนด ขั้นที่ 3 หาพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุดของจ�านวนนับที่เป็นพหุคูณร่วมที่ได้ในขั้นที่ 2

นักเรียนควรรู 1 พหุคูณรวม หรือตัวคูณรวม (common multiple) เปนพหุคูณของจํานวนนับ ตั้งแต 2 จํานวนขึ้นไปซึ่งตองหารจํานวนนับเหลานั้นไดลงตัว

20

คู่มือครู

ขอสอบ

O-NET

ขอสอบป ’ 52 ออกเกี่ยวกับความรูพหุคูณ ให a เปนจํานวนที่มากที่สุด ที่หาร 170 และ 94 แลวเหลือเศษ 5 และ 4 ตามลําดับ แลว a + 5 ไมเปนพหุคูณของจํานวนใดตอไปนี้ 1. 2 2. 3 3. 4 4. 5 วิเคราะหคําตอบ 170 - 5 = 165 94 - 4 = 90 นํา 165 และ 90 ไปหา ห.ร.ม.

3 90 165 5 30 55 6 11 ห.ร.ม. คือ 15 a = 15 a + 5 = 20 ไมเปนพหุคูณของ 3 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2.

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

อธิบายความรู้ 21

5.2 การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ

ตัวอย่5า งที่ จงหา ค.ร.น. ของ 12 และ 30

วิธีท ำ� แยกตัวประกอบของ 12 และ 30 ได้ดังนี้

12 = 2 × 2 × 3 12 = 2 × 2 × 3 30 = 2 × 3 × 5 30 = 2 × 3 × 5

2 × 3 × 5 × 2 จากการแยกตัวประกอบของ 12 และ 30 จะเห็นว่าพหุคูณร่วมที่น้อยที่สุด ของ 12 และ 30 คือ 2 × 3 × 5 × 2 = 60

ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 30 เท่1ากับ 60 ตอบ

การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบของ การหา ค.ร.น. โดยการแยกตั ประกอบของ 12 และ 30 มีขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1 แยกตัวประกอบของ 12 และ 30

ขั้นที่ 2 เลือกจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของทั้งสองจ�านวน

จะได้ 2 และ 3 และเลือกจ�านวนเฉพาะที่เหลือ โดยการหาผลคูณของจ�านวนเฉพาะที่เลือก

ขั้นที่ 3 หา ค.ร.น. ของ 12 และ 30 โดยการหาผลคู ได้ในขั้นที่ 2 2 × 3 จะได้ ค.ร.น. ของ 12 และ 30 คืคือ 2 3 × 2 2 × 5 = 60 5 = 60 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 12 และ 30 คื ของ 12 และ 30 คือ 60 60 เราสามารถน�าวิธีการหา ค.ร.น. ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวนไปใช้ ค.ร.น. ของ านวนไปใช้หาา ค.ร.น. จ�านวนนับที่มากกว่าสองจ�านวนได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

Explain

ใหนักเรียนรวมกันตอบคําถามตอไปนี้ • ตัวอยางที่ 5 และตัวอยางที่ 6 มีลักษณะ แตกตางกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ ทั้งสองตัวอยางมีลักษณะแตกตาง กัน คือ จํานวนนับที่ใหหา ค.ร.น. มีจํานวน ไมเทากัน ตัวอยางที่ 5 กําหนดใหหา 2 จํานวน และตัวอยางที่ 6 กําหนด 3 จํานวน) • การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ ควรระมัดระวังในเรื่องใด เพราะเหตุใด (แนวตอบ จํานวนที่เขียนในรูปการคูณ ตองเปนจํานวนเฉพาะเทานั้น)

ตัวอย่6า งที่ จงหา ค.ร.น. ของ 12, 60 และ 45 45 12 = 2 × 2 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 45 = 3 × 3 × 5 วิธีท ำ� 12 = 2 × 2 × 3

2 × 2 2 × 3 3 × 5 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 45 = 3 × 3 3 × 5 5 นั่นคือ ค.ร.น. ของ 12, 60 และ 45 เท่ 12, และ 45 เท่ากับ 2 2 × 2 2 × 3 3 × 5 × 3 3 ตอบ

= 180

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนนับที่นอยที่สุด ซึ่งเมื่อนํา 6, 9, 12 และ 15 ไปหารแลวเหลือเศษ 4 เทากัน คือจํานวนใด 1. 94 2. 184 3. 364 4. 544

นักเรียนควรรู 1 การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ เปนวิธีการหนึ่งที่นํามาใชในโจทย ปญหาที่กําหนดจํานวนไมเกิน 3 จํานวน เพื่อสะดวกในการหาคําตอบ

วิเคราะหคําตอบ

หา ค.ร.น. ของ 6, 9, 12 และ 15 3 6 9 12 15 2 2 3 4 5 1 3 2 5 ค.ร.น. = 3 × 2 × 3 × 2 × 5 = 180 จํานวนที่นอยที่สุดที่นํา 6, 9, 12 และ 15 ไปหารแลวเหลือเศษ 4 คือ 180 + 4 = 184 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 2. คู่มือครู

21

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้

✓ แบบวัดฯ ใบงาน แบบฝกฯ คณิตศาสตร ม.1 กิจกรรมที่ 1.3 หนวยที่ 1 สมบัติของจ�านวนนับ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได

ใหนักเรียนหา ค.ร.น ของจํานวนนับที่กําหนด (ค 1.4 ม.1/1)

20

1. 156 และ 195 156 = 2 × 2 × 3 × 13 ...................................................................................................................................................................................................................................................

195 = 3 × 5 × 13 ................................................................................................................................................................................................................................................... จะได ค.ร.น. เทากับ 3 × 13 × 2 × 2 × 5 = 780 ................................................................................................................................................................................................................................................... ดังนั้น ค.ร.น. ของ 156 กับ 195 เทากับ 780 ................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................

2. 312 กับ 702 312 = 2 × 2 × 2 × 3 × 13 ...................................................................................................................................................................................................................................................

702 = 2 × 3 × 3 × 3 × 13 ................................................................................................................................................................................................................................................... จะได ค.ร.น. เทากับ 2 × 3 × 13 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2,808 ................................................................................................................................................................................................................................................... ดังนั้น ค.ร.น. ของ 312 กับ 702 เทากับ 2,808 ................................................................................................................................................................................................................................................... ฉบับ

อธิ บExplain ายความรู ้ 11:03 AM ขยายความเข้าใจ February 1, 2010 Explain

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

Explain

ครูสุมนักเรียน 2-3 คู ใหอธิบายขั้นตอนการหา ค.ร.น. หนาชั้นเรียน และใหนักเรียนรวมกันแสดง ความคิดเห็นวา • การหา ค.ร.น. โดยการตั้งหารมีความสะดวก และรวดเร็วกวาทั้งวิธีการพิจารณาพหุคูณ และแยกตัวประกอบหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนตอบไดหลากหลาย เชน การ ตัง้ หาร สามารถหาไดรวดเร็วเมือ่ กําหนดจํานวน ทีม่ คี า มากและมีหลายจํานวนจะหา ค.ร.น. ได ถูกตองและรวดเร็วกวา แตถากําหนดจํานวน ที่มีคานอยการพิจารณาพหุคูณและแยก ตัวประกอบจะสะดวกและรวดเร็วกวา เปนตน) จากนั้นใหนักเรียนใชความรูการหา ค.ร.น. ในการทําแบบวัดฯ คณิตศาสตร ม.1 หนวยที่ 1 กิจกรรมที่ 1.3

กิจกรรมที่ 1.3

อธิบายความรู้

...................................................................................................................................................................................................................................................

เฉลย 3. 108,252 และ 360

108 = 2 2 3 3 3 252 = 2 2 3 3 7 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ................................................................................................................................................................................................................................................... จะได ค.ร.น. เทากับ 2 × 2 × 3 × 3 × 2 × 3 × 5 × 7 = 7,560 ................................................................................................................................................................................................................................................... ดังนั้น ค.ร.น. ของ 108, 252 และ 720 เทากับ 7,560 ................................................................................................................................................................................................................................................... × × × × ................................................................................................................................................................................................................................................... × × × × ...................................................................................................................................................................................................................................................

22

การหา ค.ร.น. โดยการแยกตัวประกอบ มีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 แยกตัวประกอบของจ�านวนนับทุกจ�านวนที่ต้องการหา ค.ร.น. ขั้นที่ 2 เลือกจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมจากขั้นที่ 1 ซึ่งเป็นตัวประกอบ ร่วมของทุกจ�านวน (ถ้ามี) หรืออาจเป็นตัวประกอบร่วมของจ�านวนอย่าง น้อยสองจ�านวนในแต่ละชุด และเลือกจ�านวนเฉพาะที่เหลือ ขั้นที่ 3 หา ค.ร.น. โดยการหาผลคูณของจ�านวนเฉพาะที่เลือกได้ในขั้นที่ 2

5.3 การหา ค.ร.น. โดยการตั้งหาร

ขั้นตอนการหา ค.ร.น. โดยการตั้งหาร มีวิธีการดังนี้

ถ้าต้องการหา ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36

ขั้นที่ 1 เขียน 12, 30 และ 36 เรียงในแถวที่หนึ่ง

ขั้นที่ 2 น�า 2 ซึ่งเป็นจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของ 12, 30 และ 36 ไปหาร 12, 30 และ 36 ได้ดังนี้

2 12 30 36

6 15 18

ขั้นที่ 3 น�า 3 ซึ่งเป็นจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของ 6, 15 และ 18 6, 15 และ 18 ได้ดังนี้ ไปหาร 6, 15 และ 18 ได้

2 12 30 36

3 6 15 18

2 5 6

2,2, 5, 6 5, 6

ขั้นที่ 44 น�า า 2 า 2 ซึซึ่งเป็นจ�านวนเฉพาะที่เป็นตัวประกอบร่วมของ มของ 2 และ 6 ไปหาร

2 3 2

12 30 36 6 15 18 2 5 6 1 5 3

5 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว จึงเขียน 5 ซ�้าอีกครั้ง

4. 18, 28, 105 และ 108 18 = 2 × 3 × 3 ...................................................................................................................................................................................................................................................

28 = 2 × 2 × 7 ...................................................................................................................................................................................................................................................

105 = 3 × 5 × 7 ...................................................................................................................................................................................................................................................

108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ................................................................................................................................................................................................................................................... จะได ค.ร.น. เทากับ 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 5 × 3 = 3,780 ................................................................................................................................................................................................................................................... ดังนั้น ค.ร.น. ของ 18, 28, 105 และ 108 เทากับ 3,780 ................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................

4

เกร็ดแนะครู การเรียนการสอนการหา ค.ร.น. ครูชี้แนะใหนักเรียนพิจารณาวาโจทย “กําหนด จํานวนกี่จํานวน แตละจํานวนมีคามากหรือนอย” เพื่อจะไดเลือกการวิธีหา ค.ร.น. ไดเหมาะสม เชน มีจํานวนไมเกิน 3 จํานวน ควรเลือกใชการแยกตัวประกอบ ถามีมากกวา 3 จํานวนควรเลือกใชการตั้งหาร เปนตน

22

คู่มือครู

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

จํานวนนับที่นอยที่สุดที่หารดวย 5 เหลือเศษ 4 หารดวย 6 เหลือเศษ 5 และหารดวย 8 เหลือเศษ 7 1. 240 2. 140 3. 120 4. 119 วิเคราะหคําตอบ เนื่องจากตัวหารและเศษในแตละชุดตางกันอยู 1 แสดงวา ถานํา 1 ไปบวกกับจํานวนนับ เมื่อหารดวย 5, 6 และ 8 จะหาร ลงตัว จึงตองหา ค.ร.น. ของ 5, 6 และ 8 แลวลบดวย 1 จะไดผลลบเปน จํานวนนับที่นอยที่สุด หา ค.ร.น. ของ 5, 6 และ 8 ได 2 5 6 8 5 3 4 ค.ร.น. คือ 2 × 5 × 3 × 4 = 120 จํานวนนั้นคือ 120 - 1 = 119 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Explain

Expand

Evaluate

อธิบายความรู้ 23

การหา ค.ร.น. โดยการตั้งหาร มีขั้นตอนดังนี้ ขั้นที่ 1 เขียนจ�านวนนับทุก1จ�านวนที่ก�าหนดให้ในบรรทัดที่หนึ่ง ขั้นที่ 2 หาตั หาตัวประกอบร่วมทีเ่ ป็นจ�านวนเฉพาะของจ�านวนนับ ดังนี้

1) ถ้าจ�านวนนับทุกจ�านวนมีตวั ประกอบร่วม ให้นา� ตัวประกอบร่วมนัน้ หารจ�านวนนับ เหล่านัน้ เขียนผลหารลงในบรรทัดต่อไป

2) ถ้ามีจา� นวนเฉพาะซึง่ เป็นตัวประกอบร่วมของจ�านวนบางจ�านวนให้นา� ตัวประกอบ ร่วมนัน้ หารและเขียนผลหารของจ�านวนนับทีห่ ารลงตัวในบรรทัดต่อไป ส�าหรับ จ�านวนนับทีห่ ารไม่ลงตัวให้เขียนจ�านวนนับนัน้ ในบรรทัดเดียวกัน ขั้นที่ 3 ด�าเนินการเช่นเดียวกับขัน้ ที ่ 2 ข้อ 2) ไปเรือ่ ยๆ จนกว่าจะไม่สามารถหาตัวประกอบ ร่วมทีเ่ ป็นจ�านวนเฉพาะใดๆ ได้อกี จึงยุตกิ ารหาร ขั้นที่ 4 หา ค.ร.น. ของจ�านวนนับทีก่ า� หนดให้ โดยหาผลคูณของตัวประกอบร่วมทีเ่ ป็น จ�านวนเฉพาะทุกจ�านวน และจ�านวนนับในบรรทัดสุดท้าย

เนื่องจาก 1, 5 และ 3 ไม่มีตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ จึงยุติการหาร นั่นคือ ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36 หาได้จาก 2 × 3 × 2 × 5 × 3 ซึ่งเท่ากับ 180

ตัวอย่7างที่ จงหา ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 45

3 เป็นตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ านวนเฉพาะ ของทุกจ�านวน

วิธีทำ�

2 เป็นตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ ของ 4 และ 10

และ 45 คือ 3 3 × 2 ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 45 คื 2 × 5 5 × 2 2 × 3 = 180 3 = 180

3 2 5

12 30 45 4 10 15 2 5 15 2 1 3

5 เป็นตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ ของ 5 และ 15

ตอบ

ตัวอย่8างที่ จงหา ค.ร.น. ของ 35, 245 และ 420

5 เป็นตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ านวนเฉพาะ ของทุกจ�านวน

วิธีทำ�

7 เป็นตัวประกอบร่วมที่เป็นจ�านวนเฉพาะ ของทุกจ�านวน

5 35 245 420 7 7 49 84 1 7 12

ค.ร.น. ของ 35, 245 และ 420 เท่ากับ 5 × 7 × 7 × 12 = 2,940 ตอบ

ขอสอบ

O-NET

ขอสอบป ’ 51 ออกเกี่ยวกับการหา ค.ร.น. จํานวนนับที่นอยที่สุดที่หารดวย 60, 54, 42 และ 30 แลวเหลือเศษ 9 ทุกจํานวน 1. 3771 2. 3780 3. 3789 4. 3798 วิเคราะหคําตอบ จํานวนนับทีน่ อ ยทีส่ ดุ ทีห่ ารแลวเหลือเศษเทากันแสดงวา จะตองใชความรูเกี่ยวกับ ค.ร.น. และตองนําเศษมาบวก ค.ร.น. ของตัวหาร หา ค.ร.น. โดยแยกตัวประกอบ 30 = 2 × 3 × 5 42 = 2 × 3 × 7 54 = 2 × 3 × 3 × 3 60 = 2 × 2 × 3 × 5 ค.ร.น. คือ 3780 ดังนั้น จํานวนนับที่นอยที่สุดที่หารดวย 60, 54, 42 และ 30 แลวเหลือ เศษ 9 ทุกจํานวน คือ 3780 + 9 = 3789 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 3.

Explain

1. ครูสุมนักเรียน 2 คู ใหอธิบายขั้นตอนการหา ค.ร.น. ของตัวอยางที่ 7 และตัวอยางที่ 8 2. ใหนักเรียนชวยกันตอบคําถามตอไปนี้ • นักเรียนบอกไดไหมวา การหา ค.ร.น. โดย วิธีการหารกับการหา ค.ร.น. โดยการตั้งหาร มีความเหมือนกันหรือแตกตางกันอยางไร (แนวตอบ เหมือนกัน คือเขียนจํานวนทั้งหมด เปนตัวตั้ง ใชการหารสั้น หาผลหารและใช จํานวนเฉพาะเปนตัวหาร แตกตางกัน คือจํานวนเฉพาะที่นํามาหาร เพื่อหา ค.ร.น. ไมจําเปนตองหารลงตัว ทุกจํานวน) • ตัวอยางที่ 7 และตัวอยางที่ 8 นักเรียนคิดวา มีลักษณะเหมือนกันหรือแตกตางกันอยางไร (แนวตอบ มีลักษณะเหมือนกัน คือ หา ค.ร.น. ของจํานวนที่กําหนดให 3 จํานวนและใช การตั้งหารหา ค.ร.น. มีลักษณะแตกตางกัน คือ ตัวอยางที่ 7 จํานวน 3 จํานวนที่กําหนด เปนจํานวนสองหลัก แตตัวอยางที่ 8 จํานวน ที่กําหนดมีทั้งจํานวนสองหลักและสามหลัก) • เพราะเหตุใดการหารแตละครั้งตองใช จํานวนเฉพาะที่เปนตัวประกอบรวม (แนวตอบ นักเรียนตอบไดหลากหลายตาม พื้นฐานความรู เชน เพื่อใหไดผลหาร ที่ทําใหไดจํานวนที่เปน ค.ร.น. ที่ถูกตอง) • ถาผลจากการตัง้ หารบางจํานวนมีตวั ประกอบ รวม แตไมทุกจํานวน ยังดําเนินการตั้งหาร ตอไปอีก ทั้งๆ ที่หารไมลงตัว นักเรียนบอก เหตุผลไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย แตครูควรอธิบายเพิ่มเติมวา เปนวิธีการซึ่ง ไมใชการหารแตนําการหารมาใชเพื่อหา ค.ร.น. จะไดจํานวนที่มีคานอยที่สุด ซึ่งตอง หารลงตัวดวยจํานวนนับเหลานั้น ดังนั้นผล หารในแตละครั้งจึงไมจําเปนตองหารลงตัว)

เกร็ดแนะครู ครูควรใหนกั เรียนไดทบทวนขัน้ ตอนการหารทัง้ หารสัน้ และหารยาว เพือ่ ตรวจสอบ ความเขาใจและทักษะของนักเรียน อาจจะจัดกิจกรรมยกตัวอยางโจทยและรวมกัน หาผลลัพธ ครูชวยชี้แนะตอบขอสงสัยระหวางการแกโจทยปญหา

นักเรียนควรรู 1 หาตัวประกอบรวม ถาจํานวนนับทุกจํานวนมี ห.ร.ม. ใหใช ห.ร.ม. นั้นเปน ตัวหารได เชน หา ค.ร.น. ของ 12, 30 และ 36 อาจเริ่มตนการหารได ดังนี้ 6 12 30 36 2 2 5 6 1 5 3 คู่มือครู

23

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

ขยายความเข้าใจ

ขยายความเข้าใจ

อธิ บายความรู ้ 11:03 AM ขยายความเข้ Expand าใจ February 1, 2010 Explain

Expand

24

การนำาความรูเกี่ยวกับ ค.ร.น. ไปใช

1 ความรู้เกี่ยวกับ ค.ร.น. สามารถน�าไปใช้แก้โจทยปญหาได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่

9

จงหาจ�านวนนับที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 36, 54 และ 63 แล้วเหลือเศษ 5 เท่ากัน

วิธีท ำ� จ�านวนนับที่น้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 36, 54 และ 63 แล้วลงตัว คือ ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63 แต่ตอ้ งการหาจ�านวนนับทีน่ อ้ ยทีส่ ดุ ซึง่ หารด้วย 36, 54 และ 63 แล้วเหลือ เศษ 5 เท่ากัน แสดงว่าจ�านวนนับที่ต้องการ ต้องมากกว่า ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสามจ�านวน อีก 5 จึงหาได้จากการน�า ค.ร.น. ของทั้งสามจ�านวนบวกด้วย 5

หา ค.ร.น. ของ 36, 54 และ 63 ได้ดังนี้

3 36 54 63

3 12 18 21

2 4 6 7

2 3 7

ค.ร.น.ของ 36, 54 และ 63 คือ 3 × 3 × 2 × 2 × 3 × 7 = 756

ดังนั้น จ�านวนนับที่น้อยที่สุดซึ่งหารด้วย 36, 54 และ 63

แล้วเหลือเศษ 5 เท่ากัน คือ 756 + 5 = 756 + 5 = 761 ตอบ ตัวอย่างที่ 10 ท่าเรือโดยสารแห่งหนึ่งก�าหนดเวลาปล่อยเรือออกจากท่าเรือ ดังนี้

เรือธรรมดาออกจากท่าเรือทุกๆ 15 นาที

เรือด่วนออกจากท่าเรือทุกๆ 10 นาที

ถ้านายท่าปล่อยเรือทั้งสองประเภทออกจากท่าเรือพร้อมกันครั้งแรกแล้ว เวลาผ่านไป อย่างน้อยที่สุด กี่นาที จึงจะปล่อยเรือทั้งสองประเภทออกจากท่าเรือพร้อมกันเป็นครั้ง ที่สอง

วิธีท ำ� หาเวลาที่น้อยที่สุด โดยการหา ค.ร.น. ของ 10 และ 15

หา ค.ร.น. ของ 10 และ 15 ได้ดังนี้

5 10 15

2 3

นักเรียนควรรู 1 ความรูเกี่ยวกับ ค.ร.น. มีขอสังเกตและพิจารณาสําหรับการหา ค.ร.น. ของ จํานวนนับใดๆ จะตองไมนอยกวาจํานวนนับที่มากที่สุดของจํานวนนับเหลานั้น เชน ค.ร.น. ของ 4, 8 และ12 คือ 24 เปนตน

คู่มือครู

Evaluate

Expand

1. ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 4 คน แตละกลุม รวมกันศึกษาและวิเคราะหตัวอยางที่ 9 และ ตัวอยางที่ 10 2. ใหนักเรียนแตละกลุมตอบคําถามตอไปนี้ • ความสัมพันธของการหารไมลงตัวสามารถ เปลี่ยนเปนการหารลงตัวไดหรือไม ถาเปลี่ยน ไดจะเปนอยางไร (แนวตอบ ได โดยใชความสัมพันธดังนี้ ตัวตั้ง = ผลหาร × ตัวหาร + เศษ หรือ ตัวตั้ง - ตั้วเศษ = ผลหาร × ตัวหาร) • ตัวอยางที่ 9 นักเรียนคิดวาการหารจํานวนนับ ดวยจํานวนนับและเหลือเศษจะหา ค.ร.น. ไดหรือไม เพราะเหตุใด (แนวตอบ ได เพราะวาตัวหาร 1 จํานวนและ เศษ 1 จํานวน จะมีตัวตั้งไดหลายจํานวน) • ตัวอยางที่ 10 มีขอความใดเกี่ยวของกับ ค.ร.น. บาง (แนวตอบ เวลาผานไปอยางนอยที่สุดกี่นาที และเรือทั้งสองออกจากทาเรือพรอมกัน) • การแกโจทยปญหาทั้งสองตัวอยางควรเลือก ใชวิธีใดจึงสะดวกที่สุด เพราะเหตุใด (แนวตอบ โดยการตั้งหาร และโดยการแยก ตัวประกอบ เพราะวามีจํานวน 2 จํานวน และคาไมมาก)

24

ตรวจสอบผล

ค.ร.น.ของ 10 และ 15 คือ 5 × 2 × 3 = 30 ดังนั้น นายท่าจะปล่อยเรือทั้งสองประเภทออกจากท่าเรือพร้อมกันเป็น ตอบ ครั้งที่สอง เมื่อเวลาผ่านไป 30 นาที

ขอสอบเนน การคิด แนว O-NET

ค.ร.น. ของ 220 และ 385 เปนกี่เทาของ ห.ร.ม. ของจํานวนทั้งสอง 1. 7 2. 11 3. 28 4. 55 วิเคราะหคําตอบ นํา 220 และ 385 หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

5 220 385 11 44 77 4 7 ห.ร.ม. คือ 5 × 11 = 55 ค.ร.น. คือ 5 × 11 × 4 × 7 = 1540 ดังนั้น ค.ร.น. ÷ ห.ร.ม. เทากับ 1540 55 = 28 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 3.

กระตุน้ ความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้ อธิบExplain ายความรู้

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Engage

Explore

Explain

Expand

Evaluate

กระตุEngage ้นความสนใจ

ส�ารวจค้ Exploreนหา

กระตุน้ ความสนใจ 25

ครูสนทนาซักถามนักเรียน ดังนี้ • จํานวนนับสองจํานวนที่มี ห.ร.ม. มากกวา 1 นักเรียนคิดวา ค.ร.น. ของจํานวนนับ เทากับ เทาไร (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย ตามพื้นฐานความรู) • นักเรียนคิดวา ค.ร.น. ของจํานวนนับ สองจํานวนมีความสัมพันธกับ ห.ร.ม. และ จํานวนนับทั้งสองหรือไม (แนวตอบ นักเรียนสามารถตอบไดหลากหลาย)

ความสัมพันธ์ระหว่าง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เมื่อก�าหนดจ�านวนนับสองจ�านวน เราหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสองได้ กำาหนดจำานวนนับสองจำานวน คือ 12 และ 15 หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 ได้ดังนี้ 12 = 2 × 2 × 3 15 = 3 × 5 ห.ร.ม. ของ 12 และ 15 คือ 3 ค.ร.น. ของ 12 และ 15 คือ 2 × 2 × 3 × 5 = 60 หาผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 ได้เท่ากับ 3 × 60 = 180 หาผลคูณของจ�านวนนับที่ก�าหนดให้ ได้เท่ากับ 12 × 15 = 180 จะได้ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 12 และ 15 เท่ากับผลคูณของ 12 และ 15 เพราะต่างเท่ากับ 180 กำาหนดจำานวนนับสองจำานวน คือ 18 และ 36 หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 ได้ดังนี้ 18 = 2 × 3 × 3 36 = 2 × 2 × 3 × 3 ห.ร.ม. ของ 18 และ 36 คือ 2 × 3 × 3 = 18 ค.ร.น. ของ 18 และ 36 คือ 2 × 3 × 3 × 2 = 36 หาผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 ได้เท่ากับ 18 × 36 = 648 หาผลคูณของจ�านวนนับที่ก�าหนดให้ ได้เท่ากับ 18 × 36 = 648 จะได้ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 18 และ 36 เท่ากับผลคูณของ 18 และ 36 เพราะต่างเท่ากับ 648 มุมความคิด ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับสองจํานวน เทากับผลคูณของจํานวนนับทั้งสอง

กิจกรรมทาทาย ใหนักเรียนใชความรูความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แกโจทยปญหาตอไปนี้ จํานวนนับสองจํานวนที่มีผลคูณเทากับ 535379 และ ค.ร.น. เทากับ 14467 ใหหา ห.ร.ม. และจํานวนนับทั้งสอง

Engage

ส�ารวจค้นหา

Explore

ใหนักเรียนจัดกลุม กลุมละ 5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร ศึกษาเนื้อหา ในหัวขอ “ความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.” หนา 25 และหนา 26

อธิบายความรู้

Explain

1. ครูสุมนักเรียน 2-3 กลุมใหแตละกลุมแสดง ขั้นตอนการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. พรอมยก ตัวอยางประกอบ และใหนักเรียนกลุมอื่นๆ รวมกันยกตัวอยางเพิ่มเติม จากนั้นรวมกัน ตรวจคําตอบ 2. ครูตั้งคําถามใหนักเรียนตอบ • ถานักเรียนทราบวา ห.ร.ม. ของจํานวน 2 จํานวน เปน 3 ค.ร.น. ของ 2 จํานวนนี้ เปน 60 และจํานวนหนึ่งในสองจํานวน คือ 12 นักเรียนหาอีกจํานวนหนึ่งไดหรือไม (แนวตอบ นักเรียนสามารถแสดงความคิดเห็น ไดอิสระ แตคําตอบควรตอบวาได) • ถานํา ค.ร.น. คูณดวย ห.ร.ม. จะไดคําตอบ เทากับผลคูณของจํานวนนับสองจํานวน หรือไม (แนวตอบ จะไดคําตอบเทากัน)

เกร็ดแนะครู ครูใหนักเรียนยกตัวอยางแสดง “ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจํานวนนับ สองจํานวนเทากับผลคูณของจํานวนนับทั้งสอง” โดยใหนักเรียนรวมกันกําหนดโจทย อาจจะใหนักเรียนรวมกันหาคําตอบ ทําซํ้าๆ จนนักเรียนเกิดทักษะและความเขาใจ

คู่มือครู

25

กระตุนความสนใจ

สํารวจคนหา

Engage

Explore

อธิบายความรู

อธิบายความรู

อธิ บExplain ายความรู  11:03 AM ขยายความเขาใจ February 1, 2010 Explain

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

Explain

1. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2-3 กลุม ใหแสดง ขั้นตอนการแกโจทยปญหาของตัวอยางที่ 11 และตัวอยางที่ 12 2. ใหนักเรียนตอบคําถามตอไปนี้ • ตัวอยางที่ 11 และตัวอยางที่ 12 มีลักษณะ เหมือนกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ มีลักษณะเหมือนกัน เปนโจทย ปญหาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น.)

• ตัวอยางที่ 11 และตัวอยางที่ 12 มีลักษณะ แตกตางกันหรือไม อยางไร (แนวตอบ แตกตางกันตามขอกําหนดและ คําถาม คือ ตัวอยางที่ 11 โจทยกําหนด ผลคูณของจํานวนนับสองจํานวนและ ห.ร.ม. และใหหา ค.ร.น. สวนตัวอยางที่ 12 กําหนด ค.ร.น. และ ห.ร.ม. และจํานวนนับหนึง่ จํานวน ใหหาจํานวนนับอีกหนึ่งจํานวน)

26 อย่างที่ ตัว11 ถ้าผลคูณของจ�านวนนับสองจ�านวนเท่ากับ 1,350 และ ห.ร.ม. ของจ�านวนนับทั้งสอง เป็น 15 แล้ว จงหา ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสองจ�านวน

วิธีท ำ� ให้ ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสองเป็น a เนื่องจาก ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวนเท่ากับ ผลคูณของจ�านวนนับทั้งสอง จะได้ 15 × a = 1,350 15 15× a = 1,350 15

a = 90 ดังนั้น ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสองเป็น 90 ตอบ

อย่างที่ ตัว12 ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวนเท่ากับ 11 และ 616 ตามล�าดับ ถ้าจ�านวนหนึ่งเป็น 77 แล้วอีกจ�านวนหนึ่งมีค่าเท่าไร

วิธีท ำ� ห.ร.ม. ของจ�านวนนับทั้งสอง คือ 11 ค.ร.น. ของจ�านวนนับทั้งสอง คือ 616 จ�านวนหนึ่ง คือ 77 ให้อีกจ�านวนหนึ่ง คือ a เนื่องจากผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวนเท่ากับ ผลคูณของจ�านวนนับทั้งสอง จะได้ 11 × 616 = 6,776

ดังนั้น จ�านวนนับอีกจ�านวนหนึ่งคือ 88

77 77 × a = 6,776 77 × a = 6,776 77 77 a = 88

เปิดโลกคณิตศาสตร์ พิจารณาผลคูณจากการคูณกันของจ�านวนทางด้านขวามือ นักเรียนสามารถบอกผลคูณของจ�านวนที่เหลือได้หรือไม่ ทีม่ า : Hougton Miffin. The Mathematics Experience.

เกร็ดแนะครู ครูควรใหนักเรียนไดฝกทักษะเพิ่มเติมจากการทําโจทยปญหาที่กําหนด ในเปดโลกคณิตศาสตร และมีแนวคําตอบดังนี้ 11 × 11 = 121 111 × 111 = 12,321 1,111 × 1,111 = 1,234,321 11,111 × 11,111 = 123,454,321 111,111 × 111,111 = 12,345,654,321 จากนั้นครูใหนักเรียนเสริมทักษะโดยเพิ่มตัวเลขมากขึ้น สังเกตผลลัพธที่ได ครูชี้แนะเพิ่มเติม

ขอสอบ

O-NET

คูมือครู

= = = = =

121 12,321 1,234,321 ? ?

ขอสอบป ’ 53 ออกเกี่ยวกับความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ถาให A เปนตัวหารรวมมากของ 36 และ 54 และ B เปนตัวคูณรวมนอยของ 36 และ 54 แลว B ÷ A จะมีคาเปนเทาไร 1. 1 2. 3 3. 4 4. 6 วิเคราะหคําตอบ หา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ 36 และ 54 ไดดังนี้ แบบที่ 1 36 = 2 × 2 × 3 × 3 54 = 2 × 3 × 3 × 3 ห.ร.ม. ของ 36 และ 54 คือ 2 × 3 × 3 = 18 = A ค.ร.น. ของ 36 และ 53 คือ 2 × 3 × 3 × 3 × 2 = 108 = B B ÷ A = 108 ÷ 18 = 6 แบบที่ 2 จาก ห.ร.ม. × ค.ร.น. = ผลคูณของจํานวนนับทั้งสอง A x B = 36 x 54 A × B = 36 × 54 จะได B ÷ A = 6 A × A 18 × 18 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

26

11 × 11 111 × 111 1,111 × 1,111 11,111 × 11,111 111,111 × 111,111

ตอบ

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

Engage

Explore

Explain

1. จงหา ค.ร.น. ของจํานวนนับตอไปนี้ คณิตคิดสนุก 1) 12 และ 18 2) 5, 12, 18 และ 20 ใหเติมจํานวนนับตัง้ แต 1 ถึง 7 3) 75, 135 และ 225 4) 140, 220 และ 385 ลงในวงกลมโดยใหจํานวนในวงกลม 5) 78, 302 และ 522 6) 81, 135 และ 243 แตละวงรวมกันไดผลลัพธเทากัน ทุกวงจะทําไดกี่แบบ 2. กําหนดจํานวนนับตอไปนี้ 1) 7, 28 2) 12, 18 3) 12, 35 4) 96, 120 5) 136, 510 6) 128, 160 จงหา ก. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ข. ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของแตละขอ ค. ผลคูณของจํานวนนับทีก่ าํ หนดใหในแตละขอ เปรียบเทียบผลคูณที่ไดนนั้ กับผลลัพธ ที่ไดจากขอ ข. และเขียนผลสรุปที่ได 3. จํานวนนับสองจํานวนมี ค.ร.น. เปน 425 และ ห.ร.ม. เปน 5 ถาจํานวนหนึ่งเปน 25 แลว จงหาอีกจํานวนหนึ่ง 4. จํานวนนับสองจํานวนมี ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เทากับ 6 และ 540 ตามลําดับ ถาจํานวนแรก มีคาเทากับ 54 จงหาอีกจํานวนหนึ่ง 5. จงหาจํานวนนับที่นอยที่สุด ซึ่งหารดวย 12, 30 และ 36 แลวเหลือเศษ 3 เทากัน 6. รานขายขนมไทยแหงหนึง่ รับขนมจากผูผลิตเปนงวดๆ ดังนี้ รับขนมกลวยทุก 2 วัน รับขนม ฟกทองทุก 3 วัน และรับขนมสอดไสทุก 4 วัน ขนมที่เหลือของแตละวันจะไมนํามาขายใหม ถารานนี้รับขนมทั้งสามอยางนี้พรอมกัน เมื่อวันที่ 22 ตุลาคม 2552 จงหาวาครั้งตอไป 1) รานนี้จะรับขนมฟกทองและขนมสอดไสมาขายพรอมกันเมื่อใด 2) รานนี้จะรับขนมทั้งสามอยางมาขายพรอมกันเมื่อใด 7. นาฬกาปลุกสามเรือน เรือนแรกปลุกทุก 30 นาที เรือนที่สองปลุกทุก 50 นาที เรือนที่สาม ปลุกทุก 1 ชัว่ โมง ถานาฬกาปลุกทัง้ สามเรือนปลุกพรอมกันครัง้ แรกเวลา 15.00 น. จงหาวา นาฬกาจะปลุกพรอมกันครั้งตอไปเวลาใด

ขอสอบ

Expand

Evaluate

ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

1. ใหนักเรียนกลุมเดิมรวมกันแลกเปลี่ยนความ คิดเห็นวา โจทยขอใดในแบบตรวจสอบความ เขาใจที่ 1.5 เหมือนกับตัวอยางใดที่เรียนมา 2. ใหแตละกลุมนําแนวคิดและวิธีการที่ไดจาก การรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นไปใช ในการแกโจทยปญหาในการทําแบบตรวจสอบ ความเขาใจที่ 1.5 3. ครูขออาสาสมัครนักเรียน 2-3 กลุมใหออกมา นําเสนอแนวคิดและวิธีการแกโจทยปญหา แบบตรวจสอบเขาใจที่ 1.5 หนาชั้นเรียน และใหกลุมที่มีแนวคิดแตกตางนําเสนอดวย 4. นักเรียนในแตละกลุมรวมกันตรวจสอบ ความถูกตอง

1.5

http://www.aksorn.com/LC/Math B1/M1/02

ตรวจสอบผล

ขยายความเข้ Expand าใจ

ขยายความเข้าใจ

27

แบบตรวจสอบความเขาใจที่

ขยายความเข้าใจ

ตรวจสอบผล

Evaluate

1. ใหนักเรียนประเมินผลระดับความเขาใจ ในเนื้อหานี้ดวยการเขียนบอกระดับเปนดีมาก ดี ปานกลางหรือตองเพิ่มความเขาใจอีก 2. ครูประเมินผลการเรียนรูจากการตรวจสอบ ความถูกตองการทําแบบตรวจสอบความเขาใจ ที่ 1.5 (ดูเฉลยแบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.5 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

EB GUIDE

O-NET

ขอสอบป ’ 51 ออกเกี่ยวกับความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. กับ ค.ร.น. ขอใดตอไปนี้ผิด 1. ห.ร.ม. ของ 8 และ 12 คือ 4 2. ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24 3. ตัวประกอบรวมของ 8 และ 12 คือ 1, 2 และ 4 4. ตัวหารรวมของ 8 และ 12 คือ 2 และ 4 วิเคราะหคําตอบ จํานวนนับที่หาร 8 ลงตัว คือ 1, 2, 4 และ 8 จํานวนนับที่หาร 12 ลงตัว คือ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 ดังนั้น 1, 2, 4 เปนตัวประกอบรวมหรือตัวหารรวมของ 8 และ 12 ตัวหารรวมมากหรือ ห.ร.ม. คือ 4 จํานวนนับที่เปนพหุคูณของ 8 คือ 8, 16, 24, 32, 40, 48 จํานวนนับที่เปนพหุคูณของ 12 คือ 12, 24, 36, 48 จํานวนนับที่เปนพหุคูณรวมของ 8 และ 12 คือ 24, 48 ดังนั้น ค.ร.น. ของ 8 และ 12 คือ 24 ดังนั้น คําตอบคือ ขอ 4.

เฉลย คณิตคิดสนุก แนวตอบ คณิตคิดสนุกที่ใหเติมจํานวนนับตั้งแต 1 ถึง 7 ลงในวงกลมโดยให จํานวนในวงกลมแตละวงรวมกันไดผลลัพธเทากันทุกวง มี 2 แบบ คือ แบบที่ 1 ผลรวมของแตละวงเทากับ 16 5

3 4 7 1 2 6

แบบที่ 2 ผลรวมของแตละวงเทากับ 19 1 6 7 5 2 4 3

คู่มือครู

27

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

ขยายความเข้าใจ

ขยายความเข้าใจ

อธิ บายความรู ้ 11:03 AM ขยายความเข้ Expand าใจ February 1, 2010 Explain

Expand

ตรวจสอบผล Evaluate

Expand

1. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันทํากิจกรรม ในหนา 28 และนักเรียนภายในกลุมรวมกัน ตรวจสอบคําตอบดวยเครื่องคํานวณ 2. แตละกลุมรวมกันสรางโจทยปญหานําความรู ห.ร.ม. ค.ร.น. และความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ทีม่ ลี กั ษณะคลายกับหนา 28 จํานวน 10 ขอ พรอมหาคําตอบและรวมกันตรวจสอบ คําตอบ 3. จากนั้นใหรวมกันจัดเรียงพิมพเปนตารางดวย โปรแกรมสําเร็จรูป เชน Microsoft Word, Microsoft Excel เปนตน และจัดทําเปนแฟม ขอมูลสงชิ้นงานทางไปรษณียอิเล็กทรอนิกส 4. ครูสุมเลือกชิ้นงาน 3-5 ชิ้น ใหนักเรียนในหอง ไดรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดและวิเคราะห ลักษณะการนําเสนอ และนักเรียนรวมกัน แลกเปลี่ยนความคิดเห็นและตรวจสอบคําตอบ ครูชี้แนะเพิ่มเติมและตอบขอสงสัยของนักเรียน

28

เสริมทักษะเชิงเทคโนโลยี

นักเรียนทราบมาแล้วว่า ผลคูณของ ห.ร.ม และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวน เท่ากับผลคูณของจ�านวนนับทั้งสอง

ให้นักเรียนหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับในแต่ละข้อต่อไปนี้ แล้วใช้ เครื่องค�านวณตรวจสอบว่า ผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เท่ากับผลคูณของจ�านวน สองจ�านวนนั้นหรือไม่ จำานวนนับ

ห.ร.ม.

ค.ร.น.

ห.ร.ม. × ค.ร.น.

42, 75 56, 84 54, 63 54, 63 112, 208 112, 208 517, 611 517, 611

เฉลย เสริมทักษะเชิงเทคโนโลยี แนวตอบ กิจกรรมเสริมทักษะเชิงเทคโนโลยี สามารถหาผลคูณของ ห.ร.ม. และ ค.ร.น. เทากับผลคูณของจํานวนสองจํานวน ดังนี้

28

จํานวนนับ

ห.ร.ม.

ค.ร.น.

ห.ร.ม. × ค.ร.น.

ผลคูณของ จํานวนสองจํานวน

42, 75 56, 84 54, 63 112, 208 517, 611

3 28 9 16 47

1,050 168 378 1,456 6,721

3 × 1,050 28 × 168 9 × 378 16 × 1,456 4 × 6,721

3,150 4,704 3,402 23,296 315,887

คู่มือครู

ผลคูณของ จำานวนสองจำานวน

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

อธิบายความรู้

Engage

Explore

Explain 29

กิจกรรมเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร

(มีความสามารถในการแกปญหา การนําเสนอ การเชื่อมโยงความรูตางๆ ทางคณิตศาสตร) กิจกรรมที่ 1

คุณครูทวีทปี่ รึกษาชมรมโลกคณิตศาสตร ตองการตัดกระดาษรูปสีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั เพือ่ ทําบัตรเลขโดด 0 ถึง 9 ไวใชในกิจกรรมตางๆ คุณครูจงึ ใหนกั เรียนในชมรมชวยกันทํา คุณครู ไดนํากระดาษขนาดกวาง 21 เซนติเมตร ยาว 28 เซนติเมตร จํานวน 5 แผน มาใหนักเรียน ในชมรมชวยกันตัด และบอกนักเรียนวาใหตดั กระดาษแตละแผนใหไดรปู สีเ่ หลีย่ มจัตรุ สั ขนาด เทาๆ กัน ที่มีขนาดใหญที่สุด และตัดแบงไดพอดีโดยไมเหลือเศษ ถานักเรียนเปนสมาชิกของชมรมโลกคณิตศาสตรที่ตองชวยคุณครูทวี รูปสี่เหลี่ยม จัตุรัสที่นักเรียนตัดได จะมีขนาดกี่เซนติเมตร และจะทําบัตรเลขโดด 0 ถึง 9 ไดทั้งหมดกี่ชุด กิจกรรมที่ 2

หมูบานกุลเจริญจะจัดงานปใหม มีการประดับไฟกะพริบตามตนไมตนละสีรอบ หมูบาน ไฟกะพริบมีสีแดง สีนํ้าเงิน สีชมพู และสีเหลือง ไฟแตละสีกะพริบทุก 2, 4, 6 และ 8 วินาที ตามลําดับ ถาเริ่มเปดไฟเวลา 18.30 น. ไฟทั้งสี่สีจะกะพริบพรอมกันครั้งแรก เวลาใด

ขยายความเข้าใจ ขยายความเข้ Expand าใจ

ตรวจสอบผล

Expand

Evaluate

ขยายความเข้าใจ

Expand

1. ใหนักเรียนกลุมเดิมรวมกันแกโจทยปญหา ในกิจกรรมที่ 1 และกิจกรรมที่ 2 2. ใหนักเรียนรวมกันหาแนวคําตอบและเฉลย รวมกัน 3. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันสรางโจทยกลุมละ 1 ขอ พรอมแสดงขั้นตอนการแกโจทยปญหา และหาคําตอบ โดยเลือกหัวขอตอไปนี้ • โจทยปญหาเกี่ยวกับการนําความรู ห.ร.ม. ไปใช • โจทยปญหาเกี่ยวกับการนําความรู ค.ร.น. ไปใช • โจทยปญหาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น.

4. ครูสุมเลือกนักเรียน 2-3 กลุมใหนําเสนอ หนาชั้น ครูและนักเรียนคนอื่นๆ รวมกัน แลกเปลี่ยนความคิดเห็น จากนั้นครูชี้แนะ เพิ่มเติม

เฉลย กิจกรรมเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร แนวตอบ กิจกรรมที่ 1 โจทยตองการทราบวา ตองตัดแบงกระดาษใหมีขนาดเทาๆ กัน และใหญที่สุด ตองนําความรูการหา ห.ร.ม. มาใช โดยหา ห.ร.ม. ของ 21 และ 28 ได 7 ใหตัดกระดาษเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ดานยาวได 4 สวน ดานกวาง ได 3 สวน กระดาษ 1 แผน จะไดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 12 ชิ้น ดังนั้น กระดาษ 5 แผน จะไดกระดาษ 60 ชิ้น รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ไดจะมีขนาด 7 × 7 เซนติเมตร ทําบัตรเลขโดด 0, 1, 2,…9 ไดทั้งหมด 6 ชุด เนื่องจาก ความยาวของรูปสี่เหลี่ยมหารไดลงตัว หรือสามารถคํานวณไดอีกแบบ โดยนําพื้นที่กระดาษแผนใหญหารดวยกระดาษแผนเล็ก ตัดเปนรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เทากับ 217 ×× 28 7 = 12 แผน ดังนั้นจะทําบัตรเลขโดด 0, 1, 2,…9 ไดเทากับ 1210× 5 = 6 ชุด กิจกรรมที่ 2 หมูบานกุลเจริญติดไฟกะพริบสีแดง สีนํ้าเงิน สีชมพู สีเหลือง แตละสีกะพริบทุก 2, 4, 6 และ 8 วินาที กิจกรรมนี้ตองใชความรูเรื่องการหา ค.ร.น. มาใช จะได ค.ร.น. เทากับ 24 ถาเริ่มเปดไปเวลา 18.30 นาที ไฟจะกะพริบพรอมกัน ครั้งแรกเวลา 18.54 น.

คู่มือครู

29

กระตุ้นความสนใจ

ส�ารวจค้นหา

Engage

Explore

ขยายความเข้าใจ

Evaluate

1. ใหนักเรียนประเมินผลระดับความเขาใจ ในเนื้อหานี้ดวยการเขียนบอกระดับเปนดีมาก ดี ปานกลางหรือตองเพิ่มความเขาใจอีก 2. ครูประเมินผลการเรียนรูจากการตรวจสอบ ความถูกตองการทําแบบฝกหัดประจําหนวย การเรียนรูที่ 1 (ดูเฉลยแบบฝกหัดประจําหนวยการเรียนรูที่ 1 ที่สวนเสริมดานหนาของหนังสือเลมนี้)

หลักฐานแสดงผลการเรียนรู 1. การสรางโจทยปญหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. หรือความสัมพันธระหวาง ห.ร.ม. และ ค.ร.น. แบบตรวจสอบความเขาใจที่ 1.1-1.5 2. แบบฝกหัดประจําหนวยการเรียนรูที่ 1

Evaluate

ตรวจสอบผล Evaluate

30

แบบฝกหัด

ประจำาหน่วยการเรียนรูที่ 1.1.

2.2.

3.3.

4.4.

5.5.

6.6.

1

จงหาตัวประกอบของจ�านวนนับต่อไปนี้ 1) 24 2) 60 3) 125 4) 185 จงแยกตัวประกอบของจ�านวนนับต่อไปนี้ 1) 1,573 2) 1,859 3) 1,960 4) 2,057 จงหา ตัวประกอบเฉพาะของ 72 จงหา ห.ร.ม. ของ 234, 312 และ 429 จงหา ค.ร.น. ของ 72, 96 และ 124 113 จงหาจ�านวนนับทีม่ ากทีส่ ดุ เมือ่ น�าไปหารตัวเศษและตัวส่วนของ 113 791 แล้วท�าให้ 791 เป็น เศษส่วนอย่างต�่า 7.7. ค.ร.น. และ ห.ร.ม. ของ 108, 720 และ 864 ต่างกันเท่าไร 8.8. ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของจ�านวนนับสองจ�านวนเท่ากับ 4 และ 252 ตามล�าดับ ถ้าจ�านวนหนึ่ง เป็น 36 แล้วอีกจ�านวนหนึ่งมีค่าเท่าไร 9.9. จงหาจ�านวนนับที่มากที่สุดที่หาร 88, 139 และ 190 แล้วเหลือเศษ 3 เท่ากัน 10. จงหาจ�านวนนับที่น้อยที่สุด ซึ่งหารด้วย 24, 60 และ 120 แล้วเหลือเศษ 13 เท่ากัน 10.

11. โอคมีแก้วขนาดเล็ก 168 ใบ ขนาดกลาง 264 ใบ และขนาดใหญ่ 312 ใบ ต้องการบรรจุลง 11. กล่อง กล่องละเท่าๆ กัน แต่ละกล่องเป็นแก้วขนาดเดียวกัน โดยจัดแบ่งได้พอดี จะแบ่งได้ มากที่สุดกล่องละกี่ใบ และแบ่งได้ทั้งหมดกี่กล่อง 12. ทีด่ นิ รูปสีเ่ หลีย่ มผืนผ้าแปลงหนึง่ กว้าง 18 เมตร ยาว 30 เมตร ต้องการปกเสาเพือ่ ท�ารัว้ 12. โดยให้ระยะห่างระหว่างเสาแต่ละต้นเท่าๆ กัน และมีระยะห่างมากที่สุดเท่าที่จะแบ่ง ให้พอดีได้ จงหาว่า เสาแต่ละต้นห่างกันกี่เมตร และใช้เสาทั้งหมด หมดกี่ต้น 13. กระดาษรูปสีเ่ หลีย่ มผืนผ้าแผ่นหนึง่ กว้าง 18 เซนติเมตร ยาว 60 เซนติเมตร ต้องการตัดออก 13. เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีขนาดใหญ่ที่สุด โดยตัดแบ่งได้พอดี จะตัดได้กี่แผ่น และแต่ละแผ่น ยาวกี่เซนติเมตร

การหาตัวประกอบที่เปนจํานวนเฉพาะที่เปนจํานวนสองหลักอาจจะมีเทคนิค ดังนี้ เทคนิคการหาผลหารของ 11 1,573 มี 1 + 7 = 5 + 3 ซึ่งเปนเลขโดดในหลักที่สลับกัน แสดงวา 11 เปนตัวประกอบของ 1,573 จะได 1,573 = 11 × 143 = 11 × 11 × 13 2,057 มี 2 + 5 = 0 + 7 ซึ่งเปนเลขโดดในหลักที​ี่สลับกัน แสดงวา 11 เปนตัวประกอบของ 2,057 จะได 2,057 = 11 × 127 = 11 × 11 × 7 143 มี 1 + 3 = 4 จึงมี 11 เปนตัวประกอบ 187 มี 1 + 7 = 8 จึงมี 11 เปนตัวประกอบ คู่มือครู

Expand

Explain

เกร็ดแนะครู

30

ตรวจสอบผล

Expand

1. ใหนักเรียนแตละกลุมรวมกันแลกเปลี่ยน ความคิดเห็นวาโจทยขอใดในแบบฝกหัดประจํา หนวยการเรียนที่ 1 หนา 30 เหมือนและ สอดคลองกับตัวอยางใดที่เรียนมา 2. ใหนักเรียนแตละกลุมนําแนวคิดและวิธีการที่ได จากการรวมกันแลกเปลี่ยนความคิดเห็นไปใช ในการแกโจทยปญหาการทําในแบบฝกหัดฯ 3. ใหนกั เรียนในกลุม รวมกันตรวจสอบความถูกตอง แบบฝกหัดฯ หนา 30

ตรวจสอบผล

ขยายความเข้าใจ

อธิ บายความรู ้ 11:03 AM ขยายความเข้ Expand าใจ February 1, 2010