Cadernos de apoio e aprendizagem

ORIENTAÇÕES

FUN

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PROGRAMA

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CURRICULARES

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Prefeitura da Cidade de São Paulo

Fundação Padre Anchieta

Prefeito Gilberto Kassab

Presidente João Sayad Vice-Presidentes Ronaldo Bianchi Fernando Vieira de Mello

Secretaria Municipal de Educação Secretário Alexandre Alves Schneider Secretária Adjunta Célia Regina Guidon Falótico Diretora da Assessoria Técnica de Planejamento Fátima Elisabete Pereira Thimoteo Diretora de Orientação Técnica Regina Célia Lico Suzuki (Coordenadora Geral do Programa) Divisão de Orientação Técnica Ensino Fundamental e Médio Suzete de Souza Borelli (Diretora e Coordenadora do Programa DOT/EF) Cristhiane de Souza, Hugo Luiz Montenegro, Humberto Luis de Jesus, Ione Aparecida Cardoso Oliveira, Leika Watabe, Leila de Cássia José Mendes, Margareth Aparecida Ballesteros Buzinaro, Maria Emilia Lima, Regina Célia dos Santos Câmara, Silvia Moretti Rosa Ferrari Divisão de Orientação Técnica Educação Especial Silvana Lucena dos Santos Drago Diretores Regionais de Educação Eliane Seraphim Abrantes, Elizabeth Oliveira Dias, Hatsue Ito, Isaias Pereira de Souza, José Waldir Gregio, Leila Barbosa Oliva, Leila Portella Ferreira, Maria Angela Gianetti, Maria Antonieta Carneiro, Marcelo Rinaldi, Silvana Ribeiro de Faria, Sueli Chaves Eguchi, Waldecir Navarrete Pelissoni Equipe técnica de apoio da SME/DOT Ana Lúcia Dias Baldineti Oliveira, Ana Maria Rodrigues Jordão Massa, Claudia Aparecida Fonseca Costa, Delma Aparecida da Silva, Jarbas Mazzariello, Magda Giacchetto de Ávila, Maria Teresa Yae Kubota Ferrari, Mariana Pereira Rosa Santos, Tania Nardi de Padua, Telma de Oliveira Assessoria Pedagógica SME/DOT Célia Maria Carolino Pires, Maria José Nóbrega

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Diretoria de Educação Diretor Fernando José de Almeida Gerentes Monica Gardelli Franco Júlio Moreno Coordenadora do projeto Maria Helena Soares de Souza

Equipe de autoria Coordenação Célia Maria Carolino Pires Autores Armando Traldi Junior, Célia Maria Carolino Pires, Cíntia Aparecida Bento dos Santos, Danielle Amaral Ambrósio, Dulce Satiko Onaga, Edda Curi, Ivan Cruz Rodrigues, Janaína Pinheiro Vece, Jayme do Carmo Macedo Leme, Leika Watabe, Maria das Graças Bezerra Barreto, Norma Kerches de Oliveira Rogeri, Simone Dias da Silva, Wanderli Cunha de Lima Leitura crítica Eliane Reame, Rosa Monteiro Paulo, Walter Spinelli

Equipe Editorial Gerência editorial Carlos Seabra Secretaria editorial Janaína Chervezan da Costa Cardoso Assessoria de conteúdo Márcia Regina Savioli (Língua Portuguesa) Maria Helena Soares de Souza (Matemática) Controle de iconograﬁa Elisa Rojas Apoio administrativo Acrizia Araújo dos Santos, Ricardo Gomes, Walderci Hipólito Edição de texto Helena Meidani, Maria Carolina de Araujo Revisão Ana Luiza Saad Pereira, Marcia Menin, Maria Carolina de Araujo, Silvia Amancio de Oliveira Direção de arte Eliana Kestenbaum, Marco Irici Arte e diagramação Cristiane Pino, Cristina Izuno, Henrique Ozawa, Mariana Schmidt Ilustrações Beto Uechi, Gil Tokio, Leandro Robles – Estúdio Pingado Tom-B Antonio Robson Fernando Makita Bureau de editoração Mare Magnum Artes Gráﬁcas

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Prezado(a) professor(a), Os Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática, destinados aos estudantes dos nove anos do Ensino Fundamental, têm como ﬁnalidade contribuir para o trabalho docente visando à melhoria das aprendizagens dos alunos. Sua elaboração teve como critérios para seleção das atividades o alcance das expectativas de aprendizagem contidas nos documentos de Orientações curriculares e as diﬁculdades apresentadas pelos alunos na Prova São Paulo e na Prova da Cidade. Na área de Matemática, estes Cadernos foram preparados de modo a contemplar os seguintes blocos de conteúdos: espaço e forma, grandezas e medidas, números, operações, tratamento da informação. Além do material escrito, os estudantes terão acesso também a vídeos produzidos especialmente para desencadear as discussões em sala de aula – por meio de DVD inserido no Livro do Professor. Destacamos que, qualquer que seja o conteúdo abordado nos Cadernos, sua organização possibilita aos alunos usar ativamente seus conhecimentos para resolver os problemas apresentados, valorizando seus procedimentos e estratégias pessoais. É importante ressaltar que esta obra não está proposta como único recurso a ser utilizado para a aprendizagem dos estudantes. Ela deve ser complementada com atividades planejadas pelo professor, em função das características de sua turma, fazendo uso de livros didáticos e de outros materiais já publicados pela SME, disponíveis nas escolas, para trabalho com o Ensino Fundamental (Guias de planejamento e orientações didáticas – Ciclo I, Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem do Ciclo I e das áreas de conhecimento do Ciclo II, Referenciais de expectativas para o desenvolvimento da competência leitora e escritora – Ciclo II). Para cada ano de escolaridade foram produzidas sequências de atividades para os alunos e orientações didáticas para o professor. A proposta é que estes Cadernos sejam utilizados pelos professores e pelos alunos duas vezes por semana. Esperamos que os Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática, com outros recursos e projetos desenvolvidos pelos professores nas Unidades Educacionais e por todos nós na SME, e, em especial, as ações de formação continuada possam colaborar para a melhoria da aprendizagem dos alunos em Matemática. Saudações,

Alexandre Alves Schneider Secretário Municipal de Educação de São Paulo

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Bibliotecária Silvia Marques CRB 8/7377) C122 Cadernos de apoio e aprendizagem: Matemática / Programa de Orientações curriculares. Livro do Professor. São Paulo: Fundação Padre Anchieta, 2010. Nono ano, il. (vários autores) ISBN 978-85-8028-038-8 ISBN 978-85-8028-029-6 (aluno) 1. Ensino Fundamental 2. Matemática I. Título. CDD 371.302.813

Esta obra, Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática e Língua Portuguesa, é uma edição que tem a Fundação Padre Anchieta como Organizadora e foi produzida com a supervisão e orientação pedagógica da Divisão de Orientação Técnica da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.

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Sumário Parte I 1. Apresentação

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2. Reﬂexão sobre problemas a enfrentar

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 Problematização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Uso de recursos didáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Contextualização histórica e cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 O trabalho com números reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 O trabalho com operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 O trabalho com álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20 O trabalho com espaço e forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 O trabalho com grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 O trabalho com tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

4. Orientações metodológicas e didáticas especíﬁcas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31 Planejar é preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Planejar de acordo com o tempo didático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 Planejar de acordo com a organização da sala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32 Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas . . . . . . . . . . . . . . .33 Alguns procedimentos para coletar dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor

Referências bibliográﬁcas

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Parte II Comentários e sugestões página a página Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

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1. Apresentação O Caderno de apoio e aprendizagem – Matemática, dirigido aos estudantes do 9o ano, é composto por oito Unidades, a serem desenvolvidas ao longo do ano letivo. Em cada uma delas são propostas atividades relacionadas a um grupo de expectativas de aprendizagem, retiradas das Orientações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem (da PMSP, Secretaria Municipal de Educação, 2007), articulando diferentes eixos de conteúdos – números, operações, espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informação – que orientarão o planejamento das aulas. Buscando apoiar o trabalho do professor, este material leva em conta o fato de que sua tarefa tornou-se muito mais complexa do que a de simplesmente transmitir informações, pois é necessário elaborar boas situações de aprendizagem que mobilizem conhecimentos prévios de cada estudante e que lhe permitam construir novos signiﬁcados, novas aprendizagens e socializá-los com os colegas e com o professor. Tal complexidade gerou a propagação de ideias simplistas que ocasionam distorções a respeito do papel do ensino. O que se pretende não é que as atividades aqui propostas sejam “aplicadas mecanicamente”, e sim que provoquem discussões entre os professores sobre as expectativas de aprendizagem para os alunos e as hipóteses e pressupostos considerados em cada uma delas para que sejam enriquecidas e ajustadas a cada turma. Destaca-se a importância do uso de outros recursos disponíveis – livros didáticos, paradidáticos, vídeos, softwares, jogos – que o professor julgue interessantes para ampliar a aprendizagem de seus alunos. Da mesma forma, é fundamental que a Matemática seja compreendida por eles e que não lhes traga medo ou insegurança, cabendo ao professor criar um ambiente favorável para a aprendizagem, cuidando sempre para

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que tenham conﬁança na elaboração de estratégias pessoais diante de situações-problema, assim como interesse e curiosidade por conhecer outras, aprendendo a trocar experiências com seus pares e a cuidar da organização na elaboração e apresentação dos trabalhos.

2. Reflexão sobre problemas a enfrentar Para Pires e Santos (2008), ainda existem (e são fortes) alguns mitos e crenças como o de que Matemática é algo para quem tem dom, para quem é geneticamente dotado de determinadas qualidades, ou o de que é preciso ter certo capital cultural para transitar no universo matemático. Essas crenças se contrapõem às propostas que defendem que todos os alunos podem fazer Matemática em sala de aula, que são capazes de construí-la, produzi-la, engajando-se no processo de produção de seus conhecimentos matemáticos. É frequente também a crença de que os estudantes só podem resolver problemas que conhecem, que já viram resolvidos e que podem tomar como modelo. Tal convicção dificulta a aceitação de que o ponto de partida da atividade matemática não deve ser uma definição, mas um problema. Esse, certamente, não é um exercício em que se aplica de maneira quase mecânica uma fórmula ou um processo operatório, pois só há problema, no sentido estrito do termo, se o aluno é obrigado a trabalhar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada. Segundo os mesmos autores, além desses mitos e crenças, muitas deformações na prática docente foram se consolidando por influência de visões deturpadas das próprias teorias educacionais. Uma ideia bastante comum é a de que, em uma perspectiva construtivista, o percurso de aprendizagem deve ser ditado unicamente por interesses dos alunos, sem definições prévias de objetivos e conteúdos. Construiu-se certa aversão ao planejamento de uma trajetória de aprendizagem a

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ser realizada pelos estudantes, o que leva à improvisação e à não aprendizagem. Pires e Santos (2008) destacam também como inadequada a noção de que contextualizar envolve apenas mostrar as aplicações dos conhecimentos matemáticos no cotidiano e não que os alunos possam atribuir significado às ideias matemáticas em diferentes contextos; além disso, pouco se discute que há momentos de descontextualização, fundamentais para a construção de conhecimentos que poderão ser usados em novos contextos. Existe, ainda, certo receio no que se refere à institucionalização e sistematização dos conhecimentos; deve-se refletir sobre o fato de que, à medida que as ideias e procedimentos matemáticos vão sendo construídos pelos alunos, é fundamental que o professor os ajude a organizá-los, a nomear, a definir, a formular e, também, a exercitar. Finalmente, os autores enfatizam as muitas concepções de que, em geral, o simples uso de “materiais concretos”, como jogos, softwares, entre outros, resolve, por si só, os problemas de aprendizagem dos alunos; esses recursos podem, sem dúvida, apresentar boas situações de aprendizagem, mas tudo depende de como elas são propostas e da intervenção planejada pelo professor. Tal perspectiva traz implicações para a atuação do educador e, consequentemente, a necessidade de que ele se aproprie de conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos, conhecimentos didático-pedagógicos e curriculares. Essa pretende ser uma das contribuições dos Cadernos de apoio e aprendizagem.

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais As atividades deste material seguem os pressupostos abaixo explicitados. São eles:  Exploração de uma diversidade de conteúdos, abordando, de maneira equilibrada e articulada, números e operações,

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espaço e forma, grandezas e medidas, além do tratamento da informação, que aparece de modo transversal.  Apresentação contextualizada dos conhecimentos matemáticos, com base nos problemas encontrados no cotidiano do aluno, nas demais áreas de conhecimento e no interior da própria Matemática, ressaltando que as ideias matemáticas sejam sistematizadas e generalizadas para serem transferidas para outros contextos.  Uso de diversos recursos didáticos disponíveis – jogos, materiais manipuláveis, vídeos, calculadoras, computadores, jornais, revistas – deve ser amplamente explorado a serviço da aprendizagem.  A aprendizagem dos estudantes precisa ser acompanhada continuamente, sendo sempre orientada pelas expectativas de aprendizagem que se deseja construir. São eixos metodológicos privilegiados para o ensino de Matemática: a resolução de problemas, as investigações, o recurso à história da Matemática e às novas tecnologias.

Problematização A problematização deve orientar o trabalho do professor, por isso precisa estar sempre inserida no processo de aprendizagem dos estudantes, que serão levados a desenvolver algum tipo de estratégia para resolver as situações apresentadas. Um problema não é traduzido por um enunciado contendo uma pergunta a ser respondida de uma única maneira; é uma situação que demanda a realização de ações ou operações para obter um resultado. Desse modo, a solução não está disponível de início, mas será possível construí-la. A discussão de procedimentos para a resolução de problemas, desde a leitura e análise cuidadosa da situação, até a elaboração de procedimentos que envolvem simulações, tentativas, hipóteses, é fundamental, especialmente quando os estudantes são orientados para comparar seus resul-

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tados com os de colegas e para validar seus procedimentos e resultados. O problema se caracteriza quando é necessário que o aluno interprete o enunciado da questão proposta, estruture a situação apresentada, encontre uma solução e veriﬁque se ela é adequada/correta, ou não. É preciso, portanto, que ele desenvolva habilidades que lhe permitam provar os resultados, testar seus efeitos e comparar diferentes caminhos para obter a solução. Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta cede lugar à importância do processo de resolução e da construção de argumentos matemáticos por parte dos estudantes. O fato de o aluno ser orientado para questionar a própria resposta, questionar o problema, transformar um dado problema em uma fonte de novos problemas, formular outros com base em determinadas informações e analisar problemas abertos – que admitem diferentes respostas em função de certas condições – evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação reﬂetida. Com tais características, a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem. Trata-se de uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se podem construir conceitos, procedimentos e argumentos que ampliem o conhecimento matemático.

Uso de recursos didáticos Uma das propostas de maior consenso na atualidade, entre educadores, é a de que o ensino de Matemática possa aproveitar, ao máximo, os recursos didáticos e tecnológicos disponíveis, para enriquecer o trabalho do professor e potencializar as aprendizagens dos estudantes. Nos últimos anos, a utilização de múltiplos recursos vem sendo implementada pelos professores. Um exemplo é o trabalho

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com a leitura de notícias de jornais e revistas e com livros paradidáticos, que proporcionam contextos signiﬁcativos para a construção de ideias matemáticas e complementam o que foi produzido com o livro didático. Outro exemplo é o uso de calculadoras e computadores que, necessariamente, devem estar presentes nas salas de aula das novas gerações, tanto por sua ampla utilização pela sociedade como para melhorar a linguagem expressiva e comunicativa dos alunos. É interessante destacar que as experiências escolares com o computador também têm mostrado que seu uso efetivo pode levar ao estabelecimento de uma nova relação professor-estudante, marcada por maior proximidade, interação e colaboração. As pesquisas na internet permitem aos estudantes ter informações sobre a história e sobre as personagens da Matemática e revelam que foram uma criação coletiva humana. Eles aprendem que foram necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diversos momentos históricos, que impulsionaram o desenvolvimento dessa área de conhecimento. Quanto ao uso da calculadora, constata-se que é um recurso útil para veriﬁcação de resultados e correção de erros, podendo ser um valioso instrumento de autoavaliação. Além disso, ela favorece a busca e a percepção de regularidades matemáticas e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-problema, pois leva à descoberta de estratégias e à investigação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na execução dos cálculos. Além disso, ela possibilita trabalhar com valores da vida cotidiana, em que cálculos são mais complexos, como conferir os rendimentos na caderneta de poupança. No mundo atual, saber fazer cálculos com lápis e papel é uma competência de importância relativa, que deve conviver com outras modalidades de cálculo, como o cálculo mental e o produzido pelas calculadoras e as estimativas, portanto, não se pode privar os estudantes de um conhecimento de uso social.

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Outros recursos utilizados em Matemática são aqueles que funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, como imagens que por si mesmas possibilitam a compreensão ou a demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade. Um exemplo bastante conhecido é a representação do teorema de Pitágoras, mediante figuras que permitem “ver” a relação entre o quadrado da hipotenusa e a soma dos quadrados dos catetos. A visualização e a leitura de informações gráficas em Matemática são aspectos importantes, pois auxiliam a compreensão de conceitos e o desenvolvimento de capacidades de expressão gráficas. Para complementar, destacamos que o material está acompanhado por um DVD com dois vídeos: O que são os números irracionais? e Nós e os gráficos. O primeiro vídeo aborda aplicações de alguns números irracionais ao longo da história que permanecem nos dias atuais. A exploração é oportuna após a Unidade 3. O professor pode começar comentando com os alunos o título e solicitar que digam o que acham que o vídeo poderá mostrar a respeito do tema. Em seguida, registrar na lousa algumas opiniões e depois fazer a exibição. Após a apresentação, o professor deve retomar as opiniões e comparar com o que foi abordado no vídeo. Na aula seguinte, é importante que assistam novamente a ele e que cada aluno elabore um texto sobre o que foi tratado. O segundo vídeo, Nós e os gráficos, documenta uma entrevista em uma agência de publicidade. O entrevistado mostra a utilização de diferentes tipos de gráfico para organizar e visualizar os dados levantados, especialmente via internet, para delinear o perfil de determinados grupos da população e, com base neles, direcionar as formas de publicidade que serão veiculadas.

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Recomenda-se exibi-lo integralmente aos alunos na primeira vez, pedindo que cada um anote a informação do vídeo que mais o surpreender e também os tipos de gráﬁco apresentados. Após a exibição, pode-se promover a discussão do que a turma levantou, destacando o cuidado que se deve ter ao disponibilizar informações pessoais na internet e a importância do consumo consciente, entre outros pontos. É importante voltar a alguns pontos do vídeo em que aparecem gráﬁcos e congelar as imagens para analisar, com mais detalhes, as informações contidas em cada um.

Contextualização histórica e cultural Ao estudar as contribuições matemáticas de algumas culturas antigas, o aluno compreenderá que o avanço tecnológico de hoje não seria possível sem a herança cultural de gerações passadas. Embora a recomendação seja bastante óbvia, vale a pena ressaltar que, ao abordar aspectos históricos, não se tem como objetivo colocar a ênfase em fatos, datas e nomes e, muito menos, que eles sejam memorizados pelos estudantes e cobrados em avaliações. Fatos, datas e nomes aparecem nos textos para contextualizar o próprio processo de construção histórica das ideias e conceitos matemáticos. Também os jogos que fazem parte da cultura infantil e juvenil podem contribuir para um trabalho de formação de atitudes – enfrentar desaﬁos, lançar-se à busca de soluções, desenvolver a crítica, a intuição, a criação de estratégias e a possibilidade de alterá-las quando o resultado não for satisfatório –, necessárias para a aprendizagem da Matemática. Além disso, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de certo ou errado é decidido pelo grupo. Assim, a prática do debate possibilita o exercício da argumentação e a organização do pensamento.

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4. Orientações metodológicas e didáticas específicas O trabalho com números reais As atividades das Unidades de 1 a 4 envolvem os números racionais e são propostas para verificar conhecimentos prévios dos estudantes sobre as diferentes representações desses números nas formas porcentual, decimal e fracionária. Além disso, o trabalho com números racionais também tem o objetivo de ampliar e consolidar seus diferentes significados em situações que envolvem porcentagens e dízimas periódicas. Nos anos anteriores, é possível que os alunos tenham tido contato com dízimas periódicas, obtidas de representações decimais de alguns números racionais na forma fracionária. Neste ano, essas representações são retomadas na Unidade 1 para trabalhar o processo inverso, isto é, dada uma dízima periódica, determinar uma representação fracionária correspondente. No que se refere à abordagem dos números irracionais, a história da Matemática traz informações sobre o surgimento desse tipo de número em atividades nas quais os alunos podem constatar que existem situações-problema, vinculadas à geometria e a medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais. Também há atividades na Unidade 2 com números irracionais nas quais o ponto de partida são as relações numéricas e geométricas presentes em algumas obras de arte, como a utilização do número áureo, apresentado como uma razão entre medidas dos dois lados de um retângulo e que é um número irracional. Essas atividades têm por objetivo trabalhar com o conjunto dos números reais como ampliação do conjunto dos números racionais. Espera-se que os alunos reconheçam o conjunto dos números reais como conjunto reunião dos números racionais e irracionais.

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Ao ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos, deve-se reafirmar que as propriedades operatórias e de ordenação, já estudadas, em cada conjunto numérico são mantidas e cada um deles é inserido em outro, como subconjunto. É importante lembrar que a ideia de número irracional não é intuitiva, talvez pela inexistência de modelos materiais que exemplifiquem esses números, ou ainda pela percepção da densidade do conjunto dos números racionais (entre dois racionais há uma infinidade de racionais). Apesar de ser muito antiga, a convivência das pessoas com os números irracionais, somente no século XIX, com Weierstrass, Méray, Dedekind e Cantor, apareceram teorias dos números irracionais satisfatórias do ponto de vista do rigor científico. Passaram-se assim mais de 2 mil anos até a formalização da teoria geral sobre os números reais, que incluem os irracionais.

O trabalho com operações Com relação aos cálculos com números irracionais, as atividades propostas no 9o ano buscam trabalhar paralelamente a ideia de efetuá-los por meio de aproximações racionais e de operá-los com radicais (raízes quadradas), utilizando as mesmas propriedades dos números racionais. Com base em situações-problema envolvendo cálculos com números irracionais, por meio de aproximações racionais é explorado o conceito de arredondamento. As atividades, também, têm como objetivo o desenvolvimento de diferentes habilidades como:  cálculo escrito, que favorece a compreensão dos algoritmos e das propriedades,  estimativas, que permitem fazer previsões e tomar decisões,  e uso de calculadoras, que permitem conﬁrmar e validar resultados.

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Exemplos de atividades:  1. Para determinar a medida do outro cateto do triângulo, Mariana escreveu o quociente

m, mas ﬁcou em

dúvida sobre como fazer essa divisão: Será que posso calcular os valores aproximados e e dividi-los de ou primeiro devo calcular 20 ÷ 2 para então calcular ?

Ou seja, ela quer saber se

Para elucidar a dúvida de Mariana, use uma calculadora e veriﬁque se os resultados coincidem. 2. Se os números 20 e 2 forem trocados por quaisquer outros valores positivos, o procedimento para obter o quociente das raízes quadradas desses números seria exatamente o mesmo. Experimente. a)

Além disso, a utilização de calculadoras durante as aulas é justiﬁcada para que os cálculos trabalhosos com números irracionais, na forma decimal, possam dar lugar às atividades que enfatizam os processos, as estratégias e a interpretação de dados. Em algumas atividades, um recurso introduzido e proposto é o aproveitamento das funções de memória de uma calculadora. Ao longo das Unidades, as ideias, os conceitos, as propriedades e as operações são organizados, desenvolvidos e generalizados para que possam ser transferidos a outros contextos matemáticos.

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Na Unidade 8, além dos conceitos de capital, juro, montante e taxa de juro, aborda-se o conceito de regime de capitalização sob juro simples, que foi denominado juro simples. Para exemplificar, pode-se imaginar que uma pessoa vá aplicar um capital em uma instituição financeira que remunera essa aplicação sob o regime de juro simples. Esse capital costuma ser chamado capital inicial. Vamos representar:  o capital inicial por C;  a taxa de juro simples por j;  os períodos de aplicação por n. De modo geral, o capital, após n períodos de aplicação, poderá ser calculado pela fórmula: Cn = C ∙ (1 + n ∙ j) na qual o símbolo Cn representa seu capital (montante) após n períodos de tempo de aplicação. Outro regime de capitalização abordado, de forma ilustrativa, é o regime sob juro composto, que é o mais utilizado nas aplicações financeiras e empréstimos em bancos e financeiras.

O trabalho com álgebra No que se refere à álgebra, nas expressões algébricas das atividades do 9o ano, as letras representam:  um número qualquer, por exemplo, quando é solicitada “tradução algébrica” da relação de Pitágoras. Ou seja, ao representar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa por a2, as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos por b2 e c2 e a relação entre essas áreas por: a 2 = b 2 + c 2.  símbolos arbitrários de uma estrutura estabelecida por certas propriedades, quando com base em uma situação numé-

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rica se constroem necessárias descontextualizações para a compreensão da propriedade genérica, como, por exemplo: .  um número desconhecido, no estudo de equações. Na Unidade 4, o estudo de equações é ampliado com a introdução de equações de 2o grau em situações-problema com contextos matemáticos e geométricos. No início, para construir as “regras” para resolução de equações de 2o grau, as atividades possibilitam que os alunos recorram aos conceitos de raiz quadrada e de fatoração de polinômios e a propriedades básicas como: “Se a e b representam números racionais ou irracionais e se a × b = 0, então, a = 0 ou b = 0”. Em seguida, com a análise teórica dessas regras e suas generalizações, busca-se uma formulação geral. Neste trabalho, após a resolução de equações, discute-se o significado das soluções (raízes), em confronto com a situação proposta, ou seja, solicita-se que os estudantes reflitam se as soluções encontradas fazem sentido para o problema dado. As expressões algébricas na forma fracionária são estudadas, na Unidade 6, como generalizações de números racionais na forma fracionária. As atividades são propostas para que se evidencie a analogia existente entre ambos. Como as aplicações desse assunto aparecem muito pouco no cotidiano escolar, sugerimos que esse conhecimento seja ajustado ao projeto pedagógico do professor. Na Unidade 8, os alunos têm um primeiro contato com funções, do ponto de vista conceitual. É conveniente que esse contato inicial se dê pela compreensão de seus possíveis significados e pela percepção de que uma função explicita interdependência entre duas grandezas representadas por suas variáveis. Esse tipo de abordagem pode ser mais conveniente

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e eficaz para os alunos do que uma definição formal e abstrata de função. A construção do conceito de função costuma ser um processo longo e demorado, e sua compreensão varia de pessoa para pessoa. Assim, quando partimos de algumas situações-problema “concretas” e próximas a uma suposta realidade dos alunos, esperamos poder levá-los a uma compreensão, mesmo que intuitiva, dos possíveis significados de uma relação de interdependência entre duas grandezas (em geral, quando uma grandeza varia, a outra também varia segundo alguma lei). Esse é um momento oportuno para relacionarmos álgebra com geometria, como os passos introdutórios em geometria analítica, campo da Matemática no qual se podem realizar estudos algébricos de algumas curvas geométricas. Com as atividades propostas, pretende-se que os alunos cheguem à conclusão de que um gráfico de uma função de 1o grau expressa, por exemplo, por y = a ∙ x + b, é uma reta cujos pontos (x, y) podem ser obtidos quando atribuímos valores a x e obtemos os correspondentes valores para y. Além disso, pode ser conveniente certificar-se de que os alunos percebam que, ao construir gráficos desse tipo de função, não há necessidade de atribuir muitos valores para x, ou seja, basta atribuir dois valores para x, calcular os valores correspondentes para y, localizar os dois pontos no plano cartesiano cujas coordenadas são os pares calculados e desenhar a reta que contém esses dois pontos. Espera-se que os professores estejam atentos para que os alunos percebam que as informações presentes, por exemplo, na atividade da página 227, “para cada variação (aumento) de R$ 500,00 no preço de venda de um carro popular a procura por ele varia (se reduz) em 50 unidades por mês”, caracterizam uma relação entre duas grandezas (preço de um carro popular e procura pelo carro) cujas variações são proporcionais.

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Em geral, dada a função: y = f(x) = a ∙ x + b o coeficiente a possui pelo menos duas interpretações:  geométrica: a é a inclinação da reta cuja equação é y = = a ∙ x + b (a palavra “inclinação” pode ser interpretada de duas maneiras: como o ângulo que a referida reta forma com o eixo das abscissas, medido no sentido anti-horário e a partir do eixo das abscissas, ou como palavra sinônima de “declividade”, que é definida como a tangente daquele ângulo);  cinemática: a é a velocidade de variação da variável y por variação unitária de x. Logo, faz sentido afirmar que o coeficiente a da variável independente é a velocidade da variável dependente por variação unitária da variável independente.

O trabalho com espaço e forma Em relação a esse tema, as atividades baseiam-se em fatos históricos, construções geométricas, desenhos, em um jogo e em verificações experimentais dos teoremas de Pitágoras (Unidades 1 e 2) e de Tales (Unidade 3). A verificação do teorema de Pitágoras é feita por meio do cálculo das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos e sobre a hipotenusa, utilizando, posteriormente, uma atividade lúdica, que é um quebra-cabeça antigo. No caso do teorema de Tales são propostas algumas medições de segmentos determinados por retas transversais a um feixe de retas paralelas, para verificar a proporcionalidade entre esses segmentos, deixando claro que não é demonstração formal. Esse tipo de trabalho fornece subsídios para aprendizagem de Geometria, não de maneira axiomática, mas em uma proposta que se inicia empiricamente – medindo, experimentando,

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analisando – até chegar a uma etapa que exige raciocínio lógico-dedutivo. A construção de uma demonstração formal em Geometria nesses textos é feita gradativamente, procurando adequá-la para que seja compreendida pelos alunos. As atividades relativas a espaço e forma, no 9o ano, também possibilitam a integração entre os temas Geometria, medidas e números e a aplicação em outros campos de conhecimento, instigando ideias, propondo aplicações práticas, por exemplo: a construção geométrica de como medida da diagonal de um quadrado (Unidade 4), cujo lado mede 1 unidade, a verificação experimental de que o número π pode ser escrito como a razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência (Unidade 2) e a exploração do número áureo (Unidade 3). Para dividir um segmento de reta qualquer em um número de partes iguais ou proporcionais são propostas, na Unidade 4, atividades de construção geométrica, utilizando o paralelismo entre retas. Essas atividades que envolvem construções com régua e compasso contribuem para descobrir, comprovar e consolidar propriedades das figuras geométricas. Por meio da análise e da utilização de padrões, as atividades propostas na Unidade 5 procuram desenvolver recursos que podem favorecer o estudo das características e propriedades ligadas às formas e suas transformações no plano. As propriedades decorrentes das reflexões, translações e rotações são ferramentas importantes não só na Matemática como também nas artes plásticas, decoração e arquitetura. É importante que os alunos verifiquem que nessas transformações, ou isometrias, há apenas mudanças de posições, não há mudanças da forma nem do tamanho, ou seja, ao efetuá-las em uma figura F, a imagem F1 obtida é congruente com a F.

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Assim, em relação às isometrias, neste volume, uma das contribuições está na proposição de que a congruência é um caso particular de semelhança. A noção de semelhança pode ser percebida intuitivamente ao observarmos os polígonos regulares de tamanhos diferentes. Essa noção tem muitas aplicações na prática, como na ampliação de fotografias, na elaboração de plantas, na confecção de maquetes de prédios. A ideia de semelhança é explorada na Unidade 7 por meio de construções com régua, compasso e transferidor, principalmente ao estudar as homotetias. Os triângulos retângulos e suas propriedades são destacados pelo uso frequente das relações métricas que resultam de seu estudo na resolução de várias situações-problema. Inicialmente, os estudantes tiveram oportunidade de verificar de forma experimental a validade do teorema de Pitágoras. Em seguida, dá-se um passo à frente, nas atividades da Unidade 7, no modo de pensar e se pretende chegar a um trabalho que exige raciocínio lógico-dedutivo, pois nem sempre podemos confiar no que vemos. Deve-se enfatizar que, em Matemática, as propriedades são justificadas em um encadeamento que envolve outras propriedades já demonstradas. Uma vez justificadas, elas passam a fazer parte do acervo de informações confirmadas, o que permitirá a justificativa de outros fatos. Dessa forma, temos uma proposta que não se inicia com um sistema de axiomas e postulados, mas procura partir do empírico para atingir a formalização. É preciso insistir em um caminho no qual os alunos possam praticar o exercício do raciocínio lógico-dedutivo.

O trabalho com grandezas e medidas Sobre esse tema, as atividades do 9o ano estabelecem relações com a proporcionalidade, com os conceitos geométricos

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e com os trabalhos numéricos, vinculando, assim, grandezas e medidas a números, a espaço e forma e à álgebra, de modo que a integração desses quatro eixos se dê simultaneamente. Em atividades que exploram a medida da diagonal de um quadrado e o teorema de Pitágoras, constrói-se a ideia de um número irracional na forma de radicais e se expressa, genericamente, a medida da diagonal de um quadrado qualquer, por meio de uma fórmula. Da mesma maneira, atividades para verificar que o número π é uma relação entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência possibilitam escrever uma fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência. Nas atividades para verificar a proporcionalidade entre segmentos há situações em que os números racionais se mostram ineficientes para determinar a razão entre eles. Esses segmentos são incomensuráveis. Isso significa que não importa quão pequena seja a unidade considerada, pois ela não caberá um número inteiro de vezes no comprimento desses segmentos. Na Unidade 6, as atividades com cálculo de áreas retomam conhecimentos prévios que, supostamente, os estudantes tenham sobre números racionais na forma fracionária e decimal, medidas de comprimento e área, mudança de unidades, polígonos, operações algébricas, e ampliam esses cálculos para situações com números irracionais. As atividades envolvendo o cálculo de áreas de superfícies planas limitadas por arcos de circunferência são propostas pela exploração da noção de área em malha quadriculada. Nesse enfoque, desenha-se nela um círculo, representa-se a unidade por um quadradinho da malha e calcula-se a área desse círculo contando esses quadradinhos. A utilização da composição e da decomposição de círculos em setores circulares é uma estratégia utilizada na Unidade 3

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que possibilita aos alunos a realização de conjeturas a respeito da fórmula da área de um círculo. As atividades são elaboradas para que os alunos percebam que, em quanto mais setores o círculo for dividido, cada vez mais a área da figura composta por esses setores “se aproxima” da área de um paralelogramo ou da de um retângulo, cujas dimensões têm como medidas o raio do círculo e a metade do comprimento de sua circunferência. As atividades da Unidade 6 envolvendo o cálculo da área total de superfícies de cubos, paralelepípedos e pirâmides retomam conhecimentos prévios que supostamente os alunos tenham sobre as características desses poliedros e suas planificações, sobre o cálculo de área de retângulos, quadrados e triângulos e sobre o teorema de Pitágoras. Nas atividades, os alunos são convidados a determinar a área total da superfície de alguns sólidos geométricos. É importante que percebam que para essa determinação basta obter a soma das áreas das faces laterais e das bases. Na Unidade 7, espera-se também que os alunos sejam capazes de resolver situações-problema que envolvam o cálculo de volumes de cubos e paralelepípedos com base em suas medidas. As atividades com medidas desta coleção são desenvolvidas ao se estabelecerem relações com a proporcionalidade, os conceitos geométricos, os trabalhos numéricos e as representações gráficas. Vinculam-se, assim, medidas com números, com espaço e forma e com tratamento da informação, de modo que o trabalho com esses quatro eixos se dê simultaneamente.

O trabalho com tratamento da informação As atividades sobre esse tema visam a dar continuidade a um trabalho com problemas de contagens, iniciado nos anos anteriores para desenvolver o raciocínio combinatório.

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Como alguns alunos podem ainda não ter tido oportunidade de estudar esse assunto ou não tê-lo assimilado, as atividades iniciais retomam problemas de contagens com uma quantidade pequena de objetos, para que eles possam fazer todos os agrupamentos possíveis e contá-los e/ou utilizar uma tabela de dupla entrada ou um diagrama de árvore para encontrar todas as possibilidades. As atividades das Unidades 1 e 2 propõem situações que envolvem diferentes tipos de agrupamentos e sugerem uma primeira abordagem do princípio multiplicativo. Ele poderá ser entendido, intuitivamente, pelos alunos como um processo que exige a construção de um modelo simpliﬁcado e explicativo da situação. O que se pretende é a compreensão e a utilização do princípio multiplicativo na resolução de problemas simples. A ideia central é que o desenvolvimento do raciocínio combinatório pode ser favorecido pela análise e pela resolução de problemas de contagem, nos quais é preciso agrupar elementos e encontrar uma maneira de organizá-los para poder contar o número de possibilidades. O princípio multiplicativo constitui uma ferramenta básica para resolver problemas de contagem sem que seja necessário enumerar seus elementos. No 6o e 7o anos, o conceito de probabilidade é explorado para se referir a um número racional com o signiﬁcado de razão, conforme as Orientações curriculares da SMESP, p. 103-104. Na Unidade 8 do 9o ano, as situações propostas sobre esse conceito possuem o caráter probabilístico conforme os argumentos seguintes. Em certas situações (experimentos), é possível determinar alguns resultados que podem acontecer por meio de modelos determinísticos. Por exemplo:  aquecimento de água contida em uma panela;  queda livre de um corpo.

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Conhecidas certas condições, podemos, por meio de modelos determinísticos, calcular a temperatura em que a água entrará em ebulição e a velocidade com que o corpo atingirá o solo. Muitas vezes, no entanto, só podemos calcular a probabilidade de que alguns resultados ocorram. Por exemplo:  lançamento de uma moeda e leitura da figura da face voltada para cima;  lançamento de um dado comum e leitura do número voltado para cima;  o sexo de uma criança em seu nascimento;  sorteio de uma carta de baralho. Com a repetição continuada desses experimentos, sempre sob as mesmas condições, é possível, em alguns casos, perceber algum tipo de regularidade nos resultados que vão surgindo, o que nos permite, então, apesar da incerteza inerente a esses experimentos, estudá-los por meio de uma medida chamada probabilidade de ocorrência de um resultado. A probabilidade de um evento é uma medida, pois possui as características básicas de medidas. Experimentos que, ao serem realizados repetidas vezes nas mesmas condições, apresentarem resultados cuja ocorrência não se pode afirmar com certeza, são denominados experimentos aleatórios. Uma das dificuldades que costuma surgir em problemas de probabilidade “discreta” (experimentos com um conjunto finito de possibilidades) consiste em determinar se seus eventos “singulares” são equiprováveis. Afinal, qual é o significado de “eventos equiprováveis”? Vejamos uma tentativa de resposta à última pergunta formulada. Para tanto, vamos nos restringir ao experimento “lançar um dado”.

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Nesse experimento, os eventos “singulares” são: ocorrer 1, ocorrer 2, ocorrer 3, ocorrer 4, ocorrer 5, ocorrer 6. Aﬁrmar que esses eventos são “equiprováveis” pode signiﬁcar, de forma ingênua, que cada um deles tem “a mesma possibilidade” de ocorrer quando o dado é lançado. Se falarmos em intuição, então podemos dizer que cada um dos eventos individuais tem uma possibilidade em seis de ocorrer. Logo, a probabilidade de ocorrer qualquer evento individual é igual a . Esse último valor pode ser “determinado”, caso a “intuição” seja deixada de lado. Um conjunto de argumentos que podem ser usados para determinar a probabilidade (ideal) de ocorrer cada um dos eventos singulares são: os eventos unitários em um lançamento de um dado são equiprováveis; a soma de todas as probabilidades dos eventos unitários deve ser igual a 100%. Vamos representar por p a probabilidade de ocorrer um evento unitário. Como são 6 eventos unitários, então: p + p + p + p + p + p = 6∙p = 100% = 1 ou p=

= 0,16666... = 0,16

16,6%

Outra forma de argumentação para determinar a probabilidade ideal para um evento ocorrer é considerá-lo, inicialmente, como não equiprovável. Nesse caso, repete-se o experimento um número signiﬁcativo de vezes (100, por exemplo), sempre sob as mesmas condições, e anota-se o número de vezes N em que o evento ocorre. Dessa forma, determina-se a frequência relativa do evento estudado, que é o número racional , com 0 ≤ N ≤ 100. No exemplo do lançamento de dado, a frequência derá” ao valor , caso o dado não seja viciado.

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“ten-

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5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor Planejar é preciso Uma das características dos Cadernos de apoio e aprendizagem é a explicitação da relação entre as diferentes atividades e as expectativas de aprendizagem que se pretende alcançar. Essa explicitação é fundamental para que o professor, sabendo aonde quer chegar, planeje o desenvolvimento de cada atividade ou sequência de atividades, buscando coerência entre o que deseja atingir e o que de fato acontece na sala de aula, introduzindo ajustes necessários. O planejamento deve ser sempre ﬂexível, o que não se confunde com improvisações ou falta de organização. É preciso levar em conta as possibilidades de aprendizagem dos estudantes, seus conhecimentos prévios e suas hipóteses sobre os conceitos e procedimentos estudados, bem como as estratégias pessoais. Apenas tendo clareza sobre as expectativas de aprendizagem o professor pode reorientar as atividades sem perder aspectos importantes como a continuidade e o progresso na construção dos conhecimentos. O planejamento faz parte de todo o desenvolvimento das atividades propostas e inclui a elaboração de outras que surgirão em decorrência das necessidades especíﬁcas de aprendizagem dos alunos e de seus interesses. O professor pode enriquecer seu planejamento discutindo com seus pares, em um processo colaborativo de troca de saberes e de experiências.

Planejar de acordo com o tempo didático A organização do trabalho permite usar melhor o tempo didático e oferecer situações signiﬁcativas que favoreçam a aprendizagem. Por isso, é importante ressaltar que organizar a rotina implica tomar decisões acerca do uso inteligente do tempo

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de aprendizagem, o que é diferente da distribuição simples e despretensiosa das atividades em determinado período. A organização do tempo é necessária para a aprendizagem não só dos alunos, mas também do professor, especialmente no que se refere à gestão de sala de aula. Essa é uma aprendizagem constante, pois, a cada nova turma, novos desaﬁos são colocados. O que o professor aprendeu sobre gestão de sala de aula com um grupo de estudantes nem sempre é transferível para outro. O tempo dedicado às aulas de Matemática deve ser observado de forma criteriosa. A organização desse trabalho exige levar em conta a natureza das atividades e pensar em tempos maiores (como aulas duplas) para ocasiões em que estão previstas sequências de atividades mais longas, por exemplo. Outro aspecto importante é o planejamento do uso do Caderno e de outros materiais ao longo de uma semana. No 9o ano, é aconselhável que a rotina semanal contemple algumas situações didáticas permanentes e de sistematização, que podem ser desenvolvidas por meio das atividades sequenciais propostas no Caderno de apoio. O intuito é que o uso do material seja articulado ao planejamento e à rotina do professor.

Planejar de acordo com a organização da sala Outro aspecto importante do planejamento do professor diz respeito à organização da classe para o desenvolvimento de cada atividade: diversiﬁcar agrupamentos em duplas, trios, realizar trabalhos individuais. Sabe-se da potencialidade das atividades em grupo pela interação que promovem entre os estudantes, que podem aprender uns com os outros, mas é necessário que o professor acompanhe o trabalho de cada agrupamento levando os alunos a expor suas conclusões e a tomar decisões e dando informações/explicações que julgar necessárias. No entanto, em alguns momentos também

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é importante a realização de atividades individuais para que se analise a autonomia de cada estudante, sua iniciativa para resolver problemas.

Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas Ainda sobre o planejamento para uso do Caderno, é importante que o professor se organize para explorar várias modalidades organizativas. As sequências de atividades de cada Unidade são um conjunto articulado de situações de aprendizagem, com objetivos e conteúdos bem definidos, que incluem problemas e exercícios orais e escritos, uso de jogos, de materiais, entre outras propostas para as quais é preciso definir os modos de realização. Também é fundamental planejar atividades permanentes, ou seja, aquelas que se repetem de forma sistemática. Elas possibilitam o contato intenso com um tipo específico de atividade em cada ano da escolaridade e são particularmente apropriadas para comunicar certos aspectos atitudinais em relação à Matemática. As atividades permanentes são, ainda, adequadas para cumprir outro objetivo didático: o de favorecer a aproximação dos estudantes com textos que não leriam por si mesmos ou com a resolução de problemas do dia a dia que podem ser trazidos, a princípio, pelo professor e, depois, pelos próprios alunos. As atividades de cálculo mental certamente podem ser incluídas nessa modalidade de organização do trabalho escolar. Contudo, também deve ser reservado tempo para atividades ocasionais, que podem ser motivadas por um assunto de repercussão na mídia que tenha interesse para os alunos cuja compreensão exija algum conteúdo matemático. Não há sentido em não tratar do assunto pelo fato de não ter relação com o que se está fazendo no momento, e a organização de uma situação ocasional se justifica.

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Alguns procedimentos para coletar dados Ao final de cada Unidade, na seção “Agora, é com você”, são propostas questões para avaliar os conhecimentos matemáticos, considerando o conjunto das atividades desenvolvidas na Unidade. Elas são apresentadas na forma discursiva e como testes. A proposição de testes tem como objetivo principal preparar os alunos para os vários tipos de avaliações externas a que são submetidos, atualmente, nos sistemas educacionais municipais, estaduais e nacionais. Em geral, as atividades têm como parâmetros os descritores que pautam a elaboração de questões de avaliações institucionais como a Prova da Cidade, a Prova Brasil etc. Sabemos que não é simples acompanhar as aprendizagens de todos os alunos de uma sala de aula, especialmente se desejamos fazer isso de maneira sistemática. No entanto, é necessário fazer observações com regularidade e registrá-las, tendo como referência, por exemplo: 1) as respostas dos estudantes, quando eles manifestam de forma implícita ou explícita suas certezas, dúvidas e erros; 2) as observações das atitudes, ações e discussões efetuadas durante as tarefas individuais, em duplas, em grupos ou com a classe toda; 3) a análise de tarefas, individuais e em grupo, feitas em classe e em casa, de provas e trabalhos extraclasse. Esses registros devem orientar o planejamento de novas atividades e também subsidiar a avaliação dos resultados de aprendizagem por todos os envolvidos (estudantes e professor). Uma sugestão é que, ao final de cada Unidade, os alunos, individualmente, retomem os tópicos e as anotações desenvolvidos naquela Unidade. Eles podem elaborar comentários orais ou escritos e outras formas de registrar o que puderam constatar sobre o próprio processo de aprendizagem. Com relação aos registros do professor, a organização de fichas de observação de desempenho em Matemática é muito importante. Em seguida, há uma sugestão de ficha de acompanhamento.

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Expectativas de aprendizagem Unidade 1

Alunos 1

8...

Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identificar a fração geratriz de uma dízima periódica. Fazer verificações experimentais, formular conjeturas e utilizar o teorema de Pitágoras, em situações-problema. Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas. Unidade 2 Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, , etc.). da Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes significados das operações com números reais. Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para realizar cálculos por aproximações racionais. Fazer verificações experimentais, formular conjeturas e utilizar o teorema de Pitágoras em situações-problema. Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema. Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado. Estabelecer a relação entre a medida do perímetro e a do diâmetro de um círculo. Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas. Legenda: S = sim; P = parcialmente; N = não.

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aprendizagem para o Ensino Fundamental: Ciclo II – Matemática. São Paulo: SME/DOT, 2010. STRUIK, Dirk J. História concisa das Matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1992. TINOCO, L. A. A. (Coord.). Razões e proporções. Rio de Janeiro. Editora UFRJ, 1996. VELOSO, João; PONTE, João Pedro da. Ensino de Geometria no virar do milênio. Lisboa: Departamento de Educação – Faculdade de Ciências/Universidade de Lisboa, 1999. VERGNAUD, G. La théorie de champs conceptuels. Recherches en Didactique de Mathématiques, Grenoble, La Pensée Sauvage, v. 10, n. 2-3, p. 133-170, 1990. ZUFFI, E. M.; FELICIANO, L. F. Uma sequência didática com uso de história da Matemática: o método de multiplicação e divisão egípcio. Revista de Educação Matemática, São Paulo, ano 9, n. 9-10, p. 55-60, 2005.

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1o semestre

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• M1 Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identiﬁcar a fração geratriz de uma dízima periódica. • M15 Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema. • M29 Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora 

Esta atividade deve ser feita individualmente. A escolha desse tema foi motivada pela importância da Mata Atlântica e dos impactos ambientais decorrentes de sua má exploração.

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Você pode começar levantando o que os alunos sabem sobre a Mata Atlântica e conversando com eles sobre os conhecimentos matemáticos que estudarão na Unidade e sua relação com outras disciplinas.

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• Reconhecer e operar com números racionais na forma percentual.

Sim

Sim, porque essa é uma forma de calcular porcentagem.

Sim. Por exemplo, dividir 1.315.460 por 100 e multiplicar o resultado por 7,91.

As atividades da página retomam a porcentagem. Os alunos devem realizá-las em dupla. No item c, faça um levantamento das maneiras de calcular porcentagem e discuta-as com os alunos: uso da regra de três, cálculo de 1% etc.

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Sim

Resposta pessoal

35 espécies

Na atividade 2, explique aos alunos que usamos calculadora para fazer cálculos mais trabalhosos e, assim, nos ocupamos melhor da interpretação e das estratégias de resolução dos problemas. Antes de usar a calculadora, diga-lhes que façam estimativas, para saber se um resultado é razoável,

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e que não aceitem qualquer valor que apareça no visor. Aproveite a atividade 3 para retomar os procedimentos de cálculo percentual e ajudar os alunos com diﬁculdade. Você pode propor um projeto integrado com outras disciplinas, pois o trabalho com porcentagens

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permite uma aproximação com outros campos de conhecimento como saúde, meio ambiente etc. Sistematize as ideias sobre o cálculo de porcentagens e peça aos alunos que as registrem no caderno.

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• Reconhecer números racionais nas suas várias representações.

25% =

= 0,25 e 25% =

0,23 35%

0,025 7%

0,666... 0,0791 66,666... %

Dividindo o numerador pelo denominador. (Existem outras respostas.) Escrevendo uma fração equivalente com denominador 10, ou 100, ou 1.000 etc. (Existem outras respostas.) Escrevendo uma fração equivalente com denominador 10, ou 100, ou 1.000 etc. e depois passando-a para a forma decimal. (Existem outras respostas.)

Comece chamando atenção para o título da página e converse com os alunos sobre os números racionais e suas representações. Na atividade 1, se for o caso, ajude-os a compreender que essas são três formas de representar o mesmo número.

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Peça aos alunos que pesquisem assuntos relativos à Mata Atlântica. Os dados coletados mostrarão que as representações decimal e porcentual são muito frequentes e, portanto, a importância de estudá-las.

É importante corrigir todas as atividades. Proponha correções coletivas, para que eles comparem suas resoluções, e diga-lhes que as registrem no caderno.

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• Reconhecer e operar com números racionais na forma percentual.

22%

= 0,22 = 22%

= 0,38 = 38%

Comece perguntando aos alunos o que signiﬁca dizer que “o número de meninos na escola é de 4 para 10” e aproveite para abordar o conceito de razão. Depois da pesquisa, planeje situações coletivas em que os alunos exponham os resultados da pesquisa proposta.

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Na atividade 1, verifique se eles associam porcentagens e números racionais com o significado de razão, isto é, com um índice comparativo entre duas quantidades. Na atividade 2, socialize as respostas e explique que, muitas vezes, só os números não bastam para dar uma informação signifi-

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cativa – eles precisam ser vistos em relação a outros. Traduzidos em porcentual, eles permitem analisar e avaliar melhor as informações. Sistematize os procedimentos de cálculo percentual.

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• Reconhecer e operar com números racionais na forma percentual.

; 0,07

; 0,70

valores aproximados: anfíbios: 29,61%

aves: 18,38%

répteis: 30,46%

répteis

Nas atividades 1 e 2, comente as resoluções, valorizando as diferentes estratégias que surgirem.

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• Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identiﬁcar a fração geratriz de uma dízima periódica.

0,35

0,5444...

0,888...

1,875

0,393939...

1,04

Há três representações decimais ﬁnitas e três inﬁnitas. (Existem outras respostas.)

0,35; 1,875; 1,04

0,888...; 0,5444...; 0,3939...

Comece perguntando como é possível, com uma calculadora, obter uma representação decimal de um número escrito na forma fracionária. Na atividade 1, veriﬁque se os alunos, organizados em duplas, percebem que

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têm

a parte decimal infinita. Dois indícios de que não perceberam é escreverem 0,888 (sem as reticências indicativas da inﬁnitude) ou copiarem o que aparece no visor da calculadora: 0,8888889. Explique que as dízimas periódicas podem ser indicadas com um traço em cima do período:

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0,888... = 0,8 0,5444... = 0,54 0,393939... = 0,39 Para ﬁnalizar o trabalho, organize um painel com as dúvidas que persistirem e procure esclarecê-las com outros exemplos.

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• Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identiﬁcar a fração geratriz de uma dízima periódica.

0,111...

0,444...

0,333...

0,555...

Nas dízimas, o numerador de cada representação fracionária se repete indeﬁnidamente.

0,222... = 0,2

0,777... = 0,7

0,666... = 0,6

0,888... = 0,8

1.a) 01, b) 3, c) 4, d) 5; 3.a) 2, b) 6, c) 7, d) 8

Não, porque, por exemplo,

Nas atividades 2, 3 e 4, veriﬁque se os alunos observam regularidades e estabelecem um procedimento para determinar dízimas periódicas de números na forma fracionária com denominador 9. Espera-se que eles percebam

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= 2, que não é dízima periódica.

que, nesse caso, nas dízimas, o algarismo que se repete é sempre o numerador (quando é menor que 9). Se eles não perceberem, informe-os e peça que registrem o que foi estudado.

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• Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identiﬁcar a fração geratriz de uma dízima periódica.

O período é o numerador da representação fracionária.

Como nos casos anteriores, basta dividir o numerador por 9, ou transformar a fração imprópria em forma mista e escrever a parte inteira seguida do período, que corresponde ao numerador da fração.

0,101010...

0,131313...

0,121212...

0,141414...

Comece organizando uma síntese: cada aluno apresenta suas notas e, coletivamente, registram-se as ideias principais sobre o que foi aprendido. Na atividade 4, cada grupo contará como fez a síntese. Ajude-os

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a perceber que as frações geratrizes das dízimas periódicas cujo período tem dois algarismos têm no denominador o número 99 e, no numerador, o período da dízima. É importante registrar isso no caderno.

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• Reconhecer números racionais e utilizar procedimentos para identiﬁcar a fração geratriz de uma dízima periódica.

Representa a fração geratriz da dízima 0,131313...

Para que a parte após a vírgula ﬁcasse exatamente igual. Porque foram subtraídas, membro a membro, as duas primeiras equações.

99x = 13

é uma fração geratriz de 0,131313...

Representamos a fração geratriz por uma incógnita e, igualando-a à dízima, obtemos uma equação. Multiplicamos os dois membros por 100 e obtemos uma segunda equação. Subtraímos membro a membro a primeira da segunda e resolvemos a equação resultante dessa subtração.

Procure acompanhar o trabalho dos alunos, para saber de seus avanços e de suas necessidades. No ﬁm, organize uma redação coletiva relativa ao item e.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema.

Cada número da 2a linha é o quadrado do seu correspondente na 1a linha.

676

576

100

1.521 1.296

225

O maior número é igual à soma dos outros dois.

Sim

Se os alunos não perceberem a relação pretendida, sugira que façam diferentes operações com os números menores.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema.

25 u2 e 100 u2

9 u2 e 16 u2; 36 u2 e 64 u2

25 u2 = 9 u2 + 16 u2

100 u2 = 36 u2 + 64 u2

No problema dos quadros, o quadrado do maior número é igual à soma dos quadrados dos outros dois; e, no problema dos quadrados, a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos outros dois quadrados.

Nas atividades 1 e 2, pode ser que alguns alunos contem as unidades de cada quadrado e outros se lembrem de que basta elevar ao quadrado as medidas dos lados. Comente as diferentes formas de obter a área de um quadrado e registre-as na lousa.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema.

Jabolão: 2,52 = 6,25; 22 + 1,52 = 4 + 2,25; 2,52 = 22 + 1,52 Jequitibá: 6,292 = 39,5641; 6,212 + 12 = 38,5641 + 1; 6,292 = 6,212 + 12 Pinheiro-do-paraná: 9,042 = 81,7216; 8,962 + 1,22 = 80,2816 + 1,44; 9,042 = 8,962 + 1,22

Antes de começar a atividade, peça aos alunos que: • procurem saber o nome de algumas árvores que circundam a escola, em praças e parques ou perto de sua casa • procurem informações sobre árvores da Mata Atlântica • coletivamente, organizem esses dados.

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Diga-lhes que, no ﬁm da Unidade, farão um painel. Ajude os alunos a perceber que a relação entre os números é a mesma da dos quadros e dos problemas anteriores. (Nessa proposta, ainda não se espera que eles usem o teorema de Pitágoras.)

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema.

a2 = b2 + c2

Sim

a2 = b2 + c2

Pergunte aos alunos, organizados em duplas, o que signiﬁcam os dois termos (conjecturas e generalizações) do subtítulo e veja se as respostas se aproximam das deﬁnições do dicionário Aurélio: • conjectura: juízo ou opinião sem fundamento preciso; suposição, hipótese.

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• generalização: extensão de um princípio ou de um conceito a todos os casos a que se pode aplicar. Se não surgirem respostas interessantes, diga-lhes que recorram a um dicionário. Como há mais de um signiﬁcado associado a uma palavra, oriente-os a procurar o mais adequado ao contexto desta aula.

Esclareça que os resultados obtidos em experimentos não são considerados provas matemáticas, mas apenas desencadeadores de conjecturas que levarão às justificativas matemáticas formais. Peça-lhes que registrem essas ideias no caderno.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras, em situações-problema.

a calculadora adiciona o número que está no visor a um outro já armazenado na memória. a calculadora dá o resultado armazenado na memória.

Esta sequência pretende complementar as atividades desenvolvidas até aqui, para que os alunos atinjam o desejado domínio dos conteúdos. Assim, podem ser usadas para retomar diﬁculdades ou dúvidas que tenham restado. Oriente os alunos quanto ao tipo de calculadora que usam, pois há

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sequências diferentes da que está descrita. Na atividade 1, pergunte como encontraram os valores desconhecidos. É possível que as repostas tenham sido obtidas por tentativa. Incentive a exposição das estratégias adotadas, confronte-as e peça-lhes que as registrem no caderno.

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Na atividade 2, os alunos podem usar as teclas de memória para determinar, por aproximação, a medida da hipotenusa a partir dos catetos. Comente que a memória é um recurso importante, que permite armazenar números que podem ser usados mais de uma vez em algum cálculo.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

ipê-branco, ipê-rosa e ipê-roxo jacarandá-branco, jacarandá-rosa e jacarandá-roxo manacá branco, manacá rosa e manacá roxo

Resposta pessoal

O conteúdo que vamos estudar já apareceu em anos anteriores. Agora, vamos aprofundá-lo buscando uma generalização. Durante as atividades, veriﬁque o conhecimento prévio dos alunos sobre o assunto. Na atividade 1, veja se eles entendem o enunciado do problema e criam estratégias para

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resolvê-lo. Estimule o uso de várias formas de resolução, exposição e registro. Na atividade 2, procure fazer com que os alunos usem argumentos para justiﬁcar suas estratégias e socialize as resoluções procurando estabelecer procedimentos de contagem: uso de tabelas, árvores, esquemas etc.

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ipê-branco

jacarandá-branco

manacá branco

ipê-rosa

jacarandá-rosa

manacá rosa

ipê-roxo

jacarandá-roxo

manacá roxo

Resposta possível: multiplicando 3 por 3.

ipê-rosa ipê-roxo jacarandá-branco jacarandá-rosa jacarandá-roxo manacá branco manacá rosa manacá roxo

Problemas como os das atividades 3 e 5 podem ser resolvidos por tabela de dupla entrada ou por diagrama de árvore, que indicam todas as possibilidades e permitem contá-las. Essas duas estratégias podem ajudar na percepção da natureza multiplicativa do problema.

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Se alguns alunos tiverem diﬁculdade para fazer a tabela, talvez eles entendam melhor o diagrama de árvore, que você pode fazer com eles. Mesmo que você considere essa situação simples demais para construir uma tabela de dupla entrada, não a descarte – ela

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pode servir para introduzir uma mais difícil. Se achar oportuno, proponha outras situações, mais complexas, envolvendo mais dados.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

Há quatro maneiras de viajar do Rio de Janeiro a Santos: por via aérea, férrea, marítima e rodoviária; três maneiras de ir de Santos a Curitiba: por via aérea, férrea e rodoviária; e duas maneiras de ir de Curitiba a Florianópolis: por via aérea e rodoviária.

(aérea, aérea); (aérea, férrea); (aérea, rodoviária); (férrea, aérea); (férrea, férrea); (férrea, rodoviária); (marítima, aérea); (marítima, férrea); (marítima, rodoviária); (rodoviária, aérea); (rodoviária, férrea); (rodoviária, rodoviária)

12 maneiras

Nestas atividades, espera-se que os alunos construam estratégias para coletar, organizar e comunicar dados usando diagramas que aparecem com frequência em problemas de contagem. Na atividade 1, escreva na lousa as principais informações e peça aos alunos que conversem com os co-

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legas de grupo sobre o que sabem, exponham suas dúvidas e procurem esclarecê-las. Veriﬁque se eles conseguem entender e extrair do enunciado informações relevantes para a solução do problema. Na atividade 2, ajude-os a desenvolver técnicas de contagem de agrupamentos.

Concluída a atividade 3, cada grupo apresenta suas notas, a classe organiza uma resolução coletiva e todos a copiam no caderno. Comente que não existe só uma forma de resolver o problema e que a árvore de possibilidades é uma delas.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

(a, f)

(a, r)

(f, a)

(f, f)

(f, r)

(m, a)

(m, f)

(m, r)

(r, a) r

(r, f) (r, r)

Na atividade 4, peça aos alunos que procurem interpretar esse diagrama. Proponha outras situações como essa, envolvendo números não muito grandes de possibilidades, para que eles possam fazer todos os agrupamentos possíveis e obter a resposta pela contagem direta das possibilidades.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

Resposta pessoal

A ideia central destas atividades é que o desenvolvimento do raciocínio combinatório pode ser favorecido pela resolução de problemas de contagem em que é preciso agrupar elementos e encontrar

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uma maneira de organizá-los para contar o número de possibilidades. Estimule os alunos a usar tabelas de dupla entrada e árvores de possibilidades, ferramentas matemáticas muito importantes.

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Resposta pessoal

De uma maneira

Duas maneiras

Calculando o produto 1 × 2 × 3 = 6.

No item a da atividade 2, peça a alguns alunos que relatem a sua escolha e veriﬁque se o resultado está correto. Na atividade 3, é preciso deixar claro que para efetuar multiplicações como essa, em problemas combinatórios, é importante compreender a forma como os fatores foram estabelecidos.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

Quatro letras Sim

Resposta pessoal

INGA, INAG, IGNA, IGAN, IANG, IAGN, NIGA, NIAG, NGIA, NGAI, NAIG, NAGI, GNIA, GNAI, GIAN, GINA, GANI, GAIN, ANIG, ANGI, AING, AIGN, AGNI e AGIN

Resposta pessoal

Organize a classe para realizar as atividades dessa página. Enquanto os alunos resolvem a atividade 4, circule pela sala e veriﬁque as respostas e estratégias utilizadas no grupo. Eles acabarão identiﬁcando as mais descritivas, as mais sucintas, as que trazem mais informações etc.

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Faça na lousa um painel comparando as respostas e os critérios dos alunos na resolução da atividade 5. Valorize todas as tentativas e instrua-os a copiar o painel no caderno. As atividades dessa página preparam o aluno para as próximas atividades.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

De seis maneiras

De cinco maneiras, porque tinha escolhido uma para ser a primeira.

De quatro maneiras, porque já estão escolhidas uma para ser a primeira e uma para ser a segunda.

De três, duas e uma maneira, respectivamente

Calculando o produto 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, temos 720. (Existem outras respostas.)

Com os alunos organizados em dupla, retome os procedimentos utilizados nas atividades anteriores, base para estas novas atividades. Se perceber grandes diﬁculdades na determinação dos anagramas de BRASIL, proponha problemas

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mais simples como os anagramas de PAZ e de AMOR. Ao ﬁnal, sistematize a organização de procedimentos ligados aos problemas combinatórios desse tipo de contagem.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

16 maneiras

Resposta pessoal

Certiﬁque-se de que os alunos compreendem o enunciado da atividade 1 e criam estratégias para encontrar a solução. Se isso não acontecer, procure orientá-los relembrando o que já estudaram sobre problemas de contagem.

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Na atividade 2, incentive-os a argumentar em favor de sua estratégia e socialize as resoluções para estabelecer procedimentos comuns de contagem.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

25 maneiras

60 modos ou 5 × 4 × 3

Resposta pessoal

12 modos

72 maneiras

Organize a classe em grupos. As atividades da página retomam os problemas de contagem vistos anteriormente. Na atividade 2, peça aos alunos que deem argumentos para justiﬁcar seu procedimento. No item c da atividade 3 é comum que os alunos adicionem as

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possibilidades. Fique atento para orientá-los caso isso ocorra. Depois de determinada a atividade 3, procure identiﬁcar avanços e diﬁculdades em relação à expectativa de aprendizagem e retome o que ainda não estiver claro.

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Não, porque

=2e

= 0,5 e são decimais exatos.

Correta. 0,181818...

1,0444...

Esta seção aparece no ﬁnal de cada Unidade, com propostas sobre o conteúdo trabalhado. São atividades individuais, e você deve analisá-las para veriﬁcar se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado, antes de passar para a

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próxima Unidade. Não é preciso que todas as tarefas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor. Enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiverem diﬁculdades, anotando-as para retomá-las.

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200 km

12 maneiras

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• M2 Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, , , etc.). da • M6 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações com números reais. • M7 Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para realizar cálculos por aproximações racionais. • M15 Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras em situações-problema. • M24 Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema. • M27 Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado. • M28 Estabelecer a relação entre a medida do perímetro e do diâmetro de um círculo. • M29 Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

Podem-se criar condições para uma aprendizagem mais signiﬁcativa mostrando aos alunos que a matemática é uma construção histórica, ou seja, que, como todos os saberes humanos, respondeu a diferentes necessidades e

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preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos. Nesta Unidade, a passagem da história da matemática que nos interessa é aquela em que surgem os números irracionais.

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Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  régua  lápis de cor  compasso  esquadros  barbante  latas cilíndricas ou CDs, pires,  copos ou círculos de papelão

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras em situações-problema.

a2 = b2 + c2

Explique aos alunos que há várias demonstrações do teorema de Pitágoras criadas por muitos matemáticos da Grécia antiga e de outros povos, e muitas foram aparecendo com o passar do tempo. Este quebra-cabeça é uma delas e, para entendê-lo, retome aspectos da relação de Pitágoras estudados na Unidade 1.

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Para a confecção desse quebra-cabeça, os alunos podem precisar de ajuda ou de um tempo extra. Na atividade 2, espera-se que eles procurem fazer uma “tradução algébrica” desse fato geométrico, ou seja, que, ao representar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa por a2 e as

áreas dos quadrados construídos sobre os catetos por b2 e c2, eles expressem a relação entre essas áreas por: a2 = b2 + c2. Ajude os que tiverem diﬁculdade em fazêlo. Terminada a atividade, proponha um painel de discussões e faça um levantamento das soluções encontradas.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras em situações-problema.

Sim, porque é o quadrado de 15.

Primeiramente, faça um levantamento dos conhecimentos dos alunos sobre raiz quadrada. Na atividade 1, peça-lhes que façam uma estimativa da raiz quadrada antes de calculá-la. Na atividade 2, se achar neces-

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sário, proponha outras iguais, envolvendo outros quadrados. Explique aos alunos que a generalização é um processo fundamental em matemática e que aprender a generalizar é útil também na vida prática.

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20 m

Na atividade 3, veja se os alunos interpretam corretamente o enunciado do problema, se reconhecem os triângulos retângulos e se aplicam o teorema de Pitágoras. Ajude os que apresentarem diﬁculdade.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações com números reais.

Resposta pessoal

2,25

e e

. Porque

é igual a

também é igual a

Na atividade 1, veriﬁque se os alunos associam raiz quadrada com potência de expoente 2. Na atividade 2, espera-se que eles percebam que, para encontrar o resultado, basta calcular o quadrado

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de 1,5. Veriﬁque como eles elevam ao quadrado um número escrito na forma decimal e, se achar necessário, retome o algoritmo da multiplicação com decimais.

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• Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para realizar cálculos por aproximações racionais. • Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema. Estas atividades devem ser resolvidas em dupla.

Extraindo a raiz quadrada de 72.

Resposta pessoal

Na atividade 2, estimule os alunos a dizer e registrar suas ideias. Muitas vezes, eles sabem dar um exemplo sobre o assunto tratado, mas não conseguem explicar sua pertinência – numa conversa mais informal, eles podem entender melhor o que “sabem“.

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68,89

70,56

72,25

73,96

75,69

77,44

79,21

8,4

8,5

8,4852814

8,48 m

33,9 m ou 34 m

Na atividade 3, veja como calculam o quadrado dos números da tabela e, se for o caso, retome o algoritmo da multiplicação com decimais. Na atividade 4, explique e dê exemplos de aproximações por falta e por excesso.

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Na atividade 5, explique que há calculadoras em que não é preciso apertar o sinal de igual, em outras, aperta-se antes do número.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o Teorema de Pitágoras em situações-problema. • Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado.

16 16 cm2 4 cm

ℓ=

23,3 cm

Na atividade 1, retome o conceito de área, trabalhado nos anos anteriores. É uma oportunidade para os alunos que ainda não o compreenderam bem. Na atividade 2, veja se eles fazem cálculos com números racionais envolvendo raiz quadrada exata e aproximada.

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Se aparecerem resoluções diferentes, comente-as e valorize-as, pois isso contribui para uma compreensão mais signiﬁcativa. Retome os conceitos necessários para que os alunos superem seus erros de cálculo.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.). • Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado.

Triângulos retângulos

1,412135

Estas atividades procuram resgatar o processo histórico da construção do conceito de número irracional. No item c, retome o estudo das dízimas periódicas trabalhadas na Unidade 1 e explique que

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não tem parte periódica, ou seja, não é um número racional. Portanto, não é o quociente entre dois inteiros. Isso perturbou bastante os discípulos de Pitágoras e foi guardado em segredo durante muito tempo,

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marcando o declínio da escola pitagórica, pois se descobriu que nem tudo podia ser expresso por números inteiros. Se necessário, os alunos podem retomar as anotações de sistematização feitas na Unidade anterior.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.).

1,4142135 ou 1,4142136

1,9999998 ou 2,0000001

As atividades desta página organizam o conceito de número irracional. Para tanto, os alunos usarão a calculadora. Retome a visão histórica da página anterior.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.).

1u 1u

Na atividade 1, com a construção da espiral formada por triângulos retângulos, os alunos vão conhecendo outros números irracionais. Na formação desses triângulos, exploram-se os irracionais na forma de radicais ( etc.), tendo o teorema de Pitágoras como linha condutora.

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Observe como os alunos constroem os segmentos perpendiculares para desenhar o cateto do triângulo retângulo seguinte e recomende o uso de régua e esquadros. Se for necessário, retome os procedimentos do traçado de retas perpendiculares.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.).

1,7320508 e 1,7320509

Calculando seu quadrado: 1,73205082 = 2,9999999 ou 1,73205092 = 3,0000003

Irracional, porque não há nenhuma aproximação de elevada ao quadrado, seja igual a 3.

Racional, porque

= 2 e 22 = 4

Sim, é o número irracional

Na atividade 1, é aconselhável usar uma calculadora para trabalhar com aproximações decimais, restando mais tempo para a interpretação de dados e a construção de procedimentos.

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que,

Finalizando estas atividades, converse com os alunos sobre o que eles aprenderam e peça-lhes que registrem os tópicos principais.

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25,455844 cm

50 m2

Racional

A solução de algumas atividades envolve números irracionais e a de outras, números racionais. Assim, com exemplos e contraexemplos, você pode ajudar os alunos a reforçarem a ideia de que os irra-

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cionais não podem ser expressos por um quociente entre inteiros. Nas atividades 2 e 3, observe como eles interpretam os enunciados e veja se sabem ler as informações dadas nas ﬁguras – não

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só as numéricas, mas também as geométricas como, por exemplo, a igualdade das medidas dos lados dos quadrados. Se for o caso, oriente-os.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.).

B Corda AB A

Possibilidade de resposta para o item d:

Os segmentos de reta têm tamanhos iguais. Raios

A atividade desta página é proposta para veriﬁcar os conhecimentos prévios dos alunos sobre a circunferência e seus elementos. Organize a classe em grupos.

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• Constatar que existem situações-problema, em particular algumas vinculadas à geometria e medidas, cujas soluções não são dadas por números racionais (caso do π, da , , etc.). Material necessário: pedaço de barbante  1 lata cilíndrica  1 CD, pires, copo ou círculo  recortado em papelão

Que os quocientes têm valores aproximadamente iguais.

Resposta pessoal

Estas atividades possibilitam aos alunos uma veriﬁcação experimental de que o número π pode ser escrito como a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferência. Organize os alunos em grupos.

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Faça na lousa uma tabela como a da atividade 3, para cada grupo apresentar os dados encontrados. Na atividade 4, espera-se que os alunos percebam que os números são muito próximos, mas que nenhum deles é exato.

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Os valores para o número π foram sendo obtidos, ao longo do tempo, com mais casas decimais. Peça aos alunos que discutam essa afirmação e registrem as conclusões.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema. • Estabelecer a relação entre a medida do perímetro e do diâmetro de um círculo.

Respostas de acordo com os objetos medidos

C=d∙π

A medida do diâmetro é igual o dobro da medida do raio.

C=2∙r∙π=2πr

7π cm

Comente que, desde tempos remotos, se sabia que a medida do comprimento de uma circunferência cuja medida do raio era um número racional não podia ser representada pelo mesmo tipo de número. Se achar oportuno, peça aos alunos que pesquisem o número π.

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O objetivo das atividades 1 e 2 é sistematizar os conhecimentos adquiridos experimentalmente na atividade da página anterior e descobrir uma fórmula para calcular o comprimento de uma circunferência dada a medida do raio ou do diâmetro.

Na atividade 1, é possível que alguns alunos precisem de ajuda na escrita algébrica, e no item b da atividade 2, para escrever a fórmula. Proponha outros cálculos, análogos ao da atividade 3.

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Círculo A: 2 ∙ π ∙ 6 ≅ 37,68 cm Círculo B: 2 ∙ π ∙ 2 ≅ 12,56 cm O círculo C está correto porque 2 ∙ π ∙ 2,5 ≅ 15,70 cm.

Na atividade 1, veriﬁque se os alunos sabem a diferença entre circunferência e círculo, descrevendo suas características e estabelecendo relações entre eles. Se não, organize uma troca de informações a respeito e ajude-os a fazer essa distinção. Neste texto, distinguimos a ﬁgura

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bidimensional da unidimensional pelos nomes círculo e circunferência, respectivamente. Algumas pessoas consideram círculo e circunferência sinônimos, e assim designam a linha de fronteira de uma superfície circular; para designar a própria superfície, usam a palavra disco.

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Portanto, essas diferenças são convenções, e é importante que os alunos aprendam a usar a linguagem estabelecida. A atividade 2 contém resoluções incorretas comuns entre alguns alunos. O objetivo é que, analisando esses erros, os alunos deem dicas para o cálculo correto.

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9 m: comprimento da peça de renda; 1 m: medida do diâmetro de cada mesa

Se Dona Marta conseguirá colocar renda nas três toalhas. Resposta pessoal

Resposta pessoal

Calcular o comprimento de cada toalha; depois o das três e comparar com o comprimento da peça de renda disponível.

Enquanto os alunos resolvem a atividade 1, em duplas, circule pela classe, como mediador, ajudando os que tiverem dificuldade de: • (a) especiﬁcar um plano de resolução; • (b) justiﬁcar determinados caminhos;

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• (c) avaliar o resultado, se a solução for levada adiante. No item b, explique que, para encontrar a solução de um problema, é preciso entendê-lo, elaborar um plano que conduza ao objetivo, executar esse plano e veriﬁcar se o objetivo foi atingido.

Organize a análise e a sistematização dos planos dos alunos.

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Resposta pessoal

0,89 m

1.884 m

Às vezes, como é o caso da atividade 2, convém usar calculadora para evitar cálculos longos e cansativos e trabalhar com aproximações decimais. Concluídas as atividades, sistematize com os alunos o que aprenderam sobre números irracionais.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

Organize os alunos em grupos. Comece levantando o conhecimento dos alunos sobre razões e proporções, já estudadas nos anos anteriores, e peça-lhes que registrem o que foi revisto, analisado e comentado. A atividade 1 tem mais de uma solução, pois não se estabeleceu uma ordem

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entre os comprimentos. Esse tipo de problema tem como objetivo romper com a crença de que (a) todo problema tem uma única resposta, (b) há sempre uma maneira certa de resolvê-lo, e, (c) mesmo quando há várias soluções, apenas uma delas é a correta.

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157 m

O problema não terá solução se não for conhecido o valor, em centímetros, de uma polegada.

Nem todas as informações dadas no enunciado da atividade 2 são usadas na resolução. Trabalhar com problemas com excesso de dados rompe com a crença de que um problema não pode deixar dúvidas e de que todos os dados do texto são necessários para a resolução. Além disso, permite ao

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aluno selecionar os dados relevantes. O contexto aproxima-se de situações cotidianas, que, na maioria das vezes, apresentam informações supérﬂuas, que devem ser identiﬁcadas e descartadas. Na atividade 3, se os alunos não souberem que 1 polegada corresponde a 2,54 cm, as informações

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do enunciado não permitem a resolução do problema. Também não foi informado quanto a bicicleta percorrerá em uma unidade de tempo. No ﬁm, pergunte aos alunos o que eles aprenderam sobre resolução de problemas depois de resolver as atividades desta página.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

Duas maneiras

Comece perguntando aos alunos se já viram alguma construção com arcos na fachada e se conhecem pinturas ou desenhos cuja composição inclua arcos.

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É possível que a maioria dos alunos tenha, mesmo que intuitivamente, uma ideia do que é um arco. Por isso, na atividade 1, essa noção é introdutória.

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25,12 m

6,28 m

12,56 m

18,84 m

med BCA = 43,96 cm e med ADB = 21,98 cm

Como algumas vezes queremos calcular o comprimento de apenas uma parte da circunferência, a atividade 2 propõe o cálculo de partes de um todo que foi dividido em quatro partes iguais.

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Veriﬁque se os alunos têm consolidados seus conhecimentos sobre operações com números racionais. Observe eventuais diﬁculdades na resolução e ajude-os a superá-las, retomando o que for necessário.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

16 cm

36 cm

18,84 cm

As atividades desta página envolvem cálculo de comprimento de arcos, e os alunos farão multiplicação e divisão entre números racionais. Veja se o signiﬁcado dessas operações está consolidado e se eles dominam os algoritmos. Em caso contrário, retome o que for necessário.

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Para simpliﬁcar os cálculos, adotaremos π ≅ 3,14. Explique que o símbolo ≅ signiﬁca “aproximadamente igual”. Nas atividades 1, 2 e 3, observe se os alunos sabem ler e interpretar as informações dadas nas

ﬁguras – não só as numéricas, mas também as geométricas –, e ajude-os no que for preciso. Faça sempre a correção coletiva das atividades, discutindo com eles a veriﬁcação e a análise das soluções a que chegaram.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

Resposta pessoal

Retome alguns problemas de contagem da Unidade 1. Na atividade 2, observe se os alunos percebem que a contagem direta é impraticável e como eles formam os agrupamentos para resolver o problema.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas. Estas atividades podem ser resolvidas individualmente ou em grupo.

100 placas

26 opções

Organize a classe em grupos. As atividades 1 e 2 pretendem que, inicialmente, os alunos encontrem uma possibilidade que satisfaça o problema, para depois pensar em procedimentos para encontrar outras possibilidades.

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26 opções

26 × 26 = 676 placas

26 × 26 × 10 × 10 = 676 × 100 = 67.600 placas

26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 17.576 × 10.000 = 175.760.000

Veriﬁque como os alunos resolvem a atividade 3 e peça-lhes que usem argumentos para justiﬁcar seu procedimento. Socialize as resoluções e discuta-as com a classe. Retomando a proposta da página anterior, peça aos alunos que

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comparem suas estratégias com as que viram na atividade 4. Na atividade 5, peça aos grupos que formulem problemas parecidos com estes para trocar com outros grupos. Escolha alguns enunciados e resoluções para serem socializados.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas.

6 maneiras

Estas atividades sistematizam o conteúdo trabalhado nesta e na Unidade 1. Procure veriﬁcar se os alunos de fato aprenderam a resolver problemas de contagem. Mostre que o exemplo dado na atividade 1 envolve poucos agrupamentos e pergunte como fazer quando é impossível descre-

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ver todos os agrupamentos para contá-los. É muito importante que os alunos leiam individualmente a atividade 2 e depois conversem para compreender a generalização do princípio multiplicativo. Dê outros exemplos numéricos e peça que eles também deem. Você pode voltar a problemas anteriores para

ajudar os que ainda não tiverem compreendido o princípio. Para encerrar, peça-lhes que formem grupos e inventem um problema que use o princípio multiplicativo. Observe como eles fazem. Depois, dois grupos se reúnem, um resolve o problema criado pelo outro e todos conversam sobre o assunto.

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6 × 5 × 4 = 120 possibilidades

6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 720

Faça o fechamento da aula procurando integrar o trabalho dos grupos e organizar o que foi aprendido. Os alunos devem registrar esse fechamento.

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• Resolver situações-problema que incluam o uso do princípio multiplicativo da contagem, sem a aplicação de fórmulas. Estas atividades devem ser resolvidas em grupo.

3 algarismos

2 algarismos

3 × 2 × 1 = 6 números

3 × 3 = 9 números; 3 × 3 × 3 = 27 números

4 × 4 × 4 = 64

Depois de terem se familiarizado com problemas de contagem, formação de agrupamentos e várias representações de possibilidades, espera-se que os alunos entendam o princípio multiplicativo e o apliquem nos problemas desta página.

100

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A estratégia da atividade 2 pode ser aplicada a muitos outros problemas de contagem. Nessa e na atividade 3, os alunos perceberão que há estratégias generalizáveis, o que pode melhorar seu desempenho.

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10; 111 + 10 = 121 = 112

65 m

25,12 cm

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102

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• M3 Reconhecer um número irracional como um número de representação decimal infinita e não periódica. • M6 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes significados das operações, incluindo números reais. • M16 Fazer verificações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema. • M24 Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  régua  lápis de cor  compasso  esquadros 

1,61803398

Nesta Unidade, estudaremos as relações numéricas e geométricas presentes em obras de arte tidas como belas e harmoniosas ao longo dos anos, de tal forma que esta abordagem enriqueça o processo de ensino e aprendizagem dessas duas áreas de conhecimento. A leitura dos textos desta página deve ser compartilhada,

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e a descrição comentada deve ser individual. Comente que, na Grécia antiga, a harmonia estava diretamente ligada à beleza, à ordem, ao equilíbrio e à proporção, e esse legado perdura há muitos séculos na cultura ocidental.

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• Reconhecer um número irracional como um número de representação decimal inﬁnita e não periódica.

1, 8, 2, 0

Entre dois zeros, há 1, 2, 3, 4... algarismos 1. (Existem outras respostas.)

0,101101110111

Comece pedindo aos alunos que observem os seguintes números, escritos na forma decimal, e explicitem as diferenças entre eles. = 0,5 = 0,1666... = 1,414213562... π = 3,1415...

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Nas atividades 1 e 2, observe se os alunos identificam os padrões de regularidade num número irracional representado na forma decimal infinita e não periódica. Na atividade 3, verifique se percebem a diferença entre números racionais e irracionais expressos na forma decimal e oriente os que ainda não conseguem.

O ensino dos números irracionais não pode se limitar ao cálculo com radicais. Assim, ao concluir estas atividades, convém que os alunos escrevam outros irracionais na forma decimal.

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racional

irracional

5,6 cm

9 cm

quociente: 1,615384615

Na atividade 4, veriﬁque se usam corretamente a régua para medir os lados dos retângulos. Proponha correções coletivas, criando situações para que os alunos veriﬁquem a validade de suas resoluções e analisem diferentes procedimentos.

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• Reconhecer um número irracional como um número de representação decimal inﬁnita e não periódica.

O cálculo com números irracionais por meio de aproximações racionais é uma situação apropriada para tratar o conceito de arredondamento e usar calculadora. Explique aos alunos que existem outras regras de arredondamento, além dessa que vamos estudar.

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Por exemplo, o arredondamento por “truncamento”, muito aplicado em bancos, em taxas e impostos e no comércio. Como os valores de dinheiro costumam ter duas casas decimais, os arredondamento por truncamento são feitos com esse número.

Nesse tipo de arredondamento, simplesmente se descartam todas as inﬁnitas casas decimais depois da segunda casa. Por exemplo, 8,666666666... para 8,66. Para ﬁnalizar, é importante combinar qual é a regra que vai ser usada ao longo do ano.

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2,38506789 ≅ 2,39; 2,39506789 ≅ 2,40

42 + 42 = 32 u ≅ 5,66 u

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações, incluindo números reais. • Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

Porque a altura AH é perpendicular à base BC.

Num triângulo isósceles, a altura coincide com a mediana.

Comece comentando com os alunos, organizados em grupos, que a situação-problema proposta é uma aplicação prática das propriedades dos triângulos isósceles. Relembre o conceito de triângulo isósceles e suas propriedades. Antes da atividade 1, faça um levantamento do que eles entendem por razão, proporcionalidade

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e vista frontal de uma figura tridimensional, temas provavelmente já abordados nos anos anteriores. Verifique também se sabem o que significa cumeeira, que é a parte mais alta do telhado. Planeje a aula de tal modo que os alunos exponham e troquem interpretações sobre os problemas propostos e comparem com

os colegas seus procedimentos e suas soluções. Na atividade 1, observe se os alunos interpretam corretamente o enunciado do problema, reconhecem os elementos do triângulo isósceles ABC e identiﬁcam os triângulos retângulos obtidos em sua decomposição.

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h = 8 metros

= 0,2666...

Sim, porque a razão entre suas medidas é um número racional.

Na atividade 2, observe se aplicam o teorema de Pitágoras ao triângulo AHC. Na atividade 3, pergunte se a razão obtida é um número racional ou irracional e peça aos alunos que justiﬁquem sua resposta.

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Na atividade 5, o aluno precisa pensar na razão

antes de cons-

truir o segmento MN, a partir do segmento AB.

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Aproximadamente 5,74 m

≅ 0,1795175827...

Sim, porque a razão entre suas medidas é um número irracional.

Na atividade 1, observe se os alunos, organizados em duplas, identiﬁcam os triângulos retângulos obtidos na decomposição do triângulo isósceles ABC.

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Nas atividades 2 e 3, certiﬁque-se de que os alunos percebem que o conceito de razão aplicado à geometria e às medidas é o mesmo que se aplica aos números. Se for preciso, dê exemplos.

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As medidas são iguais; M é o ponto médio do segmento.

Explique que esse combinado evitará que, tendo que a calcular a razão entre as medidas dos segmentos AB e CD, se dê como resposta o quociente

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Na atividade 1, veriﬁque se os alunos identiﬁcam a razão entre dois segmentos relacionando suas respectivas medidas.

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Nas atividades 2 e 3, antes da sua intervenção, dê oportunidade aos alunos de expressar seus conhecimentos, identiﬁcar e apresentar suas dúvidas.

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Racional

Na atividade 3, veriﬁque se os alunos percebem que o raio da circunferência maior corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo RPO. Se aparecerem resoluções diferentes, comente-as, sempre valorizando as várias estratégias.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

⇒ as duas razões são iguais.

⇒ não são proporcionais.

Antes da atividade 1, peça aos alunos que observem os retângulos desenhados e pergunte que pares de retângulos têm lados proporcionais. Normalmente, eles recorrerem à intuição, aos raciocínios aritméticos e a cálculos simples. Se for preciso, reproduza na lousa a ﬁgura A e peça-lhes que identiﬁquem as medidas de seus lados.

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Estas atividades são consequências imediatas das da página anterior, e visam desenvolver noções de proporcionalidade entre medidas de segmentos de reta. Nas atividades 1, 2 e 3, observe se os alunos sabem ler e interpretar as informações sobre a unidade de medida com que se

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medem os lados dos retângulos e ajude-os no que for preciso. Finalizando as atividades desta página, se houver necessidade, proponha situações semelhantes, em que os alunos poderão explorar o conceito de segmentos proporcionais.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

Antes de iniciar as atividades, explique como traçar retas paralelas com régua e esquadro. Na atividade 1, proponha aos alunos a construção de feixes de retas paralelas e perpendiculares, com régua e esquadros.

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As construções geométricas precisas ajudam a descobrir, comprovar e consolidar propriedades das ﬁguras geométricas.

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2 cm

3 cm

1,5 cm

4,5 cm

3 cm 3 cm

1 cm

Sim, porque as razões são iguais.

Na atividade 2, os alunos medirão segmentos determinados por retas transversais num feixe de retas paralelas, para verificar que são proporcionais. Enquanto eles trabalham, verifique se reconhecem e identificam essa proporcionalidade.

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Convém ressaltar que as conclusões são tiradas pela experimentação, mas que elas não foram provadas.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

Existem outras respostas. Resposta pessoal

r s n m

1 cm 2 cm

u 3 cm

São proporcionais.

Na atividade 1, peça aos alunos que construam feixes de retas paralelas e perpendiculares, com régua e esquadros. Se eles tiverem diﬁculdade para desenhar as retas com as distâncias pedidas, oriente-os a traçar duas retas auxiliares perpendiculares à reta s e sobre elas marcar pontos que distam 1 cm, 2 cm e 3 cm de s.

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Resposta pessoal

d m

2 cm

São proporcionais e congruentes.

Na atividade 2, espera-se que os alunos concluam que os segmentos determinados pela transversal m têm medidas iguais entre si, e os segmentos determinados pela transversal n, também. Para encerrar, organize atividades voltadas à exposição oral e escrita sobre o que foi realizado.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

O objetivo das atividades desta página é sistematizar os conhecimentos adquiridos experimentalmente nas atividades da página anterior, sobre a proporcionalidade entre os segmentos determinados por retas transversais so-

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bre um feixe de retas paralelas, e enunciar o teorema de Tales. Experimentar, explorar intuitivamente, visualizar e contextualizar ajuda na construção do raciocínio lógico dedutivo. Organize os alunos em duplas.

Nas atividades 1 e 2, veriﬁque se eles calculam a proporção na ordem certa. Essas são apenas veriﬁcações experimentais do conhecido teorema de Tales.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

Um exemplo:

Não faremos a demonstração do teorema de Tales nesta Unidade, porque ela envolve conhecimentos matemáticos que não são abordados neste texto. A construção de uma demonstração formal em geometria pode ser feita gradativamente, adequando-a de modo

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que seja compreendida pelos alunos. Oriente-os a formar duplas. É importante que eles percebam que, num feixe de retas paralelas cortadas por transversais, várias proporções entre os segmentos podem ser escritas pela aplicação do teorema de Tales.

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Nas atividades 1 e 2, observe se eles identiﬁcam em cada transversal os segmentos correspondentes respectivamente proporcionais. Se achar conveniente, proponha uma pesquisa sobre outros fatos geométricos atribuídos a Tales de Mileto.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

1,5 cm; 2,5 cm

Comece a atividade 1 perguntando o que eles já sabem sobre proporção e faça um levantamento dos procedimentos matemáticos necessários para resolver problemas que envolvem esse conceito. Por exemplo, a propriedade fundamental das proporções, provavelmente já abordada nos anos anteriores.

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Na atividade 2, veja se eles identiﬁcam em cada transversal os segmentos respectivamente proporcionais. Discuta outras formas de resolver o problema, além da que aplica a propriedade fundamental. Por exemplo, eles podem

observar que 4 é o dobro de 2 e, portanto, 3 é o dobro de m. Na ﬁgura da direita, se os dois segmentos sobre uma transversal são congruentes, então, os dois segmentos sobre a outra transversal também são.

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x = 3 cm x = 1,666... cm

y = 2 cm

Na atividade 3, eles aplicarão o teorema de Tales, a propriedade fundamental das proporções, equação do 1o grau e também sistemas de equações. Se houver alunos que não saibam transformar os dados em equa-

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ções do 1o grau ou não saibam resolvê-las, apresente exemplos mais simples. Na atividade 4, observe os procedimentos adotados e crie oportunidade para que compartilhem diferentes resoluções.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

150 m

Organize os alunos em grupos e comente que existem muitos problemas que podem ser resolvidos pela aplicação do teorema de Tales. Um deles é a determinação de distâncias inacessíveis, que não se podem medir diretamente. Na atividade 1, discuta outras formas de resolver este problema. Veriﬁque se algum aluno sugeriu

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a seguinte resolução: traçar a reta BC de modo que o ângulo B seja reto. Medir as distâncias BC e AC e aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo ACB para determinar a largura AB. Na comparação entre diferentes soluções, os alunos verão que existem outras estratégias para resolver um mesmo problema, o que

concorre para uma melhor compreensão do conteúdo abordado. Na atividade 2, explique que o teorema de Tales pode ser estendido aos triângulos, com o seguinte enunciado: toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que encontra os outros dois em dois pontos determina sobre esses lados segmentos proporcionais.

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Como R é o ponto médio do lado MN, as medidas de MR e RN são iguais. Os segmentos MP, RS e NO são paralelos, e as medidas de PS e SQ também são iguais. Logo, S é ponto médio de PQ.

BP MP

Na atividade 3, mostre aos alunos que, prolongando os lados não paralelos do trapézio, formaremos um triângulo e teremos uma situação análoga à da atividade anterior.

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• Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Tales em situações-problema.

g = 13 cm e h = 18,2 cm

Resposta pessoal

6 cm 3 cm M

7,5 cm N C

5 cm e 2,5 cm

Nesta página, são propostos problemas de aplicação do teorema de Tales. Na atividade 1, observe se os alunos interpretam corretamente o enunciado, identiﬁcam os segmentos proporcionais nos triângulos e aplicam a propriedade fundamental das proporções. No item b, veriﬁque se nos pro-

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blemas inventados há contexto ou se são aplicação direta do teorema de Tales. Faça uma lista com os mais interessantes e proponha que os resolvam em casa. Corrija-os na próxima aula. Na atividade 2, procure observar como os alunos representam os dados do enunciado na ﬁgura desenhada.

Para ﬁnalizar, não deixe de corrigir as atividades. Socialize as diferentes soluções e comente-as. Aproveite para sistematizar o que foi aprendido sobre proporcionalidade entre segmentos determinados por retas paralelas cortadas por duas transversais.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

Resposta pessoal

Uma é unidimensional e a outra é bidimensional.

Comece a atividade com uma conversa em que os alunos possam explorar formas redondas e circulares. Pergunte o que podem signiﬁcar as palavras inscrito e circunscrito, nas ilustrações. Na atividade 1, peça-lhes que procurem na sala de aula elementos circulares e também que citem exemplos do dia a dia.

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Dentre os possíveis objetos citados – bola, moedas, rodas, copos, latas etc. –, escolha aqueles que possam fazer surgir o círculo e a circunferência. Na atividade 2, veriﬁque se os alunos distinguem circunferências e círculos por suas características, estabelecendo relações entre eles.

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Organize na lousa as respostas e peça-lhes que as registrem no caderno. Todos os pontos da circunferência estão à mesma distância r do centro. No círculo, além dos pontos que distam r do centro, há outros pontos cuja distância ao centro é menor que r.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

16 quadrados ou 16 cm2

36 quadrados ou 36 cm2

16 quadrados ou 16 cm2 36 quadrados ou 36 cm2

Organize os alunos em grupos e comece a atividade 1 relembrando o conceito de área de uma superfície. Pergunte-lhes como fariam uma estimativa da área desse círculo.

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Na atividade 2, antecipe informações sobre composição com ﬁguras formadas por segmentos e curvas. Da mesma maneira que os polígonos, para fazer uma composição com essas ﬁguras, é preciso que elas tenham pelo menos um lado comum.

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No item c da atividade 2, veriﬁque se, com os 4 setores do círculo, os alunos compõem uma ﬁgura como esta:

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No item d, com 8 setores, a nova ﬁgura é parecida com:

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

Paralelogramo

Resposta pessoal

A altura da ﬁgura F se aproxima cada vez mais do raio do círculo, e sua “base” se aproxima cada vez mais da metade do comprimento da circunferência.

Inicialmente, peça aos alunos que relembrem o signiﬁcado da palavra conjectura, que já apareceu na Unidade 1. Veriﬁque se as respostas se aproximam de alguns verbetes do dicionário Aurélio: “juízo ou opinião sem fundamento preciso; suposição, hipótese.”

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Se não surgir nada parecido, oriente-os a consultar um dicionário. Se eles encontrarem mais de um signiﬁcado, eles devem escolher o mais adequado ao contexto. Na atividade 1, remeta os alunos que não conseguirem identiﬁcar o quadrilátero que circunda a composição de setores.

Como aprofundamento, proponha uma pesquisa sobre como Arquimedes determinou a área de um círculo. Na atividade 3, estimule-os a fazer conjecturas pedindo-lhes para testá-las, veriﬁcar sua validade e construir argumentos para defendê-las.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

Resposta pessoal

altura = r; base = π × r

área do retângulo = π × r × r

área de círculo = π × r2

Na atividade 1, organize os alunos em duplas e incentive-os a buscar argumentos para justiﬁcar os procedimentos de Pedro. Na atividade 2, espera-se que eles identiﬁquem a altura do retângulo com um raio do círculo e a base do retângulo com a metade do comprimento da circunferência.

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Na atividade 3, procure ajudar os alunos que ainda não sabem como se calcula a área de um retângulo. Na atividade 4, espera-se que “deduzam” a fórmula da área do círculo a partir de sua identiﬁcação com o retângulo da atividade anterior. Se isso não acontecer, faça perguntas que os levem à fórmula.

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Se for conveniente, peça-lhes que pesquisem na internet como o escriba egípcio Ahmes encontrou a área do círculo e socialize as informações obtidas.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

50 × π cm2

Antes de começar as atividades, organize os alunos em duplas e pergunte como calculariam a área de um semicírculo e de um setor circular de

de círculo.

Dê oportunidade para que eles expressem seus conhecimentos,

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identiﬁquem e apresentem suas dúvidas e formulem hipóteses. Depois de ouvir as sugestões, anote na lousa aquelas que resolvem a questão proposta e peça aos alunos que as copiem no caderno. Na atividade 1, oriente-os a observar o esboço e citar caracte-

rísticas e informações extraídas da ﬁgura. O aluno poderá perceber que cada uma das ﬁguras tem área equivalente à da metade do círculo.

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8 π m2

40 × π cm2

Na atividade 2, desaﬁe os alunos a desenhar um canteiro que satisfaça as condições do problema. Socialize as resoluções e discuta as mais convenientes.

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Na atividade 3, é possível que alguns alunos usem um valor aproximado para π e obtenham um valor aproximado na forma decimal.

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Valorize outras formas de dar a resposta, incentivando a exposição das ideias e a análise dos procedimentos.

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• Construir procedimentos para o cálculo de áreas e perímetros de superfícies planas (limitadas por segmentos de reta e/ou arcos de circunferência) em situações-problema.

314 cm2

Essa atividade é preparatória para que, em duplas, os alunos construam procedimentos de cálculo com números irracionais, que serão abordados na próxima Unidade. Veriﬁque se seus conhecimentos sobre operações com números racionais estão consolidados e

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200 cm2

114 cm2

se eles os aplicam aos problemas propostos. Peça aos alunos que procurem num dicionário o signiﬁcado da palavra tangência e o comparem com as noções matemáticas de polígono inscrito e circunscrito que acabam de estudar.

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24 cm

46,8 cm

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passar para a próxima Unidade. Não é preciso que todas as tarefas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor. Enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiverem diﬁculdades, anotando-as para retomá-las.

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157 cm2

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• M6 Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes significados das operações, incluindo números reais. • M7 Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais. • M10 Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o significado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta. • M15 Fazer verificações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Pitágoras em situações-problema. • M17 Resolver situações-problema que envolvam a divisão de segmentos de reta em partes proporcionais. • M27 Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado.

A adição e sua inversa, a subtração; multiplicação e sua inversa, a divisão; a potenciação e sua inversa

Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: tesoura  régua  calculadora  compasso  esquadros  folhas de sulﬁte 

Comece esclarecendo os alunos sobre o que será trabalhado e com que objetivos, para que eles possam tomar a iniciativa de ler e resolver as atividades propostas.

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• Analisar, interpretar, formular e resolver situações-problema compreendendo diferentes signiﬁcados das operações, incluindo números reais. • Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais.

41,46 km (Existem outras respostas.)

41,462644 km

3,178373 km

Nas atividades 1 e 2, organize os alunos em grupos, peça-lhes que estimem resultados e usem uma calculadora para veriﬁcar se suas estimativas foram adequadas.

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Na atividade 4, comente que as calculadoras operam números irracionais com sua melhor aproximação racional. Peça aos alunos que registrem o que foi discutido.

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Pode-se calcular o valor aproximado de adicioná-los. (Existem outras respostas.)

A resolução destas atividades pode ser individual, de modo que os alunos desenvolvam a escrita de ideias matemáticas, aspecto importante da aprendizagem. Na atividade 1, observe se os alunos percebem que as parcelas que compõem a adição 2 x + 2× são radicais +3×

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iguais e também se formularam conjecturas a respeito. Se não, mostre isso a eles, para ajudá-los a compreender a próxima atividade. Antes da atividade 2, se você perceber que os alunos não se lembram da propriedade distributiva da multiplicação com relação

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à adição, faça uma breve revisão dessa propriedade. Veriﬁque também o que eles já sabem sobre fatoração e faça um levantamento dos procedimentos matemáticos necessários para resolver problemas que envolvem esse conceito.

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Sim

Sim, colocando o fator comum em evidência.

≅ 4,47

Não, porque o resultado é zero.

Na atividade 3, peça aos alunos que exponham e registrem suas ideias, pois é comum eles dizerem que sabem dar um exemplo, mas não sabem explicar determinado fato matemático. Na atividade 4, os alunos deverão aplicar o que foi aprendido.

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• Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais.

3,1462643

Sim

Por exemplo:

=0+5=5

= + Portanto: (Existem outras respostas.)

Resposta pessoal

X 17,3 – 14,1 ≅ 3,2 < 10

–0=

Por exemplo: Portanto:

–0=

=4 –

A atividade 1 pode ser um momento de avaliação do trabalho realizado e de ampliações e aprofundamentos sobre adição e subtração. Na atividade 2, estimule a formulação de argumentos para jus tificar os procedimentos utilizados.

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–

=4–0=4

(Existem outras respostas.)

Na atividade 3, é comum os alunos considerarem correta a igualdade (a). Se isso acontecer, oriente-os a calcular o valor aproximado de e fazer a subtração e dê outros exemplos.

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Na atividade 4, observe, pelos exemplos dados, se os alunos percebem que, em geral:

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dezenas de metros ≅ 58,28 dezenas de metros

AB – OA =

Antes de começar a resolução do problema, organize os alunos em grupos e chame atenção para os elementos da ilustração. Destaque a unidade de medida de comprimento expressa por dezena de metro, pois essa forma aparece

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dezenas de metros ≅ 4,14 dezenas de metros

BC – AB =

dezenas de metros ≅ 3,18 dezenas de metros

FG – EF =

dezenas de metros ≅ 1,96 dezenas de metros

GH – FG =

dezenas de metros ≅ 1,83 dezenas de metros

às vezes em textos jornalísticos ou cientíﬁcos. Se for conveniente, comente que essa unidade corresponde ao decâmetro, uma das unidades do sistema métrico, que corresponde a 10 metros.

Nas atividades 1 e 2, verifique como os alunos leem os problemas, se os interpretam corretamente e se sabem ler as informações dadas na ﬁgura. Se necessário, oriente-os.

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dezenas de metros ≅ 44,14 dezenas de metros

dezenas de metros ≅ 41,23 dezenas de metros

= 44,8 + 28,2 = 73 m

Nas atividades 3 e 4, socialize as resoluções dos alunos e proponha uma discussão sobre eventuais diferenças.

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Área do retângulo ABCD =

316,22774 m2

Pode-se calcular os valores aproximados de multiplicá-los.(Existem outras respostas.)

Comece organizando os alunos em grupos e fazendo um levantamento do que pensam sobre diferentes signiﬁcados da multiplicação de números irracionais e suas propriedades. Na atividade 1, identiﬁque os conhecimentos construídos pelos alunos nos anos anteriores sobre área de retângulos.

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A atividade 2 apresenta uma situação propícia para eles estimarem os resultados esperados e, com uma calculadora, veriﬁcar a pertinência das estimativas. Volte a lembrá-los de que as calculadoras operam com números irracionais por meio de sua melhor aproximação racional.

Acompanhe os alunos durante a atividade 3, para recolher indicadores dos avanços e melhor encaminhar seu trabalho.

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• Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais.

Sim

≅ 14,142135 × 22,360679 = 316,22776 e

≅ 316,22776

Igualdades

Na atividade 1, organize os alunos em grupos e peça-lhes que retomem as atividades da página anterior e comente que o objetivo aqui é ampliar e aprofundar a multiplicação de números irracionais. Na atividade 2, incentive-os a buscar argumentos que justiﬁquem seus procedimentos.

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Nas atividades 4 e 5, a partir de algumas situações-problema, ﬁzeram-se descontextualizações convenientes para a compreensão da propriedade genérica e abstrata da expressão:

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Se julgar necessário, peça aos alunos que atribuam valores não negativos a a e b para veriﬁcar a validade da propriedade.

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Resposta no enunciado da atividade 6

Resposta pessoal. O aluno vai comparar o texto acima com a sua resposta e fazer as correções ou complementações.

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• Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais. • Estabelecer a relação entre a medida da diagonal e a medida do lado de um quadrado.

32 + 32 = 18 cm

Na Unidade 2, há uma atividade parecida com a atividade 1, mas, lá, tratava-se de um caso particular, em que as medidas dos lados do quadrado eram iguais a uma unidade. O objetivo era que os alunos entendessem que números racionais são imprecisos para ex-

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pressar a medida da diagonal de um quadrado. Agora, espera-se que os alunos estabeleçam a relação entre a medida da diagonal e a medida dos lados de um quadrado. Veja se eles comparam esta proposta com outras que tenham visto antes.

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No decorrer da atividade 2, veriﬁque se os alunos conseguem formular conjecturas, se fazem testes, se argumentam e demonstram a fórmula encontrada.

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Resposta pessoal

Multiplicar a medida do lado por

Sim; a2 + a2 = 2 a2

d = 33

a2 = a

Depois de realizadas as atividades, pergunte a área do quadrado da atividade 5.

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Resolver a equação: Medida do cateto =

3,1622776 m

Na atividade 1, identiﬁque os conhecimentos dos alunos sobre área de triângulos. Na atividade 2, peça aos alunos que leiam a atividade com atenção e depois respondam. Enfatize

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que o raciocínio é muito importante, e não apenas a resposta. Por isso, eles devem descrever suas resoluções procurando registrar todas as passagens.

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Sim

Resposta na atividade 4

Nas atividades 1 e 2, organize os alunos em grupos e peça-lhes que comparem a última atividade com as explicações dadas nesta página. Comente também que a ﬁnalidade aqui é ampliar e aprofundar conhecimento sobre a divisão de números irracionais.

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Incentive-os a buscar argumentos para justiﬁcar seus procedimentos. Na atividade 3, os alunos aplicarão o que foi aprendido.

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As atividades desta página retomam as operações estudadas. Alguns resultados são números inteiros e outros são números irracionais.

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• Construir procedimentos de cálculo com números irracionais e usar a calculadora para obter aproximações racionais. • Fazer veriﬁcações experimentais, formular conjecturas e utilizar o teorema de Pitágoras em situações-problema.

Que também ama a primeira pessoa. (Existem outras respostas.)

A soma das medidas dos catetos elevadas ao quadrado é igual à medida da hipotenusa elevada ao quadrado. a2 = b2 + c2

Faça uma leitura compartilhada, pedindo aos alunos que: • copiem palavras desconhecidas e procurem seu signiﬁcado; • copiem trechos que trazem informações novas; • anotem suas dúvidas ou partes que não estão claras.

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Na atividade 1, chame a atenção dos alunos para a ilustração que contextualiza o texto. Pergunte que relação pode haver entre a charge e a matemática. Nas atividades 2 e 3, deixe-os à vontade para falar, anotar e organizar suas opiniões, sem emitir

juízos a respeito da correção ou da incorreção do que disserem. Depois, faça os comentários pertinentes. Terminadas as atividades, retome os apontamentos feitos durante a leitura compartilhada, para sistematizar o que foi aprendido.

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, porque é a maior medida.

5=2+3 O triângulo é retângulo.

Não; porque 602 + 802 = 3.600 + 6.400 = 10.000 e 1202 = 14.400, portanto não vale o teorema de Pitágoras.

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cm, 4 ∙

Sim, pois: (4 ∙ )2 + (4 ∙ ou 32 + 32 = 64

cm e 8 cm

)2 = 82

Perímetro: (8 ∙ + 8) cm = 8 ∙ ( Sim

+ 1) cm

4 cm2

(4 ∙

+ 8) cm = 4 ∙ (

+ 2) cm

+ 8) cm = 4 ∙ (

+ 2) cm

8 cm2

(4 ∙

A composição e a decomposição de ﬁguras no cálculo das áreas com as peças do tangram ajudam os alunos a perceber que podemos calcular a área de algumas ﬁguras mesmo sem ter uma fórmula para isso. Ao iniciar as atividades, peça-lhes que observem as características das superfícies poligo-

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nais que compõem o tangram e as registrem. Espera-se que, analisando cada uma, eles percebam que há relações entre seus lados. Com isso, adquirem um conjunto de informações que favorece a resolução da atividade. Estimule os alunos a aplicar estratégias pessoais.

No decorrer das atividades desta página, socialize as várias resoluções e suas respectivas explicações. Ao analisar esses procedimentos, os alunos identiﬁcarão os mais descritivos, os mais sucintos e os que dão mais informações, para escolher os mais adequados para resolver problemas desse tipo.

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• Resolver situações-problema que envolvam a divisão de segmentos de reta em partes proporcionais.

Sim

Pelo teorema de Tales, um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos de reta correspondentes proporcionais.

Com alguma antecedência, peça aos alunos que tragam régua, esquadro e compasso para resolver o problema proposto. A construção geométrica proposta consiste em dividir um segmento de reta em partes proporcionais usando o paralelismo entre retas. Atividades que envolvem construções com régua e compasso

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concorrem para descobrir, comprovar e consolidar propriedades de figuras geométricas. Peça aos alunos que reproduzam numa folha sulfite o desenho de Rita e repitam o que ela fez. Ajude-os na leitura da situação-problema proposta e na interpretação correta das informações das figuras.

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Para ﬁnalizar, proponha aos alunos que elaborem um problema que se resolva pela divisão de segmentos em partes proporcionais. Observe o modo como eles inventam os problemas e como os resolvem.

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• Resolver situações-problema que envolvam a divisão de segmentos de reta em partes proporcionais.

O uso de instrumentos de desenho para a divisão de segmentos em partes proporcionais é uma das possibilidades de trabalho, além da construção de retas paralelas e perpendiculares. Como as construções de ﬁguras geométricas com régua, esquadro e compasso exigem a manipulação de materiais de desenho,

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convém observar se eles estão habituados ao manejo de tais instrumentos. É possível que alguns alunos ainda não tenham estudado essas construções. Nesse caso, se você achar conveniente, retome as construções de retas paralelas e perpendiculares da Unidade 3: Proporcionalidade e retas paralelas.

Na atividade 2, os alunos devem ser orientados de forma a perceber que a divisão de um segmento de reta num número qualquer de partes iguais e a divisão de um segmento de reta em partes proporcionais a determinados números são aplicações do teorema de Tales.

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• Identiﬁcar as propriedades da igualdade na construção de procedimentos par resolver equações do 2o grau.

Resposta pessoal; por exemplo, temperatura

Porque haveria inﬁnitos quocientes possíveis. Por exemplo: 6 ÷ 0 = 7, porque 7 ∙ 0 + 6 = 6 ou 6 ÷ 0 = 1.000, porque 1.000 ∙ 0 + 6 = 6.

a = 0 ou b = 0

Porque 0 dividido por um número diferente de zero é igual a 0.

Organize os alunos em grupos e peça-lhes que observem o uso da palavra grau em diversos casos. Incentive-os a ir além da mera identiﬁcação, interpretando cada situação. A atividade 2 traz aﬁrmações que devem ser analisadas e discutidas por todos.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

a2 = 100 m2

Sim

Como a2 = 100, a = 10 ou a = – 10

Duas soluções

Antes da atividade 1, peça aos alunos que deem alguns signiﬁcados comumente atribuídos à palavra equacionar e procurem se lembrar do que é uma incóg-

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nita, termos relativos ao estudo de equações do 1o grau. Se achar oportuno, peça-lhes que procurem o signiﬁcado dessas palavras em dicionários ou na

internet. Pode também ser o caso de exempliﬁcar com equações. No item c da atividade 1, discuta com eles o signiﬁcado de cada solução (raiz) para o problema.

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a = 10. A solução –10 não é solução do problema pois a representa a medida do lado do quadrado e deve ser um número positivo.

m; o conceito de raiz quadrada e uma equação do 2o grau (Existem outras respostas.)

50 cm2

Na atividade 2, veriﬁque se usam o conceito de raiz quadrada estudado nas Unidades anteriores para resolver o problema. Para concluir, reescreva na lousa as equações obtidas nas duas atividades e pergunte qual foi o expoente que escreveram para a incógnita.

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Reforce que equações com uma incógnita em que o maior expoente é 2 são equações do 2o grau, que estudaremos nas próximas atividades.

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• Identiﬁcar os termos de uma equação do 2o grau do tipo a ∙ x2 = b.

9x2 = 36 ou 9x2 − 36 = 0

–6

0,8

Sugerimos que os alunos trabalhem individualmente, para que você observe se de fato compreenderam o que se apresenta nesta página.

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Na atividade 1, peça-lhes que observem as características da equação genérica e comparem-na com as equações obtidas nas atividades da página anterior.

0 –1

Na atividade 2, proponha outras situações que permitam aos alunos identiﬁcar os termos de uma equação do 2o grau do tipo a∙x2 = b ou a∙x2 – b = 0.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

Sim, porque, se x2 = 4, então x = – 2 ou x = 2.

0; sim

x1 =

e x2 =

Nenhum dos dois

Planeje situações coletivas em que os alunos possam comparar com os colegas seus procedimentos e as soluções encontradas. Comece pedindo aos alunos que, em dupla, expliquem por que as equações a∙x2 = b e a∙x2 – b = 0 são equivalentes. Na atividade 1, verifique se entenderam as duas formas de

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resolver a equação proposta. Resolvida a atividade 2, explique 2

que na equação x = • se b = 0, então x2 =

: =0e

é um número positivo,

então a equação terá duas soluções como, por exemplo, a

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qual x2 =

= 4 e, portanto,

suas soluções são 2, – 2.

= 0, pois 02 = 0. • se

equação 9∙x2 – 36 = 0, para a

• se

é negativo, o símbolo não representa número

racional ou irracional. Nenhum número racional (ou irracional) elevado ao quadrado é negativo.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

X X

Na atividade 1, é importante que os alunos compreendam o enunciado do problema para elaborar planos para encontrar solução por meio de uma ou mais ações. Na atividade 2, veriﬁque se eles identificam o que o problema pede.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

a + 60 a ∙ (a + 60) 2a 4a2 a ∙ (a + 60) = 4a2

a2 + 60 ∙ a = 4a2

a2 − a2 + 60 ∙ a − 60 ∙ a = 4a2 − a2 − 60 ∙ a

0 = 4a2 − a2 − 60 ∙ a

3a2 − 60 ∙ a = 0

Na atividade 1, peça aos alunos que, em dupla, indiquem as medidas dos lados das ﬁguras da página anterior. Ao trabalhar com a linguagem algébrica na resolução de equações, esteja atento ao fato de que, muitas vezes, as ideias que comunicamos aos alunos podem

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não fazer parte de seu universo de conhecimentos. Na atividade 2, antecipe informações sobre a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e sobre as propriedades de equivalência de equações, já estudadas na resolução de equações do 1o grau.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta. Estas atividades devem ser resolvidas em dupla.

Resposta pessoal

Como a é fator comum a 3a2 e a 60 ∙ a, ela colocou o fator comum a em evidência: a ∙ (3a – 60) = 0 Depois, ela aplicou a propriedade que diz que, se um produto é igual a zero, um dos fatores é igual a zero. a ∙ (3a – 60) = 0 ⇒ a = 0 ou 3a – 60 = 0

Sim, a = 0 e 3 ∙ a − 60 = 0, ou seja, 3 ∙ a = 60 ⇒ a =

= 20

Como a representa a medida da largura da placa, deve ser um número positivo. Portanto, a = 0 não é conveniente.

Placa retangular: 20 cm e 80 cm; placa quadrangular: 40 cm

Antes de começar o trabalho, faça o levantamento dos conhecimentos dos alunos sobre fatoração. Na atividade 1, incentive-os a persistirem na busca de uma for-

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ma de resolver a equação proposta, ainda que se defrontem com passagens difíceis. Se você identiﬁcar passagens que a classe não compreende, dê as orientações cabíveis.

Na atividade 4, uma vez encontradas as soluções (raízes) da equação, se existirem, peça aos alunos que veriﬁquem se elas satisfazem as condições do problema e se podem ser aceitas.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

8x2 − 15x = 0

Colocar o fator comum x em evidência e aplicar a seguinte propriedade: se um produto é igual a zero, então um dos fatores desse produto é igual a zero. (Existem outras respostas.)

Resposta na atividade 4.

x1 = 0 e x2 =

Comente que, mais uma vez, trabalharemos com uma equação genérica. Explique a importância das generalizações na vida cotidiana e nos vários campos de conhecimento e, se puder, dê alguns exemplos. Na atividade 1, se alguns alunos tiverem diﬁculdade para identiﬁcar

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os coeficientes de equações desse tipo, mostre outros exemplos. Na atividade 2, oriente-os a recorrer aos procedimentos da página anterior. Na atividade 3, verifique se os alunos observam que o número zero é sempre uma das soluções das equações desse tipo. Peça que justifiquem.

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Peça-lhes que releiam as atividades desta página e faça um levantamento do que aprenderam sobre equações do 2o grau. Eles devem registrar o resumo dessa conversa.

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• Resolver situações-problema por meio de equações do 2o grau, discutindo o signiﬁcado das suas soluções (raízes) com relação à situação proposta.

3 ∙ y2 = 75

Sim. – 5 e + 5

− 5 e + 5. Justiﬁcativa: 3 (− 5)2 = 3 × 25 = 75 e 3 × 52 = 3 × 25 = 75

Sim. Marina, Soﬁa e Tiago; todos os valores encontrados são equivalentes a ou aproximações de .

Dê oportunidade para que os alunos expressem seus conhecimentos, identiﬁquem e apresentem suas dúvidas e formulem hipóteses e questões após a atividade, ajudando-os a recuperar, organizar e aplicar as noções matemáticas já adquiridas.

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Na atividade 1, veriﬁque se eles traduzem a situação proposta numa equação do 2o grau e discutem o signiﬁcado das soluções no contexto dado. A atividade 2 é um problema em que várias respostas apresentadas são equivalentes.

Verifique se os alunos compreendem a tarefa, elaboram um plano para resolvê-la, executam esse plano e, por fim, verificam as respostas obtidas.

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Cálculo de Daniela:

Área:

cm2; sim, a afirmação está correta. A área de cada um deles é:

cm2 =

Por exemplo: ⇒ metade da medida de uma diagonal é A metade da outra diagonal mede

cm2 =

cm2

cm.

O losango é composto por 4 triângulos retângulos.

cm2

Portanto, a área do losango é 4∙

cm2 =

cm cm

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100

cm ≅ 22,36 cm

cm2 ≅ 387 cm2

200 π cm2 ≅ 628 cm2

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• M10 Resolver situações-problema por meio de uma equação de segundo grau, discutindo o significado das soluções (raízes), em confronto com a situação proposta. • M18 Explorar ornamentos no plano, identificando reflexões em reta (simetria axial), rotações e translações. • M30 Resolver situações-problema que incluam noções de amostra de uma população, frequência e frequência relativa. Material necessário para o desenvolvimento desta Unidade: calculadora  régua  lápis de cor  compasso  esquadros  transferidor  tesoura  borracha 

Aproveite a abertura da Unidade para acionar os conhecimentos da turma sobre a diversidade cultural de São Paulo e suas interferências no cotidiano da cidade. Faça uma leitura compartilhada dessa página e colha as impressões dos alunos. Retome os procedimentos para a resolução de equações de segun-

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do grau, estudados na Unidade anterior. Leve em conta a possibilidade de desenvolver um projeto integrado com outras disciplinas sobre a importância do respeito à diversidade e sobre a percepção da singularidade de cada ser humano. A exposição ﬁnal do projeto pode ser feita por meio de uma amos-

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tra cultural com a apresentação de peças teatrais sobre diferentes comunidades paulistanas, danças folclóricas, conjuntos musicais, painéis, graﬁtes e quadros.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando translações.

Um grupo de duas bandeiras, uma azul e uma laranja, de desenhos diferentes, se desloca da esquerda para a direita mantendo a mesma distância.

As atividades dessa página podem servir de diagnóstico sobre os conhecimentos que os alunos têm de translação. Antes de realizá-las, faça uma roda de conversa, convidando-os a falar sobre o que conhecem da cultura nordestina e sobre as festas juninas de que já participaram.

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Inicie a atividade 1 perguntando o que entendem por padrão. Uma das deﬁnições do Dicionário Houaiss da língua portuguesa (Rio de Janeiro: Objetiva, 2009) é a seguinte: “qualquer objeto que serve de modelo para a elaboração de outro”. Veriﬁque se as respostas dos alunos se aproximam dela. Peça, então, que

completem a malha quadriculada. Observe se identiﬁcam como padrão o grupo de bandeiras e se descrevem o movimento adequadamente na atividade 2. Comente que, ao ser reproduzido, o padrão foi transformado em outra ﬁgura congruente a ele. Essa transformação é denominada translação.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando translações.

Quatro unidades

São paralelos e de medidas iguais.

Resposta possível: A forma e o tamanho não se alteram, apenas a posição muda.

Peça aos alunos que analisem o título e as ﬁguras dessa página. O que sugerem? Solicite que registrem no caderno suas impressões. É importante deixá-los à vontade para falar, anotar e organizar seus saberes para atividades posteriores. Chame a atenção para a notação indexada. Talvez alguns deles tenham visto as fórmulas H2O e

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CO2 (água e gás carbônico), por exemplo. Em geral, o índice tem tamanho pouco menor do que o da letra que ele está indexando e costuma ser colocado abaixo de sua linha de base. Na atividade 1, observe se eles identiﬁcam a unidade da primeira ﬁgura. Essa é a unidade utilizada nas atividades dessa página.

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Na atividade 4, em uma primeira aproximação, você pode aceitar que os estudantes se refiram, oralmente ou por escrito, aos conteúdos da disciplina em linguagem própria. Porém, aos poucos, vão ser propostas situações para que se habituem à linguagem formal da Matemática.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando translações.

Resposta possível: O balão foi deslizado de modo que todos os seus pontos se deslocaram com a mesma distância, na mesma direção e no mesmo sentido, segundo o segmento orientado AB.

Resposta possível: Deslizar a ﬁgura de modo que todos os seus pontos se desloquem com a mesma distância, na mesma direção e no mesmo sentido, segundo um segmento orientado.

Na atividade 1, peça que observem o segmento orientado AB e destaquem as informações que podem ser retiradas dessa representação. Pergunte como farão para deslizar o balão segundo o segmento orientado AB. Um dos objetivos das atividades 2 e 3 é escrever um texto, de modo que outra pessoa que o leia

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entenda a explicação do autor. Em atividades como essas, é provável que apareçam diﬁculdades. Nem todos os textos escritos pelos alunos estarão claros e organizados. Será preciso, constantemente, convidá-los a produzir os próprios textos, submetê-los à crítica (tanto do professor como dos colegas) e aperfeiçoar sua qualidade.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando reﬂexões em reta (simetria axial).

Solicite aos estudantes que pesquisem na internet os signiﬁcados das palavras “Ibirapuera”, “Anhangabaú”, “Pacaembu”, “Morumbi”, “Tietê” e de outras que possam despertar seu interesse. Peça que anotem as informações obtidas para depois compartilhar com a turma.

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Planeje atividades para que eles conheçam o modo como as informações estão organizadas em sites de busca como o Google. Explique que, para agilizar a localização da informação desejada, basta escrever uma frase referente ao assunto procurado; por exemplo, nesse caso: signiﬁcado de palavras indígenas.

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A atividade proposta nessa página tem por objetivo a observação, a descrição e a realização de reflexões por meio de experimentos. Verifique os conhecimentos prévios dos alunos sobre simetria ou reflexão, observando os procedimentos que utilizam para obter uma figura simétrica ao motivo geométrico original.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando reﬂexões em reta (simetria axial).

C E E1 C1 B1

No ponto O

Se houver necessidade, oriente os alunos na construção de retas perpendiculares com régua e esquadro. Peça que: • desenhem uma reta r qualquer. Ajustem a régua à reta e a mantenham ﬁxa; • coloquem um dos lados do ângulo reto do esquadro junto à

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régua e tracem a reta s. Assim, s é perpendicular a r; • deslizem o esquadro e obtenham outras retas perpendiculares a r. As orientações para desenhar a ﬁgura simétrica estão no texto.

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A simetria está presente nas borboletas, nos rostos, nas ﬂores, nas construções, nos reﬂexos na água, em alguns desenhos em cerâmica, proporcionando interessantes oportunidades para apreciarmos a geometria no mundo da arte, na natureza e nas construções.

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Essas atividades têm como objetivo a observação, a descrição e a realização de reﬂexões por meio de construções de ﬁguras geométricas com régua e esquadro.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando rotações.

Resposta possível: A forma e o tamanho não se alteram, apenas a posição muda.

Inicie perguntando se os alunos já tiveram oportunidade de observar azulejos em composições decorativas de paredes e pisos. Se possível, peça que tragam fotos, recortes de revistas ou mesmo azulejos que apresentam simetrias em seus desenhos. Verifique se eles identificam as transformações geométri-

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cas presentes nesses materiais. As atividades 1 e 2 têm por objetivo averiguar os conhecimentos prévios dos alunos sobre rotação. Na atividade 2, observe os procedimentos que utilizam para obter uma ﬁgura após o giro proposto, certiﬁcando-se de que diferenciam os sentidos horário e antihorário, e se reconhecem a con-

servação de algumas propriedades em ﬁguras planas transformadas por rotação. Explore outras situações de rotação utilizando papel quadriculado, transferidor, régua e compasso, para que os alunos, de forma gradativa, assimilem as características e propriedades dessa transformação.

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60° A1

0 25 -1

-1 35

-1

110

5 - 11

85 - 95

80 - 100

70 -

- 12 60

- 70

-1

- 25

- 15 25

- 20

- 15

20 -

160

15 - 16

170 - 10

75 - 10

95 - 85

110

75 105 -

100 - 80

165 -

160

-4

115

5 13

15 155

013

512

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B 0-

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Explique que, para medir um ângulo, precisam colocar o centro do transferidor (ponto O) no vértice do ângulo e alinhar o segmento de reta OA (ou OE) com um dos lados do ângulo. O outro lado do ângulo determinará sua medida, como mostra a ﬁgura.

Proponha aos alunos que sigam o procedimento adotado por Jorge. No passo 2, se houver necessidade, oriente-os no uso do transferidor para medir ângulos. Mostre o instrumento e informe que alguns transferidores possuem a escala de 0 a 180 marcada em ambos os sentidos do arco e outros, só uma escala, de 0 a 90.

10 - 170

175 - 5

5 - 175

0 - 180

O ângulo AÔB mede 70º.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando rotações.

Resposta na atividade seguinte.

Nas atividades 2 e 3, aceite que os alunos se reﬁram, oralmente ou por escrito, aos conteúdos matemáticos em linguagem própria. Porém, aos poucos, é necessário que se habituem à linguagem formal da Matemática. É importante que, após a realização das atividades propostas, os

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estudantes percebam que se faz a rotação de uma ﬁgura F em torno de um ponto O avançando cada um dos pontos de F de um mesmo ângulo e em um mesmo sentido ao longo de um círculo de centro O. Cada ponto P de F corresponde a um ponto P1 situado à distância PO do “centro de rotação” O.

Na rotação de uma ﬁgura, sua forma, suas dimensões, as medidas de seus ângulos e a distância entre dois pontos conservam-se.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando translações.

O Paint é um programa do sistema Windows que permite criar desenhos simples ou elaborados, em preto e branco ou coloridos, que podem ser salvos em diversos formatos de arquivo. É possível colar uma imagem do Paint em outro documento. Veriﬁque antecipadamente essas atividades para que você possa

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perceber eventuais diﬁculdades dos alunos, auxiliando-os e convidando-os a progredir. As atividades 1, 2 e 3 são propostas aos estudantes que desconhecem ou não sabem utilizar o Paint. Proponha que explorem o programa, usando outras opções para desenhar.

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Sugira que usem a imaginação, favoreça a iniciativa, a espontaneidade, o questionamento e a inventividade. As atividades 4 e 5 utilizam o conceito de translação na utilização dos recursos do programa.

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• Explorar ornamentos no plano, identiﬁcando reﬂexões em reta (simetria axial) e rotações.

A ﬁgura transformada é uma reﬂexão do triângulo inicial em relação a uma reta perpendicular à barra de rolagem horizontal da tela.

A ﬁgura transformada é uma reﬂexão do triângulo inicial em relação a uma reta paralela à barra de rolagem horizontal da tela.

Resposta possível: Rotações de 90º, 180º e 270º.

Após a realização das atividades 1, 2 e 3, o resultado poderá ser do seguinte tipo:

Peça aos alunos que destaquem o eixo de simetria em seu desenho. Na atividade 5, o resultado poderá ser do seguinte tipo:

Peça aos alunos que também destaquem o eixo de simetria em seu desenho. Nas atividades 7, 8 e 9, são possíveis os seguinte resultados:

eixo de simetria eixo de simetria

O eixo de simetria é uma reta perpendicular à barra de rolagem horizontal da tela.

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O eixo de simetria é uma reta paralela à barra de rolagem horizontal.

Girar 270º

Girar 90º Girar 180º

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• Traduzir situações-problema por meio de equações de segundo grau.

Resposta possível: O quadrado do número de pessoas é 10.000. Então, esse número é 100. Havia na quadra 100 − 1 = 99 pessoas.

Inicie perguntando aos alunos se já participaram de algum evento de hip-hop e peça que relatem o que conhecem desse movimento. Faça alguns comentários sobre: • Rap – Vem das iniciais das palavras inglesas rhythm and poetry, que signiﬁcam ritmo e poesia. É a expressão musical-verbal do movimento.

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• Break dance – É a dança executada ao som de rap, geralmente nas ruas. • Grafite – Representa a arte plástica, expressa por desenhos coloridos feitos por graﬁteiros nas ruas das cidades de todo o mundo. Solicite aos alunos que relatem os procedimentos de cálculo mental

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que utilizaram. Registre na lousa as várias formas apresentadas. É possível que eles recorram ao conceito de raiz quadrada: se o quadrado de um número é 10.000, então esse número é –100 ou 100. Convide-os a questionar as duas respostas dadas: elas são soluções do problema?

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

n2 + 2 ∙ n ∙ 1 + 1 2 n2 + 2 ∙ n + 1

n+1 n2 + n n2 + 2 ∙ n + 1 n2 + 2 ∙ n + 1 n2 + 2 ∙ n + 1

Na atividade 1, os alunos farão a revisão para calcular o produto de dois binômios, assunto que possivelmente estudaram no ano anterior.

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Faça um levantamento dos conhecimentos prévios dos alunos sobre o assunto. Caso veriﬁque que eles apresentam algumas diﬁculdades, retome, propondo outros exemplos.

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n2 + n + n + 1 n2 + 2 ∙ n + 1

Todas

Sim. −101 e 99. Resposta pessoal

−101 e 99

n = 99, porque representa número de pessoas e é um número inteiro positivo.

Na atividade 3, valorize outras formas de registrar as respostas, indicando a exposição das ideias e a análise de procedimentos. Comente que nas próximas atividades poderão confrontar suas resoluções.

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Na atividade 4, veriﬁque se os estudantes compreendem a utilização do conceito de raiz quadrada na busca das soluções do problema. No item a, observe como resolvem as duas equações de primeiro grau decorrentes da extração da raiz quadrada: n + 1 = 100 e n + 1 = –100.

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Se houver diﬁculdades, retome essa resolução. No item b, discuta com eles os signiﬁcados das duas soluções (raízes) com relação ao problema proposto.

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

0; porque se m = 0 temos (0 + n)2 = c.

Sim m∙x+n=0

Comente com os alunos que mais uma vez vão trabalhar com uma equação genérica. Na atividade 1, peça que justiﬁquem oralmente o porquê de m ≠ 0. Caso alguns deles ainda não tenham entendido, apresente exemplos numéricos.

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Na atividade 2, sugira aos alunos que adotem o mesmo procedimento para encontrar as soluções da equação da atividade 4 da página anterior, ou seja, se (n + 1)2 = 10.000, então n+1= = 100 ou n+1=– = −100.

Recorra a livros didáticos para propor outros problemas e exercícios que envolvem equações de segundo grau resolvidos por esse procedimento.

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• Traduzir situações-problema por meio de equações de segundo grau.

Resposta pessoal

Esse é um tipo de atividade que rompe com a crença de que um problema não pode permitir dúvidas e que todos os dados do texto são necessários para sua resolução. Além disso, aproxima-se de situações cotidianas, que, na maioria

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das vezes, apresentam informações supérfluas que devem ser identiﬁcadas e descartadas. Na atividade 2, observe se os alunos são capazes de separar a informação relevante da irrelevante, de expressar verbalmente em que consiste o problema.

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Após a realização das atividades, promova uma socialização das respostas para que produzam uma redação coletiva.

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

O terreno tem forma quadrada e os lados medem 100 m. O novo lote, que contém o lote anterior, tem a forma quadrada e sua área é o quádruplo da área do outro lote.

Qual deve ser o aumento no tamanho dos lados da quadra para que a área do novo terreno tenha o quádruplo da área da quadra?

O aumento no tamanho dos lados da quadra.

Resposta pessoal. É provável que os alunos respondam que já resolveram problemas nos quais se conhece a área de um quadrado e é preciso obter a medida do lado.

Resposta possível: Calcular a área do terreno original e a área do novo terreno. Depois, equacionar o problema.

A resolução de um problema exige diversas competências. Uma das primeiras consiste em saber identiﬁcar o contexto da situação (antes mesmo da tentativa de resolução), fazendo perguntas como as colocadas no caderno dos alunos.

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Na atividade 1, faça com que os alunos respondam às questões sozinhos. Se necessário, ajude na compreensão do problema (dados, incógnitas, vocabulário), tomando cuidado para não indicar caminhos ou destacar palavras-chave.

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Resposta possível: Área do terreno original = 100 × 100 = 10.000 Área do novo terreno = (a + 100)2 Equacionar o problema: (a + 100)2 = 4 × 10.000 (a + 100) = 200 a = 100

ou ou

(a + 100) = –200 a = –300

100 m

Sim, a = 100 e a = –300

A solução adequada é o número positivo, porque representa a medida de um lado.

Enquanto os alunos procuram as soluções, circule pela classe, agindo como consultor, para garantir um procedimento razoável. Se os alunos solicitarem sua atenção, proponha que: • especifiquem em detalhes o plano de resolução que pensaram ou as dúvidas que possuem;

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• justiﬁquem a razão da escolha de determinados caminhos; • digam o que farão com o resultado, se a solução for levada adiante. Depois de ouvir as sugestões, anote na lousa aquelas que resolvem a questão proposta e peça aos alunos que façam o mesmo no caderno.

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

ℓ · (ℓ + 20) = 300 ℓ2 + 20 · ℓ – 300 = 0

Sim, é equação de segundo grau completa: o maior expoente da incógnita ℓ, com coeﬁciente diferente de zero, é 2; os outros coeﬁcientes não são nulos.

Na atividade 1, observe se os alunos interpretam corretamente o enunciado do problema, representando a largura por ℓ e o comprimento por ℓ + 20, e veriﬁque se traduzem a situação proposta pela equação de segundo grau ℓ2 + 20 · ℓ – 300 = 0.

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Depois de ouvir as respostas de alguns alunos, anote na lousa aquelas que resolvem a questão proposta e peça aos alunos que façam o mesmo no caderno. Na atividade 2, comente que, na equação que traduz o problema, a expressão algébrica não pode

ser transformada em uma soma ou diferença de quadrados. Espera-se que os estudantes façam uso dos conhecimentos anteriores para resolver o problema e utilizem o conceito de raiz quadrada para encontrar suas soluções.

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ℓ + 10 = 20 ℓ = 10

ou e

ℓ + 10 = –20 ℓ = –30

Sim, ℓ = 10. A solução adequada é o número positivo, porque representa a medida de um lado.

Na atividade 3, explique aos alunos que aceitar ou não as raízes da equação como soluções depende da situação-problema. Proponha outros problemas e exercícios que envolvam a abordagem da resolução das equações

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de segundo grau por decomposição e por completamento de quadrados, assim como pelo procedimento adotado nas páginas 146 e 147. Se necessário, consulte livros didáticos.

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

ou e

a = 1, b = 20 e c = –300

Este momento é oportuno para apresentar o conceito de equação de segundo grau de maneira mais formal, ou seja: Equação de segundo grau com incógnita x é toda equação que pode ser colocada na forma a · x2 + b · x + c = 0, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0.

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Caso seja conveniente, peça aos alunos que pesquisem em livros didáticos o desenvolvimento da fórmula de Bhaskara. Na atividade 3, solicite que deixem indicados todos os cálculos efetuados para a obtenção das raízes.

Proponha outros problemas e exercícios que envolvam equações de segundo grau resolvidos por esse procedimento.

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= 10 (10)2 + 20 ∙ (10) − 300 = 0 100 + 200 − 300 = 0 Para esse valor, a equação é sentença matemática verdadeira. = −30 (−30)2 + 20 ∙ (−30) − 300 = 0 900 − 600 − 300 = 0 Para esse valor, a equação é sentença matemática verdadeira.

Δ = b2 − 4 ∙ a ∙ c = 202 – 4 ∙ 1 ∙ (−300) = 400 + 1.200 = 1.600

Positivo

Duas

O discriminante é um número positivo e a equação tem duas raízes.

Na atividade 4, oriente os alunos para atribuírem à incógnita os valores obtidos como soluções, veriﬁcando se tornam a equação uma sentença matemática verdadeira. Com isso, espera-se que eles assimilem o conceito de raiz ou solução de uma equação de segundo grau.

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Depois da atividade 5, proponha que determinem o discriminante e as raízes das seguintes equações de segundo grau: x2 − 4x + 4 = 0 2y2 + y + 1 = 0

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Em seguida, pergunte quantas raízes tem uma equação: • se o discriminante é positivo? • se o discriminante é negativo? • se o discriminante é igual a zero?

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

a=2

b=3

c = –2

Positivo

x1 = –2 e x2 =

x1 = – 2

Nas atividades 2 e 3, comente que o número de raízes reais de uma equação de segundo grau pode ser determinado por seu discriminante: Δ = b2 – 4 ∙ a ∙ c. Dependendo do valor dessa expressão, podemos concluir que: • a equação admite duas raízes reais se b2 – 4 ∙ a ∙ c > 0; • a equação admite uma raiz real;

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2(–2)2 + 3(–2) – 2 = 0 8–6–2=0

x2 =

• a equação não admite raízes reais. Solicite que expliquem por que a expressão b2 – 4 ∙ a ∙ c é chamada discriminante. Uma resposta razoável é porque permite distinguir ou discriminar o número de soluções de uma equação de segundo grau.

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• Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas

Comprimento do desvio: 50 m; comprimentos das calçadas: 30 m e 40 m.

Enfatize, durante a resolução da atividade, que o raciocínio é muito importante, e não apenas a resposta. Por isso, os alunos precisam descrever suas resoluções, registrando todas as passagens. Para orientá-los, faça algumas perguntas: • Esse problema se parece com algum que você já fez? Por quê?

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• Quais procedimentos você pode usar? Em que ordem? • Por que você acha que eles são adequados? • É possível fazer uma tradução do enunciado usando uma equação? • Qual é seu plano para resolver o problema? Socialize as resoluções e propo-

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nha uma discussão sobre eventuais diferenças. Nessa análise, os alunos identiﬁcarão os procedimentos que podem ser considerados mais adequados. Ressalte que, uma vez encontradas as raízes da equação, é preciso veriﬁcar se elas satisfazem as condições do problema e se podem ser aceitas como soluções.

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• Resolver situações-problema que incluam noções de amostra de uma população.

Resposta possível: População é o conjunto de pessoas, objetos ou ocorrências a respeito do qual desejamos obter informações, e amostra é uma parte da população, e que a representa.

Depois da leitura do texto, peça a alguns alunos que façam um resumo oral do que entenderam sobre diversidade cultural. Antes de iniciar a atividade 1, dirija a atenção dos estudantes para os elementos que contextualizam o texto: a situação-problema e a foto. São ações que

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antecipam uma série de informações sobre o tema ou assunto a ser abordado. Na atividade 1, planeje situações coletivas em que os alunos possam expor e trocar interpretações sobre os textos lidos e compará-las.

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Porque, em geral, a população é formada por um número de elementos (pessoas, objetos ou ocorrências) muito grande, e os resultados obtidos com base em uma amostra são análogos aos que seriam obtidos na população.

Resposta possível: Utilizar o cadastro dos alunos por turmas e selecionar um nome de cada grupo de oito alunos.

Após a realização da atividade 2, proponha aos alunos que produzam uma redação coletiva e registre-a na lousa. Peça que façam o mesmo no caderno. Antecipe a atividade 3 perguntando qual o signiﬁcado da palavra “aleatória”. Caso não obtenha resposta, solicite que consultem o dicionário. Lembre-os de que

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uma palavra pode ter diversos sentidos e que, portanto, devem procurar aquele que melhor contribui para o entendimento do texto. Proponha uma leitura compartilhada dessa proposta e colha as impressões dos alunos. Estas podem ser registradas na lousa por um voluntário ou por você.

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• Resolver situações-problema que incluam noções de frequência e frequência relativa.

Resposta pessoal

Resposta possível: Colocar os dados na forma de tabela.

Na atividade 1, comente que as perguntas talvez sejam os componentes mais importantes de uma pesquisa, pois têm efeito muito mais profundo nos resultados da pesquisa do que qualquer outro elemento. Por isso, é importantíssimo que o processo de elaboração das questões seja cuidadoso.

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Sugestões de outras perguntas: • Sobre moradia (casa ou apartamento). Moradia Própria Alugada De parente De conhecido Não respondeu o N de estudantes

• Com quem mora? Moradia

Com Só com Só com Com Com Não os pais a mãe o pai parente conhecido respondeu

No de estudantes

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6 ÷ 50 = 0,12 = 12% 7 ÷ 50 = 0,14 = 14% 4 ÷ 50 = 0,08 = 8% 7 ÷ 50 = 0,14 = 14% 4 ÷ 50 = 0,08 = 8% 50 ÷ 50 = 1 = 100%

Resposta possível: É bem diversiﬁcada, pois 12% são mineiras, 14% paranaenses, 8% coreanas, 14% bolivianas.

• Trabalha? Trabalho

Emprego ﬁxo

Emprego Atividades temporário eventuais

Trabalho informal

Não trabalha

Não respondeu

No de estudantes

• Pratica esporte? Escolha apenas aquele de sua maior preferência. Esporte

Futebol

Voleibol

Basquete

Esqueite

Bicicleta

Outros

Não pratica

Não respondeu

No de estudantes

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• Resolver situações-problema que incluam noções de frequência e frequência relativa.

20%

23,75%

28,75%

15%

12,5%

Incorreta, pois 28,75% (mais de quatro salários mínimos até seis) + 15% (mais de seis salários mínimos) = 43,75%. Ou seja, a faixa salarial familiar com mais de quatro salários mínimos corresponde a cerca de 44% dos estudantes.

Correta, pois 23,75% (mais de dois salários mínimos até quatro) + 28,75% (mais de quatro salários mínimos até seis) = 52,5%.

Incorreta, pois 12,5% correspondem aos estudantes que não responderam à questão, e isso não signiﬁca que a renda salarial familiar é menor do que dois salários mínimos.

Observe como os alunos fazem a leitura e interpretação de dados expressos em tabelas de frequências. Veriﬁque se reconhecem a correspondência entre as escritas nas formas fracionária, decimal e per-

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centual de um número racional, revistas na Unidade 1. Caso isso não aconteça, retome os procedimentos estudados anteriormente. Solicite que analisem dados da tabela fazendo prognósticos com base nesses dados.

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Sim. Marcos pensou em cortar a ripa em 4 partes, duas a duas. Duas dessas partes representou por x e as outras duas, por 3,5 – x.

Dois pedaços de 1,5 m cada um e dois pedaços de 2 m cada um.

Esta seção vai aparecer no ﬁnal de cada Unidade, com propostas que retomam o conteúdo trabalhado. São atividades individuais, e você deve analisá-las para veriﬁcar se as expectativas de aprendizagem foram atingidas, quanto os alunos avançaram e o que precisa ser retomado, antes de passar para a próxima Unidade.

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Não é preciso que todas as tarefas sejam feitas no mesmo dia: organize-as como achar melhor. Socialize a resolução de todos os problemas e, enquanto os alunos trabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiverem diﬁculdades, anotando-as para retomá-las.

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x x x x x x

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• M4 Localizar alguns números irracionais na reta numérica. • M9 Construir procedimentos de cálculo para operar com frações algébricas, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos. • M19 Utilizar a noção de congruência de figuras planas na resolução de situações-problema. • M25 Resolver situações-problema que incluam o cálculo da área total de cubos, paralelepípedos e pirâmides. • M31 Resolver situações-problema que abranjam noções e cálculos de média aritmética e moda. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: cartolina  cola  fita adesiva  tesoura  folhas de papel de seda  papel sulfite  transferidor  régua  compasso 

Neste momento crucial em que os alunos estão prestes a terminar o Ensino Fundamental, é oportuno conhecer a visão que cada um tem de si mesmo. Proponha uma leitura compartilhada da página de abertura e uma roda de conversa para que expressem suas dúvidas, suas ansiedades, seus planos futuros.

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Considere a possibilidade de desenvolver um projeto integrado com outras disciplinas sobre o tema “Escolha proﬁssional”. Uma ideia é pedir que façam uma pesquisa sobre as pretensões proﬁssionais dos alunos do 9o ano da escola. Sugira a leitura de textos de apoio que podem ser encontrados

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na internet e oriente na escolha da amostra e na elaboração do questionário para coleta de dados. Proponha a apresentação e a análise dos resultados, assim como a elaboração de um relatório ﬁnal.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de cubos, paralelepípedos e pirâmides.

Resposta possível: Veriﬁcando quanta tinta é necessária para pintar, por exemplo, um metro quadrado e calculando a quantidade de tinta para pintar a área lateral do prédio expressa em metros quadrados.

Sim. Basta dividir sua maior dimensão por 3, o que permite construir um cubo com arestas de 9,9 cm.

Problemas práticos envolvendo áreas motivam os alunos a usar e relacionar as fórmulas na solução de problemas reais. Um problema importante de engenharia é determinar a quantidade mínima de material a ser utilizado em um tipo de embalagem de modo que o volume dela seja o maior possível. Na atividade 1, depois de ouvir as

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respostas, anote na lousa as mais adequadas à questão proposta. Na atividade 2, é possível que alguns deles pensem em uma planiﬁcação da superfície do cubo. Caso essa situação apareça, não a descarte, ressalte que o problema não impõe a condição de que seja uma planiﬁcação. Assim, a primeira iniciativa pode

ser a seguinte: determinar a área A da folha de sulfite. Como o cubo possui seis faces quadradas, calcula-se a área F de cada face. Depois de recortar as seis faces, monta-se o cubo. Após a realização da atividade, registre as diversas soluções na lousa e discuta com os alunos qual é a maior aresta possível.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de paralelepípedos.

Seis faces retangulares.

Peça aos alunos que expliquem por que um cubo é um bloco retangular. É interessante que os alunos construam um modelo concreto da situação com o material disponível. Mostre que um bloco retangular é uma ﬁgura tridimensional (possui comprimento, largura e altura) formada por seis faces retangula-

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res, cada uma delas com duas dimensões: largura e comprimento. Escolhidas três faces com um vértice comum (como em um canto de parede), duas dimensões de uma delas podem ser consideradas a largura e o comprimento do bloco, e a terceira aresta, sua altura.

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Na atividade 2, é importante que os alunos compreendam o enunciado do problema para poderem elaborar planos e encontrar sua solução por meio de uma ou mais ações.

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X X

Sugira que façam um desenho para representar o problema. Peça que expressem verbalmente em que ele consiste, que determinem as relações de seus elementos e que destaquem a pergunta.

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Depois que tiverem assinalado os procedimentos para a resolução, solicite que justiﬁquem suas escolhas e expliquem por que descartaram as outras.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de paralelepípedos.

Há informações necessárias e suﬁcientes.

Como esses pintores podem calcular a quantidade de latas com 18 litros de tinta para realizar esse trabalho, sabendo que, por segurança, deverão ser comprados 10% a mais de tinta do que o cálculo exato?

1o) Calcular as áreas das paredes e do teto desse armazém. 2o) Calcular, para cada mão de tinta, a quantidade de latas para a pintura interna e para a pintura externa. 3o) Calcular 10% do total de tinta que seria necessária para pintar o armazém e a correspondente quantidade de latas de tinta com 18 litros.

2.200 m2

4,4 latas para a primeira mão; 2,2 para a segunda mão.

Seriam necessárias 6,6 latas de 18 litros, ou seja, 7 latas; 10% de 7 = 0,7, ou seja, 1 lata; 7 + 1 = 8 latas. Como não é vendida fração de lata de 18 litros, será preciso comprar 8 latas de 18 litros.

Esse tipo de problema aproximase de situações cotidianas, que, na maioria das vezes, apresentam várias condições que se relacionam entre si. É diferente de problemas escolares cujo enunciado é enxuto e que podem ser resolvidos de forma imediata. É importante que os alunos compreendam o enunciado e elaborem

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planos para encontrar solução por meio de uma ou mais ações. Convide-os a buscar argumentos para justiﬁcar os procedimentos que utilizaram. Socialize as resoluções e discuta com eles os diferentes procedimentos de resolução.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de paralelepípedos.

Duas faces Duas faces Duas faces

ℓ ∙ c; a ∙ c; a ∙ ℓ.

2 ∙ (ℓ ∙ c + a ∙ c + a ∙ ℓ)

Área total = 2 ∙ (ℓ ∙ c + a ∙ c + a ∙ ℓ)

Área total = 2 ∙ ℓ ∙ ℓ + 2 ∙ ℓ ∙ ℓ + 2 ∙ ℓ ∙ ℓ = = 2 ∙ (ℓ ∙ ℓ + ℓ ∙ ℓ + ℓ ∙ ℓ) = 6 ℓ2 . Cubo.

Espera-se que os alunos concluam que o bloco retangular possui seis faces retangulares, entre as quais duas com dimensões de medidas ℓ e c, duas com dimensões de medidas a e c e duas com dimensões de medidas a e ℓ.

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Se necessário, construa modelos geométricos de paralelepípedos partindo da planiﬁcação desses sólidos. Eles podem auxiliar a visualização de certos problemas. Como aprofundamento, depois da realização dessas atividades,

peça aos estudantes que façam a planiﬁcação da superfície de um paralelepípedo de base quadrada, em que uma das faces tenha área igual a 60 cm2, e determinem sua área total. Registre na lousa as diferentes propostas que surgirem.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de paralelepípedos.

Para que as opções fossem equivalentes, o preço de uma lata com 18 litros deveria custar 35 × (18 ÷ 3,5) = R$ 180,00, que é maior que R$ 120,00. Se pensarmos apenas no preço do m2, é mais vantajoso usar a lata de 18 L. Se pensarmos na quantidade de tinta, vai depender do uso posterior da sobra. Para pintar as duas mãos com o galão, o pintor vai usar 3 galões e sobrará muito pouco. Se usar a lata, ela será suﬁciente, e sobrará bastante.

Para a resolução dessas atividades, sugira as etapas propostas por G. Polya: compreensão da tarefa, elaboração de um plano que conduza à meta a ser alcançada, execução desse plano e, por último, análise ou veriﬁcação para identiﬁcar se o objetivo foi atingido. Para mais esclarecimentos, consulte Orien-

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tações curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem para o Ensino Fundamental – Ciclo II, tópico 5.1.3.1: resolução de problemas. Oriente os estudantes para que: • leiam o enunciado e procurem o sentido das palavras desconhecidas (se necessário, utilizar um dicionário);

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• repitam o problema com as próprias palavras. Pergunte: • O que é pedido no problema? • Esse problema se parece com algum que já resolveram? Por quê? • Peça que selecionem as informações úteis e escrevam um plano para resolver a situação-problema proposta.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de pirâmides.

Porque possui três dimensões: comprimento, largura e altura.

Cinco faces: quatro são triangulares e uma retangular.

Sim, pois as arestas VA, VB, VC e VD têm a mesma medida.

• Uma pirâmide de base retangular é uma ﬁgura tridimensional (possui comprimento, largura e altura) formada por cinco faces, entre as quais quatro são triangulares e uma retangular. Mais uma vez, se necessário, construa modelos geométricos de pirâmide retangular partindo da planiﬁcação da superfície desses sólidos.

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Peça que os alunos observem na ﬁgura: • Na base ABCD, os segmentos AC e BD são suas diagonais. • O ponto E é o ponto comum às diagonais da base. • O segmento VE representa a altura da pirâmide. • O ponto V é o vértice da pirâmide.

• O ponto E se chama projeção ortogonal do vértice V sobre a base ABCD. • As quatro arestas laterais dessa pirâmide possuem a mesma medida, porque o ponto E (ponto comum às diagonais da base) é projeção ortogonal do vértice V sobre a base ABCD.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo da área total de pirâmides.

24 cm2

Faces VDC e VAB: 12 cm2; faces VAD e VBC: 2 ×

(24 + 4 ×

) cm2

(48 + 4 ×

) cm2

Ao iniciar a proposta, pergunte aos estudantes como se calcula a área de uma região retangular e de uma região limitada por um triângulo isósceles. Anote na lousa as respostas certas e auxilie aqueles que responderam incorretamente a identiﬁcar os erros e a compreender por que erraram. Certiﬁque-se de que os alunos

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cm2

percebam que a área lateral é a soma das áreas das faces laterais, que nas pirâmides são triangulares, e que a área total é a soma da área lateral com a área da base. Como desaﬁo, proponha que expliquem oralmente os procedimentos para calcular a área total do tetraedro (pirâmide de base triangular) seguinte:

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6 6

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• Resolver situações-problema que abranjam noções e cálculos de média aritmética.

20 estudantes

R$ 555,22 e R$ 1.206,99

R$ 899,58. Explicação pessoal

A proposta da atividade 1 é fazer um levantamento do que os alunos sabem sobre média aritmética, conceito que talvez seja do conhecimento deles, mesmo que de modo intuitivo. Espera-se que respondam aos itens a e b facilmente.

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No item c, entretanto, é possível que ocorram algumas diﬁculdades sobre o que signiﬁca “salário médio”. A resposta que se deseja é a seguinte: salário médio é a média aritmética dos salários.

Se isso não ocorrer, reduza o número de salários para dois e pergunte: “Qual é o salário médio desses dois salários?”. Veriﬁque, então, se eles entenderam o conceito de média aritmética e estenda-o para os 20 salários.

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O menor salário; R$ 344,36.

Dez são menores e dez são maiores.

19,666... = 19,6

As diﬁculdades para responder aos itens e e f estão vinculadas ao item c. Comente que média aritmética, também chamada simplesmente média, é um valor em torno do qual os dados se distribuem. Na atividade 2, os dados estão organizados em uma tabela de distribuição de frequência.

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É conveniente acrescentar uma coluna com os respectivos produtos: idade × frequência. Espera-se que os estudantes observem que, em uma distribuição de frequência, a média aritmética é o quociente da divisão da soma dos produtos (idade × frequência) pelo total da frequência.

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• Resolver situações-problema que abranjam noções e cálculos de média aritmética ponderada.

Rosa foi aprovada, porque sua média foi 6,0.

É importante que os estudantes observem que, na média ponderada, cada número que fará parte da média terá um peso. Peça que obtenham a média aritmética das notas de Rosa e a comparem com a média ponderada que obtiveram. Pergunte: “As médias são iguais?”. Explique que houve mais acertos

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nas provas de maior peso, mostrando, assim, que a média ponderada é diretamente inﬂuenciada pelos pesos. Solicite que observem a tabela da atividade 2 da página 177. Os dados de frequência 5 parecem ter “peso maior” que os dados de frequência 1. Se a frequência de cada dado for denominada

“peso”, então a média aritmética calculada dessa forma pode ser considerada média ponderada. Para obtê-la, multiplica-se cada valor pelo número de vezes em que ele aparece. Comente o fato de que, mesmo sendo aprovada, Rosa acertou apenas 40% da prova de Português.

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• Resolver situações-problema que abranjam noções e cálculos de moda.

Necessidade

4 horas

Na início da atividade 1, faça um levantamento da opinião dos alunos sobre os conceitos associados a trabalho e registre na lousa. Pergunte qual é o conceito que tem maior frequência. Diga-lhes que esse conceito é denominado moda. Compare os resultados obtidos com os da pesquisa apresentada.

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• Resolver situações-problema que abranjam noções e cálculos de média aritmética e moda.

4,34 horas

87,8181...

Notas 4 e 5

5,225

Sugere-se que os alunos resolvam as questões individualmente, para que você observe se de fato compreenderam o que foi aprendido nesta Unidade. Em cada atividade, veriﬁque como eles encontraram a resposta. Convide-os a buscar argumentos para justiﬁcar os procedimentos que utilizaram.

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É importante que as questões sejam corrigidas. Para isso, proponha correções em duplas, criando situações que possam comparar as resoluções e analisar os diferentes procedimentos.

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Sim; média 5,0

3,57 3,57 3,86 3,71

Sim. Lapa Futebol Clube

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• Reconhecer ﬁguras planas congruentes.

Resposta possível: As ﬁguras são parecidas ou iguais.

Solicite aos alunos que, individualmente, realizem a atividade 1 e leiam o texto que vem em seguida. Observe se eles entenderam o conceito de congruência, que preexiste como sinônimo de “igualdade”. A distinção entre os conceitos de igualdade e congruência é bas-

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tante sutil para os estudantes do Ensino Fundamental. Assim, é tolerável que usem a palavra “igual” como sinônimo de “congruente” e o símbolo de igualdade no lugar do de congruência. As isometrias ou transformações de uma ﬁgura, estudadas na Unidade 5, são fundamentais para

que os alunos desenvolvam habilidades de percepção espacial e podem favorecer a construção da noção de congruência de ﬁguras planas.

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aec

A atividade 2 pode auxiliar os alunos no entendimento da deﬁnição do conceito de congruência e distingui-lo do conceito de igualdade. Espera-se que eles estejam familiarizados com os conceitos e a terminologia relacionados a ângulos, triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos, para que possam identiﬁcar os lados

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e os ângulos correspondentes de polígonos congruentes. Retome-os, se necessário. Na atividade 3, enquanto os alunos procuram as soluções, circule pela sala, agindo como consultor, para garantir um procedimento razoável. Se os alunos solicitarem sua atenção, peça que eles: • especiﬁquem suas dúvidas;

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• justiﬁquem a razão da escolha de determinadas respostas; • identifiquem os lados e os ângulos correspondentes dos triângulos congruentes ABC e DEF; • utilizem a nomenclatura especíﬁca: lados e ângulos correspondentes.

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• Identiﬁcar a correspondência entre os elementos de triângulos congruentes.

São congruentes.

Resposta pessoal

Quando, na última atividade da página anterior, os alunos sobrepuseram o ΔABC ao ΔDEF, veriﬁcaram que os triângulos não apenas são parecidos, como também têm o mesmo tamanho.

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Nas atividades desta página, espera-se que concluam que as medidas dos lados e ângulos do ΔABC têm as mesmas medidas dos lados e ângulos do ΔDEF.

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• Identiﬁcar a correspondência entre os elementos de triângulos congruentes, reconhecendo os casos de congruência de triângulos.

C 4 cm 3 cm

6 cm

Resposta pessoal

Nas atividades 1 e 2, é proposta a construção geométrica de triângulos com régua e compasso. Quando concluída, comente que, se a soma das medidas de dois lados for maior que a medida do terceiro lado, o triângulo poderá ser construído.

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Nas atividades 3 e 4, os alunos podem veriﬁcar a congruência dos triângulos construídos por eles. A conclusão “Quando se conhecem as três medidas dos lados de um triângulo, é possível aﬁrmar que todos os triângulos construídos com essas medidas são con-

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gruentes” pode parecer óbvia. No entanto, ela só vale para os triângulos. Nos quadriláteros, por exemplo, o critério não funciona. Peça que os alunos façam essa veriﬁcação.

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• Identiﬁcar a correspondência entre os elementos de triângulos congruentes, reconhecendo os casos de congruência de triângulos.

São congruentes.

O objetivo dessas atividades é que os alunos, por meio da construção de triângulos, veriﬁquem que basta conhecer a igualdade das medidas de três dos seis elementos de dois triângulos para concluir ou não pela congruência deles. Na atividade 1, proponha que comecem desenhando um ângulo

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NMP de 60º. Observe como marcam as medidas dos segmentos MN e PM. Na atividade 2, uma sugestão é iniciar desenhando um dos ângulos e, a partir do vértice dele, marcar um segmento com 8 cm, considerando a outra extremidade desse segmento o vértice do ângulo que mede 50º.

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• Identiﬁcar a correspondência entre os elementos de triângulos congruentes, reconhecendo os casos de congruência de triângulos.

Traços em vermelho na ﬁgura

Dois triângulos que têm respectivamente iguais as medidas de um dos lados, as medidas de um ângulo interno com vértice nesse lado e as medidas do ângulo oposto a esse lado são congruentes.

100º 100º Sim

30º

50º

Não

Na atividade 1, os alunos vão conhecer outro caso de congruência de triângulos. Na atividade 2, espera-se que eles percebam que os três elementos dos triângulos nos quais queremos veriﬁcar a congruência

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não podem ser quaisquer e concluam que, quando se conhecem as três medidas dos ângulos de um triângulo, não é possível aﬁrmar que todos os triângulos construídos com essas medidas são congruentes.

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Caso LAAo

Porque M é o ponto médio do segmento AD.

Pela mesma razão.

Porque são ângulos opostos pelo vértice.

Pelo caso LAL.

Essas atividades são exemplos de aplicação dos casos de congruência de triângulos na resolução de problemas e na descrição e verificação de propriedades de figuras planas. Na atividade 1, o conceito de congruência de duas figuras geométricas planas estará assimilado pelos estudantes se eles conse-

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guirem relacionar os elementos destacados na figura. Proponha outros exercícios desse tipo encontrados em livros didáticos. Na atividade 2, verifique se identificam os pares de lados e ângulos correspondentes. Essa etapa é importante para a escolha do critério de congruência. Caso surjam dificuldades nessa identificação,

peça que façam a decomposição do ΔABC em dois outros triângulos, que os sobreponham e que assinalem com traços os pares de lados e ângulos correspondentes. Como aprofundamento, solicite que provem que o ΔABC é isósceles.

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• Localizar alguns números irracionais na reta numérica.

1 0

Transportando simetricamente, em relação ao ponto que representa o zero:

–

Explique aos alunos que alguns números irracionais podem ser representados na reta com régua e compasso, como poderão experimentar nas atividades dessa página. No entanto, para muitos números irracionais, a construção geomé-

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trica não é possível, e sua representação se faz por aproximação. Na atividade 1, sugira que comecem reproduzindo os procedimentos para localizar .

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• Identiﬁcar expressões algébricas na forma fracionária.

Números negativos e zero na primeira e números negativos menores que –80 e –80 na segunda.

Nas atividades propostas, as expressões algébricas na forma fracionária são tratadas como generalizações de números racionais na forma fracionária e merecem um trabalho que evidencie a analogia entre ambas. A compreensão e o signiﬁcado desse conceito são resultados

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dessa analogia. Com isso, evitam-se regras pelas regras, e os alunos têm maiores chances de sucesso no cálculo algébrico. Nas atividades 1 e 2, espera-se que eles identiﬁquem as representações algébricas na forma fracionária.

Na atividade 3, peça que justiﬁquem suas respostas. Procure não ratiﬁcar nem negar o que dizem, mas retomar, registrar, confrontar. É importante deixá-los à vontade para falar, anotar e organizar seus saberes para atividades posteriores.

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• Construir procedimentos de cálculo para simpliﬁcar expressões algébricas na forma fracionária, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.

Resposta possível: Dividiu o numerador e o denominador por 2. Em seguida, dividiu o numerador e o denominador da forma fracionária obtida por 6.

1 3

1 1

Nas atividades 1 e 2, enfatize aos alunos que, para obtermos expressões algébricas na forma fracionária equivalentes, utilizamos os mesmos procedimentos adotados para os números racionais fracionários, dando outros exemplos análogos.

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Na atividade 2, espera-se que eles consolidem sua aprendizagem e compreendam que, como nos números racionais fracionários, simpliﬁcar uma expressão algébrica fracionária é obter uma forma fracionária mais simples equivalente. Comente que, em geral, costué ma-se dizer que a fração

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uma forma simpliﬁcada da fração . Como as expressões algébricas na forma fracionária aparecem muito pouco no cotidiano escolar, sugere-se que esse conhecimento seja ajustado a seu projeto pedagógico.

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• Construir procedimentos de cálculo para adicionar e subtrair expressões algébricas na forma fracionária, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.

Os alunos podem observar que os procedimentos para adicionar e subtrair expressões algébricas na forma fracionária com denominadores iguais são análogos aos adotados para os números racionais fracionários. Na atividade 1 observe como os alunos efetuam a adição e a subtração de números racionais

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fracionários quando os denominadores são iguais. Caso estejam corretos, oriente-os para usar os mesmos procedimentos para responder às questões propostas na atividade seguinte. Auxilie aqueles que responderam incorretamente a identiﬁcar os erros e a compreender por que erraram. Na atividade 2, espera-se que

concluam que o resultado da adição ou da subtração de expressões algébricas na forma fracionária com denominadores iguais é uma expressão algébrica na forma fracionária em que: • o numerador é a soma dos numeradores; • o denominador é o mesmo dessas expressões algébricas.

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Resposta pessoal

Na atividade 3, são apresentadas situações para adicionar e subtrair números racionais e expressões algébricas na forma fracionária, com denominadores diferentes. Como nas propostas anteriores, há um tratamento comparativo.

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Para realizar os cálculos, são necessários conhecimentos de fatoração de números e expressões algébricas, bem como habilidade de calcular m.m.c. de números. Assim, o primeiro passo é descobrir os conhecimentos prévios dos estudantes sobre esses assuntos.

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Se necessário, retome a aprendizagem deles. A novidade é a introdução do conceito de m.m.c. para expressões algébricas. Proponha outros exercícios, apresentados em livros didáticos, para que esse conceito ﬁque consolidado.

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• Construir procedimentos de cálculo para multiplicar e dividir expressões algébricas na forma fracionária, estabelecendo analogias com procedimentos numéricos.

Multiplicando

Dividindo

Mais uma vez, por meio de diferentes situações, os alunos poderão observar que os procedimentos para multiplicar e dividir expressões algébricas na forma fracionária são análogos aos utilizados para frações numéricas. Após a realização das atividades, promova uma socialização das respostas a ﬁm de generalizarem

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procedimentos para multiplicar e dividir expressões algébricas na forma fracionária, que podem ser comparados aos seguintes: • O produto de expressões algébricas fracionárias é uma expressão algébrica na forma fracionária em que:  o numerador é o produto dos numeradores;

 o denominador é o produto dos denominadores. • O quociente entre uma expressão algébrica na forma fracionária por outra pode ser obtido multiplicando a primeira expressão algébrica na forma fracionária pelo inverso da segunda.

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Área de cada face lateral: 25

cm2 e área da base: 100 cm2

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• M5 Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos, reconhecendo o conjunto dos números reais como conjunto reunião dos números racionais e irracionais. • M11 Resolver situações-problema que incluam sistemas de equações. • M20 Explorar a ampliação e redução de figuras no plano, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro). • M21 Utilizar a noção de semelhança de figuras planas na resolução de situações-problema. • M22 Resolver situações-problema que incluam o cálculo de medidas de triângulos semelhantes. • M23 Identificar relações métricas no triângulo retângulo e utilizá-las na resolução de problemas. • M26 Resolver situações-problema que abrangem o cálculo de volumes de cubos e paralelepípedos, a partir de suas medidas. Estilo de vida saudável, não consumir em excesso açúcar, sal, gorduras, refrigerantes, cigarro e bebidas, respeitar as diferenças, divulgar junto aos familiares e vizinhos as consequências de se jogar lixo nas ruas; participar de mutirões de limpeza em espaços comunitários. Existem outras respostas.

O papel da escola na promoção da saúde é importante, pois esse tema, além de fazer parte do dia a dia das pessoas, envolve atenção à qualidade de vida em todos os aspectos. Promova uma roda de conversa na qual os alunos possam expor seus estilos de vida, seus hábi-

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tos alimentares, suas formas de lazer, suas ações pelas quais realizam prevenção de males físicos e sociais. Considere a possibilidade de desenvolver um projeto integrado com outras disciplinas sobre a importância de preservar a saúde e a qualidade de vida.

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Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: régua  esquadros  cartolina  compasso  transferidor  calculadora 

Depois de colher as impressões dos alunos sobre as ações que poderiam realizar para prevenir males físicos e sociais, esclareça o que se vai trabalhar, por que e para quê, de modo que eles saibam o que se espera que façam.

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• Reconhecer e utilizar grandezas de volume e de capacidade e identiﬁcar unidades padronizadas para medi-las, fazendo uso de terminologia própria.

1 dm3

1 m3

0,4 m3 Elevando ao cubo a medida da aresta do cubo. Existem outras respostas.

V = a3

Comece perguntando aos alunos: por que a água é um bem comum a toda a humanidade? Por que esse recurso natural está comprometido em várias regiões do país, embora o Brasil seja o primeiro país em disponibilidade hídrica em rios do mundo? Peça para observarem que, na ilustração dessa página, a unida-

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de de medida utilizada é o litro. Pergunte em quais outras situações a utilizamos. Comente que os líquidos e os gases, em geral, tomam a forma do recipiente em que estão contidos. Quando o recipiente está cheio de um líquido ou de um gás, o volume contido no recipiente é a capacidade do recipiente.

Habitualmente, quando falamos em capacidade usamos o litro. No Sistema Internacional de Unidades, o metro cúbico foi escolhido como unidade de volume. Na atividade 3, uma resposta possível é: efetuar a multiplicação reiterada da medida da aresta do cubo, isto é, a ∙ a ∙ a, o que signiﬁca elevar essa medida ao cubo.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo de volumes de cubos a partir de suas medidas.

8.000 litros

6 m3

250 jarras

Pergunte aos alunos se conhecem alguma pessoa que reaproveita a água da chuva em sua residência. Em caso aﬁrmativo, peça que descreva como é feita a coleta. Ilustre alguns exemplos de sistemas de reaproveitamento, através do site da Eletrosul (www.eletrosul.gov.br/casaeﬁciente) ou dos vídeos do programa Ecoprático

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da TV Cultura. Na atividade 1, a ação é inversa à resolução do problema da página anterior: o objetivo é determinar a “altura da caixa”, conhecido o volume. O volume de um cubo é calculado multiplicando-se as medidas de suas três dimensões. Então, podemos obter a seguinte equação: a ∙ a ∙ a = 8 m3, sendo a a altu-

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ra da caixa. Portanto, “altura da caixa” é a raiz cúbica de 8. Como 8 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 23, então = 2. Na atividade 2, é preciso que os alunos percebam que, para comparar medidas de volume ou fazer cálculos com elas, é importante que estejam na mesma unidade.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo de volumes de paralelepípedos a partir de suas medidas.

Resposta pessoal

Volume da cisterna = 2,5 × 2 × 1= 5 m3

ℓ×c×a

Cisternas são reservatórios para captar a água das chuvas e armazená-la para ser usada nas épocas de estiagem. Em regiões como o semiárido nordestino, onde a chuva não é regular ou é escassa, o solo não absorve a água, que por esse motivo se evapora rapidamente. Os modelos de cisterna para armazenagem de água

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da chuva podem possuir formas retangulares, quadradas, cilíndricas, cônicas e outras. Pode-se conhecer os modelos mais usados, atualmente, em vários sites. Na atividade 2, espera-se que os estudantes escrevam que se obtém o volume do paralelepípedo multiplicando-se a medida da largura pela medida do comprimen-

to pela medida da altura desse paralelepípedo. A proposta da atividade 3 consiste em escrever uma expressão genérica, ou fórmula, para calcular o volume de um paralelepípedo. Caso alguns alunos ainda tenham diﬁculdades de fazer essa generalização, proponha mais exemplos numéricos.

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• Resolver situações-problema que envolvam o cálculo de volumes de cubos e de paralelepípedos a partir de suas medidas.

1 cm2

1 cm3

216 m3

216 m2

Na atividade 1, desenhar uma planiﬁcação da superfície de um cubo pode ajudar na resolução do problema. Peça aos alunos que leiam a atividade 2 com atenção e depois respondam à pergunta.

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Enfatize que os raciocínios utilizados na resolução são muito importantes. Por isso, é conveniente que os estudantes descrevam suas resoluções e procurem registrar todas as passagens. No item b, como a capacidade

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de um cubo é calculada multiplicando-se as medidas de suas três dimensões, se representarmos a medida das arestas por a, poderemos obter a seguinte equação: a3 = 216 m3. Portanto a é a raiz cúbica de 216, ou a = : 216 = 6 × 6 × 6 = 63 então = 6.

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• Diagnosticar conhecimentos sobre a ampliação e redução de ﬁguras no plano.

CeD

Pergunte aos alunos o que entendem por moradia adequada. Veriﬁque se sabem que corresponde, principalmente, a ter acesso a serviços de saneamento como distribuição de água, rede de esgoto, energia elétrica, pavimentação.

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A atividade consiste em veriﬁcar os conhecimentos que os estudantes têm sobre ampliação e redução de ﬁguras planas. Solicite que observem as diferentes malhas e expliquem as diferenças entre elas. Nos itens a e b, peça

que justiﬁquem suas respostas e observe se consideram que, para ampliar ou reduzir, é importante manter a mesma proporção entre todas as partes das ﬁguras e a congruência entre os ângulos correspondentes.

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• Explorar a ampliação e redução de figuras no plano, identificando as medidas que não se alteram (ângulos) e as que se modificam (dos lados, da superfície e perímetro).

Sim, porque a razão entre A1B1 e AB é igual à razão entre A1C1 e AC.

Peça aos alunos que verifiquem que a razão entre as medidas de todos os segmentos da figura H e as medidas de todos os segmentos correspondentes da figura G é 2 para 1, ou

= 2, e seus ângu-

los correspondentes têm medidas iguais. Diga que a ﬁgura H é uma ampliação da ﬁgura G.

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Proponha aos alunos que façam ampliações e/ou reduções de ﬁguras, usando quadrículas. Para ampliar um desenho, peça que o insiram em um retângulo e que quadriculem esse retângulo em quadradinhos de lados 1 cm. Proponha que tripliquem o tamanho do desenho, fazendo um retângulo três vezes maior do que

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o original. Peça que quadriculem esse retângulo na mesma proporção, ou seja, em quadradinhos cujos lados meçam 3 cm. Para ﬁnalizar, solicite que observem o desenho original e o reproduzam nesse novo quadriculado.

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• Explorar a noção intuitiva de semelhança de ﬁguras planas.

Resposta pessoal Resposta pessoal

NeP

É importante que os alunos percebam a distinção de ﬁguras semelhantes e não semelhantes e a ilustrem com exemplos e contraexemplos. Uma noção de “semelhança” em geometria pode ser percebida, intuitivamente, ao observarmos quadrados e círculos.

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Dois quadrados são sempre semelhantes; dois círculos são sempre semelhantes; dois retângulos nem sempre são semelhantes, pois poderão ter lados correspondentes não proporcionais. Em alguns casos, não basta que os lados correspondentes sejam proporcionais para que as ﬁguras sejam semelhantes.

É preciso veriﬁcar também se os ângulos correspondentes são congruentes.

8 cm

6 cm 2 cm 1,5 cm

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• Reconhecer e identificar figuras planas semelhantes. • Utilizar a noção de semelhança de figuras planas na resolução de situações-problema.

120º 120º

120º

90º

120º 120º 120º

90º

Sim, porque as razões entre os lados correspondentes são iguais.

Sim

Comece desenhando na lousa os seguintes pentágonos e pergunte se são semelhantes. Peça que justiﬁquem suas respostas.

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Após as atividades 1 e 2, pergunte o que é necessário para garantir a semelhança entre dois polígonos. Comente que podemos dizer, também, em outras palavras que duas ﬁguras são semelhantes se: • têm exatamente a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho;

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• uma delas é, em escala, um modelo exato da outra. É conveniente tornar o conceito de semelhança mais preciso ao destacar: • a congruência dos ângulos correspondentes; • a proporcionalidade dos lados correspondentes; • a razão de semelhança.

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• Ampliar, ou reduzir ﬁguras planas por homotetia.

• Nessas atividades, a ideia de semelhança é explorada por meio de construções com régua, compasso e transferidor aplicando a homotetia. Homotetia é uma relação estabelecida entre todos os pontos correspondentes de duas ﬁguras, de modo que uma das ﬁguras represente ampliação ou redução

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da outra, segundo determinada razão. Espera-se que os alunos concluam que uma figura ampliada por meio de homotetia é semelhante à figura original. Chame a atenção deles para o fato de que, na utilização de homotetia, é necessário definir um centro (ponto) e uma razão.

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Sim

Sim. Os lados correspondentes são proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.

São iguais.

3,3 cm

Certiﬁque-se de que os alunos observaram que: • pontos alinhados continuam alinhados; • as medidas dos ângulos não se alteram; • os segmentos de reta homotéticos são proporcionais na razão dada.

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A ampliação ou redução por homotetia, além de auxiliar na compreensão de ideias relacionadas à semelhança, contribui para que os alunos desenvolvam habilidades motoras, percepção artística e técnicas para desenhar.

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Na atividade 4, espera-se que os estudantes percebam que: • a razão entre a altura relativa a um lado do triângulo original e a altura correspondente no triângulo ampliado é igual a 3; • a área do triângulo ampliado é 32 vezes a área do triângulo original.

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• Utilizar a noção de semelhança de ﬁguras planas na resolução de situações-problema.

2 cm

5 cm

400

160.000

Essa atividade é uma aplicação do conceito de semelhança. Após sua execução, peça aos alunos que comparem: a) a razão entre as medidas do terreno e do desenho com a razão entre os perímetros; b) a razão entre os perímetros com a razão entre as áreas.

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• Utilizar a noção de semelhança de ﬁguras planas na resolução de situações-problema.

Os ângulos correspondentes são congruentes. Â é um ângulo comum, e e porque são ângulos correspondentes formados por duas retas paralelas e uma transversal a elas.

Os lados correspondentes são proporcionais. MN é paralelo a BC, e eles determinam sobre as transversais segmentos proporcionais.

Retome o estudo de duas retas paralelas cortadas por uma transversal, relembrando a congruência entre pares de ângulos correspondentes.

Relembre, se necessário, uma aplicação do teorema de Tales aos triângulos estudada na Unidade 3 do volume 1. Espera-se que os alunos concluam que: .

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Como NP é paralelo a AB, determinam sobre as transversais segmentos proporcionais (uma aplicação do teorema de Tales nos triângulos, estudado na Unidade 3). Sim, é possível a conclusão pelas propriedades das proporções.

Os segmentos MN e BP têm medidas iguais.

Sim.

. Logo,

Sim, os triângulos AMN e ABC são semelhantes, porque: • os ângulos correspondentes são congruentes; • os lados correspondentes são proporcionais. Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo, que corta os outros dois lados, determina um triângulo semelhante ao primeiro.

Na atividade 2, a proporcionalidade entre as medidas dos segmentos é justiﬁcada pela aplicação do teorema de Tales aos triângulos CNP e CAB. Da igualdade

é possível

concluir que

ou seja,

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O quadrilátero MBPN é um paralelogramo, porque possui lados dois a dois paralelos. Consequentemente, esses pares de lados têm medidas iguais. Das conclusões das atividades 1 e 2: e

Dessas relações é possível concluir que os lados correspondentes nos dois triângulos são proporcionais: . Os triângulos ABC e AMN são semelhantes.

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• Aplicar os casos de semelhança entre triângulos na resolução de problemas.

Se dois triângulos têm um ângulo com a mesma medida compreendido entre dois lados correspondentes proporcionais, então esses triângulos são semelhantes.

Sim, porque cada um deles tem dois ângulos correspondentes congruentes: os que medem 70º e aqueles que medem 90º.

Comente: se dois triângulos têm dois ângulos correspondentes com mesma medida, então esses triângulos são semelhantes. Isso significa que, para afirmar que dois triângulos sejam semelhantes, basta verificar se eles

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têm dois ângulos com a mesma medida e, dessa forma, garantir que os lados correspondentes são proporcionais. Na atividade 1, peça que ilustrem o 3o caso de semelhança.

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• Aplicar os casos de semelhança entre triângulos na resolução de problemas.

A haste D B

E 30 cm 5,60 m

Se a vareta com 30 cm de sombra tem 30 cm de altura, então o mastro com 5,60 m de sombra tem 5,60 m de altura.

As atividades propostas possibilitam perceber a importância da semelhança de triângulos para a resolução de problemas práticos, como determinação de uma medida inacessível (que traz alguns obstáculos em sua obtenção). Na atividade 1, a origem histórica da semelhança entre triângulos na medição de distâncias

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inacessíveis pode ser recuperada ao propor uma atividade de medição dessa natureza. Se for conveniente, peça aos alunos que pesquisem na internet como Tales de Mileto calculou a altura de uma das pirâmides do Egito sem medi-la diretamente. No desenho da situação descrita, espera-se que eles tenham obtido

dois triângulos, por exemplo, ABC e DEC. Eles são semelhantes porque possuem dois ângulos congruentes, e Ê (ângulos retos) e , comum aos dois triângulos. Portanto, os lados correspondentes são proporcionais:

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As alturas do mastro e da vareta são sempre proporcionais a suas respectivas sombras.

2,80 m

Os triângulos são semelhantes. Logo seus lados correspondentes são proporcionais:

; AB = 50 m.

Observe se os alunos, ao fazerem cálculos com medidas de comprimento, estão atentos para que essas medidas estejam na mesma unidade. Nesse caso, trabalhando com centímetro, faz-se a transformação: 5,60 m = 560 cm e obtém-se a equação:

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Logo AB (altura do mastro) é igual a 560 cm ou 5,60 m. Se a vareta e sua sombra têm o mesmo comprimento, o mesmo ocorre com o mastro.

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Na atividade 2, da mesma forma que na anterior, determina-se a semelhança entre os triângulos para escrever a proporcionalidade entre os lados correspondentes. Proponha outros problemas encontrados em livros didáticos que envolvem casos de semelhança de triângulos.

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• Aplicar os casos de semelhança entre triângulos nas justiﬁcativas das relações métricas no triângulo retângulo.

São semelhantes porque têm dois pares de ângulos com medidas iguais.

AB e DF; BC e DE; AC e EF

28,80 cm

Triângulo ABC, triângulo ABH e triângulo AHC.

Divida a turma em duplas e proponha que realizem as atividades. Comece relembrando a deﬁnição de semelhança de triângulos e os casos de semelhança. Deixe-os escritos na lousa. Na atividade 1, são apresentados dois triângulos retângulos como uma decomposição do triângulo ABC da atividade 2. É conve-

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niente a separação dos triângulos para a identiﬁcação dos ângulos e lados correspondentes. Veriﬁque se os alunos reconhecem o triângulo ABC da atividade 2 como uma composição dos dois triângulos anteriores. A altura relativa à hipotenusa decompõe qualquer triângulo retângulo em dois outros triângulos

retângulos. A semelhança entre eles possibilita a determinação de várias fórmulas, chamadas relações métricas em um triângulo retângulo. Essas relações são usadas na resolução de vários outros problemas, entre os quais uma demonstração do teorema de Pitágoras.

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Sim, porque m + n = 90º.

Sim, porque m = 90º – n, e a medida do ângulo ACH = 180º – 90º – n = 90º – n.

Porque têm dois ângulos com medidas iguais.

AB e AC; BH e AH; AH e HC

2,4 m

24 cm

Na atividade 3, a altura relativa à hipotenusa determina sobre ela dois segmentos denominados projeção ortogonal dos catetos sobre a hipotenusa. Nessa atividade, espera-se que os alunos estabeleçam uma relação métrica entre essa altura e as projeções dos catetos.

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Se houver possibilidade, generalize essa relação para um triângulo retângulo qualquer. A

Finalize a atividade com uma discussão dirigida, com o objetivo de organizar, sistematizar e sintetizar os resultados.

h B

C m

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• Identiﬁcar relações métricas no triângulo retângulo e utilizá-las na resolução de problemas.

Aproximadamente 192,31 m

Pergunte aos alunos se concordam que relações bem construídas fazem bem à saúde. Peça que deem suas opiniões, argumentando. Nessa atividade, o triângulo retângulo está posicionado de forma diferente das situações anteriores. A exploração de semelhança de triângulos em posições variadas é importante.

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Aproximadamente 1.107,69 m

Mais uma vez, a proposta é interpretar uma situação que envolve o uso das relações métricas em triângulos retângulos para calcular medidas ainda não determinadas. Os conhecimentos prévios para a resolução desse problema são: proporção e equação do 1º grau.

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• Demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando relações métricas no triângulo retângulo.

, então c2 = a · m.

São proporcionais. Como

Como

, então b2 = a · n.

Solicite aos alunos que recorram às Unidades 1 e 2 do volume 1 para retomar as verificações experimentais realizadas e comprovar a validade do teorema de Pitágoras. Comente que nem sempre podemos confiar no que vemos. Por isso, em Matemática, as propriedades são justificadas em um encadeamento que envolve outras

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propriedades já demonstradas. Uma vez justificadas, elas passam a fazer parte do acervo de informações confirmadas, o qual permitirá a justificativa de outros fatos. Esclareça que a proposta com o teorema de Pitágoras que se iniciou empiricamente (medindo, experimentando, analisando) pretende chegar a um trabalho que

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exige raciocínio lógico-dedutivo. Nas atividades 1 e 2, se houver necessidade, peça aos alunos que decomponham o triângulo ABC em dois triângulos. Essas atividades são demonstrações das relações métricas entre as medidas dos catetos, suas projeções sobre a hipotenusa e a medida da hipotenusa.

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c2 + b2 = a ∙ (m + n)

c2 + b2 = a2. A conclusão é o enunciado do teorema de Pitágoras.

15 km

8 km

17 km

A sequência proposta é orientada para que os estudantes possam construir uma demonstração formal do teorema de Pitágoras de maneira gradativa. Espera-se que essa demonstração esteja adequada para ser compreendida pelos alunos. Acreditamos que exercícios do tipo memorização, em uma “cobrança” de uma mes-

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ma demonstração, não acrescentam progressos ao conhecimento dos alunos. A atividade 5 é uma aplicação imediata do teorema de Pitágoras. Esse fato poderá ser percebido após a elaboração de alguma ﬁgura.

Comente que o teorema de Pitágoras é importante tanto pelo aspecto exclusivamente matemático como por sua aplicabilidade na resolução de inúmeros problemas, teóricos ou práticos, das mais diversas áreas do conhecimento, como na Física.

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• Identiﬁcar relações métricas no triângulo retângulo e utilizá-las na resolução de problemas.

45 cm

69,3 cm

Organize uma roda de conversa para discutir algumas questões relativas a lazer e qualidade de vida. Peça aos alunos que justiﬁquem a aﬁrmação: “O lazer, independentemente da idade, ou da condição social, é um fator diferencial para a saúde e para a qualidade de vida no mundo de hoje”.

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Comente que uma das formas de lazer preferidas de crianças e adultos é empinar pipas. Lembre que, apesar de ser divertido, merece alguns cuidados. Na situação-problema, oriente os alunos para persistirem na busca de uma forma de resolver a equação proposta, ainda que se de-

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frontem com passagens difíceis. Se você identiﬁcar passagens que não são compreendidas por alguns estudantes, então é altamente conveniente dar mais orientações. Valorize outras formas de registrar as respostas, ressaltando a exposição das ideias e a análise de procedimentos.

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• Traduzir situações-problema que envolvam sistemas de equações, sendo uma do primeiro e outra do segundo grau.

Respostas pessoais

Resposta nas atividades da próxima página.

As atividades dessa página são propostas para fazer um diagnóstico dos conhecimentos prévios dos estudantes a respeito de resolução de sistemas de equações. Socialize as resoluções e discuta com eles os diferentes procedimentos usados.

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• Resolver situações-problema que envolvam sistemas de equações, sendo uma do primeiro e outra do segundo grau, utilizando métodos da substituição para resolvê-los, discutindo o signiﬁcado das soluções (raízes) encontradas, em confronto com a situação proposta.

Equação de 2º grau

x = –20 ou x = 18

y = 12 ou y = 50

x = 18 e y = 12, porque são números naturais.

Em relação aos sistemas de equações de 2o grau, são propostas situações que podem ser resolvidas pelo método da substituição. Deixamos para outro momento sistemas cuja resolução envolve artifícios mais elaborados, tais como elevar ao quadrado ambos os membros de uma das equações. Discuta com os alunos as formas

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de resolução que aparecerem e socialize os procedimentos mais utilizados. Se for conveniente, mostre uma resolução desse sistema pelo método de eliminação de variável (também conhecido como “método da adição”): x + y = 30 x2 – 2 ∙ y = 300

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Elimina-se uma das variáveis por meio de termos opostos, multiplicando, por exemplo, ambos os membros da primeira equação por 2 e obtendo duas equações com os termos opostos 2 · y e –2 · y. 2 ∙ x + 2 ∙ y = 60 x2 – 2 ∙ y = 300

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• Resolver situações-problema que envolvam sistemas de equações, sendo uma do primeiro e outra do segundo grau.

4a + 4b = 64 a2 + 2ab = 192 Existem outras respostas.

24 m e 8 m

Aproveite essa situação e esclareça que, para encontrar a solução de um problema, é necessário compreendê-lo, elaborar um plano que conduza ao objetivo, executar esse plano e, ﬁnalmente, analisar ou veriﬁcar se os objetivos propostos foram, ou não, atingidos. Observe se os alunos interpretam

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corretamente o enunciado do problema, se reconhecem os retângulos obtidos na decomposição da quadra e se identiﬁcam suas medidas. O momento é de realização das atividades nas quais os estudantes poderão testar hipóteses e aplicar conhecimentos e procedimentos

matemáticos abordados nas atividades anteriores. Caso apareçam outras resoluções, comente-as valorizando as diversas iniciativas. Na comparação de diferentes procedimentos para resolver os exercícios, os alunos poderão compreender com maior signiﬁcado os conteúdos estudados.

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• Identiﬁcar números racionais e irracionais.

0, 69, 70, 79 e 80 0, 69, 70, 79 e 80 60, 69, 70, 79, 80; 20,1%; 15,8%; 12,3%; 21,5%; 38,4% Não há. 60, 69, 70, 79, 80; 20,1%; 15,8%; 12,3%; 21,5%; 38,4%

π,

. Existem outras respostas.

60; ...60,5; 61; ...61,5; ...69. Existem outras respostas.

10 números

Inﬁnitos

A retomada da identificação de números racionais e irracionais pode auxiliar aqueles que encontraram um pouco mais de dificuldade nesse assunto. Na atividade 1, observe se os alunos identificam os números naturais como inteiros, os inteiros como racionais e os racionais como reais, conhecimento neces-

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sário para compreender a ampliação dos campos numéricos. Na atividade 2, lembre que o ensino do conceito de números reais não é simples. Em casos como esse, pode ser suficiente que eles identifiquem um número irracional como aquele que, quando expresso na forma posicional decimal, possui infini-

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tas ordens decimais não periódicas; que reconheçam que esse número não pode ser expresso como um quociente entre dois números inteiros (e isso é muito mais difícil do que pode parecer); que identiﬁquem números irracionais obtidos por raízes quadradas, cúbicas e com outros índices.

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• Ampliar e relacionar os diferentes campos numéricos, reconhecendo o conjunto dos números reais como conjunto reunião dos números racionais e irracionais.

As atividades dessa página têm por objetivo trabalhar com o conjunto dos números reais como ampliação do conjunto dos números racionais. Uma opção em trabalhar com representações gráﬁcas de conjuntos (sob forma de círculos, elipses, curvas fechadas) e de símbolos se justiﬁca por serem

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Todo elemento do conjunto

também é elemento do conjunto .

Todo elemento do conjunto

também é elemento do conjunto .

representações e simbologias que explicitam de forma abreviada algumas propriedades e relações entre os campos numéricos. Comente mais uma vez que a descoberta de alguns números irracionais está ligada às diﬁculdades surgidas na tentativa de exprimir numericamente, por exemplo, a medida da diagonal

de um quadrado em função da medida de seus lados (como uma razão) e de obter a medida do comprimento de uma circunferência em função da medida de seus raios. 1

raio

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54 cm2

10 km

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• M8 Resolver situações-problema que abrangem juro simples. • M12 Compreender e identificar a variação de grandezas, em situações do cotidiano. • M13 Representar a variação de duas grandezas em um sistema de eixos cartesianos. • M14 Analisar as variações do perímetro e da área de uma figura quadrada em relação à variação da medida do lado e construir gráficos cartesianos para representar essas interdependências. • M32 Resolver situações-problema que incluam noções de espaço amostral e de probabilidade de um evento. Material necessário para o desenvolvimento da Unidade: calculadora  dados 

Resposta pessoal

Situações ligadas ao consumo podem tornar-se contextos signiﬁcativos a serem explorados em salas de aula. Por exemplo, analisar uma relação ótima entre preço e quantidade adquirida; decidir entre compras à vista, ou a prazo.

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Situações de oferta do tipo “compre 3, pague 2” nem sempre são vantajosas, pois, algumas vezes, são feitas para produtos que, por alguma razão, estão com a procura em queda, ou com prazos de validade próximos do vencimento.

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Algumas pessoas podem agir de forma consumista como objetivo de vida, transformando bens que podem ser considerados supérﬂuos em essenciais. Comente que é importante distinguir o essencial do necessário e o necessário, do supérﬂuo.

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• Compreender e identiﬁcar a variação de grandezas, em situações do cotidiano.

Entre outras, do tempo de aquecimento.

33 ºC

A partir de 15 ºC, a temperatura aumenta 3 ºC por minuto, à medida que se aquece o líquido. Existem outras respostas.

T = 15 + 3 t

A atividade parte de uma situação-problema próxima a uma possível realidade dos estudantes, e espera-se poder levá-los a uma compreensão, mesmo que intuitiva, dos possíveis signiﬁcados de uma relação de interdependência entre duas grandezas (em geral, quando uma grandeza varia, a outra também varia segundo alguma lei).

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Peça que observem o quadro e pergunte quais as grandezas envolvidas nesse experimento. O item d pode ser entendido como uma espécie de tradução de um texto em linguagem corrente para um texto em linguagem simbólica: “A partir de 15 °C, a temperatura aumenta 3 °C por

minuto, à medida que se aquece o líquido: T = 15 + 3 t”. É conveniente notar a estrutura “gramatical” do texto simbólico: sujeito (temperatura), verbo ou ação (é igual a) e predicado (aumenta 3 °C por minuto, à medida que se aquece o líquido).

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• Identiﬁcar e analisar a variação de grandezas, em situações do cotidiano.

Resposta pessoal

180 carros, 130 carros e 80 carros

Comece perguntando: • Por que os preços dos automóveis, motocicletas, telefones celulares, computadores não permanecem sempre os mesmos à medida que o tempo passa? A atividade 1 inicia pela compreensão dos possíveis signiﬁcados e pela percepção de que uma função revela uma interdependência

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entre duas grandezas representadas por suas variáveis. Na atividade 2, faça os estudantes perceberem que as informações apresentadas: “para cada aumento (variação) de R$ 500,00 no preço de venda de um carro popular a demanda por ele se reduz (varia) em 50 unidades por mês”, caracterizam uma relação entre

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duas grandezas (preço de um carro popular e procura pelo carro) cujas variações são proporcionais, conforme o quadro abaixo: Preço do carro em reais 20.000 20.500 21.000 21.500

Demanda pelo carro 230 180 130 80

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• Identiﬁcar e analisar a variação de grandezas, em situações do cotidiano.

X X

Uma diferença entre consumo e consumismo está no fato de que o consumo é o ato de adquirir produtos de que realmente se está precisando, e o consumismo é o ato de consumir (comprar) produtos por impulso (compulsão para consumir), sem avaliar a necessidade real.

Na análise da atividade 1 a respeito de consumo versus consumismo é plenamente possível acrescentar novos itens para reforçar outras diferenças entre o que pode ser considerado consumo e o que pode ser considerado consumismo. Por exemplo, a seguinte questão: eu gasto mais de 50% do que ganho em um mês para

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me divertir ou para consumir? Com isso, podem-se reforçar os argumentos para uma resposta “mais” consistente para a atividade 2. Para mais esclarecimentos, peça aos alunos que pesquisem em sites como: • http://ambiente.hsw.uol.com. br/consumo-consciente.htm

• www.akatu.org.br. Na atividade 3, o objetivo consiste em trabalhar intuitivamente o conceito de variável e escrever uma variável em função de outra. Solicite que identiﬁquem as grandezas envolvidas na atividade e as relacionem com as informações conhecidas.

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27.000,00 27.000,00 24.300,00

R$ 21.870,00 e 30.000,00 × 0,9t

V = 30.000,00 × 0,9t

V = 24.300 reais

t=0

Sim, porque o valor V de mercado depende do tempo t de uso.

A atividade 3 apresenta uma situação de relação entre duas grandezas que difere da proposta colocada em “Sonho de consumo?”, pois aqui as variações das grandezas valor e tempo de uso não são proporcionais. Se for conveniente, comente que, para completar o quadro e res-

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ponder ao item b, é oportuno o uso de calculadora para o cálculo de potências. A sequência: 0 . 9 × = “prende” (ﬁxa) a operação multiplicação por 0,9. Assim, digitando a tecla = duas vezes após a tecla × : 0 . 9 × = =

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o resultado que aparece no visor é a potência 0,81 = 0,92. Solicite que descrevam oralmente os procedimentos usados para completar o quadro. Depois, peça que usem letras (como variáveis) para indicar genericamente o valor de mercado (V), em função do tempo (t) de uso.

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• Identiﬁcar a variação de grandezas em situações do cotidiano, elaborar e analisar tabelas.

10 milhões de litros

Comente a vantagem de expressar a grandeza P (produção de suco, em milhões de litros) em relação à grandeza a (tempo, em anos), com a ≥ 2005, por meio da equação: P = 10 + 1,5 · (a – 2005) no lugar da equação: P = 1,5 · a – 2.997,5 milhões de litros anuais, que poderia ser considerada uma forma simpliﬁcada da primeira.

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Pergunte: o que significa simplificar uma expressão? Tendo em vista que qualquer expressão simplificada é equivalente à expressão original, nem sempre esse procedimento é conveniente, por exemplo, para completar os cálculos da tabela apresentada.

Outra possibilidade consiste em uma troca de variável como: t = a – 2005 na qual t é uma “nova” variável tal que t ≥ 0, e t = 0 signiﬁca o ano 2005. Nessas condições, a expressão daquela empresa de sucos se torna: P = 10 + 1,5 · t.

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2007

3,0

13,0

1,5 ∙ (2008 – 2005) = 4,5

P = 10,0 + 4,5 = 14,5

1,5 ∙ (2009 – 2005) = 6,0

P = 10,0 + 6,0 = 16,0

1,5 ∙ (2010 – 2005) = 7,5

P = 10,0 + 7,5 = 17,5

1,5 ∙ (2011 – 2005) = 9,0

P = 10,0 + 9,0 = 19,0

1,5 ∙ (2020 – 2005) = 22,5

P = 10,0 + 22,5 = 32,5

2010

2012

Aumenta 1,5 milhão de litros a cada ano.

O suco de frutas é mais caro que refrigerantes. Existem outras respostas.

Na atividade 3, a situação-problema consiste em analisar a relação entre a variável P, que representa a grandeza produção de sucos, e a variável a, que expressa a grandeza tempo. Com base no preenchimento da tabela, solicite aos estudantes que deem respostas às atividades propostas. Espera-se que

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percebam, conforme os anos passam, que a produção anual aumenta em 1,5 milhão de litros a cada ano. Não se preocupe, inicialmente, em corrigir os problemas, mas em fazer alguns comentários e ouvir opiniões quanto aos caminhos seguidos, às maneiras de interpretá-los, à diﬁculdade de iniciar

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a resposta, tão comum em nossos alunos que se acostumaram a esperar a resolução de alguns exercícios para depois tentar fazer outros “parecidos”. É muito importante comentar, de forma construtiva, alguns erros cometidos e sempre orientar os estudantes para terem iniciativas pessoais, sem medo de errar.

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• Representar a variação de duas grandezas em um sistema de eixos cartesianos.

32,5 31,0 29,5 28,0 26,5 25,0 23,5 22,0 20,5 19,0 17,5 16,0 14,5 13,0 11,5

Comece perguntando: quantos pontos são convenientes para representar graﬁcamente a expressão P = 10 + 1,5 · (a – 2005)? Se os estudantes utilizarem todos os pontos da tabela preenchida na página 231, poderá ﬁcar explícito que haverá necessidade

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de muita precisão para que todos aqueles pontos ﬁquem alinhados. Nessas condições, a questão anterior terá mais signiﬁcado.

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• Representar a variação de duas grandezas em uma planilha eletrônica.

Este pode ser um bom momento do desenvolvimento do curso, pois se aliam aqui conhecimentos matemáticos “quase” formais com a utilização de uma tecnologia computacional digital. Veriﬁque se os alunos conseguem seguir as etapas do texto instrucional colocado na forma “siga os passos” e observe o resultado ﬁnal.

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Algumas etapas não explicitadas no texto podem ser comentadas para incrementar o resultado com relação à aparência ﬁnal do gráﬁco, tais como: • título, eixos, linhas de grade, legenda, rótulos de dados, tabela de dados;

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• tipo de fonte de texto, seu tamanho, posição dos eixos coordenados, escalas dos eixos, alinhamento; para citar algumas das muitas possibilidades que uma planilha eletrônica oferece. Explore outras formas de planilha eletrônica nas aulas de informática.

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• Representar a variação de duas grandezas em um sistema de eixos cartesianos.

V = 0,7 × P

14 7 10 20

R$ 70,00

Nessa atividade, o principal conceito explorado é o de desconto ou abatimento. O aprofundamento proposto aqui, que pode se tornar signiﬁcativo na formação dos estudantes, está no detalhe de que, quando se propõe um desconto de 30% sobre o preço de venda P de um tipo de blusa, o resultado ﬁnal

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0,7 × P “esconde” o seguinte procedimento: preço com desconto = P – 30% de P = P – 0,3 × P = P × (1 – 0,3) = = P × 0,7 Para representar geometricamente a relação P = 0,7 × P, sugira que sigam os procedimentos já mencionados nas atividades anteriores.

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• Representar a variação de duas grandezas em uma planilha eletrônica.

A parte signiﬁcativa dos aprofundamentos sugeridos na utilização de planilhas consiste em perceber como elas foram planejadas para otimizar seus recursos. Por exemplo, ao copiar uma célula que contém apenas texto, o resultado ﬁnal é uma célula idêntica

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à original. Porém, ao copiar uma célula que contém uma fórmula matemática, e que possui referência a uma ou mais células em uma região da planilha, os resultados ﬁnais não são idênticos à fórmula original, mas adaptados às células às quais a fórmula faz referência.

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• Traduzir situações-problema que envolvam sistemas de equações. • Representar e analisar a variação de duas grandezas em um sistema de eixos cartesianos.

R$ 107,75 e R$ 56,00

Não, pois esta deveria ser: – 0,875 km.

L = 5,25 + 4,10 × q C = 3,50 + 2,10 × q

A proposta dessas atividades consiste em apresentar duas grandezas, “valor da corrida de táxi de luxo” e “valor da corrida de táxi comum”, relacionadas com a mesma grandeza: “quilometragem”. Na questão: “Existem valores para a variável q [que representa a grandeza quilometragem] para

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os quais os valores das variáveis L [corrida de táxi de luxo] e C [corrida de táxi comum] são iguais?”, espera-se que os estudantes determinem valores de q para os quais L = C e que podem ser obtidos por meio da equação: 5,25 + 4,10 ∙ q = 3,50 + 2,10 ∙ q que é uma equação de 1o grau.

Como toda equação de 1o grau possui solução, pergunte: será que a solução encontrada é adequada para responder à questão?

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Sim, e é único.

q = – 0,875

Não, pois a quilometragem não pode ser negativa.

Comente que, além de uma solução algébrica, é possível, neste caso, uma abordagem gráfica ao se elaborarem as representações gráficas das duas equações. É possível perceber que o gráfico a é “mais adequado” ao problema proposto, pois a declividade da reta correspondente ao valor

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da corrida de táxi de luxo (4,10) é maior que a do táxi comum (2,10). O ponto em que a reta, que representa a corrida do táxi de luxo, cruza o eixo das ordenadas determina o valor da bandeirada, que é a distância desse ponto à origem do sistema cartesiano. Determinando da mesma

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forma a distância do ponto de encontro da outra reta também com o eixo das ordenadas, que corresponde ao táxi comum, percebe-se que a primeira distância é maior que a segunda. Os pontos em que ambas as retas se cruzam é aquele em que L = C e a quantidade q é negativa.

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• Analisar as variações do perímetro de uma ﬁgura quadrada em relação à variação da medida do lado e construir gráﬁcos cartesianos para representar essas interdependências.

4π

P=4·a

O perímetro do quadrado maior seria o dobro do menor.

P (cm) 12 8 4 a (cm) 1

Estão alinhados.

Sim, porque se pode atribuir à medida do lado qualquer valor real.

Como P = 4 · a, há proporcionalidade direta entre a medida a dos lados de um quadrado e seu perímetro P. Funções desse tipo são representadas graﬁcamente por uma reta. Se for conveniente, trabalhe a relação inversa da relação original, ou seja, dado um valor para P,

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obter a correspondente medida m dos lados do quadrado. A expressão da relação inversa é: m=

× P.

Em relação à representação gráﬁca da relação inversa, não há nenhuma modiﬁcação, pois ela “coincide” com a representa-

ção gráfica da original, exceto, talvez, no “sentido da leitura”! Para representá-la graficamente, podemos: a) não fazer nenhuma modificação na representação original, exceto no sentido da leitura; b) trocar as posições dos eixos das variáveis P e m.

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• Analisar as variações da área de uma ﬁgura quadrada em relação à variação da medida do lado e construir gráﬁcos cartesianos para representar essas interdependências.

A = c2

14 π2

56,25

11 cm

Não. Representando a área do outro quadrado por B e a medida de seus lados por n, temos: B = n2. Se n = 2 × m, então B = (2 × m)2 = 4 × m2 = 4 × A

25 vezes

Pergunte por que A e m não são grandezas diretamente proporcionais. Se houver necessidade, lembre que duas grandezas são diretamente proporcionais quando, duplicando-se o valor de uma delas, o valor correspondente da outra duplica; triplicando-se o

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valor de uma, o da outra também triplica, e assim por diante. Como foi sugerido na proposta anterior, uma possível continuação e aprofundamento dessa atividade consistem em trabalhar a relação inversa da relação original, ou seja, dado um valor para

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A, obter a correspondente medida m dos lados do quadrado. Faça perguntas do tipo: para que uma ﬁgura quadrada tenha área igual a 100 cm2, qual deve ser a medida de seus lados?

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• Construir noções de espaço amostral e evento.

Cara ou coroa

{c, r}

Obter coroa.

O tema direitos do consumidor, que exempliﬁca situações imprevisíveis, pode ser considerado adequado diante do momento social e político que vivemos. Aproveite a oportunidade para reforçar a construção de um senso crítico nos estudantes para a formação de cidadãos conscientes.

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Comente que uma característica muito importante do conceito de probabilidade é a imprevisibilidade de um resultado que vai ocorrer quando da realização de um experimento probabilístico. Não signiﬁca que não se sabe qual resultado ocorrerá, mas qual resultado ocorrerá com certeza.

Por exemplo, no lançamento de uma moeda, sabemos que os resultados possíveis são “sair cara” ou “sair coroa”, mas conhecemos, apenas, a probabilidade de ocorrer um caso ou outro. Com base nesses experimentos aleatórios são introduzidos os conceitos de espaço amostral e evento simples.

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• Resolver situações-problema que incluam noções de espaço amostral e de probabilidade de um evento.

Ocorrer 1, ocorrer 2, ocorrer 3, ocorrer 4, ocorrer 5, ocorrer 6.

{1, 2, 3, 4, 5 e 6} 6

branca, vermelha vermelha

branca

vermelha, branca

vermelha

vermelha, vermelha

{ (b,b), (b,v), (v,b), (v,v) }

{ (b,b), (v,v) }

Na sequência das atividades, o principal objetivo é construir um conceito de probabilidade, mesmo de forma intuitiva. Um primeiro contato com esse assunto consiste em observar os possíveis resultados no lançamento de um dado comum, na retirada de bolas de uma urna e na determinação de espaço amostral

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associado a cada experimento. Essas ações iniciais, apesar de parecerem simples, são muito importantes na construção do conceito em estudo. A principal ﬁnalidade desse tema é os estudantes compreenderem que muitos dos acontecimentos do cotidiano são de natureza aleatória e que se podem identi-

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ﬁcar possíveis resultados desses acontecimentos e até estimar o grau de possibilidade acerca do resultado de um deles.

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• Resolver situações-problema que incluam noções de espaço amostral e de probabilidade de um evento.

Comente que o resultado da realização do experimento por muitas pessoas é considerado equivalente, do ponto de vista probabilístico, ao resultado da realização do mesmo experimento por uma pessoa em número de vezes igual à soma dos números de todas as outras pessoas, mesmo que os resultados individuais sejam distintos.

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Os conceitos importantes aqui trabalhados são o de frequência absoluta e o de frequência relativa de um evento. Ressalte que, quanto maior é o número de realizações do experimento, sempre nas mesmas condições, maior é a probabilidade de o evento previsto ocorrer. Há um importante teorema de

probabilidade e estatística que aﬁrma que, quando o número de realizações de um experimento cresce indefinidamente (além de qualquer limite preﬁxado), as frequências relativas do evento associado àquele experimento tendem a um valor determinado, que é a probabilidade de ocorrência desse evento.

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• Conceituar eventos equiprováveis. • Resolver situações-problema que incluam noções de espaço amostral e de probabilidade de um evento.

Eventos com probabilidades iguais.

6 · p = 100% = 1

= 0,16666... = 0,16 = 16,6%.

Outro conceito fundamental na formação da noção de probabilidade é o de eventos equiprováveis, ou eventos com mesma probabilidade. Nem todos os experimentos possíveis possuem eventos equiprováveis, porém é altamente conveniente começar um trabalho sobre probabilidade com experimentos

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que contam com esses eventos, tais como: lançamento de uma moeda ou um dado, retirada de uma bola de uma urna (sem levar em conta características especíﬁcas das bolas), de uma carta qualquer de um baralho, sorteio do prêmio da loteria federal, para citar alguns. De posse desse conceito, é possí-

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vel estimar algumas probabilidades precisas e teóricas, sem necessidade de calcular frequências relativas, de experimentos cujos espaços amostrais são ﬁnitos (e também enumeráveis), pois há uma propriedade importante que ﬁcou escondida no texto, a saber: A soma de todos os eventos individuais do experimento é igual a 1.

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• Conceituar termos da matemática comercial: de capital, juro e tempo de aplicação.

Preço do produto ou serviço, juro de mora e a taxa de juro, quantidade e a data de vencimento. Existem outras respostas.

R$ 13.800,00

Inicie o estudo desse conteúdo propondo uma pesquisa em jornais locais, revistas, anúncios de lojas da cidade, visita a supermercados. Peça aos alunos que façam as anotações relacionadas aos termos da Matemática ﬁnanceira: capital, juro e tempo de aplicação. Promova uma ampla discussão sobre os dados levan-

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tados por eles e explore os conhecimentos que possuem sobre porcentagem e juro. Na atividade 2, são enfocados alguns conceitos de Matemática ﬁnanceira, que podem ser explicados de forma bastante simpliﬁcada: capital, juro do capital, montante, tempo de aplicação, taxa (ou índice) de juro.

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• Resolver situações-problema que envolvam juro simples.

R$ 50,00

R$ 10.050,00

R$ 10.100,00

As atividades dessa página abordam o conceito de regime de capitalização sob juro simples. Inicie perguntando como calcular 0,5% de R$ 10.000,00. Alguns alunos podem apresentar diﬁculdades em transformar 0,5% para

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a forma decimal. Nesse caso, escrever na forma fracionária pode ajudá-los na compreensão: 0,5% =

= 0,005.

Após a realização da atividade 1, mostre aos estudantes que, no

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ﬁnal de cada mês, a partir do mês 0, o saldo daquela aplicação é a soma de todas as aplicações individuais, e que essas aplicações individuais se comportam de modo independente uma da outra.

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R$ 10.150,00

R$ 10.200,00

Continuaria calculando mês a mês até R$ 10.600,00.

O quadro a seguir ilustra esse tipo de aplicação. Após

Saldo

Total

0 mês

10.000

1 mês

10.000 + 50

10.000 + 50 = 10.050

2 meses 10.000 + 50 + 50

10.000 + 2 × 50 = 10.000 + 100 = 10.100

3 meses 10.000 + 50 + 50 + 50

10.000 + 3 × 50 = 10.000 + 150 = 10.150

4 meses 10.000 + 50 + 50 + 50 + 50 10.000 + 4 × 50 = 10.000 + 200 = 10.200

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Observando esse quadro, os alunos podem calcular o saldo após 12 meses: 10.000 + 12 × 50

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R$ 11.200,00

R$ 1.200,00

Peça aos estudantes que coloquem em um quadro os dados referentes à explicação do gerente para observarem uma regularidade na expressão que representa o saldo total.

Após

Saldo total

0 mês

10.000

1 mês

10.000 + 1 ∙ 0,5% ∙ 10.000

2 meses

10.000 + 2 ∙ 0,5% ∙ 10.000

3 meses

10.000 + 3 ∙ 0,5% ∙ 10.000

4 meses

10.000 + 4 ∙ 0,5% ∙ 10.000

......

..................

12 meses 10.000 + 12 ∙ 0,5% ∙ 10.000

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Saldo (após 12 meses) = = 10.000 + 12 × 0,5% × 10.000

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• Resolver e generalizar situações-problema que envolvam juro simples.

R$ 11.800,00

10.000 × (1 + n × 0,5%) = 10.000 × (1 + n × 0,005)

Da mesma forma que nas atividades anteriores, proponha aos alunos que coloquem em um quadro os saldos referentes aos períodos solicitados.

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Após 12 meses (1 ano) 24 meses (2 anos) 36 meses (3 anos) ....

Saldo total

....

n meses

10.000 + n × 0,5% × 10.000

10.000 × (1 + n × 0,5%)

10.000 + 12 × 0,5% × 10.000 10.000 × (1 + 12 × 0,5%) = 10.000 + 24 × 0,5% × 10.000 10.000 × (1 + 24 × 0,5%) = 10.000 + 36 × 0,5% × 10.000 10.000 × (1 + 36 × 0,5%) =

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• Analisar situações-problema que não envolvam juro simples (contraexemplo).

1.985,11 × 1,005 = 1.995,03; 1.995,03 – 1.000 = 995,03; 995,03 × 1,005 = 1.000,00; logo, é possível comprar aquele televisor com menos de R$ 2.000,00 no ato da compra!

Não se deixe enganar, pois, como pudemos veriﬁcar, não existe ﬁnanciamento sem juro, caso seja possível aplicar o dinheiro.

Peça aos alunos que tragam folhetos de propagandas de lojas que vendem aparelhos eletrodomésticos e anunciam promoções de pagamento a prazo, “sem juros”. Comente que é comum as pessoas comprarem em parcelas, mesmo que tenham dinheiro suﬁciente para fazê-lo à vista.

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Peça que pesquisem com seus familiares como eles justiﬁcam essa atitude. As propostas pretendem desenvolver nos alunos atitudes críticas em situações como essas, usando argumentos matemáticos. Explique que juro simples a uma taxa de 6% ao ano é equivalente

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0,5% ao mês, porque um ano tem 12 meses: 6% ao ano = 6% ÷ 12 ao mês = = 0,5% ao mês Para completar essa atividade, organize uma sessão para os alunos assistirem ao vídeo do 8o ano, volume 1.

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• Analisar situações-problema que não envolvam juro simples (contraexemplo). • Resolver situações-problema por meio de equações de segundo grau, discutindo os signiﬁcados de suas soluções (raízes), com relação às situações propostas.

Resposta pessoal

600 – 276 = 324

Planeje situações coletivas em que os estudantes possam expor e trocar interpretações sobre o problema proposto e comparar com os colegas as soluções encontradas e os procedimentos seguidos. Peça que leiam o texto até aparecer a primeira pergunta. Oriente os alunos para procurarem argu-

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mentos que justiﬁquem suas respostas. Solicite aos grupos que organizem uma síntese: cada aluno apresenta uma resposta e, coletivamente, registram-se as ideias principais para responder à questão. Depois, cada grupo justiﬁca sua opinião com argumentos. Socialize as respostas e registre-as na lousa.

No item b, veriﬁque se os estudantes entendem que a dívida, no ato do pagamento de cada parcela, é igual ao débito mais o juro mensal que esse débito produz em um mês. Para sistematizar a resolução pode-se propor a organização em etapas, como a que segue, ou em quadro.

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324 + 324 ∙ i

(324 + 324 ∙ i) – 225 = 324 ∙ i + 99

(324 ∙ i + 99) + (324 ∙ i + 99) ∙ i = 324 ∙ i2 + 423 ∙ i + 99

(324 ∙ i2 + 423 ∙ i + 99) – 225 = 324 ∙ i2 + 423 ∙ i – 126

• No ato do pagamento da entrada: Dívida inicial = 600 reais Dívida após o pagamento da entrada = preço do skate – pagamento da entrada Dívida após o pagamento da entrada = 600 – 276 = 324.

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• No ato do pagamento da primeira parcela: Dívida = débito anterior + o juro mensal que esse débito produz em um mês Dívida = 324 + 324 ∙ i Dívida após o pagamento da primeira parcela = (324 + 324 ∙ i) – – 225 = 324 ∙ i + 99

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• No ato do pagamento da segunda parcela: Dívida = débito anterior + o juro mensal que esse débito produz em um mês Dívida = (324 ∙ i + 99) + (324 ∙ i + + 99) ∙ i = 324 ∙ i2 + 423 ∙ i + 99

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i = 0,25, ou i = – 1,555...

i = 0,25, porque a taxa de juro não pode ser negativa.

Dívida após o pagamento da segunda parcela = (324 ∙ i2 + 423 ∙ ∙ i + 99) – 225 = 324 ∙ i2 + 423 ∙ ∙ i – 126 = 0 Pergunte por que após o pagamento da segunda parcela a dívida é igual a zero. Essa atividade é um exemplo de como aplicar a resolução de uma

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equação do 2o grau em uma situação particular do cotidiano. Representação da situação em cada ato de pagamento: Compra

Dívida 600

1 parcela 324 + 324 ∙ i a

Pagamento

Dívida após o pagamento

276

600 – 276 = 324

225

324 ∙ i + 99

2 parcela 324 ∙ i2 + 423 ∙ i + 99 225

324 ∙ i2 + 423 ∙ i − 126 = 0

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• Identiﬁcar o funcionamento de uma caderneta de poupança.

O saldo da aplicação no início de cada período mensal é a soma do saldo do período anterior com o rendimento da aplicação nesse período.

Essa atividade tem por objetivo mostrar o funcionamento simpliﬁcado de uma caderneta de poupança em outro regime de capitalização, o regime sob juro composto. Comente que esse regime é o mais utilizado nas aplicações e empréstimos em bancos e ﬁnanceiras.

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No regime de juro composto, em cada intervalo de tempo, o juro é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

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Saldo (10/2/2009) = = saldo (10/1/2009) + 0,9074% do saldo (10/1/2009) = = 500 + 0,9074% de 500 = = 500 + 0,9074% × 500 = = 500 + 0,009074 × 500 = = 504,537 504,53 reais

Saldo (10/3/2009) = = saldo (10/2/2009) + 0,8193% do saldo (10/2/2009) = = 504,53 + 0,8193% de 504,53 = = 504,53 + 0,8193% × 504,53 = = 504,53 + 0,008193 × 504,53 = = 508,66361429 508,66 reais

Saldo (10/4/2009) = 514,14 reais Saldo (10/5/2009) = 518,57 reais Saldo (10/6/2009) = 523,62 reais Saldo (10/7/2009) = 528,72 reais

Para dar continuidade a essa atividade proponha aos estudantes que representem essa aplicação ﬁnanceira em uma caderneta de poupança por meio de uma tabela.

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Taxa de Depósito rendimento Retirada Rendimento do dia Saldo na conta 10/1 500,00 0,8496 – 0 500,00 500 + 0,9074% × 10/2 – 0,9074 – 0,9074% × 500 × 500 = 504,53 + 0,8193% × 10/3 – 0,8193 – 0,8193% × 504,53 504,53 × 504,53 = 508,67 + 1,0767% × 10/4 – 1,0767 – 1,0767% × 508,67 508,67 × 508,67 = 514,14 + 0,8606% × 10/5 – 0,8606 – 0,8606% × 514,14 514,14 × 514,14 = 518,57 + 0,9734% × 10/6 0,9734 0,9734% × 518,57 518,57 × 518,57 = 523,62 + 0,9755% × 10/7 0,9755 0,9755% × 523,62 523,62 × 523,62 = 528,72 Dia

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Salário mensal da corretora = 600 + 0,02 × (total vendido no mês)

Salário mensal da corretora = 600 + 0,02 × 200.000 = 4.600 reais

R$ 34.000,00

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Cadernos de apoio e aprendizagem - Matemática (9º Ano - 8ª Série)