Linha & Linha

AGRADECIMENTO A todos aqueles que fizerem com que esse livro fosse mais do que uma simples soma de pรกginas.

“A matemática não está aí para impor trabalhos forçados a ninguém; ao contrário, seu único propósito é o prazer.

Ela está aí para garantir o prazer daqueles que gostam de examinar o que estão fazendo, o que fizeram ou o que farão, talvez na esperança de fazê-lo ainda melhor”

Robert Bringhurst Elementos do estilo tipográfico

SUMÁRIO o1. Introdução [11] 02. raiz de 2 [21] 03. phi [37] 04. pi [61] 05. e [85] 06. epílogo [101]

01. introdução

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INTRODUÇÃO Produzir um livro não é nada fácil. São muitas as etapas pelas quais ele deve passar e todas devem ser muito bem cuidadas para que o resultado final seja excepcional. Dentre essas inúmeras fases, o designer entra na parte de diagramação e produção gráfica. Muito já foi estudado e discutido sobre o assunto e enquanto alguns acreditam que existam regras claras que devem guiar todo o processo, outros afirmam que elas apenas limitam o processo criativo e diminuem as possibilidades de resultados mais inovadores e com maior apelo visual.

O LIVRO: Em seu livro “O design do livro”, Richard Hendel discorre sobre todo o processo que um designer passa para projetar um livro e quais pontos ele não deve perder de vista. Se existem regras para casos específicos do design, quando falamos de livros temos um campo com séculos de estudos e com um objeto muito bem definido. Temos, portanto, regras e diretrizes muito bem consolidadas por estudiosos e inúmeros exemplos.

Richard comenta que “o design de um livro não é uma dessas artes que permitem uma criatividade infinita e restrita”. E isso fica claro quando pensamos que a função básica de todos os livros sempre foi a mesma: a da leitura. Independente do tipo de conteúdo, o livro nada mais é que um suporte gráfico para um texto. Sendo assim, o papel do designer é fazer com que o conteúdo textual seja visto, entendido e absorvido da melhor forma possível. Seguir as regras de tipografia e espaçamento, por exemplo, já existentes parece ser o melhor caminho. Será?

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“sua forma física [do livro], assim como sua tipografia, também o definem. Cada escolha feita por um designer causa algum efeito sobre o leitor”

Claro que jogar fora tanto conhecimento seria muito presunçoso da parte de qualquer designer. Mas até que ponto devemos nos basear apenas em regras já definidas? O autor reforça a importância do design quando diz que “sua forma física [do livro], assim como sua tipografia, também o definem. Cada escolha feita por um designer causa algum efeito sobre o leitor”.

Devemos pensar portanto em qual efeito queremos passar e decidir como as regras ajudam (ou atrapalham) nosso objetivo.

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Temos então três grandes possibilidades: um livro o mais neutro possível, dando ênfase ao texto em si; um livro que remeta o leitor a uma época ou lugar do passado, evocando todos as suas características ou ainda um livro que seja moderno e único na sua forma de apresentar o conteúdo. Cada uma das três opções apresenta especificidades como será discutido a seguir.

Trazer o texto para o foco e reduzir o aspecto gráfico a uma neutralidade absoluta é considerado por muitos (e em parte pelo próprio Richard) a melhor solução. Deixe que o texto fale por si só. Mas até que ponto isso é possível? “A atemporalidade pode ser inatingível”. O uso de elementos ditos atemporais trazem consigo uma temporalidade inata, que não tem como ser ocultada. “Mesmo aqueles designers que rejeitam qualquer noção de alusão podem não ser capazes de evitar alguma referência.” Além disso, quanto mais neutro o projeto, mais oportunidades ele perde de ampliar e reforçar ideias e conceitos para o leitor. Se projetamos para nos comunicarmos através de formas gráficas, quanto estamos perdendo ao deixarmos que apenas o texto fale?

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Por outro lado, podemos levar o projeto para o campo do contemporâneo e atual, fazendo com que ele seja único e reflita plenamente o tempo em que foi escrito. De acordo com o designer Merle Armitage, “Quando se olha para trás rejeitase … a oportunidade de tomar atitudes novas e significativas, afins com a nossa época em particular.” Contudo, devemos ter muita cautela ao escolher o que é realmente relevante para cada projeto e o que é modismo ou não colabora com a ideia geral trabalhada. Sobre isso, Richard comenta: “A novidade não é necessariamente uma virtude. Se um design deve ser diferente do esperado, isso deveria acrescentar algum nível de sentido ao texto; de outra forma, é apenas uma fraca desculpa para o excêntrico.”

Finalmente podemos então tentar transportar o leitor para algum local muito bem demarcado no tempo-espaço, para trazer todos os aspectos ligados a essa época ou lugar específicos. Essas alusões são de extrema importância pois ampliam a percepção do conteúdo e reiteram o sentido

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contido nas palavras. Cabe ao designer saber escolher como fazer isso da melhor forma. “O design alusivo deixa pressupor que o leitor fará a mesma ligação visual que o designer fez.

Ocasionalmente haverá quem discorde.” E é aí que entra o principal problema desse tipo de abordagem. Deve-se conhecer muito bem o leitor para conseguir entender como ele fará as relações propostas e se ele as entenderá de fato ou se elas serão elementos que trabalharão contra o texto, e não a seu favor.

Vemos que independente do caminho escolhido, tudo deve ser muito bem ponderado. E para que nosso projeto seja bom, temos sempre que nos perguntar: qual o sentido disso? Qual a função desse elemento na compreensão do texto? “É preciso que o design de livro parta das palavras do autor, e não de uma teoria abstrata.”. Ainda em outro trecho de “O design do livro”: “Os clichês e a sabedoria popular sobre o design nos deixam cegos a respeito do significado original das palavras repetidas muitas vezes.” Conheça as regras de construção e diagramação de livros mas tenha o bom senso para saber quais aplicar e quais subverter. Sempre que se utilizar de alusões, o faça com um conhecimento embasado do seu público.

E o mais importante: sempre mantenha o seu objetivo muito claro e no centro do projeto. “Um das poucas coisas que o designer deveria fazer é conhecer o texto. Disso depende todo o resto.”

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AS LINHAS: Dois pontos importantes a serem escolhidos na produção de um livro são seu formato e seu grid. Eles influenciam e se relacionam com o tamanho das linhas, das colunas, dos espaçamentos, das tipografias e entre si. Um formato muito pequeno pode não suportar várias colunas, um grid muito amplo talvez precise de linhas mais espaçadas, um formato mais horizontal pode não se relacionar bem com tipografias muito alongadas. E além disso, ambos estão fortemente ligados, pois a diferença entre o grid e o formato gera as margens e os espaços em branco, que influenciam bastante a fluidez de leitura e a percepção do leitor sobre o conteúdo.

Mas ao definirmos que um livro será retangular, por exemplo, o que faz com que um retângulo seja mais atraente que o outro? Ou se optamos por um livro alongado, qual o limite entre o funcional e o exagero? Essa questão também é levantada e respondida por Robert Bringhurst, em “Elementos do estilo tipográfico”, como mostrado a seguir:

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“Mas uma vez estabelecido o reino da praticabilidade, e sabendo-se que as dimensões da página deverão respeitar certos limites, como é que se escolhe? Adota-se o que for fácil, maior, ou que tiver o tamanho padrão mais conveniente?

Confia-se cegamente no instinto?

Os escribas e os tipógrafos, assim como os arquitetos, têm configurado espaços visuais há milhares de anos. Algumas proporções são recorrentes em seus trabalhos porque agradam aos olhos e a mente – assim como alguns tamanhos são recorrentes porque são mais confortáveis para a mão. Muitas dessas proporções são inerentes a figuras geométricas simples, como o triângulo equilátero, o quadrado, o pentágono, o hexágono e o octógono regulares. Elas parecem agradar a pessoas de séculos e países muito distintos como também são proeminentes na natureza, muito além do âmbito humano. Elas ocorrem nas estruturas de moléculas, cristais minerais, bolhas de sabão e flores, bem como em livros, templos, manuscritos e mesquitas.”

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Vemos então que as proporções matemáticas tem um papel fundamental na composição do livro e na escolha de formatos e grids. Sejam baseadas em construções geométricas simples ou em elementos da natureza, elas constituem uma ligação entre o que o homem vê no mundo e o que ele vê no livro. Apesar dessa importância, nem sempre essas relações são utilizadas, muitas vezes por desconhecimento dos designers e outras simplesmente por medo ou aversão de um conteúdo tão exato e matemático dentro de uma área de estudo prioritariamente humana e comunicacional.

“Como é que se escolhe? Confia-se cegamente no instinto?”

Esse livro tem, então, como objetivo trazer para o campo do design o conhecimento aplicado de algumas dessas proporções, baseadas em quatro números irracionais importantes na análise de estruturas e processos naturais. São eles: a raiz de dois (√2), o phi (φ), o pi (π) e o e. Mostrando sempre onde cada um deles aparece no nosso cotidiano, parte-se de exemplos numéricos e geométricos que ilustram cada relação sugerida e reforçam como a utilização desses números aparentemente tão distantes pode ser uma ferramenta fundamental para a boa escolha de formatos e grids. Como, a partir de linhas matemáticas, podemos criar linhas de texto.

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02. raiz de 2

A RAIZ DE DOIS A √2 (raiz de dois) é a constante ligada a diagonal de um quadrado.

Então se no seu projeto aparecem divisões de quadrados em triângulos menores ou ainda triângulos retângulos de lados iguais, o valor da raiz de dois está presente.

Além disso ela aparece em cálculos ligados a música e a fotografia.

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1.414213562373095048801688724209698078569671875376 9480731766797379907324784621070388503875343276415 7273501384623091229702492483605585073721264412149 70999358314132226659275055927557999505011527820605 71470109559971605970274534596862014728517418640889 19860955232923048430871432145083976260362799525140 79896872533965463318088296406206152583523950547457 50287759961729835575220337531857011354374603408498 84716038689997069900481503054402779031645424782306 84929369186215805784631115966687130130156185689872 37235288509264861249497715421833420428568606014682 47207714358548741556570696776537202264854470158588 01620758474922657226002085584466521458398893944370

1,414

92659180031138824646815708263010059485870400318648 03421948972782906410450726368813137398552561173220 40245091227700226941127573627280495738108967504018 36986836845072579936472906076299694138047565482372 89971803268024744206292691248590521810044598421505 91120249441341728531478105803603371077309182869314 71017111168391658172688941975871658215212822951848 84720896946338628915628827659526351405422676532396 94617511291602408715510135150455381287560052631468 01712740265396947024030051749531886292563138518816 34780015693691768818523786840522878376293892143006 55869568685964595155501644724509836896036887323114 38941557665104088391429233811320605243362948531704 99157717562285497414389991880217624309652065642118 27316726257539594717255934637238632261482742622208 67115583959992652117625269891754098815934864008345 70851814722318142040704265090565323333984364578657 96796519267292399875366617215982578860263363617827

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VALOR A raiz de 2 vale (aproximadamente) 1,414.

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História Existem indícios de números muito próximos a ela em civilizações babilônicas, no período de 1800-1600 aC e nas civilizações indianas, por volta de 800-200 aC. A constante foi estudada também pelos gregos e acredita-se que tenha sido, talvez, a primeira vez que se teve ideia que ela seria um número irracional, já que se dizia que a diagonal de um quadrado cujo lado é um tem seu valor imensurável. Por vezes ela é até mencionada como constante de Pitágoras, mesmo essa importante descoberta sendo atribuída a Hipaso de Metaponto, da escola de Pitágoras. Conta-se que a demonstração da irracionalidade da raiz de 2 custou a vida de seu descobridor, uma vez que contrariava as idéias predominantes entre os pitagóricos de que tudo era número (inteiro).

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A matemática Seu valor pode ser encontrado através de uma aproximação utilizada para determinação da raiz quadrada de qualquer número, descoberta na Babilônia.

Supõe-se um valor qualquer para a raiz do número (no nosso caso o 2) e aplica-se a fórmula de aproximação, utilizando o número do qual se deseja encontrar a raiz e o valor qualquer suposto. O número encontrado deve ser utilizado então na mesma fórmula, gerando um novo número mais próximo do verdadeiro que o primeiro. Quanto mais isso for feito, menor será a diferença entre o valor encontrado e o valor real da raiz. Abaixo seguem a fórmula e os exemplos para a raiz de 2:

b = a/2 + 1/a Começando com o número 1, temos os seguintes resultados: a = 1 e b = 1,5 a = 1,5 e b = 1,416... a = 1,416... e b = 1,414215... a = 1,414215... e b = 1,4142135623746...

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Proporção Quando construímos um retângulo de proporções 1:√2, ou seja, fazemos com que um lado seja √2 vezes maior que o outro, obtemos um retângulo especial, com uma propriedade única: dobrar uma folha dessas proporções ao meio irá resultar em uma folha com metade do tamanho mas com as mesmas proporções. Ou seja, os retângulos de raiz de 2 exibem a propriedade especial de serem infinitamente divisíveis em retângulos proporcionais menores. Isso significa que, quando se divide ao meio um retângulo de raiz de 2, resultam dois retângulos menores também de raiz de 2; e, quando é dividido em quatro, resultam quatro retângulos menores de raiz de 2 etc.

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a

b a/2

a/b = b/(a/2) a²/2 = b² a²/b² = 2 (a/b)² = 2 a/b = √2

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Além disso os retângulos de raiz de 2 são conhecidos como retângulos dinâmicos, pois produzem uma variedade de subdivisões e combinações harmônicas que sempre guardam as proporções do retângulo original.

O processo de divisão harmônica requer o traçado de diagonais e, depois, o traçado de uma rede de linhas paralelas e perpendiculares aos lados e às diagonais. Os retângulos de raiz de 2 sempre vão se subdividir em um número equivalente de retângulos recíprocos.

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No mundo Devido a sua propriedade especial de divisão, os retângulos de proporções 1:√2 servem de base para a norma DIN – Deutsche Industrie Normen (normas industriais alemãs), que tiveram sua origem no início dos anos 1920. Nela foi baseado o padrão internacional para tamanho de papéis ISO 216.

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A base do sistema é a folha A0, que tem área de 1m2. Sucessivos cortes definem a série A de tamanhos A1, A2, A3, A4…, cujas medidas são arredondadas na ordem dos milímetros. Manter a mesma proporção entre diferentes tamanhos, propriedade inexistente nos formatos tradicionais de papel, facilita a ampliação e redução de um tamanho para o outro e a confecção de folhetos e brochuras com duas páginas em cada folha, na qual o tamanho do papel deve ser, na série, de uma ordem acima do tamanho da página, p.ex., folhas A3 são dobradas para fazer brochuras A4. Esse sistema não é só eficiente, como também otimiza o uso do papel e evita o seu desperdício. Além disso, o padrão ISO 216 facilita o redimensionamento de documentos entre seus tamanhos, prevenindo perda de imagem.

Assim, uma página A4 pode ser ampliada para A3 retendo as mesmas proporções do documento original. As cidades europeias nas quais é tradicional o uso de cartazes dispõem de áreas públicas próprias para eles com essa proporção.

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Medidas dos tamanhos-padrão de acordo com a norma DIN (em mm) A0: 841 × 1189

A4: 210 × 297

A1: 594 × 841

A5: 148 × 210

A2: 420 × 594

A6: 105 × 148

A3: 297 × 420

A7: 74 × 105

A0

A2 A1 A4 A6 A7

A3 A5

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No design Vemos portanto que a raiz de 2 está sempre no nosso dia a dia, em cada folha A4 que colocamos na nossa impressora ou a cada vez que projetamos um cartaz de formato A3. Temos também a propriedade de retângulos dessa proporção se subdividirem em retângulos e espaços equivalentes e proporcionais, tornando essa exploração interessante quando vamos subdividir um grid em colunas, linhas ou ainda, em módulos que queremos que estejam relacionados com seu tamanho total. Na escolha do formato, Bringhurst comenta: “No entanto, justamente porque

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ela é unicamente recíproca a si mesma, a página de proporções 1:√2 é, em seu isolamento, o menos musical de todos os principais formatos de página, e precisa de um bloco de texto de outro formato para ganhar contraste.” Apesar de tão dinâmico, esse formato costuma ser descartado por ter sido transformado em padrão e parecer que não apresenta escolha por trás dele. Mas sabendo se utilizar dessas relações de proporção e dos arranjos de subdivisões, o formato ganha vida e pode sim deixar de ser apenas uma escolha fácil e comercial.

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03. phi

O phi O φ (phi) é a constante ligada a razão áurea. Dois números encontram-se em razão áurea quando a divisão do menor pelo maior é igual a divisão do maior pela soma dos dois números.

Apesar de parecer um pouco aleatória, essa relação está presente no corpo humano, em animais e plantas e parece reger a estética de beleza considerada clássica.

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1.618033988749894848204586834365638117720309179805 7628621354486227052604628189024497072072041893911 3748475408807538689175212663386222353693179318006 07667263544333890865959395829056383226613199282902 67880675208766892501711696207032221043216269548626 29631361443814975870122034080588795445474924618569 53648644492410443207713449470495658467885098743394 42212544877066478091588460749988712400765217057517 97883416625624940758906970400028121042762177111777 80531531714101170466659914669798731761356006708748 07101317952368942752194843530567830022878569978297 78347845878228911097625003026961561700250464338243 77648610283831268330372429267526311653392473167111

1,618

21158818638513316203840052221657912866752946549068 11317159934323597349498509040947621322298101726107 05961164562990981629055520852479035240602017279974 71753427775927786256194320827505131218156285512224 80939471234145170223735805772786160086883829523045 92647878017889921990270776903895321968198615143780 31499741106926088674296226757560523172777520353613 93621076738937645560606059216589466759551900400555 90895022953094231248235521221241544400647034056573 47976639723949499465845788730396230903750339938562 10242369025138680414577995698122445747178034173126 45322041639723213404444948730231541767689375210306 87378803441700939544096279558986787232095124268935 57309704509595684401755519881921802064052905518934 94759260073485228210108819464454422231889131929468 96220023014437702699230078030852611807545192887705 02109684249362713592518760777884665836150238913493 33312231053392321362431926372891067050339928226526

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valor Phi vale (aproximadamente) 1,618.

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História Ao longo de toda a história, no contexto tanto do ambiente humano como do mundo natural, já se comprovou uma evidente preferência cognitiva dos seres humanos pelas proporções baseadas na seção áurea. Sua representação, a letra grega φ é uma em homenagem ao escultor Phideas (Fídias), que a teria utilizado para conceber Parthenon.

Alguns dos mais antigos indícios do emprego de um retângulo áureo – ou seja, aquele no qual há uma proporção de 1:φ entre os lados – estão na estrutura de Stonehenge,

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erguida entre 2450 e 1600 aC. Outros indícios documentados encontramse em textos e na arte e arquitetura dos antigos gregos, no século V aC. Mais tarde, artistas e arquitetos renascentistas também estudaram, documentaram e empregaram as proporções derivadas da seção áurea em extraordinárias obras de escultura, pintura e arquitetura. E, além das obras feitas pelo homem, as proporções da seção áurea podem ser observadas no mundo natural, tanto nas proporções do corpo humano (corpo e rosto) como nos padrões de crescimento de muitas plantas, animais e insetos.

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A matemática A seção áurea é uma relação simétrica feita de partes assimétricas.

Dois números, formas ou elementos incorporam a seção áurea quando o menor está para o maior assim como o maior esta para a soma dos dois.

Isto é, a : b = b : (a + b). Na linguagem da álgebra, essa razão é de 1: φ = (1+√5) / 2, e na linguagem da trigonometria é 1 : (2 sin 54º).

Calculando seu valor aproximado em termos decimais, obtemos 1 : 1,61803.

Se procurarmos uma aproximação numérica da razão 1:

φ, iremos

encontrá-la em uma sequência chamada série de Fibonacci, em referência a Leonardo Fibonacci, um matemático do século 13.

Embora tenha morrido dois séculos antes de Gutenberg, Fibonacci é tão importante na história da tipografia quanto na da matemática européias. Ele nasceu em Pisa, mas estudou no Norte da África. Ao voltar, apresentou a matemática árabe aos estudiosos do norte da Itália e os algarismos arábicos aos seus escribas.

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Como matemático, Fibonacci interessouse por vários problemas, entre os quais o da propagação ilimitada. O que acontece – ele se perguntava – se tudo procirar e nada morrer? A resposta é uma espiral logarítmica de crescimento. Expressa numa série de números inteiros, essa espiral toma a seguinte forma: 0 - 1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - 34 - 55 - 89 - 144 - 233 - 377 - 610 987 - 1597 - 2584 - 4181 - 6765 - 10946 - 17711 - 28656...

Aqui, depois dos dois primeiros termos, cada termo é a soma dos dois termos precedentes. Quanto mais longe prosseguirmos nessa série, mais perto chegaremos de uma aproximação precisa do numero φ. Assim 5 : 8 = 1,6; 8 : 13 = 1,625; 13 : 21 = 1 : 1,615; 21 : 34 = 1: 1,619 e assim por diante.

21

13

3 2

1 1

5

8 45

Proporção: O número de ouro ou número da razão áurea, φ, é um número com várias propriedades raras. Se você

φ, vai obter seu quadrado (φ x φ). se subtrair 1 de φ, vai obter sua recíproca (1/φ). E se multiplicar φ indefinidamente por ele mesmo somar 1 a

obterá uma série infinita feita de uma única proporção, que é 1: φ.

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Os retângulos áureos, assim como os retângulos de raiz de 2 são dinâmicos, ou seja, produzem, ao se dividirem, uma interminável quantidade de subdivisões e razões de superfície harmoniosas em termos visuais, pois suas razões derivam de números irracionais.

O processo de divisão de um retângulo dinâmico em uma série de subdivisões harmônicas é muito simples. Diagonais são traçadas entre vértices opostos e então uma rede de linhas paralelas e perpendiculares é construída a partir dos lados e das diagonais.

Temos também que a relação entre o quadrado e a seção áurea é perpétua. Cada vez que um quadrado é subtraído de uma seção áurea, resta uma nova seção áurea.

Se dois quadrados sobrepostos são formados dentro de uma seção áurea, dois retângulos menores com as proporções da seção áurea são criados nas extremidades, junto com uma coluna central estreita de proporções 1: (φ+1) = 1:2,618. Se um quadrado for subtraído dessa coluna, a seção áurea será restaurada.

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No mundo: No mundo da matemática pura, a espiral de crescimento que é a série de Fibonacci segue infinita. No mundo dos mortais, a espiral é logo e repetidamente interrompida pela morte e por outras considerações práticas – mas é ainda assim visível a curto prazo. Essas versões abreviadas da série de Fibonacci e da proporção 1:φ podem ser vistas nas estruturas de abacaxis, pinhas, girassóis, ouriços-domar, caracóis, conchas nautilóides e também nas proporções do corpo humano.

As formas com perfil em espiral de conchas revelam um padrão cumulativo de crescimento, o qual foi objeto de vários estudos científicos e artísticos. Os padrões de crescimento das conchas são espirais logarítmicas de proporções áureas, refletindo o que ficou conhecido como a teoria de um padrão de crescimento perfeito. No livro The Curves of Life [As curvas da vida], Theodore Andrea Cook descreve esses padrões de crescimento como “os processos essenciais da vida”. Em cada etapa de

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crescimento, assinalada por uma espiral, a nova espiral é muito próxima da proporção de um quadrado áureo maior que o anterior. Os padrões de crescimento das conchas do náutilo e de outros moluscos nunca exibem proporções áureas exatas.

Em vez disso, o que se constata nas proporções dos padrões de crescimento biológico é a tentativa, nunca alcançada, de chegar a proporções áureas exatas nas espirais.

O pentágono e o pentagrama (um pentágono regular estrelado) também exibem proporções áureas e podem ser encontrados em muitas criaturas vivas, como a bolachada-praia. As divisões internas de um pentágono criam um pentagrama, no qual a razão entre duas linhas quaisquer tem a proporção 1:1,618.

A pinha e o girassol apresentam padrões de crescimento em espiral muito semelhantes. As sementes dos dois crescem ao longo de duas espirais que se intersectam e irradiam em direções opostas, e cada semente pertence a ambos os conjuntos de espirais. O exame

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das espirais da pinha revela que 8 delas se movem em sentido horário e outras 13 em sentido anti-horário, aproximand0-se bastante das proporções da seção áurea. A mesma proximidade com a seção áurea ocorre no caso das espirais do girassol: há 21 espirais em sentido horário e 34 em sentido anti-horário.

Muitos peixes também exibem medidas relacionadas com a seção áurea. A superposição de três diagramas de construção com a proporção áurea ao corpo de uma truta arco-íris mostra as relações entre o olho e a nadadeira caudal nos retângulos e quadrados dourados recíprocos. Além disso, as nadadeiras individuais exibem proporções áureas.

O peixe-anjo-azul enquadra-se exatamente em um retângulo áureo, e sua boca e guelras estão no ponto áureo recíproco. Talvez parte do nosso fascínio pelo ambiente natural e por seres vivos como conchas, flores e peixes seja devido à nossa predileção subconsciente pelas proporções, formas e padrões associados à seção áurea. Assim como muitas plantas e animais compartilham as proporções

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áureas, o mesmo se dá com os seres humanos. Talvez outro motivo para a predileção cognitiva pelas proporções áureas seja o fato de que o rosto e o corpo humanos exibem as mesmas relações proporcionais matemáticas constatadas em todos os seres vivos.

Algumas das mais antigas investigações sobre proporções anatômicas e arquitetônicas são encontradas nos tratados de um arquiteto e estudioso latino do primeiro século dC, Marcus Vitruvius Pollio. Vitrúvio, como é mais conhecido, recomendava que a arquitetura dos templos fosse baseada nas proporções ideias de um corpo humano em que todas as partes estão em perfeita harmonia. Ao descrever tal ideal, ele explicava que a altura de um homem bem-proporcionado ;e equivalente ao comprimento de seus braços abertos. A altura do corpo e o comprimento dos braços estendidos criam um quadrado, enquanto as mão e os pés tocam um círculo cujo centro é o umbigo. Nesse esquema, a forma humana é dividida ao meio na virilha e pela seção áurea no umbigo. As estátuas do Doríforo e de Zeus são ambas dos anos 1400aC. Embora realizadas por escultores diferentes muito tempo antes dos estudos de Vitrúvio, ambas coincidem claramente com as proporções por ele recomendadas.

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O cânone vitruviano foi adotado por artistas renascentistas como Leonardo da Vinci e Albrecht Dürer, no final do século XV e início do XVI. Tanto Da Vinci como Dürer se dedicaram ao estudo dos sistemas de proporções da anatomia humana.

Os experimentos de dürer com vários desses sistemas podem ser vistos em sua obra Vier Bücher von menschlicher Proportion [Quatro livros sobre a proporção humana], de 1528. Já Leonardo da Vinci fez ilustrações para o livro De divina proportione [Sobre a divina proporção] (1509), do matemático Luca Pacioli. Individualmente, os desenhos de Da Vinci e de Dürer se conformam claramente ao sistema de Vitrúvio. Além disso, quando comparamos esses desenhos com a ajuda de sobreposições trannsparentes, constatamos que ambos refletem as proporções vitruvianas e são, na verdade, quase idênticos. A única diferença significativa está nas proporções faciais.

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O cânone de Vitrúvio abrange as proporções do rosto e do corpo humano. O posicionamento dos traços faciais revela as proporções clássicas usadas na escultura greco-romana. Embora tanto Leonardo da Vinci como Albrecht Dürer tenham empregado o cânone vitruviano de proporções anatômicas, notam-se diferenças significativas nas proporções faciais. O sistema de Da vinci para o rosto reproduz o de Vitrúvio e linhas de construção suaves podem ser vistas em seu desenho original.

Dürer, no entanto, recorre a proporções faciais claramente diferentes. No Homem inscrito num círculo, as proporções são caracterizadas pelos traços concentrados na parte inferior do rosto e pela testa mais ampla, o que possivelmente revela uma predileção estética comum à época.

Os seres humanos, tal como as outras criaturas, raramente exibem proporções faciais ou corporais que refletem perfeitamente a seção áurea, exceto nas concepções artísticas manifestadas em desenhos, pinturas e esculturas. O emprego da proporção áurea pelos artistas, sobretudo pelos gregos antigos, era uma tentativa de idealizar e sistematizar a representação da figura humana.

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Além de registrar as proporções da anatomia humana, Vitrúvio também era arquiteto e catalogou as proporções arquitetônicas mais harmoniosas. Segundo ele, a arquitetura dos templos deveria se basear no corpo humano bemproporcionado, aquele no qual há perfeita harmonia entre todas as partes, Atribui-se a ele a introdução do conceito de módulo, do mesmo modo que as proporções humanas se expressavam de acordo com um módulo definido pela medida da cabeça ou do pé. Esse conceito viria a adquirir muita importância na história da arquitetura.

O templo do Partenon, em Atenas, é um exemplo do sistema de proporções usado pelos gregos antigos. Um exame sumário revela que a fachada do edifício é contida em um retângulo áureo subdividido. O quadrado do retângulo recíproco principal fornece a altura do frontão, e o retângulo menos do diagrama determina o posicionamento do friso e da arquitrave.

Séculos depois, a “proporção divina”, ou seção áurea, foi propositalmente empregada na arquitetura de igrejas góticas.

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Em Por uma arquitetura, Le Corbusier cita o papel do quadrado e do círculo nas proporções da fachada da catedral de NotreDame, em Paris. O retângulo em torno da fachada da catedral tem proporção áurea. O quadrado desse retângulo áureo encerra a parte principal da fachada, e o retângulo áureo recíproco inclui as duas torres. Os traçados reguladores são as diagonais que se encontram logo acima do óculo (a janela circular central), que interceptam as principais linhas de força verticais da catedral. A porta central também tem uma proporção áurea, como se pode ver no diagrama de construção. A proporção do óculo é ¼ do diâmetro do círculo inscrito no quadrado maior.

Na literatura, o número de ouro encontra sua aplicação mais notável no poema épico grego Ilíada, de Homero, que narra os acontecimentos dos últimos dias da Guerra de Tróia. Quem o ler notará que a proporção entre as estrofes maiores e as menores dá um número próximo a 1,618, o número de ouro. Luís de Camões na sua obra Os Lusíadas, colocou a chegada à Índia no ponto que divide a obra na razão de ouro. Virgílio em sua obra Eneida, construiu a razão áurea com as estrofes maiores e menores.

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Na música, o número de ouro está presente nas famosas sinfonias Sinfonia n.º 5 e a Sinfonia n.º 9, de Ludwig van Beethoven, e em outras diversas obras. Outro fato interessante registrado na Revista Batera, em um artigo sobre o baterista de jazz Max Roach, é que, em seus solos curtos, aparece tal número, se considerarmos as relações que aparecem entre tempos de bumbo e caixa.

O compositor húngaro Béla Bartók utiliza esta relação de proporcionalidade constantemente em sua obra. Este fato pode ser visto na análise da música de Bartók feita por Ernö Lendvai (Béla Bartók: And Analysis of his Music).

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No design A seção áurea não era muito admirada apenas pelos geômetras e arquitetos da Grécia clássica e por matemáticos, escribas e arquitetos renascentistas, que fizeram frequente uso dela em seu trabalho.

Foi também muito admirada por artistas e artesãos – incluídos aí os tipógrafos – na era moderna. A série de livros Penguin Classics foi fabricada por mais de meio século com o tamanho-padrão de 111 x 180 mm, que incorpora a seção áurea.

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O sistema Modulor do arquiteto suíço Le Cobusier também se baseia nela. Se os corpos tipográficos forem escolhidos de acordo com a seção áurea, o resultado será novamente uma série de Fibonacci: (a) 5-8-13-21-34-55-89 ...

Sozinhos, esses tamanhos já são adequados a muitas tarefas tipográficas. No entanto, para criar uma escala de corpos mais versátil, uma segunda e terceira série podem ser intercaladas. As possibilidades incluem: (b) 6-10-16-26-42-68-110 … (c) 4-7-11-18-29-47-76 …

Essas três séries – a,b e c – obedecem à regra de Fibonacci (cada termo é a soma dos dois precedentes). A série b também se relaciona com a série a pela simples duplicação de seus termos. A combinação de a e b é, portanto, uma série de Fibonacci dupla com incrementação simétrica, o que forma uma escala de corpos tipográficos muito versátil: (d) 6-8-10-13-16-21-26-34-42-55-68 …

Essas séries não precisam ser usadas apenas para escolhas de tamanhos de tipo. Se elas carregam uma relação de proporção tão harmoniosa, é justo pensar que essa relação pode se desdobrar a

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todos os aspectos da página. A escolha de margens, número de linhas e colunas pode também seguir essa ordem, fazendo com que cada elemento na página contribua para uma página mais fluida e bem organizada, além de agradável aos olhos. Formatos com proporções áureas geram livros com proporções mais clássicas e que chamam mais a atenção dos leitores no meio de todos os outros devido a sua naturalidade.

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04.

PI

PI O π (pi) é a constante matemática ligada às formas circulares. Todos os cálculos, sejam eles básicos ou avançados, de comprimento, área e volume dessas formas ou de quaisquer elementos que tenham ligação com o círculo precisam de π.

Por causa disso ela aparece em fórmulas ligadas a círculos, circunferências, esferas, cilindros, cones e elipses. Na física, aparece em fórmulas para cálculos que vão desde órbitas em astronomia até os de forças elétricas em um átomo. Ou seja, precisamos de π tanto para fabricar um simples DVD quanto para lançar um foguete no espaço.

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3,141592653589793238462643383279502884197169399375 1058209749445923078164062862089986280348253421170 6798214808651328230664709384460955058223172535940 81284811174502841027019385211055596446229489549303 81964428810975665933446128475648233786783165271201 90914564856692346034861045432664821339360726024914 12737245870066063155881748815209209628292540917153 64367892590360011330530548820466521384146951941511 60943305727036575959195309218611738193261179310511 85480744623799627495673518857527248912279381830119 49129833673362440656643086021394946395224737190702 17986094370277053921717629317675238467481846766940 51320005681271452635608277857713427577896091736371

3,1415

78721468440901224953430146549585371050792279689258 92354201995611212902196086403441815981362977477130 99605187072113499999983729780499510597317328160963 18595024459455346908302642522308253344685035261931 18817101000313783875288658753320838142061717766914 73035982534904287554687311595628638823537875937519 57781857780532171226806613001927876611195909216420 19893809525720106548586327886593615338182796823030 19520353018529689957736225994138912497217752834791 31515574857242454150695950829533116861727855889075 09838175463746493931925506040092770167113900984882 40128583616035637076601047101819429555961989467678 37449448255379774726847104047534646208046684259069 49129331367702898915210475216205696602405803815019 35112533824300355876402474964732639141992726042699 22796782354781636009341721641219924586315030286182 97455570674983850549458858692699569092721079750930 29553211653449872027559602364806654991198818347977

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VALOR Pi vale (aproximadamente) 3,1416.

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História A notação com a letra grega π provém da inicial das palavras de origem grega “περιφέρεια” (periferia) e “περίμετρον”

(perímetro) de um círculo. Esta notação foi usada pela primeira vez em 1706 pelo matemático William Jones e popularizada pelo matemático Leonhard Euler, em sua obra «Introdução ao cálculo infinitesimal» de 1748. Foi conhecida anteriormente como a constante de Ludolph (em honra ao matemático Ludolph van Ceulen) ou como constante de Arquimedes.

O valor aproximado de π nas antigas culturas, remonta a época do escriba egípcio Ahmes no ano de 1800 a.C., descrito no papiro Rhind, onde se emprega um valor aproximado de π afirmando que: a área de um círculo é similar a área de um quadrado, cujo lado é igual ao diâmetro do círculo diminuído em 1/9, isto é, igual a 8/9 do diâmetro.

Entre os oito documentos matemáticos achados na antiga cultura egípcia, em dois se fala de círculos. Um é o papiro Rhind e o outro é o papiro de Moscou. Somente no primeiro se fala do valor aproximado do número π. O pesquisador Otto Neugebauer, em um anexo de seu livro “The Exact

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Sciences in Antiquity”, descreve um método inspirado nos problemas do papiro de Ahmes, para averiguar o valor de π, mediante a aproximação da área de um quadrado de lado 8, a de um círculo de diâmetro 9.

Na mesopotâmia, alguns matemáticos empregavam, no cálculo de segmentos, valores de

π igual a 3, alcançando, em alguns casos, valores mais aproximados, como o de 3 + 1/8.

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Encontramos também referências indiretas do valor aproximado de π em um versículo da Bíblia: Fez fundir assim mesmo um mar de dez braças de um lado ao outro, perfeitamente redondo.

Tinha cinco braças de altura e ao seu redor um cordão de trinta braças I Reis 7:23 Uma citação similar pode ser encontrada em II Crônicas 4:2. Nela o valor aparece em uma lista de requerimentos para a construção do Grande Templo de Salomão, construído em 950 a.C. Ambas as citações dão 3 como o valor de π, o que supões uma notável perda de precisão em relação às estimações anteriores, feitas pelos povos egípcios e mesopotâmicos.

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Na grécia antiga, o matemático Arquimedes (século III a.C.) foi capaz de determinar o valor de

π, entre o intervalo compreendido por 3 10/71 , como valor mínimo, e 3 1/7 , como valor máximo.

Com esta aproximação de Arquimedes se obtém um valor para π com um erro que oscila entre 0,024% e 0,040% sobre o valor real.

Em torno do ano 20 d.C., o arquiteto e engenheiro romano Vitrúvio calculou

π como

sendo o valor fracionário 25/8 medindo a distância percorrida em uma revolução, por uma roda de diâmetro conhecido.

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O cálculo de π foi uma atração para os matemáticos de todas as culturas.

Por volta do ano 120, o astrólogo chinês Chang Hong (78- 139) foi um dos primeiros em usar a aproximação √10 , que deduziu da razão entre o volume de um cubo e a respectiva esfera inscrita. Um século depois, o astrônomo Wang Fang o estimou em 142/145, ainda que se desconheça o método empregado. Poucos anos depois, por volta do ano 263, o matemático Liu Hui foi o primeiro a sugerir o valor de 3,14, chegando a usar em seus cálculos um polígono de mais de três mil lados (3.072).

Na Índia, usando um polígono de 384 lados, no final do século V, o matemático Aryabhata estimou o valor em 3,1416. Pela metade do século VII, estimando incorreta a aproximação de Aryabhata, o matemático indiano Brahmagupta calcula π como √10 , cálculo este muito menos preciso que o de seu predecessor. Por volta de 1400, Madhava obtém uma aproximação exata até 11 dígitos, sendo o primeiro a empregar séries (progressões infinitas de números) para realizar a estimativa.

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No século IX Al-Jwarizmi em sua “Álgebra” (Hisab al yabr ua al muqabala) faz notar que o homem prático usa 22/7 como valor de π, o geômetra usa 3, e o astrônomo 3,1416. No século XV, o matemático persa Ghiyath al-Kashi foi capaz de calcular o valor aproximado de π com nove dígitos, empregando uma base numérica sexagesimal, o que equivale a uma aproximação de 16 dígitos decimais: 2π = 6,2831853071795865.

A partir do século XII, o uso de cifras arábicas nos cálculos facilitou muito a possibilidade de obter melhores cálculos para

π. O matemático Fibonacci, em sua Practica Geometriae, amplificou o método de Arquimedes, proporcionando um intervalo mais estreito. Alguns matemáticos do século XVII, como Viète, usaram polígonos de até 393.216 lados para se aproximar com boa precisão a 3,141592653. Em 1593 o flamengo Adriaan van Roomen (Adrianus Romanus) chega a obter uma precisão de 16 dígitos decimais.

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Em 1610 o matemático Ludolph van Ceulen calculou os 35 primeiros decimais de π. Diz-se que estava tão orgulhoso desta façanha que o mandou gravar em sua lápide. Os livros de matemática alemães, durante muitos anos, denominaram a π por causa disso como número ludolfiano.

No século XVII, matemáticos como Isaac Newton, John Wallis, Abraham Sharp e Thomas Fantet de Lagny trabalharam com o número em seus cálculos, seja tentando encontrar valores mais precisos ou o utilizando em estudos de geometria e progressões.

Foi no ano de 1706 quando William Jones afirmou: 3,14159 andc. = π. Leonhard Euler adotou o conhecido símbolo em 1737, que se converteu na anotação habitual até nossos dias.

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Em 1789 o matemático de origem eslovaca Jurij Vega foi o primeiro a averiguar os primeiros 140 decimais de π, dos quais 126 eram corretos; este recorde se manteve durante 52 anos, até que em 1841 William Rutherford calculou 208 decimais, dos quais 152 eram corretos - 26 dígitos de diferença.

Desde a construção do primeiro computador se iniciaram a desenvolver programas para o cálculo do número π com a maior quantidade de cifras possíveis. Desta forma, em 1949 um ENIAC foi capaz de romper todos os recordes obtendo 2037 cifras decimais em 70 horas. Pouco a pouco foram surgindo computadores que batiam recordes e, desta forma, poucos anos depois (1954) um NORAC chegou a 3092 cifras. Durante quase toda a década dos anos 1960 os IBM foram batendo recordes, até que um IBM 7030 pode chegar, em 1966, a 250.000 cifras decimais (8:23h). Durante esta época se experimentavam os novos computadores com algoritmos para a geração de séries de números procedentes de π.

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Na década de 2000, os computadores são capazes de obter um número imensamente grande de decimais; em 2009 se chegou a mais de dois bilhões e meio de decimais mediante o uso de um supercomputador T2K Tsukuba System, formado por 640 computadores de alto rendimento, que juntos conseguem velocidades de processamento de 95 teraflops. Para isso necessitaram de mais de setenta horas!

Na época computacional do cálculo de π os decimais encontrados dispararam, não só devido a potencia de cálculo que estas máquinas são capazes de gerar, mas também pelo prestigio que ocasiona ao construtor da máquina quando sua marca aparece na lista dos recordes.

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Matemática Existem diversas definições do número

π, porém a mais comum é “ π é a relação entre a comprimento da circunferência e seu diâmetro”.

Euclides de Alexandria foi o primeiro em demonstrar que essa relação é uma quantidade constante.

Mas porque vários dos cálculos para o número de π envolvem polígonos de vários lados se ele está relacionado ao círculo e as formas elípticas?

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3

6

5

O método de Arquimedes, um dos mais usados e proposto por ele, era muito simples e consistia em circunscrever e inscrever polígonos regulares de números de lados diferentes em circunferências e calcular o perímetro desses polígonos. É razoável de ser pensar que quanto maior o número de lados, mais o polígono se aproxima da circunferência. Por exemplo: um octógono regular (polígono de 8 lados iguais) é uma aproximação melhor de um círculo do que um hexágono regular (polígono de 6 lados iguais), que por sua vez lembra mais um círculo do

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12

8

∞

que um quadrado. E o cálculo do perímetro dos polígonos, independente do seu número de lados, depende apenas do tamanho de cada lado, que está relacionado com o raio da circunferência na qual ele está inscrito ou circunscrito. Com isso, os teóricos conseguem relacionar o raio do círculo com uma aproximação do seu perímetro, dada pelo perímetro do polígono e assim, de acordo com a definição, estimar o valor para π.

Arquimedes iniciou com hexágonos circunscritos e inscritos, e foi dobrando o número de lados até chegar a polígonos de 96 lados.

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Proporção O pi representa a relação entre o raio de uma circunferência e seu perímetro ou contorno. Mas nem sempre precisamos calcular esse valor ou utilizarmos valores próximos. É possível obter uma aproximação ao valor de π de forma geométrica.

Os gregos tentaram obter, sem êxito, uma solução exata ao problema do valor de π mediante o emprego de régua e compasso. O problema grego conhecido como quadratura do círculo ou, o que é o mesmo, obter um quadrado de área igual à área de um círculo qualquer, ficando implícito o cálculo do valor exato de π. Uma vez demonstrado que era impossível a obtenção de π mediante o uso de régua e compasso, se desenvolveram vários métodos aproximados.

Duas das soluções aproximadas mais elegantes são as devidas a Kochanski (usando régua e compasso) e a de Mascheroni (empregando unicamente um compasso), que são mostradas nos desenhos da página ao lado:

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1

1

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No mundo Por ser uma constante ligada a uma forma muito básica da geometria, o círculo, o pi acaba sendo utilizado amplamente em diversas áreas da matemática e da física.

Na matemática ele, além de estar presente em todas as fórmulas de círculos, elipses e esferas, também aparece em várias fórmulas de probabilidade, sendo a mais famosa, a do problema da agulha de Buffon. Trata-se de lançar uma agulha de comprimento determinado repetidamente sobre uma superfície na qual se traçou retas paralelas com uma distância igual e conhecida entre si de maneira uniforme de forma que a agulha não possa tocar duas retas (ou seja, a distância entre as linhas deve ser maior que o

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tamanho da agulha). Se a agulha for lançada n de vezes, o número de vezes que ela tocará uma das linhas pode ser calculado utilizando-se uma fórmula que depende de pi.

Na física, o pi aparece em fórmulas de eletrostática, eletromagnetismo, astronomia e até de mecânica quântica.

Essa grande presença em diversas áreas do conhecimento e mesmo o fascínio que o pi exerce em algumas pessoas foram capazes de ampliar sua utilização para eventos e fatos do cotidiano.

O dia 22 de julho é dedicado a aproximação de

π, já que uma de suas aproximações utilizadas é o 22/7. O dia 14 de março (3/14 no formato de data americano) se marca também como o dia π no qual os fãs deste número o celebram com diferentes atuações. Curiosamente é o aniversário de Einstein.

John Squire (da banda The Stone Roses) menciona

π em uma canção escrita para sua segunda banda The Seahorses denominada “Something Tells Me”. A canção acaba com uma letra como: “What’s the secret of life? It’s 3,14159265, yeah yeah!!”.

Além disso tudo, o número é empregado na série de sinais que são enviados da terra com o objetivo de serem identificados por uma civilização inteligente extraterrestre.

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No design Apesar da grande presença do círculo nos projetos de design, ele geralmente é determinado em função do seu raio ou diâmetro. Mas análises mais profundas de área para determinação de pesos em layouts já trazem o pi como um fator fundamental de conhecimento dos profissionais da área.

Além disso, qualquer estrutura, seja uma linha de texto ou um grafismo que for seguir o contorno de uma circunferência, também precisa de pi para ser calculado, caso seja necessário.

Dentro de formatos e grids, a proporção 1:pi não é muito

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utilizada pois gera um formato muito aberto, que pode ser útil em determinadas situações mas que não se encaixa tanto em livros e publicações mais tradicionais. Uma proporção muito utilizada no entanto, é a de pi/e, que gera um formato quase quadrado, perfeito para obras com conteúdo predominantemente quadrado, como fotos de formatos específicos por exemplo. Então, antes de falarmos dessa proporção, devemos conhecer o outro número que a forma: o e, que é apresentado no capítulo a seguir.

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05.

E

E O número e está ligado as exponenciais, logaritmos e outras operações mais complexas, como as integrais e derivadas, bases do cálculo. É considerado um dos cinco números mais importantes da matemática e é utilizado na economia (para cálculos de progressão de juros, por exemplo), na engenharia, biologia e sociologia.

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2.718281828459045235360287471352662497757247093699 9595749669676277240766303535475945713821785251664 2742746639193200305992181741359662904357290033429 52605956307381323286279434907632338298807531952510 1901157383418793070215408914993488416750924476146 0668082264800168477411853742345442437107539077744 9920695517027618386062613313845830007520449338265 60297606737113200709328709127443747047230696977209 3101416928368190255151086574637721112523897844250 56953696770785449969967946864454905987931636889230 09879312773617821542499922957635148220826989519366 8033182528869398496465105820939239829488793320362 5094431173012381970684161403970198376793206832823

2,718

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VALOR O nĂşmero e vale (aproximadamente) 2,718.

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História A história do número e confunde-se com a história do cálculo integral e diferencial. Foi a tentativa de calcular a área de uma curva aparentemente simples (y = 1/x) que inspirou Newton e Leibnitz a estudarem processos infinitos, criando assim o cálculo e tomando conhecimento do número e.

Muitos outros já haviam aproximado seu valor antes, em cálculos financeiros. Um tablete de argila dos antigos babilônios, datada de cerca de 1700 a.C., propõe um problema envolvendo uma questão de investimento: “Quanto tempo levará para uma soma de dinheiro dobrar se for investida a uma taxa de vinte por cento de juros compostos anualmente?”

A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier.

Os logaritmos foram criados como ferramenta para agilizar cálculos, como, por exemplo, na astronomia.

No entanto, este estudo não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta.

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A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para uma expressão muito comum no cálculo de juros compostos. Em cerca de meio século depois ele é incorporado e estudado pelo advento do Cálculo Diferencial e Integral, a partir do século XVII. Daí, em diante, o número de Euler tornou-se importante e surgiu em diversas áreas do conhecimento, como a Biologia, a Economia, as Engenharias e a Física, dentre outros ramos do conhecimento.

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O número de Euler, como também é conhecida a constante, em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática,número exponencial etc. Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.

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A matemática Por estar ligado a cálculos mais avançados, o número e raramente é apresentado nas escolas para alunos do ensino médio, a não ser em breve citações sobre logaritmos neperianos, que muitas pessoas fazem questão de esquecer assim que saem da escola. Mas ele também aparece em alguns problemas mais simples que ajudam a entender e a calcular seu valor.

O primeiro é o problema dos juros compostos. Considere que você possui um capital inicial que você deseja investir. Vamos chamá-lo de P. Para saber se vale a pena investir a uma taxa de juros que chamaremos de r, temos que calcular qual será o montante ou soma total S que resultará ao final de um tempo t. Geralmente a taxa r é dada ao ano, mas o dinheiro não rende só ao final de um ano, ele rende a cada período que fica no banco. Então temos que dividir r por n (se queremos o rendimento mensal, então n=12) e multiplicar t (em anos) por n, para acharmos o número total de vezes que ele rende. Para poucos meses

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conseguimos fazer esses cálculos mês a mês, mas e quando queremos saber ao final de 4 anos por exemplo? Ou se temos uma aplicação muito específica em que o dinheiro rende a cada hora? Nesses casos utilizamos a fórmula de juros compostos exponencial, que é dada por: S = P (1 + r/n)nt onde P é o seu capital inicial, r é a taxa de juros anual, t é o período (em anos) que seu dinheiro ficará aplicado e n é a divisão do ano na qual o dinheiro rende.

Tomemos um caso específico dessa aplicação: vamos supor que aplicamos 1 real. Claro que ninguém aplica um valor tão pequeno, mas se utilizamos a unidade, conseguimos ter ideia de quantas vezes o dinheiro se multiplica ao final do período de investimento e podemos assim aplicar esse fator para qualquer quantia. Agora suponhamos que a cada ano, o rendimento seja de 100%, ou seja, que o dinheiro dobre a cada ano. E queremos saber quanto o dinheiro irá render no final desse ano. Não basta multiplicar o valor inicial por dois, porque o dinheiro rende a cada

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intervalo de tempo do ano e os rendimentos futuros são aplicados inclusive sobre o que se rendeu anteriormente. Por exemplo: se o seu dinheiro rende a cada seis meses, no final do primeiro semestre ele renderá 50% (se o ano foi dividido por dois, a taxa também é dividida por dois) e você terá 1,5 vezes do valor aplicado. Ao final do segundo semestre você também terá 1,5 vezes do valor aplicado, mas ele agora já é 1,5 vezes o valor inicial. Portanto seu valor final é 1,5² vezes maior, que corresponde a 2,25 (e não 2, quando se considera apenas um rendimento de 100%).

Com isso, chegamos a uma questão: quanto mais divisões, mais o dinheiro rende. Mas ao mesmo tempo, menos ele rende em cada período. Se dividirmos o ano ao máximo, no limite quando essas divisões chegam a infinito, teremos o rendimento máximo possível em um ano. Mas quanto isso vale? A resposta é o nosso número de Euler. Ao final de um ano, rendendo a cada milésimo de milésimo de segundo, o rendimento se aproxima de 2,718. Na matemática pura, dizemos que o limite de n, quando n tende a infinito de (1+1/x)x é o número de Euler.

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No mundo Podemos pensar que por ser tão complexa sua utilização, o número de Euler só serve para cálculos avançados que só são utilizados em nanotecnologias e em lançamentos de foguetes espaciais. Isso não é bem verdade. A constante e, além de estar ligada a exponenciais, também está ligada às funções seno e cosseno. Não precisamos saber exatamente como, pois esse não é o foco aqui. E essas funções são as componentes principais para todo tipo de transmissão, seja na internet ou no telefone. Você já pensou como sua voz sai de um telefone e chega no outro igual? Ou pelo menos

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reconhecível? Ela é decomposta em uma soma de ondas mais simples, que são facilmente reconstruídas, as funções seno e cosseno. Assim, o número de informações a serem transmitidas diminui e isso possibilita a comunicação instantânea. E para toda essa manipulação precisamos do número de Euler.

Além disso, a constante também aparece como base do cálculo exponencial e é amplamente utilizada em aplicações com juros e em outros problemas de crescimento acumulado, como o de proliferação de bactérias ou o de crescimento demográfico.

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No design Como o uso do número de Euler depende de uma série de conhecimentos mais avançados, talvez utilizar seu valor para proporções não seja muito vantajoso, pois pode gerar relações errôneas ou que talvez não sejam úteis para o leitor.

Mas uma proporção muito utilizada em grids e formatos vem da junção de duas constantes aparentemente separadas: o e e o pi. Sua razão gera uma proporção hexagonal e que é

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muito utilizada em aplicações mais específicas envolvendo conteúdos baseados em imagens e fotografias.

A página e/pi ou hexagonal virada, 1:1,16, por exemplo, que é um pouco mais alta do que um quadrado perfeito, é útil para originais quadrados, tais como fotos tiradas com câmeras de formato quadrado.

Já página pi/e ou hexagonal larga, 1:0,87, é útil para fotos com proporção de paisagem no formato 4x5.

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06. epĂ­logo

Epílogo Após todo esse estudo, vemos que os números que estão a nossa volta podem ser de grande ajuda no projeto de um livro ou em qualquer outro projeto de design.

As relações que os números propõem estão diretamente ligadas com todas as relações existentes na natureza, afinal foram de lá que eles saíram. Cada número é apenas uma representação de algo que existe.

Todos os números aqui apresentados envolvem conceitos e relações muito próximas. A proporção áurea gera um retângulo que é dinâmico, tão dinâmico quanto um retângulo de raiz de 2. A raiz de 2 vem da diagonal do quadrado, que pode ser inscrito em um círculo, cujo perímetro tem relação com pi. E o círculo determina relações de ângulos escritas por senos e cossenos, que por sua vez são funções ligadas a contante de Euler. Todos os números estão ligados de alguma forma, basta saber como utilizar cada ligação para evocar algo que já vimos.

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Quando utilizamos relações de proporção vindas de elementos do nosso cotidiano estamos construindo novos objetos que serão mais facilmente inseridos e reconhecidos nas vidas das pessoas, justamente pela similaridade.

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Se fazemos algo baseados na nossa experiência visual ou no que nos parece certo estamos apenas, de modo instintivo, aplicando todas as relações que conhecemos e julgando qual é a mais apropriada.

A partir do momento que essas relações são explicitadas e se conhece a origem e a aplicação para cada uma delas, estamos fazendo um design mais consciente e, se bem feito, mais eficiente.

Não precisamos nos tornar matemáticos para fazer um bom design, até porque de nada adianta todas essas relações se elas não tiverem um propósito muito claro nos projetos. Mas quanto mais pudermos usufruir desses conhecimentos mais estaremos agregando ao projeto.

E, com isso, estaremos fazendo um design melhor.

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Referências - BRINGHURST, Robert. Elementos do Estilo Tipográfico. São Paulo: Cosac Naify. 2005 - ELAM, Kimberly. Geometria do Design: estudos sobre proporção e composição. São Paulo: Cosac Naify, 2010 - HENDEL, Richard. O design do livro. São Paulo: Atelie Editorial, 2003.

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