Matemáticas Prácticas
Introducción Este es un texto práctico que intenta satisfacer una necesidad apremiante entre los estudiantes de primer semestre de la Facultad de Química: saber emplear habilmente un mínimo de matemáticas. No nos va a preocupar mucho el rigor matemático —eso de demostrar matemáticamente todos los teoremas, o usar las matemáticas contemplando los posibles casos excepcionales— sino que nos van a preocupar más los resultados. Se trata de que los lectores adquieran las capacidades mínimas para hacer las operaciones matemáticas necesarias para entender sus clases de Cinemática y Dinámica, Álgebra, Cálculo Diferencial y Química General. Este no es un texto de matemáticas, es un texto de matemáticas prácticas.
Existen tres ideas necesarias para poder despejar: 1. Si hacemos la misma operación sobre los dos lados de una igualdad, la igualdad sigue siendo válida. 2. Toda operación matemática tiene su inversa. Hacer dos operaciones inversas es como no hacer nada. 3. Existe un orden para realizar las operaciones indicadas en una ecuación. Para despejar se debe seguir el orden inverso.
Vamos a aprender a despejar Entre las manipulaciones matemáticas que más empleamos están los llamados despejes. En general podemos decir que despejar significa manipular una ecuación de acuerdo con ciertas reglas para obtener otra ecuación en donde una de las variables se encuentra sola del lado izquierdo de la ecuación. Primero que nada definiremos qué entendemos por ecuación. Una ecuación es una expresión matemática que incluye un signo de igualdad. Por ejemplo,
()=
0
0
+
+
2
1 2
es una ecuación. Dice que cierta cantidad (la posición en función del tiempo, ( )) es igual al resultado de hacer las operaciones que se encuentran del lado derecho de la ecuación (tomar el valor de , elevarlo al cuadrado, multiplicar al resultado por y a este por 1 2 y al resultado sumarle el resultado de multiplicar a por 0 y finalmente a todo eso sumarle 0 ). Normalmente este ecuación la vamos a emplear tal como está: sabremos cuánto vale , cuánto vale , cuánto vale 0 y cuánto vale 0 y desearemos calcular el valor de ( ). Sin embargo alguna vez será necesario usar esta misma ecuación de otra manera, por ejemplo, sabremos cuánto vale 0 , 0 , y ( ) y desearemos conocer el valor de que hace que la igualdad se cumpla. En estos casos necesitaremos despejar. Como dijimos anteriormente despejar quiere decir que manipulemos la ecuación para escribirla de tal forma que del lado derecho sólo aparezca y del lado izquierdo aparezcan todas las demás variables. Desde luego existen reglas para lograr esto; si aplicamos esas reglas, encontraremos que, al despejar obtenemos
=
0 0 ) 2
2( ( )
En lo que sigue vamos a estudiar las reglas para realizar estos despejes. Las técnicas para despejar están basadas en tres ideas sencillas. La primera es que una igualdad sigue siendo una igualdad aun cuando
Primera idea: “hay que hacer lo mismo de los dos lados de la igualdad�
afectemos a sus miembros, siempre y cuando los afectemos de la misma manera. Por ejemplo, imaginemos la siguiente igualdad obvia: 2=2
(Se ve media tonta esta igualdad, Âżverdad?, evidentemente dos es igual a dos. Pues si se ve tonta, ÂĄbuenas noticias!, porque todas las igualdades que usaremos son asĂ de tontas, siempre dicen “lo del lado derecho de la igualdad es igual a lo del lado izquierdo...â€?) Nuestra primera regla se refiere al hecho de que si hacemos la misma operaciĂłn en ambos lados de la igualdad, la igualdad sigue siendo vĂĄlida, por ejemplo, si restamos ocho a ambos miembros obtenemos, 2
8=2
8
o, similarmente,
6=
6
NĂłtese que la igualdad ya no es la misma, ya no dice que “dos es igual a dosâ€?, es una nueva igualdad, dice “menos seis es igual a menos seisâ€?, pero sigue siendo una igualdad. De la misma manera podemos multiplicar, dividir, elevar al cuadrado o hacer cualquier otro tipo de operaciĂłn con esta igualdad, la igualdad seguirĂĄ siendo tal a condiciĂłn de que las operaciones las hagamos de la misma manera sobre ambos lados de la igualdad. Esto puede parecer demasiado tonto, demasiado evidente para ser importante. Es sencillo, pero es importantĂsimo para lo que queremos aprender a hacer. RecuĂŠrdalo como la primera regla que vamos a cumplir1. Segunda idea:â€?cada operaciĂłn matemĂĄtica tiene una operaciĂłn inversa.â€? Las operaciones matemĂĄticas y sus operaciones inversas. NĂłtese que si la operaciĂłn A es inversa de la operaciĂłn B, la operaciĂłn B es inversa de la operaciĂłn A: suma—resta +
=
multiplicación—división
=
2
=
y queremos despejar . La funciĂłn inversa del logaritmo es la exponencial, es decir se cumple la identidad
eln =
cuadrado—raiz
La segunda idea importante para despejar es la de la operaciĂłn inversa: para cada operaciĂłn matemĂĄtica que queramos realizar existe la operaciĂłn matemĂĄtica inversa. Por ejemplo, la operaciĂłn inversa a la suma es la resta, a la multiplicaciĂłn es la divisiĂłn, al cuadrado la raiz, etcĂŠtera. TambiĂŠn existen los inversos de las funciones, la funciĂłn opuesta al seno es el seno inverso o arco seno, la funciĂłn opuesta a la exponencial es el logaritmo, etcĂŠtera. La importancia de que existan estas funciones inversas estriba en que vamos a poder anular lo que una operaciĂłn le estĂĄ haciendo a la variable que queremos despejar. Por ejemplo, supongamos que tenemos la ecuaciĂłn = ln
2 =
Esta regla en conjunciĂłn con la primera (“hay que hacer lo mismo con los dos lados de una igualdadâ€?) nos permite sugerir que para despejar 1 Hay quien compara una igualdad con una balanza de platillos que estĂĄ equilibrida: en el platillo de la izquierda hay la misma masa que en el platilo de la derecha aunque su presentaciĂłn sea distinta. Si queremos seguir teniendo balanceada la balanza cualquier cosa que hagamos con el platillo de la izquierda la debemos hacer tambiĂŠn con el platillo de la derecha. Si a aquel le quitamos cierta cantidad de masa, a este le debemos quitar exactamente la misma cantidad de masa. El balance es distinto, pero la balanza sigue equilibrada...
en la ecuaciĂłn anterior debemos aplicar la funciĂłn exponencial. AsĂ la ecuaciĂłn original = ln
exponencial—logaritmo ln e
=e
ln
=
1
sen
1
1
(sen ) = sen(sen
)=
)=
coseno—coseno inverso cos
1
(cos ) = cos(cos
1
(tan ) = tan(tan
1
)=
potencia—raiz de esa potencia (
)1
=(
1
)
=
e = eln
que, si empleamos el conocimiento de que la exponencial y el logaritmo son funciones inversas, se reduce a
tangente-tangente inversa tan
se convierte en
seno—seno inverso
Tercera idea: “hay un orden para hacer las operaciones.�
e = ; sĂłlo hay que voltear esta ecuaciĂłn —y esto ya es mĂĄs bien un problema de caligrafĂa que de matemĂĄticas— para que obtengamos el resultado final, es decir la despejada: =e
La tercera idea es que las operaciones matemĂĄticas indicadas en una igualdad se deben efectuar siguiendo un orden establecido. Normalmente cuando escribimos una expresiĂłn matemĂĄtica estamos aceptando ciertas convenciones acerca del orden en el que se deben realizar las operaciones 2 estamos indicando que indicamos, por ejemplo, en la expresiĂłn que primero elevaremos al cuadrado el valor de , y al resultado lo multiplicaremos por . Observa que
2 = ( )2
ya que, en el lado derecho de la expresiĂłn pusimos un parĂŠntesis que indica que el orden adecuado de las operaciones es primero multiplicar por y luego elevar el resultado al cuadrado. Para saber en quĂŠ orden se realizan las operaciones hay dos indicadores: las convenciones y el uso de parĂŠntesis. Las convenciones son poquitas y mĂĄs o menos fĂĄciles: primero se hacen las potencias o exponenciaciones: e , 3 despuĂŠs se hacen las multiplicaciones y las divisiones: e , 3 al Ăşltimo se hacen las sumas y las restas: e + , + 3 cuando puede haber confusiĂłn se usan parĂŠntesis: (e + ), ( + 3 ) Esta tercera idea es importante porque para despejar hay que ir dejando sola a la variable que nos interesa en el orden inverso de como harĂamos las operaciones. Para dejar sola a la variable emplearemos las dos reglas anteriores. AsĂ despejar es ...el proceso en el que dejaremos sola de un lado de la igualdad a una variable mediante el mecanismo de quitarle toda variable cercana en el orden inverso de precedencia de las operaciones, al emplear las operaciones inversas en ambos lados de la igualdad. Veamos algunos ejemplos.
Despejar es dejar sola a una variable mediante el proceso de pelar una cebolla. La variable estĂĄ en el centro de la cebolla. Hay que ir quitando las capas de afuera hacia adentro.
Ejemplos resueltos de despejes Vamos a ver con todo detalle algunos ejemplos sencillos de despejes. Date cuenta que, maĂąosamente, escogeremos en estos primeros ejemplos puros casos sencillos. La cosa se va a complicar un poquito en la tarea y en los ejemplos de las secciones posteriores.
Supongamos que queremos despejar a de la ecuación2
1 2 2 Vamos a identificar el orden en que se harían las operaciones indicadas: 1) elevamos al cuadrado 2) multiplicamos por 3) dividimos entre 2 (o equivalentemente, multiplicamos por 1/2) 4) sumamos 0 Ahora pelamos la cebolla. Empezamos con la cuarta operación, que es una suma. La operación opuesta es una resta. Le restamos 0 a los dos lados de la ecuación
=
0
+
=
0
+
Aquí estamos usando la propiedad conmutativa de la suma...
0
1 2
2
0
1 2 2 Ahora nos encargamos de la operación (3), que es una división. Lo opuesto a dividir entre 2 es multiplicar por 2 =
0
2(
2(
0)
=2
0)
=
2
1 2
2
El siguiente paso es deshacerse de la ; esto lo logramos dividiendo toda la ecuación entre ,
2 2 ( 0) = 2 2
(
0) =
Ya solo nos resta realizar la operación opuesta a elevar al cuadrado, es decir, sacar raiz cuadrada. El resultado es 2
2
(
0) =
(
0)
=
2
Que reacomodamos —y esto es ya más bien caligrafía, es decir, es sólo para que se vea más bonito— para dejar del lado izquierdo de la igualdad. Así, el resultado final es
=
2
(
0)
Este es un ejemplo sencillo donde se aplica al pie de la letra todo lo que hemos venido diciendo. Pero no todos los casos son así de 2
Esta ecuación describe el movimiento de un objeto sujeto a aceleración constante y con velocidad inicial igual a cero.
simples. Frecuentemente tenemos que lidiar con expresiones un poco más difíciles que se pueden volver aún más confusas cuando empleamos otras convenciones. Un caso frecuente es cuando aparecen funciones trigonométricas. Por ejemplo, considérese la expresión3
!
()=
cos
Observa dos complicaciones interesantes. Primero, del lado izquierdo de la ecuación aparece ( ). ¿Qué significa esto? Según lo que habíamos acordado, esta expresión se puede interpretar como que multiplica a . ¡Nada de eso! Aquí estamos indicando otra cosa, que es una función de . Es decir, ( ) es la representación de una variable; siempre aparecerá así, no se puede separar. La segunda peculiaridad de esta ecuación aparece en el término cos . Aquí empleamos la convención de que esto significa que evaluaremos el coseno del producto , es decir, primero multiplicamos por y al resultado le sacamos el coseno. Idealmente deberíamos escribir cos( ), pero como somos medio flojos, para escribir menos, normalmente indicaremos esto solamente como cos . Con estas advertencias procedamos a despejar . Primero establecemos el orden de las operaciones 1) multiplicamos por 2) sacamos el coseno de ese producto 3) multiplicamos por Ahora despejamos, es decir, hacemos las operaciones contrarias en el orden inverso. Primero dividimos entre
En general, para las funciones trasecendentales —ln, cos, sen, tan— escribireen vez del mos cosas tales como ln más preciso ln( ). Sin embargo, normalmente sí ponemos explícitamente el paréntesis en expresiones tales como sen( + ) para no confundirnos con sen( ) + .
#
"
"
" "
"
!
"
"
!
" ! ! ( ) ! = cos " ()
=
$!
cos
luego hacemos la operación inversa del coseno, es decir cos
1 % $!(') & = cos 1(cos " ) 1 % ( ) cos ! & =" y finalmente retiramos la " dividiendo cos 1 % () ( ) & " = " " cos = 1 % () ( ) & "
1,
cos
Donde, de nueva cuenta, invertimos el orden de la ecuación para que se vea más bonita. Vamos a ver otro ejemplo un poquito más complicado.
3
Esta expresión describe el movimiento de un oscilador armónico simple, es decir, un carrito sujeto a un resorte sin que se considere ninguna fuerza de fricción...