raiz cuadrada

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LA RAÍZ CUADRADA

En este taller desarrollaremos varias actividades que nos permitirán recordar algunas de las propiedades básicas de los sistemas de numeración posicionales y mostraremos un algoritmo diferente para la extracción de la raíz cuadrada de un número.

Usaremos una colección de fichas cuadradas de foamy, cartulina, madera o algún material equivalente. A cada equipo le entregaremos un juego de fichas de distintos colores. Las fichas verde claro representan a las unidades, las azul claro a las decenas, las rojo claro a las centenas, las verde oscuro a las unidades de millar, las azul oscuro a las decenas de millar y las rojo oscuro a las centenas de millar.

Actividad 0. Representa las siguientes cantidades usando las fichas de colores: 124, 321, 2032: 124: 321: 2032: Actividad 1a1: Multiplica por 10 las siguientes cantidades: 124, 321, 2032: 124 × 10

321 × 10

2032 × 10

¿Qué observas?

1

Antes de iniciar con la multiplicación se pueden realizar algunas actividades de suma y resta.

1

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Actividad 1b: Multiplica por 100 las siguientes cantidades: 124, 321: 124 × 100

321 × 100

¿Qué observas?

Actividad 1c. Multiplica 124 por 110: 124 × 110

124 × 110 = 124 × (100 + 10) 124 × 100 + 124 × 10 12400 + 1240 13640 o bien:

124 × 110 = 1 (10000) + 3(1000) + 6(100) + 4(10) = 10000 + 3000 + 600 + 40 13640

Actividad 1d. Eleva al cuadrado 24:

2

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242 = 24 × 24 = (20 + 4)(20 + 4) = (20 + 4)2 202 + 2 (20 × 4) + 42 = 400 + 2 (80) + 16 = 400 + 160 + 16 = 576 o bien: 242 = 4 (100) + 16 (10) + 4 (1) = 576 Lo que se observa en esta gráfica es que el cuadrado de área 576 está dividido en dos cuadrados (el verde y el rojo), que corresponden a las unidades y a las centenas, y dos rectángulos congruentes (los azules) que corresponden a las decenas.

La justificación de este hecho se basa en lo siguiente: el área de un cuadrado de lado a + b es igual a la suma de las áreas de dos cuadrados de áreas a 2 y b2 y dos rectángulos de áreas ab. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Además los cuadrados están sobre una de las diagonales.

Actividad 1e. Calcular el cuadrado de 321:

3

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3212 = 9 (10000) + 12 (1000) + 10 (100) + 4 (10) + 1 = 90000 + 12000 + 1000 + 40 + 1 =103041 En este caso el cuadrado de área 103041 está dividido en tres cuadrados (el verde claro, el rojo y el azul oscuro) y seis rectángulos congruentes dos a dos. Los cuadrados están sobre una diagonal y corresponden a las unidades, las centenas y las decenas de millar.

Nuevamente la justificación de esta “división” se basa en el hecho de que el área de un cuadrado de lado a + b + c es igual a la suma de los cuadrados de a, b y c más los dobles productos de ab, ac, bc. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab +2ac + 2bc

Fíjate que cuando multiplicamos dos cantidades diferentes este esquema no se preserva, por ejemplo, si multiplicamos 315 × 122 lo que obtenemos es un rectángulo formado por rectángulos diferentes:

315 × 122 = 3 (10000) + 7 (1000) + 13 (100) + 12 (10) + 10 = 30000 + 7000 + 1300 + 120 + 10 = 38430

4

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Sin embargo este método sirve para realizar cualquier multiplicación, y si tomamos en cuenta los elementos de la siguiente tabla, no requerimos los colores: × u d c um

u u d c um

d d c um dm

c c um dm cm

um um dm cm uM

dm dm cm uM dM

cm cm uM dM cM

Así por ejemplo, para encontrar el producto de 547 × 264 sólo hacemos una cuadrícula de 3 por 3: 5c 4d 7u 2c 10 dm 8 um 14 c 4d 20 um 16 c 28 d 6u 30 c 24 d 42 u Al sumar en diagonal obtenemos el resultado: 42 + (28 + 24) (10) + (14 + 16 + 30) (100) + (8 + 20) (1000) + 10 (10000) = 100000 + 28000 + 6000 + 520 + 42 = 134562 Calculemos el cuadrado de 324: 3c 2d 4u

3c 9 dm 6 um 12 c

2d 6 um 4c 8d

4u 12 c 8d 16 u

3242 = 16 + (8 + 8) (10) + (12 + 4 + 12) (100) + (6 +6) (1000) + 9 (10000) = 16 + 160 + 2800 + 12000 + 90000 = 104976

Actividad 2a. Calcular la raíz cuadrada de 784.

En la escuela secundaria se aprenden dos formas de calcular la raíz cuadrada de un número: con el método babilónico2 o con el método tradicional de la “casita” 3. Nosotros lo haremos utilizando los resultados discutidos en la Actividad 1.

Sabemos que la raíz de 784 es un número de dos cifras 4, por tanto buscamos el lado de un cuadrado de área 784 que está dividido en dos cuadrados y dos rectángulos congruentes:

2

Ver Apéndice 1.

Ver Apéndice 2.

4 Ver Apéndice 2.

3

5

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Uno de los cuadrados corresponde a las unidades y el otro a las centenas.

Comenzaremos utilizando los cuadritos de colores. El número 784 se representa así:

De lo que se trata es de formar un cuadrado con estas fichas; un cuadrado que contenga un cuadrado rojo (centenas) y uno verde (unidades) junto con dos rectángulos congruentes azules (decenas).

Como 748 tiene 7 centenas, podemos formar un cuadrado de lado dos (pues ya no alcanzan las centenas para formar un cuadrado de lado tres):

Y aún nos restan 3 centenas, ocho decenas y cuatro unidades:

Como ya no podemos colocar más centenas en el cuadrado que estamos construyendo, las centenas restantes las convertimos a decenas:

Ahora tenemos que “repartir” las 38 decenas en dos rectángulos congruentes, junto al cuadrado rojo de lado 2; es decir los rectángulos de las decenas tienen que tener uno de sus lados de longitud 2:

6

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Hasta ahora hemos colocado 32 de las 38 decenas. Podríamos colocar 4 más (dos en cada rectángulo) pero entonces sólo nos restarían 2 decenas y cuatro unidades (24 unidades) para cubrir el cuadrado de las unidades que requeriría en este caso 81 unidades. Por tanto dejamos las 32 decenas.

Lo que nos resta del número original es: seis decenas y cuatro unidades

Como ya no podemos colocar decenas en el cuadrado que estamos construyendo, convertimos las decenas a unidades:

Y las colocamos para formar un cuadrado en el espacio que aún no cubrimos: 2

8

Lo que hicimos fue formar2un cuadrado de 8 lado 28 (2 decenas y 8 unidades). Por tanto concluimos que la raíz cuadrada de 784 es 28.

Actividad 2b. Calcular la raíz cuadrada de 1160.

7

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Sabemos que la raíz es un número de dos cifras y por tanto debemos construir un cuadrado formado por dos cuadrados y dos rectángulos congruentes.

Como en el cuadrado no pueden aparecer unidades de millar, convertimos la que tenemos a centenas:

El cuadrado de las centenas debe tener 3 unidades por lado (pues tenemos 11 centenas):

Y nos restan 2 centenas y 6 decenas. Convertimos las centenas restantes a decenas para construir los dos rectángulos congruentes:

Repartimos estas 26 decenas junto al cuadrado de las centenas:

Nos sobran dos decenas; las convertimos a unidades:

Ahora llenamos con las unidades el espacio que nos queda:

8

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Como sólo utilizamos 16 de las 20 unidades que teníamos, sobran 4. Es decir, la raíz de 1160 es igual a 34 y queda un residuo de 4 unidades.

Podemos rehacer las actividades 2a y 2b sin usar las fichas de colores. Veamos.

Para calcular la raíz cuadrada de 784 dibujamos una tabla de dos por dos, pues sabemos que la raíz de 784 es un número de dos cifras.

El mayor cuadrado que se puede formar con las 7 decenas es de 2 por 2. Restamos a las 7 decenas las 4 que ya utilizamos: 2

2 4

7c -4c 3c

Convertimos las 3 centenas restantes a decenas y las sumamos a las 8 decenas que teníamos previamente. Repartimos estas 38 decenas en dos rectángulos congruentes, uno de cuyos lados mide 2: 2 8

2 4 16

8 16

38 d - 32 d 6d

Las 6 decenas restantes las convertimos a unidades y las sumamos a las 4 unidades que ya teníamos. Estas 64 unidades formarán el cuadrado de lado 8 que falta por cubrir.

2 8

2 4 16

8 16 64

64 u - 64 u 0u

Para calcular la raíz cuadrada de 1160 dibujamos una tabla de 2 por 2 pues la raíz de este número tiene dos cifras.

Con las 11 centenas formamos el mayor cuadrado posible, en este caso es un cuadrado de 3 por 3.

3

3 9

11 c - 9c 2c 9

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Las dos centenas restantes las convertimos en decenas y las sumamos a la 6 que teníamos previamente. Estas 26 decenas deben repartirse en dos rectángulos congruentes, uno de cuyos lados mide 3: 3 4

3 9 12

4 26 d 12- 24 d 2d

Las dos decenas restantes las convertimos a unidades y colocamos en el cuadrado de abajo las 16 que están “obligadas” 3 4

3 9 12

4 20 u 12- 16 u 16 4 u

Por tanto, la raíz de 1160 es 34 y el residuo es 4.

Actividad 3a. Calcular la raíz cuadrada de 123904 usando el procedimiento anterior.

Como la raíz de 123904 tiene tres cifras (12,39,04), dibujamos una tabla de 3 por 3.

Con las 12 decenas de millar formamos el mayor cuadrado posible, que es de 3 por 3.

3

3 9

12 dm - 9 dm 3 dm

Las 3 decenas de millar restantes las convertimos a unidades de millar y las sumamos a las 3 que ya teníamos. Estas 33 unidades de millar deben repartirse en dos rectángulos congruentes, uno de cuyos lados debe medir 3: 3 5

3 9 15

5 33 um 15 - 30 um 3 um

Las 3 unidades de millar restantes las convertimos a centenas y las sumamos a las 9 centenas que teníamos originalmente. Estas 39 centenas deben repartirse en dos rectángulos congruentes de lado 3 y un cuadrado de 5 por 5 (el del centro). Coloquemos primero las 25 centenas del cuadrado central: 3

3 9

5 39 c 15 - 25 c 14 c 10

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15

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25

Las 14 centenas restantes deben colocarse en los dos rectángulos de lado 3: 3 5 2

3 9 15 6

5 14 c2 15 - 12 c6 2c 25

Convertimos las 2 centenas sobrantes a decenas (el número original tenía 0 decenas), con lo cual obtenemos 20 decenas. Observemos que los dos rectángulos congruentes ya están definidos: tienen lados 2 y 5. Llenemos estos rectángulos.

3 5 2

3 9 15 6

5 20 d2 15 - 10 d6 25 010 d 10

Las 4 unidades del número deben colocarse en el cuadrado de lado 2, que también ya quedó determinado.

3 5 2

3 9 15 6

5 4u2 15 - 4 u 6 25 0 u10 10 4

Actividad 3b. Calcular la raíz cuadrada de 27888971.

Dividiendo en bloques de dos observamos que la raíz de este número tiene 4 cifras: 27,88,89,71 Dibujemos una tabla de cuatro por cuatro. Con las 27 unidades de millón debe formarse el mayor cuadrado posible que, en este caso es de 5 por 5: 5

5 25

27 u mill - 25 u mill 2 u mill

Convertimos estas 2 unidades de millón a centenas de millar y le sumamos las 8 del número original, obteniendo 28 centenas de millar, para repartirlas en dos rectángulos congruentes de lado 5: 5

2 11

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25 10

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10 28 cm - 20 cm 8 cm

Las 8 centenas de millar restantes las convertimos en decenas de millar y las sumamos a las 8 decenas de millar del número original. Estas 88 decenas de millar deben repartirse entre dos rectángulos congruentes de lado 5 y un cuadrado de lado 2, que ya está determinado. Llenemos primero la parte correspondiente al cuadrado: 5 2

5 25 10

2 10 88 dm 4 - 4 dm 84 dm

Y ahora distribuyamos las 84 decenas de millar restantes en los dos rectángulos: 5 2 8

5 25 10 40

8 2 10 84 dm 40 4 - 80 dm 4 dm

Convirtamos las 4 decenas de millar restantes a unidades de millar y sumémoslas a las 8 unidades de millar del número original. Estas 48 unidades de millar deben repartirse en cuatro rectángulos, dos de los cuales ya están determinados, tienen lados 2 y 8: 5 2 8

5 25 10 40

8 2 10 48 um 40 4 - 32 um 16 16 16 um

Las 16 unidades de millar restantes las distribuimos en dos rectángulos de lados 5 y 1: 5 2 8 1

5 25 10 40 5

8 2 10 16 um 40 4 - 10 um 16 16 6 um

1

5

Las 6 unidades de millar las convertimos a centenas y las sumamos a las 9 centenas que teníamos. Estas 69 centenas deben repartirse en dos rectángulos y un cuadrado que ya están determinados de antemano; el cuadrado tiene lado 8 y los rectángulos tienen lados 2 y 1:

12

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8 1 5 2 5 25 10 69 c 40 5 2 10 4 - 68 c16 2 8 40 16 1 c 64 1 5 2 Convertimos a decenas la centena restante y la sumamos a las 7 decenas del número original. Estas 17 decenas deben repartirse en dos rectángulos que a estas alturas del proceso también ya están determinados: tienen lados 8 y 1:

5 2 8 1

5 25 10 40 5

8 2 10 17 d 40 4 - 16 d16 16 1 d 64 2 8

1

5 2 8

Convertimos la decena restante a unidades y la sumamos a la unidad del número inicial.

Las 11 decenas deben utilizarse para llenar el cuadrado restante que, también ya está totalmente determinado: tiene una unidad de lado.

5 2 8 1

5 25 10 40 5

8 2 10 11 u 40 4 - 1 u 16 16 10 u64 2 8

1

5 2 8 1

Por tanto, la raíz cuadrada de 27888971 es 5281 y el residuo es 10.

13

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Apéndice 1.

EL MÉTODO BABILONIO PARA EXTRACCIÓN DE LA RAÍZ CUADRADA El método babilónico para extracción de la raíz cuadrada de un número es un método esencialmente geométrico. Se trata de buscar el lado de un cuadrado de área dada mediante un proceso de aproximaciones sucesivas.

Calculemos la raíz de 52. Dibujamos un rectángulo cualquiera de área 52, podemos comenzar con lados 1 y 52 o 2 y 26 o 4 y 13, etc 5. Comenzaremos con este último para ahorrarnos dos pasos, como se verá a continuación.

4

52

13 El primer paso consiste en sacar el promedio de las longitudes de los lados del rectángulo y construir otro rectángulo, uno de cuyos lados tenga por longitud este promedio. Como: (13 + 4) / 2 = 17/2 = 8.5 uno de los lados tendrá longitud 8.5 y el otro deberá medir aproximadamente 6.1176 (¿por qué?)6

6.1176

52

8.5 En el siguiente paso sacamos el promedio de las longitudes de los lados de este nuevo rectángulo para construir otro. Como: 5

Podemos elegir cualquier par de números cuyo producto se 52, no necesariamente enteros.

Si hubiésemos comenzado con lados 1 y 52, al calcular el primer promedio hubiésemos obtenido un rectángulo de lados 26.5 y 1.9622, que es muy parecido al de lados 26 y 2. Si hubiésemos comenzado con este último, en el primer paso hubiésemos obtenido un rectángulo de lados 14 y 3.7142.

6

14

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(8.5 + 6.1176) / 2 = 7.3088 uno de los lados del nuevo rectángulo medirá 7.3088 y el otro 7.1147.

7.1147

52

7.3088 Observemos que ya en este segundo paso del procedimiento, las longitudes de los lados son muy parecidas.

Como tercer paso construimos un nuevo rectángulo, uno de cuyos lados tiene por longitud el promedio de las longitudes del rectángulo anterior. Como (7.1147 + 7.3088) / 2 = 7.2097 el otro lado debe medir 7.2125.

Si hacemos un paso más obtenemos que uno de los lados debe medir 7.2111 y el otro ¡7.2111!

Es decir, con sólo cuatro pasos obtuvimos una aproximación a la raíz cuadrada de 52 con al menos 3 cifras decimales exactas.

15

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Apéndice 2.

EL ALGORITMO DE LA “CASITA” PARA SACAR RAÍZ CUADRADA El primer paso para sacar la raíz cuadrada de un número mediante el algoritmo de la “casita” es dividir en bloques de dos al número, comenzando de derecha a izquierda. Así, por ejemplo, para sacar la raíz cuadrada de 136, 128975 o 9335065, encontramos cuántos bloques tiene cada número: 1,36 tiene dos bloques 12,89,75 tiene tres bloques 9,33,50,65 tiene cuatro bloques ¿Por qué se hace eso?

Analicemos los cuadrados de algunas potencias de 10: 12 = 1 102 = 100 1002 = 10 000 10002 = 1 000 000 10 0002 = 100 000 000 100 0002 = 10 000 000 000 1 000 0002 = 1 000 000 000 000 ...

Observemos que al elevar al cuadrado una potencia de 10, el número de ceros se “duplica”.

Así, por ejemplo, al elevar al cuadrado el número 10 000, que tiene cuatro ceros, obtenemos 100 000 000, que tiene ocho ceros. No es difícil comprobar esta propiedad.

Cualquier número que elijamos para sacarle raíz cuadrada está entre dos números de la columna de la derecha. Por ejemplo, el 136 está entre 100 (el cuadrado de 10) y 10 000 (el cuadrado de 100); el 128 975 está entre 10 000 (el cuadrado de 100) y 1 000 000 (el cuadrado de 1 000) y el 9 335 065 está entre 1 000 000 (el cuadrado de 1 000) y 100 000 000 (el cuadrado de 10 000). Entonces, las raíces correspondientes de los números están entre 10 y 100, 100 y 1000 y 1 000 y 10 000 respectivamente.

Así, cuando dividimos el número en bloques de dos, estamos encontrando cuántas cifras debe tener la raíz cuadrada de esa cantidad: si tiene dos bloques, como en el caso de 136, sabemos que su raíz (que está entre el 10 y el 100) tiene dos cifras. Si el número tiene tres bloques, como en el caso del 128 975, su raíz tendrá 3 cifras, etc. ¿Cuántas cifras tendrá la raíz de 7 359 713? Dividiendo en bloques de dos a este número tenemos: 7, 35, 97, 13; es decir, la raíz de 7 359 713 tiene cuatro cifras.

El siguiente paso del algoritmo de la “casita” consiste en encontrar la raíz del número formado por el primer bloque. Con esto estamos determinando cuál es la primera cifra de la raíz cuadrada del número. Hacer esto es fácil, pues el primer bloque es un número de una o dos cifras. Como conocemos los cuadrados de los dígitos, podemos responder de inmediato a esta pregunta. Veamos:

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12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 82 = 64 92 = 81 102 = 100 Si en el primer bloque aparece el 1 (como en el caso de 136), sabemos que la primera cifra de la raíz es 1. Si aparece el 12 (como en el caso de 12,89,75), sabemos que la primera cifra de la raíz es 3 pues 12 está entre 9, que es el cuadrado de 3 y 16, que es el cuadrado de 4.

Es decir, la raíz de 128975 está entre 300 y 400.

Encontrar la raíz cuadrada de un número significa, geométricamente, encontrar la longitud del lado de un cuadrado cuya área es el número dado. Por ejemplo, encontrar la raíz cuadrada de 3249 significa encontrar el lado de un cuadrado de área 3249.

3249

Dentro de este cuadrado cabe un cuadrado de lado 50 pero no uno de lado 60, o sea que la primera cifra de la raíz cuadrada de 3249 debe ser 5 (el lado del cuadrado debe ser un número de dos cifras) Si colocamos sobre el cuadrado de área 3249 un cuadrado de lado 50 (y área 2500) no lo cubrimos totalmente, falta por cubrir una región que mostramos en la siguiente figura:

50 × 50

17

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Como el área del cuadrado gris claro es de 3249 y el área del cuadrado gris oscuro es de 2500, la región que falta por cubrir tiene área 3249 – 2500 = 749 Comparemos esta información con el algoritmo de la casita: √ 32,49 25 00 749

5

Encontramos el mayor dígito cuyo cuadrado quepa en 32 (en este caso 5), elevamos este dígito al cuadrado y lo restamos de la cifra formada por el primer bloque (en este caso restamos 25 a 32). Realmente lo que hacemos es restar 2500 a 3249. El residuo corresponde precisamente al área de la región que no cubrimos con el cuadrado de lado 25.

Esta región de área 749 está conformada por dos rectángulos y un cuadrado. Los lados de los rectángulos miden lo mismo que el lado del cuadrado, es decir 5 decenas. Lo que tenemos que determinar es cuál es su altura, que además mide lo mismo que el lado del cuadrado pequeño: x 5 decenas

5 decenas

x

Es decir, buscamos un dígito x (que corresponde a la segunda cifra de la raíz de 3249) de modo que: (50 + 50 + x) x ≤ 749 Es decir, buscamos el mayor dígito tal que: (100 + x) x ≤ 749.

En el algoritmo de la casita lo que hacemos es multiplicar por dos la primera cifra de la raíz (el número de las decenas en este caso) y buscar un número x tal que x por “ciento x” quepa en 749: √ 32,49 25 00 749

5

x

10 x

En este caso el dígito es 7 ya que: (100 + 7) 7 = 107 × 7 = 749

18